Nombre del establecimiento: Dirección: Teléfono
Nombre del estudiante: Curso:
o
1
Medio
MATEMÁTICA Texto para el Estudiante
Cristián Reyes Reyes Doctor en Matemática. Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
Marisol Valenzuela Chandia
Profesora de Matemática. Facultad de Filosofía y Humanidades. Licenciada en Matemática. Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUA GUATEMALA TEMALA • LISBOA • MADRID MÉXICO • NUEVA YORK • SAN JUAN •SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SÂO PA PAULO ULO AUCKLAND • LONDRES LONDRES • MILÁN • MONTREAL MONTREAL • NUEVA NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TORONTO
Matemática 1˚ Año Medio Texto para el Estudiante No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2006. McGRAW-HILL / INTERAM ERICANA DE CHILE LTDA. LTDA. Carmencita 25 - Oficina 51, Las Condes. Tel: 562- 661 3000 Santiago de Chile.
Autores Cristián Reyes Reyes. Marisol Valenzuela Chandia. Correctora técnico pedagógica Amanda Escalier. Coordinación editorial Mirta Jara A. Editora Paola González M. Ayudante de edición Patricia Romero M. Corrector de prueba Sergio Romero L. Coordinadora de arte Pamela Buben D. Equipo de diseño Pamela Buben D. Marcello Jiménez Z. Pamela Madrid F. Portada Pamela Buben D. Ilustraciones Pamela Buben D. César Letelier S. Archivo gráfico Banco de fotografía McGraw-Hill.
ISBN: 956-278-204-2 N˚ de Inscripción: 158.701. Santiago de Chile. Impreso en Chile por: RR Donnelley América Latina. Se terminó de imprimir esta primera edición de 367.916 ejemplares, en el mes de diciembre de 2006.
Estimado alumno, alumna
Este libro pretende ayudarte a abrir las puertas al conocimiento matemático, matemátic o, pero la llaves de esas puertas las tienes tú y son el trabajo, la reflexión, la investigación investigació n y la falta de temor a hacerse todas las preguntas por absurdas que parezcan en primera instancia.. Preguntas como: ¿es el cero un número par?, ¿puedo llenar con baldoinstancia sas hexagonales todo el plano? Parecen triviales, triviales, pero sin duda te llevarán a definiciones precisas y propiedades que al tenerlas claras podrás resolver las dudas. Las matemáticas poseen verdad. Si los triángulos rectángulos rectán gulos los entendemos como hoy lo hacemos, entonces el teorema de Pitágoras es cierto; hoy y para siempre. Si tú demuestras un resultado matemático, por ejemplo, que la suma de dos números pares es un número par, par, nadie puede decirte decirt e que ese resultado es falso, y si tu demostración alguien la entiende, no puede decirte no te creo, no es un asunto de fe, es matemática. Esta es una razón para hacer o conocer las demostraciones, demostracio nes, para dejar por sentada la veracidad de un resultado. Además; las demostrac demostraciones iones te permiten desarrollar habilidades de razonamiento matemático referidas a la argumentación, para ello es necesario que tu comunicación sea clara. En este texto encontrarás varias invitaciones y pistas para hacer y seguir demostraciones. También te entregamos diferentes estrategias para enfrentar estas pruebas. La matemática además nos permite aproximarnos a la realidad y así lograr una mayor comprensión de la misma. Mediante modelos matemáticos podemos inferir inferir conclusiones referentes a procesos procesos de la realidad, de las ciencias sociales y naturales, además podemos anticipar resultados resultad os que nos ayuden a tomar decisio decisiones nes con mayor certeza. En este libro encontrarás problemas problemas que te invitan a presentar un modelo algebraico, reconociendo variables y sus relaciones que te ayudan a comprender el problema real. Las actividades de este libro están dirigidas a lograr un conocimiento profundo de las ideas matemáticas que desarrollarás en él. Estas actividades están enmarcadas en contextos reales, reales, informaciones informaciones obtenidas de diferentes medios: periódi periódicos, cos, Internet, Interne t, artículos artí culos de organizaci organizaciones ones de salud, medioambient med ioambientales, ales, etc. En definitiva, este texto lo hicimos pensando pensando en ti, pensando en que logres un conocimiento conocimiento significativo de las matemáticas, para que descubras su belleza y utilidad. Motivado Motivadoss por el respeto y cariño al conocimiento es que queremos que con esta obra descubras, a tu ritmo, los conocimientos conocimiento s y desarrolles las habilidades necesarias para hacer de ti un ciudadano crítico, investigador, “preguntón”, y que, por sobre todo, intentes dar tus propias pro pias respuestas y argumentos. argum entos. Esperamos que te sea útil y que con la ayuda de tu profesor, uses la llave para abrir la puerta del conocimiento matemático, matemático, lo aprecies y lo utilices en diversas situaciones. Los autores.
• INDICE DE CONTENIDOS• Unidad
LENGUAJE ALGEBRAICO 1. 2. 3. 4.
Unidad
5.
NÚMEROS
Para recordar Potencias de base positiva y exponente entero 2. Propiedades de las potencias Problema resuelto Aplicando lo aprendido 3. Notación decimal 4. Notación científica Información en los medios Aplicando lo aprendido 5. Números racionales 6. Suma y productos de números racionales 7. ¿Cuántos números racionales hay entre dos números racionales? 8. Un número no racional 9. Notación decimal de los números racionales Un poco de historia: h istoria: Los números irracionales Aplicando lo aprendido 10. Aproximaciones 10. 11. Regularidades numéricas 12. Una aplicación de patrones numéricos Aplicando lo aprendido Un poco de historia: h istoria: Los números enteros
12
1.
Actividades finales Síntesis de la Unidad Autoevaluación
13 15 17 19 20 21 24 25 26 27 28 29 31 32 34 35 37 40 42 43 44 48 49
6. 7.
Para recordar Variables Aplicando lo aprendido Potencias en álgebra Términos semejantes Aplicando lo aprendido Igualdades y ecuaciones Problema resuelto El lenguaje cotidiano y el lenguaje algebraico Información en los medios Aplicando lo aprendido Generalidades numéricas Patrones Problema resuelto Aplicando lo aprendido Un poco de historia: Polinomios
52 53 57 58 62 63 65 67
Actividades finales Síntesis de la Unidad Autoevaluación
82 86 87
Unidad
TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIO NES ISOMÉTRICAS Para recordar 1. Embaldosamient Embaldosamiento: o: primera parte 2. Traslaciones Aplicando lo aprendido 3. Reflexiones 4. ¿Cómo reflejar un punto? 5. Figuras simétricas Aplicando lo aprendido 6. Rotaciones 7. ¿Cómo rotar un punto? Aplicando lo aprendido 8. Composición de isometrías 9. ¿Qué pasa con la composición de reflexiones? 10. Teselaciones regulares Aplicando lo aprendido Actividades finales finales Síntesis de la Unidad Unidad Autoevaluación
6
69 70 71 72 77 79 80 81
90 91 92 96 97 99 101 102 103 105 106 107 110 114 117 118 122 123
Unidad Unidad
FACTORES FACT ORES Y PRODUCTOS VARIACIONES PROPORCIONALES
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9.
1.
Para recordar Tablas y gráficos Interpretación Interpreta ción de gráficos Aplicando lo aprendido Variación proporcional directa Gráfico de variación proporcional directa Aplicando lo aprendido Un caso particular Variación inversamente proporcional Gráfico de variación inversamente inversamente proporcional Aplicando lo aprendido Más de dos variables Un problema PISA
126 127 129 131 132 134 136 137 138
Actividades finales Síntesis de la Unidad Autoevaluación
146 149 150
140 142 143 144
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Para recordar Producto de polinomios Aplicando lo aprendido Factorización: primera parte Sigamos distribuyendo Aplicando lo aprendido Productos notables: notables: el cuadrado del binomio La suma por la diferencia Aplicando lo aprendido Factorización: segunda parte El cuadrado es lo máximo Demostración del Teorema de Pitágoras Información en los medios Un poco de historia: h istoria: Ecuaciones Diofánticas
182 183 186 187 189 190
200
Actividades finales finales Síntesis de la unidad Autoevaluación
202 206 207
191 192 193 194 195 197 199
Unidad
CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Unidad
1.
VARIACIONES PORCENTUALES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Para recordar Comparando ¿Cuántos de cada 100? Aplicando lo aprendido Proporciones y porcentajes Porcentaje Porcenta je y gráficos Aplicando lo aprendido Porcentaje y álgebra Una máquina para los porcentajes Porcentajes, fracciones y decimales Aplicando lo aprendido Calculadoras y planillas de cálculo Porcentajes iterados Crecimiento y decrecimiento porcentual Información en los medios Aplicando lo aprendido
154 155 156 159 160 162 163 164 165 166 167 168 169 170 172 173
Actividades finales finales Síntesis de la unidad Autoevaluación
174 178 179
2. 3. 4. 5. 6. 7.
Para recordar Sin ambigüedades Aplicando lo aprendido Congruencias Aplicando lo aprendido Pantallas de televisor Triángulos congruentes Aplicando lo aprendido Aplicaciones geométricas Problema resuelto Programas computacionales Puzles geométricos Aplicando lo aprendido Un poco de historia: h istoria: Euclides y sus elementos
Actividades finales finales Síntesis de la unidad Autoevaluación Solucionario Glosario Índice analítico Bibliografía
210 211 215 216 220 221 222 225 226 228 229 230 231 232 234 238 239 240 253 254 256 MATEMÁTICA
7
• ESTRUCTURA GRÁFICA• Inicio de Unidad Número de la Unidad. Nombre de la Unidad.
Texto introductorio a los contenidos de la unidad. Esquema representativo de la relación entre los contenidos de la unidad y las metas de tu aprendizaje.
Desarrollo de contenid contenidos os Para recordar Desarrollando estos ejercicios activarás tus conocimientos previos.
Nota Destaca ciertos conceptos que debes tomar en cuenta para una mejor comprensión. Actividades Propuesta de desarrollo de habilidades página a página.
Información en los medios Extractada de diversos medios de comunicación, la que podrás comprender con la ayuda de la matemática.
8
Encontrarás ítemes marcados con un asterisco (*), los que serán un desafío para ti.
Problema resuelto Es un ejemplo de solución de problemas propuestos, que entrega un método de resolución.
Aplicando lo aprendido Profundiza, apoya y confirma tus conocimientos por medio de la aplicación práctica de los contenidos.
Un poco de historia Sección que te entrega una visión histórica de cómo se ha formado la matemática.
Cierre de Unidad Actividades finales Ejercicios graduados de transferencias de aprendizajes.
Síntesis de la unidad Resumen de los contenidos de la unidad ordenados jerárquicamente.
Autoevaluación Propuesta de evaluación de tus conocimientos de la unidad.
MATEMÁTICA
9
Números
Al finalizar esta unidad serás capaz de:
Temas que estudiaremos en esta unidad: Potencias de base positiva y exponente entero.
Multiplicar y dividir potencias. Comprender y emplear la relación entre el cambio de signo del exponente y el inverso multiplicativo de la potencia. Describir y operar con números pequeños y grandes.
utilizando
Resolver problemas que impliquen el cálculo de operaciones con números racionales.
Notación científica.
Números racionales e irracionales.
Discriminar entre números racionales e irracionales. Estimar y aproximar resultados en la resolución de problemas. Conjeturar acerca de la generalización.
de
Argumentar la veracidad de resultados Resolver problemas.
referente a
Regularidades numéricas.
Unidad
1 Los virus computacionales constituyen la peor amenaza para la informática de los últimos tiempos. Actúan como plagas muy difíciles de eliminar y provocan daños irreversibles a nuestros computadores. Al 18 de diciembre del año 2005 el virus denominado Sober A.G, calificado como de alta peligrosidad logró, a través del correo electrónico, de los usuarios, infectar a 2.857.339 computadores en sólo 7 días. ¿Puedes imaginar cuántos de estos aparatos resultarían infectados en un mes o en un año si no encuentras el antivirus adecuado? ¿Cómo crees tú que ocurre esto?
• para recordar • 1. Escribe los siguientes números en forma de fracción: a) -5
b) 0,7
c) 23
d) 4,8
f) -52
e) -2,36
2. Un día de invierno en la Antártica chilena el termómetro marcó una temperatura de 20oC bajo cero. El mismo día, en pleno verano caribeño, el termómetro marcó 35oC. a) Ubica estas temperaturas en la recta numérica. b) ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre estos dos lugares? 3. Analiza y determina, en cada caso, si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifica tu respuesta. a) b)
1 2
1 +
7 8
3
2 =
5
11 <
12
c) 200 es la quinta parte de 1.000 d) 53 = 15 e) (22)3 = 25 f) En un cubo de arista 4 cm caben 64 cubitos de arista 1 cm. g) Al dividir un número a por otro b resulta un número menor que a.
21 22 y ? 35 35
4. ¿Cómo encontrarías una fracción comprendida entre
5. Se quiere construir un techo de 1 m de altura y 3 m de largo, como lo indica la figura de más abajo. ¿Cuál debe ser el largo de la viga si debe pasarse en 20 cm? 1m
20 cm 3m
6. Resuelve las siguientes operaciones: a) b)
12
−5 ⋅
2 15
3 +
c)
:9
4
3 2 4 4 : − ⋅ 5 3 5 3
3 2
1 +
3
3 −
4
:
3 7
+1
1 4
d)
1 2
−
2 3
0, 25 +
3 8
Unidad
1
Potencias de base positiva y exponente entero Un virus computacional es un fragmento de programa o un programa que se añade a un programa legítimo con la intención de infectar a otros. Existen virus computacionales que llegan a tu computador mediante un correo electrónico, que incluso puede haber sido enviado desde el computador de un usuario conocido por ti. Éste ingresa a tu lista de direcciones y cada vez que abres tu correo, el intruso envía copias de sí mismo a las direcciones de tu lista. El virus llega al com putador de tu amigo y se repite el proceso proceso una y otra vez. Acotemos el problema: imaginemos que el virus sale de tu computador en 10 correos electrónicos, al día siguiente, de cada uno de los 10 computadores infectados salen 10 correos electrónicos con el virus y así sucesivamente; sucesiva mente; es decir, si el virus llega a mi computador hoy, hoy, mañana saldrían otros 10 correos infectados. día n
Número de nuevos infectados
1
10
2
100
3
1.000
4
10.000
5
?
6
? Tabla 1.1
Si en el primer día el creador del virus lo envía a un usuario, el día uno habría un infectado. Cada computador infectado mandará diez correos electrónicos con virus y como tenemos 10 de esos aparatos, al segundo día habrá 10 . 10 = 100 computadores infectados. La tabla 1.1 muestra los nuevos infectados en el día n.
actividades 1. Completa en tu cuaderno la tabla 1.1 y extiéndela hasta n = 10. 2. En total, ¿cuántos computadores infectados hay al sexto día? Fíjate que la respuesta no es 100.000. 3. ¿Cuánto tiempo se requiere para infectar al menos un millón de computadores? 4. Explica por qué este modelo de propagación es real para valores pequeños de n, pero no se ajusta demasiado a la realidad para grandes valores de n. 5. Recuerda la notación de potencia que aprendiste en octavo básico y escribe, ¿cuántos nuevos contagiados habrá el día n?
MATEMÁTICA
13
Números
Recordemos que en octavo básico, para anotar la multiplicación repetida de un mismo fac-
tor, usábamos notación de potencias. Así por ejemplo, para denotar la multiplicación
n
nota
La notación que hoy usamos en matemáticas se ha desarrollado durante muchos años. Por ejemplo, la notación de potencias, que tú aprendes hoy se debe a: Stevin, S (1598-1620); Viete, Francois (1540-1603) y Descartes, R (1596-1650). Antes de ellos se escribía 3x.x.x para denotar 3x3. Imagínate lo que sería haber sido estudiante en esos tiempos. Es importante destacar que el signo = se usa regularmente en matemáticas con posterioridad a esta época.
10 .10 . 10 . 10 . 10 105,
usábamos la notación
es decir, multiplicamos el 10 por sí mismo 5 veces, que en la situación anterior, corresponde a los computadores que se infectan exactamente el día 5. Es decir, cien mil computadores resultan infectados el quinto día. Por lo general, si queremos anotar la multiplicación de n veces el mismo número a , lo hacemos así: a
n
= a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ a
Es importante notar que al decir n veces, estamos pensando en n como un número entero positivo. Ahora Ahora bien, piensa en la siguiente situación: A Antonia le inyectan un millón de unidades de cierto antibiótico para curar una amigdalitis que la tiene a mal traer. El antibiótico mata cada día los
5
de las bacte1
rias que están en el cuerpo cuer po de Antonia. Es decir, al segundo día, sólo tendrá de las bacterias que tenía el día que le inyectaron inyectaron el medicamento. medicamento. Al tercer día tendrá 2
1
es decir, = 5
1 5
2
1 5
de las bacterias que tenía el día anterior,
de las que tenía el primer día.
¿Cuántas bacterias habrá en el cuerpo de Antonia el día n? n
1 Tendrá... 5
−1
=
5
1 n −1
de las bacterias que tenía al inicio. ¿Puedes ex plicar por qué?
actividades 1. Completa en tu cuaderno la tabla 1.2, respecto a las bacterias de Antonia:
DíAS
1
2
3
4
5
6
Frac Fr acci ción ón de la ca cant ntid idad ad in inic icia iall de de bac bacte teri rias as
1
1 5
?
?
?
?
Tabla 1.2 24
2
2. Explica cómo calcular , sin tener que calcular 242 ni 122. 12
14
4
5
Unidad
1
2 Propiedades de las potencias Como hemos visto en los problemas anteriores, hay situaciones en que surgen las potencias en problemas recursivos. Lo que ocurre en el paso n depende de lo que había en el paso anterior. Por Por ejemplo, en el problema de los virus computacionales, la cantidad de nuevos infectados es 10 veces mayor que de los que había en el caso 1 anterior.. En el caso de las bacterias en Antonia, cada día le quedan de las que tenía anterior 5 el día anterior anterior.. En general, si inicialmente se tiene una cierta cantidad a y en cada periodo siguiente se considera la cantidad anterior multiplicado por a, entonces en el periodo n habrá an unidades de dicha cantidad. 1o
recuerda
r
Si a > 0 y n,m se tiene que: an. am = an+m Si n > m son números naturales y a > 0, entonces n
a
m
a
=a−
n m
Como hemos visto, a puede ser un número entero o una fracción positiva, en cualquiera de estos casos tenemos que:
a
n
⋅a
m
= a⋅ a⋅ a⋅
...⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ a =
a⋅ a ⋅ a ⋅a ⋅
... ⋅ a =
n+ m
a
Nota que implícitamente estamos considerando n, m números naturales. 2o
Del mismo modo, al considerar el cuociente de dos potencias se tiene: a a
cuidado
No es cierto que 00 = 1, tampoco es 00 = 0 No está definida esa expresión.
n
m
c
=
⋅ ⋅ ⋅ ...⋅ a a a a = ⋅ ⋅ ...⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ a = a n − m a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a a a a a a a
Cuándo n es un número natural may mayor or que m. Notemos que en el caso anterior, anterior, al tener n = m , se tiene que a
n
a
n
= 1 = an− n = a0
es por esta razón que es conveniente denotar por
actividades
a
0
= 1 cuando a > 0
1. Calcula las siguientes potencias: 4 a) 3 2
3 b) 1 3
4 c) 2 3
2 d) 6 3
3 e) 3 3
2. Explica por qué, sin hacer todos los cálculos, los resultados de a) y c), si se multiplican, resulta 1. 3. ¿Cuántos días deben transcurrir para que Antonia tenga sólo una millonésima de las bacterias que tenía al inicio?
MATEMÁTICA
15
Números
c
cuidado
Otra propiedad es una forma abreviada de calcular las potencias de una potencia, es decir, ¿cómo calcular (a ) , si a > 0 y n, m ? 3o
n
Cuando decimos que “podemos extender” una propiedad queremos decir que es consecuencia de una propiedad anterior. Esta extensión es igual de válida y se puede demostrar. La demostración de ella se indicará en los ejercicios.
m
Para responder esta pregunta basta recordar las definiciones de potencias: multiplicar m veces a n, esto es:
( ) a
n
m
= a
n
⋅a
n
⋅a
n
⋅
... ⋅ a
n
m
es
=a
n +n +n +
...+n
= a
nm
Recordemos que al inverso multiplicativo de a lo anotamos por 1 cero. Es decir, a 1 . −
n
(a )
a
−1
cuando a no es
=
a
c
cuidado
No es cierto que nm
a
m = (an) 2
Por ejemplo, 103 es un número que tiene 9 ceros después de un 1, es decir, mil millones; en cambio, 2 (103) es un número formado por 6 ceros después de un 1, es decir, un millón.
Como
5
1
n ⋅
5
5
n
lógico anotar
=
5
1
n =
n
(5 ) n
1,
es decir, el número 1
1
−
=
5
n
5
n
y
5
n
son invers inversos os multiplicativos, es
.
Además, si queremos extender la propiedad de potencias que acabamos de ver, para potencias enteras (positiva (positiva y negativa), negativa), se debería cumplir cumplir que: 5
−
1
n =
5
n
De hecho, es así como lo anotamos y se tiene en general: a
−
1
n =
a
con
n
y n
a > 0
En resumen, podemos extender todas las propiedades de potencias de base positiva y exponente natural a propiedades de potencias de base positiva y exponente entero. Estas son: Si a > 0 y n,m se tiene: a
−
1
n =
a
actividades
a
n
n
m
⋅a
=a
n+m
a a
n
m
=
a
n−m
−2
1. Calcula las siguientes potencias: a)
3
2. Ordena de menor a mayor:
1 2
2
, 1 ,
2
1 2
0 =
1
−2
1 b) 2
−2 3
a
c) (0, 5) 2 0
d) (0, 3)−3
2
e) 3
−1
, 1 , 1 2 2
3.* ¿Cuál es la última cifra de 624? (Ayuda: calcula potencias pequeñas de 6 y conjetura).
pap el de 1 m por lado, se dobla por la mitad, luego por la mitad y otra vez por la mitad y 4. Una hoja cuadrada de papel así sucesivamente. Confecciona una tabla donde en una columna se muestre el número de dobleces y en la otra el ancho del papel doblado. Otro alumno confeccionará una nueva tabla que en una columna muestre un número par de dobleces y en la otra el lado del cuadra do que resulta. ¿Qué pasa con la segunda column a en cada caso?, caso?, ¿van creciendo creciendo los valores?, valores?, ¿o se van achicando?, achicando?, ¿cuántos cuadradito cuadr aditoss quedan qued an al octavo o ctavo doblez d oblez?, ?, ¿cuál es el grosor grosor del papel que resulta al octavo doblez?, ¿cuál es el lado del cuadrado que resulta? resulta?
16
Unidad
• problema resuelto •
1
El señor que vende cloro suelto en el barrio, prepara en un tanque de 100 L (en una cuba) una mezcla que tiene 30 g de cloro por cada litro de agua. Cada vez que vende un litro de mezcla rellena el tanque con un litro de agua pura. Para que el cloro sea efectivo, es recomendable que la mezcla tenga 25 g de cloro puro para cada litro. ¿Cuánta mezcla puede el señor vender con este método y mantenerse en los límites recomendados?
Solución: Como el volumen del tanque no cambia, nos preocuparemos de encontrar la cantidad de cloro que éste contiene. Al comienzo hay 30 ⋅100 g = 3.000 g de cloro, ya que la mínima concentración permitida es 25 g/L y el tanque tiene un volumen de 100 L, la mínima cantidad de cloro permitida es de 2.500 g. El problema se transforma entonces en determinar la cantidad de cloro que se vende antes de que el tanque alcance los 2.500 g de cloro. Cuando se vende el primer litro de mezcla, ésta tiene 30 g de cloro por litro, entonces en la primera venta se fueron 30 gramos. Al rellenar con agua, el tanque tendrá 100 L como antes, pero de cloro solo tendrá: 3.000 −
3.000 100
99
g
=
100
⋅
3.000 g
Es muy común utilizar la estrategiaa de transformar estrategi un problema en otro que a simple vista parece menos complicado que el inicial.
Cuando vende el segundo litro de mezcla, ésta tiene de cloro: 1
99
⋅
100 100
⋅ 3.000 g
Al rellenar con agua, el tanque tendrá 100 L como antes, pero de cloro puro tendrá: 99 100
⋅ 3.000 −
1
99
⋅
100 100
⋅ 3.000
1 g = g ⋅ 3.000 ⋅ 1− 100 100 99
99 =
100
⋅
3.000
99 ⋅
100
2
99 g = ⋅ 3.000 g 100
A
Si en algún momento hay A g de cloro en la venta siguiente se pierden g de cloro. Al rellenar con agua, en 100 el tanque habrá los 100 L iniciales, pero de cloro solo habrá: habrá: A−
1 100
⋅ A g
99 =
100
⋅
A g
de cloro
MATEMÁTICA
17
Números
Como al inicio hay 3.000 g de cloro, luego de la primera venta en el tanque habrá: 99 100
⋅ 3.000 g de cloro.
Después de la segunda venta habrá:
99 ⋅ ⋅ 3.000 g 100 100 99
2
99 = ⋅ 3.000 g de cloro. 100
Después de la tercera venta habrá en el tanque: 2
99 ⋅ ⋅ 3.000 g 100 100 99
3
99 = ⋅ 3.000 g de cloro. 100
En general después de la n-ésima venta, en el tanque habrá: −
n 1
n
99 99 ⋅ ⋅ 3.000 g = ⋅ 3.000 g de cloro. 100 100 100 99
n
Ahora sólo basta conocer el primer valor de n para el cual el valor de 99 ⋅ 3.000 , sea menor que 2.500. 100
Para ello, con ayuda de la calculadora o con una planilla excel llenemos la tabla 1.3
n
99 ⋅ 3.000 100
n 1
2.970
2
2.940,3
4
2.881,78803
6
2.824,440448
10
2.713,146225
15
2.580,175064
18
2.503,541284
19
2.478,505872
De la tabla 1.3 se desprende que el hombre puede vender hasta 18 litros de cloro con el método del relleno de a gua y todavía mantenerse en los límites permitidos.
Tabla 1.3
18
Unidad
• aplicando aplicando lo aprendido • 1. Escribe en forma de potencia donde los
exponentes no sean 1 ni -1.
1
4. Resuelve las siguientes operaciones utilizando las
propiedades de las potencias:
a) 32 b) 27
a)
c)
64 ⋅ 12 125 5
b)
d)
36 ⋅ 81
c)
−2
− 22
2
−2
3 4
−3
0
⋅3 − 3 +
−3
2
−3
2
8
2. Expresa como número decimal cada una de las
siguientes potencias:
+1
5
1 1 ⋅ 8 8 d) − 1 8 4
−3
a)
5
b)
2
c)
3
−2
−1
1 2 e) + 2 3
−4 2
3 d) 2
2
3
6 5 f) : 3 10
−2
e)
3 2
5. ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 3 cm?
Si ahora duplicamos su arista, ¿cuánta s veces mayor es el volumen del nuevo cubo?, ¿qué ocurre si se triplica o cuadruplica el tamaño de la arista del cubo inicial?
−3
1 f) 7
−4
1 g) 3
6. Dibuja un diagrama que represente el árbol genea-
lógico de tu familia partiendo contigo, luego tus padres, tus abuelos, tus bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos bisabuelos son?, ¿cuántos tatarabuelos?, ¿de cuántos miembros consta la quinta generación de tus antepasados?
0
6 h) 11
3. Decide, en cada caso, cuál número es mayor: 2
y
4
a)
4
b)
3
8
y 24
c)
6
3
y
2
− 5 y
0
y 0
d)
7
e)
2
2
3
2 4
f) 21 y 12
+
7.*¿Cuál es la cifra de las unidades de la
¿y de
100
5
84
2
?,
?
3
4
2
2
8. A Yael, su padre le presenta dos alternativas para
juntar su dinero quincenal: quincena l: La primera consiste en abonarle $1.000 cada día hasta el día quince. La segunda en que el primer día le abona un peso, el segundo día dos pesos, el tercer día el doble del anterior, y así sucesivamente, cada día duplica la cantidad del día anterior finalizando el día quince. ¿Cuál propuesta le conviene más a Yael?
MATEMÁTICA
19
Números
3 Notación decimal i
importante
Cualquier decimal finito se puede escribir como una fracción de números enteros.
Recordemos que la notación decimal que usamos tiene como base 10, esto quiere decir que el lugar que ocupa un dígito en un número está relacionado con una potencia de 10. Por ejemplo, el número 3.456 es la suma: 3 ⋅ 10
3
+ 4 ⋅ 102 + 5 ⋅ 101 + 6 ⋅ 100
Esta notación se puede extender a los números decimales no enteros. Por ejemplo 3.456,432 es la suma: 3 ⋅ 10
3
+ 4 ⋅ 102 + 5 ⋅ 101 + 6 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10−1 + 3⋅ 10−2 + 2⋅ 10−3
que es lo mismo que: 3 ⋅ 10 3 + 4 ⋅ 102 + 5 ⋅ 101 + 6 ⋅ 100 +
4
3
+
10
10
2
+
2 10
3
Como esto se puede hacer con cualquier decimal finito entonces, cualquier decimal finito es una fracción de números enteros.
c
cuidado
Hemos demostrado que: 1 = 0,9 vale decir que esos dos números son exactamente el mismo. No estamos diciendo que están cerquita, sino que están exactamente en el mismo lugar. Es decir, la notación decimal no es única.
Sin embargo, hay fracciones que tienen un desarrollo decimal infinito; por ejemplo, 1
tiene un desarrollo que es una seguidilla infinita de 3, después de la coma, se anota
3 0, 3 ,
es decir, 1 3
1
es la suma que sigue:
3
=
3 10
+
3
3
3
3
3
3
3
10
10
10
10
10
10
10
+ 2
+ 3
1
Otro ejemplo de lo mismo es
+ 4
+ 5
+ 6
+ 7
8
+ ⋅ ⋅ ⋅ (1)
que es el decimal infinito
9 0, 11111111111111111111111111111111111111111... = 0, 1
o escrito en sumas:
Por ejemplo 0,5 = 0,49 .
1 9
=
1 10
+
1 10
2
+
1 10
3
+
1 10
+
4
1 10
5
+
1 10
6
+
1 10
7
+
1 10
8
+ ⋅⋅
Es importante destacar que si multiplicamos la relación (1) (1) por por 3, resulta: 3⋅
actividades
1 3
=
9 10
+
9 10
2
+
9 10
3
+
9 10
4
+
20
10
5
+
9 10
6
+
9 10
7
+
9 10 8
++⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
pero el número de la izquierda es 1 y el de la derecha es 0, 9 , es decir: 1 = 0, 9
1 ⋅ (10 ⋅ 0, 49) son iguales. 10 1 2. Recurr Recurree a lo anterior para mostrar que 0, 49 = ⋅ ( 4 + 0, 9 ). 10 1 omaa en cu cuen enta ta qu quee 0, 9 = 1, para para mostr mostrar ar que que 0, 49 = ⋅ (5) = 0, 5. 3. Tom 10 1.
9
Explica por qué los números 0, 49 y
Unidad
1
4 Notación científica Las siguientes imágenes presentan, en metros, la medida de varios objetos existentes en la naturaleza.
El ancho de una mano Medida en metros (m): −1 10
Tamaño de una uña Medida en metros (m): −2 10
Tamaño de un piojo Medida en metros (m): −3 10
n
nota
Algunos prefijos usados en ciencias son: • centi (c) para denotar 10-2, por ejemplo 1 cm denota un centímetro. • mili (m) para denotar 10-3, por ejemplo 1 mm denota un milímetro. (µ) para denotar • micro (µ) para 10-6, por ejemplo 1 µ denota un micrómetro.
Tamaño de algunos protozoos Medida en metros (m): −4 10
Tamaño del núcleo de alguna célula Medida en metros (m): −6 10
Tamaño de longitud de onda de los rayos UV Medida en metros (m): −7 10
• nano (n) para denotar 10-9, por ejemplo 1 nm denota un nanómetro. • hecto (h) para denotar 102, por ejemplo 1 hm denota un hectómetro. • kilo (k) para denotar 103, por ejemplo 1 km denota un kilómetro. • mega (M) para denotar 106, por ejemplo 1 Mb denota un megabyte.
Tamaño del diámetro del virus VIH Medida en metros (m): −9 10
Tamaño de un átomo de Hidrógeno Medida en metros (m): 10
−10
Tamaño de un átomo de Carbono Medida en metros (m): 10
• giga (G) para denotar 109, por ejemplo 1 Gb denota un gigabyte.
−13
MATEMÁTICA
21
Números
Tamaño de un electrón Medida en metros (m): 10
−15
Tamaño de radio de Plutón (el de la Tierra es 6 veces más grande) Medida en metros (m): 6 10
Orden de la altura de la estatua de La Libertad Medida en metros (m): 2 10
Largo del Estrecho de Gibraltar Medida en metros (m): 4 10
Diámetro de Júpiter Medida en metros (m): 8 10
Máxima distancia de Mercurio al Sol Medida en metros (m): 10
10
actividades
22
1.
¿Cuántas veces mayor es un átomo de Hidrógeno que uno de Carbono?
2.
Aproximadamente, ¿cuál es el radio de la Tierra?
3.
Si la velocidad velocidad de la Luz (en el vacío) vacío) es de aproximadamente aproximadamente 3⋅ 108 m/s, ¿cuánto se demora un rayo de Sol a Mercurio en el momento en que están más alejados?
4.
¿Cuántas veces mayor es el radio de Júpiter que el de Plutón?
5.
Averigua: ¿cuán lejos puede observar un astrónomo desde los telescopios que se encuentran en el norte de nuestro país?
Unidad
1
Dado que nuestro sistema de numeración es decimal, estamos muy familiarizados con las potencias de 10 y cuando queremos tener una idea gruesa de una medida o cantidad usamos múltiplos de potencias de 10 para aproximar. Si a uno le preguntan con cuánto dinero cuenta en ese momento, uno responde: “ando con 2 mil pesos más o menos”, jamás dice “ando con 2 mil trescientos veinticuatro pesos”, aunque este dato sea más preciso. Con frecuencia escuchamos frases como “uno de los hombres más ricos del mundo tiene 55 billones de dólares, algo así como $55.000.000.000.000” o la velocidad de la luz en el vacío es de 300.000.000 de metros por segundo, la verdad es que el dato es mucho más preciso, pero dar esa aproximación, para muchos fines, es suficiente. Como en el mundo científico se trabaja con medidas muy pequeñas o muy grandes comparadas con el hombre, se suele denotar utilizando potencias de 10, o lo que los científicos llaman el orden de magnitud. Por ejemplo, la velocidad de la luz la denota por 3 ⋅ 10 8 m/s y los físicos dicen que la velocidad de la luz medida en metros por segundo es del orden de 10 8 .
Si una medida se anota de la forma a ⋅ 10 n , con 0 < a < 10 y n , decimos que ella está descrita en notación científica. Por ejemplo la distancia de la Tierra a la Luna es, aproximadamente, 353.680.000 m y en notación científica sería: 3, 5368 ⋅ 108 m La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 ⋅ 10 8 m/s, por esta razón, la luz de la Luna a la Tierra se demora: 3, 5368 ⋅ 10 3 ⋅ 10
8
8
s=
3, 5368 3
s ≈ 1, 17s
es decir, la luz que nos llega de la Luna lo hace con un poco más de un segundo de atraso. Para tener una idea de lo rápida que es la luz, realicemos el siguiente ejercicio imaginario: supongamos que existe un puente de la Tierra a la Luna y nos vamos en un automóvil a 100 km/h, nos demoraríamos 3.536,8 horas en hacer el trayecto, es decir, un poco menos de 5 meses. ¡A la luz le toma un segundo lo que a nosotros nos toma más de un semestre académico!
c
cuidado
El concepto de cercano o lejano es relativo. Lo mismo que el de pequeño o grande. Por ejemplo, si dos átomos de Hidrógeno están a un metro de distancia, la interacción entre ellos es esencialment esencialmentee nula, pero, ¿te imaginas que pasaría si el Sol estuviese a esa distancia de la Tierra? La notación en potencias tampoco diría nada respecto respecto de si se trata de tamaños pequeños o grandes. Si no se mencionaran las unidades, por ejemplo, 10-3 no es grande ni pequeño si no se dicen las unidades. Así si estamos hablando de megametros 10-3 sería un kilómetro, que a escala humana es grande.
actividades 1.
Si la luz se demora aproximadamente 8 segundos en llegar del Sol a la Tierra, ¿cuál es la distancia de la Tierra al Sol?
2.
¿Cuántos centímetros cúbicos tiene un metro cúbico?
3.
Una cuenta cuenta de correo electrónico tiene 2,678gigabytes 2,678 gigabytes de capacidad y hasta ahora, con 851 correos en la cuenta, tiene ocupados 344 megabytes. En promedio, ¿cuántos otros correos se pueden recibir en esa cuenta?
MATEMÁTICA
23
• información en los medios •
SIDA
Según el informe realizado por la Organización Mundial de la Salud y publicado en diciembre de 2004, hasta ese año había alrededor de 4 ⋅ 107 personas infectadas con el virus del SIDA. El continente africano es el más afectado, ya que 26 millones de habitantes de ese continente han contraído la enfermedad. América Latina y el Caribe tienen alrededor de 6 1 8 ⋅ 10 infectados. En cambio, en Europa Central y Occidental sólo 610.000 habitantes tienen el VIH. ,
La cobertura de tratamiento del SIDA en África Subsahariana es casi nula, por lo que se espera que en los próximos 2 años mueran entre 5 y 6 millones de personas debido a la enfermedad en esas regiones.
Para entender lo terrible que es la epidemia del SIDA en África, es necesario saber qué fracción del total de infectados pertenece a ese continente. Según los datos entregados por la OMS existen: 4 ⋅ 107 personas infectadas de SIDA, esto significa que 40.000.000 de habitantes del planeta padecen esta terrible enfermedad, de los cuales, 26 millones son africanos, esto es, utilizando notación científica: 2, 6 ⋅107 habitantes africanos sufren de esta enfermedad, es decir: 7
2, 6 10 ⋅
7
4 10 ⋅
2, 6 =
4
13 =
20
65 =
100
es la parte de africanos que tiene SIDA respecto del total mundial de enfermos. Por tanto, de cada 20 enfermos de SIDA 13 son africanos, o lo que es lo mismo 65 de cada 100 pacientes de esa enfermedad son africanos.
apliquemos
24
1.
Averigua con tus compañeros, cuántos enfermos de SIDA hay en Chile. La página www.vihsida.cl les pueden servir o también www.minsal.cl ¿Qué parte de los enfermos de SIDA latinoamericanos y caribeños son chilenos? Y respecto al contexto mundial ¿cuántos enfermos de SIDA son chilenos? Reúnan sus averiguaciones y discútanlas en clase con el profesor.
2.
¿Qué parte del total de enfermos de SIDA representan los enfermos del centro y occidente de Europa?
3.
El tratamiento del SIDA cuesta 5.000 dó lares por enfermo al año si se realiza con medicamentos de marca y 800 dólares si se realiza realiza con tratamientos genéricos. Si se tratara a toda la población africana contagiada con medicamentos genéricos en vez de medicamentos de marca, ¿cuánto dinero se ahorraría? Responda en pesos chilenos utilizando notación científica.
Unidad
• aplicando aplicando lo aprendido •
1. En el año 2003 en nuestro país se generó una can-
tidad de 5.990.064 toneladas de basura, ¿a cuántos kilogramos correspon corresponde de esta cantidad? Escribe en tu cuaderno el resultado, en notación científica.
2. La masa del planeta Marte es:
641.900.000.000.000.000.000.000 kg. Decide qué parte de la masa de Marte representa la masa de la Tierra. Expresa tu respuesta en notación científica.
3. El dióxido de carbono emitido en el mundo, como
producto del uso de combustible, queda atrapado en la atmósfera causando el efecto de invernadero que se manifiesta en el calentamiento global de la Tierra. La cantidad anual de gas que se emite en el mundo es de 5.500 toneladas. Escribe esta cantidad de gas en kilogramos utilizando notación científica.
1
6. Una gota de agua contiene a lo menos 1.000 trillo-
nes de átomos. Considerando que diez gotas equivalen a 0,5 mL y una taza tiene una capacidad de 200 mL, ¿cuántos átomos contiene una taza de agua? 7. El aire presiona sobre cada centímetro cuadrado
de superficie terrestre con la fuerza de un kilogramo aproximadamente, es decir, el peso de una columna de aire que se apoya en 1 cm2 es igual a presionar ese centímetro cuadrado con una masa de 1 kg. Podríamos decir que la capa atmosférica de la Tierra se forma del conjunto de estas columnas de aire, que son tantas como centímetros cuadrados que forman la superficie de nuestro planeta que es de 510 millones de kilómetros cuadrados. De acuerdo con estos datos responde: a) ¿Cuántas toneladas pesa el aire? b) Una aproximación de la masa de la Tierra es 24 kg. ¿Qué parte es la masa atmosfé6 ⋅ 10
rica de la masa terrestre? 4. En el continente europeo sus habitantes gastan
anualmente 50 mil millones de dólares en el consumo de cigarrillos. Escribe esa cantidad en pesos utilizando notación científica. Compara esa cantidad con el Producto Interno Bruto de nuestro país en el año recién pasado. Visita: www.bcentral.cl
núme ro positivo? es decir, ¿exis8. ¿Existirá el primer número tirá un número positivo que sea menor que cualquier número positivo? Si ese número existiera tendría que ser menor que 0,1 10 1 , tendría que ser menor, también, que 0, 01 10 2 . En general, tendrá que ser menor que 10− ¿Existirá un número positivo que sea menor que 10− para todos los valores de n? =
−
−
=
n
n
5. Calcula las siguientes operaciones utilizando
notación científica: a) b)
0, 0000082⋅ 0, 0003 9 ⋅ 10
−6
− 5 ⋅ 10−6
8
c)
1, 8 ⋅ 10 10
⋅ 2 ⋅ 1010 −5
3 ⋅ 10
d)
0, 000027 000027 ⋅ 3000 300000 00 0, 009⋅ 0, 3
MATEMÁTICA
25
Números
5 Números racionales El 1 es un número natural, el sucesor del 1 es 2, que es un número natural y el sucesor del 2 es 3, que también es un número natural; entonces, podrías concluir que cada vez que tenemos un número natural su sucesor también es un número natural.
i
importante
Si n es un número entero, entonces lo podemos escribir como :
n=
n 1
es decir, todo número entero es un número racional.
Conociste también los números enteros (). Cada número entero es un número natural o es el cero o es el opuesto de un número natural. Por ejemlo, −3 es un número entero que no es un número natural. También conociste las fracciones de números enteros, es decir, números de la forma 1 a , con a y b números enteros y además b no es cero. Por ejemplo: es una fracción. b
2
Un número racional es cualquier número que se s e puede escribir como el cuociente de dos números enteros de denominador no nulo. 1
Por ejemplo, 0,5 es un número racional, ya que es igual a . 2
El número 1 es un número racional, porque lo podemos escribir como cuociente de números enteros de denominador no nulo.
5 5
que es el
Recordemos que una fracción conserva su valor si se amplifica o simplifica por un número entero; por ejemplo,
1 2
amplificada por 3 resulta 1 2
=
3 6
es decir,
3 6
Entonces un número racional no tiene una escritura única como fracción; de hecho, existen infinitas formas de escribir un número racional como fracción. Por ejemplo, 0
para cada entero n 0, el número racional 0 se puede escribir como . n
actividades
26
1.
Escribe cada uno de los números siguientes como fracción en dos formas distintas: −2 a) b) 0, 3 c) 0, 3 3
2.
Escribe cada par de números como fracciones con el mismo denominador y luego compara estos números. 14 15 7 4 1 3 y a) y b) c) y 27 29 8 5 3 10
Unidad
1
6 Suma y productos de números racionales Si tenemos dos números racionales, los podemos sumar y multiplicar, y el resultado sigue siendo un número racional; por ejemplo: 7 8
+
−5
i
importante
La suma y producto de números racionales es un número racional.
6
se puede calcular encontrando dos fracciones iguales a las de arriba, pero con el mismo denominador, esto es; por ejemplo: 21 24 a
+
−20 24
=
1 24
c
En general si y son dos números racionales, siempre se pueden amplificar de b d forma tal de obtener dos números racionales iguales a los de arriba, pero escritos como fracciones del mismo denominador, por ejemplo: b⋅c ⋅ y b ⋅ d b ⋅ d a d
entonces la suma ahora resulta: a b
c
+ = d
⋅ b⋅c a⋅d + b⋅c + = b ⋅ d b ⋅ d b ⋅ d a d
Como a, b, c y d son son números enteros, el numerador es un número entero, y como b y d son son no nulos, se tiene que bd es es un entero no nulo; por lo tanto, tenemos que la suma de números racionales es un número racional. Si lees el “importante” de la derecha podrás observar que de un modo similar puedes demostrar que el producto de números racionales: a
actividades 1.
c
⋅ =
b d
i Si
importante
a c y b d
son números racionales, el producto se define por a⋅ c b⋅d Como a y c son números enteros se tiene que el numerador del producto es entero, y como b y d son no nulos se tiene bd es no nulo, por que bd lo tanto, el producto de números racionales es un número racional.
⋅ es un número racional. b ⋅ d a c
1 1 y . 3 4 a) Ubica los números en la recta numérica.
Considera los números racionales
Encuentra el punto medio M entre esos números ¿Es un número racional? 1 1 c) Encuentra el punto medio entre y M y el punto medio entre M y 3 4 ¿Son esos puntos números racionales? b)
2.*
¿Es cierto que entre dos números racionales siempre hay un número racional? Reúnete con varios compañeros, comparen sus respuestas y cada cual exponga los argumentos y estrategias que los llevó a sus conclusiones. Decidan cuál estrategia es más útil y en qué casos.
MATEMÁTICA
27
Números
7
¿Cuántos números racionales ¿Cuántos hay entre dos números racionales? a
c
Tomemos dos números racionales r = y s = y supongamos que r está está a la izd b quierda de s cuando se ubican en la recta numérica:
s
r
Notamos que el punto medio es:
⋅ + b ⋅c r+s a ⋅d +b ⋅c = b d = b ⋅ d = 2 2 2 2b ⋅ d a
+
c
a d
r
s
el cual es también un número racional, por lo tanto:
Entre dos números racionales siempre hay un número racional.
Si se repite este proceso, es decir, encontrar un racional entre medio de dos números racionales, pero ahora considerando los puntos r , s y el punto medio, entonces tendremos tres racionales entre los puntos r y y s.
r
recuerda
Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
r
s
Ahora el punto medio para cada par de los puntos antes encontrados tendremos 7 racionales entre los puntos iniciales (r y y s).
r
s
Es decir, si se itera este proceso de partir por la mitad cada tramo, notamos que entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
28
Unidad
1
8 Un número no racional Consideremos un cuadrado de lado 1.
d
La diagonal del cuadrado divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos; si utilizamos el Teorema Teorema de Pitágoras para calcular la medida de la diagonal diagonal resulta que:
1
2
d
= 12 + 12 = 2
entonces d es un número positivo cuyo cuadrado es 2. Supongamos que ese número fuese racional, entonces se puede escribir de la forma a con a y b enteros positivos. Podemos asumir además, que esta fracción no se d = b puede simplificar, simplificar, por lo tanto, si uno de ellos es par, par, el otro es impar. impar. 2 Como d = 2 se tiene que: 2 2
d
a
=
b
de donde se deduce que: a
2
2
=2
= 2 ⋅ b2
lo que quiere decir que a es par porque es el doble de b 2 , pero como a2 es par, necesariamente a también lo es. De esto se deduce que a es el doble de un número entero k, esto es, a = 2 ⋅ k . Reemplazando en
a
2
= 2 ⋅ b2 se tiene: 4 ⋅ k2
= 2 ⋅ b2
y dividiendo por 2 se tiene: 2 ⋅ k2
= b2
por lo tanto, b 2 es par y como dijimos antes, esto implica que b es par. Entonces, tanto a como b son pares, lo cual no puede ser pues, asumimos que la fracción no se puede simplificar y que no pueden ser ambos pares, lo l o que genera una contradicción.
n
nota
La idea de la demostración que no existe un número racional que su cuadrado sea 2, está basada en el hecho que algo falso no puede resultar de algo verdadero. Es decir, si se supone algo y luego de pasos “lógicos” resulta algo evidentemente falso, quiere decir que el supuesto primero es falso. En nuestro caso supusimos que un racional, escrito en su forma más reducida, al cuadrado, es 2, y resultó que no estaba en su forma reducida, lo cual es claramente falso, por lo tanto, la primera suposición es falsa.
Resumiendo, si suponemos que d es es racional llegamos a algo imposible, por lo tanto, suponer que d es es racional es un error. Lo correcto es:
La medida de la diagonal del cuadrado de lado 1 no es racional.
actividades 2
1.
Explica por qué si
2.
¿Es 2 + 2 racional? ¿Es 2 ⋅ 2 racional?
3.* Si a y b no
a
es par, entonces a es par.
son racionales, ¿puede serlo a ⋅ b ?, ¿puede serlo a + b?
MATEMÁTICA
29
Números
n
nota
En general si a<0, se tiene que a2 = − a
n
Al número que es la medida de la diagonal del cuadrado de lado 1 se le llama la raíz cuadrada de 2, o simplemente simplemente la raíz de 2, se anota 2 y es el único número positivo positivo cuyo cuadrado es 2. En este lenguaje, lo que se hizo antes fue demostrar que 2 no es un número racional.
A los números que están en la recta, que no son racionales se les llama números irracionales.
nota
¿Puedes tú explicar porqué si 0 < x < y se y se tiene que x2< y2?
En general, si tenemos un número no negativo a, la raíz de a es el único número po-
¿Qué relación tiene esto con el encajonamiento de 2 ?
un número positivo tal que su cuadrado es
c
cuidado
sitivo o cero que al calcularle su cuadrado resulta a. Por ejemplo
0
9
.
=0
4
=2
9
9
2
2
3
3
= pues es
=3
En general si a no es negativo, se tiene que a2 = a . Pero es muy importante tener claro que la igualdad anterior es cierta sólo para valores no negativos. De hecho, es falso para los valores negativos, por ejemplo si a = −1 , se tiene que a 2 = 1 , y por lo tanto, a
Es falso que 4 = ±2 Recuerda que la raíz es siempre un número no negativo.
1 =1
Tú puedes verificar que
4
4
=
2
1 = 1≠ a
Si tomamos un número mayor o igual a 2, se tiene que el cuadrado de ese número es mayor que 4, por lo tanto, 2 < 2 . Como 12 = 1 se tiene que 1 < 2 < 2. 2
Ahora bien, como Como
5
2
4
2
=
25 16
<
3 2 32 16
2
9
= > 2 se tiene que 1 < 4
=2
se tiene que
5 4
<
2
<
2
3 2
<
3 2
Tomando siempre el punto medio de los extremos de las desigualdades, podemos encajonar 2 mediante números racionales de forma tal, que cada vez obtendremos una mejor aproximación de 2 .
actividades Expl Ex plic icaa po porr qu quéé
2.
Ordena los siguientes números, de menor a mayor. mayor. 1 1, 2, 0, 2 , 3 , 2
3.* ¿Cuáles
30
2 + 1 es un número irracional.
1.
de los números de arriba son racionales? Explica tu respuesta.
Unidad
9
1
Notación decimal de los números racionales
Cuando dividimos dos números enteros, por ejemplo 5 : 7 , aparecen números enteros en el cuociente y números enteros en el resto. En el ejemplo, 5 : 7, los números que aparecen en el resto son 5, 1, 3, 2, 6, 4 y 5. Como el resto es 5 al final y coincide con el primer valor de la división, no es necesario seguir dividiendo, ya que se repite el ciclo 714285. Es decir, bastó que en un momento apareciera un resto repetido para que el ciclo comenzara de nuevo. Esto ocurre en cualquier división de enteros positivos: al dividir n en m , ( n : m ), los posibles valores para para el resto son 0, 1, 2, 3, 4, . . . , m − 1 , que son los valores menores que m y no negativos. Si en algún paso de la división el resto es cero, la división se acaba y se obtiene un decimal finito, pero si no, necesariamente se deberá repetir un valor del resto. Cuando eso ocurre se comienza a repetir el ciclo y se obtiene un número decimal periódico. En el caso en que uno de los enteros n o m sea negativo ocurre exactamente lo mismo.
r
recuerda 5:7=0,714285 50 10 30 20 60 40 5
Todo número racional se puede escribir como un decimal finito o como uno periódico. El resultado recíproco es cierto, pero no podemos dar una demostración de ello sin ocupar herramientas que superan el contenido de este texto. Cuando decimos “resultado recíproco” queremos decir: “si un número se escribe como decimal finito o periódico, ese número es racional”. De hecho, existe un regla que transforma un número decimal en fracción, que tú conociste en educación básica, pero como hemos dicho, no lo podemos demostrar en este curso. Cualquier número en la recta tiene su notación decimal, que puede ser finita, periódica o no periódica. En los dos primeros casos el número es racional y en el último es irracional. En todos los casos decimos que el número es un número real.
actividades 1.
Transforma a fracción los siguientes decimales: a) 7, 23
14 4, 28 b) 1
c) 25, 92 9246 461 1
2. Resuelve las operaciones: 2
( 3) a)
+ 0,15 b) 0, 4 + 0, 5 5 3.* ¿Es cierto que existen infinitos números irracionales? 4.* ¿Es el cuadrado de un número irracional un número irracional? 5.* Si el cuadrado de un número es irracional, ¿es cierto, que el número es irra-
cional? 6.* ¿Es
1+ 2 un número irracional? Explícalo. 5
RICHARD DEDEKIND (1831-1916) Matemático alemán.
Trabajó en ecuaciones diferenciales, teoría algebraica de números y en otras áreas áreas de las matemáticas. Fue uno de los matemáticos que se preguntó, preguntó, ¿qué ¿qué es un número? y que trató de responder, tal como lo hicieron Peano y Fregue, en forma axiomática. A él se le debe una de las más conocidas definiciones, la denominada “Cortaduras de Dedekind”, donde caracteriza cada número real como una colección de números racionales.
MATEMÁTICA
31
. un poco de .
Números
historia LOS NÚMEROS IRRACIONALES Un número real muy conocido es π que es el cuociente constante entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Esta relación proporcional entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia se conocía desde la antigüedad por los pueblos egipcio, babilonio, chino, sumerio y hebreo, entre otros. Además, todos ellos tenían estimaciones de π , por ejemplo, en el papiro de Rhind, que data del año 1800 antes de nuestra era, se lee:
P= d
el área de un círculo es como la de un cuadrado cuyo lado es igual al diá1
metro del círculo disminuido en
9
.
lo que en el fondo dice es que los egipcios aproximaban π como
256 81
≈
3,16 1604 049 9.
En la Biblia, en el Libro de los Reyes, se lee:
ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833) Matemático y físico francés. A él se le deben grandes grandes avances en matemática, geometría, cálculo, cálculo, teoría de números, funciones elípticas, entre otras áreas que le deben a Le gendre grandes grandes resultaresultados. Legendre demostró en 1794 la irracionalidad de
π
2
.
Hizo fundir, asimismo, un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos.
Si se lee con atención, se puede deducir que el pueblo hebreo consideraba a π como 3, de nuevo un número racional. En la antigua China se aproximaba π por 3,1724. En Babilonia por
31
; siempre números racionales.
Encajonamiento.
8
Sin embargo, fue Arquímides (287-212, a de C) quien describió un método para calcular el área de la circunferencia, y de paso, aproximar π . El método consiste en encajonar el área del círculo con polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia. Arquímedes logró decir que 3
1 7
π
está entre
3
10
y
71
.
Lo sorprendente es que recién en 1770 el matemático alemán de origen francés, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), demostró que π es irracional, es decir, ¡a la humani-
dad le llevó miles de años demostrar que π no es una fracción! Esto muestra que,
en general, es muy dificil determinar si un número real es o no irracional. El número 2 es irracional, pero su cuadrado no lo es, lo mismo se preguntó respecto de π , ¿será su cuadrado racional? Fue el matemático francés Andrie Marie Legendre (17521833) quien en 1794 demostró que π no es racional. 2
32
0
Unidad
1
1+ 5 El número irracional φ = se conoce como sección áurea y nace de la proporción = 2 que según los griegos debían tener las cosas bellas. Decían que un trazo está dividido en proporción áurea si el trazo total es al trazo mayor como el mayor es al pequeño. A
P
B
CARL LOUIS FERDINAND VON LINDEMANN (1752-1839)
AB AP = AP PB En una persona bella, decían los griegos, los ojos en el rostro están en proporción aúrea. Hoy todas las tarjetas, carnés, etc. cumplen con esta proporción. Ese número áureo es irracional, como dijimos, pero además, cualquier potencia de él sigue siendo irracional, aunque φ 2 − φ es racional. Se preguntó lo mismo para π , ¿existe una combinación entera de potencias de π que sea racional? La respuesta es no y la dió el matemático alemán Ferdinand Lindemann (1852-1939) en 1882, hace aproximadamente 124 años. Esto confirma que estudiar la irracionalidad de los números es un problema muy serio. A continuación tenemos π aproximado a 50 decimales.
16939937510 ≈ 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 π ≈
Matemático alemán. Realizó su tésis bajo la dirección de Klein sobre geometría no euclideana. Es famoso gracias a que fue el primero en demostrar que cualquier combinación entera de potencias de π no es racional y con esto, respond respondee satisfactoriamente al problema de la cuadratura del círculo, esto es, no se puede construir construir con regla regla y compás un cuadrado cuadrado de área igual a la del círculo de radio 1.
actividades 1. ¿Es π + + 1 racional? Explica tu respuesta. 2. Investiga cuántos decimales de π puede encontrar un computador moderno y cuánto
demora en hacerlo. ¿Cuánta certeza aseguran los programadores computacionales de la justeza de los decimales decimale s de π ? 3.* Demuestra que si el cuadrado de un número es múltiplo de 5 entonces el número es múlti-
plo de 5. 4.* Usa el ejercicio anterior para mostrar que 5 es irracional. (Ayuda: revisa la demostración de que 2 es irracional.) 5.* Con el ejercicio anterior demuestra que φ es irracional. 6. Explica cómo se deduce del papiro de Rhind que los egipcios aproximaban π como 256 . 81 7. Explica cómo del relato del Libro de los Reyes se desprende que el pueblo hebreo aproxima-
ba π por 3.
MATEMÁTICA
33
• aplicando aplicando lo aprendido • 5. Aplica el Teorema de Pitágoras para encontrar la
medida que falta en los triángulos siguientes y decide si se trata de números irracionales o racionales: 4 cm 1. Dados los siguientes pares de números determina
a)
2 números racionales entre ellos: 1
a) 0, 1 y
b) −
11 12
3 cm
10
y −
5 6 2 cm
b)
c) 0, 31 y 0, 3
2 cm
2. Ordene de manera creciente los siguientes núme-
ros reales: 3
−
4
; −
5
; −0, 3 ; −
3 2
c) 3. Resuelve las siguientes operaciones con números
2 cm
racionales:
2 8 a) 6, 2 + 3 : 1 3 37 3
b)
:
4 1
2 cm
6. La siguiente figura muestra el tablero de un auto-
móvil y la medida que marca la cantidad de bencina que tiene el estanque:
1 8
1 2
1
c)
1 4
⋅ 1, 3 ⋅ 1 3 4
1 2
1
−
a) ¿Entre qué números racionales se encuentra la
2
medida que marca la cantidad de gasolina en el estanque del auto?
4. Determina entre qué números enteros se encuen-
tran las siguientes raíces cuadradas:
b) Supongamos que la capacidad de estanque del
34
a)
17
b)
93
c)
700
auto es de 21 L. Si el estanque contiene en el momento de leer el tablero 18,3 L, ¿qué fracción del estanque está ocupada por combustible?
Unidad
1
10 Aproximaciones En el colegio “César Vallejo”, Vallejo”, de Hualañé, el primero medio está a cargo de sembrar pasto en la cancha de futbolito, que es de tierra. Se le pide a Ramón que mida las dimensiones de la cancha para comprar el pasto, y él les dice que la cancha es un rectángulo de 25 m de ancho y 60 m de largo.
25 m
60 m El pasto lo venden a $2.550 el metro cuadrado ( m ), por lo tanto, como la cancha tiene una área de 1.500 m , el costo sería $3.825.000. Sin embargo, cuando la directiva del curso estaba haciendo la compra, el dependiente les sugirió comprar un poco más, ya que siempre se cometen errores en las mediciones. La directiva se reunió y Millaray,, la presidenta de la directiva, consideró que era razonable estimar el error de Millaray 10 cm en las medidas lineales. Prácticamente todos estuvieron de acuerdo, sólo unos pocos difirieron, pero aceptaron aceptaron finalmente. 2
2
Si lo pintado de color es el error que se cometió, ¿cuál es el área del cuadradito rojo?
¿Cuántos metros cuadrados era necesario aumentar a la compra inicial? ¿Cuánto dinero más es necesario invertir?
Entonces, lo máximo que podrán ser las dimensiones de la cancha, según la estimación de Millaray, Millaray, serían 60,1 m de largo y 25,1 m de ancho. De modo que el área en este caso sería 1.508,51 m es decir, 8 metros cuadrados y medio más que el cálculo inicial. Esto se traduce en dinero a $21.700,5. Como en Chile no tenemos centavos, es necesario agregar $21.701 para comprar el pasto considerando un margen de error en la medición. 2
actividades 1. Supón que Ramón midió mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y
59,9 m de largo, ¿el área real es distinta o igual que si la hubiésemos calculado con los datos de Ramón?, ¿cuán diferente es?, ¿nos hubiésemos pasado o nos hubiésemos quedado cortos?
1,7 m
2. A los refrigeradores se les calcula su volumen e n litros. Supón que un refrigerador
1m
tiene una base cuadrada de un metro de lado y su altura es de 1,7 m. Si las mediciones se hacen con un error de 1 cm, ¿cuál es el error que se comete en el volumen? Si una tienda promociona el refrigerador diciendo que su capacidad es de 1.700 litros, ¿en cuántos litros puede estar esta información equivocada?
MATEMÁTICA
35
n
Números
nota
Truncando =3,1415 Redondeando =3,1416
Para aproximar números en notación decimal existen esencialmente dos maneras de hacerlo. Una es truncando, esto es considerando sólo las primeras cifras decimales. Por ejemplo, si truncamos el número π en los cuatro primeros decimales queda 3,1415. La otra forma es aproximar al decimal más cercano o por redondeo, que es lo que se usa para calificar a los estudiantes en el colegio. Por ejemplo, si tu promedio es 6,34, tu nota oficial será un 6,3; en cambio, si tu promedio es 6,36, tu nota oficial será un 6,4. En general, si quieres aproximar por redondeo redondeo, debes truncar el número al decimal que te interese. Para entender mejor, pensemos en el cuarto decimal del número π . Si aproximamos π al cuarto decimal por redondeo necesitamos conocer el quinto decimal, esto es 3,14159, que es 9. Si el dígito es mayor o igual a 5, se cambia el último dígito del número truncado por el sucesor, es decir, π aproximado al cuarto decimal por redondeo será 3,1416. Si el quinto decimal es menor que 5, solo se trunca el número. Un ejemplo: El profesor jefe de Guillermina, al término del año, aproxima las notas finales de todos los cursos, truncando al segundo decimal. Luego calcula el promedio de esas notas y el resultado lo aproxima redondeando al primer decimal. En cambio, el profesor del curso paralelo redondea el promedio final de cada ramo al primer decimal, luego promedia todas esas notas y, finalmente, redondea al primer decimal de nuevo. Si Guillermina estuviese en el curso paralelo, ¿tendría el mismo promedio que tiene ahora?, ¿tendría más o menos nota?
actividades 1. Una rueda de los camiones mineros de Chuquicamata tiene un
diámetro que mide 3 m. Para algunas condiciones del terreno es necesario rodear las ruedas con cadenas. Como el perímetro de la rueda es 3π m y necesitamos no equivocarnos en la medida de la cadena en más de 1 cm, ¿con qué precisión necesitamos considerar a π ? 2. Junto con varios compañeros midan, por separado, el largo del
patio del colegio, utilizando una huincha de 3 m. Luego comparen todos sus resultados. Discutan cuál sería una buena estrategia para tener una aproximación real del largo del patio, aproximando al centímetro.
36
Unidad
1
11 Regularidades numéricas Consideremos las siguientes figuras:
Prim Pr imer eroo Se Segu gund ndoo
Tercero
Cuarto
Quinto
Partiendo de un cuadrado, se construye el siguiente agregando 2 cuadrados en la base. La siguiente figura se construye tomando la anterior y agregando en la base una hilera de 3 cuadrados. Cada vez que está construida una escalera, la siguiente se construye agregando una hilera en la base con un cuadrado más que la última fila de la anterior. ¿Cuántos cuadrados se necesitan en cada figura?
Vamos paso a paso: Para el primero 1, para el segundo 3, para el tercero tercero 6, para el cuarto es 10 y para el quinto es 15. Sin embargo, hacer este cálculo no nos dice nada respecto de cómo se va formando esta secuencia de números, es decir, hacer el cálculo cada vez no nos llevará a saber, por ejemplo, cuantos cuadrados se necesitan para el caso general. Por esto, se hace necesario reconocer una regularidad, es decir, una forma general de describir la cantidad de cuadrados necesarios. Notemos que el segundo tiene 2 cuadrados más que el anterior, es decir, tiene 1 + 2. El siguiente tiene 3 más que el anterior, es decir, tiene 1 + 2 + 3 . El que sigue tiene 4 más que el anterior, es decir, tiene 1 + 2 + 3 + 4 . En general, la figura del n-ésimo paso tiene: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n
cuadrados
Muy bien, pero saber esto no nos permite saber de manera eficaz cuantos cuadrados tiene la figura en el paso n. Notemos que si tenemos dos figuras idénticas del paso n y las acoplamos de una forma ingeniosa, podemos formar un rectángulo de lados n y n + 1 , por ejemplo, a continuación mostramos el caso n = 3 .
MATEMÁTICA
37
Números
Como el rectángulo tiene n ⋅ (n + 1) cuadrados, se tiene que dos veces la cantidad de cuadrados que se necesitan para la figura del paso n es igual a n ⋅ (n + 1). Es decir, la cantidad de cuadrados necesarios para construir la figura n-ésima es la mitad de: es decir, FRIEDERICH CARL GAUSS (1777-1855) Matemático alemán. Para muchos es el Para Matemático más im portante de la historia. Siendo un niño encontró la fórmula que presentamos en esta hoja, cuando el profesor profe sor le pidió que sumara todos los números del 1 hasta el 100. Se cuenta que rápidamente Gauss mostró el resultado 5.050, usando la relación comentada.
n
⋅ (n + 1) 2
Pero como vimos antes, la cantidad de cuadrados es 1 + 2+ 3+ 4+ ⋅ ⋅ ⋅ + n ; juntando ambos resultados tenemos que el número de cuadrados necesarios para formar la figura del paso n es: n ⋅ ( n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n =
2
Lo que hicimos en el estudio anterior fue calcular la cantidad de cuadrados de dos formas distintas y luego comparar los resultados. Esa idea es una estrategia muy utilizada en matemáticas para encontrar relaciones interesantes. En el desarrollo de esta parte de la Unidad la ocuparemos en varias varias ocasiones y tú le sacarás prove provecho cho cuando tengas que resolver los problemas. Otra pregunta que nos podemos hacer respecto de las figuras que estamos estudiando es, ¿cuál es el perímetro de la figura del paso n? Lo que haremos esta vez será usar otra estrategia, bastante útil: conjeturar la generalidad y luego que ya sospechamos el resultado, lo demostramos para asegurar que es cierta nuestra sospecha. Construyamos una tabla donde, en una columna, colocaremos el número de lados de la figura y en la otra, el perímetro de la figura para algunos valores de n. Figura número n n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n=5
Perímetro Períme tro de la figura 4 8 12 16 20 Tabla 1.4
Según se observa en la tabla 1.4, 1.4, en estos casos, el valor que hay en la columna de la derecha es 4 veces el valor que hay en la de la izquierda, entonces, si se mantiene un patrón, nuestra conjetura es:
El perímetro de la figura n-ésima es 4 ⋅ n 38
Unidad
1
Pero sólo hemos visto 5 casos, lo cual no nos puede dar certeza de que esto ocurra siempre. Para asegurarnos de que nuestra conjetura es cierta, debemos pensar en un caso n cualquiera, es decir, pensar en total generalidad. Si pensamos en la figura del caso n, ésta la podemos incrustar en un cuadrado, co piando la idea del problema anterior. Es decir, decir, la figura n la podemos inscribir en un cuadrado de lado n. Por ejemplo, mostramos el caso n = 4.
Notamos que hay hay dos lados de la figura que coinciden exactamente con dos lados del cuadrado. Falta medir los lados de la escalera que zigzaguean. Notamos que la parte zigzagueante (la que está pintada de rojo) tiene exactamente 4 lados verticales y 4 lados horizontales, que si los movemos los podemos hacer coincidir con los lados del cuadrado que no coinciden con la figura.
Así tenemos que el perímetro de la figura del paso n tiene el mismo perímetro que el cuadrado de lado n, pero sabemos que el perímetro del cuadrado de lado n es 4 ⋅ n . Por lo tanto hemos demostrado que nuestra conjetura es cierta, es decir, efectivamente el perímetro de la figura del paso n es 4 ⋅ n .
c
cuidado
Es importante notar que cuando se tiene una secuencia finita de términos, existen infinitas maneras de continuar esa secuencia, de modo que no se puede asegurar cuál es el término siguiente si uno no conoce la regla de formación de la secuencia. Por ejemplo, si tenemos la secuencia 1,2,3,4 alguien podría decir que el siguiente es 5, pero eso no se puede saber. Por ejemplo, el que formó la secuencia estaba pensando en 1,2,3,4,1,2,34,1, 2,3,4,1,2,3,4 y repite el ciclo 1,2,3,4 o por ejemplo, puede indicar los pisos en que paró un ascensor: estaba en el 1 luego subió al 2, luego al 3, luego al 4, pero ¿quién puede decir donde parará después? Quizás volvió al 1 o subió directamente al 15, sin hacer paradas intermedias intermedias..
actividades 1. Emplea la fórmula 1+ 2 + 3 + 4 + 5+ ... +n =
pares.
2.
n
⋅ (n + 1) 2
para encontrar la suma de los primeros 100 números
Conjetura cuál es el valor de la suma de los primeros números impares. (Ayuda: Utiliza una tabla como la anterior).
MATEMÁTICA
39
Números
12
Una aplicación de patrones numéricos
Consideremos la tabla 1.5, 1.5, que tiene los primeros doscientos números naturales pintados de azul y todos aquellos que son primos pintados de amarillo, salvo el 2 y el 3.
i
importante
Los números primos han sido un enigma desde la Antigüedad en la historia del hombre. Se sabe que son infinitos. También sabemos que entre un número y su doble siempre hay un número primo, pero también se sabe que hay intervalos tan largos cómo se quiera que no contienen ningún número primo. Hoy no se sabe como están distribuidos los números primos. Es un problema en matemática encontrar fórmulas que permitan encontrar números primos. Por ejemplo, no se sabe en qué caso el vecino de un múltiplo de 6 es primo o no.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
9 9 10 0
1 01 1 02 103 104 10 5 10 6 1 07 1 08 1 09 1 10 111 11 2 1 1 3 11 4 1 15 1 1 6 1 17 118 119 12 0 1 21 1 22 123 124 12 5 12 6 1 27 1 28 1 29 1 30 131 13 2 1 3 3 13 4 1 35 1 3 6 1 37 138 139 14 0 1 41 1 42 143 144 14 5 14 6 1 47 1 48 1 49 1 50 151 15 2 1 5 3 15 4 1 55 1 5 6 1 57 158 159 16 0 1 61 1 62 163 164 16 5 16 6 1 67 1 68 1 69 1 70 171 17 2 1 7 3 17 4 1 75 1 7 6 1 77 178 179 18 0 1 81 1 82 183 184 18 5 18 6 1 87 1 88 1 89 1 90 191 19 2 1 9 3 19 4 1 95 1 9 6 1 97 198 199 20 0
Tabla 1.5 Si notamos bien, a uno de los lados de cada número primo distinto de 2 y de 3 hay un múltiplo de 6, ¿por qué ocurre esto? ¿Será siempre así? Es decir, ¿es cierto que al lado de un número primo distinto de 2 y de 3 siempre hay un múltiplo de 6? Recordemos que un número primo positivo es un número distinto de 1 cuyos únicos divisores positivos son el 1 y el mismo. Por ejemplo, el 7 es primo, pero el 91 no lo es, pues el 13 es un divisor de 91. Cualquier número par es divisible por 2 de modo que existe un único número primo que es par, el 2.
r
recuerda
22 : 7 = 3 1 significa que 22 = 7 . 3 + 1
Como hemos visto antes, cuando dividimos un número natural por otro se obtiene un cuociente y un resto, que siempre es menor que el divisor divisor.. En particular, si dividimos cualquier número a por 6, resulta un cuociente q y un resto que puede ser 0, 1, 2, 3, 4 y 5, de donde se deduce que a es igual a un múltiplo de 6 más un resto. Analizaremos cuáles son los posibles casos que permiten que a sea primo.
donde 1 es el resto y es menor que 7. En general, si dividimos a : b, cuando b no es cero, se obtiene un cuociente q y un resto r con 0 r < b, para los cuales se cumple: a = bq + r
40
CASO 1
Si el resto es 2 se tiene que: a = (múltiplo de 6) + 2
pero ese número es par, por lo tanto, no es primo. Entonces, si el resto es 2, se tiene que a no es primo.
Unidad CASO 2
a = (múltiplo de 6) + 3
Si tomamos un número n entero positivo, denotamos por τ(n) al número de enteros positivos menores que n y que además son primos. Por ejemplo: τ(2)=0, τ(3)=1, τ(10)=4, etc.
pero ese número es divisible por 3, por lo tanto no es primo. Entonces, si el resto es 3, se tiene que a no es primo. CASO 3
Si r = = 4 se tiene que: a = (múltiplo de 6) + 4
pero ese número es divisible por 2 por lo tanto, no es primo. Entonces, si el resto es 4, se tiene que a no es primo.
Hoy nadie puede describir cuánto vale τ(n) para un n genérico. Es un tema muy vivo en matemáticas, muchos matemáticos hoy trabajan en este problema.
Entonces, los únicos posibles casos que permiten que a sea primo son los números que se escriben como: a = (múltiplo de 6) + 1
nota
n
Si el resto es 3 se tiene que:
o los de la forma
1
a = (múltiplo de 6) + 5
Los primeros tienen un múltiplo de 6 a la izquierda y los segundos tienen un múlti plo de 6 a su derecha. En ambos casos se tiene que si a es primo, está al lado de un múltiplo de 6. La estrategia que usamos esta vez fue analizar exhaustivamente todos los casos, una estrategia válida y muy empleada en diversos problemas en matemáticas.
actividades Consideremos ahora el tablero de al lado. Para pintarlo, lo que hicimos fue pararnos en el 3 y luego fuimos sumando 3 cada vez y pintando de amarillo los números que resultaban de esta operación. 1. Si eliges cualquier número de la primera fila, luego vas
sumando siempre un mismo número y pintas de algún color los números que vayan resultando, en algunos casos resultan diagonales y en otras, franjas verticales. ¿En cuáles casos resultan diagonales y en cuáles franjas verticales? 2. ¿Que relación tienen los números que forman franjas
verticales con el tamaño del tablero?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
3. Junto con 5 compañeros fabriquen 5 tableros:
uno de 12×12, otro de 13×13, de 15 ×15, de 20 ×20 y por último de 16 ×16. Cada uno de ustedes elija valores de la primera fila y sume un número fijo cada vez ¿En cuáles casos se producen franjas verticales?, ¿en cuáles diagonales?, ¿hay algún tablero que sólo produce diagonales?, ¿en qué se diferencia éste de los otros? Pueden conjeturar cuáles son los tableros en los que sólo se producen diagonales. (Importante es destacar que sumar 1 no está permitido en el juego).
MATEMÁTICA
41
• aplicando aplicando lo aprendido • 4. La red está formada por segmentos que van au-
mentando a medida que la altura crece a 1 cm en cada periodo. ¿Cuántos segmentos se necesitan para construir una red red de 4 cm y 10 cm cm de altura? ¿Es posible construir una red con 56 segmentos? ¿Qué altura tendría? ¿Y con 66 segmentos? Explica tus respuestas.
1. En un criadero de conejos una hembra pare 5 crías
cada tres meses, o sea que en el segundo periodo parirá otras 5 crías más. ¿Cuántas crías habrá parido hasta su quinto periodo? Generaliza y escribe la cantidad de crías para su n-ésimo periodo.
2. A continuación se muestran unos triángulos equi-
láteros a los que en cada etapa se les trazan sus medianas, subdividiendo cada triángulo en triángulos más pequeños. Construye el diagrama que corresponde a la cuarta etapa. ¿Cuántos triángulos resultan en la quinta y sexta etapa?¿Cuán tos triángulos pequeños hay en la n-ésima etapa?
5. Un maestro fue contratado para construir la de-
fensa de una casa. Como muestra la figura de abajo, el primer diagrama consta de un hexágono regular al que se le agregan 2 triángulos equiláteros, obteniéndose el segundo diagrama. Luego a este diagrama se le agrega un hexágono regular obteniéndose el tercer diagrama. De esta forma, para obtener el diagrama posterior, al diagrama anterior se le agregan de manera alternada un hexágono regular y 2 triángulos equiláteros. Ayúdale al maestro para que pueda continuar la secuencia determinando la cantidad de segmentos necesarios para construir la quinta, décima, decimoquinta y vigésima figura. Establece una fórmula que permita encontrar la cantidad de segmentos para la figura n.
3.* Las siguientes pirámides mantienen una realción
entre ellas. 2 2 ¿Cuál sería el valor de (99.999) y (999.999) ? Completa las filas de la pirámide. Conjetura cuál es la regularidad que se cumple.
6. ¿Cuál es la suma de los múltiplos de 3 hasta 300?
Ayúdate con la fórmula demostrada de la suma de los primeros n términos. 7.
2
1+ 2 = 2
2
1+ 2 + 2
2
1+ 2 + 2
2
1+ 2 + 2
−1 3
=
2
+
2
+
3
3
2
−1 =
4
2
+2
4
−1 =
5
2
−1
Conjetura cuál es el valor de: 2
1+ 2 + 2
+
3
2
4
+2
5
+2 +
6
2
7
+2
+
8
2
¿Cómo crees que será el caso general?
42
. un poco de .
Unidad
historia
1
LOS NÚMEROS ENTEROS
Se cree que en el siglo primero de nuestra era, el pueblo chino y el pueblo indio utilizaban el cero y tenían una notación especial para significar la nada. Incluso se cree que los chinos ya utilizaban los números negativos en esa misma época, aunque sin emplear un símbolo para ello. Empleaban ábacos con argollas de diferentes colores, unas significaban número sobre el cero y otras bajo el cero. Por su parte, el pueblo indio, desde el siglo VI de nuestra era, empleó números negativos para simbolizar deudas. Los árabes utilizaban un símbolo para el cero desde el siglo V, aproximadamente, y se cree que fue llevado a “Una deuda restada de esas tierras desde la India. la nada se convierte en un bien, un bien restaEs importante notar que las fracciones positivas e incluso los números irrado de la nada se concionales eran conocidos y utilizados desde mucho antes; de hecho la escuela vierte en una deuda.” pitagórica ya sabía que 2 no es racional. Pese a que se conocían los números negativos desde la antigüedad, en Europa se comenzaron a utilizar en matemáticas sólo a partir del siglo XV y el cero desde un siglo antes. La introducción de los números negativos provocó gran controversia; los matemáticos los utilizaban a regañadientes pues, aunque era cómodo trabajar con ellos en la resolución de ecuaciones, cuando el resultado era negativo se despreciaba o se decía que la solución no existía. Eran tan poco populares que se los llamaba “cantidades falsas” o “cantidades ficticias”. Es importante destacar que no le daban la categoría de número. Se suponía que un número, por definición, era positivo, “¿cómo puede haber algo menor que nada?”, era la pregunta sarcástica sarcástica que se oía entre los matemáticos poco amigos de los números negativos. Más difícil de aceptar fue la regla de los signos, “¿cómo es que al multiplicar dos números menores que nada puede resultar un número positivo?”. Esto no tenía sentido para muchos matemáticos destacados de Europa en los siglos posteriores al XVI.
Para el bronce
“Para obtener realmente una cantidad negativa aislada, sería necesario restar una cantidad efectiva de cero, quitar algo de nada: operación imposible. ¿Cómo concebir pues una cantidad negativa aislada?”
La igualdad
1
−
1
=
1 1
−
era muy
BRAMAGUPTA (siglo VII)
“El uso del signo negativo en álgebra da lugar a varias consecuencias, en principio, difíciles de admitir y han ocasionado ideas que parecen no tener ningún fundamento real.” MAC LAURIN (1698-1746)
utilizada para refutar a los que querían darle la calidad de número a los negativos. ¿Cómo es posible -decíanque un número dividido por uno más chico resulte lo mismo que un número dividido por uno más grande? Sólo cuando comenzaron a estudiarse los sistemas numéricos con sus propiedades como conmutatividad, asociatividad, elemento neutro, elemento inverso, etc., se comenzó a aceptar estos números “ficticios”.
Lazare Carnot (1753-1823)
MATEMÁTICA
43
• actividades finales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
para ejercitar 1. Compara las siguientes potencias: −
a)
−1
5
y
4
2 2 1 1 b) y 2 2
−1
c)
−3
1
y
−7
1
2. El animal volador más pequeño es la avispa parásita que mide 0,000139 m de largo. El macho de esta avispa
es ciego y no vuela. Escribe su tamaño en centímetros empleando notación científica. 3. Entre los años 1940 y 1996, EE.UU ha gastado en armamento nuclear una suma cercana a los 5,8 millones de
dólares. Transforma a pesos chilenos esta cifra y escríbela utilizando notación científica. 4. El virus del VIH es una partícula esférica con un diámetro menor a 0,000000110 m.
Escribe esta medida en milímetros utilizando notación científica. 5. Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado resultado en notación científica: a) (2 ⋅ 1010 )(6 ⋅ 107 )( 4 ⋅ 10−4 )
b)
3
52 ⋅ 10
+
2
21⋅10
c)
−3
25 ⋅ 10
⋅ 0, 05 ⋅ 105 7
0, 625 ⋅10
d)
4.000 ⋅ 0, 016 016 0, 000064 000064 ⋅ 0, 008
6. Resuelve: 1
a) 4
+ 15 +
3
5 12
c)
0, 0416
11+ 2
b) 2
3 4
5
3 4
d)
1
:
64 1 ⋅ 18 + 2 2
8 2 5
8
1
−
10
−2
1 4
7. Ordena los siguientes números reales reales de manera decreciente: 1
− 1, 2 ; −1, 2; − ; 0,1 2 ; 2
2 2
8. Estima entre qué par de racionales se encuentran los siguientes números: (Haz tu estimación de forma que
la distancia entre el par de racionales sea menor que 0,1). a) −
44
27
b)
10
c)
82
Unidad
1
para aplicar 9.
Retomemos el problema de la amigdalitis de Antonia. Sabemos que las unidades del antibiótico que le inyectaron mata po cada día, o sea que al segundo día le quedan
1 5
4 5
de las bacterias que están en su cuer-
de las bacterias que tenía inicialmente.
Realiza en tu cuaderno una tabla que indique el día y fracción de bacterias que mueren por día. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer día, al cuarto y al octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las bacterias? Fundamenta tu respuesta.
10.* En cierto restaurante, para economizar vino, un mozo realiza
la siguiente operación con los clientes que toman vino por copas: abre una botella de vino y sirve la primera copa, luego, al irse a la cocina, llena la botella con agua. Después sirve la segunda copa de vino, vuelve a la cocina y llena la botella nuevamente. Sigue con este procedimiento a medida que sirve copas de vino. Sabiendo que una botella alcanza para servir 6 copas: ¿Qué parte de vino tendrá la botella después de haber servido tres, cuatro y cinco copas? ¿Cuántas copas puede servir antes de que quede la mitad de la cantidad del líquido inicial en la botella?
11. Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias
para analizarlas; después de una ardua investigación descubre que éstas se duplican cada una hora. Si la muestra estaba conformada por 10 bacterias al mediodía: ¿Cuántas bacterias habrá a las 3 P.M. y a las 6 P.M.? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12 P.M. del día siguiente? 8
12. El francés Latour-Marliac obtuvo un excelente híbrido de planta acuática que hoy se extiende en todo el mundo: la Nynphaea se cultiva fácilmente utilizando sólo agua y buena tierra. En cortos periodos logra
desarrollar gran cantidad de hojas grandes, protegiendo el agua de la luz solar, manteniéndola limpia, oxigenada y libre de algas, además de proteger la fauna piscícola. Hay ciertos tipos de plantas acuáticas híbridas que tienen la capacidad de reproducirse duplicando la superficie que cubren, día a día. Si tenemos un terreno adecuado y se cultiva esta planta en una hectárea, ¿qué superficie tendrá cubierta después de una semana?, ¿y de un mes?
MATEMÁTICA
45
13. Un material radiactivo es aquél cuyos átomos se desintegran espontáneamente. Por lo tanto, con
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
el transcurso del tiempo la cantidad de material disminuye. En este contexto, se llama vida media de un material radiactivo al tiempo que tarda en reducirse a la mitad. Por ejemplo, el estroncio 90 es un isótopo radiactivo peligroso. Debido a su semejanza con el calcio, es fácilmente absorbido por los huesos del cuerpo humano. La vida media del estroncio 90 es de 28 años. Si una persona estuvo expuesta a una explosión nuclear y absorbió 100 gramos de estroncio 90: ¿Cuántos gramos de estroncio 90 le quedará n en el cuerpo de la persona al cabo de 56 año s? ¿Cuántos años pasarán para que todavía quede más del 6% del estroncio 90 inicial?
14. A mediados del siglo XVII el matemático inglés John Wallis demostró que el siguiente producto infinito de
racionales es igual a
π
:
2
2 2 4 4 6 6 8 8
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
1 3 3 5 5 7 7 9
En este producto sus términos se escriben de la siguiente forma: Los numeradores son números pares, que partiendo del dos, se repiten una vez y pasan al par siguiente. Los denominadores son números impares, partiendo de 1, cambian el impar siguiente después de la repetición, salvo 1 que no se repite. a) ¿Cuáles son los siguientes cinco términos de este producto infinito? b) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: Término
1 2 3
Producto de números racionales
Notación decimal
2 1
2 2
⋅
1 3 2 2 4
⋅ ⋅
1 3 3
4 5 6 7
2 2 4 4
⋅ ⋅ ⋅
1 3 3 5 2 2 4 4 6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 3 3 5 5 2 2 4 4 6 6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 3 3 5 5 7 2 2 4 4 6 6 8
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 3 3 5 5 7 7
Tabla 1.6 c)
46
¿Qué decimal de la tabla anterior aproxima de mejor forma 8 decimales?
π
2
tomando a
π
con sus primeros
Unidad
15. El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de 17 ⋅10
−27
1
g , ¿cuántos de estos átomos hay
en 1 kg de hidrógeno? 16. La distancia del Sol al centro de la galaxia es de 27.000 años luz. Si sabemos que la velocidad de la luz es
300.000 km/s, ¿a cuántos kilómetros de distancia, aproximadamente, está el Sol del centro de nuestra galaxia? Escribe tu respuesta utilizando notación científica. 17. La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente 353.680 km. Solo como un ejercicio de imagina-
ción, para tener una idea de la velocidad de la luz, imagina, ¿cuánto demora una persona en llegar caminando a la Luna si lo hace a una velocidad de 1 m/s? 18.* Observa el caracol compuesto por una seguidilla de triángulos rectángulos. Calcula, empezando por el
triángulo menor, la hipotenusa de dichos triángulos. 1cm 1cm
1cm
1cm 1cm 1cm
1cm
19.* Calcula
el área del hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio 1 cm y del hexágono regular circunscrito en la misma circunferen circunferencia. cia. Explica cómo esto puede dar aproximaciones de π .
para reflexionar 20.*
¿Siempre el cuadrado de un número es mayor que dicho número? ¿Por qué?
21.*
Después de que Juan realizó una serie de cálculos, le apareció el siguiente siguient e resultado en la calculadora: 0,063583815028901734104046242774566. ¿Qué dirías tú acerca de este número? ¿Es racional o irracional? En ese momento se acerca el hermano de Juan y le pregunta en qué ocupa ese número irracional que aparece en la calculadora, pero Juan le comenta que es el racional
11 173
con sólo 33 decimales. Con esto
el hermano de Juan se percató que utilizando utilizando la calculadora es imposible verificar si un número número es irracional o no, ya que el periodo del número, en caso que lo tenga, puede aparecer muy tarde y la calculadora no lo mostrará. Así, ambos se preguntar preguntaron: on: ¿después de cuántos decimales aparece el periodo de 11
?
173
¿Podrías ayudarlos a resolver su problema?
MATEMÁTICA
47
• síntesis de la unidad • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
El siguiente mapa conceptual muestra los contenidos tratados en esta Unidad:
Notación científica
Potencias Propiedades RACIONALES vs. IRRACIONALES Aplicaciones
Notación decimal
Aproximaciones
Regularidades numéricas
En esta Unidad hemos estudiado con mayor profundidad los números racionales, escribiéndolos en su notación decimal, utilizando la notación científica cuando han aparecido cantidades muy grandes o pequeños y en muchas ocasiones, para facilitar nuestro trabajo, hemos aprendido a aproximarlos. Hemos empleado también las potencias para resolver diversos problemas numéricos o de aplicación a la ciencia y la tecnología, cuando se ha necesitado introducir el concepto del exponente negativo, a saber: a
n
−
=
1 n
, siendo n un número natural.
a
Sin duda, no podemos dejar de nombrar no mbrar a nuestros recién conocidos números irracionales; hemos aprendido un poco de su historia y el cuidadoso tratamiento que se debe tener con ellos. Para lograr entender un poco más de esos números hemos tenido que aproximarlos mediante números racionales. Finalmente, algo muy importante es no olvidar que la calculadora sólo nos brinda aproximaciones de números racionales o irracionales debido a los infinitos decimales que éstos puedan tener. De esta manera, con la calculadora no se puede verificar si un número es racional o irracional. Para esto es necesaria una demostración matemática.
48
Unidad
• autoevaluación • 1. [Timss 1999] ¿Cuál de los siguientes números
está entre 0,07 y 0,08?
c) 0,075 d) 0,75
−2
−2
0, 00012 2. 0, 4 a)
0,0027 : = 900
−4
10
1 100
a)
−1,3 ⋅1 0−2 ; −
b)
−
c)
−
d)
−
1 100
−2 es:
; −1, 3 ⋅1 0
1 100
; −2; −2, 2; − 5
−2
; −1, 3 ⋅ 10 ; −2; − 5; −2, 2
1 100 1 100
−2
; −1, 3 ⋅ 10 ; −2; −2, 2; − 5 −2
; −1, 3 ⋅ 10 ; − 5; −2, 2; −2
−5
b)
10
c)
10
d)
9 ⋅ 10
−6
sonido recorre 14.000 cm/s. Si 6. En agua salada el sonido
−10
3. [Este problema es una modificación de Pisa 2003]
La estación espacial Mir permaneció en órbita durante 15 años y en este tiempo dio aproximadamente 86.500 vueltas alrededor de la Tierra a una altura de 400 km. Si el largo de la órbita de la Mir es de aproximadamente 40.000 km, ¿cuál es aproximadamente la distancia en notación cientifica recorrida por la Mir mientras estuvo en órbita? 346 34 6 ⋅ 10
km
b)
3, 46 ⋅10
−9
c)
3, 46 ⋅10
d)
0, 346 ⋅10
a)
5. El orden decreciente de
− 5; − 2; −2, 2; −
a) 0,0075 b) 0,00075
1
7
km
km
9
10
km
las ondas sonoras tardan 3,5 s en llegar del submarino al buzo y tarda 5 s en llegar del mismo submarino al barco, ¿cuál es la distancia entre el buzo y el barco? 2.100 m 4.900 m c) 7.000 m d) 11.900 m a) b)
7. Tienes una sucesión de triángulos rectángulos, los
que en cada paso aumentan su altura y base en una unidad, y se subdividen en triángulos rectángulos pequeños e iguales. ¿En cuántos triángulos pequeños se subdivide la novena figura?
4. Redondeado a la decena de kilogramo más próxi-
ma, el peso de un delfín es 170 kg. ¿Cuál de las opciones siguientes no corresponde al peso del delfín? a) 166 kg b) 169 kg c) 173 kg d) 176 kg
82 b) 80 c) 91 d) 81 a)
MATEMÁTICA
49
Lenguaje ALGEBRAICO Al finalizar esta unidad serás capaz de:
Temas que estudiaremos en esta unidad:
Utilizar letras para representar números. Evaluar e interpretar expresiones algebraicas.
Variables y uso de letras.
Traducir a lenguaje algebraico enunciados matemáticos y problemas cotidianos. Sumar y restar polinomios.
Términos semejantes.
Aplicar la distributividad en el uso de paréntesis. Generalizar la notación de potencia. Potencias en álgebra. Utilizar procedimientos algebraicos para multiplicar y dividir potencias. Conjeturar y generalizar acerca de patrones numéricos y geométricos.
Patrones.
Resolver ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos y literales. Analizar la existencia de la solución de una ecuación de primer grado.
Igualdad y ecuaciones.
Resolver poblemas que involucren ecuaciones de primer grado. Conjeturar y demostrar propiedades numéricas asociadas a múltiplos y divisores.
Generalidades numéricas.
Unidad
2 En el 2005 se celebró el año mundial de la Física. En ese año se cumplieron cien desde que Albert Einstein publicó su Teoría Especial de la Relatividad. Al año 1905 se le denomina Annus Marabilis Marabilis debido a la gran revolución que se produjo tanto en la física como en la Ciencia en general por los descubrimientos de Einstein. La Teoría de la Relatividad, utiliza resultados anteriores, debido a Lorentz, quien había definido transformaciones que involucran las velocidades relativas de los observadores. obse rvadores. La Teoría Teoría de la Relatividad (TR) postula que la velocidad de la luz (que es
c
=
3 10 m / s en ⋅
el vacío) es la velocidad límite, esto
es, nada se mueve más rápido que la luz. Otro de los resultados de la TR es que la energía es proporcional a la masa con constante el cuadrado de c , es decir,
E
2
=
mc
.
Un resultado sorprendente en la TR es que la masa no es constante en el movimiento, es decir de cir,, la masa de un objeto depende de la velocidad con que se mueve, de hecho, si m0 es la masa de un objeto en reposo, y m la masa cuando se mueve con velocidad v, se tiene la siguiente relación: 2
m
v 2 1− = m02 c
Lo que dice, por ejemplo, que si una partícula se mueve a una velocidad de 0,9 c la masa aumenta a más del doble que la masa del reposo.
• para recordar • 1. Escribe como una sola potencia: 2
7 3
a)
−5
7 ⋅ 3
4
b)
⋅ 23
2
c)
10
2
(6
5
5
:2
)
−2
2. Escribe a lo menos menos cinco múltiplos múltiplos de: a) 4
b) 15
c) 7
d) 23
3. Cuáles son los divisores divisores de: a) 36
b) 75
c) 120
d) 71
4. Calcula el área área de las siguientes siguientes figuras: 2,5 cm
3 cm
a)
b)
1,2 cm
5 cm 0,8 cm
c)
2,1 cm
d)
4 cm
2 cm
5. Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones: a) 2x
−
17
=
21
b) 8x − 3 = 5x + 36
c)
(
x +
)
4 5 = 100 +
geométricos: 6. Determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: 1,5 cm
2 cm a)
b)
2 cm
3 cm
4,3 cm
1 cm 2 cm c)
d)
5 cm
52
x
d)
2 5
1 x +
4
5 = −
3
Unidad
2
Variables En variadas ocasiones se pueden establecer relaciones entre medidas, independientemente del valor particular de los datos; por ejemplo, el perímetro de un cuadrado es cuatro veces la medida del lado, y esto es así para cualquiera que sea el valor del lado, así se tiene la relación siguiente:
l
Perímetro Períme tro = 4 × (lado del cuadrado) Por su parte, tenemos tenemos el área del cuadrado que se calcula multiplicando multiplicando el lado del cuadrado por sí mismo, es decir,
l
Área = (lado del cuadrado) × (lado del cuadrado) Desde la antigüedad se han utilizado símbolos para denotar las medidas variables y establecer fórmulas generales. Como los símbolos más utilizados son las letras se hace uso de ellas para denotar estas variables. Por ejemplo, si P es el perímetro del cuadrado y l es es la medida de su lado, se tiene: P = 4l Recordemos que desde octavo básico denotamos la multiplicación escribiendo las letras y números, uno al lado del otro, es decir 4l es es cuatro multiplicado por l . Del mismo modo, si A denota el área del cuadrado de lado l , entonces la relación es: A = l 2
actividades
Para calcular el valor mensual de la cuenta de electricidad, se miden los Kilowatts hora consumidos en el mes. El valor de un KWH es de $68, además se cobra un cargo fijo de $509, i ndependiente del consumo. Supongamos que en una casa se consumieran 181 KWH en el mes de enero: 1. ¿Cuál será el valor de la cuenta? 2. Completa en tu cuaderno la tabla 2.1 que relaciona los KWH
consumidos con el valor de la cuenta. Consumo (KWH)
180
200
220
250
280
300
330
350
370
Valor de la cuenta ($)
Tabla 2.1 3. Nota que para cada valor valor del consumo consumo C el valor de la cuenta
es: V = 509 + 68C ¿Es consecuente esta fórmula con los datos encontrados en la tabla anterior? 4. Si el valor de una cuenta fue de $23.629 ¿Cuál es el valor de
consumo sin considerar el cargo fijo?, ¿cuál fue el consumo?
MATEMÁTICA
53
Lenguaje algebraico
Las cantidades variables son denotadas por letras, y éstas en cada caso particular, adquieren valores numéricos. Las relaciones que se expresan usando letras son llamadas relaciones algebraicas y cuando le damos valores numéricos a esas expresiones decimos que estamos evaluando o valorando las relaciones algebraicas. Por ejemplo, la relación algebraica de la introducción de esta unidad es: m
2
v 2 2 = mo = 1 − c
donde m0 es la masa de un objeto en reposo, m es la masa del objeto cuando se mueve 8 con velocidad v y c es la velocidad de la luz en el vacío 3 ⋅ 10
m s
Si evaluamos la expresión anterior para m0 = 1 mg, v = 0, 9 c , se tiene que: m
2
(1 − (0, 9 ) ) = 1 mg 2
2
o lo que es lo mismo: m
2
(1 − 0, 81) = 1
0, 19 m
2
=1
mg
mg
2
2
Como m 2 multiplicado por 0,19 resulta 1, se tiene que 1 dividido por 0,19 es m 2 , es decir: m
2
=
1 0, 19
mg
2
= 5, 263 mg2
recordando la definición de raíces en la Unidad 1 se tiene que: m =
5, 263 mg
= 2, 294 mg
es decir, la masa aumentó a más del doble.
actividades d t esa expresión para d = 100 km y t = 20 min, ¿cuál es la velocidad media expresada en km/h?
1. La fórmula v
= relaciona la velocidad media (v) con la distancia recorrida (d) en un tiempo (t). Evalúa
2. La fórmula h = 200 − 4 , 9t 2 relaciona la altura h (medido en metros) de una piedra que se lanza desde un puente de 200 m de altura en el instante t medido en segundos. Completa en tu cuaderno la tabla 2.2 que
para cada tiempo entrega la altura de la piedra. Tiempo (s)
0
0,5
1
2
2,8
3,3
4,51
5,8
6,39
Altura (m)
Tabla 2.2 ¿Cuánto se demora, aproximadamente, la piedra en caer al suelo? ¿Demora más en recorrer la primera o la segunda mitad? La velocidad de la piedra en cada instante t (medido en segundos) es v = 9 , 8 t medido en metros por segundo. ¿Cuál es la velocidad con que la piedra cae al suelo, aproximadamente? aproximadamente?
54
Unidad
2
Existen varios paquetes computacionales, algunos gratuitos, que incluyen planillas de cálculo. Para utilizar esas planillas con eficiencia es necesario conocer algunos conceptos de relaciones algebraicas. A continuación te mostramos un ejemplo, donde evaluamoss la expresión evaluamo V
=
π
3
r 2
r h
que corresponde al volumen el cono de radio r y y altura h. h
En la primera columna, (columna A), introducimos los valores de r en en centímetros, en la segunda columna agregamos los valores de h en centímetros y en la columna C, ponemos una fórmula en el lugar dispuesto para ello. En la imagen está marcado con un recuadro rojo donde se lee:
(1 / 3) * A 2 ∧ 2 * B 2 * 3, 1416 donde * significa multiplicar y ∧ 2 significa elevar al cuadrado, es decir, la expresión de arriba se lee: 1/3 multiplicado por el número que está en el lugar A2 al cuadrado, multiplicado por el número que hay en el lugar B2 y todo eso multiplicado por 3,1416, que es el valor por el cual hemos aproximado a π , el resultado de esto se guarda en el lugar C2. Si copias C2 en el resto de la columna C, la plantilla evaluará la fórmula en los valores de la fila correspondiente. cor respondiente.
r
recuerda
Usualmente, se anota la multiplicación escribiendo sólo los simbolos uno al lado del otro, es decir, ab. Esto es lo mismo que anotar a . b , que significa que a está multiplicado por b.
Supón que en una planilla de cálculo, en la primera columna ingresas ing resas tus asignaturas, en la segunda columna la nota de la primera prueba, en la tercera la nota de la segunda prueba y en la cuarta columna la nota de la tercera prueba. Entonces para calcular el promedio de esas Nota1 + Nota 2 + Nota 3
notas fórmulas:
3
, deberíamos escribir en el lugar de las
( B 2 + C 2 + D 2 ) / 3
actividades 1. En el ejemplo de las notas, ¿cuál sería la fórmula fórmula si la tercera tercera prueba fuera fuera coeficiente 2? 2. En el mismo contexto, ¿cuál sería la fórmula si la primera valiera la mitad de cada una de las otras dos notas?
MATEMÁTICA
55
Lenguaje algebraico
En matemáticas las letras también sirven para denotar objetos matemáticos que no necesariamente son variables, variables, de hecho, pueden ser números fijos. Esto ocurre en una ecuación de grado 1, donde la letra denota un número fijo. Por ejemplo, si m es la edad de mi madre y x es mi edad, como mi madre es mayor que yo, esto se escribe: m>x
Otro ejemplo es cuando no conocemos el valor de las letras pero no por ello podemos afirmar que sean variables. Por ejemplo, si en mi bolsillo tengo solamente monedas de $50 y de $10 y en total tengo $230, denotamos por c la cantidad de monedas de $50 que tengo y denotemos por d la la cantidad de monedas de $10; entonces, el dinero que tengo en el bolsillo es lo que tengo en monedas de $10, más lo que tengo en monedas de $50. Como tengo d monedas monedas de $10, entonces tengo 10d pesos pesos en monedas de $10 y del mismo modo tengo 50 c pesos en monedas de $50. Es decir, el dinero que tengo en el bolsillo es 10d + 50 c, pero como sabemos que el dinero total es $230, podemos asegurar que: 10 d + 50c = 230
Ya sea para encontrar valores desconocidos de las letras o para establecer relaciones generales de medidas o datos expresados con letras o símbolos, es necesario conocer las reglas que rigen las operaciones con letras y los convenios que facilitan la universal comunicación de las matemáticas. En lo que sigue nos dedicaremos a conocer estas reglas.
Una expresión algebraica es una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias. Por ejemplo: 4π 3
r3
es una expresión algebraica que denota volumen de una esfera de radio r . 4, 9
x
La expresión algebraica vmx − 2 x 2 (1 + m 2 ) representa la altura (medida en mev tros) de un proyectil lanzado con velocidad v desde el suelo. La letra m representa un número relacionado con la inclinación del disparo y x es la distancia que ha recorrido el proyectil en dirección horizontal.
actividades 1.* ¿Qué significa que para algún valor de x la altura de un proyectil sea cero? ¿Qué pasa en la mitad de ese valor
de x?
56
Unidad
• aplicando lo aprendido •
2
3. La ley del flujo laminal descubierta por el médico
francés Jean Louis Marie Poiseuille, en 1840, establece la velocidad velocidad a la que que fluye la sangre sangre a tratra1. La presión normal P sobre un cuerpo se define a
vés de un vaso sanguíneo considerado como un
través de la siguiente fórmula: P
=
F A
tubo de largo l y radio R, viene dada por la fórmula
, en donde F es la fuerza que se ejerce
o
(n
).
a) Construye una tabla en la que aparezca la cantidad de lados de un polígono (desde n=3 hasta n=10) y la suma de sus ángulos interiores.
S
=
180
−
2
b) ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un pentágono regular?
(R
2
−
r
2
),
donde P es la diferencia
neo a la pared del mismo.
mula
⋅
que tiene el flujo desde el centro del vaso sanguí-
a) ¿Cuál es la presión que que ejerce un elefante elefante si su peso ejerce una fuerza de 40.000N y se mantiene en una pata sobre la superficie de una mesa de área 0,02 m2 ?
4η l
representa represen ta la viscosidad de la sangre y r la distancia
ponde:
2. Para calcular la suma S de los ángulos interiores de un polígono de n lados tenemos la fór-
P
de presión en los extremos del vaso sanguíneo, η
por unidad de superficie A. Considerando esto. res-
b) ¿Qué presión ejerce una mujer de 500N de peso sobre un zapato de tacón aguja de 0,0041 m2 de área?
=
a) Para un vaso sanguíneo pequeño consideremos: η =0,027; R=0,008 cm; l=2 cm; r=0,002 cm y P=4.000 D / cm2 cm / s2 (dinas=D= g cm ¿Cuál es la velocidad a la que fluye la sangre? (recuerda utilizar notación científica para facilitar tus cálculos).
b) ¿Para qué valores de r la velocidad es mayor? ¿Qué significa este resultado en nuestro problema?
c) ¿Para qué valores de r la velocidad es menor? ¿Qué significa este resultado en nuestro problema?
4. La expresión algebraica F k ( x x 0 ) corresponde a la Ley de Hooke, que representa la relación entre el estiramiento de un resorte efectuado por una una masa mas a y la fuerza F (medida en Newton= N = kg m / s2 aplicada por éste. k es una constante propia de cada resorte, x la longitud final del resorte después de aplicarse la fuerza y x 0 es la longitud inicial del resorte. En nuestro caso k=100 N/m y la longitud inicial x 0, 5 m. ¿Qué fuerza debo aplicarle al resorte para que éste se estire 1,1 m? ¿Y para que se estire 2 m? =
o
−
=
c) ¿Cuál es la medida de un ángulo exterior de un heptágono regular?
MATEMÁTICA
57
Lenguaje algebraico
2 Potencias en álgebra En la Unidad 1 vimos algunas propiedades de las potencias. Éstas fueron: Si a > 0 y n,m se cumplen: a
0
=1
m n
a a
=a
m +n
n m
(a )
= a = (a nm
a
m n
)
a
n
m
= an − m
Pensemos ahora en dos números a y b y estudiemos las potencias de ambos. ConsiPensemos deremos a n y b n , números elevados a la misma potencia, ¿qué pasa si multiplicamos esos números? Revisemos primero el caso n y m positivos.
Ya que: a n = a ⋅ a ⋅ a + . . . + a y b n = b ⋅ b ⋅ b ⋅ . . . ⋅ b
Se tiene que: a nb n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ . . .⋅ a b ⋅ b ⋅ b ⋅ . . .⋅ b
Como la multiplicación es asociativa, podemos ordenar la multiplicación anterior como queramos, y la forma que escogeremos será escribir una b después de cada a: n n
a b
r
= a b ⋅ a b ⋅ a b ⋅ a b ⋅ a b ⋅ . . .⋅ a b
es decir, se multiplica n veces por sí mismo el número ab, por lo que se puede concluir que:
recuerda
En notación de potencias
n n
a b
n
a quiere decir multi-
plicar n veces a, si n es positivo.
= ( ab )n
Es un ejercicio para ti verificar que la igualdad anterior también es cierta si n es negativo o cero, es decir, en general se tiene que:
Si n es negativo significa 1 multiplicar -n veces .
Si n es entero, a > 0 y b > 0 se cumple que a nb n = ( ab )n
a
El paréntesis en ( ab )n significa que la potencia es de todo el producto ab, en cambio ab n significará que sólo b está elevado a la potencia n.
actividades r 3
1. El volumen de un cubo es a , donde a denota lo que mide su arista. ¿Cuántas veces más grande es el volumen de un cubo de arista 2a que el volumen de un cubo de arista a? 2. El volumen de un cilindro de radio r y altura h es π r2h , ¿cuántas veces más pequeño es el volumen de un cilindro que tiene la misma altura que otro pero la mitad del radio?
58
h
Unidad
2
Como la multiplicación es asociativa y también conmutativa, podemos agrupar los factores como queramos para multiplicarlos, por ejemplo: xyx 2
= x ( yx 2 ) = x ( x 2y ) = (xx 2 ) y = x 3y
Es decir, si en un término algebraico aparecen varias letras (algunas de ellas repetidas) las podemos agrupar todas y luego aplicar la propiedad x n + m = x n x m y dejar cada variable elevada elevada a alguna potencia sólo una vez. Por ejemplo: x 2 y 3xyy 3x 4 = x 2xx 4 y 3yy 3 = x 7y 7 De nuevo, por la asociatividad y conmutatividad de la multiplicación, podemos juntar la parte literal de cada término y multiplicarlos entre sí, para tener una sola parte literal en el producto de dos términos, por ejemplo:
(14 x y ) 3 xy 2
1
4
= 14 ⋅ 1 x 2 xyy 4 = 14 x 3y 5 3 3
Hemos visto que a nb n = (ab )n , estudiemos ahora el cuociente de dos potencias. Consideremos a y b dos números positivos y n un número entero. Pensemos, para empezar, en el caso en que n > 0 entonces: a
n
b
n
=
⋅ a ⋅ a ⋅ . . .⋅ a a
a
n
⋅ b ⋅ b ⋅ . . .⋅ b b
b
n
a a a
a
b b b
b
= ⋅ ⋅ ⋅ ...⋅
a
es decir, la multiplicación de por sí misma n veces, por lo que se puede concluir b que: a
n
b
n
n
a = b
Verificar que la anterior es una igualdad cuando n es negativo o cero, es un ejercicio para ti.
actividades producto de los siguientes términos términos algebraicos, como un un término sin repeticiones repeticiones de letras: 1. Escribe el producto a)
−2 3 2 6 2 5 y xz 3 x yz 8
b)
−5 3 32y 2ab5 ) ( 4 abc
c)
5 3 81a f ) 3 a (
n
a m n+ m m −n 2. ¿Es cierto que ⋅ ( ab ) = a b ? b fracción del volumen de de la esfera de de radio R es el volumen del cilindro de radio R y altura la misma 3. ¿Qué fracción que el radio? 4. ¿Es cierto que
an b −n
n
= (ab ) ?
MATEMÁTICA
59
Lenguaje algebraico
Recordemos que la multiplicación de fracciones es: a c
ac
b d
bd
⋅ =
y también que an a
m
= an − m
Estas dos propiedades permiten escribir el cuociente de dos términos algebraicos como uno solo, por ejemplo: 10 x 2 yz 6 2 4
5 xy z
=
10 x 2 y z 6 5
⋅
⋅
⋅
x y 2 z 4
= 2 xy −1z 2
Consideremos dos cilindros donde las dimensiones de uno son la mitad de las del otro.
h
r
2
2
En la figura h´ = y r´ = , ¿cuántas veces cabe el volumen del cilindro pequeño en el grande?
Como el volumen del cilindro más pequeño es: 2
r2 h r 2h V r h V ' = π ⋅ r ' h ' = π ⋅ = π ⋅ 2 ⋅ = π = 2 2 8 8 2 2
es decir, el volumen del cilindro chico es 8 veces más pequeño que el del cilindro mayor.
actividades 1. Si las dimensiones de un cilindro son tres veces más pequeñas que las de otro, ¿cuántas veces menor es el volumen del cilindro chico en comparación con el volumen del cilindro grande? 2.* Si x, y no son cero, ¿es cierto que x2y3y-1 siempre es un número positivo? (Ayuda: el cuadrado de un número real nunca es negativo)
60
Unidad Ya hemos aplicado la propiedad asociativa y conmutativa en la reducción de términos semejantes. Existe otra propiedad importante, la distributiva , que nos ayudará a comunicarnos mejor utilizando el álgebra. La propiedad distributiva dice que si multiplicamos un número por la suma de dos términos es lo mismo que multiplicar el número por cada término y sumar los resultados, es decir, si multiplicamos a por b+c. El resultado es el mismo que ab+ac, es decir:
Propiedad distributiv distributiva: a: a(b+c)=ab+ac
r
2
recuerda
La multiplicación no la anotamos, anotamo s, de d e modo que cuando estén dos símbolos, uno al lado del otro, significa multiplicación. En particular a(a+b) significa a.(a+b). Si el paréntesis no estuviese, ab+c, significa que a solo multiplica a b.
Se puede ver geométricamente así: c
b
a
a
c
b
a
a
r A la izquierda vemos un rectángulo de lados a y b+c que, como sabemos, tiene área a(b+c), por otra parte, el área del rectángulo grande es la suma del área de los dos rectángulos pequeños: el rojo y el negro. El rojo tiene área ab y el negro ac, por lo tanto, se verifica geométricamente que: a(b + c) = ab + ac
Un caso particularmente interesante es cuando a = −1 en ese caso resulta:
−1( b + c ) = −1b + −1c pero habíamos convenido convenido que −1a = − a por lo tanto:
recuerda
_a denota el inverso aditivo de a , es decir a+_a=0=_a+a.
Por ejemplo, el opuesto de _1 es _(_1), pero _(_1)=(_1)(_1)=1, se tiene que _(_1)=1. Por lo tanto no es cierto que _a es un número negativo en general, el signo de _a depende del signo de a.
− (b + c ) = −b − c Por ejemplo: 2 xy − ( xy − z ) = 2 xy − xy − ( − z ) = xy + xy − xy + z
= xy + z
actividades 1. Distribuye: −2 2 xy − xz xz a) 3
(
c)
) − ( −xy
− 2xz )
b)
− ( ad + bc bc ) + 2ad − bc bc 2
− (2x − 3xy − 3yz ) + x − yz
d)
1 fg − gf 2 2
2
(
) − ( fg
2
− fg)
recta numérica a está a la izquierda de cero, ¿dónde está _a? ¿Es positivo o negativo? 2. Supón que en la recta
MATEMÁTICA
61
Lenguaje algebraico
3 r
recuerda Volumen del cono: πr
Términos semejantes
Una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas se llama término algebraico. Por ejemplo, la expresión del volumen del cono es un término algebraico, pero la expresión expresión de la altura del proyectil proyectil no es un término algebraico, sino que es la resta de dos términos algebraicos. Los términos algebraicos son como las “moléculas de la expresión algebraica”. Un término algebraico tiene una parte literal (las letras con sus potencias) y una parte numérica (el número).
2
h
3
Altura de un proyectil: –4,9 . t2 + vt
Como vimos en las páginas anteriores, un producto de variables se puede escribir de varias formas distintas, por ejemplo: 2 3
x y
2
=
xyxy
2 2
=
yx y
=
yxyxy
pero no por eso diremos que sus partes literales son distintas, por el contrario, diremos que tienen la misma parte literal. Cuando dos términos tienen la misma parte literal, esos términos se llaman seme jantes. Por ejemplo: en cambio
4π 3 2
3 xy z
3
r
3
y
y
32π 3 2
3
r
3 x yz
3
son semejantes,
no son semejantes,
pese a que tienen las mismas mismas letras. Cuando tenemos una expresión algebraica que contiene términos semejantes éstos se pueden reducir, es decir, sumar o restar términos tér minos semejantes según la operación que aparezca en la expresión. Además, la reducción es válida solo en el caso de existir términos semejantes x) y otro objeto con otra letra ( y y), entonces Si denotamos un objeto por una letra ( x x x + y no es 2 ni tampoco 2 y , pues son objetos distintos, por lo tanto no se pueden sumar. Si x es manzana e y es perro, entonces x + y no es dos manzanas ni tampoco dos perros, es por esto que solo se pueden reducir términos semejantes. Solo los términos semejantes denotan los mismos objetos.
Por ejemplo
3 xy
2 −
31xy
2
28 xy
2
= −
Recordemos que la multiplicación es conmutativa, es decir xy yx para cualquiera que sean los valores de x e y. Por lo tanto, para reconocer términos semejantes, el orden en que aparezcan las letras no importa. Por ejemplo 3 x 2 z 3 3z 3x 2 x 2 3z 3 , sin embargo, es costumbre (es un convenio) escribir los números al inicio y luego las letras en orden alfabético. De modo que el término 3 x 2 y es semejante con 4 yx 2 y por lo tanto, 3 x 2 y 4 yx 2 1x 2 y . =
=
−
62
= −
=
• aplicando lo aprendido •
1. Reduce términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas: a)
a−
Unidad
2
3.* Los punteros del reloj forman un ángulo recto a las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman después de cada minuto?
2a + 9a
Respondamoss esto por pasos: Respondamo b) c)
2
m
2
2
− 2m − 7m
2
6x y
2
− 12x
2
y
2
+
2
x y
2
pq − 6, 4p + 5, 05q d) 2p + 0, 75q − 3, 8pq
e)
a
f)
−3mn −
2
+
b
2
g)
a b 5
2
−
2, 7b
1 6
2ab −
2
mn
2
− 8, 09a
4 +
7
mn +
2
5a b +
3
2
2
2
0, 005b
2
+
4a
2
2
5n
3ab +
+
m
2
4
2. Para las siguientes figuras escribe una expresión algebraica que represente su perímetro:
b) El horario avanza 5 rayitas pequeñas en una hora, es decir, en 60 minutos recorre la duodécima parte del ángulo completo, es decir, en 60 o minutos recorre 30 . ¿Cuánto avanza el horario en 1 minuto? ¿Cuánto avanza el horario en t minutos?
2ab
a)
c) Si el ángulo al principio era 90o. Entonces, después de t minutos habrá los 90o del principio, más lo que avanzó el horario y menos lo que avanzó el minutero. Escribe esto empleando el álgebra, reduce términos semejantes y describe el ángulo usando solo una vez t.
2ab
b)
a) Notemos primero que por cada minuto el minutero avanza una rayita pequeña. Es decir, por cada minuto avanza la sesentava parte de un ángulo completo. O lo que es lo mismo, cada 5 minutos recorre la 12-ava parte de un ángulo de 360o . ¿Cuánto mide el ángulo que el minutero logra en un minuto? ¿Cuánto avanza el minutero en t minutos?
5q − 3p 2p
p−q
x+y 3y − 1
c) y
2x + 1
MATEMÁTICA
63
• aplicando lo aprendido • 1. Calcula el área de las siguientes figuras de acuerdo con los datos entregados:
a)
4. Distribuye y luego reduce términos semejantes:
(
x− x−y
b)
a+b−
c)
−2
d)
a
−
e)
3x
x y − + y − 2x + 3 2
f)
a+
1 2
4p 2
7p q
b)
2
12xy
8m + 5n
c)
3
3,5 m
)
a)
( 4x
(
+ 3y
−b
2
+
) (8y −
2a
2
) − 10 x
) 3(a −
2
)
−b
2
)
( −2a + b ) − ( −a + b − c ) + a
2
g)
(
⋅ −2a + 3
x y
−
2
xy 4
3x2y 4xy − + xy − − 5 7
13m − 5n
2. Escribe el producto de los siguientes términos algebraicos como un término, sin que haya letras repetidas: a) b) c)
2
5a
⋅ 2b3a4 2
3
(5a) ⋅ (2b ) 14yx
xy
3
⋅
a
e) f)
3 4
4
x y
2
z
5
9x 1
2 3
18a b
⋅
−3
y
abc
4
m2n 2 2 g) ⋅ (2m−2n−1) 2 3. Escribe el cuociente de los siguientes términos algebraicos como un término, sin que haya letras repetidas: 3
a)
b)
4
36p q z 7 2
2pq z
15a
−4
2
bc
18ab
−2
c
3
n− 4
−m − 5
6
⋅
3
−
n
=
m+ 4
= a
m +5
⋅a
9
5
⋅
2m
5
n
=
m
5
5
⋅ ⋅
b)
:a
n −m
( xy )
(14yx )
a
c)
4
4
d)
m+ 4
a)
4
2
3
5. Verifica la igualdad en las siguientes expresiones algebraicas:
3
n
3 d) 4
−2
5
3 ⋅ 4
−n
−3
4 = 3
6. Si el volumen de un cubo es 13.824 cm3 , ¿cuál es el volumen de otro cubo cuya arista es el doble de la del cubo anterior? Resuelve sin calcular el valor de la arista. 7. Si el cuociente de dos números es 11, ¿es posible calcular el cuociente de sus cuadrados sin conocer los números? 8. Pere Mersenne (1588-1648) (1588-1648) fue un filósofo y matemático francés que se dedicó al estudio de los números primos y conjeturó algunas propiedades sobre ellos, algunas de las cuales fueron demostradas o refutadas en el siglo siglo XX. XX. Para Para el el estudio estudio de los números primos se empleó la expresión “número de Mersenne” que es M 2p 1 donde p es un número natural. =
−
a) Evalúa esta expresión para p desde 1 hasta 10. c)
10ab 25a
64
−2 −4
x
−3
2
b c
b) ¿Para cuáles valores de p del ejercicio anterior, el número M es primo?
Unidad
4
2
Igualdades y ecuaciones
En ciencias es muy importante conocer igualdades de expresiones algebraicas, ya hemos visto varias, por ejemplo: T2
=
4π 2
L
L
g
es una igualdad entre el periodo T de un péndulo con el largo de la cuerda L que lo sostiene y la aceleración de gravedad g ravedad g (ver figura 2.1). 2.1). Podría ocurrir que sea fácil medir el periodo de oscilación (el tiempo que toma en volver a su posición inicial), pero no tener acceso al péndulo, de modo que no se pueda medir directamente el largo de la cuerda. ¿Cómo hacer para conocer el largo de la cuerda? Lo que debiéramos hacer sería obtener una relación, a partir de la anterior, que presente a L sola, en un lado de la igualdad y al otro todos los demás términos. Para ello necesitamos saber qué operaciones podemos realizar en una igualdad, para que ésta siga siendo cierta.
T
g
Figura 2.1
Podemos pensar una igualdad como si fuera un espejo: que corresponde al signo igual Podemos y ambos lados de la igualdad son el objeto real y su reflejo. Si uno está frente a un espejo y se pone un sombrero, obviamente en la imagen reflejada apareceremos con un sombrero, pues si no, no seríamos iguales a la imagen reflejada. Si se nos agrega un hermano al lado nuestro, en la imagen aparecerá nuestro hermano. Con las igualdades algebraicas pasa lo mismo, si hacemos una cosa a un lado de la igualdad debemos hacer lo mismo al otro lado; por ejemplo, si a un lado multiplicamos por 2, al otro lado debemos multiplicar por 2 para mantener la igualdad, si a un lado restamos a, al otro lado también debemos restar a. En este sentido es correcto multiplicar en ambos lados por cero, pero la ecuación que resulta no es equivalente a la primera, pues se pierde toda la información. i nformación. Por ejemplo, en la igualdad
2
T
=
2
T
4π 2
L g
podemos sumar 20 a ambos lados y resulta:
20 = 4π 2
+
L g
+
20
lo que es cierto, pero puede que no sirva para nada. Tomemos la igualdad inicial gT2
=
4π 2
L g
g
=
4π 2 L , gT2 4π 2
=
2
T
=
4π 2
L g
y multipliquemos por g , resulta:
ahora multipliquemos por 2
4π L
1 ⋅
4π
4π 2
=
4π
1 4π
2
2 2
L
=
1L
=
L
MATEMÁTICA
65
Lenguaje algebraico
Es decir: L=
gT2 4π 2
que es exactamente lo que pretendíamos: lograr dejar la L sola a un lado de la igualdad y al otro los demás términos. Si, por ejemplo, el periodo de oscilación es 2,5 s y aproximamos la aceleración de gravedad por 9, 8 m / s 2 y π por 3,1416, nos queda que el largo de la cuerda es: recuerda
r
El inverso multiplicativo de a, si a no es cero, es −1 1 a
=
m
es decir, podemos afirmar que la cuerda mide 1 metro y 55 centímetros aproximadamente, sin usar una huincha de medir, ¡sino un cronómetr cronómetro! o!
a
Por ejemplo: El inverso de 1 3 2 es = 2 2 3 3
Cuando en una igualdad algebraica, luego de hacer operaciones a ambos lados de la igualdad, obtenemos a un lado una sola variable, decimos que hemos despejado esa variable; en el ejemplo anterior despejamos L. Notemos que para despejar L multi1 plicamos por dos términos algebraicos, primero por g y y luego por , la pregunta 4π 2 es, ¿por qué escogimos esos términos y no otros? La respuesta es que esos números se relacionan con los términos que acompañan a L en la igualdad. El lado derecho de la igualdad inicial era: 4π 2
como a L lo está multiplicando
1 g
L g
1
= 4π 2 ⋅ ⋅ L g
y 4π 2 , entonces multiplicamos por los inversos
g y multiplicativos de cada uno de ellos, es decir, g y
1 4π
2
.
En el caso de suma aplicaríamos el inverso aditivo, aditivo, por ejemplo si: 2 a + b = d
b, a plicamos el inverso para despejar b, inverso aditivo aditivo de 2 a , es decir, −2 a , y obtenemos −2a + 2a + b = d − 2a o lo que es lo mismo b = d − 2a .
actividades 1. El flujo sanguíneo en un vaso capilar (el volumen de sangre por unidad de tiempo que pasa por un punto dado) es F = kR 4 , donde k es un valor constante, un número fijo, y R es el radio del vaso. Despeja k. ¿qué
pasa con el flujo si R 4 es pequeño? 2. En cada igualdad despeja a: 2a a) 2a + 2b = P b) −y=x 3
66
c) ma = −kx
d)
a +4=c 2
e) F
ma
f)* ax = ay
Unidad
• problema resuelto •
2
Paula dice que su papá, que tiene el triple de edad de ella, la pasa por 30 años. ¿Cuál es la relación entre la edad de Paula y su padre? ¿Cuál es la edad de Paula?
Solución: Como Paula tiene 30 años menos que su padre, si a la edad de Paula le sumamos 30 años resulta la edad del papá. Si denotamos por e la edad de Paula y por p la edad de su padre se tiene que: p
=
e + 30
que sería la relación de Paula y su padre.
Como el padre tiene el triple de edad de Paula, significa que Ahora, como p 3e y como p = e + 30 , se tiene que =
3e
=
e+ e+ e= p
e + 30,
o lo que es lo mismo, 3e p =
que es la relación de la edad de Paula.
En la relación anterior, aparece la letra e a ambos lados de la igualdad, en esos casos se procede del mismo modo que antes, es decir, aplicar la misma operación a ambos lados de la igualdad, con el objetivo de juntar la letra que queremos despejar a un mismo lado de la igualdad. En el ejemplo anterior, sumaremos sumaremos el inverso aditivo de e a ambos lados, es decir, sumaremos − e. Así se tiene:
3e − e
= e + 30 − e
o lo que es lo l o mismo, después de reducir términos semejantes: 2e
=
30
Ahora, multiplicando por el inverso i nverso multiplicativo de 2, es decir,
1
2e
2
e
1 =
=
2
⋅
1 2
, resulta:
30
15
Es decir, Paula tiene 15 años.
apliquemos 1. En cada caso despeja a: a)
2a − 3c
b)
1− a
= a + 5c
= c + 3a
(
c)
3
d)
3−
a
−
x
)
=
2 3
2
a a =
2
(
x
+1
−
)
a
e)* f)*
a +1
2 1 a
=
1 =
2 a
+
a
3 2
MATEMÁTICA
67
• problema resuelto • Sayen Caniumilla estudia en Arauco, está en primero medio, su hermana Sofía está en la Universidad y estudia en Concepción; le envía 60 problemas de desafío cada semestre a su hermana y le da 300 pesos a Sayen por cada problema resuelto correctamente. En cambio por cada problema que Sayen resuelve mal, ella debe dar 20 pesos a Sofía. Si al final del semestre Sayen logró juntar $8.400, ¿cuál ¿ cuál fue el número de respuestas correctas?
Solución: Si denotamos por c la cantidad de preguntas correctas, se tiene que las erradas son todas menos las correctas, esto es, 60 − c . Entonces el dinero que le dió Sofía a Sayen es $300 multiplicado por la cantidad de preguntas correctas, o sea, 300 c pesos. A su vez, Sayen le dió a Sofía 20 pesos por cada respuesta errada, esto es 20(60 − c ), entonces el dinero con el cual se queda Sayen es 300c − 20 (60 − c ), pero como eso es 8.400 se tiene ti ene que: 300c
−
(
20 60
−
c
)
=
8.400
Ahora necesitamos despejar c para conocer el número de respuestas correctas. Cuando tenemos una igualdad donde una letra representa un valor desconocido que hay que dilucidar cuál es, se habla de una ecuación, y cuando despejamos la letra que representa el valor desconocido, que llamamos incógnita, decimos que estamos resolviendo esa ecuación. Resolvamos esa ecuación de l as respuestas correctas de Sayen: 300c
−
300c − 1.200 + 20c 320c
−
1.200
=
(
20 60 =
8.400
320c = 8.400 + 1.200 320c
=
9.600
9.600 c
=
320
−
c
)
=
8.400
/ distribuimos −20 en (60 − c ) / reducimos términos semejantes / sumamos el inverso aditivo de −1.200 / sumamos al lado derecho
8.400
/ multiplicamos por
1 320
, el inverso multiplicativo de 320
El 0 no tiene inverso multiplicativo, es decir, si ax b y quieres despejar x debes saber que a no es 0, pues podrías cometer un error al escribir: =
x c
=
b =
30
Es decir, Sayen respondió 30 preguntas correctamente y 30 de forma incorrecta.
apliquemos 1.* Un tren recorre recorre en cierto tiempo la distancia entre dos ciudades. ciudades. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, realiza el recorrido en 1,4 h menos. ¿Cuál es la velocidad del tren durante el primer viaje? 2.
68
En mi bolsillo tengo $730 entre monedas de $10 y de $50. Si tengo 5 monedas de $50 más que las de $10, ¿cuántas monedas de $10 tengo?
a
Unidad
5
2
El lenguaje cotidiano y el lenguaje algebraico
El lenguaje natural hace mención continuamente a nociones de cantidad o de comparación. Es común escuchar frases como: “Haga tres series de 10 ejercicios durante 7 días” “Se debe perdonar setenta veces siete” “ Mi hermano me pasa por 4 años”
Así, muchas otras, donde se emplean palabras o frases que hacen mención a cantidades, por ejemplo, el doble, el triple, la mitad, la diferencia, etc. Cuando decimos setenta veces siete, estamos diciendo la suma de 70 veces el 7, es decir, 70 × 7 = 490. En general, cuando decimos a veces b nos referimos al producto entre a y b. Por ejemplo, 3 veces x es 3 x. En el diccionario de la Real Academia Española (www.rae.es) se lee: “ Doble: que contiene exactamente dos veces una cantidad ”. Es decir, el doble de a es 2a. El castellano es preciso, pero necesita que se le respete, al igual que la matemática. Es importante no ser ambiguo en el lenguaje para que no se interpreten dos cosas distintas; por ejemplo, “la mitad de a más b”, alguien lo podría interpretar como: a 2
+
b y
otra persona como
a+b 2
n
nota
“Pues si mi propia raíz cuadrada a mí mismo me restan, por una gracia sólo a mí reservada el resultado es justo treinta”. Rafael Alberti
;
entonces, para no ser ambiguo y que no quede lugar a confusión, podemos decir la primera como :“a la mitad de a agregar b” y a la segunda: “la mitad de la suma entre a y b”. Existen muchas palabras en castellano que hacen mención a comparación de cantidades, de modo que dar un compendio de ese diccionario en este texto no tiene mucho sentido, así que te recomendamos que pienses muy bien el significado de una palabra o frase para poder traducirla a lenguaje algebraico y si no entiendes bien su significado recurre al diccionario. Por ejemplo, para la oración “mi hermano es mayor que yo en 4 años”, Matías escri bió y = h + 4 y Francisca escribió y h 4. Ambos denotaron y por “mi” edad y por h la edad de “mi” hermano. La primera igualdad dice que si a la edad de mi hermano le sumo 4 resulta mi edad, es decir, decir, a mi hermano le faltan cuatro años para alcanzarme, lo cual es un error, pues mi hermano es mayor que yo. En cambio, la segunda dice que a la edad de mi hermano hay que quitarle 4 años para que resulte mi edad, que es lo correcto, por lo tanto, Francisca lo escribió correctamente. Para decidir la idea de lo “correcto” fue necesaria una comprensión del castellano, más que otra cosa. =
−
actividades 1. Si denotamos por a el dinero que tiene Andrea, ¿cómo denotarías el dinero que tenía antes de que comprara un helado que le costó $300?
MATEMÁTICA
69
• información en los medios • OBESIDAD De acuerdo con datos de la Organización Mundial de la Salud (OMS), más de un billón de adultos tiene sobrepeso y al menos 300 millones de ellos es obeso. El riesgo de sufrir graves enfermedades como diabetes, hipertensión y derrame cerebral, afecciones afecciones cardiacas y ciertos tipos de cáncer es el resultado de estar sobre peso u obeso. Las razones clave del sobrepeso y la obesidad son el consumo de alimentos densos en energía, altos en grasas saturadas y azúcar y la reducida actividad física. Sólo para mostrar lo terrible del problema, podemos podemos decir que el 90 % de las personas que sufren diabetes son obesos o tienen sobrepeso. En Chile, desde 1970 al 2000, el cáncer vesicular se ha triplicado, la hipertensión está presente en el 33, 7 % de las personas y 35, 4 % de la población tiene el colesterol elevado. En nuestro país el 22% de la población es obesa, es decir, tiene un índice de masa corporal (IMC) mayor de 30; 38 % de la población tiene sobrepeso y 1,3 % tiene obesidad mórbida, lo que en total suma El aumento en la actividad física es una de las soluciones para la obesidad. 61,3 %. Los datos de la actividad física en Chile son dramáticos: el 73 % de nuestra población no realiza actividad física, el 18 % realiza alguna actividad, a lo más, dos veces por semana y sólo el 9 % realiza una actividad de 30 minutos diarios, diarios, a lo menos investiga tres veces por semana. En promedio, miramos miramos televisión 2 a 3 horas diarias en los i días no festivos y los fines de semana aumenta a 4 y 5 horas diarias. La solución es obvia: disminuir la ingesta de estos alimentos altos en grasas saturadas y azúcar, aumentar la ingesta de alimentos altos en fibra e incrementar la actividad física, pero al parecer, lo obvio no es necesariamente simple.
Investiga en la página Investiga web de la OMS, de Minsal y del INTA, acerca de la obesidad, y sus efectos. ¿Es considerada la obesidad una enfermedad?
El índice de masa corporal al cual se refiere el texto de arriba se define como: =
m 2
h
donde m es la masa de la persona (medido en kilógramos) y h es la altura de la persona medida en metros, es decir, el IMC tiene unidades de kg / m2 . Para la OMS una persona es normal, respecto a su peso y talla, si su IMC kg kg kg kg está entre 18, 5 2 y 24, 99 2 . Tiene sobrepeso si su IMC > 25 2 ; se habla de obeso si IMC > 30 2 y obeso m kg m m m mórbido si IMC > 40 2 . m
apliquemos
2.3. En cada casillero se indica el rango de masa medida en kilogra1. Completa en tu cuaderno la tabla 2.3. mos que permite a una persona ubicarse dentro de alguna de las categorías. 1,4 m Normal Sobrepeso Obeso
1,45 m
1,5 m
1,55 m
1,6 m
1,7 m
1,75 m
45 - 52,6
Tabla 2.3 2. ¿Cuánto podría pesar una persona que mide 1,8 m para ser considerado obeso mórbido?
70
Unidad
• aplicando lo aprendido •
2
3. Encuentra el valor de las incógnitas que se indican: a) El volumen de un cilindro es V π r 2h . Escribe la altura en términos de las otras variables y determina la altura del cilindro que tiene un volumen de 300 m3 y radio basal r 4 m.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
6z − 3 = 5 + 2z
b)
7 3x + 2
c)
2
d)
e)
(
(
)
2
2 +
(
5
x −
x =
3
)
5
f)
(
)
x +1 + 5 x −1 =
5 3
(
6 2x + 8
−
)
=
2x − 4 3
=
x
4
= 11
b) Recordemo Recordemoss que la relación entre presión,
fuerza y área viene dada por la igualdad
4
P
(
F A
. Sabiendo que la presión presión atmosférica
2
x +
4
)
4
2x + 9 4
=
es de 1013 ⋅105 N / m2 : ,
3 +
3 +
)
−
=
Calcula la fuerza que ejerce la presión atmosférica sobre una persona de 1,80 m de altura promedio, acostada, si tiene una superficie aproximada de 0,62 m2 .
−1
2
x −1
3
¿Cuál es el área de la superficie de una mesa, si la presión atmosférica aplicó una fuerza de 100 N?
2. Para las siguientes fórmulas despeja la variable que se indica: a) Ley de Gravitación Universal peja la masa M. b) Ley de Hooke F k ( x total x del resorte. =
−
xo
F
=
G
Mm ⋅
r
2
. Des-
) . Despeja el largo
c) Volumen de un cono es V la altura h.
1 =
3
π r
2
h.
Despeja
d) El capital C que se obtiene al invertir una cantidad Co durante un periodo n en una institución financiera con un interés simple i es: C
=
(
) . Despeja el interés i.
Co 1+ ni
4. Resuelve los siguientes problemas: a) Halla dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. b) Pagué $325.000 $325.000 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80.000 más que el coche y los arreos $25.000 menos que el coche. Halla el precio de cada producto. c) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. d) De un estanque lleno de bencina, un automóvil
consumió una cantidad igual a
7 8
de su capaci-
dad. Reponiendo 38 litros, la cantidad de bencina llega a las
3 5
partes del estanque. ¿Cuál
es la capacidad del estanque?
MATEMÁTICA
71
Lenguaje algebraico
6
Generalidades numéricas
El lenguaje algebraico es muy útil para expresar ideas generales. Por ejemplo, si sumamos dos números pares el resultado es siempre par, ¿cómo podemos comprobar esto? a b a+b
n
2 68 70
4 56 60
6 90 96
8 94 44 4 28 26 12 122 70
32 34 66
48 20 68
42 26 68
34 14 48
66 16 82
72 12 84
nota
Hoy en día no se sabe si la fórmula de Fermat permite encontrar infinitos números primos. Es un tema de investigación para para los matematemáticos del mundo solucionar ese problema.
88 92 6 4 94 96 Tabla 2.4
En la tabla 2.4 vemos 2.4 vemos varios ejemplos donde se cumple lo anterior. Pero, si es cierto para estos (pocos) casos, ¿será cierto siempre? En la historia existen ejemplos de matemáticos que afirmaron que un resultado era cierto sólo comprobando unos pocos casos, y luego se demostró que la afirmación era falsa. Un ejemplo famoso es el del Matemático francés Pierre Fermat (1601-1665), quien dijo que los números de la forma: 22
n
+1
siempre eran primos, para cualquier número natural n. Fermat comprobó para los primeros 4 números naturales, naturales, y en todos esos casos resultó ser un número primo. Por esos Por 21 2 ejemplo para el caso n = 1 , resulta 2 + 1 = 2 + 1 = 4 + 1 = 5 que como sabemos es un número primo.
i
importante
Como 0=2.0, entonces 0 es par. Recuerda, además, que 2 es el único primo par positivo.
Sin embargo, mucho tiempo después que Fermat propusiera esos números, el matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) demostró que para n = 5 , el número que resulta de la fórmula de Ferm Fermat at no es primo, ese número es: 2
25
+ 1 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641⋅ 6700417
que como era muy grande, g rande, Fermat no alcanzó a verificar. verificar. El error que cometió el matemático francés fue no dar una demostración general de su conjetura. Volvamos al estudio de la suma de los números pares. Como sabemos, no basta verificar algunos casos para asegurar que la suma de dos números pares es siempre un número par. Recordemos que un número es par si al dividirlo por dos resulta un número entero, es decir, al dividirlo por dos resulta resto cero, o lo que es lo mismo, un número par es el doble de un número entero. Es decir, si tenemos un número par N, entonces ese número es dos veces otro número entero, digamos n, es decir:
Si N es par, entonces N=2 n para algún número entero n.
actividades 1. Evalúa la fórmula de Fermat para n=1, para n=2, para n=3. Verifica que en esos tres casos el resultado es un número primo.
72
Unidad
2
Ahora bien, si tenemos dos números pares N y M, entonces N es el doble de un número entero y M de otro número entero. Es decir, N = 2 n y M = 2 m para ciertos números enteros n y m. Entonces N+M= 2 n + 2 m . Por otra parte, 2 ( n + m ) = 2n + 2m entonces N+M = 2 n + 2m = 2 ( n + m ) es decir, N+M es el doble del número entero n + m , luego N+M es par. En definitiva hemos demostrado que:
La suma de dos números pares es par. Esa misma propiedad la podemos ver geométricamente: imaginemos a un número par como dos filas de la misma cantidad de baldosas.
Ahora, si tomamos dos números pares, estos los podemos ver como dos juegos de baldosas como el de arriba, pero tal vez vez de distinto largo.
La suma de esos dos números pares es el que resulta de pegar estas baldosas, que como se ve de nuevo, son dos filas del mismo número de ellas, es decir, un número par.
actividades 1. ¿Es un múltiplo de 4 un número par? 2.
Cuando divides un número entero por 2 el resto es 0 ó 1. ¿Cómo se llaman los números que al dividirlos por 2 dan por resto 1?
3.
¿Cómo representarías representarías un número impar usando baldosas? ¿Cómo representarías representarías un número que es múltiplo de 3 usando baldosas ?
4.
¿Es la suma de dos múltiplos de 3 un múltiplo de 3?
MATEMÁTICA
73
Lenguaje algebraico
Si n, p y q son números enteros que satisfacen n = pq , decimos que: n es múltiplo de p. n es múltiplo de q. p es un divisor de n. q es un divisor de n. Por ejemplo, 33 = 3 ⋅11 11 , por lo tanto 3 es un divisor de 33, o dicho de otro modo, 33 es múltiplo de 3. En general, un múltiplo de 3, es 3 multiplicado por algún número entero n, es decir, cualquier múltiplo de 3 se escribe en la forma: 3n
Si n es un número entero, entonces su sucesor es el mismo número al cual se le agrega una unidad, es decir n + 1 . De igual manera, el antecesor de n es el mismo número al cual se la ha quitado una unidad, es decir n − 1 , por lo tanto los números n − 1 , n , y n + 1 son tres enteros consecutivos, donde n denota al del medio. ¿Qué se obtiene si sumamos tres enteros consecutivos? La suma de tres enteros consecutivos cualquiera es: n − 1 + n + n + 1 = 3n
es decir, la suma de tres números enteros consecutivos resulta el triple de un número entero, es decir:
La suma de tres números consecutivos consecutivos es un múltiplo de 3. Todo número impar es el sucesor de un número par. Como un número par se escribe en la forma 2 n , entonces su sucesor es 2 n + 1 . Es decir, cualquier número impar se escribe en la forma: 2 n + 1 para algún entero n . Ahora bien, ¿qué resulta de multiplicar un par por un impar? Denotemos por 2 n al número par y por 2 m + 1 al número impar, entonces el producto de esos dos números es: 2 n ( 2 m + 1) = 2 n ( 2 m + 1) es decir, el doble de n ( 2 m + 1) por lo tanto, es un número par. Resumiendo:
El producto de un par por un impar es par.
actividades 1. ¿Qué resulta de multiplicar un par por cualquier número entero? 2. Demuestra que la suma de un número y su sucesor es impar. 3. Escribe la suma de 4 enteros consecutivos donde n es el segundo. ¿Es par esa suma? 4.
74
¿Es cierto que todo múltiplo de 6 es un múltiplo de 3? Justifica tu respuesta.
Unidad
2
Cuando estabas en educación básica conociste varios criterios de divisibilidad, uno de ellos era:: “si la cifra de las unidades de un número es 5 o 0, entonces el número es divisible era por 5”. Demostración:
Probaremos este criterio, ahora que tenemos las herramientas. Todo número entero x, se escribe como 10 a + b donde b es la cifra de las unidades. Por ejemplo: 357 = 10 ⋅ 35 + 7 Si b es 0, entonces, x = 10a = 5(2a ) que es divisible por 5. Si b es 5, entonces, x = 10a + 5 = 5(2a + 1) que también es divisible por 5. Luego, hemos probado que:
Si la cifra de las unidades de un número entero es 5 o 0, entonces el número es divisible por 5. Otros criterios son: Si la cifra de las unidades de un número es par, entonces el número es par. Si las dos últimas cifras de un número es divisible por 4, entonces el número es divisible por 4. Si la suma de las cifras de un número es divisible por 9, entonces el número es divisible por 9. Si la suma de las cifras de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3. En las actividades de esta unidad tendrás la oportunidad de dar tus propias demostraciones de estos resultados.
actividades 1.
Demuestra que todo número entero se se escribe en la forma: forma: 100c+10a+b
2.
Si x=100c+10a+b y 10a+b es divisible por 4. Demuestra que x es divisible por 4.
3.
Si un número número tiene un par par en el lugar lugar de las unidades, unidades, entonces, ¿es cierto que el número es par?
4.
Representa un número número impar como dos filas de baldosas, donde donde una fila tiene una baldosa baldosa más que la otra. Haz lo mismo con otro impar. Demuestra que la suma de dos números impares es par.
5.
Si sumas un número de de dos cifras con con aquel que resulta al cambiar cambiar de posición los dígitos siempre siempre resulta un múltiplo de 11. ¿Por qué?
MATEMÁTICA
75
Lenguaje algebraico
Una idea errada muy común es pensar que el cuadrado de un número positivo es siempre mayor que el número es decir, si x > 0 , entonces x 2 está a la derecha de x. x2
x
1
Sin embargo, hay números como el 1 4
2
, que su cuadrado
= 0, 25 < 0, 5 =
1 4
es menor que él, de hecho:
1 2
La pregunta que surge es: ¿cuáles son los números positivos cuyo cuadrado es menor que el propio número? Para conocer tu respuesta nos ayudaremos con el lenguaje algebraico: ¿qué significa que a < b ? Entre otras cosas significa que si a b le quitamos a aún nos queda algo positivo, es decir, decir, la resta entre b y a es un número positivo.
0
b−a
a
b
Tomemos un número positivo x entre 0 y 1. Por lo tanto 1 − x es un número positivo, y como el producto de dos números positivos resulta positivo, se tiene que: x (1 − x ) es positivo, pero si distribuimos resulta: x − x
2
que como dijimos es un número positivo, es decir, si a x le quitamos x 2 aún nos queda un número positivo, es decir, x > x
2
Resumiendo, hemos demostrado que:
Si x está entre 0 y 1, entonces x 2 < x .
actividades 1. Demuestra que si x > 1 , entonces x < x2 . 2.* Si 0 < x < 1, ubica los siguientes si guientes números en la recta real: a) 1
b) x
c) x 2
d) x3
e) x −1 f) 1− x
g)
1 x2
¿De qué depende que 1− x esté a la izquierda o derecha de x? (Ayuda: ¿cuando 1 x=x?).
76
Unidad
7
2
Patrones
En la Unidad “Números” vimos que la suma de los primeros n números enteros resuln ( n + 1) ta ser n ( n + 1) . Es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n = 2
2
Veamos ahora qué resulta de sumar los primeros números impares. Como todo en matemáticas, existen varias estrategias para conocer el resultado. Una de ellas es estudiar varios casos, visualizar una regularidad, regularidad, conjeturar el resultado y luego com probar si nuestra conjetura es correcta. Completemos la siguiente tabla de la suma de los números impares: No d dee sumandos impares 1 2 3 4 5 6 7
La suma en extensión 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9 1+3+5+7+9+11 1+3+5+7+9+11+13
El valor de la suma 1 4 9 16 25 36 49
Si observamos con detención, existe relación entre los valores de los números de la primera columna con los de la tercera columna. Concéntremonos Concéntremonos solo en ellas. Número de sumandos impares impares 1 2 3 4 5 6 7
El valor de la suma 1 4 9 16 25 36 49
Como vemos, la segunda columna tiene el número de la primera columna elevado al cuadrado. Entonces nos aventuramos a dar una conjetura.
Para cualquier número natural n , la suma de los primeros n números impares es n 2.
actividades 1. Según nuestra conjetura, ¿cuál sería el valor de de la suma de todos los números números impares, partiendo del 1 hasta el: a) 21
b) 19
c) 15
d) 23
e) 25?
2. ¿Cuál es la suma de los números impares entre 15 y 25?
MATEMÁTICA
77
Lenguaje algebraico
No es posible decir que la conjetura es cierta sólo porque funciona para algunos números naturales, aunque sean muchos los números en que la probamos. Es necesario dar un argumento que permita asegurar que la conjetura es cierta para n en general. Como hemos visto antes, suele ayudar tener una imagen que represente la situación que se estudiará. Supongamos que tenemos un cuadradito y en un saco tenemos otros tres cuadraditos del mismo tamaño que el primero y en otro saco 5 cuadraditos del mismo tamaño.
Si sumamos el primer cuadrado con los del primer saco, lo podemos hacer así:
De modo que la suma de 1 y 3 cuadraditos forman el cuadrado de lado 2. Ahora, si sumamos el tercer saco, resulta la siguiente figura, es decir, un cuadrado de lado 3.
De esta manera, ya formamos un cuadrado de lado n con los primeros n impares, necesitamos agregarle n cuadrados a cada lado y un cuadradito en un vértice para formar el siguiente cuadrado, es decir, n + n + 1 = 2n + 1 . Así, siempre se obtendrá un cuadrado al sumar los primeros números impares.
Por lo tanto, la suma de los primeros números impares es el cuadrado de un número.
78
• problema resuelto •
Unidad
2
Don Víctor en Ovalle está cerrando un terreno con una cerca de la siguiente forma:
Cada vez que necesita agrandar la cerca, agrega maderos para formar un nuevo cuadrado con sus dos diagonales. diagonale s. Don Víctor calculó que para cerrar todo el terreno necesita una cerca formada por 110 cuadrados. Este señor le pide a su hijo Mateo que le ayude a cortar los palos. “¿Cuántos necesitamos?”, pregunta Mateo. “Corta, en el camino vamos viendo cómo anda la cosa”, responde su padre. Sin embargo, Mateo, de todos modos, decide hacer los cálculos de manera de no realizar trabajo de más. Veamos sus cálculos.
Solución: El primer cuadrado está formado por 6 palos, que corresponden a cada lado y a las dos diagonales. El segundo en cambio, necesita un palo menos que antes, pues uno de los lados, el de la izquierda, ya se tiene del cuadrado anterior. Entonces para el segundo cuadrado se necesita 6 + 5 = 11 palos. Para el siguiente, son 5 palos más del paso anterior así son 6 + 5 + 5 = 6 + 2 ⋅5. En general, para una cerca con n cuadrados necesitamos: 6+5(n-1) maderos. En particular, cuando n=110 se necesitará 6 + 5 ⋅109 = 551 maderos.
apliquemos 1. Considera la fórmula fórmula 3n + (n – 1)(n – 2) (n – 3) (n – 4). Evalúa esa fórmula para n=1,2,3,4. Sin calcular ¿cuál crees tú que será el término para n= 5? Ahora calcúlalo, ¿correspond ¿corresponde e a lo l o que pensabas? Si tienes la secuencia 1,2,3,4,5, ¿se puede saber cuál es el siguiente término? 2. Si la reja de don don Víctor tuviese la forma forma básica que se muestra al lado. ¿Cuántos ¿Cuántos maderos se necesitarían para hacer un cierre compuesto por 110 cuadrados? En general, si se necesitaran n cuadrados, ¿cuántos maderos serían necesarios?
MATEMÁTICA
79
• aplicando lo aprendido •
1. La sucesión de figuras parte con un primer diagrama de una fila de 3 cuadrados; el segundo diagrama toma el diagrama anterior y coloca 2 cuadrados sobre los 2 primeros; el tercer diagrama toma el diagrama anterior y coloca 2 cuadrados sobre las dos columnas mayores. Así continúa esta sucesión aumentando de a 2 cuadrados las dos primeras columnas.
3. La figura muestra cuadrados ordenados de la siguiente manera: la primera figura por tres filas de uno, dos y un cuadrado, respectivamente; a la segunda figura se le agrega un cuadrado a todos los cuadrados que conforman el borde de la figura anterior. De esta manera se obtiene cada figura posterior tomando la anterior y pegándoles cuadrados a los que conforman el borde borde de dicha dicha figura.
a) ¿Cuántos cuadrados son necesarios para los diagramas séptimo, decimocuarto y vigésimo? b) En esta sucesión de figuras, ¿es posible construir una que tenga 86 cuadrados?
c) Determina la cantidad de cuadrados para el diagrama n.
a) Construye la cuarta cuarta y quinta figura. 2. La figura siguiente muestra triángulos equiláteros formados por pequeños círculos, partiendo con uno de lado 2 círculos, el siguiente de lado 3 círculos y así continúan los triángulos aumentando consecutivamen consecutivamente te la medida de su lado en un círculo.
b) ¿Cuántos cuadrados cuadrados necesito para cada una de de las figuras, desde la sexta hasta la décima? c) ¿Cuántos cuadrados necesito para la figura n?
4. Si n es un número natural, evalúa valores de n entre 10 y 20.
5. La expresión
5+n
para
describe el término general
a) Realiza una tabla relacionando relacionando el lado del triángulo (medido en círculos) y cantidad de círculos que lo conforman. Hazlo hasta la figura 10.
de una sucesión para n un número natural.
b) Con la ayuda de la tabla anterior conjetura la cantidad de círculos para la figura 16.
meros naturales. Conjetura y describe, sin calcular calcular,,
c) Expresa la fórmula fórmula que establece la cantidad cantidad de círculos para la n-ésima figura.
80
5−n
25 − 2n,
Describe esta sucesión para los primeros 12 nú-
los siguientes 10 términos de esta sucesión.
. un poco de .
Unidad
historia
2
POLINOMIOS Un término algebraico que solo tiene números y potencias positivas de las variables se denomina monomio. Por ejemplo, bio,
2x
2
z
3
−
=
2
x
2
3 z
2
3x y es
un monomio, 3 es un monomio, en cam-
no es un monomio. Una expresión algebraica que sólo tiene mono-
mios como términos algebraicos, se denomina polin polinomio omio. Por ejemplo,
( )
q x
=
x
3
+
x
2
−
x
( )
p x
=
x
2
+1
y
son polinomios en una variable. A la potencia más grande que apa-
−1
rece en un polinomio en una variable se le llama el grado del polinomio. Por ejemplo,
( ) tiene grado 2 y q ( x ) tiene grado 3. Si p ( x ) tiene grado
p x
, a la igualdad p ( x )
n
=
0 ,
se
denomina una ecuación de grado n. “He hecho algunos descubrimientos descubrimient os nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de solución de ecuaciones por medio de raíces; con ello he tenido ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles en una ecuación, aun cuando no sea posible resolverlas por raíces. Todo ello puede verse aquí, en tres memorias... haz petición pública a Jacobi o a Gauss para que den su opinión, no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que después algunos hombres encuentren de prove pro vech cho o org organi aniza zarr todo todo este embrollo”. Carta de Galois a un amigo, justo la noche antes de su muerte.
Algunas de las preguntas fundamentales del álgebra son: ¿Qué número debemos evaluar en un polinomio para que resulte cero?¿Existe una fórmula para encontrarlos?
Por ejemplo, si evaluamos en 3
1
+
2
3 ⋅1
−
x
2 ⋅1 − 2 = 1 + 3 − 2 − 2
3
+
3x
2
−
2x − 2
el valor x=1 resulta
=0
Por el año 1600 a de C. el pueblo Babilonio resolvía problemas que reducía a ecuaciones de grado 2, las cuales resolvía aunque no utilizaban notaciones algebraicas. Los griegos también resolvían ecuaciones de grado 2, mediante métodos geométricos.
i
importante
Hay términos algebraicos que no son monomios.
Durante el renacimiento, varios matemáticos, italianos principalmente, abordaron el problema de resolver las ecuaciones polinomiales de grado 3, pero fue Niccolo Fontana (1499-1557),(llamado Tartaglia) quien en 1535, daría la solución general del problema. Sin embargo, el resultado de Tartaglia fue publicado por Giordano Cardano (1501-1576) y hoy se le recuerda a él como el descubridor de la solución de la ecuación de grado 3. Cardano, resolvió el problema para ecuaciones de grado 4. Pasaron casi 100 años y el joven matematico Niels Henrik Abel (1802-1829), en 1824, demostró que no se puede encontar una fórmula empleando operaciones algebraicas que permitan solucionar las ecuaciones de grado 5. Sólo tenía 22 años cuando hizo este maravilloso descubrimiento. En 1832 un joven republicano francés, Évariste Galois, muere en un duelo cuando sólo tenía 20 años. Galois (1811-1832) era un joven matemático cuando presentó tres veces su memoria a la Academia de Ciencias de París, las tres veces fue rechazada o se extravió sospechosamente. En ella, Galois demuestra, utilizando un método inventado por él, que no existe una fórmula que permita resolver la ecuación polinomial de grado mayor o igual que 5.
actividades 1. Explica por qué
x
2
+1
no es cero para ningún número real x.
otro tiene grado 2, ¿cuál es el grado de la 2. Si un polinomio tiene grado 3 y otro suma de esos polinomios?
MATEMÁTICA
81
• actividades finales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
para ejercitar 1. Para calcular el volumen V de un tarro con forma forma de cilindro ocupamos ocupamos la fórmula V el radio de la base del tarro y h la altura del mismo. (Aproxima π 3).
=
π r
2
h,
en donde r es
=
a)
Si r=50 cm y su altura h=70 cm, ¿cuál es el volumen del tarro?
b) Si ahora la altura disminuye a la mitad y el radio basal aumenta al doble, ¿cuál es el volumen del nuevo tarro?
2. La temperatura se mide en grados Celsius (C) o grados grados Fahrenheit (F) dependiendo dependiendo del lugar en donde nos
encontremos. encontremo s. La fórmula que permite la conversión de Celsius a Fahrenheit es: C
a)
9
(F
−
)
32
.
El invierno en Canadá es bastante frío y la temperatura puede alcanzar los −13o F . ¿A cuántos grados Celsius equivale esta temperatura?
b) En el verano del año 2006 en Santiago la temperatura llegó a los Fahrenheit. c)
5 =
o
35 C.
Expresa esta temperatura en
Escribe los grados Fahrenheit en función de los grados Celsius.
d) ¿Existe alguna temperatura que se exprese del mismo modo tanto en Celsius como en Fahrenheit?
3. La fórmula que describe la altura h en el instante t de una piedra que cae de un puente desde una altura ho despreciando
a)
el roce del aire, es: h ho
Determina la altura
=
ho del
−
1 2
gt 2, en donde g 9, 8m / seg2 es la aceleración de gravedad. =
puente si al dejar caer la piedra demora 3,5 seg en llegar al suelo.
b) ¿A qué velocidad v llegó esta piedra al suelo sabiendo que v c)
gt?
¿Cuántos metros ha recorrido la piedra cuando ha transcurrido 1 seg?
4. El área de un rombo rombo viene dada dada por la fórmula A
a)
=
=
1 2
, donde m y n son las diagonales del rombo.
mn
¿Cuál es el área de un un rombo rombo de diagonales diagonales m = 10 cm y n = 12 cm?
b) Escribe dos posibles valores de las diagonales diagonales m y n de un rombo, de tal manera que el área de este rombo sea la misma que la del rombo del ejercicio a).
82
Unidad
2
5. El número total de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices de un polígono de n lados es: D
a)
(
n n =
−
3
)
2
Construye una una tabla especificando especificando el número número de lados del polígono polígono (partiendo de 3 hasta 8) y la cantidad de diagonales que pueden trazarse desde todos los vértices.
b) ¿Cuántas diagonales pueden pueden trazarse trazarse desde un vértice en un decágono? c)
¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual se pueden trazar un total de 20 diagonales desde todos sus vértices?
6. La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza con que se atraen dos dos cuerpos viene
dada por la fórmula
F
=
G
Mm r
2
, donde M y m se refiere a la masa de los cuerpos, r la distancia que separa
a estos cuerpos y G es una constante universal cuyo valor es G 6, 67 10 =
⋅
11
−
Nm2 / kg2.
26
24 736 ⋅10 Kg, la masa del Sol es 19.891⋅10 kg y la distancia entre ellos es de a) Si la masa de la Tierra es 593.736 24
14.959 959.787 ⋅ 10
m aproximadamente, ¿cuál es la fuerza de atracción entre la T ierra y el Sol?
b) Dos personas de masa 80 kg y 50 kg, se encuentran separadas por una distancia de 2,5 m. ¿Cuál es la fuerza de atracción entre estas personas?
7. La siguiente secuencia de figuras figuras se inicia con 4 cuadrados, la segunda segunda figura se obtiene agregándole agregándole a la figura anterior 2 cuadrados más en los extremos, la tercera figura resulta de agregar a la segunda figura 2 cuadrados en las columnas de los extremos y así se continúa con las figuras posteriores. a) ¿Cuántos cuadrados cuadrados son necesarios necesarios para las figuras figuras sexta, décima y décima octava? b) Generaliza y describe describe la expresión que te entrega entrega la cantidad de cuadrados para la n-ésima figura.
8. La sucesión muestra una primera figura que es un cuadrado, la segunda figura se obtiene colocando la anterior sobre ella, la tercera figura se obtiene obtiene colocando colocando la anterior pegada a la derecha, la cuarta figura figura se obtiene colocando la anterior sobre ella, de esta forma se continúa con la secuencia. a) Construye el diagrama diagrama que que representan representan la sexta y séptima figura. b) ¿Cuántos cuadrados son necesarios necesarios para las las figuras sexta, decimosegunda y vigésima? c)
Escribe una expresión algebraica que arroje la cantidad de cuadrados para la figura n.
MATEMÁTICA
83
9. Determina el valor de la incógnita i ncógnita en cada una de las siguientes ecuaciones:
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
10.
(
)
+
3
+
4
(
a)
4 3x − 5
c)
5 1−
e)
2x + 1+
(
x
)
x −
19 = 19
x −
2 =
5
3
)
4
b)
= x − 1−
2x + 9 4
(1 )
1 −
x +
3
3
3
2
)
−
+
3
=
2x
(
11 11
1 −
4
f)
3
x +
x −
d)
− x
(
x −7
x −1
3
)
=
(
)
4 5x + 2
1 +
8
1 =
3
x
Encuentra una expresión para x en las siguientes si guientes ecuaciones: a)
ax
c)
5
(
−
3
=
)
b
x +1 =
−
3
5
(
(
a≠
a− x
0
)
)
b) d)
2px 2 3
=
7p
2 −
(p ≠ 0) 4 (x b)
5px
x − b + 6a =
−
+
para aplicar 11. Sabiendo que a > 0 y 0 < b < a, ubica en la recta numérica: a, b, a + b, 12. Si a < 0 y b > 0, ubica en la recta numérica: − a ,
b−a
y
1 2
b−a
, 2a y −3b
a+b
13. [Problema modificado Prueba Timss 2003] Los números en la secuencia 3, 8, 13, 18, 23,... se obtienen sumándoles cinco al término anterior. Y en la secuencia 5, 11, 17, 23, 29,... los números se obtienen sumándoles seis al número anterior. Ambas secuencias tienen el número 23 en común, ¿cuál es el próximo número en común que tienen estas sucesiones? 14.* ¿Es un múltiplo de dos la suma de dos números consecutivos? ¿Es un múltiplo de tres la suma de tres números consecutivos? ¿Es un múltiplo de cuatro la suma de cuatro números consecutivos? ¿Es un múltiplo de cinco la suma de cinco números consecutivos? consecutivos? ¿Podrías afirmar que la suma de n números consecutivos es siempre un múltiplo de n? ¿Para qué valores de n es cierto y para cuáles no es cierto? Justifica tu respuesta. 15. Resuelve los siguientes problemas: a)
La suma de tres números números es 200. El El mayor excede al del medio en en 32 y al menor menor en 65. 65. Encuentra los números.
b) Tres cestos contienen 575 manzanas. El primero tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto? c)
La suma de la edad edad de una madre madre con las edades edades de sus dos hijas es 55 55 años. La edad de de la madre es el doble de la de su hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. Calcula las edades. 1
d) Sarah decide salir a correr todas las semanas semanas y se desafía a sí misma al aumentar aumentar su recorrido recorrido km por 2
día. Sumando lo recorrido cada día, al cabo de nueve días el recorrido acumulado es de 58,5 km, ¿cuánto corrió el décimo día?
84
Unidad e)
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Si en total hay 156 personas en la reunión, ¿cuántos hombres, mujeres y niños asisten a la reunión?
f)
Dos tinajas contienen la misma cantidad cantidad de vino. vino. Si se trasvasijan 37 litros de vino de una tinaja a otra, esta última contiene ahora triple cantidad que la otra. ¿Cuántos litros de vino había inicialmente en cada tinaja?
16.* [Prueba Pisa 2000] Un agricultor planta manzanos en un terreno cuadrado. Con el objetivo de proteger del viento los manzanos, planta pinos alrededor de la totalidad del huerto. Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de los pinos para cualquier número n de filas de manzanos:
n
2
Númer Nú mero o de man manzan zanos os Nú Númer mero o de pino pinoss
1
1
2
4
8
3 4 5
Con la ayuda de un compañero realiza la siguiente actividad: a)
Tabla 2.5
Completen en su cuaderno la tabla 2.5, tú escribiendo el número de manzanos y tu compañero el número de pinos.
b) Conjeturen y describan cada cada uno una una fórmula para calcular el número número de manzanos manzanos y otra otra para el número de pinos para n filas de manzanos. c)
Ahora comparen las fórmulas fórmulas que obtuvieron. ¿Existe un un valor de n para el cual el número de manzanos coincide con el de pinos? Hallen este valor y expliquen cómo lo encontraron encontraron..
d) Supongan que que el agricultor quiere quiere agrandar agrandar el huerto con con muchas filas de árboles. A medida que éste éste vaya haciendo mayor el tamaño del huerto, ¿qué aumentará más rápidamente: el número de manzanos o el de pinos? ¿Por qué?
x x x x
x
x x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x x x = pino = manzano
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x
x
x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
para reflexionar 17.
¿Es cierto que para un número b cualquiera, −b es negativo? ¿Por qué?
18.
La expresión n2 + n + 5 para n = 1,2,3 resulta un número primo. ¿Es correcto afirmar que para cualquier valor de n esta expresión resulta un número primo?
MATEMÁTICA
85
• síntesis de la unidad • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
Patrones numéricos y geométricos
Evaluación Expresiones Algebraicas
permite generalizar
Interpretación
LENGUAJE ALGEBRAICO
Notación de potencia
Reducción de términos semejantes
utilizado en
Fórmulas Físicos, Biológicos, Químicos, etc.
modelan procesos
Resolución de problemas a través de
Ecuaciones con coeficientes numéricos y literales
En esta unidad hemos introducido el uso de las letras para representar cantidades que varían su valor, por eso las llamamos variables y así obtener expresiones algebraicas, las que interpretamos de acuerdo con la situación planteada. Hemos identificado términos que son semejantes, para luego sumarlos o restarlos y así lograr una expresión más reducida y de fácil manejo. Incluímos el uso de paréntesis cuando realizamos estas operaciones con los términos semejantes para que de esta manera no exista ningún tipo de ambigüedad en la escritura, notando la importancia y aplicabilidad que tiene la distributividad para suprimir paréntesis correctamente. Conjeturamos y describimos patrones numéricos y geométricos haciendo uso del lenguaje algebraico. Estudiamos algunas propiedades numéricas y demostramos generalidades relativas a múltiplos y divisores, enfatizando que la verificación de casos particulares no demuestra la veracidad de la propiedad para todos los casos posibles. Hemos resuelto problemas que han involucrado ecuaciones de primer grado con una incógnita por esta razón, nos vimos en la necesidad de aprender métodos de resolución de estas ecuaciones, analizando sus soluciones en caso de que existiesen. Dentro del trabajo de la resolución de problemas, estudiamos diversas fórmulas que modelan procesos tanto como el de la Física, la Biología, la Química, Medicina, entre otras áreas, en las que el lenguaje del álgebra se ha asumido como propio.
86
Unidad
2
• autoevaluación • 4. [Prueba Timss 2003]
1. [Prueba Timss 2003] Si n es un número negativo, ¿cuál de estos números es el mayor: a)
3+n
b)
3−n
c)
3⋅n
d)
3:n
Si L=4 cuando K=6 y M=24, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? M
a)
L
=
b)
L
=
c)
L
=
K M
d)
L
=
K
K K M ⋅
+M
2. [Prueba Timss 2003] Ciertos palitos se ordenan como se muestra en las figuras.
5. La relación entre fuerza F, masa m y acelera-
Si se continúa la misma secuencia de ir agregando cuadrados, cuadrados, ¿cuántos palitos se usarían para la figura 10?
ción a de un cuerpo es: F=ma. Si la aceleración de un objeto es de 15 m / s2 la fuerza resultante es F 255N , ¿cuál es la masa del cuerpo? =
a)
0,05 kg
b)
240 kg
c)
17 kg
d)
3.825 kg
6. La fórmula PV=kT relaciona la presión
P que ejerce un gas en un recipiente cerrado de volumen V a una temperatura T, en donde k es una constante. La temperatura se expresa en términos del volumen y la presión es como:
a)
30
b)
33
c)
36
d)
39
prueba Timss 2003] 3. [Modificación prueba y c 3. ¿Cuál es el valor de a + 2b
=
5
=
(
a+2 b+c
a)
11
b)
8
c)
16
d)
No se puede determinar
)
a)
T
b)
T
=
c)
T
=
d)
T
=
=
PV PV
−
+
k k
k PV PV k
7. El largo de un rectángulo mide el doble que su
ancho. Si el valor de su perímetro es 78 cm, ¿cuánto mide el largo de dicho rectángulo? a)
13 cm
b)
26 cm
c)
39 cm
d)
52 cm
MATEMÁTICA
87
Transformaciones
ISOMÉTRICAS Al finalizar esta unidad serás capaz de: Caracterizar la traslación, reflexión y rotación de figuras en el plano. Describir los cambios observados entre una figura y su imagen vía algún movimiento rígido. Construir utilizando regla y compás figuras simétricas, rotadas o trasladadas. Identificar transformaciones isométricas simples que conforman una composición. Reconocer transformaciones isométricas en la naturaleza y en el arte.
Temas que estudiaremos en esta unidad:
Traslación. Rotación. Reflexión.
Composición de transformaciones isométricas.
Diseñar patrones geométricos sencillos que incorporen transformaciones isométricas. Embaldosamiento. Relacionar y analizar propiedades de figuras geométricas para embaldosar el plano.
Unidad
3 Muchos pueblos del mundo utilizaron patrones geométricos para simbolizar diferentes momentos, acciones, jerarquías sociales o religiosas, épocas del año o etapas en la vida. Por ejemplo, la de abajo está formada por varias copias de la llamada “Cruz Andina”, que en las culturas andinas es el símbolo más común y que significa la eternidad de dichas culturas. Generalmente, es un símbolo usado por el jefe de una comunid comunidad ad indígena. indígena.
Este símbolo es la repetición del símbolo unitario:
que es como una “baldosa”, de las cuales se tienen varias copias y se yuxtaponen (se pegan) una al lado de la otra. Un símbolo muy importante para el pueblo aymara es el Wiphala, que es un emblema, como una bandera de los distintos sectores de ese pueblo. La de al lado corresponde al “Antisuyo”. Formada por cuadrados de diferentes colores. Al igual que en la Cruz Andina, en este diseño se repite para todas las partes la misma figura unitaria, en este caso, un cuadrado.
• para recordar • ángulos opuestos en un paralelogramo paralelogramo miden lo mismo? 1. ¿Es cierto que los ángulos ¿Es cierto que los contiguos suman 180°? coordenadas de cada uno de los puntos marcados marcados en el cuadriculado: 2. Indica cuáles son las coordenadas
3. Cómo se vería la letra “F” si se pone un espejo al lado izquierdo del lado pintado de azul.
a)
b)
c)
d)
valor del ángulo x en cada caso? Tu respuesta debe estar en función de 4. ¿Cuál es el valor
α
, β ó
γ .
β α α
a)
β
b)
γ
c) β
α
∆ABC
5. Juan pintó una cartulina por un solo lado, como se muestra al costado. ¿Cuál de las siguientes no puede ser la hoja de Juan, luego que alguien la movió?
a)
90
b)
c)
d)
Unidad
1
3
Embaldosamiento: primera parte
El papá de Amaru pintó una baldosa rectangular, utilizando la Cruz Andina como motivo principal. La baldosa es la que se ve abajo:
i
El papá de Amaru y sus tíos prepararon cemento con arena y comenzaron a pegar estas baldosas, una al lado de la otra, formando un gran g ran rectángulo, como se observa abajo.
investiga
Investiga respecto al significado de los símbolos mapuches, la página www.cholchol.org, te puede ayudar. Es interesante también conocer el significado de los símbolos aimaras.
Amaru, jugando con la máquina de cortar cerámicas de su tío Apumayta, un señor muy bondadoso, cortó una baldosa por la mitad, por la diagonal y quedó como la figura 3.1. 3.1. Amaru afirma que si desde el principio hubiese tenido solo baldosas triangulares como la que cortó, de todos modos hubiesen podido formar el mismo diseño en el piso.
Figura 3.1
actividades 1. Explica por qué Amaru afirma que con baldosas triangulares, como las que cortó, se puede embaldosar el piso anterior con baldosas rectangulares.
tiene el embaldosamiento embaldosamiento que se hizo en la casa de Amaru? Amaru? 2. ¿Cuántas filas tiene como la del lado, lado, que tiene tiene como diseño diseño 3. La familia de Amaru tenía como opción baldosas como la Anümka, que representa una planta medicinal para el pueblo mapuche. Copia el diseño varias veces en una hoja de block y pégalas de forma tal que puedas embaldosar una región plana.
MATEMÁTICA
91
Transformaciones Transform aciones isométricas
2 Traslaciones Amaru encontró baldosas de varios colores, cada una con forma de hexágono regular (polígono de 6 lados iguales). Las trasladó y las puso una al lado de la otra de forma tal que cubrió una superficie sin dejar espacios vacíos.
Amaru afirma que si tuviera más baldosas de este tipo él podría cubrir cualquier región plana. Basta poner una baldosa al lado de la otra, haciendo coincidir un lado l ado con el lado de otra. Notamos que lo que hizo Amaru fue trasladar rígidamente una baldosa para dejarla en otro lugar. Cuando trasladamos una figura es necesario decir dónde exactamente la dejaremos. Para ello utilizaremos una cuadrícula.
A'
A
En la cuadrícula vemos que la baldosa se trasladó 7 lugares a la derecha y 2 lugares hacia arriba.
actividades anterior,, si trasladamos la baldosa 3 lugares hacia arriba y 2 lugares a la izquierda, izquierda, 1. En la cuadrícula anterior ¿dónde queda el vértice A? Dibuja la figura trasladada. 2. Traslada la misma baldosa anterior, 2 lugares hacia abajo y 5 a la derecha. Dibuja la nueva figura. ¿Dónde queda el vértice A?
92
Unidad
3
Las traslaciones las anotaremos T(a,b ) , para significar que trasladamos a unidades en dirección horizontal y b unidades en dirección vertical. Así, si a es positivo se traslada a lugares a la derecha, pero si a es negativo, se traslada − a puestos a la izquierda. Del mismo modo, si b es positivo se traslada b puestos hacia arriba y si b es negativo, se traslada −b puestos hacia abajo. Por ejemplo, vemos abajo que hemos trasladado a Mitsuko según la traslación T(−12, −3), es decir, 12 puestos a la izquierda y 3 puestos hacia abajo.
p
práctica
¿Cuál es la acción de las siguientess traslaciones siguiente T( 0 ,b ) ; T( a,0 ) y T( 0 ,0 ) ?
Podemos imaginar las traslaciones como movimientos de todo el plano, es decir, todos los puntos del plano se mueven según indica la traslación. Entonces, si la traslación dice que se muevan 3 puestos hacia arriba ar riba y 2 puestos hacia la izquierda, todos los puntos se mueven en esa dirección. Recordemos que los puntos del plano los podemos anotar con dos coordenadas en el plano cartesiano, donde el punto (0,0) es la intersección de los ejes, llamado origen de coordenadas. El par (a,b) denota el punto que resulta de aplicar la traslación T( a ,b ) al origen.
A
i
importante
Lo que resulta al aplicar una traslación a una figura o un punto se llama la imagen del punto o la figura vía la traslación.
A'
Por ejemplo, el punto A tiene coordenadas (3,4), pues del origen necesito moverme 3 puestos a la derecha y 4 puestos hacia arriba.
actividades coordenadas de A’? A’? ¿Cuál es la traslación que permite ir de A hacia A’? A’? ¿Cuál es la trasla1. ¿Cuáles son las coordenadas ción que permite ir de A’ a A? ¿Cuál es la relación entre estas dos traslaciones? 2. En general, ¿qué ocurre si aplicamos la traslación T(a,b) a un punto en el plano y luego la traslación T( − a, −b) ?
MATEMÁTICA
93
Transformaciones Transform aciones isométricas
Consideremos un trazo cualquiera AB y apliquémosle una traslación T, T, que lo transforma en el trazo A ' B ' , como muestra la figura: A'
C A D
B'
B
Marquemos la perpendicular a AA ' que pasa por B, y denotemos por C la intersección de esas rectas. Del mismo modo, D es la intersección entre BB' y su perpendiAA'' mide lo mismo que BB' se tiene que, BC mide lo mismo que A ' D cular. Como AA y que AC mide lo mismo que B ' D. Por lo tanto, los triángulos ABC y A ' B ' D son rectángulos y tienen dos catetos iguales; según el teorema de Pitágoras las hipotenusas miden lo mismo, por lo tanto, AB mide lo mismo que A ' B '. Resumiendo, tenemos la siguiente propiedad de las traslaciones:
Las traslaciones preservan la distancia entre dos puntos.
actividades *Esta actividad está dirigida a demostrar que las traslaciones preservan ángulos. Dibuja un ángulo cualquiera y trasládalo. α α
δδ γγ
β β Debemos demostrar que el ángulo rojo
mide e lo mis mismo mo que que ∠A ' C'B' . ∠ACB mid
Nota ta qu que e CC'B'B es un pa para rale leló lógr gram amo, o, lo mi mism smo o que que CC' A ' A . ¿Por qué? a) No
b) Como los ángulos opuestos en un paralelógramo miden lo mismo, muestra que ∠ACC' = γγ y que
∠A 'C'C = ββ . .
c) Demuestra que el ∠A 'C'B' = δ + ββ . . Como los ángulos opuestos en un paralelogramo son suplementarios (suman 180°). Muestra que δ
= 180o − α y que β = 180o − γ .
d) Demuestra que ∠A 'C'B' = δ + β = 360o − (α + γ ). rojo mide 360o − (α + γγ ). Concluye que el ángulo rojo mide lo mismo que el que e) Demuestra que el ángulo rojo resulta de la traslación.
94
Unidad
3
Como hemos visto hasta ahora, las traslaciones tienen la propiedad de que transforman un trazo en otro del mismo largo, y si dos rectas se intersectan, las traslaciones las transformas en dos rectas que se intersectan, formando el mismo ángulo, es decir,
Las traslaciones preservan ángulos y distancias. Es por esto que decimos que la traslación es una transformación isométrica, pues mantiene medidas (Iso=igual, Métrica =medida). Existen otras transformaciones isométricas que veremos más adelante. También se le llama un movimiento rígido del plano, pues muev muevee el plano plano sin encog encoger er o dilatar; dilatar; muev muevee todos los puntos puntos rígidame rígidamente. nte. Consideremos ahora, el caso de aplicar dos traslaciones, una después de la otra: T A' A
t
A ''
En la imagen de arriba vemos que al triángulo aplicamos primero la traslación T = T( 4 ,1) y luego, a la imagen que resulta se le aplica la traslación t = T( −3, −5 ) . Notamos entonces que el triángulo quedó definitivamente un puesto a la derecha y cuatro hacia abajo de su posición inicial. Es decir, resultó lo mismo que si desde el inicio hubiésemos aplicado una sola traslación: la traslación T(1, −4 ) .
i
importante
Notamos que T ( a,b) aplicado a (x,y) resulta el punto (x+a , y+b)
(x, y) se le aplica la Mas, generalmente, si al punto x l a traslación T( a,b ) resulta ( x + a, y + b ), si ahora le aplicamos al resultado la l a traslación T(c, d ) resulta ( x + a + c, y + b + d ), que es x, y) la traslación T ( a + c,b + d ) . lo mismo que aplicar al punto ( x
Además, hay que notar que resulta lo mismo si se aplican las traslaciones en el orden inverso.
Si aplicamos dos traslaciones, una después de la otra, el orden no importa y además es lo mismo que aplicar una sola s ola traslación.
actividades 1. Dibuja un cuadrado que tiene vértices A(0,0), B(1,0) y C(1,1). ¿Cuál es el otro vértice? Después de una traslación el vértice A se transformó en A’(-3,5). ¿Cuáles son las coordenadas de todos los otros vértices transformados? Después de otra traslación el vértice A’ se transformó en A’’(4,1). ¿Cuáles son las coordenadas de los otros vértices transformados ? ¿Cuál es la traslación que lleva a A a A’’?
MATEMÁTICA
95
• aplicando lo aprendido • 1. Dibuja en el plano cartesiano el trapecio A (−2, 2) ; B( −1, 5) ; C(2, 8) ; D(1, −1) . a) Dibuja la imagen
A 'B 'C 'D ' del
b) Dibuja la imagen
A ''B ''C ''D '' que
ABCD de
trapecio
coordenadas:
ABCD por
la traslación T( 2, −3) .
resulta al aplicar la traslación T( −1, −4) al trapecio
una traslación que lleve el trapecio c) ¿Existe una
ABCD en el trapecio Si la respuesta es afirmativa escribe dicha traslación.
A 'B 'C 'D ' .
A ''B ''C ''D ''?
2. Dado el cuadrado de la figura:
a) Dibuja la imagen que se obtiene al aplicar al cuadrado de esta imagen con las letras
b) Al cuadrado vértices
ABCD la
A 'B 'C 'D '.
A 'B 'C 'D ' aplícale
A ''B ''C ''D ''.
traslación T(0,3 ) . Nombra los vértices
la traslación T(0,3 ) . La imagen resultante la denominaremos con los
debes aplicar al cuadrado c) ¿Cuál traslación debes
A ''B ''C ''D '' para
que el vértice
A'' quede
en el origen de
coordenadas?
3. Traslada la figura
96
ABCDE sabiendo
que la imagen del vértice
A
es
A' .
¿Cuál es la traslación?
Unidad
3
3 Reflexiones Para confeccionar un cobertor de su cama, Tiare toma la imagen de “Willodmawe Ñimin”, un símbolo mapuche mapuche que se enrolla en sí mismo, y que que representa un abrazo abrazo o una serpiente. La copias en varias transparencias, para luego pegarlas y formar el diseño que se muestra abajo.
Como vemos, a partir de la imagen de la derecha, haciendo algunos movimientos logró realizar el diseño de la izquierda. Pero hay que notar que Tiare Tiare dio vuelta algunas transparencias para formar el diseño. Como ejemplo, fíjate bien en la mitad derecha del diseño.
La imagen muestra la transparencia básica, sobre la línea azul y abajo hay una copia de la transparencia, pero dada vuelta. Cuando estas dos transparencias se pegan por el lado de la línea azul, resulta la mitad derecha del diseño de Tiare. Tiare.
ACTIVIDADES actividades transparencias. Ahora 1. Considera el diseño de al lado y cópialo tres veces en transparencias. da vuelta una transparencia horizontalmente, según la línea verde y ponla en el lugar 4. Luego voltea verticalmente otra transparencia, según la línea roja y ponla en el lugar 2. La tercera transparencia ponla ponla en la posición de 4 y dala vuelta verticalmente, según la línea roja y ponla en el lugar 3. ¿De qué otra forma se puede obtener el diseño de 3 partiendo de la transparencia básica?
2. ¿Cómo obtener la mitad de la izquierda del diseño de Tiare, a partir del diseño básico?
MATEMÁTICA
97
Transformaciones Transform aciones isométricas
Si pones una figura frente a un espejo, ésta se ve al revés, es decir, la mano derecha se ve enfrente en la misma posición, pero para la persona del otro lado del espejo es su mano izquierda. Sin embargo, si respeta la distancia, es decir, lo que está más cerca del espejo se ve como si estuviera más cerca. La acción de dar vuelta una transparencia es la misma acción que reflejar en un es pejo; por ejemplo: la siguiente imagen la puedes pensar pensar como que la línea azul es un espejo que refleja lo de la izquierda en la derecha o también que la transparencia de la izquierda se dio vuelta según la recta azul.
La operación de dar vuelta una transparencia o reflejar en el espejo se llama Reflexión y consiste en lo siguiente: • Considera una recta L cualquiera. • Para cada punto P del plano, se debe considerar la recta perpendicular a la recta L que pasa por P, y que llamaremos L ' . • Mide la distancia de P a la recta L. • Ubica
P ' al otro lado de la recta L, sobre L ' y a la misma distancia de L.
P P'
L'
Decimos que P ' es el reflejado de P respecto a la recta L. También decimos que es la imagen de P por la reflexión respecto a L.
actividades 1.
Si a un punto P se le aplica aplica una reflexión, reflexión, resulta P’, ¿que le pasa a P’ si se le aplica la misma reflexión? reflexión?
puntos de la recta recta L cuando se les aplica la reflexión respecto respecto L? 2. ¿Qué les pasa a los puntos P(3,4) se refleja refleja con respecto respecto al eje Y y el resultado se se refleja respecto respecto del eje eje X, 3. Si el punto P(3,4) ¿cuáles son las coordenadas del punto que resulta?
98
P'
Unidad
4
3
¿Cómo reflejar un punto?
Para responder esta pregunta emplearemos un antiguo método utilizando regla y compás. 1o Tomaremos
un punto y una recta que no contiene al punto, puesto que reflejaremos el punto respecto a la recta. P
Pondremos Pondrem os la aguja del compás en el punto P y lo abriremos de forma tal que se puedan hacer marcas en la recta. Haremos dos marcas en la recta, con la misma abertura del compás. 2o
Pondremos el compás en una de las marcas y haremos un arco al otro lado de la recta. Luego pondremos el compás en la otra marca y haremos un arco al otro lado de la recta, cuidando siempre de hacer las marcas con la misma abertura del principio. 3o
Marquemos el punto de intersección de los arcos. Este punto es el reflejado que buscábamos. buscábamos. 4o
P
P'
p ¿Por qué este método funciona? BC = CD = AB = AD
práctica
En el plano cartesiano considera la recta D que pasa por (1,1) y el origen. Con regla y compás construye el reflejado de A(-1,0) respecto a la recta D.
Como tuvimos cuidado de mantener la misma medida en el compás, todos los trazos azules miden lo mismo, por lo tanto, ABCD es un rombo y como las diagonales de un rombo se dimidian (se cortan por la mitad), se tiene que BP = PD
Además, las diagonales de un rombo son perpendiculares, por la tanto, la recta que pasa por A y C es perpendicular a la recta que pasa por B y D. Es decir, efectivamente efectivam ente D satisface las condiciones del reflejado de B, con respecto a la recta en cuestión.
MATEMÁTICA
99
Transformaciones Transform aciones isométricas
Cuando estudiamos las traslaciones, vimos que éstas preservan la distancia y los ángulos. Ahora veremos que las reflexiones tienen la misma propiedad. Partamos con la distancia. Consideremos dos puntos A y B y reflejémoslos respecto de una recta L, como muestra la figura. L A
B
A'
P
C
D
B'
Nombramos por A ' y B' las imágenes de A y B respectivamente. El punto C es la intersección de la recta BB' con la perpendicular per pendicular que pasa por A. Respectivamente Respectivamente D denota la intersección de la perpendicular de BB' que pasa por A '. Como AA ' y BB' son paralelas se tiene que y como PB = PB ' se tiene que
AC = A ' D . Además, como PC = PD
BC = DB '
Entonces, los triángulos rectángulos ∆ACB y ∆A ' DB ' tienen catetos que miden lo mismo, por lo tanto sus hipotenusas miden lo mismo. Luego: AB = A ' B '
Por lo tanto:
Las reflexiones preservan distancias. Es cierto que las reflexiones preservan preservan ángulos, pero la explicación del porqué de esto será un interesante ejercicio para que tú lo realices.
actividades C
Se realiza la reflexión a A y a B, respecto de la recta que pasa por C y H. Obteniendo A’ A’ y B’, respectivamen respectivamente. te. Se traza la recta que pasa por A y B, y la recta que pasa por A’ y B’.
C'
d e
B
c
a
A
100
f H
1. ¿Por qué esas rectas se intersectan en la recta de
B'
reflexión? ¿Por qué CB = C’B’? ¿Por qué AB = A’B’ ?
x
2.
Nota que a y b son complementarios. Explica por qué b = c = f. Explica también por qué a = d = e. ¿Es cierto que a = x?
3.
Demuestra que la reflexión preserva ángulo.
b P
A'
Unidad
5
3
Figuras simétricas
Por lo visto anteriormente y por las actividades que has realizado, se puede decir que:
Las reflexiones preservan ángulos y distancias. Por esta razón, al igual que las traslaciones, las reflexiones también se denominan isometrías o movimientos rígidos, porque mueven las figuras sin distorsionarlas, sin apretarlas ni expandirlas.
L
Hay figuras que si se reflejan respecto a una recta que las atraviesa, resulta la misma figura. Por ejemplo, si a un cuadrado lo reflejamos respecto a una de sus diagonales, se obtiene el mismo cuadrado (Figura 3.2), 3.2), pero en cambio, si tomamos un triángulo escaleno, y lo reflejamos respecto una de sus transversales de g rave ravedad, dad, no se obtiene el mismo triángulo. En la figura el triángulo reflejado es el azul (Figura 3.3), 3.3), y como vemos, no coincide con el triángulo original.
Figura 3.2 L'
A la recta que hace que al reflejar una figura resulte la misma se denomina eje de simetría de la figura, por ejemplo, en la (Figura 3.2), 3.2), la recta L es un eje de simetría del cuadrado, en cambio L ' no es un eje de simetría del triángulo (Figura 3.3). 3.3). A continuación, mostramos algunas imágenes simétricas; en la primera, la recta pintada encima sobre el “Manutara” muestra el eje de simetría de la figura. En la segunda, la imagen es simétrica si no consideramos las imágenes de adentro, y solamente nos fijamos en el contorno.
Figura 3.3
n
nota
“Manutara” es un gaviotín de isla de Pascua.
actividades rectángulo simétrico respecto respecto a la recta que une une los puntos medios de de los lados opuestos? 1. ¿Es un rectángulo pentágono regular simétrico respecto respecto a la recta que une un vértice con con el punto medio del lado 2. ¿Es un pentágono opuesto?
MATEMÁTICA
101
• aplicando lo aprendido •
1. Dibuja en tu cuaderno la imagen que resulta al reflejar las siguientes figuras con respecto a la recta L dada y luego, a las imágenes obtenidas aplícales la traslación T
( −2, −2)
:
L
a)
b) L
2. En tu cuaderno utiliza regla y compás para reflejar las siguientes figuras con respecto a la recta L:
L
L
a)
b)
c)
3. Dibuja en tu cuaderno el trapecio recto ABCD, refléjalo con respecto a la recta que se indica y para cada reflexión identifica la figura que se obtiene al unir el trapecio con su imagen. C
B
D
A
a)
AB
b)
BC
c)
CD
d)
DA
4.* Supongamos que tenemos una recta horizontal L que pasa por el punto (0, b), donde b es un número entero. Ubica un punto P(x P( x,y) arriba de la recta L. Si reflejas este punto P con respecto a L, ¿cuáles son las coordenadas de P' ? Escribe las coordenad coordenadas as de P' en términos de y, x x y y b.
102
Unidad
6
3
Rotaciones
Hemos visto diseños que se generan por traslación o por reflexión. Sin embargo, existen otros para los cuales estos “movimientos” no bastan. Por ejemplo, observemos el siguiente diseño, del más famoso artista que utilizó los movimientos rígidos para desarrollar sus trabajos, Maurits Cornelius Escher (1898-1972).
n
Como vemos, la figura del personaje se rota en un ángulo marcado por las líneas azules. No es una reflexión ni tampoco una traslación.
nota
“Con frecuencia me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas” . M.C. Escher.
En general, si consideramos un punto O y un ángulo α , la rotación de ángulo α y centro O, a cada punto P le asocia el punto P ' del siguiente modo: • Constr Construimos uimos la circunfer circunferencia encia de centro O, que pasa por P. • Marcamos el ángulo α de modo que el radio OP sea uno de los rayos del ángulo. (Medimos los ángulos en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a menos que se diga otra cosa). • El ray rayoo que forma el ángulo α y no es OP intersecta a la circunferencia en un punto, ese punto es P ' .
O
P
O
O
α
P
P
P'
actividades existe una sola circunferenc circunferencia ia de centro O y que pasa pasa por P? 1. ¿Por qué existe puntos en el plano, digamos P y 2. Consideremos dos puntos ¿es cierto que existe una rotación que lleva P en
P'
P' , ? ¿Es la única?
rotamos todos los los puntos del plano en torno a O, con ángulo ángulo 3. Si rotamos
α
, ¿qué le pasa a O?
rotamos en torno a O todos todos los puntos puntos del plano en 360 o, ¿qué le pasa a cualquier punto P? 4. Si rotamos
MATEMÁTICA
103
Transformaciones Transform aciones isométricas
Vimos que las reflexiones y las traslaciones preservan las distancias y los ángulos. Fue por eso que las llamamos movimientos movimientos rígidos o isometrías. La verdad es que la rotación pertenece al mismo grupo, es decir, la rotación es una isometría. La demostración de esto no la daremos en este texto, pero es importante que investigues para conocer por qué este resultado es cierto. Entonces:
Las rotaciones preservan distancias y ángulos. Este resultado permite rotar polígonos de forma muy simple. ¿Cómo preservan ángulos y distancias?, basta rotar los vértices de un polígono y luego unir los vértices rotados para obtener el polígono rotado. A continuación vemos la rotación de un triángulo equilátero ∆ABC , cuya imagen es el triángulo, también equilátero, ∆A ' B ' C ' . B
B
i
importante
Es importante notar que el arco AA' no es igual al arco BB' , pues pertenecen a circunferencias de distintos radios. Sin embargo, el ángulo ∠BOB'
A
A 0
0
C
es el mismo que el ángulo ∠AOA'que corresponde al ángulo de la rotación.
C
B '
C '
B '
C '
A '
A '
actividades 1. Rota el cuadrado en torno al origen con un ángulo de 90 o .
D
C
2. Rota el cuadrado en torno a (−2, 0) con un ángulo de 180 . o
ángulo de 270 o . 3. Rota el cuadrado en torno a (−3,1) con un ángulo en el problema problema 1 aplícale la 4. Al cuadrado que te resultó en traslación T( 4, 4) . ¿Se puede hacer lo mismo con un solo
A
B
movimiento?
5. Aplícale la rotación de centro (−3,1) y ángulo 90o al cuadrado inicial, pero en el sentido de las manecillas del reloj. Compara tu resultado con el del problema 3.
104
Unidad
3
7 ¿Cómo rotar un punto? Para realizar una rotación, necesitaremos un compás, un trasportador y una regla. Con el compás haremos las circunferencias, con el transportador marcaremos los ángulos y con la regla marcaremos los radios. Si queremos rotar P, P, en torno a O con un ángulo α (nosotros lo haremos con un ángulo de 40° según el sentido de las manecillas del reloj, para fijar ideas), marcamos la recta OP con la regla. Luego pondremos la marca de inicio del transportador en el punto O y marcamos 0° en la recta recta OP .
recuerda
r
A la rotación de centro O y ángulo α , la anotamos R( O ,α )
.
P'
O P
O P
Enseguida, marcaremos el ángulo α y con la regla trazaremos la recta L que pasa por O y por la marca que acabamos de hacer. Luego, con el compás haremos la circunferencia con centro O y radio OP . Entonces la rotación del punto P será la intersección de la circunferencia y la recta L. Lo llamaremos P'.
Existen figuras que al rotarlas según cierto ángulo que no es un múltiplo de 360°, se obtiene la misma figura. En ese caso decimos que la figura tiene Simetría Rotacional . Las de arriba tienen simetría rotacional en en torno a su centro de gravedad. En cada caso, ¿cuál es el ángulo de rotación que permite que quede la misma figura después de rotada?
actividades 1.
Rota el triángulo equilátero equilátero en torno a A, en un ángulo de 60°. Haz lo mismo con el triángulo que resulta, y luego lo mismo con el triángulo que resulta. Repite lo mismo hasta obtener 5 nuevos triángulos. ¿Qué figura obtienes?
2.
Rota el triángulo equilátero equilátero en torno al centro centro de gravedad gravedad en un ángulo de 120°, ¿es cierto que el triángulo rotado se confunde con el original?
C A
B
MATEMÁTICA
105
• aplicando lo aprendido •
3. Dibuja la siguiente figura en tu cuaderno y realiza las transformaciones que se i ndican:
1. Ubica el punto H(3,5) en el plano cartesiano.
N
M
a) Rota el plano en torno al origen de coorde-
P
nadas en 90°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H'?
O
b) Rota el plano en torno al origen de coordenadas en 180°. ¿Cuáles son las coordenad coordenadas as de la imagen H''? R
origen de coordenacoordenac) Rota el plano en torno al origen
Q
das en 270°. ¿Cuáles son las coordenad coordenadas as de la imagen H'''?
a) Aplica una rotación R(O,270°) a la figura MNOPQR.
2. Copia las siguientes figuras en tu cuaderno y realiza la rotación que se indica:
R (0, 45o )
b) A la imagen que obtuviste anteriormente llá
male M' N' O' P 'Q 'R ' . Realiza la siguiente rotación a esta figura: R(O,180°) cuya imagen deno-
a)
minarás M'' N'' O''P' 'Q ''R '' .
c) ¿Existe una rotación que lleve la figura O
MNOPQR en la figura M''N'' O''P' 'Q ''R '' ? Si así fuera, ¿cuál sería esa rotación?
R (0,90o ) 4. Se tiene el segmento
b)
O
AB de coordenadas A(0,3) y B(4,0). Este segmento es rotado en torno a B entonces:
a) Si la imagen
A 'B ' es una línea vertical, ¿cuáles son las posibles coordena coordenadas das para y ? A' B'
R (0,18 180 0o ) que en a), pero antes b) Realiza el mismo ejercicio que refleja el segmento AB con respecto al eje X de coordenadas coordenad as y luego rótalo en torno a B.
c) O
106
Unidad
8
3
Composición de isometrías
Cuando estudiábamos traslaciones vimos que si aplicamos una traslación y luego otra, el resultado era aplicar una sola traslación. Más precisamente, si aplicamos T ( a,b ) y luego T (c,d ), resulta lo mismo que aplicar desde un principio T (a c,b d ) . +
+
En particular, se tiene que el orden en que se aplican las traslaciones no es importante, es decir, si se aplican consecutivamente dos traslaciones, para el resultado final da lo mismo cuál se aplica primero y cuál después. Podemos pensar las transformaciones isométricas como máquinas que transforman puntos del plano en otros puntos del plano. Los puntos entran por la derecha derecha de la máquina, la máquina trabaja y entrega un resultado por la izquierda. Por ejemplo, ejemplo, la siguiente máquina representa la traslación T (a,b ). ( x, y ) (a + x, b + y )
n
Aplicar dos movimientos rígidos, uno después de otro, es concatenar estas máquinas. Es decir, si el punto P es transformado por la isometría I en P ' y luego la isometría J transforma P ' en P '' , entonces las isometrías I y J concatenadas, transforman P en P '' . O sea, el resultado de la primera máquina es la “materia prima” de la segunda máquina.
nota
En el sitio web: http://www.automind.cl/ educacion/juegos_magicos/juegos_magicos. htm, existen juegos interactivos, entre ellos está “máquinas mágicas” mágicas”,, que permiten hacer todo tipo de conexiones, no sólo geométricas.
P
P' P ''
J
I
actividades 1.* La concatenación de máquinas de abajo está compuesta por la máquina de la derecha, que es la traslación T (11 y la máquina de la izquierda que es la rotación R de centro en el origen y ángulo 90 o. ,) máquina por la izquiera) ¿Cuál punto entrega la máquina da, si por la derecha entra (0,0)?, ¿y (1,1)?, ¿y (0,-1)?, ¿y (1,-1)?
b) ¿Cuál punto debe entrar para que la máquina
R
o
(O,90 )
T(1,1)
entregue (0,0)?
c) ¿Existe algún punto que cuando entra por la máquina sale el mismo?
MATEMÁTICA
107
Transformaciones Transform aciones isométricas
En la actividad anterior concatenamos las isometrías R = R (0,90 ) y T = T(1,1) , aplicando primero T y luego, al resultado, aplicamos R. A esa concatenación la anotaremos RT, guardando el orden de las máquinas. o
Ahora, hagamos la concatenación en el otro sentido, es decir, TR.
T(1,1)
R (O, 90 o )
Si entra el punto (0,0) a la máquina de arriba, primero le aplicamos R y resulta (0,0), pues es el centro de la rotación. Luego este punto entra a la máquina T que lo transforma en (1,1), es decir, el resultado final de aplicar la máquina de arriba a (0,0) es (1,1). Esto último lo anotamos así: TR (0, 0 ) = T(0, 0 ) = (1,1)
En cambio, en la actividad anterior vimos que cuando aplicamos, en el otro sentido, las mismas isometrías, obteníamos otro resultado. De hecho, si entra (0,0) a la máquina RT, RT, primero le aplicamos T y resulta (1,1). Luego, este punto entra a la máquina R que lo transforma en (−1, 1) , es decir, el resultado final de aplicar la máquina de ar riba a (0,0) es (−1, 1) . Esto es: RT(0, 0 ) = R (1, 1) = (−1,1)
Es decir, en general, el orden en que se aplican las isometrías es importante, pues no siempre se obtiene el mismo resultado si se aplica primero una u otra.
actividades mismas isometrías que vimos en los ejemplos ejemplos anteriores: anteriores: 1. Para las mismas que resulta de aplicar TR, al cuadrado cuadrado C, tal que, tres de sus vértices vértices son (0, −1) , (1, −1) a) Dibuja el cuadrado que y (0, −2) . RT. Dibuja el cuadrado que resulta. ¿Es el mismo que antes? b) Al cuadrado anterior aplica RT.
3
cuadrado que resultó resultó en b refléjalo respecto a la recta paralela al eje Y, que pasa por , 0 . c) Al cuadrado 2 Dibuja el cuadrado que resulta. Compara este resultado con el de a, ¿es el mismo?
Cons nsid ider era a la tr tras asla laci ción ón,, T = T( 4,10) y la reflexión respecto a la recta L que pasa por el origen y el punto 2.* Co (2,5). Denotemos por S esa reflexión. Considera la concatenación ST y la concatenación TS.
a) ¿Es cierto que si un punto P está en la recta L, entonces ST lo transforma en un punto de L? TS(P ) = ST (P ) para cualquier punto P, del plano? b) ¿Es cierto que TS
108
3
Unidad Cuando concatenamos dos isometrías, U y V aplicando primero U y luego V, V, decimos que la isometría resultante es la composición de U con V y la anotamos VU o también V o U, y quiere decir que si aplicamos VU a un punto P el resultado es aplicar V al resultado de aplicar U a P. Es decir, VU(P ) = V(U (P ))
En este lenguaje tenemos que la composición de dos traslaciones es una traslación más precisamente: T( a , b ) T(c , d )
= T(a + c,b + d ) = T(c ,d )
T(a ,b )
Hemos visto también que en general las isometrías no conmutan, es decir, si I y J son dos isometrías no siempre se cumple que I J = J I. Por ejemplo, vimos que en general, no es lo mismo una traslación compuesta por una rotación que la misma rotación compuesta por la misma traslación.
¿Qué pasará con una reflexión y una traslación? Consideraremos una reflexión res pecto a una recta L, llamaremos a esa reflexión S. Consideraremos una traslación T en una dirección distinta a la dirección de la recta L. La figura 3.4 muestra, la com posición S T , es decir, compondremos primero la traslación y al resultado aplicaremos la reflexión. En la figura 3.5 compondremos 3.5 compondremos las mismas isometrías en el sentido opuesto.
A ''
A'
A
A '' A
L
A' L
Figura 3.4
Figura 3.5
Como vemos, esas isometrías no conmutan. ¿Qué pasa con una rotación compuesta con otra rotación del mismo centro? P'
Consideremos el centro O de ambas rotaciones, digamos R α = R (O,α) y R β = R (O,β). Para fijar ideas, pensemos en el caso en que α + β < 360o . Entonces, cualquier punto P, lo rotamos con un ángulo de α y luego el resultado lo rotamos en un ángulo β . Es decir, aplicar dos rotaciones (del mismo centro) seguidas es lo mismo que aplicar una rotación cuyo ángulo es la suma de los ángulos de cada rotación. En particular, Rα R β = R α + β = R β Rα .
α + β β α P ''
O
P
actividades de diferente centro?, es decir decir,, si O es distinto de O' , ¿es cierto que que 1. ¿Conmutan las rotaciones de
R (O,α) o R (O,β) = R (O',β) o R (O',α)? reflexión respecto a la recta L con una traslación que que tiene 2. ¿Qué pasa con la composición de una reflexión la misma dirección que L? ¿Conmutan?
MATEMÁTICA
109
Transformaciones Transform aciones isométricas
¿Qué pasa con la composición de reflexiones?
9
Para responder esta pregunta, debemos considerar tres casos: ejes de las simetrías son son el mismo. mismo. 1o que los ejes o 2 que los ejes son paralelos no iguales. ejes se intersectan intersectan en un solo punto. 3o que los ejes Ahora estudiaremos el tercer caso. Para eso, consideremos dos reflexiones, una res pecto a la recta L y otra respecto a la recta L ' . Denotemos por O, la intersección de L con L ' y por α el ángulo agudo o recto que forman. Dispongamos un punto P, apliquemos la reflexión respecto a L, llamemos P ' su imagen. A P ' apliquemos la reflexión respecto a L ' y llamemos P '' su imagen. L
L'
L'
L O
O α
P
β β γ
P ''
γ
P ''
P
P'
P'
Como las reflexiones preservan distancia, se tiene que OP mide lo mismo que OP ' . Por la misma razón OP ' mide lo mismo que OP'' . Es decir, los puntos P , P ' y P '' están en una circunferencia de centro O. Como las reflexiones también preservan ángulos, se tiene que la medida del ángulo entre OP y L es la misma que el ángulo entre L y OP ' . Llamemos β ese ángulo. Del mismo modo la medida del ángulo entre L ' y OP ' es la misma del ángulo entre L ' y OP'' . Llamemos γ a ese ángulo. Por lo tanto el ángulo ∠PO POP P '' mide 2 β + 2γ . Notemos que β + γ = α , por lo tanto guiente resultado:
∠POP''
mide 2α . Resumiendo, tenemos el si-
Dada la reflexión V respecto a L y dada la reflexión U respecto a L '. Si L y L ' se intersectan en O con un ángulo agudo o recto α , entonces la isometría UV es la rotación de centro O y ángulo 2α .
actividades 1. ¿Qué se obtiene si se componen dos reflexiones que tienen el mismo eje de simetría? 2. ¿Qué se obtiene si se componen dos reflexiones que tienen ejes de simetría paralelos no coincidentes? 3. En la explicación que dimos arriba, pusimos P más cerca de L, ¿cómo hubiese sido la explicación si hubiese estado en L? donde resultó P'' ? 4. ¿Cómo hubiese sido la explicación, si P hubiese estado en donde 5. ¿Conmutan las reflexiones?
110
3
Unidad En las calles de El Cairo, en Egipto, se ven baldosas que cubren todo el piso, en la forma que mostramos abajo:
La de la derecha corresponde a la baldosa básica, que si se disponen varias de ellas en diferentes posiciones, cubren todo el piso, sin dejar trechos vacíos entre ellas, y sin necesidad de superponer una en la otra. Al proceso de llenar el plano con baldosas, los matemáticos llaman teselar .
Una teselación es una manera de cubrir el plano con figuras, de tal manera que no haya lugares del plano que no resulten cubiertos por las figuras (no (no hay hay vacíos), vacíos), ni tampoco las figuras se superpongan (no se traslapan). Si con la repetición de una misma figura F se puede cubrir el plano, decimos que F tesela el plano. Por ejemplo, las baldosas de El Cairo teselan el plano y la teselación resultante se denomina Teselación de El Cairo. La figura de esa baldosa corresponde a un pentágono, pero no cualquier pentágono, sino que uno con propiedades especiales que permiten el calce perfecto entre una y otra figura (ver figura 3.6). 3.6). De hecho, veremos que el pentágono regular no tesela el plano. Estudiemos teselaciones con un solo tipo de figuras, y partamos con una muy simple: el paralelógramo. Los paralelógramos tienen la propiedad de que sus lados opuestos son paralelos, de modo que si se pone uno al lado del otro calzan perfectamente bien, lo mismo que si se coloca uno arriba del otro. Es decir:
D
β
E
α δ
Cualquier paralelógramo tesela el plano.
C
α A
β B
Figura 3.6
actividades baldosa básica básica de la teselación de El Cairo, los lados AB AB,, BC, CD y DE miden lo mismo. Demuestra 1. En la baldosa
= 90o y que 2α + δ = 360o . que β = regulares.. 2. Utiliza esta teselación para hacer una nueva utilizando hexágonos no regulares
MATEMÁTICA
111
Transformaciones Transform aciones isométricas
Ya sabemos que cualquier paralelógramo tesela el plano. Ahora, consideremos un triángulo cualquiera, y consideremos el que resulta de aplicar la rotación en 180 o y centro en A. B A'
A
B'
Si pegamos esos triángulos por el lado AB y A ' B ', respectivamente, se forma un paralelógramo, que como sabemos tesela el plano. Entonces tenemos el siguiente resultado:
Todo triángulo tesela el plano.
Como casos particulares, podemos decir que el cuadrado, el rectángulo, el triángulo isósceles, el triángulo equilátero y el rombo teselan cada uno por si solo el plano. Existen muchas teselaciones distintas con diversos diseños, algunas están formadas por un patrón que se repite y en otras otras no hay patrones. A continuación mostramos algunas:
Obra del artista holandés M.C Escher (1898-1972)
112
Teselación del físico británico Roger Penrose (1931)
Detalle de un mosaico del Palacio de La Alhambra en Granada, España.
Unidad Como hemos visto, las teselaciones han sido empleadas en el arte y en la arquitectura. Sin duda M.C. Escher es considerado el más grande artista que utilizó la geometría y la matemática en general para desarrollar sus obras. Él desarrolló una técnica exquisita al respecto y muchos de sus trabajos tienen como tema central objetos matemáticos.
n
3
nota
Puedes visitar su galería en el sitio: www.mcescher.com
Las teselaciones generalmente nacen de los polígonos, pero para formar teselaciones más interesantes es muy utilizado el método de “agregar y quitar”. Éste consiste en tomar un polígono que sabemos que tesela, quitarle alguna figura de uno de sus lados y agregarlo en algún lado que permita que encajen perfectamente bien las nuevas nuevas baldosas. A continuación mostramos mostramos un ejemplo de este método aplicado a un cuadrado.
actividades 3
1
B
1. En la teselación de El Cairo, Cairo, ¿cuáles isometrías hay que aplicarle aplicarle a la baldosa B, sin considerar las traslaciones, para ponerla en cada caso en 1 en 2 y en 3?
2
de la derecha derecha surge de la del triángulo equilátero. Explica Explica el 2. La teselación de proceso de cómo el triángulo tri ángulo equilátero fue transformado en la baldosa básica de esta teselación.
MATEMÁTICA
113
Transformaciones Transform aciones isométricas
10 Teselaciones regulares Como vimos antes, se puede teselar el plano con triángulos de cualquier tipo y tam bién con paralelogramos. En particular, se puede teselar con un triángulo equilátero, y con un cuadrado. ¿Con qué otro polígono regular se puede teselar?
α
0
45
Figura 3.8
Recuerda que un polígono regular de n lados, es aquel cuyos lados y todos sus ángulos interiores miden lo mismo. Un polígono regular se puede construir en una circunferencia, dividiendo el ángulo completo del centro en n partes iguales. En lafigura la figura 3.8 o construimos un polígono regular de 8 lados. Dividiendo el ángulo 360 en 8, resultó o o 45 . Entonces marcamos 8 ángulos de 45 cada uno. Como cada triángulo que se forma en el interior del polígono es isósceles, el ángulo α cumple con 2α + 180 , entonces, 2α = + 45 = 18 = 135. Como un ángulo interior del polígono es igual a 2α se tiene que el ángulo interior del octógono mide 135 o . Al intentar teselar con octógonos resulta que al pegar dos, en cualquiera de los vértices comunes tenemos 135 + 135 = 270 grados. Por lo tanto, sólo nos falta un ángulo recto para formar un ángulo completo ( 360 o ) .
Figura 3.9 Como vemos en la figura 3.9, 3.9, no podemos agregar ag regar un nuevo octógono, puesto que la suma de los ángulos interiores superaría los 360°. Por lo tanto, no podemos teselar con octógonos regulares. Pero como bien saben las abejas, se puede teselar con hexágonos regulares.
actividades interior de un hexágono hexágono regular? regular? ¿Es un divisor de 360°? 360°? 1. ¿Cuánto mide el ángulo interior teselar con un pentágono pentágono regular? regular? ¿Su ángulo interior es un divisor de de 360°? 2. ¿Puedes teselar 180° el ángulo interior de un polígono? polígono? 3. ¿Puede ser 180°
114
Unidad
3
Una teselación se denomina regular si está compuesta por un solo tipo de baldosa y ésta es un polígono regular. regular. Por ejemplo, la teselación con triángulos equiláteros, con cuadrados y con hexágonos, son ejemplos de teselaciones regulares. ¿Habrá otras? ¿Qué crees tú? Para dar respuestas a las preguntas planteadas, primero es necesario notar que en cada vértice de una teselación regular confluye la misma cantidad de baldosas, para el caso de los cuadrados son 4, para el caso del triángulo equilátero son 6 y para el hexágono son 3. 2 1 6 3 4 5
1
1 4 2 3
2
3
Supongamos que un polígono regular tesela el plano, plan o, entonces en cada vértice confluye co nfluye el mismo número de polígonos, digamos m. Como es regular, todos los ángulos miden lo mismo, y como forman un ángulo completo, se tiene que m veces el ángulo interior = 360 , es decir, es 360 o . Si llamamos α al ángulo interior, podemos afirmar que mα = m =
360
α
Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado:
El ángulo interior de un polígono de una teselación regular divide en
360
o
.
Entonces, el problema se reduce a encontrar los polígonos regulares, cuyos ángulos interiores sean divisores de 360. A continuación en la tabla 3.1 te 3.1 te presentamos los divisores de 360: 1 8 20 60
2 9 24 72
3 4 5 6 10 12 15 18 30 36 40 45 90 120 180 360 Tabla 3.1 Como el ángulo interior de un pentágono regular es 108 o y como el 108 o no es un divisor de 360 o , podemos afirmar que el pentágono regular no tesela el plano. Como o o 135 no divide a 360 se tiene que el octógono regular tampoco lo tesela.
actividades 1. Completa en tu cuaderno la tabla 3.2: n indica la cantidad de lados del polígono regular y α es la medida del ángulo interior. n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
α
120
90 90
?
?
?
?
?
?
?
?
Tabla 3.2
MATEMÁTICA
115
Transformaciones Transform aciones isométricas
Como sabemos, un polígono regular tesela el plano si su ángulo interior divide a o 360 . Para encontrar aquellos ángulos, hagamos la siguiente observación: consideremos dos triángulos isósceles, donde la base es AB y A ' B ' respectivamente. C'
C
α '
α
β
β
'
B'
A'
B
A
Notamos que si α es más chico que α , entonces 2β es más grande que 2 β ' , pues '
2β
=
180
−
α y por su parte 2 β '
=
180
−
α '
En particular, consideremos un polígono regular A de n lados y otro B de m lados, con es
m > n
360
. El ángulo del centro de A es
360
, en cambio, el ángulo del centro de B
n
. Como
m > n
, se tiene que:
m
360
360 <
m
n
B
A
Como el hexágono regular tiene un ángulo interior de 120°, cualquier polígono regular de más lados que 6, tendrá un ángulo interior mayor que 120°, pero como entre 120° y 180° no hay ningún divisor de 360° se tiene que no hay ningún polígono regular de más de 6 lados que tesele al plano. Entonces, los únicos polígonos que teselan al plano son los que ya conocemos: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. En definitiva, hemos demostrado el siguiente resultado:
Las únicas teselaciones regulares están formadas por polígonos regulares de 3, 4 o 6 lados.
116
• aplicando lo aprendido •
Unidad
3
1. La baldosa básica de la siguiente teselación surge de aplicar el método “agregar y quitar” a un polígono regular que tesela el plano. Di cuál es el polígono y reproduce el proceso.
2.* La baldosa básica de la teselación de El Cairo es un pentágono que tiene 4 lados iguales y uno distinto, los ángulos que están en el lado distinto miden lo mismo, los otros dos ángulos, que no son el opuesto al lado diferente, también miden lo mismo y cada uno mide 90°. ¿Existe una única posibilidad para la medida de los ángulos?
3.* Si tienes regla, un compás y una escuadra isósceles, describe un método, una estrategia, para construir una baldosa de la teselación de El Cairo. intentábamos teselar con octógonos octógonos regulares regulares nos dimos cuenta cuenta de que era imposible, imposible, porque al al 4. Cuando intentábamos pegar dos baldosas sólo quedaban disponibles 90° los que no eran suficientes para poner otra baldosa. Esto nos lleva a pensar que sí podemos teselar utilizando octógonos y cuadrados:
Estas teselaciones se llaman llaman semi-regulares y están compuestas por más de un polígono regular. Encuentra semi-regulares y otra de este tipo.
5. ¿Puede el pentágono regular ser parte de una teselación semi-regular?
MATEMÁTICA
117
• actividades inales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
1.
Las coordenad coordenadas as de un trapezoide ABCD son: A( −6, 2), B(−6, 4 ), C( −2, 8 ), D(−2, 2). Determina las coordenadas de la imagen de ABCD en cada una de las siguientes transformaciones:
a) Traslada ABCD tal que la imagen de A sea D. b) Refleja ABCD respecto al eje Y. ABCD entorno a D con un ángulo ángulo de c) Rota ABCD
o
90
.
d) Aplica a ABCD la traslación T( −1, −8) y la imagen resultante
A 'B 'C 'D ' refléjala
con respecto al eje X de
coordenadass en el plano cartesiano. coordenada
2.
Para las siguientes siguientes figuras realiza en tu cuaderno una reflexión reflexión con respecto a la recta L, luego a la imagen obtenida la reflejas con respecto a la recta M.
M L
a)
b) L
M
3.
Observa el siguiente siguiente triángulo triángulo equilátero. equilátero. O es la intersección intersección de las alturas. FC , EB y AD Completa en tu cuaderno la tabla 3.3 identificando las imágenes de los puntos bajo la rotación con centro en O y el ángulo que se indica. A
Rotación
A
B
C
D
E
F
o
120
o
120 F
O
B
en sentido horario
o
240
o
240
en sentido horario
o
E
118
C D
360
Tabla 3.3
Unidad 4.
3
Utiliza el triángulo equilátero equilátero del ejercicio ejercicio anterior y completa en tu cuaderno la tabla 3.4, identificando las imágenes de los puntos bajo una reflexión con respecto al eje indicado. Eje de Reflexión
A
B
C
D
E
F
AD EB
FC
Tabla 3.4
5.
Dada la figura figura A en la siguiente ilustración, describe la transformación transformación isométrica que lleva la figura A en la B, luego la B en la C y así continúa en orden alfabético hasta la figura F.
B
A
D
C
F
6.
Observa las siguientes figuras y determina bajo qué qué rotación rotación quedan quedan invariantes. invariantes.
a)
7.
E
b)
c)
d)
La composición T(6, −1) T( −7, 2) transforma el trazo PQ en el trazo P 'Q ' . ¿Cuál es la traslación que lleva P 'Q'
a PQ ?
MATEMÁTICA
119
8.
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
Dado el pentágono de vértices A(1,1), B(2, 4 ), C (5 ,5), D (4 ,2), E (3 ,3), grafica las siguientes composiciones de transformaciones aplicadas al pentágono: respecto a la recta horizontal que que pasa por el punto punto P (0 ,3) compuesta con a) Reflexión respecto T( −5,3)
b)
T( −5,3) compuesta con una reflexión respecto de la recta horizontal que pasa por el punto P (0 ,3)
puedes conjeturar a partir de de los resultados resultados que que obtuviste en los ejercicios ejercicios a) y b)? c) ¿Qué puedes
9.
Determina los ejes de simetría (si es que los hay) de las l as siguientes figuras:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
10. Con la ayuda de otros compañeros, encuentren todas las figuras diferentes que se pueden generar por combinaciones de tres rombos como los que muestra la figura:
Nota que el ángulo agudo del rombo es 60 o y el obtuso es 120 o. Nota además, que las tres figuras siguientes se consideran iguales porque entre ellas se puede establecer una isometría.
11. Observa las siguientes figuras y explica qué composición de transformaciones es necesaria aplicar a la figura A para obtener la figura B.
A
B
120
Unidad
3
12. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano? Con aquellas figuras que sea posible, dibuja en tu cuaderno la teselación.
13. Júntate con un compañero y dibujen el segmento PQ de coordenadas P(0,0) y Q(1,1). independiente un cuadrado aplicando aplicando diferentes diferentes transformaciones transformaciones isométricas a) Construyan de manera independiente al segmento PQ y uniendo las imágenes resultantes. ¿Cuáles son las transformaciones que utilizaron? ¿Realizaron las mismas? anterior pero ahora construyendo construyendo un triángulo. b) Realicen el ejercicio anterior
l a siguiente ilustración, describe la transformación isométrica que lleva la figura A 14.* Dada la figura A en la en la B, luego la B en la C y así continúa el proceso de descripción en orden alfabético hasta la figura F. F.
D
E B
C
A
F
15. Utiliza el método de agregar y quitar aplicado al triángulo equilátero de la figura, para construir otra con la que que puedas puedas teselar el el plano. plano. A continuación te mostramos mostramos un ejemplo ejemplo de éste éste para para que que te orientes en tu construcción.
MATEMÁTICA
121
• síntesis de la unidad • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
Embaldosamientos o teselaciones
Ángulos Distancia
utilizadas en
La naturaleza y el arte
TRANSFORMACIONES conservan
Reconocer
ISOMÉTRICAS
Caracterizar
Traslaciones
se encuentran en
Construir
Reflexiones
Concatenar
Rotaciones
En esta unidad hemos estudiado las transformaciones isométricas: traslación representando el movimiento horizontal y vertical de una figura en el plano, rotación en un ángulo dado en torno a un punto y reflexión con respecto a un eje de simetría. Hemos aprendido a reconocer estas transformaciones por medio de sus características y propiedades, siendo las más relevante la de ser movimientos que conservan ángulos y distancia. Determinamos el o los ejes de simetría de una figura, así como el ángulo que mantiene invariante una figura después de aplicarle una rotación. También hemos encontrado las imágenes de ciertas figuras vía transformaciones isométricas, utilizando regla y compás, además de analizar la imagen resultante bajo la t ransformación en relación a la figura inicial. Estudiamos el significado de concatenar o componer transformaciones isométricas. Analizamos que en general la propiedad conmutativa (cambio de orden) no se cumple en la composición de estos movimientos, pero que existen algunos casos, como la composició composición n de traslaciones o de rotaciones con el mismo centro, en la que sí se verifica la conmutatividad. Introdujimos el concepto de teselación o embaldosamiento del plano como un recubrimiento de éste por baldosas que se ensamblan perfectamente sin superponerse ni dejar trechos vacíos entre ellas. Además reconocimos diseños realizados por mapuches, pascuenses y aimaras en sus trabajos de artesanía, y por supuesto, revisamos el importante aporte del artista holandés M.C. Escher Escher..
122
Unidad
3
• autoevaluación • 1. Al aplicarle una traslación a la figura se obtiene:
modificado de Prueba Prueba Timss 2003] 2003] 5. [Problema modificado Dadas las siguientes baldosas: Si en el cuadriculado PQ y RS son ejes de simetría, ¿cuál baldosa deber ir en el lugar de X e Y, respectiva respectivamente? mente?
a)
b)
c)
d)
A
a) b) c) d)
2003] 2. [Prueba Timss 2003] El rectángulo rectángulo PQRS es rotado rotado y queda queda sobre el rectángulo UVST. ¿Cuál es el centro de rotación? S
T
R
B
C
D
P
DyB AyB ByD DyC
D R
C
X
S
B A
Y
Q
a) P b) R
P
Q
c)
6. Si al segmento AB de coordenadas A(−1, 0) y , B( −2, 3) se le aplica la composición R (O,180 ) T(11 ,)
S
d) T U
o o
las coordenadas de la imagen
V
1995] 3. [Prueba Timss 1995] ¿Cuál de las siguientes imágenes no muestra un eje de simetría?
a)
a)
B'(−1, 4)
b)
B'(2, −3)
c)
B'(−1, −4 )
d)
B'(1, −4 )
B'
son:
b) modificado de Prueba Prueba Timss 1995] 1995] 7. [Problema modificado
c)
d)
El triángulo ABC representa una baldosa. ¿Cuántas baldosas debes colocar para cubrir la siguiente figura?
4. Si se le aplica al hexágono regular ABCDEF la rotación R(O,240°) la imagen es el hexágono A 'B 'C' D 'E 'F ' . Si ponemos una figura sobre la otra, haciéndola calzar perfectamente, el vértice C coincide con el vértice:
a) b) c) d)
B
A
C' E' A'
C
F
O
F' E
a) 14 b) 7 c) 13 d) 12
D
MATEMÁTICA
123
Variaciones Variaciones PROPORCIONALES
Al finalizar esta unidad serás capaz de: Identificar las variables de cierto problema para confeccionar tablas y gráficos. Leer e interpretar gráficos de uso habitual en los medios de comunicación.
Temas que estudiaremos en esta unidad: Tablas y gráficos.
Interpretación de gráficos.
Inferir resultados de tablas y gráficos. Resolver problemas modelados mediante proporcionalidad directa con el cuociente constante entre las variables. Relacionar la constante de proporcionalidad directa con el cuociente constante entre las variables. Analizar y comparar gráficos de variación proporcional directa. Resolver problemas modelados mediante proporcionalidad inversa utilizando tablas, gráficos o expresiones algebraicas. Relacionar la constante de proporcionalidad inversa con el producto constante entre las variables. Analizar y comparar gráficos de variación proporcional inversa.
Variación proporcional directa.
Gráfico de variación proporcional directa.
Variación proporcional Inversa.
Gráfico de variación proporcional inversa.
Unidad
4 En la prensa y en diversos medios de comunicación, noticieros, Internet, etc. se publican estudios en que presentan informaciones resumidas en gráficos de todo tipo, en tablas, cuadros, mapas, etc., de forma tal que el lector tenga mucha información en un solo golpe de vista, en una sola imagen. Por ejemplo, la de abajo es la información resumida de causas de muerte en el año 1998, según datos de la OMS (Organización Mundial de la Salud).
Enfermedades respiratorias y digestivas Mortalidad materna
otras Enfermedades infecciosas
Traumatismos
Cáncer
Enfermedades cardiovasculares
Una lectura eficaz de esos datos permite hacer inferencias claras y precisas. De este modo, si sabemos que la población muerta en el año 1998 fue 53,9 millones de personas, y como vemos en el gráfico, la cuarta parte muere por enfermedades infecciosas, podemos calcular el total de personas muertas debido a esta última causa.
• para recordar • 1. Si las variables A y B están relacionadas en proporción proporción directa, ¿cuál de los siguientes gráficos
pueden representar adecuadamente esa relación:
a)
b)
c)
d)
2. En Chile, por cada compra que tú haces pagas un impuesto llamado “Impuesto al Valor Agregado”, Agregado”, abreviado
como IVA. Este impuesto es proporcional al valor neto (sin impuesto) del producto. Completa en tu cuaderno la tabla 4.1, donde una fila entrega el valor neto de un producto y la segunda el valor del producto con impuesto.
Tabla 4.1 a) Para obtener el valor con impuesto basta multiplicar el valor neto por un número k. ¿Cuál es el valor de k?
3. Según datos de la UNICEF, en el año 2003, en Chile, había 238.187 niños o niñas entre 5 y 17 años que trabajaban. El gráfico 4.1 muestra cómo se distribuyen estos “trabajadores” según la actividad que realizan.
Servicios personales. Confección y arreglo de vestuario, carpintería, construcción.
Ayudantes, obreros, jornaleros.
Empleado administrativo. Otros.
Agricultura pesca forestal. Vendedores. Gráfico 4.1
Aproximadamente, ¿cuántos niños o niñas fueron vendedores? 4. El matrimonio formado por Marisol y Cristián deciden poner un negocio pequeño a la salida del colegio del
vecindario. Para comenzar el negocio necesitan un capital $200.000, deciden aportar dinero de forma proporcional a sus ingresos. Marisol gana $420.000 mensuales y Cristián gana $340.000 mensuales. ¿Cuál será el aporte de cada uno?
126
Unidad
4
Tablas y gráficos En la Unidad 2 vimos cómo ciertas cantidades se relacionaban; por ejemplo, la relación entre el valor de la cuenta de electricidad y el consumo mensual de una familia. De hecho, si el consumo es C, medido en KWH (kilowatts-hora), (kilowatts-hora), el valor de la cuenta es: V = 509 + 68 C
Cuando las cantidades pueden tomar diferentes valores decimos que son variables. Por ejemplo en la relación anterior el consumo es variable, puesto que C puede tomar diferentes valores, dependiendo de cada mes, de cuanta gente está en la casa, si es invierno o verano, etc. Como V también varía dependiendo de C, decimos que V también es variable. Si le damos algunos valores a C podemos hacer una tabla como la tabla 4.2, 4.2, con los valores que se obtienen: 50 70 80 90 100 120 140 Valor de la Cuenta ($) 3.909 5.269 5.949 6.629 7.309 8.669 10.029 Tabla 4.2 Consumo (KWH)
También podemos entregar la información en un gráfico, como el que mostramos en el gráfico 4.2: 4.2: En el gráfico están los valores de la tabla, además de todos los valores intermedios, por ejemplo, el consumo C=20 KWH no aparece en la tabla, pero del gráfico g ráfico podemos estimar que el valor de la cuenta para ese valor de C, C, está entre $1.500 y $2.000. De hecho si si uno hace los cálculos, puede afirmar que el valor de la cuenta si el consumo es 20 KWH, es de $1.869. Para muchos propósitos no es importante conocer los valores exactos de las variables variables,, sino estimaciones. También También es importante com parar gráficos, comparar los crecimientos, tendencias, variaciones, etc. sin necesidad de conocer los valores precisos de las variables.
Gráfico de consumo
actividades
Gráfico 4.2
1. En el gráfico del valor de la cuenta de electricidad según el consumo mensual, aproximadamente, ¿cuál de
ellos produce una cuenta de $6.000? 2. ¿Es cierto que el aumento del valor de la cuenta entre 20 KWH y 40 KWH es el mismo que entre 100 KWH
y 120 KWH? 509 9 + 70C , para para el el consu consumo mo C, C, el gráfi gráfico co tambi también én sería sería un rect recta. a. La La recta recta 3. Si el valor de la cuenta fuese V = 50 que resulta, ¿tiene mayor inclinación que la de arriba?
MATEMÁTICA
127
Variaciones proporcionales
El gráfico de dos variables x e y relacionadas, por una igualdad, son los puntos ( x0, y0 ) que satisfacen dicha igualdad. Por ejemplo, si la relación es y =
2+ x 2
entonces si x = 4 , se tiene que y = 3 , por lo tanto, el punto (4,3) pertenece per tenece al gráfico. El punto (0,0) (0,0) no pertene pertenece ce al gráfico gráfico,, pues cuando x = 0 , y no es cero, de hecho es 1. Existen programas computacionales gratuitos en la red que realizan gráficos g ráficos de relaciones como la anterior. Notemos que la relación y = y esta última es igual a 2 y − 2 − x = 0 .
2+x 2
es la misma que 2 y = 2 + x ,
Uno de estos programas es Winplot, el cual es gratuito y en español. Lo puedes encontrar en math.exeter.edu/rparris/winplot.html math.exeter.edu/rparris/winplot.html.. En él puedes escribir la relación mediante la ecuación y te entregará el gráfico de ésta. Gráfico 4.3
En el gráfico 4.3 hemos marcado los puntos (0,1) y (4,3).
actividades 1.* Si los puntos (x,y) y (a,b) están en el gráfico 4.3 y x está a la izquierda de a, ¿es cierto que y está abajo de b? Explica. 2. Decide cuál de los siguientes puntos pertenece al gráfico de arriba: a) (1, 2)
128
b) (−2, 0)
7 2
c) 5,
d) (2, 2)
Unidad
2
4
Interpretación de gráficos
El siguiente gráfico muestra la predominancia del virus VIH-SIDA en personas de 20 a 24 años en la capital de Uganda. El eje Y muestra el porcentaje de personas de ese rango de edad con el virus, vi rus, en el eje X aparecen los años en que se ha medido ese porcentaje.
Fuente: OMS.
Gráfico 4.4 Notamos que si si se mira el gráfico 4.4 de 4.4 de izquierda a derecha, va decayendo, es decir, el porcentaje de gente infectada ha disminuido en el tiempo. Sin embargo se puede ser más preciso en el análisis. De hecho, el ritmo de decaimiento es distinto en los diferentes periodos. Por ejemplo, entre 1992 y 1993, el porcentaje bajó en 5 puntos más o menos, pero en el periodo 1993 -1995, la l a disminución fue de más de 6 puntos por año. En el último periodo, periodo, de 1995 a 1996, la disminución fue lenta: menos de un punto porcentual. Es importante notar que el ritmo de crecimiento o decrecimiento guarda relación con la inclinación de la recta en cada período. Mientras más inclinada la recta, mayor es el crecimiento (o el decrecimiento dependiendo si sube o baja la recta). En general, el gráfico de una relación entre dos variables no es necesariamente una recta, pero de todos modos podemos definir el ritmo de crecimiento (o decrecimiento), también se llama la tasa o razón de cambio o promedio.
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Gráfico 4.5
En general, si (a,b) y (c,d ) pertenecen a un gráfico, la razón de cambio promedio entre esos dos puntos del gráfico de y respecto de x, se define como: d −b c−a
actividades 1. Haz en tu cuaderno un gráfico, de una relación de y respecto a x, que cumpla las siguientes condiciones: Para x entre 0 y 2 el gráfico crece. De 2 a 5 se mantiene constante (n o crece ni decrece). De 5 a 8 decrece con
razón de cambio promedio −2 . Según tu gráfico, ¿cuál es la tasa de crecimiento promedio entre 0 y 2? y ¿cuál es la tasa de crecimiento promedio entre 2 y 5?
MATEMÁTICA
129
Variaciones proporcionales
Podemos comparar comparar gráficos, para muchos casos, sin necesidad de conocer los valores de las variables ni las escalas utilizadas. Por ejemplo, el gráfico 4.6 muestra 4.6 muestra la variación porcentual anual del Producto Interno Bruto (PIB) en diferentes años (desde 1981 hasta 1997), de varios conglomerados de países.
Fuente: FMI
Gráfico 4.6 Sin conocer la escala ni los valores, podemos afirmar, a partir del gráfico, que los países en desarrollo han tenido un crecimiento mayor que los países africanos, pero menor que los países asiáticos, ya que el gráfico que representa a los países en desarrollo está por sobre el gráfico que representa a África y bajo el de Asia. Otro ejemplo más cotidiano es el siguiente: pensemos en una atleta que participa en un triatlón. En las tres pruebas su velocidad es esencialmente constante, pero distinta en cada caso. Nada más lento que lo que corre y corre más lento que lo que anda en bicicleta. El gráfico 4.7 muestra 4.7 muestra la distancia recorrida por el atleta en cada instante.
Gráfico 4.7
actividades 1. Según el gráfico 4.7, ¿cuál fue el orden de la carrera? ¿Fue “trote - nado - bicicleta”? 2. ¿Cuál prueba le tomó más tiempo? 3. Si la distancia total fue de 40 km y el atleta la recorrió en 4,16 h, ¿cuál fue su velocidad promedio?
(Nota que en este caso velocidad promedio y tasa promedio es lo mismo).
130
• aplicando lo aprendido •
Unidad
1. Los siguientes recipientes cilíndricos son llenados con la misma llave, que deja fluir agua a un
4
ritmo constante. El gráfico representa la relación entre la altura del nivel del agua a cada instante t, para cada recipiente. ¿Cuál gráfico corresponde a cada recipiente?
¿Cómo serían los diferentes gráficos, si en lugar de la altura se graficará el volumen que tiene cada recipiente en cada instante t?
2. Un taxista cobra $200 por los primeros 200 m. Luego, por cada 200 m aumenta el precio de la carrera
en $80. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el precio de la carrera según la distancia recorrida?
a)
b)
c)
(En el gráfico c): La bolita vacía al final del tramo significa, que el precio en ese punto se considera en el tramo siguiente, y por esta razón es que al comienzo del siguiente tramo hay una bolita llena). ¿Cuál es el precio de una carrera de 2,3 km?
3. Los gráficos muestran el porcentaje de hombres y mujeres fumadores según edades.
¿En qué periodos se produce el mayor aumento de fumadores, en hombres y en mujeres? ¿Desde qué edad se produce sólo decaimiento en la cantidad de fumadores, en hombres y en mujeres? ¿En qué edad, más o menos, se produce la mayor cantidad de fumadores, en hombres y en mujeres? Junto con tus compañeros discute respecto del por qué del gran decaimiento de mujeres fumadoras entre los 25 y 40 años.
Hombres
Mujeres Fuente: Encuesta nacional de Salud. MINSAL 2003. MATEMÁTICA
131
Variaciones proporcionales
3
Variación proporcional directa
relación propor proporcional cional Una de las relaciones más importantes entre dos variables es la relación o directamente proporcional . Ya la hemos visto en los años anteriores. De hecho, tenemos una tabla de los valores de dos variables variables,, podemos decidir si son proporcionales o no. Por ejemplo, consideremos la tabla 4.3.
Para decidir si las variables están relacionadas proporcionalmente, basta considerar si todos los cuocientes de la forma
y x
, (con x ≠ 0 ) si son todos iguales, entonces las
variables están relacionadas proporcionalmente. En nuestro caso: 136 2
Tabla 4.3
=
204 3
=
340 5
=
408 6
=
544 8
=
612 9
=
748 11
= 68
proporción ción o propor proporción ción directa si existe k > En general, dos variables están en propor > 0 , constante, tal que y = kx para cualesquiera valores de x e y. Es decir, dos variables están relacionadas proporcionalmente si el cuociente entre y y x es constante (positiva), no depende de los valores que tome x o y, con x distinto de cero.
Al número k se se le llama constante de proporcionalidad , por ejemplo, la constante de proporcionalidad entre las variables de la tabla anterior es 68. La constante de proporcionalidad entre el perímetro perímetro de un cuadrado cuadrado y el lado del mismo es 4, pues el perímetro es cuatro veces el largo del lado. En símbolos P = 4 l , donde P es el perímetro del cuadrado y l es es el largo del lado. El número π es la constante de proporcionalidad entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro; de hecho, esa es la definición de π , en símbolos P = π d , donde P es el perímetro de la circunferencia y d su su diámetro. La tabla 4.4 tiene 4.4 tiene en la primera columna el valor del lado de un cuadrado y en la otra fila, tiene el área del cuadrado correspondiente. Como vemos, estas dos variables no están relacionadas proporcionalmente, ya que si tomamos el cuociente
A
, no se mantiene constante. Por ejemplo:
l
9 3
≠
25 5
Tabla 4.4
actividades 1. El arco de una circunferencia es proporcional al ángulo del centro centro que lo o subtiende. Si el ángulo 180 corresponde a un arco de π r , construye una tabla
de 10 términos para las variables “ángulo” y “arco”.
132
AB
α
Unidad
4
En muchas situaciones se utilizan variables relacionadas proporcionalmente, proporcionalmente, como tú bien viste los años anteriores. Por ejemplo, si un automóvil se mueve con velocidad constante, digamos 100 km/h, la distancia recorrida es directamente proporcional proporcional al tiempo transcurrido. De hecho, si el tiempo t lo lo medimos en horas y la distancia en = 100 t . kilómetros, se tiene que d = El lenguaje de razones es muy utilizado para relacionar variables proporcionales. Si 2 decimos que las variables x e y están en la razón 2 es a 3 (en símbolos 2:3 o ), que3 remos decir que por cada 2 unidades que crece x se tiene que y crece 3. Es decir, y =
2 3
x
En recetas de cocina, en mezclas químicas, mezclas de la construcción, planos, en copias artísticas, en rendimiento de combustible, etc. es muy utilizado el lenguaje de proporciones y razones. Por Por ejemplo, si en un mapa se lee “escala “escala 1:100.000” quiere decir que cada unidad del mapa corresponde a 100.000 unidades en la realidad. Es decir, si en el mapa medimos 2, 3 cm la distancia entre dos plazas, en la realidad esas 230 0.00 000 0 cm = 2.300 m de distancia. Es decir, si m plazas están a 2, 3 ⋅ 100.000 cm = 23 denota la distancia en el mapa y r la la distancia en la realidad, se tiene que: 100 0.00 000 0 m r = 10
actividades 1. [Ejemplo para la prueba SIMCE 2o Medio, año 2001] El profesor de
arte te pide hacer una copia del cua dro “La Mona Lisa” de Leornardo Da Vinci. El cuadro original tiene las medidas que se muestran en el dibujo. ¿Cuál de las siguientes cartulinas tiene el tamaño exacto que te sirve para realizar una reducción del cuadro original manteniendo sus proporciones? a) 38,5 cm x 26,5 cm
c) 71,5 cm x 47,5 cm
b) 70 cm x 53 cm
d) 77 cm x 77 cm
2. [Variación de un ejemplo para la prueba SIMCE 2o Medio, año 2001]
Eugenia quiere comprar una estufa a parafina que gaste 2 litros por cada 5 horas de encendido. Ella encuentra una estufa que gasta lo que quiere, pero tiene una capacida d de 3,6 litros, ¿cuántas horas aproximadamente dura encendida desde que se llena el estanque? a) 1,5 horas
b) 8 horas
c) 9 horas
Mona Lisa Leonardo Da Vinci.
d) 10 horas
Si y denota la cantidad de parafina que se necesita para tener encendida una estufa x horas, ¿cuál es la relación entre x y y para una estufa que cumpla los requerimientos de Eugenia?
MATEMÁTICA
133
Variaciones proporcionales
4
Gráfico de variación proporcional directa
Si las variables x e y están relacionadas proporcionalmente, digamos y = kx , entonces cuando x = 0 también y = 0 . Es decir, siempre el punto (0,0) es parte del gráfico de una relación directamente proporcional. Estudiemos los gráficos 4.8 (a), (b), (c) y (d) (d).. Como vemos, en los gráficos 4.8 todos 4.8 todos pasan por el (0,0), de modo que en principio todos son candidatos para ser gráficos de relaciones proporcionales. El gráfico (b) pasa por (1,1) y por (2,4), si se tratase del gráfico de una relación proporcional ocurriocurri4 1 ría que sería igual a , lo cual no ocurre. De modo que el gráfico (b) (b) no no representa 2 1 una relación proporcional. 1
En el gráfico (d), (d), cuando cuando x = se tiene que y = 1 , por lo tanto, si la relación fuese 2 proporcional, cuando x = 1 , y debiera valer 2, pero en el gráfico se ve que eso no ocurre. Además, cuando x = 2 , se debiera cumplir que y = 4 , pero para x = 2 sólo se tiene que y = 3 . Por lo tanto, el gráfico (d) (d) tampoco tampoco representa una relación proporcional. De hecho, ninguno de los 4 gráficos representa una relación proporcional.
Figura 4.8
c
cuidado
Existen variables que tienen tasa de crecimiento constante, pero no son proporcionales. Por ejemplo, en la relación y=1+x, la tasa de crecimiento de y respecto a x es 1, pero x no es proporcional a y.
Notamos que si (a,b) es un punto del gráfico de la relación y = kx , es decir, b = ka , se tiene que la tasa de crecimiento entre (0,0) y (a,b), si a ≠ 0 es: b−0 a−0
b
ka
a
a
= =
a
= k = k a
y esto es cierto para cualquier punto (a,b) del gráfico; en particular, parti cular, si tomamos otro punto (c,d ) del gráfico, la tasa promedio entre (0,0) y (c,d ) también es k. Por lo tanto, la tasa promedio entre (a,b) y (c,d ) es también k , es decir:
La tasa de crecimiento promedio, entre dos puntos cualquiera de una relación proporcional es constante, y ese valor, es la constante de proporcionalidad.
actividades 1. Explica por qué el primer y tercer gráfico no representan relaciones proporcionales. 2.* Explica por qué si la tasa promedio entre (0,0) y (a,b) es k y además la tasa promedio entre (0,0) y (c,d) es k, entonces la tasa promedio entre (a,b) y (c,d) es k.
134
Unidad y2 y1 x1
= k
y2
x2
4
= k y2
y1
y2
y1
y1 x2
x1 x1
x1
x2
x2
Gráfico 4.9
Al observar el gráfico 4.9, 4.9, por cada aumento en una unidad en el eje de las x, en el eje de las y aumenta en k . En general el cuociente entre la distancia en el eje y, y la distancia en el eje x, es constante para cualquier par de puntos. Es decir, la inclinación del trazo que una a cualquier par de puntos del gráfico es la misma, igual a k . Concluyendo:
El gráfico de una relación proporcional es una recta que pasa por el origen, que sube si se mira de izquierda a derecha.
Gráfico 4.10
Ahora bien, como ya sabemos que las relaciones proporcionales se grafican como una recta, para diferenciarlas sólo basta ver cuán inclinadas están. Por ejemplo, si las variables x e y son iguales, es decir, y = x , la inclinación es de 45o, como vemos en el gráfico 4.10. 4.10. Además, notamos que es la continuación de la diagonal del cuadrado de lado 1. Por esta razón esa recta se llama “La diagonal”. En general, una relación proporcional y = kx, tiene por gráfico la recta que pasa por el origen y es la continuación de la diagonal del rectángulo de lados de medida 1 y k , donde el lado que mide 1 está sobre el eje x y el que mide k está está sobre el eje y (ver gráfico 4.11). 4.11).
Gráfico 4.11
actividades 1. Demuestra que la relación v = 2 + x tiene una tasa de crecimiento constante para cualquier par de puntos
de su gráfico, pero que no es una relación proporcional. 2. Nota que la relación y = x 2, tiene un gráfico que pasa por (0,0).
Explica porqué la relación no es proporcional.
recorre un móvil es proporcional al tiempo que le toma recorrer esa distancia? En 3. ¿En qué caso la distancia que recorre el caso en que es proporcional la relación, ¿qué concepto físico representa la constante de proporcionalidad? verdadera? 4. La recta azul es la diagonal, entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a) k < k’< 1 < k’ k’’’
y = k'x
b) k < 1< k’’< k’ c) k < 1< k’ < k’’ d) 1 < k< k’ < k’ k’’’
y = kx
MATEMÁTICA
135
• aplicando lo aprendido • 1. Si y y x están relacionadas de forma tal que si x crece y también crece, entonces
¿están estas variables relacionadas proporcionalmente?
2. Si el gráfico de la relación entre x e y es una recta,
¿es cierto que la relación es proporcional?
3. Si y depende de x, de forma que la tasa de crecimiento de y respecto a x es constante, ¿implica
esto que la relación es proporcional?
4. Si x e y están relacionadas proporcionalmente, ¿implica que si x crece e y también crece? (Nota
que no es la misma pregunta que 1).
5. Considerando el mapa a escala de una pa rte de la Cuarta Región y utilizando una regla graduada , determina
las siguientes distancias:
Fuente: Turistel Chile.
a) La Herradura - El Romeral.
c) Condoriaco - Caserones.
b) Lambert - San Pablo.
d) Coquimbo - Viñita baja.
6. Es muy común confundir “masa” con “peso”, pero la verdad es que no son lo mismo, de hecho, m kg uno tiene unidades de kg (la masa) el otro tiene unidades de N (Newton, N ). Lo que sí es s2 ⋅
=
cierto es que son directamente proporcionales.
a) Completa en tu cuaderno la tabla 4.5 que relaciona masa (M) con peso (W):
Tabla 4.5 b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre W y M? c) Grafica la relación W versus M. d) Grafica la relación M versus W. e) ¿Cuál es la relación entre las tasas de crecimiento de los dos gráficos de
arriba? Generaliza tu resultado. 7. Si un florero se llena con agua a un ritmo constante, ¿la altura del nivel del agua
es proporcional al tiempo? Junto a varios compañeros elaboren, cada uno, una conjetura de cómo creen que sería el gráfico de la altura versus el tiempo. Discutan respecto a las razones de los gráficos y lleguen a un consenso con ayuda de su profesor profesor..
136
Unidad
5
4
Un caso particular
Un caso especial de gráficos son los circulares o de torta, que muestran varios datos distribuidos en sectores circulares. La parte destinada a cada dato representa la misma parte que el dato del total. Es decir, si un dato representa un cuarto del total, tot al, en el gráfico circular el sector destinado a representarlo será un cuarto del total. Por ejemplo, si la tabla 4.6 muestra 4.6 muestra la cantidad de niños de un colegio que prefieren distintos deportes: Deporte Cantidad de niños
Fútbol
Básquetbol
Tenis
Tenis de mesa
200
100
50
50 Tabla 4.6
Como el total de estudiantes es 400, entonces tenemos que los que prefieren fútbol corresponden a la mitad del total, por lo tanto, el sector circular que represente a “fút bol” será la mitad del círculo. Del mismo modo “básquetbol” representa un cuarto del círculo y tenis junto con ping-pong comparten el otro cuarto en partes iguales. De hecho, lo puedes observar en el gráfico 4.12 4.12..
Fútbol Básquetbol Teni T eniss Tenis de mesa
Es importante notar que para un círculo fijo, el área del sector circular es directamente proporcional al ángulo que lo define. Por lo tanto, para encontrar el sector circular que representa la cuarta parte del círculo completo, basta encontrar la cuarta parte de 360° que es 90°. Del mismo modo, el ángulo que define el sector circular dedicado al tenis es 45°.
Gráfico 4.12
actividades circular con el ángulo que lo define, 1. Completa en tu cuaderno la tabla 4.7, 4.7, que relaciona el área de un sector circular para un círculo de radio 2 cm.
Ángulo (o)
360 27 2 70 18 1 80 12 1 20
Área del sector circular (cm2)
4π
?
?
?
90
60
45
30
?
?
?
?
Tabla 4.7 2. Realiza en tu cuaderno un gráfico circular con los datos de la tabla 4.8 que muestra el ingreso medio
mensual, de tres categorías de actividades de personas.
Categoría Empleador Empleado Independiente
Ingreso medio mensual ($) 2.377.300 196.600 372.300 Tabla 4.8
MATEMÁTICA
137
Variaciones proporcionales
6
Variación inversamente proporcional
Como vimos en los cursos anteriores, además de la proporcionalidad directa, también existe la proporcionalidad inversa, es decir, cuando una variable crece, la otra decrece en la misma proporción. Es decir, si una variable crece al doble, la otra disminuye a la mitad. Por ejemplo, observa los rectángulos de la figura de la derecha, ¿qué tienen en común? Si aún no tienes claro qué tienen en común, no sigas leyendo y haz otro esfuerzo. Te puede ayudar contar los cuadraditos que tiene cada rectángulo. Si el área de cada cuadradito de la grilla es de 1 cm2, entonces todos los rectángulos de arriba tienen igual área, de hecho, el área de todos y cada uno de ellos es 16 m 2. Sin embargo, las dimensiones de los lados l ados cambian en cada caso, por ejemplo, está el de lados 1 cm y 16 cm y también el cuadrado de lado 4. La tabla 4.9 muestra 4.9 muestra la relación entre algunas medidas de lados y y x, de un rectángulo de área 16 m 2. x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
16
8
5, 3
4
3,2
2, 6
2, 28 2 85714
2
1, 7
1,6
Tabla 4.9
actividades 1. Calcula el perímetro de todos los rectángulos que están referidos en la tabla 4.9.
¿Cuál de ellos tiene menor perímetro? 2. Presenta los puntos de la tabla en un gráfico poligonal. Este gráfico, ¿es ascendente o descendente?
¿Tiene tasa de cambio constante? 16 ? 3. Si x e y son los lados de un cuadrado de área 16, ¿es cierto que y = x
d e dos columnas. En la primera columna column a pon todos los divisores de 360 en orden 4. Haz una tabla en tu cuaderno de ascendente, en la segunda pon todos tod os los divisores de 360 en orden descendente. Multiplica los valores de cada fila, ¿es cierto que siempre resulta el mismo número? ¿Cuál es ese número? Grafica los datos de esa tabla ¿Es ascendente o descendente el gráfico?
138
Unidad
4
Las variables y y x del estudio anterior son las medidas de los lados de un rectángulo de área 16 cm 2 y están relacionadas por la siguiente igualdad: yx = 16
Siempre que esto ocurra con dos variables, diremos que ellas están en proporción inversa, más precisamente, si el producto entre y y x es constante, diremos que las variables son inversamente inversamente proporcionales. Es decir, si xy = k para alguna constante k , diremos que y y x son inversamente proporcionales. O lo que es lo mismo:
Decimos que dos variable variabless y y x están en proporción inversa, k
si para alguna constante k se se cumple y = . x
Considerando la tabla de la página anterior, aquella que relaciona los lados de un 1 rectángulo de área 16 cm 2 , construyamos la tabla que relaciona y con . La tabla x 4.10 es la resultante. z = y
1
x
1 16
r
recuerda
La constante k en en este caso también se llama Constante de proporcionalidad. proporcionalidad.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
5,3
4
3,2
2,6
2,285714
2
1,7
1,6
Tabla 4.10 Si dividimos los valores de y por los valores de z resulta: resulta: y z
=
16 1
=
8 1
=
5, 3 1
2
3
=
4 1
=
4
3, 2 1
=
5
2 1
= 16
8
Es decir, y = 16 z lo que quiere decir que y es directamente proporcional a z , pero 1
recordemos que z = , entonces tenemos el siguiente resultado: x
Dos variables y y x están en proporción inversa inversa si y solo si y es directamente proporcional a la variable
1
x
.
actividades 1. Si se quiere recorrer 100 km en un tiempo de una hora, se necesita una velocidad de 100 km/h. En general, ¿qué velocidad se necesita para recorrer los 100 km en un tiempo t? 2. A distancia constante, ¿es la velocidad (constante) directamente proporcional al tiempo? 3. Completa la tabla 4.11 que relaciona las variables “velocidad constante” y el tiempo necesario para reco-
rrer 100 km en cada velocidad. Velocidad (km/h)
(h h) Tiempo (
120
100
80
60
50
40
20
10
?
?
?
?
?
?
?
?
Tabla 4.11 4. Grafica los datos de la tabla de arriba. ¿Es ascendente o descendente el gráfico? La razón de cambio, ¿es
constante?
MATEMÁTICA
139
Variaciones proporcionales
7
Gráfico de variación inversamente inversa mente proporcional
Como ya has descubierto en los ejercicios de las páginas anteriores, los gráficos de variaciones proporcionales inversas inversas son curvas, no rectas. Estas curvas tienen la pro piedad de, que mientras más pequeño es x más grande es y y viceversa. Para fijar ideas, pensemos que y y x están relacionadas del siguiente modo: y = y
1
x
o bien yx = 1 .
Notamos que si x se mueve a la izquierda de 1, la variable y sube y lo hace en propor1
ción inversa a x. Es decir, si x = , la mitad de 1, entonces y vale el doble de x = 1 , 2 es decir, 2. 1
Si x es un décimo de 1, es decir x = , entonces y aumenta 10 veces lo que valía 10 cuando x = 1 , es decir 10. O sea, cuando x se mueve de 1 hacia 0, el gráfico va creciendo indefinidamente. Nota que si x es muy pequeñito y es muy, muy grande. Por ejemplo, si x = 10 −6 , entonces y es un millón. Lo mismo ocurre con los valores de y que van de 1 a cero. Si y baja de 1, el valor de x crece indefinidamente. Por ejemplo, si y disminuye de 0,2 a 0,1, es decir, a la mitad, los valores de x aumentan al doble, esto es de 5 a 10, pues 0, 2 ⋅ 5 = 1. Notamos también también que a medida que x crece, y va decreciendo, es decir, si observamos de izquierda a derecha la curva va hacia abajo. Pero es importante notar que no dis x
Gráfico 4.13
minuye a un ritmo constante; por ejemplo, si x varía de 1 a 2, es decir aumenta en una unidad, y varía de 1 a y varía de 0,01 a
actividades
1
. Sin embargo, si x varía de 100 a 101, también en una unidad,
2 0, 0099 mucho menos que un
medio que fue la diferencia anterior.
En general, una diferencia de una unidad en el eje de las x produce una variación en las y que depende de la posición de x, en la recta real.
1. Explica por qué si dos variables están relacionadas en proporción inversa, ninguna puede tomar el valor
cero. 1 1 1 , y tomamos dos puntos del gráfico (1.000, ) y (1.001, ) que están separados en una 1.000 1.001 x unidad en las x, ¿cuál es la diferencia en las y?
2. Si y =
1 , para 0 < x ≤ 1 . En ese mismo gráfico, traza la diagonal. x Ahora, refleja la curva respecto a la recta diagonal. Lo que obtienes, ¿es el gráfico de y = 1 ? x
3.* Toma el gráfico 4.13 de y = 3.*
140
Unidad
4
Después del análisis anterior y de los problemas que resolviste, no es tan descabellado pensar que el gráfico de y =
1
x
es como el gráfico 4.14: 4.14:
l l l l l l l l l l l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Gráfico 4.14 De hecho, ese es el gráfico efectivamente. A continuación te mostramos en el Gráfico 4.15 varios gráficos de variables relacionadas de forma inversamente proporcional yx = k , para distintos valores de k . La curva más cercana a los ejes, es el gráfico de yx = 1 , y la más alejada es yx = 10 . La línea roja es la recta paralela al eje x que pasa por 1.
Gráfico 4.15 Es importante notar que, si no se sabe a priori que se trata de una relación inversamente proporcional, y tenemos un gráfico como el 4.14 4.14,, no es posible decidir si se trata de una relación inversamente proporcional o no. En el caso de la relación directamente proporcional es más simple, porque invariablemente es una recta y éstas son reconocibles sin mucha dificultad.
actividades 1. El gráfico del lado, ¿se trata de una relación inversamente proporcional? 2. Haz una tabla de 10 valores de la relación yx2 3. En la relación yx2
= 1, considerando las variables y y x 2 .
= 1, ¿es x 2 inversamente proporcional a y? De ser así, explica por qué.
(Utiliza la tabla del problema anterior). 4. El gráfico del problema 1 representa la relación yx2
= 1, ¿cambia esto tu respuesta del
problema 1?
MATEMÁTICA
141
• aplicando lo aprendido •
1. Si cada vez que x crece, se cumple que y decrece, ¿es cierto que y y x están en proporción inversa?
2. Si cada vez que x crece, se cumple que y crece, ¿es cierto que y y x están en proporción inversa?
9. Cada uno de los siguientes gráficos muestra la relación inversamente proporcional entre y y z.
Grafica la relación entre y y x para cada caso. y
3. ¿Los puntos de la forma (a,R) donde a<1 y R<1
pertenecen al gráfico de
xy
=
1?
a) 4. En la página anterior hay un gráfico que tiene varias relaciones del tipo xy k , para distintos valores de k, ¿cuáles son los valores de k en esos
3
=
10 gráficos?
z
2
5. Si x es inversamente proporcional a y, ¿es cierto que y es inversamente proporcional a x? y
6. Una máquina tejedora logra fabricar 320 metros
de tela en 24 horas. ¿Cuánto se demorarán 5 máquinas, iguales a la anterior, en hacer el mismo trabajo? b) 1
7. Grafica la relación “número de máquinas” versus
“metros de tela” del problema anterior. 1
z
8. La Ley de Ohm dice que la intensidad de un
circuito eléctrico (medido en amperes (A)), a voltaje constante es inversamente proporcional a la resistencia del circuito (medido en Ohm ( Ω )). Se conecta un amperímetro a un circuito que tiene una resistencia de 12Ω y ésta marca 2A, ¿cuántos amperes marcaría en un circuito del mismo voltaj e, pero de una resistencia de 60Ω ? Grafica la relación “intensidad” versus “resistencia” del problema anterior.
y
c)
15
8
142
z
x
=
1
, en
z
Unidad
8
4
Más de dos variables
En varias ocasiones hemos observado que en las situaciones de las ciencias, y la vida en general están involucradas más de dos variables. Por ejemplo, el volumen de un cilindro, para radio constante, depende directamente de la altura del cilindro.
Pero si el radio varía, entonces el volumen (V) depende a la vez del radio (r ) y de la altura (h). Como hemos visto antes, estas variables están relacionadas del siguiente modo: V π r 2 h Si consideramos z r 2h como una sola variable, entonces se tiene que V es directamente proporcional a z , de hecho, la constante de proporcionalidad es π . En este caso decimos que V es directamente proporcional al producto de h por el cuadrado de r . =
=
En ciencias es muy común este lenguaje; por ejemplo, la ley de Gravitación UniverUniversal de Newton, dice que la fuerza (F) en que dos objetos se atraen, es directamente proporcional al cuociente entre el producto de las masas masas (M y m) y el cuadrado de la distancia (d ) que los separa, es decir, Así como éstas, existen muchas otras. Investiga acerca de la Ley de Coulomb, Ley de Ohm, La tercera Ley de Kepler, y escríbelas empleando lenguaje de variaciones proporcionales.
actividades 1. Una fábrica de telas produce 1.500 metros con 3 máquinas trabajando 8 horas diarias, en una semana.
Si modelamos la situación diciendo que la cantidad de tela T es directamente proporcional al producto entre la cantidad de máquinas (M) y la cantidad de horas diarias (D), ¿cuántas horas diarias de trabajo de las máquinas son necesarias para producir 2.000 metros de tela con con 4 máquinas en una semana?
MATEMÁTICA
143
Variaciones proporcionales
9 n
Un problema PISA
nota Velocidad de un auto de carrera
La prueba PISA es una prueba internacional que se realizó en el año 2001 en Chile. Fue organizada y coordinada por la Organización para la Cooperación de Desarrollo Económico (OCDE), realizada en 2000 para los países miembros y extendida a 11 países, no miembros, en el 2001. Esta prueba se realiza a estudiantes de 15 años, se limita al currículum y se centra en capacidades que permiten seguir aprendiendo a lo largo de la vida. Para conocer acerca de la prueba PISA, de los miembros de la OECD, los resultados que obtuvo Chile, y otros datos puedes visitar la página: www.pisa.oecd.org, o también: http://www.simce.cl/index. php?id=100&no_cache=1
Este gráfico muestra cómo varía la velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista plana de 3 km durante su segunda vuelta.
0,5 l
l l l
1,5 l
l
l
l l l
2,5 l
l
l
l
l l
l
l
Gráfico 4.16 ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pi sta?
Notemos que en ninguna parte delgráfico del gráfico 4.16 aparecen 4.16 aparecen marcados explícitamente los tramos rectos de la pista. Solo en el eje Y sabemos que están registradas las velocidades, y en el eje X las posiciones donde se alcanzaron esas velocidades. De modo que tendremos que inferir de de esta información cuáles son los tramos rectos. Notamos que como se trata de una carrera y lo importante es andar rá pido, cuando se pueda, entonces la pregunta es: ¿cómo ¿cómo debe ser la pista para correr a la máxima velocidad que se pueda, durante el mayor mayor tiem po posible? Vemos Vemos en el gráfico que hay varios varios tramos donde la velocidad es constante, igual a 160 km/h, y corresponde a la mayor velocidad que alcanza el auto. Entonces no resulta tan descabellado pensar que los tramos rectos son aquellos donde la velocidad alcanza su máximo y se mantiene en ella mientras puede. Ahora que ya hemos hecho el análisis, te repetimos la pregunta y te mostramos las alternativas.
actividades
1. ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo de tramo recto más largo de la
pista? a) 0,5 km
144
b) 1,5 km
c) 2,3 km
d) 2,6 km
Unidad
4
La siguiente pregunta, se refiere al mismo enunciado anterior, pero es una lectura directa del gráfico, por lo tanto creemos que a esta altura podrás responderla sin que te ayudemos en el análisis: ¿dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta? a) En la línea de partida. b) Aproximadame Aproximadamente nte en el kilómetro 0,8. c) Aproximadamente en el kilómetro 1,3. d) A mitad del recorrido.
Volvamos a nuestro análisis del gráfico. g ráfico. Como dijimos antes, los tramos t ramos rectos de la pista corresponden a los intervalos en que el auto permanece a su velocidad máxima máxima en forma constante y es el dato que podemos leer en el gráfico. Por lo tanto, cuando la velocidad disminuye, es decir, cuando la curva del gráfico desciende, es cuando se producen curvas. Es lógico pensar, que la l a velocidad más baja se alcanza donde las curvas son más pronunciadas (los automovilistas dicen “más cerradas”). Entonces, según este razonamiento, podemos afirmar que el punto de partida está en un tramo recto, pues hay que notar que el final del gráfico es el comienzo de otra vuelta. El gráfico presenta tres puntos más bajos, que como dijimos, significa que la pista tiene tres curvas, donde la segunda es la más pronunciada, ya que la velocidad obtenida es la menor. Además, los tramos rectos no son todos del mismo tamaño, de hecho, como vimos en la primera pregunta, hay uno más largo.
n
nota
En las direcciones web que te mostramos anteriormente, estudia los puntajes que obtuvo Chile en estas preguntas respecto al promedio OECD.
Luego de este análisis, te presentamos otra pregunta referida al mismo tema: ¿sobre cuál de las pistas se desplazó el auto para producir el gráfico de velocidad mostrado anteriormente?
P P
P
P
B
D
E
A P
C
actividades 1. Catherine asegura que, en dar la segunda vuelta, el auto se demoró más de 1,125 minutos.
Explica por qué Caty tiene razón. 2.* Mercedes afirma que, en dar la segunda vuelta, el auto se demoró menos que 1,82 minutos.
Explica por qué Mercedes tiene razón. 3. [Esta es una Pregunta PISA]
¿Qué se puede decir sobre la velocidad del auto entre el kilómetro 2,6 y el 2,8? c) Disminuye. d) No se puede determinar a partir del gráfico.
a) Permanece constante. b) Aumenta.
MATEMÁTICA
145
• actividades finales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
1. El siguiente diagrama concentra dos gráficos en uno. El gráfico de barras muestra las precipitaciones en los
meses de un año, las medidas están referidas a la escala de la izquierda. El gráfi co poligonal muestra las temperaturas de los mismos meses, las medidas están referidas a la escala de la derecha. Según el gráfico 4.17, responde las siguientes preguntas: a)
Gráfico 4.17
El segundo mes más lluvioso, ¿qué temperatura tuvo en promedio?
b)
Entre los meses de julio y noviembre ¿cuál fue la tasa de aumento de la temperatura? Expresa su respuesta en °C mes.
c)
El mes de menor temperatura, ¿coincide con el mes más lluvioso?
d)
¿Es cierto que la temperatura decrece de junio a julio lo mismo que crece de julio a agosto?
e)
¿Entre qué meses consecutivos, se produce la mayor baja en la temperatura?¿Coincide con los meses con la mayor alza en las precipitaciones?
Temuco registran las siguientes temperaturas 2. Dos niños que están en observación en un hospital de Temuco (en grados Celsius), en diferentes horas.
La hora cero es el momento cuando se comenzaron a hacer las observaciones. La línea quebrada, al comienzo del eje Y, significa que las unidades inferiores a 35° no fueron consideradas.
a)
Si la temperatura de una persona sana está alrededor de los 36oC, ¿se puede afirmar que Josefa llegó enferma al hospital?
b) ¿Cuál fue la temperatura más alta alcanzada por cada niño? c)
146
¿Cuánto tiempo estuvo cada uno de los niños con la máxima temperatura?
Unidad d)
Desde los 36,5°C, ¿a cuál niño le llevó menos tiempo alcanzar la temperatura máxima?
e)
¿Cuántas veces los niños tuvieron en el mismo instante la misma temperatura?
f)
Desde los 40°C, ¿cuál de los niños bajó su temperatura a niveles normales a un ritmo constante?
g)
¿Cuántos días estuvo Roberto con fiebre?
h)
¿Cuál fue la tasa de crecimiento promedio de la temperatura de Roberto entre las 0 horas y hasta el momento en que alcanza los 40oC?
i)
¿Durante cuánto tiempo Roberto tuvo más fiebre que Josefa?
3. La tabla 4.12 muestra algunos
indicadores económicos de Chile, entre los años 2000 y 2004. Realiza tres gráficos poligonales para cada uno de los indicadores. ¿Cuál de esos indicadores mostró la mayor variación en el período en estudio?
2000
2001
2002
2003
2004
Tasa de crecimiento del producto interno bruto (PIB)(*)
4,5
3,4
2,2
3,7
6,1
Tasa de desocupación (A)
9,2
9,0
9,0
8,5
8,8
Variación del índice de precios al consumidor (IPC)
4,5
2,6
2,8
1,1
2,4
Principales indicadores de la economía nacional
4
(A diciembre de cada año)
4. El gráfico 4.18 muestra el gasto de bencina de un mismo vehículo en
carretera y en ciudad: ¿cuál de los dos corresponde al rendimiento en carretera? Según el gráfico, ¿es cierto, que las variables “distancia” y “cantidad de bencina” son directamente proporcionales, en ambos casos? Gráfico 4.18 5. La Ley de Hooke afirma que la magnitud de la fuerza F, requerida para mantener estirado un resorte x unidades por encima de su longitud natural es directamente proporcional al estiramientox. Un resorte cuya
longitud natural es de 7,6 cm se estira 2,5 cm, debido a una fuerza de 134 N. ¿Cuánta fuerza se necesita para estirarlo a una longitud total de 30 cm? En este caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad entre F y x? Grafica esta relación. 6. La Ley de Gravitación Universal de Newton afirma que
la magnitud de la fuerza F, con que se atraen dos cuerpos fijos, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. El Perihelio es el punto de la órbita de la tierra más cercano al Sol, en cambio el Afelio es el punto más lejano. Si la fuerza de atracción de la Tierra y el Sol en el Perihelio es 36, 38⋅1031N , ¿cuál es la fuerza de atracción en el Afelio? 6 (Nota: La distancia en el Afelio es 152, 6⋅106 km, y la distancia en el Perihelio es 147, 5⋅10 km). 7. Si x es directamente proporcional a y y x es directamente proporcional a z, ¿es cierto que x2 es directamente proporcional al producto entre y y z?
MATEMÁTICA
147
8. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el peso chileno y el dólar y la relación entre el
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
peso argentino y el dólar. Grafica la relación entre el peso chileno y el peso argentino. A Jorge, su papá le dio $ 20.000 para que gaste en Buenos Aires en su gira de estudios. ¿Cuántos pesos argentinos equivalen a esa cantidad de dinero?
9. Según los datos y resultados del problema anterior completa en tu cuaderno la tabla 4.13:
Moneda Chilena (Ch$)
10
30
100
500
Moneda Argentina (Ar$)
?
?
?
?
1.000 10.000 ?
1.000.000
?
?
1.000
?
Tabla 4.13 10. Si z es directamente proporcional al cuociente entre y y x. ¿Es cierto que para valores constantes de y, z es inversamente proporcional a x? ¿Es cierto que para valores constantes de x, z es directamente proporcional a y? ¿Es cierto que para valores constantes de z, y y x son directamente proporcionales?
Completa en tu cuaderno la tabla 4.14: x y z
10 50 25
30 40 ?
100 ? 500
500 ? 500
5.050 1.000 ?
? 1 50
10.000 50 ?
? 1.000 1.000
1.000.000 ? 5.555.555 Tabla 4.14
11. Dividamos la población chilena en 5 partes, de forma tal que la primera parte es la que recibe menos
ingresos, y la quinta parte la que recibe mayores ingresos. Es decir, ubicamos el mínimo y el máximo ingreso en los extremos de un trazo y dividimos éste en 5 partes.
La tabla 4.15 muestra qué porcentaje del PIB recibe cada sector, en los años 1990 y 1996. ¿Ocurrieron grandes cambios en ese periodo respecto a la distribución del ingreso? Haz un gráfico de la distribución de los ingresos para el año 1996. ¿Se ve un crecimiento constante en el gráfico? ¿Cuántas veces más gana el quinto que el primer grupo?
148
1990
1996
Q1
3,59
3,55
Q2
7,06
7
Q3
11,08
10,98
Q4
18,2
18,44
Q5
60,07
60,03
Fuente: “Distribución del Ingreso en Chile. Nueve hechos y algunos hitos”. Dante Contreras. Revista Perspectivas. vol.2. no2 (http://www.dii.uchile. .uchile. cl/~revista/l) en la sección Artículos Publicados.
Unidad
4
• síntesis de la unidad • Cuociente constante de las variables
Producto constante de las variables mediante
Proporcionalidad Proporcionalida d directa
Proporcionalidad Proporcionalida d inversa reconocer representadas por
modelan
VARIACIONES PROPORCIONALES
Tablas
Gráficos los que se
Situaciones cotidianas y de otras disciplinas Interpretan para obtener
Analizan Comparan
Resultados
Infieren
En esta unidad analizamos relaciones entre variables, que son muy frecuentes en nuestra vida cotidiana, como la relación directamente proporcional y la inversamente proporcional. Caracterizamos este tipo de variaciones proporcionales mediante el cuociente constante de las variables en el caso de la proporcionalidad directa, y el producto constante de las variables como es el caso de la proporcionalidad inversa. Representamos y comparamos los gráficos correspondientes a variables inversamente proporcionales y a variables directamente proporcionales, siendo el gráfico de las últimas una recta que pasa por el origen de coordenadas. Construimos y leímos distintos tipos de gráficos, en los que sus variables no eran necesariamente proporcionales, gráficos que se usan habitualmente en el área de las ciencias, que aparecen en los medios de comunicación para informar acerca de ciertas realidades sociales en nuestro país y en el mundo, entre otros temas. Estos gráficos los interpretamos, los analizamos y los comparamos, además inferimos ciertos resultados a partir de la información que éstos arrojaron. Concluimos que los gráficos constituyen un recurso muy importante en la entrega de información, ya que son un conjunto de datos, rápidos de leer y que se pueden analizar con mayor profundidad. También resolvimos problemas cotidianos o de otras disciplinas como la física y la química, los que fueron modelados por variaciones directa o inversamente proporcionales para obtener resultados que nos permitieron realizar ciertas generalizaciones.
MATEMÁTICA
149
• autoevaluación • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
1. Sólo uno de los siguientes gráficos representa una relación inversamente proporcional entre y y x, ¿cuál de ellos es?
constante, 2. Una llave llena un tanque, a un ritmo constante, en una hora. Otra hace lo propio en 40 minutos. Si ambas llaves, se utilizan a la vez para llenar el tanque, ¿cuánto tiempo les toma?
a)
b) a)
100 min.
b)
50 min.
c)
24 min.
d)
20 min.
3. El gráfico 4.19 muestra la cotización de diferentes c)
monedas respecto al dólar; por ejemplo: en 2001 una libra esterlina equivalía a un dólar y medio. Según el gráfico no es cierto afirmar que:
d)
Gráfico 4.19 Fuente: Banco Central de Chile.
150
Unidad
a)
Sólo una moneda tiene una cotización creciente en el tiempo.
b)
El dólar no se devaluó en el período 2000 2004, respecto a la libra esterlina.
c)
Entre 2002 y 2003 el Euro equiparó al dólar.
d)
Si las tendencias continúan, el franco suizo alcanzaría al dólar en los años posteriores a 2004.
4
6. [Folleto SIMCE, 2oMedio, 2001] El gráfico 4.20 que sigue representa la relación
entre gasto de litros de bencina (eje y) y kilómetros recorridos (eje x) para tres marcas de camiones: Atlas, Taurus y Silver. Silver. El rendimiento de un vehículo se mide por la cantidad de kilómetros que puede recorrer con un litro de bencina.
4. Según datos del INE, desde el año 1984 al 2003,
las notificaciones de SIDA se distribuyen (según forma de contagio) como sigue: Por transfusión sanguínea: 243 casos, de madre a hijo: 88 casos y por transmisión sexual 5.293 casos. Se quiere hacer un gráfico circular con estos datos, para el lo, ¿cuánto mide el ángulo del sector dedicado a contagio por transfusión sanguínea? o
a)
16, 5
b)
15, 6
c)
243
d)
360 243
Gráfico 4.20
o
Según el gráfico 4.20, los camiones de mejor rendimiento son:
o
o
a) Atlas. b) Silver. c) Taurus. d)
5. En química existe una relación entre la presión (P),
el volumen (V) y la temperatura T de un gas ideal en un sistema cerrado y es PV = nRT RT,, donde dond e n y R son constantes. Según esto, es correcto afirmar que: a)
Todos tienen igual rendimiento.
7. La variable y es directamente proporcional a x, además, z es inversamente proporcional con y. En-
tonces, es siempre cierto que:
A temperatura constante, la presión es directamente proporcional al volumen.
I. y es directamente proporcional a z. II. z es inversamente proporcional a x. III. yx es constante.
b)
A temperatura constante, la presión es inversamente proporcional al volumen.
c)
A volumen constante, la presión es inversamente proporcional a la temperatura.
a)
Sólo I.
b)
Sólo II.
nR es la constante de proporcionalidad entre
c)
Sólo III.
P y T.
d)
Sólo II y III.
d)
MATEMÁTICA
151
Variaciones Variaciones PORCENTUALES Al finalizar esta unidad serás capaz de: Comparar cantidades utilizando proporcionalidad. Reconocer el porcentaje como un caso de proporcionalidad directa. Leer e interpretar gráficos que involucren porcentajes. Expresar el porcentaje como operador multiplicativo multiplicativo..
Temas que estudiaremos en esta unidad: Comparación. Proporciones y porcentajes. Porcentajes y gráficos.
Porcentajes y álgebra.
Generalizar algunos resultados relativos al porcentaje a través del álgebra. Estimar resultados en cálculos la resolución de problemas. Describir y comparar diversos métodos para representar porcentajes y resolver problemas.
Porcentajes, fracciones y decimales.
Relacionar decimales, fracciones y porcentajes. Utilizar calculadora y planilla de cálculo para calcular porcentaje.
Calculadora y planillas de cálculo.
Resolver problemas de porcentajes sucesivos en donde el referente asociado a 10 no está explícito.
Porcentajes iterados.
Analizar crecimiento y decrecimiento porcentual en algunas situaciones de la vida cotidiana. Resolver problemas que involucren porcentajes.
Crecimiento y decrecimiento.
Unidad
5 Para comparar datos de diferentes tamaños, es necesario saber cuál es la distribución de esos datos en la población. De ser así, la comparación no tiene mucho sentido. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra el gasto en salud de 4 países sudamericanos, en el año 2002. Países
Argentina
Brasil
Chile
Uruguay
Gastos (miles de dólares)
9.145.864
36.764.820
3.888.276
1.232.815
Entonces, uno podría afirmar que Brasil es el que dedica más dinero a salud de todos, y Uruguay el que menos. Sin embargo, un dato más decidor es cuál es el gasto per cápita de cada uno de esos países, es decir, cuánto se gasta en cada persona en salud en esos cuatro países. En ese caso los datos se invierten y es Uruguay el de mayor gasto per cápita igual a US$361 y el de Brasil US$206. Chile dedica en promedio, US$238 por concepto de salud por cada persona. Una forma de comparar es el porcentaje, el cual permite pe rmite hacer comparaciones con muestras de diferentes tamaños. Por ejemplo, Chile dedicaba (al año 1997) el 5,8% del PIB a salud, es decir, de cada $100 de su producto interno bruto, dedica menos de $6. En el mismo año, Uruguay dedicaba 10% de su PIB.
• para recordar • 1. Calcula mentalmente los siguientes porcentajes:
a) El 37% de 100. 100.
b) El 50% de 84.
c) El 25% de 16.
d) El 10% de 120.
e) El 200% de 13.
f) El 100% de 33.237.
2. ¿Es cierto que calcular el 10% de un número es lo mismo que dividir el número número por 10?
3. ¿Es cierto que el 0% de cualquier número es cero? cero?
4. Considera dos variables y y x que están relacionadas proporcionalmente. proporcionalmente. Se sabe que cuando x toma el valor de 100, la variable y toma el valor 13. ¿Cuál es el valor de y cuando x = 33? ¿Cuál es la constante de pro-
porcionalidad de la relación? Grafica esa relación.
5. El 80% de los estudiantes de un colegio aprobó todos sus ramos, en otro colegio el 92%, hizo lo mis-
mo. ¿Se puede puede afirmar que que la cantidad de estudiantes estudiantes que aprobaron aprobaron todos todos sus ramos en el segundo segundo colegio es mayor que la del primero?
6. Resuelve las siguientes siguientes ecuaciones: ecuaciones:
a)
100 20
=
b)
100 26
=
c)
48 =
17
d)
7. La siguiente tabla muestra el porcentaje porcentaje de pobres indigentes y no indigentes
en Chile entre los años 1987 y 2000.
Fuente: Mideplan.
A partir partir de la lectura lectura de la tabla se puede puede afirmar afirmar que: que: a) La cantidad cantidad total de pobres pobres siempre siempre decreció. decreció. b) La cantidad total de pobres pobres es menor menor en 2000 que en 1998. 1998.
4 =
n
15
nota
Según MIDEPLAN: Si el ingreso de un hogar no alcanza el valor de una canasta básica de alimentos ($21.856) por persona, las personas que componen ese hogar son indigentes. Por otra parte, si ese ingreso se encuentra entre una y dos canastas, las personas de ese hogar son pobres no indigentes.
c) La cantidad cantidad de indigentes indigentes siempre decreció. d) La proporción proporción entre indigentes indigentes y pobres no no indigentes es mayor en en 1987 que en 2000. 2000. e) El porcentaje porcentaje de pobres no indigentes indigentes siempre decreció. f ) La parte que representa representa a los pobres pobres en la población población total fue mayor en 1998 1998 que en 1990. 1990.
154
Unidad
5
Comparando El récord olímpico de levantamiento de pesas (Halterofilia), para la categoría de más de 105 kilos, lo tiene el deportista iraní Hosseim Reza Zadeh, quien levantó 472,5 kg para las olimpíadas del año 2000 en Sydney. Una hormiga que pesa 2,3 g puede levantar hojas de hasta 46 g. Uno puede decir que un hombre levanta más masa que una hormiga lo cual es obvio. Sin embargo, no permite decir cuál es más fuerte; un hombre o una hormiga, ya que debemos considerar la proporción de su propia masa. Como vemos, el récord olímpico puede levantar, levantar, aproximadamente, 4 veces su propio peso, en cambio, una hormiga puede levantar levantar 20 veces su propio peso. Existe otro insecto, el escarabajo rinoceronte, que puede levantar hasta 800 veces su propio peso. Para comparar datos es necesario tomar parámetros equivalentes en cada caso, de otra forma la comparación no sirve. Si un hombre de 80 kg tuviese la fuerza de una hormiga, debiera ser capaz de levantar 1.600 kg que equivale a levantar más de dos vacas. Por lo tanto, podemos decir que la hormiga tiene más fuerza que el hombre pero mucho menos que el escarabajo rinoceronte. Consideremos el caso de que un padre busca colegio para su hijo. El parámetro que analiza es el ingreso de los estudiantes a las universidades tradicionales. Para él, la cantidad de niños que ingresaron a la Universidad no es un dato relevante, el dato interesante es cuántos estudiantes comparado con el total de alumnos entraron a la Universidad. Por ejemplo, si del colegio A entraron 40 estudiantes a las universidades tradicionales y del colegio B solo 10, al padre no le indica nada. En cam bio si le dijeran que 40 de un total de 500 estudiantes o 10 de un total de 40 ingresaron a la universidad, ya es un dato más interesante. De hecho, en el colegio A, 4 de cada 50 estudiantes entran a la U., en cambio en el otro colegio 1 de cada 4 entran a la U. Al escribir esa información en un mismo denominador resulta más clara: así, en el colegio A, 8 de cada 100 estudiantes ingresan a la Universidad y en el otro, 25 de cada 100. Es por esto que el padre escogería el colegio que tiene 10 ingresos ingr esos a la U. y no aquel que tiene 40 ingresos a la Educación Superior Tradicional.
actividades 1. Si un hombre de 80 kg tuviera la fuerza de un escarabajo rinoceronte, ¿cuántos kilos podría levantar? 2. Argentina, en el 2002, 2002, gastó US$9.145.864 US$9.145.864 en salud y Chile Chile US$3.888.276 en salud durante el mismo mismo año.
La población argentina en esa época era de 38.428.000 habitantes y la chilena de 15.806.000 habitantes. ¿Qué país gastó más dinero por persona en salud? 3.* En el año 2002, 1 de cada 2 dólares que se gastaban en salud en Argentina, lo entregaba el Estado. En
Chile, 9 de cada 20 dólares que se gastaron en salud también los otorgó el Estado. ¿En cuál de los dos países el gasto privado en salud fue mayor?
MATEMÁTICA
155
Variaciones porcentuales
2
¿Cuántos de cada 100?
Como hemos visto, es importante entregar una información respecto a un total, para poder comparar los datos con otros del mismo tipo. Es universalmente universalmente aceptado presentar la información en porcentajes. Es decir, de cada 100, ¿cuántos cumplen la característica en estudio? Si se lee que el 90% de e-mails que llegan a una casilla son no deseados, debemos entender que, en promedio, de cada 100 correos electrónicos de la casilla, 90 son spam. O lo que es lo mismo, 9 de cada 10 lo son. El porcentaje representa, por sí mismo, una comparación y una proporción: tantos de cada 100. Si una familia dedica el 40% de su presupuesto a educación y otra familia 30%, no quiere decir que la primera familia dedica más dinero a educación que la otra, sino que, respecto a sus propios ingresos, en proporción a sus ganancias, la primera familia dedica más más dinero a educación que la segunda. Más específicamente, de cada 100 pesos de ingresos de la primera familia $40 los dedica a educación, en cambio la otra, solo $30.
actividades La tabla 5.1 presenta diferentes ingresos familiares: familiares: el 30% en una columna y el 40% de ellos en otra. Ingreso (miles de pesos)
30% (miles de pesos)
40% (miles de pesos)
200
60
80
250
75
100
300
90
120
400
120
160
500
150
200
600
180
240
800
240
320
1.000
300
400 Tabla 5.1
1.* Según la tabla 5.1, ¿es cierto que el 40% de $600.000 es igual al 30% de $800.000? 2. Si una familia de 4 hijos hijos estudiantes, que tiene tiene un ingreso de $400.000, dedica dedica el 30% a educarlos, educarlos, ¿cuánto
dinero en promedio gasta cada hijo en educación? 3. Si una familia, de cada $100, ocupa $20 en dividendos dividendos de la casa, $12 en pagar todas las cuentas
(electricidad, teléfono, gas, agua potable, etc.), $8 en transportes, $15 en alimentación y aseo, $7 en vestuario, $20 en educación y $12 en salud y previsión: a) ¿Cuánto dinero de cada cada $100 dedica esta familia a diversión, sabiendo que todo todo lo que sobra es para este
ítem? b) Si el ingreso familiar es de $320.000, ¿cuánto dinero dinero destina para pagar cuentas cuentas y dividendos? c) ¿Qué parte del ingreso ingreso familiar está reservado reservado a salud, previsión y transporte?
156
Unidad
5
Consideremos una huincha elástica numerada de 0 a 100, como la que mostramos abajo:
Esta huincha imaginaria la podemos estirar tanto como queramos y mantendrá sus proporciones. También También nos ayudará a calcular porcentajes, del siguiente modo: estiraremos la huincha de forma que el total quede en la marca 100 y haremos calzar los ceros. Por ejemplo, consideremos que el ingreso de una familia es $240.000 mensual, asumamos que gasta 40% del ingreso total en dividendo, y queremos saber a cuánto dinero equivale ese porcentaje. Pues bien, estiremos la huincha hasta los $240.000 y veamos en cuánto dinero queda la marca 40 de la huincha elástica.
Como vemos la marca 40 de la huincha elástica calzó justo con los $96.000 del ingreso familiar. O sea, el 40% de 240.000 es 96.000. Del mismo modo observamos que si el 100% equivale al total, la diferencia con el 40% equivale al 60%, o sea $144.000. Es decir, de los $240.000 de ingresos, una vez que pagan el dividendo, solo les quedan $144.000 para cubrir el resto de sus necesidades.
actividades 1. Considerando el ingreso de la familia anterior y la huincha elástica dispuesta como se hizo: a) Si en el supermercad supermercado o gastan mensualmente $36.000, ¿qué porcentaje del presupuesto familiar representa
esa cantidad? b) Si el 20% del presupues presupuesto to familiar lo ocupan en salud y previsión, ¿cuánto dinero ocupan en este ítem?
2. Una familia que gana $220.000 mensuales, gasta el 20% en educación. Utiliza la huincha elástica y determi-
na cuánto dinero gasta en educación.
MATEMÁTICA
157
Variaciones porcentuales
Como hemos visto, la huincha elástica se estira proporcionalmente, de manera que la marca del 100 coincide con el total de la cantidad en estudio. Es decir, para calcular el porcentaje de una cierta cantidad es necesario hacer una proporción, de tal manera que el total sea equivalente al 100%. Por ejemplo, según MIDEPLAN, en Chile, en el año 2000, el 29% de las personas menores de 18 años era pobre. En esa época, el número de habitantes menores de 18 años era aproximadamente 4.903.000, por lo tanto, podemos calcular la cantidad de gente menor de edad que era pobre en ese periodo empleando proporciones. Así, 4.903.000 corresponde al 100%: Habi Ha bita tant ntes es men menor ores es de de 18 18 años años
Por orce cent ntaj ajee
4.903.000 x
100 29
De esa proporción obtenemos la siguiente ecuación: 100 x
=
4.903 .000 2 9 ⋅
4.903 903.000 000 29 ⋅
x
=
100
=
49.03 030 0 29 ⋅
=
1 .42 421 1 .87 870 0
Es decir, en Chile, en el año 2000, un millón cuatrocientos veinte y dos mil niños y jóvenes menores de 18 años era pobre. En el año 1990 ese porcentaje porcentaje era aún mayor, mayor, los jóvenes pobres menores de 18 años representan un 50%. Como el porcentaje es una variación proporcional, conocido el 29% de 4.903.000 podemos conocer el 58% de ese número sin sin necesidad de hacer hacer proporciones de nuevo, ya que 58 es el doble de 29 y como 1.421.870 corresponde el 29%, entonces, 2.843.740 corresponde al 58%. Del mismo modo, podemos calcular el 2,9% de 4.903.000, considerando que el porcentaje es una relación proporcional, de hecho, 2,9 es la décima parte de 29, por lo tanto, como el 29% de 4.903.000 es 1.421.870, podemos afirmar que el 2,9% de 4.903.000 es la décima parte de 1.421.870, es decir 142.187.
actividades 1. Si el 15% de un número número es 35, entonces, entonces, calcula los siguientes porcentajes porcentajes de este mismo número: a) 30%
b) 45%
c) 60%
d) 1,5%
2. La tabla 5.2 muestra la cantidad de estudiantes de postgrado en el año 2002 en Chile y el porcentaje
por género. Programa
Total
% hombres
% mujeres
Magíster
8.502
59,9%
40,1%
Doctorado
1.601
62,5%
37,5% Tabla 5.2
Fuente: INE.
En el año 2002, ¿cuántas mujeres estaban haciendo un postgrado?, ¿cuántas de ellas estaban en doctorado?, ¿qué cantidad de varones más que mujeres hacían un doctorado ese año?
158
• aplicando lo aprendido •
Unidad
5
7. El gráfico 5.1 muestra la evolución del porcentaje
de personas pobres en Chile, desde 1990 a 2003. Gráfico 5.1 1. Calcula: a) 18% de 58. b) 80% de 9,75. c) 12,5% de 150. d) 120% de 80.
2. 19 de cada 100 hombres jóvenes de entre 12 y 18
años tienen dependencia con respecto al alcohol. El mismo problema lo tiene 1 de cada 6 mujeres en el mismo tramo de edad. ¿Quiénes tienen un porcentaje más alto de dependencia frente al alcohol?
3. Según cifras del CONACE, entre los años 1994 y
Según el gráfico: ¿en qué periodo se produjo la mayor disminución porcentual? ¿Es cierto que si en un periodo se produce la misma disminución porcentual que en otro periodo, esto implica que la disminución en cantidad de pobres es la misma en ambos periodos?
2003, 3 de cada 10 chilenos, de edad entre 45 y 64 años, fumaban 10 o más cigarrillos diarios. En cambio, la razón entre adolescentes que fumaban más de 10 cigarrillos diarios y el total de adolescentes es de 0,05 : 1. ¿Cuál grupo etario tiene el más alto índice de fumadores que consumen más de 10 cigarrillos diarios?
8. En el año 1998 la población chilena menor de
4. De 28 alumnos registrados en un curso, el 25%
9. En un colegio se encuestó a 90 alumnos de
estuvo ausente el primer día de clases, ¿cuántos alumnos estuvieron presentes?
18 años era de 5.288.600 personas, de las cuales el 30,3% eran pobres, ¿cuántas personas pobres menores de 18 años había en el año 1998?
primero medio, preguntándoles acerca de sus preferencias musicales. El resultado se expresó en el gráfico 5.2:
5. Rosa ocupa el 12% de su salario semanal en loco-
moción. Si ella recibe recibe $72.000 por semana de trabajo, ¿cuánto dinero gasta en total por concepto de locomoción durante la semana?
6. A cada producto del mercado se le aplica un
impuesto llamado impuesto al valor agregado (IVA), el cual aumenta en un 19% el precio neto del producto. Por ejemplo, si un producto antes de aplicar el IVA cuesta $100, una vez aplicado el impuesto costará $119. ¿Cuál es el precio de un libro, cuyo valor neto es de $6.500, después de que se aplique el IVA?
Gráfico 5.2 a) Si el ángulo del sector sector circular correspondiente correspondiente
a música rock es aproximadamente de 144°, ¿cuál es el porcentaje de alumnos que prefiere el rock? b) Si los ángulos de los sectores circulares circulares corres-
pondientes a música tropical y folklore son aproximadamente aproximada mente 72° y 54°, respectivamente respectivamente,, ¿cuántos alumnos pre-fieren la música pop?
MATEMÁTICA
159
Variaciones porcentuales
3
Proporciones y porcentajes
Como hemos visto, la variación porcentual es un tipo de variación proporcional. Gracias a esto podemos hacer igualdad de cuocientes y resolver ecuaciones para calcular el tanto por ciento de alguna cantidad. Esa misma idea podemos utilizar para saber qué porcentaje es un número respecto de otro. Consideremos la tabla 5.3 que 5.3 que muestra la respuesta a la pregunta: “¿Se consideran perteneciente a alguna de estas etnias?”, realizada en en el censo de 2002 en Chile: Alacalufes Atacameños Aimara 2.622
21.015
48.501
Colla
Mapuche Quechua
3.198
604.349
6.175
Rapa Nui
Yámana
4.647
1.685
Tabla 5.3 Podemos preguntarnos, ¿qué porcentaje de los que se considera pertenecientes a alguna etnia, se consideran mapuches? Para responder esta pregunta es necesario conocer el total de gente que se cree per teneciente a una población originaria: 2.62 622 + 21.01 015 + 48.50 501 + 3.19 198 + 604.34 349 + 6.17 175 + 4.647 + 1.68 6 85 = 692.19 1 92
Ellos corresponden al total, es decir, al 100% y buscamos, ¿qué porcentaje de ellos representan 604.349, que son los considerados mapuches? Para responder esta pregunta recurrimos, de nuevo, a las proporciones: Población
Porcentaje
692.192
100
604.349
x
Resolviendo ecuaciones, resulta: 692.192 x = 604.349 ⋅ 100
x =
60.43 434 4.90 900 0 692 69 2.19 192 2
= 87, 3%
Es decir, el 87,3% de las personas que se consideran pertenecientes a una etnia se consideran específicamente mapuches. En otras palabras, de cada mil personas que se consideran perteneciente a un pueblo originario 873 se consideran mapuches.
actividades 1.* Las mujeres que se consideraron mapuches para el censo de 2002 eran 299.769 y el número total de mujeres en Chile era 7.668.740. ¿El porcentaje de mujeres mapuches entre los mapuches, es el mismo que del total de mujeres entre el total de personas?
160
Unidad
5
Es posible que se conozca una parte del total, y además se conozca qué porcentaje del total representa esa parte, entonces estaríamos interesados en conocer el total. En ese caso, también podemos recurrir a las proporciones. Analicemos la siguiente información a modo de ejemplo. En Chile se estima que el 73,6% de los docentes que dan clases de matemáticas en enseñanza media, efectivamente tiene título de profesor de matemáticas. Existen profesores de otra especialidad (física, química, biología, etc.) dictando esta asignatura, hay estudiantes no titulados impartiendo matemáticas, también profesionales de otras áreas como licenciados, contadores o ingenieros dando clases de matemáticas. María, preocupada por la situación, se interesó en conocer la cantidad de docentes que imparten clases de matemáticas en Chile en la educación secundaria, pero lamentablemente sólo encontró el siguiente dato:
En Chile hay aproximadamente 3.027 profesores titulados en Matemáticas que ejercen su profesión. Entonces María cree que conociendo esa información y sabiendo que ese número representa el 73,6% de todos los docentes que hacen clases de matemáticas, puede conocer el número total de docentes de esta área. Es decir, María dice que basta saber que el número 3.027 es el 73,6%, o dicho de otro modo, si 3.027 es el 73,6%, ¿cuál es el 100%? De hecho, realiza la siguiente proporción: Profesores
Porcentaje
3.027
73,6
x
100
Resolviendo ecuaciones resulta: 73, 6 x = 3. 02 027 ⋅ 100 x =
n
nota
Todos los datos de esta página los puedes encontrar en el artículo “Panorama docente de las matemáticas en enseñanza media” de Francisco Claro y César Hidalgo. Boletín de Investigación Educacional, Vol.19, pp 163 - 171. (Facultad de Educación, PUC, 2004)
302 30 2.70 700 0 73, 6
x = 4.112, 77
Es decir, en Chile hay aproximadamente 4.113 docentes que dan clases de matemáticas en enseñanza media.
actividades 1. Se estima que la cantidad de docentes de biología en enseñanza media en Chile, con título de tal, corresponde al 57,8%, siendo ellos 1.539 profesores. ¿Cuántos docentes de biología hay en Chile, en enseñanza media? 2. Se estima que la cantidad cantidad de docentes docentes de física en enseñanza enseñanza media en Chile, Chile, con título de tal, corresponde corresponde al 48%, siendo ellos 798 profesores. ¿Cuántos docentes de física hay en Chile, en enseñanza media?
establecimientos educacionales eran particulares pagados pagados en Chile en el año año 2004, que correspondían correspondían al 3. 862 establecimientos 7,63% de los establecimientos educacionales. ¿Cuántos establecimientos educacionales educacionales había en Chile en el año 2004?
MATEMÁTICA
161
Variaciones porcentuales
4
Porcentaje y gráficos
Particularmente adecuado para comparar gráficamente un conjunto de datos resultan los porcentajes, pues permiten hacer los gráficos en una misma escala. Es decir, si dos gráficos de la misma naturaleza, en cada caso se refieren a totales distintos, a sim ple vista no son fáciles de comparar, a menos que los llevemos los dos a una misma unidad, y el porcentaje es una forma eficiente de hacerlo. Por ejemplo, analicemos los resultados de una encuesta referida a las preferencias deportivas en dos colegios. Mostramos a continuación la tabla 5.4 con el resumen de las respuestas y su gráfico asociado (ver gráfico 5.4). 5.4). González Vera
Manuel Rojas
Fútbol
380
700
Básquetbol
200
300
Tenis
100
250
Ping-pong
100
200
Ciclismo
20
50
Tabla 5.4 Gráfico 5.3 Sin embargo, ni la tabla 5.4 ni 5.4 ni el gráfico 5.3 nos 5.3 nos permiten responder en cuál colegio son más fanáticos por el fútbol, pues necesitamos compararlos con el total de alumnos de cada establecimiento. Para obtener una mejor comparación, hagamos una tabla de porcentajes, y el gráfico correspondiente. González Vera
Manuel Rojas
50
47,5
46,66666667
40
25
20
35
Tenis
12,5
16,66666667
Ping-pong
12,5
13,33333333
20
Ciclismo
2,5
3,333333333
15
Fútbol Básquetbol
Tabla 5.5
45
30 25
10 5 0
actividades
Gráfico 5.4
1. Proporc Proporcional ional a la cantidad de estudiantes, ¿en cuál colegio la preferencia por el fútbol es mayor? 2.* Realiza, para cada colegio, el gráfico circular de las preferencias deportivas, ¿es cierto que para la repartición de áreas áreas de de los gráficos circulares, da lo mismo considerar cualquiera de las dos tablas tablas anteriores? anteriores?
162
Unidad
• aplicando lo aprendido •
5
1. De qué número: a) 54 es el 30%
b) 13 es el 6,5%
c) 135 es el 110%
d) 10,5 es el 2,5%
2. Qué porcentaje es: a) 50 de 150
b) 14 de 3,5
c)
5
de
8
32 40
d) 0,02 de 0,2
3. En el periodo febrero-abril del año 2006, la fuerza de trabajo en Chile era de 6.571.380 personas, de ellos
546.880 estaban desocupados. desocupados. ¿Qué porcentaje de la fuerza laboral estaba desocupada?
4. En la III Región existen 10 bibliotecas, lo que corresponde al 2,6% del total del país. Por su parte, la VIII región
posee 49 bibliotecas, ¿cuál es el total de bibliotecas en el país? ¿Cuál es el porcentaje que representan las bibliotecas en la VIII Región respecto del total del país?
5. Las siguientes tablas muestran la tasa de mortalidad en Chile en el año 2000, por género y edades.
Hombres
Mujeres Edad (años)
Población
Fallecidas
Edad (años)
Población
Fallecidas
10 - 14
700.670
99
10 - 14
725.450
196
15 - 19
629.150
187
15 - 19
649.860
461
20 - 24
591.020
226
20 - 24
606.120
708
25 - 29
600.470
261
25 - 29
609.460
939
30 - 34
607.310
350
30 - 34
611.680
1072
35 - 39
605.870
480
35 - 39
603.440
1256 Fuente: UNICEF.
Junto a un compañero realiza las siguientes tareas: a) Para cada una de las tablas construyan construyan una cuarta columna columna con el dato correspondiente correspondiente al porcentaje porcentaje
de personas fallecidas en cada intervalo de edad. Analicen y discutan los resultados, planteen 2 conclusiones. b) ¿En qué tramo de edad edad fallecen, porcentualmente, porcentualmente, más mujeres? mujeres? ¿Y hombres? hombres? c) Comparen el el porcentaje de hombres hombres y mujeres mujeres que fallecen entre entre 15 y 29 años. Conjeturen Conjeturen acerca acerca del
motivo de las cifras resultantes. d) Cada tabla muestra cantidad de hombres hombres y mujeres fallecidos para tres tres décadas, ¿cuál fue la década
en que la tasa de mortalidad de población fue mayor? e) Realicen un gráfico de barras que represente represente la mortalidad de hombres hombres y mujeres entre entre los 10 y 39
años de edad. f ) Realicen un gráfico de barras que represente represente el porcentaje de hombres y mujeres fallecidos entre entre los
10 y 34 años de edad.
MATEMÁTICA
163
Variaciones porcentuales
5 i
Porcentaje y álgebra
El álgebra nos puede ayudar para expresar los porcentajes en una forma más sucinta, y también, como siempre, nos permitirá obtener algunos resultados generales referente a porcentajes.
importante
El a%, no tiene sentido
Recordemos que si queremos calcular el a% de b es necesario hacer una proporción, donde el total b, corresponde al 100%.
por sí solo. No es
a
100
.
Cantidad
Porcentaje
b
100
x
a
El porcentaje debe ser aplicado a algo.
Resolviendo la ecuación resulta: 100 x
r
= ab, ⇒
x =
ab 100
recuerda
El a% de b es
Es importante notar que
=
a 100
a 100
b
b
si a >100, entonces al calcular el a% de b,
a
100
es
Por ejemplo, el 13% de 60 es, según la relación anterior: 13
mayor que 1, quiere decir
100
que a% de b es mayor que b.
Como el a% de b es
Por ejemplo 150% de b 3 es b . 2
actividades
ab 100
⋅ 60 =
13 10
⋅6 =
78 10
= 7, 8
, del mismo modo el b% de a es
ba 100
, por lo tanto
El a% de b es lo mismo que el b% de a. Este último resultado puede ayudar para facilitar algunos cálculos. Por ejemplo, si se quiere calcular el 18% de 50, por lo anterior, es lo mismo que calcular el 50% de 18, y eso es más simple de calcular, de hecho el 50% de 18 es 9, por lo tanto, el 18% de 50 es 9.
1. Si x es el a% de un número, ¿es cierto que 2x es el 2a% del mismo número? Explica. 2. Si x es el a% de un número, ¿es cierto que 2x es el a% del doble del número? Explica. 3. Si x es el a% de un número y y es el b% del mismo número, ¿es cierto que x+y es el (a+b)% del número?. Explica. 4. Si x es el a% de b, ¿es cierto que b es el a% de x? Explica. 5. ¿Es cierto que el 25% de un número número es lo mismo que la cuarta parte parte del número? número? Explica. 6. ¿Es cierto que el 20% de un número número es lo mismo que la quinta parte del número? número? Explica. 7. ¿Es cierto que el a% de 100a es a2? Explica.
164
Unidad
6
5
Una máquina para los porcentajes
a Como vimos, el a% de x es una fracción de x, de hecho es ⋅ x . Es decir, si y es el 100 a% de x se tiene que: a ⋅ x y = 100
Lo que tenemos son las variables x e y relacionadas, según la igualdad de arriba. 10
Por ejemplo, si a = 10 , quiere decir que y es el 10% de x, es decir y = x , o lo que 100 es lo mismo: y =
1 10
x
Podemos pensar que la forma en que están relacionadas las variables y y x, es una máquina que recibe valores de x por la derecha, y entrega el valor de y correspondiente por la izquierda. 1 10
x
x
Podemos tabular algunos valores de esta relación; en la fila de las x pondremos los valores que entran a la máquina y en la fila de las y, los valores que salen: x
10
20
30
40
100
150
200
500
1.000
y
1
2
3
4
10
15
20
50
100
Si hacemos el gráfico de y =
1 10
c
cuidado
Es importante notar que 1 10% no es . Lo que sí 10 es cierto, es que el 10% de 1 x es de x. 10
5.5; que como vemos es una x , se obtiene el gráfico 5.5;
recta que pasa por el origen. Que el gráfico sea una recta que pasa por el origen es algo que debieramos haber previsto, ya que, sabemos que si dos variables: y y x están relacionadas proporcionalmente, es decir, hay una constante k tal tal que y = kx , entonces el gráfico es una recta que pasa por el origen y la relación y =
1 10
x cumple con esa condición. Esto es, si y
es el 10% de x, las variables x e y están relacionadas proporcionalmente.
Gráfico 5.5
actividades recibe números números por la derecha, les calcula calcula el 40% y el resultado resultado lo entrega por por la izquierda. 1. Una máquina recibe Si entregó el número 8, ¿cuál número entró? 2 2. Una máquina máquina recibe números por la derecha, derecha, les calcula los y el resultado lo entrega por la izquierda. 5 ¿Cuán diferente es esta máquina de la anterior?
MATEMÁTICA
165
Variaciones porcentuales
7 Porcentajes, fracciones y decimales Ya sabemos que calcular el a por ciento de un número es lo mismo que al número multiplicarlo por la fracción
a
100
. Así por ejemplo, para calcular el 10% de un núme-
ro basta multiplicar el número por
10 100
, es decir
1 10
. Lo que quiere decir que el 10%
de cualquier número es la décima parte de éste.
c
Si tomamos un trazo de largo x, y le hacemos calzar la regla elástica, se ve así:
cuidado
50% no es lo mismo que 1 2
. Son objetos de natu-
raleza distinta,
1 2
es un
La marca azul, es decir el 50%, divide al trazo por la mitad, la primera marca roja es
número, en cambio si 50% no se aplica a nada, no tiene sentido.
un cuarto del total y la segunda marca roja, corresponde a los
3 4
del total. Respecti-
vamente representan el 25% y el 75%, de x. El álgebra dice lo mismo. De hecho, el 50% de x es 25
1 x
100
=
x
4
50
1 x
100
=
x
2
, al simplificar por 50. Del mismo modo, el 25% de x es
, al simplificar por 25.
Esto, unido a que sabemos que a% de b es lo mismo que b% de a, permite hacer cálculos mentales más rápidos. Por ejemplo, para calcular el 16% de 25, podemos decir que es lo mismo que el 25% de 16, es decir, un cuarto de 16, es decir 4. Por lo tanto el 16% de 25 es 4. También podemos hacer estimaciones; por ejemplo, el 74% de 28 es aproximadamente igual al 75% de 28. Como el 75% de 28, son los 3/4 de 28, o sea 21. Tenemos Tenemos que el 74% de 28 es, aproximadamente, 21. Como para calcular el 50% de x, hay que multiplicar x por
1 2
, pero como
1 2
=
0, 5 ,
podemos afirmar que calcular el 50% de x es lo mismo que multiplicar x por 0,5. Como
actividades
1 4
=
0, 25 podemos afirmar que calcular el 25% de x es lo mismo que multi-
plicar x por 0,25.
1. Explica una estrategia simple que permita calcular: a) el 12% de 75.
b) el 32% de 25.
c) el 37% de 50.
d) el 45,5% de 2000.
Reúne las estrategias de tus compañeros y analiza ventajas y desventajas de cada una.
166
Unidad
• aplicando lo aprendido •
5
1. Para cada valor x que ingresa a la máquina, ésta entrega el 60% de x.
a) ¿Qué valores valores entrega entrega la máquina máquina si entra entra x = 15,
2 3
, 5a y 15a +10b? 2
b) ¿Qué valores deben deben ingresar a la máquina máquina para obtener obtener 6,
3 y c? 5
c) Si otra máquina transforma x en ax, ¿qué valor debe tener a para que esta máquina con la anterior
sean iguales?
2. Explica una estrategia para para calcular los siguientes porcentajes: porcentajes: a) 75% de 160
b) 150% de 32
c) 225% de 0,8
d) 20% de 5.500
3. Si el a% del b% de x es 8, ¿cuál es el ab% de x?
4. En general, si el a% del b% de x es c, ¿cuál es el ab% de x expresado en términos de c?
5. ¿Es cierto que si el a% de b es x y el c% de b es y, el ac% de b es xy? Justifica tu respuesta.
6. Si al a% de x le calculamos el b% es lo mismo que el ab% de x. ¿Es correcta esta afirmación?
7. En una heladería almacenan chocolate líquido en dos vasijas A y B. La vasija A está l lena en un 20% y la B en un
60%. Decide cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera, justificando tu respuesta. a) La cantidad de chocolate líquido que tienen en l a heladería es el 80% de A+B. b) La cantidad de chocolate líquido que tienen en la heladería es el 40% de A+B. c) La cantidad de chocolate líquido de la vasija B es el triple de la de A. d) La cantidad de chocolate líquido que tienen en la heladería es el 20% de A+3B. e) La cantidad de chocolate líquido que tienen en l a heladería es el 60% de 3A+B.
8. Analizando la alternativa c) de la pregunta anterior, ¿para qué valores de A y B esta afirmación es verdadera?
MATEMÁTICA
167
Variaciones porcentuales
8
Calculadora y planillas de cálculo La mayoría de las calculadoras tienen una tecla destinada al cálculo de porcenta jes. Está marcada por % . Sin embargo, no puede calcular algún porcentaje usando directamente esa tecla. Para ello es necesario utilizar la tecla multiplicación ( X ) primero.
Por ejemplo, si queremos calcular el 23% de 35, lo que hay que hacer es: escribir el número al cual queremos calcularle el porcentaje, en nuestro caso 35; luego presionar la tecla “multiplicación” ( X ), luego ingresamos el porcentaje a calcular, en nuestro caso 23, después la tecla “porcentaje” ( % ), y para terminar, por supuesto la tecla “igual” ( = ). En nuestro caso: 35 X 23 % = 8,05 La planilla de cálculo que hemos visto en la Unidad 2 permiten realizar todo tipo de operaciones en forma ordenada y eficaz. Como en las planillas de cálculo podemos hacer multiplicaciones, éstas también las podemos ocupar para calcular porcentajes, recordando la equivalencia entre cálculo de porcentajes y multiplicar por números decimales. Por ejemplo, en un taller de matemática avanzada se tomaron tres pruebas en un trimestre, con la siguiente repartición de porcentajes: la primera tiene una ponderación del 25% del trimestre, la segunda 35% y la tercera 40%. Si las l as notas de un estudiante son α , β y γ , en la primera, segunda y tercera prueba, respectivamente, entonces su nota trimestral (N) es: 0, 25 ⋅ α
+ 0, 35 ⋅ β + 0, 40 ⋅ γ = N
En la planilla de cálculo se muestra cómo se hizo para calcular la nota del estudiante Andreu. Si copiamos esa fórmula en toda la fila 5, obtendremos todas las notas trimestrales del taller.
actividades 1. ¿Cuáles estudiantes de los que aprobaron, habrían reprobado si sólo se hubiera calculado el promedio directo?
Andreu, ¿tendrá la misma nota final? final? 2. Burgos tiene las mismas notas que Andreu, segunda y 25% la tercera prueba, ¿cuál sería la fórmula 3.* Si las ponderaciones fueran 30% la primera, 45% la segunda para calcular la nota de Reyes?
168
Unidad
9
5
Porcentajes iterados
En muchas situaciones diarias puedes apreciar porcentajes aplicados a cantidades, que ya son el porcentaje de una cantidad. Por ejemplo, en un artículo del científico chileno Francisco Varela, Varela, del año 1998, se lee:
“Los ataques epilépticos son una de las principales disfunciones cerebrales con importantes implicaciones en la salud pública, pues afectan al 0,8% de los seres humanos. Muchos de estos pacientes (el 20%) son resistentes al tratamiento con drogas. La capacidad de anticipar el inicio de ataques en tales casos permitiría intervenciones clínicas...” Del artículo de Varela uno podría inferir qué proporción de personas en el mundo sufre de ataques de epilepsia y no puede ser tratado con medicamentos, sin necesidad de conocer la población mundial. Recordemos que el a% de x es
a 100
x . Por lo tanto si x denota la población mundial,
entonces la gente que sufre de ataques de epilepsia es
0, 8 100
x 0, 8
De ellos, el 20% son resistentes al tratamiento con drogas, por tanto, el 20% de x 100 son resistentes al tratamiento con drogas, es decir: 0, 8 20
⋅
0, 8
100 100
0, 16 x = 5 x = x 100
100
Entonces, el 0,16% de la población mundial tiene epilepsia y son resistentes al tr atamiento con drogas. En general, si a una cantidad x le aplicamos el a% y luego al resultado se le aplica el b%, resulta: ab a b ab ⋅ x = x = 100 x 100 100
es decir, es lo mismo que aplicar el
10.00 000
100
ab 100 % a x.
FRANCISCO VARELA 1946 - 2001 Neurobiólogo chil eno. Lic enc enciad iad o en Bio lo gía de la Fac ult ad d e Ciencias de la Univer sida d de Chi le. Luego Lu ego obtuvo un doctorado en Biología en la Universidad de Harvard. Inve sti gó dura nte la mayor parte de su vida las bases biológicas del conocimiento y el lenguaje, las características de la vida, realizó aportes a la comprensión de la epilepsia y del sistema inmunológico y exploró las f ronter ronteras as de la neurociencia y la psi co colog log ía c ogn iti va va.. Utilizó matemáticas de alta complejidad para comprender el cerebro y s us fenó men menos. os.
actividades 1.* Aproximadamente: el 67% de la superficie terrestre es agua, y el 97% del agua en el planeta se encuentra en los océanos. ¿Qué porcentaje del planeta está cubierto por agua no oceánica? 2. ¿Es lo mismo el a% del b% de x que el b% del a% de x?
MATEMÁTICA
169
Variaciones porcentuales
10 Crecimiento y decrecimiento porcentual Hemos dicho que para poder comparar, es necesario hacerlo proporcionalmente. Para comparar el crecimiento o decrecimiento es también importante considerar parámetros proporcionales. Por ejemplo, si a un trabajador le bajan el sueldo en 20 mil pesos, es más importante si el trabajador tiene un sueldo de $150.000 que si gana $1.200.000. En el primer caso la baja en el salario es muy significativa y en el otro casi ni se nota. El porcentaje ayuda mucho para hacerse una idea de la importancia del crecimiento o decrecimiento. En el caso del primer trabajador, los $20.000 de recorte representan más del 13% en cambio, en el segundo trabajador representan menos del 1,7%. Es decir, al primer tra bajador de cada $100 que recibía antes le quitan más de $13, y al segundo trabajador le quitan menos de $2 por cada 100 que recibía antes. Si te hacen un descuento de $1.000 en una compra, es importante que consideres el monto de la compra para saber si el vendedor está haciendo una buena oferta o no. Si lo que compraste es una polera que vale $5.000, es una gran rebaja, pues antes ibas a pagar 5 billetes y ahora solo 4 del mismo valor, 20% menos. En cambio, si el descuento se lo hacen a tu papá quien fue a comprar materiales para ampliar la casa, y gastó $320.000 el descuento es mucho menos significativo; de 320 billetes que iba a pagar antes ahora pagará 319, casi lo mismo, apenas 3,2% menos. Cuando decimos que algo “creció en un a%”, estamos diciendo que ese algo es ahora lo mismo que antes más el a% de lo que era. ax Es decir, si x creció en a% ahora es x + 100
Lo mismo ocurre con el decrecimiento. Si x decrece en un a%, queremos decir que ax ahora es x − 100
La tabla 5.6 muestra, el producto interno bruto (PIB) (P IB) de Chile medido en millones de pesos del año 1996, en diferentes años. 1996
1997
1998
1999
2000
2001
31.2 .23 37.289
33.300.6 .69 93
34.376.5 .59 98
34.040.584
35.533.416
36.5 .53 33.011
Tabla 5.6 Entre los años 1997 y 1998 el aumento es de 1.075.905 millones de pesos del año 1996 que corresponde, aproximadamente, al 3,2% del PIB del año 1997. Es decir, el crecimiento en el PIB, del año 1997 al 1998 fue del 3,2%.
actividades 1. Calcula el porcentaje de crecimiento del PIB en los años de l a tabla anterior. anterior. ¿En qué año se obtuvo mayor crecimiento? 2. ¿Qué significa que en un año el crecimiento fue negativo?
170
Unidad
5
El impuesto más conocido en nuestra economía es el IV IVA, A, Impuesto al Valor Valor Agregado, que consiste en agregar 19% al precio de cada producto. Es decir, si compras unos anteojos en $18.000, quiere decir que sin IVA IVA esos anteojos tendrían un precio menor. Para saber cuánto costaban sin el impuesto, denotemos por x el valor de los anteojos sin IVA, entonces si a x le calculamos el 19% resulta
19 100
x , entonces el precio con
impuesto es: x +
19 100
x = 1+
x = 119 x 100 100 19
Pero el precio con IVA IVA es 18.000, entonces tenemos la siguiente ecuación: 119 100
000 0 x = 18.00
Es decir, x = 15.12 126 6, aproximadamente. Por lo tanto, los anteojos antes que se les aplicase el IVA IVA tenían un precio bastante menor.
c
cuidado
No es lo mismo decir, crece en un 119% que crece a un 119% ¿Cuál es la diferencia?
Como vimos, si el valor neto de un producto es x, el precio con IVA es el 119% de x. El descuento por salud y previsión a los sueldos de los trabajadores es un descuento legal. Por salud este descuento es el 7% del sueldo, y por concepto de previsión es 10% (además las AFP cobran una comisión por administrar los dineros de los trabajadores). Por ejemplo, si un trabajador gana $320.000 mensuales, como sueldo bruto, des pués de ambos descuentos, sin contar las comisiones, el trabajador recibe $265.600. En cambio, si depositamos dinero en el banco, a modo de ahorro, esta institución aplica un interés fijo a la cantidad depositada, que se acumula mes a mes. Se denomina interés compuesto. Por ejemplo, si dejamos un millón de pesos en un fondo mutuo a un interés de 0,5% mensual. El primer mes tendremos 1.005.000; el segundo mes tendremos los 1.005.000 que ya teníamos más un 5% sobre los 1.005.000, es decir tendremos: 1.005.000 +
0, 5 100
1.00 0 05.00 0 00 = 1.00 0 05.00 0 00 + 5.02 0 25 = 1.01 010 0.02 025 5
Si seguimos así, al cabo de un año tendremos una cantidad aproximada de $1.061.678.
actividades 1.* Un trabajador gana $320.000 mensuales como sueldo bruto y la comisión de la AFP es de 2,4%. Si él destinara el mismo monto de dinero que entrega a la AFP a ahorro en un depósito a plazo que paga un 0,4% de interés, ¿cuánto dinero ahorraría en 20 años? 2. Si a los libros li bros no se les aplicase el IVA I VA,, ¿qué precio tendría un libro que hoy vale $12.500?
MATEMÁTICA
171
• información en los medios • PORCENTAJES EN LOS MEDIOS: ACCESO AL AGUA POTABLE. Según datos de la Organización Mundial de la Salud (OMS), “unos 2.600 millones de personas, la mitad del mundo en desarrollo, carecen carecen hasta de una letrina sencilla, y 1.100 millones de personas carecen de acceso a cualquier tipo de fuente de agua de bebida. Como consecuencia directa de ello: 1,6 millones de personas mueren cada año de enfermedades diarreicas (incluido el cólera) atribuibles a la falta de acceso a un agua potable salubre y al saneamiento básico, y un 90% de esas personas son menores de 5 años, principalmente de países en desarrollo; 160 millones de personas están infectadas por la esquistosomiasis, que causa decenas de miles de defunciones anuales; 500 millones de personas corren riesgo de contraer tracoma, por cuya causa 146 millones están amenazadas de ceguera y 6 millones padecen deterioro visual; Las helmintiasis intestinales (ascariasis, tricuriasis y anquilostomiasis) están azotando al mundo en desarrollo por falta de agua, saneamiento e higiene adecuados y 133 millones de personas sufren de fuertes parasitosis intestinales causadas por helmintos. Cada año hay aproximadamente 1,5 millones de casos de hepatitis A clínica.” La ONU ha declarado algunas metas, que pretende alcanzar para el año 2015, lo que se ha llamado “Objeti “Objetivos vos de Desarrollo Desarroll o del Milenio (ODM)” (ODM) ”, entre estos objetiobj etivos está reducir a la mitad el porcentaje de personas p ersonas que no tienen acceso a agua potable. En el año 1990, el porcentaje de personas que tenía acceso a agua potable era de 77%, y la meta es aumentar esa cifra a 85% para el año 2015. En el periodo 1990 - 2002 el porcentaje de acceso aumentó de 77 a 83%. Alcanzar la meta de los ODM permitiría evitar 470.000 defunciones y tener 320 millones más de días hábiles productivos cada año.
apliquemos 1. Según el texto: ¿Cuál fue el aumento porcentual de acceso a agua potable, durante el periodo 1990 - 2002? 2. Si el ritmo de crecimiento se mantiene, ¿se alcanzará la meta de los ODM?
aproximadamente, ente, 5.900 millones de habitantes, ¿cuántos 3. Si el año 2002 la población mundial era, aproximadam de ellos no tenían acceso a agua potable? 4. Investiga acerca de medidas prácticas y domésticas que te permiten ahorrar agua potable. Propón medidas propias para el correcto uso del agua potable. Discute con tus compañero compañeross aquellas más factibles de llevar a cabo. 5. Investiga cuál es el porcentaje de agua potable respecto al total de agua del planeta.
172
Unidad
• aplicando lo aprendido •
1. Si el plan de salud de una familia en una isapre
6. Italo va a una tienda a comprar un CD de su
cuesta $96.000 mensuales y el ingreso familiar es de $410.000, ¿qué porcentaje del ingreso familiar se dedica a isapre?
cantante favorito y se encuentra con que el disco aumentó su precio de $5.390 a $6.390. Completa en tu cuaderno las siguientes afirmaciones para que resulten ciertas. Justifica tu respuesta.
2. Si a un trabajador que gana $320.000 le
aumenta $10.000 y a otro trabajador que gana $1.200.000 se le aplica el mismo porcentaje de aumento, ¿cuál será el sueldo del segundo trabajador después del aumento?
a) El nuevo nuevo precio precio del CD es es un
5
? % del
antiguo precio. b) El nuevo nuevo precio precio del CD es un
? % más
que el antiguo precio. c)
3. Don Víctor deposita $1.000.000 en una insti-
tución bancaria con un interés compuesto del 6% anual.
d) El antiguo antiguo precio precio del del CD es un ? % del
nuevo precio.
a) Si no realiza realiza giros en su cuenta, cuenta, ¿cuánto ¿cuánto
e) Compara tus respuestas en b) y c). ¿Por
dinero tendrá al cabo de tres años?
qué tiene sentido que estos porcentajes no sean el mismo?
b) ¿En qué porcentaje aumentó su dinero
desde que lo ingresó en el banco?
4. Pablo se compra un automóvil nuevo en
7. De acuerdo con datos publicados por la OMS
(Organización Mundial de la Salud), el 17% de la mortalidad en el año 2002 en Chile fue provocada por el tabaquismo. De esta cifra, el 23% se debió a diversos tipos de cáncer, el 14% a enfermedades respiratorias y el 63% a enfermedades cardiovascula cardiovasculares. res.
$4.990.000 con IVA (19%) incluido. a) ¿Cuál es el precio neto del automóvil? automóvil? b) ¿Qué porcentaje porcentaje del del valor total del auto-
móvil es el IVA?
a) ¿Qué porcentaje de las personas fallecidas,
5. Según datos del Ministerio de Salud, en el año
2003, aproximadamente el 1,7% de la población bebe alcohol a diario. De éstos el 33% son bebedores problema, esto es, cuando el alcohol provoca consecuencias negativas en el individuo y su entorno. ¿Qué porcentaje de la población total, son bebedores diarios de alcohol y a la vez bebedores problema?
El antiguo precio del CD es un ? % menos que el nuevo precio.
representan las que murieron de enfermedades cardiovascular cardiovasculares es relacionadas con el tabaquismo? b) ¿Qué porcentaje de las personas fallecidas
representan las que murieron por enfermerepresentan dades respiratorias relacionadas con el tabaquismo?
c)
La cantidad cantidad de personas personas muertas en el año 2002 por causa del tabaquismo fueron 13.844. ¿Cuántas de estas personas no murieron por diversos tipos de cáncer?
MATEMÁTICA
173
• actividades finales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
1.
Calcula los siguientes porcentajes: a) 64% de 25
2.
d) 2% a 75
b) 0,8 de 80
c) 40 de 90
d)
b) 72 es el 9%
c) 1,4 es es el 10%
d) 150 es el 0,5%
c) El c% de b
d) El ac% de b
7 de 3,5
¿De cuál número? a) 8 es el 20%
4.
c) 0,1% de 50
¿Qué porcentaje es? a) 60 de 24
3.
b) 275% de 80
Si el a% de b es c, entonces: a) El b% de a
b) El c% de a
5.
Para realizar una encuesta encuesta acerca de de preferencias preferencias electorales y obtener resultados resultados confiables, confiables, la muestra debe ser proporcional entre hombres y mujeres. Si en nuestro país, por cada 100 hombres hay 104 mujeres, ¿qué porcentaje de hombres hombres y mujeres debe haber en la muestra utilizada en la encuesta?
6.
Según datos entregados entregados por CONACE CONACE en el año 2003, el consumo de drogas drogas en la población escolar (jóvenes de 8° básico a IV medio): 26 de cada 200 escolares consumían marihuana, 23 de cada 1.000 consumían pasta base, y la razón entre los consumidores de cocaína y el total de la población escolar era de 0,03:1. ¿Qué droga tiene el mayor índice de consumo en los escolares?
7.
El precio original de de un abrigo en una una tienda es de $85.000, $85.000, pero como como están en liquidación se vende con un 30% de descuento. ¿Cuál es el dinero correspondiente correspondiente al descuento? ¿A qué precio se vende finalmente el abrigo?
8.* En un restaurante tienen dos barriles (del mismo tamaño) del vino de la casa: el barril A está lleno en un
40% de su capacidad total y el barril B está lleno en un 80% de su capacidad total.
9.
174
a)
¿Cuál es la cantidad cantidad total de vino que hay en el restaurante?
b)
¿Qué porcentaje porcentaje expresa el total de vino que hay hay en el restaurante? restaurante?
Anita es una estudiante a la que le gusta mucho el arte y desea ser una artista a futuro. Por esta razón para nutrirse y adelantar sus estudios, intenta comprarse buenos libros de buenos artistas. Encuentra una completísima enciclopedia en una librería a $71.400. a)
¿Cuál es el valor neto de esta enciclopedia?
b)
¿Qué porcentaje del precio total es lo que se paga en IVA?
Unidad
5
10. Según informes de la CONACE, en el año 2003, en la población chilena entre 12 y 64 años, 12 de cada 25
personas tiene problemas de tabaquismo, en cambio 12 de cada 100 tienen problemas de alcoholismo. ¿Es cierto afirmar que el porcentaje de gente dependiente del tabaco con el porcentaje de gente dependiente del alcohol en Chile es el mismo?
11. Un comerciante tiene gran demanda en la venta de un artículo y por esta razón decide aumentar su precio
en 15%. Esta demanda no duró mucho tiempo y al cabo de dos semanas decidió bajar el precio del artículo en 15%. Un cliente de este comerciante se alegró al pensar que el artículo volvería a su precio inicial. a)
¿Es correcto lo que creyó este comprador? Si tu respuesta es afirmativa justifícala, si no pasa a la siguiente.
b)
¿Cuál es el el porcentaje de diferencia entre el precio precio inicial y el el precio que resultó finalmente finalmente con el descuento?
12. Según el INE (Instituto Nacional de Estadística) la cantidad de basura extraída durante el año 2004 en
nuestro país fue de 5.479.546 toneladas. La región que aportó l a menor cantidad de basura fue la XI Región de Aysén con 57.784 toneladas de basura, y la que realizó su mayor aporte fue la Región Región Metropolitana con 2.327.028 toneladas de basura. a)
Con respecto respecto al total nacional nacional de basura, basura, ¿cuál fue el porcentaje porcentaje de la XI Región?
b)
Con respecto respecto al total nacional nacional de basura, basura, ¿cuál fue el porcentaje porcentaje que botó la Región Metropolitana?
c)
Si en la Región de de Aysén hay una cantidad de 91.492 habitantes, habitantes, aproximadamente, aproximadamente, ¿cuál es el porcentaje de basura promedio que bota cada habitante respecto del total nacional?
d)
Si en la Región Metropolitana Metropolitana hay una cantidad de de 6.061.185 habitantes aproximadamen aproximadamente, te, ¿cuál es es el porcentaje promedio de basura que bota cada habitante, respecto al total nacional?
13. En el año 2000 había 1.422.000 menores de 18 años en condiciones de pobreza, lo que corresponde al
29,1% de la población nacional en ese rango de edad. Calcula cuántas personas menores de 18 años había ese año.
14. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la mejor estimación para el resultado del 68% de 250?
Justifica tu respuesta. a) 150
b) 175
c) 200
d) 125
15. Si uno de cada tres escolares de la Región Metropolitana, con edades entre 13 y 15 años fuman, ¿qué
porcentaje de escolares escolares en ese rango de edad fuma en ese lugar?
MATEMÁTICA
175
16. (Modificación problema Prueba PISA
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
2003) El gráfico 5.6 muestra los niveles de CO2 de varios países o conglomerados, en los años 1990 y 1998.
a) ¿En qué porcentaje porcentaje cambian los niveles niveles de
emisión desde 1990 y 1998 en cada país? b) ¿Es correcto correcto que el cambio en el porcentaje
en la emisión de CO2 en Alemania sea mayor que el porcentaje de Europa, considerando que ese país es parte de ese continente? ¿Por qué? c)
Analiza y discute con un compañero acerca de qué país tuvo el mayor aumento de emisiones de CO2. Planteen dos conclusiones.
Gráfico 5.6
17. Ignacia ingresa a una tienda a comprar una chaqueta y se encuentra con la sorpresa que está con un 30%
de descuento en el precio neto. Decide Decide comprarla y para calcular el precio, el vendedor le agrega primero el 19% del IVA y luego realiza el 30% descuento. Ignacia le reclama diciéndole que primero debe hacerle el descuento y después agregar el IVA. ¿El precio que obtiene el vendedor es el mismo que obtiene Ignacia?
18.* Observa las máquinas que te presentamos a continuación:
Si las máquinas de arriba son iguales, entonces, ¿cuánto vale A?
176
Unidad
5
19. (Problema Prueba TIMMS 2003)
Un club esta compuesto por 40 miembros de los cuales el 60% son niñas. Si más tarde ingresan 10 niños al club, ¿qué porcentaje del total del club son niñas?
20. De acuerdo con datos entregados por el Ministerio de Salud en el año 2003, en nuestro país 1.013.522
niños menores de 15 años fuman, lo que corresponde al 25% de los niños en este intervalo de edad. Este dato nos convierte en el país con el mayor índice de niños fumadores. a)
¿Cuál es la población población aproximada aproximada correspondiente correspondiente a personas menores menores de 15 15 años en el año 2003? 2003?
b)
Si la población chilena en el año 2003 llegó llegó a 15.919.479 15.919.479 habitantes, habitantes, la cantidad de de niños (menores (menores de 15 años) fumadores, ¿a qué porcentaje corresponde con respecto a la población total del país?
c)
En el año 2003 el 41% 41% de la población población chilena fumaba. ¿Qué porcentaje de los fumadores fumadores correscorrespondió a niños menores de 15 años?
21. Del sueldo de un trabajador sólo sabemos que el porcentaje legal destinado a salud corresponde a
$30.000. a)
¿Qué cantidad cantidad de dinero dinero es destinada destinada a la AFP?
b)
¿Cuál es el el sueldo sueldo líquido líquido de este trabajador?
22.* El gráfico 5.7 muestra el porcentaje, nacional, urbano y rural, de la población pobre e indigente en
los años 1998 y 2000. Considerando que la población chilena en los años 1998 y 2000 estaba compuesta por 14.821.700 y 15.211.300 habitantes, respectivamente, responde las siguientes preguntas: a)
Calcula la cantidad de pobres pobres en los años 1998 y 2000.
b)
Dentro de la población afectada por la pobreza durante 1998 y 2000, ¿qué porcentaje de ella es indigente? i ndigente?
c)
Al comparar el porcentaje porcentaje de pobres e indigentes en los años 1998 y 2000 entre las zonas rurales y urbanas, resulta que en ambos años es mayor en la zona rural, pero el gráfico muestra barras mucho más largas para la zona urbana. ¿Existe algún error en esto? ¿Podrías explicar lo que ocurre? Gráfico 5.7 Fuente: CEPAL / MIDEPLAN.
MATEMÁTICA
177
• síntesis de la unidad • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
Expresiones algebraicas
Ciencia, salud, educación, demografía, realidad social, etc.
utilizando
Gráficos y tablas que involucren porcentaje
Comunicar
Generalizar resultados Analizar e interpretar VARIACIONES PORCENTUALES
Relacionar con decimales y fracciones reconocer
Operador
Proporcionalidad directa
Comparar métodos
Estimar
Resolver problemas
En esta Unidad reconocimos el porcentaje como proporcionalidad directa y como una máquina (operador) multiplicativa. Utilizamos el álgebra para relacionar el porcentaje con las fracciones y los números decimales, dejando en claro que no existe igualdad entre un porcentaje y una fracción o un decimal, ya que el porcentaje no es un número que podamos ubicar en la recta numérica sino que se le calcula a cierta cantidad. Por ejemplo el 25% no es igual a 1/4 o a 0,25, pero sí es equivalente decir que el 25% de una cantidad es lo mismo que la cuarta parte o los veinte y cinco centésimos de dicha cantidad. Estimamos resultados utilizando algunas de las generalizaciones que ob tuvimos gracias a las herramientas algebraicas aprendidas en unidades anteriores. Estudiamos varios métodos de cálculo de porcentaje los que se pueden comparar y elegir el más adecuado para resolver diversos problemas, ya sea en el ámbito de las ciencias, salud, educación, demografía, realidad social, entre otros, los que representamos en tablas y gráficos que involucraban porcentajes. Analizamos e interpretamos dicha información en la que el porcentaje sirve como un comunicador para todas las áreas ya mencionadas.
178
Unidad
5
• autoevaluación • 6. El gráfico 5.8 muestra la cantidad de niños
1. [Prueba Timss 2003] 3
En un juego deportivo, los
25
de la gente que
asistió son niños. ¿A qué porcentaje de la audien-
de entre 0 y 14 años, en miles, con Sida en los países más afectados del mundo según datos entregados por la UNICEF.
cia corresponden?
Mozambique 99
a)
12%
c) 0,3%
b)
3%
d) 0,12%
2. El valor original de un pantalón en una tienda es
Congo 110
Zimbawe 120 Malawi 83
Nigeria 290
Zambia 85
de $p. Si se le aplica el 15% de descuento por baja temporada, la expresión que representa el nuevo precio del pantalón es: a) b)
3 20 3 4
p
p
c)
p−
3 20
d) p −
3 4
p
p
3. Juanita invita a su marido a cenar cenar y la cuenta le
Tanzania 140 Kenya Uganda 100 84
sale $12.500, pero Juanita siempre deja el 10% de propina el cual lo debe agregar al pagar. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de propina que Juanita deja con respecto a la cuenta total que pagó? a)
10%
c) 0,1%
b)
9%
d) 0,9%
a)
66, 6
c)
b)
60
d) 6
Etiopia 120
Gráfico 5.8
De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a)
Nigeria tiene tiene el más alto porcentaje de niños niños con Sida.
b)
La cantidad total de niños con sida en el mundo es de 1.461.000.
c)
Malawi, Uganda y Zambia Zambia juntos no superan a Nigeria.
d)
Zimbawe y Etiopía tienen el mismo porcentaje de niños con Sida.
4. ¿Qué número debes ingresar a la máquina de abajo
para que salga el número 20?
Sudáfrica 230
6, 6
7. En el año 1990 en nuestro país 10 de cada 260 5. En un colegio el 45% de los alumnos son niñas niñas y
entre éstas el 32% practican handball, el 15% toca algún instrumento, el 20% practica natación y el resto no tiene pasatiempos. Del total de alumnos del colegio ¿Qué porcentaje son niñas y realizan una actividad no deportiva? a) 48%
c)
52%
b) 21,6%
d) 23,4%
personas tenían entre 0 y 18 años. En el 2000 eran 10 de cada 280. De los porcentajes de personas entre 0 y 18 años de cada año se puede decir: a)
En ambos años fue el mismo mismo porcentaje. porcentaje.
b)
En 1990 fue menor.
c)
En 2000 fue casi 7,7% mayor.
d)
En 2000 2000 el porcentaje fue aproximadamente aproximadamente 0,3% mayor.
MATEMÁTICA
179
Factores y pr productos oductos
Al finalizar esta unidad serás capaz de:
Temas que estudiaremos en esta unidad:
Transformar expresiones algebraicas Transformar por cálculo de productos, reducción reducción de términos semejantes y eliminación de paréntesis. Productos de polinomios. Analizar e interpretar las variaciones que se producen en ciertas cier tas fórmulas geométricas, por cambios en las medidas lineales. Calcular productos notables. Interpretar geométrica y numéricamente los productos y factores. Transformar expresiones algebraicas Transformar por factorización. Conocer algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico.
Productos notables.
Factorización.
Un poco de historia: Ecuaciones diferenciales.
Unidad
6 En la Unidad 1 medimos una cancha de futbolito, la que resultó ser de 25 m de ancho y 60 m de largo.
Sin embargo, si se tomaba un margen de error de 10 cm en la medición, el área de la cancha podía aumentar de 1.500 m2, a 1.508,51 m2, que a la hora de empastar la cancha resultó ser una diferencia significativa. Surgió entonces una pregunta general: “si un rectángulo tiene lados de medidas x e y metros, pero la medición se realizó con un margen de error de a metros, ¿cuál es la medida máxima de su área? ¿Cuál es la medida mínima de su área? ¿Cuánto difieren de xy? Éstas y muchas otras preguntas podrás responder cuando hayamos terminado el trabajo en esta unidad.
• para recordar • 1. El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es a) b) c) d)
. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de?
radio 5 cm y altura 10 cm. radio 10 cm y altura 5 cm. radio 0,25 m y altura 1,5 m. radio 0,32 m y altura 2,2 m.
2. El teorema de Pitágoras dice que si un triángulo rectángulo tiene catetos de medidas a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple c2 = a2 + b2 . Entonces, ¿cuál de las siguientes igualdades es cierta? Justifica tu respuesta. a)
b
2
=
c
2
+
2
b)
a
b
2
=
2
a
−
c
2
c)
2
a
c
=
2
−
b
2
3. ¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta? Justifica tu respuesta. 3
a) 6( a + b) = 6a + b
d) 3x ( x −
−
y)
=
2x
−
g)
y
2 3 x x
=
x
6
2
a b c
j)
4
3 4
1
=
−
a b c 2
b)
x y
c)
2xy
=
2
2
( xy )
e)
−
f)
xy zx
( x + y) + z
=
z− x
−
y
h)
(3 )
4
x
=
3
+
3xy
=
5xy
2
=
2
y
x y z
i)
2
4
2
a b
3x
=
a
a ⋅
b
2
4. Calcula el área de las siguientes figuras:
5. Reduce términos semejantes: a)
6xy − 7yx
+
4 xy
2
d) 3x − ( x − y )
b) 0, 23abc − 4, 1(abc − 10abc 2 )
e)
c) 5x 2y 2z + xyz − 3( yxz − 10x2 y2z)
f)
xy
2 2 x y − ( xy − xy xy ) − xy
2xy 3
−
4 5
( xy − x 2 y ) +
3
−
5
( xyx − 5yx )
6. ¿Es cierto que para cualquier par de números reales reales (a y b) se cumple ab = ba? 7. ¿Es cierto que para cualquier trío de números reales (a,b y c) se cumple a(b+c) = ab+ac?
182
1
a b c −
3
−
Unidad
6
Producto de polinomios En el almacén de don Manuel se vende el kilogramo de pan a $550. Sin embargo, la panadería que lo abastece del crujiente producto, subirá el precio en $10 cada kilogramo. Este señor sabe que su clientela no puede asumir esa alza, de modo que para mantener a sus clientes, él no lo hará. Su mujer no está de acuerdo con este planteamiento, porque disminuirán los ingresos en la casa, pero don Manuel la convence argumentando que la gente no sólo compra pan, sino que también compra leche, leche, mantequilla, azúcar, azúcar, té, aceite, queso, etc. y desdesde su punto de vista, perder un cliente significa una gran pérdida en ventas. La mujer logra entender y el hombre se pone a hacer cálculos. Si hasta ahora la ganancia por cada kilogramo de pan es G, entonces desde la fecha del alza del pan, la ganancia por cada kilogramo serán G - 10, ya que el precio lo mantendrá a $550. Llega entonces a la siguiente conclusión: si al mes me compran K kilogramos de pan, entonces al mes ganaba KG. En cambio, desde ahora solo ganaré:
K(G - 10) Paula, su mujer, pensando en el tema, llega a una conclusión que el almacenero no había considerado: lo más probable es que los negocios del barrio suban el precio del pan, y como nosotros nosotros lo mantuvimos es muy factible que algunas vecinas vecinas se cambien cambien de almacén y se vengan a comprar al nuestro. Tienes razón, le responde don Manuel. Supongamos que la cantidad de personas que se cambian a nuestro negocio nos com pran p kilogramos de pan, entonces las ganancias que tendremos, sólo por este concepto, serán:
(K+ p)(G -10) El hijo de la pareja, dice: entonces lo que ganaremos ahora, será KG -10 p. Don Manuel lo piensa un rato y dice, “No, estás equivocado”, porque tu fórmula dice que siempre ganaremos menos que KG, que es lo que ganábamos antes, pero si ganamos mucha clientela nueva, es decir, si p es grande es de esperar que empatemos lo que ganábamos antes, incluso podemos ganar más que antes. El hijo se convence, de que su resultado está mal, pero no sabe cómo arreglarlo.
actividades 1. Si las ganancias por kilogramo de pan eran de $80 = G, y la cantidad de pan que se compra por mes es K = 1.200 kilogramos. Completa en tu cuaderno, la siguiente tabla, una fila tiene el cálculo correcto y otra la que pensaba el hijo de Manuel: p
30
60
90
120
150
180
210
(K + p)(G − 10) KG − 10p
¿Estás de acuerdo que el hijo de don Manuel estaba equivocado?
MATEMÁTICA
183
Factores y productos
Vimos en la Unidad 2 que la ley distributiva, que aprendiste en la enseñanza básica, se puede representar geométricamente como muestra la figura 6.1: 6.1: c
b
c
cuidado
La representación geométrica considera a,b,c números positivos, pero la ley distributiva es válida para cualquier trío de números reales.
a
a
c
b
a
a
Figura 6.1 Es decir, el área del rectángulo grande es a(b+c), y por otro lado es la suma de las áreas de los rectángulos pequeños, es decir
a(b + c) = ab + ac , para cualquier valor de a, b y c Multiplicar un número por la suma de dos números es lo mismo que multiplicar el número por cada sumando y luego sumar los resultados, por ejemplo: 2
2
5( xy + x y ) = 5 xy + 5 x y
r
recuerda
Recordemos que una propiedad de las potencias es, que si multiplicas potencias de igual base, los exponentes se suman, es decir, a n ⋅ am = a n + m , esto será útil recordar cuando se distribuyan expresiones algebraicas, por ejemplo:
Es importante recordar que x=x1, y que xnx=xn+1
2 2
2 2
2 2
x y ( x + y ) = x y x + x y y
=x
3 2
y
+x
2 3
y
El paréntesis de la expresión a(b+c), significa que a multiplica a la suma b+c. Si el paréntesis no estuviera, es decir, ab+c, a sólo multiplicaría a b. Por esto es importante respetar los paréntesis. Como la multiplicación es conmutativa, es lo mismo decir a(b+c) que (b+c)a, de modo que si el paréntesis está a la izquierda o a la derecha, para el resultado no es importante.
actividades 1. Escribe el área de estas figuras como suma de monomios:
a)
184
b)
c)
Unidad
6
La propiedad distributiva sólo menciona dos términos dentro del sumando, es decir, un binomio. ¿Qué pasaría si hubiese tres términos o más en el paréntesis? ¿Qué podríamos hacer? Observar una representación geométrica como la figura 6.2 puede ayudar a entender que es lo qué está pasando: b
d
c
a
Figura 6.2 Como ves, el área del rectángulo completo es la suma de las áreas de los pequeños rectángulos pintados de colores diferentes. Como el largo del rectángulo es (b + c + d ) y el ancho es a, entonces el área del rectángulo es: a(b + c + d ) = ab + ac + ad
En general, si un lado de un rectángulo es a y el largo se divide en n partes, formando n diferentes rectángulos, donde todos tienen un lado que mide a. Entonces, el área del rectángulo es igual a la suma del área de los pequeños rectángulos (ver figura 6.3). 6.3). Es decir, si el largo mide b1 + b2 + b3 + ⋅ ⋅ ⋅ + bn , entonces se tiene que: a(b1 + b2
+ b3 + ... + bn ) =
ab1 + ab2
ab3 + ... + abn + ab
Supón que tu mamá compra 2 camisas, 2 pantalones y 2 jumpers. Entonces, ella paga 2(c + p + j ) = 2c + 2 p + 2 j , donde c es el precio de cada camisa p es el precio del pantalón y j de de cada jumper. Si por cada prenda le hacen un 20% de descuento, entonces ella paga:
2 (c −
c 5
) + 2( p −
p 5
) + 2 ( j −
j 5
)
Figura 6.3
actividades 1. Si el precio de una camisa y un pantalón juntos es igual al de un jumper. ¿Cuál es el precio de cada camisa,
si el descuento total fue $3.200? en la plaza, donde plantó petunias. El presidente de la 2. Don Zacarías, el jardinero, hizo un círculo de radio r en junta de vecinos le pidió que la agrandara, de forma que el radio aumentara en 20 cm. Don Zacarías le respondió que necesitará más cadenas para rodear la glorieta, el equivalente para rodear un círculo de radio 20 cm. ¿Tiene razón don Zacarías? ¿La cadena que falta no depende del radio inicial? x z + yz yz ) + (3ax + 2ay + 4az )8x 3. Desarrolla las multiplicaciones y reduce términos semejantes: 2a( xy + xz
MATEMÁTICA
185
• aplicando lo aprendido •
1. Desarrolla los siguientes productos y reduce térmi
nos semejantes: a)
2 2
x y
y altura h, tiene un volumen de V = altura
b) (−0, 2a + 0, 25ab )50a2b
d)
3
¿Es cier-
h+k
, tiene el mismo volumen que dos
2
e) (−2cs − 3cr + 4rs)( −3r) + s(3r
3
h
altura k?
uvz
5h − k + 21 2 8hkl 4
abc
2
conos de radio r, uno de altura h y otro de
2
f)
πr
to que el volumen de un cono de radio r y
2 3 3 (3xy − 2x y ) + 5x y
c) (3uv − 2uz + 5zy )
3. Recuerda que el volumen de un cono de radio r
2
−
4cr) 2
( −3a + 6b − 12ac ) + a (bc + bc )
2. Considera un rectángulo de lados de medidas a y b, con b > 2a. Haz tres copias idénticas de él y super-
pónelos como en la figura:
4. El volumen de una caja de aristas x cm, y cm y z cm es xyz cm3. ¿En cuánto aumenta el volumen de ésta si la medida de la arista z aumenta
en un centímetro? ¿El aumento es el mismo si en vez de z el aumento lo experimenta x o y?
5. La energía cinética de un objeto de masa m que
se mueve a una velocidad v, es K
2
mv =
2
, ¿es
cierto que si la velocidad se duplica, la energía también se duplica? ¿Es cierto que si la masa se duplica, la energía también se duplica?
a) ¿Cuál es el área de la figura de la derecha? b) ¿Cuál es el área del rectángulo rojo? c) ¿Cuál es el área del rectángulo rectángulo amarillo? d) ¿Qué clase de rectángulo rectángulo es? e) ¿Cuál es el área del rectángulo verde?
6. El padre de Rodrigo gana p pesos por hora. Si el día lunes trabajó l horas, el martes m horas, el miércoles w horas, el jueves j horas y el viernes v
horas, ¿cuánto ganó en la semana? Si los días lunes, martes y miércoles trabaja una hora más de lo que trabaja el jueves y vierne s. Si p 1.750 , y en esa semana ganó $76.000, ¿cuántas horas trabajó cada día? =
7. Compara el área de un triángulo isósceles de base a, y altura h con otro de la misma base
pero el doble de la altura.
186
Unidad
6
2 Factorización: primera parte Hasta el momento hemos estudiado la multiplicación de un número por una suma: a(b+c), también podemos hacerlo con la resta, recordando que la resta de a menos b es la suma de a más el inverso aditivo de b, esto es b−c
=
Por lo tanto, a(b − c) = a (b + ( −c )), pero la distribución respecto a la l a suma la conocemos bastante bien.
Encuentra una representación geométrica de la expresión: a(b
Resumiendo: a(b
−
c)
=
ab
−
nota
n
b + ( −c ).
−
c)
=
ab
−
ac
ac
En general, si hay varios términos multiplicando a un número, es necesario transformar las restas en suma y luego aplicar la propiedad distributiva, por ejemplo: 2
2
3 x ( xy − xz − 3xy ) = 3x (xy + ( −xz ) − ( −3xy )) = 3x
2
2 2
y − 3x z −
9 x 2z
Para muchos propósitos, en vez de desarrollar un producto, es necesario saber si una expresión algebraica es una multiplicación de dos expresiones algebraicas. Por ejemplo, si n es un número entero, un múltiplo de él se escribe en la forma nk , para algún número entero k . Y viceversa, si un número entero se escribe en la forma nl , para algún entero l , entonces es un múltiplo de n. Si tenemos dos múltiplos de n, ¿es la suma un múltiplo de n? La respuesta es Sí, y la razón es que nk y y nl son son los múltiplos de n en cuestión, entonces su suma es nk +nl , pero si nos fijamos con atención, eso es la parte derecha de la distribución n( k
+
l)
=
nk
+
nl
Es decir, la suma de los múltiplos de n se puede escribir en la forma n( k + l ) , o sea n multiplicado por un número entero, por lo tanto es un múltiplo de n.
actividades 1. Demuestra que la resta de dos múltiplos de n es un múltiplo de n. 2. Si a+b es un múltiplo de n, ¿es verdadero que cada uno de los sumandos es múltiplo de n? 3. Escribe las siguientes expresiones algebraicas como productos: a)
3x
+
3y
b)
3x + 6 y
c)
9x
− 6y
d)
3xy + 6zy
e)
−12x
2
y + 24 y
2
MATEMÁTICA
187
Factores y productos
Un monomio es un término algebraico donde las potencias de las variables son positivas o cero, una suma de monomios se llama polinomio. Por ejemplo, 3 xy2 es y x
un monomio en las variables x e y, pero 3 no es un monomio en las variables x e y. Si dos monomios se multiplican, por ejemplo 3 xy 2 y 2 x 2 y , forman un nuevo monomio, en nuestro caso 6 x 3 y 3 . En ese caso decimos que los monomios iniciales son factores del producto. En nuestro caso, 3 xy 2 y 2 x 2 y , son factores de 6 x 3 y 3 . Sin embargo, los factores no son únicos, es decir, puede ocurrir que otros monomios al multiplicarse creen el mismo producto, por ejemplo, al multiplicar 6 x 3 con y 3 , también resulta 6 x 3 y 3 .
En general, decimos que un polinomio p, es múltiplo de otro q, si q se puede escribir como pr , donde r es es un polinomio no constante. Al proceso de escribir un polinomio, como el producto de factores, se le llama comúnmente factorizar . Por ejemplo, al factorizar el polinomio xy 2 + xz 2 resulta 2 2 x ( y + z ) . Recordemos que la ley distributiva distribut iva es a(b + c ) = ab + ac , por lo tanto, si sólo tenemos el lado de la derecha, notamos que a se repite en ambos sumandos, entonces decimos que es un factor común, con esto podemos reconstruir el lado de la izquierda. Por ejemplo: 4 x 2 y + 6 xy 2 lo podemos escribir 2(2 x 2 y ) + 2(3xy 2 ) , entonces, el 2 es un factor común. Así tenemos la factorización 2
2
2
2
4 x y + 6 xy = 2(2 x y + 3xy )
Ahora bien, notamos que el factor 2 x 2 y + 3xy 2 de la factorización anterior, todavía tiene factores comunes, de hecho, 2 x 2 y + 3xy 2 = xy(2 x ) + xy (3y ) , por lo tanto 2
2
2 x y + 3xy = xy (2 x + 3y )
Retomando la igualdad anterior, se tiene 2 2 2 2 4 x y + 6 xy = 2(2 x y + 3xy ) = 2xy (2x + 3y ) El proceso de factorización muestra como reconstruir el área de un rectángulo a partir de pequeños rectángulos que tienen un lado de la misma medida. En nuestro caso, 4 x 2 y + 6 xy 2 , lo hemos visto como la suma del área de dos rectángulos, cada uno de los cuales tiene un lado de lado 2 xy .
actividades
área 2x3 y 2 y otro de área 3x 2yz , de tal forma que tengan 1. Dibuja en tu cuaderno dos rectángulos, uno de área un lado de la mi missma me medi did da. Factoriza 2x3 y 2 + 3x 2yz 2. Factoriza los siguientes polinomios:
a) ab abcc − ab abcc2
188
2 3 2 b) −2xy w + 4 y w z
c) 5u2v − 10u2 − 15uv 2w
Unidad
6
3 Sigamos distribuyendo Recordemos el problema de don Manuel: él ganaba por concepto de pan, luego de asumir el alza de $10: (K+ p)(G -10) donde K era la cantidad de pan mensual que vendía antes del alza, p era la clientela que ganaba y G la ganancia por kilogramo, antes del alza. Como G -10 es un número, lo podemos distribuir en la suma K+ p, resultando:
K(G - 10) + p(G - 10) distribuyendo cada uno de los paréntesis, se tiene: KG - 10K+ pG - 10 p que es muy distinto, a lo que pensaba el hijo: KG - 10 p. En general se tiene:
( x + a )( y + b ) = xy + ay
+ bx + ab
Está última relación se puede observar geométricamente como se muestra en la figura 6.4.. 6.4 Notamos que sólo el rectángulo rectángulo verde representa xy, el anaranjado representa a ay, el violeta ab y el café xb. Es decir, la diferencia, entre ( x + a )( y + b ) y xy es ay + bx + ab. Si a y b son los errores er rores en las mediciones, es de esperar que sean pequeñas comparadas con x y con y respectivamente, por lo tanto el valor ab suele ser muy insignificante comparado con xy. Por lo tanto, quien hace una diferencia significativa entre: Figura 6.4
( x + a )(y + b ) y xy , es ay + bx .
Por ejemplo, si y y x representan decenas de metros y tanto a como b representan 1 cm, el error ab es 1 cm2, cantidad muy pequeña para considerarla una diferencia sustantiva.
actividades
1. Desarrolla los siguientes productos y reduce términos semejantes cuando se pueda:
a) (2x + 3y )(2t + 5k )
2 2 c) ( xy + x )( xy − x )
e) ( x 2 − y 2 )( x + y )
b) (ab + cd)( x + y )
d) ( a − b )(a + b )
f)
( x + y )( x − y )( x + y )
2. Considera un número A, que sea la suma de un número par con un múltiplo de 3, y por otra parte, considera un
número B que sea la suma de un número par con un múltiplo de 5. ¿Es cierto que el producto de A con B es un número par más un múltiplo de 15? problema de don Manuel, supón que la venta mensual, antes del alza es deK = 1.200 kilogramos. Si 3. En el problema la ganancia, antes del alza era de $80 por kilo, ¿para qué valores de p, se obtienen mayores ganancias después del alza que antes de alza?
MATEMÁTICA
189
• aplicando lo aprendido • 6. Un fabricante de pantalones los vende a $3.500
a una tienda, que le compra 500 unidades. Él pretende subir el precio del artículo y estima que por cada $100 que aumenta el precio, la tien da le comprará 2 unidades menos. Si decide subir el precio en x pesos, ¿cuánto será el dinero D que reciba de la tienda por la venta de pantalones?
1. Factoriza los siguientes polinomios: a) 5x − 10xy b) 0, 25x 2 + 0, 75xz2 c) d)
2 3
2
abc − 0, 3ab c 2
5x y + 10 xy 2
e)
3x y 2
f)
Haz una tabla de x versus D. Estima cuánto debe subir el precio el fabricante, para recibir la mayor cantidad de dinero.
xy
+
−
3x
5xy 2 −
2
− 15x
+
7 xy
2
y
7. El área de un trapezoide es
2
1 2
( a + b )h , donde a, b
y h son las medidas de los trazos que se muestran
2
a continuación:
4
y−3
g) xy + 3bx + 2ay + 6ab h) a( x 2 − xy ) − b(xy − y 2 ) 2. Desarrolla los siguientes productos: xy a) ( x + y )5xy
b) (4 x + y)(3x c)
−
Describe el área como la suma de monomios. Si a=h=10 cm y b=20 cm, ¿cuál es el área del trapezoide?
y)
( x + 1)( x + 2)( x + 3)
8. Herón de Alejandría en el siglo I de nuestra
xz − yz ) d) ( xy + zx )( xz 2
e) f)
ab − a c
era, asegura que el cuadrado del área de un triángulo es: p(p − a)(p − b)(p − c ) donde p es el semiperímetro del triángulo de lados a, b y c. ¿Cuál es el cuadrado del área de un triángulo de lados 4 cm, 3 cm y 3 cm?
(−6ac − 9a2b )
3 ( x − 1)( y − 1)(z + 1)
g) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
9. Si ab
h) ( x + y )( x 2 + xy + y 2 )
10. Si
i) ( x − a)( x − b)
=
a( x
0,
−
11. Si ( a b )(x
3. Considera dos cajas. Una tiene cada arista un
centímetro más grande que las aristas de la otra caja. Si las aristas de la caja chica son x, y y z, ¿cuánto mayor es el volumen de la caja grande que el volumen de la pequeña?
=
0 ,
a
=
0 o b
=
0?
entonces, ¿qué puedes afir-
mar? −
−
y ) 0 , entonces, ¿qué puedes =
afirmar? 12. ¿Qué debe ocurrir para que a( x − y ) sea igual a b( x − y )?
, ¿cuáles
13. Si a un terreno rectangular de lados x y y se le quita a unidades al lado x, y al lado y se le quita b unidades, ¿cuál es el área que resulta? Si se le quitan a unidades a y y b unidades a x, ¿cuál es el área del rectángulo que re-
5. Compara el área de un triángulo equilátero de lado a con otro de lado una unidad mayor.
sulta? ¿En cuáles casos ambos procesos producen rectángulos de la misma área?
rectángulo tiene área 4. Si un rectángulo
3xy + 12x
2
pueden ser las medidas de sus lados?
190
y)
¿es cierto que
Unidad
4
6
Productos notables: el cuadrado del binomio
Entre los productos de expresiones algebraicas, hay algunos bastante utilizados en matemáticas, ya sea en estrategias de cálculo o en desarrollos algebraicos en modelos matemáticos. A estos productos destacados los denominan “Productos Notables”. Uno de ellos es cuando se repite el factor, es decir (a + b )(a + b ) , lo que también anotamos (a + b )2 , lo llamaremos “el cuadrado del binomio”, y geométricamente lo vemos como sigue:
n Como vemos, el área del cuadrado de lado (a + b ) es igual a un cuadrado de lado a, el rojo, dos rectángulos que miden lo mismo, de lados a y b, los rectángulos verdes y el cuadrado de lado b, el amarillo. Si sumamos las áreas resulta: a 2 + 2ab + b 2 , por lo tanto: (a + b )
2
=
a
2
+
2ab + b
2
nota
Si no recuerdas el resultado del cuadrado del binomio, siempre está la posibilidad de desarrollar la multiplicación.
Esto lo sabemos del álgebra. De hecho, si distribuimos, resulta: 2
(a + b )
(a + b )(a + b ) = a
=
2
+ ab + ba + b
2
=a
2
+ 2ab + b
2
También podemos desarrollar el cuadrado de la diferencia, sólo distribuyendo y escri biendo la resta como una suma: 2
(a − b )
=
2
(a + (−b )) ))
(a
=
))(a + (−b + ( −b ))
)) = a ))
2
ab − ba + b − ab
2
=
2
−
2 ab + b
2
actividades 2
1. ¿En qué caso (a + b)
=
2
a
2
+b
?
2. Desarrolla los siguientes cuadrados:
a) (a + 2b )2
b) (− x + 3y )2
c) ( x + 1) 2
2 d) ( 2 − 3 )
2
3. Calcula
1 3 + x + 2 4
¿Es cierto que
x
2
es un número positivo para cualquier valor de x?
+ x +1
MATEMÁTICA
191
Factores y productos
5 La suma por la diferencia Si creemos estar en frente de un cuadrado, y medimos uno de sus lados y resulta ser x, con error en la medición de ± a, el área máxima del cuadrado es ( x + a )2 y la mínima es 2 ( x − a ) . Sin embargo, puede que no haya sido un cuadrado, sino que un rectángulo con pequeñaa diferencia pequeñ diferencia en la medida medida de sus lados. lados. La máxima máxima medida de uno uno de sus lados lados ( ) ( ) ( ) ( ) es x + a y la del otro es x − a , entonces su área sería x − a x + a . A este último diferencia, pues corresponde al producto entre la producto se le llama la suma por su diferencia suma de dos números por la diferencia de los mismos. Si desarrollamos el producto, resulta: ( x + a )( x − a ) = x ( x − a ) + a ( x − a ) =
Por ejemplo ( 3 + 2 )( 3 − 2 ) =
x
2
− ax + ax − a
2
( 3) ( 2 )
2
2
−
=
=x
2
2
−a
3− 2 =1
actividades Esta actividad tiene por finalidad que descubras la relación (a + b)(a − b ) = a trico y uno no algebraico como lo hicimos anteriormente.
2
−b
2
, mediante un método geomé-
1. Antes de todo, construye en cartulina un cuadrado de lado a. 2. Ahora marca en una esquina del cuadrado, un cuadrito de lado b. Desde luego a > b . 3. Desde el vértice opuesto al cuadrado de lado b, dibuja la diagonal. 4. Recorta el cuadrado de lado b. La figura que te queda divídela en dos, haciendo un corte por la diagonal,
denomina A y B a cada una de esas partes. lado donde pasaba la diagonal, pero pero en el sentido opuesto opuesto a como estaba antes. antes. 5. Une las partes A y B por el lado
6. Nota que la figura iv y la figura vi, tienen la misma área. 7. Muestra que el área de iv es a2 − b2
Muestra que el área de vi es el área del rectángulo de lados a − b y
8. Concluye que (a − b)(a + b ) = a2 − b 2
192
a+b
• aplicando lo aprendido •
Unidad
6
1. Calcula el producto ( x 2 + 1) + 2x ( x2 + 1) − 2x . (Ayuda: nota que es una suma por su diferencia). 2 2 2. Muestra que (1+ 2 ) + (1− 2) es un número entero.
3. Construye un cubo de lado a+b, con madera (o greda, o plasticina, o yeso, o cartulina, etc.) y realiza los
cortes como muestra la figura. Nota que q ue resultan 8 prismas, dos cubos y seis prismas rectos de base cua drada. Estos últimos se pueden juntar en dos grupos de tres, ya que, cada uno de los grupos tiene cuerpos cuerpos 3 3 2 2 3 idénticos. Muestra que (a + b) = a + 3a b + 3ab + b .
en tero par. 4. Muestra que (2 + 5 )3 + (2 − 5 )3 es entero 5. ¿Es cierto que
( x + y )2 − ( x − y )2 4
=
xy ?
6. Desarrolla los productos: a) (2xy − 3x )2
d) ( x + y))((−x
2 2 b) (4 x + 5x )
e) (a + b + c )(a − b
c)
(− a − b )2
f)
+
y) +c
)
( x 2 − y )( x2 + y )
7. Recuerda que (a + b)2 es la suma de los cuadrados de a y de b con el doble producto entre a y b. Calcula (a + b + c )2 .
¿Es verdadero que es la suma de los cuadrados de a, b y c con los dobles productos de pares de variables distintas? 8. Demuestra que el cuadrado de un número impar es también un número impar. 9. Muestra que la diferencia del cuadrado de un número entero, con el cuadrado de su antecesor es un
número impar. (Haz esto de dos formas distintas). 10. Muestra que la suma de tres potencias consecutivas de 2, es divisible por 7. Muestra que la suma de tres
potencias consecutivas de 3, es divisible por 13. ¿Podrías afirma r algo similar para la suma de tres potencias consecutivas de 4? 11. Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de lado
, en él pinta los cuadrados de lados a y lado b. Muestra que si a > 0 y b > 0 , jamás podrá pasar que (a + b)2 sea igual a a2 + b2. ¿Podrá ocurrir la igualdad, para valores negativos de a o de b? a+b
MATEMÁTICA
193
Factores y productos
6 Factorización: segunda parte Amanda veranea en un campamento vacacional donde el terreno es un cuadrado de 130 m de lado. Ella se ha enterado que por litigios con los dueños de los terrenos vecinos, se perderán algunos metros cuadrados del terreno original, de hecho el terreno seguirá siendo cuadrado, pero ahora será de lado 128 m. Ella quiere calcular la cantidad de metros cuadrados que se perdieron en el litigio y propone que el terreno perdido es: 2 2 2 (130 − 128 )m Cuando la muchacha se disponía a calcular el cuadrado de 130, su hermano mayor le recordó que la diferencia de dos cuadrados es lo mismo que una sola multiplicación. Con esta información Amanda expresó lo siguiente: a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) , por esto: 2
2
130 − 128 = (130 + 128 )(130 − 128 ) = 258 ⋅ 2 = 516
n
nota
Escribir un trinomio como cuadrado de binomio, y escribir un binomio como la suma por su diferencia, también se llama factorizar.
Por lo tanto, el área que se perdió es de 516 m 2 , que corresponde a un terreno rectangular de 12 m por 43 m, lo que es bastante grande. Para resolver problemas como el de Amanda, y muchos otros, es importante saber reconocer polinomios que se pueden escribir como productos notables. Por ejemplo, 2
2
2
2
25 x − 36 y = (5 x ) − (6 y ) = (5 x − 6y )(5x + 6y )
Lo mismo ocurre con el cuadrado de binomio. Si lanzas una piedra hacia arriba con m velocidad 20 , la altura de la piedra (medida en metros) en el segundo t es, es, más o s menos, h = −5(t 2 − 4t + 4 ) + 20 . Sin embargo, si uno es observador, nota que el trinomio del paréntesis es un cuadrado de binomio. De hecho, 2 2 2 2 t − 4 t + 4 = t − 2 ⋅ 2t + 2 = (t − 2 ) Por lo tanto, la altura es h = 20 − 5(t − 2 )2 , en el instante t . Lo que permite saber cuál es la altura máxima de la piedra. De hecho, 2 20 − 5(t − 2 ) es siempre menor o igual a 20. Por lo tanto, la altura máxima es 20 m y se alcanza − 2 ) = 0 , es decir, cuando han pasado 2 segundos. cuando (t −
actividades 1. Factoriza los siguientes polinomios: 2 2 a) 9x − 4 y
2 2 4 b) 4 x + 12xy + 9y
c) x 2 + x +
1 4
2 d) x − 5x +
25 4
2 2. Para calcular (10,1) , y no se tiene calculadora a mano, se puede recurrir a que el cuadrado de 10 es fácil
de calcular, de hecho es 100, del mismo modo que el cuadrado de 0,1 es 0,01, por lo tanto el cuadrado de 10,1 es 100 + 2 + 0, 01= 102, 01. Explica tú el razonamiento.
194
Unidad
7
6
El cuadrado es lo máximo
Imaginemos que te heredan un terreno rectangular en Chiloé y lo puedes cerrar con un alambre de 200 metros. ¿De qué forma lo eligirías? A continuación mostramos modelos geométricos de terrenos que se pueden encerrar con un cable de 200 m. Cada celda de la cuadrícula representa un cuadrado de lado 10 m.
c
cuidado
Si una propiedad es verdadera en muchos casos, no es efectivo que necesariamente sea cierta siempre.
Alguien podría decir que da lo mismo, que los terrenos son iguales, pero si nos fijamos con atención hay algunos que encierran más celdas que otros, el primero envuelve 24, el segundo 25 celdas y el tercero sólo 21. Te Te invitamos a que construyas muchos rectángulos que cumplan la condición de ser encerrados por un cable de 200 m, y luego sigas leyendo, pensando en la respuesta a la pregunta, ¿cuál encierra mayor área? Por ejemplo si el terreno terr eno lo queremos para sembrar, es muy impor tante escoger aquel que cubra mayor área. Si tú ya has hecho bastantes ejemplos de modelos de terrenos, ter renos, 2 m te habrás dado cuenta de que ninguno encierra más área que 2.500 es decir, el terreno cuadrado de lado 50 m. Sin embargo, por grande que sea la cantidad de modelos que hayamos hecho, es imposible hacerlos todos, pues son infinitos los rectángulos de perímetro 200, de modo que es necesario estudiar el caso en total generalidad y no casos particulares, por muchos que sean. Consideremos un rectángulo de lados a y b y de perímetro 200, es decir, a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a + b ) = 200
Por lo tanto, a + b = 100 y
a+b 2
=
50 . Es decir, el promedio de los lados es 50.
actividades 1. Explica por qué existen infinitos rectángulos de perímetro 200.
rectángulos de lados enteros, tienen perímetro 200? 2. ¿Cuántos rectángulos 3. Con las notaciones de arriba, ¿es cierto que b = 100 − a?
¿Es cierto que el área del rectángulo es 100a − a2 ?
MATEMÁTICA
195
Factores y productos
Al ser constante el promedio entre los lados del rectángulo, si un lado mide más de 50, el otro mide menos que 50, pero en la misma cantidad para que el promedio se mantenga. Por ejemplo, si uno se pasa en 10 de los 50 el otro debe estar 10 abajo de los 50, así tenemos el rectángulo de lados 60 y 40. Abajo mostramos unos ejemplos de esto último. 50 − 30 50 − 10
50 − 20 50 + 30 50 + 20 50 + 10
En general, si un rectángulo de lados a y b tiene perímetro 200, entonces sus lados se pueden escribir como b = 50 + x y a = 50 − x , donde a es el ancho y b es el largo. De hecho, como a + b = 100 se tiene que b = 100 − a y por lo tanto, b = 50 + ( 50 − a ) b = 50 + x
y también a = 50 − 50 + a = 50 − (50 − a )
A = ab = (50 − x )(50 + x )
(50 − x )( 50 + x )
a = 50 − x
Por lo tanto si anotamos, x = (50 − a ). Se tiene que a = 50 − x y b = 50 + x . Como el área del rectángulo es ab, se tiene que el área es A = (50 − x )(50 + x ) = 2.500 − x
actividades
2
2 Como x 2 es siempre positivo o cero la forma de que el área A = 2.500 − x sea mayor, es cuando x = 0 . Pero como a = 50 − x y b = 50 + x , la forma de obtener el rectángulo de máxima área es a = 50 − 0 = 50 y b = 50 + 0 = 50 . Es decir, el rectángulo de perímetro 200 de área máxima es el cuadrado de lado 50. Entonces si te dieran a elegir un terreno rectangular, que se pueda encerrar con un alambre de 200 m, debieras elegir el cuadrado.
1. Supongamos que el terreno rectangular, en vez de tener un perímetro de 200 m, tiene un perímetro de
240 m ¿Cuál sería el de mayor área? 2. Si un rectángulo de lados a y b tiene perímetro 32, ¿cuál es el valor de a + b ? ¿Cuál es el valor de
a+b
2 ¿Es cierto que los lados se pueden escribir en la forma a = 8 − x y b = 8 + x ? ¿C ¿Cuá uáll se serí ríaa el el val valor or de x?
?
Escribe el área en función de x, ¿cuál es el rectángulo de área máxima de perímetro 32? P, Escribe a + b en términos de P. ¿Es cierto que los lados se 3.* Si un rectángulo de lados a y b tiene perímetro P, 2 p P pueden escribir en la forma a = − x y b = + x ? ¿Cuál sería el valor de x en términos de a y b? Escribe el 4 4 área en términos de P y x. ¿Cuál es el rectángulo de área máxima de perímetro P?
196
Unidad
6
8 Demostración del Teorema de Pitágoras Ya llevamos bastante tiempo mencionando y aplicando el teorema de Pitágoras, para rer esolver problemas referentes a triángulos rectángulos. Ahora daremos una demostración que permite asegurar la validez de este resultado, que se le atribuye a Pitágoras, pero que no se sabe a ciencia cierta si es efectivamente de él o de uno de sus discípulos. Una demostración es una explicación matemática de la veracidad de un resultado, utilizando propiedades asumidas como ciertas, ya sea por que fueron demostradas antes o son verdades asumidas por todos, como postulados iniciales, llamados axiomas. Para esta demostración que daremos, necesitamos dos resultados por ti conocidos. El primer resultado es: “El área de un cuadrado de lado x es x 2 ”, y el segundo resul yz tado, “El área de un triángulo rectángulo de catetos y y z es es .” 2
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado formado en la hipotenusa tiene por área la suma de las áreas de los cuadrados cuadrados formados en los catetos. catetos. O también se puede decir:
Teorema de Pitágoras
Si ∆ ABC es un triángulo rectángulo en que sus catetos miden a y b y su hipotenusa c, entonces a 2 + b 2 = c 2 . Por ejemplo, el triángulo rectángulo de catetos de medidas 3 cm y 4 cm, e hipotenusa que mide 5 cm, satisface la relación: 2
2
2
3 +4 =5 Pero, que el teorema se compruebe en un caso particular, no quiere decir que sea cierto siempre. Es necesario dar una demostración general, que considere todos los triángulos rectángulos. Lo que haremos es tomar un triángulo rectángulo cualquiera y comprobaremos que la relación del teorema se cumple. Demostración:
Consideremos un triángulo rectángulo de catetos a, b e hipotenusa c, como muestra la figura 6.5. 6.5.
Figura 6.5
MATEMÁTICA
197
Factores y productos
Ahora dispongamos cuatro triángulos idénticos a él, como muestra la figura 6.6, 6.6, formando un cuadrado de lado a + b .
Figura 6.6 La figura pintada de verde, es un cuadrilátero en que todos sus lados miden lo mismo, además el ángulo interior en cada vértice es recto. Por lo tanto, la figura verde es un cuadrado de lado c. Ahora bien, el área de la figura pintada de amarillo es, por un lado, el área del cuadrado exterior menos el área del cuadrado cuadrad o interior, esto es, (a + b ) y por otro es cuatro veces el área del triángulo inicial, o sea,
(a + b )
2
ab − c 2 = 4 2
2
−
ab . Es decir, 2
desarrollando el cuadrado de binomio resulta: a
2
+
2ab + b
2
−
c
2
=
2ab
2
sumando a ambos lados c − 2 ab resulta: a
2
+
b
2
=
c
2
que es exactamente lo que queríamos probar.
actividades 1.
En la demostración se dice “además el ángulo interior en cada vértice es recto” refiriéndose al cuadrilátero verde. Explica por qué, efectivamente, el ángulo i nterior del cuadrilátero es recto, en cada vértice.
2.
Consideremos la siguiente proposición: “El área de una semicircunferencia que tiene por diámetro la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la suma de las áreas de las semicircunferencias que tienen por diámetros los catetos del triángulo rectángulo”. ¿Es cierta esta proposición?
3.
Según el Teorema de Pitágoras enunciado en la página anterior, ¿es cierto que si en un triángulo de lados a, b y c se cumple rectángulo?
198
2
a
+
b
2
=
c
2
, entonces el triángulo es
c
2
Unidad
• información en los medios •
6
SENSIBILIDAD A LOS MEDICAMEN MEDICAMENTOS TOS En medicina se asigna un valor numérico a la sensibilidad de un paciente cuando se le ha administrado cierta medicina. Este número se relaciona con el grado de eficacia de la droga en el paciente. Si C es el consumo máximo permitido de la medicina, la sensibilidad es: 2
S DC D
donde D denota la cantidad de droga que se le administra al paciente. Si factorizamos esta expresión por D resulta: S D(C D) . Lo que muestra que la sensibilidad es 0, si la cantidad que se administra es C, y por supuesto cuando D=0. =
−
=
−
La pregunta que es importante resolver es: ¿cuál es la cantidad D de droga que hay que administrar, para obtener la máxima sensibilidad?
Solución: Para responderla usaremos los conocimientos de esta unidad: 2
S = DC− D
¿Qué le falta a
2
D
C 2 2 2 = −( −DC + D ) = −(D −DC) = −(D − 2D ⋅ ) 2
2
C
C
2
4
− 2D⋅ para ser un cuadrado de binomio? La respuesta es
. Completemos el cuadrado del
binomio, pero quitamos lo que agregamos, para que la igualdad siga siendo cierta: S
=
2
C
Entonces vemos que S es máximo cuando
2
−
C 2
2
C
−
4
D
+ DC− D = 2
=
0,
2
C
4
2
C − − D 2
es decir, la cantidad de droga que permite la máxima sen-
sibilidad es la mitad del consumo máximo.
apliquemos
1. ¿Cuál es la sensibilidad máxima para una droga que permite un consumo máximo C? 2. ¿Es cierto que la sensibilidad es la misma cuando se administra
C 4
3C
o
3. Un trío de números enteros positivos a, b y c, que satisfacen a2 + b2
4 =
c
de una deteminada droga?
2
se llama trío pitagórico. Por
ejemplo, 5,12,13 es un trío pitagórico. a) Si a, b y c, es un trío pitagórico, y dos de ellos son pares, entonces muestra que el tercero tam-
bién es par par.. b) Si a, b y c, es un trío pitagórico, entonces muestra que no pueden ser todos impares.
c)* Si d)* Si
c
2
2
2
+b
2
+b
=
a
=
a
, entonces muestra que (c − b)(c + b ) = a2.
2
2
, entonces muestra que no puede ser que a y b sean impares y c par.
e)* Sean p,q dos números enteros positivos, con
Considera 2 2 c = p + q . Comprueba que a, b y c es un trío pitagórico. p
>
q.
a
=
2pq ,
b
=
p2
−
q2 y
MATEMÁTICA
199
. un poco de .
historia ECUACIONES DIOFÁNTICAS Diofanto fue un matemático nacido en Alejandría. Y aunque no se tiene certeza del siglo en que vivió, se cree que fue en el siglo III de nuestra Era. Por el epitafio de su tumba se sabe que vivió 84 años. Se le conoce como el padre del álgebra en Occidente, debido a la gran influencia que ejerció su libro “Aritmética” en en los matemáticos durante varios siglos. Éste estaba compuesto por 14 libros, de los cuales sólo se conoce una pequeña parte, la cual contiene problemas de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, es decir ecuaciones del tipo, 0 = a + bx bx + cx 2 + dx 3 , donde a,b,c y d son números enteros. Pueden ser de mayor grado y con más variables. La gran dificultad de los problemas de Diofanto radicaba en que buscaba solamente soluciones enteras. Los ejemplos más sencillos, son de la forma ax + by = c , por ejemplo
2x + 3y
=
20.
Tú ya puedes encontrar soluciones de este problema despejando y , así se tiene 20
y
=
−
2x
3
, entonces, por ejemplo, los valores
x
=
0
,
20
y
=
3
es una solución.
Sin embargo, esta solución no es interesante para Diofanto, pues el sólo busca soluciones enteras y
20 3
no lo es.
En el problema 8 del libro II, se lee “Dado un número el cual es un cuadrado, escríbalo como la suma de dos cuadrados”. Es decir, si x ∈ encuentre y z ∈ tal que x 2 = y 2 + z2 . A finales de de los años 1630, el matemático Fermat escribe al margen de este libro, al lado del problema 8:“Este problema tiene solución..., pero, por otra parte, el cubo de un número no se puede escribir como la suma de dos cubos, lo mismo que una cuarta potencia no se puede escribir como la suma de dos cuartas potencias, y en general, una potencia de un número no se puede escribir como la suma de dos números elevados a la misma potencia”. Esto hubiese pasado inadvertido si luego no añadiera:“Yo tengo una maravillosa demostración de esto, pero el margen es muy angosto para contenerla”. (Lo que motivó a muchos matemáticos a encontrar tan maravillosa demostración). Recién en 1995, el matemático inglés Andrew Wiles logró demostrar la proposición de Fermat, pero sin duda, no ha encontrado la maravillosa demostración que dijo haber logrado Fermat. ,
De hecho, el problema fue resuelto utilizando matemática muy sofisticada, denominada Geometría Algebraica, que fue creada y desarrollada para encontrar soluciones, entre otras cosas, a las ecuaciones Diofánticas.
actividades
1. Muestra que la ecuación diofántica 2. Considera la ecuación diofántica
x
2
2x −
−
6y
4 xy
+
=
13 no
4y
2
tiene soluciones (enteras). . Muestra que no tiene soluciones (enteras).
= −2
Muestra que no tiene soluciones de ningún tipo. 3. Muestra que si la ecuación
2x
+
3y
=
22 tiene
soluciones, necesariamente y es par.
4. Muestra que si la ecuación anterior tiene soluciones, entonces la ecuación x + 3y = 11 también
tiene soluciones.
200
Unidad
6
Ejemplos diofánticos Comencemos con el ejemplo, de la página anterior: 2x + 3y = 20
(1)
Recordemos que sólo buscamos soluciones enteras del problema, por ejemplo la solución racio20 20 nal x = 0 y y = no nos interesa, ya que no es entero. Por lo tanto, consideremos x, y ∈ 3 3 que satisfacen 2x + 3y = 20 . Como 2x y 20 son pares, necesariamente 3y debe serlo también, por lo tanto y debe ser par. Digamos que y = 2k, par algún algún valor valor entero entero k. Reemplazando esto último en (1) (1),, resulta 2x + 6k = 20 que al dividir por 2 se obtiene: x + 3k = 10
(2)
Despejando x resulta x = 10 − 3k. La La sigui siguiente ente tab tabla la muest muestra, ra, los val valore oress de de y y x que resultan al tomar distintos valores de k. k x = 10 − 3k y = 2k
2
Otro ejemplo es el siguiente: encuentre todas las soluciones de la ecuación x 2 + xy + y2
=
0
(3)
Una solución que salta a la vista es x = y = 0. Observamos también que y 2 y x 2 son ambos positivos, cuando y y x no son nulos. Por lo tanto, si ambos números son positivos se tiene que xy > 0 , lo que se repite si ambos son negativos. Es decir, decir, que si (3) (3) tiene tiene soluciones, necesariamente y y x están a distintos lados de cero. Es decir, uno es positivo y el otro es negativo. Recordemos que: ( x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2
=
x 2 + xy + y 2 + xy , o lo que es lo mismo x 2 + xy x y + y2
=
( x + y )2 + (− xy )
Pero si y y x tienen diferente signo se tiene que − xy es un número positivo, por lo tanto, ( x + y )2 + (− xy ) es la suma de dos números positivos, por lo tanto no es cero. En resumen, la ecuación diofántica (3) no tiene soluciones no nulas.
actividades ¿Cuá uále less so son n to toda dass la lass so solu luccio ione ness na natu tura rale less de 2x + 3y = 20? 1. ¿C Tieene solu luccione ness na nattural ales es la ecuac ació ión n 2x + 4y = 17? 2. ¿Ti 3. Explica por qué la ecuación diofántica x2 + 4 y 2
=
0 , tiene una única solución y es x = y = 0
MATEMÁTICA
201
• actividades finales • finales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
para practicar 1.
Desarrolla los siguientes productos y reduce términos semejantes: a) (2x + 3y )( −3y
+
2 x) + 2xy (6 − 2y )
b) (2k + 1)2 + (2k + 3)2 c) ( x − 2y )3 2 2 3 d) ( x − 3y ) + x (x + y )
e) ( x + 1)3 − x3 − 1 f) (2x − 3)( x − 1)( x − 2)
3y 3x + 2 2
g) (5x − y )
2 h) (0, 4x + 2, 3xy )
2.
En cada caso suma un número (no una variable), que permita formar un cuadrado de binomio: a) b)
3.
4.
x x
2 2
+ +
2x 4x
c) d)
x
2
e)
− 10x
4x
2
+
f)
8x
x x
2
4
+ x
− 5x 2
Factoriza los siguientes polinomios: a)
2ax − 3az
b)
24 x
2
− 12xy
ab c) 6xy + 2bx + 3ay + ab d)
3
n
− nm2
e)
mx
2
+
4mx
f)
x
2
+
4m
+
7x
49 +
4
El volumen de un cilindro de radio r + r y altura h, ¿es igual a la suma del volumen del cilindro de radio r y altura h con el volumen del cilindro de altura h y radio r ? '
'
r' r + r'
202
Unidad
6
para aplicar 5.
Nota que un número de dos dígitos no lo podemos anotar ab, pues esa notación está reservada para la multiplicación de a por b. Entonces, si un número n de dos digitos, en el lugar de las unidades está a y en el de las decenas está b, entonces el número es n = 10b + a , por ejemplo 31 = 10 ⋅ 3 + 1. ¿Cómo escribirías un número de 3 dígitos?, ¿y de 4 dígitos?, ¿y de k dígitos? Considera un número de 4 dígitos, digamos n = 1.000d + 100c + 10b + a . a) Muestra que n es igual a 999d + 99c + 9b + (a + b + c + d ). b) Muestra que n se puede escribir de la forma 9A +(a + b + c + d ) , donde A es un número entero. ¿Cuál es el valor de A en términos de b, c y d? c)
Muestra que si la suma de los dígitos de un número n de 4 cifras es divisible por 9, entonces n es divisible por 9.
d) ¿Es el resultado anterior, anterior, cierto si se considera un número n de cualquier largo? e) Muestra que si la suma de los dígitos de un número n de 4 cifras es divisible por 3, entonces n es
divisible por 3. f)
6.
¿Es el resultado anterior cierto si se considera considera un número n de cualquier largo?
Un fabricante de electrodomésticos vende mensualmente 100 artefactos a $40.000 cada uno y sabe que por cada $2.000 que aumente el precio por unidad venderá dos unidades menos. a) ¿Cuáles serán los ingresos brutos si sube el precio $5.000? relación entre el aumento de precio y los ingresos mensuales. b) Escribe una relación c) ¿Cuál es el aumento de precio que permite ingresos brutos máximos?
7.
Muestra que la suma de cuatro enteros consecutivos es un número par. ¿Puede ser la suma de cuatro enteros consecutivos múltiplo de 4? ¿Puede ser la suma de cuatro enteros consecutivos el cuadrado de un número entero?
8.
Muestra que si un número entero se escribe en la forma suma de dos cuadrados no nulos.
9.
Un fabricante puede hacer radios por un costo de US$2 por unidad. Y se venden a US$5 por unidad. A este precio, los consumidores compran 4.000 aparatos al mes. El fabricante planea aumentar el precio de ellas y estima que por cada aumento de US$1 en el precio, se venderán 400 menos cada mes. ¿Cuál es el aumento de precio que permitiría una mayor utilidad?
10.
4n + 3,
entonces ese número no puede ser la
Una lata de bebida de radio r y altura h tiene un volumen de V = πr2h = 300 cm3 . Muestra que la superficie de la lata es S = 2π(r + h). Escribe la superficie de la lata solo en términos de r. Si r 3 cm, ¿cuánto mide h? ¿Cuánto mide S? Haz una tabla de r versus S y estima para qué valores de r se necesita menos material para construir la lata. =
MATEMÁTICA
203
11. En un criadero, tienen 400 salmones de 2 kg cada uno, que los liberaran para que naden río arriba,
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
para desovar. Los salmones aumentan en masa, 400 gr por cada kilómetro que nadan, pero mueren 4 salmones cada kilómetro. ¿Cuál es el valor de la masa M de la comunidad de salmones que quedan vivos después de x km de nado? Haz una tabla de x versus M. Estima el valor de x que permite el máximo de masa de la comunidad de salmones. 12. Para cubrir el piso de una sala, don Víctor dispone de dos tipos de baldosas:
20 cm 30 cm 50 cm 40 cm Con ambos tipos se puede cubrir perfectamente bien el piso. Don Víctor probó que con baldosas tipo A se necesitan 40 menos que de las de tipo B. Si las baldosas tipo B valen $85 cada una y las tipo A valen $120 cada una, ¿con cuál tipo de baldosas conviene cubrir el piso? ¿Cuál es la superficie de la sala?
13. La altura h de una piedra que se lanza desde 125 m, puede ser modelada por la expresión h donde h está medida en metros y el tiempo t en segundos. a)
=
125
−
5t
2
,
Muestra que h se puede escribir como la multiplicación de 5 con una suma por su diferencia.
b) Factoriza la suma por su diferencia. c)
Usa que si al suelo.
ab
=
0 ,
entonces
a
=
0
ó
b
=
0
, para encontrar el tiempo que demora la piedra en caer
14. Si hacemos una caja abierta con un pedazo rectangular de
cartulina de medidas 30 cm de ancho por 40 cm de largo, recortando un cuadrado de longitud x en cada esquina y doblando los lados hacia arriba como se muestra en la figura: a)
Escribe el volumen de la caja en términos de x.
b) Escribe la superficie de la caja en términos de x. c)
Construye una tabla de datos que muestre distintos valores para x y los correspondientes de V (volumen).
Estima con tus cálculos, ¿qué valor de x hace mayor el volumen de la caja?
204
Unidad Un cubo de arista a tiene un cilindro de hierro sólido en el interior de él, de tal manera que el diámetro del cilindro mide lo mismo que la arista del cubo. ¿Cuál es el volumen del cubo no cubierto por el cilindro? Ese volumen, ¿se puede escribir de la forma a3k ? ¿Cuál es el valor de k?
15.
16.
6
En la figura ABCD es un rectángulo y EFGH es un cuadrado. M es punto medio de
¿Cuál es el valor del área pintada de amarillo?
b)
El área de amarillo es igual al área de un rectánrectángulo, ¿cuáles podrían ser las medidas de los a lados de ese rectángulo?
c)
¿Cuál es el valor del área pintada de verde?
d)
El área área de verde verde es igual al área de un rectángulo, ¿cuáles podrían ser las medidas de los lados de ese rectángulo?
C
b
B
a)
DC y de FG respectivamente.
F
M
G
D
A
E
H
para fortalecer 17. ¿Es cierto que (a + b )2
a
=
2
+b
2
? Explica tu respuesta.
18. ¿Es cierto que ( x + a)(y + b ) = xy + ab ? Explica tu respuesta. 19. ¿Es cierto que
x
20. ¿Es cierto que
x
3
2
3
y
+
2x + 2,
21. ¿En cuáles casos (a
−
=
( x − y )( x 2
−
2
b)
=
+
xy
+
y
2
)?
es siempre un número positivo? a
2
−
b
2
?
22. ¿Es cierto que para cualquier valor de x , se cumple que 23. Aparte del 0 y del 1, ¿existirá un número tal que 24. El
−1 2
es un número que cumple
x
2
=
x
2
=
x
x
2
≥
x
?
?
( x + 1)2, Verifícalo.
¿Existirá otro número que resuelva la misma ecuación? 25.* Muestra que si x e y son números entre 0 y 1 y que están a distancia menor que a, entonces la distancia
entre sus cuadrados es menor que
2a
.
MATEMÁTICA
205
• síntesis de la unidad • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
Geométricamente
Resolución de problemas geométricos y numéricos
Numéricamente
interpretar
utilizar
Propiedades numéricas
generalizar
FACTORES y PRODUCTOS analizar
Variaciones en fórmulas geométricas
calcular
conocer
Historia del avance algebraico
Mediante distribución
En esta Unidad calculamos productos y factorizamos, utilizando, esencialmente, la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, estudiada en años anteriores. Recordamos, además, las convenciones usuales del uso del paréntesis y también recordamos la reducción de términos semejantes. Interpretamos geométricamente el producto de polinomios, como por ejemplo, la suma por su diferencia y el cuadrado del binomio, calculando áreas de diferentes rectángulos en su totalidad y como suma de sus partes. Aplicamos los factores y productos para resolver diversos problemas geométricos y también numéricos. Ejemplos de los últimos son: diferencias de cuadrados para números muy grandes, siendo el lenguaje algebraico una herramienta que facilita los cálculos. Generalizamos propiedades numéricas, como por ejemplo, las relativas a múltiplos y divisores, ayudados de la factorización de polinomios. Analizamos el comportamiento de ciertas fórmulas geométricas, como área de figuras y volúmenes de cuerpos geométricos, al realizar variaciones en sus medidas lineales. Finalmente, conocimos un poco más de la historia del avance del álgeb ra en el tiempo, estudiando el aporte de Diofanto por medio de las ecuaciones que llevan su nombre y también el aporte de Pierre Fermat.
206
Unidad
6
• autoevaluación • 2
4. Si el área de un rectángulo es 5a
¿cuáles pueden ser las posibles medidas de sus lados?:
1. Si al área de un cuadrado de lado
a + b se le resta el área de un cuadrado de lado a − b resulta un área:
a)
4ab
b)
2a
c)
2a
d)
2b
2
2
b + 15ab ,
y (ab + 2b) II a y (5b + 15b) III 5ab y ( a + 3) I
5a 2
+
2b
2
a) Sólo I
− 2b2
b) Sólo III
2
c)
e) 0
I y II
d) I y III
2. Los cuadriláteros de la figura son rectángulos.
¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada?
e) I, II y III 5. El producto de un número impar con su impar
consecutivo siempre resulta: x a) Múltiplo de 3.
2 x
4
2
x + 6x I II x( x + 6) III 4 x + x( x + 2)
a) Sólo I b) Sólo II c)
I y III
d) I, II y III e) N.A
3. ¿Qué variación sufre el volumen de un cilindro si el
radio basal disminuye a la mitad? a) No varía. b) Disminuye a la mitad. c)
Aumenta al doble.
b) Impar. c) Par. d) Divisor de 2. e) Divisor de 3.
6. Al factorizar el polinomio
16x
2
−
40 xy
+
25y
2
se
obtiene: a)
(4 x + 5y )( 4x − 5y )
b)
(4 x − 5y )2
c)
(16x + 5y )2
d)
(4 x + 5y )
2
e) N.A 2 2 7. ¿Cuál es el valor de 1.501 − 1.502 ?
a) 1
d) Disminuye a su cuarta parte.
b)
e) Aumenta en su cuarta parte.
c) 3.003
−1
d)
−3.003
e)
3.003
2
MATEMÁTICA
207
Congruencias de FIGURAS PLANAS
Al finalizar esta unidad serás capaz de:
Temas que estudiaremos en esta unidad:
Analizar los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo.
Congruencia de figuras planas.
Relacionar la construcción de triángulos con los criterios de congruencia.
Triángulos congruentes: criterios de congruencia.
Resolver problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y triángulos.
Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos.
Conjeturar y demostrar propiedades en triángulos, cuadriláteros cuadriláteros y circunferencia por medio de congruencia de triángulos.
Demostraciones de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, utilizando congruencia.
Componer y descomponer figuras (puzles): analizar congruencia entre sus lados y ángulos.
Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición en figuras elementales congruentes o puzles con figuras geométricas.
Conocer algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometría.
Aporte de Euclides al desarrollo de la geometría.
Unidad
7 El papá de Nicanor necesita una mesita para poner en la esquina del comedor, y colocar el teléfono en ella. El papá de Nicanor le manda a hacer a don Pedro una mesa de superficie triangular. Don Pedro le pide al papá de Nicanor, que sea más específico. El papá de Nicanor le dice que la altura de la mesa es de 1 m, que la cubierta es triangular, donde los lados que van pegados a las paredes midan lo mismo y que el lado que no va pegado a las paredes mida 40 cm. Al rato después, llama don Pedro a la casa de Nicanor y le dice al papá que no le ha dado todos los datos de la mesa. El papá de Nicanor hace memoria, repasa mentalmente la información que le dio y todavía no se da cuenta del dato dat o que le falta. ¿Es cierto que le falta algún dato? Si es así, ¿cuál le falta?
• para recordar • transformaciones isométricas se afirma: 1. Respecto a las transformaciones I. Conservan distancias o longitud. II. Conservan ángulos. III. Dadas las isometrías S y T da lo mismo aplicar una figura la transformación T y después
la S, que primero la S y después la T.
Son verdaderas: a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
d) Sólo II y III
permiten eso. 2. El círculo rojo es la imagen del amarillo vía una isometría. Muestra al menos 2 isometrías que permiten
simetría de las siguientes figuras: figuras: 3. Cuáles son los ejes de simetría
a)
b)
c)
d)
4. Observa la siguiente figura:
a)
A partir del triángulo ABC, ¿qué transformación transformación isométrica fue necesaria necesaria para llevar la figura 1 en la 2? ¿Y la 2 en la 3? Y así sucesivamente sucesivamente hasta la 5.
b) ¿Es posible con una composición de transformaciones isométricas a partir del triángulo ABC obtener
la figura completa?
210
Unidad
7
Sin ambigüedades Si una mesa tiene una superficie triangular, como la que mandó a hacer el papá de Nicanor, que tiene un lado que mide 40 cm y los otros lados son iguales, si hacemos varios ejemplos, vemos que no es posible determinar únicamente la mesa con esos datos. Hay muchas mesas que tienen diferentes dimensiones y que cumplen con las condiciones del papá de Nicanor. A continuación te mostramos varios ejemplos:
Construye tu mismo(a) otros tres ejemplos de triángulos, donde uno de sus lados mida 40 cm y los otros dos lados sean iguales entre sí. Si el papá de Nicanor dijera que los lados iguales miden 30 cm cada uno, entonces don Pedro sí tendría las medidas precisas de la superficie de la mesa. Don Pedro recordó que la mesa estará en una esquina de una habitación, es decir los lados que están pegados a las paredes forman un ángulo recto. Es decir, no se trata de cualquier triángulo, sino que de uno rectángulo, donde la hipotenusa mide 40 cm. Es decir la superficie de la mesa es la mitad de un cuadrado donde la diagonal mide 40 cm.
actividades 1.
2.
a)
Los datos que que aporta el padre padre de Nicanor son suficientes para para que don Pedro pueda construir construir la superficie de la mesa.
b)
¿Cuánto miden los ángulos del triángulo de arriba que son distintos al del ángulo recto?
Si dos cuadrados tienen diagonales que miden lo mismo, ¿sus lados lados miden miden lo mismo?
MATEMÁTICA
211
Congruencias de figuras planas
La diagonal de un cuadrado crece a medida que crece el lado del cuadrado, es decir, si un cuadrado tiene lado a y otro lado b, con a < b , esto es, el primer cuadrado es más pequeño que el segundo, entonces las diagonales cumplen con la misma relación (figura 7.1 y 7.2 7.2). ).
Figura 7.1
Figura 7.2
Figura 7.3
En la figura 7.3 vemos 7.3 vemos cómo la diagonal del cuadrado de lado a, es más pequeña que la diagonal del cuadrado de lado b. Entonces qué responderías tú a la pregunta: ¿pueden dos cuadrados, cuyos lados no midan lo mismo, tener diagonales que midan lo mismo? Veamos, si dos cuadrados no tienen lados de la misma medida, entonces uno es más grande que el otro, por lo tanto la diagonal del primero será mayor que la diagonal del segundo. Por lo tanto, si dos cuadrados tienen diferentes medidas, sus diagonales también (figura (figura 7.1 y 7.2). 7.2). Por lo tanto, los datos que entregó el papá de Nicanor no son ambiguos, es decir, si la mesa es triangular, con dos lados iguales y uno distinto, y además se sabe que el ángulo de los lados iguales es recto y el lado opuesto mide 40 cm, entonces la mesa está totalmente determinada. Por lo tanto don Pedro tiene todos los datos para construir, exactamente, la mesa que requiere la familia de Nicanor Nicanor..
actividades
Supongamos que don Pedro corta por la diagonal la madera necesaria para la mesa de un cuadrado. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado que permite que la diagonal mida 40 cm?
Respondamos la pregunta planteada arriba. Notemos que la cubierta tiene forma de triángulo rectángulo, 1. Respondamos donde los catetos miden lo mismo y la hipotenusa mide 40cm 40 cm,, como muestra la figura. Usan ando do el Teo eore rema ma de Pi Pitá tágo gora ras, s, de demu mues estr tra a que que 2 x 2 = 402 (1). 2. Us
Demu mues estr tra a qu que e la ig igua uald ldad ad de ar arri riba ba,, es eq equi uiva vale lent nte e co con n 3. De
2
( 2x )
entonces el único número positivo que satisface (1) es x =
40
2
= 402 . Muestra que como x es positivo,
.
4. Utiliza tu calculadora para demostrar que el cateto de l a mesa mide, aproximadamente, 28,3 cm.
212
Unidad
7
Pensemos que el papá de Nicanor hubiera dado otros datos a don Pedro para construir Pensemos la mesa, por ejemplo imagina que hubiese dicho: “sabe don Pedro, necesito una mesa de forma de un triángulo, donde un ángulo es recto y los otros dos son iguales”. ¿Hu biese podido don Pedro Pedro construir la mesa que estaba pensando pensando el papá de Nicanor? Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o, y uno de los ángulos es recto, es decir, mide 90o, entonces como los otros dos son iguales, cada uno mide 45o. Pero, cualquier cuadrado que se corta por la diagonal, produce dos triángulos que cumplen las condiciones de arriba. Mostramos algunos en la figura 7.4. 7.4.
Figura 7.4 Entonces, con sólo el dato de los ángulos no se puede determinar únicamente el triángulo en estudio. En general, dado un conjunto de datos, no siempre es posible construir la figura deseada. Por ejemplo, si se conocen los tres ángulos de un triángulo, no se puede saber de cuál triángulo se habla, pues existen muchos (infinitos) triángulos de diferentes medidas que tienen sus tres ángulos iguales. También existen formas redundantes de dar información. Por ejemplo, si el papá de Nicanor quiere una mesa mesa para la esquina de su comedor comedor,, donde los lados pegados a las paredes miden, miden, 30 y 40 cm y el lado lado opuesto al ángulo recto recto mide 50 cm. cm. ¿Te parece que hay información de más? ¿Te parece que si el papá de Nicanor no le da toda la información a don Pedro, de todos modos él la puede construir?
actividades 1.
Toma dos lápices de distintas medidas, por ejemplo, uno mide 10 cm y otro 8 cm. Disponlos de modo que sean los lados de un triángulo. Cierra el triángulo, con otros lápices, de de diferentes diferentes medidas, uno por vez. vez. ¿Es ¿Es cierto que el tercer lado puede ser tan pequeño como se quiera? ¿Puede ser tan grande como queramos? ¿Es cierto que el ángulo entre los dos primeros lápices depende del largo del tercero? tercero? ¿Es cierto que mientras mas largo es el el tercero, tercero, más grande es el ángulo entre los dos primeros lápices?
2.
¿Basta que el papá de Nicanor le diga a don Pedro que la mesa tiene por catetos 30 cm y 40 cm, para que éste pueda construir la mesa?
MATEMÁTICA
213
Congruencias de figuras planas
En algunos casos es más simple que en otros dar los datos necesarios y suficientes para poder construir una mesa. mesa. Por Por ejemplo, si doña Eliana quiere construir una mesa redonda, le basta con decir el radio de la mesa para que el maestro carpintero la pueda construir, del mismo modo le basta dar como dato el diámetro de la mesa (figura (figura 7.5). 7.5 ). Así también, si Cinthya quiere construir un mosaico con azulejos cuadrados del mismo tamaño; como ella ha leído varios libros de arte y ya tiene cierta práctica, sólo mandará a hacer los azulejos para ella misma pintarlos a mano. Cinthya hace el pedido a la fábrica, de 50 azulejos blancos, de 10 cm por lado.
Figura 7.5
El dependiente no tuvo ninguna duda y aseguró que enviará el pedido en una semana. ¿Te parece a ti que la información que dio Cinthya es la necesaria para entender el pedido? Ahora, si Cinthya quisiera hacer mosaicos con azulejos rectangulares, por ejemplo, que cada azulejo mida 15 cm de largo y 10 cm de ancho, ¿cuáles datos debe dar Cinthya, para que el dependiente entienda el pedido? ¿Estás de acuerdo con que le basta dar el largo y el ancho, para que el pedido sea totalmente comprendido? Como Cinthya ya ha ganado bastante práctica, se propone reproducir el mosaico de M.C. Escher, que mostramos al lado, el cual está compuesto por paralelogramos, pintados de un modo particular. particular. Si sólo manda a fabricar los azulejos en blanco, para luego pintarlos ella misma, ¿le basta decir que los azulejos son paralelogramos, de lados 12 cm y 8 cm respectivamente? Para tratar de responder la pregunta anterior, toma 4 palitos de helados y córtalos de formar de obtener dos de 12 cm y dos de 8 cm, arma un rectángulo con ellos y atraviesa las esquinas con tachuelas, de forma que se puedan mover. mover. Ahora mueve los lados de 8 cm, y nota que lo que resulta es un paralelogramo de las mismas medidas iniciales, pero que son muy distintos unos de otros.
actividades 1. Para conocer completamente un paralelogramo, ¿basta saber la medida de sus lados?
paralelogramo, ¿basta conocer la medida de sus lados y uno de sus ángulos? 2. Para conocer completamente un paralelogramo, 3. ¿Qué datos debe dar Cinthya para que le construyan exactamente los azulejos con forma de paralelógramo que necesita?
214
Unidad
• aplicando lo aprendido • 1. Supongamos que vas a comprar un televi-
4. Al maestro Juan le piden construir cerámicas en
sor a través de Internet. El único dato que envías a la tienda es que quieres un televisor de 14 pulgadas.
forma de rombo de 20 cm de lado. El maestro después se da cuenta que le falta un dato para construir las baldosas.
a) Conociendo sólo ese dato y sin tener aún
el televisor en tus manos, ¿podrías saber las dimensiones de la pantalla del televisor? b) Si sabemos que las pantallas de los tele-
visores son rectangular rectangulares es y sus lados están en razón 3:4, ¿cuáles son las dimensiones de esta pantalla de 14 pulgadas?
a)
¿Podrías ayudarlo ayudarlo a fabricar fabricar 3 muestras muestras distintas de baldosas en forma de rombo de 20 cm de lado?
b)
¿Con qué dato(s) quedaría completamente determinada la baldosa que se desea para la terraza?
7
5. Para construir un triángulo equilátero, ¿basta
conocer la medida de sus ángulos?
6. Para construir un triángulo equilátero, ¿basta
conocer la medida de sus lados?
7. Para construir un rombo, rombo, ¿basta conocer la medimedi2. En un colegio están renovando las pizarras. Las
antiguas para tiza serán cambiadas por otras para escribir con plumón. El maestro Luis fue el que tomó las medidas y su memoria no es de lo mejor, recordando sólo la superficie aproximada de las pizarras que debía ser 3 m 2. a)
Construye una pizarra pizarra de superficie 3 m2, utilizando la escala 10:1 para las dimensiones de tu pizarra.
b)
La pizarra pizarra que construiste, ¿es la única con con esa superficie? ¿Podrías construir otras?
c)
¿Qué otro dato sería necesario necesario para construir la pizarra?
3. La señora Eliana quiere proteger su mesa circu-
lar de alerce que tiene en el comedor, colocando en su superficie un vidrio. Llama a un maestro para que ponga un vidrio a la medida, dándole la longitud del radio de la mesa, que es de 50 cm. a)
¿Es posible que el maestro maestro pueda fabricar el vidrio sólo con ese dato?
b)
Si tu respuesta respuesta es afirmativa, afirmativa, ¿cómo ¿cómo lo haría? haría?
da de sus diagonales?
8. Para construir un rombo, ¿basta conocer las me-
didas de sus lados? 9. Para construir un rectángulo, ¿basta conocer la
medida de un lado y la medida de una diagonal?
10. Para construir un rectángulo, ¿basta conocer la
medida de su perímetro?
11. Para construir un rectángulo, ¿basta conocer la
medida de su área?
12. Para construir una circunferenc circunferencia, ia, ¿basta conocer
la medida de su diámetro?
13. Para construir una circunferenc circunferencia, ia, ¿basta conocer
la medida de su perímetro?
MATEMÁTICA
215
Congruencias de figuras planas
2 Congruencias Cuando dos amigos se encuentran, y se percatan que llevan el mismo modelo de za patillas, uno de ellos dice: “¡tus zapatillas son iguales a las mías!,” en realidad están abusando del lenguaje, pues no son exactamente iguales; para una se ocupó un pedazo de lona y para la otra otro pedazo de lona. Si fuesen iguales ocuparían el mismo lugar en el espacio. Ni siquiera tu ojo izquierdo es igual a tu ojo derecho. Ni siquiera un máquina troqueladora de cuero puede cor tar dos piezas iguales, pues están hechas de pedazos de cuero distintos. Lo que queremos decir, cuando hablamos de “igual” es que si pudiésemos poner un objeto sobre otro calzarían perfecto. En otras pala bras, si los amigos que llevan el mismo mismo modelo de zapatillas y tienen tienen la misma medida de pie, al intercambiarse i ntercambiarse las zapatillas, nadie lo notaría. En matemáticas pasa lo mismo: si dibujas dos hexágonos regulares de lado 10 cm cada uno, en una hoja de papel, como muestra la figura 7.6, 7.6, no pueden ser iguales, pues están en lugares distintos de la hoja, pero con una isometría isometría es posible transfortransformar uno en el otro. En este caso la isometría es una traslación.
n
nota Figura 7.6
Si dos figuras A y B son congruentes, anotaremos A ≅ B .
En matemáticas, cuando existe una isometría (traslaciones, rotaciones, reflexiones o composición de ellas) que transforma una figura en otra, no decimos que son iguales, sino que son congruentes.
Dos figuras planas son congruentes si existe una isometría que transforma una figura en la otra. Como las isometrías preservan medidas de ángulos y segmentos, entonces si dos figuras son congruentes, las medidas de sus ángulos y segmentos son las mismas. A
B
A'
B'
Si una figura tiene un segmento recto AB , y se le aplica una isometría a la figura obteniendo el segmento recto A ' B ' en la imagen, A y A ' se llaman puntos homólogos, y los segmentos AB y A ' B ' , también se llaman homólogos. Si decimos AB
es homólogo a A ' B ' queremos decir que existe una isometría que lleva A en A ' y
actividades
216
B en B' , en ese orden.
1.
¿Es cierto cierto que que un cuadrado de lado lado a es congruente con cualquier cuadrado de lado a?
2.
¿Es cierto que un segmento segmento de largo 10 cm es congruente con con cualquier otro segmento de largo 10 10 cm?
Unidad
7
Para comenzar, consideremos dos segmentos de la misma medida, ¿serán congruentes?
α
Primero con una traslación, hagamos coincidir un extremo de un segmento con un extremo del otro segmento. Ahora, medimos el ángulo entre los segmentos, si ese ángulo es α , entonces realizamos un rotación de ángulo α y con centro en el punto de coincidencia de los trazos. Como ambos segmentos miden lo mismo, ambos son radios de una misma circunferencia. Entonces, la composición de la traslación con la rotación transforma un segmento en el otro. Entonces tenemos que:
Un par de segmentos son congruentes si y solo si miden lo mismo.
i
importante
Desde luego la pregunta inversa es inmediatamente cierta, pues si dos segmentos son congruentes, entonces uno de ellos es la imagen del otro vía una isometría, pero como las isometrías preservan distancias, esos segmentos deben medir lo mismo.
Consideremos ahora, dos circunferencias, circunferencias, si son congruentes, congr uentes, quiere decir que existe una isometría que transforma una en la otra, en particular el centro de una es transformado en el centro de la otra y como la isometría preserva distancias, se tiene que los radios miden lo mismo. En el otro sentido, consideremos dos circunferencias del mismo radio.
En este caso, basta considerar la traslación que transforma el centro de una circunferencia en el centro de la otra. Como los radios miden lo mismo, la primera circunferencia es transformada en la segunda vía la traslación.
actividades 1.
Considera las siguientes figuras en el plano cartesiano. ¿Cuáles parejas de figuras son congruentes? En cada caso describe la isometría que transforma una figura en la otra.
MATEMÁTICA
217
Congruencias de figuras planas
De la página anterior tenemos que:
Dos circunferencias son congruentes si y solo si tienen el mismo radio. Según vimos en una actividad de las páginas anteriores, para dar la información precisa de un paralelógramo, no basta con dar a conocer la medida de sus lados, pues hay infinitos con esas condiciones. En nuestro nuevo lenguaje, significa que dos paralelogramos de lados que miden lo mismo no necesariamente son cong ruentes. Pero, si además agregamos como datos las medidas de sus ángulos, entonces sí los podemos conocer únicamente.
Primero, reconozcamos dos ángulos que midan lo mismo en cada uno de los paralelogramos, luego vía una traslación llevemos el vértice del ángulo reconocido en el primer paralelógramo en ángulo reconocido del segundo. Luego vía una rotación, con centro en el vértice en común, hagamos coincidir los lados que forman el ángulo reconocido como ambos son paralelogramos de las mismas medidas, todos los otros lados coincidirán. Por lo tanto, los paralelogramos son congruentes. En un caso más general puede ser necesario, además, una reflexión. Entonces:
Dos paralelogramos son congruentes si solo si sus lados tienen igual medida y la medida de uno de sus ángulos coincide.
actividades 1.
218
Describe la isometría que permite afirmar que los siguientes paralelogramos son congruentes:
Unidad
7
Como los rectángulos son paralelogramos, entonces dos rectángulos son congruentes si y solo si sus lados miden lo mismo y la medida de uno de sus ángulos coincide. Pero, como los rectángulos tienen todos sus ángulos rectos, la información de los ángulos es redundante, no es necesario darla. Por lo tanto:
Dos rectángulos son congruentes si y solo s i sus lados miden lo mismo. Como los cuadrados son un caso especial de rectángulos, entonces dos cuadrados son congruentes si y solo si sus lados miden lo mismo. Pero como los lados de un cuadrado miden todos lo mismo se tiene que:
Dos cuadrados son congruentes si y solo s i sus lados miden lo mismo. Ahora bien, estudiemos el caso de los triángulos. Si dos triángulos son congruentes, entonces sus lados y ángulos miden lo mismo. A la inversa, si tenemos dos triángulos ∆ABC y ∆A ' B ' C ' tales que AB ≅ A ' B' , AC ≅ A ' C ' , y BC ≅ B ' C ' , y además m (∠ABC) = m (∠A ' B ' C ') ' ), m (∠ACB) =m
B'
B
, y m (∠CAB)
C
C'
C B'
C'
B
C
m (∠C ' A ' B ') ')
B' A'
A
B
A
A
C'
A' A'
Vía una traslación llevamos el punto B' en el punto B. Como AB ≅ A ' B' , una rotación con centro en B , permite llevar A ' en A . Luego, si es necesario, vía una reflexión entorno al eje AB , se obtiene que C ' calza con C . Luego los triángulos son congruentes. Entonces,
Dos triángulos son congruentes si y solo si sus lados y ángulos miden lo mismo.
actividades 1.
¿Existe un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 7 cm? Júntate con varios compañeros y cada uno construya un triángulo con palitos de helados, con las medidas dadas. ¿Son todos los triángulos construidos congruentes?
2.
Si las medidas de los lados de dos triángulos son las mismas, ¿los triángulos son congruentes?
3.
De un triángulo se conoce que un lado mide 7 cm y otro lado mide 8 cm y que el ángulo entre ellos es de 60o. Júntate con varios compañero compañeross y cada uno construya un triángulo con palitos de helados, con las medidas dadas. ¿Son todos los triángulos construidos congruentes?
MATEMÁTICA
219
• aplicando lo aprendido • ∆DCO ≅ ∆BAO ,
1. Si
a) Prueba que O es punto medio de b) Es correcto afirmar que si CD ⊥ BD ?,
4. Júntate con cinco compañero compañeross y observen el triántrián-
entonces:
DB
gulo ABC de la figura:
y
AB ⊥ BD ,
AC
entonces
¿por qué?
2. Analiza y determina para cada caso si los siguien-
a)
b) Comparen sus respuestas. ¿Coincidieron o hay hay
alguna respuesta distinta? Si todos coinciden en la respuesta, encuentren otro punto E tal que ∆ABC ≅ ∆ABE. ¿Existirán más puntos que cumplan con estas características?
tes pares de triángulos dados son congruentes: Si
a)
∆ABC, AB
BC
y b) Si
=
EF
6 cm
=
y
=
4 cm,
m ∠ABC =
∆DEF, DE
=
4 cm,
45° y
m ∠DEF = 45°
c)
6 cm
∆RST, RS
=
5 cm,
Determinen de manera individual las coordenadas de un punto D tal que ∆ABC ≅ ∆ABD.
Verifiquen que con todos los puntos Verifiquen puntos encontrados se cumpla la congruencia con el triángulo ABC.
m ∠RST = 100° y
m ∠SRT = 30° y ∆XY XYZ Z, XY = 5 cm, ∠ Y X Z = 3 0 ° ∠ m y m XYZ = 100°
con 3 compañeros compañeros el triángulo triángulo 5. Observa junto con ∆OPQ y
el segmento
RS de
la figura:
3. El pentágono KBLAC es congruente con el pentá-
gono
SROHE
como muestra la figura: S
K
C B
E R
o
65
a) L
a)
A
H
O
hay b) Comparen sus respuestas: ¿Coincidieron o hay
Completa en tu cuaderno: m (KB)
=
m (LA )=
cm cm
m (EH)= m ∠SRO=
alguna respuesta distinta? cm
interiores de un pentágono?
220
¿Existirán más puntos que cumplan con estas características?
cm
b) ¿Cuál es la medida de la suma de los ángulos ángulos
c)
Determin en de manera indivi Determinen individual dual las coordenadas de un punto T tal que ∆OPQ ≅ ∆RTS.
Si tenemos dos pentágonos que no son congruentes, ¿es la misma la suma de los ángulos interiores de dichos pentágonos?
c)
Verifiquen que con todos los puntos Verifiquen puntos encontrados se cumpla la congruencia con el triángulo OPQ.
Unidad
7
3 Pantallas de televisor Cuando uno va a comprar un televisor, el vendedor nos pregunta: “¿de cuántas pulgadas lo quiere? ¿Lo quiere de 14 pulgadas, de 20 pulgadas, de 28 pulgadas? ¿De cuánto?” La pulgada es una medida inglesa de longitud, que equivale a 2,54 cm, más o menos. Cuando el vendedor nos pregunta: “¿de cuántas pulgadas queremos nuestro televisor?” está preguntando por la medida de l a diagonal de la pantalla. Es decir, por ejem plo, un televisor de 14 pulgadas, es un televisor que su pantalla se puede representar por un rectángulo de una diagonal que mide mide 14 pulgadas.
Pero, sabemos que la diagonal de un rectángulo no determina al rectángulo, es decir, existen infinitos rectángulos que tienen una diagonal que mide 14 pulgadas. Entonces, debe existir otro dato implícito, que permita definir únicamente el tamaño del televisor. El dato que no se menciona, al menos no tan popularmente, es que el ancho y el alto de la pantalla están en una proporción fija, esta proporción es: 12
alto ancho
=
16
La razón para que sea una proporción fija, es que la imagen no se distorsione al cam biar las medidas. En particular, particular, todas las pantallas de 14 pulgadas son son congruentes. Lo mismo que todas las pantallas de 20 pulgadas son congruentes.
actividades 1.
2.
Si una pantalla de 20 pulgadas de diagonal, tiene una altura de x y un ancho de y. Muestra que Muestra que
y
2
+
9y
3
x
=
4
y
2
16
=
2
20
2
3.
5y Muestra que = 202 4
4.
Muestra que si
y
>
0,
se tiene que
5 4
y
=
20
5.
Encuentra las medidas de los lados de un televisor de 20 pulgadas.
6.
Encuentra las medidas de los lados lados de un televisor de 14 pulgadas.
MATEMÁTICA
221
Congruencias de figuras planas
4 Triángulos congruentes Como hemos visto, dos triángulos son congruentes si y solo si sus lados miden lo mismo y sus ángulos miden lo mismo. Sin embargo, como los ángulos interiores de un triángulo suman un ángulo extendido (180o), en realidad nos basta que tengan los tres lados de iguales medidas y dos ángulos de iguales medidas, pues el tercero está obligado a medir la diferencia entre 180o y la suma de los otros dos. Es decir, si dos triángulos tienen dos ángulos de iguales medidas, el tercero también coincide. Entonces, hemos quitado una información redundante. ¿Podremos quitar otra? ¿Bastará tres lados iguales y un ángulo igual para que dos triángulos sean congruentes? Inves Investiguemos. tiguemos. Consideremos dos triángulos ∆ABC y ∆A ' B ' C ', tales que AB ≅ A ' B' , AC ≅ A ' C ' , y BC ≅ B ' C ', y además ∠ABC mide lo mismo que ∠A ' B ' C ' . B'
C B
A
A'
A
A'
C'
A
C C'
C' A'
B B'
α γ
α C γ β β
B' B
Como AB ≅ A ' B' , existe una isometría que lleva A en A ' y B en B' . Tracemos ahora el segmento CC ', por la congruencia de los lados, se tiene que los triángulos. ∆CBC' y ∆CAC' son isósceles, entonces los ángulos ∠CC ' A y ∠C ' CA miden lo mismo. Del mismo modo los ángulos ∠CC ' B y ∠C ' CB miden lo mismo. Por lo tanto, el ángulo ∠ACB mide lo mismo que el ángulo ∠A ' C ' B ' , entonces los triángulos ∆ABC y ∆A ' B ' C ' , tienen lados que miden lo mismo, y dos ángulos que miden lo mismo. Por lo tanto los triángulos son congruentes. Resumiendo, tenemos:
Si la medida de los lados de dos triángulos y la medida de uno de sus ángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes.
actividades 1.
222
Don Pedro corta maderas de formas triangulares. El está seguro de que todavía hay información redundante. Es decir, decir, si conoces los lados de un triángulo, entonces lo conoces completamente. completamente. En nuestro lenguaje, se dice que si dos triángulos tienen lados que miden lo mismo, entonces son congruentes. ¿Estás de acuerdo con don Pedro?
Unidad
7
Nuestra intuición nos dice que todavía hay información redundante. De hecho si construimos triángulos con palitos de maquetas o con palitos de helados de medidas fijas, los ángulos, los tres ángulos quedan totalmente determinados. Entonces, nuestra conjetura es que si dos triángulos tienen los tres lados de igual medida entonces los triángulos son congruentes. Investiguemos este caso. Consideremos dos triángulos de iguales medidas, ∆ABC y ∆A ' B ' C ', tales que AB ≅ A ' B, AC ≅ A ' C ' , y BC ≅ B ' C ' . Por lo que vimos la página anterior, basta mostrar que tienen al menos un ángulo de igual medida para demostrar que son congruentes. B'
B
B' C'
B'
B
C'
C' C A
α ϖ
α ϖ
C A'
A'
A
B
C A'
A
Mediante una isometría haremos coincidir los vértices A con A ' y B con B' , igual que en el caso anterior, trazando el segmento CC ', formamos dos triángulos isósceles, a saber son, ∆CC ' A y Δ CC ' B . Por lo tanto los ángulos ∠CC ' A mide lo mismo que el ángulo ∠C ' CA y por la misma razón los ángulos ∠C ' CB y ∠CC ' B miden lo mismo. Por lo tanto los ángulos ∠ACB y ∠A ' C ' B ' miden lo mismo, por lo tanto los triángulos ∆ABC y ∆A ' B ' C ' , son congruentes. Resumiendo, hemos demostrado:
Teorema (Criterio LLL)
Si las medidas de los lados de dos triángulos son las mismas, entonces los triángulos son congruentes. Al teorema anterior le llaman el Criterio de Congruencia de triángulos lado-lado-lado. Este teorema explica por qué las construcciones buscan formar triángulos. Pues, por ejemplo, si tienes un triángulo de madera por ejemplo, bien clavado y si las maderas no se deforman, debieran mantenerse en el tiempo sin variar sus posiciones, debido a que los ángulos deben ser los mismos a lo largo del tiempo, si los lados se mantienen fijos. En cambio, si tuvieras un cuadrado, este puede deformarse, transformándose en un rombo, pues los ángulos pueden cambiar sin necesidad de cambiar la medida de sus lados.
actividades 1.
Muestra que las diagonales de un cuadrado dividen a éste en cuatro triángulos rectángulos congruentes.
2.
Marca un ángulo de 60o , en una circunferencia, con vértice en el centro de la circunferencia. Une los puntos del ángulo que intersecten a la circunferencia con un trazo t. Muestra que t mide lo mismo que el radio de la circunferen circunferencia. cia.
MATEMÁTICA
223
Congruencias de figuras planas
Existen otros criterios que permiten asegurar la congruencia de triángulos; sin em bargo, las demostraciones no las daremos, pero un estudiante interesado las debería hacer o investigar cómo encontrarlas. Uno de esos criterios es el siguiente:
Teorema (Criterio LAL)
Si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo que forman los lados congruentes mide lo mismo, entonces los triángulos son congruentes. Este criterio se conoce como “lado-ángulo-lado” y lo que en el fondo dice es que, si tu tienes dos palitos y los unes por uno de sus extremos, y los abres o lo cierras de manera de formar un ángulo dado, entonces existe una sola forma de cerrar el triángulo. Es decir, la distancia entre los extremos no unidos, está totalmente determinada.
α
Si AB ≅ FD , los triángulos
α
α
y los ángulos ∠ABC y ∆ABC y ∆FDE son congruentes.
BC ≅ DE
α
∠FDE
miden lo mismo, entonces
Otro criterio es el siguiente:
Teorema (Criterio ALA)
Si dos ángulos de un triángulo miden lo mismo que dos ángulos de otro triángulo, y los lados comprendidos entre los ángulos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes. Este criterio se conoce como “ángulo-lado-ángulo” y lo que en el fondo dice, es que si tienes un palito y en cada extremo del palito pones dos palos de manera tal de formar ángulos determinados con el primero. Entonces la intersección de los palitos está únicamente determinada.
α
β β α
Si EF ≅ BC , los ángulos ∠DEF y ∠BCA miden lo mismo, y los ángulos ∠ABC y ∠EFD miden lo mismo, entonces los triángulos ∆ABC y ∆FDE son congruentes.
224
Unidad
• aplicando lo aprendido •
1. En la figura O es punto medio de SK y
a) Demuestra que b) Si
RT
d) Si
AD ≅ AB
7
y m(
∆STO ≅ ∆ROK
es la imagen vía cierta transformación isométrica, ¿cuál podría ser ésta? Describe la imagen de cada vértice del ∆ROK ∆STO
3. Si SA es bisectriz de
vamente, prueba que
∠DAR
y
∠DTR
respecti-
∆DAT ≅ ∆RAT
c) Prueba que ST RK
2. Dados los triángulos, decide si son o no congruen-
tes indicando el criterio utilizado. a) Si DC ≅ BC y
∠ADC ≅ ∠ABC
4. Demuestra que el triángulo escaleno no tiene ejes
de simetría. Demuestra que el triángulo isósceles tiene sólo un eje de simetría. Finalmente, demuestra que el tri ángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría.
b) Si BC
=
AD
y
AB
=
DC
5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene el rombo? ¿Y el
romboide? ¿Es cierto que las diagonales del romboide se dimidian? ¿Y las del rombo? ¿Son perpendiculares las diagonales del rombo? ¿Y las del romboide?
c) Si
∠ACD ≅ ∠BCA
MATEMÁTICA
225
Congruencias de figuras planas
5 Aplicaciones geométricas Muchos resultados muy importantes en geometría se pueden deducir de propiedades de los triángulos congruentes, debido debi do a que siempre podemos triangular una figura poligonal. Por ejemplo, el hexágono regular está formado por 6 triángulos congruentes.
γ
β
α
60
o
60
o o
60 o 60
De hecho, el hexágono regular resulta de tomar una circunferencia, dividir, dividir, el ángulo completo del centro en 6 partes iguales y marcar los puntos de la circunferencia que determinan esos ángulos. Como el ángulo completo mide 360o su sexta parte es 60o. Una vez formados los seis triángulos, cada uno de ellos tiene dos lados, al menos, que miden lo mismo, pues cor responden a la medida del radio r de de la circunferencia. Entonces los triángulos son congr uentes por el criterio LAL. Como el triángulo es isósceles, los otros dos ángulos del triángulo miden lo mismo y suman 120o, que es lo que le falta a 60o para formar 180o. Como los ángulos son iguales y suman 120o, entonces cada uno de ellos mide 60o. Es decir, el triángulo es equilátero de lado r . Entonces, podemos deducir varios resultados de este descubrimiento; por ejemplo:
El hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio r , tiene perímetro 6r . Otro resultado es el siguiente:
Los ángulos interiores de un hexágono regular regular miden todos 120 o.
actividades
226
1.
Si el radio de la circunferencia, donde está inscrito el hexágono, mide 1 m. ¿Cuánto mide la altura de cada uno, de los seis triángulos, que forman el hexágono?
2.
Con los datos del problema anterior, anterior, ¿cuánto mide el área de cada triángulo que forma el hexágono?
3.
¿Cuál es el área del hexágono regular, inscrito en la circunferencia de radio 1m?
4.
Recuerda que el perímetro de la circunferen circunferencia cia de radio r es 2π r, y recuerda que el perímetro del hexágono regular inscrito en la circunferen circunferencia cia de radio r es 6r. Muestra que esto implica que π > 3
7
Unidad Las propiedades de los triángulos se pueden deducir de las características de los triángulos congruentes. Consideremos un triángulo isósceles ∆ABC , donde AC ≅ AB, por lo tanto los ángulos α y β miden lo mismo. Consideremos la bisectriz del ángulo ∠BAC.
A
σ σ
Como AD es bisectriz, se tiene que los ángulos ∠BAD miden lo mismo que el ángulo ∠DAC. Entonces por el criterio LAL, se tiene que los triángulos BDA y CAD son congruentes. Por lo tanto BD ≅ DC , luego D es punto medio de BC. Es decir, g ravedad.. También También por congruencia, cong ruencia, podemos afirmar que δ y AD es transversal de gravedad µ miden lo mismo y como son suplementarios, se tiene que miden 90o cada uno de
α
µ
δ D
B
β C
ellos, por lo tanto AD ⊥ BC , es decir AD es altura del triángulo. Resumiendo, tenemos el siguiente resultado:
En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base, es transversal de gravedad gravedad y altura. Estudiemos ahora algunas propiedades de los trazos de la circunferencia. Consideremos, una cuerda CD en ella. Existe un único diámetro que divide por la mitad a esa cuerda. Llamemos Z la intersección de la cuerda con el diámetro. Marquemos los radios OC y OD . Por el criterio LLL, se tiene que los ∆OZC ≅ ∆ OZD , por lo tanto los ángulos ∠OZD y ∠AZC miden lo mismo y como son suplementarios se tiene que m (∠OZD) = 90° , por lo tanto OZ ⊥ CD Entonces, hemos demostrado el siguiente resultado. D
D
Z O
Z C
O
C
El diámetro que dimidia a una cuerda es perpendicular a ella.
actividades 1.
2.
Considera la figura de al lado. En esta actividad demostrarás que ∠BCD = β mide la mitad que el ángulo ∠BOD. Muestra que ∠ODC mide β β .. Muestra que 2β + α = 180° . Si ∠DOB mid mide e x , muestra que α + x = 180° Muestra que x = 2β. Concluye que ∠BCD mide la mitad mitad que el ángulo ∠BOD. Demuestra que un triángulo inscrito en una circunferencia, que tiene un diámetro como lado es un triángulo rectángulo.
C β
D
α x
β
O
B
MATEMÁTICA
227
• problema resuelto • Un joven enamorado tiene que ir a visitar a su novia que está a 30 km de distancia río arriba, pero en una línea recta paralela al río. El joven va a caballo a cumplir su romántica misión, el río está a 10 km del camino que une los puntos A del joven y B de la doncella. El caballo necesita agua para hacer todo el viaje, el jinete se pregunta dónde debe parar para que el caballo tome agua, ¿en algún punto más cerca de la doncella?, ¿en algún punto más cerca de él?, ¿en el punto medio?
A
B
x
C
Solución: Denotemos por x la distancia de A ' a C, como muestra la figura. Completa en tu cuaderno una tabla como la siguiente, de la distancia recorrida D para distintos valores de x. D(km)
?
?
?
?
?
?
?
x(km)
0
5
10
15
20
25
30
Al parecer, parecer, el punto que hace que la distancia recorrida sea mínima, es el punto medio o alguno muy cercano a él. Hagamos un modelo puramente geométrico. A
B
A
B
A
B
α
A'
C
A'
A''
C
A'
α
C
A''
Si reflejamos el punto A, respecto a A 'C obtenemos el punto A '' , como se trata de una reflexión, AA ' ≅ A ' A '' . La distancia de A a C más la distancia de C a B es la misma que la distancia de A '' a C más la distancia de C a B. Como buscamos la distancia mínima, necesitamos que los puntos B, C y A '' estén en una línea recta. Como los triángulos ∆A ' A ''C y ∆BB' C tienen ángulos de iguales medidas y BB' ≅ A ' A '', entonces ∆A ' A '' C ≅ ∆BB' C. Por lo tanto
A ' C ≅ CB' .
Entonces C es el punto medio de del trayecto.
228
A 'B ' ,
por lo tanto el jinete debe hacer beber agua al caballo en el punto medio
7
Unidad
6 Programas computacionales Existen programas computacionales que permiten hacer construcciones geométricas. Como ejemplo abajo te mostramos uno llamado Cabri, que tiene bastantes funciones geométricas.
P
Como ves, puede hacer polígonos regulares, trazar rectas, trazos, segmentos, por cualquier par de puntos que tú elijas. También También realiza reflexiones de cualquier figura respecto a la recta que tú elijas, rotaciones respecto al punto que quieras y en el ángulo que puedas copiar, y traslaciones respecto a algún vector vector..
P' Q
Con este programa, por ejemplo, te mostraremos cómo construir un triángulo isósceles. Traza una recta L cualquiera. Luego marca un punto P fuera de la recta. Ahora Ahora construye un segmento que tenga por extremo a P, y el otro extremo Q esté en la recta, pero que el trazo no sea perpendicular a la recta. Ahora haz la reflexión del trazo respecto a la recta L, llama P ' el reflejado de P . Para finalizar marca el segmento PP ' . Concluimos que el triángulo ∆PP ' Q es isósceles.
actividades 1.
Explica por qué la construcción de arriba efectivamente produce un triángulo isósceles. ¿En cuál caso resulta un triángulo equilátero?
2.
Dada una circunferencia, la cual tiene marcada una cuerda construye una cuerda del mismo tamaño que la cuerda dada. El programa no tiene la opción “cortar y pegar”.
MATEMÁTICA
229
Congruencias de figuras planas
7 Puzles geométricos Martina tiene un trozo triangular de madera. Para un trabajo en Tecnología necesita transformarlo en un trozo rectangular. Tiene Tiene pegamento y pasta para pegar los trozos, si es necesario cortar, y empastar las uniones para que no se note el ensamblaje. Ella cree que haciendo un corte en DE y luego otro en CF , obtendrá dos trozos, el amarillo y el rojo, que luego pegando como indica la figura se obtendrá un rectángulo. C
D
E
D
F E
F
F
F
C G
A
A
G
B
B
Lo que no sabe bien, es dónde hacer el corte
DE
, pero está segura, por pura intuición,
que CG es una altura. Sin embargo, observando el bosquejo con detenimiento se da cuenta que FC ≅ FG , lo que quiere decir que el cor te ED hay que hacerlo a la mitad de la altura. Pensándolo bien, Martina se da cuenta que lo tanto, el ángulo es recto y como altura.
∠DFC será
DE AB se
un ángulo del rectángulo, por
tiene que efectivamente
CG es
una
Su profesor de Tecnología, sorprendido con el ingenio de Martina, le propone el siguiente puzle. En un trozo de madera que está formado por dos cuadrados (Figura 7.7),, el profesor le dice que haga un corte en ED, luego un corte perpendicular al an7.7) terior, pasando por D. D. Llame H el punto del corte en AB . Para finalizar haga un corte perpendicular al anterior, pasando por H (Figura 7.8). 7.8). Cuando tiene todas las piezas desordenadas, le pide que arme un cuadrado con todas esas piezas. ¿Puedes hacerlo?
actividades 1.
En un modelo geométrico, en papel, del problema del profesor de Martina (Figura 7.9) Traza la perpendicul perpendicular ar L a
DE que
intersección I. Traza la paralela a
pasa por E. Continúa el segmento AB que
HJ
hasta que intersecte a L. Llama a la
pasa por I, a la intersección de esa recta con
BC ,
llámalo K. De-
muestra que las las figuras figuras pintadas pintadas del del mismo color son congruentes. congruentes. Concluye que el el profesor profesor de de Martina Martina tenía razón, al decirle que podía formar un cuadrado. 2.
230
Justifica todas las afirmaciones de Martina, en el primer puzle, aquel que cambió un triángulo en un cuadrado.
Unidad
• aplicando lo aprendido • 1.
El pentágono
ABCDE es
regular. Prueba que las diagonales
AC y AD son
7
congruentes.
B
A
C
E
D
2. Considera las siguientes 12 figuras compuestas, cada una de ellas por 5 cuadraditos.
Si el lado de cada cuadradito es de 1 cm, con esas figuras figuras construye un rectángulo rectángulo lados 6 cm y 10 cm. ¿Existe alguna figura formada por 5 cuadrados que no sea congruente a una de las que te presentamo presentamos? s?
3. Un par de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos. Prueba que el otro par de lados
opuestos también son congruentes y paralelos.
4. Martina tiene las piezas negras y cree que las puede disponer de forma de llenar completamente el
cuadrado amarillo, sin que las piezas se traslapen. ¿Puedes comprobar que la creencia de Martina es cierto? Si el cuadrado negro rotulado con A tiene área 4 cm2 , ¿cuál es el área del cuadrado amarillo?
A
A B B
¿Cuántas veces más grande es el área del cuadrado A que el área del cuadrado B? ¿Cuántas veces mayor es el área del cuadrado amarillo que el área del cuadrado B?
MATEMÁTICA
231
. un poco de .
Congruencias de figuras planas
historia
EUCLIDES Y SUS ELEMENTOS Muy poco se sabe con certeza de la vida de Euclides. Probablemente, fue llamado a Alejandría en el año 300 a.C. Ptolomeo, sucesor de Alejandro en sus dominios do minios africanos, había fundado una gran biblioteca en Alejandría. También creó una Universidad y Euclides se encontraba entre sus primeros maestros. Enseñó durante 20 o 30 años, mientras escribía sus conocidos “Elementos” y muchas otras obras de importancia. Esta enseñanza influyó notablemente en otros matemáticos, como Arquímides y Apolonio, dos de los principales miembros de la Universidad. En los “Elementos”, Euclides intentó hacer una descripción exhaustiva de la matemática que se conocía en su tiempo. Escribió esa matemática en 13 libros. Hoy esta tarea sería muchísimas veces más colosal, debido al gran desarrollo y diversificación que ha tenido la matemática en todos estos siglos. Los libros I, II, IV y VI trata sobre sobre líneas, áreas y figuras planas regulares simples, son en su mayor parte pitagóricos. EL libro III sobre círculos, sigue a Hipócrates. El libro V, elabora el método mé todo de Eudoxo sobre proporciones, que servirá para estudiar el libro VI que trata de semejanza de figuras planas. Los libros VII,VIII y IX son de aritmética. Se introducen los números primos y compuestos compuestos y propiedades de ellos, que fueron la base para que muchos siglos después, Gauss demostrara el Teorema Fundamental de la Aritmética.
EUCLIDES
El Teorema fundamental de la Aritmética dice que todo número entero se puede escribir como el producto de potencias de números primos, además dice que salvo el orden y signos de los números, esa escritura es única.
Arquímides demostró que no existe un número primo que sea mayor que todos los demás. demás. El libro X está está dedicado a estudiar los números irracionales, especialmente los de la forma los de la forma
a
−
b
a
+
b
donde a y b son enteros positivos.
actividades Definiciones euclidianas
En los elementos de Euclides, se dan definiciones de objetos geométricos, y de algo muy importante como son las relaciones que define entre los objetos. Presentamos algunos ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
“Un punto es lo que no no tiene partes”. partes”. “Una línea es una longitud sin anchura”. “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto respecto de los puntos que están en ella”. “Una superficie es aquello aquello que sólo tiene longitud longitud y anchura”. anchura”. “Un límite es lo que es extremo extremo de algo”. algo”. “Una figura es aquello aquello que está contenido contenido por cualquier límite o límites”. límites”.
Discute con tus compañero compañeross acerca de la claridad de estas definiciones.
232
y
Unidad
7
El libro XI trata sobre geometría elemental del espacio y el XII se dedica a mostrar el método de exhausión, donde se demuestra el Teorema de Hipócrates que dice que el área de un círculo de radio r r es es r 2 . Estos métodos son los mismos que muchos siglos después desarrollaran Newton y Barrow para π r π la creación del Cálculo Integral, que consiste, gruesamente, en calcular áreas encerradas por cualquier tipo de curvas. El libro XIII proporciona y demuestra las construcciones de los cinco cuerpos geométricos regulares de Pitágoras, alabados por Platón. Entre todos sus logros, uno muy i mportante, es que presentó un cuerpo ordenado de definiciones, axiomas, postulados, teoremas, corolarios. Dentro de esa teoría, cada resultado nuevo se deduce de las definiciones básicas, axiomas, postulados o de los teoremas demostrados con anterioridad. Esta forma de hacer matemáticas es la que se practica hasta nuestro días. Si bien, sus definiciones y postulados tenían lagunas lógicas y ambigüedades, fue el primer intento en presentar de esta forma las matemáticas. Por ejemplo una de sus definiciones es la de punto, que la define como “una cosa que no tiene parte”, lo cual no da una idea precisa de lo que se está hablando. El quinto de sus postulados dice, en su forma más simple: “Dada una recta L y un punto P fuera de ella, existe una única paralela a L que pasa por P”. Euclides no demostró esto, sino que su recíproco. Euclides se expuso al ridículo y a los ataques. Los críticos de Euclides decían que éste no es un supuesto adecuado y debe ser demostrable con los anteriores postulados. Muchos años pasaron de intentos de demostrar este postulado con los anteriores, pero no se logró. Pero, en su defecto, se pudo cambiar este postulado por otros, sin que se produzcan inconsistencias lógicas. Los cambios a este postulado produjeron nuevas geometrías, llamadas no Euclideanas. En las geometrías no euclideanas, por un punto exterior a una recta L pueden pasar infinitas paralelas a L, o también ninguna recta paralela a L.
Primera impresión del libro “Elementos”, un incunable de 1482 impreso por Ratdolt.
actividades 1.* El método de Exhausión de Hipócrates consistió en aproximar el área del círculo mediante
polígonos regulares. a) Considera una circunferencia de radio 1, construye el triángu-
lo equilátero inscrito y circunscrito a la circunferencia. Calcula las áreas de esos triángulos. b) Construye el hexágono regular inscrito y circunscrito a la
circunferencia y calcula el área de ellos. El método consistía en aumentar la cantidad de lados del polígono regular, regular, calcular sus áreas y encajonar el área del círculo, entre el área del inscrito y del circunscrito. De forma que mientras más grande sea la cantidad de lados, mejor será l a aproximación.
MATEMÁTICA
233
• actividades finales • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
1. Júntate con cuatro compañeros compañeros y construyan cada uno usando usando regla, compás y transportador, transportador, un triángulo
sabiendo que la medida de uno de sus lados es 6 cm y los ángulos que están en cada extremo de este lado miden 80 o y 30o respectivamente respectivamente..
2.
a)
Comparen los triángulos que construyeron construyeron y midan los lados de dichos triángulos. triángulos. ¿Tienen la misma medida?
b)
¿Qué pueden pueden decir decir de los triángulos triángulos que obtuvieron de la construcción?
c)
Entonces, ¿es ¿es correcto afirmar que que con los datos entregados ya sea del lado y los ángulos ángulos sobre sus extremos, basta para determinar un triángulo?
Dado el pentágono EDCGF y el segmento segmento
AB
AB de
la figura 7.10, 7.10, construye en tu cuaderno sobre el
usando sólo regla y compás, un pentágono que sea imagen del péntagono EDCFG vía una
isometría, sabiendo que la imagen del segmento
CG es
el segmento
AB.
Figura 7.10 3.
4.
5.
234
Las coordenadas del
∆ABC son
A (−1, 2 ) , B (4 ,2) , C(2, 4 ) y las del
a)
¿Son congruentes estos triángulos?
b)
Determina la imagen de
AB , BC y CA vía
∆DEF
son F(10, −1) , E(7,1), D(5, −1)
una isometría.
Dadas las coordenadas de ∆FAT , para cada caso, detemina las coordenadas de un punto C tal que ∆FAT ≅ ∆CAT . a)
F(1,2) , A (4 ,7) , T (4 ,2)
b)
F (7 ,5) , A ( −2, 2) , T (5 ,2)
Las coordenadas del ∆ABC son A (1, 2) , B (4 ,2) , C(2, 4) , y las coordenada coordenadass del segmento E (6 ,7) , D(6, 4 ). Encuentra las coordenadas de un punto F de manera que ∆ABC ≅ ∆DEF.
DE son
Unidad
7
decir, existe una transformación isométrica en 6. El polígono ABCDE es congruente a cierto polígono , es decir, la cual A ' es imagen de A , B' es imagen de B , C' es imagen de de E. Entonces de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s):
7.
I. II.
BC ≅ B' C'
III.
C'D ' es
a) b) c) d) e)
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III
C, D' es
imagen de
D
y
E' es
imagen
∠DEA = ∠D 'E ' A '
proporcional
CD
Costruye un pentágono regular. Traza sus diagonales. a) b)
¿Qué figura obtuviste? Una vez construida la estrella de nuestro nuestro símbolo patrio, determina determina todos los triángulos congruentes que allí aparecen.
8.
Dos postes de la misma altura están separados por 10 m. Si quieres tender un cable que llegue a la cúspide de ambos postes y clavar el cable a una estaca en el suelo. ¿En cuál punto, entremedio de los postes, es conveniente clavar la estaca, para ocupar menos cable? El punto en cuestión, ¿depende de la altura de los postes?
9.
Si E es punto medio de
10. Si
AD ME , MD BE
DF y FEG � DEC ,
y M es punto medio de
además
AB ,
EC ≅ EG
demuestra que
demuestra que los ángulos
DC ≅ FG
∠ADM, ∠MEB miden
lo mismo.
MATEMÁTICA
235
11. Si WS ≅ RQ , ST
D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
≅
QP y WP ≅ RT , prueba que WS RQ
12. Observa el siguiente cubo:
Traza
BE
,
BG
y
EG
. ¿Qué tipo de triángulo es BEG? Justifica tu respuesta.
13. Si X es punto medio de US y VT y SW
RV respectivamente
y el punto Y es punto medio de
respectivamente. respectivamen te.
¿Qué puedes decir acerca de
UR
y
WT .
compañero y recorten recorten ocho triángulos rectángulos rectángulos isósceles, cuatro de de un color y cuatro de 14. Júntate con otro compañero otro color. color. Con estos ocho triángulos deben crear por lo menos tres mosaicos distintos formando un cuadrado. Se muestra a continuación un ejemplo:
236
Unidad
7
15. En el juego del pool, pool, cuando una bola golpea la banda, banda, el ángulo con con el cual golpea es el mismo con el cual cual
sale la bola. α
α
Supón que tienes que golpear la bola bola roja roja con con la bola bola blanca, blanca, pero la bola bola verde verde te impide impide hacerlo hacerlo directamente. Por lo tanto tienes que lanzar la bola a una una banda banda para para que que luego luego golpee golpee a la roja. roja. ¿En qué punto de la banda debes golpear la bola blanca para que en el rebote golpee a la roja?
Supón, ahora, que hay otra bola, la anaranjada, que te impide darle a la roja a una una banda, entonces tendrás que ocupar dos bandas para darle a la roja. ¿Cuáles son los puntos de las bandas que te permiten hacer el golpe? Te atreverías a hacer el golpe a tres bandas. ¿Cuáles bandas elegirías?
MATEMÁTICA
237
• síntesis de la unidad • D A D I N U A L E D O Z R E U F E R
Acerca de trazos, ángulos y triángulos
Triángulos construir
Figuras geométricas resolver problemas
relativos a componer y descomponer
Teoremas
CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
clasificar
conocer
Figuras geométricas Aporte de Euclides
conjeturar y demostrar
modelar mediante
Propiedades de polígonos y circunferencias
Situaciones cotidianas
Ejes de simetría
En esta unidad analizamos las condiciones necesarias y suficientes para la construcción de diferentes triángulos, relacionando nuestro análisis con los criterios de congruencia de los triángulos. Resolvimos problemas geométricos que involucraban congruencia de trazos, ángulos, triángulos y otras figuras geométricas y otros problemas más contextuales que debieron ser modelados por trazos, ángulos o triángulos. Conjeturamos y demostramos propiedades importantes relativas a diversos polígonos como los triángulos, cuadriláteros, hexágonos, y también a la circunferencia. Utilizando la congruencia de triángulos. Realizamos varias aplicaciones, entre ellas modelamos situaciones cotidianas para resolver mediante congruencia de triángulos y clasificamos ciertas figuras geométricas considerando sus ejes de simetría. Una forma más lúdica fue componer y descomponer figuras geométricas, armando puzles geométricos y analizando la congruencia entre sus lados y ángulos. Finalmente, conocimos un poco más del relevante aporte de Euclides en la Geometría, a través de los Elementos con sus 13 libros que lo componen. Notando que sus métodos y resultados son utilizados hasta el día de hoy en investigación matemática.
238
Unidad
• autoevaluación •
4. En el triángulo de la figura se tiene
7
WX ⊥ YZ ,
∠UXY ≅ ∠VXZ
1.
y UV XZ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas?
Las tarjetas de crédito, bancarias o de tiendas, son “rectángulos “rectángu los aureos”, esto quiere decir el ancho a es φ veces el largo l, donde φ =
5
I
−1
. Si todas
II UX VX III m ∠UXW =m ∠WX WXV V
2
las tarjetas tienen 5 cm de ancho, entonces es cierto que: El largo de cada tarjeta puede ser distinto al largo de otra tarjeta. b) Todas las tarjetas son congruentes. c) El largo de las tarjetas es un número racional.
a) Sólo I b) Sólo II
a)
N.A
La siguiente figura es el símbolo del Metro de Santiago, al cual se le han trazado dos rectas L y M. Si las rectas L y M son ejes de simetría, entonces siempre se puede afirmar que: Los cuadriláteros de los extremos son congruentes. II El cuadrilátero del centro es un Rombo. III Los cuadriláteros de los extremos son paralelogramos. I
a)
Sólo I
d) Sólo I y II
y ∆EIH son congruentes.
∆EIF
b)
∆GHI
y
∆GHF
c)
∆EFH
y
∆EGH son
d)
∆EIF
e)
∆EGF
∆GIH
y
congruentes.
son congruentes.
∆FGH
son congruentes.
lado OR común, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)?
e) I, II y III
I.
O es punto medio de
3.
y
son congruentes.
NERO RO ≅ MAR ARO O , con 6. Si tenemos dos cuadriláteros NE
c) Sólo III
b) Sólo II
NM
[Prueba TIMSS 2003] ABCD es un trapecio. Otro trapecio, GHIJ (no se muestra), es congruente con ABCD. El ángulo cuyo vértice es G y el ángulo cuyo vértice es J miden 70o cada uno. ¿Cuál de estas afirmaciones podría ser verdadera?
II.
III. OR ⊥ NM
a)
7. Un árbol joven está afirmado
GH
=
AB
b) El ángulo cuyo vértice es H es un ángulo recto. c)
Todos los lados lados de GHIJ tienen la misma longitud.
d) El perímetro perímetro de GIHJ es tres veces veces el perímetro
de ABCD. e)
El área de GHIJ es menor que el área de ABCD.
e) I, II y III
En el cuadrado EFGH, ¿cuál de estas afirmaciones es FALSA? a)
2.
c) Sólo III d) Sólo I y II
5. [Prueba TIMSS 2003]
d) El largo de la tarjeta es el doble del ancho. ancho. e)
∆UXW ≅ ∆VXW
∠NER ≅ ∠MAR
a) Sólo I
c) Sólo III
b) Sólo II
d) Sólo I y II
e) I, II y III
por tres cuerdas, puestas a la misma altura en el árbol, las cuerdas están clavadas a la tierra por tres estacas que están a la misma distancia de la base árbol. ¿Es cierto que los ángulos que forman las cuerdas con el suelo miden todos lo mismo?
MATEMÁTICA
239
• solucionario • UNIDAD 1 Página 25
Página 19
1. 5, 99 ⋅109 kg
5
1. a)
2
b)
3
c)
2
d)
2
3
6
⋅ 53
2
⋅ 36
3. 5, 5 ⋅10 kg
5. a) 2, 46 ⋅10−9 2. a) 0,008
d)
3
3 ⋅ 10
d) 2,25 g) 81
6.
24
4 ⋅ 10
átomos.
h) 1 3. a)
4
c)
6
e)
2
=
3
3
>
2
>
0
o
8. No existe tal número. número. Supongamos Supongamos que existe, entonces es de la forma
2 +
3
4
ε
=
0,000000000000000000abc...
Nombremos por n el primer lugar l ugar donde no aparece un cero, por lo tanto 10 ( 1) < ε esto es una contradicción. Luego tal número no existe. − n+
4. a) − c) e)
15 4
9 8
Página 34
6 7
5. 27 cm2. 8 veces. El cubo que resulta es 27 y 64 veces mayor, respectivamente. 7. 6 y 5 respectivamente. respectivamente. 8. La segunda, pues obtiene 32.767, en cambio cambio con la primera alternativa obtendrá 15.000.
2. −
5
3. a)
8
; −
3 2
3 4
76 675
c) 10 4. a) Entre 4 y 5 c) Entre 26 y 27 5. a) 5 cm b) 2 cm c)
240
; −
6 cm
; −0, 3
Página 42
Página 45
1. 25 conejos, 5n conejos.
8 11. 8 ⋅ 10 bacterias, terias.
2. En la quinta etapa 5
4
=
4
4 =
256 ,
en la sexta etapa
1.024
12.
7
hectáreas, de 31 días. 2
31
2
8
64 ⋅10
bacterias,
24
2
⋅ 108 bac-
hectáreas si suponemos un mes
3. Los cuadrados son 9999800001 y 999998000001 100 ⋅101
6. 3(1+ 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + 100) = 3 ⋅ 7.
9
2
−
1
=
511, 51 2
1+ 2 + 2
el caso general es:
3
2
+
2
n
+ ⋅⋅⋅ + 2
=
n +1
2
−1
Página 46 =
15.150
13. 25 gramos. 112 años aproximadamente. 14. a) Los siguientes términos son: 10 10 12 12 14 , , , y 9 11 11 13 13
c) La aproximación se produce con el sexto término.
Página 44 1. a)
−1
5
<
4
−1
−2
2
b)
c)
1 1 < 2 2 1
3
−
=
1
Página 47 15. 5, 88 ⋅1025 átomos.
7
−
18. Las hipotenusas miden −4 4. 11 , ⋅10 mm
2;
20. No es cierto, por ejemplo:
3; 2;
5
y
6
1 2 1 = < 4 2 2 1
5. a) 4, 8 ⋅1014 d) 1, 25 ⋅ 108
Página 49: Autoevaluación 1. c
6. a) 448
2. a 3. c
d) −
21 74
8. a) Entre −5, 2 y −5,1 d) Entre 9 y 9,1
4. d 5. c 6. a 7. d
MATEMÁTICA
241
• solucionario • Página 64
UNIDAD 2
1. a)
Página 57 2. b)
b)
3
14p q 2 2 π
144x y
o
108
2. a)
c) 128, 5o
c) 3. a) La velocidad es V=
3 2, 7
m
6
10a b 4
7x y
3
5
m
≈
1,11
s
s
b) Si P, η , l, R son constantes, entonces la velocidad es máxima se alcanza para r 0. Lo que significa que la velocidad es mayor en el centro del vaso.
3. a)
18
2
3
q z
=
4
c) c) Bajo las mismas hipótesis, la velocidad es menor cuando r R, de hecho es cero para r=R. Lo que significa que la velocidad es menor cerca de las paredes del vaso.
p
2a 4
4
5b x c
≈
4. a) y c)
4. Se debe aplicar una fuerza fue rza de 60 N y 150 N respecrespec tivamente.
e)
2x
2
1. a) 8a
5. c)
f)
7
10
=
mayor es
2
6
n m
1
luego
3x
2
en un minuto y
t
2
grados en t minutos.
c) En ángulo a los t minutos es
242
=
n
m
5
5
3
( 2a)
3
=
7. 121, pues como
3. a) 6 grados en un minuto y 6t grados en t minu tos. b)
5 =
.
2
+
n+ m
⋅5
6. Si la arista del primer cubo es a, entonces 3 13 82 824 4 , por lo tanto, el volumen del cubo a
c) 4q 5y
2m
n− m
5
xy
28
5
2. a) 8ab
e)
5
2
x y−
n
2 2 695b e) −3, 09a − 1, 69
mn +
2
1
c) −5x 2y 2
−
y
x+
3
g) −
Página 63
− 14y
90 −
11 2
t
a b
2
8a
=
a b
=
8 13 13 82 824 ⋅
.
=
110 59 592 . .
11,
2
a = = 112 = 121 b
8. a) 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 256, 511 y 1023. b) Es primo para los valores 2,3, 5 y 7.
Páginas 82-85 Página 71 1. a)
z
=
2. a) −25o C
2
c)
x
=
e)
x
= −
o
b)
95 F
c)
F
1 2
9 =
5
c + 32
d) −40o F 2. a)
M
Fr =
Gm
F
b)
x
c)
h
=
k
+
i
4. a) 60 cm2
xo
b) 6 cm y 20 cm; 4 cm y 30 cm
3V =
π r
d)
2
=
2
5. b) 7 diagonales.
C − 1 n Co
c) 8 lados.
7. b) 4 + 2(n − 1)
4. a) 51 y 52 c) 22,24 y 42 años.
8. b) 16; 2048 y 524.288
d) 80 litros.
n −1
c)
2
Página 80
11. −3b,
1. a) 15,29 y 41 c) 3 + 2(n − 1)
13. 53
b, a,
a + b,
2a.
14. No, si, no, si. Para ver que la suma de n enteros consecutivos sea divisible por n, tenemos
2. b) 48 c) 3n
n
4.
b − a,
n − 1 + (n + 1) + n + (n + 2)... + n + (n − 1) = n n + 2
luego para que
5, 3,1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13 1 3, −15
que
n
n+
n −1
sea entero necesitamos
2
− 1 sea par, luego n es impar. Por lo tanto,
para que la suma de n enteros consecutivos sea 5.
4 6
,
3 2 7
,
8
,
1 9
−1 −2 , 0, , 11
divisible por n se necesita que n sea impar.
12
Conjetura: El numerador decrece de 1 en 1 y el denominador crece de 1 en 1. −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 , , , , , , , , , 13
14
15
16
17
18
19
20
21
17. No, por ejemplo si 18. No, basta tomar
n
b
=
1,
= −
tenemos
−b = 1 >
0
5
−12 22
MATEMÁTICA
243
• solucionario • Páginas 87: Autoevaluación 1. b 2. b 3. a 4. a
c) Si existe, es T(1, −7) 2. a)
5. c 6. d 7. b
UNIDAD 3 Página 96
b)
1. a)
c) T(1,−4) 3. T(7,6 ) b)
Página 102 1. a)
244
2. Dos ejemplos: b)
Dodecágonos y triángulos equiláteros
Hexágonos y triángulos equiláteros
4. Las coordenadas son P ( x, 2b − y ) 5. No.
Página 106 1. a) (−5, 3)
Página 118: Actividades finales finales
b) (−3, −5)
3. c) R (0,90
b) o
,
1. a)
c) (5, −3)
,
, ,
y y
)
4. a) A ' (4 ,5) y B '('(4, 0) 2. a)
A '(4, −5) y B'( 4, 0)
b) Igual que en el caso anterior.
Página 117 1. Es un cuadrado. El proceso es el siguiente:
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
MATEMÁTICA
245
• solucionario • Página 142
5. De A hasta B, T(7,3 ) De B hasta C, T(0, −5) De C hasta D, R( v,90
o
1. No, por ejemplo )
De D hasta E, T( −3, −6) De E hasta F, Reflexión en y.
y
1
=
x
2
3. No. 5. Si. 6. Se demora 4,8 horas.
Autoevaluación: página 123 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
c c c c a d a
7.
Actividades finales: página 146 2.
UNIDAD 4
a) Si. b) 40 grados. c) 10 horas ambos. ambos. d) A Josefa.
Página 131
e) 3 veces.
2. Corresponde el tercer gráfico. El precio es $1.080.
f) Roberto.
3.
g) 1, 6 días.
Entre 0 y 25 años, en ambos casos. En hombres, a partir de los 25 años, en mujeres desde los 45. A los 25, en ambos casos.
i) Un poco poco más de 15 horas.
7. Si, pues si
x
=
ay
y x
=
by , entonces x 2 ( ab )xy
8. 116,72 pesos argentinos.
Página 136 2
1. No, por ejemplo
y
=
x
2. No, por ejemplo
y
=
5x
Autoevaluación: página 150 +
2
3. No, el mismo ejemplo anterior. 6. b) 9,8
246
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
d c b b b a b
=
UNIDAD 5 Página 159
Página 167 2.
1.
a) 10,44
a) Basta dividir 160 en 4, esto es 40 y el resultado multiplicarlo por 3, es decir decir,, 120.
b) 7,8
d) Basta dividir 5.500 en 5, esto es 1.100.
c) 18,75 d) 96
2. Los hombres tienen más dependencia.
3.
800.
5.
No, por ejemplo si a=10=b y c=20, se tiene que el a% de b es x=1. Además el c% de b es y=2. Pero el ac% de b es el 200% de 10 que es 20 distinto de 2=xy.
4. 21 alumnos.
5. Gasta $8.640 en locomoción.
9.
a) Aproximadamente 40%. b) 23 alumnos aproximadam aproximadamente. ente.
Página 173 1.
23,4% aproximadam aproximadamente. ente.
2.
El porcentaje de aumento es 3,125%, aplicado a 1.200.000 resulta 37.500. Entonces, el sueldo final del segundo trabajador es $1.237.500.
4.
a) Si x es el precio del automóvil, entonces
Página 163 1.
a) 180
119 100
b) 200
x
=
4.999.000, entonces el precio automó-
vil, sin IVA es: 4.200.840. c) 122, 72 b) 15,96%
2.
a) 33, 3% b) 400% b) 78,125%
3.
5.
0,561%
7.
a) 10,71%
8,3%
MATEMÁTICA
247
• solucionario • 10. No, la dependencia del tabaco es mayor.
Actividades finales: página 174 1.
11. a) No
a) 16 c) 0,05
12. a) 1,05% b) 42,46%
d) 1,5
aproximadamente. ente. 13. 4.886.598 personas aproximadam
2.
a) 250%
14. 175, pues es el 75% de 250, lo que es bastante cercano a 68%.
b) 1% c)
44, 4%
15. 33,3%
3.
18. A=5
a) 40 c) 14
19. 48%
d) 30.000
Autoevaluación: página 179 4.
1. a
a) c 2
b)
a b 2
100
2. c 3. b 4. a 5. b
7.
$25.500. Se vende a $59.500
6. d 7. c
8.
a) 1,2 barriles. b) 60%
248
UNIDAD 6 Página 186 1.
3
− 2x 4 y3
8x y
b)
12, 5a b
3 2
− 10a3b
2
f)
2.
3
a)
2
2ab c − 3a bc
a)
3ab − 2a
b)
a(b
c)
2
−
a)
D= (3.500 + 100x )(500 − 2x )
9.
Sí.
10.
a
=
0 ó x
=
y
11.
a
=
b ó x
=
y
12. Caso 1:
x
=
y
Caso 2:
x
≠
y a
a y b cualquiera. b. =
2
Página 193
2
=
6.
ab
−
a
1.
( x 2 + 1)2 − ( 2x )2
2.
1+ 2 2 + 2 + 1 − 2 2
= x
4
2x2
+
+
1− 2x2
= x
4
+
1
2 +
2=6
∈
a
4. d)
Es un cuadrado de lado a.
e)
ab − 2a
3
2
7.
Es falso, se cuadriplica. Es cierto.
6.
El triángulo del doble de altura tiene el doble de área.
Página 190 1.
a) b) e) h)
4.
3x
e
5( x
−
2xy )
0, 25( x xy
2
2
+
=
−
2
2
y ) by( x
−
y)
=
(ax
−
by )(x
−
4
3
.
+
y
2
−
x
2
+
−2
2xy
−
y
2
4 2
a)
2
− 12x
+
40 x
4x y 4
3
b)
16x
c)
a
e)
( a + c )2 − b2
f)
x
2
+
4
2ab + b
2
y
+
9x
25x
+
5
⋅
=
+ 2 ⋅5 − 5 ⋅
4 xy 4
=
5
36 = 36
xy
2
2
2
=
a
2
+
2ac + c 2
−b
2
− y2
2
2
2
8.
Basta notar que el cuadrado de un impar es:
a
(2n + 1)2
+
=
b
+
c
+
2ab
+
2ac
4n2 + 4n + 1 = 2( 2n2
+ 2bc
+
2n) + 1= 2m + 1
que también es impar.
y + 4 x
2a + 1
2xy
2
+2
Si, es
y)
La diferencia entre el triángulo mayor con el menor es
+
3
2 ⋅5 + 5 ⋅ 5
+
7.
9. 5.
2
5
−
3xz ) = 0, 25x ( x + 3z )
−
x
⋅
5x (1 2y )
(3x − 5 + 7y )
ax( x
2
2
2
5. 5.
+
Basta hacer n2 − (n − 1)2 = 2n + 1 que es un impar. Otra forma es: si dos números son consecutivos, entonces uno es par y el otro es impar, además sus cuadrados satisfacen la misma condición, por lo tanto la resta de un impar con un par (o viceversa) es siempre par.
MATEMÁTICA
249
• solucionario • 10. La superficie de los círculos es cie del tubo es
n
+
n+
2
1
+
n+
2
2
=
n
n
2 (1+ 2 + 4) = 7 ⋅ 2
Actividades finales: páginas 202-205 2
c)
x
d)
2x
−
4
4 xy
+
2.
f)
2x
h)
0,16x
a)
1
c)
25
d)
4
+
4y
3
2
2
x y − 6x y + 9y 9x 2
2
Si
r
=
, entonces
3
17. No, difieren en
2
y
+
h
300 r + π r2
=
10, 61.
2ab .
x
2
+
2x + 2 = ( x + 1)
2
+
1 que a lo menos
2 2
5, 29x y
21. Sólo si
a
=
b,
o bien
b
=
0
1 2 1 = < 4 2 2 1
22. No,
23. No. 24. No existe otra solución. 25. Sabemos
4
x
a)
2a( x − z)
c)
(2x + a)(3y (
m x +
+
b)
2
y
=
x
−
y
<
a luego,
x − y ( x + y)
<
a( x + y)
2)
Autoevaluación: página 207 1. a 3. d 4. b
(
−
2
es 2.
No.
n+ n +
2
<
2 a pues como
x e y están entre 0 y 1, la suma de ellos a lo más
2. d
1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2
por lo tanto es par, pero no es múltiplo de 4.
5. b 6. b 7. d
250
,
es 1.
25
e)
7.
2
4
f)
4.
π r
2
+ 13 x − 6
+ 1, 84 x
300 =
18. No, difieren ay + bx .
1
e)
3.
−
Luego la superficie es
2π r
20. Si, pues 3
. La superfi-
luego la superficie de la lata es:
lo cual es divisible entre 7, la demostración para las potencias de tres es análoga. Para potencias de 4 la afirmación es que la suma de tres potencias consecutivas de 4 divisible por 21.
1.
2
2π r(r + h) Despejando h tenemos h
10. Se tiene que: 2
2π rh .
2π r
UNIDAD 7 Página 220 1.
a) Como
Página 231 OD ≅ OB ,
medio de
1.
∠ABC y ∠ADC miden
lo
Por criterio LAL, se tiene que por lo tanto
BD .
b) Si, los ángulos mismo.
2.
se tiene que O es punto
∆ABC ≅ ∆AED ,
AD ≅ AC .
2.
a) Son congruentes. b) Son congruentes.
3.
a) m (KB) 4 cm =
m (EH)
=
5 cm
m (LA ) 4 , 5 cm =
m ( ∠SRO) = 60o b)
Actividades finales: página 234
o
540
3.
c) Si
4.
a) Los triángulos son congruentes. Por criterio LLL.
a) y b) Las coordenadas de D pueden ser (3,4); (2,0); (3,0)
C
4 A
a
2
c
b
B E
0
Página 225 1.
a)
-2
0
2
4
D
6
d
b)
∆STO ≅ ∆ROK
T'
=
R , O'
=
O , S'
=
K
e
10
F
f
y OT ≅ OR . Además m (∠KOR) = m ( ∠SOT ) . Luego por criterio LAL se tiene que SO ≅ OK
b) Una rotación con centro en O y ángulo 180o .
8
4.
AB ≅ FD , BC ≅ DE , CA
≅
EF
a) Por ejemplo, C (7, 2) =
b) Por ejemplo, C (7, 1) =
−
MATEMÁTICA
251
• solucionario •
5.
Por ejemplo, F ( 8, 6)
8.
En el punto medio. No depende de la altura de los postes.
9.
∆EDC ≅ ∆EFG por criterio LAL. Por lo tanto DC ≅ FG
=
11. Por criterio LLL se tiene que: ∆WST ≅ ∆RQP . S α
W P
β
T
γ
β
γ
R
α
Q
Haciendo una traslación horizontal hasta hacer coincidir P con W, se tiene que m ( ∠QWS) = m (∠QRS) y también m (∠QWS) = m (∠QRS) , de
donde se obtiene que QWST es un paralelogramo, por lo tanto WS RQ .
Autoevaluación: página 207 1. 2. 3. 4. 5. 6.
b e a e b e
7. Si.
252
• GLOSARIO• • Ángulo del centro: En una circunferencia, es un ángulo ∠AOB cuyo vértice O es el centro de la circunferencia y los puntos A y B son puntos de la circunferencia. A
locidad de 1 m/s, en segundo. Si en vez de utilizar m/s
B
α
kg ⋅ m 1N= 1 2 , que equivale a mover una masa de un s kilógramo, desde el reposo hasta que alcance una ve2
, se utiliza
cm / s
2
, la unidad de fuerza se llama
dina (D).
O
• Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos de una circunferen circunferencia. cia.
• Dina: Unidad de medida de Fuerza. Como la fuerza es masa por aceleración , la fuerza se mide en unidades de masa (g) multiplicada por unidades de acele2
ración (cm / s ). Por lo tanto, una dina es 1D
=
1
g cm ⋅
s
2
,
que equivale a mover una masa de un gramo, desde el reposo hasta que alcance una velocidad de 1 cm/s,
• Número racional: Todo número que se puede escribir como el cuociente de dos números enteros, con denominador no nulo. Por ejemplo 0,45 es racional, pero 2 no lo es.
• PIB: El Producto Interno Bruto es el valor total de la producción corriente de bienes y servicios finales dentro del territorio nacional durante un periodo de tiempo determinado, que generalmente es un trimestre o un año.
en un segundo. Si en vez de usar g se utiliza kg y si en vez de utilizar
cm / s
2
, se utiliza
m/s,
la unidad de
fuerza se llama Newton (N ). ).
• Figuras congruentes: Dos figuras planas son congruentes si existe una isometría que transforma una figura en la otra.
• Isometría o transformaciones isométricas: Transformación de puntos del plano en puntos del plano, que preserva medidas de segmentos y de ángulos. Las rotaciones, traslaciones y reflexiones son ejemplos de isometrías. Toda isometría es composición de las isometrías antes mencionadas.
• Polígono regular: Es un polígono donde todos sus lados y todos sus ángulos interiores miden lo mismo. El polígono regular de tres lados se llama triángulo equilátero, el de cuatro lados es el cuadrado.
• Polinomio: Expresión algebraica compuesta por monomios. Por ejemplo mio, pero
2x
+
y
3x no
cias de las variables son positivas o cero. Por ejemplo 5xy
2
es un monomio, pero
2x
y
2
no lo es.
• Newton: Unidad de medida de Fuerza. Como la fuerza es masa por aceleración, la fuerza se mide en unidades de masa (kg) multiplicada por unidades de 2
aceleración ( m / s ). Por lo tanto un newton es
2
+
2
xy + z
es un polino-
es un polinomio.
• Raíz cuadrada: Si
a
≥ 0 la
raíz cuadrada de a es
el único número no negativo tal que su cuadrado es a. En símbolos si
• Monomio: Es un término algebraico cuyas poten-
2x
x ≥
0 y
x
2
=
so decir que
a
≥0,
entonces
. Por ejemplo
a
0 25 ,
x
=
=
a
0 5, ,
si y solo si pero es fal-
4 = ±2 .
• Rango: El rango de una variable es el conjunto de valores que puede tomar la variable. Por ejemplo, si h denota la altura (medida en centímetros) del nivel de agua de un recipiente cilíndrico de un metro de altura, el rango de h es el conjunto de todos los números reales entre 0 y 100.
MATEMÁTICA
253
• ÍNDICE ANALÍTICO • • Álgebra 50, 60, 164. • Aplicación de patrones numéricos 40. geométricas 226.
• Aproximaciones 35. • Área 185. • Asociativa 60.
•Bisectriz 227.
• • • •
•
• • •
Calculadoras y planillas de cálculo 168. Carl Gauss Friederick 38. Comparando 155. Composición de isometrías 107. de reflexiones 110. Congruencias 208, 216, 217, 219, 222, 223, 224. de figuras planas 208. Conmutatividad 61, 184. Crecimiento 129, 170. Cuadrado del binomio 191.
• • • •
Decimal finito 31. Decrecimiento 129. Decrecimiento porcentual 170. Demostración del Teorema de Pitágoras 197 • Despejar 66 • Distribución 63,184, 185, 189, 191. • Distributiva 63, 187.
• Factores 180. de productos 188.
• • • • •
Factorizar188. Factorizar 188. Factorización 187,194. Ferdinand Von Lidermann 33. Fermat 72, 73. Figuras simétricas 101.
• Generalidades numéricas 72. • Gráficos 127, 128, 130, 135, 137, 140, 145. de variación inversamente proporcional proporcional 140. de variación proporcional directa 134. y porcentaje 162. Interpretación 129. • Gauss, Friederich 38.
• Homólogo 216.
• Igualdad en ecuaciones 65. • Interpretación de gráficos 129. • Isometría 107, 108, 216, 217.
• Legendre, Adrien Marie 32. • Lenguaje algebraico 69. cotidiano 69.
• Multiplicación 184, 187. •Ecuaciones Diofánticas 200. •Embaldosamiento 91. •Euclides 232. •Escher,, MC. •Escher M C. 103, 103, 112, 113, 214.
254
• Notación
científica 21 decimal 20, 31
• Número
no racional 29 enteros 43 racionales 26, 27, 28, 31. irracionales 26, 30, 32. entero 30.
• Reflexiones 97, 98, 100, 101, 103, 109, 110. de un punto 99. • Relación proporcional 132. de un punto 99. • Regularidades numéricas 37. • Roger Roger,, Penrose 112. • Rotaciones 103, 104, 109, 112. de un punto 105.
• Suma 27. • • • •
Patrones 40, 77. Pitágoras 29, 156. Polinomios 81. Porcentaje y álgebra 156,164. y gráficos 162. iterados 169. fracciones y decimales 165, 166. y proporciones 160.
• Potencias 15. de álgebra 60. base positiva y exponente entero 13.
• Productos 27, 180. de polinomios 183. notables 191. • Programas computacionales 229. • Propiedades de las potencias 15. • Proporción 132. directa 132, 138. constante 132, 134, 139. inversa 139. • Proporciones y porcentajes 160. • Puzles geométricos 230.
• Radio 143, 218, 226. congruente 129. • Razón de cambio 129. • Redondeo 36. • Reducir 58. • Reflejar un punto 99.
por la diferencia 192. y productos de números racionales 27. inversamente proporcio proporcional nal 27. proporcional proporc ional directa 27.
•Tasa 129 Tasa de crecimiento 127.
•Tablas y gráficos 127. •Términos semejantes 58. •Teselación 111, 112, 113, 114, 115, 116, 127. Teselaciones regulares 114. •Transformaciones isométricas 88. •Traslaciones 92, 93, 94, 95, 103, 109, 216, 217, 219. •Triángulos congruentes 222. •Truncado36. •Truncado 36.
• Varela Francisco 169. • Variables 53, 127, 143 más de dos 143. • Variación
inversamente proporcio proporcional nal 138, 140. proporcional proporc ional directa 132, 134. porcentuales 152. proporcionales 124. inversamente proporcio proporcional nal 140. proporcional directa 134.
• Volumen 56, 143.
MATEMÁTICA
255
• BIBLIOGRAFÍA • En libros Manuel Barahona Droguett, El número π . Siete mil años de historia . Ediciones de la Universidad de Atacama. Copiapó-Chile. 1997. E.T Bell, Historia de las Matemáticas . Fondo de Cultura Económica. México. 1945. Rolando Chuaqui. ¿Qué son los números? El método axiomático . Consejo de Rectores de las Universidades Chilenas. Fascículos para la comprensión de la Ciencia, las Humanidades y la Tecnología. Editorial Universitaria. Chile. 1980. Enzo Gentile, Escuela de Talentos-4. Talentos-4. Aritmética Elemental . Universidad de Chile. Facultad de Ciencias. 1990. Elon Lages Lima. Meu Professor de Matemática e outras historias . IMPA. Brasil. 1991. (Este libro está en portugués, pero las ideas generales las puedes entender claramente). Sociedad de Matemática de Chile, Revista del Profesor de Matemáticas SOMACHI . Año 1. No2. Sociedad de Matemática de Chile, Revista del Profesor de Matemáticas SOMACHI . Año 2. No2. Sociedad de Matemática de Chile, Revista del Profesor de Matemáticas SOMACHI . Año 3. No1. James R. Newman, Sigma. El mundo de las Matemáticas . Ediciones Grijalbo. España. 1968. vol.1. J.R Vizmano, M. Anzola. Matemáticas, Algoritmo 1. Ediciones SM. España. H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría . La Tortuga de Aquiles. No1. 1993. DLS-EULER Editore. España. M.C Escher. Estampas y Dibujos . TASCHEN. Alemania. 2002.
En internet www.comenius.usach.cl www.automind.cl/educacion www.au tomind.cl/educacion/juegos /juegos magicos/juegos magicos.htm www.lanasa.net www.educarchile.cl
256
