Mate en secundaria

Matemáticas Módulo 1 Matemáticas básicas Módulo 2 Matemáticas intermedias Módulo 3 Matemáticas avanzadas

Matemáticas básicas

MÓDULO 1

Matemáticas básicas Este módulo tiene como objetivo que conozcas y resuelvas problemas relacionados con los conceptos de fracción y porcentaje. En primer lugar, aprenderás a identificar una fracción, a reconocer fracciones equivalentes y a realizar operaciones matemáticas con fracciones. Posteriormente estudiaremos los temas de porcentaje y proporcionalidad (directa e inversa), así como la regla de tres y el cálculo de perímetro y área de algunas figuras geométricas.

1. ¿Qué es una fracción? En nuestro entorno cotidiano todo el tiempo vemos objetos que se pueden representar con números enteros: 1 coche, 3 mesas, 5 manzanas, 10 casas, 50 alumnos, etc. Sin embargo, cuando realizamos una medición precisa o queremos compartir o dividir algo, hacen falta números más pequeños que un entero.

1 1 1

1

Números como: 2 , 3 , 4 , y 8 se conocen como fracciones. El número de arriba es el numerador y el de abajo el denominador. El segundo representa el número de partes en que se divide el entero y el primero el número de esas partes que se considera. Cuando en una fracción el numerador y el denominador son iguales, decimos que son equivalentes a un entero. Así, un entero tendrá: 22 , 33 , 44 ,

4

6 6

y

8 8


1.1 Equivalencias De la misma manera, tenemos fracciones equivalentes cuando dos o más fracciones representan la misma cantidad. Por ejemplo: 1 2

=

2 4

1 3

=

2 6

4 8

= 168

¿Cómo sabemos que una fracción es mayor, menor o equivalente a otra? Consideremos el siguiente ejemplo: Rocío fue al supermercado a comprar café y encontró frascos con las siguientes capacidades: 12 kg, 13 kg, 24 kg, 46 kg, 34 kg y 1kg Tomando como referencia los valores anteriores, compara los siguientes pares de valores y escribe entre ellos el símbolo > (mayor que), < (menor que) o = (igual), según corresponda: 1kg

3 4

1 3

kg

kg

4 6

kg

1 2

kg

2 4

Para el caso , si convertimos 1 kg a cuartos, tendremos: 1kg= el símbolo que debemos escribir es (>), pues 1 kg > 34 kg.

kg 4 4

kg, por lo que

Para el caso , si convertimos 13 kg a sextos multiplicando por 2 el numerador y el denominador, tendremos: 13 kg = 26 , por lo que el símbolo que debemos escribir es (<), pues: 13 kg < 46 . Para el caso , si convertimos 12 kg a cuartos multiplicando por 2 el numerador y el denominador, tendremos: 12 kg = 24 kg por lo que el signo que debemos escribir es (=), pues como 12 kg = 24 kg, las fracciones son equivalentes. Resuelve los siguientes ejercicios Compara los siguientes pares de valores y escribe los símbolos >, < o =, según corresponda: 3 2

2 4

5 8

10 16

3 8

1 4

2 3

1 6

8 6

10 4

8 16

1 2

5

MÓDULO 1

Completa la siguiente serie de equivalencias: 1 2

=

4

=

3 6

=

8

= 10 = 168

1.2 Operaciones con fracciones 1.2.1 Sumas y Restas Para la excursión del día del niño, la señora Juanita compró una botella de agua de 34 de litro para Pedrito y una de 12 litro para Lupita. ¿Cuánta agua compró? Si en cada botella sobraba 14 de litro cuando regresaron de la excursión, ¿qué cantidad de agua bebieron Pedrito y Lupita? Para saber la cantidad de agua que compró la señora Juanita debemos sumar el contenido de las dos botellas. 3 1 4 + 2 = Para resolver la suma de fracciones primero buscamos un común denominador. Una forma de hacerlo es buscar fracciones equivalentes. Por ejemplo, podemos convertir 12 a cuartos: 12 = 24 ; y luego sumarlo al otro término: 34 + 24 = 54 Por tanto, la señora Juanita compró Si al regreso de la excursión sobraba total sobraba: 14 + 14 = 24 de litro.

5 4 1 4

de litro de agua. de litro en cada botella, tenemos que, en

Ahora restamos el resultado al total de litros de agua que había comprado la señora Juanita: 54 – 24 = 34 de litro. Por tanto entre Pedrito y Lupita bebieron

3 4

de litro de agua.

Otra forma de encontrar un común denominador es multiplicar los denominadores. En el ejemplo anterior, 34 + 12 =, el común denominador sería 4 x 2 = 8. Una vez que tenemos el común denominador, buscamos los numeradores que sean equivalentes a las fracciones iniciales. En la primera fracción, ya que multiplicamos por 2 el denominador, hacemos lo mismo con el numerador: 3 6 4 = 8

6


En la segunda fracción, ya que multiplicamos por 4 el denominador, hacemos lo mismo con el numerador: 1 4 2 = 8 Ahora sumamos las dos equivalencias. Se suman los numeradores y se deja el denominador común: 6 4 10 8 + 8 = 8 5 El resultado 10 8 es equivalente a 4 , que fue el resultado que obtuvimos con el método anterior.

Como observamos, la suma y la resta se resuelven de manera semejante, encontrando un denominador común y sumando o restando los numeradores según sea el caso. Resuelve las siguientes sumas y restas

Ejercicio:

3 6

+

1 4

=

5 8

+

4 3

=

6 5

–

4 6

=

4 5

–

2 4

=

Para su fiesta de cumpleaños, Luis pidió a su mamá un pastel de chocolate que pudiera compartir con sus 7 amiguitos de la escuela. Si todos comen una rebanada igual, ¿qué parte del pastel corresponde a cada uno? A Carlos, Pedro y Juan no les gusta el pastel de chocolate y no comen, pero Luis come dos rebanadas. ¿Cuánto pastel sobra? Solución: Como primer paso, calculamos el número total de personas: Luis + 7 amiguitos = 8 personas. Si dividimos 1÷ 8 = 18 , lo cual significa que a cada uno corresponde 18 de pastel.

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MÓDULO 1

Si 3 personas no comen pastel, entonces sobrarían 3 rebanadas: (

3 1

)(

1 8

)=

3 8

Sin embargo, como Luis comió dos rebanadas, hay que restar una de ellas al pastel sobrante: 38 – 18 = 28

A cada uno tocará entonces

1 8

de pastel y sobrarán

2 8

de pastel.

Resuelve los siguientes ejercicios: Mario y sus amigos Carlos, Jesús y Ernesto, comparten una pizza. Si la dividen en partes iguales, ¿qué parte toca a cada uno? Si Jesús y Ernesto deciden no comer, pero Carlos come dos partes ¿qué parte de la pizza comieron? Para preparar una receta de pescado al vino blanco, Francisco necesita 1 34 litros de vino, pero en la vinatería sólo hay botellas de 12 litro y de 34 de litro. ¿Cuántas botellas de cada capacidad debe comprar para tener el vino necesario? 1.2 Multiplicación de fracciones La multiplicación de fracciones se emplea cuando queremos encontrar una fracción de otra fracción. Ejemplo: La cafetera de Teresa tiene una capacidad de pacidad, ¿cuánto café tiene?

3 4

de litro. Si se llena a

Para resolver el problema realizamos la siguiente multiplicación:

3 4

X

1 2 1 2

de su ca=

Multiplicamos los numeradores (3x1=3) y los denominadores (4x2=8) de la siguiente manera: 34 x 12 = 38 Por tanto, el resultado es

8

3 8

de litro.


Resuelve los siguientes ejercicios: Si se utilizan 46 de un bote de barniz para una puerta, ¿qué fracción del bote se necesita para barnizar 34 de la puerta? El tanque de gasolina de la camioneta de Marcos tiene una capacidad de 60 litros. Si le falta 16 para estar lleno, ¿cuánta gasolina tiene y cuánta le falta para llenarse? En la tienda de abarrotes venden paquetes de pan de 34 de kilogramo. Si un kilogramo tiene 1000 gramos, ¿cuántos gramos tiene cada paquete?

2. Cálculo de porcentajes Seguramente has escuchado o leído expresiones como las siguientes: ¡Descuentos de hasta 25% en ropa para niños y adultos! Precios más IVA.

Esto quiere decir que a los precios base debemos quitar o agregar la cantidad que señala un porcentaje determinado. El signo % indica que tenemos un número fraccionario con denominador 100. 25 25% = 100 Se escribe 25% para indicar que de cada 100 se quitarán o aumentarán 25, según sea el caso.

Ejemplo: Esteban compró una computadora cuyo precio es de $ 6,500.00 más IVA. ¿Cuánto debe pagar en total?

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MÓDULO 1

Sabemos que el IVA (impuesto al valor agregado) es de 16%. Para encontrar el monto adicional que se debe pagar, multiplicamos el precio base por el valor del impuesto: 6,500 x 16 = 104,000. Luego dividimos el resultado entre 100: 104,000/100 = 1,040. En consecuencia, el 16% del precio es $1,040.00. El total a pagar será la suma del precio base más el impuesto: $6,500.00 + $1,040.00 = $7,540.00 Otra forma de calcular el porcentaje es dividir el valor del impuesto entre 100 (16/100=0.16) y multiplicar el resultado por el precio base: 0.16 x $6,500.00 = $1,040.00 Resuelve los siguientes ejercicios: En la academia de música “Vivaldi” están inscritas 150 personas, de las cuales 30% estudia guitarra, 20% piano, 18% batería, 22% canto y 10% violín. Calcula el número de personas que estudia cada disciplina. En los almacenes “El Encanto” hay barata de fin de temporada y el descuento en todos los artículos es de 20%. Josefina compró los artículos que se indican a continuación. ¿Cuánto pagó en total después de aplicar el descuento? Blusa $250.00 Pantalón $400.00 Zapatos $550.00 Un grupo de 200 niños participó durante un año en un programa para evaluar la influencia de la música en el cambio de la conducta. Se obtuvieron los siguientes resultados: 75% mejoró su forma de relacionarse con los demás. 55 % mejoró su aprendizaje de las matemáticas.

¿Cuántos niños mejoraron su forma de relacionarse y cuántos mejoraron en matemáticas?

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3. Proporcionalidad Cuando tenemos dos valores (variables) y vemos que al modificar uno (variable independiente) el otro (variable dependiente) también se modifica, decimos que entre ellas existe una relación. Si, además, esas modificaciones se dan en el mismo porcentaje —es decir, si una aumenta al doble o al triple, la otra también lo hace—, se dice que entre ellas hay una relación de proporcionalidad. Si los cambios son en el mismo sentido —las dos aumentan o las dos disminuyen—, la proporción es directa; si los cambios son en sentido contrario —una aumenta y la otra disminuye—, la proporción es inversa. Para resolver problemas en los que se establece una relación de proporcionalidad entre cuatro datos, de los cuales conocemos tres, utilizamos el método de la regla de tres. Ejemplo: Para elaborar 100 galletas, la señora Lourdes utiliza 1.5 kg de harina. ¿Cuántas galletas elaborará con 0.75 kg de harina? Cantidad de galletas 100 X

Cantidad de harina 1.5kg 0.75kg

Multiplicamos las dos cantidades cruzadas que conocemos: 100 x 0.75 = 75 Dividimos el resultado entre la otra cantidad: 75 / 1.5 = 50 Entonces, con 0.75kg de harina se elaborarán 50 galletas. Resuelve los siguientes ejercicios: El automóvil de Carlos consume 30 litros de gasolina para un recorrido de 250 km. ¿Cuántos litros de gasolina consumirá para recorrer 800 km? En las tortillerías de la colonia “Central” te dan 20 tortillas por $7.00. ¿Cuántas tortillas podrás comprar con $35.00?

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MÓDULO 1

Si Luis puede guardar 40 figuritas de porcelana en una caja, ¿cuántas cajas necesitará para guardar 240 figuritas?

4. Perímetros y áreas de cuadrados y rectángulos Para calcular el perímetro de un cuadrado o de un rectángulo, sumamos los valores de sus lados. Ejemplo: El terreno de la casa de Juan Carlos es de forma cuadrada y mide 6 m por lado. ¿Cuál es su perímetro? Si el terreno mide 6 m por lado, tendremos: 6 m + 6 m + 6 m + 6 m = 24 m Para calcular el área multiplicamos el valor de la base por la altura. A=Bxh ¿Cuál es el área del terreno de Juan Carlos? A = 6 m X 6 m = 36 m2 Resuelve los siguientes ejercicios: Felipe tiene un jardín de forma cuadrada de 5 m por lado. Si desea rodearlo con una malla para protegerlo, ¿cuántos metros de malla debe comprar? ¿Cuántos metros de barda deberá construir José para rodear su casa de forma cuadrada que tiene 9 m por lado? La escuela de Toño tiene forma rectangular. Sus lados mayores miden 20 m cada uno y sus lados menores 12 m cada uno. ¿Cuánto mide su perímetro? La escuela de Toño tiene forma rectangular. Sus lados mayores miden 20 m cada uno y sus lados menores 12 m cada uno. ¿Cuánto tiene de área la escuela? Félix tiene un jardín de forma cuadrada de 5 m por lado. ¿Cuánto tiene de área el jardín?

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5. Simetría Muchos seres y cosas en la naturaleza tienen simetría. Si observamos, por ejemplo, una mariposa con las alas abiertas, veremos que una mitad es idéntica a la otra y que cuando cierra las alas cada una corresponde exactamente a la otra; su cuerpo es el eje que permite esa reflexión. Un cuerpo u objeto tiene simetría reflexiva cuando la mitad de éste es el reflejo de la otra mitad. Por ejemplo, un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría que lo dividen en tres triángulos iguales; un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría; y un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría.

Resuelve los siguientes ejercicios: ¿Cuantos ejes de simetría aplican en la siguiente figura?

¿Cuantos ejes de simetría aplican en la siguiente figura?

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MÓDULO 1

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

Ejercicios de equivalencias >

>

<

=

>

Serie de equivalencias 2, 4, 5 Operaciones con fracciones Sumas y restas 18 24 16 30 47 24 6 20

Ejercicios de sumas y restas Toca

1 4

de pizza a cada uno y comieron

Debe comprar 2 botellas de

1 2

3 4

litro y 1 de

de pizza. 3 4

de litro.

Multiplicación de fracciones 1 Se necesitan 12 24 = 2 del bote de barniz. Tiene 50 litros y le faltan 10 litros para llenarse. Cada paquete tiene 750 g.

14

=


Cálculo de porcentajes 45 estudian guitarra 30 estudian piano 27 estudian batería 33 estudian canto 15 estudian violín Pagó $960.00 150 mejoraron su forma de relacionarse 110 mejoraron su aprendizaje de matemáticas

Ejercicios de proporcionalidad Consumirá 96 litros. Podrá comprar 100 tortillas. Necesitará 6 cajas. Ejercicios de Perímetro y Áreas Debe comprar 20 m de malla. Debe construir 36 m. Su perímetro es de 64 m. Su área es de 240 m2 Su área es de 25 m2 Ejercicios de Simetría 4 ejes de simetría 6 ejes de simetría

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Matemáticas intermedias

MÓDULO 2

Matemáticas intermedias Este módulo tiene como objetivo que conozcas y sepas interpretar la información que se presenta en tablas y pictogramas. Aprenderás a realizar operaciones con números decimales y a calcular los volúmenes de algunos cuerpos. Resolverás ejercicios relacionados con la notación científica y con la ubicación de puntos en el plano cartesiano. Interpretarás gráficas de barras y aplicarás el concepto de promedio. Por último, resolverás ejercicios de probabilidad en eventos simples y del uso de números negativos.

1. Interpretación de información en tablas Una forma de presentar de manera condensada los datos que se obtienen en una investigación, en un registro de eventos o en una secuencia experimental es la tabla. Ésta nos permite organizar la información, pues en ella representamos los eventos que realizamos y los resultados que obtuvimos. Básicamente, la tabla consta de un título que indica la información a presentar y de columnas (verticales) y filas (horizontales) donde anotamos los eventos y los resultados. Ejemplo: En la siguiente tabla, “Llamadas telefónicas de la familia Jiménez”, se muestra el número de llamadas que realizaron los miembros de la familia Jiménez durante los meses de octubre, noviembre y diciembre: Miembro de la familia

Llamadas en octubre

Llamadas en noviembre

Llamadas en diciembre

Sr. Jiménez

45

50

60

Sra. Jiménez

95

105

125

Francisco

70

65

80

Alejandra

90

100

120

Mario

30

25

40

18


Analiza la tabla anterior y responde a las preguntas: 1. ¿Quién hizo más llamadas en el mes de diciembre? 2. ¿Quién disminuyó su número de llamadas en el mes de noviembre? 3. ¿Cuántas llamadas hizo la Sra. Jiménez en el mes de noviembre? 4. ¿Cuántas llamadas realizó Alejandra en los tres meses? 5. ¿Quién realizó menos llamadas en los tres meses? 6. ¿Cuántas llamadas realizó la familia Jiménez en el mes de diciembre? 7. ¿Cuál es el número total de llamadas que realizó la familia Jiménez en los tres meses? Solución Consideremos los datos que se presentan en la tabla anterior: 1. Observando la columna del mes de diciembre, vemos que el mayor número de llamadas es 125. Si seguimos esa fila, encontramos que corresponde a la Sra. Jiménez. 2. Siguiendo cada una de las filas correspondientes a cada miembro de la familia, encontramos que quien disminuyó su número de llamadas de 30 a 25 en noviembre fue Mario, así como Francisco también las disminuyó de 70 a 65. 3. Siguiendo la fila de la Sra. Jiménez hasta el mes de noviembre, encontramos que realizó 105 llamadas. 4. Para saber cuántas llamadas realizó Alejandra en total, seguimos la fila que le corresponde y sumamos el número de llamadas que realizó en los tres meses: 90+100+120 = 310 llamadas. 5. Sumando el número de llamadas de cada miembro, encontramos los siguientes resultados: Sr. Jiménez 155, Sra. Jiménez 325, Francisco 215, Alejandra 310 y Mario 95. Por tanto, el que realizó menos llamadas fue Mario. 6. Sumando las llamadas de la columna de diciembre tenemos: 60+125+80+120+40 = 425 llamadas.

19

MÓDULO 2

7. Sumando el número total de llamadas que realizó cada uno de los miembros de la familia, tenemos: 155+325+215+310+95 = 1,100 llamadas. Ejercicios: Analiza las siguientes tablas y responde lo que se te solicita: 1. En los últimos tres años, Ricardo ha llevado un registro de los cambios que ha experimentado en su estatura y peso. En la siguiente tabla se especifican los datos que ha registrado. Edad

Estatura

Peso

17 años

1.80m

75 kg

18 años

1.84m

80 kg

19 años

1.90m

88 kg

20 años

1.96m

92 kg

Con base en la información anterior, indica: ¿Entre qué edades aumentó más de estatura? ¿Cuántos centímetros aumentó entre los 17 y los 20 años? ¿Cuántos kg aumentó entre los 18 y los 20 años? 2. En el puesto de revistas de Martha se expenden algunos de los diarios de mayor circulación en el país. En la siguiente tabla se muestra el número de diarios que vendió durante el fin de semana. Periódico

Sábado

Domingo

Ovaciones

45

60

La Jornada

35

43

Esto

40

45

La Prensa

60

70

20


Con base en la información anterior, responde a las siguientes preguntas: ¿Cuál es el diario que más vendió Martha durante el fin de semana? ¿En cuántos ejemplares aumentó la venta de La Jornada de sábado a domingo? ¿Cuál fue la venta total del domingo?

2. Operaciones de números con decimales Para realizar una suma o resta de números con decimales, debemos alinear los números con respecto al punto decimal y luego realizar la operación de manera habitual. Ejemplos: 56 275.48 26 574.236 + 1 854.123 __ 3 256.86 389.645 ______________ _____________ 23 317.376 58 519.248 Para multiplicar números con decimales, realizamos la multiplicación de la manera habitual y, para colocar el punto decimal, contamos las cifras decimales presentes en los factores. 719.35 X 6.9 ___________ 647415 431610 ____________ 4963.515 Para realizar una división de números con decimales, quitamos el punto decimal del divisor y recorremos el mismo número de cifras en el dividendo. Luego realizamos la división de la forma habitual. ________ 6.85 I 785.457

21

MÓDULO 2

1. Quitamos el punto decimal del divisor y recorremos el mismo número en el dividendo: dos cifras en el divisor, dos cifras en el dividendo. ________ 685 I 78545.7 2. Resolvemos de la manera habitual:

_114.66 685 I 78545.7 1004 3195 4557 4470 360

Aunque puedes efectuar las operaciones con la calculadora, es importante que conozcas cómo se realizan. Ejemplo: Para surtir su puesto de dulces, Marisela fue a la dulcería “La Lupita” y compró 2 bolsas de chiclosos con un precio de $25.50 c/u, 4 bolsas de chicles con un precio de $15.25 c/u y 3 bolsas de caramelos con un precio de $30.75 c/u. ¿Cuánto gastó en total?

Si pagó con un billete de $200.00 y uno de $50.00, ¿cuánto le dieron de cambio?

Solución: Para calcular el gasto total, debemos calcular los precios parciales de la compra que se realizó: 2 bolsas de chiclosos: 2x$25.50 = $51.00 4 bolsas de chicles: 4x$15.25 = $61.00 3 bolsas de caramelos: 3x$30.75 = $92.25

Sumando los resultados: $51.00+$61.00+$92.25 = $204.25

22


La cantidad total que gastó Marisela fue de $204.25.

Si Marisela pagó con un billete de $200.00 y otro de $50.00, tendremos: $200.00 + $50.00 = $250.00. Si gastó $204.25, entonces tenemos: $250.00-$204.25 = $45.75. Marisela recibió $45.75 de cambio. Ejercicios: 1. Josefina fue al mercado a realizar algunas compras. Adquirió 2 litros de jugo de naranja que le costaron $10.50 cada uno, 3 kilogramos de manzanas que le costaron $25.00 cada uno y 1 kilogramo de higos que le costó $35.80. Con base en la información anterior, contesta las siguientes preguntas. ¿Cuánto gastó Josefina en total?

Si Josefina paga con un billete de $200.00, ¿cuánto le dieron de cambio?

2. Para desayunar en la cafetería de la escuela, Francisco compró unas enchiladas que le costaron $17.50, un café de $4.25 y un pan de dulce de $3.75. ¿Cuánto pago?

Si pagó con un billete de $50.00, ¿cuánto le dieron de cambio?

3. Interpretación de información en pictogramas Otra forma de representar la información que obtenemos en una investigación, en una encuesta o en una secuencia experimental es el pictograma, es decir,

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MÓDULO 2

dibujos alusivos al tema donde cada imagen representa una cantidad determinada. Las diferencias en las cantidades también pueden indicarse por medio de los distintos tamaños de los dibujos. Ejemplo: Analiza el siguiente pictograma y responde a las preguntas. El centro de iniciación artística #1 ofrece 5 actividades dirigidas a jóvenes entre 15 y 20 años. La matrícula de cada actividad se presenta en la siguiente imagen.

¿Cuántos jóvenes estudian Literatura?

¿En qué actividad hay más estudiantes?

¿Cuál es el número total de estudiantes en el centro?

Solución: En la fila correspondiente a Literatura encontramos 6 figuras grandes. Dado que cada una representa 2 estudiantes, tenemos: 6 x 2 = 12 estudiantes. En la

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misma fila también hay una figura pequeña que representa 1 estudiante, es decir, 1 x 1 = 1 estudiante. Si sumamos los dos valores, obtendremos: 12+1=13.

13 estudiantes estudian Literatura. Si realizamos el procedimiento anterior para cada actividad, tendremos:

Danza: 9 x 2 = 18, 3 x 1 = 3; sumando, 18 +3 = 21 estudiantes. Teatro: 7 x 2 = 14, 4 x 1 = 4; sumando, 14+4 = 18 estudiantes. Canto: 7 x 2 = 14, 4 x 1 = 4; sumando, 14+4 = 18 estudiantes. Guitarra: 4 x 2 = 8, 8 x 1 = 8; sumando, 8+8 = 16 estudiantes. Literatura: 6 x 2 = 12, 1 x 1 = 1; sumando, 12+1 = 13 estudiantes.

Con estos resultados podemos ver que la actividad donde hay mayor número de estudiantes es danza, con 21. Si sumamos los números de estudiantes que obtuvimos en el inciso (b), tendremos: 21+18+18+16+13 = 86

El número total de estudiantes en el centro es 86.

Ejercicios 1. Para difundir el estudio de la música entre los niños, se crearon 5 núcleos en diferentes colonias de la ciudad donde se imparten clases de canto y de instrumentos musicales. El número de niños participantes se muestra en el siguiente pictograma.

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MÓDULO 2

¿Cuántos niños hay en el núcleo Cuauhtémoc?

¿Cuántos niños hay en total, en todos los núcleos?

2. El número de personas que participaron en los principales deportes de los X Juegos Delegacionales se muestra en el siguiente pictograma.

¿En qué deporte participaron menos personas?

¿Cuántas personas participaron en total?

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4. Representación de cantidades en notación científica

Cuando queremos escribir de forma abreviada números muy grandes o muy pequeños, utilizamos la notación científica. Para escribir un número en notación científica, debemos recordar que nuestro sistema de medidas es decimal, pues aumenta y disminuye de 10 en 10. Ejemplo: Escribir en notación científica: 567000000 Como no se ve el punto decimal, consideramos que éste se encuentra al final del número. Recorremos el punto decimal hasta encontrar la primera cifra significativa: 5.67 Contamos el número de cifras que recorrimos el punto decimal. En este caso, son 8 cifras. Expresamos el número mediante una multiplicación x10 elevado a un exponente que es igual al número de cifras que recorrimos: 5.67x108 En consecuencia, tenemos que: 567000000 = 5.67X108 Ejercicios: 1. Convierte las siguientes cantidades a notación científica. 258000000000 7896800000000000 54325000

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MÓDULO 2

2. Resuelve los siguientes ejercicios expresando el resultado en notación científica. Se estima que el radio de Plutón es de 1,160 kilómetros. Si un kilómetro equivale a 1,000 metros, ¿cuánto mide el radio de Plutón en metros?

La distancia entre el Sol y la Tierra es de 149,600,000 kilómetros. ¿Cuál es la distancia entre el Sol y la Tierra expresada en metros?

5. Cálculo del volumen de un cuerpo

Volumen: Es el espacio que ocupa un cuerpo. Se expresa en m 3, dm 3 o cm 3. Algunas fórmulas para calcular el volumen de ciertos cuerpos son: Cubo: V = l 3 (donde l=lado) Prisma: V = B x h (superficie de la base por la altura) Cilindro: V = B x h (superficie de la base, que es un círculo, por la altura) Pirámide: V = B x h/ 3 (superficie de la base por la altura entre 3) Ejemplo: Un cubo de madera tiene 2m por lado. ¿Cuál es su volumen?

28


Solución: Según la fórmula para el cálculo del volumen de un cubo, tenemos que: A= l 3 Si el valor de cada lado es de 2m, tendremos A = (2m)3 = 8m3 Nota: recordemos que elevar un número al cubo significa multiplicarlo 3 veces por sí mismo, es decir, 23 = 2x2x2 = 8. Ejercicios: 1. En la siguiente imagen se muestran dos cubos.

Con base en el volumen de cada uno, ¿cuántas veces más madera se requiere para construir el cubo grande? 2. Jesús quiere construir dos cubos de plástico de las medidas que se muestran en la imagen.

Con base en el volumen de cada uno, ¿cuántas veces más plástico se requiere para construir el cubo grande?

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MÓDULO 2

6. Localización de puntos en el plano cartesiano Dos ejes perpendiculares, X y Y, constituyen el plano cartesiano. Generalmente se asigna al eje horizontal la coordenada X y al vertical la coordenada Y. Ambos ejes tienen una escala que puede ser igual o diferente. Cuando queremos indicar algún punto en el plano cartesiano, requerimos de las dos coordenadas.

Ejemplo: Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano: (6,4)

(2,3)

(5,5)

Considerando que la primera coordenada corresponde al eje X y la segunda al eje Y, buscamos las dos coordenadas en el plano y el punto se localizará en el cruce de ambas.

30


Ejercicios: 1. A continuación tenemos el plano de distribución de los muebles de una casa. Si el sillón rectangular se encuentra en las coordenadas (3,1), ¿cuáles son las coordenadas de la mesa y del sillón hexagonal?

2. Indica cuáles son las coordenadas de los puntos colocados en el siguiente diagrama.

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MÓDULO 2

7. Interpretación de gráficas de barras En la siguiente gráfica se muestran las calificaciones que obtuvo Juan Carlos en los exámenes del mes de noviembre.

Con base en esta información, responde las siguientes preguntas: ¿En qué materias obtuvo la calificación más alta y más baja, respectivamente?

¿Cuál fue el promedio de sus calificaciones en el mes de noviembre? Solución: Para responder al primer inciso, observamos la altura de las barras. La de mayor altura nos indicará la calificación más alta y la de menor altura la más baja. Calificación más alta: Español (10) Calificación más baja: Ciencias Naturales (7) Para encontrar promedio de un conjunto de datos, debemos sumar sus valores y dividir el resultado entre el número de datos. Los valores que se presentan en nuestra gráfica son: Matemáticas 8, Español 10, Ciencias Sociales 9, Ciencias Naturales 7 y Taller 9.

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Si sumamos los valores, tendremos: 8+10+9+7+9 = 43. Como el número de materias es 5, dividimos: 43/5 = 8.6 El promedio de Juan Carlos en el mes de noviembre fue de 8.6. Ejercicios: 1. En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas de la Ciudad de México en una semana del mes de enero.

¿En qué días de la semana se registró la temperatura más alta y más baja, respectivamente? ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas en esa semana? 2. En la siguiente gráfica se muestra el número de parejas que asistió, durante la semana, a las pláticas de planificación familiar en el Centro de Orientación Familiar de la colonia Central.

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MÓDULO 2

¿Cuántas parejas asistieron el martes y el jueves, respectivamente? ¿Cuál es el promedio de las parejas que asistieron a las pláticas durante la semana?

8. Probabilidad

La probabilidad estudia fenómenos que se presentan al azar, es decir, fenómenos donde pueden suceder varias cosas; nos indica la posibilidad de que ocurra un evento. La idea básica de la probabilidad es la siguiente: si bajo las mismas condiciones un evento se repite varias veces, la probabilidad de que éste ocurra de nuevo es el resultado de dividir el número de veces que se ha presentado el evento entre el número total de veces que se repite el experimento. P = E/N P = Probabilidad E = Número de veces que se presenta el evento N = Número total de veces que se repite el experimento

Ejemplos: Si al lanzar 20 veces un dado cae 3 veces el número 6, podemos decir que la probabilidad de que vuelva a caer el número 6 es: Número de veces que se presenta el evento = 3 Número total de veces que se repite el experimento = 20 Si sustituimos los datos, tendremos: P = 3/20 = 0.15 = 15%

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Si en una fábrica de lápices 5 de cada 200 presentan algún defecto, ¿qué probabilidad hay de que al tomar uno al azar tenga algún defecto? P = 5/200 = 0.025 = 2.5% Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 3? P = 1/6 Este resultado se debe a que el dado tiene 6 caras y el 3 es una de ellas. Ejercicios: 1. Para obtener fondos para su viaje de prácticas de la escuela, Miguel y sus amigos están rifando una tableta. Si hay 100 boletos y Luis compró 3 de ellos, ¿cuál es su probabilidad de ganar la rifa? 2. María y Luisa juegan al juego de la Oca. Si Luisa tira dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que los dos caigan en 6? 3. En una caja con 40 latas de atún hay 5 cuya fecha de caducidad ha vencido. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tomar una lata al azar, ésta haya caducado?

9. Operaciones de números con signo negativo Para medir aumentos o disminuciones en temperaturas, audiencias, poder adquisitivo, etc., es necesario fijar una referencia con respecto al cero. Para ello usamos números con distintos signos que representamos en la recta numérica.

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MÓDULO 2

Ejemplos: Coloca los signos > o < entre los siguientes pares de números: 450

175

-8

4

-2

-8

Para el primer caso, tenemos que 450>175. Para el segundo caso, tenemos que -8<4. Para que te quede más claro, observa la posición de -8 en la recta numérica. Para el tercer caso, tenemos que -2>-8. Observa que -8 está más lejos del 0 en la recta numérica. El sábado pasado, mientras la temperatura en la ciudad de Santiago Papasquiaro era de -3°C, la de la Ciudad de México era de 21°C. ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre las dos ciudades? Solución: Para encontrar la diferencia de temperatura entre las dos ciudades, realizamos una resta entre las dos cantidades: 21°C-(-3°C) = 21°C+3°C = 24°C La diferencia de temperaturas es de 24°C. Ejercicios Coloca los signos: >, < o = entre los siguientes pares de números: -7

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-3

4

-2

-6

9

12

8



Interpretación de información en tablas 1.

Entre los 19 y los 20 años

16 cm

12 kg

2.

La prensa

8 diarios

218 diarios

Operaciones de números con decimales 1.

Josefina gastó en total $131.80

Le dieron de cambio $68.20

2.

Francisco gastó $25.50

Le dieron de cambio $24.50

Pictogramas 1.

200 niños

825 niños

2.

Gimnasia (140 personas)

930 personas

Notación científica 1.

2.58X1011

2.

Radio de Plutón = 1.16X106 m

7.8968X1015

5.4325X107 Distancia entre el sol y la Tierra = 1.496X1011m

Volumen 1. 27 veces

2. 8 veces

Plano cartesiano 1. Mesa (4,5), sillón hexagonal (7,3)

2. A (2,2), B (2,5), C (6,4), D (8,5)

Gráficas de barras 1.

La más alta el miércoles, la más baja el martes

Promedio: 16.2

2.

Martes (12 parejas), jueves (16 parejas)

Promedio: 15.6

Probabilidad 1. 3/100 = 0.03 = 3%

2. 1/36 = 0.0277 = 2.77%

3. 1/8 = 0.125 = 12.5%

Operaciones de números con signo negativo <

>

<

>

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MÓDULO 2

38

Matemáticas avanzadas

MÓDULO 3

Matemáticas avanzadas El presente módulo tiene como objetivo que resuelvas problemas acerca de operaciones y aplicaciones de los números con signo, que aprendas y uses el lenguaje algebraico, resuelvas ecuaciones con una y dos incógnitas y utilices el Teorema de Pitágoras.

1. Operaciones de números con signo. Ordena de mayor a menor los siguientes números. 45, -16, 4, 17, -6, 0, +14, +12, -22, -8. Recordando la recta numérica tendremos: 45, 17, +14, +12, 4, 0, -6, -8, -16, -22.

2. Suma y resta de números con signo. Para realizar la suma de dos números con el mismo signo, se suman los números y se deja el mismo signo. Ejemplos: (+8) + (+5) = +13 (-7) + (-4) = -11

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Para realizar la suma de dos números con signo diferente, al número de mayor valor absoluto, se le resta el número de menor valor absoluto y se deja el signo del número mayor. Ejemplos: (-8) + (14)= +6 (15) + (-29)= -14 Para restar números con signo, se cambia el signo del sustraendo y se procede como en la suma. Ejemplos: (-26) – (-8) = -26+8 = -18 (14) - (-8) = 14 + 8 = 22 Para multiplicar números con signo, se multiplican los números y para el signo resultante seguimos lo siguiente. (+)(+)=+,.(-)(-)=+, (+)(-)=-, (-)(+)=De manera semejante, para dividir números con signo, se dividen los números y para el signo resultante seguimos lo siguiente: +/+=+, -/-=+, +/-=-,-/+=Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran los precios de varias verduras en los meses de noviembre y diciembre, así como la variación de los mismos. Verdura

Costo noviembre

Costo diciembre

Variación

Nopales(kg)

$17

$20

$3

Lechuga(pieza)

$12

$10

-$2

Chícharos(kg)

$25

$25

$0

Papas(kg)

$24

$20

-$4

Cebolla(kg)

$15

$20

$5

Con base en la información anterior, determina cuál fue la variación total de los precios entre noviembre y diciembre. Solución: Para encontrar la variación total realizamos la suma de todas las variaciones encontradas, recordando el procedimiento para suma de números con signo.

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MÓDULO 3

3-2-4+5=2 La variación total es entonces de $2 Nota: Si observas: la variación la encontramos restando al segundo valor el primer valor: $20 - $17 = $3 Ejercicios: 1. En la siguiente tabla se muestra un cuadro comparativo de costos para

obtener el Reporte Especial de Crédito. Método de entrega

Buró de crédito

Círculo de crédito

Variación

Correo electrónico

$89.00

$82.50

-$6.50

Fax

$50.00

$82.20

$32.20

Centro de atención

$89.00

$82.20

-$6.80

Correo

$150.00

$182.20

$32.20

Mensajería

$240.50

$217.20

-$23.30

Con base en la información anterior determina la variación total de los precios. 2. En la siguiente tabla se muestran los precios por porción, en los meses de agosto y octubre de 2014, de algunos productos estudiados por la Procuraduría Federal del Consumidor. Producto

Mes de agosto

Mes de octubre

Variación

Cajeta (30g)

$6.80

$7.07

$0.27

Yoghurt (220g)

$5.50

$5.35

-$0.15

Barra de fibra (40g)

$22.00

$22.14

$0.14

Galletas integrales (10g)

$1.70

$1.60

-$0.10

Mermelada de fresa (17g)

$2.36

$2.40

$0.04

Con base en la información anterior, determina la variación total de los precios.

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3. Ubicación de puntos en el plano cartesiano a partir de sus coordenadas (x, y) Para ubicar un punto en el plano cartesiano, debemos considerar que el primer número representa la coordenada X, si es positivo irá hacia la derecha y si es negativo irá hacia la izquierda. El segundo número representa la coordenada Y, si es positivo irá hacia arriba y si es negativo irá hacia abajo.

Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano los puntos A (6, 5), B (-3, 4) C (-5, -2). Para ubicar el punto A observamos que la primera coordenada es X(+6) lo que significa que tenemos 6 unidades hacia la derecha y Y(+5) lo que significa que tenemos 5 unidades hacia arriba; el punto donde se cruzan las dos coordenadas será la ubicación del punto A. Seguimos el mismo procedimiento para los otros puntos.

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MÓDULO 3

Ejercicios: 1. En la siguiente imagen se muestra un plano cartesiano, indica cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C respectivamente.

2. En la siguiente imagen se muestra un plano cartesiano, indica cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C respectivamente.

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4. Expresiones algebraicas En álgebra se utilizan letras (literales) para indicar cantidades no conocidas (incógnitas), por lo que a expresiones como: 5b, 2x+3y, 4a2, 12 mx, se les conoce como expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas están formadas por: coeficiente (número por el que se multiplica la literal), literales, exponentes y signos de operación. Ejemplo:

8xy3

Coeficiente: 8 Literales: x y Exponente: 1, 3 Cuando dos expresiones algebraicas tienen las mismas literales y éstas están elevadas al mismo exponente, decimos que son términos semejantes. Cuando hay términos semejantes, estos se pueden simplificar realizando las operaciones correspondientes. Ejemplo: 4a y 7a son términos semejantes 6x2 y 9x2 son términos semejantes Cuando dos expresiones algebraicas no tienen las mismas literales ni los mismos exponentes no son términos semejantes y no se pueden simplificar. 4bx no es semejante a 6ax Ejemplos: Simplifica las siguientes expresiones algebraicas. 8b+12b+5b-4b-2b+5b=24b 4ax+3ax-9ax-7ax+2ax=-7ax -7bx+12bx-4ax+9bx-7ax=-11ax+14bx Ejercicios: Simplifica las expresiones.

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MÓDULO 3

3x2 +8x2 -5x2 = -5ax+4b+6ax-7b-2ax= 7xy-3ax+8xy-5ax-3xy= 6ax2 -4by+7ax2 +7by-5ax2 = 8ax2 +3ax2 -5ax2 = Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica damos valores a las literales y realizamos con ellos las operaciones. Ejemplos: Si x=4 y b=6 3x+8b-2x=3(4)+8(6)-2(4)=12+48-8=52 Si m=2 y l=5 5m2-6l+4m+2l= 5(2)2 -6(5)+4(2)+2(5)=5(4)-30+8+10=20-30+8+10=8

5. Sucesiones. Una sucesión es el conjunto de números uno después de otro; cada número es un término. La sucesión es creciente cuando va aumentando: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25,… y decreciente cuando va disminuyendo: 40, 35, 30, 25, 20, 15,… Para expresar de manera algebraica una sucesión se debe buscar la regularidad que hay en ella. Ejemplo: Si analizamos la siguiente sucesión: 1, 4, 7, 10, 13,… Encontramos que la regularidad entre número y número es 3 por lo que podríamos expresarla como 3n donde n es un número natural. Realizando las multiplicaciones tendríamos: 3(1)=3, 3(2)=6, 3(3)=9, 3(4)=12, si relacionamos los resultados con los números de nuestra sucesión veremos que para que fueran iguales, haría falta restar 2, entonces nuestra expresión sería: 3n-2, por consiguiente.

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3(1)-2=3-2=1, 3(2)-2=6-2=4, 3(3)-2=9-2=7, 3(4)-2=12-2=10, 3(5)-2=15-2=13… Si nos pidiesen calcular el número en la posición 20 de la sucesión. Utilizando la expresión encontrada (3n-2) tendríamos: 3(20)-2=60-2=58, el número en la posición 20 de la sucesión sería: 58. Ejercicios: Escribe los términos faltantes en las siguientes sucesiones: 2, 4, 6, 8, __, __, 14, 16… 1, 3, 6, 9, 12, 15, __, __. 1, 4, 9, 16, 25, __, __. 1, 4, 16, 64, 256, __.

6. Ecuaciones de primer grado. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Hablamos de ecuaciones de primer grado cuando nuestras literales están elevadas al exponente 1 Ejemplos:

6x=72

x representa la incógnita a resolver. Como vemos en la ecuación anterior, la igualdad está compuesta por dos miembros, uno a la izquierda del signo = (primer miembro) y otro a la derecha (segundo miembro). Propiedades de la igualdad Si se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad, ésta no se altera. Ejemplos:

20+15=30+5

Si sumamos 13 a ambos miembros: 13+20+15=30+5+13 48=48

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MÓDULO 3

Si restamos 8 a ambos miembros: 20+15-8=30+5-8 27=27 Si se multiplican o dividen por el mismo número ambos miembros de la igualdad, ésta no se altera. Ejemplos:

7+8=5+10

Si multiplicamos por 5 ambos miembros: 5(7+8)=5(5+10) 5(15)=5(15) 75=75 Si dividimos entre 3 ambos miembros: 7+8 3 15 3

5+10 3 15 = 3

=

5=5

Ejemplos: En la librería “El Parnaso”, Carlos compró el libro del curso de Filosofía que necesitaba para la escuela, el precio del libro era de $164.00, al pagar en la caja con un billete de $200.00, el cajero le pidió $4.00 más pues no tenía cambio, si Carlos se los dio ¿Cuánto debe regresarle el cajero? Solución: Para plantear una ecuación y resolver el problema, debemos primero leer el problema y analizar los datos. Determinamos cuál es la incógnita del problema y la representamos con una letra: Sea x la cantidad que debe regresarle el cajero. Planteamos una ecuación que nos permita relacionar los datos que tenemos con nuestra incógnita. Como primer miembro, el dinero entregado por Carlos al cajero: $200.00+$4.00 Como segundo miembro, el precio de los zapatos más lo que debe regresarle el cajero (que representamos con la letra x): $164.00+x Escribimos la ecuación completa: 200+4=164+x

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Realizamos las operaciones indicadas: 200+4=204 204=164+x Ahora tenemos que despejar la incógnita, es decir, dejarla con las siguientes características: Sola, positiva y en el numerador. Podemos hacerlo de dos formas: Considerando las propiedades de la igualdad, es decir, recordando que debemos realizar las mismas operaciones con el mismo número en ambos miembros de la igualdad para que ésta no se altere. 204=164+x Si restamos 164 a ambos miembros tendremos: 204 -164=164-164+x 40=0+x Con lo que tendremos: 40=x El cajero debe regresarle a Carlos $40.00 Una forma práctica de despejar una literal es: considerar que lo que está de un lado de la igualdad, pasa al otro lado realizando la operación contraria: Si está sumando pasa restando. Si está restando pasa sumando. Si está multiplicando pasa dividiendo. Si está dividiendo pasa multiplicando. Si está como potencia pasa como raíz. Si está como raíz pasa como potencia Tomando la ecuación:

204=164+x 164 que está sumando en el segundo miembro, pasará al primer miembro restando 204-164=x 40=x Obtenemos el mismo resultado. Puedes optar por el método que te resulte más fácil y conveniente.

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MÓDULO 3

Resuelve las siguientes ecuaciones: x-45=325 74-c=36 x- 45=325 Pasamos 45 que está restando en el primer miembro, sumando al segundo miembro: X=325+45 X=370 74-c=36 74=36+c 74-36=c 38=c Francisco gana el doble de su primo Luis, esta semana entre los dos ganaron $ 4,500.00. ¿Cuánto gana cada uno? Solución: Sea x lo que gana Luis. Entonces, 2x es la cantidad que gana Francisco. X+2x=4500 Resolviendo: 3x=4500 El 3 que está multiplicando pasará dividiendo: X = 1500 Por tanto, Luis gana $1,500 y Francisco $3,000. Ejercicios: 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: 6d=418 5y=225 m 8 =8 2. María Luisa fue a la juguetería y realizó compras por $367.00 y pagó con un billete de $500.00. Como no tenía cambio, la cajera le pidió que le diera $7.00 más. ¿Cuánto le debe dar de cambio la cajera?

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3. Mauricio trabaja en una tienda de camisas y tiene un salario fijo de $950.00 semanales, le dan una comisión de $15.00 por cada camisa que vende. La semana pasada cobró $1,400.00. ¿Cuántas camisas vendió Mauricio la semana pasada?

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. En la granja de Lupita hay 40 animales entre cerdos y gallinas, si el número total de patas es de 100. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay en la granja? Solución: Leyendo con atención el problema observamos que tenemos dos incógnitas: Número de cerdos y número de gallinas. Designamos una literal para cada una. Sea x el número de cerdos. Sea y el número de gallinas.

Escribimos una ecuación para el número total de animales: x + y=40 Sabemos que los cerdos tienen 4 patas entonces: patas de cerdos=4x Sabemos que las gallinas tienen 2 patas, entonces: patas de gallinas=2y Escribimos una ecuación para el número de patas: 4x + 2y=100

Tendremos entonces dos ecuaciones: x + y=40 (1) 4x + 2y=100 (2) Para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas existen diversos métodos: sustitución, suma o resta, igualación, determinantes o gráfica. Método de sustitución: Despejamos x de la ecuación (1): x=40-y Sustituimos el valor de x en la ecuación (2)

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MÓDULO 3

4(40-y)+2y=100 Realizando las operaciones: 160–4y+2y=100 160–2y=100 160–100=2y 60=2y 60 2 =y 30=y Sustituimos el valor de y en x = 40-y

x=40-30=10

Tendremos entonces que en la granja hay 10 cerdos y 30 gallinas. Método de suma o resta x + y=40 (1) 4x+2y=100 (2) Seleccionamos los coeficientes de una de las literales y multiplicamos las ecuaciones por el coeficiente contrario. Eligiendo los coeficientes de y (1, 2), multiplicamos la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por 1 2x+2y=80 (1) 4x+2y=100 (2) Restamos la ecuación 2 de la ecuación 1: 2x+2y=80 –4x–2y=–100 ___________ –2x+0=–20 Despejando x: X= -20 -2 X=10 Despejando y en (1): x + y=40 de donde sustituyendo x=10:

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y=40-x y=40–10=30 y=30


Tendremos igualmente 10 cerdos y 30 gallinas. Puedes emplear el método que más se te facilite. Ejercicios: 1. La entrada al cine cuesta $60.00 para adultos y $40.00 para niños, si a la sala 6 entraron 90 personas y la recaudación fue de $ 4,600.00 ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron? 2. En la panadería, Lucía compró 40 piezas de pan, si los bolillos cuestan $2.00 y cada pieza de pan de dulce cuesta $5.00 ¿Cuántas piezas de cada uno compró si pagó $140.00?

3. En la barata de fin de año, Gerardo compró 15 artículos entre pantalones y camisas si pagó $4,000.00 en total y cada pantalón le costó $300.00 y cada camisa $200.00 ¿Cuántas camisas y cuántos pantalones compró?

7. Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo (debe tener un ángulo de 90° como regla general). “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Llamamos catetos a cada uno de los lados que forman el ángulo recto e hipotenusa al lado mayor que une los catetos.

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MÓDULO 3

Ejemplo: Para reforzar un muro de contención se le puso una viga metálica como se muestra en la figura ¿Cuál es la longitud de dicha viga?

Solución: Utilizando el Teorema de Pitágoras, tendremos: a= 5m, b= 7m, c=? c2 = a2 + b2 Despejando c:

c = a2 + b2

Sustituyendo los datos:

c = (5m) 2 + (7m)2 c = (25m)2 + (49m)2

c = 74m2 c = 8.6m

La viga metálica tiene una longitud de 8.6m

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Ejercicios: 1. La pared de la recámara de Mario tiene forma rectangular y quiere pintarla formando dos triángulos separados por una franja diagonal de color rojo. Las dimensiones de la pared se muestran en la siguiente imagen ¿Cuál es la longitud de la franja roja?

2. Para reforzar el portón de la escuela se le colocarán dos soleras diagonales, las dimensiones del portón se muestran en la imagen ¿Cuál debe ser la longitud de cada solera?

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MÓDULO 3


Operaciones de números con signo. 1. Variación total: $27.80 2. Variación total: $0.20 Ubicación de puntos en el plano cartesiano. 1.

(3,-2)

(-5,5)

(-3,-5)

2.

(4,5)

(-2,4)

(-4,-3)

Expresiones Algebraicas. 6x2

–ax-3b

12xy-8ax

8ax2 +3by

Sucesiones. 10, 12

18, 21

36, 49

1024

Ecuaciones de Primer grado. 1.

d=69.66

y=45

2. $140.00 3. 30 camisas Ecuaciones con dos incógnitas. 1. 40 niños y 50 adultos 2. 20 bolillos y 20 piezas de dulce 3. 10 pantalones y 5 camisas Teorema de Pitágoras. 1. 5m de longitud 2. 5.38m de longitud

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m=64

6ax2

Mate en secundaria

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