MATCHED FILTER Dosen Pengampu Pengampu : Eko Murdyantoro, Murdyantoro, S.T., M.T.
Disusun untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Sistem Komunikasi
Oleh : Cahyo Purnomo H1C010059
KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK JURUSAN TEKNIK TEKNIK ELEKTRO PURBALINGGA 2013
MATCHED FILTER
Dalam pemrosesan sinyal , matched filter (awalnya dikenal sebagai north filter) yang diperoleh dengan mengkorelasikan sinyal atau template, dengan sinyal yang tidak diketahui untuk mendeteksi keberadaan template dalam sinyal yang tidak diketahui. Ini setara dengan konvolusi sinyal yang tidak diketahui dengan versi time-reversed yang terkonjugasi dari template. matched filter adalah filter optimal yang linear untuk memaksimalkan signal to noise ratio (SNR) di hadapan derau aditif stokastik. matched filter biasanya digunakan dalam radar, dimana sinyal yang dikenal dikirim keluar, dan sinyal yang dipantulkan diperiksa untuk unsurunsur umum dari sinyal out-going. kompresi Pulsa adalah contoh dari matched filter. Disebut demikian karena respon impuls cocok dengan sinyal input pulsa. Matched filter dua-dimensi yang umum digunakan dalam pengolahan citra , misalnya, untuk meningkatkan SNR untuk Xray. TURUNAN DARI IMPULS RESPON DARI MATCHED FILTER
Bagian berikut turunan matched filter pada sistem waktu diskrit. Turunan untuk sistem waktu kontinu mirip dengan sistem waktu diskrit hanya saja penjumlahan diganti dengan integral. Matched filter adalah filter linear
, Yang memaksimalkan SNR dari output.
Meskipun kita paling sering mengekspresikan filter sebagai respon impuls dari sistem konvolusi, seperti di atas (lihat teori sistem LTI ), cara termudah adalah untuk berpikir tentang matched filter dalam konteks inner product , yang akan kita lihat segera. Kita bisa memperoleh filter linear yang memaksimalkan keluaran signal-to-noise ratio dengan menerapkan argumen geometris. Intuisi di belakang matched filter bergantung pada korelasi sinyal yang diterima (vektor) dengan filter (vektor lain) yang sejajar dengan sinyal yang berarti memaksimalkan hasil kali dalam. Ketika kita mempertimbangkan derau aditif stokastik, kita memiliki tantangan tambahan meminimalkan derau pada output dengan memilih filter yang ortogonal terhadap derau.
Mari kita secara formal mendefinisikan masalah. Kita memaksimalkan output signal-tonoise ratio, di mana output adalah produk dalam filter dan sinyal diamati
.
Sinyal diamati kami terdiri dari sinyal yang diinginkan
:
dan derau aditif
Mari kita mendefinisikan matriks kovarians dari derau, mengingatkan diri kita bahwa matriks ini memiliki simetri Hermitian, sebuah properti yang akan menjadi berguna dalam derivasi:
H
dimana V menunjukkan transpos konjugat dari V, dan E berarti harapan. Jika output adalah y maka produk dalam filter dan sinyal adalah.
Kita sekarang mendefinisikan signal-to-noise ratio, yang merupakan perbandingan dari sinyal informasi dengan derau yang dialami dan berikut persamaannya.
Dengan mensubtitusi nilai Y maka:
Dengan memaksimalkan kuantiti dan memilih sebelumnya maka didapatkan.
Sekarang,
menjadi
sehingga penyebut diperluas dari fungsi
Kami akan menulis ulang persamaan ini dengan beberapa manipulasi matriks. Alasannya untuk mengukur tampaknya kontraproduktif dan akan menjadi jelas segera. Pemanfaatan simetri Hermitian dari matriks kovarians
, Kita dapat menulis
Kami ingin menemukan batas atas pada ekspresi ini. Untuk melakukannya, pertama kita mengenali bentuk ketidaksamaan Cauchy-Schwarz :
yang berarti bahwa kuadrat dari produk kali dalam dari dua vektor hanya dapat sebagai produk dari produk dalam individu vektor. Konsep ini kembali ke intuisi di belakang matched filter. Batas atas ini dicapai ketika dua vektor kami dengan mengekspresikan batas atas pada
dan
adalah paralel. Kami melanjutkan derivasi mengingat ketimpangan geometris di atas
maka:
Dengan memanipulasi matriks kita melihat bahwa ekspresi untuk batas atas dapat sangat disederhanakan.
Kita bisa mencapai batas atas jika kita memilih,
dimana α adalah bilangan real yang berubah-ubah. Untuk memverifikasi ini, kita subtitusi ke dalam persamaan output
.
Dengan demikian, secara optimal matched filter adalah
Kita sering memilih untuk menormalkan nilai yang diharapkan dari kekuatan filter karena hubungan output dan derau. Artinya, kita membatasi
Kendala ini menyiratkan nilai
, sehingga:
dan
Sehingga didapat filter ternormalisasi,
Jika kita peduli untuk menulis respon impuls filter untuk konvolusi sistem, itu hanya kompleks konjugat time reverse dari
.
Meskipun kita telah menurunkan matched filter dalam waktu diskrit, kita dapat memperluas konsep untuk sistem waktu kontinyu jika kita mengganti fungsi autokorelasi dari derau, dengan asumsi sinyal kontinyu filter kontinyu
dengan waktu kontinyu
, Derau kontinyu
, Dan
.
TURUNAN ALTERNATIF DARI MATCHED FILTER
Kita
dapat
memecahkan
untuk
matched
filter
dengan
memecahkan
masalah
maksimalisasi dengan Lagrangian. Sekali lagi, upaya matched filter untuk memaksimalkan output signal-to-noise ratio (
) dari sinyal deterministik difilter dalam derau stokastik
aditif. Urutan yang diamati adalah.
dengan matriks kovarians dari derau,
Sinyal-to-noise ratio adalah
Mengevaluasi ekspresi dalam pembilang, kita memiliki
dan penyebut,
Signal-to-noise ratio menjadi
Jika sekarang kita membatasi penyebut menjadi 1, masalah memaksimalkan dikurangi untuk memaksimalkan pembilang. Kita kemudian dapat merumuskan masalah menggunakan multiplier Lagrange :
yang kita kenal sebagai masalah eigenvalue umum
Karena
adalah unit rank, hanya memiliki satu eigenvalue nol. Hal ini dapat
ditunjukkan bahwa eigenvalue ini sama dengan
menghasilkan optimal matched filter berikut
Ini adalah hasil yang sama ditemukan dalam bagian sebelumnya. INTERPRETASI DALAM DOMAIN FREKUENSI
Bila dilihat dalam domain frekuensi, jelas bahwa matched filter menerapkan bobot terbesar untuk komponen spektral yang memiliki terbesar signal-to-noise ratio. Meskipun secara umum ini memerlukan respon frekuensi non-datar, distorsi terkait tidak signifikan dalam situasi seperti radar dan komunikasi digital , di mana bentuk gelombang aslinya diketahui dan tujuannya adalah untuk mendeteksi keberadaan sinyal ini terhadap derau latar belakang.
CONTOH MATCHED FILTER DI RADAR DAN SONAR
Matched filter sering digunakan dalam deteksi sinyal (lihat teori deteksi). Sebagai contoh, misalkan kita ingin menilai jarak obyek dengan memantulkan sinyal dari itu. Kita dapat memilih untuk mengirimkan sinyal sinusoida murni pada 1 Hz. Kami berasumsi bahwa sinyal yang diterima kami adalah bentuk dilemahkan dan fasenya bergeser dari sinyal yang ditransmisikan dengan suara dikirimkan. Untuk menilai jarak dari objek, kita mengkorelasikan sinyal yang diterima dengan matched filter. Bila output dari sistem matched filter melebihi batas tertentu, kami menyimpulkan dengan probabilitas tinggi bahwa sinyal yang diterima telah terpantul obyek. Dengan menggunakan kecepatan propagasi dan waktu sinyal pantulan pertama yang kita amati, kita dapat memperkirakan jarak objek. Jika kita mengubah bentuk pulsa dengan cara yang dirancang khusus, signal-to-noise ratio dan resolusi jarak dapat membaik setelah dimatched filter. teknik ini dikenal sebagai kompresi pulsa . Selain itu, matched filter dapat digunakan dalam masalah estimasi parameter. Untuk kembali ke contoh kita sebelumnya, kita mungkin keinginan untuk memperkirakan kecepatan obyek, di samping posisinya. Dengan mengeksploitasi efek Doppler , kami ingin memperkirakan frekuensi sinyal yang diterima. Untuk melakukannya, kita dapat menghubungkan sinyal yang diterima dengan beberapa matched filter sinusoida pada frekuensi yang berbeda-beda. Matched filter dengan output tertinggi akan mengungkapkan, dengan probabilitas tinggi, frekuensi sinyal yang
dipantulkan
membantu
kita
menentukan
kecepatan
objek.
Metode
ini,
kenyataannyaadalah versi sederhana dari Diskrit Fourier Transfrom (DFT). DFT mengambil Masukan berharga yang kompleks dan menghubungkannya dengan dengan eksponensial kompleks di
pada -
filter yang cocok, sesuai
frekuensi yang berbeda untuk menghasilkan
bilangan
kompleks sesuai dengan amplitudo relatif dan fase komponen sinusoidal. CONTOH MATCHED FILTER DALAM KOMUNIKASI DIGITAL
Matched filter juga digunakan dalam komunikasi. Dalam konteks sistem komunikasi yang mengirimkan pesan biner dari pemancar ke penerima di saluran yang berderau, matched filter dapat digunakan untuk mendeteksi pulsa ditransmisikan dalam sinyal+derau yang diterima.
Bayangkan kita ingin mengirim urutan "0101100100" dikodekan dalam non polar Nonreturn-to-zero (NRZ) melalui saluran tertentu. Secara matematis, urutan dalam kode NRZ dapat digambarkan sebagai urutan pulsa satuan atau bergeser fungsi rect , setiap pulsa yang ditimbang dengan +1 jika bit adalah "1" dan oleh 0 jika bit adalah "0". Secara formal, faktor skala untuk
Kita dapat mewakili pesan kita,
dimana
bit,
, Sebagai jumlah unit pulsa bergeser:
adalah panjang waktu satu bit.
Dengan demikian, sinyal yang akan dikirim oleh pemancar adalah
Model saluran berderau adalah kanal AWGN, Gaussian white noise ditambahkan ke sinyal. Pada akhir penerima, untuk Signal-to-noise ratio dari 3dB, ini mungkin terlihat seperti:
Sebuah pandangan pertama tidak akan mengungkapkan urutan ditransmisikan asli. Ada daya tinggi derau relatif terhadap kekuatan sinyal yang diinginkan (misalnya, ada yang rendah signal-to-noise ratio). Jika penerima menerima sampel sinyal pada saat-saat yang tepat maka pesan biner yang dihasilkan mungkin berbeda dengan yang ditransmisikan asli. Untuk meningkatkan signal-to-noise ratio, kami melewati sinyal yang diterima melalui matched filter. Dalam hal ini, filter harus disesuaikan dengan pulsa NRZ (setara dengan "1" dikodekan dalam kode NRZ). Tepatnya, respon impuls ideal cocok filter, dengan asumsi derau putih harus dalamskala time-reversed complex-conjugated dari sinyal yang kita cari. Kami memilih
Dalam hal ini, karena simetri, time-reversed complex-conjugated Memungkinkan kita untuk memanggil
sebenarnya
,
respon impuls dari sistem konvolusi matched filter
kita.
Setelah convolving dengan matched filter benar, sinyal yang dihasilkan,
adalah,
dimana menunjukkan konvolusi.
Sinyal yang sekarang dapat dengan aman di sampel oleh penerima dan dibandingkan dengan threshold yang tepat, menghasilkan interpretasi yang benar dari pesan biner.
DAFTAR PUSTAKA 1. Melvin, Willian L. "A STAP Overview." IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine 19 (1) (January 2004): 19-35.
2. Turin, George L. "An introduction to matched filters." IRE Transactions on Information Theory 6 (3) (June 1960): 311- 329.. 3. Fish A., Gurevich S., Hadani R., Sayeed A., and Schwartz O. Computing the Matched Filter in Linear Time (December 2011). arXiv:1112.4883. Arxiv.
