KALMAN FILTER

KALMAN FILTER
2.9 Filter Digital
Filter digital adalah semua filter elektronik yang bekerja dengan menerapkan operasi matematika digital atau algoritma pada suatu pemrosesan sinyal. Salah satu batasan utama pada filter digital adalah dalam hal keterbatasan kecepatan pemrosesan/waktu komputasi yang sangat tergantung dengan kemampuan mikrokontroler atau komputer yang digunakan.

2.10 State of the art Kalman Filter
Kalman filter banyak digunakan dalam berbagai aplikasi. Fungsi dari kalman filter itu sendiri adalah sebagai estimator yang handal dalam berbagai sistem yang digunakan. Modelnya yang sederhana sehingga mudah diterapkan dalam berbagai sistem. Dengan memperhitungkan noise yang diestimasi pada seluruh cangkupan frekuensi, sehingga kalman filter langsung dapat digunakan sebagai estimator tanpa perlu memperhitungkan noise yang terjadi pada sistem secara detail terlebih dahulu. Kalman filter dapat digunakan untuk mengestimasi sistem yang linear. Dalam perkembangannya, untuk sistem yang lebih kompleks dengan persamaan matematis yang linier, kalman filterr dimodifikasi agar dapat mengestimasi sistem yang non linier, modifikasi kalman filter ini ada yang dinamakan extended kalman filter (EKF), franctional kalman filter (FKF), dan juga uncented kalman filter (UCF).
Berbagai aplikasi kalman filter dapat diterapkan dalam berbagai sistem. Ditahun 2003 John Valasek dan Wei Chan, menggunakan observer kalman filter untuk mengidentifikasi secara online sistem pesawat. Masalah sistem identifikasi online muncul dari keakurasian, locally linier, serta model dinamik pesawat dari nonlinier pesawat. Metode identifikasi kalma ini cocok untuk mengidentifikasi secara online sistem pesawat dari model pesawat locally linier dan secara umum cukup intensif mengendalikan intensitas white noise sensor Gaussian dan untuk menyalakan intensitas hembusan diskrit.
Di tahun yang sama, Zhuang Xu dan M.F.Rahman menggunakan extended kalman filter(EKF) untuk mengestimasi kecepatan rotor pada saat kecepatan yang sangat rendah. Untuk dapat mengestimasi pada kecepatan yang sangat rendah diperlukan sensitivitas yang tinggi dari estimator untuk model nonlinier, gangguan dan model parameter detuning. Telah dilakukan riset mengenai prinsip dari direct torque control (DTC) diimplementasikan pada interior permanent magnet(IPM). Ditahun sebelumnya telah dilakukan riset mengenai IPM namun belum dapat mengestimasi kecepatan rotor pada saat kecepatan yang sangat rendah.
Di tahun 2003 juga kalman filter dipakai oleh D. Loebis,R. Sutton, J. Chudley, dan W. Naeem untuk melakukan riset mengenai penerapan sistem navigasi cerdas, didasarkan pada penggunaan yang terintegrasi dari global positioning sistem(GPS) dan beberapa sistem navigasi inersia (inertia system navigation/INS) sensor, untuk aplikasi kendaraan otonom dibawah air(AUV). Dalam riset SKF dan EKF digunakan untuk memadukan data dari sensor INS dan untuk mengintegrasikannya dengan data GPS. Selain itu juga digunakan teknik logika fuzzy untuk adaptasi dari asumsi statistic awal dari keduanya(SKF dan EKF), disebabkan oleh kemungkinan perubahan karakteristik noise sensor. Setelah itu dilakukan estimasi, perbaikan estimasi dari SKF dan EKF dan meningkatkan akurasi keseluruhan dari integrasi GPS.
Pada tahun 2004, Pratap R, melakukan penelitian mengenai extended kalman filter yang digunakan untuk menyaring masuknya noise ke dalam reactor biologis, penelitian dilakukan karena mikroba yang ada dalam reactor biologis bisa terpengaruh oleh noise apabila noise ini tidak difilter. Noise ini disebabkan oleh dua sumber yang mempengaruhi kinerja yaitu noise pengukuran dari sinyal sensor(pH, suhu, kecepatan agitasi, laju aliran, dan lain-lainya) dan noise dari lingkungan. Peneliti sebelumnya dilakukan oleh M. L. Shuler dan G. Liden menunjukan bahwa kompleksitas dan efek Ph berpotensi berbahaya pada perilaku mikroba, karena efek ekonomis, kinetic, maupun benefit. Dari hasil riset EKF telah terbukti dapat menyelamatkan osilasi periodic yang stabil yang telah terdistorsi oleh noise, serta EKF telah terbukti efektif dalam menyaring noise dari aliran tersebut bahwa sekitar osilasi beban noise dapat dipulihkan.
Di tahun 2005, Kalman filter digunakan untuk mengestimasi suhu internal, dengan menggunakan kalman filter, diterapkan pada sistm hibrida linier oleh L. Boillereaux, H. Fibrianto, dan J. M. Flaus. Metode ini diterapkan karena keterbatasan penggunaan sensor invasive, sehingga untuk memperkirakan suhu internal dari makanan dapat diperoleh dengan pengukuran di permukaan.
Setahun kemudian, Jose dan Wan Yu membandingkan algoritma pembelajaran normal dengan kalman filter untuk mengidentifikasi sistem non linier dimana modifikasi dead-zone robust diterapkan pada kalman filter. Kalman filter diterapkan untuk melatih state spae jaringan saraf tiruan berulang untuk identifikasi sistem nonlinier. Diman riset serupa telah dilakukan pada tahun-tahun sebelumnya yaitu mengenai analisa konvergensi neural network, beberapa teknik modifikasi robust pada algoritma least square, analisa kestabilan dan lain-lainya. Dari hasil penelitian algoritma kalman filter memiliki beberapa sifat lebih baik, seperti konvergensi yang lebih cepat, meskipun algoritma ini lebih kompleks dan sensitive terhadap sifat noise. Serta metode Lyapunov yang digunakan untuk membuktikan bahwa pelatihan kalman filter stabil.
Tahun 2007 Mickael Hilairet, Francois Auger, dan Eric Berthelot memodifikasi kalman filter, yang digunakan untuk mengestimasi fluks rotor dan kecepatan pada motor induksi. Estimasi ini diperlukan untuk menentukan kecepatan dan posisi rotor dari tegangan dan arus stator apabila tanpa menggunakan sensor kecepatan dan sensor posisi. Estimator kalman filter modifikasi ini dapat mengurangi jmlah aritmatika sampai 25% daripada menggunakan kalman filter biasa. Serta estimator ini memperbolehkan sampling rate yang lebih tinggi menggunakan sebuah mikrokontroler yang lebih murah.
Tahun 2008 X. Luoa , I, M, Moroz, memodifikasi skema ensemble kalman filter(EnKF) menggunakan konsep uncented transform yang merupakan sebuah konsep metode baru untuk transformasi nonlinier dari mean dank ovarian dalam filter dan estimator. Hal ini disebabkan oleh adanya eror distribusi analisa simetri( tidak membutuhkan Gaussian) apabila menggunakan EnKF biasa menghasilkan estimasi yang kurang akurat. Metode EnKF ini terbukti dapat memberikan estimasi yang akurat.
Murat Barut pada tahun 2009 juga menerapkan extended kalman filter pada penelitiannya. Tujuan penelitiannya yaitu mengestimasi secara online masalah yang berkaitan dengan ketidakpastian dalam stator rotor dan resistensi melekat dengan control sensorless dengan efisiensi motor induksi(IM) yang tinggi dalam rentang kecepatan yang luas serta memperluas jumlah state yang terbatas dan estimasi parameter menggunakan algoritma extended kalman filter tunggal dengan eksekusi berturut-turut dari dua input yang beasal dari dua model IM berdasarkan resistansi stator dan estimator resistanso rotor. Penelitian dilakukan karena adanya ketidakpastian estimasi state parameter elektrik dan mekanik dari motor induksi serta suhu dan frekuensi bergantung pada variansi resistansi rotor dan stator yang terdapat diseluruh bagian penting dari ketidakpastian elektrik dalam sebuah motor induksi selama torsi beban dan friksi menentukan mekanik utamanya.
Pada tahun 2011 dilakukan uji keakurasian tracking dan teknik estimasi untuk besaran, frekuensi dan fasa tegangan kedipan(flicker) menggunakan kalman filter, dilakukan oleh H. M. AL-Hamadi, dimana menggunakan extended state space untuk mengestimasi parameter. Dengan menggunakan algoritma kalman filter, konvergensi dari estimasi parameter yang didapat, nilai parameter estimasinya sangat dekat dengan nilai aslinya.
Secara umum, kalman filter banyak digunakan sebagai estimator dalam berbagai permasalahan, karena kalman filter sendiri memiliki keunggulan yaitu kemampuannya mengestimasi state pada waktu lampau, sekarang, maupun diwaktu mendatang, bahkan ketika karakteristik spesifik dari model yang akan diestimasi tidak diketahui.

2.10.1 Algoritma Kalman Filter
Kalman filter merupakan sebuah filter yang efisien dan mengestimasi state pada linear dynamic system dari rentetan pengukuran noise. Disebut recursive sebab untuk menghitung state estimasi saat ini,hanya membutuhkan sata state estimasi satu waktu sebelumnya dan data pengukuran saat ini. Teknik filter ini dinamakan berdasarkan penemunya, Rudolf E. Kalman. Kalman filter sangat berguna terutama dalam navigasi dan lingkungan dengan Gaussian noise. Pada teori terkendali, kalman filter merupakan sebuah algoritma atau kumpulan persamaan matematika yang menghasilkan sebuah perhitungan yang efisien untuk mengestimasi state dari proses, dengan tujuan meminalkan noise atau variansi terhadap referensi lain. Filter ini sangat bagus dalam beberapa aspek: mendukung estimasi state sebelumnya,saat ini dan berikutnya. Bahkan hal ini tetap dapat dilakukan meskipun model sistem yang sebenarnya tidak diketahu. Kalman filter disebut juga sebuah estimator stokastik yang optimal.
Kalman Filter (KF) adalah suatu metode estimasi variabel keadaan dari sistem dinamik stokastik linear diskrit yang meminimumkan kovariansi error estimasi. Metode KF pertama kali diperkenalkan oleh Rudolph E. Kalman pada tahun 1960 lewat papernya yang terkenal tentang suatu penyelesaian rekursif pada masalah filtering data diskrit yang linear (Welch & Bishop, 2006). KF merupakan suatu pendekatan teknis untuk menaksir fungsi parameter dalam peramalan deret berkala (time series). Keunggulan metode KF adalah kemampuannya dalam mengestimasi suatu keadaan berdasarkan data yang minim. Data minim yang dimaksud adalah data pengukuran (alat ukur) karena KF merupakan suatu metode yang menggabungkan model dan pengukuran. Data pengukuran terbaru menjadi bagian penting dari algoritma KF karena data mutakhir akan berguna untuk mengoreksi hasil prediksi, sehingga hasil estimasinya selalu mendekati kondisi yang sebenarnya (Masduqi, 2008).

Bentuk umum dinamika stokastik linier diskrit adalah:
Xk+1 = AkXk + Bk Uk + Wk (2.1)
Dengan pengukuran Zk ƦP yang memenuhi
Zk = HkXk + Vk (2.2)
X0 ~ N (X0 , Px0); Wk ~N(0, Qk); Vk ~N (0,Rk) (2.3 )
Dengan :
X0 = inisial dari sistem,
Xk+1 = variable keadaan pada waktu k+1 dan berdimensi,
Xk = variable keadaan pada waktu k yang nilai estimasi awalnya X0 dan kovariansi awal Px0, Xk Rn
Uk = vector masukan deteministik,pada waktu k,Uk Rn
Wk = noise pada sistem dengan mean Wk = 0 dengan kovariansi Qk,
Zk = variabel pengukuran Zk Rp
Vk = noise pada pengukuran dengan mean Vk = 0 dengan kovariansi Rk
Ak,Bk,Hk = matriks-matriks dengan nilai elemen-elemennya adalah koefisien
variabel masing-masing.

Variabel Wk ~N(0, Qk) dan Vk ~N (0,Rk) ini diasumsikan white (berdistribusi normal dengan mean 0), tidak berkorelasi satu sama lain maupun dengan nilai estimasi awal X0 Proses estimasi KF dilakukan dengan dua tahapan, yaitu dengan cara memprediksi variabel keadaan berdasarkan sistem dinamik yang disebut tahap prediksi (time update) dan selanjutnya tahap koreksi (measurement update) terhadap data-data pengukuran untuk memperbaiki hasil estimasi.Tahap prediksi dipengaruhi oleh dinamika sistem dengan memprediksi variabel keadaan dengan menggunakan persamaan estimasi variabel keadaan dan tingkat akurasinya dihitung menggunakan persamaan kovariansi error. Pada tahap koreksi hasil estimasi variabel keadaan yang diperoleh pada tahap prediksi dikoreksi menggunakan model pengukuran. Salah satu bagian dari tahap ini yaitu menentukan matriks Kalman Gain yang digunakan untuk meminimumkan kovariansi error. Tahap prediksi dan koreksi dilakukan secara rekursif dengan cara meminimumkan kovariansi error estimasi (Xk – X̂k),Xk

Pada sistem navigasi,kalman filter yang digunakan adalah kalman filter diskrit. Kalman filter yang mengestimasi proses dengan menggunakan bentuk pengendali feedback : filter mengestimasi state proses pada beberapa waktu dan kemudian mendapatkan umpan balik(feedback) dalam benk pengukuran(noise). Oleh karena itu, persamaan kalman filter dibagi menjadi dua kelompok yaitu persamaan time update dan persamaan measurement update. Time update dapat disebut juga sebagai proses predict,yaitu menggunakan estimasi state dari satu waktu sebelumnya untuk mendapatkan sebuah estimasi state pada saat ini. Sedangkan measurement update disebut juga sebagai proses correct, yaitu informasi pengukuran pada saat ini digunakan untuk memperbaiki prediksi, dengan harapan akan didapatkan state estimasi yang lebih akurat. Sehingga dalam aplikasinya, algoritma kalman filter akan menggunakan proses berulang dari predict dan correct. Seperti yang dilihat pada gambar 2.8 dibawah ini
Time Update(Predict) Measurement Update (Correct)Time Update(Predict) Measurement Update (Correct)
Time Update(Predict)
Measurement Update (Correct)
Time Update(Predict)
Measurement Update (Correct)

Gambar 2.8 Perputaran Algoritma Kalman Filter
Berikut ini adalah persamaan predict dan correct dalam kalman filter:
Tabel 2.1 Algoritma Kalman Filter
Model Sistem dan Model Pengukuran
Xk+1 = AkXk + Bk Uk + Wk
Zk = HkXk + Vk
X0 ~ N (X0 , Px0); Wk ~N(0, Qk); Vk ~N (0,Rk)
Inisialisasi
X0 = X0, P0 =Pxo
Tahap Prediksi
Estimasi: X̂k̄+1 = Ak X̂ + Bk Uk
Kovariansi error : Pk̄+1 = Ak Pk ATk + Qk
Tahap Koreksi
Kalman Gain : Kk+1 = Pk̄+1 HTk +1(Hk+1 Pk̄+1 HTk +1 + Rk+1)-1
Estimasi : X̂k+1 = X̂k̄+1 + Kk+1(Zk+1-Hk+1 X̂k̄+1)
Kovariansi error : Pk+1 = [ I - Kk+1Hk+1] Pk̄+1

Pada table 2.1 menunjukkan algoritma KF yang terdiri dari empat bagian, diantaranya bagian pertama mendefinisikan model sistem dan model pengukuran, bagian kedua merupakan nilai awal (inisialisasi), selanjutnya ketiga dan keempat masing-masing tahap prediksi dan koreksi (Purnomo, 2008).

Kalman filter banyak digunakan dalam berbagai aplikasi. Fungsi dari kalman filter itu sendiri adalah sebagai estimator yang handal dalam berbagai sistem yang digunakan.Modelnya yang sederhana sehingga mudah diterapkan dalam berbagai sistem. Dengan memperhitungkan white noise yang merupakan noise yang diestimasi pada seluruh cangkupan frekuensi,sehingga klman filter langsung dapat digunakan sebagai estimator tanpa perlu menghitung noise yang terjadi pada sistem secara detail terlebih dahulu. Kalman filter dapat digunakan untuk mengestimasi sistem yang linier. Dalam perkembangannya untuk sistem yang lebih kompleks dengan persamaan matematis yang linier,kalman filter dimodifikasi agar dapat mengestimasi sistem yang non linier,modifikasi kalman filter ini ada yang dinamakan extended kalman filter(EKF),fractional kalman filter(FKF)dan uncented kalman filter (UKF).
2.10.1.1 Extended Kalman Filter(EKF)
Extended Kalman Filter dapat digunakan untuk sistem yang tak linier dan juga kontinu. Dalam Extended Kalman Filter sistem semacam ini perlu dilinierisasi (apabila sistem tidak linier), pendiskritan sistem (apabila sistem kontinu), dan beberapa tahapan lain. Algoritma Kalman Filter dikembangkan untuk nilai estimasi dalam bentuk rekursif dari model linear. Namun demikian, dalam kenyataannya banyak model yang berbentuk nonlinear. Metode Extended Kalman Filter (EKF) adalah salah satu metode estimasi yang dikembangkan untuk menyelesaikan model nonlinear.
xk = ƒ(xk-1,uk-1,wk-1) (2.4)
dengan persamaan measurement yang dipelihatkan
zk = h (xk,vk) (2.5)
dimana ƒ(.) adalah persamaan nonlinier yang menghubungkan state waktu sebelumnya,process noise dan input dengan state waktu sekarang. Pada persaan measurement, h(.) adalah persamaan nonlinier yang menghubungkan state sekarang dan mea surement noise dengan hasil pengukuran. Estimasi untuk mendapatkan state xk, dilakukan dengan menggunakan (2.6) dan (2.7)
x̂k̄ = ƒ (x̂k-1,uk-1,wk-1) (2.6)
zk̄ = h (x̂k̄,vk) (2.7)
Untuk persamaan eksplisit estimasi state pada(2.4), pertama persamaan (2.6) dan (2.7) harus dilinierisasi. Linierisasi ini dilakukan menggunakan deret Taylor disekitar titik kerja yaitu Wk = 0 dan Vk = 0. Asumsi ini digunakan karena nilai noise yang terjadi pada proses dan pada pengukuran tidak dapat dihitung. Estimasi dilakukan dengan menganggap noise-noise tersebut bernilai nol. Dengan demikian, persamaan sistem berubah menjadi (2.8) dan (2.9)
xk ƒ (x̂k-1,uk-1,0) + F (x̂k-1,uk-1,0) + Wwk (2.8)
zk h (x̂k,0) + H (xk,0) +Vvk (2.9)
dimana
F[ i,j ] = ƒ[i] x[j] (x̂k-1,uk-1,0)
W[ i,j ] = ƒ[i] x[j] (x̂k-1,uk-1,0)
H[ i,j ] = H[i] w[j] (x̂k̄,0)
V[ i,j ] = H[i] v[j] (x̂k̄,0)

Berikutnya dengan mendefinisikan measurement residual sebagai (2.10) dan memperhatikan persamaan a-priori state error, didapat persamaan error proses seperti pada (2.11) dan (2.12)
êz̄k = zk – ẑk̄ (2.10)
êx̄k A (xk-1 – x̂k̄-1) + εk (2.11)
ez̄k Hêx̄k + ɳk (2.12)
Pada (2.11) dan (2.12), terdapat du variable yaitu εk dan ɳk. Variabel-variabel ini adalah variable acak baru yang memiliki mean nol dan matriks kovarians masing-masing WQWT dan VRVT. Variabel-variabel acak pada (2.10) sampai (2.12) memiliki karakteristik :
p( êx̄k ) ~ N (0,E[ êx̄k êx̄kT])
p(εk ) ~ N (0,E[ WQkWT])
p(ɳk) ~ N (0,E[ VRkVT])
Selanjutnya, akan dicari estimasi dari êx̄k dengan menggunakan kalman filter hipotesis. Hasil estimasi ini dinamakan êk dan akan digunakan untuk mendapatkan a-posteriori state estimate berdasarkan (2.13)
x̂k = x̂k̄ + êk (2.13)
Dengan memperhatikan karakteristik êx̄k , êk, dan ɳk, men-set nilai prediksi êk menjadi nol, dan mempertimbangkan data êz̄k didapatlah persamaan kalman filter hipotesis untuk memperoleh nilai êk pada (2.14)
êk = Kk êz̄k (2.14)
Mensubsitusikan (2.13) dan (2.14) dan mempertimbangkan persamaan measurement residual, didapat (2.15)
x̂k = x̂k̄ + Kk ( zk – ẑk̄) (2.15)
Pada (2.15) adalah persamaan state estimate update untuk sistem nonlinier. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam algoritma Extended Kalman Filter kemudian adalah sesuai yang tertera pada table 2.1. Persamaan- persamaan ini diperoleh dari persamaan Kalman Filter dengan beberapa penyesuaian.
Tabel 2.2 Persamaan – Persamaan Extended Kalman Filter
Time Update (" Prediction") Equations
x̂k̄ = ƒ (x̂k-1,uk-1,wk-1)
Pk̄ = FPkFT + WQWT
Measurement Update("Correction") Equations
Kk = Pk̄HT [HPk̄HT + VRVT] -1
x̂k = x̂k̄ + Kk ( zk – h (x̂k̄,0))
Pk = ( I – Kk H) Pk̄

2.10.1.2 Ensemble Kalman Filter
Metode Ensemble Kalman Filter (EnkF) adalah metode estimasi modifikasi dari algoritma kalman filter yang dapat digunakan untuk mengestimasi model sistem linier maupun nonlinier. Metode EnKF pertama kali dikembangkan oleh G. Evensen (1992-1993) pada saat mencoba mengimplementasikan metode EKF untuk asimilasi data pada suatu model. Linieritas dalam metode EKF ternyata menyebabkan kovariansi errornya membesar menuju tak terhingga. Selanjutnya G. Evensen (1994) telah memperkenalkan ide penggunaan sejumlah ensemble untuk mengestmasi kovariansi error pada tahap forcasting pada masalah yang sama ( Evensen 1994, dalam purnomo 2008).
Proses estimasi pada EnKF diawali dengan membangkitkan sejmlah Nε ensemble dengan mean 0 dan kovariansi konstan. Ensemble yang dibangkitkan dilakukan secara random dan berdistribusi normal. Berdasarkan eksperimen, pada umumnya jumlah anggota ensemble yang mencangkup adalah 100-500 (Evensen 2003, dalam purnomo 2008).
Secara umum algoritma EnKF juga terdiri dari dua tahap yaitu tahap prediksi (time update) dan tahap koreksi (measurement update). Pada metode EnKF terlebih dahulu dihitung mean ensemble-nya sebelum masuk ke tahap prediksi yaitu :
X̂k = 1Nεi=1NXk,i (2.16)

Dimana Nε adalah banyaknya ensemble yang dibangkitkan dan Xk,i merupakan nilai ensemble yang dibangkitkan.Bentuk umum sistem dinamik nonlinier pada EnKF adalah :
Xk+1 = ƒ(k,xk) + Wk (2.17)
dengan persamaan pengukuran linear zk ϵ RP yaitu:
Zk = Hk Xk+Vk (2.18)
x0 ~ N(X̄0, Px0) ; wk ~ N(0,Qk); vk ~ N (0, Rk)

Dengan Xk+1 merupakan variabel keadaan pada waktu k+1 , ƒ(k,xk) merupakan fungsi tak linear dari XX dan input WK,VK merupakan data pengukuran, merupakan matriks, yang merupakan representasi hubungan antara data pengukuran dan variabel keadaan,
x0 ~ N(X̄0, Px0) ; wk ~ N(0,Qk); vk ~ N (0, Rk) masing-masing merupakan derau pada sistem yang berdistribusi Normal Gauss (sistem Gaussian white noise) dan derau pada pengukuran yang berdistribusi Normal Gauss (measurement Gaussian white noise). Algoritma dari Ensemble Kalman filter untuk mengestimasi variable keadaan XK adalah (Evensen, 2003).
Misalkan akan dibangkitkan sejumlah Nε ensemble untuk memperoleh nilai rata-rata mean :
X0 = [X0,1 X0,2 … X0,N-1 X0,N] dengan X0,i ~ N (x̄0,P0)
Selanjutnya diperoleh mean ensemble pada persamaan (2.16).
X̂k = 1Nεi=1NX̂k,i
Mean ensemble ini digunakan untuk menghitung estimasi x̂k̄ pada tahap prediksi (time update) dan x̂k pada tahap koreksi (meansurement update). Sedangkan untuk menghitung kovariansi error Pk̄ pada tahap prediksi menggunakan
Pk = 1Nε-1 i=1Nε( x̂k̄,j – x̂k̄)(x̂k̄,j – x̂k̄)T (2.19)

Pada tahap EnKF, noise sistem wk pada tahap prediksi dan noise pengukuran vk pada tahap koreksi dibangkitkan dalam bentuk ensemble. Perlu diperhatikan bahwa algoritma EnKF tidak membutuhkan nilai awal kovariansi error. Sedangkan nilai awal x̂0 dihitung dari rata-rata ensemble x̂0̄,i yang dibangkitkan pada tahap inisialisasi. Demikian juga, noise sistem wk,j pada tahap prediksi dan noise pengukuran vk,j pada tahap koreksi dibangkitkan dalam bentuk ensemble (Purnomo 2008). Algoritma EnKF selengkapnya untuk mengestimasi penyelesaian model (2.17) dan (2.18) dapat diihat pada tabel 2.3

Tabel 2.3 Algoritma Ensembel Kalman Filter (EnKF)
Model Sistem dan Model Pengukuran
Xk+1 = ƒ(Xk,Uk) + Wk , Wk ~ N(0,Qk)
Zk = HXk+Vk , Vk ~ N(0,Rk)
Inisialisasi
Bangkitkan Nε ensemble sesuai estimasi awal x̄0
x0,I = [x0,1 x0,2 x0,3 … x0, Nε]
Tentukan nilai awal :
X̂k = 1Nεi=1NXk,i

Tahap Prediksi
x̂k̄,I = ƒ( xk-1,uk-1) + Wk dengan Wk,i ~ N(0,Qk)
Estimasi :
X̂k̄ = 1Nεi=1Nεx̂k̄,i
Kovariansi error :
Pk̄ = 1Nε-1 i=1Nε( x̂k̄,j – x̂k̄)(x̂k̄,j – x̂k̄)T
Tahap Koreksi
zk,i = zk + vk,i dengan vk,i ~ N(0,Rk)
Kalman Gain :
Kk = Pk̄HT(HPk̄HT +Rk)-1
Estimasi :
Estimasi Tahap Koreksi Adalah:
X̂k,i = X̂k̄,i + Kk(Zk,i – HX̂k̄,i)
Rata-Rata Estimasi Tahap Koreksi Adalah:
X̂k = 1Nεi=1NεX̂k,i
Kovariansi Error
Pk = [ I – KkH]Pk̄

2.10.1.3 Uncented Kalman Filter (UKF)
Uncented Kalman Filter (UKF) merupakan pengembangan baru di lapangan. Idenya adalah untuk menghasilkan beberapa titik sampling (poin Sigma) sekitar perkiraan kondisi saat berdasarkan kovarians nya. Kemudian, menyebarkan titik-titik ini melalui peta nonlinier untuk mendapatkan estimasi yang lebih akurat dari mean dan kovariansi dari hasil pemetaan. Uncented Kalman Filter (UKF) diusulkan oleh Julier dan Uhlman. UKF, yang merupakan alternatif turunan-bebas untuk EKF. UKF terdiri dari dua langkah yang sama dengan: perkiraan Model dan Data asimilasi. UKF digunakan untuk mempermudah dalam pendektan distribusi probabilitas untuk mendekati fungsi nonlinier . UKF adalah metode untuk menghitung statistik dari variabel acak yang mengalami transformasi nonlinear.

Unscented Kalman Filter adalah pengembangan dari Filter Kalman untuk sistem yang nonlinear dengan menggunakan teknik Transformasi Unscented. Misalkan diberikan suatu fungsi kepadatan peluang diskrit yk=f(xk,k) mempunyai variabel random x dari sebuah model tak linear dengan dimensi L mempunyai mean dan kovarian . Fungsi yk=f(xk,k) didekati dengan transformasi unscented. Mean dan kovarian tersebut digunakan untuk menentukan penyebaran 2L+1 titik-titik sigma disekitar x̂. Titik-titik sigma dalam bentuk vektor sigma Xz diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:
X0= X̂ (2.20)
Xi = X̂ + ( L+ λ Px) I , i = 1,…..,L (2.21)
Xi = X̂ + ( L+ λ Px) I-L , i = L + 1,……..,2L (2.22)

Dengan λ = α2( n + k) – L adalah parameter penskalaan, α adalah sebuah konstanta yang digunakan untuk menentukan sebaran dari titik sigma disekeliling X̄ , Dimana α selalu bernilai positif kecil dan k adalah skala penskalaan tambahan, dimana nilai k 0. Nilai yang paling sering digunakan yaitu k = 0.
Misalkan diberikan variable keadaan :
x=[x1 x2 … xL]T (2.23)
Jika dinyatakan dalam bentuk matriks sigma points bisa dituliskan menjadi :
Xi = [X0 X1 … XL XL+1 XL+2 … X2L]T (2.24)
Karena yk = ƒ(xk), maka penyebaran vector sigma yk adalah :
yi = ƒ (Xi) i = 0,….,2L (2.25)
Pembobotan mean dank ovarian dihitung berdasarkan persamaan :
W0(m) = λL+λ (2.26)

W0(c) = λL+λ + 1 – α2 + β (2.27)

Wi = Wi(c) = 12(L+λ) i =1,….,2L (2.28)
Dengan menggunakan titik-titik sigma persamaan (2.22) dan persamaan pembobotan mean-kovarians pada persamaan (2.28), maka diperoleh mean :
ŷ = 02L[Wi(c) (ƒ (Xi) - ŷ )(ƒ(Xi)-ŷ)T] (2.29)
Secara ringkas algoritma Unscented Kalman Filter dapat dituliskan pada tabel 2.4 sebagai berikut:

Tabel 2.4 Algoritma Uncented Kalman Filter (UKF)
Inisialisasi

Pada saat k = 0
X̂0 = E[X0]
Px0 = E[(x0 – x̂0)( x0 – x̂0)T]

x̂α0 = E[xα] = E [x̂0T 0 0]T

Pα0 = E[(xα0 – x̂0) (xα0 – x̂0)T] = Px000Pw000Pv

Untuk k=1,2,3,…,N

Hitung titik sigma
Xαk-1 = [ X̂αk-1 X̂αk-1 + γPk-1 X̂αk-1 - γPk-1 ]
Dengan γ = L+λ dan λ = α2( L+ k) – L

Tahap Prediksi (time update)

XKX" K-1 = ƒ( XK-1X, XK-1w)

x̂k̄ = i=02L[ Wi (m) Xi,k"k-1X]

Px̄k = i=02L[ Wi(c) (Xi,k"k-1X- x̂k̄)(Xi,k"k-1X- x̂k̄)T + Qk]

Zk"k-1 = H ( XK-1X, XK-1v)

Ẑk̄ = i=02L[ Wi(m) Zi,k"k-1]

Tahap Koreksi (Measurement update)

Pz̄k,z̄k = i=02L[ Wi(c) (Zi,k"k-1- ẑk̄)(Zi,k"k-1- ẑk̄)T + Rk]

Pxk,zk = i=02L[ Wi(c) (Xi,k"k-1- x̂k̄)(Zi,k"k-1- ẑk̄)T ]

Kk = Pxk,zkPz̄k,z̄k-1

x̂k = x̂k̄ + Kk(zk-ẑk̄)

Pxk = Pxk- - Kk Pz̄k KkT

Dengan Qk adalah kov.error proses dan Rk adalah kov.error pengukuran

2.10.1.4 Fractional Kalman Filter (FKF)

Kalman Filter merupakan vektor state estimator optimal menggunakan sistem model , input dan sinyal output ( Kalman 1960) . Hasil estimasi yang diperoleh dengan meminimalkan langkah dalam panggilan Fungsi sekarang ( Schutter et al., 1999 ).

x̂k = arg min [ (x̂k – x)p̂k-1(xk-x)T + (yk –Cx) Rk-1(yk –Cx)T] (2.30)

dimana:
x̂k = E [ xk"zk̽-1 ] (2.31)

adalah prediksi state vektor pada waktu sekarang k , xk didefinisikan sebagai variabel acak dan dikondisikan pada pengukuran aliran zk̽ 1 (Brown & Hwang 1997).
x̂k = E [ xk"zk̽ ] (2.32)
adalah prediksi state vektor pada waktu sekarang k , xk didefinisikan sebagai variabel acak dan dikondisikan pada pengukuran aliran zk̽.
Pengukuran zk̽. mengandung nilai nilai pengukuran keluaran y0,y1,…,yk dan sinyal input u0,u1,…,uk.

P̂k= E [(x̂k – xk) (x̂k – xk)T] (2.33)

adalah prediksi estimasi error matriks kovarians
Rk = E [vkvkT] (2.34)
adalah matriks kovarians dari noise output di vk
Qk=E[wk wkT ] (2.35)
adalah matriks kovarians dari sistem noise di wk
Pk = E [(x̂k –xk) (x̂k –xk)T] (2.36)
adalah estimasi kesalahan matriks kovariansi
*Semua dari matriks-matriks diasumsikan simetris

KALMAN FILTER

Recommend Documents