MAT021 - Cuadernillo PPI 2009

Unive Univers rsid idad ad T´ ecni ecnica ca Feder ed eric ico o Santa Santa Mar Mar´ıa Programa Programa Preliminar Prelimi nar para para Ingeni Ing enier er´ ´ıa Cuaderno de Estudio Patricio Guzm´ an an Mel´ Me l´ ende en dez z Alumno de Ingenier Ingeni er´ ´ıa Civil Matem´ Mate m´ atica atica Pedro Montero Silva Alumno de Licenciatura en Ciencias menci´ on on Matem´ atica atica Iv´ an Szant´ a ńt´ o Narea Profesor del Departamento de Matem´ atica atica

Marzo de 2009

Universid Uni versidad ad T´ ecnica ecni ca Federico eder ico Santa Mar´ ıa ıa

Departamento de Matem´ atica Programa Programa Preliminar para Ingenier Ingen ier´ ´ıa

´ INDICE

´ Indice 1. Intr Introducci oducci´ ´ on on

3

2. Preli Prelimina minares res

4

3. L´ ogica Simb´ ogica olica y Teor olica eor´ ´ ıa de Conjuntos

6

3.1. L´ 3.1. ogica Simbólica ogica olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teor Teor´´ıa de Conjuntos Conj untos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Funciones

10

4.1. Propiedades Propiedades de Funcio Funciones nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Estud Estudio io de Funcio Funciones nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Proble Problemas mas d dee Modelado Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ge Geome ometr´ tr´ ıa An ıa Anal´ al´ ıt ica ıtica

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6. N´ umeros Naturales umeros

Inducci´ Inducc i´ on . on Sumatorias Sumat orias Progresiones Progres iones Teorem eoremaa del

. . . . . . . . . . . . . . Aritméticas eticas Binomioo . . Binomi

Axiomass de Cuerpo Axioma Cuerpo Axioma Axi omass de Orden Orden . Desigualdad Desigu aldades es . . . . Inecuacion Inecu aciones es . . . . . Polinomios Polin omios . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . y Geom´ Geo métricas etricas . . . . . . . . .

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25 27 29 31 33

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8. Trigo Trigonom nomet etr r´ıa

8.1. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.. 8.5

18 20 20 21 22 23 24 25

7. N´ umeros Reales umeros

7.1. 7.1. 7.2.. 7.2 7.3. 7.4. 7.5.

10 12 15 18

5.1. La Re 5.1. Rect ctaa . . . . . . . . 5.2. 5. 2. C´ onicas . . . . . . . . onicas 5.2.1. Circun Circunferen ferencia cia 5.2. 5. 2.2. 2. Pa Par´ r´ abola . . . abola 5.2.3. 5.2 .3. Elip Elipse se . . . . . 5.2.4. Hipérbola erbol a . . . 5.3. Lugares Geométricos etricos .

6.1. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

6 8

Operatoria Operato ria . . . . . . . . . Identidadess Trigonom´ Identidade Trigonométricas etricas Ecuaciones Ecuacio nes Trigonom´ Trigonométricas etricas Problemas Proble mas con con Enunciad Enunciadoo . Miscel Mis cel´ ańeo . . . . . . . . . aneo

33 35 36 38 40 42

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9. N´ umeros Complejos umeros

9.1. Operato 9.1. Operatoria ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Funcio unciones nes Complej Complejas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.. Mis 9.3 Miscel cel´ ańeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aneo 10.L 10. L´ ımites ımit es y Conti Continuida nuidad d

10 .1.. L´ım 10.1 ımit ites es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Miscel´ aneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aneo

42 43 45 46 49 51

51 54 55 57

57 59 61 1



´ INDICE

11.La Derivada

11.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Miscel´ aneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aneo 12.Aplicaciones de la Derivada

12.1. Problemas de Razón on de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Problemas de Optimización on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

63 69 71 76

76 78 80

2



1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

ıa es un programa que se imparte a los alumnos destacados de IV ◦ El Programa Preliminar para Ingenier´ıa Inge nier´ ıa, Ciencias Cien cias y Tecnolog ecno log´ ´ ıa ; en Medio de la Región on de Valpara´ Valpara´ıso, que sienten interés es en el área area de la Ingenier´ donde se les inicia en la vida y exigencia universitaria, cursando la asignatura de Matemática I (MAT-021) e Introducción on a la Ingenier´ Ingenier´ıa (IWI-101); ambos cursos del primer semestre acad´ emico emico de Ingenier´ Ingenier´ıa y Ciencias en la Universid Uni versidad ad T´ ecnica ecni ca Federico eder ico Santa Mar´ ıa ıa .

Este Cuaderno de Estudio est´ a destinado a las clases activas de Matemática I, que en la práctica, actica, es una de las partes más as importantes de la asignatura. Su propósito osito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando a identificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dará al estudiante una visión on global de las herramientas entregadas en la asignatura. Este cuaderno está dividido en los temas que se verán a lo largo del curso, y el número umero de actividades por temas es variable dependiendo de la importancia del mismo. me todo dolo log g´ıa a seguir consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases prácticas en donde bajo La meto la supervisión on del profesor y los ayudantes, el estudiante aplicará los conceptos y m´ etodos etodos entregados en la clase te´ orica, orica, y as´ as´ı podr´ po drá resolver resolver los diferente diferentess tipos de problemas problemas y aplicacione aplicaciones. s.

Esta Est a metodol meto dolog´ og´ıa ıa ayudar ayu dar´á al estudiante a seguir y a entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de esta forma se concreta lo explicado en las clases teóricas y además as se ejercita, ejercita, consiguien consiguiendo do afianzar afianzar los conocimient conocimientos. os. El hecho de que el estudiante encuentre dificultades en este cuaderno es un indicador de que no ha alcanzado el nivel nivel de aprendizaje aprendizaje esperado. esperado. Se espera ir perfeccionando este cuaderno en todos los sentidos posibles: formato, edición del texto, redacción on y niveles de dificultad de los problemas, etc. Este Este Cuader Cuaderno no de Estudi Estudio, o, en su segund segundaa versi versi´ón, on, no habr´ habr´ıa sido posible sin las valiosas valiosas recomenda recomendacione cioness y discusiones con el Departamen Departamento to de Matem´ Matematica a ´tica de nuestra universidad. Además, as, parte importante de las mejoras de esta versión on se deben d eben a las cr´ cr´ıticas y comentarios comentari os de los alumnos al umnos del de l Programa Prog rama Preliminar Pre liminar para Ingenier´ In genier´ıa ıa del a˜ no no 2008.

Ayudantes del Departamento de Matemática: atica: Patricio Guzmán an Mel´ Mel éndez end ez Pedro Montero Silva Profesor del Departamento de Matemática: atica: Iván an Szánt´ antó Narea Marzo de 2009

3

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ ıa

Departamento de Matem´ atica Programa Preliminar para Ingenier´ıa

2.

2

PRELIMINARES

Preliminares

1. A Constanza se le pregunta su edad y ella responde: ”Si se añaden 13 años al cuádruple de mi edad, se tendr´ıa lo que falta para tener 98 años”. ¿Cuál es la edad de Constanza? 2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro años era el doble de la edad que tendrá Pablo en siete años. ¿Cu´ al es la suma de ambas edades? 3. De dos resistencias en paralelo que difieren en 33 Ω se sabe que la resistencia equivalente es de 22 Ω. Calcular el valor de cada resistencia. 4. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, más el 45 % del resto; en total vende 5700 m2 . ¿Cu´ anto mide el terreno que le queda a Patricio?. 5. En un triángulo rectángulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el área del triángulo. 6. El per´ımetro de cierto rectángulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el área del rectángulo. 7. Si cada lado de un triángulo is´ oceles disminuye en un 18 %, ¿en cuánto % disminuye su área?. 8. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el punto medio de BC . ¿Qué tanto % de AM mide BM ?. 9. Un cilindro tiene 15 cm de diámetro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un c´ırculo cuya área sea igual al 50 % de la superficie total del cilindro. 10. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuye en un 20%. ¿En cuánto % var´ıa la superficie basal, total y el volumen del cono?. 11. El ancho de un anillo circular mide 8 % más que el radio de la circunferencia interior. ¿Qué tanto % del área del anillo es el área del c´ırculo interior si el diámetro del c´ırculo interior es de 70 cm?. 12. Suponga que el diámetro de un c´ırculo mide 30 % menos que el de otro c´ırculo conc´ entrico. Expresar el área del anillo en tanto % del área del c´ırculo interior. 13. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radio basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera. 14. Considere el rectángulo cuya base y altura están en la proporción b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumenta en 1 m y la altura ”a” en 3 m el rectángulo se transforma en un cuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal del rect´ angulo? 15. Considere el sólido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en la parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x. La altura del cono es de x y del sólido es de 5x. Si el volumen del sólido es de 256π, encuentre el valor de x. 16. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25 m/s, con el auto adyacente a la parte trasera del tren. Debido a una luz roja el auto adquiere una aceleración uniforme de -2,5 m/s2 (el auto est´ a desacelerando) y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45 s y luego acelera hasta llegar a una rapidez de 25 m/s. ¿A qué distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando este alcanza la rapidez de 25 m/s, suponiendo que la rapidez del tren permanece constante?. 4


Departamento de Matem´ atica Programa Preliminar para Ingenier´ıa 17. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 m/s2 y desacelera a 4 m/s2 . En un viaje a una tienda acelera desde el reposo hasta los 12 m/s, maneja con rapidez constante durante 5 s y luego se detiene en una esquina. Acelera después hasta los 18 m/s, maneja con rapidez constante durante 20 s, desacelera durante 2 s, continua durante 4 s a esta rapidez y luego se detiene al llegar a la tienda. a ) ¿Cuánto dura el recorrido y cuánta distancia recorre? b) Si usted camina a 1,5 m/s ¿cu´ anto tardar´ıa en llegar a la tienda? 18. La l´ınea de Watt’s S.A., productora de mermeladas requiere determinar el número de máquinas a utilizar durante los siguientes tres años para su producción de mermelada de frambuesa. La demanda de mermelada de frambuesa para los siguientes tres años, en toneladas, es: A˜ no 1 30

A˜ no 2 50

A˜ no 3 40

En la siguiente tabla se pueden ver los ingredientes en la producción de una tonelada de mermelada, y también la velocidad de procesamiento de cada ingrediente en la máguina que cuesta $15.000.000 que se desea comprar: Ingredientes Procesamiento

Pulpa de Frambuesa 0,5 ton/hr

Agua 0,1 ton/hr

Otros 0,7 ton/hr

La máquina es capaz de procesar 0,6 ton/hr. Por otro lado, las condiciones operacionales son: ocho horas por turno, cinco d´ıas a la semana y cuatro semanas al mes. Se debe operar doce meses al año. Para los siguientes tres años determine el número de máquinas requeridas y el costo de adquirilas. 19. Forestal Minin S.A. es una empresa forestal que opera en la octava región. Esta requiere determinar el número de máquinas para un nuevo aserradero que permitirá explotar un fundo forestal en la zona de Tehualco. El fundo cuenta con 1.100 hectáreas las cuales serán explotadas en los siguientes tres años seg´ un el siguiente plan:

Demanda (Hectáreas)

A˜ no 1 300

A˜ no 2 360

A˜ no 3 440

El rendimiento esperado por hect´ area es de 15 toneladas por madera procesada. Las máquinas existentes en el mercado tienen una capacidad de procesamiento de 0,7 ton/hr. Cada máquina tiene un costo de $20.000.000 y requiere para su operación un operario capacitado por turno cuyo costo total anual es de $3.000.000. Los costos operacionales aso ciados a insumos, energ´ıa y personal son proporcionales a las toneladas de madera procesada y se han estimado en $1.500 por tonelada procesada. Por otro lado, las condiciones operacionales del aserradero son: ocho horas por turno, cinco d´ıas a la semana y cuatro semanas al mes. El aserradero deberá operar los doce meses al año. Para los siguientes tres años determine: a ) Número de máquinas requeridas b) Costo total considerando los gastos de inversión y operación.

5



3. 3.1.

´ ´ LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ IA DE CONJUNTOS

3

L´ ogica Simb´ olica y Teor´ıa de Conjuntos L´ ogica Simb´ olica

1. Demuestre, utilizando tablas de verdad y/o propiedades, las siguientes equivalencias. a) c) e) g) i) k)

⇒ q) ⇔ ( p ∨ q) [ p ∧ ( p ∨ q)] ⇔ p [ p ∧ ( p ∨ q)] ⇔ ( p ∧ q) ( p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) [ p ∧ q ⇒ r] ⇔ [( p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] [ p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [( p ⇒ q) ∨ ( p ⇒ r)] ( p

b) d) f) h) j) l)

⇔ q) ⇔ [( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] [ p ∨ ( p ∧ q)] ⇔ p [ p ∨ ( p ∧ q)] ⇔ ( p ∨ q) ( p ⇒ q) ⇔ [( p ∧ q) ⇒ F ] [ p ⇒ (q ∧ r)] ⇔ [( p ⇒ q) ∧ ( p ⇒ r)] [ p ∨ q ⇒ r] ⇔ [( p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ( p

2. Demuestre que las siguientes expresiones son tautolog´ıas. a) c)

⇒ ( p ∨ q) [( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ ( p ⇒ r) p

b) d)

⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ( p ⇒ q) ⇒ [( p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)] ( p

3. Simplifique las siguientes expresiones. a) c)

[ p

⇒ (q ∧ r)] ⇒ ( p ⇒ q) [ p ∨ ( p ∧ q)] ⇔ p

b) d)

4. Sean p y q proposiciones lógicas. Se define p

( p

⇒ q) ⇒ [( p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)] p ⇒ [q ⇒ ( p ⇒ q)]

× q por la siguiente tabla. p q p× q V V F F

V F V F

F V V V

Demuestre que se cumple que: a ) p

≡ p × p. b) p ∨ q ≡ ( p × q) × ( p × q). c) p ∧ q ≡ ( p × q) × (q × q).

5. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de [( p

6. Si p

⇒ q) ⇒ ( p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)

∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de ( p ∨ q) ⇔ (r ∨ p) 6


Departamento de Matem´ atica Programa Preliminar para Ingenier´ıa 7. Si la proposici´ on p

3.1

L´ ogica Simb´ olica

⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposición [ p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [( p ∨ r) ∧ q]

8. Encontrar el valor de verdad de la proposici´ on: [( p sabiendo que p

⇒ (q ∨ r) es falsa.

∧ q) ∨ ( p ∧ r)] ⇒ [q ∨ ( p ⇒ r)]

9. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposición compuesta es verdadera.

{[( p ⇔ q) ⇔ ( p ∨ r)] ∧ [ p ⇒ (q ∧ r)]}

10. Sean p,q,r y s proposiciones lógicas. Se definen los conectivos  y

 de la siguiente forma:

p  q

≡p⇒q r s≡r∨s

Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposición: [ p

∧ ( p  r)] ∨ [( p  q) ∨ (s  p)]

11. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negación.

⊂

a ) S R es acotado si: ( M R+ )( x S )( x

∃ ∈

∀ ∈ | | ≤ M ). b) Una funci´ on f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si: (∀x, y ∈ I )(f (x) = f (y) ⇒ x = y). c) Una funci´ on f : A −→ B es sobreyectiva si: (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f (x)). d ) Una funci´ on f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si: (∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ). 12. Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) :

x2 + y

≤ xy q(x) : x + y ≤ 1 a ) Determine el valor de verdad de la proposici´ on (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)( p(x, y) ⇒ q(x, y)). b) Escriba la negación de la proposición anterior.

13. Para x

∈ R considere las siguientes funciones proposicionales: p(x) : x2 − 3x − 10 ≥ 0 q(x) : 3x + 1 ≥ 13 Determine todos los x ∈ R de modo que la proposición p(x) ∨ q(x) sea verdadera. 7



3.2.

´ ´ LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ IA DE CONJUNTOS

3

Teor´ıa de Conjuntos

⊆ U . Demuestre que: (A ∩ B)c = Ac ∪ B c A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac

1. Sean A,B,C a) c) e)

∪ B)c = Ac ∩ B c A − (B ∩ C ) = (A − B) ∪ (A − C ) A⊂ B ⇒ A∩B =A y A∪B =B

b)

(A

d) f)

⊆ U .Simplifique utilizando propiedades. a ) [A ∩ (A ∩ B)c ] ∪ [B ∪ (B ∩ C c )]c ∪ B c b) [A ∩ (A − B)] ∪ B c) [(A ∩ B c ) ∩ (A − B c )]c ∪ Ac

2. Sean A,B,C

∈ U . Demuestre lo que: a ) A − B = A − (A ∩ B). b) A ∩ B = ∅ ⇔ (A ∪ B) ∩ B c = A. c) A ∩ C = ∅ ⇔ (A − B) − C = A − (B − C ). d ) A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ [(A − B) − (B − C ) − (C − A)] = A ∪ B ∪ C .

3. Sean A,B,C

4. Considere los conjuntos: a) c) e) Determine: B

{ ∈ R / 5 ≤ |x|} C = {x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3} A= x

{ ∈ R / x2 + 6 = 7x}

b)

B= x

d)

D=∅

E = R

∩ C , A ∩ C , A ∪ B, B ∪ C , A ∪ E , B ∩ E , D − A y A − C .

5. Considere los conjuntos P = x  N / 2x2

{

− 3x + 1 = 0} y C = {x  Z / x ≥ −3 ∧ x < 7}.

a ) Determine expl´ıcitamente los conjuntos P y C . b) Calcule P + C y P C .

| | | | | ∪ |

6. Dadas las siguientes funciones proposicionales

− 10 ≥ 20

p(x) :

2x

q(x) :

|x| < 40

a ) Determine expl´ıcitamente los conjuntos

{ ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero } B = {x ∈ R / p(x) ⇒ q(x) es Falso } A= x

b) Encuentre A

− B. 8



3.2

⊂ U

 {  Sean A,B,C ⊂ U . Demuestre las siguientes propiedades: a) AB = (A − B) ∪ (B − A) b) AB = (A ∪ B) − (A ∩ B) c) A ∩ (B C ) = (A ∩ B)(A ∩ C ) d) (AB)(B C ) = AC e) AB = C ⇔ AC = B

Teor´ıa de Conjuntos

∈ ∨ ∈ }

etrica entre A y B como A B = x / x A x B . Observar 7. Sean A, B . Se define la diferencia sim´ que el conjunto A B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos.

8. Sea A un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado por (A), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Escrito en s´ımbolos viene dado por (A) = B /B A .

⊂ U

P P

{ ⊂ U

⊂ }

⊂ U . Entonces se cumple que: a ) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B). b) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B). c) P (A) = P (B) ⇔ A = B.

Sean A, B

| |

9. Se entenderá por P como el n´ umero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir, conjuntos que cumplen con A B = ∅, entonces se tendrá que A B = A + B .

∩

| ∪ | | | | |

⊂ U . Demuestre que: a ) Si A ∩ B =  ∅ entonces |A ∪ B| = |A| + |B | − |A ∩ B|.  ∅ entonces |A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C | − |A ∩ B| − |A ∩ C | − |B ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |. b) Si A ∩ B ∩ C = Indicaci´ on: Para a) escriba los conjuntos A ∪ B y B como uni´ on de conjuntos disjuntos. Sean A,B,C

10. Se realizó una encuesta a 160 Sansanos de primero año respecto a la lectura de libros de ciencias: Matemática (M ), F´ısica (F ) y Qu´ımica (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leen M y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer, sino porque no tienen interés). Determine: a ) b) c) d )

Número de Sansanos que leen los 3 libros. Número de Sansanos que lee 1 solo libro. Número de Sansanos que leen libros de Matemática o F´ısica, pero no ambas. Número de Sansanos que leen libros de F´ısica y Qu´ımica.

11. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos reveló que 50 practican fútbol, 79 practican f´ utbol o tenis, 68 practican fútbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45 practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes. Determine: a ) b) c) d ) e)

Número de personas que practican fútbol. Número de personas que practican fútbol y tenis. Número de personas que practican handball o tenis pero no fútbol. Número de personas que a lo menos practican tres de estos deportes Número de personas que no practican tenis.

9



4. 4.1.

4

FUNCIONES

Funciones Propiedades de Funciones

−

1. Sea p > 0 e I = [ p,p]. Considere la funci´ on f : I definiciones.

⊆ R −→ R. Obtenga la negación de las siguientes

a ) Una funci´ on f se dice par en I si: ( x I )(f ( x) = f (x)).

∀ ∈

−

b) Una funci´ on f se dice impar en I si: ( x I )(f ( x) = f (x)).

∀ ∈

−

−

2. Considere la funci´ on f : I

⊆ R −→ R y A ⊆ I . Obtenga la negación de las siguientes definiciones.

a ) Una funci´ on f se dice creciente en A si: ( x, y A)(x y f (x) f (y)).

∀

∈

≤ ⇒

≤

b) Una funci´ on f se dice decreciente en A si: ( x, y A)(x y f (x) f (y)).

∀

3. Sea f : A

∈

≥ ⇒

≥

−→ B, A0 ⊆ A y B0 ⊆ B . Demostrar las siguientes propiedades:

a ) [f (A0 )]c = f (Ac0 ). b) [f −1 (B0 )]c = f −1 (B0c ).

−→ B una función. Sean A0 ⊆ A y B0 ⊆ B. Demostrar las siguientes propiedades: a ) A0 ⊆ f −1 (f (A0 )) y que se da la igualdad si f es inyectiva. b) f (f −1 (B0 )) ⊆ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva.

4. Sea f : A

Recomendaci´ on: Para ilustrar estas propiedades considere las funciones f (x) = x2 y g(x) = x, y luego haga los c´ alculos para ambas funciones con los conjuntos A0 = [0, 1] y B0 = [ 1, 1].

−

5. Sea f : A

−→ B y B0, B1 ⊂ B. Demostrar las siguientes propiedades: a ) B0 ⊆ B1 ⇒ f −1 (B0 ) ⊆ f −1 (B1 ). b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ). c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ). d ) f −1 (B0 − B1 ) = f −1 (B0 ) − f −1 (B1 ).

Recomendaci´ on: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´ on (como f (x) = x) y luego haga los c´ alculos con B0 y B1 elegidos adecuadamente. 10



4.1

Propiedades de Funciones

−→ B y A0, A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades: a ) A0 ⊆ A1 ⇒ f (A0 ) ⊆ f (A1 ). b) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ).

6. Sea f : A

Recomendaci´ on: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´ on (como f (x) = x) y luego haga los c´ alculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente. 7. Sea f : A

−→ B y A0, A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades: a ) f (A0 ∩ A1 ) ⊆ f (A0 ) ∩ f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva. b) f (A0 − A1 ) ⊆ f (A0 ) − f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva.

Recomendaci´ on: Para ilustrar estas propiedades elija dos funciones, una inyectiva y otra no, y luego haga todos los c´ alculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente. 8. Sean f y g funciones biyectivas. Demuestre que:

◦ ◦ b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .

a ) f g y g f son biyectivas.

9. Sea f : I

⊆ R −→ R. Muestre:

a ) Si f es una función estrictamente creciente en I entonces la función es inyectiva. b) Si f es una función estrictamente decreciente en I entonces la función es inyectiva.

11



4.2.

4

FUNCIONES

Estudio de Funciones

1. Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta algún tipo de paridad; determine su dominio y recorrido; ¿es biyectiva la función? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo que lo sea; y, si es posible, determine su función inversa y luego graf´ıquela. a)

f (x) =

−x2 + 3x + 10 4

− 1) + x − 1

d)

f (x) = 2(x

g)

f (x) =



j)

1 f (x) = 3 + x2

m)

p)

x

|x| − 1 √ −4

f (x) =

f (x) =

 | − |  | |  || x

2 +2

b)

g(x) = x2 + 4x + 5

e)

x 2 g(x) = x+7

h)

g(x) = x 1

k)

√x √ g(x) = 1+ x

n)

xx

, x <1

x/ x

,

|| |x| ≥ 1

◦

| − |

 −

g(x) =

g(x) =

x2

 | −  − √ − x2 x

q)

c)

8x + 7

1

x

|−2

h(x) =

5x + 3 x 4

−

 −  −  − 4x 2 x+2

f )

h(x) =

i)

h(x) =

l)

h(x) =

√x +x1 − 1

h(x) =



o)

2

2

x2

x2 + x + 1 x 1+ x

−

||

, x<1 1 , x

≥1

◦

2. Halle las composiciones f g y g f de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos. a ) f (x) = x2 b) f (x) = 1

c) f (x) =

d ) f (x) =

g(x) =

−x

   

√x.

g(x) = x

3x + 4

, 0

x+1

, 2
2x

,

−2

10

,

≤x≤2

g(x) =

−3≤ x≤ 6 6 < x ≤ 10

g(x) =

− x2.

   

x2

, 2

4

, 5 < x < 12

x

,

x2

,

≤x≤5

− 10 ≤ x ≤ 7 7 < x ≤ 15

◦ ◦

3. Encuentre f f f de las siguientes funciones. a)

f (x) =

1 x

b)

f (x) =

1 1+x

c)

f (x) =

√1 x+ x2

4. Para cada problema encuentre la funci´ on y = f (x) que satisface la condición dada: a ) f (x + 1) = x2 b) f (x +

− 3x + 2.

1 1 ) = x2 + 2 con x = 0. x x

1 c) f ( ) = x + x





1 + x2 con x > 0.

12



5. Sean f (x) =

x2

4.2

Estudio de Funciones

1 x y g(x) = funciones. Sea +1 1+x P (h) =

− (f ◦ g)(x + h) (f · g)(x + h) − f (x+h) g(x+h)

f (x + h)

a ) Calcule A(h) en función de h y x.

−

b) Calcule A(1) y A( 1).

6. Sea

U el conjunto universo. Considere la función que a un conjunto finito le asigna el número de elementos. a ) Escriba esta funci´ on en términos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada b) ¿Es biyectiva esta función?

7. Considere la funci´ on que a un elemento de los números reales le asigna su valor absoluto. a ) Escriba esta funci´ on en términos de f : Conjunto de Entrada b) ¿Es biyectiva esta función?

8. Sea p > 0 y f : [0, p]

−→ Conjunto de Llegada

⊆ R −→ R una función. Se define:

a ) La extensi´ on par de f como:

  −  − − f (x)

, 0

≤x≤p − p ≤ x < 0

P f (x) =

f ( x) ,

b) La extensi´ on impar de f como:

f (x)

I f (x) =

, 0

f ( x) ,

≤x≤p − p ≤ x < 0

Pruebe que la extensión par de f es una función par, y que su extensión impar es una función impar. 9. Para a,b,c,d

∈ R considere la función definida por: f (x) =

ax + b cx + d

a ) ¿Qué condiciones deben satisfacer los parámetros a,b,c,d

∈ R para que f tenga inversa?

b) Halle el dominio de f −1 y determine una expresión para ella.

obius. Pruebe que la comc) Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de M¨ posición de transformaciones de Möbius es una transformaci´ on de Möbius.

13



4

10. El Seno Hiperb´ olico de x viene dado por sinh x = cosh x =

ex

ex + e−x . Demuestre las siguientes propiedades: 2

− e−x

FUNCIONES

y el Coseno Hiperb´ olico viene dado por

2

a ) cosh x > 0 x

∀ ∈ R y sinh x ≥ 0 si y solo si x ≥ 0.

b) El seno hiperbólico es una función impar y el coseno hiperbólico es una función par. c) cosh x + sinh x = ex y cosh x d ) cosh2 x

− sinh x = e−x.

− sinh2 x = 1. e) sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y. f ) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y. g ) Sea n ∈ N, entonces (cosh x + sinh x)n = cosh nx + sinh nx. 11. Una funci´ on f se dice convexa en I

⊆ R si f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1] oncava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R: f se dice c´ a) f (x) = x b) g(x) = |x| c) h(x) = |x|2 Adem´ as muestre que las funciones lineales son convexas.



·

12. Sean f (x) = ax + b y g(x) = cx + d con a, c = 0. Muestre que f g es convexa si a y c tienen el mismo signo, y si tienen el signo contrario son cóncavas.

14



4.3.

4.3 Problemas de Modelado

Problemas de Modelado

1. Una hoja tiene un área de impresió n de 25 cm2 rodeados por márgenes de 2 cm a cada lado y 4 cm en la parte superior e inferior. Exprese el área total de la hoja. 2. Encuentre el área de un rectángulo inscrito en la semielipse x2 + 4y2 = 4 con y sobre el eje x.

≥ 0, si un lado debe estar

3. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de lató n de 6 m de largo y 80 cm de ancho. 4. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en función del radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricación. 5. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine el volumen del cilindro en función de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2 . 6. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un vértice en el origen, uno en el eje x positivo, uno en el eje y positivo y su cuarto v´ ertice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cuál es el área máxima de dicho rectángulo? 7. Un hotel que cobra 80 dólares diarios por habitación hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un dólar por cada cuarto. En estas condiciones ¿cuántas habitaciones producen el ingreso máximo? 8. Un nadador está en un punto A en la orilla de un estanque circular de centro O, de 200 m de diámetro. El nadador desea llegar a un punto B que está diametralmente opuesto a él. Para hacerlo, camina hasta el punto P de la orilla de modo que el ángulo AOP = 60 ◦ , y después nada en l´ınea recta de P a B. El nadador camina con una rapidez de ángulo de 50 m/min y nada con una rapidez de 100 m/min. Determine la distancia recorrida como función del tiempo. 9. Un empleado dispone de dos opciones para ocupar un puesto en una empresa de la unión europea. En un puesto le pagan 12, 5 euros en una hora más 0, 75 euros por unidad producida. En el otro puesto le pagan 9, 20 euros en una hora más 1, 30 euros por unidad producida. a ) Exprese los salarios en una hora en términos de el número de unidades producidas para cada una de las opciones. b) ¿Cómo usar´ıa esta información para seleccionar la opción correcta si su objetivo fuera obtener el mayor sueldo por hora?

10. Considere un alambre de largo L. A una distancia x de uno de sus extremos, al alambre se le hace un corte dej´ andolo en dos partes. Con una parte se forma una circunferencia. A la otra parte, a un distancia y de uno de sus extremos, se le hace un corte dejándolo en dos partes. Con una parte de hace un triángulo equil´ atero y con la otra un cuadrado. a ) Encuentre una fórmula, A(x, y), que calcule la suma de las áreas. b) Si y = x, determine el dominio y recorrido de la función A(x). c) Grafique A(x).

15



4

FUNCIONES

11. Considere la siguiente figura:

a ) Encuentre el volumen, V (x), del sólido en función de la altura x. b) Determine el dominio y recorrido de V (x). c) Grafique V (x). 12. Considere la siguiente figura:

a ) Encuentre el área achurada, A(x), en función de la base x. b) Determine el dominio y recorrido de A(x). c) Grafique A(x). 13. Considere la siguiente figura:

a ) Encuentre el volumen del cono, V (x), en función de la altura x. b) Determine el dominio y recorrido de V (x). c) Grafique V (x).

16



4.3 Problemas de Modelado

14. Para a,b > 0 considere la siguiente figura:

a ) Encuentre el área, A(x), del rectángulo inscrito en el triángulo en función de x. b) Grafique la funci´ on A(x) cuyo dominio es el intervalo [0, 2a]. ¿Cu´ al es su recorrido? c) ¿Cuá l es el área máxima del rectángulo inscrito?

17



5.

5

GEOMETR´ IA ANAL´ ITICA

Geometr´ıa Anal´ıtica

5.1.

La Recta

1. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2.

2. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es

−3 y cuya intercepción con el eje Y es −2. −

3. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por los puntos C (4, 2) y B( 5, 7).

4. Los vértices de un cuadrilátero son A(0, 0), B(2, 4), C (6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuación de la recta de sus lados.

5. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B( 2, 2) y C (3, 4).

−

−

6. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0.

−

−

−4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas −

7. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos ( 3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la recta Ax By + 4 = 0.

−

8. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k

− 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4 x + 3y + 7 = 0.

9. Determine el valor de la constante k para que la recta k2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x 2y 11 = 0.

− −

10. Grafique que las rectas 2x un paralelógramo.

− y − 1 = 0, x − 8y + 9 = 0, 2x − y − 8 = 0 y x − 8y + 3 = 0, y luego pruebe forman

11. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuación de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos: a ) Halle la pendiente de L. b) Halle la ecuaci´ on de la recta L que pasa por P y es perpendicular a L. c) Determine las coordenadas del punto P  que es el punto de intersección entre L y L . d ) Calcule la distancia entre el punto P y P  .

12. Hallar la distancia de la recta 4x

− 5y + 10 = 0 al punto (2, −3).

13. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x

− 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0. 18



5.1

La Recta

14. Hallar la ecuaci´ on de la recta paralela a la recta 5x + 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es única esta solución? Justifique geométricamente. 15. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto (3 , 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto ( 1, 1) es 2 2. ¿Es u ´ nica esta soluci´ on? Justifique geométricamente.

−

√

16. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C (3, 7).

−

−

17. Considere el tri´ angulo cuyos vértices son C ( 2, 1), L(4, 7) y G(6, 3). a ) Hallar la ecuaci´ on de la recta de sus lados. b) Determine el valor de sus alturas. c) Determine su centro de gravedad. d ) Encuentre su área. e) ¿Qué tipo de triángulo es?

18. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0. 19. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área 52 unidades cuadradas. 20. El tri´ angulo ABC con vértice C = (3, 4) tiene un área de 10 cm2 . Los otros dos vértices están sobre la recta L1 : x 2y = 0. Si se sabe que L2 , que pasa por C y tiene pendiente m2 = 2, es una transversal de gravedad del triángulo ABC , determine los vértices A y B.

−

−

21. Demuestre que el área del triángulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 , con m1 = m2 , viene dada por: 1 (b2 b1 )2 A= 2 m2 m1



− | − |

19



5.2. 5.2.1.

5


C´ onicas Circunferencia

1. Determine la ecuación de las siguientes circunferencias:

−

a ) Centro es el punto (2, 6) y su radio es 6. b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B( 8, 6) es un diámetro.

−

− −

c) El centro está en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto ( 1, 1). d ) La circunferencia es tangente a la recta 3x

− 4y = 32 y el centro está en el punto (0, 7).

2. Hallar la ecuaci´ on de las siguientes circunferencias. a ) La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0).

− − c) La circunferencia pasa por los puntos (4, −1), (0, −7) y (−2, −3). b) La circunferencia pasa por los puntos (2, 2), ( 1, 4) y (4, 6).

3. Halle la ecuación de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados. a ) x2 + y 2

− 2x − 6y − 3 = 0 b) x2 + y 2 + 2x − 2y − 39 = 0

−

P 0 = ( 1, 6) P 0 = (4, 5)

4. Demostrar que las circunferencias C 1 : x2 + y 2 3x 6y + 10 = 0 y C 2 : x2 + y 2 5 = 0 son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C 1 y C 2 en su punto en común y que pasa por el punto (7, 2). Adem´ as compruebe que el centro de esta circunferencia está sobre la recta de los centros de C 1 y C 2 .

− −

−

5. Hallar la ecuación de la cirunferencia que para por el punto ( 10, 2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y 2 + 2x 2y 32 = 0 y la recta x y + 4 = 0.

− −

−

− −

6. Hallar los valores de a R de modo que la circunferencia de ecuación x2 + y 2 con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0):

∈

− 2ax + a2 − 1 = 0 y la recta

a ) Se corten en un único punto. b) Se corten en dos puntos. c) No se corten.

20


Departamento de Matem´ atica Programa Preliminar para Ingenier´ıa 5.2.2.

5.2

C´ onicas

Par´ abola

1. Escriba la definici´ on de la Parábola como un lugar geométrico y luego deduzca su ecuación. 2. Hallar la ecuaci´ on de las siguientes parábolas. a ) Vértice en el origen y foco en el punto (3, 0). b) Vértice en el origen y que tiene como directriz la recta y

− 5 = 0. c) Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x − 1 = 0.

d ) Vértice en el punto (2, 0) y foco en el origen.

3. En los siguientes ejercicios lleve la ecuaci´ on a su forma canónica y luego determine: coordenadas del vértice y del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto. a ) 4y 2

− 48x − 20y = 71

b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 c) y 2 + 4x = 7 d ) 4x2 + 48y + 12x = 159 e) y = ax2 + bx + c

4. Hallar la ecuaci´ on de la parábola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, 4) y (3, 1).

−

−

5. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (4, 1), como eje la ecuación y + 1 = 0, y que pasa por el punto ( 3, 3).

−

6. Considere la ecuaci´ on de la parábola y2 = 4 px. Demuestre que la ecuación de la recta tangente a una parábola en el punto P 0 (x0 , y0 ) es: y0 y = 2 p(x + x0 ). 7. Determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes parábolas: a ) y 2 2

− 4x = 0

b) y + 4x + 2y + 9 = 0 2

c) x

− 6x + 5y − 11 = 0

P 0 (1, 2) P 0 ( 6, 3)

− P 0 (−2, 1)

21



5


Elipse

1. Escriba la definici´ on de la Elipse como un lugar geom´ etrico y luego deduzca su ecuación. 2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los vértices y focos, la longitud de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique. a ) 9x2 + 4y 2 = 36 b) 4x2 + 9y 2 = 36 c) 16x2 + 25y2 = 400 d ) x2 + 3y2 = 6

−

3. Hallar la ecuaci´ on de la elipse cuyos vértices son los puntos (4, 0) y ( 4, 0), y sus focos son los puntos (3 , 0) y ( 3, 0).

−

4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos ( 6, 1) y (2, 2).

√ −

√

5. Hallar la ecuaci´ on de la elipse que pasa por los puntos (1 , 3), ( 1, 4), (0, 3 paralelos a los ejes coordenados.

−

− √3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejes

6. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´ on a su forma canónica y luego determinar: coordenadas de los vértices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique. a ) x2 + 4y2

− 6x + 16y + 21 = 0 b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0 c) x2 + 4y2 − 10x − 40y + 109 = 0 d ) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0 7. Considere la ecuación de la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuación de la recta tangente a una elipse en el punto P 0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2 . 8. Determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses: a ) 2x2 + 3y 2 = 5

P 0 (1, 1)

b) 6x2 + 2y 2 = 14

P 0 (1, 2)

c) 3x2 + y2 = 21

P 0 (2, 3)

−

22



5.2

C´ onicas

Hip´ erbola

1. Escriba la definici´ on de la Hipérbola como un lugar geom´ etrico y luego deduzca su ecuación. 2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, vértices y centro, longitudes del lado transverso y conjugado, y finalmente grafique. a ) 9x2

− 4y2 = 36 b) 4x2 − 9y 2 = 36 c) 16x2 − 25y2 = 400 d ) x2 − 3y2 = 6 3. Determine la ecuación de las siguientes hipérbolas y luego graf´ıquelas. a ) Focos en los puntos ( 7, 3) y ( 1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades.

−

−

b) Los vértices de una hipérbola vienen dados por los puntos (2 , 0) y ( 2, 0), y sus focos son los puntos (3, 0) y ( 3, 0).

−

−

−

c) La hiérpola pasa por el punto (3, 1), su origen está en el centro, su eje transverso está sobre el eje x y la ecuación de una de sus as´ıtotas es 2x + 3 2y = 0.

√

d ) La hiérpola pasa por el punto (2, 3), su origen está en el centro, su eje transverso está sobre el eje y y la ecuaci´ on de una de sus as´ıtotas es 2y 7y = 0.

−√

4. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´ on a su forma canónica y luego determinar: coordenadas de los v´ ertices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuación de sus as´ıntotas y finalmente grafique. a ) x2

− 9y2 − 4x + 36y − 41 = 0 b) x2 − 4y2 − 2x + 1 = 0 c) 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0 d ) 3x2 − y2 + 30x + 78 = 0 5. Considere la ecuación de la elipse b2 x2 a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuación de la recta tangente a una hipérbola en el punto P 0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x a2 y0 y = a2 b2 .

−

−

6. Determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hipérbolas: a ) 3x2

− y2 = 2 b) x2 − 9y2 = 7 c) x2 − y 2 = 5

(1, 1) (4, 1)

−

(3, 2)

23



5.3.

5


Lugares Geom´ etricos

1. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x + y + 1 = 0 es siempre igual a su distancia al punto (-2,-1). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. 2. Hallar la ecuaci´ on del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto ( 1, 3).

−

− −

−

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2, 2) es siempre igual a un tercio de la distancia del punto (4, 1). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico. 4. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1 , 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 3x + 4y 1 = 0. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico.

−

5. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1 , 1). 6. Haller e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y 2 = 9. 7. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0 , 2).

−

8. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve tal manera que su distancia al punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x 3 = 0.

−

24



6. 6.1.

N´ umeros Naturales Inducci´ on

1. Demuestre que el producto de 3 naturales consecutivos es siempre divisible por 6.

∀ ∈ N se cumple que: 1 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = n(3n − 1) 2

2. Demuestre utilizando inducci´ on que n


∀ ∈ N se cumple que:

13 + 23 + 33 + . . . + n3 =

1 2 n (n + 1)2 4


∀ ∈ N se cumple que: 1 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = n(4n2 − 1) 3



1 (5) + 2 (5)2 + 3 (5)3 + . . . + n (5)n =

·

·

·

·

5 + (4n 1)5n+1 16

−

∀ ∈ N se tiene que:


1 1 1 n(n + 3) + + ... + = 1 2 3 2 3 4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)

· ·

· ·

∀ ∈ N se cumple que [n(n + 1)]2 es divisible por 4.


∀ ∈ N se cumple que (xn − yn) es divisible por (x − y).


∀ ∈ N mayor que 2 y par se tiene que (2 n − 1) es divisible por 3.


∀ ∈ N se cumple que 4n3 + 8n es divisible por 12.


∀ ∈ N se cumple que 8n3 + 10n es divisible por 6.


∀ ∈ N se cumple que 32n − 1 es divisible por 8.


∀ ∈ N se cumple que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.


25



6

´ N UMEROS NATURALES

∀ ∈ N se cumple que 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 es divisible por 54.

14. Demuestre utilizando inducci´ on que n 15. Demuestre que la desigualdad n2

≥ 6n + 5 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0.

16. Demuestre que la desigualdad 5n > n 2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0

∈ N; encuentre dicho n0.

∀ ∈ N se cumple que n2 + n + 2 es un número par.


18. Calcule la suma 3 + 9 + 33 + ... + (2 2n−1 + 1) y demuestre que n divisible por 3.

∀ ∈ N la suma de los términos es siempre

19. Sea un

una sucesión definida por recurrencia tal que u1 = 0 y un+1 = (1+x)un nx en donde x 1 Probar que un = [1 + nx (1 + x)n ] n N. x

{ }n∈

−

N

−

∀ ∈

∈ R\{0}.

20. Demuestre utilizando inducci´ on que k


1 1 2

·

+... +

1 1 k+1 + = k (k + 1) (k + 1) (k + 2) k+2

·

·

∀ ∈ N se cumple que: n k + j − 1 =




j

k=1

22. Considere que una funci´ on f : R n f (a ) = nf (a) n N.

∀ ∈

   n + j j + 1

→ R tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar por inducción que

23. Demuestre que para todo número natural mayor o igual que 2 se cumple

√11 + √12 + √13 + · ·· + √1n > √n

24. Demuestre que para todo número natural n vale la siguiente desigualdad

n 1 1 < 1+ + + 2 2 3

25. Sea un

{ }n∈

N

· ·· + 2n 1− 1 ≤ n.

la sucesi´ on de Fibonacci. Es decir u1 = 1, u2 = 1 y un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, . . . n

a ) Calcule



uk .

k=1

b) Demuestre que un+2 un = u2n+1 + ( 1)n+1 .

·

−

∀ ∈ N se cumple que: n (−1)k nk =




k=0



(k + 2)(k + 3)

1 (n + 2)(n + 3)

26



6.2.

6.2 Sumatorias

Sumatorias

1. Calcule las siguientes sumatorias. a)

n

n





k

b)

k=1

n

k

2

n



c)

k=1

k

3

d)

k=1



k4

k=1

n

2. Calcular



f (k) si:

k=1

a)

f (k) = 2k−1 + 8k 3

− 6k2

3 f (k) = k3 + k 2

b)

3. Si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por

ak =

200



calcule

 

( 13 )k

, k = 1, . . . , 99

(k + 1)2

, k = 100, . . . , 200

ak

k=1

n

4. Calcule



k=1

2k 1 usando la identidad: k(k + 2)2

−

3 2 Ayuda: 2k

n



k=1

1 1 = 2 k(k + 2) 4



3 2

−

2n + 3 (n + 1)(n + 2)



− 1 = 2k − 1 + k2 + 2k + 5 − k2 − 2k − 5

5. Calcule las siguientes sumatorias. n

a)

k=1 n

d)

k=1

n+1

g)

k=1 n

j)

n

k (k + 1)!

  ·     −

k=1

k 2k (k + 2)!

k+2 k(k + 1)

n ( 1)k k k+1

1 2

b)

   

k=1

1 2 k + 2k

n

c)

k=1 n

k

h)

k=1 n

k)

k=1

ka k , a = 1

k=1

n

e)

     



n+1

·

k (k!) k4 + k 2 + 1 k4 + k k+2 k(k + 1)2k

f )

(k + 1)( 3)k

k=1 n

i)

k=1 n

l)

k=0

−

1 √ √ k(k + 1)( k + 1 + k)

n ( 1)k k (k + 1)(k + 2)

−

27



6


6. Calcule las siguientes sumatorias. n

a)

   −   n k

k=0 n

d)

k=1

    n

2

b)

1+

k=1 n

2k 4 k + k2 + 1

e)

k=1

n

g)

k

( 1) (n

k=0 n

j)

k=1

7. Sea x =

1 n

n

− k)!(n + k)!

h)

k=1

1 1 + k 2 (k + 1)2

n

c)

   

(k2 + 1)k!

k=1 m

1 k(k + 1)

f )

log(1 +

k=n n

2k + 1 2 k (k + 1)2

i)

k=1

1 ) k

n (a + bk) k

n 2 k k

n



k=1

xk . Demuestre que n

∀ ∈ N vale la siguiente identidad: n

n



((xi

i=1

2

− x)

+ xi (x

− 1)) =

 i=1

x2i

− nx

28



6.3.

6.3

Progresiones Aritméticas y Geom´ etricas

Progresiones Aritm´ eticas y Geom´ etricas

1. Determine x de modo que los números 7, x y 252 sean tres términos consecutivos de una progresión geométrica. 2. Una expedici´ on avanza 20 km el primer d´ıa, de ah´ı en adelante, cada d´ıa avanza 4 km más que el d´ıa anterior. ¿Cu´ antos d´ıas demoran en avanzar 504 km? 3. En cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿Cuántas veces el número original de bacterias hay en el cultivo al cabo de 2 horas? Suponga que ninguna bacteria muere. 4. El primer d´ıa se entrena 7 minutos y cada d´ıa siguiente se entrena el doble que el d´ıa anterior. ¿Cuánto tiempo se habrá entrenado en una semana? 5. Sea S n la suma de los n primeros términos de una progresión aritm´ etica. Encuentre los primeros cuatro n2 términos si se sabe que S n = n. 4

−

6. Si a,b,c y d son n´ umeros que están en progesión geométrica, demuestre que (b c)2 +(c d)2 +(d b)2 = (a d)2 .

−

−

−

−

7. En un c´ırculo de radio R se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un c´ırculo, y en este c´ırculo se inscribe un cuadrado; as´ı sucesivamente. ¿Cuál es el l´ımite de las sumas de las áreas de los cuadrados y de los c´ırculos? 8. De tres números, que forman una progresión geométrica, el tercero es el 12. Si el 12 es reemplazado por 9, los tres n´ umeros forman una progresión geométrica. Encuentre los dos números restantes. 9. Utilizando progresiones demuestre que xn+1 − y n+1 − n−2 2 n−1 n x +x y+x y + . . . + xy +y = n 1

n

x

10. En una progresi´ on geométrica los tres primeros términos suman una progresión aritmética. Determinar ambas progresiones.

−y

−6. Si al segundo término se le resta 9 resulta

11. Suponga que la suma de una progresión aritm´ etica es igual tanto para p elementos como para q elementos. Demostrar que la suma de p + q elementos es cero. 12. Determinar tres números reales de modo que est´ en en progresión geom´ etrica y que su producto sea 2744; y que si al primer número se le resta 1, al segundo se le resta 2 y al tercero se le resta 4, se obtiene una nueva progresi´ on geométrica.

{

} {

}

13. Sean a1 , . . . , an y b1 , . . . , bn dos progesiones aritméticas con diferencias d1 y d2 respectivamente. Si sabemos que n

n

  ai = 2

i=1

¿Qué relación hay entre d1 y d2 ?

bi

i=1

29



6


14. La suma de cuatro números, que están en progresión aritmética, es 48. Si el producto de los extremos es al producto de los medios como 27 es a 35, determine los números. 15. Encuentre tres números que estén en progresión aritmética tales que sumen 24 y que su producto sea 440. 16. En una progresi´ on aritmética, los términos que ocupan los lugares 54 y 4 son 61 y 64 respectivamente. Hallar el primer término de la progresión, la razón y el t´ ermino que ocupa el lugar 23.

−

17. Considere una progresi´ on aritmética cuyo primer término es a. Si la suma de los primeros p términos es cero, a q ( p + q) demuestre que la suma de los q términos siguientes es . 1 p

· ·

−

18. El t´ ermino de lugar p de una progresión aritmética es q, y el término de lugar q es p. Hallar el término de lugar n.

∈

19. Para cada n N, las sumas de los primeros n términos de dos progresiones aritméticas están en la razón de (7n + 1) : (4n + 27). Hallar la razón de los t´ erminos que ocupan el lugar 11. 20. En una progresi´ on geométrica el primer término es 7 y el último término es 448. Si la suma de los términos es 889 ¿cuál es la razón? 21. Hallar tres números cuya suma sea 21 y que est´ en simultáneamente en progresión aritmética y geométrica. 22. Tres n´ umeros están en progresión geom´ etrica. Si al segundo número se le aumenta en 8 los números quedan en progresión aritmética; pero si en esta, al último n´ umero se le aumenta en 64, la progresión vuelve a ser geométrica. Determinar los números. 23. Sean a, b

∈ R. Suponga que los números x1, . . . , xn forman una progresión aritmética tal que: x1 + . . . + xn x2n + . . . + x2n

= a = b2

a ) Exprese a y b en términos de x1 ,n y a. b) De la parte anterior obtenga la progresión aritmética.

30



6.4.

6.4

Teorema del Binomio

Teorema del Binomio

1. Para n, k

∈ N tal que n ≥ k se tiene que

Demuestre las siguientes propiedades: a ) b) c) d )



n n! = . Sean n,m,k k k!(n k)!

−

∈ N de modo que m ≥ n ≥ k.

   −      −   n 0

= 1.

m m n = n+1 n+1 n n + = k 1 k m+1 m+1 = n+1 n+1

m . n n+1 . k m . n

Observaci´ on: Recuerde que 0! = 1.

2. Determine el sexto término en el desarrollo de (

x2 2

− x3 )8.

3. Determine, si es que existe, el coeficiente de x18 en el desarrollo de (x2 +

2 15 ) . x

4. Calcule el término independiente de x y el término central, en caso de que existan, del binomio (x

5. Obtenga el coeficiente de x8 en el desarrollo de (1 + x2

− x12 )9.

− x3)9.

6. Determine el coeficiente de x5 en el desarrollo de (1 + x + x2 )10 . 7. Sea n

∈ N. Determine el coeficiente de x4 en (1 + x)(1 − x)n.

8. Sea n

∈ N. Determine el coeficiente de xn en (1 − x + x2)(1 + x)n.

9. Determine la suma de todos los coeficientes del polinomio con respecto a la variable x que resulta de la expansi´ on binomial de (3x 4)17 .

−

10. En caso de existir, obtenga el coeficiente x7 en el desarrollo de (

2 + x + x3 )8 . x3

√

11. Si es que existe, determine el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de ( 3 x +

12. Determine si existe un valor de n 1 (x3 + 2 )n coincidan. x

∈

1 6 ) . x

N para que los cuartos t´ erminos en los desarrollos de (x2 +

1 n ) y x

31



13. Encuentre el valor de n coincidan. n

14. Demuestre que

6

∈ N para que los terceros términos en los desarrollos de ( x2 + x12 )3n y (x + x12 )3n

  

 

n n + ( 1)k k k

k=0


−

= 2n .

Indicaci´ on: Considere el Teorema del Binomio. 15. Determine una relaci´ on entre a y n de modo que en el desarrollo de (1+ a)n aparezcan dos términos consecutivos iguales. 16. Determine los n´ umeros C y L de manera que para todo número natural se tenga que 3

  

n =6

n n n + C +L 3 2 1

17. Sean a,b,c R y n N. Encontrar una fórmula para el desarrollo de (a + b + c)n ocupando el Teorema del Binomio y las propiedades de sumatoria.

∈

∈

18. Se tiene que (1 + 2x)(1 + x2 )n = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2n+1 x2n+1 . Demuestre que si a0 , a1 , a2 est´ an en progresión geométrica entonces n = 4.

{

}

32



7. 7.1.

N´ umeros Reales Axiomas de Cuerpo

1. El tr´ıo (R, +, ) es llamado cuerpo puesto que se satisfacen los siguientes axiomas:

·

Axioma

Suma

Multiplicaci´ on

Asociatividad

(x + y) + z = x + (y + z)

(x y) z = x (y z)

Conmutatividad

x+y =y+z

x y=y x

Distributividad

x (y + z) = x y + x z

(x + y) z = x z + y z

Elemento Neutro

x+0=0+x =x

x 1= 1 x = x

Elemento Inverso

x + ( x) = 0 = ( x) + x

·

· ·

·

·

−

· ·

·

−

·

·

·

·

·

·

x x−1 = 1 = x−1 x

·

·

En donde ”0” representa el elemento neutro para la suma y ”1” el elemento neutro para la multiplicación; R y ”x−1 = 1/x” el elemento inverso para la ”( x) = x” el elemento inverso para la suma de un x multiplicaci´ on de un x R.

−

∈

Sean a,b,c

∈ R. Utilizando los axiomas de cuerpo en los números reales demuestre:

a ) Si a + b = a + c b) b

∈

⇒ b = c. En particular el elemento neutro para la suma es único.

− a = b + (−a). c) −(−a) = a. d ) a(b − c) = ab − ac. e) 0 · a = a · 0 = 0.  0 ⇒ b = c. En particular el elemento neutro para la multiplicación es uńico. f ) Si ab = ac y a =  0 entonces (a−1)−1 = a. g ) Si a = h ) Si ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0. i ) (−a)b = −(ab) = a(−b). 2. Sean a,b,c a )

∈ R. Utilizando los axiomas de cuerpo en los números reales demuestre:

−0 = 0 y 1−1 = 1

b) 0 no tiene elemento inverso multiplicactivo. c) Si a = 0 entonces la ecuación ax + b = c tiene solución u ´ nica de la forma x =



c

− b. a

d ) Si a, b  = 0 entonces (ab)−1 = b−1 a−1 . e) (−a)2 = a2 y (−a)3 = −a3 .

33



7

´ N UMEROS REALES

∗

3. Suponga que se define la operación , en el conjunto de los números naturales N, definido por x ¿Esta operación satisface el axioma de asociatividad? ¿Y el axioma de conmutatividad?. 4. Sea G un conjunto no vac´ıo y considere la operación satisfacen los siguientes axiomas:

∗ y = xy .

∗ : G × G −→ G. El par (G, ∗) es llamado grupo si se

∀a,b,c ∈ G se cumple que (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Esto quiere decir que la operación ∗ es asociativa en G. b) ∃ e ∈ G tal que ∀x ∈ G se cumple que e ∗ x = x ∗ e = x.

a )

Esto quiere decir que ”e” es el elemento neutro de G.

c)

∀a ∈ G ∃ a ∈ G tal que a ∗ a = a ∗ a.

Esto quiere decir que ”a” es el elemento inverso de un a

∀

∈

∗

∈ G.

∗

Adem´ as si x, y G se cumple que x y = y x (esto quiere decir que la operación entonces al grupo se le llamará grupo conmutativo o grupo abeliano.

∗ es conmutativa en G) ·

Como ejemplo se tiene que ( R, +) y (Z, +) son grupos abelianos, sin embargo, ( N, +) y (Z, ) no son grupos. Sea (G, ) un grupo y a,b,c

∈ G. Demuestre que: a ) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c y b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c. ∗

b) El elemento neutro e inverso son únicos.

∗

∗

c) Las ecuaciones a x = b y y a = b tienen solución u ´ nica en G. 5. Considere el par ( Q

√

{

6. Sea Q[ 2] = a +

U

\ {0}, ∗) con x ∗ y = x 3· y ∀x, y ∈ Q \ {0}. Muestre que (Q \ {0}, ∗) es un grupo abeliano.

√2b / a, b ∈ Q}. ¿(Q[√2], ·) es un grupo? U ), en donde  es la diferencia simétrica de conjuntos, es un

7. Sea el conjunto universo. Muestre que ( , grupo abeliano.

8. Sea B el conjunto de todas las funciones biyectivas. Muestre que ( B, ), en donde funciones, es un grupo.

◦

◦ es la composición de

34



7.2.

7.2 Axiomas de Orden

Axiomas de Orden

1. El conjunto de los números positivos, R+ , verifica los axiomas de orden, los cuales son: Axioma

Si x, y

∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+

Si x, y

∈ R+ ⇒ x · y ∈ R+

∀ x ∈ R+ se cumple que x ∈ R+  −x ∈ R+ Para x, y

 x=0

∈ R podemos decir que:

Sean a,b,c,d

Nomenclatura

Condici´ on

x es igual a y

x=y

x es menor que y

y

x es menor o igual que y

x=y

x es mayor que y

=x

x es mayor o igual que y

x=y

Notaci´ on

x=y

− x ∈ R+ ∨ y − x ∈ R+

− y ∈ R+ ∨ x − y ∈ R+

x
x

≤y

x >y

x

≥y

∈ R. Muestre que:

a ) a

≤ b ∧ c ∈ R ⇒ a + c ≤ b + c. b) a ≤ b ∧ c ∈ R+ ⇒ ac ≤ bc. c) a ≤ b ∧ −c ∈ R+ ⇒ ac ≥ bc. d ) a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d. e) a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ ac ≤ bd. 2. Demuestre las siguientes desigualdades.

≥ b con a > 0 ∧ b > 0 ⇒ an ≥ bn ∀ n  N. b) Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≤ bm ∀ n = par  N. c) Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≥ bm ∀ n = impar  N.

a ) Si a

35



7.3.

7

´ N UMEROS REALES

Desigualdades

1. Sean a,b,c > 0. Demuestre que

2ab 2ac 2bc + + a+b a+c b+c

Indicaci´ on: Primero muestre que

2ab a+b

≤ a + b + c.

≤ a +2 b .

≤ (a + b)(b + c)(c + a). √ Indicaci´ on: Primero muestre que a + b ≥ 2 ab.

2. Sean a,b,c > 0. Demuestre que 8abc

3. Si a + b = 1 pruebe que: a ) ab

≥ 1/4. b) a2 + b2 ≥ 1/2. c) a4 + b4 ≥ 1/8. ∀

4. Sean x,y,z

∈ R+. Muestre que:

a )

2xy 2xz 2yz + + x+y x+z y+z

b)

x+y+z 3

c)

∀x,y,z ∈ R+. Muestre que x + x1 ≥ 2.

d )

1 1 2 + > . x y x+y

e)

x+y 2

≥ √xyz ≥ 3

≥ √xy ≥

1 x

≤ x + y + z. 3

1 x

+

1 y

+

1 z

.

2 . ¿Cu´ ando se obtiene la igualdad? + y1

5. Considere los números a1 , . . . , an y b1 , . . . , bn y la funci´ on n

 ≥        (ak x + bk )2

f (x) =

0

k=1

Muestre que

n

0

2

≤ f (x) = x

n

a2k

k=1

+x 2

n

ak bk

b2k

+

k=1

k=1

y que solo toma valores en R+ 0 . Utilizando este resultado concluya que (a1 b1 + . . . + an bn )2

≤ (a21 + . . . + a2n)(b21 + . . . + b2n)

Observaci´ on: Es un caso especial de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

36



7.3 Desigualdades

6. Utilizando el resultado anterior demuestre las siguientes desigualdades. a ) Desigualdad del Cuadrilátero: (ab + cd)2

≤ (a2 + c2)(b2 + d2)

b) Desigualdad de Nesbit: a b c 3 + +  b+c a+c a+b 2 c) Sean a1 , a2 ,...,a n

≥ 0, definimos la Media Aritmética (A) y la Media Cuadrática (C ) como: C =

Demuestre que C

a,b,c > 0



a1 2 + a2 2 + ... + an 2 n

,

A=

a1 + a2 + ... + an n

≥ A.

d ) Lema de Tittu: Sean x1 , x2 ,...,x n , y1 , y2 ,...,y n números reales positivos. Entonces se cumple: x1 2 x2 2 xn 2 + + ... + y1 y2 yn

≥ (xy11++xy22 ++......++xynn)

2

7. Sean x,y,z números reales, todos diferentes de 1, tales que xyz = 1. Pruebe que: x2 y2 z2 + + (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2

−

−

−

≥1

Indicaci´ on: Haga cambios de variables adecuados.

37



7.4.

7

´ N UMEROS REALES

Inecuaciones

1. Resuelva las siguientes inecuaciones en el campo de los números reales. a) c) e) g) i) k) m) o) q)

− 8 ≥ 18 2x2 − 12x + 5 ≤ x(x − 8) √x + 14 > x + 2 2x

− ≥0

x 1 x+5

b) d) f ) h)

x2

− 3x + 8 ≥ 1 + 5x √28 − 4x2 < x 2 + 1 √2x + 29 > x − 3 x x−1 x−2 − ≤ 2 x+2 x −4 x+2 |x − 5| ≤ −4 4 − |x + 1| ≤ 1 |2x − 1| − 4 < x − 2

|x − 3| ≥ 7 |x − 3| < √x2 − 1 |x| + |x − 5| < |x − 9| x2 − 2x + 1 ≤ x−1

j)



p)

|x2 + 6x − 8| ≥ 1

|2x − 3| + |6 − 4x| ≤ |x2 + 2|

r)

|x + 2| > x − |x − 1|

x2 + 2x + 1

l) n)

 

2. Resuelva las siguientes inecuaciones en el campo de los números reales. a) c)

√−x2 + 9 ≥ −5 √ x − 1 ≤ x2 − 1

b) d)

e)

2x2 + x + 3 >0 x3 x

f )

g)

(3 2x)(x + 5) >0 (x2 25)(x + 1)

h)

i)

(x2 + 11x + 24) x (x2 + 7)(x 1)

j)

k)

x2 + x + 8 1 x 3

l)

m)

o)

q)

−

− −

−  | | −

√ −6 ≥0 −

≥0

− 2 − x2 > 0 |x| − x2 (x − 2)4 (x2 − 9) ≤0 (x − 1)(x2 + x + 1) x2 − |x − 2| − 4 | x − 2| > 0 x



n)

p)

r)

√x2 − x − 2 ≤ x x2

x 2 + 7x + 12

−

≥0

3 12 + < x+4 x 5

− −1 √ (x2 + 1) x − 1 <0 x2 − 7x + 10 1 + |2x − 3| |x + 5| < 1

 |

3x

(x

− 1| − 2 < |6x − 5| − 4

− 3)2( 1 − |x − 3| −



x2

+x+1

 − | | 4

x)

≤0

x2

− 3x + 2 ≤ 0 | x − 1| |x − 1| − |x + 1| ≤ |x − 1| |x2 − 1| x+1

38



7.4 Inecuaciones

3. Considere la ecuación cuadrática x2 + (2k + 1) + k(k + 9) = 0. Determine k tal que la ecuación tenga: a ) Ra´ıces reales distintas. b) Ra´ıces reales iguales. c) No tenga ra´ıces reales.

4. Considere las inecuaciones x2 5x + 6 0 y x a 0. ¿Qué valores deben tener las constantes a y b para que el conjunto de solución de ambas inecuaciones sean la misma?

−

≤

| − |≤

| − 2| − |x − 6| − |x − 10|. a ) ¿Para qué valores de x ∈ R f (x) > 0? b) ¿Para qué valores de x ∈ R f (x) < 0?

5. Sea f (x) = x

c) Encuentre las ra´ıces de f (x).

39



7.5.

7

´ N UMEROS REALES

Polinomios

1. Sea p(x) = x4 + bx3

− 13x2 − 14x + 24. a ) Determinar b ∈ R de modo que −2 sea ra´ız de p(x).

b) Determinar las otras ra´ıces del polinomio encontrado en a).

2. Considere el polinomio p(x) = (k

− 3)x3 − 3(k − 1)x2 + 8kx − 6k.

a ) Demuestre que x = 1 es una ra´ız de p(x). b) Encuentre los valores de k

∈ R de modo que todas las ra´ıces de p(x) sean reales.

3. Encuentre las ra´ıces y a factorización en factores de primer grado de p(x) = x4 4. Dividir (x3 + 2x + 3) por (2x2 5. Dividir (3x3

− 3x2 + 2x.

− 3x + 1) indicando el cuociente y el resto.

− 4x + 2) por (x + 3) indicando el cuociente y el resto.

6. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por división sint´ etica, que el valor indicado para x0 es ra´ız de la ecuación, y determine las otras ra´ıces reales, si es que existen. a ) 4x3 + 3x2

− 5x − 2 = 0 b) x − 2x − 5x + 6 = 0 c) 2x3 − 11x2 + 17x − 6 = 0 3

2

,

x0 = 1.

,

x0 =

,

x0 = 2.

−2.

7. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por división sint´ etica, que el valor indicado para x0 es ra´ız de la ecuación, y determine las otras ra´ıces reales, si es que existen. a ) x3

− 7x2 + 13x − 3 = 0 b) x3 + 3x2 − 2x − 4 = 0 c) x3 − 7x2 + 12x − 10 = 0

,

x0 = 3.

,

x0 =

,

x0 = 5.

−1.

8. ¿Para qué valores de P y G el polinomio 3x2 + Gx da resto 1? 9. Sabiendo que x1 = 1/2 y x2 = otras ra´ıces. 10. Sea p(x) = 2x5 + 10x4 primer grado.

− G2 − P es divisible por x +2, pero al dividirlo por (x − 1)

−1/2 son ra´ıces de la ecuación 4x4 + ax3 + bx2 + 5x − 4 = 0, determine sus

− 14x3 − bx2 + ax. Si p(1) = p(−5) = 0, escribir p(x) como producto de factores de

11. Determine los valores de k y tiene solo ra´ıces reales.

∈ R para los cuales el polinomio p(x) = 2k2x3 + 3kx2 − 2 es divisible por (x − 1) 40



7.5 Polinomios

12. Sea p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d con a,b,c,d Q, tal que p(0) = 2b, al dividirlo por (x + 1) tiene resto igual a (4a + c) y 2 es un cero. Resuelva p(x) = 0.

∈

√

13. Determine K

∈ R de manera que las ra´ıces de la ecuación x3 +3x2 − 6x+K = 0 estén en progresión aritmética.

14. Resuelva la ecuaci´ on 4x3

− 24x2 + 23x + 18 = 0 sabiendo que las ra´ıces están en progresión aritmética.

15. Muestre que la ecuación cuártica x4 + 5x3 + 4x2 5x + 1 = 0 puede ser llevada a la forma y 2 + 5y + 6 = 0 con el cambio de variable y = x x−1 (siempre y cuando x = 0). Resuelva la ecuación 2x8 3x7 12x6 + 12x5 + 22x4 12x3 12x2 + 3x + 2 = 0.

−

16. Suponga que a,b,c

−

−

−



−

∈ R de modo que a = b, ambos no nulos.

a ) Muestre que si a y b son ambos positivos o negativos, entonces la ecuación soluciones reales distintas. b) Muestre que la ecuación

x x

−a

+

x x

−b

x x

−a

+

−

x

x

− b = 1 tiene dos

= 1 + c tiene exactamente una solución real si c2 =

− (a 4ab − b)2 .

41



8. 8.1.

8

TRIGONOMETR´ IA

Trigonometr´ıa Operatoria

1. Encuentre el valor exacto de: 1)

sin(15◦ )

2)

cos(75◦ )

3)

tan(135 ◦ )

4)

π cos( 12 )

5)

tan( 5π 12 )

6)

sin(255◦ )

2. Se tiene que α est´ a en el segundo cuadrante y β est´ a en el tercer cuadrante. Calcule las siguientes expresiones sabiendo que cos α = 4/5 y sinβ = 12/13.

−

−

− β )

1)

sin(α + β )

2)

cos(α

3)

tan(α + β )

4)

sin(2α)

3. Si cos α = 1/3 y α est´ a en el cuarto cuadrante determine: 1)

sin(α/2)

2)

cos(α/2)

3)

tan(π

4)

sin(π/3 + α)

− α/2)

4. Escribir las siguientes funciones en la forma A sin(ωx + ϕ). ¿Cuál es el valor máximo y m´ınimo que puede tomar la función?, ¿en qué puntos sucede esto?. Grafique. a) c)

f (x) =

√3 2

cos x + sin(x + π/3)

h(x) = cos (2x) + 2 cos(x) cos(x

−

π 2)

− 2x) − √3 cos(2x + π2 )

b)

g(x) = cos(π

d)

π f (x) = cos 2x + + sin 3



 

3x 2

−

π 4



5. Demuestre las siguientes identidades. 1)

sin(arc cos x) =

3)

cos(arcsin x) =

1

x2

2)

sin(arctan x) =

√x2x+ 1

1

x2

4)

tan(arcsin x) =

√1 x− x2

 −  −

Indicaci´ on: Construya un tri´ angulo adecuado.

42



8.2.

8.2

Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonom´ etricas

1. Demuestre las siguientes identidades. a)

sin2 x + cos2 x = 1

c)

cos (2 p) = cos2 p

e)

x 1 1 cos2 ( ) = + cos x 2 2 2

g)

2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α

i)

2 sin α sin β = cos (α

k)

tan α + cot α = sec α csc α

m)

sin2 α + tan2 α =

o)

1 + 1 + sin α 1

q)

csc4 θ

−

b)

sin (2 p) = 2 sin p cos p

d)

tan (2 p) =

f )

x 1 sin2 ( ) = 2 2

− β )

h)

2 cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α

− β ) − cos(α + β )

j)

cos 3x = 4 cos3 x

l)

sec2 x + csc2 x = sec2 x csc2 x

− cos4 α

n)

cos θ 1 sin θ

1 = 2 sec2 α sin α

p)

(tan θ + sec θ)2 =

r)

sec2 x csc2 x = (tan x + cot x)2

b)

sin4

d)

1 tan2 ϕ = cos (2ϕ) 1 + tan2 ϕ

f )

(1 + tan2 x)(1

− sin2 p

1

cos2 α

− cot4 θ = csc2 θ(sin2 θ + 2 cos2 θ)

−

2tan p 1 tan2 p

−

− 12 cos x − β )

− 3cos x

− 1 −cossinθ θ = 2 tan θ 1 + sin θ 1 sin θ

−

2. Demuestre las siguientes identidades. x x + cot = 2 csc x 2 2

 

x x + cos4 =1 2 2





a)

tan

c)

cos4 x =

e)

1 + sin β cos β = tan 1 + sin β + cos β

g)

tan2 α 1 + cot2 α = sin2 α sec2 α 2 2 1 + tan α cot α

h)

(1

i)

(sec θ + tan θ

j)

tan α tan β

k)

tan2 α + sec2 β = tan2 β + sec2 α

l)

tan α + cot β tan α = tan β + cot α tan β

m)

cot α tan β (tan α + cot β ) = cot α + tan β

n)

sin2 α cos2 β

o)

sin(α + β ) = tan α + tan β cos α cos β

p)

cos (α + β ) cos(α

q)

sin (α + β ) sin(α

r)

sin (α + β ) sin(α

3 1 1 + cos2x + cos4x 8 2 8

−

 β 2

·

− 1)(sec θ − tan θ + 1) = 2 tan θ

− β ) = cos2 α − cos2 β

− 12 sin2 x

−

− sin2 x) = 1

− sin C + cos C )2 = 2(1 − sin C )(1 + cos C ) − cot β = tan α cot β − cot α − cos2 α sin2 β = sin2 α − cos2 β − β ) = cos2 α − sin2 β

− β ) = sin2 α − sin2 β

43



8

TRIGONOMETR´ IA

3. Demuestre las siguientes identidades.

− cos5x + cos 3x − cos x − sin5x − sin3x + sin x α α 2 1 + cos(−2α) π b) sin + cos + = 1 + cos α − + cot2 α π 2 2 2 1 + sin 2α − 2 c) cos(α + β ) + sin (α − β ) = (cos α + sin α)(cos β − sin β ) d ) cos(α − β ) − sin(α + β ) = (cos α − sin α)(cos β − sin β ) a ) cot2x =



cos7x sin7x





 



4. Determine A y B de modo que sin 3 x = A sin x + B sin3x sea una identidad en R 5. Muestre que si cos(α + β ) = 0 entonces sin(α + 2β ) = sin α 6. Muestre que si α y β son ángulos complementarios entonces (sin α + sin β )(cos α + cos β ) = 1 + sin 2α π 7. Si α + β = entonces cos α + sin α = 2

√

2cos

− α

β

2

44



8.3.

8.3

Ecuaciones Trigonométricas

Ecuaciones Trigonom´ etricas

1. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1 cos x 2

− sin2 x

a)

cos 2x =

c)

1 tan x = 1 + sin 2x 1 + tan x

e)

−

x x + cos 2 2

     sin

2

+1=0

b)

√3sin3x − cos3x = √3 4

x x 5 + cos4 = 3 3 8





d)

sin

f )

sin 2x + sin 4x = cos 4x + cos 6x

h)

sec x + sec 2x + sec x sec2x = 0

j)

2 sin

l)

2 sin (2x)

n)

√3sin x − sec x cos2 x = 0

g)

tan3 x

i)

2 sin x cos2x

k)

sin3 x + cos3 x = 1

m)

2 sin2 x

o)

3 tan3 x + 3 tan2 x + tan x + 1 = 0

p)

tan4 x

q)

sin3 x + cos3 x = 0

r)

3 sec2 x = 4 tan2 x

− 3sec x = 0 − sin x + 4cos 2x − 2 = 0 − 12 sin2x

−1= 0

√ − 2 3sin

x cot (2x) 2



x = cot (2x) 2



−

√

3

−1= 0

−9= 0

2. Resuelva las siguientes ecuaciones. π 4

 

a)

tan x +

c)

tan2 x + sec2 x = 7 x + sin x = 0 2

  −

e)

cot

g)

4 cos2

i)

sin (3x)cos x

k) m)

= 1 + tan x

x 2

2=

√

3

− cos(3x)sin x + 1 = 0 √ √ cos (3α) + 3sin(3α) = 3 √2 2

− cos x −

√2 2

b)

2 sin2 x

d)

tan

f )

cos2

h)

2 cos2 (2x)

j)

cos (3x)cos x + sin(3x)sin x = 0

l)

1 2

− cos x − 1 = 0

x = sin x 2

  −   x 2

sin2

x = cos2 x 2

− sin(2x) − 1 = 0

− cos x + 12 tan (3x) − tan(3x)cos x = 0

sin(2x) + sin (2x)cos x = 0

3. Si x + y = π/2, resuelva la ecuación trigonométrica sin (x

− y) = 2 sin x sin y.

45



8.4.

8

TRIGONOMETR´ IA

Problemas con Enunciado

1. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ángulo de elevación de la parte superior de un edificio es de 30 ◦ . Avanza 100 m hacia el edificio y el ángulo de elevación es el doble que el primero. Calcule la altura del edificio. 2. Un observador determina que el ángulo de elevación de una torre es α. Avanza a m hacia la torre y el ángulo de elevación queda en 45◦ . Avanza b m y el ángulo de elevación queda en 90 ◦ α. Determine la altura de la torre en términos de a y de b. Suponga que a = b.

−



3. Un cohete de h m de longitud está en su plataforma de lanzamiento a d m de distancia de un observador. La visual del observador a la punta del cohete hace un ángulo α con la horizontal. Poco después del lanzamiento en tiro vertical, la visual al mismo punto del cohete hace un ángulo β con la horizontal. Muestre que la distancia s que ha recorrido el cohete viene dado por: s=

d sin(α β ) cos α cos β

−

4. Si se observa la cima de una montaña desde un punto P se tendrá que el ángulo de elevación es α, y si es vista desde un punto Q que está a d metros de P , el ángulo de elevación será β . Exprese la altura de la montaña h en términos de d, α, β y el seno de estos ángulos.

Un canal de regad´ıo de largo 100 m tiene una sección transversal como se muestra en la figura; en donde los parámetros C,L > 0 5. y θ ] 0, π2 [. Encuentre el volumen de agua que puede tener el canal en función de sus parámetros y del ángulo θ.

∈

6. Determine el valor exacto de sen γ

7. Un helicóptero se halla suspendido a una altura de 3400 m de altura sobre la cumbre de una montaña que tiene 1730 m de altura. Desde la cima de dicha montaña, y desde el helicóptero, puede verse la cúspide de otra montaña más alta que la anterior; y desde el helicóptero el ángulo de depresión es de 45◦ . Desde la cima de la primera montaña el ángulo de elevación es de 30◦ . a ) Determine la distancia entre las cimas de las monta˜ nas. b) Calcule la altura de la monta˜ na más alta.

46



8.4

Problemas con Enunciado

8. Un poste y una antena se encuentran a una distancia D en un camino horizontal. Del pie del poste se mide el ángulo de elevación de la antena y del pie de la antena el del poste, encontrándose que el primer ángulo es el doble del segundo. Si un observador se ubica en el punto medio M del trazo que una las bases del poste y de la antena, observa que los ángulos de elevación medidos desde M al poste y a la antena son complementarios. Calcular la altura de la antena y del poste.

La altura H de la torre de la figura es desconocida. Se conocen los ángulos de elevación α y β medidos desde dos puntos A y B del suelo, separados 9. por una distancia de L y formando con la base de la torre un ángulo γ . Dado que la torre es vertical con respecto al suelo calcule H en términos de L, α, β y γ cuando α = β y luego cuando α = β .



El paralel´ ogramo de la figura tiene per´ımetro 2 p. Su diagonal mide d, con d < p y α ] 0, π [. Muestre que el área del paralelógramo viene dado por 10. 2 d2 A = xy sin α = p − tg( α2 ). 2

∈

11. Un edificio de 10 pisos de A m de altura cada uno, está ubicado al borde de una avenida. El ángulo subtendido por los dos pisos inferiores es equivalente al ángulo subtendido por los tres pisos superiores. Calcular el ancho de la avenida.

12. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ángulo de elevación de la parte superior de un edificio es de φ. Avanza 110 m hacia el edificio y el ángulo de elevación se duplica. Luego avanza otros 50 m m´ as y ve que el ángulo de elevación triplica al ángulo de elevación inicial. Determine la altura del edificio.

Se intenta mover un tubo de largo L de un corredor de ancho a a un corredor de ancho b, con a = b. Los corredores se encuentran en ángulos rectos, como se ve en la figura, y el tubo no se dobla. Muestre que se logrará mover el tubo si se cumple que



13.

L

≤ a csc θ + b sec θ

en donde θ satisface tan3 θ =

a . b

47



8

TRIGONOMETR´ IA

Se intenta mover una mesa rectangular, de ancho w y largo l, de un corredor de ancho a a un corredor de ancho b, con a = b. Los corredores se encuentran en ánguls rectos, como se ve en la figura. Muestre que se logrará mover la mesa si se cumple que



14. l

≤ a csc β + b sec β − 2w csc2β a − b tan3 β en donde β satisface w = cos β . 1 − tan2 β





48



8.5.

8.5

Miscel´ aneo

Miscel´ aneo

1. Considere un

ABC . Demuestre que se cumple lo siguiente: a2 b2 c2

= = =

b2 + c2 a2 + c2 a2 + b2

− 2bc cos α − 2ac cos β ⇔ − 2ab cos γ

sin α sin β sin γ = = a b c

2. Sean α,β y γ los ańgulos interiores de un triángulo. Demuestre que:

· ·

· ·

∈ ∈

a ) tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ . ¿Será válido si α + β + γ = nπ con n Z? α β γ b) sin α + sin β + sin γ = 2cos cos cos . ¿Será válido si α + β + γ = nπ con n Z? 2 2 2 3. Considere un

ABC . Demuestre que si se verifican simultáneamente las propiedades:

3 . 4 b3 + c3 a3 b) a2 = . b+c a

·

a ) sin β sin γ =

− −

Entonces el

ABC es equilátero.

4. Pruebe que si en un

ABC se verifica que sin2 γ = sin2 β + sin2 α entonces el ABC es rectángulo.

5. Sea f (x) = P sin x + G sin2x + M sin3x con P,G,M a ) Demuestre que sin 3x = sin x(4cos2 x b) Muestre que si G2 < 4M (P x = mπ con m Z.

∈

∈ R.

− 1).

− M ) entonces los únicos valores de x tales que f (x) = 0 vienen dados por

6. Considere g(x) = sin 2nx +sin4nx sin6nx, en donde n es un entero positivo y 0 < x < π/2. Encuentre una expresi´ on para la ra´ız más grande de g(x). Distinga entre los casos cuando n es par o impar.

−

7. Muestre que:

1 1 2sin θ cos rθ = sin (r + )θ 2 2 Encuentre todas las soluciones de la ecuación

− sin(r − 12 )θ

cos aθ + cos (a + 1)θ + . . . + cos(b

− 2)θ + cos(b − 1)θ = 0 en donde a y b son n´ umeros naturales que satisfacen a < b − 1. 8. La recta y = d con d > 0 intersecta el c´ırculo x2 + y 2 = R2 en los puntos A y B. Muestre que el área del segmento menor AB viene dado por: 2

R arccos

  −  − d R

d R2

d2

49



8

TRIGONOMETR´ IA

π 2

± B para algún entero n. Además muestre que | sin x ± cos x| ≤ √2 ∀x ∈ R

9. Muestre que sin P = cos G si y solo si P = (4n + 1)

Finalmente deduzca que la ecuación sin (sin x) = cos (cos x) no tiene solución. 10. Muestre que para

−1 < a,b < 1 se cumple que arctan (a) + arctan (b) = arctan

  a+b 1 ab

−

Considere los n´ umeros positivos a, b y c que satisfacen bc = a2 + 1. Pruebe que: arctan

  1 a+b

+ arctan

  1 a+c

= arctan

 1 a

11. Considere los n´ umeros positivos p,q,r,s,t,u y v que satisfacen st = ( p+q)2 +1, uv = ( p+r)2 +1 y qr = p2 +1. Pruebe que:



1 arctan p + q + s





1 + arctan p + q + t





1 + arctan p + r + u





1 + arctan p + r + v



= arctan

 1 p

Finalmente, con esto demuestre que: arctan

  1 13

+ arctan

  1 21

+ arctan

  1 82

+ arctan

  1 187

= arctan

 1 7

12. Suponga que cos A, cos B y β no nulos. Muestre que la ecuación α sin(A

− B) + β cos(A + B) = γ sin(A + B)

se reduce a (tan A

− m)(tan B − n) = 0

en donde m y n son independientes de A y B si y solo si α2 = β 2 + γ 2 .

50



9. 9.1.

N´ umeros Complejos Operatoria

1. Realice las siguientes operaciones. a) c) e) g)

i)

− 3i) + (2i − 8) (3 + 2i)(2 − i) 2 − 3i 4−i (2 + i)(3 − 2i)(1 + 2i) (1 − i)2 (4

i4 + i9 + i16 2 i5 + i10 i15

−

−

b) d)

− − 2(7 − i) (i − 2)[2(1 + i) − 3(1 − i)]

3( 1 + 4i)

f )

(4 + i)(3 + 2i)(1

h)

(2i

j)

3(

− i)

− 1)2( 1 −4 i + 21 +− ii )

1+i 2 1 i 3 ) + 2( ) 1 i 1+i

−

−

2. Exprese los siguientes n´ umeros complejos en su forma polar, y luego ub´ıquelos en el plano complejo. a) c)

2

− 2i √ √ 2 2 + 2 2i

b) d)

e)

−2√3 − 2i

f )

g)

7

h)

i)

3 + 3i

−1 + √3i −i √3 3i −2 2 1+i

3. Exprese los siguientes n´ umeros complejos en su forma rectangular, es decir, en la forma a + bi. iπ

iπ

a)

7e 3

b)

2e 6

c)

(5cis20◦ )(3cis40◦ )

d)

(2cis50◦ )6

e)

(8cis40◦ )3 (2cis60◦ )4

f )

(3e 6 )(2e 4 )(6e 2 (4e 3 )3

g)

√

−5iπ

iπ

7

( 3 + i)

h)

5iπ 3

)

iπ

−√3 + i)23√(2 − 2i)12 (5 − 5 3i)35

(

4. Calcule las ra´ıces de los siguientes n´ umeros. a) c) e) g)

√ − 2i) √ (2 + 2 3i) √8 − − √ (2 3

1 2

b)

1 3

d)

3

( 8

f ) 1

8 3i) 4

h)

− (−16i) √16 √2i

1

( 4 + 4i) 5 1 4

4

51



9

´ N UMEROS COMPLEJOS

5. Halle las ra´ıces c´ ubicas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Qué figura se forma si une los puntos? 6. Halle las ra´ıces quintas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Qu´ e figura se forma si une los puntos? 7. ¿Qué figura esperar´ıa si graficara las ra´ıces n-ésimas de la unidad? 8. Represente geom´ etricamente el conjunto de puntos determinados por las siguientes condiciones. a) z i = 2 b) z + 2i + z 2i = 6 c) e) g) i) k)

| −| |z − 3| − |z + 3| = 4 Im {z 2 } = 4 Re{z 2 } > 1 |z − 1 + i| ≤ 4 z 2 + ¯z 2 = 2

|

| | − |

d)

z(¯z + 2) = 3

f )

{ − i} = 2 Im {2z } − Re{6z } = 8 1 < |z + i| ≤ 2 |z + 2 − 3i| + |z − 2 + 3i| < 10 Re z¯

h) j) l)

9. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos. a)

z 4 + 8iz = 0

c)

z 3 + 3z 2 + z

e)

z3

−5= 0

−1+i =0

b)

z 4 + 2z 2 + 2 = 0

d)

9z 2 + 6(4

− 3i)z − (1 + 9i) = 0 2z 4 + z 2 − z + 1 = 0 (ra´ız cúbica de la unidad es una ra´ız)

f )

10. Sea ω una ra´ız cúbica compleja de la unidad y z1 , z2

∈ C, demuestre que:

a ) z1 3 + z2 3 = (z1 + z2 )(z1 + ωz 2 )(z1 + ω2 z2 ) b) (1

− ω)(1 − ω2)(1 − ω4)(1 − ω5) = 9

11. Si ϕ es una ra´ız séptima de la unidad, distinta de 1, demuestre que: ϕ ϕ2 ϕ3 + + = 1 + ϕ2 1 + ϕ4 1 + ϕ6

12. Hallar los valores de n

∈ N que resuelven la ecuación: √3 − i 2n √3 + i − 2 2



13. Si z +

 

2n



−2

√

=i 3

1 1 = 2 cos α muestre que z n + n = 2 cos(nα) n z z

∀ ∈ N. 52



14. Hallar los m

15. Sean z =

∈ Z tales que

√2 + i√2 2

9.1 Operatoria m

m

 √   √−  1+i 2

+

1

i

2

√

=

1+i 3 yω= . Encuentre el n 2

√

16. Sea xn + iyn = (1 + i 3)n con n

√2

∈ N tal que zn = ωn = 1.

∈ N. Demuestre la relación de recurrencia: √ xn−1 yn − xn yn−1 = 22n−2 3 | − ω1 |.

17. Sea ω la soluci´ on de la ecuación z 7 + 1 = 0 que se encuentre en el tercer cuadrante. Calcule 1

∀ ∈ N, (1 − i)n + (1 + i)n ∈ R.

18. Demuestre que n 19. Sea z

∈ C, demuestre que |z + i| = |z − i| ⇔ z ∈ R.

53



9.2.

9


Funciones Complejas

1. Sea z = x + iy y f (z) =

2. Pruebe que

z2

z . Determine f (z) y f (z) en la forma a + bi. ¿Qué puede decir de ellos?. +1

w | 1z−−zw | = 1 para |z| = 1 o |w| = 1.

1 3. Sea g(z) = . Pruebe que la imagen, bajo g, de una circunferencia es una circunferencia, y la de una recta es z una recta.

4. Considere la funci´ on φ : C

− a) , con a ∈ R tal que |a| < 1. Estudie su −→ C definida por φa(z) = z(z az − 1

restricci´ on al c´ırculo unitario.

5. Para las siguientes funciones estudie su dominio, recorrido, inyectividad, sobreyectividad, y, en el caso de existir, su inversa. a ) f (z) = z1 . b) g(z) = z .



c) h(z) = z.

6. Considere la funci´ on ψ : C 0 . H = z C/Re z

{

7. Encuentre z

{ }≥ }

−i . Estudie su restricción al semiplano superior extendido −→ C definida por ψ = zz+i

∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Re{z} = √3Im {z} y que |z|2 + 3√z · z − 4 = 0. \−1 −→ C definida por φ(z) = zz +− 1i .

8. Considere la transformaci´ on φ : C

∈ C tales que φ(z) = z. b) Sea z ∈ C tal que z = z. Encuentre |φ(z)|. c) Demuestre que si z ∈ C y [φ(z)]4 + [φ(z)]3 + [φ(z)]2 + [φ(z)] + 1 = 0 entonces z ∈ R.

a ) Determine todos los z

54



9.3.

9.3

Miscel´ aneo

Miscel´ aneo

1. Sean z1 , . . . , zn números complejos.

|

| ≤ |z1| + |z2|. b) Utilizando inducci´ on pruebe que |z1 + . . . + |zn | ≤ |z1 | + . . . |zn |. c) Utilizando la parte a) demuestre que ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |.

a ) Probar que z1 + z2

d ) Interprete geométricamente lo demostrado en los puntos anteriores.

| { }| | { }| ≤ |z|, y recuerde que z · z = |z|2.

Indicaci´ on: Para a) primero demuestre que Re z , Im z

Observaci´ on: La desigualdad que se demuestra es conocida como la Desigualdad Triangular. 2. Dado que eiθ = cos θ + i sin θ y que eiα eiβ = ei(α+β) demuestre:

± β ) = sin α cos β ± cos α sin β . b) cos(α ± β ) = cos α cos β  sin α cos β .

a ) sin(α

3. Pruebe las siguientes identidades trigonom´ etricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno. 3 1 sin θ sin3θ. 4 4 1 1 3 b) cos4 θ = cos θ + cos2θ + . 8 2 8

a ) sin3 θ =

−

4. Pruebe las siguientes identidades: a ) cos θ + cos(θ + α) + . . . + cos(θ + nα) = b) sin θ + sin(θ + α) + . . . + sin(θ + nα) =

sin

1 2 (n + 1)α sin( 12 α) 1 2 (n + 1)α sin( 12 α)

 

sin

 

1 cos(θ + nα). 2

1 sin(θ + nα). 2

Indicaci´ on: Primero demuestre los siguientes puntos: i) Re eiθ = cos θ e Im eiθ = sin θ.

{ }

{ }

ii) Si S = eiθ + ei2θ + ... + einθ entonces S = iθ

iii) cos θ =

e + e−iθ

iθ

e − e−iθ

ei(n+1)θ 1 . eiθ 1

−

−

y que sin θ = . 2 2i iv) Si z es un n´ umero complejo y λ un n´ umero real entonces Re λz = λ Re z .

{ }

5. Sea n

{}

≥ 2. Pruebe las siguientes identitades:

2π 4π 6π 2(n 1)π + cos + cos + ... + cos = 1. n n n n 2π 4π 6π 2(n 1)π b) sin + sin + sin + ... + sin = 0. n n n n

a ) cos

− −

−

Indicaci´ on: Pruebe que si z1 , . . . , zn son las ra´ıces del polinomio z n

− 1 = 0, entonces z1 + . . . + zn = 0. 55



9

≥ 2. Pruebe la siguiente identidad: π 2π · sin 3π · ... · sin (m − 1)π = a ) sin · sin


6. Sea m

m

m

m

m

m

− .

2m 1

Indicaci´ on: Primero demuestre los siguientes puntos: i) z m

− 1 = (z − 1)(z − e ii) 1 − eiz = 1 − e−iz . iii) z · z = |z |2 .

2πi m

)(z

−e

4πi m

n

7. Considere los números reales S =

)

· ·· (z − e

2(m−1)πi m

 

k=0

n cos(kα) y S  = k

).

n

 

k=0

n sin(kα), α k

∈ R.

a ) Demuestre que S + iS  = (1 + cos α + i sin α)n . b) Lleve 1 + cos α + i sin α a su forma polar y demuestre que: S = 2n cosn

α nα cos 2 2

  

y S  = 2 n cosn

α nα sin 2 2

  

Indicaci´ on: Considerar sin2x y cos2x.

56



10.

L´ımites y Continuidad

10.1.

L´ımites

1. Calcule los siguientes l´ımites. a)

√x − 1 l´ım √ x→1 x−1

b)

d)

1 x2 l´ım 2 x→−1 x + 3x + 2

−

e)

− √1 − x2

h)

3

g) j)

4

l´ım

1

x2

→0

x

x

l´ım

k)

→1 1 − x

x

m)

xm x→1 xn

p)

3 2x + 3 x x→∞ 5x

l´ım

−1 −1

l´ım

→0

x

−1 −1

c)

√1 + x − √1 − x x

x2 2x + 7 x→∞ 2x2 + 5x 9

−

l´ım

− √ (x − 1) 2 − x l´ım x→1 x2 − 1 √x − 1 l´ım √ x→1 x−1 √ √ l´ım x + a − x

f )

q)

n

x

→∞

x2

− 3x − 10 25 − x2 √x − √a l´ım x→a x−a l´ım

x→5

i)

x2 + 5 x→2 x2 3

l)

l´ım (

l´ım

→1

x

m

n)

·

l´ım

x3 l´ım x→1 x2

o)

l´ım

−

1

1 − ) x(x − 2)2 x2 − 3x + 2 √x4 + x2 x

x

→∞

r)

−6 √ x→3 x − x + 6

c)

l´ım

2x

l´ım


d) g) j)

l´ım

x2

→5

x

l´ım (

→−1

x

x

l´ım

k)

l´ım

b)

1 1+x

e)

1

→π/3

h)

√x − 8 l´ım √ x→64 x−2 √ 2− x−3 l´ım x→7 x2 − 49 cos x − sin x l´ım

− |x − 5| − 25 | x − 5| − 1 +3 x3 )

− 2cos x π − 3x

l´ım csc x

→0

x

− cot x

m)

l´ım

sin(ax) x→0 sin(bx)

n)

p)

sin(xn ) x→0 sinm x

q)

l´ım

3

x

→π/4

cos2x

sin5x

x

→0

x

x

l´ım

→π/4

− sin x −

sin x cos x 1 tan x

−

|x|

→0 x

x

f )

x2 x→a x2

i)

l´ım (

l´ım

x

→π/2

− (a + b)x + ab − (a + c)x + ac π 2

− x)tan x − cos x

l)

sin x + 1 x→0 x

o)

x sin2x x→0 x + sin 3x

l´ım l´ım

−

n x

r)

b)

tan(2x) x→0 sin(3x)

c)

sin(sin x) x→0 x

e)

4 sin(5x) l´ım x→0 3x

f )

sin2 (2x) l´ım x→0 x2

l´ım x sin

x

→∞

x

l´ım (

→π/3

3π 2

− 3x)tan x


d) g)

√

l´ım (sin x + 1

x

→∞

1 l´ım ( x→0 sin x l´ım

x

− sin √x)

1 ) tan x

− sin x − 2x

l´ım

l´ım

→0 3x + 4 sin x 57



4. Considere la f (x) =

10

4

x2

5

3x + 1 , x

 − | −

L´ IMITES Y CONTINUIDAD

, x< 1

|

≥1

¿Existen los siguientes l´ımites?

−

− −

( 1 + h) f ( 1) h→0 h f (x) f (1) b) l´ım x→1 x 1

a ) l´ım

− −

58



10.2.

10.2

Continuidad

Continuidad

1. Determine el valor de la constante C de modo que la siguiente función sea continua en x = 7.

 

f (x) =

x2 2+ x

− 49 −7

, x> 7

Cx 2 + 5

, x

≤7

2. Explique por qué la siguiente función no es continua en R.

g(x) =

3. Determine el valor de k

 

(x

− 24)sin

xπ 52

 

1

, x = 26 , x = 26



∈ R de manera que la siguiente función sea continua en R. h(x) =

cos

πx 2

,

|x| ≤ 1

kx

1

,

|x| > 1

    | − |

4. Determine los valores de P y C de modo que la siguiente función sea continua en R.

 −  

2sin x

f (x) =

, x

P sin x + C

,

cos x

,

≤ −π/2 − π/2 < x < π/2 π/2 ≤ x

5. Encuentre el valor de la constante C de modo que la siguiente función sea continua en x = 0.

  

g(x) =

sin(Cx) +2 x 1

− cos(√2x) x2

, x

≤0

, x>0

6. Estudie la continuidad en R de la siguiente función.

h(x) =

   

2

(x x

− 9) sin

  1

x

−3 2x3 − 3x2 − 5

−3

, x> 3 , 3 >x > 0 , x

≤0 59



10


7. Determine los valores de las constantes C y L para que la siguiente función sea continua en x = 1.

 −   − √− C (1

f (x) =

x)tan(

πx ) , 0
2L

, x=1

x 1 x 1

, x> 1

3

8. Determine los valores de las constantes P y G de modo que la siguiente función sea continua en x = 0. (P x + G)2 Px

g(x) =

   − 

− G2

, 0
14

, x=1

cos(P x)

− cos(Gx)

x2

, x> 1

−→ R definida por

9. Sea h :]0, π[

h(x) =

 

x tan x ax

− π2 sec x

, 0 < x < π/2

−1

, π/2

≤ x <π

¿Existe alg´ un valor para a de modo que h sea continua en x = π/2? 10. Analice la continuidad, en R, de la funci´ on definida por:

f (x) =

cos

x 2

,

|x| ≥ 1

x

1

,

|x| > 1

    | − |

60



10.3.

10.3

Miscel´ aneo

Miscel´ aneo

−→

∀

∈

R tal que f (x + y) = f (x)f (y) x, y R. Probar f es continua en R si y solo si f es continua 1. Sea f : R en x = 0.Adem´ as si f ( p) = 0 para alg´ un p R entonces f (x) = 0 x R.

∈

2. Una función g : R

∀ ∈

−→ R se dice aditiva si ∀x, y ∈ R se cumple que g(x + y) = g(x) + g(y).

a ) Probar que las funciones aditivas son continuas en R si y solo si son continuas en x = 0. b) Probar que una función aditiva monótona (creciente o decreciente) es continua en R.

3. La Derivada Para la función f considere el siguiente operador: f (x + h) h→0 h

D[f ] = l´ım

− f (x)

a ) Sea α un n´ umero real, y suponga que existen D[f ] y D[g]. Demuestre las siguientes propiedades: a.1)

D[f +g] = D[f ]+D[g]

a.2)

D[αf ] = αD[f ]

a.3)

D[f g] = D[f ] g+f D[g]

a.4)

f D[f ] g f D[g] D[ ] = g g2

·

·

·

· − ·

Indicaci´ on: Para a.4) utilice a.3) y para b.5) a b.8) utilize las propiedades.

b) Calcule D[f ], definido en el ejercicio anterior, para las siguientes funciones: b.1)

f (x) = Constante

b.2)

f (x) = xn

b.3)

f (x) = sin x

b.4)

f (x) = cos x

b.5)

f (x) = tan x

b.6)

f (x) = x2 sin x

b.7)

f (x) = 7+x3 cos x+x

b.8)

f (x) = sin x cos x

4. Teorema del Acotamiento

−→ R continua de modo que existen constantes A y B tal que A ≤ f (x) ≤ B en Ω. ≤ l´ımx→x f (x) ≤ B.

a ) Suponga que f : Ω Si x0  Ω entonces A

0

b) Suponga que f , g , h : Ω R continuas de modo que f (x) l´ımx→x0 f (x) l´ımx→x0 g(x) l´ımx→x0 h(x).

≤

−→

≤

≤ g(x) ≤ h(x) en Ω. Si x0  Ω entonces 61



10


c) Utilizando los puntos anteriores calcule los siguientes l´ımites: c.1)

1 l´ım x2 sin( ) x→0 x

c.3)

3x sin x x→∞ 4x + 5

c.2)

−

l´ım

c.4)

l´ım (x

→1

x

− 1)3 cos( x −1 1 )

5x + 2 cos x x→∞ 3x 14 l´ım

−

on en Fracciones Parciales 5. Descomposici´

Sea P (x) un polinomio de cualquier grado y Q(x) un polinomio de grado m. Sean x1 ,...,x m m ceros distintos de Q(x). Además suponga que P (x) y Q(x) no tienen ceros en común. Existe un teorema que dice que toda función racional se puede descomponer en fracciones parciales, es decir, en este caso en particular, que: Existen C 1 ,...,C m  R tal que: P (x) = Q(x) (x

−

P (x) x1 ) ... (x

· · − xm)

=

C 1 C m + ... + x x1 x xm

−

−

a ) Bajo las hipótesis de este problema, encuentre las m constantes C 1 ,...,C m . Indicaci´ on: Multiplique por (x xi ) para i = 1,...,m y luego tome el l´ımite cuando x

−

→ xi.

b) Descomponga en fracciones parciales las siguientes funciones racionales: b.1)

b.3)

−

x 2 2 x + 4x 21

−

7 (x

− 1)(x − 3)(x − 5)

b.2)

b.4)

x+3 (x 6)(x + 8)

−

(x

−

x+7 1)(x + 3)(x

− 5)

Observaci´ on: Este es un caso particular de descomposici´ on en fracciones parciales. Observaci´ on: La demostraci´ on del teorema mencionado anteriormente es an´ aloga al ejercicio a).

62



11.

La Derivada

11.1.

Operatoria

1. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones. a) c)

f (x) = 3x5

− 2x4 + x2 h(x) = (4 − 2x)2

b) d)

g(x) = (3x2

− 1)(5 + 3x) i(x) = x(x2 − 1)(x + 1)

e)

f (x) =

6 + 10 x3

f )

g(x) =

x+3 x 5

g)

h(x) =

1 x+1

h)

i(x) =

2x 1 + x2

i)

f (x) =

1 + x x2 1 x

− −

j)

g(x) = x 1

k)

h(x) =



1+x 1 x

l)

i(x) =

m)

f (x) = x sin(2x)

n)

g(x) = sin2 (3x)

o)

h(x) = cos(sin x)

p)

i(x) = sin(

q)

f (x) =

r)

g(x) = tan(7x)

− x −1 1

−

−

sin x x cos x cos x + x sin x

−

√ − x2

√1 x+ x2 x

x

− 1)

2. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones. a) c)

e)

i(x) = x7x

b)

2

2

2

g(x) = cos x [ sin (10x) + cos (10x) ]

i(x) = x2 cos[

 3

x 2 (x + 2)(x

−

d)

a b x f (x) = ( )x ( )a ( )b b x a h(x) =

(1

− x4)2/3 cos(x3) sin(2x)

− 1) ]

3. Utilizando la definici´ on, calcule la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado. a ) f (x) = 3x2 + 2

en x = 3

b) g(x) = sin x cos x

en x = π/4

2 c) h(x) = x− x

en x = 4

d ) i(x) =



x sin( x1 ) , x = 0 0 ,x=0



en x = 0

63



11

LA DERIVADA

4. Considere

f (x) =

Determine f  (x) y el dominio de f  (x).

 

x+2

, x<1

2x2

, x

− 6x + 7

≥1

5. Dadas las ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g(t) demuestre que: d2 x = dx2 d Indicaciones: dx

  dy dx

=

dx dt

2

2

· ddty − ddtx · dydt 2

2

3 ( dx dt )

d2 y . Utilice la regla de la cadena. dx2

6. Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas param´ etricamente.

a )

b)

   

x=t+ y=t

x=

1 t

− 1t

√2t2 + 1

y = (2t + 1)2

7. Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas param´ etricamente.

a )

b)

    

√ √ y = 4t

x = t 2t + 5 3

x=

t 1 t+1

y=

t+1 t 1

−

−

8. Considere las curvas P 1 y P 2 definidos por

P 1 P 2

:= :=



{(t, t2 − 1) / t > 1} {(x, y) ∈ R2 / (x2 + y2 + 1)2 − 4x2 = 8 }

Determine el ángulo de intersección de ambas curvas.

64



9. Calcule

11.1

d2 y en el punto (0, 0) si se sabe que x = 3t2 dx2

Operatoria

− 2t e y = sin t.

10. Considere la siguiente curva definida param´ etricamente:

d2 y Encuentre 2 en el punto dx

11. Calcular

d2 y para x = t2 dx2

−

3 1 4, 2

√

  

x = t2

− 2t

,

√ y= t

0

≤t≤1

− 3t e y = t3 − 1 en el punto (0, 26).

dy dx = 1 calcule las derivadas, con respecto a x, de las siguientes expresiones. dx dy

·

12. Recordando que

a ) f (x) = arcsin x b) g(x) = arccos x c) h(x) = arctan x

13. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones. a)

y = x2 ex

b)

y = e2x [ 2 cos(3x) + 3 sin(3x) ]

c)

y = ln (

d)

y=

1 x (e + e−x ) 2

e)

y=

f )

y=

ex ex

g)

y = earcsin x

h)

y = (1 + 2x)e−2x

i)

y = (9x2

j)

y=

k)

y = x2 e−x

l)

y = arctan(ex )

ex ) 1 + ex

1 x (e 2

− e−x) − 6x + 2)e3x 2

− e−x − e−x

ax 1 ax e a2

−

n

d y 14. Determine una expresión para la derivada de orden n ( dx n n

∈ N) de las siguientes funciones.

a ) y = sin x 1 b) y = x c) y = x cos x x d ) y = x+1

65



15. Determine

11

LA DERIVADA

dy para las siguientes expresiones. dx x 1 x+1

−

a)

x2 + y 2 = 1

b)

y2 =

c)

x2 + xy = 2

d)

x3

e)

x2 =

f )

1 1 + =1 x y

g)

x2/3 + y 2/3 = 1

h)

y2 = 1 +

−

x y x+y

− xy + y3 = 1 1 x2

16. Halle las rectas tangentes y normales en el punto P 0 para las siguientes curvas. a ) x2 + xy

− y2 = 1

b) x2 + y 2 = 25

− − d ) y − x2 = 2x + 4 c)

x y =2 x 2y

,

P 0 = (2, 3)

,

P 0 = (3, 4)

,

P 0 = (3, 1)

,

P 0 = (6, 2)

−

17. Sea a R. Considere las curvas f (x) = x2 a2 y g(x) = a2 x2 . Estas curvas se intersectan en el punto P de abscisa x = a. ¿Para qué valores de a, el ángulo de intersección entre las curvas en P , es π4 ?

∈

−

−

18. Sea f una función que tiene derivadas en todos los órdenes. Pruebe que: a ) Si f es par entonces f (2n−1) (0) = 0 n

∀ ∈ N. b) Si f es impar entonces f (2n) (0) = 0 ∀n ∈ N.

19. Encuentre la derivada con respecto a x de y = 2x sin x + x2 cos x que pasa por el punto

20. Encuentre, si es que existe,

21. Si u = 2 tan v y v =

dy en el punto dx

π 2 ,π . 2

 

π , 0 de sin(x + y) + y 2 = 1. 2

 

√x sin2 x, determine du . 3

dx

22. Si ey + x arcsin y = cos x, determine, en caso de existir,

dy para x = 0. dx

23. Considere una punto en la circunferencia x2 + y2 = 1. Encuentre los puntos sobre la circunferencia para los cuales la ordenada decrece en la misma razón con que crece la absisa.

66



24. Determine a ecuaci´ on

11.1

Operatoria

dy ∈ R de modo que la derivada dx exista en el punto (0, 2); sabiendo que la función y satisface la x3 cos y

2

− y2 + ay − 2x − 2a + a4

=0

25. Encuentre la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva sin xy + 3y = 4 en el punto

26. ¿Qu´ e condiciones se deben cumplir para que exista

dy en el punto (2, 1) si 4xy 3 dx

π 2,1

 

.

− x2y − 5x + 6 = 0

27. Encuentre la ecuaci´ on de la recta normal a la curva dada por sin xy + exy = eπ en el punto (π, 1). x 4 con los ejes coordenados. Compruebe x 2 que las rectas tangentes a la gráfica de la función en dichos puntos son paralelas.

28. Considere los puntos de intersecci´ on de la gráfica de la función y =

− −

29. ¿Para qué valores de a y b en R se tiene que el punto (1, 3) es un punto de inflexión de y = ax3 + bx2 .

30. Determine, en caso de existir, los puntos de inflexión de la función f (x) = 2 31. Dada la función f (x) =

− x − √x5 definida en R+. 3

x2 a3 + 2 x

con x > 0 y a > 0. a ) Determine, en caso de existir, los valores extremos de f . b) ¿Para qué valor de a

∈ R+ se tiene que f (x) ≥ 3 ∀x > 0?

c) Grafique f con el valor de a determinado en b).

2

∈ − 1, +∞[ se tiene que f  (x) > 0 si se sabe que f (x) = ln (x + 1) − x x+ 2 + x − 1?

32. ¿Para qué valores de x ]

√ − x2 sea 3√3.

33. Determine el valor de a para que el valor máximo de la función f (x) = x ax 3 34. Considere la funci´ on f (x) = ax3 + bx2 + x 2 m´ aximo en x = 1 y un m´ınimo en x = 3.

− 23

con a, b

∈ R. Determine a y b de modo que f tenga un

35. Sean a,b,c e valores de estos R y considere las curvas f (x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 + cx. ¿Para qu´ par´ ametros se tiene que ambas curvas tienen una recta tangente en común en el punto (2, 2)?

∈

36. Sea f :

π π 2, 2

−  −→ :

R definida por f (x) = tan x + sin x. Calcule, si es que existe, (f −1 ) (0).

67



3

37. Considere f (x) = x

11

− x definida en

 ∞ 1 ,+ 2

LA DERIVADA

. Determine, si es que existe, (f −1 ) (0).

38. Sea f (x) = ax2 + 3x y P = (1, f (1)). Determine a

∈ R si se sabe que (f −) (f (1)) = 12 .

2x2 + 2 y f (1) = 2. Argumente que se puede aplicar el teorema de la función inversa en un intervalo x +1 abierlo que contiene al 1. Calcule (f −1 ) (2).

39. Si f (x) =

||

40. Dada la función f (x) = (x a)m (x b)n con n, m N y a < b. El Teorema de Rolle asegura la existencia de un x0 (a, b) tal que f  (x0 ) = 0. Demuestre que el punto x0 divide al intervalo [a, b] en la razón m : n.

∈

−

−

∈

41. Demuestre por inducción la siguiente fórmula para la derivada enésima de un producto de funciones. n

·

(n)

[f (x) g(x)]

=

  k=0

n (n−k) f (x) g (k) (x) k

·

68



11.2.

11.2 Diferenciabilidad

Diferenciabilidad

1. Sea f : Ω

⊆ R −→ R diferenciable. Pruebe que f es continua en Ω.

Observaci´ on: Si la funci´ on no es diferenciable nada se puede decir sobre su continuidad. 2. Demuestre que los polinomios son diferenciables en R. 3. Ejemplifique: a ) Funci´ on que sea continua pero no diferenciable en un punto. b) Funci´ on que sea continua en todo R pero no diferenciable en un número finito de puntos.

4. Explique por qué las siguientes funciones no son derivables en sus respectivos intervalos.

| − 1|

a ) M (x) = x x b) C (x) =

I =]0, 2[

1 x

| | | − 1| + |x − 2|

c) L(x) = x + x

d ) G(x) =

 

x+1

, x<7

2x

, x

I =]

− 7, 3[

I =]

− 2, 5[

I = R

−6

≥7

5. Determine si f es diferenciable en R. Estudie la continuidad de f  (x).

f (x) =

 

x2 + x

−1

x3

, x<1 , x

≥1

6. Determine el valor de las constantes reales C y L de modo que la siguiente función sea diferenciable en R.

f (x) =

 

sin x

, x<π

Cx + L , x

≥π

7. Determinar el valor de las constantes reales P y G para que la siguiente función sea derivable en x = 1.

f (x) =

 

x P 1+x

, x

Gx x2 2

, x< 1

−

−

≥1

69



11

LA DERIVADA

8. Dada la función f (x) =

 

x2

− 5x + 6

ax + b

, x

≤1

, x>1

Halle los valores de las constantes a y b de modo que f se continua y derivable en R.

9. Dada la función: f (x) =

 

≤1

x

, x

1 x

, x>1

¿Es f derivable en x = 1?

10. Dada la función

f (x) =

Determinar a, b

∈ R de modo que f sea:

 

x2

− 2ax + 3b ax3 − 3ax2 + 2bx

, x

≤1

, x>1

a ) Continua en R. b) Derivable en x = 1.

11. Dada la función

f (x) =

 

1

|x| a + bx2

, x >1 ,

|| |x| ≥ 1

Halle los valores de las constantes a y b de modo que f  (1) exista.

12. Dada la función: f (x) =

 

x2 + 2 , x 4

−x

≤1

¿Es f derivable en x = 1?

, x>1

70



11.3.

11.3 11.3

Misc Miscel el´ ´ aneo aneo

Miscel´ aneo aneo

1. Determine Determine todos los los A

∈ R tal que la función on y (x) = sin sinx sin x satisfaga la ecuación on Ay (x) + tan xy  x + y (x)cos2 x = 0

2. Considere la curva curva definida paramétricamente etricamente por las ecuaciones

 

x=

1 t 2

− 32

,

y = cos kt

t

∈R

Determine si la función on y = y(x) satisface o no la ecuación on

,

k>0

d2 y + 4k 4k 2 y(x) = 0 dx2

3. Demuestr Demuestree que la función on f ( f (x) = 2sin x + cos x es solución on de la ecuación on diferencial ordinaria:

d2 y dx2

+ y = 0.

4. Demuestr Demuestree que la función on f ( f (x) = sin x + (x2 + a)cos x, a constante real, es solución on de la ecuación on diferencial: dy 2x cos x. dx + y tan x = sec x + 2x 5. Determine el valor valor de la constante constante M de modo que la funci´ on on y = M x2 e2x sea solución on de la siguiente ecuación on   2x diferencial y (x) 4y (x) + 4y 4 y (x) = 6e .

−

6. Determine Determine el valor de la constant constantee G de modo que la función on y = Ge2x sin(3x sin(3x) sea solución on de la siguiente   2x ecuaci´ on on diferencial y (x) 4y (x) = 13 13ee sin(3x sin(3x).

−

−

7. Determine Determine el valor de la constant constantee L de modo que la función on y = Lxe2x sea soluci´ solucion oń de la siguiente ecuación on 2x 2x   diferencial y (x) + 4y 4 y (x) 11 11yy (x) = 16 16ee 2xe

−

−

−

8. Demuestre, utilizando la derivada, derivada, las siguientes identidades: a ) arcsin arcsin x + arccos x =

π 2

1 π b ) arctan arctan x + arctan arctan ( ) = x 2 9. Sea m un entero natural. Muestre que (1 + x)m + (1

− x)m = 0 ∀x ∈ R. Considere la función on definida por (1 + x)m − (1 − x)m f ( f (x) = (1 + x)m + (1 − x)m

Encuentre f  (x) y simplifique al máximo. aximo.

10. Demuestr Demuestree que la funci´ on on f ( f (x) =

ex e−x satisface la ecuación on diferencial f  (x) = 1 ex + e−x

−

− (f ( f (x))2 .

71



11

LA DERIV DERIVADA ADA

11. Si a y b son constantes positivas, demuestre que el máximo aximo valor que toma la función on f ( f (x) = a sin x + b cos x es a2 + b2 .

√

12. Demuestr Demuestree que si a,b,k 2 ab

√

∈ R+ son constantes, entonces el valor m´ m´ınimo de la función on f ( f (x) = aekx + be−kx es

13. Sea f una función on continua con segunda derivada continua en R tal que f ( f (x) > 0 y f  (x) = Para f hallar:

−x · f ( f (x) ∀x ∈ R.

a ) Intervalos Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b ) Intervalos Intervalos de convexidad y concavidad. c ) ¿Cuáles ales son sus puntos de inflexión? on?

14. Suponga que f es una función on que satisface las siguiente identidad f ( f (x + y ) = f ( f (x) + f ( f (y) + x2 y + xy2

∀x, y ∈ R. Además as suponga que

f ( f (x) =1 x→0 x l´ım

Encuentre f (0) f (0) y f  (x). 15. Suponga que f es una función on diferenciable y α [f ( f (x)]α .

16. Sea g (x) = f ( f (

∈ R. Encuentre la derivada, con respecto a x, de f (xα) y

x+1 ) x x 1

  2 − ∀ ∈ R\1. Si se sabe que f (x) = x calcule g (x).

−→

17. Sea f : R on derivable, positiva y creciente, y sea g : R on R una funci´ y decreciente. Pruebe que la función on h : R definida por: R definida

→

h(x) =

→ R una función on derivable, negativa

f ( f (g (x)) g(x)

es creciente.

18. Muestre Muestre que las funciones f ( f (x) = ln

  1+x 1 x

−



a+x y g(x) = f 1 + ax

∀

19. Demuestre que si f es una función on tal que x, y constante.



∀ ∈ R.

tienen la misma derivada a

∈ R se tiene que |f (x) − f ( f (y )| < (x − y )2 , entonces f es

20. Sea f ( f (x) una función on derivable tal que f (2 f (2x x) = 2f ( f (x) para todo x f ( x ) tal que f  (c) = . x

∈ R+. Demuestre que ∀x ∈ R+ existe c > x

Indicaci´ on: Utilize el Teorema del Valor Medio.

72



11.3 11.3

Misc Miscel el´ ´ aneo aneo

∀ ∈ R se cumple que

21. Considere Considere n reales estrictamente positivos, denotados por λ1 ,...,λ n . Demuestre que si x λx1 + λx2 + ... + λxn

≥n

entonces necesariamente necesariamente

· · · · λn = 1

λ1 λ2

Indicaci´ on: Estudie si x = 0 es o no punto cr´ıtico ıtico de d e f ( f (x) = λx1 + λx2 + ... + λxn . 22. Sea f : R f ( f (x) f  (x)

·

−→ R dos2 veces derivable en R. Demostrar que si para todo x ∈ R se cumple que f (x) > 0 y ≥ (f (x)) , entonces la función on definida en R por g (x) = ln(f ln(f ((x)) es convexa.

23. Dado n números umeros a1 , . . . , an , determine el valor de x para que (a1

− x)2 + . . . + (a (an − x)2

alcance alc ance su valor val or m´ınimo. ıni mo. 24. Considere los n´ umeros umeros a1 , . . . , an y b1 , . . . , bn y la función on f ( f (x) = (a1 x + b1 )2 + . . . + (a (an x + bn )2 Demuestre que

(a1 b1 + . . . + an bn )2

≤ (a21 + . . . + a2n)(b )(b21 + . . . + b2n )

Observaci´ on: Es un caso especial de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz. 25. Teorema del Valor Medio Sea y = f ( f (x) una función on continua en [a, [ a, b] y diferenciable en ]a, ] a, b[. Entonces Entonces existe c  )(b a). f ( f (b) f ( f (a) = f (c)(b

−

−

∈

(a, b) tal que:

Indicaciones para demostrar este teorema: a ) Encuentr Encuentree la ecuaci´ ecuación on de la recta y que pasa por los puntos (a, (a, f (a)) y (b, (b, f ( f (b)). b ) Considere Considere la funci´ funcion oń g (x) = f ( f (x)

− x f (bb)−−f a(a) .

c ) Vea si puede utilizar utilizar el Teorema eorema de Rolle.

26. Utilizando el Teorema de Valor Valor Medio demuestre los siguientes Teoremas: Teoremas: Teorema 1: Sea f una funci´ on on continua en [a, [ a, b] y diferenciab diferenciable le en ]a, b[ tal que f  (x) = 0 x

f ( f (x)

≡ constante. constante.

∀ ∈]a, b[. Entonces

Teorema 2: Sean f y g funciones continuas en [a, [a, b] y diferenciables en ]a, ]a, b[ tales que f  (x) = g (x) x

Entonces f ( f (x)

− g(x) = constante. constante.

∀ ∈]a, b[.

Teorema 3: Sea y = f ( f (x) una función on continua en [a, [ a, b] y diferenciable en ]a, ] a, b[.

a ) Si f  (x) > 0

∀ x  ]a, b[ entonces f es una función on creciente en [a, [ a, b]. b ) Si f  (x) < 0 ∀ x  ]a, b[ entonces f es una función on decreciente en [a, [ a, b] 73



11

LA DERIV DERIVADA ADA

27. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Considere la siguiente ecuación on diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes:

a

d2 y dy +b + cy = 0 2 dx dx

(1)

Demuestre lo que sigue: a ) Sean C 1 , C 2  R. Si y1 e y2 son soluciones de (1) entonces C 1 y1 + C 2 y2 tambi´ tamb ién en lo es. es . b ) Si se sustiy sustiyee y = eαx en (1) el problema de solucionar la ecuación diferencial se transforma en el problema de solucionar la ecuación on cuadrática atica aα2 + bα + c = 0.

Ahora se pueden distinguir tres casos: 1) Si b2 4ac > 0 entonces y = C 1 eα1 x + C 2 eα2 x es soluci´ on on de (1), y en donde α1 y α2 son soluciones de la ecuaci´ ecuación on cuadrática. atica.

−

2) Si b2 4ac = 0 entonces y = (C 1 + xC 2 )eαx es soluci´ on on de (1), y en donde α es soluci´ on on de multiplicidad 2 de la ecuación on cuadrática. atica.

−

3) Si b2

− 4ac < 0 la ecuación on cuadrática atica tendrá soluciones de la forma: √ − b ± 4ac − b2 i α1,2 = = A ± Bi 2a

entonces y = C 1 eAx cos(Bx cos(Bx)) + C 2 eAx sin(Bx sin(Bx)) es solución on de (1). Bi)x Indicaci´ on: Para el punto 3) considere que y = e(A±Bi) = Re y y2 = Im y son soluciones de (1). (1).

{ } ± iIm {y}, y demuestre que y1 = Re{y} e

{}

28. Resuelva las siguientes siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias: a)

d2 y dy +2 2 dx dx

− 15 15yy = 0

b)

3

d2 y dx2

dy − 12 dx + 12y 12y = 0

c)

d2 y dx2

dy − 4 dx + 13y 13y = 0

29. Funciones Lipschitz

|

−

| ≤ K |x−y|

Una funci´ on se dice que es de Lipschitz en un intervalo ( a, b) si: Existe un K > 0 tal que f ( on f (x) f ( f (y ) x, y (a, b). La constante K es llamada constante de Lipschitz.

∀

∈

Demuestre lo que sigue: a ) Sea f una funci´ on on Lipschitz en (a, ( a, b), entonces f es continua en (a, (a, b). b ) Sea f una función on continua en [a, [a, b] y diferenciable en ]a, ] a, b[ tal que f  (x) Lipschitz con constante K .

|

| ≤ K ∀x ∈]a, b[. Entonces f es

30. Pruebe que las siguiente siguientess funciones son Lipschitz. Lipschitz. a ) y = sin x b ) y = arctan x c) y =

√1 + x2 74



11.3

Miscel´ aneo

31. Funciones Convexas Sea f : I

⊆ R −→ R diferenciable en I . Muestre que son equivalentes:

a ) f es convexa en I .

≥ f (y) + f  (y) · (x − y) ∀x, y ∈ I . c) [f  (x) − f  (y)] · (x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ I . d ) f  (x) > 0 ∀x ∈ I . b) f (x)

32. Sea g una función convexa y estrictamente creciente y f una función convexa. Muestre que la función definida por h(x) = g(f (x)) es convexa. n

33. Sean α1 , . . . , αn escalares positivos tales que se cumple que



αk = 1. Luego para x1 , . . . , xn escalares positivos cualquiera

k=1 1 2 xα xα . . . xα n 1 2

·

· ·

n

≤ α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn

La igualdad se cumple si x1 = x2 = . . . = xn . Indicaci´ on: Muestre que

− ln x es una funci´ on convexa en (0, ∞) y luego pruebe el resultado para n = 2.

75



12. 12.1.

12

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Aplicaciones de la Derivada Problemas de Raz´ on de Cambio

1. Las dimensiones de un rect´ angulo var´ıan de modo que su área permanece constante. ¿Cuál es la rapidez con que decrece la altura del rectángulo en el momento que la base y altura tienen son iguales? Suponga que la base crece con rapidez de 5 m/s. 2. De un globo esférico escapa el gas de modo que el radio de la esfera disminuye a razó n de 2 cm/s. ¿Con qué rapidez escapa el aire y con qué rapidez disminuye el diámetro del globo cuando el radio es de 10 cm?. 3. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud L y su radio R aumentan a razón de 0, 005 cm/min y 0, 002 cm/min respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el momento que el largo mide 40 cm y su radio mide 1, 5 cm. 4. Una persona de 2 m de altura camina a una rapidez constante de 3 m/s, alej´ andose de un poste de alumbrado de 6 m de altura. ¿Con qué rapidez se alarga la longitud de la sombra?.

Un telef´ erico asciende desde la base hasta la cima de una monta˜ na. El ángulo de elevación de la base a la 5. cima es de 30 ◦ . Si el telef´ erico se desplaza a 5 m/s ¿con qué rapidez cambia la altura del teleférico con respecto a la base de la montaña?

6. Una cámara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo con la ecuaci´ on s = 50t2 (s es la altura con respecto al suelo medido en metros y t en segundos). La cámara está a 2000 m del lugar de despegue. Halle como var´ıa el ángulo de elevació n de la cámara después de 10 s del despegue del cohete. 7. Un hombre está pintando una pared parado en el tope de una escalera que tiene 13 unidades de longitud. En cierto momento, la escalera empieza a resbalar a razó n de 6 unidades/min. ¿A qué rapidez desciende el hombre si se mantiene parado en el tope de la escalera, cuando la base de la escalera está a 12 unidades de la pared?.

El puente levadizo que se muestra en la figura est´ a siendo jalado desde C de modo que el cable BC se desliza a razó n de 4 m/min. La altura del castil8. lo es de 24 m y la longitud del puente es de 12 m. ¿Con qué rapidez está subiendo el extremo B (con respecto al suelo) del puente cuando θ = 60 ◦ ?

9. Dos barcos, A y B, parten de un mismo punto O seg´ un direcciones que forman un ángulo de 120◦ . El barco A navega a 20 km/h y el barco B a 30 km/h. ¿Con qué rapidez está variando la distancia entre ellos en el instante que OA = 8 km y OB = 6 km?.

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12.1

Problemas de Raz´ on de Cambio

10. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia aba jo. Su altura es de 10 m y el radio de la base es de 15 m. Al mismo tiempo, se vierte agua en el depósito a una razón de A m3 /s y el agua sale por el fondo a una razón de 1 m3 /s. Calcule el valor de A de modo que el nivel de agua ascienda a una razón de 4 m3 /s en el instante en que el agua alcanza la altura de 8 m. 2

2

11. Un punto P = (x0 , y0 ) se mueve sobre la semielipse x9 + y4 = 1 con y 0 de manera que su rapidez horizontal es constante igual a 4 m/s. Sea A el punto de intersección de la recta tangente en P con el eje x. Determinar la rapidez de A cuando x0 = 1 m.

≥

12. Un tren de pasajeros pasa por un cruce a las 12 hrs. y va en dirección al Norte con una rapidez constante de 120 km/h. Luego a las 13 hrs. pasa por el cruce un tren de carga en dirección Este y va a 90 km/h. ¿Con qué rapidez se están alejando entre si los trenes a las 15 hrs. con 20 minutos?.

La barra r´ıgida AB de longitud de 3 m se mueve de modo que el extremo A se desliza sobre la recta y = 0, mientras que el extremo B lo hace sobre la 1 13. curva y = 1 + x con x > 0. Si la rapidez vertical del punto B es de dy 6 ¿cuánto es la rapidez dt = horizontal de A en el instante en que B está en el punto (1, 2)?

−

14. Un helicóptero deja una base, elevándose verticalmente a una rapidez de 15 pies/s. Al mismo tiempo que despega el helicóptero, un observador parte desde un punto situado a 100 pies de la base, y se mueve en l´ınea recta, alej´ andose a 80 pies/s. ¿Con qué rapidez crece el ángulo de elevación del helicóptero respecto del observador cuando este último está a 400 pies de la base?. 15. Una barra de metal tiene secci´ on rectangular. Al ser enfriada sus dimensiones disminuyen. El ancho, el alto y el largo, disminuyen a una razón de 0,001 cm/min, 0,002 cm/min y 0,005 cm respectivamente. ¿A qué razón disminuye el volumen en el momento que la barra mide 60 cm de largo, 10 cm de ancho y 3 cm de alto o grosor?.

La figura muestra el corte longitudinal de una piscina rectangular de 12 m de ancho. Si la piscina se 16. est´ a llenando a una razón de 256 lt/min, calcule la rapidez con que sube el nivel del agua en el instante t0 , en el cual la profundad es de 1 m.

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12.2.

12

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Problemas de Optimizaci´ on

1. Pruebe que entre todos los rectángulos de un per´ımetro dado, el de área máxima es el cuadrado. 2. Encuentre las dimensiones del rect´ angulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia. 3. Pruebe que de todos los triángulos is´ oceles inscritos en una circunferencia, el triángulo equil´ atero es el de per´ımetro máximo. 4. Encuentre las dimensiones del cono circular recto inscrito en una esfera cuyo volumen sea máximo. 5. Encuentre las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera cuyo volumen sea máximo. 6. Un granjero tiene 200 m de barda con las que desea construir tres lados de un corral rectangular; una pared ya existente formará el cuarto lado. ¿Qué dimensiones maximizar´ a n el área del corral?. 7. Un alambre de 20 cm de largo se dobla para formar un sector cirular. Determine el radio del sector circular de manera que se encierre la mayor área posible. 8. Un observatorio, de volumen de V m3 , debe tener la forma de un cilindro rematado por una bóveda semiesférica; ambos con el mismo radio. Si la construcción de la bóveda semiesférica cuesta el doble por metro cuadrado que la del muro cil´ındrico ¿cuáles son las proporciones que se deben emplear para que la construcción tenga un costo m´ınimo?. 9. Considere un punto en el plano, P 1 : (x1 , y1 ), y la recta  : ax + by + c = 0 con a,b,c que la distancia m´ınima entre el punto y la recta viene dada por:

∈ R. Si P 1 ∈/  muestre

|ax√1 + by1 + c| a2 + b2

10. Encuentre la ecuaci´ on de la recta tangente a la elipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 , en el primer cuadrante, y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área m´ınima.

Una pieza de metal es rectangular y mide 50 cm de ancho y 80 cm de largo. Se cortan cuadrados congruentes en sus cuatro esquinas (ver figura). La pieza 11. resultante se dobla para formar una caja sin tapas. ¿C´ omo se debe cortar de modo que el volumen de la caja sea lo mayor posible?

12. Se desea diseñar un envase cil´ındrico, con tapa, de radio R y altura H . La base y la tapa deben hacerse de cobre, con un costo de 3 pesos/cm2 . La cara curva o manto se debe hacer con aluminio a un costo de 2 pesos/cm2 . Determine las dimensiones del envase que maximice el volumen de la lata si se cuenta con 300 π pesos para su construcción.

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12.2 Problemas de Optimizaci´ on

Dos postes de antenas de TV se encuentran en un techo, afianzados mediante alambres sujetos en un 13. mismo punto entre los dos postes (ver figura). ¿En dónde debe ubicarse este punto de modo que se minimice la cantidad de alambre a ocupar?

14. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en tres partes. Un pedazo se dobla formando una circunferencia, otro se dobla formando un cuadrado y el último pedazo se dobla formando un triángulo equil´ atero. Si el per´ımetro del cuadrado debe ser el doble que del triángulo ¿c´ omo deberá ser cortado el alambre para que la suma de sus áreas sea máxima?.

En la ribera de un r´ıo de 3 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra rivera, 4 km corriente arriba hay una fábrica. El costo de tender un cable 15. por tierra es de 30 dólares por metro y 50 dólares por metro si se tiende bajo el agua .¿Cuál es la ruta m´ as económica para tender el cable desde la planta eléctrica a la fábrica?. ¿Cuál es su costo?.

16. Considere un cilindro circular recto de radio r y altura h que está inscrito en un cono circular recto de radio R y altura H . Encuentre el valor de r que maximice el área total del cilindro.

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MAT021 - Cuadernillo PPI 2009

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