Revisão: produtos notáveis e fatoração
7. (UFMA) Sabendo-se que 1 1 2
1. (Uam) Se x x2
1 3, então o valor de x
c) 36. d) 11.
tem como solução:
3–3) Se A
5
6
3 : 5
1 eC 4
3 . 5
1 , então 5
d) 3.
a4 b 4 .d) ab
1 3 2
1 3�
,
x 1 x 1 a expressão x 1 x 1 é sempre igual a: 1 1 x 1 x 1 1 a) . x
então
2
b) 2x. c) x 2. d) 1 e) 2.
6. (UFC-CE) Os números reais não nulos a e b são tais que
37442. 13. (FGV-SP) Seja N o resultado da operação 3752 37
2b a a b 2 . Sendo assim, o valor da expressão é: ab
d) 3 .
d) x 3y. e) |x y| 2
seja x não-nulo, tal que |x| 1, 12. (Mack-SP) Qualquer que seja x
o produto A B está compreendido entre: a) 2,4 e 2,5. d) 0,2 e 0,3. b) 1,2 e 1,3. e) 0 e 0,1. c) 0,37 e 0,38.
c) 2.
11 . 6
1 5. c
298 450 834 é igual a: 299 3 220 2101 7 c) 2. e) . 4 5 d) . 2
que x2 y2 17, então: x e y são primos entre si. a) x a) b) x 2y. c) x y 30..
e) 24.
e B
1 , cujo dox2
Se x e y são números inteiros e positivos, tais 11. (Mack-SP) Se x
e) 2.
pereito, o número real c é divisível por: a) 243. c) 72. b) 216. d) 27 27..
b) 2 .
).
b)
4. (Unior-CE) Se o trinômio x2 36x c é um quadrado
a) 1.
b) ab(a4 b4
a) 1.
3. (UFPB) Se A 7x 7x e B 7x 7x, x IR, o valor
5. (Unior-CE) Se A
).
a2 b2 .c) ab
ab(a2
10. (Mack-SP) A ração
A B C.
da expressão A2 B2 é: a) 6. b) 5. c) 4.
ax bx a4 b4 , com a b, b a
(c), onde c é um número real tal que c
3 5
1 , B 3
e) 51.
mínio é o conjunto dos números reais não nulos. Calcule
15 5 tão B é igual a 2. 6 6
34
48 1 , n( n�1 ) 49
9. (UFC-CE) Considere a unção (x) x2
3 2 4 1–1) Se B 39 2 24 2 200, en4 11 3
3 5
...
b2
a)
3 2 1 0–0) Se A 2 6 , então A 9 . 5 3 5
8
23
1
8. (Uece) A equação
e) 63.
2. (UFS-SE/adaptado) Analise as airmações abaixo.
3 2–2) 5
1
então o valor de n é: a) 47 47.. c) 50. b) 49. d) 48.
1 1 x3 2 é: 3 x x
a) 27 27.. b) 47 47..
A soma dos algarismos de N é: a) 18. c) 20. b) 19. d) 21.
e) 3.
e) 22.
14.. (Upel-RS) Simpliicando 14
b)
3 . 2
c)
5
1 . 2
É correto, então, airmar que: a) C A. d) C B. b) A D A. e) D A. c) D B.
317 316 , obtém-se o valor: 6 31715 31615 d) . 6
a) 27 27.. 5
5
18. (UFPB) A Secretaria de Saúde do Estado da Paraíba, em
3 e) . 2
estudos recentes, observou que o número de pessoas acometidas de doenças como gripe e dengue tem assustado bastante a população paraibana. Em pesquisas realizadas com um universo de 700 pessoas, constatou-se que 10% tiveram gripe e dengue, 30% tiveram apenas gripe e 50% tiveram gripe ou dengue. O número de pessoas que tiveram apenas dengue é: a) 350. d) 140. b) 280. e) 70. c) 210.
15. (UFS (UFSM-RS) M-RS) Considere as expressões m 2
x 4
kx 5 e onde x x2 x2
2ex
2.
Para que a 1a e a 2 a expressões sejam iguais, os valores de m, k, têm como soma: a) 5. c) 18. e) 25. b) 8. d) 22.
19. (Uespi) Numa agência de turismo com 30 uncionários, 16 deles alam rancês e 20 deles alam inglês. O número de uncionários dessa agência que alam inglês e rancês é: a) exatamente 16. 16. b) exatamente 10. c) no máximo 6. d) no mínimo 6. e) exatamente 18. 18.
Conjuntos e conjuntos numéricos 16. (UFPA/PSS) Um proessor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as pree preerências rências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da reerida turma, teremos, evidentemente, evidentemente, A A B . Concluímos que o número n de alunos desta turma é: a) 49. c) 47 47.. e) 46. b) 50. d) 45.
20. (Unior-CE) Em qual das alternativas seguintes não está expresso um número inteiro? a) (0,125)1 c) 3 (0,666…) b) 3 64
e)
1 0, 375
d) (3 6 )6
21. (Unior-CE) Sejam os conjuntos:
A: consoantes da palavra CEARÁ; B: vogais da palavra CEARÁ; C: consoantes da palavra FORTALEZA; D: vogais da palavra FORTALEZA. Sobre as airmações: I) A C II) D B {O} III) A B {A, C, E, R} está correto somente o que se airma em: a) I. c) III. b) II. d) I e II.
17. (Uac) Há alguns anos a Uac estabeleceu a isenção da
taxa de inscrição no concurso vestibular. No ano passado, um bom número de pessoas solicitou tal beneício. A maioria obteve a isenção e parte teve o pedido negado pela Comissão do Vestibular. Vestibular. Suponha que todas as pessoas que oram isentas do pagamento da taxa izeram a inscrição e que algumas das que tiveram o pedido negado não a izeram. Considere que: • A é o conjunto constituído pelas pessoas que izeram a inscrição; • B é o conjunto das pessoas que solicitaram a isenção; • C é o conjunto das pessoas que oram isentas do pagamento da taxa; • D é o conjunto das pessoas que tiveram o pedido negado.
e) II e III.
22. (Uece) Sendo n um número inteiro positivo, a notação Mn designa o conjunto de todos os múltiplos positivos de n. O valor de p para Mp M18 M24 é: a) 42. c) 66. b) 54. d) 72.
23. (Uece) Quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos meus bisavós (bisavós são os pais de seus avós)? a) 16 b) 32 c) 64 d) 81
14.. (Upel-RS) Simpliicando 14
b)
3 . 2
c)
5
1 . 2
É correto, então, airmar que: a) C A. d) C B. b) A D A. e) D A. c) D B.
317 316 , obtém-se o valor: 6 31715 31615 d) . 6
a) 27 27.. 5
5
18. (UFPB) A Secretaria de Saúde do Estado da Paraíba, em
3 e) . 2
estudos recentes, observou que o número de pessoas acometidas de doenças como gripe e dengue tem assustado bastante a população paraibana. Em pesquisas realizadas com um universo de 700 pessoas, constatou-se que 10% tiveram gripe e dengue, 30% tiveram apenas gripe e 50% tiveram gripe ou dengue. O número de pessoas que tiveram apenas dengue é: a) 350. d) 140. b) 280. e) 70. c) 210.
15. (UFS (UFSM-RS) M-RS) Considere as expressões m 2
x 4
kx 5 e onde x x2 x2
2ex
2.
Para que a 1a e a 2 a expressões sejam iguais, os valores de m, k, têm como soma: a) 5. c) 18. e) 25. b) 8. d) 22.
19. (Uespi) Numa agência de turismo com 30 uncionários, 16 deles alam rancês e 20 deles alam inglês. O número de uncionários dessa agência que alam inglês e rancês é: a) exatamente 16. 16. b) exatamente 10. c) no máximo 6. d) no mínimo 6. e) exatamente 18. 18.
Conjuntos e conjuntos numéricos 16. (UFPA/PSS) Um proessor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as pree preerências rências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da reerida turma, teremos, evidentemente, evidentemente, A A B . Concluímos que o número n de alunos desta turma é: a) 49. c) 47 47.. e) 46. b) 50. d) 45.
20. (Unior-CE) Em qual das alternativas seguintes não está expresso um número inteiro? a) (0,125)1 c) 3 (0,666…) b) 3 64
e)
1 0, 375
d) (3 6 )6
21. (Unior-CE) Sejam os conjuntos:
A: consoantes da palavra CEARÁ; B: vogais da palavra CEARÁ; C: consoantes da palavra FORTALEZA; D: vogais da palavra FORTALEZA. Sobre as airmações: I) A C II) D B {O} III) A B {A, C, E, R} está correto somente o que se airma em: a) I. c) III. b) II. d) I e II.
17. (Uac) Há alguns anos a Uac estabeleceu a isenção da
taxa de inscrição no concurso vestibular. No ano passado, um bom número de pessoas solicitou tal beneício. A maioria obteve a isenção e parte teve o pedido negado pela Comissão do Vestibular. Vestibular. Suponha que todas as pessoas que oram isentas do pagamento da taxa izeram a inscrição e que algumas das que tiveram o pedido negado não a izeram. Considere que: • A é o conjunto constituído pelas pessoas que izeram a inscrição; • B é o conjunto das pessoas que solicitaram a isenção; • C é o conjunto das pessoas que oram isentas do pagamento da taxa; • D é o conjunto das pessoas que tiveram o pedido negado.
e) II e III.
22. (Uece) Sendo n um número inteiro positivo, a notação Mn designa o conjunto de todos os múltiplos positivos de n. O valor de p para Mp M18 M24 é: a) 42. c) 66. b) 54. d) 72.
23. (Uece) Quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos meus bisavós (bisavós são os pais de seus avós)? a) 16 b) 32 c) 64 d) 81
24. (UEFS-BA) Considerando-se os conjuntos
e)
A {(x, y) IR IR; y x = 0} e B {(x, y) IR IR; 2y x 1} pode-se airmar que o gráico que melhor representa A B é: y y a) d)
A
–
x –1
26. (PUC-RJ) Se A, B e C são três conjuntos onde n(A) 25, n(B) 18, n(C) 27, n(A B) 9, n(B C) 10, n(A C) 6 e n(A B C) 4, sendo n(x) o número X,, determine o valor de de elementos do conjunto X n[(A B) C].
x
27.. (Upel-RS) No diagrama a seguir, a parte sombreada re27
1
1
C A
1 2
B
B C
1
1
D D
presenta:
B
b)
e)
y
y
1
A
1
C
x
x
1
c)
–1
1
a) B C. b) (A B) C. c) (B C) A.
y
1 2
d) (A C) B. e) A C.
x
Funções
1 2
28. (UFPA/PSS) Em um jornal de circulação nacional oi pu-
25. (Ula-MG) Um modo prático e instrutivo de ilustrar as re-
blicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em unção do ano, de amílias compostas por pai, mãe e ilhos, chamadas amílias nucleares, e de amílias resultantes de processos de separação ou divórcio, chamadas novas amílias. Sabendo-se que os gráicos abaixo representam, a partir de 1987, a variação percentual desses dois tipos de amília, com suas respectivas projeções para anos uturos, é correto airmar:
lações entre conjuntos é por meio dos chamados diagramas de linhas. Se A é um subconjunto de B, A B, o diagrama é da orma apresentada na igura 1. Uma outra orma de expressar tais relações é o diagrama de Venn. Nas opções da igura 2, o diagrama de Venn está relacionado ao diagrama de linhas. Assinale a opção incorreta. C
B
y
B
Se A B C B
A
, se A B, A C, B C,
C
72%
CB
Famílias nucleares A
a)
D
D A A
C
Novas famílias
B
B
23% x
C
1 98 7
C
b) A
B
C
D
B D
c)
D A
C
B
A
B
C
d)
D B
A C
D A
2020
a) No ano 2030, o número de novas amílias será igual ao de amílias nucleares. b) No ano 2030, o número de novas amílias será menor do que o de amílias nucleares. c) No ano 2030, o número de novas amílias será maior do que o de amílias nucleares. d) No ano 2015, o número de novas amílias será igual ao de amílias nucleares. e) No ano 2012, o número de amílias nucleares será menor do que o de novas amílias.
D A
2006
C B
f tal 35. (UEF (UEFS-BA) S-BA) A unção real inversível f tal que
29. (UFPB) Considere a unção : [0, ∞ ) → [12, ∞ ), dada por (x) 2kx 4, onde a constante real k az com que a unção (x) admita inversa. Sabendo-se que g(x) é a unção inversa de (x), o valor de g(21) é: a) 1. c) 9. e) 9. b) 4. d) 1. x2
k 2
(2x 1) 6x 2 tem inversa 1(x) deinida por:
30. (UFRN) Sejam E o conjunto ormado por todas as esco-
a)
3x 5 . 2
b)
x5 . 3
c) 5x 3.
las de ensino médio de Natal e P o conjunto ormado pelos números que representam a quantidade de proessores de cada escola do conjunto E. Se : E → P é a unção que a cada escola de E associa seu número de proessores, então: f não a) f não pode ser uma unção bijetora. b) f f não não pode ser uma unção injetora. f éé uma unção sobrejetora. c) f f éé necessariamente uma unção injetora. d) f
d) 3x 5. e) 3x 15.
36. (UFBA) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos. Sobre unções reais, é verdade que: (01) O domínio de de (x)
31. (Unior-CE) Sejam f f ee g unções de IR em IR tais que g(x) 1 2x e g((x)) 4x2 1. O conjunto imagem f é: de f é: a) [1, ∞[. d) IR+. b) IR. e) ]∞, 1]. c) IR.
7x é IR. x2
(02) (x) 3x2 4x é uma unção par. (04) (x)
3x 2 é a unção inversa de 2x
g(x)
32. (Uece) Sejam (x) x 1 uma unção real de variável x 1
2 . 2x 3
(08) Sendo (x) 2x 4, então (x) 0, para todo x 0. (16) Sendo (x) 4x2 7x, então ( 1) 11.
real e f 1 a unção inversa de f . Então o valor de (2) 1(2) é igual a: a) 3. c) 7. b) 5. d) 9.
Soma ( )
37.. (UnB-DF) A tabela abaixo apresenta inormações relativas 37
33. (Ceet-CE) Considere : IR → IR, tal que
às pizzas de uma pizzaria.
(x2 ) (2x) 3x 2. O valor de (4) é igual a: a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.
Tamanho pequena média grande
Preço (em R$) 6,00 11,00 18,00
Considerando que, nessa pizzaria, o preço P, em reais, de uma pizza é calculado pela soma de um custo ixo c com um termo que depende do raio r , em cm, da pizza , segundo a unção P(r) c br ar2, escolha apenas uma das opções a seguir e aça o que se pede, desconsiderando a parte racionária do resultado inal obtido, após eetuar todos os cálculos solicitados. 1) Calcule o valor de b. 2) Calcule o valor de c. 3) Determine o preço, em reais, de uma pizza gigante, de 50 cm de diâmetro.
34. (Uneb-BA) Considerando a unção real (x) 1 , assix nale com V as airmativas verdadeiras e com F, as alsas. ( ) x 0 pertence ao conjunto imagem de f . x é um número real não-nulo, então 1(x) ( ) Se Se x
Diâmetro (em cm) 20 30 40
1 . x
1
( ) Existe um único número real real x x tal que f (x). x A alternativa que indica a sequência correta, de cima para baixo, é a: 01) V F F. 02) F V F. 03) F V V. 04) V F V. 05) V V V.
38. (UnB-DF/adaptado) O consumo de oxigênio de atletas de alto nível está diretamente relacionado com a prática do esporte em que eles se especializaram. A igura a seguir apresenta o consumo de oxigênio, medido em mL/min, por kg de massa dos atletas de alto nível, de acordo com as especialidades.
Volume de O2 consumido
41. (IME-RJ) Seja : IR → IR, onde IR é o conjunto dos núme-
(mL/min por kg)
f ( 4 ) � 5
90
ros reais, tal que
85 80
73 corrida de longa distância 71 futebol 70 basquetebol
70
60 55
f( x )
�
f( 4 )
1 5
1 4
d)
e)
4 . 5
1 . 5
42. (IME-RJ) Considere os conjuntos A {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
55 ginástica olímpica
e B {1, 2, 3, 4, 5}, e seja a unção : A → B tal que (x, y) x y. É possível airmar que f f éé uma unção: a) injetora. d) par. b) sobrejetora. e) ímpar. c) bijetora.
0 La Recherche, n. 113. j ul.-ago./1980, p. 80 (com adaptações).
O gráico abaixo representa o consumo total acumulado de oxigênio, em mL/kg, em unção do tempo, em min, de um atleta na prática de três esportes distintos, escolhidos entre os listados no gráico acima, cada um praticado por um período de meia hora, em 90 min ininterruptos.
43. (IME-RJ) Seja : IN → IR uma unção tal que n
∑ (k) 2 008 ·
k 0
n 1 , onde IN e IR são, respectivan2
mente, o conjunto dos números naturais e o dos núme-
Consumo de O2 (mL/kg) R
ros reais. Determine o valor numérico de
Q
1 . f( 2006)
44. (UFPR) Precisando contratar serviço de limpeza para car-
P
petes, uma pessoa encontrou duas empresas que prestam o mesmo tipo de serviço e cobram os preços descritos a seguir, sempre baseados na área do carpete. Empresa Limpinski : para áreas de até 50 m 2, preço ixo de R$ 70,00; para áreas superiores a 50 m2, valor ixo de R$ 45,00, acrescido de R$ 0,50 por metro quadrado lavado. Empresa Clean : para áreas de até 40 m 2, preço ixo de R$ 40,00; para áreas superiores a 40 m 2, R$ 1,00 por metro quadrado lavado. Com base nessas inormações, considere as seguintes airmativas: I) Para lavar 80 m2 de carpete, a empresa Clean cobra R$ 120,00. II) É a empresa Clean que oerece o menor preço para lavar menos de 70 m 2 de carpete. III) Para lavar entre 80 m 2 e 100 m2 de carpete, a opção mais barata é sempre a empresa Limpinski. Assinale a alternativa correta. a) Somente as airmativas I e II são verdadeiras. verdadeiras. b) Somente a airmativa I é verdadeira. verdadeira. c) Somente a airmativa II é verdadeira. verdadeira. d) Somente as airmativas I e III II I são verdadeiras. verdadeiras. e) Somente as airmativas II e III são verdadeiras.
Tempo (min) 30
�
c) .
b) .
50
1.650
4)
4 5
a) .
65 arremesso de peso 63 tênis
3.750
O valor de ( 4) é:
75 natação
75
65
f( x
80 marcha atlética
60
90
Com base nessa situação e nas inormações do texto, julgue os itens que se seguem. 1) Na primeira meia hora, o atleta praticou marcha atlética. 2) Se, na terceira terceira meia hora, o esporte praticado tivesse sido o tênis, então os pontos P, Q e R do gráico estariam alinhados. 3) Se, na terceira meia hora, o esporte praticado tiver sido a natação, então o consumo total de oxigênio, ao se completar 80 min de atividades, terá sido igual a 5 250 mL/kg. 4) Quando o consumo total atingiu 2 700 mL/kg, o atleta estava em atividade por mais de 50 min. (UFMS) S) Seja : IR → IR uma unção real tal que (1) A, 39. (UFM
(e) B e (x y) (x) (y), para todo x todo x e y pertencente a IR. Então, (2 e) é igual a: a) A. c) A2B. e) A2 B. b) B. d) AB2.
40. (UFMT) Seja : IR → IR uma unção que satisaz
Função afim
(tx) t2(x), para quaisquer x quaisquer x e t reais. A partir dessas inormações, assinale a airmativa correta. a) ( x) (x), para qualquer x qualquer x real. b) (x) 0, para qualquer x qualquer x real. c) (0) 1. d) (1) 1. e) ( x) (x), para qualquer x qualquer x real.
45. (Uespi) No dia dois do mês de abril de certo ano, o dólar
custava R$ 2,02 e a partir daí seu valor em relação ao real começou a sorer uma valorização linear constante por dia, isto é, o dólar começou a se valorizar diariamente segundo uma unção aim do tempo (dia do mês), até atingir seu valor máximo no dia 18 de abril; estabilizando-se nesse
50. (UnB-DF) Uma lanchonete pratica um rigoroso controle
valor até o inal do mês. Se no décimo dia do reerido mês o dólar estava cotado por R$ 2,08, é correto airmar que o valor do dólar no último dia do reerido mês oi de: a) R$ 2,11. d) R$ 2,14. b) R$ 2,12. e) R$ 2,18. c) R$ 2,13.
de qualidade sobre seus produtos. Um copo de vitamina de ruta dessa lanchonete, que é eita unicamente com leite e polpa de ruta, deve ser preparado de acordo com o seguinte padrão: • será servido em um copo de 180 mL; • o volume de leite utilizado deve ser pelo menos 5 vezes maior que o volume de polpa de ruta; • o volume de polpa de ruta deve ser, no mínimo, igual
46. (Uespi) Os gráicos ilustrados abaixo são de duas un-
ções ains f e g, que têm como domínio o conjunto dos números reais. y
g
a
f
• o volume de vitamina deve ocupar pelo menos
3
3
5
–10
51. (UFMT) Em uma cidade operam duas empresas de teleonia ixa. Admita que a empresa A cobra uma taxa ixa de R$ 30,00 mais R$ 0,15 para cada minuto de ligação local ou interurbana, que a empresa B cobra uma taxa ixa de R$ 20,00 mais R$ 0,20 para cada minuto de ligação local ou interurbana. Nessas condições, é mais vantajoso optar pela empresa A, em planos de, no mínimo: a) 200 minutos. d) 120 minutos. b) 180 minutos. e) 100 minutos. c) 150 minutos.
Nessas condições, é correto airmar que o conjunto solução da desigualdade (x) g(x) 0, com x variando no conjunto IR dos números reais, é: a) {x IR | 3 x 6}. d) {x IR | 0 x 3}. b) {x IR | 3 x 5}. e) . c) {x IR | 2 x 6}.
47. (UFCG-PB) Pelos estudos de hidrostática, sabe-se que a pressão na superície da água no mar é de 1 atm (atmosera). Sabendo-se também que a pressão da água no mar varia com a proundidade e que a cada 5 m de proundidade a pressão sore um acréscimo de 0,5 atm, a expressão que dá a pressão p (em atmoseras) em unção da proundidade a (em metros) é: a) p 0,5a 1. d) p 0,1a. b) p 0,5a. e) p 0,1a 1. c) p 1 0,5a.
52. (Uop-MG) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas cidades, A e B, são representadas pelos pontos A(100, 200) e B( 200, 800). Uma estrada em linha reta liga as cidades A e B. Uma pessoa sai da cidade B e viaja com velocidade constante por essa estrada em direção à cidade A. Quando chega a um vilarejo C, já
48. (UFPI) A unção aim cujo gráico passa pelo ponto (2, 3) e
concluiu
orma com os eixos coordenados um triângulo com 12 unidades quadradas de área é: a) (x) 5 x. d) (x) 7 2x. b) (x) 6 �
3
a) C
e) (x) 9 3x.
x.
2
20 0 3
,
b) C(0, 400).
d) 2.
3
.
c) C
10 0 1000 , . 3 3
d) C( 100, 600).
contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma órmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela unção (h) 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma aixa de idade, pela unção g(h) 15,3h. Paulo, usando a órmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2 975 kcal. Sabendo-se
x 1 1 é S {x IR | a x b}. Então, podemos 2x 1 b airmar que o valor de é: a
c) 4.
2000
53. (Vunesp) A unidade usual de medida para a energia
49. (UFPI/PSE) O conjunto solução da inequação quociente
b) 1.
1 da viagem. Desta orma, o vilarejo C é repre3
sentado pelo ponto:
5 c) (x) 8 x. 2
1 . 2
5 do 6
volume do copo. Considerando que, na situação acima, L e P representem, respectivamente, os volumes, em mL, de leite e de polpa de ruta em um copo de vitamina que segue esse padrão de qualidade, julgue se cada item abaixo apresenta valores possíveis para L e para P, respectivamente. 1) 155 e 26 3) 119 e 21 2) 140 e 20 4) 150 e 25
x
a)
1 do volume de leite; 6
e) 6.
que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a órmula, em kcal, é: a) 2 501. b) 2 601. c) 2 770. d) 2 875. e) 2 970.
Bilhões de dólares
35,6
22
54. (Mack-SP) Se, na igura, temos o esboço do gráico da
12 julho 2000
unção y (x), o gráico que melhor representa y (x 1) 1 é:
Admita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio de 2001. x
57. (FGV-SP) Uma ábrica de bolsas tem um custo ixo men-
3
sal de R$ 5 000,00. Cada bolsa abricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a ábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá abricar e vender mensalmente x bolsas. O valor de x é: a) 300. b) 350. c) 400. d) 450. e) 500.
–1
d)
y
1
y
1
x x 4
1
b)
1
58. (FGV-SP) Uma unção polinomial f do 1o grau é tal que
4
e)
y
(3) 6 e (4) 8. Portanto, o valor de (10) é: a) 16. c) 18. e) 20. b) 17. d) 19.
y
1
59. (Fuvest-SP) Seja f a unção que associa, a cada número
x x
real x, o menor dos números x + 3 e –x + 5. Assim, o valor máximo de (x) é: a) 1. c) 4. e) 7. b) 2. d) 6.
–3
3
–1
c)
y
–1
abril 2002
(Adaptado de “Veja”, 01/05/2002.)
y
a)
julho 2001
Função quadrática
x 2 –1
60. (Uac) Sejam a um número real negativo e as unções (x) ax2 e g(x) ax, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Considere os seguintes itens em romanos: I) (x) g(x) para x no intervalo ]0, 1[. II) f é crescente em IR. III) g é decrescente em IR. Relativamente aos itens, podemos dizer que: a) todos são verdadeiros. b) todos são alsos. c) I e III são verdadeiros. d) I é also. e) I e II são alsos.
55. (Mack-SP) Um ambulante paga R$ 1,00 pela compra de 3 lápis e revende por R$ 2,00 cada 5 lápis. A quantidade necessária de lápis que deve ser vendida para que ele tenha lucro de R$ 50,00 é: a) 600. c) 550. e) 620. b) 750. d) 440.
56. (Uerj) O gráico adiante representa, em bilhões de dólares, a queda das reservas internacionais de um determinado país no período de julho de 2000 a abril de 2002.
(32) Se a unção real (x) ax4 bx2 c, com a 0, possui apenas duas raízes reais positivas distintas, entre suas raízes, então a unção quadrática g(x) ax2 bx c possui duas raízes reais positivas distintas.
61. (Uac) Abaixo estão representados os gráicos das un-
ções (x) ax bx e g(x) 2x 2, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Os gráicos de f e g se tocam em dois pontos, sendo que um deles pertence ao eixo x. Os valores de a e b são: a) a 1 e b 4. d) a 1 e b 1. b) a 4 e b 0. e) a b 4. c) a 4 e b 4. 2
64. (UFS-SE) Para analisar as airmativas abaixo, considere a unção f , de IR em IR, deinida por (x) 2x 3. 0-0) A unção inversa de f é deinida por
y
f 1( x ) x
3 . 2
1-1) A unção composta o é deinida por ((x)) 4x 6. 2-2) A unção g deinida por g(x) [(x)]2 tem por gráico uma parábola de concavidade para cima e que inter-
3
x
cepta o eixo das abscissas nos ponto , 0 e 2
3 . 2 , 0
–1
3-3) O vértice da parábola deinida por y x2 2x 6 pertence ao gráico de f . 4-4) Se o gráico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B, a unção quadrática cujo gráico
62. (Unir-RO) Admita que f seja uma unção real, quadrática, cujo gráico é uma parábola com abscissa do vértice igual a 3, que a imagem de 1 é igual a zero e que a imagem de zero é igual a 1. A partir dessas inormações, pode-se airmar que a unção f : a) tem raízes 1 e 4. b) é positiva para todo x real menor que 1. c) é estritamente crescente em todo seu domínio. d) tem concavidade voltada para cima. e) é negativa no intervalo ( ∞, 1).
9
contém os pontos A, B e , 0 é deinida por 2 4 9
y x2
4 x 3. 3
65. (UFPB) O gráico da unção y (x)
1 200
2
x
1 x, 5
representado na igura a seguir, descreve a trajetória de um projétil, lançado a partir da origem.
63. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre unções, é
y (km)
correto airmar: (01) Se a unção aim m(x) ax b, a 0, é crescente, b a
H
então a 0 ou x .
y
�
f(x) x (km)
(02) Se a unção aim p(x) ax b, a 0, é decrescen-
0
b te, então a unção é negativa para todo x < . a (04) Se a unção quadrática n(x) ax2 bx c é par, então b 0.
A
Sabendo-se que x e y são dados em quilômetros, a altura máxima H e o alcance A do projétil são, respectivamente: a) 2 km e 40 km. b) 40 km e 2 km. c) 2 km e 10 km. d) 10 km e 2 km. e) 2 km e 20 km.
(08) Se a igura representa um esboço do gráico da unção quadrática r(x) ax2 bx c, então b é um número real negativo.
66. (Uespi) Um comerciante comprou a unidade de certo
y
artigo por R$ 20,00, e calculou que se o comercializasse por x reais, cada, venderia por dia (60 x) unidades desses artigos. Considerando 0 x 60 e as condições apresentadas, podemos concluir que, para maximizar o seu lucro, o comerciante terá que vender: a) 20 artigos, cada um ao custo de R$ 40,00. b) 25 artigos, cada um ao custo de R$ 20,00. c) 30 artigos, cada um ao custo de R$ 30,00. d) 35 artigos, cada um ao custo de R$ 35,00. e) 40 artigos, cada um ao custo de R$ 30,00.
x
(16) Se a unção quadrática h(x) ax2 4x c admite valor máximo 1 no ponto de abscissa 2, então c a 4.
São verdadeiras apenas: a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II, III e IV. e) III e IV.
67. (UEFS-BA) O vértice da parábola de equação (x) x2 2x 4k é um ponto da reta y
2. Portanto,
a parábola corta o eixo Oy no ponto de ordenada: 1 4
a) .
d) 2.
b) 0. c) 1.
e) 4.
72. (Vunesp) A expressão que deine a unção quadrática (x),
68. (UFBA) Determine os valores de p para os quais a parábo-
cujo gráico está esboçado, é: a) (x) 2x2 2x 4. b) (x) x2 2x 4. c) (x) x2 x 2. d) (x) 2x2 2x 4 e) (x) 2x2 2x 2.
la e a reta, representadas pelas equações y 2x2 x 3 e y px 1, se interceptam em dois pontos distintos.
69. (UFPI) Seja m a quantidade de números inteiros pertencentes ao conjunto solução, nos números reais, da inequação x4 4x2 45 0. Então, m é igual a: a) 1. c) 3. e) 5. b) 2. d) 4.
y
y = f(x) 1
70. (UFPI/PSE) A partir de dois vértices opostos de um re-
x
–2
tângulo de lados 3 cm e 5 cm, marquemos, sob seus lados, quatro segmentos de comprimento x. As extremidades desses segmentos ormam um paralelogramo de área máxima. O valor de x é: a) 2,0 cm. d) 1,0 cm. b) 1,8 cm. e) 1,5 cm. c) 0,5 cm.
–1
1
2
–1 –2 –3 –4
73. (Mack-SP) A reta y x é tangente à curva y x2 bx, b 0. Se m e p são as abscissas dos pontos em que a curva encontra o eixo Ox, m p vale:
71. (UFMS) Nas iguras abaixo, são dados os gráicos das
unções reais y (x) e y g(x), onde f é uma unção aim e g uma unção quadrática.
a) 2. 2 . 3 1 c) . 2 d) 1 3 e) . 2
y
b)
f
1 x
–1
74. (ESPM-SP) O gráico a seguir representa a unção real (x) x2 kx p, com k e p reais. y y
2
4
x
1
–1
3
g x
1
Das airmações: I) Se 0 x 3, então 1 (x) 3. II) Se (x) 1, então x 0. III) Se 0 x 2, então 3 g(x) 2.
O valor de p k é: a) 12. b) 15. c) 18.
2
IV) Se g(x) 0, então x 1 ou x 3.
2
f(1)
d) 18. e) 3.
75. (Ula-MG) Uma bolinha de tênis, após se chocar com o
d) o seu conjunto imagem está contido em [0, ∞[. e) (g o )(x) 0 se, e somente se, 0 x 3.
solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de quatro parábolas, como pode ser observado no gráico.
78. (UEL-PR) Para um certo produto comercializado, a unção
y
receita e a unção custo estão representadas a seguir em um mesmo sistema de eixos, onde q indica a quantidade desse produto. RC 125 000
Custo
105 000
x 0
Receita
A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é 3 do valor da altura máxima da parábola anterior. Saben4
45 000 35 000
do-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira parábola é y 4x2 8x, a equação da quarta parábola é: a) y x2 14x 48. b) y x2 14x 48. c) y
q 0
3
3 d) y (x 6)(x 8). 4 e) y 8x2 16x.
B
Função modular
x
80. (UFPA/PSS) Um proessor de Matemática Aplicada en-
Nessa igura, os pontos A e B estão sobre o gráico da unção de segundo grau y ax2 bx c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Assim sendo, é correto airmar que o comprimento do segmento AB é:
viou a seguinte mensagem ao seu melhor aluno, um estudante chamado Nicéphoro, que gostava muito de desenhar e traçar gráicos: Prezado Nicéphoro,
b c) . a c a
500
que (0) 1, (1) ( 1) 6 e (2) 2(1) 27. Encontre a lei que descreve essa unção.
y
b) .
350
79. (Udesc) Seja : IR → IR uma unção do segundo grau tal
76. (UFMG) Observe esta igura:
a) c.
250
Com base nessas inormações e considerando que a unção lucro pode ser obtida por L(q) R(q) C(q), assinale a alternativa que indica essa unção lucro. a) L(q) 2q2 800q 35 000 b) L(q) 2q2 1 000q 35 000 c) L(q) 2q2 1 200q 35 000 d) L(q) 200q 35 000 e) L(q) 200q 35 000
27 (x 6)(x 8). 16
A
50
Estive analisando cuidadosamente aquele problema de Matemática e percebi que ele é regido por uma unção
b a
1, se x 1 . 0, se x 1
d) .
pulso-unitário deinida por f( x )
Trace, por avor, usando os seus conhecimentos, o gráico desta unção e o envie para mim. Um abraço e saudações matemáticas.
77. (Fatec-SP) Sejam as unções f e g, de IR em IR, deinidas, respectivamente, por (x) 2 x e g(x) x2 1. Com relação à unção g o , deinida por (g o )(x) g((x)), é verdade que: a) a soma dos quadrados de suas raízes é igual a 16. b) o eixo de simetria de seu gráico é y 2. c) o seu valor mínimo é 1.
Euclides Arquimedes. Nicéphoro traçou corretamente o gráico da unção acima e o enviou ao pro. Euclides Arquimedes. 0
O gráico enviado oi: y a)
d)
d) a imagem de f é (b a, ∞ ). e) f é decrescente em (b, ∞ ).
y
85. (UFCG-PB) Considere os seguintes subconjuntos da reta:
1
1
x 0
b)
A {x IR | 1 3 2x 3} B {x IR | x2 4x 3 0} C {x IR| |3x| 3} Então, podemos airmar que: a) (A C) B. d) C B {1}. b) C (A B). e) (A B) C. c) A (B C).
x 0
–1
1
e)
y
y
1 1
86. (Unior-CE) Se x > 4, quantos números inteiros satisazem
x
x 0
0
a sentença c)
4 x
a) 10 b) 11 c) 12
y
1
8x 136?
d) 13 e) 14
87. (UFPE) Sejam x e y números reais tais que x y e
x 0
x(x y) 0. Analise a veracidade das airmações abaixo. ( ) x0 ( ) y0 ( ) xy0 ( ) |x| |y| ( ) |x y| 0
�1
81. (Uniap) Dada a unção : IR → IR, de lei (x) x|x| 1, esboce o gráico de f .
88. (UFMT) O sistema
82. (UFRN) Sendo (x) |x2 2x|, o gráico que melhor representa f é: y a)
o intervalo: c)
[
y
8
4
6
3
4
2
a) ∞, b) (2, ∞ c) (1, 4).
| 2x 5 | 3 tem como solução | 3x 1 | 0
4
4 . 3
]
d) , 2 . 3 ).
e) (2, 4).
1
2
x –2 –1 0
20 5x
1
2
b)
3
–4 –2 0
2
d)
y
89. (UFG-GO) O conjunto solução da inequação é
x
4
4
6
2x 4 0 é: x 2
y
a) {x IR | x 2}. b) {x IR | x 2}. c) {x IR | x 2}. d) {x IR | 2 x 2}. e) {x IR | x 2 ou x 2}.
4 8 3 6 2
4
1
2
x
x –4 – 3 – 2 – 1 0
1
2
–6 –4 –2
0
2
4
90. (UFU-MG) A soma das soluções reais da equação |x2 3x 2| |6x| 0 é igual a: a) 3. c) 3. b) 6. d) 6.
83. (UFPE) Indique o produto dos valores dos reais x que satisazem a equação |x 7| 3.
84. (UFPI) Sejam a e b números reais tais que 0 a b.
91. (Uerj) O volume de água em um tanque varia com o tempo
Então, a respeito da unção, real de variável real, f deinida por (x) |x a| |x b|, é correto airmar que: a) f é crescente em ( ∞, a). b) f é injetiva em (a, b). c) a imagem de f é (0, ∞ ).
de acordo com a equação V 10 |4 2t| |2t 6|, t IR. Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e inal dessa manhã em que o volume permanece constante.
92. (FGV-SP) A soma dos valores inteiros de x que satisa-
d) x 2 y 2 x y. e) x 0.
zem simultaneamente as desigualdades |x 5| 3 e |x 4| 1 é: a) 25. c) 16. e) 21. b) 13. d) 18.
96. (UFMG) Quantos números inteiros satisazem a desi|n� 20 |
gualdade n � 2 1? a) 8 b) 11
93. (Mack-SP) Na igura 1, temos o esboço do gráico de uma unção f , de IR em IR.
97.
y
x
1 1 . x y
III) Se 0 x y, então
IV) Se x2 9, então x 3. V) x2 2x y2 0. a) Somente I e II. b) Somente II e IV. c) Somente II e III.
O melhor esboço gráico da unção é g(x) (|x|) é: y y a) d) x
d) 10
(PUC-PR) Sendo x e y números reais, quais das airmações são sempre verdadeiras? I) Se x y, então x y. II) Se |x| x, então x 0.
0
Figura 1
c) 9
d) Todas. e) Somente I e III.
0
x
Função exponencial
0
b)
e)
y
y
98. (UFPA/PSS) Se y e1
x
é uma unção deinida para 0 x 1, então podemos airmar que: a) y é crescente. d) y(0) 1. b) y é decrescente. e) y é negativo. c) y é constante.
x
0
0
c)
x2
y
99.
(Uac) Se 3x
2 para algum x, o valor de 3
a) 2 .
c) 2.
b) 3.
d)
x 0
d)
y 4
–4
–4
101. (UFPB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se
4
que o gráico da unção (x) a2kx passa pelos pontos A(0, 5) e B(1, 10), o valor da expressão 2a k é: a) 15. c) 11. e) 12. b) 13. d) 10.
–4
e)
y
y 4
x –4
4
x –4
102. (Uespi) Um botânico, após registrar o crescimento diário
4
–4
c)
de uma planta, veriicou que o mesmo se dava de acordo com a unção (t) 0,7 0,04(3)0,14t, com t representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e (t) a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto airmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é: a) 30 dias. d) 50 dias. b) 40 dias. e) 55 dias. c) 46 dias.
y 4
x –4
d) 0,5 x 1,5. e) nda.
x
4
b)
3 . 2
2
(0,8)4x – x > (0,8)3(x + 1) são: a) 1,5 x 1,5. b) 1,5 x 0,5. c) x 0,5 ou x 1,5.
y
x
e)
é:
100. (UFG-GO) Os valores reais de x para os quais
94. (Ula-MG) O gráico da expressão |x| |y| 4 é dado por: a)
2 . 2
x 2
4 –4
95. (UFV-MG) Se x e y são números reais quaisquer, então é correto airmar que: a) se x2 y2, então x y. b) se x y, então x2 y2. c) se x2 y2 0, então |x| |y|.
103. (UFPI) Seja n a quantidade de elementos do conjunto solução, nos números reais, da equação exponencial
2 3
x
x 1
3 2
a) 3. b) 2.
x 2
8 27
a) 1. b) 2.
. Então, n é igual a:
c) 3. d) 4.
aumenta, anualmente, segundo a unção (t) aqt (a 0, q 0, q 1) em que a representa a quantidade inicial de madeira, q o ator de crescimento e t o número de anos. Assinale a expressão que representa o número de anos necessários para que a quantidade de madeira seja igual a b.
(x) 32x 1 m 3x 1. a) Quando m 4, determine os valores de x para os quais (x) 0. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação (x) m 1 não tem solução real x.
b
a) logq a
105. (Uerj) A inlação anual de um país decresceu no perío-
b)
do de sete anos. Esse enômeno pode ser representado por uma unção exponencial do tipo (x) abx, conorme o gráico a seguir. Determine a taxa de inlação desse país no quarto ano de declínio.
c)
7,5%
x (anos)
0
4
7
log b log a log q
log2
e)
log b log a log q
a b
log2 q
112. (Uneb-BA) Sabendo-se que x IR é tal que
106. (Vunesp) Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x. a) 7x 3 7x 2 7x 1 57 x 1
1 3
2
32 x
207
y
2
, então x y é:
c) 2. d) 3.
e) 1.
113. (UFS-SE) Analise as airmativas abaixo. 0-0) Se A {2, 3, 5, 7, 8}, B {4, 5, 10, 12, 14} e R é a relação de A em B deinida por R {(a, b) A B | mdc(a, b) 2}, então R tem 6 elementos. 1-1) O conjunto imagem da unção que associa a cada número natural n o resto da divisão de n por 5 é {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 2-2) A sentença 2x 2x 1 4 é verdadeira para todo x real.
108. (UEL-PR) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) 4xt, onde t 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será: a) 6. b) 8 . c) 9. d) 8 4. e) 8.
3-3) Se log9 12 + log9 y
ax 1
1 1 , então y . 2 4
4-4) No universo IR, o conjunto solução da inequa-
Logaritmo e função logarítmica 109. (Uam) Considere a equação em x,
1 e considerando-se log 2 0,30, pode-se 27
airmar que log |x| pertence ao intervalo: 01) ]∞, 3]. 02) ]3, 2]. 03) ]2, 0]. 04) ]0, 1]. 05) [1, ∞[.
x 2
1 3
107. (Mack-SP) Se 2x 3y 1 18 a) 0. b) 1.
b a
lo g
log|x 2| (7 2x) = 2 é: a) S {3, 1}. b) S {1, 3}. c) S {1}. d) S {3}. e) S {1}.
960%
log q
d)
111. (UFPB) O conjunto solução da equação
y = f(x)
x
e) 6.
110. (Unir-RO) A quantidade de madeira em uma loresta jovem
e) 5.
104. (Vunesp) Considere a unção dada por
1 b) 3
c) 1. d) 6.
ção 2x
1 x
b , onde
1 2 (2 3x ) (x – 1) mx 2, 3 5
23
m IR, é
a e b são números reais positivos, tais que n b 6n a 0 ( n logaritmo natural). A soma das soluções da equação é:
3
,
∞ . O número m é igual a 3.
�
114. (UEFS-BA) O conjunto
\
X {x ZZ log6 a) {1, 2}. b) {0, 1, 3}. c) {0, 2, 3}.
(2x
ção inravermelha, contribuindo para o eeito estua. O aumento da emissão de gases na atmosera, como o dióxido de carbono, o metano, o ozônio e o óxido de dinitrogênio, entre outros, eleva a temperatura da Terra. A unção abaixo, em que A e k são constantes reais positivas e a constante e é a base dos logaritmos neperianos, é um modelo que relaciona a variação T, em °C, da temperatura nos polos da Terra, com relação à existente em 2000, com a elevação h(T) , em cm, do nível dos oceanos, com relação ao valor constatado em 1900:
2) 1} está contido em:
d) {0, 2, 4}. e) {0, 3, 4}.
115. (UFRN) Os habitantes de um certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o Banco ZIG oerece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T log8 225, enquanto o Banco ZAG trabalha com a taxa (mensal) S log2 15. Com base nessas inormações: a) estabeleça uma relação entre T e S. b) responda em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa de juros, deverá azer empréstimo. Justiique.
h(t)
Considerando as inormações acima, das quais se obtém h(0) 30, julgue os itens: 1) No modelo proposto, A 300. 2) A elevação de 1 cm no nível dos oceanos, com relação ao nível veriicado no ano 2000, resultará de uma varia-
116. (UFMA) A soma das raízes da equação 2 log9 x 2 logx 9 5 é: a) 92. c) 36. b) 27. d) 76.
Ae kt . ekt 9
ção da temperatura polar de
e) 84.
k
A
� 31 9 � k
ºC.
118. (UFRN) Suponha que, numa colônia de ungos, a mas-
117. (UnB-DF)
sa biológica de sua população, no instante t (horas), denotada por m(t), seja dada pela expressão m( t )
radiação luminosa
2t gramas. (Considere que log 10 2 0,3.) 1011
De acordo com o ritmo de crescimento populacional estabelecido por essa expressão, a massa da população de ungos, em 50 horas, é da ordem de: a) 100 g. c) 10 000 g. b) 10 g. d) 1 000 g.
atmosfera
radiação infravermelha
�n
calor
119. (Uespi) Após alguns experimentos envolvendo a mistura do enxore com o sódio, um químico chegou a um produto cuja relação entre a quantidade y de sódio em unção da quantidade x de enxore existente na sua composição obedecia à equação y k x2n, onde k e n são duas constantes reais. Supondo que numa dessas experiências com o produto oram obtidos os dados da tabela a seguir, e que log 3 = 0,48, calcule o valor de 100n.
Terra
A manutenção da temperatura na Terra pela atmosera é um ator importante para a garantia de vida no planeta. Por isso, o aquecimento global que se tem veriicado nos últimos anos, como consequência do eeito estua, deve ser controlado. Estudos recentes demonstram que a temperatura média do planeta vem subindo. Se or mantida a tendência, nos próximos 50 anos haverá um aquecimento de 4 °C a 5 °C, o que pode provocar o degelo de parte das calotas polares e, como consequência, a elevação do nível dos mares e a inundação de cidades litorâneas. Comparando o nível dos oceanos em 2000 com o registrado em 1900, veriica-se uma elevação de 30 cm, e esse processo tem-se acelerado em consequência da atuação do homem. A energia luminosa solar incidente sobre o planeta é parcialmente reletida pela atmosera de maneira diusa. Como ilustrado na igura acima, parte da energia luminosa absorvida pela Terra é irradiada sob a orma de radia-
a) 25 b) 26
x 3
y 15
30
50
c) 37 d) 38
e) 40
120. (UFBA) O gráico representa e unção : IR → ]1, ∞[; (x) a b 2kx, sendo a, b e k constantes reais. A partir dessas inormações, calcule 1(x). y 5 3 1
x –1
0
121. (UFMT) O quadro abaixo apresenta o valor do logaritmo
127. (Mack-SP) A igura mostra os esboços dos gráicos
de 2 e 3 nas bases 2, 3 e 6.
das unções (x) 22x e g(x) log2 (x 1).
Base do logaritmo 2 a d
Logaritmando 2 3
3 b e
y C
6 c
B
A
x
A partir dessas inormações, é correto airmar que: a) d
1 1 c
d) d 1
b) a 2e.
e) b
b c) c . f
1 . c
f . c
A área do triângulo ABC é: a)
1 . 4
c)
b)
5 . 2
d) 5 .
122. (Uop-MG) A soma das raízes da equação logarítmica ( log2 a)
1 � x ) ( log 2 1− x 2
) 2 0 é:
57 . 4
c)
b) 1.
63 . 4
as reservas mundiais de carvão seriam equivalentes a 6 1012 toneladas. Considerando que no ano de 2003 oram consumidas mundialmente 2,5 108 toneladas de carvão, que, em cada ano subsequente, poderá haver um aumento de 5% no consumo anual de carvão em relação ao ano anterior e que log10 1 201 3,08 e log10 1,05 0,02, pode-se airmar que as reservas atuais de carvão poderão suprir as necessidades de consumo mundial: a) por menos que 40 anos. b) entre 40 e 80 anos. c) entre 81 e 89 anos. d) por mais de 90 anos.
129. (UFRGS-RS) Sabendo-se que logb a2 x e que logb a = y, 2
pode-se airmar que x é igual a: a) y. c) y4. b) y 2. d) 2y.
130. (Furg-RS) Dada a equação log 1 x 3
124. (Unirio-RJ) Sabe-se que
3 1 log x x x ... . Calcule o valor 5 de x3 sabendo que |log x| 1.
log3
[
[
log x2 x
x
1 1 , com x 1. Determine x
]
1 1 2 em unção de a e b. x x
]
a) 5. b) 6.
log 1 x 4 4
3
131. (Uam) Dadas uma PA e uma PG com três termos reais. A soma da PA adicionada à soma da PG é igual a 26. Sabe-se que suas razões são iguais ao primeiro termo da PG, e que o primeiro termo da PA é igual a 2. A razão será igual a: a) 2. c) 1. e) 3. b) 1. d) 2.
, o valor de x y é: log 3
c) 7. d) 8.
2
Progressões
126. (Mack-SP) Se (x, y) é a solução do sistema ( 3 )x 3y 3 log( x 1) log y 2
e) 4y.
em que x representa um número real, é correto airmar que essa equação: a) tem mais que duas soluções. b) tem uma única solução entre 1 x 3. c) tem duas soluções. d) tem uma única solução entre 0 x 1. e) não tem solução.
125. (UFRJ) Considere a log x 1 e b log x
2
cançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a órmula N(t) 2(0,5)t, em que t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível oi constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo se o limite permitido de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 grama por litro? (Use 0,3 para log 10 2.)
123. (UFU-MG) Estimava-se que, no início do ano de 2003,
1 . 3
e)
128. (Unicamp-SP) O álcool no sangue de um motorista al-
d) 15.
log2
3 . 2
e) 9.
132. (Uac) Dentre as sequências abaixo somente uma não
é igual a:
representa uma PA ou uma PG: Em qual dos itens abaixo ela aparece? a) Sequência dos números pares positivos. b) Sequência dos números primos maiores que 21 e menores que 70. 1 3
p
5
b)
n
c)
. p
7
n
p . 14
d)
.
n
e)
p
2
n
p . 10
.
138. (UnB-DF) Na igura abaixo, Ak representa a área do
1 9
c) 27; 9; 3; 1; ; ; ...
k-ésimo quadrado sombreado, cujo lado é o dobro do lado do (k 1)-ésimo quadrado, para k 1, 2, 3, …
d) 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128;... e)
n
a)
3 3 2 3 3 2 3 3 2 ; ... ; ; ; ; ; 8 16 4 8 2 4
A3
1
133. (UFPB) Se as 4 (quatro) notas bimestrais de um aluno
2
estão em uma progressão aritmética, de razão 2, e a média aritmética dessas notas é 7,0 (sete), então pode-se airmar que a soma das duas primeiras notas é: a) 10,5. b) 10,0. c) 9,5. d) 9,0. e) 8,5.
A2
134. (Ual) Analise as airmações abaixo.
1
A1
2
0-0) Se n IN*,o termo geral da sequência (2, 8, 32, 128, ...) é an 22n 1.
1 1 1 1 , , , ... é 4 9 16 25
1-1) O 9o termo da sequência , 1 . 10 0
1
1
2
2
Com base na igura acima, julgue os itens que se seguem. 1) A 4
2-2) Se o 3o e o 6o termos de uma progressão geométrica são, respectivamente, 1 e 8, a razão dessa progressão é 2. 3-3) A soma dos ininitos termos da progressão
2)
A 201 A 200
1 . 25 6 1 . 8
3) A1 A2 ... A10
1 1 7 é . 1, 8 , 64 , ... 8
1 . 3
4) O menor valor de k para o qual
4-4) Se a sequência (a, b, c) é uma progressão aritmética de razão 1, então 3 a 3b 3c 27a.
A1 A2 ... Ak
1 1 é igual a 5. 3 1200
139. (IME-RJ) Um quadrado de lado igual a um metro é di-
135. (UFRN) Caixas são empilhadas de modo que, vistas do
vidido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A igura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo.
topo para baixo, se observa o seguinte: uma ica em cima de duas, duas em cima de três, três em cima de quatro, e assim sucessivamente. Um uncionário experiente sabia que, para obter o total de caixas num empilhamento desse tipo, bastava contar quantas havia na base. Para conerir que existiam 210 caixas empilhadas, ele constatou que, na base, o número de caixas era: a) 30. b) 40. c) 20. d) 10.
1m
136. (UFMA) Sejam : IR → IR uma unção aim deinida por (x) 2x 1 e a sequência a 1 2 , a2 2 2, Primeira etapa
a3 2 4, a 4 2 6, a 5 2 8, ..., então (a1 ), (a2 ), (a3 ), (a4 ), ... ormam uma: a) PA de razão 2. d) PA de razão 4. b) PG de razão 2. e) PG de razão 16. c) PG de razão 4.
137.
(UFPI) Seja p 0 um número real. Então, o sétimo termo da progressão aritmética ( n p ; n 3 p ; n 6 p ; ... )
Terceira etapa
Segunda etapa
Quarta etapa
Quando n → ∞, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é: a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.
04) O valor de x na igualdade x
na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG ininita, é 10. 08) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2 1.
140. (Fuvest-SP) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números estritamen-
te positivos tais que log2 a1, log2 a2, log2 a3, log2 a4, log2 a5 ormam, nesta ordem, uma progressão aritméti-
1 encontra-se na décima segunda po1024 1 sição na progressão geométrica 2, 1, , ... . 2
1 . Se a1 4, então o valor da soma 2 a1 a2 a3 a4 a5 é igual a:
16) O termo
ca de razão
a) 24 2 .
d) 28 12 2 .
b) 24 2 2 .
e) 28 18 2 .
145. (Furg-RS) Qual a razão de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é igual a 1, para que a soma de seus 10 primeiros termos seja igual a 10 vezes a sua razão?
c) 24 1 2 2 .
141. (Vunesp) Um azendeiro plantou 3 960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação oi eita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês oram plantadas x árvores, no mês seguinte (x r) árvores, r 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2 160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês oi: a) 50. c) 100. e) 165. b) 75. d) 150.
c) 4b2.
b)
3b2 . 2
d)
1 3
c)
2 7
b)
2 7
d)
1 3
e) 1,3
termo de uma PA de n termos é 78, e a soma do quarto termo dessa PA com o oitavo termo é 72. Sabendo que a soma de todos os termos dessa PA é 468, encontre a razão, o número de termos e escreva essa PA.
147. (UPF-RS) Uma PA de termos não negativos apresenta a seguinte característica: a 8 a4 8 e (a1 )2 9. Sobre esta PA a alternativa incorreta é: a) É uma PA decrescente. b) (a2 )2 25. c) a4 a8 26. d) A soma dos dez primeiros termos é 120. e) A razão está no intervalo [1, 2].
tângulo estão em progressão aritmética. Se b é a medida do maior cateto, a área do triângulo é: 4b2 . 3
a)
146. (Udesc) A soma do segundo com o décimo primeiro
142. (Mack-SP) As medidas dos lados de um triângulo rea)
x x ... 12, 3 9
e) b2.
3b2 . 8
Matemática financeira
143. (UFRGS) Considere os triângulos I, II e III caracterizados abaixo através das medidas de seus lados: – Triângulo I: 9, 12 e 15. – Triângulo II: 5, 12 e 13. – Triângulo III: 5, 7 e 9. Quais são triângulos retângulos com as medidas dos lados em progressão aritmética? a) Apenas o triângulo I. b) Apenas o triângulo II. c) Apenas o triângulo III. d) Apenas os triângulos I e III. e) Apenas os triângulos II e III.
148. (UFPA/PSS) Se uma poupança rende 0,9% ao mês e S é a aplicação inicial, então em 7 meses o saldo acumulado é dado por: a) 0,097 S. d) (1 7 0,09)S. b) 7 0,009S. e) (1,009)7S. c) 1,097S.
149. (UFT-TO) Uma mercadoria, cujo preço era de R$ 80,00, passou a custar R$ 90,00. Então, é correto airmar que o preço dessa mercadoria soreu um reajuste: a) de 10%. c) maior que 20%. b) maior que 12%. d) menor que 10%.
144. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) O vigésimo termo da progressão aritmétic a (x, x 10, x2, ...) com x 0 é 186. 02) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então xy 12.
150. (UFRN) Embora o Brasil tenha uma das maiores jazidas de sal do mundo, sua produção anual em milhões de toneladas ainda é inerior à da Alemanha, à da Austrália, à do Canadá, à da China, à dos EUA, à da França, à
da Índia e à do México. O gráico abaixo mostra a produção de sal nesses países, no ano 2000.
sendo que a primeira prestação é paga no ato da compra. A taxa mensal cobrada pela loja é: a) 30%. c) 10%. e) 5%. b) 25%. d) 15%.
PRODUÇÃO MUNDIAL DE SAL EM 2000 Milhões de toneladas 50
43
156. (UnB-DF) A tabela a seguir representa os percentuais
40 30
dos grupos sanguíneos na população de um país.
30 16
20 10
15
13 9
6
0 Bra
Ale
Aus
Can
Chi
EUA
Fra
Ind
Méx
Considerando esses principais países produtores, a melhor aproximação do percentual de participação do Brasil na produção mundial de sal em 2000 oi de: a) 4%. c) 6%. b) 5%. d) 11%.
A
B
AB
Rh
35,0%
38,1%
6,2%
2,8%
Rh
9,0%
7,2%
1,2%
0,5%
Com base nessas inormações, julgue os itens seguintes. 1) A porcentagem da população desse país pertencente ao grupo O é superior a 45%. 2) A porcentagem da população com ator Rh é inerior a 80%. 3) Dos indivíduos que pertencem ao grupo AB, o percentual daqueles com ator Rh é superior a 15%.
151. (UFPE) Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço de quatro canetas por três reais. Qual o lucro percentual do vendedor? a) 0,05% c) 5% e) 50% b) 0,5% d) 15%
157. (UFMS) Uma loja vende um produto por R$ 510,00 para pagamento à vista. Um cliente pode pedir um inanciamento pelo plano (1 1) pagamentos iguais, ou seja, o primeiro pagamento deve ser eito no ato da compra e o segundo, um mês após essa data. Se a taxa de juros praticada pela loja or de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será de: a) R$ 267,60. d) R$ 257,50. b) R$ 265,20. e) R$ 270,50. c) R$ 260,00.
152. (UFPE) O plano de pagamento de um apartamento consiste em prestações mensais calculadas da seguinte orma: — A primeira mensalidade é de R$ 400,00. — As mensalidades dos meses subsequentes são obtidas multiplicando-se o valor da mensalidade do mês anterior por 1,01. Se o pagamento estende-se durante 10 anos, qual o valor total pago, em milhares de reais? Dado: Use a aproximação 1,01120 3,30.
158. (UFMT) A alimentação é um dos itens que compõem a cesta básica. Numa determinada semana, o preço da cesta básica aumentou 1,35%, exclusivamente em virtude de um acréscimo de 1,8% nos preços dos alimentos. Nessas condições, o percentual da participação dos alimentos no cálculo do valor da cesta básica é: a) 60%. c) 70%. e) 75%. b) 65%. d) 80%.
153. (Ceet-CE) Considere a proporção
O
9
7
x z . y t
Se t z x y 0, então t z é igual a: a) y x. d) x y. b) x y. e) xy. c) x y.
159. (Fuvest-SP) Uma azenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da azenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da azenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da azenda que está em A e a área total da azenda é igual a:
154. (Uneb-BA) O lucro de um comerciante na venda de um produto é diretamente proporcional ao quadrado da metade das unidades vendidas. Sabendo-se que, quando são vendidas 2 unidades, o lucro é de R$ 100,00, pode-se concluir que, na venda de 10 unidades, esse lucro é, em reais, igual a: 01) 500,00. 04) 2 500,00. 02) 1 000,00. 05) 2 800,00. 03) 1 600,00.
155. (UFPI/PSE) Uma loja oerece duas opções de paga-
a)
2 . 9
c)
4 . 9
b)
3 . 9
d)
5 . 9
e)
7 . 9
160. (Vunesp) No ano passado, a extensão da camada de
mento para seu cliente: à vista, com 10% de desconto ou em duas prestações mensais iguais, sem desconto,
gelo no Ártico oi 20% menor em relação à de 1979, uma redução de aproximadamente 1,3 milhão de quilô
165. (Upel-RS) Um dos motivos que leva as pessoas a en-
metros quadrados (Veja, 21/06/2006). Com base nesses dados, pode-se airmar que a extensão da camada de gelo no Ártico em 1979, em milhões de quilômetros quadrados, era: a) 5. c) 6. e) 7. b) 5,5. d) 6,5.
rentarem o problema do desemprego é a busca, por parte das empresas, de mão-de-obra qualiicada, dispensando uncionários não habilitados e pagando a indenização a que têm direito. Um uncionário que vivenciou tal problema recebeu uma indenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a razão da primeira para a segunda
161. (FGV-SP) Se um automóvel custa hoje R$ 45 000,00 e a
é de
cada ano sore uma desvalorização de 4%, o seu valor, em reais, daqui a dez anos, pode ser estimado em: a) 45 103 (1,04)10. d) 45 103 (0,96)10. b) 45 103 (1,04)10. e) 45 107. c) 45 103 (0,96)10.
4 6 e a razão da segunda para a terceira, de . 5 12
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine: a) o valor de cada parcela. b) o tempo necessário para que o uncionário aplique o valor da primeira parcela, a juro composto, a uma taxa de 1% ao mês, para acumular um montante de R$ 12 738,00. c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, à segunda parcela, para que o uncionário, no inal de 2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.
162. (FGV-SP) Uma empresa acredita que, diminuindo 8% o preço de determinado produto, as vendas aumentarão cerca de 14%. Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade vendida seja expressa por uma unção linear. Nesse caso, uma redução de 14% no preço do produto acarretará um aumento na quantidade vendida de: a) 18,4%. d) 24,5%. b) 20%. e) 8%. c) 26,5%.
Trigonometria no triângulo retângulo 166. (Uam) Em relação ao triângulo ABC abaixo:
163. (FGV-SP) Carlos recebeu R$ 240 000,00 pela venda de um imóvel. Gastou metade dessa quantia na compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em undos de investimentos de três instituições inanceiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$ 144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimentos anuais oram de 20%, 10% e 30%, respectivamente, nos Bancos A, B e C. É correto airmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital de R$ 240 000,00, recebido inicialmente, em: a) 80%. d) 18,50%. b) 30%. e) 17%. c) 20%.
B
h
A
C
H
Dados AB 3 cm, AC 8 cm e  60º. Pode-se dizer então, que é verdadeira a seguinte airmação: a) Seu perímetro é 20 cm.
A
b) sen A
1 . 2
c) Sua área é 6 3 cm2.
164. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
d) É um triângulo retângulo.
01) As promoções do tipo “leve 5 e pague 4”, ou seja, levando-se um conjunto de 5 unidades, paga-se o preço de 4, acenam com um desconto de 25%.
e) BH
167.
80 % 40%. 2% 04) (30%)2 0,09.
02)
08) Uma pedra semipreciosa de 20 g caiu e se partiu em dois pedaços de 4 g e 16 g. Sabendo-se que o valor, em uma certa unidade monetária, desta pedra é igual ao quadrado de sua massa expressa em gramas, a perda é de 32% em relação ao valor da pedra original. 16) Um quadro cujo preço de custo era R$ 1 200,00 oi vendido por R$ 1 380,00. Neste caso, o lucro obtido na venda, sobre o preço de custo, oi de 18%.
7 3 cm. 2
(UEFS-BA) Uma escada, representada na igura pelo segmento AC, mede 10 u.c. e está apoiada no ponto C de uma parede, azendo, com o solo plano, um ângulo tal que tg( ) 2. C
�
A
Uma pessoa que subiu
Então a área da pipa, em m 2, é de: a) 0,8 3 . d) 16 , 3.
2 dessa escada está a uma 3
altura, em relação ao solo igual, em u.c., a: 2 a) . 3
b)
4 2 c) . 3
5 . 2
d)
b) 0,1 6 3 .
3 5 e) . 2
e) 3,2 3 .
c) 0,3 2 3 .
171. (Vunesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa
4 3 . 3
com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.
B u D é tangente à cir168. (UEFS-BA) Na igura, o segmento t
t u
cunerência de centro C e raio 4 cm e AD é perpendicular a BD .
t u
topo da rampa 30 m 3°
D
A
ponto de partida
Use a aproximação sen 3° 0,05 e responda: O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é: a) 2,5. c) 10. e) 30. b) 7,5. d) 15.
45° C
B
Nessas condições, a área do trapézio ADBC mede, em cm2, aproximadamente: a) (2 2 � 1). d) 4( 2 � 1). b) 4(2 2 1).
e) (
2
172. (Vunesp) Paulo abricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunerências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na igura.
� 1).
c) 8( 2 1).
169. (UFPI/PSE) O piloto de um pequeno avião, pensando que estava em direção a uma cidade B, ao norte, distante 60 km de seu ponto de partida, equivocou-se em sua orientação e rumou ao oeste. Ao perceber o grave erro cometido, ele corrigiu a rota, azendo um giro de 120º à direita em um determinado ponto C de sua trajetória, de modo que o seu trajeto, juntamente com o que deveria ter sido seguido, orma um triângulo ABC, retângulo em A, onde A representa o seu ponto de partida. Com base nessas inormações, a distância em quilômetros que o piloto voou, partindo de A até chegar ao ponto B, é:
A 7 dm B 3 dm 2 dm r
P
70 3 . 3
a) 2 0 3 .
d)
b) 6 0 3 .
20 20 3 e) . 3
Q
a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo B PQ. b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.
A
c) 20 2 0 3 .
170. (UFG-GO) A igura abaixo representa uma pipa simétrica em relação ao segmento AB, onde AB 80 cm.
173. (FGV-SP) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede
D
A
15 e o ângulo ABC mede 60°. A soma das medidas dos catetos vale: 15(1 � 3 ) 15 . . a) d)
60°
30° A
B
4
b) c)
C
0
2
15 . 4
(
5 1�
e)
)
3 .
(
15 1 � 2
3
)
.
174. (UFV-MG) Considere o triângulo retângulo ABC abai-
t u
t u A
A
178. (UFJF-MG) Um topógrao oi chamado para obter a altu-
A
xo, com AC x, BC y, A , B e C 90°.
ra de um ediício. Para azer isto, ele colocou um teodolito (instrumento óptico para medir ângulos) a 200 metros do ediício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na igura a seguir.
B
C
A
É correto airmar que: a) se 45°, então y x. b) se 65°, então x y.
30°
3 4 e y , então 45°. 5 7 d) se x log 2 e y log 3, então 30°. e) se 60°, então y x.
c) se x
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metro do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a altura do ediício, em metros, é: (Use os valores: sen 30° 0,5; cos 30° 0,866; tg 30º 0,577.) a) 112. c) 117. e) 124. b) 115. d) 120.
175. (Uerj) Um oguete é lançado com velocidade igual a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua velocidade se mantenha constante ao longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o oguete se encontra a uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do ponto de lançamento. Os valores de x e y são, respectivamente: a) 90 e 90 3 . c) 450 e 450 3 . b) 90
3
e 90.
d) 450
3
179. (Ula-MG) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distantes 6 0 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo A CB seja 60°.
t u
e 450.
A
176. (ITA-SP) Seja C1 uma circunerência de raio R1 inscrita
60√3 m A
num triângulo equilátero de altura h. Seja C2 uma segunda circunerência de raio R2, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C1 externamente. Calcule
177.
t u
R1 R2 . h
B
60°
C
(UFRRJ) Em um campo de utebol, o “grande círculo” é ormado por uma circunerência no centro, de 30 metros de diâmetro, como mostra a igura:
A largura do rio é: a) 30 3 m. b) 180 m. c) 60 3 m.
A
30°
d) 20 3 m. e) 60 m.
180. (PUC-RS) Uma bola oi chutada do ponto M, subiu a rampa e oi até o ponto N, conorme a igura a seguir.
C
B
4m
Ao tentar azer a marcação da linha divisória (AB), um uncionário distraído acabou traçando a linha (AC), como podemos ver na igura. Desta orma, o número de metros que ele traçou oi de: a) 5 3 m. d) 15 3 m. b) 10 3 m.
M
1,5 m
30°
1m
N
A distância entre M e N é, aproximadamente: a) 4,2 m. c) 5,9 m. e) 8,5 m. b) 4,5 m. d) 6,5 m.
e) 15 2 m.
181. (PUC-RS) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 m por 8 m. Duas jogadoras, A e B, em um determi-
c) 10 2 m.
184. (UFPB) Dividindo uma circunerência qualquer em exata-
nado momento de um jogo, estão posicionadas como na igura abaixo.
mente trezentos arcos iguais, considere, como um trento , a medida do ângulo central correspondente a um desses arcos.
1m A
V
�
B A
2m
A distância x, percorrida pela jogadora B para se deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, é: a) x 5 tg . d) x 2 tg . b) x 5 sen . e) x 2 cos . c) x 5 cos .
t u
Sendo AB um diâmetro e V um ponto, da circunerência acima, distinto de A e B, o ângulo A VB inscrito tem, como medida, em trentos : a) 25. c) 75. e) 125. b) 50. d) 100.
182. (UFPR) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um ediício. A pessoa para para ver o topo desse ediício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus com a horizontal. Após caminhar 49 m, para uma segunda vez para ver o topo do ediício e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada andar do ediício tenha 3 m de altura. Utilize 3 17 , . Nessa situação, é correto airmar: (01) O ediício tem menos de 30 andares. (02) No momento em que a pessoa para pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do ediício. (04) Quando a pessoa para pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é igual à altura do ediício. (08) Se, depois da segunda vez em que para, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à portaria, para ver o topo do ediício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 60 graus com a horizontal. Soma ( )
e suas diagonais interceptam-se no ponto P. Se M e N são os respectivos pontos médios de AD e AB e se MN intercepta AC em Q, qual a área do quadrilátero BPQN?
186. (UFRN) A igura a seguir é composta por 16 circunerências inscritas em 16 quadrados, cujos lados medem 2 cm de comprimento. Os segmentos de retas que cortam as circunerências são paralelos e a distância entre dois segmentos vizinhos quaisquer é sempre a mesma.
A área sombreada da igura mede: a) 6π cm2. c) 9π cm2. b) 8 π cm2. d) 11π cm2.
187. (UFPE) Uma propriedade rural tem a orma do triângulo
183. (UFT-TO) Observe este triân-
ABC representado na igura. A região cultivada corresponde apenas à porção sombreada.
A
gulo isósceles ABC. � Nessa igura, a medida do ânD gulo B AC é e a medida do ângulo ABC e do BCA é 2. 2� Além disso, o segmento BD B C é bissetriz do ângulo ABC, BC a e AC b. Considerando-se essas inormações, é correto airmar que a área do triângulo ADB é:
C
E
A
A
a)
ab . 2
b) a 4a2 b2 .
t u t u t u
t u
Geometria plana
A
A
185. (Ual) O retângulo ABCD é tal que AB 8 cm, AD 6 cm
�
A
B
c)
b 4a2 b2 . 4
d)
ab 3 . 4
B
D
Sabendo-se que AD
A
3 3 AB e AE AC, que por4 4
centagem da área da propriedade rural é cultivada? a) 50% d) 75% b) 60% 1 2 3 e) 100% 2 3 4 c) 66%
188. (Uespi) Um teleérico une os picos A e B de dois morros de altitudes 600 m e 800 m, respectivamente, sendo de 700 m a distância entre as retas verticais que passam por A e B. Na igura abaixo, que não guarda as devidas proporções com as medidas reais, o ponto T representa o teleérico subindo. Nessas condições e desprezando as dimensões do teleérico, calcule a que altura do solo o mesmo se encontra, quando seu deslocamento horizontal or de 70 m.
2) Calcule, em cm, a distância entre os pontos A e E. 3) Calcule, em cm, o raio r .
191. (UnB-DF) Um círculo de centro O e cujo diâmetro AB é um dos lados do triângulo equilátero ABC intercepta os outros dois lados desse triângulo nos pontos D e E, conorme ilustra a igura abaixo. Sabendo que o diâmetro AB mede 16 cm, escolha apenas uma das opções a seguir e aça o que se pede, desconsiderando a parte racionária do resultado inal obtido, após eetuar todos os cálculos solicitados.
B
T A
C
600 m
D
800 m
70 m
A
B O
700 m
a) 620 m b) 640 m
c) 650 m d) 720 m
e) 730 m
A
1) Calcule a medida, em graus, do ângulo AOD. 2) Calcule o comprimento, em mm, do segmento DE. 3) Determine a porcentagem da área do triângulo ABC ocupada pelo quadrilátero ABED.
189. (UFBA) Na igura abaixo, todos os triângulos são retângulos isósceles, e ABCD é um quadrado. Nessas GH . CE
condições, determine o quociente
192. (UFMS) Na igura abaixo, as circunerências C1 e C2 são
E
D
E
C
F
tangentes.
H
B A
C2
C1
1 cm
G
190. (UnB-DF) Três companhias se uniram para ormar uma
Sabendo que a distância entre os centros delas é igual a 1 cm e que a área da região hachurada é igual a cinquenta por cento da área da circunerência C2, então os raios de C1 e C2 são dados, respectivamente, por:
nova empresa. O logotipo adotado para simbolizar essa usão está representado na igura abaixo e oi obtido a partir de três semicircunerências de mesmo raio R e com centros nos pontos A, B e C. B
D
A
E
C
F
Sabendo que R 2 3 m, que os pontos A, B e C são os vértices de um triângulo equilátero de lado R e que existe uma circunerência de raio r que passa pelos pontos A, B e C, escolha apenas uma das opções a seguir e aça o que se pede, desprezando a parte racionária do resultado inal obtido após eetuar todos os cálculos necessários. Não utilize valores aproximados para 3 . 1) Calcule, em metros, o quadrado da distância entre os pontos A e C.
a) ( 1 �
2
) cm e (2 �
2
) cm.
b) ( 1 �
2
) cm e (2 �
2
) cm.
c) (3 �
8
) cm e (4 �
8
) cm.
d) (1 2 2 ) cm e (2 � 2
2
e) (2 �
) cm.
2
) cm e (3 �
2
) cm.
193. (Uop-MG) Na igura, O é o centro da circunerência indicada, cujo diâmetro mede 20 cm. P Q 5 cm O
t u
A medida do segmento PQ , em cm, é: a) 5 2 . b) 5 3 . c) 10.
197.
d) 12.
194. (Ues) Sabendo que AD t u e tB uC são perpendiculares e
(Fuvest-SP) Uma olha de papel ABCD de ormato retangular é dobrada em torno do segmento EF de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a igura.
ut
D
que 3AC 8AD, o raio da circunerência circunscrita ao triângulo ABC da igura é: 4 3
a) AB. b) AB.
c)
4 AC. 3
C
E
4 AD. 3
d) AD. e)
G
C
A
B
F
A
t u
D
Se AE 3 e BG 1, então a medida do segmento AF é igual a:
B
a)
195. (Fuvest-SP) Na igura, OAB é um setor circular com cen-
198. (UFRGS-RS) Uma das dimensões de um certo retân-
t u
tro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. x
D
gulo é o dobro da outra. A expressão algébrica da área A, desse retângulo, em unção do seu perímetro P, é:
C
a) A
3 5 7 5 3 5 3 5 5 . b) . c) . d) . e) . 2 8 4 5 3
B
P2 . 18
P2 b) . 9
Se AB 2 3 e AD 1, então a área do setor OAB é igual a: a) b)
3
4π . c) 3
.
2π . 3
d)
P2 . 4
P2 e) . 2
P2 c) 6 .
O
π
d)
199. (UFPR) Duas caixas de papelão, de ormato cúbico, oram colocadas embaixo de uma escada, como sugere o desenho abaixo, que representa um corte de peril.
7π . e) 3
5π . 3
196. (Fuvest-SP) A igura representa um retângulo ABCD,
com AB 5 e AD 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE 1, e F é o ponto de intersecção da diagonal AC com o segmento BE.
t u
t u
t u
x
E
D
C
Sabendo que a aresta da caixa maior mede 70 cm e que a aresta da caixa menor mede 30 cm, quanto mede a distância x indicada no desenho? a) 22,0 cm d) 21,0 cm b) 21,5 cm e) 20,5 cm c) 22,5 cm
F
A
B
Então a área do triângulo BCF vale a) b)
.
c)
4 . 3
5 . 4
d)
7 . 5
6 5
e)
200. (UFSC)
Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 12 cm de comprimento e um quadrado em que uma das diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo. Nessas condições, determine a área (em cm 2 ) do quadrado.
3 . 2
Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
205. (Fuvest-SP) Na igura abaixo, tem-se AC 3, AB 4 e CB 6. O valor de CD é: A
201. (UFPI/PSE) Seja ABC um triângulo sobre o qual sabemos que a medida do ângulo em B é 15°, a medida em C é 45° e a medida do lado BC é 18 cm. A medida do lado AB é: a) 6 cm. d) 6 6 cm. C
b)
3 cm. 2
c)
6 . 2
6 cm. 2
e)
a)
B
D
17 . 12
19 . 12
b)
c)
23 . 12
d)
25 . 12
e)
29 . 12
206. (Fuvest-SP) Na igura abaixo, o triângulo ABC inscrito
202. (UFPE) As cidades A, B e C estão situadas numa re-
na circunerência tem AB AC. O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é . Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da igura é dado, em unção de , pela expressão:
t u
gião plana e a distância entre A e B é 4 km, a distância entre A e C é 10 km e o ângulo BAC mede 60°. Pretende-se construir uma escola num ponto da região plana situado à mesma distância d km de A, B e C. Indique 3d2.
t u
A
B 4
�
60°
A
10 B
C
C
203. (Ues) Duas viaturas policiais
A e B perseguem um carro suspeito C numa grande cidade. A viatura A possui um radar que inorma ao Comando Central que a distância dela até B é de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A viatura B possui um aparelho que inorma ao Comando que, nesse instante, o ângulo A BC é de 45°. Sabendo que o carro C está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em km, entre B e C. A resposta é: a) 2 3 4. d) 3 2 3. b) 2 2. e) 2 2 4. c) 3 2 2.
a) b)
B
c)
2
π 2
π 2
π
cos2 .
d)
sen2 2.
e)
2
π 2
π
sen cos 2. sen 2 cos2 .
sen2 2 cos .
207. (Mack-SP) Na igura, se AB AC,
A
a área do triângulo ABC é: a)
1 . 2
d)
3 . 2
b)
3 . 4
e)
4 . 3
c)
1 . 4
204. (Unicamp-SP) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conorme mostra a igura abaixo:
30°
B 1 km A
150° 2 km
√3 – 1
C
208. (Uniesp) A igura representa, em um sistema ortogo-
C
30°
B
nal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunerência com centro na origem do sistema, e os pontos A(1, 2), B, C, D, E e F,
90° N
a) Calcule o raio da circunerência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB.
t u 213. (Fatec-SP) Em um paralelogramo ABCD, os lados AB
correspondentes às intersecções das retas e do eixo Ox com a circunerência. y
s
t u
e AD medem, respectivamente, x 2 cm, x cm, e é o ângulo agudo ormado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo é tal que:
r A(1, 2)
B
C
F
x
O
D
E
Nestas condições, determine: a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF. b) O valor do cosseno do ângulo AOB. Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conorme mostra a igura: A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que sen x
E
y
A
B
D
3 3 e sen y . Deseja-se 4 7
construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE.
210. (UFRJ) O objetivo desta questão é que você demons-
a
B
c
211. (Unicamp-SP) Sejam A, B e C pontos de uma circun-
t u
erência tais que, AB 2 km, BC 1 km e a medida do ângulo A BC seja de 135°. a) Calcule o raio dessa circunerência. b) Calcule a área do triângulo ABC. 3 1,7, a área do triângulo da
igura vale: a) 1,15. d) 1,35. b) 1,25. e) 1,45. c) 1,30. Dado: 2 6 sen 105° .
e) tg 7 .
c) cos
3 . 2
8 3 km. 3
e) 2 8 km.
3, a do ângulo E é 75°, e a do ângulo A é 45°. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado AB. Sabe-se que a distância AC é 2 e que o segmento ED é perpendicular a AB. Nessas condições, é correto airmar: 01) A medida do ângulo B é igual a 60°. 02) AD ED 04) EB 6 08) EC 5 Soma ( )
�
212. (Mack-SP) Supondo
2 . 4
215. (UFPR) Em um triângulo ABE, a medida do lado AE é
b
B
1 . 2
c) 3 8 km.
C
t u
b) sen
b)
tre a lei dos cossenos. Mais especiicamente, considerando o triângulo da igura a seguir, mostre que a2 b2 c2 2bc cos .
A
d) sen
râneo, encontram-se os Yanomami. Estimados em cerca de 9 000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de loresta usado por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária amiliar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 km em linha reta na direção que orma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é: a) 8 3 km. d) 8 2 km.
C
x
14 . 4
214. (UEL-PR) Entre os povos indígenas do Brasil contempo-
B
209. (Vunesp)
a) cos
Conceitos trigonométricos básicos 216. (UFPA) Um engenheiro, responsável pela construção
45°
de uma pista de atletismo circular de 400 m, precisa orientar o pintor responsável por pintar as linhas de largada e chegada e as aixas de corrida de cada corredor, de modo que cada corredor corra apenas 400 m entre sua linha de largada e a linha de chegada, dentro de uma aixa de 1 m de largura. Considerando que:
30° 2
4
219. (Ceet-CE) Um ângulo mede, em graus, 22º30 . A sua
• o corredor que corre a aixa 1, a aixa mais próxima
do centro da pista, parte da linha de chegada; • a linha de chegada e a linha de largada do sexto corredor ormam um ângulo de, aproximadamente, 0,457 radianos e que o comprimento do arco entre a linha de chegada e a linha de largada do sexto corredor é 31,43 m (veja igura abaixo); • o raio de cada aixa é dado pelo segmento que une o centro da pista à circunerência menor da aixa;
medida, expressa em radianos, é: π π π a) . b) . c) . 8
12
220. (Unior-CE) Na igura ao
π 9
.
y
lado tem-se o triângulo OAB, inscrito em um ciclo trigonométrico: Se o ponto B é a extremidade do arco de medida
Linha de largada do sétimo corredor
B
x O
A
4π rad, o perímetro 3
do triângulo OAB, em unidades de comprimento, é:
Linha de largada do sexto corredor
�
a) 2 3 .
c) 1 2 3 .
b) 3 3 .
d) 2 2 3 .
e) 4 2 3 .
221. (UFPE) Três coroas circulares dentadas C1, C2 e C3 de
Linha de chegada
raios r1 10 cm, r2 2 cm e r3 5 cm, respectivamente, estão pereitamente acopladas como mostra a igura a seguir. Girando-se a coroa C1 de um ângulo de 41 no sentido horário, quantos graus girará a coroa C3?
então, admitindo que 2π 6,28, o comprimento, aproximado, do arco entre a linha de chegada e a linha de largada do sétimo corredor é: a) 41,25 m. c) 36,12 m. e) 40,10 m. b) 35,11 m. d) 38,15 m.
217. (UFRN) Na representa-
4
d)
r2 r3
y
C2
r1
ção ao lado, EF é diâmeF tro da circunerência; EG e FG são catetos do trix O ângulo retângulo FGE, H inscrito na circunerência trigonométrica; e FG é E G perpendicular a Ox para qualquer . O raio da circunerência é unitário. Nessas condições, podemos airmar que, para qualquer (0° 90°):
C3
C1
�
tais que: • e pertencem ao 1 quadrante e pertence ao 2 quadrante; • e são complementares; • e são suplementares. Nessas condições, é correto airmar que: a) cos cos . d) sen cos . b) tg tg . e) sen cos . c) tg tg .
‚
‚
t u t u d) Ft uG 2 sen .
FG 2 tg . EG b) sen2 cos2 EF .
a)
222. (Unior-CE) Sejam os arcos trigonométricos , e ,
c) OH cos (90° ).
218. (UFRN) A igura ao lado é composta por dois eixos per-
223. (Unior-CE) O arco mede 7 632°. O arco , tal que
y z pendiculares entre si, x e y, que se intersectam no centro O de um círculo de Q raio 1, e outro eixo z, pax ralelo a y e tangente ao O P círculo no ponto P. A semirreta OQ, com Q pertencente a z, orma um ângulo com o eixo y. Podemos airmar que o valor da medida do segmento PQ é: a) sec . b) tg . c) cotg . d) cos .
0 90°, é côngruo a . A medida de , em radianos, é: 2π 2π π π π . . a) . b) . c) . d) e) 6
�
5
3
5
7
224. (Unior-CE) Seja S o conjunto de todos os valores po que são menores que 360°. 3 3 Se sen , então o número de elementos de S é: 2
sitivos de
a) 2. b) 4.
c) 6. d) 8.
e) 10.
225. (Unior-CE) O valor da expressão π
π
π
cos 3 6 12 sen
a)
π 3
1 . 2
π 9
π 27
b) 1.
a)
é:
c) 0.
a) 1.
ção sen 2x cos x no intervalo [0, 2 π] é: a) 4π. c) 2π. e) 5π. b) π. d) 3π.
3 2
d) 1.
c) 0.
7 . 5
232. (Unir-RO) A soma de todas as soluções reais da equae) .
226. (Ual) O seno de um arco de medida 2 340° é igual a: 1 b) . 2
x 1 , então sen x cos x é igual a: 2 2 4 3 1 2 b) . c) . d) . e) . 5 5 5 5
231. (Uam) Dado tg
3 . 2
d)
233. (UFRN)
Na representay ção ao lado, EF é diâmeF tro da circunerência; EG e FG são catetos do triânx O H gulo retângulo FGE, inscrito na circunerência trigonométrica; e FG é E G perpendicular a OX para qualquer a. O raio da circunerência é unitário. Nessas condições, podemos airmar que, para qualquer (0 90 ):
1 e) . 2
227. (UFMT) Um relógio analógico marca, num certo instante, 1 hora e 15 minutos. Admita que o ponteiro dos minutos, a partir desse instante, se movimente 36°. Nessas condições, o novo horário apresentado por esse relógio é: a) 1 hora e 51 minutos. d) 1 hora e 36 minutos. b) 1 hora e 31 minutos. e) 1 hora e 21 minutos. c) 1 hora e 43 minutos.
�
228. (Uop-MG) Um ciclista percorre uma pista circular de
FG 2 tg . c) OH cos (90 ). EG b) sen2 cos2 EF. d) FG 2 sen .
500 m de raio. Se os pneus da sua bicicleta têm 20 cm de raio, o número de voltas que cada pneu dá quando o ciclista completa uma volta na pista é: a) 6 250 000. b) 2 500. c) 625. d) 25.
a)
234. (UFCG-PB) Um marceneiro construiu uma peça pro-
229. (Mack-SP) A igura representa uma pista não oicial de
jetada por um engenheiro e, curioso, anotou as se-
atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semicircunerências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conorme as setas indicam na igura.
guintes inormações: sen x a, cos x b, cos 2x
construída a peça, o engenheiro perguntou ao marceneiro pelo projeto, para azer uma modiicação num ângulo da peça. Tendo extraviado aquele projeto, o marceneiro orneceu ao engenheiro somente as inormações anotadas. A partir dessas inormações, o engenheiro calculou, corretamente, a medida do ângulo x que a peça deveria ter e encontrou x igual a:
linha de chegada para corridas de 300 m
r
r posições de partida para corridas de 300 m
π
a) . 3
k
d
d
c)
5π . 6
d)
5π . 3
e)
7π . 3
236. (Unit-SE) Seja ABC um triângulo retângulo em A. Sobre a hipotenusa desse triângulo, considere um ponto D tal que BD DC e AB AD . Se é a medida do ângulo interno ABD, então tg 2 é igual a:
t u t u t u t u B
Transformações trigonométricas 230. (Uac) O subconjunto A do intervalo [0, 2π], onde
a) 2 3 .
sen x 0 e cos x 0 para todo x em A, é: c) [π, 2π].
11π . 6
e tg . Pode-se airmar que tg ( ) é igual a: a) 3. b) 2 c) 2. d) 3. e) 0.
Sendo r 10 m e adotando π 3, o valor de k d é: a) 248 m. c) 245 m. e) 240 m. b) 247 m. d) 244 m.
π . 2 π b) , π . 2
b)
235. (UPE) As raízes da equação x2 3x 2 0 são tg
d
sentido das corridas
a) 0,
1 3π x 2π. Um mês depois de e 2 2
e) [0, π].
b) 3 .
c)
3 . 3
d)
3 . 3
e) 3 .
237. (UFMA/PSG) Se x 0, π , então a soma das raí 2
3π , 2π . 2
zes da equação 1 cos 2x cos 4x cos 6x 0 é:
d)
a)
11π . 12
b) 0.
c) 1.
d) π.
e)
13 π . 12
238. (UFMA) Sejam a, b IR e
de B a D, o ângulo , ormado pelos dois trechos retilíneos da estrada, mede: a) 110°. b) 120°. c) 130°. d) 140°. e) 150°.
cos ( a b ) cos ( a b ) . Em relação ao vaM sen ( a b ) sen (( a b )
lor de M, é correto airmar que: a) ele é sempre igual a 1. d) M tg (a b). b) só depende de a. e) M cotg b. c) só depende de b.
239. (UFPI/PSIU) Sejam e tais que 0 π π
2
244. (Udesc) Sendo sen x n: a) encontre o valor de n, que veriica a igualdade da 2 tg x 1 0; cos x b) encontre o valor numérico de sen 2x cos 2x.
expressão 2 tg2 x
e
3 e tg 2, então, 2 4 log6 [4 sen ( ) 2 cos ( )] é:
0
. Se tg
a) 1 log6 4 b) 1 log6 4 c) 1 log6 4 d) 1 log6 4 e) 1 log6 4
2 3 3 2 3 2 2 3 2 3
245. (Uam) A expressão
log6 5.
π 2
tg x cotg ( x) sen
log6 5.
que 0 x
log6 5. log6 5. log6 5.
240. (UFPI/PSE) Sabendo que sen x cos x mos airmar que sen 2x é: a)
13 . 16
c)
3 . b) 16
As funções trigonométricas
13 . 16
e)
3 . 4
cotg x 4 é verdadeira
c) 4π.
d)
b)
2 . sen 2x
d)
e) x sec x.
cot g x . x
a)
3 . 5
c)
2 . 5
b)
4 . 5
d)
1 . 5
e)
4 . 7
ser maior em determinados meses do ano e menor em outros, seu preço, durante todo o decorrer do ano de 2005, variou segundo a equação
N(t) 120 80 cos t
23 π . 6
π , onde N é o preço de 6
uma unidade do produto, em reais, e t é o mês do ano. Com base nesses dados analise as airmativas abaixo e assinale a alternativa correta. (Dado: Considere π 3,14.) 1) O valor máximo obtido pela venda de uma unidade do produto oi de R$ 200,00. 2) O pior valor de venda da unidade do produto ocorreu no nono mês. 3) No oitavo mês do ano, o produto oi comercializado por R$ 80,00 a unidade.
truir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva lorestal, como mostra a igura abaixo: C
c) cos 2x.
247. (Uespi) Em virtude de a procura por certo produto
243. (UFG-GO) Uma empresa de engenharia deseja cons-
A
x . tg x
lor de sen x corresponde a:
2 cos2 x 2 sen2 x 1 0, no intervalo [0, 2π], é: b) 3π.
a)
3 π , o va 5 2
242. (Uece) A soma das soluções da equação 11π . 16
, é equivalente a:
satisazendo a equação x arcsen
para alguns valores de x, então, para estes mesmos valores de x, sen 2x, é igual a: a) 0,2. c) 0,3. b) 0,4. d) 0,5.
a)
2
246. (UFPB/PSS) Se x é um arco do primeiro quadrante
3 , pode4
13 d) . 16
241. (Uece) Se a igualdade tg x
π
x cos ( π x), em
D
�
Reserva orestal
Está(ão) correta(s): a) 1 apenas. b) 1 e 2 apenas. c) 1 e 3 apenas. d) 2 e 3 apenas. e) 1, 2 e 3.
B
A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância
248. (UFPB/PSS) Considere a unção : [0, 2π] → lR, deinida por y (x)
Para o menor valor possível de b, os valores de a e b são, respectivamente:
1 [sen x cos x sen ( x) cos 2
( x)]. O gráico que melhor representa essa unção é: a)
y
1 . 2
a) 3 e 2.
c) 3 e
b) 3 e 2.
d) 3 e
1 . 2
1 1
3π
2
2
1
�
0
π
250. (Uece) O conjunto imagem da unção : lR → lR dada
x
por (x) 3 sen2 x 5 cos2 x, isto é, o conjunto {y lR | y (x), para algum x lR} é o intervalo: a) [6, 2]. c) [5, 5]. b) [ 5, 3]. d) [2, 4}.
2π
π
2
2
�1
b)
y
251. (Ceet-CE) O período da unção deinida por
1
(x) sen (2x) cos (2x) é: x
0
π
3π
π
2
a)
2π
2
�1
b) c)
y
6
π 5
.
c)
.
d)
π 4
π 3
e)
.
π
.
2
.
252. (Unior-CE) Se k é um número inteiro, para que valores
1
π não 2
reais de x a unção dada por (x) tg x
x 0
2π
é deinida?
�1
d)
π
a)
π 2
k π.
c) (k 1)π.
b) 2k π.
y
d)
e)
k 1 π. 2
k π. 2
1
2 1
�
x 0
π
π
3π
2
2
2π
2
�1
e)
y
3π 2
12 . 13
b)
10 . 13
por (x) sen
2
�1
249. (UFRN) A igura a seguir representa o gráico da unção y a sen (bx), onde a 0 e b 0. y
6 . 13
3x 3x cos , é: 8 8
a)
10 π . 3
c) 2π.
b)
8π . 3
d)
e)
2π . 3
4π . 3
255. (UFMS) Considere a unção
y = a sen (bx)
3
d)
x 2π
π
π
a)
254. (Unior-CE) O período da unção f , de lR em lR, dada
1
0
5 , então cos é igual a: 13 9 3 c) e) . . 13 13
253. (Unior-CE) Se arcsen
1
a b t , sendo a e b b
(t) (a b) cos t b cos – –
π
2
π
4
constantes reais. Fazendo b
x
0
π
π
4
2
a) (t) a cos3 t. b) (t)
a cos3 t. 4
c) (t)
3a cos3 t. 4
�3
0
1 a, obtém-se: 4
d) (t) a sen3 t. e) (t)
a sen3 t. 4
256. (UFMT) As iguras a seguir, com seus respectivos es-
d)
quemas, ilustram três das posições assumidas pelo gingar eminino, mostrando que o balançar da pélvis eminina obedece a um ciclo oscilatório.
π
10
3 8 0
s
s
s
�
t
3
9
6
4
8
4
π
10
r
C
r
C
r
C
e)
�
π
10 t s
s
0
s
3
3
9
6
8
4
8
4
r
�=0
r
–�
C
+� C
C
257. (Unemat-MT) Na expressão
r
sec2 x cos x cot g x sen x , cossec2 x sen x sec x cot g x cot g x cos x
Tal movimento oscilatório pode ser observado a partir da reta imaginária ( r ) que passa pelas duas cristas ilíacas perpendicular à semirreta imaginária ( s ) que, na ilustração, representa a coluna vertebral. Quando a mulher se desloca no seu andar, a reta ( r ) oscila em torno do centro C para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis, conorme mostram as iguras com os respectivos esquemas. Admitindo que o movimento se completa a cada 1,5 segundo e que a unção
π
(t)
podemos airmar que: 1) O numerador é igual a sen x tg x. 2) O denominador é igual a cos x cotg x. 3) Podemos dizer que sec2 x cos x cot g x sen x tg x. cossec 2 x sen x sec x cot g x cot g x cos x
4) Se considerarmos sec x cotg x cotg x cos x isoladamente, então podemos substituí-la por sen x. 5) O numerador é igual ao denominador, portanto, a expressão é igual a 1 (um).
4π t representa a variação do ângulo 3
cos
10
em unção do tempo t, assinale o esboço do gráico
dessa unção no intervalo [0; 1,5]. a)
258. (Uop-MG) Num pentágono regular de 2 cm de lado,
M é o ponto médio do lado AB e O é o centro. As medidas do ângulo α e do segmento OM são, respectivamente: a) 36° e cotg 36°. b) 72° e cotg 72°. c) 36° e tg 36°. d) 72° e tg 72°.
t u
π
10
3 4 0
�
3
9
6
8
8
4
π
10
b)
O
t u
t
�
A
M
B
π
10
0
3
9
6
4
8
4
259. (Ues) Considere que V(t), volume de ar nos pulmões
t
de um ser humano adulto, em litros, varia de no mínimo 2 litros a no máximo 4 litros, sendo t a variável tempo, em segundos. Dentre as unções abaixo, a que melhor descreve V(t) é:
3 8
�
π
10
c)
π t . 3
d) 1 3 sen
π t . 3
e) 3 sen
a) 2 2 sen
� π
5
b) 4 2 sen t
0
3
3
9
6
8
4
8
4
π t . 3
c) 5 3 sen
π t . 3
π t . 3
Relações trigonométricas 260. (Uam) Se a cos x
sen x 1 , então o produto ab b cos x sen x 1
é igual a: a) sen x. b) 4.
c) 2. d) 1.
d) somam
b) somam 2π.
e) somam
c) somam
e) cos x.
5π . 2
3π . 2
π 2
.
264. (UFMA/PSG) Seja D IR o domínio da unção real
261. (Uam) A solução da equação trigonométrica
π
2 cos x 5 sec x 9 é igual a:
y cos x . Então D [π, π] é igual a: 3
π ; k . 4 π b) S x kπ ; k . 6 2π c) S x 2kπ ; k . 3 π d) S x 2kπ ; k . 4 π e) S x 2kπ ; k . 6
Z Z
a) S x kπ
a) somam π.
Z Z Z
x
b)
π . 3
c) d) e)
262. (UFPA/PSS) O pêndulo simples é ormado por uma
π 3 x IR; x π x IR; 6 x IR; x π x IR; 6
a) x IR;
x
π . 3
5π . 6
π . 3 x
π . 3
partícula de massa m ixada na extremidade inerior de uma haste retilínea, de comprimento (de massa desprezível se comparada com a massa da partícula), cuja extremidade superior está ixada. Suponhamos que o movimento do pêndulo se processe em um plano vertical e designemos por o ângulo que a haste az com a reta vertical Oy (veja igura abaixo). Observemos que (t), isto é, é unção do tempo t 0. O movimento do pêndulo, para pequenas oscilações, é regido pela equação
265. (UFMA/PSG) O conjunto solução da equação trigono-
g t , t 0, em que A é uma constan
266. (Uece) Se x é um arco do primeiro quadrante, tal que
(t) A cos
métrica 2 cos2 x 3 cos x 1, no intervalo [0, 2π], é:
b) 0, c) 0,
a) 0,
tg
te positiva, g é a aceleração da gravidade e é o comprimento da haste. Os valores de t 0, reerentes à passagem do pêndulo pela posição vertical Oy, isto é, ao momento em que (t) 0, são dados por: a) t (2k 1)
π
2
g
d) t 1,
g
.
3
π 3
,
3
, π,
, 2π .
2 π 5π , , 2π . 3 3 4π , π, 2 π . 3
5π . 3
x 7 , então sen x é igual a: 2 7 . 8
b)
7 . 6
c)
7 . 4
sen 10 ° cos 20 ° sen 20 ° cos 10 ° O
3 tg 30 °
a)
�(t)
�
1 1 , ,… 2 3
e) t 1, 2 , 3 , …
π 5π
π , 3 π e) , 3 d)
1 . 2
b)
3 . 2
c) 1.
268. (Ceet-CE) Se sen x cos x 1 sen 2x é: a) 2. b) 1.
y
263. (UFPA) As soluções da equação π cos ( π x ) cos ( 2 π x ) 2 x 3π π x cos x s en ( 2π x ) sen 2 2
7 . 3
d)
267. (Ceet-CE) O valor da expressão
, k 1, 2, …
b) t 1, 2, 3, … c) t 0 ou t
a)
4 π 5π , , 2π . 3 3
c) 0.
é: d)
2 3
.
2 , o valor de
d) 3.
e) 1.
269. (UFU-MG) Se x e y são números reais, tais que 0 x π, 0 y π, x y π e cos (x y) 0, então, os possíveis valores para tg (2x y) são:
cos
1,
a)
para 0 x 2π, são tais que:
3 . 3
b) 3 .
c) 1.
d) 0.
270. (Mack-SP) Se (1 sen x; 1 cos x, 1 sen x), 0x a)
π 2
1 . b) 2
Se A2
, é uma progressão geométrica, cos 2x vale: 3 1 3 2 . c) . d) . e) . 2 2 2 2
3 2
a) .
271. (Mack-SP) A soma de todas as soluções da equação 2π b) . 3
3π c) . 2
7π d) . 4
5π . c) 2
d) 3π.
π log x 0 é: 2
sen
a) {1, 10, 102, 103, 104, …}. b) {…, 103, 102, 101, 1, 10, 102, 103, 104, …}. c) {…, 106, 104, 102, 1, 102, 104, 106, …}. d) {…, 106, 104, 102, 1, 102, 104, 106, …}. e) {…, 103, 102, 10, 1, 10, 102, 103, 104, …}.
274. (UFRGS) O número de soluções da equação 2 cos x sen x que pertencem ao intervalo
16 π 16 π 3 , 3 é: b) 9.
c) 10.
d) 11.
a) sen x.
e) 12.
b)
5 . 3
2 e x pertence ao 3
5 . 2
13
2
9
eC , onde x, y 3 11 1
IR.
Sabendo que AB C, o valor da expressão x 2 y2 é: a) 16. b) 16. c) 9. d) 9. e) 4.
tg x cot g x é: sec x cossec x
c) cos2 x.
e)
y , 5 3
1
segundo quadrante, o valor de
3 . 2
279. (UFPB/PSS) Considere as matrizes A x B 2
275. (UPF-RS) Considerando que sen x
d)
senta o resultado obtido após as transerências: • para i j, na intersecção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que se transeriram para o curso j; • para i j, na intersecção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i. Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as airmações seguintes, de acordo com as inormações acima. ( ) Antes das transerências, existiam 147 alunos no curso 1. ( ) Após as transerências, existem 137 alunos no curso 2. ( ) Foram transeridos 26 alunos para o curso 3. ( ) O total de alunos transeridos é 69. ( ) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos.
3π . e) 2
273. (UFRGS-RS) O conjunto solução da equação
a) 8.
2 3
c) .
132 7 8 mesmos 1, 2 e 3. A matriz 12 115 13 repre 14 15 119
sen2 x sen ( x) 0, no intervalo [0, 2π] é: 9π . b) 2
2 . 3
ta transerência para outro curso, escolhido entre os
7π e) . 3
272.(FGV-SP) A soma das raízes da equação 7π . a) 2
b)
9 2 , então y é igual a: x 5 2
278. (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solici-
tg a cotg a 2, 0 a 2π é: 5π a) . 4
1 2 3
280. (UFRRJ) Dada a matriz A
1 2 , denotamos por 1 0
e) 6 5 .
A1 a matriz inversa de A. Então A A1 é igual a: d) 3(2 5 ).
0 d) 1 2
2 3 a) . 1 0
Estudo das matrizes
1
276. (Uam) Seja A, B e C matrizes quadradas quaisquer de
b) 2
ordem n. Então, é correto airmar que: a) se AB AC, então B C. b) AB BA. c) Se A2 0n (matriz nula), então A 0n. d) (AB)C A(BC). e) (A B)2 A2 2AB B2.
1
1 c) 1 2
. 0
e)
1
1 . 2
2 4 2 0 .
1 1 . 2
281. (UFRRJ) Uma ábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de echaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a
277. (Uam) Seja a matriz A 1
x . y 2
tabela 2, a quantidade de echaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês. Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005 Modelo Madeira Mogno Cerejeira Tabela 2
Básico
Luxo
Requinte
3 4
5 3
4 5
( )X
0 1,8 2 18 , 0 2,2 2 2,2 0
( ) Se Y
120 110 é a matriz coluna das populações, 100
: Fechaduras usadas em outubro de 2005 Madeira
Tipo
Mogno
Cerejeira
10 8 4
12 8 6
Dourada Prateada Bronzeada
então XY
( ) A localidade escolhida para a construção da escola deve ser C2. A sequência correta é: a) V, V e V. c) F, V e F. e) F, F e V. b) V, F e V. d) V, V e F.
A quantidade de echaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês oi de: a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.
285. (Udesc) Considere as matrizes A 1
x , x 1
282. (Vunesp) Considere as matrizes A 1
x , y z
1 2
4
5
1 0
reais. Se A B C, a soma dos elementos da matriz A é: a) 9. b) 40. c) 41. d) 50. e) 81.
283. (UFSC/adaptado) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) Se K (k )ij é uma matriz de ordem 2 dada por k ij 22i j para i j e k ij i2 1 para i j, então K é uma matriz inversível. 02) Se A e B são matrizes tais que A B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. 04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5 7 e 7 5. Se R M ⋅ P, então a matriz R2 tem 625 elementos.
286. (Udesc) Sejam A
2
eB 1
1 0
1
1
Determinantes 287. (Ueap) Se uma matriz A (a )ij 2 2, é tal que seus elementos estão relacionados pela equação aij log 2i j, então a) 50. b) 100.
1 det (10A) é igual a: log2 2
c) 150. d) 200.
e) 250.
288. (Uam) Considere a matriz A 4 7
0 . Os valores de 2
k que tornam nulo o determinante da matriz A kI, sendo I a matriz identidade, são: a) 0 e 5. c) 0 e 4. e) 4 e 0. b) 2 e 4. d) 4 e 2.
C3
1,8
3 2
dade AM B A 0.
trânsito é o planejamento na construção de ediícios públicos. O diagrama a seguir representa três bairros, C1, C2 e C3, com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em quilômetros. Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível. A matriz X que representa as distâncias entre as localidades é dada por X [dij], onde dij é a distância entre Ci e C j, 1 i 3, 1 y 3.
2,2
duas matrizes. Encontre a matriz M que veriica a igual-
284. (UFSM-RS) Outra medida no sentido de desaogar o
110
0 0
I e 0 0 0 ,; a soma dos valores numé0 1 ricos de x, para os quais a igualdade A 2 2A 3I 0 é veriicada, é: a) x 0. c) x 1. e) x 1. b) x 2. d) x 2.
, com x, y, z números B eC 1 1 36 45
C2
398 436 . 482
100
2 89. (Uam) Considere A
2,0
(log2 ( x 2 ))2 0 log2 log2 2
. Sabenx
do que det A 28, a soma dos elementos da diagonal principal é: a) 128. b) 64. c) 72. d) 68. e) 32.
120 C1
Assinale V nas airmações verdadeiras e F nas alsas.
295. (UFCG-PB) Para cada número real associamos uma
290. (Uam) As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são At
tais que B onde é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 256, então o determinante da matriz inversa de A é igual a: a) 22. c) 23. e) 21. b) 2 2. d) 23. 4At,
291. (UFSE/PSS) Considere as matrizes A
π 6 π matriz quadrada M 1 cos 6 1
0
(a ) ij 2 × 2, tal
x 2 2i , se i j eB , x e y reais. 1 y 3i, se i j 5 4 0-0) Se A B , então x y 0. 10 2 6 2 1-1) Se B2 é a matriz , então o determinante 1 11
x x x 296. (Unit-SE) Se o determinante 0 1 3 é igual a 5, 1 2 2
então o valor de x é: 7 2
c) .
3 2
5 2
d)
a) .
a11x a12 y 13 . a21x a22 y 20
b) .
3 4
3-3) Se x 0 e y 3, então A B . 4 3
5 . 2
3 . 2
conjunto das matrizes quadradas de números reais de ordem 2, B é o conjunto dos números reais e (x) det X, onde det X é o determinante da matriz X. Se M e N são matrizes de números reais 2 × 2, NT a matriz transposta de N, (M) 2 e (N) 3, então (M N T ) é igual a: a) 2. c) 6. e) 23.
1 5 . 3 10
inversa de M, respectivamente. Para analisar as airmativas abaixo, considere as matrizes
b) 3.
2 . 3
d)
298. (UFU-MG) Considere as matrizes A 1
2 3 e 2 5 8
0 4 1 3 , B
0 5 3 2 A 5 6 e C 1 1 . 9 9 0-0) (A B) ⋅ C 0 3 1 2 1-1) C1 1 3
x 1 8
B 2
5 . Para que o determinante da 7 4
matriz A Bt, em que Bt denota a matriz transposta da matriz B, seja igual a 138, o valor de x será igual a: a) 6. c) 8. b) 7. d) 9.
2-2) A matriz A At é antissimétrica. 3-3) A matriz A B C não é inversível. 4-4) O determinante da matriz B Bt é igual a 100.
299. (Uscar-SP) Seja A (a )ij uma matriz quadrada de or p, se i j com p inteiro posi2p, se i j
dem 3 tal que, a ij
293. (Uneb-BA) O número de elementos inteiros do conjunto
tivo. Em tais condições, é correto airmar que, necessariamente, det A é múltiplo de: a) 2. b) 3. c) 5. d) 7. e) 11.
2 x 2 x 0 é: x
solução da inequação det 1
04) 3.
e)
297. (UFMT) Considere a unção : A → B, em que A é o
292. (Ual) Indica-se por Mt e M–1 as matrizes transposta e
03) 2.
2
7π tais que M não seja inversível. 2
2-2) O par (3, 2) é solução do sistema
02) 1.
3
0,
de B é igual a 8.
01) 0.
1 . 0
Determine o valor da soma de todos os números reais
que aij
3 4-4) A matriz inversa de A é 5 2 5
cos
05) 4.
300. (UFV-MG) Na matriz quadrada A (a )ij de ordem 2, os
294. (Unit-SE) Se det A 2 é o valor do determinante de
elementos a11, a12, a21 e a22, nesta ordem, apresentam a seguinte propriedade: “Os três primeiros estão em progressão aritmética e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma razão”. Se a 12 2, o determinante de A vale: a) 8. c) 0. e) 4. b) 8. d) 4.
uma matriz quadrada A, de ordem 3, quantos números inteiros satisazem a sentença det (3A) n2 5n 68? a) Nenhum d) Catorze b) Cinco e) Mais do que catorze. c) Oito
301. (Uniesp) Se |A| denota o determinante da matriz | A |
02) Para que a matriz A seja igual à matriz B, é necessário que c seja número negativo. 04) Se b 0 e c 1, então o elemento na posição “2 linha, 2 coluna” da matriz (A B) é log10 2 . 08) Se ϕ 0 e c 0, então a matriz A tem inversa, qualquer que seja o valor de b. 16) Todos os valores de ϕ para os quais A B são da
1 , então: | A |
A 2
·
0 1
a) A . 2 0
2 1
b) A , se |A| 0. 2 2 c) A
orma 2k π Soma ( )
1 1 2 1 , se |A| 0. 2 1 2
1 1
1 1 1 ou A . 2 2 1
3
errada dentre as dos itens abaixo? a) A matriz dos coeicientes de ( ) é inversível. b) O conjunto solução de ( ) é inito. c) O sistema ( ) é possível e determinado. d) O método de G. Cramer (1704-1752) é preciso na obtenção do conjunto solução de ( ). e) Não existem sistemas lineares equivalentes a ( ).
x 1 . 1 2
Sejam f e g unções deinidas por (x) det A e g(x) x 1. Calcule todos os valores de x reais tais que (x) g(x).
307. (Uac) As airmações abaixo azem reerência à matriz 1 1 . Apenas uma delas é verdadeira. Assina2 2
B
303. (Unicamp/adaptado) Seja dada a matriz
le-a. a) O determinante da matriz B é 3. b) O sistema BX 0 possui apenas uma solução. c) O sistema BX 0 possui ininitas soluções. d) B é matriz inversível. e) B I2 B, onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.
x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 . Encontre o conjunto 2 x 1 1
solução da equação det A 0.
304. (UFPR) A respeito da matriz A
sen x cos x , sen x cos x
308. (Uam) Dado o sistema x
assinale a alternativa correta. a) Para qualquer x real, det A cos 2x. b) Existe um valor de x para o qual a matriz A é a matriz nula. k π c) Se x é um número da orma , com k inteiro, en-
2
B
309. (UFCG-PB) O gerente de um restaurante propôs a seu
, o determinante da matriz A é igual a 0.
305. (UFPR) Considere as matrizes A 1b
nas variáveis
x, y e z, é correto airmar que: a) tem uma solução com z 1. b) não tem solução. c) tem exatamente três soluções. d) tem uma solução única x 0, y 1 e z 0. e) tem uma ininidade de soluções.
2
4
y z 1
x y z 1
tão a matriz A não tem inversa. d) Se x 0, a matriz A é igual à sua transposta.
π
, onde k é número inteiro.
xyz0 2y z 4 , qual é a única proposição ( ): x y z 2
0
e) Se x
3
306. (Uac) Em relação ao sistema linear
x 6 302. (Unirio-RJ) Considere a matriz A 1 2x 3
A
π
Sistemas lineares
d) A ou A 2 1 . 2 2 e) A 2
·
patrão a seguinte promoção: quem comprar os três pratos sugeridos receberá o primeiro gratuitamente. As quantidades x, y e z são os preços das iguarias que constituem o prato. Primeiro prato: uma porção da primeira iguaria, uma porção da segunda iguaria e duas porções da terceira iguaria, por zero unidade monetária. Segundo prato: duas porções da primeira iguaria, uma porção da segunda iguaria e ( 2a a ) porções da terceira iguaria, por uma unidade monetária.
cos e c
3a 2b log10 10 , onde a, b, c e são nú 1 log10 5 2
meros reais. Assim, é correto airmar: 01) Os valores de a e b para os quais A B são, respectivamente, 2 e 1.
2
Terceiro prato: uma porção da primeira iguaria, duas porções da segunda iguaria e duas porções da terceira
1 3 0 4 4 , , 170 178 3 7 A 0 , B 164 , C 178 , , , 10 10 178 , , 137 3 4 3 10 10 10 x . Com base nessas inorma X y e Y z
1 unidades monetárias. a2 2
iguaria, por log3
Antes de anunciar sua promoção para o público, o patrão pediu ao gerente que analisasse para ele aquela proposta. O gerente montou o sistema x y 2z 0 2
2 x y ( 2a
a
)z 1
x 2y 2z log3
, onde a é um parâ-
1 a2 2
ções, julgue os itens a seguir: 1) O preço de custo por litro de combustível composto para cada um dos pontos P, Q e R pode ser representado pela matriz B, que pode ser obtida pelo produto AX. 2) Se Y é solução do sistema AY C e X, a solução do sistema AX B, então a matriz Y X representa o lucro de cada posto, por litro, com a venda do combustível composto. 3) O sistema de equações lineares representado por
metro de ajuste do preço do prato, e ez a seguinte análise: I) A promoção é possível e existe um único preço para as iguarias se a 1. II) A promoção é possível para qualquer preço das iguarias se a 1. III) A promoção não é possível quando a 2. Está(ão) correta(s) a(s) seguinte(s) airmação(ões) do gerente: a) I, II e III. d) I e II. b) I e III. e) I. c) II e III.
x 178 , A y 175 , tem mais de uma solução. , z 170 4) O preço de custo do litro da gasolina pura é o dobro do preço de custo do litro do solvente, isto é, y 2z.
310. (Uneb-BA) Uma loja de discos classiicou seus CDs em três tipos, A, B e C, uniicando o preço para cada tipo. Quatro consumidores izeram compras nessa loja nas seguintes condições: • O primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$ 121,00. • O segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$ 112,00. • O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R$ 79,00. • O quarto comprou um CD de cada tipo. Com base nessa inormação, o valor gasto, em reais, pelo quarto consumidor, na compra dos CDs, oi igual a: a) 48,00. d) 63,00. b) 54,00. e) 72,00. c) 57,00.
312. (UFV-MG) No parque de diversões Dia Feliz, os ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 ingressos, a arrecadação oi de R$ 3 000,00. A razão entre o número de adultos e crianças pagantes oi: a)
P Q R
2 . 3
c)
2 . 5
3 4
d) .
e)
4 . 5
mesma temperatura em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação 9TC 5TF 160. Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela equação TK TC 273. A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é:
Composição do combustível Álcool 25% 30% 30%
b)
313. (Vunesp) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a
311. (UnB-DF) Posto
3 . 5
Custo por litro Preço de venda (em R$) (em R$) Gasolina Solvente 75% 0% 1,70 1,78 70% 0% 1,64 1,78 40% 30% 1,37 1,78
Para os três postos P, Q e R, considere que x, y e z sejam os preços de custo, em reais, do litro de álcool anidro, de gasolina pura e de solvente, respectivamente, e que , , sejam os preços de venda do litro, em reais, desses mesmos produtos, quando misturados para ormar o combustível composto. Considere ainda que A, B, C, X e Y sejam as matrizes:
a) TF
TK 113 . 5
b) TF
9 TK 2 457 . 5
c) TF
9 TK 2 297 . 5
d) TF
9 TK 2 657 . 5
e) TF
9 TK 2 617 . 5
314. (ITA-SP) A condição para que as constantes reais a e
319. (UFSC) Julgue os itens a seguir:
b tornem incompatível o sistema linear
01) A soma dos elementos da inversa da matriz
x y 3z 2 x 2y 5z 1 é: 2x 2y az b a) a b 2.
d)
1 1 0 1 é igual a 2. 02) A matriz A (a ) ij 1 3, tal que aij i 3j é A [2 5 8]. 04) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
a 3 . b 2
b) a b 10. e) a b 24. c) 4a 6b 0.
3 1 , [3x 5], 6 1 1 , 19 0 2 x 6 2
315. (Unicamp-SP) Seja dado o sistema linear x1 2x 2 2 2x x 2 . 1 2 x x 2 1 2
08) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se t A, sendo tA a transposta da matriz A. Nes A sas condições pode-se airmar que a matriz
a) Mostre graicamente que esse sistema não tem solução. Justiique. b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear Ax b impossível, utiliza-se o método dos quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema A T Ax A Tb. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT (a transposta de uma matriz M ) são iguais às colunas de M.
0 0 1 0 0 0 é antissimétrica. 1 0 0 16) O par ordenado (x, y) (5, 2) é a única solução
x 2y 9 . 3x 6 y 27
do sistema
32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A 5B. Nestas condições pode-se airmar que det A 5 det B, sendo que det A e det B designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.
316. (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, arinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de arinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da arinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80, R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
320. (UFSM-RS) A remoção de um volume de 540 m 3 de entulho da construção de uma obra viária oi eita com dois tipos de caminhões. O primeiro tem capacidade de carga de 6 m 3, com custo de R$ 30,00 por viagem. O segundo tem capacidade de carga de 10 m 3 com custo de R$ 40,00 por viagem. Sendo destinados R$ 2 400,00 para a remoção do entulho, as quantidades de viagens necessárias para os caminhões do primeiro e do segundo tipos removerem completamente o entulho são, respectivamente: a) 30 e 40. d) 40 e 40. b) 30 e 50. e) 40 e 30. c) 40 e 50.
317. (Fuvest-SP) Considere o sistema linear nas incógnitas 2x my 2 x y 1 x, y, z e w: y (m 1)z 2w 2 z w 1 a) Para que valores de m o sistema tem uma única solução? b) Para que valores de m o sistema não tem solução? c) Para m 2, calcule o valor de 2x y z 2w.
Geometria espacial — Uma introdução intuitiva
318. (UFRGS-RS) O conjunto das soluções da equação 2 1 0 x 1 1 0 1 y 0 é o conjunto das ter 1 0 1 z 0 nas da orma: a) (x, 2x 1, x). b) (x, 2x 1, x). c) (x, 2x 1, 2x).
321. (Uam) Se r e s são duas retas paralelas a um plano , então: a) r e s se interceptam. b) r e s são paralelas. c) r e s são perpendiculares. d) r e s são reversas. e) nada se pode concluir.
d) (x, 2x 1, x). e) (x, 2x 1, 2x).
322. (Unit-SE) Considere o prisma regular pentagonal re-
III) paralelas. IV) reversas e não ortogonais. V) ortogonais. Associando V ou F a cada airmação, conorme seja verdadeira ou alsa, tem-se: a) V, V, V, V, V. c) F, V, F, F, F. e) F, F, F, V, F. b) V, F, V, F, V. d) V, V, V, V, F.
presentado na igura ao lado: B C A análise das retas e planos determinados pelos vértices desse A D prisma permite que se conclua E corretamente que: a) os planos (AEF) e (CDH) são paralelos entre si. G H b) os planos (BCG) e (DEJ) são F I secantes. J c) as retas BC e IJ são paralelas entre si. d) as retas AD e EJ são perpendiculares entre si. e) as retas AB e DE são reversas.
326. (UFF-RJ) Marque a opção que indica quantos pares de retas reversas são ormados pelas retas suportes das arestas de um tetraedro. a) Um par. c) Três pares. e) Cinco pares. b) Dois pares. d) Quatro pares.
‡ fl ‡ fl ‡ fl ‡ fl fl ‡
‡ fl
327. (UFV-MG) Considere as airmações a seguir:
B B B B
323. (UFRN) Na cadeira representada na igura abaixo, o
I) Se dois ângulos A e B de um triângulo são congruentes aos ângulos C e E, respectivamente, de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes. II) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a toda reta desse plano. III) Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. IV) As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. Assinalando V para as airmações verdadeiras e F para as alsas; a alternativa que apresenta a sequência correta é: a) V, F, F, V. c) F, F, F, V. e) V, V, V, F. b) V, V, F, F. d) F, F, V, V.
encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão. Sendo assim: a) os planos EFN e FGJ são paralelos. b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH. c) os planos HIJ e EGN são paralelos. d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG. I
J
H
G
E
F
L
M
K
N
324. (UFPB/PSS) Ao veriicar que altava uma semana para a prova de matemática, Maria e João oram à escola estudar. Ao entrar na biblioteca, Maria percebeu que a mesma tinha a orma da igura a seguir, onde ABDEJFGI é um paralelepípedo reto retângulo, BCDIGH é um prisma reto e BCD é um triângulo isósceles.
328. (Uscar-SP) Considere um plano e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a , a intersecção dessa reta com é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre . No caso de uma igura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre é deinida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Com relação a um plano qualquer ixado, pode-se dizer que: a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semirreta. b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta. c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta. d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero. e) a projeção ortogonal de uma circunerência pode resultar num segmento de reta.
H 3m C I
G
3m
B
D J
F
A
E
5m
4m
João airmou: I) O plano do piso e o plano CDI são secantes. II) As retas AB e IH são concorrentes. III) As retas AB e JI são reversas. Está(ão) correta(s) apenas: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.
‡ fl ‡ fl
‡ fl
fl ‡
329. (Uniesp) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Neste caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro como o da igura é: a) 6. c) 2. e) 0. b) 3. d) 1.
325. (FGV-SP) Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser: I) concorrentes entre si. II) perpendiculares entre si.
A
B
D
C
330. (Faap-SP) Duas retas são reversas quando:
334. (UEL-PR) As retas r e s oram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na igura a seguir:
a) não existe plano que contém ambas. b) existe um único plano que as contém. c) não se interceptam. d) não são paralelas. e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos.
331. (Vunesp) Dado um paralelepípedo retângulo, indiquemos por A o conjunto das retas que contêm as arestas desse paralelepípedo e por B o conjunto dos planos que contêm suas aces. Isso posto, qual das seguintes airmações é verdadeira? a) Quaisquer que sejam os planos e de B, a distância de a é maior que zero. b) Se r e s pertencem a A e são reversas, a distância de r a s é maior que a medida da maior das arestas do paralelepípedo. c) Todo plano perpendicular a um plano de B é perpendicular a exatamente dois planos de B. d) Toda reta perpendicular a um plano de B é perpendicular a exatamente dois planos de B. e) A intersecção de três planos quaisquer de B é sempre um conjunto vazio.
r
s
Sobre a situação dada, assinale a airmação incorreta. a) r e s são retas paralelas. b) r e s são retas reversas. c) r e s são retas ortogonais. d) Não existe plano contendo r e s. e) r s
335. (UFSC) A única proposição correta é: 01) Dois planos que possuem três pontos em comum são coincidentes. 02) Se duas retas r e s, no espaço, são ambas perpendiculares a uma reta t, então r e s são paralelas. 04) Duas retas concorrentes determinam um único plano. 08) Se dois planos A e B são ambos perpendiculares a um outro plano C, então A e B são planos paralelos. 16) Se duas retas r e s estão em um plano A, então r e s são paralelas.
332. (UEL-PR) Considere uma reta s, contida em um plano , e uma reta r perpendicular a s. Então, necessaria-
mente: a) r é perpendicular a . b) r e s são coplanares. c) r é paralela a . d) r está contida em . e) todas as retas paralelas a r interceptam s.
333. (UFRGS-RS) A igura abaixo representa um cubo de centro O: H
Poliedros
G
336. (Uac) Um depósito de água tem base quadrada e late-
E
rais perpendiculares à base. Quando se adicionam 500 de água ao depósito, a altura da água sobe 10 cm. Dado que a altura do depósito mede 2 m, sua capacidade em m3 é igual a: a) 8. d) 0,5. b) 5. e) 1. c) 10.
F
O D
A
C
B
Considere as airmações abaixo: I) O ponto O pertence ao plano BDE. II) O ponto O pertence ao plano ACG. III) Qualquer plano contendo os pontos O e E também contém C.
337. (Uam) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as aces é 6 480°. O número de vértices deste prisma é igual a: a) 32. d) 12. b) 10. e) 20. c) 8.
Quais estão corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III.
338. (Unir-RO) Em 1812, o matemático rancês Augustin-Louis Cauchy publicou um trabalho no qual mostrou que o volume de um “cristal” com a orma de paralelepípedo, como o da igura a seguir, é igual ao módulo do 0
determinante da matriz incompleta do sistema linear a ele relacionado.
Se V(x) é a unção que deine o volume de água na calha, em cm3, em relação à proundidade x, em centímetros, determine V(x). a) V(x) 125x 60 000 x2 b) V(x) 60 125x2 c) V(x) 24 000x d) V(x) 60 000x 125x2 e) V(x) 600x
Admita que, para o paralelepípedo dado, o sistema li-
342. (UFMS) Para azer uma caixa sem tampa com um único
x 3y 5z 0 near a ele relacionado é 3x 4 y 2z 0 . 2x y z 0 Qual o volume do paralelepípedo? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30
pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura e 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo, oram retirados quadrados idênticos de lados com x cm de comprimento (0 x 8). Depois, oram dobradas para cima as abas resultantes. A expressão que representa a área lateral da caixa é: a) 92x 8x2 cm2. d) 46x 4x2 cm2. 2 2 b) 62x 6x cm . e) 32x 4x2 cm2. c) 72x 6x2 cm2.
e) 35
339. (Unir-RO)
Retira-se de um cubo de aresta a cm outro de aresta
a cm, re2
sultando no sólido mos-
a 2
343. (Unemat-MT) Uma caixa retangular é entregue para
trado na igura. A partir dessas inormaa ções, assinale a airmativa incorreta. a) A área total do sólido resultante é 6a2 cm2. b) A área total do sólido resultante é menor que a área total do cubo de aresta a cm. c) O volume do sólido resultante é
5 2 x 4
Carla para analisar, medir e realizar alguns cálculos. Ao inal ela concluiu que: 1) se a caixa apresentar as medidas de três arestas dierentes, respectivamente a 10 cm, b 20 cm e c 30 cm, seu volume será igual a 6 litros. 2) se as aces orem iguais e suas arestas apresentarem a mesma medida, esta caixa terá o mesmo ormato que um cubo. 3) se as arestas medirem a 3 cm, b 4 cm e c 5 cm, a área total das aces desta caixa será igual a 80 cm 2. 4) se a caixa apresentar suas arestas todas iguais a 4 cm, aumentando em cada uma 1 cm, seu volume aumentará em 25%.
7 3 3 a cm . 8
d) A área total do cubo de aresta a cm é 6a2 cm2. e) A área total do cubo de aresta a cm é o quádruplo a da área total do cubo de aresta cm. 2
344. (UnB-DF)
Ligando-se os pontos médios das arestas de um tetraedro regular, obtém-se um octaedro, também regular, conorme ilustra a igura ao lado.
340. (UFT-TO) Para abricar-se uma caixa em orma de paralelepípedo, com 8 m de comprimento e com a altura igual à largura, ambas medindo x metros de comprimento, utilizou-se uma chapa metálica cuja área mede 322 m2. Considerando-se essas inormações, é correto airmar que o volume dessa caixa é de: a) 300 m3. b) 322 m3. c) 392 m3. d) 400 m3.
A
L
O
B
D
M
341. (UFMS) Durante uma orte chuva, uma calha, em or-
C
ma de prisma reto, de 10 m de comprimento e secção transversal trapezoidal isósceles de base maior 80 cm, base menor 60 cm e proundidade 80 cm, como na igura a seguir, enche de água.
x
N
Nessa situação, sabendo que a aresta do tetraedro mede 12 2 cm, calcule uma das seguintes quantidades, sem utilizar nenhum valor aproximado para 2 e desprezando a parte racionária do resultado inal obtido após eetuar todos os cálculos solicitados. a) A razão entre a área total do tetraedro ABCD e a área do octaedro. b) O comprimento, em centímetros, da diagonal OM do octaedro. c) O volume do octaedro, em cm3.
10 m
345. (UnB-DF) Dois cubos cla-
ces retangulares, é diretamente proporcional à largura x e ao quadrado da altura y.
ros e idênticos são encaixados em um sólido escuro, ormando um cubo maior, como mostra a obra de Hércules Barsotti reproduzida ao lado, que se encontra no Museu de Arte Moderna de São Paulo. Considerando que o lado do cubo maior seja o dobro do lado do cubo claro, julgue os itens subsequentes. 1) Considerando as aces do cubo maior, a razão entre
y
x
1 a área clara total e a área escura total é igual a . 3
A partir de toras cilíndricas de eucalipto com seção transversal circular, y de diâmetro de 25 cm, esquematizada ao lado, são obtidas vigas com o orx mato descrito anteriormente, todas de mesmo comprimento. Considere cinco dessas vigas com larguras de 13, 14, 15, 16 e 17 centímetros. A largura, em centímetros, da viga mais resistente, dentre as mencionadas, é: a) 13. b) 14. c) 15. d) 16. e) 17.
2) A razão entre a área total do sólido escuro e a área total do cubo maior é igual a
3 . 4
3) A razão entre o volume total dos dois cubos claros e o volume do sólido escuro é igual a
346. (UnB-DF)
1 . 3
Minha casa é engraçada Desenho espetacular A parede é inclinada E o chão retangular
348. (UFRGS-RS)
Considere o trapézio ABCD da igura abaixo, obtido pela intersecção de um cubo de aresta 1 com um plano que passa por dois vértices opostos A e D de uma ace e pelos pontos médios B e C de arestas da ace não adjacente.
Chão e teto semelhantes Estão em proporção Oito vezes a área do teto É a metade da área do chão
D
Quatro paredes tem a casa Uma à outra, tão igual Quatro paredes muito grandes 100 m2 de área lateral
A
Com uma pergunta quero terminar Minha altura você pode calcular? O teto da casa nunca vou alcançar Pois minha altura teria de dobrar Uma pista ainda devo anunciar Em orma de quadrinha singular
C B
A área do trapézio ABCD é:
Batatinha quando nasce Se esparrama pelo chão Ocupando totalmente Os 64 m2 de extensão
a)
3 2 . 5
c)
3 5 . 2
b)
5 . 3
d)
6 . 2
e)
9 . 8
349. (UFRGS-RS) A igura abaixo representa a planiicação de um cubo cujas aces oram numeradas de 1 a 6.
Com base nas inormações do texto acima, escolha apenas uma das opções a seguir e aça o que se pede, desconsiderando a parte racionária do resultado inal obtido, após eetuar todos os cálculos solicitados. 1) Calcule a área, em m2, do teto da casa. 2) Calcule a altura, em metros, de um dos quatro quadriláteros que ormam as paredes da casa. 3) Calcule a altura, em decímetros, do dono da casa.
1 2
3 4
5 6
O produto dos números que estão nas aces adjacentes à ace de número 1 é: a) 120. c) 180. e) 360. b) 144. d) 240.
347. (Ues) Considere que a resistência de vigas de eucalipto de mesmo comprimento e em ormato de paralelepípedo, como mostra a igura a seguir, com todas as a
350. (Furg-RS) Dado um sólido com ormato de um cubo
agulha, então o volume, em cm3, de remédio líquido que a seringa pode conter é igual a: a) 27,5π. c) 13,5π. e) 54π. b) 18π. d) 11,25π.
com aresta a, onde a é um número inteiro positivo, considere um vértice B e os pontos médios M, S e N de cada aresta adjacente a esse vértice. Esses quatro pontos deinem um tetraedro que é retirado do cubo, conorme ilustra a igura. D’
353. (Unir-RO) A igura abaixo representa um reservatório de água ormado por três partes sobrepostas, todas com a orma de cilindro circular reto, com alturas iguais a x centímetros, com os raios das bases iguais a 100, 90 e 80 centímetros, e com eixos centrais coincidentes. Sabendo que o reservatório tem capacidade de 1 000 litros, assinale o valor inteiro mais próximo de x. (Dado: Utilize π 3,14.)
C’
B’
A’
S
S C
D
N
N A
M
M
B
Sabendo que o volume de uma pirâmide é um terço da área da base pela altura, então a razão do volume do cubo original e o volume do tetraedro deinido pelos vértices M, S, B e N é dada por: a) 48. b)
a . 25
c)
a2 . 25
d)
a 2 . 50
e)
a) 10 cm b) 16 cm
terminal da cidade deve ser distribuída entre vários postos. Se cada posto tem dois tanques (também cilíndricos) com a altura e o diâmetro de bases iguais, respectivamente, a
Um depósito de água, de 2 m de altura, tem orma de um “peda2m ço” de um cone. Os segmentos de reta contidos nas laterais com extremidades nas retas de mes6m ma direção que contêm os diâmetros dos círculos da base e superior, quando prolongados, interceptam-se no ponto V, que dista 6 m do centro V do círculo da base. Dado que o raio do círculo superior mede 2 m e o do círculo da base mede 1,5 m, o volume do depósito é igual a:
c)
1 1 e das dimensões do tanque do 5 4
terminal, quantos postos poderão ser abastecidos? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
351. (Uac)
37 π 3 b) m. 6
e) 22 cm
354. (UFPA) A gasolina contida em um tanque cilíndrico do
1 . 25
Corpos redondos
a) 8π m3.
c) 19 cm d) 13 cm
355. (UEFS-BA) Uma certa marca de óleo era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no ormato de um cilindro circular reto de altura 10 cm e raio da base 6 cm, pelo preço de R$ 4,00. Diminuindo-se em 1 cm a altura, aumentando-se em 1 cm o raio da base e mantendo-se o preço anterior para essa embalagem, pode-se airmar que o preço do produto: a) se mantém estável. b) aumenta entre 10% e 20%. c) aumenta entre 20% e 30%. d) diminui entre 10% e 20%. e) diminui entre 20% e 30%.
356. (UFCG-PB)
Uma determinada indústria conecciona um lote de 10 peças P 1, P2, ..., P10 em ormato de cones equiláteros, de modo que o custo C j (em reais) da
d) 37π m3.
peça P j é dado por C j
e) 25π m3.
V j 3 27 π
, onde V j é o volume
(em cm3 ) de P j, j 1, 2, ..., 10. Denotando por r j o raio da base de P j, sabe-se que a sequência r 1, r2, ..., r10 é uma progressão geométrica. Dado que r 1 e r 4 medem, respectivamente, 3 cm e 6 cm, o custo total do lote é: a) R$ 1 116,00. d) R$ 1 023,00. b) R$ 1 063,00. e) R$ 1 123,00. c) R$ 1 106,00.
40 π 3 m. 3
352. (Uam) Uma seringa tem orma cilíndrica com 3 cm de diâmetro por 9 cm de comprimento. Quando o êmbolo se aastar 6 cm da extremidade da seringa próxima a
357. (UFMS) Um recipiente cônico de vidro, de altura igual
360. (UFG-GO) A terra retirada na escavação de uma pisci-
ao raio da base circular, completamente echado, está apoiado com sua base circular sobre a mesa, como na igura 1, de orma que o líquido em seu interior atinge a metade da proundidade do recipiente. Se virarmos o recipiente, como na igura 2, de orma que a base circular ique paralela à mesa, qual será a proundidade do líquido em seu interior, com o recipiente nessa nova posição?
na semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de proundidade oi amontoada, na orma de um cone circular reto, sobre uma superície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone aça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de: a) 1,0. b) 2,8. c) 3,0. d) 3,8. e) 4,0.
361. (UnB-DF) Os tanques de armazenagem de combustível têm, em geral, orma cilíndrica. Considere um retângulo de lados x e y, dados em metros. Represente por C x o cilindro circular reto de raio x, obtido ao girar o retângulo em torno de um dos lados y e por C y o correspondente cilindro, de raio y, obtido ao girar o retângulo em torno de um dos lados x, conorme ilustram as iguras abaixo.
H H 2
?
Figura I
Figura II
a)
H 7 2
c)
H 2
b)
H3 7 2
d)
3H 4
e)
H
y
23 7
x Cx
358. (UFMT) Duas eseras cujos raios medem a cm e b cm
Cy
estão apoiadas em um mesmo plano horizontal e encostadas uma à outra, conorme igura abaixo. A distância entre os seus respectivos pontos de apoio nesse plano horizontal é: a) 3 ab cm. b) 2 ab cm. c) 2ab cm. d) 3ab cm. e) 3ab cm.
x
Considere que a área A xy do retângulo seja também escrita como uma unção linear do lado x, isto é, A a bx, ou A a bx, em que a é uma constante positiva, em m2, e b é uma constante positiva, em metros. Sabendo que a área total AT e o volume V de um cilindro circular reto de raio da base r e altura h são, respectivamente, A T 2πrh 2πr2 e V πr2h, julgue os itens seguintes. 1) Se A x, V x, A y e V y são as áreas totais e os volumes dos cilindros C x e C y, respectivamente, então
359. (UFMT) Um reservatório em orma de cilindro circular reto, posicionado horizontalmente, contém um líquido cujo nível se encontra a
1 metro de sua parte mais 2
V y V x . A x A y
prounda, conorme iguras abaixo.
2) Se A 3(1 x) e x 3, então o volume de uma esera de raio igual a 3 m é maior que o volume do cilindro C x, para x 3. 3) Se A 10 x, então existe somente um valor de y tal que o cilindro C y tenha volume igual a 49 π.
2m
1 2
1 m 2
m
secção transversal
6m
362. (PUCC-SP) Um trapézio isósceles cujas bases medem
Considerando as dimensões internas dadas nas iguras, qual a quantidade de líquido, em litros, presente no reservatório? 2000π 1500 3 3
d)
1000π 250 3 3
b) 1 000π 1000 3
e)
1000π 375 3 3
a)
y
2 cm e 4 cm, respectivamente, e cuja altura é de 1 cm, sore uma rotação de 360° em torno da base maior, gerando assim um sólido. O volume desse sólido é: a)
8π cm3. 3
b) 4 π cm3.
c) 2 000π 1500 3
c) 8π cm3.
d)
2π cm3. 3
e)
3π cm3. 2
363. (UFMG) Um cone é construído de orma que:
mados sobre 30 pontos distintos de uma circunerência de raio r 0. Se seus cálculos oram eitos corretamente, neles podemos ver que: a) o maior número de triângulos que podem ser construídos é maior que o maior número possível de olhas de respostas preenchidas ao acaso. b) os números investigados são iguais. c) os números investigados são maiores que 4 070. d) os números investigados são menores que 70 000. e) o maior número de triângulos que podem ser construídos é menor que o maior número possível de olhas de respostas preenchidas ao acaso.
• sua base é um círculo inscrito em uma ace de um
cubo de lado a; e • seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na ace oposta àquela em que se encontra a sua base. Dessa maneira, o volume do cone é de: a) b)
πa3 6
πa3 12
c)
.
d)
.
πa3 9
πa3 3
. .
364. (UFU-MG) Considere o cilindro S, em cuja base de S raio R está desenhada uma circunerência de raio r , conorme a igura ao lado. Sabendo-se que a área da região sombreada é igual a 16π cm2 e que R r 2 cm, R pode-se concluir que o volume do cilindro S é igual a: a) 45π cm3. c) 125π cm3. b) 250π cm3. d) 90π cm3.
367. (Uac) A quantidade de números inteiros múltiplos de 5, ormados por três algarismos distintos, é: a) 120. d) 136. b) 150. e) 144. c) 180.
10 cm
368. (Uam) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alabético. O número de senhas possíveis será: a) 10 362. d) 26 363. b) 264. e) 10 263. c) 364.
r
365. (UFRJ) Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a igura.
369. (Uam) O termo independente de x, no desenvolvi 1 mento do binômio x a) 70. b) 70. c) 20.
1 x x
8
x é igual a:
d) 20. e) 60.
370. (Uam) Uma prova de matemática consta de 8 questões das quais o aluno deve escolher 6. De quantas ormas ele poderá escolher as 6 questões? a) 8 d) 1 680 b) 56 e) 28 c) 336 r
371. (UFPA) Por ocasião dos estejos da semana da pátria,
s
uma escola decidiu exibir seus melhores atletas e as respectivas medalhas. Desses atletas, em número de oito e designados por a 1, a2, a3, ..., a8 serão escolhidos cinco para, no momento do desile, azerem honra à bandeira nacional. Do total de grupos que podem ser ormados, em quantos o atleta a2 estará presente? a) 18 b) 21 c) 35 d) 41 e) 55
Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro. Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e x
r , determine x. s
Análise combinatória
372. (UFPA) Sendo Cpn a combinação de n elementos to-
366. (Uac) Emanuel investigou os seguintes números: A
mados p a p, e Tp 1 ( 1)p Cpn , o termo geral de um binômio de Newton, podemos airmar que a soma de todos os termos desse binômio é igual a: a) 0. d) 2n. b) 1 n. e) ( 2)n. c) ( 1)n.
quantidade máxima de maneiras de preencher, ao acaso, a olha de respostas de uma prova de matemática que contém 7 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas e a quantidade máxima de triângulos que podem ser construídos com vértices to
373. (UFPA/PSS) No cartão da megassena existe a opção
Ao colorir um mapa, pode-se usar uma mesma cor mais de uma vez, desde que dois países vizinhos tenham cores dierentes. De acordo com essa inormação e usando apenas quatro cores, pode-se colorir o mapa de L maneiras distintas. Então, é correto airmar que L vale: a) 24. d) 48. b) 36. e) 32. c) 40.
de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja eita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o apostador deve apostar é: a) 8. b) 25. c) 28. d) 19. e) 17.
379. (Ues) Deseja-se pintar as aces de um dado com as cores verde, azul, amarelo, vermelho, violeta e alaranjado. Se cada uma das aces deve ser pintada de uma mesma cor, então o número de maneiras possíveis de pintá-las, sem repetir cores, é: a) 66. b) (6!)3. c) 6!. d) 6 3. e) 6.
374. (Unir-RO) Na LOTECA da Caixa Econômica Federal, o apostador deve marcar o seu palpite para cada um dos 14 jogos do concurso (coluna 1, coluna do meio ou coluna 2). Para um prognóstico duplo, o apostador deve escolher duas dentre as três opções de resultados em um dos jogos e, para um prognóstico triplo, ele deve assinalar todas as opções de resultados em um dos jogos. Assim sendo, de quantas maneiras distintas pode-se preencher um cartão da LOTECA com um prognóstico triplo? a) 14 313. d) 14 C13, 2. 14 b) 13 3 . e) 14 133. c) 13 A14, 3.
380. (Ues) Sejam m e n inteiros positivos. O termo geral do 2003
1 desenvolvimento binomial de xm n x 2003! 1 x mj n j!( 2003 j )! x
375. (Unit-SE) Se, no desenvolvimento de (1 x)n segun-
é
2 003 j
. O reerido desenvolvi-
376. (Uespi) Sabendo que n 3 e que o quociente entre o
mento binomial possuirá o termo independente x, se: a) m 4n. b) n 4m. c) n 2 003m. d) m 2 n. e) n 2 003 m.
coeiciente do 4 termo e o coeiciente do 3 termo do
381. (Fuvest-SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão
do as potências crescentes de x, os coeicientes do 14 e do 28 termos são iguais, então n é um número natural igual a: a) 32. b) 35. c) 38. d) 40. e) 45.
‚
‚
‚
1 x
n
‚
desenvolvimento do binômio
x 2 é
reto airmar que o valor de n é: a) 8. b) 9. c) 10.
d) 11.
bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser ormadas? a) 71 d) 83 b) 75 e) 87 c) 80
7 , é cor3
e) 12.
377. (UFMT/adaptado) A Copa do Mundo de Futebol, que oi realizada na Alemanha em junho de 2006, contou com a participação de 32 seleções divididas em 8 grupos com 4 equipes cada, na primeira ase. Dado que, em cada grupo, as seleções jogaram entre si uma única vez, qual o total de jogos realizados na primeira ase? a) 32 b) 40 c) 48 d) 44 e) 96
382. (Furg-RS) Em um certo país, os veículos são emplacados por meio de um código composto de 3 letras seguidas de 4 dígitos. As letras pertencem a um alabeto com 26 letras, e os dígitos pertencem ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se osse mudado esse sistema para 4 letras seguidas de 3 dígitos e supondo que todas as possibilidades de códigos possam ser usadas como placas, o número de veículos a mais que podem ser emplacados neste novo sistema é: a) 26 103. b) 16 263 103. c) 16 103. d) 16 263 104. e) 264 104.
378. (UFMS) Considere o mapa da região ormada pelos países A, B, C e D. A
B
D C
Probabilidade
obter 6 é menor que a de se obter 7, porque as permutações dos pares devem ser consideradas no cálculo das probabilidades. Com base no raciocínio de Galileu, é correto airmar que, nesse caso, a probabilidade de se obter o número 6 e a probabilidade de se obter o número 7 são, respectivamente, de:
383. (Ueap) Seja k o número de polígonos convexos que podemos obter, marcando, aleatoriamente, 12 pontos distintos em uma circunerência. Então, a probabilidade de escolhermos, ao acaso, um desses k polígonos convexos e ele ser um triângulo é, aproximadamente: a) 7,3%. b) 6,7%. c) 4,5%. d) 8,1%. e) 5,4%.
384. (UFPA) No estado do Pará, 94% dos estudantes do ensino médio estão matriculados em escolas públicas. Se a probabilidade de esses estudantes serem negros é de 75%, então a probabilidade de o estudante do ensino médio estar matriculado em escola pública e ser negro é de: a) 23,5%. b) 45,5%. c) 55,5%. d) 67,5%. e) 70,5%.
b)
7 . 12
c)
3 . 5
d)
4 . 7
e)
10 . 13
b)
1 1 e . 18 12
c)
1 1 e . 12 12
d)
1 1 e . 3 2
zem esta aposta: cada um vai lançar duas moedas; aquele que obtiver um par de aces iguais coroa/coroa ou cara/cara será o vencedor. Evidentemente, pode ocorrer empate se ambos os jogadores, cada um em seu lançamento, obtiverem aces iguais nas duas moedas lançadas. Também é possível não haver vencedor se ambos os parceiros obtiverem aces distintas no lançamento das moedas. Considerando-se a situação descrita e as inormações dadas, é correto airmar que a probabilidade de não haver vencedores é de:
do para realizar o PSS da UFPA e resolveram inventar um jogo de dados a im de testar os seus conhecimentos em Teoria das probabilidades. O jogo possuía as seguintes regras: I) O jogador az o primeiro lançamento do dado. Se sair o número 5 o jogo termina e o jogador vence. II) Se na primeira jogada não sair o número 5, o jogador deve lançar o dado pela segunda e última vez. Se sair um número maior do que 3, o jogador vence. Caso contrário perde. A probabilidade de o jogador vencer esse jogo é: 9 . 13
5 1 e . 36 6
387. (UFT-TO) Em um certo jogo, os dois participantes a-
385. (UFPA/PSS) Alguns estudantes estavam se preparan-
a)
a)
a)
1 . 8
c)
1 . 3
b)
1 . 4
d)
1 . 2
388. (UEPB) Por estarem com seus antivírus desatualizados, mais de 70% dos 10 mil computadores de uma empresa oram atacados pelo vírus Chernobyl e Melissa, sendo que 4 527 computadores oram inectados pelo Chernobyl e 3 423 computadores oram inectados pelo Melissa. Sabendo que 2 200 micros icaram livres desses vírus por estarem com os seus antivírus atualizados, qual a probabilidade de um usuário estar usando um micro inectado com ambos os vírus? a) 15% b) 1,5% c) 2% d) 2,5% e) 25%
389. (UFMT) Qual a probabilidade de haver descendentes
386. (UFT-TO) Quando se jogam dois dados, tanto o núme-
heterozigotos nascidos de pais heterozigotos?
ro 6 quanto o número 7, por exemplo, podem ser obtidos de três maneiras distintas: • (5, 1), (4, 2), (3, 3) para o 6; e • (6, 1), (5, 2), (4, 3) para o 7. Na prática, porém, segundo Galileu, a chance de se
a)
1 4
c)
1 16
b)
3 8
d)
1 32
e)
1 2
390. (UFMT) Admita que os termos aij, i j, da matriz A,
nos ormatos VHS e DVD: • 60% são ilmes produzidos nos Estados Unidos da
dada abaixo, representam as probabilidades do proprietário de um caminhão com um certo tipo de motor, linha i, optar, na primeira troca de veículo, por outro com tipo de motor dierente, coluna j, e os termos aij, i j, representam as probabilidades de ele optar por um novo caminhão com o mesmo tipo de motor. D
de
D G
América (EUA), sendo que mato DVD;
1 desses está em or4
• 25% são ilmes nacionais, sendo que
está em ormato DVD;
G
para
1 desses 5
• os demais são ilmes de origem europeia, sendo 2 que deles estão em ormato VHS. 3
0, 8 0,2 0,6 0,4 A , onde D diesel e
Caso se escolha um ilme ao acaso, entre os mencionados acima: 1) a probabilidade de esse ilme ser um DVD de origem europeia será igual a 0,1. 2) a probabilidade de esse ilme não ser originário dos EUA será igual a 0,6. 3) a probabilidade de esse ilme ter sido produzido nos EUA ou estar em ormato VHS será igual a 0,75. 4) se esse ilme or de origem europeia, a probabilidade de ele estar em ormato DVD será inerior a 0,3.
G gasolina De maneira análoga, interpretam-se os termos da matriz A2, que representam as probabilidades da segunda troca de veículo. Desse modo, se atualmente ele é proprietário de um caminhão com motor a diesel , a probabilidade de, na segunda troca, ele adquirir um caminhão com motor a gasolina é: a) 76%. b) 72%. c) 28%. d) 24%. e) 20%.
393. (UnB-DF) Para ganhar na loteria LOTOGOL, da Caixa Econômica Federal (CAIXA), ilustrada na cartela abaixo, o apostador deve acertar o número de gols marcados por cada um dos dois times participantes em 5 jogos de utebol. Mais precisamente, o apostador deve acertar se cada time marcará 0, 1, 2, 3 ou mais de 3 gols. Para cada jogo, o apostador pode marcar 5 2 resultados dierentes. Consequentemente, o número de possíveis apostas dierentes existentes na LOTOGOL é 255 ( 9 765 625).
391. (UFG-GO) Um jogo de memória é ormado por seis cartas, conorme as iguras que seguem:
o ã ç u d o r p e r
Após embaralhar as cartas e virar as suas aces para baixo, o jogador deve buscar as cartas iguais, virando exatamente duas. A probabilidade de ele retirar, ao acaso, duas cartas iguais na primeira tentativa é de: a)
1 . 2
b)
1 . 3
c)
1 . 4
d)
1 . 5
e)
1 . 6
Supondo que os 9 765 625 resultados dierentes sejam igualmente prováveis, julgue os itens seguintes, considerando um apostador que preencha uma única cartela de aposta. 1) A probabilidade de o apostador acertar os resultados dos 5 jogos é igual a
392. (UnB-DF) Um levantamento estatístico eetuado em
1 . 510
2) É mais provável o apostador obter 20 caras ao lançar ao acaso 20 vezes uma moeda não-viciada, do que acertar os resultados dos 5 jogos.
uma videolocadora permitiu estabelecer a seguinte distribuição dos ilmes alugados, disponíveis apenas
3)Aprobabilidadedeoapostadoracertarosresultadosdesomente4jogoséiguala120vezesaprobabilidadedeeleacertarosresultadosdos5jogos. 4)Aprobabilidadedeoapostadoracertarosresultadosdeapenas3jogoséiguala5760vezesaprobabilidadedeeleacertarosresultadosdos5jogos.
Considereoexperimentoqueconsisteemtrêslançamentosindependentesdeumdadoperfeito.Calcule aprobabilidadedequeoprodutodessestrêsnúmerosseja: a) par; b) múltiplo de 10. 397.(FMU-SP)Umaurnacontém5bolasvermelhase4
394.(UnB-DF)Para comporumaprovadeMatemáticade
pretas;delasãotiradas2bolas,umaapósaoutra,sem reposição.Seaprimeirabolaretiradaédecorpreta, qualéaprobabilidadedequeasegundabolasejavermelha?
umconcursovestibular,foramelaboradas15questões, umaparacadaumdos15tópicoslistadosnoprograma. Limitadopelotempo,umcandidatodecidiunãoestudar otópicodeCombinatórianemodeProbabilidade.Nessasituação,supondoquea ordemdasquestõesseja escolhidaaoacaso,julgueositenssubsequentes. 1)Aprobabilidadedequenenhumadas13primeiras questões aborde os dois tópicos não-estudados pelocandidatoéiguala
26
a) b) c)
.
105
2)Aprobabilidadedequeentreas13primeirasquestõesexistaumadeCombinatóriaeoutradeProbabilidadeéiguala
1
d)
tão14abordaressetópicoseráiguala
e)
1 2
acaso uma moeda não-viciada que apresenta como resultadospossíveiscaraoucoroa.Seapós20lançamentos210deJoãoe10deMaria 2nenhumdeles tiverobtidoumacara,ojogoédeclaradoempatado. Casocontrário,oprimeiroaobtercaraganhaojogo. NessasituaçãoesupondoqueJoãoéoprimeiroalançaramoeda,julgueositensqueseseguem. 1)Aprobabilidadedeojogoacabarempatadoéigual 2
2)AprobabilidadedeJoãoganharéodobrodade Maria. 1 20
2
12 3
1 20
2
. .
12 3
1 20
2
.
8 1
.
2
a) b) c)
1
.
5 1
.
6 3
.
4 1
.
4
notasdeR$1,00,cinconotasdeR$2,00eumanotade R$5,00.Seelaretiraraoacasotrêsnotasdacarteira,a probabilidadedequeastrêsnotasretiradassejamde R$1,00estáentre: a)15%e16%. b)16%e17%. c) 17%e18%. d)18%e19%. e)19%e20%.
.
396.(Fuvest-SP)Umdado,cujasfacesestãonumeradasde
umaseis,édito“perfeito”secadaumadasseisfaces tem probabilidade
5
400.(UFRGS-RS) Uma pessoa tem em sua carteira oito
5)SeJoãoobtivercoroanoseuprimeirolançamento, aprobabilidadedeeleganharseráiguala 1
.
5
menorque500,éescolhidoaoacaso.Aprobabilidade dequelog2Nsejaumnúmeronaturalé: a)0,001. b)0,005. c)0,01. d)0,05. e)0,1.
4)SeJoãoobtivercoroanoseuprimeirolançamento, aprobabilidadedeMariaganharseráiguala 2
4
399.(UFRGS-RS)UmnúmeronaturalNdetrêsalgarismos,
3)AprobabilidadedeJoãoganharéiguala
12 3
.
3
duasvezesequeosnúmerosobservadosnafacesuperiorsãoanotados.Aprobabilidadedequeasomados doisnúmerosanotadossejamúltiplode4éiguala:
d)
.
2
5
398.(UFU-MG)Considerequeumdadohonestoélançado
.
395.(UnB-DF)JoãoeMarialançamalternadamenteeao
1
.
9
.
105
3)Senenhumadas13primeirasquestõesabordaro tópicodeProbabilidade,aprobabilidadedeaques-
a
4
1 6
deocorrer em um lançamento.
49
Números complexos a) Para quais valores de z tem-se
401. (Uac) Seja C = {a + bi | a, b ∈ R e i = − 1 } o con-
C
e)
C
410. (UFMG) Observe esta igura: y
− i = 1 + 3i. 3
3i
i
44° 65°
conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, sabendo que sua parte real é positiva.
Nessa fgura, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos pontos P e Q. Considerando esses
plexo 4i é: a) –2i.
c) − 2 − i.
b) 2 + i.
d) 2 (1 + i).
2 (1 − i).
e)
z11 dados, escreva o número complexo na orma i ⋅ w5
404. (PUC-RS) Se u e v são reais que satisazem a igualda-
a + bi, em que a e b são números reais.
C
de 5i – 3(u – vi) + 2i(u + vi) = 0, onde i ∈ , então u + v é igual a: a) –6. b) –5. c) –1. d) 1. e) 5.
411. (ITA-SP) Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número
405. (Vunesp) Se z = (2 + i)(1 + i)i, então –z, o conjugado de z, será dado por: a) –3 – i. c) 3 – i. b) 1 – 3i. d) –3 + i.
406. (Mack-SP) Se
w
e) 3 + i.
2003
= –1, o complexo
z
=
i
i
−
−
1
i
é:
onde x é um número real positivo. Se |z| = 5, então: a) z é um imaginário puro. b) z é um número real positivo. c) o ponto imagem de z é (–1, 2). d) o conjugado de z é –1 + 2i. e) o argumento principal de z é 180°.
407. (Vunesp) (i – 1)8 é igual a: d) 16i.
+ z +2 z −1 + z+ 1 − 3 z
412. (Ual) É dado um número complexo z = (x – 2) + (x + 3)i,
b) um número de módulo 2 . c) um imaginário puro. d) um número real. e) um número de módulo 1. c) 16.
=
pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou identifque) este conjunto geometricamente e aça um esboço dele.
a) da orma a + bi, com a + b = 1.
b) 8i.
x
O
403. (UFS-SE) Uma das raízes quadradas do número com-
i2
P
Q
5
402. (UFRRJ) A soma de um número complexo z com seu
a) 8.
2?
z+i é um número real. 1 + iz
os quais
d) em temos 4 16 = − 2 ou 2 ou –2i ou 2i. 8
=
b) Determine o conjunto de todos os valores de z para
junto dos números complexos. É errado airmar que: a) todo número real é um número complexo. b) se z é o conjugado de z ∈ , vale que z = z . c) ∀ z, w ∈ , vale z + w = z + w.
C
z+i 1 + iz
413. (UFPR) Para cada número x, considere as matrizes
e) –16.
408. (Mack-SP) Se z = i n + i–n, n ∈ Z e i é a unidade imagi-
A
nária, então o número total de possíveis valores dierentes de z é: a) 3. c) 5. e) maior que 6. b) 4. d) 6.
x − 1 1 x + 1 0 = eB = . −1 x − 1 2 1
Então, é correto afmar:
0 1
01) Se x = 0, então A + B = . 1 0
409. (Fuvest-SP) Nos itens abaixo,
z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i 2 = –1). Suponha z ≠ i.
2 1
. 02) Se x = 1, então AB = − 2 1 04) Existe número real x tal que det A = det B.
0
421. (Uniube-MG)
08) Existe número real x tal que A é inversa de B. 16) O número complexo 1 + i é raiz da equação det A = 0. 32) (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a 3. Soma:
Considere os números complexos z = x + iy, em que x, y ∈ e i2 = –1, que têm módulo igual a 3 e cujas representações geométricas encontram-se sobre a parábola y = x 2 – 1, contida no plano complexo. Se w é a soma desses números complexos, então |w| é igual a: a) 3 . b) 3. c) 2. d) 6 .
414. (Vunesp) Considere o número complexo z = i, onde i é a
422. (ITA-SP) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
1
unidade imaginária. O valor de z 4 + z 3 + z 2 + z + é: z a) –1. b) 0. c) 1. d) i. e) –i.
argumento. Se n é um número inteiro positivo, z é igual a: a) cos (nθ ). d) 2 · sen(n θ ). θ ) + cos(n θ ). b) 2 · cos (nθ ). e) sen(n c) sen (nθ ).
415. (Acae-SC) É dado o número complexo z = (x – 3) + (x + 7)i, em que x é um número real positivo. Se |z| = 10, então: a) o argumento de z é 180°. b) z é um número real positivo. c) o conjugado de z é –1 + 3i. d) z é um número imaginário puro. e) o ponto imagem de z é (–1, 3).
I) Se w = w
d) 3 − i.
3
+
i.
w
2
2
+
−
2iz
1 z
n
+
i
+
3 z
, então
. +
2 z
2iz + 3i + 3 , então (1 + 2i ) z
+3 2
.
5 z
(1 + i ) z 2 4 3
5z
+2 z
2
+ 4i
, então 2 argz
mento de w. É (São) verdadeira(s): a) todas. b) apenas I e II. c) apenas II e III.
tais que |z1| = 1, |z2| = 1 e z 1 + z2 = 1.
+ π é um argu12
d) apenas I e III. e) apenas II.
424. (Unicamp-SP) Um triângulo equilátero, inscrito em uma
x − y + z = 6 419. (Mack-SP) O sistema 2x + y − z = − 3 é: x + 2y − z = − 5
circunerência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo 3 + i. a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a igura desse triângulo. b) Qual a medida do lado desse triângulo?
a) possível e determinado, sendo xyz = –6. b) possível e determinado, sendo xyz = –4. c) possível e determinado, sendo x + y + z = 5. d) possível e indeterminado. e) impossível.
425. (Mack-SP) No plano de Argand-Gauss, os complexos
420. (Unicamp-SP) Identiique o lugar geométrico dos pon-
z ⋅ z = 9 z tais que são vértices de um polígono de (z) = z área: a) 36. b) 25. c) 9. d) 18. e) 16.
tos z = x + iy do plano complexo tal que 4
2z
III) Se w =
418. (Fuvest-SP) Determine os números complexos z1 e z2
1
=
e) 2 3 − i.
complexa i é raiz da equação x3 + px2 + x + q = 0 satisazem a condição: a) p + q = 1. c) p – q = 0. b) p + q = 0. d) 2p + q = 0.
1 = z
− 2iz
II) Se z ≠ 0 e w =
417. (Uece) Os valores de p e q para os quais a unidade
Re
2iz2 + 5 z − i 2 1 + 3 z 2 + 2iz + 3 z
1 + 3z
escrito na orma algébrica a + bi é: b) −
+
pendentes:
11π + i ⋅ sen 11π 2 cos 6 6 c) − 3 − i.
n
423. (ITA-SP) Seja z ∈ C. Das seguintes airmações inde-
416. (PUC-RS) O número complexo
a) 2 3 + i.
R
2
.
2
426. (ITA-SP) Considere os números complexos z
434. (UFMG) Considerem-se os polinômios P(x) = (a2 – 3a + 2)x3 + 5x2 – 3ax + 1 e Q(x) = (a – 7)x2 + ax + 3. O conjunto de todos os valores reais de a, para os quais a soma P(x) + Q(x) seja um polinômio do 2º grau, é: a) {1}. c) {7}. e) {1, 2, 7}. b) {2}. d) {1, 2}.
= 2 + i 2 e w = 1 + i 3. Se 2
+ 3z4 + 4i m= 2 então m vale: z + w 3 + 6 − 2i w6
a) 34.
b) 26.
c) 16.
d) 4.
e) 1.
25
427. (UFRN) O número complexo 11 +− ii é igual a: a) i.
b) 1.
c) –1.
435. (Uscar-SP) Considerando que 2i é raiz do polinômio
d) –i.
P(x) = 5x5 – 5x4 – 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale: a) 5. c) 3. e) 1. b) 4. d) 2.
Polinômios – Equações polinomiais 428. (ITA-SP)Considereopolinômio P(x)=2x +a 2x2 + ... + anxn,
436. (ITA-SP) Dividindo-se o polinômio
cujos coeicientes 2, a2, ..., an ormam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sabendo que −
1 é uma raiz de P e que P(2) = 5 460, tem-se 2
que o valor de a)
5 . 4
P(x) = x5 + ax 4 + bx2 + cx + 1 por (x – 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é divisível por (x – 2),
b)
n2
− q3 q4
3 . 2
c)
tem-se que o valor de
é igual a: 7 . 4
11 d) . 6
a) –6. b) –4.
15 . e) 8
ab é igual a: c
c) 4. d) 7.
e) 9.
437. (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio cujas raízes ormam
429. (UFMG) Os polinômios p1(x) = x2 – 4 e p2(x) = x2 – 7x + 10
uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2. O coeiciente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 2 21. O grau do polinômio é: a) 4. c) 6. e) 8. b) 5. d) 7.
dividem o polinômio p(x) = ax 3 + bx2 – 12x + c, em que a, b e c são números reais. Determine a, b e c.
430. (Fuvest-SP) Um polinômio P(x) = x 3 + ax2 + bx + c satisaz as seguintes condições: P(1) = 0; p(–x) + p(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de p(2)? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
438. (Uniesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10. c) 17. e) 70. b) 12. d) 25.
431. (UFS-SE) Dividindo-se o polinômio A(x) = x3 – 2x2 – x + 2 pelo polinômio B(x) obtém-se o quociente Q(x) = x – 3 e o resto R(x) = 3x – 1. É verdade que: a) B(2) = 2. d) B(–1) = 1. b) B(1) = 0. e) B(–2) = 1. c) B(0) = 2.
439. (Eei-MG) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n,
432. (Vunesp) Indicando por m, n e p, respectivamente, o
o seu polinômio característico p(λ) é deinido por p( λ ) = det (A – λI), em que I é a matriz identidade de ordem n. Mostre que, quando A é uma matriz simétrica de ordem 2, o seu polinômio característico tem sempre raízes reais.
número de raízes racionais, raízes irracionais e raízes não-reais do polinômio P(x) = x 5 – x3 + 2x2 – 2, temos: a) m = 1, n = 1 e p = 3. b) m = 1, n = 2 e p = 2. c) m = 2, n = 1 e p = 2. d) m = 2, n = 2 e p = 1. e) m = 1, n = 3 e p = 1.
440. (FGV-SP) A equação x3 – 3x2 + 4x + 28 = 0 admite –2 como raiz. As outras raízes satisazem a equação: a) x2 – 4x + 14 = 0. b) x 2 – 5x + 14 = 0. c) x2 – 6x + 14 = 0. d) x 2 – 7x + 14 = 0. e) x2 – 8x + 14 = 0.
433. (Uam)
O número de raízes reais do polinômio p(x) = (x2 + 1)(x2 + 4x – 12) é: a) 0. d) 2. b) 4. e) 3. c) 1.
