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Material compilado con fines educativos Bolívar Canchala Cuarán
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ESCUELA ESCUELA SUPERIOR SUPERIOR DE ADMINISTRACION ADMINISTRACION PUBLICA PUB LICA ESAP PASTO MATEMATICA FINANCIERA FINANCIERA QUINTO SEMESTRE
TEMATICA }
1.) 2.) 3.) 4.) 5.)
CONCEPTOS INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO TASAS DE INTERÉS ANUALIDADE O SERIES Y TABLAS DE AMORTIZACIONES
6.) GRADIENTE “OPCIONAL” 7.) OTRAS TABLAS DE AMORTIZACIONES
OBJETIVO GENERAL
Estudiar y aprender las técnicas t écnicas usuales de la l a Matemática Matemátic a Financiera, para aplicarlas a la Administración Pública.
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
(Dan respuesta al cumplimiento de cada sesión o unidad a desarrollar en la asignatura, módulo, seminario o taller
Aprender el concepto de interés y aplicarlo al manejo de las finanzas del Estado. Manejar el concepto de interés en sus distintas modalidades. Manejar el concepto de interés en relación con las Inversiones Temporales de los recursos. Manejar el concepto de interés en relación con las acreencias Aprehender y aplicar el concepto de Interés compuesto al manejo de las finanzas del Estado. Manejar los conceptos de tasa nominal y tasa efectiva. Diferenciar entre tasas nominales anticipadas y tasas nominales vencidas. Definir con claridad el valor futuro y el valor presente. Aplicar los conceptos mediante la realización de ejercicios prácticos relacionados con el ejercicio de la Administración Pública Colombiana. Determinar y aplicar los conceptos de anualidad establecido por el consejo de Estado. Determinar y aplicar el concepto de índices de Precios al consumidor Determinar y aplicar la Tabla esperanza de vida. Aprender el concepto de amortización y aplicarlo al manejo de las finanzas del Estado. Manejar el concepto de amortización en sus distintas modalidades. Manejar el concepto de amortización para la presupuestar presupues tar de los valores periódicos de desembolso continuo por préstamos a favor de las organizaciones públicas.
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TABLA DE CONTENIDO TEMATICA.......................................................................................................................................................... 1 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................................................ 1 OBJETIVOS OBJETIVOS ESPECIFICOS................................................. ........................ ................................................... ................................................... .................................................... ............................. 2 I. CONCEPTOS ................................................ ........................................................................................................ ............................................................................... ....................... 6
1. PORCENTAJE .............................................................................................................................................. APLIQUEMOS LO APRENDIDO 1
6
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ........................ ..........6
2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO ............................................................................................................. 9 3. INTERÉS ...................................................................................................................................................... 9 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 2
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........10
4. TASA DE INTERÉS ..................................................................................................................................... APLIQUEMOS LO APRENDIDO 3
10
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........11
5. FLUJO DE CAJA.........................................................................................................................................
12
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 4 .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........13 II. INTERES SIMPLE ..................................................................................................... .......................................................................................................................... ..................... 14
1. CÁLCULO DE INTERESES .......................................................................................................................... APLIQUEMOS LO APRENDIDO 5
14
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........14
........................ .......................... ......................... .................. 16 2. INTERÉS COMERCIAL Y REAL....................... ..................................................
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 6
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........16
3. CALCULO DEL NÚMERO DE DIAS ENTRE FECHAS ..................................................................................... 17 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 7
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........19
4. VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE .......................................................................................................... APLIQUEMOS LO APRENDIDO 8
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........20
5. INTERESES MORATORIOS ......................................................................................................................... APLIQUEMOS LO APRENDIDO 9
19
20
.......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ...................... ........21
6. VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE........................... ......................... ......................... ......................... . 22 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 10
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......23
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE .................................................................................................. 23 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 11
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......24
8. CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN..................................................................................................
24
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 12 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......25 III. INTERES COMPUESTO ............................................. .................................................................................................... ................................................................... ............ 26
1. VALOR FUTURO E INTERÉS COMPUESTO .................................................................................................. 26 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 13
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......27
2. VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO ......................................................................................... 28 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 14
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......29
3. TASA DE INTERÉS COMPUESTA ................................................................................................................ APLIQUEMOS LO APRENDIDO 15
29
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......29
4. TIEMPO DE NEGOCIACIÓN ......................................................................................................................... 30 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 16
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......30
5. VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE ...................................................................................................... 31 ........................ .......................... ......................... . 31 6. VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE....................... .................................................. APLIQUEMOS LO APRENDIDO 17 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......32 IV. CLASES DE CLASES DE TASAS TASAS DE DE INTERÉS INTERÉS ................................................................................................... .................................................................................................. 33
1. TASA EFECTIVA........................... ......................... ......................... ......................... ........................... ........ 33 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 18
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......35
2. TASA PERIÓDICA. ...................................................................................................................................... 36 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 19
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......36
3. TASA NOMINAL.......................................................................................................................................... APLIQUEMOS LO APRENDIDO 20
37
........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......37
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4. TASA NOMINAL EN FUNCION DE LA TASA EFECTIVA. ................................................................................ 37 .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......37 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 21 ........................... V. ANUALIDADES O SERIES Y TABLAS DE ANORTIZACIONES ............................................................ 39
........................ .......................... ......................... ............................................... ........................ ....................... 40 1. ANUALIDADES VENCIDAS..................................................
1.1. VALOR DE LA CUOTA CU OTA VENCIDA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE ........................... .......................................... ............................. ............................ ................ 40 1.2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ................ 41 1.3. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA ............................ ........................................... ............................. ............................. ............................. ................. ... 42 1.4. VALOR DE LA CUOTA CU OTA VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO .......................... ......................................... ............................. ............................. .................... .....43 1.5. NUMERO DE PAGOS PARA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DEL (F) .......................... ......................................... ............................. ........................... .............44 1.6. NUMERO DE PAGOS O ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DE (P) ( P) ........................... .......................................... ............................. ............................. .................... .....45 1.7. CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA............................ ........................................... ............................. ............................ ...................... ........45 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 22............................ .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......47
2. ANUALIDADES ANTICIPADAS.....................................................................................................................
47
2.1. VALOR DE LA CUOTA CU OTA ANUALIDAD ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (P) ........................... .......................................... ............................. ............................ ................ 47 2.2. VALOR PRESENTE DE UNA U NA ANUALIDAD ANTICIPADA ............................ ........................................... ............................. ............................. ............................. ........................ ..........49 2.3. VALOR FUTURO EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA ........................... .......................................... ............................. ............................. ............................. ............................ ................ 50 2.4. NUMERO DE PAGOS O ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (VP) ............................ .......................................... ............................ ......................... ...........51 2.5. NUMERO DE PAGOS O ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (F) ........................... .......................................... ............................. ........................... .............51 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 23 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......51
3. ANUALIADAD DIFERIDA ............................................................................................................................. 52 3.1. CÁLCULO DE LA CUOTA DE D E UNA ANUALIDAD DIFERIDA .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ...................... ........52 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 24 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......59 3.2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ........................... .......................................... ............................. ............................. ............................. ............................ ................ 59 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 25 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......62 3.3. VALOR FUTURO O MONTO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ........................... .......................................... ............................. ............................. ............................. ................. ... 63 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 26 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......65 3.4 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA Y VENCIDA ........................... .......................................... ............................. ........................ ..........65 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 27 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......69 3.5. CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD ANU ALIDAD DIFERIDA ............................ ........................................... ............................. ............................ ...................... ........70 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 28 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......71
4. ANUALIDADES PERPETUAS.......................... ......................... ......................... ......................... .................. 72 5 ANUALIDAD O CUOTA CON INTERÉS GLOBAL ............................................................................................ 73 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 29: 2 9: COMPLEMENTARIO ............................ ........................................... ............................. ............................. ............................. ............................ ................ 74 VI. GRADIENTE ................................................................................................................................ ............................................................................................................................... 76 ........................ ....................... 76 1. GRADIENTE ARITMETICO......................... .......................... ......................... ...............................................
GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO (GACV) ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ........................... .............77 GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO (GACA) .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ...................... ........85 GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE (GAD) .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ........................... ............88 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GR ADIENTE ARITMETICO ARITMETICO CRECIENTE CR ECIENTE INFINITO ........................... .......................................... ............................. ........................... .............95 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 30 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................... ......95 ........................ ....................... 97 2. GRADIENTE GEOMETRICO ....................... .......................... ......................... ...............................................
GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO (GGV) ........................... .......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ................. ... 98 GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO (GGA) ........................... .......................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ......................... ..........105 ........................ .......................... ... 109 3. GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO ........................... ......................... ..................................................
VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ................ 109 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................. ................ 110 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO ........................... .......................................... ............................. ............................ .................... ......112
4. GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO (GGD) ............................................................................................. 113 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO GEOMÉTRICO DIFERIDO .......................... ......................................... ............................. ............................. ............................ .............113 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE GEOMETRICO DIFERIDO .......................... ......................................... ............................. ............................. .................. ... 114 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 31 ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................. ............................ .................. .... 116 VI OTROS EJEMPLOS DE AMORTIZACIONES ................................................................................... .................................................................................. 119
1. AMORTIZACIÓN CON PAGO UNICO AL FINAL DEL PLAZO ........................................................................ 119
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2. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA .............................................................................................................. 120 3. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS ......................................................... 121 ........................ .................... 1 22 4. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA ......................... ............................................ 5. AMORTIZACION DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL ............................................................................... 123 6. AMORTIZACION ACUOTAS FIJA MES ANTICIPADO ................................................................................... 125 7. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA CON INTERÉS GLOBAL ......................... .......................... ....................... 1 26 8. OTROS EJEMPLOS SOBRE AMORTIZACIONES ......................................................................................... 127 BIBLIOGRAFIA ................................................... ........................................................................................................... ........................................................................... ................... 137
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I.
CONCEPTOS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS: La matemática financiera es una ciencia que deriva de la matemática que estudia el valor del dinero a través del tiempo, en el cual se combinan las tasas de interés aplicadas a un capital inicial o valor presente para obtener un monto o valor futuro, este valor futuro se obtiene aplicando métodos de evaluación que permiten tomar decisiones con respecto a la inversión. Esta también se le llama ingeniería económica. Con la matemática financiera permite hacer el estudio o planeación de las actividades de optimización de las unidades económicas (personas, empresas o estados) orientadas a la captación y uso de los recursos económicos mediante la medición, utilizando técnicas y criterios empíricos para cuantificar las magnitudes tanto de beneficios como de los costes. En matemáticas financieras, no es lo mismo tener hoy $100 000 que tener $100 000 dentro de un año, porque lo que hoy se puede hacer con ese dinero es más de lo que se podrá hacer dentro de un año debido a que normalmente todos los artículos suben de precio, por tal motivo cuando se habla de una suma de dinero debe especificarse la fecha y el interés o de lo contrario la información es incompleta.
1. PORCENTAJE La palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera.
EJEMPLO : 8%
8 =
100
= 0.08 significa
8 unidades de cada 100 unidades.
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 1 Actividad 1: Representa los porcentajes como fracción o número decimal: 1%
0,02%
1,2%
0,4%
9%
0,5%
2,4%
0,08%
17%
0,3%
26,7%
19%
0,1%
0,07%
1,8%
0,006%
Actividad 2: Cálculo de porcentajes El 1% de 1 200
El 10% de 250
El 20 % de 3000
El 25% de 1400
El 50% de 360
El 75% de 140
El 1% de 150
El 10% de 45
El 20% de 160
El 25% de 160
El 50% de 210
El 75% de 84
El 1% de 12
El 10% de 7,9
El 20% de 48
El 25% de 80
El 50% de 75
El 75% de 0,16
El 1% de 24,5
El 10% de 0,04
El 20% de 3,5
El 25% de 2,4
El 50% de 0,34
El 75% de 0,005
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Actividad 3: Expresa como porcentajes. 3/5
0,85
2/5
9,8
1/4
0,36
13/25
13,4
1/2
0,5
0,73
0,06
1/25
4/5
1,2
0,007
Actividad 4 Calcula el porcentaje que representa un número con respecto a otro número EJEMPLO : ¿Qué porcentaje es 12 de 150?, (12/150)100 = ? ¿Qué porcentaje es 24 de 1200?
¿Qué porcentaje es 40 de 1800?
¿Qué porcentaje es 16 de 640?
¿Qué porcentaje es 60 de 80?
¿Qué porcentaje es 18 de 160?
¿Qué porcentaje es 0,4 de 2?
¿Qué porcentaje es 10 de 1800?
¿Qué porcentaje es 3/5 de 150?
Actividad 5: Completa la siguiente tabla: 1,0%
1,25%
2,0%
2,5%
3,0%
5,0%
7,5%
2400 4800 9600 19200 Actividad 6: Según la condición asignada realizar la operación correspondiente. a) Escribe 1/2 como decimal
b) Escribe 0.81 como porcentaje
c) Escribe 3/4 como decimal
d) Escribe 1/20 como decimal
e) Escribe 50% como decimal
f) Escribe 0.05 como porcentaje
g) Escribe 1/5 como decimal
h) Escribe 1 como porcentaje
Actividad 7: Problemas; desarrollar los siguientes casos siguiendo procesos lógicos para encontrar su resultado. 1) Juan tiene que pagar $ 90.000. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar todavía? a) $ 450 b) $ 4.550 c) $ 85.500 d) $ 89.500 e) $ 94.550 2) Un metro de tela me cuesta $ 15.000. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% de lo que costó? a) $ 18.000 b) $ 12.000 c) $ 13.000 d) $ 10.000 e) $ 3500 3) Pedro tenía $ 80.000. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le queda? a) $ 16.000 b) $ 28.000 c) $ 52.000 d) $ 54.400 e) $ 78.000 4) De los 125 alumnos de un colegio, el 36% son damas. ¿Cuántos son varones?
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a) 89
b) 80
c) 45
d) 36
e) 25
5) Una camisa me costó $ 105.000, con lo que gasté el 25% de mi dinero. ¿Cuánto dinero tenía? a) $ 26.250 b) $ 131.250 c) $ 325.250 d) $ 405.000 e) $ 420.000 6) De las 240 fichas que tiene un niño, 48 son rojas. ¡Cuál es el porcentaje de fichas rojas? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 7) ¿Qué porcentaje de rebaja se hace en una deuda de $ 450.000 que se reduce a $ 360.000? a) 80% b) 60% c) 40% d) 20% e) 10% 8) Habiendo salido el 84% de los alumnos de un colegio, permanecen en el mismo 20 alumnos. ¿Cuántos alumnos salieron del colegio? a) 168 b) 105 c) 100 d) 84 e) 72 9) Tenía $ 350 dólares y pagué $ 140 dólares que debía. Lo que me queda, ¿qué porcentaje es de lo que tenía? a) 60% b) 55% c) 50% d) 45% e) 40% 10) ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $ 680.000 para ganar el 15% de la venta? a) $ 700.000 b) $ 702.000 c) $ 720.000 d) $ 750.000 e) $ 782.000 11) Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan? a) 54 b) 45 c) 36 d) 32 e) 30 12) Un hombre al morir dispone dispon e que sus ahorros consistentes en 20.000 dólares, se reparta en 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a su ahijado. ¿Cuántos dólares le correspondió a este último? a) 150 b) 5.000 c) 7.000 d) 7.800 e) 8.000 13) ¿Cuántos minutos son el 35% de una hora? a) 2 b) 21 c) 35 d) 1/35 e) 7/12 14) Un cortador de pasto cobraba $ 20.000 por su trabajo. Ahora pedirá $ 24.000, ¿en qué porcentaje aumentó su tarifa? a) 120% b) 80% c) 60% d) 40% e) 20% 15) Una persona gastó 14.400 dólares, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto dinero tenía? a) 72.000 b) 57.600 c) 45.000 d) 25.600 e) 3.600 16) Un artículo se sube de $ 15.000 a $ 18.000. ¿Cuál es el porcentaje de alza? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 17) Si a 80 se le resta el 80% de su mitad. ¿Cuánto se obtiene? a) 80 b) 64 c) 48 d) 32 e) 16 18) Si la diferencia entre el 72% y el 57% de un número es 45. ¿Cuál es el número? a) 450 b) 300 c) 250 d) 150 e) 100 19) Si Gonzalo tuviese un 16% menos de la edad que tiene, tendría 21 años. ¿Cuál es la edad actual de Gonzalo? a) 24 años b) 25 años c) 26 años d) 27 años e) 28 años 20) Un niño repartió 40 dulces entre sus amigos. A Juan le dio 2/5 del total, a Mario el 25% del resto y a Claudio el 50% del nuevo resto. ¿Con cuántos dulces se quedó el niño? a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 21) De un paquete con 650 gramos de chocolate regional, Mónica se comió el 40% y Ximena se comió la mitad del resto. ¿Cuántos gramos de chocolate quedan?
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a) 350
b) 300
c) 250
d) 200
22) ¿Cuál es el 10% del inverso multiplicativo de 0,05? a) 1/2 b) 2 c) 5 d) 1/20 23) Si un trazo se divide en 4 partes. ¿Qué porcentaje es una parte, del resto? a) 40% b) 33,3...% c) 25% d) 20% 24) ¿Qué porcentaje es 1/3 de 1/6? a) 50% b) 100% c) 150% d) 200% 25) Si el lado de un cuadrado aumenta el doble, ¿en qué porcentaje aumentó su área? a) 100% b) 200% c) 300% d) 400%
e) 195 e) 0,005 e) 75% e) 400% e) Ninguna
26) El arrendamiento de un edificio aumentó un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, ¿cuál era el valor del arrendamiento? 27) ¿En qué porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000? 28) Juan David compró una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, ¿cuánto pagó? 29) Un comerciante compró un artículo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre el costo, para cubrir los gastos de operación y utilidad neta. ¿A qué precio de bebe vender el artículo?
2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Uno de los principios más importantes en todas las finanzas. El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Es el proceso del interés compuesto, los intereses pagados periódicamente son transformados automáticamente en capital. El interés compuesto es fundamental para la comprensión de las matemáticas financieras. Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro y valor presente (P). El valor futuro (F) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés y períodos dados. El valor presente describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y períodos dados representa valores actuales. Significa que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendrá valores diferentes, así: $ 1.000.000 a un año tendrá valores diferentes en cada mes del año, esto debido a los siguientes factores:
La inflación . Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir, que el dinero se desvalorice. Dentro de un año recibirá el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder de compra de bienes y servicios.
Costo de oportunidad . Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando que no sólo se proteja la inflación, sino que también produzca una utilidad adicional. Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y se manifiesta a través del interés. Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el futuro.
Dos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. EL valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por los inversionistas.
3. INTERÉS Para compensar el valor del dinero en el tiempo futuro se utiliza el interés. Entonces Enton ces el interés es la medida o manifestación manifestació n del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I).
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Interés: I = F – P Valor futuro F = P +I Valor presente: presente: P = F – I EJEMPLO: Si se deposita en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $ 580.000, calcular el valor de los intereses. Datos: Valor presente P = $ 500.000 Valor futuro F = $580.000
Solución: I = F – P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000 El valor de los intereses durante los 6 meses es de $ 80.000 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 2 1) Anita deposita el día de hoy $ 5.360.840 en una cuenta de ahorros y después de un determinado tiempo recibe $ 6.350.390, calcular el valor de los intereses. 2) Pedro deposito el día de hoy en una cuenta de ahorros una cantidad de dinero X y después de varios meses recibió $ 7.369.500 más $ 1.125.330 por concepto de intereses. Se desea saber cuánto deposito Pedro. 3) Juanito depositó el día de hoy en una cuenta de ahorros $ 5.560.890 y después de un tiempo le informaron que tenía por concepto de intereses la suma de $ 1.330.220. Cuál es el valor del monto o valor futuro. 4) Antonio deposita el día de hoy $ 15.600.400 en una cuenta de ahorros y después de un determinado tiempo recibe $ 16.500.300, calcular el valor de los intereses. 5) Pepe deposito el día de hoy en una cuenta de ahorros una cantidad de dinero P y después de varios meses recibió $ 17.340.150 más $ 2.650.300 por concepto de intereses. Se desea saber cuánto deposito Pepe. 6) Juan Pedro depositó el día de hoy en una cuenta de ahorros $ 25.600.800 y después de un determinado tiempo le informaron que tenia de intereses la suma de $ 2.300.400. Cuál es el valor del monto o valor futuro. 7) Escribir el valor correspondiente en la casilla adecuada, después de realizar las operaciones indicadas. F= $8.500.000 F=$8.500.000
X
P=$5.600.000
I=
I=$1.220.000
P=
P= $5.600.000
I= $1.220.000
I=
P= X
F=
F=
X
4. TASA DE INTERÉS La palabra tasa significa medir; la tasa de interés (i) se expresa en forma de porcentaje para un período de tiempo determinado; la tasa de interés en forma matemática se expresa mediante la siguiente relación: i=
I P
* 100
P=
I i
I = P*i
i=
F - P P
* 100
financi era la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira $1.030.000. Calcular EJEMPLO : Se deposita en una entidad financiera el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.
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Datos: Valor presente P = $ 1.000.000 Valor futuro F = $ 1.030.000
Solución: I= F – P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000 i=
I P
* 100 =
30.000 1.000.000
* 100
= 0.03*100 = 3%
El valor de los intereses es de $ 30.000 y la tasa de interés es del 3% APLIQUEMOS LO APRENDIDO 3 1) Expresa en porcentaje y como número decimal ( mensual ) las siguientes tasas de interés (i): 20.50% anual
5.6% bimensual,
18,5% trimestral
6,5% semestral
12% cuatrimestral
23.65% anual
2) Carlos deposita en una entidad financiera la suma de $8.580.400 y al cabo de un mes se retira $8.709.106. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada. 3) Anita deposito una cantidad de dinero P a una tasa de interés del 2.5% mensual y recibió unos intereses por valor de $ 2.500.000. Se desea saber cuál fue el valor del depósito. 4) Juan José deposita en una entidad bancaria $ 8.950.700, la entidad bancaria le reconoce una tasa de interés del 2,5% mensual. Se desea conocer los interese que recibirá mensualmente. 5) Helena solicito un préstamo de $12.580.000 y un mes después tuvo que cancelar por concepto de intereses $314.500. Helena desea saber a qué tasa de interés pago. 6) Pedrito solicito un crédito para cancelar su matrícula por un valor de $ 2.700.000 y después de un mes la entidad financiera le anuncio que su deuda ascendía $2.748.600. Pedrito desea saber el valor de los intereses y la tasa de interés. 7) Una inversión inicial de $235.000 produce después de un mes un resultado de $ 389.560. Calcular: Valor de los intereses ganados ( I ), tasa de interés (i). 8) ¿Cuánto se debe invertir hoy (P) para tener dentro (F) de un año $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor de (I) $ 250.000? 9) Calcular el valor de los intereses (I) que produce un capital (P) de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de interés (i) durante un año:
0,05% diario
1.5% mensual
3.0% bimensual
4.5% trimestre
6.0% cuatrimestre
18% anual
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5. FLUJO DE CAJA Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden registrar sobre una recta horizontal, la cual puede estar dividida en periodos, que mide el tiempo de duración de la operación financiera. Al registro regis tro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que q ue dura la operación financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de línea de tiempo. Los egresos de dinero se representan por flechas hacia abajo; los ingresos por su parte se representan por flechas hacia arriba. Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizá el más importante es la construcción correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben aplicar para la solución.
EJEMPLO : Analizar el siguiente caso, el señor Castro deposita en una entidad financiera el 1º de enero del 2015 la suma de $ 1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo de caja. Datos: Deposito el 1º de enero del 2015 la suma de $ 1.000.000 (Valor presente) Tiempo n = 6 meses Retira el 1º de julio del 2015 una cantidad de $ 1.075.000 (Valor futuro) Solución: El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista:
Primero el flujo de caja para el prestamista (señor Castro)
Segundo para el prestatario (entidad financiera)
1. Punto de vista del prestamista (señor Castro ) 1 Julio/15 $1.075.000
0
1
1 E nero/15 nero/15 $1.000.000
2
3
4
5
6
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2. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario) 1 Ener E nero/15 o/15 $1.000.000
0
1
2
3
4
5
6
1 Julio/15 $1.075.000
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 4 1) El señor Castro compra una casa a una constructora por $ 100.000.000 y se compromete a pagar de la siguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valor de $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Castro. 2) El Banco Ganadero le concede al señor Castro un crédito por valor de $10.000.000 con plazo de un año. Tasa de interés trimestral es de 9%. El banco le exige al señor Castro la restitución del capital al final del año. Construir el flujo de caja para el señor Castro y el Banco. 3) Considerando el ejercicio anterior, pero suponiendo que el banco le exige al señor Castro la restitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el señor Castro. 4) Una entidad financiera concede un préstamo al señor Pérez por una cantidad de $120.840.350 con plazo de un año y una tasa de interés bimestral del 3%. La entidad financiera le exige al señor Pérez la devolución del capital en 6 cuotas iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el señor Pérez y calcular el valor futuro. 5) Una entidad financiera concede un préstamo al señor Pérez por una cantidad de $72.600.000 con plazo de un año y una tasa de interés mensual del 2.5%. La entidad financiera le exige al señor Pérez la devolución del capital en 12 cuotas iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el señor Pepe y además calcular el valor futuro. 6) Una entidad financiera concede un préstamo al señor Pérez por una cantidad de $120.000.000 con plazo de un año. Tasa de interés trimestral es de 9%. La entidad financiera le exige al señor Pérez la devolución del dinero en 4 cuotas trimestrales iguales i guales además del pago de los intereses. Construir el flujo de caja c aja para el señor Pérez y además calcular el valor futuro. 7) Una entidad financiera concede un préstamo al señor Pérez por una cantidad de $144.000.000 con plazo de un año y una tasa de interés mensual del 1.8%. La entidad financiera le exige al señor Pérez la devolución del capital en 12 cuotas iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el señor Pérez y además calcular el valor futuro. 8) Usted compra un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguiente forma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puede decir que pagó por el electrodoméstico realmente $ 1.950.000?
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II. INTERES SIMPLE Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no, únicamente sobre el capital se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.
1. CÁLCULO DE INTERESES En interés simple, el interés a pagar por una deuda varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el cálculo de intereses se utiliza la siguiente expresión:
Dónde: P = Valor presente I = Intereses i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo
I = P*i*n
Despejando las diferentes variables de la ecuación anterior se obtiene las expresiones siguientes:
Intereses
Valor presente P=
I = P*i *n
Tasa de interés
I i *n
i=
I P* n
Intervalo de tiempo n=
I i *P
EJEMPLO. Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple. Datos: El 60% de $ 2.000.000 = 0.60 *2.000.000 = $ 1.200.000 o sea: Primer valor presente P = $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple. Segundo valor presente P = $ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple.
Solución: 1). Cálculo del interés mensual simple de $ 1.200.000 I = P*i*n I 1 = 1.200.000
0.36 12
1
$36.000
2). Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000 I = P*i*n I2= 800.000*0.02*1 = $16.000
Interés total mensual. I = I 1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 5 1) ¿Cuál es el interés que debe pagar una persona por un préstamo de $4.500.000 a 35% de interés simple anual durante un año 9 meses?
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2) Anita desea comprar un automóvil con un costo de $68.000.000, la agencia le cobra 2.3% de interés simple mensual sobre el total del adeudo, Anita debe cubrir el préstamo dentro de 12 meses, ¿cuánto pagará por concepto de intereses? 3) ¿Qué intereses se deben pagar por una mercancía con valor de $3.500 000, que será pagada dentro de 90 días con una tasa de interés simple de 32% anual? 4) ¿Cuánto recibe una persona por concepto de capital más interés (monto), por $6.800 000 al 2% de interés simple mensual, después de medio año de inversión? 5) Julio compró una motocicleta cuyo precio de venta era de $2.800 000, la cual se comprometió a liquidar dentro de 3 años. Si le cargaron 1.3% de interés simple mensual, ¿cuál es el monto de la operación? 6) Carlos deposita en una entidad financiera la suma de $8.580.400 y al cabo de 18 meses retira $12.441.580. Calcular el valor delos intereses y la tasa de interés ganada. 7) Antonio deposito una cantidad de dinero P a una tasa de interés del 2.5% mensual y después de 2 años recibió unos intereses por valor de $ 3.500.000. Se desea saber cuál fue el valor del depósito. 8) Cuál será el número de periodos de tiempo si se invierten $ 22.840.000 a una tasa de interés del 0.8%mensual, si los interese que producen en ese intervalo de tiempo es de $6.200.000 9) Juan José deposita en una entidad bancaria $ 8.950.700, la entidad bancaria le reconoce una tasa de interés del 2, 2,5% 5% mensual. Se desea conocer los interese que recibirá después de 15 meses. 10) Helena solicito un préstamo de $12.580.000 y 18 meses después tuvo que cancelar por concepto de intereses $5.661.000. Helena desea saber a qué tasa de interés pago. 11) Pedrito solicito un crédito por un valor de $ 12.700.000 y después de 15 meses la entidad financiera le anuncio que su deuda ascendía $16.129.000. Pedrito desea saber el valor de los intereses y la tasa de interés. 12) Hallar el valor correcto para cada celda realizando su proceso correspondiente. No 1
Valor presente
interés
Tasa de interés
P
I
.i
Intervalo de tiempo .n
2.2% mes
2 años
1.8% mes
1.5 años
$19.800.500
2
$1.250.000
3
$5.500.000
$825.000
4
$6.660.500
$2.158.002
5
$21.600.500
6
$12.500.000
7
$15.500.000
$1.850.000
8
$16.600.000
$3.900.000
9
$10.680.500
10
$2.500.000
11
$5.500.000
$1.850.000
12
$6.800.000
$1.900.000
15 meses 1.8% mes 2.5% mes
2.5 años
1.8% mes
30 meses 24 meses
1.2% mes 1.3% mes
1.5 años
1.2% mes
22 meses 14 meses
1.6% mes
Valor futuro F
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2. INTERÉS COMERCIAL Y REAL Cuando se realiza cálculos financieros que involucren las variables tiempo (n) y tasa de interés (i), surge la duda sobre qué números de días se toma para el año, es decir, si se toma 365 o 360 días. Esto da origen a dos tipos de interés: el interés ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el año de 360 días, y el interés real o exacto que se calcula considerando el año de 365 días, o 366 si se trata de año bisiesto. EJEMPLO: Calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $1.500.000 a una tasa de interés del 36% anual simple durante 45 días.
Datos: Valor presente P = $1.500.000 Tasa de interés i = 36% anual Número de días n = 45
Solución: 1. Interés comercial : año 360 días. 0.36 I = P*i * n = 1.500.000 45 360 36 0
$67.500
2. Interés real o exacto : año 365 días. 0.36 I = P*i * n = 1.500.000 45 $66.575 57 5.34 365 36 5
El interés comercial es mayor que el interés real o exacto APLIQUEMOS LO APRENDIDO 6 1) Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos: V. presente (P)
Tasa de interés (i)
$4.500.000
1.5%mensual
$14.800.000
a).2% mensual b).3% mensual c)1.4% mensual
$40.500.000
1.4% mensual
$15.300.000
1.8% mensual
Tiempo (n)
Interés (I)
V. Futuro (F)
a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses 10 meses
a) 1 años b) 1.5 años c) 2 años a) 15 días b) 40 días c) 75 días
2) Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro (F) cuando un capital (P) de $21.000.000 se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 18% anual para un tiempo de:
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a) 15 días
b) 50 días
c) 75 días
d) 450 días
e) 720 días
3. CALCULO DEL NÚMERO DE DIAS ENTRE FECHAS Al realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en número de días, meses o años, sino que aparece la fecha de iniciación de la operación y la fecha de vencimiento. Para calcular el número de días transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el cálculo aproximado que toma en cuenta el año comercial y el cálculo exacto (días calendario) considerando el año real, que se realiza con apoyo de las tablas para calcular el número exacto de días o de una calculadora financiera. EJEMPLO . Calcular el número de días entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el año comercial y el año real. Solución
Tiempo comercial:
Año
Mes
Día
Fecha final
2007
10
23
( - )Fecha inicial
2007
01
12
0
09
11
Resultado
Son 9 meses y 11 días: 9*30 + 11 = 270 + 11= 281 días Tiempo real: días calendario. Procedimiento con la tabla Hasta el 23 octubre marca
296 días
( - ) 12 de enero
12 días
Resultado
284 días
EJEMPLO : La guerra de los Mil días, denominada también Guerra Magna, se desarrolló entre el 18 de octubre de 1899 y el 21 de noviembre de 1902. ¿Cuántos días realmente duró la guerra? Año comercial y año real. Tiempo comercial
Año
Mes
Día
Fecha final
1902
11
21
(-) Fecha inicial
1899
10
18
03
01
3
Resultado
Son 3 años, 1 mes y 3 días: 3 *360+1*30+3 = 1080+30+3=1113 días Año real o exacto. 18 de octubre a 31 de diciembre 1899
365 – 291 = 74 días
Días del año 1990
365 días
Días del año 1901
365 días
Del 1 de enero 1902 a 21 de noviembre
325 días
Resultado
1129 días
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TABLA PARA CALCULAR EL NÚMERO EXACTO DE DÍAS Día\mes
ENERO
FEBRER
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOST
SEPTIE.
OCTUBR
NOVIE.
DICIEM
1
1
32
60
91
121 1 21
152
182
213
244
274
305
335
2
2
33
61
92
122 1 22
153
183
214
245
275
306
336
3
3
34
62
93
123 1 23
154
184
215
246
276
307
337
4
4
35
63
94
124 1 24
155
185
216
247
277
308
338
5
5
36
64
95
125 1 25
156
186
217
248
278
309
339
6
6
37
65
96
126 1 26
157
187
218
249
279
310
340
7
7
38
66
97
127 1 27
158
188
219
250
280
311
341
8
8
39
67
98
128 1 28
159
189
220
251
281
312
342
9
9
40
68
99
129 1 29
160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
29
29
60
88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
31
31
90
212
243
151
304
365
366
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APLIQUEMOS LO APRENDIDO 7 1) Siguiendo un proceso ordenado y lógico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechas a) Entre el día de hoy y el día de su cumpleaños b) Entre el día de hoy y el 20 de Julio del próximo año c) Entre el 20 de marzo y el 14 de Julio de este año d) Entre el 21 de mayo de este año y el 17 de diciembre del próximo año e) Entre el 10 de noviembre de este año y el 27 de diciembre del próximo año 2) Calcular el valor del interés comercial y el interés real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasa de interés del $ 36% anual simple; según los siguientes datos. a) Se depositó el día de hoy y se retiró el 30 agosto dos años después b) Se depositó el 9 de abril del 2008 y se retiró el 5 de diciembre tres años después
4. VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n períodos a una tasa de interés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado más los intereses; su expresión es la siguiente:
Dónde : F=P+I F = P + P *i*n F = P(1+i *n)
P = Valor presente F = Valor futuro i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo
Una condición importante para utilizar la ecuación anterior, la tasa de interés y el período deben estar expresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para que coincidan las unidades de tiempo. Desventajas del interés simple:
Su aplicación en el mundo financiero es limitada. Desconoce el valor del dinero en el tiempo. No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.
EJEMPLO . Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $ 5.000.000 recibidos en el día de hoy, si la tasa de interés es del 3,5% mensual simple. Datos: Valor presente P = $5.000.000 Tasa de interés i = 3,5% mensual Numero de meses n = 10
Solución: F = P + P*i*n F = 5.000.000 + 5.000.000*0.035*10 F = 5.000.000 + 1.750.000 = 6.750.000 F = $ 6.750.000 El valor que debe cancelar dentro de 10 meses es de $ 6.750.000 La tabla de distribución del proceso es la siguiente:
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P= n= i= F=
F = P(1+i *n)
NoPer No Per
V.PRESENTE (P)
INTERES (I)
SALDO INICIAL INICIAL
$ 5.000.000 10 3,50% 6.750.000
V.FUTURO (F)
V.FUTURO (F)
SALDO FINAL
SALDO FINAL
0 1
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 5.175.000
$ 5.175.000
2
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 5.350.000
$ 5.350.000
3
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 5.525.000
$ 5.525.000
4
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 5.700.000
$ 5.700.000
5
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 5.875.000
$ 5.875.000
6
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 6.050.000
$ 6.050.000
7
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 6.225.000
$ 6.225.000
8
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 6.400.000
$ 6.400.000
9
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 6.575.000
$ 6.575.000
10
$ 5.000.000
$ 175.000
$ 6.750.000
$ 6.750.000
TOTAL
$ 1.750.000
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 8 1) Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $15.550.000 sometido a una tasa de interés del 5% mensual; en 16 meses de tiempo (n). Construir la tabla de distribución del proceso. 2) Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de interés mensual es 8%; en 19 meses de tiempo (n). Construir la tabla de distribución del proceso. 3) En primer lugar, hallar el valor de los intereses (I) y luego el valor futuro para un capital de $10.000.000 a una tasa de interés mensual del 1.50%; para 9 meses de tiempo (n). Construir la tabla de distribución del proceso. 4) En primer lugar, hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un período de tiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de interés (i) es del 2.5 mensual; en segundo lugar, calcular el valor futuro. Construir la tabla de distribución del proceso. 5) Hallar la tasa de interés (i) para un capital (P) de $15.000.000 que ha producido unos intereses (I) de $ 3.000.000 para un período de tiempo de 18 meses. 6) Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 12.000.000 que produce unos intereses (I) de $ 4.000.000, cuando la tasa de interés toma el valor del 4.0% mensual.
5. INTERESES MORATORIOS Cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses de mora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el pago. Por lo general, la tasa de interés moratorio es 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en el momento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el límite máximo permitido por la ley.
EJEMPLO. Un pagaré por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2% mensual simple y tiene un plazo de vencimiento de 45 días. Si se cancela 15 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es del 3% mensual simple.
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Datos: Valor presente P = $ 500.000 Tasa de interés i = 2% mensual Periodos de tiempo n = 45 días
Solución: F = P + P*i*n Si el pagaré se paga en la fecha: F = 500.000+ 500.000* 0.02
45 30
500.000+ 15.000 = $ 515.000
F = $ 515.000 Si el pagaré se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de $ 515.000 Al aplazarse el pago durante 15 días, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual. I = P*i*n Intereses moratorios
I = 500.000*
0.03 30
15
$ 7.500
Cantidad total a pagar = F + intereses moratorios Cantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500 La cantidad total a pagar es de $ 522.500
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 9 1) Un pagaré por valor de $ 15.000.000 devenga intereses del 2.8% mensual simple y tiene un plazo de vencimiento de 8 meses. Si se cancela 45 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en el momento de presentarse el incumplimiento. 2) Calcular el interés moratorio y la cantidad total a pagar para los datos que se encuentran en la siguiente tabla de valores.
P
Tasa de interés mensual .i
Tiempo ordinario meses .n
$1.500.000
2.2%
5
25
$20.500.000
1.8%
7
20
$25.500.000
1.5%
8
18
$30.500.000
1.4%
9
21
$35.500.000
1.3%
6
19
$40.500.000
1.2%
12
22
Valor presente
Tiempo Valor futuro moratorio en ordinario días .n1 F
Intereses moratorios
Total a pagar
I
TOTAL
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6. VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular calc ular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado ubicad o n períodos adelante a una tasa de interés simple i. F = P(1 + i *n) entonces el valor presente será. P=
Dónde : F = Valor futuro i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo
F (1 i * n)
EJEMPLO. El señor castro tiene que cancelar dentro de un año y medio un valor de $ 2.500.000: Si la tasa de interés es del 3% mensual simple. Cuál es el valor inicial de la obligación. Datos: Valor futuro F = $ 2.500.000 Tasa de interés i = 3% mensual Periodo de tiempo n = 1 año o 18 meses
Solución : La tasa de interés está en una unidad de tiempo diferente al número de períodos, por lo tanto, al aplicar la fórmula se deben convertir los años a meses. P=
F
(1 i * n)
=
2.500.000 (1 18 * 0.03)
= $ 1.623.376.62
P = $ 1.623.376.62 La respuesta indica indi ca que $1.623.376.62 de hoy son equivalentes equival entes a $ 2.500.000 dentro de un año y medio, con una tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia de dos valores se llaman intereses, su tabla de distribución por periodo será.
P= ¡= F= n=
P=
? 3% 2.500.000 18 1.623.376,62
No Per 0
VALOR PRESENTE SALDO INICIAL
INTERES
VALOR FUTURO SALDO FINAL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377
$ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701
$ 1.672.078 $ 1.720.779 $ 1.769.481 $ 1.818.182 $ 1.866.883 $ 1.915.584 $ 1.964.286 $ 2.012.987 $ 2.061.688 $ 2.110.390
Página 23 de 138
11 12 13 14 15 16 17 18 TOTAL
$ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377 $ 1.623.377
$ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 48.701 $ 876.623
$ 2.159.091 $ 2.207.792 $ 2.256.494 $ 2.305.195 $ 2.353.896 $ 2.402.597 $ 2.451.299 $ 2.500.000
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 10 1) Encontrar el valor de un capital (P) que sometido a una tasa de interés (i) del 5% mensual produce una cantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses. Diseñar su tabla de distribución por periodo. 2) Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un período de tiempo (n) de 22 meses; si la tasa de interés (i) asignada es del 2.5% mensual. Diseñar su tabla de distribución por periodo. 3) Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de un año y medio un valor de $3.285.000. Si la tasa de interés es del 1.5% mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligación. Respuesta: $2.586.614.17. Diseñar su tabla de distribución por periodo. 4) Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $85.000.000. Cuánto será lo máximo que él está dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un interés del 18% semestral simple? Respuesta $ 37.610.619.47. Diseñar su tabla de distribución por periodo. 5) Hallar el valor presente para los datos que se encuentran en la siguiente tabla de datos después de realizar las operaciones correspondientes. Diseñar su tabla de distribución por periodo. Valor futuro
Tasa de interés mensual
F $3.500.000 $4.500.000 $6.400.000 $8.500.000
.i 1.2% 1.6% 1.8% 2.0%
Periodo de tiempo (meses) .n 15 18 24 36
Valor presente P
7. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular la tasa de interés simple (i), que produce una inversión inicial (P) y después de (n) períodos se recibe una cantidad acumulada (F). (F). Despejando (i) (i) de de F = P(1 + i *n), se obtiene la expresión correspondiente i
1 F
1 n P
Dónde: P = Valor presente F = Valor futuro n. = Tiempo
EJEMPLO. Un inversionista en el día de hoy invierte en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 meses retira $1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada. Datos:
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Valor presente P = $ 1.000.000 Valor futuro F = $ 1.250.000 Periodos de tiempo n = 6 meses
Solución: i
F 1 n P 1
1.250.000 1 = 0.0417 = 4.17% 6 1.000.000 1
i. = 4.17% La tasa de interés simple es 4.17% mensual
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 11 1) Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido un nuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un período de tiempo de 30 meses 2) Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y al cabo de 10 meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84% 3) Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un año en $12.00.000. ¿Cuál es la tasa de interés mensual simple que rinden los dineros allí invertidos? Respuesta 2.78% 4) Calcular el valor de la tasa de interés para los datos que se encuentran en la siguiente tabla de datos: Valor futuro
Valor presente
F $13.500.000 $14.500.000 $16.400.000 $18.500.000
P $12.140.000 $13.200.000 $14.600.000 $16.300.000
Periodo de tiempo (meses) .n 36 30 24 18
Tasa de interés .i
8. CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Consiste en determinar el número de períodos (n), que se requieren para que una inversión inicial inici al (P) a una tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene la expresión correspondiente. n
1 F
1 i P
Dónde: P = Valor presente F = Valor futuro i. = Tasa de interés
l a operación EJEMPLO . Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, si la se realiza al 4% mensual? Datos. Intervalo de tiempo n =? Valor presente P=$ 1.000.000 Valor futuro F= $ 2.500.000 Tasa de interés i= 4% mensual
Solución
Página 25 de 138 n. =
2.50 0.00 0 1 = 37.5 meses 0.04 1.00 0.00 0 1
n. = 37 meses y 15 días El tiempo de espera es de 37 meses y 15 días
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 12 1) Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. ¿Cuánto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000? Respuesta 6 trimestres 2) Se invirtieron $ 2.000.000 y después de 3 años se recibieron $ 3.600.000. ¿Qué tasa trimestral simple produjo la operación financiera? Respuesta 6.67% trimestral 3) Hallar el periodo de tiempo para los datos que se encuentran en la siguiente tabla de valores. Valor futuro
Valor presente
Tasa de interés mensual
F $23.500.000 $34.500.000 $46.400.000 $58.500.000
P $18.140.000 $26.200.000 $38.600.000 $48.300.000
.i 1.8% 1.6% 1.4% 1.2%
Periodo de tiempo (meses) .n
4) Calcular el valor adecuado para cada casilla que se encuentra en la siguiente tabla de valores. Valor futuro
Valor presente
Tasa de interés mensual
F $12.350.000
P $10 840.000 $22.500.000
.i 2.8% 2.5% 2.2%
$18.340.000 $14.500.000 $16.800.000 $17.450.000 $12.890.000 $19.220.500
$12.800.500 $14.900.000 $8.300.000 $15.900.000 $11.900.000 $15.550.200
1.2% 1.9% 1.5% 0.8% 1.8%
Periodo de tiempo (meses) .n 18 36 30 35 48 24 15
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III. INTERES COMPUESTO El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del período capitaliza los intereses causados en el período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalización es el proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior. El período de capitalización es período pactado para convenir el interés.
Características del interés compuesto
El capital inicial cambia en cada período porque los intereses se capitalizan. La tasa de interés siempre se aplica a un capital diferente. Los intereses periódicos siempre serán mayores.
1. VALOR FUTURO E INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ganando intereses por (n) períodos, a una tasa de interés (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente está dado por la siguiente fórmula:
Dónde:
F = P(1 + i ) n
P = Valor presente i. =Tasa de interés n. = Periodos de tiempo
Esta fórmula es conocida como la fórmula básica de las matemáticas financieras debido a que, la mayoría de las operaciones financieras se realizan con su aplicación. El factor (1+i)n se conoce con el nombre de factor de capitalización en pago único. EJEMPLO: Un campesino adquiere una deuda por $15.000.000 en una entidad financiera si la entidad financiera cobra una tasa de interés del 3.5% mensual y tiene la opción de cancelar en cualquier mes del año, que puede ser con interés simple o interés compuesto. El campesino desea saber cuál es la mejor opción y acude a usted, para que le construya una tabla de amortización y le explique.
Datos Valor presente P = $ 15.000.000 Intervalo de tiempo n = 12 meses Tasa de interés i= 3.5% mensual
Solución PRIMERA SOLUCION CON INTERES SIMPLE P= n= i=
F = P(1+i *n) NoPer 0 1 2 3 4 5
$ 15.000.000 12 3,50%
V.PRESENTE V.PRESE NTE (P) SALDO INICIAL
INTERES (I)
V.FUTURO (F) SALDO FINAL
V.FUTURO (F) SALDO FINAL
$ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000
$ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 525.000
$ 15.525.000 $ 16.050.000 $ 16.575.000 $ 17.100.000 $ 17.625.000
$ 15.525.000 $ 16.050.000 $ 16.575.000 $ 17.100.000 $ 17.625.000
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6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
$ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000 $ 15.000.000
$ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 525.000 $ 6.300.000
$ 18.150.000 $ 18.675.000 $ 19.200.000 $ 19.725.000 $ 20.250.000 $ 20.775.000 $ 21.300.000
$ 18.150.000 $ 18.675.000 $ 19.200.000 $ 19.725.000 $ 20.250.000 $ 20.775.000 $ 21.300.000
SEGUNA SOLUCION CON INTERES COMPUESTO P= n= i= NoPer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
$ 15.000.000 12 3,50%
V.PRESENTE V.PRESE NTE (P) SALDO INICIAL
INTERES (I)
V.FUTURO (F) SALDO FINAL
V.FUTURO, F=P(1+i) n SALDO FINAL
$ 15.000.000 $ 15.525.000 $ 16.068.375 $ 16.630.768 $ 17.212.845 $ 17.815.295 $ 18.438.830 $ 19.084.189 $ 19.752.136 $ 20.443.460 $ 21.158.981 $ 21.899.546
$ 525.000 $ 543.375 $ 562.393 $ 582.077 $ 602.450 $ 623.535 $ 645.359 $ 667.947 $ 691.325 $ 715.521 $ 740.564 $ 766.484 $ 7.666.030
$ 15.525.000 $ 16.068.375 $ 16.630.768 $ 17.212.845 $ 17.815.295 $ 18.438.830 $ 19.084.189 $ 19.752.136 $ 20.443.460 $ 21.158.981 $ 21.899.546 $ 22.666.030
$ 15.525.000 $ 16.068.375 $ 16.630.768 $ 17.212.845 $ 17.815.295 $ 18.438.830 $ 19.084.189 $ 19.752.136 $ 20.443.460 $ 21.158.981 $ 21.899.546 $ 22.666.030
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 13 1) Se invierten $ 18.000.000 durante 15 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés compuesto del 2,5% mensual. ¿Se desea saber, cuánto dinero se tendrá acumulado al final de cada mes? Realizar las operaciones y escribir los resultados en una tabla. 2) Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si la tasa de interés mensual compuesto es el 1.5%; en un tiempo (n) de 8 meses y organizar el proceso en una tabla. 3) Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de interés compuesta del 1.6% mensual en el tiempo (n) 10 años y organizar el proceso en una tabla. 4) Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de interés mensual compuesto es del 1.9%; en un intervalo de tiempo (n) de 48 meses y organizar el proceso en una tabla. Calcular el valor futuro que dio al colocar a interés compuesto y con la ayuda del Excel organizar el proceso en una tabla.: 5) $10.000.000, al 2,3% anual al cabo de 10 años con capitalización semestral 6) $5.000.000, al 1,5% anual al cabo de 20 años y 8 meses con capitalización cuatrimestral.
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7) $2.222.000, al 2,25% anual en 15 años y medio con capitalización semestral 8) $5.500.000 al 0,75% mensual en 4,5 años con capitalización mensual. 9) $1.000.000 al 2% trimestral en 3 años y 9 meses capitalizando trimestralmente. 10) $4.000.000, al 5 % anual en 10 años 6 meses y 25 días con capitalización anual.
2. VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) períodos adelante, considerando una tasa de interés compuesta i. Esta operación de calcular el valor actual de un capital equivale a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para descontar una deuda.
P=
Dónde: F = Valor futuro i. =Tasa de interés n. = Periodos de tiempo
F (1 + i) n
EJEMPLO. Don Pedro necesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual compuesto, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo? Datos: Valor futuro F = $ 3.000.000 Periodos de tiempo n = 6 meses Tasa efectiva de interés i = 3,5% mensual
Solución: P
F
(1 i )
n
3.000.000 (1 0.035)
6
3.000.000 (1.035)
6
3.000.000
1.229255326
2.440.502
P= $ 2.440.502 Don Pedro deberá depositar hoy $ 2.440.502 para lograr su objetivo. Su tabla de distribución del proceso es:
P= ¡= F= n=
P= No Per 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
VALOR PRESENTE
INTERES
2.440.501,93 2.525.919,50 2.614.326,68 2.705.828,12 2.800.532,10 2.898.550,72
85.417,57 88.407,18 91.501,43 94.703,98 98.018,62 101.449,28 559.498,07
? 3,50% 3.000.000 6,0 2.440.501,93 VALOR FUTURO 2.440.501,93 2.525.919,50 2.614.326,68 2.705.828,12 2.800.532,10 2.898.550,72 3.000.000,00
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APLIQUEMOS LO APRENDIDO 14 1) Hallar el valor presente, cuando el valor futuro es de $ 30.000.000, en un período de tiempo de 15 meses; cuando la tasa de interés toma el valor del 3.0% mensual compuesto. Construir la tabla de distribución. 2) Hallar el valor presente, si se desea obtener un valor futuro $ 38.600.000, en un período de tiempo de 20 meses; si la tasa de interés compuesto es del 2.0% mensual. Construir la tabla de distribución. ca pital que sometido a una tasa de interés compuesto del 36% anual con capitalización capi talización mensual 3) Encontrar el valor del capital produce una cantidad de dinero de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses. Construir la tabla de distribución. Calcular el capital inicial que qu e colocado a interés compuesto compuesto dio un valor futuro y construir la tabla de distribución. de: 4) $10.000.000, al 1,7% anual en 10 años con capitalización anual. 5) $1.500.000, al 2,4% semestral en 8 años y medio con capitalización semestral 6) $3.500.550 al 2,3% anual en 15 años y 4 meses con capitalización cuatrimestral. 7) $400.450.000 al 0.5% mensual en 5,2 años con capitalización mensual. 8) $1.800.000, al 3,4% anual en 8 años, 7 meses y 22 días con capitalización anual.
3. TASA DE INTERÉS COMPUESTA En algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida después de un número de períodos determinado, y se desea conocer la tasa de interés. Cuando sólo existe una única cantidad invertida y una única recibida, la tasa de interés no se puede calcular por solución directa aplicando la ecuación F = P(1 + i )n; para este caso la ecuación se transforma en:
Dónde:
F = Valor futuro n. = Periodos de tiempo P = Valor presente
inv ierten $ 10.000.000 y después de año a ño y medio se tienen acumulados $30.500.000. $30.500.000 . ¿Qué EJEMPLO. Si el día de hoy se invierten tasa de interés produjo la operación? Datos: Valor futuro F = $30.000.000 Valor presente P = $ 10.000.000 Tiempo n = 18 meses
Solución: i.=
n
F P
1
18
30.500.000 10.000.000
1
18
3.05
1
1.06391160 6 - 1 = 0.06391160 6 = 6.39%
i. = 6.39% mensual La tasa de interés que produjo la operación es de 6.39% mensual
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 15 1) Calcular la tasa de interés compuesta cuando un capital de $ 100.000.000 en un tiempo de 18 meses produce un monto $ 142.824.625. 2) Calcular la tasa de interés mensual compuesta cuando el valor presente es de $ 2.500.000 en un tiempo de un año y 6 meses produce un monto $ 3.512.320.
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3) ¿A qué tasa mensual de interés se colocaron $13.200.000, si en 100 días produjeron un monto de $16.500.000? 4) Calcular a qué tasa de interés se colocó un capital de $10.000.000, que al cabo de 12 bimestres produjo un monto de $17.750.000, 5) Determinar cuál es la tasa de interés bimestral tal que triplique un capital de $3.500,000 al cabo de 8 bimestres, considerando que se reinvierten los intereses. 6) Hallar la tasa de interés compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) es de $ 63.000.000 para el período de tiempo de 46 meses
4. TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa t asa de interés con el propósito de obtener una cantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura. Desde el punto de vista matemático, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), el valor futuro (F) y la tasa de interés (i), se desea calcular el número de períodos (n). n=
LogF -
LogP
Log(1 + i)
Dónde : F = Valor futuro P = Valor presente i. =Tasa de interés
EJEMPLO . Si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual, cuánto tiempo (n) se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560? Datos: Valor futuro F = $ 7.116.560 Valor presente P = $ 5.000.000 Tasa de interés i = 4% mensual Solución: n=
LogF - LogP Log(1 + i)
6.852270115
=
Log7.116.560 - Log5.000.000 Log(1 + 0.04)
6.698970004
0.15330011
0.01733339
9.0000
0.01733339
n.= 9 meses El tiempo de espera para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560, es de 9 meses APLIQUEMOS LO APRENDIDO 16 1) Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 14.000.000 cuando su valor equivalente (F) es de $40.000.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 2.5% mensual
2) Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 18.000.000; que después de un tiempo el capital equivalente es $ 34.600.000, cuando la tasa de interés toma el valor del 24% anual. Calcular el número de períodos al que fue colocado un Capital de:
3) 4) 5) 6)
$40.000.000, que al 2,4% anual dio un valor futuro de $148.500.044. $1.000.000, que al 1,2% anual se transformó en $2.300.000, al capitalizar semestralmente. $2.000.000, que al 2,8% anual se transformó en $4.400.000, al capitalizar trimestralmente. $10.000.000, que al 2,2% mensual se transformó en $13.900.000, al capitalizar mensualmente.
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7) $425.000.000, al 1,7% anual dio un monto de $660.000.000, al capitalizar semestralmente. 8) $425.000.000, al 3,5% anual se transformó en $660.000.000. 5. VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE Por lo general la tasa de interés para todos los períodos de cálculo no es siempre la misma. Por ejemplo, las tasas de interés que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDT son fluctuantes en períodos cortos de tiempo, por lo que los cálculos de rentabilidades realizados con la aplicación de la fórmula básica F=P(1+i)n resultan irreales. La fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto, cuando la tasa de interés para cada período proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:
Dónde: F
P(1+ i1 )(1+ i 2 )(1+ i3 )…(1+ i n )
P = Valor presente i1 = Tasa de interés del primer período i2 = Tasa de interés del segundo período in = Tasa de interés del período n
EJEMPLO. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que le reconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de interés aumente 0.20%, ¿cuánto recibirá al final del semestre? Datos: Valor presente P = $ 2.500.000 Tasas de interes: i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00%
Solución: Reemplazando estos valores se obtendrá: F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29 Al final del semestre recibirá $ 2.733.515.29
6. VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE Al hacer los cálculos del valor presente en la vida práctica las tasas de interés varían período a período lo que nos indica que la fórmula básica F = P(1 + i ) n no es aplicable. Para este nuevo caso la fórmula matemática es:
P
Dónde: F = valor futuro i1 = tasa de interés del primer período i2 = tasa de interés del segundo período i3 = tasa de interés del tercer período in = Tasa de interés del período n
F
(1 i1 )(1 i2 )(1 i3 )...(1 in )
EJEMPLO . Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor del depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses. Datos: Valor futuro F = $ 2.000.000 Periodos de tiempo n = 6 meses Tasa de interés variable
0.50%
0.60%
0.70%
0.80%
0.90%
1.00%
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Solución:
P=
Mes
Mes1
Mes2
Mes3
Mes4
Mes5
Mes6
Tasa
0.50%
0.60%
0.70%
0.80%
0.90%
1.00%
F (1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 )...(1+ i n )
2.000.000
=
=
(1 0.005)(1 0.006)(1 0.007)(1 0.008)(1 0.009)(1 0.01)
P = $ 1.912.332.52 El valor del depósito inicial es de $ 1.912.332.52
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 17 Calcular el valor del depósito inicial para: Mes Tasa Valor presente
Mes1 0.40% P=
Valor futuro $ 25.000.000 Mes2 Mes3 Mes4 0.60% 0.80% 1.0%
F (1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 )...(1+ i n )
Mes5 1.20%
Mes6 1.40%
Bimestre 4 0.80%
Bimestre 5 1.00%
Bimestre 6 1.20%
Trimestre 4 1.20%
Trimestre Trimest re 5 1.50%
Trimestre Trimest re 6 1.80%
=
Valor futuro $ 28.500.000 Mes Tasa Valor presente
Bimestre1 0.20% P=
Bimestre 2 0.40%
Bimestre 3 0.60%
F (1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 )...(1+ i n )
=
Valor futuro $ 15.500.000 Mes Tasa Valor presente
Trimestre 1 0.30% P=
Trimestre Trimest re 2 0.60%
Trimestre 3 0.90%
F (1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 )...(1+ i n )
=
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IV. CLASES DE TASAS DE INTERÉS Recordemos que las tasas de interés, es el porcentaje de dinero que se cobra o paga por prestar o invertir un capital en un determinado tiempo. El juego operacional de las tasas de interés está sujeto a diferentes posiciones de aplicación y manejo. Debido a eso se pueden plantear las siguientes clasificaciones, tasa periódica, tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva.
TASA PERIÓDICA (ip): Es la tasa de interés que se aplica al valor de un crédito o de una inversión, también se conoce como la tasa efectiva del periodo . En consecuencia, es la tasa de interés que se utiliza para calcular los intereses para un periodo determinado. EJEMPLO: Tasa de interés efectiva periódica ip = 0,45% mensual, Tasa de interés efectiva periódica ip = 5% bimestral, Tasa de interés efectiva periódica ip = 7% trimestral, Tasa de interés efectiva periódica ip = 12% semestral, Tasa de interés efectiva periódica ip = 32% anual, entre otras .
TASA NOMINAL (in): Es una tasa de referencia que existe sólo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interés que se cobra en una operación financiera. También se puede decir que es una tasa de interés que se expresa anualmente y se capitaliza más de una vez al año. EJEMPLO : ENUNCIADO 15% nominal anual con capitalización mensual, 24% nominal anual con capitalización bimestral, 30% anual capitalizable trimestralmente, 28% nominal anual semestre vencido, entre otras.
EXPRESIÓN 15%NAM 24%NAB 30%NAT 28%NASV
1. TASA EFECTIVA (ie). Es la tasa de interés que opera durante un año , incluyendo la reinserción de interés según el periodo utilizado. De igual manera, que la tasa efectiva es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, y resulta de capitalizar o reinvertir los intereses que se causan cada periodo. EJEMPLO : Tasa de interés efectivo anual ie = 8% Tasa de interés efectivo anual ie = 12% efectivo anual . La tasa efectiva anual es la verdadera tasa de interés que se obtiene de una inversión o que se incurre por un préstamo. Para saber cuál es el rendimiento real de una inversión o deuda, es decir, su tasa efectiva anual, se tiene la siguiente fórmula:
i e = (1 + i)
n
-1
Vemos que la tasa de interés efectiva anual está en función de otra tasa de interés, ésta es la tasa de interés efectiva para el período, es decir es la tasa de interés periódica (i p). Cómo es una tasa efectiva anual, la variable n, debe estar contemplada en términos de un año, es por eso que n va hacer igual al número de capitalizaciones que existen en el año, por lo tanto, n = k.
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La fórmula para encontrar la tasa efectiva anual es:
ie = (1 + i p ) k - 1 Pero la fórmula para calcular la tasa periódica es la siguiente: i p
=
in k
Siendo, in la tasa nominal y k el número de capitalizaciones del periodo. Entonces la fórmula de la tasa efectiva anual ahora se transforme: ie
(1 +
=
in k
) k - 1
Nótese que la tasa efectiva anual sólo depende de la tasa periódica y la frecuencia o número de capitalización que se realizan durante un año. int erés efectivo anual, a partir del 36% nominal anual con capitalización: capit alización: a) mensual, b) bimestral, EJEMPLO. Hallar la tasa interés c) trimestral, d) semestral y e) anual. Datos: Tasa de interés efectiva anual ie. = ? Tasa de interés nominal anual in. = Tasa nominal anual Capitalizaciones k. = a) mensual, b) bimestral, c) trimestral, d) semestral, e) anual.
Solución. a) Capitalización mensual k = 12 ie ie
(1 +
=
36% 36 % 12
)
12
-1
(1 +
=
0.36 12
)
12
-1
=
(1 +
(1 .03 )
=
12
in k -1
) k - 1 1.425761- 1
=
=
42.5761%
Continuando con un proceso similar podemos obtener los resultados que se encuentran en la tabla siguiente, compruébalo.
Periodos de Capitalización k 12 6 4 2 1
Tasa Periódica o tasa efectiva para el periodo ip 36%/12 = 3% 36% / 6 = 6% 36% / 4 = 9% 36% / 2 = 18% 36% / 1 = 36%
Cálculo ( 1 + 0.03) 12 - 1 ( 1 + 0.06 ) 6 - 1 ( 1 + 0.09 ) 4 - 1 ( 1+ 0.18) 2 - 1 ( 1 + 0.36 ) 1 - 1
Tasa Efectiva (ie)? 42.5761% 41.8519% 41.1581% 39.24% 36.00%
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Como puede verse, la tasa efectiva va disminuyendo a medida que el período de capitalización disminuye, es decir, entre más tarde se cobren los intereses la tasa efectiva es menor. Mientras más plazo nos dé para pagarlos, más dinero tendremos disponible para realizar otras operaciones.
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 18 1) Hallar la tasa de interés efectivo anual, si la tasa nominal es del 24% anual con capitalización: a) Mensual b) Bimestral c) Trimestral d) Cuatrimestral e) Semestral f) Anual. Periodos de Capitalización k 12 6 4 3 2 1
Tasa periódica o tasa efectiva para el periodo ip
Cálculo
Tasa Efectiva (ie)?
2) Hallar la tasa de interés efectivo anual, si la tasa nominal es del 18% anual con capitalización: a) Mensual b) Bimestral c) Trimestral d) Cuatrimestral e) Semestral f) Anual. Periodos de Capitalización k 12 6 4 3 2 1
Tasa efectiva para el periodo ip
Cálculo
Tasa Efectiva (ie)?
3) Hallar la tasa de interés efectivo anual, si la tasa nominal es del 15% anual con capitalización: a) Mensual b) Bimestral c) Trimestral d) Cuatrimestral e) Semestral f) Anual. Periodos de Capitalización k 12 6 4 3 2 1
Tasa periódica o tasa efectiva para el periodo ip
Cálculo
Tasa efectiva (ie)?
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2. TASA PERIÓDICA (ip). Ahora bien, si quisiéramos saber cuál es el interés periódico a partir de la tasa efectiva, la fórmula sería la siguiente: Partimos de la tasa efectiva
ie = (1 + ip)k – 1. Para despejar ip debemos realizar diferentes operaciones y se llega a obtener la siguiente expresión: 1
i p
=
k
(1 + i e ) - 1
Tomemos como referencia el ejemplo anterior, para una capitalización mensual k = 12 ip
(1 + i e )
i p
=
1
1
1
k
12
12
-1
(1 + 42.5761%)
-1
(1.425761)
-1
1.030 - 1
0.030
3%
3%
De la misma manera se puede realizar operaciones similares para los de capitalización k = 6, 4, 2 y 1; resultados que se encuentra en la tabla siguiente:
Periodos de Capitalización k 12 6 4 2 1
Tasa efectiva
Cálculo
Tasa periódica
( 1 + 0.425761) 1/12 - 1 ( 1 + 0.418519 ) 1/6 - 1 ( 1 + 0.411581 ) 1/4 - 1 ( 1+ 0.3924) 1/2 – 1 ( 1 + 0.36 ) 1 – 1
ip? 3% 6% 9% 18% 36%
ie 42.5761% 41.8519% 41.1581% 39.24% 36.00%
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 19 Encontrar la tasa periódica (i p) cuando la tasa efectiva anual toma los valores que se encuentran en la siguiente tabla: Periodos de Capitalización k 12 6 4 3 2 1
Tasa efectiva ie 40% 39% 38% 37% 36% 35%
Cálculo
Tasa periódica ip?
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3. TASA NOMINAL (in). Si quisiéramos hallar la tasa nominal, despejamos de la siguiente expresión: i p
in
=
=
in k
entonces in es
i p k *
Para el ejercicio anterior se realiza las siguientes operaciones, a) in = 3% *12 = 36%
b) in = 6% *6= 36% c) y así sucesivamente para los demás de k = 4, 3, 2, 1. APLIQUEMOS LO APRENDIDO 20 Hallar la tasa de interés nominal ( in)si la tasa periódica toma los valores que encuentran en la siguiente tabla: Periodos de Capitalización k 12 6 4 3 2 1
Tasa efectiva Periódica
Cálculo
(ip) 1.2% 1.6% 1.5% 1.7% 1.8% 1.9%
Tasa de interés nominal in?
4. TASA NOMINAL EN FUNCION DE LA TASA EFECTIVA. Para encontrar la tasa nominal se hace partir de la fórmula de la tasa efectiva. Para obtener in debemos realizar diferentes operaciones y al final se obtiene la siguiente expresión que permite realizar los cálculos correspondientes: 1
i n = k ( (1 + i e )
k
-1 )
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 21 Encontrar la tasa nominal para los datos de la siguiente tabla de datos. Periodos de Capitalización k 12 6 4 3 2 1
Tasa efectiva ie 36% 34% 32% 30% 28% 24%
Cálculo
Tasa nominal in ?
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FORMULAS DE TASAS EFECTIVA Y NOMINAL
Fórmula 1
Tasa nominal a partir de la tasa periódica
Fórmula 2
Tasa periódica conociendo tasa nominal
Fórmula 3
Tasa efectiva anual conociendo la tasa periódica
Fórmula 4
Tasa periódica a partir de la tasa efectiva anual
Fórmula 5
Tasa nominal a partir de la tasa efectiva anual
in
=
i p
i p k
=
*
in k
i e = (1+i p ) k - 1 1
i p
=
(1 + i e ) k - 1 1
in
=
k( (1 + i e )
k
-1 )
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V. ANUALIDADES O SERIES Y TABLAS DE ANORTIZACIONES Una anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El término anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no necesariamente es así. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. viv ienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado. Las clases de anualidades más comunes son las siguientes:
Anualidades vencidas Anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades perpetuas Anualidad con interés global
Una amortización financiera fi nanciera se define como el proceso por medio del cual se s e cancela una deuda, junto con sus respectivos respectiv os intereses, intereses , mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En términos concretos, conc retos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes: intereses y abono a capital. Al diseñar un plan de amortización de una deuda se acostumbra construir la tabla de amortización, que registra período a período la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestra los períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota periódica, la tercera el valor los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada período. TABLA DE AMORTIZACION
No
CUOTA (A)
INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTALES Cuando se adquiere una obligación, su pago se pacta con una serie de condiciones mínimas que determina el comportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema de amortización, es necesario conocer cuatro datos básicos:
Valor de la deuda valor presente. P
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Plazo durante el cual estará vigente la obligación n Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelación de la deuda. Este costo financiero es la tasa de interés cobrada en la operación financiera i. El patrón de pago del crédito . Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A.
Como sabemos que amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. En las amortizaciones de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el valor de la deuda.
1. ANUALIDADES VENCIDAS Son aquellas cuotas c uotas en donde los pagos se hacen al final del período: así, as í, por ejemplo, el salario mensual de d e un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehículos y electrodomésticos, son casos de anualidades vencidas. Cuota es una serie de pagos que se hace en los periodos intermedios de tiempo, en lugar de hacer una sola suma al final de la inversión. Estas cuotas pueden ser: cuotas uniformes en donde se le entrega el mismo valor durante todos y cada uno de los periodos de tiempo, cuotas no uniformes en el caso en el que los valores entregados o recibidos difieren en algunos periodos. 1.1. VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE Para hallar el valor de una anualidad o cuota (A) se utiliza la siguiente fórmula:
Dónde: i (1 i ) A=P (1 i ) 1 n
n
Valor presente = P Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Numero de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. Luego construir la tabla de amortización Datos: Valor del lote = $20.000.000 Cuota inicial CI = 10% del valor del lote Valor presente P = $18.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés efectiva i = 2% mensual
Solución: Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000 i(1 i) 0.02(1 .0.02)12 A = P = 18.000.000 = $ 1.702.072.74 12 (1 i) 1 (1 0.02) 1 n
n
A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual. Total a pagar =(A) *(12)+2.000.000 =(1.702.072.74) *(12)+2.000.000 =20.424.872.88+2.000.000 = =$22.424.872.88
Total, a pagar = $ 22.424.872.88
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TABLA DE AMORTIZACIONCUOTA PARA UNA ANUALIADAD VENCIDA 10% 20.000.000 P= i= n= A= Total, pagado Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA
INTERESES
ABO. CAPAPITAL
1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 20.424.872,87
360.000,00 333.158,55 305.780,26 277.854,41 249.370,05 220.315,99 190.680,86 160.453,02 129.620,62 98.171,58 66.093,56 33.373,98 2.424.872,87
1.342.072,74 1.368.914,19 1.396.292,48 1.424.218,33 1.452.702,69 1.481.756,75 1.511.391,88 1.541.619,72 1.572.452,11 1.603.901,16 1.635.979,18 1.668.698,76 18.000.000,00
2.000.000 18.000.000 2,00% 12 1702072,739 22.424.872,87 SALDO 18.000.000,00 16.657.927,26 15.289.013,07 13.892.720,59 12.468.502,26 11.015.799,57 9.534.042,82 8.022.650,94 6.481.031,22 4.908.579,10 3.304.677,94 1.668.698,76 - 0,00
1.2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA El valor presente de una anualidad vencida es equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos o sea el valor al momento de la negociación. Desde el punto de vista matemático, es la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para hallar el valor presente de una anualidad vencida se utiliza la siguiente expresión:
Dónde:
1 i ) 1 P = A i (1 i ) n
n
Valor presente = P Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO . Se negoció un vehículo de la siguiente manera con una cuota inicial de $1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales $1.500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo al momento de la negociación y construir la tabla de amortización. Datos: Cuota inicial $ 1.000.000 Número total de cuotas mensuales n = 12 Valor de cuota mensual A = $500.000 Tasa efectiva de interés i = 2.5% mensual
Solución :
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1 i) n 1 1 0.025)12 1 = = 0.344888824 P = A = 1 . 500 . 000 1 . 50 0 . 00 0 n 12 02 5(1 0.025 02 5) i (1 i) 0.02 5(1.344888824) 0.025 P = $ 15.386.664.89 Valor del vehículo = $= $ 15.386.664.89 + $ 1.000.000 = $ = $ 16.386.664.89 VALOR PRESENTE ANUALIADAD VENCIDA CI= A= i= n= P= Total pagado= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA
INTERESES
ABO. CAPAPITAL
1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 18.000.000,00
384.666,17 356.782,83 328.202,40 298.907,46 268.880,14 238.102,15 206.554,70 174.218,57 141.074,03 107.100,88 72.278,41 36.585,37 2.613.353,10
1.115.333,83 1.143.217,17 1.171.797,60 1.201.092,54 1.231.119,86 1.261.897,85 1.293.445,30 1.325.781,43 1.358.925,97 1.392.899,12 1.427.721,59 1.463.414,63 15.386.646,9
1.000.000 1.500.000 2,50% 12 15.386.646,90 16.386.646,90
SALDO 15.386.646,90 14.271.313,07 13.128.095,90 11.956.298,29 10.755.205,75 9.524.085,89 8.262.188,04 6.968.742,74 5.642.961,31 4.284.035,34 2.891.136,23 1.463.414,63 - 0,00
1.3. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA Es valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos. En forma matemática, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. Su fórmula para este caso es:
Dónde: (1 i ) 1 i n
F = A
Valor futuro = F Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO . Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 4% mensual. ¿Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?, además construir la tabla de amortización. Datos: Cuota mensual A = $400.000 Numero de cuotas mensuales n = 24
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Tasa efectiva de interés i = 4% mensual
Solución:
(1 i ) 1 (1 0.04) 12 1 = = 400.000 (0.601032218) = $ 6010322.186 F = A 400.000 i 0.04 0.04 n
F = $ 6010322.1
Al final de los dos años Catalina tendrá acumulada $ 6010322.19 VALOR FUTURO PARA ANUALIADAD VENCIDA A= i= n= F= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA
INTERESES
CUOTA+INTERES
400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 4.800.000,00
16.000,00 32.640,00 49.945,60 67.943,42 86.661,16 106.127,61 126.372,71 147.427,62 169.324,72 192.097,71 215.781,62 240.412,89 1.450.735,07
416.000,00 432.640,00 449.945,60 467.943,42 486.661,16 506.127,61 526.372,71 547.427,62 569.324,72 592.097,71 615.781,62 640.412,89 6.250.735,07
400.000 4,00% 12 6010322,19 SALDO 400.000,00 816.000,00 1.248.640,00 1.698.585,60 2.166.529,02 2.653.190,18 3.159.317,79 3.685.690,50 4.233.118,12 4.802.442,85 5.394.540,56 6.010.322,19 6.650.735,07
1.4. VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO Conocidos el valor futuro equivalente de una serie de pagos iguales, la tasa de interés efectivo periódico y el número de pagos, se desea calcular el valor de la cuota igual y periódica. Su fórmula es la siguiente:
Dónde: A
i F n (1 i ) 1
Valor futuro = F Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante 1 año, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 1,50% mensual para reunir la suma de $17.000.000? Datos: Valor futuro F = $17.000.000 Tasa efectiva de interés i = 1.50% mensual Numero cuotas mensuales n = 12
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Solución :
0.015 0.015 17.000.000 17.000.000 12 (0.1956181 71) (1 i) 1 (1 0.015) 1
A F
i
n
A= $1.303.559,879 Dayana debe depositar al final de cada mes $1.303.559,88 CUOTA PARA ANUALIADAD VENCIDA CONOCIDO EN VALOR FUTURO F= i= n= A= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 1.303.559,88 15.642.718,55
INTERESES
CUOTA+INTERES
19.553,40 39.400,10 59.544,50 79.991,06 100.744,33 121.808,89 143.189,42 164.890,66 186.917,42 209.274,58 231.967,10 1.357.281,45
1.323.113,28 1.342.959,98 1.363.104,38 1.383.550,94 1.404.304,21 1.425.368,77 1.446.749,30 1.468.450,54 1.490.477,30 1.512.834,46 1.535.526,97 17.000.000,00
17.000.000 1,50% 12 1.303.559,88 SALDO 1.303.559,88 2.626.673,16 3.969.633,13 5.332.737,51 6.716.288,45 8.120.592,66 9.545.961,43 10.992.710,73 12.461.161,27 13.951.638,57 15.464.473,03 17.000.000,00
1.5. NUMERO DE PAGOS PARA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DEL (F) Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualidades vencidas, el tiempo de la operación, medido en número de períodos, algunas veces coincide con co n el número de pagos, lo cual no siempre se cumple. El número de cuotas o tiempo de negociación la podemos calcular a partir de la fórmula de valor presente o de la fórmula del valor futuro, dependiendo de qué valor de ellos se conocen en la operación. La fórmula es la siguiente:
Dónde: n=
Log(F*i + A) - LogA Log(1 + i)
Valor futuro = F Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000 Datos Cuota mensual A = $560.000 Valor futuro F = $15.000.000 Tasa efectiva de interés i = 12% mensual
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Solución n. =
Log ( F *i A) LogA = Log (15.000.000*0.12 560.000) Log (560.000) = Log (1 i )
Log (1 0.12)
Log (2.360.000) Log (560.000)
=
6.372912003 5.748188027
Log (1.12)
0.049218022
= 0.624723975= 12.69299216 0.049218022
n. = 12.69299216 = 13 pagos mensuales. 1.6. NUMERO DE PAGOS O ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DE (P) Teniendo en cuenta el conocimiento del valor presente, las cuotas o anualidades y la tasa de interés. A partir de esta expresión utilizando las propiedades de los logaritmos se puede calcular una nueva expresión fórmula matemática que permita calcular el número de cuotas, que es la siguiente:
Dónde : n
Valor presente =P Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
Log(A) Log(A - i * P) Log(1 i )
EJEMPLO. A Juan José el día de hoy le hacen un préstamo de $90.000.000 y se compromete a pagar cuotas de $5.000.000 mensuales; la entidad financiera reconoce una tasa de interés de 1.5% mensual. Se desea conocer el número de cuotas Datos Valor presente P = $90.000.000 Valor de la cuota A = $5.000.000 Tasa de interés i.= 1.5% mensual
Solución n
n n
n
Log( A)
Log( A - i * P)
Log(1 i )
Log(5.000.000) Log(5.000.000 - 0.015*90.000.000) Log(1 0.015)
Log(5.000.000) Log(3.650.000) Log(1.015) 6.698970004 6.56292864 0.006466042249
0.136677139
0.0064466042249
21,13768109
Aproximadamente 21.13768109 cuotas mensuales. 1.7. CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA El saldo que se debe de una obligación en cualquier momento de su plazo. Conocer su monto, es importante para efectos de control financiero y para el prepago de una deuda. Para estos casos se utiliza la siguiente fórmula: Dónde: (1 i ) 1 S A i (1 i ) n
n
Valor del saldo = S Número de pagos o cuotas que faltan por pagar = n Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i
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EJEMPLO . Un electrodoméstico cuesta $10.000.000, se financia bajo la siguiente condición 24 pagos mensuales, la entidad cobra una tasa de interés de financiación del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y el saldo de la deuda después de cancelada la cuota 17 Procedimiento : El saldo de la deuda es igual al valor presente de una anualidad vencida conformada por 7 pagos mensuales iguales de A, a una tasa del 3% mensual. Los 7 pagos corresponden al número de cuotas que faltan por pagar. Datos: Cuota mensual A = ? Numero de cuotas n= 24 Tasa efectiva de interés i = 3% mensual
Solución Calculo de la cuota i (1 i ) n 0.03(1 0.03) 24 = A=P 10.000.000 n 24 (1 i ) 1 (1 0.03) 1 A
609838.2319 590474.1595 .032794106
590474.16
Calculo del saldo a cuota 17 (n = 24-17) (1 i ) n 1 1 0.03) 7 1 = 0.229873865 = Saldo = S = A 590474.159 5* 590474.1595 n 7 0.036896215 i (1 i ) 0.03(1 0.03)
Saldo a la cuota 17 = $ 3.678.821,09 (1 i ) n 1 n i (1 i )
TABLA DE AMORTIZACION PARA EL SALDO PARA ANUALIADAD VENCIDA. S = A P= i= Cuotas pactadas n1= Cuotas pagadas n2= Cuotas que faltan n= A= S= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
CUOTA
INTERESES
ABO. CAPAPITAL
590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16
300.000,00 291.285,78 282.310,12 273.065,20 263.542,93 253.735,00 243.632,82 233.227,58 222.510,18 211.471,27 200.101,18
290.474,16 299.188,38 308.164,04 317.408,96 326.931,23 336.739,16 346.841,34 357.246,58 367.963,97 379.002,89 390.372,98
10.000.000 3,00% 24 17 7 $ 590.474,16 3.678.821,09 SALDO 10.000.000,00 9.709.525,84 9.410.337,46 9.102.173,42 8.784.764,46 8.457.833,24 8.121.094,08 7.774.252,74 7.417.006,16 7.049.042,19 6.670.039,29 6.279.666,31
Página 47 de 138
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 TOTAL
590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 590.474,16 14.171.379,83
188.389,99 176.327,46 163.903,06 151.105,93 137.924,88 124.348,41 110.364,63 95.961,35 81.125,96 65.845,52 50.106,66 33.895,63 17.198,28 4.171.379,83
402.084,17 414.146,70 426.571,10 439.368,23 452.549,28 466.125,75 480.109,53 494.512,81 509.348,20 524.628,64 540.367,50 556.578,53 573.275,88 10.000.000,0
5.877.582,14 5.463.435,45 5.036.864,35 4.597.496,12 4.144.946,85 3.678.821,09 3.198.711,56 2.704.198,75 2.194.850,56 1.670.221,91 1.129.854,41 573.275,88 0,00
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 22. $80. 000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 15% y 180 cuotas mensuales con una tasa 1) Una casa cuesta $80.000.000 de interés del 2% mensual. Calcular el valor de la cuota de manera vencida y el valor total pagado y la tabla de amortización. 2) Se compró un vehículo con una cuota inicial de $500.000 y 72 cuotas mensuales iguales vencidas de $600.000. La agencia cobra el 3.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor presente y el valor del vehículo y la tabla de amortización. 3) Rosa María deposita $ 500.000 cada fin de mes, durante 2.5 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 1,0% mensual. ¿Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo? y la tabla de amortización. 4) David desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 1,1% mensual para reunir la suma de $38.000.000? y la tabla de amortización. 5) Cuántos depósitos mensuales vencidos de $380.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 6,0% mensual, para tener un valor acumulado de $ 150.000.000 6) Un negocio se financia bajo las siguientes condiciones; 48 pagos mensuales de $ 1.000.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 2% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota: a) 12 b) 24 c) 36 d) 40 e) 45
2. ANUALIDADES ANTICIPADAS. Es aquella en el cual los pagos se hacen al principio de cada período. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas por el financiamiento de electrodomésticos. Un ejemplo real de esta clase de anualidades se presenta en algunos créditos c réditos comerciales en los que se le manifiesta al cliente que qu e no le cobrarán cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace la negociación se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar. 2.1. VALOR DE LA CUOTA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (P) Corresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al principio del período de tiempo. La expresión que nos permite calcular su valor es la siguiente:
Página 48 de 138 A
P
(1 i ) 1 (1 i ) i (1 i ) n
n
A
P
(1 i ) n1 1 1 i (1 i ) n 1
Dónde : Valor presente = P Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $10.000.000 Numero de cuotas n = 12 Tasa efectiva de interés i = 4% mensual
Solución A
P
(1 i ) 1 (1 i ) n i (1 i ) n
10.000.000
(1 0.04)12 1 (1 0.04) 12 0.04(1 0.04)
1.024.540.12
A= $ 1.024.540.12 TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA CUOTA CON ANUALIADAD ANTICIPADA P= i= n= A= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12
INTERESES 359.018,40 332.397,53 304.711,82 275.918,69 245.973,83 214.831,18 182.442,82 148.758,93 113.727,68 77.295,19 39.405,39
ABO. CAPAPITAL 1.024.540,12 665.521,73 692.142,60 719.828,30 748.621,43 778.566,29 809.708,94 842.097,30 875.781,19 910.812,44 947.244,94 985.134,73
11.269.941,34
2.294.481,46
10.000.000,00
10.000.000 4,00% 12 1024540,122 SALDO 8.975.459,88 8.309.938,15 7.617.795,56 6.897.967,26 6.149.345,82 5.370.779,53 4.561.070,59 3.718.973,30 2.843.192,11 1.932.379,67 985.134,73 0,00
Página 49 de 138
2.2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que, en el momento de realizada la operación financiera, sea equivalente a toda la serie, sus fórmulas para encontrar estos valores son:
Dónde: n
P = A(1 + i)
(1 +i ) i (1 +i )
1
Valor presente =P Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Numero de cuotas por periodo = n
n
(1 i ) 1 1 A A 1 ( 1 ) i i n
P
n
EJEMPLO. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor y la tabla de amortizacion. Datos: Cuota mensual A = $15.000 Tasa efectiva de interés i = 3% mensual Número total de cuotas n = 18
Solución
(1 i) n 1 (1 0.03)18 1 = 15.000(1 0.03) = 212.449.77 P A(1 i ) 18 n i (1 i ) 0.03(1 0.03)
P = $ 212.449.77 TABLA DE AMORTIZACION PARA EL VALOR PRESENTE ANUALIADAD ANTICIPADA A= i= n= P= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
CUOTA 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00 150.000,00
INTERESES
CUOTA - INTERES
59.247,53 56.524,96 53.720,71 50.832,33 47.857,30 44.793,02 41.636,81 38.385,91 35.037,49 31.588,61 28.036,27 24.377,36 20.608,68 16.726,94 12.728,75
90.752,47 93.475,04 96.279,29 99.167,67 102.142,70 105.206,98 108.363,19 111.614,09 114.962,51 118.411,39 121.963,73 125.622,64 129.391,32 133.273,06 137.271,25
150.000 3,00% 18 2.124.917,77 SALDO 1.974.917,77 1.884.165,30 1.790.690,26 1.694.410,97 1.595.243,30 1.493.100,60 1.387.893,62 1.279.530,43 1.167.916,34 1.052.953,83 934.542,44 812.578,72 686.956,08 557.564,76 424.291,70 287.020,45
Página 50 de 138
16 17 TOTAL
150.000,00 150.000,00 2.700.000,00
8.610,61 4.368,93 575.082,23
141.389,39 145.631,07 1.974.917,77
145.631,07 - 0,00
2.3. VALOR FUTURO EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Para encontrar este valor se utiliza la siguiente expresión: Dónde : Valor futuro = F Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
(1 i) n 1 (1 i) i
F A
EJEMPLO . Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 500.000 por concepto del arriendo. En el mismo momento en que recibe el pago deposita en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta final del año. Datos: Cuota mensual A = $500.000 Numero de cuotas n = 12 meses Tasa efectiva de interés i = 3% mensual
Solución: 12 1
(1 0.03) (1 i) n 1 (1 i) = 500.000 (1 0.03) = 7.308.895.22 F A 0 . 03 i
F = $ 7308.895.22 TABLA DE AMORTIZACION PARA EL VALOR FUTURO EN ANUALIDAD ANTICIPADA A= i= n= F= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 6.000.000,00
INTERESES 15.000,00 30.450,00 46.363,50 62.754,41 79.637,04 97.026,15 114.936,93 133.385,04 152.386,59 171.958,19 192.116,94 212.880,44 1.308.895,22
CUOTA - INTERES 500.000,00 515.000,00 530.450,00 546.363,50 562.754,41 579.637,04 597.026,15 614.936,93 633.385,04 652.386,59 671.958,19 692.116,94 212.880,44 7.308.895,22
500.000 3,00% 12 7.308.895,22 SALDO 500.000,00 1.015.000,00 1.545.450,00 2.091.813,50 2.654.567,91 3.234.204,94 3.831.231,09 4.446.168,02 5.079.553,06 5.731.939,66 6.403.897,85 7.096.014,78 7.308.895,22
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2.4. NUMERO DE PAGOS O ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (VP) Es el número de pagos, pagaderos al principio de período, necesarios para amortizar una obligación. Se puede calcular en función del valor presente o del valor futuro. Sus fórmulas son las siguientes: n=
n=
LogA -
A Log(1 + i)
-
Dónde: +1
Log Lo g A(1 + i) - Log Lo g A(1 + i) Log(1 + i)
Valor presente = P Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios para cancelarla. Datos Valor presente P = $2.000.000 Cuota mensual A = $358.441.75 Tasa efectiva de interés i = 3% mensual
Solución: n=
LogA
Log A
i(P
A)
Log(1 i)
=
1
n=
Log358.441 .75 Log 358.441.75 0.03(2.000 .000 358.441.75 ) 1 Log(1 0.03)
n=
5.55442 5.49023 0.01284
1 6
n = 6 número de cuotas. Se puede realizar el mismo ejercicio utilizando la segunda fórmula. 2.5. NUMERO DE PAGOS O ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (F) Dónde: F*i A(1 i) A 1 Log(1 i)
Log n
Valor presente = F Valor de la cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 23 1) Don Pedro tiene una obligación que había pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $90.000 cada mes por anticipado. antici pado. A última hora decide, a última hora consigue unos dineros y decide cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 2.5% mensual, hallar este valor y la tabla de amortización. 90. 000.000 para pagarlo en 180 cuotas mensuales 2) Don José se recibe un préstamo para compra de casa por valor de $ 90.000.000 iguales, en forma anticipada. Si la tasa de interés es el 1.2% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado y la tabla de amortización. 3) Según el caso anterior otras personas desean saber cuál será el valor de las cuotas y el valor total pagado y la tabla de amortización para: a) 10 años, b) 8 años
Página 52 de 138
o bligación de $ 18.000.000 y se compromete a cancelar con pagos mensuales iguales i guales anticipados 4) Carlos adquiere una obligación de $ 1.433.767. Calcular el número de pagos necesarios para cancelar. Si se cobran una tasa de interés del: a) 3.5% mensual, b) 3.0% mensual
5) Doña María recibe al principio de cada mes la suma de $ 2.200.000 por concepto del arriendo de varios inmuebles. Ella deposita la mitad de sus ingresos en una cuenta de ahorros en donde le reconocen a una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en su cuenta al final de: y la tabla de amortización. a) 1 año, b) 2 años,
3. ANUALIADAD DIFERIDA En la actualidad estamos muy acostumbrados a promociones en tiendas o centros comerciales, donde nos ofrecen mercancía, para pagar con cuotas fijas durante un tiempo n, realizando realiz ando el primer periodos de tiempo después de realizada la compra (tiempo diferido), o promociones en agencias de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan “viaje ahora y pague después”; pues bien, situaciones como éstas, desde el punto de vista de las matemáticas financieras, se
conocen como anualidades diferidas. En este tema tratara los temas relacionados con las anualidades diferidas: cómo calcular el valor de las cuotas, el número de pagos y el valor presente de la anualidad.
3.1. CÁLCULO DE LA CUOTA DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en las anualidades diferidas se presentan situaciones en las que se requiere conocer el valor de las cuotas. Una anualidad diferida se puede calcular bajo dos aspectos: para periodos de tiempos vencidos o anticipados.
Dónde: P.i.(1+ i) n (1+ i) m A = n (1+ i) - 1 Anualidad diferida vencida
P.i.(1+ i) n (1+ i) m -1 A = (1+ i) n - 1 Anualidad diferida anticipada**
A = ? Valor de la cuota periódica a calcular P = Valor presente de la anualidad diferida i.= Tasa de interés por periodo de capitalización n.= Número de pagos m.= Número de periodos diferidos
EJEMPLO. El señor Ramírez deposita el día de hoy $37.000 000 en una entidad bancaria que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de año y medio pueda disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro o cuota al inicio de cada mes?, y construir la tabla de amortización Datos Valor de la cuota A = ? Valor presente P = $37.000.000 Tasa de interés i.= 18% anual capitalizable mensualmente (i= 1.5%) mensual Tiempo diferido m.= 18 meses (año y medio) Intervalo de tiempo n.= 36 meses (3 años)
Solución Se sustituyen los datos en la fórmula para obtener el valor de la cuota A: P.i.(1+ i) n .(1+ i) m -1 A = (1+ i) n - 1 A =
37.000.000 * (0.015) (1+ 0.015) 36 * (1+ 0.015) 18 -1 *
(1+ 0.015) 36 -
1
Página 53 de 138 37.000.000 * (0.015) (1.015) 36 * (1.015) 17 A = (1.015) 36 - 1 *
A =
37.000.000 * (0.015) (1.7091395 38) * (1.2880203 31) 1.70913953 8 - 1 *
1221780.59 2 A = $1.722.905 .76 0.70913953 8
Este resultado significa que se pueden realizar retiros de $1.722.906; con este valor y con la ayuda del Excel se puede elaborar la tabla de amortización, o trabajar únicamente con Excel
TABLA DE AMORTIZACION PARA LA CUOTA EN ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA P= i= n= m= A= LOS INTERES SE CAPITALIZAN EN EL TIEMPO DE GRACIA Nper CUOTA INTERESES 0 1 555.000,00 2 563.325,00 571.774,88 3 4 580.351,50 5 589.056,77 6 597.892,62 7 606.861,01 615.963,93 8 9 625.203,39 634.581,44 10 644.100,16 11 12 653.761,66 13 663.568,09 14 673.521,61 683.624,43 15 693.878,80 16 17 704.286,98 1.722.905,76 714.851,28 18 19 1.722.905,76 699.730,47 20 1.722.905,76 684.382,84 1.722.905,76 668.804,99 21 22 1.722.905,76 652.993,48 1.722.905,76 636.944,80 23 24 1.722.905,76 620.655,38 25 1.722.905,76 604.121,63 26 1.722.905,76 587.339,87 27 1.722.905,76 570.306,38 1.722.905,76 553.017,39 28 29 1.722.905,76 535.469,06 30 1.722.905,76 517.657,51 1.722.905,76 499.578,79 31
CUOTA + INTERES - 555.000,00 - 563.325,00 - 571.774,88 - 580.351,50 - 589.056,77 - 597.892,62 - 606.861,01 - 615.963,93 - 625.203,39 - 634.581,44 - 644.100,16 - 653.761,66 - 663.568,09 - 673.521,61 - 683.624,43 - 693.878,80 - 704.286,98 1.008.054,47 1.023.175,29 1.038.522,92 1.054.100,76 1.069.912,28 1.085.960,96 1.102.250,37 1.118.784,13 1.135.565,89 1.152.599,38 1.169.888,37 1.187.436,70 1.205.248,25 1.223.326,97
37.000.000 1,50% 36 18 1.722.905,76 SALDO 37.000.000,00 37.555.000,00 38.118.325,00 38.690.099,88 39.270.451,37 39.859.508,14 40.457.400,77 41.064.261,78 41.680.225,70 42.305.429,09 42.940.010,53 43.584.110,68 44.237.872,34 44.901.440,43 45.574.962,04 46.258.586,47 46.952.465,26 47.656.752,24 46.648.697,77 45.625.522,48 44.586.999,56 43.532.898,79 42.462.986,52 41.377.025,56 40.274.775,19 39.155.991,06 38.020.425,17 36.867.825,79 35.697.937,42 34.510.500,72 33.305.252,47 32.081.925,50
Página 54 de 138
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 TOTAL
1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 1.722.905,76 62.024.607,25
481.228,88 462.603,73 443.699,20 424.511,10 405.035,18 385.267,12 365.202,54 344.836,99 324.165,96 303.184,87 281.889,05 260.273,80 238.334,32 216.065,75 193.463,15 170.521,51 147.235,75 123.600,70 99.611,12 75.261,70 50.547,04 25.461,66 25.024.607,25
1.241.676,87 1.260.302,03 1.279.206,56 1.298.394,66 1.317.870,58 1.337.638,63 1.357.703,21 1.378.068,76 1.398.739,79 1.419.720,89 1.441.016,70 1.462.631,95 1.484.571,43 1.506.840,01 1.529.442,61 1.552.384,24 1.575.670,01 1.599.305,06 1.623.294,63 1.647.644,05 1.672.358,71 1.697.444,10 37.000.000,00
30.840.248,63 29.579.946,60 28.300.740,04 27.002.345,39 25.684.474,81 24.346.836,18 22.989.132,96 21.611.064,20 20.212.324,41 18.792.603,52 17.351.586,81 15.888.954,86 14.404.383,42 12.897.543,42 11.368.100,81 9.815.716,57 8.240.046,56 6.640.741,50 5.017.446,86 3.369.802,81 1.697.444,10 - 0,00
EJEMPLO. El señor Ramírez deposita el día de hoy $37.000 000 en una institución bancaria que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de año y medio pueda disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. Pero el señor Ramírez desea que en el periodo de gracia le cancelen los intereses ¿Cuál es el valor de cada retiro o cuota al inicio de cada mes y además construir la tabla de amortización? Para construir la tabla de amortización, primero se debe calcular el valor de la cuota de forma anticipada. Datos Valor de la cuota A = ? Valor presente P = $37.000.000 Tasa de interés i.= 18% anual capitalizable mensualmente (i= 1.5%) mensual Tiempo diferido m.= 18 meses (año y medio) Intervalo de tiempo n.= 36 meses (3 años) Solución P.i .(1 + i) n 37000000 * 0.015 * (1 + 0.015) 36 948572.443 6 = = n (1 + 0.015) 36 - 1 (1 + i) - 1 0.70913953 8
A =
A
1.337.638,63
TABLA DE AMORTIZACION PARA LA CUOTA EN ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA P= i= n= m= A=
37.000.000 1,50% 36 0 1.337.638,63
Página 55 de 138
LOS INTERES NO SE CAPITALIZAN EN EL TIEMPO DE GRACIA Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
CUOTA 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63
INTERESES 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 555.000,00 543.260,42 531.344,75 519.250,34 506.974,51 494.514,55 481.867,69 469.031,13 456.002,01 442.777,47 429.354,55 415.730,29 401.901,66 387.865,61 373.619,01 359.158,72 344.481,52 329.584,16 314.463,34 299.115,71 283.537,87 267.726,36 251.677,68 235.388,26 218.854,51 202.072,74 185.039,26 167.750,26 150.201,94
CUOTA + INTERES 555.000,00 782.638,63 794.378,21 806.293,89 818.388,30 830.664,12 843.124,08 855.770,94 868.607,51 881.636,62 894.861,17 908.284,09 921.908,35 935.736,97 949.773,03 964.019,62 978.479,92 993.157,12 1.008.054,47 1.023.175,29 1.038.522,92 1.054.100,76 1.069.912,28 1.085.960,96 1.102.250,37 1.118.784,13 1.135.565,89 1.152.599,38 1.169.888,37 1.187.436,70
SALDO 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 37.000.000,00 36.217.361,37 35.422.983,15 34.616.689,26 33.798.300,97 32.967.636,85 32.124.512,76 31.268.741,82 30.400.134,31 29.518.497,69 28.623.636,52 27.715.352,44 26.793.444,09 25.857.707,12 24.907.934,09 23.943.914,46 22.965.434,55 21.972.277,43 20.964.222,96 19.941.047,67 18.902.524,75 17.848.423,98 16.778.511,71 15.692.550,75 14.590.300,37 13.471.516,25 12.335.950,35 11.183.350,97 10.013.462,60 8.826.025,91
Página 56 de 138
48 49 50 51 52 53 54 TOTAL
1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 1.337.638,63 47.372.352,22
132.390,39 114.311,66 95.961,76 77.336,61 58.432,08 39.243,98 19.768,06 19.768,06
1.205.248,25 1.223.326,97 1.241.676,87 1.260.302,03 1.279.206,56 1.298.394,66 1.317.870,58 47.352.584,16
7.620.777,66 6.397.450,69 5.155.773,82 3.895.471,79 2.616.265,23 1.317.870,58 - 0,00
EJEMPLO . El señor Ramírez deposita el día de hoy $37.000 000 en una institución bancaria que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de año y medio pueda disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro (cuota) al final de cada mes? y además construir la tabla de amortización. Datos Valor de la cuota A = ? Valor presente P = $37.000.000 Tasa de interés i.= 18% anual capitalizable mensualmente (i= 1.5%) mensual Tiempo diferido m.= 18 meses (año y medio) Intervalo de tiempo n.= 36 meses (3 años) Solución P.i.(1 + i) n * (1 + i) m 37000000 = (1 + i) n - 1
A =
A
* 0.015
* (1 + 0.015) 36 * (1 + 0.015) 18
(1 + 0.015)
36
1240107.30 2
0.70913953 8
- 1
1.748.749,34
TABLA DE AMORTIZACION CUOTA PARA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA P= i= n= m= A= LOS INTERES SE CAPITALIZAN EN EL TIEMPO DE GRACIA CUOTA INTERESES Nper 0 555.000,00 1 563.325,00 2 571.774,88 3 580.351,50 4 589.056,77 5 597.892,62 6 606.861,01 7 615.963,93 8 625.203,39 9 634.581,44 10 644.100,16 11 653.761,66 12 663.568,09 13
CUOTA + INTERES - 555.000,00 - 563.325,00 - 571.774,88 - 580.351,50 - 589.056,77 - 597.892,62 - 606.861,01 - 615.963,93 - 625.203,39 - 634.581,44 - 644.100,16 - 653.761,66 - 663.568,09
37.000.000 1,50% 36 18 1.748.749,34 SALDO 37.000.000,00 37.555.000,00 38.118.325,00 38.690.099,88 39.270.451,37 39.859.508,14 40.457.400,77 41.064.261,78 41.680.225,70 42.305.429,09 42.940.010,53 43.584.110,68 44.237.872,34 44.901.440,43
Página 57 de 138
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 TOTAL
1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 1.748.749,34 62.954.976,36
673.521,61 683.624,43 693.878,80 704.286,98 714.851,28 725.574,05 710.226,42 694.648,58 678.837,07 662.788,38 646.498,97 629.965,21 613.183,45 596.149,96 578.860,97 561.312,65 543.501,10 525.422,37 507.072,47 488.447,32 469.542,79 450.354,69 430.878,77 411.110,71 391.046,13 370.680,58 350.009,55 329.028,45 307.732,64 286.117,39 264.177,91 241.909,34 219.306,74 196.365,10 173.079,33 149.444,28 125.454,71 101.105,29 76.390,63 51.305,25 25.843,59 25.954.976,36
- 673.521,61 - 683.624,43 - 693.878,80 - 704.286,98 - 714.851,28 1.023.175,29 1.038.522,92 1.054.100,76 1.069.912,28 1.085.960,96 1.102.250,37 1.118.784,13 1.135.565,89 1.152.599,38 1.169.888,37 1.187.436,70 1.205.248,25 1.223.326,97 1.241.676,87 1.260.302,03 1.279.206,56 1.298.394,66 1.317.870,58 1.337.638,63 1.357.703,21 1.378.068,76 1.398.739,79 1.419.720,89 1.441.016,70 1.462.631,95 1.484.571,43 1.506.840,01 1.529.442,61 1.552.384,24 1.575.670,01 1.599.305,06 1.623.294,63 1.647.644,05 1.672.358,71 1.697.444,10 1.722.905,76 37.000.000,00
45.574.962,04 46.258.586,47 46.952.465,26 47.656.752,24 48.371.603,53 47.348.428,24 46.309.905,32 45.255.804,55 44.185.892,28 43.099.931,32 41.997.680,94 40.878.896,81 39.743.330,92 38.590.731,54 37.420.843,17 36.233.406,48 35.028.158,23 33.804.831,26 32.563.154,39 31.302.852,36 30.023.645,80 28.725.251,15 27.407.380,57 26.069.741,93 24.712.038,72 23.333.969,96 21.935.230,16 20.515.509,27 19.074.492,57 17.611.860,61 16.127.289,18 14.620.449,17 13.091.006,57 11.538.622,32 9.962.952,31 8.363.647,26 6.740.352,62 5.092.708,57 3.420.349,85 1.722.905,76 - 0,00
EJEMPLO . Ana Patricia González contrajo una deuda con valor actual de $7.420 000, la cual se comprometió a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un año después de adquirida la deuda. Si la tasa de interés pactada es de 13.8% anual convertible bimestralmente, ¿cuánto pagaría Ana Patricia cada bimestre en forma anticipada si los intereses se capitalizan?, y construir la tabla de amortización. Datos Valor de la cuota A = ? Valor presente P = $7.420.000 Tasa de interés i.= 13.8% anual capitalizable bimestralmente (i = 2.3%) Tiempo diferido m.= 6 bimestres (1 año) Intervalo de tiempo ordinario n.= 24 bimestres
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Solución Se sustituyen los datos en la fórmula: P.i.(1+ i) n .(1+ i) m -1 7.420.000 * (0.023) (1+ 0.023) 24 * (1+ 0.023) 6 - A = = n (1+ i) - 1 (1+ 0.023) 24 - 1 1
*
7.420.000 * (0.023) (1.7258983 32) * (1.1204130 76) 1.72589833 2 - 1
A =
*
330008.494 6 0.72589833 2
A = $454.620.8 2
Los pagos deben ser de $454.620.82 cada uno. TABLA DE AMORTIZACION A MORTIZACION PARA PARA LA CUOTA EN ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA P= i= n= m= A= LOS INTERES SE CAPITALIZAN EN EL TIEMPO DE GRACIA CUOTA INTERESES Nper 0 170.660,00 1 174.585,18 2 178.600,64 3 182.708,45 4 186.910,75 5 454.620,82 191.209,70 6 454.620,82 185.151,24 7 454.620,82 178.953,44 8 454.620,82 172.613,09 9 454.620,82 166.126,91 10 454.620,82 159.491,55 11 454.620,82 152.703,58 12 454.620,82 145.759,48 13 454.620,82 138.655,67 14 454.620,82 131.388,47 15 454.620,82 123.954,13 16 454.620,82 116.348,80 17 454.620,82 108.568,54 18 454.620,82 100.609,34 19 454.620,82 92.467,07 20 454.620,82 84.137,54 21 454.620,82 75.616,42 22 454.620,82 66.899,32 23 454.620,82 57.981,72 24 454.620,82 48.859,03 25 454.620,82 39.526,50 26 454.620,82 29.979,34 27 454.620,82 20.212,58 28 454.620,82 10.221,19 29 TOTAL 5.455.449,83 3.490.899,66
CUOTA + INTERES - 170.660,00 - 174.585,18 - 178.600,64 - 182.708,45 - 186.910,75 263.411,12 269.469,58 275.667,38 282.007,73 288.493,91 295.129,27 301.917,24 308.861,34 315.965,15 323.232,35 330.666,69 338.272,02 346.052,28 354.011,48 362.153,75 370.483,28 379.004,40 387.721,50 396.639,09 405.761,79 415.094,32 424.641,48 434.408,24 444.399,63 1.964.550,17
7.420.000 2,30% 24 6 454.620,82 SALDO 7.420.000,00 7.590.660,00 7.765.245,18 7.943.845,82 8.126.554,27 8.313.465,02 8.050.053,90 7.780.584,32 7.504.916,94 7.222.909,21 6.934.415,30 6.639.286,03 6.337.368,79 6.028.507,46 5.712.542,31 5.389.309,96 5.058.643,27 4.720.371,25 4.374.318,97 4.020.307,48 3.658.153,74 3.287.670,45 2.908.666,05 2.520.944,55 2.124.305,46 1.718.543,67 1.303.449,35 878.807,87 444.399,63 -0,00
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APLIQUEMOS LO APRENDIDO 24 1) Ricardo Pereira solicita un crédito para comprar una casa con valor de $153.600.000. Si acuerda cancelar con pagos mensuales durante 15 años, y el banco le permite iniciar sus pagos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 21% anual convertible mensual, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual, en forma vencida y anticipada? y construir sus tablas de amortizaciones. 2) Lupita decide comprar un equipo de cómputo con valor de $2.875.000. La tienda ofrece una promoción que consiste
en realizar 18 pagos mensuales, iniciando los pagos 3 meses después de realizada la compra. ¿Cuál es el valor de cada pago si la tienda aplica una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente, en forma vencida y anticipada? y construir sus tablas de amortizaciones.
3) Una persona que se va a jubilar j ubilar dentro de 6 años actualmente actualment e tiene depositados $25.000 000 en una cuenta bancaria banc aria
que le paga 15% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuánto podrá retirar al inicio y al final de cada semestre durante los 15 años siguientes a su jubilación? Construya la tabla de amortización.
4) Al realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantación de café, se estima esti ma que ésta tardará tardará 4 años en producir,
manteniendo dicha producción durante 20 años. Si el dueño de la plantación considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone una tasa de interés de 7% anual con capitalización capitali zación anual, ¿de cuánto será la producción anual de dicha plantación pl antación de café durante los 20 años que se mantendrá la producción?, en forma vencida y anticipada antici pada y construya sus tablas de amortización.
5) Don José compro un apartamento hoy por valor de $52.000 000 y se compromete a cancelar en mensualidades fijas
durante 18 años, se comenzará a pagar cuando se entregue el apartamento, lo cual c ual se espera sea 10 meses después de la firma del convenio. Si la inmobiliaria trabaja con una tasa de interés de 24% anual compuesto con capitalización mensual, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual vencido y anticipado? Anexar tablas de amortización.
6) Alberto deposita el día dí a de hoy $15.000.000 en una cuenta bancaria que le paga 18% anual convertible convertibl e trimestralmente,
para que dentro de 5 años pueda disponer de una cantidad trimestral fija para gastos personales durante 7 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro trimestral en forma vencida y anticipada? Anexar tablas de amortización. 3.2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA
Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida, sin embargo, es de suma importancia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso genera intereses en este periodo, ya que el dinero se trasladó en el tiempo hacia el pasado. ¿Cómo afecta el valor del tiempo diferido para calcular el valor presente de una anualidad diferida? Si obtenemos el valor presente como si se tratara de una anualidad vencida, tendríamos después que trasladar dicho valor al momento del inicio de la anualidad, es decir, a la l a fecha de la firma del convenio, la fórmula que permite realizar el cálculo del valor presente de una cantidad dada de manera anticipada es:
Dónde: A (1+ i) n - 1 P= n m -1 i(1 + i) .(1+ i)
P = Valor presente de la anualidad A = Valor de la cuota periódica i.= Tasa de interés por periodo de capitalización n.= Número de pagos m.= Número de periodos diferidos
EJEMPLO. Calcular el valor actual o presente si se compromete cancelar una cuota al inicio de cada semestre de $320.000 durante 6 años, si el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si la tasa de interés es del 32% anual capitalizable semestralmente y construir la tabla de amortización Datos Valor presente de la anualidad diferida P = ? Valor de la cuota A = $ 320.000
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Tasa de interés i.= 32% anual capitalizable semestralmente (i = 1.6%) Intervalo de tiempo ordinario n.= 6 años Número de pagos = 12 semestre Tiempo diferido m.= 1.5 años = 3 semestres Solución Para encontrar el resultado podemos reemplazar los datos en la siguiente ecuación A (1+ i) n - 1 n m- 1 i(1 + i) .(1+ i)
P=
320.000 (1+ 0.16) 12 - 1 12 3- 1 0.16(1 + 0.16) .(1+ 0.16)
P=
0.16(5.936 027042).(1 .3456) P = $1.235.935 .13 P=
320.000 4.93602704 2
=
1579528.65 3 1.27800287 8 = 1.235.935. 13
Significa que el valor actual es $ 1.235.935.13. TABLA DE AMORTIZACION VALOR PRESENTE PARA ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA A= i= n= m= P= CUANDO LOS INTERES SE CAPITALIZAN Nper CUOTA INTERESES 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 TOTAL
320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 3.840.000,00
197.749,62 229.389,56 266.091,89 257.466,59 247.461,25 235.855,05 222.391,85 206.774,55 188.658,48 167.643,84 143.266,85 114.989,54 82.187,87 44.137,93 2.604.064,87
320.000 16,00% 12 3 1.235.935,13
CUOTA + INTERES
SALDO
- 97.749,62 - 229.389,56 53.908,11 62.533,41 72.538,75 84.144,95 97.608,15 113.225,45 131.341,52 152.356,16 176.733,15 205.010,46 237.812,13 275.862,07 1.235.935,13
1.235.935,13 1.433.684,75 1.663.074,31 1.609.166,20 1.546.632,79 1.474.094,04 1.389.949,09 1.292.340,94 1.179.115,49 1.047.773,97 895.417,80 718.684,65 513.674,20 275.862,07 0
EJEMPLO. Calcular el valor actual ac tual o presente si Juan Carlos se compromete cancelar una cuota al final de cada semestre de $320.000 durante 6 años, si el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si la tasa de interés es del 32% anual capitalizable semestralmente. Construir la tabla de amortización. Datos Valor presente de la anualidad diferida P = ? Valor de la cuota A = $ 320.000 Tasa de interés i.= 32% anual capitalizable semestralmente (i = 1.6%) Intervalo de tiempo ordinario n.= 6 años Número de pagos = 12 semestre Tiempo diferido m.= 1.5 años = 3 semestres Solución
Página 61 de 138 A (1 + i) n - 1 320.000 (1 + 0.16) 12 - 1 1579528.65 3 P= = n m 12 3 i(1 + i) .(1 + i) 0.16(1 + 0.16) .(1 + 0.16) 1.48248333 8
P
1.065.461,32
VALOR PRESENTE PARA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA A= i= n= m= P= CUANDO LOS INTERES SE CAPITALIZAN Nper CUOTA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL
320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 320.000,00 3.520.000,00
320.000 16,00% 12 3 1.065.461,32
INTERESES
CUOTA + INTERES
SALDO
170.473,81 197.749,62 229.389,56 266.091,89 257.466,59 247.461,25 235.855,05 222.391,85 206.774,55 188.658,48 167.643,84 143.266,85 114.989,54 82.187,87 44.137,93 2.730.400,75
- 170.473,81 - 197.749,62 - 229.389,56 53.908,11 62.533,41 72.538,75 84.144,95 97.608,15 113.225,45 131.341,52 152.356,16 176.733,15 205.010,46 237.812,13 275.862,07 789.599,25
1.065.461,32 1.235.935,13 1.433.684,75 1.663.074,31 1.609.166,20 1.546.632,79 1.474.094,04 1.389.949,09 1.292.340,94 1.179.115,49 1.047.773,97 895.417,80 718.684,65 513.674,20 275.862,07 0,00
EJEMPLO. ¿Cuál es el precio de contado de una recámara que se compró con pagos al inicio de cada mes por po r $215.000 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses después de entregada, con una tasa de interés de 19,2% anual capitalizable mensualmente?, anexar la tabla de amortización Datos Valor presente de la anualidad diferida P = ? Valor de la cuota A = $ 215.000 Tasa de interés i.= 19.2% anual capitalizable semestralmente (i=1.6%). Intervalo de tiempo ordinario n.= 24 años Número de pagos Tiempo diferido m.= 6 semestres
Solución Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida y se realizan reali zan las operaciones: A (1+ i) n - 1 P= n m- 1 i(1 + i) .(1+ i) 215.000 (1+ 0.016) 24 - 1 P= 24 6 0.016(1 + 0.016) .(1+ 0.016)
1
99693.2667 9 $3.932.134 .04 = 0.02535347 6
El precio de contado de la recámara es $ 3.922.134.04.
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TABLA DE AMORTIZACION PARA VALOR PRESENTE ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA A= i= n= m= P= CUANDO LOS INTERES SE CAPITALIZAN C APITALIZAN Nper CUOTA 0 1 2 3 4 5 215.000,00 6 215.000,00 7 215.000,00 8 215.000,00 9 215.000,00 10 215.000,00 11 215.000,00 12 215.000,00 13 215.000,00 14 215.000,00 15 215.000,00 16 215.000,00 17 215.000,00 18 215.000,00 19 215.000,00 20 215.000,00 21 215.000,00 22 215.000,00 23 215.000,00 24 215.000,00 25 215.000,00 26 215.000,00 27 215.000,00 28 215.000,00 29 TOTAL 5.160.000,00
INTERESES 62.914,14 63.920,77 64.943,50 65.982,60 67.038,32 68.110,93 65.760,71 63.372,88 60.946,85 58.482,00 55.977,71 53.433,35 50.848,28 48.221,86 45.553,41 42.842,26 40.087,74 37.289,14 34.445,77 31.556,90 28.621,81 25.639,76 22.610,00 19.531,76 16.404,26 13.226,73 9.998,36 6.718,33 3.385,83 1.227.865,96
CUOTA + INTERES - 62.914,14 - 63.920,77 - 64.943,50 - 65.982,60 - 67.038,32 146.889,07 149.239,29 151.627,12 154.053,15 156.518,00 159.022,29 161.566,65 164.151,72 166.778,14 169.446,59 172.157,74 174.912,26 177.710,86 180.554,23 183.443,10 186.378,19 189.360,24 192.390,00 195.468,24 198.595,74 201.773,27 205.001,64 208.281,67 211.614,17 3.932.134,04
215.000 1,60% 24 6 3.932.134,04 SALDO 3.932.134,04 3.995.048,18 4.058.968,96 4.123.912,46 4.189.895,06 4.256.933,38 4.110.044,31 3.960.805,02 3.809.177,90 3.655.124,75 3.498.606,74 3.339.584,45 3.178.017,80 3.013.866,09 2.847.087,95 2.677.641,35 2.505.483,62 2.330.571,35 2.152.860,49 1.972.306,26 1.788.863,16 1.602.484,97 1.413.124,73 1.220.734,73 1.025.266,48 826.670,75 624.897,48 419.895,84 211.614,17 0,00
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 25 1) Un ganadero estima que su ganado comenzará a producir dentro de seis meses, con una producción con valor de $1.200 000 mensuales y que se mantendrá durante 10 años. ¿Cuál es el valor actual de la producción si se fija una tasa de 18% anual capitalizable mensualmente? y tabla de amortización. 2) Si se compra una camioneta mediante un programa de financiamiento que consiste en realizar 48 pagos mensuales de $540.000 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses después de entregada la camioneta, ¿cuál es el precio de contado del automóvil si la tasa de interés es de 18% anual capitalizable mensualmente? y tabla de amortización. 3) Adrián compró un equipo de sonido el cual se comprometió a liquidar con 10 pagos mensuales de $120.000 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después de adquirido el equipo, con una tasa de interés de 24% anual convertible mensual. ¿Cuál es el precio de contado del equipo? y tabla de amortización. 4) Calcula el valor actual de una cuota semestral de $864.500 efectuado durante 10 años, si el primer pago se debe realizar dentro de 4 años y consideramos una tasa de 18% capitalizable semestralmente y y tabla de amortización.
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3.3. VALOR FUTURO O MONTO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA Al igual que en el caso de las anualidades anticipadas, su valor futuro y algunos otros de sus valores, se pueden calcular por medio de las fórmulas para anualidades vencidas y anticipadas. La figura siguiente nos permite visualizar la relación entre las anualidades vencidas y las diferidas. Anu al id ad ven ci da
FIRMA DEL CONTRATO
0
1
2
.
.
m -1
m
A
A
A
1
2
3
A
.
Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento
.
.
.
.
n-3
A
n -2
A
n -1
A
n
Numero de pagos
¿Por qué no afecta el tiempo de aplazamiento para el cálculo del valor futuro? Cuando se calcula el valor futuro, el tiempo de aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo previo a los depósitos, durante ese tiempo puede ser que no se ganaron y ni se pagaron intereses, si esto es así, lo que nos permite definir el valor futuro de una anualidad diferida de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad es poco usual el cálculo del valor futuro de una anualidad diferida, se puede realizar con la misma fórmula que para una anualidad vencida:
Dónde: F = Es el monto o valor futuro de la anualidad diferida, A = Es el valor de la cuota i. = Es la tasa de interés por periodo de capitalización n. = Es el número de pagos.
(1+ i) n - 1 F = A i
EJEMPLO. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir un automóvil que le entregaron inmediatamente. Si acordó pagar mediante 12 mensualidades de $2.100.000 cada una a partir de agosto, con una tasa de interés del 1.5% mensual, ¿cuál es el precio preci o que se tendría que haber pagado por su automóvil si se comprara en la misma fecha que se realizará realiza rá el último pago?, anexar tabla de amortización. Datos. El monto o valor futuro de la anualidad diferida, F = ? Valor de la cuota A = $ 2.100.000 Tasa de interés i. = 18% anual convertible mensual (i = 1.5%) Intervalo de tiempo n. = 12 pagos iguales. Solución. Para hallar el valor futuro de la anualidad diferida, se puede utilizar la siguiente expresión. F = A
F=
(1 + i) n - 1 i
2.100.000 (1+ 0.015) 12 - 1 0.015
2.100.000 (0.1956181 71) 0.015
410798.160 1 0.015
Página 64 de 138 F = $27.386.54 4
Los trajes tendrán un costo de $27.386.544 para cuando termine de pagarlos TABLA DE AMORTIZACION VALOR FUTURO CUANDO NO GENERAN INTERESES EN TIEMPO DIFERIDO A= 2.100.000 i= 1,50% n= 12 F= 27.386.544,00 Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA
INTERESES
2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 2.100.000,00 25.200.000,00
31.500,00 63.472,50 95.924,59 128.863,46 162.296,41 196.230,85 230.674,32 265.634,43 301.118,95 337.135,73 373.692,77 2.186.544,00
CUOTA+INTERES 2.131.500,00 2.163.472,50 2.195.924,59 2.228.863,46 2.262.296,41 2.296.230,85 2.330.674,32 2.365.634,43 2.401.118,95 2.437.135,73 2.473.692,77 25.286.544,00
SALDO 2.100.000,00 4.231.500,00 6.394.972,50 8.590.897,09 10.819.760,54 13.082.056,95 15.378.287,81 17.708.962,12 20.074.596,56 22.475.715,50 24.912.851,24 27.386.544,00
EJEMPLO . Armando Rodríguez adquirió un equipo de cómputo, para lo cual le dieron la oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $270.000 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses después de efectuada la compra. Si Armando liquidara su equipo con un solo pago el día que corresponde al último pago, ¿con cuánto pagará su deuda, considerando una tasa de interés de 18% anual con capitalización mensual?, anexar tabla de amortización. Datos. El monto o valor futuro de la anualidad diferida, F = ? Valor de la cuota A = $ 270.000 Tasa de interés i. = 18% anual convertible mensual (i = 1.5%). Intervalo de tiempo n. = 5 pagos iguales.
Solución. Para hallar el valor futuro de la anualidad diferida, se puede utilizar la siguiente expresión. (1 + i) n F = A i
- 1
270.000 ( (1 + 0.015) 5 - 1) F= 0.015
270.000 (0.0772840 04) = $1.391.112 .07 0.015
F = $1.391.112 .07
El equipo tendrá un costo de $1.391.112.07 para cuando termine de pagar.
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TABLA DE AMORTIZACION VALOR FUTURO CUANDO NO GENERAN INTERESES EN TIEMPO DIFERIDO A= i= n= F= Nper 0 1 2 3 4 5 TOTAL
CUOTA 270.000,00 270.000,00 270.000,00 270.000,00 270.000,00 1.350.000,00
INTERESES 4.050,00 8.160,75 12.333,16 16.568,16 41.112,07
CUOTA+INTERES 274.050,00 278.160,75 282.333,16 286.568,16 1.121.112,07
270.000 1,50% 5 1.391.112,07 SALDO 270.000,00 544.050,00 822.210,75 1.104.543,91 1.391.112,07
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 26 1) La Señora Gómez pretende realizar 8 depósitos bimestrales de $800 000 en el banco, realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. ¿Cuál será el saldo en la cuenta después de realizar el último depósito si el banco le paga 12% anual capitalizable bimestralmente?, construir tabla de amortización. 2) Durante el mes de noviembre una tienda departamental anuncia su promoción anual “compre ahora y pague hasta febrero”. La señora Urquiza decidió aprovechar la oferta y comprar ropa que le entregar on inmediatamente (en noviembre). Si acuerda pagar mediante 6 mensualidades de $523.000 cada una (iniciando en febrero por la promoción), con un cargo de 21% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por la ropa si se comprara en la misma fecha en que se realizará el último pago?, construir tabla de amortización. 3) ¿Cuánto ahorrará una persona p ersona que realiza 20 depósitos mensuales de $900.000 cada uno, si realiza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un interés de 30% anual con capitalización mensual?, construir tabla de amortización. 3.4 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA Y VENCIDA Cuando se calcula el valor futuro, y el tiempo de aplazamiento afecta el resultado, debido a que, a que se trata de tiempo previo a los depósitos, si durante ese tiempo se generaron intereses, si esto es así, lo que nos permite definir el valor futuro de una anualidad diferida anticipada y vencida. Para calcular este valor futuro se puede utilizar las siguientes expresiones: (1 + i) m - 1 1 Valor futuro anualidad diferida anticipada n m -1 i(1 + i) m (1 + i) 1 Valor futuro anualidad diferida vencida F = A n m i(1 + i) nm P.i.n.(1 + i) F= Valor futuro anualidad diferida vencida n (1 + i) 1 F = A
Dónde: F = Valor futuro de la anualidad diferida A = Valor de la cuota periódica i.= Tasa de interés por periodo de capitalización n.= Número de pagos m.= Número de periodos diferidos
EJEMPLO . Un estudiante cuando termino su carrera universitaria quedo con una deuda de $50.000.000 a una entidad X. La entidad de otorgo 6 meses de gracia y 4 años para cancelar la deuda, con una tasa de interés del 1,2% mensual. El
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estudiante desea saber el valor de la cuota mensual en forma anticipada y el valor total que debe cancelar durante este periodo de tiempo, además construir la tabla de amortización. Datos. Valor presente P = $ 50.000.000 Valor de la cuota A = ? Tasa de interés i. = 1.2% mensual Intervalo de tiempo ordinario n. = 48 pagos iguales (4 años) Tiempo diferido m.=6 meses.
Solución. En primer lugar, calculamos el valor futuro y para la tabla de amortización necesitamos el valor de la cuota A P.i.n.(1 + i) m
-1
F=
-n 1 - (1 + i)
F
50.000.000 * 0.012 * 48 * (1 + 0.012) 6 -1 30569972.6 6 = 1 - (1 + 0.012) - 48 0.43592688 6
70.126.375,83 P.i.(1 + i) n .(1 + i) m -1 50.000.000 * 0.012 * (1 + 0.012) 48 .(1 + 0.012) 6 -1 1129063.61 7 A = = (1 + i) n - 1 (1 + 0.012) 48 - 1 0.77281982 7
A
1.460.966,16
Total a pagar; A*n = 1.460.966,16*48= $ 70.126.375,83 TABLA DE AMORTIZACION VALOR FUTURO.ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA P= i= n= m= F1=P1= F= A= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
CUOTA
INTERESES
CUOTA+INTERES
1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16
600.000,00 607.200,00 614.486,40 621.860,24 629.322,56 636.874,43 626.985,33 616.977,56 606.849,70 596.600,30 586.227,91 575.731,05 565.108,23 554.357,93 543.478,63
- 600.000,00 - 607.200,00 - 614.486,40 - 621.860,24 - 629.322,56 824.091,73 833.980,83 843.988,60 854.116,47 864.365,86 874.738,25 885.235,11 895.857,94 906.608,23 917.487,53
50.000.000 1,20% 48 6 53.709.743,63 70.126.375,83 1.460.966,16 SALDO 50.000.000 50.600.000,00 51.207.200,00 51.821.686,40 52.443.546,64 53.072.869,20 52.248.777,46 51.414.796,63 50.570.808,03 49.716.691,56 48.852.325,70 47.977.587,44 47.092.352,33 46.196.494,39 45.289.886,16 44.372.398,63
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16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 TOTALES
1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 1.460.966,16 70.126.375,83
532.468,78 521.326,82 510.051,14 498.640,16 487.092,25 475.405,76 463.579,04 451.610,39 439.498,12 427.240,51 414.835,80 402.282,24 389.578,03 376.721,37 363.710,43 350.543,36 337.218,29 323.733,32 310.086,52 296.275,97 282.299,68 268.155,69 253.841,96 239.356,47 224.697,15 209.861,93 194.848,68 179.655,27 164.279,53 148.719,29 132.972,33 117.036,41 100.909,25 84.588,57 68.072,04 51.357,31 34.442,00 17.323,71 20.126.375,83
928.497,38 939.639,35 950.915,02 962.326,00 973.873,91 985.560,40 997.387,12 1.009.355,77 1.021.468,04 1.033.725,66 1.046.130,36 1.058.683,93 1.071.388,13 1.084.244,79 1.097.255,73 1.110.422,80 1.123.747,87 1.137.232,85 1.150.879,64 1.164.690,20 1.178.666,48 1.192.810,48 1.207.124,20 1.221.609,69 1.236.269,01 1.251.104,24 1.266.117,49 1.281.310,90 1.296.686,63 1.312.246,87 1.327.993,83 1.343.929,76 1.360.056,91 1.376.377,60 1.392.894,13 1.409.608,86 1.426.524,16 1.443.642,45 50.000.000,00
43.443.901,25 42.504.261,90 41.553.346,88 40.591.020,88 39.617.146,97 38.631.586,57 37.634.199,45 36.624.843,68 35.603.375,64 34.569.649,98 33.523.519,62 32.464.835,69 31.393.447,56 30.309.202,77 29.211.947,04 28.101.524,24 26.977.776,36 25.840.543,52 24.689.663,88 23.524.973,68 22.346.307,20 21.153.496,73 19.946.372,52 18.724.762,83 17.488.493,82 16.237.389,58 14.971.272,10 13.689.961,20 12.393.274,57 11.081.027,70 9.753.033,87 8.409.104,11 7.049.047,20 5.672.669,60 4.279.775,47 2.870.166,62 1.443.642,45 - 0,00
EJEMPLO . Un estudiante cuando termino su carrera universitaria quedo con una deuda de $50.000.000 a una entidad financiera X. La entidad de otorgo 6 meses de gracia y 4 años para cancelar la deuda, con una tasa de interés del 1,2% mensual. El estudiante desea saber el valor de la cuota en forma vencida y el valor total que debe cancelar durante este periodo de tiempo, además construir la tabla de amortización. Datos Valor presente P= $ 50.000.0000 Tiempo diferido m.= 6 meses Intervalo de tiempo ordinario n.= 4 años = 48 meses Tasa de interés i.= 1.2% mensual Valor de la cuota A= ?
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Solución Primero hallar el valor futuro para el tiempo de gracia F = P(1 i) n F1
P1
6
= 50000000 * (1 0.012)
53709743,63
53709743,63
Segundo hallar el valor de la cuota para el tiempo de cancelación de la deuda. i(1 i) n 0.012(1 0.012)48 1142612.381 A = P1 1478497,76 53709743,63 n 48 0.77281982 7 (1 i) 1 (1 0.012) 1 A
$1478497,76
Tercero hallar el valor futuro i(1 i) n F = P1 * n 1478497,76 * 48 70.967.892,34 n (1 i) 1 F
70.967.892,34
Con estos datos está listo para construir la tabla de amortización.
VALOR FUTURO PARA UNA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA A= i= n= m= P= F1=P1= F= A= Nper 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
CUOTA
INTERESES
CUOTA-INTERES
1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76
600.000,00 607.200,00 614.486,40 621.860,24 629.322,56 636.874,43 644.516,92 634.509,15 624.381,29 614.131,89 603.759,50 593.262,64 582.639,82 571.889,53 561.010,23 550.000,38 538.858,41
- 600.000,00 - 607.200,00 - 614.486,40 - 621.860,24 - 629.322,56 - 636.874,43 833.980,83 843.988,60 854.116,47 864.365,86 874.738,25 885.235,11 895.857,94 906.608,23 917.487,53 928.497,38 939.639,35
$ 1.478.497,76 1,20% 48 6 50.000.000 $ 53.709.743,63 70.967.892,34 1.478.497,76 SALDO 50.000.000 50.600.000,00 51.207.200,00 51.821.686,40 52.443.546,64 53.072.869,20 53.709.743,63 52.875.762,79 52.031.774,19 51.177.657,72 50.313.291,86 49.438.553,60 48.553.318,49 47.657.460,55 46.750.852,32 45.833.364,80 44.904.867,42 43.965.228,07
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18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 TOTAL
1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 1.478.497,76 70.967.892,34
527.582,74 516.171,76 504.623,84 492.937,36 481.110,63 469.141,99 457.029,72 444.772,10 432.367,39 419.813,83 407.109,62 394.252,96 381.242,03 368.074,96 354.749,88 341.264,91 327.618,12 313.807,56 299.831,28 285.687,28 271.373,55 256.888,06 242.228,75 227.393,52 212.380,27 197.186,86 181.811,13 166.250,89 150.503,93 134.568,00 118.440,84 102.120,16 85.603,63 68.888,90 51.973,59 34.855,30 17.531,59 20.967.892,34
950.915,02 962.326,00 973.873,91 985.560,40 997.387,12 1.009.355,77 1.021.468,04 1.033.725,66 1.046.130,36 1.058.683,93 1.071.388,13 1.084.244,79 1.097.255,73 1.110.422,80 1.123.747,87 1.137.232,85 1.150.879,64 1.164.690,20 1.178.666,48 1.192.810,48 1.207.124,20 1.221.609,69 1.236.269,01 1.251.104,24 1.266.117,49 1.281.310,90 1.296.686,63 1.312.246,87 1.327.993,83 1.343.929,76 1.360.056,91 1.376.377,60 1.392.894,13 1.409.608,86 1.426.524,16 1.443.642,45 1.460.966,16 50.000.000,00
43.014.313,05 42.051.987,05 41.078.113,13 40.092.552,74 39.095.165,61 38.085.809,84 37.064.341,80 36.030.616,15 34.984.485,78 33.925.801,86 32.854.413,72 31.770.168,93 30.672.913,20 29.562.490,40 28.438.742,53 27.301.509,68 26.150.630,04 24.985.939,84 23.807.273,36 22.614.462,89 21.407.338,69 20.185.728,99 18.949.459,98 17.698.355,75 16.432.238,26 15.150.927,36 13.854.240,73 12.541.993,86 11.214.000,03 9.870.070,28 8.510.013,36 7.133.635,77 5.740.741,64 4.331.132,78 2.904.608,62 1.460.966,16 - 0,00
Para el caso anterior; también se puede hallar los mismos resultados de la cuota y valor futuro utilizando las expresiones siguientes: P.i.(1+ i) n (1+ i) m A = n (1+ i) - 1
P.i.n.(1 + i) n m F= n (1 + i) - 1
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 27 1) Juan Pedro un estudiante al terminar su carrera universitaria obtuvo una deuda de $95.840.200 en una financiera. La entidad le da un tiempo de gracia 1 año y 6 años para cancelar la deuda, la tasa de interés asignada es del 1,08% mensual. La entidad financiera ofrece, dos opciones al estudiante; el pago de la cuota mensual en forma diferida
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anticipada y vencida. Juan Pedro quiere conocer el valor de las cuotas, el total a pagar y además la tabla de amortización para cada caso. 2) Un campesino adquiere una un préstamo en una entidad financiera por valor de $48.358.460, y le asignan un tiempo de gracia de 8 meses y 3 años y medio para cancelar la deuda adquirida con una tasa de interés del 9.6% anual con capitalización mensual. Calcular el valor de la cuota y valor futuro para construir la tabla de amortización para anualidad diferida vencida y anticipada. 3) El representante de una mediana empresa solicita un crédito a una entidad financiera y le aceptaron por un valor de $75.450.600, bajo las siguientes condiciones; tasa de interés 11.40% anual con capitalización mensual, tiempo de gracia un año y tiempo para cancelar la obligación adquirida de 5 años. Calcular el valor de la cuota y valor futuro para construir la tabla de amortización para anualidad diferida vencida y anticipada. 3.5. CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA Cuando se requiere conocer el número de pagos o plazo de una anualidad diferida se puede recurrir a las fórmulas para calcular su valor presente o el monto, sin embargo, tal como ocurre con el valor de la cuota, el valor futuro se comporta como una anualidad vencida, por lo tanto, la mayoría de los cálculos se enfocará al valor presente; en nuestro caso nos referiremos únicamente a cálculos en los cuales el valor presente es un dato conocido. Para determinar el número de cuotas utilizamos la siguiente fórmula que se despejo del valor presente para una anualidad diferida.
Dónde: A Log( ) A - P.i.(1+ i) m -1 n= Log(1+ i)
n.=? Número de pagos A = Valor de la cuota periódica P = Valor presente de la anualidad diferida i.= Tasa de interés por periodo de capitalización m.= Número de periodos diferidos
EJEMPLO. Rosario Luna guarda en una cuenta bancaria $24.000 000 con una tasa de interés de 15% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuántos retiros bimestrales de $1.200 000 podrá realizar, comenzando dentro de 2 años? Datos Intervalo de tiempo ordinario n.= ? Valor de la cuota periódica A = $1.200.000 Valor presente P = $24.000.000 Tasa de interés i.= 15% anual capitalizable bimestralmente (i= 2.5%) Tiempo diferido m.= 12 bimestres (2 años) periodos diferidos
Solución Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del número de pagos para una anualidad diferida: A 1.200.000 Log( ) Log( 1.200.000 - 24.000.000 (0.025) (1+ 0.025) 12-1 ) A - P.i.(1 + i) m-1 * * = n= Log(1 + i) Log(1 + 0.025)
Log( n=
n=
1.200.000 1.200.000 - 24.000.000 * (0.025) * (1.025) 11 Log(1.025)
Log(2.9073 42941) Log(1.025)
,
n=
0.46349626 3 0.01072386 5
n = 43.2210071 7 bimestres
Se requieren aproximadamente 44 pagos bimestrales
)
,
1.200.000 Log( 1.200.000 - 787251.994 6 ) , n= Log(1.025)
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Nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato. En este curso no se realizará el ajuste del último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato. EJEMPLO. Regina Luna compró una videograbadora con valor de $2 700.000, la cual acordó pagar mediante pagos mensuales de $350.000 cada uno con un interés de 24% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora, si el primero se realiza 3 meses después de haberla adquirido? Datos Número de pagos n.= ? Valor de la cuota periódica A = $350.000 Valor presente P = $2.700.000 Tasa de interés i.= 24% anual capitalizable mensualmente (i=2%) Tiempo diferido m.= 3 meses diferidos
Solución Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del número de pagos para una anualidad diferida: A Log( ) A - P.i.(1 + i) m- 1 n= Log(1 + i)
Log( n=
n=
350.000 - 2.700.000 * (0.02) * (1 + 0.02) 3-1
)
Log(1 + 0.02)
Log( n=
350.000
350.000 350.000 Log( ) ) 293818.4 350.000 - 56181.6 n= Log(1.02) Log(1.02) ,
Log(1.1912 11987) , Log(1.02)
n = 8.83576015 7
n=
0.07598905 5 0.00860017 2
meses
Por lo cual se puede afirmar que se requieren aproximadamente 9 pagos mensuales. APLIQUEMOS LO APRENDIDO 28 1) La Señora Flores compra un automóvil con valor de $19.562.000, mediante un crédito que se liquidará con pagos bimestrales de $1.150.000 cada uno con una tasa de interés de 18% anual capitalizable bimestralmente, con el acuerdo de realizar el primer pago un año después de otorgado el préstamo. ¿Con cuántos pagos saldará su deuda la señora Flores? 2) Si solicitas un crédito por $15.000 000, el cual te comprometes a pagar mediante abonos trimestrales de $975.000
cada uno y realizar el primero de ellos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 20% anual capitalizable trimestralmente, ¿con cuántos pagos se saldará tu deuda?
3) Una empresa comercializadora requiere comprar una bodega para almacenaje, la l a cual tiene un precio de $75.000.000. $75.000.000 .
Si le otorgan un crédito hipotecario, la empresa pagará con mensualidades de $875.000 cada una con una tasa de interés de 10.8% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para liquidar el crédito si además acuerda realizar el primero 8 meses después de entregada la bodega?
4) Para pagar una sala que tiene un costo de $1.800.000 se debe realizar una serie de pagos mensuales por $650.000
cada uno, iniciando 6 meses después de la compra. ¿Cuántos pagos se deben realizar para liquidar la sala si la tasa de interés es de 15% anual convertible mensualmente?
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5) La señora Martínez compró una cocina coci na con valor de $3.500.000 mediante un crédito que consiste en pagos mensuales
de $450.000 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después, con una tasa de interés de 10.2% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos hay que realizar para saldar la deuda? 6) ¿Cuántos retiros reti ros bimestrales de $1.042.000 se podrán realizar, comenzando dentro de año y medio, si la cuenta tiene
actualmente $24.000.000 y gana un interés de 18% anual capitalizable bimestralmente?
7) Una empresa compró equipo con valor de $98.562.000, el cual acordó liquidar mediante pagos semestrales de
$15.000.000 cada uno, con un interés de 3,2% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuántos pagos se necesitan realizar para liquidar el equipo, si el primero de ellos se realiza 18 meses después de haberlo adquirido?
4. ANUALIDADES PERPETUAS Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Se conoce como anualidad perpetua aquella aquell a que tiene un número infinito de pagos o, en otras palabras, no existe exist e el último pago. Una anualidad cuyos pagos no terminan, sino que siguen indefinidamente, se le denomina Anualidad Perpetua o simplemente Perpetuidad, siempre que la tasa de interés no cambie a una tasa menor.
VALOR PRESENTE P =
A
Dónde: CUOTA DE PAGO PERIÓDICO A = P*i
i
Valor de los pagos = A Tasa de interés efectiva anual = i
EJEMPLO: Calcular el valor presente de una cuota perpetua de $40.500 al año, a una tasa de interés del 9% anual. Datos Valor de la cuota anual A = $40.500 Tasa de interés i = 9% anual Valor presente P = ?
Solución P=
A i
,
P=
40.500 0.09
, P = $450.000
EJEMPLO: Para poder hacer retiros o cuotas perpetuas de $300.000 cada bimestre, ¿qué cantidad se tendrá que depositar en este momento, en un fondo de inversión que paga el 3.5% anual con capitalización bimestral? Asúmase que el interés no cambia. Datos Valor de la cuota anual A = $300.500 Tasa de interés i = 3.5% % anual con capitalización bimestral Valor presente P = ? Solución P=
A i
, P = 300.000 $51.428.571.43 0.035 6
P = $51.428.57 1.43
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EJEMPLO: El señor Jiménez deja una herencia de $30.000.000 a su nieto Luis. Si este dinero es invertido al 1.25% mensual, ¿cuál será la cantidad máxima que se podrá retirar la cuota al final de cada mes para que los retiros se efectúen de manera indefinida, siempre y cuando la tasa de interés no disminuya? Datos Valor de la cuota anual A = ? Tasa de interés i = 1.25% mensual Valor presente P = $ 30.000.000
Solución A = P* i
A = 30.000.000(0.0125) A = $375.000
5 ANUALIDAD O CUOTA CON INTERÉS GLOBAL Las personas que prestan dinero al interés y las casas comerciales que financian electrodomésticos diseñan, en forma permanente sistemas de amortización de créditos que en últimas persiguen crear sobre costos invisibles en las negociaciones que realizan con sus clientes, al plantearles una tasa de interés y cobrarles en realidad una tasa mayor. Es el caso del sistema de amortización de créditos con interés global, que supone el pago de cuotas periódicas iguales, pero en el que los intereses se calculan sobre el capital prestado inicialmente, desconociendo el abono que se le hace a la deuda cada período. La fórmula para encontrar esta anualidad es la siguiente:
Dónde : A =
P n
Valor presente = P Número de cuotas mensuales = n Tasa efectiva de interés mensual = i
+ P*i
EJEMPLO . Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 18.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 2% mensual por medio de 12 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global y la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $18.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual
Solución: A=
P n
+P
*
i =
18.000.000 12
18.000.000 * 0.02 = 1.500.000 + 3600.000= 1.860.000
A= $ 1.860.000 cada cuota Valor total a pagar = (12)*(1.860.000) = $ 22.320.000 TABLA DE AMORTIZACION CUOTA EN ANUALIDAD CON INTERES GLOBAL P= i= n= A=
18.000.000,00 2,00%
12 1.860.000,00
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No
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
CUOTA (A)
1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 1.860.000,00 22.320.000,00
INTERESES ( I )
360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 360.000,00 4.320.000,00
ABONO A CAPITAL
1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 18.000.000,00
SALDO
18.000.000,00 16.500.000,00 15.000.000,00 13.500.000,00 12.000.000,00 10.500.000,00 9.000.000,00 7.500.000,00 6.000.000,00 4.500.000,00 3.000.000,00 1.500.000,00 0,00
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 29: COMPLEMENTARIO Para los siguientes casos hacer uso de las formulas pertenecientes a las anualidades o series de tiempo 1) En un Municipio Z se propone comprar un terreno para realizar un polideportivo que cuesta $820.000.000 la propuesta de compra consiste de la siguiente manera; cuota inicial del 20% y 40 cuotas mensuales con una tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el val valor or de las cuotas y el valor total pagado; para: a) Una anualidad anualid ad vencida, b) Una anualidad anticipada y tabla de amortización. 2) Un Municipio X negocio maquinaria de trabajo pesado; y se comprometió cancelar una cuota inicial de $35.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $1.750.000. La casa distribuidora dis tribuidora cobra el 1.8% mensual sobre saldos. La administración desea saber el valor presente de la maquinaria al pago de la última cuota para: a) Una anualidad vencida., b) Una anualidad anticipada y tabla de amortización. 3) Juanito realiza un depósito de $1 400.000 al final de cada mes, durante 6 años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 1.2% mensual. Juanito desea saber cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?, para: a) Una anualidad vencida. b) Una anualidad anticipada y tabla de amortización. 4) Cuántos depósitos mensuales vencidos de $5.600.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 1.8% mensual, para tener un valor acumulado de $ 1.500.000.000. 5) Don José adquiere una obligación de $ 220.000.000 y se comprometió cancelar en cuotas mensuales iguales de manera anticipada por un valor de $3.580.000. Se cobra a una tasa de interés del 1.5% mensual. Don José desea calcular el número de pagos que debe hacer para cancelar la obligación. 6) La Administración de un Municipio compra maquinaria sin cuota inicial y queda debiendo $ 2000.000.000 que son financiados a una tasa de interés del 1.2% mensual por medio de 40 cuotas mensuales iguales. La administración desea saber el valor de cada cuota con interés global y tabla de amortización. 7) Al comprar un carro sin cuota inicial queda debiendo $ 35.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 3.5% mensual por medio de 60 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago en forma vencida y con interés global y tabla de amortización. 8) Una entidad estatal compro material para construcción de contado por un valor de $ 450.000.000, se financia a 36 pagos mensuales de $ 2.650.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 1.25% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota número a) 20 y b) 28 y tabla de amortización. 9) En los problemas siguientes hallar el valor presente de la anualidad vencida y tabla de amortización cuando se deposita: a) $ 5.000.000 por año durante 5 años a una tasa del 8% anua capitalizable mensualmente.
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b) $ 1.000.000 cada 6 meses durante 4 años a una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente. c) $ 2.000.000 por trimestre durante 4.5 años a una tasa del 8% capitalizable trimestralmente. d) $ 1.500.000 mensual durante 15 meses a la tasa del 9% anual capitalizable mensualmente. 10) En los problemas siguientes encuentre el valor presente de la anualidad anticipada y tabla de amortización conociendo. a) $ 8.000.000 pagaderos al inicio de cada semestre durante 6 años a una tasa del 7% anual capitalizable semestralmente. b) $ 10.000.000 pagadero al inicio de cada trimestre durante 5 años a una tasa del 6% anual capitalizable trimestralmente. 11) En los problemas siguientes encuentre el valor futuro de la anualidad vencida y tabla de amortización conociendo. a) $ 2.000.000 mensual durante 3 años a una tasa de interés del 15% capitalizable mensualmente. b) $ 6.000.000 por trimestre durante 4 años a la tasa del 8% anual con capitalización trimestral. c) $ 5.000.000 por año durante 20 años a una tasa del 17% anual con capitalización mensual. d) $ 2.000.000 cada 6 meses durante 10 años a la tasa del 6% anual con capitalización semestral. conoci endo. 12) En los siguientes problemas encuentre el valor futuro de la anualidad anticipada y tabla de amortización conociendo. a) $ 1.200.000 cada año durante 12 años a la tasa del 8% anual. b) $ 5.000.000 cada trimestre durante 5.5 años a la tasa del 9% anual capitalizable trimestralmente.
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VI. GRADIENTE Para la preparación y desarrollo de esta temática se tomaron temas tratados y resueltos por los autores Carlos Mario Morales y Jhonny de Jesús Meza Orozco; quienes trabajaron el tema de gradientes y afirman que, son operaciones financieras en las cuales se pacta entre una persona natural y jurídica y la entidad financiera para cubrir la obligación en una serie de cuotas o pagos crecientes o decrecientes, que están relacionados con el pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje; estos pagos deben cumplir unas condiciones que son las siguientes:
Los pagos deben tener una ley de formación Los pagos deben ser periódicos La serie de pagos deben tener un valor presente (P) equivalente en el valor futuro (F). El número de periodos debe ser igual al número de pagos.
En las entidades financieras el gradiente más utilizado es el aritmético y el geométrico. Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético; por ejemplo, cada pago aumenta o disminuye en la misma cantidad. Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico.
1. GRADIENTE ARITMETICO Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, más una constante K; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad. De acuerdo a la ley de formación, formación , en este caso, cada pago será igual i gual al anterior más una constante. Para la deducción del del modelo modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a una tasa de interés efectiva por periodo i , durante n periodos. A Primer pago A2=A + K Segundo pago
A3=A2 + K = A + 2K A4=A3 + K = A + 3K
Tercer pago Cuarto pago
……………………….
……………
An = A + (n-1)K
Ultimo pago
A+(n-3)K
A+(n-2)K
A+K(n-1)
A+(n)K
A+5K A+4K
A
0
1
A+1K
2
A+2K
3
A+3K
4
5
6
i = a%
P
n-3
n-2
n-1
n
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GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO (GACV) Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente, se presenta un gradiente lineal creciente vencido, sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO Para el desarrollo de esta temática se tendrá símbolos y nombres de las siguientes variables: F: valor futuro P: valor presente A: valor del primer pago K: valor del incremento (gradiente aritmético) n: número de pagos i: tasa de interés del período En matemática financiera cada uno de los símbolos anteriores tienen su respectiva función; por lo tanto, les corresponde una expresión matemática que los relaciona entre sí, unas más complejas que otras; permitiendo desarrollar cálculos matemáticos y obtener resultados exactos acordes con el sistema financiero. Para calcular el valor presente se puede utilizar cualquiera de las dos fórmulas siguientes:
(1 i) n 1 K (1 i) n 1 n P = A n n (1 i) n i(1 i) i i(1 i) 1 K (1 i) n - 1 - ni n P= A(1 i) 1 i(1 i) n i
Dónde: Número de cuotas = n Valor de la primera cuota = A Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K
EJEMPLO : Guillermo compro compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales de $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo hoy si se paga una serie de cuotas crecientes mes vencido de $20.000. Datos Cuota inicial = $1.000.000 Numero de cuotas n = 60 Valor de la primera cuota A = $500.000 Tasa efectiva de interés i = 2.5% mensual Gradiente aritmético K = $20.000
Solución
$1000000
$520000
$540000
$560000
$500000
0
1
2
3
4
i = 2.5%
P
60
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K (1 i)n - 1 - ni n P= A(1 i) 1 i(1 i) n i 1
P=
P=
P=
P=
1 0.025(1.025) 60
20.000(1.025) 60 - 1 - 60*0.025 60 500.000(1.025) 1 0.025
50 0.00 03.399790 0.109995 1
1699894.87 4 0.109995 1
1 0.109995 1
P=
20.00 0 3.399790- 1.5 0.025
20.00 0 1.899789749 0.025
1699894.87 4 1519831.79 9
3219726.67 3
0.109995
P = 29.271.573,01 1.000.000
P = $30.271.573,01
El valor de carro al día de hoy es de $30.271.573,01 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (P)
A=
K (1 i) - ni - 1 n P ( 1 i ) i (1 i)n -1 i 1
n
Dónde: Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K
EJEMPLO : Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas ( A ) si se paga una serie de cuotas crecientes mes vencido de $30. 000.y el valor total pagado. Datos Valor presente P = $20.000.000 - $2.000.000 =$18.000.000 Cuota inicial = $2.000.000 Numero de cuotas n = 12 Tasa efectiva de interés i =2.0% mensual Gradiente aritmético K = $30.000
Solución
Página 79 de 138 $2.000.000 A+$90.000
A+$120.000
A+$60.000 $30.000
1
0
2
3
4
12
i = 2%
$18.000.000
K (1 i) n - ni - 1 n A= P(1 i) i (1 i)n -1 i 1
12 30.000 00 0(1 0.02) - 1 - 12*0.02 12 1 8 . 000 . 000 ( 1 0 . 02 ) 0.02 * (1 0,02)12 - 1 0.02 12 1 30.000(1.02) - 1 - 12*0.02 A= 18.000.000(1.02)12* 0.02 12 (1,02) - 1 0.02
1
A=
A=
A=
1
0.268241794 1
0.268241794
456567.046- 42362.69184
414204.3542
A = $1.544.145,482
EL valor de la cuota a pagar es de $1.544.145,482 El valor total a pagar es de = ( A ) (12) + $2.000.000 = $(1.544.145,482(12) + $2.000.000 = $20.529.745,78
El valor total a pagar es de = $20.529.745,78 VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO K=
i
(1
n
i ) - ni - 1
Pi(1
n
n
i ) - A (1 i ) - 1
Dónde: Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
EJEMPLO : Juan José desea comprar una finca que cuesta $120.000.000, la entidad financiera le ofrece pagar en un plazo de 60 cuotas mensuales de $2.000.000. Cuanto Cuant o deberá incrementar el comprador mensualmente para poder realizar la compra si la tasa efectiva de interés mensual es de 1.2%.
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Datos Valor presente P = $120.000.000 Cuota mensual A= $2.000.000 Tasa efectiva de interés i = 1.2% mensual Numero de cuotas n = 60
Solución:
3K+$2.000.000 2K+$2.000.000 K+$2.000.000 $2.000.000
1
0
2
4
3
i = 1.2%
$120.000.000
K= K=
i
(1
K=
i) - ni - 1
P(1
0.012
(1.012) K=
K=
n
60
- 60*0.012 - 1
0.012
0.325647268 0.012
0.325647268 0.012
0.325647268
i)n i - A(1 i) n - 1
120.000.000(1.012)
60 *
0.012 - 2.000.000(1.012)60 - 1
2945732,066- 2091294.536
854437,53
854437,53
K = $31.485,75581
El valor del gradiente aritmético creciente vencido es de $31.485,76 VALOR DE CUALQUIER CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO Para calcular el valor de cualquier cuota en la serie es la siguiente: Dónde: C n = A (n - 1) K
Cn = Valor de la cuota n n.= Numero de la cuota A = Valor de la primera cuota K = Variación de cada cuota
60
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EJEMPLO : El valor de una maquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada mes en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor hoy (P) de la máquina y la cuota número 23 y 24. Datos: Valor de la cuota A = $ 150.000 Incremento constante cada mes K = $ 10.000 Tasa efectiva de interés i = 3% mensual Numero de cuotas mensuales n = 24
Solución:
$160.000
$170.000
$180.000
$150.000
0
1
2
4
3
24 i = 3%
P
a). Valor de presente de la máquina.
K (1 i) n - 1 - ni n P= A(1 i) 1 i(1 i) n i 1
P=
P=
1 0.03(1 0.03) 24 1 0.03(1.03) 24
10.000(1 0.03) 24 - 1 - 24*0.03 24 150.000(1 0.03) 1 0.03
10.000(1.03) 24 - 1 - 24*0.03 24 150.000(1.03) 1 0.03
P = 16.39779121154919.116 104264.7022
P = $4.250.042,136
El valor de la maquinaria hoy es de $ 4.250.042,136 b). Valor de cuota 23. Cn = A (n - 1) K C 23 = 150.000 (23 - 1) 10.000 C 23 = $370.000
El valor de cuota número 23 es de $370.000
c). Valor de cuota 24. Cn = A (n - 1) K
Página 82 de 138 C24 = 150.000 (24 - 1) 10.000 C24 = $380.000
El valor de cuota número 24 es de $380.000
VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO Para hallar el valor futuro (F) de un gradiente aritmético se utiliza la siguiente expresión matemática
(1 i) n 1 K (1 i) n 1 n F = A i i i 1 K (1 i) n - ni - 1 n F = A(1 i) 1 i i
Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
EJEMPLO : Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que reconoce una tasa efectiva de interés del 4% mensual. ¿Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo, si además se compromete hacer un incremento de constante de $18.000 mensuales? Datos Cuota mensual A = $400.000 Tasa efectiva efectiva i = 4% mensual Gradiente aritmético creciente K = $18.000 Numero de cuotas n = 24
Solución
$454.000 $436.000 $418.000 $400.000
1
0
2
4
3
24
i = 4%
F
1
F = A(1 i) 1 i F=
n
K (1 i) n - ni - 1 i
24 18.000(1 0.04) - 24*0.04 - 1 24 4 00 . 000 ( 1 0 . 04 ) 1 0.04 0.04
1
Página 83 de 138 F=
F=
18.000(1.04) 24 - 24*0.04 - 1 24 4 00 . 000 ( 1 . 04 ) 1 0.04 0.04 1
1 0.04
F=
625321.666 271486.8742
1 0.04
625321.66 6 271486.8742
F = $22.420.213,51
Al final de los 24 meses Catalina tendrá acumulado $22.420213,51 VALOR PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (F) Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor futuro = F
K (1 i) n - ni - 1) A= Fi n i (1 i) - 1 1
EJEMPLO : Margarita desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2.5% mensual para reunir la suma de $34.000. 000? Además, Margarita se compromete hacer un incremento constante de $25.000 mensuales. Datos: Valor futuro F = $34.000.000 Tasa de interés efectiva i = 2.5% mensual Numero de cuotas mensuales n = 36 Gradiente aritmético K = $25.000
Solución:
A+$50.000 A
0
1
A+$75.000
A+$25.000
2
4
3
36
i = 2.5%
$34.000.000
K (1 i) n - ni - 1) A= Fi (1 i)n -1 i 1
Página 84 de 138 A=
A=
A=
A=
1
(1 0.025) 1
(1.025)
36
36
25.000(1 0.025) 36 - 36*0.025 - 1) 34.000.000 0.025 * - 1 0.025
25.000(1.025) 36 - 36*0.025 - 1) 34.000.000*0.025 - 1 0.025
850000 1.432535316 1
1
1.432535316
25.000 0.532535315 0.025
317464.6843
A = $221.610.37
El valor de la cuota que debe depositar Margarita es de $221.610,37 VALOR DE LA CONSTANTE (K) GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (F)
K=
i
(1
i) - ni - 1 n
Fi - A(1
Dónde: Valor de la primera cuota = A Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor futuro = F
i) n - 1
EJEMPLO : Juanita desea obtener $20.000.000 en un tiempo de 5 años, acude a una entidad financiera y esta le ofrece depositar $150.000 al finalizar cada mes a una tasa efectiva de interés de 1.5%. ¿Cuánto deberá incrementar mensualmente (K) Juanita para cumplir con sus deseos? Datos: Valor futuro F = $20.0000.000 Cuota mensual A = $150.000 Tasa efectiva de interés i = 1.5% mensual Numero de cuotas mensuales n = 60
Solución
3K+$150.000 2K+$150.000 K+$150.000 $150.000
0
1
2
3
4
60
i = 1.5%
$20.000.000
Página 85 de 138
K= 0.015
K=
(1 0.015)
K=
(1.015)
K=
60
- 60 * 0.015 - 1
0.015 60
- 60*0.015- 1
0.015
0.543219775
i
(1
i) - ni - 1 n
Fi - A(1
i) n - 1
20.000.000 0.015 - 150.000(1 0.015) *
20.000.000 0.015- 150.000(1.015) *
60
60
-1
-1
300.000- 216482.9664
0.015
83517.03365 0.543219775 K = $2306.17,Juanita debe depositar un valor constante (K) de $2.306,17
K=
GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO (GACA) Si los flujos de caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal creciente anticipado. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO
1 i) n 1 K 1 i) n 1 n P = A n- 1 n- 1 (1 i) n - 1 i(1 i) i i(1 i) (1 i) P= i(1 i) n
K (1 i) n - ni - 1 n A (1 i) 1 i
Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
EJEMPLO: Juan Pedro tiene una obligación financiera, que en un u n momento había pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $150.000 cada mes por anticipado y además un incremento constante mensual de $2.500. A última hora, cambia su manera de pensar y decide cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 2% mensual, hallar el valor hoy de la obligación. obligación. Datos: Cuota mensual A = $150.000 Numero de cuotas mensuales n = 36 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual Gradiente aritmético K = $2.500 Solución: $160.000 $157.5000 $155.000 $152.500 $150.000
0
1
2
3
4
i = 2%
P
36
Página 86 de 138
P=
P=
P=
(1 i)
A(1 i) 1 n
K (1 i) n - ni - 1
i(1 i) n
(1 0.02) 0.02(1 0.02) 36
(1.02) 0.02(1.02)
36
i
2.500(1 0.02) 36 - 36* 0.02 - 1 36 150 . 000 ( 1 0 . 02 ) 1 0.02
36 2.500(1.02) - 36*0.02 -1 36 150 . 000 ( 1 . 02 ) 1 0.02
P = 25.00138067155983.31016 39985.91796 P = $4.899.501,27
La obligación hoy es de $ 4.899.501,27 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO
A=
Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P
P(1 i) i K (1 i) - ni - 1 i (1 i) n - 1 (1 i) n
1
n
EJEMPLO : José Antonio recibe un préstamo de $ 100.000.000 para pagarlo en 24 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 1.4% de interés mensual; si además José Antonio decide incrementar un valor constante cada mes de $ 5.000, calcular el valor de la primera cuota. Datos: Valor presente P = $100.000.000 Numero cuotas mensuales n = 24 Tasa efectiva de interés i = 1.4% mensual Gradiente aritmético creciente anticipado K = $5.000
Solución: A+$20.000
A+$15.000 A+$10.000 A+$5.000 A
0
1
2
3
4
i = 1.4%
$100.000.000
P(1 i) n i K (1 i) n - ni - 1 A= (1 i) n -1 (1 i) i 1
24
Página 87 de 138 A=
100.000.000(1 0.014) 24* 0.014 5.000(1 0.014) 24 - 24*0.014 - 1 (1 0.014) 24 -1 (1 0.014 ) 0.014 1
A = 2.5247298861927529.354- 21457.84826
A = $4.812.447,165
El valor de la cuota mensual que debe pagar es de $4.812.447,165 VALOR DE LA CONSTATANTE DE GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO Dónde: K=
P(1 i) i A(1 i) n - 1 (1 i) - ni - 1 (1 i) n
i
Valor de la primera cuota = A Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P
n
EJEMPLO : A Juan Carlos le ofrecen la compra una pequeña fábrica que cuesta $240.000.000, acude a una entidad financiera que le ofrece pagar en un plazo de 48 cuotas mensuales de $4.000.000 por anticipado. Cuanto deberá incrementar el comprador mensualmente para poder realizar la compra; si la tasa efectiva mensual de interés es del 0.9%. Datos: Valor presente P = $240.000.000 Cuota mensual A = $4.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 48 Tasa efectiva de interés i = 0.9% mensual 4K+$4.000.000 3K+$4.000.000 2K+$4.000.000 K+$4.000.000 $4.000.000
0
1
2
3
4
48
i = 0.9%
$240.000.000
Solución: P(1 i) n i A(1 i) n - 1 K= n (1 i) - ni - 1 (1 i) i
240.000.000(1 0.009) 48* 0.009 4.000.000(1 0.009) 48 - 1 K= 48 (1 0.009) - 48*0.09 - 1 (1 0.009) 0.009
K=
240.000.000(1.009) 48* 0.009 4.000.000(1.009) 48 - 1 48 (1.009) (1.009) - 48*0.09 - 1 0.009
K = 0.0854202573291080.947 2149445.696
Página 88 de 138
K = 0.0854202571141634.304 K = $97.518,69569
El valor constante que se debe consignar mensual es de $97.518.70 GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE (GAD) VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE 1 i) n 1 K 1 i) n 1 n P = A n n (1 i) n i(1 i) i i(1 i)
Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
n K (1 i) - ni - 1 n P= A(1 i) 1 n i(1 i) i
1
EJEMPLO : Para la compra de una vivienda se pacta cancelar en 18 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes, siendo la primera cuota de $2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando es del 3%, calcular el valor de la vivienda. Datos: Valor de la primera cuota A = $2.500.000 Numero de cuotas mensuales n = 18 Cuota mensual decreciente K = $10.000 Tasa efectiva de financiación i = 3% mensual
Solución:
$2.500.000 $2.490.000 $2.480.000
1
0
2
3
$2.460.000
4
16
17
i = 3%
P n K (1 i) - ni - 1 n P= A(1 i) 1 n i(1 i) i
1
P=
P=
1 0.03(1 0.03)
18
1 18
0.03(1.03)
18 10.000(1 0.03) - 18*0.03 - 1 18 1 2.500.000 (1 0.03) 0.03
18 10.000(1.03) - 18*0.03 - 1 18 2.500.000(1.03) 1 0.03
18
Página 89 de 138 P=
1624.330612 1756082.653 65 3 0.051072991 0.03 1
P = $33.323.646,53
El valor de la vivienda es de $ 33.323.646,53 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO P Dónde:
1 K (1 i) - ni - 1 n P ( 1 i ) i i (1 i) n - 1 n
A=
Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P
c ompromete cancelar en 24 cuotas mensuales que EJEMPLO : Juan Carlos recibe un préstamo hoy por $ 35.000.000 y se compromete decrecen en $ 10.000 cada mes. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 3%, calcular el valor de la primera cuota. Datos: Valor presente P = $ 35.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Cuota mensual decreciente K = $10.000 Tasa de interés efectiva i = 3% mensual
Solución: A A - $10.000
A - $20.000
0
1
2
3
A - $30.000
4
22
23
24
i = 3%
$35.000.000
K (1 i) n - ni - 1 n A= P(1 i) i n i (1 i) - 1 1
A=
A=
1
(1 0.03) 1
(1.03)
24
24
24 10.000(1 0.03) - 24*0.03 - 1 24 35.000.000(1 0.03) * 0.03 - 1 0.03
24 10.000(1.03) - 24*0.03 - 1 24 35.000.000(1.03) * 0.03 0.03 - 1
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A = 0.9682471982134433.3812
104264.7022
A = $2.167.613,14 7
El valor de la primera cuota es de $ 2.167.613,147 VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE K=
i
(1
i) n - ni - 1
A(1
i) n - 1 - P(1 i) n i
Dónde: Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
EJEMPLO : A Cándida le hacen un préstamo hoy por un valor $ 65.000.000 y se compromete cancelar en 48 cuotas mensuales de $ 2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 2.5%, calcular el valor del gradiente en esta operación financiera. Datos: Valor presente P = $ 65.000.000 Valor de la primera cuota A = $ 2.500.000 Numero de cuotas mensuales n = 48 Tasa de interés efectiva i = 2.5% mensual
Solución :
$2.500.000 $2.500.000-K $2.500.000-2K $2.500.000-3K
1
0
2
4
3
46
47
48
i = 2.5%
$65.000.000
K= K=
K=
i
(1 i)
n
- ni - 1
A(1 i)
n
- 1 - P(1 i) n i
2.500.000(1 - 48 0.025 - 1
0.025
(1
0.025)
48
02 5) (1.025
0.025) 48 - 1 - 65.000.000(1 0.025) 48 * 0.025
*
0.025 48
- 48* 0.025 - 1
2.500.000(1.025 02 5)
48
- 1 - 65.000.000(1.025) 48 * 0.025
K = 0,023332005 5678723.3902 - 5316170.536 K = 0,023332005362552.8539 K = $ 8459.085
El valor del gradiente en esta operación financiera es $ 8.459,09
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VALOR DE CUALQUIER CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE Dónde: Número de cuotas = n Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota = A
Cn = A - (n - 1) K
EJEMPLO : Juan Carlos recibe un préstamo hoy por $ 35.000.000 y se compromete c ompromete cancelar en 24 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 3%, calcular el valor de la cuota 15, 20 y 23. Si el valor de la primera cuota es de $ 2.167.613,147 Datos: Valor presente P = $ 35.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Cuota mensual decreciente K = $10.000 Tasa de interés efectiva i = 3% mensual Valor de la primera cuota A = $ 2.167.613,147
Solución : $2.167.613,15 $2.157.613,15
0
1
2
$2.147.613,15 $2.137.613,15
3
4
i = 3%
$35.000.000
Cn = A - (n - 1) K
El valor de la cuota 15 será: C15 = 2.167.613,147 - (15 - 1) 10.000 C15 = 2.167.613,147 - 140000
C15 = $2.027.613,147
El valor de la cuota 15 es de $ 2.027.613,147
El valor de la cuota 20 será: C 20 = 2.167.613,147 - (20 - 1) 10.000 C 20 = 2.167.613,147 - 190000
C 20 = $1.977.613,147
El valor de la cuota 20 es de $ 1.977.613,147
22
23
24
Página 92 de 138
El valor de la cuota 23 será: C 23 = 2.167.613,147 - (23 - 1) 10.000
C 23 = 2.167.613,147 - 220000
C 23 = $1.947.613,147
El valor de la cuota 23 es de $ 1.947.613,147 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE Para hallar el valor futuro ( F ) de un gradiente aritmético se utiliza la siguiente expresión matemática
1 i) n 1 K 1 i) n 1 F = A n i i i 1 K (1 i) n - ni - 1 n F = A(1 i) 1 i i
Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
EJEMPLO : Se realiza un primer depósito por $ 500.000 en el día de hoy, en una entidad financiera que reconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacen depósitos que disminuyen en $10.000. Cuál será el valor acumulado después de hacer 6 depósitos. Datos: Valor de la primera cuota A = $500.000 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual Deposito decreciente K = $10.000 Numero de meses n = 6 Solución: $500.000 $490.000
1
0
$480.000
2
$470.000
3
4
5
i = 2%
F
1
F = A(1 i) 1 i F=
n
K (1 i) n - ni - 1 i
10000(1 0.02 ) 6 - 6 *0.02 - 1 1 6 5 00000 ( 1 0 . 0 2 ) 1 0.02 0.02
10000(1.02 ) 6 - 6* 0.02 - 1 1 6 F= 500000(1.02 ) 1 0.02 0.02
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10000(1.02) 6 - 6*0.02 - 1 6 F= 500000(1.02) 1 0.02 0.02 1
F=
1 0.02
63081.20963 3081.20963
F = $3.000.000
El valor acumulado después de hacer 6 depósitos es de $ 3.000.000 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO (F) Dónde: K (1 i) n - ni - 1 A= Fi i (1 i) n - 1 1
Valor futuro = F Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K
depósi to en el día de hoy, en una entidad financiera financie ra EJEMPLO : Don Luis se propone ahorrar para lo cual realiza un primer depósito que reconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacen depósitos que disminuyen en $100.000. Si durante 12 meses el valor acumulado es de$ 30.000.000; Cuál será el valor de la primera cuota. Datos: Valor futuro F = $ 30.000.000 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual Deposito decreciente K = $100.000 Numero de meses n = 12
Solución: A
A - $100.00 A - $200.000 A - $300.000
1
0
2
3
4
10
11
12
i = 2%
$30.000.000
K (1 i) n - ni - 1 A= Fi (1 i) n - 1 i 1
A=
12 10000(1 0.02) - 12*0.02 - 1 30000000 0.02 * 0.02 (1 0.02)12 - 1
A=
12 10000(1.02) - 12*0.02 - 1 30000000 0.02 * 0.02 (1.02)12 -1
1
1
Página 94 de 138
A = 3.727979831 600.000 14120.89728
A = $2.289.430,31 9
Bajo estas condiciones el valor de la primera cuota es de $ 2.289.430,319 VALOR DE LA K DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO F K=
i
(1 i)
n
- ni - 1
A(1 i)
n
- 1 Fi
Dónde: Valor futuro = F Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés =i Valor de la primera cuota = A
EJEMPLO : Juan Pedro está dispuesto a realizar unos ahorros para lo cual realiza su primer depósito por $ 5.000.000 en el día de hoy, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2% mensual y durante 20 meses el valor acumulado es de $ 90.000.000. Juan Pedro necesita saber el valor de cada depósito que disminuye constantemente. Datos: Valor futuro F = $ 90.000.000 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual Numero de meses n = 20 Valor de la primera cuota A = $4.000.000 Solución: $4.000.000
1
0
$4.000.000-1K $4.000.000-2K $4.000.000-3K
2
4
3
19
18
20
i = 2%
$90.000.000
i
K=
(1 i)
K=
(1 0.02)
K=
(1.02)
n
- ni - 1
A (1 i)
n
- 1 Fi
0.02 20
- 20* (0.02 ) - 1
0.02 20
- 20 * (0.02) - 1
4.000.000(1 0.02)
4.000.000(1.02)
20
20
- 1 90.000.000 00 0* (0.02)
90.00 0.00 0 (0.02)
-1
*
K = 0.232700476 5943789.584 1800000
K = $ 964.261,8108
El valor de cada depósito que disminuyen y es de aproximadamente $ 964.261,80
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VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE INFINITO Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha serie es el cálculo del costo de capital. P=
A i
Dónde:
K i
Gradiente aritmético = K Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A
2
EJEMPLO: ¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión indefinidamente de $30.000.000, la cual se incrementa $2.000.000 cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés efectiva del 6.5% anual. Datos: Valor de la cuota A = $30.000.000 Gradiente creciente de K = $2.000.000 Tasa de interés efectiva i = 6.5% anual Numero de pagos: infinitos = ∞
$30.000.000
0
$34.000.000 $32.000.000
1
2
3
$38.000.000 $36.000.000
4
5
6
7
8
.
.
∞
i = 6.5%
P
Solución: P=
P=
A i
K i
2
30.000.000 0.065
P = 461538461.5
2.000.000 (0.065) 2 2.000.000 0.004225
P = 461538461. 5 473372781 .1
El futuro pensionado deberá cancelar $ 934.991.242,60 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 30 1) Un padre de familia está est á dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la gráfica; de cuánto debería ser la inversión hoy para igualar dicho ahorro, sí el banco reconoce una tasa de interés del 5% semestral.
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2) ¿Qué valor recibirá recibi rá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la gráfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6% semestral.
3) ¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión de $30.000.000, la cual se incrementará $2.000.000 cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6,5% anual.
4) Ejercicios tomados del Grupo de Investigación GNÓSIS de la Universidad Libre sede Cartagena
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GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO 5) El valor de un torno se cancela en e n 18 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $ 30.000, y el valor de la primera es de $ 220.000. Si la tasa de interés es del 3,5% mensual, hallar el valor del torno. 6) Una deuda de $ 60.000.000 se va a financiar en 36 cuotas mensuales, que aumentan en $ 30.000 cada mes. Si la tasa de interés es del 2,8% mensual, determinar el valor de la primera cuota y el valor de la cuota 24. 7) En qué valor debe aumentar el valor de 48 cuotas mensuales, si se está financiando una obligación financiera que tiene un valor de $ 60.000.000, si se exige una primera cuota de $ 400.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual. 8) Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 40.000, pero el primer pago por valor de $ 500.000 se realizó 9 meses después de la fecha de la negociación, y la tasa de interés es del 3% mensual. Durante los primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 2,5% mensual. 9) El caso que se presenta a continuación, se refiere a una serie gradiente aritmética anticipada, en la cual los flujos de caja cada período crece en una cantidad constante de pesos con respecto al flujo anterior, pero el primer pago se realiza en el mismo momento en que se la operación financiera. ¿Cuál será el valor de un artículo que se financia en 36 cuotas mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $ 40.000, si la primera cuota tiene un valor de $ 150.000 y se paga el mismo día de la negociación? La tasa de interés es del 3% mensual. 10) En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 15% semestral, se hacen depósitos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 20.000, durante 12 años. Si el valor del primer depósito es de $ 300.000, calcular el valor acumulado al final del año doce. 11) Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 150.000.000 a una tasa de interés del 2,5% mensual, por medio de 60 cuotas mensuales que aumenten cada mes $ 20.000. Calcular el valor de la primera cuota y el saldo de la deuda después de cancelar la cuota No 45. 12) Un vehículo que al final de dos años tiene un valor de $ 30.000.000 se adquirirá haciendo depósitos mensuales durante los dos años, que aumentan cada mes en $ 50.000, si la entidad financiera reconoce el 2,5% mensual. ¿Cuál debe ser el primer depósito? 13) Una persona se dispone invertir en una institución financiera depósitos mensuales que aumentan cada mes en $ 70.000. Si comienza hoy con $ 800.000, ¿Cuál será el valor de la inversión al término de un año, sabiendo que le pagan un 2,5% mensual? 14) Una persona desea comprar un automóvil que cuesta hoy $ 25.000.000; para lo cual hará depósitos mensuales durante 18 meses, que aumenten cada mes a $ 45.000, en una entidad financiera que le reconoce el 2,8% mensual, Si la inflación promedio mensual es del 1,2%. ¿Cuál será el valor de la primera cuota? GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE VENCIDO 15) Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 20.000 cada mes, siendo la primera cuota $ 3900.000. Si la tasa de financiación que se cobra es del 2,5% mensual, calcular el valor de la vivienda. 16) En el ejercicio anterior, calcule la cuota 80. 17) Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15.000 cada mes, si se devenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 12 meses, si el depósito del primer mes es $ 600.000. 18) En el ejercicio anterior calcule la cuota No 6
2. GRADIENTE GEOMETRICO Para el gradiente geométrico, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante (1+G); si G es positiva el gradiente será con cuotas crecientes, si G es negativo el gradiente será decreciente
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y si G es igual a 0, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad. Para la deducción de modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo o valor presente (P) se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente geométrico, a una tasa de interés efectiva por periodo i , durante n periodos.
A A2 = A (1 + G) A3 = A2(1 + G) = A (1 + G) 2 A4 = A3(1 + G) = A (1 + G) 3
Primer pago Segundo pago Tercer pago Cuarto pago
……………………….
……………
An = A (1 + G) (n-1)
Ultimo pago A(1+G) n - 1
A(1+G) n - 2
A(1+G)
n-3
A(1+G)n - 4
A(1+G) 5
0
A(1+G) 0
A(1+G) 1
1
2
A(1+G) 2
3
A(1+G)3 A(1+G)
4
5
4
6
n-3
n-2
n-1
n
i = a%
P
Para esta clase de series de pagos se utiliza por lo general las siguientes variables, que posteriormente se convertirán en expresiones matemáticas que permiten el cálculo de procesos financieros:
F: valor futuro P: valor presente A: valor del primer pago n: número de pagos i: tasa de interés del período G: tasa de incremento por período (gradiente geométrico) GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO (GGV) En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan al final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido
VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico se puede calcular bajo dos condiciones:
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1) Si G i, entonces:
Dónde:
2) Si G = i; entonces:
(1 G ) n P= 1 (G - i) (1 i) n A
P=
Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
n *A (1 i)
cancel ando mediante el pago de una cuota inicial inici al de $5.000.000 y 24 cuotas mensuales EJEMPLO : Una obligación se está cancelando que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $1.500.000 y se cobra una tasa de interés del 4% mensual. Calcular: a) Valor de la obligación b) Valor de cuota 22 Datos: Cuota inicial = $5.000.000 Valor de la primera cuota A = $1.500.000 Numero de cuotas n = 24 Tasa de incremento por periodo G = 5% mensual Tasa de interés por periodo i = 4% mensual
Solución:
$1.500.000(1.04) 3 $5.000.000 $1.500.000
$1.500.000(1.04) 2 $1.500.000(1.04)
1
0
2
3
4
21 i = 4%
P
(1 G) n 1 P= (G - i) (1 i) n A
P=
P=
P=
1.500.000 (1 0.05) 24
(0.05 - 0.04) (1 0.04) 24
1
1.500.000 (1.05) 24
1 24 (0.01) (1.04)
1.500.000 3.225099944 1 (0.01) 2.563304165
22
23
24
Página 100 de 138 P=
1.500.000 (0.01)
0.258180745
P = $38.727.111,75
El valor de la obligación es $5.000.000 + $38.727.111,75 = $43.727.111,75 EJEMPLO : En el caso anterior si las dos tasas son iguales ( G = i); entonces la expresión apropiada es la siguiente: P=
n * A (1 + i)
Dónde: Valor del primer pago A = 1.500.000 Número de pagos n= 24 Tasa de interés del período i = 4% mensual Solución P=
24*1.500.000 (1 0.04)
36000000 (1 .04)
34.615.384,62
P = $34 .61 5.38 4,62
El valor de la obligación es $5.000.000 + $34.625.384.62= $39.615.384,62 PARA EL CACULO DE CUALQUIER CUOTA. Cn = A (1 + G) n- 1
Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO : Para calcular el valor de la cuota 22 Cn = A (1 G) n- 1 C 22 = 1.500.000(1 0.05) 22 - 1 C22 = 1.500.000(1.05) 21 C 22 = $4.178.943,886
El valor de cuota número 22 es de $ 4.178.943,886 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO Para hallar el valor futuro (F), de un gradiente geométrico se puede utilizar, bajo dos condiciones: 1). Si G i, entonces:
2). Si G = i, entonces:
Donde Valor del primer pago = A
Página 101 de 138
F=
A (G - i)
(1 G)
n
(1 i) n
F = n *A 1 i
n 1
Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO : Cuál será el valor final de un ahorro durante 36 semestres iniciando con un pago de $3.000.000 con un incrementos del 4%?. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo semestral. Datos: Valor de la primera cuota A = $3.000.000 Numero de pagos semestrales n = 36 Tasa de interés efectiva i = 3.5% semestral El gradiente tiene un crecimiento G = 4% semestral
Solución:
$3.000.000(1.04) 3
$3.000.000
$3.000.000(1.04) 2 $3.000.000(1.04)
1
0
2
4
3
33
34
35
36
i = 3.5%
P
Si G F= F=
F= F=
F=
i, entonces A
(G - i)
(1
G
3.000.000 (0.04 - 0.035)
)n
(1 i) n
(1
0.04) 36
(1 0.035) 36
3.000.000 (1.04) 36 (1.03 5) 36 (0.005) 3.000.000 (0.005)
4.103932554 3.450266111
3.000.000 0.653666442 (0.005)
F = $392.199.865,50
El valor del ahorro es de $ 392.199.865,50
Página 102 de 138
Ahora si consideramos que las dos tasas de interés son iguales, G = i; entonces el valor futuro será:
EJEMPLO: Cuál será el valor final de un ahorro durante 36 semestres iniciando con un pago de $3.000.000 con un incrementos del 4%?. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo semestral. Datos: Valor de la primera cuota A = $3.000.000 Numero de pagos semestrales n = 36 Tasa de interés efectiva i = 3.5% semestral El gradiente tiene un crecimiento G = 4% semestral
F = n * A 1+ i
n -1
Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i
Datos: Valor de la primera cuota A = $3.000.000 Numero de pagos semestrales n = 36 Tasa de interés efectiva semestral i = 3.5% El gradiente tiene un crecimiento G = 4% semestral
Solución
361
F = 36*30000001 0.035 3 5
F = 36*30000001.035 F = $360.027.768,20
Cuando G = i, el valor futuro es de $ 360.027.768.20 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO DADO (P)
Dónde: G - i 1 i n A = P n n ( 1 G) (1 i )
Valor presente = P Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO: Don Pablo compro el día de hoy una finca productiva por el valor de $ 450.000.000, se compromete cancelar en 72 cuotas cada mes la entidad financiera le propone incrementos del 3.5% mensual; además esta entidad reconoce una tasa de interés del 2.5% efectivo mensual. Don Pablo quiere saber el valor de primera cuota. Datos: Valor presente P = $ 450.000.000 Numero de pagos semestrales n = 72 Tasa de interés efectiva i = 2.5% semestral El gradiente tiene un crecimiento G = 3.5% mensual
Solución:
Página 103 de 138 A(1.035) 71
A(1.035) 3 A(1.035) 2 A
A(1.035)
1
0
2
3
4
69
70
71
72
i = 2.5%
$450.000.000
G - i 1 i n A = P n n (1 G) (1 i) 0.035 - 0.0251 0.02572 A = 450000000 72 72 ( 1 0 . 035 ) (1 0 . 025 )
0.035- 0.0251.02572 A = 450000000 72 72 (1.035) (1.025) 0.05917228 11 .90433624 5 .917228062
A = 450000000
A = $4.447.477,014
El valor de primera cuota (A) es de $ 4.447.477,014 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO DADO F
n n (1 G) (1 i)
A = F
G - i
Dónde: Valor futuro = F Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO: Anita hizo un ahorro y obtuvo una cantidad de $ 120.000.000 durante 48 meses, la entidad financiera le propuso incrementos del 4% mensual; además esta entidad reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo mensual. Anita quiere saber el valor de primera cuota. Datos: Valor futuro F = $ 120.000.000 Numero de pagos mensuales n = 48 Tasa de interés efectiva i = 3.5% mensual El gradiente tiene un crecimiento G = 4% mensual
Página 104 de 138
Solución: A(1.04) 47
A(1.04) 3 A(1.04) 2 A(1.04)
A
1
0
2
45
4
3
46
47
48
i = 3.5%
$120.000.000
n n (1 G) (1 i)
A = F
G - i
(1 0.035) 48
0.04 - 0.035
A = 12000000
(1 0.04)
48
0.04 - 0.035
A = 12000000
(1.04)
48
(1.035)
48
0.005 6.570528242 5 .213588981
A = 120000000
A = $ 442.171,60
El valor de primera cuota es $ 442.171,60. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO AL INFINITO Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico cuando el número de cuotas tiende al infinito, para este caso se puede calcular bajo dos aspectos:
Si, G < i, entonces P=
A (i - G)
Si, G
i, entonces
P =
Dónde: Valor del primer pago = A Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO : Cual será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en $4.000.000 con incrementos mensuales mensu ales del 1%. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1.5% efectivo efecti vo mensual. Datos: Valor de la primera cuota A = $4.000.000 Numero de pagos: infinitos Tasa de interés efectiva i = 1.5% mensual El gradiente tiene un crecimiento del G = 1% mensual
Solución:
Página 105 de 138 $8.107.324,0
$4.040.000
$4.080400
$4.121.204
$4.000.000
1
0
2
3
4
69
.
.
∞
i = 1.5%
P
P=
P=
P=
A (i - G) 4.000.000 (0.015- 0.01) 4.000.000 (0.005)
P = $800.000.000
El valor del ahorro es de $800.000.000 GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO (GGA) Si los flujos ocurren al inicio de cada período, se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO Dónde: P=A
(1 i) (1 G ) n
1 (G - i) (1 i) n
Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO: Juan Pedro realiza un compromiso financiero de cancelar con 36 cuotas iguales de $450.000 cada mes por anticipado, además la entidad financiera le propuso incrementos del 2.5% mensual. Si la tasa de interés acordado es del 1.2% mensual. A última hora, cambia de parecer y decide cancelar de contado; hallar este valor. Datos: Valor de la primera cuota A = $ 450.000 Numero de cuotas mensuales n = 36 Tasa de interés efectivo i = 1.2% mensual Gradiente o tasa de crecimiento G = 2.5% mensual
Solución:
Página 106 de 138
$1.067.942,34 $496.715,80
$450.000
$461.250
$484.600,78 $472.781,25
1
0
2
4
3
33
34
35
36
i = 1.2%
P
P=A
n (1 i) (1 G )
1 n (G - i) (1 i)
(1 0.025) 36 P = 450000 1 36 (0.025- 0.012) (1 0.012) (1 0.012)
(1.025 02 5) 36 P = 450000 1 36 (0.025- 0.012) (1.012 01 2) (1.012 01 2)
2.432535316 1 1.53637931
P = 35030769.23
P = $ 20.433.127,44
El valor que debe cancelar de contado $20.433.127,44. VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO
F=
A(1 i) (G - i)
(1 G)
n
(1 i) n
Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO : Carlitos decide ahorrar al principio de cada mes la suma de $ 980.000 en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés int erés del 2% mensual; además la entidad financiera propone incrementos del d el 2.5% mensual. El desea saber cuánto dinero tendrá disponible en la cuenta de ahorros final de un año y medio. Datos: Cuota mensual A = $980.000 Numero de cuotas mensuales n = 18 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual Tasa de incremento o gradiente G = 2.5% mensual
Solución:
Página 107 de 138
$1.491.185,90
$1.081.736,64 $1.055.352,81 $1.029.612,5
$1.004.500
$980.000
1
0
2
3
4
15
16
17
18
i = 2%
F
F= F=
F=
F=
A(1 i) (G - i)
(1
G)
n
980000(1 0.02) (0.025 - 0.02) 980000(1.02) (0.025 - 0.02)
(1 i) n
(1 0.025)
18
(1.025)
18
(1 0.02)18
(1.02)18
999600 0.005
1.559658718 1.428246248
F = $ 26.271.981,09
El dinero disponible en la cuenta de ahorros final de un año y medio es de $ 26.271.981,09 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO DADO (P)
A=
P
G - i 1 i n
1 i (1 G)n (1 i) n
Dónde: Valor presente = P Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO: Don Chucho recibe un préstamo hoy de $ 100.000.000 para pagarlo en 48 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 1.5% de interés mensual, además la entidad financiera le propone incrementos del 2.3% mensual; calcular el valor de las cuotas. Datos: Valor presente P = $100.000.000 Numero de cuotas n = 48 Tasa efectiva de interés i = 1.5% mensual Tasa de incremento o gradiente G = 2.3% mensual Solución
Página 108 de 138
A(1.023)47
A(1.023)0
A(1.023)1
A(1.023)2
1
0
2
A(1.023)4
A(1.023)3
45
4
3
46
47
48
i = 1.5%
$10.000.000
G - i 1 in A= 1 i (1 G)n (1 i) n P
100000000 0.023- 0.0151.015
48 48 02 3) (1.015) (1.023 48
A=
A=
A=
1 .015 100000000
1 .015
2.978725053 2 .043478289 0.008 * 2.043478289
100000000 0.016347826
1.015 0.935246764
A = $1.722.137,241
El valor de la primera cuota es de $ 1.722.137,24 VALOR PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO DADO (F) Dónde: A=
G - i 1 i (1 G) n (1 i) n F
Valor futuro = F Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G
EJEMPLO: Carlitos decide ahorrar al principio de cada mes una suma determinada, en una entidad financiera que le reconoce una tasa de interés del 2% mensual; además la entidad financiera le propuso incrementos del 2.5% mensual. Si el dinero disponible en la cuenta de ahorros al fin de año y medio es de $ 26.271.981,09. Calcular la suma que debe deposita al iniciar cada mes. Datos: Valor futuro F = $ 26.271.981,09 Numero de cuotas mensuales n = 18 Tasa efectiva de interés i = 2% mensual Tasa de incremento o gradiente G = 2.5% mensual
Solución:
Página 109 de 138
A(1.025) 17
A(1.025)0
A(1.025)1
A(1.025)2
1
0
2
A(1.025)3
A(1.025) 4
15
4
3
16
17
18
i = 2%
$26.271.981,09
A=
G - i 1 i (1 G)n (1 i) n F
0.025 - 0.020 18 18 1 0.020 (1 0.025) (1 0.020) 0.025- 0.020 26271981.09 A= 1 .020 02 0 02 5)18 (1.020 02 0)18 (1.025
A=
A=
26.271.981,09
0.005 1 .02 0 1.559658718 1.428246248 26271981.0 9 0.005 1 .02 0 0.13141247
26271981.0 9
A =
A = $ 980.000
La suma que debe deposita al iniciar cada mes es $ 980.000
3. GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO Se conoce como gradiente diferido aquella serie en la que el primer pago de la serie se hace varios períodos después de iniciada la operación financiera. El lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivo se denomina período de gracia o tiempo muerto, y se identifica con ( r ) y el lapso de tiempo durante el cual se dan los movimientos de efectivo, se identifica con ( s ). VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO Este gradiente resulta de la suma del valor presentes de la serie uniforme más el valor presente de la serie variable
Dónde: P=
(1 i) 1 K (1 i) 1 s (1 i) r i(1 i)s i(1 i) r i(1 i)s (1 i)s A
s
s
(1 i)s 1 1 s P= s A (1 i) 1 K (1 i) r (1 i) s i i
Tasa periódica de interés = i Número total de meses = n Número de meses muertos = r Número de meses de movimientos de efectivo = s Valor primera cuota = A Cuota adicional constante = K
Página 110 de 138
B anco Agrario y se compromete cancelar en 42 meses de la siguiente EJEMPLO: Don Pedro solicita un préstamo hoy en el Banco manera: le dan un lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivo denominado período de gracia o tiempo muerto de 6 meses (r ) con una tasa de interés del 2.5%; después de este lapso de tiempo empieza a cancelar el complemento de los meses 36 (s); además el valor de la primera cuota es de $250.000 y un gradiente de $75.000. Don Pedro necesita saber el valor del préstamo. Datos: Tasa periódica de interés i = 2.5% mensual Número total de meses n = 42 Número de meses muertos r = 6 Número de meses de movimientos de efectivo s = 36 Valor primera cuota A = $250.000 Cuota adicional constante K = $75.000
Solución: $2.950.000
$325.000 $250.000
0
2
1
***
7
8
39
40
41
42
i=2.5%
P
(1 i)s 1 s P= s A(1 i) 1 K (1 i)r (1 i)s i i 1
(1 0.025 02 5) 36 1 36 P= 2 50000 ( 1 0 . 025 02 5 ) 1 75000 3 6 (1 0.025)6 (1 0.025 02 5) 36 0.025 02 5 0.025 1
(1.025) 36 1 36 P= 2 50000 ( 1 . 025 ) 1 75000 3 6 (1.025)6 (1.025) 36 0.025 0.025 1
7500057.30141263 36
P = 14.17939317250000 1.432535316
P = 14.17939317358133.829 1597605.947
P = $27.731.203.22 .22
El préstamo que don Pedro adquirió el día de hoy es de $ 27.713.203,22 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO En algunas ocasiones cuando hay tiempo muerto tiene y una tasa de interés diferente a la tasa de interés en el número de meses de movimientos de efectivo; para este caso se debe utilizar la siguiente expresión:
Página 111 de 138
Dónde: P=
(1 i )
1 1 s A K r s s (1 i r ) i s (1 i s ) i s (1 i s ) 1 s
s
Número total de meses = n Tasa periódica de interés en tiempo muerto muer to = ir Número de meses muertos = r Número de meses de m ovimientos entos de efectivo = s Tasa de interés en el tiempo de d e movimiento efectivo efectivo =is Valor primera cuota = A Cuota adicional constante = K
EJEMPLO : Suponiendo que Don Pedro solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario y se compromete cancelar en 42meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo tiempo durante el cual no hay movimiento de efe efectivo ctivo denominado período de gracia o tiempo muerto 6 meses ( r ) a una tasa de interés de 1.5%; después de este lapso de tiempo empieza a cancelar el complemento que son 36 meses (s) en este periodo de tiempo la tasa de interés es de 2.5%; el valor de la primera cuota es de $250.000 y un gradiente aritmético diferido de $75.000. Don Pedro necesita saber el valor del préstamo. Datos: Número total de meses n = 42 = 1.5% mensual Tasa periódica de interés en tiempo muerto i r = Número de meses muertos r = 6 Número de meses de movimientos de efectivo s = 36 Tasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo is = 2.5% mensual Valor primera cuota A = $250.000 Cuota adicional constante K = $75.000
Solución : $2.950.000
$325.000 $250.000
0
2
1
***
7
8
39
40
iS =2.5%
ir =1.5%
P
P=
P=
P=
(1 i )
1 (1 i r ) r i s (1 i s )s s
s
02 5) (1 0.025
1 s A K i (1 i ) s 1 s s
1 (1 0.015)6 0.025(1 0.025 02 5) 36
(1.025) 6
36
36
1
(1.015) 0.025(1.025)
36
1 36 250000 75000 36 0.025 (1 0 . 02 5 ) 1
1 36 250000 75000 36 0.025 (1 . 025 ) 1
41
42
Página 112 de 138
P=
1.432535316 250000 7500040 25.13027051 0.070524879
P=
1.432535316 250000 1115229.71 2 0.066495983
P = $ 29.411.397,33
Bajo las nuevas condiciones el préstamo que don Pedro adquirió el día de hoy es de $ 29.411.397,33 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO Dónde:
i s (1 i s ) 1 s K s s (1 is ) 1 i s (1 i s ) 1 s
A = P(1 i r ) r
Valor presente = P Número de periodos mensuales = n Tasa de interés en el tiempo muerto = ir Tasa de interés en el tiempo no muerto = is Número de periodos muertos = r Número de periodos no muertos = s Incremento constante mensual = K
EJEMPLO: Don Carlos solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario de $ 150.000.000 y se compromete cancelar en 36 meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo muerto de 6 meses a una tasa de interés del 2%; después de este tiempo de 30 meses empieza empiez a a cancelar de la siguiente manera: tasa de interés i nterés 2.5%; además el valor de un gradiente aritmético diferido de $500.000. Don Carlos necesita saber el valor de la primera cuota a cancelar. Datos: Valor presente P = $150.000.000 Numero de periodos mensuales n = 36 Tasa de interés en el tiempo muerto ir = = 2% mensual Tasa de interés en el tiempo no muerto is = 2.5% mensual Numero de periodos muertos r = 6 Numero de periodos no muertos s = 30 Incremento constante mensual K = $500.000
Solución : A+30*$500.000
A+1*$500.000 A+0*$500.000
0
1
2
i r = 2%
$150.000.000
***
7
8
33 i S =2.5%
34
35
36
Página 113 de 138
i s (1 i s )s 1 s A = P(1 P( 1 i r ) K s s (1 i s ) 1 i s (1 is ) 1 r
0.025(1 0.025 1 02 5) 30 30 A = 150000000(1 0.02) 500000 30 30 02 5) 1 02 5) 1 0.025 (1 0.025 (1 0.025 6
0.025(1.025) 30 1 30 500000 30 30 0.025 (1.025) 1 (1.025) 1
A = 150000000(1.02)6
50000040 27.33316888
A = 168924362. 9 0.04777764 A = 8070807.397 6333415.56
A = $ 1.737.391,817 81 7
El valor de la primera cuota a cancelar es de $ 1.737.391,817
4. GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO (GGD) Se tendrá un gradiente geométrico creciente diferido, si los flujos se presentan en períodos posteriores a la fecha de realizada la operación financiera VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO
Dónde: A (G 1) (1 i) ( G - i)(1 i) r (1 i) s s
P=
s
Tasa periódica de interés = i Número de periodos mensuales = n Número de mensuales muertos = r Tiempo de movimiento de efectivo = s Valor de la primera cuota = A Tasa de interés en el movimiento efectivo = G
EJEMPLO: A Tomas le hacen un préstamo y desea conocer el valor presente si se compromete bajo un gradiente geométrico diferido del 1%; si el valor de la primera cuota es de $ 1.200.000 pagaderos en un tiempo de 42 meses, la entidad financiera da un tiempo muerto de 6 meses y en los restantes 36 se incrementa en forma geométrica; la tasa periódica de interés es del 1.5% efectivo mensual. Datos: Tasa periódica de interés i = 1.5% mensual Numero de periodos mensuales n = 42 Numero de mensuales muertos r = 6 Tiempo de movimiento de efectivo s = 36 Valor de la primera cuota A = $ 1.200.000 Tasa de interés en el movimiento efectivo G = 1% mensual Solución:
Página 114 de 138 $1.200.000(1.01)36
$1.200.000(1.01) 1 $1.200.000(1.01) 0
0
2
1
***
8
7
39
40
41
42
ir = 1.5%
P
P= P=
P=
P=
P=
A (G 1) s (1 i) s r s ( G - i)(1 i) (1 i) 1200000 ( 0.01- 0.015)(1 0.015 01 5) 6 (1 0.015 01 5) 36 1200000
(0.01 1)
36
(1 0.015 01 5) 36
6
36
(0.01 1)
6
36
(0.01
6
36
1.430768784 1.709139538
( 0.01- 0.015)(1.015) (1.015) 1200000 ( 0.01- 0.015)(1.015) (1.015)
1200000 ( 0.01- 0.015)(1.015) (1.015)
36
1) 36
(1.015) 36
(1.015) 36
P = 128421419.91.430768784 1.709139538
P = $35.748.767,49
El préstamo hoy de Tomas es de $ 35.748.767,49 35.748.767,49 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE GEOMETRICO DIFERIDO
A=
P(1 i) r (G - i)(1 i)s (G 1)s
(1 i)s
Dónde: Tasa periódica de interés = i Número total de periodos = n Número de periodos muertos = r Número de periodos activos = s Gradiente geométrico = G Valor presente = P
EJEMPLO: Anita solicita un préstamo en una entidad financiera por un valor de $ 35.748.768; la entidad financiera le propone cancelar las 42 cuotas según las condiciones siguientes: s iguientes: la da un tiempo muerto muerto de 6 meses y los restantes restantes 36 según un gradiente que se incrementa en forma geométrica con una tasa de interés de 1%. Anita desea conocer el valor de la primera cuota. Datos:
Página 115 de 138
Tasa periódica de interés i = 1.5% mensual Número total de periodos n = 42 Numero de periodos muertos r = 6 Numero de periodos activos s = 36 Gradiente geométricos G = 1% mensual Valor presente P = $35.748.768
Solución: A(1.01) 36
A(1.01)1 A(1.01)0
0
2
1
***
8
7
39
i r = 1.5%
$35.748.768
A=
A=
A=
A=
P(1 i) r (G - i)(1 i)s (G 1)s (1 i)s 35748768(1 0.015)6 (0.01 - 0.015)(1 0.015) 36 (0.01 1)
36
(1 0.015)
36
35748768(1.015)6 (0.01 - 0.015)(1.015)36 (1.01)
36
(1.015)36
35748768(1.015)6 (0.005)(1.015) 36 (1.01) 36 (1.015) 36
A=
334044.9097 1.430768784 1.709139538
A=
334044.9097 0.278370754
A = $ 1.200.000
El valor de la primera cuota que debe Anita es de $ 1.200.000.
40
41
42
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APLIQUEMOS LO APRENDIDO 31 1) ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en $2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 7% efectivo anual
2) ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos
anuales iniciando en $2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 10% efectivo mensual
3) ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de $3´000.000 e
incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3,5% efectivo semestral.
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4) ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de $3´000.000 e
incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 4% efectivo semestral
5) ¿Cuál será el valor valo r de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en $4´000.000
con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1,5% efectivo mensual
Ejercicios tomados del Grupo de Investigación GNÓSIS de la Universidad Libre sede Cartagena
GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE obligaci ón se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. Si el valor de la l a primera 6) Una obligación cuota es $ 850.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación,
b) El valor de la cuota 18. 7) Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000.000, se le plantea el siguiente plan: 20%
de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5% mensual, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000.000, si la tasa de financiación es del 2,8 mensual, calcular el valor de la primera cuota.
8) Calcular Calcula r el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del 3% mensual,
siendo el primer pago de $ 2.500.000
9) Se hacen depósitos trimestrales que crecen en un 4% durante 3 años, en una institución financiera que paga el 7,5%
trimestral, si se desea tener disponible $ 5.000.000, determinar el primer pago.
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GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE 10) Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2,5%, siendo el primer pago
de $ 650.000. La tasa de Interés es del 24% NS.
11) Encuentre la cuota 12 del ejercicio anterior 12) Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una institución financiera si se hacen 12 depósitos trimestrales que
decrecen en un 4%, siendo el primer depósito de $ 3.200.000 y se devenga una tasa de interés del 6% trimestral. Encontrar la cuota 7. 13) Un préstamo de $ 20.000.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen en 1,8% cada mes, determinar
el primer pago o cuota si la tasa de financiación es del 2% mensual.
GRADIENTE ARITMETICO PERPETUO 14) Encontrar el valor presente de una serie de flujos de caja a perpetuidad que crecen en $ 10.000, si el primer flujo vale
$ 200.000 y la tasa de interés es del 2,5%.
15) Actualmente las acciones de una empresa cuestan $ 10.000 y están pagando un dividendo mensual de $ 100. Por
experiencia de los últimos 5 años se sabe que cada mes el valor del dividendo se viene incrementando en $ 1 y se espera mantener esta tendencia en el futuro. Calcular el costo de capital en estas condiciones.
GRADIENTE GEOMETRICO PERPETUO 16) Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el
primer pago es $ 300.000.
17) El valor comercial de una acción de una empresa es actualmente de $ 8.000 y desea hacerse una nueva emisión de
acciones, manteniendo la tendencia de aumentar los dividendos mensualmente, en un 1,5%. ¿Cuál será el costo de capital, si el dividendo actual es de $ 75 por mes y por acción?
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VI OTROS EJEMPLOS DE AMORTIZACIONES Una amortización financiera se define como el proceso por medio del cual se cancela una deuda, junto con sus respectivos intereses, intereses , mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En términos concretos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes: intereses y abono a capital. Al diseñar un plan de amortización de una deuda se acostumbra construir la tabla de amortización, que registra período a período la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestra los períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota periódica, la tercera el valor los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada período. TABLA DE AMORTIZACION
No
CUOTA (A)
INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTALES Cuando se adquiere una obligación, su pago se pacta con una serie de condiciones mínimas que determina el comportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema de amortización, es necesario conocer cuatro datos básicos:
Valor de la deuda valor presente. P Plazo durante el cual estará vigente la obligación n Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelación de la deuda. Este costo financiero es la tasa de interés cobrada en la operación financiera i. El patrón de pago del crédito . Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A.
Como sabemos que amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. En las amortizaciones de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el valor de la deuda. Existen varios métodos de cálculo de la amortización, de los activos inmovilizados (cuotas fijas, crecientes, decrecientes.). Se trata de técnicas aritméticas para repartir un importe determinado, el valor a amortizar, en varias cuotas, correspondientes a varios periodos. 1. AMORTIZACIÓN CON PAGO UNICO AL FINAL DEL PLAZO En este sistema, se pagan periódicamente los intereses y al final del plazo del crédito se devuelve el capital prestado.
EJEMPLO . Una deuda de $20.000.000 se va a financiar a 12 meses a una tasa de interés del 2.5% mensual. Los pagos mensuales serán únicamente intereses y el capital se pagará al final del plazo del crédito. Construir la tabla de amortización.
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Datos: Valor presente P = $ 20.000.000 Tasa efectiva de Interés i = 2.5% mensual Tiempo de financiación n = 12 meses
Solución: Calcular el valor de los intereses mensuales. I = P*i = 20.000.000*0.025 = 500.000 = $ 500.000 Abono capital = cuota – interés; Cuota = abono a capital + interés TABLA 1: AMORTIZACION PAGO ÚNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
20.000.000,0 CUOTA (A)
2,50% INTERESES ( I )
500.000,0 ABONO A CAPITAL (A – I)
500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 20.500.000,0 26.000.000
500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 500.000,0 6.000.000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000.000,0 20.000.000
SALDO 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 20.000.000,0 -
2. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA Este sistema, llamado también sistema de amortización simple o crédito plano, tiene la característica que los pagos son iguales y periódicos, o sea, que hace referencia a la anualidad o serie uniforme. En la vida práctica es el sistema más utilizado por los Bancos y casas comerciales para financiamiento de artículos de consumo, créditos bancarios y de vivienda. Tiene la particularidad que desde el pago de la primera cuota, el saldo de la deuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el valor de la cuota sobre pasa el costo financiero.
EJEMPLO . Un electrodoméstico que vale de contado $ 5.000.000 se financia de la siguiente forma: una cuota inicial (Ci) de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés de financiación que se cobra es del 30% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $5.000.000 Cuota inicial Ci = $500.000 Tasa de interés capitalizable mensualmente del i = 30% anua capitalizable mensual Numero de cuotas n = 6 Solución : i. = 0.30/12 = 0.025 = 2.5% i(1 i ) n A = (P-Ci) n (1 i ) 1
Página 121 de 138 ) 6 =4.500.000 0.025(1.025) 6 = A=(5.000.000-500.000) 0.025(1 0.025 (1.025) 6 1 (1 0.025) 6 1
130465 .55095 0.159693418
=$816.974,87
A = Abono a capital + Intereses = $ 816.974,87
TABLA 2: AMORTIZACION SISTEMA DE CUOTA FIJA 5.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
2,50% CUOTA (A) 500.000,00 816.974,87 816.974,87 816.974,87 816.974,87 816.974,87 816.974,87 $ 5.401.849,22
INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
112.500,00 94.888,13 76.835,96 58.332,49 39.366,43 19.926,22 $ 401.849,22
704.474,87 722.086,74 740.138,91 758.642,38 777.608,44 797.048,65 $ 4.500.000,00
SALDO 4.500.000,00 3.795.525,13 3.073.438,39 2.333.299,48 1.574.657,09 797.048,65 0,00
3. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS Básicamente casi es el mismo sistema de amortización con cuota fija, pero con la diferencia de que en el plazo del crédito se hacen abonos adicionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas periódicas. EJEMPLO . Un vehículo que tiene un valor de contado $ 20.000.000 se piensa financiar de la siguiente forma: cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1.500.000 y 2 cuotas extraordinarias de 1.994.324.21 en los meses 6 y 12 y tasa de interés 3% mensual; construir la tabla de amortización. Datos: Valor de contado = $ 20.000.000 Cuota inicial Ci = $ 2.000.000 Numero de cuotas n = 12 Cuotas mensuales A = $1.500.000 Cuotas extraordinarias = 2 Tasa de interés i= 3% mensual
TABLA3: AMORTIZACION CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS 20.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
3,00% CUOTA (A) 2.000.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 3.494.324 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 3.494.324 23.988.648
1.994.324 INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
540.000 511.200 481.536 450.982 419.512 387.097 293.880 257.696 220.427 182.040 142.501 101.776 3.988.648
960.000 988.800 1.018.464 1.049.018 1.080.488 3.107.227 1.206.120 1.242.304 1.279.573 1.317.960 1.357.499 3.392.548 18.000.000,0
SALDO 18.000.000,00 17.040.000 16.051.200 15.032.736 13.983.718 12.903.230 9.796.002 8.589.882 7.347.579 6.068.006 4.750.046 3.392.548 0
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4. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA El período de gracia o tiempo muerto es un período en el cual no hay amortización de capital, pero si hay causación de intereses. Si los intereses se pagan periódicamente, el capital inicial permanece constante y sobre éste mismo se calculan las cuotas. Si los intereses causados no se pagan, estos se capitalizan y la deuda habrá aumentado al final del período de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortización.
EJEMPLO . Una deuda de $ 20.000.000 se va a cancelar con 4 pagos trimestrales iguales, a una tasa del 9% trimestral, con un período de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tabla de amortización, suponiendo: Datos: Valor presente P = $ 20.000.000 Numero de cuotas trimestrales n = 4 Tasa de interés i = 9% trimestral Periodo de gracia = 6
Solución:
4.1 Durante el período de gracia los intereses causados se pagan periódicamente. En este caso, cada trimestre se debe pagar los intereses causados por la obligación inicial a la tasa de interés pactada. Como los intereses se pagan, el capital inicial no cambia. I = P.i I = 20.000.000*0.09 = 1.800.000 I = $ 1.800.000 trimestral A = P
i(1 + i) n (1 + i) n -
4 4 A = 20.000.000 0.09(1 0.409) = 20.000.000 0.09(1.409) = 2.54 0.84 6.90 = 6.173.373.24
(1 0.09) 1
(1.09) 1
0.411581609
A = $ 6.173.373.24 TABLA 4: AMORTIZACION SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA
20.000.000,0
9,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
1.800.000,00 1.800.000,00 6.173.373,24 6.173.373,24 6.173.373,24 6.173.373,24 $ 28.293.492,96
INTERESES ( I ) 1.800.000,00 1.800.000,00 1.800.000,00 1.406.396,41 977.368,49 509.728,07 $ 8.293.492,97
ABONO A CAPITAL (A – I) 00 4.373.373,24 4.766.976,83 5.196.004,75 5.663.645,17 $19.999.999,99
SALDO 20.000.000,00 20.000.000,00 20.000.000,00 15.626.626,76 10.859.649,93 5.663.645,18 0,01
4.2 Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan. Este caso despierta confusión entre los usuarios de un préstamo, porque al no hacer el pago periódico de cuotas durante el período de gracia creen que siempre están debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante el período de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del préstamo sobre el cual se hará el cálculo de las cuotas periódicas.
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En este caso los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan de tal forma que, al final del mes 6 el capital inicial se ha transformado en: TABLA 5: AMORTIZACION.LOS INTERESES SE CAPITALIZAN
20.000.000,0
9,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 TOTAL
7.334.584,75 7.334.584,75 7.334.584,75 7.334.584,75 $ 29.338.339,00
INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
1.800.000,00 1.962.000,00 2.138.580,00 1.670.939,57 1.161.211,51 605.607,91 $ 9.338.338,99
1.800.000,00 1.962.000,00 5.196.004,75 5.663.645,18 6.173.373,24 6.728.976,84 $ 20.000.000,01
SALDO 20.000.000,00 21.800.000,00 23.762.000,00 18.565.995,25 12.902.350,07 6.728.976,83 -0,01
F = P(1 + i)n F = 20.000.000 *(1 + 0.09) 2 F = $ 23.762.000 Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales. A = P
i(1 + i) n (1 + i) n -
4 = 23.762.000 0.09(1 .0.409) = $ 7.334.584.75
(1 0.09) 1
A = $ 7.334.584.75
5. AMORTIZACION DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL Este es uno de los sistemas de amortización utilizados por los bancos para sus créditos ordinarios y de consumo, como también para la amortización de los créditos de vivienda. Aunque los intereses pueden ser cobrados en forma vencida o anticipada , la amortización al capital es constante, es decir, cada período se s e abona al capital una cantidad constante igual al monto del préstamo dividido entre el número de períodos de pago. En el siguiente ejemplo se analizará los intereses en forma vencida y en forma anticipada. 5.1 CON INTERESES VENCIDOS EJEMPLO. El Banco Ganadero concede un crédito por valor de $ 100.000.000 a una tasa de interés del 36% trimestre vencido, con un plazo de 1 año. La restitución del capital se hará en 4 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $ 100.000.000 Tasa de interés vencido i = 36% trimestral Plazo de = 1 año Numero de cuotas trimestrales n = 4
Solución: Calculamos las 4 cuotas, mediante la siguiente ecuación con intereses vencidos:
Ck =
P n
+ P* i
1
La primera cuota:
K 1 n
, Dónde: Ck = valor de cada una de las cuotas para: k = 1,2,3,4,…
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C1 =
100.000.000 4
100.000.000* 0.09
1 1 , 1 4
C1 = 25.000.000 + 9.000.000 = 34.000.000 La segunda cuota: C2 =
100.000.000 4
100.000.000* 0.09
1
2 1 4
,
C2 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000
La tercera cuota: C3 =
10 0.00 0.00 0 4
3 1 , 100 10 0.000 00 0.000 00 0* 0.09 1
4
C3 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000 La cuarta cuota: C4 =
100.000.000 4
100.000.000
*
0.09
1
4
1 , 4
C4 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000 TABLA 6: AMORTIZACION CON INTERESES VENCIDOS
100.000.000,0
9,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 TOTAL
34.000.000,00 31.750.000,00 29.500.000,00 27.250.000,00 $ 122.500.000,00
INTERESES ( I ) 9.000.000,00 6.750.000,00 4.500.000,00 2.250.000,00 $ 22.500.000,00
ABONO A CAPITAL (A – I) 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 $ 100.000.000,00
SALDO 100.000.000,00 75.000.000,00 50.000.000,00 25.000.000,00 -
5.2 CON INTERESES ANTICIPADOS Este es el caso utilizado con mayor frecuencia por los bancos para amortizar los créditos a corto plazo. La amortización del capital se hace con cuotas constantes pagaderas al final del período, pero los intereses son cobrados en forma anticipada.
EJEMPLO . Con los datos del ejemplo anterior, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construir la tabla de amortización, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado. Dividimos la tasa nominal : i. = j/m = 0.36/4 = 0.09 = 9% En el momento de hacer el desembolso del préstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es: I = P.i = 100.000.000*0.09 = $ 9.000.000 Luego calculamos las 4 cuotas mediante la siguiente ecuación: Ck =
P n
P*i 1
K n
,
Dónde: Ck = valor de cada una de las cuotas para cada valor de k = 1,2,3,4,… La primera cuota:
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C1 =
100.000.000 4
100.000.000*0.09 1
1
4
,
C1 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000
La segunda cuota: C2 =
100.000.000 4
1
2
100.000.000*0.09 1
3
100.000.000* 0.09
,
4
C2 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000
La tercera cuota: C3 =
100.000.000 4
4
,
C3 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000
La cuarta cuota: C4 =
100.000.000 4
100.000.000
*
0.09
1
4
4
,
C4 = 25.000.000 + 0 = 25.000.000 La tabla de amortización será: TABLA 7: AMORTIZACION CON INTERESES ANTICIPADOS
100.000.000,0
9,00%
No
CUOTA (A)
INTERESES ( I )
31.750.000,00 29.500.000,00 27.250.000,00 25.000.000,00 $ 113.500.000,00
9.000.000,00 6.750.000,00 4.500.000,00 2.250.000,00 $ 13.500.000,00
0 1 2 3 4 TOTAL
ABONO A CAPITAL (A – I) 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 $ 100.000.000,00
SALDO 100.000.000,00 75.000.000,00 50.000.000,00 25.000.000,00 -
6. AMORTIZACION ACUOTAS FIJA MES ANTICIPADO EJEMPLO. Se obtiene una obligación de $ 212.491.72 y pacta cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000 cada una por mes anticipado , construir la tabla de amortización correspondiente. TABLA 8: AMORTIZACION: SISTEMA DE CUOTA FIJA MES ANTICIPADO 212.491,78
3,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5
15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00
INTERESES ( I ) 5.924,75 5.652,50 5.372,07 5.083,23 4.785,73
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
9.075,25 9.347,50 9.627,93 9.916,77 10.214,27
197.491,78 188.416,53 179.069,03 169.441,10 159.524,33 149.310,06
Página 126 de 138
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 TOTAL
15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 $ 270.000,00
4.479,30 4.163,68 3.838,59 3.503,75 3.158,86 2.803,63 2.437,74 2.060,87 1.672,69 1.272,88 861,06 436,89 $ 57.508,22
10.520,70 10.836,32 11.161,41 11.496,25 11.841,14 12.196,37 12.562,26 12.939,13 13.327,31 13.727,12 14.138,94 14.563,11 $ 197.491,78
138.789,37 127.953,05 116.791,64 105.295,39 93.454,25 81.257,88 68.695,61 55.756,48 42.429,17 28.702,05 14.563,11 0,00
7. AMORTIZACION DE CUOTA FIJA CON INTERÉS GLOBAL Este sistema de pagos consiste en abonar una porción al capital, los intereses se siguen cobrando sobre el capital prestado inicialmente. Lo importante es diseñar la tabla de amortización para observar el comportamiento del crédito.
EJEMPLO. Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelar por medio de 4 cuotas trimestrales iguales con interés global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y diseñar la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $ 10.000.000 Numero de cuotas trimestrales n = 4 Tasa de interés global i = 6% trimestral Valor de cuota A = ? A =
P n
+ P* i
=
10.00 0.00 0 4
10.000.000* 0.06
Solución: = $ 3.100.000
TABLA 9: AMORTIZACION SISTEMA DE CUOTA FIJA (CON INTERÉS GLOBAL) 10.000.000,0
6,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 TOTAL
3.100.000,00 3.100.000,00 3.100.000,00 3.100.000,00 $ 12.400.000,00
INTERESES ( I ) 600.000,00 600.000,00 600.000,00 600.000,00 $ 2.400.000,00
ABONO A CAPITAL (A – I) 2.500.000,00 2.500.000,00 2.500.000,00 2.500.000,00 $ 10.000.000,00
SALDO 10.000.000,00 7.500.000,00 5.000.000,00 2.500.000,00 -
EJEMPLO . Se compró un electrodoméstico con una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales vencidas de $ 200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del electrodoméstico y la tabla de amortización correspondiente. G 210 E5.2) Datos: Cuota inicial Ci = $ 1.000.000 Numero de cuotas mensuales n =12 Valor de las cuotas mensuales A = $ 200.000 Tasa de interés i = 2.5% mensual Solución:
Página 127 de 138 P
(1 i) n 1 Ci A n i(1 i )
P
(1 0.02 025 5)12 1 = 3.051.552.92 1.00 000 0.00 000 0 20 200 0.00 000 0 025 5(1 0.02 025 5)12 0.02
TABLA 10: AMORTIZACION VALOR DEL VEHICULO 3.051.552,92
2,50%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
1.000.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 $ 3.400.000,00
INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
51.288,82 47.571,04 43.760,32 39.854,33 35.850,69 31.746,95 27.540,63 23.229,14 18.809,87 14.280,12 9.637,12 4.878,05 $ 348.447,08
148.711,18 152.428,96 156.239,68 160.145,67 164.149,31 168.253,05 172.459,37 176.770,86 181.190,13 185.719,88 190.362,88 195.121,95 $ 2.051.552,92
SALDO 2.051.552,92 1.902.841,74 1.750.412,79 1.594.173,11 1.434.027,43 1.269.878,12 1.101.625,07 929.165,70 752.394,84 571.204,71 385.484,83 195.121,95 0,00
8. OTROS CASOS SOBRE AMORTIZACIONES EJEMPLO. Se compra un artículo con una cuota inicial de$ 3.387.108,42 y 24 cuotas mensuales vencidas de $ 800.000. La tasa de interés de financiación es del 3% mensual. Calcular el valor del artículo y la tabla de amortización correspondiente (PAG 214 E5.3) Datos: Cuota inicial Ci = $3.387.108,42 Numero de cuotas n = 24 Cotas mensuales A = $ 800.000 La tasa de interés de financiación i = 3% mensual Valor presente P = ?
Solución:
P
(1 i) n 1 Ci A n i(1 i )
P
(1 0.03) 24 1 = $16.935.542,12 3.38 7.10 8.42 80 0.00 0 24 0.03(1 0.03)
TABLA 11: AMORTIZACION 16.935.542,12
3,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3
3.387.108,42 800.000,00 800.000,00 800.000,00
INTERESES ( I ) 406.453,01 394.646,60 382.486,00
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
393.546,99 405.353,40 417.514,00
13.548.433,70 13.154.886,71 12.749.533,31 12.332.019,31
Página 128 de 138
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 TOTAL
800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 $ 22.587.108,42
369.960,58 357.059,40 343.771,18 330.084,31 315.986,84 301.466,45 286.510,44 271.105,76 255.238,93 238.896,10 222.062,98 204.724,87 186.866,61 168.472,61 149.526,79 130.012,59 109.912,97 89.210,36 67.886,67 45.923,27 23.300,97 $ 5.651.566,30
430.039,42 442.940,60 456.228,82 469.915,69 484.013,16 498.533,55 513.489,56 528.894,24 544.761,07 561.103,90 577.937,02 595.275,13 613.133,39 631.527,39 650.473,21 669.987,41 690.087,03 710.789,64 732.113,33 754.076,73 776.699,03 $ 13.548.433,70
11.901.979,89 11.459.039,29 11.002.810,46 10.532.894,78 10.048.881,62 9.550.348,07 9.036.858,51 8.507.964,27 7.963.203,19 7.402.099,29 6.824.162,27 6.228.887,14 5.615.753,75 4.984.226,36 4.333.753,16 3.663.765,75 2.973.678,72 2.262.889,08 1.530.775,76 776.699,03 -0,00
EJEMPLO . Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas vencidas y la tabla de amortización. (PAG 217 E5.5) Datos: Valor del terreno = $20.000.000 Cuota inicial Ci = 10%, Ci = $2.000.000 Valor presente P = $20.000.000 - $2.000.000 = $18.000.000 Tasa de interés i = 2% mensual Solución : i (1 i ) n A P (1 i ) n 1 A
0.02(1 0.02)12 = 1.702.072,74 18.000.000 12 ( 1 0 . 02 ) 1
TABLA 12: AMORTIZACION 20.000.000,0
2,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6
2.000.000,00 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74
INTERESES ( I ) 360.000,00 333.158,55 305.780,26 277.854,41 249.370,05 220.315,99
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
1.342.072,74 1.368.914,19 1.396.292,48 1.424.218,33 1.452.702,69 1.481.756,75
18.000.000,00 16.657.927,26 15.289.013,07 13.892.720,59 12.468.502,26 11.015.799,57 9.534.042,82
Página 129 de 138
7 8 9 10 11 12 TOTAL
1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 22.424.872,87
190.680,86 160.453,02 129.620,62 98.171,58 66.093,56 33.373,98 2.424.872,87
1.511.391,88 1.541.619,72 1.572.452,11 1.603.901,16 1.635.979,18 1.668.698,76 18.000.000,00
8.022.650,94 6.481.031,22 4.908.579,10 3.304.677,94 1.668.698,76 -0,00
EJEMPLO. Se tiene un crédito de $5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $ 50.000 más dos cuotas extras de $ 2.802.277,50 pagaderos en los meses 6 y 12. Si la operación financiera se realiza con un interés del 3% mensual, construir la tabla de amortización. (PAG 219 E5.6) Datos: Valor presente P = $5.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 18 Valor de la cuota mensual A = $ 50.000 Dos cuotas extras de = $ 2.802.277,50 en los meses 6 y 12 Tasa de interés i = 3% mensual
TABLA13: AMORTIZACION 5.000.000,0
3,00%
2.802.277,50
No
CUOTA (A)
INTERESES ( I )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 TOTAL
50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 2.852.277,50 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 2.852.277,50 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 6.204.555,00
150.000,00 153.000,00 156.090,00 159.272,70 162.550,88 165.927,41 85.336,90 86.397,01 87.488,92 88.613,59 89.772,00 90.965,16 8.125,79 6.869,56 5.575,65 4.242,92 2.870,20 1.456,31 1.475.414,57
ABONO A CAPITAL (A – I) 100.000,00 103.000,00 106.090,00 109.272,70 112.550,88 2.686.350,09 35.336,90 36.397,01 37.488,92 38.613,59 39.772,00 2.761.312,34 41.874,21 43.130,44 44.424,35 45.757,08 47.129,80 48.543,69 4.729.140,43
SALDO 5.000.000,00 5.100.000,00 5.203.000,00 5.309.090,00 5.418.362,70 5.530.913,58 2.844.563,49 2.879.900,39 2.916.297,41 2.953.786,33 2.992.399,92 3.032.171,91 270.859,57 228.985,36 185.854,92 141.430,57 95.673,48 48.543,69 0,00
EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% de la cuota inicial y 12 cuotas mensuales vencidas con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. Datos: Valor del terreno = $20.000.000
Página 130 de 138
Cuota inicial Ci = 10% costo del terreno Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés i = 2% mensual
Solución: Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000 = 18.000.000 0.02(1 .0.02)12 = $ 1.702.072.74 12 (1 0.02) 1 (1 i ) 1
A = P
i (1 i )
n
n
A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual. Total a pagar=A*12+2.000.000=1.702.072.74 *12+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000= $22.424.872.88 Total a pagar = $ 22.424.872.88
TABLA 14: AMORTIZACION LOTE DE TERRENO 20.000.000,0
2,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
2.000.000,00 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 22.424.872,87
1.702.072,74 INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
360.000,00 333.158,55 305.780,26 277.854,41 249.370,05 220.315,99 190.680,86 160.453,02 129.620,62 98.171,58 66.093,56 33.373,98 2.424.872,87
1.342.072,74 1.368.914,19 1.396.292,48 1.424.218,33 1.452.702,69 1.481.756,75 1.511.391,88 1.541.619,72 1.572.452,11 1.603.901,16 1.635.979,18 1.668.698,76 20.000.000,00
SALDO 18.000.000,00 16.657.927,26 15.289.013,07 13.892.720,59 12.468.502,26 11.015.799,57 9.534.042,82 8.022.650,94 6.481.031,22 4.908.579,10 3.304.677,94 1.668.698,76 0,00
EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas vencidas mensuales iguales $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo. Datos: Cuota inicial Ci = $1.000.000 Numero cuotas mensuales n = 60 Valor de la cuota mensual A = $500.000 Tasa de interés i = 2.5% mensual
Solución:
1 i ) 1 = i (1 i ) n
P=
A
n
1 0.02 5) 60 1 = 50 0.00 0 60 0.02 5(1 0.02 5) 3.399789748 = 50 0.00 0 500 0.02 5( 4.399789748)
P = $ 15.454.328.24 Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24
Página 131 de 138
TABLA 15: AMORTIZACION COMPRA VEHICULO 16.454.328,24
2,50%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
1.000.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00
INTERESES ( I ) 386.358,21 383.517,16 380.605,09 377.620,22 374.560,72 371.424,74 368.210,36 364.915,62 361.538,51 358.076,97 354.528,90 350.892,12 347.164,42 343.343,53 339.427,12 335.412,80 331.298,12 327.080,57 322.757,59 318.326,53 313.784,69 309.129,31 304.357,54 299.466,48 294.453,14 289.314,47 284.047,33 278.648,51 273.114,72 267.442,59 261.628,66 255.669,37 249.561,11 243.300,14 236.882,64 230.304,71 223.562,32 216.651,38 209.567,67 202.306,86 194.864,53 187.236,14 179.417,05 171.402,47 163.187,53
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
113.641,79 116.482,84 119.394,91 122.379,78 125.439,28 128.575,26 131.789,64 135.084,38 138.461,49 141.923,03 145.471,10 149.107,88 152.835,58 156.656,47 160.572,88 164.587,20 168.701,88 172.919,43 177.242,41 181.673,47 186.215,31 190.870,69 195.642,46 200.533,52 205.546,86 210.685,53 215.952,67 221.351,49 226.885,28 232.557,41 238.371,34 244.330,63 250.438,89 256.699,86 263.117,36 269.695,29 276.437,68 283.348,62 290.432,33 297.693,14 305.135,47 312.763,86 320.582,95 328.597,53 336.812,47
15.454.328,24 15.340.686,45 15.224.203,61 15.104.808,70 14.982.428,92 14.856.989,64 14.728.414,38 14.596.624,74 14.461.540,36 14.323.078,87 14.181.155,84 14.035.684,74 13.886.576,85 13.733.741,28 13.577.084,81 13.416.511,93 13.251.924,73 13.083.222,84 12.910.303,42 12.733.061,00 12.551.387,53 12.365.172,21 12.174.301,52 11.978.659,06 11.778.125,53 11.572.578,67 11.361.893,14 11.145.940,47 10.924.588,98 10.697.703,70 10.465.146,30 10.226.774,95 9.982.444,33 9.732.005,44 9.475.305,57 9.212.188,21 8.942.492,92 8.666.055,24 8.382.706,62 8.092.274,29 7.794.581,14 7.489.445,67 7.176.681,81 6.856.098,86 6.527.501,33 6.190.688,86
Página 132 de 138
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 TOTAL
500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 31.000.000,00
154.767,22 146.136,40 137.289,81 128.222,06 118.927,61 109.400,80 99.635,82 89.626,71 79.367,38 68.851,57 58.072,86 47.024,68 35.700,29 24.092,80 12.195,12 14.545.671,76
345.232,78 353.863,60 362.710,19 371.777,94 381.072,39 390.599,20 400.364,18 410.373,29 420.632,62 431.148,43 441.927,14 452.975,32 464.299,71 475.907,20 487.804,88 15.454.328,24
5.845.456,08 5.491.592,49 5.128.882,30 4.757.104,36 4.376.031,97 3.985.432,76 3.585.068,58 3.174.695,30 2.754.062,68 2.322.914,25 1.880.987,10 1.428.011,78 963.712,08 487.804,88 0,00
EJEMPLO. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 4% mensual. ¿Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo? Datos: Cuota mensual A = $ 400.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Tasa de interés i = 4% mensual
Solución :
(1 i) 1 (1 0.04) 24 1 (1.563304165) $ 15.633041.65 = 400.000 = 400.000 = 0 . 04 0 . 04 i n
F = A
F = $ 15.633041.65 TABLA 16: AMORTIZACION PARA CATALINA
4,00% No
CUOTA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00
INTERES 16.000,00 32.640,00 32. 640,00 49.945,60 49. 945,60 67.943,42 67. 943,42 86.661,16 86. 661,16 106.127,61 126.372,71 147.427,62 169.324,72 192.097,71 215.781,62 240.412,89 266.029,40 292.670,58 320.377,40 349.192,50
DEPOSITO+INTERESES
SALDO
416.000,00 432.640,00 449.945,60 467.943,42 486.661,16 506.127,61 526.372,71 547.427,62 569.324,72 592.097,71 615.781,62 640.412,89 666.029,40 692.670,58 720.377,40 749.192,50
400.000,00 816.000,00 1.248.640,00 1.698.585,60 2.166.529,02 2.653.190,18 3.159.317,79 3.685.690,50 4.233.118,12 4.802.442,85 5.394.540,56 6.010.322,19 6.650.735,07 7.316.764,48 8.009.435,06 8.729.812,46 9.479.004,96
Página 133 de 138
18 19 20 21 22 23 24 TOTAL
400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 9.600.000,00
379.160,20 3 79.160,20 410.326,61 4 10.326,61 442.739,67 4 42.739,67 476.449,26 511.507,23 5 11.507,23 547.967,52 5 47.967,52 585.886,22 5 85.886,22 6.033.041,65
779.160,20 810.326,61 842.739,67 876.449,26 911.507,23 947.967,52 985.886,22 15.233.041,65
10.258.165,15 11.068.491,76 11.911.231,43 12.787.680,69 13.699.187,92 14.647.155,43 15.633.041,65
EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes , durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000? Datos: Valor futuro F = $17.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Tasa de interés i = 10% mensual
(1 i) 1
A = F
i
n
Solución:
= 17.000.000
0.1
(1 0.1)
24
, A = $192.096.20 0.1 = 17.000.000 (8.849732676) 1
TABLA 17: AMORTIZACION PARA DAYANA 10,00% No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 TOTAL
CUOTA 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 4.610.308,75
INTERES 19.209,62 40.340,20 63.583,84 89.151,85 117.276,65 148.213,93 182.244,95 219.679,06 260.856,59 306.151,87 355.976,67 410.783,96 471.071,98 537.388,79 610.337,29 690.580,64 778.848,33 875.942,78 982.746,68 1.100.230,96 1.229.463,68 1.371.619,67 1.527.991,25 12.389.691,25
DEPOSITO+INTERESES 211.305,82 232.436,40 255.680,04 281.248,04 309.372,85 340.310,13 374.341,15 411.775,26 452.952,79 498.248,07 548.072,87 602.880,16 663.168,17 729.484,99 802.433,49 882.676,84 970.944,52 1.068.038,98 1.174.842,87 1.292.327,16 1.421.559,88 1.563.715,87 1.720.087,45 17.000.000,00
SALDO 192.096,20 403.402,02 635.838,42 891.518,45 1.172.766,50 1.482.139,35 1.822.449,48 2.196.790,62 2.608.565,88 3.061.518,67 3.559.766,74 4.107.839,61 4.710.719,77 5.373.887,94 6.103.372,93 6.905.806,42 7.788.483,26 8.759.427,79 9.827.466,77 11.002.309,64 12.294.636,80 13.716.196,68 15.279.912,55 17.000.000,00
Página 134 de 138
EJEMPLO. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global. Datos: Valor presente P = $ 5.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 4 Tasa de interés i = 4% mensual A =
P n
5.000.000
+ P* i =
4
Solución :
5.000.000* 0.04
= 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000
A= $ 1.450.000 cada cuota Valor total a pagar = 4*1.1450.000= $ 5.800.000 TABLA 18: DE AMORTIZACION: INTERES GLOBAL LAVADORA
5.000.000,00
4,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 TOTAL
1.450.000,00 1.450.000,00 1.450.000,00 1.450.000,00 5.800.000,00
INTERESES ( I )
ABONO A CAPITAL (A – I)
200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 800.000,00
1.250.000,00 1.250.000,00 1.250.000,00 1.250.000,00 5.000.000,00
SALDO 5.000.000,00 3.750.000,00 2.500.000,00 1.250.000,00 -
EJEMPLO. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado . Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasa de interés int erés acordado es del 3% mensual, hallar este valor. Datos: Numero de cuotas mensuales n = 18 Valor de la cuota mensual A = $15.000 Tasa de interés i = 3% mensual P = A(1 + i)
(1 + i) n i(1 + i) n
Solución:
(1 0.03)18 1 = 212.449.78, P = $ 212.449.78 = 15.00 000 0(1 0.03) 18 0.03(1 0.03)
TABLA 19: AMORTIZACION VALOR PRESENTE FORMA ANTICIPADA 212.491,78
3,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 7
15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00
INTERESES ( I ) 5.924,75 5.652,50 5.372,07 5.083,23 4.785,73 4.479,30 4.163,68
ABONO A CAPITAL (A – I)
SALDO
9.075,25 9.347,50 9.627,93 9.916,77 10.214,27 10.520,70 10.836,32
197.491,78 188.416,53 179.069,03 169.441,10 159.524,33 149.310,06 138.789,36 127.953,04
Página 135 de 138
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 TOTAL
15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 270.000,00
3.838,59 3.503,75 3.158,86 2.803,63 2.437,74 2.060,87 1.672,69 1.272,88 861,06 436,89 57.508,22
11.161,41 11.496,25 11.841,14 12.196,37 12.562,26 12.939,13 13.327,31 13.727,12 14.138,94 14.563,11 197.491,78
116.791,63 105.295,38 93.454,24 81.257,87 68.695,61 55.756,48 42.429,17 28.702,05 14.563,11 -
EJEMPLO. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada . Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas. Datos: Valor presente P = $ 10.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés i = 4% mensual Valor de las cuotas A = ? P
A =
10.000.000 n
(1 + i)
Solución:
(1 + i) i(1 + i) n
=
(1 0.04)12 1 (1 0.04) 12 0.04(1 0.04)
= 1.024.540.12,
A= $ 1.024.540.12
TABLA 20: AMORTIZACION FORMA ANTICIPADA PRÉSTAMO 10.000.000,00
4,00%
No
CUOTA (A)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 TOTAL
1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 12.294.481,46
INTERESES ( I ) 359.018,40 332.397,53 304.711,82 275.918,69 245.973,83 214.831,18 182.442,82 148.758,93 113.727,68 77.295,19 39.405,39 2.294.481,46
ABONO A CAPITAL (A – I) 665.521,73 692.142,60 719.828,30 748.621,43 778.566,29 809.708,94 842.097,30 875.781,19 910.812,44 947.244,94 985.134,73 8.975.459,88
SALDO 8.975.459,88 8.309.938,15 7.617.795,56 6.897.967,26 6.149.345,82 5.370.779,53 4.561.070,59 3.718.973,30 2.843.192,11 1.932.379,67 985.134,73 0,00
EJEMPLO. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 50.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta final del año. Datos: Valor de la cuota mensual A = $ 50.000 Numero de cuotas mensuales n = 12
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Tasa de interés i = 3% mensual Valor futuro F = ?
Solución: (1 + i) n +1 F = A i
+ i)
= 50.000
(1 0.03)
121
0.03
(1 0.03)
, F= 730.889.52 ,
TABLA 21: DE AMORTIZACION: PARA ELENA 3,00% No
CUOTA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL
50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00
600.000,00
INTERES 1.500,00 3.045,00 4.636,35 6.275,44 7.963,70 9.702,61 11.493,69 13.338,50 15.238,66 17.195,82 19.211,69 21.288,04 130.889,52
DEPOSITO+INTERESES 51.500,00 53.045,00 54.636,35 56.275,44 57.963,70 59.702,61 61.493,69 63.338,50 65.238,66 67.195,82 69.211,69 21.288,04 680.889,52
SALDO 50.000,00 101.500,00 154.545,00 209.181,35 265.456,79 323.420,49 383.123,11 444.616,80 507.955,31 573.193,97 640.389,78 709.601,48 730.889,52
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BIBLIOGRAFIA 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Meza Orozco Jhonny de Jesús. MATEMATICAS FINANCIERAS APLICADAS Haeussleir Jr. Ernest. MATEMATICAS MAT EMATICAS PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA Arévalo Niño José Abdenago. MATEMATICA FINANCIERA APLICADA A LA ADMINISTRACION PUBLICA Carlos Ramírez Molinares. FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS FINANCIERAS Carlos Mario Morales. INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS Rafael Serna Espitia. MAMNUAL DIDACTICO DE MATEMATICAS FINANCIERAS
