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SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN Tabla de contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN ......... 2 EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................... ................................................................................... ............................. 2 EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................... ................................................................................... ............................. 3 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................... ................................................................................... ............................. 6 EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................... ................................................................................... ............................. 7 EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................... ................................................................................... ............................. 8 EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................... ................................................................................... ............................. 9 EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................... 9 EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 10 EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 11 EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 12 EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 13 EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 14 EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 14 EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 15 EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 16 EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 17 EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 21 EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 23 EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 24 EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 25 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 26 EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn ................................................. ............................. 27 EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 28 EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 29 EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn .................................................. ............................. 30 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370 ................................................ ...................................................... ............................................................................................. ....................................... 33 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE ......................................................................... 39 EJERCICIOS DE OSCILACIONES OSC ILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ........................................ 41 EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 .................................................. ............................. 41
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EJERCICIOS DE CAPITULO CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO ALONSO FINN Una rueda de
30
EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a
0,5
con
su eje de posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armónico simple encontrar: a) El periodo de oscilación de la sombra, b) La frecuencia, c) Su amplitud, d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en función del tiempo. Suponer la fase inicial cero.
3 0 =0,5
Solución
Datos: Radio= Amplitud =
22 = = 0, =5∗∗222 = = 11 2 = 0,5 = 30 ==0,30 =0
a) El periodo de oscilación de la sombra es:
sombra es: b) La frecuencia de la sombra
c) Su amplitud es:
d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en función del tiempo. Suponer la fase inicial cero.
Donde la fase inicial es igual a cero (
). ).
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EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn
= 4 0.0.10.5 =5 ==40.0.10.5 =4=0.1 / = =22 0 , 1 = 20 = 2=01 = = 0.0.4 0.0.10.5 =0= =0.040.0.10.5 =4 =4 0 . 5 =1. 9 2 === =00=4 0 . 5 =0. 3 51/ = = 0 =0.04=50.5 =19.1710−/ Un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación
Donde todos las cantidades se expresan en MKS. Encuentre: a. Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del mov imiento b. Velocidad y aceleración del movimiento c. Condiciones iniciales d. La posición, velocidad y aceleración para e. Hacer el gráfico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Solución
Por comparación con la expresión
Tenemos que,
a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del mov imiento.
Amplitud: Frecuencia Angular: Fase Inicial: Periodo:
= 0.5 rad
Frecuencia:
b) Velocidad y aceleración del movimiento
c) Condiciones iniciales cuando
,
d) La posición, velocidad y aceleración para
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= 5 =4 =4 1 =3. 3 7 = 5 =4 1 =0. 2 16/ − = 5 =0.041 =3.3710 /
e) l gráfico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO
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GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO
GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO
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EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn
2
10− . = 1= 12 2=0 12 2 = 12 ==200010− 2 = = 2 20 0 − = ∗10 = 1=01 =10− 20 0
Una partícula está situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posición de equilibrio con una velocidad de la amplitud es de ¿Cuál es la frecuencia y el periodo del vibrador? Escribir la ecuación que exprese su desplazamiento en función del tiempo.
Como pasa por la posición de equilibrio
Así la el periodo es:
Y la frecuencia:
Solución
tenemos,
La ecuación que exprese su desplazamiento en función del tiempo es:
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EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn
1 8,0∗10 1,2 . = 2∗10− = 10− =8,0∗10= =1,2 = ; =2 =8,0∗102 = 2102∗10− = 10 = 10 = = 1= 12 2=0 122 = =12 =2 1 0 − =2 =4 2∗10 1,2
2
Una partícula cuya masa es de vibra con movimiento armónico simple de amplitud de . Su aceleración en el extremo de su recorrido es de . Calcular la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la elongación es de Escribir la ecuación que expresa la fuerza que actúa sobre la partícula en función posición y el tiempo.
Solución
Datos
,
,
,
La aceleración de la partícula es:
Así la frecuencia se puede calcular,
La velocidad de la partícula se puede calcular, partiendo de la energía cinética,
Como pasa por la posición de equilibrio
Cuando la elongación es de
tenemos,
, su velocidad se puede escribir,
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122 ==12 =2 1 0 =2 =3,2∗10−2^21,2∗10− = − ==4∗10 10 2 ∗10 = − − 2∗102∗102∗10 =10 =8
La fuerza que actúa sobre la partícula en función posición y el tiempo es
EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn
0.75
1.5
Una partícula se mueve con movimiento armónico simple con una amplitud de y frecuencia 100 ciclos por segundo ¿Cuál es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleración y su fase cuando su desplazamiento es de .
La frecuencia angular es,
Solución
=2 =2=2010 122 = =12 = =20 =2,5 9∗101.5 0.75 m = ==3∗10 20 0,75
La velocidad se puede calcular a través de la energía cinética,
La aceleración se puede calcular como sigue,
La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),
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= =− = ==30°− ,, 8 0,5 == 22 4 = 2 =0,5 =0,=08 0,5 2 = 2,8 ∗120− 2 =0,5 = = 0,08=21, 4 ∗102−0,5 2
EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn
4
Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de y un periodo de . Calcular la velocidad y la aceleración después que la partícula pase por el extremo de su trayectoria.
SOLUCIÓN:
DATOS: A = 8 cm ---- 0.08m T = 4 seg. La frecuencia angular es,
La velocidad después de
La aceleración después de
, es:
, es:
EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn Una partícula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armónico simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm, calcular la aceleración, la fuerza de la energía potencia y cinética cuando la partícula está a 5 cm de la posición inicial.
DATOS Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S
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Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M
SOLUCIÓN
A)
B)
=1 1 = 0.15 = . =2 =² = 41.=.88∙0.05 1 = – 2 = 12 0.5 41.8 =.0.10 –0.05 w= 2 ( π) (6.666 Hz)= 41.88 hz
C)
D)
EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn Una plancha horizontal oscila con movimiento armónico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mínimo del coeficiente de fricción a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve.
== 115,5/min Solución
=2 =2 HYPERLINK "ht p:/ es.wikipedia.=org/wiki/%CE%A0" \o "\"Π\" 15 610 2
La fuerza de fricción es
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== == = = 1.5 9,8 2 = 0.37
Para que la plancha no resbale se debe cumplir
Para obtener el valor mínimo del coeficiente de refracción tenemos
EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm. ¿Cuál es la conste de elasticidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ¿Cuál es su periodo de vibración cuando está vacío y cuando está el hombre adentro?
SOLUCIÓN: Representación de Fuerzas -kx -kx
500 Kg 560 Kg
=60 =0.3 == ⁄ = 60×9. 8 ==× − 3×10 ⁄
= 3x10-3m
;
a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muell es del auto.
M1g
b) Periodo de vibración del auto vacío.
(M1+M2)g
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= ⁄ = = 196×10 =19. 7 9898987 ≈19. 8 5 0 = = . =. =560 = = 196×10560⁄ =18.70829 ≈18.71 = = . =. ;
m1=500kg
c) Periodo de vibración del auto con el hombre adentro.
EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn
Un bloque de madera cuya densidad es ρ tiene dimensiones a, b, c. Mientras está flotando en el agua con el lado a vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes. Tomemos como sentido positivo de desplazamiento del bloque verticalmente hacia abajo. Llamemos h a la longitud del bloque debajo del agua cuando flota en equilibrio. En esta situación tendremos que la fuerza neta hacia abajo será nula: mg− Fempuje = 0 mg= (V sumergido mg= (bch ρ0 ) g ρ0 ) g Donde ρ0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto de su posición de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua será h + x. En esta nueva situación la fuerza neta hacia abajo ya no será nula: ρ0 ) g = mg− (bc [h + x] ρ0 ) g Fneta = mg−F ´empuje= mg− (V ’sumergido Sustituyendo en esta expresión la relación entre el peso del cilindro y la altura h: Fneta = − (bcρ0 g) x Vemos que la fuerza es de tipo elástico con una constante elástica: k = bcρ0 g El periodo de las oscilaciones será:
= = = =
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EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn Encontrar, para un movimiento armónico simple, los valores de Parte a)
Entonces
Pero
donde los promedios se refieren.
=̅ = ̅=0 =0 = = = ∫ = ∫ − = 1 12 1 cos22 = = = 12 Pero
Parte b)
̅ ,
Entonces
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EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn El Periodo de un péndulo es de 3s. ¿Cuál será su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%? Solución a. El periodo de un péndulo simple está dado por:
=2 =3 =0,6 =2 =√ ′ =21.6 31.6=3.=√ 791.6 2 =2 ′ =2 0.4 =√ 0.4 2 ′ =√ 0.4 3 =1.89
Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es:
Luego.
b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es:
EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g=9,80 m/s 2. Si la longitud se aumenta en 1mm. ¿Cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24 horas?
π /
T1 = 2 T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2
ππ +..
T2 = 2 T2 = 2
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π √ 1,0 1 π /
T2 = 2
SI Tenemos que T1 = 2
√ 1,0 1 √ 1,0 1
Ahora reemplazo T 1 en T2 :
T2 = T1 T2 = ( 2 segundos) T2 = 2,00099975 segundos
Para conocer cuanto se ha atrasado el reloj entonces: ΔT = T2 - T1 = 2,00099975 segundos - 2segundos=0,00099975
24ℎ 361ℎ0 =86.400 86.40
¿Cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24 horas?
En 24 horas el reloj se atraso
)x (0,00099975)=77,7segundos
atraso = (
EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ¿Cuánto se habrá atrasado el reloj del programa anterior después de 24horas si se coloca en un lugar donde la g=9,75 m/s2 Sin cambiar la longitud del péndulo ¿Cuál debe ser la longitud correcta del péndulo a fin de mantener el tiempo correcto en la nueva posicion? L= 1mm =0.001m g=9,75 m/s2.
π /
T1 = 2 T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2
π π ... =0,=0,006346975 . 63632291 0,063632 91 0,06346975
T1 = 2 T2 = 2 T2-T1 = (
) -(
)=
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T2-T1 = 0,001625411126 segundos Regla de 3:
0,063632291 1440metros
0,001625411126 segundos X
X= 3,6mt L= 1mm =0.001m g=9,75 m/s2. T1 = 2 segundos T2 L= L= L=
,
L= 0,988m EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros términos correctivos en la serie del periodo de un péndulo simple si la amplitud es: a) 10º b) 30º
Solución a) Para 10º P=
2 1 sin sin … 2 1 sin10 sin 10
P=
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2 11.899×10− 8.114×10− 22 111. s6in74×1030−6. s3in1×1030−
P=
b)
Para 30º
P=
P=
EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn Solución: Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del péndulo e igualarlo al periodo de un péndulo simple para determinar la longitud de este péndulo simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el periodo del péndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa el cual es Ic = mR 2 2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es
OTRA FORMA DE RESOLVERLO REVISAR FORMULAS : puede haber un error.. revisar revisar
I = mK2
El radio de giro K se define k
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mk2= m(h2+1/2R2) K2=1/2R2+h2 12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su centro A. Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente B. Encontrar la posición del eje para e l cual el periodo es un mínimo. C. Representar el periodo en función de h.
SOLUCION: Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del péndulo e igualarlo al periodo de un simple Para determinar el periodo del péndulo compuesto primero debemos conocer el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa
I0= ½ mR2 Pero debido a que el disco no g ira en su centro de masa sino a una distancia h del mismo se debe aplicar el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto a el eje B es Ik=mh2+I0 donde I0 es el momento de inercia respecto a el disco Entonces,
Ik= mh2+1/2mR2= m (h2+1/2R2) 2 El radio de giro K se define Ik= mK mk2= m(h2+1/2R2) K2=1/2R2+h2
2 /+ 2√
el periodo del péndulo compuesto es
P=
P(h)=
P(h)= 2π
½ R2+h2/gh
A. Debemos igualar la fórmula de péndulo compuesto con péndulo simple para despejar L Donde péndulo simple
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2 / + 2 /+ 2
P=
Y reemplazo la P por el valor de:
( (
P(h)= ) =
)2 = (
/+ /+ /+ 4
(
/ + 2 2 2 )2
) =4
=
=
/+
=
=
L
DONDE
K2=1/2 R2+h2
L
½ + 2 2 ℎ2 ℎ = 2 2 ℎ +
B. Para hallar minimos debemos derivar P en función de h
P(h)=
Derivada de
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=
=
=
+−+ −+ + −
2 2 ℎ ℎ = 22 2 ℎ 2ℎ2 22 ℎ2ℎ22 [ ] √ ½ + 2 √ ½ 2 ½ ++√ √ 2 ½√ 2 ½√ 2 √ El valor de h para el cual el periodo es un mínimo es h = R/
C. Representar el periodo en función de h.
P(h)=
P(h)=
P(h)=
P(h)=
P(h)=
cuando h=
2
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2 √ 2 √ 2 √ 2√ (√ ) √ √√
P(h)=
P(h)=
P(h)=
P(h)= P(h)= 2 P(h)=2
½ R2+h2/gh cuando h = R/ 2 2R/g
EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo, un cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre la varilla a una distancia h del eje. a) Obtener el periodo del sistema en función de h y de L. b) ¿Hay algún valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?
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Solución. a). Lo primero que haremos será encontrar el centro de masa de la masa 2 que en este caso es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.
+ == ℎ = + = + = 3 ℎ
Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuación.
m
factorizando m quedaría de la siguiente forma.
Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuación:
=2
Donde: b=centro de masa. g=gravedad m=masa Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:
Simplificando:
b). No hay ningún valor.
ℎ 3 =2 ℎ =4 3
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EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn Un péndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x 12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a través de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo de oscilación es de 2.4 s. ¿Cuál es la constante de torsión K del alambre?
Solución: Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizará la siguiente ecuación.
+ = =2
Donde: M=masa del objeto, 0.3Kg. = la dimensión horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m = la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la siguiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante. Donde: es igual al periodo de oscilación al cuadrado, siendo I el momento de inercia y 2π al cuadrado una constante. Haciendo la relación entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
2 2 =2 12 /2 2 2 0 . 0 8 0. 1 2 =2 0.3 12 /2.42
Reemplazando valores tenemos que:
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10−
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K=3.564X
N.m [Newton por metro]
OTRA FORMA DE RESOLVERLO
EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn
₁₂ =2=3 32 ₁₂ =₁=₂ ₁ ₂ =sen =₁² A₂=² 2₂ A₁ A₂₁ cosα^0.5 tan= ₁₁₁₁ ₂₂₂₂ Estas ecuaciones están demostradas en el ibro de AlonsoFinn pag.372,por ejemplo.
Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:
Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos vectores rotantes.
SOLUCIÓN:
Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia
Con resultante Donde:
y
Valores
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Luego:
= ₂ ₁ = = == 2 A3 2.222A.3Aco3csoπ6sα6.. ₁=4 .₁73₂ ₂ ttaan=n= 2₁/₁3 ₂3 /₂2 2tan= /34.7332 /2 =1.36 =sen =cos 2 =4.732 cos0.2
EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos armónicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senωt y y = 3sen (ωt + α), cuando α = 0, π/2 y π. Hacer un gráfico de la trayectoria de la partícula en cada caso y señalar el sentido en el cual viaja la partícula.
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EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn
2 1,5° 2° 10 =2 =2° =1.5° − 1− = =l=n
Un péndulo simple tiene un periodo de y un amplitud de , después de oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a encontrar la constante de amortiguamiento .
Solución
Datos:
; ; La ecuación para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada por, =
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== 101 l nln2° 2=1seg,43 −1.5° =
EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn En el caso de un oscilador amortiguado, la cantidad
se denomina tiempo de relajación .
a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ¿en cuánto ha variado la amplitud del oscilador después de un tiempo ? c) Expresar como una función de , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?
Solución
== 211 2= m2λm Fm∗vv =∗/ = =∗ ´´21== −− ´ 21= − ´ 21= 0,6
a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un análisis dimensional.
b) la amplitud del oscilador después de un tiempo ha variado,
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´ = − 21= −− 221 == 1/2 =2=1, =1,38381/2 ´´1,3=8 =− 2 ´´23 ∗1∗1,,3388 = = 4 8 ´ ∗1,38 = 2
c) Expresar como una función de , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.
d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?
EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn
= = ( ) =
Escribir la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple sin amortiguamiento al cual se le aplica la fuerza = 0 Cos wf t. Verificar que su solución es = [
Solución:
0 /
(w02-wf 2) ] Cos wf t
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= = ( ) ( ) = ( ) ( ) = (( )) = =( ) Reemplazando en la ecuaciòn inicial:
Reorganizando términos:
Sacando factor común :
Y se cumple con la igualdad llegando la demostración:
EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn
Una partícula se desliza hacia adelante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin fricción a) Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si h es la altura inicial b) ¿Es el movimiento oscilatorio? c) ¿Es el movimiento armónico simple?
Solución
a) La aceleración será: a= g Cos ϴ La longitud del plano = L=
Partiendo del reposo a la altura h se tiene: L=1/2 a t2 t=
Para descender del plano y entonces:
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t=
T= 4 t T= 4 (
T= 4 (
T= 4 (
Teniendo en cuenta una de las identidades fundamentales de la trigonometría: 2 Sen ϴ Cos ϴ = Sen 2 ϴ Y operando resulta:
T= 4x2 (
T= 8 (
b) Sí, es oscilatorio; c) NO, no es armónico simple porque no sigue una var iación senoidal o cosenoidal del tipo: x = A cos (wt+delta)
EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn Una partícula de masa m situada en una mesa horizontal lisa (Fig.12-49) esta sostenida por dos alambres estirados de longitud l0 cuyos extremos están fijos en P1 y P2. La tensión de los alambres es T. Si la partícula se desplaza lateralmente una cantidad X0 pequeña comparada con la longitud de los alambres, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia de oscilación y escribir la ecuación de su movimiento. Suponer que la longitud de los alambres y la tensión permanecen inalterables
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EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370 12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilación hallar el equivalente a un péndulo simple. a.
=2 P= 2π
K2= I/m Ic=mR2
√
k2/ gb
Teorema de Steiner
I=Ic+ma2 I=mR2+mR2 =LmR2 K2=2m R2/m K2=2R2
=2 2 =2 2 ==0.68.298 29.8.1 b.
L=k2/ b L=2R2/2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE EJERCICIO 16
0.2 0
0.750
1.3
Cuando una masa de oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de . a ) ¿Cuál será la frecuencia s i se agregan a la masa original, y b ) y si se restan de la masa original? Intente resolver este problema sin calcular la constante de fuerza del resorte.
Solución
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EJERCICIO 17
0.50
Un oscilador armónico tiene una masa de unida a un resorte ideal con constante de fuerza de frecuencia y c ) la frecuencia angular de las oscilaciones.
140 /
. Calcule a ) el periodo, b ) la
Solución
2.50 /
EJERCICIO 18
Sobre una pista de aire horizontal sin fricción, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es . En la figura, la gráfica muestra la aceleración del deslizador en función del tiempo. Calcule a ) la masa del deslizador; b ) el desplazamiento máximo del deslizador desde el punto de equilibrio; c ) la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el deslizador.
Solución
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Energía en el movimiento armónico simple EJERCICIO 19
18.0
=9.0.8500
Una porrista ondea su pompón en MAS con amplitud de y frecuencia de . Calcule a ) la magnitud máxima de la aceleración y de la velocidad; b ) la aceleración y rapidez cuando la coordenada del pompón es ; c ) el tiempo que tarda en moverse directamente de la posición de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d ) ¿Cuáles de las cantidades pedidas en los incisos a ), b )
Solución
EJERCICIO 19
150
= 300 /
0.30 /
0.0120
Un juguete de 0. está en MAS en el extremo de un resorte horizontal con constant e de fuerza . Cuando el objeto está a de su posición de equilibrio, tiene una rapidez de . Calcule a ) la energía total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b ) la amplitud del movimiento; c ) la rapidez máxima alcanzada por el objeto durante su movimiento.
Solución
Aplicaciones del movimiento armónico simple
EJERCICIO 20
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655..00
Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez rapidez máxima alcanzará?
0.120
de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte . a ) Calcule la hacia abajo y luego se suelta. b ) ¿Qué periodo de oscilación tiene el pez? c ) ¿Qué
Solución
EJERCICIO 21
1.50 126.50/
15.0
Una esfera de y otra de se pegan entre sí colocando la más ligera debajo de la más pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de , y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de . El pegamento que une las esferas es débil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas están en la posición más baja de su movimiento. a) ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto mas bajo, que en algún otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones después de que la esfera inferior se despega.
Solución
EJERCICIO 22 Un disco metálico delgado con masa de 2.00 3 1023 kg y radio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga como se ve en la figura. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule la constante de torsión de la fibra.
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Solución
EJERCICIO 24 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecánica complicada, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsión de . Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. ¿Cuánto vale el momento de inercia buscado?
Solución
El péndulo simple EJERCICIO 25
2.35
En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que consisten en bombillas pequeñas de con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terremoto leve, ¿cuántas oscilaciones por segundo harán tales aditamentos?
Solución
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EJERCICIO 26
=3.71
Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿Qué periodo tendrá en Marte, donde ?
Solución
El péndulo físico EJERCICIO 27
1 . 8 0 120
0.20
Una biela de de un motor de combustión pivota alrededor de un filo de navaja horizontal como se muestra en la figura. El centro de gravedad de la biela se encontró por balanceo y está a del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones en . Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotación en el pivote.
Solución
EJERCICIO 28 Dos péndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El péndulo A es una esfera muy pequeña que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el péndulo B, la mitad de la masa está en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada péndulo para oscilaciones pequeñas. ¿Cuál tarda más tiempo en una oscilación?
Solución
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EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Una masa m=1kg vibra verticalmente a lo largo de un segmento de 20cm de longitud con MAS y un período de T= 4 s. Determinar:
a) Velocidad y aceleración del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. b) La velocidad y aceleración en los extremos del segmento. c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de d)
la trayectoria. ¿En que tiempo la partícula se encuentra en 8cm?
SOLUCION
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W= 2 /4 W= /2 A=10 cm= 0,1m
a) Velocidad y aceleración del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. a= - wx si x=0 a= - ( /2)(0m) = 0 m/ s2
a= 0 m/ s2 Vmax= Aw Vmax= (0,1m )( /2 ) = 0,157 m/s
b) La velocidad y aceleración en los extremos del segmento. En los extremos v=0 a= - w2 x a= - ( /2)2 (0,1 m) a= - ( 2 /4) (0,1 m) = -0,2467 m/ s2
c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de la trayectoria. En el punto medio de su trayectoria Si x = 0 F = 0 F= - k x En los extremos de la trayectoria Si x = 0,1 m F = ? F= - k x
/
w= w2 =k/m
k= w2 m
F= - k x F= - (w2 m) (0,1m)= F= - ( ( 2 /4) (1 kg) ) (0,1m)=
-0,247
d) ¿En que tiempo la partícula se encuentra en 8cm? A= 8 cm= 0,8m W= /2 X=A Sen( Wt)
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(0,8m)= (0,8m) Sen(( /2 ) t (0,8m)/(0,8m) =Sen(( /2 ) t 1=Sen(( /2 ) t Sen-1 (1) / ( /2 ) = t ( /2 ) / ( /2 ) = t t= 1 segundo
e) En que lugar esta la particula para un tiempo de t=4segundos ? W=
/2
A=10 cm= 0,1m X=A Sen( Wt) X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos)) X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos)) X= (0,1m) (4 ) X= 0,4m
EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 1. Suponga que un astronauta tiene una masa de 60kg, incluido del dispositivo de silla al que se amarra. El y la silla se mueven bajo la influencia de la fuerza de un resorte con K=3.1 x 102 N/m. No hay otras fuerzas actuantes. El desplazamiento máximo desde el equilibrio del dispositivo de medición de masa corporal es de 0,200m . Suponga que debido a la fricción la amplitud un ciclo más tarde es de 0,185m. ¿Cuál es el factor de calidad para este oscilador armónico amortiguado?
M= 60kg k 1=3,1x10 2 N/m
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A=0,200m A’ =0,185 m
= 2∆
∆= E=?
E
ΔE=?
q=?
= 12 = 12 = 3,1100,20 =′= 1213,1100,185 =5,3 Julios 2 ∆= ∆=25,3 6,2 Julios = 0,9 Julios
En el desplazamiento máximo , la energía totales toda energía potencial:
Si A=0,200m
= 6,2 Julios
Si A’ =0,185 m
= ∆, = ,
= 43,2 oscilaciones
El factor de calidad es: q=43,2 oscilaciones
2. Una masa m=1 kg cuelga de un resorte de contante de resistividad k=200 N/m. La constante de amortiguamiento es λ =1 kg/s.
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En el instante t=0 comienza a actuar sobre la masa una fuerza F= F0 Sen(wf t) con F0 =2N y wf =10 rad/segundos. Si en t=0 x(0)=0 y v(0)=0. Encuentre la posición de la partícula en función del tiempo para t=1 segundo, t=10 s, t=100s , t=1000 s. SOLUCION: M1 =1 kg K= 200 N/m λ=1 kg /s f 0 =2N wf = 10 rad/s t=0 x=0 x(t)=? t =1 ,10 ,100 , 1000
= = / 2= == 21/ =0,5 − 21 = = = 4 = 14,142
LA ECUACION DIFERENCIAL E.D
SOLUCION A LA ECUACION DIFERENCIAL E.D
Entonces:
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2 = 10 14,1414 0,5 10 2 = 100199.93961 40,25100 2 = 99.9396140,25100 2 = 9987.9236121100 = 9987.92361−1100 ==01.0.9802139821307 − = 2 = − 102 0,51140,14 = −− 9 1.90396 == 1.471069.9 396 3. Demuestre por sustitución directa que las funciones: X1 = A1 Sen (w1 t +α1 ) y X2 = A1 Sen (w1 t +α1 ) Para un oscilador acoplado son soluciones de las ecuaciones de movimiento
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= = Siempre que:
4. Considere el sistema dela fig. La pizarra Z, de masa 500 g cuelga de un resorte cuya cte. elástica es K=50N/m. Se sabe además que la cte. de amortiguamiento B=5 s-1 . En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte se estire 3cm , y se acerca la punta entintada P a la pizarra. A continuación, la pizarra se suelta. Considere este instante como el inicial y analice el movimiento de la punta respecto al centro de la pizarra “o”. A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuación que describe el movimiento de la punta respecto a “O” dirección del eje “Oy”.
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M = 500g K = 50 N/m B = 5 s-1 X = 3x 10-2 = 0,03 metros X = A e-Bt Sen (wt + δ )
= 5 − = 1 0 =√ 1 0025 =√ 75 = 8.6 =
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= 05,05 =√ 10 =10 X = A e-Bt Sen (wt + δ ) Derivamos la ecuacion x:
v = Aw e-Bt Cos (wt + δ ) v = Aw e-B(0) Cos (wt + δ ) v = Aw (1) Cos (wt + δ ) v = Aw Cos (wt + δ ) si v=0 0 = Aw Cos (wt + δ ) 0 = A(8,6 rad/seg) Cos ( (8,6 rad/seg) t + δ )
Ahora para la ecuacion X, mientras: Si t=0 x=0,003 metros
X = A e-Bt Sen (wt + δ ) (0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ δ ) (0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ δ )
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(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ δ ) Debemos hallar la amplitud, por lo que debemos encontrar primero delta δ = ? X = A e-Bt Sen (wt + δ )
==− − ==− − − − = − − = rad =− 8,6 seg 0 seg , − 8,6rad/seg0seg = 0 , 0 = 0 , 0 = , == , , =,, =, = , = − = , Si v=0
B=5
t=0
w= 8,6 rad/seg
Como ya encontramos delta reemplazamos :
X = A e-Bt Sen (wt + δ )
