Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones: Ecuación x – 3 3 = 1 x+2=1 x.2=1 x² – 2 2 = 0 x² + 1 = 0
Resolución
N
Z
Q
I
R
Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como cuyo cuadrado sea igual a – 1. 1.
1 , ya que no existe ningún número real
que i será aquella cantidad que A la expresión 1 la definiremos como la Unidad Imaginaria y la denotaremos como “ i ” . O sea que elevada al cuadrado resulta 1: i
1
o
bien
i
2
1
Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones. Ej: x² + 1 = 0 x² = – 1 x 1 = i
x² + 2 = 0 x² = – 2 2 x 2 = – i i
Ya que: i² + 1 = 0 y ( – i)² i)² + 1 = 0
x 1 = Ya que: (
2
2
i
x 2 = –
i)² + 2 = 0 y ( –
2
2
i
i)² + 2 = 0
Completen la siguiente tabla: Número Complejo Z 5+3i
2 – 5i
Parte Real Re (z)
Parte Imaginaria Im(z)
2
8
– 4
2/3
1
– 3
0
4
4
0
0
0
3 i
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN N° COMPLEJO
Ejercicio 5: Representar los siguientes números complejos:
¿es complejo, real o imaginario puro?
= – 1 – i z = 2 – 3i z = – 3 + 2 i 3 2 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Suma Algebraica: Para sumar algebraicamente dos números complejos basta con operar entre si y por separado sus partes reales y sus partes imaginarias (análogamente a la suma algebraica de vectores). Ejemplo: Dados Z1= – 3 + 5i; Z 2= 4i; Z3= – i – 2; Z4= ( – 3, 0) y Z5= 0, 3 halla el resultado de: Z = Z1 – Z2 – Z3 + Z4 – Z5=? z
1
Resolución: Z
3 5i 4i i 2 3i
Z
1 i
3i
Z
3
i
Z
3 .i
1 1 1
1 1
3
5i 4i i 2 3i
3i
(resultado)
Potencias de la Unidad Imaginaria: Veamos algunas de ellas: 0
i i
1
i i
2
1
i
i
i
1
i .i
3
i
2
1.i
i
i
4 5
2
i .i
i .i
2
4
1.i
i
i
i
1 1 4 3 i .i 1 i i
6
4
7
i .i
2
1
8
4
i .i
i .i
9
i
8
i .i
i .i
11
i
8
10
4
8
1.1
1.i
2
3
1
i
1 1 i 1
1
i
¿Qué regularidad observan?
Ejercicio13: Calcular las siguientes potencias: a)
i
b)
i
44
c)
i
242
d)
i
127
69
e)
i
94
f) ( i12 ) 4
g) ( i 3 ) 5
h) ( i 9 ) 27
i)
i
j)
i
33
.i
11
2022
:i
3
k) x + 1 =
i
l) x – i =
3
i
27
Multiplicación de Complejos: Básicamente el producto de complejos se realiza mediante la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i 2 = – 1. Y al final se suman o restan los términos semejantes. Ejemplo: Dados z 1 = (3, -2) y z 2 = (-2, 5), halla el valor de z 1 . z2 = ? Resolución: (transformamos a forma binómica y operamos)
z 1. z 2 3 2i 2 5i 6 15i 4i 10.i
Por lo tanto:
z 1. z 2
2
6
4 19i
CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
15 4i 10. 1 6 10 15 4i
A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes: * El conjugado de z es z = a – bi ( la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta) * El opuesto de z es – z = – a – bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas) Ejemplos: z = – 1 + 2 i – z 1 = 1 + 2 i z = – 1 – 2 i 1 1 z
=4i
z
= – 4 i
– z 2 = – 4 i
z
=6
z
=6
– z 3 = – 6
2
3
2
3
Ejercicio 4: Completen el siguiente cuadro: z
– z
z
⅔+¾ i
2 – 6 i – 7 +
3 i
– 3 – 5 i
2 – ½ i
Propiedad de los Complejos Conjugados: Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo. Ejemplo: Resolución:
Si z = 2 + i, halla el producto de z . z
z
.
z
2 i2 i 4 (1) 2 2i 5
z . z
Por lo tanto:
5
Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados (Fórmula): Si tenemos que z = a + bi entonces z = a – bi
z . z a
a
z . z a
z . z
bi
2
a bi
2
a
2
a.b b 0i
b
2
2
(b 2 ) a.(b) b.a i
a.b i
z . z
a
2
2
b (fórmula)
(Al alumno se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior) División de Complejos: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplo 1): halla el valor de z Resolución:
z
3 2i 2i
.
3 2i 2i 2i 2i
(Multiplico por numerador y denominador por 2 – i)
z
3 2i 2 i 2 i 2 i
(Multiplicación de fracciones)
z
(6 2) (3 4)i 22 12
(Aplico al numerador el producto de complejos y al denominador la propiedad de los complejos conjugados)
z
4 7i 4 1
(Efectuando sumas en el numerador y potencias en el denominador)
z
4
5
7
5
(Sumando denominador y separando fracciones con igual denominador)
i
Ejemplo 2): halla el valor de z
27 8i
(Esta vez la justificación de los pasos se deja al alumno)
5 6i
Resolución: z
27 8i 5 6i
27 8i 5 6i . 5 6i 5 6i
Finalmente:
(135 48) (162 40)i
z
5
3
2
2i
6
2
183 122i 25 36
183 61
122 61
i
MÓDULO Y ARGUMENTO
|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 – 2 i
b) – 3 + ½ i
c) ⅔ + i
d) – 1 – i
MÓDULO Y ARGUMENTO
|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 – 2 i
b) – 3 + ½ i
c) ⅔ + i
d) – 1 – i
FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO * Forma Binómica: z = 2 + 3 i * Forma Cartesiana: z = ( 2 ; 3 ) * Forma Polar:
z = ( |z| , α ) |z| =
2² 3²
=
donde |z| es el módulo , α el argumento 13
;
α = arctg(3/2) = 56°18’35’’
z=(
13
* Forma Trigonométrica: z= Verificamos :
, 56°18’35’’)
z = |z| . (cos α + i sen α )
13 .(cos
z = 3,605
|z| módulo α argumento
56°18’35’’ + i sen 56°18’35’’)
. ( 0,554
+ i 0,832)
z = 1,999…. + 2,999…i
( aprox 2 + 3i)
Ejercicio 8: Expresar los siguientes complejos en forma polar: a) z = – 3 i
b) z = – 2 – 5 i
c) z = 2; 2
d) z =
3, 3
Ejercicio 9: Expresar en forma trigonométrica los n° complejos del ej 8 EJERCITACIÓN 14) Adición y Sustracción de Números Complejos: a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) = b) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5 + 2 i ) = c) ( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) = d) ( – 8 +
3
+ ( –
7
7
4
i ) (
1
3
i) 10 4 10 2 4 3 2 1 28 3 e) ( i ) ( i ) ( i ) ( i) 5 3 4 15 4 15 2 3 i 3 i 2 2 f) ( )( )( i) ( i) 2 2 2 2 2 2
5
i)
R: ( 22, 10) R: ( 9 , 7 ) R: ( 0 ) R: ( – 10 + i ) R: ( – i ) R: (
3
2
)
15) Multiplicación y División de Números Complejos: a) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) =
R: ( 156 i )
b) ( – 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) =
R: ( – 29 )
c) ( – 1 + i ) . ( – 1 – i ) =
R: ( 2 )
3
d) –
i.
5
e) ( f) (
2
2
4 3
i
R: (4/5)
3 i) i ).(
2
.(
3
4i ).(
2
2
i)=
R: (5 i )
i
)
R: ( 1 + 6 i )
2 3 2 g) ( – 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) =
R: ( – 1 + 3 i )
h) ( – 1 + i ) : ( – 1 – i ) =
R: ( – i )
i) (4 + 2 i ) : i =
R: ( 2 – 4 i )
1
j) ( –
4
k) (
2
2
i) : (
5
3
2 5
i) : (
1 4
i)
R: ( i )
2
3
1
i)=
R: ( –
5
2 6
i
5
)
16) Potencia de Números Complejos: a) i
60
=
b) i d) i
f) ( – i ) = g) ( 1 + i )² =
602
=
c) i
=
104
e) ( – i )
=
257
13
i) (
2
1
5
(R: 2i)
)² =
i
2
(R: –
h) ( 4 – 3 i)² =
9
2
100
i
5
)
j) (
2 7
3
5
i
(R: 7 – 24 i)
)² =
(R: –
341
1225
12
i
35
17) Ejercicios combinados en C: a)
b)
(1 2i)².i 47 (3 2i) (2 i) i
253
=
(3 2i ) (3 2i )
(4 2i ) (2 i )
(R:
1 2
= (R:
1
c)
(2 i) .(2 i)² i
39
.(3 2i)
(R:
3
i
2
)
5i 13
d)
)
7 4i 13
e)
2 2i ³ 3i
2i (1 i )²
(
)
f)
5
2 2
1 i
=
(1 i)² 2i 2
2
1 i
2i
i )²
=
18) Ecuaciones en C: Hallar el valor de z: a) z . ( 2 – 3 i ) + ( – 2 – i ) = 3 – 2 i
R: ( 1 + i )
b) ( – 1 , – 2 ) – z = ( 1 , – 1 )
R: ( – 2, – 1)
c) ( 2 , – 3 ) + z = ( – 1 , 2 )
R: ( – 3 , 5 )
d) ( – 2 ,
2
) + z = ( – 2 , 3
2
) – z
R: ( 0 ,
e) ( 1 – i ) . z = – 1 + i f)
z
(2,1)
( 3 , 3) z
=(2,2)
+(1,0)=(
)
R: ( – 1 ) R: ( 6 , 1 )
(2,2) g) ( 2 , – 2 ) . z – ( 8 , – 2 ) = ( 0 , 2 )
h)
2
3
+1,
R: ( 2 , 2 ) 3
)
R: ( 0 , – 1 )
i) 2 i + z = 3 – i
R: ( 3 – 3 i )
j) ( 2 – 3 i ) . z = ( 2 + 3 i ) . i
R:( –
12 13
5
13
i
)
)
77
=
k) 2 + i + 3 z = 2 – i l)
R: ( – 2/3i)
1 i z
z 1
ll)
z 1
m) n) o)
– ( 1 + 2 i ) = i
zi
z 1
1
z 2i z i
p) z
3=
5
5
1
3
2
2
R: (
2i
i)
i)
R: ( 1 – i )
2i
2
1
R: ( 2 – i)
2i
1
z i
2i
2
R: (
i
z i – (
R: ( 3 – i
)
R:
2
)
