UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
“MANUAL PARA LA MATERIA DE CÓMPUTO PARA CIENCIAS” P R E S E N T AN
M.S.I. JOSÉ FRANCISCO VILLALPANDO BECERRA DR. ANDRÉS GARCÍA SANDOVAL M.E.M. JORGE ALBERTO RODRÍGUEZ CASTRO
Índice Índice .......................................................................................................................................................... i Introducción .............................................................................................................................................. v Unidad 1 Software comercial vs software libre ........................................................................................ 1 1.1 Software comercial ......................................................................................................................... 1 1.1.1Terminología utilizada ............................................................................................................. 1 1.2 Ventajas y desventajas del uso de software comercial ................................................................... 4 1.3 Características del software libre ................................................................................................... 4 1.4 Ventajas y desventajas del uso de software libre ........................................................................... 6 1.5 Actividades a realizar ..................................................................................................................... 7 Unidad 2 Términos relacionados con software libre ................................................................................ 8 2.1 Open Source Software (Programas de fuente abierta) ................................................................... 8 2.2 Freeware (Programa gratuito) ........................................................................................................ 9 2.3 Shareware (Programas compartidos) ............................................................................................. 9 2.4 Charytiware (Programas para ayuda o caridad) ........................................................................... 10 2.5 Public Domain (Dominio público) ............................................................................................... 11 2.6 Abandonware (Programas abandonados) ..................................................................................... 11 2.7 Adware (Programas con publicidad) ............................................................................................ 12 2.8 Copyleft ........................................................................................................................................ 13 2.9 Actividades a realizar ................................................................................................................... 13 Unidad 3 Categorías principales de software libre para matemáticas .................................................... 14 3.1 Geometría Dinámica (Procesadores Geométricos) ...................................................................... 14 3.2 Sistemas de Álgebra Computacional (CAS: Computer Algebra System) ................................... 15 3.3 Cálculo Numérico ........................................................................................................................ 16 3.4 Graficación de Funciones ............................................................................................................. 17 3.5 Procesadores de texto matemáticos .............................................................................................. 18 3.6 Probabilidad y Estadística ............................................................................................................ 20 3.7 Propósito específico ..................................................................................................................... 21 3.8 Actividades a realizar ................................................................................................................... 22 Unidad 4 Software libre para Geometría Dinámica: Geogebra
...................................................... 23
4.1 Breve historia de Geogebra .......................................................................................................... 23 4.2 Instalación .................................................................................................................................... 24 4.3 Funciones básicas ......................................................................................................................... 27 4.3.1 Primeras construcciones ....................................................................................................... 28 4.3.2 Objetos libres y dependientes ............................................................................................... 28 4.3.3 Guardar y reutilizar una construcción .................................................................................. 29 4.3.4 Opciones y herramientas ...................................................................................................... 29 4.3.5 Ecuaciones y coordenadas .................................................................................................... 35 4.3.6 Campo de entrada ................................................................................................................. 36 4.3.7 Hoja de cálculo de Geogebra ............................................................................................... 37 4.4 Actividades a realizar paso a paso ................................................................................................ 38 4.4.1 Triángulo Equilátero ............................................................................................................. 38 i
4.4.2 Cuadrado ............................................................................................................................... 38 4.4.3 Cuadrado con Línea de Comandos ....................................................................................... 39 4.4.4 Parábola ................................................................................................................................ 40 4.4.5 Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero ................................................................. 41 4.4.6 Círculo Circunscrito a un Triángulo ..................................................................................... 42 4.4.7 Clasificación de Ángulos ...................................................................................................... 42 4.4.8 Área del rombo ..................................................................................................................... 44 4.4.9 Función Cuadrática con Parámetros ..................................................................................... 45 4.4.10 Crecimiento y decrecimiento de funciones ........................................................................ 45 4.4.11 Animación Sencilla (Traslación) ........................................................................................ 47 4.4.12 Teorema de Pitágoras ......................................................................................................... 48 4.4.13 Animación Doble (Traslación y Rotación) ......................................................................... 50 4.4.14 Suma de los ángulos internos de un triángulo .................................................................... 52 Unidad 5 Software libre para Sistemas de Álgebra Computacional (CAS): Máxima
.................... 54
5.1 Breve historia de Maxima ............................................................................................................ 54 5.2 Instalación .................................................................................................................................... 55 5.3 Funciones básicas ......................................................................................................................... 59 5.3.1 Asignación de variables ........................................................................................................ 62 5.3.2 Formas de hacer referencia a expresiones de entrada y salida previas. ................................ 63 5.3.3 Expresiones aritméticas y simbólicas ................................................................................... 64 5.3.4 Listas ..................................................................................................................................... 67 5.4 Impresión de expresiones sin evaluar ........................................................................................... 70 5.5 Gráficos ........................................................................................................................................ 71 5.6 Algunas funciones matemáticas ................................................................................................... 72 5.7 Actividades a realizar ................................................................................................................... 73 Unidad 6 Software libre para Cálculo Numérico: Octave
......................................... 74
6.1 Breve historia de Octave .............................................................................................................. 74 6.2 Instalación .................................................................................................................................... 75 6.2.1. Interfaces de usuario ............................................................................................................ 79 6.3 Funciones básicas ......................................................................................................................... 87 6.3.1. Operadores aritméticos y funciones matemáticas elementales............................................ 88 6.3.2 Funciones matemáticas elementales ..................................................................................... 89 6.3.3. Operadores de comparación ................................................................................................ 90 6.3.4. Operadores booleanos.......................................................................................................... 91 6.3.5. Operadores booleanos "short-circuit" .................................................................................. 92 6.3.6. Operador de asignación ....................................................................................................... 93 6.4 Vectores y matrices ...................................................................................................................... 93 6.4.1 Matrices especiales ............................................................................................................... 96 6.4.2 Operaciones con matrices y vectores.................................................................................... 98 6.5 Gráficas ...................................................................................................................................... 100 6.5.1 Gráficas en dos dimensiones .............................................................................................. 100 6.5.2 Gráficas tridimensionales ................................................................................................... 103 6.5.3 Múltiples gráficas ............................................................................................................... 103 6.6 Actividades a realizar ................................................................................................................. 104 Unidad 7 Software libre para graficación de funciones: WinPlot ii
................................................ 105
7.1 Breve historia de WinPlot .......................................................................................................... 105 7.2 Instalación .................................................................................................................................. 105 7.3 Funciones básicas ....................................................................................................................... 107 7.3.1 Barra de menú ......................................................................................................................... 109 7.4 Construcción de gráficas ............................................................................................................ 110 7.4.1 Ubicación de una coordenada en el plano x, y .................................................................... 110 7.4.2 Construcción de una gráfica ............................................................................................... 112 7.4.3 Visualización de la gráfica ................................................................................................. 113 7.4.4 Graficación de dos o más funciones en un mismo plano ................................................... 114 7.5 Edición de una gráfica ................................................................................................................ 114 7.5.1. Color, grosor, y tipo de línea ............................................................................................. 114 7.5.2 Mostrar la ecuación de la gráfica ........................................................................................ 116 7.6 Análisis de una gráfica ............................................................................................................... 116 7.6.1. La tabla de valores x e y..................................................................................................... 116 7.6.2 Localización de los ceros de una función ........................................................................... 117 7.7 Funciones matemáticas elementales en WinPlot ....................................................................... 119 7.8 Actividades a realizar ................................................................................................................. 120 Unidad 8 Software libre para procesar textos matemáticos: MiKTeX y TeXStudio ............................................................................................................................................................... 121 8.1 Introducción ............................................................................................................................... 121 8.2 Breve historia de TeX ................................................................................................................ 121 8.3 ¿Qué es LaTeX? ......................................................................................................................... 122 8.4 Instalación .................................................................................................................................. 123 8.5 Funciones básicas ....................................................................................................................... 135 8.5.1 Tipo de Documento ............................................................................................................ 137 8.5.2 Seccionado del documento ................................................................................................. 137 8.5.3 El Preámbulo del documento .............................................................................................. 139 8.5.4 Cuerpo de un documento .................................................................................................... 140 8.5.5 Caracteres especiales .......................................................................................................... 141 8.5.6 Los tipos y tamaños de letras .............................................................................................. 142 8.5.7 Listas enumeradas y viñetas ............................................................................................... 143 8.6 Principales Operaciones Matemáticas ........................................................................................ 145 8.6.1 El exponente ....................................................................................................................... 146 8.6.2 El subíndice ........................................................................................................................ 146 8.6.3 Combinación ....................................................................................................................... 146 8.6.4 La Fracción ......................................................................................................................... 147 8.6.5 Raíces.................................................................................................................................. 147 8.7 Ecuaciones .................................................................................................................................. 148 8.8 Matrices ...................................................................................................................................... 151 8.9 Espacios en modo Matemático ................................................................................................... 151 8.10 Tablas ....................................................................................................................................... 152 8.11 Inclusión de imágenes .............................................................................................................. 153 8.11.1 Insertar una imagen con un texto al lado. ......................................................................... 155 8.12 Solución para la compatibilidad con el idioma español. .......................................................... 156 8.13 Actividades a realizar ............................................................................................................... 157 Unidad 9 Software libre para Probabilidad y Estadística: GNU R iii
............................................. 161
9.1 Breve historia de GNU R ........................................................................................................... 161 9.2 Instalación .................................................................................................................................. 162 9.2.1 Instalación de R Commander .............................................................................................. 166 9.3 Entrada de datos ......................................................................................................................... 171 9.3.1 Leer datos desde un archivo de texto.................................................................................. 172 9.3.2. Introducir datos directamente ............................................................................................ 176 9.3.3. Lectura de datos desde un paquete .................................................................................... 178 9.4. Crear resúmenes numéricos y gráficas. ..................................................................................... 179 9.5 Guardar resultados ...................................................................................................................... 184 9.6 Actividades a realizar ................................................................................................................. 185 Trabajo final .......................................................................................................................................... 187 Bibliografía ........................................................................................................................................... 188 Apéndice ............................................................................................................................................... 189 ¿Qué es un ensayo? .......................................................................................................................... 189 Pasos mínimos para escribir un ensayo ....................................................................................... 189 Estructura del ensayo ....................................................................................................................... 190 Introducción ................................................................................................................................. 190 Cuerpo ......................................................................................................................................... 190 Conclusión ................................................................................................................................... 191 Pasos para redactar un ensayo ..................................................................................................... 191
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Introducción La Universidad de Guadalajara, consciente de la necesidad de vincular el aprendizaje de sus estudiantes con las actividades laborales, ha emprendido una reforma curricular, en la que se enfatiza el desarrollo de habilidades cognitivas de orden superior (pensamiento analítico, pensamiento crítico, solución de problemas y comunicación), habilidades de pensamiento complejo, alfabetización Informacional, capacidad para organizar, gestionar el tiempo, tomar decisiones y trabajar colaborativamente, responsabilidad social y creatividad. Entre los objetivos propuestos se encuentran: potenciar y desarrollar la competencia matemática, entendiendo como competencia matemática el estudiar, analizar y reproducir resultados y nuevas teoría para establecer los límites de la matemática actual en una determinada sub-disciplina. Establecer relaciones entre distintos puntos de vista o enfoques de un mismo tópico matemático. Comunicar ideas y teorías matemáticas con otros expertos en matemáticas. Por lo anterior se considera que un matemático, entre muchas cosas más, debe ser capaz de elaborar Cómputo Científico, al utilizar la computadora como una herramienta auxiliar en el análisis de problemas y diseño de soluciones. Además de analizar y validar los resultados obtenidos por una computadora. Así como análisis y diseño de algoritmos computacionales (simbólicos y numéricos). Es decir, un matemático debe hacer matemáticas con la computadora. En el plan de estudios se propone la obtención de diversas competencias genéricas. Una de las mismas es “usar herramientas de cómputo científico, entendiendo los algoritmos utilizados y las particularidades de los resultados obtenidos”. Con el fin de que dicha competencia sea cumplida, se creó la materia de Cómputo para Ciencias, la cual trata de introducir al estudiante al mundo del cómputo científico apoyado con el uso de software libre para diversas áreas de las matemáticas, involucrándolo en el uso de la computadora como una herramienta cotidiana de trabajo. Se pretende además que el alumno sea capaz de diferenciar los conceptos de software comercial y software libre; conocer los elementos principales y los términos relacionados al software libre; conocer y diferenciar las diferentes categorías de software libre para matemáticas; y finalmente conocer, instalar y manejar algunas alternativas de software libre para matemáticas dependiendo de su categoría.
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Unidad 1 Software comercial vs software libre 1.1 Software comercial Desde hace más de 30 años se ha acostumbrado que quien vende un programa imponga las condiciones bajo las que pueda ser usado prohibiendo, por ejemplo, que se le pueda pasar a un amigo o a un alumno. Dicho software no siempre puede adaptarse a nuestras necesidades, ni siquiera podemos corregir sus errores, debiendo esperar a que el fabricante los arregle. Este tipo de programas se conoce como software comercial, propietario, privativo, de código cerrado o no libre y existen sectores de la economía que lo sostienen a través de su producción, su distribución o soporte.
1.1.1Terminología utilizada Aunque no existe consenso sobre el término a utilizar para referirse al opuesto del software libre. Entre los términos más usados, sin ningún orden en particular, se encuentran:
Software comercial Es el software que es comercializado, es decir, que las compañías que lo producen, cobran dinero por su producto, su distribución o soporte. Posee restricciones para el uso, copia o modificación o cuyo código fuente no está disponible (código cerrado). Además el software comercial puede ser libre o no. La gran mayoría del software comercial es privativo, pero hay software libre que es comercial, lo que es una contradicción sus principios. Un ejemplo de software libre comercial es el Red Hat, que es un sistema operativo bajo Linux que se comercializa y a su vez es libre.
Software propietario La expresión software propietario proviene del término en inglés "proprietary software". En la lengua anglosajona, "proprietary" significa “poseído o controlado privadamente” (“privately owned and controlled”), que destaca la manutención de la reserva de derechos sobre el uso, modificación o redistribución del software. Inicialmente utilizado, pero con el inconveniente que la acepción proviene -1-
de una traducción literal del inglés, no correspondiendo su uso como adjetivo en el español, de manera que puede ser considerado como un barbarismo. El término "propietario" en español resultaría inadecuado, pues significa que «tiene derecho de propiedad sobre una cosa», por lo que no podría calificarse de "propietario" al software, porque éste no tiene propiedad sobre nada (es decir, no es dueño de nada) y, además, no podría serlo (porque es una cosa y no una persona). Asimismo, la expresión "software propietario" podría ser interpretada como "software sujeto a propiedad" (derechos o titularidad) y su opuesto, el software libre, también está sujeto al derecho de autor. Otra interpretación es que contrariamente al uso popular del término, se puede afirmar que "todo software es propietario", por lo que la forma correcta de referirse al software con restricciones de uso, estudio, copia o mejora es de software privativo, según esta interpretación el término "propietario" podría aplicarse tanto para software libre como software privativo, ya que la diferencia entre uno y otro está en que el dueño del software privativo lo licencia como propiedad privada y el de software libre como propiedad social. Con la intención de corregir el defecto de la expresión "software propietario" aparece el llamado "software con propietario", sin embargo se argumenta contra del término "con propietario" justamente su similitud con proprietary en inglés, que sólo haría referencia a un aspecto del software que no es libre, manteniendo una de las principales críticas a éste (de "software sujeto a derechos" o "propiedad"). Adicionalmente, si "propietario" refiere al titular de los derechos de autor (y está claro que no puede referir al usuario, en tanto éste es simplemente un cesionario), no resuelve la contradicción: todo el software libre tiene también titulares de derechos de autor. Según la opinión de algunos activistas del Movimiento de Software Libre, el término "software propietario" fue introducido por empresas desarrolladoras de software privativo como campaña publicitaria para desacreditar al software libre en cuanto a la propiedad del mismo, haciéndola parecer como difusa y sin ninguna garantía de soporte legal para quien lo adquiría.
Software privativo La expresión software privativo comenzó al ser utilizada por Richard Stallman, desde el año 2003, en sus conferencias sobre software libre, pues sería más adecuada que "software propietario".
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El término "privativo" significa "que causa privación o restricción de derechos o libertades", justamente lo que se pretende describir con él: la privación a los usuarios de sus libertades en relación al software, esto desde el punto de vista de las organizaciones que apoyan las opciones de software libre.
Software no libre La expresión software no libre (en inglés non-free software) es usado por la FSF (Free Software Fundation) para agrupar todo el software que no es libre, es decir, incluye al llamado en inglés "semifree software" (software semilibre) y al "propietary software". Asimismo, es frecuentemente utilizado para referirse al software que no cumple con las directrices de software libre de Debian, las cuales siguen la misma idea básica de libertad en el software, propugnada por la FSF, y sobre las cuales está basada la definición de código abierto de la Open Source Initiative.
Software de código cerrado Esta expresión software de código cerrado nace como antónimo de software de código abierto y por tanto se centra más en el aspecto de ausencia de acceso al código que en los derechos sobre el mismo. Dicho se refiere sólo a la ausencia de una sola libertad por lo que su uso debe enfocarse sólo a este tipo de software y aunque siempre signifique que es un software que no es libre, no todo software que no sea libre tiene que ser software de código cerrado.
Software privado Dicha expresión es usada por la relación entre los conceptos de (tener) propietario y ser privado. Este término sería inadecuado debido a que, en una de sus acepciones, la palabra "privado" se entiende como antónimo de "público", o sea, que «no es de propiedad pública o estatal, sino que pertenece a particulares», provocando que esta categoría se interpretara como no referente al Estado, lo que produciría la exclusión del software (no libre) generado por el aparato estatal.
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Además, el contrario "literal" de "software privado", es decir, el "software público" se asocia generalmente con software de dominio público.
1.2 Ventajas y desventajas del uso de software comercial Ventajas
El software comercial cuenta con más opciones de software de terceros y soporte general de la industria.
Ofrece mejores beneficios en construcción de aplicaciones a la medida.
Desventajas
Es ilegal extender una pieza de software comercial para adaptarlo a las necesidades particulares de un problema específico.
La innovación es derecho exclusivo de la compañía fabricante.
Es ilegal hacer copias del software propietario sin antes haber contratado las licencias necesarias.
1.3 Características del software libre Así pues el término software libre (o programas libres) se refiere a libertad, tal como fue concebido por Richard Stallman, (figura 1.1) nacido en Manhattan, Nueva York, el 16 de marzo de 1953, es programador estadounidense y figura relevante del movimiento por el software libre en el mundo, si el usuario tiene las siguientes libertades o derechos: 1. Libertad para ejecutar el programa en cualquier sitio, con cualquier propósito y para siempre. 2. Libertad para estudiarlo y adaptarlo a necesidades propias. Esto exige el acceso al código fuente. 3. Libertad de redistribución, de modo que se permita colaborar con vecinos y amigos. 4. Libertad para mejorar el programa y publicar las mejoras. También exige el código fuente.
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Estas libertades se pueden garantizar, de acuerdo con la legalidad vigente, por medio de una licencia. En ella se plasman las libertades, pero también restricciones compatibles con ellas, como dar crédito a los autores originales si redistribuimos. Incluso puede obligarse a que los programas ajenos que alguien mejore también sean libres, promoviendo así la creación de más software libre. La ambigüedad de “free”: El término original en inglés para programas libres es free software. Sin embargo en inglés el término free, además de libre significa gratis, lo que genera gran confusión. Por ello a menudo en inglés se toman prestadas palabras españolas y se habla de libre software, en contraposición a gratis software, al igual que en español se toma prestada la palabra software. Así pues no se habla de software gratuito, y el software libre se puede vender si se desea. Pero debido a la tercera libertad, cualquiera puede redistribuirlo sin pedir dinero a cambio ni permiso a nadie, lo que hace prácticamente imposible obtener dinero por distribuirlo, salvo la pequeña cantidad que se pueda cargar por grabarlo en un soporte físico y enviarlo, algo raramente demandado excepto para grandes volúmenes, como es el caso de las distribuciones. Se han formalizado definiciones más precisas de software libre, como es el caso notable de las directrices de la distribución Debian. En ellas se permite además que el autor exija que los fuentes distribuidos no sean modificados directamente, sino que los originales se acompañen de parches separados y que se generen programas binarios con distinto nombre que el original. Además exigen que las licencias no contaminen otros programas distribuidos en el mismo medio.
Figura 1.1. Richard Matthew Stallman.
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1.4 Ventajas y desventajas del uso de software libre Ventajas
Brinda libertad a los usuarios.
Puede ser usado, copiado, estudiado, modificado y redistribuido.
Ahorros multimillonarios en la adquisición de licencias.
Tiende a ser muy eficiente (ya que mucha gente lo optimiza y mejora).
Disminuye el índice de “software pirata”.
Ventajas del uso del software libre en la docencia
Una ventaja de usar software libre en la docencia, en particular en la enseñanza de las matemáticas, es que se pueden distribuir copias del programa legalmente a los alumnos. Esto permite que puedan utilizar el programa en sus casas. La licencia del programa autoriza a hacerlo.
Otra ventaja es que permite acceder al conocimiento que hay detrás del software. Utilizando software libre, tanto alumnos como investigadores pueden, por ejemplo, ir y ver que algoritmo utiliza el programa para realizar determinado cálculo. O incluso pueden tomar el código fuente en sus manos y mejorarlo, o adaptarlo para hacer algo diferente.
El software libre, se puede considerar no solo como una estrategia didáctico-pedagógica sino también económica, pues el ahorro derivado de la utilización del software libre posibilita que todos, estudiantes, docentes e investigadores en general, tengan las herramientas de software que necesitan, puesto que no hay problemas con costos ni renovaciones de licencias de uso, no hay limitantes en el número de usuarios.
Desventajas
El software libre es generalmente incompatible con el software comercial.
El software libre crea riesgos legales.
El software libre no tiene garantía proveniente del autor.
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1.5 Actividades a realizar 1. Realizar un ensayo de mínimo dos cuartillas sobre software comercial y software libre, haciendo notar las diferencias entre uno y otro, así como sus respectivas ventajas y desventajas. Para realizarlo se deben seguir las indicaciones del apéndice. Además el ensayo deberá ser escrito en computadora con las siguientes características: a) Tipo de letra: Times New Roman. Para los títulos será de 14 puntos, centrado y negritas; para el cuerpo del escrito de 12 puntos y justificado a ambos extremos. b) Tamaño de la hoja: Carta o letter. c) Interlineado: 1.5 líneas. d) Espaciado: 6 puntos antes y 6 puntos después. e) Márgenes: 2.5 a cada lado.
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Unidad 2 Términos relacionados con software libre A continuación se presentará una selección de terminados relacionados de alguna manera con el software libre.
2.1 Open Source Software (Programas de fuente abierta) Un término equivalente a software libre es Open Source Software (programas de fuente abierta), promovido por Eric Raymond y la Open Source Initiative. Filosóficamente el término es muy distinto, ya que hace énfasis en la disponibilidad de código fuente, no en la libertad. Este nombre es más políticamente aséptico y recalca un aspecto técnico que puede dar lugar a ventajas técnicas, como mejores modelos de desarrollo y negocio, mayor seguridad, etc. Fuertemente criticado por Richard Stallman y la Free Software Foundation, ha encontrado mucho más eco en la literatura comercial y en las estrategias de las empresas que de una manera u otra apoyan el modelo. Entre los muchos programas de este tipo de software se puede encontrar el 7-ZIP que es un compactador-descompactador (figura 2.1); ClamWin Free Anti que es un antivirus; XBMC Media Center para reproducir audio y video; ScummVm para desarrollo de video juegos; etc.
Figura 2.1. Ejemplo de software con código de fuente abierta. -8-
2.2 Freeware (Programa gratuito) Otro término relacionado de alguna manera con el software libre es Freeware (programa gratuito). Normalmente se ceden en binario y con derechos de redistribución. Sin embargo, a veces sólo se pueden obtener de un sitio oficial, generalmente para promocionar otros programas o servicios, como es el caso de los kits de Java gratuitos que proporciona Sun Microsystems, como es el caso del OpenOffice (figura 2.2), que es compatible con el Office de Microsoft.
Figura 2.2. Ejemplo de Freeware.
2.3 Shareware (Programas compartidos) También se encuentra el término Shareware. No es siquiera software gratuito, aunque puede serlo por algún tiempo, sino un método de distribución, ya que los programas, generalmente sin fuentes, se pueden copiar libremente, pero no usar continuadamente sin pagarlos. La exigencia de pago puede estar incentivada por funcionalidad limitada o mensajes molestos, o una simple apelación a la moral del usuario (figura 2.3), además de que las estipulaciones legales de la licencia podrían utilizarse en contra del infractor. -9-
Figura 2.3. Ejemplo de Shareware.
2.4 Charytiware (Programas para ayuda o caridad) Existe el término Charityware (también llamado careware, helpware o goodware). Generalmente es una variante de shareware y de freeware, pero cuyo pago se exige para una organización caritativa patrocinada. En muchos casos, el pago no se exige, pero se solicita una contribución voluntaria. Este tipo de software se ofrece generalmente sin contener fuentes, pero si puede ser copiado libremente. Por ejemplo el software conocido como Vim solicita contribuciones caritativas voluntarias. Al entrar a su sitio oficial http://vim.sourceforge.net/, se puede leer la leyenda de la figura 2.4. Vim is a highly configurable text editor built to enable efficient text editing. It is an improved version of the vi editor distributed with most UNIX systems. Vim is distributed free as charityware. If you find Vim a useful addition to your life please consider helping needy children in Uganda.
Figura 2.4. Ejemplo de Charityware en su sitio oficial.
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2.5 Public Domain (Dominio público) Un término más que se puede encontrar es Dominio Público. El autor renuncia absolutamente a todos sus derechos, y los cede a favor de la humanidad, lo cual tiene que estar declarado explícitamente en el programa, ya que si no se dice nada, el programa es propietario (término usado para denominar al software que no es libre ni de fuente abierta) y no se puede hacer nada con él. En este caso, y si además se proporcionan los fuentes, el programa es libre. Este software también es aquel cuyos derechos de autor han expirado, tras un plazo contado desde la muerte de este, habitualmente 70 años. Si un autor condiciona su uso bajo una licencia, por muy débil que sea, ya no es del dominio público. Ejemplo de este tipo de software es el que se puede encontrar en la dirección http://www.pdas.com/contents15.html, que es software para aeronáutica (figura 2.5).
Figura 2.5. Ejemplo de dominio público.
2.6 Abandonware (Programas abandonados) Un término relacionado pero poco usado es Abandonware. Son aquellos programas y en especial videojuegos, descatalogados o difíciles de encontrar en venta, debid
o a su antigüedad, a que la
empresa desarrolladora cambio de nombre, desapareció, se declaró en quiebra o tienen un estado legal incierto por diversos motivos. Y por ello se entiende que ese software ya no va a volver a ser comercializado y por tanto su descarga sin ánimo de lucro, que no es lo mismo que distribuirlo gratuitamente, no provocará ningún -11-
perjuicio económico. En muchos casos este software se puede encontrar libremente en Internet ya que ha dejado de tener copyright. Tal es el caso de muchos compiladores como el Ada, Algol (figura 2.6), Cobol, Modula, QBASIC, etc.
Figura 2.6. Ejemplo de Abandonware.
2.7 Adware (Programas con publicidad) También se encuentra el término Adware. Son programas gratuitos en su totalidad pero que incluyen publicidad a modo de banners o pop-ups. Estos generalmente se distribuyen sin fuentes y se pueden copiar libremente. Un ejemplo muy claro es el correo electrónico Hotmail (figura 2.7) o el Messenger de Microsoft.
Figura 2.7. Ejemplo de Adware. -12-
2.8 Copyleft Finalmente se encuentra el término Copyleft. Es un caso particular de software libre cuya licencia obliga a que las modificaciones que se distribuyan sean también libres. Un buen ejemplo de copyleft es el compilador GNU para C++ o mejor conocido como GCC (figura 2.8).
Figura 2.8. Ejemplo de Copyleft.
2.9 Actividades a realizar Hacer una búsqueda en Internet de al menos un ejemplo de cada uno de los tipos o categorías de software libre, haciendo referencia de la página WEB donde se ubica, una descripción muy general del programa para su presentación por equipos.
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Unidad 3 Categorías principales de software libre para matemáticas A continuación se presentará una selección de software libre existente, para la docencia e investigación en matemáticas, que tiene el propósito de mostrar que existen alternativas libres a otros programas comerciales que quizás sean más populares. Todos los programas de software libre que se presentan a continuación se han clasificado en categorías dependiendo de la rama de las matemáticas de su ámbito de competencia, pero no del tipo de software libre de acuerdo a los términos de su licencia de uso respectiva. Cabe mencionar que algunos programas abarcan más de una rama, pero se mencionará la principal, además no se describirán las características particulares de cada uno por cuestiones de espacio. La gran mayoría se pueden ejecutar en una PC convencional, algunos pueden hacerlo en Macintosh. Además casi todos utilizan el sistema operativo Windows, pero algunos también funcionan sobre otros sistemas operativos y varios son multiplataforma. El mundo del software libre es un mundo de alternativas. En general no suele existir un solo programa para una tarea, sino varias alternativas para elegir. Por lo que se presentarán el nombre del programa, el logotipo del mismo, la página WEB oficial en donde se puede descargar, el tamaño del mismo, la plataforma o tipo de computadora donde se puede ejecutar y finalmente el sistema operativo bajo el cual puede ser ejecutado el mismo. Todo lo anterior para que cada quien seleccione la alternativa libre que más se adapte a sus necesidades y requerimientos, ya sea dentro del campo de la docencia o de la investigación en matemáticas.
3.1 Geometría Dinámica (Procesadores Geométricos) Los procesadores geométricos son programas que permiten visualizar de forma interactiva diversas construcciones geométricas. Además permiten al usuario interactuar dinámicamente con la computadora ya sea de forma local o en algunos casos vía Internet.
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En un salto cualitativo los procesadores geométricos articulan un concepto fundamental: la distinción entre dibujo y construcción geométrica. En efecto, los procesadores geométricos permiten dibujar figuras, al igual que muchos otros programas de dibujo, pero no en función de la apariencia, sino de las relaciones geométricas. Los procesadores geométricos comerciales, como es el caso de Cabri, SketchPad y las versiones más recientes de Cinderella, tienen costos que oscilan entre los 1,500 y 2,000 pesos1. Dentro de las alternativas libres para esta categoría se puede considerar la mejor de todas el Geogebra, también existen otras como el Cinderella (versiones anteriores a la 2.0), Regla y Compás, Geonext, Wingeom, CaRMetal, etc. (tabla 3.1).
Tabla 3.1. Software libre para geometría (procesadores geométricos) Nombre
Tamaño
Plataforma
S. O.
www.geogebra.org
11.6 Mb
PC, MAC
Win, Linux, MAC OS
www.cinderella.de
21.5 Mb
PC, MAC
Win, Linux, MAC OS
Regla y Compás
matematicas.uis.edu.co
5.75 Mb
PC, MAC
Geonext
Geonext.uni-bayreuth.de
9.18 Mb
PC, MAC
Wingeom
math.exeter.edu/rparris
1.93 Mb
PC
Win
CaRMetal
db-maths.nuxit.net
3.25 Mb
PC, MAC
Win, Linux, MAC OS
Geogebra
Logo
Página oficial
Cinderella (algunas versiones)
Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS
3.2 Sistemas de Álgebra Computacional (CAS: Computer Algebra System) Los Sistemas de Álgebra Computacional son programas capaces de realizar operaciones simbólicas como diferenciación, integración, factorización o multiplicación de polinomios, simplificación de expresiones algebraicas, sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, etc. Los líderes en el mercado son Maple y Mathematica, cuyos costos son aproximadamente de 2,370 y 2,495 dólares2 respectivamente, siendo ambos usados muy frecuentemente por ingenieros, investigadores, matemáticos y otros científicos. 1
Precios consultados en febrero de 2012
-15-
Existen muchas alternativas libres para esta categoría, tales como Maxima, Axiom, Sage, Yacas, Mathomatic, PariGP, Reduce, etc. (tabla 3.2), las mismos son de propósitos generales en áreas como Cálculo, Álgebra, Geometría Analítica, entre otros. Tabla 3.2. Software libre de Sistemas de Álgebra Computacional (CAS) Nombre
Logo
Tamaño
Plataforma
maxima.sourceforge.net
26.6 Mb
PC, MAC
Axiom
axiom-developer.org
114 Mb
PC, MAC
Sage
www.sagemath.org
998 Mb
PC, MAC
Yacas
yacas.sourceforge.net
1.14 Mb
PC, MAC
mathomatic.orgserve.de/math
978 Kb
PariGP
pari.math.u-bordeaux.fr
6.3 Mb
PC
Win, Linux
Reduce
Reducealgebra.sourceforge.net
7.6 Mb
PC, MAC
Win, Linux, MAC OS
Maxima
Mathomatic
Página oficial
(fuentes) (fuentes)
PC, MAC
S. O.
Win, Linux, MAC OS Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS
3.3 Cálculo Numérico El cálculo numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. El principal programa comercial para cálculo numérico es Matlab (abreviatura de Matrix Laboratory) siendo uno de los más potentes y costosos, pues tiene un precio superior a los 7,000 dólares3. Dentro de las alternativas libres para esta categoría se pueden encontrar una gran cantidad de programas muy potentes y tan funcionales o más que el propio Matlab. Entre los más comunes podemos encontrar GNU Octave (que es un clon libre de Matlab), SciLab, FreeMat, Euler, Wiris, Euler Math Toolbok, etc. (tabla 3.3). 2 3
Precios consultados en abril de 2012 Precio consultado en abril de 2012
-16-
Tabla 3.3. Software libre para Cálculo Numérico Nombre
Logo
Página oficial
Tamaño
Plataforma
GNU Octave
www.octave.org
22 Mb
PC, MAC
SciLab
www.scilab.org
95 Mb
PC, MAC
freemat.sourceforge.net
17.9 Mb
PC, MAC
Euler
euler.sourceforge.net
1.2 Mb
PC, MAC
Wiris
www.educa.jcyl.es/wiris/es/
On-line
PC, MAC
eumat.sourceforge.net
53 Mb
PC, MAC
FreeMat
Euler Math Toolbox
S. O.
Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS
3.4 Graficación de Funciones Dibujar gráficas de funciones es una actividad que desde el nivel secundaria se enseña, se dibuja la gráfica de funciones constantes, lineales, cuadráticas, etc. En otros niveles aparte se tiene que obtener su dominio y codominio, determinar si la función es creciente o decreciente, etc. Este tipo de programas son, probablemente, los más abundante y fueron los pioneros entre el software libre de matemáticas. Existen en Internet disponible un sinfín de software libre para graficación de funciones con un potencial cada vez más amplio. Los mismos permiten dibujar gráficas de funciones matemáticas en un sistema de coordenadas, de forma sencilla y precisa. Se puede trabajar tanto con gráficas normales como con funciones paramétricas. También se puede representa gráficas de funciones en forma explícita. También casi todos los programas comerciales de matemáticas de carácter general (Maple, Mathematica, Matlab, MathCad, etc.) incluyen una aplicación de representación gráfica de funciones. El inconveniente es el costo de los mismos. En esta categoría se tienen muchas alternativas libres, quizá la más completa en la actualidad para el estudio y graficación de funciones, de curvas en el plano y en el espacio y de superficies sea el Winplot. Además se encuentran programas como Graph, GrafEq, Deriva, Funciones, Gauss, Labplot (que únicamente corre bajo Linux), Graph +, Zhu3D, entre muchos otros (tabla 3.4).
-17-
Tabla 3.4. Software libre para graficación de funciones Nombre
Página oficial
Tamaño
Plataforma
math.exeter.edu/rparris/winplot .html
812 Kb
PC
Graph
www.padowan.dk
3.0 Mb
PC, MAC
GrafEq
www.peda.com/grafeq
2.37 Mb
Winplot
Deriva Funciones Gauss
Logo
www.xtec.es/~jlagares/matemat i.htm www.xtec.es/~jlagares/matemat i.htm www.xtec.es/~jlagares/matemat i.htm
S. O.
Win
Win, OS Win, PC, MAC OS
297 Kb
PC
Win
526 Kb
PC
Win
189 Kb
PC
Win
PC
Linux
Labplot
labplot.sourceforge.net/
270 Kb
Graph +
www.hot.ee/graphplus
1.47 Mb
PC
Win
www.kde-apps.org
6.73 Mb
PC
Win
Zhu3D
(fuentes)
MAC MAC
3.5 Procesadores de texto matemáticos Producir textos matemáticos o científicos en una computadora es un asunto de gran interés. La posibilidad de modificar, mejorar, archivar e intercambiar fácilmente los archivos son las ventajas que, finalmente hacen ganar tiempo y eficacia. Sin embargo, no es todo tan simple, porque aunque si bien es cierto que los procesadores de textos hoy en día están muy extendidos, pocos son capaces de editar con simplicidad fórmulas matemáticas. El programa comercial más utilizado para la edición de textos matemáticos y científicos es el Scientific Work Place que tiene un costo de unos 845 dólares, además de sus pariente cercanos Scientific Word con valor de 630 dólares y Scientific Notebook en cual tiene un costo de uno 222 dólares4. También se encuentran el MathType y el propio editor de ecuaciones del Word de Microsoft. Todos ellos son WYSIWYG (What You See Is What You Get: Lo que se ve es lo que se obtiene).
4
Todos los precios fueron consultados en abril de 2012
-18-
LaTeX es el referente cuando se habla de editar textos científicos o matemáticos. Apareció en 1978 bajo el nombre de TeX, este programa, creado por Donald Knuth, fue evolucionando y enriqueciéndose con programas complementarios. LaTeX forma parte de uno de estos programas. Su papel es ejecutar automáticamente los macro-comandos TeX, además de simplificar su utilización. Se podría decir que LaTeX es un tratamiento de textos aparte, que presenta dificultades para los principiantes, pero sus ventajas son numerosas: es un programa que forma parte del dominio público, el texto que genera es de gran calidad, el texto "fuente" es muy compacto, los intercambios de archivos son fáciles. Todas estas ventajas se pagan a cambio de una interfaz muy pobre: no podemos ver lo que estamos tecleando (no es procesador de textos tipo WYSIWYG), es necesario saber de memoria los comandos de formato y finalmente hay que compilar los textos para ver el resultado final. Dentro de las alternativas libres para esta categoría podemos encontrar una gran cantidad de programas, entre los cuales destacan TeXStudio o Texnic Center como editores y el MiKTeX como compiladores para LaTeX, los cuales juntos producen textos de muy buena calidad. También podemos encontrar el MacTex, Texlive, Kile, Lyx, GNU TeXmacs, BibTex, KbibTex KDE 3, etc. (tabla 3.5). Tabla 3.5. Software libre para edición de textos matemáticos Nombre
Tamaño
Plataforma
S. O.
texstudio.sourceforge.net/
22.4 Mb
PC, MAC
Win, Linux, MAC OS
www.miktex.org www.tug.org/texlive/ www.tug.org/mactex/
138 Mb 1.9 Gb 1.54 Gb
PC PC MAC
www.texniccenter.org
4.43 Mb
PC, MAC
Kile
kile.sourceforge.net
2.17 Mb
PC
Lyx
www.lyx.org/Home
23 Mb
PC, MAC
www.texmacs.org
5.6 Mb
PC, MAC
www.bibtex.org
On-line
PC, MAC
830 Kb
PC
TeXStudio MiKTeX Texlive MacTex Texnic Center
GNU TeXmacs BibTex KBibTex KDtsE 3
Logo
Página oficial
www.unix-ag.unikl.de/~fischer/kbibtex/downloa d.html
-19-
(fuentes)
(fuentes)
Win Linux MAC OS Win, Linux, MAC OS Linux Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Linux, MAC OS Linux
3.6 Probabilidad y Estadística La probabilidad es una rama de las matemáticas que mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables y la estadística es la rama de las matemáticas que se refiere a la recolección, estudio e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Dentro de los principales programas comerciales más utilizados para esta categoría, tanto en el entorno académico como científico, es el SPSS, cuyo valor aproximado es de 1,400 dólares. Otro programa comercial muy utilizado es el Statgraphics, el cual tiene un costo de unos 1,800 dólares5. Actualmente, dentro de las alternativas libres se tiene que la más destacada es el Lenguaje R, el cual es de código abierto (GNU R). Recientemente ha sido desarrollado un programa libre llamado PSPP, con una interfaz llamada PSPPire que ha sido compilada para diversos sistemas operativos como Linux, además de versiones para Windows y OS X. El PSPP pretende ser un clon de código abierto que emule todas las posibilidades del SPSS, a excepción del costo. Otras alternativas que pueden ser muy útiles para esta categoría son Winstats, StadiS, SalStat, Gauss, etc. (tabla 3.6). Tabla 3.6. Software libre para probabilidad y estadística Nombre
Página oficial
Tamaño
Plataforma
S. O.
27 Mb
PC, MAC
Win, Linux, MAC OS
GNU R
www.r-project.org
Winstats
math.exeter.edu/rparris
1.25 Mb
PC
Win
StadiS
personal5.iddeo.es/ztt/util/Umis _VB.htm
5.37 Mb
PC
Win
SalStat
salstat.sourceforge.net
4.2 Mb
PC, MAC
3.35 Mb
PC, MAC
189 Kb
PC
PSPP Gauss
5
Logo
www.gnu.org/software/pspp/ps pp.html www.xtec.es/~jlagares/matemat i.htm
Precios consultados en abril de 2012
-20-
Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win
3.7 Propósito específico También existe software libre de propósitos específicos para ciertas áreas particulares de las matemáticas, generalmente enfocado a la investigación; como son GAP para Teoría Computacional de Grupos; Singular y Macaulay2 para Geometría Algebraica; FreeFem y Alberta FEM para Elemento Finito; o el mismo PariGP que también se puede utilizar para la Teoría de Números. Iode, Auto y Cactus para la solución numérica de ecuaciones diferenciales, GLPK para programación lineal, Cvxopt para optimización convexa, Yorick para simulacaciones científicas, GNU Getrl para regresión y series de tiempo (tabla 3.7).
Tabla 3.7. Software libre para propósitos específicos Nombre
Tamaño
Plataforma
turnbull.mcs.stand.ac.uk/~gap/
58 Mb
PC, MAC
www.singular.uni-kl.de/
143 Mb
PC, MAC
www.math.uiuc.edu/Macaula y2/
572 Mb
PC, MAC
www.freefem.org
15 Mb
PC, MAC
www.alberta-fem.de
2.1 Mb
PC
Linux
PariGP
pari.math.u-bordeaux.fr
PC
Iode
www.math.uiuc.edu/iode
6.3 Mb 143 Kb
Auto
indy.cs.concordia.ca/auto/
4.9 Mb
PC, MAC
Win, Linux Win, Linux, MAC OS Linux, MAC OS
Cactus
www.cactuscode.org
630 Kb
PC
Linux
GLPK
www.gnu.org/software/glpk/g lpk.html
28 Mb
PC
Linux
Cvxopt
abel.ee.ucla.edu/cvxopt/
2.7 Mb
PC, MAC
Linux, MAC OS
2.3 Mb
PC
Linux
6.1 Mb
PC
Linux
GAP Singular Macaulay2 Free Fem Alberta Fem
Yorick GNU Getrl
Logo
Página oficial
yorick.sourceforge.net/index. php gretl.sourceforge.net/
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(rutina)
(fuentes)
PC, MAC
S. O.
Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS Win, Linux, MAC OS
3.8 Actividades a realizar Exponer por equipos al menos uno de los ejemplos de cada categoría de software libre para matemáticas mencionados en los temas 3.1 a 3.6. Nota: no considerar el primer ejemplo de cada categoría, ya que será visto en extenso durante el curso.
-22-
Unidad 4 Software libre para Geometría Dinámica: Geogebra 4.1 Breve historia de Geogebra En el año 2002 salió la primera versión del programa GeoGebra, su creador y actual director del equipo es Markus Hohenwarter (figura 4.1) quien trabaja en la Universidad Linz Johannes Kepler en Austria. Actualmente en el proyecto trabajan cerca de ocho personas de diversos países del mundo: Inglaterra, Hungría, Francia, Luxemburgo, Estados Unidos y Alemania. Además del apoyo que reciben de algunas personas de la comunidad, traductores, instituciones y proyectos asociados.
Figura 4.1. Markus Hohenwarter
Tal como su nombre lo dice, Geogebra es un programa que mezcla la geometría con el álgebra. En este sentido, la parte geométrica se puede ubicar dentro de los programas dinámicos de geometría los cuales, en general, permiten realizar construcciones geométricas, con la ventaja de poder mover los puntos de la construcción y observar sus invariantes y características. Además, Geogebra presenta características adicionales que los programas dinámicos de geometría por lo general no poseen y que lo hace especial, conforme se realizan las construcciones geométricas en una ventana se van mostrando las expresiones algebraicas que representan a las líneas, los segmentos, círculos y puntos de la construcción; también permite trabajar con las funciones al poderlas graficar y manipular de una manera sencilla. Geogebra también puede calcular la derivada de funciones, posee su propia hoja de cálculo y además tiene implementadas muchas funciones de manera interna lo que ahorra mucho trabajo (por ejemplo, la aproximación del área bajo la curva utilizando rectángulos). Además de todas las bondades ya planteadas de este programa se puede agregar una de suma importancia, GeoGebra es un programa gratuito y se puede distribuir mientras no sea para uso comercial. Es decir, este programa se puede llevar a cualquier escuela sin problema de licencias, también se le puede dar a todos los estudiantes para que lo utilicen en sus casas, esto es una gran ventaja para que los estudiantes puedan estudiar por su cuenta o profundizar lo que se ha visto en clase. -23-
4.2 Instalación Después de descargar GeoGebra del sitio WEB http://www.geogebra.org se procede a su instalación, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 4.2).
Figura 4.2. Instalador de GeoGebra. 3. Si está activado el Control de cuentas de usuario (figura 4.3), hacer clic en el botón
.
4. Seleccionar el idioma (figura 4.4). Por defecto esta seleccionado Español, hacer clic sobre el botón .
Figura 4.3. Cuadro de Control de cuentas de usuario.
Figura 4.4. Cuadro Selección de idioma.
5. En el cuadro Acuerdo de Licencia hacer clic en el botón
(figura 4.5).
6. Seleccionar la opción Estándar (Standard) o Personalizada (Custom), en el cuadro Tipo de Instalación (figura 4.6). La primera opción se utiliza para instalar todas las características de GeoGebra, la segunda opción se utiliza para instalar de forma personalizada las diferentes características de GeoGebra. Luego hacer clic en el botón
-24-
para iniciar con la instalación.
Figura 4.5. Cuadro Acuerdo de Licencia.
Figura 4.6. Cuadro Tipo de Instalación.
7. Enseguida se procederá a instalar las características seleccionadas, como se muestra el cuadro Instalando GeoGebra (figura 4.7) se solicita esperar mientras se hace la instalación. 8. Finalmente se mostrará el cuadro Instalación terminada (figura 4.8). Si se deja seleccionada la opción Ejecutar GeoGebra y se presiona el botón
se terminará la instalación y se ejecutará
GeoGebra, en caso contrario solamente se terminará la instalación.
Figura 4.7. Cuadro Instalando GeoGebra.
Figura 4.8. Cuadro Instalación terminada.
Después de este procedimiento, se debe haberse creado en el escritorio de la computadora, el icono de acceso directo a GeoGebra (figura 4.9).
-25-
Figura 4.9. Icono de acceso directo a GeoGebra.
También se puede acceder a GeoGebra desde el menú de inicio de Windows (figura 4.10).
Figura 4.10. Accesando a GeoGebra. Mientras se carga GeoGebra se mostrará su logotipo (figura 4.11). En caso de que este no se muestre o aparezca algún mensaje de error, significa que no se tiene instalado Java, que es el lenguaje en el que fue realizado GeoGebra y se requiere para su ejecución.
Figura 4.11. Logotipo de GeoGebra mostrado mientras se carga. Si no se tiene instalado Java se puede descargar de forma gratuita desde el sitio WEB http://www.java.com/es/download/ y simplemente hacer clic en el botón
y seguir
los pasos indicados. Al finalizar la instalación se podrá ejecutar GoeGebra sin ningún problema.
-26-
4.3 Funciones básicas GeoGebra es programa que combina geometría con algebra, por ello dispone de diferentes paneles o secciones (figura 4.12) de visualización que relacionan los objetos con los que trabajamos: 1. Barra de menús: permite acceder a cada uno de los menús de las diferentes opciones de construcción, configuración y visualización de GeoGebra. 2. Barra de herramientas: en ella se tienen los botones necesarios para las construcciones básicas. 3. Vista gráfica: en ella se realizan las construcciones geométricas de diversos objetos. También se conoce como ventana de trabajo. 4. Vista algebraica: se muestran las coordenadas y/o ecuaciones de los objetos mostrados en la vista gráfica. 5. Barra de entradas: pueden anotarse directamente coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones que pasarán a representarse en la Zona Gráfica al ingresarse pulsando
. 6. Vista de hoja de cálculo: por default no está desplegada, en las celdas de una hoja de cálculo, pueden ingresarse tanto números como cualquier otro tipo de objeto matemático tratado por GeoGebra (sean coordenadas de puntos, funciones, comandos).
Menús
Barra de herramientas
Vista Gráfica Vista Algebraica
Vista de hoja de cálculo
Barra de entradas Figura 4.12. Secciones de GeoGebra.
-27-
4.3.1 Primeras construcciones Cualquier construcción se realiza de manera análoga a como se haría tradicionalmente, por ejemplo con regla y compás, o con lápiz y papel. Es por esto que se recomienda primero pensar cómo se realizaría con papel antes de utilizar las herramientas disponibles en Geogebra. Tales construcciones se realizarán con la barra de herramientas (figura 4.13).
Zoom Líneas Polígonos Cónicas Transformaciones Puntero Punto Texto Construcciones Curvas Medidas Imagen
Figura 4.13. Barra de herramientas de Geogebra.
4.3.2 Objetos libres y dependientes Cuando se quiere dibujar un objeto relacionado con otro ya existente, se tiene que seleccionar éste, para hacerlo se tiene que acercar el puntero y esperar a que resalte el objeto, después hacer clic, permanecerá seleccionado hasta que se seleccione otro objeto. Todos los objetos se construyen a partir de uno o varios puntos los cuales son objetos básicos. Los objetos libres son los que se han creado a partir de puntos básicos, si se les quiere mover se pueden arrastrar pero sólo cambiarán de posición; los objetos dependientes son los creados a partir de los libres, por tanto se moverán y actualizarán al modificar los objetos libres. Ambos se pueden observar en la ventana algebraica (figura 4.14).
Figura 4.14. Objetos libres y dependientes en la ventana algebraica.
-28-
4.3.3 Guardar y reutilizar una construcción Para guardar una construcción se usarán las opciones Guarda o Guarda Como… que se encuentran en el menú Archivo (figura 4.15). Para reutilizar una construcción guardada se utilizará la opción Abre… del mismo menú. Al cerrar Geogebra, ya sea desde su opción en el menú archivo o desde la cruz en la parte superior derecha de la ventana, se abrirá una ventana emergente en la que se pregunta si se quieren guardar los cambios efectuados o la construcción.
Figura 4.15. Guardar o reutilizar construcciones.
4.3.4 Opciones y herramientas En este apartado se describirán sólo las herramientas que serán de utilidad en las actividades de la propuesta, éstas se encuentran en la barra de herramientas (figura 4.13). Herramientas puntero En la figura 4.16 se encuentran las herramientas necesarias para mover los objetos de una construcción. Estas opciones son:
Figura 4.16. Opciones de la herramienta puntero -29-
Con la opción elige y mueve, se puede seleccionar un objeto y desplazarlo a una nueva posición. Para mover varios objetos a la vez, se debe mantener presionada la tecla mientras se seleccionan los objetos que se quieren mover, una vez seleccionados se hace clic sobre uno de ellos y se desplazan a la posición deseada. Herramientas puntos En este botón (figura 4.17) se tienen opciones para la creación de puntos en el plano, puntos sobre objetos previamente creados y puntos como intersección de objetos. Las opciones son:
Figura 4.17. Opciones de la herramienta puntos. Con la opción intersección de dos objetos se dibujan los puntos de intersección entre dos objetos. Para obtenerlos se tiene que hacer clic sobre tal opción, luego en los objetos de los que se quieren tener sus puntos de intersección.
Herramientas líneas En éste botón se tienen las opciones mostradas en la figura 4.18:
Figura 4.18. Opciones de la herramienta líneas. -30-
La opción recta que pasa por dos puntos se genera una recta a partir de dos puntos dados, se puede crear de dos maneras: 1. Clic en la opción recta que pasa por dos puntos, y luego dar clics en los puntos sobre los que se quiere que pase la recta. 2. Crear primero los dos puntos, luego hacer clic sobre la opción, por último clic en cada punto. Además en la ventana algebraica, en objetos dependientes, se presenta la ecuación de la recta creada. Para modificar una recta se tiene que desplazar alguno de los puntos utilizados en la construcción o toda la recta arrastrándola.
Herramientas medidas En este grupo de herramientas se encuentran las siguientes opciones (figura 4.19):
Figura 4.19. Opciones de la herramienta medidas. Con la opción pendiente, como su nombre lo indica, se usa para obtener la pendiente de un segmento, una recta o una semirrecta. Se obtiene como sigue: se hace clic en dicha opción, luego en la recta, segmento o semirrecta de la cual se quiera obtener la pendiente.
Herramientas para texto e imágenes En este bloque se tienen las opciones mostradas en la figura 4.20: -31-
Figura 4.20. Opciones de la herramienta texto e imágenes Con la opción deslizador se puede crear una medida como referencia para un número o un ángulo ajustado a un intervalo dado. Por ejemplo si se quiere construir una recta con diferentes valores para las constantes, se puede construir un deslizador para cada constante y así al moverlo se obtendrán las diferentes rectas respectivas a cada valor del deslizador. Para crearlo se hace clic en la opción deslizador, después se hace clic sobre la ventana de trabajo, aparecerá una ventana emergente (figura 4.21) en la que se tiene que seleccionar si se trata de número o ángulo, se le nombra, se establece el valor máximo y mínimo del deslizador, y el valor en el que se quiere que incremente.
Figura 4.21. Ventana de la opción deslizador. Una vez creado el deslizador y con clic derecho sobre el mismo, en propiedades del objeto y luego en básico (figura 4.22), en la opción valor se escribe el número en el que se quiere que inicie el deslizador.
-32-
Figura 4.22. Asignando un deslizador a un objeto. Con la función inserta texto se puede introducir algún texto en la construcción, y desplazarlo a la posición que se quiera. Para insertarlo, se hace clic sobre tal opción, luego sobre la ventana de trabajo y se despliega una ventana (figura 4.23) en la que se escribe el texto, luego clic en ok y listo.
Figura 4.23. Insertando texto. Con la opción relación entre dos objetos, se puede obtener, como su nombre lo indica, la relación que existe entre dos objetos seleccionados. Se hace clic sobre la opción mencionada, y en cada uno de los objetos de los que se quiere conocer la relación, a continuación aparecerá una ventana (figura 4.24) en la que se describe la relación.
-33-
Figura 4.24. Ventana de relación entre dos objetos.
Herramientas para Zoom y otras acciones Es el último bloque de herramientas y en éste se tienen las siguientes opciones (figura 4.25):
Figura 4.25. Opciones de la herramienta zoom La primera opción es para desplazar la vista gráfica, con ésta herramienta se puede mover la gráfica para que se vea sólo la parte de interés. Simplemente se hace clic sobre la ventana de trabajo y manteniendo se arrastra la zona gráfica. Las herramientas zoom de acercamiento y zoom de alejamiento, son útiles para cuando se quiere notar alguna gráfica, funciona como una lupa. Una vez seleccionadas basta con hacer clic sobre la ventana para que se acerque o aleje, también se puede hacer con la rueda del ratón, siempre y cuando esté seleccionada la opción de zoom. La opción elimina objeto se pueden borrar los objetos sobre los que se aplica. Aunque se puede hacer seleccionando el objeto y presionando la tecla supr, y para eliminar varios objetos se tiene que trazar una cuadro (así se seleccionan los objetos), luego presionar supr y listo. -34-
4.3.5 Ecuaciones y coordenadas Aunque no existe una herramienta específica para que se muestren las coordenadas de un punto o las ecuaciones de rectas o curvas, se puede trabajar con ellas accediendo a las propiedades de cada objeto. Para cualquier objeto se tiene que seleccionar y dar clic derecho, se desplegará una ventana (figura 4.26), clic en propiedades, luego en la ventana que se abre (figura 4.27) en la pestaña “básico” hacer clic en “mostrar rótulo” y seleccionar la opción “Nombre y valor”, luego clic en cierra.
Figura 4.26. Selección de un objeto.
Figura 4.27. Propiedades de un objeto.
-35-
4.3.6 Campo de entrada En éste es en el que se introducen las ecuaciones, los puntos, las rectas, circunferencias, entre otros objetos. Introducir una ecuación Se hace clic en el campo, luego se escribe la ecuación, si se necesita potencias o alguna función trigonométrica para insertarla se tiene a la derecha de la entrada el ícono
en el cual haciendo clic
se despliegan las opciones, basta hacer clic en la que se requiere para que se inserte; en el ícono siguiente
se tienen las letras griegas que pueden ser de utilidad para nombrar objetos; y en el
último ícono
se encuentran los comandos especiales de Geogebra, algunos de éstos son
mostradas en la figura 4.28:
Figura 4.28. Comandos espaciales de GeoGebra. Por ejemplo, si se quiere introducir 3x + 5y2 = 0, paso por paso es: 1) Escribir 3 * x + 5 * y 2) Hacer clic en el botón 3) Hacer clic en la primera opción para poner el exponente 4) Escribir 2 5) Luego completar la ecuación 3 * x + 5 * y2 = 0 6) Finalmente dar El resultado que se obtiene Geogebra se muestra en la figura 4.29. -36-
Figura 4.29. Resultado de escribir la ecuación 3x + 5y2 = 0.
4.3.7 Hoja de cálculo de Geogebra En ésta hoja de cálculo se puede trabajar de manera similar a como se hace en Excel. Para visualizarla se hace clic en el menú vista y luego en vista de hoja de cálculo (Figura 4.30):
Figura 4.30. Visualización de la hoja de cálculo de GeoGebra. Una vez que aparece la hoja de cálculo, se puede agrandar tanto como se quiera haciendo clic en el lado que divide al plano de la hoja y estirando. Para que se registren los datos en la hoja de cálculo basta con hacer clic derecho en el objeto y seleccionar la opción registra en hoja de cálculo, así cada movimiento nuevo se registrará en la hoja. -37-
4.4 Actividades a realizar paso a paso 4.4.1 Triángulo Equilátero Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes, para esto se elegir el menú Vista y desmarcar la opción Ejes. 3. Elegir la herramienta Nuevo Punto y construir en la zona de trabajo dos puntos A y B. 4. Utilizar la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos y construir el círculo con centro en el punto A que pasa por B. Construir un segundo círculo con centro en B que pase por A. 5. Elegir la herramienta Intersección de Dos Objetos y construir el punto de intersección C de los dos círculos. Nota: Si se escogen los dos círculos se construyen los dos puntos de intersección C y D, sin embargo para hacer sólo uno se debe escoger la herramienta y hacer clic en uno de los puntos de intersección, así sólo se hará ese punto de intersección. 6. Utilizar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir los segmentos AB, BC y AC. 5. El triángulo ABC es un triángulo equilátero. 6. Mover los puntos A y B y observar que, no importa cómo se mueva, el triángulo siempre se mantiene siendo equilátero. Observar además cómo las expresiones algebraicas cambian en la ventana algebraica. 7. Por último, utilizar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los dos círculos y dejar visible únicamente el triángulo. 8. Guardar el archivo.
4.4.2 Cuadrado Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes, para esto elija el menú Vista y desmarcar la opción Ejes. 3. Elegir la herramienta Nuevo Punto y construir en la zona de trabajo dos puntos A y B. 4. Utilizar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir el segmento AB.
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5. Utilizar la herramienta Recta Perpendicular y construir la recta perpendicular b al segmento AB por el punto A, luego utilizar la misma herramienta para construir la recta perpendicular a al segmento AB por el punto B. 6. Utilizar la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos y construir el círculo d con centro en el punto A que pasa por B. 7. Elegir la herramienta Intersección de Dos Objetos y construir el punto de intersección C entre el círculo d y la recta b. 8. Utilizar la herramienta Recta Paralela para construir la recta paralela e al segmento AB por el punto C. 9. Elegir la herramienta Intersección de Dos Objetos y construir el punto de intersección D entre la recta e y la recta c. 10. Utilizar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir los segmentos AC, CD y DB 11. El cuadrilátero ABDC es un cuadrado. 12. Mover los puntos A y B y observar que, no importa cómo se mueva, el cuadrilátero siempre se mantiene siendo cuadrado. 13. Por último, utilizar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar el círculo y las rectas, dejando sólo visible el cuadrado. 14. Guardar el archivo.
4.4.3 Cuadrado con Línea de Comandos En este caso no se usarán herramientas ya que todo se escribirá en la línea de comandos Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes, para esto elija el menú Vista y desmarcar la opción Ejes. 3. Escribir en la línea de comandos cada una de las siguientes expresiones (tal como se muestran): (a) A=(1,1) (b) B=(5,1) (c) Segmento[A,B] (d) Perpendicular[A,a] (e) Perpendicular[B,a] -39-
(f) Circunferencia[A,B] (g) Intersección[d,b] (h) Recta[D, a] (i) Interseca[c,e] Nota: Para intersecciones se puede utilizar el comando intersección o el comando interseca. (j) Segmento[A,D] (k) Segmento[D,E] (l) Segmento[E.B] 4. Por último, utilizar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar el círculo y las rectas, dejando sólo visible el cuadrado. 5. Guardar el archivo.
4.4.4 Parábola Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. Nota: Recordar que una parábola está definida por todos los puntos que equidistan de un punto llamado foco y una recta. 3. Activar la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y construir la recta a que pasa por los puntos A y B. 4. Activar la herramienta Nuevo Punto y construir un punto foco afuera de la recta. Nota: Para cambiar el nombre al punto se hace clic derecho sobre él y se escoge la opción Propiedades..., en la lengüeta Básico se le cambia el nombre. 5. Activar la herramienta Nuevo Punto y construir un punto C en la recta a. Nota: El punto debe pertenecer a la recta de forma tal que si se escoge la herramienta Elige y Mueve (la flecha) y se mueve este punto entonces se mueve por toda la recta sin salirse de ella. 6. Seleccionar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir el segmento b entre los puntos foco y C. 7. Elegir la herramienta Punto Medio o Centro y construir el punto medio D del segmento b. 8. Elegir la herramienta Recta Perpendicular, construir la recta perpendicular c al segmento b que pase por el punto D, también la recta perpendicular d al segmento a que pase por el punto C. -40-
9. Elegir la herramienta Intersección de Dos Objetos y construya el punto de intersección E entre las rectas c y d. 10. Escoger la herramienta Lugar Geométrico para construir el lugar que se forma por el punto E cuando el punto C se mueve. Nota: Para esto se escoger la herramienta y se seleccionan los dos puntos en el orden dado. 11. Mover el foco y la recta para observar las variaciones de la construcción. 12. Guardar el archivo.
4.4.5 Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Polígono y construya el cuadrilátero ABCD. Nota: Elegir la herramienta y hacer clic en distintos lugares de la pantalla para que se vayan haciendo cada uno de los puntos A, B, C y D, al final vuelva a hacer clic en el punto A para terminar el polígono. 4. Elegir la herramienta Ángulo y medir los cuatro ángulos del cuadrilátero, para esto hacer clic en los puntos D, A y B, luego A, B y C, luego B, C y D y, por último C, D y A. 5. Depende como se haya hecho el cuadrilátero los ángulos quedaron externos y no internos, no se preocupe, para arreglar este problema hacer clic derecho en uno de los ángulos y elegir la opción Propiedades..., en la lengüeta Básico desactivar el control Admite ángulos cóncavos; repetir el procedimiento para los otros tres ángulos. Nota: Si se hacen estos cambios la construcción sólo funciona si el cuadrilátero es cóncavo. Si se deja como estaba no funciona si el cuadrilátero se coloca de forma tal que los ángulos queden externos. 6. Escoger la herramienta Inserta Texto y hacer clic en algún lugar de la pantalla y escribir en el texto: “La suma de los ángulos internos es:” + + “+” + + “+” + + “+” + + “=” + ( + + + ). 7. Guardar el archivo.
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4.4.6 Círculo Circunscrito a un Triángulo Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes, para esto elija el menú Vista y desmarcar la opción Ejes. 3. Elegir la herramienta Polígono y construir el triángulo ABC. 4. Utilizar la herramienta Punto Medio o Centro para construir los puntos D, E y F que corresponden a los puntos medios de los lados a, b y c en ese orden. 5. Elegir la herramienta Recta Perpendicular para construir la recta d que es perpendicular al lado a y que pasa por el punto D, la recta e que es perpendicular al lado b y que pasa por el punto E y la recta f que es perpendicular al lado c y que pasa por el punto F. Nota: Las rectas construidas en este paso se conocen como las mediatrices del triángulo. 6. Elegir la herramienta Intersección de dos objetos y construir el punto G que es la intersección de dos de las mediatrices, puede ser d y e. Nota: Este punto se conoce como el circuncentro del triángulo. 7. Por último, utilizar la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos para construir el círculo circunscrito al triángulo, es decir, cuyo centro es G y que pasa por A (también puede ser B o C). 8. Guardar el archivo.
4.4.7 Clasificación de Ángulos Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos y construir una semirrecta que pase por los puntos A y B. Mover el punto B hasta que la semirrecta AB quede completamente horizontal. 4. Activar la herramienta Deslizador y construir un deslizador para ángulos llamado valor con un intervalo dado desde 0° hasta 360° con un incremento de 1°. El ancho del deslizador se puede aumentar a 360 para lograr que al mover un punto en la pantalla se mueva un grado.
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5. Activar la herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado y elegir, en ese orden, los puntos B, A y el deslizador valor. Esto rota el punto B en torno al punto A el ángulo dado por el deslizador valor. Llame a este nuevo punto C. 6. Activar la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos y construya la semirrecta AC. 7. Activar la herramienta Ángulo y construir el ángulo = BAC. En las propiedades desactivar la casilla Mostrar Rótulo y en la lengüeta Estilo escoger un Tamaño de 50. 8. Activar la herramienta Inserta Texto y construir un texto con la leyendo “ =” y otro con el texto “valor” (sin las comillas), esto hace en el segundo caso que se muestre el valor del ángulo valor y no la palabra. Acomodar los dos textos para que se vean como uno solo. 9. Activar la herramienta Inserta Texto y construya un texto con la leyendo “El ángulo se clasifica como:”. 10. Con la misma herramienta realizar siete textos distintos con las leyendas “NULO”, “AGUDO”, “RECTO”,
“OBTUSO”,
“LLANO”,
“CÓNCAVO”
y
“COMPLETO,
CONVEXO
O
PERÍGONO”. 11. Hacer clic derecho encima del texto “NULO” y escoger las Propiedades..., en la lengüeta Avanzado se escribe en la Condición para Exponer el Objeto que “valor
0°”.
12. A los demás textos se les realiza un procedimiento similar, la siguiente tabla resume la condición que se le debe escribir a cada uno. Texto
Condición
AGUDO RECTO OBTUSO LLANO CÓNCAVO COMPLETO, CONVEXO O PERíGONO
valor > 0° valor < 90° valor 90° valor > 90° valor < 180° valor 180° valor > 180° valor < 360° valor 360°
13. Hacer clic derecho encima del punto A y escoger las Propiedades..., en la lengüeta Básico elegir la opción Objeto Fijo. Hacer lo mismo con el punto B. 14. Activar la herramienta Circunferencia dado su Centro y uno de sus Puntos y construya una circunferencia c del mismo radio que el semicírculo del ángulo marcado. En sus Propiedades ... escoja la lengüeta Avanzado y en la Condición para Exponer el Objeto escriba valor 15. Cerrar la Vista Algebraica. -43-
360°.
16. Modificar el tamaño, el color y los estilos de la construcción. Sobre todo el color del círculo c para que sea igual al del ángulo y no se note la diferencia cuando valor tenga un valor de 360°, para que se vea igual también se le debe poner sombra, observe las propiedades del ángulo y ponerle las mismas propiedades al círculo. También colocar los textos en su respectivo lugar. 17. Guardar el archivo.
4.4.8 Área del rombo Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir el segmento a que tiene como extremos los puntos A y B. 4. Activar la herramienta Punto Medio o Centro y construir el punto medio C del segmento AB. 5. Activar la herramienta Recta Perpendicular y construir la recta b que es perpendicular al segmento AB que pasa por el punto C. 6. Activar la herramienta Nuevo Punto y construir el punto D que pertenece a la recta b. 7. Activar la herramienta Refleja Objeto en Recta y construir el punto D’ que se obtiene al reflejar el punto D con respecto al segmento AB. 8. Activar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir los segmentos: c que tiene como extremos los puntos A y D, d que tiene como extremos los puntos D y B, e que tiene como extremos los puntos B y D’, f que tiene como extremos los puntos D’ y A, g que tiene como extremos los puntos D y D’. 9. Activar la herramienta Expone/Oculta Objeto y oculte la recta b. 10. Active la herramienta Deslizador y construya el deslizador control. Definir el intervalo del deslizador en [0, 0.5] con un incremento de 0.01. 11. Escribir en la línea de entrada las siguientes instrucciones: (a) E = D’ + control * (B A) (b) F = D’ control * (B A) (c) G = D + control * (B A) (d) H = D control * (B A) (e) I = A + control * (D D’) (f) J = A control * (D D’) -44-
(g) K = B + control * (D D’) (h) L = B control * (D D’) 12. Active la herramienta Polígono y construya el polígono AIHDGKBLED’FJ en ese orden. 13. Cerrar la Vista Algebraica. 14. Mover el deslizador control para ver el efecto. 15. Modificar el tamaño, el color, y los estilos de su construcción; además ocultar los rótulos y objetos que no se necesiten. 16. Guardar el archivo.
4.4.9 Función Cuadrática con Parámetros Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Verificar que los ejes se muestren, para esto elija el menú Vista y marcar la opción Ejes. 3. Elegir la herramienta Deslizador y construya tres deslizadores a, b y c con los valores que aparecen por defecto. 4. Escribir en la línea de comandos: f (x) = a * x2 + b * x + c. 5. Cambiar los valores de los tres parámetros para observar el efecto que tiene cada parámetro en la gráfica de la parábola. Nota: Para cambiar los valores se debe mover el punto del deslizador, para esto se debe escoger la herramienta de Elige y Mueve (la flecha). Además, para observar mejor el efecto del parámetro a, poner los otros parámetros en cero; para b poner a en uno y c en cero y para c poner a en uno y b. 6. Guarde el archivo.
4.4.10 Crecimiento y decrecimiento de funciones Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Verificar que los ejes se muestren, para esto elija el menú Vista y marcar la opción Ejes. 3. Escriba en la línea de comandos: (a) f (x) = x4 3x2 (b) g(x) = Derivada[ f (x)]
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Nota: Recordar que en los valores donde la derivada de una función es positiva la función es creciente y donde la derivada es negativa la función original es decreciente. 4. Hacer clic derecho en la función g(x) y desactivar la opción Muestra Objeto. 5. Ahora elegir la herramienta Nuevo Punto y construir el punto A en el eje X, con la herramienta Elige y Mueve mover el punto, este no se debe mover fuera del eje X. 6. Escribir en la línea de comandos: (a) B = (x(A), 2) Nota: La función x(A) obtiene la coordenada X del punto A. (b) C = (x(A), f (x(A))) (c) a = sgn(g(x(A))) Nota: Esta función obtiene el signo de evaluación del punto en la derivada. 7. Elegir la herramienta Elige y Mueve y mover el punto A, observar en la ventana algebraica que efectivamente el valor de a es -1 si la función es decreciente y de 1 si es creciente. 8. Escriba en la línea de comandos: b = 0.5 * a + 0.5 Nota: Con este cálculo se obtiene la variable b cuyo valor es cero si la función decrece y 1 si crece. 9. Hacer clic derecho en el punto B y elegir la opción Propiedades..., en la lengüeta avanzado se pueden poner colores dinámicos, en el cuadro de rojo ponga “b” (sin las comillas), en los demás ponga cero. 10. Nuevamente elegir la herramienta Elige y Mueve y mover el punto A para observar que el color del punto B cambia si la función es creciente o decreciente. 11. Hacer clic derecho en el punto B y elegir la opción Activa Rastro verificar el resultado al mover el punto A. 12. Elegir la herramienta Inserta Imagen y hacer clic en alguna parte de la pantalla, agregar la imagen PatiAbajo.png. 13. Repetir el paso anterior para agregar la imagen PatiArriba.png 14. Hacer clic derecho sobre la imagen de la patineta hacia abajo y elegir la opción Propiedades..., en la lengüeta Posición en la Esquina 1 escriba C y en la lengüeta Avanzado en el cuadro para la Condición para Exponer el Objeto escribir a
1, cerrar la ventana.
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15. Hacer clic derecho sobre la imagen de la patineta hacia arriba y elegir la opción Propiedades..., en la lengüeta Posición en la Esquina 1 escriba C y en la lengüeta Avanzado en el cuadro para la Condición para Exponer el Objeto escribir a
1.
16. Mover el punto A para que observe el efecto final. Nota: Para borrar las marcas que deja el punto B se puede elegir en el menú Vista la opción Actualiza Vista Gráfica (Limpia rastros) o, lo que es lo mismo, Ctrl-F. 17. Cambiar la función f (x) para ver el efecto en otras funciones. Pueden ser ,
, etc.
18. Guardar el archivo.
4.4.11 Animación Sencilla (traslación) Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Deslizador y construir un deslizador llamado radio. Definir el intervalo del deslizador de 0 a 8 con un incremento de 0.1. Construir un segundo deslizador llamado traslacion, este se debe definir de 0 a 1 con un incremento de 0.01. Construir un tercer deslizador llamado iniciar con los valores que se dan por defecto. 4. Activar la herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio y construir una circunferencia c con centro en el punto A y con radio radio. 5. Activar la herramienta Nuevo Punto y construya dos puntos B y C cualesquiera en la circunferencia. 6. Activar la herramienta Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos y marcar (en este orden) los puntos A, B y C para construir el sector circular d, luego marcarlo en el orden A, C y B para construir el sector circular e. 7. Activar la herramienta Nuevo Punto y construya un puntos D fuera de la circunferencia (y tan alejado como se pueda de ella). 8. Escribir en la línea de entrada E = A + traslacion * (D A). 9. Activar la herramienta Elije y Mueve y mover el deslizador traslacion para observar el movimiento del punto E. -47-
10. Activar la herramienta Vector entre Dos Puntos y construir el vector del punto A al punto E. 11. Activar la herramienta Traslada Objeto por un Vector y marque en orden el sector circular e y el vector recién creado. 12. Para hacer un botón que inicie la animación haga clic derecho sobre el deslizador iniciar y en el menú emergente active Animación Automática, haga lo mismo con el deslizador traslacion. Con esto inicia la animación; en la pantalla, en la esquina inferior izquierda aparecerá un pequeño botón , accionarlo para que pare la animación, y voelver a apretarlo para que inicie de nuevo. 13. Para que la animación se detenga cuando el objeto llegue al punto D se debe escribir en la línea de entrada velocidad1 = Si[traslacion
1, 0, 1]. Luego hacer clic derecho en el deslizador traslacion
y escoger la opción Propiedades..., en la lengüeta Deslizador escribir en la velocidad “velocidad1” (sin las comillas). 14. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los deslizadores y los demás objetos como el sector e, el vector y la circunferencia c. 15. Cerrar la Vista Algebraica. 16. Modificar el tamaño, el color y los estilos de su construcción. 17. Guardar el archivo.
4.4.12 Teorema de Pitágoras Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construir el segmento a entre los puntos A y B. 4. Activar la herramienta Recta Perpendicular y construir la recta b que es perpendicular al segmento a y que pasa por el punto A. 5. Activar la herramienta Nuevo Punto y construir el punto C en la recta b. 6. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar el segmento a y la recta b. 7. Activar la herramienta Polígono y construir el triángulo ABC. 8. Activar la herramienta Polígono Regular y construir tres cuadrados, uno en cada lado del triángulo, para ello marcar dos vértices del triángulo e indique que el polígono tendrá cuatro lados (si el cuadrado queda dentro del triángulo deshacerlo con Ctrl-Z y ahora marcar los vértices del -48-
triángulo en el orden contrario). Construir primero el cuadrado sobre la hipotenusa BC, de forma tal que quede el cuadrado BCED, luego sobre el lado CA de forma tal que quede el cuadrado CAGF y, por último, el cuadrado sobre el lado BA de tal forma que quede el cuadrado BAHI. Ahora mueva la figura hasta que el cuadrado CAGF sea más grande que el cuadrado BAHI. 9. Activar la herramienta Recta Paralela y construir la recta j que es paralela al segmento CE y que pasa por el punto G. También construir la recta k que es paralela al segmento ED por el punto F. 10. Activar la herramienta Intersección entre Dos Objetos y construya el punto J que es la intersección de las dos rectas anteriores j y k. Calcule también la intersección K de la recta j con el lado del cuadrado CAGF y la intersección L de la recta k con el otro lado del cuadrado CAGF. 11. Activar la herramienta Polígono y construya los polígonos CKJF, FJG, GJL y ALJK. Para cada uno de ellos hacer clic derecho sobre él y elija la opción Propiedades..., en la lengüeta de Color elija algún color distinto para cada uno. 12. Con la misma herramienta Polígono construya otro polígono ABIH y cámbiele el color. 13. Activar la herramienta Deslizador y construya un deslizador llamado traslacion, este se debe definir de 0 a 1 con un incremento de 0.01. Construir un segundo deslizador llamado iniciar con los valores que se dan por defecto. 14. Escribir en la línea de entrada: (a) M = J + traslacion * (C J ) (b) N = J + traslacion * (B J ) (c) O = J + traslacion * (D J ) (d) P = J + traslacion * (E J ) 15. Activar la herramienta Compás y construya la circunferencia p con radio dado por los puntos F y J y cuyo centro es D (marcar los tres puntos en ese orden). Asegurarse que en realidad está marcando el punto D como centro del círculo, para ello se sugiere poner el deslizador traslacion en 0.5. 16. Activar la herramienta Intersección entre Dos Objetos y construya el punto Q que es la intersección de la circunferencia p con el segmento DE. 17. Escriba en la línea de entrada: R = B + traslacion * (Q B). 18. Activar la herramienta Vector entre Dos Puntos y construir el vector u del punto J al punto M, el vector v del punto J al punto N, el vector w del punto J al punto O, el vector z del punto J al punto P y el vector m del punto B al punto R.
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19. Activar la herramienta Traslada Objeto por un Vector y marcar en orden al polígono AKJL (marcar el polígono en el centro, no los puntos) y el vector u, luego el polígono FCKJ con respecto al vector v, el polígono FJG con respecto al vector w, el polígono GJL con respecto al vector z y el polígono ABIH con respecto al vector m. 20. Activar la herramienta Elije y Mueve y mover el deslizador traslacion para ver el efecto. 21. Active la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar todos los objetos que ya no se necesiten: los vectores, los polígonos que no se mueven, etc. 22. Activar la herramienta Expone / Oculta Rótulo para ocultar todos los rótulos que no hagan falta. 23. Para hacer un botón que inicie la animación haga clic derecho sobre el deslizador iniciar y en el menú emergente active Animación Automática, hacer lo mismo con el deslizador traslacion. Con esto inicia la animación; en la pantalla, en la esquina inferior izquierda aparecerá un pequeño botón , accionarlo para que pare la animación, y volver a apretarlo para que inicie de nuevo. 24. Para
que
la
animación
velocidad1 = Si[traslacion
se
detenga
se
debe
escribir
en
la
línea
de
entrada
1, 0, 1]. Luego hacer clic derecho en el deslizador traslacion y
escoger la opción Propiedades..., en la lengüeta Deslizador escribir en la velocidad “velocidad1” (sin las comillas). 25. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los deslizadores. 26. Cerrar la Vista Algebraica. 27. Modificar el tamaño, el color y los estilos de su construcción. 28. Guardar el archivo. Nota: Cuando se guarde el archivo hacerlo cuando el botón está en pausa y colocar los deslizadores tal como deben estar al inicio de la animación.
4.4.13 Animación Doble (traslación y rotación) En este caso se hará una animación donde se trasladará un cuadrado de un punto a otro y luego se rotará. Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Polígono Regular y construir un cuadrado ABCD. -50-
4. Activar la herramienta Nuevo Punto y construir el punto E fuera del cuadrado. 5. Activar la herramienta Deslizador y construir un deslizador llamado traslacion, definir el intervalo del deslizador de 0 a 1 con un incremento de 0.01. Construir un segundo deslizador llamado , definirlo que sea para ángulos y que vaya de 0° a 360° con un incremento de 1 y en la lengüeta de Animación definir para que sólo se incremente. Construir un tercer deslizador llamado iniciar con los valores que se dan por defecto. 6. Escriba en la línea de entrada F = A + traslacion * (E A). 7. Activar la herramienta Elije y Mueve y mover el deslizador traslacion para observar el movimiento del punto F. 8. Activar la herramienta Vector entre Dos Puntos y construir el vector del punto A al punto F. 9. Activar la herramienta Traslada Objeto por un Vector y marcar en orden el cuadrado y el vector recién creado. 10. Ahora activar la herramienta Rota Objeto en torno a Punto el Angulo indicado y rotar el cuadrado con respecto al punto A’ el ángulo dado por . 11. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto y ocultar los dos primeros cuadrados, es decir, dejar sólo el último que se construyó con la rotación. 12. Para hacer un botón que inicie la animación hacer clic derecho sobre el deslizador iniciar y en el menú emergente activar Animación Automática, hacer lo mismo con los otros dos deslizadores. Nota: Observar que estas dos animaciones se hacen al mismo tiempo y no se detienen, suponer que se quiere que primero se traslade el cuadrado y luego se rote. 13. Para que la traslación se detenga cuando el objeto llegue al punto E se debe escribir en la línea de entrada velocidad1 = Si[traslacion
1, 0, 1]. Luego hacer clic derecho en el deslizador traslacion
y escoger la opción Propiedades..., en la lengüeta Deslizador escribir en la velocidad “velocidad1” (sin las comillas). 14. Para que la rotación inicie cuando la traslación se detenga y la rotación se detenga cuando el objeto rote completamente entonces se debe escribir en la línea de entrada: velocidad2 = Si[velocidad1 0 ≠ 360°, 1, 0]. Luego hacer clic derecho en el deslizador y escoja la opción Propiedades..., en la lengüeta Deslizador escriba en la velocidad “velocidad2” (sin las comillas). 15. Activar la herramienta Elije y Mueve y poner todos los deslizadores en cero. 16. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los deslizadores y todos los objetos excepto el cuadrado. -51-
17. Cerrar la Vista Algebraica. 18. Guardar el archivo. Nota: Cuando se guarde el archivo hacerlo cuando el botón está en pausa y colocar los deslizadores tal como deben estar al inicio de la animación (todos en cero).
4.4.14 Suma de los ángulos internos de un triángulo Construcción paso a paso: 1. Abrir un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Ocultar los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Activar la herramienta Polígono y construir el triángulo ABC. 4. Activar la herramienta Deslizador y construir el deslizador d1. Definir el intervalo del deslizador en [0, 1] con un incremento de 0.01. 5. Escribir en la línea de entrada las siguientes instrucciones: (a) D = B + 0.5 * d1 * (C A) (b) E = B + 0.5 * d1 * (A C) (c) F = B + 0.5 * d1 * (B A) (d) G = B + 0.5 * d1 * (B C) 6. Activar la herramienta Segmento entre Dos Puntos y trazar los segmentos BD, BE, BF y GB. 7. Con la herramienta Elige y Mueve, mover el deslizador d1 para observar el efecto logrado. 8. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los puntos D, E, F y G. 9. Activar la herramienta Ángulo y trazar los ángulos ABC, BCA y CAB. 10. Activar la herramienta Deslizador y construir el deslizador d2 en el modo ángulo. Definir el deslizador para que su intervalo sea [0°, 180°] con un incremente de 1°. 11. Activar la herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado y rotar el punto A con respecto al punto B de acuerdo al ángulo d2. Realizar lo mismo para rotar el punto C con respecto al punto B el ángulo d2. Esto construye los puntos A’ y C’. 12. Activar la herramienta Ángulo y construya el ángulo A’BC’. 13. Con la herramienta Elige y Mueve, mover el deslizador d2 para observar el efecto logrado. 14. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los puntos A’ y C’. 15. Activar la herramienta Deslizador y construir el deslizador d3. Definir el intervalo del deslizador en [0, 1] con un incremento de 0.01. 16. Escribir en la línea de entrada las siguientes instrucciones: -52-
(a) H = A + d3 * (B A) (b) I = C + d3 * (B A) (c) J = B + d3 * (B A) 17. Activar la herramienta Ángulo y construir el ángulo IHJ. 18. Escribir en la línea de entrada las siguientes instrucciones: (a) K = A + d3 * (B C) (b) L = C + d3 * (B C) (c) M = B + d3 * (B C) 19. Activar la herramienta Ángulo y construir el ángulo MLK 20. Con la herramienta Elige y Mueve, mover el deslizador d3 para observar el efecto logrado. 21. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los puntos H, I, J, K, L y M. 22. Activar la herramienta Expone / Oculta Rótulo para ocultar el rótulo a todos los elementos de la pantalla. 23. Activar la herramienta Elige y Mueve y, para cada uno de los ángulos de la figura, hacer clic derecho encima de él y escoger las Propiedades..., desactivar la casilla Admite Ángulos Cóncavos. Además escoger el mismo color para cada par de ángulos congruentes de la figura. 24. Escribir en la línea de entrada las siguientes instrucciones para definir la velocidad de cada uno de los deslizadores: (a) v1 = Si[d1 ≠ 1, 4, 0] (b) v2 = Si[d1
1 (d2 ≠ 180°), 4, 0]
(c) v3 = Si[d2
180° (d3 ≠ 1), 4, 0]
25. En las propiedades del deslizador d1 definir su velocidad como v1. La velocidad del deslizador d2 es v2 y la del deslizador d3 es v3. 26. Activar la herramienta Deslizador y construir un último deslizador d. Este deslizador sólo servirá para que aparezcan los botones de animación en la pantalla. 27. En las propiedades de los cuatro deslizadores marcar la casilla Animación Automática. Hacer clic sobre el botón de pausa de la animación y devolver los deslizadores a cero. 28. Activar la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los deslizadores. 29. Cerrar la Vista Algebraica. 30. Modificar el tamaño, el color y los estilos de su construcción. 31. Guardar el archivo. -53-
Unidad 5 Software libre para Sistemas de Álgebra Computacional (CAS): Máxima 5.1 Breve historia de Maxima Maxima es un programa cuyo objeto es la realización de cálculos matemáticos simbólicos (aunque también numéricos), capaz de manipular expresiones algebraicas, derivar e integrar funciones y realizar diversos tipos de gráficos. Los orígenes de Maxima hay que buscarlos a partir del año 1967 en el MIT AI Lab (Laboratorio de Inteligencia Artificial del Instituto Tecnológico de Massachussets) como una parte del proyecto MAC (Machine Aided Cognition). El programa recibió por aquel entonces el nombre de Macsyima (MAC’s SYmbolic MAnipulator), del cual el MIT mandó una copia en 1982 al DOE (US Department Of Energy), uno de los organismos que aportaron los fondos económicos para el desarrollo del proyecto; esta primera versión se la conoce como DOE-Macsyima. Posteriormente, el DOE concede la licencia de explotación del programa a la empresa Symbolics, que sigue desarrollando el proyecto durante unos años. En 1992 el programa es adquirido por una empresa llamada precisamente Macsyima Inc, y el programa fue perdiendo fuelle progresivamente ante la presencia en el mercado de otros programas similares como Maple o Mathematica, los dos inspirados en sus orígenes por el propio Macsyima. Pero ocurrieron dos historias paralelas. Desde el año 1982, y hasta su fallecimiento en el 2001, William Schelter en la Universidad de Texas mantuvo una versión de este programa adaptada al estándar Common Lisp, la cual ya se conocía con el nombre de Maxima para diferenciarla de la versión comercial. En el año 1998 Schelter consiguió del DOE permiso para distribuir Maxima bajo la licencia GNU-GPL (http://www.gnu.org/licenses/gpl.html); con este paso, muchas más personas empezaron a dirigir su mirada hacia Maxima, justo en el momento en el que la versión comercial estaba prácticamente muerta. Actualmente, el proyecto es un programa escrito en lenguaje Lisp que está siendo liderado por un grupo de desarrolladores originarios de varios países, asistidos y ayudados por otras muchas personas interesadas en Maxima y que mantienen un cauce de comunicación a través de una lista de correo (http://maxima.sourceforge.net/maximalist.html).
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Puesto que Maxima se distribuye bajo la licencia GNU-GPL, tanto el código fuente como los manuales son de libre acceso a través de la página web del proyecto (http://maxima.sourceforge.net). Maxima es, por tanto, un potente motor de cálculo simbólico aunque, en su origen, no destacaba por tener una interfaz gráfica más amigable para los usuarios que la simple consola de texto. Con el tiempo este hecho ha ido cambiando y han aparecido distintos entornos de ejecución que intentan facilitar la interacción con los usuarios. Entre ellos wxMaxima, desarrollado por Andrej Vodopivec y disponible en http://wxmaxima.sourceforge.net.
5.2 Instalación Después de descargar Maxima del sitio WEB http://maxima.sourceforge.net se procede a su instalación, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 5.1).
Figura 5.1. Icono del Instalador de Maxima 5.25.1.
2. Si aparece un mensaje de seguridad (figura 5.2), hacer clic sobre el botón
.
3. Por lo general está activado el Control de cuentas de usuario (figura 5.3), para confirmar cuando se instala un software no Microsoft, en tal caso, hacer clic en el botón
Figura 5.2. Mensaje de seguridad.
.
Figura 5.3. Cuadro de Control de cuentas de usuario. -55-
4. Seleccionar el idioma (figura 5.4). Por defecto esta seleccionado Español, hacer clic sobre el botón . 5. En el cuadro de Bienvenido al asistente de instalación de Maxima (figura 5.5) hacer clic en el botón .
Figura 5.5. Cuadro de Bienvenido al asistente de instalación.
Figura 5.4. Selección de Idioma.
6. Seleccionar la opción Acepto el acuerdo del cuadro Acuerdo de Licencia. Luego hacer clic en el botón
del mismo cuadro (figura 5.6).
7. Hacer clic en el botón
del cuadro Información (figura 5.7).
Figura 5.6. Cuadro de Acuerdo de Licencia.
Figura 5.7. Cuadro Información.
-56-
8. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar Maxima (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta de
Destino (figura 5.8). 9. En el cuadro Selección de Componentes desmarcar las casillas Portugués y Portugués Brasileño ya que sólo se utilizará el idioma Español. Esto permite, a su vez, el ahorro de memoria (figura 5.9). Luego hacer clic en el botón
.
Figura 5.8. Cuadro Selección de Carpeta destino.
Figura 5.9. Cuadro Selección de Componentes.
10. Seleccionar la carpeta del menú Inicio en la cual se quiere ubicar el icono de acceso a Maxima (generalmente se recomienda dejar la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta del Menú Inicio (figura 5.10).
11. Hacer clic en el botón
del cuadro seleccione las Tareas Adicionales para que el
asistente cree un icono de acceso directo a Maxima en el escritorio (figura 5.11).
Figura 5.10. Cuadro Carpeta del Menú Inicio.
Figura 5.11. Cuadro Tareas Adicionales. -57-
12. Hacer clic en el botón
del cuadro Listo para Instalar (figura 5.12).
13. Cuando se instalan los componentes de Maxima se muestra un cuadro como el de figura 5.13, dicha acción puede durar desde unos pocos hasta unos 15 o 20 minutos, dependiendo de la velocidad de la computadora.
Figura 5.12. Cuadro Listo para Instalar.
14. Hacer clic en el botón
Figura 5.13. Cuadro Instalando.
del cuadro Información (figura 5.14).
13. Por último, hacer clic en el botón
del cuadro Completando la Instalación de Maxima
(figura 5.15).
Figura 5.14. Cuadro Información.
Figura 5.15. Cuadro Completando la instalación de Maxima.
-58-
Después de seguir el procedimiento anterior deben haberse instalado: el núcleo de Maxima que es el responsable de todos los cálculos y permite una interfaz de texto, el entorno gráfico wxMaxima que permite una interfaz gráfica (o interfaz de “cuaderno”) bastante amigable, el entorno gráfico XMaxima que también permite una interfaz gráfica (aunque menos amigable que wxMaxima) y una aplicación para usuarios de habla hispana. Además, debe haberse creado automáticamente, en el escritorio de la computadora, el icono de acceso directo al entorno gráfico wxMaxima (figura 5.16).
Figura 5.16. Icono de acceso directo a wxMaxima. También se puede acceder a la interfaz de XMaxima o de wxMaxima, desde el menú de inicio de Windows (figura 5.17).
Figura 5.17. Accesando a XMaxima o wxMaxima.
5.3 Funciones básicas La experiencia de un primer contacto con Maxima puede resultar completamente diferente según la interfaz empleada, ya sea la de XMaxima (figura 5.18) o wxMaxima (figura 5.19). En algunos casos, puede que el usuario no necesite usar ninguna de las dos interfaces graficas, y que desee en cambio interactuar directamente con el núcleo de Maxima, quizá para realizar algún cálculo rápido sin necesidad de guardar ningún archivo.
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Figura 5.18. Interfaz Xmaxima.
Figura 5.19. Interfaz wxMaxima.
Es posible hacer esto usando la interfaz basada en texto, conocida como Línea de Comandos de Maxima (figura 5.20), en la cual se digita el texto en el teclado y éste va directamente al núcleo de Maxima.
Figura 5.20. Interfaz basada en texto (línea de comandos de Maxima).
Cuando se accesa a Maxima a través de wxMaxima, se muestra una ventana amigable, con numerosos botones y menús. La cual se divide en distintas secciones (figura 5.21):
-60-
Menús Iconos
Paneles desplegables Área de entrada y salida de datos
Figura 5.21. Secciones de la interfaz wxMaxima. 1. Barra de menús: permite acceder al motor de cálculo simbólico Maxima. 2. Barra de iconos: acceso rápido a algunas de las opciones de la barra de menús. 3. Área de entrada y salida de datos: en ella se ingresan tanto datos como comandos y se muestran los resultados. 4. Paneles despegables o atajos: acceso rápido a diferentes opciones y comandos de Maxima, los cuales pueden visualizarse u ocultarse de acuerdo a las necesidades del usuario. En la interfaz wxMaxima en una entrada de datos o comandos el usuario digita la entrada (input), luego presiona (en simultáneo) las teclas + para que Maxima procese su entrada. + indica a Maxima que el usuario ha finalizado su entrada. Después de ejecutar una entrada en Maxima desde wxMaxima, se etiquetará una entrada con (%in) y después de presionar + devolverá la correspondiente salida etiquetada con (%on) (figura 5.22).
-61-
Figura 5.22. Entrada y salida de datos en la interfaz wxMaxima.
El punto y coma (;) al final de cada entrada o salida indica fin de línea o como un separador cuando se escriben varias instrucciones seguidas.
5.3.1 Asignación de variables En el lenguaje de Maxima se utiliza el símbolo de dos puntos (:) para asignar un valor a una variable. El símbolo de igualdad (=) queda reservado para las ecuaciones.
-62-
En ocasiones, no interesa que aparezcan en pantalla los valores de algunas operaciones, por ejemplo la asignación de valores a variables intermedias, para lo cual se puede utilizar el carácter $ como sustituto del separador ;. Por ejemplo, si se escribe: x:321123$ y:123321$ x/y; se obtene una salida similar a la siguiente, mucho más limpia que en ejemplo anterior:
5.3.2 Formas de hacer referencia a expresiones de entrada y salida previas. Al realizar cálculos, muchas veces se necesita usar expresiones previamente ingresadas u obtenidas. En Maxima, _ y % siempre hacen referencia a la última expresión de entrada y salida, respectivamente. En general se tiene que las formas de hacer referencia a expresiones de entrada y salida previas son: _
la última expresión de entrada
%
la última expresión de salida
%in
la expresión de la entrada %in
%on
la expresión de la salida %on
%th(i)
la expresión de la i-ésima salida anterior
donde n es el número correspondiente a la entrada o salida requerida. Véase un ejemplo. Aquí se tienen las expresiones de la primera entrada y salida.
Para agregar 6 a la expresión de la última salida se escribe como sigue:
Para utilizar las dos expresiones de las salidas previas, se escribe como sigue:
-63-
Y para sumar las expresiones de las salidas 1 y 3:
5.3.3 Expresiones aritméticas y simbólicas Maxima opera con aritmética racional y, por defecto, devuelve una fracción como resultado. Si se añade una coma (,) seguida de la orden float o numer, se obtendrá una expresión numérica, por defecto, con 15 cifras decimales. Por ejemplo, al realizar la siguiente resta:
y pedir cuál es el valor numérico de la salida anterior:
Por último, Maxima puede trabajar, no solamente con números y variables, sino también con expresiones simbólicas. Por ejemplo, al escribir:
Después se utiliza la función de Maxima ratsimp(), que simplifica expresiones racionales, expresándolas de una forma canónica.
En este caso, se debe ser cuidadosos, pues si las variables utilizadas tienen algún valor, se obtendrá un resultado numérico. -64-
Ejemplo: Si se define x:321123 e y:123321, y se quiere obtener x + y + x/y se obtendría:
Para poder emplear estas variables de forma simbólica se tiene que eliminar su valor o el de todas las variables:
ó
Ahora se pueden emplear de forma simbólica:
Maxima mantiene una filosofía muy conservadora desde el punto de vista de la simplificación de expresiones, en el sentido de que solamente en los casos más evidentes se aplicarán las propiedades de las operaciones aritméticas, potencias, raíces, etc. En el resto de los casos, el usuario deberá solicitar explícitamente el tipo de acción que desee efectuar. En wxMaxima, el menú Simplificar contiene varias de estas acciones, entre ellas Simplificar expresiónSimplificar radicales (que como indica su nombre, aplicará las propiedades de potencias y radicales), Factorizar expresiónExpandir expresión, a las que también existen accesos rápidos mediante
los
botones
del
panel
Matemáticas
(r)FactorizarExpandir (figura 5.21).
-65-
generalesSimplificarSimplificar
En el siguiente ejemplo, se define una expresión (a la que se llama “expr”), que se simplifica mediante los dos algoritmos (Simplificar y simplificar radicales) y después se vuelve a expandir.
En Maxima, las sucesiones se definen, a través de su término general o mediante una expresión de recurrencia (expresión que se llama así misma), utilizando el operador dos puntos igual (:=), e introduciendo la variable índice entre corchetes ([ ]). En las definiciones por recurrencia, se utiliza el operador dos puntos (:) para asignar valores a los primeros elementos. En el siguiente ejemplo, se quieren obtener los diez primeros términos de la sucesión: , con el valor inicial a1=1. Primeramente se define la sucesión, enseguida el valor inicial y finalmente se crea la sucesión utilizando la función makelist(), en el apartado 5.3.4 se verá a más detalle la misma.
-66-
5.3.4 Listas Maxima está escrito en el lenguaje de programación Lisp. Este es un lenguaje de programación orientado a listas (de hecho, el nombre Lisp proviene de de “List Processing”, proceso de listas). Como resultado, Maxima hereda la potencia y versatilidad en el manejo de listas, que se utilizan de forma nativa como bloques de construcción de conjuntos de valores numéricos o simbólicos. En Maxima las listas se pueden definir como series de expresiones separadas por comas y encerradas entre corchetes.
Se puede acceder a los elementos de una lista mediante las funciones first(), second(),..., tenth() y last().
O bien, mediante corchetes se puede indexar el elemento n–ésimo:
-67-
Las operaciones aritméticas y básicas (incluyendo potencias y radicales) pueden actuar sobre listas, pero no sobre las funciones trascendentes como logaritmos o funciones trigonométricas.
Las listas se pueden manipular de muchas formas, por ejemplo la función delete() devuelve la lista resultante de eliminar un elemento y la función cons() devuelve la que resulta al añadir un elemento al principio de una lista. Se pueden unir dos listas mediante la función append().
-68-
Mediante la función makelist(), se puede construir una lista formada por un número finito de expresiones que se ajusten a un término general.
Esta función está disponible en wxMaxima a través del menú AlgebraConstruir lista... . Como se aprecia, sus parámetros son, respectivamente, el término general, la variable utilizada como índice y dos números enteros que expresan el rango en que varía este índice de forma consecutiva. Mediante la función apply() (o, en wxMaxima, mediante el menú AlgebraAplicar a lista... ), se puede aplicar una determinada función a todos los elementos de una lista:
Por último, dada una lista, la función map() (disponible en wxMaxima a través del menú AlgebraCorresponder a lista) se utiliza para construir una nueva lista formada por el valor de una función sobre cada uno de los elementos de la lista original.
La función map() es muy adecuada para construir tablas de valores en aquellos casos en los que la función no esté diseñada para actuar directamente sobre listas.
-69-
5.4 Impresión de expresiones sin evaluar El operador comilla simple evita la evaluación. Aplicado a un símbolo, la comilla simple evita la evaluación del símbolo. Aplicado a la invocación de una función, la comilla simple evita la evaluación de la función invocada, aunque los argumentos de la función son evaluados (siempre y cuando la evaluación no se evite de otra manera). Aplicado a una expresión con paréntesis, la comilla simple evita la evaluación de todos los símbolos y llamadas a funciones que se encuentran en la expresión. 'a
evita la evaluación del símbolo a.
'f (x)
evita la evaluación de la función f, pero no de sus argumentos.
'(expr) evita la evaluación de todos los símbolos y llamadas a funciones que hayan en la expresión expr. El operador comilla simple ( ' ) aplicado a la variable a evita la evaluación de ésta.
El operador ' aplicado a la función integrate() evita la evaluación de ésta.
Un uso interesante del operador '.
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5.5 Gráficos Para dibujar gráficas de funciones de una variable Maxima utiliza la función plot2d, la que se puede acceder a través del menú Gráficos Gráficos 2D de wxMaxima (figura 5.23). Como se puede apreciar en dicha figura, existen numerosos parámetros, los cuales son bastante intuitivos.
Figura 5.23. Opciones de Gráficos 2D. El usuario se limita a ordenar el tipo de gráfico deseado y Maxima se encarga de comunicárselo al programa gráfico que esté activo en ese momento, que por defecto será Gnuplot (figura 5.24). Tanto el Gnuplot como el Openmath se muestren en una ventana aparte del área de entrada y salida de datos.
Figura 5.24. Opciones de formato de salida para los gráficos.
En contraparte, wxMaxima incorpora una función alternativa, cuyo nombre es wxplot2d(). La diferencia con las anteriores es que dicha función devuelve todos los gráficos en la misma ventana de trabajo y se obtiene del formato en línea (figura 5.25). Además cada tipo de formato presenta algunas diferencias al momento de mostrar los gráficos.
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Figura 5.25. Un grafico con formato en línea.
5.6 Algunas funciones matemáticas Maxima incluye una gran colección de funciones matemáticas. A continuación se mencionan las más comunes: sqrt(x)
raíz cuadrada (
exp(x)
exponencial (
log(x)
logaritmo neperiano (loge x)
sin(x), cos(x), tan(x),
funciones
cot(x), sec(x), csc(x)
radianes)
asin(x), acos(x), atan(x),
) )
trigonométricas
(con
argumentos
en
funciones trigonométricas inversas
acot(x), asec(x), acsc(x) n! n!! abs(x) round(x) mod(n, m) floor(x) random(x)
factorial de n (1 2 3 . . . n) 1 3 . . . n si(n impar) ó 2 4 . . . n (n par) valor absoluto de x redondeo de una valor al entero más próximo n modulo m (resto de la división entera de n entre m) mayor entero de x Número seudo aleatorio r, tal que 0 r < x si x 0 < r < x si x + -72-
max(x, y,…), min(x, y,…)
máximo, mínimo de x, y,…
factor(n)
factores primos de n
Maxima no tiene definida una función para el logaritmo de base 10 u otras bases. Para salvar esta dificultad el usuario puede hacer uso de la igualdad matemática
Así, por ejemplo, lo siguiente devuelve un resultado numérico para
1024
5.7 Actividades a realizar a) Descomponer 10! en producto de factores primos. b) Factorizar el polinomio x6 1. c) Multiplicar los factores obtenidos y comprobar que el resultado coincide con el polinomio anterior. d) Graficar en diferentes formatos gráficos el polinomio anterior e) Simplificar la fracción algebraica: f) Resolver la ecuación
.
.
g) Resolver y graficar la ecuación x3 8 =0. Interpretar los resultados obtenidos. ¿Por qué la grafica corta el eje X en un único punto siendo una ecuación de tercer grado?. h) Resolver el sistema de ecuaciones lineales i) Obtener los 12 primeros términos de la sucesión de Fibonacci fn = fn-1 + fn-2
-73-
Unidad 6 Software libre para Cálculo Numérico: Octave 6.1 Breve historia de Octave Octave o GNU Octave es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser Maxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico. El proyecto fue creado alrededor del año 1988 pero con una finalidad diferente: ser utilizado en un curso de diseño de reactores químicos en la Universidad de Texas. Posteriormente en el año 1992, se decide extenderlo y comienza su desarrollo a cargo de John W. Eaton. La primera versión alpha fue lanzada el 4 de enero de 1993. Un año más tarde, el 17 de febrero de 1994 aparece la versión 1.0. El nombre surge de Octave Levenspiel, profesor de algunos de los autores conocido por sus buenas aproximaciones por medio de cálculos mentales a problemas numéricos en ingeniería química. La flexibilidad de este programa en seguida lo hizo popular y su uso se expandió a otros problemas relacionados con el álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales y favoreció su desarrollo, agregando las aportaciones de la comunidad de usuarios. Entre las principales características de Octave se tiene que:
Octave está escrito en C++ usando la biblioteca STL.
Tiene un intérprete de su propio lenguaje (de sintaxis similar a Matlab), y permite una ejecución interactiva o por lotes.
Puede extenderse el lenguaje con funciones y procedimientos por medio de módulos dinámicos.
Utiliza otros programas GNU para ofrecer al usuario crear gráficos para luego imprimirlos o guardarlos (Grace).
Dentro del lenguaje también se comporta como una consola de órdenes (shell). Esto permite listar contenidos de directorios, por ejemplo.
Además de correr en plataformas Unix también lo hace en Windows.
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Puede cargar archivos con funciones de Matlab de extensión .m.
Ayuda en español.
6.2 Instalación Después de descargar Octave del sitio WEB http://www.octave.org se procede a su instalación, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 6.1).
Figura 6.1. Icono del instalador de Octave 3.2.4.
2. Por lo general está activado el Control de cuentas de usuario (figura 6.2), para confirmar cuando se instala un software no Microsoft, en tal caso, hacer clic en el botón
.
3. En el cuadro de Bienvenida al asistente de instalación de Octave (figura 6.3) hacer clic en el botón .
Figura 6.2 Cuadro de Control de cuentas de usuario.
Figura 6.3 Cuadro de Bienvenida.
4. En el cuadro de Acuerdo de Licencia hacer clic en el botón -75-
(figura 6.4).
5. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar Octave (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Selección de Instalación
(figura 6.5).
Figura 6.4. Cuadro Acuerdo de Licencia.
Figura 6.5. Cuadro Selección de Instalación.
6. En el cuadro Seleccione los Componentes, marcar o desmarcar los componentes que se quieran instalar (figura 6.6). Luego hacer clic en el botón
.
7. Seleccionar la carpeta del menú Inicio en la cual se quiere ubicar el icono de acceso a Octave (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón del cuadro Selección de Carpeta del Menú Inicio (figura 6.7).
Figura 6.6. Cuadro Selección de Componentes.
Figura 6.7. Cuadro Carpeta del Menú Inicio. -76-
8. Cuando se instalan los componentes de Octave se muestran cuadros como los de las figuras 6.8, y 6.9. El tiempo de instalación dependerá de la velocidad de la computadora. 9. Por último, hacer clic en el botón
del cuadro Completando la Instalación de Octave
(figura 6.10).
Figura 6.8. Iniciando la instalación de Octave.
Figura 6.9. Continuando con la instalación de Octave.
Figura 6.10. Cuadro Completando la instalación de Octave.
-77-
Si se deja marcada la opción Show Readme al finalizar la instalación del Octave se mostrará una ventana como la de la figura 6.11, la cual menciona algunas de las principales características, opciones del programa, compatibilidad, etc.
Figura 6.11. Ventana léeme (README), al ejecutar por primera vez el Octave.
Después de seguir el procedimiento anterior deben haberse instalado: el núcleo de Octave que es el responsable de todos los cálculos y permite una interfaz de texto con el usuario, la cual es muy poco amigable. Además, debe haberse creado automáticamente, en el escritorio de la computadora, el icono de acceso directo al Octave (figura 6.12).
Figura 6.12. Icono de acceso directo a Octave.
También se puede acceder a la interfaz de Octave, desde el menú de inicio de Windows (figura 6.13).
-78-
Figura 6.13. Accesando a Octave.
Cuando se ejecuta Octave la ventana de inicio es de modo texto y como se mencionó, es muy poco amigable (figura 6.14). Es por ello que otros proyectos también de software libre, se han dedicado a mejorar esta interfaz, para hacer más fácil al usuario la forma de interactuar con Octave. Para salir de esta ventana basta teclear quit o exit.
: Figura 6.14. Ventana de inicio de Octave.
6.2.1. Interfaces de usuario De entre las interfaces gráficas para Octave se tienen QtOctave y GUIOctave son las más utilizadas, se mostrará un poco de las dos. La decisión de cuál utilizar dependerá solamente del usuario.
-79-
Estos programas están disponibles para distintos sistemas operativos, cuentan además con numerosos menús, botones y ventanas de diálogo que, aun encontrándose todavía en fase experimental, se puede decir que se tratan de herramientas que facilita al usuario la comunicación con Octave. Primeramente se mostrará QtOctave. La página principal de este programa es: http://qtoctave.wordpress.com/ En ocasiones dicha página tiene problemas y no se puede accesar. Una dirección más segura para poder descargarlo es: http://osl.uca.es/node/1138 En concreto para Windows hay que descargar el archivo comprimido: qtoctave-win32-0.9.1-3.zip Esta interfaz no necesita instalación es suficiente con descomprimir en una carpeta y dentro de la carpeta bin se encuentra el archivo ejecutable: qtoctave.exe. Cuando se ejecuta QtOctave y se está cargando se muestra una imagen como la de la figura 6.15.
Figura 6.15. Ejecutando QtOctave.
-80-
La primera vez que se ejecuta sale un mensaje de error (figura 6.16).
Figura 6.16. Mensaje de error al ejecutar por primera vez QtOctave.
Se hace clic en el botón
y ya se inicia el programa. El mensaje de error corresponde
a que no conoce la dirección donde está el ejecutable de Octave. Al ejecutar el programa, la ventana inicial es similar a la mostrada en la figura 6.17.
Figura 6.17. Ventana de inicio de QtOctave
-81-
Ahora para definir la dirección donde está Octave se selecciona la pestaña Config y dentro de ella General configuration (figura 6.18).
Figura 6.18. Definiendo la ubicación de Octave.
En Octave Path, se debe indicar en dónde está el programa octave.exe (figura 6.19), por default la trayectoria es: C:/Octave/3.2.4_gcc-4.4.0/bin
Figura 6.19. Completando la definición de la trayectoria de Octave.
-82-
Después se hace clic en el botón
.
Finalmente se mostrará una ventana que dirá que se debe reiniciar el programa QtOctave (figura 6.20) para que se realicen los cambios. Se hace clic en el botón
para que se realice la recarga
del programa.
Figura 6.20. Reiniciando QtOctave.
Después de reiniciar QtOctave se puede iniciar a trabajar con Octave por medio de está interfaz gráfica, la cual es mucho más amigable que trabajar directamente con el núcleo de Octave en modo de texto o línea de comandos.
Ahora se mostrará como instalar la interfaz GUIOctave. La página WEB de este programa es: http://www.softpedia.es/programa-GUI-Octave-180957.html El procedimiento para instalarlo es el siguiente: 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 6.21).
Figura 6.21. Icono de instalación de GUIOctave.
2. En el cuadro de Bienvenida al asistente de instalación de GUIOctave (figura 6.22) hacer clic en el botón
.
3. En el cuadro de Acuerdo de Licencia (figura 6.23) hacer clic en el botón -83-
.
Figura 6.22. Cuadro Bienvenida.
4. Hacer clic en el botón
Figura 6.23. Cuadro Acuerdo de Licencia.
del cuadro Información (figura 6.24).
5. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar GUIOctave (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta de
Destino (figura 6.25). 6. En el cuadro Selección de Componentes dejar seleccionada la casilla de Microsoft Visual C++ (figura 6.26). Luego hacer clic en el botón
.
Figura 6.25. Cuadro Selección de Carpeta destino.
Figura 6.24. Cuadro de Información.
-84-
7. Seleccionar la carpeta del menú Inicio en la cual se quiere ubicar el icono de acceso a GUIOctave (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón del cuadro Seleccione la Carpeta del Menú Inicio (figura 6.27).
Figura 6.26. Cuadro Selección de Componentes.
8. Hacer clic en el botón
Figura 6.27. Cuadro Carpeta del Menú Inicio.
del cuadro seleccione las Tareas Adicionales para que el asistente
cree un icono de acceso directo a GUIOctave en el escritorio (figura 6.28). 9. Hacer clic en el botón
del cuadro Listo para Instalar (figura 6.29).
Figura 6.28. Cuadro Tareas Adicionales.
Figura 6.29. Cuadro Listo para Instalar.
10. Se muestra un el avance de la instalación de GUIOCtave en un cuadro como el de la figura 6.30. -85-
11. Finalmente se hace clic en el botón
para concluir con la instalación.
Figura 6.31. Completando la instalación de GUIOctave.
Figura 6.30. Instalando GUIOctave.
Después de seguir el procedimiento anterior la interfaz gráfica de GUIOctave queda instalada y lista para ser ejecutada Además de haberse instalado en el escritorio de la computadora el icono de acceso directo a dicha interfaz (figura 6.32).
Figura 6.32. Icono de acceso directo a la interfaz GUIOctave.
También se puede acceder a la interfaz, desde el menú de inicio de Windows (figura 6.33).
Figura 6.33. Accesando a GUIOctave.
Ahora se puede ejecutar GUIOctave, mientras se carga se muestra una imagen como la de la figura 6.34. -86-
Figura 6.34. Ejecutando GUIOctave.
Cuando se inicia la interfaz, presenta una ventana inicial similar a la de la figura 6.35.
Figura 6.35. Ventana inicial de GUIOctave.
6.3 Funciones básicas En esta sección se iniciará viendo los operadores básicos en Octave que permiten definir y hacer operaciones con escalares, vectores y matrices, así como con “cadenas de texto”. Se verá cómo utilizar los operadores lógicos (con los cuales se podrán hacer comparaciones lógicas de tipo 0/1 o (verdadero/falso) y se finaliza con unos cuantos comandos que pueden ser útiles.
-87-
Los operadores permiten construir sentencias más complejas. Es posible concatenar operaciones. Su precedencia es semejante a la de otros lenguajes, pero es posible modificarla agrupando las expresiones entre paréntesis.
6.3.1. Operadores aritméticos y funciones matemáticas elementales Estos operan sobre escalares y matrices y se muestran en la tabla 6.1. Tabla 6.1. Operadores aritméticos Operador
Descripción
x+y
Suma. Si los dos operadores son matrices las dimensiones deben coincidir. Si no el escalar se suma a cada elemento de la matriz.
x .+ y
Suma elemento a elemento. Esta operación es equivalente a +.
x–y
Resta. El resultado es equivalente a x + (-y), donde -y representa el opuesto de y.
x .- y
Resta elemento a elemento. Esta operación equivale a -.
x*y
Multiplicación de matrices. El número de columnas de x debe coincidir con el número de filas de y.
x .* y
Multiplicación de matrices elemento a elemento.
x/y
División a derechas. Conceptualmente es equivalente a (inverso (y') * x')', pero sin necesidad de calcular la inversa de y ni calcular las transpuestas de las matrices.
x ./ y
División elemento a elemento, de los elementos de x divididos por los elementos de y.
x\y
División por la izquierda. Conceptualmente es equivalente a inverso (x) * y.
x .\ y
División elemento a elemento, de los elementos de y entre los elementos de x
x ^ y o x ** Operación de exponenciación. Ambos operadores no pueden ser matrices, y si alguno es matriz, deberá ser cuadrada. y x .^ y o x Exponenciación, elemento a elemento. Si ambos operadores son matrices, deberán tener igual dimensión. .** y -x
Negación. Se obtiene el escalar opuesto o la matriz de igual dimensión y cuyos elementos son los opuestos de la matriz original.
+x
Operador suma unitario. No tiene ninguna consecuencia sobre el operando.
x'
Conjugado complejo y transpuesta. Para números reales es equivalente a la transposición.
x.'
Transposición de los elementos de x. No se conjugan los elementos.
++x
Operador de pre-incremento. Equivalente a ejecutar la expresión x=x+1 antes de acceder -88-
Operador
Descripción al valor de x Operador de pre-decremento. Equivalente a ejecutar la expresión x=x-1 antes de acceder
--x
al valor de x x++
Operador de post-incremento. Equivalente a ejecutar la expresión x=x+1 después de acceder al valor de x Operador de post-decremento. Equivalente a ejecutar la expresión x=x-1 después de
x--
acceder al valor de x
6.3.2 Funciones matemáticas elementales Estas funciones, que comprenden las funciones matemáticas trascendentales y otras funciones básicas, actúan sobre cada elemento de la matriz como si se tratase de un escalar. Se aplican de la misma forma a escalares, vectores y matrices. Algunas de las funciones de este grupo son las siguientes:
sin(x) : seno
cos(x) : coseno
tan(x) : tangente
asin(x) : arco seno
acos(x) : arco coseno
atan(x) : arco tangente (devuelve un ángulo entre -90º y 90º)
sinh(x) : seno hiperbólico
cosh(x) : coseno hiperbólico
tanh(x) : tangente hiperbólica
asinh(x) : arco seno hiperbólico
acosh(x) : arco coseno hiperbólico
atanh(x) : arco tangente hiperbólica
log(x) : logaritmo natural
log10(x) : logaritmo decimal
exp(x) : función exponencial -89-
sqrt(x) : raíz cuadrada
round(x) : redondeo hacia el entero más próximo
fix(x) : redondea hacia el entero más próximo a 0
floor(x) : valor entero más próximo hacia -∞
ceil(x) : valor entero más próximo hacia +∞
gcd(x) : máximo común divisor
lcm(x) : mínimo común múltiplo
real(x) : partes reales
imag(x) : partes imaginarias
abs(x) : valores absolutos
angle(x) : ángulos de fase
6.3.3. Operadores de comparación Todos los operadores de comparación devuelven un valor 1 si la comparación es cierta, y 0 si es falsa Los operadores de comparación se muestran en la tabla 6.2. Para matrices las operaciones se realizan operando a operando. Por ejemplo: octave> [1 2; 3 4] == [1 3; 2 4] ans = 10 01 Si un operador es escalar y el otro una matriz, el escalar se compara con cada elemento de la matriz y el resultado tiene las mismas dimensiones que la matriz. Tabla 6.2. Operadores de comparación. Operador
Descripción
x
Cierto si x es menor que y.
x <= y
Cierto si x es menor o igual que y.
x == y
Cierto si x es igual que y. -90-
Operador
Descripción
x>y
Cierto si x es mayor que y.
x >= y
Cierto si x es mayor o igual que y.
x != y o x ~= y o x <> y Cierto si x no es igual a y. Las comparaciones con cadenas de caracteres pueden hacerse con la función strcmp.
6.3.4. Operadores booleanos El resultado de un operador booleano es una matriz de dimensión equivalente a los operandos, donde cada elemento es el resultado de aplicar el operador booleano a los elementos correspondientes. Se considera como cierto un valor distinto de cero, y falso un valor igual a cero. Los operadores booleanos se pueden emplear en las mismas situaciones que los operadores de comparación. Si además se utilizan en estructuras de control de flujo (if o while) sólo serán cierto si todos los elementos son distintos de cero. Los operadores booleanos se muestran en la tabla 6.3. octave> [1 0] & [1 1] ans = 1 0 Únicamente hay tres operadores booleanos: Tabla 6.3. Operadores booleanos. Operador
Descripción
boolean1 &
Operador 'and' lógico. Cada elemento del resultado es cierto si los elementos
boolean2
correspondientes de los operandos lo son.
boolean1 |
Operador 'or' lógico. Cada elemento del resultado es cierto si alguno de los
boolean2
elementos correspondientes de los operandos lo es.
! boolean o ~
Operador 'not' lógico. Cada elemento del resultado toma el valor booleano opuesto al
boolean
del operando.
-91-
6.3.5. Operadores booleanos "short-circuit" Los operadores booleanos de "corto circuito" son semejantes a los operadores booleanos, con la diferencia de que si después de evaluar el primer operando, ya es suficiente para obtener el resultado, no se comprueba el segundo operando y se muestran en la tabla 6.4. Tabla 6.4. Operadores binarios de corto circuito. Operador
Descripción
boolean1 && El operando boolean1 es evaluado y convertido a un escalar (el resultado es análogo a boolean2 all(boolean1)). Si el resultado es falso, la operación termina con resultado falso. Si es cierto se realiza la misma operación con el segundo operando y este será el resultado de la operación. boolean1 || boolean2
El operando boolean1 es evaluado y convertido a un escalar (el resultado es análogo a any(boolean1). Si el resultado es verdadero, la operación termina con resultado verdadero. En cambio si fue falso se evalúa de la misma manera el segundo operando el resultado obtenido será el resultado de la operación.
La diferencia entre los operadores binarios normales y los de corto circuito se verá mejor con un ejemplo: octave> a=0; b=0; a & b++, b ans = 0 b=1 octave> a=0; b=0; a && b++, b ans = 0 b=0 En el segundo caso, b será incrementado sólo si a es verdadero. En el primer caso b siempre será incrementado.
-92-
6.3.6. Operador de asignación El signo = es el operador de asignación. Después de una asignación una variable cambia de valor y de tipo para acomodarse al del nuevo valor. El operador asignación es la única manera de poder almacenar valores. En el lado derecho puede aparecer cualquier expresión de las descritas anteriormente en este capítulo, o funciones que devuelvan un valor. En el lado izquierdo podemos tener variables, elementos de una matriz o vector, o listas de valores de retorno (este concepto se aclarará en el apartado dedicado a funciones). Ejemplos: octave> a=1; octave> b=ones(2,3); octave> b(:,1)= 2 b= 211 211 octave> [d c]= size(b); octave> e=["esta " "es " "una " "cadena"];
6.4 Vectores y matrices
Los vectores fila se definen como números entre corchetes separados por comas o por espacios. Se puede realizar cualquier operación con vectores, como multiplicar por un escalar: >>> v = [1, 2, 3]; 2*v v= 2 4 6
Para definir un vector columna, se utiliza punto y coma para separar las componentes. >>> w = [4; 5; 6] w= 4 5 6
-93-
Es fácil trasponer un vector (o matriz) mediante ’ (es el carácter que en los teclados españoles aparece en la misma tecla que “?”). >>> w’ ans = 4 5 6
Se pueden crear vectores de cualquier longitud cuyos elementos distan en una unidad mediante los rangos. La sintaxis es “Punto de Inicio : Punto de Fin”. >>> 1:5 ans = 1 2 3 4 5 Para crear vectores con cualquier otro incremento, se usa “Punto de Inicio : Incremento : Punto de Fin”. >>> 10:-2:1 ans = 10 8 6 4 2
Otra forma de crear vectores con valores equidistantes es mediante el comando linspace. Su sintaxis es “linspace(Inicio, Fin, Número de Puntos)”. >>> linspace(1, 2, 5) ans = 1:0000 1:2500 1:5000 1:7500 2:0000
Se puede obtener la longitud de cualquier vector mediante el comando length. >>> v = [2, 4, 8, -1]; length(v) ans = 4
Las matrices se crean fácilmente separando los elementos de una fila por comas (o espacios) y las filas por punto y coma.
>>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] A= -94-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mediante A(i,j) obtenemos el elemento de la fila i y la columna j de la matriz A. >>> A(3,2) ans = 8
Es posible cambiar de forma sencilla cualquier elemento de una matriz, o introducir un nuevo elemento: >>> A(1,1) = 0; A A= 0 2 3 4 5 6 7 8 9 >>> A(4,2) = 1 A= 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 0
El operador “:” sirve para seleccionar todos los elementos de una fila/columna en una matriz. >>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; A(2, :) ans = 4 5 6 También se puede elegir elementos de una matriz (por ejemplo, una submatriz) mediante un vector que especifique las filas y/o columnas. >>> A(2 : 3, [1;3]) ans = 4 6 7 9 -95-
El comando size devuelve un vector con las dimensiones de la matriz. >>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; size(A) ans = 2 3
Se puede obtener el último elemento de una fila o columna de una matriz o vector mediante end. >>> A = [1;2;3;4;5;6]; A(end;1) ans = 4
6.4.1 Matrices especiales
El comando rand permite crear números aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo (0,1). Mediante rand(m,n) se obtiene una matriz de tamaño m x n con elementos formados por este tipo de números. >>> rand(2,4) 0:832122 0:859706 0:078132 0:423514
La matriz identidad se obtiene con el comando eye. >>> eye(3) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Para obtener una matriz de ceros, usar el comando zeros. >>> zeros(2) ans = 0 0 0 0 -96-
Con el comando ones se obtiene una matriz de unos. >>> ones(2,3) ans = 1 1 1 1 1 1
Introduciendo diag(v) Octave devuelve una matriz con el vector v en la diagonal. >>> diag([1;2;3]) ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 Escribiendo un segundo parámetro diag(v; k) se obtiene una matriz con el vector v posicionado
en la k-ésima diagonal superior (o inferior, si k < 0). >>> diag([1;2;3]; -1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 Aplicado a una matriz, el comando diag devuelve su k-ésima diagonal. >>> A = [1, 2, 3; 4, 5,6; 7, 8,9]; diag(A) ans = 1 5 9
-97-
6.4.2 Operaciones con matrices y vectores Es esencial tener siempre en cuenta que Octave ha sido diseñado para trabajar con matrices. Es por ello que es necesario tener cuidado a la hora de utilizar operaciones como la multiplicación, la división o la potencia, cuyo significado no es el mismo para escalares que para matrices. Esto suele originar la mayoría de los fallos cuando se utiliza Octave.
Se usará el producto * para multiplicar cualquier matriz o vector por un escalar o por otra matriz. >>> A = [1, 1, 1; 0, 1,0; 0, 1,1]; 5*A ans = 5 5 5 0 5 0 0 5 5 >>> b = [1; 2; 3]; A*b ans = 6 2 5 >>> B = [0, 0, 2; 1, 5, 4; 3, 2, 1]; A*B ans = 4 7 7 1 5 4 4 7 5
Octave es capaz de elevar rápidamente una matriz a cualquier potencia, esto es, multiplicar la matriz por sí misma un número determinado de veces (por consiguiente la matriz deberá ser cuadrada). Para ello se usa el operador ^. Así A^3 = A*A*A. >>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; A^2 ans = 30
36 42
66
81 96
102 126 150 -98-
Es posible realizar operaciones elemento a elemento con vectores y matrices. Para ello sólo hay que introducir un “.” antes del operador correspondiente. Así se tendrán las operaciones “.*”, “.^” o “.=”. Con la suma y la resta no es necesario utilizarlo ya que ambas operaciones actúan siempre elemento a elemento. >>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; A.^2 ans = 1
4
9
16 25 36 49 64 81 Comparar el resultado con el ejemplo previo.
Para calcular la inversa de una matriz se usara A^1 o inv(A). >>> A = [1, 1, 1; 0, 1,0; 0, 1, 1]; A^-1 ans = 1 0 -1 0 1 0 0 -1 1
El determinante de una matriz se obtiene con det. >>> A = [1, 1, 1; 0, 1, 0; 0, 1, 1]; det(A) ans = 1 Para resolver un sistema Ax = b, se usara A \ b. Octave lo resuelve con un algoritmo mucho más preciso y rápido que si se calcula x = inv(A)*b. Si la matriz A fuese singular, Octave devolverá un mensaje de advertencia y calculará una solución de norma mínima >>> A = [1, 2, 1; 3, 5, 2; 3, 2, 1]; b = [1; 2; 3]; A\b ans = 1.00000 -1.00000 2.00000
-99-
6.5 Gráficas 6.5.1 Gráficas en dos dimensiones Los comandos propios del Octave, que deben usarse de manera preferente, son: plot : función que produce gráficas bidimensionales con escalas lineales en ambos ejes. Existen varias formas de invocar a plot: plot(y) : donde y es un vector, representa las componentes del vector frente a sus índices plot(x,y): donde tanto x como y son vectores, se representarán los elementos de y frente a los de x, por ello las longitudes han de coincidir plot(x,Y): donde x es vector e Y matriz, se representan las columnas de Y frente a los valores de x. En caso que la longitud de las columnas no coincida con la longitud de x, se intentará con las filas. plot(X,y) : donde X es matriz e y vector, se representará el vector y frente a las columnas de X. En caso que la longitud de las columnas no coincida con la longitud de y, se intentará por las filas. plot(X,Y): donde tanto X como Y son matrices, las columnas de Y se representan frente a las columnas de X, por ello las dimensiones han de coincidir. plot(x1,y1): donde x1 e y1 son escalares, se representará un único punto. plot(X,Y,formato): donde X e Y son de cualquiera de las formas anteriores y el formato especifica la forma en que se representará la línea. plot(X1,Y1,fm1,X2,Y2,fm2,....): es posible combinar varias llamadas a plot colocando los argumentos necesarios unos a continuación de otros. El argumento de formato se puede omitir.
Los posibles formatos del comando plot son los siguientes '-'
segmento uniendo los datos, formato por defecto.
'.'
puntos pequeños en cada dato.
'@'
puntos en cada dato.
'-@'
líneas uniendo cada dato con punto en cada dato.
'^ '
gráfica estilo impulso, líneas de 0 al punto.
'L'
gráfica estilo escalera (véase stairs). -100-
'n'
donde n es dígito de 1 a 6, indica color. Algunos colores se pueden especificar por su inicial inglesa: r, g, w, etc.
'nm'
donde n y m son dígitos de 1 a 6, n indica color y m estilo de punto, los estilos de puntos se pueden indicar por un símbolo: *, +, o , etc. La relación entre el número y el color y el estilo de línea es la tabla 6.5. Tabla 6.5. Estilos de color, y estilo de línea en las gráficas. Número
Color
Letra color
Tipo de punto
Símbolo punto
1
rojo
r
circulo
o
2
verde
g
cruces
+
3
azul
b
cuadrado
s
4
magenta
m
aspa
x
5
cian
c
triangulo
^
6
marrón
y
asterisco
*
semilogx(arg) : recibe los mismos argumentos que plot pero utiliza una escala logarítmica en el eje x. semilogy(arg): recibe los mismos argumentos que plot pero utiliza una escala logarítmica en el eje y. loglog(arg): recibe los mismos argumentos que plot pero utiliza una escala logarítmica en los eje x e y. polar(arguemto,modulo): hace trazo bidimensional utilizando el ángulo y la distancia al origen como argumento. bar(x,y): donde x e y son vectores de las mismas dimensiones, produce el diagrama de barras de y frente a x. x debe tener valores en orden ascendente. bar(y): donde y es vector, representa los valores de y frente a sus índices. [xb,yb]=bar(x,y): no realiza la representación, sino que devuelve los vectores xb e yb que se pueden utilizar posteriormente con plot(xb,yb) hist(x,y): representa el histograma con los datos suministrados. stairs(x,y): donde x e y son vectores de datos, produce el trazo en escalera típico de la salida de un retenedor de orden 0. x ha de tener valores en orden ascendente.
-101-
[xb,yb]=stairs(x,y): no realiza la representación, sino que devuelve los vectores xb e yb que se pueden utilizar posteriormente con plot(xb,yb).
Comandos para el control de la gráfica hold on: mantiene el gráfico actual en la ventana, los sucesivos se añadirán al actual. hold off: desactiva la permanencia del gráfico, los siguientes borraran la ventana. Este es el estado por defecto. hold: cambia el estado actual del hold entre on y off. ishold(): devuelve 1 si el gráfico está mantenido y 0 en caso contrario. clearplot: borra la ventana de gráficos actual . clg: equivalente a clearplot. closeplot: cierra la ventana de gráficos y el Gnuplot asociado axis([minx maxx miny maxy minz maxz]): especifica los límites entre los que se representa la gráfica. Los rangos para el eje y y z se pueden omitir, es decir, se puede fijar el rango para el eje x, los ejes x e y, o los ejes x, y y z.
axis: vuelve al estado de autoescalado. replot: actualiza la gráfica según las modificaciones que se hayan introducido posteriormente al plot, sobre todo en los ejes. Esta actualización se puede hacer automáticamente haciendo automatic_replot=1.
Etiquetas en la gráfica grid:coloca rejilla en la gráfica. title(string): coloca el título a la gráfica. xlabel(strig) ylabel(string) zlabel(string): coloca las etiquetas en los distintos ejes.
-102-
6.5.2 Gráficas tridimensionales [X,Y]=meshdom(x,y): dados los vectores con los puntos a considerar en el eje x e y genera las matrices X e Y necesarias para la función mesh. mesh(X,Y,Z): a partir de las matrices X e Y de meshdom, y la matriz con los valores z en esos puntos, genera la gráfica tridimensional.
6.5.3 Múltiples gráficas A partir de la versión 3.6, gnuplot soporta múltiples gráficas. Desde Octave es posible saber si está disponible esta capacidad consultando la variables gnuplot_has_multiplot. Es ese caso, es posible enviar los siguientes comandos desde Octave: multiplot(nx, ny): divide la ventana en ny filas y nx columnas de subgráficas. mplot: versión modificada de plot para avanzar automáticamente a la siguiente subgráfica. subwindow(xn, yn) : situa la subgráfica actual para el siguiente plot. oneplot(): vuelve al modo de una única gráfica en la ventana. plot_border(): permite especificar bordes alrededor de las subgráficas. subplot(f,c,a): equivalente a multiplot(c,f); subwindow(floor(a/c),rem(a,c)) subplot(fca): ídem que el anterior pero los tres parámetros se pasan como los tres dígitos decimales de un único parámetro (compatibilidad con MATLAB).
Múltiples ventanas En el entorno X11, y si gnuplot lo soporta, es posible abrir varias ventanas gráficas. Para saber si es posible se debe consultar la variable gnuplot_has_frames. figure(n): sitúa la ventana actual para los siguientes comandos como la n-ésima, abriéndola si no existe.
-103-
6.6 Actividades a realizar a) Definir en la matriz de coeficientes A y el vector de términos independientes b para el sistema:
b) Calcular la matriz inversa de A, asignándola a la matriz B. c) Calcular el producto de B con b, asignándola a C. Verifique que dicho resultado es la solución del sistema (calcule el producto de A con el vector resultante C, asegurándose que se obtiene b). d) Calcular el cuadrado, exponencial natural, el coseno para cada entrada de la matriz A. e) Obtenga las gráficas de las funciones seno y coseno en el rango de -2π a 2π (en la misma gráfica). En la misma pantalla, pero en diferente gráfica, grafique exp(x) (de -2 a 4) y log(x) (de 0.1 a 4)
-104-
Unidad 7 Software libre para graficación de funciones: WinPlot 7.1 Breve historia de WinPlot WinPlot fue desarrollado por el Profesor Richard Parris ("Rick") en la Philips Exeter Academy, en torno al año 1985. Escrito en C, se llamará PLOT y corrió en el viejo DOS. Con el lanzamiento de Windows 3.1, el programa pasó a llamarse "Winplot". La versión para Windows 98 apareció en 2001 y es escrito en lenguaje C ++. Además de la versión original en Inglés, WinPlot tiene en la actualidad versiones en catorce idiomas, entre ellos español, portugués, ruso, chino, alemán, francés, coreano, lituano, italiano, etc. En español, el trabajo de traducción resultado de la iniciativa y compromiso de Martín Acosta, un gran traducción que facilita en gran medida el uso del programa. Una de sus ventajas es la de ser un "programa ligero", es decir, funciona en computadoras relativamente antiguas, sin perder su eficacia o velocidad, se puede utilizar en todos los niveles recursos educativos y características que van desde una simple función de 1er grado hasta tres funciones grado integrales de todo tipo. Es un programa de graficación de funciones muy bueno y tiene una interfaz gráfica muy aceptable por los usuarios que memorizan comandos para utilizarlo. El WinPlot es un programa freeware, lo que significa que es gratuito, además de ser pequeño pues apenas tiene un tamaño 812 Kb.
7.2 Instalación Después de descargar WinPlot del sitio WEB http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html se procede a su instalación, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 7.1).
-105-
Figura 7.1. Instalador de WinPlot. 2. Si aparece un mensaje de seguridad (figura 7.2), hacer clic sobre el botón
.
3. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar WinPlot (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta de
Destino (figura 7.3) para descompactar e instalar los archivos del programa.
Figura 7.2. Mensaje de seguridad.
4. Hacer clic sobre el botón
Figura 7.3. Cuadro de Selección de Carpeta Destino y Descompactación de los archivos
para terminar con la instalación (figura 7.4).
Figura 7.4. Fin de la instalación de WinPlot.
Después de seguir el procedimiento anterior se ha instalado el Winplot, el cual se ubica en la carpeta peanut directamente en el directorio raíz de la computadora (figura 7.5).
-106-
Figura 7.5. Ubicación de WinPlot.
Finalmente para ejecutar el WinPlot se da doble clic en el icono del archivo wplotsp.exe (figura 7.6).
Figura 7.6. Archivo para ejecutar WinPlot.
Si se quiere se puede crear un acceso directo en el escritorio o en algún otro lugar, dando copiar sobre el archivo wplotsp.exe y pegar acceso directo (clic derecho). Cuando se copia el acceso directo se muestra el texto “acceso directo a wplotsp.exe”, lo recomendable es modificarlo a solamente WinPlot (figura 7.7).
Figura 7.7. Icono de acceso directo a WinPlot.
7.3 Funciones básicas Una vez abierto Winplot, se observará el cuadro que se muestra en la figura 7.8, que lo conducirá al programa Winplot.
-107-
Despliegue el menú window o ventana y seleccione la opción 2-dim (figura 7.9), ahora se mostrara la ventana de trabajo de Winplot, que se muestra en la figura 7.10.
Figura 7.8. Cuadro de inicio de WinPlot.
Figura 7.9. Opciones de ventana.
Figura 7.10. Ventana de trabajo de WinPlot.
En la figura 7.11 se muestra la ventana de trabajo de Winplot y sus elementos. 1. Barra de titulo principal
8. Barra de titulo de hoja de trabajo
2. Barra de menú principal
9. Barra de menús de hoja de trabajo
3. Ventana principal
10. Botón para minimizar la hoja de trabajo
4. Botón para minimizar aplicación
11. Botón para maximizar la hoja de trabajo -108-
5. Botón para maximizar aplicación
12. Botón para cerrar la hoja de trabajo
6. Botón para cerrar aplicación
13. Ventana para introducir la información
7. Ventana de trabajo
Figura 7.11 Ventana de trabajo en WinPlot.
7.3.1 Barra de menú Dentro de la barra de menú del cuadro de trabajo de WinPlot, se pueden realizar diferentes tareas, tales como guardar un archivo ya elaborado, imprimir, o copiar entre otras opciones dentro de este menú. Para guardar un archivo, el procedimiento es el mismo que se haría para un archivo de office. Menú archivo | guardar como y asignar un nombre en el cuadro de diálogo que aparece. De la misma manera se puede copiar una gráfica ya realizada, para incluirla en cualquier archivo de office. Siga los siguientes pasos: Menú archivo | copiar | pegar en el documento que se desea (figura 7.12).
-109-
Figura 7.12. Menú archivo de la barra de menú principal.
7.4 Construcción de gráficas 7.4.1 Ubicación de una coordenada en el plano x, y Dentro del cuadro de WinPlot, despliega el menú Ecua, selecciona la opción Punto y posteriormente coordenadas (x, y) (figura 7.13).
Figura 7.13. Muestra el procedimiento para introducir una coordenada. Una vez realizado lo anterior, aparecerá el cuadro de diálogo para introducir coordenadas (x, y) como se muestra a continuación en la figura 7.14. -110-
Figura 7.14. Cuadro de dialogo para introducir coordenadas. Una vez introducido cada dato, se hace clic en el botón
y listo, el punto (x, y) aparecerá
en el plano de la hoja de trabajo (figura 7.15).
Figura 7.15. Para introducir más puntos, repita los pasos anteriores.
-111-
7.4.2 Construcción de una gráfica Una vez ejecutado el programa y ya dentro de la ventana de trabajo, despliegue el menú Ecua y seleccione la opción explicit... esta opción, permitirá graficar una función polinómica de una sola variable, de grado n (figura 7.16).
Figura 7.16. Opciones del menú Ecua. Una vez seleccionada esta opción, la ventana se modificará y aparecerá la ventana dónde se introducirá la función a graficar; se escribirán también, los rangos dentro de los cuales se graficará, límite inferior y superior (figura 7.17).
Figura 7.17. Ventana de introducción de información. -112-
Ya ordenada toda la información, dar clic en
y aparecerá la gráfica (figura 7.18).
Figura 7.18. Ventana que muestra la gráfica de la función ya terminada.
7.4.3 Visualización de la gráfica Una vez que se ha graficado la función, se podrá ver su comportamiento, ya sea en sus partes negativas, o bien en valores de X muy grandes. Lo anterior usando las teclas mostradas en la figura 7.19.
Figura 7.19. Teclas para el comportamiento de la función. -113-
7.4.4 Graficación de dos o más funciones en un mismo plano Para graficar dos curvas en un mismo plano, repetirán el procedimiento descrito en la sección 7.3.1, de esta forma, se podrá visualizar más de una curva en un mismo plano (figura 7.20).
Figura 7.20. Más de dos graficas en el mismo plano.
7.5 Edición de una gráfica 7.5.1. Color, grosor, y tipo de línea Una vez que se ha graficado una función ésta puede cambiar su apariencia, es decir, se puede editar. Mediante dicha edición, se puede corregir errores de escritura, hacer la curva más gruesa o bien cambiar su color. Todo lo anterior, se puede hacer en la ventana de edición que aparece en el cuadro de trabajo de WinPlot, dando clic sobre la opción edit o editar como se muestra en la figura 7.21.
-114-
Figura 7.21. El cuadro de diálogo para la edición de una gráfica.
Una vez desplegada la ventana de edición, se puede corregir algún error de escritura, cambiar su color. Para hacer esto, basta dar un clic sobre el botón
, se selecciona el color de su
preferencia, y se pulsa close o cerrar. Para cambiar el grosor de la línea, escriba un valor superior a 1 y hacer clic en el botón (figura 7.22).
Figura 7.22. Opciones para cambiar color y grosor de una gráfica. -115-
7.5.2 Mostrar la ecuación de la gráfica Para mostrar la ecuación de la gráfica en su ventana de trabajo, basta seguir los siguientes pasos. 1. Seleccione la gráfica de la cual quiere escribir la función. 2. Hacer clic en el botón equa o ecua de la línea de opciones hide/show o mostrar/ocultar. 3. Hacer clic nuevamente para desaparecer lo que hizo.
Figura 7.23. La opción equa.
7.6 Análisis de una gráfica 7.6.1. La tabla de valores x e y Cuando se gráfica una función con papel y lápiz, normalmente se construye una tabla de valores para x y para y; dicha tabla en ocasiones es útil para leer información importante acerca de la función. Para visualizar la tabla de valores, solo es necesario dar clic en un botón, para lograrlo siga los siguientes pasos: 1. En la ventana secundaria, ubique la barra de botones reflect in. 2. Seleccione la gráfica de la cual quiere ver la tabulación.
-116-
3. Presione el botón table o tabla para que se desplieguen dichos valores. El resulta se muestra en la figura 7.24.
Figura 7.24. Opción para desplegar la tabla de valores x, y.
7.6.2 Localización de los ceros de una función Algunas funciones polinómicas de grado n, tiene al menos una raíz real o cero, es decir cuando la curva que describe la función cruza el eje de las abscisas, dentro del ambiente de WinPlot, también puede conocer el valor numérico de dichas raíces. El procedimiento al igual que los anteriormente descritos, es muy sencillo, solo siga los pasos siguientes: 1. Despliega el menú One y seleccione la opción Zeros... (figura 7.25).
-117-
Figura 7.25. Menú One y la opción Zeros... 2. Una vez que aparece el cuadro de diálogo, en la gráfica, aparece una pequeña flecha roja que indica cada una de las raíces (figura 7.26).
Figura 7.26. Raíces o ceros de una función.
-118-
7.7 Funciones matemáticas elementales en WinPlot WinPlot tiene incorporadas algunas funciones matemáticas, las cuales se utilizan para hacer cálculos o definir funciones. Las más comunes son las siguientes: Función
Descripción
( ) paréntesis Agrupar las diferentes expresiones de una función. ^
Para escribir un exponente
sqr
Representa una raíz cuadrada
abs
Escribe el valor absoluto de una expresión
+
Indica la operación aritmética suma
Indica la operación aritmética resta
*
Indica la operación aritmética multiplicación
/
Indica la operación aritmética división
sin
Representa función trigonométrica seno
cos
Representa función trigonométrica coseno
tan
Representa función trigonométrica tangente
arcsin
Representa función trigonométrica arcoseno
arccos
Representa función trigonométrica arcocoseno
arctan
Representa función trigonométrica arcotangente
ln
Para escribir logaritmo base e
-119-
7.8 Actividades a realizar 1. Ubicar en el plano coordenado los siguientes puntos. a) (4,3) b) (5, 6) c) (6, 10) d) (15,8) e) (9,9) 2. Graficar las siguientes funciones. a) x + 1 b) 2x 3 c) x2 1 d) 2x3 + 3x2 1 e) 5x + 3 3. Graficar en un mismo plano las siguientes funciones. a) x +1; x + 3 b) x2; x + 5 c) x2 + 1; x2 1 d) 1/x; x3; 3x + 2 4. Obtenga las raíces reales de las siguientes funciones. a) 3x + 5 b) 2x / 3 c) 2x2 − 5x d) x3 + 2x 4 5. Actividad complementaria. Buscar en WinPlot cómo realizar lo siguiente: a) Graficar la ecuación x2 + 3x + 2 = 0 b) Graficar implícitamente la expresión y = 2x3 + 3x2y + 5 c) Graficar el área bajo la curva que representa la integral d) Encontrar la derivada de x2 + 2x 2 -120-
Unidad 8 Software libre para procesar textos matemáticos: MiKTeX
y TeXStudio
8.1 Introducción El trabajo que realizan los técnicos y científicos, la mayoría de las veces, mantiene un contenido tipográfico altamente complejo por lo que se ven obligados a incluir en sus investigaciones una serie de caracteres especiales que distan, enormemente, de los que tradicionalmente suelen utilizar los usuarios “normales”. La constante utilización de estos llamados caracteres especiales ha hecho que para los científicos los editores de textos usados frecuentemente por las masas, llámese Microsoft Word, OpenOffice o cualquier otro, pierdan la característica de brindar al usuario, de la manera más fácil, lo que realmente necesita, convirtiéndose esto en un obstáculo para que ellos realicen satisfactoriamente su trabajo. LaTeX es considerada como una herramienta útil para las personas que elaboran documentos con esas características y el hecho de estar al alcance de toda la población, independientemente de la plataforma que utilice, ha contribuido a que tome auge y a que muchos profesionales del área de la ciencia elijan adoptar esta nueva filosofía de edición. Como se ha mencionado LaTeX está disponible en varias plataformas, en este manual se mostrará su utilidad en el sistema operativo Windows, manipulando la herramienta TeXStudio que es una distribución de LaTeX para dicho sistema operativo.
8.2 Breve historia de TeX El leguaje Tex surge alrededor de la década de los 70´s, principalmente, a raíz de las notables deficiencias que presentaban los editores existentes. Los estudiosos matemáticos, y en general los científicos, se veían constantemente en dificultades al momento de estructurar y dar formato a la documentación de sus proyectos, problema que trato de solucionar Donald Knuth al diseñar un “leguaje de composición tipográfica de bajo nivel llamado TeX”. TeX resultó ser una solución cómoda económicamente hablando, ya que fue creado bajo la filosofía de software libre y además una potente -121-
herramienta configurable que proveía una gran definición de caracteres especiales. Sin embargo presentó una única problemática: fue extremadamente difícil de utilizar hasta para los mismos científicos. A raíz de esto, en 1984, Leslie Lamport se encamino a agrupar sus funcionalidades en macros creando un lenguaje más fácil de usar, el comúnmente llamado LaTeX y hasta hoy día existe una variedad de versiones ajustadas para diversos sistemas operativos.
8.3 ¿Qué es LaTeX? “LaTeX es un lenguaje tipográfico para documentos, y un sistema de preparación de documentos, formado por un gran conjunto de macros de TeX”. Este programa es considerado por muchos, como un lenguaje de programación orientado a la edición debido a que su principal funcionalidad, como ya se ha mencionado, es reproducir textos de manera que satisfaga las necesidades de los usuarios. Además, su utilidad se logra valuar a la hora de realizar composiciones de artículos académicos, tesis o libros con un nivel de complejidad elevado y no se puede dejar de mencionar su potente capacidad para el diseño de documentos con teoremas y fórmulas matemáticas, lo cual implica la utilización de caracteres tipográficos especializados de los que carecen los editores tradicionales o simplemente se torna difícil su manipulación. Para cada plataforma de sistema operativo existe al menos una distribución de LaTeX, para ejemplificar algunas podemos citar TeTeX para Unix, MikTeX que es la distribución más conocida de LaTeX para Windows y TeXStudio que funciona para los tres principales sistemas operáticos: Windows, Linux y MacOSX. Las primeras versiones de MikTeX no contenían un editor, por lo que era necesario utilizar otro programa que sirviera para tal fin. En versiones más recientes ya incluye un editor denominado TeXworks. TeXworks es un software libre distribuido bajo la licencia GPL para escribir documentos de texto. La aplicación es un entorno de edición y trabajo con TeX, LaTkeX, ConTeXt y XeTeX, con un visor de PDF.
-122-
Para que TeXworks pueda funcionar es necesario haber instalado TeX previamente: TeX Live, MiKTeX o proTeXt.
8.4 Instalación Para editar o procesar textos científicos o matemáticos se utilizará como núcleo (kernel) de LaTeX del programa MiKTeX, el cual se puede descargar del sitio WEB http://www.miktex.org. A pesar de que MiKTex cuenta con un editor de texto, el mismo no es muy amigable. Existen varias alternativas libres con el mismo fin, se recomienda utilizar el TeXStudio. Como se mencionó, se utilizará como editor de texto el TeXStudio, además el mismo sirve como compilador, es decir, en términos informáticos es un programa que traduce un programa escrito en un lenguaje de programación a otro lenguaje de programación. El programa se descarga del sitio WEB http://texstudio.sourceforge.net. Además para poder visualizar más fácilmente los documentos resultantes se necesita instalar un visor para el formato de salida apropiado, en este caso será el programa GhostView, que se debe instalar conjuntamente con el programa GhostScript, ambos de pueden descargar del sitio WEB http://pages.cs.wisc.edu/~ghost/. Primeramente se procede a la instalación, del MiKTeX, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 8.1).
Figura 8.1. Icono del Instalador de MiKTeX 2.9.4250.
2. Por lo general está activado el Control de cuentas de usuario (figura 8.2), para confirmar cuando se instala un software no Microsoft, en tal caso, hacer clic en el botón
.
3. Seleccionar la opción Acepto el acuerdo del cuadro Condiciones de Copiado. Luego hacer clic en el botón
del mismo cuadro (figura 8.3). -123-
Figura 8.2. Cuadro de Control de cuentas de usuario.
Figura 8.3. Cuadro de Condiciones de copiado.
4. Se es necesario indicar si la instalación será compartida con cualquier usuario o no. Generalmente se deja marcado dicho elemento y luego hacer clic en el botón
del Compartir Instalación
(figura 8.4). 5. Seleccionar la carpeta del menú Inicio en la cual se quiere ubicar el icono de acceso a MiKTeX (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón del cuadro Seleccione la Carpeta del Directorio de Instalación (figura 8.5).
Figura 8.4. Cuadro Compartir Instalación.
Figura 8.5. Cuadro Directorio de Instalación
6. En el cuadro de Ajustes hay que modificar el tamaño del papel, por default aparece A4, por lo que es necesario cambiarlo a carta o letter. Luego hacer clic en el botón -124-
(figura 8.6).
7. En el cuadro de Información se hace clic en el botón
(figura 8.7) para dar inicio con la
instalación.
Figura 8.6. Cuadro Ajustes.
Figura 8.7. Cuadro Información.
8. En el cuadro Ejecutando se muestra el progreso de la instalación (figura 8.8). 9. Al terminar la instalación de hace clic en el botón
Figura 8.8. Cuadro Ejecutando.
10. Por último, hacer clic en el botón
(figura 8.9).
Figura 8.9. Finalizando la instalación
del cuadro Completando la Instalación de MiKTeX
(figura 8.10).
-125-
Después de seguir el procedimiento anterior se ha instalado el núcleo de LaTeX del MiKTeX y un editor propio del propio del programa denominado TeXworks, el cual no es muy amigable. El mismo se puede acceder desde el menú de inicio de Windows (figura 8.11).
Figura 8.11. Ubicación de MiKTeX.
Figura 8.10. Cuadro Completando la Instalación de MiKTeX.
Cuando se ejecuta el editor de texto TeXworks de MiKTeX se muestra una ventana de inicio similar a la de la figura 8.12.
Figura 8.12. Ventana de inicio del editor TeXworks de MiKTeX. -126-
Después de la descarga de TeXStudio se procede a su instalación, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 8.13).
Figura 8.13. Icono del Instalador de TeXStudio.
2. Si aparece un mensaje de seguridad (figura 8.14), hacer clic sobre el botón
.
3. Por lo general está activado el Control de cuentas de usuario (figura 8.15), para confirmar cuando se instala un software no Microsoft, en tal caso, hacer clic en el botón
Figura 8.14. Mensaje de seguridad.
.
Figura 8.15. Cuadro de Control de cuentas de usuario.
4. Seleccionar el idioma (figura 8.16). Por defecto esta seleccionado Español, hacer clic sobre el botón . 5. En el cuadro de Bienvenido al asistente de instalación de TeXStudio (figura 8.17) hacer clic en el botón
.
-127-
Figura 8.16. Selección de Idioma.
Figura 8.17. Cuadro de Bienvenido al asistente de instalación.
6. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar TeXStudio (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta de
Destino (figura 8.18). 7. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar TeXStudio en el menú de inicio de Windows (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón del cuadro Seleccione la Carpeta del Menú Inicio Destino (figura 8.19).
Figura 8.18. Cuadro Selección de la Carpeta Destino.
Figura 8.19. Cuadro Selección de la Carpeta del Menú Inicio.
5. En el cuadro de Selección de Tareas Adicionales se deja marcado el cuadro de asociación de .tex con TexStudio (figura 8.20) y se hacer clic en el botón -128-
.
6. El cuadro Listo para Instalar hacer clic en el botón
Figura 8.20. Cuadro Selección de Tareas Adicionales.
del mismo cuadro (figura 8.21).
Figura 8.21. Cuadro Listo para Instalar.
7. El cuadro Instalando se muestra el progreso de la instalación de TeXStudio (figura 8.22), el tiempo dependerá de la velocidad de la computadora. 8. Por último, hacer clic en el botón
del cuadro Completando la Instalación de TeXStudio
(figura 8.23).
Figura 8.22. Cuadro Instalando.
Figura 8.23. Cuadro Completando la Instalación.
Después de seguir el procedimiento anterior se ha instalado el programa TeXStudio que será la interfaz gráfica con la que se editará y compilarán los archivos creados en el lenguaje LaTeX.
-129-
Además, se ha creado automáticamente, en el escritorio de la computadora, el icono de acceso directo a TeXStudio (figura 8.24).
Figura 8.24. Icono de acceso directo a TeXStudio. También se puede acceder al programa desde el el menú de inicio de Windows (figura 8.25).
Figura 8.25. Accesando a TeXStudio.
A continuación es necesario instalar el GhostScript y el GhostView, el orden de instalación no importa. Ahora se procedererá a instalar, del GhostScript, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 8.26).
Figura 8.26. Icono del Instalador de GhostScript 2.9.4250.
2. En el cuadro de Bienvenida al asistente de instalación de GhostScript (figura 8.27) hacer clic en el botón
.
3. En el cuadro de Acuerdo de Licencia hacer clic en el botón
-130-
(figura 8.28).
Figura 8.27. Cuadro de Bienvenida.
Figura 8.28. Cuadro Acuerdo de Licencia.
4. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar GhostScript (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Selección de Instalación
(figura 8.29). 5. Cuando se instalan los componentes de GhostScript se muestra un cuadro como el de la figuras 8.30. El tiempo de instalación dependerá de la velocidad de la computadora.
Figura 8.29. Cuadro Selección de Instalación. 6. Por último, hacer clic en el botón
Figura 8.30. Instalando GhostScript.
del cuadro Completando la Instalación de GhostScript
(figura 8.31).
-131-
Después de seguir el procedimiento anterior se ha instalado el GhostScript, el cual se puede accesar desde el menú de inicio de Windows (figura 8.32).
Figura 8.31. Cuadro Completando la instalación de GhostScript.
Figura 8.32. Accesando a GhostScript.
Finalmente se instalará el GhostView, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación. 1. Hacer doble clic sobre el icono del instalador (figura 8.33).
Figura 8.33. Icono del instalador de GhostView 5.0. 2. Hacer clic en el botón
, para descompactar el programa (figura 8.34). Esto lo hace en una
carpeta temporal, lo cual es transparente para el usuario.
Figura 8.34. Descompactando el GhostView. 3. Para seleccionar el idioma (figura 8.35), hacer clic sobre el botón quiera otro idioma. -132-
, a menos que se
Figura 8.35. Selección de Idioma.
4. En el cuadro de Información se muestra algunos datos requeridos en la instalación de GhostView. Si se quiere se puede leer el archivo REAME, en caso contrario hacer clic en el botón (figura 8.36). 5. En el cuadro de Licencia si se quiere se puede leer el archivo REAME, en caso contrario hacer clic en el botón
(figura 8.37).
Figura 8.36. Cuadro de Información.
Figura 8.37. Cuadro de Licencia.
6. Si se quiere se pueden asociar los archivos con extensión .ps y .eps al GhostView, lo cual viene por default, además de los archivos .pdf, esto se puede ralizar marcando las casillas correspondientes, después hacer clic en el botón
del cuadro Asociación de Archivos (figura 8.38).
-133-
7. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar GhostView (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta de
Destino (figura 8.39).
Figura 8.38. Cuadro de Asociación de Archivos.
Figura 8.39. Cuadro Selección de la Carpeta Destino.
8. En el cuadro de Inicio de Instalación no es necesario modificar los valores que vienen por default, solamente se hace clic en el botón
, esto para dar inicio con la instalación (figura 8.40).
9. Cuando se da inicio con la instalación se muestra un cuadro como el de la figura 8.41, el cual muestra los archivos que se están descomprimiendo y al mismo tiempo se están instalando.
Figura 8.40. Cuadro de Inicio de Instalación.
10. Por último, hacer clic en el botón
Figura 8.41. Cuadro Descomprimiendo Archivos.
del cuadro Instalación Completa de GhostView
(figura 8.42), una vez que ha finalizado de instalarse el programa. -134-
Después de seguir el procedimiento anterior se ha instalado el GhostView el cual se puede acceder desde el menú de inicio de Windows (figura 8.43).
Figura 8.42. Cuadro Instalación Completa
Figura 8.43. Accesando a GhostView.
8.5 Funciones básicas Producir textos matemáticos o científicos en una computadora es un asunto de gran interés. La posibilidad de modificar, mejorar, archivar e intercambiar fácilmente los archivos son las ventajas que, finalmente hacen ganar tiempo y eficacia. Después de la instalación de todo el software necesario, se ejecuta el TeXStudio, que será el editor y compilador a utilizar. Al iniciar la carga del mismo se muestra una ventana como la mostrada en la figura 8.44.
Figura 8.44. Ventana de carga de TeXStudio.
-135-
TeXStudio es una versión mejorada de TeXMaker y ofrece un entorno donde se pueden crear y administrar documentos de LaTeX con gran facilidad. La aplicación proporciona compatibilidad con la escritura moderna, como comprobación ortográfica interactiva, resaltado de sintaxis y plegado de código. También sirve como un punto de partida desde donde se puede ejecutar fácilmente todas las herramientas necesarias de LaTeX. Al iniciar el TeXStudio muestra la ventana principal de la aplicación (figura 8.45), la cual está formada por diferentes paneles o secciones de visualización que relacionan los objetos con los que se trabaja: Barra de menús
Menú matemático de LaTeX
Barra de herramientas
Área de edición LaTeX
Vista previa
Área de mensajes
Figura 8.45. Ventana de principal de TeXStudio. 1. Barra de menús: permite acceder a cada uno de los menús de las diferentes opciones de configuración y visualización de TeXStudio. 2. Barra de herramientas: en ella se tienen los botones necesarios para realizar acciones diversas de edición. 3. Área de edición LaTeX: permite escribir texto y comandos de LaTeX. 4. Vista previa: muestra una vista preliminar del documento resultante. 5. Área de mensajes: muestra los mensajes resultantes de diversos procesos de edición o compilación. 6. Menú matemático de LaTeX: permite insertar rápidamente comandos de LaTeX para matemáticas. -136-
8.5.1 Tipo de Documento En todo archivo de LaTeX se debe especificar en la primer línea "el tipo de documento" que se quiere crear, esto se hace con el comando: \documentclass[opcion1,opción2,etc]{tipo.de.documento} el mismo va seguido de corchetes. Lo que va en los corchetes es opcional, pero se pueden incluir opciones adicionales para cada tipo de documento. Después siguen llaves, lo que va en las mismas es obligatorio, en este caso se debe especificar el tipo de documento a realizar. Algunos tipos de documentos disponibles son:
article proc minimal report
book slides letter.
Algunas opciones son:
10pt, 11pt, 12pt (para el tamaño de la letra);
letterpaper, a4paper ,a5paper, b5paper, executivepaper, legalpaper (para el tipo de papel);
fleqn (alinea ecuaciones a la izquierda por default centradas), leqno (enumera las ecuaciones a la izquierda por default a la derecha);
titlepage, notitlepage (incluir el título en cada página);
onecolumn, twocolumn (si el documento se quiere en una o dos columnas);
twoside, oneside (para impresión por un lado o los dos);
landscape (papel horizontal);
openright, openany.
8.5.2 Seccionado del documento En LaTeX es posible dividir o seccionar un documento para que tenga una apariencia más formal o profesional. Una estructura sugerida para dicho fin sería:
-137-
1. article: \section{...}, \subsection{...}, \subsubsection{...}, \paragraph{...}, \subparagraph{...}, el comando \part{...} no afecta la numeración de secciones. 2.
book: \chapter{...}, y las anteriores.
3. \appendix este comando hace que la numeración de los capítulos sea con letras y no números. 4. Agregar un: * al final del comando de secciones o capítulo, tiene el efecto de no asignar número a la sección o capítulo y no se muestra en la tabla de contenido. \section*{...}, \subsection*{...} Por lo general, un documento en LaTeX tiene la siguiente estructura: \documentclass [12pt] {article} \usepackage{a4paper, makeidx} \usepackage[dvips]{graphicx} \newcommand{...}{...} \newtheorem{...}{...} \makeindex \title{...} \author{...} \date{...} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \begin{abstract} texto \end{abstract} \section{uno} \label{sec: uno} \section{dos} \label{sec: dos} \subsection{tres} \label{sub: tres} \appendix \section{A} \label{app: a} \begin{thebibliography} \bibiteim{...} \end{thebibliography} \printindex \end{document}
-138-
8.5.3 El Preámbulo del documento Todo lo que sigue del \documentclass y que esté antes del comando \begin{document} se le conoce como Preamble (en inglés) del documento; en español es el Preámbulo del documento, es la parte donde se especifican los paquetes a utilizar, se detallan los márgenes del documento, se definen nuevos comandos y redefinen los ya existentes, se escribe el autor, fecha y muchas otras cosas. Un buen ejemplo de un documento de LaTeX se muestra en la figura 8.46:
Figura 8.46. Preámbulo de un documento de LaTeX. -139-
8.5.4 Cuerpo de un documento Todo lo que escriba entre \begin{document} y \end{document} será el documento: texto, gráficas, ecuaciones, tablas, etc. Es lo que se quiere escribir e imprimir.
Todo lo que está después del
\end{document} es como si no existiera, ya que no se procesa. Se debe distinguir entre "modo texto" y "modo matemático". El texto sólo se escribe y se muestra tal cual, mientras que cuando se pretende incluir un símbolo, variable o ecuación se deberá escribir entre signos de pesos ($), por ejemplo, si se escribe el texto mostrado en la figura 8.47, en el área de edición del TeXStudio (al cual se denominará “texto fuente”),
Figura 8.47. Ejemplo de texto fuente LaTeX en TeXStudio.
Después de compilarlo, en la vista previa se mostrará el resultado de la figura 8.48, el mismo se denominará “texto de salida” o simplemente “salida”.
Figura 8.48. Texto de salida después de ser compilado en TeXStudio.
Se puede apreciar que aunque en el texto fuente de LaTeX existe una nueva línea después de "son", en el texto de salida el enunciado continua en una sola línea, la misma sólo se rompe hasta llegar al margen de la hoja predeterminado; si se quiere que el contenido comience en una nueva línea se debe de escribir doble diagonal invertida, como se ve al final del texto fuente. Se debe apreciar que "lo matemático está en letra tipo cursiva" y es muy distinta a la "letra tipo texto". Las palabras que están subrayadas en rojo, es corrección ortográfica, por defecto está en inglés, -140-
por esto aparecen subrayadas. El \noindent sirve para no espaciar o indentar la primer línea de un párrafo.
8.5.5 Caracteres especiales Existen caracteres especiales y para generarlos es necesario escribir una diagonal invertida (backlash) antes del mismo, como se muestra en la tabla 8.1. Tabla 8.1. Caracteres especiales. Texto fuente:
\#
\$
\^
\&
\_
\{
\}
\~
\textbacklash
Texto de # $ ^ & _ { } ~ \ Salida: Abrir y cerrar comillas dobles no se utilizan las comillas dobles que tiene el teclado, sino que se utilizan los comandos mostrados en la tabla 8.2. Tabla 8.2. Acentos en LaTeX. Para abrir, se emplea doble acento invertido:
Para cerrar, se emplea doble apóstrofe:
Texto fuente:
``
''
Texto de Salida:
“
”
Para escribir una expresión matemática en un renglón nuevo y de forma centrada, existen dos formas, como se muestra en la tabla 8.3. Tabla 8.3. Centrado en un renglón. 1) Con doble signo de pesos: Texto fuente:
2) Empezar con: \[ y cerrar con: \]
Podemos ver que $$x^2$$ es al Podemos ver que \[x^2\] es al cuadrado cuadrado Podemos ver que
Podemos ver que
es al cuadrado
es al cuadrado
Texto de Salida:
-141-
8.5.6 Los tipos y tamaños de letras Por default el texto de salida de un documento LaTeX es en letra de la familia roman. Si se desea se puede elegir un tipo de letra diferente para alguna parte del texto fuente. Los tipos de letras más comunes son los mostrados en la tabla 8.4, los cuales están asociados a un comando o declaración para que el texto de salida se muestre en el tipo de letra elegido.
Tabla 8.4. Tipos de letras más comunes en LaTeX.
Cuando se escribe el comando como en la segunda columna, se puede sólo tomar las dos primeras letras del comando, por ejemplo: {\rm ...}, {\sf ...}, {\tt ...} etc. Sólo en {\normalfont ...} se conserva tal cual. El texto que queda entre las llaves, es el texto afectado por el comando. También es posible seleccionar diferentes tamaños de letra, los más comunes son mostrados en la tabla 8.5: Tabla 8.5. Tamaños de letras más comunes en LaTeX. Comando
tamaño
Comando
tamaño
Comando
tamaño
{\tiny …}
tamaño
{\normalsize …}
tamaño
{\huge …}
tamaño
{\scriptsize …}
tamaño
{\large …}
tamaño
{\Huge …}
tamaño
{\footnotesize …}
tamaño
{\Large …}
tamaño
{\small …}
tamaño
{\LARGE …}
tamaño
-142-
8.5.7 Listas enumeradas y viñetas Si se quiere hacer una lista numerada, se utiliza begin{enumerate} y \end{enumerate}. Se puede ver que en el texto fuente (figura 8.49) está el comando \quad este comando es como el tabulador en word, ya que por más espacios que se le dé manualmente al texto fuente con la barra espaciadora, sólo se produce un único espacio en el texto de salida, si se quieren dos tabulaciones, entonces el comando es \qquad, como se verá más adelante en la sección de espaciado en modo matemático. En este caso, el comando \RPM que se ve resaltado con un recuadro anaranjado en el texto fuente, es un comando definido por el usuario, no está disponible en LaTeX. Después del enumerate se aprecia un corchete y dentro el corchete: 1) esto significa que se quiere una numeración con paréntesis, como lo podemos apreciar en el texto de salida. El comando \item genera un nuevo número, de esta forma si se quiere que un elemento aparezca en primer lugar y no en el último, sólo "se mueve el elemento junto con su texto" al primer lugar y listo, se cambió la numeración automáticamente luego de compilar el documento se mostrará el texto de salida de la figura 8.50.
Figura 8.49. Texto fuente para una lista enumerada.
-143-
Figura 8.50. Texto de salida para una lista enumerada. También es posible incluir viñetas (bullet, en inglés), las cuales son un instrumento gráfico que audan a elaborar listas con las que se resaltan los detalles principales de un párrafo, a la vez que lo hace más atractivo visualmente. Su diseño vertical resulta muy útil en la elaboración de documentos, pero deben emplearse con moderación, ya que si se llena la pantalla con viñetas, estas perderán su eficacia. Se debe seleccionar en qué párrafos deben aplicarse y no recurrir a ellas para destacar cosas sin importancia. En las figuras 8.51 y 8.52 se muestra el texto fuente y de salida del uso de las mismas.
Figura 8.51. Texto fuentes para viñetas. -144-
Figura 8.52. Texto de salida para viñetas.
8.6 Principales Operaciones Matemáticas Si se ve un texto con contenido matemático, se observa que contiene diversos elementos como son exponente, subíndice, fracción, radicales, etc. Por lo tanto es recomendable cargar en el preámbulo el paquete: \usepackage{amsmath} el cual contiene definidos muchos comandos que facilitan el escribir expresiones matemáticas. Se puede consultar la guía en inglés User’s Guide for the amsmath Package de la dirección: http://www.hephy.at/user/ewidl/tex/amsdoc.pdf para conocer a mayor detalle dicho paquete.
-145-
8.6.1 El exponente Se genera con el acento circunflejo (^), conocido más coloquialmente como gorrito. Lo que está antes del gorro es la base y lo que está después del gorro (sólo un carácter de alcance) es el exponente, si se quiere más de un carácter como exponente, éste debe ir agrupado entre llaves, por ejemplo: $x^2$
produce:
$x^123$
produce:
$x^{123}$
produce:
$h^{i^{g^h}}$
produce:
; ; ; .
8.6.2 El subíndice Se genera con el guión bajo: _ Lo que está antes del guión bajo es la base y lo que está después (sólo un caracter de alcance) es el subíndice, si se quiere más de un carácter como subíndice, éste debe ir agrupado entre llaves, por ejemplo: $x_2$
produce:
$x_123$
produce:
$x_{123}$
produce:
;
$d_{e_{e_p}}$
produce
.
8.6.3 Combinación $p^3_{ij}$
produce:
$ \sum_{k=1}^3 k$
produce:
$\lim_{x\rightarrow 0} x = 0$
produce:
-146-
; ;
8.6.4 La Fracción El
comando
básico
de
LaTeX
\dfrac{numerador}{denominador}
es:
\frac{numerador}{denominador}
y \tfrac{numerador}{denominador}
$\frac{1}{3}$
produce:
$\frac{x^2}{x+1}$
produce:
; ;
Veamos la diferencia entre comandos. Si se escribe el siguiente texto fuente
se obtiene el siguiente texto de salida:
8.6.5 Raíces Se genera con el comando: \sqrt{radicando} o con \sqrt[grado]{radicando} $\sqrt{3}$
produce:
$\sqrt[3]{27}$
produce:
; ;
En lugar de grado, se puede poner un símbolo: $\sqrt[\beta]{k}$
produce:
También se tiene el comando \surd. Si se escribe el texto fuente
se obtiene el siguiente texto de salida:
-147-
con
amsmath:
8.7 Ecuaciones Si se ha cargado el paquete amsmath, entonces se verán algunos de sus comandos en la tabla 8.6. Tabla 8.6. Texto fuente y de salida de diversos comandos para ecuaciones. Texto fuente
Texto de Salida
Se puede observar que el símbolo principal es: & (amperson) este símbolo se deberá visualizarlo como el que indica "hasta aquí alinea" lo que precede con lo que continúa después del símbolo, "es la referencia para los siguientes renglones de la ecuación". Si además se agrega el -148-
símbolo de asterisco al final del nombre de cada ambiente (como en la última línea de la imagen) se tendra el efecto de no enumerar las ecuaciones. En la primera línea, se observa el comando \label{xx} esto es una etiqueta para la ecuación, la ecuación se llama: xx. Como la ecuación se ha numerado como (2.1) entonces, tal vez se necesite hacer referencia a dicha ecuación en alguna parte del documento y se realiza con \eqref{xx} así que "no se tiene que escribir manualmente el número de la ecuación", sino "sólo el nombre de la etiqueta" con ayuda de \eqref{} ya que si se inserta una nueva ecuación antes de la que ya se tenía, entonces, todas las ecuaciones cambian su numeración automáticamente, ya que si se escribió el número de la ecuación manualmente también se tiene que corregir de la misma manera. El nombre de la etiqueta puede ser cualquiera: \label{desigualdad del triangulo}, \label{falso},
\label{sec1:
abs},
\label{caperucita},
etc.
En
general,
el
comando
\label{nombre.de.etiqueta} puede ir en cualquier parte del documento y se emplean los comandos de referencia: \ref{nombre.de.etiqueta}, \pageref{nombre.de.etiqueta}, \eqref{nombre.de.etiqueta} En la figura 8.53 se muestra un texto fuente del uso de ecuaciones con etiquetas y en la figura 8.54 el correspondiente texto de salida.
Figura 8.53. Texto fuente del uso de ecuaciones con etiquetas. -149-
Figura 8.54. Texto de salida del uso de ecuaciones con etiquetas.
Otros comandos muy útiles cuando se trabaja con ecuaciones son los mostrados en la tabla 8.7. Tabla 8.7. Diversos comando útiles cuando se trabaja con ecuacioes. Texto fuente
Texto de Salida
-150-
8.8 Matrices Cuando se carga el paquete amsmath, se pueden tener diversos formatos de salida para la representación de matrices. Los más utilizados son mostrados en la tabla 8.5. Tabla 8.8. Diversos formatos de matrices. \begin{matrix} 1
Texto fuente
&
3
2 &
\end{matrix}
\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
\\
1
\\
1
\\
1
4
3
4
3
4
3
&
2 &
\end{pmatrix}
&
2 &
\end{bmatrix}
&
2 &
\end{Bmatrix}
\begin{vmatrix}
\begin{Vmatrix}
\\
1
\\
1
4
3
4
3
&
2 &
\end{vmatrix}
&
2 &
\\ 4
\end{Vmatrix}
Texto de salida
8.9 Espacios en modo Matemático Como se había mencionado anteriormente, por más espacios que se le dé manualmente al texto fuente con la barra espaciadora, sólo se produce un único espacio en el texto de salida, esto en texto en modo matemático. Si se quieren más espaciado existen diversas posibilidades, los comandos utilizados para dicho fin se muestran se muestran en la tabla 8.6. Tabla 8.9. Espaciado en modo matemático. Comando
Texto fuente
Descripción
Texto de Salida
espaciado normal entre símbolos
||
||
\! o \negthinspace
espaciado fino negativo
| \ !|
||
\, o thinspace
espaciado fino
|\,|
| |
\: o \medspace
espaciado mediano
| \ :|
| |
\; o \thickspace
espaciado grueso
| \ ;|
| |
\quad
espaciado extra
\quad
|
\qquad
espaciado extra doble
\qquad
|
-151-
| |
8.10 Tablas En las tablas, las columnas se pueden alinear de tres formas: izquierda, centrada y derecha. Esto lo se indica con las letras: l, c, r (de left, center, right). La cantidad de columnas está determinada por el total de letras (l, c, r) que aparezcan en el comando; un nuevo renglón se genera con doble diagonal invertida al final de cada renglón; el símbolo de amperson & sirve para cambiar a la siguiente columna; al escribir una línea vertical | entre las letras imprime una línea vertical y con el comando \hline se imprime una línea horizontal. En la tabla 8.10 se muestran dos ejemplos donde se utilizan tablas. Tabla 8.10. Ejemplos de tablas en LaTeX.
Texto fuente
\begin{tabular}{l|l} $n$ & $P_n(x)$ \\ \hline 0 & $1$ \\ 1 & $x$ \\ 2 & $(3x^2-1)/2$ \\ 3 & $(5x^3-3x)/2$ \\ \end{tabular}
0
Texto de salida
\begin{tabular}{||l|l||} \hline $n$ & $P_n(x)$ \\ \hline 0 & $1$ \\ 1 & $x$ \\ 2 & $(3x^2-1)/2$ \\ 3 & $(5x^3-3x)/2$ \\ \hline \end{tabular}
1
0
1
1
2
2
3
3
-152-
1
8.11 Inclusión de imágenes Para incluir imágenes en diversos formatos es necesario agregar al preámbulo los siguientes paquetes: \usepackage[pdftex]{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{graphicx} \usepackage[usenames,dvipsnames]{color} \DeclareGraphicsExtensions{.png,.jpg,.pdf,.mps,.gif,.bmp}
Estos paquetes funcionan bien si se utilizan imágenes en formato jpg, bmp, gif y algunos otros, generalmente el más utilizado es el jpg. Además dichos paquetes están pensados para compilar el .tex y pasar a PDF. Otro formato muy utilizado es la elaboración de documentos LaTex es el .eps, pero para figuras en ese formato se tienen que hacer algunos cambios en el preámbulo. Si se quieren utilizar imágenes .eps se tiene que cambiar \usepackage[pdftex]{graphicx} por \usepackage[dvips]{graphicx}
Ahora para agregar las imágenes propiamente dichas se tiene que utilizar los siguientes comandos:
\begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figura1.jpg} \caption{\small Titulo de la imagen} \label{figura_1} \end{figure}
donde: -153-
[h!] es para que la imagen aparezca donde se ubicada en el código.
[width=0.5\textwidth] es para que la imagen sea de ancho igual a la mitad del ancho del texto.
\caption indica el titulo de la imagen
\label{figura_1} pone una etiqueta, cuando se quiere hacer referencia a la figura, se puede usar algo similar a: “como se muestra en la figura \ref{figura_1}” Si se quiere insertar la imagen de la figura 8.55 en un documento LaTex siguiendo el
procedimiento descrito anteriormente, el texto fuente se muestra en la izquierda de la figura 8.56 y a la derecha la imagen insertada en el documento.
Figura 8.55. Imagen a insertar a un documento LaTex.
Figura 8.56. Insertando una imagen.
-154-
8.11.1 Insertar una imagen con un texto al lado. También se puede insertar una imagen con un texto a un lado, para hacer esto el texto fuente es similar al descrito a continuación: \begin{figure}[h!] \begin{minipage}{0.5\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figura1.jpg} \caption{Esta es la figura 1} \label{figura_1} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.5\textwidth} Este es un ejemplo, en la figura \ref{figura_1} se muestra una gráfica. \end{minipage} \end{figure}
El comando \begin{minipage} se utiliza para crear una “caja” a manera de una mini página donde estará contenido por una parte el texto y por otra la imagen. El comando \hfill se utiliza para dejar un espacio en blanco entre una mini página y otra. El resultado se muestra en la figura 8.57.
Figura 8.57. Insertando un texto junto a una imagen.
-155-
8.12 Solución para la compatibilidad con el idioma español. Cuando se escribe en LaTex por default todas las etiquetas automáticas se muestran en ingles, por ejemplo, cuando se inserta una figura, la etiqueta que aparece es “Figure” (figura 8.58), pero es posible cambiarlas de manera global. Para hacer esto es necesario modificar el preámbulo, de forma similar al escrito a continuación: \documentclass[10pt,letterpaper,spanish]{article} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} El resultado se muestra en la figura 8.59.
Figura 8.58. Etiqueta automática para una figura.
Figura 8.59. Etiqueta modificada para una figura
-156-
8.13 Actividades a realizar Traducir y escribir en LaTex los siguientes fragmentos de artículos. 1) Quadric decomposition for computing the intersections of surfaces of revolution
-157-
2) The school bus routing problem: a case study
-158-
3) Virtual hairy brush for painterly rendering
4) Digital Intersections: minimal carrier, connectivity, and periodicity properties
-159-
5) Fast color correction using principal regions mapping in different color spaces
6) Algorithms for optimal partial matching of free-form objects with scaling effects
-160-
Unidad 9 Software libre para Probabilidad y Estadística: GNU R 9.1 Breve historia de GNU R GNU R es un lenguaje de programación y un entorno para análisis estadístico y la realización de gráficos. Debido a su naturaleza es fácilmente adaptable a una gran variedad de tareas. Fue inicialmente escrito en 1993 por Robert Gentleman y Ross Ihaka del Departamento de Estadística de la Universidad de Auckland en Nueva Zelanda. GNU R actualmente es el resultado de un esfuerzo de colaboración de personas del todo el mundo. Desde mediados de 1997 se formó lo que se conoce como núcleo de desarrollo de R (R Development Core Team), que actualmente es el que tiene la posibilidad de modificación directa del código fuente. Por otra parte, GNU R es un proyecto GNU similar a S, desarrollado éste por los Laboratorios Bell. Las diferencias entre GNU R y S son importantes, pero la mayoría del código escrito para S corre bajo GNU R sin modificaciones. GNU R abarca una amplia gama de técnicas estadísticas que van desde los modelos lineales a las más modernas técnicas de clasificación pasando por los test clásicos y el análisis de series temporales. Proporciona una amplia gama de gráficos que además son fácilmente adaptables y extensibles. La calidad de los gráficos producidos y la posibilidad de incluir en ellos símbolos y fórmulas matemáticas, posibilitan su inclusión en publicaciones que suelen requerir gráficos de alta calidad. El código de GNU R está disponible como software libre bajo las condiciones de la licencia GNU-GPL. Además está disponible precompilado para una multitud de plataformas. La página principal del proyecto es http://www.r-project.org. GNU R y S-Plus -versión comercial de S- son, probablemente, los dos lenguajes más utilizados en investigación por la comunidad estadística, siendo además muy populares en el campo de la investigación biomédica, la bioinformática y las matemáticas financieras. A esto contribuye la posibilidad de cargar diferentes bibliotecas o paquetes con finalidades específicas de cálculo o gráfico.
-161-
GNU R también puede usarse como herramienta de cálculo numérico, campo en el que puede ser tan eficaz como otras herramientas específicas tales como Octave y su equivalente comercial, MATLAB.
9.2 Instalación Después de descargar GNU R del sitio WEB http://www.r-project.org se procede a su instalación, la cual debe hacerse siguiendo los pasos que se detallan a continuación.
Figura 9.1 Icono del instalador de GNU R 2.13.2. 2. Si aparece un mensaje de seguridad (figura 9.2), hacer clic sobre el botón
.
3. Por lo general está activado el Control de cuentas de usuario (figura 9.3), para confirmar cuando se instala un software no Microsoft, en tal caso, hacer clic en el botón
Figura 9.2. Mensaje de seguridad.
.
Figura 9.3. Cuadro de Control de cuentas de usuario.
4. Seleccionar el idioma (figura 9.4). Por defecto esta seleccionado Español, hacer clic sobre el botón .
-162-
5. En el cuadro de Bienvenido al asistente de instalación de GNU R (figura 9.5) hacer clic en el botón .
Figura 9.4. Selección de Idioma.
6. Hacer clic en el botón
Figura 9.5. Cuadro de Bienvenido al asistente de instalación.
del cuadro Información (figura 9.6).
7. Seleccionar la carpeta en la cual se quiere instalar GNU R (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón
del cuadro Seleccione la Carpeta de
Destino (figura 9.7).
Figura 9.6. Cuadro Información.
Figura 9.7. Cuadro Selección de Carpeta destino.
8. Seleccionar la carpeta del menú Inicio en la cual se quiere ubicar el icono de acceso a GNU R (generalmente se deja la carpeta que aparece por defecto) y luego hacer clic en el botón del cuadro Seleccione la Carpeta del Menú Inicio (figura 9.8). -163-
9. Hacer clic en el botón
del cuadro seleccione las Tareas Adicionales para que el asistente
cree un icono de acceso directo a GNU R en el escritorio (figura 9.9).
Figura 9.8. Cuadro Carpeta del Menú Inicio.
Figura 9.9. Cuadro Tareas Adicionales.
10. En el cuadro Selección de Componentes seleccionar los componentes adicionales que se desean instalar (figura 9.10). Luego hacer clic en el botón
.
11. En el cuadro Opciones de configuración dejar seleccionado “No”. Luego hacer clic en el botón .
Figura 9.10. Cuadro Selección de Componentes.
-164-
Figura 9.11. Cuadro Opciones de Configuración.
12. Cuando se instalan los componentes de GNU R se muestra un cuadro como el de figura 9.12, dicha acción va a depender de la velocidad de la computadora. 13. Por último, hacer clic en el botón
del cuadro Completando la Instalación de R (figura
9.13).
Figura 9.12. Cuadro Instalando.
Figura 9.13. Cuadro Completando la instalación de R.
Después de seguir el procedimiento anterior deben haberse instalado: el núcleo de GNU R que es el responsable de todos los cálculos y permite una interfaz de texto con el usuario, la cual es muy poco amigable. Además, debe haberse creado automáticamente, en el escritorio de la computadora, el icono de acceso directo al GNU R (figura 9.14).
Figura 9.14. Icono de acceso directo de GNU R.
También se puede acceder a la interfaz de GNU R, desde el menú de inicio de Windows (figura 9.15).
Figura 9.15. Accesando a GNU R. -165-
Una vez terminada la instalación del programa GNU R, y se ejecuta, hay que asegurarse de de tener activada una conexión a Internet. Cuando se ejecuta el GNU R la ventana de inicio es de modo texto, conocida como R console, y es muy poco amigable (figura 9.16). Es por ello otros proyectos del mismo R Development Core Team, se han dedicado a mejorar esta interfaz, para hacer más fácil al usuario la forma de interactuar con GNU R. Para salir de esta ventana basta teclear qu it().
Figura 9.16. Ventana de inicio de GNU R.
9.2.1 Instalación de R Commander R Commander es una interfaz gráfica amigable para manejar GNU R. Con R Commander se puede trabajar con las técnicas estadísticas más habituales a través de sus menús. Se trata de un complemento muy aconsejable para iniciarse en el uso de técnicas estadísticas con GNU R sin necesidad de introducirse en el código de programación de GNU R, que puede resultar un poco complicado al principio. Cabe destacar, no obstante, que al usar R Commander se puede observar en la ventana principal de comandos de GNU R la “traducción” en código R de las operaciones que se hacen. Esta característica constituye una ayuda ideal para ir familiarizándose con el código de programación a través de operaciones conocidas por el usuario.
-166-
Para instalar el paquete R Commander, seleccionar en la barra de menús PaquetesInstalar paquete(s)..., como se muestra en la figura 9.17.
Figura 9.17. Instalación de paquetes en GNU R. Posteriormente tendrá que abrirse una ventana con todos los posibles espejos para la descarga de R Commander (figura 9.18), donde conviene seleccionar el espejo de México. Una vez elegido el espejo México, se abrirá otra ventana con los paquetes descargables desde el mismo. Desplazándose hacia abajo se encontrarán los paquetes de interés: se trata de todos los paquetes entre Rcmdr y RcmdrPlugin.TeachingDemos, como se ilustra en la figura (figura 9.19).
Figura 9.18. Espejos para la descarga.
Figura 9.19. Paquetes disponibles para descarga. -167-
El programa R empezará la instalación de los paquetes (figura 9.20). Este proceso puede ser tardado, así que hay que tener paciencia.
Figura 9.20. Descargando R Commander. Cuando se termina la instalación de los paquetes, el programa checa que todos se instalaron correctamente (figura 9.21).
Figura 9.21. Checando la instalación de los paquetes para R Commander. Una vez detenido, volverá a mostrar la pantalla de R Console. Para ejecutar el R Commander, desde la consola de GNU R, se selecciona otra vez el menúPaquetes y después Cargar paquete... como se ilustra en la figura 9.22.
Figura 9.22. Cargando paquetes de GNU R. -168-
Volverá a visualizarse una lista de paquetes; localizar Rcmdr, se selecciona y se finalmente se hace clic en el botón
.
Figura 9.23. Cargando R Commander. Posteriormente se abrirá la ventana principal del programa R Commander como la mostrada en la figura 9.24, donde se muestran las diferentes partes que lo conforman: 1. Barra de menús: con las opciones Fichero, Editar, Datos, etc. Este menú es análogo al de la mayoría de programas que funcionan bajo Windows y navegando por él se podrán realizar diferentes cálculos estadísticos. 2. Barra de elementos activos (conjuntos de datos y modelos): Muestra el conjunto de datos activos en el momento, además del modelo estadístico que se utiliza. 3. Ventana de instrucciones: Cada vez que se ejecuta alguna acción del menú, R Commander traducirá dicha acción a código de R y lo escribirá en esta ventana. Esto permite ir aprendiendo este lenguaje según se van realizando operaciones así como volver a ejecutar la misma instrucción copiando y pegando y/o realizando pequeñas modificaciones sobre el propio código. Esta ventana de instrucciones es equivalente a la consola de R, y permite realizar distintas
-169-
operaciones. Por ejemplo, se puede escribir, 2+2, y hacer clic en el botón
, obteniendo
el resultado. Dicho botón es equivalente a . 4. Ventana de resultados: Si se ha realizado ese sencillo ejemplo en la ventana de instrucciones (2+2), se verá que el resultado aparece en esta ventana. En general, cualquier resultado de R Commander será mostrado aquí. 5. Área de mensajes: Se encuentra en la parte inferior de la pantalla principal y aparece ligeramente sombreada. Sirve para que R Commander informe de cualquier aspecto, especialmente de errores cometidos.
Existen varios menús en la barra de menús de la ventana R Commander (figura9.24)
Fichero: opciones de menú para cargar y guardar archivos de instrucciones; para guardar resultados y el área de trabajo R; y para salir.
Editar: opciones de menú (Cortar, Copiar, Pegar, etc.) para editar los contenidos de las ventanas de instrucciones y de resultados. Al pulsar con el botón derecho en la ventana de instrucciones o de resultados también aparece un menú “contextual” de edición.
Datos: submenús que contienen opciones de menú para leer y manipular datos.
Estadísticos: submenús que contienen opciones de menú para una variedad de análisis estadísticos básicos.
Gráficas: opciones de menú para crear gráficos estadísticos simples.
Modelos: opciones de menú y submenús para obtener resúmenes, intervalos de confianza, tests de hipótesis, diagnósticos y gráficas para un modelo estadístico, y para añadir cantidades diagnósticas, como residuos, a la serie de datos.
Distribuciones: probabilidades, cuartiles y gráficos para distribuciones estadísticas estándares (para usarse, por ejemplo, como sustituto de las tablas estadísticas) y ejemplos de estas distribuciones.
Herramientas: opciones de menú para cargar paquetes R no relacionados con el paquete Rcmdr (por ejemplo, para acceder a datos guardados en otro paquete), y para establecer algunas opciones.
Ayuda: opciones de menú para obtener información sobre R Commander. Además, cada cuadro de diálogo de R Commander tiene un botón de Ayuda. -170-
Figura 9.24. Ventana principal de R Commander.
9.3 Entrada de datos La mayoría de los procesos en R Commander asumen que hay un conjunto de datos activo. Si hay varios conjuntos de datos en la memoria, podrá elegir entre ellos, pero sólo uno estará activo. Cuando R Commander se inicia, no hay ningún conjunto de datos activo. R Commander proporciona varias maneras de introducir datos en R:
Se puede introducir los datos directamente a través de menú Datos Nuevo conjunto de datos. . . Esta es una opción razonable para un conjunto de datos pequeño (figura 9.25).
Se puede importar datos desde un archivo de texto sin formato (ASCII) o el portapapeles, desde otro paquete estadístico (Minitab, SPSS o Stats), o desde un conjunto de datos de Excel, Access o dBase.
Se puede leer un conjunto de datos que esté incluido en un paquete R, ya sea escribiendo el nombre del conjunto de datos (si se conoce) o seleccionando el conjunto de datos en un cuadro de diálogo. -171-
Figura 9.25. Creando un nuevo conjunto de datos.
9.3.1 Leer datos desde un archivo de texto Por ejemplo, considere el archivo de datos Nations.txt (este archivo se encuentra en el subdirectorio etc del paquete Rcmdr). Las primeras líneas del archivo son las siguientes: TFR
contraception infant.mortality GDP region
Afghanistan
6.90
NA
154
Albania
2.60
NA
32
Algeria
3.81
52
44
American-Samoa
NA
NA
11
NA
Oceania
Andorra
NA
NA
NA
NA
Europe
Angola
6.69
NA
124
355 Africa
Antigua
NA
53
24
6966 Americas
Argentina
2.62
NA
22
8055 Americas
Armenia
1.70
22
25
354 Europe
Australia
1.89
76
6
20046 Oceania
-172-
2848 Asia 863 Europe 1531 Africa
La primera línea del archivo contiene los nombres de las variables: TFR (tasa total de fertilidad, expresada como el número total de niños por mujer), contraception (la tasa de uso de contraceptivos entre las mujeres casadas, en porcentaje), infant.mortality (la tasa de mortalidad infantil por cada 1000 nacidos vivos), GDP (producto doméstico bruto per cápita, en dólares americanos) y region (región).
Las líneas siguientes contienen los valores de estos datos, una línea por país. Los valores de datos están separados por “espacio en blanco”, uno o más espacios o tabulaciones. Aunque es útil alinear los datos verticalmente, no es necesario hacerlo. Las líneas de datos comienzan con los nombres de los países. Como se quiere que éstos sean los “nombres de cada la fila” para el conjunto de datos, no hay un nombre de variable que le corresponda: Esto es, hay cinco nombres de variables pero seis valores en cada línea. Cuando esto sucede, R interpreta que el primer valor de cada línea es el nombre de la fila.
Algunos de los valores faltan. En R, lo más conveniente es usar NA (“no disponible” not available) para codificar los valores que faltan, como se ha hecho en ese ejemplo.
Las variables TFR, contraception, infant.mortality y GDP son variables numéricas (cuantitativas); por el contrario, region contiene nombres de regiones. Cuando los datos son leídos, R tratará region como un “factor”, es decir, una variable categórica. En la mayoría de los contextos, R Commander distingue entre las variables numéricas y los factores. Para leer un archivo de datos en R, seleccionar Datos Importar datos desde archivo de
texto o portapapeles o URL... Esta operación abre un cuadro de diálogo llamado Leer datos desde archivo de texto o portapapeles o URL, como se muestra en la figura 9.26.
-173-
Figura 9.26. Lectura de datos desde un archivo de texto. Los nombres R válidos comienzan con una letra mayúscula o minúscula (o un punto, .) y consisten enteramente en letras, puntos, subrayados (_) y números (0 - 9); en particular, no se incluirá ningún espacio en un nombre de conjunto de datos. También se debe saber que R es sensible a las mayúsculas, por lo que, por ejemplo, se distingue entre naciones, Naciones y NACIONES, y podría usarse para representar diferentes conjuntos de datos. Haciendo clic en el botón
se abre el cuadro de diálogo Abrir para abrir archivos,
como (figura 9.27). Se selecciona archivo Nations.txt. Haciendo clic en el botón
se leerá el
archivo de datos.
Figura 9.27. Cuadro de diálogo para abrir un archivo para la lectura de datos en un archivo de texto. -174-
Una vez que éste se ha leído, se convierte en el conjunto de datos activo en R Commander. En consecuencia el nombre del conjunto de datos aparece en el botón de conjunto de datos que está arriba a la izquierda en la ventana R Commander (figura 9.28),.
Figura 9.28. Mostrando conjunto de datos activo.
Se hace clic en el botón
para abrir la ventana del visor de datos (figura
9.28). Las instrucciones para leer y ver el conjunto de datos Nations (las instrucciones de R read.table y showData) aparecen, parcialmente tapados por la visualización del conjunto de datos, en las ventanas de instrucciones y de resultados. Cuando el conjunto de datos se lee y se convierte en el conjunto de datos activo, una nota aparece en la ventana de mensajes (que desaparece cuando la siguiente instrucción showData se ejecuta). La instrucción read.table crea un “conjunto de datos” R, que es un objeto que contiene un conjunto de datos en el formato casos por variables: Las filas del conjunto de datos representan los casos o las observaciones y las columnas las variables. Los conjuntos de datos en R Commander son conjuntos de datos en R.
Figura 9.29. Mostrando los datos del conjunto de datos activo. -175-
9.3.2. Introducir datos directamente Para introducir datos directamente en el editor de datos, semejante a una hoja de cálculo, se puede proceder como se explica a continuación. Para ilustrar esto, se usará un conjunto de datos pequeño, el cual se muestra en la tabla 9.1. Tabla 9.1. Conjunto de datos a utilizar a manera de ejemplo.
Edad
peso
36 48 51 54 57 60
86 90 91 93 94 96
Seleccionar Datos Nuevo conjunto de datos... en los menús de R Commander. Opcionalmente puede introducir un nombre para el conjunto de datos, por ejemplo ejercicio1 (figura 9.30), en el cuadro de diálogo resultante, y luego hacer clic en el botón
.
(Recordar que los nombres en R no pueden incluir espacios). Esto abrirá la ventana Editor de datos con un conjunto de datos vacío.
Figura 9.30. Dando nombre a un nuevo conjunto de datos.
Introducir los datos del problema en las dos primeras columnas del editor de datos. Se puede desplazarse de una celda a otra usando las flechas del teclado, presionando o , o situándose sobre la celda con el ratón y haciendo clic con el botón izquierdo. Cuando se haya acabado de introducir los datos, la ventana debería parecerse a la figura 9.31.
-176-
Figura 9.31. Editor de datos una vez que se han introducido los datos.
A continuación, hacer clic sobre el nombre var1 en la primera columna. Esto abrirá un cuadro de diálogo llamado Editor de variables, como en la figura 9.32.
Figura 9.32. Cuadro de diálogo para cambiar el nombre de una variable en el editor de datos. Escribir como nombre de la variable edad, y hacer clic sobre la
que se encuentra en la
esquina superior derecha de la ventana Editor de variables, o presione la tecla , para cerrar la ventana.
Repetir este procedimiento para nominar a la segunda columna peso. El Editor de datos debería parecerse ahora a la figura 9.33.
-177-
Figura 9.33. La ventana Editor de datos tras haber cambiado los nombres de las dos variables.
Seleccionar Fichero Cerrar en los menús del Editor de datos o hacer clic en la
de la
esquina superior derecha de la ventana Editor de datos. El conjunto de datos que ha introducido es ahora el conjunto de datos activo en R Commander.
9.3.3. Lectura de datos desde un paquete Muchos paquetes R contienen datos. Los conjuntos de datos en paquetes pueden listarse en una ventana desplegable a través de Datos Conjunto de datos en paquetes Leer conjunto de datos desde paquete adjunto… (figura 9.34).
Figura 9.34. Leyendo conjunto de datos desde un paquete.
-178-
El cuadro de diálogo resultante se muestra en la figura 9.35. Si sabe el nombre de un conjunto de datos en un paquete, entonces puede introducir el nombre directamente; en caso contrario, al hacer doble clic sobre el nombre de un paquete se muestra su conjunto de datos listado en el cuadro de la derecha; y haciendo doble clic sobre el nombre del conjunto de datos se copia el nombre al campo de entrada del conjunto de datos.
Figura 9.35. Conjuntos de datos de los paquetes de R.
También se pueden adjuntar paquetes R adicionales en Herramientas Cargar paquete(s).
Figura 9.36. Cargando paquetes de datos adicionales.
9.4. Crear resúmenes numéricos y gráficas. Una vez que hay un conjunto de datos activo, se pueden usar los menús de R Commander para generar varios resúmenes numéricos y gráficas. Se describirá simplemente unos ejemplos básicos a continuación. Una buena GUI (Interface Gráfica de Usuario) debería ser ampliamente autoexplicativa: se espera que una vez que vea cómo funciona R Commander, sea fácil usarlo, asistido, quizás, por la ayuda en línea.
-179-
En los ejemplos de más abajo, se asume que el conjunto de datos activo es Nations, leído desde un archivo de texto visto anteriormente. Si se escribieron los datos manualmente de la tabla 9.1, siguiendo los cinco pasos descritos arriba, o si se leyó el algún conjunto de datos, por ejemplo el Prestige del paquete car, entonces uno de estos es el conjunto de datos activo. Recordar que se puede cambiar el conjunto de datos activo haciendo clic en el botón horizontal con el nombre del conjunto de datos activo que se encuentra arriba a la izquierda de la ventana R Commander, seleccionando entre los conjuntos de datos listados actualmente en la memoria. Seleccionando Estadísticos Resúmenes Conjunto de datos activo, se obtendrá la figura 9.37. Para cada variable numérica en el conjunto de datos (TFR, contraception,infant.mortality y GDP), R informa de los valores máximos y mínimos, el primer y el tercer cuartil, la mediana, la media, así como el número de valores que faltan.
Figura 9.37. Resúmenes de variables para el conjunto de datos activo.
Para la variable categórica region, se obtendrá el número de observaciones en cada “nivel” del factor. Si el conjunto de datos hubiera incluido más de diez variables, R Commander habría preguntado si realmente se quiere continuar, intentando proteger de producir una no deseada voluminosa cantidad de resultados. De manera similar, seleccionando Estadísticos Resúmenes Resúmenes numéricos... se abre el cuadro de diálogo mostrado en la figura 9.38.
-180-
Figura 9.38. Cuadro de diálogo Resúmenes Numéricos.
Sólo las variables numéricas se muestran en la lista de variables de este diálogo; el factor región falta, porque no es razonable calcular resúmenes numéricos para un factor. Haciendo clic en infant.mortality y a continuación en el botón
se obtiene el resultado mostrado en la figura
9.39 (en la ventana de resultados).
Figura 9.39. Resumen de datos para una factor.
Para seleccionar una sola variable en la lista de variables del cuadro, simplemente hacer clic con el botón izquierdo sobre su nombre. En algunos contextos, se tendrá que seleccionar más de una variable. En estos casos, se aplican los consensos de Windows habituales: haciendo clic con el botón izquierdo del ratón sobre una variable se selecciona y también se deshace la selección de cualquier variable que haya sido previamente seleccionada; haciendo clic en la tecla mayúsculas mientras se hace clic con el botón izquierdo se extenderá la selección; y conmuta la selección por una variable individual. Por defecto, la instrucción R que se ejecuta calcula la media y la desviación estándar (sd) de la variable, junto con los cuantiles correspondientes con el mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el máximo; n es el número de observaciones válidas, y NA es el número de valores que faltan. -181-
Como es típico en los diálogos de R Commander, el cuadro de diálogo resúmenes numéricos de la figura 9.38 incluye los botones
,
y
. El botón
conduce a una
página de ayuda, ya sea para el diálogo en sí o (como en este caso) para la función R a la que el diálogo alude. El cuadro de diálogo resúmenes numéricos también tiene en cuenta para calcular resúmenes los grupos definidos por los niveles de un factor. Pulsando en el botón
se abre el diálogo
Grupos, como se muestra en la figura 9.40.
Figura 9.40. Selección de una variable agrupadora en el cuadro de diálogo Grupos. Debido a que sólo hay un factor en el conjunto de datos Naciones, solamente la variable región aparecerá en la lista de variables; al seleccionar esta variable y pulsando en el botón cambia el botón
a
(figura 9.41).
Figura 9.41. Cuadro de diálogo Resúmenes Numéricos tras seleccionar una variable agrupadora.
-182-
se
Al hacer clic en el botón
aparece el resultado mostrado en la figuras 9.42. Otros
diálogos de R Commander permiten seleccionar una variable grupo de esta manera.
Figura 9.42. Resumen de datos para un grupo.
Hacer gráficas con R Commander también es sencillo. Por ejemplo, se selecciona Gráficas Histograma... en los menús de R Commander se abre el cuadro de diálogo Histograma de la figura 9.43.
Figura 9.43. Cuadro de diálogo Histograma.
Luego haciendo clic en infant.mortality y luego en el botón
se abre la ventana
Graphics Device con el histograma que se muestra en la figura 9.44. Si hace varias gráficas en una sesión, normalmente sólo aparecerá la más reciente en la ventana Graphics Device. Se puede recuperar las gráficas previas usando las teclas y desde el teclado. Al inicio, R Commander pone en marcha el mecanismo del historial gráfico; esta característica sólo está disponible en los sistemas con Windows. Los diagramas de dispersión dinámicos tridimensionales creados mediante Gráficas Gráficas 3D Diagrama de dispersión en 3D. . . aparecen en la ventana especial RGL device; de la misma manera, las muestras de efecto creadas para
-183-
modelos estadísticos a través de Modelos Gráficas Gráfica de los efectos. . . aparecen en una ventana individual de dispositivo gráfico.
Figura 9.44. Una ventana de gráficas que contiene el histograma para mortalidad infantil.
9.5 Guardar resultados Se pueden guardar los resultados de texto usando el menú Fichero en R Commander; de la misma manera, puede guardar o imprimir un gráfico desde el menú Fichero de la ventana Graphics Device. Generalmente es más conveniente, sin embargo, llevar el resultado de texto y los gráficos que se quiera guardar a un documento de un procesador de texto. De esta manera, se puede intercalar los resultados de GNU R con sus notas y explicaciones propias. Abrir un procesador de texto, como Word, o incluso Windows WordPad. Para copiar el texto de la ventana de resultados, se selecciona el texto con el mouse, y se elije Copiar del menú Editar (o se presiona la combinación de teclas , o pulse con el botón derecho en la ventana y seleccione Copiar en el menú contextual), y luego pegue el texto en la ventana del procesador de texto a través de EdiciónPegar , tal y como haría para cualquier aplicación de Windows. Un punto que merece la pena mencionar es que también se debería usar una fuente monoespaciada (typewriter), como Courier New, para los resultados de GNU R; de otra manera el -184-
resultado no se alineará adecuadamente. De la misma manera, para copiar un gráfico, se selecciona FicheroCopiar al portapapelescomo Metarchivo en los menús de Graphics Device; luego se pega el gráfico en el procesador de texto mediante EditarPegar o . Alternativamente, puede usar para copiar el gráfico desde Graphics Device de GNU R, o hacer clic en el botón derecho del mouse sobre el gráfico para abrir un menú contextual, en el cual podrá seleccionar Copiar como metarchivo. Al final de la sesión en GNU R se puede guardar o imprimir el documento que ha creado, obteniendo un registro anotado del trabajo. Se puede encontrar otras rutas alternativas para guardar resultados de texto y gráficos en los menús de R Commander Fichero y GráficosGuardar gráfico en archivo, respectivamente.
9.6 Actividades a realizar Para cada ejercicio del 1 al 4 calcular: •
La Media, Mediana y Moda
•
Calcular la Amplitud, Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación.
•
Elabore la tabla de Frecuencias y el Histograma.
•
Elabore el Diagrama de Caja.
1. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de 100 trabajadores, se obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas fabricadas por trabajador. 65
39
54
79
32
43
53
41
40
47
68
35
68
22
35
50
35
43
76
58
46
51
61
65
34
76
69
57
33
40
45
85
84
63
53
64
54
51
52
70
55
55
62
44
28
21
36
34
82
56
60
47
73
53
88
42
56
45
37
48
65
49
52
50
80
41
70
68
38
77
35
55
45
56
51
67
74
74
75
62
36
57
45
82
67
60
61
78
60
26
72
62
73
59
59
74
52
50
61
48
-185-
2. Se registró el tiempo (en meses) entre el inicio de una enfermedad en particular y su repetición en 50 pacientes. 2.1
19.2
14.1
3.7
9.0
4.1
8.7
1.6
8.2
0.2
8.2
1.3
26.7
9.9
1.2
18.0
0.4
6.1
9.6
1.6
0.3
18.0
32.3
3.3
2.4
5.6
3.9
1.4
7.4
7.4
11.4
2.7
4.3
2.4
23.1
6.6
0.2
14.7
5.8
8.3
4.4
6.9
1.0
12.6
2.0
18.4
24.0
13.5
16.7
3.5
3. Los datos siguientes son las velocidades del viento promedio (en millas por hora) que se producen en 45 ciudades seleccionadas de la Republica Mexicana. 8.9
7.9
6.2
9.4
12.5
6.2
9.7
8.9
7.9
9.3
9.5
8.2
10.2
7.8
7.0
8.9
10.7
11.9
10.5
7.7
9.1
9.2
8.9
11.5
8.9
12.9
10.4
11.0
9.1
10.8
9.6
8.8
8.3
10.4
9.4
35.3
7.1
10.4
11.1
10.5
11.3
8.7
9.1
8.6
7.9
4. Considere la siguiente muestra (La resistencia de 50 lotes de algodón, libras necesarias para romper una madeja). 74
100
90
99
97
89
108
94
87
79
101
90
105
83
91
96
81
98
81
98
105
110
91
99
101
94
106
98
93
82
90
86
96
88
97
103
85
106
92
115
97
101
102
96
100
76
96
81
101
93
-186-
Trabajo final El trabajo final del curso tiene un valor de 40 puntos, el mismo consiste en realizar un escrito, ya sea personal o de algún artículo, libro, revista, etc. El trabajo debe tener una extensión de al menos 5 cuartillas, además debe ser realizado en LaTeX y contener en su mayoría elementos realizados con cada categoría de software libre para matemáticas.
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Bibliografía Carrillo A., Geogebra: mucho más que Geometría Dinámica, Ra-Ma, 2009 (1ra Ed.) González B. J., Saone P. J. y Robles G., Introducción al software libre, Free Software Foundation, 2003 Villalpando Becerra J. F., Software Libre para Matemáticas: En búsqueda de Alternativas, VIII Seminario Nacional de Enseñanza de las Matemáticas con las Tecnologías de la Información y Comunicación, 2011 Villegas M., TIC y Matemáticas, UNION, Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 2007, Número 9 Valiente F. G., Composición de textos científicos con LaTex, Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, 2001 Willging P. A. y Astudillo G. J., Software Libre para Matemáticas, II Reunión Pampeana de Educación Matemática (REPEM), 2008
-188-
Apéndice ¿Qué es un ensayo? En términos generales llamamos ensayo a una composición escrita en prosa, de extensión variable, en la que damos nuestras ideas y punto de vista particulares sobre un tema que nos interesa o que nos es asignado. Contrariamente a lo que sucedía en otras épocas, en la actualidad no hay una forma específica de escribir ensayos, pues depende del objetivo que se busque, del tema que se va a desarrollar, la información con que se cuenta, la extensión y profundidad que se desee, etc. Esta flexibilidad permite al ensayista realizar un escrito, que si bien procede de una investigación, puede manifestar en estilo muy personal, expresando no sólo lo que sabe, sino también lo que siente y opina sobre el tema en cuestión. En la escuela es una práctica común la redacción de ensayos. De hecho, el ensayo es el género que empleamos con más frecuencia, y tal vez el que más leemos, dadas todas las facilidades que nos permite. Cada vez que un profesor te pide desarrollar un tema, o que realices una investigación y la reportes en un escrito en prosa, lo más probable es que estés escribiendo un ensayo. No obstante la aparente simplicidad y falta de rigor con que se maneja actualmente, para redactar un buen ensayo es preciso cuidar ciertos aspectos, tanto de contenido como en aspecto formal. Enseguida se presentan algunos puntos de manera muy general; posteriormente, el comentario más detallado de la estructura del ensayo te ayudará a manejar mejor este recurso.
Pasos mínimos para escribir un ensayo 1. Selección del tema: Si bien el ensayista tiene la facultad de expresar sus opiniones sobre el tema en cuestión, nadie puede hablar de lo que no sabe, por lo que resulta totalmente necesario que el tema elegido sea de tu conocimiento. Si no es así, entonces deberás realizar una investigación que te permitirá conocerlo objetivamente, antes de pensar en su redacción. 2. Búsqueda de la información: Una vez determinado el tema, se busca la información necesaria. Elabora primero un cuestionario y respóndelo considerando tus conocimientos previos, así como la consulta de fuentes bibliográficas y de otro tipo. -189-
3. Organización: Para organizar debidamente tus ideas, decide qué te interesa decir y cómo quieres hacerlo. En función de lo anterior: qué y cómo, realiza un plan o bosquejo que visualice la estructura deseada. No pierdas de vista el objetivo de tu ensayo, pues de ello depende también la forma como organices tus ideas. No es lo mismo escribir para tus compañeros que para un periódico, para despertar la conciencia hacia algún problema social o político, que para hacer ver alguna curiosidad de la naturaleza. 4. Redacción, según el orden prevista: Escribe respetando el orden que has determinado; desarrolla tus ideas lo mejor que puedas, y cuando termines revisa que tus oraciones y párrafos sean congruentes y coherentes. Observa los elementos de enlace que estás empleando y asegúrate de que cumplan su cometido. No dejes ideas inconclusas ni sin relación con las demás.
Estructura del ensayo El ensayo se estructura tradicionalmente en 3 partes: introducción, cuerpo y conclusión.
Introducción Es parte importante de todo escrito, en la que suele presentarse en términos generales el tema que se desarrollará y los propósitos del mismo. En la introducción de un ensayo escolar se pueden dar generalidades, antecedentes, explicar la naturaleza del tema, especificar las variables que se desarrollarán. A veces se inicia con un ejemplo o situación específica en que se aplique el tema, para señalar la importancia de abordarlo. Los ensayos creativos, en cambio, pueden comenzar con anécdotas, una frase célebre, etc.
Cuerpo Es el desarrollo del ensayo, la explicación de lo que se anunció al principio. Aquí se exponen las ideas que se tienen sobre el tema, se comenta en forma personal la información, se proporcionan datos y se amplían los conceptos, con reflexiones, ejemplos, comentarios, comparaciones, etc. También se pueden confrontar las ideas de varios autores sobre el tema investigado, estableciendo puntos de afinidad o discrepancia. Abarca, en términos generales, las dos terceras partes de la extensión total del ensayo.
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Conclusión Ésta no es sólo la opinión personal del ensayista sobre el tema que investigó. Para concluir, realiza el resumen de los puntos desarrollados a lo largo del ensayo y sus consecuencias, comenta los resultados y da una opinión final, la cual puede consistir en una postura específica ante el tema, una interrogante, un juicio de valor, una exhortación, una propuesta para resolver el problema tratado, etc. Una manera recomendable de concluir es retomar la introducción, para ver hasta qué punto se logró lo anunciado en ella.
Pasos para redactar un ensayo Busca toda la información que necesites para desarrollar el tema que has elegido. Para ello: a) Especifica objetivos: ¿Qué quiero lograr?, ¿cuál es el propósito de mi ensayo? b) Pregunta todo lo que puedas acerca del tema: ¿Qué variables voy a considerar?, ¿qué es?, ¿cómo es?, ¿para qué sirve?, ¿dónde se da?, ¿cómo?, ¿por qué?, ¿qué o quienes intervienen en él?, ¿qué pasará si no existiera?, ¿de qué manera afecta a mi comunidad?... Todo depende de la naturaleza del tema, de los aspectos que te interesen y de os objetivos que gayas definido en tu trabajo. c) Responde por escrito todas las preguntas que formulaste. Utiliza tus conocimientos previos y la información que has recabado; busca las respuestas en las fuentes que estén a tu alcance: libros de texto, enciclopedias, resúmenes, revistas, videos, periódicos, material en línea, personas, etc. A medida que vayas respondiendo tu conocimiento del tema será mayor y tendrás ideas más claras sobre el mismo; sabrás qué aspectos son más interesantes, cuáles necesitas consultar más, cuáles te parecen poco relevantes, etc. En esta tarea las fichas de trabajo son de gran ayuda para organizar la información. d) Elige un título que esté de acuerdo con el tema que vas a desarrollar. Además de que todos los ensayos deben ser titulados, esto te permitirá no apartarte de la idea principal. e) Redacta tu ensayo. De todo lo que has investigado sobre el tema elegido, selecciona la información que necesites; escribe tus ideas organizándolas en párrafos que hablen de un solo aspecto del tema, verificando que los enunciados resulten coherentes y claros. No olvides la introducción y las conclusiones.
-191-
f) Revisa críticamente. Antes de pasar en limpio tu ensayo, léelo (o pide a alguien que lo lea) con cuidado para revisar sintaxis, vocabulario y ortografía. g) Si repites mucho una palabra o construcción, sustitúyela con otra equivalente; cuando sea necesario, vuelve a redactar. Asegúrate de emplear los nexos y frases de enlace debidos en cada párrafo, y que la puntuación ayude a seguir el orden de las ideas.
-192-
