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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
MANUAL DE PRACTICAS CURSO AL QUE PERTENECE:
MATEMÁTICAS VI
TÍTULO DE LA PRESENTACIÓN: “MANUAL DE PRACTICAS DE
CALCULO INTEGRAL“
Ciclo escolar: FEBRERO – JUNIO JUNIO 2016 Recopilado y Presentado por:
Ing. Trinidad Rodríguez Cámara
[email protected]
M. Azucena América Álvarez Montejo
[email protected]
Escuela Preparatoria Diurna. Academia que presenta:
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS. Cd. del Carmen, Campeche, 11 de febrero de 2016.
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL |
INDICE
Introducción
3
Bloque I Diferenciales e integral indefinida. Práctica 1
6 11
Integral Definida Práctica 2 Integrales por sustitución Práctica 3 Integrales Trascedentes y Logarítmicas Práctica 4
18 23 27 30 36 38
Diferenciales
Bloque 2 Métodos de integracion Integrales inversas Práctica 5 Integración por sustitución trigonométrica Práctica 6 Integración por partes Práctica 7 Integración por fracciones parciales. Práctica 8
Bloque 3 Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida. Integral Definida Práctica 9 Cálculo de áreas Bajo la Curva. Práctica 10 Conclusiones. Bibliografías.
48 51 57 63 65 69 72 78 81 82 84 88 91 99 100
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL |
INDICE
Introducción
3
Bloque I Diferenciales e integral indefinida. Práctica 1
6 11
Integral Definida Práctica 2 Integrales por sustitución Práctica 3 Integrales Trascedentes y Logarítmicas Práctica 4
18 23 27 30 36 38
Diferenciales
Bloque 2 Métodos de integracion Integrales inversas Práctica 5 Integración por sustitución trigonométrica Práctica 6 Integración por partes Práctica 7 Integración por fracciones parciales. Práctica 8
Bloque 3 Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida. Integral Definida Práctica 9 Cálculo de áreas Bajo la Curva. Práctica 10 Conclusiones. Bibliografías.
48 51 57 63 65 69 72 78 81 82 84 88 91 99 100
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
INTRODUCCION El cálculo Integral se introduce normalmente como el método inverso del cálculo diferencial, lo cual se puede justificar y comprobar desde el punto de vista matemático. Sin embargo, para muchos permanece el concepto abstracto de un cálculo diferencial inverso sin significado ya que no pueden relacionarse fácilmente la derivación y la integración como tales procesos inversos. El Manual de Cálculo Integral está dirigido a estudiantes de bachillerato como parte de la unidad de aprendizaje llamada calculo integral ubicada en el sexto semestre. En él se encontraran las técnicas para resolver ejercicios acorde a cada objeto que conforme la unidad de aprendizaje. La Unidad de Aprendizaje está dividida en tres bloques:
BLOQUE I: Diferenciales e integral indefinida. Se presenta el concepto de la diferencial, se resolverán problemas mediante las diferenciales. Se abarca el concepto de la antiderivada.
BLOQUE II: Integral indefinida y métodos de integración. . Se aplican los fundamentos teóricos para la resolución de ejercicios de los siguientes métodos: cambio de variable, integración por partes, sustitución trigonométrica y e integración por fracciones parciales. BLOQUE III: Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida. Se realizarán ejercicios en donde se aplique el Teorema Fundamental del Cálculo, se muestran las aplicaciones de la integral definida que ponen de relieve no sólo las técnicas que se deben manejar, sino también los principios fundamentales involucrados. La intención del manual es contribuir al desarrollo de las competencias disciplinares d isciplinares del área de matemáticas asi como las las genéricas que contribuyan al desarrollo integral de los estudiantes: Finalmente como parte del proceso formativo de la evaluación se anexan los instrumentos que permitan medir el desempeño de las actividades realizadas dando validez al desarrollo de las competencias propuestas.
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
SUSTENTO TEORICO Este material que lleva por nombre Manual de Cálculo Integral, servirá para hacer más comprensible el tema de las integrales a los estudiante de sexto semestre podrá aplicar los conceptos de diferencial e integral indefinida, para solucionar problemas de aproximación, aplicar métodos y técnicas establecidas para resolver integrales indefinidas por, cambio de variable, integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Este manual abarca los objetos de aprendizaje de las tres secuencias de la Unidad de Aprendizaje de Cálculo Integral, pretende que el estudiante de Preparatoria que cursa como optativa esta Unidad de Aprendizaje logré aaplicar los conceptos y propiedades de la integral definida, métodos y técnicas de integración, en la resolución de problemas relacionados con el cálculo de áreas y problemas vinculados con las ciencias experimentales y sociales.
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
Objetivo: Aplicar los
conceptos de diferencial e integral indefinida, para solucionar problemas de aproximación.
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
PRACTICA 1 DIFERENCIALES
CONCEPTO L a diferencial de un a fu nción es el pr oducto de la derivada de la f un ción por el i ncr emento de la var iabl e in dependi ente.
Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes: Df(x) f′(x) y′
Cauchy Lagrange Lagrange Leibniz
dy dx
Por lo tanto: dy
Derivada: dx
y Df ( x) f ( x ) y x 0 x
lím
dy
Sea la función y = f(x), la primera derivada se miembros por dx, tenemos: dy
expresa dx
f ( x )
. Si multiplicamos ambos
f ( x) dx
Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee: la dif erencial de una fu nci ón es igu al al pr oducto de la der ivada por la di fer encial de la vari able independi ente.
Definición: Sea y f ( x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx ) es cualquier número real no nulo. La dif er encial de y (denotada dy ) es.
dy
f ' ( x) dx
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como aproximación del cambio en y. Es decir. y dy
o
y f ' ( x )dx
Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales. Se llama diferencial de . la variable independiente x , denotada por dx , al incremento ; esto es
Objetivo Aplicar el concepto de diferencial y sus definiciones en la resolución de problemas de aproximación de incremento y de errores pequeños, utilizando las reglas de diferenciación y relacionándolo con ciencias naturales, económico administrativas y sociales.
Descripción En esta práctica el estudiante usara el concepto de diferencial para estimar el Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado), Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía “un poco” y
Aproximar valores de funciones.
Técnica Encontrar el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.
Procedimiento a) Encontrar el valor de la primera derivada dy
b) Expresar la derivada acode a la forma propuesta por Leibniz ( dx ) c) Despejar el la diferencial de x (dx) d) Obtener el valor de la diferencial de la variable dependiente
dy
f ( x ) dx
Material Materiales: Hojas blancas Lápiz 7
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
Formulario
Ejemplos: 1. Calcula la diferencial de la función y 6 x Paso 1.- Encontrar la primera derivada
y´ 18x
2
3
x
2
2x
dy
Paso 2.- Expresar en términos de dx dy dx
18 x 2 x 2
Paso 3.- Despejar dx dy
18x
2
2x
dx
Paso 4.- Valor de la diferencial dy
18x
2
2x
dx
2. Calcula la diferencial de la función y Paso 1.- Encontrar la primera derivada
y´
2
2x
3
1
2 2 x
3
2x
3
dy
Paso 2.- Expresar en términos de dx dy dx
1
2x 3
Paso 3.- Despejar dx
dx 2 x 3
dy
1
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
Paso 4.- Valor de la diferencial dy
18x
2
2x
dx
Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función. APROXIMACIÓN POR MEDIO DE DIFERENCIALES. Propagación del error. Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor medido de una variable y x + x representa
el valor exacto, entonces x es el error de medida. Finalmente, si el valor
medido de x es utilizado en el cálculo de algún otro valor f(x), la diferencia entre f ( x x) y f ( x ) es el error propagado. Error de medida
Error propagado
f ( x
x )
Valor Exacto
f ( x)
y
Valor medido
3. La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error propagado en el volumen de la bola. Solución: La fórmula para el volumen de una bola es V
4
3
r
3
, donde r es el radio. Así pues,
podemos escribir r = 0,7
Radio medido
y -0,01 r 0,01
Posible error 9
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
Para aproximar el error propagado en el volumen, derivamos V, con lo que se obtiene dV/dr =
4 r
2
y escribimos Aproximar ΔV por dV
V dV
4 r 2 dr
4 (0,7) 2 ( 0,01)
Sustituir r y dr
0,06158
Por lo tanto, el volumen tiene un error propagado de unas 0,06 pulgadas cúbicas. 4. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 . Solución: Fórmula del área de un cuadrado: A
2
l
l=5m Δl = 0.002 m dA = 2l ∙ dl
dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2 Incremento = 0.020 m 2
5. Si 36 6 , calcular el valor aproximado de Función:
y
38 .
x
36
6
Δx = 38 – 36 = 2 y
dy
x
dx
38 38
2
1
2
x
2 36
6 0.166
6.166
0.166
6 6.166
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
Calcula las diferenciales de las siguientes funciones 1.
y
3.
y
(5
x)
3
2.
y
e
4 x
2
4. y arccos2 x
sen x
x
5. y
cos bx
2
6.
= 3 3 √ 3
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MANUAL DE CALCULO INTEGRAL
7.
= 5 3√
8.
9.
= 5 5 cos cos 5
10.
= 2 1
12.
=
14.
11.
13.
= 2 2 3 1
= costan3 costan3
= sec sec5
= 5 − 12
