2
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah
Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.
Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663.
Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. Berdasarkan pemaparan mengenai teori peluang di atas maka penulis membuat sebuah makalah yang berjudul "Peluang".
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalahnya seperti berikut:
Definisi Peluang
Kaidah Pencacahan
Peluang Suatu Kejadian
Kejadian Majemuk
Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan makalah ini yaitu:
Mendeskripsikan definisi peluang.
Mendeskripsikan kaidah pencacahan dan menentukan aturan pengisian tempat yang tersedia.
Mendeskripsikan peluang suatu kejadian.
Mendeskripsikan kejadian majemuk.
Sistematika Penulisan
Kata Pengantar
Daftar Isi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Tujuan Penulisan
1.4 Sistematika Penulisan
BAB II PEMBAHASAN MATERI
2.1 Definisi Peluang
2.2 Kaidah Pencacahan
2.3 Peluang Suatu Kejadian
2.4 Kejadian Majemuk
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
3.2 Saran
Daftar Pustaka
BAB II
PEMBAHASAN MATERI
2.1 Definisi Peluang
Definisi Peluang Klasik
Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka peluang peristiwa E terjadi adalah n/N atau P(E) = n/N
Contoh :
Eksperimen dengan melantunkan koin Rp 100,- sebanyak 1X menghasilkan peristiwa-peristiwa yang terjadi :
1) muncul angka (G) = 1
2) muncul gambar (A) = 1
N = 2
P(G) = ½ ; P(A) = ½
Sifat peluang klasik : saling eksklusif dan kesempatan yang sama
Definisi Peluang Empirik
Peluang empirik/frekuensi relatif terjadi apabila eksperimen dilakukan berulang. Apabil kita perhatikan frekuensi absolut (=m) tentang terjadinya peristiwa E untuk sejumlah pengamatan (=n), maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga P(E) = limit m/n
nN
Contoh
Eksperimen melantunkan sebuah dadu (1000X)
Peristiwa yang muncul : - muncul mata dadu 1 hingga
- muncul mata dadu 6
Event
M1
M2
M3
M4
M5
M6
total
m
166
169
165
167
169
164
1000
P(M1) = 166/1000 ; P(M6) = 164/1000
Definisi Peluang Subjektif
Nilai peluang didasarkan kepada preferensi seseorang yang diminta untuk menilai
Pada umumnya yang dinilai adalah peristiwa yang belum terjadi
2.2 Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyakya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan dengan: aturan penjumlahan, aturan perkalian.
Aturan Penjumlahan
Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total anggota di kedua himpuan adalah a + b.
Contoh :
Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu tersedia 5 jeis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki. Dengan demikian orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Aturan Perkalian
Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkan kejadian satu persatu dan aturan pengisian tempat yang tersedia.
Menyebutkan kejadian satu persatu
Contoh :
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa hasil yang berlainan dapat terjadi ?
Penyelesaian :
Dengan diagram pohon diperoleh:
Hasil yang mungkin : G1, G2, G3, G5, G6, A1, A2, A3, A4, A5, A6
Catatan : G1 artinya uang menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 1.
Dengan demikian banyaknya cara hasil yang berkaitan dapat terjadi adalah 12 cara.
Contoh : 2
Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 2 cara, dari kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 4 cara. Berapa cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C ?
Penyelesaianya :
Dari keterangan di atas, jaringan jalan yang menghubugkan kota A, kota B dan C dapat dibuat diagram sebagai berikut:
Hasil yang mungkin adalah : 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24. Jadi banyaknya ada 8 cara.
Aturan pengisian tempat yang tersedia
Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan mengalikan.
Contoh 1 :
Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju dan celana?
Peyelesaian :
Misalkan kelima baju itu B1, B2, B3, B4, B5 dan ketiga celana itu C1, C2, C3. Hasil yang mungkin terjadi adalah….
B1 B2 B3 B4 B5
C1
C2
C3
C1B1 C1B2 C1B3 C1B4 C1B5
C2B1 C2B2 C2B3 C2B4 C2B5
C3B1 C3B2 C3B3 C3B4 C3B5
Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara
Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:
Jadi, ada 5 3 cara = 15 cara
Contoh 2:
Salma mempunyai 5 baju, 3 celana, 2 sepatu dan 4 topi. Tentukan berapa cara Salma dapat memakainya ?
Jadi, ada 5 3 2 4 cara = 120 cara.
Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…, tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1 n2 … nk cara. Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…, tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1 n2 … nk cara. Secara umum dapat dirumuskan:
Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…, tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1 n2 … nk cara.
Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…, tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1 n2 … nk cara.
Contoh 3:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun?
Tanpa pengulangan
Boleh berulang
Penyelesaian :
Tanpa pengulangan
Empat angka berarti ribuan, sehingga diperlukan empat tempat
Angka nol (0) tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga yang mungkin angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 6 cara dan tanpa pengulangan maka :
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 6 5 4 = 720 bilangan
Pengulangan
Angka nol tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga ada 6 cara, untuk urutan kedua dan seterusnya masing-masing tujuh cara sebab semua angka memungkinkan karena berulang maka diperoleh:
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 7 7 7 = 2058 bilangan
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi
Permutasi adalah susunan objek-objek dengan memperlihatkan urutan tertentu.
Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil seluruhnya (nPn)
Contoh1:
Diketahui 3 abjad pertama yaitu A, B dan C. Berapa banyak susunan yang mungkin dari 3 huruf yang berbeda itu ?
Jawab:
3P3 = 3! = 3.2.1 = 6 cara
Contoh2:
Diketahui 4 siswa : Ary, Ani, Ali dan Asih akan ditempatkan pada 4 buah kursi. Ada berapa cara untuk menempatkan siswa itu pada kursi yang berbeda ?
Jawab:
Kursi I dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 4 cara.
Kursi II dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 3 cara.
Kursi III dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 2 cara.
Kursi IV dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 1 cara.
Sehingga dengan prinsip dasar probabilitas, keempat kursi dapat ditempati oleh keempat siswa dengan : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.
Atau
nPn = 4P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.
Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil sebagian (nPr)
Banyak permutasi n objek yang diambil r objek (0 < r < n) dinotasikan nPr atau P(n, r) atau (dibacaPermutasi r dari n) adalah :
nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) ataunPr = nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) ataunPr =
nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) atau
nPr =
nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) atau
nPr =
Contoh:
Berapa banyak permutasi yang terdiri atas 2 huruf yang berbeda dari 4 huruf: A, I, U, E.
Jawab:
4P2 = = 4.3 = 12 cara
Ke-12 permutasi itu adalah:
Permutasi n objek yang tidak semua berbeda
Banyaknya cara menyusun unsur dalam suatu baris, jika ada p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur dari jenis lain, dan seterusnya adalah :
P(n; n1,n2,....) = P(n; n1,n2,....) =
P(n; n1,n2,....) =
P(n; n1,n2,....) =
Contoh:
Berapa carakah 5 huruf dari kata CUACA dapat disusun dalam suatu baris !
Jawab:
Unsur-unsur yang sama : huruf C ada 2, huruf A ada 2.
P = = 30
Jadi susunan yang mungkin ada 30 buah.
Permutasi Siklis
Banyaknya cara menyusun n objek berlainan dalam suatu lingkaran, dengan memandang susunan yang searah putaran jarum jam dan berlawanan arah putaran jarum jam adalah :
Ps(n) = Ps(n) =
Ps(n) =
Ps(n) =
Contoh:
Terdapat berapa carakah empat anak A, B, C, D yang duduk melingkar dapat disusun dalam lingkaran ?
Jawab:
Cara I
Ambil seorang anak untuk diletakkan pada posisi yang tetap, kemudian menyusun tiga anak yang lain dalam tempat yang berbeda, maka cara ini dapat dilakukan dalam 3! = 3.2.1 = 6 cara.
Cara II
Perhatikan gambar !
Jika keempat anak itu diletakkan pada posisi 1,2,3 dan 4 bergantian searah putaran jarum jam dalam sebuah lingkaran, maka mereka tetap membentuk susunan yang sama. Karena itu, penyusunannya harus menempatkan seorang anak kepada posisi yang tetap dan menggerak-gerakkan posisi tiga orang anak lain.
Menyusunnya seperti berikut:
Jadi banyaknya susunan melingkar = (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
Kombinasi
Kombinasi adalah susunan dari unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan unsur-unsur itu. Kombinasi dari n objek yang diambil r objek dinotasikan nCr atau C(n, r) atau atau adalah :
nCr = nCr =
nCr =
nCr =
Melalui contoh berikut ini, dapat dibedakan antara permutasi dan kombinasi.
Pengambilan 3 huruf dari 4 huruf yang ada (A, B, C, D).
Kombinasi (4C3) : ABC, ABD, ACD, BCD
Permutasi (4P3) : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
Jadi, 4C3 . 3! = 4P3 atau 4C3 =
Sehingga kita peroleh: nCr = =
Contoh:
Ada berapa cara dapat dilakukan jika 5 pemain bola basket diambil dari tim yang terdiri 12 pemain untuk berpartisipasi dalam pertandingan persahabatan ?
Jawab:
12C5 = = 792
Jadi, banyaknya cara memilih 5 pemain dari 12 pemain ada 792 cara.
Contoh:
Ada berapa cara 2 bola merah, 3 bola biru, dan 4 bola putih dapat dipilih dari suatu kotak yang berisi 4 bola merah, 6 bola biru, dan 5 bola putih ?
Jawab:
2 bola merah dapat dipilih dari 4 bola dalam 4C2 cara.
3 bola biru dapat dipilih dari 6 bola dalam 6C3 cara.
4 bola putih dapat dipilih dari 5 bola dalam 5C4 cara.
Dengan prinsip perkalian, banyaknya cara memilih bola yang diminta :
4C2 x 6C3 x 5C4 =
=
= 6 x 20 x 5
= 600 cara
2.3 Peluang Suatu Kejadian
Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Setiap proses yang menghasilkan suatu kejadian disebut percobaan. Misalnya kita melemparkan sebuah dadu sebanyak satu kali, maka hasil yang keluar adalah angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel, biasanya dinyatakan dengan S, dan setiap hasil dalam ruang sampel disebut titik sampel. Banyaknya anggota dalam S dinyatakan dengan n(S).
Misalnya, dari percobaan pelemparan sebuah dadu, maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6. Jika dalam pelemparan dadu tersebut muncul angka {2}, maka bilangan itu disebut kejadian. Jadi, kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu kejadian munculnya percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan :
P(A) = P(A) =
P(A) =
P(A) =
P(A) = Peluang muncul A
n(A) = banyaknya kejadian A
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian S
Contoh:
Sebuah mata uang logam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya "Angka" ?
Jawab:
Ruang sampel S = {A, G} maka n(S) = 2.
Kejadian A = {A}, maka n(A) = 1
Jadi, P(A) = =
Contoh:
Sebuah dadu mata enam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil?
Jawab:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
A = {1, 3, 5} n(A) = 3
Jadi, P(A) = = =
Contoh:
Dalam setumpuk kartu bridge (remi) diambil satu kartu secara random (acak). Tentukan peluang yang terambil adalah kartu As !
Jawab:
Banyaknya kartu bridge adalah 52, berarti n(S) = 52
n(As) = 4
Jadi, P(As) = = =
Tafsiran Peluang Kejadian
Jika kejadian K dalam ruang sampul 5 selalu terjadi, maka n (K) = n (5). Sehingga besar peluang kejadian K adalah:
P (K) =
Kejadian K yang selalu terjadi dalam ruang sampul 5 disebut kepastian.
Kemustahilan Kepastian
0 0 P (K) 1 1
Sedangkan kejadian K dalam ruang sampul 5 tidak pernah terjadi maka n (K) = 0, yang dinamakan kemustahilan, sehingga :
P (K) =
Oleh karena itu nilai peluang itu terbatas yaitu 0 P (K) 1
Contoh :
1. Berapa peluang seekor kuda jantan melahirkan anak?
Karena tidak mungkin, maka dinamakan kemustahilan dan peluangnya 0.
2. Berapa peluang setiap orang akan meninggal?
Karena setiap orang pasti meninggal, maka dinamakan kepastian dan peluangnya 1.
3. Berapa peluang muncul gambar jika sebuah uang logam dilempar sekali?
n (S) = 2
n (G) = 1 maka P (G) =
Jadi peluang muncul gambar adalah
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah harapan yang nilai kemungkinan terjadinya paling besar. Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan terjadinya kejadian K setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan dari kejadian K adalah:
F(K) = n P (K)F(K) = n P (K)
F(K) = n P (K)
F(K) = n P (K)
Contoh :
Bila kita melemparkan sebuah dadu sebanyak 480 kali, berapakah kita harapkan muncul angka 4?
Penyelesaian :
P(K) = dan n = 480
F(K) = n P(K)
= Jadi harapannya 80 kali.
2.4 Kejadian Majemuk
Apabila dua kejadian atau lebih dioperasikan sehingga menghasilkan kejadian baru, maka kejadian baru itu disebut kejadian majemuk.
Dua kejadian A dan B sembarang
Jenis Operasi
Notasi
Tidak A atau komplemen A
A dan B
A atau B
A1 = Ac
A B
A B
Untuk sembarang kejadian A dan B berlaku:
n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)
kedua ruas dibagi dengan n (S) maka:
P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B)P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B)
P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B)
P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B)
Tiga kejadian A, B dan C sembarang:
P (A B C) = P (A) + P (B) + P (c) – P (A B) – P (A C) – P (B C) + P (A B C)P (A B C) = P (A) + P (B) + P (c) – P (A B) – P (A C) – P (B C) + P (A B C)
P (A B C) = P (A) + P (B) + P (c) – P (A B) – P (A C)
– P (B C) + P (A B C)
P (A B C) = P (A) + P (B) + P (c) – P (A B) – P (A C)
– P (B C) + P (A B C)
Contoh 1:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, tentukan peluang muncul mata dadu genap atau prima.
Penyelesaian :
Ruang sampul S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n (S) = 6
muncul mata genap A = {2, 4, 6} n (A) = 3
muncul mata prima B = {2, 3, 5} n (B) = 3
muncul mata genap dan prima = {2} n (A B ) = 1
muncul mata genap atau prima:
P (A B) = P (A) + P (B) – P (A A B)
=
=
Contoh :
Dari 45 siswa pada suatu kelas, diketahui 28 siswa senang matematika, 22 siswa bahasa inggris, dan 10 siswa suka kedua-duanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang yang terpilih siswa yang menyukai matematika atau bahasa Inggris!
Penyelesaian :
Peluang terpilih yang suka matematika atau bahasa Inggris ialah :
P (M B) = P (M) + ( P (B) – P (M B)
=
=
=
Jadi peluang yang terpilih siswa yang menyukai matematika atau bahasa Inggris adalah. Kejadian majemuk dapat dikelompokkan sebagai berikut:
Komplemen suatu kejadian
P (Ac) =
=
= 1 –
P (Ac) = 1 – P (A)
Contoh 1 :
Sebuah dadu dilempar sekaliu, tentukan peluang munculnya mata dadu lebih dari dua.
Penyelesaian :
Cara I
Sebuah dadu dilempar sekali, maka U (S) = 6
Jika A = {mata dadu kurang dari sama dengan 2}
Maka Ac = {mata dadu lebih dari 2}
Sehingga :
Ac = {3, 4, 5, 6}
n (Ac) = 4
P(Ac) =
Jadi peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah
Cara II
Sebuah dadu dilempar sekali, maka n (S) = 6
Jika A = {mata dadu kurang dari sama dengan 2}
= {1, 2}
n(A) = 2
P(A) =
Sehingga :
P (Ac) = 1 – P (A)
= 1 –
=
Jadi peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah
Contoh 2:
Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, tentukan peluang bahwa jumlah mata kedua dadu lebih dari 3!
Penyelesaian :
Dua buah dadu dilambungkan bersama, maka n (S) = 6 6 = 36
Jika A = {jumlah mata kedua dadu 3}
= {(1,1), (1,2), (2,1)}
n(A) = 3
P (A) =
P (Ac) = 1 –
=
Jadi peluang bahwa jumlah mata kedua dadu > 3 adalah
Contoh 3:
Jika peluang hari esok akan hujan adalah 0,35, berapa peluang bahwa cuaca akan cerah esok hari?
Penyelesaiannya :
A = {esok hari akan turun hujan)
P (A) = 0,35
P (Ac) = 1 – P(A
= 1 – 0,35
= 0,65
Jadi peluang bawah cuaca akan cerah hari esok adalah 0,65.
Dua kejadian saling lepas
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas
Jika A B = atau P (A B) = 0
Jika P (A B) = 0 maka P (A B) = P(A) + P (B)
Jika A dan B kejadian saling lepas, maka:P (A B) = P(A) + P (B)Jika A dan B kejadian saling lepas, maka:P (A B) = P(A) + P (B)Kesimpulan :
Jika A dan B kejadian saling lepas, maka:
P (A B) = P(A) + P (B)
Jika A dan B kejadian saling lepas, maka:
P (A B) = P(A) + P (B)
Contoh 1 :
Dari satu set kartu bridge diambil 1 kartu secara acak.
Berapa peluang untuk mendapatkan kartu As atau king?
Penyelesaian :
Jika A = kejadian mendapatkan kartu A n (A) = 4
B = kejadian mendapatkan kartu king n (B) = 4
n(A B) =
Maka : P (A B) = P(A) + P (B)
=
=
Jadi peluang untuk mendapatkan kartu As atau king adalah
Contoh 2:
Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Berapa peluang jumlah angka kedua dadu sama dengan 5 atau 10.
Penyelesaian :
n (S) = 6 6 = 36
jika A = {jumlah angka sama dengan 5}
= {(1, 4), (4, 1), (2, 3) (3, 2)}
n (A) = 4
jika B = {jumlah angka sama dengan 10}
= {(4, 6), (6, 4), (5, 5)}
n (B) = 3
A B =
n (A B) = 0
Maka : P (A B) = P (a) + P(B)
=
=
Jadi nilai kemungkinan jumlah angka kedua mata dadu 5 atau 10 adalah
Contoh 3:
Di dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak tersebut diambil dua bola sekaligus. Berapa peluang kedua boila itu berwarna sama?
Penyelesaian :
n (S) = 9C2 = 36
Dua bola berwarna sama, berarti dua merah atau dua putih
A = {dua merah}, n (a) = nC2 = 10
P(A) =
B = {dua putih}, n (B) = 4C2 = 6
P(B) =
Karena A dan B saling lepas maka:
P (A B) = P (A) + (P (B)
=
=
=
Jadi peluang kedua bola itu berwarna sama adalah
Dua kejadian yang saling bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B. Jika dua buah dadu ditos, maka angka yang muncul pada dadu pertama jika mempengaruhi angka yang muncul pada dadu kedua. Dalam hal ini dikatakan kedua dadu saling bebas.
Contoh 1 :
Dadu merah dan dadu putih ditos. Tentukan peluang :
Pada dadu merah muncul angka satu.
Pada dadu putih muncul angka enam.
Pada dadu merah muncul angka satu dan pada dadu putih muncul angka enam.
Penyelesaian :
Dua dadu ditos, maka n(S) = 6 x 6 = 36
A = {dadu merah muncul angka satu}
= {(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}, n(A) = 6
P(A) = n(A)n(S) = 636 = 16
Jadi, peluang pada dadu merah muncul angka satu adalah 16
B = {dadu putih muncul angka enam}
= {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}, n(B) = 6
P(B) = n(B)n(S) = 636 = 16
Jadi, peluang pada dadu putih muncul angka enam adalah 16
A B=1,6, nA B=1
PA B= n(A B)n(S)= 16
PA B= 16 dapat ditulis menjadi :
PA B= 16x16
PA B=PAx P(B)
Jadi, peluang pada dadu merah muncul angka satu dan pada dadu putih muncul angka enam adalah 136. Dari pembahasan contoh 1 diperoleh rumus sebagai berikut : PA B=PAx P(B)
Dua kejadian Bersyarat
Dua kejadian atau lebih yang terjadi secara berurut dikatakan kejadian tak bebas (kejadian bersyarat) apabila kejadian yang satu mempengaruhi peluang terjadinya kejadian yang lain.
Rumus :
Jika kejadian A dan B bersyarat, maka :
PA B=PAx P(B/A)
P(B/A) artinya peluang B dimana kejadian A sudah terjadi.
Contoh :
Didalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak tersebut diambil dua bola secara berturut-turut tanpa pengembalian. Tentukan peluang bahwa kedua bola tersebut berwarna merah.
Pembahasan :
Supaya kedua bola tersebut berwarna merah maka pada pengembalian pertama dan kedua harus berwarna merah. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah PA= 37. Kejadian A sudah terjadi sehingga di dalam kotak tinggal 2 bola merah dan 4 bola putih. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah P(B/A) = 26= 13.
PA B=PAx P(B/A)= 37×13= 321=17
Jadi, peluang bahwa kedua bola yang terambil berwarna merah adalah 17.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Kesimpulan didalam makalah ini kita dapat mempelajari matematika tentang peluang. Pada bab peluang, materinya meliputi kaidah pencacahan, permutasi,kombinasi, ekspansi binominal, ruang sampel, peluang, frekuensi harapan, komplemen dan kejadian majemuk.
Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur yang diambil dari n unsur atau sabagai unsur. Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau semua unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya.
Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peluang kejadiaan adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang kejadian dengan gabungkan dua atau lebuh kejadian sederhana. Sifat-sifat peluang, misalnya S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang sampel S.
Jika A = Ø maka P (A) = O
Nilai peluang kejadian A, yaitu P (A) berkisar dari O sampai 1 (O P (A) 1).
Jika S ruang sampel maka P (S) = 1.
3.2 Saran
Demikian makalah yang dapat penulis susun, penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan. Karena itu, keterbatasaan ini kiranya akan dapat diminimalis dengan partisipasi pembaca untuk memberikan saran dan kritik yang konstruktif agar makalah kedepan dapat lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
http://20matematika/peluang/Mawar%20Berduri%20di%20Tepi%20Jurang%20%20MAKALAH%20PELUANG.htm
http://genius.smpn1-mgl.sch.id/file.php/1/ANIMASI/matematika/Teori%20Peluang/materi01.html
http://mtksmampsw.wordpress.com/kelas-xi/kelas-xi-ipa-semester-i/peluang/
http://matematikanet.blogspot.com/2009/01/teori-peluang.html
http://Cara%20Menentukan%20Peluang%20Kejadian%20Majemuk%20dan%20Kejadian%20Bersyarat%20-%20Rumus%20Matematika.htm
