BAB 1 PENDAHULUAN A. Lata Latarr B Bel elak akan ang g Diabetes Melitus atau lebih dikenal dengan diabetes merupakan salah satu
penyakit yang berbahaya karena dapat berujung pada kematian. Diabetes menduduki peringkat kedua penyebab kematian pada kelompok usia 45-54 tahu tahun n di perk perkot otaan aan (Kom (Kompa pas, s, 15 Noe Noemb mber er !"1" !"1"#. #. $ri%e $ri%e dan dan &ilso &ilson n (!""',1!'# juga mengatakan bah)a *5+ penderita penyakit diabetes pada akh akhirny irnyaa
menin ening ggal. al.er erda dasa sark rkan an
lap laporan oran
&
(
&orld rld
eal ealth thy y
rga rgani ni/at /atio ion# n# dipe diperk rkira iraka kan n ' perse persen n dari dari total total popu popula lasi si duni duniaa posit positi0 i0 mengalami mengalami diabetes. diabetes. umlah ini tentunya tentunya semakin meningk meningkat at dikarenakan dikarenakan ketidakpedulian dari indiidu penderita atau pihak yang terkait. Diabet Diabetes es merupa merupakan kan penyaki penyakitt kronis kronis yang yang diakib diakibatk atkan an oleh oleh ganggu gangguan an sistem sistem metabo metabolism lismee dalam dalam tubuh, tubuh, dimana dimana organ organ pankre pankreas as tidak tidak mampu mampu menghasilkan hormon insulin sesuai kebutuhan tubuh ($ri%e dan &ilson, !""' 2 1!53 1!53 1!' 1!'#. #. ang anggu guan an diab diabete etess tida tidak k hany hanyaa dira dirasak sakan an pada pada orga organ n pankreas, tetapi juga beresiko tinggi terjadinya komplikasi (terjadinya penyakit pada orga lain#. Komplikasi yang terjadi biasanya dijadikan in0ormasi in0ormasi a)al bagi indiidu indiidu tersebut untuk mengetahui mengetahui dirinya dirinya terdiagnosa penyakit diabetes. al ini )ajar, dikarenakan diabetes timbul tanpa adanya rasa keluhan sampai beberapa tahun dan kurangnya in0ormasi mengenai gejala penyakit diabetes yang diperoleh masyarakat. Kompli Komplikasi kasi penyaki penyakitt diabete diabetess terjadi terjadi pada pada pembul pembuluh uh darah, darah, sehing sehingga ga mengak gakibatk atkan
kerusa rusak kan
sya syara0 ra0
(neuropathy# neuropathy #,
kerusakan
ginjal
(nephropathy#, nephropathy #, dan dan keru kerusa saka kan n mata mata (retinopathy#.K retinopathy#.Keru erusak sakan an pada pada syara0 syara0
1
dikenal sebagai diabeti% neuropathy, yang biasanya merupakan komplikasi utama dari diabetes. ejala-gejalnya dapat meliputi numbness, tingling, nyeri, dan dan sens sensas asii nyer nyerii lain lainny nya, a, yang yang bisa bisa meny enyebab ebabka kan n keru kerusa saka kan n pada pada kulit.K kulit.Keru erusaka sakan n pada pada ginjal ginjal dikena dikenall sebagai sebagai diabeti diabeti%% nephro nephropat pathy hy,, dapat dapat menimbulkan parut, kehilangan protein, dan kadang-kadang mengalami ginjal kronis, kronis, yang yang kadang kadang-ka -kadan dang g memerlu memerlukan kan dialisa dialisa atau transpla transplanta ntasi si ginjal. ginjal. 6erak 6erakhir hir kerusa kerusakan kan pada pada mata mata dikena dikenall sebaga sebagaii diabet diabeti% i% retinop retinopathy athy,, yang yang dise diseba babk bkan an oleh oleh keru kerusa saka kan n pemb pembul uluh uh dara darah h pada pada reti retina na,, dan dan dapa dapatt mengakibatkan kehilangan penglihatan se%ara berangsur dan akhirnya buta. Dalam Dalam rangk rangkaa mene meneka kan n juml jumlah ah pend pender erita ita diabe diabetes tes dan dan juga juga sebag sebagai ai langkah pen%egahan,diperlukan pemahaman yang baik tentang penyakit ini. anyak anyak %ara yang dapat dilakukan dilakukan untuk menekan jumlah penderita penderita diabetes serta langkah pen%egahannya. 7etidaknya ada 4 %ara untuk men%egah atau menanggulangi penyakit diabetes antara lain, pemahaman yang baik tentang penyakit diabetes, mengatur pola makan yang sehat, olahraga yang %ukup dan terakhir penggunaan obat jika hanya diperlukan. Namun pada kenyataannya, tingginya
jumlahpenderita
diabetes
mengindikasikan bah)a program-program di atas masih jauh dari kata sukses. al ini diperparah dengan 0akta bah)a diabetes dapat menurun se%ara ertikal pada keturunannnya, meskipun demikian tidak berarti pasti menurun pada keturunanny keturunannya. a. &alaupun alaupun kedua kedua orang tuanya menderita menderita penyakit penyakit diabetes, diabetes, kada kadang ng-k -kad adan ang g ada ada anak anakny nyaa yang yang tida tidak k mend mender erit itaa diab diabet etes es.. Namu Namun n diband dibanding ingkan kan dengan dengan orang orang tua yang yang mender menderita ita diabet diabetes, es, jelas jelas pender penderita ita penyakit diabetes lebih %enderung mempunyai keturunan yang menderita penyakit diabetes.
2
7elain itu, penyakit diabetes ini juga mudah menyerang pada indiidu yang
berbadan
besar
(kegemukan#
dengan
gaya
hidup
tinggi
(Misnadiarly,!""'#. $enyakit ini juga diduga ada hubungannya dengan pola hidup yang berubah seperti pola makan yang tidak sehat. $ola makan di kotakota besar telah bergeser dari pola makan yang tradisional yang mengandung banyak karbohidrat dan serat, ke pola makan ke barat-baratan, dengan kompos komposisi isi makana makanan n yang yang terlalu terlalu banyak banyak protein protein,, lemak, lemak, gula, gula, gram, gram, dan sedikit mengandung mengandung serat (7udoyo, (7udoyo, !""3218*#. !""3218*#. al ini juga menjelaskan bah)a interaksi dengan orang yang mempunyai mempunyai kebiasaan buruk terhadap pola makan akan mempengaruhi kebiasaan pola makan kita. Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan untuk memprediksipenyebaran penyakit diabetes.Model matematika pada penyakit diabetes akan dibahas dalam makalah ini yang melibatkan interaksi sosial antara manusia dalam konteks hubungan hubunganinterak interaksi si sosial. 6ransmisi 6ransmisi ertikal ertikal pada 0aktor kelahiran akan diakomodir pula dalam modeluntuk men%akup 0akta bah)a terjadi penurunan penurunan si0at pada penyakit penyakit diabetes.erdasarkan diabetes.erdasarkan latar belakang di atas, penulis tertarik melakukan penelitian tentang 9Model Matematika Penyakit Diabetes : B. RUMU RUMUSA SAN N MAS MASAL ALAH AH erdas erdasark arkan an latar latar belakan belakang g yang yang telah telah diuraik diuraikan an sebelum sebelumnya nya,, maka maka
rumusan rumusan masalah masalah dalam dalam penelit penelitian ian ini adalah adalah 9agai 9agaiman manaa bentuk bentuk model model matematika penyakit diabetes? diabetes?: C. PENDEA! PENDEA!AN DAN PER!AN" PER!AN"AAN AAN PENEL#!#AN PENEL#!#AN $ende endek katan atan yang ang digu igunak nakan adal adalah ah stu studi kepu epustak stakaa aan n
den dengan gan
menggunakan buku-buku atau sumber yang relaan pada pembentukan model matematika penyakit diabetes dengan pengaruh trasmisi ertikal
3
;dapun pertanyaan penelitian adalah2 1. agaimana agaimana bentuk bentuk model matematika matematika penyakit penyakit diabetes< diabetes< !. agaimana hasil hasil analisis dari model model matematika matematika penyakit diabetes< D. !U$UAN !U$UAN PENEL PENEL#!# #!#AN AN ;dapun tujuan penelitian ini adalah 2 Membentuk model matematika matematika penyakit diabetes diabetes E. MAN% MAN%AA! AA! PENEL PENEL#!# #!#AN AN Melalui penelitian ini diharapkan dapat2 1. Menamb Menambah ah )a)asan )a)asan dan ilmu ilmu pengetah pengetahuan uan bagi bagi peneliti peneliti dan pemba%a pemba%a tentang penyakit diabetes serta %ara penangulangannya. !. 7eba 7ebaga gaii in0o in0orm rmasi asi bagi bagi maha mahasi sis)a s)a teru terutam tamaa dalam dalam memb memben entu tuk k mode modell matematika penyakit diabetes.
BAB ## !#N$AUAN PUS!AA 1. a&ian a&ian !e !entang ntang Penyak Penyakit it Diabete Diabetess 1.1 Penyakit Penyakit Diabete Diabetess Diab Diabete etess atau atau diab diabet etes es melit melitus us (DM# (DM#me meru rupa paka kan n nama nama lain lain dari dari
penyakit ken%ing manis ataupenyakit gula darah.Diabetes tergolong kedalam kedalam penyak penyakit it kronis kronis yang yang ditand ditandai ai dengan dengan pening peningkat katan an kadar kadar gula gula dalam darah sebagai akibat adanya gangguan sistem metabolisme dalam tubuh, dimana organ pankreas tidak mampu memproduksi hormon insulin sesuai kebutuhan tubuh. ormon insulin ber0ungsi untuk meme%ah gula yang ada dalam tubuh. Diabet Diabetes es dapat dapat juga juga dide0i dide0inis nisika ikan n sebagai sebagai ganggu gangguan an yang yang ditand ditandai ai oleh oleh berlebi berlebihny hnyaa gula gula dalam dalam darah darah (hyperg hyperglyce lycemia mia)) serta serta ganggu gangguan an gangguan metabolisme karbonhidrat, lemak dan protein.
4
7iste istem m
pen%e en%ern rnaa aan n
mem meme%ah e%ah
karb arbohid ohidra ratt
menj menjad adii
glu glukosa kosa..
;pabil ;pabilagl agluko ukosa sa disera diserap p ke pembul pembuluh uh darah, darah, kadar kadar glukos glukosaa darah darah akan akan mening meningkat kat.. $ankre $ankreas as mengel mengeluar uarkan kan hormo hormon n insuli insulin n yang yang memban membantu tu memasukkan glukosa dari darah ke sel untuk digunakan sebagai energi. Diabetes Melitus adalah penyakit yang ditandai oleh ketidak mampuan tubuh untuk memasukkan glukosa dari darah ke sel. Dengan demikian sel kekurangan kekurangan glukosa, glukosa, sedangkan sedangkan darah mengandun mengandung g glukosa glukosa berlebihan. berlebihan. luko lukosa sa darah darah yang yang sangat sangat tinggi tinggi dapat dapat mengak mengakiba ibatka tkan n koma koma bahkan bahkan sampai mati. Diabetes Melitus dapat merusak merusak pembuluh pembuluh darah, sara0 tepi, jantung, ginjal dan mata. (dr &ara, &ara, $engantar Kesehatan# 1.' Penyebab Penyakit Diabetes Melit(s
$enyebab DM adalah kurangnya produksi dan ketersediaan insulin dalamtubuh yang men%ukupi maka tidak dapat bekerja se%ara normal atau terja terjadi diny nyaa gang ganggu guan an 0ung 0ungsi si insu insuli lin. n. =nsu =nsulin lin berp berpera eran n utam utamaa dalam dalam mengatur kadar glukosa dalam darah, yaitu '"-1!" mg>dl )aktu puasa dan diba)ah 14" mg>dl pada dua jam sesudah makan (orang normal# (?niersitas 7umatera ?tara# Kekurangan =nsulin disebabkan karena terjadinya kerusakan sebagian ke%il atau sebagian besar dari sel-sel beta pulau langerhans dalam kelenjar penkreas yang ber0ungsi menghasilkan insulin. ;da beberapa 0aktor yang menyebabkan DM sebagai berikut 2 a. Genetik Genetik atau atau Faktor Faktor Keturu Keturunan nan
5
Diabetes mellitus %enderung diturunkan atau di)ariskan, bukanditularkan. ;nggota keluarga
penderita
DM
memiliki
kemungkinan lebih besarterserang penyakit ini dibandingkan dengan anggota keluarga yang tidakmenderita DM. $ara ahli kesehatan juga menyebutkan DM merupakan penyakityang terpaut kromosom
seks.
iasanya
kaum
laki-laki
menjadi
penderitasesungguhnya, sedangkan kaum perempuan sebagai pihak yang memba)a genuntuk di)ariskan kepada anak-anaknya. b. Asupan Makanan Diabetes mellitus dikenal sebagai penyakit yang berhubungan denganasupan makanan, baik sebagai 0a%tor penyebab maupun pengobatan. ;supanmakanan yang berlebihan merupakan 0a%tor risiko pertama yang diketahuimenyebabkan DM. 7alah satu asupan makanan tersebut yaitu asupankarbohidrat. 7emakin berlebihan asupan makanan semakin besar kemungkinanterjangkitnya DM. c. Obesitas @etensi insulin paling sering dihubungkan dengan kegemukan atauobesitas. $ada kegemukan atau obesitas, sel-sel lemak juga ikut gemuk dan selseperti ini akan menghasilkan beberapa /at yang digolongkan sebagaiadipositokin yang jumlahnya lebih banyak dari keadaan pada )aktu tidakgemuk. Aat-/at itulah yang menyebabkan resistensi terhadap insulin. (?niersitas 7umatera ?tara# 1.) $enis * $enis Diabetes Melit(s ;da tiga bentuk diabetes melitus, yaitu tipe 1, tipe !, dan diabetes
gestasional.
6
a. Diabetes melitus tipe 1 Diabetes melitus tipe 1 adalah hasil kegagalan tubuh dalam memproduksi insulin. Diperkirakan ada sekitar 5 1" + penderita diabetes didiagnosa menderita diabetes tipe 1. Diabetes militus tipe 1 juga disebut insulin-epenent iabetes mellitus (=DDM#, yaitu diabetes yang tergantung pada insulin atau diabetes anak anak. Biri khusus diabetes tipe 1 adalah hilangnya sel beta penghasil insulin pada pulau pulau !angerhans "ankreas sehingga terjadi kekurangan insulin pada tubuh. $enyebab utama kehilangan sel bata pada diabetes tipe 1 adalah kesalahan reaksi autoimunitas yang menghan%urkan sel beta pankreas. @eaksi autoimunitas tersebut dapat dipi%u oleh adanya in0eksi pada tubuh. 7aat ini diabetes tipe 1 hanya dapat diobati dengan metode suntik insulin dan memantau tingkat glukosa yang ketat menggunakan alat monitor pengujian darah. $era)atan pada penderita diabetes tipe 1 harus dilakukan se%ara kontinu. 6anpa bantuan insulin, penyakit ini dapat mennyebapkan penderita koma atau bahkan kemati an. b. Diabetes militus tipe # Diabetes melitus tipe ! adalah hasil dari penolakan atau kegagalan tubuh menggunakan /at insulin, yaitu suatu kondisi dimana sel gagal untuk menggunakan insulin dengan benar. Diabetes melitus tipe ! disebut juga dengan non-insulinepenent iabetes mellitus (N=DDM# atau diabetes yang tidak bergantung pada insulin. Diabetes seperti ini terjadi karena kombinasi karena kekurangan produksi insulin dan resistensi terhadap insulin atau
7
berkurangnya
kemampuan
terhadap
penggunaan
insulin
yang
melibatkan reseptor insulin di membran sel. 6idak ada %ara penyembuhan yang pasti untuk penyakit diabetes melitus tipe ! meski baru baru ini operasi by pass lambung di klaim dapat menormalkan kadar glukosa darah men%apai 8" + pada penderita obesitas dengan diabetes. c. Diabetes gestational Diabetes gestational terjadi pada )anita hamil yang belum pernah menderita diabetes, tetapi memiliki angka gula darah yang %ukup tinggi selama kehamilan. Diabetes ini terjadi akibat sekresi insulin relati0 tidak memadai dan responsi0. Diabates gestational dapat diobati sepenuhnya, akan tetapi harus melalui penga)asan medis selama kehamilan. Meskipun mungkin bersi0at sementara, diabetes gestational yang tidak ditangani dapat berpotensi merusak kesehatan janin dan ibu. (7utanto, !"1" 2 15" 154# 1.+ ,e&ala Penyakit Diabetes Diabetes melitus mempunyai %iri yang sangat spesi0ik yaitu dapat
dilihat dari kondisi badan dan pemeriksaan kadar gula. 6anda umum gejala penyakit diabetes melitus, yaitu 2 a. $anyak kecing %poliuria) $enderita diabetes melitus biasanya sering buang air ke%il, terutama saat malam hari. b. $anyak minum tapi sering merasa haus %poliipsia) $enderita diabetes melitus akan merasa haus terus menerus sepanjang hari. @asa haus ini sebagai penyeimbang terhadap air yang selalu dikeluarkan melalui air ken%ing. c. $anyak makan tapi sering merasa lapar %poli&agia)
8
$enderita diabetes melitus sering merasa lapar karena gula darah tidak dipe%ah menjadi energi. =ni terjadi karena jumlah insulin tidak %ukup untuk meme%ah gula tersebut. 7ehingga gula yang tidak terpe%ah itu akan terba)a air ken%ing saat penderita buang air ke%il. (7oeryoko, !"11 2 11 1!# 7e%ara umum ada tiga kebiasaan yang bertambah dan satu hal yang berkurang pada penderita diabetes melitus, yaitu 2 a. b. %. d.
ertambahnya 0rekuensi makan ertambahnya 0rekuensi minum ertambahnya 0rekuensi buang air ke%il erkurangnya berat badan (7oeryoko, !"11 2 1#
1.- omlikasi Penyakit Diabetes Diabetes melitus merupakan penyakit akibat gangguan metabolisme
yang perlu dikontrol setiap saat. Kelalaian dalam mengontrol penyankit diabetes dapat menyebabkan terjadinya penyakit komplikasi. Komplikasi diabetes melitus dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu 2 a. Komplikasi iabetes melitus bersi&at menaak %akut) Komplikasi ini terjadi se%ara mendadak > tiba tiba, baik pada penderita baru maupun penderita yang sudah lama. Komplikasi yang mun%ul se%ara tiba tiba adalah sebagai berikut 2 i. 'ipoglikemia ipoglikemia adalah suatu keadaan di mana kadar gula darah darah di ba)ah kadar gula darah normal. ipoglikemia dapat menyebabkan sistem organ tubuh terganggu, sehingga banyak orgsn tubuh yang tidak dapat menjalankan 0ungsinya karena kekurangan glukosa. ii. Koma Diabetic
9
Koma diabeti% adalah keadaan tidak sadar diri (koma# se%ara mendadak pada penderita diabetes melitus yang disebkan karena kadar gula darah yang sangat tinggi. iii. Koma 'iperosmolar (onketotik Koma iperosmolar Nonketotik adalah suatu keadaan tubuh tanpa penimbunan lemak. Keadaan ini mengakibatka penderita
i.
diabetes melitus mengalami permasalahan saat berna0as. Koma !akto Asiosis Koma lakto asidosis adalah suatu keadaan tubuh dimana asam laktak tidak dapat diubah menjadi bikarbonat. 7ehingga dapat meningkatkan kadar asam laktat di dalam darah. ika jumlah asam laktat melebihi batas normal, maka penderita diabetes dapat
mengalami koma > tidak sadarkan diri. b. Komplikasi iabetes melitus bersi&at menahun %kronis) Komplikasi ini mun%ul setelah beberapa tahun menderita diabetes. $ada penderita diabetes melitus yang telah lama dapat menyebapkan rusaknya pembuluh darah ke%il maupun pembuluh darah besar. leh karena itu komplikasi kronis dibagi dua, yaitu 2 komplikasi khusus dan komplikasi umum. i. Komplikasi Khusus Komplikasi khusus (spesi0ik# terjadi karena adanya kelainan pembuluh darah ke%il pada tubuh. $embuluh darah ke%il yang paling rentan menderita akibat diabetes adalah mata, ginjal, dan kaki. Komplikasi spesi0ik dibagi menjadi 4 bagian berdasarkan anggota tubuh, yaitu 2 a# @etinopati Diabetik @etinopati diabeti% merupakan komplikasi diabetes melitus yang ditandai adanya gangguan pembuluh darah retina
10
mata. angguan ini berupa kebo%oran maupun sumbatan pada retina mata, sehingga menyebabkan penumpukan %airan yang mengandung lemak. b# Neuropati Diabetik Komplikasi neuropati
diabetik
diatandai
dengan
menurunnya sensitiitas kulit terhadap dingin, panas, dan getaran. Bontohnya yaitu kesemutan dan panas pada ujung jari. %# Ne0ropati Diabetik Komplikasi ne0ropati diabetik adalah terjadinya gangguan
0ungsi
pada
ginjal.
Bontohnya
proteinuria,
pembengkakan, hipertensi, dan gagal ginjal. d# Diabetik Coot Diabeti% 0oot adalah keadaan luka pada kaki akibat
ii.
diabetes melitus. Komplikasi *mum Komplikasi ini dapat terjadi karena beberapa hal, antara lain kelainan pembuluh darah besar. Bontohnya adalah 2 a# angren angren adalah luka membusuk yang terjadi karena diabetes. uka ini bisa terjadi di seluruh tubuh. Namun, lokasi pembusukan a)al biasanya dimulai dari kaki kemudian menyebar keseluruh tubuh. b# ;therosklerosis ;therosklerosis adalah
penimbunan
lemak
yang
menempel pada dinding sebelah dalam pembuluh darah arteri. ;kibatnya, tingkat kelenturan pembuluh darah akan menurun dan
pembuluh
darah
akan
menjadi
rapuh.
7elain
itu
atherosklerosis juga dapat menyebabkan hipertensi, sakit jantung, stroke, dan gagal ginjal.
11
%# Katarak Katarak adalah penyakit mata yang ditandai dengan kekeruhan mata. Mata yang menderita katarak seperti dilapisi plastik yang dapat mengganggu pandangan. $ada umumnya, katarak timbul pada usia senja, namun pada penderita diabeetes melitus, katarak dapat timbul pada usia muda. d# 6B $aru 6B paru memiliki hubungan yang sangat erat dengan diabetes melitus. akteri dan kuman sangat mudah berkembang biak pada kondisi kadar gula darah yang sangat tinggi. e# =n0eksi 7aluran Ken%ing =n0eksi saluran ken%ing terjadi karena lemahnya pertahanan tubuh sehingga kuman mudah menyerang. 0# @adang Mulut @adang mulut akibar diabetes melitus dimulai dari radang gusi kemudian berkelanjut menjadi gigi mudah lepas. g# $embekuan Darah tak Diabetes mempunyai resiko meningkatkan pembekuan darah otak. Kadar gula yang tinggi menyebabkan darah menjadi lebih kental dan mengakibatkan rapuhnya pembuluh darah. ika pembuluh darah yang mengalami kerapuhan adalah pembuluh darah otak maka resiko terjadi pembekuan darah otak sangat besar. h# antung Koroner Diabetes
melitus
menyebabkan
mun%ulnya
artherosklerosis. ila tidak segera diatasi, endapan tersebut akan mengganggu aliran darah pada jantung. (7oeryoko, !"11 213 - !'# Komplikasi diabetes melitus dapat terjadi karena beberapa hal, antara lain 2
12
i.
$asien suka melanggar larangan yang berhubungan dengan
penyakit tersebut. ii. 7emakin lemahnya organ tubuh yang berhubungan dengan penyakit diabetes melitus mengakibatkan organ tersebut tidak dapat bekerja dengan baik. (7oeryoko, !"11 2 !'# 1./ Pen0egaan Penyakit Diabetes
?ntuk penanggulang diabetes, setiap penderita diabetes mempunyai %ara dan kebiasaan yang berbeda-beda. ;da yang minum obat, terapi, dan ada pula yang minum herbal. ?paya pen%egahan penyakit diabetes melitus terdiri dari empat tahap yaitu pen%egahan primordial, pen%egahan primer, pen%egahan sekunder, dan $en%egahan 6ersier. a. "encegahan "rimorial $en%egahan primordial yaitu pen%egahan kepada orang-orang yang masih sehat agar tidak memilki 0aktor resiko untuk terjadinya DM. Edukasi
sangat
penting
peranannya
dalam
upaya
pen%egahan
primordial. 6indakan yang perlu dilakukan seperti
penyuluhan
mengenai pengaturan gaya hidup, pentingnya kegiatan jasmani teratur, pola makan sehat, menjaga badan agar tidak terlalu gemuk dan menghindari obat yang bersi0at diabetagenik. b. "encegahan "rimer $en%egahan primer yaitu pen%egahan kepada mereka yang belum terkena DM namun memiliki 0aktor resiko yang tinggi dan berpotensi untuk terkena penyakit DM.
13
$ada pen%egahan primer ini masyarakat harus mengenal 0aktor 0aktor yang berpengaruh terhadap terjadinya penyakit DM dan upaya untuk mengeliminasi 0aktor-0aktor tersebut. erikut ini adalah upaya dari pen%egahan primer yaitu 2 i. $enyuluhan Materi yang perlu diberikan kepada masyarakat tentang penyakit diabetes melitus antara lain adalah de0inisi penyakit DM, 0aktor-0aktor yang berpengaruh pada timbulnya penyakit DM serta upaya-upaya untuk menekan penyakit DM, pengelolaan penyakit DM se%ara umum, pen%egahan dan pengenalan komplikasi
ii.
penyakit DM, serta pemeliharaan kaki. atihan asmani atihan jasmani yang teratur (-4 kali seminggu selama kurang lebih " menit# memegang peran penting dalam pen%egahan primer terutama pada DM 6ipe !. rang yang tidak berolah raga memerlukan insulin ! kali lebih banyak untuk menurunkan kadar glukosa dalam darahnya dibandingkan orang yang berolah raga. Man0aat latihan jasmani yang teratur pada penderita DM antara lain adalah 2 Memperbaiki metabolisme yaitu menormalkan kadar glukosa darah dan lipid darah, meningkatkan kerja insulin dan meningkatkan jumlah pengangkut glukosa, membantu menurunkan berat badan, meningkatkan kesegaran jasmani dan rasa per%aya diri, serta mengurangi resiko penyakit kardioaskular. atihan jasmani yang dimaksud dapat berupa jalan, bersepeda santai, jogging, dan berenang. atihan jasmani sebaiknya
iii.
disesuaikan dengan umur dan status kesegaran jasmani. $eren%anaan $ola makan
14
$eren%anaan pola makan yang baik dan sehat merupakan kun%i sukses supaya terbebasdari penyakit DM. 7eluruh penderita harus melakukan diet dengan pembatasan kalori, terlebih untuk penderita dengan kondisi kegemukan. Menu dan jumlah kalori yang tepat umumnya dihitung berdasarkan kondisi penderita. $eren%anaan makan merupakan salah satu pilar pengelolaan DM, meski sampai saat ini tidak ada satupun peren%anaan makan yang sesuai untuk semua penderita, namun ada standar yang dianjurkan yaitu makanan dengan komposisi yang seimbang dalam karbohidrat, protein, dan lemak sesuai dengan ke%ukupan gi/i baik yakni sebagai berikut2 Karbohidrat F '"-*" +, $rotein F 1"-15 +, dan emak F !"-!5 +. umlah asupan kolesterol disarankan G "" mg>hari dan diusahakan lemak berasal dari sumber asam lemak tidak jenuh dan membatasi $?C; ( "oly *nsaturate Fatty Aci # dan asam lemak jenuh. umlah kalori disesuaikan dengan pertumbuhan, status gi/i, umur, ada tidaknya stress akut dan kegiatan jasmani . c. "encegahan +ekuner $en%egahan sekunder adalah upaya untuk men%egah atau menghambat timbulnya komplikasi dengan tindakan-tindakan seperti tes penyaringan yang ditujukan untuk pendeteksian dini DM serta penanganan segera dan e0ekti0. 6ujuan utama kegiatan-kegiatan pen%egahan sekunder adalah untuk mengidenti0ikasi orang-orang tanpa
15
gejala yang telah sakit atau penderita yang beresiko tinggi untuk mengembangkan atau memperparah penyakit. Memberikan pengobatan penyakit sejak a)al sedapat mungkin dilakukan
untuk
men%egah
kemungkinan
terjadinya komplikasi
menahun. Edukasi dan pengelolaan DM memegang peran penting untuk meningkatkan kepatuhan pasien berobat. i. Diagnosis Dini Diabetes Mellitus Dalam menetapkan diagnosis DM bagi pasien biasanya dilakukan dengan pemeriksaan kadar glukosa darahnya. $emeriksaan kadar glukosa dalam darah pasien yang umum dilakukan adalah 2 a# $emeriksaan kadar glukosa darah setelah puasa. Kadar glukosa darah normal setelah puasa berkisar antara *"-11" mg>dl. 7eseorang didiagnosa DM bila kadar glukosa darah pada pemeriksaan darah arteri lebih dari 1!' mg>dl dan lebih dari 14" mg>dl jika darah yang diperiksa diambil dari pembuluh ena. b# $emeriksaan kadar glukosa darah se)aktu. ika kadar glukosa darah berkisar antara 11"-133 mg>dl, maka harus dilakukan test lanjut. $asien didiagnosis DM bila kadar glukosa darah pada pemeriksaan darah arteri ataupun ena lebih dari !"" mg>dl. %# 6est 6oleransi lukosa ral (66#. 6est ini merupakan test yang lebih lanjut dalam pendiagnosaan DM. $emeriksaan dilakukan berturut-turut
16
dengan nilai normalnya 2 ",5 jam G 115 mg>dl, 1 jam G !""
ii.
mg>dl, dan ! jam G 14" mg>dl. $engobatan 7egera =nterensi 0akmakologik ditambahkan jika sasaran glukosa darah belum ter%apai dengan pengaturan makanan dan latihan jasmani. Dalam pengobatan ada ! ma%am obat yang diberikan yaitu pemberian se%ara oral atau disebut juga bat ipoglikemik ral (# dan pemberian se%ara injeksi yaitu insulin. dibagi menjadi golongan yaitu 2 pemi%u sekresi insulin (7ul0onilurea dan linid#, penambah sensitiitas terhadap insulin (Met0ormin dan 6ia/olidindion#,
penambah
absobsi
glukosa
(penghambat
glukosidase al0a#. 7elain ! ma%am pengobatan tersebut, dapat juga dilakukan dengan terapi kombinasi yaitu dengan memberikan kombinasi dua atau tiga kelompok jika dengan tunggal sasaran kadar glukosa darah belum ter%apai. Dapat juga menggunakan kombinasi kombinasi dengan insulin apabila ada kegagalan pemakaian baik tunggal maupun kombinasi. . "encegahan ,ersier $en%egahan tersier yaitu usaha men%egah agar tidak terjadi ke%a%atan lebih lanjut )alaupun sudah terjadi komplikasi. Dalam upaya ini diperlukan kerjasama yang baik antara pasien pasien dengan dokter mapupun antara dokter ahli diabetes dengan dokter-dokter yang terkait dengan komplikasinya. $enyuluhan juga
17
sangat dibutuhkan untuk
meningkatkan motiasi pasien untuk
mengendalikan penyakit DM. Dalam penyuluhan ini yang perlu disuluhkan mengenai 2 i. ii. iii.
Maksud, tujuan, dan %ara pengobatan komplikasi kronik diabetes ?paya rehabilitasi yang dapat dilakukan Kesabaran dan ketak)aan untuk dapat menerima dan
meman0aatkan keadaan hidup dengan komplikasi kronik. (?niersitas 7umatera ?tara# '. Model Matematika '.1 De2inisi Model Matematika Model matematika merupakan representasi dari sistem-sistem 0isik atau problem dunia nyata dalam pernyataan matematika. Model matematika banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu dan bidang studi, misalnya bidang 0isika, ilmu biologi dan kedokteran, ilmu sosial, ekonomi dan sebagainya. (&ido)ati, !""* 2 !# Model matematika terdiri dari tiga jenis, yaitu model empiris, model simulasi, dan model stokastik dan deterministik. a. Model Empiris $ada model empiris, data yang berhubungan dengan masalah menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan utama adalah mengkonstruksi 0ormula (persamaan# matematika yang dapat menghasilkan gra0ik yang terbaik untuk men%o%okan data. b. Model 7imulasi Dalam pendekatan ini, program komputer ditulis bersdasarkan aturan-aturan. ;turan-aturan ini diper%aya untuk membentuk suatu proses atau 0enomena yang akan berjalan terhadap )aktu dalam kehidupan nyata. %. Model Deterministik dan 7tokastik
18
Model deterninistik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk mempresentasikan hubungan antara berbagai komponen (ariabel# suatu sistem atau masalah. 7uatu %ontoh adalah persamaan di0erensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas (yang dinyatakan dengan ariabel tak bebas dari persamaan# dan )aktu sebagai ariabel bebas. Diberikan syarat a)ak yang sesuai untuk memprediksi perilaku sistem model. (&ido)ati, !""* 2 1-!# '.' Proses Pembent(kan Model
angkah-langkah
yang
dilakukan
dalam
pembentukan
model
matematika dapat dinyatakan dalam bagan berikut2
Dunia Real
Problem Dunia Real
Dunia Matematika
Problem Matematika
Membuat Asumsi
Formulasi Persamaan / Pertiaksamaan
$olusi Dunia Real
Pen!elesaian Persamaan / Pertiaksamaan "nter#retasi $olusi
%anin&kan Data
19
,ambar '.1 Proses Pemodelan Matematika
erdasarkan bagan di atas, langkah-langkah pembentukan model matematika dapat dinyatakan sebagai berikut2 1
Menyatakan problem dunia nyata kedalam bentuk problem matematika. Menyatakan problem pada dunia nyata ke bentuk problem matematika dilakukan
!
dengan
membuat
pertanyaan
untuk
permasalahan
dan
menentukan 0aktor yang dianggap penting atau sesuai dengan permasalahan. Membuat ;sumsi
20
;sumsi dibuat dengan melihat hubungan antar 0aktor yang terpilih pada langkah 1. ubungan ditentukan oleh hukum yang berlaku dalam permasalahan tersebut. Mem0ormulasikan persamaan ?ntuk menyatakan hubungan antar asumsi, dilakukan dengan men0ormulasikan persamaan atau sekumpulan persamaan menjadi model matematika. 4
Melakukan ;nalisis $ada langkah ini akan di%ari solusi dari persamaan yang telah
5
diperoleh dari langkah . Melakukan $engujian Model yang diperoleh dilakukan pengujian dengan membandingkan
'
hasil atau solusi yang didapat dengan keadaan sebenarnya. Menginterpretasikan Model Menerjemahkan solusi matematika yang telah didapat ke dalam
*
keadaan yang sesungguhnya. 7olusi dunia nyata ika langkah diatas membentuk hasil yang sesuai dengan keadaan yang sebenarnya, maka diperoleh solusi dunia nyata. (&ido)ati, !""* 2 #
). !eori Persamaan Di2erensial ).1 Persamaan Di2erensial
De&inisi 1 $ersamaan di0erensial ($D# adalah suatu persamaan yang memuat turunan dari satu ariabel terikat terhadap satu atau lebih ariabel bebas. ( @oss, 138321# $ersamaan di0erensial dapat dibedakan menjadi persamaan di0erensial biasa ($D# dan persamaan di0erensial parsial ($D$#.
21
De&inisi # $ersamaan di0erensial biasa ($D# adalah suatu persamaan yang memuat turunan biasa dari satu ariabel terikat terhadap satu ariabel bebas. ( @oss, 13832!# Conto 13
dy =3 x − y dx De&inisi $ersamaan di0erensial parsial ($D$# adalah suatu persamaan yang memuat turunan parsial dari satu ariabel terikat terhadap lebih dari satu ariabel bebas. (@oss, 13832!# Conto '3 2
2
2
∂ u ∂ u ∂ u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂ y ∂ z erdasarkan kelinearan, persamaan di0erensial dapat dibagi menjadi dua, yaitu persamaan di0erensial linear dan persamaan di0erensial non linear, seperti yang dide0inisikan sebagai berikut2 De&inisi 7uatu persamaan di0erensial linear orde-n, dalam ariabel terikat y dan ariabel bebas /, adalah suatu persamaan yang berbentuk n n− 1 d y d y ( ) ( ) +a 1 x + ⋯ + a n−1 ( x ) dy + an ( x ) y =b ( x ) a0 x n n−1 dx dx dx
dimana
a0 ≠ 0 . (@oss, 13832#
22
$ersamaan di0erensial biasa dikatakan linear jika memenuhi
tiga
kondisi berikut (@oss, 13832#2 a. 6urunan atau ariabel terikatnya berpangkat satu. b. 6idak mengandung perkalian antara ariabel terikat dengan turunannya. %. 6idak mengandung 0ungsi transeden dalam ariabel terikat maupun turunannya. Conto )3 2 d x dx + + x =0 2 d y dy $ersamaan di0erensial yang tidak termasuk kriteria persamaan di0erensial linear disebut persamaan di0erensial nonlinear. Conto +3 2
d y dy + y −2 y =0 2 dx dx ).' Sistem Persamaan Di22erensial
7istem persamaan di0erensial dapat dikelompokkan berdasarkan bentuk persamaannya, yaitu sistem persamaan di0erensial linear dan sistem persamaan di0erensial non linear. De&inisi 0 Diberikan 7istem persamaan di0erensial linear orde satu berikut2
dx =´ x = A x + b ( t ) , dt Dimana ; adalah matriks koe0isien berukuran
nxn dan
b ( t )
0ungsi kontinu. 7istem tersebut dinamakan sistem persamaan di0erensial
23
b ( t )=0 maka sistem dikatakan homogen dan jika
linear orde satu. ika
b ( t ) ≠ 0 maka sistem dikatakan nonhomogen. ($erko, 133'2'"# Conto - 3 d x1
dt d x1 dt
F ! /1 /! 5 / F /1 3 /!H /
Persamaan i'erensial linear ore satu (omo&en
d x1 dt
F ' /1 H ! /! * /
De&inisi 7istem persamaan di0erensial nonlinear orde satu dinyatakan sebagai berikut2
x´ = f ( t , x )
dengan
()
x =
x1 ( t ) x2 ( t ) ⋮
, dan
xn ( t )
f 1 ( t , x 1 , … , x n ) n t , x1 , … , x¿
¿ ¿ ¿⋮
f 2(¿ f n (t , x 1 , … , x n ) ¿¿) f ( t , x ) =¿ ika f ( t , x )
0ungsi nonlinear pada x 1 , … , x n
maka sistem
disebut sebagai sistem persamaan di0erensial nonlinear. ($erko, 133'2'5# Conto /
24
da dt F db dt F
−¿ !a H 5a! Meru#akan sistem #ersamaan i'erensial nonlinear ore satu
−¿ b H 5a! H 8a
Model matematika penyakit diabetes dengan pengaruh transmisi ertikal berbentuk persamaan di0erensial nonlinear, sehingga untuk menganalisis model diperlukan teori kestabilan. +. !eori estabilan Dalam menganalisa kestabilan diperlukan titik tetap dari persamaan di0erensial. +.1 !itik !eta De&inisi 2 Diberikan sistem persamaan di0erensial berikut2
dx = f ( x , y ) dt dy = g ( x , y ) dt
ika titik
( x 0 , y 0 )
g ( x 0 , y 0 )= 0 , maka titik
f ( x 0 , y 0 )=0 dan
memenuhi persamaan
( x 0 , y 0 )
disebut titik tetap. (@oss, 13832'4#
Conto 4 3 Misalkan /(t # dan y(t # memenuhi sistem persamaan berikut 2 x´ F a/ 3 b/y
y´ 4 3cy 5 /y
I (1#
Dengan a6 b6 c6 dan adalah konstanta positi0. 6itik ( /" , y"# dikatakan titik tetap dari sistem persamaan (1#, jika 2 a/" 3 b/" y" F " 3cy" 5 /" y"F "
I (!#
25
Dengan menyelesaikan sistem persamaan (!# diperoleh dua titik
c tetap, yaitu 2 (","# dan ( d ,
a b #
?ntuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu sistem persamaan nonlinear, dapat dilakukan dengan melinearkan sistem persamaan di0erensial nonlinear tersebut. +.' Pelinearan
Diberikan sistem persamaan di0erensial nonlinear berikut
}
dx = f ( x , y ) dt ⋯ (3 ) dy = g ( x , y ) dt Karena sistem persamaan
di0erensial
(#
merupakan sistem
persamaan nonlinear, maka dilakukan pelinearan dengan menggunakan ekspansi 6aylor (lan%hard, !""!2 44# untuk suatu titik tetap. Misalkan titik tetap persamaan (1# adalah
u= x − x0 dan
v = y − y 0 , maka
( x 0 , y 0 ) . Misalkan
x =u + x 0 dan
7ehingga persamaan (1# dapat ditulis dalam bentuk
u dan
y = v + y 0 . v sebagai
berikut2
du d ( x − x 0) = = f ( x , y )= f ( x 0+ u , y 0 + v ) dt dt dv d ( y − y 0) = = g ( x , y ) =g ( x 0+ u , y 0 + v ) dt dt
26
maka didapatkan2 du = f ( x 0+ u , y 0 + v ) dt
dv = g ( x 0+ u , y 0 + v ) dt
$ada keadaan setimbang
f ( x 0 , y 0 )= g ( x 0 , y 0 ) = 0, dengan
menggunakan ekspansi 6aylor pada titik tetap
( x 0 , y 0 )
sehingga diperoleh
persamaan linear berikut2
f ( x , y )=f ( x 0 , y 0 )+
g ( x , y )= g ( x 0 , y 0 ) +
∂ f ( x0 , y 0 ) ∂x ∂ g ( x 0 , y 0 ) ∂x
( x − x ) + 0
( x − x 0 )+
∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂y ∂ g ( x 0 , y 0 ) ∂y
( y − y ) + φ ( x , y ) 0
( y − y 0 ) + φ2 ( x , y )
= = Karena f ( x 0 , y 0 ) g ( x 0 , y 0 ) 0, kemudian karena nilai
ke%il, sehingga nilai
φ
1
φ sangat
dapat diabaikan. 7istem persamaan (1# dapat
ditulis dalam bentuk matriks berikut2
( )(
)( )
du ∂ f ∂ f ( x 0 , y 0) ( x 0 , y 0) u dt ∂ x ∂ y = dv v ∂g ∂g x 0 , y 0 ) x 0 , y 0 ) ( ( dt ∂x ∂y
;tau dapat ditulis sebagai2
() ()
d u = A u dt v v
27
; merupakan matriks a%obi yang dihitung di titik
dimana matriks ja%obi dide0inisikan
[ ]
∂ f ∂x J = ∂g ∂x
∂ f ∂y ∂g ∂y
( x 0 , y 0 ) ,
.
?ntuk melihat kestabilan titik tetap, dibutuhkan nilai eigen dan ektor eigen yang dide0inisikan sebagai berikut 2 -. Nilai Eigen dan 5ektor Eigen
Dalam menganalisa kestabilan dari titik tetap maka dibutuhkan beberapa teori mengenai nilai eigen dan ektor eigen, berikut de0inisinya. De&inisi 7 ika A matriks n / n, maka ektor tak nol dalam @ n disebut ektor eigen dari A, jika A/ kelipatan skalar dari / yaitu2 A/ 4 8/ ,
untuk suatu skalar J.
7kalar J merupakan nilai eigen dari A dan / dikatakan ektor eigen yang bersesuaian dengan J. (;nton, 1332!**# !eorema 1
ika 9 adalah matriks n / n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekialen satu sama lain2 λ adalah nilai eigen dari 9. a. b. 7istem persamaan
( λI − J ) x =0
%. ;da ektor tak nol 6 di dalam R
mempunyai peme%ahan yang tak triial. n
, sehingga
J x = λ x .
28
d. J adalah peme%ahan riil dari persamaan karakteristik det ( λI − J )=0 . (;nton, 13382!8"# Kestabilan dari titik tetap dapat dilihat dari kondisi nilai eigen dari matriks a%obiannya. erikut klasi0ikasi kestabilan titik tetap berdasarkan nilai eigennya2 !abel '.1 lasi2ikasi estabilan !itik !eta Nilai eigen
Nilai eigen real λ1 , λ2 , dimana
!ie titik teta
arakteristik kestabilan
7impul 7impul
7tabil asimtotik 6ak stabil
7adel
6ak stabil
7piral 7piral
7tabil asimtotik 6ak stabil
$usat
7tabil tapi bukan stabil
λ1 ≤ λ 2< 0 0 < λ 1 ≤ λ2
Nilai eigen real λ1 , λ2 , dimana λ1 < 0 < λ2 Nilai eigen kompleks dimana λ1,2 =α±iβα > 0
λ1,2 =α±iβα > 0 Nilai eigen kompleks dimana λ1,2 =±iββ≠ 0
asimtotik 7umber2 Kohler (!""'2 451#
$ada kondisi tertentu nilai eigen dari matriks a%obian sulit ditemukan, analisis kestabilan titik tetap dapat dilakukan dengan kriteria kestabilan :outh 'ur;it< . /. riteria Routh Hurwith
29
De&inisi = Kriteria :outh-'ur;it< digunakan untuk menganalisis titik tetap suatu sistem apabila nilai eigen persamaan pada matriks a%obi sulit di%ari. (Edelstein, 13882!4# Diketahui sistem persamaan dengan k persamaan dan > ariabel sebagai berikut2
d X 1 = f 1 ( X 1 , X 2 , … , X k ) , dt d X 2 = f 2 ( X 1 , X 2 , … , X k ) , dt ⋮
d X k dt
= f k ( X 1 , X 2 , … , X k )
dengan matriks a%obi
J =
[
∂ f 1 ∂ X 1
∂ f 1 ∂ X 2
⋮
⋮
∂ f k
∂ f k
∂ X 1
∂ X 2
∂ f 1 ∂ X k
…
⋮
⋱
∂ f k
…
∂ X k
] + a1 λ k −1+ a2 λk −2 + … + ak =0 .
k
dan persamaan karakteristiknya λ
! , dengan
Diberikan matriks ur)it/
!= 1,2, … , k sebagai
berikut2
( )
a 1 1 0 a1 1 1=( a 1 ) , 2= , 3= a 3 a 2 a 1 , … , a 3 a2 a5 a4 a3
( )
(
! =
a1 a3
1
0
0
a1
… …
a2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
a 2 ! −1 a 2 ! −2 a2 ! −3 … a !
)
,…
30
dengan unsur baris ke l kolom ke m dari matriks ! yaitu2
{
a2 "− # untuk 0 < 2 " < # < k ! = 1 untuk 2 " = # 0 untuk 2 " < #atau 2 " > k + # ika semua nilai eigen dari matriks a%obi adalah real negati0 maka titik tetapnya adalah stabil. al ini terjadi jika dan hanya jika semua determinan
> = matriks ur)it/ adalah positi0 yaitu det ! 0, ! 1,2,3, … , k . Bontoh untuk k =2,3,4 diperoleh kriteria sebagai berikut2
k =2, a1> 0, a2 > 0 k =3, a1> 0, a3 > 0, a1 a2 > a3 2
2
k =4, a1 > 0, a3 > 0, a 4 > 0, a1 a2 a3 > a3 + a1 a 4
(Edelstein, 13882 !4# 4. Bilangan Rerod(ksi Dasar
?ntuk mengetahui penyebaran suatu penyakit, digunakan suatu bilangan yang menjadi ukuran untuk mengetahui apakah dalam populasi terjadi endemik atau tidak. ilangan tersebut dikenal dengan bilangan reproduksi dasar . eth%ote (!"""# menyatakan bah)a bilangan reproduksi dasar merupakan rasio yang menunjukkan jumlah indiidu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu indiidu in0eksi . ilangan @eproduksi Dasar 7 R$ 8 adalah rata-rata banyaknya indiidu rentan yang terkena atau menderita se%ara langsung oleh indiidu 31
lain yang sudah terkena atau menderita bila indiidu yang terkena atau menderita tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut2
< 1. ika R$ 1 , maka penyakit akan menghilang. =1 , maka penyakit akanmenetap (endemik#. !. ika R$ > . ika R$ 1 , maka penyakit akan meningkat menjadi )abah. (lyuss dan Kyry%hko, !""5# 7aat
R$ <1
artinya 1 indiidu yang terkena atau menderita
berkemungkinan tidak berhasil mengin0eksi 1 indiidu sehat lainnya sehingga pada kondisi ini dalam jangka )aktu tertentu, penyebaran penyakit semakin lama semakin sedikit hingga nantinya tidak ada penyebaran sama sekali. 7aat
R$=1
artinya 1 indiidu yang terkena atau menderita dapat mengin0eksi 1
indiidu sehat sehingga dalam jangka )aktu tertentu penyebaran penyakit
masih ada dan dapat me)abah. 7edangkan pada kondisi
R$ > 1 artinya 1
indidu terkena atau menderita dapat mengin0eksi lebih dari 1 indiidu yang sehat, sehingga dapat dipastikan penyakit akan me)abah. 9. Model Dasar S#S
Model 7=7 merupakan model penyebaran penyakit dengan 0ase kompartemen yaitu + dan . + %susceptible) adalah indiidu yang sehat namun rentan (tak kebal# terhadap penyakit dan %in&ectie) adalah indiidu yang terkena penyakit dan dapat menularkan penyakitnya. =ndiidu yang rentan ( + #
32
tersebut berinteraksi dengan indiidu yang terkena atau menderita ( #, sehingga terkena atau menderita suatu penyakit. Dalam model 7=7 ini, indiidu dalam kelas in0eksi dapat sembuh dengan pengobatan medis atau proses alam, sehingga masuk kelas sehat %susceptible), tetapi kesembuhan itu tidak mengakibatkan indiidu tersebut kebal, sehingga memungkinkan terkena atau menderita kembali dan masuk kelas in0eksi %in&ektie).
33
BAB ### PEMBAHASAN
Dalam bab ini, akan dibahas model matematika penyakit diabetes. A. Bent(k Model Matematika Penyakit Diabetes Mellit(s Model penyebaran penyakit diabetes mellitus merupakan salah satu
pengembangan model 7=7. $ada pembentukan model matematika penyakit diabetes ini selain pola hidup tidak sehat, transmisi ertikal pada 0aktor kelahiran akan diperhitungkan. 7ehingga proses pembentukan model penyakit ini, populasi dibagi menjadi kelompok, yaitu kelompok manusia se hat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pemba)a penyakit diabetes, kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes, dan kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes. Dalam pembentukan model matematika akan ditinjau 0aktor-0aktor yang mempengaruhi penyebaran penyakit diabetes. Dikha)atirkan antara kelompok manusia sehat tanpa gen pemba)a penyakit diabetes maupun sehat namun terdapat gen pemba)a penyakit diabetes dengan kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes dapat meningkatkan jumlah penderita penyakit diabetes. leh karena itu, akan dibentuk model matematika dan dari hasil analisis dapat dilihat 0akor-0aktor yang lebih berpengaruh dan dapat dikontrol dalam menekan jumlah penderita penyakit diabetes ?ntuk membentuk model matematika penyakit diabetes, ariable yang digunakan dalam model matematika penyakit diabetes ini adalah sebagai berikut2 1. kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pemba)a penyakit diabetes yang dilambangkan dengan 1
34
!. kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes yang dilambangkan dengan ! . kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat yang dilambangkan . Dengan demikian jumlah total populasi adalah N F 1 H ! H $arameter yang digunakan adalah p
2 peluang terlahirnya manusia sehat pada kelompok 1
L1 2 tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok ke kelompok 1 L! 2 tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok ke kelompok !
2 tingkat kematian natural 2 tingkat kematian yang diakibatkan oleh penyakit diabetes pada kelompok
O
2 tingkat kesembuhan orang yang telah terkena diabetes. angkah selanjutnya adalah membuat kerangka dasar model. al ini
dilakukan dengan menentukan asumsi yang akan digunakan dalam membentuk model matematika penyakit diabetes. ;sumsi yang digunakan dalam pembentukan model matematika penyakit diabetessebagai berikut 2 1. $opulasi manusia bersi0at tertutup dimana tidak terjadi imigrasi maupun emigrasi. !. 6otal populasi manusia bersi0at konstan sebesar N, artinya jumlah kelahiran akan sama dengan jumlah kematian se%ara alami . umlah kelahiran manusia yaitu sebesar ; 4. umlah kematian se%ara alami setiap kompartemen sama 5. 7etiap indiidu yang lahir diasumsikan rentan terkana penyakit diabetes mellitus
35
'. =ndiidu yang berada pada kelompok terkena penyakit diabetes dapat sembuh dari penyakit diabetes dengan tingkat kesembuhan dari indiidu yang terkena penyakit diabetes sebesar O *. =ndiidu yang telah sembuh dapat terkena penyakit diabetes kembali 8. =ndiidu yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat yang berada pada kelompok manusia terkena penyakit diabetes ( # apabila sembuh dari penyakit diabetes akan masuk ke kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes (!# erdasarkan asumsi diatas dapat dibuat diagram sebagai berikut2
* * #
+1
,1
,3
A -1. #
+2
)
,2
* ,ambar ).1Bagan Model Penyakit Diabetes
erdasarkan diagram diatas proses pembentukan model matematika penyakit diabetes adalah sebagai berikut 1. aju jumlah kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pemba)a penyakit diabetes dipengaruhi oleh2
36
i.
anyaknya jumlah manusia yang lahir sebesar ; dengan peluang terlahirnya manusia sehat tanpa gen penyakit diabetes sebesar p, yaitu sebanyak %A
ii.
esarnya tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompokmanusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat (
X 3 # ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak
terdapat gen pemba)a penyakit diabetes( X 1 # sebesar
peluang sebesar
X 1 X 3 &
− β 1 dengan
, yaitu sebanyak
− β 1 X 1 X 3 & iii.
anyaknya jumlah manusia yang mati se%ara natural pada kelompok manusia sehat tanpa gen pemba)a penyakit diabetes ( X 1 # sebesar
−' , yaitu sebanyak −' X 1 erdasarkan uraian di atas, maka perubahanjumlah kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pemba)a penyakit diabetes ( X 1 # terhadap satuan )aktu dipengaruhi oleh jumlah kelahiran manusia tanpa gen pemba)a penyakit diabetes perkapita dikurangi besarnya tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak
37
sehat ( X 3 # ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak
terdapat gen pemba)a penyakit diabetes( X 1 # dan dikurangi dengan jumlah manusia yang mati se%ara natural pada kelompok manusia sehat tanpa gen pemba)a penyakit diabetes ( X 1 # perkapita. 7ehingga diperoleh persamaan sebagai berikut2
d X 1 dt
= %A −
β1 X 1 X 3 &
− ' X 1
(1#
!. aju jumlah kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes dipengaruhi oleh2 i.
anyaknya jumlah manusia yang lahir sebesar ; dengan $eluang terlahirnya manusia sehat dengan gen penyakit diabetes yaitu sebesar (1 p#, yaitu sebanyak ( 1− % ) A
ii.
esarnya tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat (
X 3 # kekelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat
gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 # sebesar
sebesar
X 2 X 3 &
− β 2 dengan peluang
, yaitu sebanyak
− β 2 X 2 X 3 &
38
iii.
anyaknya jumlah manusia
yang matise%ara naturalpada kelompok
manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 #sebesar
−' , yaitu sebanyak
−' X 2 i.
anyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes namun dalam darahnya masih terkandung
gen penyakit diabetes sebesar
( , yaitu sebanyak
( X 3 erdasarkan
uraian
di
atas,
maka
perubahanjumlah
kelompokmanusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 # terhadap satuan )aktu dipengaruhi oleh jumlah kelahiran manusia dengan gen pemba)a penyakit diabetes perkapita dikurangi besarnya tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat ( X 3 # ke kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya
terdapat gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 # dikurangi dengan jumlah manusia
yang matise%ara naturalpada kelompok manusia sehat dimana
didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 # perkapita dan ditambah dengan banyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes namun dalam
39
darahnya masih terkandung gen penyakit diabetes. 7ehingga diperoleh persamaan sebagai berikut2
d X 2 dt
=( 1 − % ) A −
β2 X 2 X 3 &
− ' X 2+ ( X 3
(!#
. aju jumlah Kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes di pengaruhi oleh2 i.
esarnya tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat (
X 3 # ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak
terdapat gen pemba)a penyakit diabetes( X 1 # sebesar
peluang sebesar
X 1 X 3 &
β 1 dengan
, yaitu sebanyak
β 1 X 1 X 3 & ii.
esarnya tingkat trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat (
X 3 # kekelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat
gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 # sebesar β 2 dengan peluang
sebesar
X 2 X 3 &
, yaitu sebanyak
40
β 2 X 2 X 3 & iii.
anyaknya jumlah manusia yang mati se%ara natural pada kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 # sebesar
−' , yaitu sebanyak
−' X 3 i.
anyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat namun dalam darahnya masih terkandung gen penyakit diabetes sebesar
−( , yaitu sebanyak −( X 3 .
anyaknya jumlah manusia yang mati karena penyakit diabetes pada kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 # sebesar
−) , yaitu sebanyak −) X 3 erdasarkan uraian di atas, maka perubahanjumlah kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 # terhadap satuan )aktu dipengaruhi oleh besarnya
tingkat
trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 # ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen
41
pemba)a penyakit diabetes( X 1 # ditambah dengan besarnya
tingkat
trans0er pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 # ke kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pemba)a penyakit diabetes ( X 2 # dikurangi dengan banyaknya jumlah manusia yang mati se%ara natural pada kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 # dikurangi juga dengan banyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes namun dalam darahnya masih terkandung gen penyakit diabetes dan dikurangi dengan banyaknya jumlah manusia yang mati karena penyakit diabetes pada kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat ( X 3 #. 7ehingga diperoleh persamaan sebagai berikut2
d X 3 β 1 X 1 X 3 β2 X 2 X 3 dt
=
+
&
&
−( ' + ( + ) ) X 3 (#
7ehingga model matematika penyakit diabetes adalah sebagai berikut
{
d X 1 dt
= %A−
( 4 ) d X 2 = (1 − % ) A −
β 1 X 1 X 3
& β2 X 2 X 3
dt & d X 3 β 1 X 1 X 3 β 2 X 2 X 3 dt
=
&
+
&
− 'X 1
− 'X 2+ ( X 3 −( ' + ( + ) ) X 3
42
dengan A = ' ( X 1+ X 2 + X 3 ) dan & = X 1+ X 2 + X 3 B. Analisis Model matematika enyakit diabetes
$andang model penyakit diabetes dengan transmisi ertikal. Misal
* = ' + ( + ) , sistem persamaan (4# dapat dinyatakan kedalam bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut
{
d X 1 dt
β 1 X 1 X 3
= %A −
( 5 ) d X 2 =( 1− % ) A −
& β 2 X 2 X 3
−' X 1
− 'X 2 + ( X 3 & β X X β X X = 1 1 3 + 2 2 3 −* X 3 dt & &
dt d X 3
7elanjutnya akan ditentukan titik tetap dari system (5# diatas dengan menggunakan menggunakan de0inisi. 1. !itik !eta Model Matematika Penyakit Diabetes
6itik tetap merupakan titik keseimbangan dari sistem yang diperoleh pada saat
d X 1 dt
=0,
d X 2 dt
=0,
d X 3 dt
=0
7ehingga akan diperoleh system persamaan di0erensial berikut
%A−
β 1 X 1 X 3 &
− ' X 1= 0
('#
( 1− % ) A −
β 2 X 2 X 3 &
− ' X 2 + ( X 3=0
(*#
43
β 1 X 1 X 3 β 2 X 2 X 3
+
&
&
− * X 3= 0
(8# 6erdapat dua titik tetap dari model matematika penyakit diabetes tanpa transmisi ertikal yairu titik bebas penyakit diabetes dan titik bebes endemik diabetes.
=( ) a. !itik !eta Bebas Penyakit Diabetes +- X 1 , X 2 , X 3 0
0
0
6itik tetap bebas penyakit diabetes diartikan bah)a tidak ada indiidu yang terkena atau menderita penyakit diabetes, se%ara matematis
X 3= 0 . 7ubstitusikan nilai X 3= 0 kepersamaan ('# sampai (8# maka
%A−
β 1 X 1 X 3 &
− ' X 1= 0
Diperoleh ' X 1= %A −
' X 1= %A −
X 1=
('#
β 1 X 1 X 3 &
β 1 X 1 ( 0 ) &
%A '
%A = X 1 7ehingga ' 0
( 1− % ) A −
β 2 X 2 X 3 &
− ' X 2 +( X 3=0
(8#
44
' X 2=( 1− % ) A −
Diperoleh
' X 2= ( 1− % ) A −
X 2=
β 2 X 2 X 3 &
+ ( X 3
β 2 X 2( 0 ) + ( ( 0 ) &
( 1− % ) A '
7ehingga X 2 =
( 1− % ) A
0
β 1 X 1 X 3 β 2 X 2 X 3
+
&
&
'
− * X 3= 0
(3#
Diperoleh
β 1 X 1 X 3 β 2 X 2 X 3 &
+
&
− * X 3= 0
β 1 X 1 ( 0 ) β 2 X 2 ( 0 ) + −* ( 0 )=0 & &
7ehingga
X 3 = 0 0
Diperoleh titik tetap bebas penyakit diabetes adalah
+- =(
%A ( 1− % ) A , , 0) ' '
b. !itik !eta Endemik Penyakit Diabetes
--= ( X 1 , X 2 , X 3 )
6itik tetap Endemik penyakit diabetes diartikan bah)a terdapat
> indiidu yang terkena penyakit diabetes, maka X 3 0 .
45
7ehingga diperoleh titik tetap bebas penyakit diabetes dengan transmisi ertikal adalah
EE=X 1 *, -
(pA+γX 1 +δ X 1 - X1 β 1 )
,
X1 ( µ X1 β1 -µ X1 β1 -pA
δ β1 X1 - β 1 β2 X1 +γ β1 X1 +µ β 1 X1 -µ β2 X1 +pAβ2 δβ1 X1 - β1 β2 X 1 +γ β 1 X 1
entuk eksplisit dari titik EE tidak dapat ditunjukan dalam makalah ini se%ara eksplisit karena kompleksitas dari bentuknya. 6itik keseimbangan untuk X 1 P didapatkan dari akar persamaan
( ( β 2− ' + ( % −1 ) ) − ( ) β 1− β 2 ( %) −' )) A 2 β 2 % f ( . , x 1 )= X 1 Ax 1− −' (− β 2+ β 1 ) (− β 1+ ) ) −' (− β 2+ β1 ) (− β 1 + ) ) 2
Dimana Q adalah himpunan semua parameter dalam model persamaan (1# sampai (#. 6itik DCE merupakan titik keseimbangan dimana tidak terdapat orang yang terkena atau menderita oleh penyakit
diabetes di lapangan olehnya
X 3 bernilai ". ila diperhatikan, total
populasi manusia sehat yaitu
X 1 + X 2 ekialen dengan
A ' yang
dapat dipresentasikan bah)a total populasi manusia sebenarnya adalah rasio antara laju kelahiran dan laju kematian se%ara natural. 6itik keseimbangan yaitu EE merupakan titik keseimbangan dimana semua kompartemen eksis dilapangan. '. Analisis estabilan !itik !eta Model Matematika Penyakit Diabetes a. Matriks &a0obian
46
;nalisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan %ara menentukan nilai eigen dari matriks a%obi dari system (1#-(# yang diperoleh sebagai berikut
J (f (x )) =
( ) d f1
d f1
d f1
d X1 d f2
d X2 d f2
d X3 d f2
d X1 d f3
d X2 d f3
d X3 d f3
d X1
d X2
d X3
d X 1 d X 2 d X 3 = = = f , f , f , dan diperoleh2 dengan 1 dt 2 dt 3 dt
%A
Matriks a%obi dititik tetap bebas penyakit DCE F ( ' ,
[
−'
J = 0 0
0 −' 0
− % β1 − β2 + % β 2+ ( β 2− % β 2+ % β 1− ( − ) − '
(1 − % ) A '
, 0)
]
b. Analisis estabilan !itik !eta Bebas Penyakit ?ntuk melihat kestabilan dari titik tetap sistem dapat ditentukan
berdasarkan nilai-nilai eigen dari matriks a%obinya.
[
−'
J = 0 0
0 −' 0
− % β1 − β2 + % β 2+ ( β 2− % β 2+ % β 1− ( − ) − '
]
47
?ntuk menentukan nilai eigen dari matriks a%obian tersebut dapat
dilakukan dengan menyelesaikan persamaan
|(
|J ( +- )− λI |=
det ( J ( +- )− λI )= 0 .
) ( )|
− % β 1 −' − λ − β 2+ % β 2 + ( 0 β 2− % β 2+ % β 1− ( −) −'
−'
0
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
1
|J ( +- )− λI |=( ' + λ ) ( β ( 1 − % )+ % β − ( −) −' − λ )= 0 2
2
1
Nilai eigen dari matriks diberikan oleh akar kembar
λ1,2 =¿ - dan λ3 =(1− % ) β 2+ % β 1−( ( + ) + ') . ;gar sistem stabil, maka semua nilai eigen haruslah bernilai negati0. leh karena itu, agar semua nilai eigen bernilai negati0 maka
haruslah dipenuhi bah)a R1=
( 1− % ) β 2+ β 1 <1 . ( + ' + )
). Bilangan Rerod(ksi ontrol 7 R0 8 Model matematika Penyakit Diabetes
asi% reprodu%tion ratio dide0inisikan sebagai jumlah ekspektasi kejadian kasus sekunder dari satu kasus primer pada populasi irgin selama periode proses in0eksi. asi% reprodu%tie ratio merupakan bilangan non dimensional yang dapat mengatur tingkat keendemikan suatu )ilayah dan didapatkan dari pe%tral radius dri matriks generasi. asi% @eprodu%rie ratio sistem (1# sampai (# diberikan oleh
48
=0
d X 3 β 1 X 1 X 3 β2 X 2 X 3 dt d X 3 dt
=
+
&
= X 3 (
&
β1 X 1 β 2 X 2 &
+
&
−( ' + ( + ) ) X 3
− ( ' + ( + ) ) )
7ubsitusi titik DCE, maka diperoleh
( 1− % ) A %A β 2 d X 3 ' = X 3 ( ' + −( ' + ( +) )) dt & & β1
d X 3 = X 3 ( dt
d X 3 dt d X 3 dt
= X 3 (
β1
β1
( 1− % ) ' ( X 1+ X 2+ X 3 ) %' ( X 1+ X 2 + X 3 ) β 2 ' ' + −( '+ ( + ) ) ) & & ( 1 − % ) '& %'& β 2 ' ' + −( ' + ( + ) ) ) & &
= X 3 ( β 1 % + β 2 ( 1− % )−( ' + ( + ) ))
d X 3 β % + β 2( 1 − % ) = X 3 ( 1 −1 ) dt ( ' + ( +) ) 7ehingga diperoleh nilai R0 adalah
R0=
( 1− % ) β 2+ β1 ( + ' + )
6itik DCE akan stabil lokal jika dan hanya jika
sebaliknya, titik EE akan stabil lokal jika
R0 < 1
dan
R0 > 1 . eel set untuk sensitiitas
parameter dari R0 terhadap O dan dapat dilihat dari gambar 1. Dapat dilihat
49
bah)a untuk menekan besaran
R0 hingga bernilai kurang dari 1 maka
dibutuhkan usaha yang lebih besar untuk memperbesar nilai O yaitu laju kesembuhan orang terkena atau menderita. al ini bisa dilakukan misalnya dengan budaya hidup sehat, program diet dan lain sebagainya.
BAB #5 PENU!UP 1. esim(lan
50
Model matematika pada penyakit diabetes populasi tertutup telah
R dikonstruksi dalam makalah ini. asi% reprodu%tie ratio
(¿¿ 0 ) sebagai ¿
indikator keendemikan ditunjukan se%ara analitik. erdasarkan kajian analitik
terhadap
R0
dan didukung dengan simulasi numerik, ditunjukan bah)a
jumlah orang sehat akan lebih besar apabila proporsi atau peluang kelahiran dalam keadaan %arrier (pemba)a# diabetes lebih ke%il. $engembangan model dapat dilanjutkan dengan melibatkan beberapa 0aktor antara lain kelas umur, program penanggulangan dan pen%egahan, dan lain-lain.
51
