1
BAB 1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bahasa pemrograman (language programming) sebagai media untuk berinteraksi antara manusia dan komputer saat ini berkembang dengan cepat dari tampilan DOS menjadi tampilan berbasis grafis (3 dimensi). Perkembangan ini menjadi lebih menarik dengan fasilitas-fasilitas yang semakin lengkap. Rancangan pun semakin tampak mewah dan menarik ditambah dengan kemampuan mengolah gambar. Sebagaicontoh, dapat dilihat dari perkembangan bahasa pemrograman Pascal yang terus memunculkan varian baru sehingga akhirnya menjadi Delphi, demikian pula dengan Basic dengan Visual Basicnya serta C dengan C++ Buildernya. Pada akhirnya semua bahasa pemrograman akan semakin memberikan kemudahan bagi pemakainya
(programmer) dengan penambahan fungsi-fungsi baru yang sangat mudah digunakan
bahkan oleh pemakai tingkat pemula.
Matlab muncul di dunia bahasa pemrograman yang cenderung dikuasai oleh bahasa yang telah mapan. Sebagai bahasa pemrograman yang baru tentu saja Matlab akan sulit mendapat hati dari pemakai. Namun Matlab hadir tidak dengan fungsi dan karakteristik yang ditawarkan bahasa pemrograman lain yang biasanya hampir seragam. Matlab dikembangkan sebagai bahasa pemrograman sekaligus alat visualisasi, yang menawarkan banyak kemampuan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang berhubungan langsung dengan disiplin keilmuan Matematika. Matlab memiliki kemampuan mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan. Matlab menyediakan beberapa pilihan untuk dipelajari, mempelajari metode visualisasi saja, pemrograman saja atau kedua-duanya. Sementara itu, perkembangan dunia sains dan teknologi saat ini mendorong siapa saja untuk bekerja cepat dan tepat dengan hasil yang maksimal. Hal ini mendorong terciptanya berbagai macam alat bantu yang siap memudahkan segala bentuk pekerjaan dalam segala aspek kehidupan. Perhitungan matematika yang cepat dan akurat juga merupakan salah satu kemudahan yang sangat dibutuhkan khususnya dalam dunia pendidikan.
Rumusan Masalah
Makalah ini merumuskan beberapa permasalahan sebagai berikut :
Apa yang dimaksud pemograman Matlab?
Bagaimana mengoperasikan Matlab?
Bagaimana membuat Matriks di Matlab?
Tujuan
Adapun tujuan penulisan dari penulisan makalah ini adalah untuk :
Memenuhi tugas lab Metode Numerik
Memahami tentang pemrograman Matlab
Serta dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari
BAB 2
PENGANTAR MATLAB
Matlab (Matrix Laboratory) merupakan suatu program komputer yang bisa membantu memecahkan berbagai masalah matematis yang kerap kita temui dalam bidang teknis. Kita bisa memanfaatkan kemampuan Matlab untuk menemukan solusi dari berbagai masalah numerik secara cepat, mulai hal yang paling dasar, misalkan sistem 2 persamaan dengan 2 variabel:
x – 2y = 32
12x + 5y = 12
hingga yang kompleks, seperti mencari akar-akar polinomial, interpolasi dari sejumlah data, perhitungan dengan matriks, pengolahan sinyal, dan metoda numerik. Salah satu aspek yang sangat berguna dari Matlab ialah kemampuannya untuk menggambarkan berbagai jenis grafik, sehingga kita bisa memvisualisasikan data dan fungsi yang kompleks. Sebagai contoh, tiga gambar berikut diciptakan dengan command surf di Matlab. Dalam makalah ini kita akan mempelajari Matlab setahap demi setahap, mulai dari hal yang sederhana hingga yang cukup kompleks. Yang perlu kita persiapkan untuk belajar Matlab ialah seperangkat komputer yang sudah terinstal program Matlab di dalamnya. Disini saya menggunakan Matlab versi 7.
Berikut adalah tampilan MATLAB versi 7:
Gambar 2.1 Tampilan Matlab Versi 7
Tabel 2.1 Operasi aritmatika dasar
Contoh pemakaian Matlab untuk menyelesaikan masalah matematika sederhana:
Penjumlahan
>>5+2
>>ans =
7
Pengurangan
>>5-2
>>ans =
3
Pembagian
>>4/2
>>ans =
2
Perkalian
>>5*2
>>ans =
10
Variabel
Sifat-sifat variabel dalam Matlab, yaitu:
Bersifat Case sensitive, membedakan huruf besar dan huruf kecil. Misal : Item item, f F.
Maksimum 19 karakter
Harus diawali dengan huruf, boleh diikuti angka, tetapi tidak sebaliknya. Misal a12, tetapi tidak boleh 12a.
Dua kata dihubungkan dengan underscore. Misal : buku_tulis Bukan variabel khusus yang sudah ditentukan dalam Matlab. Misal: ans, pi,
eps, flops, inf, NaN, i (dan) j, nargin, nargout, realmin, realmax
BAB 3
MATRIKS
Matriks ialah sekelompok bilangan yang tersusun dalam segi-empat 2-dimensi. Di dalam Matlab, matriks didefinisikan dengan jumlah baris dan kolomnya. Di Matlab terdapat pula matriks berdimensi 3, 4, atau lebih, namun dalam buku ini kita batasi hingga 2-dimensi saja. Sebenarnya, semua data bisa dinyatakan sebagai matriks. Skalar bisa dianggap sebagai matriks satu baris – satu kolom (matriks 1×1), dan vektor bisa dianggap sebagai matriks 1-dimensi: satu baris – n kolom, atau n baris – 1 kolom (matriks 1×n atau n×1). Semua perhitungan di Matlab dilakukan dengan matriks,
Mendefenisikan Matriks
Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris atau kolom-kolom. Misalkan matriks A terdiri atas m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan berordo m× n yang ditulis m n A × . Banyaknya elemen matriks A adalah (m× n ) buah dengan elemen-elemen matriks dilambangkan ij a untuk i = 1...m dan j = 1...n .
Bentuk umum matriks A adalah
Sebuah matriks dalam Matlab didefinisikan dengan beberapa cara, yaitu :
Menuliskan semua elemen matriks dalam satu baris dengan dipisahkan tanda titik koma (;)
>> A=[1 2 4;2 4 5;2 1 2]
A =
1 2 4
2 4 5
2 1 2
Menuliskan semua elemen matriks per barisnya
>> A=[1 2 4
2 4 5
2 1 2]
A =
1 2 4
2 4 5
2 1 2
Menuliskan/mendefinisikan terlebih dahulu elemen matriks per baris matriks
>> a1=[1 2 4]
a1 =
1 2 4
>> a2=[2 4 5]
a2 =
2 4 5
>> a3=[2 1 2]
a3 =
2 1 2
> > A=[a1;a2;a3]
A =
1 2 4
2 4 5
2 1 2
Merujuk Elemen Matriks
Misalkan terdapat matriks A=2 0-98 9 00 8-7
Merujuk elemen matriks dalam baris tertentu
Elemen baris pertama
>> A(1,:)
ans =
2 0 -9
Elemen baris kedua
>> A(2,:)
ans =
8 9 0
Elemen baris ke-n
>> A(n,:)
Merujuk elemen matriks dalam kolom tertentu
Elemen kolom pertama
>> A(:,1)
ans =
2
8
0
Elemen kolom kedua
>> A(:,2)
ans =
0
9
8
Elemen kolom ke-n
>> A(:,n)
Merujuk elemen baris ke-m dan kolom ke-n
Elemen baris ke-2 kolm ke-3
>> A(2,3)
ans =
0
Elemen baris ke-3 kolom ke-2
>> A(3,2)
ans =
8
Elemen baris ke-m kolom ke-n
>> A(m,n)
Merujuk elemen baris ke-m kolom tertentu
Elemen baris ke-2 kolom 2 sampai 3
>> A(2,2:3)
ans =
9 0
Merujuk elemen baris tertentu kolom ke-n
Elemen baris ke-2 sampai 3 kolom ke-3
>> A(2:3,3)
ans =
0
-7
Ukuran Matriks
Misalkan matriks A= 2 3 –4 0 03-3-1-1 10 3 -3 4 9
Menentukan ukuran baris dan kolom matriks A
>> A=[2 3 -4 0 0;3 -3 -1 -1 1;0 3 -3 4 9]
A =
2 3 -4 0 0
3 -3 -1 -1 1
0 3 -3 4 9
>> S=size(A)
S =
3 5
>> [m,n]=size(A)
m =
3
n =
5
(m = baris dan n = kolom)
Banyaknya baris suatu matriks
>> m=size(A,1)
m =
3
Banyaknya kolom suatu matriks
>> n=size(A,2)
n =
5
Matriks Khusus
Matriks Identitas
Matriks Identitas adalah suatu matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1
>> I=eye(2)
I =
1 0
0 1
>> I=eye(3)
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> I=eye(4)
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
>> I=eye(2,4)
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
>> I=eye(3,4)
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Matriks Ones
Matriks ones adalah suatu matriks berordo m× n yang setiap elemennya bernilai
Satu
>> A=ones(1,1)
A =
1
>> A=ones(3,1)
A =
1
1
1
>> A=ones(1,3)
A =
1 1 1
>> A=ones(4,3)
A =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
>> A=ones(3,4)
A =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Matriks Zeros
Matriks Zeros adalah suatu matriks berordo m× n yang setiap elemennya
bernilai nol
>> A=zeros(1,1)
A =
0
>> A=zeros(2,1)
A =
0
0
>> A=zeros(1,2)
A =
0 0
>> A=zeros(2,2)
A =
0 0
0 0
>> A=zeros(2,3)
A =
0 0 0
0 0 0
BAB 4
PENYELESAIAN SPL
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss.Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Contoh :
x + y + z = 6
x + 2y - z =2
2x + y + 2z = 10
Langkah -Langkah Penyelesaian SPL
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persoalan SPL diatas adalah sebagai berikut :
Masukkan persamaan ke dalam matriks mengikuti persamaan berikut
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
Perintah input matriks pada Matlab
A=[111;12-1;212]
B=[6;2;10]
Sehingga menjadi :
Kemudian kedua matriks disatukan menjadi sebuah matriks baru,sebut saja matriks C
Perintah input pada Matlab
C=[AB]
Output :
Karena angka pertama pada baris pertama (a11)adalah 1 digunakan sebagai lead number untuk menol-kan a21 dan a31.
a21 : Agar a21 menjadi 0 maka dikurangi dengan baris pertama (a1i)
Perintah input : C(2,:) = C(2,:) - C(1,:)
Perintah input : C(2,:) = C(2,:) - C(1,:)
C(2,:) dapat dibaca sebagai matriks C baris ke-2 dan seluruh kolomnya
C(1,:) dapat dibaca sebagai matriks C baris ke-1 dan seluruh kolomnya
Sehingga C(2,:) = C(2,:) - C(1,:) dapat dibaca sebagai matriks C baris ke-2 dan seluruh kolomnya = matriks C baris ke-2 dan seluruh kolomnya - matriks C baris ke-1 dan seluruh kolomnya
Output :
Baris ke_2 - Baris ke_1
a31 : Agar a31 menjadi 0 maka dikurangi dengan baris pertama (a11)*2
Perintah input : C(3,:) = C(3,:) - C(1,:)*2
Output :
Baris ke_3 - Baris ke_1 *(2)
Karena angka kedua pada baris kedua (a2.2) yang juga merupakan diagonal adalah maka baris itu digunakan sebagai lead number untuk menol-kan a12 dan a32.
a32:Agar a32 menjadi 0 maka ditambah dengan baris kedua (a2i)
Perintah input : C(3,:) = C(3,:) + C(2,:)
Output :
Baris ke_3 + Baris ke_2
a12 : Agar a12 menjadi 0 maka dikurangi dengan baris kedua (a1i)
Perintah input : C(1,:) = C(1,:) - C(2,:)
Output :
Baris ke_1 - Baris ke_2
Karena angka ketiga baris ketiga bukanlah 1 maka harus dirubah dulu menjadi satu untuk selanjutnya digunakan sebagai lead number guna menol-kan a 13 dan a 23 ,caranya adalah dibagi dengan -2
a33 : Agar a33 menjadi 1 maka dibagi dengan-2
Perintah input : C(3,:) = C(3,:) / -2
Output :
Baris ke_3 / -2
Karena a33 yang merupakan diagonal telah menjadi 1 maka dapat digunakan sebagai lead number untuk menol-kan a13 dan a23
a23 : Agar a23 menjadi 0 maka ditambah dengan a3i*(2)
Perintah input : C(2,:) = C(2,:) + C(3,:) * 2
Output :
Baris ke_2 + Baris ke_3*(2)
a13 : Agar a13 menjadi 0 maka dikurangi dengan a3i*(3)
Perintah input : C(1,:) = C(1,:) - C(3,:) * 3
Output :
Baris ke_1 - Baris ke_3*(3)
3. Setelah matruks C membentuk matriks identitas seperti di atas ,maka tampilkan hasil x,y,z menggunakan perintah C = (A\B)
Output:
X=1
Y=2 Z=3
Untuk membuktikan kebenarannya dapat diuji ke dalam persamaan
x + y + z = 6 ----> 1+2+3= 6 (terbukti)
x + 2y - z = 2 ----> 1+2.(2)-3=2 (terbukti)
2x+y+2z=10---->2(1)+2+2(3)=10 (terbukti)
BAB 5
VISUALISASI DATA
Pada tingkatan pemodelan matematika, teknik visualisasi data sangat penting untuk dapat mengetahui karakteristik suatu data. Matlab menyediakan teknik visualisasi data hingga tiga dimensi. Berikut diberikan contoh teknik visualisasi data menggunakan Matlab.
5.1. Visualisasi Data Dengan Grafik Fungsi
Membuat grafik 2 dimensi
>> sudut = [0:4.*360];
>> y=sin (sudut*pi/180);
>> plot (sudut,y)
Gambar 5.1 Grafik 2 dimensi
Membuat Title dari Grafik
>> sudut=[0:4.*360];
>> sin (sudut.*pi/180);
>> plot (sudut,y)
>> title ('Grafik Fungsi sinus')
>> xlabel('Sudut dalam derajat')
>> ylabel ('Nilain sinus')
Gambar 5.1.1 Grafik dengan Title
Menampilkan garis-garis dimensi pada grafik
>>sudut =[0:4.*360];
>>y=sin(sudut.*pi/180);
>>plot(sudut,y)
>>title('Grafik fungsi sinus')
>>xlabel('sudut dalam derajat')
>>ylabel('nilai sinus')
>>grid on;
Gambar 5.1.2 Garis-garis grafik
Grafik 3 Dimensi
Perintah menggambar grafik 3D
surf(x,y,z)
Misalkan:
>> x=[1 2 3] x = 1 2 3
>> y=[1 2 3 4] y = 1 2 3 4
>> z=[2 5 10;5 8 13;10 13 18;17 20 25]
Gambar 5.1.3 Grafik 3 Dimensi
Grafik 3 Dimensi Semu
Apabila penafsiran grafik 3D seperti tercetak di muka masih dirasakan sulit, MATLAB telah menyediakan perintah untuk membuat grafik 3D menjadi grafik 2D.
>> pcolor(x,y,z)
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
>> zlabel('z')
>> shading interp
>> colorbar
Gambar 5.1.4 Grafik 3 dimensi semu
BAB 6
IF –ELSE dan SWITCH CASE
If –Else
Sintaks dalam if else adalah
if ekspresi_ logika
Aturan-aturan dalam program keputusan di Matlab adalah If perintah pertama benar maka akan mengerjakan perintah pertama elseif ekspresi_logika % Jika salah akan mengecek elseif berikutnya perintah2.
……
elseif
perintah ke-n
end
Contoh :
%script untuk menentukan kelulusan
Nilai=input('Berapa nilainya :')
if Nilai >= 60
disp('Selamat Anda Lulus')
elseif Nilai<60
disp('Maaf Anda Gagal')
end
Switch Case
Sintak pada switch case adalah
switch ekspresi
case{tes_ekspresi1}
deret_perintah1
case { tes_ekspresi2}
deret_perintah2
otherwise
deret_perintah3
end
Contoh:
disp('Masukkan pilihan anda (1-inf)')
x=input('pilihan ');
40
switch x
case{1}
disp('pilihan no 1')
case {2}
disp('pilihan no 2')
otherwise
disp('pilihan anda ')
disp(x)
end
While End
Sintaks program pada while end adalah
while ekspresi
perintah_ke_1
…
…
perintah_ke_n
end
Aturan dalam while end adalah sebagai berikut :
Perintah ke 1 s/d ke n akan terus dikerjakan selama kondisi dalam ekspresi masih dipenuhi (bernilai benar).
Perintah dalam while end harus memuat penambahan atau pembaharuan counter (pengendali), sehingga kondisi dalam ekspresi selalu berganti.
Contoh penggunaan while end :
n=0;
while n < 5
disp(n)
n=n+1;
end
Selama n < 5 maka disp(n) dan n=n+1 akan terus dikerjakan.
Pembaharuan conter dalam perintah di atas adalah : n=n+1
BAB 7
PENUTUP
7.1. Kesimpulan
Pemrograman Matlab sangatlah penting bagi semua kalangan ,karna sangat membantu pekerjaan yang membutuhkan algoritma dan digunakan untuk menghitung persoalan yang rumit. maka sebelum kita mengimplementasikannya terlebih dahulu kita harus mengetahui bagaiman konsep pemrograman Matlab serta bagaimana cara kerja pemorgraman Matlab,Sehingga dapat dijalankan dan dioperasikan serta dapat diimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari.
Demikianlah Makalah ini saya buat dengan sebaik-baiknya. Terima kasih buat Orang tua yang selalu mendukung saya baik materil maupun moril,dan terima kasih untuk abang dan kakak assisten laboratorium Metode numerik , juga terima kasih buat teman-teman yang telah membantu dalam mengerjakan makalah ini.semoga makalah ini dapat berguna buat kita semua dan buat angkatan ke depannya kelak. lebih dan kurangnya saya mohon maaf, kepadaabang dan kakak saya ucapkan terima kasih
7.2. Kritik Dan Saran
Dalam makalah yang berjudul Metode Numerik dengan pempgraman Matlab ini diharapkan dapat membantu serta dapat lebih memahami konsep dari pemrograman Matlab. Semoga dapat mempermudah dalam pekerjaan yang membutuhkan algoritma serta pemikiran untuk menjalankannya dan dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.
Semoga dapat bermanfaat bagi semua yang menggunakannya dan mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari juga dapat digunakan oleh semua kalangan.
