MAKALAH MATEMATIKA PEMINATAN SEGITIGA DAN DALIL-DALIL SEGMEN GARIS PADA SEGITIGA
A. PENGERTIAN SEGITIGA
Perhatikan sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC? Sisisisi yang membentuk segitiga ABC adalah AB, BC, dan AC. Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut. a.
sudut A atau sudut BAC atau sudut CAB.
b.
sudut B atau sudut ABC atau sudut CBA.
c.
sudut C atau sudut ACB atau sudut BCA. Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada Δ ABC. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut :
Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga
buah titik sudut. Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆. Jumlah sudut pada segitiga besarnya 180⁰.
B. JENIS-JENIS SEGITIGA Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan :
a. Panjang Sisinya 1. Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang. Pada gambar dibawah ini merupakan segitiga sembarang dimana AB tidak sama dengan BC tidak sama dengan AC.
2. Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi sama panjang. Pada gambar dibawah ini merupakan segitiga sama kaki ABC dengan AB = AC.
3. Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang dan tiga buah sudut sama besar yaitu 60 ⁰. Mempunyai 3 simetri lipat. Mempunyai 3 simetri putar. Segitiga pada gambar dibawah ini merupakan segitiga sama sisi.
b. Besar Sudutnya 1. Segitiga lancip adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 0° dan 90°.
2. Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu > 90 ⁰.
3. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (besarnya 90°).
Dalam segitiga siku-siku panjang sisi berat dari sudut siku-siku setengah daripada sisi miring. Kalau panjang sebuah garis berat ke sebuah sisi , setngah daripada sisi itu, maka sisi itu ialah sisi miring sebuah segitiga siku-siku. Rumus Keliling Segitiga:
Keliling = panjang sisi 1 + panjang sisi 2 + panjang sisi 3
Rumus Luas Segitiga:
Luas = alas × tinggi 2
Teorema Heron :
Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.
1. Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A. 2. Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B. 3. Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C.
Dalil Pythagoras :
Pythagoras menyatakan bahwa:
c2 = a2 + b2 b2 = c2 – a2 a2 = c2 – b2
Keterangan:
a : sisi datar (Panjang dari sisi terpanjang/hipotenusa, selalu terletak diseberang sudut siku-sikunya.) b : sisi tegak c : sisi miring Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.
c. Segitiga Istimewa Segitiga istimewa merupakan segitiga yang memiliki sifat-sifat khusus (istimewa), baik mengenai hubungan panjang sisi-sisinya maupun hubungan besar sudut-sudutnya. Yang merupakan segitiga istimewa di antara jenis-jenis segitiga adalah : -
Segitiga siku – siku
-
Segitiga sama kaki
-
Segitiga sama sisi
C. SIFAT-SIFAT SEGITIGA 1. Segitiga Siku-Siku Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (besarnya 90°). Pada Gambar di bawah ini, Δ ABD siku-siku di titik B. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan menarik salah satu garis diagonalnya. Perhatikan gambar berikut:
Bidang ABCD adalah persegi panjang. Dengan menarik diagonal AD, akan terbentuk dua segitiga siku-siku yang sama dan sebangun (kongruen) yaitu ΔABD dan ΔACD. Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi yang mengapit sudut siku-siku dan satu sisi miring (hypotenusa).
ΔABC mempunyai ciri-ciri: AB dan AC sebagai sisi siku-siku, BC sebagai sisi miring (hypotenusa) dan sudut CAB atau sudut A adalah sudut siku-siku. Dalam sebuah segitiga siku-siku, sisi miring selalu terletak di depan sudut siku-siku.
2. Segitiga Sama Kaki Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat membentuk sebuah segitiga sama kaki dengan mengimpitkan salah satu sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut. Perhatikan gambar berikut:
ΔABD dan ΔDBC adalah dua segitiga siku -siku yang kongruen. Sisi BD adalah sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut. Jadi ΔACD adalah segitiga sama kaki dengan sisi AD=DC. Di dalam segitiga sama kaki terdapat :
Dua sisi yang sama panjang, sisi tersebut sering disebut kaki segitiga.
Dua sudut yang sama besar yaitu sudut yang berhadapan dengan sisi yang panjangnya sama.
Satu sumbu simetri adalah garis yang membagi suatu bangun menjadi dua bagian sama besar.
Sumbu simetri ada dua macam yaitu:
Simetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh suatu bidang datar menjadi 2 bagian yang sama besar
Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bangun datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang sama sebelum diputar, namun bukan kembali ke posisi awal Segitiga sama kaki merupakan bangun simetri lipat dan dapat menempati
bingkainya dalam dua cara, yaitu :
3. Segitiga Sama Sisi Tiga buah garis lurus yang sama panjang dapt membentuk sebuah segitiga sama sisi dengan cara mempertemukan setiap ujung garis satu sama lai nnya.
Gambar (i) di atas menunjukkan gambar tiga garis lurus yang sama panjang, yaitu AB=BC=CA. Apabila ujung-ujung ketiga garis tersebut saling dipertemukan, A dengan A, B dengan B, dan C dengan C, maka akan terbentuk segitiga sama sisi ABC seperti terlihat pada gambar (ii) di atas. Di dalam segitiga sama sisi terdapat : 1. Tiga sisi yang sama panjang. 2. Tiga sudut yang sama besar. 3. Tiga sumbu simetri
D. GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA 1. Garis Tinggi Garis tinggi yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi di depannya. Ketiga garis tinggi melalui satu titik yang disebut titik tinggi. AH, BI, dan CJ merupakan garis tinggi.
Sesuai dengan definisinya garis tinggi tidak selalu dalam posisi vertikal tetapi dapat juga miring bahkan horizontal. Sebagai ilustrasi, misalkan tinggi Doni 1,5 meter, tentunya tinggi doni tidak berubah ketika ia tidur dan tetap diukur dari ujung kaki sampai ujung kepala. Karena segitiga memiliki tiga titik sudut yang dapat dianggap sebagai puncak maka ada tiga buah garis tinggi suatu segitiga yang berpotongan di suatu titik yang disebut sebagai orthocenter .
2. Garis Berat Garis berat yaitu garis yang ditarik dari titik sudut ke pertengahan sisi di hadapannya. Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat. Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1.
Pada gambar di atas, garis berat ditandai dengan garis warna biru, yaitu AD, CF, dan BE. Ketiga Garis berat tersebut berpotongan di titik P, yang merupakan titik berat. Titik berat merupakan titik pusat massa (bermanfaat dalam hal keseimbangan). Perbandingan garis berat adalah AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1 Karena segitiga memiliki tiga sudut, maka terdapat tiga sudut dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu t itik yang disebut titik berat (centroid ). Titik berat ini merupakan pusat kesetimbangan segitiga. Jika sebuah segitiga digantungkan tepat pada titik beratnya maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horizontal.
3. Garis Bagi Garis bagi yaitu garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dan membagi sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar. Ketiga garis bagi melalui satu titik yang disebut titik bagi. Titik bagi merupakan pusat lingkaran dalam segitiga.
4. Garis Sumbu Garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus pada pertengahan garis/sisi it u. Perhatikan gambar dibawah, garis sumbu ditandai dengan garis yang berwarna biru. Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik, yaitu titik O dan merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga.
E.
SEGITIGA SAMA DAN SEBANGUN Untuk membuktikan, bahwa 2 buah , harus diketahui atau diperlihatkan, bahwa 3 buah unsur segitiga yang satu sama dengan 3buah unsur segitiga yang satu lagi. Unsur unsur ini harus memenuhi beberapa syarat: 1. Unsur itu yang satu tidak bergantung kepada yang lai n, jadi tak mungkin umpamanya kita mengambil tiga pasang sudut, karena sudut yang ketiga bergantung kepada kedua buah sudut yang lainnya. 2. Unsur-unsur itu harus seletak, yang berarti unsur-unsur pada kedua buah segitiga itu harus mengambil tempat yang sama, jadi urutan-urutan itu sama. Hal-hal yang dapat kita terangkan berdasarkan lima hal sama dan sebangun :
I.a Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika salah satu sisinya dan sebangun kedua buah sudut yang terletak pada sisi itu sama.
I.b Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika salah satu sisinya, satu sudut pada sisi itu
dan sudut dihadapannya sama.
II. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisi dan sudut apitnya sama.
III. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika ketiga sisinya sama.
IV. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisi dan sudut dihadapan salah
satu sisi sama, asal sudut dihadapan sisi yang satu lagi sejenis.
Dua segitiga yang kongruen (sama dan sebangun ) apabila memenuhi salah satu dari 4 syarat berikut : Syarat 1 dua sudut dan satu sisi yang diapitnya sama besar.
Syarat II ketiga sisi yang seletaknya bersesuaian sama panjang
Syarat III dua buah sisi dan sudut yang diapitnya yang letakny bersesuaian sama
besar.
Syarat IV satu sisi dengan salah satu sudut pada sisi itu dan sudut yang di hadapan
sisi tersebut yang letaknya bersesuaian adalah sama besar.
F. DALIL-DALIL SEGMEN GARIS PADA SEGITIGA 1.
Garis Sumbu Yaitu segmen garis yang melalui titik tengah sisi s egitiga dan tegak lurus pada sisi tersebut.
Dalil 1 : Ketia garis sumbu berpotongan pada satu titik, yang disebut titik sumbu.
Bukti : ΔABC adalah segitiga sembarang dengan k garis sumbu AB , l garis sumbu BC. Titik O adalah titik potong garis k dan l .
Dalil 2 : Titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik sudut segitiga.
Dalil 3 : Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran luar segitiga.
2.
Garis Tinggi Yaitu garis yang melalui sebuah titik sudut dan tegak lurus pada sis i yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Dalil- dalil yang berlaku adalah sebagai berikut :
3.
Dalil Stewart
4.
Garis Bagi Yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga s edemikian sehingga membagi sudutnya menjadi dua bagian yang sama besar karena karena segitiga mempunyai 3 sudut, maka segitiga mempunyai tiga garis bagi. Ketiga garis bagi ter sebut akan berpotongan pada satu titik. Dalil : Garis bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang di hadapannya menjadi dua bagian dengan perbandingan sebagai sisi-sisi yang berdekatan. Pada gambar dibawah, AM adalah garis bagi, maka :
5.
Garis Berat Garis berat sebuah segitiga adalah segmen garis yang melalui sebuah titik sudut dan titik tengah sisi dihadapan titik sudut tersebut. Dalil -dalil yang berlaku bagi garis berat segitiga adalah sebagai berikut :
Dalil 1 : ketiga garis berat berpotongan berpotongan pada satu titik, yang disebut titik berat. Dalil 2 : ketiga garis berat dalam sebuah segitiga berpotongan di titi berat dengan perbandingan panjang bagian-bagiannya adalah 2 : 1, dengan bagian terpanjang dekat dengan titik sudut. Dalil 3 : jika t a adalah panjang garis berat yang ditarik dari titik sudut A ke si si dihadapannya a, maka berlaku :
