Abstrak Setiap manusia ingin menyelesaikan permasalahan yang dihadapi dengan secepatcepatnya dan mendapatkan keuntungan sebanyak-banyaknya dengan mengefisienkan sumber daya yang dimiliki terhadap batasan-batasan yang ditemui pada suatu masalah. Khususnya permasalahan yang selalu terdapat pada bidang informatika adalah pencarian metode atau algoritma yang lebih mangkus untuk mencapai solusi. Oleh karena itu dibutuhkan langkah-langkah tertentu yang dapat dijadikan acuan untuk membantu pemecahan masalah tersebut. Salah satunya adalah pemecahan algoritma runut balik (backtracking) yang sering digunakan untuk membuat program khususnya permainan dan kecerdasan buatan. Algoritma-algoritma selain runut balik pun sebenarnya cukup mangkus untuk mencari solusi di antara kemungkinan solusi yang ada. Akan tetapi, waktu komputasi yang dibutuhkan algoritma lain biasanya akan meningkat dengan drastis seiring dengan pertambahan ukuran persoalan yang membesar. Karena itulah dibutuhkan metode untuk lebih memangkuskan algoritma tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah menggunakan metode runut balik. Runut balik itu sendiri adalah algoritma yang berbasis pada DFS untuk mencari solusi persoalan secara lebih mangkus. Dengan metode runut balik, kita tidak perlu memeriksa semua kemungkinan solusi yang ada. Hanya pencarian yang mengarah ke solusi saja yang selalu dipertimbangkan. Akibatnya, waktu pencarian dapat dihemat.
KATA PENGANTAR
Rasa syukur yang yang dalam kami sampaikan ke hadirat Allah swt,
karena berkat
kemurahanNya makalah ini dapat kami selesaikan sesuai yang diharapkan.Dalam makalah ini kami membahas “Backtracking, “Backtracking, Algoritma serta Implementasinya ”, suatu permasalahan para programmer sekaligus solusi dalam pembuatan algoritma yang ingin dibuatnya di antara berbagai algoritma-algoritma yang ada. Makalah ini dibuat dalam rangka memperdalam pemahaman terkait algoritma yang sangat diperlukan dalam membuat suatu program yang efektif dan efisien dalam memanfaatkan teknologi informasi terutama untuk para programmer dan sekaligus melakukan apa yang menjadi tugas mahasiswa yang mengikuti mata kuliah “Algoritma dan Pemrograman II” II ” Dalam proses pendalaman materi Backtracking ini, tentunya kami mendapatkan bimbingan, arahan, koreksi dan saran, untuk itu rasa terima kasih yang dalam-dalamnya kami sampaikan :
“Algoritma dan Pemrograman II” Dr. Dedi Rohendi, MT. selaku dosen mata kuliah “Algoritma II ”
Rekan-rekan mahasiwa yang telah banyak memberikan masukan untuk makalah ini.
Demikian makalah ini kami buat semoga bermanfaat,
Bandung, Desember 2010 Penyusun
BAB I Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Masalah
Di dalam kehidupannya, manusia selalu menemui masalah atau persoalan. Hal ini mungkin didasarkan dari sifat dasar manusia itu sendiri yang selalu ingin tahu segala sesuatu. Deskripsi dari masalah menurut [NEA96] adalah pertanyaan atau tugas yang kita cari jawabannya. Dalam menghadapi permasalahan, untuk menyelesaikannya manusia memerlukan langkah-langkah yang benar sehingga permasalah tersebut dapat terselesaikan. Urutan langkah-langkah untuk memecahkan suatu masalah tersebutlah yang dinamakan dengan algoritma. Definisi lain dari algoritma adalah deretan langkah-langkah komputasi yang mentranformasikan data masukan menjadi keluaran [COR92]. Dalam menentukan langkah-langkah tersebut diperlukan suatu strategi agar langkahlangkah yang dipakai tersebut dapat menyelesaikan permasalahan secara mangkus (efisien). Strategi menurut kamus besar bahasa indonesia adalah rencana yang cermat mengenai kegiatan untuk mencapai sasaran khusus. Rencana itu sendiri dapat berisi suatu metode atau teknik yang digunakan untuk mencapai sasaran khusus tersebut. Dengan pengertian algoritma dan strategi tersebut, kita dapat mendefinisikan strategi algoritmik sebagai kumpulan metode atau teknik untuk memecahkan masalah guna mencapai tujuan yang ditentukan, yang dalam hal ini deskripsi metode atau teknik tersebut dinyatakan dalam suatu urutan langkah-langkah penyelesaian. Secara umum, strategi pemecahan masalah dapat dikelompokan menjadi: 1. Strategi solusi langsung, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah: Algoritma Brute Force dan Algoritma Greedy
2. Strategi berbasis pencarian pada ruang status, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah: Algoritma Backtracking dan Algoritma Brach and Bound 3. Strategi solusi atas-bawah, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah Algoritma Divide and Conquer.
4. Strategi solusi bawah-atas, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah Dynamic Programming.
Strategi yang akan dibahas pada makalah ini adalah strategi berbasis pencarian pada ruang status. Secara spesifik, metode yang dibahas adalah Algoritma runut balik (backtracking). Permasalahan ini akan dibahas lebih lanjut dalam bab selanjutnya.
1.2 Perumusan Masalah
Dari latar belakang yang telah diuraikan, maka timbul beberapa pertanyaan yang merupakan rumusan masalah, yakni sebagai berikut: 1. Apakah yang dimaksud dengan algoritma runut balik ( backtracking) ? 2. Apa keunggulan serta kelemahan algoritma runut balik ( backtracking) dibandingkan dengan algoritma-algoritma yang ada? 3. Bagaimana prosedur algoritma runut balik ( backtracking) ? 4. Bagaimana Implementasi algoritma runut balik ( backtracking) dalam pemrograman ?
1.3 Maksud dan Tujuan 1.3.1
Maksud Pembahasan
Berdasarkan uraian latar belakang dan rumusan masalah di atas, maka maksud dari pembahasan ini adalah untuk mengetahui dengan jelas hal-hal yang berkaitan dengan sebuah algoritma yang dinamakan dengan algoritma runut balik ( backtracking). 1.3.2
Tujuan Pembahasan
Tujuan pembahasan ini dapat dirumuskan untuk: 1. Menganalisis definisi yang dimiliki oleh algoritma runut balik ( backtracking). 2. Menganalisis prosedur algoritma dalam algoritma runut balik ( backtracking). 3. Menganalisis implementasi algoritma runut balik ( backtracking).
BAB II Isi
2.1 Algoritma Runut Balik ( backtracking)
Algoritma runut balik pertama kali diperkenalkan oleh D.H Lehmer pada tahun 1950. Algoritma ini cukup mangkus untuk digunakan dalam beberapa penyelesaian masalah dan juga untuk memberikan kecerdasan buatan dalam game. Beberapa game populer semisal Sudoku, Labirin, Catur juga bisa diimplementasikan dengan menggunakan algoritma runut balik. Algoritma runut balik ( backtracking) merupakan algoritma yang digunakan untuk mencari solusi persoalan secara lebih mangkus daripada menggunakan algoritma brute force. Algoritma ini akan mencari solusi berdasarkan ruang solusi yang ada secara sistematis namun tidak semua ruang solusi akan diperiksa, hanya pencarian yang mengarah kepada solusi yang akan diproses. (Rinaldi Munir, Diktat Strategi Algoritmik, Teknik Informatika ITB. 2005). Algoritma runut balik berbasis pada DFS ( Depth First Search) sehingga aturan pencariannya akan mengikut kepada aturan pencarian DFS yaitu dengan mencari solusi dari akar ke daun (dalam pohon ruang solusi) dengan pencarian mendalam. Simpul-simpul yang sudah dilahirkan (diperiksa) dinamakan simpul hidup ( live node). Simpul hidup yang sedang diperluas dinamakan simpul-E atau Expand Node. Algoritma backtracking mempunyai prinsip dasar yang sama seperti brute-force yaitu mencoba segala kemungkinan solusi. Perbedaan utamanya adalah pada ide dasarnya, semua solusi dibuat dalam bentuk pohon solusi (pohon ini tentunya berbentuk abstrak) dan algoritma akan menelusuri pohon tersebut secara DFS (depth field search) sampai ditemukan solusi yang layak.
2.2 Properti Umum Metode runut balik ( Backtracking)
Untuk menerapkan metode runut-balik, properti berikut didefinisikan: 1. Solusi persoalan. Solusi dinyatakan sebagai vektor n-tuple: X=(x1, x2, ..., xn), xi anggota himpunan berhingga Si . Mungkin saja S1 = S2 = ... = Sn.
Contoh: Si = {0,1} Si = 0 atau 1 2. Fungsi pembangkit nilai xk Dinyatakan sebagai: T(k) T(k) membangkitkan nilai untuk xk, yang merupakan komponen vektor solusi
3. Fungsi Pembatas (fungsi kriteria) Dinyatakan sebagai: B(x1, x2, ..., xk) Fungsi pembatas menentukan apakah (x1, x2, ..., xk) mengarah ke solusi. Jika ya, maka pembangkitan nilai untuk xk+1 dilanjutkan, tetapi jika tidak, maka (x1, x2, ..., xk) dibuang dan tidak dipertimbangkan lagi dalam pencarian solusi.
2.3 Pengorganisasian Solusi
Semua kemungkinan solusi dari persoalan disebut ruang solusi (solution space). Jika xi S ,i maka S 1 S 2 … S n disebut ruang solusi. Jumlah anggota di dalam ruang solusi adalah | S 1|
| S 2|
…
| S n |. Tinjau persoalan Knapsack 0/1 untuk n = 3. Solusi
persoalan dinyatakan sebagai vektor ( x1, x2, x3) dengan xi {0,1}. Ruang solusinya adalah {0,1} {0,1} {0,1} = {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}. n
3
Pada persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3 terdapat 2 = 2 = 8 kemungkinan solusi, yaitu: (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), dan (1, 1, 1). Penyelesaian secara exhaustive search adalah dengan menguji setiap kemungkinan solusi. Ruang solusi diorganisasikan ke dalam struktur pohon. Tiap simpul pohon menyatakan status (state) persoalan, sedangkan sisi (cabang) dilabeli dengan nilai-nilai xi. Lintasan dari akar ke daun menyatakan solusi yang mungkin. Seluruh lintasan dari akar ke daun membentuk ruang solusi. Pengorganisasian pohon ruang solusi diacu sebagai pohon ruang status ( state space tree). Tinjau kembali persoalan Knapsack 1/0 untuk n = 3. Ruang solusinya:
1 x
1
=1
x
1
=0
2
x
2
9
=1
x
2
3
x
3
=0
x
2
6
=1
x
4
5
3
=0
x
3
=1
7
=1
x
2
13
10
x
3
=0
8
x
3
=1
11
=0
x
3
12
=0
x
3
=1
14
x
3
=0
15
Gambar Ruang solusi untuk persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3
2.4 Prinsip Pencarian Solusi dengan Metode Runut Balik
Langkah-langkah pencarian solusi dengan metode runut balik adalah sebagai berikut: 1. Solusi dicari dengan membentuk lintasan dari akar ke daun. Aturan yang dipakai adalah mengikuti metode pencarian mendalam (DFS). Simpul-simpul yang sudah dilahirkan dinamakan simpul hidupm dan simpul hidup yang sedang diperluas dinamakan simpul-E. Simpul dinomori dari atas ke bawah sesuai dengan kelahirannya. 2. Jika lintasan yang diperluas yang sedang dibentuk tidak mengarah ke solusi, maka simpul-E tersebut “dibunuh” sehingga menjadi simpul mati (dead node). Simpul yang sudah mati ini tidak akan diperluas lagi. 3. Jika pembentukan lintasan berakhir dengan simpul mati, maka proses pencarian diteruskan dengan membangkitkan simpul anak lainnya. Bila tidak ada lagi simpul anak yang dibangkitkan, maka pencarian solusi dilanjutkan dengan melakukan runut-balik (backtracking) ke simpul hidup terdekat. Selanjutnya simpul ini menjadi simpul-E yang terbaru. 4. Pencarian dihentikan bila telah ditemukan solusi atau tidak ada lagi simpul hidup untuk runut balik ( backtracking). Tinjau persoalan Knapsack 0/1 dengan instansiasi: n=3
(w1, w2, w3) = (35, 32, 25)
( p1, p2, p3) = (40, 25, 50) M = 30
Solusi dinyatakan sebagai X = ( x1, x2, x3), xi {0, 1}. Fungsi pembatas:
1
1
x 1 =1
x 1 =0
2
x 1 =1
9
B
x 1 =0
2
x 2 =1
B
x 2 =0
13
10
3
x 2 =1
x 2 =0
5
4
B
B x 3 =1
14
x 3 =0
x 3 =1
15
(a)
6
x 3 =0
7
(b) k
w x M i
i
i 1
Gambar (a) Pohon dinamis yang dibentuk selama pencarian untuk persoalan Knapsack
0/1 dengan n = 3, w = (35, 32, 25) dan p = (40, 25, 50)
(b) Penomoran ulang simpul-simpul sesuai urutan pembangkitannya
Solusi optimumnya adalah X = (0, 0, 1) dan F = 50. 2.5 Skema Umum Algoritma Backtracking (a) Versi rekursif
procedure RunutBalikR(input k:integer) {Mencari semua solusi persoalan dengan metode runut-balik; skema rekur sif Masukan: k, yaitu indeks komponen vektor solusi, x[k]
Keluaran: solusi x = (x[1], x[2], …, x[n]) } Algoritma:
for tiap x[k] yang belum dicoba sedemikian sehingga ( x[k]T(k)) and B(x[1], x[2], ... ,x[k])= true do if (x[1], x[2], ... ,x[k]) adalah lintasan dari akar ke daun then CetakSolusi(x) endif RunutBalikR(k+1)
{ tentukan nilai untuk x[k+1]}
endfor Pemanggilan prosedur pertama kali: RunutBalikR(1) (b) Versi iteratif
procedure RunutBalikI(input n:integer) {Mencari semua solusi persoalan dengan metode runut-balik; skema iteratif. Masukan: n, yaitu panjang vektor solusi
Keluaran: solusi x = (x[1], x[2], …, x[n]) } Delarasi:
k : integer Algoritma:
k 1 while k > 0 do if (x[k] belum dicoba sedemikian sehingga x[k] T(k)) and (B(x[1], x[2], ... ,x[k])= true) then if (x[1],x[2],...,x[k]) adalah lintasan dari akar ke daun then CetakSolusi(x) endif k k+1 else
{indeks anggota tupple berikutnya}
{x[1], x[2], …, x[k] tidak mengarah ke simpul solusi }
k k-1
{runut-balik ke anggota tupple sebelumnya}
endif endwhile {k=0}
Pemanggilan prosedur pertama kali: RunutBalikI(n)
Setiap simpul dalam pohon ruang status berasosiasi dengan sebuah pemanggilan rekursif.
Jika jumlah simpul dalam pohon ruang status adalah 2 n atau n!, maka untuk kasus
terburuk, algoritma runut-balik membutuhkan waktu dalam O( p(n)2n) atau O(q(n)n!), dengan p(n) dan q(n) adalah polinom derajat n yang menyatakan waktu komputasi setiap simpul.
Pembuatan algoritma dengan menggunakan prinsip backtracking banyak digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah. Adapun masalah-masalah yang dapat diselesaikan dengan teknik tersebut, antara lain: 1. Banyaknya Himpunan Bagian Suatu Himpunan (Sum Of Subsets)
Masalah utama dari Sum Of Subsets adalah jika terdapat n bilangan real dan ingin dihitung semua kombinasi yang mungkin dari himpunan bilangan tersebut. Kombinasi yang diinginkan yaitu kombinasi yang jumlah seluruh elemennya sama dengan M (tertentu). Sebelum kita selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan teknik backtracking, perhatikan terlebih dahulu penyajian permasalahan dan penyelesaiannya dalam bentuk pohon. Misalkan banyaknya bilangan real tersebut adalah 4 (n=4) akan ditentukan lebih dahulu kombinasi-kombinasi dari elemen-elemen bilangan tersebut. hal itu dikenal dengan istilah himpunan bagian (subsets). Dari pohon berikut digambarkan bahwa setiap ruas ( edge) diberi label sedemikian sehingga ruas dari simpul ( vertex/node) tingkat I ke simpul tingkat I + 1 akan mewakili nilai dari x i. Pada setiap simpul, ruang penyelesaian dibagi (dipartisi) menjadi ruang-ruang penyelesaian bagian. Ruang penyelesaian didefinisikan oleh semua jalur dari akar simpul (node root ) ke simpul lainnya di dalam pohon tersenut. Kemungkinan jalur-jalur tersebut adalah () atau kosong, ini berarti tidak ada jalur dari akar simpul ke dirinya sendiri (1), (1,2), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,4), (1,3,4), (2), (2,3), (2,3,4) dan seterusnya. Jalur-jalur tersebut mempunyai ukuran tuple yang berbeda-beda, yang merupakan ruang penyelesaiannya. Secara struktur data, pencari ruang solusi di atas menggunakan queue, yang disebut juga dengan breadth first search (BFS)
Gambar Pohon dari ruang penyelesaian dalam breadth first search (BFS)
Adapun bentuk penyajian lain dari pencarian ruang penyelesaian permasalahan tersebut di atas, adalah dengan menggunakan ukuran tuple yang sama (tetap). Bahwa untuk setiap ruas dari simpul-simpul tingkat I ke simpul-simpul tingkat i+1 diberi nama dengan nilai X i=0 atau Xi=1. Semua jalur dari akar ke daun didefenisikan sebagai ruang penyelesaian. Pohon bagian (sub tree) di sebelah kiri dari akar sama dengan semua himpunan bagaian yang berisi W1. sementara itu untuk pohon bagaian disebelah kanannya adalah merupakan semua himpunan bagaian yang tidak mengandung W 1 dan seterusnya. Pendarian simpul-simpul dari pohon tersebut sehingga diperoleh ruang penyelesaiannya menggunakan metode stack . Hal I tersebut dinamakan juga dengan istilah Depth First Search (DFS).
Gambar Pohon Dari Penyelesaian Ruang DFS
Kedua bentuk penyajian pohon dari persoalan sum of subsets, merupakan tahapan pertama dalam proses mendapatkan solusi sesungguhnya (solusi optimal). Untuk mendapatkan solusi
yang optimal dari ruang penyelesaian digunakan suatu algoritma lain. Algoritma tersebut menggunakan teknik backtracking, yang selanjutnya disebut dengan algoritma SUMOFSUB.
PROCEDURE SUMOFSUB(s,k,r) GLOBAL INTEGER M,n GLOBAL REAL W(1:n) GLOBAL BOOLEAN X(1:n) REAL r,s; INTEGER k,j X(k) = 1 IF s + W(k) = M THEN PRINT (X(j), j ← 1 TO k) ELSE IF s + W(k) + W(k+1) ≤ M THEN CALL SUMOFSUB(s+W(k), k+1, r-W(k)) ENDIF ENDIF IF s + r - W(k) ≥ M AND s + W(k) ≤ M THEN X(k) 0 CALL SUMOFSUB(s, k+1, r-W(k)) ENDIF END SUMOFSUB
2. Pewarnaan Graph (Graph Coloring)
Misalkan G adalah sebuah graph dan m adalah bilangan yang positif. Kita ingin menemukan simpul-simpul dari G yang dapat diwarnai sedemikian rupa sehingga dua simpul yang berdampingan tidak mempunyai warna yang sama, sehingga hanya m warna yang dipakai. Masalah keputusan pewarnaan m bertujuan untuk menanyakan bilangan yang terkesil dimana graph G dapat diwarnai. Bilangan ini disebut sebagai bilangan khromatik dari sebuah graph. Sebuah graph dikatakan planar jika tidak ada dua buah titik yang saling berpotongan. Sebuah kasus yang terkenal dari “m colorability decision problem” yaitu masalah 4 warna dari suatu graph planar . Masalah ini disertai pertanyaan sebagai berikut: berikan beberapa
map yang dapat menimbulkan daerah-daerah yang diwarnai sedemikian rupa sehingga daerah-daerah yang berdampingan tidak memiliki warna yang sama, tapi hanya empat buah warna yang dipakai oleh sebuah masalah dimana graph- graph masalah itu berubah menjadi sangat berguna, karena sebuah map dapat dengan mudah dirubah bentuknya menjadi sebuah graph.
Masing-masing daerah dari map itu menjadi sebuah titik dan jika dua buah daerah berdampingan maka kedua buah titiknya berhubungan, kemudian kedua titik itu dihubungkan dengan sebuah edge. Dalam bagaian ini kita mempertimbangkan tidak hanya graph- graph yang dibuat untuk map-map tetapi semua graph diperhitungkan juga. Kita tarik dalam mendeterminankan semua cara-cara yang berbeda yang mana graph tampil mungkin dengan memakai yang terbanyak m warna.
Gambar Sebuah map dan representasi graph planarnya
Jika kita unpamakan sebuah graph dengan matrik adjacency GRAPH (1:n, 1:n), dimana graph (I,j) = benar jika (I,j) adalah sebuah garis dari G dan graph (I,j) yang lainnya adalah
salah. Kita labih senang menggunakan nilai-nilai dari Boolean sejak algoritma hanya akan menarik dengan ada atau tidaknya sebuah titik. Warna-warna tersebut diumpakan dengan bilangan 1,2,2,…,m dan pemecahan akan diberikan dengan n-tuple. (x(1),… x(n0 dimana x(i) adalah warna dari node(i). Dengan mempergunakan rumus backtracking seperti yang telah diberikan dalam algoritam maka hasil dari program tersebut adalah MCOLORING. Disebutkan bahwa state space tree yang sering dipergunakan adalah sebuah tree dengan tingkat m dan panjang =
n+1. Setiap node pada derajat I mempunyai m cabang yang berhubungan ke m yang mungkin untuk x (i), dimana 1 ≤ I ≤ n. Node-node pada n+1 adalah daun-daunnya node.
Procedure MCOLORING (k) Global integer m,n, X(1:n) boolean GRAPH (1:n,1:n) Integer k Loop Call NEXTVALUE (k) if X(k) = 0 then Exit Andif if k = n then print (X) else call MCOLORING (k+1) endif repeat end MCOLORING
Prosedur MCOLORING dimulai pertama-tama dengan pembagian graph untuk matrik adjacency-nya, membuat harga x = 0, dan kemudian memanggil
statement call
MCOLORING. Prosedur NEXTVALUE menghasilkan kemungkinan warna-warna untuk X9k) setelah X(1) samapi X(k-1).
Gambar State space tree untuk MCOLORING ketika n=3 dan m=3 Loop yang utama dari MCOLORING secara berulang mengambil sebuah elemen, dari
berbagai kemungkin-kemungkinan, kemudian membaginya ke dalam X(k) dan kemudian memanggil MCOLORING.
Procedure NEXTVALUE (k) Global integer m,n, X(1:n) boolean GRAPH (1:n,1:n) Integer k Loop X(k) –(X(k)+1) mod (m+1) if X(k) = 0 then return andif for j-1 to n do if GRAPH(k,j) and X(k) = X(j) then exit endif repeat if j = n+1 then return endif repeat end NEXTVALUE
Setiap path untuk sebuah daun diwakili dengan sebuah pewarna yang memakai tiga warna. Bahwa hanya 12 warna penyelesaian yang keluar dengan tepat tiga warna.
Gambar Sebuah graph dengan 4 node dan 3 pewarnaan yang mungkin 3. Lingkaran Hamiltonian ( Hamilton Cyclles)
Misal G = (V,E) adalah graph terhubung dengan vertice. Lingkaran Hamilton (diciptakan oleh Sir William Hamilton) adalah buah circuit dengan n edge dari G yang dikunjungi sekali oleh setiap vertex dan kembali pada posisi semula. Dengan perkataan lain jika sebuah lingkaran Hamilton dimulai dengan beberapa vertex v1 dan vn+1 yang sama. Kita sekarang akan melihat pada algoritma backtracking yang menemukan semua lingkaran Hamilton ini di dalam Graph. Graph itu mungkin terhubung tetapi mungkin saja tidak. Hanya circuit yang berbeda yang akan menjadi keluarannya.
Gambar Dua graph, hanya satu yang mengandung lingkaran Hamilton
Pemecahan dengan backtracking vector (xi, …, xn) telah dibatasi sehingga x 1 yang diwakilkannya telah dikunjungi vertex dari rencana circuit . Sekarang yang perlu kita lakukan adalah menyelesaikan bagaimana menghitung vertice yang mungkin dari x k jika x1, x2, …,xk-1 siap dipilih. Jika k=1, maka x(1) didapatkan n vertex. Cara lainnya untuk menghindarkan n kali bekas-bekas lingkaran yang sama, kita menghendaki x(1)=1. Jika 1 k n, kemudian X(k) menjadi beberapa vertex v yang berbeda dari x(1), x(2),…, x(k-1) dan v dihubungkan dengan sebuah edge untuk x(k-1). X(n) hanya dapat menjadi satu-satunya vertex dan merupakan hubungan dari x(n-1) dan x(1). Kita mulai dengan prosedur NEXTVALUE yang menyelesaikan vertex selanjutnya yang mungkin, dari circuit yang sudah direncanakan.
Procedure NEXTVALUE (k) Global integer n, x(1:n) boolean GRAPH (1:n,1:n) Integer k, j Loop X(k) –(X(k)+1) mod (n+1) if x(k) = 0 then return andif if GRAOH(x(k)-1), x(k)) then for j-1 to k-1 do if x(j)=x(k) then exit endif repeat if j=k then if k n or (k=n and GRAPH (x(n),1)) then return endif endif endif endif repeat end NEXTVALUE
Dengan memakai prosedur NEXTVALUE kita dapat menyebutkan satu demi satu skema backtracking secara rekursif untuk menemukan semua Hamiltonian cycle. Procedure HAMILTONIAN (k) Global integer x(1:n) Local integer k,n Loop Call NEXTVALUE(k) If x(k)=0 then return andif If x(k)=n Then print (x,’1’) Else call HAMILTONIAN (k+1) Endif Repeat And HAMILTONIAN
Prosedur ini dimulai matrik adjacency GRAPH (1:n, 1:n), kemudian memasukkan x(2:n) 0,
x(1) 1 dan kemudian melakukan call HAMILTONIAN(2).
4. Masalah Knapsack ( Knapsack Problem) Persoalan knapsack ini mempertimbangkan kembali
section, yang mana akan
didefinisikan serta memecahkan permasalahan algoritma pemrograman secara dinamika. The Zero-One yaitu mencari hasil yang paling baik secara zero-one pada knapsack tersebut.
Procedure BOUND (p,n,k,m) determinan upper bound didapat solusi yang lebih baik. Dengan perkembangan node z pada level k+1 dari space state tree. Hal yang utama berat dan totalnya W(i) dan P(i).
dan dengan asumsi itu P(i)/W(i) ≥ P(i+1)/W(i+1)
(i)
Procedure BOUND (k) Global integer n, PC (1:n),W(1:n) integer k,i: rela b,c,p,w,M b p ; c W for i k+1 to n do c cw(i) if c < M then d p + P(i) else return (b+(1-(c-M)/W(i)) * p(i)) endif repeat return (b) end BOUND
2.4 Implementasi Algoritma runut balik
Algoritma runut balik ini banyak digunakan pada beberapa program, seperti program permainan sudoku, program permainan kuda menyebrang jembatan dengan lintasan Hamilton, program pencarian solusi game maz (labirin), dan juga digunakan dalam gerak animasi 3D, dan beberapa program yang lainnya. 2.4.1
Program permainan Sudoku
2.4.1.1 Gambaran umum teka-teki Sudoku
Sudoku adalah suatu permainan teka-teki yang memiliki aturan sederhana. Teka-teki ini terdiri atas 9 buah blok yang berupa tabel 3 × 3. Sebagian sel tabel dalam teka-teki ini telah diisi dengan angka-angka yang berupa patokan untuk menyelesaikan teka-teki. Tujuan permainan ini adalah untuk mengisi setiap sel tabel yang masih kosong dengan angkaangka, sedemikian sehingga dalam 1 blok hanya terdiri atas angka 1-9 yang tidak
berulang dan tidak ada angka yang berulang dalam 1 baris maupun kolom. Meskipun aturannya sederhana namun penyelesaian teka-teki ini tidak semudah aturannya. Tentu saja tingkat kesulitan tiap teka-teki dapat bervariasi. 2.2 Strategi umum penyelesaian teka-teki Sudoku Secara umum, Sudoku dapat diselesaikan dengan kombinasi teknik pemindaian ( scanning), penandaan ( marking), dan analisa (analysing). Beberapa tekiteki Sudoku yang tergolong mudah dapat diselesaikan hanya dengan salah satu proses, namun pada umumnya kita harus mengkombinasikan ketiga teknik tersebut. a. Pemindaian
Berupa proses memindai baris atau kolom untuk mengindentifikasi baris mana dalam suatu blok yang terdapat angka-angka tertentu. Proses ini kemudian diulang pada setiap kolom (atau baris) secara sistematis. Kemudian menentukan nilai dari suatu sel dengan membuang nilai-nilai yang tidak mungkin. b. Penandaan
Berupa analisa logika, dengan menandai kandidat angka yang dapat dimasukkan dalam sebuah sel. c. Analisa
Berupa eliminasi kandidat, dimana kemajuan dicapai dengan mengeliminasi kandidat angka secara berturut-turut hingga sebuah sel hanya punya 1 kandidat.
2.4.1.2 Penerapan algoritma runut balik dalam teka-teki Sudoku
Algoritma kemungkinan
runut
balik
solusi
sangat
teka-teki.
efektif
dalam
Menurut
mengurangi perhitungan
jumlah
pencarian
ada
sebanyak
6,670,903,752,021,072,936,960 jumlah kemungkinan status untuk teka-teki Sudoku berukuran 9 x 9. Suatu angka yang sangat besar jika ingin dicari secara brute-force, dengan kompleksitas . Garis besar algoritma runut-balik untuk menyelesaikan teka-teki diberikan di bawah ini:
Deklarasi Global N : integer {adalah ukuran papan sudoku } tabel : array[1.. N2] of array[1..N2] {representasi papan sudoku}
procedure solve() { menyelesaikan teka-teki Sudoku pada papan n2 * n2, versi: rekursif } Algoritma if( isDone() ) then exit() {papan sudah selesai diisi program selesai} else updateTabel() {update sel tabel yang masih kosong} if( not isValidBaris() ) then backtrack() else {jika baris valid maka periksa kolom} if( not isValidKolom()) then backtrack() else {jika kolom valid maka periksa blok} if ( not isValidBlok()) then backtrack() else {jika blok valid maka panggil rekursif} solve()
2.4.2 Program Permainan Kuda Menyebrang Jembatan 2.4.2.1 Permasalahan game
Persoalan yang muncul pada game kuda menyeberang jembatan adalah bagaimana menghabiskan balok / kotak dan kuda kembali ke posisi awal. Setiap kali berpindah balok, maka balok tersebut akan jatuh, ini berarti kuda tidak dapat menggunakan lintasan yang sama dalam perjalanannya.
2.4.2.2 Penyelesaian Lintasan Hamilton
Salah satu permasalahan dalam penyelesaian lintasan Hamilton pada game kuda menyebrang jembatan yakni : Diberikan sebuah papan yang berisikan kotak – kotak yang berjumlah 14 kotak. Kuda diletakan pada posisi awal yakni posisi bebas (misal : kita taruh posisi kuda pada kotak 1 ), kuda harus bisa melewati semua kotak tanpa harus balik lagi dengan aturan jalan (membentuk huruf L) sampai semua kotak itu habis dan kuda harus balik ke posisi awal yakni posisi 1 agar kuda dapat menyebrangi jembatan dengan selamat. Persoalan perjalanan kuda catur ini merupakan permainan kecerdasan logika di mana pemain harus memikirkan strategi dalam setiap langkah kuda. Penyelesaian: 1. Solusi persoalan
Solusi persoalan dituliskan dalam vektor dengan 14 kotak / tuple yang berisi urutan dari kotak yang dilalui oleh kuda. Posisi kotak dituliskan dalam bentuk dua digit integer. Misal : posisi kuda di nomor 1 maka dia bisa melangkah / jalan ke nomor 7,8,10. Solusi dicapai apabila seluruh kotak dalam papan sudah dilewati oleh kuda. Contoh solusi: S = (12,23,31,..dst) 12
13
14
8
9
10
11
4
5
6
7
1
2
3
Dikatakan solusi apabila kuda telah mengambil langkah seluruh kotak / tuple dan tidak kembali lagi ke kotak semula sampai dia kembali ke posisi awal pertama kali kuda mengambil posisi. 2. Fungsi pembangkit
Fungsi JalanKuda(k) membangkitkan kotak berikutnya yang dilalui kuda dan memasukkan kotak tersebut ke dalam solusi persoalan. Kotak berikutnya didapat dengan memilih salah satu elemen dari list yang dihasilkan fungsi JalanBerikut(k). Dari list tersebut dipilih posisi dengan jumlah elemen JalanBerikut(k+1) yang terkecil . Fungsi – fungsi bantuan: Fungsi jalanBerikut(k) menghasilkan ListJalan yang berisi list dari posisi kotak berikutnya yang dapat dilewati oleh kuda, serta jumlah elemen dari ListJalan pada jalanBerikut(k+1). Contoh:
8
10 7 1
Fungsi JalanBerikut(1) menghasilkan ListJalan : {(7,8,10)}. Artinya kuda dari kotak 1 bisa berjalan ke kotak 7 atau 8 atau 10 sehingga kuda mempunyai 3 kemungkinan, demikian juga setelah kuda berjalan ke kotak berikutnya maka kuda mempunyai beberapa kemungkinan tergantung kuda tersebut mempunyai kemungkinan untuk melangkah. Dari list tersebut dipilih kotak dengan alternatif jalan berikutnya yang paling kecil, jika sama maka pilih salah satu dan kotak yang lain dimasukkan ke dalam alternatif jalan bila diharuskan melakukan runut balik. 3. Fungsi pembatas
Bila kuda tidak bisa berjalan lagi tetapi masih ada kotak yang belum dilewati maka kotak tersebut dilewati dan melakukan runut-balik ke penanda runut balik terdekat. Aturan yang berlaku agar bisa menemukan solusi :
1. Langkah berikutnya harus mempunyai jumlah kemungkinan langkah selanjutnya yang lebih kecil dibandingkan langkah yang lain. Bila ada jumlah langkah selanjutnya yang sama, maka menjadi penanda bila terjadi runut-balik. 2. Bila langkah yang dipilih ternyata tidak menemukan solusi, maka runut-balik ke penanda runut-balik yang terdekat. 3. Lakukan langkah tersebut hingga ditemukan solusi. Analisa penggunaan Teknik Backtracking pada lintasan Hamilton : 1. Keunggulan menggunakan algoritma backtracking yakni mudah merunut balik apa yang kita kerjakan, apabila kita salah melangkah maka kita akan kembali pada posisi yang mempunyai solusi permasalahan 2. kelemahan menggunakan algoritma backtracking yakni kita belum dapat / belum mengetahui apakah langkah yang kita ambil merupakan langkah yang terbaik, sehingga memungkinkan terjadi terlalu banyak backtracking yang harus dilakukan. Hal ini dapat diminimalisasi dengan menggunakan fungsi Heuristik untuk menentukan langkah yang lebih optimal. Penggambaran proses pencarian solusi menggunakan algoritma runut-balik dengan pohon graf alur perjalanan kuda :
Runut balik disini ditunjukkan (karena terlalu banyak) Tidak ditemukan solusi dan runut balik ke atas
2.4.2 Program Permainan Maze (Labirin) 2.4.2.1 Gambaran umum game Game Maze (Labirin) merupakan game sederhana yang bertujuan menentukan
jalur yang tepat untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Selama proses penentuan jalur tersebut, jika menemui jalan buntu maka akan dilakukan proses backtrack sampai kembali menemukan jalur yang tepat untuk mencapai tujuan. 2.4.2.1 Konsep game Maze (Labirin) merupakan game yang template-nya berbentuk persegi yang
ukurannya dapat diatur sesuai dengan keinginan user . Di dalamnya terdapat serangkaian jalur berupa labirin yang bercabang. Namun, tidak setiap cabang mencapai tujuan yang diinginkan. 2.4.2.1 Solusi
Ada dua solusi yang bisa digunakan untuk permainan ini, yakni secara iteratif dan rekursif. Di bawah ini akan disajikan solusi secara iteratif: Algoritma nya adalah sebagai berikut:
Sebuah labirin
function SolveMaze(input M : labirin) boolean { true jika solusi ditemukan, false jika tidak } Deklarasi arah : integer { up = 1, down, 2, left = 3, right = 4 } Algoritma: if solusi sudah ditemukan then return true else for tiap arah gerakan (up, down, left, right) do move(M,arah) {pindah satu langkah (satu sel) sesuai arah tersebut } if SolveMaze(M) then return true else unmove(M, arah) { backtrack } endif endfor return false { semua arah sudah dicoba, tetapi tetap buntu, maka kesimpulannya: tidak ada solusi } endif
Dalam game ini, algoritma akan membagi lintasan menjadi sederetan langkah. Sebuah langkah terdiri dari pergerakan satu unit sel pada arah tertentu. Arah yang mungkin: ke atas ( up), ke bawah (down), ke kiri (left ), ke kanan (right ).
Contoh runut balik pada sebuah labirin, runut balik diperlihatkan dengan garis putus-putus
Contoh runut balik pada labirin penuh
BAB III Penutup
3.1 Kesimpulan 3.2 Saran-saran
Daftar Pustaka
Tanggal 18 Desember 2010, http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/Makalah/MakalahStmik26.pdf http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/2007-2008/Makalah2008/MakalahIF2251-2008109.pdf Tanggal 20 Desember 2010
