Proceso selectivo para el ingreso o acceso al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Primera Prueba – Parte A
Ejercicio 1.- Siendo r y s dos números reales dados y distintos, llamaremos “derivada generalizada (r,s)” de la función f (x) es derivable en el punto a, al siguiente límite.
f ( r , s ) (a) lim h 0
f (a rh) f ( a sh) (r s)h
a) Demuéstrese que si la función f (x) es derivable en el punto a, f ( r , s ) (a ) existe y coincide con f ´(a) .
En efecto, basta observar que
f ( r ,s ) (a) lim h 0
lim h 0
f (a rh) f (a) f (a) f (a sh) f (a rh) f ( a sh) lim h 0 (r s)h (r s )h
r f (a rh) f (a ) ( r s )rh
lim h 0
s f (a ) f (a sh) (r s ) sh
r s f '(a ) f '(a ) f '(a ) rs rs
b) Obtenga f (2,1) ( x ) y f ´( x ) en el caso de que sea la función f ( x) x E ( x) , donde E ( x) es la parte entera de x (máximo entero no superior a x). Compare e interprete los resultados.
x 2h E ( x 2h ) x h E ( x h ) f ( x 2h ) f ( x h ) lim h 0 h 0 h h h E ( x 2h) E ( x h) E ( x 2 h) E ( x h ) lim 1 lim h 0 h 0 h h f (2,1) ( x) lim
Ahora bien, observemos que para cualquier x , tomando h suficientemente pequeño obtenemos que E ( x 2h) E ( x h) , por lo tanto, f (2,1) ( x ) 1 para cualquier x . En cambio, sabemos que E ( x) es derivable si y sólo si x ¢ , en cuyo caso es E '( x ) 0 y por tanto f ( x) es derivable si y sólo si x ¢ , en cuyo caso es f '( x ) 1 c) Obtenga f (1, 1) ( x) y f ´( x ) en el caso de que sea la función valor absoluto f ( x ) x . Compare e interprete los resultados.
f (1,1) ( x) lim h0
xh xh f ( x h) f ( x h) lim h 0 2h 2h
Ahora bien, si x 0 , tomando h suficientemente pequeño tendremos que x h, x h 0 , con
x h ( x h) 2h lim 1 . De manera análoga, si x 0 se obtiene h 0 h 0 2h 2h h h 0 f (1,1) ( x) 1 . Finalmente, si x 0 tenemos f (1,1) (0) lim lim 0. h 0 h 0 2h 2h
(1,1) ( x) lim lo que f
Por otro lado, sabemos que
f ( x ) es derivable si y sólo si x 0 , en cuyo caso es
1 x0 1 x 0
f '( x )
ln( x 2 ) ln 2
d) 1) Calcule f (2,1) (0) en el caso de la función f ( x) sen
ln(4h 2 ) sen ln(h 2) f (2h) f ( h) ln 2 ln 2 f (2,1) (0) lim lim h0 h 0 h h ln(4h 2 ) ln(h 2 ) ln(4h2 ) ln( h 2 ) 2 sen cos 2 2 ln 2 ln 2 lim h 0 h ln(4h 4 ) ln(4h 4 ) ln(4) 2 sen cos 2 s en cos ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 lim lim 0 h 0 h 0 h h sen
2) ¿Está definida f (0) en este caso? Obviamente no, por no estar definido ln(0)
f ( x) ? 3) ¿Existe lim x 0
n / 4 Consideremos la sucesión an 2 , que converge a 0, pero con lim f (an ) lim sen n
n
n 2
f ( x) no convergente, por tanto no existe lim x 0
4) ¿Existe la derivada f '(0) ? Puesto que f no está definida en 0 y es imposible definirla en 0 de modo que sea continua, no puede existir f '(0)
Ejercicio 2.- Una especie de lotería consiste en elegir 6 números enteros positivos de entre los 49 primeros. Los 6 que he escogido tienen la propiedad de que la suma de sus logaritmos decimales resulta ser un número entero. En el supuesto de que el boleto premiado cumpla esa propiedad, a saber, “la suma de los logaritmos decimales de los 6 números de los que consta es un número entero”, calcule la probabilidad de que el boleto ganador sea el mio. Que la suma de los logaritmos decimales de los 6 números resulte un entero es lo mismo que decir que su producto es una potencia de 10. En particular, los posibles factores primos de estos números son únicamente 2 y 5, es decir, los posibles números son: 1 – 2 – 22 – 23 – 24 – 25 – 5 – 2·5 – 22·5 – 23·5 - 52 De entre ellos debemos ver de cuantas maneras es posible seleccionar 6 de modo que el producto sea una potencia de 10 es decir, de modo que el producto sea 2 k5k. Observemos en primer lugar que al multiplicar 6 de estos números, la mayor potencia de 5 posible es 6 (tomando 5 – 2·5 – 2 2·5 – 23·5 - 52 y otro número más) y que en este caso la única posibilidad para que el producto sea potencia de 10 es que es otro número sea 1. Por otro lado, al multiplicar 6 de estos números, la menor potencia posible de 2 es 4 (tomando 1 - 5 - 52 – 2 – 5·2 y bien 2 2 bien 22·5) y que sólo una de estas posibilidades nos da al multiplicar una potencia de 10. Por último, cabe la posibilidad de que el producto sea 25·55, para ello debemos tomar 52 y tres de los 4 números 5 – 2·5 – 2 2·5 – 23·5, distinguiendo cual es que no tomamos vemos que sólo hay dos posibilidades para que el producto sea 25·55. Resumiendo, existen sólo 4 6-uplas posibles de números cuyo producto sea potencia de 10, por tanto la probabilidad pedida es 1/4.
Ejercicio 3.- En la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas, elegimos los puntos A, B, C y D de forma que AC y BD sean perpendiculares y se corten en el punto P=
1 ,0 . Determine el máximo valor posible del área del cuadrilátero ABCD. 2 Descomponiendo el cuadrilátero en los 4 triángulos rectángulos APB, APD, CPB y CPD obtenemos que el área de ABCD es
AC * BD . 2
Puesto que las rectas AC y BD no pueden ser ambas verticales, podemos suponer sin perdida de generalidad que la recta AC viene dada por la ecuación
y m( x 1/ 2)
siendo los puntos A y C la intersección de esta recta con la circunferencia de ecuación
x2 y2 1 es decir, si A ( x1 , y1 ) y C ( x2 , y2 ) , tenemos que x1 , x2 son las raíces de
(1 m 2 ) x 2 m2 x
m2 1 0 4
con lo que AC ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 m 2 ( x1 x2 ) 2 | x1 x2 | 1 m 2
3m 2 1 3m 2 1 2 1 m 1 m2 m2 1 Análogamente, la recta BD viene dada por
y
1 ( x 1/ 2) m
2
1 3 1 3 m2 m y BD . 2 1 m2 1 1 m (3m2 1)(m2 3) AC * BD . Sin más 2 2(1 m 2 ) que derivar y simplificar observamos que a '(m) 0 si y sólo si m 0, 1, 1 , alcanzándose el máximo para m 1 , siendo este máximo igual a 1. Por tanto buscamos maximizar la función a (m)
Primera Prueba – Parte B
Ejercicio 1.- Se divide un diámetro AB de un círculo de radio R en n partes iguales. Se consideran los arcos de las circunferencias de centro A que pasan por los puntos de división y son interiores al círculo. Calcule el límite, cuando n tiende a , de la media aritmética de las longitudes de dichos arcos. Es horrible de resolver, fácil, pero muchas cuentas, sale una suma de Riemann y una integral muy pesada. Ejercicio 2.- Justifique si existe alguna función f derivable en todo ¡ con | f ( x ) | 2 y con
f ( x) f '( x ) senx
Integrando la segunda desigualdad entre 0 y / 2 se llega a contradicción con la primera. Ejercicio 3.- Obtenga los valores de p y q para que las ecuaciones
x 3 6 x 2 px 3 0 3 2 x x qx 2 0 tengan dos raíces comunes. Se puede hacer de muchas maneras usando Cardano-Vieta, una forma muy elegante sin utilizar estas fórmulas es como sigue. Restando, las raíces comunes son precisamente las dos raíces del polinomio 5 x 2 (q p) x 5 0 . Por otro lado, multiplicando el primer polinomio por 2 y el segundo por 3 y sumando, las raíces comunes son también las raíces de 5 x 2 15 x 2 p 3q 0 . Igualando coeficientes queda un sistema en p y q.
