MAD U2 Contenido

Matemáticas Administrativa Unidad 2. Álgebra básica

División de Ciencias Sociales y Administrativas

Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica

Índice

Presentación ................................................... ............................................................................. .................................................... .............................. .... 2 Competencia especifica ............................................... ........................................................................ ........................................... .................. 2 2.1. Números enteros y decimales con polinomios p olinomios................................................. ................................................... 3 2.1.1. Operaciones con las leyes de los exponentes ........................................... ........................................... 5 2.1.2. Operaciones con las leyes de los radicales. ............................................. ............................................. 8 2.2. Fracciones con polinomios ............................................................. ............................................................................. ................ 12 2.2.1. Operaciones con las leyes de los exponentes ......................................... ......................................... 12 2.2.2. Operaciones con las leyes de los radicales ............................................. ............................................. 15 2.3. Factorización y productos prod uctos notables. ............................................... ............................................................... ................ 16 2.4. Simplificación algebraica. ................................................... ............................................................................ ............................ ... 22 2.5. Funciones e identidades básicas de trigonometría. ........................................ ........................................ 23 Cierre de la unida .................................... ............................................................. ................................................... ..................................... ........... 25 Fuentes de consulta ............................................ ...................................................................... .................................................. ........................ 26


1


Presentación Bienvenido(a) a la unidad 2, en ella utilizarás la metodología del lenguaje algebraico, la cual se encarga de expresar las cantidades empleado números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. Además de utilizar las leyes de los exponentes y radicales; y con ello aplicar la simplificación algebraica, la cual sirve como base para la aplicación de los métodos de cálculo en la gestión eficiente de las PyME.

Competencia especifica Utiliza operaciones algebraicas, factorización, productos notables, fracciones, para resolver problemas planteados, a través del uso de la metodología del álgebra básica.


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2.1. Números enteros y decimales con polinomios Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene números, letras que representan números cualesquiera y signos matemáticos que indican operaciones a efectuar con los números (suma, resta, multiplicación y división).

3       2 00

(1)

(2)

Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).

3     

Es una expresión algebraica que consta de 3 términos

; ;   

Sus términos son :

Si una expresión algebraica consta de un solo término recibe el nombre de monomio, si está compuesta de 2 términos binomio, de tres trinomio; en general, se llama multinomio a toda expresión algebraica de más de un término.

      2 3     

Monomio Binomio Trinomio


3


Un factor es cada uno de los elementos de un término. El término :



3,,

Tiene 3 factores:

En un término se dice que cualquier factor es coeficiente de los restantes.

En el término :



3 es el coeficiente de



3 3

es el coeficiente de es el coeficiente de

En el ejemplo anterior, al número 3 se le llama coeficiente numérico (o simplemente coeficiente) del término. El coeficiente numérico se define en general como el número que multiplica a las letras en una expresión algebraica; cuando el coeficiente es la unidad “1” no suele escribirse explícitamente. Se dice que dos términos son semejantes cuando sólo se diferencian en su coeficiente numérico.

 y    y  

son semejantes entre sí son semejantes entre sí

Un término es racional y entero con respecto a ciertas letras (que representan a números cualesquiera) si está formado por potencias enteras y positivas de letras multiplicadas por un factor numérico, o bien está formado sólo por un número. Se llama grado del término a la suma de los exponentes.



es un término racional entero de grado 6


4


 

es un término racional entero de grado 2 es un término racional entero de grado 0 es un término racional entero de grado 1

Una expresión racional entera es una expresión que consta de varios términos, cada uno de los cuales es racional y entero; las expresiones racionales enteras se llaman también polinomios. Se llama grado de la expresión (o del polinomio) al grado del término de mayor grado.

    

es un polinomio racional entero de grado 7

2.1.1. Operaciones con las leyes de los exponentes Antecedentes de operaciones básicas con expresiones algebraicas.

Las leyes de los exponentes forman parte del proceso de solución en todas las operaciones algebraicas, y fueron descritas en la Unidad 1. Aritmética básica.

La suma de expresiones algebraicas se realiza agrupando los términos semejantes y sumando los coeficientes. Ejemplo   (    )   



Proceso de solución                          


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica La resta de expresiones algebraicas se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo              

Proceso de solución                             

Multiplicación de dos o más monomios. Se realiza aplicando las propiedades asociativa y conmutativa del producto de números y las leyes de los exponentes y de los signos (ha de tenerse en cuenta que todos los factores de un monomio son o representan números). Las siguientes son leyes de multiplicación: 1. Ley conmutativa: 2. Ley asociativa: 3. Ley distributiva: 4. Multiplicación de cantidades con signo:

Ejemplo

        

ab = ba a(bc) = (ab)c a(b + c) = (b + c)a = ab + ac (+a)(+b) = +ab (-a)(+b) = -ab (+a)(-b) = -ab (-a)(-b) = +ab

Proceso de solución

 ∙∙ ∙  ∙ +∙ ∙ ∙  ∙     −  ∙ ∙∙+ ∙  ∙ − ∙   ∙  ∙  ∙   ∙    

Multiplicación de dos multinomios. Se realiza multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, sumando los productos obtenidos. Ejemplo

     


      = +       =       =    


6


        

               =   ∙+   ∙+ +   ∙ + ∙−−  ∙++   ∙           

División de dos monomios. Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y los factores literales (letras), multiplicando después dichos cocientes. Ejemplo

122


122 −− = −− 

División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos y cada uno de los términos del polinomio entre el monomio divisor, según la forma antes descrita y sumando los resultado de cada división. Ejemplo

4  216 4


42  126  24     


7


2.1.2. Operaciones con las leyes de los radicales. La radiación es la operación inversa de la potenciación. Se llama raíz enésima de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

 =  ⇒ √  = 

n=índice x=radicando y=raíz =signo radical. Radicales semejantes.

Son los que tienen el mismo índice (n) y la misma cantidad en el Ejemplos:

radicando.

1. 3, 3, 3, 2. 2 5,  5, 3. √  3, √  3, √  3 Simplificación de un radical Para simplificar radicales es necesario extraer la raíz de cada uno de los factores, hasta llevarlos a su mínima expresión. Ejemplo

 8 12  108  


 2   2   12  63 62  3 3√ 3    

Introducción de un coeficiente dentro de un radical. Se eleva el coeficiente a una potencia igual al índice del radical. Ejemplo

Proceso de solución División de Ciencias Sociales y Administrativas

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4√  2       

4√   4 √ 16 2   2  4                       

Suma y resta de radicales Para sumar y restar radicales, primero se operan los radicales semejantes y después se simplifican los radicales no semejantes. Ejemplo

2√ 5  9√ 12 7√ 48 8√ 5 √ 45  √ 27  √ 20


2  8√ 5  9 2 ∙ 3 7 2 ∙ 2 ∙ 3 10√ 5  9∙ 2√ 3  7 ∙2∙2√ 3 10√ 5 18√ 3  28√ 3 10√ 5  18 28√ 3 10√ 5  10√ 3  3 ∙ 5   3 ∙ 3   2 ∙ 5 3√ 5 3√ 3  2√ 5 √ 5  3√ 3


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica Multiplicación de radicales del mismo índice Se multiplican los radicandos, el resultado queda dentro del radical con el índice de la raíz.

√ ∙ √  = √  = √  ∙ √  = 

 

Ejemplo


38  38  9

38  38  9 38 ∙ 8 ∙  3 ∙  ∙  8 ∙3 ∙ ∙   24  37 √ 456 √ 6 37 ∙ 56 ∙ √ 4 ∙6 = 1425 ∙ √ 24 1542 ∙  2 ∙ 3 = 1425 ∙ 2 ∙ √ 3 1521 √ 3 =  √  (2√ 2)3 √ 5 = 2 ∙ 3 ∙ √ 2 ∙5 6 ∙  10 = 6 ∙ ∙√ 10 √ 

37 √ 456 √ 6

(2√ 2)3 √ 5 División de radicales del mismo índice

Se obtiene un radical del mismo índice con el cociente de ambos radicandos.

√ √  =   =  =  

  Ejemplo

2√ 3√ 831

   


2√ 3√ 831 = 23  831 ∙  =


10


2 48 4 3 12  3 34 √ 

23  27 ∙− = 23  3 ∙  = 23 ∙ 3 ∙   ∙  = 2   2 48 = 24  2 ∙ 32∙ ∙ 3−∙− 4 3 22∙2∙2∙2   = 2  3√  = 231  3− = 4 12∙2∙3∙2  3 = 23 √ 3

Potenciación de radicales (radical elevado a una constante) En este caso, se eleva a la potencia cada uno de los valores que se encuentra fuera y dentro del radicando.

(√ ) =   =  Ejemplo

(5√ 2) 2  2 4  


52 = 52 = 25 ∙2 = 50 2  2 = 2 ∙  2 = 2 ∙  2 ∙ 2 = = 2 ∙ 2 ∙  2 = 32 ∙  2 4   = 4   = 4  ∙ ∙ = 4   = 4  = 64


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica Radicación de radicales La raíz de una raíz se resuelve mediante el producto de los índices de cada una, mismo que se convierte en el nuevo índice de la segunda raíz.

 √  = ∙√  

 Ejemplo

  4  √  4  


  4 =  4 = √ 4 ∙   = √ 4 ∙ = √ 4 ∙ = √ 4 ∙ √   √  = √ 

2.2. Fracciones con polinomios 2.2.1. Operaciones con las leyes de los exponentes Iniciamos las operaciones de fracciones con polinomios utilizando números enteros y números decimales (racionales e irracionales) utilizando las leyes de los exponentes, mismos que son básicas para lograr el desarrollo de la simplificación algebraica. Nota aclaratoria: Las leyes de los exponentes forman parte del proceso de solución en todas las operaciones algebraicas, y fueron descritas en la Unidad 1. Aritmética básica. Se llama expresión algebraica racional o fracción algebraica al cociente de dos polinomios. La expresión algebraica racional tiene dos términos: el numerador y el denominador.

  28

Es una expresión algebraica

Las reglas para el sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas son las mismas que las de las correspondientes operaciones con fracciones en aritmética. División de Ciencias Sociales y Administrativas

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Para sumar algebraicamente fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman números racionales. En general:   



Se reducen las fracciones lo más posible. Se descomponen los denominadores Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el denominador común. Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.

Se aplica la fórmula:

   =  Ejemplo


 4 2  36 2  1   17   3  2  2  3 1    13

 4 2  36 2 = 3  2 1223  2 = 3  6 126  4 = ∴ 912 2  1   7 1 =    11 1 7 =   17   ∴ 8  1   3  2 = ∴   3 2  2  31    13 =   2  3 1  33 1 =  2  3 1  331 = 3  2  3 1  3 1 = 3  6  3     3 1 =


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∴    43  3  1 Para la multiplicación y división, se utiliza la misma forma en que las fracciones se simplifican como las fracciones aritméticas, las fracciones se multiplican se dividen con las reglas de multiplicación y división: Para la multiplicación utilizamos la fórmula:

 ∙  = 

Ejemplo

76 ∙ 103 ∙ 14 5 1 1 ∙  1 3   ∙ 56 5


 = 76 ∙ 103 ∙ 14 5 = 6 ∙27∙5∙2 ∙3∙5  ∙7  = − =∴  7 ∙3 ∙5 2 ∙3 ∙2 ∙5 ∙ 2∙7 2− 2 1 1 ∙   1 =  1 1 ∙   1 =  11 =  11 1 ∴=   1 3   ∙ 56 5 = 35 6 5 =    = 6   = 6 15  15 615   ∴ 15


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica Para la división utilizamos la fórmula:

 ÷  =  Ejemplo


57 ÷ 14 10   30 ÷ 4 6 20 15  15  1

= 57 ÷ 14 10 = 57 ∙∙ 14  10 57∙∙5∙2∙72 ∙∙  = −− = ∴    30 ÷ 4  6 = 102 3 ÷ 22 3 = 20 15[102  15 3]1  11510  1 10  1 15 122  3 =130 = 3 ∙10− = ∴= 3

2.2.2. Operaciones con las leyes de los radicales Iniciamos con las operaciones con los números enteros y números decimales (racionales e irracionales) utilizando las leyes de los radicales, mismas que son básicas para lograr el desarrollo de la simplificación aritmética. Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo usando la ley distributiva. Ejemplo

3 √  4√  



 50  2 32

Proceso de solución.

3√  4 √  = ∴ 7 √   50  2 32 =  5 ∙ 2∙ ∙  ∙  2 2 ∙ 2 ∙ 2∙ ∙  = 5 ∙ ∙√ 2 2∙ ∙2∙2 ∙√ 2 ∙ =


15


5√ 2 8√ 2 =∴ 13√ 2 2.3. Factorización y productos notables. Antes de comenzar directamente con los casos de factorización vamos a necesitar algunas definiciones: Factor • Cuando un

polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es un factor del polinomio original.

Factorización • : Es el proceso con

el cual expresamos un polinomio como un producto.

Factorizar • Una cantidad o

expresión significa encontrar sus factores, es decir, aquellos números que multiplicados dan dicha cantidad. • Por ejemplo, factorizar el número 6 significa hallar los números que multiplicados entre sí dan el 6. Son el 2 y el 3, ya que 6 = 2 × 3. Factorizar el 6 es escribirlo de la forma 2 × 3.

Primo • Se dice que un

polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo.

Técnicas de factorización Factor común El término "Común" representa que están o que pertenecen a todos. De tal manera que factor común tiene el significado de la(s) cantidad(es) que aparece(n) multiplicando en todos los términos de la expresión. Esta forma de factorización es una de las más útiles, ya que permite factorizar casi todas las expresiones algebraicas. Como su nombre lo indica, se factoriza una expresión dada buscando un factor común a todos los términos o en su defecto que corresponda al máximo común divisor.


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  

   ∴     

Ejemplo

3  9

5  15  30


El factor común es la “x”

3 3 9  3 3 3  9 53 3

= , cada término de y , la expresión original contiene el factor común por lo tanto: =

3

=

Factor común

∴ 5 36

Factorización por agrupamiento La factorización por agrupamiento es otra técnica muy sencilla que consiste en buscar los posibles factores comunes en la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos, para que después se obtenga el factor común. En esta técnica de factorización se encuentran factores que no son comunes a todos los términos, pero que son comunes a algunos.

2   10 5 Ejemplo

  56  30 17  17  3  3  7  7

2   10 5 2   52  ∴ 2  5   56  30 =   56  5 = ∴   6  5 17  17  3  3  7  7 17  3  7  17  3  7 ∴   17  3  7 Proceso de solución.


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica Trinomios de la forma x²+ bx + c La forma de estos trinomios es que debe haber una sola equis cuadrada. La letra b representa en general a cualqui er número que vaya junto a la “x” ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la “x”.

El procedimiento de factorización para estos casos consiste en buscar dos números, a los cuales se les llamará m a uno y n al otro, los cuales deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla: Para factorizar un trinomio de la forma x² + bx + c , se buscan dos números “m” y “n” tales que: Sumados den b Multiplicados den c. Cada uno de esos números hallados m y n se colocan uno en cada paréntesis, de la siguiente manera: x² + bx + c = (x + m)(x + n)

  5 6 Ejemplo


En este caso, b = + 5 y c = + 6. Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den + 6. Son + 3 y + 2. Los factores buscados son (x + 3) y (x + 2). Finalmente significa que

  2 24

x²+ 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) . En este caso, b = - 2 y c = - 24. Se buscan dos números que sumados den - 2 y que multiplicados den - 24. Son + 4 y - 6. Los factores buscados son (x + 4) y (x - 6). Finalmente significa que x² - 2x - 24 = (x + 4)(x - 6).


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica Trinomios de la forma ax²+ bx + c. La diferencia de esta forma con la anterior es que en aquella debía haber una sola equis cuadrada, mientras que en ésta debe haber más de una. La letra a representa en general a cualquier número que vaya junto a la x² (indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que vaya junto a la x (indica cuántas equis hay); y la c representa a cualquier número que vaya sin la x. Por ejemplo, el trinomio 49x² - 25x + 121 es de la forma mencionada, en donde a=49; b=25; c=+121. Para factorizar un trinomio de la forma ax²+ bx + c, se buscan dos números m y n tales que:

    

Sumados den= b, o sea que m + n = b. Multiplicados den el producto de ac , o sea que mn = ac. El segundo término, es decir el término lineal bx. Se parte en la suma de mx + nx, o sea que ax² + bx + c = ax² + mx + nx + c. Se factoriza por agrupación. Ejemplo

2  5  3

Proceso de solución. Factorizar 2x² + 5x - 3 En este caso, a = 2; b = + 5 y c = - 3. Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de ac, es decir (2)(- 3) = - 6. Son + 6 y - 1. El término lineal (el 2o término), que es 5x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea en 6x - x , por lo que resulta que 2x² + 5x - 3 = 2x² + 6x - x - 3 Se factoriza por agrupación: 2x² + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)

6  7  2

Finalmente 2x² + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3).

En este caso, a = 6; b = 7 y c = 2. Se buscan dos números que sumados den + 7 y que multiplicados den lo que resulte de ac, es decir (6)(2) = 12. Son + 4 y + 3. El 2o término, que es 7x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea en 4x + 3x , por lo que resulta que 6x² + 7x + 2 = 6x² + 4x + 3x + 2 Se factoriza por agrupación:


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica 6x² + 4x + 3x + 2 = 2x(3x + 2) + 1(3x + 2) = (3x + 2)(2x + 1) 6x² + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1).

Productos notables.

Sabías que en matemáticas, continuamente encontramos

Fuente: Pixabay

expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta con un mínimo de esfuerzo.

Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. Producto notable.

Ejemplo

Binomio al Cuadrado.

  =    =      =    =   

 4 =   8 16  2 3 = 4  12 9  =   10 25  5 7  9 = 49  126  81 (2  √5)(2  √5) = 4  5    =    12   35 12   35  = 14   259   11 = 1 ∙ =    =     2 3 ∴ =  

Binomio Conjugado.

Binomio con término en común.


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Suma y resta de cubos.

 (  ) =     (  ) =    Binomio al cubo.

  =        =     

74  574  1 = 74   74  ∙ = ∴ 4169   212  5   ) = 2 3(4   12 18 8  12 18 27 =      ) = 5 6(25 125  150180  180  216150 =  = 125  216   2 =        = 9 2 =        =       


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Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica 2.4. Simplificación algebraica. La simplificación algebraica es el resultado de la aplicación de las leyes matemáticas en las operaciones algebraicas básicas utilizando el conjunto de los números reales (naturales, enteros, racionales e irracionales), factorización y productos notables en monomios, binomios y polinomios con el objetivo de lograr la expresión más sencilla posible. Ejemplo

 11   11 33 6 3  3 212  2 12  4  1    11


 1 =   11   11 =   1 1 1   11 11 11 = ∴   11 33 6 3  3 = 33   2 1 1 =   2 1 1 =   11 =  1 1   1 =  1

21 1  211    14 1   1 11 =   1 1  2 11  1 1 24  2  1 =   2 =   2 1 2 1 21 8 2  1 2 2 8  2  2 = 2 1  1   4  2 = 2   2  1 = 2 2  1  1 2 1 1   1211 =   11 =    1  1   1    = 1  1   


22

Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica 2.5. Funciones e identidades básicas de trigonometría. Las funciones trigonométricas se utilizan fundamentalmente en la solución de triángulos rectángulos, recordando que todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90° y sus ángulos interiores suman 180°. La notación que se acostumbra es la siguiente.

Tomamos el ángulo

 para definir las funciones trigonométricas de la siguiente manera:

   =  = ℎ   =    = ℎ   =    = 

ℎ    =  =   ℎ    =  =       =  =   

Funciones trigonométricas inversas

 = 1    = 1    = 1  División de Ciencias Sociales y Administrativas

  = 1   = 1    = 1  23

Matemáticas administrativas Unidad 2. Álgebra básica Resolver un triángulo rectángulo implica obtener la medida de todos sus ángulos y de todas las longitudes de sus lados. En donde se utilizan las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras fundamentalmente, el cual se enuncia así: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Identidades trigonométricas de Pitágoras.

  = 1   = 1     = 1 Ejemplo Proceso de solución. Encontrar la hipotenusa ”c” y los ángulos  y , de la siguiente figura.

 =  3  4 = √ 9 16 = √25 = 5 = 

Encontrar “a, b y ”, de la siguiente figura.

tan = 34 =  = −0.75 = 36.87°  = . °   90° = 180°  = 180°  90° = 180° 36.87° 90°  = . °   90° = 180°  = 180°  90° = 180° 38° 90°


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 = °  sen52° = 20 a = 20sen52° = 15.76  = . cos52° = 20 b = 20cos52° = 12.31  = . Cierre de la unida En esta unidad conociste el uso de símbolos de letras para representar números, es un aprendizaje muy directo para conocer las propiedades de cada una de las operaciones básicas de las matemáticas y es importante estar repasándolas constantemente. El lenguaje aritmético y algebraico te ayudará a resolver problemas matemáticos y te servirá para entender las siguientes unidades.


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Fuentes de consulta 



Fuenlabrada. (2004). Aritmética y Álgebra. (2ª edición). México: Editorial McGrawHill. Baldor (2008). Álgebra. (4ª edición). México: Grupo Editorial Patria.


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MAD U2 Contenido

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