Macroeconomía - Una aproximación matemática - Doepke, Lehnert & Sellgren - 1ed.pdf

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MACROECONOMÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Matthias Doepke Universidad de Chicago

Andreas Lehnert Junta de Gobernadores del Sistema de la Reserva Federal

Andrew W. Sellgren

Universidad George Mason


www.licecon.wix.com/fceunc Lic en Economía - FCE - UNC Traducción no oficial. Primera versión: Julio de 2013, FCE, UNC. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 2

Contenido

Preliminares …………………………………………………………………………….…… 5 Esfuerzo Laboral, Producción y Consumo …………………………………………….….. 9 El Comportamiento de los Hogares en el Mercado de Producto y de Crédito …….…… 14 La Demanda de Dinero ………………………………………………………….………… 22 El Modelo de Vaciado de Mercado ………………………………………………..………. 25 El Mercado Laboral ………...……………………………………………….….………….. 31 Inflación …………………………………………………………………………….………. 36 Ciclos Económicos ………………………………………………………………….……… 45 Crecimiento Económico …………………………………………………………………… 53 El Efecto del Gasto Público ………………………………………………….…………….. 64 El Efecto de los Impuestos …………………………………………………….…………... 77 El Camino Óptimo de la Deuda del Estado …………………………………….………… 91 Política Fiscal y Monetaria ……………………………………………………………….. 104 Política Monetaria Óptima ……………………………………………………………….. 114

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 3



Capítulo 1

Preliminares Este capítulo presenta las tasas de interés y tasas de crecimiento. Los dos temas están estrechamente relacionados, así que los tratamos juntos. Los conceptos discutidos aquí no están en Barro, pero ayudan a a entender los gráficos y estadísticas que utiliza a lo largo de su libro.

1.1 Interés compuesto Comenzamos con algunos términos comunes y cálculos del reino de las inversiones de renta fija. El monto de la inversión que se llama principal. La "renta fija" de las inversiones se llama interés. El interés por unidad de capital por unidad de tiempo se denomina tasa de interés. Por lo general, las tasas de interés están expresadas en dólares por año por cada dólar de principal. Estas unidades se puede escribir: $/(y $). Las unidades de dólar se cancelan, por lo que este tipo de interés cuenta con unidades por año. Del mismo modo, si la tasa de interés son las manzanas por día por manzana prestada, las unidades de manzanas cancelarán, y las unidades de la tasa de interés serán por día. En general, las unidades de un tipo de interés son por unidad de tiempo. Cuando la unidad de tiempo es de un año, se dice que un tipo de interés es una tasa de interés anual. Si la unidad de tiempo no se menciona, entonces será casi siempre una tasa de interés anual. Las tasas de interés que se citan en alguna unidad de tiempo específico se pueden convertir en cualquier otra unidad de tiempo a través de una transformación lineal simple. Por ejemplo, una tasa de interés diaria de x% corresponde a una tasa de interés anual de (365) (x) % (véase el ejercicio 1.1 para un ejemplo.) Utilizamos P para el principal de una inversión de renta fija y R para la tasa de interés anual. En el interés simple intereses por el monto del principal únicamente. En este caso, después de n años, el valor de la inversión será: (1.1)

Vs (n) = RPn + P

Por ejemplo, supongamos que usted invierte $ 5.000 a una tasa de interés simple anual del 4,5%. Después de dos años el valor de su inversión será: Vs (2) = (0.045) ($ 5000) (2) + $ 5000 = $ 5, 450 Es muy común que los intereses se “agraven” cada año. En este caso, al final de cada año, el interés de ese año se añadirá al principal, por lo que la inversión va a ganar intereses sobre los intereses. El primer año será como interés simple, ya que ninguno de los intereses se devengó aún. En consecuencia, el valor después del primer año será: Va (1) = RP + P = (1 + R) P Después del segundo año, el valor será: Va (2) = RVa (1) + Va (1) = R (1 + R) P + (1 + R) P = (1 + R)2 P: Del mismo modo, después de n años, el valor será: (1.2)

Va (n) = (1 + R)n P

Por supuesto, esta fórmula sólo funciona con números enteros de un año. Para los números no enteros, se deberá redondear, calcule Va(n), y el uso que en la fórmula (1.1) de interés simple para la fracción del año anterior. (Ver el ejercicio 1.6 para un ejemplo.) Vamos a volver a nuestro ejemplo anterior. Una vez más, usted invierte $5000 en un interés del 4,5% anual, pero esta vez con interés compuesto anual. Después de dos años el valor de su inversión será: Va (2) = (1 + 0,045)2 ($5000) = $ 5460,13


(Aquí y en todo el capítulo, los montos en dólares se han redondeado al céntimo más próximo.) Observe que la inversión vale menos bajo interés simple de bajo interés compuesto, ya que bajo interés compuesto se gana alrededor de $ 10 de intereses sobre los intereses del primer año. El razonamiento anterior para la capitalización anual se aplica a capitalización frecuentemente. El único problema es que la tasa de interés necesita escribirse en términos del mismo intervalo de tiempo que la capitalización de intereses. Si R es una tasa de interés anual, y el interés es compuesto t veces al año, entonces el valor de una inversión después de n años será: 𝑅 𝑡𝑛 𝑉𝑡 (𝑛) = (1 + ) 𝑃 𝑡 Volvamos a nuestro ejemplo, esta vez suponiendo que los que un interés compuesto diario. Después de dos años, el valor será: 𝑉365 (2) = (1 +

0.045 365.2 ($5000) = $5470.84 ) 365

A medida que agravará cada vez más frecuentemente, se llega a la expresión de continua composición: 𝑅 𝑡𝑛 𝑉𝑐 (𝑛) = lim (1 + ) 𝑃 𝑡→∞ 𝑡 Podemos hacer esto mucho más manejables mediante el hecho de que: 1 𝑥 𝑒 = lim (1 + ) 𝑥→∞ 𝑥 donde e es la constante de Euler. Esto nos da la siguiente fórmula para el descuento continuo: 𝑅𝑛

𝑅 𝑡𝑛 1 (𝑡/𝑅) 𝑉𝑐 (𝑛) = lim (1 + ) 𝑃 = [ lim (1 + ) ] 𝑡→∞ (𝑡/𝑅)→∞ 𝑡 (𝑡/𝑅)

𝑃 = 𝑒 𝑅𝑛 𝑃

Volvamos a nuestro ejemplo una vez más, esta vez asumiendo capitalización continua. Después de dos años, el valor de la inversión será:

www.elsolucionario.org V (2) = e ($ 5000) = $ 5470,87 c

(0.045) (2)

Una vez más, observe cómo a través de estos ejemplos, el valor de la inversión es mayor cuanto más compuesto es el interés. Los resultados de capitalización continua dan valores mayores, pero los rendimientos de la composición más frecuente caen con bastante rapidez. Por ejemplo, el valor es casi el mismo bajo tasa de descuento diaria que continua.

1.2 Tasas de crecimiento Los economistas se han interesado en las tasas de crecimiento de las variables económicas. Usted puede leer, "El producto interno bruto creció a una tasa de 2,3% anual en el trimestre", o "La inflación es del 4%" o "La población mundial está creciendo un 20% cada década." Cada una de estas declaraciones con una tasa de crecimiento. Una tasa de interés es la tasa de crecimiento del valor de un activo, y toda la terminología de la y las fórmulas de la sección anterior se aplican a las tasas de crecimiento en general. Por ejemplo, podemos calcular tasas de crecimiento anual simples y tasas de crecimiento anual que se ven capitalizadas anualmente o de forma continua. Tenga en cuenta los siguientes valores para el Producto Interno Bruto (PIB) de un hipotético país: Año

PIB

1991

$100.000.000

1992

$130.000.000

1993

$135.000.000


www.elsolucionario.org La tasa de crecimiento del PIB es sólo el tipo de interés que el PIB habría tenido que ganar si se tratara de una inversión de renta fija. Por ejemplo, la tasa simple de crecimiento del PIB entre 1992 y 1993 está dado por R en la Ecuación (1.1). El PIB comienza como P, y termina como Vs (n), siendo n un año. Conectando todos los números, se obtiene: $135K = (R)($130K)(1) + $130K; de modo que: R =

$135K − 1 ≈ 1.03846154 − 1 = 3,846154% $130K

Como otro ejemplo, para calcular la tasa anual de crecimiento del PIB, capitalizado anualmente, entre 1991 y 1993, se utiliza la ecuación (1.2). El PIB comienza como P, termina en Va (n), y n es de dos años. Esto nos da: $ 135K = (1 + R) 2 ($ 100K), de modo que: 𝑅 = (

$135𝐾 0.5 ) − 1 ≈ 1.16189500 − 1 = 16,189500% $ 100𝐾

Como último ejemplo, haremos el mismo cálculo, pero utilizando la capitalización continua. Resolveremos la ecuación (1.3) para R. El PIB comienza como P, termina como Vc (n), y n es de dos años. $ 135K = E 2𝑅 ($ 100K), de modo que: 𝑅 = [ln ($ 135K) − ln ($ 100K)](0,5) ≈ 0,15005230 15 = 15,005230% Generalmente, los economistas prefieren utilizar la capitalización continua, por dos razones. En primer lugar, bajo la capitalización continua, el cálculo de la tasa de crecimiento entre dos valores de una serie requiere nada más que tomar la diferencia de sus logaritmos naturales, como se hizo anteriormente. Esta propiedad es útil para graficar series. Por ejemplo, considere algunas series que se dada por V(n) = V0e0,08n, que se representa en la Figura 1.1. Por las ecuaciones anteriores, se sabe esta serie que crece a una tasa de 8% continua. La figura 1.2 representa el logaritmo natural de la misma serie, es decir, ln [V(n)] = ln (V0) + 0,08 n. A partir de la ecuación, se puede ver que esta nueva serie es lineal en n, y la pendiente (0,08) da la tasa de crecimiento. Barro siempre etiqueta el eje vertical de un gráfico con la "escala proporcional", ha graficado el logaritmo natural de la serie subyacente. Para ver un ejemplo, consulte la Figura de Barro 1.1. La segunda razón por la que los economistas prefieren las tasas continuas de crecimiento es que tienen la siguiente propiedad deseable: si usted calcula las tasas de crecimiento continuas año tras año de una serie y luego toma el promedio de los precios, el resultado es igual a la tasa de crecimiento continuo en el intervalo entero. Por ejemplo, considere las cifras del PIB hipotéticos de arriba: $ 100K, $ 130K, y $ 135K. La tasa de crecimiento continuo entre los dos primeros es: ln ($ 130K) - ln ($ 100K). La tasa de crecimiento continuo entre los dos segundos es: ln ($ 135K) - ln ($ 130K). El promedio de estos dos es: [ln ($ 135K) − ln ($ 130K)] + [ln ($ 130K) − ln ($ 100K)] 2 Los dos términos ln ($ 130K) se cancelan, dejando como resultado la fórmula para el crecimiento continuo de tipo de cambio entre el primer y el tercer lugar, como se dedujo anteriormente.


Si realizamos el mismo ejercicio con crecimiento simple o crecimiento compuesto anual, vamos a encontrar que el promedio de las tasas de crecimiento individuales no será igual a la tasa total de crecimiento. Por ejemplo, si el PIB crece un 8% este año y un 4% el próximo año, ambos calculados con capitalización anual, la tasa de crecimiento de dos años no será del 6% (Usted debe comprobar que en realidad será 5,98%.). Por otro lado, si el 8% y el 4% se calcularon utilizando capitalización continua, entonces la tasa de crecimiento continuo a lo largo de la período de dos años sería de 6%.


Capítulo 2

Esfuerzo Laboral, Producción, y Consumo Robinson Crusoe vive solo en una isla, por lo que es una economía en sí mismo. Tiene preferencias sobre el consumo y el ocio, y puede producir bienes de consumo mediante el uso de trabajo y el capital. Examinaremos primero la producción. Luego, nos dirigiremos a las preferencias. Poniendo estas dos piezas juntas, obtenemos las decisiones óptimas de Crusoe en cuanto a trabajo, ocio y consumo.

2.1 Las Posibilidades de Producción de Robinson Crusoe Crusoe utiliza los factores de producción con el fin de producir y. Podemos pensar este producto como cocos. Aquí consideramos al capital k y el trabajo l. El capital podrían ser cocoteros, y el trabajo la cantidad de tiempo que trabaja Crusoe, medido como una fracción de un día. ¿Cuánto produce Crusoe con determinados recursos? depende del tipo de tecnología A que emplea. Formalizamos este proceso de producción a través de un la función de producción. A menudo simplificamos nuestros problemas suponiendo que la función de producción tiene alguna forma funcional particular. Como un primer paso, a menudo asumimos que puede ser escrita: y= A.f(k,l), para alguna función f (·). Esto significa que a medida que la tecnología A aumenta, Crusoe puede obtener más producto de los factores dados. Es razonable requerir que la función f (·) sea creciente en cada argumento. Esto implica que el aumento del factor k o l aumentará la producción. Otra suposición común es que la producción es cero si cualquier entrada es cero: f (0, l) = 0 y f (k, 0) = 0, para todo k y l.

Una forma funcional que tiene estas propiedades es la función Cobb-Douglas, por ejemplo: y= A k1-α lα, para algún α entre cero y uno. Esta función en particular exhibe rendimientos constantes a escala, puesto (1 -α) + (α) = 1. La Figura 2.1 es una representación tridimensional de esta función para valores particulares de A y α.


www.elsolucionario.org No vamos a tratar con el capital k hasta el Capítulo 9, así que por ahora se supone que el capital es fijo, por ejemplo, en k = 1. Esto simplifica la función de producción. Con un ligero abuso de notación, redefinimos f (·) y escribimos la producción como y = f (l). Así es como Barro lo utiliza en su Capítulo 2. Si la función de producción original era Cobb-Douglas, y= A k1-α lα, entonces bajo el supuesto de que k = 1, la función de producción es: y= A lα. La gráfica de esta curva es una rebanada a través de la superficie representada en la figura 2.1. Se parece a la figura de Barro 2.1. Como usted sabe, el producto marginal de un factor de producción (por ejemplo, el trabajo l) es la producción adicional, o "producto", que resulta del aumento de la entrada de ese factor. Formalmente, el producto marginal de un factor es la derivada de la función de producción con respecto a ese factor. Por ejemplo, el producto marginal del trabajo es: dy/dl = f ’ (l). El producto marginal es la derivada de la función de producción, y el derivado da la pendiente. Podemos leer al producto marginal como la pendiente de la función de producción, como lo hace Barro en la Figura 2.1. En el caso particular en que la función de producción es Cobb-Douglas (y el capital es fijo), y= A lα, por lo que el producto marginal del trabajo es: dy/dl = Aαlα-1. Este resultado es siempre positivo, ya que se requiere que disminuya a medida que aumenta l. En consecuencia, esta función de producción exhibe un producto marginal decreciente: la primera unidad de trabajo es más productivo que la décima unidad de trabajo. La representación gráfica de esta ecuación producto marginal nos da algo así como Figura 2.2 de Barro. Barro habla de mejoras en la tecnología y sostiene que tanto la función de producción como el producto marginal cambian como resultado de esta mejora. Los efectos de este cambio en tecnología son más claros cuando examinamos una función de producción en particular. Por ejemplo, consideramos que nuestra función de producción: y= A lα. La mejora en la tecnología significa que A sube. En consecuencia, cualquiera que sea la producción, se somete al mismo porcentaje de aumento como el incremento en A. Por ejemplo, si A se duplica, entonces la salida en cada l será el doble lo que solía ser. En particular, cuando l es cero, la salida es cero al igual que antes, ya que dos veces cero sigue siendo cero. El resultado es que la función de producción sufre un tipo de alza-rotación, pivotando sobre el origen anclado, l=0. Eso es precisamente lo que representa Barro en la Figura 2.3. Podemos examinar el producto marginal también. Bajo la función particular que estamos utilizando, el producto marginal del trabajo (PMgL) es: dy/dl = Aαlα-1. Por consiguiente, el producto marginal de cada l experimenta el mismo cambio porcentual que A. Dado que la PMgL es mayor a niveles bajos de L, la curva de producto marginal se desplaza hacia más arriba a niveles dados de l. Refiérase a la Figura 2.4 de Barro.


2.2 Las Preferencias de Crusoe Crusoe se preocupa por su consumo c y su ocio. Ya que estamos midiendo al trabajo l como la fracción del día que trabaja Crusoe, el resto es ocio. En concreto, el ocio es 1-l. Representamos a sus preferencias con una función de utilidad u (c, l). Tenga en cuenta que el segundo argumento no es un bien “bueno”, ya que Crusoe no disfruta trabajando. En consecuencia, podría haber sido menos confuso si Barro hubiera escrito la utilidad como v (c, 1-l), por alguna función de utilidad v (·). Suponemos que las preferencias de Crusoe satisfacen las propiedades estándar: aumentan con cada bien “bueno”, son convexas, etc. A menudo se simplificará el análisis suponiendo una forma funcional particular para las preferencias de Crusoe. Por ejemplo, podríamos tener: u(c,l)= ln(c) + ln(1-l). Con una función en mano, podemos trazar curvas de indiferencia. Para ello, hemos creado u(c,l) a un número fijo u̅, y resolvemos para c en función de l. Bajo estas preferencias, se obtiene: 𝑐=

𝑒 𝑢̅ 1−𝑙

A medida que cambiamos u̅, obtenemos diferentes curvas de indiferencia, y el conjunto de éstas se ven como en la Figura 2.6 de Barro. Debe notarse algo extraño, puesto que están aumentando a medida que nos movemos hacia la derecha. Esto se debe a que estamos graficando un bien "mal" (el trabajo l) en el eje horizontal. Si graficáramos ocio (1-l) en su lugar, entonces obtendremos las curvas de indiferencia que se parecen a lo que vio en sus cursos de microeconomía. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 10

2.3 Las Elecciones de Crusoe Cuando ponemos las preferencias y la tecnología en conjunto, tenemos opciones óptimas de Crusoe de trabajo l, ocio l-l, y consumo c. Formalmente, el problema de Crusoe es:

Hay dos elementos de la ecuación (2.1). En primer lugar, en el marco del max, indicamos las variables que Crusoe tiene que elegir, en este caso, se elige c y l. En segundo lugar, después de la palabra "max" ponemos el maximando, que es lo que Crusoe está tratando de maximizar, en este caso, él se preocupa por su utilidad. La ecuación (2.2) dice que Crusoe no puede consumir más de lo que produce. Podemos entonces sustituir el símbolo "≤" por "=". Supongamos Crusoe elige c y l tal que c < y. Esto no puede ser óptimo, ya que podría aumentar el maximando un poco si aumenta c, ya que u (c, l) es creciente en c. En pocas palabras: nunca será óptimo para Crusoe desperdiciar parte de su producción, así que sabemos que c = y. Por último, la ecuación (2.3) codifica simplemente la tecnología de producción que está disponible para Crusoe. Con todo esto en mente, podemos simplificar la forma en que escribimos el problema de Crusoe de la siguiente manera:

Aquí, estamos haciendo uso del hecho de que c = y, y sustituimos la segunda restricción en el primero. Hay dos formas para resolver tal problema. La primera es sustituir las restricciones en el objetivo. El segundo es el uso de los multiplicadores de Lagrange. Sustituyendo Restricciones en la Función Objetivo En el problema de maximización que estamos considerando, tenemos c en el objetivo, pero sabemos que c = f(l), por lo que podemos escribir el problema max como:

Ya no tenemos c en el maximando o en las limitaciones, por lo que c ya no es una variable de elección. En este punto, tenemos un problema de maximización de una función con respecto a una variable, y no tenemos restricciones restantes. Para obtener las opciones óptimas, tomamos la derivada con respecto a cada variable de elección, en este caso sólo l, y hacemos la derivada igual a cero. A la ecuación resultante la llamamos condición de primer orden, "FOC". En nuestro ejemplo:

Utilizamos l* para denotar el l que satisfaga esta ecuación (elección óptima de trabajo de Crusoe). Podemos tapar esa opción de nuevo en c = f(l) para obtener el consumo óptimo de Crusoe: c* = f(l*). Obviamente, su decisión óptima de ocio será de 1 – l*. Bajo las formas funcionales particulares de utilidad y consumo que hemos estado considerando, podemos obtener respuestas explícitas de las decisiones óptimas de Crusoe. Recordemos, que hemos estado usando u(c,l) = ln (c) + ln (1 - l) y y= f(l) = Alα. Cuando conectamos estas funciones en la condición de primer orden en la ecuación (FOC l), se obtiene:


El primer término entre paréntesis es u1(c, l) = 1/c, utilizando el hecho de que c = Alα. El segundo término entre paréntesis es de la regla de la cadena, es el término f ’(l). El término final es u2 (c, l). Podemos cancelar los términos de la ecuación (2.4) y reorganizar para obtener:

Hacemos una multiplicación cruzada y resolvemos los rendimientos:

Cuando nos conectamos este valor de l* en c* = f(l*), se obtiene:

Estas son elecciones óptimas de Crusoe de trabajo y consumo. Usando Multiplicadores de Lagrange (Ver del original)

2.4 Efectos renta y sustitución Barro utiliza gráficos para examinar cómo cambian las decisiones óptimas de consumo y de trabajo de Crusoe cuando su función de producción se desplaza y gira. Él llama a los cambios en las elecciones de Crusoe "efectos riqueza y sustitución", que recuerda vagamente a su estudio de los efectos renta y sustitución de microeconomía. En ese contexto, considera los cambios y las rotaciones de las rectas presupuestarias lineales. La "recta presupuestaria" de Crusoe es su función de producción que no es lineal. Esta diferencia resulta de hacer el cálculo matemático poco práctico de los efectos renta y sustitución. Por otra parte, los "efectos riqueza" que Barro considera violan nuestra hipótesis de que la producción es cero cuando el trabajo l es cero. Tal efecto riqueza es representado como un desplazamiento hacia arriba de la función de producción en la Figura 2.8 de Barro. Esto corresponde a la adición de una constante de la función de producción de Crusoe, lo que significa que la producción no es cero cuando l lo es. La Figura 2.10 de Barro representa un pivote de la producción respecto al origen. Este tipo de cambio en la producción es mucho más común en la macroeconomía, ya que es la forma en que suelen representar mejoras tecnológicas. Si la función de producción de Crusoe es y = Alα, entonces un aumento de A se verá exactamente así. Dada una forma funcional específica para u (·), es sencillo calcular cómo cambian las elecciones de consumo c y trabajo l de Crusoe para cualquier cambio dado en A. Por ejemplo, supongamos que u (c, l) = ln (c) + ln (1-l) como antes. Arriba hemos demostrado que:

Determinar cómo c* cambia cuando A cambia se llama estática comparativa. El ejercicio típico es tomar la ecuación que da la opción óptima y diferenciarlo para la variable que cambia. En este caso, tenemos una ecuación para la elección óptima de Crusoe de c*, y estamos interesados en cómo esta elección va a cambiar cuando A cambia. Eso nos da:

La derivada de la ecuación (2.7) es positiva, por lo que la elección óptima de consumo de Crusoe aumentará cuando A aumenta.


www.elsolucionario.org La estática comparativa para una elección óptima de trabajo l* de Crusoe es aún más fácil. Arriba hemos obtenido:

No hay una A en el lado derecho, de modo que cuando se toma la derivada parcial respecto a A, el lado derecho es una constante. En consecuencia, dl*/dA = 0, es decir, la elección de Robinson Crusoe de esfuerzo laboral no depende de su tecnología. Esto es precisamente lo que representa Barro en su Figura 2.10. La intuición de este resultado es la siguiente. Cuando A aumenta, el producto marginal del trabajo aumenta, ya que la pendiente de la función de producción aumenta. Esto anima a Crusoe a trabajar más. Por otro lado, el aumento de A significa que para cualquier l Crusoe produce más, por lo que es más rico. Como resultado, Crusoe trata de consumir más de los bienes normales. En la medida en que el ocio 1-l es un bien normal, Crusoe decide trabajar menos. Bajo estas preferencias y esta función de producción, estos dos efectos se cancelan con precisión. En general, este no será el caso y la decisión de l* queda indeterminada.


Capítulo 3

El Comportamiento de los Hogares en el Mercado del Producto y de Crédito En este capítulo pasamos del mundo en el cual Robinson Crusoe está solo en su isla a un mundo de muchos agentes idénticos que interactúan entre sí. Para empezar, consideremos un hogar representativo en particular. Cuando sumamos los comportamientos de muchos hogares, se obtiene la macroeconomía. Mientras que en el Capítulo 2 vimos las opciones de Crusoe entre el consumo y el ocio en un momento en el tiempo, aquí consideramos las opciones de consumo de los hogares en varios períodos, haciendo abstracción de las decisiones laborales de los hogares. La Sección 3.1 introduce la configuración básica de este capítulo. En la Sección 3.2 se trabaja un modelo en el que las familias viven por sólo dos períodos. Las familias viven indefinidamente en el modelo presentado en la Sección 3.3. Ambos modelos siguen al libro de Barro bastante de cerca, pero por supuesto con mayor detalle matemático. La principal diferencia es que Barro tiene hogares que deciden sobre el dinero, mientras que aquí no lo hacemos.

3.1 La Configuración General El hogar representativo se preocupa por el consumo ct en cada período. Esto se formaliza mediante una función de utilidad U(c1, c2, c3, …). Los economistas casi siempre simplifican los problemas intertemporales asumiendo que las preferencias son aditivamente separables. Estas preferencias son similares: U(c1, c2, c3, …) = u(c1) + βu(c2) + β2u(c3) + …. La función u(.) se llama utilidad del periodo. Satisface las propiedades estándar de funciones de utilidad. La variable β se llama factor de descuento. Es sólo un número, por ejemplo 0.95. El hecho de que sea menor que 1 significa que la familia se preocupa un poco más sobre el consumo actual de lo que se preocupa por el consumo futuro.


La familia recibe un ingreso exógeno yt en cada período. Este ingreso es en términos de bienes de consumo. Decimos que es exógeno, ya que es independiente de todo lo que la familia hace. Piense en esto como ingresos legados de Dios o bienes que caen del cielo. En el momento t, la familia puede comprar o vender bienes de consumo ct a un precio de P por unidad. (Como en Barro, el nivel de precios P no cambia con el tiempo.) Por ejemplo, si la familia vende 4 unidades de bienes de consumo a otra persona, entonces el vendedor recibe $4P por esos bienes. El hogar es capaz de ahorrar dinero mediante la compra de bonos que devengan intereses. Utilizamos bt para indicar el número de dólares en bonos que el hogar compra en el período t, para lo cual recabará el principal y los intereses en el período t+1. Si el hogar invierte $1 en este período, entonces el próximo período que recupera su $1 de capital más $R en intereses. Por lo tanto, si la familia compra bt bonos este período, entonces el próximo período, el principal más los intereses serán bt (1 + R). El hogar viene al mundo sin bonos, es decir, b0 = 0. Dado que cada $1 de inversión en bonos paga $R de interés, R es la tasa de interés simple de los bonos. Si los bonos pagan R al "próximo período", a continuación, si la tasa de interés es diaria, mensual, anual, etc, determina cuál es la longitud de un "período". Si el "período" es un año, entonces el tipo de interés r es una tasa anual. El hogar puede pedir prestado o prestar, es decir, la familia puede emitir o comprar bonos, lo que sea que la haga más feliz. Si bt es negativo, el hogar es un deudor neto. En el período t los recursos del hogar son sus ingresos yt y las obligaciones que lleva desde el último periodo, con intereses. El valor en dólares de estos recursos es el siguiente: En el período t el hogar asigna sus recursos para su consumo actual y la inversión en bonos que se llevará adelante en el próximo período. El costo en dólares de estos usos es: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 14

Poniendo esto junto nos da la ecuación presupuestaria del período t de la unidad familiar: En una configuración general, tendríamos una ecuación presupuestaria como esta para cada período, y podrían ser arbitrariamente muchos períodos. Por ejemplo, si un período fuera un año, y la casa “vive” durante 40 años, entonces tendríamos cuarenta restricciones presupuestarias. Por otro lado, el período podría ser un día, y luego tendría muchas más restricciones presupuestarias.

3.2 Un Modelo de Dos Períodos Comenzamos esta sección con una discusión de las opciones de un hogar representativo. A continuación, ponemos un montón de estos hogares juntos y discutimos el equilibrio macroeconómico resultante. Las Elecciones de un Hogar Representativo En este modelo el hogar vive durante dos períodos de tiempo, t = 1, 2. En este caso, las preferencias del hogar se reducen a: Dado que la familia no va a estar para disfrutar de consumo en el período 3, sabemos que no va a ser óptimo para el hogar comprar bonos en el período 2, ya que quitarán de consumo c2 del periodo2 y proporcionará ingresos sólo en el período de 3, momento en el que el hogar ya no existirá. En consecuencia, b2 = 0. Eso deja sólo a b1 en este modelo. Las restricciones presupuestarias del hogar se simplifican también. En el período 1 la ecuación presupuestaria del hogar es: Y en el período t=2 es: El problema del hogar es elegir los consumos c1 y c2 y los bonos del primer período b1 a fin de maximizar la utilidad (3.1) sujeta a las ecuaciones de presupuesto (3.2) y (3.3). La familia tiene como dados el nivel de precios P y el tipo de interés R, tal como se ve. Escribimos el problema del hogar:

Se resuelve este problema utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. El Lagrangiano es: Dónde λ1 y λ2 son nuestros dos multiplicadores de Lagrange. Las condiciones de primer orden son:

(Una vez más, las estrellas o asteriscos indican que sólo las decisiones óptimas satisfacen estas condiciones de primer orden). Dejamos fuera las condiciones de primer orden con respecto a los multiplicadores de Lagrange λ1 y λ2, ya que sabemos que nos van a devolver las dos restricciones presupuestarias. Reescribiendo de las dos primeras FOC’s a conveniencia nos da: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 15


Podemos enchufar esto en la condición de primer orden con respecto a b1 para obtener:

lo que podemos reescribir como:

La ecuación (3.7) se denomina ecuación de Euler (que se pronuncia: OIL-er) y relaciona la utilidad marginal del consumo en los dos períodos. Dada una forma funcional para u(.), podemos usar esta ecuación y las dos ecuaciones presupuestarias para resolver las elecciones del hogar c1*, c2*, y b1*. Es posible utilizar la ecuación de Euler para hacer deducciones acerca de estas opciones incluso sin saber la forma funcional particular de la función de utilidad período, pero este análisis es mucho más manejable cuando se le da la forma de u(.). Por consiguiente, asumimos u(ct) = ln (ct). Entonces u’(ct) = 1/ ct, y la ecuación (3.7) se convierte en:

Antes de resolver para c1*, c2* y b1*, vamos a pensar en esta ecuación. Recuerde, las preferencias son: u(c1) + β u(c2). Intuitivamente, si β sube, entonces la familia se preocupa más por el futuro que antes, así que esperamos que el hogar consuma más c2 y menos c1. Así lo demuestra gráficamente en la Figura 3.4 de Barro. Grandes β se corresponden con pendientes menores en las curvas de indiferencia de los hogares, que rotan hacia abajo y hacia la izquierda. En consecuencia, la elección de la familia de c2 subirá y la de c1 va a bajar, como se espera. Podemos mostrar el resultado matemáticamente también. Un aumento en β causa un aumento en el lado derecho de la ecuación de Euler (3.8), por lo que c2* sube en relación con c1*, como se espera. Ahora tenemos en cuenta los cambios en la parte del presupuesto. Supongamos que R aumenta. Entonces el costo de oportunidad del consumo c1 en el primer periodo aumenta, ya que la familia puede renunciar a c1 y ganar un mayor retorno de la inversión en bonos. Por el mismo razonamiento, el costo de oportunidad de c2 baja, ya que la familia debe renunciar menos c1 para obtener una determinada cantidad de c2. En consecuencia, si R aumenta, esperamos que la familia sustituya de c1 hacia c2. Consulte la Figura 3.4de Barro. Si R aumenta, entonces la línea de presupuesto gira en sentido horario, es decir, se hace más pronunciada. Esto indica que la familia decide por más c2 y menos c1 (sujeto a estar en cualquier curva de indiferencia dada), al igual que nuestra intuición sugiere. Matemáticamente, nos referimos una vez más a la ecuación de Euler. Si R aumenta, entonces el lado derecho es más grande, por lo que c*2 /c*1 sube, lo que vuelve a confirmar nuestra intuición. Dado u(ct) = ln(ct), podemos resolver las decisiones óptimas de los hogares. La ecuación de Euler y las ecuaciones (3.2) y (3.3) nos dan tres ecuaciones con tres incógnitas, c1*, c2*, y b1*. Las soluciones son:

Usted puede verificar esto si quiere. Si lo hace, no es más que un ejercicio de álgebra. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 16

Si le decimos a la familia que la tasa de interés es R, la familia realiza su propia maximización para conseguir sus opciones de c1, c2 y b1, como antes. Podemos escribir estas elecciones como funciones de R, es decir, c1*(R), c2*(R), y b1*(R), y podemos preguntarnos qué pasa con estas elecciones ante cambios en la tasa de interés R. Una vez más, este ejercicio se llama "estática comparativa". Todo lo que hacemos es tomar la derivada de las opciones con respecto a R. Por ejemplo:

Así, c2* sube si el tipo de interés sube, como nuestra intuición sugiere. Equilibrio de mercado Hasta ahora hemos limitado la atención a un solo hogar. Una macroeconomía se compone de un número de estos hogares. En este modelo, que resulta ser trivial, ya que todas las casas son iguales, pero el ejercicio le dará la práctica para los ajustes más difíciles por venir. El ejercicio básico es cerrar nuestro modelo para tener la tasa de interés R que se determina de manera endógena. Recordemos, dijimos que los hogares pueden ser tanto prestamistas como prestatarios, en función de si b1 es positivo o negativo, respectivamente. Bueno, los únicos prestatarios y prestamistas en esta economía son los N hogares, y todos ellos son iguales. Si todos quieren pedir prestado, no habrá nadie dispuesto a prestar, y habrá un exceso de demanda de préstamos. Por otro lado, si todos quieren prestar, habrá un exceso de oferta de préstamos. Más formalmente, podemos escribir la demanda agregada de los bonos como: Nb1*. El equilibrio del mercado requiere:

Por supuesto, se puede ver que esto requiere que cada familia no preste ni se endeuda, ya que todas las casas son iguales. Ahora nos dirigimos a una definición formal de equilibrio. En general, un equilibrio competitivo es una solución para todas las variables de la economía, en la que: (i) todos los agentes económicos toman los precios como dados, (ii) con sujeción a los precios, todos los agentes económicos se comportan racionalmente, y (iii) todos los mercados se vacían. Cuando se le pide que defina un equilibrio competitivo de una economía específica, su tarea consiste en traducir estas tres condiciones en los detalles del problema. Para la economía que estamos considerando aquí, hay dos tipos de precios: el precio del consumo P y el precio de los préstamos R. Los actores de la economía son los N hogares. Hay dos mercados que se deben vaciar. En primer lugar, en el mercado de bienes, tenemos: En segundo lugar, el mercado de bonos se debe vaciar, como se indica en la ecuación (3.9) anterior. Con todo esto escrito, nos dirigimos ahora a la definición de un equilibrio competitivo para esta economía. Un equilibrio competitivo en este contexto es: un precio de consumo P*, un tipo de interés R*, y los valores de c1*, c2*, y b1*, de modo que:   

Tomando P* y R* como se indica, todas las N casas eligen c1*, c2*, y b1* según el problema de maximización dado en las ecuaciones (3.4) - (3.6); Teniendo en cuenta estas opciones de ct*, el mercado de bienes se equilibra en cada período, tal como se indica en la ecuación (3.10), y Teniendo en cuenta estas opciones de b1*, el mercado de bonos se vacía, como se indica en la ecuación (3.9).

Los economistas a menudo son algo pedantes con todos los detalles en sus definiciones de equilibrios competitivos, pero proporcionando el detalle hace que sea muy claro ver cómo funciona la economía. Pasamos ahora a calcular el equilibrio competitivo, comenzando por el mercado de crédito. Recordemos, podemos escribir b1* en función del tipo de interés R, ya que la decisión de préstamo de cada hogar depende del tipo de interés. Estamos interesados en encontrar la tasa de interés que equilibra el mercado de bonos, es decir, el R* de tal manera que b1*(R*) = 0. Obtenemos: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 17

Haciendo cero el lado izquierdo y resolviendo para R*:

Después de un poco de álgebra nos queda:

Esta ecuación pone de manifiesto que la tasa de interés de equilibrio está determinada por los ingresos de los hogares en cada período (y1 e y2) y por la impaciencia de los hogares (β). Podemos realizar estática comparativa aquí al igual que en cualquier otro lugar. Por ejemplo:

por lo que aumenta el ingreso si, en el segundo período, R* también lo hace. Por el contrario, si los ingresos del segundo periodo se reducen, entonces R* también lo hace. Esto tiene sentido intuitivo. Si y2 cae, las familias tratan de invertir los ingresos del primer periodo en bonos con el fin de suavizar el consumo entre los dos períodos. En equilibrio, esto no puede suceder, ya que la tenencia de bonos netos debe ser cero, por lo que la tasa de interés de equilibrio debe caer con el fin de proporcionar un desincentivo a la inversión para contrarrestar precisamente el deseo de los hogares para suavizar el consumo. Usted puede trabajar a través de estáticas comparativas similares y la intuición para examinar cómo son los cambios de equilibrio de tasas de interés en respuesta a cambios en y1. (Véase el ejercicio 3.2.) Tome en cuenta que en este modelo y con estas preferencias, interesan sólo los ingresos relativos. Por ejemplo, si ambos y1 y y2 se contraen en un 50%, entonces y2 = y1 no cambia, por lo que la tasa de interés de equilibrio no cambia. Esto tiene implicaciones contrastables. Es decir, podemos probar la reacción temporal frente a una disminución permanente de ingresos.


Por ejemplo, supongamos que hay un shock temporal en la economía de tal manera que y1 desciende en un 10% en la actualidad, pero y2 es invariable. La estática comparativa indica que la tasa de interés de equilibrio debe aumentar. Esto significa que los shocks negativos temporales al ingreso inducen una tasa de interés más alta. Supongamos ahora que el shock negativo es permanente. De esta manera, tanto y1 como y2 caen un 10%. Este modelo implica que R* no cambia. Esto significa que los shocks permanentes no afectan la tasa de interés. El otro precio que es parte del equilibrio competitivo es P*, el precio de una unidad de consumo. Resulta que el precio no es único, ya que no hay nada en nuestra economía que precise que P* lo sea. La variable P ni siquiera aparece en las ecuaciones de c1* y c2*. Aparece en la ecuación para b1*, pero se cae al imponer el hecho de que b1* = 0 en equilibrio; véase la ecuación (3.11). La intuición es que el aumento de P ha de contrarrestar sus efectos: aumenta el valor de los ingresos de un hogar, y eleva el precio de su consumo en la misma forma, por lo que aumentar P no tiene ningún efecto real. Puesto que P* no puede virar hacia abajo, cualquier número va a funcionar, y tenemos un número infinito de equilibrios competitivos. Esto quedará más claro en el Capítulo 5.

3.3 Un Modelo de Infinitos Períodos La versión del modelo en el cual las vidas de hogares representativos duran infinitos períodos es similar al modelo de dos períodos de la sección anterior. La utilidad del hogar es ahora:

En cada período t, la familia se enfrenta a una restricción presupuestaria:


www.elsolucionario.org Dado que la familia vive para todo t = 1, 2; …, hay un número infinito de estas restricciones presupuestarias. La familia decide sobre ct y bt en cada período, por lo que hay un número infinito de variables de elección y un número infinito de condiciones de primer orden. Esto puede parecer desconcertante, pero no dejes que te intimide. Todo funciona bastante bien. Podemos escribir el problema de maximización en forma condensada de la siguiente manera:

El símbolo "∀" significa "para todo", por lo que la última parte de la línea de restricción se lee como "para todo t en el conjunto de los enteros positivos". Para hacer el Lagrangiano, en cada periodo de tiempo t, el hogar tiene una restricción presupuestaria que recibe un multiplicador de Lagrange λt. El único truco es que usamos la notación de sumatoria para manejar todas las restricciones:

Ahora estamos listos para obtener las condiciones de primer orden. Dado que hay un número infinito de ellas, no tenemos esperanza de escribir a todas una por una. En su lugar, simplemente escribimos las FOC’s para las variables del período t. La FOC para ct es muy fácil:

La condición de primer orden para bt es más difícil porque hay dos términos en la suma que tienen bt en ellos. Considere b2. Aparece en la restricción presupuestaria para t = 2 como bt, pero también aparece en la restricción presupuestaria t = 3 como bt-1. Esto conduce a la t+1 de los siguientes términos:

Una manipulación sencilla de esta ecuación conduce a:

Reescribiendo la ecuación (FOC ct) nos da:

Podemos rotar esta ecuación hacia delante un período (es decir, sustituir t con t+1) para obtener la versión para el próximo período:

Dividiendo la ecuación (3.14) a (3.15) se obtiene la ecuación:

Por último, multiplicamos ambos lados por β y utilizamos la ecuación (3.13) para deshacernos de los términos lambda en el lado derecho:


Si compara la ecuación (3.16) a la ecuación (3.7), se dará cuenta de que las ecuaciones de Euler son las mismas en el modelo de dos períodos y el de infinitos períodos. Esto se debe a que las compensaciones intertemporales que enfrenta la familia son las mismas en los dos modelos. Al igual que en el modelo previo, podemos analizar los patrones de consumo utilizando la ecuación de Euler. Por ejemplo, si β= 1/(1+R), esto implica que el consumo es constante en el tiempo. Si la tasa de interés R es relativamente alta, entonces el lado derecho de la ecuación (3.16) será mayor que uno y el consumo aumentará con el tiempo. Valor Presente de una Restricción Presupuestaria Ahora nos dirigimos a una formulación ligeramente diferente del modelo con el hogar representativo de duración infinita. En lugar de forzar a la familia para equilibrar su presupuesto en cada periodo, ahora el hogar debe simplemente equilibrar el valor actual de todos los presupuestos. Se calcula el valor presente de todos los ingresos de la unidad familiar:

Esto nos da la cantidad de dólares que el hogar podría obtener en el periodo 1 si vendió los derechos de todos sus ingresos futuros. Por otro lado, el valor presente de todo el consumo de los hogares es:

Poniendo estos dos valores presentes juntos nos da única restricción presupuestaria actual valor de la unidad familiar. El problema de maximización del hogar es:

Nosotros usamos λ como multiplicador de la restricción, por lo que el Lagrangiano es:

La condición de primer orden con respecto a ct es:

Rotando esto adelante y dividiendo la ct FOC por la ct+1 FOC tendremos:

lo que se reduce a:


por lo que tenemos la misma ecuación de Euler, una vez más. Resulta que el problema que enfrenta la familia de acuerdo con el valor actual de la restricción presupuestaria es equivalente a aquella en la que existe una restricción para cada período. Ocultas en la versión de valor actual se encuentran las tenencias de bonos. Podríamos deducir dichas participaciones observando la secuencia de los ingresos yt y escogido consumos ct*.


www.elsolucionario.org Capítulo 4

La Demanda de Dinero Este capítulo trata de explicar una cruda realidad: los autores solían retirar $20 cuando iban al cajero automático, mientras que ahora tienden a retirar $300. Vamos a hacer un modelo para examinar esta cuestión. En nuestro modelo, el consumidor elige la frecuencia de ir al banco y cuánto dinero va a retirar una vez allí. Sea T la cantidad de tiempo (en fracciones de años) entre los viajes de un consumidor al banco para obtener dinero. Si T es de 1/3, entonces el consumidor va al banco cada 4 meses, o tres veces al año. Para T arbitrarias, el consumidor hace 1/ T viajes al banco en un año. Ir al banco es un dolor de cabeza. Se necesita tiempo y esfuerzo, y el banco puede cobrar por cada retiro. Nosotros acumulamos todos estos gastos en algún costo en dólares γ. Podríamos derivar γ por: (i) el cálculo de costo de oportunidad del tiempo, (ii) la multiplicación por la cantidad de tiempo necesario para ir al banco, y (iii) la adición de los cargos impuestos por el banco. El costo por año de los viajes de este consumo en el banco es sólo el número de viajes por su respectivo costo, por lo que los costos de las transacciones anuales del consumidor son los siguientes: (1/T)(γ). Si todos los precios se duplican, entonces estos costos se duplican, ya que tanto las comisiones bancarias como el costo de oportunidad del tiempo de los consumidores se dobla. En consecuencia, con el fin de obtener el impacto real sobre el consumo de estos costos anuales, tenemos que ajustar por el nivel de precios P. Aquí vemos que si los precios se duplican, entonces tanto P como γ se duplican, y sus efectos se anulan, por lo que los costes reales no cambian, como se requiere. Ahora ir al banco es costoso, pero el consumidor sigue haciéndolo porque necesita dinero para comprar cosas. Supongamos que nuestro consumidor gasta Pc dólares en consumo de cada año, donde este gasto está suavizado. (Esto le da a los consumidores c dólares reales de consumo de cada año). Con el fin de pagar por todo este consumo, el consumidor tiene suficiente dinero disponible en un momento dado para hacer las compras.


Podemos calcular cuánto dinero gasta el consumidor entre las idas al banco. (Recordemos, T mide el tiempo entre los viajes, en fracciones de año.) Si T es 1, entonces el consumidor gasta Pc. Si T es 1/2, entonces el consumidor gasta (Pc)/2. En general, el consumidor gasta PcT dólares entre las idas al banco. Esa es la cantidad que el consumidor debe retirar en cada viaje. El consumidor puede optar por ir con menos frecuencia (T grande), pero sólo si el consumidor está dispuesto a retirar más en cada viaje. La Figura 4.1 de Barro proporciona una ilustración gráfica de cómo las tenencias de dinero de los consumidores evolucionan con el tiempo. Después de ir al banco, las tenencias de dinero de los consumidores disminuyen linealmente, por lo que las tenencias de dinero promedio de los consumidores son:

(Esto utiliza el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura). Los saldos monetarios reales promedio del consumo son:

Tenga en cuenta que las tenencias de dinero promedio de los consumidores son cada vez más mientras mayor sea el tiempo entre las visitas del banco, es decir, cuanto más tiempo entre las visitas, más dinero tiene en promedio el consumidor. Debido a que hay costos de transacción involucrados en cada viaje al banco, podríamos preguntarnos por qué el consumidor no va una vez, retira un montón de dinero, y obtiene todo de una vez. Todo el dinero que el consumidor retira entre las idas al banco no genera intereses, pero el dinero que queda en el banco devenga intereses. Este interés previsto es el costo de oportunidad de mantener dinero. Si la tasa de interés nominal anual es R, entonces cada año el consumidor pierde


dólares de interés. Nótese que el aumento promedio de las tenencias de dinero da como resultado una mayor cantidad de intereses no percibidos. Podemos afirmar esta cantidad de interés en dólares en términos reales:

Ahora estamos listos para poner todo esto junto. El consumidor elige T, el tiempo entre las visitas del banco. Hemos calculado el costo anual de visitas bancarias de los consumidores y el costo anual de los intereses no percibidos de las tenencias de dinero de los consumidores, tanto en términos nominales como reales. La adición de estas dos costas y nos da:

Esta ecuación se representa en la Figura 4.2 de Barro. Ahora usamos cálculo para obtener el comportamiento óptimo del consumidor. Es decir, queremos derivar costos minimizando la elección de tiempo del consumidor T entre las visitas al banco a retirar dinero. Estamos interesados en los costos mínimos, por lo que tomamos la condición de primer orden de la ecuación (4.1) con respecto a T:

Resolviendo para T*:

Con esta respuesta, ahora podemos escribir la expresión algebraica para las tenencias medias de dinero en términos reales 𝑚 ̅/𝑃, que Barro llama ϕ(R, c; γ/P)?. Las tenencias de dinero promedio del consumidor son:

Cuando sustituimos en nuestra expresión para T*, obtenemos:

Podemos hacer estática comparativa para examinar cómo estas tenencias de dinero se ven afectados por los cambios en los parámetros fundamentales. Vea los ejercicios para los ejemplos. Las soluciones a estos ejercicios proporcionan la respuesta a la pregunta planteada al principio de este capítulo: ¿Por qué los autores ahora retiran 300 dólares de los cajeros automáticos, mientras que solían retirar sólo $20? Pues bien, hoy gastan más dinero, el costo de oportunidad de su tiempo es mayor, los costos de transacción en los cajeros es mayor, y las tasas de interés son más bajas. Es de suponer que el consumidor que subyace a este modelo de demanda de dinero haga una elección de cuánto c consumir cada año. Ahora analizaremos brevemente si tiene sentido que el consumidor elija c y T por separado. Cuando un consumidor decide cuánto consumir c, considera el precio de los bienes que se compran. Los precios más altos por lo general implican que el consumidor opta por consumir menos. Ahora, el costo de un producto como peldaño hacia la caja registradora no son todos los costos para el consumidor de adquirir el bien. El consumidor podría tener que: gastar esfuerzo para llegar a la tienda, gastar tiempo valioso esperando en la cola, MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 23

o gastar tiempo y dinero para tener el dinero en efectivo para hacer la compra. Todas estas cosas se suman a los gastos que el consumidor se enfrenta a la hora de tomar una decisión de compra. Si estos costos adicionales cambian, entonces el consumo de los consumidores va a cambiar. Esto implica que las mismas cosas que el consumidor considera a la hora de elegir T afectarán elección óptima del consumidor de c. Dado que c fue una de las cosas que pesan en la determinación de T*, es un defecto de nuestro modelo que asumamos que podríamos separar estas decisiones. Piense en el ejemplo siguiente. Supongamos cargos de cajeros automáticos suben temporalmente a $100 por transacción. En nuestro modelo, esto implica que aumenta γ, por lo que T* sube, ya que la gente quiere ir al banco con menos frecuencia. Nuestro modelo supone que c es fijo, pero en realidad c caerá debido a la nueva tarifa de los cajeros, ya que el consumo es ahora más caro (especialmente el consumo de los bienes que se tienen que comprar con dinero en efectivo). Por lo tanto, nuestra solución para T* (que asume un c fijo) está obligada a diferir de la que implica un modelo más sofisticado. Considerando que c disminuye a medida que γ aumenta, y ∂T*= ∂c <0, T subiría más en un modelo que tenga en cuenta la relación entre c y T. Tabla 4.1 Notación del Capítulo 4

Variable Definición T

Tiempo (en años) entre los viajes al banco

γ

Costo de oportunidad de ir al banco

P

Precio del consumo

c

Consumo por año

m̅

Tenencia media de dinero de los consumidores

R

Tasa nominal de interés

ϕ(.)

Demanda real de dinero



El Modelo de Vaciado de Mercado La mayoría de los modelos que usamos en este libro se basan en dos supuestos comunes. En primer lugar, asumimos que existen mercados para todos los productos presentes en la economía, y que todos los mercados están en equilibrio. En segundo lugar, se supone que todos los agentes se comportan competitivamente, lo que significa que se toman los precios como dados. Los modelos que satisfacen estos supuestos se llaman modelos de equilibrio general. Hay una serie de resultados importantes que se aplican a todos los modelos de equilibrio general, independientemente de qué tipo de productos, agentes, o tecnologías se utilizan. En este capítulo, vamos a demostrar tres de estos resultados en un marco general. En muchos de los modelos que utilizaremos en el resto del libro habrá casos especiales del modelo general presentado aquí. Dado que omitiremos la mayoría de los supuestos simplificadores que hacemos en otros capítulos, el tratamiento será más formal y matemático de lo habitual. La Sección 5.1 presenta nuestro marco de equilibrio general. En la sección 5.2 se muestra que dentro de este marco, el nivel general de precios es indeterminado. Esto implica que los precios se normalizan, sin pérdida de generalidad. Por ejemplo, en muchos modelos se fija el precio del bien de consumo para que sea igual a uno. En la sección 5.3 se muestra que en un modelo de equilibrio general una restricción de equilibrio del mercado es redundante, un hecho conocido por la Ley de Walras. La Sección 5.4 presenta el primer teorema del bienestar, que establece que bajo ciertas condiciones de equilibrio los modelos de equilibrio general son eficientes.

5.1 Economía de Intercambio Puro Consideraremos una economía con muchos productos y consumidores diferentes. En vez de tener un consumidor representativo, tenemos en cuenta la posibilidad que cada consumidor tenga su propia función de utilidad. Sin embargo, hacemos una simplificación: no hay producción en la economía. Los consumidores tienen la dotación de bienes y servicios, pueden negociar sus dotaciones en los mercados, pero no hay ninguna posibilidad de producir bienes que excedan dichas dotaciones. Hay N diferentes productos en la economía, donde N es un entero positivo. Para cada bien hay un mercado, y el precio del bien n se denota pn. Hay I diferentes consumidores. Cada consumidor tiene una función de utilidad sobre su consumo de los N productos de la economía. El consumo de n bienes por el consumidor i se denota como cin, y la función de utilidad para el consumidor i es ui (ci1, ci2,…, ciN). Observe que la función de utilidad está indexada por i, de modo que pueda ser diferente para cada consumidor. Los consumidores también tienen dotaciones de los N bienes, donde eit es la dotación del consumidor i de n bienes. Todos los consumidores se encuentran en el principio de los tiempos en un mercado central. Aquí los consumidores pueden vender sus dotaciones y comprar bienes de consumo. Si el consumidor i vende toda su 𝑵 𝑖 𝑖 dotación, su ingreso total es de ∑𝑵 𝑛=1 𝑝𝑛 𝑒𝑛 . Del mismo modo, el gasto total en bienes de consumo es ∑𝑛=1 𝑝𝑛 𝑐𝑛 . El consumidor i maximiza su utilidad sujeta a su restricción presupuestaria, que establece que el gasto total en consumo tiene que ser igual a los ingresos totales por la venta de la dotación. Matemáticamente, el problema del consumidor i es:


También necesitaremos una restricción de equilibrio de mercado para cada uno de los bienes. La condición de equilibrio del mercado para n bienes es:

Tenga en cuenta que en la restricción presupuestaria sumamos sobre todos los bienes de un consumidor, mientras que en las condiciones de equilibrio del mercado se suma sobre todos los consumidores de bienes. Las únicas suposiciones adicionales que haremos en este capítulo son: que I y N son números enteros positivos, que todas las dotaciones ein son positivas y que todas las funciones de utilidad son estrictamente crecientes en todos los argumentos. El supuesto de funciones de utilidad crecientes es importante porque implica que todos los precios son positivos en equilibrio. Utilizaremos este hecho a continuación. Tenga en cuenta que no hacemos ninguna hipótesis adicional como diferenciabilidad o concavidad, y que no restringimos la atención a determinadas formas funcionales para la utilidad. Los resultados de este capítulo respectan únicamente a la estructura del modelo de equilibrio general de mercado. Ahora estamos listos para definir un equilibrio para esta economía a lo largo de las líneas desarrolladas en el Capítulo 3. Una asignación es un conjunto de valores de consumo para cada bien y cada consumidor. Un equilibrio competitivo 𝐼 es una asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 } y un conjunto de precios {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑁 } tal que: 𝑖=1

 

𝐼

Tomando los precios como dados, cada consumidor i elige {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 como una solución al problema de maximización en la ecuación (5.1), y Dada la asignación, todas las restricciones de equilibrio del mercado de la ecuación (5.2) se satisfacen.

El modelo es mucho más general de lo que parece. Por ejemplo, diferentes productos pueden corresponder a diferentes períodos de tiempo. En ese caso, la restricción presupuestaria sería interpretada como una restricción presupuestaria del valor presente, como se introdujo en el Capítulo 3. También se puede incorporar la incertidumbre, en cuyo caso los diferentes bienes que corresponden a los diferentes estados de la naturaleza. El bien 1 podría ser el consumo de bronceador en caso de que llueva mañana, mientras que el bien 2 podría ser bronceador en el caso de que salga el sol. Presumiblemente, el consumidor quiere consumir diferentes cantidades de estos productos, dependiendo del estado del tiempo. Mediante el uso de tiempo y bienes de estados contingentes, podemos adaptar el modelo a casi cualquier situación.


5.2 Normalización de los Precios En nuestro modelo, el nivel general de precios está indeterminado. Por ejemplo, dado un equilibrio, se puede doblar todos los precios y conseguir otro equilibrio. La primera vez que nos encontramos con este fenómeno fue en la economía del mercado de crédito de la sección 3.2, cuando se descubrió que el nivel de precios P era arbitrario. Una aplicación importante es la posibilidad de normalizar los precios. Puesto que es posible multiplicar los precios por una constante positiva y todavía tener un equilibrio, la constante se puede elegir de tal manera que el precio se establece en uno. Por ejemplo, si se desea normalizar el precio del primer bien, podemos elegir la constante de manera que p1=1. Luego, cuando multiplicamos todos los precios por esta constante, el precio normalizado del primer bien se convierte en (p1) (1/p1) = 1. Si para cada equilibrio hay otro en el que el precio del primer bien es uno, no hay pérdida de generalidad al suponer que el precio es uno para todos. Sin mencionarlo explícitamente, hacemos uso de este hecho en una serie de situaciones a lo largo de este libro. Normalmente, el precio del bien de consumo se establece en uno, para que todos los precios se puedan interpretar en términos de consumo del bien. El bien cuyo precio se fija a uno es a menudo llamado el numerario. Con el fin de demostrar que el nivel de precios es indeterminado, vamos a suponer que ya hemos encontrado 𝐼 una asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 , y un sistema de precios {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑁 } que satisface todas las condiciones para un equilibrio. Ahora queremos demostrar que si multiplicamos todos los precios por una constante γ>0 todavía 𝐼

tendremos un equilibrio. Esto es, la dotación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 sigue respondiendo de equilibrio del mercado, y los valores para el consumo continuarán siendo óptimos para los consumidores, dado el nuevo sistema de precios {𝛾𝑝1 , 𝛾𝑝2 , … , 𝛾𝑝𝑁 } MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 26

Es obvio que las restricciones de equilibrio del mercado seguirán manteniéndose, ya que no se cambia la dotación y los precios no entran en los límites de equilibrio del mercado. Por lo tanto, sólo se necesita demostrar que la asignación todavía será óptima, dado el nuevo sistema de precios. Ya sabemos que la asignación es una opción óptima para los consumidores, dado el viejo sistema de precios. Si podemos demostrar que el nuevo sistema de precios no cambia la restricción presupuestaria del consumidor, entonces el problema del consumidor con los nuevos precios serán equivalentes al problema original, por lo que tienen la misma solución. La restricción presupuestaria con los nuevos precios es la siguiente:

Podemos extraer los términos comunes fuera de las sumatorias y dividiendo a ambos lados nos queda:

que es igual a la restricción presupuestaria bajo el sistema de precios original. El problema del consumidor no 𝐼 cambia, por lo que todavía tiene la misma solución. Esto muestra que la asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 y los precios {𝛾𝑝1 , 𝛾𝑝2 , … , 𝛾𝑝𝑁 } forman un equilibrio también. La idea básica es respecto a los precios relativos, no a los precios absolutos. Si todos los precios se multiplican por una constante, el ingreso a partir de la venta de la dotación se incrementará en la misma proporción que el costo de los bienes de consumo. Mientras los precios relativos son constantes, tal cambio no influirá en las decisiones de los consumidores. Tenga en cuenta que no necesitamos mirar las condiciones de primer orden para demostrar nuestro punto. La posibilidad de normalización de los precios se deriva de la estructura básica de esta economía de mercado, no de suposiciones específicas sobre la utilidad o la tecnología.

5.4 La Ley de Walras En un modelo de equilibrio general, una restricción de equilibrio de mercado es redundante. Esto significa que si se satisface la restricción presupuestaria de los consumidores y se mantienen todas las condiciones de mercado, entonces la última condición de mercado se satisface automáticamente. Este hecho tiene valor práctico, ya que implica que podemos omitir una restricción de equilibrio del mercado de inmediato cuando se calcula un equilibrio. Sin mencionarlo, hemos hecho ya uso de esto en la Sección 3.2. Aunque la definición de equilibrio es necesaria para vaciar el mercado de bienes, las limitaciones del mercado para bienes no se utilizaron realmente. Esto fue posible porque estaban implícitas en las restricciones presupuestarias y el hecho de que el mercado de bonos estaba en equilibrio. Esta característica de los modelos de equilibrio general se conoce como la Ley de Walras. Para ver lo que la ley de Walras tiene que ver en nuestra economía general de intercambio puro, se supone que las limitaciones presupuestarias de cada uno de los consumidores I y las restricciones de equilibrio del mercado de los primeros N-1 bienes se satisfacen. Queremos mostrar que la última restricción de equilibrio del mercado del bien N también se satisface. Sumando las limitaciones presupuestarias de los consumidores:

Reordenando se obtiene:



Dentro de los corchetes tenemos la diferencia entre el consumo total y la dotación total de n bienes. Si el mercado para un bien n se vacía, esta diferencia es cero. Puesto que suponemos que los primeros N-1 mercados están en equilibrio, la ecuación (5.3) se convierte en:

Dado que pN> 0, esto implica:

Así, el mercado N-ésimo se equilibrará también. La intuición detrás de este resultado es más fácil de ver cuando el número de mercados es pequeño. Si sólo hay un bien, digamos manzanas, las restricciones presupuestarias de los consumidores implican que cada consumidor come las manzanas de las que está dotado. Entonces la restricción de equilibrio de mercado tiene que ser satisfecha también, puesto que ya está satisfecha a nivel de cada consumidor individual. Supongamos ahora que hay un bien más, digamos naranjas, y la restricción de equilibrio del mercado de las manzanas está satisfecha. Eso implica que los gastos totales en manzanas equivalen al ingreso total de la venta de manzanas de otros consumidores. Debido a que cada consumidor equilibra el gasto con los ingresos, los gastos tienen que ser iguales a los ingresos para las naranjas también, por lo que el mercado de naranjas estará en equilibrio.

5.4 El Primer Teorema del Bienestar Las dos primeras características de los modelos de equilibrio general que hemos presentado en este capítulo eran técnicas. Son de alguna ayuda en el cálculo de equilibrios, pero por sí mismos no proporcionan una visión profunda que se pueda aplicar al mundo real. La situación es diferente con la última característica que vamos a tratar, la eficiencia de los resultados en las economías de equilibrio general. Este resultado tiene implicaciones importantes para las propiedades del bienestar de los modelos económicos, y desempeña un papel clave en la teoría de los sistemas económicos comparados. Antes de que podamos mostrar que los equilibrios en nuestro modelo son eficientes, tenemos que precisar qué es exactamente lo que se entiende por eficiencia. En economía, por lo general utilizan el concepto de eficiencia de Pareto. Otro término para la eficiencia de Pareto es óptimo de Pareto, y vamos a utilizar indistintamente las dos versiones. Una asignación es Pareto eficiente si se respetan las condiciones de equilibrio del mercado y si no hay ninguna otra asignación que: (1) también satisface las condiciones de equilibrio del mercado, y (2) hace 𝐼 que todos estén mejor. En nuestro modelo, una asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 es por lo tanto Pareto eficiente si


la restricción de equilibrio de mercado en la ecuación (5.2) es válida para cada uno de los N bienes y si no hay 𝐼

otra asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 que también satisface el equilibrio de mercado y tal que:

para todos los i consumidores. Tenga en cuenta que el concepto de óptimo de Pareto no nos obliga a tomar ninguna posición sobre el tema de la distribución. Por ejemplo, si las funciones de utilidad son estrictamente crecientes, una asignación Pareto-óptimo es tener un único consumidor que consuma todos los recursos en la economía. Esta asignación es claramente factible, y cada asignación alternativa hace que este consumidor esté peor. Una asignación Pareto-eficiente no es necesariamente la que mucha gente consideraría "justa" o incluso "óptima". Por otro lado, mucha gente estaría de acuerdo en que es mejor que todo el mundo esté mejor, siempre y cuando sea posible hacerlo. Por lo tanto podemos interpretar la eficiencia de Pareto como un estándar mínimo para una "buena" asignación, y no como un criterio para la "mejor". Ahora queremos mostrar que toda asignación de equilibrio en nuestra economía es necesariamente un óptimo 𝐼 de Pareto. El equilibrio consiste en una asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 y un sistema de precios {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑁 }. Dadas las condiciones de equilibrio de mercado válidas para cualquier asignación de equilibrio, el primer requisito para el óptimo de Pareto se cumple automáticamente. La segunda parte tiene un poco más de trabajo. Queremos demostrar que no hay ninguna otra asignación que satisface también el equilibrio del mercado y que eso haga que todos estén mejor. Vamos a probar esto por contradicción. Es decir, vamos a suponer que una mejor asignación en realidad existe, y entonces mostrará que esto nos lleva 𝐼

a una contradicción. Por lo tanto, vamos a suponer que hay otra asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 , que satisface de equilibrio del mercado tal que:

para todo consumidor i. Sabemos que el consumidor i maximiza la utilidad sujeta a la restricción 𝐼

𝐼

presupuestaria. Dado que el consumidor elige {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 aunque {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 produce una mayor 𝐼

utilidad, tiene que ser el caso de que {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 viole la restricción presupuestaria del consumidor:

𝐼

De lo contrario, los consumidores optimizadores no habrían elegido el consumo en la dotación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 en el primer lugar. Sumando la ecuación (5.4) sobre todos los consumidores y reordenando:

𝐼

Asumamos que la asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 satisface el equilibrio de mercado. Por lo tanto, los términos dentro de los corchetes son todos cero. Esto implica 0>0, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no hay tal 𝐼

𝐼

asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 , y la asignación de equilibrio original, {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 es un óptimo de Pareto. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 29

Dado que cualquier equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto, no hay posibilidad de una redistribución de los bienes que haga que todo el mundo esté en mejores condiciones que antes. La optimización individual junto con la existencia de mercados implica que todas las ganancias del mercado son explotadas. También hay un recíproco parcial para el resultado que acabamos de demostrar, el "segundo teorema del bienestar". Mientras que el primer teorema del bienestar dice que todo equilibrio competitivo es Pareto eficiente, el segundo teorema del bienestar dice que cada óptimo de Pareto se puede implementar como un equilibrio competitivo, siempre y cuando la riqueza se pueda redistribuir con antelación. El segundo teorema del bienestar se basa en algunas suposiciones adicionales y es más difícil de demostrar, por lo que lo omitimos aquí. En las economías con un solo consumidor no hay problemas de distribución, y los dos teoremas son equivalentes. Tabla 5.1 Notación del Capítulo 5

Variable Definición N

Número de bienes

pn

Precio del bien n

I

Número de consumidores

Cin

Consumo de n bienes del consumidor i

Ui (.)

Función de utilidad del consumidor i

ein

Dotación de n bines del consumidor i

γ

Factor arbitrario de proporcionalidad

www.elsolucionario.org Ejercicios Ejercicio 5.1 (Fácil) Demostrar la importancia que la ley de Walras tiene para la economía del mercado crediticio que discutimos en el capítulo 3.2. Es decir, utilizar las restricciones presupuestarias de los consumidores y las condiciones de equilibrio del mercado de bienes para obtener la condición de equilibrio del mercado de los bonos de la ecuación (3.9). Ejercicio 5.2 (Difícil) Supongamos que el precio de equilibrio del uno de los bienes n es cero. ¿Cuál es la interpretación económica de esta situación? ¿Cuál de nuestros supuestos descartó que el precio es igual a cero? ¿Por qué? ¿Sigue actuando la Ley Walras? ¿Y el primer teorema del bienestar?



El Mercado Laboral En este capítulo se trabaja en los detalles de dos modelos distintos. La Sección 6.1 contiene un modelo de un período en que los hogares son los demandantes y oferentes de trabajo. El equilibrio en el mercado de trabajo determina el salario de equilibrio. En la Sección 6.2 se desarrolla el modelo de dos períodos del capítulo 3. En este caso, a las familias se les permite elegir su oferta de trabajo en cada período.

6.1 Equilibrio en el Mercado Laboral Esta economía se compone de un gran número de hogares idénticos. Cada uno es dueño de una granja en la que emplea mano de obra para producir bienes de consumo, y cada uno tiene trabajo que puede suministrar a otros agricultores. Por cada unidad de trabajo ofrecida a los demás, una familia recibe un salario w, que se paga en unidades de consumo. Los hogares toman este salario como dado. Con el fin de hacer clara la exposición, prohibimos a una familia de proporcionar mano de obra para su propia granja (Esto no tiene nada que ver con los resultados del modelo). La primera tarea del hogar representativo es la de maximizar los beneficios de su explotación. La producción de la granja está dada por una función de producción f (ld), donde ld es la mano de obra demandada (es decir, empleados) por esa granja. La familia propietaria de la finca decide cuánto trabajo ld contratar. La condición de primer orden con respecto a ld es:

Esto implica que la familia continuará contratando obreros hasta que el producto marginal del trabajo adicional se iguale al salario de mercado. La ecuación (6.1) nos da la demanda de trabajo óptima ld*. Al conectar esto en la ecuación beneficio se obtiene el máximo beneficio del hogar: 𝜋 ∗ = 𝑓(𝑙𝑑∗ ) − 𝑤𝑙𝑑∗ . Después de que el beneficio de la finca está maximizado, la familia tiene que decidir cuánto trabajar en las fincas de los demás y cuánto consumir. Sus preferencias están dadas por u(c, ls), donde c es el consumo de los hogares, y ls es la cantidad de trabajo que la familia proporciona a las fincas de otros hogares. La familia recibe ingresos π* por la ejecución de su propia finca y el ingreso laboral de trabajar en las fincas de los demás. En consecuencia, el presupuesto del hogar es: Así, el Lagrangiano para el problema del hogar es:

La condición de primer orden con respecto a c es:

y con respecto a ls es:

Resolviendo cada uno para λ e igualando:


por lo que la familia continúa suministrando mano de obra hasta que su tasa marginal de sustitución de mano de obra para el consumo cae hasta igualarse al salario que recibe. Teniendo en cuenta determinadas formas funcionales para u (·) y f (·), podemos resolver para la elección óptima ld* y ls* y calcular el salario de equilibrio. Por ejemplo, supongamos que:

Bajo estas formas funcionales, la ecuación (6.1) se convierte en:

Esto implica que el beneficio π* de cada hogar es:

Después de un poco de manipulación algebraica y factorizaciones, se convierte en:

En virtud de las preferencias dadas, tenemos u1(c,l) = 1/c y u2(c,l) = -1/(1- l). Recuerde, la ecuación presupuestaria implica c = π + wls. Al conectar éstos en la ecuación (6.2) nos da:

que se reduce a:

Al conectar π de la ecuación (6.4) se obtiene:

que se reduce a:

Ahora que hemos determinado la oferta de trabajo familiar óptima ls* en función del salario de mercado w y hemos calculado elección óptima de la unidad familiar de la mano de obra a contratar ld* por un salario determinado. Dado que todos los hogares son idénticos, el equilibrio se produce cuando la oferta de la unidad familiar es igual a la demanda de los hogares. En consecuencia, establecemos ld* y ls* llamamos al salario resultante w*:


Reunimos los términos semejantes para obtener:

Si hacemos algunas manipulaciones algebraicas más a los rendimientos:

Por último, conectamos de nuevo este salario de equilibrio en nuestras expresiones de ld* y ls*, que estaban en términos de w. Por ejemplo, al conectar la fórmula para w* en la ecuación (6.3) nos da:

Por supuesto, se obtiene la misma respuesta para ls*, ya que la oferta debe ser igual a la demanda en equilibrio. Teniendo en cuenta estos resultados para ld*, ls* y w*, podemos realizar la estática comparativa para determinar los valores de equilibrio que dependen de los cambios en los parámetros subyacentes. Por ejemplo, supongamos que la economía experimenta un shock positivo en su productividad. Esto podría ser representado por un incremento en el parámetro A de la función de producción. Podríamos estar interesados en la forma en que afecta al salario de equilibrio:

por lo que el salario de equilibrio aumentará. Sólo mediante el análisis de las fórmulas de ld* y ls*, sabemos que la oferta y la demanda de trabajo no se modificarán, ya que A no aparece en ellas. La intuición de este resultado es sencilla. Con la nueva productividad, más alta, los hogares estarán más dispuestos a contratar mano de obra, pero esto es compensado exactamente por el hecho de que el nuevo salario es más alto. Por otro lado, los hogares se ven tentados a trabajar más por el salario más alto, pero al mismo tiempo son más ricos, por lo que quieren disfrutar de más tiempo libre, que es un bien normal. Bajo estas preferencias, los dos efectos se cancelan. Tabla 6.1 Notación de la Sección 6.1

Variable Definición w

Salario en bienes por unidad de trabajo

ld

Demanda laboral de la granja

f(ld)

Producción de la granja

c

Consumo familiar

ls

Oferta de trabajo familiar

u(c, ls)

Utilidad familiar

λ

Multiplicador de Lagrange

ℒ

Lagrangiano

A

Parámetro de la función de producción

α

Parámetro de la función de producción

6.2 Elección Intertemporal de Trabajo El modelo en esta sección es una pura extensión del desarrollado en la Sección 3.2. En este modelo el hogar representativo vivió durante dos períodos. Cada período, la familia recibió una dotación, e1 y e2. La familia


www.elsolucionario.org eligió el consumo de cada período, c1 y c2, y el número de dólares en bonos b1 para llevar del periodo 1 al periodo 2. El modelo presentado aquí es casi idéntico. La única diferencia es que el hogar ejerce un esfuerzo laboral con el fin de adquirir bienes en lugar de tener una dotación exógena. En particular, el hogar tiene alguna función de producción: yt = f (lt). El hogar elige el esfuerzo laboral de cada período, l1 y l2. El ingreso yt toma el lugar de la dotación del modelo del capítulo 3. El problema de la maximización del hogar es:

Consulte el Capítulo 3 para un análisis de: (i) las limitaciones presupuestarias, (ii) el significado del nivel de precios P y la tasa de interés R, y (iii) cómo funcionan los bonos. El Lagrangiano es:

Existen siete condiciones de primer orden:

Dejamos fuera las condiciones de primer orden con respecto a λ1 y λ2, porque sabemos que se reproducen las restricciones. Resolviendo las ecuaciones (FOC c1) y (FOC c2) para los multiplicadores de Lagrange y enchufando en la ecuación (FOC b1) se obtiene:


Esta es la misma ecuación de Euler que vimos en el capítulo 3. Resolviendo las ecuaciones (FOC l1) y (FOC l2) para los multiplicadores de Lagrange y enchufando el resultado a la ecuación (FOC b1) se obtiene:

Se trata de una ecuación de Euler también, ya que también relaciona utilidades marginales en períodos consecutivos. Esta vez, se relaciona con las utilidades marginales de mano de obra. Podríamos analizar ecuaciones (6.5) y (6.6) en términos de las funciones abstractas, u (·) y f (·), pero es mucho más simple de asumir para formas funcionales particulares y luego llevar a cabo el análisis. En consecuencia, se supone:

Al conectar la función de utilidad en la ecuación (6.5) se obtiene:


al igual que en el capítulo 3. Por ejemplo, esta ecuación implica que una mayor tasa de interés R implica que el hogar consume más en el periodo 2 en relación con el período 1. La ecuación (6.6) se convierte en:

El análisis de esta ecuación es un poco complicado. Como un primer paso, tomemos a una función auxiliar. Entonces la ecuación (6.7) se puede escribir como:

como

Ahora, vamos a considerar que la forma en D (l) cambia cuando cambia la l:

Sabemos que lx> 0 para todo x, por lo que lα-2> 0. Además, α (1-l) <1, ya que l y α van ambos entre cero y uno. Poniéndolos juntos, nos encontramos con que D’ (l) <0, aumentando l disminuye D (l). Ahora, piense en lo que debe suceder a l1* y l2*en la ecuación (6.8) si aumenta la tasa de interés R. Esto implica aumentos del lado derecho, de modo que el lado izquierdo debe aumentar con el fin de mantener la igualdad. Hay dos formas de que el lado izquierdo aumente: o bien (i) D (l2*) aumenta, o (ii) D (l1*) disminuye (o alguna combinación de ambos). Hemos determinado ya que D (l) y l se mueven en direcciones opuestas. Por lo tanto, ya sea que l2* disminuya o l1* aumente (o alguna combinación de ambos), de cualquier manera, l2*/l1*disminuye. La intuición de este resultado es la siguiente: Una tasa de interés más alta significa que el hogar tiene mejores oportunidades de inversión en el periodo 1. Con el fin de tomar ventaja de ellos, el hogar trabaja relativamente más en el período 1, por lo que se gana más dinero para invertir. Tabla 6.2 Notación de la Sección 6.2

Variable Definición U(·)

Utilidad general

t

Tiempo

ct

Consumo en el período t

lt

Trabajo en el período t

u(·)

Período de utilidad

β

Factor de descuento de los hogares

yt

Ingreso en t del hogar en unidades de consumo

f(lt)

Función de producción

P

Precio de una unidad de consumo

R

Tipo de interés nominal

bt

Número de dólares en bonos comprados en t

λt

Multiplicador de Lagrange en t

ℒ

Lagrangiano

N

Número de hogares

D(l)

Función de ayuda, para simplificar notación


Capítulo 8

Inflación Este capítulo examina las causas y consecuencias de la inflación. Las Secciones 8.1 y 8.2 se refieren a la oferta de dinero y la demanda, aunque la presentación difiere un poco de los resultados del libro de Barro, son similares. En la Sección 8.3 se amplía el análisis de Barro con una mirada más de cerca sobre los efectos reales de la inflación.

8.1 Oferta y Demanda de Dinero En la mayoría de los países, el nivel general de precios tiende a aumentar con el tiempo. Este fenómeno se conoce como inflación. En esta sección vamos a vincular la inflación a los cambios en la cantidad de dinero en una economía. La cantidad de dinero está determinada por la oferta y demanda de dinero. Antes de que podamos encontrar cómo se determinan la oferta y la demanda, tenemos que definir lo que significa dinero exactamente. El dinero se define como el medio de cambio en una economía. La moneda (billetes y monedas) es un medio de intercambio, aunque existen otros productos que cumplen también con esta función. Por ejemplo, los depósitos en cuenta corriente se pueden utilizar como un medio de cambio, ya que un consumidor puede emitir un cheque a cambio de bienes. Hay otros activos en los que no está tan claro si deben ser considerados o no dinero, ellos son los depósitos de ahorro, que se puede utilizar como un medio de intercambio, haciendo transferencias o retiros, pero el objetivo principal de las cuentas de ahorro es servir como un depósito de valor. Para hacer frente a estas ambigüedades, los economistas trabajan con una serie de diferentes definiciones de dinero. Estas definiciones se refieren a menudo como agregados monetarios. Uno de los más importantes de los agregados monetarios se llama M1, esta medida consiste en la moneda en circulación más los depósitos en cuenta corriente en los bancos. Agregados más amplios como M2 y M3 también contienen ahorro. Por convención, en este capítulo vamos a identificar dinero con M1, aunque la mayor parte del análisis también podría funcionar si tuviéramos agregados más amplios en mente. Una vez definido el dinero, pasemos a la oferta de dinero. Desde que usamos M1 como nuestra definición de dinero, tenemos que encontrar los determinantes de la oferta de moneda y depósitos de cheques. En la mayoría de los países, la oferta de divisas se encuentra bajo el control del banco central. Por ejemplo, en Estados Unidos la Reserva Federal es responsable del suministro de moneda. Si el banco central decide aumentar la oferta de dinero, todo lo que necesita hacer es imprimir más billetes y llevarlos a la calle, la mayoría de las veces en manos de los bancos privados. Por el contrario, el banco central puede disminuir la oferta de divisas por la recompra de su propio dinero. La determinación de la oferta de depósitos a la vista es una pregunta más difícil. A pesar de que el banco central no controla directamente los depósitos de cheques en los bancos privados, una serie de instrumentos de política monetaria dan el control indirecto del banco central sobre los depósitos bancarios. La explicación de exactamente cómo funciona esto, está más allá del alcance de este capítulo. Volveremos a esta cuestión en Capítulo 17, que tiene una mirada más de cerca a la política de los bancos centrales y su relación con la banca industrial. A los efectos de este capítulo, vamos a simplemente asumir que tanto la moneda y depósitos a la vista se encuentran bajo el control directo del banco central. Esta aproximación funciona bastante bien para un primer análisis de la inflación. A partir de ahora, vamos a utilizar Mt para indicar la cantidad total de dinero suministrada por el banco central en el año t. Por conveniencia, se mide Mt en dólares. Vamos a echar un vistazo a la demanda de dinero. El dinero es demandado por familias y empresas. Las familias necesitan el dinero para la compra de bienes de consumo. Las empresas necesitan dinero para compra de insumos para la producción y para lograr un cambio en las cajas registradoras. Para un año dado t, usaremos Yt para denotar la cantidad total de las compras, medido en términos de consumo, es decir en bienes. Por ejemplo, en la isla de Crusoe Yt sería el número de cocos que se consumen en año t. Si estamos pensando en un país en su conjunto, podemos interpretar Yt como el PIB real. Como Yt está en términos de bienes, hay que multiplicarlo por el nivel de precios Pt para obtener la cantidad total de las compras en términos de dólares PtYt. La demanda de dinero real es menor que PtYt, porque el dinero puede ser utilizado más de una vez en un año, esto nos lleva a la velocidad del dinero que se define como el promedio de número de veces que una moneda MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 36

www.elsolucionario.org se convierte o pasa de mano en mano en un año. Cuanto más dinero da la vuelta, se necesita menos dinero para realizar las compras previstas. Usamos Vt para denotar la velocidad de circulación, la demanda de dinero real viene dado por PtYt / Vt Por ejemplo, si Vt = 1, entonces cada unidad de dinero se utilizará una sola vez. Esto corresponde a una situación en la que se realizan todas las compras al mismo tiempo, se necesitan PtYt dólares. Por otro lado, si cada mes sólo se hacen 1/12 de todas las compras, sólo se requerirán PtYt / 12 dólares, y se tendrá Vt =12. En equilibrio, la oferta monetaria Mt, y la demanda de dinero, PtYt / Vt, tienen que ser iguales. Si establecemos esto, y pasamos la Vt del lado de la oferta obtenemos la ecuación cuantitativa: MtVt = PtYt La ecuación cuantitativa se refiere a la cantidad de dinero Mt al nivel de precios Pt. Sin embargo, todavía no se proporciona una explicación de la inflación, debido a que aún no hemos explicado cómo se determinan la velocidad Vt, y el importe de las compras Yt.

8.2 La Teoría Cuantitativa Nuestra tarea es agregar fundamentos teóricos de la ecuación cuantitativa con el fin de comprender mejor la inflación. La mejor manera de proceder sería la de escribir un modelo que explique cómo las decisiones de los agentes optimizadores determinan la velocidad Vt y el producto Yt. Lo haremos en la siguiente sección, pero como primer paso vamos a comenzar con un enfoque más sencillo. Nosotros vamos a suponer que la velocidad y la producción de cada año son constantes que se determinan independientemente de la oferta de dinero y el nivel de precios Pt. Además, suponemos que la velocidad no cambia con el tiempo. Por lo tanto podemos sacar el subíndice de tiempo y usar V para denotar velocidad. El banco central controla Mt, oferta de dinero, por lo que el nivel de precios Pt es la única variable libre. Dados estos supuestos, la ecuación cuantitativa implica que el banco central tiene perfecto control sobre el nivel de precios. Si el banco central realiza cambios en el suministro de dinero, el nivel de precios cambiará proporcionalmente. Podemos ver que al resolver la ecuación cuantitativa para Pt:

Veamos ahora lo que esto implica para la inflación. La tasa de inflación πt en un año dado t es definida como el cambio relativo en el nivel de precios de t a t + 1:

Esto también se puede escribir como:

Tomando el ratio de la ecuación (8.1) durante dos años consecutivos, se obtiene:

Sabemos por la ecuación (8.2) que Pt+1/Pt es igual a 1 +π t, y los términos V se cancelan, por lo que tenemos:

Ahora tomamos los registros de ambas partes y utilizamos una aproximación: ln (1 + x) ≈ x cuando x no es muy grande. En consecuencia, la ecuación (8.3) se convierte en:

Esto dice que la tasa de inflación es aproximadamente igual a la diferencia entre la tasa de crecimiento de la oferta monetaria y la tasa de crecimiento del producto. Si la producción crece, mientras que la oferta de dinero es constante, los precios tendrán que caer para que la demanda de dinero PtYt = V también se mantenga constante. Si la oferta de dinero crece mientras que la producción no, los precios tendrán que aumentar para MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 37

que la demanda de dinero aumente de acuerdo con la oferta. La teoría enfatiza el papel de la cantidad de dinero para la determinación de la inflación, se conoce como la teoría cuantitativa del dinero. En todos los países y con el tiempo en un país determinado, por lo general observamos mucha mayor variación en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria que en la tasa de crecimiento del producto. Esto indica que las variaciones en la inflación se deben principalmente a las variaciones en la tasa del crecimiento del dinero. Los datos empíricos dan un fuerte apoyo a esta hipótesis. Por ejemplo, la figura 7.1 en Barro muestra que la tasa de crecimiento del dinero es casi perfectamente proporcional a la tasa de inflación en una muestra de 80 países. Mientras que la teoría cuantitativa explica con éxito la causa de la inflación, no es muy útil si queremos determinar las consecuencias de la inflación. Al derivar la teoría cuantitativa, que supone que el dinero y los precios eran independientes de todas las demás variables de la economía. En el mundo real, la alta inflación se considera generalmente indeseable. Si queremos entender por qué la inflación podría ser perjudicial, tenemos que determinar los efectos de la inflación sobre las variables reales como la producción y el consumo. Esto no se puede hacer dentro de la teoría cuantitativa, debido a que la teoría asumió desde el principio que esos efectos reales no existían. Por ello es necesario ir más allá de las simplificaciones de la teoría cuantitativa. Como ya lo hicimos en la discusión de la demanda de dinero en el Capítulo 4, donde se deriva el tiempo óptimo entre los viajes de un consumidor al banco a sacar dinero. Ese tiempo T entre viajes para conseguir dinero estaba estrechamente relacionado con la velocidad V. De hecho, V = 2/ T. En el Capítulo 4 vimos que la decisión sobre T depende del gasto de consumo previsto y el tipo de interés nominal. Por lo tanto, la suposición de una velocidad constante V que hicimos para la teoría cuantitativa no era correcta. Por otro lado, desde un punto de vista empírico, la suposición de la velocidad constante parece funcionar relativamente bien, siempre y cuando las tasas de inflación sean moderadas. La otra hipótesis que hicimos para la teoría cuantitativa es que Yt, el producto, se determinó de forma independiente de la política monetaria y la inflación. Necesitamos relajar este supuesto, si queremos determinar los efectos reales de la inflación. En la siguiente sección, vamos a construir un modelo completo de equilibrio general que nos permite derivar el impacto de la inflación sobre la producción y el consumo.

8.3 La economía Cash-in-Advance


En esta sección se tratan los efectos reales de la inflación. A diferencia de la sección anterior, se utilizará un modelo de equilibrio completo con la optimización de los consumidores, porque queremos entender cómo los agentes económicos deciden sobre el consumo y la producción en la presencia de la inflación. El modelo se basa en el marco de equilibrio general desarrollado en anteriores capítulos, pero este modelo también contiene un sector monetario. Este modelo se basa en muchos consumidores idénticos que viven para siempre. En tal caso, decimos que los consumidores viven infinitamente. Y como son iguales basta con examinar la elección de un único consumidor representativo. El consumidor representativo tiene que decidir sobre el consumo ct, la oferta de trabajo lt, el ahorro s t+1, y las tenencias de dinero mt+1. La función de utilidad es:

Donde β es un factor de descuento entre cero y uno. Sólo hay un bien en la economía, y el consumidor puede producir el bien con la tecnología yt = lt, es decir, la producción es igual a la mano de obra. La política monetaria se lleva a cabo de una manera especialmente sencilla en esta economía. No hay sector bancario que intermedia entre el banco central y los consumidores. En su lugar, el Banco central reparte el dinero directamente a los consumidores. La política monetaria consiste en la impresión de dinero y dárselo como una transferencia τt a cada consumidor. Cuando el banco central quiere contraer la oferta monetaria, grava cada consumidor haciendo τt negativo. Usaremos Rt para indicar el tipo de interés nominal de los ahorros y Pt para indicar el precio del bien de consumo en el período t. La restricción presupuestaria del tiempo t del consumidor es:

En el lado izquierdo están las cantidades de dinero y el ahorro que el consumidor realiza en el próximo período. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 38

Por lo tanto, son indexados por t + 1. En el lado derecho están todos los ingresos y pagos durante el período. El consumidor entra en el periodo con mt dinero y ahorros más los intereses, (1 + Rt)st, debido que lo trae del periodo anterior. Durante el día, el consumidor también recibe ingresos de la venta de producción de bienes, Pt.lt y la transferencia τt del banco central. Los únicos gastos son compras del bien de consumo, PtCt. Todos los fondos que quedan después de que el hogar adquiere el bien de consumo o se invierten en ahorro st+1 o se mantienen como dinero mt+1. Hasta ahora, no hay una explicación de por qué el consumidor quiere mantener dinero. Después de todo, el ahorro gana intereses, y el dinero no lo hace. Con el fin de hacer dinero atractivo, asumimos que el dinero es necesario para comprar el bien de consumo y el consumidor no puede consumir su producción propia y tiene que comprar la producción de otra persona en el mercado de dinero. Esto introduce una nueva restricción que enfrenta el consumidor: el gasto en bienes de consumo. Puesto que el dinero que se va a utilizar para la compra de bienes de consumo, tiene que ser puesto en algún lado, un período antes de que se gaste. La ecuación (8.6) también se llama la restricción de cash-in-advance, la cual explica el nombre del modelo. A partir de ahora vamos a suponer que la ecuación (8.6) se cumple con igualdad. Este será el caso, siempre y cuando el tipo de interés nominal sea positivo, ya que en esa situación, es más rentable invertir fondos adicionales en ahorros en lugar de mantener dinero en efectivo. En esta economía, el consumo es igual a la producción, por lo que los agregados de restricción cash-in-advance son los mismos de la ecuación cuantitativa. Esta formulación supone implícitamente que la velocidad es uno. El modelo más sofisticado incorporaría alguna versión del modelo de demanda de dinero del Capítulo 4, que permite variar la velocidad de la inflación. Sin embargo, este modelo sería más complicado sin añadir mucho a nuestra explicación de los efectos reales de la política monetaria. Una manera de entender la restricción de cash-in-advance es pensar en el consumidor como una familia compuesta por dos miembros, un trabajador y un comprador. Cada mañana, el trabajador va a su pequeña fábrica, trabaja, y vende la producción a otros consumidores. Sólo a finales del día el trabajador vuelve a casa, por lo que el ingreso no puede ser utilizado para la compra de bienes de consumo ese mismo día. El comprador también sale cada mañana, tomando el dinero que consiguió en el trabajo el día anterior para hacer las compras de ese día. Dado que el comprador no ve al trabajador durante el día, sólo el dinero que se le entrego al comprador al final del día anterior es el que se va a poder utilizar para realizar compras. El problema del consumidor representativo es maximizar la utilidad sujeto a la restricción de cash-in-advance y la restricción presupuestaria:

En este modelo, el problema del consumidor es mucho más fácil analizar una vez que tengamos las condiciones de equilibrio del mercado en su lugar. Por lo tanto, vamos a completar la descripción de la primera economía y derivar las decisiones óptimas de los consumidores más tarde. El siguiente elemento del modelo que se debe especificar es la política monetaria del banco central. En lugar de buscar un monto de oferta monetaria agregada Mt, formularemos una política monetaria en términos de cada consumidor, mt. Esto es simplemente una cuestión de conveniencia. Otra forma de calcular el dinero es multiplicando mt por el número de consumidores, sin embargo ya estamos utilizando un consumidor representativo y es más fácil de formular una política monetaria sobre el nivel de los consumidores individuales. La política monetaria que vamos a asumir es particularmente simple: El banco central aumenta la oferta monetaria a una tasa constante g. Si el banco central quiere aumentar la oferta de dinero, da dinero nuevo a los consumidores. La oferta de dinero en el próximo período es la suma de la masa monetaria en el período actual y las transferencias del consumidor. La oferta monetaria crecerá a una tasa constante g, si las transferencias τt están dadas para τt=g.mt, por lo que tenemos:



Para cerrar el modelo, tenemos que especificar las tres condiciones de equilibrio del mercado que debe contener cada periodo t. La restricción para el equilibrio el mercado de bienes es que el consumo se iguale a la producción. Equilibrar el mercado de crédito requiere que el endeudamiento total debe ser igual al ahorro total. Debido a que no pueden ser todos deudores ni prestadores a la vez en la misma economía, el ahorro de equilibrio tiene que ser cero. Por lo tanto, la restricción de equilibrio del mercado es: De hecho, podríamos omitir el mercado de crédito del modelo sin necesidad de cambiar los resultados. La única razón por el que se incluye este mercado es que nos permite determinar la tasa de interés nominal, que jugará un papel importante en la determinación de los efectos reales de la política monetaria. Finalmente, despejando el mercado monetario, se requiere que la cantidad de dinero en efectivo que tienen los hogares sea igual al dinero suministrado por el banco central. Desde que usamos el mismo símbolo, mt, para indicar la demanda de dinero y la oferta, esta restricción de equilibrio del mercado ya está incorporada en la formulación del modelo. ∞ El equilibrio en esta economía, es una asignación {𝑐𝑡 , 𝑙𝑡 , 𝑠𝑡 , 𝑚𝑡 , 𝜏𝑡 }∞ 𝑡=0 y un vector de precios {𝑃𝑡 , 𝑅𝑡 }𝑡=0 de tal manera que:

 

Dados los precios y las transferencias {𝑐𝑡 , 𝑙𝑡 , 𝑠𝑡 , 𝑚𝑡 }∞ 𝑡=0 es una solución óptima del problema del consumidor; y Los mercados se equilibran.

Si bien el supuesto de que los consumidores viven para siempre resulta complicado de entender, en realidad es una simplificación que hace que sea más fácil resolver el modelo. Lo fundamental a tener en cuenta es que en este marco, el consumidor tiene infinitos periodos iguales, lo que cambia es la cantidad de dinero que el consumidor pone en cada periodo (el ahorro no cambia, en el equilibrio es 0.), y el nivel de precios resulta ser proporcional a la cantidad de dinero, debido a esto llegamos a concluir que el consumidor compra la misma cantidad de bienes de consumo siempre. En el equilibrio, el consumo ct, el trabajo lt, y la tasa nominal Rt de interés son constantes. Por ello vamos a dejar de lado los subíndices de tiempo y denotar a la tasa de interés por R y las opciones optimas de consumo y trabajo por c* y l*. Por supuesto, todavía tenemos que demostrar formalmente que c*, l* y R son constantes. Este resultado se sigue de las condiciones de primer orden del problema de optimización. Suponiendo que son constantes el consumo, el trabajo y el interés, vamos a ser capaces de encontrar los precios de tal manera que las condiciones de primer orden se satisfagan. Por ahora, sólo tenemos que asumir que c* es constante. Como primer paso en el análisis del modelo, se analiza la relación entre política monetaria e inflación. Esto se puede hacer de la misma manera que en la sección sobre la teoría cuantitativa, sin resolver el problema del consumidor de forma explícita. La restricción cash-in-advance con un consumo constante c* es: La tasa de inflación π, está definida como 1+π = Pt+1/ Pt. Por lo tanto podemos derivar una ecuación para inflación tomando la relación de la ecuación (8.7) para dos períodos consecutivos:

Ahora podemos utilizar el hecho de que la cantidad de dinero crece a una tasa constante:

Por lo tanto la tasa de inflación es igual a la tasa de crecimiento de la oferta de dinero. No es sorprendente este resultado ya que al igual que en la teoría cuantitativa, se supone que la velocidad es constante y por ende la restricción cash-in-advance es la ecuación cuantitativa en este modelo, y por ello mismo obtuvimos las mismas conclusiones de antes. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 40

La principal pregunta que queda sin responder es cómo el nivel de consumo c* (y por ende, el equilibrio del mercado del producto) depende de la inflación y la política monetaria. Para responder esta pregunta hay que resolver el problema de optimización del consumidor. Vamos a utilizar el método de Lagrange. La formulación de la función de Lagrange difiere de la que hemos utilizado en el modelo de infinitos periodos en la Sección 3.3, ya que aquí se multiplican los multiplicadores de Lagrange por el factor de descuento. Esta formulación alternativa no modifica los resultados, y es matemáticamente más conveniente. Utilizamos 𝛽 𝑡 .µ𝑡 para el multiplicador en el período t de la restricción cashin-advance y 𝛽 𝑡 .𝜆𝑡 como el multiplicador de la restricción presupuestaria de período t. El Lagrangiano para el problema de optimización es:

Las condiciones de primer orden con respecto a 𝑐𝑡, 𝑙𝑡, 𝑠𝑡+1 y 𝑚𝑡+1 son:

Ahora suponemos que en el equilibrio, el consumo, el trabajo y el interés son constantes: c*, l* y R. Las condiciones de primer orden se reducen a las siguientes expresiones:

Si ahora resolvemos la ecuación (8.9) para 𝜆𝑡 y la enchufamos en la ecuación (8.10) obtenemos:

El lado izquierdo es igual a uno más la tasa de inflación. Ya se determinó que la tasa de inflación es igual a la tasa de crecimiento de la oferta monetaria en esta economía. Por lo tanto podemos expresar la tasa de interés nominal como:

Esto nos dice que la tasa de interés nominal, R, se mueve en proporción a la tasa de crecimiento del dinero, g. La división de la tasa de interés nominal por la inflación da como resultado a la tasa de interés real, r:

Esta expresión debe resultarle familiar. Se trata de una versión de la ecuación de Euler (3.16) que viene del modelo de periodos infinitos del Capítulo 3. En el modelo que estamos considerando aquí, el consumo es constante, por lo que las utilidades marginales se anulan. Para interpretar esta ecuación, hay que tener en cuenta MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 41

que no hay endeudamiento en el equilibrio ya que no hay a quien pedir prestado. Si β es bajo, los consumidores son impacientes, por lo tanto la tasa de interés tiene que ser alta para contener a los consumidores que piden prestado. Todavía tenemos que trazar el efecto de la inflación sobre el consumo. Mediante el uso de las ecuaciones (8.8) y (8.9), podemos eliminar los multiplicadores de la ecuación (8.11):

Del equilibrio del mercado de bienes obtenemos que c*=l*, por lo tanto tenemos:

El lado izquierdo es igual a la tasa de inflación (que a su vez es igual a la tasa de crecimiento del dinero). Podemos utilizar este hecho para resolver que c*:

Esta ecuación implica que el consumo depende negativamente del crecimiento de dinero, por lo que el consumo y la inflación se mueven en direcciones opuestas. La intuición para este resultado es que la inflación distorsiona los incentivos al trabajo. Los ingresos por trabajo no pueden ser utilizados inmediatamente para las compras de consumo, ya que los bienes de consumo se compran con dinero en efectivo que se ha ganado y guardado del día anterior. El ingreso laboral de hoy en día se puede gastar sólo mañana. Cuando la inflación es alta, el dinero pierde valor durante la noche. Cuando la inflación es más alta, más altos son los precios de mañana, y menos bienes de consumo se pueden comprar por la misma cantidad de ingreso que obtuvimos por la misma cantidad de trabajo. Esto implica que las altas tasas de inflación disminuyen el incentivo para trabajar. Y como el consumo es igual al trabajo, en el equilibrio, el consumo cae también.


Dada esta relación entre el consumo y la inflación, ¿Cuál es la tasa de crecimiento del dinero que debe elegir el banco central? En el equilibrio, el trabajo y el consumo son iguales. Podemos utilizar este hecho para encontrar el óptimo de consumo y, a continuación, ir hacia atrás para calcular la tasa de crecimiento monetario óptimo. La utilidad de consumir y de trabajo son constantes e iguales c=l, es por ello que, usando convergencia de series geométricas, obtenemos:

Usaremos 𝑐̂ ∗ para denotar el óptimo, y la condición de primer orden con respecto a c es:

Despejando 𝑐̂ ∗ se obtiene:

La ecuación (8.13) nos da una expresión para 𝑐̂ ∗ como una función de g. Combinando esto con la ecuación (8.14) se obtiene otra ecuación que implica la tasa óptima de crecimiento del stock del dinero, g*:

Despejando g*, nos da:



Dado que β es más pequeño que uno, esta ecuación nos dice que g* es negativo: la política monetaria óptima es contraer de la oferta monetaria. Utilizando la ecuación (8.12) y nuestra expresión para g*, podemos calcular la tasa de interés nominal óptima como:

Esto implica R = 0, es decir, el tipo de interés nominal es cero. La intuición detrás de este resultado es la siguiente. La ineficiencia en el modelo se origina con la restricción cash-in-advance. Los consumidores se ven obligados a mantener dinero en efectivo para hacer compras. Si el dinero no fuera necesario para la compra de bienes de consumo y las tasas de interés nominales fueran positivas, todo el mundo ahorraría en lugar de mantener dinero en efectivo. Sin embargo, si las tasas de interés nominales son cero, tanto el dinero en efectivo como los ahorros ganan lo mismo. Dado que los precios caen en el equilibrio calculado anteriormente, un consumidor que tiene dinero puede comprar más bienes con este dinero en el futuro de lo que puede comprar ahora. Esto implica que la tasa de interés real de dinero es positiva, y por lo tanto, los incentivos no están afectados si el tipo de interés nominal es cero o no. La recomendación de fijar los tipos de interés nominales a cero se conoce como la regla de Friedman. En la Sección 19.4, vamos a derivar la regla de Friedman en un marco diferente. En resumen, los principales resultados del modelo de cash-in-advance son los siguientes: (1) la tasa de crecimiento del dinero es igual a la tasa de inflación, (2) las tasas de interés nominales se mueven en proporción a la inflación, y (3) la producción se relaciona negativamente con la inflación. La evidencia empírica de la economía mundial real es consistente con estos resultados. La correlación entre el crecimiento monetario y la inflación ya se abordó en el apartado de la teoría cuantitativa. Además, la mayor parte de la variación en las tasas de interés entre países puede explicarse por las diferencias en la inflación, que apoya el segundo resultado. En cuanto al tercer resultado, se observa que los países con una inflación muy alta tienden a ser peores económicamente que los países con inflación moderada. Sin embargo, dentro de un conjunto de los países con inflación moderada, la evidencia no es concluyente. Hay una serie de temas avanzados en materia de política monetaria e inflación que se abordarán más adelante en este libro. El capítulo 18 se refiere a la coordinación de la política monetaria y la política fiscal, y en el capítulo 19 volveremos a la cuestión de la política monetaria óptima. Mientras que el primer énfasis del modelo de cash-in-advance es la ineficiencia de la tenencia de dinero en efectivo en lugar de los activos de renta fija, el capítulo 19 vuelve al tema de la inflación esperada frente a la inesperada, usted puede pensar en el modelo cashin-advance de largo plazo y las consecuencias de la inflación esperada, mientras que el capítulo 19 considera las consecuencias a corto plazo de una política monetaria que no se conoce de antemano.


Tabla 8.1 Notación del Capítulo 8

Variable Definición Mt

Cantidad total de dinero o efectivo

Yt

Producción

Pt

Nivel de Precios

V

Velocidad del dinero

πt

Tasa de inflación

β

Factor de descuento del consumidor

ct

Consumo de los hogares

lt

Trabajo de los hogares

1-lt

Ocio de los hogares

mt

Dinero o efectivo per cápita

st

Ahorro de los hogares

τ

Transferencias del Banco Central a los hogares

Rt

Tasa de interés nominal

rt

Tasa de interés real

γ

Tasa de crecimiento de la oferta monetaria

Ejercicios Ejercicio 8.1 (Fácil) Considere una economía en la que la velocidad V es igual a 5, la producción crece a un tres por ciento al año, y la oferta monetaria crece a un cinco por ciento al año. ¿Cuál es la tasa de inflación anual? Ejercicio 8.2 (Difícil) En la teoría cuantitativa, se asumió que la velocidad era constante. En realidad, la velocidad de Dinero varía según los países. ¿Es de esperar los países con alta inflación tengan velocidad más alta o más baja que en los países de baja inflación? Justifica tu respuesta. (Consejo: Debería basarse tanto en el Capítulo 4 como el Capítulo 8 para contestar esta pregunta.)


Capítulo 9

Ciclos Económicos En este capítulo se exploran las causas de los ciclos económicos. En pocas palabras, los ciclos económicos son las fluctuaciones recurrentes que se producen en el PIB real a lo largo del tiempo. Para una descripción más detallada de los ciclos económicos, consulte el Capítulo 9 de Barro. Aquí, vamos a comenzar con un resumen de las explicaciones posibles. Luego trabajamos con un modelo de ciclo real en detalle. Existen muchas teorías de los ciclos económicos, que comparten algunas propiedades. Siempre hay una fuerza impulsora detrás de las fluctuaciones económicas, una especie de shock o perturbación que es la causa original del ciclo. Además, la mayoría de las teorías se basan en un mecanismo de propagación que amplifica los shocks. A menos que éstos ya sean lo suficientemente grandes para dar cuenta por sí mismo de las fluctuaciones, siempre tiene que haber algún mecanismo de propagación que traduce los shocks pequeños y de corta duración en fluctuaciones económicas grandes y persistentes. Vamos a comenzar nuestra búsqueda de la causa de los ciclos económicos en la Sección 9.1 con la inclusión de un número de posibles shocks y mecanismos de propagación, también veremos el conflicto de las teorías del ciclo económico en diferir entre los shocks y mecanismos que destacan. En la Sección 9.2 nos concentraremos en el modelo de ciclos reales, que es una extensión directa de los modelos de equilibrio de mercado que hemos desarrollado en los capítulos anteriores. La Sección 9.3 presenta simulaciones de nuestro modelo de ciclos reales y evalúa el éxito del modelo en las fluctuaciones del mundo real.

9.1 Shocks y Mecanismos de Propagación Entre los muchos shocks y perturbaciones que están presentes en una economía, sólo unos pocos han recibido una especial atención en la investigación sobre los ciclos económicos. Éstos son algunos de los candidatos más importantes: 



 



Shocks tecnológicos: Las funciones de producción del mundo real cambian con el tiempo. Las nuevas tecnologías (como computadoras o robots) alteran el proceso de producción y aumentan la productividad en general. A veces, las instalaciones de producción se rompen o no funcionan como se esperaba, por lo que la productividad cae. Este cambio tecnológico no siempre es llano o continuo, sino que a menudo se da en forma de shocks. Perturbaciones climáticas y desastres naturales: Muchas industrias, como la agricultura o el turismo, son industrias que dependen del clima. Las lluvias y el sol influyen en la producción de estos sectores, por lo que el clima es una fuente potencial de fluctuaciones. Esto también se cumple cuando nos referimos a los desastres climáticos como los terremotos o deslizamientos de tierra. El Niño es un shock de este tipo que recibe una gran cantidad de atención últimamente. Podemos considerar este tipo de shocks como un tipo de shock tecnológico. Las perturbaciones monetarias: Vimos en el Capítulo 8 de Inflación que hay efectos reales de la política monetaria. Por lo tanto, los cambios aleatorios en la oferta de dinero o de las tasas de interés son una fuente potencial de fluctuaciones también. Shocks políticos: el gobierno influye en la economía tanto directamente a través de las empresas del gobierno como indirectamente a través de la regulación. Los cambios en las leyes fiscales, defensa de la competencia, la regulación, el gasto público y así sucesivamente son una fuente potencial de perturbación de la economía. Shocks por gustos: Por último, también es posible que los cambios en las preferencias causen fluctuaciones. La moda y las preferencias cambian rápidamente, y pueden causar fluctuaciones en áreas como las prendas de vestir, la música o la película o en distintas industrias.

Mientras que los shocks que se acaban de mencionar están presentes en cierto grado en cada economía, no son probablemente lo suficientemente grandes como para servir como explicación directa de los ciclos económicos. Por ejemplo, en los Estados Unidos el PIB real cayó un 2,8% entre octubre de 1981 y 1982. Es difícil imaginar un shock que provocó una pérdida de la producción directa de casi el 3% del PIB en sólo un año, y si había MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 45

www.elsolucionario.org uno, que probablemente seamos conscientes de ello y parece más probable que haya mecanismos presentes en la economía que amplifican los shocks y los propagan a través del tiempo. Éstos son algunos de los candidatos: 





Sustitución intertemporal: Shocks que tienen un impacto negativo en la productividad, donde se reducen el rendimiento marginal de trabajo y otros factores de producción. Si los productos marginales caen, los consumidores van a querer trabajar menos y consumir más ocio en su lugar. Por ello, la entrada de trabajo caería, lo que amplifica el impacto negativo sobre la producción. Al mismo tiempo, los consumidores prefieren un perfil de consumo suave y continuo, por lo que es probable que prefieran reducir el ahorro presente cuando hay un shock importante. A nivel agregado, esto lleva a una menor inversión y un stock de capital menor en el futuro. Por lo tanto, un shock de corta duración puede tener un impacto en el futuro. Precios rígidos: Las economías de mercado reaccionan a los cambios en los ajustes de precios. Por ejemplo, un shock negativo de productividad disminuye el producto marginal del trabajo, de modo que el salario real tendría que moverse hacia abajo para ajustar la demanda y oferta de trabajo, pero si los salarios son inflexibles, por alguna razón, el ajuste no puede tener lugar y el resultado es el desempleo y una pérdida de la producción que es mayor que el efecto directo del shock. Fricciones en el sector financiero: Incluso pequeñas sacudidas pueden obligar a las empresas a ir directamente a la quiebra. Esto afectará a otras empresas y bancos que prestaron dinero a las empresas con problemas financieros. A menudo las empresas tienen que declararse en quiebra, sumado a que a veces los mismos bancos fallan. Si esto pasa, las quiebras bancarias afectarán a todos los acreedores y los deudores, lo que redunda en grandes consecuencias económicas. Crisis económicas graves suelen ir acompañadas y amplificadas por una serie de quiebras bancarias. Ejemplos de ello son la gran depresión y la actual crisis asiática.

Los modelos del ciclo económico pueden ser ampliamente divididos en dos categorías. Algunas teorías consideran a los ciclos como una falla del sistema económico, a causa de fricciones o imperfecciones del mecanismo del mercado, ya que la economía experimenta depresiones y no logra alcanzar la eficiencia en el nivel de producción y empleo. Los modelos de este tipo a menudo dependen de las fricciones financieras, de la rigidez de precios, u otros fallos de ajuste como el mecanismo de propagación, la tecnología, los golpes y shocks monetarios que se consideran importantes fuentes de fluctuaciones. El modelo keynesiano de la determinación de la producción entra en esta categoría.


Por otro lado, hay una clase de modelos que se refiere a los ciclos económicos como la reacción óptima de la economía a los shocks inevitables. Los shocks se propagan a través de la sustitución intertemporal dentro de un mecanismo de mercado eficiente. Los shocks tecnológicos se consideran la causa principal de las fluctuaciones económicas. Los modelos de este tipo se denominan a menudo modelos del ciclo económico real. Podemos estar bastante seguros de que hay algo de verdad en ambos puntos de vista de las fluctuaciones económicas. Averíos económicos importantes como la Gran Depresión o la reciente crisis asiática parecen estar estrechamente conectadas a las interrupciones en el sector financiero. Las quiebras bancarias y la inestabilidad financiera jugaron un papel importante en ambos casos. Por otro lado, la mayoría de los ciclos económicos son mucho menos severos que la gran depresión o la Crisis asiática. En toda la historia de la posguerra de los Estados Unidos y de países de Europa Occidental no hay una sola depresión que provocó una pérdida de producción similar a la que se sufrió entre 1929 y 1933. La pregunta es si los ciclos económicos normales son causados por el mismo tipo de fricciones que causó la Gran Depresión. El modelo keynesiano, con su énfasis en los ajustes lentos y precios rígidos, apoya este punto de vista del ciclo económico real. Los teóricos sostienen que las fallas como la gran depresión son un fenómeno distinto de los ciclos económicos habituales, y que los ciclos habituales se pueden explicar como la reacción óptima de un sistema de mercado eficiente a las crisis económicas. En este capítulo, vamos a ver sobre todo las explicaciones de los ciclos económicos a escala normal, y las experiencias en los Estados Unidos desde la Segunda Guerra Mundial. ¿Cómo podemos determinar si estos ciclos son fallas de pequeña escala del sistema económico en lugar de simplemente ser reacciones eficientes de los mercados ante las crisis? Una forma natural de responder a esta pregunta es la construcción de un número de modelos económicos que incluyen mecanismos de propagación alternativos, y que exponga el modelo económico de los shocks y ver si los resultados se parecen a los ciclos económicos del mundo real. Este es exactamente el camino que han tomado los teóricos de los ciclos económicos reales. Ellos han adoptado modelos de equilibrio estándar como punto de partida y los han expuesto a shocks de productividad. Como resultado, los modelos de este tipo son bastante exitosos en la explicación de los ciclos económicos del mundo real. Ahora vamos a echar un vistazo más de cerca de un ciclo económico como verdadero modelo. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 46

9.2 El Modelo de Ciclos Económicos Reales Los modelos de ciclos económicos reales son extensiones directas de los modelos de equilibrio del tipo que se utilizó a lo largo de este curso. En la mayoría de los casos, los modelos tienen como supuesto que los consumidores tienen vida infinita, y los ciclos económicos se generan por perturbaciones aleatorias a las posibilidades de producción. Lamentablemente, la resolución de este tipo de modelo es difícil. Y a menudo hay una solución explícita que está disponible, solo por las aproximaciones numéricas que se realizan. Para evitar complicaciones, en este capítulo vamos a utilizar un marco más simple en que la gente vive por sólo dos períodos. El modelo no se ajusta a los hechos, así como un modelo de ciclos reales a gran escala, pero sirve su propósito como una simple ilustración de las ideas principales de la teoría de los ciclos económicos reales. En el mundo del modelo hay una secuencia de superposición de generaciones. En cada período, una nueva generación de consumidores nace, y cada consumidor vive durante dos períodos. A veces nos referiremos a los periodos como años, y por simplicidad suponemos que exactamente un consumidor nace cada año. La gente trabaja en el primer período cuando son jóvenes. En el segundo periodo son jubilados y viven del ahorro. Los superíndices se refieren al año en que nació el consumidor, mientras que los subíndices se refieren al año actual. Por ejemplo, 𝑐𝑡𝑡 es el consumo del período t de un consumidor que nació en el año t, por lo que ese consumidor 𝑡 sería joven en el periodo t. Del mismo modo, 𝑐𝑡+1 es el consumo del mismo consumidor en el periodo t+1 donde ya es viejo. Los consumidores no se preocupan por el ocio. Un consumidor nacido en el año t tiene la siguiente función de utilidad:

Podríamos introducir un factor de descuento, pero por simplicidad asumimos que los consumidores valoran ambos períodos igualmente. Tenga en cuenta que en cada punto de tiempo hay exactamente dos personas: una que acaba de nacer y es joven, y otra que nació el período pasado y ahora está jubilado. En cada período, el joven proporciona una unidad de trabajo y recibe un salario wt. La oferta de trabajo es fija, ya que los consumidores no se preocupan por el ocio. El ingreso salarial se puede utilizar como ahorro, kt, y como consumo, ct. La restricción presupuestaria de un trabajador joven es:

es decir, el consumo más el ahorro es igual a la renta del trabajo. En el período t+1, el consumidor nacido en t es viejo y se retiró. El consumidor viejo presta sus kt ahorros a la empresa. La empresa utiliza los ahorros como capital y devuelve 𝑟𝑡+1 al viejo consumidor. Un δ es una fracción del capital que se va perdiendo cuando el capital se va utilizando en la producción, esta fracción no se devuelve al consumidor. δ es un número entre cero y uno, y que se conoce como la tasa de depreciación. La restricción de presupuesto para el período de jubilación es:

es decir, el consumo es igual al retorno de ahorro. La familia nacida en el período t maximiza su utilidad sujeta a las limitaciones presupuestarias, y toma los precios como dados:

Podemos utilizar las restricciones para sustituir el consumo y escribir esto como:


Esto es similar al problema de los consumidores en economía de dos períodos de mercado de crédito que discutimos en la Sección 3.2. A partir de ahora vamos a dejar la práctica de denotar decisiones óptimas con asteriscos, ya que la notación ya es complicada. La condición de primer orden con respecto a kt es:

La solución para los rendimientos de kt:

Por lo tanto, independientemente de la futura rentabilidad del capital, el joven consumidor ahorra la mitad de su renta de trabajo. Una vez más, esto se deriva del hecho de que los efectos sustitución y riqueza se cancelan bajo preferencias logarítmicas. Esta característica es útil para nuestros fines. Dado que habrá shocks de productividad en nuestra economía y rt+1 depende de esas perturbaciones; el consumidor puede no conocer rt+1 con antelación. Normalmente tendríamos que tener en cuenta explícitamente esta incertidumbre, lo cual es relativamente difícil de hacer. En el caso de utilidad logarítmica, el consumidor de todos modos no se preocupa por rt+1, así que no tenemos que tener en cuenta la incertidumbre. Aparte de los consumidores, la economía contiene una sola empresa competitiva que produce con capital kt-1 y trabajo lt. El trabajo es suministrado por un consumidor joven, mientras que la oferta de capital proviene de los ahorros de los viejos consumidores. La tasa de retorno del capital es rt y el salario real es denotado por wt. La función de producción tiene rendimientos constantes a escala y es de la forma Cobb-Douglas: Aquí α es una constante entre cero y uno, mientras que A es un parámetro de productividad. A es la fuente de shocks de esta economía. Asumiremos que A está sujeto a variables aleatorias y rastrea cómo la economía reacciona a los cambios de A. El problema de maximización de beneficios de la empresa en el año t es:

Las condiciones de primer orden con respecto a lt y kt-1 son:

Usando el hecho de que el joven trabajador ofrece exactamente una unidad de trabajo lt= 1 podemos utilizar estas condiciones de primer orden para obtener el salario y el rendimiento del capital en función de kt-1:

Dado que la función de producción tiene rendimientos constantes, la empresa no obtiene beneficios en equilibrio. Notamos que el salario es proporcional al parámetro de productividad A. Dado que A es la fuente de shocks, podemos concluir que los salarios son procíclicos: cuando A recibe un shock positivo, el salario aumenta. Las evidencias empíricas sugieren que los salarios en el mundo real son procíclicos también. Para cerrar el modelo, tenemos que especificar las condiciones de vaciado de mercado para bienes, trabajo y capital. En el momento t la condición de vaciado de mercado es:

el lado izquierdo están los usos: el consumo de los consumidores jóvenes actuales, 𝑐𝑡𝑡 , el consumo de los consumidores retirados nacidos en t-1, 𝑐𝑡𝑡−1 , y los ahorros kt de los viejos consumidores. En el lado derecho están los usos: producción actual y lo que queda del capital social después de la depreciación. La condición de vaciado del mercado del trabajo es lt=1, ya que los jóvenes consumidores siempre proporcionan una unidad de trabajo. Para vaciar el mercado de capital requerimos que el capital suministrado por el viejo consumidor sea igual al capital demandado por la firma. Para ahorrar en notación, usamos el mismo símbolo MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 48

www.elsolucionario.org kt-1 tanto para el capital ofrecido como el demandado. Por lo tanto el vaciado de mercado del capital ya es incorporado en el modelo y no necesita ser escrito de forma explícita. En resumen, la economía es descrita por: el problema del consumidor, el problema de la empresa, las condiciones de equilibrio del mercado, y una secuencia aleatoria de los parámetros de productividad {𝐴𝑡 }∞ 𝑡=1 . Suponemos que en el primer período ya hay una persona vieja, que de alguna manera “cayó del cielo” y está dotada con un capital k0. Dada la secuencia de los parámetros de productividad {𝐴𝑡 }∞ 𝑡=1 , un equilibrio para esta economía es una 𝑡 𝑡−1 ∞ asignación {𝑐𝑡 , 𝑐𝑡 , 𝑘𝑡−1 , 𝑙𝑡 }𝑡=1 y un conjunto de precios {𝑟𝑡 , 𝑤𝑡 }∞ 𝑡=1 , tal que:  

Dados los precios, la asignación {𝑐𝑡𝑡 , 𝑐𝑡𝑡−1 , 𝑘𝑡−1 , 𝑙𝑡 }∞ 𝑡=1 da las opciones óptimas para las consumidores y las firmas, y Todos los mercados se vacían.

Ahora tenemos todas las piezas necesarias para analizar los ciclos económicos en esta economía. Cuando combinamos la mejor opción de ahorro de los jóvenes consumidores (9.1) con la expresión salarial de la Ecuación (9.2), obtenemos:

Esta ecuación muestra cómo un shock se propaga a través del tiempo en esta economía. Los shocks de A tienen una influencia directa en kt, este capital va a ser usado para la producción del próximo periodo. Esto implica que un shock que golpea hoy dará lugar a una menor producción en el futuro también. La causa de esto es que el joven consumidor divide sus ingresos a partes iguales entre el consumo y el ahorro. Mediante la reducción de los ahorros en respuesta a un shock, el consumidor suaviza el consumo. Es óptimo para el consumidor distribuir el efecto de un shock entre los dos períodos de su vida. Por lo tanto, un solo shock puede provocar un ciclo que se extiende sobre varios períodos. A continuación, queremos ver cómo el consumo agregado y la inversión reaccionan a un shock. En el mundo real, la inversión total es mucho más volátil que el consumo agregado (véase la Figura 1.10 de Barro). Queremos comprobar si esto es cierto también en nuestro modelo. En primer lugar, hay que definir qué se entiende por consumo agregado e inversión. Podemos reordenar la restricción de equilibrio de mercado de bienes para obtener: En el lado derecho tenemos la producción del año t, que ahora llamaremos Yt. La producción es la suma del consumo y la inversión agregada. El consumo agregado Ct es la suma del consumo de la persona vieja y la persona joven, la inversión agregada It es la diferencia entre el stock de capital del próximo periodo y el capital no depreciado en este periodo:

El consumo puede ser calculado como la producción menos la inversión agregada. Usando la ecuación (9.4) para kt se obtiene:

La inversión agregada se puede calcular como la producción menos el consumo agregado. Usando la ecuación (9.5) para los rendimientos del consumo agregado:


Estamos interesados en cómo Ct y It reaccionan a los cambios en el parámetro de la tecnología A. Vamos a ver los cambios relativos en primer lugar. La elasticidad de una variable x con respecto a otra variable y se define como el porcentaje de cambio en x en respuesta a un aumento de uno por ciento en y. Matemáticamente, las elasticidades se pueden computar como

𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑦 𝑥

. Usando esta fórmula, la elasticidad del consumo respecto a A es:

y para la inversión es:

Resulta que el cambio relativo de la inversión es mayor. Un aumento de uno por ciento en A conduce a un aumento de más del uno por ciento de la inversión y menos de uno por ciento en el consumo. La inversión es más volátil en respuesta a shocks tecnológicos, así como lo es la inversión mundo real. Por supuesto, para comparar el tamaño exacto de los efectos se tendría que especificar los parámetros, como α y δ, y para medir las otras variables como kt. Si nos fijamos en los cambios absolutos en lugar de los cambios relativos, los resultados son menos satisfactorios. El cambio absoluto es mayor en el consumo que en la inversión, mientras que en el mundo real es al revés. Este fracaso del modelo se deriva del hecho de que las personas viven muy poco tiempo (dos períodos). En los modelos del ciclo económico real, las pequeñas variaciones en el consumo respecto a los resultados de inversión de los consumidores tratan de suavizar el consumo. En nuestro modelo, las posibilidades de suavizado son bastante limitadas. El anciano no tiene más tiempo y por lo tanto no puede suavizar en absoluto, mientras que el joven tiene sólo un año más. Por lo tanto, una fracción comparativamente grande de los shocks se muestra en el consumo. En los modelos más avanzados de ciclos económicos reales con los consumidores de vida infinita, los cambios absolutos en el consumo son mucho menores que los cambios absolutos en la inversión.


9.3 Simulaciones Podemos obtener una mejor impresión de la coyuntura en nuestro modelo de simulación de la economía. Esto significa que se especifica todos los parámetros, empezamos en algún capital inicial, y generar una serie de shocks aleatorios. Podemos usar las soluciones para el modelo para calcular el consumo, la inversión, la producción y el stock de capital en la economía de cualquier número de períodos. Entonces podemos comparar los resultados con los ciclos económicos del mundo real. Hay solo dos parámetros especificados en el modelo α y δ. Nuestras opciones son α=7 y δ=0.05. La opción para α coincide con la participación del trabajo en la economía del mundo real, mientras que el valor de δ es una estimación de la tasa actual de depreciación de una economía industrializada. El stock de capital inicial k1 como se estableció en .22. El parámetro de la productividad esta generado por:

Aquí Ā es el nivel medio de productividad, mientras que εt, son shocks aleatorios. Fijamos Ā=1. Los εt son generados por un ordenador para que sean independientes en el tiempo y se distribuyan de manera uniforme en el intervalo [1, 1]. Por lo tanto los shocks pueden cambiar la productividad hasta en un diez por ciento hacia arriba o hacia abajo. La Figura 9.1 muestra las reacciones a un solo shock de productividad del cinco por ciento. Es decir, en el primer período A es igual a la media, A1=1. En el segundo período golpean los shocks, A2=1.05. A partir de entonces, A vuelve a uno y se queda allí. Podemos ver que incluso esta monoamortiguacion tiene un impacto MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 50

que se puede sentir por un largo período de tiempo. La figura 9.1 muestra las desviaciones absolutas de consumo, la inversión y el capital de sus valores medios. Se tarda unos ocho períodos hasta que todas las variables vuelven a sus promedios. En el segundo período, cuando el shock se lleva a cabo, tanto el consumo como la inversión han subido. En el período 3 el capital social es mayor debido a la mayor inversión en el periodo 2. Al mismo tiempo, la inversión cae. El consumo es superior a la media debido a que el stock de capital es mayor, a pesar de que la productividad vuelve a la normalidad. A partir de entonces, todas las variables poco a poco vuelven a sus valores medios. Hay que tener en cuenta que a partir del período 4 de nadie que haya estado presente cuando el shock ocurrió vive. El aumento de la inversión en el período del shock ha aumentado el stock de capital, y los efectos se pueden sentir durante mucho tiempo. Por lo tanto, incluso un solo shock tiene efectos a largo plazo y la inversión pasa por un ciclo completo en respuesta a este shock.

Figura 9.1: Respuesta de la Productividad a un Shock de un 5%.

La figura 9.2 muestra la misma información que la figura 9.1, pero las variables se dividen por su media, entonces podemos ver los cambios relativos. La inversión es, con mucho, la serie más volátil. En comparación con las inversiones, los cambios en el capital y el consumo son apenas visibles. Al mirar a un solo shock, hemos sido capaces de examinar el mecanismo de propagación de forma aislada y para hacerse una idea de la volatilidad relativa del consumo y la inversión. Pero si queremos comparar los resultados del modelo con los ciclos económicos de la vida real, necesitamos generar toda una serie de shocks. La Figura 9.3 muestra una simulación de este tipo para nuestro modelo de la economía. Los efectos combinados de muchos shocks causan un resultado que es similar a los ciclos económicos del mundo real. Hay auges y depresiones, los ciclos varían en longitud dentro de un determinado intervalo de tiempo, y la inversión es más volátil que el consumo. Nuestro modelo de ciclo económico simple es bastante exitoso en la emulación de un número de datos del ciclo económico. Forma, duración y amplitud de los ciclos económicos son comparables a los datos del mundo real, la inversión es relativamente más volátil que el consumo y el salario es procíclico. Modelos de ciclos económicos reales más avanzados son incluso mejores en la adecuación de los hechos. Al introducir la oferta de trabajo variable que podemos generar empleo procíclico. Usando la vida de los consumidores con duración infinita obtendrían los cambios absolutos en el consumo y la inversión correctos.



Figura 9.2: Cambios relativos en respuesta a un shock en la productividad del 5%

Los modelos de ciclos económicos reales coinciden con la mayoría de los hechos de los ciclos económicos, y cuando se alimentan con los shocks de productividad medidos, generan ciclos que explican aproximadamente el 70% del tamaño de los ciclos económicos reales. Este éxito ha llevado a algunos investigadores a la conclusión de que los ciclos económicos son exactamente lo que la teoría económica estándar predice. En presencia de shocks de posibilidades de producción, ajustes óptimos de los hogares y las empresas dentro de un sistema de mercado eficiente generan el patrón de las fluctuaciones que se observan en el mundo real. Desde esta perspectiva, los ciclos económicos no son ningún milagro en absoluto. ¡Nos sorprendería si no hubiera ciclos económicos! A pesar de que los shocks tecnológicos combinados con mercados eficientes parecen proporcionar una explicación convincente de los ciclos económicos, no puede descartarse que otros shocks o mecanismos de propagación también desempeñan un papel importante. Después de todo, la teoría de los ciclos económicos reales no tiene en cuenta el 100% de la amplitud de los ciclos económicos reales, por lo que tiene que haber otros factores. Otros tipos de perturbaciones pueden ser analizados en el marco del ciclo económico real. Hay también un número de modelos que hacen hincapié en otros mecanismos de propagación. El modelo keynesiano de la determinación de la producción es el ejemplo más prominente. Pero los modelos que combinan shocks monetarios con fricciones en el sector financiero también han recibido mucha atención últimamente. Sin embargo, hasta ahora ninguno de estos modelos coincide con la capacidad de los modelos de ciclos económicos reales para imitar las fluctuaciones económicas reales.

Figura 9.3: Capital, consumo e inversión con muchos shocks.


Capítulo 11

Crecimiento Económico Este capítulo examina los determinantes del crecimiento económico. Un hecho sorprendente sobre el crecimiento económico es la gran diversidad en la experiencia de crecimiento de los distintos países en la historia reciente. Algunas partes del mundo, como Estados Unidos o Europa occidental, experimentaron un crecimiento económico sostenido durante un período de más de 100 años, por lo que en términos históricos estos países son ahora enormemente ricos. Esto no sólo es cierto en términos absolutos (es decir, el PIB), sino también si medimos la riqueza como el ingreso per cápita (es decir, el PIB por persona). Por el contrario, hay países en los que aún hoy una gran parte de la población vive cerca del nivel de subsistencia, lo mismo que los europeos y los estadounidenses… hace algunos cientos de años atrás. Además, un grupo de países que solían ser relativamente pobres en la época de la Segunda Guerra Mundial logró alcanzar tasas de crecimiento aún mayores que los países industrializados occidentales, por lo que sus ingresos per cápita ahora se acercan a los de los países occidentales. La mayoría de los miembros de este grupo se encuentran en el este de Asia, como Japón, Singapur, Hong Kong, y otros. Se evidencia que es difícil de explicar estas diferentes experiencias de crecimiento dentro de un mismo modelo. Hay modelos que ofrecen una explicación de la experiencia de crecimiento de los países hoy industrializados, pero la mayoría de estos modelos no explican por qué gran parte del mundo sigue siendo pobre. Los modelos que tratan de explicar la diferencia entre los países ricos y los pobres tienen menos éxito en la reproducción de los datos de crecimiento de los países industrializados. Por lo tanto, vamos a abordar el tema del crecimiento económico a partir de diferentes ángulos. En la Sección 11.1 se presenta una serie de datos sobre el crecimiento económico, los hechos que vamos a tratar de explicar con nuestros modelos de crecimiento. La Sección 11.2 se presenta el modelo de crecimiento de Solow, un clásico de la teoría del crecimiento económico. La Sección 11.3 presenta la contabilidad del crecimiento, una aplicación empírica del modelo de Solow. Este tipo de contabilidad puede ser utilizado para determinar las fuentes de crecimiento para un país determinado. En la Sección 11.4 volvemos a la pregunta de por qué algunos países siguen siendo pobres hoy. Una respuesta completa a esta pregunta está más allá del alcance de este libro, de hecho, es justo decir que una respuesta satisfactoria no se ha encontrado todavía. Por lo tanto, nos concentramos en sólo un aspecto importante de la experiencia de crecimiento de los países pobres: la relación entre la fertilidad, el capital humano y el crecimiento.

11.1 La Evidencia Empírica Si nos fijamos en el grupo de los únicos países industrializados, es posible identificar una serie de regularidades empíricas en el proceso de crecimiento. El economista británico Nicholas Kaldor resume estas regularidades en una serie de hechos empíricos. A pesar de que lo hizo hace más de 50 años, los hechos de Kaldor todavía proporcionan una imagen precisa del crecimiento en los países industrializados. La primera observación de Kaldor fue que tanto la producción por trabajador y de capital por trabajador crece con el tiempo. También crecen a tasas similares, por lo que la relación entre el stock de capital agregado de la producción o el PIB no cambia mucho con el tiempo. El rendimiento del capital, es decir, el interés que las empresas tienen que pagar si alquilan capital, es casi constante en el tiempo. Por último, la participación de mano de obra y el capital social son casi constantes. La participación del trabajo es la fracción de la producción que va a los trabajadores en forma de salarios, sino que se calcula como el ingreso laboral total dividido por el PIB. Del mismo modo, el capital social está dado por pagos totales al capital dividido por el PIB. Tenga en cuenta que los hechos Kaldor mantienen incluso si tenemos en cuenta largos períodos de tiempo. Por ejemplo, la relación capital-producto y el rendimiento del capital no son muy diferentes ahora de lo que eran hace 100 años, a pesar de que la producción es mucho mayor ahora, y los bienes de producción y la tecnología en general han cambiado por completo. Además de los hechos Kaldor, otro hecho importante sobre el crecimiento en los países industrializados del mundo es la convergencia del PIB per cápita de los distintos países y regiones a través del tiempo. Por ejemplo, la diferencia relativa en el PIB per cápita entre los estados del sur y el norte de los Estados Unidos ha disminuido MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 53

en gran medida desde la Guerra Civil. Del mismo modo, países como Alemania y Japón, que sufrieron mucho la Segunda Guerra Mundial, han crecido rápidamente desde la guerra, por lo que hoy en día el ingreso per cápita en los Estados Unidos, Japón y Alemania por área es similar de nuevo. No hay regularidades empíricas comparables a los hechos Kaldor que se apliquen tanto a los países industrializados como a los países en desarrollo. Sin embargo, podemos identificar algunos de los factores que distinguen a los países que pasaron por la industrialización y tienen un alto ingreso actual de los países que se mantuvieron relativamente pobres. Una explicación de la función de esos factores podría ser un paso importante hacia la comprensión de las grandes diferencias internacionales en la riqueza. Nos vamos a centrar en la relación entre el crecimiento y la fertilidad. Todos los países ahora industrializados han experimentado una gran caída en las tasas de fertilidad, un proceso conocido como la transición demográfica. Todos los países industrializados tienen bajas tasas de crecimiento de la población. Hace dos siglos, las tasas de fertilidad fueron mucho mayores, ya que son en la mayoría de los países en desarrollo hoy en día. Hoy en día, casi todo el crecimiento de la población mundial tiene lugar en los países en desarrollo. Volveremos a estas observaciones en la sección sobre la fertilidad y el capital humano, pero en primer lugar se presenta un modelo que explica los hechos estilizados sobre el crecimiento en los países desarrollados.

11.2 El Modelo de Crecimiento de Solow Un punto de partida natural para una teoría del crecimiento es la función de producción agregada, que relaciona la producción total de un país a las entradas totales de los factores de producción del país. Considere la función de producción neoclásica:

Se utilizó una función de producción de esta forma ya en el capítulo sobre los ciclos económicos. La Producción depende del agregado laboral Lt de entrada, el agregado insumo de capital Kt-1, y un parámetro de productividad At. Por supuesto, se trata de una simplificación al considerar sólo tres determinantes de la producción. Podríamos incluir otros factores como la tierra o la calidad del medio ambiente, y nuestros factores podrían subdividirse aún más, por ejemplo por el trabajo de diferente calidad. Resulta, sin embargo, que la función de producción de la forma simple en la ecuación (11.1) es todo lo que necesitamos para que coincida con la evidencia empírica del crecimiento económico. La ecuación de la función de producción (11.1) presenta rendimientos constantes a escala, lo que significa que si doblamos las dos entradas, la salida también se duplica. Nuestra elección de una función de producción-retornos a escala constantes no es casual: la mayoría de los resultados en esta sección se apoyan en este supuesto.


La ecuación (11.1) indica las fuentes potenciales de crecimiento en la Producción Yt. Cualquiera de las entradas de Lt y Kt-1 deben crecer, o la productividad A debe crecer. Si queremos explicar el crecimiento económico, necesitamos una teoría que explique cómo la población (es decir, mano de obra), el capital social, la productividad y el cambio en el tiempo. El mejor enfoque sería un modelo donde las decisiones de las empresas y los hogares determinan los cambios en todas estas variables. Los consumidores pueden tomar decisiones sobre el ahorro y el número de hijos que quieren tener, lo que explicaría el crecimiento del capital y la población. Las empresas podrían participar en la investigación y el desarrollo, lo que daría lugar a una teoría del crecimiento de la productividad. Sin embargo, hacer todas esas cosas al mismo tiempo resulta en un modelo bastante complicado. El modelo que vamos a presentar es un enfoque más simple. Se supone que el crecimiento de la productividad y la población son exógenos y constantes. Esto nos permite concentrarnos en la acumulación de capital en el tiempo. Además, en lugar de modelar la decisión de ahorro de forma explícita, se supone que los consumidores invierten una fracción fija de la salida de cada período. Aunque se trata de simplificaciones muy radicales, resulta que el modelo es bastante exitoso en la explicación de los hechos estilizados del crecimiento económico en los países industrializados. Sería posible escribir un modelo con la optimización de los consumidores que llegue a las mismas conclusiones. De hecho, anotamos ese modelo ya: el modelo de ciclos reales que discutimos en el capítulo 9 utiliza una función de producción neoclásica, y la decisión óptima de los consumidores era invertir una fracción fija de su producción en la nueva producción de capital. Para evitar complejidades, no vamos a ir a través de problemas de optimización individuales, sino que vamos a suponer que es óptimo ahorrar una fracción fija de la producción. Hay una serie de nombres para el modelo. O bien se le conoce como el modelo de Solow, por su inventor Robert Solow, o como el modelo neoclásico


www.elsolucionario.org de crecimiento debido a la función de producción neoclásica que utiliza, o como el modelo de crecimiento exógeno a partir de que el hecho de que no hay una explicación directa para el crecimiento de la productividad. La ley del movimiento de una variable describe cómo la variable evoluciona con el tiempo. En el modelo de Solow, la ley de movimiento del capital es: donde It es la inversión y δ es la tasa de depreciación, que va entre cero y uno. Suponemos que la inversión es una fracción fija 0
La productividad y el trabajo crecen a tasas fijas μ y γ:

Ahora tenemos que ver cómo se desarrolla la economía, a partir de cualquier nivel de capital inicial K0 y, a continuación, comprobar si el modelo se ajusta a los hechos empíricos del crecimiento económico en los países industrializados. Asumimos que hay una empresa competitiva empleando nuestra tecnología de producción. Podemos comprobar uno de los hechos empíricos, el trabajo constante y la cuota de capital, sólo con la resolución de problemas de la empresa. El problema de maximización de las ganancias de la empresa es:

Las condiciones de primer orden con respecto a la mano de obra y el capital nos permiten obtener las fórmulas de rendimiento de los salarios y el interés:

Podemos usarlas para calcular las participaciones del trabajo y el capital en la economía:

por lo que la participación del trabajo es α, y el capital social es de 1-α. Así, tanto las participaciones del trabajo y el capital son constantes. Este resultado está estrechamente relacionado con el hecho de que la función de producción presenta rendimientos constantes a escala. En realidad, el hecho de que las participaciones del trabajo y el capital son aproximadamente constantes es uno de los principales argumentos a favor del uso de las funciones de producción que presentan rendimientos constantes a escala. Para continuar, tenemos que echar un vistazo más de cerca a la dinámica de la acumulación de capital en el modelo. Resulta que esto es más fácil de hacer si todas las variables están expresadas en términos de unidades de trabajo efectivo AtLt. El producto AtLt se conoce como trabajo efectivo, porque el aumento de At hace al trabajo más productivo. Por ejemplo, A = 2 y Lt = 1 equivale a la misma cantidad de trabajo efectivo que A = 1 y Lt = 2. Cuando se ponen en términos de unidades de trabajo efectivas, todas las variables serán constantes en el largo plazo, lo que simplificará nuestro análisis. Vamos a utilizar letras minúsculas para las variables que se encuentran en términos de trabajo efectivo. Es decir, yt = Yt / (AtLt), kt- 1 = Kt -1 / (AtLt), y it= It / (AtLt). Sustituyendo Yt = ytAtLt y así sucesivamente en la función de producción de la ecuación (11.1), se obtiene:


A partir de la ley de movimiento del capital, ecuación (11.2), obtenemos la ley de movimiento en términos de trabajo efectivo:

Por último, la inversión se determina por:

Enchufando la ecuación (11.7) en la ley de movimiento de (11.6) se obtiene la ecuación:

Esta última ecuación determina el desarrollo del capital social a través del tiempo. Dividiendo por kt-1 se obtiene como resultado una expresión para la tasa de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo:

La expresión kt / kt-1 se denomina Tasa bruta de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo. La Tasa bruta de crecimiento es igual a uno más la tasa de crecimiento neto. (Las tasas de crecimiento en el capítulo 1 fueron tasas de crecimiento neto). Dado que el exponente en kt-1 en la ecuación (11.9) es negativo, la tasa de crecimiento es inversamente proporcional al capital. Cuando un país tiene un menor nivel de capital por unidad de trabajo efectivo, su capital, y por lo tanto su producción, crecen más rápido. Así, el modelo explica la convergencia de los PIB de los países y regiones a través del tiempo. Dado que la tasa de crecimiento del capital disminuye en kt-1, hay un cierto nivel de kt-1 donde el capital por unidad de trabajo efectivo deja de crecer. Decimos que la economía alcanza un estado de equilibrio. Una vez que la economía llega a este estado de equilibrio, se queda allí para siempre. La figura 11.1 es una representación gráfica del proceso de crecimiento en esta economía. Por simplicidad, asumimos por el momento que el trabajo y la productividad son constantes μ = γ = 0. En ese caso, la ecuación (11.8) se simplifica a:

El cambio en el capital por unidad de trabajo efectivo es igual a la diferencia entre la inversión y la depreciación. La figura 11.1 muestra la función de producción por unidad de mano de obra efectiva yt = k1-αt-1, la inversión es it = sk1-αt-1, y la depreciación δkt-1. Debido a que el rendimiento del capital es cada vez menor, la inversión es una función cóncava de capital. Para valores bajos de capital, la diferencia entre la inversión y la depreciación es grande, por lo que el capital crece rápidamente. Para valores grandes de capital, el crecimiento es menor, y en la intersección de la depreciación y la inversión, el capital social no crece en absoluto. El nivel de capital por unidad de trabajo efectivo en el que la inversión es igual a la depreciación es el nivel de estado estacionario del capital. A largo plazo, la economía se acerca al nivel de estado estacionario del capital por unidad de trabajo efectivo, sin importar cual haya sido el monto inicial de capital. Esto es cierto incluso si el capital inicial excede


el nivel de estado estacionario: el capital por unidad de trabajo efectivo se reducirá, hasta que se alcanza el estado estacionario.

Figura 11.1: Producción, ahorro y amortización en el Modelo de Solow

En el estado estacionario tenemos kt = kt-1. Utilizando la ecuación (11.8), vemos que el nivel de estado estacionario del capital por unidad de trabajo efectivo k̄ tiene que satisfacer:

Y los rendimientos:

Podemos utilizar esta ecuación para calcular la producción, la inversión y el crecimiento en el estado estacionario. De la ecuación (11.5), el nivel de estado estacionario de la producción por unidad de trabajo efectivo es:

El nivel de producción depende positivamente de la tasa de ahorro. De la Ecuación (11.7), la inversión estacionario por unidad de trabajo efectivo es:

La tasa de crecimiento de estado estacionario del capital es μ + γ + μ γ:

y la tasa de crecimiento de la producción es igual también a μ + γ + μ γ. Esto implica que la tasa de crecimiento de largo plazo de una economía es independiente de la tasa de ahorro. Con una mayor tasa de ahorro, la economía se acerca a un estado superior constante, pero la tasa de crecimiento de largo plazo está determinada únicamente por el crecimiento de la productividad del trabajo. Todavía hay una serie de hechos empíricos que quedan por ser revisados. En primer lugar, vamos a comprobar que el rendimiento del capital es constante. De la ecuación (11.4), el rendimiento del capital es:



En el estado estacionario, el capital por unidad de trabajo efectivo es una constante k̄. Por lo tanto, el rendimiento del capital en estado estacionario es:

que es constante, dado que k̄ es constante. Por otro lado, el salario está creciendo en el estado estacionario, ya que la productividad de trabajo aumenta. El salario de estado estacionario se puede calcular como:

lo que implica que el salario crece al ritmo de progreso tecnológico. La relación capital-producto en el estado de equilibrio es:

que es una constante. Esto verifica el último hecho empírico del crecimiento económico en nuestra lista. El modelo de Solow logra explicar todos los hechos empíricos del crecimiento económico en los países industrializados. El elemento clave del modelo es la función de producción de rendimientos constantes neoclásica. Dado que el rendimiento del capital disminuye, las economías crecen más rápido en los niveles más bajos de capital, hasta que se acercan al estado de equilibrio, donde las unidades de trabajo y capital efectivo crecen a la misma tasa. El modelo también explica por qué las diferentes tasas de ahorro en los diferentes países industrializados no se traducen en diferencias a largo plazo en la tasa de crecimiento. La tasa de ahorro afecta el nivel del estado estacionario, pero no afecta a la tasa de crecimiento estacionario. El capital social no puede crecer más rápido que el del trabajo efectivo durante mucho tiempo debido a la disminución de la rentabilidad del capital.


Dado que el modelo de Solow hace bien al coincidir los datos empíricos de crecimiento económico, constituye la base de muchos de los modelos más avanzados en la macroeconomía. Por ejemplo, nuestro modelo de ciclos reales del capítulo 9 es un modelo de Solow enriquecido por los consumidores y la optimización de los choques de productividad. Por otro lado, el modelo funciona bien sólo para los países que cumplan los supuestos de tasas constantes de crecimiento de la población y el progreso tecnológico. Estos supuestos se justifican para los países industrializados, pero no son útiles para la comprensión de las primeras etapas de desarrollo de un país, que por lo general se acompaña de la transición demográfica, con lo cual crecimiento de la población exógeno y constante no es una hipótesis útil. Vamos a buscar posibles explicaciones de las decisiones de fertilidad subyacentes, pero antes de eso, vamos a introducir la contabilidad del crecimiento, un método que nos permite descomponer la tasa de crecimiento de un país en crecimiento de la población, de capital y de productividad.

11.3 Contabilidad del Crecimiento En esta sección vamos a utilizar el marco general del modelo de Solow para calcular una descomposición de la tasa de crecimiento económico de un país dado. Considere la función de producción neoclásica:

Vamos a interpretar Yt como el PIB, a Lt como el número de trabajadores, Kt -1 como el stock de capital agregado y A como medida de la productividad global. Vamos a estar interesados con la medición de las contribuciones relativas de A, Lt y Kt-1 al crecimiento del PIB. Suponemos que los datos del PIB, la población activa, y el stock de capital agregado están disponibles. El primer paso consiste en calcular el parámetro de productividad A. Resolviendo la función de producción de A se obtiene:


Si α es conocido, podríamos calcular la A de inmediato. Afortunadamente, nos enteramos antes que α es igual a la cuota de mano de obra. Por lo tanto, podemos utilizar la parte media del trabajo como una estimación de α y calcular el At. Ahora que A está disponible, las tasas de crecimiento en A, Lt y Kt-1 pueden ser calculadas. Podemos ver cómo las tasas de crecimiento de los insumos y la productividad afectan a la tasa de crecimiento del PIB tomando el logaritmo natural de la función de producción:

Estamos interesados en el crecimiento entre el año t y t+k, donde k es un entero positivo. Restando la ecuación (11.12) en el tiempo t de la misma ecuación en el momento t+k se obtiene: Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la producción (el lado izquierdo) es α veces la suma del crecimiento de la productividad y el trabajo, más 1-α veces el crecimiento del capital. Usando esto, podemos calcular la contribución relativa de los diferentes factores. La fracción de crecimiento de la producción atribuible al crecimiento de la fuerza de trabajo es la siguiente:

La fracción debido al crecimiento del capital es igual a:

Finalmente, la fracción restante se debe al crecimiento de la productividad y se puede calcular como:

Es difícil determinar la causa exacta del crecimiento de la productividad. La forma en que calculamos que, no es más que un residuo, la fracción de crecimiento económico que no puede ser explicado por el crecimiento de mano de obra y capital. Sin embargo, la medición de la productividad de esta manera nos da una idea aproximada de la magnitud del progreso tecnológico de un país.

11.4 Fecundidad y Capital Humano En esta sección vamos a examinar cómo las personas deciden sobre el número de hijos que tienen. El crecimiento y la industrialización están estrechamente relacionados con la caída de las tasas de fecundidad. Este fue el caso de la Inglaterra del siglo XIX, una vez que se inició la industrialización, y se aplica de la misma manera a los países asiáticos que sólo recientemente comenzaron a crecer a tasas elevadas y alcanzaron a los países occidentales. La comprensión de estos cambios en la fecundidad debería ayudar a explicar por qué algunas economías empiezan a crecer, mientras que otros siguen siendo pobres. El primer economista en pensar de una manera sistemática sobre el crecimiento y la fecundidad fue Thomas Malthus. Ya en 1798, publicó su "Ensayo sobre la Población", en el que su tesis fundamental era que la fertilidad se dio sólo por el suministro de alimentos. Siempre y cuando hubiera suficiente para comer, la gente seguirá produciendo hijos. Dado que esto llevaría a tasas de crecimiento de la población por encima del crecimiento de la oferta de alimentos, la gente se empuja hacia el nivel de subsistencia. Según la teoría de Malthus, el crecimiento sostenido de los ingresos per cápita no era posible, el crecimiento de la población sería siempre impulsaría siempre los ingresos per cápita hacia abajo. Por supuesto, hoy en día sabemos que Malthus estaba equivocado, al menos en lo que se refiere a los países ahora industrializados. Sin embargo, su teoría era una descripción exacta de la dinámica poblacional antes de la revolución industrial, y en muchos países parece aplicar hoy en día. Malthus vivían en Inglaterra justo antes de la transición demográfica que allí tuvo lugar. Las primeras etapas de la industrialización fueron acompañadas por un rápido crecimiento de la población, y sólo MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 59

con un poco de rezago las tasas de fertilidad comenzaron a declinar. Vamos a tomar la teoría de Malthus como un punto de partida en la búsqueda de explicaciones de la transición demográfica. Expresado en términos modernos, Malthus pensaba que los niños eran un bien normal. Cuando la renta sube, los padres "consumen" más niños. Suponemos que los padres tienen hijos sólo para su disfrute, es decir, hacemos abstracción de cuestiones como el trabajo infantil. Como ejemplo simple, considere una función de utilidad sobre el consumo ct y el número de hijos nt de la forma:

Se supone que el consumidor recibe un salario wt por unidad de trabajo y que el costo en términos de bienes de criar a un niño es p. Por lo tanto, la restricción presupuestaria es:

Mediante la sustitución de consumo, podemos escribir el problema de maximización de utilidad como:

La condición de primer orden con respecto a nt es:

Así, cuanto mayor sea el salario real, más niños van a producir. Si asumimos que la gente vive durante un período, el número de niños por adulto nt determina la tasa de crecimiento de la población Lt:

Para cerrar el modelo, tenemos que especificar cómo se determina el salario. La hipótesis de Malthus era que la oferta de alimentos no se podría aumentar en proporción con el crecimiento de la población. En términos modernos, querría decir que el rendimiento del trabajo era decreciente. Como un ejemplo, supongamos que la función de producción agregada es: con 0 < α < 1. Supongamos también que el salario real es igual al producto marginal del trabajo:

Podemos combinar la ecuación (11.14), con la regla de decisión para el número de niños en la ecuación (11.13) para derivar la ley de movimiento de la población:

Tenga en cuenta que esta última ecuación es similar a la ley de movimiento del capital en el modelo de Solow. La tasa de crecimiento de la población disminuye a medida que aumenta la población. En algún momento, la población deja de crecer y alcanza un estado estacionario L̄. Utilizando la ecuación (11.15), el nivel de estado estacionario de la población se puede calcular como:



En el estado estacionario, tenemos Lt+1 / Lt = nt = 1. Podemos usar esto en la ecuación (11.13) para calcular el salario w̄ en el estado estacionario:

Así, el salario en el estado estacionario es independiente de la productividad At. Un aumento de la A provoca un aumento de la población, pero sólo hasta que el salario es conducido de nuevo a su nivel estacionario. Incluso el crecimiento sostenido de la productividad no aumentará los ingresos per cápita. El tamaño de la población se pondrá al día con el progreso tecnológico y presionará a la baja en los ingresos per cápita. Este modelo maltusiano explica satisfactoriamente la relación entre la población y la producción de casi toda la historia, y que todavía se aplica a gran parte del mundo de hoy. La mayoría de los países en desarrollo han experimentado un gran aumento en la producción total en los últimos 100 años. A diferencia de Europa, sin embargo, esto ha dado lugar a un aumento en la población, más que en el aumento de los ingresos per cápita. Fuera del mundo europeo, los ingresos per cápita permanecieron prácticamente constantes desde 1700 hasta alrededor de 1950, al igual que vaticinaba la predicción del modelo maltusiano. Algo debe haber cambiado en Europa en el siglo XIX que hizo atractivo para la gente el tener menos hijos, causando que las tasas de fecundidad cayeran, por lo que los ingresos per cápita pudieron comenzar a crecer. Si bien estos cambios no han sido entendidos completamente, podemos identificar una serie de factores importantes. Nos concentraremos en dos de ellos: el tiempo-costo de criar a los niños, y un compromiso de calidad-cantidad en las decisiones sobre los niños. El capital humano es un elemento clave del modelo que vamos a proponer. Hasta el momento, se consideró que la mano de obra era uniforme, es decir, de igual “calidad”. Eso podría ser una suposición razonable para los primeros tiempos de la historia, pero ciertamente no se aplica en nuestros días, en que las cualificaciones y las competencias son importantes. En el modelo, el capital humano posee dos componentes. En primer lugar, es el capital humano innato que es poseído por todos los trabajadores, independientemente de su educación. Vamos a denotar este componente del capital humano como H0. Este capital humano básico refleja el hecho de que incluso una persona sin conocimientos especiales de cualquier tipo es capaz de llevar a cabo tareas simples que requieren mano de obra solamente. Además de esta dotación básica, las personas pueden adquirir Ht capital humano adicional mediante la educación que le proporcionen sus padres. Ht refleja habilidades especiales que tienen que enseñar a un trabajador. La dotación total, con capital humano de un trabajador es H0 + Ht. Volviendo a las decisiones de fertilidad, ahora asumimos que los padres se preocupan tanto por el número nt de sus hijos como de su "calidad", o capital humano, H0 + Ht +1. Las preferencias toman la forma:

La otra nueva característica de este modelo es que los padres deben invertir tiempo, en lugar de bienes, para criar niños. En el modelo de Malthus, se necesitan p unidades de consumo de criar a un niño. Imaginemos ahora que este costo en términos de bienes es relativamente pequeño, por lo que se puede omitir por simplicidad. En su lugar, los niños requieren atención. Una fracción h del tiempo total disponible debe ser utilizada para criar a cada niño. Además, los padres pueden optar por educar a sus hijos y pasar una fracción et de su tiempo haciendo eso. Esto implica que sólo una fracción 1 - hnt - et se deja para el trabajo. Si wt es el salario por unidad de capital humano cuando se trabaja todo el tiempo, la restricción presupuestaria es: El lado derecho nos dice que el ingreso es el salario multiplicado por el capital humano y la fracción del tiempo trabajado. Todos estos ingresos se gastan en el consumo. Todavía tenemos que especificar la determinación del capital humano de los niños. Se supone que el capital humano extra de cada niño, Ht+1, depende de: el capital humano adquirido de los padres Ht, y el tiempo et que los padres destinan a la educación de sus hijos: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 61

Aquí γ es un parámetro positivo. La interpretación de la ecuación (11.17) es que los padres capacitados en sí son mejores para la educación de sus hijos: Una persona que no tiene ninguna habilidad tampoco puede enseñar nada a sus hijos. Ahora queremos determinar cómo la fertilidad está relacionada con el capital humano en este modelo. Si sustituimos las restricciones de las ecuaciones (11.16) y (11.17) en la función de utilidad, el problema de maximización de la utilidad se convierte en:

Las condiciones de primer orden con respecto a la nt y et son:

puede reescribirse como:

Utilizando la ecuación (11.18) en (FOC et) podemos calcular la decisión óptima de fertilidad:

www.elsolucionario.org De acuerdo con la ecuación (11.19), el factor determinante de la fecundidad es el capital humano Ht. Si está cerca de cero, el número de niños es muy alto. Si añadimos un coste de niños en términos de bienes, a valores bajos de Ht los resultados serían idénticos al modelo maltusiano. Sin embargo, las cosas cambian drásticamente cuando Ht es alto. La fertilidad baja y, si Ht sigue en aumento, el número de niños que alcanza el estado de equilibrio es n̄ = 1/(3h). Hay dos razones para este resultado. Por una parte, si el capital humano aumenta, el valor de tiempo también aumenta: se vuelve más y más costoso gastar un montón de tiempo en criar a los hijos, por lo que los padres deciden tener menos de ellos. La otra razón es que las personas con alto capital humano son mejores para enseñar a los niños. Eso hace que sea más atractivo para ellos invertir en la calidad en lugar de la cantidad de hijos. El modelo arroja algo de luz sobre las razones por las que actualmente la fertilidad en los países industrializados es mucho más baja que en los países en desarrollo. La teoría también tiene aplicaciones dentro de un país determinado. Por ejemplo, en los Estados Unidos los adolescentes tienen muchas más probabilidades de quedar embarazadas si son desertores escolares. El modelo sugiere que esto no es por casualidad. Las personas con bajo nivel educativo tienen un valor relativamente bajo de tiempo, por lo que pasar tiempo con los niños es menos costoso para ellos. La pregunta que el modelo no responde es cómo la transición de un estado a otro tiene lugar ¿Cómo Inglaterra logró salir del estado de equilibrio maltusiano? En el modelo, sólo un salto repentino en Ht sobre un nivel crítico podría realizar esta tarea, que no es una explicación muy convincente de la transición demográfica. Sin embargo, el modelo es una mejora significativa sobre las teorías que asumen que las tasas de crecimiento de la población son exógenas y constantes. Se necesita más investigación en esta y otras preguntas antes de que podamos encontrar una explicación completa de la transición demográfica y la gran disparidad de la riqueza en el mundo.


Tabla 11.1 Notación del Capítulo 11

Variable Yt yt Lt Kt kt At It it wt rt δ α 𝑢(·) c nt p h et Ho Ht γ

Definición Producción agregada Producción por unidad de trabajo efectiva Trabajo agregado o población Stock de capital agregado Capital por unidad de trabajo efectiva Parámetro de productividad Inversión agregada Inversión por unidad de trabajo efectiva Salario Remuneración del capital Tasa de depreciación Parámetro de la función de producción Función de utilidad Consumo Número de hijos Costo de tener hijos, en términos de bienes Costo de tener hijos, en términos de tiempo Tiempo gastado en la educación de los hijos Capital humano innato Capital humano adquirido Parámetro de la función de producción para capital humano



El Efecto del Gasto Público En este capítulo vamos a analizar cómo la compra de bienes y servicios por parte del gobierno afecta a la economía. El Estado tiende a gastar dinero en dos cosas: guerras y servicios sociales. La Figura 12.2 de Barro muestra que los gastos por el gobierno de EE.UU. son generalmente una fracción cada vez mayor del PIB desde 1928, pero aún hoy esa fracción no está cerca de la cima que alcanzó durante la Segunda Guerra Mundial. Este patrón se repite por lo general entre los países. La preferencia por los servicios sociales parece aumentar con la riqueza nacional, por lo que los gobiernos de los países más ricos tienden a gastar más, como una fracción del PIB, que los gobiernos de los países más pobres, sobre todo en tiempos de paz. Por supuesto, hay excepciones a esta regla. Vamos a examinar el Gasto Publico de tres formas: 1. Vamos a considerar el efecto de los cambios permanentes en el gasto público con el fin de reflexionar sobre los aumentos seculares del gasto en tiempos de paz; 2. Vamos a considerar los cambios temporales en el gasto público con el fin de reflexionar sobre el efecto de los picos repentinos como las guerras; 3. Vamos a empezar un análisis del efecto de los programas sociales del gobierno. Dado que los programas sociales del gobierno (seguro de desempleo, los sistemas de seguridad social) están íntimamente ligados a los sistemas fiscales, vamos a dejar parte de nuestro análisis al siguiente capítulo. Dado que todavía tenemos que discutir a fondo la política fiscal, en este capítulo vamos a suponer que los gravámenes del gobierno son un tipo muy especial de impuestos: un impuesto de suma fija (lump-sum tax). Es decir, el gobierno anuncia un plan de gastos y luego simplemente recauda esa cantidad de dinero del presupuesto del hogar representativo. Como veremos en el próximo capítulo, este tipo de sistema fiscal no distorsiona las elecciones del hogar. En el libro de Barro, la restricción presupuestaria del gobierno, además de los impuestos de suma fija, también contiene la moneda fiduciaria. En este capítulo vamos a suponer que el gobierno no utiliza la imprenta para financiar sus compras. En capítulos posteriores (especialmente el Capítulo 18) vamos a examinar este efecto con mucho más detalle.

12.1 Cambios Permanentes en el Gasto Público Supongamos que el gobierno anuncia un nivel permanente del gasto público, G, que se percibe cada período. ¿Cuál es el papel de estos gastos del gobierno? El gobierno proporciona servicios productivos, tales como un sistema de tribunales para hacer cumplir los contratos y un sistema de autopistas interestatales para el transporte de bienes de manera rápida y económica. El gobierno también ofrece servicios de consumo, como los parques públicos y los espectáculos de entretenimiento, como los viajes a la luna y las audiencias del Congreso. Vamos a hacer foco en el primer rol. ¿Cómo debemos modelar los servicios productivos prestados por el gobierno? Vamos a analizar un modelo bajo dos supuestos: 1. Gasto publico constante a una tasa ϕ, 2. El efecto del gasto público, G, se ve reforzado por el nivel de capital, 𝐾𝑡 , y así la producción Y aumenta en la cantidad 𝜙𝐺 𝐾𝑡 . En el primer caso, $100 de gasto del gobierno aumenta la producción en 100ϕ independientemente del nivel actual de capital, mientras que en el segundo caso, el mismo gasto de $ 100 aumenta la producción mucho más en los países con más capital. El agente vive para siempre y tiene preferencias sobre los flujos de consumo, {𝐶𝑡 }∞ 𝑡=0 que vienen dadas por:


Donde U´> 0 y U´´< 0. En la ecuación, 0 < β < 1 representa la impaciencia. Además, para mantener el álgebra, diremos que:

Aquí, β es el factor de descuento y ρ la tasa de descuento. 𝑝

El hogar tiene acceso a una tecnología de mapeo de capital productivo, 𝐾𝑡 , en la producción privada 𝑌𝑡 de: 𝑝

𝑌𝑡 = 𝐾𝑡𝛼 La producción total (y por lo tanto los ingresos) de los consumidores será la suma de la producción privada y la producción del gobierno, YGt, que asumirá uno de los siguientes dos valores:

La ecuación (12.1) se corresponde con el caso de gasto público que afecta a la producción total en la misma cantidad sin importar el nivel de capital. La ecuación (12.2) se corresponde con el caso de los gastos del gobierno que afectan la producción total en mayor cuantía cuando el nivel de capital es alto. Vamos a examinar el efecto de G en la acumulación de capital, la producción total y el consumo bajo de estos dos supuestos. 𝑝

Los consumidores deben dividir su ingreso total 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 + 𝑌𝑡𝐺 , en consumo 𝐶𝑡 , inversión 𝐼𝑡 , y en pagos al gobierno de G. Recordemos que asumimos el gobierno simplemente impone un impuesto de suma fija. Ahora estamos utilizando esa suposición. La restricción de recursos del consumidor es por lo tanto:

Por último, hay una ley de movimiento del capital, 𝐾𝑡 . Cada período, una proporción δ del stock de capital se desvanece debido a la depreciación física, entonces solo la restante proporción (1 – δ) es la que sobrevive el siguiente periodo. Además, el capital puede ser aumentado por la inversión. Así, el capital evoluciona de acuerdo a:

Suponemos que los consumidores llegan al mundo con un stock inicial de capital positivo, K0 > 0. Nos interesa ver a Ct en función del stock de capital del próximo periodo, Kt+1. Combinando las ecuaciones (12.3) y (12.4) se obtiene:

La diferencia entre las dos ecuaciones surge a partir de la versión de la tecnología de gobierno que utilicemos, la ecuación (12.1) o (12.2). Análisis con la Ecuación (BC1) Comencemos nuestro análisis con la primera versión de la tecnología de gasto público, ecuación (12.1). Así que estamos usando como restricción presupuestaria la ecuación (BC1). El problema de los consumidores se convierte en:

Tomamos condiciones de primer orden con respecto a la elección de la del próximo período de capital, Kj+1, para algún periodo j. Recuerde que Kj+1 aparece en dos periodos, j y j+1: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 65

Para todo j= 0,…, ∞. Cj está dado por la ecuación (BC1) anterior. Simplificando:

Por simplicidad (y al igual que en otros capítulos) optamos por no resolver esto por el camino de la transición desde el nivel inicial de capital de K0 al estado estacionario nivel KSS. Nos centramos en la caracterización del estado estacionario. En un estado de equilibrio estacionario, por definición, el stock de capital es constante:

Lo que redunda en:

La ecuación (12.5) en el estado estacionario se transforma en:

Simplificando y usando que β=1/(1+ρ): Ahora, resolvemos para el estado estacionario del capital:

Vemos que, en esta formulación del gasto público, el nivel de capital de estado estacionario es independiente del gasto público. Como veremos en el próximo capítulo, esto es una consecuencia directa del impuesto de suma fija. Si el gobierno tuviera que recurrir a impuestos distorsivos, KSS se vería afectado por G.


Dado KSS, es fácil calcular las otras variables que los consumidores controlan: El ingreso en estado estacionario, 𝑌𝑠𝑠𝑃 , el consumo CSS, y la inversión ISS. De la tecnología sabemos que YP=Kα, entonces:

La producción total (PIB) es la producción privada YP, más la producción del gobierno YG o:

El consumo es, en este caso, determinado por la restricción presupuestaria de la ecuación (BC1). En el estado estacionario:

Podemos simplificar esto obteniendo:

En el estado estacionario, el consumidor debe estar invirtiendo lo suficiente en capital nuevo para compensar la depreciación. Sustituyendo en la ley de movimiento del capital,

Ahora estamos listos para determinar el efecto del gasto del gobierno en la producción total, el consumo y el nivel de capital. Cuando pensamos en el cambio en G estamos comparando dos estados estacionarios diferentes. Así, puede haber fluctuaciones a corto plazo inmediatamente después de que el gobierno anuncia su nuevo plan de gastos, pero lo que aquí nos concierne son los efectos a largo plazo. Vemos que: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 66


Es decir, la producción total aumenta juntos con G, pero el consumo es decreciente en G si ϕ es menor a 1. Por lo tanto, ϕ < 1 es un ejemplo de crowding out. Pensémoslo de esta manera, el gobierno gasta $1000 en una nueva fábrica, que produce 1000ϕ unidades de nueva producción. Los consumidores pagan los $1000 en impuestos requeridos para la construcción de la nueva fábrica, no altera su nivel de capital y cuenta con la producción adicional de 1000ϕ como consumo. Así, la producción ha aumentado y el consumo ha disminuido. Una nota final antes de centrar nuestra atención en el efecto de incrementar el gasto público productivo. Los pagos de transferencia del gobierno, en los que el gobierno toma el dinero de un agente y se lo da a otro, encajan muy bien en esta categoría de gastos. Las transferencias no tienen absolutamente ningún efecto productivo y las instituciones de gobierno necesarias para administrar los sistemas de pagos de transferencia impedirán la transmisión perfecta de dinero de un agente a otro. Dado que estamos trabajando con un consumidor representativo, las transferencias aparecen como impuestos que son parcialmente reembolsados.

Análisis con la Ecuación (BC2) Consideremos ahora el efecto del gasto público cuyos beneficios son proporcionales al stock de capital. Vamos a utilizar precisamente el mismo análisis que antes, excepto que ahora el consumo Ct está en función del capital Kt y Kt+1, y el gasto del gobierno G estará dado por la ecuación (BC2) anterior: El problema del agente es el siguiente:

Tomamos condiciones de primer orden con respecto a la elección de capital del próximo periodo Kj+1 en un periodo típico j. Recuerde el truco para estos problemas: Kj+1 aparece dos veces en el problema de maximización, primero negativa en el período j y positivamente en el período j+1:

Para todo j = 0,…, ∞. Cj está dado por la ecuación (BC2) anterior. Simplificando:

Compare esto con la condición de primer orden simplificada de la ecuación (12.5) anterior y note que en la ecuación (12.5) no aparece el término G del gasto del gobierno. Aquí sí lo hace. Esto nos debe alertar inmediatamente que algo nuevo está a punto de suceder. Al igual que antes, se supone un estado estacionario y característico. En el estado estacionario:

Simplificando y usando la ecuación de que β=1/(1+ρ):

Por lo tanto el nivel de capital de estado estacionario es:


Vemos de inmediato que, en esta formulación del gasto público, el nivel de capital de estado estacionario va en aumento con el gasto público. Si el gobierno se ve obligado a financiar el gasto con un impuesto distorsivo este resultado podría no pasar Dado el nivel de capital de estado estacionario, es fácil calcular los niveles de estado estacionario del total de la producción Yss, el consumo Css e inversión Iss. Dado que el nivel de capital de estado estacionario, KSS, ahora se ve afectado por G, tanto la producción privada YP como la producción publica YG se ven afectadas por G. Dada la función de producción, vemos que:

A partir de la ecuación de restricción presupuestaria (BC2) anterior, vemos que el consumo de estado estacionario es:

Como antes, el agente debe estar invirtiendo lo suficiente para superar la depreciación y mantener constante el nivel de capital:

Ahora podemos reconsiderar el efecto del gasto del gobierno en la producción total, el consumo y el nivel de capital. Algunas de estas derivadas van a ser bastante complicadas, pero al descomponerlas en sus partes constitutivas se vuelven bastante manejables. Comenzamos definiendo:

Notemos que:

El capital de estado estacionario es:

Entonces la derivada del capital de estado estacionario con respecto a G es:

Agregando en dX/dG los rendimientos:

Con este resultado podemos hacer frente a los otros elementos de interés. En primer lugar, analicemos el efecto de un mayor gasto en la producción agregada:


Comparemos el efecto del gasto público sobre la producción agregada. Aquí con el efecto del gasto público sobre la producción agregada cuando el gasto del gobierno simplemente aumenta la producción directa, la ecuación (12.7) anterior. Tenga en cuenta que, mientras antes cada dólar de gasto público se traducía en ϕ dólares de producción extra sin importar el nivel de producción, ahora el gasto público es más productivo en las economías más ricas. Por último, dirigimos nuestra atención al consumo. Recordemos que antes, para ϕ <1, el consumo disminuía a medida que aumentaba el gasto público, es decir, el consumo era desplazado. Ahora veremos que, mientras que el consumo puede ser desplazado, no necesariamente va a ocurrir esto. De hecho, en las economías ricas, los aumentos en el gasto del gobierno pueden aumentar el consumo. Una vez más, este resultado dependerá en cierta medida en el supuesto de una tecnología de impuestos perfecta. Comenzamos escribiendo el consumo como:

Los dos primeros términos son positivos. La pregunta es, ¿son lo suficientemente grandes como para compensar el -1? Incluso si ϕ <1, para valores grandes de G este hecho puede ser el caso. Rendimientos Crecientes a Escala y Gasto Público Hemos visto que el efecto del gasto público depende crucialmente de supuestos sobre la forma en que se transforma la producción. En el próximo capítulo veremos también que depende de la forma en que el gobierno aumenta la renta que gasta. Nuestro segundo supuesto acerca de la tecnología, involucrada en la ecuación (BC2), generó algunos resultados interesantes sobre el gasto del gobierno. Parece que, si el mundo es, en efecto, como el modelo, existe la posibilidad de que el gobierno nos proporcione un almuerzo gratis. Eche un vistazo más de cerca a la ecuación (12.2). Si asumimos que el consumidor controla G directamente (a través de un gobierno representativo, por ejemplo) ¿qué nivel habría que elegir? Ignore la dinámica por un momento y considere el consumo de los hogares, 𝐶 𝑎 , dado que se ha elegido un cierto nivel de G y K:



Ahora supongamos que el hogar duplica sus entradas de K y G, por lo que está consumiendo alguna cantidad 𝐶𝑏:

Para valores suficientemente grandes de G y K es fácil ver que:

En otras palabras, al duplicar G y K, el hogar representativo podría aumentar en más del doble el consumo neto. Este es el almuerzo gratuito estándar de rendimientos crecientes a escala, en este caso de forma conjunta en K y G. En el mundo real, ¿hay rendimientos crecientes a escala en forma conjunta en el gasto del gobierno y el capital? En algunas zonas es casi seguro. Por ejemplo, mediante la prestación de servicios de alcantarillado y tratamiento de aguas el gobierno evita epidemias y reduce el costo de agua potable a los consumidores. Este es un poderoso beneficio directo. Este beneficio directo es cada vez mayor en la concentración de la población (un pequeño pueblo probablemente estaría bien con un retrete, mientras en el Siglo XIX la ciudad de Chicago fue diezmada periódicamente por epidemias de cólera antes de la construcción del canal sanitario), y a su vez fomenta una mayor acumulación de capital. Ni una empresa o consumidor en el Siglo XVIII en Chicago habría encontrado un atractivo para construir un sistema de alcantarillado, por lo que habría sido difícil para la empresa privada sola haber proporcionado las mejoras. Además, como el sistema de alcantarillado de Chicago depende en gran medida del Canal Sanitario, el cual tenía que ser excavado en la tierra previamente-privada, eso puede haber sido imposible de construir sin el poder de expropiación. Por desgracia, hay pocos casos claros de rendimientos crecientes a escala combinados con el gasto del gobierno. Las Transiciones en Economías de Ejemplo Hasta ahora hemos ignorado el problema de las transiciones con el fin de concentrarnos en el comportamiento de estado estacionario. Pero la dinámica de transición, que describe el sendero que el capital, el consumo y la tasa de interés toman en una economía de transición de bajo capital al nivel de capital de estado estacionario, puede ser muy interesante. En este apartado vamos a estudiar la dinámica de transición mediante una simulación numérica de computadora.


Considere una economía de ejemplo en la cual G= 0.4, ϕ= 0.1; α= 0.25; ρ= 0.075; δ= 0.1; y β= 1/(1+ρ) Utilizando la tecnología de la ecuación (BC1), el nivel de capital de estado estacionario es KSS = 1.6089, utilizando la mejor tecnología de la ecuación (BC2), el nivel de capital de estado estacionario es KSS = 2.2741. Dado que G = 0.4, el gasto del gobierno como una fracción de la producción en estas economías ejemplo es 0.3436 y 0.3033, respectivamente. ¿Qué sucede si dotamos al consumidor representativo con un capital inicial 𝐾0 = 0.03, muy por debajo del nivel de estado estacionario final? Sabemos que generalmente habrá un crecimiento en el estado estacionario, pero de poco más de lo habitual. La evolución del capital en ambos supuestos acerca de la tecnología de los gastos del gobierno se representa en la Figura (12.1). La línea continua muestra la evolución de la tecnología del gasto del gobierno de alto rendimiento (es decir, la ecuación (BC2)), mientras que la línea de puntos muestra la evolución de la tecnología de bajo rendimiento (es decir, la ecuación (BC1)). Tenga en cuenta que la economía basada en la ecuación (BC2) es inicialmente más pobre y de crecimiento más lento que la otra economía. Esto se debe a que, a bajos niveles de capital, el gasto público no es muy productivo y es un serio inconveniente para la economía. Como el capital se acumula y el gasto del gobierno sigue aumentando, el crecimiento se acelera y la economía basada en la ecuación (BC2) supera a la economía basada en la ecuación (BC1). De la misma manera, la trayectoria en el tiempo del consumo se representa gráficamente en la Figura (12.2). Por último, la tasa de interés real de estas economías se representa en la figura (12.3). Para más información sobre la forma de calcular la tasa de interés real en estos modelos, por favor consulte el siguiente capítulo.


Figura 12.1: Evolución del capital. La línea continua da Kt suponiendo que las compras gubernamentales afectan la producción como en la ecuación (BC2) y la línea de puntos suponiendo que afectan a la producción como en la ecuación (BC1).

Figura 12.2: Ruta temporal del consumo. La línea continua Ct representa que las compras gubernamentales afectan la producción como en la ecuación (BC2) y la línea de puntos representa como afectan a la producción como en la ecuación (BC1)

Figura 12.3: Ruta temporal del tipo de interés. La línea continua dada por rt representa las compras gubernamentales que afectan la producción como en la ecuación (BC2) y la línea de puntos representa como afectan a la producción como en la ecuación (BC1).

La tasa de interés real Ahora dirigimos nuestra atención a los efectos de los cambios permanentes en el gasto del gobierno sobre la tasa de interés real de equilibrio en este modelo. Recordemos que en los modelos de acumulación de capital de horizonte infinito, como el que nos ocupa aquí, es habitual asumir que hay una economía cerrada, por lo que las familias no tienen acceso a un mercado de bonos. En este contexto, la tasa de interés de equilibrio se convierte en la tasa de interés a la que la familia, si se le ofrece la oportunidad de utilizar en un mercado de bonos, no lo haría. En otras palabras, no es como de costumbre, no hay endeudamientos o prestamos en una economía cerrada. Haremos referencia a esta condición como una condición de vaciado de mercado en el mercado de bonos, o simplemente de vaciado de mercado en general. Veremos que, durante el período de transición, mientras que todavía se está acumulando capital, la tasa de interés es decreciente con respecto al stock de capital. En el estado estacionario, sin embargo, cuando el consumo sea constante, la tasa de interés de equilibrio será sólo ρ, el factor de descuento. Debido a los cambios permanentes en el gasto del gobierno conducen finalmente a un nuevo estado estacionario, en el que el consumo es constante, los cambios permanentes en el nivel de gasto público no afectarán a la tasa de interés de equilibrio MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 71

en el estado estacionario. La forma más fácil de ver esto es darse cuenta de que si la familia tiene una dotación {𝑒𝑡 }∞ 𝑡=0 y la tasa de interés satisface:

Entonces no habrá necesidad de financiación o préstamos a través de los períodos. En nuestro caso, la corriente de la dotación {𝑒𝑡 }∞ 𝑡=0 , es el resultado de un proceso de acumulación de capital que eventualmente alcanza un estado estacionario en el que et = et+1 = ess. Por lo tanto en un estado estacionario:

No importa cuál sea el eventual nivel del estado estacionario del capital, el consumo de estado estacionario se suaviza, lo que obliga a la tasa de interés de equilibrio a ser igual al factor de descuento. Si rss > ρ el consumidor, desearía ahorrar en el mercado de bonos (consume por debajo de la dotación y viola de esta forma el vaciado del mercado) y si rss < ρ entonces el individuo desearía pedir prestado en el mercado de bonos (consumo por encima de la dotación y de nuevo violando la condición de vaciado del mercado).

12.2 Cambios Temporales en el Gasto Público El estudio de los cambios temporales en el gasto público requiere el estudio de la trayecto de transición de una economía de un de estado estacionario a otro y luego de vuelta otra vez. Imaginemos una economía del tipo que estudiamos en la sección anterior, en la que el gobierno gasta alguna cantidad baja pero constante G0 cada período. Mientras el tiempo avanza, el stock de capital y el consumo convergen a sus niveles de estado estacionario y la tasa de interés real converge al factor de descuento. De repente, el gobierno tiene que combatir una guerra costosa. El gasto público se dispara hasta un nivel alto G1 durante un período relativamente corto de tiempo. Durante la guerra, el capital comenzará la transición al estado de equilibrio estacionario que requiere el nuevo nivel de gasto G1. Puesto que las guerras tienden a ser cortas, nunca se puede llegar al mismo. Cuando la guerra ha terminado, el gasto público se reduce a su nivel anterior a la guerra de G0 y el capital vuelve lentamente de donde estaba cuando terminó la guerra al viejo nivel de estado estacionario. Determinar analíticamente las trayectorias de capital, el consumo y la tasa de interés de acuerdo con los cambios temporales en el gasto del gobierno está más allá del alcance de este capítulo. Sin embargo, podemos simular fácilmente de forma numérica, usando exactamente las mismas técnicas que utilizamos para estudiar la experiencia de crecimiento de las economías. Todas las cifras siguen a los siguientes supuestos: En los periodos 1-5 la economía se encuentra en su estado estacionario de pre-guerra. En los períodos de 6-15 la economía está en guerra, con un aumento del gasto público, y en los períodos 16-30 la economía ha vuelto a la paz. Durante la guerra, la economía comienza su transición al estado estacionario de guerra, pero la duración relativamente corta de la guerra le impide llegar a aquel estado. Después de la guerra, las transiciones de la economía vuelven lentamente su estado estacionario de pre-guerra. También suponemos que en el último período de paz antes de la guerra (período 5) la población se entera de la inminente guerra, y que en el último período de la guerra antes que la paz comience de nuevo (periodo 15) la población se entera de la paz venidera. Los parámetros utilizados aquí son exactamente los utilizados en la sección sobre las transiciones en las economías ejemplo anterior. Además, el nivel de gasto en tiempos de paz es 𝐺0 = 0 y el nivel de del gasto tiempos de guerra es 𝐺1 = 0.4. La evolución del capital en ambos supuestos sobre la tecnología de los gastos del gobierno se representa en la figura (12.4). La línea continua muestra la evolución del gasto del gobierno de alto rendimiento (es decir, la ecuación (BC2)), mientras que la línea de puntos muestra la evolución del gasto de bajo rendimiento (es decir, la ecuación (BC1)).



Figura 12.4: Ruta temporal del Capital. Antes, durante y después de una guerra. La línea continua da K(t) representa los gastos/compras gubernamentales que afectan la producción como en la ecuación (BC2) y la línea de puntos representa como afectan a la producción como en la ecuación (BC1).

De la misma manera, la trayectoria en el tiempo del consumo se representa gráficamente en la Figura (12.5). Por último, la tasa de interés real de estas economías se representa en la figura (12.6). Es sorprendente observar que a veces la tasa de interés real es negativa. En la sección sobre la tasa de interés real vimos que, dadas las decisiones de consumo Ct y Ct+1 que la rt debe satisfacer:

Si Ct+1 es bastante pequeño en relación con Ct, entonces U´(Ct+1) será relativamente grande con respecto a U´ (Ct) y rt podría ser negativo. Una tasa de interés real negativa se produce precisamente en los períodos en los que el consumo de hoy debería ser alto en relación a mañana, al igual que en el último período de tiempos de paz antes de la guerra, con el fin de evitar que los agentes de lleven la riqueza hacia adelante en el próximo período. En los extremos de las guerras, cuando el consumo actual es bajo en relación a mañana (pienso en marzo de 1945), la tasa de interés reales es bastante alta, para disuadir a los préstamos.

Figura 12.5: Ruta temporal del consumo. Antes, durante y después de una guerra. La línea continua dada Ct representa las compras gubernamentales que afectan la producción como en la ecuación (BC2) y la línea de puntos, como afectan a la producción como en la ecuación (BC1).

prevalece en el último período antes de la guerra y la tasa de interés generalmente más alta durante la guerra. La línea continua dada rt representa las compras gubernamentales que afectan la producción como en la ecuación (BC2) y la línea de puntos representa como afectan a la producción como en la ecuación (BC1).

Figura 12.6: Ruta temporal de la tasa de interés. Antes, durante y después de una guerra. Tenga en cuenta la tasa de interés muy baja que


En general, Barro presenta evidencia de que, en tiempos de guerra, la tasa de interés tiende a aumentar. Esto encaja bien con la experiencia del segundo modelo que se presenta aquí, aquel en el que las compras gubernamentales afectan la producción como en la ecuación (BC2).

12.3 Seguridad Social El sistema de la Seguridad Social es uno de los mayores componentes de los gastos del gobierno EE.UU. Hay algunas cuestiones teóricas interesantes asociados que vale la pena examinar. La Seguridad Social es un sistema de pensiones de jubilación, en la que los jóvenes trabajadores pagan a un fondo general, con un impuesto sobre la nómina (payroll tax, Impuesto Sobre Nóminas o ISN es un impuesto estatal que grava la realización de pagos de dinero por concepto de remuneraciones al trabajo personal en relación de dependencia) de alrededor de 7% de los salarios y los jubilados reciben pagos de este mismo fondo general. Así, aunque se mantiene la ilusión de ser un plan de ahorro nacional (y muchos políticos y votantes están convencidos de que es exactamente eso) es en realidad un plan de pensiones sin capitalización o un "pay-as-you-go"(“paga lo que consumes”). En un sistema de pensiones sin capitalización, los pagos a los jubilados se pagan con los impuestos que gravan a los jóvenes actuales. Otros países han adoptado planes de pensiones de capitalización, que son esencialmente obligados a los sistemas de ahorro. En un sistema de pensiones de capitalización, los trabajadores jóvenes están gravados, cuya recaudación se destinará a una cuenta individual, invertida en algunos valores (el tipo exacto de combinación de inversiones, y si estas inversiones se encuentran bajo el control del gobierno o del trabajador varían de un país a otro). Cuando los trabajadores envejecen y se jubilan, sacan sus existencias acumuladas de ahorro. Considere la posibilidad de un mundo en el cual existen dos tipos de agentes: los trabajadores jóvenes que ganan una cantidad y en sus años de trabajo, y los jubilados viejos que no ganan nada. Esto es claramente una gran simplificación sobre la realidad, ya que, en particular, la fecha de retiro es exógena. Sin embargo, incluso este modelo simple nos ayudará a pensar con claridad acerca de los planes de pensiones. Una generación nacida en el período t tendrá preferencias sobre el consumo, Ct0 en su juventud, y Ct1 en su vejez;


Donde 0 < β < 1, refleja las preferencias sobre el consumo de los jóvenes.

Cada período t hay Nt nuevos trabajadores jóvenes nacidos, cada uno de los cuales produce y en su juventud. La población de jóvenes Nt evoluciona como:

Existe un mercado de bonos que paga una tasa de interés real constante r ≥ 0 de la noche a la mañana sobre el ahorro. ¿De dónde viene este mercado de bonos? No vamos a resolver esto, quedando simplemente fuera del alcance del modelo. Si usted está preocupado por esto, sin embargo, imagine que una cierta parte de la población, en lugar de los trabajadores, son los empresarios, que aceptan los fondos de los trabajadores, los que utilizan estos fondos como capital en un proceso productivo de algún tipo, y luego utilizan el resultado de esa producción para pagar a los trabajadores (ya viejos) con interés. La tasa de interés vuelve como el resultado de la competencia entre los empresarios por los fondos. Sistema de Pensiones de Capitalización (Funded Pension Systems) Comencemos por analizar el sistema de capitalización. El gobierno grava con una tasa de impuestos, τ, a los jóvenes trabajadores sobre sus ingresos, y, obteniendo, τy. Dado que los trabajadores jóvenes no afectan a y, esto es equivalente a un impuesto de suma fija. El gobierno invierte τy en nombre de los trabajadores jóvenes, obtiene una tasa real común para todos de retorno, r, y lo devuelve a los agentes cuando están jubilados. Además, los trabajadores de la generación t pueden ahorrar una cantidad St > 0 en el mercado de bonos por su cuenta. Supongamos que τ es pequeño en relación con las necesidades de ahorro de los agentes. Esto evitará que se obtenga St < 0, y nos salvará de tener que comprobar las condiciones de esquinas. Dado r y St, podemos calcular la trayectoria de consumo esperado del agente Ct0, Ct1: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 74

Debido a que el gobierno ha tomado τy del agente en su juventud, el agente se quedara sólo con (1 -τ) y para dividir entre el consumo de joven y sus ahorros, St. Cuando es viejo, el agente obtiene el beneficio de ambos ahorros, el público (forzado por el gobierno), que es τy, y el ahorro privado (propio), St. El consumo cuando es viejo no es más que el volumen total de ahorro por la tasa de interés 1 + r. Ahora estamos listos para encontrar St para este agente. El agente maximiza U(Ct0, Ct1), donde Ct0 es función de St que está dado por la ecuación (12.13) y Ct1 por la ecuacion (12.14). por lo tanto el agente resuelve:

Suponiendo que la restricción St ≥ 0 no será vinculante, tomamos la derivada de esta función con respecto a St e igualamos a cero para encontrar el valor óptimo de St. Por lo tanto:

despejamos el multiplicador para encontrar:

Dividiendo ambos lados por 1 + β2 (1 + r)

Sustituyendo de nuevo en las ecuaciones (12.13) y (12.14) nos da las elecciones óptimas de consumo en cada periodo:

Tenga en cuenta que la política de ahorro publico forzado por parte del gobierno no afecta a la elección del agente sobre los ahorros. Si τ aumenta, el agente simplemente disminuye su elección de St. Si el gobierno establece un τ exactamente a la tasa de ahorro deseada del agente, esto es:

a continuación, St = 0 y todo el ahorro se lleva a cabo por el gobierno. Sistemas de Pensiones Sin Capitalizacion (Unfunden Pension System) Ahora dirigimos nuestra atención a los sistemas de pensiones sin capitalizacióm, en los cuales el gobierno grava los trabajadores jóvenes actuales para pagar a los juvilados del mismo periodo. La idea clave será que los


www.elsolucionario.org sistemas de pensiones no capitalizables dominarán los sistemas de pensión de capitalizacion, si la población crece lo suficientemente rápido. En el período t hay Nt trabajadores jóvenes y Nt-1 jubilados que nacieron en el período t -1 y ahora son viejos. Si el gobierno grava a cada joven trabajador una cantidad τ, eleva los ingresos totales de:

Si se distribuye en partes iguales entre los juvilados, cada agente jubilado obtendrá G/Nt-1 o:

Recordemos que la población crece a una tasa n para que Nt = (1 + n) Nt-1. Por lo tanto:

Tenga en cuenta que, dado que la tasa de crecimiento de la población es constante en n, g(t) no varía con el tiempo, por lo que escribimos simplemente g. Consideremos de nuevo las restricciones presupuestarias del agente en función de τ y St, ecuaciones (12.13) y (12.14), sólo que ahora con el sistema de pensiones no capitalizadas:

Podríamos resolver esto explícitamente para St en función de τ, y, n, r, de la misma manera que lo hicimos anteriormente (de hecho, este es un buen ejercicio para hacer por su cuenta), pero en cambio simplemente proveeremos intuición para las elecciones del agente Si n ≠ r, entonces el agente ya no es indiferente entre ahorro público y privado. Si n < r, entonces el ahorro público hace que el agente empobrezca. Como τ aumenta cada vez más, la riqueza del agente se está utilizando en una actividad de relativamente baja rentabilidad. Los agentes se quejan amargamente de su gobierno acerca de esta (aparente) pérdida de su dinero. Por otro lado, si n > r, entonces el agente preferiría ahorrar por completo utilizando el sistema de pensión del gobierno. Los Agentes exigirían que se aumente el sistema hasta que sus ahorros privados (en el mercado de bonos relativamente ineficiente) caigan a cero.


Capítulo 13

El Efecto de los Impuestos Los Impuestos afectan el comportamiento de los hogares a través de los efectos renta (ingreso) y sustitución. El efecto ingreso es sencillo: los impuestos suben, los hogares son más pobres y se comportan como tales. Por ejemplo, si el ocio es un bien normal, entonces los impuestos más altos inducen a los consumidores a consumir menos tiempo libre. El efecto sustitución es más difícil, pero también mucho más interesante. Los gobiernos imponen impuestos sobre acciones observables y verificables realizadas por los agentes. Por ejemplo, los gobiernos suelen gravar el consumo de gasolina y las ganancias de las ventas de capital, o activos como por ejemplo casas. Estos impuestos aumentan los costos de realizar estas acciones a los agentes, y éstos responden mediante el ajuste de las acciones que realizan. Esto provoca resultados que difieren sustancialmente de lo previsto por el gobierno. Dado que la política fiscal óptima es también objeto de estudio en la microeconomía y las finanzas públicas, nos centraremos aquí en el efecto de los impuestos sobre la oferta de trabajo y la acumulación de capital. Al modelar las decisiones de oferta de trabajo que va a tener un agente representativo, decidiendo cómo dividir su tiempo entre la oferta de trabajo y su ocio. Los estudiantes podrían objetar esto por dos motivos: en primer lugar, la oferta de trabajo es bastante inelástica, y segundo, que cada uno trabaja el mismo número de horas a la semana, y la variación en el tiempo libre no viene determinada tanto en el tiempo como en los gastos (de modo que los ricos se vayan de vacaciones más elaboradas). El hogar representativo es sinónimo de las decisiones de millones de hogares. Hay, por citar sólo un ejemplo, creciente evidencia de que los hogares cambian el tiempo de su jubilación en base a la política fiscal. A medida que aumentan los impuestos, más y más familias optan por retirarse. A nivel de una familia representativa, esto aparece como la disminución de la oferta de trabajo. En cuanto a la observación de que cada uno pone cuarenta horas a la semana o cero, se pierden algunos puntos cruciales. El hecho es que los trabajos difieren significativamente en sus características. Tenga en cuenta los puestos de trabajo disponibles para economistas doctorados: van de ser mago de las finanzas de Wall Street, profesor de investigación tiempo completo de la universidad, a ser instructor de una universidad de poca monta. El hecho es que un mago de las finanzas de Wall Street gana, en su primer día en el trabajo, dos o tres veces más que un instructor de una universidad de poca monta. Por supuesto, los profesores universitarios tienen un estilo de vida mucho más relajado que los financieros (su salario, por ejemplo, se calcula suponiendo que sólo funcionan nueve meses al año). El sistema fiscal puede distorsionar fácilmente las opciones de doctorado recién citadas: ya que el consumo es la parte que queda de los ingresos después de pagar los impuestos, el trabajo de Wall Street sólo puede valer un 50% más, después de los impuestos, que el trabajo de instructor de la universidad. El punto no es que cada nuevo doctor en economía tiene que decidirse por el trabajo del instructor de la universidad, pero que, cuanto más alto sea el ingreso, habría que pagar una fracción cada vez mayor. Una vez más, podemos modelar esto con un hogar representativo eligiendo cuánto ocio consumir. Comenzamos con una visión general de la teoría fiscal, analizamos la tributación laboral y luego de los impuestos sobre el capital y, finalmente, consideramos los intentos de utilizar el sistema tributario para remediar la desigualdad de ingresos (o riqueza).

13.1 Análisis General de Tributación En esta sección vamos a remitir el problema de la tributación a un marco muy general. Vamos a utilizar este marco general para hacer algunas definiciones y obtener algunos resultados iniciales.

Notación Supongamos que el hogar realiza una acción observada ɑ en A (esta discusión se generaliza al caso en que ɑ es un vector de opciones). Por ejemplo, ɑ podría ser las horas trabajadas, el número de ventanas en la casa de uno, o el número de yates de lujo que posee el hogar (o, si ɑ es un vector, los tres). El conjunto A es el conjunto de MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 77

valores permitidos para ɑ, por ejemplo de 0 a 80 horas a la semana, (0,1,2,…. 500) ventanas por casa o de 0 a 10 yates de lujo (donde se asume que ninguna casa puede tener más de 500 ventanas y ningún hogar puede utilizar más de 10 yates de lujo). El Gobierno anuncia una política fiscal ℋ(𝑎; 𝜓), donde ℋ(𝑎; 𝜓): 𝐴 → ℝ. Por ello, una política fiscal es una correlación de funciones observadas, donde la familia tiene que pagar (si es positivo) o toma como un subsidio al consumo (si es negativo). El término ψ (que puede ser un vector) es un conjunto de parámetros de la política de impuestos (por ejemplo, deducciones). Se supone que el hogar conoce la función ℋ(𝑎, 𝜓) y ψ antes de que se realice una acción ɑ. Un ejemplo de una política fiscal ℋ es el impuesto sobre la renta fija. En el impuesto sobre la renta fija, los hogares pagan una fracción fija de sus ingresos, ɑ, en concepto de impuestos, por lo que ψ=τ, donde τ es la tasa de impuesto de tasa fija. Una versión más compleja del impuesto sobre la renta fija permite deducciones o exenciones, que son simplemente una porción de los ingresos exentos de impuestos. Si el ingreso exento es E, los parámetros del sistema tributario son 𝜓 = {𝐸, 𝜏}, y ℋ(𝑎; 𝜓) tal que:

Definiciones Podemos utilizar nuestra notación para hacer algunas definiciones útiles. La tasa marginal de impuestos es el impuesto pagado en el siguiente incremento de ɑ. Así que si la casa de uno tenía 10 ventanas y uno estaba considerando la instalación de la ventana número 11, la tasa marginal de impuestos sería el aumento en la factura de contribución (tax bill) que tiene la incorporación de la ventana número 11. Más formalmente, la tasa marginal de impuestos en ɑ es:

Aquí suponemos que ɑ es un escalar y que ℋ(𝑎; 𝜓) es continuamente diferenciable al menos una vez.


La tasa de impuesto media en ɑ se define como:

Tenga en cuenta que un impuesto fijo con E=0 tiene una tasa impositiva marginal constante τ, que es exactamente igual a la tasa media de impuesto. Si tomamos ɑ como ingresos, entonces se dice que un sistema tributario es progresivo si exhibe una tasa impositiva marginal creciente, es decir, si ℋ′(𝑎; 𝜓) > 0. De la misma manera, se dice que un sistema fiscal es regresivo si ℋ′(𝑎; 𝜓) < 0.

Comportamiento de los Hogares Volvamos ahora nuestra atención a los hogares. El hogar tiene una tecnología para la producción de ingresos 𝒴1 que puede ser una función de la acción de ɑ, es decir 𝒴(ɑ). Si ɑ es las horas trabajadas, entonces 𝒴 es creciente en ɑ, si ɑ es horas de ocio, entonces 𝒴 es decreciente en ɑ y si ɑ es ventanas de una casa entonces 𝒴 no se ve afectada por ɑ. El hogar tendrá preferencias directamente sobre la a y un ingreso neto de impuestos 𝒴(𝑎) − ℋ(𝑎; 𝜓). Así, las preferencias son:

Obviamente, tenemos aquí un problema de maximización, el cual impulsará todos los análisis en este capítulo. En el hogar se consideran diversas opciones de un ɑ (ventanas, horas, yates), que tiene en cuenta ambos efectos, el efecto directo de ɑ en la utilidad y el efecto indirecto de ɑ, a través del recibo de impuestos (tax bill) 𝒴(𝑎) − ℋ(𝑎; 𝜓). Definimos: 1

Usamos la notación 𝒴 para los ingresos con el fin de enfatizar que el ingreso es ahora una función de opciones a.



Para cada valor de ψ, tendremos una amax (ψ) que es la elección de ɑ donde se resuelve este problema de maximización. Esto es:

Supongamos por un momento que U, 𝒴 y ℋ satisfacen las condiciones de regularidad de manera que para cada ψ posible sólo hay un valor posible de amax. El gobierno debe tomar la respuesta 𝑎𝑚𝑎𝑥 (𝜓) del hogar como dada. Teniendo en cuenta algún sistema de impuestos ℋ, ¿cuánto ingreso debe recaudar el gobierno? Claramente, ℋ[ɑ𝑚𝑎𝑥 (𝜓), 𝜓]. Supongamos que el Gobierno es consciente de la respuesta optima del hogar, 𝑎max (ψ), para la elección del parámetro de impuestos, ψ. Sea T(ψ) el ingreso que el gobierno obtiene, es decir la renta pública, a partir de los paramentos de la política fiscal.

Tenga en cuenta que los ingresos del gobierno sólo provienen de esta contribución, es decir, dichos ingresos son solo lo que se recauda de los hogares. Las funciones ℋ (ɑ; ψ) y T (ψ) están estrechamente relacionados, pero no deben ser confundidas entre ellas. ℋ(ɑ; ψ) es el sistema impositivo o la política fiscal: es la estructura legal que determina lo que se recibe de la contribución de los hogares (tax bill), tiene en cuenta el comportamiento de los hogares. Las familias eligen el valor de ɑ, pero la política fiscal debe dar el recibo de la contribución de todas las posibles opciones de ɑ, incluidas las que un hogar nunca elegirá. Piense en ℋ como la legislación aprobada por el Congreso. La función T(ψ) proporciona los ingresos reales del gobierno en la política fiscal ℋ (a;ψ) cuando las familias reaccionan de forma óptima a la política fiscal. Las familias eligen la acción ɑ que los hace más felices. El mapeo de los parámetros de la política fiscal ψ que los hogares eligen es llamado ɑ𝑚𝑎𝑥 (ψ). Así, los ingresos reales del gobierno, ψ, T (ψ), y la legislación aprobada por el Congreso, ℋ (a;ψ), están relacionadas por la ecuación (13.1).

La Curva de Laffer ¿Cómo se comporta la función T (ψ)? En este capítulo vamos a pasar un poco de tiempo teniendo en cuenta las diversas formas posibles de T (ψ). Uno de los conceptos a los que hemos de volver varias veces es el de la curva de Laffer. Supongamos que si ɑ es fija, ℋ (a; ψ) es creciente en ψ (por ejemplo, podría ser la tasa de impuesto sobre ventanas de la casa). Además, si ψ es fija, que ℋ (a; ψ) es creciente en ɑ. Nuestro análisis no cambiaría si sumiéramos todo lo contrario, ya que estos supuestos son simplemente convenciones de nombres. En estos supuestos, ¿T necesariamente es creciente en ψ? Considere la derivada total de T con respecto a ψ. Es decir, calcular el cambio en los ingresos ante un aumento en ψ, teniendo en cuenta el cambio en el comportamiento óptimo de la unidad familiar:

El segundo término es positivo, por supuesto. El primer término es positivo si ɑ𝑚𝑎𝑥 es creciente en ψ. Si ɑ𝑚𝑎𝑥 es decreciente, y si el efecto es lo suficientemente grande, entonces la función de los ingresos del gobierno en realidad puede decrecer en ψ a pesar de los supuestos sobre el sistema tributario ℋ. Si esto sucede, se dice que hay una curva de Laffer en el sistema tributario. Una nota sobre los términos: la frase "curva de Laffer" se asocia con un amargo debate político. La estamos utilizando aquí como una taquigrafía conveniente para la engorrosa frase "un sistema fiscal que exhibe la disminución de ingresos de los hogares en un parámetro que aumenta los ingresos del gobierno manteniendo constante comportamiento hogar porque la familia ajusta su comportamiento en respuesta". ¿Los sistemas tributarios presentan curvas de Laffer? Por supuesto. Por ejemplo, una política Victoriana que grava los impuestos sobre el número de ventanas (por encima de un número mínimo diseñado para eximir a la clase media) en una casa, en un lapso de años dio lugar a grandes casas con muy pocas ventanas. Como resultado, la plebe inició la construcción de viviendas más modestas también sin ventanas y el no uso de ventanas se MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 79

convirtió en una especie de moda. Los aumentos en el impuesto ventana llevaron, a largo plazo, a la disminución de los ingresos recaudados. La presencia de una curva de Laffer en el sistema de impuestos de los EE.UU. es una cuestión empírica fuera del alcance de este capítulo. Por último, la presencia de una curva de Laffer en un sistema fiscal no significa automáticamente que una reducción de impuestos produce el crecimiento de ingresos. El conjunto de parámetros ψ debe estar en la región de pendiente negativa de la curva de los ingresos del gobierno para que ese sea el caso. Así, el sistema de impuestos de los EE.UU. de hecho podría mostrar una curva de Laffer, pero sólo a muy altas tasas impositivas medias, en donde el caso de recortes de impuestos (dado el bajo nivel actual de los impuestos) daría lugar a una disminución de los ingresos.

Impuestos de Suma Fija (Lump-sum Taxes) Consideremos ahora los resultados si el gobierno introdujera un sistema tributario con la característica especial de que el monto a pagar del impuesto no dependa de las decisiones del hogar. Es decir,

para todas las opciones de ψ. Tenga en cuenta que las decisiones óptimas de los hogares todavía pueden cambiar con ψ, pero que los ingresos del gobierno no variarán si ɑ𝑚𝑎𝑥 varía. Vamos a determinar lo que sucede a la derivada de la función de los ingresos del gobierno T de la ecuación (13.2) de más arriba:

Esto es siempre mayor que cero, por hipótesis. Por lo tanto, nunca hay una curva de Laffer cuando el sistema fiscal tiene la propiedad de que ∂ℋ/∂a = 0, es decir, cuando existen impuestos de suma fija. Los impuestos que no varían con las características del hogar se conocen como impuestos de capitación (per cápita) o impuestos de suma fija. Estos impuestos son impuestos que gravan de manera uniforme en cada persona o "cabeza" (de ahí el nombre). Tenga en cuenta que no hay ningún requisito de que los impuestos de suma fija sean uniformes, sino simplemente que las acciones de los hogares no pueden afectar a la boleta de impuestos (monto a pagar). Una lotería fiscal haría igual de bien. En la historia moderna ha habido relativamente pocos ejemplos de impuestos de suma fija. El uso más reciente de los impuestos de capitación fue en Inglaterra, donde fueron utilizados a partir 1990-1993 para financiar los gobiernos locales. Cada Consejo (equivalente aproximadamente a un condado) divide sus gastos por el número de residentes adultos y entrega facturas fiscales para esa cantidad. Su interlocutor era, en ese momento, un estudiante graduado empobrecido que vivía en la sección de Rotherhithe de Londres, y fue presentada con una factura por 350 £ (unos 650 dólares en ese momento). Esta política fue profundamente impopular y llevó a la "Batalla de Trafalgar Square", el peor disturbio inglés del Siglo XX. Vale la pena señalar que este impuesto no cumplía totalmente las exigencias de un impuesto de suma fija, ya que variaba en los distintos condados, y, en teoría, los hogares podían afectar a la cantidad de impuestos que se recaudaba, mudándose de condados, en forma conservadora o en forma activa. Como esta medida es más o menos imposible de implementar en el corto plazo, la mayoría de las familias pagaban. Los impuestos de suma fija, aunque son de una curiosidad histórica, son muy importantes en el análisis económico. Como veremos en la siguiente sección, la oferta de trabajo responde de manera muy diferente a los impuestos de suma fija que a los impuestos sobre la renta.


La Pérdida de Eficiencia de los Impuestos Los impuestos de suma fija limitan la cantidad de pérdida de bienestar asociada a la tributación. Considere el efecto de un aumento en los impuestos que provoca un aumento de los ingresos públicos: los ingresos se incrementan ligeramente y el ingreso domestico neto de impuestos disminuye en poco más que el aumento de los ingresos gubernamentales. Esta diferencia es una forma de pérdida de eficiencia, ya que implica la pérdida de ingresos tanto para el hogar como para el gobierno. Es difícil caracterizar la pérdida de eficiencia de los impuestos con la indicación general que hemos establecido aquí (vamos a ser mucho más precisos en la siguiente sección). Sin embargo, vamos a ser capaces de demostrar que la pérdida de bienestar es cada vez mayor cuando hay cambios en el comportamiento del hogar. Es decir cuanto más sensible es 𝑎𝑚𝑎𝑥 para ψ, mayor será la pérdida de eficiencia. Considere la posibilidad de una política fiscal ℋ (a; ψ) y dos conjuntos de parámetros diferentes para la política fiscal, ψ0 y ψ1. Supongamos que, para fijar ɑ, ℋ (a; ψ0) < ℋ (a; ψ1). La utilidad del hogar en cada uno de los parámetros fiscales es:

La pretensión es que el cambio en el ingreso neto de los hogares supere el cambio en los ingresos del gobierno, o bien:

Hay que recordar que T (ψ)= ℋ[𝑎𝑚𝑎𝑥 (𝜓); 𝜓]. La ecuación (13.3) es verdadera sólo si: Es decir, el ingreso bruto de los hogares (antes de impuestos) cae en respuesta al impuesto, mayor va a ser la pérdida de eficiencia. Pero ya que el ingreso bruto de los hogares está totalmente bajo su control, a través de la elección de ɑ, esto es equivalente a decir que cuanto más cambios en ɑ, mayor es la pérdida de eficiencia. Este es un resultado muy general en el análisis de la fiscalidad: cuanto más la familia quiera o intente escapar de los impuestos, mediante la alteración de su comportamiento, mayor es la pérdida de eficiencia de los impuestos. Si suponemos además que no hay efectos ingreso puros en la elección de ɑ, entonces los impuestos de suma fija no afectan a la elección que hacen los hogares de ɑ y no habrá ninguna pérdida de eficiencia de los impuestos (una prueba formal de este punto está más allá del alcance de este capítulo). La asunción de que no existe ningún efecto renta es relativamente fuerte, pero, como veremos más adelante, aún sin ello los impuestos de suma fija afectan el comportamiento de los hogares de manera muy diferente a los impuestos sobre la renta.

13.2 Tributación Laboral En esta sección vamos a suponer que las familias eligen sólo su nivel de esfuerzo u oferta de trabajo L. Vamos a asumir que tienen acceso a una tecnología para transformar el trabajo en el bien de consumo dada por wL. Piense en w como un salario. Aunque no vamos a despejar un mercado de trabajo en este capítulo, por lo que w no es un precio endógeno, podemos imaginar que todas las casas tienen una tecnología productiva, como ser un patio trasero, donde se realiza la transformación. Las familias disfrutarán del consumo y no les gusta el esfuerzo (les da desutilidad), pero no pueden consumir sin incurrir en esfuerzo. Se busca equilibrar estos deseos para llegar a una decisión óptima de la oferta de trabajo. Los impuestos del gobierno distorsionaran esta elección y afectaran a la oferta de trabajo.

Un Ejemplo Sencillo Como un primer paso, considere un hogar con una función de utilidad sobre el consumo C y el esfuerzo L de la forma: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 81


El ingreso del hogar toma la forma:

Supongamos que hay un impuesto simple único, por lo que la política fiscal es:

Por lo tanto la restricción presupuestaria del hogar se convierte en:

Sustituyendo esta restricción presupuestaria en función de utilidad del hogar obtenemos:

Esta es la función de utilidad del hogar dado una tasa de impuestos τ. Podemos resolver el problema de maximización y encontrar V(τ) directamente. Tomamos la derivada con respecto a la variable de elección individual, la oferta de trabajo L, e igualamos a cero para encontrar:

Despejando L tenemos:

Podemos sustituir la oferta de trabajo, L(τ), de nuevo en la política fiscal del gobierno para encontrar la función de los ingresos del gobierno:


¿Este sistema presenta una curva de Laffer? De hecho lo hace. Claramente, T (τ) En este caso es simplemente una parábola con un máximo en τ = 0,5 (Ver Figura (13.1)). El efecto del impuesto sobre la renta fue de abrir una brecha entre la productividad del hogar (constante en w) y el pago recibido del hogar por su actividad productiva. El hogar tiene una tasa de salario efectivo (1-τ)w. A medida que la tasa de impuesto τ se traslade a la unidad, el salario efectivo de los hogares tiende a cero, y lo mismo ocurre con la oferta de trabajo. Compare esto con la estructura tributaria en el que la familia da cuenta de todos los beneficios de su esfuerzo, después de pagar su obligación fija. Así volvemos nuestra atención al impuesto de suma fija.

Figura 13.1: Una función de los ingresos del gobierno que muestra una curva de Laffer.


Un Impuesto de Suma Fija Ahora vamos a introducir un impuesto de suma fija por el importe 𝜏𝐿 2 No importa los ingresos que el hogar acumule, siempre se verá obligado a pagar el importe 𝜏𝐿 . Por otra parte, después de pagar 𝜏𝐿 , el hogar consume todos sus ingresos. Anteriormente, con el impuesto sobre la renta, los hogares se enfrentaban a un salario efectivo de (1- τ)w, que disminuía a medida que τ aumentaba. Ahora el salario efectivo de los hogares será w (después del ingreso crítico donde 𝜏𝐿 es alcanzado). ¿Significa esto que el esfuerzo no se verá afectada por 𝜏𝐿 ? Recuerde de la sección anterior que esto sólo ocurrirá si no hay efectos riqueza. Examinando la función de utilidad revela que no es homogénea de grado 1 en la riqueza, por lo tanto, podemos esperar que la oferta de trabajo pueda variar con 𝜏𝐿 . En particular, dado que el ocio es un bien normal, vamos a esperar que la oferta de trabajo sea cada vez mayor en 𝜏𝐿 . La restricción presupuestaria del hogar, con esta política fiscal, se convierte en: Así el problema de maximización del hogar es:

La condición de primer orden para la optimización es:

Despejando L obtenemos:

Vemos que la oferta de trabajo aumenta, de hecho, en el monto del impuesto de suma fija 𝜏𝐿 . El hogar aumenta su oferta de trabajo lo suficiente para pagar su obligación tributaria. ¿Cuál es la función de los ingresos del gobierno? Se trata, en este caso, simplemente de: Así que, con un impuesto de suma fija, no hay curva de Laffer (por supuesto).

Oferta Laboral General y Tributación Con la asunción de una función de utilidad de raíz cuadrada, hemos sido capaces de obtener soluciones de forma cerrada muy interesantes para la oferta de trabajo y la función de los ingresos del gobierno. Nuestros resultados, sin embargo, se vieron obstaculizados por estar atados a una forma funcional particular. Ahora introducimos una forma más general de preferencias (aunque manteniendo el supuesto de desutilidad lineal de esfuerzo). Veremos que una curva de Laffer no es en absoluto un resultado predestinado a los impuestos sobre la renta. De hecho, cuando los agentes son muy reacios al riesgo, y cuando el consumo cero es catastrófico, veremos que la curva de Laffer desaparece del sistema de impuestos sobre la renta. Considere la posibilidad de agentes con preferencias sobre el consumo C y la oferta de trabajo L, de la forma:

Note la diferencia cuando 0 ≤ γ ≤1 y cuando γ ≤0. En el primer caso, un consumo de cero produce meramente utilidad cero, mala, pero soportable; mientras que en el último caso, el consumo de cero produce una utilidad negativa infinita, que es insoportable. Los agentes harán todo lo posible para evitar cualquier posibilidad de un consumo cero cuando γ ≤0. Recordemos que en el ejemplo anterior (cuando γ=0,5), la oferta de trabajo se

La notación τ𝐿 pretende representar el impuesto de suma fija: hay un exceso de la participación de la notación τ y L en este capítulo. Consulte la tabla al final si se queda confundido. 2


redujo a cero cuando la tasa de impuesto sobre la renta se incrementó a la unidad. Algo muy diferente va a suceder aquí. Dada las distorsiones de la tasa de impuesto sobre la renta τ, la restricción presupuestaria del hogar se convierte en:

como de costumbre. El problema de elección del hogar se convierte en:

La condición de primer orden necesaria para la maximización es:

Esto a su vez implica que:

Tenga en cuenta que si γ <0, entonces L es decreciente en w. La función de ingresos del gobierno T(τ) es:

La pregunta es, ¿cuándo este sistema fiscal presenta una curva de Laffer? Esto equivale a preguntar cuándo, si acaso, la función de los ingresos del gobierno es decreciente en τ. Comenzamos tomando la derivada de T con respecto a τ:

La derivada T con respecto a τ, tiene el mismo signo que el término:

ya que el término fuera de los corchetes es positivo por los supuestos de que w> 0 y γ<1. Así la derivada de T con respecto a τ solo será negativa si:

La tasa de impuestos τ debe satisfacer 0≤ τ ≤1. Así nos damos cuenta de dos cosas: (1) Si γ≤0 no hay curva de Laffer, y (2) Si 0 <γ< 1, entonces hay una curva de Laffer y el pico se produce en τ =1-γ. ¿Cuál es el significado en la vida real de esta brusca ruptura en el comportamiento en γ = 0? Los agentes con γ≤0 son muy aversos al riesgo y están absolutamente dispuestos a tolerar un consumo cero (el verdadero equivalente en el mundo real sería algo así como la quiebra). Además, su oferta de trabajo es decreciente en el salario w. En contraste, los agentes con γ> 0 son menos adversos al riesgo (aunque de ninguna manera neutrales al riesgo), están perfectamente dispuestos a tolerar la quiebra y tienen curvas de oferta de mano de obra MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 84

www.elsolucionario.org crecientes en el salario w. En un mundo con muchos agentes, cada uno de los cuales con un valor diferente de γ, y un gobierno que impone un tipo impositivo común τ, esperaríamos mayores distorsiones entre los hogares que tienen menos aversión al riesgo y trabajan más. Finalmente, el lector quizás encontró un ejercicio instructivo para repetir este análisis con un impuesto de suma fija. Todos los hogares responden a un impuesto de suma fija aumentando el esfuerzo laboral precisamente por la misma cantidad,𝜏𝐿 /w, sin importar el valor de γ.

13.3 Impuestos Sobre el Capital Ahora dirijamos nuestra atención al problema de una familia que es propietaria de un cierto stock de capital y una tecnología para la transformación de capital en la producción. Veremos que, si la inversión está exenta de impuestos, entonces no habrá una curva de Laffer en los impuestos sobre la renta. Si, por otro lado la inversión no es deducible de impuestos, o sólo una parte, entonces habrá una curva de Laffer en el impuesto sobre la renta. La familia vive para siempre y tiene preferencias sobre los flujos de consumo {𝐶𝑡 }∞ 𝑡=0 :

donde β=1/(1+ρ). Aquí ρ >0 es la tasa de descuento. La familia comienza la vida con unas existencias iniciales de capital de K0>0. Además, los ingresos de la familia cada período, Yt, es: donde Kt es el capital del hogar en el período t, y α es un parámetro de producción que satisface 0 <ɑ <1. El stock de capital se desarrolla de acuerdo con la ley del movimiento: donde It es la inversión en capital físico (una elección de la familia) y δ es la tasa de depreciación del capital. La economía es una economía cerrada, así que no hay mercado de bonos. Supongamos que la política fiscal del gobierno es un impuesto único a la renta del capital. Consideraremos dos formas: una en el que la inversión está exenta y otra en la que no lo está. Así, sin la exención, en el período t, el código fiscal requiere un pago de los hogares por:

Si la inversión está exenta, a continuación, el código tributario legislativo requiere, en el período t, que los hogares paguen:

La familia decide el monto Kt (por lo que desempeña el papel de ɑ) en respuesta a los cambios en el código tributario. Vamos a estudiar el nivel de capital de estado estacionario en función de los impuestos Kss(τ). Así, los ingresos estacionarios del gobierno para cada periodo son: Esto va ir variando dependiendo si la inversión es deducible o no. La restricción presupuestaria del hogar es: Partimos del presupuesto de que la inversión no es deducible. El recibo de impuestos (tax bill) se convierte en τ veces el ingreso Yt, o bien:


Por lo tanto la restricción presupuestaria del hogar se convierte en:

Supongamos ahora que la inversión es deducible de impuestos. Los gravámenes del gobierno son un impuesto a la tasa τ por cada dólar ganado por encima de la inversión. Esto también a veces se llama pago en dólares de la inversión antes de impuestos. Esto es:

La restricción presupuestaria del hogar se convierte ahora en: Veremos que, debido a que el sistema tributario de la ecuación (13.5) eleva el precio implícito de la inversión, el nivel de estado estacionario del capital será distorsionado con respecto a su primer y mejor nivel. Así, a medida que aumenta la tasa de impuestos, la inversión y el nivel de capital de estado estacionario caen, por lo que hay una curva de Laffer al acecho en el sistema tributario. Por el contrario, el sistema tributario en la ecuación (13.6) deja el precio implícito de la inversión en términos de producción afectada por la tasa de impuestos, por lo tanto, veremos que el nivel de capital de estado estacionario no se verá afectada por la tasa de impuestos. Como resultado, la curva de Laffer es desterrada del sistema, y los ingresos del gobierno tienen una relación lineal con la tasa de impuestos τ.

Análisis cuando la Inversión no es Deducible Queremos colapsar la restricción presupuestaria de la ecuación (13.5) y la ley de movimiento del capital en una sola ecuación, obteniendo el consumo Ct en función del Kt y Kt+1, donde en el período t el hogar toma Kt como dado y decide Kt+1. Por lo tanto escribimos el consumo, Ct, como:

Aquí se han sustituido en Kαt por el ingreso Yt de la tecnología del agente. El problema del hogar se convierte así es:


donde Ct es dado en la ecuación (13.7). Luego se toma la derivada con respecto a la elección de capital 𝑘𝑗+1 para un cierto período arbitrario j (evitamos tomar derivadas con respecto al capital en el período t porque t es el índice de tiempo en la suma). Recuerde el truco para estos problemas: 𝑘𝑗+1 aparecerá en el período j y el período j+1. Por lo tanto optimalidad requiere:

Dividimos por el factor común β j. Supongamos ahora que se ha alcanzado un estado de equilibrio. En un estado estacionario Kt = Kt +1 = Kss y Ct = Ct +1 = Css. Por lo tanto:

Recordemos que β-1=1+ρ. Dividimos ambos lados por β u’(Css) para encontrar: Por lo tanto,

Observe que el nivel de capital de estado estacionario es decreciente en la tasa de impuestos τ. Los ingresos brutos de cada periodo en el estado estacionario son:


Sea T (τ) la tasa de los ingresos fiscales del gobierno en cada período cuanto la tasa de impuesto es τ. En el estado de equilibrio:

Dado que 0 <α <1, Tt es una parábola con pico en τ =1-α. Así, este sistema fiscal presenta una curva de Laffer.

Análisis cuando la Inversión es Deducible Al igual que antes, empezamos por el colapso de la restricción presupuestaria (ahora la ecuación (13.6)) y la ley de movimiento del capital en una sola ecuación. Así escribimos:

Note la diferencia cuando se exime la inversión. Todo el lado derecho ahora se multiplica por 1-τ, Por lo que la familia no puede escapar de los impuestos mediante la alteración de su mix de inversión y consumo. Una vez más, elegimos secuencias de capital para maximizar:

donde Ct viene dado. La derivada con respecto a Kj+1 es ahora:

Se divide la ecuación por el factor común (1-τ) β j. Tenga en cuenta que el tipo impositivo se ha desvanecido. Supongamos ahora un estado estacionario. Por lo tanto:

Resolviendo Kss obtenemos:

Tenga en cuenta que el nivel de capital del estado de equilibrio estacionario no se ve afectado por el tipo impositivo τ. Los ingresos brutos en el estado estacionario son Yss y vienen dados por: Una vez más, esto no es función de τ. La función de los ingresos del gobierno T(τ) de periodo a periodo, es ahora simplemente: donde Iss es el nivel de inversión de estado estacionario (que está exenta de impuestos). Podemos encontrar Iss mediante la resolución de la ley de movimiento del capital:

para el nivel de estado estacionario del capital:

Por lo tanto T(τ) es: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 87


Los ingresos del gobierno en cada período son una función lineal de la tasa de impuestos τ, y no hay curva de Laffer en este régimen fiscal.

13.4 La Redistribución y los Impuestos Ahora dirigimos nuestra atención, como había prometido, a las políticas fiscales orientadas a la redistribución. Vamos a describir un modelo con dos agentes. Un agente será de baja productividad y el otro agente será de alta productividad. Sin la intervención del gobierno, habrá desigualdad de ingresos en este modelo. ¿Por qué el gobierno está interesado en la redistribución del ingreso? Por ahora, simplemente tomamos como dado que la autoridad fiscal tratará de remediar la igualdad de ingresos mediante impuestos y transferencias. Podríamos esperar que el gobierno haga frente a las causas subyacentes de la brecha de productividad de los agentes, pero ya que probablemente son el resultado de, en el mejor caso, los diferentes historiales de escolaridad, no es probable remediarlo en el corto plazo. Los agentes de tipo i, i = a, b tienen una función de utilidad común sobre el consumo Ci y el esfuerzo de trabajo de Li de la forma ya familiar:

Donde γ <1. Es una tecnología de transformación de esfuerzo de trabajo en el bien de consumo de la forma: donde i= a, b. Supongamos que wa > wb, con lo que los agentes del tipo a son más productivos que los agentes de tipo b. El gobierno va a introducir un impuesto τ a los agentes tipo a con el fin de realizar una transferencia de suma fija de v para los agentes b. Por lo tanto, los agentes se enfrentan a las restricciones presupuestarias de la forma:

Los agentes del tipo a tienen precisamente el mismo problema que hemos resuelto en la Sección 13.2. Los agentes de tipo b se enfrentan a un "impuesto negativo de suma fija" de v. No hay, pues, nada extraño acerca de este problema. El gobierno tiene una restricción presupuestaria que le obliga a equilibrar la transferencia de pagos v con ingresos fiscales Ta de agentes de tipo a. Supongamos que hay un número igual de agentes de tipo a y de tipo b, por lo que la restricción presupuestaria del gobierno se convierte en:

De nuestro análisis en la Sección 13.2 anterior, sabemos que La(τ) es:

Por lo tanto,

Los agentes de tipo b reciben una subvención a de v=Ta. Resolviendo para su oferta de trabajo óptimo se obtiene:

Así, los agentes de tipo b reducen su esfuerzo cuando v aumenta. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 88

Sabemos que si γ> 0 que los agentes de un tipo a también van a disminuir su esfuerzo ante aumentos en τ. Por tanto, si γ> 0, la redistribución sin duda reducirá la oferta laboral y la producción nacional. Si γ <0, un aumento en el impuesto en los agentes de tipo a aumentará su oferta de trabajo. Este efecto, vamos a ver, nunca será lo suficientemente grande como para superar la disminución del esfuerzo laboral del tipo b. Como resultado, el aumento de la redistribución volverá a bajar la renta nacional. Para ver esto, empezaremos por calcular del efecto en La y Lb de un aumento de τ:

Armados con estas derivadas, se puede considerar el efecto sobre la producción nacional (PIB) de un aumento de τ:

Si dividimos por WaLa, vemos que δy/ δτ <0 si y sólo si:

ya que estamos asumiendo aquí que γ <1, siempre es cierto. En este modelo de oferta de trabajo, la redistribución financiada por impuestos distorsivos conduce a una disminución en el ingreso nacional total.


Tabla 13.1 Notación General de Impuestos para el Capítulo 13

Variable

Definición

ℋ(𝑎; 𝜓)

La política fiscal o del sistema: asignación legal de las acciones a de un hogar y los parámetros ψ de responsabilidad fiscal de los hogares.

T(ψ)

Ingresos del gobierno bajo la política de impuestos H con parámetros ψ. Se supone que el hogar utiliza su mejor respuesta, amax (ψ).

a, A

La acción a de un hogar debe estar en el conjunto de posibles acciones A.

ψ

Vector de parámetros en el sistema de política fiscal H

amax(ψ)

Elección óptima de los hogares de la acción a sobre una política fiscal H con parámetros ψ.

𝒴(ɑ)

Los ingresos brutos de los hogares (antes de impuestos) en función de la elección de una acción a.

U[a, 𝒴(ɑ)- ℋ(𝑎; 𝜓)]

La utilidad de los hogares sobre la acción a y el ingreso neto (después del impuesto) Y - H.

V(ψ)

Utilidad indirecta de los hogares con los parámetros ψ: U[amax(ψ), 𝒴(amax(ψ)- ℋ(𝑎𝑚𝑎𝑥 (𝜓); 𝜓)].

τ, E

Parámetros de un sistema de impuesto único: la tasa de impuesto de tasa única y la exención.




El Camino Óptimo de la Deuda del Estado Hasta aquí hemos supuesto que el gobierno tiene que pagar todo el gasto de cada período. En realidad, los gobiernos emiten deuda a fin de repartir los costos a través de varios períodos, como lo hacen los hogares. La trayectoria de la deuda gubernamental a través del tiempo a menudo corresponde a los acontecimientos de gran importancia histórica, como las guerras. Por ejemplo, Inglaterra ha pagado por ella con la emisión de deuda, lo que resulta en picos de deuda durante la Guerra de los Siete Años, las napoleónicas, y sobre todo la Primera Guerra Mundial. De hecho, algunos economistas sostienen que la sofisticación de los mercados de capital de Inglaterra contribuyó a sus eventuales éxitos en las guerras de los siglos XVII y XVIII. Los EE.UU. y varios países europeos han tenido déficits persistentes en tiempos de paz desde alrededor de 1979. Bastante se ha escrito en la prensa popular sobre las graves consecuencias de las deudas cada vez mayores. En este capítulo no vamos a considerar que una deuda grande puede ser intrínsecamente malo, en lugar trataremos la deuda como una herramienta para su uso por un gobierno benevolente. En los dos capítulos anteriores vimos que el gasto público puede desplazar el consumo y la inversión, y que los impuestos del gobierno puede disminuir la oferta de trabajo y la acumulación de capital, pero en este capítulo no tengo nada malo que decir acerca de la deuda. En el Capítulo 18, sin embargo, sostengo que, en determinadas circunstancias, los grandes y persistentes déficits públicos pueden ser inflacionarios. En este capítulo vamos a seguir ignorando el nivel de precios y la capacidad del gobierno para aumentar los ingresos mediante la impresión de dinero, por lo que no será capaz de considerar la inflación directamente. Comenzaremos considerando el déficit presupuestario del gobierno y la definición de algunos términos. El lector debe estar familiarizado con los términos definidos allí, así como los caminos históricos de la deuda, los déficits, la deuda del PIB y así sucesivamente. A continuación vamos a considerar una simple teoría de la deuda, la Equivalencia de Barro-Ricardo. La Equivalencia de Barro-Ricardo es denominada así por los nombres de Robert Barro, de Harvard, y David Ricardo, el economista del Siglo XIX. En esta teoría, el momento de los impuestos y gastos del gobierno (y por lo tanto, la trayectoria de la deuda) no importa. Sólo el valor presente descontado de estos elementos es importante. Veremos que requiere de supuestos un poco fuertes. Cuando relajamos estos supuestos, el calendario de impuestos comienza a importar. Exigir al gobierno utilizar impuestos distorsivos es una forma de romper la Equivalencia Barro-Ricardo. En las dos secciones finales de este capítulo, se construye una teoría bastante sofisticada de la deuda pública basada precisamente en este supuesto. Esto se conoce como el problema del Impuesto Óptimo de Ramsey (o simplemente el problema de Ramsey, para abreviar). En el problema de Ramsey el gobierno tiene acceso sólo a un impuesto distorsivo (en este caso, un impuesto al consumo), y debe recaudar una cantidad específica de los ingresos de la manera menos distorsiva. En este ejemplo, el Gobierno tendrá que financiar una guerra, modelado como un aumento en los gastos públicos previstos, con un impuesto al consumo de periodo a periodo. Al encontrar el camino óptimo de los ingresos tributarios, podemos encontrar la ruta óptima de los déficit públicos y los excedentes. Esto nos proporcionará una teoría de la deuda pública y el déficit. Una de las características del modelo de Ramsey será que tanto el gobierno como la familia tendrán acceso a un mercado de préstamo perfecto a una tasa de interés constante. Esta tasa de interés no variará con la cantidad efectivamente prestada o tomada a préstamo, ni tampoco variará a través del tiempo para otras razones. Esto a veces se conoce como el equilibrio de la "pequeña economía abierta", pero sinceramente estamos simplemente haciendo abstracción de la cuestión del equilibrio del todo.

14.1 La Restricción Presupuestaria del Gobierno Sea Tt el ingreso real percibido por el Gobierno en el período t, y Gt el gasto del gobierno en el período t (incluidos todos los pagos de transferencia) luego Btg es el saldo que queda de la deuda pública al final del periodo t. Es decir, Btg>0 significa que el gobierno es un deudor neto en el período t, mientras que Btg<0 significa


que el gobierno es un prestamista neto en el período t. Hay una tasa de interés real de rt que el gobierno debe pagar por su deuda. Suponiendo que el gobierno no altera el suministro de dinero, la restricción presupuestaria del gobierno se convierte en:

Del lado izquierdo están los gastos del gobierno en el período t. Tenga en cuenta que el gobierno no sólo tiene que pagar por sus gastos directos en el período t, Gt, sino que también debe pagar los servicios de deuda mediante el pago de intereses en el monto rt-1.Bt-1g. Por supuesto, si el gobierno es un prestamista neto, entonces Btg es negativo y se está recogiendo los ingresos procedentes de sus tenencias de deuda de otros agentes. Del lado derecho de la restricción presupuestaria del gobierno están los ingresos en el período t. El Gobierno aumenta los ingresos directamente mediante la recaudación de impuestos Tt de los hogares. Además, puede obtener ingresos mediante emisión de nueva deuda neta en la cantidad Btg - Bt-1g. La deuda pública es un stock, mientras que los déficit públicos son un flujo. Piense la deuda como el agua en una bañera: los ingresos fiscales es el agua que sale del pozo de drenaje y el gasto es el agua corriendo del grifo. Además, si se la deja sola, el agua crece (que refleja la tasa de interés). Cada período, el nivel de agua en la bañera va hacia arriba o hacia abajo (dependiendo Gt; Tt , rt) por la cantidad Btg - Bt-1g. Llamemos al déficit básico como la diferencia entre las compras reales del gobierno Gt y los ingresos provenientes de los impuestos Tt. De la misma manera, definir el déficit reportado (o simplemente déficit) sería la diferencia entre los gastos del gobierno, Gt + rt-1 . Bt-1g , y los ingresos procedentes de los impuestos Tt. Por lo tanto:

Podemos convertir la restricción presupuestaria período a período en la ecuación (14.1) en una sola, con horizonte infinito. Para el resto de este capítulo vamos a suponer que el tasa de interés real es constante, por lo que rt = r en todos los períodos t. Supongamos también (de nuevo, simplemente por simplicidad) que el gobierno no se inicia con un stock de deuda o con cualquier patrimonio neto, así Bt-1g = 0. Por lo tanto, reescribimos la ecuación (14.1) como:

Las restricciones presupuestarias del gobierno período a período, empezando por cero, evolucionan como sigue:

Sustituimos recursivamente hacia atrás por Btg en cada ecuación. Es decir, en la restricción presupuestaria para t=2, sustituimos por B2 de la restricción presupuestaria para t=3 queda:


Esto se reduce a:

Dado que también sabemos que B0g = G0 -T0 podemos reescribir:

Agrupando todos los términos Gt en el lado izquierdo y todos los términos de Tt en el lado derecho para producir:

De la misma manera, podemos empezar a resolver hacia atrás desde cualquier período j≥0 escribiendo la restricción presupuestaria del gobierno como:

Si asumimos que:

entonces podemos continuar indefinidamente sustituyendo de forma recursiva (es decir, podemos dejar j crecer arbitrariamente grande), para obtener la única restricción presupuestaria:

El lado izquierdo es el valor presente descontado de los gastos del gobierno mientras que el lado derecho es el valor presente descontado de los ingresos fiscales del gobierno. Los términos de la deuda del gobierno, Btg, han desaparecido, ya que, en el límite deben ser pagados todos los préstamos del gobierno. La condición de la ecuación (14.2), a veces conocida como condición de transversalidad, prohíbe que el gobierno siga pidiendo prestado para pagar su deuda. En algún momento del futuro, todos los gastos del gobierno deben estar respaldada por los ingresos fiscales del gobierno. En futuras secciones, vamos a trabajar principalmente con restricciones de la forma de la ecuación (14.3) para encontrar las secuencias óptimas de los ingresos fiscales Tt y luego inferir lo que la secuencia que la deuda que Gobierno debe seguir.

14.2. Equivalencia Barro-Ricardo La equivalencia Barro-Ricardo es la afirmación de que el calendario de los impuestos del gobierno no es lo que importa, ya que los hogares internalizan la restricción presupuestaria del gobierno y ahorran para pagar los MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 93

www.elsolucionario.org impuestos futuros. Esta es una vieja idea, formulada por primera vez por David Ricardo en el Siglo XIX, y que ha vuelto a la fama con el paper "¿Son los bonos del Estado riqueza neta?” (1974) de Robert Barro. En ese paper, Barro sostiene que la deuda financiada por recortes de impuestos no puede afectar la producción, ya que los hogares pueden utilizar los ingresos netos del recorte para salvar los próximos aumentos de los impuestos. Este argumento fue de particular interés durante la década de 1980 cuando los recortes fiscales financiados con deuda fueron un elemento central de la estrategia económica del gobierno. En esta sección vamos a examinar la propuesta en un modelo simple de dos períodos y luego de nuevo en un modelo de horizonte infinito. Supuestos de la Equivalencia de Barro-Ricardo Dado que la trayectoria temporal de la deuda pública está totalmente determinada por la diferencia entre el gasto y los impuestos, la equivalencia de Barro-Ricardo dice que el camino óptimo de la deuda de gobierno es indeterminado: sólo los valores presentes descontados de los gastos y los impuestos importan. La equivalencia se basa en tres supuestos fundamentales, y vamos a tener que romper en al menos uno de ellos para obtener una teoría determinada de la deuda pública óptima. La equivalencia de Barro-Ricardo se cumple si: 1. Hay un mercado de capitales perfecto, en el que el gobierno y los hogares pueden prestar y pedir prestado tanto como se desee sin afectar la tasa (constante) de interés real. 2. Las familias viven ya sea para siempre o son altruistas hacia sus hijos. 3. El gobierno puede utilizar impuestos de suma fija. La equivalencia de Barro-Ricardo exige que el gobierno y los hogares suavicen por completo los picos transitorios en gastos o impuestos, es obvio por qué un mercado de capitales perfecto es importante. Si los hogares no son altruistas hacia sus hijos, y no viven para siempre, entonces ellos consumen de un recorte de impuestos financiado con deuda sin guardar y legando suficiente para sus hijos para pagar la deuda. Por último, si el gobierno no puede utilizar impuestos de suma fija, entonces los impuestos grandes causan grandes distorsiones, induciendo al gobierno a utilizar impuestos bajos para repartir la pérdida de bienestar a lo largo de varios períodos. En la siguiente sección, forzamos al gobierno a utilizar impuestos distorsivos, que rompen la equivalencia de Barro-Ricardo. Ejemplo con Dos Periodos


Considere la posibilidad de un gobierno que debe realizar inversiones en bienes de {G0; G1}. Que percibe un impuesto de suma fija en cada periodo de {T0;T1}. El hogar tiene una corriente de dotación fija de {Y0; Y1}. Tanto el gobierno como la familia tienen acceso a un mercado de bonos perfecto, y puede pedir prestado y prestar cualquier cantidad a la tasa real de interés constante r. El stock inicial de deuda del gobierno es, Bt-1g = 0, y el gobierno tiene que pagar todo lo que se pide prestado para el final del período t = 1. El hogar tiene preferencias sobre flujos de consumo {C0, C1} dada por:

donde 0< β<1. Asumimos que u'>0 y u''<0. Las restricciones presupuestaria del gobierno en dos periodos son:

Estas se pueden contraer (sustituyendo el término B0) en una única restricción presupuestaria, expresada en términos del valor presente descontado:

Aquí estamos usando la notación de Barro que, para los valores particulares, Btg denota el balance de ahorro al final del período t. Si Btg> 0, entonces el agente es un prestamista neto. El colapso de las dos restricciones presupuestarias en un período en una sola restricción presupuestaria a valor actual produce:


Notemos que los impuestos del gobierno de suma fija, Tt, que forman los ingresos para el gobierno, son un costo para el agente. Ahora usaremos la ecuación (14.4) para reescribir la ecuación (14.5) sin los términos fiscales. Notar que la ecuación (14.5) se puede escribir como:

Pero a partir del valor actual de la ecuación de restricción presupuestaria del gobierno (14.4), sabemos que:

Por lo tanto podemos reescribir valor presente restricción presupuestaria del agente como:

Observe que la restricción presupuestaria del agente ya no contiene términos fiscales Tt. En su lugar, el agente ha interiorizado el valor presente restricción presupuestaria del gobierno, y utiliza el mercado de bonos perfecto para evitar las fluctuaciones en los ingresos netos causados por el repentino aumento o disminución en los impuestos.

Ejemplo con Infinitos Periodos La versión con un horizonte infinito es una simple extensión del modelo anterior. Ahora el gobierno tendrá una secuencia de los gastos reales conocida {Gt}t=0∞ , fija, que tiene que financiar con alguna secuencia de impuestos de suma fija {Tt}t=0∞. El agente tiene alguna secuencia conocida de dotación {Yt}t=0∞. Tanto el agente como el gobierno pueden pedir prestado y prestar libremente en un mercado de bonos perfecto a una tasa de interés constante r. La familia vive para siempre y tiene preferencias sobre una secuencia de consumo {Ct}t=0∞ de la forma:

donde 0< β<1. Asumimos que u'>0 y u''<0. Para hacer la notacion mas simple, definimos:

Es decir, G es el valor presente descontado de los gastos del gobierno, T es el valor presente descontado de los ingresos públicos, Y es el valor presente descontado del flujo de la dotación del hogar y C el valor presente descontado de la corriente de consumo del agente. El valor presente de la restricción presupuestaria del gobierno, como en la ecuación (14.3), ahora puede ser escrito: G=T Valor presente de la restricción presupuestaria del agente, de la misma forma, puede ser escrito: C=Y-T


Pero la restricción presupuestaria del gobierno requiere que T=G, la restricción presupuestaria del agente se convierte en: C=Y-G. Una vez más, el calendario de los impuestos deja de importar. El agente sólo se preocupa por el valor presente descontado del gasto público. Como paso final, vamos a resolver el problema del agente. Por simplicidad, supongamos que 1+r=β-1. El Lagrangiano es:

Para encontrar las opciones óptimas de consumo, dada la restricción, maximizamos la función de Lagrange con respecto al consumo. Las condiciones necesarias de primer orden para la maximización se forman tomando la derivada con respecto al consumo en algún período típico j, y de la restricción. Recordemos que:

Entonces la condición de primer orden es:

Como asumimos que 1+r= β-1 , encontramos:

Pero λ es constante, entonces u'(Cj) también debe ser constante. Llegamos a la conclusión que el consumo es también constante, Cj = C* en todos los periodos j. Si el consumo es constante en C*, podemos sustituir de nuevo en la restricción presupuestaria para encontrar C*, utilizando el hecho de que Ct = C* para todo t:

Por lo tanto el consumo de los agentes es constante en el tiempo, aumentando con Y y disminuyendo con G. El consumo de agentes no se ve afectado en absoluto por el tiempo en los impuestos Tt usados para financiar el gasto del gobierno.

14.3 Preliminares para el Problema de Ramsey Antes de diseñar el modelo de Ramsey, vamos a tener que definir algunos términos. En particular, los lectores pueden no estar familiarizados con los impuestos al consumo, que se utilizan ampliamente en este capítulo. Además, vamos a definir en términos generales la estructura de los problemas de Ramsey. Por último, vamos a definir utilidad indirecta, un concepto importante con la que el lector puede no estar familiarizado.



Impuestos Especiales (excise) Un impuesto excise es una tarifa constante percibida por cada unidad de bien consumida. Un ejemplo sería un impuesto de $1/galón gasolina, o un impuesto a los cigarrillos $0.25/pack. No se trata de impuestos de ventas, en estos se recaudan impuestos como porcentaje del valor total de los bienes adquiridos. Los impuestos al consumo no son afectados por el precio del bien gravado. Si existe un vector de n bienes {Xi}i=1n con un vector de precios asociado {Pi}i=1n y un consumidor tiene un total de m dólares para gastar en estos bienes, su restricción presupuestaria sería:

Ahora el gobierno aplica un impuesto excise de τi en cada bien i= 1,..., n. La restricción presupuestaria del consumidor se convierte en:

en que el precio pagado por el consumidor es ahora pi + τi. ¿Cómo sería esto en un impuesto sobre las ventas? ∑𝑛𝑖=1(1 + 𝑡)𝑝𝑖 𝑥𝑖 ≤ 𝑚. Piense en un impuesto excise como esto: para cada bien xi que compra el consumidor, paga pi a la empresa, y τi al gobierno. En virtud de un sistema de impuestos especiales los ingresos del gobierno ℋ(.;.) del sistema fiscal, sin tener en cuenta las reacciones de los hogares (véase el Capítulo 13), son las siguientes:

Los hogares ajustan sus decisiones de consumo xi, i = 1,..., n en respuesta a los impuestos (esto juega el papel del amax del Capítulo 13). Por lo tanto, teniendo en cuenta la mejor respuesta del agente, el gobierno plantea:

Aquí xi*(.;.;.) es la demanda marshalliana del agente del bien i. Como recordarán de la teoría microeconómica intermedia, la demanda marshalliana de un producto por un agente da la cantidad del producto que el agente va a comprar dados los precios y su ingreso. Estructura del Problema de Ramsey El gobierno anuncia una secuencia de impuestos del tipo especial {Tt}t=0∞, que los agentes toman como se indica en la toma de sus decisiones sobre el consumo, el endeudamiento y el ahorro. Es en realidad un supuesto fuerte, cuando te paras a pensar en ello. El gobierno se ha comprometido a una secuencia de acciones, cuando la desviación podría ayudar a recaudar más ingresos. ¿Qué mecanismo hace que un gobierno soberano cumpla su compromiso? Políticas de cambio, los jefes de Estado derrocados y constituciones se reescriben cada año. Una investigación bastante interesante se centra en cómo los gobiernos deben comportarse cuando no pueden creíblemente comprometerse con una política y todos los agentes en el modelo lo saben. Consulte el Capítulo 19 para una discusión sobre el compromiso en el contexto de un problema de Ramsey en la política monetaria. En ese capítulo se introducen los conceptos de teoría de juegos necesarios para modelar las interacciones estratégicas entre el sector privado y el gobierno. Así que nuestro gobierno benevolente tomará el comportamiento de compra de sus ciudadanos (en forma de un agente representativo) en respuesta a su anunciado conjunto de impuestos {Tt}t=0∞. Se procurara que una cierta cantidad exógena, conocida, de dinero suficiente, en términos de valor presente, a pagar por los gastos MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 97

reales corrientes del gobierno en bienes y servicios, {Gt}t=0∞. Estos gastos no afectarán la utilidad o el producto del agente representativo en una manera significativa: se pueden usar para combatir una guerra, o, más brevemente, ser arrojados al mar. Muchas secuencias de los impuestos se destinan a pagar las compras del gobierno. Nuestro Gobierno elegirá entre ellos al encontrar la secuencia fiscal que maximiza la utilidad indirecta del hogar representativo. Utilidad Indirecta La definición técnica de utilidad indirecta es la función de utilidad con las variables de elección sustituidas por sus valores óptimos. Consideremos por ejemplo el siguiente problema de dos bienes. La función de utilidad es:

donde γ> 0, y la restricción presupuestaria es:

El Lagrangiano es:

Las condiciones de primer orden son:

Combinado con la restricción presupuestaria, esto implica que:


Para encontrar la función de utilidad indirecta, sustituimos las políticas óptimas de las ecuaciones (14.7) y (14.8) en la función de utilidad en la ecuación (14.6). Llame a la función de utilidad indirecta V (p1, p2, m). Es la cantidad de utilidad que el agente puede lograr a precios p1, p2 y al m ingresos cuando se está optimizando. Por lo tanto, en este caso:

Por lo que podemos ver de inmediato el efecto en la utilidad maximizada de un aumento de la riqueza m, o de un aumento en los precios p1 y p2. Como se espera, la utilidad óptima aumenta con la riqueza y la disminuye con el aumento en los precios. Anualidades En este capítulo, a menudo vamos a caracterizar las fuentes de ingresos en términos de una anualidad. Una anualidad es uno de los instrumentos financieros más antiguas, y también uno de los más sencillos. En esencia es una renta vitalicia: un pago constante en cada periodo a perpetuidad. Así, si uno tiene una anualidad de MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 98

$100, uno puede estar seguro de un pago de $100 por año para el resto de la vida de uno, y uno también puede asignar a los herederos después de la muerte. Los agentes adversos al riesgo con un flujo de ingresos conocido pero fluctuante, {Yt}t=0∞, pueden, dependiendo de la tasa de interés y la tasa de descuento, convertirlo en una anualidad, si quieren el pago de una cantidad constante a en cada período, del mismo valor presente descontado. Dada una tasa de interés neta constante de r, es fácil determinar qué debe ser a, la cual denominamos valor de la anualidad al flujo de ingresos {Yt}t=0∞. Comenzamos calculando el valor presente descontado del flujo de ingresos {Yt}t=0∞:

Sabemos que el valor presente descontado de una anualidad a es:

Para que el valor presente descontado del flujo de ingresos y de la anualidad sea igual, a debe satisfacer:

Un valor razonable de r es de alrededor de 0,05, lo que significa que r/ (1 + r) es 1/21.

14.4. El Problema del Impuesto Óptimo de Ramsey El Problema del Agente Considere la posibilidad de un agente con una corriente de dotación conocida {Yt}t=0∞. Estos agentes tienen secuencias infinitas de consumo {Ct}t=0∞ que le reportan utilidad:

donde 0< β<1. Para obtener una forma compacta de consumo asumiremos que las preferencias son logarítmicas. Hay un mercado de bonos perfecto en el que la familia puede prestar y pedir prestado a una tasa de interés constante r que suponemos satisface 1 + r = β-1. El agente se enfrenta a una secuencia conocida de impuestos especiales {Tt}t=0∞ recaudados por el gobierno (véase la discusión anterior para una revisión de los impuestos al consumo). Puesto que sólo hay un bien de consumo en cada período, se puede tomar con seguridad que el precio dentro del período del bien de consumo es igual a la unidad. Así, en un periodo t, si el hogar consume ct, los gastos deben ser ct +τt.ct o más simplemente (1+τt)ct. Por lo tanto el valor presente descontado de los gastos incluyendo la recaudación de impuestos es:

El valor presente descontado de los gastos del agente (PDV) debe ser igual al valor presente descontado del flujo de dotación. De ahí su restricción presupuestaria es:



Aquí he definido el término Y como el valor presente descontado de la secuencia de ingreso {Yt}t=0∞ Esto es meramente por conveniencia. Por lo tanto, el Lagrangiano del agente es:

La condición de primer orden de la ecuación (14.12) con respecto al consumo en un período j arbitrario es:

Con la suposición de que 1/ (1 + r) = β, y con alguna manipulación, se puede escribir esto como:

Tenga en cuenta que esta última ecuación implica que los gastos serán constantes en todos los períodos. En períodos con tasas de impuestos relativamente altos al consumo, el consumo disminuirá exactamente lo suficiente para mantener los gastos en dólares exactamente iguales que en cualquier otro período. Este es un artificio de las preferencias y no una propiedad general de este problema. Sin embargo, simplifica nuestro trabajo enormemente. El siguiente paso será sustituir el plan de consumo óptimo de la ecuación (14.13) en la restricción presupuestaria de la ecuación (14.11) para determinar cuánto gasta el hogar en cada período. Sustituyendo, se encuentran:

Sacamos el término 1/ λ (ya que no varía con t), se encuentra que:

En otras palabras, 1/ λ es igual al valor de la anualidad de la corriente de la dotación (que llamamos W por conveniencia). Por supuesto, de la ecuación (14.13) se concluye que:

Aquí denotamos la decisión óptima de consumo como ct* Función de Utilidad Indirecta del Agente Ahora estamos listos para calcular la función de utilidad indirecta del agente. Sustituyendo la política optima en la ecuación (14.15) en las preferencias de la Ecuación (14.10), tenemos:


Aquí estamos usando algunas de las propiedades más convenientes de la función de logarítmica para simplificar nuestro resultado. Tenga en cuenta que V (.;.) es decreciente en las tasas de impuestos τt y creciente en el valor de la anualidad de riqueza, W. El Problema del Gobierno El gobierno se enfrenta a un flujo conocido invariable de gastos reales {Gt}t=0∞ y puede pedir prestado y prestar a la misma tasa 1 + r = β-1, como el agente. Definimos:

es decir, G denota el PDV de los gastos del gobierno. Estos gastos del gobierno no afectan a la utilidad o al producto de los agentes de una manera significativa. El gobierno percibe ingresos sólo por el impuesto especial que cobra a los agentes. Por lo tanto, cada período el sistema fiscal genera unos ingresos de:

Pero, por supuesto, el consumo es en sí mismo una función de los impuestos. El gobierno toma como dadas las decisiones de los agentes. De la ecuación (14.15) sabemos que podemos reescribir esto como:

Valor presente de la restricción presupuestaria del gobierno es:

que vamos a encontrar reescribir conveniente como:

Dividimos por W simplemente para mantener el álgebra para despejar después. El gobierno maximiza la utilidad indirecta sujeto al valor presente de la estricción presupuestaria del agente mediante la elección de secuencias de los impuestos sobre consumos. Por lo tanto Lagrangiano del gobierno es:


El gobierno elige la secuencia de las tasas de impuestos {τt}t=0∞ que hace que el agente sea lo más feliz posible, dado que el gobierno tiene que recaudar suficientes ingresos fiscales para financiar la guerra. Aquí μ es el multiplicador de la restricción presupuestaria del gobierno, de la misma manera que λ era el multiplicador de la restricción presupuestaria del agente antes. En un periodo típico de j, donde j = 0,..., ∞, la condición de primer orden con respecto a la tasa del impuesto es la siguiente:

Recordemos que estamos suponiendo que β = (1 + r)-1. Por lo tanto podemos manipular esta ecuación para producir:

lo que se reduce a:

Esta ecuación implica que la tasa de impuestos no debe variar entre períodos (μ es constante). Esto es una consecuencia muy importante de nuestro modelo: la tasa impositiva óptima es constante. Así escribimos:

Ahora vamos a buscar a τ* sustituyendo en la restricción presupuestaria del gobierno en la ecuación (14.17):

podemos reescribir esto como:


Tenga en cuenta que esto dice que el monto de los ingresos recaudados por el gobierno de cada período es constante e igual al valor de la anualidad del gasto público. Así, el gobierno recoge la misma cantidad de ingresos cada período, tiene déficits cuando tiene inusualmente altos gastos y superávit cuando los gastos son bajos. Implicaciones para el Sendero de la Deuda Imagínese un gobierno que tiene que luchar una guerra en el período 0, y no hace otros gastos en todos los demás períodos. El costo de una guerra será la unidad. Así, los gastos del gobierno cumplen:

Por lo tanto el valor presente descontado de los gastos del gobierno es:

Sabemos por la ecuación (14.19) que la tasa impositiva óptima r* satisface:


www.elsolucionario.org Por el bien del argumento, digamos que el agente tiene una dotación constante yt = 1 todos los t≥0. En otras palabras, el gobierno tiene que luchar una guerra en el primer período que cuesta tanto como la riqueza de toda la economía total en ese período. Si este es el caso, entonces podemos encontrar Y y W:

Esto tiene sentido: el valor de la anualidad de Y es sólo el flujo infinito de pagos constantes que es igual a Y. Sin embargo, puesto que Y está formado por el flujo infinito de pagos constantes de yt= 1 en cada período, entonces el valor de la anualidad también debe ser la unidad. Ahora podemos encontrar τ* desde:

lo que significa que τ*=r. En otras palabras, la tasa impositiva óptima τ* no es más que la tasa de interés r. Los ingresos tributarios del Gobierno cada periodo son:

El gobierno está recogiendo esta cantidad relativamente pequeña cada período en nuestro ejemplo. Note lo que esto implica en el trayecto de los déficits (y por tanto la deuda). En el período t = 0 el gobierno recauda r/ (1 + r) y paga 1 para pelear su guerra. Por lo tanto el déficit en el período t = 0 es:

En todos los períodos posteriores, el gobierno no gasta nada y recoge la cantidad usual, por lo tanto, con superávits o déficits básicos negativos de:

De la restricción presupuestaria de flujo del gobierno, sabemos que:

Por lo tanto a partir del período 1 en adelante, mientras que el gobierno está pagando su deuda a partir del período 0:

De esto es fácil ver que la deuda del gobierno, después de la guerra, es constante en:

Cada período, el gobierno sólo recauda los ingresos suficientes para pagar el costo de los intereses de esta deuda y rodar para otro período. ¿Esto viola nuestra condición de transversalidad en la ecuación (14.2)? No, debido a que la deuda pública no es una explosión, sino una constante. Por lo tanto, de la ecuación (14.2):

Así que la condición de transversalidad se satisface con el plan óptimo de la deuda del gobierno.


Capítulo 18

Política Fiscal y Monetaria En el Capítulo 14 se describe la forma en que el gobierno cambia su deuda pendiente en el tiempo a fin de que coincida con sus ingresos y gastos. En ese marco, no había prejuicios sobre la deuda pública. Ahora dirijamos nuestra atención a los efectos inflacionarios de los déficit presupuestarios persistentes del gobierno. Esto nos dará una teoría sobre la interacción entre las políticas fiscal y monetaria. Imagínese un gobierno formado por dos autoridades de competencia: una autoridad fiscal (en los EE.UU., el Congreso y el Presidente) y una autoridad monetaria (en los EE.UU., el Sistema de la Reserva Federal). La autoridad fiscal quiere financiar el gasto público, mientras que la autoridad monetaria quiere mantener la inflación baja. Pero la inflación produce ingresos para el gobierno a través de un proceso conocido como señoreaje. Si la autoridad monetaria domina, simplemente anuncia una secuencia de tasas de inflación, que a su vez implica una secuencia de ingresos por señoreaje y la autoridad fiscal lo toma como dado a la hora de tomar decisiones de gasto. Que haya bancos centrales completamente dominantes es, sin embargo, algo extremadamente raro. Incluso el sistema de la Reserva Federal de EE.UU. es legalmente una criatura del Congreso y el Ejecutivo, y debe, por ley, procurar un equilibrio entre los dos objetivos de la lucha contra la inflación y el objetivo del pleno empleo. El caso de un banco central (es decir, una autoridad monetaria), que no es completamente dominante es mucho más interesante. Tenga en cuenta que esto no significa que la autoridad fiscal controla absolutamente la oferta monetaria, sino simplemente que la autoridad fiscal no tiene que comprometerse de manera creíble a una secuencia de impuestos suficientes para financiar, en valor presente, su gasto. En particular, vamos a suponer que hay algún límite en la relación deuda-PIB. Es decir, los inversores sólo aceptarán la deuda pública hasta un cierto límite, definido en proporción a la producción. La autoridad monetaria controla la oferta monetaria hasta que se alcanza este límite máximo, y a partir de entonces se acomodará el gasto público con los ingresos por señoreaje. Esta es la manera en que los déficit públicos se vuelven inflacionarios. Después de presentar la teoría, vamos a discutir la evidencia. En un estudio de hiperinflaciones post-Primera Guerra Mundial en Alemania, Austria, Hungría y Polonia, titulado “The Ends of Four Big Inflations”, Thomas Sargent ilustra este efecto claramente. Perturbaciones monetarias más recientes en algunos de los estados sucesores del antiguo imperio soviético también se pueden remontar a los persistentes déficit presupuestarios del gobierno. Esto nos proporcionará una guía práctica sobre cómo poner fin a las hiperinflaciones.

18.1 ¿Son Inflacionarios los Déficits Presupuestarios de los Gobiernos? El modelo de esta sección está tomado de un artículo de Thomas Sargent y Neil Wallace, “Some Unpleasant Monetarist Arithmetic”. Se recomienda al lector interesado leer el documento original, ya que no requiere mucho de matemáticas y es, a pesar del título, en realidad bastante agradable. Restricción Presupuestaria del Gobierno Vamos a considerar el problema de un gobierno que debe cubrir una serie de déficits básicos {𝐷𝑡 }∞ 𝑡=0 : donde Gt es el valor real de los gastos del gobierno y Tt es el valor real de los ingresos del gobierno en el período t. Tenga en cuenta que los pagos de intereses de la deuda no se incluyen en Dt (véase el Capítulo 14 para más información sobre la restricción presupuestaria del gobierno). El gobierno tiene una cierta cantidad Bgt-1 de deuda real en circulación al comienzo de cada período t. El gobierno tiene que pagar a sus acreedores una cantidad real (1 + r) Bgt-1 en el período t. Por lo tanto el exceso de gasto total real del gobierno en bienes y servicios y el servicio de la deuda, neto de los ingresos fiscales, es:

Demanda de Préstamos = Dt + (1 + r) Bgt-1 MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 104

El gobierno va a financiar esto de dos maneras: (1) Mediante la emisión de más bonos, con fecha de fin de periodo t (llamamos a estos bonos Bgt) y (2) con la impresión de dinero y obteniendo así ingresos por señoreaje (que es lo más frecuente). Por lo tanto el endeudamiento público es:

Oferta de Préstamos = Bgt + (Mt – Mt-1) / Pt Aquí Mt es la cantidad final de su período de trozos de papel con las palabras " Federal Reserve Note " y "In God We Trust" impresas en ellos, también conocida como moneda fiduciaria. Tome Mt como el dinero de alta potencia, o la base monetaria, que se encuentra bajo el control del gobierno. En los libros del gobierno para cerrar el balance debe pedir prestado tanto como necesita, por lo que:

Otra forma de escribir esto es:

Esto dice que el déficit real del gobierno, más el interés de la deuda, pueden ser pagados por nuevos bonos netos (Bgt - Bgt-1) o señoreaje. Señoreaje El gobierno tiene el monopolio de la emisión de piezas de papel con las palabras "Federal Reserve Note" escritas en ellos. La gente quiere esto para fines de transacción, por lo que lo mantiene en su poder a pesar de que paga un interés cero. Como resultado, el gobierno puede imprimir más de estas cosas y cambiarlas por bienes y servicios. No vamos a modelar la forma precisa en que el gobierno hace esto. La eficacia de esta práctica depende de cómo el nivel general de precios Pt responde a un aumento en Mt. Aunque los ingresos por señoreaje en los países desarrollados como los Estados Unidos son muy bajos, los países en desarrollo o países en crisis lo utilizan mucho. Los mercados de bonos internos y los sistemas de recaudación de impuestos son a menudo los primeros instrumentos del Estado para desaparecer en tiempos turbulentos. Asimismo, los gobiernos a menudo encuentran los impuestos directos poco deseables por razones políticas internas, pero no son capaces de vender bonos en los mercados internacionales. Consideremos el caso de Zaire, un país africano que ahora se llama la República Democrática del Congo. Este gobierno practica una forma de señoreaje en la que iba a introducir una nueva denominación de la moneda (el Zaire), imprime un montón de billetes y empaqueta parte de la tirada en las maletas, que luego fueron distribuidas entre los ministros del gobierno. Estos ministros luego usaron las notas para la compra de divisas en el mercado negro, así como bienes y servicios nacionales. En los últimos días del gobierno del ex presidente Mobutu Sese Seko, el gobierno introdujo los billetes de 500 zaires y de 1000. Estos se utilizaron en parte para financiar tratamientos contra el cáncer del presidente de Francia. La población despectivamente los denominó como "billetes de la próstata" y se negó a aceptarlos como pago en cualquier transacción. Los ingresos por señoreaje del gobierno se redujeron a cero y que sucumbió ante los rebeldes poco después. Más formalmente, el valor de los ingresos por señoreaje en nuestro modelo es el valor real de los nuevos billetes netos:

Tenga en cuenta que vamos a tener que tomar una posición sobre la forma en que Pt varía con Mt para esclarecer los ingresos por señoreaje. Supuestos del modelo Para llevar a cabo este modelo de trabajo, tendremos que especificar una regla para la producción, el crecimiento demográfico, la forma en que se determina el nivel de precios y qué límites existen en el endeudamiento. Enumero todos los supuestos del modelo aquí por conveniencia:


www.elsolucionario.org 1. La producción per cápita yt es constante e igual a 1, pero la población Nt crece a una tasa constante n, por lo que Nt = (1 + n) Nt-1, donde N0> 0 está dado. Así, el PIB total de cada periodo Yt = ytNt es exactamente igual a la población. 2. La tasa de interés real sobre la deuda del gobierno es constante rt = r, y el gobierno nunca cae en default. Esto incluye el default por la inflación no esperada cuando los bonos están expresados en dólares. Por lo tanto se trata de bonos indexados por inflación. También hacemos el muy importante supuesto de que r> n. Sin este supuesto, la mayor parte de la "aritmética" no es tan "desagradable". 3. La monetarista Teoría Cuantitativa del Dinero con una velocidad constante, v = 1: Combinamos esto con la definición de Yt en el Supuesto (1) de arriba para encontrar el nivel de precios en el período t, Pt, que es el siguiente:

4. Hay un límite superior a la tenencia de bonos per cápita por parte del público de 𝑏̅. Es decir, Bgt/Nt ≤𝑏̅. Además, para hacernos la vida más fácil, vamos a especificar que la política fiscal del gobierno como una secuencia de déficit {𝐷𝑡 }∞ 𝑡=0 , que es simplemente un déficit per cápita constante d. Por lo tanto:

Definimos bgt como el nivel de bonos per-capita colocados bgt ≡ Bgt/Nt. El Supuesto 4 establece que bgt≤𝑏̅ para cualquier 𝑏̅. Tenga en cuenta que con el supuesto de que el nivel de producción per cápita es constante yt=1, bgt es también la relación deuda-PIB. Además, Dt /Nt se convierte en el ratio de déficit respecto al PIB. Política Monetaria La autoridad monetaria (en los EE.UU., la Reserva Federal) produce una secuencia de las existencias de dinero {𝑀𝑡 }∞ 𝑡=0 . Estas se alimentan a través de la relación (18.2) de la teoría cuantitativa del dinero para producir una secuencia de tasas de inflación. Una política monetaria será una decisión sobre la tasa de crecimiento del dinero. Si el saldo de la deuda es cada vez mayor, con el tiempo se alcanzará el techo de bonos y la Reserva Federal (Fed) ya no será capaz de elegir una tasa de inflación, pues se verá obligada a proporcionar suficientes ingresos por señoreaje para cubrir el déficit reportado por el gobierno. A esto le llamamos catástrofe. La catástrofe ocurre en la fecha T. La fecha T catástrofe es como una función de la opción elegida por el gobierno.


Dado el crecimiento de la oferta monetaria, la tasa de inflación bruta en el período t es:

La tasa de inflación neta se define como Pt/Pt-1 - 1. Para simplificar, supongamos (con Sargent y Wallace) que la Fed toma una tasa de crecimiento constante de dinero, θ, en los períodos anteriores a la catástrofe. Por lo tanto:

Esto implica que la inflación es:

Dado que θ> n, la tasa de inflación neta será estrictamente positiva. Si la inflación no le gusta a la Fed, esta tratará de reducir al mínimo la tasa de crecimiento del dinero Mt /Mt - 1 recogiendo un bajo θ. Esta política reducirá los ingresos por señoreaje en el corto plazo (hasta el periodo T), obligando a la autoridad fiscal a confiar más en la financiación de deuda mediante bonos, acercándose a la fecha T catástrofe en la que bgT = 𝑏̅ y no pueden venderse más bonos. Desde el período T la oferta monetaria se expande para producir ingresos suficientes para satisfacer la restricción presupuestaria del gobierno.


Análisis Nuestro objetivo es determinar la trayectoria per-cápita de bonos bgt en el tiempo y para determinar cuándo (que puede ser nunca) se alcanza el límite de 𝑏̅. La Tabla (18.1) muestra todas las variables y sus significados. Además, vamos a enumerar de nuevo todas las ecuaciones que conocemos sobre este modelo:

Comenzamos dividiendo la restricción presupuestaria del gobierno (18.1) por Nt en ambos lados para obtener:

Ahora, usando el hecho de que 1/ Pt = Nt/ Mt, podemos escribir esto como:

Resolviendo para bgt tendremos:

Tenga en cuenta que la evolución del endeudamiento per cápita bgt determinado en la ecuación (18.3) se cumple en todos los períodos, incluyendo aquellos posteriores al período T catástrofe. Antes de período T, la política monetaria especifica una tasa de crecimiento del dinero, Mt/Mt-1 = 1+θ, así el señoreaje es constante y potencialmente bajo. El financiamiento restante se realiza mediante la emisión de bonos. Después de la fecha T catástrofe, la política monetaria debe producir suficientes ingresos por señoreaje para satisfacer completamente las necesidades de financiamiento del gobierno siendo los bonos per cápita constantes en bgT = bgT+1 = … = 𝑏̅. Después de la catástrofe, la evolución de la oferta de dinero está determinada por la restricción presupuestaria del gobierno post catástrofe, entonces reemplazamos bgt con 𝑏̅:

Manipulamos esta ecuación para encontrar la tasa de crecimiento del dinero:

Tenga en cuenta que después del período T, el crecimiento de la oferta de dinero es creciente en los términos d y 𝑏̅. La Fed no sólo tiene que pagar la totalidad del déficit d sobre el señoreaje, también tiene que pagar los costes de financiación de la deuda pública. Por lo tanto la cantidad de dinero debe evolucionar de la siguiente forma:


La ecuación (18.5) nos da la evolución de la oferta de dinero en todos los períodos, incluidos los posteriores a la catástrofe. Tenga en cuenta que la tasa de crecimiento de la oferta de dinero después de T no se ve afectada por el valor de T. En otras palabras, después del golpe de la catástrofe, la tasa de inflación va a ser la misma, sin importar cuándo exactamente fue ese golpe. ¿Cuánto ingreso por señoreaje obtiene el gobierno por cada período anterior a la catástrofe? Es decir, ¿qué es lo que sucede cuando sustituimos la política monetaria de la Fed en la ecuación (18.3)? De la ecuación (18.3):

Pero en los períodos anteriores a la catástrofe, el crecimiento del dinero es simplemente θ, así que:

Observe que este resultado es interesante: Antes de período T, el gobierno toma como señoreaje una fracción θ/(1 + θ) del PIB. Cualquier porción restante del déficit per cápita d debe ser financiada por nuevos bonos netos. Por último, vamos a calcular bgt sin hacer referencia a bgt-1. Podemos hacer esto con la sustitución recursiva de la ecuación (18.6), con la suposición de que bg0 = 0:

Y así sucesivamente. El patrón debería estar claro a partir de estos primeros términos. En general:

Recordemos que r > n, de ahí que el término sumatorio es “explosivo”. La ecuación (18.7) captura perfectamente el dilema de la Fed en este modelo. Al establecer un valor bajo para θ, la Fed cambia una baja la inflación para hoy en día por un inicio más temprano de la catástrofe hiperinflacionaria. Por otro lado, con la elección de un valor relativamente alto para θ, la Fed sufre una inflación alta hoy, pero se mantiene fuera el punto de catástrofe. En efecto, si:

entonces no habrá ninguna catástrofe. Determinación de la Fecha T Catástrofe Dada la trayectoria temporal de la deuda en la ecuación (18.7), se puede determinar aproximadamente cuándo será la fecha T catástrofe. Digo "aproximadamente" porque para mantener el álgebra ordenada vamos a suponer que, en la política monetaria θ, la deuda bgT al final del período T es exactamente igual a 𝑏̅. El lector puede ver que es fácil imaginar casos en los que bgT es ligeramente inferior a 𝑏̅, en cuyo caso se permite en el período t+1


www.elsolucionario.org una cantidad residual de préstamos. Sin embargo, si T es grande, este efecto no es importante. Así, al final del período T:

Por conveniencia de notación, vamos a definir γ ≡ (1 + r)/ (1 + n). Por lo tanto:

Recordemos que el sumatorio en el lado izquierdo de esta ecuación es igual a (1– γT)/(1-γ). Por lo tanto:

donde he introducido J para mantener la notación sencilla. Con alguna manipulación tendremos:

Tomando logaritmos de ambos lados tenemos:

Observe que T es creciente en θ y 𝑏̅. En efecto, por ser T finito, debemos tener:

por lo que el gobierno debe recurrir a la financiación mediante bonos. Algunos Ejemplos En la figura (18.1) se presenta la evolución temporal de la deuda, bgt, bajo dos diferentes valores de θ, θ1= 0,03 y θ2= 0,10. En este modelo n =0,02; r =0,05; d =0,10 y 𝑏̅ =1,5. Es decir, el gobierno está tratando de financiar un déficit básico persistente del 10% del PIB y el valor máximo de la deuda total es de 150% del PIB. El gobierno no tiene que pagar una tasa de interés real alta de la deuda, pero la producción está creciendo a una tasa relativamente baja de 2% al año. Con la política monetaria contractiva (θ1= 0,03), el gobierno percibe la catástrofe tras 16 años en la política, mientras que la política monetaria expansiva (θ2= 0,10), la catástrofe se produce 61 años en el futuro.


Figura 18.1: Evolución del stock de deuda per cápita colocada bt bajo dos políticas monetarias: la línea continua es la política monetaria contractiva (θ= 0,03) y la línea de puntos es la política monetaria expansiva (θ= 0,10).

Figura 18.2: Evolución de la tasa de inflación πt bajo dos políticas monetarias: la línea continua es la política monetaria contractiva (θ= 0,03) y la línea de puntos es la política monetaria expansiva (θ= 0,10).

En la Figura (18.2) trazamos las tasas de inflación en el tiempo asociadas a las dos políticas monetarias. Tenga en cuenta que la tasa de inflación πt no acaba de ser igual a la tasa de crecimiento del dinero ya que:

Antes de la fecha T catástrofe, la inflación es constante en πθ donde:

www.elsolucionario.org Tenga en cuenta que πθ no variará con el déficit d o la carga máxima de la deuda 𝑏̅. Por otra parte, la fecha T catástrofe y la tasa de inflación post-catástrofe variarán con d y 𝑏̅. Después de la catástrofe, la inflación πt (d; 𝑏̅) no variará con la política monetaria θ pre-catástrofe. Podemos calcular πt (d; 𝑏̅) de la evolución de la oferta monetaria en la ecuación (18.5). Por lo tanto:

La política monetaria restrictiva se asocia con una inflación muy baja al principio, 𝜋𝜃1 = 0,0098, pero, como se señaló anteriormente, la catástrofe sucede relativamente temprano. La política monetaria expansiva se asocia con una tasa de inflación relativamente alta al principio, 𝜋𝜃2 = 0,0784, pero la catástrofe se evita por más de 60 años. Después de la catástrofe la tasa de inflación es πt= 0,1455, aproximadamente el doble de la tasa de la política monetaria expansiva. Aplicación: Políticas Inflacionarias Óptimas En esta sección se considera el trade-off entre dos políticas monetarias: (1) Una política de alta inflación en la que nunca se produce la catástrofe, y (2) una política de baja inflación que adelanta la fecha de la catástrofe. Note que la ecuación (18.7) establece que si el gobierno fija θ=θ*, donde:


a continuación, los ingresos por señoreaje de cada periodo son:

Es decir, con la regla de crecimiento de la oferta monetaria establecida en θ* como se definió anteriormente, el gobierno obtiene ingresos suficientes por señoreaje para financiar totalmente el déficit real de cada período. Como resultado, el gobierno nunca recurre a la financiación de bonos, por lo que bgt = 0 todos los t = 0, 1, 2, …, ∞ y la catástrofe nunca sucede. Cuando θ=θ* la inflación satisface:

Donde α = d - n + nd. Observe que si d = n/(1 + n) entonces πθ = 0. Es decir, el gobierno puede pagar por el déficit real, en su totalidad, con los ingresos por señoreaje y tener inflación cero. Por otra parte, para cualquier política monetaria θ < θ*, el gobierno debe recurrir a la financiación de la deuda persistente y, finalmente, enfrentarse a la catástrofe. Sabemos por la ecuación (18.9) que después de la catástrofe la inflación es πt (d; 𝑏̅). Analizando esto, se observa que:

Intuitivamente, al esperar hasta el período T para comenzar financiar el exceso de gasto público mediante la impresión de dinero, la autoridad monetaria ha permitido a la autoridad fiscal pedir prestado hasta su límite. La Fed ha de pagar a los acreedores de señoreaje también. Si la inflación no le gusta a la Fed, tiene una opción desagradable: sufrir la inflación de πθ* ahora o πT en una fecha futura T. Como se puede ver, la elección de qué política seguir depende en gran medida de la forma en que T varía con θ. Tabla 18.1 Notación del Capítulo 11

Variable Definición Gt

Gasto real del gobierno en t

Tt

Ingreso real del gobierno en t

Dt

Déficit básico gubernamental en t

Yt

PIB en t, Yt=Nt

Nt

Población en t

n

Tasa constante de crecimiento de la población

r

Rendimiento constante real neto sobre la deuda, r > n

Mt

Stock de dinero al final del período t

Pt

Tasa de cambio de dinero por bienes en t

B gt

Valor real de la deuda pendiente al final del período t

b gt

Deuda per cápita, b gt= B gt/Nt

𝑏̅

Valor máximo posible de bgt

B g-1

Stock inicial de deuda (igual a cero)

T

Fecha de la catástrofe. Ocurre cuando bgT=𝑏̅

θ

Tasa de crecimiento de la oferta monetaria antes de la catástrofe

d

Déficit per cápita constante (política fiscal)



18.2 El Final de las Cuatro Grandes Inflaciones La evidencia más dramática de la validez del argumento de Sargent-Wallace proviene de las hiperinflaciones post-Primera Guerra Mundial en Alemania y los estados sucesores del Imperio Austro-Húngaro en un artículo de Sargent, "El final de las cuatro grandes inflaciones". Lo que hace que este caso sea tan especial es que, no sólo no había una hiperinflación impulsada por el déficit, sino que una vez que las autoridades fiscales asumieron compromisos creíbles para respaldar toda la deuda pública con los ingresos fiscales, la inflación se detuvo (a pesar de que las imprentas todavía funcionaban). Estas historias son valiosas también porque los problemas de los cuatro países en cuestión tienen mucho en común con los que se enfrentan algunos de los estados sucesores del antiguo imperio soviético. Las principales inflaciones europeas de posguerra en 1919-1924 eran una nueva y profundamente desagradable experiencia para sus ciudadanos. Es común atribuir el fuerte compromiso de la Alemania moderna de bajar inflación al horror de la repetición de esos días. Sin embargo, no fue la experiencia de ver los precios (y los salarios) subiendo a 1012 veces respecto a su nivel anterior a la guerra lo que fue tan traumático, ni tampoco era el leve "costo de suela" estudiado en los Capítulos 4 y 8. Como consecuencia de la inflación, había enormes dislocaciones sociales. Se empobrecen los acreedores, ya que las empresas fracasaron, la especulación floreció y los hogares acumulaban activos no líquidos en lugar de comerciar con una moneda cuyo valor era esencialmente desconocido. Eran nuevos fenómenos en el tiempo, pero por desgracia desde entonces han sido el sello de conformidad de las crisis monetarias hasta la actualidad. Sargent identifica cuatro características comunes en las experiencias hiperinflacionarias de Polonia, Hungría, Austria y Alemania: 1. Los cuatro países quedaron con muy grandes déficits presupuestarios. 2. Los cuatro países tomaron medidas muy similares, muy dramáticas, monetarias y fiscales para poner fin a las hiperinflaciones. 3. En todos los casos, la inflación se detuvo muy rápidamente. 4. Después de los episodios inflacionarios, se produjo un aumento grande y persistente en el nivel de dinero "de alta potencia". Los gobiernos registraron déficit, ya que, en el ocaso de la guerra, hicieron pagos a la gran cantidad de trabajadores desempleados, ya que los monopolios estatales (como los ferrocarriles) mantuvieron los precios artificialmente bajos, perdiendo dinero, porque los gobiernos subvencionan las necesidades básicas como la alimentación y la vivienda, y, en algunos casos, por haber sido condenados a pagar indemnizaciones de guerra en cantidades desconocidas. Sargent establece una distinción clara entre las acciones del gobierno y los regímenes de gobierno. Una acción toma la forma de una decisión en un período de gobierno (cortar el subsidio al combustible para calefacción durante un mes, por ejemplo), sin garantías creíbles de que se repita la acción. A diferencia de un régimen, que es un compromiso creíble con una secuencia de acciones, por ejemplo, la venta de la ferroviaria estatal o hacer el banco central independiente. La solución a las hiperinflaciones, en todos los casos, fue un cambio en el régimen: los gobiernos abandonaron déficit y financiamiento por señoreaje a favor del equilibrio presupuestario y de los bancos centrales independientes. En muchos casos, al menos parte, la credibilidad de los nuevos regímenes derivó de obligaciones internacionales. Por ejemplo, en agosto de 1922 Austria firmó acuerdos con la Liga de las Naciones que vinculan a su equilibrio fiscal y la estabilidad monetaria. En Alemania, donde la inflación fue más dramática, la mayor responsabilidad fiscal solo era la factura de las reparaciones de la guerra. En las negociaciones de los tratados originales de Versalles, las grandes potencias no habían podido fijar un valor de la empresa de reparaciones de guerra de Alemania. En teoría toda Alemania fue hipotecada para las reparaciones, y de hecho, en 1923, Francia ocupó el Ruhr para llevar a casa este punto. En octubre de ese año Alemania emitió una nueva moneda, el rentenmark, cuyo valor inicial fue de 1012 reichsmarks. Sin embargo, en 1924 la catastrófica inflación alemana se detuvo. Sargent reporta varias acciones deliberadas y permanentes que constituyen un cambio de régimen. Entre ellas, el gobierno despidió a 25% de su fuerza de trabajo y redujo el empleo en el sistema ferroviario del Estado en cerca de 180.000. Alemania también negoció un valor fijo razonable para su proyecto de ley de reparación con los poderes del tratado.


Con todas estas inflaciones, en algún momento los bancos centrales fueron llamados a comprar casi todas las nuevas emisiones de deuda nacional neta. Una reforma común era prohibir al banco central la compra de deuda pública. Este fue un compromiso legal de la disciplina fiscal, y un buen ejemplo de la diferencia entre los regímenes y acciones. Una vez que las se les aseguró a las familias que el régimen hiperinflacionario había terminado, sus tenencias de dinero se recuperaron notablemente. Por lo tanto, incluso después de que las inflaciones habían terminado, los gobiernos siguieron emitiendo grandes cantidades de nueva base monetaria. Este dinero fue absorbido por los hogares que habían economizado dramáticamente en sus tenencias de moneda durante la hiperinflación. El paralelismo con los países de hoy en día, como Ucrania o Rusia, es claro. Estos también son los nuevos estados que no tienen una historia para guiar a los inversores, con los sectores públicos inflados y sistemas ineficientes de recaudación de impuestos. A diferencia de los ejemplos anteriores, se comprometen, en la medida de lo posible, a la disciplina fiscal, aunque en algunos casos esto requiere el default en algunas de las obligaciones del gobierno (por ejemplo, los empleados del gobierno ruso deben a menudo esperar meses por sus cheques de pago). Las organizaciones internacionales como el FMI y los gobiernos extranjeros, al igual que en la década de 1920, han actuado como mecanismos de compromiso para evitar que el gobierno de Rusia utilice la imprenta para cumplir con sus obligaciones. Sin embargo, hasta tanto las obligaciones de gasto público disminuyan o aumente la recaudación de impuestos, habrá una posibilidad persistente de hiperinflación, con sus consiguientes trastornos sociales.


Capitulo 19

Política Monetaria Óptima Como ya hemos comentado, las políticas monetarias expansivas involucran el descenso de fondos de la Fed y el crecimiento inesperado de la oferta monetaria. En los EE.UU., las políticas monetarias expansivas han tendido a producir ampliaciones reales de la producción y el aumento de la inflación. Por el contrario, las políticas monetarias contractivas han tendido a producir contracciones reales en la producción y la disminución de la inflación. En su Capítulo 18, Barro afirma que estos efectos han sido bastante moderados, pero recientes trabajos empíricos apoyan a la opinión contraria, que los shocks monetarios pueden tener grandes efectos sobre las variables reales en el corto plazo. Todo el mundo está de acuerdo en que las políticas monetarias expansivas tienden a conducir a un aumento de la inflación, mientras que las políticas contractivas producen disminuciones en la inflación. En este nivel amplio, la política monetaria parece ser una cuestión de negociación entre la inflación y el producto. Dado que el desempleo tiende a disminuir al aumentar la producción, esto implicó una dicotomía entre la elección entre la inflación o el desempleo. La relación empírica entre los dos tópicos se llama curva de Phillips. En los EE.UU., al igual que en la mayoría de los países, la política monetaria se encuentra bajo el control del gobierno. Esto plantea inmediatamente la cuestión de cuál es la mejor manera de conducir la política monetaria. Como veremos, esto no es tanto una cuestión de cuándo y cómo se dan en el tiempo las expansiones y contracciones de la oferta de dinero, tal que los economistas suelen pensar, sino que es una cuestión de lo que el sector privado predice que el gobierno va a hacer y cómo el gobierno puede influir en esas predicciones. Antes de que podamos pensar provechosamente sobre la política monetaria, tenemos que tener un modelo razonable de cómo las perturbaciones monetarias pueden influir en la economía real. Nuestro modelo será una simplificación del trabajo seminal de Robert E. Lucas, Jr., "Las expectativas y la neutralidad del dinero". En ese modelo, el sector privado se divide en diferentes industrias (llamadas "islas"), que observa sólo el precio de su propio producto. Este precio se compone de un nivel general de precios (no observado) y un shock específico de la industria (también no observado). El sector privado tiene alguna previsión sobre la inflación (no importa, por el momento, su origen) y la utiliza para obtener una estimación del impacto específico al que la industria se enfrenta. Si el shock estimado es alto, el sector privado aumenta la producción. Si es bajo, el sector privado disminuye producción. El gobierno elige una tasa de inflación. Una expansión monetaria inesperada va a producir un aumento temporal en la producción. Por lo tanto el modelo de Lucas destaca el papel de las expectativas en la conducción de la política monetaria.


En el modelo de Lucas, sólo los cambios no anticipados en el nivel de precios tienen efectos reales. Si la expansión monetaria es totalmente esperada, no tiene efectos reales. Esto apunta a algo muy importante en la conducta real de la política monetaria: sólo importa si es sorpresiva. Por otra parte, al sector privado no le gusta ser sorprendido, aunque la sorpresa monetaria produce un auge temporal. Una antigua tradición en la macroeconomía sostiene que los gobiernos deben tratar de manipular la oferta de dinero para amortiguar las perturbaciones de oferta y demanda. La lección central de la investigación de Lucas es que los gobiernos deben esforzarse en lugar de minimizar la incertidumbre en torno a la política monetaria. Entonces nos alejamos de la forma específica de la curva de Phillips derivada del modelo de Lucas y empezamos con una simple generalización de que la inflación, las expectativas de inflación y el desempleo están relacionados por una fórmula muy simple. El gobierno tendrá que alguna preferencia (y por lo tanto, curvas de indiferencia) por el desempleo y la inflación (ambo son males), y la política monetaria, si ignoramos cómo se forman las expectativas, se puede verse como una simple elección de desempleo e inflación. Una vez que comenzamos el modelado de la formación de expectativas, vamos a ver que la capacidad del gobierno para comprometerse creíblemente a una trayectoria inflacionaria en particular es crítica. Vamos a modelar explícitamente un juego de dos personas entre el sector privado y el gobierno. Con un mecanismo de compromiso así llamado, el gobierno será capaz de usar la estrategia de Ramsey y obtener un resultado de Ramsey. Recordemos el problema de impuesto óptimo de Ramsey del Capítulo 14. En este capítulo se asumió que el gobierno podría comprometerse a una secuencia fiscal determinada, por eso el término "Ramsey". No consideramos lo que sucedería si el gobierno no podía comprometerse a una secuencia fiscal determinada. En este capítulo vamos a ver que sin un compromiso determinado, el gobierno y el sector privado aplican la estrategia de Nash y alcanzan el resultado de Nash. El resultado fundamental de este capítulo es que Ramsey es MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 114

www.elsolucionario.org mejor que Nash. Tanto el gobierno como el sector privado están mejor en el resultado de Ramsey que en el Nash. De hecho, en ciertas circunstancias, el resultado de Nash implica (temporalmente) alta inflación y alto desempleo, el llamado episodio "estanflación" de la década de 1970. En ese momento, la estanflación fue atribuida a un shock del precio del petróleo. Tenemos que reconsiderar y admitir que posiblemente fue el resultado de una falta de compromiso creíble por parte del gobierno. La teoría en este capítulo nos dará una explicación del "dolor" asociado a la lucha contra la inflación. Hay una poderosa hipótesis mantenida en los medios de comunicación de que las políticas que son antiinflacionarias requieren cierto sacrificio de la producción real. Como veremos más adelante, cuando el sector privado ha formado fuertes expectativas por la continua inflación alta, confundiendo las expectativas, la baja inflación puede tener un costo grave en términos producción de bienes. Esta no es una razón para oponerse a las políticas anti-inflacionarias, es una razón para hacer campaña con un compromiso creíble con baja inflación. Por último, vale la pena señalar que, en este Capítulo, vamos a ignorar la restricción presupuestaria del gobierno. En el Capítulo 18 estábamos muy preocupados por la relación entre los persistentes déficits presupuestarios del gobierno y la inflación. En este capítulo vamos a suponer que el presupuesto del gobierno está más o menos en equilibrio, y que el gobierno no necesita todo los ingresos por señoreaje generados por la alta inflación. Esta es una suposición segura cuando se piensa en la inflación de los EE.UU. Al pensar en la inflación entre los distintos países, sin embargo, el análisis del Capítulo 18 es probablemente más apropiado en los países como Brasil, que experimentó inflación persistente y grandes déficits presupuestarios. El "dolor" de la lucha contra la inflación en los países es el dolor de aumentar los impuestos directos y la disminución de los gastos del gobierno. Tanto en este Capítulo como en el Capítulo 18 queda en relieve la importancia de las políticas públicas creíbles. En el Capítulo 18, para detener la hiperinflación el gobierno tuvo que comprometerse de manera creíble al equilibrio sus libros fiscales. En este capítulo, para evitar inflaciones moderadas, el gobierno tendrá que comprometerse creíblemente a mantener sus manos fuera de la espiga monetaria. En ambos casos hay un papel para las instituciones internacionales como mecanismos de compromiso.

19.1 El Modelo de Lucas (1972) En esta sección se considera una versión simplificada del importante modelo de Lucas. Vamos a tener una relación entre el nivel de precios esperado, el nivel de precios actual y algo que se ve como el desempleo. Vamos a utilizar esta relación para argumentar a favor de una forma funcional particular para la curva de Phillips, aunque no vamos a obtener exactamente una curva de Phillips ya que nuestro modelo va a ser estático, para mantener la exposición simple. La generalización dinámica es muy elegante, y el lector interesado puede consultar directamente el documento de Lucas. Este modelo resulta de las decisiones tomadas por muchas industrias separadas del sector privado. Estas industrias no pueden comunicarse entre sí respecto a los precios. Ellos van a contratar mano de obra de acuerdo con su estimación de la situación real de la demanda de su producto. Qi es la producción de la industria i. Suponga que todas las industrias utilizan una sola entrada, el trabajo. Li es el número de trabajadores contratados en la industria i. Supongamos que todas las industrias tienen en común la función de producción:

donde el parámetro de la tecnología α satisface 0 < α <1. Asuma que a todos los trabajadores se les paga un salario común de una unidad por unidad de trabajo ofrecida. Para un nivel de producción Qi, por lo tanto, requiere de mano de obra (y los costos totales) de Li1/α. Por lo tanto la función de costo en la industria i es:

En la industria i habrá un precio Pi para la producción de esa industria. Se sabe que este precio está compuesto de dos partes: un nivel general de precios P, común a todas las industrias, y un shock Zi específico a la industria i. Estos términos se relacionan mediante la ecuación de precios: El término Zi da el precio real de la producción en la industria i. El nivel de precios P no es revelado hasta el final del período, ya que las industrias están en islas y no pueden comunicarse durante la producción. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 115

Todas las industrias del sector privado comienzan el período con una previsión común de P, que denotamos por Pe. Así, la mejor estimación de su precio real Zi, de la industria i, es:

Hay que recordar que la industria i sólo observa Pi. El equilibrio en la industria i, asumiendo que es competitivo, requiere que el costo marginal sea estimadamente igual al precio real Zei. Ya sabemos que de la curva de costo total, el costo marginal debe ser su derivada con respecto a la producción Qi. Eso es, el equilibrio requiere:

Podemos resolver esto para obtener la demanda de trabajo de equilibrio condicionada al shock estimado Zei:

Como era de esperar, las industrias demandarán más mano de obra si se estima que la demanda de sus productos es inusualmente alta (si Zei es grande). El Zei se compone de dos partes: la estimación conocida del nivel de precios Pe y el nivel de precios específicos Pi, relacionados por la ecuación (19.2). Por lo tanto podemos sustituir en la ecuación (19.3) para encontrar la demanda específica de la industria de mano de obra condicionada de Pe y Pi:

Ahora tomamos logaritmos en ambos lados. A partir de ahora, ponemos las variables en minúscula porque son logarítmicas. Así ℓ𝑖 = ln (Li) viene dada por:

sustituimos pi por zi+p de la ecuación (19.1), y denominamos A= [1/(1- α)] ln(α) para obtener:

La ecuación (19.4) captura el registro de la demanda de trabajo en función del (logaritmo del) shock, el nivel común de precios p y el precio pronosticado común pe. Definimos u como la "tasa de no empleo" (no es la tasa de desempleo, sino algo similar). Si N es la fuerza de trabajo total y n = ln (N), a continuación, definimos a u como:

Asumimos por el momento que solo hay dos industrias. Entonces:

Mas aún, definimos:

donde u* es algo similar a la tasa natural de no empleo,


Ahora podemos escribir la tasa agregada de no empleo como: Vamos a utilizar una versión de esta ecuación en este capítulo. Desde el punto de vista del gobierno, el nivel de precio común p es una variable de control. El gobierno toma un nivel de p con la política monetaria. Note lo que la ecuación (19.5) dice sobre la relación entre el desempleo (o no-empleo), el nivel de precios y el nivel de precio esperado: el desempleo disminuye en el nivel de precios p, pero aumenta con el precio esperado pe. Desde el punto de vista de la industria privada, si el nivel de precios actual excede el nivel de precios esperado, p > pe, la industria ha producido demasiado y sufre pérdidas como resultado. Desde el punto de vista del gobierno, si p > pe, puede estimular un período de auge en el que el desempleo está por debajo de su nivel natural.

19.2 Política Monetaria y Curva de Phillips Para el resto de este capítulo vamos a utilizar una versión modificada de la ecuación (19.5). Asumimos que:

Aquí u es la tasa de desempleo, u* es la "tasa natural" de desempleo, πe es la tasa de inflación esperada y π es la tasa de inflación real. La tasa natural de desempleo es el nivel de desempleo cuando la inflación está perfectamente prevista, por lo que las industrias no se dejan engañar en el pensamiento de que la demanda relativa es más alta o más baja. La pendiente de la curva de Phillips es -γ donde asumimos que γ>0 (expansiones monetarias reducen el desempleo). Si pensamos que existe incertidumbre sobre el estado de la economía real, podemos añadir un término de shock, para producir:

Para la mayor parte de lo que sigue, vamos a suponer que la autoridad monetaria conoce el estado de la economía con certeza. En la figura (19.1) trazamos curvas de Phillips con dos valores diferentes de inflación esperada πe, un valor bajo en el que la tasa de inflación esperada es cero, y un valor alto, en el que el tasa de inflación esperada es de 8,3%. La línea punteada muestra la tasa natural de desempleo (en este caso u*= 5%), y γ = 0,3. Tenga en cuenta que cuando las expectativas inflacionarias son altas, para lograr cualquier tasa de desempleo dada se requiere una tasa de inflación más alta, y para lograr una inflación cero se requiere una tasa de desempleo muy por encima de la tasa natural.

Figura 19.1: Curvas de Phillips bajo dos diferentes expectativas sobre la inflación. La curva inferior asume que πe= 0 y la curva superior asume πe= 0,0833. La línea de puntos muestra la tasa natural de desempleo.

Política Monetaria con Expectativas Fijas Supongamos que el gobierno (o algún brazo del gobierno que controla la política monetaria) tiene una función de utilidad de desempleo y de inflación Vg(u, π) dada por:


www.elsolucionario.org Es decir, al gobierno no le gusta –en la misma forma- ni el desempleo ni la inflación. Vamos a asumir esta forma de V para el resto del capítulo, por lo que vale la pena mencionar que el Consejo de la Reserva Federal, por ley, supone un equilibrio entre los dos objetivos de pleno empleo y estabilidad de precios. Así, esta función de utilidad parece coincidir con la ley. Si asumimos que πe está dada exógenamente y es fija, podemos sustituir la curva de Phillips de la ecuación (19.6) en la función de utilidad del gobierno anterior para producir un problema de maximización. Así, las expectativas sobre la tasa de inflación del sector privado se han fijado en πe, entonces la opción óptima del gobierno de inflación π viene dada por:

La condición de primer orden con respecto a π es:

Podemos resolver esto para π para obtener la mejor opción de inflación cuando la inflación esperada es fija πe y la tasa natural es u* (lo llamaremos: π*(πe))

Podemos conectar π*(πe) en la curva de Phillips de la ecuación (19.6) para producir la tasa de desempleo asociada, u0(πe):

Tenga en cuenta que si πe es "pequeña", u0(πe) se encuentran por debajo de u*. El gobierno negocia cierta inflación para mantener una tasa de desempleo baja. Se traza π*(πe) en la Figura (19.2). Tenga en cuenta que para valores bajos de inflación esperada πe, el gobierno elige las tasas de inflación por encima de las expectativas y para altos valores de πe, el gobierno elige las tasas de inflación inferiores a las expectativas. En una tasa de inflación esperada única, la mejor respuesta del gobierno es elegir una tasa de inflación real que es exactamente igual a la tasa de inflación esperada. Esto jugará un papel sustancial, como veremos más adelante.


Figura 19.2: La elección óptima del Gobierno de la inflación π* es una función de las diferentes expectativas del sector privado (línea continua) y la línea de 45 grados (de puntos). Donde las dos líneas se cruzan es la expectativa inflacionaria en la que las mejores respuestas del gobierno son satisfacer la inflación esperada. Es decir: el nivel de inflación Nash.

Dos Historias sobre la Inflación Esperada Aún no está listo para discutir las interacciones estratégicas entre el sector privado y el gobierno que determinan las expectativas inflacionarias. Sin embargo, podemos estudiar los resultados en dos historias diferentes sobre las expectativas inflacionarias. Estos le ayudarán a reflexionar sobre el problema del gobierno. En primer lugar, vamos a suponer que las expectativas son fijas, pero que el sector privado conoce el problema de maximización MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 118

del gobierno. Si esto es así, el sector privado creará expectativas en un valor único de tal manera que el gobierno opta por configurar la inflación en exactamente el mismo valor que el sector privado lo ha previsto. En segundo lugar, vamos a suponer que la inflación esperada es exactamente igual a la inflación real en todos los casos. El sector privado tiene una bola de cristal (o un espía), que informa con precisión el plan de inflación del gobierno, no importa lo que toma el gobierno. Imagine por un momento que el sector privado conozca el problema de maximización del gobierno y anticipa correctamente la inflación. Es decir, se supone que las expectativas inflacionarias satisfacen: πe =π*( πe) De la figura (19.2) a continuación, vemos que es exactamente una tasa de inflación esperada. Ampliando:

Podemos resolver este valor especial de πe, lo llamaremos π1, para obtener:

dónde π1 es la tasa de inflación única que satisface las expectativas πe= π1, la meta de inflación del gobierno es también π1. La tasa de desempleo asociada es: u1=u* desde entonces πe =π. Así, la tasa de desempleo es la tasa natural de desempleo u* y la inflación es relativamente alta en π1. Este será el equilibrio de Nash de la inflación (como veremos más adelante). Ahora imagine que el gobierno está obligado por ley a comunicar correctamente su objetivo de inflación cada período. El sector privado se anticipa a esto y selecciona πe =π. Así, la curva de Phillips en la ecuación (19.6) se convierte en: En otras palabras, la inflación no afecta a la producción. Si este es el caso, el gobierno elige una tasa de inflación de cero (ya que la inflación es costosa y ahora no proporciona ningún beneficio), la tasa de desempleo va de nuevo a la tasa natural. Esto será el equilibrio de Ramsey como veremos a continuación. Contraste entre los equilibrios de Ramsey y de Nash. Ambos producen la tasa natural de desempleo, pero el equilibrio de Nash tiene una alta tasa de inflación. Así, el gobierno y la población están mejor si el gobierno es capaz de anunciar la tasa de inflación y ser creído. Como veremos más adelante, por desgracia, cuando el sector privado espera que la inflación sea baja, hay una tentación para que el gobierno “la infle”. Política Monetaria de Ramsey El último ejemplo fue el problema de Ramsey. Si el gobierno puede comprometerse creíblemente a una tasa de inflación particular, el sector privado responde estableciendo como expectativas inflacionarias la meta de inflación anunciada. Como resultado, el gobierno anuncia una meta de inflación de cero, y el resultado es la tasa natural de desempleo. ¿Qué es un conjunto de compromisos? Al hacer que la autoridad monetaria sea completamente independiente de la autoridad fiscal pueda ser aislado de presiones políticas. Además, si el banco central tiene una reputación por ser un misántropo desagradable que se preocupa sólo de derrotar a la inflación, el sector privado puede llegar a ser convencido de que con el tiempo, de hecho, el banco central pondrá π=0 para siempre. En efecto, una lectura de la recesión de la década de 1980 es que el sector privado tuvo que ser convencido del compromiso del nuevo banco central a una baja inflación. Paul Volcker llegó como Presidente del Consejo de la Reserva Federal en un momento de alta inflación y alto desempleo. Él anunció que habría una baja inflación en el futuro. El sector privado no ajustó sus expectativas, pero Volcker siguió adelante con su promesa. El resultado fue el caso inusual en el que las expectativas de inflación superaron la inflación real, es decir πe> π. Como resultado, el desempleo estuvo por encima de su tasa natural llegando a una de las más profundas recesiones del siglo. Después de dos años de este tratamiento, el sector privado ajustó sus expectativas, convencido de que el señor Volcker estaba comprometido con una inflación baja.


Otros países, sin el beneficio de la tradición de las políticas anti-inflacionarias de la Fed para tranquilizar al sector privado, dan rienda suelta completamente a la política monetaria. En Hong Kong, por ejemplo, la moneda está vinculada al dólar de EE.UU. en un arreglo conocido como caja de conversión. Por cada 7,8 dólares que Hong Kong emite, un dólar EE.UU. debe colocarse en depósito, por lo que la moneda está totalmente respaldada. El Gobierno de Hong Kong no puede imprimir dinero. Así, el tipo de cambio es inmutablemente fijo, y no puede haber una depreciación de la moneda local frente al dólar de EE.UU. Los países hacen todo lo posible para convencer al sector privado que están realmente comprometidos con bajar la inflación. Ellos tienen que trabajar tan duro, como veremos, precisamente porque si las expectativas son bajas, siempre existe la tentación de inflar.

19.3 Política Monetaria Óptima sin Compromiso: El Problema de Nash En esta sección vamos a modelar explícitamente la interacción estratégica entre el sector privado y el gobierno cuando se forman las expectativas inflacionarias. Vamos a obligar al gobierno a elegir sólo dos posibles niveles de inflación, y el sector privado a elegir sólo dos posibles expectativas inflacionarias. Los resultados que obtenemos aquí se generalizan al caso continuo. La inflación π sólo puede tomar uno de dos valores: {0, π}. Esto es, la inflación puede ser cero o el nivel alto que derivamos en la ecuación (19.7). El sector privado espera πe, que puede asumir dos valores {0, π1}, ya que no tendría sentido que el sector privado anticipe las tasas de inflación que el gobierno no puede recoger. Hay cuatro posibles combinaciones de inflación prevista y real, {πe, π}. En cada una de estas cuatro combinaciones se especificará el pago al sector privado y al gobierno. Estos pagos serán conocidos por ambos jugadores. Vamos a buscar un equilibrio de Nash, que no es más que un par de opciones (una para el sector privado, una para el gobierno) en el que, dada la elección del otro jugador, ningún jugador puede jugar mejor. Consideramos ahora cada una de las cuatro combinaciones posibles. Vg (πe, π) será el pago del gobierno y Vp(πe, π) será la recompensa para el sector privado en cada combinación posible {πe, π}. Vamos a suponer que el sector privado sufre una penalización de -1 si no pronostica correctamente la tasa de inflación, y obtiene una ganancia de cero en caso contrario (esto es sólo una normalización). Suponemos que la recompensa del gobierno (con la inflación cero y la tasa natural de desempleo) es 0, y que de lo contrario al gobierno no le gusta la inflación ni el desempleo. En cada uno de los cuatro posibles resultados, las ganancias de los dos jugadores son:

Tenga en cuenta que al gobierno realmente no le gusta {πe= π1, π=0}, lo que corresponde al juego de Volcker, baja inflación cuando las expectativas son altas. El resultado es el desempleo por encima de la tasa natural. Además, al gobierno no le gusta (pero no tanto) {πe= π1, π= π1}, aquí la inflación es alta, pero el desempleo es a la tasa natural. El gobierno preferiría estar en {πe= 0, π= π1}, aquí la inflación es inesperadamente alta, por lo que el desempleo está por debajo la tasa natural. Ahora vamos a trabajar a través de estos pagos para encontrar el equilibrio de Nash. Si el hogar elige πe=0, la mejor respuesta del gobierno es elegir π= π1. Si juega el hogar elige πe= π1, la mejor respuesta del gobierno es la de elegir π= π1. Si el gobierno juega π=0 la mejor respuesta de la familia es πe= 0, pero esto no es un equilibrio de Nash, ya que, si la familia juega πe= 0, vimos que el gobierno va a querer desviarse a π= π1. Si el gobierno juega π= π1, entonces la mejor respuesta del hogar es jugar πe= π. De manera que π= π1 es la mejor respuesta del gobierno cuando los hogares juegan πe= π1, este es el equilibrio de Nash en este ejemplo. El equilibrio de Nash es, entonces, el desempleo en la tasa natural combinada con una alta inflación. Compare esto con el resultado Ramsey del desempleo a la tasa natural y la inflación de cero.

19.4 Objetivos de Tasas Nominales de Interés Óptimas En esta sección consideraremos la elección óptima del gobierno de las tasas de interés nominales. Tendremos en cuenta el coste real de la inflación, mientras que antes habíamos tomado simplemente como dado que al MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 120

www.elsolucionario.org gobierno no le gustaba la inflación. Vamos a utilizar el modelo simple de las tenencias de efectivo del Capítulo 4 para demostrar que los hogares están mejor cuando la tasa nominal de interés es cero. Esta es una forma de lo que se conoce como la regla de Friedman. Aparece con frecuencia en la economía monetaria. Recordemos que la tasa de interés nominal R, la tasa de interés real r y la inflación esperada πe están relacionadas por la regla de Fisher: R = r + πe. Para esta discusión vamos a tomar la tasa de interés real como fija y fuera del control del gobierno. Además, supondremos que el gobierno no puede manipular directamente las expectativas de inflación, y que el sector privado proyecta correctamente la inflación. Esto es: πe= π. Así, el gobierno influye en la tasa de interés nominal sólo a través de la elección de la tasa de inflación actual, π. La intuición detrás de la fórmula de Fisher es bastante convincente: los hogares demandan una prima de π por tenencia de activos denominados en dinero, que es la pérdida de valor de la tasa de inflación. En nuestro modelo no habrá producción. Los hogares poseen un stock de activos que generan intereses, que ganan una tasa de retorno nominal de R, y una cantidad de dinero sin intereses. El dinero debe ser utilizado para las transacciones. Hay un costo fijo de μ de convertir los activos remunerados en dinero que se debe pagar cada vez que la familia va al banco a reponer sus existencias de efectivo. El hogar tiene consumo real c que no varía por periodo de tiempo. La familia va al banco x veces en un año, por lo que va de 1/x de año entre los viajes al banco. Para tener suficiente dinero en efectivo para satisfacer su consumo requerido c por un periodo durante 1/x, la familia tiene que retirar una cantidad real c/x en cada viaje. Así el promedio real efectivo durante todo el año es c/(2x). Los saldos de efectivo se podrían haber invertido en activos que devengan intereses para ganar una cantidad R durante el año. Así, el costo de los intereses no percibidos es: (Rc)/(2x). Cada vez que la familia va al banco para reponer su inventario en efectivo, incurre en un costo real de k. Por lo tanto, los costos de transacción son: μ.x. Los costos totales para una política particular x son:

La familia minimiza los costos totales. El problema de minimización tiene una condición de primer orden de:

Despejando x tenemos la famosa regla de la raíz cuadrada de Baumol y Tobin de viajes al banco:

Podemos conectar la elección de x del hogar de nuevo en su función de costos para determinar los costos anuales del hogar de gestión de efectivo, ω(μ, c, R):

Que es creciente en la cantidad fija las idas al banco μ, la tasa de consumo c, y la tasa nominal de interés R. El gobierno benevolente que desea reducir al mínimo los costos de los hogares mediante la elección de R, establecerá R = 0. En este tipo de interés, la familia va al banco sólo una vez en su vida, y no incurre en penalidad de interés por la tenencia de dinero. Esto es porque el dinero también gana una tasa de interés real de r. Esto sólo puede ser el caso si la inflación es negativa. A partir de la fórmula de Fisher R = r + πe, vemos que R =0 implica que π =-r . Así que si R = 0, el dinero es un sustituto perfecto para los bonos. La tenencia de un dólar no es algo tan malo, porque el próximo año la familia será capaz de comprar más con ese dólar de lo que puede ahora. Aunque este modelo es bastante limitado, apunta a uno de los importantes costes reales de la inflación. La inflación hace que las familias tiendan a participar en actividades privadas útiles pero socialmente inútiles. En épocas de alta inflación, las familias encuentran en su interés de invertir tiempo y recursos reales, economizar en los saldos de caja. Tenga en cuenta que esta es la primera indicación de que hemos observado en este capítulo, que la inflación perfectamente prevista es perjudicial.


Si la idea de las tasas de inflación negativas parece descabellada, piense en la regla de Friedman en su lugar: cómo defender los intereses que paga sobre el dinero es difícil (aunque no imposible) para pagar intereses sobre las tenencias de efectivo (CAE Goodhart, un banquero central de Inglés, sugirió tener una lotería basada en el número de serie de efectivo), es muy fácil de pagar intereses sobre depósitos a la vista.



Macroeconomía - Una aproximación matemática - Doepke, Lehnert & Sellgren - 1ed.pdf

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