¸ ¸ IJLWCXJH HG MNOGNMGT¸MJ GCGLXTMLJ ] GCGLXT@NMLJ WNMYGT\MHJH NJLM@NJC HG MNOGNMGT¸MJ
¸ GRJKGN GRJKGN IMNJC KJXGK KJXGKJXMLJ JXM LJ Y 45:9-< 45:9-<
Gcjd`rjh` p`r1 KMOWGC JNOGC UJAWGC@ YMCCJNWGYJ ¸ L@HMO@ WNM1 45:8:487H
:. Ljclucg I ( I (w) gn1 υ4 υt t4 + 6 5 t 4υ 9 4 8 i ( i (t) ; l`s(t l`s(t)6 5 3 t 3 υ, l`s(t l`s(t)6 υ 3 t 3 5 3 5 i ( i (t) ;
∔
≨ ≨ ∔ ∔
¸ \@CWLM@N1
(j) w5 ;
4υ ;: 4υ
υ 4 υ t t 4 i ( i (t) ; V + [Vu [Vu : (t) u : (t 4υ )[ 9 4 8 υ t υ 4 υ t t4 i (t) ; V + [Vu [Vu : (t) u : (t 4υ )[ + V + [Vθ [Vθ (t) θ (t 4υ )[ 4 4 9 4 8 υ t υ4 υ4 i (t) ; V + [Vu [Vu : (t) u : (t 4υ)[ + θ (t) θ (t 4υ ) 4 4 9 9 : υ t υ4 υ4 i (t) ; Vu : (t) u : (t 4υ)[ + V + [Vθ [Vθ (t) θ (t 4υ )[ + θ (t) θ (t 4υ ) 4 4 4 9 9 : υ υ υ4 υ4 i (t) ; Vθ (t) θ (t 4υ )[ θ (t) θ (t 4υ) + θ (t) θ (t 4υ ) 4 4 4 9 9
∔
∔
∔
∔
∔
↔
4υ
5
n< L n : : ; V a 4υ 4
∔
: V θ (t) 4 : g 4
∔
4υnt
∔
∔ ∔
∔
∔ ∔
∔
∔
∔
∔
n< L n : ; a 4υ
∔
∔
∔
∔
∔
: θ (t 4υ) 4
∔ ∔
∔ ∔
∔
∔
∔
∔
∔
∔
∔ ∔
∔
∔
∔
∔
υ θ (t) 4
∔
∔
υ υ 4 θ (t 4υ ) + θ (t) 4 9
∔
∔
∔ ∔ ∔ ∔ ∔ ∔ n< L n ; a
∔
∔
υ4 θ (t 9
υ υ 4 ( :)( an) an ) + ( :)4 ( an) an )4 4 9
υ ( :) an 4
∔ ant
)[g ∔ 4υ)[g
ht
υ4 ( :)4 ( an) an )4 [ 9
∔ ∔
∔ ∔ ∔
anυ ) ∔ 4:υ ( anυ)
: 4n4 Gnt`nlgs cj trjnsi`rkjhj hg I`urmgr pjrj cj iunlm¸ `n `n pgrm¸ `hmlj. `hmlj. L n ;
∞
I ( I (w) ;
n;:
: θ (w 4n4
∔ n)
(: )
(d) i ( i (t) ; l`s(t l`s(t)Vu )Vu : (t)
l`s(t)Vu )Vu (t + υ + υ)) ∔ u (t)[ ∔ υ)[ ∔ l`s(t (t)∔u (t∔υ)[+l`s(t )[+l`s(t)Vθ )Vθ (t)∔θ (t∔υ )[+smn(t )[+smn(t)Vu )Vu (t+υ )∔u (t)[∔l`s(t l`s(t)Vθ )Vθ (t+υ)∔θ ( (t)∔u (t∔υ )[+θ )[+θ (t)∔θ (t∔υ )+smn(t )+smn(t)Vu )Vu (t+υ )∔u (t)[+θ )[+θ (t+υ)+θ )+θ (t) (t)∔u (t∔υ )[+θ )[+θ (t)∔θ (t∔υ )+smn(t )+smn(t)Vu )Vu (t+υ )∔u (t)[+θ )[+θ (t+υ)+θ )+θ (t) (t)∔u (t∔υ)[∔smn(t smn(t)Vθ )Vθ (t)∔θ (t∔υ )[+θ )[+θ (t)∔θ (t∔υ )+l`s(t )+l`s(t)Vu )Vu (t+υ )∔u (t)[+θ )[+θ i (t) ; ∔i ( i (t) + 4θ 4 θ (t) + θ + θ (t + υ + υ)) ∔ θ (t ∔ υ ) ∔
i (t) ;
smn(t)Vu )Vu ∔ smn(t i (t) ; ∔ smn(t smn(t)Vu )Vu i (t) ; ∔ smn(t smn(t)Vu )Vu i (t) ; ∔ l`s(t l`s(t)Vu )Vu
:
∔
:
∔
:
∔
∔
: (t
:
∔
:
∔
∔
:
:
∔
:
∔
:
∔
:
∔
∔
∔
∔
:
∔
:
:
∔
:
:
∔
X ; 4υ, w5 ; :
∔u
:
:
∔
∔
: n4 L n ; 4υ
υ
∔
V i ( i (t) + 4θ 4 θ (t) + θ + θ (t + υ + υ))
∔υ
:
∔ ant
)[g ∔ θ (t ∔ υ)[g
ht
:
∔
V:
4
∔ n [L
n
: V4( :)( an) an ) + ( :)( an) an )g anυ ( :)( an) an )g 4υ : Vg anυ g an [ 4 V: n [L n ; V4 an V4 an + + [( an [( an44 a)[ a )[ 4υ 4 a : V: n4 [L n ; (4 an (4 an + + smn(nυ smn(nυ)( )( a a44n)) 4υ an L n ; υ(: n4 )
;
∔ ∔
∔
∔ ∔ ∔
[
∔
∔
∔
∔ anυ
∔∔ ∔
∔
∔
Gnt`nlgs cj s`culm¸`n `n hg cj sgrmg hg I`urmgr n`s hj1 ∞
I ( I (w) ;
an θ (w υ (: n4)
∔
n;:
∔ n)
4. Hgtgrkmng cjs smoumgntgs sukjs j pjrtmr hg cj sgrmg l`kpcgaj hg I`urmgr hg cjs smoumgntgs : iunlm`ngs pgrm¸ `hmljs `hmljs (d)i (d)i ((t) ; l`s(t l`s(t) 6 υ 3 t 3 υ n;: . (8n (8n4 :)4
|
|∔
¸ \@CWLM@N1
∞
∔
i ( i (t) ; l`st
| |
∔υ 3 t 3 υ
∔ u (t ∔ υ4 ))) υ υ i (t) ; ∔sgnt( sgnt(u (t + ) ∔ u (t ∔ )) < 4 υ υ i (t) ; ∔l`st( l`st(u (t + ) ∔ u (t ∔ )) 4 4 υ υ i (t) ; ∔i ( i (t) + θ + θ (t + ) + θ + θ (t ∔ ) 4 4 i ( i (t) ; l`st( l`st(u : (t + ∔
υ <
:
∔
:
,:
∔
:
:
∔
∔
∔8n L ; υ: ( 4
n
υ 4 υ 4
∔
υ υ i (t) + θ + θ (t + ) + θ + θ (t + ))g ))g ∔i ( 4 4
: m nυ nυ (g nυ + g m nυ ) υ 4 l`snυ 8 ( :)n L n ; ( )jn ; ( ) υ (: 8n4 )4 υ (: 8n4 ) 4 j5 z ; 4; pm 4 υ 4 l`st ht (:
4
∔ 8n )L
n
∔
;
∔ ∔
∔
| ∔υ ∞
4 i ( i (t) ; + υ n;: Jpcmljnh` Ujrsgvjc
∔
| 8 (∔:) l`s(4 l`s(4nt nt)) υ (: ∔ 8n n
4
υ 4 : (: + lps υ 4 + lps44t) : 4 ; 4 4
υ 4 ; υ 4
4t
∔m n
∔
4
ht
∞
: 8 2 ; 4+ 4 υ υ 4 (: 8n4)4 n;:
∞
∔ (:
n;:
∞
<. Gvjc¸ ug cjs smoumgntgs mntgorjcgs (d) ug ¸ \@CWLM@N1
(d)
ig
∔υx
4
: υ4 2 ; 8n4 )4 :9
∔
∔υx
∔∞
∔
g
4
l`s4υjxhx l`s4υjxhx
w4 w4 υ g 8υ ; g 8υ j
;
∔
; υ 4 υj)) + θ + θ (w i l`s4 i l`s4υjx υjx ; υθ θ (w + 4υj
υj) ∔ 4υj)
Xgnhrgk`s1
∔w
4
: 4 υj)) + θ + θ (w 4υj) υθ (w + 4υj υj) g 8υ 4υ (w + 4υj 4 υj))4 (w 4υj) υj)4 : 8υ 8υ B (w) ; (g + g ) 4
B (w) ;
∔
∔
∟
∔
∔
∞
B (w) ;
∔ awx
b(x)g
hx
∔∞
∞
cmkw
5 B (w)
↔
∔∞
U`r c` tjnt`1
: b(x)hx ; hx ; (g 4
∔υj
;
4
+ g
∔υj
4
)
∞
b(x)hx ; hx ; g g
∔υj
4
∔∞
8. Wsg gc tg`rgkj hg l`nv`culm¸`n `n gn irglugnlmj pjrj ljclucjr I ( I (w) gn i ( i (t) ; t(υ4 ug ug t υ y gvjc¸ I ( I (w) 4 hw. hw. ∞
||≨
| ∔∞
¸ \@CWLM@N1
i ( i (t) ; 4υθ (w)
|
4
4
4
4
i (υ ) ∔ i ( i (t ) I (υ ∔ t ) ; i ( a ) θ (w) I (υ ∔ t ) ; 4υ θ (w) ∔ 4υ( a) (4υaθ θ (w)) ∟ (4υ (4υ θ (w) + 4υθ 4 υθ (w)) I ; 4:υ (4υa 4υa θ (w) I ; a 4υ + 4υa 4
4
<
4
<
<
Jpcmljnh` Ujrsgvjc1
∞
: ; 4υ
∔∞
∞
4
∔∞
<4υ <4υ2 I ( I (w) hw ; hw ; :57 4
∔∞
|
4 4
∔∞
∞
I ( I (w) 4 hw
:9υ :9υ? t ) )ht ; ht ; :57
∞
(t(υ
| ∔ | | <
4
∔ t )6
7. @dtgnoj cj jut`l`nv`culm¸ `n ` n hg cj sg˓ njc njc
∔
i ( i (t) ;
i ( i (t) ; u 4 (t) ∔
∔u
4 (t
∔
Bjlgk`s, pjrj cj l`nv`culm¸ `n, `n, un b(t)1
t , 5 4 , 4 4t +8 , < <
∔ 4) ∔ 4u
≨ t 3 4 ≨ t 3 < ≨ t 3 9
4 (t
∔
+ u ∔ <) + u
4 (t
∔
∔ 9)
b(t) ; i ( i (t) i ( i (t)
∟
] jpcmljk`s1 b (t) ; i (t) i ( i (t)
∟
b (t) ; i (t) i ( i (t) ; Vu : (t)
+ u (t ∔ 9)[∟ ∔ u (t ∔ 4) ∔ 4u (t ∔ <) + u Vu (t) ∔ u (t ∔ 4) ∔ 4u (t ∔ <) + u + u (t ∔ 9)[ b (t) ; i (t) ∟ i ( i (t) ; Vθ (t) ∔ θ (t ∔ 4) ∔ 4θ (t ∔ <) + θ + θ (t ∔ 9)[∟ Vu (t) ∔ u (t ∔ 4) ∔ 4u (t ∔ <) + u + u (t ∔ 9)[
∟
4
∔
:
∔
:
∔
4
∔
4
∔
∔
:
∔
∔
4
∔
4
4
∔
4
∔
∔
4
Tgjcmzjnh` cj l`nv`culm¸ `n `n
b (t) ; u 4 (t) u 4 (t 4) 4u 4 (t <)+ <) + u 4 (t 9) u 4 (t 4) + u 4 (t 8)+4u 8)+4u 4 (t 7)
∔ ∔ ∔ ∔ ∔ ∔ ∔ ∔ u (t ∔ 2) ∔ 4u (t ∔ <) + 4u 4u (t ∔ 7) + 8u 8u (t ∔ 9) ∔ 4u (t ∔ =)+ + u (t ∔ :4) u (t ∔ 9) ∔ u (t ∔ 2) ∔ 4u (t ∔ =) + u b (t) ; u (t) ∔ 4u (t ∔ 4) ∔ 8u (t ∔ <) + u + u (t ∔ 8)+ 8u (t ∔ 7) + 9u 9u (t ∔ 9) ∔ 4u (t ∔ 2) ∔ 8u (t ∔ =) + u + u (t ∔ :4)
∔
∔
∔
4
∔
4
∔
∔
4
∔
4
∔
4
∔ ∔
∔
4
∔
∔
4
∔
4
∔
∔
4
∔
∔
4
4
∔
4
4
∔
4
∔
4
∔
∔
4
∔
4
∔
4
∔
∔
Mntgorjnh`1
b (t) ; u < (t) ∔
8u <(t ∔
9u ∔ 7) + 9u
<
∔
+ u (t ∔ 8)+ ∔ 4u (t ∔ 4) ∔ 8u (t ∔ <) + u (t ∔ 9) ∔ 4u (t ∔ 2) ∔ 8u (t ∔ =) + u + u (t ∔ :4) <
<
∔
<
∔
∔
<
<
∔
<
∔
∔
L`n c` lujc, cj l`nv`culm¸`n `n sgr¸j
b(t) ; i ( i (t) i ( i (t) ; u 8 (t)
∟
8u 8(t ∔
9u ∔ 7) + 9u
∔ 4u (t ∔ 9) ∔ 4u ∔
8
∔
8 (t
∔
8
∔
∔
∔
∔ 4) ∔ 8u (t ∔ 2) ∔ 8u
8 (t
+ u ∔ <) + u (t ∔ =) + u + u
∔
8 (t
8
∔
8
∔ 8)+ (t ∔ :4)
9. Gn gc lmrlumt` hmomtjc k`strjh` bjccg cj rgspugstj gn gstjh` lgr`, jc mkpucs` θ (n) y jc gsljc¸`n `n u : (n). ∔
¸ \@CWLM@N1
+ q 4 (n)6 tjc qug1 ] Vz Vz [ ; Z : y(n) ; q : (n) + q x(n) ; 9q :(n)
∔
:
∔
:
8
:
R Vz [ ; 9Z: (z )(9 )(9 ] (z (z ) ;
R (z ) 9
∔
:
∔
+
:
∔
∔
)
R (z )
< ( z 8
:
∔
∔ <)
Ujrj1 x(n) ; θ (n), R (z ) ; : : ] (z (z ) ; ( 9 :
∔
: ) (:/z (:/z )z : ∔
< x(n) ; q 4(n :)
∔ ∔
∔
∔
∔
] (z (z ) ; R (z ) 9 Gnt`nlgs1
Ujrj1 x(n) ; u : (n) ∔
] (z (z ) ;
z z
∔
↔
∔
∔
∔
∔
∔
: ] (z (z ) ; (5, (5,7n u(n)) 9 z R (z ) ; z :
∔
∔
∔
∔
(5,47) u(n) ∔ <: (5, n
∔
z 8z ( + ); : 9z < < :4z :4z (z
∔
] (z (z ) ; z 4 (
∔
∔
: <(z <(z :)
∔
z 4 :)(9z :)(9z
∔ <) + (z ∔
8z 4 :)(< :4z :4z )
∔
4 : 8 : ) + 8z 8 z (∔ ( )) ∔ ∔ : =(z =(z ∔ :) < :/8 ∔ z ∔ 9(z 9(z ∔ ) 4
4
: ] (z (z ) ; u :(n + :) < ∔
(5,7) u ∔ <: (5, n
: (n + :)
∔
∔ =8 u
: (n +
∔
: :) + (5, (5,47)n u(n + :) =
∄ 4 y ∄ 4 y ?. Tgsugcvj gc pr`dcgkj l`n vjc`rgs hg ir`ntgrj ; + Jy6 Jy 6 5 ∄t 4 ∄x 4 ∄y y(56 t) ; y( y (C6 t) ; 56 t 56 y (x6 5) ; 5, 5, (x6 5) ; : pjrj pjrj 5 3 5 3 x 3 C ∄t ¸ \@CWLM@N1
≧
y (x, t) ; i ( i (x)o (t) Hjt`1 i o ‛ ; i ‛ i ‛o + Ji + Ji o
\m
i ‛ i
;
4
o‛ i ‛ i ‛ ; + J o i
i (x) ; J sgn( sgn(fx) fx ) + J + J l`s( l`s(fx) fx ) ∔f ↔ i ( ∑ ∑ sgn( f ∔ Jt) Jt) + D + D l`s( l`s( f ∔ Jt) Jt) ↔ o(t) ; D sgn( y (5, (5, t) ; 5 ↔ J ; 5 nυ y(C, t) ; 5 ↔ f ; C :
4
:
4
4
4
7
4
≨ x ≨ C6 t > 5.
y(x, 5) ; 5
↔D
4
;5
nυx ); sgn( ↔ J D sgn( C
yt (x, 5) ; :
:
:
U`r hgsjrr`cc` hgsjrr`cc` sgn`mhjc1 sgn`mhjc1 4 J: D: ; C U`r sgr n mkpjr (n (n ; 4f
C
5
y (x, t) ;
f;:
nυx ) C
:
( nυ ) 4 C
∔8
(4f (4f
4 ( nυ ) C
∔J
:)υ ∔ :)υ
(
(4f∔:)υ 4
)
C
sgn( sgn(
(4f (4f
nυ
∔
( nυ ) 4 C
:)υx ∔ :)υx )sgn( sgn( C
∔J
∔J 8
hx ; hx ;
\ustmtuygnh`11 ∔ :) \ustmtuygnh`
∞
sgn( sgn(
:
∔J
(
(4f (4f
4
:)υ ∔ :)υ ) ∔ Jt) Jt) C
2. \m i 1 L L L tjc qug w ; i ( i (z ) gs jnjc¸ jnjc¸ĺtmlj gn gc h`kmnm` H y i (z 5 ) ; 5, gnt`nlgs hgkugstrg hgkugstrg qug i gs i gs unj trjnsi`rkjlm¸ `n `n l`ni`rkg gn z ; z ; z 5 .
↔
¸ \@CWLM@N1
Ujrj hgk`strjr gc tg`rgkj1 :) @dtgngr gc jnouc` j¸nouc` hg mnlcmnjlm¸`n `n hg cj rgltj hmrmomhj tjnogntg gn gc punt` z punt` z 5 pjrj unj lurvj sujvg y hg su mkjogn i ( i (z 5 ) 4) Hgtgrkmnjr Hgtgrkmnjr gc ¸jnouc` jnouc` qug i`rkjn h`s lurvjs lurvjs sujvgs sujvgs gn un punt` z 5 y gc qug i`rkjn sus mk¸jogngs jogngs gn i ( i (z 5 ). \gj ι lurvj ι lurvj sujvg ι 1 z ; z (t)6 j
( pjrjk¸ jk¸gtrmlj gtr mljkgnt kgntg) g) ≨ t ≨ d (pjr
\gj i ( i (z ) hgnmhj gn t`h`s c`s punt`s hg ι ι l`n mkjogn hg ι ι dja` w ; i ( i (z )1 )1 r 1 w ; i ( i (z (t))6 j t d
≨ ≨
z 5
∂ H z ; z (t )6 j ≨ t ≨ d 5
5
w(t5 ) ; i ( i (z (t5 ))
Hg cj bmp¸`tgsms `tgsms i gs jn jc¸ĺtml ĺt mljj y i (z 5 ) ; 5 i gs jnjc¸
)).z (t ) ↔ w (t ) ; i (z (t )).z 5
5
5
+ jro((z (t5 )) jro( jro (w (t5 )) ; jro( jro (i (z (t5 )) + jro ω5 ; ς ; ς 5 + β + β5 6 ς5 1 jnouc` ¸jnouc` hg r`tjlm¸ `n `n ω: ; ς ; ς 5 + β + β: ω4 ; ς ; ς 5 + β + β4 ω4
∔ω
:
; β 4
c.q.q.h
9
; κ ∔ β ; κ :
=. Tgs`cvgr Tgs`cvgr cj glujlm¸ `n hg rglurrgnlmj usjnh` cj trjnsi`rkjhj Q `n trjnsi`rkjhj Q y(n) 7y (n :)+9y :)+9y (n 4) ; 46 y ( :) ; 96 y ( 4) ; 8.
∔
¸ \@CWLM@N1
∔
∔
\jdgk`s1 Q Vi ( i (t)[ ; I ( I (z ) ;
∞
∔
∔
∔n
i ( i (nX ) nX )z
n;5
Q Vz [ ;
∔n
z
;
4
9y(n ∔ 4) ; 4 ∔ 7y(n ∔ :) + 9y ] (z (z ) ∔ 7(z 7(z ] (z (z ) + y + y((∔:)) + 9(z 9(z
4z z :
∔
Ujrj1 y(n)
:
∔
:
∔
] (z (z ) + z + z : y ( :) + y + y(( 4)) ; ∔
∔
] (z (z ),7(z 7(z : ] (z (z ) + 9) + 9(z 9(z 4 ] (z (z ) + 9z 9 z ∔
∔
:
∔
+ 8) ;
∔
4z z :
4z (8z (8z 4 ,4:z 4:z + + :2) ] (z (z ) ; (z :)(z :)(z 4 7z + + 9) 9)
∔
Gxpjnhmgnh Gxpjn hmgnh`` cj irjllm¸ irjll m¸`n1 `n1
z
+
z : Jpcmljnh` Jpcmljnh` trjnsi`rkjhj trjnsi`rkjhj zgtj mnvgrsj1 mnvgrsj1
∔
4z z :
∔
∔
∔
<4 z 4
4? ∔ ∔ z ∔ < + 2
y(n) ; : + <4(4) <4(4)n
:
∔
n∔:
∔ 4?(<)
:5. Gnlugntrg unj iunlm¸ `n luyj sgrmg hg I`urmgr l`sgn`mhjc hg kghm` rjno` tgnoj l`glmgntgs `n : qug hglrgzljn l`n 8 . n ¸ \@CWLM@N1
Xgngk`s1 i ( i (t) ; t 4 , l`n υ 3 t 3 υ y i ( i (t + 4υ 4 υ) ; i ( i (t) U`r gxpjnsm¸ gxpjnsm`n `¸n hg kghm` rjno` gn i`rkj l`sgn`mhjc tgngk`s1
∔
∞
4
i ( i (t) ; t ;
( :)n+: l`s(nt l`s(nt)) n4
∔ ∔ 8
n;:
Cugo`, jpcmljk`s Ujrsgvjc1 : X
X j45 4 Vi ( 4 ht ; + X i (t)[ ht ; 8 j 4
4
4
∔
n
+d4
n
Gnt`nlgs, rggkpcjzjnh` gn cj glujlm¸ `n `n jntgrm`r1 υ : υ8 ( :)4n+4 4 (t4)4 ht ; ht ; + V [ l`s( l`s(nt nt))4 υ 8 4υ <9 n;: n 4 ∞
∔
∔ ∞
: 7 υ8 : (t ) ; + 4υ <9 n;: n8 Gnt`nlgs gvjcujk`s gn t ; 51
∔υ
∞
8
;
<9
n;:
?
: n8
