1.
Định nghĩa . • Trong Matlab thì ma trận được hiểu theo một cách đơn giản .Ma trận là một “mảng hình chữ nhật” các số. • Ma trận gồm các dòng (row) và các cột (column). Các dòng hay cột gọi chung là Vector • Ví dụ 1 2 3 9 4 5 8 7 6
• Một con số trong Matlab là một ma trận 1x1 • Thế mạnh của Matlab so với các ngôn ngữ lập trình khác là tính toán rất nhanh trên ma trận
Matlab cung cấp cho chúng ta 7 hàm để tạo các ma trận cơ bản: 1. Zeros (line,column) : cho phép tạo một ma trận toàn số 0. 2. Ones (line,column) : cho phép tạo ra ma trận toàn số 1. 3. Rand (line,column) : cho phép tạo ra một ma trận với các phần tử là sinh ngẫu nhiên và cùng loại. 4. Randn (line,column) : tạo một ma trận mà các phần tử của ma trận được sinh ra một cách ngẫu nhiên. 5. Eye (line) : khai báo ma trận đơn vị. 6. Pascal () : tạo ma trận đối xứng (ma trận vuông). 7. Magic () : tạo ma trận không đối xứng. Note : Bạn có thể nhập trực tiếp các phần tử của ma trận đó theo cú pháp sau (các phần tử của một hàng được cách nhau bởi dấu (,) hoặc một dấu cách , giữa các hàng thì được cách nhau bởi dấu (;) hay dấu ngắt ).
Nhập trực tiếp danh sách các phần tử Phát sinh ma trận từ các hàm có sẵn Nhập từ File Tạo ma trận bằng các File.m Ví dụ: A=[16 3 2 ;5 10 11 ; 9 6 7]
A= 16 5 9
3 10 6
2 11 7
• Dấu [và] mở đầu và kết thúc nhập Ma trận. • Dấu ; kết thúc một dòng. • Các phần tử cách nhau bằng khoảng trắng hoặc dấu ,
nhập ma trận từ các hàm có sẵn: >> zeros(2,3) ans = 0 0 0 0 0 0
>> diag([1 2 3]) ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3
>> eye(2) ans = 1 0 0 1 >> rand(1,8) ans = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621 0.4565 0.0185 >> ones(2,3) ans = 1 1
1 1
1 1
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Sự móc nối Ma trận. Xóa dòng và cột của ma trận. Ma trận chuyển vị Lệnh Diag Lệnh Sum Lệnh Det Ma trận symbolic Các toán hạng ma trận.
1.Sự móc nối Ma trận. Matlab cho phép kết hợp các ma trận con để tạo ra một ma trận lớn hơn. Ví Dụ : >> b=ones(3,3) a= >> c=zeros(3,3) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 >> a=[b c;c b] 1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
2.Xóa dòng và Cột của Ma Trận Matlab cho phép xóa dòng hoặc cột của ma trận bằng cách gán các giá trị rỗng cho hàng hoặc cột của ma trận.Một giá trị rỗng được ký hiệu bởi []. Ví Dụ : >> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] a= 1 2 3 4 5 6 a= 7 8 9 1 2 3 >> a(2,:)=[] : Xóa hàng 2 7 8 9
3.Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị của ma trận A là một ma trận mà các hàng của ma trận A là các cột của ma trận này. Ví dụ : a= 1 2 3 b= 4 5 6 1 4 7 7 8 9 2 5 8 >> b=a' 3 6 9
4.Lệnh Diag : Dùng để tạo ma trận đường chéo và rút ra đường chéo của ma trận. ◦ Cú pháp : Diag(v,k) là một vecto n phần tử thì kết quả là một ma trâng vuông bậc n+|k|.Trong đó các phần tử của v nằm trên đường chéo thứ k 1. k= 0 , đường chéo là đường chéo chính. 2. k>0 , đường chéo thứ k nằm trên đường chéo chính . 3. k<0 , đường chéo thứ k nằm dưới đường chéo chính. Diag(X,k): nếu X là một ma trận thì kết quả là môt vecto cột hình thành từ những phần tử của đường chéo chính thứ k. Diag(X): trả về một vecto là đường chéo chính của ma trận. Diag(Diag(X)): trả về là một ma trận đường chéo .
5.Lệnh Sum:Tính tổng các hàng và các cột của ma trận. ◦ Cú pháp : 1. Sum(X) hay Sum(X,1)trả về một vecto mà mỗi phần tử là tổng của từng cột trong ma trận. 2. Sum(X,2) : trả về vecto mà mỗi phần tử là tổng của từng hàng trong ma trận. ◦ Ví Dụ:với ma trận a cho ở trên. Tính tổng Cột >> tong_cot=sum(a) tong_cot = 12 15 18
• Tính Tổng hàng >> tong_hang=sum(a,2) tong_hang = 6 15 24
6.Ma trận Symbolic: có 2 cách định nghĩa một ma trận symbolic.
◦ Từ tham số. ◦ Từ các số thực. Để định nghĩa ma trận symbolic , hai lệnh sym và syms thường được sử dụng: ◦ Sym(„a‟): trả về kết quả là một biến symbolic tên là a. ◦ Sym([...;...;...;]): trả về một ma trận symbolic. ◦ Sym(A): với A là một số thực hay ma trận số thực sẽ trả về một biến hay ma trận Symbolic. ◦ Sym arg1 arg 2 tương đương với arg1=sym(„arg1‟); arg2=sym(„arg2‟).
7.Lệnh Det :dùng tính định thức của Ma trận. ◦ Cú pháp : Det(A) : kết quả là biểu thức Symbolic nếu A là ma trận symbolic, là một giá trị số nếu A là một ma trận số. ◦ Ví Dụ : >> syms a b c d • Định thức của ma trận đơn vị bằng 1 >> a=[a b;c d] • Định thức của một ma trận a= đường chéo là tích của các [ a, b] r= phần tử đường chéo. a*d-b*c [ c, d] >> r=Det(a) Chú ý : + ) Định thức của nó bằng 0 người ta gọi đó là ma trận suy biến. +) Định thức dùng để giải hệ phương trình tuyến tính ,xác định điều kiện có nghiệm hay không của hệ.
8.Các toán hạng trên Ma trận: trong Matlab tồn tại các toán hạng sau. A + B A, B phải có cùng kích thước ,ngoại trừ 1 trong 2 là giá trị vô hướng A – B A, B phải có cùng kích thước, ngoại trừ 1 trong 2 là giá trị vô hướng A* B
Số cột của A = số hàng của B,ngoại trừ 1 trong 2 là giá trị vô hướng
A.* B Nhân từng phần tử của A với từng phần tử của B, A;B cùng kích thước A\B
Chia trái ma trận X=A\B tương đương với giải PT : A*X=B
A. \ B Chia trái mảng tương đương với B(i,j)\A(i,j).A;B cùng kích thước A/B
Chia phải ma trận X=A/B tương đương với giải PT:B*X=A
A./ B
Chia phải mảng tương đương với A(i,j)/B(i,j).A;B cùng kích thước
A ^ B Lũy thừa ma trận. Lỗi sẽ phát sinh nếu A và B đều là ma trận A.^ B Lũy thừa mảng.Kết quả là một ma trận mà các số hạng A(i,j)^B(i,j).A;B cùng kích thước.
Một hệ phương trình tuyến tính có dạng tổng quát : a11x1 + a12x2 +a1nxn = b1 Với : A = [aịj]mxn là ma trận a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 hệ số …
am1x1 + am2x2 + amnxn = bm Một số phương pháp để giải hệ này: ◦ Nghịch đảo Ma Trận ◦ Phương pháp khử Gauss ◦ Phương Pháp khử Gauss- Jordan ◦ Phương pháp phân rã ma trận(LU)
A* = [Ab]mx(n+1) là ma trận đầy đủ
• Một trong số ứng dụng của MATLAB là giải hệ phương trình đại số tuyến tính . • Trong MATLAB có một số hàm đã được xây dựng và để sử dụng cho các phương pháp này
1.
2. 3. 4.
Nghịch đảo ma trận. Phương pháp khử Gauss – Jordan. Phương pháp phân ra ma trận(LU). Hạng của ma trận và điều kiện có nghiệm của hệ phương trình A*X = B.
1.Nghịch đảo ma trận. Xét phương trình tuyến tính. Dưới dạng ma trận hệ có dạng sau. AX = B X = 𝐴−1 B Với 𝐴−1 là ma trận nghịch đảo của ma trận hệ số A.
1.1 Lệnh inv Lệnh inv(A): dùng để tính ma trận nghịch đảo
• 1.2 Lệnh pinv pinv(A) : dùng để tính giá trị nghịch đảo của ma trận mxn, với m≠n . Lệnh này không sử dụng được với phương pháp symbolic. Ví dụ : giải hệ phương trình tuyến tính A*X=B sau
2.Phương pháp khử Gauss – Jordan.
Lệnh rref(A) : trả về ma trận là bước cuối cùng trong phương pháp này. Trong đó A là ma trận vuông hay hình chữ nhật. Lệnh rref cho phép sử dụng với phương pháp symbolic. Ví dụ : giải hệ phương trình tuyến tính sau :
Khi sử dụng phương pháp này sẽ dẫn tới bất tiện là ta phải tiến hành lại từ đầu thủ tục Gauss - Jordan cho từng vecto cột B
3.Phương pháp phân ra Ma trận 3.1 Lệnh [L,u] = lu(A) : trả về ma trận tam giác trên U, ma trận tam giác dưới L. Phân ra ma trận A thành các ma trận tam giác : A= L*U • Trong đó : L: ma trận tam giác dưới cỡ nxn, các phần tử đường chéo chính đều bằng 1 U : ma trận tam giác trên.
Như vậy hệ phương trình được viết lại sau : A*X=B (LU)*X=B Bằng cách thế ngược một lần Đặt U*X=Y thì: nữa để tìm X. Như vậy nghiệm L*Y=B A*X=B của hệ A*X=B là X= U\(L\B) U*X=Y
3.2 Ví dụ : giải hệ phương trình A*X=B , trong đó
4. Hạng của ma trận và điều kiện có nghiệm của hệ A*X=B
Hạng của ma trận A là số hàng khác 0 trong dang rút gọn của A .Ký hiệu là r(A) Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính A*X=B, có n ẩn số : ◦ r(A) = r(𝐴∗ ) = n thì hệ có nghiệm duy nhất. ◦ r(A) = r(𝐴∗ ) < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n - r(A) tham số ◦ r(A) ≠ r(𝐴∗ ) : không tồn tại lời giải của hệ phương trình A*X=B. Trong Toolbox của MATLAB có một số lệnh liên quan đến hạng của một ma trận, không gian cơ sở của ma trận.
4.1 Lệnh rank rank(A) : trả về là một số nguyên là hạng của Ma trận. Ví dụ : Xét điều kiện có nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính sau :
4.2Lệnh null. null(A)trả về ma trận rỗng R(n x 0) nếu ma trận A không suy biến Ví dụ : xét hai ma trận magic 3 x 3 và 4 x 4.
Ta có thể dùng lệnh Det để kiểm tra lại
4.3 Lệnh clospace . clospace(A) : nếu A là ma trận symbolic kích thước n x n , không suy biến Kết quả trả về là một mà trận mà các cột là vecto cơ sở của không gian 𝑅𝑛 . Ví Dụ :
1.
2. 3. 4. 5.
Định nghĩa. Cách tìm. Lệnh eig. Lệnh poly. Tính định thức , nghịch đảo, lũy thừa của ma trận thông qua ma trận giá trị riêng và vecto riêng.
1.Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n . Số được gọi là một giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vecto cột x ≠ 0, x 𝑅 𝑛 , sao cho A x = x . Khi đó vecto x được gọi là vecto riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng .
2. Cách tìm. Với A là ma trận vuông cấp n đã cho thì vecto cột x ≠ 0 là vecto riêng của ma trận A khi và chỉ khi A x = x hay : A x - x=0 x = Ix (I là ma trận đơn vị có kích thước n x n) Ax - I x=0 (A - I) x = 0 Giá riêng là nghiệm của đa thức |A - I| = 0 Nếu khai triển định thức ta sẽ được một đa thức với biến . Đa thức này gọi là đa thức đặc trưng .Nếu A là mà trận n x n thì đa thức này có dạng sau :
3.Lệnh eig Tính giá trị riêng và vecto riêng của ma trận vuông sử dụng được cho các hai phương pháp số va symbolic. Cú pháp : d = eig(A) : trả về ma trận d mà các giá trị riêng là các phần tử năm trên đường chéo chính . [V,D] = eig(A) : trả về vecto riêng chứa ma trận V và giá trị riêng chứa trong ma trận D. Ví dụ :
4.Lệnh poly Trả về đa thức của ma trận A. Cú pháp : poly(A) nếu A là một ma trận symbolic , thì kết quả trả về là một đa thức đặc trưng. Nếu A là một hàm ma trận số thì kết quả trả về là một mảng chứa các hệ số của đa thức này. Ví Dụ :
5.Tính định thức , nghịch đảo, lũy thừa của ma trận thông qua ma trận giá trị riêng và vecto riêng. MATLAB cung cấp một số hàm để tính định thức, nghịch đảo, và lũy thừa của ma trận nhe det, inv, expm. Ngoài ra căn cứ vào các tính chất của ma trận , ta có thể tính toán thông qua các biểu thức :
• Với D và V là các giá trị riêng và các vecto riêng đã được chuẩn hóa của ma trận A. Vì ma trận các giá trị riêng là ma trận đường chéo có nghĩa là các phần tử khác không chỉ nằm trên đường chéo chính do vậy việc thực hiện nghịch đảo ma trận, tính định thức ma trận, lấy lũy thừa ma trận được đơn giản đi rất nhiều nếu chúng ta thực hiện trên ma trận đường chéo chính
Tiếp ◦ Chú ý : Hàm eig của MATLAB không cung cấp cho chúng ta ma trận vecto riêng được chuẩn hóa . Do đó để sử dụng các tính chất của ma trận ở trên chúng ta cần chuẩn hóa chúng trước ◦ Ví Dụ 1 :
Ví dụ 2: Tính tần số riêng và vecto riêng của hệ dao động điều hòa :
Tiếp ví dụ 2:
Các hàm trong Matlab là được đặt trong thư mục matfun.
Các Loại
Hàm
Phân tích Ma trận
norm normest
Mô tả Tính chuẩn các vecto hoặc ma trận Chuẩn 2 của ma trận
rank
Hạng của ma trận
det
Định thức của ma trận
trace
Tổng của các phần tử nằm trên đường chéo của ma trận
null
Null space
orth
Ma trận trực giao
rref
Reduced row echelon form
subspace
Angle between two subspace
Các phương trình tuyến tính
\ and/inv cond
Condest chol cholinc lu luinc qr
Line equation solution Ma trận nghịch đảo Điều kiện đại số cho phép nghịch đảo
Ước lượng cho chuẩn 1 đại số Tham số Cholesky Tham số Cholesky không đẩy đủ Tham số LU Tham số LU không đầy đủ Orthogonal-trianglar decomposition.
lsqnonneg
Nonnegative least-squares
pinv
Nghịch đảo của ma trận ảo
lscov
Least squares with known covariance
Trị riêng và các giá trị tự do
eig
Trị riêng và vecto riêng
svd
Phân tích các giá trị tự do
eigs
Một vài giá trị riêng
svds
Một vài giá trị tự do
poly
Đa thức đặc trưng
polyeig
Polynomail eigenvalue problem
condeig
Condition number for eigenvalues
hess qz
schur
Hessenberg form Tham số QZ
Phân tích Schur
Các hàm ma trận
expm
Ma trận mũ
logm
Ma trận logarithm
sqrtm
Matrix square root
funm
Evaluate general matrix function
