Los Dos Maximos Sistemas Del Mundo

LOS DOS MÁXIMOS SISTEMAS DEL MUNDO (Las matemáticas del Viejo y del Nuevo mundo) Ensayo epistemológico

MARCOS GUERRERO UREÑA

0. 0 INTRODUCCION La historia de la ciencia se ha ido elaborando bajo la premisa de que la configuración básica del saber científico es un proceso acaecido dentro de las fronteras de la Civilización Occidental. Si bien hoy se tiende a admitir que los importantes y copiosos desarrollos intelectuales de las antiguas culturas egipcia y babilónica, o de la hindú y china, son progenitores de ese saber, no se les reconoce, en cambio, como productos científicos propiamente dichos. El argumento esgrimido es bastante convincente y recoge el hecho de que ninguno de los antecedentes de la matemática griega alcanzó a sistematizarse como una geometría -al modo de los Elementos de Euclides, con cuya aparición pudo cimentarse el escenario para la fluida realización del pensar y el conocer -. ¿Pero fue, en efecto, este hito fundador el acontecimiento del que se ha desprendido toda ciencia posible, o hubo, en alguna otra parte de nuestro planeta, una invención equivalente, un desarrollo paralelo de un sistema de referencia igualmente apropiado para la expresión de las ideas? De dar crédito a esta posibilidad: ¿Cuál es esa otra ciencia, dónde y cómo se originó?, ¿Fueron sus condiciones de partida, principios, objetivos y formas constructivas idénticos a los de la ciencia reconocida? o, ¿Fueron saberes de distinta raíz y tallo, cuyas diferencias piden explicación? ¿Podrían comunicarse las dos ciencias en pie de igualdad? ¿Qué consecuencias y beneficios, cabe esperar de aquello? Antes de contestar estas inquietantes preguntas, voy a poner a consideración de los lectores el siguiente libro, el cual da a conocer por primera vez el que muy probablemente fue el sistema matemático que desarrolló el hombre americano precolombino; haciéndolo esta vez en el marco de los

Espacios de

Representación. Una vez que terminemos de recorrer sus páginas, les aseguro, estaremos en buenas condiciones para contestar satisfactoriamente

las

mencionadas preguntas. Anticipando, lo que debo manifestarles es que estas exóticas matemáticas se ocuparon tanto de la parte cuantitativa como cualitativa del mundo y consistieron en dos ramales -dicho con terminología actual-: una Geometría Analítica Fractal,

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totalmente desconocida hasta la fecha, no consta en los Anales de Matemáticas, y una Geometría Arborescente o p-ádica. Éstas, al ser combinadas de manera complementaria, configuraron el Kipu, genuino sistema de coordenadas de referencia capaz de representar con una alta resolución, tanto la cantidad como la calidad de los procesos concretos, y útil para realizar predicciones fiables. Como consecuencia lógica de todo esto tubo lugar el nacimiento de una Cosmovisión, asimismo, geometrizada. Para poder comprenderlas a cabalidad es preciso establecer, previamente, el concepto de:  Espacio Matemático de Representación (E.M.R.) Definición: Del modo más general, podemos decir que el E.M.R. es un Cuerpo topológico (ver recuadro 1) construido según una determinada estructura geométrica. Así, él puede ser: puntiforme si está constituido por puntos, reticular si es en forma de malla, ramiforme o en árbol, de cuerdas, etc. (ver recuadro 2) El E.M.R consta de las siguientes partes: un cuerpo numérico, una clase de valor absoluto, una clase de distancia y un sistema de coordenadas de referencia espacio-tiempo. El E.M.R. es el dispositivo intelectivo más importante que posee la ciencia actual. Al científico le ha servido para registrar el rastro que dejan las regularidades que rigen los procesos de la realidad, lo que le ha sido útil para luego ejecutar simulaciones, realizar predicciones fiables y efectuar aplicaciones prácticas exitosas. Para llevar a cabo tan fascinante prodigio, el científico hace uso de las propiedades que posee dicho espacio, en la medida en que éstas puedan expresarse por medio de ecuaciones que representen las funciones que caracterizan al proceso en mención. El E.M.R. es el mayor logro del pensamiento matemático en la historia del ser humano, es el medio que permite la creación del discurso científico, el que deviene mas tarde en tecnología, la cual, a su vez, al incidir en la producción social, genera significativas modificaciones en el hombre y su entorno natural, transformándose, finalmente, en fuerza productiva, la que actúa como un verdadero agente de la evolución.

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El E.M.R. es el producto final de un largo proceso evolutivo que ha posibilitado la aparición de la denominada conciencia mental o conciencia espacio-tiemporal o científica. Se trata de la conciencia histórica que supera a la conciencia mítica, la inmediatamente anterior, que subyace en su interior, que comenzó a desarrollarse hace aproximadamente 40.000 años y no ha terminado todavía. El E.M.R. ha posibilitado la aparición de la comunicación conceptual o científica gracias a la modelación matemática de los sistemas. El concepto de EMR, logrado gracias al conocimiento actual sobre el tema, nos va a permitir realizar un viaje epistemológico a lo largo de la historia de las matemáticas, tanto las del Viejo Mundo como las del Nuevo y descubrir sus respectivas especificidades constructivas; así como sus mitos de origen. Por medio de él nos encontraremos con geometrías “exóticas” apreciadas hasta hoy con una mezcla de perplejidad y menos precio y trazaremos un nuevo rumbo para la Ciencia.  Metodología En el proceso de presentación de los dos sistemas matemáticos se hará uso del Principio de Relatividad y del Principio Antrópico. El Principio de Relatividad, que Galileo Galilei fue el primero en vislumbrar, nos va permitir colocarnos, alternativamente, en cada uno de esos espacios para mirar el mundo desde uno u otro, reconociendo factores que no dependen de cada observación y haciendo deliberado uso de un proceso transformativo. Relatividad es, por tanto, comunicación entre esos sistemas de referencia dotados de su propio movimiento. El Principio Antrópico, que legitima el conocimiento de aquello que es difuso, por alejado en el tiempo, no a partir de establecer sus hipotéticas características iniciales, sino de valorar retrospectivamente lo que nos muestra su actual estado de evolución, hará posible “resucitar” el carácter científico de geometrías tenidas hasta hoy como un producto exótico y, como ya dijimos, aceptadas con una mezcla de perplejidad y menosprecio. Introducido en 1961 por el físico usamericano Robert Dicke, el principio constituye una manera alternativa de obtener una respuesta a la gran pregunta: ¿por qué el

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Universo es como es? La respuesta convencional, deductiva, va por la línea de especificar unas probables condiciones iniciales del universo y, con base en las leyes de la Física, predecir los estados evolutivos subsiguientes. La respuesta antrópica es, en contraste, inductiva y se resume en la expresión: el universo es como es por que existimos nosotros; en otras palabras, la existencia de seres capaces de preguntarse por el origen del Universo reduce dramáticamente el número de posibles escenarios evolutivos de éste, a aquellos que desembocan en la aparición de la vida inteligente y, más restrictivo aún, a aquella variante que conduce inevitablemente al surgimiento de la vida humana. En el caso del método deductivo, el pasado explica al presente. En el caso del método inductivo, el presente explica al pasado. Como si los efectos se tornasen causas, el principio antrópico invierte la dirección del tiempo. Las ventajas que presenta frente al método deductivo son ciertamente importantes, ya que este último es mucho más complicado de aplicarse en la explicación de la cosmogénesis, en vista de que no se conoce el estado inicial del universo ni existe seguridad sobre el funcionamiento primigenio de las regularidades físicas. Es decir que, ante una situación de alta incertidumbre sobre el pasado, el principio antrópico legitima una búsqueda a partir de las condiciones reconocidas del presente. De hecho, las exploraciones que se llevan a cabo en la genética mitocondrial 1 para establecer algunas conclusiones sobre la evolución humana, en abierta divergencia con la paleo-antropología, pueden considerarse como una aplicación no denunciada del mismo principio.

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El año 2002 marcó el cuarenta aniversario del nacimiento de la Antropología Molecular.

Esta disciplina se constituyó gracias a la utilización de las técnicas provenientes de la genética molecular. Su primer objetivo es datar la aparición del primer linaje humano y las diferentes etapas de su evolución basándose, ya no en fósiles, sino en el análisis del ADN mitocondrial. Fueron Emile Zuckerkandl y Linus Pauling los primeros en concebir la idea de utilizar la biología molecular para estudiar la evolución, después de haber establecido que el hombre y el chimpancé están más cerca, genéticamente, que el chimpancé y el gorila. Los genetistas han concentrado sus esfuerzos en la datación de dos acontecimientos evolutivos importantes: la aparición del linaje humano y la de los primeros hombres modernos.

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Así, entonces, siendo muy difícil o imposible disponer de información sobre el discurso de las matemáticas de las Américas precolombinas, se puede tratar de entenderlas con ayuda de las matemáticas de hoy que limitan el diapasón de sus posibles interpretaciones. El autor de este libro, aplicando este método logró reducir las posibilidades a UNA. Finalmente se debe destacar que, la clave del buen uso del principio consiste en el empleo combinado de los dos métodos, aprovechando de su condición complementaria, y no en el manejo unilateral y extremado de los mismos. Además, se considera al conocimiento como lo que resulta de la actividad psíquica que se produce cuando el ser humano interacciona con el entorno y consigo mismo, bajo la actitud de conocer. Por tanto éste es susceptible de ser investigado de manera histórico-universal y abstracta; es decir, prescindiendo de los procedimientos cognoscitivos particulares, de los que se dispone, tanto fuera como dentro de la ciencia y aceptando que el objeto inmediato del conocer es sólo la idea, imagen o representación del objeto concreto. El espacio donde tiene lugar el acontecimiento de la representación es lo que hemos llamado E.M.R. Se trata, por tanto, de ver si la imagen corresponde homomorfamente al objetoproceso concreto que se investiga y conoce y que acaece fuera de la conciencia. Dicho de otra manera, de lo que se trata es de construir un símil o análogo o modelo matemático. La actividad denominada “realidad virtual“ es un ejemplo de lo manifestado. En estricto apego a la definición que hemos dado de E.M.R. debemos decir que el único conocido al momento es el que ha desarrollado la Civilización Occidental con aporte Oriental en sus orígenes, el E.M.R.Occ. Por tanto, lo que vamos hacer, para poder ver en que consistió el Espacio Matemático de Representación Andino Precolombino (E.M.R.An) es, ponernos en la perspectiva del E.M.R.Occ. y, luego de estudiarlo, invertir la mirada, para esta vez observarlo desde el E.M.R.An, pero con nuevos ojos. Para lograr lo indicado es menester previamente recordar, en sus grandes jalones, la historia evolutiva de la conformación de los dos espacios en estudio, siguiendo la huella dejada por la epísteme matemática.

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Con este propósito, en la primera parte se relata el origen y desarrollo del E.M.R.Occ. Comenzando con su nacimiento del vientre agrícola, pasando por su apogeo y frenético esplendor, hasta su ocaso y crisis final, pero dejando entrever la posibilidad de la configuración de un nuevo E.M.R. que permita a la especie humana sortear las difíciles condiciones y circunstancias de la difícil travesía que le tocará vivir durante el siglo XXI, cuando el estado climático y social del planeta se vuelva turbulento y global; ahí cuando el E.M.R.Occ. ya no será útil por sí solo. En la actualidad este espacio se encuentra en pleno colapso; sin embargo, se espera que entre en una sensata reestructuración si los científicos que lo operan aceptan que éste no tiene carácter absoluto como lo habían supuesto, ya que sólo puede representar los procesos laminares con una buena resolución predicativa y revelar la estructura exterior de los sistemas; pero, es incapaz de hacerlo con los procesos turbulentos y discretos. Se conoce que Werner Heisenberg ( 1901-1977), poco antes de morir musitó que, estaba listo para preguntarle a su Dios el porqué de la relatividad y el porqué de la turbulencia y que abrigaba la certeza de obtener respuesta sólo al primer interrogante. El relato de la historia evolutiva del EMROcc continúa con Euclides. Desde que él lograra axiomatizar la geometría de las figuras planas ésta ha evolucionado a la par y en correlación con el conjunto de los números, hasta constituirse como una totalidad sistémica. El espacio euclidiano, como llegó ha llamarse, es por nacimiento y por naturaleza puntiforme. Esto quiere decir que su unidad estructural geométrica es el punto. El punto es un objeto indivisible, ya que no posee partes; es el producto final del proceso de fraccionamiento infinito de un segmento de recta; es un ente sin extensión y es fiel imagen abstracta del átomo griego, concepto que ha venido vertebrando a la ciencia occidental a lo largo de su historia. El punto es un ente trascendente, no se parece en nada a objeto alguno del mundo real, es totalmente abstracto; y como no tiene extensión, la escala no lo afecta, es independiente de ella; se mantiene idéntico a sí mismo sea cual sea ésta. Fue así, entonces, cómo al comienzo surgió el espacio vacío, carente de elementos hasta el momento en que advino la Agricultura y sembró, de manera

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discreta, los primeros componentes en el desolado escenario, en estricta correspondencia con las regularidades provenientes de figuras generalmente planas; pues, fueron extensas cuencas hidrográficas y marítimas las que prodigaron tal escenario que les valió como plataforma de despegue a sus grandes éxitos, pero también a sus deplorables locuras y desaciertos. Haber vuelto operable el espacio plano significó para occidente dar el primer gran paso en la construcción del espacio de representación que le es culturalmente correspondiente. El siguiente y final componente lo creó R. Descartes; quién, con el espacio euclídeo completamente desarrollado en sus manos, estuvo en condiciones de: dibujar en él un Sistema Coordenado de Referencia Ortogonal, eligiendo arbitrariamente el punto que servirá como centro de coordenadas y signándolo con el número cero. La necesidad histórica, en los tiempos de Descartes, de disponer de un sistema de referencia absoluto que sirva de ordenador, explica por qué la concepción iluminada de dicho sistema tuvo íntima relación con la geometría del sagrado símbolo cristiano: la cruz. De esta manera quedó concluida la construcción del Espacio de Matemático Representación Occidental. Ahora, por primera ocasión, occidente disponía de un dispositivo intelectivo con la prodigiosa propiedad de revelar la forma del movimiento de un sistema de partículas dado. Como por ejemplo el sistema Solar ó más simple aún el sistema Luna-Tierra, en el cual, para estudiar sus trayectorias tendremos que, por exigencia inapelable, considerar a los planetas como si fuesen puntos matemáticos, sin estructura interna, tal como exige el espacio de representación utilizado. Valiéndose de este artificio reduccionista, fue como Isaac Newton fundó la Mecánica Clásica. Ciencia que llegaría a cristalizarse, como si fuese un diamante de elegante factura, en las llamadas: Ecuaciones Canónicas de Hamilton y que habría de impulsar el desarrollo y la modelación de los distintos rostros de la Sociedad Mecanística en el planeta Tierra. El Sistema del Mundo, que como consecuencia hizo aparición, reinó con carácter absoluto, cual si fuese doctrina de la monarquía, durante más de 200 años. A.

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Einstein se vio obligado a relativizarlo, de manera generalizada y para cualquier sistema de referencia espacio-tiempo, debido a que no fue capaz de explicar el resultado negativo del experimento Michelson-Morley. Acto seguido, casi sin darle respiro al espacio de representación reformado, brotó en su propio interior, la Mecánica Cuántica, como un artilugio algebraico que permitía prescindir de cualquier sistema de coordenadas espacio-tiempo para dar cuenta de los fenómenos atómicos de manera satisfactoria y en estricto apego a la verificación

experimental.

Como

consecuencia,

se

produjo

un

sinsabor

epistemológico que atormentó las almas, tanto de los investigadores del microcosmos como las de los científicos bio-sociales, que no se sintieron satisfechos, debido a que el discurso científico se veía reducido a una suerte de representaciones disyuntivas, ambivalentes, paradógicas e indecidibles. Insistiendo, con el sincero afán de conciliar tan dispares teorías ( Teoría relatividad y Mecánica Cuántica),

general de la

la una geométrica y la otra algebraica, E. Hawking, en

esfuerzo supremo, logra una “unificación inesperada”: él que había apostado por la existencia de los agujeros negros, basándose en la demostración de las singularidades, terminó, a la postre, negándoles la condición de inobjetable certeza. Comunica, a sus motivados seguidores, que los huecos negros no son tales, que se evaporan y que no se precipitan de manera inexorable hacia un hueco, hacia una singularidad, hacia una infernal anomalía de la realidad. Estos resultados revivieron la vieja esperanza de Einstein manifestada en la carta dirigida a Wolfang Pauli en 1948: «La descripción completa no podría limitarse a los conceptos fundamentales que se emplean en la mecánica del punto. Le he dicho más de una vez que soy un partidario acérrimo no de las ecuaciones diferenciales, sino del principio de relatividad cuya fuerza heurística nos es indispensable» Así es como, en abril de 1997, el físico francés Laurent Nottale anuncia que la Teoría de la Relatividad de Escala generaliza el principio de relatividad de Einstein, de tal modo que la T.G. R y la M.C. pasan a ser casos particulares de ésta y, además, deja establecido que: los conceptos de relatividad de escala y de espacio-tiempo fractal, junto al método de la covariancia de escala, han permitido

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derivar las dichas ciencias de las leyes de escala más simples que puedan construirse. Eliminando de manera definitiva la falsa controversia habida entre lo que se decía del macro y del microcosmos. Finalmente, hay que mencionar que el año 1986 el brillante físico usamericano Edward Witten introdujo por primera vez un cambio sustancial en el espacio de representación: cambió el punto-límite por la “cuerda” y obtuvo un peculiar espacio que le sirvió para formular su Teoría de Supercuerdas, que nos da cuenta de los últimos esfuerzos hechos en pos de lograr la gran unificación de las cinco fuerzas fundamentales de la naturaleza (eléctrica,

magnética, nuclear débil, nuclear fuerte y gravitatoria )

Sin embargo, debo manifestar que el nuevo espacio no es más que el mismo de puntos, sólo que agujereado (ver

recuadro 2)

La caracterización del EMROcc que se deriva de esta historia es la siguiente: 1) El E.M.R.Occ., al estar constituido por puntos-límite, adquiere carácter trascendente, infinito, abstracto y sitúa al científico fuera del mundo. Esto le coloca por encima del objeto que conoce y hace que asuma la condición del dios del génesis. 2) A esta clase de espacio se lo llamó Analítico, para indicar que es diferenciable. Este es el espacio que se opera mediante el cálculo diferencial e integral. Las funciones que le caracterizan se las calcula mediante la resolución de las llamadas ecuaciones diferenciales. 3) Debido a esto las trayectorias espacio-tiempo de las partículas son descritas bajo la condición inapelable de estar reducidas a puntos-límite. Esta necesaria operación hace que la incidencia del aspecto cualitativo de ellas no influya en sus trayectorias, logrando de esta manera una representación cuantitativamente pura. 4) Por tanto, el E.M.R.Occ. es apropiado para describir y predecir los cambios de posición que acontece en los sistemas de partículas y tan sólo revela su estructura externa y su cuerpo cuantitativo. 5) Bajo la misma razón, el E.M.R.Occ. es ideal para la modelación matemática de sistemas deterministas. 6) Consecuentemente, es totalmente apropiado para estudiar el funcionamiento de los sistemas mecánicos.

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7) El EMROcc es deductivo por excelencia. En el segundo capítulo, así mismo, se relata la historia evolutiva del E.M.R.An, haciéndolo estrictamente apegado a la información que disponemos hasta el momento. A diferencia del anterior, el Espacio Andino de Representación tiene como unidad estructural geométrica al cuadrado en lugar del punto-límite. Este espacio nació, creció y fructificó antes de la invasión y se ocultó durante el período de la barbarie y la esclavitud. El pensamiento Matemático Andino Precolonial entra en escena en calidad de resucitado. Su renacimiento comienza con el descubrimiento del Geoglifo Estelar de las Salinas del Chao, situado en el Noroccidente peruano, por el arquitecto Carlos Milla Villena; quién, con atenta mirada, lo encontró en la fotografía aérea SAM N° 680-Proyecto 104 1942, en el año de 1976, historia que nos cuenta en su libro Génesis de la Cultura Andina. El geoglifo está asociado a un complejo ceremonial, conformado por estructuras rituales correspondientes a las épocas IV y V del Precerámico Tardío y consta principalmente de cuatro basamentos pétreos que reflejan proporcionalmente la constelación de la Cruz del Sur. La Universidad Católica de Lima realizó el fechado por medio del radio carbono, obteniendo que la fecha en la que se construyó el complejo fue el año 1900 a.C. Más tarde, el análisis geométrico reveló que se trataba de un observatorio astronómico construido mediante el método matemático-geométrico de la Cruz Cuadrada. Este peculiar sistema matemático tuvo ampliada aplicación y extendida aceptación por parte del Hombre Andino y Americano. El autor nos asegura que a éste le sirvió como Sistema Operativo de Medidas, a modo de un gran atractor a cuyas pautas geométricas debió necesariamente estar referida toda medida, todo símbolo, todo diseño y toda organización espacial, cronológica y social. Carlos Milla, en su libro Génesis de la Cultura Andina, se propone mostrarnos las evidencias y la metodología empleada para probar la existencia, en el mundo andino de hace 4.000 años, de un Sistema Proporcional de Medidas, de un genuino sistema matemático, típico de los Andes y, que, por extensión lógica, llegó a ser de todas las Américas. El peculiar espacio, de carácter fractálico, surgido en los Andes Tropicales, sirvió para modelar los diversos rostros de la Sociedad

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Organísmica en el planeta Tierra, ya que evolucionó siguiendo las pautas, los ritmos y los estertores de la Naturaleza. Los aspectos que se observa que caracterizan al EMRAn son: El EMRAn es inductivo. Es finito y concreto. Es apropiado para representar funciones discretas o sea curvas fractales discontinuas. Finalmente, en el tercer capítulo, se explora y se estudian las sorprendentes implicaciones que brotan como cohorte de flores de variados colores luego de tomar plena conciencia del descubrimiento realizado, el EMRAn. En lo que se refiere al título del libro debo decir que alude a los dos núcleos civilizatorios donde nacieron las matemáticas en sus dos cuerpos constituyentes: las matemáticas del infinito proveniente del Viejo Mundo y las matemáticas finitas oriundas del Nuevo Mundo. Las primeras deductivas y las segundas inductivas. Las deductivas privilegiaron el desarrollo del hemisferio izquierdo del cerebro y las inductivas el del derecho. Abstractivos se volvieron los humanos de allende el océano Atlántico, sensitivos se hicieron los humanos de acá de las américas. En la elaboración del texto he usado la información proveniente de autores ampliamente reconocidos en cada uno de los tópicos tratados, cuya bibliografía se presenta al final. Lo único que el autor ha hecho es seleccionar y organizar dicha información poniéndola en función del objetivo previamente establecido: describir el proceso evolutivo de los espacios matemáticos de representación de las dos grandes civilizaciones habidas, la del Viejo y la del Nuevo Mundos. El autor, además, introduce por primera vez el concepto de E.M.R., que nos permite rastrear a la epísteme matemática a lo largo de su historia evolutiva.

Marcos Guerrero Ureña Quito-Ecuador, 21 de marzo de 2003

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PRIMERA PARTE Acerca de cómo se originó y cómo se desarrolló el Espacio Matemático de Representación de la Civilización Occidental

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1.1 1. 1 1

Fase Antigua El nacimiento de la Geometría en el antiguo Egipto

«Dos grandes fuerzas, el río Nilo y el desierto circundante, dieron forma a una de las civilizaciones más duraderas del mundo. Cada año el río inundaba sus bancos y depositaba una capa fresca de tierra fértil en los terrenos anegados, lo que inspiró a los egipcios a llamar a esta región kemet, la tierra negra. Este predecible ciclo de renovación nutría los campos de los agricultores, llenaba los graneros reales y mantenía una teocracia, encabezada por un rey con conexión divina, o faraón, cuyos conceptos básicos se conservaron firmes durante más de tres milenios» NATIONAL GEOGRAPHIC, Abril de 2001

De hecho, la agricultura fue la actividad humana que inició y modeló la gran revolución neolítica y el arado el dispositivo tecnológico que la potenció. Con la irrenunciable decisión de dejar atrás la etapa paleolítica o edad de la piedra, la especie humana se abrió camino a través de una fase intermedia que le permitió comenzar una adaptación lo suficientemente robusta para entrar de lleno en la edad de la agricultura. Por ejemplo, en Monteverde en el sur de Chile y en Siria hace 15.000 y 8.000 años respectivamente, los primeros cultivadores realizaron notables experiencias y avances en el cultivo de huerto, al tiempo que cazaban y recolectaban. Es natural que la especie se haya tomado el tiempo suficiente para poder sobreponerse al carácter dominante del anterior período y superar los 100 mil años que duró la etapa de expansión, en la que el hombre llegó a los más importante lugares del planeta, para comenzar a cultivar y a construir la civilización. Y así fue como en el período de hace 10.000-6.000 años, surgieron en el Antiguo Mundo las tres más antiguas civilizaciones gracias a la creciente disponibilidad del excedente agrícola. Ellas brotaron en los valles de grandes ríos como: el del Tigris y Eúfrates en Asia Occidental, el del Nilo en el norte de África y el del Indo en el sur de Asia.

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El trigo fue la principal gramínea que dio forma y sostén al régimen agrícola que se desarrolló a lo largo de la gigantesca y feraz cuenca del río Nilo durante el período 3100-332 a. C. Este régimen, que apenas comenzaba a crecer, se vio enfrentado a su más grande obstáculo y desafío: las riadas del Nilo, las cuales anegaban los terrenos de cultivo. Por un lado, les proveían a los egipcios, en abundancia y con máxima generosidad, de los nutrientes arrancados por las aguas desde el corazón tropical del África negra y por otro, les borraba los límites de las propiedades agrícolas y desataba peligrosos conflictos sociales que a la postre se transformaron en un obstáculo insalvable para el progreso. Lo benigno y lo maligno, lo conveniente y lo perjudicial, el día y la noche, Oriente y Occidente (en el

mundo simbólico de la tradición faraónica, la orilla oriental del Nilo estaba asociada con la vida y la

occidental con la muerte, razón por la que Necrópolis fue mandada a construir en el Valle de los Reyes, situado en la margen occidental del río )

He aquí los dos extremos del escenario que sirvió

para que la Civilización Egipcia haya tenido su Nacimiento, su Cúspide y su Ocaso. Dadas estas condiciones, es correcto pensar que las demandas de reposición de los hitos, a las que el Estado egipcio debía atender después de cada inundación, a fin de restablecer el funcionamiento del sistema tributario y subsanar los conflictos, hayan sido de magnitud creciente año tras año, a lo largo de miles años de agricultura y al ritmo del crecimiento demográfico y de la colonización de la cuenca. Fue el cálculo de superficies, basado en la observación, registro, sistematización y generalización de las propiedades de las figuras geométricas planas, la respuesta a la persistente necesidad de reconstruir el amojonamiento que fijaba los límites de las propiedades agrícolas ( ver recuadro 3) Los encargados de la restitución de los linderos eran los inspectores territoriales, llamados “extendedores de cuerdas” pues utilizaban cuerdas con nudos dispuestos a intervalos regulares, en calidad de señales. Estos primitivos agrimensores, guardianes celosos de las propiedades geométricas encontradas mediante su imparcial trabajo, fueron transformándose, poco a poco, en funcionarios estatales y sacerdotes, llegando finalmente a ser miembros de la alta jerarquía social y política del estado, el propio faraón era

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considerado como el sumo sacerdote. Ellos atesoraban y veneraban las generalizaciones alcanzadas para salvaguardia de la justicia; pues, solo así, pudieron ganarse la confianza de los agricultores y del resto del pueblo y mantenerla, a lo largo de las edades, como una ofrenda generosa de la Divinidad para felicidad de los hombres; pero, a cambio aceptaron soportar su omnipresencia inmutable y escrutadora. En el curso de este proceso debieron haberse percatado de que las figuras geométricas idealizadas existían en variedad incontable, también de que un segmento de recta puede fraccionarse indefinidamente (ver recuadro 4) y de que un polígono regular convexo inscrito en un círculo, al dividirse infinitamente sus lados, llegaba a ser la circunferencia de dicho círculo. Entonces fue cuando se encontraron con la noción de infinito y lo identificaron con Dios, como el creador invisible que contiene al mundo creado, y desde ese momento elevaron al nivel de reflexión teo-lógica todo aquello que estuviere relacionado con la infinitud. Así, el infinito geométrico con el espacio y la inmortalidad o eternidad con el tiempo. Es notable que este vínculo religioso en el nacimiento de la geometría haya sido lo que condujo a la aparición de esa visión geométrica del universo, tan característico del pensamiento griego y tan propia de la teoría de la relatividad. Fueron los sacerdotes de Abusir y de On-Helióplis, los primeros en concebir a todo objeto del mundo circundante como provisto de una forma esencial y calculable. Ahora comprendemos cómo la imperiosa necesidad de medir los terrenos de cultivo, para sostener la vida social, condujo, a la postre, al nacimiento de la geometría del espacio vacío. Ciencia que estudia a las figuras geométricas en estado estático, condición en la que el espacio (recipiente que contiene todas las cosas que existen)

no ejerce influencia sobre la rigidez de los objetos geométricos, estos

permanecen sin deformarse. De la matemática egipcia se conoce gracias a dos papiros auténticos que datan de los años 2000-1788 a. C. Ambos documentos han sido bautizados con los nombres de sus primeros propietarios; así, el papiro Golenischev, que es el más antiguo y que se conservaba en algún museo en Moscú, contiene una colección de 28 problemas, cuyas reglas de resolución coinciden con las que aparecen en el

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otro papiro, el que le perteneció al escocés A. Henry Rhind y que fue encontrado en las ruinas de un pequeño edificio en el antiguo Tebas. En el primero, los problemas que se destacan son, el del cálculo del volumen de la pirámide cuadrangular truncada que nos recuerda la fórmula V=(h/3)(a 2+ab+b2) (donde h es la altura y a, b las longitudes de los lados de los cuadrados de la base y del techo de la pirámide ) y el del cálculo del área de un cesto, que nos entrega un valor para



igual al

cuadrado de 16/9 =3.16049…ó lo que es lo mismo: Area=[(8/9)d]2, donde d es el diámetro. En contraste, en el papiro de Rhind uno encuentra un auténtico manual práctico de matemáticas que nos revela cómo hacían los antiguos egipcios para medir, contar y calcular. Este manual, el más antiguo del mundo, constaba originalmente de 14 hojas y fue escrito en el cuarto mes de la estación de inundaciones del año 33 del reinado del faraón Apofis ( 1700

a. C.)

por el sacerdote egipcio Ahmés (?1800-

a. C.),

hombre modesto y sincero, que introduce su escrito manifestando que es copia textual de un documento aún más antiguo fechado entre 1849-1801 a. C. Pero, lo que sí es imposible saber es la fecha de origen del contenido; pues, Amhés no nos confiesa si el documento del cual copió fue, a la vez, copia de otro. Quizás por esto lo tituló: Orientaciones para conocer todas las cosas oscuras. En el papiro Rhind constan 85 problemas que nos muestran, el uso de fracciones, la resolución de ecuaciones simples y de progresiones y la medición de áreas y volúmenes; esta última constituye la materia central del texto. Así, el autor calcula áreas de triángulos, trapezoides, rectángulos y círculos y volúmenes de cilindros y prismas. En lo que se refiere al contenido aritmético del papiro, en la primera sección del texto se presenta una tabla en la que se divide 2 para los números impares, desde 2/3 hasta 2/101. Para el 2/3 usaban un signo especial, mientras al resto de fracciones las expresaban como la suma de fracciones de la unidad. Por ejemplo, 3/4 se escribía: 1/2 y 1/4, 2/61: 1/40, 1/244, 1/488 y 1/610, donde la coma expresa la operación de suma. Señalemos que este modo de escribir lo heredaron los antiguos matemáticos griegos; por ejemplo, Arquímedes escribía 1/3=1/2,1/4 y Herón, 31/51=1/2,1/17,1/34,1/5. De aquí podemos colegir que, la aritmética 17

egipcia era básicamente aditiva: las multiplicaciones y divisiones se reducían a ejecutar una serie de sumas y restas, tal como lo hacen las calculadoras digitales de hoy en día. Puede apreciarse que los resultados geométricos son más admirables que sus soluciones aritméticas. Esto resulta comprensible ya que en el Egipto antiguo la geometría era la actividad matemática dominante, por las causas ya indicadas. El otro factor ha tenerse en cuenta se refiere al sistema de notación, el cual se mantuvo sin progresar por mucho tiempo, fue muy rudimentario, tosco y de difícil manejo; demasiado denso para el propósito de elevarse por la vía de la abstracción. Es necesario manifestar, aunque muy brevemente, que por aquellos tiempos y a diferencia de los egipcios, los pueblos mesopotámicos ya habían alcanzado un grado de simplificación y refinamiento exquisitos en la simbología, lo que les posibilitó hacer grandes progresos en Aritmética. Por ejemplo, en el texto cuneiforme “VM 85194”, se pueden leer problemas relacionados con: trabajos agrícolas, presas, terraplenes, posos y relojes de agua. Todo esto proveniente del acto práctico de medir superficies agrícolas, de pesar las cosechas, de predecir los ciclos estaciónales, etc. Práctica que, asimismo, fue haciéndose más compleja a tenor de la expansión de la sólida agricultura desplegada en las ricas tierras irrigadas por los ríos Tigris y Eúfrates. Tierra del paraíso, donde Yahvé tomó un poco de limo, transportado por el Tigris desde las montañas de Armenia, para esculpir a Adán, el primer agricultor. A diferencia de lo ocurrido en Egipto, la medición sumeria, tanto la de superficies agrícolas como la de pesos, se hacía en función de granos y no mediante cuerdas anudadas. Lo que evidentemente supone que esas ricas tierras poseían un rendimiento uniforme. A la vez, esto nos indica que se produjo una profunda transformación de la utilidad que venían dándoles a los cereales, una decidida abstracción del contenido del grano, la cual deja ver a éstos por el camino que conduce a la noción de punto y por ende al concepto griego de átomo. Antes de que los sumerios inventaran la escritura hace unos seis mil años, en Asia Occidental se llevaban las cuentas mediante fichas de arcilla de diverso formato

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distintivo. Al principio, fueron unas bolas huecas de arcilla que contenían fichas con las cuales designaban la cantidad de los bienes; más tarde, estas fichas se imprimieron en la superficie de la bola, luego ésta se aplanó y finalmente se trasformó en las conocidas tablillas. Fue entonces cuando, para representar el número de bienes, el cálamo de caña sustituyó a las fichas y también fue cuando se disociaron los símbolos que designaban a la cantidad de los que designaban a la calidad. Muchos arqueólogos están convencidos de que estas fichas fueron las que dieron origen a los ideogramas sumerios. Ya a finales del cuarto milenio a. C. protosumerios y protoelamitas poseían sistemas de numeración y medidas bien desarrollados, entre los que se contaba un antepasado del actual sistema decimal. Fue así entonces cómo los egipcios llegaron a las matemáticas preferentemente por medio de la geometría y los pueblos mesopotámicos preferentemente a través de la aritmética. Los primeros obligados por la práctica agrícola y los segundos determinados por la actividad mercantil. No obstante lo hasta aquí indicado, cabe mencionar que existen algunas versiones con apreciaciones generales sobre el origen de las matemáticas en el antiguo Egipto en los escritos de Heródoto y otros viajeros griegos de la época. Así por ejemplo, el “padre de la historia” nos dice del faraón Sesortris: «Este rey dividió la tierra entre todos los egipcios de tal manera que cada uno recibiera un cuadrilátero del mismo tamaño y que él pudiera obtener sus rentas de cada uno, imponiendo una tasa que debía ser pagada anualmente. Pero todo aquel de cuya parte el río hubiera arrastrado algo, tenía que notificarle lo ocurrido; entonces, él enviaba a supervisores que debían medir en cuánto había disminuido la tierra para que el propietario pudiera pagar de acuerdo con lo que le restaba, en proporción a la tasa impuesta. De esta forma me parece que se originó la geometría, que luego pasó a Hellas» Más tarde, Platón (426-348 a. C.) nos cuenta en el Fedro que: «En la ciudad egipcia de Naucratis había un famoso dios antiguo cuyo nombre era Theuth, a quien estaba consagrado el pájaro llamado Ibis, y era el inventor de muchas artes tales como la aritmética, el cálculo, la geometría, la astronomía, el juego de damas y los dados, pero su gran descubrimiento fue el uso de las letras. »

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Por su parte, Aristóteles (384 -322 a. C.) se pronunció sentenciando irónicamente que las matemáticas egipcias se originaron porque la clase sacerdotal tenía el tiempo suficiente para dedicarse a su estudio. De lo citado se desprende que los sacerdotes egipcios y mesopotámicos ya habían acumulado una gran riqueza de resultados geométricos y aritméticos mucho antes de que los primeros viajeros griegos se encontraran con las matemáticas. Pero estos conocimientos, no revelaron sus maravillosos secretos ni mostraron su naturaleza interna, hasta que la aguzada mente de los griegos se apercibió de ellos. Y, además, queda establecido que la Civilización Egipcia fue la sociedad del Viejo Mundo donde nació la Geometría por primera vez. Condensando lo que hasta aquí hemos revisado, podemos decir que este largo proceso de iteración continuada de la práctica agrícola, determinó que los primeros geómetras fueran registrando y sistematizando las diversas propiedades que iban encontrando mientras reconstruían las figuras geométricas planas; todo esto, como ya hemos dicho, con el decidido afán de restaurar los límites de las propiedades agrícolas cada vez con más eficacia. Por lo que, el Saber que fue construyéndose llegó a constituir la base orgánica primordial del orden social y político. Se transformó en las raíces mismas de la sociedad egipcia. No podían prescindir de él so pena de que se derrumbase todo lo establecido, todo lo alcanzado, todo lo soñado y viniese, en su lugar, la guerra, el hambre y toda clase de penurias. Este saber, logrado por medio de la sistematización y la generalización, dio origen a un proceso de abstracción cada vez más amplio y diverso. Se propagó por todos los ámbitos de la actividad humana, desde la geometría y la religión hasta la estructura del Estado y las clases sociales, pasando por la arquitectura y demás artes y ciencias como la astronomía y la medicina. Llegó a ser el alma de la población; pues, en él habían depositado su confianza inmortal debido a que descubrieron que era el único verdadero por ser inmutable y eterno. Estaba constituido por todo aquello que es común a todos, era el Universal, era Dios. Ahora bien, como la generalización es un proceso abstractivo los geómetras egipcios debieron haberse percatado de que algunas propiedades de las figuras

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geométricas eran comunes sólo a una cierta clase de ellas; por ejemplo, los ángulos internos de todo triángulo rectilíneo suman dos rectos ó todos los triángulos que son semejantes tiene sus lados respectivamente proporcionales; aquí, la primera es más general que la segunda. Luego debieron haber elaborado una taxonomía, a fin de establecer los grados de generalidad de las propiedades. Alcanzado este estado habrán podido contemplar que, en el horizonte de este proceso de abstracción, debía haber un conjunto de propiedades que eran comunes a todas (infinitas) las figuras geométricas, a partir de las cuales, y yendo en sentido contrario, se derivarían todo el resto mediante el razonamiento lógico, que llegó a denominarse: Deductivo. También surgió por primera vez la distinción entre lo intangible y lo sensible y con ella la idea de que sólo lo intangible es real, puesto que es permanente y perfecto, mientras lo sensible es aparente, engañoso, defectuoso y perecedero. Como puede verse, los antiguos geómetras utilizaron la estrategia de: establecer lo que es común a todos los conjuntos de objetos considerados, de tal manera que el proceso nos lleve, convergentemente, a obtener en el límite el conjunto de propiedades mínimo posible (a imagen y semejanza de las pirámides; esto es, partiendo de la base y terminando en la punta, mediante un ascenso continuo )

Como lo sabemos, este conjunto fue

encontrado por Euclides (? 330-275 a. C .) de Alejandría, siglos más tarde.

1. 1 2

Aquenatón y el monoteísmo

El faraón Amenofis III, Rey del Alto y Bajo Egipto, Nebmaatra, Hijo del Sol, terminó su reinado en el año 1375 a. C. Había gobernado el imperio por casi cuarenta años de plena prosperidad. Su autoridad se extendió más allá de las fronteras de Egipto: por el sur, hasta Sudán, y por el este, hasta Palestina, Siria y la frontera con Mesopotamia. Después de su muerte, su hijo y sucesor Amenofis IV o Akenatón, se propuso dar el “paso trascendental” en el proceso de abstracción que hemos señalado. Esto es, se dispuso a encontrar, el límite en el infinito. Establecer contacto con lo que es común a todo lo existente, lo que contiene al Mundo, aquello que solo es inteligible; es decir, Dios. Según el recto razonar geométrico, esto equivale a

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contestar la pregunta ¿de qué se componen los lados de todas las figuras geométricas, una vez que han sido idealizadas desde las cuerdas con las que medían los linderos de los terrenos de cultivo?. La respuesta será: éstas se componen de unidades últimas, indivisibles, sin extensión ni interior, que son producto final de un proceso infinito de fraccionamiento al que se ha sometido a la cuerda idealizada (ver recuadro 4) Trasciende pues, lo concreto y es, por tanto, ajeno al mundo exterior, solo existe en la mente, a la que la constituye y permite que el alma se separe del cuerpo y que el hombre se extrañe del mundo sensible, de la naturaleza. Llegó a llamase punto y se convirtió en la unidad estructural del Espacio Matemático de Representación de Occidente (E.M.R.Occ) Inmerso en esta estructura lógica Aquenatón se preguntó finalmente: ¿qué es lo que de común tienen todos los dioses existentes? ( Algunos

de ellos representaban a los

grandes objetos de la naturaleza, como el Cielo, el Sol, la Luna, la Tierra y, otros, a la Verdad, a la Justicia, a la Belleza, al Orden, etc.)

La respuesta a este gran interrogante está contenida en el

poema de uno de sus himnos, que tal vez él mismo lo escribió: «Glorioso apareces en el horizonte del firmamento Oh, Atón viviente, creador de vida […] ¡Oh único dios, sólo tú eres dios! Creaste la Tierra, según tus designios […] Te llevo en mi corazón, y nadie te conoce mejor que tu hijo» Así fue como Aquenatón elevó a Atón por sobre todos los dioses del panteón egipcio, incluyendo al omnipotente Amón, que había reinado en Tebas como rey de los dioses, durante muchos siglos. Atón, el único y verdadero Dios, se comunicaba con él y su familia a través del Sol, y se expresaba por medio de la palabra, la cual era escuchada en su interior, como puede apreciarse en algunas esculturas, de hermosa factura, que se encuentran en el Museo Egipcio de Berlín. Hay que recordar que el Sol cumplía la función de intermediario ya que era el objeto más poderoso de todos cuantos conocía Akenatón y, lo que es más importante: era dador de vida y esto lo identificaba con Atón, el máximo creador. Viendo geométricamente, el disco solar era el círculo perfecto y su circunferencia (que es el límite en el infinito de un polígono convexo regular inscrito) el lugar de contacto con Él. Akenatón, que significa “el servidor de Atón”, y su esposa, la bella y célebre Nefertiti, impulsados por esta gran convicción teo-lógica, emprendieron una

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temeraria y profunda revolución en el Estado Egipcio. Como para bien comenzar, elevó a su mujer a la categoría de diosa al compartir el poder con ella, privilegio que no mereció ninguna otra reina tiempo antes. Se adscribieron, conjuntamente con su hijo Tutancamón, el título de Faraones del Sol, para indicar que la familia real había llegado al mas alto grado de refinamiento y perfección. Con gran vigor dio comienzo la transformación teológico-política. Ésta tenía que ser lo suficientemente enérgica como para poder ir en contra de siglos de tradición politeísta. Tenía que removerse todo aquello que impedía su realización. Lo primero que hizo fue abandonar Tebas, bastión principal del antiguo poder sacerdotal, para lo cual mandó a construir una nueva capital, en un lugar sagrado, situado en la orilla oriental del Nilo, más cerca de On-Helíopolis que de Tebas, a la que la llamó Aketatón, que significa “el horizonte de Atón”, a la que no tardó en mudarse, para políticamente indicar a los sacerdotes de la oposición cual era la dirección que se debía seguir bajo su mandato. Conocida hoy como Al-Amarna, no impresiona por sus monumentos espectaculares, como en el caso de Karnak y Luxor. Se ha interpretado su significado diciendo que la verdadera importancia que la dio el faraón fue de carácter astronómico, ya que el lugar estaba ubicado justo donde se puede recibir el primer rayo de luz que despunta en el horizonte proveniente desde el Sol, justo el rayo que sale del punto de su circunferencia que primero aparece. Con esto él avisaba que era el primer miembro del reino en ponerse en contacto con Atón, el dios todopoderoso que se encontraba en el “límite en el infinito”. El escenario principal de estos dramáticos acontecimientos fue la sede misma del poder real: Tebas, capital del reino situada a más de 500 kilómetros al sur del delta del Nilo. Durante el primer año de su reinado, las representaciones animales de la divinidad fueron prohibidas: las cabezas de halcón y las de carnero, sobrepuestas a cuerpos humanos, no las aceptaba como representaciones del nuevo Dios. Con más energía y convicción decretó que las rentas de los demás dioses egipcios fuesen abonadas a un solo tesoro, el del Sol. Como podrá suponerse, estas drásticas medidas económicas tuvieron la esperada reacción de la clase

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burocrática sacerdotal, principalmente de los de Amón-ra de Tebas, que habían sido los usufructuarios financieros de más de un siglo de conquistas y despojo de los pueblos vecinos. A medida que el faraón se expresaba mediante decretos y obras, la oposición crecía muy rápidamente y el descontento hacía presa de su pueblo. Este faraón gobernó apenas por 17 años, y al poco tiempo de su muerte, ocurrida en el año -1336, se restauró la antigua ortodoxia. Sus enemigos demolieron sus estatuas, desmantelaron sus templos y se dispusieron a borrar, de los registros históricos de Egipto, cuanta huella hayan dejado él y Nefertiti. Por lo visto, la heterodoxa pareja, empujada por la pasión religiosa, puso al vasto y poderoso reino egipcio al borde de la catástrofe. No queda duda de que la gestión teológico-política, llevada a cabo por Akenatón, constituyó la cúspide del desarrollo de la Civilización Egipcia, de ahí en adelante el imperio comenzó a declinar. Pero también significa el nacimiento del monoteísmo y su primer fracaso en el intento de instituirlo como el paso lógico y final del proceso de abstracción al que me he referido. Era de esperarse la reacción en contra por parte de la burocracia sacerdotal ya que sus intereses económicos primaban por sobre los religiosos ( como en el caso de la pirámide, en que lo que está abajo sostiene lo de arriba ),

por lo que debió parecerles una total

locura la invitación a desprenderse de la tierra y colocarse fuera de ella y todo esto por una necesidad de orden lógico no tan fácil de aceptar, no tan verosímil. Ya que: ¿por qué aceptar, que el proceso de fraccionamiento infinito de un segmento de recta necesariamente termine trascendiendo en un punto?. Y no simplemente, pensar en que el proceso nunca converge; lo cual significaría que el segmento de recta nunca dejaría de ser tal. Sin embargo, igualmente es verdad que la convergencia uniforme observada nos invita a pensar que el fraccionamiento infinito termina, de manera trascendente, en el punto-límite o en el círculo-límite. Pero, es igualmente válida la otra alternativa que se sostiene en la propiedad que dice que: «no todas las series que tienen términos que van disminuyendo, a medida que aumenta el fraccionamiento, son convergentes»(ver recuadro 4) He aquí la paradoja, he aquí un dualismo peligroso y desgarrante, por ser excluyente. He

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aquí al sujeto en una situación tormentosamente indecidible. He aquí, el modo cómo está conformada el alma de los occidentales. Condenados a tener que elegir uno de los dos extremos, condenados a tener que tomar partido, condenados a hacer la guerra para solucionar los conflictos, condenados a ser ó no ser. Queda revelado que, Akenatón, quería transfigurar la representación concreta en abstracta. Propuso entonces a los sacerdotes, a que pasaran de la cuerda al punto-límite o del polígono convexo de infinito número de lados al círculo-límite, del exterior al interior, de la visualización sensitiva a la visualización intelectiva, de la conciencia mítica a la conciencia mental. Pero todo esto, mediante una misteriosa operación de trascendencia que permite alcanzar el límite en el infinito. Cabe insinuar que esto último obliga al sujeto a reducirse a un punto y por tanto a colocarse por fuera del mundo para, en esta condición, observarlo y conocerlo, imperturbablemente, y, luego, transformarlo a su antojo cual si fuese el todopoderoso Dios Atón. Todo esto fue posible gracias a que el Espacio Matemático de Representación logrado, el EMROcc., se produce exclusivamente en la mente y ésta lo sostiene. Con él, es posible realizar simulaciones de la realidad y luego emprender el Cálculo de las Consecuencias para que, a la hora de tomar decisiones, saber elegir, sabiamente, la alternativa más conveniente. Por lo visto, es un dispositivo intelectivo realmente prodigioso, pero, lastimosamente incompleto ya que ha suprimido en la modelación a la cualidad, como veremos más adelante.

1. 1 3

Moisés el egipcio

“El elemento nuclear de nuestro planteamiento, es decir, la conclusión de que el monoteísmo judío depende del episodio monoteísta en la historia de Egipto, ha sido, presumido y señalado vagamente por distintos autores …“

Moisés y la religión monoteísta, Sigmund Freud

El gran intento por llevar a cabo este proyecto teológico-político, cuyo fracaso le tocó asimilar a Aquenatón, debido a las causas reconocidas, no resultó del todo estéril. De su mismísimo vórtice nacieron dos ramificaciones claramente diferenciadas: la una, estrictamente ético-teológica que se dirigió al monte Sinaí y la otra, rigurosamente científica, que navegó por el Mediterráneo hasta el

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archipiélago del mar Egeo, en Grecia. Se había fraccionado la unidad teológicogeométrica original. En lo que atañe a la vertiente teológica, ésta fue desarrollada por Moisés el egipcio (seguramente

fue un miembro de la escuela sacerdotal de On-Heliópolis),

hombre

legendario y Gran Héroe del pueblo judío. Sistematizó su historia e implantó en su seno un monoteísmo de grandiosa y extrema rigidez, gracias al cual pudo conformarse la estructura de su espíritu, su alma. La historia de esta gran epopeya es narrada a lo largo de los cinco primeros libros del Antiguo Testamento, escritos precisamente por él. Freud nos dice que en la religión de Moisés «sólo existe un Dios, único, todopoderoso e inaccesible, nadie puede soportar su contemplación, nadie puede formarse una imagen de él, nadie puede, ni siquiera pronunciar su nombre […]» Se hace evidente que la diferencia básica con la religión de Akenatón consistió en la supresión radical de la relación privilegiada que mantenía el faraón con Atón a través del Sol. Para Moisés el privilegio debía tenerlo directamente el hombre, por haber sido creado a su imagen y semejanza y no el Sol. La relación con Dios no podía ser un acto exterior sino interior. Estos decisivos cambios en la estrategia teológico-política, para la implantación del monoteísmo, fueron los que le permitieron a Moisés culminar su gran hazaña, con relativo éxito. Pues, al colocar al hombre como el centro de comunicación con Dios, logró trasladar el privilegio que tenía sólo el faraón y su familia a todos los seres humanos; a pesar de que él tubo que hacer las de Akenatón durante toda su vida, hasta ver implantada en el pueblo judío su trascendente fe. No se puede dejar de reconocer que el instrumento con poder casi divino que le permitió a Moisés implantar el monoteísmo en la mente del pueblo hebreo fue la escritura fonética. La inventada en Egipto 2, fue obtenida mediante el método de abstracción revelado por la geometría. Prodigiosa herramienta que consistió y consiste en un sistema de signos abstractos, en nada parecidos a ningún objeto del mundo concreto, llamados letras y numerales. Las letras son los signos de los 2

Ver los signos fonéticos, cual si fueren rayos que se desprenden de la circunferencia solar, por medio de los cuales habla Atón a Aquénaton a través del Sol, en las esculturas que he referido se encuentran en el museo egipcio de Berlín y que fueron publicadas en NATIONAL GEOGRÁFIC DE ABRIL DEL 2001)

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sonidos elementales de los que se componen las lenguas naturales ( fonemas) y los numerales los signos de los números. Tal era el prodigio que éstos brindaban, que con ellos se podía escribir directamente las palabras que uno pronunciaba y a la vez hacer las cuentas que se precisaba. Pero, Moisés fue más allá: hizo de la palabra escrita la Palabra de Dios. Ahora, ya no era necesario intermediario alguno para comunicarse con Él. Era una verdadera comunión la que se establecía entre el hombre y Dios, cuando el individuo escuchaba en su interior su Voz. Estableció de esta manera, el “Mito de la Palabra Escrita”, “El Gran Supuesto” ó ”La Gran Convicción”, según nos cuenta el mismo en su primer libro, el Génesis: «Y dijo Dios: sea la luz; y fue la luz … [...] Dijo Dios: Produzcan las aguas seres vivientes, y aves que vuelen sobre la tierra, en la abierta expansión de los cielos. Después dijo Dios: Produzca la tierra hierba verde, hierba que dé semilla; árbol que dé fruto según su género, que su semilla esté en él, sobre la tierra» Y así, con su Palabra, fue creando todo lo que existe, hasta que «Finalmente dijo Dios: hagamos al hombre a nuestra imagen, conforme a nuestra semejanza […] Y los bendijo Dios, y les dijo: fructificad y multiplicaos; llenad la tierra y sojuzgadla, y señoread en los peses del mar, en las aves de los cielos, y en todas las bestias que se mueven sobre la tierra. » Según podemos ver, en la religión de Moisés, al mundo le subyace El Verbo Divino (el

 de los antiguos griegos)

Para entender el mundo, entonces, hay que leer y

comprender la Palabra de Dios. En eso, precisamente, ha consistido la historia de la ciencia y religión occidentales. Tanto sus científicos como sus sacerdotes han devenido en el mundo impulsados por la obsesión de leer esa mente. Este ha sido su sueño conspicuo y su meta final. Así, mientras su ciencia la ha venido buscando en la Ecuación; su religión ha tenido la esperanza de encontrarla en la Oración. Es obligación dejar constancia que la bifurcación mencionada devino en la necesidad lógica de que el Ser Universal ( Dios) se manifieste en el mundo concreto como el Singular. Como ya habían anunciado los profetas y por que así tenía que ser, tuvo lugar el advenimiento de Jesús-Cristo, el Verbo Divino Encarnado, lo

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Abstracto hecho Concreto (Aristóteles, Singular, prefigura a Jesús y al cristianismo).

con el “tercero excluido” ó el Universal subsumido en el

Él fue la encarnación del Amor y la Bondad y de

todo cuanto sentimiento y emoción había permanecido oprimido y deformado durante todo el rígido y rudo período en que había reinado la Ley de Moisés. Fue el tiempo en que el alma humana perdió la temerosa rigidez mantenida por acción del mandato despótico y se ablandó con el amor y se enseñoreo con la bondad y la comprensión, antes que con la obediencia ciega a la vieja Ley patriarcal. Los Evangelios son, justamente, el Manifiesto de esta necesidad. Fue inevitable que la racionalidad impuesta por Moisés fuese suavizada con la racionalidad sugerida por Jesús, aquella que brindan los sentimientos y las emociones, bajo la tolerancia de la mente absoluta. Recordemos que en la religión judeo-cristiana hay un conocido pasadizo por donde transitó el pensamiento griego. Seguramente ésta se apoyó en la corriente del pitagorismo-platónico en lo que hace relación a la idea de atribuir al “Verbo Divino” el carácter de única realidad verdadera. «Al principio era el Logos, la Palabra» nos dice San Juan en los Evangelios. Por último, hay algo que no puede dejarse suelto y es que, con el cristianismo se abandona la vieja concepción de que el tiempo es de carácter cíclico ( amanecer/ anochecer, nacer/ morir, etc.; patrón de referencia del devenir humano que ha sido común a todas las culturas de la Tierra, en su primera fase de desarrollo )

y se adopta un carácter lineal para el accionar

de éste, introduciendo el concepto de la resurrección, que de alguna manera ya fue sugerida por los egipcios cuando de la inmortalidad hablaban. De aquí en adelante la determinación de que a la vida le sigue la muerte se ve transcendida por el acto de la resurrección. De esta

forma quedó establecido el carácter

métrico-lineal del tiempo; así por ejemplo, las fases de un proceso pasaban a ser vistas como sucediéndose una detrás de otra, alineadas según una recta que nunca se deforma. Con ello, apareció un nuevo sentido para el concepto que se alude con la palabra superación: dejar atrás, olvidar todo aquello que produce sufrimiento y procurar que el “pasado deje de existir” y, preocuparse sólo del futuro e ir “siempre adelante”. Es la misma imagen del dios Cronos de los griegos, el

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primer rey de los dioses, el dios del tiempo, despiadado y absolutista, capaz de devorar a sus propios hijos, tal como lo pintó Don Francisco de Goya.

1. 1 4

La Geometría en la Grecia Clásica

Hemos visto cómo los egipcios hicieron grandes progresos en la ciencia de las medidas exactas usando tan solo cuerdas anudadas. Con estos medios elementales fueron capaces de construir ángulos rectos; pues sabían que tres cuerdas, de tres, cuatro y cinco unidades de longitud respectivamente, formaban un triángulo rectángulo. Este resultado, que proviene de la actividad práctica, no se lo encuentra sólo en Egipto sino también en Mesopotamia, en China y, con seguridad, en otros lugares de la Tierra habitados por pueblos notables. Pero, ¿sabían ellos que el triángulo en mención tenía exactamente un ángulo recto? ; en otras palabras, ¿lo sabían por que lo habían demostrado ó solo lo tenían como una conjetura surgida de la experiencia práctica?. La respuesta es: lo sabían, pero la tenían, aún, como una conjetura. Una conjetura es una proposición que se construye experimentalmente, de modo inductivo; mientras que el teo-rema es una proposición que se la obtiene deductivamente como resultado de la operación de máxima generalización, como la de punto o círculo-límites, la que excluye al sujeto, pues no es necesario para que sostenga la verdad enunciada, ésta se sostiene por sí sola. La conjetura es válida para un número finito de casos; el teorema lo es para infinito número. Así por ejemplo, el teorema de Pitágoras es válido para el infinito número de triángulos rectángulos que existen ó como suele decirse académicamente: «es válido para todo triángulo rectángulo» Este es el momento de la historia de Occidente cuando los griegos entran en escena, capacitados y decididos a continuar con el trabajo comenzado por los egipcios y dispuestos a establecer las bases de la cultura europea. Resientes investigaciones nos han informado al respecto que «en romería académica viajaron a Egipto filósofos e historiadores. Allí recalaron matemáticos de Samos para aprender el secreto de los números y las proporciones. Acudieron médicos de Jonia en busca de remedios para las enfermedades…» (Investigación Ciencia, 04/1998)

y

En efecto, entre los años 650 y 200 a. C., el mundo griego, con la

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riqueza de sus democracias y con la amplia apertura hacia otros países que le brindaba su comercio, abundaba en sabios viajeros que sabían mezclar culturas e ideas. Entre los primeros estuvo Tales (625-547

a. C),

rico comerciante de Mileto, héroe

legendario, cuyo perfil personal ha sido dibujado principalmente con anécdotas enriquecidas por la imaginación popular. Al mismo tiempo fue consejero político, ingeniero militar, hombre de negocios, filósofo, y astrónomo. Siendo ingeniero del rey Creso de Lydia, se dice que desvió el curso de un río para que pasara el ejército. Su actividad como mercader le llevó a visitar muchos países y su genio natural le permitió aprender toda cuanta novedad conocía. Como empresario ganó una fortuna creando un monopolio de prensas para la extracción de aceite de oliva a raíz de una abundante cosecha de aceitunas. Fue reconocido por sus compatriotas de posteriores generaciones, como uno de los Siete Sabios de Grecia. A diferencia de otros comerciantes, al retirarse de su actividad, se entregó por entero a la filosofía y las matemáticas. Particularmente, y de manera seria y profunda, meditó sobre las conversaciones que tuvo con los sacerdotes egipcios, cuyo saber pudo valorarlo en su verdadera importancia y justa medida, llegando a ser el primer europeo en poner en alto relieve su magnífica ciencia. Entre sus proezas más famosas se encuentran, el cálculo de la altura de la Gran Pirámide y la predicción del eclipse solar del año -585. A él le son atribuidas las demostraciones de las célebres proposiciones que dicen: «Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales; los ángulos opuestos por el vértice son iguales; dos o más triángulos que tengan los ángulos iguales son semejantes; el ángulo inscrito en un semicírculo es recto; etc.» Todas estas propiedades, como hemos visto, ya fueron encontradas por los geómetras egipcios de forma práctica, pero fueron probadas, en su validez general, mediante el método deductivo, por Tales (ver recuadro 5) En su geometría uno encuentra auténticas expresiones algebraicas. Por ejemplo, el teorema que reza que el diámetro biseca al círculo, constituye una verdadera ecuación tanto como la igualdad establecida para el cálculo de la altura de la Gran Pirámide, realizado, como dice Plutarco, «tan sencillamente, sin ningún alboroto ni

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instrumento alguno» Éstas se construyeron mediante la noción de razones iguales o proporciones. La idea de abstraer ó idealizar la figura de un objeto material, como un triángulo o un cuadrado, y considerarla como una función de línea, lo debemos por entero a Tales. Es decir, él consideró que toda recta ó curva es el rastro dejado por el movimiento de un punto que se desplaza según una ley bien definida. De este modo, llega a establecer el concepto de lugar geométrico ( el que tendrá decisiva incidencia en la evolución del E.M.R.Occ.)

Se lo conoce como el padre de las

matemáticas, la astronomía y la filosofía griegas. Por aquellos tiempos los hábitos del pensamiento pagano envolvían el alma de su pueblo y la tenían subyugada bajo la influencia de distintos grupos de dioses, cada uno más “universal” que otro; hasta que su llegada iluminó el nuevo camino, aquel que debía conducir a la libertad “definitiva” del espíritu. Según indicaba el nuevo método, él determinaba el campo de investigación, formulaba las preguntas correctas e iniciaba la búsqueda de la ley trascendente subyacente a todo lo que es efímero, transitorio y finito. Tales fue quien postuló por vez primera que lo abstracto y más general es más valioso que lo intuitivo y sensible. Pues, las imágenes sensoriales son aparentes, engañosas. Entonces, por necesidad, las imágenes en la mente debían ser producidas por vía de la abstracción, buscando aquello que de común tiene todo lo que existe e inhibiendo la acción de aquellas que se producen por vía de los sentidos. Consecuentemente es adecuado denominar al nuevo espacio de representación como trascendente, ya que esta formado por puntos-límite, objetos que supuestamente constituyen la esencia de las cosas que integran el Mundo y las trasciende en su apariencia. Es importante recordar que Tales nunca olvidó la deuda que contrajo con los sacerdotes egipcios, y cuando ya era anciano aconsejo con vehemente insinuación a su discípulo Pitágoras a que les visitara y bebiera de su sabiduría. Éste acogió de buena gana la sugerencia y no tardó en realizar el histórico viaje. Pero, viajó también a Babilonia donde conoció la “proporción perfecta”: a:½ (a + b)=2ab/(a+b):b que representa los aspectos aritmético y armónico de los números enteros a y b. Dicho sea de paso, los griegos también tomaron de los

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babilonios el conocimiento de hechos astronómicos y el método sexagesimal de contar por unidades de sesenta en aritmética. Se sabe que Pitágoras (569-500

a.C)

fue oriundo de Samos y así como Tales

perteneció a la colonia de griegos jónicos establecidos en las costas e islas occidentales del Asia Bitinia, actual Asia Menor. En el año -529 se instaló en Crotona, ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y comenzó a disertar sobre filosofía y matemáticas. Su público fue de lo mas variado, desde gente pudiente hasta mujeres, pese ha estar prohibido por la ley el que ellas asistieran a reuniones públicas. Entre las más entusiastas se encontraba Theano, joven y bella mujer, hija de su huésped Milo, con la que se casó. Se sabe que ella escribió una biografía de él, pero desgraciadamente se ha perdido. La influencia de este gran matemático y filósofo fue tan poderosa, que no sólo llegó a ser más conocido que su maestro; si no que, no tardó en rodearse de sus discípulos más interesados, para luego constituirse muy comprometidamente en una secta o hermandad. Propiamente era un partido político de elite, que pretendía imponer un régimen de gobierno y una organización social basados en el modelo de la sociedad patriarcal y militar de los Dóricos. Para el propósito elaboraron una ideología inspirada en la idea de que era preciso realizar en el Estado (microcosmos) el orden perfecto y la bellísima armonía que reinaban en el Universo (macrocosmos) Se la conocía como la Orden de Pitágoras y llegó a influir política y religiosamente más allá de Grecia. Los miembros de la secta compartían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometían a no revelar los secretos y enseñanzas de la hermandad. Se cuenta que en cierta ocasión, cuando aconteció el ahogamiento de uno de sus miembros, Hipaso, se preguntaron: ¿no es cierto que se encontró con la muerte debido a que había roto el juramento? Si contestó la Orden; pues, «¡había divulgado el secreto de la esfera con sus doce pentágonos!» En otras palabras, se lo acusaba de haber divulgado la inscripción del icoságono ó dodecaedro en la esfera. El pentágono fue elevado a símbolo distintivo de la hermandad y tal vez representaba a la estrella Polar que caracteriza al Hemisferio Norte Celeste y a la

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Cultura Occidental. A medida que la Orden se extendía iban escribiéndose todos los hermosos hallazgos que ésta realizaba. Los pitagóricos hicieron grandes progresos en la teoría de los números y en la geometría de áreas y volúmenes. La autoría personal de los teoremas demostrados no se conoce debido a que la hermandad lo atribuía todo lo que se descubría al gran Maestro Pitágoras. Su pensamiento estuvo animado por la magia del método demostrativo de Tales y fascinado por las sorprendentes propiedades geométricas que éste permitía establecer con los teoremas y descubrir mediante los corolarios; así como encontrar los escollos que resaltan las limitaciones del enunciado demostrado. Cuando del cuadrado hablamos, inmediatamente se nos viene a la memoria su nombre ligado al famoso gran teorema que lo ha inmortalizado. Su enunciado revela que, «en todo triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos» (ver

recuadro 6)

Como ya indicamos, la verdad de lo rezado ya era conocida por

algunas culturas de la Tierra y desde hace mucho tiempo; pero, su validez estaba verificada sólo para un número finito de casos, sólo era una conjetura. Precisamente, el prodigio de Pitágoras consistió en probar que era válida para todos (infinito) los triángulos rectángulos, convirtiendo, de esta manera, la conjetura en

teorema y el enunciado relativo en absoluto. Apolodoro el aritmético nos

cuenta que al encontrar la demostración del gran teorema, tal fue su alborozo, que decidió realizar un glorioso sacrificio a los dioses y faenó un buey. A él le debemos el nombre de Matemáticas para la ciencia que estudia por un lado a las magnitudes discretas y por otro a las continuas. De la primera rama nacen aquellas que son absolutas y también las que son relativas; de aquellas se encarga la Aritmética y de éstas la Música. La segunda, en cambio, se bifurca en estables y dinámicas; de las que se encargan la Geometría y la Astronomía respectivamente. Esta primera clasificación dio origen a su famoso Quadrivium de las ciencias. Pitágoras y sus discípulos también se empeñaron en desarrollar la teoría de las figuras que llenan el espacio. Al tratar esta materia debieron preguntarse ¿es

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posible llenar completamente una superficie plana con repeticiones de figuras unitarias como, triángulos, cuadrados, pentágonos, etc.? Pregunta íntimamente relacionada con la que se hicieron para demostrar el teorema que asevera que: «la suma de los ángulos internos de un triángulo rectilíneo es igual a dos rectos» El mismo modo de pensar se extendió a la geometría del espacio, comenzando por el estudio de los cuerpos geométricos regulares. Aquí se hace necesario destacar que es realmente sorprendente que en la geometría tridimensional haya sólo cinco sólidos regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, ni uno más ni uno menos. Se les conoce con el nombre de, “los cinco sólidos perfectos” y ellos constituyen la expresión de la simplicidad, la precisión y la belleza. Los tres primeros ya fueron conocidos por los egipcios, los pitagóricos encontraron a los dos últimos: Pero, la demostración de que no puede haber más de cinco tendría que esperar hasta el advenimiento del gran Leonado Euler ( 17071783)

Otro de los temas que interesó al gran Maestro de Samos fue el del método de aplicación de áreas. Su solución fue brillante: encontró un procedimiento geométrico equivalente a la resolución de una ecuación de segundo grado. El problema consistía en trazar, sobre una línea recta de referencia, una figura dada. La base de dicha figura podía ser menor, igual o mayor que la longitud de la recta, presentándose, por tanto, tres alternativas de solución, a las que denominó: elipse, parábola e hipérbola. Algunos años más tarde esta nomenclatura fue adoptada por Apolonio de Perga, el admirable estudioso de las secciones cónicas, por que la triple característica se presentaba también en la generación de estas curvas. En la historia de las matemáticas esta clasificación ha mostrado ser clave para descubrimientos importantes; por ejemplo, se halla ligada con al teoría de los números irracionales (), cuyo descubrimiento constituyó una de las mayores realizaciones de Pitágoras. Todo sucedió el día en que aplicó el gran teorema al caso particular del diagonal del cuadrado unitario, inesperadamente se encontró con un

número nuevo: 2 =1.4142135… Puesto que éste contiene

infinitos decimales no periódicos, es inconmensurable y por tanto no puede ser expresado mediante el cociente de dos números enteros. El vértigo producido por

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lo inesperado le impulsó a demostrar que no siempre es posible encontrar una medida común para dos longitudes dadas a y b definidas para todo número entero. El alborozo inicial que recordamos se transformó en desagradable sorpresa y, esta vez, los que sacrificaron al buey y festejaron fueron sus enemigos políticos. Él, que había supuesto que su demostración fuera válida para todos los triángulos rectángulos, se encontró con que sólo lo era para un conjunto particular de ellos, aquel que puede ser expresado mediante los números racionales, definidos como la totalidad de aquellos que puedan escribirse como el cociente o razón

de

dos

enteros.

Hoy

día

se

escribe

en

notación

conjuntista:

Q = X X = a/b; a,b  Z . El teorema, por tanto, era aplicable sólo a magnitudes conmensurables. El sueño pitagórico de un Mundo absolutamente racional se había esfumado para siempre, apareciendo en su lugar, otro, más amplio, el de lo Real, que incluye lo que no es racional, lo irracional. Su apasionado interés por la relación que encontró entre la geometría y la música le condujo al descubrimiento de las maravillosas progresiones armónicas de las notas de la escala musical, al hallar la relación proporcional entre la longitud de una cuerda y el tono de la nota producida al vibrar. Conmovido por este descubrimiento, vio en los números la sustancia de todas las cosas, de ellos dijo que no eran meros atributos de éstas, si no que eran su esencia misma, lo que equivalía a postular que todo lo que existe tiene una racionalidad absoluta que está implícita y que se la puede revelar mediante el cálculo proporcional. Siguiendo la guía de esta convicción identificó al uno con el punto, al dos con la línea, al tres con la superficie y al cuatro con el volumen. Con esta designación geométrica daba origen a la noción de Dimensión Topológica. Más tarde, con la aparición del número cero, ésta fue reasignada para quedar finalmente así: el punto con dimensión topológica cero, la línea con uno, la superficie con dos, el volumen con tres, el hipervolumen con cuatro, etc. Es de rigor manifestar que los pitagóricos son los primeros en dar comienzo al establecimiento de un sistema de conocimiento geométrico como un cuerpo teórico. Anteriormente las proposiciones de las matemáticas se encontraban en

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estado particular, faltaba elevarlas al estado de máxima generalidad para disponer de una teoría sobre el espacio geométrico, para ello, prodigiosamente, ¡asociaron los puntos con los números!. Fue así cómo los pitagóricos pusieron a la geometría en el camino de

la perfección, al completarla con el estudio de su aspecto

aritmético, cuantitativo, gracias al refinamiento del método lógico deductivo. Ahora, el concepto de lugar geométrico dado por Tales quedaba completo; esta vez, la trayectoria que describe el punto acaece siguiendo una línea numerada. Como se descubrirá más tarde, tenían en sus manos un incipiente espacio de representación apropiado para describir los cambios de posición de los objetos, la estructura externa de los sistemas. No está por demás recordar algo de lo manifestado por los comentadores más cercanos, en el tiempo, acerca de la magnífica obra pitagórica y, en particular, a cómo entendían la noción de número. Estobeo dice que «Ciertos pitagóricos vinculan directamente al número con el alma» Moderato, «que tiene en sí mismo las relaciones»; el pitagórico acusmático Hipaso, «que constituye el órgano definitorio de dios que ordena el Universo», Jámblico que: «Los acusmáticos, seguidores de Hipaso, sostenían que el número viene a ser, en primer término, arquetipo de la construcción del universo y órgano de distinción del dios que lo ordena» El fuego constituye, para Hipaso, el núcleo del Cosmos, la Madre de los dioses o el trono de Zeus. El romano Porfirio afirma que Pitágoras explicaba su doctrina a dos clases de discípulos: los matemáticos que tenían acceso a la parte más importante y profunda de ésta, y los acusmáticos que sólo aprendían las reglas generales. Aristóteles dijo de la Orden que: «Ellos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron, y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas» Y, Eudemo los acusó de «haber convertido a la geometría en una ciencia liberal y haber desviado a la aritmética del noble servicio que prestaba al comercio» Tolomeo se expresó diciendo que…«para ellos, los acordes musicales correspondían a las relaciones numéricas en las cuales un término viene a ser divisor del otro en una

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unidad; así, en 2/1, en 3/1, en 4/1 ó un término supera al otro en una unidad: 3/2, 4/3, 9/8; estos últimos se denominan números epimorios o superparticulares» El empeño vanguardista de los últimos pitagóricos fue la formación de números irracionales como valores de puntos-límite de las series fraccionarias infinitas. Sin embargo no pudieron formular una teoría aritmética completa de este tema. Por esta causa no dispusieron de una explicación aritmética de las proporciones, pues todavía no comprendían, con la profundidad suficiente, la noción de número inconmensurable. Es crucial anotar que los últimos pitagóricos eligieron el camino de la armonía y no el del número como lo hizo su maestro y, con él, la cultura Occidental. Hasta aquí hemos descrito la manera como comenzó la construcción del Espacio Matemático de Representación de occidente (EMROcc) Los componentes que hasta aquí han entrado en escena son: la noción de infinito inferida del proceso inacabable de fraccionamiento de un segmento de recta ó del perímetro de un polígono convexo regular inscrito en un círculo o de la inconmensurabilidad o de la inmortalidad. El punto-límite, objeto trascendente, es la unidad estructural del EMROcc, imaginado como una totalidad repleta de ellos. Como consecuencia lógica sigue el concepto de lugar geométrico, como la trayectoria de un puntolímite moviéndose según una ley bien definida. Por primera vez se ensayaba una asociación entre números y puntos. El método lógico-deductivo completa el conjunto de componentes que han nacido hasta la época. De ahí en adelante la actividad de los matemáticos se encaminará por la exploración y descubrimiento de las propiedades del EMROcc en pleno desarrollo. Como hemos podido constatar, la práctica científica libre de las ataduras políticas y religiosas, posibilitó a estos primeros científicos un desarrollo amplio de sus capacidades abstractivas. Ellas, por primera vez, se encontraban fuera del control del Estado, a diferencia de lo acontecido en Egipto. Sin duda, ellos habían logrado estabilizar y gobernar, individualmente, la conciencia mental ó conciencia espaciotiempo, (entendida en el sentido de que su representación tiene lugar en la trama del espacio y el tiempo ), poniéndola a salvo de la influencia de la conciencia mítica ancestral. Había nacido,

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pues, la ciencia propiamente dicha; pero, solo su cuerpo cuantitativo. El cuerpo cualitativo todavía se encontraba en estado mítico y así ha permanecido hasta nuestros días. Una segunda fase del desarrollo de la geometría en la época de la Grecia Clásica tiene lugar en la Magna Atenas durante los siglos V y IV a. C. Convertida ésta en el centro comercial, político e intelectual de Grecia, atrajo a notables matemáticos, astrónomos y filósofos de muchos lugares. Entre los más importantes estuvieron Hipócrates (470-a. C), Platón (429-348 a. C), Eudoxo (408-355 a.C) y Menecmo(375-325 a.C) La escuela de Atenas se ocupó especialmente de tres problemas: La duplicación del cubo ó la construcción de un cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo dado, la trisección de un

ángulo dado y la cuadratura del círculo, o sea, la

construcción de un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Naturalmente, éstos problemas surgieron en el curso de la investigación sistemática de la geometría que venían haciendo los griegos, desde Tales. Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XX cuando se obtuvieron soluciones satisfactorias, en especial para el último. Al igual que Tales, Hipócrates de Quíos (470-a. C) (distinto de Hipócrates de Cos, el médico) primero fue comerciante y luego matemático. Fue quién encontró el primer ejemplo de una solución de cuadraturas ( se denominaban así a los problemas que consisten en construir un área rectilínea equivalente a un área limitada por una o más curvas ),

las lúnulas (objeto

para lo cual inventó

en forma de luna menguante determinado por dos círculos que se cortan)

para

alcanzar tal fin; mientras que Menecmo, en su intento por resolver el problema de la duplicación del cubo, descubrió la parábola. Hipócrates también es el primer autor conocido que haya escrito un tratado de matemáticas elementales; dedicó su talento, de manera especial, al estudio de las propiedades del círculo. La mayor parte de su trabajo ha permanecido en los libros III y IV de los Elementos, debido a la pérdida de su libro original. Su mayor logro es la demostración del teorema que dice que «los círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de los diámetros», lo que equivale al descubrimiento de la fórmula r2 para el cálculo de la superficie del círculo. Se dice que llegó a esta conclusión, considerando a la circunferencia como límite ad infinitum de un polígono regular

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convexo cuyos lados se fraccionan indefinidamente, sea inscrito o circunscrito (tomado de la sabiduría egipcia) Ésta fue la primera aplicación del método exhaustivo, el cual alcanza su excelencia en la obra de Eudoxo y Arquímedes. Su utilización permitió desentrañar, en parte, el misterio de los números irracionales, que tan desconcertados habían dejado a los matemáticos pitagóricos. Así, el proceso impulsado por el afán de resolver los problemas mencionados, condujo al descubrimiento de otras curvas nuevas, como la elipse, la hipérbola, la concoide, la cisoide, algunas espirales y otras clasificadas como lugares geométricos en superficies. Una vez alcanzado este estado de desarrollo, los griegos consideraron útil implementar una clasificación especial para los problemas. Los llamaron “planos, sólidos y lineales”. Planos eran aquellos cuya solución dependía de la intervención de líneas rectas y círculos, sólidos si dependían de las secciones cónicas y lineales si eran función de curvas aún más complicadas. Hoy día los problemas planos son abordados por el álgebra y se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado. Los griegos, de manera natural, postularon que los tres problemas referidos podían resolverse por métodos planos. Esto no resultó ser verdadero, pues no eran necesariamente insolubles por métodos sólidos o lineales. Al parecer esto se debió a que el impacto de la impronta pitagórica fue tan poderoso que les indujo a reducir las soluciones de todos los problemas a métodos planos. Nada raro éste comportamiento reduccionista

en la Civilización Occidental, ya que ha sido

peculiar expresión de su modo de ser. Alrededor del año 495 a. C. nació en Elea el filósofo Zenón (495-435

a. C.)

Este

original y perspicaz pensador, desempeñó el papel de crítico de los matemáticos y formuló sendos y sutiles argumentos con el propósito de probar que el movimiento es inherentemente imposible, basándose en la evanescente noción de infinitesimal, que ya tenía historia reconocida desde su nacimiento en Egipto. Por ejemplo, criticó a la progresión geométrica infinita proponiendo el famoso acertijo que alude a la competencia de velocidad que libran Aquiles, el más veloz de los mortales y, la proverbialmente lenta tortuga, una vez que éste le ha concedido una

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razonable ventaja. Platón, en su Parménides, nos cuenta que Zenón presentó sus inolvidables argumentos en contra de los fundamentos del movimiento, en la célebre reunión que tubo lugar en Atenas hacia el año -445, a la cual asistieron, entre otros, su maestro y compatriota Parménides ( primera

mitad del siglo V a. C.)

y

Sócrates (470-399 a. C.) Recordémoslos: la primera paradoja dice que, sí Aquiles parte del punto A y la tortuga del punto B, cuando Aquiles llegue a B la tortuga estará en C, y cuando Aquiles alcance a C la tortuga se hallará en D y así infinitamente ( recuadro 4) Ahora bien, si nos situamos en la óptica de nuestra percepción sensorial, Aquiles gana la contienda, evidentemente; en cambio, si nos ponemos de parte del intelecto, Aquiles no gana la carrera. Nos encontramos, pues, en una situación de conflicto entre equipotentes, en una posición tormentosamente indecidible, en medio de una letal paradoja que separa al intelecto de los sentidos y desgarra el cuerpo del alma. He aquí, el núcleo de la argumentación de Zenón, la cual sirvió para sustentar el punto de vista parmenidiano sobre el carácter engañoso de la percepción sensorial del movimiento, condenada a vivir en el desconfiable mundo de las apariencias. De esta histórica escisión se ha desprendido el tradicional antagonismo entre idealismo y materialismo que, ha modelado y fraccionado en dos el pensamiento occidental. El holismo estático e indivisible de los eleatas introdujo, pues, una indecisión, un dualismo trascendente, al considerar el concepto de movimiento3. Para apuntalar la argumentación de Parménides acerca de la noción de espacio vacío, Zenón aseveró que «si el espacio existe, ha de estar contenido en algo, y este algo sólo puede ser más espacio, y así ad infinitum» Sin embargo, él no está 3

Es muy importante recordar que al fragor de la batalla teórica librada por Parménides y sus

discípulos en contra de los seguidores de Heráclito de Efeso (siglo V I a. C.), en torno a si el movimiento es una ilusión ó un hecho concreto, independiente de la conciencia, nacieron los cuatro principios sobre los que se ha ido construyendo la ciencia occidental, a saber: 1° principio de unidad y comunidad de lo real. 2° principio de unidad y comunidad de la razón. 3° principio de racionalidad de lo real. 4° principio de temporalidad de lo real. Heráclito fue el primero en formularlos.

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de acuerdo con el razonamiento y termina negándole la existencia al espacio infinito. Ahora estamos seguros que Zenón estuvo convencido de que la distancia que deba ser recorrida por un móvil, puede ir dividiéndose en una infinidad de segmentos, cada uno de los cuales representa un espacio por recorrer. Por tanto de ello infirió que, no puede acaecer ningún movimiento, pues siempre queda una distancia por recorrer, sin que importe cuán pequeña sea. En otras palabras, que el móvil tenga que pasar por una infinidad de puntos en un tiempo finito equivale a que no se mueva. ¡He aquí la ambigüedad, he aquí la paradoja! Ahora sabemos que todo esto se debió a que él no reparó en el hecho de que para pensar en el cambio de posición de los cuerpos hay que a éstos, obligadamente, reducirlos a puntos; ya que así lo exige el Espacio de Representación en uso, que tiene a este objeto trascendente como unidad geométrica. En esta situación, Aquiles y la tortuga han perdido la condición de tales, han trascendido y se han convertido en dos entidades intrínsecamente idénticas, en dos puntos, donde el uno se mueve detrás del otro sin llegar a alcanzarlo nunca. Hasta aquí hemos mostrado que, el EMROcc tiene su principal limitación, justamente, en el obligado uso de este artificio reduccionista. En esta condición éste sólo es capaz de reflejar la estructura externa de los sistemas, como sería el caso del sistema solar, por ejemplo. De él solo serían observables las trayectorias espacio-tiempo de los planetas, siempre bajo el supuesto que su estructura interna no incida en ellas. La segunda paradoja repite la primera argumentación; pero, esta vez, sin dramatizar, lo hace directamente con el objeto matemático en cuestión: la progresión geométrica (recuadro 4) Dice así: antes de que un móvil alcance el punto medio de su hipotético recorrido, es preciso que cubra la cuarta parte de dicha distancia y antes la octava y así ad infinitum. Las conclusiones que arroja son las mismas que las primeras, como es de esperarse. En la formulación de la tercera paradoja Zenón cambia el modo de la argumentación, nos asegura que el concepto mismo de movimiento carece de

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sentido. Nos invita a considerar al móvil como si estuviera “congelado”, a ensayar una mirada “estroboscópica” en un instante arbitrario de su trayectoria. En dicho momento éste ocupará una región del espacio igual a su propia longitud, y no evidenciará movimiento alguno. Y, puesto que esta observación es válida para todos los instantes, se concluye que el objeto no se mueve. Las objeciones citadas en contra de la idea de movimiento, en lo que se refiere al cambio de posición de los objetos, obtienen su fuerza en la obligación de explicar cómo completar, en una sucesión, un número infinito de pasos que se deben ejecutar al recorrer cualquier segmento de recta dado. Finalmente podemos advertir que todas las paradojas provienen de la evidente incongruencia que mantienen las categorías de finito e infinito, las cuales no son conciliables, al contrario, son absolutamente excluyentes, se repelen mutuamente, ya que la primera alude a lo que está definido y la segunda, en cambio, a lo que no lo está, a lo indefinido. La única forma de poner en correlación a las dos ha sido mediante el misterioso “salto” que se da al realizar la operación de punto y circunferencia límites. Pero, por ser éste un acto trascendente las categorías quedan totalmente desarticuladas y cada una pasa a actuar en su propio ámbito. Este manifiesto dislocamiento en ellas ha sido la causa de las ambigüedades y de las alucinaciones que hemos recordado a propósito del pensamiento de Zenón. Así fue entonces cómo los matemáticos griegos se encontraron con el infinito al tratar de contar sin fin, de medir magnitudes, como la diagonal del cuadrado o el arco de parábola, y de descubrir y desarrollar las propiedades del EMROcc, llamado también continuo de puntos. Para Aristóteles, primer teórico del infinito y del continuo, el infinito era «lo que no se deja recorrer y carece de límite» Al carecer de límite, no está definido ni tampoco determinado y, por tanto, no existe en sí mismo. En efecto, si un objeto fuese infinito, uno se vería obligado a reconocer que también lo serán, sus partes. Pero, entonces, habría que aceptar que el infinito del todo sería mayor que el de las partes. Con esto, se pone al descubierto los dos principios que impidieron a los griegos concebir un infinito en sí ó, como dice Aristóteles, un infinito en acto: por un lado el axioma enunciado por Euclides que «el todo es mayor que cualquiera

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de sus partes», y por otro el supuesto de que no existen infinitos mayores que otros. Por ello, el parecer de Arquímedes según el cual la idea de infinito es geométricamente demostrable y está físicamente concretada en el número de granos de arena existentes en la Tierra, no resistió el análisis de Aristóteles, que concebía el infinito como una pura negación de lo finito. Y se manifestó exclamando que, en primer lugar admitía la necesidad de pensar en el infinito, pero le negaba toda existencia física o matemática. Para él el infinito matemático está íntimamente relacionado con la categoría de cantidad y sólo tiene que ver con el infinito potencial, cantidad que puede volverse más grande o más pequeña sin que dicho devenir llegue acaecer. Esta brillante solución dada por Aristóteles, al introducir los conceptos de infinito potencial e infinito actual, ha perdurado por varios siglos hasta llegar a nosotros, pese a la transformación producida por acción de la Teoría de los Conjuntos construida por Georg Cantor (1829-1920) Demócrito (470-a. C), el gran filósofo de Abdera, contemporáneo de Arquitas el geómetra (400- a. C) y Platón, conocido conjuntamente con Leucipo ( mitad del siglo V C.)

y Epicuro (324-270

a. C.)

a.

como el creador de la teoría atómica, formuló

inquietudes de parecido talante respecto del infinito. Empero, su obra matemática solo pudo ser conocida gracias al libro de Arquímedes titulado, Método. En éste se descubre que Arquímedes consideraba a Demócrito como el primer matemático que llegara a establecer la fórmula para el cálculo del volumen del cono y de la pirámide. Para ello se valió de su método de las capas, que consistía en considerar a estos sólidos como si estuviesen formados de innumerables capas paralelas a la base, a manera de escalinatas. Cuando se aplica este método al caso del cilindro no se encuentra dificultad alguna, pues las superficies de las capas son iguales; pero, para el caso de la pirámide y el cono, las cosas se complican ya que éstas van disminuyendo hasta converger en un punto. Es pertinente recordar que los tamaños menguantes de los infinitésimos le confundían y le hacían preguntarse: «¿son iguales o desiguales? ; pues si son desiguales, el cono será irregular como si tuviera muchas incisiones, como escalones, y asperezas; pero si son iguales, las secciones serán iguales y el cono tendrá la propiedad del cilindro y estará formado por círculos iguales, y no

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desiguales, lo cual es totalmente absurdo» Este trabajo realmente fue crucial ya que, anunciaba la gran labor de Arquímedes y, siglos más tarde, la de Cavalieri, Newton y Leibniz. Había sembrado la primera semilla del cálculo infinitesimal. El postulado de Demócrito y Epicuro de que la materia se encuentra formada por partículas indivisibles en movimiento, los últimos constituyentes de la materia, llamados átomos, resulta de la aplicación del método a la realidad concreta. En éste, como se puede advertir, se ha reducido los átomos a puntos al dotarles de la propiedad de indivisibilidad, única forma en que pueden ser pensados. Dicho de otra manera: es de rigor reducir las partículas, de las que se halla formada la materia, a la calidad de puntos para que tengan imagen en el E.M.R.Occ. Pero, esta imagen sólo constituye la estructura externa de los objetos en movimiento. Siglos más tarde Isaac Newton hará lo propio, al introducir el concepto de punto material en la construcción de la ciencia de la Mecánica ó teoría cuantitativa del cambio continuo. Esta teoría es apropiada para describir y predecir, de manera absoluta, los cambios de posición de las partículas materiales ( previa puntos),

reducción a

mediante las funciones continuas o analíticas que contiene el E.M.R.Occ.

Regresando al tema que estuvimos recordando cuando hablábamos del aporte que la escuela de Atenas hizo al desarrollo del EMROcc., debemos decir que Sócrates y Platón, maestro y discípulo, fueron matemáticos competentes; sin embargo, su contribución no fue directamente al corazón de esta ciencia. Así, en Platón encontramos a un investigador original en esta materia; empero, la enorme influencia que ejerció en el curso histórico que tomarían las matemáticas, la despliega al fundar y dirigir su famosa Academia en Atenas. Sobre la puerta de entrada a su cátedra escribió: «Que nadie que no sepa geometría traspase mis puertas» Decía, que un hombre no debe adquirir simplemente un fardo de conocimientos, sino que debe capacitarse para poder ver con la mente, única capaz de descubrir lo que hay detrás de la apariencia que presentan las cosas, aquello que los sentidos no pueden revelarnos; o sea, la realidad eterna y el Bien. Para poder alcanzar tan elevado propósito, es indispensable el estudio de las matemáticas, ya que éstas nos permitirán desarrollar las estructuras mentales apropiadas para tener tan inaudita experiencia, como ésta de ver con la mente.

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La palabra griega , de la que se deriva “aritmética”, originalmente sólo servia para significar al conjunto de los números naturales; hasta que vino Platón e incluyó al conjunto de los irracionales entre los números, realizando con ello un gran progreso académico-científico. La importancia que Platón concedió a la aritmética en la formación del intelecto tiene una grandeza que se equipara a sus opiniones acerca de la geometría. Sin embargo, no le agradaba la etimología de la palabra, ya que alude a la medición de terrenos (), manifestando así, la intención de olvidar el verdadero origen de ésta, con el sincero afán de concederle un noble lugar de origen no terreno. En el Timeo, donde manifiesta dramáticamente su convicción pitagórica a través de su personaje Timeo, se alude a los cinco sólidos prefectos cuando se establece una correspondencia biunívoca con los cuatro elementos de la naturaleza. Nos enseña cómo, el aire, la tierra, el agua y el fuego tienen formas características, así, el octaedro se adecua al aire, el cubo a la tierra, el icosaedro obtuso al agua, la pirámide aguda o tetraedro al fuego, en tanto que el Creador empleó el quinto, el dodecaedro, para el propio Universo. De esta manera, prefigura la ciencia de la cristalografía que enseña que las sustancias, en el nivel molecular, se cristalizan siguiendo patrones geométricos muy precisos; así por ejemplo, el cloruro de sodio lo hace en cubos perfectos, el agua en innumerables formas estrelladas, el dióxido de silicio o cuarzo en un mosaico de prismas irregulares y el resto según un amplio abanico de variedades prismáticas. Proclo, comenta que «Platón produjo un gran progreso en las Matemáticas en general y en geometría en particular, a causa de su entusiasmo por ella, lo que se evidencia en la forma en que llenaba sus libros con ilustraciones matemáticas, e intentaba, en todas partes, encender la admiración por estos temas en aquellos que hacían de la filosofía una ocupación» Platón, ante al pregunta ¿qué hace Dios? respondió: «Dios es un geómetra, Él siempre hace geometría» Entre sus discípulos se encontraba un joven estudiante, que sorprendió por su capacidad para las matemáticas y la astronomía, llamado Eudoxo de Cnido (408355 a. C)

Viajó mucho y estudió en Egipto, Italia y Sicilia donde conoció a Arquitas,

el geómetra. Hacia el año -368 regresó a Atenas, a la edad de cuarenta años, en

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compañía de un considerable número de discípulos, justamente en la época en que Aristóteles, muchacho de diecisiete años, atravesaba por primera ves el mar para estudiar en la Academia de Atenas. Su gran obra en astronomía fue su teoría de las esferas concéntricas, que daba cuenta, con precisión admirable, de los extraños recorridos de los planetas. Así como Ptolomeo (100-168 1630),

d. C)

y todos los demás astrónomos hasta Kepler (1571-

encontró en el movimiento circular, una base satisfactoria para una teoría

planetaria completa. Pero, la obra mayor lo hace como matemático, al alcanzar la cúspide del esplendor griego, con su teoría de los irracionales sobre una base firmemente sólida, la que aún permanece fresca como siempre, después de las definitivas reformulaciones que hicieran Dedekind (1831-1916) y Weierstrass (1815-1897) en la segunda mitad el siglo XIX. La inmediata consecuencia que tuvo su trabajo fue devolver la confianza en el método geométrico-proporcional y completar las demostraciones de algunos teoremas, que habían quedado pendientes. El método exhaustivo, que sirvió a Demócrito e Hipócrates para que establecieran conclusiones sobre el volumen del cono y el área del círculo, fue perfeccionado y explicado a plenitud y de manera definitiva por Eudoxo ( ver recuadro 7) En este recuadro podemos observar, sin embargo, que por muy pequeño que sea el segmento b, éste siempre tendrá una longitud finita. Aquí es cuando, la convicción de Eudoxo en la existencia de los infinitesimales, le impulsa ha que deseche el caso de una razón a/b cuando a o b son 0, para evitar caer en la trampa que ya había advertido Zenón, la cual fue llenándose de víctimas a lo largo de la historia de la noción de infinito. Así, el axioma ha quedado como una alerta sobre el hecho de que existen dos clases de infinito, el actual y el potencial, y que hay que tener cuidado en el manejo de estas categorías, pues engendran letales paradojas que nos sumergen en tormentosas, desafortunadas y peligrosas alucinaciones. También tuvo otra utilidad al definir a y b como magnitudes de la misma clase, ya que si a representara una longitud y b un volumen o un peso, ningún número de kilos podría decirse que excede a la longitud de un metro.

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Finalmente, mencionemos que los brillantes logros en la lógica de la matemática griega de este período arrojaron a la sombra progresos menos espectaculares que se hicieron en la notación numérica y en la música. Como sabemos, desde los primeros tiempos, la importancia que se concedió a los números 5 y 10, como base de un sistema de numeración útil para contar, ya había sido reconocida en Babilonia, Egipto y China. Los griegos utilizaron el cinco, y esto ha quedado indeleble en el verbo contar, Homero nos dice que el verbo  (cinquear) significa contar. El aporte griego consistió en haber sistematizado su notación empleando las letras del alfabeto para designar números bien definidos (=1, =2, =3,...) En música, Arquitas elaboró las razones numéricas para los intervalos del tetracordio de tres escalas: la enarmónica, la cromática y la diatónica. Sostenía que el sonido es producido por la fuerza de impacto y que, en virtud de esto, sabía que las notas mas altas correspondían a movimientos más rápidos transmitidos al aire, y las bajas a movimientos más lentos. Como se ha visto, la ciencia clásica griega evolucionó durante los siglos VI y IV C,

a.

gracias al gran impulso recibido por la geometría egipcia y a la conjugación que

el genio griego hiciera con las condiciones históricas ideales que se presentaron a comienzos de la fecha señalada. Los griegos fueron los herederos del saber del Próximo Oriente que se había desarrollado por miles de años. Su aportación a la ciencia no terminó con la edad de oro griega; las civilizaciones egipcia y babilónica estaban saludablemente vivas y durante estos tres siglos coexistieron con la civilización griega y se influenciaron mutuamente. Grecia perdió su independencia cuando en el año -338 Macedonia destruyó las armadas ateniense y tebana en Queronea. Esta derrota produjo el hundimiento de las ciudades-estados y con ello llegó a su término la edad de oro de la ciencia griega. A finales del siglo IV a. C. da comienzo la época helénica

y es cuando, el

escenario del que hacer matemático se traslada de Grecia a Egipto, a la ciudad de Alejandría, fundada muy cerca de la desembocadura del río Nilo por el joven príncipe guerrero Alejandro de Macedonia, a quién Aristóteles había indoctrinado. Murió muy joven, a los treinta y tres, sólo dos años después del nacimiento de la

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ciudad que habría de inmortalizar su nombre. Esta hermosa ciudad se transformó en el lugar ideal para la reunión de griegos, árabes y judíos. No tardó en tener presencia como una de las comunidades mercantiles más importantes del Mediterráneo. Situada en las puertas de Oriente llegó a ser el lugar de contacto entre Occidente y Babilonia y Persia, favoreciendo así un florido mestizaje cultural. Allí se conservó en grandes bibliotecas lo más rico, lo magnífico y admirable del pensamiento griego. Se sistematizó y perfeccionó la matemática de los antiguos; el genio intelectual griego entró en vivo contacto con el genio moral y religioso de los judíos; se realizó la traducción de la versión bíblica de los Setenta de las escrituras del Antiguo Testamento; más tarde allí sería donde pensaron y prosperaron los primeros padres de la iglesia cristiana. Pero, también sufrieron profundamente los habitantes de la ciudad con la quema de libros cuando las legiones de Julio César tomaron la ciudad en el año 47 a. C. Fue cuando se perdió valioso material escrito de los grandes pensadores griegos de la edad de oro. La ciudad permaneció con vida por seiscientos años, pero sufrió sensibles pérdidas en los violentos tiempos que siguieron. Su muerte se produjo en el año 642, cuando una gran oleada de invasiones árabes surgidas en el oeste, finalmente culminaron con la toma de Alejandría por el califa Omar. La Gran Biblioteca que contenía unos 700.000 volúmenes, fue destruida casi en su totalidad, sobrevivieron unos pocos ejemplares gracias a que fueron apreciados en su gran valor por los árabes que siguieron a la envestida destructiva de las primeras hordas guerreras. La biblioteca fue fundada durante el reinado de Ptolomeo, sucesor de Alejandro, hacia el año 300 a. C. Realmente se trataba de una verdadera universidad y tubo a Euclides (330-275 a. C.) entre los primeros maestros. Se desconoce casi totalmente de cómo fue su vida y su carácter; sin embargo, se sabe que sus primeros años de instrucción los pasó en Atenas antes de aceptar la invitación del rey para instalarse en Alejandría. Impartió enseñanza por casi treinta años, durante los cuales escribió una inmensa obra, de ella se han perdido trabajos de importancia como un tratado sobre cónicas, otro sobre los errores en la geometría y un libro de aplicaciones de las matemáticas a la música. De ella felizmente nos han quedado los trece libros de su inmortal obra, Elementos.

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Es obra de la fortuna que hayan sobrevivido sus escritos que tratan de astronomía, música y óptica, además de numerosas formas de abordar el estudio de la geometría en sus Datos División de figuras. Lamentablemente se han perdido su Libro de las apariencias y los Corolarios, sólo sabemos indirectamente de ellos a través de Papo (? - 300 d. C) Descubrir lo que decían los corolarios es uno de los desafíos que está pendiente para los historiadores de las matemáticas. Se ha dicho que muy probablemente hablaban de las propiedades relativas a la descripción orgánica de figuras, un tipo de geometría que atrajo a Newton, a MacLaurin y a los que trabajan en geometría proyectiva. Debido a que el cultivo de la geometría fue una actividad muy difundida en Alejandría, incluso se ha llegado a decir que algunos de los Corolarios contenían un método analítico que anunciaba la geometría coordenada de Descartes. Como frutos de la enseñanza impartida por este gigante de las matemáticas están las enormes obras de Arquímedes ( 287-212 a. C.) y Apolonio (262-200 a. C.), dos de los más destacados miembros de la nueva Academia. Los Elementos, que son matemáticas puras en el sentido moderno, llegaron a ser uno de los grandes monumentos de la ciencia griega. En ellos se expone, al modo axiomático-deductivo, la primera teoría sobre el espacio vacío. A lo largo de la historia de occidente ha sido el mayor de sus paradigmas; así, a B. Espinosa ( 16321677)

le sirvió de modelo para la construcción de su Etica y a Newton (1642-1727)

para la formulación de sus Principia. En los Elementos Euclides se propuso escribir una descripción completa de las matemáticas, lo cual implicaba un colosal trabajo aún en su tiempo. El plan de la obra contemplaba trece libros, cuyos temas son ampliamente conocidos. Los libros I, II, IV, VI, tratan sobre líneas, áreas y figuras planas regulares simples, son en su mayor parte textos pitagóricos, mientras que en el libro III, sobre círculos, sigue a Hipócrates. El libro V, menos conocido, elabora el trabajo de Eudoxo sobre proporciones, que era necesario para justificar las propiedades de las figuras semejantes de las que se habla en el libro VI. Los libros VII, VIII y IX tratan de la Aritmética y una embrionaria teoría de los números, con franco espíritu pitagórico. Se introducen los números primos y se demuestra su infinitud; además, se

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establece por primera vez el M. C. D. y el m. c. m. de los números, la teoría de las progresiones geométricas, donde ensaya el método de las razones iguales para obtener la suma y el teorema a m.an=am+n. El libro X está dedicado a la teoría de los números irracionales, especialmente a los de la forma (a+b)1/2, donde a y b son enteros positivos. En éste desarrolla la parte aritmética del trabajo de Eudoxo, mediante un tratamiento cuidadoso del método exhaustivo. Después del libro XI sobre geometría elemental del espacio está el XII que ilustra el método exhaustivo y demuestra formalmente el teorema de Hipócrates, aquel que da r2 para el área del círculo. Finalmente, en el capítulo XIII nos enseña cómo construir los cinco sólidos perfectos de Pitágoras y cómo demostrar sus propiedades. Euclides se ha ganado la admiración de la humanidad y ha inmortalizado su nombre por haber realizado una de las grandes hazañas del intelecto humano: lograr sistematizar las propiedades de las figuras geométricas planas y rectilíneas de manera completa; esto es, haber construido un sistema axiomático-deductivo por primera vez en la historia. De esta manera Occidente dejó firmemente cimentado el escenario para la fluida realización del pensar y el conocer que prodigaría éste maravilloso método. Con este logro, Occidente estuvo en adecuadas condiciones para despegar en su vuelo evolutivo y dar origen a la sociedad mecanística en el planeta Tierra, estructurada a base del espacio matemático de representación trascendente resultante del grandioso trabajo de Euclides. Él construyó una taxonomía de las propiedades de este espacio encontradas hasta su época y logró estructurarlas en un conjunto mínimo de definiciones, axiomas y postulados. En su parte formal los Elementos están elaborados con admirable maestría; pues, con rigor y claridad, primero establece cuidadosamente las definiciones, luego los supuestos y axiomas generales y finalmente los postulados, antes de proceder con el orden derivativo de sus implicaciones. No obstante, no pudo evitar algunas lagunas y tautologías entre estos preliminares a su obra. Éstas no aparecen en las partes eudoxianas de sus libros, sino en las geométricas. De hecho, en sus páginas se encuentran algunos fallos lógicos y escollos sin salvar, los resabios de

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siglos de incesante crítica; pero, lo que realmente importa y sorprende es que su teoría geométrica del espacio vacío haya permanecido como la única válida por más de dos mil años, hasta el advenimiento de las geometrías no-euclideanas. En el aspecto metodológico impresiona su forma honesta de trabajar con las líneas paralelas; pues, nunca intentó encubrir por medio de un axioma plausible su incapacidad para demostrar cierta propiedad de las líneas coplanares. Muchos de sus otros supuestos, o bases necesarias para sus argumentos, fueron tales que recibieron inmediata aprobación general. Pero en el caso de las líneas paralelas comenzó con el supuesto denominado “postulado de las paralelas”, que reza así: «Si una línea recta corta a dos líneas rectas, de manera tal que los dos ángu los interiores que se formen en el mismo lado no sumen más de dos ángulos rec tos, estas líneas rectas prolongadas continuamente se cortarán a la larga en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos» Al dejar el postulado sin demostrar, Euclides quedó expuesto a la acción perversa y corrosiva de la crítica de sus adversarios. Exclamaron que éste no es un supuesto adecuado, que de hecho debe ser susceptible de demostración. Se hicieron cientos de vanos intentos para eliminar este postulado valiéndose de la demostración de su equivalente; pero cada una de las supuestas demostraciones llevaba consigo una apariencia engañosa, una letal paradoja. El triunfo de Euclides llegó con la aparición de la geometría no-euclídea, siglos más tarde, cuando se hallaron las razones fundamentales de dicho postulado. Hay mucha dignidad en la forma en que Euclides dejó este inevitable escollo, como una terrible anomalía del espacio absolutamente continuo. Pero el nombre de Euclides no sólo es mencionado cuando se alude a su monumental obra, se habla también de su algoritmo para determinar el máximo común divisor de dos enteros, de su anillo, de su distancia, del espacio vectorial, nociones todas ellas de las que no fue necesariamente su inventor pero sí su iniciador.

Arquímedes

de Samos (287-212

a. C.)

es el matemático con el cual continúa el

desarrollo del EMROcc después de Euclides. Casi toda su vida transcurre en Siracusa, en ese tiempo fue una ciudad independiente con población griega de

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origen dórico. Por lo que sabemos sólo viajó en su juventud y de los prefacios de sus propias obras y de otras fuentes conocemos que se radicó por un buen tiempo en Alejandría, donde mantuvo contacto con los discípulos de Euclides y trabajó fructuosamente como todos sabemos. Y, fue también allí donde conoció a Eratóstenes (276-195 a. C.); pudiendo verse, en el modo con el que se expresa en la carta en la que le dedica su magnífico escrito Método, que Arquímedes compartía la opinión de los alejandrinos de apodarlo como beta (), pues se decía que en todo era el segundo. Se sabe también que Arquímedes le enviaba los enunciados de los teoremas; pero, sin la demostración, a modo de un problema planteado para resolverlo públicamente. La tradición nos da a conocer que durante su estadía en Alejandría perfeccionó algunos de sus inventos mecánicos, como la bomba helicoidal, por ejemplo. Es que es con Arquímedes que tiene comienzo franco la mecánica como ciencia técnica derivada directamente de la geometría. Con él el EMROcc mostró ser capaz de describir el movimiento que cambia de posición a los objetos del mundo, y comenzó a cimentar, así, el desarrollo de la estructura mecánica de la Civilización Occidental. Conocemos con exactitud la fecha de su muerte, fue el año 212 a. C, ya que pereció, a manos de un soldado, en la toma de Siracusa por las huestes romanas. Cuando esto ocurrió él tenía 75 años, lo que sitúa su nacimiento hacia el año -287. Según nos dice el mismo en su obra Arenario, su padre fue Fidias el astrónomo, quién intentó determinar los tamaños del Sol y la Luna. También es conocido, que mantuvo relaciones de amistad con el rey Hierón II y su hijo Gelón, a quien dedicó su Arenario y que eran parientes lejanos. La vida de Arquímedes en Siracusa transcurrió apacible y sosegadamente; no obstante, terminó de manera violenta, trágica. Las fuentes que no se refieren a su trabajo científico, sólo nos relatan algunas anécdotas significativas, referentes a su personalidad y a sus inventos. Pese a esto, lo que nos ha sido referido perfila su personalidad más claramente que la de cualquier otro matemático que le precedió o que fue su contemporáneo. Así, ciertas anécdotas lo pintan como un hombre abstraído en sus reflexiones, dibujando figuras geométricas en la arena o sobre su propio cuerpo, dominado por

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el acto creador del hallazgo científico, como en el caso del “eureka, eureka”. En cambio, hay otras que se refieren a sus sorprendentes inventos, que causaron la admiración de la corte y de la población, en tiempos de paz primero y en la desesperada defensa de su ciudad después. Así por ejemplo, es harto conocido que durante el sitio de Siracusa, el poderoso genio de Arquímedes salió en defensa de la ciudad mediante la construcción de sorprendentes artilugios, como los grandes espejos parabólicos en cobre bruñido, con los que quemó los barcos del centurión Marcelo o el uso del tornillo sin fin para templar las cuerdas de enormes catapultas que lanzaban sus cargas a distancias increíbles, que dejaron atónitos a los soldados romanos; pues, éstos fueron de tal magnitud y sencillez que infundieron pánico en el invasor. Son muy conocidas las circunstancias de este episodio de las guerras púnicas, que libraron cartagineses y romanos, gracias a los relatos clásicos de Plutarco, Polibio, Tito Livio y Vitruvio. Por ejemplo, Plutarco en su obra Vida de Marcelo nos cuenta al respecto que «En cuanto a Arquímedes, fue tanto su juicio, tan grande su ingenio, y tal su riqueza en teoremas, que sobre aquellos objetos que le habían dado el nombre y gloria de una inteligencia sobrehumana, no permitió dejar nada escrito; y es que tenía por innoble y ministerial toda ocupación en la mecánica, y todo arte aplicado a nuestros usos; únicamente puso su deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevaban consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil» Sin embargo, tales inventos no fueron sino los frutos de su trabajo como geómetra, como científico. Poco conocemos de cómo sus contemporáneos conceptuaron sus trabajos, ni la magnitud de la difusión que tuvieron en su época. Tal es el caso de su principal obra el Método, cuyo texto original se lo encontró recientemente, antes de esto sólo se tenía un par de vaguísimas referencias en los trabajos de Suidas y Herón y nada más. Finalmente debo señalar cuán simbólico es el concepto que Arquímedes tenía de su propia obra, al expresar el deseo de que sobre su tumba fuera grabado el dibujo de una esfera inscrita en un cilindro, en alusión a uno de sus más importantes descubrimientos.

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Apolonio de Perga (262-200

a. C.)

fue el tercer gran matemático de este primer

período alejandrino que obtuvo el título de “gran geómetra”. Poco se sabe de él, salvo que llegó a Alejandría cuando era joven, permaneció allí mucho tiempo, viajó a otros lugares, y visitó Pérgamo donde conoció a Eudemo, uno de los primeros historiadores de la ciencia. Apolonio escribió prolíficamente y muchos de sus libros aún existen. Sus prefacios son admirables y muestran cuán refinado y exquisito era el estilo de los grandes matemáticos cuando se hallaban libres de las trabas de la terminología técnica. Habla con evidente placer de algunos de sus resultados: «La mayor parte y los más hermosos de estos teoremas son nuevos» Decir que lo que hizo Euclides por la geometría plana, lo hizo Apolonio por las secciones cónicas, siguiendo el camino abierto por Menecmo, es una verdad histórica. Él definió a estas curvas como secciones de un cono de base circular, tanto recto como oblicuo y se esforzó en señalar que no sólo había secciones circulares paralelas a la base, sino que también existía un segundo grupo de secciones circulares. Es por experiencia sabido que es más fácil estudiar al círculo que a la elipse; pese a que, toda propiedad del círculo determina una propiedad correspondiente de la elipse; ya que por deformación topológica continua del círculo obtengo la elipse y viceversa. Por ejemplo, si se mira oblicuamente un círculo y su tangente, lo que vemos es una elipse y su tangente. Esta incursión de la perspectiva nos lleva directamente a la geometría proyectiva, y Apolonio simplificó sus problemas de esta manera: obtuvo, mediante la geometría pura, las propiedades de las cónicas que

expresamos

actualmente

por

ecuaciones

como:

x2/a2y2/b2=1

ó

ax2+bxy+cy2=1 ó ax+by=1. En la segunda ecuación a, b y c representan múltiplos dados de ciertos cuadrados y un rectángulo, cuya área total es constante. Como podemos ver poco tenía que aprender de la actual geometría analítica de cónicas, exceptuando el sistema de coordenadas y la notación que se perfecciona a sí misma con el transcurrir del tiempo. Además, logró resolver el difícil problema que consiste en encontrar las distancias máxima y mínima de un punto dado P a una cónica. Dichas líneas cortan a la curva en ángulo recto y se denominan normales. Descubrió que desde posiciones adecuadas de P podían

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encontrarse cuatro normales, y menos desde otras posiciones. Esto le condujo a considerar una curva más complicada, denominada evoluta, a la cual le investigó completamente. Trabajó con lo que virtualmente es una ecuación de sexto grado en x e y, deducida de su equivalencia geométrica, lo cual resulta una hazaña maravillosa para su tiempo. Otra realización de Apolonio fue la resolución completa de un problema referente a un círculo que satisfacía tres condiciones. Cuando un círculo pasa por un punto dado, o corta a una línea ó a un círculo dados, se dice que satisface una condición. Así, el problema de Apolonio implicaba, en realidad, nueve casos que se extendían desde la descripción de un círculo que pasaba por tres puntos dados a un círculo que cortaba a tres círculos dados. Los más simples de estos casos probablemente fueron muy conocidos; de hecho, uno de ellos aparece en los Elementos. Apolonio fue también un aritmético y un astrónomo competente. Se afirma que escribió sobre irracionales no ordenados e inventó un método rápido para el cálculo del número

.

Dando con este trabajo nacimiento a la teoría de la

convergencia uniforme. La obra de estos dos gigantes de las matemáticas sería completa si no fuese porque faltan llenarse algunas lagunas triviales, tales como la inclusión de un foco a la parábola o una directriz a la curva, propiedades que Apolonio parece haberlas pasado por alto. La edad de oro de las matemáticas griegas había llegado a su fin con la muerte de Apolonio. Desde los tiempos de Tales se había desarrollado una pléyade casi continua de matemáticos importantes; pero, desde Apolonio hasta el siglo III d. C. cuando Herón, Papo y Diofanto dieron una vez más fama a Alejandría, parece que no surgió ningún matemático destacado. Durante este intervalo de casi quinientos años, la acción de la cultura romana había marginado a los matemáticos griegos, si bien mantuvo un cierto interés por la mecánica y la astronomía. En esta época alejandrina tiene lugar el nacimiento del gran astrónomo Hiparco (160-? d. C.), y de dos notables comentaristas, Menelao 168 d. C.)

(?-100 d. C.)

y Ptolomeo (100-

Menelao vivió hacia el año 100 d. C. y Ptolomeo tal vez era cincuenta 55

años más joven que él. De la vida de estos notables científicos poco se sabe, aparte de lo que consta en sus propios escritos. Igual carencia aparece en Herón ( ¿? - 250), Papo (¿? - 300) y Diofanto (¿? -320), cuyos nombres se han asociado entre sí para formar la segunda escuela alejandrina, pues, vivieron hacia el año 300 d. C. Sin embargo, Papo y Diofanto se hallan sumergidos en el misterio, cada uno parece estar cautivo de días pasados, más cerca de Pitágoras y Arquímedes que de sus contemporáneos, o incluso entre sí. Menelao es más conocido por los geómetras por su significativa contribución a la trigonometría esférica. En sus escritos aparecen muchos teoremas nuevos, pero ha sido de aceptación generalizada que la mayor parte de los resultados se iniciaron con Euclides, Apolonio e Hiparco. El bien conocido teorema que trata de los puntos en los cuales una línea trazada a través de un triángulo se cruza con los lados, aún lleva su nombre. Algunos autores, a menudo clasifican su geometría como “geometría moderna”, descripción que difícilmente va con su anciana condición. El motivo de la aparición en su obra cobra sentido porque lo utiliza para demostrar el teorema semejante para un triángulo trazado sobre una esfera. Menelao formuló varios teoremas que eran igualmente válidos para triángulos y otras figuras, tanto si se los trazaba sobre una esfera como sobre una superficie plana. Incluían un teorema muy importante conocido como la propiedad razón en cruz de una transversal trazada a través de un haz de rectas. Formuló también el famoso teorema de que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos ángulos rectos. Ptolomeo (100-168

d. C.),

que fue un buen geómetra, siempre será recordado por

su célebre trabajo en astronomía. Trató este tema con una perfección comparable a la alcanzada por Euclides en geometría. Su obra, que consiste en una compilación, se conoce como Almagesto, nombre que se supone es una abreviación árabe del título original griego. Su obra sedujo de lleno a los árabes que se interesaron por la geometría y a través de ellos finalmente encontró un puerto de llegada en la Europa medieval. De esta forma es que su teoría planetaria, denominada sistema “ptolemaico”, fue ampliamente aceptada por parte de la Iglesia Católica y mantenida como dogma de fe durante muchos siglos hasta

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que fue reemplazada por el sistema copernicano. Siguiendo el camino de Hiparco, escogió una o varias explicaciones concurrentes del movimiento planetario e interpretó las observaciones mediante una ingeniosa combinación de órbitas circulares y desplazamientos, llamados epiciclos ( la generada se llama epicicloide)

curva

El supuesto de que la Tierra se halla suspendida en el

espacio era fundamental para su teoría; pero, había otras explicaciones tales como la de Aristarco de Samos (310-230 a. C.), el amigo de Arquímedes, que suponía que la Tierra gira alrededor del Sol. Por ello, cuando Copérnico ( 1473-1543) sustituyó la teoría ptolemaica por su conocido sistema centrado en el Sol, simplemente estaba poniendo en vigor una teoría muy antigua. Herón (?

-250 d. C)

de Alejandría fue un genio muy práctico con considerables

virtudes matemáticas. Generalmente se da por sentado que todos los grandes matemáticos del mundo helénico fueron griegos; pero, hay indicios que permiten suponer que Herón fue probablemente egipcio. En todo caso, en su obra manifiesta una decidida inclinación hacia las aplicaciones prácticas antes que a las abstracciones matemáticas, lo que se halla en congruencia con las características históricas de Egipto, que hemos tenido a bien recordar. Ciertamente, Herón mostró ser un sutil seguidor de Arquímedes, al aplicar sus matemáticas a la ingeniería y a la agrimensura. No sólo hizo descubrimientos en geometría y en física, sino que también inventó una máquina de vapor. No cave duda de que su teorema más famoso es aquel que permite calcular el área de un triángulo en función exclusiva de sus lados. En cambio, el más potente es el que demuestra que cuando la luz procedente de un objeto se refleja en un espejo, la trayectoria del rayo entre el objeto y el ojo, es mínima. Éste es un ejemplo del principio de mínima acción, que más tarde Pierre-Louis de Maupertuis( 1698-1759) lo convertirá en ley universal de la naturaleza. Luego fue formalmente adoptado por Hamilton( 1805-1865) para deducir las ecuaciones canónicas del movimiento de un sistema de partículas y para aplicarlo a la óptica. A comienzos del siglo IV se produjo un renacimiento de la matemática pura, cuando el entusiasmo pitagórico por la geometría y el álgebra volvió a cobrar vida en Alejandría con la obra de Papo y Diofanto.

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Papo (? -300 d. C) de Alejandría, último gran matemático griego de la Antigüedad. De él se han conservado muchos de sus libros, entre ellos el gran comentario titulado Colección, compilación de todos los conocimientos griegos de geometría. Se aprecia sin dificultad que su obra mantiene íntimo contacto con fuentes muy antiguas, especialmente con los trabajos perdidos de Euclides y Apolonio. Como expositor, Papo se mantiene en pie de igualdad con el propio Euclides, tanto en claridad mental como en riqueza prospectiva. Pero debo advertir que pretender conocer, a partir de la lectura de la Colección, lo que se proponían Euclides y sus seguidores, es lo mismo que intentar reproducir una partida clásica de ajedrez magistral escuchando los comentarios de un ajedrecista profesional. Las figuras que llenaban el escenario de la geometría pitagórica le maravillaron y le hicieron meditar sobre lo sorprendente que es la geometría que practican las abejas; pues, «Dios les había dotado a estas astutas y pequeñas criaturas con la capacidad de construir sus celdillas con la mínima superficie límite» Se podrían haber agrupado celdillas triangulares o cuadradas, conteniendo cada una la misma cantidad de miel que la celdilla hexagonal, ¡pero las celdillas hexagonales requieren menos cera!. Como en el caso de los espejos de Herón; aquí, vemos a la naturaleza mostrándonos el mínimo esfuerzo que realiza y a Papo abriendo otra importante rama de investigación. Situado en esta perspectiva formuló la pregunta ¿cuál es el volumen máximo contenido en una área superficial dada?. Con esta interrogante se inscribía la partida de nacimiento de la rama de las matemáticas que nos enseña a calcular las funciones máximas y mínimas de un sistema dado, denominada Cálculo Variacional Más asombroso, y en auténtico estilo arquimediano, es su famoso teorema que se refiere al volumen de una superficie de revolución. Su idea central era averiguar qué se puede saber sobre el volumen de un cilindro recto si se dan su sección recta S y su longitud l; pues, el volumen es el producto S I. Papo generalizó este resultado elemental, considerando que un tubo como éste ya no fuera recto, sino circular. Se suponía que la sección recta S era la misma en todas partes; pero la longitud del tubo requeriría una definición ulterior. Por ejemplo, la longitud de una llanta de bicicleta inflada es menor si se mide en torno al círculo interior, en

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contacto con el aro, y es mayor en torno al círculo exterior. Esta ilustración sugiere que puede existir una longitud I promedio o principal, para la cual la fórmula S I es válida. Papo descubrió que, para un tubo circular como ése, ocurría así, y fijó su longitud media como la del círculo que pasaba a través del centroide de cada sección recta S. Por centroide se entiende aquel punto particular de una área plana denominado, centro de gravedad. Dado que el contorno de la sección S es indiferente respecto al resultado, el teorema es una de las conclusiones más generales de la matemática antigua. Papo sobresalió en aquellas ramas de la geometría que trabajan con figuras constituidas de puntos y líneas rectas. En esta materia dio una enumeración completa de las propiedades connotadas, relacionadas con el cuadrilátero, y particularmente con la agrupación de seis puntos sobre una línea recta dividida en tres pares. En un significativo pasaje del comentario sobre Apolonio, Papo aclara que, ciertamente, fue un problema muy famoso: «el lugar geométrico de tres y cuatro líneas», ya que resume lo mejor del pensamiento griego sobre las cónicas y nos acerca con buena aproximación a la geometría analítica. Según nos dice Papo, Apolonio consideraba el lugar geométrico o la traza que deja un punto P en movimiento en relación con tres o cuatro líneas rectas fijas. Supongamos que P se halla a una distancia x de la primera línea, y de la segunda, z de la tercera y t de la cuarta. Supongamos también que estas diferencias se miden en direcciones específicas, pero no necesariamente formando ángulos rectos con sus diversas líneas. Entonces, al moverse P, los valores de x, y, z, t variaran; sin embargo, siempre será posible construir un rectángulo de área xy, o un cuerpo rectangular de volumen xyz. Pero, como el espacio es tridimensional, aparentemente no hay nada en geometría que corresponda al producto xyzt derivado de las cuatro líneas. Por otra parte, la razón x/y de dos líneas es un número y nada nos impide multiplicar entre sí tantas razones como queramos. Así, a partir de las cuatro líneas x, y, z, t, podemos formar dos razones x/y y z/t, y multiplicarlas luego entre sí, xz/yt. Si la razón resultante se toma como constante, e igual a c, entonces tendremos: xz/yt=c

ó

xz=cyt. Ésta es una forma de enunciar el problema apoloniano sobre las

59

cuatro líneas. Indica que el rectángulo de las distancias x, z, de P a dos de las líneas, es proporcional al de las distancias y, t, a las otras dos. Cuando ocurre esto describe una cónica, como demostró Apolonio. El mismo análisis puede aplicarse si se dan tres o seis líneas. Papo continúa su comentario, generalizando el resultado para cualquier número de líneas. Con ello había dado comienzo a la teoría de curvas planas de orden superior; pues, el número de razones implicado define el llamado orden o grado de la curva. Así, una cónica es de grado dos, porque implica dos razones, como se ve en el caso apoloniano anterior. En el caso más sencillo, cuando sólo se emplea una razón xy, el lugar geométrico es una línea recta. Por este motivo, a veces se denomina curva de primer grado a la línea recta. Papo había descubierto curvas de grado más elevado que el segundo que, actualmente, se les denomina cúbicas, cuárticas, quínticas, etc. Es muy seguro que haya descubierto

casos particulares de cúbicas y otras curvas que los

antiguos las habían utilizado para trisecar un ángulo y por el estilo. Pero lo cierto es que los matemáticos tuvieron que esperar a que Descartes inventara un sistema de coordinación de variables para confirmar la veracidad de lo dicho. Diofanto (?

-320 d. C)

fue el otro gran matemático que brilló junto al faro de

Alejandría. Es famoso por sus escritos sobre álgebra, y vivió por la época de Papo. Esto se sabe gracias a una carta de Pselo, en la que menciona que Anatolio, obispo de Laodicea hacia el 280, dedicó a Diofanto un tratado conciso sobre el método de cálculo egipcio. Uno queda convencido de ello al leer los términos de un epigrama griego, que nos relata esquemática pero concisamente la historia de su vida de esta manera: «Su infancia duró 1/6 de su vida; su barba creció después de 1/12 más; se casó después de 1/7 más, y su hijo nació cinco años más tarde; el hijo vivió hasta la mitad de la edad de su padre, y el padre murió cuatro años más tarde que su hijo». Si x es la edad a la cual murió, entonces: 1/6

x + 1/12 x+ 1/7 x + 5 +1/2 x + 4 = x

Resolviendo la ecuación sabemos que Diofanto debe haber vivido hasta los ochenta y cuatro años de edad.

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Los principales escritos de Diofanto que se conservan son seis de los trece libros que conformaban la Arithmética, y fragmentos de sus Números Poligonales y Porismas. Estos libros comenzaron a atraer la atención de los doctos de Europa mil doscientos años después de haber sido escritos. De ellos Regiomontano comenta en 1463 que: «en estos libros antiguos se halla oculta la flor y nata del conjunto de la aritmética, el ars rei et census que actualmente conocemos por el nombre árabe de álgebra» Esta obra de Diofanto es doblemente importante, por un lado produjo un gran progreso en la simbología matemática y por otro, abrió amplias perspectivas al objetivo del álgebra tal y como existía en aquel entonces. El significado pleno de sus aportaciones a la matemática sólo llegó a ser observable con la aparición de la primera escuela francesa, durante los siglos XV y XVI. Su estudio sobre la notación es muy importante, y cubre una región más amplia de lo que se podría suponer a primera vista; pues, el estudio de los símbolos abarca hasta a la propia literatura, puesto que las palabras son los símbolos del pensamiento. Ahora, concentremos nuestra atención en el símbolo literal, tal como aparece a la vista en toda fórmula matemática y en una frase impresa; o bien sobre la cosa representada, sobre el sentido del párrafo o sobre el pensamiento que yace detrás del símbolo. Una buena notación es por tanto un instrumento muy valioso pues permite precisar y destacar lo que se representa; debe llevar su propia adecuación y sugestión y debe ser fácil de reconocer y cómoda de usar. Una vez dados este instrumento y el material sobre el cual trabajar, uno puede esperar que se concrete un progreso en la ciencia. Los griegos estuvieron bien dotados en su propio lenguaje y en su notación geo métrica; pero, su aritmética y su álgebra avanzaron muy lento debido a la poco apropiada notación; así por ejemplo se vieron entorpecidos por el uso de las letras , ,  en lugar de los números 1, 2, 3, y esto inhibió la flexibilidad de los cálculos aritméticos ordinarios. Antes de que la notación fuera ampliamente conocida, incluso la simple adición era una tarea que requería cierta habilidad, si no se contaba con la ayuda de un ábaco. Los méritos principales de esta notación son el signo 0 para el cero, y el uso de un mismo símbolo, cuyo significado viene

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determinado por su contexto, para designar varias cosas distintas, como, por ejemplo, la notación 11 para significar diez y uno, ya sean manzanas o cualquier otra cosa. Se ha reconstruido la historia de esta utilización y se ha llegado hasta una fuente, en el sur de la India, que data de poco después de la época de Diofanto. De allí debió haberse extendido al mundo musulmán y a la Europa medieval. En lo que va del relato hemos escrito algunas fórmulas algebraicas. Desde luego, no son una trascripción literal de las griegas, pero son explicaciones simbólicas concisas de teoremas griegos, presentados originariamente en frases verbales, o en forma geométrica. Por ejemplo, a2 ha sido empleado en vez de “el cuadrado sobre AB”. Los primeros ejemplos de esta álgebra simbólica aparecen en la obra del matemático francés Vieta (1540-1603), no obstante, sólo pasaron a ser de uso general hacia el año 1650. Hasta aquella época, la notación de Diofanto era la universalmente adoptada. Una antigua clasificación nos habla de las categorías Álgebra retórica, Álgebra sincopada, Álgebra simbólica. Entienden a la primera como aquella que expresada en el lenguaje común. La segunda es la que se expresa por medio de las iniciales o abreviaciones y semejantes de las palabras. El que más ha contribuido a dar este decisivo paso evolutivo en la notación matemática ha sido precisamente Diofanto. La tercera, el álgebra simbólica, se instituyó finalmente, una vez que Vieta la hubo inventado, gracias a la influencia de Napier (1550-1617), Descartes (1569-1650) y Wallis (1616-1703) Una expresión típica de álgebra simbólica es ( 250 x2 + 2520) ÷ (x4 + 900 - 6Ox2) y sirve para ilustrar la dimensión de la complicación a la que Diofanto se enfrentó con éxito. Sus síncopas le permitieron escribir, y trabajar, con ecuaciones que implicaban éstas u otras expresiones parecidas. Por 250 x 2 escribió   : aquí, la letra  significaba 50, y =200, de acuerdo con la práctica griega corriente. Pero el  era una abreviación de la palabra griega que significa potencia; y potencia representaba el cuadrado del número desconocido. Diofanto empleó la letra



para la primera potencia de la incógnita, y la abreviación de la palabra cubo para

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la tercera potencia. No empleó ningún signo para más, pero sí una especie de invertida para menos, la letra  para igual, y una frase especial para designar la división de una expresión por otra. Es interesante que su idea de adición y sustracción fuera “venidero” y “deficiente”, y que la palabra griega para deficiente se halle relacionada con el término pitagórico elipse. Los que han resuelto ecuaciones cuadráticas, recordarán el corto aforismo que dice: «El cuadrado de la mitad del coeficiente de x» Es una cita de Diofanto, quién trabajó con dichas ecuaciones con maestría sin par, llegando a incursionar en los casos más sencillos de ecuaciones cúbicas. No obstante, habla de «a imposible solución de la absurda ecuación 4=4x+20» Alude a que una ecuación como ésta requiere una solución negativa, números que hasta mucho tiempo después no se consideraron como verdaderos números. Pero las fracciones y las raíces alternas de las ecuaciones cuadráticas no significaron ninguna dificultad para él. Diofanto, al abordar tales problemas haciendo uso únicamente de su símbolo

,

puso de manifiesto la principal limitación de su notación. No obstante, resolvió hábilmente ecuaciones simultáneas, tales como: yz=m(y+z), zx=n(z+x), xy=p(x+v). Este ejemplo, pone en evidencia que él tubo conciencia del valor que la simetría desempeñaba en álgebra y, además muestra su gran talento para la misma. Pero alcanzó alturas mucho mayores, y su obra inmortal lo realizó en los dominios de la teoría de los números y de las ecuaciones indeterminadas. Ejemplos de esta última aparecen en el problema del ganado planteado por de Arquímedes y en la ecuación 2x2- y2=1. Hasta hoy en día con su nombre se alude a ecuaciones sencillas, como las que forman parte del problema del ganado, aunque parece que nunca se interesó por ellas. Se interesó, más bien, por las cuadráticas y otros tipos más elevados, más difíciles, como por ejemplo la ecuación: x4+y4+z4=u2. Encontró cuatro números enteros, x, y, z, u, para los cuales esta afirmación era cierta. Siglos más tarde, sus textos, traducidos al latín por Bachet de Méziriac, fueron ávidamente leídos por Pierre D’Fermat (1601-1665)(ver recuadro 6), quién se apresuró a preguntar: «¿Por qué Diofanto no buscó dos cuartas potencias tales que su suma fuese un cuadrado?» Y luego sentenció «De hecho, este problema es imposible, como puedo demostrar 63

con todo rigor mediante mi método» Sin duda, Diofanto había experimentado lo suficiente con la ecuación, aparentemente más sencilla, x4+y4=u2, para demostrar que no había solución. Así fue cómo, con Diofanto, la geometría griega alcanzó su máxima realización, en el sentido de que ya no era productivo seguir explorando y encontrando las propiedades del EMROcc, mediante técnicas solamente geométricas, ya que éstas se acercaban al agotamiento epistemológico. En su trabajo se puede apreciar claramente la necesidad creciente que tiene por realizar operaciones algebraicas para lograr demostrar los teoremas y, su preocupación constante por la inadecuada notación con la que tenía que operar; la cual, después de todo, constituía la herencia histórica llegada desde el antiguo Egipto, tal como lo hemos podido referir. Y, como todo termina en tragedia en Occidente, debido al dualismo letal que alberga su corazón, es triste recordar que la fecha que verdaderamente marca el fin de la ciencia helénica y de la fase antigua del desarrollo del EMROcc, es el año +412 en que la matemática alejandrina Hypatia (370-412) es asesinada de forma lapidaria. Esta excepcional mujer griega, hija del matemático Teón se hizo célebre por su talento matemático, su elocuencia y su belleza. Estudió en la academia de Atenas y a su regreso a Alejandría fundó una escuela en la que enseñó las doctrinas de Platón y Aristóteles. Se distinguió por los comentarios a los trabajos de Apolonio y Diofanto. Había llegado el momento de entregar la tea del progreso de las matemáticas a las ciencias abstractas como la aritmética y el álgebra y de poner en manos de la civilización islámica parte de la realización de esta obra. El turno de la geometría llegó a su término, ésta se encontraba fatigada; pero, no sin antes haber entregado todo cuanto fue posible dar de sí, dentro del marco histórico que limitaba su generosidad infinita. Hasta aquí hemos aprendido cómo la geometría, surgida en el escenario de la práctica agrícola y desarrollada en la cuenca del río Nilo, llegó a vertebrar el cuerpo histórico de las sociedades egipcia, griega y judía. A diferencia, sólo hemos aludido muy ligeramente a la evolución del pensamiento matemático producido por las sociedades mesopotámicas, aquellas que cultivaron

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el trigo en el fértil valle del Tigris y el Eúfrates, aquél lugar situado en el Asia Occidental que Alejandro Magno helenizó, pero que sin duda lo orientalizó. Como ya dijimos estos pueblos se vieron impelidos a desarrollar la Aritmética con carácter dominante sobre la Geometría. Ellos, obligados por la acción de las fuerzas del mercado, llegaron a implementar un apropiado sistema simbólico para escribir con precisión las palabras mediante las letras y los números mediante los numerales, de tal manera que facilitara la realización de los contratos y la contabilidad que exigían las transacciones comerciales.

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1. 2

Fase Intermedia o Medioevo

1. 2 1

Las matemáticas del lejano Oriente

En los escritos religiosos hindúes se puede encontrar un germinal pensamiento geométrico, a la manera de los egipcios y babilonios. En ellos hay cálculos geométricos para la construcción de templos y altares. Allí constan los primeros métodos de cuadratura del círculo, aplicaciones del teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas. Y geometría práctica hindú se puede hallar mucho antes, en una fecha tan antigua como es la que corresponde al esplendor de las ciudades de Mohenjo-Daro y Harappa, en el valle del Indo, hace 5.000 años; ciudades cuyos vestigios todavía evidencian

el

magnífico

alcantarillado

y

el

trazo

cuadriculado

de

las

urbanizaciones, que las acredita como las primeras localidades levantadas con un plan geométrico, que coincide con la edad de los primeros escritos geométricos cuneiformes. La relación de India con Babilonia seguramente data de aquellos tiempos. Amuletos encontrados en Mohenjo-Daro, con motivos de culto a los animales sagrados, son muy parecidos a varios de los sellos mesopotámicos que contienen grabados de animales tales como el elefante, el rinoceronte y el cocodrilo ictiofágico, todos de procedencia indostánica. ¿Y qué podemos decir de los antiguos vínculos de India con la China? El destacado nexo sino-hindú en la conceptualización de espacio no fue, en modo alguno, una excepción. Los vínculos fueron muy importantes, naturalmente; y las influencias, de doble dirección. Está documentado en la historia oficial de la dinastía Sui, el conocimiento, en China, de astronomía, matemática, cronometría y medicina hindúes. El aceite chalmugra, por citar un caso, de arraigada tradición en la farmacopea china para el tratamiento de la lepra, es de muy probable origen hindú, igual que la técnica de trepanación.

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La matemática hindú recibió, por su parte, una significativa contribución de los antiguos matemáticos chinos. Así, en la obra de Bháskara, de hace 850 años, se cita una prueba utilizada por Chao Chun Chhing, en el siglo II, en su comentario al más antiguo clásico de matemática china que se conoce: el Chou Pei ( Horas solares) El algoritmo para el cálculo del área de un segmento de círculo, recogido en el Chiu Chang Suang Shu o Aritmética de nueve secciones, reaparece en la obra de Mahávíra del siglo IX. Y así se puede referir otros ejemplos. Según lo investigado por el historiador contemporáneo Ling Wang, el desarrollo de la matemática china empezó hace aproximadamente unos 33 siglos. En la Aritmética de nueve secciones, escrita por Chuan Tsanom en el año 132, a manera de una enciclopedia, se sintetiza el saber matemático conseguido por los chinos hasta esa fecha. Destinada al consumo de diferentes tipos de funcionarios del servicio civil -como agrimensores, astrónomos o ingenieros-, la obra consta de nueve libros y en ellos se formulan y resuelven unos 250 problemas, agrupados en clases y presentados con la respectiva regla de resolución. Igual que en el Papiro Rhind, los problemas son de índole muy práctica. Por ejemplo, el libro 1 trata de la “medición de campos” y allí se calculan áreas de figuras rectilíneas planas y de círculos; el libro 2 es una “relación entre diferentes formas de cereales” y versa sobre el cobro de impuestos al grano -que se mide en unidades de volumen- y otros cálculos agrícolas; el libro 5, de “estimación de los trabajos”, contiene estudios para la ejecución de proyectos tales como: paredes fortificadas, murallas, diques, torres y faros, con cálculos de requerimientos de equipos, materiales y mano de obra. El Libro 7, sobre el “exceso y defecto”, refiere problemas de intercambio entre lingotes de oro y de plata, que llevan a ecuaciones lineales y al método de sus soluciones. Llama la atención el que este desarrollo algorítmico no hubiera desembocado en demostraciones axiomático-deductivas, en geometría propiamente dicha. Según conozco, los chinos tuvieron que esperar al siglo XVII para tener a Euclides, y ello gracias a la famosa misión de jesuitas europeos encabezadas por Matteo Ricci. Me parece, por lo demás, que a esta intrigante carencia se debe el que la astronomía china permaneciese limitada como astrología y nunca alcanzase a

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evolucionar en una visión geométrica de los cielos, al modo de la que se observa en Eudoxo, Aristóteles y Ptolomeo. Por algún motivo, insuficientemente aclarado, la ciencia pura de Asia Oriental no penetró en Occidente, en la misma medida en que varios de los descollantes inventos chinos pasaron a Europa siguiendo la ruta de la seda. Esto ha sido causa de un viejo y arraigado prejuicio: la ponderación, unilateral, del empirismo de los antiguos chinos, en desmedro de su capacidad de abstracción. Es por demás conocido que los chinos se adelantaron a Europa en líneas de producción tan maestras como la fabricación del papel, la invención de la imprenta, de la pólvora y de la brújula. Junto a estos artificios tenemos, la fundición del hierro en altos hornos ( en revolución industrial),

Europa surgió a fines del Siglo XIV, como base de la

que se viene practicando en China desde hace veintitrés siglos; la

carretilla y la técnica de perforación profunda, que se idearon hace 2.100 años; el sismógrafo de Chang Heng, invento del siglo II, que fuera diseñado para localizar la dirección azimutal del epicentro y la magnitud de la sacudida; el empleo de minerales para el tratamiento de dolencias orgánicas, mucho antes de Paracelso; la rueda hidráulica y los puentes colgantes con cadenas de hierro. Y se puede alargar y endulzar la lista, si se quiere, con los tallarines y el helado. Si varios inventos chinos pasaron a Europa, no menos importantes fueron las exportaciones europeas a la China. Los jesuitas del siglo XVII llevaron el tornillo de Arquímedes y el sinfín, la bomba doble de Ctesibio, la manivela y el molino vertical de torre. Ello, sin contar la notación algebraica de Viéta, los logaritmos de Napier y la mecánica de Kepler y Galileo. Pero, sobre todo, insisto, la geometría de Euclides, cuya aparición en Alejandría marcó, a mi entender, el punto crítico de divergencia entre los dos saberes: el Occidental y el Oriental. La polis griega, ciudad de navegación y comercio, abierta al mundo, brinda un contraste por demás sugestivo con el hsien chino, ciudad de encierro feudal, sujeta al poder omnipresente del mandarinato e íntimamente vinculada con la agricultura. Me parece que por aquí se puede explicar la divergencia, tal como ha sugerido Joseph Needham.

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El desarrollo independiente y temprano del álgebra china: el método de las potencias y coeficientes radiantes, nos hace notar que los ritmos evolutivos del saber no tienen por qué ser necesariamente uniformes o simultáneos. No estamos inquiriendo sobre la causa de adelantos y atrasos relativos, únicamente quisiéramos saber la causa no del rezago chino en la generación indígena de un discurso geométrico, sino el por qué nunca los chinos llegaron a producir este discurso. Ensayando una respuesta podemos decir que hubo dos escuelas, en la antigua filosofía china, capacitadas como para llegar a elaborar algo equivalente a la geometría euclidiana: el confucianismo y el legalismo. El confucianismo, igual que el pitagorismo, menospreciaba el trabajo manual, poseía la misma afición por el cultivo de la espiritualidad separada de la naturaleza y mantenía la misma actitud de sumisión frente al poder político establecido. El legalismo, por su parte, profesaba la misma fe pitagórica, o pitagórico-platónica, en el poder real y sustitutivo de los códigos y las representaciones formales; tanto así que fueron legalistas los primeros en postular que las conductas humanas debían juzgarse no por el mérito de los hechos sino según lo prescrito en los arreglos jurídicos. Tal vez fue esta pretensión lo que impidió que el legalismo alcanzase resonancias entre la intelectualidad china, más proclive al sereno juicio de las evidencias. Ahora bien, ni los confucianos ni los legalistas llegaron a tener intereses por la astronomía o por la matemática. Filosofía social y derecho, bien acotados, fueron las materias de sus reflexiones, en tanto que sería la filosofía taoísta el pensamiento que penetró y dominó la ciencia natural china, la cual surgió de la asociación entre los shamanes y los criteriosos hombres que consideraron más importante el estudio de la naturaleza. En agudo contraste con esas inclinaciones “formalistas”, si así pudiéramos llamarlas, el taoísmo nunca llegó a despreciar el trabajo manual ni jamás estuvo por abandonar la realidad para sumergirse en el océano de la mente. Según ha recordado el mismo Needham, la actitud del taoísta fue, siempre, la del respetuoso seguidor de las leyes de la naturaleza. Su objetivo: transformarse, por

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medio de una considerable variedad de técnicas, en un ser etéreo, purificado y libre, capaz de vagar eternamente a través de montes y valles, regocijándose ante la infinita belleza de la naturaleza y entendiendo su armonía y orden fundamental: el Tao. Como podemos ver, y a pesar de que en China estuvieron presentes condiciones y actitudes propicias como para elaborar por cuenta propia una geometría semejante a la euclidiana (incluyendo

el concepto de espacio vacío),

nunca hubo un

discurso geometrizador indígena, por el sencillo motivo de que los espíritus acondicionados para lograrlo-confucianos y legalistas- caminaron por senderos distintos a los transitados por los matemáticos griegos, y tampoco tuvieron, jamás, fuerza y razón suficientes como para cuestionar la empresa taoísta. Cuando Alejandro conquistó los países orientales, llegó ciertamente hasta la India, estableciendo de hecho contacto entre Oriente y Occidente. Este acontecimiento tuvo lugar hacia el año 300

a. C.,

mientras que el primer trabajo matemático de la

India vio la luz en un período posterior, 450-650

d. C.;

pero, es indiscutiblemente

aborigen, espléndida muestra de la original cultura matemática hindú, la cual no ha dejado de brillar hasta nuestros días. Esta historia comienza con los trabajos de Aryahbata en el siglo V. A él le debemos las reglas para operar con números fraccionarios, la regla para la extracción de la raíz cuadrada -que son las mismas que empleamos hoy día- y el haber establecido el valor de 3.14159...para el número . Pero, su trabajo más importante fue la resolución completa de la ecuación de segundo grado, que es la misma que aprendemos en el colegio. La magnífica obra matemática hindú continúa con su alumno, Brama-Gupta (598-660) en el siglo VI con sus obras Ganita y Cattaca en las que discurre sobre la resolución de las ecuaciones indeterminadas. Culmina esta pléyade de matemáticos con Mahavira en el siglo IX y Bháskara en el siglo XII con su libro Sidhanta Ciromani. Ellos nos ofrecen un estudio más amplio, sistemático y definitivo de las operaciones con quebrados. Pero no olvidemos mencionar que el mayor servicio que prestó la cultura hindú fue la entrega al mundo la notación decimal y los signos numéricos ( numerales), cuyo uso se ha universalizado plenamente en la sociedad humana.

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En conclusión podemos decir que el aporte hindú a las matemáticas ha sido verdaderamente significativo, principalmente en álgebra y trigonometría.

1. 2 2

El Islam y la Ciencia

El intervalo histórico que va desde la Antigüedad hasta el Renacimiento es denominado período Islámico y transcurrió entre los siglos VIII y XIV. Durante este lapso de tiempo la mayor parte de la actividad científica se distribuyó en el Oriente medio, en el norte de África y en la España musulmana. A medida que la cultura greco-latina languidecía, la llama del conocimiento era transferida a manos musulmanas. Los sabios del Islam la mantuvieron encendida y la avivaron para luego transmitirla a la Europa del Renacimiento. Dos circunstancias propiciaron el desarrollo de las ciencias en los dominios del Islam. Una fue la proximidad geográfica a los grandes centros culturales de la Antigüedad y la tolerancia que la religión de Mahoma prodigaba a sabios y eruditos pertenecientes a otras convicciones religiosas. Y la otra, proviene de las prácticas religiosas musulmanas que planteaban muchos problemas relacionados con la astronomía matemática, principalmente los que tenían que ver con la determinación del tiempo. Para resolver estos problemas los científicos musulmanes concibieron métodos que fueron más allá que los de los sabios griegos, sobre todo en el campo de la trigonometría esférica. Esta fue utilizada más tarde para crear la astronomía del Renacimiento. La huella que dejó en la ciencia occidental ha sido indeleble, la tenemos presente hoy día cuando utilizamos las palabras de origen árabe cero, cifra, guarismo, cociente, cenit, acimut o mencionamos los nombres de las estrellas Vega, Al-tair, Deneb, etc. La parte del rol desempeñado por los científicos musulmanes en lo que tiene que ver con la reelaboración de la ciencia antigua y su transferencia al occidente latino, es historia que apenas se está conociendo, restan millares de documentos manuscritos por examinar. No obstante, puede ofrecerse un breve esquema del proceso. Los fundamentos de la ciencia islámica se colocaron dos siglos después de la emigración del profeta Mahoma desde La Meca hasta Medina en el año 622. Este

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hecho conocido como la Hégira, marca el punto de partida del calendario musulmán. Los primeros siglos del Islam se caracterizaron por una rápida y turbulenta expansión del Imperio. Durante este tiempo la Hégira no había creado todavía las condiciones suficientes para el florecimiento de las ciencias. Pero esta situación no duró mucho tiempo y la nueva dinastía de los abbasí, que tomó el poder del Califato en el año 750 y fundó Bagdad en el 762, empezó a promover con pujanza las traducciones de los textos griegos y en unas pocas décadas las grandes obras científicas de la Antigüedad, como la de los fundadores de la medicina occidental, Galeno, Hipócrates y Dioscórides, y las de Aristóteles, Euclides, Ptolomeo, Arquímedes y Apolonio, se podían leer en lengua árabe. Este magnífico trabajo fue realizado tanto por eruditos cristianos y paganos como por sabios musulmanes. El más entusiasta promotor de ésta fue el califa al-Ma’mún ( 813- 833) que llegó al poder en el año 813 y fundó la academia llamada Casa de la Sabiduría, la que puso a cargo del cristiano nestoriano Hunayn ibn Isaaq al- cIbadi, el cual se convirtió en el más célebre de los traductores de textos griegos. Es historia cierta que durante los siglos IV y V el cristianismo se esforzaba por implantarse en el Cercano Oriente y por resolver el conflicto con el helenismo pagano. El historiador actual Ibn Khaldún es su libro Al-Muqaddina escribe al respecto que: «Cuando los emperadores adoptaron el cristianismo y abandonaron las ciencias racionales para obedecer a las Escrituras y a las doctrinas de la religión, la ciencia reunida en los manuscritos quedó encerrada en los cofres imperiales, donde permaneció durante todo el tiempo de la soberanía de aquellos sobre Siria, hasta la llegada del Islam» Mientras tanto, los sabios se empeñaban en permanecer siendo paganos, les disgustaba sobre manera tener que aceptar la nueva religión y abandonar el helenismo, hecho que forzó a Justiniano a cerrar las puertas de la emblemática Academia ateniense en el año 529, poniendo término a la época helénica. Acto seguido se produce la diáspora intelectual y algunos de los maestros de la Academia se refugian en la corte de Cosroes I, rey de Persia y enriquecen las filas de la comunidad de los sabios de Yundisapur. Por el estilo, muchos hombres de

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ciencia se fueron exiliando a Oriente fundando núcleos intelectuales como los de Edesa y Nísibis. A estos centros les cupo el papel motor en la traducción de los textos griegos y siríacos a la lengua árabe. En el Próximo Oriente, al lado de estos focos cristianos se fueron desarrollando otros no cristianos. Uno de ellos se encontraba en Harrán, lugar poblado por una comunidad de religión sabea. Los harranianos eran los custodios de los conocimientos de astronomía tomados de los babilonios, así como también del neopitagorísmo y del hermetísmo; además, como eran conocedores de ciertos fundamentos de la ciencia islámica contribuyeron a su traducción al árabe. En los albores del Islam, los árabes, originarios de Arabia, no poseían estas tradiciones que eran indispensables para el florecimiento de la ciencia islámica y sólo constituían un grupo demasiado reducido como para llegar a influir en las demás comunidades. En las tierras conquistadas la masa de la población todavía no había sido convertida al Islam y ni siquiera estaba arabizada. Pero los árabes llevaban consigo tres componentes potentes: la lengua árabe, el Islam y un gobierno

fuertemente

centralizado.

Solamente

hacía

falta

una

sociedad

musulmana con tradiciones profundamente enraizadas en alguna cultura. Así pues, la role que la civilización islámica ha desempeñado en la historia de la ciencia y la técnica ha sido decisiva. Para alcanzar tan grande objetivo fue preciso que siguiera un determinado patrón evolutivo. El patrón de conversión fue sin duda el Islam, el cual obró como un poderoso atractor. Así fue como, Irán, Irak, Siria, Egipto y al-Andalus entran en el gran tornado de conversión islámica. La conquista del sur de Mesopotamia acaece en el año 633 y la de Damasco en el 635. Cuando el proceso de conversión se había estabilizado, el ochenta por ciento de la población de estas naciones se habían convertido al Islam y el veinte por ciento restante se quedaron como minorías religiosas. Es, desde esta época que en el Próximo Oriente existe una sociedad típicamente musulmana cuyas instituciones reflejan las necesidades de la población de modo mayoritario. La ciencia islámica comenzó ha expandirse durante la fase de vendaval que fue la de las conversiones, sin haber podido hacerlo antes a causa de la ausencia de una sociedad musulmana. Este proceso duró casi dos siglos, desde el comienzo

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de la era islámica hasta el reinado de al-Ma’mún, quién permitió el florecimiento de la ciencia islámica, en lo relacionado con la actividad de las traducciones, como ya indicamos. Así pues, el despliegue ascendente de la civilización islámica tuvo que pasar por la conversión de todas las sociedades aborígenes de los países de civilización preislámica, incluyendo el Cercano Oriente helenístico y Persia, en una sola sociedad islámica. Simultáneamente, la lengua de la ciencia que había sido el griego, el siríaco o el pehlevi, sufrió un profundo y definitivo cambio: todos los textos científicos se tradujeron al árabe. Este progreso alcanzado le permitió situarse en un nivel desde el cual estaba en condiciones de hacer importantes aportes a la ciencia. A todos nos es evidente que la ciencia no puede progresar si el ambiente social no es propicio, ya que los valores culturales, en determinados momentos de su evolución, se convierten en insalvables obstáculos para su desarrollo, como es el caso de la lengua. Ha quedado establecido que el Islam se alimentó de dos fuentes: el Sagrado Corán y la sabiduría del Profeta Mahoma. En el Corán se venera y exalta a los sabios, así se dice que: «Quienes poseen el saber y quienes no lo tienen ¿han de ser iguales?» Por su lado el Profeta insinuaba que «la búsqueda del conocimiento es una obligación de todo musulmán y debe buscarlo desde la cuna hasta la tumba; ya que el que viaja en pos del saber, viaja por el sendero de Dios hacia el paraíso» y finalmente sentenció que «La tinta de los sabios vale más que la sangre de los mártires» La clasificación de las ciencias se constituyó en tema de central preocupación por parte de los sabios y pensadores islámicos, por ejemplo al-Farabirte ( ?-950), autor de la obra conocida en la Edad media con el título latino de De scientíis. Según estas clasificaciones las ciencias filosóficas o racionales comprendían la lógica, la metafísica, las ciencias de la naturaleza y las matemáticas. Las ciencias matemáticas en el pensar de Ibn Sina o Avicenas, comprenden cuatro disciplinas fundamentales: aritmética, geometría, astronomía y música y otros temas derivados, como las “cuatro reglas” y el álgebra, como el arte de reducir y

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simplificar. Por su parte las ciencias técnicas se expresaron en la agrimensura, la mecánica, el arte de los pesos, la ciencia de los espejos y la mecánica de fluidos. Como podemos apreciar, la ciencia islámica formaba parte de la filosofía. Esta visión, que se remonta a los tiempos de Aristóteles, guió a los sabios musulmanes y cristianos a lo largo de toda la Edad Media. Es de recordar que antes de éste apogeo de la filosofía, los sabios meditaban en los significados teológicos implícitos en el Corán y de su naturaleza. Lo que en suma ellos buscaban eran las soluciones islámicas correctas de los problemas que surgían en la relación entre la ley divina y las acciones de los hombres. Como producto de este proceso surgió la ciencia del Kalám que tenía como objetivo central «fundamentar sólidamente la fe religiosa aportando pruebas y aclarando dudas» Las vertientes más importantes del Kalám adquieren poder al comenzar el califato abasí de Al-Ma’mún. Este califa impuso su propia doctrina del Corán como teología oficial de su gobierno, una vez que derrotara al gran pensador sunita Ibn Hanbal. La doctrina triunfante se mantuvo en el poder por sólo dieciséis años, para luego pasar a manos de Al-Mutawakkil. Los seguidores del nuevo califa fueron más hombres de religión que filósofos; invocaban la razón para defender el dogma y al mismo tiempo la aducían como criterio de la Ley. La otra vertiente del Kalám hizo aparición gracias a la acción de un antiguo mutazilí Al-As’carí (-935) y dio nueva orientación a esa ciencia. Los ascaríes se fundamentaban en el conocimiento y en el juicio racional, pero siempre con una perspectiva religiosa. Se considera que desarrollaron la escuela del Kalám mejor aceptada y la más oficial durante el largo período que fue desde el siglo X al XIX. A diferencia de la opinión de los teólogos o mutakallimùn, en esta rama, los filósofos eran considerados primero como pensadores y luego como hombres de religión y únicamente se ocupaban de ésta «cuando su razonamiento filosófico no coincidía con aquélla y tan sólo obraban para armonizar uno con otra» El período culmina con el apostolado del sabio Ibn Sìnà, conocido en occidente como Avicenas (-1.037) En su metafísica discurre sobre todos los temas revelados

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en el Corán y propone, mediante el razonamiento filosófico, redescubrir sus prescripciones sociales positivas. En el periodo que sigue se configura un nuevo ciclo de predominio de lo teológico sobre lo filosófico a través de Al-Gazzàlì ( -1.111) con su célebre libro La incoherencia de los filósofos aparecido por el año 1095, en la cual refuta muchas creencias establecidas de manera demoledora; pues, como erudito conocedor del Kalám y de la filosofía que era, estaba al tanto de las falencias y flaquezas de sus adversarios. Él fue al mismo tiempo un filósofo y un mutakallim; sin embargo, rechazaba la autoridad de Aristóteles así como las antiguas ideas metafísicas. En su Libro del conocimiento se propone destacar la importancia de la función social de la ciencia. En esta obra las ciencias de la naturaleza y las matemáticas son consideradas iguales y no estaban prohibidas por la ley religiosa. Entre las ciencias él distingue las lícitas y las que no lo son y dice: «Las ciencias lícitas son aquellas sobre cuyo conocimiento se fundamentan las actividades de esta vida, tales como la medicina y la aritmética. Comprenden, por una parte, las ciencias cuyo conocimiento es obligatorio para la comunidad y, por otra, aquellas cuyo dominio es meritorio pero no obligatorio» Las primeras comprenden todas las ciencias que permiten la reproducción de la vida, en cuya ausencia la comunidad viviría de modo muy precario. Las segundas son las ilícitas, como la magia, la ciencia de los talismanes, la prestidigitación, el ilusionismo y otras. La ciencia del Kalám de carácter filosófico, alcanzó a desarrollarse muy robustamente con el paso del tiempo. Recordemos que cuando el proceso de conversiones alcanzó un estado crítico, la traducción al árabe de los textos científicos griegos y helenos, alcanzó también su clímax. Por ello, inevitablemente, el Kalám adoptó un carácter filosófico predominante sobre la religión. La contraofensiva cíclica vendría un siglo más tarde con Ibn Rusd (  -1198), llamado Averroes en occidente, con su libro “Incoherencia de la incoherencia”, en el que refuta los argumentos de Al-Gazzàlì y justifica el acuerdo entre la filosofía y la doctrina corámica. En sus demás obras, Averroes, critica la ciencia del Kalám y llega incluso a poner en duda su legitimidad. También es importante recordar que

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la Iglesia Católica intervino para prohibir la difusión de las doctrinas filosóficas de Averroes con su célebre condena de 1277. Este diálogo filosófico, que duró varios siglos, constituyó un largo e interesante ejercicio intelectual que luego fructificó con la aparición de eminentes filósofos islámicos y grandes hombres de ciencia. Esta actividad filosófico-científica se mantuvo con pleno vigor hasta el siglo XVI y dejó establecido que, en el dominio de las ciencias de la naturaleza, la botánica y la zoología son fundamentales, mientras que la medicina es ciencia dependiente. En matemáticas, la aritmética y la geometría son fundamentales, siendo la ingeniería una derivada de éstas. El estrecho lazo que llegó ha establecerse entre ciencia y técnica y entre teoría y práctica, reflejó la unidad que tenían ellas en la civilización islámica. Como tan arraigados estaban en la población los principios islámicos, los distintos sectores de la ciencia se desarrollaron íntimamente ligados a la vida cultural, social y económica y fueron instrumentos eficaces para el progreso científico durante varios siglos, hasta el despertar de Occidente con el Renacimiento. A quedado establecido en los anales de historia que los árabes fueron verdaderos maestros en la sistematización del álgebra, esta palabra árabe alude, «a la ciencia de la reducción y la cancelación» Todo comenzó a finales del siglo VIII cuando floreció la denominada Escuela de Bagdad, a la que pertenecieron Mamad ibn Müsa al-Khwarizmi, al-Batani y Omar Khay-yam. Al-Khwarizmi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Álgebra de la historia. El sirio Al-Batani (858-929) aplicó el álgebra a la resolución de problemas astronómicos. Y, finalmente está, el persa Omar Khayyam del siglo XII que escribió un Tratado de Álgebra; pero, que es más conocido por sus poemas escritos en lengua rubayat. Durante los siglos VIII al XV se desarrolla la matemática Hispano-Árabe. Los matemáticos más representativos fueron: Geber Ibn-Aphla, en Sevilla, en el siglo XI, que realizó correcciones a las Tablas astronómicas de Ptolomeo; Arzaquel, en Toledo, en 1080, autor de Tablas astronómicas; y el rabino de Toledo Ben Ezra, en Calahorra, en 1089. Sus ámbitos de trabajo estuvieron radicados principalmente en las universidades de Sevilla, Córdoba y Toledo, desde las cuales se

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propagaron sus obras en toda Europa, gracias a las traducciones de eruditos que se trasladaron a éstas. Entre los más destacados estuvieron Juan de España, quién puso en latín la obra de al-Khwarizmi; Juan de Sacrobosco y el más distinguido de todos, Abelardo de Bath, que tradujo la obra de Euclides al latín. Debido a que hasta ahora subsiste la popular creencia de que los árabes son los inventores de los numerales y del álgebra, hay que insistir y dejar bien establecido que cerca del año 825, en Bagdad, al-Khwarizmi reveló al mundo ilustrado el contenido de los tratados hindúes de aritmética y álgebra, en los que se representaban a los números con nueve cifras y un cero. Esto siempre nos va a recordar que el conocimiento matemático pasó a Europa occidental por medio de los árabes. Así pues, por lo manifestado, queda claro que los árabes no fueron, en ningún sentido, los creadores, ni del álgebra, ni de los signos numéricos. No obstante, rindieron homenaje a las matemáticas, valoraron el saber antiguo, tanto si provenía de Grecia como de la India. Dieron muestras de ser discípulos competentes; y pronto tradujeron laboriosamente al árabe aquellos valiosos manuscritos antiguos que sus predecesores no habían destruido. Mostraron su habilidad en el cálculo y en la confección de tablas, pero les faltó la originalidad y el genio de Grecia y la India. Basta saber que grandes partes del álgebra diofántica y de la geometría les dejaron completamente anonadados. Empero, debemos reconocer que durante largos y difíciles siglos fueron los leales custodios de la ciencia matemática.

1. 2 3

Las matemáticas en la Europa medieval

Durante el Medio Evo europeo las matemáticas se desarrollaron en un ambiente cultural

condicionado

por

una

visión

simbólica

del

mundo,

impartida

dogmáticamente por la Iglesia Católica. Sabemos desde los tiempos de Pitágoras y Platón que el número quedó envuelto en una aureola simbólica que le hacía parecer como si tuviera existencia propia y estuviese dotado de propiedades intrínsecas y trascendentes, independientes de la conciencia del sujeto, las cuales intervendrían incluso en la propia creación del

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Mundo. Desde entonces, el número ha sido determinado por tres dimensiones que lo definen: una matemática, otra filosófica y una mística. Por lo indicado, los primeros Padres latinos, sobre todo San Agustín ( 354-430), se vieron obligados a recurrir a lo establecido por el pitagorismo-platónico, cuyo sistema del mundo era el que más se parecía a la cosmología cristiana. Según la doctrina de Platón y sus seguidores el número está en el origen de la Creación. En esta línea, San Agustín, en su Libro de la Sabiduría, nos indica que el creador ha obrado según el número y la medida. Y nos enseña que, no es porque la creación se haya realizado en seis días que el seis es el primer número perfecto; sino, al contrario, es porque el seis es perfecto que la creación se obró en seis días. Pero, el escenario que conformó la época medieval estuvo integrado también por otras corrientes procedentes del Mundo Antiguo, de las culturas paralelas como la bizantina y árabe que, al confluir, cada una aportó con lo suyo. Lo que por su parte hizo Occidente en el campo de las ciencias fue realizar una relectura sistemática de lo heredado, pero siempre haciéndolo en función de lo que entendían acerca de Dios y su obra. Se dijo por ejemplo que: para ver más lejos, hay que apoyarse en el inmenso saber de los Antiguos. San Agustín en su tratado De la doctrina cristiana nos confiesa que fue preciso conocer el saber de los paganos para comprender bien la palabra bíblica y la Creación. Entonces, en la lectura y en el comentario de la Biblia, es necesario poner el saber antiguo al servicio de la exégesis. Así, él se basará en la aritmética de los griegos para emprender el descifrado de los números omnipresentes a lo largo del texto sagrado. Por tanto, en lo que tiene que ver con aritmética y aritmología, la Edad Media recibe una triple herencia: filosófica, con los pensamientos pitagórico y neoplatónico; matemática, con el sistema geométrico transmitido desde la Antigüedad y simbólico-religioso bajo la presión de la tradición cristiana de interpretación de los textos que los Primeros Padres habían instituido. Estos tres ejes coordinados crearon una simbólica de los números, la cual llegó a su cumbre en el siglo XII. Todo simbolismo numérico elemental, como el que generalmente se atribuye a la Edad Media, descansa sobre un sustrato de carácter erudito formado por diversos

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conceptos cuya elaboración y configuración consciente y organizada constituyen precisamente su simbólica. He aquí una de las innovaciones de aquella época: el intento de proponer una verdadera teoría aritmológica o mejor dicho, una aritmética especulativa cristiana para la cual la denominación de simbólica estaría suficientemente justificada. La aritmética especulativa, que bebió en las fuentes del pitagorismo y en ciertos manantiales orientales, se inscribió en el pensamiento occidental a través de las consideraciones cosmogónicas del Timeo de Platón. Según lo dicho en este texto, el mundo está organizado a partir de los cuatro elementos, de acuerdo con unos principios

aritméticos

fundamentados

en

progresiones

aritméticas

y

en

proporciones. En ellas intervienen los números enteros a los cuales se los considera existentes en sí mismos en tanto que entidades superiores, trascendentes. Recordemos que esta aritmología se desarrolló durante la época helenística con los neoplatónicos como Proclo (412-485), con los neopitagóricos, como Nicomaco de Gerasa en el siglo I y Teón de Esmirna en el siglo II, y entre los seguidores del hermetismo estuvo la corriente difusa que participa del platonismo, del esoterismo y de la magia oriental. Pero, realmente, la simbólica medieval comienza con el sabio Boecio (480-524), consejero del rey ostrogodo Teodorico I. Este gran erudito, experto conocedor del griego, traductor de la lógica de Aristóteles, autor de obras científicas y teológicas, ha sido caracterizado como el último hombre docto de la Antigüedad y el primero de la Edad Media, ya que su papel como sabio de dos mundos en la historia del conocimiento ha sido decisivo. En su obra de juventud, De institutione arithmetica, traduce y comenta el trabajo de Nicomaco de Gerasa, quién fue el que estructuró la aritmología medieval; por lo que, puede considerarse a Boecio como el que introdujo a la Edad Media la mayor parte de las propiedades de los números enteros, algunas de ellas ya establecidas por Euclides. A la vez nos proporciona una clasificación de los números; así por ejemplo, él relaciona los enteros con figuras geométricas, planas y sólidas, y se interesa por las desigualdades y las proporciones. Recordemos que este cálculo

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se refiere a los enteros naturales y a las operaciones elementales de suma y multiplicación, que se efectuaban con numerales romanos. Las cifras, nombre árabe de los numerales hindúes, no se conocieron en Europa sino hasta finales del siglo XII y sólo en el siglo siguiente lograron adaptarse en los medios más doctos. Boecio coloca a los números enteros en dos categorías, los pares y los impares, y a éstos a su vez los subdivide en números de la forma 2k y 2m(2k + 1), donde k y m son enteros. En los impares él distingue a los primos de los compuestos, que son simplemente los enteros descomponibles en productos de factores primos diferentes de 1 y del propio entero. Esto lo lleva a definir, según Euclides y Nicomaco, al número perfecto. Se dice que un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores como 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14), 496, etc. Boecio define también los promedios o medias, según tres tipos: aritmética, geométrica y armónica. Traducido a notación moderna, esto significa que tres números enteros {a, b, c} forman una media aritmética si a-b=c-b. Una media geométrica es tal que b2=ac; o bien, si hay cuatro números {a, b, c, d}, entonces ad=bc ó a/b=c/d. Finalmente, la media armónica o musical, la más compleja, está formada por tres enteros {a, b, c} tales que c/a=(c-b)/(b-a), como son los números {6,8,12} Boecio menciona entonces que, lo que él llama la máxima perfecta que harmonia que, en Nicomaco de Gerasa, era la proporción musical, es decir, un conjunto en el que las tres medias, simultáneamente, tienen el mismo valor. Este es el caso del conjunto {6,8,9,12} que le sirve de ejemplo: {6,9,12} es aritmética, mientras que {6,8,9,12} es geométrica y {6,8,12} es armónica. Lo que es muy importante dejar claramente manifestado es que, el objetivo de Boecio no fue en absoluto exegético. Tampoco pretendió entregarnos la clave de la interpretación de los números. En realidad, lo que nos proporciona es el máximo de propiedades matemáticas, con el franco propósito de que se comprenda bien cuál es el poder del número. Ahí no hay simbolismo, pero sí la conciencia de que el número posee una enorme y evidente dimensión científico-filosófica.

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A la influencia de Boecio hay que añadir la de textos que se escribieron con una decidida orientación inclinada hacia una simbólica cristiana. En el siglo VII, Isidoro de Sevilla (560-636), primer enciclopedista medieval, deseoso de recoger todos los restos del saber antiguo que habían sobrevivido a las invasiones, escribe el Libro de los números que se encuentra en las Santas Escrituras. El texto es corto y enuncia unas propiedades simbólicas de los principales enteros: del 1 al 20; luego, 24, 30, 40, 46, 50. 60. Isidoro se basa en los conceptos de número par, impar o primo perfecto, pero apenas nos ofrece la técnica de cálculo. En realidad, Isidoro busca en la Biblia y en sus diversas fuentes párrafos donde son aludidos estos números y recalca al lector diciéndole: «Abraham vio tres ángeles; la Tierra está dividida en tres partes; hay cuatro vientos, siete planetas, diez Mandamientos, etc» Este tipo de ejercicio se encuentra en múltiples comentarios exegéticos de la Edad Media. La obra de Boecio será comentada varias veces antes del siglo XII, y puede decirse que si bien en éste se produce una eclosión de tratados más evolucionados, la tradición de la aritmología permanece aún viva, en especial con Jean Scot Engéne (800-877) y Gerbert d’Aurillac (940? -1003) Pero en el siglo XII, en el que se desarrollan ciudades y escuelas, donde los comentarios sobre los textos de la Antigüedad son una práctica habitual, se cultivan las letras latinas y se inventa la literatura en lengua romance, los clérigos toman conciencia de la necesidad de construir realmente una ciencia aritmológica cristiana. Se siente el deseo de escribir con el mayor rigor posible tratados en los que la aritmética y la práctica exegética se reúnan en una teoría única que permita interpretar los textos sagrados. Las obras de Odon de Morimond y de Geoffroy d’Auxerre nos revelan que los monjes de la abadía de Cister no rechazaban en su totalidad el conocimiento científico. Para ellos, se trataba más bien de volver a centrar las cosas en torno a lo que San Agustín ya había aconsejado dicho «La ciencia ha de entrar exclusivamente al servicio de la sabiduría cristiana» En este contexto es donde se sitúan sus tratados de simbólica: la ciencia aritmética, empleada con rigor, sirve para desarrollar una teoría útil en la lectura de los textos sagrados. Odon escribe

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un tratado analítico de los números y de las cosas para la “teografía”; Geoffroy, un tratado sobre el carácter sagrado de los números; Thibaut, una obra sobre las cuatro maneras de significar que tienen los números. Aparentemente, frente a tan insalvable obstáculo, los autores hubieron de recurrir a los únicos conocimientos disponibles en la tradición cristiana, a la De institutione arithmetica de Boecio. Con el afán de disponer de un sistema que les permitiera hacer aportaciones significativas en esta materia se dedican a la reorganización y a ciertos desarrollos que les parecen susceptibles de aportar significativos resultados. Para ello, trabajan en las categorías numéricas ( números perfectos, primos, deficientes, abundantes, etc.), partición, multiplicación), números),

pares, impares,

en las operaciones con números ( agregación,

en la codificación de los números ( relación entre letras latinas, griegas y

del cómputo digital (figuras

de cuenta con los dedos),

de las proporciones, etc.

Además, añaden categorías y se permiten ciertos refinamientos a partir del antecedente proporcionado por Boecio. Según ellos, para estudiar a los números hay que “triturarlos”, descomponerlos de cualquier modo. Evidentemente, este enfoque se apoya en la conciencia de un realismo de los números, los cuales existen en tanto que tales y poseen propiedades trascendentes. Así entonces, mientras más “materia" se pueda extraer del propio número, más cosas se comprenderán de lo que él significa. Resumiendo, el método general de los tratados más refinados, los de Odon y Thibaut, resultó ser el siguiente: los autores elaboran un conjunto de datos aritméticos que los clasifica en dos categorías. La primera es el orden de la clasificación de los números: obrando en función de las propiedades aritméticas de los enteros (paridad,

perfección),

dan un conjunto de categorías. La segunda se

refiere a las operaciones, esto es, la suma, la multiplicación, el establecimiento de proporciones y la utilización de reglas basadas en la progresión aritmética o geométrica. Un matemático moderno se contenta con una fórmula general que dé la suma de los n primeros números de una serie. En cambio, los referidos autores proceden por fragmentación. Se estudian, siempre con el ejemplo de la agregatio, unas series pares de números pares, impares de números pares, pares de números impares, etc. En este turbulento escenario se puede ver la diferencia

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fundamental entre aritmética y aritmología: en el primer caso, se trata de establecer una fórmula, en el segundo, de extraer el máximo de información posible que pueda utilizarse para construir sus correspondientes simbólicas. Por ejemplo, en aritmética, 3 es primo e impar. En aritmología, como 3 es primo y por tanto no descomponible él se corresponde a una perfección que nos remite a la divinidad. Así, 3=1+1+1 representa el misterio de la Santa Trinidad. De igual modo, 3=1+2 es la unión del par y del impar. En cambio, el par es divisible en dos, es menos perfecto, procede del dos, símbolo de la dualidad del hombre, cuerpo y alma, y está relacionado con lo terrestre. Por tanto, el impar está asociado al cielo, tanto más cuanto que 3 representa al número , es decir, al círculo, relacionado con el movimiento del cielo y de los planetas. 3=2+1, por tanto, es la unión de lo terrestre y de lo celeste. Hugues de Saint-Victor ( -1141), autor de uno de los primeros tratados del siglo XII, utiliza las potencias de 3 para explicar que 3 vuelve siempre a la unidad y por tanto está asociado con Dios, ya que 32 = 9, 33 = 27, y 34 = 81, y 81 = 80+1, de ahí el retorno a la mónada inicial. Por otro lado, recalca que el proceso puede continuar indefinidamente, lo que es obvio según las reglas de la multiplicación. Recordando que escribían con numerales romanos se comprende que generalmente, los autores, se limitaran a temas elementales, cuando se trataba de progresiones de los números. Ahora puede, comprenderse la gran importancia que tenía para los simbolistas el hecho de aportar el máximo de componentes posibles. En arreglo a este ejemplo, para ver como se construye una teoría simbólica, desagregaré algunos grandes principios que rigen la práctica aritmológica medieval. El primero de los elementos que siempre aparece en estos autores es el simbolismo directo. Pese a que realizan prácticas aritméticas meticulosas, Thibaut, Odon y Geoffroy actualizan las equivalencias numéricas tradicionales que los textos exegéticos habían podido propagar o bien proponen nuevos códigos. El procedimiento es muy sencillo: dado un número cualquiera el autor busca en una amplia red de referencias religiosas o no, la presencia de este número. En la clasificación de los números, Thibaut construye una categoría especial según lo

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sagrado, que divide en tres subcategorías. La primera hace una lectura de los enteros en los textos sagrados según la cardinalidad: el 2 alude a las dos tablas de Moisés a los dos Testamentos, etc. La segunda corresponde a la búsqueda de enteros que son ordinales en las Escrituras; en este caso, el simbolismo se establece como correspondencia entre la jerarquía y la cosa jerarquizada. Finalmente, la tercera implica una lectura de los textos-fuente referentes a la cronometría y el cómputo, es decir el cálculo de las fechas de las fiestas religiosas en el calendario juliano. Enterémonos de lo que dijo Tbibaut del número 14: «Como en los muchachos la capacidad de procrear empieza a manifestarse en el transcurso del año decimocuarto este número simboliza la generación. Esto explica que la Escritura haga venir a Cristo después de tres veces catorce generaciones. De igual modo, las leyes santas han estimado que el matrimonio no puede celebrarse antes de los catorce años del muchacho. Los hebreos quisieron también derivar su nombre de Heber, que perteneció a la decimocuarta generación después de Adán» El segundo componente, el más importante, se asienta en las reglas aritméticas, que condujeron a la clasificación detallada de los números, para ofrecer codificaciones simbólicas. Así, según Thíbaut, 7 es virgen puesto que, dentro de los diez primeros números enteros, no engendra, ya que no hay ningún múltiplo de 7 inferior a 10; pero tampoco es engendrado por ser primo. Puede, por tanto, ser atribuido como obra del Espíritu Santo. Cuando considera el proceso de la agregatio, Thibaut hace notar que la suma de los siete primeros números naturales es igual a la duración del curso de la Luna, esto es 28 días. Retomando a Ovidio, que atribuye a la Luna el nombre de Diana, Thibaut propone el siete como un número que simbolice a la diosa. Comienza con un cálculo aritmético, obtiene un número del cual halla un valor científico en el campo de la astronomía, y luego busca una nueva correspondencia en la mitología, ésta última independiente de la aritmología, para obtener finalmente por composición una correspondencia entre el número y el último elemento hallado, en este caso la diosa cazadora.

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Hemos descrito ligeramente cual fue el camino que siguió el proceso de creación del simbolismo, el cual parte necesariamente de alguna propiedad matemática. Una vez establecida ésta se busca el número correspondiente en diversos textos y se construyen relaciones a partir de dicho número, hasta obtener un valor satisfactorio, mitológico, bíblico o científico. La construcción de la red consiste, pues, en elegir un número y aplicarle un proceso aritmético que permita establecer una correspondencia numérica. Esta primera fase es neutra, en tanto que la correspondencia creada no depende de una elección textual, excepto para su punto de partida. El número-objetivo no es más que el resultado de una investigación aritmética. A partir de este segundo número, se produce un corte escénico que en gran medida sobrepasa el marco del texto inicial. A partir de esta operación transversal se establecen nuevas correspondencias, cuya virtud esencial es el dinamismo. Cada una de ellas puede generar otra. En resumen, el proceso interactivo no se detiene si no es de una manera arbitraria, es decir, en el punto en que el autor desea fijarse. El dinamismo del procedimiento es también el de la autogeneración, una especie de tornillo sin fin. Se extraen términos de una infinidad de textos, y allí donde un autor se detiene, otro añade eslabones a la cadena. En el ejemplo antes citado, basta volver a partir de Diana para establecer una nueva correspondencia. En el extremo de cada cadena, y por el único procedimiento de la composición de las aplicaciones, es posible también unir las etapas intermedias y obtener un símbolo complejo, del tipo 7 Diana, cuyo descifrado resulta imposible. El último tipo de simbolismo está construido a partir de propiedades aritméticas más elaboradas. «Se habla de agregación interescalar o de progresión cuando un número, por adición de los números pares o de los números impares que le preceden, engendra otro número, a condición de que si es par se une a los pares y si es impar se une a los impares como si se tratase de éstos con el fin de generar un número mayor. Por ejemplo, 5 se eleva a 9 porque 1,3,5 sumados dan 9; 6 salta a 12 porque 2,4,6 tienen como suma 12, En este modo de agregación, el simbolismo se expresa también de dos maneras: a partir del número tomado como origen y a partir del número obtenido al final. […] Por esto se celebra el

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trigésimo día del mes de los muertos porque, por agregación interescalar de 10, se obtiene 30. En efecto, la suma de 2,4.6,8,10 es igual a 30. Se celebra, pues, el trigésimo día de los muertos porque éstos, en el orden de los santos que es el décimo, sean hallados dignos, gracias a nuestras plegarias y a nuestras ofrendas, de recibir el denario cotidiano para la observación del decálogo» (Thibaut de Langres, l,12.)

Este ejemplo revela dos cosas: la primera es la convicción y la conciencia efectiva que tiene el autor de construir un método simbólico a partir de un dato matemático. Se trata de construir una serie de números pares o impares inferiores o iguales a un número dado, de calcular la suma de esta serie y de establecer una relación entre los dos números obtenidos. El segundo elemento muestra la preocupación del autor por hallar una explicación “racional” a una práctica litúrgica corriente en la Edad Media. Juega con la palabra denarius, que significa a la vez 10 y denario, es decir, la moneda que daba el fiel el día de la celebración. 10 corresponde a una división monetaria y a una jerarquía de los adoradores de Dios, entre los cuales el hombre ocupa el décimo rango. Estos juegos, a veces complejos, escritos en un latín técnico, con fórmulas farragosas impuestas por los numerales romanos, nos parecen fútiles, superfluos y a veces henchidos de humor. Pero situándonos en el siglo XII, en que se vivía una verdadera eclosión de la cultura occidental, un desarrollo de la curiosidad intelectual aplicable a todos los campos del conocimiento y una sed enorme de conocer mejor la naturaleza, es comprensible lo obrado. Fue también la época en que empezó a germinar el espíritu científico moderno. Si bien Dios es la causa primera, hay también una serie de causas segundas en las cuales el Creador no interviene directamente, pero que son accesibles a la inteligencia del hombre. En consecuencia, la naturaleza puede ser estudiada por sí misma, sin que sea solamente un espejo en el que el hombre se limita a contemplar la obra de su creador. En este contexto, las apuestas de los tratados de simbólica de los números son importantes, y no es por azar que los cistercienses y los victorinos se dedicaron a este estudio. En efecto, se trata del recentrado entre una exégesis tradicional, empírica, sometida al único simbolismo directo y a la palabra autorizada de los

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Padres, y una filosofía naturalista que concede siempre más importancia a la razón humana. En este marco, hay que poner la razón al servicio del ordenamiento de la exégesis. Las especulaciones aritmológicas constituyen la evidencia de que la ciencia, para el hombre medieval, tenía legitimidad absoluta, en la medida en que podía ser explotada en todas las direcciones posibles, a condición de que contribuyera a apuntalar el dogma cristiano. Finalmente, recordemos que en la segunda mitad del siglo XII, cuando se produce la llegada a Occidente de las traducciones árabes y latinas, que pusieron al mundo cristiano en contacto con Aristóteles, Euclides, Arquímedes y los matemáticos árabes, como Al-Khwárizmi, los simbolistas no musitaron ni una sola palabra, no hicieron nada, puesto que existe una fractura entre la simbólica de los números y la matemática árabe. Ésta se refería a ciertas técnicas operatorias que orientaban la manipulación de los números hacia una verdadera matemática en el sentido moderno, y no hacia la fiera explotación filosófica y religiosa del poder del número. Cautivados por el vehemente deseo de creer en la virtud de los números, Odon, Geoffroy, Thibaut e incluso su sucesor oxfordiano del siglo siguiente, John Pecham, realizaron un meritorio trabajo en bien de las matemáticas. Pero, también se debe decir que no lograron ejecutar una auténtica ciencia del número, pues el criterio de ordenamiento utilizado fue defectuoso y les impidió arribar a una sistematización completa.

1. 2 4

Fibonacci y Pacioli

El curso del pensamiento matemático medieval se vio inmerso, a mediados del siglo XII- cuando tuvieron lugar las primeras traducciones latinas de los tratados árabes de aritmética- en una situación conflictiva surgida de la disputa entre los partidarios de la aritmética de fichas y dedos y los de las cifras en tablillas de polvo. Después de la decadencia del Imperio Romano, como hemos aprendido, los matemáticos occidentales se concentraron en una aritmética especulativa inspirada por Nicómaco de Gerasa, la cual alcanza su mayor lustre con la obra De institutione arithmetica de Anicio Masilio Severino, más conocido por Boecio. Al

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igual que Euclides en los Elementos, Boecio estudia principalmente las propiedades de los números pares e impares; pero también, una aritmética paralela, de tipo práctico, ligeramente mencionada en los libros de los agrimensores romanos. En 1558, en pleno Renacimiento, Pierre Forcadel, colaborador del humanista francés Pierre de la Ramée y titular de la cátedra de matemáticas del College Royal, publicó una Arithmétique par les gects es decir, por medio de fichas, y Jean Trenchant el mismo año una Arithmétique... avec l‘art de calculer aux getons, que fue reeditada repetidas veces. La técnica de cálculo se mantuvo en plena vigencia hasta los tiempos de Leibniz, quién hacía largos cálculos con el ábaco. Silvestre II, el primer Papa francés, muerto en 1903, utilizó un ábaco de columnas, de origen árabe-español, cuya práctica exigía reglas tan difíciles que apenas comprendían incluso los abaquistas consumados. El nombre verdadero del Papa fue Gerbert de Aurillac y bajo éste se ha conservado el conjunto más completo de textos medievales relativos al ábaco. Con el nombre latino de apices, las fichas del ábaco marcadas con los signos numéricos romanos estuvieron en uso durante toda la Edad Media. Sin duda se requería de numerosos ejercicios de aprendizaje, especialmente para las incómodas operaciones de multiplicación y división. Ventajosamente, su difusión durante los siglos X y XII coincidió con los periodos en que proliferaron las escuelas catedralicias y abaciales. La división de 6258 para 283, por ejemplo, se realizaba con un método de diferencias en el que el cero venía representado por columnas vacías. No es posible precisar, por falta de documentos, cuándo nació un sistema de numeración con los dedos, impropiamente llamado "digital”. En todo caso, desde la alta Edad media existía una forma práctica de representar los nú meros mediante posiciones especiales de los dedos de ambas manos, que facilitaba la memorización de las cantidades llevadas en las operaciones de cálculo mental y tal vez de ábaco, por lo menos cuando en las fichas no había indicación de números. Así, Leonardo de Pisa (1170-1250), en su Liber abaci de 1202, propone “guardar en mano” las cantidades llevadas en las operaciones. Por su lado, Luca Pacioli (1445-

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1515)

utilizaría la misma expresión en la Summa de arithmetica de 1494. Hasta

ahora se conserva un notable grabado en madera donde se muestra, cómo conviene representar con los dedos los números comprendidos entre 1 y 9.999. Este ligero recordatorio sobre el ábaco y la numeración con los dedos nos empuja a que analicemos con mayor precisión una tercera forma de cálculo ligada a las primeras traducciones latinas de los tratados árabes sobre el cálculo hindú o Hisab al-Hindi. Estas obras, en las que se utilizan nueve cifras y el cero, aparecieron en España pocos años después de la Reconquista, en el momento en que, por insinuación de Pedro el Venerable, abate de Cluny, se realizaron la Collectio Toledana y la primera traducción latina del Corán, también se llevaron a cabo en 1143 traducciones o adaptaciones, a partir de una primera traducción latina perdida, de los libros de aritmética de al-Khwárizmi. Como ya señalamos, fue por el año 825, en Bagdad, que este destacado astrónomo y matemático puso a la consideración del mundo ilustrado no sólo obras astronómicas y una primera álgebra, donde se resolvían las ecuaciones de segundo grado reducidas a su forma canónica, sino también el contenido de los tratados hindúes de aritmética, de origen pobre y mal conocido. Los números se representan allí con nueve cifras y el cero y las operaciones fundamentales se realizan sobre unas “tablillas de polvo”, que eran tablillas cubiertas con arena, polvo o tiza sobre las cuales se escribían y se borraban fácilmente con los dedos. Con el nombre de “algorismo”, derivado del nombre del matemático árabe, se escribieron durante el siglo XII cuatro obras fundamentales cuyos manuscritos latinos nos permiten comprender mejor cómo fueron recibidos y transformados en Occidente los numerales hindúes, tradicionalmente divididos en una serie llamada oriental y otra llamada gubár (polvo) Dado que los copistas occidentales escribían de izquierda a derecha, las cifras sufrieron unas transformaciones parecidas a las previamente experimentadas por las fichas del ábaco (apices) A partir de su forma arábiga primitiva orientada de derecha a izquierda evolucionaron rápidamente hasta adquirir su forma occidental casi definitiva. Estos primeros trabajos ponen de manifiesto el carácter revolucionario de las nueve cifras para expresar un número entero o fraccionario

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cualquiera, todo al precio de introducir un cero hasta entonces inusitado, llamado circular o ”círculo pequeño”. Así, la obra de “algorismo” más elaborada del siglo XII, Liber algorismi, se basa en una reflexión sobre los valores aproximados de 2 expresada en fracciones sexagesimales para definir por primera vez en Occidente las fracciones decimales, aunque sin aprovechar todo lo que había brindado el descubrimiento. Tanto las fuentes árabes desde el siglo IX como sus sucesoras occidentales exponen anecdóticamente fórmulas de las que no está totalmente ausente el recuerdo del ábaco. Así ocurre, por ejemplo, en la multiplicación de unidades: si a < 10 y b < 10, ab = 10b - b(l0 – a) = 10a - a(10 - b) Pero, sobre todo, estas obras describen cuidadosamente operaciones para las cuales es muy cómodo borrar los números con los dedos en la “tablilla de polvo” Muchos ejemplos concretos, que indican un empleo no reservado exclusivamente a los astrónomos, muestran, por ejemplo, cómo realizaban la multiplicación de dos números enteros. Este método, aparentemente destinado a desaparecer por el uso corriente de la tinta y el papel, resistió durante bastante tiempo pese a la competencia de otros sistemas más adaptados al nuevo entorno. Hay que ver en ello la influencia de dos tratados en forma de manuales escolares, Carmen de algorismo, de Alexandre de Villedicu, escrito hacia 1203, y sobre todo el Algorismus vulgaris de Juan de Sacrobosco escrito pocos años después. La amplia difusión de estas dos obras fue favorecida por la enseñanza del algorismo en las primeras universidades. En 1495, en su obra impresa Aritmética práctica, Pedro Sánchez Ciruelo describía todavía con mucha exactitud el procedimiento, lo mismo que Peter Benewitz en 1527, quién sugería la imagen de los bancos de una galera y recomendaba el uso del método a los mercaderes. Esta resistencia sorprende tanto más cuanto que en 1202, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, en su Libro de ábaco, aprovechando probablemente su estancia en Bejaia y sus viajes a Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, describió unos notables métodos de cálculo llamados “indios”, sobre todo métodos de multiplicación que opuso a los usos, para él superados del ábaco y del algorismo

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por borrado. Sin embargo, el autor describe todavía brevemente la numeración con los dedos, ligada para él a las prácticas de los abaquistas. Fibonacci escribe que todavía está en uso «una tablilla donde los números se borran fácilmente» Hubo que esperar casi tres siglos para que este método, que presupone un cierto virtuosismo en el manejo de los números, por no decir una cierta familiaridad con el álgebra, llamara la atención de los autores italianos de aritmética, especialmente de Luca Pacioli por el año 1494, quien lo retomó bajo el nombre de “crucecita” o “casilla”. Hay sin embargo una brillante excepción a este retraso: un tratado anónimo griego de «cálculo según los indios» (1252) describe fielmente, bajo la influencia de Fibonacci, la “multiplicación en cruz”. Inspirándose en ese texto, el polígrafo bizantino Máximo Planudo hizo otro tanto en 1282 en términos casi idénticos. Hay que ver en esta influencia de Fibonacci una consecuencia de la presencia occidental en Bizancio durante el reino franco surgido de la cuarta cruzada (1204-1261) Fibonacci conocía otro método de multiplicación, llamado “en forma de damero”, especialmente apropiado para operar con números grandes, ilustrado con un solo ejemplo y curiosamente incluido en el capítulo del Liber abaci dedicado a la suma. Con pequeñas diferencias, que podrían estribar en la mera escritura de los números, el método ya era conocido en el siglo X por los árabes. Por ejemplo, alUqlidisi lo describe como “método de las casas”. El procedimiento tuvo un éxito considerable bajo formas diversas a menudo con nombres muy gráficos citados cuidadosamente por Luca Pacioli: todas las obras aritméticas de los siglos XV y XVI lo asimilaron. En los autores árabes posteriores al siglo XIII figura un desarrollo particularmente interesante del método, llamado chabaka (red), que aparece igualmente en el Imperio Bizantino en el siglo XIV y que también describe Pacioli bajo el nombre de getosia o graticola (celosía); varios autores occidentales, en este caso no exclusivamente italianos, lo recomendaron especialmente. Pero parece ser que el método “en forma de damero” se impuso ampliamente en Occidente bajo la influencia del Liber abaci; su desarrollo ulterior en forma de “celosía” es imputable, al parecer, a fuentes árabes.

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Esta superioridad no escapó a los sucesores del matemático pisano y fue definitivamente reconocida en la Summa arithmetica de Luca Pacioli di Borgo. En un largo capítulo sobre la multiplicación, Pacioli describe no menos de ocho métodos más o menos dispares. A la postre prevaleció el primero de ellos gracias al merecido éxito de la Summa impresa en 1494 y sobre todo a la difusión de los tratados de aritmética comercial italianos y alemanes en el siglo XVI. Pacioli informa de que, en Florencia, mediante un procedimiento llamado “del damero de Venecia”, se multiplica 8.876 por 6.789, lo que da como resultado 67.048.164. No cabe duda que, a causa de la difusión de la aritmética comercial por medio de textos impresos, fue por lo que este método, que exigía una alineación rigurosa de las cifras para evitar todo error, se quedó instalado definitivamente de manera exclusiva en la enseñanza del cálculo elemental. Estas consideraciones sobre el humilde cálculo, guiado por la multiplicación, podrían dar a entender cómo que en la Edad Media y después en el Renacimiento, a menudo ingrato con ella y con todas aquellas fuentes no procedentes de la Antigüedad grecolatina, sé limitaron al manejo de los números y las cifras como un modo de liberarse de la servidumbre de los métodos mecánicos. La realidad es que, de la práctica constante del cálculo surgió toda una reflexión sobre los números. Para convencerse de ello, basta ver cómo Fibonacci, utilizando los textos de sus predecesores árabes sobre los números congruentes, defendió los métodos de prueba por 7, 9, 11 y 13 en las operaciones aritméticas. O también en el problema que le hizo famoso, aquel que dice: «Dada una pareja de conejos. ¿Cuántas parejas de conejos habrán nacido al cabo de n meses, si cada pareja da origen cada mes a una nueva pareja y éste no se reproduce hasta pasados dos meses?» El problema dio la vuelta al mundo y ahora todos conocemos a los “números de Fibonacci” F n, con su relación de recurrencia Fn=Fn-1+Fn-2 que nos dice que estos números resultan de la suma de los dos precedentes y las condiciones iniciales F 0 =F1=0, que predice el número de parejas de conejos nacidas al cabo de n meses. Estos números sucesivos son F={1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...} y tienen propiedades asombrosas como las siguientes:

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a) La sucesión de los cocientes F n-1/Fn tiene por límite, cuando n tiende a infinito, el número aúreo o divina proporción; o sea, aquel que es la raíz positiva de la ecuación X2-X-1=0 y vale (1+5)/2=0,61803398... Este número ha desempeñado un extendido papel en la estética clásica y en el terreno de las interpretaciones místicas y simbólicas. Pero el hecho realmente sorprendente es que el número aúreo se encuentra presente en la filotaxia, es decir en la disposición de las hojas alrededor del tallo de las plantas. b) Fn  Fn+2

-

(Fn+1)2 = (-1)n. Lewis Carroll la utilizó para construir su famoso

rompecabezas “64=65” y otros por igual han explotado las singulares propiedades de esta sucesión. En esta breve descripción hemos podido ver cómo se pasó de una aritmética del ábaco o de fichas a la de las tablillas de polvo y de cómo los matemáticos Fibonacci y Pacioli, apoyados en la traducción al latín de los libros de alKhwarizmi, pusieron las bases de la aritmética moderna.

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1.3 1. 3 1

Fase moderna El Renacimiento

El siguiente gran paso hacia adelante que dieron las matemáticas occidentales se produjo en el siglo XVI, cuando el norte de Italia y las naciones del otro lado de los Alpes comenzaron a sentir la fuerza vivificante del cambio revolucionario. Al mismo tiempo fueron conmovidos el corazón y la mente por los grandes movimientos intelectuales y espirituales del Renacimiento y la Reforma. Las matemáticas eran trabajadas nuevamente con algo de la antigua sutileza, y su estudio se vio estimulado y amplificado con la aparición de la imprenta. Hubo centros de estudio, en contacto con la próspera vida ciudadana de Venecia y Bolonia y otras famosas ciudades de la Europa medieval. Italia abrió el camino; Francia, Escocia, Alemania e Inglaterra la siguieron pronto. Es el período de la historia occidental en el que cada uno de estos países produce matemáticos descollantes, que extendieron los límites de la ciencia matemática alcanzados hasta el momento, como no se había visto desde el tiempo de los griegos clásicos. Scipio Ferro (1465-1526), recogió el tema allí donde lo había dejado Diofanto y realizó el primer progreso significativo después de lo aportado por griegos y orientales al encontrar una solución para la ecuación cúbica, problema que había desconcertado a los matemáticos griegos. Fue hijo de un papelero de Bolonia, cuya casa aún puede localizarse con precisión. Llegó a ser “Lector de Matemáticas en la Universidad”, en 1496, y continuó en ejercicio hasta su muerte, excepto durante su corta estadía en Venecia. Por aquellos tiempos, los descubrimientos matemáticos eran conservados como secretos de familia y divulgados sólo a unos pocos interesados íntimos. La solución del problema mencionado fue cuidadosamente guardada durante treinta años, y sólo llegó a conocerse gracias a una disputa científica. Tales

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altercados se hallaban muy de moda; eran las justas y torneos del mundo intelec tual, y los inventos matemáticos fueron armas, a menudo, de doble filo. En un primer momento algunos protagonistas preferían combatir con hojas más livianas, desenvainando sus espadas más poderosas sólo en último caso. Los más famosos de estos personajes son Tartaglia y Cardan que figuran, junto a Scipio, como los principales protagonistas en el drama de la resolución de la ecuación cúbica. Nicolo Fontana (1500-1557), apodado “Tartaglia” debido a que tartamudeaba, siendo todavía un niño pequeño, por causa de una herida en la cabeza, quedó afectado permanentemente en su habla. Esto ocurrió en la matanza, realizada por los soldados franceses, que siguió a la toma de Brescia, su ciudad natal. Su padre, un empleado postal, se contó entre los muertos, pero su madre huyó y salvó al niño. Aunque vivieron en una gran miseria, Tartaglia estaba decidido a estudiar. A falta de materiales corrientes para escribir, incluso empleó lápidas como pizarras, pero no tardó en alcanzar una posición destacada, por su indudable talento matemático. Emuló a Ferro, al resolver el nuevo tipo de ecuación cúbica x3+mx-n=0 y, cuando escuchó hablar del problema originario, se vio impelido a redescubrir la solución de Ferro. Tartaglia fue el primero en aplicar las matemáticas a problemas militares de artillería. Girolamo Cardan (1501-1576) fue un hombre de genio que estuvo envuelto en un tornado, fue muy conflictivo, muy poco escrupuloso y muy indiscreto, pero con un imponente talento matemático. Con extraña adaptabilidad, era astrólogo y filósofo; jugador y algebrista; físico, médico y, no obstante, padre y defensor de un asesino; hereje, y, sin embargo, receptor de una pensión del Papa. Ocupó la Cátedra de Matemáticas en Milán, y también practicó la medicina. En 1552 visitó Escocia, respondiendo a la invitación de John Hamilton, arzobispo de St. Andrews, al cual curó del asma. Un buen día se interesó en descubrir qué clase de solución de la ecuación cúbica había encontrado Tartaglia. Cardan imploró para que le contaran los pormenores, y, finalmente, obtuvo lo que deseaba, bajo promesa de secreto. Después de sosegado estudio lo publicó como su propio trabajo independiente en su libro Ars Magna, que apareció diecinueve años después de su muerte, en 1595;

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en otras palabras, usurpó el trabajo de Tartaglia. Este acontecimiento es lamentable, ya que empaña su magnífico trabajo, auténticamente original, hecho en álgebra y publicado en el mismo libro. Se cuenta que fue igualmente injusto en el trato dado a su discípulo Ferrari, quién fue el primero en resolver una ecuación de cuarto grado. No obstante, Cardan conjugó la piratería con una jornada de labor honesta; y tuvo suficiente genio matemático para optimizar estos resultados. Estableció la teoría general de las ecuaciones de tercero y cuarto grados, discutiendo cuántas raíces podía tener una ecuación. Se dio cuenta de la necesidad de los números, no sólo negativos, sino también imaginarios y complejos para obtener soluciones completas. También descubrió las relaciones más importantes entre las raíces. Entonces, los matemáticos italianos al concertar un progreso sustancial mediante estas realizaciones, llevadas a cabo de formas muy diversas, hicieron posible expresar

en

una

fórmula

algebraica

la

solución

de

la

ecuación:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. El tema había avanzado paso a paso, desde la ecuación simple a la cuadrática, de la cúbica a la cuártica. Por lógica y de manera natural surgió la necesidad de resolver las ecuaciones de quinto y más grados, pero tuvieron que pasar dos siglos antes de saber más sobre ellas. Fue el joven matemático noruego Niels H. Abel (1802-1829), quién descubrió la verdad final sobre dichas ecuaciones. Resultaban ser irresolubles por el método de los radicales, tal como las que habían empleado los italianos. ¡Todo parecía como si Cardan hubiera conducido, sin saberlo, la teoría algebraica de las ecuaciones hasta un violento punto final! La última mitad del siglo XVI también presenció el nacimiento de las matemáticas en Francia con Vieta (1540-1603) y en Escocia con Napier (1550-1617) La obra de estos dos grandes matemáticos nos recuerda cuán profunda fue la influencia de la antigua Grecia sobre las primeras figuras de este renacimiento científico. Ya mencionamos la parte que le correspondió a Vieta en el perfeccionamiento de la notación algebraica. Además demostró que el famoso problema de trisecar un ángulo dependía, en realidad, de la solución de una ecuación cúbica. También redujo el problema de la cuadratura del círculo a la evaluación de la elegante

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expresión: 2/ =(½)½ [½+½(½)½]½ {½+½[½+½(½)½]½}½ . . . Aquí había una innovación considerable: la primera forma positiva de la época que consideraba el número  que Arquímedes había situado en algún lugar entre 3

1/ 7

y 310/71. Vieta también fue el primero en hacer un uso explícito de aquel maravilloso principio de dualidad, o reciprocidad, que había dejado indicado Papo. John Napier (1550-1617), barón de Merchiston, que descubrió los logaritmos naturales, es el más destacado de todos estos matemáticos eminentes. Su original trabajo descubrió un terreno completamente nuevo y tuvo grandes consecuencias, tanto teóricas como prácticas. No sólo proporcionó una maravillosa herramienta para ahorrar trabajo en el cálculo aritmético, sino que sugirió varios principios importantes de análisis superior. Cuando perdió a su madre tenía trece años, y, ese mismo año, le enviaron a la Universidad de St. Andrews, donde se matriculó en colegio de St. Salvator. En aquella época éste no era un lugar para realizar tranquilos estudios académicos; motivo por cual, el Obispo, que siempre mostró un amable interés por el muchacho, escribió al padre de John diciéndole: «Os ruego señor, mandéis a vuestro hijo John a la escuela; o bien a Francia o a Flandes; pues no puede aprender nada en casa, ni sacar ningún provecho de este mundo sumamente peligroso» Acto seguido, sin pérdida de tiempo, salió al extranjero; pero volvería pronto a Merchiston, su hogar, cerca de Edimburgo, donde debió pasar tantos años de su apacible vida. Durante el corto año de estancia en St. Andrews se despertó su interés por la aritmética y por la teología. El prefacio de Plain Discoverv of the Whol Revelation of St. John, que fue publicada en 1593, contiene una referencia a sus tiernos años y estancia en Sanct Androis, donde primero se le obligó a dedicar sus talentos al estudio del Apocalipsis. Su libro está lleno de especulaciones profundas, pero, a la postre, infructuosas; no obstante, en cuanto a la forma, sigue los ejemplos más sutiles de la argumentación matemática griega, en la cual era maestro, en tanto que en la forma desapasionada de interpretación aventajaba en mucho a su tiempo. A diferencia de Cardan, antes, y de Kepler, después, nunca se le acusó de

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hacer magia ni astrología. Napier adquirió gran reputación como inventor, pues unía a sus dotes intelectuales una fecunda destreza para hacer máquinas. Sus constantes esfuerzos para elaborar formas más sencillas de cálculo aritmético le condujeron a crear una diversidad de artificios. Uno era una especie de ajedrez aritmético, donde los dígitos se movían como torres y alfiles sobre el tablero; otro sobrevive bajo el nombre de “esqueleto de Napier”. Pero lo que impresionó a sus amigos fue una pieza de artillería, de una eficacia tan espantosa que podía matar todo el ganado, en un radio de una milla. Napier, horrorizado, se negó a desarrollar este invento terrorífico, del que muy pronto se olvidó. Durante su estancia en el extranjero, estudió ávidamente la historia de la notación indo-árabe, que reconstruyó hasta su fuente hindú. Meditó acerca de los misterios de la aritmética y, en particular, sobre el principio subyacente a la notación numérica. Se interesó, no sólo en el sistema decimal de numeración, sino también en el de base dos. Napier comprendió muy bien el valor de una escala binaria, en la cual un número se divide en las partes, 1, 2, 4, 8, etc. Así, habla con interés del hecho de que cualquier número de libras puede pesarse poniendo uno o más de los pesos 1 lb., 2 lb., 4 lb., 8 lb., y así sucesivamente, en el otro platillo de la balanza. Cuando regresó a Escocia, escribió sus pensamientos sobre aritmética y álgebra, y se conservan hasta ahora muchos de ellos. Éstos son muy sistemáticos y muestran una curiosa mezcla de teoría y práctica; la ocupación principal es la teoría, pero, con cierta persistencia, aparecen ilustraciones que «agradarían más a los mecánicos que a los matemáticos» En una de sus páginas aparece la siguiente tabla: I 1

2

II 4

III

IIII V

VI

VII

8

16 32

64

128

Puede parecer que esto es sencillo y evidente; no obstante, encierra gran profundidad, a la luz de las consecuencias. En aquel tiempo aún buscaban una notación exponencial, y las implicaciones totales de la notación decimal hindú apenas habían sido comprendidas. Napier contemplaba, con la mente de un matemático con formación griega esta notación, como si se tratara de algo realmente

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nuevo. Vio en las series paralelas de números citadas el apareamiento de una progresión aritmética con una geométrica. Una feliz inspiración le hizo pensar que estas dos progresiones aumentaban continuamente término a término. La tabla citada se convirtió, para él, en una especie de registro cinematográfico lento, señalando que las cosas tienen lugar entre los términos registrados. Hacia el año 1590, o tal vez antes, descubrió los logaritmos; o sea el artilugio que permite reducir la multiplicación a la adición, la división a la sustracción y la potenciación a la multiplicación. El modo en el que considera esta materia muestra un conocimiento íntimo de la correspondencia entre progresiones aritméticas y geométricas. Así es como pudo, prever tan claramente la utilidad práctica de los logaritmos en astronomía y trigonometría, apartarse deliberadamente de sus especulaciones en álgebra e imponerse la tarea, de toda una vida, de producir las apetecidas tablas, que ya habían creado agitación en el extranjero, mucho antes de ser publicadas. Por aquel tiempo vivía en una isla de Dinamarca, el famoso astrónomo Tycho Brahe (1546-1601), que reinaba con gran pompa sobre su dominio rodeado por el mar. Este sitio era denominado Uraniburg -el castillo de los cielos- y le había sido donado por el rey Federico II, con el sólo propósito de que hiciera astronomía. Allí prosiguió sus observaciones y efectuó muchas crónicas muy precisas sobre ciertas estrellas; pero las estrellas en sus trayectorias iban siendo demasiadas y por tanto cada vez más difíciles de manejar para Tycho. Como un agradable susurro venido del cielo tomó las noticias que le llegaron acerca de un portentoso descubrimiento aritmético, realizado en Escocia. El astrónomo danés esperó con ansiedad una primera publicación de las mencionadas tablas logarítmicas, pero pasó mucho tiempo antes de que fueran completadas. Las primeras aparecieron en 1614, e inmediatamente atrajeron la atención de los matemáticos de Inglaterra y del continente, especialmente las de Briggs y Kepler ( 1571-1630). La amistad de Napier con Briggs creció rápidamente, pero muy pronto se vio interrumpida por causa de su muerte en 1617, agotado por su incesante trabajo. Uno de sus últimos escritos explica cómo, «debido a nuestra debilidad corporal dejamos la computación real de la nueva regla a otros, especializados en este tipo de trabajo,

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muy particularmente al muy erudito letrado, mi querido amigo Henry Briggs» Durante la visita que Briggs hiciera a Napier a Edimburgo le dijo: «Milord, he emprendido este largo viaje para ver a vuestra persona, y para saber mediante que mecanismo de inventiva o ingenio pensasteis por primera vez en esta ayuda tan excelente para la astronomía, a saber, los logaritmos. Pero, Milord, me extraña que, habiéndolos descubierto vos, nadie los haya descubierto antes, cuando ahora que los conocemos parece tan fácil» La rápida difusión de los logaritmos de Napier por el continente europeo se debió a la entusiasta acción desplegada por Kepler como astrónomo reconocido. En relación con esto es interesante recordar que, extrañamente, fue en el año de su muerte en que Kepler descubrió su tercer gran canon planetario que publicó en las Ephemerides de 1620 y que la dedicó a él. En la portada aparecen, un telescopio de Galileo, la órbita elíptica de un planeta, el sistema de Copérnico y una figura femenina, con el logaritmo neperiano de la mitad del radio de un círculo colocado, como una aureola en torno a su cabeza y como símbolo del mayor e imperecedero elogio. Bueno, según el enfoque utilizado por Napier, ¿cuál es la idea de logaritmo?. Para bien comprender esto, imaginemos un punto P que se mueve describiendo una línea recta AB con velocidad decreciente, retardándose cada vez en dirección a su destino B, de tal manera que la velocidad sea siempre proporcional a la distancia que le resta por recorrer. Así, cuando el punto P se halle en el lugar Q, su velocidad será proporcional a la distancia QB. A este movimiento Napier lo denominó geométricamente decreciente. Ahora imaginemos en paralelo a AB una recta A’B’ sobre la que se mueve uniformemente un punto P’. A ésta, Napier la denominó aritméticamente creciente. El recorrido de los puntos móviles P y P’ se supone que comienza en A y A’, partiendo ambos a la misma velocidad; y, luego, se registran los lugares alcanzados por éstos en cualquier instante subsiguiente. Supongamos ahora que P ha alcanzado Q, cuando P’ ha alcanzado Q’. Entonces, Napier llama al número que mide el segmento A’Q’, logaritmo del número que mide el segmento QB. O sea que la distancia que ha recorrido P’ es el logaritmo de la distancia que le falta por recorrer a P.

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Napier, basándose en este experimento mental, estableció la definición de logaritmo y con ella no sólo halló las propiedades teóricas, sino que también construyó sus tablas, con siete cifras. De hecho, la definición mencionada es el planteamiento de una ecuación diferencial, y su superestructura proporciona la solución completa. Incluso sugiere una teoría de funciones, sobre una base genuinamente aritmética. Ésta fue una sensacional hazaña, ya que se realizó antes de que se hubieran inventado la teoría de exponentes y el cálculo diferencial. Napier fue también un geómetra con gran imaginación. Inventó nuevos métodos en trigonometría esférica. Es particularmente hermosa su forma de considerar un triángulo esférico rectángulo como parte de una figura quíntuple, reminiscencia del simbolismo pitagórico. La historia de Napier muestra cómo la época estaba madura para la invención de los logaritmos, por tanto no nos sorprenderá que otro pudiera haberlos descubierto de manera independiente. En efecto, éste fue su contemporáneo Bürgi, un relojero suizo, que llegó a tiempo y a las mismas conclusiones mediante el concepto de índices. Los resultados los publicó en 1620. Briggs es ampliamente conocido por haber construido las tablas de logaritmos en base decimal y por los rápidos progresos que hizo en la construcción de éstas. Nadie, sino un experto matemático de gran originalidad como él, podría haber realizado el trabajo con tanta celeridad.

1. 3 1 Descartes y el Sistema Coordenado de Referencia Lo revisado hasta aquí ha sido el preludio de la denominada Edad Moderna del pensamiento. Los matemáticos de talento relevante, cuyos legados ya son históricos, han sido, como hemos podido ver, muy pocos. Pero, al comenzar el siglo XVII se produjo una prolífica eclosión, su número aumentó tan rápidamente, que es casi imposible hacer justicia a todos ellos en un breve estudio. Sólo en Francia, hubo tantos matemáticos de genio como todos los que había producido Europa en los últimos mil años. Por ello, examinaremos la obra de sólo tres matemáticos representativos de su época, Descartes ( 1596-1650) de entre los

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franceses, Newton (1642-1727) por los ingleses y Leibniz (1646-1716) por los alemanes. En esta época heroica, que es la que siguió a las realizaciones de Napier, las matemáticas alcanzaron un prestigio descollante. La época era matemática, los hábitos de pensamiento eran matemáticos, y sus métodos eran juzgados necesarios para una filosofía exacta o cualquier otra cosa exacta. Era el comienzo del periodo denominado de la filosofía moderna; y las más destacadas figuras de entre sus filósofos fueron expertos matemáticos, así como los filósofos griegos de la antigüedad. Ellos fueron Descartes, Newton y Leibniz. René Descartes (1596-1650) fue hijo de padres bretones y nació en La Haya, cerca de Tours en el año 1596. Su familia perteneció a la nobleza baja, siendo su padre consejero del Parlamento de Bretaña. Desde 1604 hasta 1612, asistió al colegio jesuita de La Flèche, donde, recibió la tradicional educación escolástica de matemáticas, física, lógica, retórica y lenguas antiguas, en las cuales fue un alumno competente; pero, su educación en el dominio de las matemáticas fue la mejor posible de la época. Al salir de este colegio declaró que no había obtenido otro beneficio de sus estudios que la convicción de su ignorancia total y un profundo desprecio por los sistemas filosóficos entonces vigentes. «Por este motivo, tan pronto como mi edad me permitió dejar a mis preceptores, abandoné totalmente el estudio de las letras; y, habiendo decidido no buscar otra ciencia que aquella que podía encontrar en mi mismo, o en algún otro lugar en el gran libro del mundo, dediqué el resto de mi juventud a viajar, a contemplar cortes y campos, a frecuentar personas de distinta índole y condición,…. y, sobre todo, a procurar sacar reflexiones provechosas de lo que veía. Pues me parecía que podría encontrar mayor verdad en los razonamientos que cada hombre hace en sus propias ocupaciones, y que si son erróneos rápidamente se ven castigados por el fracaso, que en aquellos razonamientos realizados por el filósofo en su estudio» (Discurso del Método) Acompañado de este estado de ánimo llevó una vida errante e inestable, a veces sirviendo en la armada, otras permaneciendo solo. En 1619, cuando la guerra de los Treinta Años empezó en serio y él, deseoso de participar en ella, no dudó y se

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enroló en el ejército bávaro que estuvo bajo el mando del Duque de Baviera, uno de los jefes del partido católico. Fue en el invierno de aquel año, en los cuarteles de Neuberg, situados a orillas del Danubio, que descubrió los principios y el sistema de coordinación que inspiraron su filosofía, que le sirvieron para la construcción de su sistema del mundo y que por ende le permitió concebir la idea de una reforma de la filosofía. En el ejército se mantuvo hasta el año de 1622, fecha en que regresó a París. La experiencia de lo referido está descrita en su Discurso del Método. Siendo por naturaleza un tanto retraído y deseando trabajar en un ambiente tranquilo partió a Holanda en 1628. Habiendo vendido su pequeña heredad tubo para vivir independientemente y con razonable comodidad los veintiún años siguientes. Durante este tiempo fue desarrollando su filosofía sobre las líneas que había trazado en aquella ocasión en que concibió su método. Como ante todo deseaba permanecer ajeno a cualquier controversia, pues la consideraba como una pérdida de tiempo, no publicó un importante trabajo de física, en el que adopta el sistema de Copérnico ( 1473-1543), a causa del célebre juicio seguido en contra de Galileo ( 1564-1642) en 1633 por el Santo Oficio. Aquí debemos recordar que, según todas las apariencias, él era un fiel católico, pero hasta que grado de pureza doctrinal llegó, es algo que de seguro jamás se podrá saber. Se limitó a publicar una colección de tres tratados sobre Dióptrica, Meteoros y Geometría. El Discurso del Método fue publicado en 1637 y constituye una introducción a estos trabajos. Sin duda, el más célebre es el de la Geometría en el que se exponen y se aplican los principios de la geometría analítica. En 1641, publica las Meditaciones y en 1644, los Principios de Filosofía, dedicados a la princesa Isabel, hija del elector palatino. El Discurso, con un importante contenido matemático, produjo un gran impacto en el público y causo sensación. Como consecuencia el nombre de Descartes llegó a ser conocido en toda Europa, los príncipes le buscaban; y sólo el estallido de la guerra civil en Inglaterra le impidió aceptar una generosa renta de Carlos I. A cambio se fue a Suecia respondiendo a la invitación de la reina Cristina. Llega a

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Estocolmo en 1649, donde se esperaba que fundara una Academia de Ciencias, como una réplica de la escuela platónica de Atenas. Pero su salud cedió bajo la severidad del clima, y murió de pulmonía poco tiempo después de su llegada, en febrero de 1650, a causa del carácter vigorosamente obstinado de la reina, la que exigió que Descartes le enseñase filosofía a una hora tan antifilosófica como son las cinco de la mañana. Regresemos al día 10 de noviembre de 1618 cuando Descartes se encontró con un grupo de gente que estaba arremolinada ante un cartel que se hallaba expuesto en la calle. El cartel estaba escrito en flamenco y él, dirigiéndose a una de las personas del grupo, le pidió que lo tradujera al latín o al francés. En el cartel se proponía un problema matemático y se instaba al público a que lo resolviera. La persona a quién se dirigió era Isaac Beeckman, uno de los matemáticos más eminentes del país. Descartes, resolvió el problema y entregó la solución a Beeckman, el cual no tardo en percatarse que estaba frente a un auténtico genio matemático y se propuso avivar el interés del joven por esta ciencia. El 26 de marzo de 1619 Descartes le escribe a Beeckman «acerca de una ciencia, enteramente nueva, que le iba a permitir resolver todos los problemas que se pueden proponer acerca de cualquier clase de cantidades, continuas o discontinuas, cada una de acuerdo con su naturaleza..., de forma que, en geometría, casi nada quedaría ya por descubrir» De esta manera Descartes anunciaba el descubrimiento de la geometría analítica o, como lo describiría muy acertadamente Voltaire, «del método que permite asignar ecuaciones algebraicas a las curvas» Se refería al método que usa el sistema de coordinación y de referencia, que tiene la forma de la cruz cristiana y que permite obtener las funciones continuas por coordinación de las variables que las definen. En el siglo XVII, Pierre de Fermat (1601-1665), contemporáneo de Descartes, había hecho el mismo descubrimiento de forma completamente independiente, pero por motivos desconocidos no lo desarrolló de manera completa. Sin embargo, Descartes no publicaría el suyo sino hasta el año 1637 cuando, en su ensayo Geométrie incluyó una exposición de los principios y de algunas de sus aplicaciones. En este texto Descartes nos ofrece la demostración de que las secciones cónicas de Apolonio

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se hallan todas contenidas en un único conjunto de ecuaciones cuadráticas, poniendo con ello de manifiesto el carácter general de su descubrimiento. Pero, en vista de que las secciones cónicas comprenden a las circunferencias de los antiguos astrónomos, a las elipses de Kepler y a la parábola utilizada por Galileo para describir la trayectoria de un proyectil, es claro que, con esta primera invención Descartes brindaba a los físicos una poderosa herramienta; sin ella, incluso Newton se habría visto severamente limitado. En el invierno de ese mismo año, Beeckman le propuso que encontrase la ley matemática que gobierna la caída libre de los cuerpos. Ninguno de ellos sabía que Galileo ya había resuelto el problema y cuya solución fue publicada en 1632 en su libro Dialogui. Descartes construyó un juego de soluciones basadas en diferentes hipótesis. Desgraciadamente ninguna de ellas estuvo en concordancia con el modo como caen realmente los cuerpos, pero esto no le preocupó en absoluto. Por aquel entonces aún no sabía conjugar el análisis matemático con la experimentación. La estructura esencial del contenido de la física y de la cosmología cartesianas descansan en las conclusiones revolucionarias que estableció poco después de haberse retirado a Holanda, en el año 1628. Fundamentó la posibilidad y la certeza del conocimiento en el hecho mismo del pensamiento. Este hecho elemental, aprehendido con suma claridad y distinción, se convirtió en su criterio para saber si algo era cierto o falso. Afirmaba que las “cualidades” de la filosofía clásica, aprehendidas por la simple sensación, no eran ni claras ni distintas. «Así pues, eliminé del mundo exterior todo salvo la extensión» Suponiendo audazmente con esto, que la res es el único aspecto mensurable de las cosas y, por tanto, su propia esencia. Esta división del mundo en dos ámbitos mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, el del entendimiento y el de la extensión, permitió a Descartes ofrecer lo que para él constituía una ciencia verdadera de la naturaleza. Así, la tarea de la ciencia consistía en deducir, a partir de estos primeros principios, las causas de todo lo que acontece, de la misma manera que en las matemáticas los teoremas se deducen de sus axiomas.

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Fue la ambiciosa amplitud del programa -ya que de hecho declara que la naturaleza física entera se puede reducir y ser comprendida por las leyes del movimiento- lo que confirió a Descartes su importancia científica y revolucionaria. El propio Descartes dio explicaciones, en términos de los movimientos de partículas de formas y tamaños diversos, de las propiedades químicas y sus combinaciones: gusto y sabor, calor y magnetismo. Trata del funcionamiento del corazón y del sistema nervioso como fuente de acción del mecanismo del cuerpo humano, y de muchos otros fenómenos que investigó por medio de experimentos algunas veces realmente ingenuos. La amplitud del programa conllevaba su propia perdición ya que no tuvo tiempo suficiente para poder abordar con suficiente rigor y de forma cuantitativa todas las cuestiones que se propuso. Por ello su física y cosmología son casi totalmente cualitativas. Se vio forzado a acudir a la especulación mucho más allá de lo que le permitía «el pequeño alcance de mi conocimiento», con lo cual consiguió lo que tanto temía: que lo que había producido, no fuese más que un bello «romance de la naturaleza» Su mayor fracaso tuvo lugar en el corazón mismo de su programa, en las propias leyes del movimiento. Por medio de un proceso de análisis puramente racional, había llegado a la conclusión de que la propiedad esencial de la materia era su extensión espacial. Puesto que, a priori, se excluían otras posibilidades, no dejó ningún lugar para la constatación empírica. Y entonces, a partir de esta base supuestamente sólida, procedió a construir un sistema de mecánica que dejaba fuera de todo análisis hechos importantes, especialmente aquellos que se hallaban relacionados con lo que llegaría a ser la noción newtoniana de “masa”. Su mecánica contiene ciertamente algunas conclusiones valiosas como, por ejemplo, la que se refiere a la conservación del movimiento y su enunciado de un principio equivalente al de inercia. Sin embargo, cuerpos geométricamente idénticos, si tienen masas diferentes, no se comportan de forma idéntica cuando colisionan o interactúan de otras formas. El tratamiento que Descartes dio a este tema resultó ser del todo incorrecto a causa de que el análisis precedente de la materia como mera extensión era así mismo erróneo. A fin de explicar cómo es que los planetas se mantienen en su órbita, Descartes

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propuso su famosa teoría en que la imperceptible materia del éter forma grandes torbellinos o vórtices alrededor del Sol y de las estrellas. Los planetas son transportados por el vórtice del Sol, al igual que una colección de barquichuelos de niños lo son en el estanque celestial, y la Luna se ve obligada a moverse alrededor de la Tierra por la misma causa. Lo más sorprendente es que Descartes no se preocupó en absoluto de comprobar si esta importante parte de su física se ajustaba o no a los hechos explicados por las leyes de Kepler del movimiento planetario. Sería Newton quién daría muerte a la famosa teoría de los vórtices de éter de Descartes. Él trató la teoría de los vértices como un problema serio de la dinámica de fluidos y la desmoronó completamente. La reputación que Descartes ha conseguido como mero especulador se debe, en gran medida, a los historiadores de la mecánica que han escrito bajo la influencia de la polémica con Newton. Pero, si pasamos de la mecánica de Descartes a su fisiología, podemos observarle en un ámbito de estudio en el que las hipótesis cualitativas en las que se sustentó para tratar las demás cuestiones le permitieron obtener resultados más dignos de él. Descartes moviéndose “centrífugamente” desde sus turbulentos principios centrales, logró apreciar la crítica de Pascal ( 1623-1662) y de Huygens (1629-1695) y darse cuenta de que su ideal matemático de deducción rectilínea chocaba frontalmente con la dificultad de poner en contacto principios generales abstractos con hechos particulares concretos. Con todo, en cuanto pensador científico positivo, quizá no fuese tan diferente de sus sucesores actuales. Su investigación abarca nada menos que las primeras causas y el significado de todo lo que acontece. Es indudable que la obra de Descartes cambió el rumbo evolutivo de las matemáticas; así, la geometría alcanzó una universalidad no conocida hasta entonces y prodigó las bases del cálculo diferencial, el descubrimiento inevitable de Newton y Leibniz. Descartes se vio impelido a su geometría analítica al adaptar sistemáticamente los símbolos algebraicos a la geometría retórica que aún estaba de moda. Aquellos ejemplos fueron expresados en fórmulas algebraicas, a fin de transmitir más rápidamente el sentido de las proposiciones al lector. Es en este momento en que

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nace su idea de expresar las leyes mediante fórmulas, de algebrizar la geometría. Su paso siguiente fue emprender la resolución del famoso problema apoloniano locus ad tres et quattuor lineas, expuesto por Papo. Se recordará que un punto se movía de manera tal que el producto de sus distancias oblicuas a ciertas líneas dadas era proporcional al de sus distancias a otras líneas. Aquí, lo primero que hace Descartes es dejar sentado el hecho de que la geometría plana es bidimensional. Así expresó todo lo perteneciente a la figura en términos de dos longitudes variables, x e y, junto a cantidades fijas. Esto dio, al mismo tiempo, una explicación algebraica a los resultados de Papo, los expresó en una forma actualmente tipificada como f(x,y)=0, una ecuación donde sólo x e y son de importancia fundamenta, ya que este resultado tiene como consecuencia ulterior de que una ecuación de este tipo puede ser considerada como la definición de y en términos de x. Al definir y como una función de x, hizo geométricamente mucho más de lo que la definición de Napier de un logaritmo había hecho dinámicamente. También dio una nueva significación al método de Arquímedes para el cálculo del área de una curva utilizando una abscisa ON y una ordenada NP; en la notación de Descartes, ON pasó a ser x, y NP, y. Así fue cómo enlazó la riqueza de la geometría apoloniana con lo que Arquímedes había descubierto. Descartes, al crear por primera vez en la historia de la ciencia el Sistema Coordenado de Referencia que ha inmortalizado su nombre, lo que realmente hizo fue crear el primer Espacio Matemático de Representación de la cultura occidental (EMROcc.), apto para el estudio generalizado de las funciones continuas y apropiado para describir los cambios de posición de las partículas. Por ello sólo permite representar el aspecto cuantitativo de la realidad, su estructura externa. Este sistema está definido en un espacio que tiene como unidad estructural al puntolímite, consiste pues en una totalidad compacta de estas unidades trascendentes que se extiende infinitamente. Si bien Descartes, al culminar la construcción del EMROcc con la creación de su sistema coordenado, merece todo el reconocimiento por esto, tuvo considerables dificultades para indicar su significación, no fue el único en el descubrimiento. Entre otros que llegaron a lo mismo se encontraba Fermat, otro de los grandes

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matemáticos franceses, un hombre con una imaginación matemática más profunda que Descartes. Pero Fermat estaba afectado de la nada recomendable costumbre de ocultar sus descubrimientos, causa por la cual su trabajo al respecto no llegó ha conocerse sino años más tarde. Antes de indicar algunas de las principales consecuencias de este nuevo método en geometría, debe mencionarse otros aspectos de la notación. La letra x se ha hecho mundialmente famosa; y fue el metódico Descartes quien primero implantó la moda de designar a las variables por x, y, z, y a las constantes por a, b, c. También introdujo los exponentes para designar productos reiterados del mismo factor, un paso de gigante que completó los perfeccionamientos en la notación que se originaron con Diofanto. Poco después siguió la fructífera indicación de exponentes negativos y fraccionarios; se debió a Wallis (1616-1716), uno de los primeros grandes matemáticos ingleses. También se dio un paso profundo en la clasificación cuando Descartes distinguió entre dos clases de curvas, geométricas y mecánicas, o, como Leibniz prefería denominarlas, algebraicas y trascendentes. La última designa una curva, tal como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación cartesiana no tiene grado finito. Recordemos que Apolonio había resuelto el problema que consistía en hallar la distancia mas corta desde un punto dado a una elipse dada, o a otra cónica. Descartes siguiendo este camino llegó al mismo problema general; ideó un método para determinar la línea más corta PQ, desde un punto P a una curva dados. Una línea así corta a la curva en ángulo recto en el punto Q, y a menudo se la denomina la normal en Q a la curva. Descartes tomó un círculo y convino en que el radio debía ser lo suficientemente largo para que el círculo tocara la curva. El punto donde tocaba a la curva le daba Q, el pie de la normal buscada. Su forma de obtener el radio adecuado era interesante, dependía de la resolución de cierta ecuación, dos de cuyas raíces eran iguales. El lector que se halle algo familiarizado con la geometría analítica y haya trazado la tangente a un círculo o a una cónica por el método de las raíces iguales, realmente ha utilizado el mismo principio general. Si Descartes hubiera hecho aquello, se le habría ocurrido utilizarlo para hallar una tangente a una curva, por ejemplo una línea PQ que toca

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a la curva dada en un punto Q. Éste es uno de los primeros problemas del cálculo diferencial; y una de las primeras soluciones fue hallada por Fermat, y no por Descartes. Fermat había descubierto cómo trazar la tangente a ciertos puntos de la curva, particularmente a puntos Q que se hallaran en la cresta de la curva. Eran puntos a una distancia máxima o mínima de cierta línea base fija, denominada el eje de las x. Al hacer esto, Fermat había seguido la sugerencia indicada por Kepler, relativa al comportamiento de una cantidad variable cerca de sus valores máximos o mínimos. Descartes, descubrió una curva muy interesante denominada óvalo cartesiano, que ha conducido a investigaciones de largo alcance, en geometría y en análisis. Fue hallada en una tentativa para mejorar la forma de una lente, de manera tal que condensara un haz de luz en un foco muy preciso. Si bien una lente de esta forma enfocaría adecuadamente un haz de luz con un ángulo abierto, si éste partiera de cierta posición particular la lente no tendría ninguna utilidad en los demás casos. Pero esto tiene un interés físico, además del matemático; pues el principio fundamental de su construcción es idéntico al que observó Herón de Alejandría en el caso de los espejos planos. Es el principio de mínima acción, expuesto de manera generalizada por Hamilton. Toda esta obra matemática no era sino parte de un amplio programa filosófico, que culminaba en la teoría de las vorticidades (turbulencias), con la cual Descartes intentaba explicar los movimientos planetarios. Así como Kepler había pensado en los cometas como peces vivos precipitándose a través de un mar celestial, Descartes imaginó a los planetas como objetos que se arremolinaban en amplios remansos. A Newton no sólo le restó señalar que esta teoría era incompatible con las leyes planetarias de Kepler sino también proponer una mejor solución. En filosofía, Descartes hizo un esfuerzo serio para erigir un sistema, de la única manera que llamaría la atención de un matemático: construyendo, primero sus axiomas y postulados. El hacer esto era un símbolo efectivo de una época, llena de seguridad en sí misma, después de los triunfos de Copérnico, Napier y Kepler. No podemos por menos de admirar la fuerza intelectual de un hombre que emprendió una revisión global de la filosofía y logró tanto. No obstante, le faltaron

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ciertas dotes, que podríamos creer indispensables para tener éxito en la empresa. Era frío, prudente y egoísta y presentaba un gran contraste con su contemporáneo, más joven, el matemático y filósofo Blaise Pascal. El método de Descartes es, en definitiva el resultado de su interés por las matemáticas. En el campo de la geometría, ya había mostrado cómo éste podía conducir a consecuencias trascendentales. Porque con el método analítico, era posible describir las propiedades de familias enteras de curvas por medio de simples ecuaciones. Estuvo convencido que el método, que tanto éxito había tenido en el campo de las matemáticas, podía extenderse a otros campos, permitiendo al investigador alcanzar la misma clase de certidumbre que experimenta cuando trabaja en el dominio de las matemáticas. El Discurso pretende mostrar cuáles son los preceptos que habremos que seguir con objeto de hacer buen uso de nuestra mente. En cuanto a la razón en sí sostiene que todos los hombres son iguales a este respecto, que tan sólo diferimos en que unos la utilizan mejor que otros. Pero el método es algo que sólo se adquiere practicándolo, por esto lo reconoce de manera implícita, ya que no desea imponernos un método sino más bien mostrarnos como él mismo ha utilizado con éxito su propia razón. La exposición tiene carácter autobiográfico y relata la temprana insatisfacción del autor con respecto a la charla insegura y no concluyente que se aprecia en todas las esferas de la vida social. De la filosofía dice que ningún criterio es tan absurdo, que no haya sido sostenido por alguien. Las matemáticas le impresionaron por la seguridad que brindan las deducciones, pero no alcanzó a ver todavía su uso adecuado. Dejó el estudio de los libros e inició sus viajes, pero descubrió que las costumbres diferían entre sí tanto como las opiniones de los filósofos. Al final, resolvió que debía mirar a su interior si quería descubrir la verdad. Observando que sólo una obra completamente acabada por un solo autor proporciona alguna satisfacción, decidió rechazar todo lo que le habían enseñado y que había tenido que aceptar al fiado. Unicamente la lógica, la geometría y el álgebra quedaron en pie, y de ellas extrae cuatro reglas. La primera consiste en no aceptar nunca nada, salvo ideas claras y distintas. En segundo lugar, debemos

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dividir cada problema en tantas partes como sean necesarias para resolverlo. En tercer lugar, los pensamientos deben seguir un orden de lo simple a lo complejo, y allí donde no exista orden hemos de suponerlo. O sea que seguirá un proceso de carácter integrativo, equivalente a la determinación de las funciones a partir de las variables. La cuarta regla establece que siempre hemos de comprobar meticulosamente todas las cosas para asegurarnos de que no se ha pasado nada por alto. Este es el método que utilizó Descartes para aplicar el álgebra a los problemas geométricos creando así lo que ahora llamarnos geometría analítica. En cuanto a su aplicación a la filosofía, pensó que debía posponerlo hasta que fuese un poco más viejo. Con respecto a la ética nos topamos con un dilema. Es la última en el orden de las ciencias, pero en la vida tenemos que adoptar decisiones inmediatas. Por tanto, Descartes adopta un “código provisional de conducta”, que, con un criterio pragmático, le proporcionará las mejores condiciones de existencia. En consecuencia, decide respetar las leyes y costumbres de su país y permanecer fiel a su religión; actuar con determinación y perseverancia una vez que haya adoptado una línea de conducta, y, finalmente, esforzarse por dominarse a sí mismo más que tentar a la fortuna, así como adaptar sus deseos al orden de las cosas más que obrar a la inversa. A partir de entonces decidió dedicarse a la filosofía. El método le conduce a la duda sistemática y, repitiendo el temerario supuesto de Thales, nos dice que la evidencia que nos entrega los sentidos es insegura y debe ser puesta en tela de juicio. Hasta las matemáticas, aunque menos cuestionables, deben ser objeto de sospecha, ya que Dios podría estar extraviándonos de manera sistemática. En definitiva, lo que debe admitir que duda es su propia actitud dubitativa. Esta es la base de la fórmula cartesiana fundamental: «Pienso, luego existo» Él consideró que en ella radicaba el punto de partida, claro y distinto, de la metafísica. Y concluye que él es un ser pensante, en total independencia de las sustancias naturales, y, en consecuencia, igualmente independiente del cuerpo. Pasa después a la existencia de Dios, y repite esencialmente la prueba ontológica. Puesto que Dios es la verdad, no puede engañarnos respecto a la claridad de nuestras propias ideas. Puesto que tenemos tal idea de los cuerpos, o

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extensión, como dice él, significa que existen. Luego viene un esquema de las cuestiones físicas en el orden en que habrían sido expuestas en el tratado no publicado. Todo se explica en función de la extensión y su movimiento. Esto se aplica incluso en biología, y nos explica la circulación de la sangre diciendo que el fenómeno se debe a que el corazón actúa como un calentador, que expande la sangre que penetra en él. Naturalmente, como esto estaba en desacuerdo con las observaciones de su contemporáneo Harve, dio lugar a una viva controversia. Pero, volviendo al Discurso esta teoría mecánica lleva a adoptar el punto de vista de que los animales son autómatas, carentes de alma, lo cual, por otra parte, se supone desprenderse del hecho de que no hablan y, por consiguiente, deben carecer de razón. Esto refuerza el criterio de que el alma humana es independiente del cuerpo, y, puesto que no hay otras fuerzas destructivas, nos lleva a la conclusión de que es inmortal. Finalmente, el Discurso alude al juicio contra Galileo y discute la conveniencia de publicar o no publicar. Al final, el compromiso consiste en publicar el Discurso y los tres ensayos de los cuales constituye el prefacio. He aquí una síntesis del mensaje del Discurso, trazada en función de los principios de la filosofía cartesiana. Lo importante de esta doctrina, por encima de todo, es el método de la duda crítica. Como procedimiento, conduce a un escepticismo universal, como le ocurrió posteriormente a David Hume (1711-1776) Pero Descartes se salva de la conclusión escéptica por sus ideas claras y distintas, que él encuentra en su propia actividad mental. Las nociones generales como la extensión y el movimiento, siendo dependientes de los sentidos, constituyen para Descartes ideas innatas, cualidades que a su vez son los componentes últimos del genuino conocimiento. La percepción sensorial pertenece a las cualidades secundarias como el color, el gusto, el tacto y demás, pero estas cualidades no están realmente en las cosas. En las Meditaciones, nos presenta el famoso ejemplo del trozo de cera y sus aspectos cambiantes para ilustrar este punto. Lo que permanece constante en todos los casos es la idea innata de extensión, conocida por la mente. La filosofía cartesiana considera, pues, a los pensamientos como los indudables puntos de partida, y ello ha influido desde entonces en la filosofía europea, tanto

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en el campo racionalista como en el empírico. Esto sigue siendo verdad, aun cuando la fórmula «Pienso, luego existo», en la que se basa este desarrollo no sea suficientemente sólida. Porque la afirmación es plausible sólo si admitimos una oculta presuposición: que el pensar es un proceso autoconciente. De otro modo, igualmente podríamos decir: «Ando, luego existo», ya que si ando, es cierto que tengo que existir. Esta objeción la presentaron Hobbes ( 1558-1679) y Gassendi. Pero, naturalmente, yo puedo creer que ando cuando en realidad no estoy andando, mientras no podría creer que pienso si de hecho no estuviese pensando. Es esta autorreferencia, que se supone ocurre en el proceso de pensamiento, lo que confiere a la fórmula su carácter aparentemente indubitable. Suprímase la autoconciencia como hizo Hume, y el principio desaparece. Sin embargo, queda en pie la verdad de que nuestras propias experiencias mentales comportan una peculiar seguridad no compartida por otros hechos. Profundizando el antiguo dualismo entre mente y materia, la filosofía cartesiana situó en primer término el problema que semejante teoría debe abordar lo referente a las relaciones entre la mente y el cuerpo, ya que los mundos material y mental parecen ahora discurrir por sus distintos cauces, contenidos en sí mismos y regidos por sus propios principios. En particular, resulta imposible sostener, desde semejante punto de vista, que operaciones mentales como la de la volición puedan alguna vez afectar al mundo físico. El mismo Descartes hizo aquí una excepción, admitiendo que el alma humana pedía alterar el movimiento de los espíritus vitales en cuanto a la dirección, aunque no con respecto a la cantidad. Sin embargo, esta salida artificial se hallaba en desacuerdo con el sistema. Además, no coincidía con las leyes del movimiento. Acto seguido sus seguidores le abandonaron y sostuvieron que la mente no puede mover al cuerpo. Para explicar la relación existente entre ambos, dijeron que hay que suponer que el mundo esta preordenado de tal modo que, siempre que se produce cierto movimiento corporal, lo que pasa por el oportuno concomitante mental sobreviene de hecho en el mismo momento en la esfera mental, sin que exista una conexión directa.

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Sea cual fuere el punto de vista que se adopte, no se acomodaba a los principios cristianos, principalmente al libre albedrío y por ello no es sorprendente que las obras de Descartes hayan tenido reservado un puesto seguro en el Índice de los libros prohibidos. Al final, el rígido determinismo de la explicación cartesiana del mundo material, tanto físico como biológico y la física newtoniana determinaron el carácter del materialismo de los siglos XVIII y XIX. El dualismo cartesiano es en suma, el resultado de una concepción completamente convencional del problema de la sustancia, en el sentido técnico en que los escolásticos utilizaron el término. Una sustancia es una totalidad portadora de cualidades, pero en si misma es independiente y permanente. Descartes, reconoció la materia y la mente como dos sustancias diferentes que, siendo cada una de ellas autosuficiente, no pueden actuar entre sí en modo alguno. Por tanto, tendrá que tratarse a cada mente como una sustancia propia e independiente. Moviéndose en esta dirección, Leibniz, con su teoría de las mónadas, desarrolló una teoría en la que las sustancias son infinitamente numerosas, todas independientes, pero coordinadas. Lo alternativo sería retornar al punto de vista de Parménides y sostener que no hay sino una sustancia. Este último camino fue el que emprendió Espinosa, cuya teoría constituye quizá el más consecuente e inflexible monismo que se haya elaborado jamás, escrito al modo de los Elementos de Euclides, como un sistema lógico-deductivo. Ahora podemos ver con más claridad cómo, en los tiempos de Descartes, la necesidad histórico-social de disponer de un sistema de referencia absoluto que sirva de ordenador de la vida de los hombres, explica por qué la ocurrencia iluminada de concebir dicho sistema tuvo íntima relación con la geometría del sagrado símbolo cristiano, la cruz. O sea, todas las condiciones estaban dadas para que en la mente de Descartes brotara, como si fuese una iluminación o un prodigio, el sistema que permitía coordinar las ideas a partir de sus componentes más elementales. Aquel que proyecta imágenes en la mente que son independientes de los sentidos, se trata de imágenes virtuales. Ahora el EMROcc estaba completo, por primera ocasión occidente disponía de un dispositivo intelectivo con la prodigiosa propiedad de revelar la forma del

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movimiento de un sistema de partículas dado. Como por ejemplo el sistema Solar. En el cual, para estudiar sus trayectorias tendremos que, por exigencia inapelable, considerar a los planetas como si fuesen puntos-límite, sin estructura interna, tal cual exige la estructura del espacio de representación utilizado. Sólo restaba desarrollar un método capaz de calcular directamente las funciones que caracterizan el EMROcc.

1. 3 3 Isaac Newton y el modelo mecánico del mundo «Hay algo de lo que Newton es responsable (y con él la ciencia moderna en general ). Se trata de la división del mundo en dos partes. He dicho que la ciencia moderna había destruido las barreras que separaban los cielos de la Tierra, que ha unido y unificado el universo. Eso es cierto. Pero, también lo he dicho, esto lo ha conseguido sustituyendo nuestro mundo de calidades y de percepciones sensibles, mundo en el que vivimos, amamos y morimos, por otro mundo: el mundo de la cantidad, de la geometría deificada, un mundo en el que cabe todo excepto el hombre. Y así, el mundo de la ciencia - el mundo real- se aleja definitivamente del mundo de la vida que la ciencia ha sido incapaz de explicar. De hecho, estos dos mundos se unen cada día más por la praxis pero están separados por un abismo en lo que a la teoría se refiere. En esto consiste la tragedia del espíritu moderno que sabe resolver el enigma del universo, pero sólo a costa de reemplazarlo por otro enigma: el enigma de sí mismo» A.Koiré, Estudios Newtonianos

Si pudiésemos regresar en el tiempo, a la época en que ocurrió la muerte del revolucionario Oliverio Cromwell, en la región cercana a Grantham podríamos ver a un niño jugar de una manera curiosa. De espaldas al viento, da un salto largo. Luego se vuelve de cara al viento, y da otro salto, no tan largo como el primero. Luego mide cuidadosamente ciertas distancias y así averigua la fuerza del viento. El niño es Isaac Newton y un día logrará medir la fuerza de la gravedad que impulsa a un planeta en su órbita. Siendo aún niño, su madre lo sacó de la escuela de Grantham para que vigilara las ovejas y fuera regularmente al mercado. Pero como estudiaba matemáticas en lugar de atender su negocio decidieron devolverlo a la escuela, y de la escuela al colegio. En la escuela, se hospedó con el farmacéutico “mister Clark”, y paso mucho tiempo en ese alojamiento construyendo toda clase de ingenios. En su habitación había cuadros y pinturas hechas por él, retratos, barcos y dibujos de 117

pájaros y otros animales. En otro lugar de la casa puede verse un reloj accionado por agua y un molino que tenía un ratón por molinero. Hizo un carro que era impulsado por el pasajero, y un reloj de sol, que estaba colocado en el patio. Era un buen amigo de las damitas de la casa, y fabricaba mesas y sillas para sus mucamas. Sus compañeros de colegio le consideraban un mecánico experto, sin saber aún que era la encarnación misma de la mecánica. Cuando llegó al colegio mostró ser algo perezoso, pero una pelea que tuvo un día lo despertó, y, a partir de entonces ya no fue él mismo e hizo grandes progre sos. Este niño tranquilo era portador de grandes cualidades, que se manifestarían más tarde. Al cumplir los veinte años fue a Cambridge, al Trinitv College, donde vivió hasta cumplidos los cincuenta. El ingreso lo hizo como becario, pues, al ser demasiado pobre no podía vivir a la manera de los no graduados. En cierta ocasión su tutor le invitó a dar una clase leyendo la Óptica de Kepler. Sin pérdida de tiempo adquirió una copia del libro, y pronto sorprendió a su tutor al mostrar que dominaba completamente el contenido del texto. Luego siguió un libro de astrología; pero éste contenía algo que le confundía. Era un grabado de los cielos. Creía que, para comprender el diagrama, primero debía entender la geometría. Por tanto, compró los Elementos de Euclides, pero se desilusionó al encontrarlo demasiado sencillo y lo desdeñó, pero más tarde tuvo que arrepentirse. Al volver su interés hacia la obra de Descartes encontró a su verdadero contrincante y, luchando paciente y constantemente, le ganó la contienda. Isaac Newton continuó aprendiendo, aun después de graduarse, todas las matemáticas y filosofía natural que podía enseñarle Cambridge, y descubriendo por si mismo cosas nuevas, hasta que el Lucasian Professor de matemáticas de la universidad se convenció tanto del genio de este hombre joven que, por increíble que parezca le cedió su profesorado. Fue Isaac Barrow quién se resignó de este modo. Fue un matemático que no tuvo cualidades importantes, pero como teólogo ganó considerable reputación. Newton hizo tres célebres descubrimientos: uno en matemáticas, uno sobre la luz

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y uno en astronomía. Fueron preparados a lo largo de un proceso de profundo estudio. «Mantengo -decía- el objeto de mi investigación constantemente presente, y espero hasta que la alborada se abra gradualmente, poco a poco, en una luz clara y total» En los albores mismos de su carrera descubrió, al descomponer un rayo de luz solar y hacer que los rayos separados llegaran a una pantalla formando una cinta en arco iris, que la luz blanca estaba compuesta de siete colores básicos. Este descubrimiento tuvo lugar gracias a la imperfección de las lentes de los telescopios que se fabricaban entonces. Intentó subsanar el defecto inventando un telescopio reflector, con una lente que ocupara el lugar de la lente principal, porque creía que los espejos no producían esta aberración de las lentes. Uno de sus distintivos, compartido con Arquímedes y otros gigantes intelectuales, es la excelencia de su propio trabajo manual. En la capilla de su colegio existe una estatua con esta leyenda: «Newton, con su prisma y su rostro impasible; la señal en mármol de una mente que viaja sola y para siempre, a través de extraños mares de pensamiento» En matemáticas, su descubrimiento más portentoso y famoso fue el cálculo diferencial e integral, que lo nombró método de fluxiones, y en astronomía, la concepción y elaboración de la gravitación universal. Estos trabajos estuvieron tan entrelazados, tan ínter penetrados entre sí, que cada uno reforzaba al otro. A los veintitrés años de edad, cuando el colegio fue cerrado a causa de la peste bubónica de los años 1665 y 1666, regresó a su tranquilo hogar campesino donde estableció los principios de la gravitación y, para manipular mejor las intensas dificultades matemáticas que implicaban, trabajó en el cálculo diferencial. Tres años después de su primera lectura de geometría, dominaba tan bien el campo de las matemáticas, desde Arquímedes a Barrow, que había transformado su maravillosa geometría infinitesimal en una disciplina sistemática, dando al análisis la misma universalidad que había dado Descartes a la geometría. El prodigio de Newton consistió en configurar un solo enfoque, a partir de los puntos de vista de Napier y Descartes. Recordemos que por su lado Napier consideró puntos P y P’, móviles a lo largo de dos rectas paralelas OX y OY,

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moviéndose P con velocidad variable y P’ con velocidad constante. En cambio las coordenadas de Descartes mejoran notablemente la representación ya que proporcionan un plano del recorrido del siguiente modo: las líneas OX y OY pueden situarse, no ya paralelamente, sino perpendicularmente, y puede dibujarse la curva trazada por un punto Q, que se halle simultáneamente al nivel de los puntos M y N. De esta forma pueden trazarse dos figuras, la neperiana y la cartesiana. Las figuras son expresión de dos líneas de pensamiento: el de la cinemática y el geométrico. Tal vez Newton no haya trazado nunca realmente tales figuras, una junto a otra, pero, ciertamente, tuvo los dos órdenes de pensamiento. «Caí gradualmente en el método del cálculo diferencial», señala, y por diferenciales se refería, simplemente, a lo que nosotros llamamos velocidades instantáneas de los puntos P y P’. Luego ideó, al intentar comparar la velocidad de P con la de P’, el método que sugiere la figura geométrica. Descubrió lo que nosotros llamamos cálculo diferencial e integral, pero lo guardó bastante tiempo sólo para sí. En años posteriores, Leibniz anunció que él había descubierto este nuevo método matemático. Entonces surgió una disputa que, como todos sabemos, tuvo repercusiones internacionales. En este ámbito del pensamiento se enfrentaron los seguidores de Newton y los seguidores de Leibniz, Inglaterra contra Alemania. Creo que basta decir que el momento histórico estaba maduro para tal descubrimiento; y tanto Newton como el filósofo alemán estaban suficientemente dotados para efectuarlo. Newton fue el primero en hacerlo y sólo se procuró malos ratos al abstenerse de publicar sus resultados, pues cayó victima de su propio egocentrismo. También es muy probable que Pascal y Barrow hayan influido sobre Leibniz más que el propio Newton. Este hecho resultó ser de mucho provecho pues Leibniz, a cambio, nos entregó escritos de partes de la obra de Pascal que, de otra manera, se habrían perdido para siempre, dicho sea de paso. En esta época fue fundada por el rey Carlos II la Royal Society de Londres. Ésta se correspondía con la Academia de París, y proporcionaba un lugar de reunión para los matemáticos y filósofos naturalistas más importantes del país. Gregory y Newton, que se habían hecho amigos a través de su interés común por el

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telescopio reflector, fueron dos de los miembros de esta sociedad. Además de mantener una correspondencia, es posible que realmente se encontraran. De hecho, se pusieron en contacto con otros matemáticos y astrónomos importantes, como Robert Hooke y Edmund Halley. Cuando

Newton

descubría

algo,

Hooke,

generalmente,

señalaba:

«Es

precisamente lo que yo descubrí antes» Pero fue un gran inventor, cuyas intrépidas especulaciones estimularon a la gente a que pensara sobre las cuestiones que Newton resolvería. Halley fue un astrónomo muy activo, siempre estaba viajando por el mundo para alimentar a su ciencia. El descubrimiento del cometa que lleva su nombre puso a prueba la teoría de gravitación de Newton, motivo por el cual tuvo el honor de presentarlo ante el mundo como el descubridor de la gravitación. El paso decisivo en busca de la gravitación universal se dio entre 1679 y 1680 cuando Hooke introdujo a Newton en un nuevo modo de analizar el movimiento de un cuerpo a lo largo de una trayectoria curva. Hooke pudo observar que el movimiento de un cuerpo que gira tiene dos componentes: una inercial y otra centrípeta; esto es, dirigida hacia el centro. La inercial tiende a lanzar el cuerpo a lo largo de una recta tangente a la curva descrita, mientras que la componente centrípeta aparta continuamente el cuerpo de esa trayectoria rectilínea inercial. En una órbita estable, como la de la Luna, ambas componentes se hallan combinadas de forma que la Luna ni se aleja siguiendo un camino tangencial, ni se acerca a la Tierra describiendo una espiral. Descartes y Huygens habían analizado el movimiento curvilíneo en función de la fuerza centrífuga. Pero equivocaron el enfoque, ya que la ilusión de una fuerza centrífuga surge siempre que se observa el objeto desde un sistema de referencia en rotación. Así fue cómo el análisis “centrífugo” fijó su atención en el objeto en rotación, cuya tendencia a apartarse del centro parece no tener nada que ver con las propiedades del cuerpo central. Por el contrario, el concepto de fuerza centrípeta atiende al cuerpo central, hacia el cual es impulsado o traído el objeto que gira. Con este cambio de perspectiva, de fuerza centrífuga a fuera centrípeta, se llegó ha apreciar de correcta manera el papel que desempeña el cuerpo central. Por consiguiente resulta obvio esperar que la interacción entre el cuerpo

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central atrayente y el objeto circundante atraído haya desempeñado un papel crucial en el descubrimiento de la gravitación universal. Pero, Descartes, Newton y Huygens estaban tan determinados por el concepto centrífugo, que todas las implicaciones de la física inercial no les resultaban obvias. Hooke escribió a Newton el 24 de noviembre de 1679 que hay que «componer los movimientos celestes de los planetas a partir de un movimiento rectilíneo a lo largo de la tangente y un movimiento atractivo, hacia el cuerpo central» En esta misma carta Hooke aventura sugerirle que la fuerza centrípeta hacia el Sol varía en razón inversa del cuadrado de la distancia. Para Newton esta frase fue una suerte de boya salvavidas que le permitió escapar del vórtice cartesiano. Pasó el tiempo y un día Halley decidió ir a Cambridge y consultar a Newton: «Si un planeta fuera atraído por el Sol con una fuerza que varía inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos ¿qué tipo de curva recorrería el planeta?.» Newton respondió, para gran asombro y alegría de Halley: «Una elipse. ¿Cómo sabe esto?. Porque lo he calculado. ¿Dónde están los cálculos?» Debían estar en algún lugar entre sus papeles, los buscaría y se los enviaría. Resultó que Newton lo había desarrollado mucho antes, y sólo de esta forma casual la cuestión pasó a conocimiento del mundo. Entonces Halley convenció a su modesto amigo de que desarrollara todo el problema, explicando todo el complicado sistema del movimiento planetario. Newton lo hizo y fue una tarea enorme, que lo tomó cerca de tres años y cuyo producto final fue el famoso libro titulado Los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural o, más brevemente, los Principia, una de las realizaciones supremas del intelecto humano. Según el modelo mecánico del mundo que surgiría de aquí se decía que todo lo que aconteció y acontecerá en el universo está prefigurado en sus Principia. Tal fue la importancia del libro, que atrajo enseguida la atención no sólo en Inglaterra, sino en toda Europa. Era una obra maestra tanto de matemáticas como de filosofía natural. La parte más sorprendente no fue tanto la concepción de que el Sol atrae al planeta, sino la de que el planeta atrae al Sol y lo que es más sorprendente aún, ¡lo atrae con la misma fuerza!. Y de que todo el universo está lleno de cuerpos que caen; y todo atrae a todo lo demás; literalmente todo, hasta la más diminuta mota de polvo. Los

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amigos de Newton, al estudiar el efecto de la atracción solar sobre un planeta, habían conjeturado correctamente que la fuerza buscada está determinada por lo que se denomina la ley de la inversa del cuadrado. Newton ya había adoptado esta ley para la fuerza en sus primeras hipótesis, durante las largas vacaciones de 1666, más de veinte años antes de la publicación de los Principia, que fue en 1687. A ésta fecha corresponde también la conocida leyenda de la manzana. Se dice que la visión de una manzana que caía puso en movimiento el pensamiento que condujo a Newton a su descubrimiento de la gravitación universal ( aunque, más bien, la imagen de campo gravitatorio estuvo nítidamente sugerida en la de campo magnético, cuando se hace visible al esparcir finas limallas de hierro sobre un papel que está en la cercanía de un imán )

Pero,

después de elaborar las consecuencias matemáticas de su teoría y de haberlas encontrado en desacuerdo con los hechos observados, había echado sus papeles a un lado. Sólo después de muchos años tuvo conocimiento de cálculos posteriores y más cuidadosos de las observaciones. Esta vez, para su satisfacción, se ajustaban a su teoría matemática y por esto Newton tenía a punto su respuesta cuando Halley le hizo la memorable pregunta. En los Principia, Newton demostró que si su ley de la gravitación se aplica universalmente, es capaz de describir todos los movimientos celestes. No se pudo probar la verdad del asunto, pues en aquel tiempo no se conocían todos los movimientos celestes. Casi todos los que se han descubierto a partir de entonces contribuyen a probar que estaba en lo cierto, pero no de manera absoluta. Así por ejemplo, la Luna se niega a girar en torno a la Tierra según una elipse exacta, y tiene toda clase de pequeños recorridos caprichosos que le son peculiares. Este fue el motivo por el que la Luna le resultó muy molesta a Sir Isaac. El gran libro de Newton estaba en latín, y fue redactado al estilo de los Elementos de Euclides, a fin de hacerlo comprensible para los hábitos de pensamiento a la sazón vigentes. Newton había elaborado, desde luego, la matemática mediante el concepto de fluxión o derivada, pero prefirió lanzar el principal descubrimiento gravitacional solo, para no confundir más a sus lectores con el uso del nuevo método. Fuera de su cátedra de Cambridge, no se supo de sus demás realizaciones matemáticas. Su Arithmetica Universalis fue publicada en 1707, y

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otras obras importantes sobre álgebra y geometría aparecieron, aproximadamente en la misma época. Newton imprimió la impronta de su genio en todas las ramas de la matemática que topó; en realidad existen pocas partes que escaparon a su atención. Ya se ha mencionado su trabajo en interpolación y álgebra. Puede juzgarse el valor de sus métodos por un célebre teorema, que formuló sin demostrar, para determinar las posiciones de las raíces de una ecuación. Transcurrieron unos ciento cincuenta años antes de que Silvestre( 1814-1897) descubriera cómo demostrar su teorema. La publicación de los Principia obligó a Newton a abandonar su vida retirada. En 1689 fue nombrado miembro del Parlamento, y pocos años mas tarde jefe de la Casa de la Moneda. En 1705 fue ennoblecido como caballero por la reina Ana. Murió en 1727, a los 85 años, y fue enterrado en la abadía de Westminster. Voltaire expresó su orgullo de haber vivido durante algún tiempo «en un país donde se entierra a un profesor de matemáticas, sólo porque fue grande en su vocación, como a un rey que ha hecho el bien a sus súbditos» Esto era de esperar pues la monarquía recibió de su obra muchos beneficios, como el de haber construido un modelo del mundo de carácter absoluto, ideológicamente favorable al gobierno de la nobleza y de la Iglesia Católica. Los científicos se manifestaron muy tarde a rendirle pleitesía a Sir Isaac, fueron doscientos años más tarde, en 1927, cuando el mundo matemático inglés hiciera una primera peregrinación a Grantham para manifestar su respeto y admiración por el genio de Newton. No obstante, el evento pone en evidencia de que la enorme reputación que siempre disfrutó, era totalmente merecida. Es importante mencionar la relación de Newton con el gran filósofo natural danés Huygens (1629-1693), que se hallaba en estrecho contacto con los científicos de Inglaterra y que hizo mucho para estimular sus maravillosos progresos. Fue un potentado astrónomo que construyó su propio telescopio y descubrió la galaxia más cercana a la nuestra, Adrómeda. Su propio trabajo en física es tan importante, que sus matemáticas suelen ser pasadas por alto. Logró muchos resultados elegantes en las aplicaciones del cálculo diferencial a la descripción de fenómenos mecánicos como las oscilaciones de un péndulo, la forma de una cuerda colgante,

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y otros parecidos; pero, es más conocido por su teoría ondulatoria de la luz. Esta teoría ha llegado a ser un hito en la historia de la física, y es particularmente interesante porque dio gran relieve a la gravitación universal de Newton. Newton creía que la luz estaba formada por minúsculas partículas, que fluían rectilíneamente; Huygens, por el contrario, supuso que la luz se propagaba por ondas. Las consecuencias han mostrado que de estas teorías rivales la última es la más valiosa. No sólo proporcionó un nuevo enfoque para los problemas ópticos, sino que también solucionó muchas cuestiones de la teoría electromagnética. Los fenómenos naturales iban siendo descritos, uno a uno, por esta teoría ondulatoria general, pero la gravitación presentó una resistencia al parecer insalvable. Este comportamiento no ondulatorio de la gravitación, esta aparente acción a distancia, lamentablemente confundió a Newton mucho antes de que estos casos posteriores de fenómenos hicieran del movimiento ondulatorio el más verosímil, el más acercado a la realidad. Por supuesto que estos hechos no dejaron el campo libre para que la teoría ondulatoria reinara de manera absoluta y despótica. Otras dificultades se fueron presentando y reuniendo tranquila y discretamente, y no tardaron en hacer aparición motivos en favor de la teoría corpuscular de la luz de Newton, cuando Einstein lograba dar una explicación para el fenómeno fotoeléctrico, introduciendo la noción de fotón o partícula de luz. Hasta el presente ninguna de las dos ha cedido ni un palmo de su terreno a favor de la otra. La obra de Newton y Huygens, ha quedado plenamente realizada en la teoría cuántica y en la mecánica ondulatoria. El espacio concebido como el recipiente que contiene a todos los objetos del mundo es característico de la física de Newton y en ésta alcanza, a no dudarlo, su mayor lustre. El espacio se considera como el escenario donde transcurren los procesos físicos, un escenario que existe independientemente de la materia, eternamente igual e imperturbable. Es el soberbio concepto de espacio absoluto. La implantación de este concepto fue una reacción portentosa a la relatividad de Galileo. Me pregunto, ¿cómo fue posible que se produjese a pesar del poder persuasivo de la argumentación galileana, que puso en tela de duda el concepto

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de “espacio absoluto” ? ¿Cómo fue posible que el “espacio absoluto” renaciera de las cenizas tras la crítica galileana a Aristóteles? Para preguntarlo más sueltamente todavía: ¿de qué artimaña se valió Newton para conseguir superar a Galileo en una batalla librada sin su presencia? Con frecuencia se tiende a asumir, con ligereza, que entre Galileo y Newton hubo una continuidad o una hermandad de pensamiento, a través de la cual se habría conformado el paradigma de la física renacentista. Así, se ha enfatizado su interés recíproco y complementario en el estudio de la gravitación. O se los ha presentado como las eminencias capaces de haber elucidado el comportamiento inercial de los cuerpos. Pero lo que puede ser cierto en lo que respecta a la teoría de la gravedad, no lo es en lo que respecta a la de la inercia. Pues, la física de Galileo es, ante todo, la física de la caída de los cuerpos. En ella no hubo una preferencia por el estudio del movimiento inercial, el cual fue por primera vez conceptualizado y estudiado, a la manera axiomático-deductiva, por la física de Newton, al ser formulada la ley de la inercia, aquella que establece que todo cuerpo entregado a sí mismo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme. Con la introducción de esta ley, y en lealtad con el espíritu pitagórico de trascender el mundo de las apariencias, pudo Newton restablecer el espacio absoluto. Resulta paradójico, puesto que del movimiento inercial se extrae precisamente una noción de espacio relativo... Este espacio relativo es concebido por Newton como una medida sensible del absoluto, una medida que tiene para él un valor de simple apariencia y una característica plebeya, frente a la realidad matemática y verdadera del espacio absoluto. Por lo qué, no deja de parecer arbitraria la intromisión del espacio absoluto en la física de la inercia. Newton sostuvo todo lo contrario, pues sólo presuponiendo un espacio absoluto puede ser justificada la ley de la inercia. Ya que, ¿con respecto a qué cosa es concebible un estado de permanente reposo?. Sin embargo, no tuvo a su alcance la manera, en el movimiento inercial, de encontrar evidencias del espacio absoluto.

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Precisamente fue esta imposibilidad lo que llevó a Newton a interesarse por el estudio de la dinámica. Como bien se conoce, él adujo en calidad de prueba del movimiento absoluto, y por tanto del espacio absoluto, la existencia de “fuerzas centrífugas” internas en un recipiente en rotación ( su famoso experimento del “balde”) Se ve claro en esta evolución del pensamiento de Newton, la realización de su programa intelectual: restituir, lógica y ontológicamente, el absoluto espacial. Pero, ¿cuál pudo haber sido la poderosa “fuerza” que lo impelió tenazmente, a lo largo de su vida intelectual, con este propósito? ¿Por qué esta extrema y aristocrática reacción de Newton a la relatividad de Galileo? Una respuesta satisfactoria fue encontrada por Max Jammer y dada a conocer en su magnífica obra Conceptos de espacio, que es el primer estudio epistemológico sobre los conceptos de espacio utilizados en la física y la filosofía, razón de sobra como para haberle interesado vivamente a Albert Einstein (1879-1955) en sus últimos años de vida, y como para haber llegado a ser, con tan meritorio antecedente, la obligada fuente del saber actual sobre tal materia. En esta obra, Max Jammer puso en claro que aquel interés de Newton estuvo cautivo del afán por demostrar la existencia de Dios, empresa que, al parecer, fue un resultado de la influencia ejercida por reputados cabalistas ingleses sobre el genio de Woolsthorpe. Lo cual contradice lo que todos sabemos, esto es, que Newton separó perfectamente los dos campos: el teológico y el científico. Tanto así que dejó exclamar «yo no hago hipótesis», aserto que condensa su oposición a mezclar física con metafísica. Sin embargo, tuvo para sí que «la verdadera filosofía natural constituye un apoyo para la religión verdadera» Aparece evidente que el concepto de espacio fue una clara excepción a esa prevenida actitud mencionada. No otra cosa se desprende de la definición newtoniana de espacio absoluto, como él «sensorio de un ser incorpóreo, vivo, inteligente, capaz de ver en toda su intimidad las cosas, de percibirlas en profundidad,

de

comprenderlas

íntegramente

en

la

inmediatez de

sus

presencias», que parece más sentencia de teólogo que aseveración de físico; identificación de Dios con el espacio, a partir de la cual quedó firmemente restablecido el vínculo de la ciencia con la religión, que la polémica desatada por

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el “caso Galileo Galilei” había hecho saltar por los aires de la recíproca intolerancia. ¿Esta identificación de Dios con el espacio fue una inédita propuesta de Newton o él se limitó a brindarle una resonancia “científica”? Su origen se encuentra en la religión judía, exactamente en el punto en que un adecuado o consecuente desarrollo de la idea monoteísta, le condujo a sostener la “omnipresencia Divina”, la idea de que Dios existe y está presente aquí y allá, en todas partes y al mismo tiempo. Esta noción se esparció y prosperó en los cenáculos intelectuales de la Europa renacentista, a través de las enseñanzas de la cábala, cuya irrupción en el panorama de la ciencia europea se decidió al producirse la caída de Constantinopla, una vez que connotados sabios griegos y judíos encontraron refugio en Italia. En lo que a Newton respecta, estas influencias le llegaron de su profesor de Cambridge, Joseph Mede, de la filosofía natural de Gassendi, de su maestro Isaac Barrow y, sobre todo, de Henry More, dirigente espiritual del Christ’s College y uno de los principales divulgadores de las ideas cabalísticas y neoplatónicas. Es muy extraño que esta conclusión de la necesaria ubicuidad Divina no hubiese generado un temprano desarrollo panteístico entre exponentes y defensores de la religión judía. No obstante se produjo, y el mérito corresponde a Nicolás de Cusa y, especialmente, a Baruch Espinosa, en cuya obra se incluye no sólo a la extensión como un atributo de Dios -tal cual había pensado Henry More- sino también a la materia. La imagen espinosiana de la naturaleza, una naturaleza en la que Dios está difundido, es la de un mundo de objetos en interacción causal, susceptible de comprenderse a través de la geometría. Y aquí, con Espinosa, estamos situados en los prolegómenos del concepto de espacio que rivalizó con el de Newton: el espacio definido como la red de relaciones entre los cuerpos, concepto que Leibniz sería el encargado de caracterizar y defender ante Newton, con resultados favorables en lo que concierne a la argumentación de la cinemática, pero adversos en lo que respecta a la conceptualización de la dinámica; fracaso que habría de mantenerse, como se sabe, hasta la aparición de la teoría general de la

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relatividad, cuando Einstein consiguiera relativizar el movimiento acelerado uniforme. Este concepto de espacio relacional, estuvo igualmente impregnado, en sus orígenes, de inspiración religiosa. Pues, en lo que toca al espacio definido como el sistema de relaciones entre los objetos, es la cosmovisión musulmana la que se lleva el mérito de haberla inicialmente sustentado. Aquí cabe la pregunta ¿hubo influencia musulmana en Leibniz? El ambiente intelectual que rodeaba las cavilaciones de gente como Newton y Leibniz, fue acusadamente hermético. Se puede aseverar, a pesar de ello, que entre la monadología de Leibniz y el atomismo del Kalám hay una fuerte semejanza, y que Leibniz conoció la Guía de perplejos, obra de Moisés Maimónides donde se expone el sistema Kalám del mundo. Nacido en la España morisca en el siglo XII, o sea descendiente judío en cuna mahometana, Maimónides no sólo influyó en Leibniz, sino que se lo recuerda como un inspirador de la filosofía panteísta de Espinosa. En la base del sistema está la idea de que los átomos son partículas indivisibles, iguales entre sí y desprovistas de toda extensión; o sea, puntos-límite, cuyas combinaciones recíprocas dan lugar a los cuerpos. El espacio es pensado no como el “lugar” que ocupan los objetos, sino como el conjunto de relaciones entre los átomos que les constituyen. Por tanto, en el primero tienen predominancia los elementos del sistema, mientras que en el otro son las relaciones entre ellos las que prevalecen. Son los dos únicos enfoques posibles que permite el EMROcc por estar constituido de puntos-límite: las individualidades y la red de las relaciones entre ellas. Igual que lo acontecido con tantos otros conceptos usados en las religiones, el atomismo kalámico tiene un origen profano. Su incorporación al pensamiento musulmán se produjo para subsanar el conflicto imperante entre la filosofía de Aristóteles, de honda influencia en la historia de las ideas mahometanas, y el dogma coránico de la creación Divina. Aristóteles, como bien se sabe, fue de la opinión de que el movimiento y el lugar presuponen la existencia de los cuerpos que pueblan el cielo finito: fuera de éste no hay objeto alguno y, por lo mismo, ni

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lugar ni tiempo pueden ser concebidos como realidades infinitas. Ahora bien, la sustancia tiene para Aristóteles -en clara reminiscencia parmenidiana- una condición eterna, mientras que para el Corán la sustancia es producto de la creación divina. Si debía darse crédito a esta idea teística o no, fue algo que surgió inmediatamente de la cuestión de si el espacio y el tiempo existieron antes de la creación. El pensamiento musulmán respondió negativamente, basándose, a su vez, en la dependencia del espacio y el tiempo con respecto a la materia -formulada por el estagirita- y en el concepto kalámico de espacio. El espacio y el tiempo no existieron antes de la creación, sostuvo el pensamiento musulmán, por la sencilla razón de que espacio y tiempo son las relaciones entre los cuerpos creados. Con la obra de Newton quedó establecido de manera inequívoca el horizonte de trabajo de los matemáticos que le sucederían. Ellos irán desarrollando el prodigioso método para calcular las funciones que regulan un sistema dado cualquiera, mediante la resolución de las ecuaciones diferenciales. Irán encontrando sus fundamentos lógicos y conceptuales y labrarán un peldaño más de la abstracción al inventar el cálculo diferencial absoluto o cálculo tensorial que permite encontrar ciertas funciones del sistema que resultan ser invariantes al cambio de coordenadas. R. Descartes al crear el sistema de coordenadas hizo entrar en escena al último componente del EMROcc y quedó completo por primera vez como un sistema de referencia y coordinación. Pero estaba limitado a representar sólo el movimiento uniforme del punto-límite para generar las curvas continuas y nada más; a diferencia, con Newton se hizo dinámico y por tanto aplicable a la realidad con la máxima eficacia, a la vez que se lograba modelar el proceso concreto con una alta resolución. Así fue cómo el EMROcc llegó a la conformación terminal de su estructura, sólo restaba completar su cuerpo. Esta magnífica tarea estuvo a cargo de una pléyade de brillantes matemáticos que estaban convencidos de que el supuesto pitagóricoplatónico era correcto y del carácter absoluto y único del espacio puntiforme. Recordemos el trabajo de los más importantes.

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1. 3 4 Los matemáticos después de Newton Leonhard Euler (1707-1783) fue hijo de un clérigo, que vivió en los alrededores de Basilea. Su talento natural para las matemáticas se hizo patente pronto por el afán y la facilidad con que dominaba los temas en estudio, bajo la tutela de su padre. A edad temprana fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención de Jean Bernouilli (1667-1748) Inspirado por un maestro así, maduró rápidamente, y a los 17 años de edad, cuando se graduó de Doctor, provocó grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparación entre los Sistemas cartesiano y newtoniano. De inmediato decidió dejar su país natal, al no lograr un profesorado vacante en Basilea, y partió en 1727 a San Petersburgo, para reunirse con sus amigos, los jóvenes Bernouilli, que le habían precedido allí algunos años antes. Euler obtuvo la cátedra de filosofía natural en 1730 y en 1733 le sucedió a su amigo Daniel Bernouilli. En el verano de 1741, el rey Federico el Grande invitó a Euler a residir en Berlín. Esta invitación fue aceptada, y Euler se trasladó a Alemania y vivió aquí hasta 1766. Aquí fue que intimó con M. de Maupertuis, presidente de la Academia, un francés de Bretaña, que favorecía especialmente a la filosofía Newtoniana de preferencia a la cartesiana. Su influencia fue importante, puesto que la ejerció en una época en que la opinión continental aún dudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuis impresionó mucho a Euler con su principio favorito del mínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultados en sus problemas mecánicos. Euler era, como Newton y muchos otros, un hombre capacitado, que bahía estudiado anatomía, química y botánica. Al igual que Leibniz, podía repetir la Eneida, del principio hasta el fin, e incluso podría recordar las primeras y las últimas líneas de cada página de la edición que solía utilizar. Esta capacidad parece haber sido el resultado de su portentoso poder de concentración y visualización, poder de la destreza inventiva, que el mismo Newton ha dado testimonio, cuando los sentidos se encierran en intensa meditación y ninguna idea externa puede introducirse, cuando el sujeto se sumerge en la más profunda

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abstracción. La apacibilidad de ánimo, la moderación y la sencillez de las costumbres fueron sus características. Su labor en problemas de física fue grande, sólo porque sus modelos matemáticos atraían y retenían su atención. Su placer era especular en los dominios del intelecto puro, y aquí se enseñorea como príncipe de los analistas. Ni tan sólo la geometría, ni el estudio de líneas y figuras, le distraían; su último y constante objetivo fue el perfeccionamiento del cálculo y del análisis. Sus ideas discurrían con tanta naturalidad por este cauce que encontraba, incluso en la poesía de Virgilio, imágenes que sugerían una investigación filosófica, conduciéndole a nuevas aventuras matemáticas. Eran aventuras que sus seguidores más prudentes a veces aclamaban con placer, y que, ocasionalmente, condenaban. Aquí se desplegaba todo el esplendor de los primeros griegos y de las obras posteriores de Napier, Newton y Leibniz. Euler es recordado por la famosa igualdad: ei + 1 = 0, sobre la que Félix Klein (1849-1925) llamó la atención diciendo que todo el Análisis se hallaba centrado aquí. Cada símbolo tiene su historia: los principales números enteros, O y 1; los números trascendentes más importantes de las matemáticas

e y  e i el signo de

la raíz cuadrada “imposible” de menos uno. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), nacido en el seno de una ilustre familia parisiense, que tenía añejo arraigo en Cerdeña, y algo de noble linaje italiano, pasó sus primeros años en Turín, su prolífica madurez en Berlín, y sus últimos años en París, donde logró su mayor fama. Quedó abandonado a su propia suerte a temprana edad; pero, este cambio de fortuna no resultó ser una gran calamidad, «pues de otro modo -dijo él- tal vez nunca hubiera descubierto mi vocación» En la escuela sus intereses infantiles fueron Homero y Virgilio y cuando una memoria de Halley llegó a sus manos, se inflamó su genio matemático. Como Newton, pero a más corta edad, llegó al corazón de la materia en un espacio de tiempo increíblemente corto. A los dieciséis años de edad, fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín. Pronto condujo un joven grupo de científicos, que fueron los primeros miembros de la Academia de Turín. Lagrange se transfiguraba cuando tenía una pluma en sus manos; y, desde un 132

principio, sus escritos fueron la elegancia misma. Transcribía a las matemáticas todos los pequeños temas sobre sus investigaciones físicas que le traían sus amigos, de la misma manera que Schubert ponía música a cualquier ritmo perdido que trastornaba su fantasía. A los diecinueve años de edad, obtuvo fama resolviendo el llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado a los matemáticos durante medio siglo. Comunicó su demostración a Euler, el cual se interesó por la solución, de modo especial porque concordaba con lo que él mismo había encontrado. Euler, con admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange, ocultando deliberadamente su propia obra, de manera que todo el honor recayera sobre su joven amigo. En realidad, Lagrange no sólo había resucitado un problema, también había inventado un nuevo método, el cálculo de variaciones, que sería el tema central de la obra de su vida. Este cálculo pertenece a la historia del mínimo esfuerzo, que comenzó con los espejos reflectores de Herón y continuó cuando Descartes estudiaba la curiosa forma de sus lentes ovales. Lagrange demostró que los postulados newtonianos de materia y movimiento, modificados adecuadamente, se adaptaban al amplio principio de economía de la naturaleza. Desde ahí el principio ha conducido a resultados aun más fructíferos como los de Hamilton y Maxwell, en la obra de Einstein y en la mecánica ondulatoria, como ya tendremos oportunidad de conocer más adelante. Lagrange siempre estuvo dispuesto a apreciar el trabajo de los demás, pero estaba igualmente capacitado para descubrir un error. En una temprana memoria sobre las matemáticas del sonido, señaló defectos, incluso en la obra de su reve renciado Newton. Exentos de envidia otros matemáticos le reconocieron, primero como su compañero, y, más tarde, como el mayor matemático viviente. Después de varios años del mayor esfuerzo intelectual, sucedió a Euler en Berlín. Debido a que algunas veces enfermó gravemente por el exceso de trabajo, el rey Federico le recriminaba por su intemperancia en el estudio, que amenazaba con desquiciar su mente; pero, a la vez, el rey adoptaba gustoso sus modestos modales. Las amonestaciones hicieron algún efecto, porque Lagrange cambió sus hábitos, e hizo cada noche un programa de lo que debería leer al día siguiente, sin exceder

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nunca la proporción. Siguió residiendo en Prusia durante veinte años, produciendo obras de alta distinción, que culminaron en su Mécanique Analytique. Decidió publicarla en Francia, adonde fue llevada a salvo por uno de sus amigos. La publicación de esta obra maestra despertó gran interés, que aumentó considerablemente en 1787, con su llegada a París, después de dejar Alemania a raíz de la muerte del rey Federico. Una multitud de matemáticos acudieron a recibirle y a rendirle todos los honores, pero se desanimaron al encontrarle perturbado, melancólico e indiferente a lo que le rodeaba. Peor aún: ¡su talento para las matemáticas se había apagado! Los años de intensa actividad producían su efecto, Lagrange se había desgastado matemáticamente. Durante dos años no abrió ni una sola vez su Mécanique Analytique; por el contrario, dirigía su pensamiento a cualquier otro punto, a la metafísica, la historia, la religión, la filología, la medicina, la botánica y la química. Como ha dicho Serret, «aquel cerebro especulativo sólo podía cambiar los objetos de sus meditaciones» Cualquiera que fuera el tema que escogiera, sus amigos se veían impresionados por la originalidad de sus observaciones. Su expresión de que la química era «tan fácil como el álgebra» les asombró sobre manera. En aquellos días, se examinaban agudamente los primeros principios de la química atómica; pero parecía extraño establecer una comparación entre cosas tan palpables como las químicas, que pueden ser vistas y tocadas, y abstracciones tales como los símbolos matemáticos. Lagrange siguió durante dos años en este estado filosófico y no matemático, cuando de pronto el país se precipitó en la Revolución. Muchos evitaron la prueba huyendo al exterior, pero Lagrange se negó a marcharse. Permaneció en París preguntándose cuando le llegará su turno, cómo le llegó a su amigo Lavoisier, el gran químico. Inesperadamente, en años posteriores, su habilidad matemática volvió nuevamente, y produjo muchas joyas de álgebra y análisis. Como sabemos una consecuencia matemática de la Revolución fue la adopción del sistema métrico decimal. Cuando alguien hacía objeciones a este sistema prefiriendo el de base doce, porque tiene más factores, Lagrange señalaba que

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era una pena que no se hubiera escogido el número once como base, ya que es primo. Otro de sus grandes aportes fue la creación de la geometría simpléctica derivada de su trabajo sobre el movimiento de los planetas. Durante todo el siglo XIX esta nueva rama de la geometría creció gracias al desarrollo del formalismo matemático de la mecánica. Por los trabajos de Newton, en la época de Lagrange, era bien conocido el modelo de los movimientos de un planeta sometido exclusivamente a la atracción del sol. Si se desprecia la influencia de los demás planetas, la trayectoria de un cuerpo celeste atraído por el sol es siempre una cónica, es decir una elipse, una parábola o una hipérbola. Pero si no se desprecia ¿cómo influencia el resto de los planetas en su trayectoria?. He aquí un problema complejo que no puede resolverse de manera exacta debido al grueso número de variables que entran en juego. Lagrange ideó un método simple para calcular aproximadamente las órbitas reales. Si despreciamos la influencia del resto de planetas, la órbita alrededor del Sol es una elipse. Pero, ¿cómo hacemos para determinar la trayectoria real, la que incorpora la deformación causada?. El punto de partida de Lagrange consiste en caracterizar la trayectoria elíptica no perturbada, por medio de seis parámetros a, b, h, i, k, c, que definen la geometría de la elipse, su orientación en el espacio y la posición del planeta sobre dicha curva en un instante dado. Luego consideró que la perturbación, debida a la acción gravitatoria del resto de planetas, puede hacerse equivaler a una variación de los parámetros a lo largo del tiempo. O, lo que es lo mismo, ¡la trayectoria no elíptica equivale a una elipse que varía con el tiempo¡ Gracias a este artificio obtuvo para el movimiento del planeta un sistema de ecuaciones diferenciales con respecto al tiempo que relacionan los parámetros de la órbita con respecto a la velocidad y a la posición y lo que es más, resultan fáciles de resolver. La solución a(t), b(t),...k(t) de este sistema de ecuaciones entrega el valor de los parámetros en cada instante t y describe el movimiento real del planeta. Este método de cálculo, que considera a las constantes variando con el tiempo se lo denomina método de variación de las constantes y se lo utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. En estas manipulaciones matemáticas aparecieron los

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primeros elementos de lo que hoy día se conoce con el nombre de geometría simpléctica. El éxito del método fue pleno cuando en 1846 el astrónomo Le Verrier logró calcular la posición de un planeta cuya existencia suponía, lo cual permitió el descubrimiento inmediato de Neptuno. De la música decía que ésta le aislaba y le ayudaba a pensar, ya que interrumpía la conversación general. «La escucho durante los tres primeros compases; luego no distingo nada, pero me entrego a mis pensamientos. De esta manera he resuelto muchos problemas difíciles» Feliz en su vida hogareña, sencillo y bastante austero en sus gustos, pasó muchos años tranquilos y fructíferos, hasta su muerte a los 76 años de edad. Lagrange es uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos, no sólo por la abundancia y originalidad de su obra, sino también por el porte y la belleza escritos. Poseen la grandeza y la sencillez de los textos de los geómetras antiguos. En consideración a lo dicho, Hamilton describió su Mécanique Analytique como «un poema científico» Se colocó a la misma altura que Fermat en teoría de números, y que Newton en mecánica analítica. Gran parte de la obra contempo ránea y posterior de Laplace, Legendre, Monge, Fourier y Cauchy, fue resultado del trabajo de su grande genio. A no dudar el siglo XIX es el período más brillante de la larga historia de las matemáticas del Viejo Mundo. El tema alcanzó una grandeza en la que se recuperó todo lo que había de grande en las matemáticas griegas; la geometría se impuso nuevamente, el análisis continuó extendiendo sus límites, y la salida para sus aplicaciones aumentaba constantemente. Este siglo que liga la obra de Lagrange con la de nuestros días se destacó en tres aspectos muy notables: hubo una visión más profunda de las propiedades usuales del número; hubo un descubrimiento positivo de nuevos procesos de cálculo, que residían en “reino de Álgebra II”; y también hubo una filosofía de las matemáticas. Durante estos años, Inglaterra volvió a rivalizar matemáticamente con Francia, y Alemania e Italia alcanzaron posiciones de relevancia científica; si bien encima de todas se halla el genio de un hombre, un matemático merecedor de un lugar de honor en la escala suprema, junto a Arquímedes y Newton.

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Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue hijo de un obrero, y el deseo de su padre fue que él heredada su oficio. Pero, a una edad muy temprana, el niño manifestó un talento poco común. Al contrario de Newton y Lagrange, mostró la precocidad de Pascal y Mozart. Se dice que Mozart escribió un minueto a los cuatro años, en tanto que Gauss señaló a su padre un error en un cálculo cuando tenía tres y sin haber aprendido aritmética. Y cuando tuvo diez deslumbró a su maestro al encontrar la fórmula de la suma de una progresión aritmética, cuando él apenas había terminado de plantear el problema, que pedía saber la suma de los 100 primeros números enteros y positivos. En la escuela, su inteligencia atraía la atención, y no tardó en llegar a oídos del propio duque de Brunswick, quién se interesó por el muchacho. El duque le envió durante algunos años al Collegium Carolinum y, en 1795, a Göttingen, a pesar del desacuerdo manifiesto de su padre. Gauss, aún indeciso sobre si estudiaría matemáticas o filología, aceptó gustoso la tutoría de Kaestne «aquel primer geómetra entre los poetas, y primer poeta entre los geómetras», como observaba orgulloso su discípulo. En el transcurso de su carrera escolar, Gauss llegó a ser conocido por su maravillosa intuición en aritmética superior. «Matemática, la reina de las ciencias y aritmética, la reina de la matemática»dijo y éstas se convirtieron en la actividad central de su vida intelectual. Esta trascendental decisión la tomó cuando contaba con 18 años, tras realizar uno de sus descubrimientos más sorprendentes, la construcción, con regla y compás, de un polígono regular convexo de 17 lados. En primer lugar demostró que la construcción equivalía a resolver la ecuación X 16 +X15 +X14 +...+ X +1=0. Como 17 es primo y 16 es potencia de 2, resulta que esta ecuación puede reducirse a un conjunto de ecuaciones de segundo grado y como éstas pueden resolverse con regla y compás, la demostración está completa. La técnica utilizada por Gauss a partir de entonces se ha trasformado en una de las más fecundas de las matemáticas: trasladar un problema desde el dominio inicial, la geometría, a otro en el álgebra y resolverlo en este último. Él escribió que a la edad de 20 años estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas que no tenía tiempo de trabajar sino una pequeña fracción de ellas. Entre éstas se encuentra su tesis doctoral de 1799, en al que la que presenta la

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primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, que nos asegura que toda ecuación polinómica tiene una raíz compleja. Tan profundamente sentía la importancia de este teorema que lo trabajó durante toda su vida, llegando a encontrar cuatro formas diferentes de demostrarlo. Una de ellas, la tercera, es particularmente característica de su estilo matemático. Ésta comienza suponiendo una ecuación polinómica a partir de la cual Gauss construye una complicada expresión en forma de una doble integral, de tal forma que si el polinomio carece de raíces, la integral doble entregará el mismo valor que si la calculásemos por integración iterada respecto de una variable y luego de la otra al invertir el orden de integración. Él demuestra que esto es falso, ya que los distintos órdenes de integración dan distintos valores. Por lo tanto la ecuación necesariamente tendrá una raíz compleja. La demostración que efectuó se basa en la trascripción de las técnicas teoría de variable compleja a otras adaptadas para variable real. Otras ideas que pudo desarrollar aparecieron en sus Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Después de declinar el ofrecimiento de una cátedra en la Academia de San Petersburgo, Gauss fue nombrado primer director del nuevo observatorio de Göttingen en 1807, y allí vivió una vida sencilla y estudiosa, feliz en su ambiente y bendecido por una buena salud, hasta poco antes de su muerte. Se dice que hasta el último año de su vida no durmió nunca bajo ningún otro techo que no sea el de su propio observatorio. Gauss, al igual que Euler, Lagrange y Laplace escribió copiosamente, pero con una diferencia. Euler nunca condensó su obra; se deleitaba recreándose en la riqueza de sus ideas, Lagrange tenía el estilo fácil de un poeta y el de Laplace era cortante y difícil de leer. En cambio Gauss condujo sus escritos con austeridad, eliminándolo todo aquello que no fuera los resultados esenciales, después de un trabajo fatigoso para ajustar los detalles. Sus páginas estimulan, pero exigen gran paciencia por parte del lector. Manifestaba, como Fermat, aquel genio desconcertante que capta globalmente y de golpe la conclusión verdadera, dejando la prueba deductiva para que la hagan otros. Gracias a este don se labró una temprana reputación con su obra sobre

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teoría de números. El Teorema de los Números Primos, que tardó un siglo en ser demostrado, es el mejor ejemplo. Los números primos, que ya fueron estudiados por Euclides como recordamos, siguen siendo un inagotable manantial de interés para los orfebres de la aritmética. Como todos sabemos son los números enteros 2, 3, 5, 7, 11,..., que no pueden ser descompuestos en factores enteros; son los números atómicos, extraños e improbables, irreductibles a cualquier sistema o sucesión, pues no siguen ningún orden cuando hacen aparición. Existen en número infinito, tal como lo demostró el propio Euclides, y aparecen esparcidos a lo largo de la recta numérica, con su identidad bien oculta, con una irregularidad que, al mismo tiempo, desconcierta y cautiva a los matemáticos. Dado este escenario, surge de manera natural la pregunta ¿cuán a menudo, o cuán raramente aparecen los números primos como promedio? O, lo que es lo mismo, ¿cuál es la probabilidad de que un número específico sea primo?. Este problema fue estudiado por Gauss y se lo conoce como el Teorema de los Números Primos. Se enuncia diciendo que, si la función

(x)

de Gauss nos da el número de

números primos menores que x. Entonces, cuando x tienda a infinito, el cociente entre (x) y x/logx tenderá a 1. No se sabe si demostró su proposición; la cita está tomada del reverso de una copia de la tabla de logaritmos que heredó de su maestro Schulze, cuando tuvo catorce años. La demostración final del este Teorema la dieron en el año 1896 los matemáticos Hadamard y de la Vallée Poussin en forma independiente. La prueba fue construida con la moderna teoría analítica de números, que es uno de los asombrosos desarrollos del siglo XX y que progresó notablemente gracias a los trabajos de Landau, Hardy y Littlewood. Gauss también elaboró un método para descomponer a los números primos en productos de números complejos. Así, el 2 puede expresarse como (1+i)(1-i); el 5 como (2+i)(2-i); el 29 como (5+2i)(5-2i), etc. Sin embargo ciertos números primos no pueden descomponerse de este modo, como el 7, 11, 19, etc. Gauss demostró que con excepción de 2 los primos expresables de manera única como producto de números complejos son los de la familia 4n+1.

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Desde la época de Gauss, las matemáticas han aumentado tan copiosamente que ningún individuo puede esperar dominar su totalidad. Gauss fue el último matemático completo, y de él puede decirse realmente que nutrió todas las ramas de la ciencia y dio vida a otras totalmente nuevas. Los inicios de casi todos sus descubrimientos se encuentran en las notas de juventud que apuntó en un diario que felizmente se ha conservado. Éste revela hechos de primera línea en trigonometría superior, un tema generalmente conocido como funciones elípticas; también contiene ciertos aspectos de geometría no euclideana. Es un hecho histórico el que Gauss se haya interesado por la geometría gracias a la influencia de Kaestner, su maestro, el cual escribió sobre los fundamentos de ésta. Otra fue la de Legendre, cuyo libro, los Eléments de Géometrie, había aparecido en 1794. Estos autores se interesaron por un problema que había sido discutido muy a menudo, especialmente por Wallis, y Saccheri, un monje italiano de comienzos del siglo XVIII. Se refería al postulado de las paralelas de Euclides, aquel serio obstáculo epistemológico en la fluida lógica de los antiguos, cuya eliminación era ampliamente deseada por todos. Gauss fue, tal vez, el primero en ofrecer una explicación satisfactoria de la anomalía, y en su diario consta cuán pronto ocurrió esto en su carrera. Pero, al igual que Newton, era un hombre prudente, especialmente cuando trabajaba con novedades extrañas, inauditas y desconcertantes. Durante algunos años guardó el asunto para sí ( siguiendo

esa vieja

costumbre que viene desde los antiguos egipcios y que les sirvió para preservar su imparcialidad cuando restablecían los límites de las propiedades agrícolas ),

hasta que descubrió que otros estaban

pensando sobre los mismos tópicos. El interés se extendió, y surgió una rama de la geometría, denominada geometría hiperbólica. Cuando traemos a la mente esta rama del tema, recordamos los nombres de Gauss y de sus dos amigos, los Bolyai, padre e hijo, y de Lobatchewski que escribió unos veinte años más tarde. Es otro caso de varios descubrimientos independientes sobre un mismo tema que tienen lugar en la misma época. La geometría hiperbólica no fue simplemente una novedad; fue una revolución. Era sustancialmente diferente de la de Euclides, incluso se mostraba más práctica. Y en forma aún más práctica a las opiniones corrientes sobre lo que se suponía

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enseñaba Euclides. Por ejemplo, la ley que dice que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Y también la que reza que la suma de dos ángulos adyacentes, formados por líneas que se cortan, es igual a sí mismo a dos ángulos rectos. Como bien demostró ambas propiedades se hallaban implicadas en sus axiomas y postulados fundamentales. Para Gauss y Bolyai, la afirmación sobre las líneas que se cortan es verdadera, pero la que se refiere al triángulo no lo es. Ellos construyeron, de hecho, un triángulo tal que la suma de los ángulos sea menor que dos rectos. Luego, como hermosa compensación, Riemann y otros hicieron lo mismo, un poco más tarde, para un triángulo en el cual la suma es mayor que dos ángulos rectos. A la suya la denominaron geometría analítica; es la geometría que conocen también los navegantes que viajan en trayectos directos sobre los océanos curvos del globo. Menor, igual y mayor: he aquí las tres alternativas de configuración del EMROcc, las cuales se muestran aparentemente contradictorias. Éstas originaron tres cuerpos de doctrina geométrica: elíptica, parabólica e hiperbólica, siendo la parabólica la euclideana, y con ello se gestó una controversia de primera clase, no entre campos científicos opuestos que sostenían hipótesis contradictorias relativamente vagas, sino en el cuerpo mismo de la argumentación lógica, en el dominio que cada uno había dado por supuesto que se hallaba establecido y seguro. Como una contienda de tres vértices, todas las partes perdieron, en el sentido de que ninguna de las opiniones pudo reducir a las otras dos a la suya, ya que se trataba de geometrías independientes entre sí, con axiomáticas diferentes; pero las tres eran ramas de una geometría aún más general. Ilustremos a cada una de ellas para bien comprender esto. Todos hemos experimentado que es fácil fijar un pequeño trozo de cinta adhesiva sobre el dorso de la mano, pero que es difícil fijarlo sobre los nudillos. En estos casos, la cinta debe ser contraída o estirada para que se adhiera. Esto tiene una explicación matemática. El dorso de la mano presenta una superficie plana conforme a la geometría euclídea, pero los nudillos y los huecos, no. Los nudillos aluden a la geometría elíptica y los huecos a la hiperbólica. En el hueco, un trozo de cinta triangular tendría sus ángulos contraídos y, por ello, menores que dos ángulos

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rectos; tendría que ser elástica y estirarse para adaptarse a un nudillo. En este sentido estas geometrías aparecen excluyentes, cada una actuando en su propio ámbito y con sus propias reglas. Desarrolló la teoría de las superficies, centrando su atención en su curvatura y en las condiciones que ésta requiere para adaptarse a otra. Se cuenta que dejó de lado algunos temas que trató analíticamente, a los cuales esperaba aplicar métodos geométricos en algún momento futuro, cuando sus concepciones sobre el espacio hayan progresado. Gauss fue en muchos aspectos una personalidad contradictoria y enigmática. En su vida diaria era un hombre modesto, de suaves modales, rehuía el contacto directo con el público; era un hombre distante, abstraído, políticamente reaccionario y frecuentemente testarudo, que sólo quería continuar con su trabajo creativo sin ser molestado. Un aspecto especial que caracterizó su personalidad fue su rotunda negativa a presentar parte alguna de su trabajo que no hubiere pulido hasta la perfección, nada publicó sin antes considerarlo completamente terminado. Tan elaboradas son sus demostraciones que el camino seguido se pierde al punto que sus ideas más fecundas no aparecen en sus libros, y es preciso inferirlas reconstruyendo los pasos que debieron llevarlo a su descubrimiento. En consecuencia muchas nociones importantes construidas por él han sido descubiertas por otros. Durante su vida publicó unos 155 títulos y dejó muchos otros inéditos. Berhard Riemann (1826-1866), uno de sus muchos y célebres discípulos, hizo suyo el programa y las aspiraciones de Gauss. Por ejemplo mejoró notablemente el análisis mediante una ingeniosa interpretación geométrica de la teoría de funcio nes. En una disertación de pocas páginas, que hizo época, no sólo consideraba la geometría de un espacio de un número cualquiera de dimensiones, sino que demostraba que los primeros tres tipos de geometría eran casos particulares de una geometría aún mas general, llamada hoy día métrica de Riemann. Esta teoría que estudia a las superficies como variedades multidimensionales servirá más tarde para la formulación de la Teoría de la Relatividad de Einstein. También incursionó en el dominio de los números primos llegando mucho más lejos que su maestro. Habíamos dicho que la función

(x)

de Gauss era

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aproximadamente igual a x/logx cuando x era un número “muy grande”. El paso siguiente fue dado por el matemático ruso Pafnouti Chebychev, quien demostró que existen dos constantes positivas c 1 1 y c2 1 tales que: c1 x /logx 

(x)  c2

x/logx. Pero fue Riemann quien realizó el descubrimiento más espectacular hacia el año 1859. Su idea central fue considerar a la función

(s) =1+1/2s+1/3s+1/4s+..., conocida

como función “zeta”. Esta función ya fue estudiada por Bernoulli y Euler, pero sólo para valores reales de s. La gran visión de Riemann consistió en generalizarla para valores complejos por medio del su revolucionario método de la continuación analítica, el cual le permitió obtener información más refinada sobre los números primos. Así por ejemplo logró demostrar que

(x)

está íntimamente ligada a la

función “zeta” para valores complejos de s y que la función logaritmo integral (Li(x)=dt/lnt) constituye una mejor aproximación. Este método ha sido completado por sus sucesores hasta nuestros días y ha brindado más incógnitas de las que ha despejado. Fue en medio de estas investigaciones que formuló su famosa hipótesis, la cual ha sido considerada como la hipótesis del milenio, puesto que es la más importante de las Matemáticas, ya que a ella confluyen casi todas sus ramas y está sin demostrarse. Su enunciado dice que los ceros de la función

(s),

esto es, los valores de s que anulan la función, exceptuando los triviales (-2, -4, -6,...), tienen la forma ½ + iy. Aunque ahora se sabe que éstos existen, no sólo sobre la recta de ecuación u=½, sino también en la banda 0Re(s)1. Ahora bien, debido a que la función “zeta” expresa la unicidad de la descomposición en factores primos, la hipótesis puede ser enunciada en términos de números primos así: la función [ (x)-Li(x)], que mide la distancia entre el valor exacto de

(x) y la predicción de Gauss, no crece más deprisa que

xa para todo

a½. Dicho de otro modo, la conjetura de Riemann equivale a afirmar que para todo a½ el límite, cuando x tiende a infinito, de la expresión [ (x)-Li(x)]/xa es

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igual a cero. Su demostración tendría repercusiones no sólo en aritmética sino también en física teórica, puesto que muchos enunciados matemáticos dependen de ella. El interés que ha despertado el problema no radica en el mayor o menor grado de curiosidad que suscita, sino en las estructuras, ocultas o manifiestas, que lo envuelven y a las que apunta. Tal ha sido la fascinación por ésta que se la ha llamado el opio de los matemáticos. Los medios que se han empleado, intentando la ansiada demostración, se caracterizan por su extremada complejidad técnica, al punto que el famoso matemático francés André Weil (1906-1998), mientras estuvo prisionero de los nazis, escribió: «Cuando era joven, confiaba en demostrar la hipótesis de Riemann. Ya mayor, conservé la esperanza de poder leer y comprender una demostración de la hipótesis de Riemann. Ahora me contentaría con saber que existe una demostración»4 Después de Gauss, tuvieron lugar prodigiosos progresos. Sin duda el más importante de ellos fue el de Weierstrass y la escuela de Berlín, que resolvieron finalmente la controversia Newton-Leibniz, volviendo a los antiguos métodos de Eudoxo. Recordemos que en geometría, Papo y Desargues habían dado explicaciones erróneas para resultados correctos, y lo mismo sucedió, frecuentemente, en el Cálculo. Traigamos a la memoria el hecho de que Zenón curó a los griegos de todo razonamiento indeterminado, con lo que su crítica condujo a la obra de Eudoxo. Pero esta experiencia no fue adecuadamente asimilada desde el Renacimiento, si bien Newton se aproximó a ella. La tarea de reconciliación fue emprendida por Weierstrass, y también por Richard Dedekind ( 1831-1916) Dijeron que el análisis, al tener que ver con el número y no con la geometría, debía aceptar una explicación estrictamente aritmética. En esto tuvieron éxito, tanto para el Cálculo como para la teoría de los números irracionales. Dos de los medios principales empleados para alcanzar este fin fueron las definiciones de irracionales debidas a Eudoxo y las de límite dadas por Wallis y Newton. 4

El 24 de Mayo de 2000, en la secular reunión anual, en el College de France, el Clay Mathematical Institute incluyó a ésta entre los “las hipótesis del milenio” y ha ofrecido pagar un millón de dólares a quién logre demostrarla. 144

Euler y sus contemporáneos habían proporcionado las herramientas analíticas; ahora éstas se estaban volviendo agudas y refinadas. Más de un problema antiguo y famoso cayó ante las contundentes y hábiles arremetidas de los analistas. Uno de los resultados más espectaculares fue el de Lindemann, que demostró que ningún número irracional satisface ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. Esto resolvió, de una vez y para siempre, la cuestión de la cuadratura del círculo por medio de la resolución de ecuaciones. La acumulación de medios analíticos fue tan copiosa que resultaba razonable pensar que toda simplicidad había abandonado a las matemáticas. Pero este estado de cosas fue descongestionado por el trabajo de un genio que pudo prescindir de todas estas refinadas elaboraciones y encontrar, no obstante, algo nuevo que decir. Esto tuvo lugar de modo dramático en la India cuando comenzó la carrera del matemático Srinivasa Ramanujan (1887-1920), que marcó una nueva época en la historia de las matemáticas. A lo largo de su historia, la India ha producido matemáticos de grande talante, auque son abundantes, puede conocerse sus orígenes y su evolución, hasta el último período griego. Pero, juzgado de entre todos los matemáticos orientales de talento, el genio de Ramanujan resulta ser supremo. Nació en Erode, ciudad cercana al puerto de Madrás. En la escuela, su extraordinaria capacidad fue reconocida, pero a causa de su poca preparación en inglés, no logró matricularse en la Universidad de Madrás. Esto le obligó a trabajar en matemáticas por su cuenta, aprovechando al máximo la ayuda que pudo brindarle el texto de Carr, Synopsis of Pure Mathenralics. Después de trabajar durante algunos años en la oficina de aduanas de Madrás, fue conocido de alguien lo suficientemente interesado por el contenido de sus desconcertantes libros de notas, como para ponerle en contacto con los expertos matemáticos. Era conocido como el amigo de todos los números enteros. La talla matemática de Ramanujan nos deja todavía más asombrados cuando consideramos la reducida formación que recibió. Una vez que su trabajo fue reconocido por el matemático de Cambridge H. Hardy, fue invitado a trabajar junto a él. Ramanujan aceptó y a su debido tiempo fue el primer hindú miembro del Trinity College y de la Royal Society, en reconocimiento de su mérito evidente. Desgraciadamente, la estancia

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en Inglaterra destrozó su salud, debido a la clase de dieta que tuvo por necesidad que adoptar, y murió al año siguiente de su retorno a la India a causa de una grave deficiencia vitamínica. Cuando H. Hardy fue a visitarlo en su lecho de muerte en un hospital de Putney, él recuerda vivamente que había tomado el taxi n° 1729 y que le comentó que el número le parecía bastante feo, y que esperaba que no sea de mal augurio. A lo que Ramanujan replicó, al contrario, es un número muy interesante por ser el más pequeño expresable como la suma de dos cubos en dos formas diferentes: (1729 = 13+123 = 93+103 ) Siendo, como es, difícil formarse un juicio acerca de la mayor parte de las obras contemporáneas, no puede haber discusión de que fue un matemático excepcional; pese a todas las desventajas de su educación matemática, con su escasa disponibilidad de material, logró un dominio tal de ciertas ramas del análisis y de la teoría de números, que le situó en primera línea, aun antes de que fuera descubierto por Occidente. A propósito del prodigio y manifestando evidente disgusto y reproche Sylvester y Huxley se unieron para decir que «las matemáticas son el estudio que no sabe nada de observación, nada de experimentación, nada de inducción, nada de causalidad» Una concepción tan fanática como ésta desfigura totalmente el espíritu de las matemáticas que requiere incesantemente la entrega de los mayores esfuerzos de la imaginación y de la invención. No existe un ejemplo más maravilloso del uso maestro de la inducción, que el de Ramanujan. Uno de sus problemas resultó estar resuelto independientemente por Landau; no obstante, como ha insinuado Hardy, Ramanujan «no tenía ninguna de las armas de Landau a su disposición; no había visto nunca un libro francés o alemán. Es suficientemente maravilloso que incluso pudiera haber soñado en problemas como éste, problemas que los matemáticos más sutiles de Europa han tardado cien años en resolver, y cuya solución sigue siendo incompleta hasta nuestros días» Fiel a las matemáticas hasta el fin, no desmayó pese a los sufrimientos de los últimos meses de su vida y produjo una notable obra recogida en el llamado “Cuaderno perdido”. En estos apuntes el tema que abunda y el que más a conciencia está trabajado es el relacionado con las ecuaciones modulares. Una

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función modular es una función (q) que puede relacionarse con la función (qp) mediante una expresión algebraica llamada ecuación modular, aquí p es un entero y determina el orden de la ecuación modular. En relación a este tema Ramanujan es famoso por haber ideado un método para calcular el valor de



con varios

millones de cifras decimales, que hace uso de la solución singular -2/p log(kp/4) de la ecuación modular [(q).(q7)]1/8+{[1-(q)][1-(q7)]}1/8 =1, por ejemplo. Estos valores tienen la extraordinaria propiedad de coincidir con muchísimas de las primeras cifras decimales de

, debido a que el número de cifras que tienen en

común aumenta al crecer el valor de p. Empero, en su obra hubo curiosos huecos ciegos, donde se equivocó definitivamente. Al atravesar muchos de los caminos seguidos por Euclides, Wallis, y los Bernouilli que, ocasionalmente, se lanzaron por la ruta equivocada en sus temerarias aventuras, Ramanujan repitió, en su propia y breve carrera, las experiencias de tres siglos de matemáticas. No obstante, dijo Hardy, «con su memoria, su paciencia y su capacidad de cálculo combinaba un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad para la modificación rápida de sus hipótesis, que a menudo era realmente alarmante, y le convirtió, en su propio campo peculiar, en alguien sin rival en sus días» Para muchos su mayor logro es un teorema que descubrió junto con Hardy, que trataba de las particiones de un número n. El teorema determina el número de formas en que puede expresarse n como suma de números enteros; y, nuevamente, la sencillez del enunciado enmascara completamente la profunda dificultad de la demostración. El teorema fue un ejemplo genuino de colaboración, implicando saltos característicos en la oscuridad, que bordean lo maravilloso, seguidos de aplicaciones del análisis matemático. Como ha dicho Littlewood: «Debemos el teorema a la feliz colaboración de dos hombres de dotes totalmente distintas, en que cada uno contribuyó con la obra mejor, más característica y más afortunada que había en él. El genio de Ramanujan tuvo esta oportunidad, digna de él» Hubo conceptos más generales, que fueron desarrollados en la historia de las 147

matemáticas durante la última mitad del siglo XIX, especialmente en la teoría de números, que data de los días de estudiantes en París de dos amigos, Sophus Lie y Félix Klein; y la teoría de conjuntos, creada por Georg Cantor. Estas dos ideaciones han incidido fuertemente sobre la dirección del pensamiento reciente y contemporáneo. Basta con decir que presentan, en diversas formas, el aspecto más matemático de aquella investigación filosófica de los principios de esta ciencia que ha marcado la etapa más reciente de su historia. Pues las matemáticas habían alcanzado un grado de desarrollo en el cual era posible hacer, lo que Euclides hizo para la geometría al encontrar los axiomas básicos o proposiciones primitivas. Con este propósito, en 1910 se publicó la investigación más paciente, donde los autores estuvieron convencidos de haber alcanzado a formular la Matemática como una ciencia construida para que funcione exclusivamente como un sistema axiomático deductivo. Me refiero a la magnífica obra de los escoceses B. Russell y A. Whitehead: Principa Mathemática y luego al trabajo de Kurt Gödel realizado sobre los propios conceptos que rigen el tema principal de este gran intento. Puesto que todo esto fue concebido a una escala sublimemente universal y realizado mediante un proceso auto alusivo era de esperarse que hayan

aparecido insuperables paradojas, que

finalmente

constituyeron la señal de que el E.M.R.Occ había entrado en una profunda crisis. Se había presentado el fin de la idea que tenía como meta final alcanzar ha pensar como su propio dios. El trabajo de Gödel constituyó la lápida de este conspicuo sueño de Occidente; puesto que descubrió para todos que, el espacio en mención, era incompleto, ya que, en su pretensión universalista, no podía dar cuenta de sí mismo; y, cuando se intentaba hacerlo surgían insuperables paradojas. Este fenómeno, denominado “efecto Gödel” tiene lugar en todo sistema formal que ejecute la operación de auto referencia o auto alusión. El sujeto que lo lleve a cabo se encontrará inesperadamente en una situación indecidible; o sea, un estado tal en el que no puede saber si una proposición es verdadera o falsa. Como por ejemplo en la vieja y conocida paradoja del mentiroso que dice que «Epiménides el cretense asegura que todos los cretenses son mentirosos. ¿Dice él verdad o mentira?» La respuesta es, no podemos saber pues nos encontramos

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en una situación en la que la proposición puede ser cincuenta por ciento verdadera y cincuenta por ciento falsa.

1. 4

FASE ACTUAL (La crisis del E.M.R.Occ)

Durante el reinado intelectual de Newton, que se extendió por más de doscientos años, todos los científicos se desarrollaron guiados por su mano tutelar, como hemos podido enterarnos. Esto sucedió así, por que él inventó el prodigioso método universal para calcular las funciones que en número infinito caracterizan al E.M.R.Occ, técnica que permitía profundizar y ampliar su estudio con una enorme eficacia. Con este acto de creación casi epopéyico, Newton había superando con largueza el trabajo realizado por todos sus predecesores. Lo que había sucedido en el pasado y lo que debía acaecer en el futuro del Mundo, estaba prefigurado en sus Principia, razón por la cual llegaron a ser los fundamentos de la ciencia llamada Mecánica Clásica o Mecánica Analítica o Mecánica Racional. En su modelo del mundo, que de ésta se desprende, el espacio y el tiempo son considerados como entes separados y con carácter absoluto y consisten en el sensorio de Dios. Así, mientras el espacio es el recipiente que contiene a la materia, el tiempo es el medio por el cual Él expresa su voluntad creadora, marcando implacable e inexorablemente el acontecer del Mundo. Ahora, por primera vez, desde los tiempos de los griegos clásicos, se podía calcular la palabra de Dios, o sea, el acontecer del Mundo, gracias a las 149

ecuaciones diferenciales y, por fin, llegar a estar seguros que Él se expresa mediante funciones, que resulta ser el modo en que se formulan las “Leyes de la Naturaleza”. El aporte de Newton hecho al progreso del EMROcc. es, sin duda, el mayor de su historia. Descubrió su carácter Analítico o diferenciable al encontrar que su estructura estaba constituida por puntos-límite. El pensamiento científico occidental se volvió analítico diferencial, parecía como si el conspicuo sueño del pitagorismo platónico se hubiese hecho realidad. Al fin el hombre había aprendido a calcular la palabra de Dios, a pensar como Él. Pero claro esto no era mas que una alucinación.

1. 4 1

La revolución de la Relatividad

Este era el estado de cosas hasta la realización del célebre experimento “Michelson-Morley” que tuvo lugar entre 1880 y 1881 y fue repetido en 1887. El experimento tenía como finalidad medir la velocidad absoluta de la Tierra con respecto al éter. El éter era una “sustancia” hipotética que prodigaba materialidad al espacio. Era, tal como lo imaginó Newton: el espacio constituido por puntos materiales. Era el “fundamento ontológico” de su Sistema Absoluto del Mundo. El experimento fue efectuado a diferentes horas del día y en distintas épocas del año y, con inusitado asombro encontraron que, al girar el interferómetro 5, las franjas del espectro luminoso permanecían siempre fijas, inmóviles. Todo acontecía como si el laboratorio y la Tierra entera estuvieran en reposo con respecto al éter. Este resultado obligaba a pensar que la categoría éter no tenía contenido ontológico sino tan solo gnoseológico, era nada más que un artificio de la modelación matemática. Así fue como se puso en evidencia que el modelo newtoniano del Mundo sólo era una de las representaciones que se pueden hacer 5

El interferómetro es el aparato que utilizó Michelson en su célebre experimento. Está compuesto de dos espejos semitransparentes a 45° y dos intransparentes a 90°, además de un anteojo por el cual se observa cualquier corrimiento de las franjas de luz al incidir paralela y perpendicularmente en los espejos para luego juntarse en el foco de él. Los dos rayos convergen en el anteojo simultáneamente si no hay éter, y si lo hay éstos entrarán desfasados.

150

de él. En este caso se trata de un modelo mecánico del Mundo, en el que las partículas que componen el sistema, están animadas por bajas velocidades, comparadas con la de la luz. Las implicaciones más significativas que se derivaron del experimento que resultó ser el más “negativo de la historia” -ya que se encontraron con el extremo de lo inesperado- son las siguientes: a) La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente e igual a c = 3  105 Km/seg en el vacío. b) La longitud de un móvil que se desplaza con una velocidad cercana a la de la luz se ve modificado según la relación: D´= D[1-v2/c2]1/2, donde D es el largo del móvil cuando está en reposo y D´ cuando viaja con velocidad v. c) Ahora, cuando v es muy pequeña con respecto a c el término (v/c)2  0 y por lo tanto D´= D ; pero, si v  c entonces D´< D. Centremos la atención en que lo sorprendente de esto es que la contracción que experimentan los brazos del interferómetro no depende para nada de la calidad del material del cual están hechos. Es, pues, un hecho puramente cuantitativo. d) Esto quiere decir que el espacio que contiene a la materia interacciona con ella. Este hecho no tardó en modificar de manera definitiva la vieja noción de espacio que Occidente tenía desde la época de los antiguos egipcios. Dejó de ser el recipiente contentivo de la materia (como suponía el modelo de Newton), y se convirtió en el conjunto de las relaciones o conexiones entre los cuerpos que lo componen. Graficando podemos decir que es, como si las partículas estuviesen sumergidas en una suerte de sustancia gomosa, de la cual no pueden desprenderse por más que se estiren. Se concluía que el concepto de espacio recipiente tendría que ceder el lugar al concepto de espacio relacional, aquel compuesto por el conjunto de las relaciones que mantienen los cuerpos entre sí. Esto tendría que ser así debido a que el segundo, luego del experimento de Michelson, resultó ser más general que el primero. O, mejor dicho, el primero resultó ser un caso particular del segundo, cuando la velocidad v es pequeña comparada con la de la de la luz, c. Por ello el modelo de Newton es válido sólo para velocidades “galileanas” y el otro para velocidades “relativistas”.

151

En la vena que hemos explorado fue que se propuso la primera hipótesis explicativa. Ésta fue formulada, de manera independiente por Fitz-Gerald y H. A. Lorentz poco tiempo después del experimento. A propósito de esto hay que decir que en aquellos días se pontificó que esta teoría electrónica nos dice que la naturaleza no “juega del todo limpio” ya que la tal contracción es sólo una treta que oculta al movimiento absoluto que, no obstante, existiría realmente. Como puede verse la mente de los científicos occidentales estaba dogmatizada, no eran capaces de cambiar, aunque sea por breves momentos, su postura trascendente, culturalmente conformada a lo largo de miles de años, que les colocaba en la perspectiva del Dios del Génesis. Todo esto debido a la profunda convicción que tienen de que, sólo situándose así, el hombre es capaz de “Ver la Verdad del Mundo”. e) La velocidad de la luz en el vacío como límite máximo del movimiento de los objetos obligó necesariamente a relativizar el concepto de simultaneidad. Recordemos que en el modelo de Newton la simultaneidad era absoluta, pues las fuerzas

que

coaccionan

a

las

partículas

que

componen

al

Universo,

supuestamente, se transmitían a una velocidad infinita, instantánea. Siendo así, dos acontecimientos A y B que eran simultáneos para determinados observadores lo eran para todos. Pero, después del experimento de Michelson, si dos acontecimientos A y B son simultáneos para un grupo de observadores, no necesariamente lo serán para otros. Así entonces, si se utilizan en la formulación ideas como la simultaneidad relativa, hay que probar que la teoría es en realidad independiente del cualquier observador inercial que se elija para definirla. Obrando de este modo, no violentaremos el principio de relatividad. Si bien en la parte experimental el trabajo de Michelson cuestionó el modelo de Newton, en la parte teórica fue la teoría electromagnética de J.C. Maxwell ( 18311879)

la que no satisfizo las transformaciones de Galileo, pero sí las de H. A.

Lorentz, en las que se introduce la velocidad de la luz como una constante universal (ver recuadro 12) Es verdad que sobre Einstein pesaron más los resultados que obtuvo del análisis de las ecuaciones de Maxwell y sus predicciones acerca

152

de la propagación de las ondas electromagnéticas, como la luz por ejemplo, a la hora de formular la Teoría Especial de la Relatividad (T.E.R) Este decisivo experimento fue repetido en 1905 por Morley y Miller y produjo los mismos resultados. Ese mismo año, en el mes de junio, dio comienzo la remodelación definitiva de la Física cuando un joven de 26 años de edad, llamado Albert Einstein (1879-1955), conmovió a un pequeño grupo científicos con la publicación de una monografía aparecida en la revista alemana Annalen der Physik titulada Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, en la que con asombrosa maestría se resuelve el problema del “medio” ( éter) en el que tienen lugar los fenómenos electromagnéticos y ópticos. La solución del problema requirió de una nueva y profunda reflexión del sabio sobre el significado de lo que es

un

sistema

coordenado

de

referencia

espacio-tiempo

o

continuo

tetradimencional; ya que en el nuevo modelo, el espacio y el tiempo tenían que estar coordinados formando un solo término, a diferencia del newtoniano, en el que estos actuaban por separado, con independencia absoluta. Esta necesidad lo condujo a utilizar el concepto de distancia cronotópica o distancia espacio-tiempo entre dos acontecimientos, que se define como: [1a]

ds2 = du2-d 2, donde s es la distancia cronotópica, u = ct y  2 = x2 +y2 +z2 .

El término ds representa un elemento infinitesimal de la distancia cronotópica, du un elemento de la distancia temporal y d uno de la distancia espacial, son las cuatro dimensiones que se necesita para que un evento quede perfectamente ubicado en el instante de su acaecimiento. Esta definición fue introducida por el matemático alemán Hermann Minkowski (1864-1909) en 1909 y, en cierto modo, parece una extensión del teorema de Pitágoras pero con signo menos. Precisamente, la coordenada temporal se distingue de la espacial por el signo menos. Poco antes de morir él dijo al respecto que, «...a partir de ahora el espacio en sí y el tiempo en sí se hunden por completo en las sombras y sólo algo que es como una unión de ambos conserva una existencia propia». Esta nueva clase de distancia, resultó ser un término invariante al cambio del sistema de coordenadas de referencia, era el mismo en todos.

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Einstein, valiéndose de esta variedad semieuclidea construyó el modelo matemático apropiado para describir a los cuerpos en movimiento absolutamente uniforme o inercial. Esta teoría fue denominada “Teoría Especial de la Relatividad (T.E.R)”. La premonición por ésta realizada, que al comienzo fue impresionante y después fatal, fue la conocida fórmula E = mc2 que representa la equivalencia entre la masa y la energía mediante la velocidad de la luz c y que llegó a ser conocida popularmente como la “fórmula de la bomba atómica”. El descubrimiento de esta regularidad de la naturaleza permitió contestar de manera convincente a las preguntas: ¿qué son las estrellas?, ¿de donde sale la energía del Sol?, ¿son las estrellas otros soles?. La respuesta no se hizo esperar y se dijo con aplomo que son hornos termonucleares, en los que la energía que se produce por síntesis nuclear está gobernada por la fórmula de Einstein, E = mc2. Por fin los hombres habían sido liberados del cautiverio ejercido por el misterio. El alma humana experimentó por primera vez una satisfacción enormemente grande al sentirse más libre, pues se había contestado a una pregunta así mismo grande, que había intrigado al hombre desde que éste se preguntó a cerca de los cielos. La otra sorprendente implicación fue la de tiempo propio, que recoge el hecho de que un mismo suceso pueda acaecer en el futuro respecto de un sistema y en el pasado con respecto a otro. Debiéndose esto a que la luz, que nos transporta la imagen de un acontecimiento, tiene velocidad finita. Para bien comprender esto enterémonos de lo que dijo cierta persona, ante lo mencionado: «Pienso casarme dentro de un año y si es cierto que lo que es futuro para mí puede ser pasado para otro, resulta que para él, ¡yo ya estoy casado!. ¿Cómo puede ser esto posible?”» El sujeto del caso en mención se quedó tranquilo al enterarse que su casamiento estaba forzosamente en el futuro de todos los sistemas de referencia, pues ni para ir a casarse, podría recorrer en un año una distancia mayor de un año luz. La distancia espacial entre el lugar donde se encuentra “hoy” y donde se encontrará el día de su casamiento tendrá que ser menor que el recorrido que efectúe la luz durante la espera. Por eso, nuestro futuro es un futuro absoluto y también lo es nuestro pasado; respecto de ningún sistema la muerte es anterior al nacimiento.

154

De igual modo, si un átomo emite una partícula  y después una , para todos los sistemas de observadores la emisión  siempre será anterior a la emisión . Así entonces, recibe el nombre de tiempo propio el intervalo de tiempo  que separa dos acontecimientos vinculados a una determinada partícula, desde un sistema respecto del cual está en reposo. Para ese sistema, que se llama propia también, a la distancia espacial entre los dos acontecimientos considerados es nula; por tanto, según [1a] la distancia cronotópica s será: s=c. Como s es invariante, así como c, resulta que el tiempo propio  también lo será. Ahora, si medimos el tiempo t desde un sistema S, respecto del cual la partícula se mueve con velocidad constante v, en la [1a] podemos escribir que c 2t2-v2t2 =c22, de donde t =  /(1-v2/c2)1/2. Aquí fácilmente se puede apreciar que el tiempo t siempre será mayor que el tiempo  y que ambos, siempre tendrán el mismo signo. Así pues, el orden de sucesión de ambos acontecimientos ligados a determinada partícula no cambia, ya que coincide dicho ordenamiento con el tiempo propio. Si ahora suponemos que la partícula considerada se mueve con velocidad variable v(t) respecto del sistema S, vemos que nuestra última ecuación sigue siendo válida para un intervalo de tiempo dt, durante el cual pueda considerarse v como una constante; por tanto, dt = d/(1-v2/c2)1/2 y, consecuentemente,  =(1-v2/c2)1/2 dt, integrando desde la posición A a la B que toma la partícula. Si la aceleración es g entonces  =1/g(1-v2/c2)1/2 dv, integrando desde cero hasta v. Finalmente,  =½tc/v[arcsenv/c+v/c(1-v2/c2)1/2]. Ejemplo, para t=1 año y g=950cm/seg2, resulta que  = 0.85 años. Insistiendo, el tiempo  es el medido desde un sistema respecto del cual la partícula está en reposo, por lo que será el tiempo que indique un reloj que, considerado desde S, se mueve junto con la partícula. Véase que la última ecuación vincula la marcha de un reloj fijo al sistema inercial S (tiempo t) con otro que se mueve aceleradamente (tiempo ). Este resultado es sumamente importante puesto que liga las dos clases de tiempos, el sugerido por el cambio de

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posición (t)y el sugerido por el cambio de estado (), que dio origen a famosa paradoja de los gemelos. Otro de los cambios importantes que produjo la TER fue el referente al observador o sujeto. Recordemos que en el modelo newtoniano el observador se encuentra en la condición del dios bíblico del génesis; esto es, está ubicado por fuera del mundo y al escrutarlo y conocerlo no influencia en su curso histórico. En cambio, en el nuevo modelo el observador se encuentra incluido en el experimento; pero, el resultado de éste no se ve necesariamente modificado por su presencia. La Mecánica Cuántica (MC), que hará aparición veinte años más tarde, precisará este resultado al encontrar que el modelo de la relatividad, sólo es válido a escala macroscópica, pero no a escala microscópica; en ésta, la incidencia del observador en el fenómeno que estudia es inevitable. Al haber perdido el éter toda realidad física, se comprende con suma claridad que no tenga sentido seguir hablando de un movimiento con respecto a la nada, y se comprende así la necesidad de aplicar el principio de relatividad. Pero, lo que no quedaba claro es que este principio fuera válido sólo cuando los cuerpos se mueven rectilíneamente y de manera uniforme. Aparecía una paradoja aparentemente insuperable, pues, aun cuando no tenga sentido hablar de un movimiento acelerado y uniforme en el espacio, sí tendría, en cambio, un significado bien preciso, hablar de una rotación o de un movimiento acelerado respecto de ese mismo espacio que se supuso como del todo vacío, inmaterial. Así por ejemplo, los observadores del interior de un móvil no pueden determinar su velocidad con respecto a ese espacio vacío, según la TER. Pero, en cambio, sí pueden determinar su aceleración absoluta. En consecuencia, el espacio absoluto de la mecánica newtoniana tendría que descartarse cuando se trate de describir movimientos rectilíneos y uniformes, pero tendrá que usarse si queremos describir movimientos acelerados. Se trata de la típica experiencia que viven los ocupantes de un vehículo cuando, estando en marcha rectilínea y con velocidad uniforme, les parece que todo ocurre como si los objetos exteriores se movieran en sentido contrario y a la misma velocidad; pero, cuando el conductor aplica los frenos, los

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ocupantes experimentan los efectos de la aceleración o cambio de velocidad, mientras que los observadores externos no notan absolutamente nada. Newton se sintió enormemente intrigado por éste fenómeno y realizó el famoso “experimento del balde”, que consiste en tomar un recipiente con unas dos terceras partes de agua y suspenderlo con una cuerda que la retorcemos, de modo que al desenrollarse, el recipiente adquiere un movimiento rotatorio. Al comenzar el movimiento las paredes de éste giran con bastante velocidad y la superficie del agua sigue siendo casi plana, como en el reposo, pero paulatinamente el agua es arrastrada y su superficie plana se convierte aproximadamente en un paraboloide de revolución. Ahora, si detengo el movimiento del balde bruscamente, observo que el agua sigue moviéndose y mostrando su superficie de forma paraboloide. Esto prueba que la fuerza centrífuga se origina por la rotación del agua, no con respecto a las paredes del balde, sino a la rotación de la misma “en el espacio”. Si la concavidad se formara por acción del movimiento relativo entre el agua y las paredes del recipiente, tendría que observarse lo mismo cuando el balde girara respecto del agua; pero, lo que en la realidad acontece es justamente lo contrario. Debido a esto Newton introdujo el concepto de espacio absoluto en el que no es representable la velocidad, pero sí la aceleración. Dicho matemáticamente: el espacio absoluto sólo es capaz de representar su segunda derivada con respecto al tiempo (aceleración) y no la primera derivada con respecto a ese mismo tiempo (velocidad) Con la intención de superar esta paradoja Ernest Mach ( 1838-1916) dijo que la superficie cóncava que observamos gira con respecto de las paredes de la habitación y del conjunto de las estrellas. Según la interpretación de Mach, la inercia de los cuerpos sería producida por el efecto gravitatorio causado por el conjunto de todas las estrellas del Universo. Por tanto, lo que causa la concavidad en el agua del experimento del balde es el movimiento relativo de rotación de la misma con respecto al conjunto de todas las masas del Universo. Según esto, si hiciéramos girar rápidamente alrededor del balde un enorme cilindro de gruesas paredes observaríamos cómo la superficie del agua se vuelve cóncava. Debe

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advertirse que para que éste fenómeno sea observable se necesitaría una masa tan grade como la de todo el Universo. No obstante, un experimento de ésta clase fue llevado a cabo en 1894 por los hermanos I. y J. Friedländer. Ellos sustituyeron el balde con agua por una balanza de torsión para aumentar la sensibilidad y como cuerpo giratorio se usó el volante de una gran máquina, pero el “efecto mach” no llegó a observarse. Nunca nadie volvió a repetir el experimento. Empero, lo más importante en la interpretación de Mach es que se hace aparecer en ella, como causa de fenómenos observables ( fuerzas de inercia), otros fenómenos también observables (movimientos

relativos)

y no un “movimiento en el espacio”

totalmente inobservable. En procura de encontrar una solución a este problema, viene al caso mencionar que, debido a la estrecha semejanza entre la ecuación que expresa la ley newtoniana de la gravitación y la que expresa la ley electrostática entre dos cargas, difiriendo solo en el signo que tienen estas fuerzas, les cupo a los físicos abrigar la esperanza de formular una teoría relativista especial de la gravitación que sería muy semejante a la de Maxwell sobre el electromagnetismo. En la memoria de Einstein publicada en 1911 y titulada Sobre la influencia de la gravitación en la propagación de la luz, él da su interpretación del problema planteado utilizando el primer enunciado del principio de equivalencia y siguiendo la indicación de E. Mach. Veamos en que consistió. Para ello, consideremos una región inercial y en ella un sistema inercial S (fig.

1.41a)

Supongamos también un sistema S´ que se traslada

respecto de S con movimiento acelerado y en línea recta. El sistema S´ está constituido por una caja o “ascensor de Einstein” sobre la que actúa una fuerza F en el sentido del eje Z que hace que éste se mueva con movimiento uniformemente acelerado respecto de S. Z

F

S´

158

S

X

Fig 1.41a.- La “caja de Einstein” al moverse aceleradamente, produce en su interior efectos idénticos a los de un campo gravitatorio

Comparemos ahora, lo que sucede en el interior de la caja, con lo que ocurre en una pequeña región de un campo gravitatorio auténtico, tal como aquel que observamos en cualquier región de la Tierra. Pero, primero hagamos que la caja se mueva con aceleración g bajo la acción de la fuerza F, para que las cosas ocurran de la misma manera que en el pequeño campo gravitatorio que tiene también aceleración igual a g. En estas condiciones es posible describir los fenómenos observados de dos maneras diferentes: El sistema S´ se mueve respecto de un sistema inercial con aceleración constante g ó el sistema S´ se encuentra en reposo en un campo gravitatorio de aceleración constante g. Ahora bien, como existe una rigurosa proporcionalidad entre las masas pesantes e inertes de todos los cuerpos, esto permite establecer una equivalencia entre una pequeña región de un campo gravitatorio y un sistema que se mueve con aceleración uniforme con respecto de un sistema inercial. Con la palabra equivalencia queremos significar igual comportamiento en los sistemas en estudio. La necesidad de considerar una pequeña región del campo gravitatorio es evidente, ya que si fuera una región algo extensa, las líneas de campo no serían paralelas y llegarían a cortarse, perdiéndose de este modo la constancia de g; ésta ya no tendría el mismo valor en toda la región. Hoy día nos es familiar observar por TV a los astronautas de la NASA entrenarse en máquinas centrifugadoras que dotan de un campo gravitatorio artificial a una pequeña región del espacio como es la cámara donde ellos se encuentran; llegan incluso a anular la fuerza de un campo de gravedad auténtico, creando así un espacio local de ingravidez. Este ingenioso y persuasivo supuesto tomó el nombre de principio de equivalencia de Einstein y se lo enuncia de la siguiente manera:

159

Una pequeña región R de un campo gravitatorio, donde los cuerpos caen con aceleración g, es equivalente a un sistema S´ que se mueve con aceleración uniforme g respecto de un sistema S. Llegado este momento del relato estimado lector, permítame una corta digresión epistemólogica. Recordemos que las verdades geométricas que aprendimos en la escuela con el nombre de teoremas y que expresan las propiedades que caracterizan a las figuras, gozan de total y absoluta confianza de todos los que las conocen. ¿Quién puede dudar del hecho geométrico de que la suma de los ángulos internos de un triángulo rectilíneo es igual a dos rectos o que en todo triángulo rectángulo el cuadrado que se construye sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados que se construyen sobre los catetos?, ¿de dónde proviene la inmortal y total confianza en la validez absoluta de estas proposiciones?. Ellas han sido establecidas por vía puramente racional a partir de un pequeño número de otras proposiciones, llamadas axiomas, tan simples y tan evidentes, que nadie sería capaz de dudar de su veracidad. Así pues, si los axiomas son verdaderos, es absolutamente necesario que lo sean también sus derivaciones lógicas llamadas teoremas. Pero lo persuasivo y sorprendente de esto es que, si construimos un triángulo físico, por medio de cuerdas tirantes o rayos de luz, y efectuamos sobre ellos las mediciones correspondientes, observamos que los teoremas de la geometría se “cumplen” sobre los mismos en forma casi perfecta. Parecería como si el hombre tuviera la prodigiosa facultad de extraer del interior de sí mismo verdades del mundo exterior referentes al comportamiento de cuerdas tirantes o rayos de luz. Como ya hemos visto a lo largo de la historia de Occidente, el fruto obtenido por el cultivo de la geometría constituyó el argumento de base de las corrientes filosóficas denominadas racionalistas. Por ejemplo, para Descartes, algo es verdadero si se presenta a su espíritu en forma clara y distinta, es el momento en que las palabras evidente y verdadero se confunden en su significado. En juicio de Kant, el espacio de la geometría euclideana es una forma de nuestro propio pensamiento y sus proposiciones son juicios sintéticos a priori. Él agrupa

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los juicios que formulamos con relación a determinado sujeto, en juicios analíticos y juicios sintéticos. En los juicios analíticos, necesariamente verdaderos, el predicado afirma algo que ya está contenido en el concepto que porta el propio sujeto. No se agrega a ellos nada nuevo y en el fondo se trata de puras trivialidades, como cuando afirmamos: los muertos no hablan, el sol brilla, etc. A diferencia, en un juicio sintético se afirma del sujeto algo nuevo, que no está contenido en el concepto del mismo, como cuando se dice: el Sol es un horno termonuclear. Proposiciones de esta clase se obtienen de la observación y de la experimentación, y pueden ser verdaderas o falsas, pero nunca triviales. Los juicios involucrados en las proposiciones matemáticas serían para Kant juicios sintéticos, pues nos dicen algo nuevo que no está contenido en el sujeto, pero éstos son obtenidos a priori; o sea que son alcanzados prescindiendo de toda experiencia. En el concepto de triángulo está contenido, por su propia definición, que aquél es una figura formada por tres ángulos o por tres lados ( juicios analíticos), pero no que la suma de sus tres ángulos sea dos rectos, siendo esta última aseveración un juicio sintético y a priori. La aparición de las geometrías no euclideanas arrojó total claridad sobre esta temática, ya que al disponer de varias geometrías tan lógicas y coherentes en sí mismas como la euclídiana, se puso de manifiesto que las aserciones geométricas -y, en general, todas las proposiciones de la matemática pura- son verdaderas con respecto al grupo de axiomas que han servido de base para establecerlas. Así por ejemplo, si a este grupo de axiomas lo llamamos A y a1 es una proposición que se deduce lógicamente de aquellos, la cuestión acerca de la validez de a1 tiene la forma: si se admite A, entonces vale a 1. Así por ejemplo, los axiomas de la geometría de Euclides definen indirectamente a objetos tales como puntos, rectas, planos, etc. Las proposiciones euclídianas mencionadas son verdaderas y sólo tienen sentido si son una consecuencia lógica de ellos. El más conocido de estos supuestos lógicos es el famoso V postulado acerca de las paralelas, según el cual, desde un punto exterior a una recta, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la recta dada.

161

La métrica de B. Riemann ( 1826-1866)(ver

recuadro 13)

fue la matemática apropiada

para empezar a construir el modelo que Einstein necesitaba para representar el fenómeno gravitacional de una manera superior a cómo lo había hecho Newton; fue a partir de ella que él comenzó a tejer su T.G.R. Esta geometría constituye, en lo que respecta al concepto de espacio, el lugar donde confluyen los desarrollos intelectuales del Viejo Mundo, ya que en ella se sintetizan las nociones euclidianas y no-euclidianas del espacio, vale decir las que corresponden a los espacios de curvatura constante nula (plano), positiva (esférico) y negativa (hiperbólico) ndimensionales. Son sólo estos tres, según ha demostrado la teoría de Lie de los grupos continuos, los únicos tipos de espacio congruentes con la geometría del espacio métrico continuo y diferenciable. A la función que cumple esta condición se la llama: variedad riemanniana de curvatura constante generalizada (ver [46] en el recuadro 14)

Siguiendo en esta línea y como consecuencia, el problema se reducía a determinar, para un campo dado, las diez funciones gik:: por ejemplo, para el campo originado por la masa solar. Estos coeficientes variables intervienen en el cálculo de la distancia cronotópica entre dos eventos infinitamente cercanos y son llamados potenciales gravitatorios de Einstein, son funciones de las coordenadas y sirven para calcular la curvatura del espacio-tiempo al topologizar la métrica euclidiana; lo cual lo logran haciendo intervenir la condición de covariancia de Riemann. Físicamente la curvatura del espacio-tiempo representa a la densidad energética de la materia. Una vez que logramos conocer estas funciones, el problema físico se reduce al cálculo de las geodésicas de la variedad [46] ( ver recuadro 14)

y a comparar los resultados obtenidos con las trayectorias calculadas a

partir de la ley de gravitación de Newton que, como se sabe, da cuenta de manera satisfactoria de las observaciones. Pero, ¿cómo obtener esas funciones?. Ante todo, recordemos el primer enunciado del principio de equivalencia según el cual, si la caja S’ se mueve con movimiento uniformemente acelerado respecto del sistema inercial S, se comporta como cierto campo gravitatorio Q. Esto permite describir lo que pasa en S’ -como ya lo indicamos- de dos modos diferentes:

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a)

S’ se mueve con movimiento acelerado respecto de S.

b)

S’ está en reposo en un campo gravitatorio de ciertas características.

Si fijamos nuestra atención en la segunda manera de describir las cosas, llegamos a la conclusión de que, con toda razón, los observadores de S’ pueden suponerse en reposo. Desde allí, desde S’, verán que los cuerpos fijos respecto de S se mueven con movimiento acelerado y dirán: claro, esos cuerpos caen por la acción del campo gravitatorio. En la TER todos los sistemas de referencia que se trasladan unos respecto de otros con movimiento uniforme son equivalentes, pues cualquiera de ellos puede suponerse en reposo. Las leyes deben conservar la misma forma cuando se pasa de un sistema a otro aplicando las ecuaciones de transformación de H. Lorentz ( recuadro 12) Aquí nos encontramos con el hecho de que los observadores del sistema S’ (no inercial), pueden suponerse en reposo por la misma razón que los observadores del sistema S. El pasar de S’ a S implica un cambio de coordenadas que, en general, no será lineal, y, no obstante, tanto S’ como S pueden considerarse en reposo. ¿Qué significa esto de que pueden considerarse en reposo? Significa que ambos sistemas son igualmente apropiados, igualmente válidos. Y, para que esto sea así es necesario que la expresión matemática de las regularidades observadas en la naturaleza, tengan la misma forma, tanto referidas a S como a S’. Por lo tanto, el segundo enunciado del principio de equivalencia puede escribirse de la siguiente manera: El sistema inercial S y el sistema S’, que se mueve respecto de S con movimiento uniformemente acelerado, son entre sí equivalentes. En este enunciado la palabra equivalencia6 no tiene el significado de “comportamiento idéntico” que tenía en el primer enunciado. En el primer enunciado se relaciona S’ con la región Q del campo gravitatorio, en tanto que en el segundo enunciado se relaciona S’ con el sistema inercial S. Al afirmar que ambos sistemas son equivalentes, se afirma que las ecuaciones que representan 6

El principio fue publicado por A. Einstein en el artículo titulado Los fundamentos de la T.G.R aparecido en 1916.

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las regularidades de la naturaleza deben tener la misma forma tanto referidas a un sistema como al otro. El segundo enunciado del principio de equivalencia es la generalización lógica del principio de relatividad utilizado en la TER. Entonces, las regularidades de la naturaleza pueden expresarse de manera tal que conserven su forma para cualquier cambio de coordenadas. Éste es el principio de covariancia universal ó invariancia relativista que deben satisfacer todas las leyes de la física frente a cualquier cambio del sistema de referencia. Pero para poder expresar las leyes de la naturaleza de modo tal que conserven su forma frente a cualquier sustitución de coordenadas, es necesario que las mismas sean formuladas tensorialmente. Lo que hemos expuesto en el recuadro 13 nos enseña cómo se puede hacer “geometría interna”, que es lo que de hecho hacían sobre una superficie aquellos geómetras planos habitantes de Planilandia en la ampliamente conocida novela de Edwin A. Abbot. Ellos, sin salir de su mundo de dos dimensiones, podían reconocer interpretando sus medidas si se encontraban viviendo sobre un plano, sobre una superficie esférica o sobre otra de curvatura negativa. En un mundo de tres dimensiones se puede en principio, proceder de la misma manera y estudiar la estructura geométrica del mismo sin apelar a una cuarta dimensión. Piénsese, por ejemplo, en la geometría esférica de Riemann de tres dimensiones. Si pensamos en una superficie de dos dimensiones y elegimos para el estudio de la misma un sistema particular de coordenadas (la superficie de la Tierra, por ejemplo),

red de meridianos y paralelos sobre la

nos encontramos con que ciertas propiedades son

independientes del sistema de coordenadas elegido. La curvatura de la superficie en un punto determinado, si ésta es un elipsoide, será variable punto a punto y se expresará en función de las coordenadas, pero al pasar de un sistema a otro, la curvatura seguirá siendo en cada punto la misma. Igual ocurre con la línea geodésica que une dos puntos de la superficie. Esta línea, en el caso de una superficie plana es una recta y su ecuación en coordenadas cartesianas es bien diferente a su ecuación en coordenadas polares. Pero, la línea mas corta que une dos puntos determinados de una superficie es independiente del sistema de coordenadas, es una propiedad intrínseca de la superficie misma y el cálculo

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diferencial absoluto o cálculo tensorial procura dar una ecuación general de la misma tal que sea válida en cualquier sistema de coordenadas. Si en un sistema particular de coordenadas se tiene un ente llamado tensor, definido por cierto número de funciones de esas mismas coordenadas, funciones que se llaman componentes del tensor (un campo de vectores, por ejemplo), al efectuar un cambio de coordenadas existen ciertas reglas que permiten calcular las componentes de aquel ente en el nuevo sistema. Las nuevas componentes se expresan en forma lineal y homogénea en función de las antiguas, por lo que, si todas las componentes de un tensor son nulas en un sistema de coordenadas, lo serán también en cualquier otro. De aquí que si determinada ley física se expresa por la articulación de todas las componentes de un tensor, esa ley será válida para cualquier sistema de coordenadas. Para satisfacer el principio general de la relatividad, o sea para que las leyes se expresen de idéntico modo en todos los sistemas de referencia, será suficiente, entonces, expresar las mismas como la anulación de las componentes de determinado tensor. El cálculo tensorial proporciona de este modo, el instrumento matemático necesario para satisfacer la exigencia de la covariancia universal de las leyes naturales frente a cualquier cambio en el sistema de las coordenadas. Casi inmediatamente después de haber dado a conocer su teoría especial de la relatividad, en 1905, Einstein procuró generalizarla para toda clase de movimientos, pero no poseía en aquel entonces la matemática adecuada que le hacía falta. En el año 1911 siendo profesor de física teórica en la universidad de Praga, estableció amistad con el profesor de matemática de la misma universidad, Georg Pick, que en su juventud había sido ayudante de E. Mach en la cátedra de física experimental. Y fue Pick quién le dio ha conocer la memoria de los matemáticos italianos Ricci y Lévi Civita, aparecida en el año 1900 y titulada Métodos de Cálculo Diferencial Absoluto y sus aplicaciones que proporcionaba de un modo completo y perfecto el lenguaje matemático adecuado para generalizar la teoría de la relatividad a cualquier clase de movimientos. En la teoría de Newton un campo gravitatorio queda totalmente determinado si se conoce el potencial

, que en el vacío satisface la ecuación de Laplace. En

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cambio, en la nueva teoría deben calcularse las diez funciones g ik que son los coeficientes del diferencial de la distancia cronotópica, como ya señalamos. Ahora bien, ¿a qué ecuaciones satisfacen estos g ik en el espacio libre de materia?. Lo primero que salta a la vista es que, como se debe satisfacer el principio generalizado de la relatividad, esas ecuaciones deben tener una forma tensorial. Lo segundo es que estamos al tanto de que la teoría de Newton da cuenta satisfactoriamente de las observaciones y que en la ecuación de Laplace figuran derivadas segundas de la función escalar . Las ecuaciones que buscamos deben ser, entonces, análogas a la de Laplace y podrán ser obtenidas mediante la anulación de las componentes de cierto tensor; por lo que, éste tendrá que estar expresado en función de los gik y de sus derivadas primeras y segundas con respecto a las coordenadas. Estos resultados se consiguen si se anula el tensor de cuarto orden de Riemann-Christoffel, pero la anulación de todas las componentes de éste conduce, necesariamente, a una variedad euclídea en la cual las geodésicas son rectas. Este modelo deberá ser descartado, pues no es congruente con la realidad; por ejemplo, en el campo de gravedad del Sol, los planetas siguen trayectorias curvas. A diferencia, la anulación de las componentes del tensor contraído de Ricci, no conduce a ese extremo, por lo cual Einstein postuló que las ecuaciones a las que deben satisfacer los g ik en el vacío, son: [A]

Rik = 0

Pero estas diez ecuaciones no son suficientes para determinar los g ik, así como en la ecuación de Laplace, que por sí sola, no permite determinar el potencial . Se hace imperioso, por tanto, encontrar ecuaciones que sean análogas a las de Poisson, en las que el potencial  queda determinado por la densidad  de la materia y su distribución. Sabemos que las ecuaciones tendrán que ser tensoriales y que en el primer miembro aparecerá un tensor constituido exclusivamente por los gik y sus derivadas, de carácter puramente geométrico. Este deberá igualarse a otro tensor que exprese la parte física del modelo, correspondiente a la materia que genera el campo. Este desempeñará el mismo papel que el segundo miembro de la ecuación de Poisson, igual a 4G. Pero, debido a que la masa y la energía son, según la TER, conceptualmente lo mismo (E = mc2), los efectos gravitatorios 166

deben tener como fuente al conjunto materia-energía. En otras palabras, los g ik deben estar determinados tanto por la distribución de las masas como por la distribución de la energía. Este tensor de segundo orden lo han llamado tensor materia-energía, Tik y como él satisface a un principio de conservación, el tensor geométrico deberá tener el mismo carácter. Por tanto, las ecuaciones de Einstein, análogas a las de Poisson y que satisfacen el principio de conservación de la materia-energía, son: [B] Rik-½ gikR =-KTik, donde K = constante de gravitación de Einstein = (8/c2) G ó

Rik = -K (Tik -½ gik T)

Estas son las ecuaciones de campo de Einstein que, en el espacio vacío, se reducen a las [A], debido a que en una región así todas las componentes del tensor Tik son nulas, al igual que el escalar T. De esta manera Einstein nos brindó una teoría de gravitación universal notable y hermosa, en la cual los efectos provocados por la gravitación son descritos en función de la estructura del espacio-tiempo y, se la relaciona con la distribución de la materia-energía. Con esta realización, Einstein había logrado lo que Newton en su tiempo; esto es, construir un modelo del mundo con la misma capacidad de predicción, solo qué, más general que el otro. Con este magnífico trabajo él había llevado al EMROcc a su extremo desarrollo. Todo parecía como que si el ser humano estuviese a un paso de leer la mente de Dios de manera total y definitiva y de permanecer sentado a su diestra por siempre. Sólo faltaba crear la Teoría del Campo Unificado (T.C.U) para alcanzar tan sublime objetivo. Esta teoría ha pretendido reunir en un solo modelo matemático a las cinco fuerzas fundamentales de la naturaleza: la eléctrica, la magnética, la débil, la fuerte y la gravitacional. Einstein, después de la publicación de la TGR en 1916, ocupó todo el resto de su vida tratando de construir su TCU y no lo consiguió, nadie lo ha hecho hasta la fecha de manera totalmente satisfactoria. Como hemos visto, llegar a ésta cúspide ha sido el conspicuo sueño de la Civilización Occidental. El mismo sueño lo abrigó la Civilización Oriental, sólo que por otro camino: el de la meditación trascendental que se expresa por medio de mantras o “vibraciones mentales” y no por ecuaciones. Mientras Occidente ha desarrollado la matemática

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del infinito de manera extroversial, Oriente lo hizo de modo introversial; pero, los dos han buscado trascender el Mundo tomando el camino de la abstracción, con la finalidad de conseguir la condición de la conciencia divina. Los primeros por la vía del reduccionismo analítico y los segundos por la vía del holismo contemplativo. No cave duda que Einstein estuvo convencido de que su teoría tenía la inconfundible señal de la presencia divina cuando dijo que «Dios no juega a los dados»; sin embargo, cuando se sumergía en el estado de ánimo que le producía la contemplación de los terribles sucesos que aparecían diariamente en el escenario presentado por la primera guerra mundial, su alma se trizaba y esto le provocaba nauseas y fuertes depresiones. Él veía que su teoría le revelaba la más profunda racionalidad subyacente al Mundo y, sin embargo, la guerra, como un suceso del Mundo, le mostraba todo lo contrario. El se confesó incapaz de poder dar una explicación de la guerra en función de la racionalidad occidental que él practicaba y más tarde le dirigió la pregunta a Sigmund Freud en una célebre carta7. He aquí, al más refinado de los modelistas matemáticos de la historia, sufriendo los tormentosos efectos letales de la gran paradoja que dio origen a la Civilización Occidental, aquella que descasa en la operación de punto o círculolímite, en el acto de trascendencia que ha configurado de manera plena al EMROcc. Finalmente, para no dejar suelto el problema del “balde de Newton”, manifestemos que había recibido contestación final con la explicación dada por Einstein al popular experimento de las hojas de té, que consiste en revolver en un recipiente con agua trocitos de hojas de té ( situación

análoga a la del balde ).

Al suspenderse la

agitación, las partículas caen agrupándose en el centro de la tasa, y no dispersándose por acción de la fuerza centrífuga, conforme lo esperado por el sentido común y por las leyes de la física conocidas hasta el momento. Einstein atribuyó este comportamiento anómalo, a los flujos que se producen en el líquido cuando éste gira y observables cuando tiende ha subir por los bordes y ha bajar 7

En 1931, el Comité de las Letras y de las Artes de la Sociedad de Naciones promovió un intercambio de cartas entre destacados intelectuales. Einstein, a quien se le invitó a buscar un colega para tratar un tema importante del momento, escogió a Freud y se dirigió al él con esta pregunta: «¿Por qué hay guerra?»

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en el centro, siguiendo la forma de un torbellino, la cual decide el patrón de caída de las partículas. Tal explicación permaneció incuestionada hasta cuando Nikolái Koroviakov de Tula, por el año 1986 obtuvo idéntico resultado, pero usando un recipiente hermético y totalmente lleno de agua, donde no había lugar para los flujos. Y, un resultado aún más sorprendente consiguió al

sustituir el té por partículas de

plástico de distinto color y peso. En este caso, en el centro se forma una ¡figura pentagonal! Para entender este fenómeno, explica Koroviakov, es necesario dejar de reducir a puntos las masas de los cuerpos. Haciéndose necesario, por tanto, incluir el conocimiento sobre la estructura interna de la Tierra en la construcción del modelo explicativo. Este acontecimiento nos muestra una limitación más del EMROcc que aumenta la expectativa y profundiza el misterio a cerca del movimiento del “balde de Newton” Hemos descrito brevemente, interpretando su huella histórica, lo que tienen en común la mecánica clásica, la teoría especial de la relatividad, y la teoría general de la relatividad, y también hemos visto cómo llegaron ha configurarse en un solo sistema del mundo, debido a que fueron construidas en una misma clase de espacio de representación: el puntiforme o analítico diferencial. Siendo ésta la razón por la cual, los tres sistemas conciben a los objetos, cuyos cambios de posición recíproca describen y predicen, como si fuesen partículas sin estructura interna, todos los objetos son asumidos como intrínsecamente idénticos. Esto hace que los tres sean aptos para calcular los cambios que experimentan las relaciones de posición de los cuerpos sometidos tanto a fuerzas de inercia como a fuerzas gravitatorias; vale decir, cambios de la estructura externa de los sucesos. Así mismo los tres son útiles para establecer la métrica del movimiento de los cuerpos y realizar predicciones deterministas; para esto, incluyen una sola coordenada temporal y tres espaciales; ésta es su característica fundamental. Así, dadas unas condiciones cualesquiera, ese espacio de representación puede revelarnos el pasado y el futuro del proceso cuya evolución se describe. Para lograrlo, el “demonio de Laplace” está condenado a utilizar una sola coordenada del tiempo, aquella que corresponde a la noción de “tiempo reversible”. Es la

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expresión cuantitativa del tiempo; es aquel que se representa en el espacio métrico; es el tiempo sugerido por el movimiento de los astros, causa por la que está espacializado; por ejemplo, en el reloj de manecillas que funciona cuando éstas se mueven de manera continua, señalando en una regla circular el momento en que acaecen los eventos.

1. 4 2

La catástrofe Cuántica

La teoría cuántica nació al despuntar el siglo XX, fue enunciada en el año 1900 en su forma primitiva por su fundador, Max Planck ( 1858-1947), quién la construyó para explicar el raro fenómeno que encontró al estudiar la radiación electromagnética emitida por un cuerpo radiante ( cuerpo

negro)

Descubrió que la luz que emerge a

través de un orificio practicado en éste, no presenta las líneas de emisión típicas, sino una distribución uniforme de la intensidad en función de la longitud de onda. Además observó que ésta era una característica exclusiva de la temperatura, estrictamente cuantitativa, no dependía en absoluto de la calidad del cuerpo caliente. Se observa que a bajas temperaturas, inferiores a 4000°K, la mayor parte de la energía se concentra en la región infrarroja y sólo una pequeña cantidad corresponde a la banda visible, entre 4000 y 8000 Angströms (Å). A 6000°K, la longitud de onda correspondiente a la máxima cantidad de energía es de 5000 Å, aproximadamente, y una fracción grande de la energía emitida se encuentra en la región visible. Debo advertir que los físicos teóricos se interesaron por el problema de la emisión de la luz por los cuerpos incandescentes con anterioridad a 1900 y llegaron a la conclusión de que eran incapaces de explicar estas observaciones basándose en la absorción y emisión de luz por las moléculas vibrantes de un cuerpo incandescente; o sea, según la teoría cinética del movimiento molecular. Más tarde, descubrió que se podía formular una teoría satisfactoria si suponía que el cuerpo incandescente no emite ni absorbe luz de una determinada longitud de onda en una cantidad arbitrariamente pequeña (infinitesimal), sino que debe emitir o absorber un cierto cuanto (finitesimal) de energía luminosa, de esta longitud de

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onda. A pesar de que su teoría no exige que la luz misma sea considerada como compuesta por porciones de energía -cuantos de luz o fotones-, él encontró que la cantidad de energía luminosa de longitud de onda , absorbida o emitida de una vez por un cuerpo incandecente era directamente proporcional a la frecuencia : E=h ó E=hc/. Donde, E es la energía luminosa de frecuencia  y emitida o absorbida de una vez, y h, la constante de proporcionalidad. Esta constante h es una de las constantes fundamentales de la Naturaleza y componente fundamental de toda la teoría cuántica. Se la conoce como la constante de Planck, y tiene un valor h=6,6238x10-27erg.seg. Según la ley de Planck, se observa que la luz de longitud de onda corta consta de porciones grandes de energía y la de longitud de onda larga, de porciones pequeñas. En 1887, el físico alemán Heinrich Hertz ( 1857-1894), quién descubrió las ondas de radio, observó que cuando se iluminan con luz ultravioleta dos electrodos metálicos se necesita un voltaje inferior para producir la chispa entre ellos que cuando no se iluminan. Después, J. J. Thomson ( 1856-1940) descubrió, en 1898, que la superficie de un metal sobre la que incide luz ultravioleta emite cargas eléctricas negativas, pudiendo probar que la carga eléctrica negativa que abandona la placa de cinc bajo la influencia de la luz ultravioleta está formada por electrones. La emisión de éstos por la acción de la luz ultravioleta o de los rayos X se denomina efecto fotoeléctrico. El estudio del efecto fotoeléctrico fue de gran utilidad, pronto observaron los científicos que la luz visible, al incidir sobre una placa de cinc, no produce la emisión de fotoelectrones, mientras que la luz ultravioleta de longitud de onda inferior a 3500 Å da lugar a dicha emisión. A la longitud de onda máxima que resulta efectiva para arrancar electrones se la llama umbral fotoeléctrico. Además, se encontró que los fotoelectrones son emitidos con un exceso de energía cinética, que depende de la longitud de onda de la luz incidente. Estos fenómenos fueron explicados por Einstein en 1905, mediante su teoría del efecto fotoeléctrico. Él supuso que la luz que incide sobre la placa metálica consta de cuantos de luz o fotones de energía h, y que cuando la luz es absorbida por el metal, toda la energía de un fotón se convierte en energía de un fotoelectrón. No 171

obstante, el electrón debe utilizar una parte Ei de su energía para abandonar el metal, la energía de ionización del metal. La restante es la energía cinética del fotoelectrón. La ecuación fotoeléctrica de Einstein es, por tanto, h =Ei +½ mv2. Esta famosa ecuación establece que la energía del fotón, h, es igual a la necesaria para arrancar un electrón del metal Ei más la comunicada al electrón. El éxito de esta ecuación en la explicación de los fenómenos del efecto fotoeléctrico fue, en gran parte, la causa de que se aceptase la idea del cuanto luminoso. La mayor parte de los conocimientos acerca de la estructura electrónica de los átomos se obtuvieron estudiando la luz que emiten éstos cuando se excitan por diversos medios: alta temperatura o haciendo saltar un arco o chispa eléctricos. La luz emitida por los átomos consta de líneas de frecuencias determinadas, que se llama espectro de líneas del átomo. El estudio minucioso de los espectros de líneas comenzó hacia 1880. Los primeros investigadores comenzaron con la interpretación de los espectros reconociendo las regularidades que existen en las frecuencias de las líneas: aquellas correspondientes al espectro del átomo de hidrógeno. Sin embargo, hasta 1913 nadie consiguió la interpretación del espectro del hidrógeno en función de la estructura electrónica de su átomo. En dicho año, el físico danés Niels Bohr (1885-1964) aplicó satisfactoriamente la teoría cuántica a este problema y estableció las bases que condujeron al extraordinario avance del conocimiento sobre la naturaleza de la materia en los años venideros. Según el modelo el átomo de hidrógeno consta de un electrón y un protón. La interacción de sus cargas eléctricas, -e y +e, respectivamente, de tipo electrostático, es análoga a la interacción gravitatoria de la Tierra y el Sol. Si se aplicasen al átomo de hidrógeno la leyes del movimiento de Newton, debería esperarse que el electrón, que es muy ligero comparado con el núcleo, girase alrededor de éste según una órbita elíptica, de la misma forma que la Tierra lo hace alrededor del Sol. La órbita más sencilla para el electrón alrededor del núcleo debería ser un círculo, y las leyes del movimiento de Newton permitirían que tuviese cualquier tamaño, determinado por la energía del sistema.

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A partir del descubrimiento del electrón y del protón, los físicos que estudiaban la estructura atómica aceptaron este modelo, y resultó evidente que las teorías clásicas (incluida la TGR) del movimiento de las partículas o leyes del movimiento de Newton y de la electricidad y magnetismo no podían aplicarse al átomo. Si el electrón girase alrededor del núcleo, según la teoría electromagnética, produciría luz, de frecuencia igual a la correspondiente a la rotación del electrón en el átomo. Esta emisión de luz por el electrón en movimiento es análoga a la emisión de ondas hertzianas por los electrones que oscilan en una antena de radio o TV. Sin embargo, si el átomo emitiera energía en forma de luz de manera continua, el electrón debería moverse en un círculo que iría aproximándose cada vez más al núcleo, y la frecuencia de su movimiento en torno del mismo sería cada vez mayor. Según esto, las teorías clásicas del movimiento y del electromagnetismo exigirían que los átomos de hidrógeno produjesen un espectro luminoso con todas las longitudes de onda ( espectro

continuo).

Esto es contrario a lo observado: el

espectro del hidrógeno, producido en un tubo de descarga que contiene átomos de hidrógeno, consta de líneas dispuestas a saltos ( || | | | ), como un código de barras. Además, se sabe que el volumen ocupado por el átomo de hidrógeno en una

sustancia

sólida

o

líquida

corresponde

a

un

diámetro

de

1

Å,

aproximadamente, mientras que en la antigua teoría nada había que impidiese que el electrón se aproximase cada vez más al núcleo, llegando así el átomo a tener un diámetro menor que 1 Å, La teoría de Planck sobre la emisión de luz por un cuerpo incandescente y de Einstein del efecto fotoeléctrico y del cuanto luminoso proporcionaron a Bohr las bases teóricas suficientes para resolver aquella dificultad. Al momento, tanto Planck como Einstein ya habían admitido que la luz de frecuencia  no es absorbida ni emitida por la materia en cantidades arbitrariamente pequeñas (infinitesimales), sino solamente en forma de diminutos paquetes o cuantos de energía h. Por tanto, el modelo por ser discreto no era representable en el EMROcc. He aquí el obstáculo epistemológico que inopinadamente se presentaba en la ciencia occidental: el EMROcc no era capaz de describir los fenómenos cuánticos, ya que éstos no se adaptaban a su carácter diferencial. Este hecho si

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que era verdaderamente revolucionario, el corazón de las matemáticas occidentales acababa de sufrir el primer infarto de su historia. Es muy fácil entender que algo que es continuo no puede dar cuenta de algo que no lo es. Si un átomo de hidrógeno, en el que el electrón gira alrededor del núcleo en una órbita circular grande, emite un cuanto de energía h, el electrón debe “saltar” a una órbita circular menor, correspondiente a un valor de la energía del átomo h, menor que la inicial. Esto llevó a Bohr a concluir que el átomo de hidrógeno sólo puede existir en determinados estados, llamados estados estacionarios. Admitió que uno de estos estados, el estado fundamental o normal, es el más estable y corresponde a la mínima energía del átomo. Los otros estados, con un exceso de energía respecto del normal, se llaman estados excitados. Más tarde, en acuerdo con los trabajos de Planck y Einstein, escribió que cuando un átomo pasa de un estado excitado de energía, E”, a otro de energía inferior, E’, cuya diferencia E”E’, es igual a la del cuanto luminoso emitido. Esta ecuación, hv= E”-E’, se llama ley de la frecuencia de Bohr. La misma ecuación se aplica para la absorción de luz por los átomos. Así mismo, la frecuencia de la luz absorbida al pasar de un estado inferior a otro superior es igual a la diferencia de energías de ambos estados, dividida por la constante de Planck. Esta ecuación también se aplica a la emisión y absorción de luz por moléculas y sistemas más complejos. Bohr también descubrió un método para calcular las energías de los estados estacionarios del átomo de hidrógeno, utilizando la constante de Planck. Encontró que los valores correctos de éstas se obtenían admitiendo que las órbitas de los electrones son circulares y que el momento cinético del electrón vale: para el estado normal, h/2; para el primer estado excitado, 2h/2; para el siguiente, 3h/2, y así sucesivamente. En general, el momento cinético del electrón que describe una órbita circular alrededor del núcleo (órbita de Bohr) viene dado por la expresión: momento cinético = nh/2 . El número n, introducido de esta forma en la teoría de Bohr, se llama número cuántico principal de la órbita de Bohr. El radio de esta órbita se encontró que era igual a rn=n2ao, donde ao=h2/42me2=0,530 Å.

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Según esta ecuación, m es la masa del electrón, e su carga y el radio r1 de la órbita de Bohr para el estado normal ( n=1) del átomo de hidrógeno es 0,530 Å; para el primer estado excitado, cuatro veces mayor; para el siguiente, nueve veces, y así sucesivamente. La energía del átomo en el n-ésimo estado estacionario viene dada, según la teoría de Bohr por la ecuación En= -22me2/n2h2. Cuando en 1913 Bohr dio a conocer esta teoría suscitó gran interés, ya que permitía calcular totalmente las líneas espectrales del hidrógeno a partir de magnitudes físicas que habían sido determinadas por otros experimentos. Recordaremos que la carga del electrón había sido determinada por el método de la “gota de aceite”, ideado por Millikan; la masa del electrón por medio del experimento el de J. J. Thomson ( 1856-1940); la constante de Planck, por medidas experimentales de la distribución de la intensidad de la energía radiante en función de las longitudes de onda, en la luz emitida por un cuerpo incandescente, y más exactamente por Millikan, mediante sus experimentos sobre el efecto fotoeléctrico y la velocidad de la luz, por Albert Michelson. Inmediatamente muchos investigadores comprobaron la teoría con otros experimentos más sensibles, pero también más difíciles de realizar. Durante los años 1924 y 1925 la teoría de la estructura atómica realizó un gran progreso al disponer de elementos nuevos para el desarrollo de una nueva teoría de la Mecánica Cuántica. Se descubrió el spín del electrón, Wolfgang Pauli (19001958)

formuló el principio de exclusión y se descubrió el carácter ondulatorio del

electrón. Los experimentadores descubrieron que las líneas de la serie de Balmer del espectro del hidrógeno, no son, en realidad, líneas sencillas, sino que se componen de pares de líneas que se diferencian sólo muy ligeramente en sus longitudes de onda. La explicación que dieron los que descubrieron este desdoblamiento de los niveles de energía en dobletes, fue que podría interpretarse cuantitativamente sí se suponía que el electrón gira alrededor de su eje. A causa de que el electrón está cargado negativamente, el giro alrededor de su eje le dota de un momento magnético análogo al de un diminuto imán que posee un polo norte y un polo sur. La teoría cuántica exige que este pequeño imán se oriente en un campo magnético en una de estas dos formas: o bien paralelamente al campo,

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u opuesto a él. En el movimiento del electrón en torno del núcleo, la órbita electrónica equivale a un circuito eléctrico y produce un campo magnético que interacciona con el campo magnético del electrón que gira, de forma tal que hace variar la energía del sistema. Las dos orientaciones del spin electrónico corresponden entonces a dos niveles energéticos muy próximos entre sí. En 1925, Wolfgang Pauli propuso un sencillo principio de gran importancia, que ha llegado a ser conocido como el principio de exclusión de Pauli. Supuso que dos electrones no pueden tener exactamente el mismo conjunto de números cuánticos. Es decir, dos electrones no pueden estar en el mismo estado. Así, por ejemplo, en el átomo de helio los dos electrones podrían ocupar la órbita más estable, la correspondiente a n=1. No obstante, según el principio de exclusión de Pauli, únicamente pueden ocuparla si sus spines son opuestos. Por otra parte se observa que el litio, el tercer elemento, no puede tener sus tres electrones en la órbita n=1, ya que el tercer electrón tendría que tener su spin paralelo al del primero o al del segundo, lo cual contradice el principio de exclusión. Por tanto, el átomo de litio en su estado normal debe tener dos electrones en la órbita n =1, la más estable y otro en una menos estable, n =2. La gran variedad de propiedades químicas de los noventa y ocho elementos y la periodicidad que ha permitido formular el sistema periódico son consecuencia de la propiedad de la Naturaleza expresada por el principio de exclusión de Pauli. Si no fuera por él -si pudiera introducirse en la órbita más estable, n=1, de cada átomo cualquier número de electrones-, las propiedades físicas y químicas de las sustancias variarían sólo uniformemente al aumentar el número atómico, y el mundo no mostraría la gran variedad de estructuras y composiciones que presenta. Durante los doce años siguientes a la formulación por Bohr de la teoría orbital del átomo, se realizó un gran avance en la interpretación de los espectros observados y de otros resultados experimentales, tales como los obtenidos por el método del impacto electrónico. Especialmente importante fue el descubrimiento por Arnold Sommerfeld (1868-1951) de que la teoría cuántica podía aplicarse lo mismo a las órbitas elípticas que a las circulares.

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Surgieron muchas dificultades, sin embargo, al interpretar los hechos observados basándose en la teoría cuántica, éstas sólo fueron superadas en los años 1924 y 1925. Durante estos años, se reconoció que los electrones y otras formas de materia tienen propiedades análogas a las de las ondas, así como otras que nor malmente se adscriben a las partículas. El carácter ondulatorio del electrón fue descubierto por el físico francés Louis de Broglie (1892-1987) mientras trabajaba en la teoría cuántica. Estos resultados le sirvieron como tesis para obtener el doctorado en la Universidad de París. Reconoció que podían obtenerse sorprendentes analogías entre las propiedades de los electrones y las de los cuantos luminosos si se asociaba una longitud de onda a los electrones en movimiento. Esta longitud de onda se denomina actualmente longitud de onda de De Broglie del electrón y viene dada por la ecuación =h/mv. En ella,  es la longitud de onda del electrón; h la constante de Planck; m, la masa del electrón, y v su velocidad. Nótese que  va disminuyendo al aumentar la velocidad del electrón, y para el caso extremo en que el electrón se encuentre en reposo esta será de longitud infinita. La argumentación desarrollada por De Broglie en su descubrimiento de la longitud de onda del electrón dice que, por una parte, la energía de un fotón de frecuencia

 es h y por otra, que la masa del fotón está relacionada con la energía por la ecuación de Einstein E=mc2, lo que nos lleva a igualar las dos ecuaciones y ha obtener: mc2=h, donde m representa la masa del fotón. Ahora, si en la ecuación reemplazo  por c/ se tiene que =h/mc, que se la conoce con el nombre de ecuación de De Broglie. Él señaló que la misma ecuación puede aplicarse a un electrón siendo m la masa del electrón en lugar de la del fotón, y sustituyendo c, velocidad del fotón, por v, la del electrón. Además, observó que la longitud de onda del electrón, tal como viene dada por su ecuación, tiene exactamente el valor necesario para producir refuerzo de las ondas electrónicas en las sucesivas órbitas circulares de Bohr. Por ejemplo la órbita circular de Bohr de número cuántico total n=5. La longitud de la misma, 2 veces el radio, es igual a cinco veces la longitud de onda de De Broglie de un electrón que se mueva con la

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velocidad dada por la teoría de Bohr para dicho electrón en esta órbita. De este modo, puede considerarse que las ondas electrónicas se refuerzan entre sí siempre que el electrón gire alrededor del núcleo en esta órbita, mientras que en órbitas ligeramente mayores o menores, las ondas interferirían. Los cálculos que justifican estas afirmaciones se realizaron y dieron resultados como el de que la energía cinética de un electrón en la primera órbita de Bohr, estado normal del átomo de hidrógeno, es 13.6 ev. Al resolver este ejemplo se ha encontrado que la longitud de onda del electrón es 3,33 Å. El radio de la primera órbita de Bohr es 0,530 Å; cuando este valor se multiplica por 2, se obtiene 3,33. Por tanto, en la primera órbita de Bohr, según los cálculos de De Broglie, hay exactamente una longitud de onda en la circunferencia de la órbita. De acuerdo con la teoría de Bohr, la velocidad de un electrón en la n-ésima órbita de Bohr es n veces menor que la velocidad en la primera órbita de Bohr y la longitud de onda será n x3,33 Å. Sin embargo, la circunferencia de la órbita de Bohr es proporcional a n2, siendo igual a n2x3,33 Å. Por consiguiente, este cálculo demuestra según descubrió De Broglie, que existen n longitudes de onda electrónicas en la circunferencia de la n-ésima órbita de Bohr. El carácter ondulatorio de los electrones en movimiento fue establecido como consecuencia de los trabajos de los físicos C. J. Davisson y G. P. Thomson. Estos investigadores encontraron que los electrones difractados por los cristales producen diagramas de difracción análogos a los producidos por los rayos X difractados por los cristales, y, además, que estos diagramas de difracción, interpretados con arreglo a la ley de Bragg, corresponden a la longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie. Hacia 1925 la teoría cuántica, que incluía el carácter ondulatorio del electrón, fue perfeccionada hasta convertirse en lo que se denomina Mecánica cuántica (M.C) o Mecánica ondulatoria, fue desarrollada principalmente por los físicos Werner Heisenberg, Erwin Schródinger y Paul Adrien Maurice Dirac. La M.C parece estar totalmente de acuerdo con los datos experimentales acerca de la estructura de los átomos y moléculas; pero los físicos tuvieron que hacerle algunas adiciones y adecuaciones antes de aplicarla a la estructura de los núcleos atómicos.

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La MC no describe el movimiento de los electrones en torno al núcleo del átomo de forma tan precisa como lo hizo la teoría Bohr. Sin embargo, las propiedades del átomo que pueden ser medidas vienen correctamente expresadas por sus ecuaciones. Estas propiedades comprenden, por ejemplo, la distancia media del electrón al núcleo en un estado cuántico particular, y también la velocidad media con que dicho electrón se mueve. Se observó que la distancia media entre el electrón y el núcleo es igual a la calculada por Bohr, y que la velocidad media cuadrática es también la misma. Sin embargo, el momento cinético es diferente y, en particular, el electrón del átomo de hidrógeno en su estado normal no se mueve alrededor del núcleo en una órbita de momento cinético h/2, sino que lo hace acercándose y alejándose del núcleo en una órbita de momento cinético nulo. Los electrones que giran alrededor del núcleo se describen en MC por ciertas funciones matemáticas llamadas funciones de onda. La función de onda para un electrón se llama función de onda orbital y el electrón se dice que ocupa un orbital, antes que una órbita. El empleo de un nombre diferente indica que el movimiento de un electrón, según la MC, difiere un poco del movimiento según una órbita de Bohr, que es el análogo del sistema solar. Sólo hay un orbital que posee el número cuántico principal n=1 se le denomina orbital 1 s y se dice que constituye la capa K. Para n=2, hay cuatro orbitales; uno de ellos posee una gran excentricidad, pero no tiene momento cinético: se llama orbital 2s; los otros tres corresponden a una órbita aproximadamente circular: orbitales 2p. Los tres orbitales diferentes 2p representan distintas orientaciones de la órbita en el espacio. Estos cuatro orbitales, un orbital 2s y tres orbitales 2, constituyen la capa L. La capa M está constituida por un orbital 3s, tres orbitales 3p y cinco orbitales 3d. Durante los años que siguieron a la aparición de la MC, mucha gente se ha hecho las siguientes preguntas: ¿Consta la luz, realmente, de ondas o de partículas? ¿Es el electrón, en realidad, una partícula o una onda? Estas cuestiones no pueden ser contestadas por una de las dos alternativas, no aceptan una explicación mediante la lógica binaria ordinaria. Luz es la palabra que usamos para describir una parte de la Naturaleza. El nombre se refiere a todas las propiedades que tiene la luz, a todos los fenómenos que se observan en un

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sistema en el que interviene la luz. Algunas de sus propiedades son semejantes a las de las ondas, pudiendo ser descritas en función de una longitud de onda. Otras son análogas a las de las partículas, y pueden describirse en términos de cuantos luminosos, que tienen una cierta energía, h, y una cierta masa, h/c. Un rayo de luz no es ni una sucesión de ondas ni un haz de partículas, es una combinación de ambas. Así mismo, un electrón no es ni una partícula ni una onda, en el sentido ordinario. En muchos aspectos, el comportamiento de los electrones es análogo al que se espera de las partículas pequeñas, de masa m y carga eléctrica e. Pero los electrones difieren de las partículas ordinarias, tales como las bolas de billar, en que también se comportan como si tuviesen carácter ondulatorio, con una longitud de onda muy larga, dada por la ecuación de De Broglie. Al electrón y al fotón, ha de considerarse como provistos de ambos caracteres, corpuscular y ondulatorio. Durante el tiempo que tomó la asimilación de estas nuevas ideas acerca de la naturaleza de la luz y de los electrones, los científicos llegaron a familiarizarse con ellas y se apercibieron que por lo general, podía predecirse cuándo en un cierto experimento el comportamiento de un rayo de luz podía determinarse principalmente por su longitud de onda y cuándo por la energía y la masa del fotón; es decir, conocieron cuándo es conveniente considerar la luz como formada de

ondas,

y

cuándo

considerarla

formada

de

partículas,

los

fotones.

Análogamente, aprendieron cuándo conviene considerar el electrón como partícula y cuándo como onda. En algunos experimentos, ambos caracteres, ondulatorio y corpuscular, contribuyen de forma apreciable, y entonces es necesario efectuar un razonamiento teórico cuidadoso, utilizando las ecuaciones de la MC para predecir cómo se comportarán el fotón o el electrón. De esto se desprenden dos preguntas: ¿Existen los electrones?. ¿A qué se asemejan?. La respuesta a la primera pregunta es que el electrón existe: electrón es la palabra que los científicos han utilizado al tratar fenómenos, tales como la radiación del tubo de descarga eléctrica, estudiada por Thomson; el portador de la unidad de carga eléctrica en las gotas de aceite del aparato de Milikan, y la parte que se

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adiciona al átomo neutro de flúor para transformarlo en ión fluoruro. A la segunda pregunta -¿a qué es semejante un electrón?- no se puede contestar. Nadie conoce su aspecto; es demasiado pequeño para ser visto por difracción de la luz visible ordinaria y, a menos que alguien descubra algún procedimiento para estudiar la Naturaleza, mejor que los conocidos actualmente, esta pregunta quedará sin respuesta. Finalmente he de resaltar que la MC ha sido capaz de modificar ese lugar que la física anterior le había asignado al observador o sujeto, como ser extraño al mundo que conoce y describe. Con la MC se puso de manifiesto la imposibilidad de aislar al observador de la descripción y predicción del proceso físico. Y resulta que éste, su nuevo papel, produjo el cisma epistemológico más significativo en la historia de la ciencia occidental, desde los tiempos de Galileo. Luego de este suceso el desarrollo de la física y el resto de ciencias transcurrió impulsado por un feroz enfrentamiento entre los físicos, agrupados fundamentalmente en dos bandos: el grupo dirigido por Einstein y el grupo de Copenhague encabezado por Niels Bohr. ¿Cuáles fueron los

principales motivos de tan acalorada

controversia?. Mencionemos primero la certera objeción de Enistein: «...la MC no permite una directa descripción de las trayectorias cuánticas, esto es, hace caso omiso, del sistema de coordenadas espacio-tiempo de referencia». En otras palabras, la mecánica del átomo sólo es posible mediante la descripción del cambio de estado que este sufre y no con la descripción del cambio de las trayectorias de los electrones. Esta insatisfacción del marco de referencia espacio-tiempo para la descripción del mundo fue pronunciado, con dramática elocuencia, por Luois de Broglie en el congreso de filosofía de Amsterdam, realizado en 1948, cuando dijo: « ... los datos de nuestras percepciones nos llevan a construir un cuadro del espacio y el tiempo en el que todas nuestras observaciones pueden localizarse. Pero el progreso de la física cuántica nos lleva ha pensar que nuestro cuadro del espacio y el tiempo no está adecuado a la verdadera descripción de las realidades en escala microscópica. Sin embargo, no podemos pensar de otra manera que no sea en términos de espacio y de tiempo, y todas las imágenes que podemos

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evocar están ligadas a ellos. Además, todos los resultados de nuestras observaciones, incluyendo los que nos proporcionan el reflejo de las realidades del mundo microscópico, se expresan necesariamente en el cuadro del espacio y del tiempo. Es por ello que tratamos, bien que mal, de representarnos las realidades microscópicas (corpúsculos

o sistemas de corpúsculos)

en el seno de este

cuadro al que no se adaptan» Es fácil percatarse que este sinsabor epistemológico yace en el fondo de la crítica einsteniana a la MC. Teoría que, por lo mencionado, no es un sistema sólidamente construido; ya que, el único pilar ontológico en el que descansa ( el incertidumbre),

principio de

que mide el grado de deformación o perturbación que sufre la imagen

del hecho atómico por acción de observador, expresa sólo el esfuerzo que éste hace para aumentar la incertidumbre sobre el futuro y no el esfuerzo que hace por disminuirla. Hay que tomar en cuenta que en el primer caso el observador perturba lo que observa a través de una extensión mecánica ( instrumentos

de medición)

y no

directamente con sus propios sentidos, haciendo que el sujeto permanezca como si tuviese la condición del Dios del Génesis y actúe persistiendo en el deliberado propósito de representar los hechos cuánticos que son discretos, en un espacio continuo diferenciable como el E.M.R.Occ. Hacer lo otro, esto es, concretar el esfuerzo para disminuir la incertidumbre sobre el futuro, implica la participación total del sujeto en el fenómeno estudiado, él tendrá que estar difundido, inmerso en la totalidad sujeto-objeto, teoría-práctica. Hay que aclarar que cualquier observador no estará en condiciones de realizar esta práctica científica, tendrá que ser un individuo especial, que haya desarrollado un sistema sensitivo de manera consciente, científica; así como lo hizo la ciencia americana precolombina, por ejemplo. Entonces, cabe concluir diciendo que el dualismo onda-partícula que la mecánica cuántica atribuye a la naturaleza misma de la luz, es una consecuencia de esta señera dificultad que hemos señalado y que recordamos cuando del pensamiento de Zenón estuvimos hablando. Podemos considerar, el punto de partida del histórico debate sobre este monumental tema, el Congreso Solbay de 1927. De aquí en adelante la ciencia

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occidental ha realizado extremados esfuerzos para superar esta poderosa antinomia. Fue, justamente, Werner Heisemberg uno de los principales interesados. Él introdujo el concepto de “longitud más pequeña” o cuanto de longitud para resolver ciertos problemas de la electrodinámica cuántica, concepto que sugiere un referente espacial de carácter discreto, en contraste con el de la teoría electromagnética de Maxwell. ¡El EMROcc se había convertido en un verdadero obstáculo

epistemológico!.

Los

científicos

occidentales

se

encontraban

desconcertados, desanimados y tristes. Era una situación de absoluto vértigo, donde la luz que iluminaba la mente se había apagado. De aquí al futuro ellos buscarán espacios alternativos de representación para poder continuar con sus respectivos trabajos y ya no creerán en el carácter absoluto y único del EMROcc.

1. 4 3

El Caos Determinista

Con este nombre, en sí mismo paradójico, se alude al comportamiento errático que presentan ciertos procesos llamados “caóticos”, que en general pueden ser descritos mediante ecuaciones diferenciales no lineales y tienen la peculiaridad de ser muy sensibles al cambio de las condiciones iniciales que originan su evolución, ya que son procesos muy inestables, demasiado frágiles. En el estricto orden de los conceptos, la palabra caos suscita en nuestra mente una situación aleatoria en la cual toda previsión es imposible y donde no hay cabida para el determinismo. Sin embargo, hay situaciones en las que el proceso, pese a estar regida su evolución por leyes estrictamente definidas, deterministas, se muestra, a largo plazo, extremadamente desordenado. Este comportamiento presentan no sólo los sistemas complejos sino también los sistemas mecánicos más simples. El descubrimiento de comportamientos erráticos en sistemas que no están sometidos a fuerzas irregulares o estocásticas, sino por el contrario regido por leyes deterministas, ha dado ocasión a que se ensaye un “nuevo paradigma” en el escenario ideológico de Occidente, llamado “caos determinista”. Veamos su historia.

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Fue el gran matemático francés Henri Poincaré ( 1854-1912), a fines del siglo XIX, quién colocó la primera semilla que dio origen a esta nueva vena investigativa que indaga los sistemas dinámicos, sean cuánticos o no, que evolucionan del régimen laminar al régimen turbulento. En el estudio de los sistemas dinámicos Poincaré fue un gigante, abordó los problemas clásicos con enfoques totalmente innovadores, logró desentrañar cuestiones hasta entonces inextricables haciendo intervenir a la intuición geométrica en la aprehensión de la situación; así fue cómo desarrolló la Topología o geometría cualitativa ( cuyos por B. Riemann en 1851)

primeros elementos fueron colocados

que estudia los conceptos de contigüidad, adyacencia, punto-

límite o punto de acumulación, conexión, etc. que entran en juego en las matemáticas que describen las leyes que rigen las deformaciones continuas que sufren las estructuras geométricas. Jacques Hadamard (1865-1963) nos cuenta que Poincaré eligió sus temas de estudio considerando las necesidades de la ciencia y no sus deseos personales. En su tiempo era imperativo encontrar soluciones generales a las ecuaciones diferenciales; puesto que, los matemáticos, de Cauchy a Weierstrass, sólo habían creado métodos locales de cálculo; así, situándose en el entorno de un punto determinado del EMROcc, demostraban la existencia de soluciones en las proximidades de dicho punto y, luego, unían estos fragmentos de solución para obtener soluciones completas. A diferencia, H. Poincaré hizo uso de la Topología para alcanzar este objetivo, cuando adoptó un enfoque cualitativo del problema. Veamos en que consistió. Consideremos la ecuación diferencial de primer orden: dX/X(x,y)=dY/Y(x,y) donde X e Y son polinomios en x e y. Las curvas-solución o curvas integrales de esta ecuación son curvas del plano, tales que en cada uno de sus puntos (x 0, y0), la recta tangente tiene por pendiente Y(x 0,y0)/X(x0,y0). Poincaré comenzó estudiando sistemáticamente las singularidades de las funciones o curvas-solución, como son las situadas en la intersección de las curvas X(x,y)=0 e Y(x,y)=0. Entonces, según la configuración de las curvas integrales en las proximidades de éstas, distinguió cuatro tipos: los nodos, las ensilladuras o puertos, los focos, y los centros.

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Una vez que hubo precisado estas distintas clases de singularidades de la solución de una ecuación diferencial, procedió a determinar las posiciones relativas de las curvas-solución. Introdujo para tal propósito la noción de arco transverso, o arco de curva que no es tangente en ningún punto de la curva. Esta sucesión de intersecciones de una curva integral con un arco transverso, redujo el estudio de la curva en el plano al de la sucesión de puntos en una línea. El teorema que demostró y que rige esta técnica de cálculo reza: «Toda curva integral que no tiende hacia un punto singular, es un ciclo, una espiral que se enrolla asintóticamente alrededor de un ciclo-límite» Los ciclos-límite y los arcos transversos dividen el plano o la esfera en regiones y conducen, partiendo del comportamiento en las cercanías de los “puntos singulares”, a un retrato cualitativo global bastante preciso de las curvas integrales. Este teorema es válido para el plano y la esfera y el concepto de ciclo límite es la primera semilla, distinta de un punto-límite, de lo que actualmente se denomina atractor. Poincaré había concebido el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales en relación con la estabilidad de nuestro sistema solar. Esta estabilidad es una determinación cualitativa global de las trayectorias espacio-tiempo de los planetas que no puede ser establecida únicamente con los métodos analíticos cuantitativos. Él abordó el problema en su célebre memoria Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica y Los nuevos métodos de la mecánica celeste. El problema de los N cuerpos consiste en el estudio de N masas puntuales moviéndose en un campo gravitatorio homogéneo. Si hacemos abstracción de la acción de lunas, asteroides y cometas, el caso de nuestro sistema solar se reduce a nueve planetas y el Sol, o sea, N=10; empero, el problema se torna extremadamente difícil de resolver. Desde Newton se sabe que el problema para N=2 se resuelve explícitamente y conduce a las leyes deterministas de Kepler. En el caso siguiente, para N=3, como hubo que considerar la influencia mutua de los planetas, el problema se complicó demasiado y resistió a los esfuerzos desplegados por los matemáticos que no consiguieron descubrir un número suficiente de “integrales primeras” ( o sea, de funciones que conservan el mismo valor a lo largo de las trayectorias)

a fin de reducirlo a integraciones ordinarias. Hay que aclarar que

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Poincaré comenzó a resolverlo, dejando sentado que las únicas “integrales primeras” son las que corresponden a las leyes de conservación de la energía, de la cantidad de movimiento y del momento cinético. Así planteado el problema, es irresoluble, pues no es integrable. Ahora bien, en vista de que el estudio de los “puntos singulares” resultó ser insuficiente para resolverlo, Poincaré decidió partir de las soluciones periódicas (en las que los distintos puntos móviles describen trayectorias cerradas, desde un sistema de coordenadas de referencia apropiado )

y, luego, utilizarlas para estudiar las

demás soluciones. Se trata, dijo, «de la única brecha por la cual podamos intentar penetrar en una plaza hasta ahora considerada como inexpugnable» Estudió qué ocurría en las proximidades de una trayectoria T de manera análoga a cómo lo había hecho en las cercanías de los “puntos singulares”. Su enfoque metodológico era local, ya que se mantenía en las proximidades de T; pero a la vez global, ya que se desplazaba a lo largo de T. Así fue cómo combinó las ventajas de ambos métodos, articulando de manera complementaria las categorías de cantidad y calidad. Eliminó de este modo todo primado cuantitativista de las matemáticas y llamó la atención a cerca de que la ciencia, hasta el momento, ha abordado el estudio de dos clases de movimientos: el de cambio de posición y el de cambio de estado. El primer tipo de movimiento nos sugiere una noción cuantitativa del tiempo (t). En esta dimensión él se encuentra espacializado, al modo de una regla circular graduada, ya que lo que varía es el espacio. Es el tiempo sugerido por el movimiento de los astros, es aquel que marca el reloj mecánico o electrónico. A diferencia, el segundo, suscita en la conciencia una noción cualitativa de él (). En contraste, en esta dimensión se halla temporizando al espacio, cambiándolo de aspecto, como por ejemplo en el cambio climático, en el envejecimiento, en la maduración de las frutas, etc. El uno cambia con el espacio, el otro cambia al espacio. El cuantitativo es reversible y se lo expresa como una cantidad escalar, razón por la que hay simetría entre el pasado y el futuro. En cambio, el cualitativo se expresa como un vector, es irreversible y pasado y futuro son asimétricos. Cuando a los procesos nos referimos, el reversible marca la duración y el irreversible la sucesión de éstos.

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Como por ejemplo en el cambio climático, en el envejecimiento, en la maduración de las frutas, etc. En los procesos reales las dos clases de movimiento se encuentran actuando conjugadamente. Esto obliga a que en la modelación matemática de los procesos deba incluirse las dos clases de espacio-tiempo para tener una imagen completa y una buena resolución del modelo y, así, estar en buenas condiciones de realizar predicciones confiables. Hoy podemos comprender porqué los puntos de vista innovadores de Poincaré están en el centro de las actuales investigaciones sobre los sistemas dinámicos. La historia evolutiva del “nuevo paradigma” continúa con el significativo aporte de A.M. Lyapunov (1857-1918) sobre la estabilidad estructural de los sistemas dinámicos. Así por ejemplo, el concepto de exponente de Lyapunov se ha convertido en fundamental para la teoría del caos. Este exponente mide la rapidez con la que aumenta o disminuye una fluctuación que acaece en un sistema dinámico. Vale decir también, que señala la diferencia entre orden y caos. Con los trabajos del matemático Andrei Kolmogórov ( 1903-1987) y del físico Lev Landau sobre el fenómeno de la turbulencia se impulsa la investigación de los sistemas caóticos durante los años treinta y cuarenta. Kolmogórov hizo un aporte de gran magnitud a las ciencias al axiomatizar la teoría de probabilidades y así posibilitar la teoría de la medida, de la integración y de los procesos estocásticos o aleatorios. Pero al modelar matemáticamente la turbulencia sólo vio homogeneidad en ésta. A diferencia, L. Landau propuso un modelo que explicaba la relación entre un flujo regular y otro completamente turbulento: en el fluido aparecían unas nuevas frecuencias de oscilación, correspondientes a numerosos grados de libertad, que compiten entre sí y se acumulan una sobre otra, hasta que el movimiento estalla en una cohorte de flujos desordenados e incoherentes, bien como nudos, bien en zig-zag, bien en varicosis sesgada. Para Landau se trataba de un modelo universal, así, todo sistema que se volvía turbulento tendría que seguir el mismo camino. Esta imagen, muy clara, tuvo una duradera aceptación en el mundo científico. Se comprende que el modelo de Landau, elegante y todo, resultase

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inútil a la hora de la aplicación práctica, ya que, si las ecuaciones que caracterizan el comportamiento de los fluidos son diferenciales parcialmente no lineales, por lo común insolubles explícitamente, ni siquiera cabe imaginar la magna complejidad de todo un gran paquete de diferenciales correspondientes a las sucesivas frecuencias de oscilación que se traslapan. Para el caso ni un ordenador supergigante sería de utilidad. Sin duda, la dificultad señalada no hace sino advertirnos que estamos frente a una importante limitación a la modelación que trabaja con espacios métricos diferenciables. De aquí que, para progresar en la comprensión del fenómeno de la turbulencia haya sido preciso sustituir el enfoque y empezar por entender el tránsito del flujo laminar al turbulento como una transición de fase, de modo que la simulación disfrute de soporte en las técnicas constructivas del espacio de fases. A simple vista parece que no fuera posible hablar de transición de fase ya que la sustancia del fluido permanece inalterada al pasar de una situación regular a una turbulenta. Es verdad que no hay ningún cambio en la calidad del fluido, pero sí lo hay en la calidad del movimiento. Más todavía, fue el haber entendido que la aparición de la turbulencia significaba, de hecho, la irrupción de un nuevo orden dinámico, lo que llevó a los metereólogos David Ruelle y Floris Takens a proponer un modelo diferente al de Landau, en el que bastan tres grados de libertad para conseguir generar la turbulencia, y en el que el movimiento turbulento deja de obedecer al atractor periódico presente en el flujo laminar para organizarse según un nuevo atractor, extraño, que emerge como alguien que no ha sido invitado a la reunión y cuya irregular figura se hace visible sólo en el espacio de fases. Este espacio permite visualizar la forma que tiene la historia evolutiva del sistema, para ello se almacena toda la información acerca del él en un punto del espacio de fases, donde cada punto representa el estado en el que se encuentra el sistema en ese preciso momento. Por ejemplo, el trazo dejado por un péndulo oscilante que se mueve sin fricción será una curva cerrada que se repite una y otra vez. Pero, si el péndulo se mueve con fricción, la curva resultante será una espiral cuyo diámetro va disminuyendo de manera continua, hasta agotarse en un punto

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interior, como si fuera atraído por él. Es el atractor periódico de la trayectoria espacio-tiempo del sistema. Este agrietamiento en el pensamiento de Occidente se mostró en toda su gravedad al despuntar la década de los sesenta, ( con

los trabajos de Edward Lorenz del

M.I.T en 1963 y luego con los de David Ruelle y Floris Takens del Bures-sur-Yvette en 1971, sobre el tiempo climático y sobre la turbulencia),

cuando un gran número de científicos se convencieron

de que en la realidad existen sistemas de los que se espera describir sus trayectorias espacio-tiempo mediante unas pocas ecuaciones diferenciales muy simples y, sin embargo, no se puede, por que éstas presentan, a largo plazo y por contra, una evolución errática e impredecible. Supongamos por ejemplo, los movimientos de un sistema formado por tres cuerpos celestes, bajo el efecto exclusivo de las fuerzas gravitatorias. En el observaremos que, a largo plazo, las trayectorias espacio-tiempo se van deformando hasta el rompimiento de la simetría del sistema (singularidad) y éstas se vuelven tan imprevisibles como lo son en los sistemas más complejos. O, el caso de un cigarrillo humeante que está descansando en el borde de un cenicero donde no hay agitación del aire. El experimento nos muestra que el flujo de humo atraviesa por tres estados distintos claramente visibles: el primero, es el tramo de flujo laminar ( el dura)

más largo y el que más

donde las moléculas de humo se mueven una detrás de otra casi con

velocidad uniforme y en línea recta y se extiende desde la punta del cigarrillo hasta el lugar en que el flujo cambia la calidad de su movimiento y se vuelve turbulento. El tramo turbulento, a su vez, cambia la calidad de su movimiento y se vuelve disperso, verdaderamente caótico. El tercer tramo será entonces una totalidad con características estadísticas. Los sistemas donde rige el “caos determinista”, se comportan de este modo si al menos se cumplen tres condiciones: La primera es su dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, que hace que un mismo experimento evolucione de distinta manera si es realizarlo en dos instantes distintos del tiempo. En un proceso determinista si se empieza con unas condiciones iniciales próximas y gobernadas por el mismo atractor, las trayectorias en el espacio de fases acaban convergiendo hacia el mismo punto fijo o ciclo

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límite, y las distintas trayectorias se encuentran desfasadas en el tiempo unas con respecto a otras. En cambio, en los procesos caóticos las trayectorias se separan muy rápidamente y al cabo de un tiempo bastante corto parecen no tener nada en común, excepto su proximidad al atractor extraño. Este fenómeno en meteorología ha recibido el nombre de “efecto mariposa” y consiste en que la perturbación que provoca el aleteo de una mariposa en China podría modificar la evolución del clima hasta el punto de producir una tormenta al otro lado del mundo. O, si en la Tierra hubiera nacido la vida minutos antes o minutos después, ésta no sería como es hoy. La segunda condición consiste en el comportamiento no-lineal de la dinámica, que hace que los efectos no sean proporcionales a las causas y que por tanto el sistema tenga un amplio espectro de creatividad ( la

no-linealidad conlleva un escollo

imposible de salvar para el determinismo y consiste en que a las ecuaciones diferenciales no-lineales no podemos encontrarlas soluciones que sean únicas. Resulta por ejemplo que la suma de las soluciones particulares no es necesariamente una solución, más bien se obtienen soluciones inesperadas. Así, los sistemas lejos del equilibrio termodinámico suelen ser inestables, no-lineales y es la sinergética la que nos permite clasificar sus posibles inestabilidades con ayuda de la noción de parámetro de orden )

y, por

último, el hecho de que la geometría apropiada para describir el cambio de estado o fase de transición pueda ser representada por funciones de dimensiones fraccionadas. Se alude a la geometría fractal o geometría de la naturaleza. Se trata de la física de los seísmos y de los meandros del tracto digestivo, de la evolución de los precios de las mercancías y del ritmo cardíaco, de los desplazamientos nubosos, los copos de nieve, los despliegues arborescentes, el rompimiento de las olas, los torbellinos y la morfogénesis. Al fin, se trata, de la familiar, inmediata y circundante naturaleza, tal como se presenta, con su indomable textura y sus sorpresivos sobresaltos. El “caos determinista” es, el hallazgo del caos en medio del orden; es el estado turbulento en medio del estado laminar del fluido. Perturbadora constatación que ha despertado el interés de los investigadores a orientar sus acciones en pos de encontrar el orden subyacente a ese caos. Es preciso anotar que la diferencia con la MC consiste en que, en el caos determinista, falta la presencia del observador para alcanzar más precisión en la

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predicción, las ecuaciones diferenciales no son suficientes por si solas; mientras que en aquella sobra su presencia para lograr lo mismo. Este hecho muestra que en el corazón del paradigma de Occidente se ha producido un infarto, al unísono y en el mismo espectro del determinismo. Ambas dificultades borrascosas ocasionaron igual reacción de sorpresa y vértigo, pues, en las dos teorías fallaba su capacidad predictiva. Es decir, había sido cuestionada su condición de teorías científicas. Tuvo que también modificarse el sistema de referencia, particularmente en el concepto de tiempo. Esto debido

a que al atractor periódico y atractor

extraño les correspondían dos clases de tiempo. Así, durante la fase laminar el movimiento transcurre de manera natural, ligado a las propiedades del fluido, y la periodicidad del atractor se revela si empleamos el tiempo marcado por un reloj. Pero, si en la fase turbulenta insistimos en entender de la misma manera, sólo hallaremos ruido incomprensible, ritmos trastrocados, nada del orden que se revela. En cambio, bajo la forma de atractor extraño, figura que posee la propiedad de homotecia8 (fractal), las fluctuaciones del movimiento, características de la turbulencia, tienen el mismo aspecto observadas desde cualquier escala del tiempo métrico, no dependen de éste. Como es de esperarse, los movimientos caóticos ponen en juego de varias maneras a la dimensión fractal: la evolución temporal tiene propiedades fractales y el atractor extraño es autosimilar y por tanto de estructura geométrica fractal debido al repliegue que sufren las trayectorias. Por consiguiente, éstas propiedades universales constituyen un medio para reconocer el caos y caracterizar éstos fenómenos que resultan incomprensibles si hacemos uso del E.M.R.Occ. Así, cuando el investigador está ante un sistema del que sospecha tiene carácter caótico, trata de dar con un atractor extraño, pues es la huella que deja el caos determinista. Pero cómo reconocer al atractor extraño y su dimensión cuando no se conocen los parámetros de orden y todavía menos su dinámica. 8

Se dice que un cuerpo tiene una estructura geométrica fractal (usando el término introducido en 1975 por el matemático francés B. Mandelbrot) cuando posee la propiedad de autosimilitud u homotecia.

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Con el propósito de resolver éste problema, F. Takens desarrolló un método para reconstruir las elusivas trayectorias en el espacio de las fases. Este autor demostró que se obtienen las propiedades principales sustituyendo el espacio de las fases por un espacio de N dimensiones cuyos ejes representan una sola de las variables accesibles a la experiencia, pero medida en N instantes sucesivos separados por un tiempo fijo dado. El punto que representa al sistema en este espacio describe en el tiempo una trayectoria de la que Takens ha demostrado que posee las mismas propiedades topológicas que la trayectoria en el espacio de las fases. La dimensión N de este espacio, claro está, se elige a priori. Lo fundamental para que los investigadores sean capaces de encontrar el atractor, hacia el cual tienden las trayectorias, es que el espacio sea de dimensión superior al espacio de las fases real, una dimensión que no se conoce al principio, pero que se descubre examinando las propiedades de las trayectorias en dimensiones cada vez mayores. Es un método que se ha aplicado al análisis de los electroencefalogramas, por ejemplo. Éstos, compuestos por trazados irregulares que dan las variaciones del potencial eléctrico en diversos sitios de la superficie del cráneo, reflejan la actividad cerebral. En 1986, A. Babloyantz, de la universidad libre de Bruselas, estudiando estos trazados, encontró una dimensión de cinco para el espacio de las fases, la cual es relativamente baja. Desde otro punto de vista, el análisis ha partido de la idea de que el cerebro es un sistema complejo que en determinadas circunstancias puede regirse por algunos parámetros de orden. Ello significaría que los distintos estados eléctricos del cerebro en distintos lugares no son independientes, sino que están fuertemente correlacionados. Por esto podemos representar el estado eléctrico del cerebro como la superposición de algunas distribuciones globales de potencial eléctrico, cada una de las cuales correspondería a un cierto parámetro de orden. Pero quedan todavía en el camino varios obstáculos muy importantes. El primero es la determinación precisa de la dimensión del espacio de las fases. J.P. Eckmann, de la universidad de Ginebra, y D. Ruelle han demostrado recientemente que la dimensión podía subestimarse si no se tomaban suficientes

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puntos experimentales. Pero si se toman muestras con intervalos de tiempo demasiado cortos se puede creer detectar unas oscilaciones coherentes que en realidad no existen. El único método consiste en proceder a realizar medidas para largos períodos de tiempo. Sin embargo, no dejan de producirse nuevos efectos a causa de que el sistema ya no es realmente estacionario y se muestra sensible a una actividad neuronal a nivel microscópico. Ello obligaría a que los parámetros de orden saltaran de un atractor a otro de un modo más o menos aleatorio. Aunque la comprensión de la actividad eléctrica del cerebro, en términos de sistemas dinámicos, plantea todavía muchos problemas, pudiera ser que suministran un armazón interpretativo de su funcionamiento y tal vez de diagnóstico de determinados trastornos. En otros campos, y especialmente en física, la utilización de la teoría del caos, mucho más desarrollada, ha producido descubrimientos mucho más interesantes como el caso de los láseres y de las reacciones químicas oscilantes. Desde que inventaron el láser, los investigadores han constatado que en su funcionamiento se presentan ciertas inestabilidades cuyo origen permaneció largo tiempo sin explicar. El caos de un láser puede aparecer simplemente cuando uno de los espejos está un poco desajustado y no refleja exactamente la luz hacia el interior del tubo. A partir de 1982 varios grupos, actuando sobre los parámetros más fiables, consiguieron estudiar el caos en los láseres mediante el método de las series temporales que describimos, estos grupos lograron trazar el atractor extraño que sigue el láser, en un espacio de sólo tres dimensiones, de conformidad con la teoría que prevé tres parámetros de orden. Se han observado distintas formas de caos en los láseres, que parecen ser sistemas apropiados para el estudio de este fenómeno debido a que los parámetros de orden son bien conocidos teóricamente y fáciles de controlar. En un campo cercano, se encuentran las reacciones químicas oscilantes, descubiertas por Belusov y Zhavontinsky en 1950, que también son sistemas abiertos alejados del equilibrio termodinámico. Imaginemos una reacción química en la que se combinan dos sustancias, una compuesta por moléculas de color azul y la otra con moléculas de color rojo. Si la mezcla se encuentra en equilibrio termodinámico

193

ésta mostrará una coloración pardusca, como un resultado estadístico; pero, si ésta

se

encuentra

suficientemente

alejada

del

equilibrio

termodinámico,

sorpresivamente, se mostrará como una mezcla que se torna, sucesiva y periódicamente, ora del rojo al azul, ora del azul al rojo, como si fuese un reloj químico, como si las moléculas se comunicasen entre sí y decidieran sincronizarse en bandas cromáticas alternantes. Este fenómeno en su tiempo resultó impactante, parecía ser una suerte de arte de taumaturgia, pero es un magnífico ejemplo donde la no-linealidad y la irreversibilidad del tiempo se hacen evidentes, muestran sus huellas en un mismo paisaje. En éste caso la irreversibilidad se revela bajo una configuración espontánea, bajo una autoorganización de la materia. Basándose en la teoría del caos, los investigadores han mostrado que las irregularidades que aparecían de vez en cuando en los osciladores químicos eran manifestaciones del caos determinista. Pero hacen falta no menos de siete parámetros de orden para obtener una representación satisfactoria de la realidad química. Estos ejemplos, tomados de campos muy distintos, muestran hasta qué punto el concepto de caos determinista ha pasado del estadio de teoría matemática con aplicaciones hipotéticas al de instrumento de diagnóstico que sirve para la caracterización de sistemas complejos en términos de exponentes de Liapunov, dimensiones fraccionadas, atractores, etc. Los estudios de vibración de motores, de carrocerías de automóviles o de alas de avión, lo mismo que de ciertas fluctuaciones de circuitos electrónicos, también pueden beneficiarse en gran medida de un análisis basado en la teoría del caos. Si la física abunda en fenómenos potencialmente caóticos, y que sólo recientemente empiezan a comprenderse bien, hay otros muchos dominios igualmente involucrados, como las ciencias de la tierra y del espacio, la dinámica de los océanos, el clima, el estudio de las manchas solares o la dinámica de las poblaciones animales y humanas. En medicina y fisiología se han encontrado comportamientos caóticos no sólo en los trazados electroencefalográficos, sino también en los ritmos cardíacos, en las variaciones de la presión sanguínea o de la concentración hormonal y ello, sorprendentemente, en sujetos sanos.

194

En economía, como en otros tantos campos, nos vemos obligados a renunciar a la predicción a largo plazo. No obstante, la teoría del caos puede ayudar a evaluar la capacidad predictiva de un sistema: ¿para cuánto tiempo podremos realizar predicciones?, ¿qué desviaciones se esperan alrededor de un cierto valor medio?, o ¿cuál será el comportamiento del sistema promediado en un determinado periodo de tiempo?. Podemos también aprender a dirigir los sistemas ya no mecánicamente sino utilizando sus propias facultades de autoorganización y ajustando unos adecuados parámetros de control. Así, compenetrándose más profundamente con las regularidades de la naturaleza, los científicos se ha encontrado con las limitaciones fundamentales para su comprensión y para la previsión cuando usamos el E.M.R.Occ. De lo examinado podemos concluir diciendo que el “caos determinista” ha penetrado con fuerza corrosiva el paradigma epistemológico de Occidente, aquel que le legara la Grecia Clásica, haciéndonos pensar que nadie escuchó, que en medio de la imperturbable melodía del determinismo trascendente y celestial, crepitaba un ruido telúrico desconcertante. También hemos podido ver que el científico occidental está obligado ha realizar una traducción para entender el caos, cuando hace uso del espacio de fases, el cual ha sido definido en el E.M.R.Occ y permite representar el hecho caótico de manera indirecta, mediante gráficas complicadas totalmente abstractas que hay que interpretar. Resulta pues, que la turbulencia es caos sólo si se la observa desde el orden laminar. Conclusión que nos lleva a la necesidad de relativizar la Teoría General de la Relatividad en cuanto ésta ha atribuido como propio de la naturaleza, de la materia, un concepto de espacio-tiempo que hoy se nos muestra afincado en el observador Occidental, como culturalmente relativo. Hemos constatado que los comportamientos físicos que han escapado a la modelación métrica continua y absoluta, han sido catalogados bien como singularidades, bien como caos. Sin embargo dichos comportamientos son los del mundo inmediato, directo y tangible; frente a ellos, la geometría euclidiana y el orden reversible aparecen como una extraña, alucinante y enajenante ficción. Pues, ¿donde podemos encontrar triángulos perfectos? ¿dónde podemos

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observar el retorno a la exacta situación inicial?, ¿no es fundamentalmente distinto el ayer del mañana?, ¿no se frenan los péndulos y caen las cosas con desigual aceleración? ¿no resulta absurdo entonces, querer hacer justicia entre los hombres con la Ley Divina?

1. 4 4

Estructuras

disipativas

y Catástrofes

Surgieron varias teorías junto a las de Takens y Ruelle durante los años sesenta y setenta que intentaron explicar los conceptos de turbulencia, orden y organización. Por lo menos, dos de ellas (nacidas,

la una de la física y la otra de las matemáticas )

han

conseguido concitar el interés de la comunidad científica y producir un volumen notable de literatura de investigación. Hacemos alusión a la termodinámica no lineal de los procesos irreversibles (TNLPI) y a la teoría de catástrofes (TC). Ilya Prigogini es el autor de la primera y recibió el premio Nobel de química en 1977 por este meritorio trabajo, mientras que René Thom es el autor de la segunda y recibió, el premio equivalente al Nobel en matemáticas: la medalla Fields. A pesar de ciertas semejanzas entre ambos modelos, existe una total discrepancia en cuanto al verdadero papel que juega el incidente azar en sus respectivos modelos. La TNLPI es la continuación lógica de la termodinámica lineal y describe la aparición de nuevos estados de la materia en unas condiciones especiales de disipación y no-Iinealidad de las fenomenologías. Las nuevas y sorprendentes organizaciones constituyen

espacio-temporales,

aquellos

sistemas

se

llaman

dinámicos

estructuras

situados

lejos

disipativas del

y

equilibrio

termodinámico y mantenidos por el consumo y la disipación constante de energía. Éstas pueden visulizarse como auténticas rebeliones contra las ligaduras exteriores, en contraste con la adaptación a ellas que caracteriza el orden termodinámico lineal de Boltzmann. Esto, en principio, justifica el uso del término “auto-organización” que suele aplicarse a este caso. Hay que señalar que, al considerar sistemas disipativos que dependen de parámetros y bajo condiciones adecuadas, se pasa de atractores extraños a atractores periódicos con sólo ejecutar pequeñas variaciones de los parámetros.

196

Existen

numerosos

campos

de

aplicación

científica

donde

el

modelo

termodinámico construido por Prigogine ha tenido ampliado uso y un éxito realmente descollante. Así, por ejemplo, en la cinética química, con la reacción de Belusov-Zhabotinsky, en la bioquímica del metabolismo, con el Brusselator, en hidrodinámica con la convección de Bénard, en ecología, en la organización de insectos sociales, en el urbanismo, en lo que tiene que ver con el crecimiento de las ciudades, en ciertos modelos prebióticos como el de Eigen. Esto ha llevado a que se acreciente continuamente el interés de los científicos por esta descripción termodinámica. En lo que atañe a la TC, ésta nace de la conjugación de varios precedentes matemáticos y se trata de un método más descriptivo y taxonómico antes que predictivo. Es un legado de la teoría de aplicaciones diferenciales fundada por Wigner en 1964 y desarrollada posteriormente por René Thom, uno de los protagonistas del “boom” de la topología algebraica de los años 50 y, sobre todo, de la teoría de la estabilidad estructural o dinámica cualitativa, creada en 1935 por Andronov y Pontriaguin y desarrollada más tarde por Lefshetz y Peixoto. Esta disciplina es capaz de describir los procesos morfogenéticos de la naturaleza ( los embriología en especial)

de

en los casos en los que un flujo continuo de causas (laminar)

produce efectos de cambio brusco y discontinuo (turbulento). Estas situaciones fluctuantes, que sorprenden nuestra intuición ( sino estamos culturalmente habituados a ellas), reciben el nombre de catástrofes y se encuentran situadas en las proximidades de alguna singularidad del EMROcc. R. Thom, al comenzar la elaboración de TC, previamente deja establecida una decisiva aclaración: «El enfoque que considera que los procesos subatómicos requieren de modelos indeterminados y los macroscópicos de modelos clásicos, deterministas, es producto de una visión libresca y esencialmente falsa» Bajo esta premisa desarrolla la TC basándose en profundos e intrincados teoremas de la geometría de muchas dimensiones y ofrece una eficaz clasificación de estos casos críticos en siete tipos primordiales de catástrofes, llamados las siete catástrofes elementales.

197

Recordando que a escala macroscópica, gran número de fenómenos presentan una cierta inestabilidad debida al hecho de que las simetrías iniciales se deforman tanto que se desvanecen. Así, un disco homogéneo abandonado en caída libre en el aire a partir de una posición horizontal describe al final del trayecto, una hélice; una bañera llena de agua, al destapar el desagüe central, da origen a la rotación del líquido cuyo sentido es imprevisible desde la óptica de lo laminar. En todos los casos de este género, ínfimas variaciones de las condiciones iniciales pueden conducir a variaciones muy grandes en la evolución posterior, como ya nos enteramos. En todos estos casos es posible postular que el fenómeno está determinado; pero esta es una posición francamente metafísica, inaccesible a toda verificación

experimental.

Pues,

si

nos

contentamos

con

propiedades

experimentales controlables, nos vemos obligados a reemplazar la hipótesis no comprobable del determinismo por la propiedad experimentalmente verificable de la

“estabilidad

estructural”.

Por

esto,

decimos

que

un

proceso

P es

estructuralmente estable si una leve variación de las condiciones iniciales da origen a un proceso P’ isomorfo con P ( en el sentido de que una pequeña transformación en el espacio-tiempo -un pequeño homeomorfismo geométrico- devuelve el proceso P’ al proceso P)

Esto nos

conduce del modo más natural a la noción de creodo9 de Waddington, de campo morfogenético en general. Dicho de la manera más general un campo morfogenérico sobre un abierto U del espacio-tiempo consiste en un modelo universal del que está copiado el modelo dado. Por esto es estructuralmente estable y expresa simplemente el hecho de que un proceso acontece conforme a un modelo concebido a priori, y ello de modo estructuralmente estable. Así, el científico obra ante todo proceso natural primeramente aislando las partes del dominio en las que se presenta como estructuralmente estable, los creodos del proceso, islotes de determinismo separados por zonas estructuralmente inestables de incertidumbre. Así, mediante el uso de modelos dinámicos, intentamos dividir cada creodo en creodos elementales asociados a lo que Thom ha llamado catástrofes elementales, y después organizar 9

Creodo, en la obra de C. H. Waddington Introduction to Modern Genetics, significa “vía de desarrollo” en el sentido de que un creodo estará asociado con un atractor de la cinética bioquímica. 198

estos creodos elementales en una estructura global, estable, mediante la acción de una singularidad implícita de la dinámica, el centro organizador. En cuanto a la organización de los creodos que son distintos entre ellos el problema es más complejo, ya que en principio es indeterminado. Entre todas las configuraciones posibles de los diversos creodos, algunas son más estables que otras; este difícil problema es cualitativamente bastante semejante a aquél de descifrar un mensaje en una lengua desconocida. ¿Son estos modelos susceptibles de control experimental?. Teoría de catástrofes responde que no. En efecto, sea (P) el proceso natural estudiado; dos casos son posibles. a) Cuando (P) es estructuralmente estable, y todo él está contenido en un creodo, admite un modelo cualitativo dado de una vez y para siempre, y difícilmente se ve qué podría aportar la experiencia en este caso, que no sea la confirmación de la estabilidad estructural del creodo. Sin duda, podemos esforzarnos por abordar el estudio interno del creodo, descomponiéndolo en catástrofes elementales y refiriendo después la configuración de éstas a la acción de un centro organizador o atractor, podemos tratar de analizar los procesos dinámicos que aseguran su estabilidad. Pero este análisis es, con frecuencia, arbitrario; conduce a menudo a varios modelos entre los cuales no se puede elegir más que por razones de economía o de elegancia matemática. Por otra parte, la TC no está lo bastante avanzada como para que sea posible la construcción de un modelo cuantitativo: el único caso conocido es el de la catástrofe elemental definida por la evolución de una onda de choque en Dinámica de Fluidos. Este caso fue suficiente ya que mostró por sí solo las enormes dificultades del problema. b) Cuando (P) es estructuralmente inestable, y contiene varios creodos ( por ejemplo, dos creodos (C3), (C5) separados por regiones de inestabilidad o de incertidumbre);

en este caso, se

podría atribuir la fluctuación producida, a una catástrofe generalizada, no formalizable en sí misma. La única esperanza de obtener un modelo es considerar todo un conjunto de procesos y elaborar una estadística de las apariencias morfológicas. Desde este punto de vista, la mecánica cuántica ordinaria, resulta ser nada más que una estadística de las catástrofes Hamiltonianas.

199

Ante la imposibilidad de poder controlar un modelo por medio del experimento R. Thom presenta dos razones para pensar que a largo plazo su teoría de catástrofes podrá enfrentar el desafío: «La primera razón es que todo experimentador trabaja en una especialidad dada; admitimos como establecidos a priori estos troceamientos, esta taxonomía de la experiencia fenomenológica en grandes disciplinas: física, química, biología, etc. Ahora bien, ¿de dónde proviene esta división de la experimentación, sino de una descomposición de nuestro campo perceptivo en creodos aparentemente disjuntos? Bien en vano se opondrían a nuestro modelo cualitativo los modelos cuantitativos, considerados como los únicos científicos y útiles. Pues todo modelo cuantitativo presupone un troceamiento cualitativo de la realidad, el aislamiento preliminar de un sistema considerado como estable y experimentalmente reproducible. Los modelos estadísticos presuponen ellos mismos la definición de conjuntos de procesos estables y reproducibles. Esta descomposición que nos trae, casi inconscientemente, nuestro aparato perceptivo, la utiliza todo investigador, aunque no lo quiera, de la misma manera que Jourdain hacía prosa sin saberlo. ¿No sería interesante, en estas condiciones volver a considerar esta descomposición e integrarla en el cuadro de una teoría general y abstracta, más bien que aceptarla ciegamente como una condición irreducible de la realidad? La segunda razón es que el fin último de la ciencia no es amontonar indiferenciadamente los datos empíricos, sino organizar estos datos en estructuras más o menos formalizadas que den cuenta de ellos. En orden a este fin hay que tener ideas a priori sobre la manera cómo ocurren las cosas; hay que disponer de modelos. Hasta el presente, la construcción de modelos en la ciencia ha sido ante todo una cuestión de suerte, de feliz idea. Pero llegará el momento en que la construcción de modelos se hará ella misma, sino una ciencia, cuando menos un arte; mi tentativa, que consiste en tratar de describir los modelos dinámicos compatibles con una morfología empíricamente establecida, espero constituya un primer paso en la edificación de esta “teoría general de modelos” que habrá de ser construida, sin duda, algún día» (René Thom, Una teoría dinámica de la morfogénesis)

200

La forma más elocuente de aludir a ambas teorías, y la que mejor escenifica el tema que aquí nos ocupa, es la llamada dinámica de reacción-difusión. Supongamos un sistema descrito por un vector de n componentes X[X1…Xn] función del espacio y del tiempo ( las componentes pueden ser concentraciones químicas, especies biológicas, poblaciones humanas, etc.)

La evolución de este vector se controla por medio de

un sistema de ecuaciones no lineales en derivadas parciales del tipo, X/tF(X)+D2(X), donde F es una función no lineal de reacción, D la matriz de difusión y 2 el conocido operador laplaciano. Este tipo de ecuaciones, completadas con las condiciones de contorno, describe un considerable número de fenómenos en una gama muy amplia de niveles de observación. La llamada teoría de bifurcaciones sirve para analizar el conjunto de singularidades que prevé dicha dinámica. El concepto de bifurcación se expresa fácilmente por medio de un sencillo ejemplo. Consideremos la siguiente reacción unidimensional y sin difusión: dX/dt=k(X-A)X, donde

X

es una concentración

química cualquiera y por lo tanto una cantidad no negativa y A una constante. Para AO. ¿Por qué camino se decide el sistema?. Para los valores negativos de A, las fluctuaciones aca ban siempre por regresar, son intrascendentes. En la vecindad de la bifurcación, en cambio, interviene puntualmente el azar y son precisamente las fluctuaciones las que se erigen en protagonistas arrastrando al sistema por uno u otro camino. Con la variación de un cierto parámetro q del sistema, es posible obtener una estructura arbórea de bifurcaciones en cascada. Según Prigogine, esta visión introduce un concepto nuevo de historia en la física, un concepto en el que azar y necesidad determinan la evolución: el azar decidiendo en las bifurcaciones y el determinismo en el tramo que media entre cada dos de ellas. La sugerencia es persuasiva puesto que tal comportamiento parecía reservado a fenómenos biológicos, sociales o culturales. La misma teoría de Darwin, con mutaciones y todo, se acomoda satisfactoriamente en este esquema.

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El modelo alostérico de la glucólisis, que tiene crucial importancia en la transición de un conjunto de células independientes a un nivel jerárquico superior, como un agregado o un tejido, sirve para destacar

el papel que desempeñan las

ecuaciones de reacción-difusión. En la TC no se consideran efectos de transporte y las funciones de reacción deben derivarse de funciones potenciales como: Xi/t =-V/Xi. Por esta razón, Prigogine considera a esta teoría como un caso particular que raramente se da en la naturaleza. Y para Thom, toda generalización que en este sentido vuelva particular su teoría, «no es más que alocada y gratuita especulación» Pero lo que aquí nos interesa comprender es la nueva relación entre el azar y la necesidad como continuación de una primitiva contraposición y una posterior subyugación. Lo

que Thom y Prigogine representan son justamente las dos

posturas diferentes que se pueden adoptar para abordar el análisis de la inédita cooperación azar-necesidad. Las fluctuaciones internas y externas del sistema y el esquema de las bifurcaciones se influyen mutuamente dejando el concepto de evolución abierto a cualquier innovación, cuya persistencia puede luego discutirse en virtud de una selección darwiniana. Prigogine opina que una estadística de las fluctuaciones podría informar sobre el esquema de las bifurcaciones. Al contrario, Thom cree que la estadística de las fluctuaciones debe quedar fijada por un patrón determinista, desconocido quizá, pero subyacente. En esta última actividad de la ciencia que triunfa en la descripción de las estructuras más sofisticadas, el azar recupera su libertad de acción, pero no hay razonamiento ni circunstancia experimental que, por el momento, nos indique si el azar es algo que escapa a la mente del observador o es una acción de la propia naturaleza. Temas como la irreversibilidad, la completitud de la MC o la evolución biológica siguen encerrando cada uno su propio misterio.

1. 4 5

Teoría de Supercuerdas

y Teoría M

La Teoría de Supercuerdas (T.S.C) ha resultado ser la idea más revolucionaria en física desde la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.

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Como ya estamos enterados, ha sido bajo el amparo tutelar de Newton que los físicos teóricos han tratado de construir modelos matemáticos globales que sean capaces de describir las interacciones de las denominadas fuerzas fundamentales de la naturaleza (eléctrica, magnética, débil, fuerte y gravitatoria) La TSC fue el modelo más novedoso que ambicionó alcanzar esta meta. Fue novedoso por que se lo construyó en un espacio en el que se sustituyó, por primera vez en la historia de Occidente, su unidad estructural, en lugar del punto-límite se puso a la “cuerda”, objeto vibrante 100 trillones de veces más diminuto que un protón; cada vibración expresa una resonancia o partícula distinta. Si ampliásemos de algún modo la partícula podríamos ver que no es en absoluto un punto, sino un modo de una cuerda vibrante. Esta teoría nació en el año 1968, cuando los físicos G. Veneciano y M. Susuki se quedaron sorprendidos al ver que la función beta de Euler se ajustaba muy bien a casi todas las propiedades requeridas para describir las interacciones entre las partículas elementales. Al momento, el físico usamericano Edward Witten ha surgido como el principal representante de esta teoría y ha logrado obtener una representación del Universo que da cuenta desde el funcionamiento interno del átomo hasta la estructura del cosmos. Para ello, supuso que éste está constituido no de partículas elementales sino de diminutos lazos o “cuerdas” que vibran en diez dimensiones ( ver recuadro 2) Pero, por ser una teoría unificada del universo, no es posible someterla a la prueba experimental dirimente, ya que el científico tendría que transformarse en el Dios del Génesis para repetir la creación del Mundo tal como lo hizo Él. Otro aspecto original del trabajo de E. Witten ha sido la inversión hecha en el modo tradicional de proceder de Occidente en la modelación matemática. Para el científico ha sido una costumbre modelar desde la matemática hacia la física, él lo hizo al revés, pues, según dijo, la física le ha proporcionado nuevas percepciones en las matemáticas. Así, entonces, la TSC nos invita a apartarnos de la imagen familiar que teníamos del universo cuando éste estaba compuesto de puntos materiales impulsados y atraídos tanto por las fuerzas de gravedad como por las electromagnéticas. Además sabemos, desde la catástrofe cuántica, que estos

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puntos materiales tienen propiedades ondulatorias que se parecen más a vibraciones que a puntos bien definidos en el espacio. Las cuerdas vibran en sutiles resonancias y representan la estructura del universo, desde la luz hasta el campo gravitatorio. Debe decirse que el término “cuerda” no es muy apropiado para aludir a lo que esta teoría se refiere, pues evoca sólo el carácter vibratorio de ésta y no su forma geométrica. No son por tanto los cordeles corrientes, sino, una analogía, una metáfora habría dicho Niels Bohr, pues, «cuando se trata de los átomos, el lenguaje sólo puede emplearse como en la poesía…el poeta, lejos de preocuparse por la descripción de los hechos, se dedica a crear imágenes» La TSC resulta de la combinación de la teoría de cuerdas con una estructura algebraica llamada supersimetría, la cual dota de coherencia a la teoría. Al obrar de esta manera los físicos pudieron evitar los viejos problemas que aparecían cuando se trataba de fusionar la TGR y la MC. La TSC permitió integrar a las cinco fuerzas fundamentales en una sola y también logró establecer, de una manera maravillosa, el precepto lógico de coherencia interna que toda teoría científica debe guardar. Según la TSC, las “leyes de la física” son versiones aproximadas de otra teoría mucho más general y más rica, que involucra a la estructura de la materia a una escala de distancias pequeñísima. Las cuerdas postuladas por la teoría miden unos 10-35 metros, es decir son unas 10 20 veces más pequeñas que el diámetro del protón. Las diferencias entre la TSC y las otras teorías, a estas escalas tan pequeñas, resultan primordiales para la coherencia interna y el poder predictivo de la teoría. Al construir modelos de unificación prescindiendo de la gravedad, los físicos han encontraron que la imagen unificada de las fuerzas restantes proviene de la simetría subyacente en la teoría. Pero, también encontraron que no hay una sola simetría subyacente y como no existe criterio físico válido para preferir una u otra, ahí terminó la vida del modelo. A diferencia, en la TSC la fuerza de la gravedad no puede excluirse, y la clase de simetría que exige su inclusión en la teoría conduce, de manera natural, a una predicción relacionada con la simetría implícita que unifica a las fuerzas restantes.

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Recordemos por un momento que en la TGR la trayectoria de una partícula es influenciada por un campo de gravedad y se mueve siguiendo una trayectoria sobre la línea geodésica más corta en el espacio-tiempo, ejerciendo, a la vez, influencia sobre la estructura del espacio-tiempo y produciendo ondas gravitatorias que perturban las propias geodésicas a lo largo de las cuales se mueve la partícula. En cambio, en la TSC la gravedad se define en un espacio ampliado a nueve dimensiones espaciales y una temporal, 10 en total. Así mismo, el movimiento se realiza a lo largo de las geodésicas, pero éstas son ahora superficies de área mínima en 10 dimensiones. Seis de las 10 dimensiones son inobservables, dejando ver sólo a las conocidas cuatro del espacio-tiempo. Estas seis dimensiones, para estar fuera de la vista del experimentador, deben cur varse sobre si mismas y formar una estructura tan pequeña que escape a su alcance directo. Par bien entender la idea de dimensiones “inobservablemente pequeñas”, apoyémonos en una sencilla analogía bidimensional. Todos sabemos que un tubo es una superficie bidimensional que aparenta tener una sola dimensión cuando se le mira desde lejos o a una escala poco precisa e incapaz de distinguir su grosor. En la TSC es probable que el tamaño de las seis dimensiones curvadas sea aproximadamente el mismo que la longitud de la cuerda. De este modo el mundo parece tener tres dimensiones espaciales en que la cuerda actúa como un punto material. Igualmente, la equivalencia de ondas y partículas en mecánica cuántica exige que una onda gravitatoria o perturbación del campo gravitatorio, se identifique con la partícula puntual que se conoce con el nombre de gravitón. Así como la TGR se define en un “campo de puntos materiales” (EMROcc.), análogamente, en teoría de cuerdas, debe haber un campo que dependa de las configuraciones de ésta, se le ha llamado “campo de cuerdas”. Además, se ha encontrado, en el difícil camino de la modelación matemática, que el número de todas las configuraciones posibles de una cuerda en el “campo de puntos materiales” es mucho mayor que el número de puntos que lo constituyen. El campo de cuerdas debe estar relacionado, pues, con una nueva clase de geometría, la cual cobraría existencia si lográsemos ampliar la idea de espacio, definida por todas las posibles

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configuraciones de una cuerda. Una vez que construyamos esa geometría, habrá que imaginarse la partícula tipo cuerda como una perturbación ondulatoria en éste enorme espacio, igual que el gravitón en una onda en el espacio ordinario. Hay que recalcar que la supersimetría tiene el poder de transformar las coordenadas del espacio y del tiempo de manera que las leyes físicas sean las mismas para todos los observadores, al igual que se hace en la TGR. De esta manera, a la supersimetría le corresponde la supergravedad en la cual transmite las interacciones gravitatorias el gravitón, partícula de espín 2 que tiene como campanero al gravitino de espín 3/2. Sabemos que la TGR no impone límites a las dimensiones posibles del espaciotiempo: sus ecuaciones pueden, en principio, formularse en cualquier número de dimensiones. No pasa esto con la supergravedad, que impone el límite superior de 11al número de dimensiones del espacio-tiempo. La historia de las dimensiones comienza a principios de los años veinte del siglo XX, cuando Theodor Kaluza y Oskar Klein sugirieron que el espacio-tiempo podría tener una quinta dimensión oculta. No sería infinita como las otras, sino que se cerraría sobre sí misma y formaría una circunferencia donde podrían residir ondas cuánticas, que la colmarían perfectamente. En este círculo sólo cabrían números enteros de ondas; cada uno correspondería a una partícula con una energía diferente; por tanto, las energías serían discretas debido a que estarían "cuantizadas". Pero un observador que viviese en las otras cuatro dimensiones vería un conjunto de partículas, no con energías, sino con cargas cuantizadas. La unidad o cuanto de carga dependería del radio de la circunferencia. También en el mundo real está la carga eléctrica cuantizada, en unidades de e, la carga del electrón. Para obtener el valor correcto de e el círculo tendría que ser de unos 10-33 centímetros de radio. El exiguo tamaño de esta dimensión lo hace invisible, lo que explicaría por qué a las personas, o incluso a los átomos, se les escapa su existencia, se desintegran. Aun así nos daría el electromagnetismo, con el cual la gravedad, ya presente en el mundo tetradimensional, se integraría. Ya en 1978 Eugene Cremmer, Berard Julia y Joel Scherk comprendieron que la supergravedad no sólo permite hasta siete dimensiones adicionales, sino que es

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más elegante en un espacio-tiempo de 11 dimensiones, diez espaciales y una temporal. El tipo de mundo real, de cuatro dimensiones, definido finalmente por la teoría dependerá de cómo se enrollen, a la manera de Kaluza y Klein, las dimensiones extra. Con varías dimensiones cerradas sobre sí mismas podrían en principio obtenerse, además del electromagnetismo, las fuerzas nucleares fuerte y débil. He aquí la razón por la que los físicos empezaron a abrigar, en la supergravedad de 11 dimensiones, la esperanza de una teoría unificada. Pero, en 1984 ocurrió que la supergravedad de 11 dimensiones se derrumbó, sin vacilaciones ni contemplaciones, de su pedestal. La TSC en 10 dimensiones pasó ha ocupar su lugar. En realidad lo hicieron cinco teorías competidoras, bautizadas, en razón de sus características matemáticas, como de cuerdas heteróticas E 8xE8, heteróticas SO(32), de tipo I SO(32), de tipo IIA y de tipo IIB. Las cuerdas de tipo I son "abiertas", es decir, constan de sólo un segmento, las otras son "cerradas" y forman bucles. En especial, la cuerda E8xE8 mostraba poder suficiente para explicar las fuerzas y las partículas elementales conocidas, quiralidad incluida. Asimismo, a diferencia de la supergravedad, parecía que las cuerdas proporcionaban una teoría de la gravedad congruentes con los fenómenos cuánticos. Con este cúmulo de virtudes la teoría de cuerdas dejó cautivados a los físicos y puso a la supergravedad de 11 dimensiones en el lugar donde se depositan las cosas que ya no sirven. Así pues, la mayor esperanza de una teoría que integre la TGR y la MC y describa todos los fenómenos físicos, estaba depositada en la TSC. Pero, a lo largo de los últimos años, ésta ha sido subsumida por la denominada teoría M (TM) De ella Edward Witten ha dicho que «esa M significa, según los gustos, magia, misterio o membrana» Cada día se obtienen nuevas pruebas en favor de esta teoría. Desde el tiempo en que hizo aparición la de cuerdas no se había registrado tanto despliegue teórico. Debemos poner en relieve que, tanto para la TM como para la de cuerdas, la noción de supersimetría es de central importancia. Así, por ejemplo, ésta establece que para cada partícula conocida de espín entero, 0, 1, 2, etc., -medido

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en unidades cuánticas-, haya una partícula de la misma masa y espin semientero 1/2, 3/2, 5/2, etc. y viceversa. Hasta ahora los físicos no han encontrado todavía ninguno de esos supercompañeros. Tendría que romperse esa simetría, si es que existe, para que las partículas propuestas no tengan las mismas masas que las conocidas, sino masas mayores, que no serían visibles en los actuales aceleradores. A pesar de todo esto los teóricos han seguido siendo fieles al concepto de supersimetría debido a la fortísima creencia de que, gracias a esta estructura, lograrán subir un peldaño más en la generalización y así unificar a las interacciones eléctricas, magnéticas, débiles y fuertes con la más reacia de todas ellas: la gravedad. Pero, aparejadas al entusiasmo eufórico con las cuerdas llegaron también inquietantes dudas. En primer lugar, los problemas de cierta entidad -en especial el de cómo contrastar la teoría con experimentos- se escapaban a una resolución con los métodos tradicionales de cálculo.

Demandaban técnicas radicalmente

nuevas y complejas. En segundo lugar, ¿por qué había cinco teorías diferentes?. A quien aspira hallar una teoría unitaria, semejante sobreabundancia le abruma, le desconcierta y le aplasta. En tercer lugar, si la supersimetría permite 11 dimensiones, ¿por qué las supercuerdas se quedan en 10?. Por último, si hemos reemplazado las partículas puntuales por cuerdas, ¿por qué no por membranas o, de una manera general por objetos de p dimensiones, por p-branas?. En correspondencia con esto, una partícula, de dimensión topológica igual a cero, describe en su movimiento por el espacio-tiempo una trayectoria unidimensional, o "línea de mundo". Una cuerda -que tiene dimensión igual a uno- barre una "hoja de mundo" bidimensional; una membrana que tiene dos, la longitud y la anchura, genera un "volumen de mundo" tridimensional y así sucesivamente. En general, una p-brana barre un volumen de mundo de p+1 dimensiones, donde p+1 no puede ser mayor que el número de dimensiones del espacio-tiempo. La historia de la TM se remonta a 1962 cuando Paul A. Dirac construyó un imaginativo primer modelo que se basaba en una membrana. Propuso que el electrón no fuera un punto, sino una suerte de burbuja minúscula, una membrana

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cerrada sobre sí misma. Sus oscilaciones, sugirió, generarían otras partículas entre ellas el muón (la

versión pesada del electrón)

Aunque Dirac fracasó en su intento,

las ecuaciones que formuló para la membrana son, en esencia, las mismas que se usan hoy en día. La membrana puede tomar la forma de una burbuja o extenderse en dos direcciones, análogo a una plancha de caucho. La supersimetría impone fuertes restricciones a las dimensiones posibles de las pbranas. Así por ejemplo, en el espacio-tiempo de 11 dimensiones flota una membrana que sólo tiene dos dimensiones espaciales y es como una hoja. También se ha probado que si una de las 11 dimensiones fuese una circunferencia, podíamos envolverla con la membrana una vez y pegando los bordes formar un tubo, si el radio de la circunferencia decrece en cuantía suficiente, la membrana enrollada acabará pareciéndose a una cuerda en 10 dimensiones, específicamente la supercuerda del tipo II A. Pese a estos resultados los científicos adictos a la TSC prestaron poco interés al proyecto de las membranas. Pero las cosas estaban a punto de cambiar gracias a un avance en un campo muy distante. Amalie Emmy Noether había demostrado en 1917 que la masa, la carga y otras propiedades de las partículas ele mentales se conservaban gracias a alguna simetría. La conservación de la energía, por ejemplo, nos induce a suponer que las leyes de la física no cambian con el tiempo, o que son simétricas bajo el paso del tiempo. Así mismo, la de la carga eléctrica es consecuencia de una simetría de la función de ondas de la partícula. No obstante, hay casos en los que las propiedades podrían conservarse gracias a las deformaciones de los campos. Correspondientemente a estas leyes de conservación se las ha llamado “topológicas”. Cabría pensar, por ejemplo, que un nudo de un conjunto de líneas del campo, un solitón, no pudiera deshacerse: el solitón no se disiparía y se comportaría de forma muy semejante a una partícula. Un ejemplo muy conocido de ello es el monopolo magnético (o suelto),

sea un polo de imán

que si bien no se lo ha encontrado en la naturaleza, aparece como una

configuración retorcida en algunas teorías de campos. De ser cierta la conjetura, llevaría a una profunda simplificación matemática. En la teoría de los quarks, apenas si se pueden hacer cálculos cuando los quarks interaccionan fuertemente;

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pero los monopolos deben entonces interaccionar débilmente. Cuando uno imagina la ejecución de los cálculos con una teoría dual basada en los monopolos, observa claramente que se obtendrían todas las soluciones para los quarks de manera automática y que la teoría dual daría los mismos resultados finales. Dos obstáculos importantes se oponían a esta dualidad. Primero, no se había demostrado todavía la dualidad (propuesta

por Montonen y Olive)

entre la electricidad y el magnetismo en las cuatro dimensiones ordinarias; resultaba, pues, más frágil aún la dualidad entre las cuerdas y las pentabranas en 10 dimensiones. En segundo lugar, todavía nadie se había puesto de acuerdo en el método para hallar las propiedades cuánticas de las pentabranas y, por tanto, en como probar la nueva dualidad. Ashoke Sen acabó con el primer obstáculo al establecer que las teorías supersimétricas requerían la existencia de ciertos solitones dotados de carga eléctrica y magnética. La conjetura de Montonen-Olive había predicho la existencia de esos objetos. Ese resultado que tan poco llamativo parecía convirtió a muchos escépticos, desencadenó una cascada de artículos e inspiró en particular a Nathan Seiberg y a Edward Witten. Los dos empezaron a buscar la dualidad en versiones más realistas (todavía supersimétricas) de la teoría de los quarks y aportaron información sobre los campos cuánticos de un tipo inconcebible pocos años antes. Varios teóricos generalizaron en 1990 la idea de la dualidad de Montonen-Olive para las supercuerdas en cuatro dimensiones, en cuyo dominio la idea encaja con mayor soltura. Se la conoce con el nombre de dualidad S. Pero la verdad era que los teóricos de las cuerdas se habían acostumbrado a la dualidad T, que relaciona los dos tipos de partículas que se producen cuando una cuerda forma un bucle en torno a una dimensión compacta. Un tipo de éstas, las partículas vibrantes, son análogas a las predichas por Kaluza y Klein y son generadas por las vibraciones de la cuerda que ciñe a la dimensión. Tendrán más energía si el círculo es pequeño. La cuerda puede además dar muchas vueltas alrededor del círculo; cuantas más veces lo haga y mayor sea el círculo, mayor será su energía. Cada nivel de energía representa además una partícula nueva, las denominadas partículas de arrollamiento.

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La dualidad T dice que para una circunferencia de radio R, las partículas de arrollamiento son las mismas que las "vibrantes" para un círculo de radio 1/R, y viceversa. El físico no distingue entre ambos conjuntos de partículas: una dimensión compacta gruesa da aparentemente las mismas partículas que una delgada. Esta dualidad comporta una consecuencia profunda. Los físicos se han esforzado durante decenios por conocer la naturaleza de las escalas pequeñísimas, próximas a la longitud de Planck, 10 -33 centímetros. Siempre han supuesto que, a distancias menores las leyes de la naturaleza se desvanecen. Pero lo que la dualidad T nos dice es que a esas escalas y a las grandes el universo no parece distinto. Hasta podríamos imaginar que, si el universo hubiera de encogerse hasta ser menor que la longitud de Planck, se transformaría en un universo dual que crecería conforme el original se contrajese. Sin embargo, la dualidad entre las cuerdas y las pentabranas seguía siendo sólo una conjetura, debido al problema de la cuantización de las pentabranas. Más, desde 1991 un equipo de físicos resolvió el problema obviándolo. En efecto, si se enrollaban cuatro de las 10 dimensiones y las pentabranas las envolvían, éstas acababan constituidas en objetos unidimensionales, como cuerdas (solitónicas) en un espacio-tiempo de seis dimensiones. Además, una cuerda fundamental en 10 dimensiones retiene su carácter fundamental incluso en seis. Así pues, la idea de una dualidad entre las cuerdas y las pentabranas daba paso a otra conjetura: la dualidad entre cuerdas solitónicas y fundamentales. La ventaja era que sí se sabía cuantizar una cuerda, por tanto, cabía contrastar las predicciones de la dualidad cuerda-cuerda. Podíamos demostrar, por ejemplo, que la intensidad con la que interaccionaban las cuerdas solitónicas venía dada por el inverso de la intensidad de la interacción de la cuerda fundamental, en completo acuerdo con la conjetura. Se apostó a que una cuerda heterótica que interaccione débilmente podía incluso ser la dual de una cuerda del tipo IIA que interaccione fuertemente, en el caso de que ambas estuvieran en seis dimensiones. Las barreras entre las diferentes teorías de cuerdas empezaban a deshacerse.

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Si reducimos el espacio-tiempo de seis dimensiones a cuatro enrollando dos, sucede que lo mismo la cuerda fundamental que la solitónica adquieren una dualidad T. Pero ahora viene el milagro: la dualidad T de la cuerda solitónica es precisamente la dualidad S de la cuerda fundamental, y viceversa. A este fenómeno -en el cual el intercambio de cargas en una de las imágenes es justo la inversión de la Iongitud en la imagen dual- se le llama dualidad de dualidades. Sitúa la dualidad S, hasta ahí conjetural, en una posición tan firme como la de la bien establecida dualidad T. Además, predice que la intensidad con la que interaccionan los objetos -sus cargas- está relacionada con el tamaño de las dimensiones invisibles. Lo que en un universo es carga puede en otro ser tamaño. Witten, en una publicitada disertación que dio en la Universidad del sur de California en 1995, puso de pronto todo lo hecho sobre las dualidades T, S y cuerda-cuerda bajo el techo de la TM en 11 dimensiones. En los meses siguientes aparecieron cientos de artículos en Internet que confirmaron que, sea lo que sea la TM, no cabía duda de que en ella las membranas desempeñan un papel importante. Hasta la cuerda E8 x E8, cuya quiralidad se creía era imposible de derivar de las 11 dimensiones, encontró un origen en la teoría M. Witten y Petr Horava revelaron el mecanismo por el que la dimensión extra de la teoría M se contraía a un segmento de línea. La imagen resultante consistía en dos universos de 10 dimensiones (cada uno en un extremo de la línea)

conectados por un espacio-tiempo de 11dimensiones.

Este orden de cosas puede tener consecuencias importantes en la constatación experimental de la TM. Se sabe, por ejemplo, que las intensidades intrínsecas de todas las fuerzas cambian con la energía de las partículas pertinentes. En la teo ría supersimétrica, se tiene que a una energía E de 10 16 gigaelectrónvolt las intensidades de las fuerzas fuerte, débil, eléctrica y magnética convergen. Además, esa intensidad de interacción es casi igual al número adimensional GE 2 donde G es la constante de gravitación de Newton. Ese “casi”, que exige una explicación, ha sido otro motivo de frustración para los físicos. En el peculiar espacio-tiempo concebido por Horava y Witten se puede elegir el tamaño de la undécima dimensión de manera que las cinco fuerzas converjan en

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esa escala común. Es mucho menor que la energía de Planck, 10 19 gigaelectrónvolt, valor en que se esperaba antes que la gravedad se volviese fuerte. Las energías elevadas están vinculadas a las pequeñas distancias por medio de la MC. Así por ejemplo, la energía de Planck es simplemente la longitud de Planck expresada como energía. En lo que a la energía se refiere, los fenómenos gravitatorios cuánticos podrían hallarse mucho más cerca de los sucesos diarios de lo que se ha estado creyendo, y esto tendría todo tipo de consecuencias cosmológicas. En fecha reciente, Joseph Polchinski advertía el parecido entre algunas p-branas y cierta superficie descubierta en el siglo XIX por Peter G. L. Dirichlet ( 1805-1859) Imaginemos branas negras que pueden equipararse a agujeros negros: objetos de los que nada, ni la luz siquiera, podría escapar. En este escenario, las cuerdas abiertas pueden considerarse cerradas con una parte oculta detrás de las branas negras. Tales planteamientos innovadores han llevado a una interpretación nueva de los agujeros negros definiéndolos como intersecciones de branas negras que envuelven siete dimensiones enrolladas. De ahí vienen fuertes indicios de que la teoría M podría incluso resolver las paradojas de los agujeros negros encontradas por Stephen W. Hawking. Hawking demostró en 1974 que los agujeros negros no eran tales ya que irradian energía, se evaporan. Han de tener pues, una entropía que mida el desorden de un sistema contando el número de estados cuánticos disponibles. Pero el origen microscópico de estos estados cuánticos era un misterio. Strominger y Cumrun Vafa han contado gracias a la técnica de las membranas de Dirichlet el número de estados cuánticos de las branas negras y han obtenido una entropía que concuerda perfectamente con la predicción de Hawking. Este resultado es un nuevo logro para la TM. Las branas negras prometen además resolver uno de los mayores problemas de la teoría de cuerdas: parece que hay miles de millones de formas diferentes de contraer 10 dimensiones en cuatro. Son, pues, muchas las predicciones contradictorias sobre cómo opera el mundo real, o, lo que es lo mismo, no hay predicción que valga. Ahora bien, la masa de una membrana negra puede

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desaparecer si se contrae un agujero al que envuelva. Esto hace con el propio espacio-tiempo un número de materia: un espacio-tiempo dotado de cierto número de agujeros internos (como un queso Gruyére), que se convierte en otro con un número de agujeros diferente, violando las leyes de la topología clásica. Si todos los espacio-tiempo están relacionados de esta forma, dar con el bueno se vuelve una tarea viable: la cuerda puede elegir finalmente el espacio-tiempo que tenga digamos, la menor energía y habitar en él. Sus ondulaciones producirán entonces las partículas elementales y las fuerzas que conocemos, es decir, el mundo real. Pese a estos relativos éxitos, los científicos nos comunican que, hasta ahora sólo se han explorado pequeños rincones de la teoría M, no hemos llegado ha disponer todavía de una mirada global. Hace poco un grupo de físicos proponían una definición rigurosa de la teoría M mediante una teoría “matricial" que se basa en un número infinito de cerobranas (es

decir, partículas puntuales).

Las coordenadas, o

posiciones, de estas partículas no son números corrientes, sino matrices cuyo producto no es conmutativo; es decir que, ABBA . En este cuadro, el espaciotiempo es un concepto difuso donde las coordenadas no se pueden definir con los números, sino con matrices. No es de hoy la sospecha de los científicos occidentales de que la unificación de la gravedad (es

decir, la geometría del espacio-tiempo ),

con la física cuántica hará que el

espacio-tiempo deje de estar bien definido, al menos mientras no se descubra una nueva definición. El enfoque matricial ha provocado mucho revuelo, pero parece que ha corrido la misma suerte que los modelos anteriores, ha fracasado en su capacidad predictiva. Es notable observar que todos los modelos revisados hasta aquí y que han fracasado, tienen como factor común haber utilizado espacios diferenciables. ¿No será acaso que en este factor se encuentra el talón de Aquiles de la teoría? ¿No será acaso que la modelación matemática en espacios diferenciables ha encontrado sus propias limitaciones y que se hace necesario sustituirlos por espacios discretos, es decir cuánticos?. El haber utilizado espacios analíticos para describir procesos cuánticos, ha quedado en evidencia, ha sido el más terrible de

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los errores cometidos por los científicos de occidente, pues resulta ser un contrasentido en si mismo tratar de representar los procesos discretos en espacios continuos. Es como si quisiéramos obtener una imagen fotográfica infrarroja en una placa con una emulsión apropiada para obtener una imagen ultravioleta. Por eso es que no han podido unificar la TGR y la MC. Claro está que a Occidente no le quedó otro camino histórico que éste, como ya nos hemos enterado, por tanto no podemos reprocharles haber cometido el fatal error, pero tampoco podemos quedarnos callados ante tan peligroso obrar.

1. 4 6

Espacio-tiempo fractal

Ya tenemos en nuestra memoria que es con Newton que se comienza a utilizar el método diferencial para describir los fenómenos físicos mediante ecuaciones. Éste consiste en descomponer el objeto-proceso que se estudia en sus partes más simples. A su vez, la simplificación permite realizar una descripción local, diferencial de éste, que, tras la integración, aportará las propiedades globales del mismo. Empero, este método pierde toda su eficacia si las partes, en lugar de hacerse cada vez más simples a medida que aumenta la simplificación, son diferentes o más complejas que el objeto del que se ha partido. Esto es lo que sucede en la física de las micropartículas cuando se las observa mediante un acelerador, aparecen estructuras nuevas a medida que decrece la escala. Recordemos que el principio de la relatividad general de Einstein ( que

establece

que,”las leyes de la naturaleza se apliquen en todos los sistemas de coordenadas sea cual sea su clase de movimiento”),

ha sido aplicado suponiendo la diferenciabilidad del espacio y que en

consecuencia es incapaz de dar cuenta de los fenómenos cuánticos, que implican la no diferenciabilidad. Teniendo esto en cuenta, en 1997 el físico francés Laurent Nótale nos comunica que ha abierto un inesperado camino basado en el principio de la relatividad de la escala. El principio de la relatividad de escala generaliza el enunciado de Einstein y ahora nos dice que «las leyes de la naturaleza se aplican sea cual sea el movimiento, y también sea la que sea la escala del sistema de coordenadas» En la relatividad

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de escala, se reemplazan las magnitudes físicas, como la velocidad y la longitud, por funciones que dependen explícitamente de la precisión de la observación, es decir, de la resolución. Esta se vuelve una variable imprescindible, inherente al espacio-tiempo, que caracteriza la escala del sistema de coordenadas de la misma manera como la velocidad caracteriza su movimiento. Las resoluciones espacio-temporales poseen la misma relatividad que el movimiento: así como no se sabría definir un intervalo de longitud o de tiempo de manera absoluta, sólo una relación entre dos escalas tiene sentido. Cuando se aplica al espacio-tiempo la idea de que las magnitudes físicas dependen explícitamente de la resolución, se llega al concepto geométrico de fractal (ver recuadro16) De esta manera las propiedades cuánticas son el resultado de la naturaleza fractal del espacio-tiempo microscópico. He aquí, en síntesis, el aporte de L. Notalle. Para una mejor comprensión de este decisivo trabajo es preciso que realicemos una sinopsis de lo presentado en el ramal 1.4. Los filósofos de la Edad Media se preguntaban: ¿por qué se creó el universo en un lugar y momento preciso, y no un poco más allá y algo después?. El principio de relatividad de Einstein dio la respuesta a esta pregunta anunciando que: «no hay un sistema de referencia absoluto en el Universo, ni temporal, ni espacial, que permita localizar nuestra presencia» Dada una clase de espacio de representación determinada, la definición de un sistema de coordenadas pasa en primer lugar por la elección de un origen, que resulta ser la unidad geométrica del espacio en mención. Para el caso del EMROcc, al ser equivalentes todos los puntos-límite del espacio, la posición del origen de un sistema de coordenadas sólo tiene sentido físico con respecto a otro. Ocurre lo mismo con la orientación de los ejes: sólo se pueden definir ángulos relativos. Estas propiedades del EMROcc desempeñan un papel fundamental en física a la hora de ser aplicadas: se traducen en forma de simetrías espaciotemporales, la invariancia bajo las traslaciones, temporales y espaciales, y las rotaciones. De estas simetrías se deduce que permanecen constantes, a lo largo del tiempo, la energía, la cantidad de movimiento y el momento cinético.

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La velocidad caracteriza el movimiento del sistema de coordenadas, pero sólo tiene sentido una diferencia de velocidades, no hay cabida para una velocidad absoluta. A esa diferencia sólo cabe definirla mediante un par de objetos, la velocidad, por ejemplo, de una bola con respecto a un plano inclinado, jamás una velocidad absoluta. Con Henri Poincaré, y sobre todo con Einstein, el concepto de la relatividad toma una nueva amplitud: la física parece capaz de responder, por primera vez, no sólo al cómo, sino, en ciertos problemas, al porqué. Así, por ejemplo, la TER es la solución general al problema relativista del movimiento inercial, tal y como se pudo plantearlo ya en los tiempos de Galileo: ¿cuáles son las leyes de transformación de los sistemas de coordenadas inerciales que satisfacen el principio de la relatividad? ¿Cómo ya indicamos son las transformaciones de Lorentz (recuadro 12), que ligan las cuatro coordenadas (x, y, z, t) en un sistema S animado de una velocidad v con respecto a las cuatro coordenadas (x’, y’, z’, t’) en un sistema S’? Para deducir esas leyes no hace falta considerar la invariancia de la velocidad de la luz, como lo hizo Einstein en 1905, pues en su forma más general aparece como una constante c, luego, en su aplicación, es que se la define como una velocidad límite. Para ir más afondo en el tema recapitulemos lo fundamental de la TGR y la MC. Hagamos memoria del hecho de que el principio de equivalencia propuesto por Einstein en 1907 enuncia la relatividad del propio campo gravitatorio: un campo de gravitación es localmente equivalente a un campo de aceleración uniforme. La existencia misma de un campo de gravitación no es absoluta, sino que depende del movimiento del sistema de coordenadas considerado. En las propias palabras Einstein: «en un sistema de caída libre en ese campo, la fuerza de gravedad desaparece por completo» (es

lo que los astronautas experimentan como ingravidez)

Mientras

que la teoría newtoniana describe cómo obra la gravedad, la relatividad general intenta explicar por qué existe y qué es. Como esto exigía una mayor generalidad de la descripción, obligó a pasar de un espacio-tiempo plano, euclídeo, a un espacio-tiempo curvo. El caso euclídeo es un caso particular que corresponde a la

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ausencia de gravitación (sistemas

inerciales)

Finalmente, la gravitación se pasó a

entender como el conjunto de deformaciones de la curvatura. Las ecuaciones de Einstein que relacionan la curvatura del espacio-tiempo con la distribución de la energía y de la materia son las más generales de las ecuaciones más simples que son invariantes bajo las transformaciones continuas y doblemente diferenciables de los sistemas de coordenadas: la relatividad impone la existencia de la gravitación así como la forma de las ecuaciones que la describen. Por su parte la MC se basa en unos axiomas inducidos de las experiencias de la microfísica, de las que no se puede dar cuenta utilizando los conceptos clásicos. Las trayectorias de las partículas ya no son observables y por tanto ya no se toman en cuenta. En numerosas ocasiones se torna imposible predecir la evolución de un sistema. En cambio, se sabe calcular la probabilidad de obtener tal o cual resultado: la teoría, por tanto, es probabilista. El experimento de las dos ranuras y otros de ese tipo imponen otra propiedad fundamental: la dualidad ondapartícula. Así pues, la teoría cuántica conjuga los componentes probabilidad, onda y partícula en un solo objeto teórico, la función de onda. Las ecuaciones y el principio de correspondencia, que asocia a las magnitudes observadas los operadores que actúan sobre la función de onda, no se deducen a partir de un primer principio, sino, se los supone a priori. En la MC actual, el espacio-tiempo es plano, lo mismo que en la relatividad restringida. Sin embargo, gracias a las obras de Leibniz, Mach y al portentoso trabajo de Einstein, se ha retirado todo sentido físico a la vieja idea de espacio vacío que nació en las orillas del río Nilo cuando los primeros agricultores restauraban los linderos de sus propiedades, espacio que fue considerado como el recipiente que contiene a la materia sin interaccionar con ella, como un espacio independiente de su contenido, la geometría euclidiana es la teoría de esta clase de espacio. Finalmente nos preguntamos, ¿acaso no resulta contradictorio, de una parte, admitir la universalidad de las leyes cuánticas, no clásicas, de los objetos mi-

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croscópicos, y por otra parte, mantener que lo que contiene esos objetos no se modifica por ello en nada?. ¿No estamos acaso en las redes mismas de la letal paradoja engendrada por el dualismo trascendente que a caracterizado a la cultura de Occidente? ¿Ser o no ser? Fue Richard Feynman (1918-1988), a finales de los años cuarenta, el primero que intentó una vuelta parcial a la representación espacio-temporal, rehabilitando así el concepto de trayectorias cuánticas y tratando de cumplir la exigencia de Einstein para que la MC sea aceptada como una verdadera teoría científica. De este modo se acercó a una concepción más geométrica de la realidad cuántica, sin abandonar por ello, su indeterminismo. En su libro de 1965, escrito con A. Hibbs, describe las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica: «Para una partícula cuántica, los caminos importantes no son los que tienen una pendiente (o velocidad) bien definida en todas partes, sino los que, por el contrario, son muy irregulares en cualquier escala pequeña [...] Así, aunque se pueda definir una velocidad media, la velocidad cuadrática media no existe en ningún punto. En otras palabras, las trayectorias no son diferenciables» En términos actuales, esta descripción de los caminos cuánticos posibles significa que, aunque sean diferentes y en número infinito, todos son curvas fractales que tienen una propiedad geométrica común: su dimensión fractal “patológica” igual a dos. Esta intromisión de la no diferenciabilidad en la física es tanto más notable por cuanto Einstein ya había considerado explícitamente que un enfoque realista del problema cuántico podría pasar por ahí, cuando en 1948 escribió a Wolfgang Pauli: «La descripción completa no podría limitarse a los conceptos fundamentales que se emplean en la mecánica del punto. Le he dicho más de una vez que soy un partidario acérrimo no de las ecuaciones diferenciales, sino del principio de la relatividad general, cuya fuerza heurística nos es indispensable» Una vía hacia una comprensión de los fenómenos cuánticos se abre en tal caso. ¿Será acaso posible proseguir la evolución hacia un espacio-tiempo más universal y generalizar el principio de la relatividad a un espacio-tiempo no diferenciable, fractal?. La idea de buscar las estructuras generales de un espacio-tiempo no diferenciable que satisfaga el principio de relatividad, y de deducir de ellas las

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leyes físicas del movimiento, es sin duda seductora: tales leyes, estructuradas por un principio de relatividad más generalizado, se impondrían como inevitables. La clave del enfoque es comprender que lo discreto o cuántico es una manifestación de la no diferenciabilidad. Para el científico occidental el problema que le origina abandonar la diferenciabilidad es de dificultad extrema, pues no es un acto volitivo, es un acto cultural, ya que significa abandonar el EMROcc; esto es, abandonar las ecuaciones diferenciales, la herramienta básica de la física desde los tiempos de Leibniz y Newton, con la cual han venido modelado, tanto el mundo socio-cultural como el natural. Felizmente, aunque de manera parcial, fue posible otra vía que, de manera asombrosa, se reduce a la precedente al prodigar una matemática que permite describir la no diferenciabilidad con la ayuda de ecuaciones diferenciales. Digo de manera parcial porque sólo se consideran funciones no diferenciables pero continuas o sea definidas en EMROcc ( como por ejemplo una curva quebrada o aserrada cualquiera),

dejando a un lado las funciones discretas, las que verdaderamente se

ajustan a la noción cuántica de proceso discontinuo o de cambio de estado. Por tanto la clave de la solución consiste en traducir a lógica fractal los trabajos de Feynman. Partamos de una función continua y no diferenciable casi totalmente, trazada entre dos puntos del plano. Cabe aproximarse a ella con sucesivas divisiones en dos segmentos que van construyendo aproximaciones cada vez más precisas. La longitud de las diferentes aproximaciones depende explícitamente de la resolución; es creciente, divergente incluso, cuando el grosor de la medida tiende a cero. Ello es consecuencia de un teorema establecido por el matemático Henri Lebesgue que nos asegura que una curva de longitud finita es diferenciable casi por doquier; en cambio, si una curva continua es no diferenciable casi por doquier, su longitud, necesariamente, será infinita. Abandonar la arbitraria suposición de que una curva del espacio-tiempo es diferenciable absolutamente, y al mismo tiempo conservar su continuidad, establece automáticamente una dependencia explícita en función de las resoluciones.

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No hace falta añadir la hipótesis de que el espacio-tiempo es de naturaleza fractal a escala microscópica, eso ha sido suficientemente demostrado. Por tanto, la relatividad extendida al movimiento no diferenciable resulta ser equivalente a la relatividad de escala. No se trata de una generalización arbitraria y sin restricciones; pues, las ecuaciones que se escriben en tal espacio-tiempo no diferenciable deben verificar el principio de covariancia, expresión matemática del principio de relatividad, que exige que éstas mantengan la misma forma que en el caso diferenciable. Así pues, en la relatividad de escala, las leyes que rigen el movimiento se complementan con las leyes de escala que gobiernan las transformaciones entre las resoluciones. Consecuentemente, las magnitudes físicas pasan ha depender también de la resolución. Lo primero que uno debe hacer, para descubrir la forma de esas leyes de escala, es establecer que sean lo más simples posibles. Luego se escribe de esa forma una ecuación diferencial de primer orden respecto a un cambio infinitesimal de la resolución: su solución será la longitud de una curva fractal de dimensión constante (D=2). Así, las funciones fractales de dimensión constante, que divergen según una ley de potencia en función de la resolución, son las formas más simples de leyes que dependen explícitamente de la escala. Éste fue el comportamiento que encontró Feynman para las trayectorias cuánticas. Esta vez los principales axiomas de la MC se derivan del concepto de espaciotiempo fractal. Para empezar, la no diferenciabilidad impone el carácter probabilista de la descripción. En la teoría de Einstein, la trayectoria de una partícula libre es una geodésica del espacio-tiempo; en el espacio-tiempo fractal, también lo será. Sin embargo, la aparición de fluctuaciones en las escalas pequeñas hace infinito el número de geodésicas, que son por definición, todas son equiprobables; resultando así, que la única predicción posible es que la partícula "seguirá" una geodésica de una familia infinita, lo cual es una trivialidad. Es obvio que éste enunciado es incompleto, pues el enfoque fractal transforma también el concepto de partícula elemental. En la MC actual, el electrón, desde el punto de vista de su naturaleza corpuscular, es asumido como un punto material. Posee propiedades intrínsecas como el momento cinético o espín, la masa y la

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carga. El espín está ligado a una simetría del espacio-tiempo pero no tiene contraparte clásica. La carga y las otras magnitudes cuánticas están asociadas a simetrías internas que tampoco tienen homólogas en el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo fractal se abandona la idea de punto material y se considera a las masas como el conjunto de las propiedades de las geodésicas. La descripción del espacio-tiempo fractal obliga a tomar en cuenta las nuevas estructuras ligadas a las transformaciones de las resoluciones. Estas son vistas como internas, pues las estructuras fractales se desarrollan hacia las pequeñas escalas, esencialmente por debajo de la longitud de De Broglie asociada a la partícula (que es igual al cociente de la constante de Planck y la cantidad de movimiento de la partícula:  = h/vm)

Esta longitud de onda realiza la transición entre el comportamiento fractal y

el no fractal; o sea, entre el comportamiento independiente de la resolución, a las escalas grandes, y el que depende de ella explícitamente, a las pequeñas. La esperanza que suscita este comentario es que las propiedades "internas" surjan finalmente de simetrías ligadas a las transformaciones de escala y que tengan un significado geométrico en el ámbito de la geometría no diferencial. El concepto de partícula dejaría entonces de referirse a un objeto que poseería un espín, una masa o una carga, y se reduciría a las estructuras geométricas de las geodésicas fractales de un espacio-tiempo no diferenciable. Un programa así está lejos de haberse realizado hasta el final, pero hay ya algunos resultados que son estimulantes. Para empezar, la longitud de la onda y el período de De Broglie asociados a una partícula se interpretan geométricamente mediante una transición entre el comportamiento fractal y el no fractal: son las escalas más allá de las cuales aparecen los retrocesos de las trayectorias, espaciales para la longitud, temporales para el período, respectivamente. La energía, la cantidad de movimiento, la velocidad clásica, la velocidad de fase y la masa de la partícula pueden calcularse con facilidad como funciones de esas escalas. Pasando de este modo, las características geométricas de las trayectorias fractales, a expresar a todas estas magnitudes físicas. Lo mismo sucede con el espín: no existe en la teoría clásica, pues es proporcional, en el caso del electrón, por ejemplo, lo es al

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cuadrado del radio de la partícula, que es nulo. No obstante, es proporcional también a la velocidad de rotación, que puede ser infinita sobre una trayectoria fractal. Pero, lo que realmente resulta sorprendente es que la multiplicación de cero por infinito es siempre cero cuando la dimensión fractal de la trayectoria es menor que dos, es siempre infinito cuando es superior a dos, pero es finito, y puede ser no nulo cuando la dimensión es dos. ¡Precisamente, la dimensión dos corresponde a la de las trayectorias fractales que Richard Feynman calculó a partir de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg!. La carga también se puede interpretar como una magnitud geométrica invariante, que surge de las simetrías de escala. La franca imposibilidad que tiene el experimentador de observar a las micro-partículas sin perturbar sus trayectorias es una consecuencia inmediata de su identificación con las geodésicas fractales. Estas sendas no poseen ninguna característica propia que permita distinguirlas. Un conjunto de varias partículas no se identifica con una colección de objetos individuales en el sentido clásico: es un objeto nuevo, una madeja de geodésicas que posee sus propiedades geométricas propias. El sentido de la dualidad onda-partícula cambia con el enfoque fractal. En la MC la función de onda se identificaba con la onda-partícula. En la relatividad de escala, por un lado, una geodésica en particular (que es fractal por cuanto es función de la resolución) se identifica con la naturaleza corpuscular de la partícula, como nos la descubren las medidas de la posición y, de otra parte, la madeja de geodésicas posibles, único dispositivo que permite hacer predicciones, es portadora de las propiedades ondulatorias. Reintroducir la especial geodésica que habría "seguido" la partícula, ¿no es acaso volver al determinismo, reintroducir los parámetros ocultos, excluidos por varios experimentos cruciales de la MC?. No, pues se abandona totalmente la diferenciabilidad entendida en el sentido de que ya no se trabaja en un espacio constituido por puntos-límite, generados por series convergentes; sino en otra clase, la formada por series de fracciones que son divergentes, aquellas que no tienen límite en el infinito: no existe ninguna escala, por pequeña que sea,

223

por debajo de la cual se reencuentren las propiedades clásicas que transformarían los parámetros ocultos. Por tanto, es imposible predecir qué trayectoria geodésica seguirá la partícula. A la inversa, ¿qué nos permite establecer la existencia de una tal geodésica particular?. El punto de vista de Bohr y de Heisenberg, que se funda sobre la imposibilidad de predicción de una trayectoria particular para deducir su inexistencia, parecía la única respuesta lógica a este problema antes del año 1931, fecha de la publicación del teorema de la incompletitud de Gödel. Este teorema dice que, en toda axiomática no contradictoria que contenga la teoría de números, hay enunciados verdaderos aunque indemostrables. Enunciado de otra manera, pero equivalente a la anterior, dice que todo sistema formal que autorefiramos nos coloca en una situación indecidible, paradójica, que finalmente desemboca en la alucinación. La física es una ciencia altamente formalizada, cuyas teorías una vez construidas pueden compactarse en un reducido grupo de axiomas matemáticos, como empezó haciéndolo el propio Newton en sus Principia. Consecuentemente, al contener siempre implícitamente la teoría de números, se sigue que la física descansa en los resultados de las mediciones. En física, una predicción no es sino un teorema construido a partir de los axiomas de la teoría considerada y se lo verifica con el experimento. De este modo, el teorema de Gödel advirtió que tarde o temprano los investigadores se encontrarán con enunciados indecidibles no sólo en lógica sino también en física y en otras ciencias. Y así fue, la MC es la ciencia que contiene tales enunciados. En el experimento de las dos ranuras de Young, donde se crea una figura de interferencia al hacer que un haz de partículas atraviese una pantalla donde hay abiertas dos ranuras, la imposibilidad, en presencia de las interferencias, de predecir por qué rendija ha pasado una partícula y la destrucción de las interferencias por toda medida de la posición han conducido a la conclusión según la cual la investigación de la trayectoria de las partículas carecería de sentido. Según el teorema de Gödel, puede ser verdad que la partícula haya pasado por una de las dos rendijas, cosa que toda medición explícita nos confirma, y que, al

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mismo tiempo, sea, sin embargo, imposible predecir por cuál: debe distinguirse entre el acto mostrativo y el demostrativo. Las trayectorias posibles de una partícula constituyen un conjunto infinito de curvas fractales (cuyo

número crece al aumentar la resolución).

La descripción de una de

esas curvas hace que intervengan las coordenadas medias, macroscópicas, que se corresponden con la trayectoria clásica, en el caso de que exista, y las fluctuaciones que en depende la escala, y que dominar los desplazamientos medios a muy pequeña escala. Una parte de los efectos cuánticos procede de esas fluctuaciones. Así, los comportamientos clásicos y cuánticos son una cuestión de escala. El carácter relativo de la transición, que depende de la masa y de 'la velocidad, o, más generalmente, de la temperatura, explica que existan efectos cuánticos macroscópicos, como la superconducción. Como nos resulta evidente, con el desdoblamiento de las variables en clásicas y cuánticas no queda resuelto el problema completamente. El carácter complejo de la función de onda que se halla bajo lo esencial de las paradojas de la MC recibe ahora explicación: proviene de una rotura de la invariancia por reflexión temporal, que también es consecuencia directa de la no diferenciabilidad del espacio-tiempo. Por primera vez en la historia de la física las ecuaciones no son invariantes al cambio del signo del tiempo. Con esto queda al descubierto que el carácter reversible del tiempo estuvo relacionado con la diferenciabilidad y que el tiempo de carácter irreversible está relacionado, en cambio, con lo fractal. Los dos se encuentran integrados en una expresión de variable compleja, con la parte real para el reversible y con la parte imaginaria para el irreversible. Era de esperar que la velocidad, derivada de la posición, sea la primera variable afectada por esta nueva estructura del espacio. Así, para una geodésica fractal que llega a un punto dado en determinado instante, hay una infinidad de geodésicas de salida a partir de las que se puede calcular una velocidad media "hacia delante". Se trata de un proceso fundamentalmente irreversible: si remontamos el curso del tiempo por la geodésica que ha "escogido" la partícula, encontraremos una infinidad de geodésicas “entrantes" en el mismo punto. Se calcula una velocidad media "hacia atrás" para este proceso inverso. A causa de la no

225

diferenciabilidad del espacio-tiempo, no hay ninguna causa por la que tenga que ser idéntica a la velocidad "hacia delante". Por lo que se refiere a la descripción de los desplazamientos elementales considerados, los dos sentidos del transcurso del tiempo son igualmente válidos para la descripción de las leyes físicas. Ello conduce a combinar esas dos magnitudes en una velocidad compleja a fin de definir un nuevo proceso doble que sí es reversible. La semisuma de las velocidades hacia delante y hacia atrás constituye la parte real de la velocidad compleja, y la semidiferencia, la parte imaginaria. Introduciendo una mayor generalidad, se construye un nuevo operador de derivación compleja a partir de las derivadas medias "hacia delante" y "hacia atrás", que va a realizar la covariancia de escala. En éstas condiciones se puede retomar todas las grandes líneas de la mecánica clásica, y generalizarla con la no diferenciabilidad, gracias a esta técnica que hace complejas todas las magnitudes que fueron antes reales. El operador de derivación compleja con respecto al tiempo se construye explícitamente al considerar a las trayectorias de las partículas como curvas fractales de dimensión dos. La dimensión dos es un valor particular, para el cual toda dependencia explícita en función de la escala queda “oculta" en el formalismo de los operadores diferenciales de la MC. El principio de correspondencia para el momento y la energía puede ser demostrado, y la ecuación fundamental de la dinámica se transforma en la ecuación de Schrödinger; o sea, esta ecuación puede escribirse de manera covariante como la ecuación de las geodésicas para el movimiento inercial en el vacío. Cuando se la resuelve, el comportamiento cuántico aparece como la manifestación del carácter fractal del espacio-tiempo. Empero, los conceptos de relatividad de escala y de espacio-tiempo fractal permiten ir más allá de la mera reestructuración que han suscitado en la comprensión que se tenía de la MC. Con el método de la covariancia de escala se ha podido deducir la MC a partir de las leyes de escala más simples que pueden construirse. La más simple posible de las leyes de escala es una función fractal de dimensión constante y desempeña el papel de invariante de escala. Una ley así permitió deducir la MC estándar cuando la dimensión fractal es dos. Si se quiere

226

conseguir una formulación covariante más general es de rigor que la dimensión fractal deje de ser invariante y pase a depender de la escala. Ahora bien, una vez que nos encontramos en este nuevo y ampliado escenario, el primer objetivo consiste en encontrar las formas posibles de esa nueva variable de escala que sean compatibles con el principio de la relatividad. La ley de dimensión constante (de

la que se deduce la MC )

es la única que satisface dicho principio, por lo

qué debe ser demostrable. Pero si se encuentran otras posibilidades, de hecho permitirán una generalización de la MC. Se trata de saber cómo la longitud curvilínea definida sobre una curva fractal, así como la dimensión fractal generalizada que la caracteriza, se transformarán en un cambio de resolución. Al igual que en la relatividad del movimiento, la dificultad que se encuentra al tratar de resolver el problema de manera general, obliga a primero tratar con el caso restringido de las transformaciones lineales. La solución particular de éste, que corresponde al comportamiento fractal de dimensión constante, es el grupo de transformaciones de Galileo. En cambio, su solución general es el grupo de transformaciones de Lorentz, con las que Einstein dio forma a la TER. Es preciso observar, que el problema de la inercia es para las leyes del movimiento lo que éste es para las escalas. Así como la solución galileana describiría con exactitud las regularidades de la naturaleza sólo sí la velocidad de la luz fuese infinita; en el caso de las escalas, las leyes de dilatación y contracción no serían más que aproximaciones (a escala infinita), de leyes más generales. En éstas, la dimensión fractal desempeña el papel de una variable básica, que representa para las escalas el mismo papel que el tiempo para el movimiento. Esta variable al representarla en las coordenadas fractales forma un vector en un espacio de cinco dimensiones. En la nueva situación hay que tener siempre presente que la solución general del problema de las transformaciones de escala es la transformación de Lorentz. Las nuevas propiedades que estas nuevas leyes presentan y que las distingue de las

de

escala

habituales,

pueden

emparejarse

con

las

propiedades

correspondientes ya conocidas en relatividad del movimiento. La principal es la aparición de una escala de longitud mínima insuperable, invariante a la acción de

227

las dilataciones y contracciones. Esta escala realiza, para las resoluciones, el mismo papel que la velocidad de la luz para las velocidades. Reemplaza al valor cero, que deja de tener sentido físico. No es ni una barrera ni una cuantización del espacio-tiempo: la naturaleza de esta escala límite es la de un horizonte. No pone en entredicho la no diferenciabilidad del espacio-tiempo, ni la existencia sin fin de estructuras tras los aumentos sucesivos: es el efecto de tales magnificaciones el que ha cambiado. De la misma manera que se puede ir añadiendo indefinidamente la velocidad sin sobrepasar jamás la de la luz, un número arbitrariamente grande de contracciones sucesivas, aplicadas a una escala inicial cualquiera, conduce a una escala relativa siempre superior a la longitud límite. ¿Cuál es el valor de esa longitud límite? Es la longitud de Planck, construida en función de las tres constantes fundamentales de la física: G, la constante de la gravitación, h, la constante de Planck, y c, la velocidad de la luz, y tiene un valor de 1,6 x 10-35 metros. A partir de estas mismas constantes se construyen la masa y el tiempo de Planck. La longitud de Planck representa el límite más allá del cual los efectos de la gravitación se vuelven tan importantes como los cuánticos. El continuo espacio-temporal se agujerea en las tentativas de construcción de una teoría de la gravitación cuántica, que describiría los fenómenos físicos a esas energías. Este problema ha sido planteado, por supuesto, en la relatividad de escala, pero de otra forma. El cambio más inmediato concierne a la relación entre escala de masa, energía y momento, y escala de longitud y tiempo. En la teoría cuántica, estas dos escalas son inversas entre sí. Cada vez que un resultado se expresa mediante una longitud, un radio, un parámetro de impacto característico, lo que se mide explícitamente es una energía y un momento, retraducidos a una escala de longitud, supuestas correctas las relaciones cuánticas usuales. Según las relaciones de incertidumbre, la cantidad de movimiento tiende hacia el infinito cuando el intervalo de tiempo métrico tiende hacia cero. En las leyes relativistas de escala, ese intervalo no puede ser inferior a la escala de Planck. Sorprendente,

228

ahora, la escala de longitud y de tiempo de Planck poseen las propiedades físicas antes atribuidas a las longitudes y tiempos nulos. Un cambio tan profundo tiene numerosas consecuencias en física y deben estudiarse una a una. Uno de los primeros resultados obtenidos con esta teoría no es el menos sorprendente. Las escalas de masa y de longitud dejan de ser directamente inversas: a la escala de la longitud de Planck le corresponde ahora una energía infinita. ¿Cuál es entonces, ahora, la escala de longitud que le corresponde a la escala de la energía de Planck?. Se ha encontrado que es una escala universal un billón de veces menor que la de los bosones que transportan la energía electromagnética. Esta escala es, precisamente, la de la gran unificación, descubierta en física de partículas. Este resultado significa que, desde el punto de vista de la energía, la unificación de las cinco interacciones fundamentales ( eléctrica, magnética, nuclear débil y nuclear fuerte ) se efectúa, en el nuevo marco, cuando alcanza la energía de Planck. Que es precisamente la energía a la que la gravitación se vuelve del mismo orden que las otras fuerzas, la unificación de las cinco interacciones sólo puede ser simultánea. Si este resultado es más satisfactorio que la unificación en dos tiempos de la teoría actual, no por ello facilita el problema de construir una teoría unificada. Tendría, en todo caso, la ventaja de poner fin a una de las preguntas fundamentales de la física: ¿por qué la constante de gravitación tiene el valor encontrado?. Remitiéndonos a la expresión cuántica de dicha fuerza, se halla que la unidad natural de las masas es la masa de Planck. En efecto, se puede considerar que las partículas fundamentales de la naturaleza son las que transportan la interacción totalmente unificada, una gran parte de esas partículas tendrán la masa de Planck y crearan concretamente esta unidad universal de masa. Finalmente podemos decir que la fase crítica del EMROcc ha consistido en la angustiosa búsqueda de un sistema de representación que de sosiego al alma del científico que se halla sufriendo los terribles tormentos tantálicos, que sin piedad castigan su mente. Lo que hemos visto es cómo han modelado llevando las cosas hasta el extremo, agotando el sentido científico del empeñoso trabajo, cuando

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acaban produciendo teorías imposibles de comprobar. Esto simplemente es marchar en el mismo terreno, patinar sin darse cuenta. El espíritu que ha animado este vano trabajo es el de restablecer el carácter absoluto del EMROcc tan venido a menos desde la catástrofe cuántica. Pertinaz insistencia que anhela seguir escribiendo las ecuaciones de la realidad en un espacio de puntos-límite y sólo en el dominio de la cantidad. Sin embargo, esta tendencia reduccionista ha si superada luego del atinado y definitivo acierto de Notale y el descubrimiento de la Geometría Analítica Fractal por parte del autor de este libro. Creo que el futuro de la modelación matemática está asegurado y se extiende en el dominio de la intersección de la cantidad y la calidad. A continuación presento el otro sistema matemático producido en la historia, el EMRAn.

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SEGUNDA PARTE Acerca de cómo surgió y cómo evolucionó el Espacio Matemático de Representación de la Civilización Andina Precolonial

Ha sido tema de discusión recurrente el establecimiento de la fecha de arribo de los primeros humanos a las Américas. Pero sólo últimamente a recibido la atención debida, gracias al magnífico descubrimiento de un campamento paleolítico en Monte Verde10 en el año 1976. Hemos podido saber que el poblado 10

Monte Verde es el primer yacimiento del pleistoceno en las Américas que proporciona en abundancia los restos de las plantas que desempeñaron una función económica. Entre ellas tenemos restos de tubérculos, incluidos los de la patata silvestre; pero además, una gran variedad de semillas comestibles, tallos, hojas, frutas, nueces, bayas y raíces. Es clave señalar que estas plantas maduraban en todos los meses del año y provenían de distintos ambientes, pues nos revela que aquellos aldeanos eran sedentarios y que permanecían a lo largo de todo el año en un campamento bien dotado de una base orgánica rica y fiable.

231

estuvo acampado en las ciénagas del extremo sur de Chile ( lugar equidistante entre los Andes y el Océano Pacífico )

y compuesto por una treintena de personas hace

14.700 años. Ellos tal vez fueron descendientes de los primeros hombres que atravesaron el fondo helado de Bering. No obstante, otras evidencias que se han encontrado, aunque dispersas y menos contundentes, sitúan la fecha de llegada hace 20.000 años. Los resultados de los estudios realizados nos informan también de otros aspectos de la vida de estos hombres, que van más allá del momento mismo en que se asentaron en América. Los arqueólogos, a medida que han ido interpretando los nuevos artefactos encontrados y recomponiendo el diario vivir de aquellos pioneros, nos han ido enterando acerca de sus hábitos de caza, de las plantas que comían, de los medios de transporte que utilizaban para realizar largas travesías y, en general, del modo de vida que llevaban cuando llegaron al Nuevo Mundo. Así sabemos, por ejemplo, que los primeros colonos, durante sus desplazamientos por tierras templadas, pusieron mayor empeño en la caza menor, en la pesca y en la recolección de plantas, que en la caza mayor, como se había supuesto. Fue así entonces cómo ciertos emigrantes procedentes del noreste de Asia cruzaron el istmo que existía entre Siberia y América del Norte durante la baja Edad del Hielo, cuando los niveles marinos estaban mucho más bajos que los actuales. Desde allí se desplazaron hacia lo que hoy es Canadá a través de un corredor abierto entre dos glaciares que, por entonces, cubrían la mitad septentrional del continente. Esta ruta los llevó a lo que hoy es EEUU y desde allí avanzaron hacia las Américas del Centro y del Sur. Como vemos, ellos atravesaron todo el continente, desde Alaska hasta Tierra del Fuego. Sin embargo, los estudiosos del tema nos aseguran que éste no fue el único camino seguido para entrar al nuevo continente, sino que hubo otras rutas que tomó el hombre para llegar a las Américas en distintos momentos del tiempo. Así, parece ser que ciertos exploradores del este de Asia pudieran haber costeado en pequeños y frágiles botes hasta arribar a América del Norte, para luego bajar bordeándola hasta alcanzar el Sur en sólo un centenar de años.

232

Otra ruta fue la que tomaron algunos habitantes de Australia, Indonesia, Melanesia, Micronesia y Polinesia, quienes navegaron por el Pacífico Sur cada vez más hacia el este hasta llegar finalmente a Sudamérica, utilizando las corrientes marinas y la constelación de la Cruz del Sur para guiar su travesía. Finalmente diremos que se ha encontrado evidencia muy controvertida en el caucásico “hombre de Kennewuick” de hace 9.500 años, que nos indica que los humanos llegaron también procedentes de Europa, navegando por el perfil costanero de Groenlandia y bordeando el límite de los glaciares que en ese entonces cubrían el Mar del Norte. Como resultará evidente para el lector, el Nuevo Mundo ha venido funcionado a lo largo de milenios como un gigantesco crisol donde se han ido fundiendo los mas diversos pueblos del mundo que fueron llegando a distintos sitios y en diversos tiempos, para luego, paulatinamente y de modo no uniforme, ir entrando en un gran proceso de transculturación que aún no termina y que apenas ha comenzado a dar sus primeros frutos. Así pues, el conocimiento obtenido desde el descubrimiento de Monte Verde nos ha conducido a una cascada de nuevas revelaciones e implicaciones que por fin sientan una sólida base para proseguir con la reconstrucción del pasado del hombre en América.

2.1

El medio geográfico y el sistema económico andinos

El continente Americano acabó de integrarse hace apenas tres millones de años por medio del istmo de panamá y labró como su sistema vertebral a la gigantesca Cordillera de los Andes que se extiende de sur a norte a lo largo de 7.200 kilómetros. Este sistema montañoso que es el mayor del mundo y que se ha conformado a lo largo de las edades por la actividad litosférica, no ha dejado de crecer, siempre se encuentra en constante cambio geológico y climático, es la sede misma de la inestabilidad, de la turbulencia. Al irrumpir transversalmente en la Zona Tropical del planeta, con su colosal presencia, la Cordillera de los Andes da origen a un fenómeno muy singular al

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producir una síntesis climática mundial, pero distribuida de manera altitudinal y no latitudinal, como lo está en la superficie del globo terrestre. Así, comenzando en el nivel del mar tenemos, el clima tropical basal, luego el subtropical, el templado, el frío de páramo y finalmente el polar de los nevados 11. Esto dio lugar a que los países se distribuyeran también de manera superpuesta; así fue, el país de abajo, el del medio, el de arriba y el de lo alto; claro está, que esto era de este modo antes de la invasión europea. Luego de ella los conquistadores implantaron su cultura y los países se redistribuyeron de modo yuxtapuesto, como ha sido muy propio del Viejo Mundo. En este escenario geobioclimático brotaron dos grandes núcleos civilizatorios, el de los cultivares de Mesoamérica y el de los de Sudamérica andina, en medio de un conjunto multiforme de pequeños espacios naturales distribuidos de modo discreto y sujetos a una condición de asiduo cambio climático. Esto hacía del escenario agrícola un flexible conglomerado de micro ecosistemas, capaces de proveer múltiples oportunidades para la adaptación de los mutantes creados, con generosidad extrema, por obra de la enérgica radiación del sol tropical sobre las hélices génicas de animales y plantas. Estos pequeños espacios son los espacios producidos por las colosales fuerzas geológicas que han dado origen a la gran cadena montañosa de los Andes y que moldean la faz oeste de Sudamérica: llanuras y laderas, agudas pendientes, altas cumbres, ondulaciones suavizadas y quebradas cortantes. Son, en América del sur, el producto de la subducción de la placa tectónica de Nazca en la placa Sudamericana, al que hay que añadir el proceso de acreción del litoral ecuatoriano, originado de las emanaciones del manto producidas en el "punto caliente" del Pacífico ecuatorial que dio origen al Archipiélago de las Galápagos. Más tarde, los materiales que emergen de la actividad eruptiva se convierten en litosferoclastos y se trasladan hacia el este, para henchir, finalmente, las costas y elevar las cumbres.

11

Según la clasificación de las Zonas de Vida hecha por L. R. Holdridge los pisos ecológicos altitudinales correspondientes serían: premontano y montano bajo, montano, subalpino, alpino y nival.

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Los desbalances subsecuentes a las presiones geológicas desatadas en varias direcciones, con diversa intensidad y en diferentes momentos, por la dinámica de la corteza y el manto, han hecho que la superficie continental se deforme en arrugas o pliegues de centenares o miles de metros de altura, dispuestos no sólo en el sentido longitudinal del Cinturón de Fuego del Pacífico, del cual forman parte, sino en direcciones latitudinales y mixtas. Así pues, el paisaje orográfico andino se presenta como un arreglo de grandes y pequeñas cordilleras, que se encadenan en nudos, formando aquí y allá ecosistemas tan variados como: los glaciares permanentes y estacionales, en las mayores alturas, donde florece la tundra del trópico; el páramo frío, húmedo y nuboso, en el nivel orográfico inferior, que aloja en su lecho ondulado a bromelias gigantes, plantas almohada, gumifloras de los pajonales, algún que otro maíz de altura, varios tipos de musgo y donde, a decir verdad, la cebada y el trigo muy a gusto se han sentido; la puna, situada en la misma cota de los páramos, tierra de menor humedad y más luminosa, propicia para los tubérculos; la ceja andina, en el escalón inferior; y a continuación el altiplano, hogar del maíz, llanura rodeada de volcanes y nevados que enmarcan paisajes engalanados por capulíes, sauces blancos y negros, cabuyas verdes y azules, arupos rosados y blancos, algarrobos, guarangos, molles, ovos y cactos; el piso del bosque nublado, de vegetación exuberante y mucha lluvia, morada de begonias, orquídeas y helechos arbóreos; luego, los valles de las cuencas hidrográficas, colonia de las frutas mediterráneas; y, finalmente, las extensas llanuras tropicales donde caña de azúcar y arroz han enraizado con lujuria. Ninguno de estos ecosistemas podría abastecer por sí solo de todos los alimentos requeridos para una nutrición balanceada. Son territorios cuyas vocaciones agrícolas están netamente trazadas, a menos que se produzca una conmoción externa que las modifique. Una constelación de espacios disímiles determinada, como se ha dicho, por la magnitud de las elevaciones sobre el nivel del mar. Esta es la base de la diversidad, ciertamente. Pues el cambio de altura implica diferencias de presión atmosférica, insolación, temperatura, evapotranspiración y afecta el régimen de lluvias. Pero el factor altitudinal no es el único, junto a él debe

235

considerarse una influencia de carácter latitudinal, que se manifiesta en mesuradas oscilaciones estacionales del clima, tanto más acusadas cuanto mayor es la distancia respecto del ecuador terrestre. Cuando ocurren las conmociones externas, que alteran el paisaje y las vocaciones agrícolas, las variables que modifican la calidad de los suelos y trastornan los períodos climáticos dados según la altitud y la latitud son: las erupciones volcánicas, los grandes terremotos, vaivenes y perturbaciones hidrográficos y las fluctuaciones de los sistemas de vientos. Pero el mayor agente de variación es el sistema de las corrientes oceánicas que dan origen al llamado fenómeno de “El Niño”, cuyas alternativas marcan los grandes sobresaltos de los climas andinos. Dado este escenario, la estrategia agrícola desarrollada por el hombre en los Andes precolombinos se fundamentó en la explotación simultánea de varios ambientes que, localizados en distintas altitudes ( pisos ecológicos), le proveían de los recursos necesarios para una alimentación balanceada. Estos, al formar verdaderos “archipiélagos verticales” de zonas de vida, hicieron que la estrategia fundamental de los pueblos andinos haya consistido en alcanzar el control vertical de un máximo de estos pisos ecológicos, guiados por el despliegue generoso del genoma del maíz a medida que éste conquistaba un nuevo piso, un nuevo nicho ecológico, con la aparición de una nueva variedad que enriquecía aún más su ya portentosa prosapia. La conquista de este sistema ecológico altitudinal se dio de abajo hacia arriba, o sea, comenzando en el nivel del mar en la primera etapa, hasta lograr alejarse lo suficiente de su dependencia de los frutos del mar y comenzar ha desarrollar una incipiente agricultura asentada principalmente en el cultivo del maíz. En este gran objetivo se fundamentó su economía política y se desarrolló el Estado. La percepción y el conocimiento sistematizado que el hombre andino fue adquiriendo de sus múltiples ambientes naturales a través de los milenios le permitió combinar tal versatilidad de ambientes en un solo macro-sistema económico-político. Por tanto, el control simultáneo de tales “archipiélagos ecológicos verticales” se constituyó en un ideal andino compartido por etnias geográficamente muy

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distantes entre sí, y muy distintas en cuanto a la complejidad de su organización económica y política. Esto impulsó el desarrollo de una organización social basada en la autosuficiencia, cuya consecuencia más importante consistió en que, para adquirir los recursos que necesitaban, los miembros de una comunidad tenían que distribuirse eficientemente en el territorio. La zona donde se daban tales recursos podían estar ubicadas próximas una de otra o a grandes distancias, según los patrones ecológicos que regían en su territorio. La repuesta precisa, a la imperiosa necesidad de hacer cada vez más eficiente al sistema, fueron las terrazas agrícolas, construidas en los flancos de las montañas: plataformas dispuestas a manera de gradientes orográficos. Su utilización supuso beneficios sustanciales, ya que por medio de las terrazas fue posible aprovechar las ventajas comparativas de la diversidad y la variabilidad de los ambientes, para la aclimatación de las especies mutantes. Es decir que las terrazas fueron la obra física que viabilizó el gran proyecto de fitomejoramiento desarrollado por la sociedad andina hasta el aciago fin del siglo XV. Obras maestras de ingeniería, la forma de las terrazas dependía de la localización e inclinación del terreno, del tipo y profundidad del suelo, de la frecuencia y cantidad de lluvia. Las terrazas planas, por ejemplo, eran las adecuadas para climas secos o poco lluviosos, pues evitaban el drenaje de los sedimentos y optimizaban la infiltración del agua. Las inclinadas permitían, en contraste, una eficiente escorrentía donde más frecuentes y masivas eran las lluvias. Los muros de soporte brindaban una natural protección contra los rigores del clima, en particular contra las heladas inclemencias de los páramos y valles de altura; las variaciones de curvatura de los perfiles permitían, por su parte, canalizar el curso de los vientos; y la planitud del piso, dado el caso, ayudaba a una mejor fijación de las raíces de las plantas y al ahorro de energía en las faenas agrícolas. Las terrazas fueron sólo uno de los representantes de la singular tecnología andina. A decir verdad, la andina no fue una tecnología agrícola tan singular. De hecho varias técnicas, incluyendo las terrazas, fueron compartidas con la agricultura Mesoamericana.

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Por ejemplo, tenemos el arte de los canales de irrigación y el de los camellones o ingahuachos (surcos

del Inca)

Estos eran montículos de tierra, cuyas formas y

dimensiones variaban según condiciones e intenciones, tal como en el caso de las terrazas. Las formas podían ser rectanguloides o en damero, en abanico, en espiga o en cáscara de cebolla. Se utilizaron con varios propósitos: permitir siembras en terrenos muy húmedos y pantanosos, impedir el anegamiento durante la época lluviosa, para hacer agricultura de humedad y almacenar el agua excedente en surcos y pequeños embalses, para hacer agricultura de secano. Facilitar el riego y controlar la temperatura, fueron otras de sus finalidades. En lo que atañe a la biotecnología tenemos el arte del cultivo asociado, el de la rotación de cultivos, el del control de plagas y enfermedades y el del fitomejoramiento. Estas fueron tecnologías complementarias: el cultivo asociado maíz-fréjol era seguido, tras la cosecha y la preparación del terreno, por el cultivo de la patata y luego de la quinua. La combinación maíz-fréjol dejaba enriquecida la tierra con el nitrógeno necesario para la patata y ésta entregaba, por su parte, el potasio requerido por la quinua y el maíz. Una manera muy ingeniosa de proveerse de abono orgánico y de acortar, por lo mismo los periodos de barbecho, cuyas duraciones extremas afectaban el ecosistema. Y una manera, sin duda elegante, de dar abasto a una dieta diversificada. En lo relacionado con el fitomejoramiento, la humanidad debería lamentar la pérdida definitiva, a causa de la invasión europea, de muchas especies y variedades vegetales estabilizadas por la acción selectiva de los agricultores amerindios. Esto impide saber la exacta magnitud del gran proyecto andino. Sin embargo, gracias a los testimonios recogidos por los botánicos europeos que vinieron durante los siglos XVIII y XIX, y merced a los testimonios de otros informantes, se sabe que entre los varios centenares de plantas domesticadas deben

incluirse

géneros

de

alimenticias,

condimenteras,

medicinales,

estimulantes, forrajeras, textileras y madereras. La tecnología agrícola que someramente hemos descrito asienta con total propiedad el concepto andino de «respuesta adaptada a las condiciones naturales imperantes», un plan basado en la flexibilidad o topologización de las acciones

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según las sinuosas características del ambiente, y una clara orientación para aprovechar las ventajas de la diversidad y la variabilidad. A diferencia de lo acontecido en la agricultura andina, los campesinos del Antiguo Mundo no precisaron entregar todo su tiempo de trabajo a la agricultura. La regularidad del clima y la ayuda de los animales de tiro hicieron posible que los labriegos pudieran dedicarse a la ganadería, al comercio y, por cierto, al cultivo del espíritu. Propiamente la filosofía, las matemáticas y la astronomía del Antiguo Mundo le deben su ser a las ventajas comparativas del sistema agrícola, a la relativa simplicidad de su manejo y a los altos rendimientos obtenidos gracias a que la fertilización de los suelos fue trabajo aportado por los grandes ríos. Los desarrollos de las ciencias citadas requirieron de una casta de profesionales por completo separados de la labor agrícola. Sólo una importante generación de excedentes pudo haber provisto las facilidades para la actividad de un numeroso grupo conformado por filósofos, sacerdotes, científicos, libre pensadores y artistas. Sólo una agricultura como la del Cercano Oriente pudo haber brindado el sostén terrenal al gran vuelo del pensamiento griego. En cambio, en la América precolombina, el trabajo dominante fue la agricultura. Hay que recordar que la actividad ganadera fue muy reducida. Ese escaso desarrollo es explicable si se toma en cuenta el inmejorable código de conducta de los auquénidos o camellos americanos: no copular en cautiverio. O sea, preferir la muerte a la esclavitud. Por ello es que la ganadería de alpacas, wanacos, llamas y vicuñas fue una ganadería nómada. El pastoreo consistía en recorrer y dirigir al ato a través de grandes distancias. En todo caso queda muy en claro que los andinos fuimos y somos agricultores. Una mirada a alguna zona de la actual serranía andina, bastaría para formarse una impresión de nuestra agricultura en funcionamiento. Allí se vería trabajo simultáneo en varios micro ambientes contiguos, cada uno con su pequeño plantío situado en una fase del ciclo agrícola. En un piso podríamos observar a los labriegos en faena de siembra; en otro, en la de desyerbar y no muy lejos, en tarea de cosecha. Es decir, una yuxtaposición de diversos ciclos productivos, dotados con sus propios tiempos y características.

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Otro componente fundamental del sistema económico andino fue la industria del tejido. Todos los que conocemos la excelencia, tanto técnica como artística del tejido andino, sabemos además, que hubo intenso interés y gran preocupación, que perduró durante milenios, por el desarrollo de la mita textil, que casi igualaba en rendimiento al trabajo agrícola. Haciendo abstracción de los aspectos técnicos y artísticos del tejido, que han sido objeto de amplios y ricos estudios, quedan todavía sin responder preguntas como: ¿cuál fue la función de este componente de la organización social andina dedicado a una enorme producción textilera?, ¿quiénes fueron los tejedores?, ¿cómo estaban caracterizados? , ¿cuál era la finalidad de su trabajo? , ¿cómo se integraba el tejido con tantos e inesperados componentes políticos y religiosos? Yo estoy seguro que estas preguntas tendrán respuestas satisfactorias una vez que de a conocer cuál fue la matemática que utilizaron los andinos. Adelantando una respuesta puedo decir que no sólo fue económica la función del tejido, sino que tenía otro papel fundamental: en él se escribía el discurso geométricomatemático, el religioso y el político. En él se escribían las funciones que tenían que realizar los dignatarios del Estado, incluido el Inca. En el conjunto que comprende a las primeras culturas agrícolas americanas que surgieron en el seno de los conglomerados humanos con tradición lítica, se encuentra Tiwanaku. El escenario geográfico donde tubo su origen y desarrollo es la actual Bolivia. Menos conocida que otras contemporáneas como la Maya, es sin embargo de similar importancia histórica. Su cronología es todavía discutida, pero parece imponerse la fecha 1580 a. C. para los inicios y 1172 para su declive final cuando fue absorbida por la cultura Mollo en la zona de La Paz y por otros pueblos en las zonas de expansión. La estructuración temporal dada a conocer por los arqueólogos, revela tres grandes períodos que abarcan cinco épocas, a saber: el período aldeano, que va de 1580 a. C. a 43 d. C. y abarca las épocas I y II; el período urbano de 133 a. C. a 724 d. C que cubre las épocas III y IV y el imperial de la V y última época que va desde 724 d. C. hasta el 1172 d. C.

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No se conoce con precisión cuando se dio el paso del período aldeano al urbano; no obstante, se sabe que está relacionado con la aparición de construcciones dedicadas al aprovechamiento de los recursos hidráulicos. Ante el fiero rigor del clima del Altiplano, la primera civilización que floreció buscó la zona más propicia, o sea, un lugar con abundante agua y donde las diferencias climáticas fuesen atemperadas. Ese escenario fue el SE del lago Titicaca, alimentado por los glaciares de la Cordillera Real. Durante las épocas I y II Tiwanaku no estaba constituido como una ciudad, era más bien como una aldea importante. Ya en estos tiempos se practicaba el laminado de oro y la fundición de plata, oro, y cobre. La uniformidad en la vivienda, con casas de planta rectangular adosadas unas a otras en forma de colmena, parece indicar la ausencia de clases sociales durante el período aldeano, gracias a la existencia de una economía autosuficiente con una estructura comunitaria y una agricultura de secano que les permitía la obtención de patatas, quinua y coca. En estas condiciones su arquitectura llegó a ser doméstica, sin pretensiones suntuarias en adobe quemado o revestido de una fina capa de arcilla. En los muros de algunas de las viviendas, el arqueólogo Max Portugal ha encontrado pinturas rituales, lo que constituiría la única decoración arquitectónica del primer período. Debe mencionarse también que hubo un comercio incipiente que probablemente se limitó a intercambiar minerales, como la obsidiana y la sodalita, para la obtención de puntas y cuentas o el hialobasalto que obtenían en las canteras de querimita. La ganadería fue básicamente de camélidos, dada la frecuencia de huesos trabajados que se han encontrado. Probablemente se empezó a almacenar carne para la obtención de charki, carne deshidratada. Otro tanto hacían con la patata, empleando una técnica muy peculiar y laboriosa que aún perdura y lleva a la obtención del chuño. En el plano religioso predominaba una teología meteorológica, con la lluvia en la cumbre de la pirámide de las deidades, como ha sido muy propio de las sociedades agrícolas. Algunos enterramientos (probablemente de las castas superiores) se

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realizaban en las llamadas Chullpas, construcciones en forma de torreón, en cuya base se inhumaba al difunto en posición fetal y acompañado de un ajuar compuesto en su mayor parte de cerámica y algún objeto metálico de uso personal. En el primer siglo de nuestra era aparecieron ya los síntomas inequívocos que impulsaron en la época III la organización de un aparato estatal dirigido y bien delimitado, y la aparición de clases sociales dentro de una estructura piramidal encabezada por una aristocracia administradora de la producción agraria y una casta sacerdotal con importantes conocimientos de matemáticas y astronomía. La economía pasó de la producción autosuficiente a la superproducción, apartando un tercio de ella para la manutención de los campesinos y dos tercios para la aristocracia y las monumentales obras arquitectónicas que marcan este periodo. El resultado de esta empresa son los grandes templos de Kalasasaya y Pumapunku, cuyas estructuras religiosas estaban dedicadas a los dioses, que consolidaban el poder de la casta sacerdotal, y sincretizaban aspectos astronómicos orientando a los puntos cardinales sus partes más importantes. También pertenece a esta época la pirámide en forma de terraza de Akapana. El templo de Kalasasaya, que está parcialmente excavado, es el mejor conocido y parece ser el núcleo del cual irradió la cultura tiwanakota. Los componentes más importantes del templo de Kalasasaya son, la «Puerta del Sol» con un calendario solar en sus relieves; el «Monolito Ponce», «Monolito Bennet» con un calendario lunar, etc. Todo el conjunto está intercalado con construcciones de canalización y aprovechamiento del agua que prueban el carácter marcadamente hidráulico de esta civilización. Estas grandes obras favorecieron a una burocracia agraria ubicada en la cumbre de la pirámide social que pronto se convirtió en una aristocracia monopolizadora de conocimientos técnicos y que se benefició de la producción doméstica de las clases inferiores, lo que le permitió dedicarse a guerrear, gobernar, mantener el culto, planear ciudades. La ciudad se convertiría así en residencia de la casta dirigente. Las castas guerreras que hicieron aparición tuvieron que ocuparse de buscar recursos

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externos, comenzando por las tribus vecinas de Chiripa y Wankarani que fueron anexionadas a Tiwanaku, generándose así un sentimiento expansionista. Es característico de la época IV un fino trabajo en piedra dura, sobre todo andesita traída del lago Titicaca. A este periodo corresponde la “pared balconera” del Kalasasaya. La cerámica es mucho más fina y mejor cocida, apareciendo formas nuevas como el vaso Keru. También aparece la figura humana, los grifos, las esfinges y las quimeras. El conocimiento de la metalurgia, que ya importante en la época III, es perfeccionado en la IV, con hachas de bronce de filo en media luna y aletas, y una gran perfección en la joyería del oro y la plata. En general, todo el arte me jora en esta época, debiendo añadir a lo mencionado un espectacular avance en el dominio de las leyes de simetría. El comercio conoció también un gran impulso gracias a los enclaves militares establecidos en la costa y la zona montañosa. La estructura social era la clásica, las civilizaciones antiguas: un gran sustrato campesino que sustentaba una clase media artesana, comerciante y guerrera, por debajo de una aristocracia política y religiosa. Por esta época, la ciudad de Tiwanaku alcanzaba más de 400 ha, con una población cercana a los 50 000 habitantes cuyas viviendas rodeaban el núcleo de templos y fortalezas con el Kalasasaya a la cabeza. Todas las construcciones suntuarias estaban orientadas astronómicamente, la ciudad fue construida siguiendo señidamente un plan geométrico, para que contara con amplios espacios abiertos en torno a los edificios y con un minucioso y complejo sistema de canales superpuestos. Otras ciudades menores fueron las de Wankani, Ojje, Lukurmata y Pajchin. Ya a finales de la época IV da comienzo la política expansiva de Tiwanaku. Sus objetivos eran de conquista, avasallamiento, imposición religiosa e implantación de una administración propia. Fue ocupado el territorio de la región sur de Perú, la Sierra y la costa central norte de Chile, norte de Argentina y, en Bolivia, los departamentos de La Paz, Oruro, la montaña de Cochabamba y el norte de Potosí. En los lugares donde se encontraban con culturas de alto nivel, como por

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ejemplo la Nazca, el resultado era un meztizaje cultural de lo aportado por Tiwanaku y la tradición local; en cambio en los pueblos débiles, las formas culturales aportadas por el invasor permanecían tan puras como en su propia capital. Es preciso señalar que hubo una cierta unificación del espectro cultural ti wanakota que abarcó unos 600.000 km 2 y una población superior a los 3.5 millones de habitantes. No se conocen edificios de importancia en toda el área dominada. Sí se extiende, en cambio, el uso de la figura central de la «Puerta del Sol» como símbolo del poder. La cerámica es de menor calidad artística que en la época anterior aunque conserva la misma tipología. Su decadencia es manifiesta pese ha ir aumentando la calidad cuanto más cerca de la capital se fabricase. Aflora en abundancia en el valle de Cochabamba y en la zona de Mizque. Los colores de la decoración son el rojo, negro, marrón, ocre y blanco aunque en el periodo decadente se utilizaba el negro sobre la arcilla. También el trabajo en piedra manifiesta una decadencia total. Parece como si todo el esfuerzo del pueblo tiwuanacota se hubiese concentrado en una empresa militar. Pese a la diversidad de la población, consecuencia del enorme territorio ocupado, se generalizó el uso de una sola lengua, antepasado del actual Aymara. Otra consecuencia fue una gran variedad de recursos generados según las características de cada zona ocupada. Entre las causas más importantes que llevaron a la decadencia y a la posterior desaparición de la cultura Tiwuanaco fue la prolongada sequía que asoló al altiplano al comenzar el siglo XII. Esta hizo que el nivel del agua del lago disminuyera tanto que se volvió insostenible la vida social de la ciudad. Al dejar de funcionar el sistema hidráulico por la falta de agua vinieron las malas cosechas y la disgregación política. Esta se abrió paso y dio origen a núcleos sociales menores de lengua aymara. Entre los más importantes se encontraban los pueblos: Kolla al noroeste del lago, Umayasa al este, Lupaka al oeste Pachusa y Karduka al sur, Charca en Cochapamba, Karakara y Chicha en Potosí que luego dieron pie a la formación de las culturas Mollo y Yanpará. A su vez, estos pueblos

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evolucionaron y dieron origen a la civilización Inca con la que se inicia el segundo ciclo de la Cultura Andina. Lo que recientes investigaciones revelan sobre los factores que intervinieron en el gran impulso que tomó la ciudad en el siglo I d. C., nos muestran cómo los tiwuanacotas aprovecharon la humedad de las cercanas capas freáticas y cómo conducían el agua de las inundaciones por medio de canales excavados a los lados del río Chakamarka con el propósito de elevar la temperatura de los terrenos de cultivo, gracias a la energía solar acumulada debido a la gran capacidad calórica del agua, para así poder enfrentar a las heladas que amenazaban diezmar las siembras. También nos enteran que éllos construyeron canales en la zona montañosa de los Yungas aprovechando el río Chouqeyapu para irrigar grandes terrazas agrícolas. Pero el mayor logro tiwuanacota consistió en el sistema de camellones, verdaderos andenes de cultivo formados por capas de diferentes materiales sobre una base de piedras y separados por canales inundables que creaba un microclima húmedo en los cultivares de papa y quinua. Está documentada una extensión de más de 80.000 hectáreas de camellones alrededor del lago Titicaca. Los colonos tiwuanacotas se establecieron en lugares cuyo clima variaba desde el clima tropical, en zonas como la selva de los Yungas, hasta zonas muy frías como las laderas del Nevado Illimani. Aquí, las aguas de los riachuelos que descendían producto de la fusión de la nieve eran conducidos mediante canales hasta los cultivares de Cohoni, lugar reconocido por sus abundantes cosechas.

2.2

El sistema matemático de la Cruz Cuadrada

El distinguido antropólogo holandés R. Thom Zuidema en su artículo titulado La cuadratura del círculo nos dice que denominó a su estudio así «… con el fin de insistir en un proceso y no solamente en una oposición. [..] Menon dice que en la India y en otros lugares las ideas cosmológicas más antiguas explicaban el mundo como un cuadrado, y que la astronomía y el calendario se basaban en las propiedades de éste. […] Puede que los incas hayan jugado numéricamente con estas ideas, pero entonces lo hicieron en el marco de la oposición interior/exterior

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y Sol redondo/Tierra cuadrada, con la tierra dividida en cuatro suyos. Los Incas expresaban en forma de ecuación el concepto de organización jerárquica de unidades territoriales y la organización administrativa de unidades territoriales familiares. Así, un ayllu, como la unidad local más pequeña, equivalía a una pachaca o grupo de 100 familias; el suyo de una provincia equivalía a 10.000 y la provincia en sí a 40.000.» A diferencia de él, el Arq. peruano Carlos Milla sugiere que el antiguo hombre andino derivó sus matemáticas jugando geométricamente con el cuadrado y el círculo y no aritméticamente. Para fundamentar su hipótesis el autor nos presenta abundante evidencia arqueológica, arqueo-astronómica y documental en su libro, que ya mencionamos en la introducción, Génesis de la cultura Andina. En ella uno puede apreciar la persistente presencia del símbolo de la Cruz Cuadrada en muchas de sus representaciones. Pero, lo que realmente sorprende de toda esta información es su difundida presencia en el tiempo y el espacio a lo largo de las Américas precolombinas. Este símbolo tuvo un profundo significado matemáticoreligioso y fue venerado durante los seculares rituales como símbolo ordenador del mundo andino, cual si fuese un gran atractor. Ante esto uno se queda sorprendido e intuitivamente piensa que en efecto debió, por necesidad histórica, haber habido un sistema matemático que haya posibilitado la construcción de la urdimbre y la trama del tejido social andino. Quiero decir que sin un E.M.R un pueblo jamás puede evolucionar de manera sostenible y a largo plazo, hasta alcanzar complejidades sociales de las dimensiones de una civilización, como en efecto llegó a ser la América India. Esto se debe a que sin una lógica-matemática en la comunicación social, ésta estará privada de estructura, por lo que la dinámica social no alcanzaría estabilidad y, consecuentemente, la sociedad no progresaría. Empero, por más abundante que sea la información, no se puede inferir la clase de sistema que fue, por la inexistencia de un discurso matemático escrito (a la manera del papiro Rhind); para, según esta constancia poder decir: “este fue el E.M.R.An.”

246

Llegado este momento interviene el autor de este libro, portando el concepto moderno de E.M.R. en la mente, como instrumento técnico de punta, para tratar de dar respuestas satisfactorias a las preguntas que encierra este enigma. Entonces, doy comienzo al juego del cuadrado y el círculo en el recuadro 16 . Este gráfico se ha construido en un espacio cuya unidad estructural geométrica es el cuadrado. El procedimiento constructivo consiste en elegir un cuadrado unidad y luego circunscribirle un círculo. De aquí en adelante, se debe repetir el proceso, ora circunscribiendo un cuadrado, ora circunscribiendo un círculo a ese cuadrado, generándose así un espacio exterior macro. Pero si procedo a la inversa, esto es, dado el cuadrado unitario le inscribo un círculo y a éste le inscribo un cuadrado, etc, en cambio genero un espacio interior micro (ver recuadro 16.1) Al pensar detenidamente sobre éste juego, caemos en la cuenta que nos conduce a la rama de las matemáticas que estudia los procesos iterativos en sistemas no lineales discretos. Como se puede apreciar, la función que se configura en el caso macro es 2n (donde n es el número de iteraciones ) y en el caso micro es 2-n. Esta relación nos entrega la longitud del lado del cuadrado tras cada iteración, ya que es la ley del crecimiento y decrecimiento del lado del cuadrado. Al comparar los dos espacios salta a la vista que el uno es exactamente el inverso del otro, lo cual prueba que la forma de la estructura externa es la misma que la interna, o sea que ésta permanece invariante al cambio de escala que implica éste proceso. Esta propiedad se conoce con el nombre de homotecia o autosimilitud y nos coloca, inopinadamente, en territorio fractal. Es importante percatarse de que se puede utilizar de manera equivalente tanto el espacio conformado por cuadrados como el constituido por círculos. En el primero la variable es el lado del cuadrado, mientras en el otro es su diámetro, cuya ley de crecimiento es dn=2n+1 y la de decrecimiento, dn=2-n. Esto permite que este espacio pueda ser usado como pantógrafo, para ampliar el tamaño de un rostro por ejemplo, como parece ser el caso de los antiguos constructores de las gigantescas esculturas de la pampa colorada de Nazca. Ahora bien, con la esperanza de encontrar alguna regularidad y mirando entre la tercera y cuarta iteración me apercibo de que puedo construir un cuadrado por

247

cada uno de los lados del cuadrado unitario u origen y formar, así, una cruz cuadrada unitaria. Acto seguido, al inscribir y circunscribir un círculo en esta cruz, se forma un anillo comprendido en el intervalo [3,10], que da lugar a un fenómeno geométrico muy hermoso, este anillo resulta ser la morada inaccesible del número  (ver recuadro 17) Continuando con el proceso, circunscribo un cuadrado a la circunferencia mayor del anillo y comparo su perímetro con la circunferencia de la cuarta iteración y así obtengo un valor aproximado, para este número mágico, igual a 10 3.1622…(ver recuadro 18) A ésta operación se la conoce como rectificación de la circunferencia, ya que por medio de ella se consigue obtener un cuadrado con un perímetro aproximadamente igual al perímetro de un círculo dado. Aquí llegado, debo señalar que la andina, sería la primera cultura de la Tierra en expresar  mediante un número irracional como lo es 10; aunque, no sea un trascendente. A diferencia, las culturas del Viejo Mundo lo han hecho sólo mediante números racionales. Por ejemplo, para los autores bíblicos valía 3, los babilonios usaron 25/8, 256/81los egipcios, 355/113 los chinos y 22/7 los griegos. Ahora observemos el recuadro 19, en él se ha repetido el proceso inicial tomando como cuadrado base al cuadrado que circunscribe a la cruz unitaria del recuadro 18 y se ha obtenido una ampliación de ésta en el orden de 3 veces, en la siguiente crece a 9, en la subsiguiente a 27 y así sucesivamente. La función que rige este proceso iterativo se la infiere fácilmente: sea Ln= lado del cuadrado de la cruz a cada iteración, entonces Ln={3º, 31, 32, 33 ,... 3n} que es la ley de crecimiento de la cruz con base 3. Observemos que cuando no hay ninguna iteración todavía, o sea cuando n=0, se tiene Lo=1, que es la longitud del lado del cuadrado unitario del cual se parte. Antes de llegar hasta aquí no habíamos encontrado algo verdaderamente extraordinario, pero si miramos el recuadro 20 nos topamos con una gran sorpresa: ¡el objeto geométrico que hemos construido es un auténtico sistema de coordenadas de referencia, un verdadero espacio matemático de representación, por tanto, la función que se halla representada describe el crecimiento del lado del

248

cuadrado y es: Lnn, la cual es la progresión aritmética de los números naturales N. Resulta evidente que se trata de un sistema coordenado de cuerdas o hilos (no de puntos como el cartesiano),

apropiado para representar funciones discretas, o sea,

funciones en números enteros. Estas funciones aparecen representadas en el EMROcc como una distribución estadística, por lo que no se pueden estudiar sus propiedades. Dado este escenario, que es el dominio de la matemática inductivo-constructiva, el autor de este libro da a conocer al lector el descubrimiento de un sistema de coordenadas de referencia de carácter fractal, equivalente al sistema de coordenadas cartesiano, pero definido en un espacio de hilos, cuya unidad estructural es el cuadrado, a diferencia del otro que está definido en un espacio constituido por puntos-límite (ver recuadro 21) Se observa que el único elemento en común que tienen los dos espacios de representación es el punto 0 y, también se advierte que, cuando los lados exteriores de la cruz tienden a cero, este sistema coordenado tiene como límite al cartesiano. Se prueba fácilmente que los dos por igual son cuerpos topológicos, espacios matemáticos de representación, pero con distinta clase de topología. Mientras en el primero se realiza una topología de puntos-límite o diferencial, en el otro se ejecuta una topología de hilos. Con este descubrimiento se ha dado origen a una genuina Geometría Analítica Fractal, que permite estudiar las propiedades de las funciones discretas y de las series divergentes. Lo he denominado Sistema de Coordenadas de la Cruz Cuadrada y sirve para representar funciones cuya variable independiente n, es un número Z (ver recuadros 21 y 22) Su parte exterior-macro es útil para la graficación de funciones crecientes y la interior-micro para funciones decrecientes, escritas como sucesiones fraccionarias infinitas. Observemos que los valores de la función aparecen expresados por los lados de la cruz, mediante la curva fractal

de

dimensión D=1.4649735... En otras palabras, la familia de curvas fractales cuadradas concéntricas representan los valores numéricos sucesivos que toma la función.

249

He aquí pues, un sistema apropiado para representar y estudiar las propiedades de las funciones discretas, y útil por tanto, para describir los cambios de estado que sufren los procesos concretos, a diferencia del espacio de puntos-límite que sólo es apropiado para describir los cambios de posición de las partículas. Es de sumo interés hacer notar que la distribución de las curvas fractales cuadradas concéntricas vista en tres dimensiones es una pirámide escalonada, cuya altura es una dimensión libre y continua ( ver recuadro 21.1) Esto hace que resulte apropiada para definir en ella un sistema de coordenadas espacio-tiempo, con el espacio discreto y el tiempo continuo, que permitirá describir la duración de los cambios de estado, por ejemplo. En ella también se puede representar a los números complejos de la forma s=f(n)+g(t)i, con f(n) discreta y g(t) continua. Resaltemos esta bondad del sistema que me permite coordinar las funciones discretas y continuas, cualidad que no posee el sistema cartesiano; puesto que, al estar conformado por puntos-límite, es trascendente y por tanto resulta absolutamente excluyente, sólo se lleva consigo mismo. De manera general, el sistema se opera como sigue: a) Dado un espacio de cuerdas E c, -definido en el espacio métrico que tiene como unidad estructural al cuadrado- elijo convenientemente al cuadrado unidad que será el centro de coordenadas. Acto seguido construyo la cruz cuadrada unitaria y trazo las diagonales del cuadrado central y las de la cruz ( que coordenadas),

son los ejes de

dejando así el sistema listo para ser utilizado ( ver recuadro 20)

b) Ahora, supongamos que quiero representar la función f(n), definida en el conjunto de los números enteros positivos, Z+. Para ello, comenzando siempre en el centro 0, voy colocando en el eje d 1 los valores del producto cn=2/2f(n) tras cada iteración, de tal manera que por cada valor de n=1, 2, 3,... se tendrá un valor para la cuerda C (aquí 2/2 es la cuerda unidad) De inmediato, hago lo propio en el eje D 1 con los valores del producto C n=10/2



f(n) (esta vez 10/2 es la cuerda unidad) Luego, uno los extremos de estas dos cuerdas; o sea, realizo su producto topológico. Así pues, al poner en coordinación d 1 con D1, obtengo como resultado una cuerda que es el lado de la cruz. Para bien comprender esto recordemos que en el espacio diferenciable el producto

250

topológico de dos puntos o producto cartesiano es otro punto al que le corresponde un par ordenado de números definidos en el conjunto RR, y así mismo se lo consigue poniendo en coordinación dos puntos cualesquiera de los ejes de coordenadas. Es clave indicar aquí, que en el sistema de la cruz cuadrada la coordinación se realiza entre dos cuerdas para un mismo valor de f(n) y un solo valor de n, pero se lo hace mediante un desplazamiento proporcional la una de la otra, mientras que en el carteciano se lo hace entre un valor de la variable independiente y el valor correspondiente de la función evaluada para dicha variable. La demostración de que la función f(n) siempre vendrá expresada por el lado de la cruz se presenta en el recuadro 3. c) Finalmente, hago lo mismo en los cuatro ejes restantes y obtengo las curvas cuadradas cerradas que representan los valores que toma de f(n) después de cada iteración. Veamos unas aplicaciones: Como ya vimos, en los recuadros 21 y 22 están representadas la función f(n)=n y su inversa f(n) =1/n que sigue la ley armónica {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…}. Ahora, si f(n)=(10)n obtenemos la ley de crecimiento del lado de la cruz: Ln=(10)n (donde 10 es la diagonal de la cruz unitaria )(ver recuadro 24).

O, si f(n)=(2)n, la ley de crecimiento del

lado de la cruz: Ln=(2)n. Por último debo manifestar que el sistema opera para el requerimiento inverso, esto es, dada una regularidad cualquiera, escrita como una sucesión, yo puedo encontrar la función que se distribuye según el lado de la cruz ( ver recuadro 25). Es importante observar que, cualquier distribución de cruces cuadradas que siga una ley determinada, tiene su equivalente en la distribución de sus respectivos círculos circunscritos e inscritos, cuyos diámetros expresan la función que deseo representar. Así, dada la función f(n), el lado de la cruz será Ln = f(n), el diámetro del círculo circunscrito Dn= 10f(n) y el diámetro del círculo inscrito dn=3 f(n). Ahora, en tres dimensiones, la pirámide escalonada se trasformará en un cono recto circular trunco y escalonado. Por último debo manifestar que en este sistema de

251

coordenadas

se

desarrolla

de

manera

natural

la

geometría

vectorial

correspondiente. Con este objeto, que es un EMR fractal por poseer la propiedad de autosimilitud u homotecia, se encontró el antiguo hombre andino, descubrió sus propiedades y las utilizó para orientar evolución de su magnífica y peculiar Civilización. Toda esta gran realización tubo lugar en un medio montañoso, con una distribución climática altitudinal y una elevada biodiversidad, donde éstas matemáticas le sirvieron de maravilla para ejercitar la difícil labor de la agricultura. Le indicó cómo era la distribución de los pisos climáticos, cómo tenía que ser la construcción de las terrazas y cómo tenía que distribuir la tierra de cultivo y la propiedad. Debemos advertir que el sistema fue usado de manera preferente en tres dimensiones, teniendo a la coordenada altura como dimensión de libre ajuste ( ver recuadro 21.1) Al compararlo con el E.M.R.Occ., que sabemos es de carácter métrico diferenciable, vemos que, al cambiar la unidad estructural geométrica del espacio, cambian radicalmente todas sus propiedades, excepto las de cuerpo topológico, que son comunes a todo sistema coordinado de referencia. También se conserva la métrica; ya que la clase de distancia que hemos definido es la misma en ambos, lo cual implica que la matemática geométrica andina, en lo que se relaciona con el espacio de la Cruz Cuadrada, es de carácter métrico fractálico. Podemos decir, entonces, que mientras el uno está repleto de puntos, el otro lo está de cuadrados; mientras el uno es continuo absoluto e infinito, el otro es discreto, relativo en la escala y finito; el primero es axiomático-deductivo, el segundo es inductivo; el uno es diferenciable y abstracto, el otro es fractal y concreto; el continuo permite que el observador se escinda de la realidad, el discreto exige de éste más sensibilidad; el que es infinito es apropiado para describir el cambio de posición de los cuerpos, el finito lo es para dar cuenta de los cambios de estado que estos sufren; mientras el uno es libre, el otro es condicionado por la escala; El de Occidente es estático, el Andino es dinámico; en el uno se hace topología diferencial o de puntos, en el otro se practica topología de cuerdas. Finalmente, el que es absoluto dio origen e impulsó el desarrollo de la

252

sociedad mecanística, en cambio el que fue relativo permitió el surgimiento de la sociedad organísmica. En contraste, la más importante semejanza que los unifica, consiste en que los dos sistemas fueron utilizados con idéntico fin: establecer regularidades, realizar predicciones fiables y efectuar aplicaciones prácticas. Para lo cual, en los dos, se definieron sus correspondientes sistemas coordinados de referencia espaciotiempo, los que servirán para representar las variables que sean del interés del investigador. Otra importante semejanza, es la de que los dos están bajo la definición de espacio métrico; pero, el de occidente solo revela la dimensión cuantitativa de los objetos, mientras el andino revela tanto lo cuantitativo como lo cualitativo. Otra implicación importante a la que se arriba es la de que el espacio matemático en el que occidente ha venido representando el mundo, ya no sería el Universal ( el único capaz de reflejar la realidad en su totalidad )

como se había supuesto y como se había

establecido. Con esto se ha puesto en evidencia que, en otras condiciones geográficas y climáticas, como las andinas, se ha desarrollado otra clase de espacio en el cual representar el mundo y se descubre que la principal diferencia entre los dos radica en la clase de unidad estructural geométrica con la que está construido cada uno. Pero, las diferencias no son tales que lleven al antagonismo irreductible a los dos sistemas; mas bien, éstos resultan ser complementarios, se necesitan mutuamente, lo que le falta al uno le sobra al otro y viceversa. Finalmente, debo manifestar que la matemática de la Cruz Cuadrada es solo la parte métrica de las matemáticas andinas. La otra parte está relacionada con el Sistema del Kuipu, el que a su vez, se relaciona con las matemáticas de la descendencia o matemáticas genealógicas. Estas debieron haber sido utilizadas para dirigir los procesos reproductivos de plantas y animales incluyendo al hombre, para de ésta manera influir en el mejoramiento genético de las especies.

2. 3 El cromático sistema matemático del Kipu

253

«En

cómputos y divisiones no se, a la verdad, si nuestra escritura da a los matemáticos más

seguridad que a estos hombres esos signos suyos. Y es de todo punto sorprendente ver con que fidelidad guardan aún de las cosas más menudas durante muchísimo tiempo con ayuda de sus khipus....[ ] Por que para diversos géneros como la guerra, había diversos quipos o ramales. Y en cada mañojo de estos ñudos, ñudicos, e hilillos atados, unos colorados, otros verdes, otros azules, otros blancos, y finalmente tantas diferencias, que así como nosotros de 24 letras, guisándolas en diferentes maneras, sacamos tanta infinidad de vocablos, así estos de sus ñudos y colores sacaban innumerables significaciones de cosas».

(Historia natural y moral de las indias

por José de Acosta S.J.)

El amplio público dice acerca del kipu que, desde que llegaron los conquistadores han escuchado hablar de ellos como si hubieren sido objetos dotados de misteriosas y extravagantes propiedades, capaces de sugerir increíbles y románticas imágenes de lo que fue el idílico mundo de los incas. Ya en el siglo XVIlI, la novelista Francois Grafigny contó acerca de una princesa enamorada que tenía un kipu en calidad de sortilegio de amor. En ese mismo el siglo, el Documento sobre Idolatrías, que se conserva en el Archivo Arzobispal de Lima, expresó la típica sorpresa de los europeos ante el gran conocimiento que a los indios les proporcionaba el kipu, diciendo no saberse la ciencia de cómo lo obtenían. Recuerdo que el kipu fue incluso tema de una novela de ciencia ficción donde se le equipara con una tarjeta de la IBM, nada más ni nada menos. Los occidentales nunca entendieron bien de lo que se trataba el kipu; pero les fascinó, les intrigó y les molestó. Como todos sabemos, casi todos los kipus fueron quemados por los inquisidores españoles, quienes justificaron la destrucción arguyendo que éstos contenían recetas mágicas y relataban historias diabólicas. Pocos se salvaron de las hogueras, y esos ejemplares fueron pasando a manos de distantes coleccionistas, públicos y privados, merced a un laberíntico tráfico mercantil no exento de escándalo y fraude. Hoy por hoy, los kipus de probable autenticidad, no pasan del medio millar, se hallan diseminados en varios museos del mundo y no se puede acceder a su contenido debido a que no se conoce el código de colores usado. Como se ve, la historia de la reacción europea ante el kipu está trágicamente marcada por la actividad inquisitorial y mercantilista, que ha mantenido en una gran pobreza su comprensión. 254

Con el afán de enriquecer el tema debo mencionar que el uso de un sistema de nudos para almacenar información no fue de utilización exclusiva de los incas. Por ejemplo, el historiador griego Heródoto refiere que Darío de Persia poseía un cordón anudado que le servía para registrar el paso de los días. También en la antigua China se usó el cordón anudado. Los nudos se usaron como intentos de escritura fonética. En el análisis del budismo zen de Okanisama realizado por el matemático Douglas Hofstadter, se ha recogido esa tradición para intentar establecer, mediante la manipulación de cordeles, la autenticidad de un koan. En la Alemania preindustrial, el número de la medida de trigo en un saco, se representaba por medio de nudos. Y, lord Kelvin intentó deducir la estructura de la tabla periódica de los elementos químicos suponiendo que los átomos son anillos de remolino anudados en el éter. En el epígrafe anotado, el cronista José de Acosta nos enseña que tantos nudos, nudicos e hilillos atados, colorados unos, verdes, azules y blancos otros, y tan diferentes entre sí, significaban varias cosas y cuanto los libros pueden decir de historias, leyes, ceremonias y cuentas de negocios, con admirable puntualidad y para distintos géneros de asuntos. Sin embargo, nunca refirió cómo hacían los kipucamayoc para codificarlas en nudos. Por su parte, Sarmiento de Gamboa atribuye a los kipus gran capacidad de representación y destaca la importancia que los colores tenían en el proceso semántico: «En el cual quipo dan ciertos ñudos, como ellos saben, por los cuales y por diferencia de los colores distinguen y anotan cada cosa como con letras. Es una cosa de admiración ver las menudencias que conservan en esos cordalejos, de los cuales hay maestros como entre nosotros del escribir» La literatura de los Quechua, por Jesús Lara 1969

Bernabé Cobo nos cuenta que el enviado del Virrey Cañete, Polo de Ondegardo convocó a los amautas y kipucamayos para que les dieran a conocer acerca de su historia y, éstos lo hicieron leyendo los memoriales de sus kipus y pinturas que aún estaban vivas. Además manifiesta que los kipukamayoc llevaban la contabilidad exacta de muchos años atrás, de llamas, y otros ganados que eran

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entregados al Inca. Cristóbal de Molina nos dice que «por medio de los kipus los indios, dan razón de más de 500 años de todas las cosas que en esta tierra en este tiempo han pasado» La función semántica más resaltada por los cronistas es la de que el kipu fue un dispositivo técnico apropiado para realizar censos político-administrativos y llevar la contabilidad de los recursos económicos de las comunidades. En efecto, en 1547 Pedro Cieza de León observó a los encargados de los silos de Xauxa anudando en sus kipus todo lo que entraba y salía de ellos. En su dibujo, Guamán Poma de Ayala, al representar al kipukamayoc al lado de los tambos reales, nos sugiere esta función del kipu. Aprovechando estas capacidades de registro, el kipu fue usado por el estado inca para llevar censos exactos de la población, lo que favoreció al establecimiento de un orden matemático que le facilitaba la recaudación de los tributos. Así mismo este sistema les permitió llevar una contabilidad altamente confiable que mucho la precisaban, ya que la plusvalía que extraían provenía mayormente de la utilización de la mano de obra gratuita captada por medio de la mita. Alrededor de 1560 buena parte de la información almacenada en los kipus estatales empezó a traducirse a escritura alfabética en las declaraciones que los indios rendían a los funcionarios de la colonia. La traducción de uno de ellos ha sido estudiada por el prestigioso etnohitoriador John Victor Murra (Formaciones

económicas y políticas del mundo Andino, 1975),

se trata del

khipu-memorial de los señores de Hatún Xauxa, presentado a la Audiencia de Lima en 1561. En él está documentada la cantidad de varones, mujeres, ojotas, cántaros etc. que los españoles habían tomado desde la época de Francisco Pizarro en 1532, hasta lo que el ejército del presidente La Gasca se llevó en 1548. Otro khipu de este orden contiene información acerca de los tributos de los indios de Chucuito entregados a la corona española. Fue presentado al visitador Garci Diez de San Miguel en 1567 y, en él consta la cantidad exacta de ropa y los 18.000 pesos que pagaron como tributo, así como, el número exacto de habitantes que tenían los pueblos de Chucuito, Acora, Ilave, Juli, Pomata, y Zepita que trabajaban en la mita de Potosí. Aquí se puede observar nítidamente que la

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estructura es en forma de árbol, que nos revela la lógica de los nudos y cómo operaba el sistema decimal de numeración12. Estos kipus en particular, vistos matemáticamente, aparecen como un sistema para el registro estadístico, con una estructura sintáctica en forma arborescente o enramada, por tanto de carácter jerárquico, parecido al de la pirámide. Muy diferente a la matriz rectangular usada por occidente; ya que, mientras ésta tiene como sistema ordinal al conjunto de los números enteros, aquella en cambio tiene al conjunto de los números decimales. De aquí se infiere que este ingenio consistió en un sistema gráfico de notación que combinaba un sistema decimal de numeración con una lógica de colores que servía para determinar los grupos semánticos que luego serían sistematizados y contados por el kipu. El kipu fue instrumento inseparable de la tradición oral, no sólo por la complementariedad que guardan, sino también porque constituye un sistema de notación, que les sirvió para establecer las estructuras narrativas de la tradición oral andina, las cuales se reorganizaron una vez que fueron difundiéndose más ampliamente durante el incario. El ejemplo más elocuente de que el proceso civilizador iba en esa dirección lo encontramos en la narración de Guamán Poma de Ayala, quién estructura su historia según las categorías de los antiguos kipus. Lo advertimos cuando describe la historia de los incas explicándola según la sucesión numérica de los doce incas y las doce coyas, los quince capitanes y, en referencia directa al sistema decimal, cuando describe la población según las diez calles en las cuales, según las edades, la distribuyeron los incas. Es preciso conocer que el kipu fue un dispositivo intelectivo de carácter concreto que evolucionó a partir de una lógica semántica que ya existía en otros sistemas como el killkay, los pallares, los tocapus, los kerus y los chuis. 12

Bernabé Cobo escribe con relación al sistema decimal que «A cada diez indios tributarios o vecinos tenía puesto el Inca un superior que cuidaba de los nueve; y en cada cinco decurias déstas, otro que tenía cuenta con cincuenta; otro gobernaba una centuria, que constaba de las dos decurias de à cincuenta; en cada cinco centurias, ó cada quinientos, había otro; y dos superiores de à quinientos con sus súbditos, reconocían à un milenario, que mandaba a mil, diez déstos estaban sujetos a otro más principal, que tenía bajo su obediencia diez mil, que hacían una gobernación llamada Hunu»

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Los incas, al combinar la lógica semántica con la potente lógica espacial de la cruz cuadrada dieron origen al sistema de ceques que permitió el desarrollo de una organización social de la tenencia de la tierra, de los usos del agua, de los centros ceremoniales o huacas y de sus dioses. Esto se pudo realizar escribiendo geométricamente las características ecológicas de cada etnia en su vestimenta. Cieza de León nos confirma esto diciendo que cuando el gobernador inca visitaba las provincias del imperio, además de mirar si las etnias poseían ganado o metales y de fijar un tributo acorde a sus posibilidades y medio ecológico, observaba con detenimiento el traje que portaban. Nos detalla escribiendo: «Cada uno de los naturales désta provincia, y todos los más linajes de gentes que habitan en aquellas partes tienen una señal muy cierta y usada, por la cual en todas partes son conocidos» [Crónica del Pirú, Pedro Cieza de León] Además debemos manifestar que el sistema de ceques estaba también constituido en atención a las normas religiosas provenientes del mito de origen de los indios. El mito afirma que Wiracocha habría creado a los indios en el Tiahuanaco «pintándoles los trajes y los vestidos que cada uno había de traer y tener» (Critobal de Molina, 1553)

De esta manera, el acto de la creación quedaba vinculado a un

profundo acto semántico de comunicación, el cual era reprisado cíclicamente en las prácticas rituales. De este modo, las huacas, que simbolizaban el origen mítico de cada ayllu, determinaban, no solamente la tenencia colectiva de las tierras y el uso del agua, sino también el modo en que debían ataviarse las comunidades. Por esto, las etnias eran reconocidas fácilmente por las insignias y señales que traían en la cabeza y por la clase de los trajes que ceñían sus habitantes, lo cual permitía a los kipukamayos llevar un registro preciso de las variables fundamentales del sistema de ceques. Lo propio sucedía con el sistema jurídico, Gumán Poma hablando de la estadística judicial nos cuenta que: «...los nudos de tales y tales colores decían los delitos que se habían castigado y ciertos hilitos de diferentes colores que iban asidos a los cordones más gruesos decían la pena que se había dado y la ley que se había ejecutado» Estas muestras de la condición altamente expresiva del kipu en su aspecto cuantitativo, no debe llevarnos ha concluir que éste fue solamente un sistema

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decimal-contable apropiado para la administración estatal y útil para dar cuenta de la historia económica del incario, por que sería no entenderlo en su integridad funcional, sería verlo solamente a través de una de las funciones que brindaba. Su capacidad de representación sobrepasaba la dimensión meramente aritmética y mnemotécnica y se extendía hacia dominios de la Matemática totalmente desconocidos en el Viejo Mundo. Su potencia expresiva lo había colocado en la calidad de atractor, destinado a construir el orden espiritual de la sociedad andina bajo el proyecto teológico-político cusqueño del Tawuantinsuyo. Es ampliamente conocido que los cientistas sociales de cultura occidental, durante largo tiempo, han tratado de entender el kipu bajo la falsa suposición de que era una tosca aproximación a la escritura fonética, que ellos desde tiempos bíblicos la han considerado como la Escritura, por ser la Palabra de su Dios, el Logos. Y, prevalidos por esto y por haber sido el pueblo escogido por Él han nublado su mente y mantenido en la extrema pobreza el entendimiento científico del kipu. Como es conocido, el proyecto teológico-político de Occidente desde su llegada a las Américas fue el de imponer el monoteísmo universal a sangre y fuego, avasallando a todos los pueblos de la Tierra que no poseían un sistema alfabético de escritura, para luego, aprovechándose de su candidez, irles entregando los 24 signos “sagrados” como si fuesen una ofrenda divina. Lo mencionado hasta aquí acerca del kipu es un resumen de lo que ha sido dicho verbalmente y por escrito por todos los estudiosos que se han dedicado al tema. Pero claro, esto ha sido antes del descubrimiento de la Matemática de la Cruz Cuadrada o Métrica Andina por parte del autor de este libro. Como ya pudimos enterarnos ésta matemática consistió en una Geometría Analítica Fractal, exactamente la correspondiente a la Geometría Analítica Continua desarrollada por Occidente, aunque definidas en dos clases distintas de espacio, la primera en uno discreto o cuántico cuadriculado y la segunda en uno continuo absoluto o de puntos-límite (ver recuadro 20), pero las dos con la misma capacidad de representar geométricamente las funciones algebraicas, la una apta para curvas fracturadas o fratales y la otra útil para curvas lizas o diferenciables.

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Esto es precisamente lo que no conocían los autores dedicados al estudio del kipu. Es decir, no conocían que el antiguo hombre andino construyó desde hace por lo menos 4.000 atrás una matemática tan avanzada como la que tubo el hombre europeo en el siglo XVII cuando Descartes inventó el sistema de coordenadas que lleva su nombre. Dispusieron, entonces, de un sistema de coordenadas de referencia métrico tridimensional de carácter fractal ( ver 21.1)

recuadro

apto para representar funciones discretas, lo que les permitió viajar en los

distintos ritmos de la naturaleza, desde los telúricos hasta los sociales y espirituales. De esta forma orientaron la producción agrícola y el desarrollo del Sistema de Terrazas Agrícolas asentado en el control vertical de un máximo de pisos ecológicos, gracias a que pudieron, desde un comienzo, distribuir matemáticamente la tierra de cultivo, la de pastoreo y la población humana, para sobre esa base cultivar y echar a crecer los otros subsistemas sociales: el económico, el jurídico, el religioso, etc., mediante la combinación balanceada con el otro sistema matemático desarrollado en los Andes, el de la geometría de las descendencias, que finalmente resultó en el kipu, hasta alcanzar su objetivo supremo: la constitución del Tahuantinsuyo como una totalidad de la diversidad bio-cultural de los Andes y bajo el gobierno de la Capacuna. Sistema de Coordenadas que llegó a ser el Espacio Matemático de Representación Andino (EMRAn) o kipu, del cual derivaron pujantes una ingeniería agronómica, una genética, una hidráulica y una de caminos que puso en marcha este gran proyecto Panandino. Todo en forma análoga a cómo sucedió con el sistema cartesiano, del que derivó la ingeniería mecánica que puso en marcha el proyecto capitalista occidental, al posibilitar la construcción de las máquinas, que pasaron a constituir la base mecánica de la producción social que impulsó la revolución industrial. Luego hizo presencia la ingeniería química desde la teoría atómica de Dalton, y más tarde la ingeniería electrónica basada en la idea de electrón, partícula supuesta elemental, puntiforme. Así, mientras el EMRAn impulsó el desarrollo de ciencias biológico-sociales, el EMROcc hacía lo propio con las ciencias físico-químicas, electrónica e informática.

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En lo relacionado con la estructura arbórea del kipu se puede ver que se trata de otra clase de espacio de representación, el cual fue sugerido al hombre andino, sagaz observador de su entorno, por las ramas o raíces de una planta y por el proceso reproductivo en lo relacionado con el árbol de descendencias o genealógico. A éste le sirvió en las operaciones del cruzamiento genético de los cultivos para la producción de mutantes, pues se podía simular el proceso mediante el sistema de nudos y ramas y calcular las características de los descendientes por medio de la distancia genética ó p-ádica que determina el grado de parentesco entre los descendientes y está dada por el número de ramas que separan a éstos de su progenitor. El antiguo hombre andino no debió tardarse en descubrir inductivamente los propiedades de este espacio en forma enramada. Entre ellas tenemos a una de inmenso alcance gracias a la geometría causal que brinda para ser usada en la clasificación jerárquica, por ejemplo. Es el mas potente método de clasificación usado por el cerebro humano para crear la mente mediante la organización de la información que proviene de la experiencia sensible. El primer occidental en utilizar este espacio de representación a la manera del kipu fue el filósofo austriaco Ludwig Wittgenstein ( 1889-1951) en su obra Tractatus logico-philosophicus, discurso en el que las proposiciones que lo componen están articuladas mediante una sintaxis arborescente y donde es usado, por primera vez en Occidente, la numeración decimal para marcar las ramas del árbol. Su anterior sistema ordinal era el de los números enteros. Pero es, sin duda alguna, la posibilidad que se tiene de definir un sistema de coordenadas espacio-tiempo la bondad más prominente que adquiere cuando se combina con la métrica fractal de la cruz cuadrada. La variedad espacio-tiempo que se puede definir es de cinco dimensiones: tres espaciales que determinan la forma del nudo y expresan cantidades y dos temporales, una para el tiempo métrico reversible y otra para el tiempo cualitativo irreversible, como el que marca el clima. La primera representada por las ramas en las distancias entre nudos y la otra expresada con el color del nudo. La aplicación más sencilla que se puede realizar es la del kipu agrícola. 

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

   

  figura 2.3a

En la figura 2.3a el nudo rojo representa a la superficie sembrada ( S.S), tanto la cantidad por la forma del nudo, cuanto el tiempo climático que hizo cuando se sembró por el color de éste, luego sacamos un ramal con un pequeño nudo en la punta para registrar con su forma la cantidad de superficie perdida por la acción de una plaga y con el color la clase de ésta, la fecha en que esto sucedió se marca en la cuerda principal, allí donde nace el pequeño cordel. Supongamos que más tarde el sembrío es asolado por una helada, entonces, repetimos el procedimiento y documentamos el acontecimiento. El siguiente nudo ( amarillo) expresa la superficie cosechada (S.C). El nudo de color marrón que sigue registra el volumen final de la producción. Pero, como durante el trayecto de la cosecha al almacenamiento en los tambos reales había pérdidas por otras causas se anota el acontecimiento de la misma manera anterior. De igual modo, en el trayecto de los tambos al consumidor final también habrá pérdidas, éstas serán registradas. El kipu originalmente fue inventado como un instrumento de predicción de los cambios experimentados por un sistema agrícola, a consecuencia de las catástrofes climáticas- fenómenos impredecibles según la pauta de los calendarios astronómicos- en un ambiente como el de los Andes, donde esas fluctuaciones no son la excepción. Sin embargo, como hemos visto su uso trascendió, ciertamente, el dominio agrícola. Lo manejaron: astrónomos, astrólogos, historiadores, curacas, jueces, chasquis, gobernadores, inspectores y otros. Como podrá ver estimado lector el kipu fue un sistema de coordenadas de referencia espacio-tiempo pentadimensional apropiado para describir y predecir los cambios de estado que sufre un sistema dado.

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Hay que empezar por señalar que el kipu tiene al menos tres variables de estado: el tipo de nudos, sus colores y la distancia entre anudamientos. Para caracterizarlas usaré como referencia el kipu agrícola de la figura 2.3a y empezaré por la variable “tipo de nudos” que representa la forma de la función, ya sea de siembra o ya de cosecha realizadas en una superficie agrícola dada. Hemos podido constatar que no es difícil levantar una función de siembra por medio de nudos. Ya la topología ha probado que en la forma de los nudos yacen intrínsecas funciones algebraicas. Basta, entonces, que transformemos en un nudo -a través de un algoritmo convencional- el valor correspondiente a la solución de la función -nudos de ciertos tipos para valores comprendidos en ciertos rangospara que el nudo exprese automáticamente la forma funcional. A este procedimiento lo denominaremos levantamiento de funciones por medio de nudos. A diferencia, la cultura occidental ha privilegiado el entendimiento de los cambios de posición como su idea central de movimiento, por lo qué, levantar un suceso para Occidente es medir con exactitud arbitraria la cantidad de movimiento de una partícula y, simultáneamente, su posición en el espacio. La condición de simultaneidad desaparece en la mecánica cuántica, como se recordará. A consecuencia de ello, la predictiva se vuelve de carácter estadístico, o sea, probabilístico. Por tanto para el hombre occidental, el levantamiento de un suceso consiste en establecer su métrica espacio-tiempo. En el kipu debemos ver en consecuencia una modalidad que combina tanto el espacio métrico, cuantitativo, como el espacio p-ádico, cualitativo (ver en el ramal 3.3, las matemáticas p-ádicas) La segunda variable es el color de los nudos. Colores no sólo homogéneos y básicos, como los referidos por el cronista de indias José de Acosta, sino de diferentes tonos y combinaciones, tales como los que se ven en un paisaje de la serranía andina o en una mazorca de maíz. El color simbolizaba la característica climática prevaleciente en el suceso agrícola registrado. La tercera variable, la distancia entre anudamientos de las trenzas, encarnaba, por su parte, el tiempo medido en días terrestres de duración, como se puede apreciar en el kipu interpretado por John Murra.

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Es decir que en el kipu se incorporaron dos dimensiones del tiempo: la del tiempo climático -fluctuante- y la del tiempo métrico o calendárico o astronómico -estable-. La del tiempo registrado con colores y distancias cualitativas medidas por el número de ramas y la del tiempo registrado con la medición de distancias por medio de segmentos, sugerida por la geometría de la cruz cuadrada. Ambas dimensiones del tiempo formaban parte del mismo conjunto y se hallaban correlacionadas. Si a la cuerda del kuipu le considerásemos como el “vector tiempo”, entonces podríamos ver, a partir de un cierto punto de la misma, que el tiempo astronómico transcurre linealmente, siguiendo la pista recta del hilo extendido, hasta que éste se anuda y cambia de color, que es el momento en que el tiempo pasa a formar parte del espacio cualitativo -torciéndose y retorciéndosey expresa la “dimensión” climática. A distancia de los nudos de la siembra, según el período transcurrido, se formaban los nudos de la cosecha. El kipu agrícola describía, entonces, la transformación de la siembra en cosecha bajo una característica climática dada. Con los kipus de siembra y cosecha obtenidos de un gran trabajo de levantamiento histórico en muchas localidades agrícolas de la sierra andina y reunidos en kiputecas de celosa conservación, los kipucamayoc pasaban, entonces, a la operación topológica propiamente dicha. El interés se concentraba en identificar los invariantes de los nudos del registro agrícola correspondiente a una catástrofe climática. Una vez hallados los invariantes, o leyes del cambio de estado, la predicción agrícola podía disfrutar de una firme base, allí donde no servía el determinismo del calendario astronómico. Existe una contundente evidencia del empleo de una matemática de funciones en el caso de la ciencia de la hidráulica, en la costa norte del actual Perú ( entre la frontera con el Ecuador y la ciudad de Lima y entre la Cordillera Negra de los Andes y el Océano Pacífico ),

donde

se desarrolló la sociedad hidráulica chimú en el siglo XII, cuya economía agrícola dependió, casi por completo, de la irrigación artificial de los suelos facilitada por las aguas del río Moche. En el siglo indicado el fenómeno de El Niño desencadenó una devastadora inundación que destruyó gran parte del sistema de canales que los chimúes habían heredado de sus antepasados mochicas. El desastre brindó la oportunidad

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para reconstruir la red sobre la base de nuevos principios y utilizando otras técnicas. Tras producirse la conquista inca de Chan Chan -la capital chimú- el nuevo sistema fue abandonado y permaneció en el olvido hasta los años mil novecientos ochenta, cuando un grupo de investigadores de la universidad norteamericana de San José pudo analizar, en su laboratorio, el comportamiento hidráulico del modelo de un segmento del canal chimú de Entrevalles, más parecido a una estructura ósea que a un producto ingenieril. Para sorpresa de los estudiosos, la forma en cruz de la sección transversal del canal, junto a las variaciones de su anchura y de la rugosidad de las paredes, mostraron que la obra fue expresamente diseñada para seguir las pautas de distintos regímenes hidráulicos comprendidos en una gama de números de Froude. El canal tiene, en su conjunto, una geometría variable, según las curvas de nivel correspondientes a la topografía del terreno. Es decir que los ingenieros chimúes habían podido construir un sistema hidráulico flexible, capaz de resistir y acoplarse a los cambios provocados, en el terreno y en el clima, por los espasmos sísmicos y por las virulencias de El Niño. Según el informe presentado por Charles Ortloff, jefe del equipo, el refinamiento conceptual que suponen estas innovaciones y el hecho de que el diseño responda a estándares de la actual ingeniería, indican que los chimúes poseían, seis siglos antes que los occidentales, una ciencia hidráulica sistemática, basada en la observación, el registro, la generalización y la representación analítico-geométrica. Por tanto, debemos concluir que la sociedad andina poseyó un pensamiento algebraico cuya notación fue geométrica y no era conocida hasta el trabajo realizado por el autor de este libro. Me refiero al descubrimiento de la geometría analítica fractálica de la cruz cuadrada que es la que prodiga la representación geométrica de funciones discretas o cuánticas, mediante la posición de las cuerdas, así como a la geometría arbórea que registra las funciones que rigen las descendencias. Yo no encuentro manera más natural de explicar el genio chimú, si no es suponiendo que su modelación hidráulica transcurrió apoyándose en el kipu. Después de todo, y según el recto pensar matemático, las ecuaciones de los

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gases y de la hidrodinámica son enteramente deducibles de la mecánica estadística, promisorio lugar de los invariantes núdicos. Esta magnífica complementación entre las matemáticas de la cruz cuadrada y la de los árboles dio origen al kipu como un sistema de coordenadas espacio-tiempo de cinco dimensiones, capaz de representar simultáneamente la cantidad y la calidad. Y, por tanto, útil para dar cuenta tanto de los cambios de posición como de los cambios de estado que acaecen en un determinado proceso.

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TERCERA PARTE

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3.1

EL LUGAR DEL E.M.R.An EN LAS MATEMÁTICAS ACTUALES

3. 1 1

Teoría de nudos

Para poder comprender y apreciar a cabalidad la potencia expresiva del kipu en lo relacionado con los nudos, es preciso enterarnos de lo que las matemáticas actuales han encontrado hasta ahora acerca de este difícil tema. Comencemos por una muy breve caracterización de la topología. Toda transformación de una figura que no destruye la adyacencia entre sus partes, se llama continua; si además de ello, no se crean nuevas adyacencias, la transformación se llama topológica. La topología o geometría cualitativa se ha encargado del estudio de las transformaciones continuas que sufren los cuerpos geométricos, cuando no se producen roturas ni soldaduras, y trabaja en procura de identificar las propiedades que permanecen siendo las mismas ante estos cambios: los invariantes topológicos. Indiscutiblemente, entonces, la topología es solidaria del movimiento. Ella es una geometría dinámica con fuerte incidencia de la dimensión cualitativa, a diferencia de la euclidiana que es estática y cuantitativamente pura. Cabe añadir que en topología no importa que al distorsionarse el cuerpo geométrico no se conserve la distancia entre cualquier par de sus puntos, como en el caso de una cuerda de goma que se estira sin romperse. Lo que quiere decir que las transformaciones topológicas son indiferentes a la métrica; así como lo son a las transformaciones propias de la geometría proyectiva; por ejemplo, una distorsión topológica puede muy bien no conservar los invariantes del grupo de transformaciones proyectivas. De esta manera la topología ha hecho surgir una nueva clasificación de las figuras geométricas. Así por ejemplo, dos superficies se consideran topológicamente idénticas si la una puede transformarse en la otra por medio de una deformación uno a uno, bicontinua. Dentro del tema de la clasificación topológica de las superficies cerradas se presentó, hace algún tiempo, un pequeño problema que se

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ha burlado con persistencia del buen juicio de los topólogos amigos del Viejo Mundo. Me refiero al famoso problema de los nudos. Pocas cosas pueden ser tan familiares como un nudo. Un nudo se hace curvando un trozo de cuerda; luego, ligándolo; y, finalmente, uniendo sus extremos. La curva cerrada resultante, proyectada en un plano, es una curva de Jordan, que lo divide en un par de dominios: uno exterior y otro interior. Ahora bien, los nudos pueden tener varias formas y orientaciones, como el trifolio dextrógiro y el trifolio levógiro o el nudo llano y el de rizo, que son nudos simples. También hay nudos compuestos, como el enlace de Whitehead o los aros de Borromeo. Y hay nudos cromáticos, como los del kipu. Desde el punto de vista topológico, dos nudos de diferente forma se consideran equivalentes sólo si es posible que ofrezcan el mismo aspecto, ora tensando, ora aflojando la cuerda. En tal caso, los nudos comparten un invariante; es decir, una expresión algebraica que describe la propiedad nodal que se conserva tras producirse la deformación. Los matemáticos que se han dedicado a la búsqueda de nudos equivalentes se han encontrado con algunos inconvenientes. Sólo pensemos en el número de posibles deformaciones continuas que se podrían hacer de un nudo dado cualquiera. ¿Cuántas y cuáles permitirían convertir a ese nudo en otro de distinta forma? A decir verdad, una búsqueda de carácter tan individualizado representaría un trabajo largo y sofocante. Para simplificar, la tarea ha sido asumida por medio de procedimientos matemáticos abstractivos, bajo un programa de identificación de los invariantes correspondientes a las transformaciones topológicas de los nudos, para clasificar, con su ayuda, los nudos equivalentes y los que no lo son. Las dificultades acaecidas en el desarrollo de este programa taxonómico, constituyen, precisamente, el famoso problema de los nudos. El camino que conduce desde un nudo tridimensional hasta su invariante algebraico, empieza con la obtención del llamado “complemento del nudo”, que no es otra cosa que un diagrama planar del bucle. Luego, el “complemento” se somete a deformaciones continuas arbitrarias, cuyas funciones se codifican en un polinomio, según el número de cruces de las curvas que integran el complemento.

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Cabe hacer historia, aquí, y señalar que estas investigaciones llevan relativamente muy poco tiempo de haberse iniciado. En efecto, son estudios realizados en el siglo XX. Uno de los progresos significativos fue alcanzado en 1928, por el matemático norteamericano James Alexander. El invariante que él descubrió es un polinomio que permite hacer una interesante pero incompleta, o quizás fallosa, clasificación de los nudos. Los nudos que tienen distintos polinomios de Alexander no son equivalentes, como es de esperar. Pero los nudos que poseen el mismo polinomio de Alexander, no necesariamente son equivalentes. Más allá de este pionero trabajo y de estas dificultades de parto, tengo la impresión de que los avances registrados en la materia no fueron sustanciales. Este famoso problema ha sido abordado con éxito por Vaughan Jones. Él es neocelandés y ha sido profesor de matemáticas en Berkeley de California y en el Instituto de Altos Estudios Científicos de París. En su vida hay un episodio anecdótico, narrado por él mismo, que marcó el nacimiento de su mayor contribución científica. Ocurrió una buena noche de mayo de 1984, cuando poco después de haber mantenido una reunión más bien desalentadora con un matemático experto en teoría de trenzas, saltó de su cama tras advertir, en ese estado de seudovigilia o transición al sueño, que su trabajo y sus intuiciones en el mundo intrincado y serpentino de los nudos, estaban originando un nuevo invariante, hoy llamado “polinomio de Jones” o invariante polinómico, el cual permite una mayor generalización que el de Alexander. Y, fue en 1990 que este aporte inclinó la balanza de los jueces del Tribunal que concede la Medalla Fields, el mayor premio mundial a los matemáticos, a su favor. El “polinomio de Jones” es resultado de un fructuoso acercamiento entre dos ramas de las matemáticas, aparentemente muy alejadas entre sí: la teoría de las transiciones de fase y la teoría de los nudos. La primera, desarrollada en el contexto de la mecánica estadística, ofrece modelos de simulación del proceso de cambio de fase o de estado que experimentan sistemas como el agua, al variar condiciones como la temperatura. Uno de esos modelos, llamado de Ising, es capaz de mostrar, en efecto, una transición de fase bajo la forma de la relación estrella-triángulo.

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Lo sorprendente de todo esto, aquello que en definitiva deseaba resaltar, es que al efectuarse una cierta operación en el complemento de un nudo -denotada como “movimiento de Reidemeister de tipo III”-, se obtiene de inmediato la transición estrella-triángulo. Es decir que un mismo invariante interviene, tanto en el dominio de la “transición de fase”, como en el de la transformación de un nudo: el invariante descubierto por V. Jones. En buenas cuentas esto significa que la transición de fase puede ser descrita con ayuda de la topología de nudos. Y hay algo más todavía: tal conexión íntima fue posible merced a la participación de otra teoría matemática: la teoría de álgebras de Von Newman (sustento de la mecánica cuántica, y donde la dimensión es tratada como una variable continua), que han hecho ver que los invariantes de los nudos aparecen también en la teoría cuántica de campos, nada más ni nada menos. Y para mostrar otra de las sorpresas que alborotan la caja musical abierta por Vaughan Jones, es necesario decir que en el interior de una célula viva, las dobles hélices de ADN se anudan y encadenan al realizar los movimientos de recombinación y replicación genética. Una vez más, los invariantes nodales resultan fértiles, ahora para nutrir a la biología molecular. Finalmente, en 1998 es alcanzado un de los resultados más espectaculares: fue estudiada una variante de la TGR que no utiliza el concepto de curvatura del espacio-tiempo, sino el de torsión del mismo. Y al intentar cuantizar la TGR, con esta versión de espaciotiempo con torsión, se han encontrado cantidades llamadas “rizos de Wilson” que están relacionadas con las matemáticas de los nudos. Se comunicó de inmediato que estas cantidades han hecho posible encontrar otro invariante núdico, el “invariante de Vassiliev”. Así pues, en la TGR cuántica con torsión, los estados pueden clasificarse por medio de los invariantes de los nudos, aquí la materia produce torsión y no curvatura. En el proceso gravitacional la masa produce curvatura hasta determinada densidad, pero sobrepasado este límite la materia empieza ha contorsionarse formando finalmente un torbellino o agujero negro. Aquí es cuando el proceso adquiere características cuánticas y su descripción sólo es posible mediante ecuaciones diferenciales no lineales.

271

Cabe ampliar un poco el tema y decir que según las ecuaciones de EinsteinCartán, el espacio-tiempo puede estar curvado y torcido al mismo tiempo. Si éste tiene curvatura y torsión nulas se tiene el espacio de curvatura cero de Minkowsky, si la curvatura es nula y la torsión no, su aspecto es el de una dislocación, y si tiene sólo curvatura nos encontramos con el espacio-tiempo curvo original de la TGR de Einstein. Como casi es natural suponerlo, todo ello ha originado una valiosísima generalización de los invariantes núdicos a espacios tridimensionales, donde éstos se muestran con un barroquismo de bucles, torbellinos y huecos. Quisiera también añadir que recientemente se han efectuado, en el Japón, descubrimientos muy importantes en esta prometedora vena temática, pero por un camino distinto. Me refiero al trabajo de Fukuhara, del Colegio de Tokio, quien al tratar los nudos como si sus cuerdas transportasen cargas electrostáticas que se repelen en los cruces, ha conseguido demostrar la existencia de un umbral de “energía” para la estabilidad de un nudo, y también que dos nudos topológicamente equivalentes tienen la misma energía mínima. Me he informado que siguiendo estas pistas, Zheng-Xu He, de la Universidad de Princeton, y un grupo de matemáticos de la Universidad de San Diego, en California -entre los que destaca Zhenghan Wang-, han localizado un umbral crítico de “energía”, con valor de “2 +4”, por debajo del cual no hay nudos. En consecuencia, los nudos pueden clasificarse siguiendo un orden creciente a partir de su energía mínima. Todo lo que he mencionado acerca de los nudos carecería, aquí, de mayor interés si no fuera porque esta reciente solución del famoso problema de los nudos, brinda unas hebras de preciosa información que comunican el significado del kipu como exponente de un sistema especial de coordenadas de referencia, y lo resucitan con esta calidad. Pues, los trabajos mencionados hacen notar que en topología de nudos no sólo es posible hallar, por medio de sencillos procedimientos algebraicos, estructuras matemáticas que permanecen constantes ante un cambio dado, sino que tales expresiones son por completo útiles para describir el comportamiento de un creciente número de fenómenos. En otras palabras, el sistema formado por ramas y nudos puede servir, tanto como las

272

coordenadas de Gauss, en calidad de sistema de referencia para representar por medio de funciones algebraicas las regularidades de la naturaleza. A través del kipu los indios podían hacer predicciones sobre el comportamiento de los objetos en movimiento cualitativo, lo cual exigía que el sujeto se encuentre difundido sensiblemente en la totalidad concreta. No es casual, por ello mismo, el inesperado vínculo hallado por Jones entre una rama tan cualitativa de la físicamatemática, como es el estudio de las transiciones de fase -con sus inestabilidades sorprendentes, con su tiempo irreversible-, y una rama tan cualitativa de la matemática, como es el estudio de los nudos. Un científico occidental, al enterarse de que el kipu fue un sistema de coordenadas de referencia de carácter concreto, va a decir que le parece una idea disparatada. Esto sería así si se aceptara la opinión de que para formular las regularidades de la naturaleza es preciso seguir una sola y recta vía de abstracción, desde la sencilla aritmética hasta el cálculo diferencial absoluto. Sin embargo, todo indica que es indispensable escalar por estos sucesivos peldaños cuando se trata del estudio de sistemas dinámicos deterministas, basados en el espacio métrico diferenciable y el tiempo reversible. Por contra, y como ha mostrado la topología de nudos, las regularidades del cambio cualitativo no requieren del nivel de abstracción en el que opera el cálculo tensorial para poder expresarse. Esta es, por otra parte, una conclusión hasta cierto punto natural si se admite que el conocimiento de lo cualitativo requiere de una permanente aproximación a las particularidades de los procesos concretos.

3. 1 2

La Geometría Fractal de la Naturaleza

Recordemos que cuando hablamos de la teoría del “caos” mencionamos a los objetos fractales como una clase de formas geométricas que poseen la propiedad de autosimilitud u Homotecia y tienen dimensión fraccionaria. Dijimos además que estos objetos se encontraban en la difusa frontera que existe entre el cosmos y el caos. Así entonces, mientras la característica de autosimilitud nos indicaba que la estructura de la figura fractal permanece siendo la misma a cualquier escala, la dimensión fractal (D) en cambio nos expresaba el grado de fraccionamiento o

273

irregularidad o interrupción que ésta tiene ( ver

recuadro 26)

La geometría fractal es

una rama de las matemáticas de reciente formación, su historia comienza con la publicación de: Los objetos fractales en 1975, y La Geometría Fractal de la Naturaleza en 1982, por el matemático francés Benoît Mandelbrot 13. En estos trabajos el autor introduce al lector en un mundo geométrico totalmente nuevo y sorprendente para los occidentales. Esto debido a que la cultura de Occidente desarrolló una geometría totalmente orientada al estudio de figuras idealizadas, absolutamente lizas, como el círculo, la elipse, la parábola, el cono, la esfera, etc., y no al de las complejas formas quebradas y aperiódicas que ofrece la naturaleza. Recordemos que el que así fuera se debió a que la agricultura de la cuenca del río Nilo, que dio origen a la geometría de Occidente, fue realizada por hombres totalmente concentrados en resolver el problema de la restauración de los límites de las propiedades agrícolas en superficies planas. Entonces, por fuerza se toparon y trataron con esta clase de figuras geométricas de las que desentrañaron sus más profundas propiedades a lo largo unos cinco mil años y crearon una Teoría del Espacio Puntiforme o EMROcc, espacio homogéneo, isótropo y diferenciable. Por el contrario, el espacio fractal es heterogéneo, anisótropo y no diferenciable, parece ser el EMROcc pero agrietado, como si fuese espejo trizado, tal como aparece en las primeras pinturas de Picasso o en los magníficos grabados de M. Echer. B. Mandelbrot, para elaborar su obra, partió de trabajos anteriormente realizados por los matemáticos George Cantor, Giuseppe Peano, Helge Von Koch y Félix Hausdorff, y luego fue desarrollando la madeja fractal con para finalmente proporcionarnos una primera sistematización de las figuras fractálicas, hollando el mismo camino que siguió la geometría nacida en el antiguo 13

B.Mandelbrot y René Thom son los más destacados continuadores del trabajo de H. Poincaré en el siglo XX

y tienen el mérito de haber dado una batalla triunfal y terminante al intento de imponer la suposición fanática de que la verdad única y última de las matemáticas se la alcanza prescindiendo de la geometría y buscando en los números, en las estructuras algebraicas y diferenciales. El intento fue emprendido por David Hilber al formular sus famosos “ veinte problemas” y por el grupo N.Bourbaky al publicar Eléments de Mathématique, Este movimiento fue apoyado por el pitagórico-platónico y por los que creen que las matemáticas tienen una “esencia”. Pero felizmente fueron detenidos con la publicación del teorema de K.Gödel en 1931, en el que demuestra que la vía de la abstracción absoluta conduce a situaciones indecidibles, paradójicas, sin salida, que finalmente nos llevan a experimentar alucinaciones fatales.

274

Egipto; esto es, yendo desde lo particular hasta alcanzar una máxima generalidad, con la esperanza de llegar algún día a encontrar un mínimo número de axiomas y postulados al modo como lo hizo Euclides. Mandelbrot comienza su trabajo con el estudio de la superficie de la Tierra. Los resultados que obtuvo le sirvieron para introducir una primera clase de fractales: las curvas conexas con dimensión mayor que 1. Inicia eligiendo un trozo de perfil costanero en una región accidentada cualquiera y se propone medir su longitud efectiva. Para ello toma un compás con abertura  y comienza a medir clavando la aguja en el punto del paso anterior una y otra vez. Multiplicando  por el número de pasos dados se tiene una longitud aproximada L(). Si repetimos el proceso disminuyendo cada vez el ángulo  se encuentra que L() tiende a aumentar sin límite. Los datos recogidos en la medición revelan que L() aumenta hasta que la unidad disminuye a 20 metros; pero luego varía muy poco, y no vuelve a aumentar hasta valores de  menores que 20 centímetros, cuando la longitud empieza a ser sensible a las irregularidades de las rocas. Si trazamos una gráfica coordenada de este proceso aparece un dibujo en forma de una terraza, irregularidad que no se conocía y que se debe a la intervención inevitable del sujeto en la medición, allí está su huella antropomorfa. La variación de la longitud aproximada de L() fue estudiada empíricamente por Lewis Fry Richardson en 1961. Estos resultados nos dicen que L() es proporcional a -

donde  depende de la costa elegida. La interpretación de

Richarson fue de que  era simplemente un exponente cualquiera. Mandelbrot nos cuenta que el exhumó de este trabajo el verdadero significado del exponente 1+=D, interpretándolo como una dimensión fractal. La regularidad detectada empíricamente por Richarson en la costa de Bretaña fue: L()  1-D y coincidió asombrosamente con la ley de formación de la curva fractal de Von Koch, que tiene una D= log4/log3  1.2618. Así quedó probado que el significado de D trascendía el modo en se ejecutaba la medición y se constituía en un concepto puramente matemático. La definición precisa de D la dio el matemático Félix Hausdorff en 1919. 275

Él continúa con el estudio del movimiento browniano definiendo como P(t) la función que la expresa a este: la sucesión de pequeños desplazamientos mutuamente independientes e isótropos que tienen lugar. Luego establece que para cualquier par de instantes t y t’ (siendo t’>t) se considera

al vector

desplazamiento como el que va de P(t) a P(t’) y asume que: La dirección y longitud de este vector son independientes de la posición anterior P(t) y de las posiciones anteriores a t. Es un vector isótropo cuya longitud es tal que la proyección sobre un eje cualquiera sigue una distribución gaussiana, con una densidad de probabilidad de (2 t  t’ )1/2 exp(x2/2 t’ t ) La curva fracturada trazada por el movimiento browniano pasa ha ser considerada en la categoría de los “azares primarios”, caracterizados estos por estar ubicados en la intersección entre la teoría y su aplicación práctica, y cuyo papel consiste en sustituir formas que se presentan al azar, por otras, con las que uno ya está familiarizado. También nos presenta curvas del movimiento browniano con distintas D. Como el lector podrá percatarse, la diferencia fundamental que existe entre la curva de Koch y la del movimiento browniano es que la primera se fractura en segmentos iguales mientras que la otra lo hace en cuerdas desiguales que van produciéndose al azar. La una, por tanto, es apta para describir procesos causales, deterministas y la otra, apropiada para representar procesos estocásticos o aleatorios. Sigue con el análisis de los fractales encontrados en la distribución de las galaxias en el espacio, ya que ésta contiene una amplia zona de homotecia interna con una D próxima a 1. En observaciones resientes realizadas por los astrónomos se ha puesto en evidencia que la distribución de la materia estelar en la realidad no está hecha de modo uniforme, como muchos físicos, desde Einstein hasta Hawking, habían supuesto al construir sus modelos del mundo, obligados por la clase de espacio en uso: el EMROcc., que es puntiforme y diferenciable. Para comprender bien acerca de esto es menester examinar de cerca el concepto de densidad media global de la materia contenida en el Universo. De entre los

276

tantos métodos que existen para definir y medir esta densidad, el más directo consiste en medir la masa M(R) contenida en una esfera con centro en la Tierra y de radio R. Su densidad será M(R)/( 4/3R3) y cuando R tienda a cero obtendremos como límite la densidad media . Sin embargo, lo que los astrónomos han descubierto, a medida que los telescopios han sumergido su mirada el lo profundo del Universo, ha sido que la convergencia no es uniforme y que M(R)RD, con D<3. Lo que nos indica que, conforme el observador se va alejando de la Tierra, los objetos celestes se van agrupando de manera jerárquica, formando abigarrados racimos galácticos. Otra clase de los fractales investigados es la que se presenta en el fenómeno de la turbulencia, cuya característica primordial es su comportamiento violentamente intermitente. Mandelbrot ubica al flujo turbulento con una fractalidad 2>1/r. Y resalta que uno de los logros de las visiones fractales del universo y de la turbulencia ha consistido en haber impulsado la necesidad de demostrar que para el primer caso, D<2 y para el segundo, D>2, a partir del mismo hecho geométrico. Cuando hablamos de la mecánica de los fluidos no es posible dejar de mencionar a las ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes y Euler ( éstas describen el movimiento de los

fluidos

de

régimen

laminar

principalmente)

y preguntarnos: ¿Son fractales las

singularidades que éstas presentan? Como ya dijimos, las singularidades son los lugares donde el EMROcc. presenta agujeramientos, ausencia de puntos-límite debido a que las funciones en esos sitios dejan de existir y por tanto desaparece la imagen en él. O sea que no es capaz de representar la función para ciertos valores especiales de las variables llamados polos. Mandelbrot, espera con mucha seguridad la confirmación positiva de esta hipótesis. Finalmente veamos lo que Mandelbrot nos da a conocer acerca del espacio arborescente. No hay nada más familiar para el ser humano que un árbol: el tronco que se subdivide en N ramas de primer nivel, y cada una de ellas que se subdivide a su vez en N ramas de segundo nivel, y así sucesivamente. Éste sería un espacio

277

ramificado apropiado para construir el árbol lexicográfico por ejemplo, acordando que la codificación de las palabras sea hecha por medio de letras y espacios en blanco. De esta manera, cada palabra puede ser representada por una de las ramificaciones, a cada una de las cuales se le asocia un peso que es la probabilidad de empleo de la palabra correspondiente y se iguala a cero todas las sucesiones de letras que no tengan significado. Para que las frecuencias de las palabras se ajusten a la codificación de letras y espacios en blanco es condición necesaria que el árbol lexicográfico sea regular, esto es, que cada ramificación represente a una palabra y que los pesos-probabilidad correspondientes al nivel k sean todos de la forma U=U Ork, donde UO está tomado de tal manera que permita que la suma total de probabilidad sea igual a uno. Ahora, para deducir la distribución de frecuencias de las palabras a partir de la regularidad del árbol, se las ordena según frecuencias decrecientes. Suponiendo que  sea el rango de una palabra de probabilidad P, se tiene que: U=P(+V)1/D y D= logN/log1/r , donde P,V y D son constantes. Esta función obtenida por razonamiento lógico-deductivo ya fue encontrada empíricamente por Zipf en 1949 y expresa eficazmente los datos empíricos acerca de las frecuencias de las palabras en los idiomas más diversos. Aquí, la dimensión fractal D expresa lo que se conoce como la “temperatura del habla”. Continúa con la “ley de Pareto” acerca de la distribución de la renta salarial, mostrándonos cómo otra clase de árbol es apropiada para representar esta función. Esta vez aprovecha de la propiedad de jerarquía que todo árbol posee y supone que una jerarquía es regular si sus componentes están distribuidos por niveles, de tal manera que cada miembro tiene el mismo número N de subordinados; y que estos últimos tienen el mismo peso U, igual a r veces el peso de su superior inmediato. Lo más adecuado es considerar el peso como si se tratase de un salario (Es prudente aclarar que las rentas no salariales no comportan ninguna jerarquía susceptible de ser representada por un árbol, por lo que no pueden considerarse como pesos en la presente formulación)

Por tanto, cuanto más rápido decrece la renta al aumentar el rango , tanto mayor será el grado de desigualdad. El razonamiento utilizado anteriormente en el árbol

278

lexicográfico se aplica exactamente igual, siempre y cuando el rango  del individuo sujeto de renta U venga dado por la función hiperbólica =-V+UDPD. Relación que nos da ha conocer que D incide fuertemente en el grado de regularidad y viene dada por D=logN/log(1/r), en la cual si crece r también lo hace D, además se advierte que el número de niveles jerárquicos crece como el logaritmo del número total de miembros de la jerarquía. Esta regularidad fue descubierta por el economista italiano Vitali Pareto a finales del siglo XIX. Desde su aparición hasta la fecha, la geometría fractal se ha difundido profusamente en la actividad científica, tanto en el campo teórico como en el de la aplicación práctica. En cuanto al primero debo decir que, con base en el concepto de dimensión de homotecia o de autosimilitud, se ha conseguido caracterizar a las curvas fractales como aquellas que poseen dimensión fraccionaria. Las funciones que las expresan se encuentran definidas en el espacio métrico y pueden ser continuas no-diferenciables y discretas. Esta estricta especificación de las funciones ha quedado firmemente establecida y ha llegado a constituir el fundamento ontológico de esta nueva ciencia. Entre las variadísimas aplicaciones prácticas, los fractales han revolucionado las técnicas de generación y reproducción de imágenes con ordenador gracias a la trascripción de la lógica fractal, que permite transitar de las ecuaciones a las imágenes. Pero los investigadores no sólo han aplicado estas formas geométricas al grafismo informático, sino también al diseño de antenas, que ha provocado una impresionante explosión en el mercado de las telecomunicaciones al posibilitar el desarrollo de la telefonía celular móvil gracias a los diseños fractales que permitieron la miniaturización de éstas ( como triángulo o cuadrado de Sierpinski)

por ejemplo antenas con un diseño según el

Antes de este acontecimiento los proyectistas, debido a

la prácticamente imposible aplicación de las ecuaciones diferenciales de Maxwell para el electromagnetismo, se vieron obligados a proceder por tanteos, en su mayoría erróneos. Pero ahora, la utilización de diseños fractales ha permitido alcanzar una gran optimización de los sistemas de comunicación ( el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que las diferenciales )

ya que en ellos se han

279

combinado la robustez de los que están aleatoriamente dispuestos con el buen rendimiento de los que están ordenados, todo esto con sólo la cuarta parte de los elementos. Ofreciendo así, desorden en la pequeña escala y orden en la grande. Es realmente impresionante cómo, en muy poco tiempo, la geometría fractal ha penetrado de manera profunda en los métodos de trabajo de físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, economistas, sociólogos y artistas, pues les han permitido reformular viejos problemas en términos nuevos, y tratar problemas complejos de manera simple. Los objetos fractales, que por mucho tiempo fueron considerados como meras “monstruosidades geométricas” ó simplemente como motivos para el diseño por parte de los artistas de los teselados, subyacen en fenómenos tan variados como la distribución del gas interestelar, de las estrellas y de las galaxias, la ramificación alveolar de los pulmones, en las nubes, en los meandros de los ríos, en el tracto digestivo, en las olas del mar, en las fluctuaciones de los precios en el mercado, en la dinámica poblacional de las bacterias, en los depósitos electroquímicos, en las erupciones volcánicas y terremotos, en toda clase de fenómenos turbulentos, etc. Al promediar los años 1980 la geometría fractal ya había asistido a muchas de las ramas de la ciencia ofreciendo un nuevo espacio matemático de representación destinado a reemplazar al EMROcc, pues, describía de manera totalmente satisfactoria a la naturaleza, allí donde el otro había fracasado, allí donde probó ser apropiado sólo para describir a los sistemas mecánicos. Esto era de esperarse ya que la nueva geometría lo que simplemente hacía era inducir la clase de fractal que ofrecía la propia naturaleza. Ya no se operaba como antes; esto es, primero seleccionando un modelo idealizado previamente concebido a priori, para luego aplicarlo al objeto concreto, pues, por fin había quedado claro para los científicos que a la naturaleza no podemos considerarla como un sistema mecánico ( todos los sistemas naturales son procreados y todos los sistemas mecánicos son creados)

Esta ha sido una semblanza del encuentro del hombre occidental con la geometría de la naturaleza, lo ha hecho cual si fuese un extra-terrestre, después de haber permanecido enajenado de ella por más de cuatro mil años. Todo por haberse visto abocados a tomar como único, el camino que conduce al desarrollo de las

280

matemáticas infinitas, trascendentes. Desconociendo que, a diferencia, aquí en las américas, se había utilizado la geometría fractal con idéntico propósito ( describir las regularidades observadas en la realidad y realizar predicciones fiables)

así mismo por unos cuatro

mil años, pero con un grado de desarrollo completamente superior al alcanzado por occidente con el trabajo de Mandelbrot. Como ya indicamos lo alcanzado hasta aquí ha sido un significativo grado de generalización, pero todavía no algo parecido a los Elementos de Euclides. En cambio acá en los Andes, como he mostrado al lector con mi descubrimiento, se manejó una geometría analítica fractal propiamente dicha, gracias a que se dispuso del sistema de coordenadas de la Cruz Cuadrada, hace cuatro mil años por lo menos. El hombre occidental no conocía que estas matemáticas exóticas le sirvieron al hombre americano para desarrollar su pensamiento científico-técnico y construir su civilización de manera semejante a como él lo hizo con el suyo, sólo que por un camino distinto. El hombre occidental tampoco conocía que su sistema coordenado, el cartesiano, es el límite en el infinito del sistema coordenado de la cruz cuadrada; por ello, mientras el suyo es abstracto el del otro es concreto; mientras el cartesiano da origen a la Geometría Analítica Puntiforme, el otro forja la Geometría Analítica de Cuerdas o Fractal; el primero conduce a una topología de puntos-límite el otro lleva a una topología de cuerdas. Por último, no debemos olvidar que las dos matemáticas, del infinito la una y de lo finito la otra, tienen su residencia en el espacio métrico, es decir, en el espacio donde se ha definido la distancia métrica, aquella que cumple con la propiedad triangular ( ver recuadro 1) He aquí dos espacios matemáticos equivalentes y a la vez complementarios, el puntiforme apto para desarrollar el pensamiento abstracto y el

integrado por

cuerdas dispuestos en forma de red cuadriculada bueno para forjar el pensamiento concreto, sensible.

3. 1 2

El

E.M.R.An

y la

función “zeta” de

Euler – Riemann

«¿Son fractales las singularidades de la ecuación de Navier-Stokes?» Lo sobjetos fractales, Benoît Mandelbrot, 1984

281

En este ramal voy analizar a la función “Zeta” (s), haciendo uso del sistema de coordenadas de la cruz cuadrada, para mostrar las bondades que éste tiene. Lo vamos a ver en plena acción cuando nos revele características desconocidas de esta extraordinaria función que no son observables desde el EMROcc. Para ello, previamente, conozcamos a esta sorprendente función que se encuentra en la intersección del espacio métrico y el espacio p-ádico haciendo de funciónconexión entre éstos gracias a su excepcional propiedad que expresa la existencia y unicidad de la descomposición de los números naturales en sus factores primos y que le permite ir del un espacio al otro en los dos sentidos. El que por esta propiedad facilite obtener resultados puramente aritméticos es el motivo por el cual la notable función es muy apetecida por los matemáticos desde hace ciento cuarenta y cuatro años. Una de las tantas formas de obtenerla es la siguiente: dado el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4,.. }, se puede construir el conjunto de sus inversos: N1 = {1/1, 1/2, 1/3, 1/4,…} y, si ahora elevamos cada uno de los términos a la potencia compleja s =a+ib, donde a,b  R e i=-1, y luego les sumamos desde 1 hasta infinito se obtiene la expresión: [1]

(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + 1/5s + … = 

1/q

s

Esta serie es la expresión de la función “zeta” en el espacio métrico, en la cual la variable q es un número entero positivo. Ella es convergente absoluta y uniformemente para todos los números reales R>1, o sea que es diferenciable a lo largo del semiplano Re{s} 1 y por continuación analítica, a todo el plano complejo C. Riemann demostró que “Z” se extiende a C como una función meromórfica con un polo simple para s=1 y residuo igual a 1 y, además satisface la ecuación funcional [2]

-s/2 (s/2)

 (s) =

-(1-s)/2 [(1-s)/2]

 (1-s)

Pero precisamente, cuando s=1 aparece una singularidad o hueco en el espacio métrico diferenciable; fenómeno que nos dice que “Z” no tiene imagen en el espacio de puntos-límite para dicho valor, pues desaparece en un bouquet del

282

EMROcc. Más adelante voy ha probar que Mandelbrot tiene razón al sentenciar que detrás de una singularidad hay una estructura fractal. Aunque más preciso sería decir que detrás de cada singularidad del espacio puntiforme hay otra clase de espacio de representación, con otra estructura geométrica, en este caso en particular sería un espacio métrico fractal. Reparemos en que la imagen [1] de la función es en forma de suma y está en función de los números naturales, pero tiene otra en el espacio p-ádico, que es en forma de producto y está escrita en términos de números primos consecutivos exclusivamente: [3]

(s) = (2s/ 2s-1) (3s/ 3s-1) (5s/ 5s-1)…=  psps-1

, donde p es un primo consecutivo.

¡He aquí! la imagen métrica y p-ádica de la función “zeta”, la suma y la multiplicación, lo cuantitativo y lo cualitativo y un modo de cómo coordinarlos. Para pasar de una forma a la otra debemos expresar a la primera en sus factores primos y luego, mediante una sencilla transformación algebraica o diferencial, obtener “zeta” en función de los números primos, exclusivamente. La función tiene también una expresión analítica, en términos de un parámetro t y la función gama de Euler, (s): 

[4]



(s) = 1/(s)

 [t

s–1 /(

e-1)]dt ,

válida para s >0 y s 1.

o

Ahora, cuando s es un entero positivo n, ésta se transforma en:



[5]

(n) = 1/(n-1)! (t

n-1

t

/e –1

)dt

o

La secuencia de valores de “Z” para n = 1, 2, 3, 4,…será: 

[6]

( )

1 =

1/(0)!

(1 e /

t

)dt

–1



283

o 

 (t e

( )

2 = 1/(1)!

)dt = 1.2/6

t –1

/

o 

( )

3 = 1/(2)!

 (t e 2

)dt =1/2.c33

t –1

/

o 

( )

4 = 1/(3)!

 (t e 3

/

)dt =1/6.4/15

t –1

o

. .

. .

= =

. .



(m) = 1/(m-1)! (t

m-1

/e – 1)dt =1/(m-1)! cm. t

m

o

Regresemos al recuadro 22 y pongamos nuestra atención en la distribución f(n)=1/n. Nótese que el perímetro de cada curva cuadrada, que tiene 12 lados, vendrá expresado por Pn=12Ln=12(1/n), así mismo, cada círculo circunscrito tendrá una circunferencia Cn=10 .1/n y cada círculo inscrito una cn=3.1/n. Si elevo al cuadrado el lado de la cruz tendré su área, Sn=5(Ln)2=5/n2 (cinco cuadrados de los que se compone cada cruz)

por que son 5 los

Luego sigo con el volumen Vn=5(Ln)3=5/n3 y así

sucesivamente para m dimensiones. Lo propio hago con los círculos inscritos y circunscritos. Como podemos constatar hemos generado una variedad fractal multidimensional, por estar formada por una familia de curvas fractales que exhiben la propiedad de homotecia. Le invito amable lector a ver el desarrollo completo de ésta en los recuadros 27 y 28. De su lectura, lo más sorprendente es el inusitado encuentro con la función

 (s) de

Euler-Riemann, al sumar las distribuciones de la variedad desde n=1 hasta . Lo primero que salta a la vista es que el perímetro resultante P es infinito y, sin embrago, su área, su volumen, hipervolumen, etc. son finitos. Esto nos pone en

284

evidencia que este proceso de fraccionamiento infinito de los lados de la curva es análogo al que sucede en la curva de Von Koch, lo cual pone en evidencia que se trata de una curva fractal. La serie que lo describe es la función

(1)

para m=1,

justamente el valor para el cual ésta no tiene punto-límite puesto que es divergente, no tiene imagen ni analítica ni geométrica pues ha “caído en un hueco”, en una singularidad. El matemático francés Benoît Mandelbrot en su libro Los Objetos Fractales se preguntó: «¿Son fractales las singularidades de las ecuaciones de NavierStokes?» Ahora, yo contestaría diciendo que sí, que los “infinitos” que aparecen en las ecuaciones diferenciales son curvas fractales, al igual que todas las series fraccionarias infinitas que son divergentes, pues no tienen imagen en el espacio analítico-diferencial; pero sí lo tienen, en cambio, en el espacio de cuerdas, y constituyen los perímetros infinitos de todas las variedades fractales que se puedan construir con ellas. También vale decir que se consigue una verdadera e inédita cuadratura del círculo, al haber construido mediante el fraccionamiento infinito de la cruz cuadrada una resultante que tiene como unidad a un cuadrado de lado igual a  (ver recuadro 28) En lo relativo al cálculo de las integrales de la función “Z”, desde los tiempos de Riemann

se

conoce

que

para

valores

pares

de

la

dimensión

m,

 (2k)=22k-1 2k B2k/(2k)!, donde los B2k son los números de Bernoulli y k=1, 2, 3..; pero para los impares de m todavía no se conoce una fórmula general que genere todos los valores

 (2k-1),

 (2k-1)=1/[2(k-1)]!C 2k-1, 2k-1

sin embargo puede decirse que tienen la forma

donde la constante C2k-1 no se conoce todavía. Me he

atrevido a postular el término 2k-1 fundamentalmnte por dos razones: por un lado, por que ya fue probado después de 1982 por R. Apéry que

 (3)

es un número

irracional y por el otro por que aparece sugerido en la construcción del cubo de lado igual a , a partir del cuadrado de lado , en el recuadro 28.

285

Aquí cabe la pregunta ¿tiene sentido abrigar esperanzas de que este problema tenga solución analítica?. La posibilidad más prometedora parece ser la de calcular dichos límites por convergencia p-ádica. De tener éxito este cometido, mostraría para satisfacción de todos que la función ”Z” obra como una suerte de función de paso entre el espacio métrico y el p-ádico, compuesta por puntos-límite provenientes de estas dos clases de espacios, los pares del primero y los impares del segundo. Todo esto, gracias a su excepcional propiedad que expresa la existencia y unicidad de la descomposición en factores primos que permite ir del un espacio al otro en los dos sentidos, transformándose de suma en producto y viceversa. Es de particular importancia observar en el recuadro 28 que entre la dimensión 3 y 4 puede construirse un supervolumen fractal de dimensión 3,4. Finalmente, puedo decir que tenemos entre manos una Topología de Cuerdas o hilos que está por desarrollarse y que sería análoga a la Topología Diferencial. En la primera se deforman las cuerdas, en la segunda se deforma un compacto de puntos-límite. La de hilos es la ciencia del tejedor y la de puntos-límite es la ciencia del panadero.

3. 1 3

Las matemáticas p-ádicas y el kipu

En el año 1902 el matemático alemán Kurt Hensel ( 1861-1941) concibió los números p-ádicos al intentar representar los números algebraicos (los números algebraicos son las soluciones de las ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros )

por medio de series de

potencias de un número primo p, y dio así origen a lo que hoy día se denominan las matemáticas p-ádicas. El espacio en el que se dan estas matemáticas cualitativas está caracterizado por una estructura geométrica en forma de árbol y el conjunto de números asociado se denomina p-ádico, Qp (ver

recuadro 29).

Como

resulta evidente, éstas matemáticas se relacionan con las propiedades de los números primos y las de los árboles de descendencias y sirven para representar los aspectos cualitativos de los procesos: sus cambios de estado. Para que esto sea posible, en este espacio se han definido: la distancia cualitativa p-ádica (la

286

distancia genética del Kipu)

y otra clase de valor absoluto, muy distintos de los definidos

en el espacio métrico (ver recuadro 1) Antes de 1902 ya era sabido que el cuerpo de los números racionales Q era incompleto y que el modo de completarlo, basado en la noción de distancia métrica y en el uso de series infinitas de números fraccionarios ( como es el elocuente ejemplo de la función “Z” que genera de manera absolutamente continua todos los R >1)

para el cálculo

de los puntos-límite correspondientes, daba origen al cuerpo de los reales R. Aquí debemos entender “incompleto” en el sentido de que los números Q no bastan para cubrir totalmente el continuo de puntos del EMROcc con sólo los enteros y sus cocientes. Pero, fue K. Hensel quién descubrió que hay otro modo que permite completarlo, el cual da origen al cuerpo de los números p-ádicos Qp. Para lograr este objetivo él sustituyó tres de los componentes fundamentales que configuran un espacio de representación, a saber: la estructura geométrica, la distancia entre dos cualesquiera de sus elementos d(x,y) y su valor absoluto x . Ahora, a diferencia del EMROcc, los nuevos componentes son: una estructura arborescente, la distancia p-ádica o genética y el valor absoluto p-ádico  x p. Esta distancia es desconcertante si la comparamos con la métrica, ya que la propiedad que lo caracteriza nos dice que para los números racionales x, y, z la distancia d(x,z) entre x y z es inferior o a lo sumo igual a la mayor de las otras dos, la distancia x e y y la distancia entre y y z. Visualicemos lo dicho en el árbol genealógico de la siguiente figura: Antonio

Juan José

Alfonso Mercedes

Elvira

la distancia que separa a dos hermanos de la misma generación como José y Mercedes se obtiene contando el número de ramas que los separan de su progenitor (Juan), es decir vale 2 y la distancia entre Mercedes y Elvira será igual

287

a 4. Por tanto, la distancia entre José y Elvira (4) debe ser, según la propiedad mencionada, menor o igual que la mayor de las otras dos (4). Más tarde, en 1935, el matemático Alexander Ostrowski demostró que las únicas clases de distancias con real importancia matemática con las que se puede dotar al conjunto de los racionales Q son la métrica y la p-ádica. Las matemáticas p-ádicas surgieron, entonces, del cuerpo topológico constituido por un árbol y unas desconocidas relaciones con los enigmáticos números primos p. La clase de árboles involucrada en este nuevo espacio matemático de representación es aquella que sigue el orden de los números primos en su ramificación. Así se tendrá entonces, los árboles infinitos 2-ádicos, 3-ádicos, 5ádicos,..., p-ádicos, los cuales son regulares, simétricos, infinitos y tienen en lugar de punto-límite, “hoja-límite” ( ver recuadro 29) En el cuerpo de los reales R -generado en función de la distancia métrica - se ha definido el sistema de numeración decimal que permite expresar cualquier número real como: aq10q+...+ a3103+ a2102+ a1101+ ao10o+ a-110-1 + a-210-2 +... donde q es un entero positivo y los ai son enteros comprendidos entre 0 y 9. Usualmente, los coeficientes ao, a1, a2, etc. corresponden a las cifras que van antes de la coma y los coeficientes a-1,a-2, etc. a las que van después de la coma. Así, el 53,64 = 5  101 +3  10o + 6  10-1 + 4  10-2 . Hensel logró demostrar que hay un desarrollo análogo para los números p-ádicos: a-n p-n +...+ a-n+1 p -n+1 + ...+ ao po + a1 p1 + a2 p2 +..., donde n es entero positivo y cada coeficiente entero ai está comprendido entre 0 y p-1. El desarrollo de Hensel de un número p-ádico puede constar de infinitas potencias de p, o sea, los ramales de los ramales de los ramales... Esto no significa que los números sean infinitamente grandes, sino que los coeficientes a i se repiten a partir de cierto punto de igual forma a como sucede en el cuerpo de los R cuando los decimales de un número racional se repiten periódicamente infinitamente. Veamos un ejemplo: Suponiendo que p=7 busquemos el desarrollo de Hensel de -1/6. Para ello utilizo la identidad 1/(1-x) 1+x+x2+x3+..., válida siempre y cuando el valor absoluto de x sea menor que 1, o sea,  x <1. Como -1/6 1/(1-7) se tiene que x=7, por tanto el valor absoluto 7-ádico de siete es  n p= 7

7

=1/7 (ver 288

recuadro valor absolu.). Como 1/7 es menor que 1 es aplicable el desarrollo

1/

(1-7)  -1/6 1+71+73+73.., donde los coeficientes ai = 1. Hay dos maneras de emplear el espacio p-ádico, bien eligiendo una sola distancia, en cuyo caso el número primo p va a caracterizar a todo su cuerpo ramiforme, o bien poniendo en juego simultáneamente todas las distancias que es posible definir en el cuerpo de los racionales Q, incluida la métrica. El interés que despierta la segunda alternativa se debe a la extraordinaria propiedad que aparece, llamada “fórmula del producto”, la cual relaciona a todas estas distancias: el producto de todos los valores absolutos p-ádicos de un número racional m/n es igual al inverso del valor absoluto métrico de m/n, o sea,  m/np = n/mM. Este es el invariante que junto a la función “Z” permite realizar la traducción de una proposición enunciada en términos p-ádicos, a una en términos métricos y viceversa. Otra característica encontrada se relaciona con las ecuaciones diofánticas. Desde la secundaria sabemos que muchas de las ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros no tienen soluciones en números reales, como es el caso de x2+1=0, pero en cambio tiene en números complejos: 0  -1 0  i. Lo manifestado ya era conocido desde el siglo XVI, pero no sabíamos que también tiene una raíz en los p-ádicos. Se ha demostrado que si p es un primo de la forma 4n+1 existe un número x tal que x2 +1=0. Así es como, eligiendo p=5, los cálculos nos dicen que dicho número tiene un desarrollo de Hensel x=2+5+252 + 53 +3  54 + 4  55. El método usado para este cálculo forma parte de los llamados “lemas de Hensel”, he aquí uno: Dado el polinomio de coeficientes enteros P(X), suponemos que existe un número entero n tal que P(n) sea divisible por p, pero no por su derivada P’(n). Si es así, entonces existe un número p-ádico x tal que P(x)=0. En el caso anterior, P(x)=x2+1, tiene como derivada P’(x)=2x, entonces P(2)=5 y P’(2)=4. Debido a que el número 4 no es divisible por 5, se concluye que P(x) = x2 + 1 tiene una raíz en el cuerpo Q5 de los números 5-ádicos. De aquí se desprende que para que una ecuación diofántica admita una solución entera es necesario -pero no suficiente- que también admita una solución p-ádica.

289

Con técnicas parecidas eventualmente se puede encontrar un número primo p para el cual la ecuación carece de raíces en el cuerpo de los p-ádicos, que es lo mismo que decir que ésta no tiene soluciones enteras. Pero, la utilidad más asombrosa prestada por el cuerpo de los p-ádicos ha sido la entregada al matemático británico Andrew Wiles de la universidad de Princeton que le permitió culminar, en junio de 1995, de manera espectacular, la demostración de la famosa conjetura de Pierre de Fermat ( 1601-1655) formulada hace más de trescientos años ( ver recuadro 10) Es de hecho una certeza que el logro mas difundido de la matemática del siglo XX haya sido la demostración del “último teorema de Fermat”. Los matemáticos de hoy día estudian el cuerpo de los p-ádicos de manera análoga a como lo hicieron con el métrico; esto es, analizan objetos tales como sucesiones, series, funciones, ecuaciones diferenciales, etc, en el nuevo espacio, aprovechando las distintas nuevas propiedades que ofrece su estructura arbórea. Es desde 1960, gracias a los trabajos de B. Dwork sobre la función “Z” asociada a variedades algebraicas (conjunto de soluciones de una familia de polinomios de q variables), que el análisis p-ádico ha cobrado gran impulso y, merecidamente se ha hecho de un lugar importante en el cuerpo de las matemáticas. Como ya conocimos, la función “Z” se encuentra íntimamente ligada con el cuerpo de los p-ádicos. Así mismo hay un conjunto de funciones que están bajo la misma relación y se llaman funciones “L” de Dirichlet ( concebidas por el matemático Peter Dirichlet (1805-1859) en el siglo XIX cuando estudiaba los números primos contenidos en las progresiones aritméticas ),

las cuales

son muy útiles para los orfebres de la aritmética. Así fue como, en 1964 los matemáticos Tomio Kubota y Heinrich Leopold construyeron análogos p-ádicos de las funciones “Z” y “L”. Estos nuevos objetos que son funciones de variable p-ádica y que consiguientemente toman valores numéricos p-ádicos, han permitido obtener información nueva a cerca de éstas. Las aplicaciones prácticas no se han hecho esperar, principalmente en la física, debido a las bondades que brinda su estructura arborescente. Por ejemplo, en la modelación matemática de las propiedades termodinámicas de los vidrios de

290

espín cuya orientación debe ajustarse para minimizar las interacciones magnéticas, se aplica la llamada “técnica de las réplicas”, que consiste en considerar n muestras idénticas, calcular la energía de interacción magnética y hacer tender n a cero. Esto equivale a considerar una serie de enteros que tienda p-ádicamente a cero para todos los números primos p a la vez. Así, la sucesión Sn = {1  2  3  4 .. (n –1)  n } = n posee esa propiedad ya que para todo primo p , n es divisible por potencias de p cada vez mayores al tender n a infinito. Obviamente el nuevo espacio de representación resulta muy prometedor, han dicho los científicos occidentales pensando en las aplicaciones del análisis p–ádico a la física teórica en lo relacionado con el sistema de coordenadas espacio-tiempo que en éste se puede definir a muy pequeñas escalas y, abrigan la esperanza que a escalas cúanticas su estructura última pueda describirse con ayuda del cuerpo de los p-ádicos, ya que no ha sido posible hacerlo mediante el cuerpo métrico. Como era de esperarse, en el mundo occidental de hoy día estas nuevas matemáticas han sido recibidas por parte de los científicos, de manera análoga a como lo hicieron sus colegas del siglo XIX con las geometrías no euclideanas; esto es, con gran extrañeza y anhelando que éstas tengan la misma suerte que aquellas. O sea, llegar ha describir la realidad concreta de manera más satisfactoria a como lo ha hecho el modelo anterior, tal como reza el ideal einsteniano.

3. 2

IMPLICACIONES CIENTÍFICAS Y FILOSOFICAS

Una vez que hemos presentado a los dos máximos sistemas matemáticos del mundo, que la especie humana ha desarrollado a lo largo de su historia, nos

291

queda por último expresar las implicaciones de mayor importancia que se desprenden de éstos cuando se los compara. Primero digamos que el contenido de la presentación nos ha permitido establecer, con suficiencia de causa y prolija evidencia, cómo es verdad que en función de distintas condiciones de clima y agricultura han podido surgir y desarrollarse, de manera espontánea y con independencia de la decisión de los protagonistas del pensamiento, dos espacios matemáticos de representación diferentes; pero no inconexos sino complementarrios.

3. 2 1

Implicaciones lógico-matemáticas

Al tener proyectadas en la mente las historias respectivas de los dos máximos sistemas matemáticos del mundo, lo primero que se observa, por la enorme implicación que conlleva, es que la lógica deviene históricamente de las matemáticas y no al revés como se había supuesto en el Viejo Mundo, cuyos habitantes edificaron su fe asentándola en la suposición de que el Mundo fue creado por el Verbo Divino, por el Lógos. Dejando con ello establecido que primero estuvo la Lógica, la Razón y después la manifestación concreta de ésta en lenguaje matemático. Por esto, tanto sus científicos como sus sacerdotes monoteístas, han elaborado su discurso teológico-científico, mantenido a lo largo de toda su historia, con base a la creencia de que el Universo está regido por una racionalidad implícita, por leyes inmutables que le subyacen y han tratado de leer el texto en el que está escrito éste, los primeros mediante las ecuaciones diferenciales y los otros por medio de las oraciones. Esta gran convicción está en el fondo mismo de su cultura, constituye su “esencia” misma, su modus procedente, como lo diría cualquier filósofo occidental, pues, el suponer de base que el universo se rige por leyes inmutables se convirtieron en pensadores que buscan la “esencia” de las cosas, aquello que está detrás de lo aparente, aquello que es eterno e inmutable. La lógica mediante la cual elaboraron su discurso científico los hombres del Viejo Mundo es de carácter bivalente, es deductiva y permite enunciar proposiciones acertóricas, o sea, oraciones gramaticales del tipo sujeto-predicado; las cuales

292

sólo pueden ser verdaderas o falsas. Para que esto suceda, en esta lógica se ha excluido al sujeto y se ha dado lugar a que sea la “palabra de su dios” la que se exprese. Es pues una lógica trascendente que entra en acción cada vez que realizamos la operación de punto-límite. Así por ejemplo, el enunciado de un teorema cualquiera expresa una verdad acerca de la cual el sujeto sólo ha podido conjeturar en cuanto a su verdad o falsedad. Al demostrarlo lo único que él hace es descubrir esa verdad que está infinitamente más allá de su capacidad de crearla. Sólo Dios ha creado estas verdades y con ellas al Mundo, el hombre apenas puede hipotetizar su veracidad o falsedad y al hacerlo queda atrapado en la incómoda situación de no saber si es verdadera o falsa, lo cual le obliga a buscar la salida que finalmente lo liberará del martirio tantálico, en caso de encontrar la ansiada demostración. Queda claro, pues, que este modo de reflexión por su carácter trascendente, convergente, corresponde a lo que Aristóteles denominó infinito actual. A diferencia, aquí en las Américas precolombinas la lógica que se desarrolló fue trivalente, inductiva, de caráter divergente y no trascendente, donde el sujeto siempre estuvo incluido en la proposición que enunciaba el aserto científico. Por tal causa ésta correspondería al infinito potencial. Observemos estimado lector cómo cada matemática determinó la dirección de la actitud del hombre frente a la naturaleza. Así, mientras el Viejo Mundo se vio obligado a desarrollar una matemática del infinito, cuantitativa y axiomáticodeductiva, en cambio, el hombre andino se vio forzado a construir una matemática de lo finito, lógico-inductiva La primera condujo al hombre occidental por el camino de la celestial abstracción, la segunda guió al hombre americano por el sendero de la abrupta concreción. Esto hizo que el uno vaya adquiriendo una lógica deductiva de carácter absoluto y una lógica inductiva probabilitaria, subordinada. Mientras el otro desarrolló una lógica deductiva relativa subordinada a una lógica inductiva determinista. La una exigía hacer a un lado a la naturaleza, a despreciarla, para a cambio, degustar del infinito placer intelectual que brinda cuando uno se libera de las ataduras sensoriales y al fin puede sentir la “verdadera libertad”. En cambio la otra

293

matemática obligaba a percibir ver cada vez con mayor intensidad las complejidades de la naturaleza, para ser finalmente seducido por ella y condenado a amarla cada vez más profundamente, con mayor entrega, a cambio de sentir su pulso y saber que será de ella en el futuro. El hombre occidental, prevalido de su supuesta condición de ser hijo elegido de su dios, cree que la naturaleza es infinita, inagotable, pues Él la regaló para su inacabable e indiscriminado gozo. Este accionar ha llevado a transformarla en una cantera de donde se obtienen los recursos materiales y energéticos que consume el sistema. Por el contrario el amerindio cree que Ella es finita y agotable y que dios les entregó para que la cuidaran del mismo modo como se cuida el propio hombre. La una encaminó a occidente a crear la ciencia de la Mecánica, para con ella construir la sociedad mecanística, complejo social-industrial que funciona sobre la naturaleza de modo artificial y en desmedro de ella. En cambio las otras matemáticas impulsaron el desarrollo de una sociedad organísmica, ecológica, construida en función de la naturaleza de forma tal que trabaje en su propio beneficio. Consecuentemente la primera dio origen a un ser humano arrogante, que presume controlar a la naturaleza como si fuese uno de sus juguetes, pues está imitando a su dios que a la vez es su padre. En contraste el otro hizo que brotara un hombre sumiso y cándido, pero afable y con una sensibilidad enormemente organizada según un orden matemático que le permitía sentir el acontecer del mundo, enteramente. Luego hemos puesto en evidencia cómo estas dos matemáticas fueron vertebrando el cuerpo social de sus respectivas civilizaciones, dotándoles de estabilidad estructural y permitiéndoles una evolución progresiva, a medida que se desarrollaban. Pudiendo decirse entonces que la matemática y la lógica han forjado el orden de las relaciones sociales que nos ha traído hasta donde estamos hoy día. La principal diferencia entre ambos sistemas ha sido el carácter abstracto del uno y concreto del otro. Como ya lo indicamos, el OMROcc es un espacio

294

trascendente, por estar constituido estructuralmente por puntos-límite, al igual que la lógica que se desprende de él y que permiten ver el mundo desde su “exterior”, sin perturbarlo. Pero esta aparente ventaja tuvo un alto precio: perder por completo la posibilidad de utilizar la matemática inductiva, dejándola reducida a la teoría de probabilidades y produciendo con ello un flujo errático de imágenes a la mente. Lo que nos lleva a afirmar que han existido dos grandes vías, de utilidad equivalente, para el conocimiento de las cosas: el diáfano camino de la abstracción y la escabrosa ruta de la concreción. Y, si el primero ha pasado por el único

verdadero, hoy es visible, a su lado, otro de no menos ingenio y

perspectiva. Indiscutiblemente el kipu es prueba de que no tiene carácter necesario esa manera de dar cuenta de la realidad concreta a partir de esquemas matemáticos preexistentes, tal cual ha ocurrido con cada gran avance de la modelística matemática Occidental. Como han sido los casos relevantes de la cosmología de Kepler, que fue una aplicación de las secciones cónicas descubiertas por Apolonio de Pérga en el siglo III a. C., de la relatividad general que se sirvió del cálculo tensorial y, de la mecánica cuántica que empleó el álgebra de matrices y los espacios de Hilbert; pero, es preciso destacar algunas excepciones notables, como la teoría de las series de Fourier, inspirada en el estudio de las cuerdas vibrantes o la función de Dirac surgida directamente de la mecánica. En lo que se refiere al papel del observador o sujeto, en el caso del kipu, hablando con todo rigor, allí no hubo un observador en el sentido occidental. No lo podía haber, pues los kipucamayoc participaban de “cuerpo entero” en la preparación de las cuerdas, su trenzamiento y tinción; el álgebra de los nudos, con no ser explícita, yacía en la mente del operador del kipu, después de haber sido forjada religiosamente a través de los siglos. Hubo en esta unión sujeto-objeto, una incidencia de la característica integrativa que proviene y es muy propia del arado andino o chaquitaclla. Arado muy diferente al del Viejo Mundo pues es accionado por el hombre, no hay animal de tiro y por tanto el vínculo entre el agricultor y la tierra se hace cada vez más intenso, más profundo, más revelador.

295

En consecuencia, el rol del observador en el sistema del mundo Americano se tradujo en un esfuerzo por reducir la incertidumbre sobre el futuro, disfundiéndose cada vez más en la realidad concreta, a costa de organizar su percepción sensible en consonancia con las regularidades de la naturaleza. En contraste, la participación del observador o sujeto en el sistema del mundo occidental se tradujo inevitablemente en un esfuerzo para aumentar la incertidumbre sobre el futuro. Aquí podemos apercibirnos que ambos sistemas se concibieron y aplicaron con idéntico

propósito:

establecer

regularidades,

hacer

predecibles

los

acontecimientos, aunque ello hubiera sido, en el caso de la mecánica cuántica, a costa de advertir que hay un margen de tolerancia para la pretensión determinista de la ciencia clásica. Sin embargo, en este común aspecto de los dos espacios yace su mayor diferencia: el hecho de que el espacio métrico diferencial se destinase a la simulación de los cambios de posición de los objetos y, el núdico-arbóreo, a la de sus cambios de estado. Todo gracias a la turbulencia y al kipu que nos han permitido reconocer que el tiempo cualitativo tiene el mismo derecho a la representación geométrica que el cuantitativo. Pero el logro más extraordinario que nos ha brindado el EMRAn o kipu ha sido alcanzar una alta congruencia al poner en correlación al espacio métrico fractálico y al espacio arborescente o p-ádico a través de la función “Z”. Esto nos ha permitido unificar los espacios métrico, tanto el trascendente o de puntos, como el fractálico o de cuerdas con el de árbol o p-ádico, para obtener uno nuevo que lo llamaremos Espacio Matemático de Representación Universal o EMRU. Él es un cuerpo topológico, resultado del producto topológico entre el espacio fractálico y el p-ádico, el cual tiene una estructura geométrica en forma de “nervadura de hoja” (ver recuadro 2) Otra principalísima conclusión del examen realizado es una ampliación de las consecuencias

del

principio

de

relatividad

restringida

en

cuanto

a

la

caracterización de espacio y tiempo. Pues así como, de acuerdo con la relatividad restringida, los observadores que se mueven con distinta velocidad inercial unos

296

respecto de otros, consiguen diferentes indicaciones de espacio y tiempo, estamos naturalmente llevados a admitir, de acuerdo con la relatividad cultural, que estas indicaciones tienen en común, más allá de sus diferencias cuantitativas, la misma calidad métrica y reversible, que dejará de ser tal tan pronto esos observadores se sitúen en una distinta clase de movimiento y puedan obtener, por lo mismo, una imagen no métrica e irreversible. En otras palabras, no hay un espacio métrico y un tiempo reversible de caracteres universales y absolutos, como factores inherentes a la total realidad del mundo físico. En su lugar debemos hablar de impresiones y conceptos útiles según el tipo de movimiento que se quiera describir, bien de cambios de posición, bien de cambios de estado o la combinación de los dos, que es lo que más abunda en la naturaleza. De esta manera queda plenamente restituido el papel del observador en la generación de las categorías de espacio y tiempo, el inevitable aspecto gnoseológico que fuera enajenado en aras de una objetividad absoluta, descarnada y, a la postre, metafísica. Vale decir entonces que la objetividad pura, absoluta, es alcanzada por el sujeto cuando lo que observa no se ve perturbado por su presencia escrutadora, cuando se encuentra fuera del mundo como el dios del génesis, por ejemplo cuando alguien mira la Luna o cualquier otro astro, es un hecho que ésta no cambia su órbita. Pero, cuando observo un electrón es inevitable que mi presencia perturbe su trayectoria espacio-tiempo. Así entonces, la objetividad relativa es alcanzada cuando el sujeto perturba lo mínimo posible el objeto observado (principio

de incertidumbre)

En la misma situación se encontrará un

psicólogo cuando dialoga con su paciente, él va a tratar de no influenciar con su subjetividad en los resultados del diagnóstico. Lo propio le pasará al sociólogo, al antropólogo, etc. Estas conclusiones nos llevan directamente a la necesidad de relativizar la teoría general de la relatividad en cuanto ésta ha atribuido como propio de la naturaleza, de la materia, un concepto de espacio y tiempo que hoy se nos muestra como afincado en el observador Occidental, como culturalmente relativo. Con el permiso de Einstein esto es algo que tarde o temprano tenía que hacerse; pues según su propia visión anunciadora, «el destino más hermoso que puede

297

tener una teoría física es el de allanar el camino para el establecimiento de una teoría más amplia, en la cual la primera sigue siendo válida como un caso particular de la segunda».

3. 2 2

Implicaciones neurológicas y sicopedagógicas

La problemática intelectiva que han suscitado los conceptos de cerebro y mente es de vieja data. Unos han supuesto que son entes separables, independientes y han apostado por ello; mientras otros han constatado que son entes covariantes, codependientes y que en última instancia el cerebro es el que crea la mente. Vamos a entender “mente” como el término que alude al complejísimo sistema neuronal situado en el cuerpo calloso, lugar en el que aparecen las conocidas imágenes mentales. Ahora bien, éstas se producen por acción independiente de cada uno de los hemisferios cerebrales. Así, por acción del derecho se proyectan imágenes emotivas, emotivo-sensitivas y sensitivas y por la del izquierdo se tienen imágenes intelectivas. La combinación coordinada de los dos proyecta la imagen real. A la luz del descubrimiento de la que debió ser la Matemática Andina Precolombina (EMRAn) he podido realizar una ampliación del concepto de mente matemática tenido hasta hoy. Al momento el gran público cree que la mente matemática es la mente abstracta por excelencia, la idea pura. Así lo ha tenido el pensamiento occidental desde su nacimiento y lo ha impuesto al resto del mundo. Con esto, dicho pensamiento ha dejado establecido que la matemática experimental o inductiva es verdaderamente una seudo-matemática, ya que el producto en bruto que ésta entrega, primero tiene que someterse a un proceso de abstracción ascendente, para luego de este refinamiento conseguir el objeto matemático propiamente dicho. Pero, al tener que realizar la operación de punto-límite, para poder obtener su imagen en el EMROcc., inevitablemente se extirpa la dimensión cualitativa del objeto geométrico inicial, el producto final es sólo la estructura algebraica, no del objeto en mención, sino la de todos los miembros de su familia. En la mente sólo se proyecta la imagen cuantitativa, espectral-holográfica, de él. Evidentemente el

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lector se percatará de que tenemos ante nuestros ojos un modo incompleto de representarse el mundo. La causa de que la mayoría de matemáticos occidentales hayan aceptado esta creencia pitagórico-platónica radica en que por principio decidieron desconfiar de las imágenes provenientes de los sentidos e hicieron un llamado universal a los hombres para condenarlas a vivir en el mundo de las apariencias, evitando de esta manera el desarrollo de las matemáticas inductivocualitativas. Con el descubrimiento de la matemática andina precolombina o EMRAn constaté que el antiguo hombre americano había desarrollado una geometría-matemática de carácter fractal, inductivo-cualitativa. Como ya mencionamos ella resultó ser una genuina geometría analítica fractal. Esta vez, las imágenes que se proyectan en la mente provienen de la percepción sensorial organizada matemáticamente gracias al EMRAn. que hace el trabajo. Como ya fue puesto a consideración del lector he logrado probar que es posible realizar la combinación de las dos clases de imágenes por medio de la función “Z”, para obtener una imagen no sólo espectral-holográfica sino vívida del objeto. En esto consistiría la ampliación del concepto de mente que mencioné. Para bien comprender lo dicho esquemáticamente, primero ubiquemos en el escenario del devenir histórico al concepto de cerebro y conciencia mental. Como todos nuestros órganos el cerebro ha evolucionado aumentando su complejidad y su contenido informativo a lo largo de millones de años. Su estructura nos revela todas las fases por las que ha atravesado. El cerebro evolucionó de dentro a fuera, de modo tal que en lo más profundo de él yace la parte más antigua, más primitiva, el tallo encefálico, que dirige las funciones básicas del cuerpo (instintos), incluyendo los bio-ritmos, los latidos del corazón y la respiración. Según el modelo de cerebro presentado por el neurofisiólogo Paul MacLean, las funciones superiores del cerebro evolucionaron en tres grandes fases sucesivas. Copando el tallo encefálico encontramos al cerebro R, morada de la territorialidad, de la agresión, del ritual y de la jerarquía social, que evolucionó hace centenares de millones de años en nuestros antepasados “reptilianos”, seres parecidos a los cocodrilos. Recubriendo el Complejo R está el sistema límbico o

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cerebro mamífero que evolucionó hace decenas de millones de años, es la sede de las emociones y los sentimientos, lugar donde se procesa toda actividad orientada al cuidado y amor por las crías. Y, finalmente, abrazando a los dos anteriores y viviendo en incómoda tregua con ellos, se encuentra la corteza cerebral, que evolucionó hace millones de años en nuestros antepasados primates. La corteza, morada de la conciencia, comprende más de las dos terceras partes de la totalidad del cerebro. Este es lugar donde experimentamos las ideas e inspiraciones, donde leemos y escribimos, donde hacemos matemáticas y componemos música. La corteza regula nuestra vida conciente, es lo que distingue a nuestra especie, es la sede misma de nuestra humanidad, la civilización es el fruto de su trabajo. La corteza se encuentra altamente especializada en sus dos grandes hemisferios en que se halla dividida. El hemisferio derecho es el sensitivo, es el que nos conecta al mundo a través del “campo unificado de acción”, se ocupa principalmente del reconocimiento de las formas, es decir de la geometría del entorno. Por ello se encarga de las operaciones intuitivas e inductivas. En cambio, el hemisferio izquierdo es el intelectivo y preside el pensamiento racional trascendente, abstracto, analítico diferencial y crítico. El izquierdo proyecta imágenes virtuales conseguidas por medio de códigos escritos con palabras ( por ejemplo cuando escribimos o leemos),

por el contrario el derecho lo hace con imágenes que

provienen de la percepción sensible del mundo concreto, logradas por medio de los códigos geométrico-naturales o escritos geométricos; el uno hace aritmética abstracta el otro practica una geometría-aritmética; son el lenguaje del hombre y el de la naturaleza. Cuando las dos clases de imágenes se vuelven congruentes se conforma una sola, gracias a que se ha ejecutado el producto topológico entre el espacio métrico fractal y el espacio p-ádico. El izquierdo activa el trabajo de las categorías cuantitativas del pensamiento, el derecho lo hace con las las cualitativas y el cuerpo calloso combinan las dos. Las culturas del Viejo Mundo han utilizado predominantemente el hemisferio izquierdo para la visualización mental, al menos en lo que se refiere al pensamiento científico-filosófico y jurídico-teológico, a costa de relegarle al

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hemisferio derecho al manejo exclusivo de una matemática probabilística. Dicho de otro modo, la función matemática del hemisferio derecho fue reducida a la Estadística Matemática y la predicción quedó atrapada en la tela araña de la incertidumbre. Su concepción del Universo devino en una cosmología. Cosmos en el izquierdo y Caos en el derecho. En contraste, en las culturas del Nuevo Mundo es el hemisferio derecho el que tenía la preferencia de uso, exigido por las condiciones ecológicas del escenario concreto de su acción histórica. A diferencia, su concepción del mundo devino en una cosmovisión, que fue configurándose, mediante el perfeccionamiento de la visión que proporcionan de los sentidos, en el AMRAn. Así entonces, por parte de occidente, amor y veneración por lo que hace el izquierdo y descuido y desprecio por lo que ejecuta el derecho. Lo que llevó a que éste desarrollara un porte arrogante y prevalido. Mientras que el amerindio dio origen a un hombre sumiso e ingenuo con un hemisferio derecho ultrasensitivo, difundido en la realidad concreta. Cuando por medio de distintas técnicas, que varían según la cultura, el izquierdo interrumpe el diálogo con el derecho, éste empieza a proyectar su propias imágenes en el EMROcc. y hace que el sujeto tenga la sensación de estar fuera del mundo, de haberlo trascendido. Para restablecer la comunicación con el derecho es preciso traducir la información escrita en leguaje simbólico a un leguaje geométrico fractal, para finalmente expresarlo en el EMRAn. Por lo visto ambos proporcionan coordinadamente los medios tanto para generar ideas como para comprobar su validez. Hay que procurar que exista un diálogo permanente entre los dos componentes indispensables para comprender lo que nos rodea y a nosotros mismos. En lo relacionado a la conciencia humana, según el modelo de Jean Gebser, su evolución comprende cinco grandes fases sucesivas claramente diferenciadas que se subordinan y se contienen unas a otras, a saber: la protoconciencia arcaica, la conciencia mágica, la mítica, la mental y la integral. Describamos en forma breve a cada una de ellas. La Protoconciencia Arcaica

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El nacimiento de esta fase se remonta a los comienzos mismos de la vida. Fue una fase en la que todos nuestros antepasados prehumanos y el Cosmos formaban una totalidad indivisa. No tuvieron ninguna noción del espacio y el tiempo. La experiencia que tenían dentro de la totalidad debió ser una suerte de iluminación que puede considerarse como la sabiduría arcaica del hombre. La Conciencia Mágica Es la época en la que en el hombre aparece el primer elemento diferencial de todo aquello que le identificaba con el todo, despertando en él una conciencia primaria de sí mismo, sin llegar todavía a configurar un “yo”, un sujeto. Las imágenes en el cerebro aparecen como entes extraños, como algo de lo que hay que cuidarse y controlar por medio del conjuro y el encantamiento. Frente a la naturaleza el hombre aparece como instinto, emoción y sentimiento; no dice nada, sólo puede escuchar y sentir la totalidad en la que está difundido. Ésta forma elemental de conciencia se expresa por medio de los ídolos y los rituales y se encuentra arraigada en el clan como un saber colectivo intuitivo, analógico, asociativo y destinado a conjurar las amenazas que provienen de su paulatina separación de la totalidad. La Conciencia Mítica Si la conciencia mágica fue la toma de conciencia del entorno natural, la conciencia mítica en cambio fue la toma de conciencia del alma; o sea, de aquello que parece contener a todo lo que existe, de aquello que no se percibe con los sentidos. La conciencia de ella suscita la noción de tiempo cíclico, el cual es sugerido por los cambios alternantes que acontecen durante la vida diaria y concreta: al Sol le sigue la Luna, al día la noche, al nacimiento la muerte, etc. No obstante, el hombre mítico todavía no se ha separado de la totalidad, aún se encuentra integrado a él por medio de relaciones bipolares, dicotómicas. El símbolo correspondiente sería el círculo. Las imágenes que se producen en su cerebro aparecen como una totalidad de contrarios que se complementan, como seres sin perspectiva. La función de esta conciencia consistió en la elaboración de símbolos con los que representaban los misterios intuidos y los dioses que gobernaban el entorno.

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Durante este tramo evolutivo se acumuló un conjunto de sabiduría original que permanece en las profundidades de las conciencias de los individuos y los pueblos, emergiendo cada vez en ciertas condiciones para influir en el curso de su historia social. La Conciencia Mental Ésta tuvo su origen con el nacimiento de la geometría en el antiguo Egipto, luego continuó su crecimiento en la Grecia Clásica, donde logró liberarse del dominio del Estado y, finalmente, alcanzó la plenitud de su desarrollo en el Renacimiento con el descubrimiento de la perspectiva por Durero y la invención del Sistema Coordenado de Referencia por Descartes. La perspectiva posibilitó la aparición del espacio y tiempo métricos (operatorios) y la supresión del monótono ciclismo anterior. La forma tridimensional que toma representa al “yo”, al “otro” y a la síntesis de los contrarios o a la santa trinidad de la fe cristiana o a los tres planos del Sistema Coordenado de Referencia cartesiano. La síntesis es una operación totalmente abstracta, que exige un esfuerzo racional analítico de la estructura de las causas de los fenómenos, ahora representados, más allá de su laxa presencia. Se tiene, así, una proyección que antes no fue posible ya que se hallaba difundida en la identidad de la totalidad. Dicho sumariamente, la conciencia mental es la conciencia científica o conciencia espacio-tiempo o conciencia histórica. La toma de conciencia tiene lugar gracias a la aparición del Espacio Matemático de Representación (E.M.R) La Conciencia Integral La conciencia integral es el resultado de la unificación de todas las anteriores. Es historia cierta y reconocida que el dominio de una sola de ellas ha provocado la paulatina atrofia de las restantes y el consiguiente desorden mental. Sólo con la convivencia armónica entre ellas es posible la unidad del Ser y la conciencia. Expresa en sí misma la superación de toda clase de dualismos excluyentes y toda suerte de antagonismos, y busca la congruencia homomórfica de las imágenes. El sujeto experimentará la sensación de estar fuera y difundido en el mundo al mismo tiempo. Esto significa que los hemisferios cerebrales estarán funcionando como un auténtico “oscilador armónico”, cuyo efecto sistémico consistirá en una

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visualización vívida de la más alta resolución, en el complejo interior neuronal del cuerpo calloso. Ahí tendrá lugar entonces, la verdadera trascendencia del espaciotiempo y como resultado de esto el hombre será un ser auténtico y completamente libre.

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