Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´ aticas aticas
Algun Algunos os Momento Momentoss . . . Los Prob Problem lemas as de. . . Los Probl Problema emass del. . . Conclusiones
P´ agina ag ina Web
Los Siete Problemas del Milenio
P´ agina de Abertura
P´ agina 1 agina 1 de 17 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Luis Fernando Echeverri. Echeverri. Cerrar
Abandonar
Resumen
A lo largo de la historia de las matem´aticas los problemas abiertos han sido considerados como la vida de esta disciplina del saber. Desde la antiguedad cl´asica griega, pasando por el renacimiento y llegando a la edad moderna, han salido a la luz p´ublica problemas matem´aticos que desaf´ıan los m´etodos existentes y cuya soluci´on promete un verdadero avance en nuestro conocimiento. Siguiendo esta tradici´ on, en mayo de 2000, un corporaci´ on de matem´aticas creada con fondos privados (Clay Mathematics Institute), no solo saca a la luz, sino que ofrece un pozo de siete millones de dolares para quien, ´o quienes, resuelvan correctamente uno de siete problemas matem´aticos abiertos, algunos de los cuales tienen mas de cien a˜nos de haber sido planteados.
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´ agina 2 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
1.
Algunos Momentos Hist´ oricos en la Resoluci´ on de Problemas Matem´ aticos. Algunos Momentos . . .
1.1.
La Antigua Grecia
En la antiguedad cl´asica griega, a instancias del fil´osofo Plat´on, quien propuso a la regla (sin marcas) y al comp´as (sin graduaciones) como u ´ nicos instrumentos leg´ıtimos para realizar construcciones geom´etricas , surgieron tres grandes problemas que que solo fueron resueltos 24 siglos mas tarde: en 1837 por Pierre Wantzel (los dos primeros) y 1882 por Lindemann (el u ´ ltimo). En los tres casos la respuesta fue la misma: IMPOSIBLE resolverlos con regla y comp´as. A este tipo de resultados se los conoce como pruebas de imposibilidad y se han hecho cada vez mas frecuentes en matem´aticas. ´ La Trisecci´ on del Angulo
Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´ agina 3 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
La Duplicaci´ on del Cubo Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
La Cuadratura del C´ırculo
P´ agina 4 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
1.2.
La Soluci´ on de las Ecuaciones Algebr´ aicas
Seg´ un los historiadores de la ciencia, la ecuaci´on de segundo grado Algunos Momentos . . .
Ax2 + Bx + C = 0 con A, B,C enteros positivos
fue conocida y estudiada desde la antiguedad babil´onica, de tal modo que la famosa soluci´on
√ B ± B − 4AC − X = 2
2
2A no puede atribuirse a nadie en particular.
Soluciones para Grados Tres y Cuatro Despues de conocida esta soluci´on los matem´aticos pasaron a estudiar las soluciones de ecuaciones de mayor grado. Los matem´atico a´rabes Omar Khayam y Al-Khuarismi estudiaron muchos casos particulares de las mismas. En 1535 el matem´atico Nicol´ o Tartaglia fue desafiado por el, tambi´en matem´ atico, Antonio Fior a resolver 30 problemas que involucraban ecuaciones cubicas
Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´ agina 5 de 17
Regresar
Pantalla Completa
X 3 + AX 2 + BX + C = 0 con A,B, C enteros positivos o cero Cerrar
Abandonar
El premio consist´ıa de 30 almuerzos para el ganador y sus amigos, pagados por el perdedor. Tartaglia fue el vencedor, pero no public´o el metodo sino tan solo las soluciones. Trataglia divulg´o en secreto su metodo a Gerolamo Cardano, quien lo public´o como suyo en una obra titulada Ars Magna en 1545.Un alumno de Cardano, Ferrari, solucion´o la ecuacion de cuarto grado.
Algunos Momentos . . .
X 4 + AX 3 + BX 2 + CX + D = 0 con A, B,C,D enteros positivos o cero
P´ agina Web
La Irresolubiidad de la Ecuaci´ on de Quinto Grado Durante casi 300 a˜nos los matem´aticos trataron de encontrar soluciones por radicales para la ecuacion de quinto grado X 5 +AX 4 +BX 3 +CX 2 +DX +E = 0 con A, B,C, D, E enteros positivos o cero
pero solo hasta 1831, un matematico de 21 a˜nos de edad, Evariste Galois, prob´ o que una tal soluci´on es, en general, IMPOSIBLE. Para llegar a este imponente resultado Galois creo una teoria que hoy es estudiada con el nombre de teor´ıa de Galois.
Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina de Abertura
P´ agina 6 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
2.
Los Problemas de Hilbert
En el congreso mundial de matem´aticas de 1900, el matem´atico aleman, David Hilbert, propuso 23 problemas para ser resueltos a lo largo del siglo. Aunque algunos de los problemas de Hilbert parec´ıan mas bien programas de investigaci´o n (6 : axiomatizaci´ on de la f´ısica) y otros muy vagos para ser resueltos adecuadamente (4 : m´etricas y geod´esicas), en general los problemas fueron muy bien seleccionados. Hoy, despues de mas de 100 a˜ nos de propuestos, algunos continuan sin resolverse (8 : La hipotesis de Riemann y la conjetura de Goldbach; 12 : Terema de Kronecker sobre extensiones abelianas; 16 : Topolog´ıa de curvas algebr´ aicas y superficies) Veamos r´apidamente tres de estos problemas, uno de los cuales continua sin resolverse o
o
o
Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
o
o
2.1.
Algunos Momentos . . .
P´ agina de Abertura
Hip´ otesis del Continuo (1 ) o
Hilbert pensaba que entre dos conjuntos infinitos como el conjunto de los numeros racionales y el de los n´umeros reales, no pod´ıa existir un conjunto de tama˜ no estrictamante intermedio No existe A tal que: Q < A < R
| | | | | |
Este problema fue resuelto a mediados de siglo por los matem´aticos Godel (1938) y Cohen (1963), quienes debieros crear nuevos m´ etodos matem´ aticos
P´ agina 7 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
para pensar en el problema y llegar a la conclusi´on de que es IMPOSIBLE demostrar que EXISTE y tambien que es IMPOSIBLE demostrar que NO EXISTE un tal conjunto.
2.2.
La Conjetura de Goldbach (8 )
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . .
o
En 1742 el matem´atico considerado como el mas brillante y fecundo de todos los tiempos, Leonard Euler, recibi´o una carta del matem´atico alem´an Christian Goldbach en la cual este ped´ıa a Euler que le diera, ´o bien una prueba, ´o bien, un contra-ejemplo para un problema de aritm´ etica que el no habia podido solucionar, el problema es el siguiente: Todo n´ umero par, mayor o igual que 4, se puede escribir como la suma de dos numeros primos
4= 2+2 6= 3+3
Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
8= 3+5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 16 = 3 + 13 = 5 + 11 18 = 7 + 11 = 5 + 13 .. .
P´ agina 8 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
Este problema, con mas de 250 a˜nos de haber sido planteado y a pesar del ( o´, mas bien, gracias al) poder de las modernas computadoras, sigue aun sin resolverse.
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . .
2.3.
Las Ecuaciones Polin´ omicas Diofantinas (10 ) o
Hallar un algoritmo (programa) para determinar si, dada una ecuaci´on polin´omica diofantina con coeficientes en los enteros, por ejemplo:
Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
5x
− 3y + 2z − 7w + t + 11r + 4s − 1 = 0
tiene soluci´on en los enteros o no la tiene. Este problema fue resuelto en 1970 por un joven matem´atico ruso que en aquel entonces contaba con 23 a˜nos de edad, Yuri Matiyasevic. Su respuesta, de nuevo, tan impresionante como la de Galois, fue que NO EXISTE UN TAL ALGORITMO. Como el mismo Matiyaseviic prob´o, muchos problemas matem´aticos pueden ser traducidos en t´erminos de polinomios diofantinos, de manera que si la ecuaci´ on diofantina a que da lugar el problema tiene soluci´on, entonces el problema tambi´en la tiene. Concluimos entonces que en matem´aticas hay muchos problemas de los cuales no podemos saber de antemano si tienen o no tienen soluci´on.
P´ agina de Abertura
P´ agina 9 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
3.
Los Problemas del Milenio
En mayo de 2000, en Paris, el Instituto Clay de Matem´aticas propuso, a la manera de Hilbert en 1900, siete problemas matem´aticos respaldados por un premio de un mill´on de dolares por problema para quien los resuelva correctamente. La lista esta conformada por los siguientes problemas: 1. La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer 2. La Conjetura de Hodge 3. La Existencia y Suavidad de la Ecuaci´on de Navier-Stokes 4. La Hip´ otesis de Riemann 5. La Conjetura de Poincar´ e 6. El Problema P vs NP 7. La Teor´ıa Cuantica de Yang-Mills Las condiciones de la soluci´on y del premio pueden consultarse en la p´ agina www.claymath.org/millennium Por permitir una aproximaci´on intuitiva a sus enunciados, he elegido presentar tres de los siete problemas, a saber, 4, 5 y 6.
3.1.
La Hip´ otesis de Riemann (1859)
Este problema ocupa el octavo lugar de la lista de los 23 problemas de Hilbert (lugar compartido con la conjetura de Goldbach) y es el u ´ nico de dicha lista que figura entre los siete problemas del milenio. Afirma que los ceros no triviales de la funci´on zeta
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 10 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
1 1 1 + + + + 2 3 n tienen todos una componente sobre una cierta recta. La funci´on ζ admite infinitos ceros complejos no reales, es decir, numeros de la forma z = x + iy y ζ (z ) = 0. Riemann conjetur´o que todos estos numeros se deben encontar sobre la recta x = 21 y asi se ha comprobado para los primeros ceros de la funci´on, hasta varios miles de millones de ellos Esta funci´on fue propuesta por Riemann en su intento de probar el Teorema de los Numeros Primos: La cantidad de primos hasta n se acerca ζ (z ) = 1 +
cada vez as a la relaci´ on
z
z
···
z
···
n
log n
Este u ´ltimo teorema fue probado por Hadamard y La Vall´ ee Poison en 1886, pero la demostraci´on solo requiri´o probar que la funci´on ζ de Riemann no tenia ceros en la recta definida por x = 1 Por lo tanto la conjetura qued´o abierta y form´o parte de los problemas de Hilbert.
3.2.
La Conjetura de Poincar´ e (1904)
Planteada por el matem´atico Franc´es Jules Henry Poincar´e, afirma que la 3-esfera es el mas simple de todos los llamados 3-manifolds compactos. La rama de las matem´aticas que estudia los manifolds es la topolog´ıa. Entre las preguntas fundamentales que se plantean los top´ologos sobre 3manifolds estan:
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 11 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
1. ¿Cual es el tipo mas simple de 3-manifold, es decir, el de estructura menos complicada ? 2. ¿Es u ´ nico dicho 3-manifold? 3. ¿Que clases de 3-manifolds existen? La respuesta a la primera pregunta la propuso Poincar´ e, en 1904, a manera de conjetura (sin demostraci´on). Las otras dos preguntas fueron resueltas POSITIVAMENTE por el matem´atico Ruso Grigori Perelman en 2003, dando lugar al primero de los problemas del milenio en ser resuelto. Con el resultado de Perelman se ha completado el catalogo de todas las formas posibles que un espacio 3-dimensional (sin tener en cuenta al tiempo) puede tomar.
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 12 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
3.3.
P vs NP (1972)
La relaci´ on entre las clases de complejidad P y NP es una pregunta abierta en Ciencias de la Computabilidad Te´orica.
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 13 de 17
Regresar
Pantalla Completa
NP: Non-determinsitic Polinomial Time Problems P: Polinomial Time Problems
Cerrar
Abandonar
Desde el punto de vista aplicado, un problema computable requiere que un algoritmo que lo resuelva se ejecute en un tiempo suficientemente veloz. Por ejemplo, un algoritmo que requiera una ejecuci´on mas larga que la duraci´ on del universo, o de una vida humana, no puede considerarse concretamente ejecutable, aunque pueda serlo en abstracto. Para aclarar la distinci´on entre algoritmos, los matematicos Edmonds y Cobhan, en 1965, propusieron la distinci´on entre algoritmos que se ejecutan en tiempo polinomial y los que no lo hacen. La clase de problemas para la que existe una soluci´on en tiempo polinomial se denota con el simbolo P. En 1972 tres matem´aticos, Cook, Karp, y Levin descubrieron una clase potencialmente mas amplia que P y la denotaron por NP, cuyos problemas aunque no necesariamente resolubles en tiempo polinomial, “casi” lo son, en el sentido de que cada propuesta de soluci´ on, se puede verificar en tiempo polinomial si funciona o no. La diferencia entre las dos clases es la siguiente: para estar en la primera clase es NECESARIO que el problema admita un algoritmo que COMPUTE la soluci´on en tiempo polinomial, mientras que para estar en la segunda clase es SUFICIENTE que el problema admita un algoritmo que VERIFIQUE la soluci´ on en tiempo polinomial. Un t´ıpico problema Np-duro es el llamado problema del Vendedor Via jero: Dado un n´ umero de ciudades y el costo de viajar de una a otra, ¿cual es la ruta de viaje mas barata que visita cada ciudad exactamente una vez y
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 14 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
regresa al punto de partida? Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 15 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
4.
Conclusiones
Hemos visto que en matem´aticas ha habido, hay, y seguramente, habr´a por siempre (esperamos) problemas abiertos. Estos constituyen la principal fuente vida de esta disciplina del saber y esto a pesar de (o gracias a) que muchas de las respuestas a estos problemas han sido del tipo Wantzel, Lindemann, Galois, Godel, Matiyasevic, etc, es decir, NEGATIVAS. Vimos que al menos uno de los siete problemas del milenio ya fue resuelto, pero, teniendo en cuenta la historia, no podemos esperar que los dem´as lleguen a serlo alg´un d´ıa, o al menos que sean resueltos de manera POSITIVA. Los Problemas del Milenio salieron a la luz de una manera espectacular y llamativa, pero la principal intenci´ on de quienes propusieron el premio no era hacer de las matem´aticas un espect´aculo, sino elevar a la conciencia del p´ ublico general el hecho de que en esta ciencia la frontera aun esta abierta y llena de importantes problemas por resolver, problemas dignos de ser pensados por todos aquellos que aman el saber y la raz´on.
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 16 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
Bibliograf´ıa Anglin, W. S. Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York, Springer. 1997 Carlson and others: The Millenium Prize Problems. Clay Mathematics Institute. American Mathematical Society. 2000 Klee & Wagon: Old and New Unsolved Problems. Mathematical Asociation of America. 1991
Algunos Momentos . . . Los Problemas de. . . Los Problemas del. . . Conclusiones
P´ agina Web
P´ agina de Abertura
P´agina 17 de 17
Regresar
Pantalla Completa
Cerrar
Abandonar
