Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre II, 2009 Universidad de La Frontera Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración Departamento de Ciencias Físicas
Tema VII. Impulso y Choques. PROBLEMA RESUELTO Un bloque de
98 kg de masa se somete a la acción de una fuerza constante de 588 N . El valor de la fuerza de roce por
fricción es función del tiempo como lo muestra la figura. Si el bloque parte del reposo, determine la velocidad del bloque 3 s de comenzar aplicarse.
f R(t) F
490
f R(t)
98
t(s) 1
El impulso sobre el bloque viene determinado por 3
2
3
4
∫ F dt = mv(3) − v(0) . De esta forma, podemos escribir: N
1
3
0
1
∫ F dt = ∫ (588 − (490 − 392t ))dt + ∫ (588 − 98)dt = 98v(3) N
0
Integrando, se obtiene que v(3)
= 13 m / s
PROBLEMA RESUELTO
12 m de la pared y 1.8 m por encima del suelo y viaja en un plano perpendicular a la pared. La velocidad inicial es 15 m / s y forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si el coeficiente coeficiente de restitución entre entre la pelota y la pared es 0.6 , a qué distancia de la Como se ve en la figura, una pelota es arrojada contra una pared vertical lisa. La pelota parte de una posición a
pared choca la pelota con el suelo. 12 m
v0 60º
1.8 m x = ?
Walter Lebrecht y Francisco Peña
UNIDAD IV: IMPULSO Y MOMENTUM
Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre II, 2009 El problema se resuelve usando la cinemática en el plano y usando los conceptos de choque en el instante en que la pelota rebota con la pared. Las ecuaciones de itinerario son:
x(t ) = (15 cos 60)t = 7.5t y (t ) = 1.8 + (15 cos 60)t − 4.9t 2 El tiempo en que la pelota llega a la pared es cuando recorre los 12 m a lo largo del eje x, por tanto:
12 = 7.5t ⇒ t = 1.6 s r
Para analizar el choque obtenemos la velocidad en ese tiempo, siendo v
= 7.5iˆ − 2.7 jˆ m / s . En la pared el choque es
perpendicular a ella y por lo tanto define la línea de choque, así:
e=−
(v1' N − v2' N ) (v1 N − v2 N ) '
'
=− r
De esta forma, la nueva velocidad de rebote de la pelota es v se calcula mediante la ecuación y (t ) obteniéndose
v1' N '
v1 N
=−
v1' N
7.5
= 0.6
= −4.5iˆ − 2.7 jˆ m / s . La altura a la que llega en el choque
10 m . De regreso al suelo, las ecuaciones de itinerario son:
x(t ) = 4.5t y (t ) = 10 − 2.7t − 4.9t
⇒ y (t ' ) = 0
2
Finalmente, al evaluar el tiempo en la ecuación horizontal se tiene que x(1.2)
t ' = 1.2 s
= 5.4 m .
PROBLEMA SEMI RESUELTO 1.- Un paquete de
10 kg cae de una rampa con velocidad de 3 m / s a un carro de 25 kg en reposo como lo muestra la
figura. El carro puede deslizar libremente. Determinar la velocidad que adquiere el carro, el impulso ejercido por el paquete en el carro y la fracción de energía cinética que se pierde en el choque (Dinámica, Beer – Johnston, Jr.).
P 30º C ¿COMO HACERLO? Paso 1: El impulso por definición es Paso
2:
El
impulso
que
∫ Fdt = m(v
provoca
f
el
− vi ) , debiéndose interpretar su significado y aplicarlo al problema.
bloque
I B = m(v f − vi ) = 10(v1' x − v1x ) , donde v1 x =
3 2
cuando
cae
sobre
el
carro
está
determinado
por
' 3 m / s y v1 x es la velocidad que adquiere el bloque una vez que
hizo contacto con el carro. Paso 3: El impulso del carro no es más que I C
= M (v f − vi ) = 25(v ' − 0) , donde se verifica que v1' x = v ' , puesto que
ambos siguen juntos después de la interacción. Paso 4: La relación entre los impulsos está determinada por I C
Walter Lebrecht y Francisco Peña
= − I B , con esto se tiene que v1' x = v ' =
3 7
UNIDAD IV: IMPULSO Y MOMENTUM
3.
Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre II, 2009 Paso 5: El impulso sobre el carro es I C
=
75 7
Paso 6: La pérdida de energía cinética es Q
3 Ns .
= k F − k i = −
495 14
J
INTENTA HACER LO MISMO CON ESTOS PROBLEMAS 2.- Un buque tanque tiene una masa de
130 Gg . Si parte del reposo, calcule la velocidad en t = 10 s si el empuje
horizontal de su hélice varía respecto del tiempo de acuerdo con la fuerza F (t )
= 30(1 − e −0.1t ) MN
(Dinámica, Russell
– Hibbeler).
=
Respuesta: v (10)
30 13
e
−1
m / s
5 kg de masa se mueve con una velocidad de 6 m / s hacia un cilindro B en reposo que puede deslizar sin roce por una guía horizontal. La masa del cilindro es 20 kg . El cilindro por su extremo derecho contiene un resorte no 3.- Un bloque A de
lineal cuya fuerza está dada por F = 0.18 x
32
N unido a una pared. Si el choque entre el bloque y el cilindro tiene un
coeficiente de restitución e = 0.9 , ¿cuál es la máxima deformación del resorte? (Dinámica, Irving).
⎡ 2(57) 2 ⎤ Respuesta: x = ⎢ ⎥ ⎣ 9 ⎦
25
m
4.- Una guía rígida P tiene una masa de una altura de
800 kg y está inmersa en arena. Un bloque de 300 kg lo impulsa cayendo de
0.5 m del extremo superior de la guía, como lo muestra la figura. Calcule el impulso provocado por el bloque
sobre la guía, suponiendo que no rebota (Dinámica, Russell – Hibbeler).
B 0.5 m P
Respuesta: I p
=
2400 11
g Ns
60º respecto de la horizontal y con una velocidad de 16 m / s . ¿Cuál será el módulo de la velocidad y el ángulo de rebote si el coeficiente de restitución es e = 0.7 ? (Dinámica, Irving). 5.- Se lanza una pelota contra el suelo con un ángulo de
Respuesta: v
=
4 5
247 m / s, 50.5º
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UNIDAD IV: IMPULSO Y MOMENTUM
Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre II, 2009 r
6.- La esfera A choca la esfera B en reposo con una velocidad inicial (v A )1 como se indica en la figura. Ambas esferas tienen la misma masa y el choque es perfectamente elástico. Obtener el ángulo θ después del choque. El choque se produce en un plano horizontal (Dinámica, Russell – Hibbeler).
(v B ) 2
(v A ) 2
(v A ) 1
Respuesta: θ
=
π
2
rad
3 m / s a 2 m arriba de un piso. Hallar la distancia D entre el primer y segundo rebote de la pelota, si el coeficiente de restitución es e = 0.6 (Bedford – Fowler). 7.- A una pelota se le da una velocidad horizontal de
2 m
Respuesta: D
=
2ev0 2 gh g
8.- Un saco de peso w se suelta del reposo cuando θ
= 0º
y choca con una caja de peso 3w , como lo muestra la figura.
El coeficiente de restitución del choque es e = 0.5 . Calcule la pérdida de energía del choque una vez que el saco impactó el bloque (Dinámica, Russell – Hibbeler y Modificado por WL).
r
Respuesta: Q = −
9 16
wR
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UNIDAD IV: IMPULSO Y MOMENTUM
Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre II, 2009 9.- Un disco A choca un disco B con una velocidad v en un plano horizontal y el choque está determinado por un coeficiente de restitución e como lo muestra la figura. Si el disco A sigue a lo largo de la tangente del disco B, determinar la pérdida de energía cinética del choque. Los discos tienen las mismas dimensiones y masas (Dinámica, Russell – Hibbeler) r
B
=−
Respuesta: Q
3mv12 (1 − e 2 ) 16
30 kg se deja caer desde una altura de 2 m sobre un plato de 10 kg unido a un resorte de constante elástica 20 kN / m . Si el choque es perfectamente plástico, determinar el desplazamiento máximo del plato (Dinámica, 10.- Un bloque de
Beer – Johnston, Jr.).
2 m B
Respuesta: x
= 0.23 m
2 kg se suelta del reposo en la posición que se indica en la figura y choca con la superficie inclinada de una cuña B en reposo con una velocidad de 3 m / s . La masa de la cuña es 6 kg y puede deslizar por una superficie horizontal sin roce. El ángulo de la cuña es θ = 60º y el coeficiente de restitución de choque es e = 0.8 . 11.- Una esfera A de masa
Determinar la velocidad de la esfera A y de la cuña inmediatamente después del choque (Dinámica, Beer – Johnston, Jr.).
B
Respuesta: v A
=
3 (e + 1)m A v A 3 (m A + m B )
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, v B
= 1+
2 2 1 m B (1 + e)
3 (m A + m B ) 2
v A
UNIDAD IV: IMPULSO Y MOMENTUM
Mecánica ICF – 161 – 214, Semestre II, 2009 SOLO PARA VALIENTES 12.- Una partícula de masa m se suelta desde una altura H desde un punto P. La partícula desciende por un plano y desliza en forma perfecta sobre un plano horizontal. La partícula sube por una cuña de masa M la que inicialmente se encuentra en reposo. Determinar la altura máxima a que llega la partícula por la cuña y calcule la velocidad con que llega al plano horizontal en su viaje de regreso por la cuña. (Apuntes curso Mecánica, Abarzúa et al).
m
H M
Respuesta: h
=
M M + m
h
⎛ m − M ⎞ ⎟ 2 gH ⎝ M + m ⎠
H , v = ⎜
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UNIDAD IV: IMPULSO Y MOMENTUM
