Lord Barrera - Cálculo de Varias Variables-CAP4

Capítulo 4

Funciones de varias variables

imagenes.4ever.eu

En el capítulo capítulo 3 trabajamos trabajamos con funciones funciones vectoriales, vectoriales, que son funciones funciones dependendependendiendo de una variable; sin embargo estas traen algunas limitaciones. Muchos problemas de situaciones reales involucran en su solución dos o más variables. Por ejemplo, si queremos calcular el volumen que ocupa un edificio como se muestra en la figura de arriba, debemos considerar no solo el ancho, largo y altura, sino también la función que describe la superficie del techo. En este capítulo plantearemos este tipo de problemas usando funciones de varias variables. A partir de estas funciones estudiaremos límite, continuidad y diferenciabilidad para funciones de dos y tres variables; además en los capítulos 5 y 6 estudiaremos integrales dobles e integrales triples, todo ello como una generalización del cálculo de una variable. Uno de los tópicos ricos en aplicaciones trata de la optimización de una función de varias variables, es decir, estudiaremos extremos relativos y absolutos que nos permitirá resolver algunos modelos útiles en negocios y economía. Finalizaremos este capítulo con una gama de ejercicios resueltos propuestos cuyas respuestas se encuentran al final del capítulo.

17

18

Lord Lord Barrera Barrera - Capítulo Capítulo 4. Funciones Funciones de varias varias variables variables

4.1. Funciones Funciones de dos y tres variables variables En esta sección estudiaremos funciones de dos y tres variables. Estas funciones nos permitirán desarrollar el cálculo diferencial e integral necesario para aplicar a los modelos reales que involucran varias variables.

4.1.1. 4.1.1. Motivació Motivación n y definición definición Consideremos los modelos concretos: que x unidades de un pro1. En el mundo de los negocios negocios:: un fabricante establece que x ducto particular deben venderse al precio de 90 soles por unidad, e y e y unidades unidades de otro otro prod produc ucto to deben deben vend vender erse se al prec precio io de 110 110 sole soless por por unid unidad ad.. Ento Entonc nces es el ingr ingres eso o total obtenido por la venta de ambos productos resulta de la fórmula 90 x + 110 y 110 y = 90x I = coefici cien ente te inte intele lect ctua uall ( CI) de una una pers persona ona se mide mide por por el coci cocien ente te 2. En Psicol Psicologí ogía: a: el coefi CI =

100m 100m a

donde a y m corresponden a la edad física y la edad mental, mental, respectivamente.

3. En el diseño de una caja: cuando un carpintero construye una caja cuya base tiene ancho x ancho x,, largo y largo y,, donde la altura de la caja es z es z,, entonces para calcular el volumen de la caja se utiliza la fórmula = xyz V = x yz pero si pedimos el área de la superficie lateral de la caja se utiliza la fórmula 2 xy + 2xz 2 xz + 2 yz 2 yz A = 2xy Estas situaciones prácticas muestran que en nuestro mundo real hay cantidades que dependen de dos o tres variables.

Definición 4.1.1. Una función real de dos variables x, y es una regla f que f que asigna a cada par ( x, y) de un conjunto X R2 un único elemento f ( x, y). El conju conjunto nto X es llamado dominio de f y denotado denotado por dom( f ). También se define el rango de f f como el conjunto rang( f ) = f ( x, y) R : ( x, y) X

⊆ ⊆

{

∈

∈ }

De manera similar se define una función real de tres variables.

19

Lord Barrera - Sección 4.1. Funciones de dos y tres variables

Así como en el caso de funciones de una variable, una función de dos variables puede ser pensada como una máquina donde solo hay una salida f ( x, y) para cada entrada ( x, y) como se muestra en la figura de abajo:

Entrada x

Entrada y

x

y

Salida x,, y ( f ( x

Máquina f

Una funció función n de dos variab variables les es simple simplemen mente te aquell aquellaa cuyo cuyo domini dominio o es un subcon subconjun junto to 2 de R y cuya imagen es un subconjunto de R. Una manera manera de visualizar visualizar esta función función es como se indica en la figura de abajo, en el cual el dominio D es representado como un subconjunto del plano xy. xy .

y ( x , y (

f (a, b (

f x

X

0

z

f ( x , y (

(a, b (

Ejemplo 4.1.1. número y

−

La función función f ( x, y) = y 2 por ejemplo ejemplo x ; así por

− x2

asocia a cada punto ( x, y)

∈

R

2

el

− 12 = 2 − 1 = 1 f (3, 3) = 3 − 32 = 3 − 9 = −6 f (1, 2) = 2

El dominio de esta función es todo par de números reales x e y.

R

2

ya que la expresión y

función n f ( x, y, y, z) = Ejemplo 4.1.2. La funció

� −

− x2

existe para cualquier

asocia ia a la tern ternaa ( x, y, − y2 − z2 asoc y, z) ∈ 3 el número real 1 x2 − y2 − z2 . Por ejemplo ejemplo f (1,0,0 ) = 1 − 12 − 02 − 02 = 0 dom( f ) = {( x, y, y, z) ∈ 3 : 1 − x2 − y2 − z2 ≥ 0 } = {( x, y, y, z) ∈ 3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 }

R

� −

1

x2

R

√

R

y rang( f ) = [0, 1]

20


Ejemplo 4.1.3. La función

y

xy

f ( x, y) =

x2 + y2

tiene como dominio

x

dom( f ) = ( x, y)

{ ∈ = {( x, y) ∈

R

2

: x2 + y2 = 0

R

2

: ( x, y) = (0, 0)

̸̸

̸ }

} y

Ejemplo 4.1.4. La función f ( x, y) =

y 1

− |x|

-1

1

x

está bien definida para todo par ( x, y) tal que x = 1, y dom( f ) = ( x, y) R2 : x = 1 .

| ̸|

{

∈

| ̸| }

Ejemplo 4.1.5. La función f ( x, y) = arcsen dom( f ) =

�

( x, y)

∈

R

2

:

� � x x + y

− 1 ≤

tiene como dominio

x x + y

� ≤ 1

Evidentemente este conjunto excluye los pares ( x, y) tales que x + y = 0. Luego para ( x, y) dom ( f )

 ∈

x x + y

≤

1

⇔ |x| ≤ |x + y| y x̸̸ = − y ⇔ x2 ≤ ( x + y)2 y x̸̸ = − y ⇔ y2 + 2xy ̸ = − y 2xy = y ( y + 2x 2x) ≥ 0 y x̸ ⇔ ( y ≥ 0 ∧ y ≥ −2x) o ( y ≤ 0 ∧ y ≤ −2x)



Ejemplo 4.1.6. La función norma

∥ ∥ definida por ∥(x, y)∥ = x2 + y2

�

es la función que asigna al par ordenado ( x, y) el número real

√ � √



y x = y

̸̸ −

�

ejemplo x2 + y2 . Por ejemplo

∥(3, 4)∥ = 32 + 42 = 5 ∥(−1, 2)∥ = (−1)2 + 22 = √ 5 √ ∥(4, 7)∥ = 42 + 72 = 65 Esta función está definida para todo par ( x, y) ∈ 2 ; por por tant tanto o dom( ∥ ∥) = más, desde que resulta ta que rang rang(∥ ∥) = [0, +∞). x2 + y2 ≥ 0 resul

�

R

R

2.

AdeAde-


21

corporal de Ejemplo 4.1.7. (Área de la superficie corporal). El área de la superficie corporal un humano humano (en metros metros cuadrados) cuadrados) es aproximada aproximada por por A = 0.024265h 0.024265h0.3964 m0.5378, donde h es la altura altura (en cm) y m es la masa masa (en kg). En cada caso, calcul calculee el valor valor de A (a) Altura Altura,, 178 cm; masa, masa, 72 kg (b) Altura Altura,, 140 cm; masa, masa, 55 kg (c) Altura Altura,, 160 cm; masa, masa, 70 kg Cuando h = 178 y m = 72, 72, se tiene tiene Solución. (a) Cuando A = 0.024265(178)0.3964 (72)0.5378

≈ 1.89 m2

(b) Cuando Cuando h = 140 y m = 55, se tien tienee A = 0.024265(140)0.3964 (55)0.5378

≈ 1.48 m2

(c) Cuando Cuando h = 160 y m = 70, 70, se tiene tiene A = 0.024265(160)0.3964 (70)0.5378

Ejemplo 4.1.8.

≈ 1.78 m2

Durante su investigaci investigación ón del invierno invierno de (Factor de enfriamiento). Durante

1941 en el Antártico, el doctor Paul A. Siple ideó el siguiente modelo matemático para definir el factor de enfriamiento del viento:

√ − v + 10.5)(33 − T )

H ( v, T ) = (10 v

donde H se mide mide en kcal/m kcal/m2 h, v es la la veloci velocidad dad del del vien viento to en m/s y T es T es la temperatura peratura en grados Celsius. Celsius. Un ejemplo de este índice es: 1000 = muy frío, frío, 1200 1200 = implacablem implacablemente ente frío y 1400 = congelamient congelamiento o de la carne expuesta expuesta.. Determine Determine el fac◦ tor de enfriamiento en 6.67 C con una una velocida velocidad d del viento viento de 20 m/s.

−

6.67. 7. O sea sea = −6.6 Solución. Solo debemos reemplazar los valores v = 20 y T =

√ 20 10.5 33 6.67 √ − + )( + ) 2 = (20 5 − 9.5)( 39.67) ≈ 1397 kcal/m h

H (20, 6.67) = (10 20

−

Si un capi capita tall de P dólares dólares se deposi deposita ta (Interés compuesto compuesto continuo). continuo). Si Ejemplo 4.1.9. (Interés en una cuenta que paga una tasa de interés anual de r %, compuesto compuesto continuame continuamente, nte, entonces la cantidad acumulada luego de t años es dada por F = f ( P, r, t) = Pe P ert dólares Determine Determine la cantidad cantidad acumula acumulada da luego luego de 3 años si se depositar depositaron on 10 000 dólares dólares en una cuenta cuenta que paga paga una una tasa tasa del 10 % anual. anual. tanto, Solución. Para este caso, P = 10 000, r = 0.1 y t = 3. Por tanto, 000e(0.1)(3) = 13498.59 dólares F = 10 000e

22


Ejemplo 4.1.10. (Silvicultura). La regla de Doyle para el registro de la madera es uno de los métodos usados para determinar el rendimiento de madera que resulta de un tronco de árbol (en pies tablares) en términos de su diámetro d (en pulgadas) y su longitud L (en pies). El número de pies tablares tablares se calcula calcula mediante N ( d, L) =

�−� 4

d

4

2

L

(a) Determine Determine el número número de pies pies tablares tablares de madera madera de un tronco tronco de 22 pulgadas pulgadas de diámetro diámetro y 12 pies de largo. largo. (b) Si un un tronco tronco de de 16 pies produce produce 400 pies tablares, tablares, ¿cuál ¿cuál es su su diámetr diámetro? o? Haciendo d = 22 y L = 12, 12, se tiene tiene Solución. (a) Haciendo N (22,12) =

� −� 22

4

4

2

(12) = 243 pies tablares

(b) En este este caso caso N = tanto, = 380 y L = 16. Por tanto, 400 =

�−� 4

d

2

4

(16)

que implica

d = 24 pulgadas

Ejemplo 4.1.11.

Una tienda tienda de artículos artículos deportivos deportivos vende vende dos tipos de raquetas raquetas de tenis, la de Nadal y la de Federer. Las ventas indican que si la marca Nadal vende a x dólares por raqueta y la marca Federer a y dólares por raqueta, la demanda para la raqueta Nadal debe ser D1 = 300 20x 20x 30 y 30 y raquetas por año, y la demanda de las raquetas Federer debe ser D2 = 200 + 40x 40x 10 y 10 y por año. Exprese el ingreso total anual de las ventas de estas raquetas en función de los precios x e y.

−

− −

m o c . r u o t d l r o w p t a . w w w

Entonces Solución. Sea I el ingreso total anual de las ventas. Entonces I = = (n.◦ de raquetas vendidas de W)(precio por raqueta W )

+ (n.◦ de raquetas vendidas de S)(precio por raqueta S ) De aquí, I ( x, y) = (300

− 20x 20x − 30 y 30 y)( x) + ( 200 + 40x 40x − 10 y 10 y)( y) 300 x + 200 y 200 y + 10xy 10xy − 20x 20x2 − 10 y 10 y2 = 300x

m o c . n n c . n o i t i d e p t t h

23


Ejemplo 4.1.12.

Una población crece exponencialmente satisfaciendo satisfaciendo P( A, A, r, t) = donde P es la población (en millones) en el tiempo t 0, siendo A la población inicial inicial (en millones millones), ), y r es la tasa de crecimiento crecimiento relativa relativa (per cápita). Si la población población de una determ determinada inada ciudad ciudad es es de 5 millones millones de personas personas y crece crece a una tasa tasa del 3 % por año, ¿cuál ¿cuál es es la poblaci población ón en 7 años?

Aert ,

≥

número o de person personas as en mil millon lones. es. Toma omando ndo A = 5, r = 0.03 (3% Solución. Sea P el númer de crecimient crecimiento o anual), anual), y t = 7 conseguimos conseguimos que P(5, 0.03, 7) = 5e0.03 (7) Por tanto, tanto, en en 7 años hay hay una población población aprox aproximada imada de 6 168 380 persona personas. s.

≈ 6.16838.

Ejemplo 4.1.13. (Intolerancia a la contaminación). De acuerdo a las investigaciones sobre lagos contaminados, el porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación en la región de la selva, puede ser estimado por la función P(W , R, A) = 48

− 2.43W 2.43W − 1.81R 1.81 R − 1.22 A 1.22 A

donde W es el porcentaje del lago contaminado, R es el porcentaje de espacio de sobrevivencia y A es el porcentaje de marisma. (a) Use esta función para estimar estimar el porcentaje porcentaje de peces que no sobreviven sobreviven a la contaminaci min ación ón si si el 5 % del lago lago está está conta contamin minado, ado, el 15 % es zona zona habita habitable ble,, y el el 0 % es marisma. (b) ¿Cuál es el mayor porcentaje porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación? contaminación? (c) Describa Describa dos escenarios los cuales permitan permitan que el porcentaj porcentajee de peces que no so breviven a la contaminación sea cero. (d) ¿Qué variable tiene mayor influencia en P? 0. Luego Luego = 5, R = 15 y A = 0. Solución. (a) En este caso W = P(5,15,0) = 48

− 2.43(5) − 1.81(15) − 1.22(0) = 8.7

es decir, decir, el 8.7 % de peces peces no sobrevive sobrevive a la la contaminac contaminación. ión. (b) El mayor porcentaje porcentaje ocurre ocurre cuando W = = 0, R = 0 y A = 0, o sea P(0,0,0) = 48

− 2.43(0) − 1.81(0) − 1.22(0) = 48

que es el el 48 % de la la pobla població ción. n. (c) Cualquier Cualquier combinaci combinación ón de W , R y A que implique P = 0 es un escena escenario rio en el cual el porc entaje de peces que no sobrevive a la contaminación sea cero: si R = 0 y A = 0 2.43W 1.81(0) 1.22(0) = 48 2.43W 2.43W P(W , 0 , 0) = 48 2.43W

−

−

−

−

Haciendo 48 2.43W 2.43W = 19.75. Así que W = = 0 se consigue W = = 19.75. = 19.75, R = 0 y A = 0 es un escenario. Por otro lado: si W = = 10 y R = 10

−

10,10, A) = 48 P(10,10, A

1.22 A = 5.6 − 1.22 A 1.22 A − 2.43(10) − 1.81(10) − 1.22 A

Haciendo Haciendo 5.6 1.22 A 1.22 A = 0 se consigu consiguee A = 4.59. 4.59. Así que W = = 10, R = 10 y A = 4.59 es otro escenario.

−

24


Ejemplo 4.1.14. (Porcicultura). Cuando las cerdas gestantes de un corral estan atadas, por lo general tienden a mostrar un comportamiento repetitivo, tales como morder su cadena o empujar la pared del corral, esto indica un estrés crónico. Algunos investigadores han desarrollado una función que estima la relación que hay entre el tiempo que se ocupan en morder su cadena, la cantidad de comida con que cuentan y el tiempo que las cerdas permanecen empujando su corral, mediante ln( T ) = 5.49

3.000 ln( F ) + 0.18 0.18 ln(C) − 3.0

donde T es el porcentaje de tiempo que se ocupan ocupan mordiendo la cadena, F es la cantidad de comida para las cerdas (en kilogramos por día), y C es el porcentaje de tiempo que las cerdas permanecen empujando sus corral. (a) Resuelva la expresión para para T . (b) Calcule Calcule e interpret interpretee T T cuando F = 2 y C = 40. expresión sión Solución. (a) De la expre ln( T ) = 5.49

− 3.0 3.000 ln( F ) + 0.18 0.18 ln(C)

se sigue que

= e ln( T ) = e 5.49−3.00ln ( F)+0.18ln(C ) T = = e 5.49 e−3.00ln( F) e0.18ln(C) =

≈

e5.49 e0.18ln(C) e3.00ln ( F) 242.257C 242.257C0.18 F3

(b) Haciendo Haciendo F = 2 y C = 40, 40, se tiene tiene 0.18

) ≈ ≈ 242.257(2()40 ≈ 58.82 3

T

osea T es apro aproxi xima mada dame ment ntee 58.8 58.8 %. En otra otrass pala palabr bras as,, una una cerd cerdaa ocup ocupaa el 58.8 58.8 % mo morrdiendo diendo su cadena cadena cuando cuando han consum consumido ido 2 kg de comida comida por día y permanec permanecier ieron on empujando empujando su corral corral el 40 % del tiempo. tiempo. leche hecho por R. Frisch y T. HaavelEjemplo 4.1.15. Un estudio de la demanda de leche mo determinó la relación C = A

r2.08 p1.5

( A es una constante positiva )

donde C es el consumo de leche, p es su precio relativo y r es la renta por familia. Esta función define a C como función de p y r. Nótese Nótese que el consumo consumo de leche aumenta aumenta cuando r crece, y disminuye cuando el precio aumenta, lo que parece razonable.

25


Las funciones de producción son importantes en economía. Muchas aplicaciones involucrando este tipo de funciones se verán cuando estudiemos derivadas parciales, por ahora comenzamos con la siguiente definición

Definición 4.1.2. La función de producción de Cobb-Douglas es una función de la forma Q( L, K ) = α Ls K t

α

>

0 y 0 < s, t < 1

(4.1.1)

donde L es el tamaño de la fuerza laboral en horas - trabajador y K es K es el capital invertido. Los números α, s y t se llaman parámetros tecnológicos.

(Producción en una una fáEjemplo 4.1.16. (Producción brica). Consideremos el caso de una fábrica donde la salida es dada por la función de producción de Cobb - Douglas definida por Q( L, K ) = 60L 60 L2/3 K 1/3 unidades, siendo L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas trabajador y K es K es la inversión del capital medido en miles de soles. (a) Calcule la producción si se emplean 1000 horas - trabajador y se invierte un capital capital de 512 000 soles. (b) Muestre Muestre que la producc producción ión en el ítem (i) se duplica duplica si tanto tanto la fuerza fuerza laboral laboral como el capital, ambos se duplican. Evaluando Q( L, K ) con L = 1000 y K = conseguimos = 512 conseguimos Solución. (a) Evaluando 1000, 512) = 60 (1000)2/3 (512)1/3 = 60 (100)( 8) = 48 000 unidades Q(1000, (b) Evaluando Evaluando Q( L, K ) con L = 2 (1000) y K = = 2 (512) conseguimos Q[2(1000), 2(512)] = 60 [2(1000)] 2/3 [2(512)] 1/3

= 60 (2)2/3 (1000)2/3 (2)1/3 (512)1/3 = 96 000 unidades Douglas es la siguiente siguiente estimación de la funEjemplo 4.1.17. Otra función de Cobb - Douglas ción de producción de una cierta pesca de truchas: 2.28S0.46 E0.54 F( S, E) = 2.28S donde S designa la reserva de truchas, E el trabajo invertido y F(S, E) las capturas. función (4.1.1) (4.1.1) se llama asípor asípor dos investiga investigadores dores norteame norteamericaricaObservación 4.1.1. La función nos, C.W. Cobb y P.H. Douglas, que la aplicaron con s + t = 1 en un artículo artículo sobre sobre la la estimación estimación de funciones funciones de producción producción,, publicado publicado en 1927. De hecho se le debería llamar una “función “función de Wi Wicksel cksell” l” porque el economista economista sueco Knut Wicksell Wicksell (1851-1926 (1851-1926)) introdujo estas funciones antes de 1900.

26


A continuación definimos algunas operaciones algebraicas entre funciones: define ⊆ Rn y sea p ∈ X . Se define Definición 4.1.3. Sean f y g definidas en X ⊆ mediante 1. La suma de f con g denotada por f + g , mediante

( f + + g )( p) = f (p) + g (p) mediante te 2. El producto de f con g denotado por f g , median ·

( f g)( p) = f (p) g(p)

· ·

3. El cociente de f con g denotado por f g

��

f , mediante mediante g

(p) =

f ( p) g( p)

4. El producto por un escalar de a ∈ R con f es la función (a f )( p) = a f (p)

·

Ejemplo 4.1.18. Sean las funciones f ( x, y) = tiene

∈

R

2

: 1

{ ∈ = {( x, y) ∈

R

2

: xy

R

2

: x

dom( f ) = ( x, y)

{

� − 1

x2

− y2

− x2 − y2 ≥ 0 } = {(x, y) ∈

R

y g( x, y) = ln( xy ). Se 2

: x2 + y2

≤ 1}

y dom( g) = ( x, y)

>

>

0

}

0, y > 0

} ∪ {(x, y) ∈

R

2

: x < 0, y < 0

Ahora bien

� − − � − − � − −

( f + + g )( x, y) = f ( x, y) + g ( x, y) =

1

x2

y2 + ln( xy )

− − − g(x, y) = 1 x2 y2 − ln(xy) · g)( x, y) = f (x, y) g(x, y) = 1 x2 y2 ln(xy) ( f · 1 − x2 − y2 f f ( x, y) ( x, y) = =

( f g)( x, y) = f ( x, y)

�� g

g( x, y)

√ � −

5 f ( x, y) = 5 (5 f )( x, y) = 5 f

ln( xy ) 1

x2

− y2

}

27


Definición 4.1.4. Sea f una función definida en el subconjunto X de

R

n

∈

y sea c

R.

1. f f se llama función constante si f (p) = c para todo p ∈ X . 2. f f es llamada función lineal si f ( x1 , . . . , xn ) = a 1 x1 + . . . + a n xn + b para algunas

∈

constantes a1 , . . . , an , b

R.

i máximo mo f es una función polinómica si f ( x1 , . . . , xn ) = ∑ i1 ... in a i1 ... in x11 . . . xnin . El máxi 3. f número i1 + . . . + in es llamado grado del polinomio f .

función que asigna asigna a cada cada Ejemplo 4.1.19. 1. La función constante f (x, y) = 2 es la función par de números reales ( x, y), el número número 2. Otros Otros ejemplos ejemplos de funciones funciones constan constantes tes son (i) f ( x, y) = 5

√ −10 (iii) f (x, y) = 3 (iv) f (x, y) = f ( x, y) = x − 2 y es la función que asigna al par ( x, y) el número

(ii) f ( x, y) =

2. La función lineal

ejemplo − 2 y; y; por ejemplo f (2, 3) = 2 − 2(3) = −4,

real x

π

f (1, 5) = 1

− 2(5) = −9,

f (3, 2) = 3

−

− 2(−2) = 7

Otras funciones lineales son 3 x + y, f ( x, y) = 3x y,

f ( x, y, y, z) =

−x + y − 2 z, z,

2 x + y + z f ( x, y, y, z) = 2x

3. Las siguientes funciones son polinómicas f ( x, y) = x 2 + y2 ,

f ( x, y, y, z) = xyz x yz2 + xy, xy ,

f ( x, y, y, z) = x + y + z2 + x 2 y2

Ejemplo 4.1.20. La función producto interno ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) en ·

R

2,

definida definida por

( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) = x 1 x2 + y1 y2 ·

es una una func funció ión n line lineal al que que hace hace corr corres espo pond nder er al par par de punt puntos os ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) el número número real x1 x2 + y1 y2 . Por ejemplo ejemplo

(1, 1) (2, 3) = (1)( 2) + (1)(3) = 5 ·

( 2, 1) (3, 5) = ( 2)( 3) + (1)(5) =

−

−

·

−1

Similarmente, la función producto interno ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) en ·

R

3,

definida definida por

( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) = x 1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ·

es la función lineal que asigna al par de puntos ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 ) el número real ejemplo x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Por ejemplo

(1,1,3) (2,3,5) = (1)( 2) + (1)(3) + (3)( 5) = 20 ·

( 2,1, 6) (3,5, 1) = ( 2)( 3) + (1)(5) + ( 6)( 1) = 5

−

−

·

−

−

− −

28


4.1.2. Graficando funciones de dos variables En nuestro estudio de funciones de una variable hemos visto que la gráfica juega un rol importante. Las funciones de dos y tres variables también pueden ser graficadas.

Definición 4.1.5. Sea f una función definida en el subconjunto X de

R

n.

definimos la la gráfica de f 1. Si n = 2, definimos f mediante graf ( f ) = ( x, y, y, z)

{

∈

R

3

: z = f ( x, y) con ( x, y)

∈ X }

definimos la la gráfica de f 2. Si n = 3, definimos f mediante graf ( f ) = ( x, y, y, z, z, w)

{

∈

R

4

: w = f ( x, y, y, z) con ( x, y, y, z)

Ejemplo 4.1.21. (El paraboloide). La fun= x 2 + y2

ción f ( x, y) tiene como gráfica

�

∈ X }

z

es una una func funció ión n real real que que

graf ( f ) = ( x, y, y, z)

∈

R

3

2

2

: z = x + y

Si hacemos z = f ( x, y), entonces entonces

�

z = x 2 + y2

0

y

Esta se genera mediante la rotación de la paráx bola z = x 2 alrededor del eje z. Podemo Podemoss verificar que el punto (1,1,2) pertenece pertenece a la gráfica, gráfica, pues, 2 = 1 2 + 12 . Sin embar embargo, go, el 2 2 punto (2,1,3) no está en la gráfica gráfica ya que 3 = 2 + 1 .

̸̸

Ejemplo 4.1.22. graf ( f ) =

R

�

Esta gráfica tiene forma de la montura de un ginete que utiliza en carrera de caballos. Aquí, la superficie contiene al origen (0,0,0), pues pues 2 2 0=0 0 . Por otra parte, parte, el punto punto (1,2,3) también también está en la gráfica gráfica ya que 3 = 2 2 12 .

−

z

− x2 tiene por gráfica y, z) ∈ 3 : z = y 2 − x2 ( x, y,

función f ( x, y)

�

(La silla silla de montar montar). ). La

= y 2

−

0

y

x


29

4.1.3. 4.1.3. Curvas Curvas y super superficie ficiess de de nivel nivel Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usando un campo campo escala escalarr escalar de tal manera que z = f ( x, y) corresponde al punto ( x, y). Un campo puede ser caracterizado por curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo del cual el valor de f ( x, y) es constante. Por ejemplo, el mapa meteorológico en la figura (a) muestra curvas de nivel de igual presión llamadas isóbaras. En los mapas meteorológicos para el cual las curvas de nivel representan puntos de igual temperatura, las curvas de nivel son llamadas isotermas, como muestra muestra la figura figura (b). Otro uso uso común común de las curvas curvas de nivel es representado en campos potenciales eléctricos. En este tipo de mapa, las curvas de nivel se llaman líneas equipotenciales. (a) (b)

Las curvas de nivel muestran las líneas de igual presión (isóbaras) medidas medidas en milibares

Las curvas de nivel muestran las líneas de igual tem peratura (isotermas) medidas medidas en grados Fahrenheit Fahrenheit

Los mapas de contorno son comúnmente usados para mostrar regiones en la superficie de la Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapa es llamado mapa topográfico. Por ejemplo, ejemplo, la montaña montaña en en la figura figura (c) es representado por por el mapa topográfico topográfico en la figura (d). (c (

(d (

Un mapa de contorno retrata la variación de z con respecto a x e y mediante el espacio entre las curvas de nivel. Demasiado espacio entre las curvas de nivel indica que z cambia lentalente, mientras que poco espacio significa que el cambio en z es rápido. Además para producir una buena ilustración tridimensional e un mapa de contorno, es importante elegir los valores de z que son uniformemente espaciados.

30


En la práctica, graficar una función de dos o tres variables, resulta dificultosa en muchos casos. Una manera de visualizar esta gráfica consiste de introducir curvas de nivel o superficies de nivel como se ve a continuación:

⊆ Rn y sea k ∈ ∈ R. Definición 4.1.6. Sea f una función definida en X ⊆ definimos la la curva de nivel de altura k por 1. Si n = 2, definimos f −1 (k ) = ( x, y)

{

∈ X :

f ( x, y) = k

}

definimos la la superficie de nivel de altura k por 2. Si n = 3, definimos f −1 (k ) = ( x, y, y, z)

{

∈ X :

f ( x, y, y, z) = k

}

En algunos casos, las curvas de nivel y las superficies de nivel también serán llamadas conjuntos de nivel.

Observación 4.1.2. La curva de nivel se puede interpretar geométricamente como la intersección de la superficie z = f ( x, y) con el plano z = k .

z

y Nivel z k

-1

f ( k (

=

y x

x

2 2 contin inua uaci ción ón se mues muestr traa la gráfi gráfica ca de f ( x, y) = ( x2 + 3 y2 )e1−x − y . Ejemplo 4.1.23. A cont

z

y

x

y x

Las respectivas curvas de nivel se muestran a la derecha.

31


Además Ejemplo 4.1.24. El rango de f (x, y) = x 2 + y2 es rang( f ) = [0, + ∞). Además f −1 (0) = ( x, y)

{ ∈ f −1 (1) = {( x, y) ∈ f −1 (4) = {( x, y) ∈ f −1 (9) = {( x, y) ∈

R R R R

Estas curvas se ven en la siguiente figura:

y

-1

x 2 + y 2 = 0

-1

x 2 + y 2 = 1

f ( 0 (: f ( 1 (: 0

1

2

3

-1

2

: x2 + y2 = 0

} 2 : x2 + y2 = 1 } 2 : x2 + y2 = 4 } 2 : x2 + y2 = 9 } z

x

f ( 4 (:

x 2 + y 2 = 4

-1

f ( 9 (:

y

0

x 2 + y 2 = 9

x

tiene rang rang( f ) = [0, +∞ ). y, z) = x 2 + y2 + z2 tiene Ejemplo 4.1.25. La función f ( x, y, f −1 (0) = ( x, y, y, z)

z

{ ∈ f −1 (1) = {( x, y, y, z) ∈ f −1 (4) = {( x, y, y, z) ∈ f −1 (9) = {( x, y, y, z) ∈

R R R R

3

: x2 + y2 + z2 = 0

} 3 : x2 + y2 + z2 = 1 } 3 : x2 + y2 + z2 = 4 } 3 : x2 + y2 + z2 = 9 }

-1

x 2 + y 2 + z 2 = 9

-1

x 2 + y 2 + z 2 = 4

-1

x 2 + y 2 + z 2 = 1

f ( 9 (: f ( 4 (: f ( 1 (:

k = 9

y x

k = 4 k = = 1

Aquí se tienen superficies de nivel para cada valor de k . Cuando k = tiene la esfera = 1 se tiene

E :

x2 + y2 + z2 = 1

E :

x2 + y2 + z2 = 4

E :

x2 + y2 + z2 = 9

Cuando k = tiene la esfera = 4 se tiene

Cuando k = tiene la esfera = 9 se tiene

32


J ERCI CI CIOS CI OS PROP PR OPUE UE ST OS Y SUS SU S RE SPU SP U ESTAS ES TAS E JER Ejercicio 4.1.1. En cada caso, evalúe la función en los puntos dados (a) f ( x, y) =

�

x2 + y2 ;

xy + x 2 (b) g( x, y) = ; x y

−

(c) h( x, y) = x cos y cos y ; (d) l ( x, y) = ln (e) m( x, y) =

�� x y

y

∫ x

( 2t

(1, 2), ( 2, 3), ( 3, 4)

−

−

(3, 1), (3, 4), (5, 1) /2), ( 2, π /4 /4) (0, π ), (1, π /2

−

;

(3, 1), ( 1, 2), (5, 1)

− −

− 1) d t ;

(2, 4), ( 1, 1), (1, 3)

−

Ejercicio 4.1.2. Determine el dominio de cada una de las funciones: (a) f ( x, y) = e x+ y xy + 1 y, z) = (d) f ( x, y, z 1

(b) f ( x, y) = ln ( x2 + y2

− 1)

(c) f ( x, y) =

y (e) f ( x, y) = x + y

(f) f ( x, y) =

| | | |

−

f ( x + h, h, y) h

− f (x, y)

(b)

f ( x, y + h ) h

− f (x, y)

f ( x + h, h, y) h→ 0 h

− f (x, y)

f ( x, y + h) h h→ 0

− f (x, y)

(c) (c) l´ım ım

(d) l´ım ım

x

y + 1 1

x2 + y2

2 x2 + 3 y 3 y2 . En cada caso evalúe: evalúe: Ejercicio 4.1.3. Sea f ( x, y) = 2x (a)

√ − �

− 25

Ejercicio 4.1.4. El dominio de una función z = f ( x, y) es dom( f ) = ( x, y)

{

∈

R

2

: x2

≤ y, y ,

y2

<

2

}

(a) Represente geométricamente geométricamente en el plano xy el conjunt conjunto o dom( f ). (b) Modele o construya construya una posible función f que tenga el dominio indicado. y, z) ∈ Ejercicio 4.1.5. Suponga que la temperatura en un punto (x, y,

3

es dada por la función T ( x, y, y que la posición de una partícula en el tiempo t y, z) = t 2 se describe por r(t ) = ( t, t , e ). ¿Cuál ¿Cuál es la temperatura temperatura en el punto ocupado ocupado por la partícula cuando t = 1? 2 x2

+ y 2

+ z 2

R

33


Ejerci Ejercicio cio 4.1.6. 4.1.6. (Model (Modeland andoo una data). data). La data de abajo muestra las ventas netas, x, (en miles de millones de dólares), los activos totales, y, en (miles de millones millones de dólares dólares), ), y el patrimonio líquido de los accionistas, z, (en miles miles de millones millones de dólare dólares), s), para para años 2006 2011. APPLE entr APPLE entree los años

−

2006 Año 20

2007

2008

2009

2010

2011

x

19.3

24.6

37.5

42.9

65.2

108.2

y

17.2

24.9

36.2

47.5

75.2

116.4

z

10.0

14.5

22.3

31.6

47.8

76.6

Un modelo de ajuste para esta data es 0.035x + 0.640 y 0.640 y z = f ( x, y) = 0.035x

− 1.77

(a) Utilice una calculadora calculadora para para aproximar z de acuerdo a los valores de x e y. (b) ¿Cuál de las dos variables en este modelo tiene más relevancia para para calcular patrimonio líquido de los accionistas? (c) Simplifiqu Simplifiquee la expresión expresión para f ( x,150) e interprete su significado en el contexto del problema. (d) Desarr Desarroll ollee un progr programa ama que permit permitaa determ determina inarr la ecuaci ecuación ón corres correspon pondien diente te al modelo de ajuste.

Ejercicio 4.1.7. (Economía agraria). Ciertos estudios de economía agraria emplean funciones de producción de la forma V = cosecha, = Q ( L, K , T ) donde V es el volumen de la cosecha, L el trabajo, K el K el capital invertido y T la T la superficie de la explotación agrícola. (a) Explique Explique el significado significado de Q( L, K + + 1, T )

− Q( L, K , T )

(b) Muchos Muchos estudios estudios suponen que que Q es de Cobb-Douglas. ¿Qué forma tiene Q? (c) Si Q es de Cobb-Douglas, determine Q(tL, tL , tK , tT ) expresándola en términos de t y Q( L, K , T ) perdido (en Joules) por las crías crías de las focas Ejercicio 4.1.8. (Pérdida de calor). El calor perdido en una playa, puede ser aproximado por 15.2m 15.2m0.67 (T A) H (m, T , A ) = 10.23 10. 23 ln m 10.74

−

−

donde m es la masa masa del cuerpo cuerpo de la cría cría (en kg), T y A son la temperatura corporal y la temperatura del agua, respectivamente (en ◦ C). Para cada cada caso, calcule calcule la cantidad cantidad de calor perdido. (a) Masa corporal, corporal, 21 kg; kg; temperatu temperatura ra corporal, corporal, 36◦ C; temperatu temperatura ra del agua, 4◦ C. (b) Masa corporal, corporal, 29 kg; kg; temperatu temperatura ra corporal, corporal, 38◦ C; temperatu temperatura ra del del agua, agua, 16◦ C.

34


Ejercicio 4.1.9. (Fiebre debido al dengue). En regiones tropicales, la fiebre del dengue es un significativo significativo problema problema de salud salud que afecta aproxim aproximadame adamente nte a 100 millones millones de personas. personas. Mediante Mediante el uso de una data desde desde el 2002 sobre sobre la epidemia del dengue dengue en Brasil, los investigadores estimaron que la incidencia I (cantidad de nuevos casos en un año dado) de dengue puede ser pronosticada por la siguiente función 0.04 p I ( p, p, a, m, n, e ) = (25.54 + 0.04 p

7.92a + 2.62m 2.62m + 4.46n 4.46n + 0.15e 0.15e)2 − 7.92a

donde p es la precipitación precipitación debido a la lluvia lluvia (mm), a es la temperatura media (en ◦C), evaporación n (mm). n es la temperatura mínima (en ◦ C), y e es la evaporació (a) Estime Estime la incidencia incidencia del brote brote del dengue dengue para una una región región con 80 mm de lluvias, lluvias, ◦ ◦ temper temperatu atura ra media media de 23 C, temperat temperatura ura máxima máxima de 34 C, temperatura temperatura mínima mínima ◦ de 16 C y evapo evaporac ración ión de 50 mm. mm. (b) ¿Qué variable variable tiene influencia influencia negativa en el brote brote del dengue? dengue? Describa esta influencia y lo que puede inferir matemáticamente acerca de la biología de la fiebre.

Ejercicio Ejercicio 4.1.10. 4.1.10. (Índice (Índice de masa corporal). corporal). Consideremos el índice de masa corporal IMC con el que se identifica, evalúa y trata el sobrepeso de adultos obesos. El valor del índice de masa corporal IMC para un adulto de peso w (en kilogramos) y altura h (en metros) metros) se define define por IMC = f (w, h) = w/ acuerdo a los estándares estándares médicos, médicos, un w /h2 . De acuerdo adulto adulto tiene sobrepeso sobrepeso si si el IMC IMC varía varía entre entre 25 y 29.9 y es obeso obeso si el valor es mayor mayor o igual igual a 30. (a) ¿Cuál ¿Cuál es el índice índice de masa masa corpor corporal al de un adulto adulto cuyo cuyo peso peso es de 80 kg y tiene tiene 1.8m de altura altura?? (b) ¿Cuál ¿Cuál es el máximo máximo peso de un adulto adulto 1.8 m de altura altura que que no es clasifi clasificad cado o con sobrepeso o como obeso?

Ejercicio Ejercicio 4.1.11. (Locomoción (Locomoción de los animales). animales). Un artículo titulado “sobre el movimiento de los animales” explica que la locomoción de los diferentes tamaños de animales se pueden comparar cuando ellos tienen el mismo número número de Froude Froude, definido mediante 2 aceleración ión de la graveda gravedad d (9.81 m/s2 ), y F = v / gl, gl , donde v es la velocidad, g es la acelerac metros). l es la longitud de la pierna del animal (en metros). (a) Un resultado resultado que explica el artículo artículo es que diferentes diferentes animales animales cambian de trote a galope cuando tienen el mismo mismo número de Froude, que es aproximadamente 2.56. Calcule la velocidad para el cual este cambio ocurre con un hurón, cuya longitud de su pierna pierna es es 0.09 m, y un rinocer rinoceronte onte cuya cuya pierna pierna mide mide 1.2 m. (b) La antiguas antiguas huellas de un saurópodo saurópodo (que fue un dinosaurio dinosaurio hervíboro) hervíboro) en Texas, Texas, fueron fueron aproximada aproximadamente mente de 1 m de diámetro, diámetro, correspondi correspondiendo endo a una pierna con una una long longit itud ud apro aproxi xima mada da de 4 m. Uste Usted d pued puedee real realiz izar ar la tare tareaa de veri verific ficar ar el valo valorr que resulta de dividir el tamaño de la huella y la longitud de la pierna de diversos animales de nuestra época; esto le puede ayudar a determinar el número de Froude para estos estos tipos de dinosaurios dinosaurios que es aproximadame aproximadamente nte 0.025. 0.025. ¿Qué tan rápido rápido se desplazaban los saurópodos?

35


E.F. Ejerci Ejercicio cio 4.1.12 4.1.12.. (Área de superfi superficie cie del cuerpo cuerpo humano humano). ). Una fórmula empírica de E.F. Dubo Dubois is,, rela relaci cion onaa el área área de la supe superfi rfici ciee de un cuer cuerpo po huma humano no (en (en metr metros os cuad cuadra rados dos)) con con su peso w (en kilogramos) y su altura h (en centímetros). La fórmula es dada por 0.007184w0.425 h0.725 S = 0.007184w y es usada por fisiólogos en el estudio del metabolismo. (i) Hallar Hallar el dominio dominio de la función función S. (ii) ¿Cuál ¿Cuál es el área de la superfici superficiee de un cuerpo humano humano que tiene tiene un peso de 70 kg y su altu altura ra es de de 178 cm?

Ejercicio Ejercicio 4.1.13. 4.1.13. (Fuerza (Fuerza generada por un centrífuga) centrífuga).. Un centrífuga es una máquina diseñada con el propósito de someter los objetos a una fuerza centrífuga sostenida. La magnitud de una fuerza centrífuga F en dinas es dada por F = f ( M, M, S, R) =

2 S2 MR

π

900 donde S está en revoluciones por minuto (rpm), M es la masa en gramos y R es el radio en centímetros. Hallar la fuerza centrífuga generada por un objeto que gira a razón de 600 rpm en una circunfer circunferencia encia de radio 10 cm. Exprese Exprese su respuesta respuesta como un múltiplo múltiplo de la fuerza de gravedad (recuerde (recuerde que un gramo de fuerza equivale a 980 dinas). f es emiEjercicio 4.1.14. (El efecto doppler). Suponga que un sonido con frecuencia f tido por un objeto moviéndose a lo largo de una línea recta, con velocidad u, y qu que un oyente viaja a lo largo de la misma línea en la dirección opuesta con velocidad v. Entonces la frecuencia F recepcionada por el oyente es dada por F =

�−�

c v f c+u

donde c es la velocidad del sonido con viento en calma (esto sucede alrededor de los 1100 1100 pies/s pies/seg). eg). Este Este fenóme fenómeno no es llamad llamado o efecto dopler. Suponga que un tren viaja a 100 pies/seg pies/seg (aprox. (aprox. 68 mph) con viento calmado, calmado, y que la frecuencia frecuencia de una nota emitida emitida por la bocina bocina del tren es de 500 Hz. ¿Cuál ¿Cuál es la frecuencia frecuencia de la nota escuch escuchada ada por un pasaje pasajero ro sobre sobre un tren que se mueve mueve a razón razón de 50 pies/s pies/seg eg en la direcci dirección ón opuesta de dicho tren?

Ejercicio 4.1.15. En cada caso, esboce la gráfica de la función (a) f ( x, y) = 1 + x 2 (d) f ( x, y) = 12

− 2x − 3 y

(b) f ( x, y) = 16 + x 2 + y2 (e) f ( x, y) = 16 +

�

x2 + y2

(c) f ( x, y) =

� − 4

(f) f ( x, y) = 4

x2

− y2

− x2 − y2

Ejercicio 4.1.16. En cada caso, dibuje algunas curvas de nivel asociadas con la función dada (a) f ( x, y) = 1 + x (d) f ( x, y) = 12

2

− 2x − 3 y

2

(b) f ( x, y) = 16 + x + y (e) f ( x, y) = 16 +

�

2

x2 + y2

(c) f ( x, y) =

� −

(f) f ( x, y) = 4

4

x2

− y2

− x2 − y2

36


correspondencia cia f ( x, y) = ln( x + y )2 . Ejercicio 4.1.17. Sea la función f con regla de corresponden ¿Cuál de las siguientes gráficas representa alguna curva de nivel de f ? f ? Justifique su respuesta. (a ( y

=

y

( b (

y

y

-x

=

e x

1 x

x

-1 y

(c (

(d (

y

- x

e

y

1

1 1

-1

=

-1

x

-1

1

x

-1

corresponder a cada función, su gráfica (indicado del (a)-(f)). Ejercicio 4.1.18. Haga corresponder (a) f ( x, y) = ( x2 (d) f ( x, y) =

− y2)2

1 1 + x 2 + y2

z

(a (

(b) f ( x, y) = cos ( x + y)

(c) f ( x, y) = sen x cos y cos y

(e) f ( x, y) = ln ( x2

y (f) f ( x, y) = x + y

− y2)

(c (

z

( b (

y

| | | |

z

y

y x

x x

(d (

(e (

z

( f (

z

z

y x

x

y

x

y

37


Ejercicio 4.1.19. Dos mapas de contornos se muestran en las figuras adjuntas. Uno es de una función f cuya gráfica gráfica es un cono. El otro es de una función función g cuya gráfica es un paraboloide. ¿Cuál es cuál? ¿Por qué? y y ( b ( (a (

x

x

Ejercicio 4.1.20. En cada caso, se muestra el mapa de contorno de una función f . f . Use esto para hacer el esbozo de la gráfica de f . f . y y k

=

k

=

k

7

=

k

=

k

5

k

=

=

3

k

=

1

k

=

k k k k k k k k

=

8

=

6

= =

4

=

2

= =

x

k k k k k

10

=

= = = =

8 6 4 2

y

k k k k k

=

9

=

7

=

= =

=

k

=

k

=

k

4

=

=

k k k k

= = = =

0

6 8

k

=

1

3

5

7

x

x

5

y

-

k k k

3 2 1

k

0

=

=

k k k k

=

= = =

k k k

-4 -3 -2 -1

k = - 4 3 k = 2 k = k = - 1 k =

1 2 3

=

=

=

=

=

k 4 k 5

k

k

x

-1 -2 --34

=

4 =

=

k

=

k

k

3 2 1

=

1

k

2

k

y

3

x

8 7 6 5 4

5

=

5

y

=

=

0 k = 1 k =

2

x

=

k

3 k = 4 k =

siguiente proposición: proposición: todas las Ejercicio 4.1.21. Determine el valor de verdad de la siguiente rectas de ecuación y = mx m x son curvas de nivel de la función xy , f ( x, y) = 2 x = 0 x + y2

̸̸

Justifique su respuesta. presión constante son llamadas Ejercicio 4.1.22. (Isóbaras). Curvas que representan una presión

isóbaras. La presión en un punto ( x, y) de un plano es P( x, y) = plano, las isóbaras para P = 1/10, 1/5, 1/2.

x2 . Dibuje Dibuje en el x2 + y2

38


Ejercicio 4.1.23. (Isotermas). Curvas que representan una temperatura constante son llamadas isotermas. La temperatura en un punto ( x, y) de un plano es t ◦ C, donde donde t = 4x 4 x

− y2. Dibuje Dibuje en el plano las isotermas isotermas para t = −4, 0, 8.

4 es el vol( x 2)2 + ( y + 3)2 taje en un punto ( x, y) del plano xy, curvass de nivel nivel de V xy , y las curva V son conocidas como curvas equipotenciales, dibuje las curvas equipotenciales para V = = 1/2, 1/4, 1, 2, 4.

Ejercicio 4.1.24. (Curvas equipotenciales). Si V ( x, y) =

Ejercicio 4.1.25. Sea la función f ( x, y) =

−

√ | | − | | x

y y

(a) Grafique Grafique el mapa de contorno contorno de la función f . f . (b) Esboce Esboce la gráfica del dominio dominio de la función f . f .

Ejercicio 4.1.26. Dada la función f ( x, y) = contorno (curvas de nivel) de f . f .

√ − 26

x2

− 2x − y2,

si

x2 + y2

si

x2 + y2

elabor elaboree un mapa mapa de

Ejercicio 4.1.27. Sea f ( x, y) =

�

0 x2 + y2

−1

<

1

≥ 1

Describa las curvas de nivel de f 1/2, 1 y 3. A con conti tinu nuac ació ión n esb esboc ocee la la f para k = 0, 1/2, gráfica de f . f . ¿Pueden intersecarse intersecarse dos curvas curvas de nivel de una función función z = f ( x, y)? Ejercicio 4.1.28. ¿Pueden Explique

Ejercicio 4.1.29. (Topografía). La superficie de una pequeña montaña puede aproximarse por la ecuación z(2x2 + y2 + 100) = 1500 donde las unidades son metros. Dibuje la superficie de la montaña y los contornos para 12 m y z = 15 m. z = 3 m, z = 6 m, z = 9 m, z = 12

Ejercicio 4.1.30. (Ley de gases ideales). De acuerdo a la ley de gases ideales, = kT PV = k T donde P es la presión, V V el volumen, T la T la temperatura (en grados Kelvin), y k es una constante constante de proporciona proporcionalidad. lidad. Un tanque contiene contiene 2000 cm3 de nitrógeno a una presión presión de 26 libras libras por centímet centímetro ro cuadrado cuadrado y a una temperat temperatura ura de 300 K. (a) Determine Determine k (b) Escriba a P como una función de V y T y T y describa las curvas de nivel. kPa), volume volumen n V (en Ejercicio 4.1.31. (Superficie termodinámica). La presión p (en kPa), m3 ), y tempera temperatura tura T (en K) para un un determinado determinado gas, gas, se relacio relacionan nan por la ecuación ecuación /2V . Dibuje Dibuje la superfic superficie ie p V T usando eje x para V , p = T /2V T usando el eje z para p, el eje y el eje y para T . Use Use las las unid unidad ades es de 100 100 K para para T para V . Las seccio seccio-T y 10 m para nes transversales deberán ser usadas para dibujar esta superficie, que es una superficie termodinámica, debido a que ninguna de las variables es igual a cero.

− − −

39


Ejercicio 4.1.32. (Distribución de la temperatura). La temperatura T (en T (en grados Celcius) en cualquier punto ( x, y) de un plato plato circular circular de acero acero de 10 metros metros de radio radio es T = = 600

0.75 x2 − 0.75 y 0.75 y2 − 0.75x

donde x e y se mide en metros. Dibuje algunas de las curvas isotermales.

Ejercicio 4.1.33. (Electricidad). Se distribuye una carga eléctrica de tal manera que el potencial eléctrico en todos los puntos de una superficie imaginaria es el mismo. Una tal superficie es llamada superficie equipotencial. Haga una gráfica de la superficie equipotencial tencial con ecuaci ecuación ón 2x2 + 2 y 2 y2 + 3 z 3 z2 = 6.

Ejercicio 4.1.34. (Curvas de nivel de una cuenta de ahorros). ahorros). Si usted deposita P dólares en una cuenta que le paga una tasa de p % anual, compuesto compuesto continuamente, continuamente, entonrt ces el valor futuro luego de t años es B( P, r, t) = Pe ejemplo, P e , donde r = p/100 (por ejemplo, si la tasa tasa de inter interés és anual anual es 4 %, entonc entonces es r = 0.0 0.04). 4). A continua continuació ción n fije la tasa tasa de r = 0.04. (a) Determine todos los puntos ( P, t) que satisfacen B = 2000. Esta curva proporciona todos los depósitos P y tiempos t que permite permite acumu acumular lar 2000 dólares. dólares. (b) Repita Repita la parte parte (a) con $ 500, 500, $ 1000, 1000, $ 1500 1500 y $ 2500. 2500. A cont continu inuaci ación ón dibuje dibuje las curvas de nivel de la función valor futuro. (c) En general, en una curva de nivel, si t se incrementa, ¿será que P aumenta o disminuye? acuerdo a la Ley la Ley de Gravitación de Ejercicio 4.1.35. (Ley de Gravitación de Newton). De acuerdo cuerpo de masa masa m1 localizado en el origen de un sistema coordenado xyz Newton, Newton, un cuerpo y, z) con una fuerza es atraido por otro cuerpo de masa m2 localizado en el punto ( x, y, de magnitud dada por Gm 1 m2 F = 2 x + y2 + z2 donde G es la constante universal de gravitación. Describa las superficies superficies de nivel de F y de la interpretación física de su resultado.

Ejercicio 4.1.36. (Curvas de nivel de un plan de ahorros). Suponga que usted hace depósitos mensuales de P dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa mensual de futuro en la cuenta luego luego de t años resulta p %. El valor futuro

�

(1 + r)12t F ( P, r, t) = P r

−1

�

donde r = p/100 (por ejemplo, ejemplo, si la tasa tasa de interés interés anual anual es 9 %, entonces entonces p = 9/12 = 0.75 y r = 0.0075). Tome el tiempo de inversión t = 20 20 años. años. (a) Con una una cuenta cuenta de 20 000, determine determine el conjunt conjunto o de todos todos los puntos puntos ( P, r ) que satisfacen B = 20 000. Esta curva curva da todos todos los depósitos depósitos P y todas las tasas de interés mensual r que producen producen un monto de 20 000 000 luego de 20 años. (b) Repita Repita la parte parte (a) con B = $ 500 5000, 0, $ 10 000, 000, $ 15 000 000 y $ 25 000 000 y dibu dibuje je las las curvas de nivel que resultan de la función valor futuro.

40


Ejercicio 4.1.37. ¿Cuál es el valor de la función f (x, y) = x 2 + y2 en el punto (−2, 1)? (A)

(B) 5

−3

(C)

(D) 3

−5

(E) 2

Ejercicio 4.1.38. Los dominios de las funciones f ( x, y) =

�

ln( x2 + y2

− 16)

g( x, y) = ln ( x2 + y2

y

− 16)

son, respectivamente

(A) { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 17 } y (B) { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 17} y (C) { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 16 } y (D) { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 17} y (E) { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 17 } y

{(x, y) ∈ {(x, y) ∈ {(x, y) ∈ {(x, y) ∈ {(x, y) ∈

R R R R R

2

: x2 + y2

≥ 16} 2 : x2 + y2 16} 2 : x2 + y2 17} 2 : x2 + y2 ≥ 16 } 2 : x2 + y2 16} > >

>

Ejercicio 4.1.39. Indique el punto que pertenece a la gráfica de f ( x, y) = x 2 + y2 (A) (1,1,1)

(B) (2,3,4)

(C) (1,1,2)

Ejercicio 4.1.40. El rango de la función f (x, y) = (A) [0, 4]

(B) [0,16]

(D) (1,2,6)

√ −

(C) [0, +∞)

16

4x2

− y2

(E) (1,3,9) es

(D) [0, 2]

(E) [4, 8]

k para la función f ( x, y) = x 2 − 3 y2 es Ejercicio 4.1.41. La curva de nivel de altura k para

(A) x2 − 3 y2 = k (E) 3x2 + y = k

(B) 3x2 − y = k

3 y2 = k (C) x2 + 3 y

(D) x2 − 3 y2 = −k

entonces f ( x, mx ) es igual a Ejercicio 4.1.42. Si f ( x, y) = x 2 y/ y/( x4 + y2 ), entonces mx (A) 2 x + m2

mx 2 (B) 2 x + m2

mx (C) 4 x + m2

mx (D) 2 x + m3

m2 x 2 (E) 2 x + m2

tiene por por = 4 tiene Ejercicio 4.1.43. La curva de nivel de f (x, y) = 12 − 2x − 3 y de altura k = ecuación

3 y = 8 (A) 2x + 3 y 3 y = 6 (E) 2x + 3 y

3 y = −8 (B) 2x + 3 y

3 y = 12 (C) 2x + 3 y

3 y = −12 (D) 2x + 3 y

Lord Barrera - Cálculo de Varias Variables-CAP4

Recommend Documents