UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS
LOGICA MATEMATICA CON MAPLE
presentado por:
Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado
LAMBAYEQUE– PERU 2013
Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´ as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
Prefacio Visi´ on general Una de las situaciones m´ as dif´ıciles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en matem´ atica es la de tratar de explicar su labor profesional. La respuesta a ´esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la m´ as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacci´ on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´ atica lenguaje universal, ´esta debe cultivarse como contribuci´ on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambi´en se estima necesario que todos los pa´ıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas b´ asicas para as´ı poder lograr independizarse cient´ıfica, tecnol´ ogica y econ´ omicamente. Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matem´ atica la m´ as com´ un de las ciencias, en el sentido de que est´ a presente y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensi´ on, disgusto e incluso miedo a la matem´ atica. A´ un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formaci´ on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matem´ atica aporta a esta formaci´ on capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por ejemplo a trav´es de desarrollar la capacidad de abstracci´ on, de ense˜ nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´ on; en fin, la matem´ atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica y creativa. Es entonces muy preocupante que sea la m´ as desconocida de las ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´ atico, o, m´ as generalmente, el analfabetismo cient´ıfico. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducci´on, a nivel elemental y b´ asico, de una parte de las matem´ aticas sumamente u ´til y aplicable a casi todas las ramas del saber: La L´ ogica. De la experiencia de dictar cursos y ponencias sobre L´ ogica es que surgieron apuntes de i
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clase que, despu´es de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transform´ andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intenci´ on de que sirva como texto gu´ıa que inicie al alumno en esta fascinante rama de las matem´ aticas. Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porqu´e y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio de la L´ ogica y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando la informaci´ on b´ asica para la resoluci´ on de ´estas, as´ı como reforzar la comprensi´ on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. El texto se ha dise˜ nado para brindarle una comprensi´ on s´ olida e intuitiva de los conceptos b´ asicos, sin sacrificar la precisi´ on matem´ atica. Aplicaciones Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de la L´ ogica en sus campos de estudio. As´ı, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones de la L´ ogica a las distintas carreras profesionales.
Caracter´ısticas Contenido El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera:
En el Cap´ıtulo I, se describe los or´ıgenes de la L´ogica y los matem´aticos que aportaron al desarrollo de la misma.
En el Cap´ıtulo II, se estudia la L´ogica de Proposiciones. En el Cap´ıtulo III, se implementa el software matem´atico Maple en la L´ogica. Caracter´ısticas pedag´ ogicas En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos inclu´ıdo varios aspectos pedag´ ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca de la L´ ogica. Problemas resueltos y propuestos Un problema en matem´ atica puede definirse como una situaci´ on, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere soluci´ on, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente y obvio que conduzca a la misma.
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La resoluci´ on de problemas debe apreciarse como la raz´ on de ser del contenido matem´ atico, un medio poderoso de desarrollar conocimiento matem´ atico y un logro indispensable de una buena educaci´ on matem´ atica. El elemento crucial asociado con el desempe˜ no eficaz en matem´ atica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad. La elaboraci´ on de estrategias personales de resoluci´ on de problemas crea en los alumnos confianza en sus posibilidades de hacer matem´ atica, estimula su autonom´ıa, as´ı como expresa el grado de comprensi´ on de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras situaciones. Concebimos entonces que la resoluci´ on de problemas es el proceso m´ as importante que posibilitar´ a a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matem´ atica. Implicarlos en esa labor les permitir´ a indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ah´ı que una responsabilidad importante de los docentes del ´ area de matem´ atica sea elaborar, seleccionar, proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros colegas. Aprender matem´ atica significa entender y usar la matem´ atica a trav´es de la resoluci´ on de problemas, aprender matem´ atica no s´ olo es memorizar f´ ormulas t´ecnicas para resolver ejercicios propuestos. Hay que hacer que los alumnos trabajen din´ amicamente en actividades que permitan la construcci´ on del saber matem´ atico por etapas, a partir de fen´ omenos y de situaciones cotidianas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente y de inmediato su uso. Todo usuario de la Matem´ atica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construcci´ on del lenguaje matem´ atico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicaci´ on: alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con facilidad el lenguaje matem´ atico es muy importante para comprender la matem´ atica y por eso las formas de comunicaci´ on matem´atica deben ser cada vez m´ as formales y simb´ olicas. El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud. En los ejemplos resueltos ense˜ namos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos.
Res´ umenes Al final de cada cap´ıtulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del mismo, esto permitir´ a una clara comprensi´ on del texto.
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Uso de Software La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del aprendizaje” m´ as que un “presentador de hechos” ha producido una expansi´ on en la esfera de los paquetes de inform´ atica especializados como los software matem´ aticos preparados para ayudar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo pr´ actico, permitiendo as´ı ampliar la presentaci´ on de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal grado de complejidad en la ense˜ nanza de la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnolog´ıa Educativa”. Entre los software matem´ aticos m´ as importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive, Mathematica, Cabri Geometry, etc. El software matem´ atico Maple que se ha utilizado para la preparaci´ on de este libro, se caracteriza por realizar c´ alculos con s´ımbolos que representan objetos matem´ aticos. Se trata de un sistema de c´ alculo cient´ıfico (simb´ olico, num´erico y gr´ afico) interactivo, con una sintaxis pr´ oxima a la notaci´ on matem´ atica, disponible para una amplia gama de sistemas operativos. Algunas de sus capacidades son: X Operaciones num´ericas en aritm´etica racional exacta o decimal de precisi´ on arbitraria. X Manipulaci´ on algebraica de variables y s´ımbolos. X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matem´ aticas elementales. X C´alculo de l´ımites, derivadas y primitivas. X Resoluci´ on de ecuaciones y sistemas. X Operaciones con vectores y matrices. X Capacidades gr´ aficas en 2 y 3 dimensiones. X Lenguaje de programaci´ on de alto nivel.
La historia de la matem´ atica La historia de la matem´ atica est´ a llena de an´ecdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los j´ ovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de t´ opicos de historia de la matem´ atica, de biograf´ıas de matem´ aticos, de acertijos y problemas cl´ asicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes comprenden que la matem´ atica es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustraci´ on y desenga˜ no, ya sea al no poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginaci´ on de las comunidades cient´ıficas de la ´epoca, como ocurri´ o en el caso de las mujeres matem´ aticas.
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Es sumamente u ´til explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una situaci´ on nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni cr´ıtica.
El autor
Introducci´ on Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situaci´ on. Empez´ o por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y sigui´ o por la reuni´ on de informaci´ on y su aplicaci´ on a la vida cotidiana. La ciencia es hoy d´ıa algo m´ as compleja. Nuestra capacidad de observaci´ on ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos tambi´en se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de medios muy r´ apidos para registrar informaci´ on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la informaci´ on en una fracci´ on de segundo. Sin embargo, muchos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los u ´ltimos inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios r´ apidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambi´en cambien a su comp´ as los conocimientos necesarios de matem´ atica Aprender matem´ aticas, f´ısica y qu´ımica “es muy dif´ıcil”; as´ı se expresan la mayor´ıa de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicaci´ on del porqu´e no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teor´ıa es la siguiente: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la “l´ ogica matem´ atica”, ´el sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe l´ ogica matem´ atica puede relacionar estos conocimientos, con los de otras ´ areas para de esta manera crear conocimiento. Todo en la naturaleza animada, como en la inanimada, se rige por reglas, aunque estas reglas no son siempre de nosotros conocidas; as´ı es que en virtud de leyes fijas y determinadas cae la lluvia, se mueven los animales, etc. El Universo entero no es propiamente m´ as que un vasto conjunto de fen´ omenos sujetos a determinadas reglas; de suerte que nada, absolutamente nada existe sin su fundamento. Por consecuencia de esto, no existen, hablando con propiedad, vii
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verdaderas irregularidades; cuando nosotros creemos encontrarlas no es sino que las leyes que rigen los fen´ omenos que observamos nos son desconocidas. El ejercicio de nuestras facultades se verifica conforme a leyes, a las que desde luego nos ajustamos sin tener conciencia de ello, hasta el punto de que venimos insensiblemente en conocimiento de las mismas por hechos de experiencia y por el continuo uso de las propias facultades. Nosotros mismos concluimos por acomodarnos tan f´ acilmente a estas leyes, que despu´es nos cuesta gran trabajo el considerarlas de una manera abstracta. Ejemplo de esto tenemos en la gram´ atica general, que es una forma del lenguaje en general. Se habla tambi´en sin conocimiento de ninguna regla gramatical, y el que habla de este modo sigue sin embargo una gram´ atica, y habla conforme a reglas, mas no tiene conciencia de nada de esto. Todas nuestras facultades, en particular el entendimiento, est´ an sometidas en su ejercicio a leyes que podemos investigar. Hay m´ as; el entendimiento debe considerarse como el principio y la facultad para concebir las reglas en general. As´ı como la sensibilidad es la facultad de intuici´ on, as´ı el entendimiento es la facultad de pensar; es decir, la facultad de someter a leyes las representaciones sensibles. El entendimiento tiende a la investigaci´ on de las reglas y se encuentra feliz con haberlas hallado. Se trata, pues, de saber, ya que el entendimiento es el principio de las reglas, conforme a qu´e reglas procede ´el mismo. No hay, en efecto, duda alguna de que nosotros no podemos pensar o hacer uso de nuestro entendimiento, m´ as que siguiendo ciertas reglas. Mas ¿podemos nosotros concebir estas reglas en s´ı mismas, es decir, sin su aplicaci´ on o en abstracto? ¿Qu´e son, pues, estas reglas? Todas las reglas, seg´ un las que obra el entendimiento, o son necesarias o contingentes. Las primeras son aquellas sin las cuales ninguna funci´ on del mismo ser´ıa posible; las segundas aquellas sin las que no podr´ıan tener lugar ciertas y determinadas funciones. Las reglas contingentes, que se refieren a un objeto determinado de conocimiento, son tan numerosas como los mismos objetos. As´ı es, por ejemplo, que hay un ejercicio intelectual propio para las matem´ aticas, otro para la metaf´ısica, otro para la moral, etc. Las reglas de este empleo particular del entendimiento en las ciencias expresadas, son contingentes, puesto que es contingente que yo piense en tal o cual objeto a que se refieren estas reglas particulares. M´ as si hacemos abstracci´ on de todo conocimiento que solo pueda adquirirse con motivo del objeto y reflexionamos solamente acerca del empleo del entendimiento en general, hallamos estas reglas absolutamente necesarias bajo todos sus aspectos y sin ninguna relaci´ on propia de los objetos particulares del pensamiento, puesto que sin ellas no existir´ıa ´este. Estas reglas; se pueden, pues, considerar a priori, es decir, independientemente de toda experiencia, puesto que, contienen simplemente, sin distinci´ on de objeto, las condiciones del empleo del entendimiento de una manera general, ya sea aquel puro, ya sea experimental. De d´ onde se sigue al propio tiempo, que las reglas generales y necesarias del pensamiento no pueden referirse m´ as que a la forma, y en manera alguna a la materia o contenido. La ciencia de estas reglas necesarias y universales, es, pues, simplemente, la ciencia de la forma de nuestro conocimiento intelectual o del pensamiento. Nos podemos formar una idea de la posibilidad de una ciencia tal, de la misma manera que nos formamos la idea de una gram´ atica general que contiene m´ as que la
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simple forma del lenguaje en general, y no las palabras que constituyen la materia de los diversos; idiomas. Esta ciencia de las leyes necesarias del entendimiento y de la raz´ on en general, o lo que es lo mismo, de la simple forma del pensamiento en general, es lo que nosotros llamamos l´ ogica. Como ciencia que se ocupa del pensamiento en general, independientemente de los objetos que constituyen la materia, la l´ ogica puede ser considerada: 1° Como el fundamento de todas las otras ciencias y la proped´eutica de toda funci´ on intelectual. Mas por esto mismo no se ocupa nunca de objetos en manera alguna. 2° Como no pudiendo servir de ´ organo para las ciencias. Nosotros entendemos por ´ organo la indicaci´ on del modo en virtud del cual se puede adquirir un determinado conocimiento, lo que exige desde luego una noci´ on del objeto del conocimiento para establecer despu´es ciertas reglas. La simple l´ ogica no es, pues, un ´ organo de las ciencias, puesto que como ´ organo supone el conocimiento exacto de las ciencias, del objeto de ellas y de sus fuentes. As´ı es, por ejemplo, que las matem´ aticas son un ´ organo muy se˜ nalado como ciencia que contiene la raz´ on de la adquisici´ on del conocimiento referente a cierta aplicaci´ on racional. La l´ ogica por el contrario, en su calidad de proped´eutica, de toda funci´ on intelectual y racional en general, no puede formar parte de otras ciencias, ni anticipar nada sobre la materia o contenido de ellas; ella no es m´ as que el arte universal de la raz´ on (Can´ onica Epicuri) de poner de acuerdo los conocimientos en general con la forma del entendimiento, y no merece por tanto el nombre de ´ organo, m´ as que en tanto que sirve, no para entender, sino simplemente para criticar y rectificar nuestro conocimiento. 3° Como ciencia de las leyes necesarias del pensamiento, sin las que no es posible aplicaci´ on alguna del entendimiento y de la raz´ on; leyes que son, por consiguiente, las solas condiciones bajo las cuales el entendimiento puede y debe ponerse de acuerdo consigo mismo -leyes y condiciones de su leg´ıtimo empleo -la l´ ogica es una regla. Y como regla del entendimiento y la raz´ on, no puede dar nada de otra ciencia ni de la experiencia, no debe contener m´ as que las leyes puras, a priori, que son necesarias y constituyen la divisi´ on del entendimiento en general. A la verdad, hay l´ ogicos que suponen en la l´ ogica principios psicol´ ogicos; mas es tan absurdo el introducir tales principios, como derivar la moral de la conducta de la vida. Si tomamos estos principios de la psicolog´ıa, es decir, si nosotros los sacamos de la observaci´ on de nuestro entendimiento, ver´ıamos con esta u ´nicamente de qu´e manera se manifiesta el pensamiento, de qu´e modo se produce, c´ omo est´ a sujeto a diferentes obst´ aculos y a diversas condiciones subjetivas; lo que nos conducir´ a a leyes simplemente contingentes. En la l´ ogica no se trata de leyes contingentes, sino de leyes necesarias; no se trata, pues, de saber c´omo pensamos, sino c´ omo debemos pensar. Las reglas de la l´ ogica no deben tomarse, por consiguiente, del entendimiento aplicado de un modo contingente, sino que deben sacarse de su aplicaci´ on hecha de un modo necesario, aplicaci´ on que se halla en s´ı misma sin necesidad
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de la psicolog´ıa. No se pide en l´ ogica c´ omo se conduce el entendimiento, c´ omo piensa, c´ omo ha pensado hasta aqu´ı, sino simplemente c´ omo ha debido pensar. La l´ ogica debe, pues, darnos a conocer el empleo leg´ıtimo del entendimiento o su acuerdo consigo mismo. Despu´es de las consideraciones que acabamos de hacer acerca de la l´ ogica, dif´ıcilmente se pueden deducir las otras propiedades esenciales de esta ciencia a saber: 4° Que ´esta es una ciencia racional, no simplemente en cuanto a su forma, sino en cuanto a su fondo o contenido, pues que sus reglas no est´ an tomadas de la experiencia y tiene tambi´en por objeto la raz´ on misma. La l´ ogica es, pues, el conocimiento propio (Selbsterkenntniss) del conocimiento y de la raz´ on sin mirar al objeto posible o real de estas facultades, sino solamente, en cuanto se refiere a la forma. En l´ ogica yo no puedo pedir qu´e es lo que conoce el entendimiento, cu´ antas cosas conoce, o hasta d´ onde alcanza este conocimiento: esto ser´ıa, en tal caso, un verdadero conocimiento de s´ı mismo por lo que se refiere a la aplicaci´ on esencial del entendimiento, lo que constituye parte de la metaf´ısica. No hay m´ as que una cuesti´ on en l´ ogica, a saber: ¿C´ omo se conoce el entendimiento de s´ı mismo? Por u ´ltimo, como ciencia racional en cuanto al fondo y a la forma, la l´ ogica es adem´ as: 5° Una doctrina o teor´ıa demostrada, porque se ocupa no del empleo ordinario y como tal propiamente emp´ırico del entendimiento y la raz´ on, sino de las leyes necesarias y generales del pensamiento; descansa sobre principios a priori de donde, todas sus reglas pueden [13] ser deducidas como aquellas reglas a las cuales debe acomodarse todo conocimiento de la raz´ on. De donde la l´ ogica debe ser considerada como una ciencia a priori o como una doctrina como una ley de las funciones del entendimiento y de la raz´ on. Ella difiere esencialmente de la est´etica, que como simple cr´ıtica del gusto, no tiene nada de ley, sino simplemente una regla (modelo o patr´ on del empleo solamente de la critica), regla que consiste en el concierto universal. La est´etica es, pues, la ciencia de las reglas del concierto de las cosas con las leyes de la sensibilidad. La l´ ogica, por el contrario, tiene por objeto las reglas del concierto del conocimiento con las leyes del entendimiento y la raz´ on. La primera no tiene m´ as; que principios emp´ıricos, y no puede, por tanto, constituir una ciencia o una doctrina, si se entiende por doctrina una instrucci´ on dogm´ atica por principios a priori, en la que se llega a conocer todo por el entendimiento sin datos ulteriores tomados de la experiencia; y que nos da reglas cuya aplicaci´ on produce la perfecci´ on de ser. Se ha intentado, particularmente por los oradores y poetas razonar sobre el gusto; mas nunca se ha podido pronunciar un juicio definitivo sobre este punto. El fil´ osofo Baumgartem, en Francfort, form´ o el plan de una est´etica como ciencia, pero Home ha llamado con m´ as propiedad cr´ıtica a la est´etica, puesto que esta no suministra ninguna regla a priori que determine el juicio en una medida suficiente, como lo hace la l´ ogica, sino que por el contrario, establece sus reglas a posteriori y hace m´ as generales, por la
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comparaci´ on solamente, las leyes, seg´ un las cuales, nosotros reconocemos lo peor y lo mejor (lo bello). La l´ ogica es, pues, algo m´ as que una simple cr´ıtica; es una regla que vive asociada de la cr´ıtica, es decir, del principio para juzgar todas las funciones intelectuales en general, mas solamente en la que mira a la legitimidad de estas funciones en cuanto a la mera forma, pues que ella no es un ´ organo como no lo es la gram´ atica general. Como proped´eutica de toda funci´ on intelectual, la l´ ogica universal difiere tambi´en de la l´ ogica trascendental, en la que el objeto mismo se representa como el objeto uno del entendimiento; la l´ ogica universal, por el contrario, se refiere a todos los objetos. Si entre tanto, nosotros queremos abrazar de un solo golpe de vista todos los caracteres esenciales que corresponden a la extensa determinaci´ on procedente de la noci´ on de la l´ ogica, haremos una idea de ello diciendo: La l´ ogica es una ciencia racional, no solo en cuanto a la mera forma, sino tambi´en en cuanto al fondo; una ciencia a priori de las leyes necesarias del pensamiento, no por lo que se refiere a los objetos particulares, sino por lo que respecto a todos los objetos en general. -La l´ ogica es, por consiguiente, la ciencia de la aplicaci´ on leg´ıtima del entendimiento y la raz´ on en general; ciencia no subjetiva, es decir, no formada en vista de principios emp´ıricos (psicol´ ogicos) sino ciencia objetiva, esto es, ciencia formada por principios a priori determinando la materia del pensamiento que debe ocupar al entendimiento. Entre todas las disciplinas matem´ aticas, la L´ ogica es una de las m´ as importantes; puesto que estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y t´ecnicas determina si un argumento es v´ alido. La l´ ogica es ampliamente aplicada en la filosof´ıa, matem´ aticas, computaci´ on, f´ısica. En la filosof´ıa para determinar si un razonamiento es v´ alido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la l´ ogica permite saber el significado correcto. En las matem´ aticos para demostrar teoremas e inferir resultados matem´ aticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computaci´ on para revisar programas. En general la l´ ogica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento l´ ogico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento l´ ogico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento l´ ogico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pint´ o la parte alta porque se manchar´ıa lo que ya tiene pintado, tambi´en dependiendo si es zurdo o derecho, ´el puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda seg´ un el caso, todo esto es la aplicaci´ on de la l´ ogica. La l´ ogica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoy´ andose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilizaci´ on de los mismos. El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la l´ ogica matem´ atica, despu´es definimos el concepto de proposici´ on. Se es-
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tablece el significado y utilidad de conectivos l´ ogicos para formar proposiciones compuestas. M´ as tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautolog´ıa, contradicci´ on y contingente, y proporcionamos una lista de las tautolog´ıas m´ as importantes, as´ı mismo explicamos a que se le llama proposiciones l´ ogicamente equivalente apoy´ andonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los m´etodos de demostraci´ on: directo y por contradicci´ on, en donde incluye reglas de inferencia. En este trabajo se trata adem´as de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el m´etodo directo y el m´etodo por contradicci´ on. Ya que la mayor´ıa de los libros comerciales u ´nicamente se quedan en explicaci´ on y demostraci´ on de reglas de inferencia. Consideramos que s´ı el alumno aprende l´ ogica matem´ atica no tendr´ a problemas para aprender ciencias exacta y ser´ a capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos l´ ogicos, que la persona establece para resolver n problema determinado. Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o m´ as corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautolog´ıas que el alumno seleccione, pero definitivamente deber´ a llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicaci´ on de reglas y f´ ormulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia soluci´ on, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado. Esta obra es un intento para lograr que la ense˜ nanza y el aprendizaje de la ciencia sean los m´ as eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ense˜ nar la Ciencia, ´esta publicaci´ on no pretende ser el non plus ultra de la ense˜ nanza de la Matem´ atica. Los profesores deben buscar constantemente los mejores m´etodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento b´ asico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ense˜ nanza de ´esta Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educaci´ on se centre en crear las situaciones de aprendizaje m´ as eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto est´ a destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a docentes en ejercicio as´ı como tambi´en a los futuros docentes de varios niveles acad´emicos para que lo utilicen en las situaciones m´ as diversas. Su finalidad es mejorar la ense˜ nanza cotidiana de la ciencia examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante. ´ Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´ aticas de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formaci´ on integral de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicaci´ on sea tan buena que haya demanda
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de una segunda edici´ on. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como a˜ nadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer´ aa los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
´Indice general
Prefacio
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Introducci´ on
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´ INTRODUCCION
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1. PRELIMINARES
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1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2. Historia de la L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3. Matem´ aticos que aportaron a la L´ ogica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4. La L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4.1. Diferentes sistemas l´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4.2. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5. Objeto y significado de la L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.1. Objeto de la l´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.2. Las leyes de la l´ ogica y otras ciencias especiales . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.3. Importancia del estudio de la l´ ogica como ciencia . . . . . . . . . . . . .
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´ 2. LOGICA DE PROPOSICIONES
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2.1. Proposiciones y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.2. Valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.3. Tabla de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.4. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.5. Conectivas
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2.1.6. Simbolizaci´ on de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.2. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2.1. Conjunci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2.2. Disyunci´ on inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2.3. Negaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2.4. Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2.5. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2.6. Disyunci´ on exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Proposiciones Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.4. Jerarqu´ıa de los conectivos l´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.4.1. Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.4.2. Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.4.3. Contingencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.5. Equivalencias l´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.6. Leyes del Algebra Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.7. Simplificaci´ on de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.8. Inferencia L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.8.1. Inferencias notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. LOGICA CON MAPLE
77
3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.1.1. Lista de comandos del paquete Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2. Conectivos l´ ogicos en Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3. Tabla de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.4. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4.1. Conjunci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4.2. Disyunci´ on inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4.3. Negaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.4.4. Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.4.5. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4.6. Disyunci´ on exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4.7. Comandos importantes
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. LOGICA CON MATLAB
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4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1.1. Lista de comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2. Conectivos l´ ogicos en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3.1. Conjunci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3.2. Disyunci´ on inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3.3. Negaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3.4. Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3.5. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.6. Disyunci´ on exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Bibliograf´ıa
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PRELIMINARES Objetivos: z Dar a conocer el impact´ o fundamental que tiene la L´ ogica como ciencia de las ciencias, en el pensamiento contemporaneo. z Identificar los diferentes sistemas l´ ogicos.
1.1.
Introducci´ on
La evoluci´ on de la l´ ogica est´ a intrinsecamente ligada a la evoluci´ on intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento, su historia representa la historia misma del hombre. La l´ ogica surge desde el primer momento en que el hombre, al enfrentar a la naturaleza, infiere, deduce y razona, con el ´ animo de entenderla y aprovecharla para su supervivencia. La L´ ogica es un t´ermino que deriva del girego “∧oyik´ oς” (logikˆe-logik´ os), que a su vez es “λ´ oyoς” (logos), que significa raz´ on. Se considera que Arist´ oteles1 fue el que fund´ o la L´ ogica como Proped´eutica, herramienta b´ asica para todas las Ciencias. La L´ogica es una ciencia formal. Esto quiere decir que no tiene contenido, porque estudia las formas v´ alidas de inferencia. La l´ogica tradicional se basaba en el silogismo como razonamiento basado en el juicio categ´ orico aristot´elico. Hoy d´ıa la l´ ogica utiliza como unidad b´ asica la proposici´ on y las reglas de inferencia en la argumentaci´ on discursiva. 1
Arist´ oteles, (Estagira, Macedonia 384 a. C. - Calcis Eubea, Grecia 322 a. C.), es uno de los m´ as grandes
fil´ osofos de la antig¨ uedad y acaso de la historia de la filosof´ıa occidental. Fue precursor de la anatom´ıa y la biolog´ıa y un creador de la taxonom´ıa.
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1.2.
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Historia de la L´ ogica
Hist´ oricamente la palabra “l´ ogica” ha ido cambiando de sentido. Comenz´ o siendo una modelizaci´ on de los razonamientos, propuesta por los fil´ osofos griegos, y posteriormente ha evolucionado hacia diversos sistemas formales, relacionados con la teor´ıa. La l´ogica formal, como un an´ alisis expl´ıcito de los m´etodos de razonamientos, se desarroll´ o originalmente en tres civilizaciones de la historia antigua: China, India y Grecia entre el Siglo V y el Siglo I a. C. En China no dur´ o mucho tiempo: la traducci´ on y la investigaci´ on escolar en l´ ogica fue reprimida por la dinast´ıa Qin, acorde con la filosof´ıa legista. En India, la l´ ogica dur´ o bastante m´ as: se desarroll´ o (por ejemplo con la nyaya) hasta que en el mundo isl´ amico apareci´ o la escuela de Asharite, la cual suprimi´ o parte del trabajo original en l´ ogica. (A pesar de lo anterior, hubo innovaciones escol´ asticas indias hasta principios del siglo XIX, pero no sobrevivi´ o mucho dentro de la India Colonial). El tratamiento sofisticado y formal de la l´ ogica moderna aparentemente proviene de la tradici´ on griega. Arist´ oteles fue el primero en emplear el t´ermino “L´ ogica” para referirse al estudio de los argumentos dentro del “lenguaje apof´ antico” como manifestador de la verdad en la ciencia. Pensaba que la verdad se manifiesta en el juicio verdadero y el argumento v´ alido en el silogismo: “Silogismo es un argumento en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa diferente”. Naci´o as´ı la l´ ogica formal. Arist´ oteles formaliz´ o el cuadro de oposici´ on de los juicios y las formas v´ alidas del silogismo. Kant en el siglo XVIII pensaba que Arist´ oteles hab´ıa llevado la l´ ogica formal a su perfecci´ on, por lo que b´ asicamente hasta entonces no hab´ıa habido pr´ acticamente modificaciones de importancia. Y lo justificaba al considerar que siendo la l´ ogica una ciencia formal, era por ello anal´ıtica y a priori, lo que justifica su necesidad y su universalidad, pues es la raz´ on la que trata consigo misma respecto a sus leyes del pensar, sin contenido de experiencia alguno. En la filosof´ıa tradicional, por otro lado, la “L´ ogica Informal”, o el estudio met´ odico de los argumentos probables fue investigada por la ret´ orica, la oratoria y la filosof´ıa, entre otras ramas del conocimiento. Se especializ´ o medularmente en la identificaci´ on de falacias y paradojas, as´ı como en la construcci´ on correcta de los discursos. Arist´ oteles asimismo consider´ o el argumento inductivo, base de lo que constituye la ciencia experimental, cuya l´ ogica est´ a ligada al progreso de la ciencia y al m´etodo. A partir de mediados del Siglo XIX la l´ ogica formal comenz´ o a ser estudiada en el campo
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de las matem´ aticas y posteriormente por las ciencias computacionales, naciendo as´ı la L´ ogica simb´ olica. La l´ ogica simb´ olica trata de esquematizar los pensamientos de forma clara y sin ambig¨ uedades. Para ello usa un lenguaje formalizado constituido como c´ alculo. De este modo, en la edad contempor´ anea, la l´ ogica generalmente es entendida como un c´ alculo y se aplica a los razonamientos en una forma prescripta mediante aplicaci´ on de reglas de inferencia como un c´ alculo l´ ogico o matem´ atico. Hoy d´ıa se considera una u ´nica ciencia l´ ogico-matem´ atica cuya expresi´ on m´ as importante en el campo de la ciencia es la creaci´ on de modelos gracias sobre todo a la aplicaci´ on t´ecnica en los circuitos l´ ogicos que hacen posible la inform´ atica y el c´ alculo num´erico. Si bien a lo largo de este proceso la l´ ogica aristot´elica pareci´ o in´ util e incompleta, Luckasiewicz mostr´ o que, a pesar de sus grandes dificultades, la l´ ogica aristot´elica era consistente, si bien hab´ıa que interpretarse como l´ ogica de clases, lo cual no es peque˜ na modificaci´ on. Por ello la silog´ıstica pr´ acticamente no tiene uso actualmente. Para la L´ ogica matem´ atica y la filosof´ıa anal´ıtica la l´ ogica es un objeto de estudio en s´ı mismo, por lo que esta es estudiada a un nivel m´ as abstracto. Existen muchos otros sistemas l´ ogicos, como la l´ ogica dial´ectica, l´ ogica difusa, l´ ogica probabil´ıstica, l´ ogica modal y la l´ ogica no mon´ otona. Martin Heidegger, disc´ıpulo de Edmund Husserl, se aparta de estas l´ıneas de consideraci´ on de la l´ ogica aunque sin despreciarlas y comprendiendo su alcance (pero tambi´en sus l´ımites), planteando que una l´ ogica m´ as originaria se podr´ıa encontrar en un plano previo a las proposiciones, sentencias, declaraciones o juicios. Tomar en cuenta eso podr´ıa llevar a un replanteamiento de la l´ ogica de la proposici´ on o la l´ ogica del juicio, puesto que nos conducir´ıa a movernos en las ra´ıces de la l´ ogica tal como ha sido habitualmente entendida, ra´ıces que hasta ahora han sido insuficientemente atendidas. Para ´el, la l´ ogica tendr´ıa que partir de una suficiente meditaci´ on del “λ´ oyoς” (l´ ogos), el cual deber´ıa ser distinguido de la ratio (raz´ on), que, en rigor, significa algo distinto. La historia de la l´ ogica documenta el desarrollo de la l´ ogica en varias culturas y tradiciones a lo largo de la historia. Aunque muchas culturas han empleado intrincados sistemas de razonamiento, e, incluso, el pensamiento l´ ogico estaba ya impl´ıcito en Babilonia en alg´ un sentido, la l´ ogica como an´ alisis expl´ıcito de los m´etodos de razonamiento ha recibido un tratamiento sustancial solo originalmente en tres tradiciones: la china, la india y la griega. Aunque las dataciones exactas son inciertas, particularmente en el caso de la India, es probable que la l´ ogica emergiese en las tres sociedades hacia el siglo IV a. C. El tratamiento formalmente sofisticado de la l´ ogica proviene de la tradici´ on griega, especialmente de la l´ ogica
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aristot´elica, que ser´ıa m´ as tarde desarrollada por los l´ ogicos isl´ amicos y, luego, por los l´ ogicos de la Edad Media europea. El descubrimiento de la l´ ogica india entre los especialistas brit´ anicos en el siglo XVIII influy´ o tambi´en en la l´ ogica moderna. La l´ ogica en Mesopotamia En Mesopotamia, el Manual de diagn´ ostico m´edico de Esagil kin apli, escrito en el siglo XI a. C., se bas´ o en un conjunto l´ ogico de axiomas y asunciones, entre las que se incluyen la visi´ on moderna de que, a trav´es del examen e inspecci´ on de los s´ıntomas de un paciente, es posible determinar el problema del mismo, su etiolog´ıa y su desarrollo futuro, y las posibilidades de recuperaci´ on. Durante los siglos VIII y VII, los astr´ onomos babilonios empezaron a utilizar una l´ogica interna en sus sistemas de predicci´ on planetaria, que fue una importante contribuci´ on a la l´ ogica y la filosof´ıa de la ciencia. El pensamiento babil´ onico tuvo una considerable influencia en el pensamiento de la Grecia arcaica. La l´ ogica en Grecia En Grecia, emergieron dos tradiciones l´ ogicas opuestas. La l´ ogica estoica estaba enraizada en Euclides de Megara, pupilo de Socrates, y con su concentraci´ on en la l´ ogica proposicional es la que quiz´ as est´e m´ as pr´ oxima a la l´ ogica moderna. Sin embargo, la tradici´ on que sobrevivi´ o a las influencias de culturas posteriores fue la peripat´etica, que tuvo su origen en el conjunto de obras de Arist´ oteles conocido como Organon, “instrumento”, la primera obra griega sistem´ atica sobre l´ ogica. El examen de Arist´ oteles del silogismo permite interesantes comparaciones con el esquema indio de la inferencia y la menos r´ıgida discusi´ on china. A trav´es del lat´ın en Europa occidental y de distintas lenguas orientales, como el ´ arabe, armenio y georgiano, la tradici´ on aristot´elica fue considerada de forma especial para la codificaci´ on de las leyes del razonamiento. Solo a partir del siglo XIX cambi´ o este enfoque. La l´ ogica en la India Dos de las seis escuelas indias de pensamiento est´ an relacionadas con la l´ ogica: Nyaya y Vaisheshika. Los Nyaya Sutras de Aksapada Gautama constituyen el n´ ucleo de textos de la escula Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de filosof´ıa hind´ u. Esta escuela realista trabaj´ o con un r´ıgido esquema de inferencia de cinco miembros que engloba una premisa inicial, una raz´ on, un ejemplo, una aplicaci´ on y una conclusi´ on. La filosof´ıa budista idealista se convirti´ o en la principal oponente de los Naiyayikas. Nagarjuna, el fundador del camino
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intermedio Madhyamika, desarroll´ o un an´ alisis conocido como “catuskoti” o tetralemma. Esta argumentaci´ on de cuatro aspectos examin´ o y rechaz´ o sistem´ aticamente la afirmaci´ on de una proposici´ on, su negaci´ on, la afirmaci´ on conjunta y negaci´ on, y finalmente, el rechazo de su afirmaci´on y negaci´ on. Pero fue con Dignaga y su sucesor Dharmakirti con quienes la l´ ogica budista alcanz´ o su mayor altura. Su an´ alisis, centrado en la definici´ on de la implicaci´ on necesariamente l´ ogica, “vyapti”, conocida tambi´en como concomitancia o penetraci´ on invariable. A este fin, fue desarrollada una doctrina conocida como “apoha” o diferenciaci´ on. Comprende lo que se podr´ıa llamar la inclusi´ on y exclusi´ on de propiedades definitorias. Las dificultades concernientes a esta empresa, en parte, estimularon a la escuela neoescol´ astica de Navya Nya ya, que introdujo un an´ alisis formal de la inferencia en al siglo XVI. La l´ ogica en China En China, un contempor´ aneo de Confucio, Mozi, “Maestro Mo”, es considerado como el fundador de la escuela Mohista (moh´ısmo), cuyos principios est´ an relacionados con temas como la inferencia v´ alida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas que siguieron al moh´ısmo, los l´ ogicos, es considerada por varios expertos como la primera que investig´ o la l´ ogica formal. Desafortunadamente, debido a la r´ıgida normativa legal durante la dinast´ıa Qin, esa l´ınea de investigaci´ on desapareci´ o de China hasta la introducci´ on de la filosof´ıa india por parte del budismo. La l´ ogica en la filosof´ıa isl´ amica Durante un tiempo tras la muerte de Mahoma, la ley isl´ amica consider´ o importante formular est´ andares para los argumentos, lo que dio lugar a una nueva aproximaci´ on a la l´ ogica en Kalam, pero esta aproximaci´ on fue m´ as tarde desplazada por ideas tomadas de la filosof´ıa griega y helen´ıstica con el auge de los fil´ osofos de la escuela Mu’tazili, que valoraron extraordinariamente el Organon de Arist´ oteles. Las obras de los fil´ osofos isl´ amicos con influencias helen´ısticas fueron cruciales para la recepci´ on de la l´ ogica arist´ otelica en la Europa medieval, junto con los comentarios sobre el Organon elaborados por Averroes. Las obras de al-Farabi, Avicenna, al-Ghazali y otros l´ ogicos musulmanes que en ocasiones criticaron y corrigieron la l´ ogica aristot´elica e introdujeron sus propias formas de l´ ogica, tambi´en desempe˜ naron un papel central en el subsecuente desarrollo de la l´ ogica europea medieval. La l´ ogica isl´ amica no solo incluye el estudio de modelos formales de inferencia y su validaci´ on, sino tambi´en elementos de la filosof´ıa del lenguaje y elementos de epistemolog´ıa y metaf´ısica. Debido a disputas con gram´ aticos ´ arabes, los fil´ osofos isl´ amicos estuvieron muy
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interesados en trabajar en el estudio de las relaciones entre l´ ogica y lenguaje, y dedicaron muchas discusiones a la cuesti´ on del objeto de inter´es y objetivos de la l´ ogica en relaci´ on con el razonamiento y el habla. En el a´rea del an´ alisis l´ ogico formal, elaboraron la teor´ıa de los t´erminos, proposiciones y silogismos. Consideraron el silogismo como la forma a la que toda argumentaci´ on racional pod´ıa reducirse, y consideraron la teor´ıa silog´ıstica como el punto central de la l´ ogica. Incluso, la po´etica fue considerada, en ciertos aspectos, como un arte silog´ıstico por muchos de los m´ as importantes l´ ogicos isl´ amicos. Entre los m´ as importantes desarrollos realizados por los l´ ogicos musulmanes est´ a el de la l´ ogica de Avicena como sustituta de la l´ ogica aristot´elica. El sistema l´ ogico de Avicena fue responsable de la introducci´ on del silogismo hipot´etico, de la l´ ogica modo temporal, y de la l´ ogica inductiva. Otro importante desarrollo en la filosof´ıa isl´ amica es el de una estricta ciencia de la cita, la isnad o “revisi´ on”, y el desarrollo de un m´etodo cient´ıfico de investigaci´ on abierta para poner en cuesti´ on determinadas afirmaciones, la ijtihad, que pod´ıa aplicarse normalmente a muchos tipos de cuestiones. Desde el siglo XII, a pesar de la sofisticaci´ on l´ ogica de al-Ghazali, el auge de la escuela Asharite al final de la Edad Media limit´ o poco a poco la obra original sobre l´ ogica en el mundo isl´ amico, aunque continu´ o posteriormente en el siglo XV.
La l´ ogica en la Europa medieval Se entiende habitualmente por “l´ ogica medieval” (tambi´en conocida como “l´ ogica escol´astica”) la forma de la l´ ogica aristot´elica desarrollada en la Europa medieval en el periodo de 1200 − 1600. Esta tarea comenz´ o tras las traducciones al lat´ın del siglo XII, cuando textos arabes sobre l´ ´ ogica aristot´elica y la l´ ogica de Avicena fueron traducidos a la lengua de Roma. Aunque la l´ ogica de Avicena tuvo influencia en los primeros l´ ogicos medievales europeos tales como Alberto Magno, la tradici´ on aristot´elica se convirti´ o en la dominante debido a la importante influencia del averro´ısmo. Tras la fase inicial de traducciones, la tradici´ on de la l´ ogica medieval fue desarrollada en manuales como el de Petrus Hispanus (fl. siglo XIII), de identidad desconocida, que fue autor de un manual est´ andar sobre l´ ogica, el Tractatus, que fue bien conocido en Europa durante varios siglos. La tradici´ on alcanz´ o su punto m´ as alto en el siglo XIV, con las obras de Guillermo de Ockham (c. 1287 − 1347) y Jean Buridan. Un rasgo del desarrollo de la l´ ogica aristot´elica se conoce con el nombre de teor´ıa de la suposici´on, un estudio de la sem´ antica de los t´erminos de la proposici´ on. La u ´ltimas grandes obras de esta tradici´ on son Logic de John Poinsot (1589−1644, conocido
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como John of St Thomas), y Disputas metaf´ısicas de Francisco Su´ arez (1548 − 1617). La l´ ogica tradicional La expresi´ on “l´ ogica tradicional” hace referencia, habitualmente, a la tradici´ on de manuales que comienza con Logic, or the Art of Thinking de Antoine Arnauld y Pierre Nicole, m´ as conocido como L´ ogica de Port-Royal. Publicada en 1662, fue la m´ as influyente obra sobre l´ ogica en Inglaterra hasta el Sistema L´ ogico de Mill de 1825. El libro presenta una muy libre doctrina cartesiana (que la proposici´ on es una combinaci´ on de ideas antes que de t´erminos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la l´ ogica de t´erminos aristot´elica y medieval. Entre 1664 y 1700 se publicaron ocho ediciones, y el libro tuvo considerable influencia. Fue frecuentemente reeditado en Inglaterra hasta finales del siglo XIX. El tratamiento que realiza Locke de la proposici´ on en el Ensayo es, esencialmente, el de Port Royal: “Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, ya vayan juntas o separadas en oraciones afirmativas o negativas. As´ı, pues, la proposici´ on consiste en juntar o separar esos signos, de acuerdo con las cosas con las que est´ an de acuerdo o en desacuerdo.” (Locke, An Essay Concerning Human Understanding, IV. 5.6) Los trabajos m´ as conocidos dentro de esta tradici´ on son los de Isaac Watts, Logick: Or, the Right Use of Reason (1725), Richard Whately, Logic (1826), y John Stuart Mill, A System of Logic (1843), que fue una de las u ´ltimas grandes obras de la tradici´ on. El advenimiento de la l´ ogica moderna Historicamente, Descartes puede que haya sido el primer fil´ osofo en haber tenido la idea de usar el ´ algebra, especialmente sus t´ecnicas para resolver cantidades desconocidas en las ecuaciones, como veh´ıculo para la exploraci´ on cient´ıfica. La idea de un c´ alculo de razonamiento fue tambi´en cultivada por Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz fue el primero en formular la noci´ on de un sistema de l´ ogica matem´ atica aplicable de forma generalizada. Sin embargo, los documentos relevantes al respecto no fueron publicados hasta 1901 y muchos de ellos siguen sin estar publicados, y la actual comprensi´ on del poder de los descubrimientos de Leibniz no empez´ o a desarrollarse hasta los a˜ nos ochenta. Gottlob Frege en su Begriffsschrift (1879) extendi´ o la l´ ogica formal m´ as all´ a de la l´ ogica proposicional para incluir constructores como “todo” y “algunos”. Mostr´ o c´ omo introducir variables y cuantificadores para revelar la estructura l´ ogica de las oraciones, que podr´ıa estar ocultas tras su estructura gramatical. Por ejemplo, “Todos los seres humanos son mortales” se convierte en “Toda cosa x es tal que, si x es un ser humano entonces x es mortal”. La peculiar
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doble notaci´ on dimensional de Frege hizo que su obra fuese ignorada durante muchos a˜ nos. En un magistral art´ıculo de 1885 le´ıdo por Peano, Ernst Schr¨ oder y otros, Charles Peirce introdujo el t´ermino “L´ ogica de segundo orden” proporcionando la mayor parte de la moderna notaci´ on l´ ogica, incluyendo los s´ımbolos prefijados para la cuantificaci´ on universal y existencial. Los l´ ogicos de finales del siglo XIX y de comienzos del XX estuvieron m´ as familiarizados con el sistema l´ ogico de Peirce-Schr¨ oder, aunque generalmente se reconoce que Frege es el Padre de la l´ ogica moderna. En 1889 Giuseppe Peano public´ o la primera versi´ on de la axiomatizaci´ on l´ ogica de la aritm´etica. Cinco de los nueve axiomas son conocidos como axiomas de Peano. Uno de estos axiomas fue una formalizaci´ on del principio de la inducci´ on matem´ atica.
1.3.
Matem´ aticos que aportaron a la L´ ogica
La evoluci´ on de la l´ ogica est´ a intr´ınsecamente ligada a la evoluci´ on intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento, su historia representa la historia misma del hombre. La l´ ogica surge desde el primer momento en que el hombre, al enfrentar a la naturaleza, infiere, deduce y razona, con el ´ animo de entenderla y aprovecharla para su supervivencia. Existen varios enfoques acerca de c´ omo interpretar la evoluci´ on de la l´ ogica. Poncaire la divide en cinco etapas o revoluciones, que se presentan oscilando entre dos grandes t´ opicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revoluci´ on matem´ atica, revoluci´ on cient´ıfica, revoluci´ on formal, revoluci´ on digital y la prevista siguiente revoluci´on l´ ogica. El objetivo de la l´ ogica matem´ atica es cuestionar con el mayor rigor los conceptos y las reglas de deducci´ on utilizados en matem´ aticas, constituyendo la l´ ogica por ello una verdadera metamatem´ atica. Una teor´ıa matem´ atica considera objetos definidos (enteros, por ejemplo) y define leyes que relacionan a estos objetos entre s´ı (los axiomas de la teor´ıa). De los axiomas se deducen nuevas proposiciones (los teoremas), y a veces, nuevos objetos. La construcci´ on de sistemas formales (formalizaci´ on), piedra angular de la l´ ogica matem´ atica, permite eliminar la arbitrariedad en la elecci´ on de los axiomas y definir expl´ıcita y exhaustivamente las reglas de la deducci´ on matem´ atica. Las matem´ aticas y la l´ ogica Durante el periodo de 600 AC hasta 300 AC, en Grecia se desarrollaron los principios formales de las matem´ aticas. A este periodo se le conoce como periodo cl´asico, donde sus principales representantes son Plat´ on, Arist´ oteles y Euclides. Plat´ on introduce sus ideas o abstracciones; Arist´ oteles presenta el razonamiento deductivo y sistem-
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atizado y Euclides es el personaje que mayor influencia tuvo en las matem´ aticos, al establecer el m´etodo axiom´ atico. En ”Elementos”, Euclides organiza pruebas deductivas dentro de una presentaci´ on sistem´ atica, rigurosa y bien organizada de conocimiento matem´ atico. Democrito (460-370 AC) fue quien inici´ o las investigaciones cient´ıficas en el terreno de la L´ ogica. Fundador de la teor´ıa atom´ıstica, Dem´ ocrito estudi´ o los problemas de la inducci´ on, extendi´endose, sobre todo, en la analog´ıa y en la hip´ otesis, as´ı como en la definici´ on de los conceptos. Part´ıa, para ello, del estudio experimental de la naturaleza. Por primera vez en la historia de la L´ogica, Democrito trato de formular la ley de la raz´ on suficiente, consider´ andola como principio universal. Plat´ on Plat´ on (427-347 AC) intenta instaurar en Siracusa una ut´ opica rep´ ublica dirigida por fil´ osofos, y crea la Academia en Atenas, que no era solo una instituci´ on filos´ ofica, sino serv´ıa de formaci´ on pol´ıtica a los j´ ovenes de la aristocracia. Seg´ un muchos cr´ıticos, Plat´ on edifica su teor´ıa del conocimiento para justificar el poder preeminente del fil´ osofo y parte de los pensamientos socr´ aticos: la b´ usqueda de conceptos y definiciones estables de las ideas abstractas (justicia, bondad, valor, etc.). Sostuvo la existencia de dos mundos distintos (el de las ideas y el de las cosas). Seg´ un Plat´ on, lo concreto se entiende s´ olo en funci´ on de lo abstracto, resultando que el mundo sensible debe su existencia al mundo de las ideas. Plat´ on escogi´ o el di´ alogo como su forma literaria para verter su pensamiento; como personaje central de sus “Di´ alogos” sit´ ua a S´ ocrates, de quien recibi´ o una notable influencia. Arist´ oteles Los tratados de l´ ogica de Arist´ oteles (384-332 a.C.), conocidos como Organ´ on, contienen el primer tratamiento sistem´ atico de las leyes de pensamiento en relaci´ on con la adquisici´ on de conocimiento. Estos representan el primer intento de establecer a la l´ ogica como ciencia. Arist´ oteles da una clasificaci´ on de todos los conceptos o nociones (sustancias, cantidad, relaci´ on, acci´ on, pasi´ on, diferencia, propiedad y accidente) y trata las reglas del razonamiento silog´ıstico. Arist´ oteles no hace de la l´ ogica una disciplina met´ afisica, pero si establece una correspondencia entre el pensamiento l´ ogico y la estructura ontol´ ogica. El silogismo fue adoptado por los escol´ asticos (representantes del sistema teol´ ogico-filos´ ofico, caracter´ıstico de la Edad Media) quienes la enriquecieron con n´ umerosos y detallados
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estudios y se esforzaron en formalizarlo. La escol´ astica, sin embargo, acab´ o por sobrecargar la teor´ıa del silogismo, lo que acarre´ o su descr´edito a partir del Renacimiento. Los l´ ogicos de la edad moderna (Ram´ee, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, Lambert) procuraron simplificarla al m´ aximo, y su tratamiento matem´ atico se complet´ o hasta principios del siglo XX (Boole, De Morgan, Frege, Russell). Desde entonces el silogismo se incluye en la l´ ogica de predicados de primer orden y en la l´ ogica de clases, y ocupa en la ciencia l´ ogica un papel mucho menor que el desempe˜ nado en otros tiempos. Euclides Este matem´ atico alejandrino public´ o numerosas obras entre las que destacan los c´elebres “Elementos”, sin duda el texto matem´ atico m´ as conocido a lo largo de la historia. Los “Elementos” est´ an divididos en trece libros y constituyen una recopilaci´ on de gran parte de las matem´ aticas conocidas en tiempos de Euclides; su gran valor reside en el uso riguroso del m´etodo deductivo, distinguiendo entre principios (definiciones, axiomas y postulados) y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. Los principios de naturaleza puramente geom´etrica en “Elementos” se conocen como postulados; tres de ellos aseguran la existencia y unicidad de la recta determinada por dos puntos; el cuarto, la existencia de una circunferencia de centro y radio dados; y el quinto da condiciones que aseguran que dos rectas se cortan en un punto. A lo largo de la historia se ha mantenido la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de encontrar tal demostraci´ on condujo, en el siglo XIX, a la construcci´ on de geometr´ıas no euclidianas de las que se deduce la imposibilidad de demostrar el quinto postulado. Despu´es de declinar la escuela cl´ asica de los griegos, se presenta un periodo en el cual la autoridad religiosa embruteci´ o a la creatividad intelectual. El renacimiento inicia una nueva era en la cual se permite la revitalizaci´ on de la ciencia y las matem´ aticas. Los representantes m´ as destacados de esta etapa son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca de los 1500 a los 1800.
Ren´ e Descartes El punto de partida de este fil´ osofo y matem´ atico franc´es (1596-1650) es la duda universal, que consiste de prescindir de cualquier conocimiento previo que no queda confirmado por la evidencia con que ha de manifestarse el esp´ıritu. Descartes dud´ o de toda ense˜ nanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de
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orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto (pienso, luego existo). Como cient´ıfico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creaci´ on de la geometr´ıa anal´ıtica. Este desarrollo es importante para la ciencia porque hace a la geometr´ıa cuantitativa y permite el uso de m´etodos algebraicos. La geometr´ıa debe ser cuantitativa para ser usada en la ciencia e ingenier´ıa, y los m´etodos algebraicos permiten el desarrollo m´ as r´ apido que los m´etodos sistem´ aticos (m´ as rigurosos) requeridos por el enfoque axiom´ atico de la geometr´ıa cl´ asica.
Isacc Newton
A Isacc Newton (1642-1727) se le debe el descubrimiento de la gravitaci´ on universal, el desarrollo del c´ alculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre ´ optica, as´ı como las leyes que rigen la mec´ anica cl´ asica.
Gottfried W. Leibniz
Fil´ osofo y matem´ atico alem´ an (1646-1716); fund´ o la Academia de Ciencias de Berl´ın (1700). En “Discurso sobre el arte combinatorio” enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal (un lenguaje puramente formal). Como matem´ atico, su principal trabajo (publicado en 1684) es la memoria intitulada “Nuevo m´etodo para la determinaci´ on de los m´ aximos y los m´ınimos”, en el que expone las ideas fundamentales del c´ alculo infinitesimal, anticip´ andose unos a˜ nos a Newton. La notaci´ on que emple´ o es particularmente c´ omoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el s´ımbolo de integral y de diferencial de una variable. En el ´ area de l´ ogica matem´ atica public´ o “Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum” y “Fundamenta calculi logici”.
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Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalizaci´ on rigurosa de las matem´ aticas, que en la etapa cl´ asica griega fu´e representativa. El uso de los infenitesimales fue una de las pr´ acticas mas notoria en la ´epoca renacentista, para la cual no se ofrecia una justiticaci´ on. La rigorizaci´ on del an´ alisis llego con la eliminaci´ on de los infinitesimales y la presencia de los l´ımites como argumento. En este periodo se crea la l´ ogica simb´ olica, la escuela formal, la l´ ogica booleana, el c´ alculo porposicional, la inducci´ on matem´ atica, el c´ alculo de secuentes. Personajes muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, G¨ odel y Whitehead. A Rusell y G¨ odel se deben los planteamientos de las limitantes de la l´ ogica y de la ciencia en general.
Guiseppe Peano La enunciaci´ on de los principios del italiano Guiseppe Peano (1858-1932) acerca de l´ogica matem´ atica y su aplicaci´ on pr´ actica quedaron contenidos en su obra “Formulaire de mathematiques”. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los n´ umeros naturales.
David Hilbert El matem´ atico alem´ an David Hilbert (1862-1943) fue un enconado defensor de la axiom´ atica como enfoque principal de los problemas cient´ıficos, esto es, de partir de un conjunto cerrado e inamovible de premisas para construir la base fundamental de cualquier estudio. A partir de las fuentes griegas de Euclides, public´ o en 1899 su obra “Fundamentos de Geometr´ıa”, en la que mediante un exhaustivo an´ alisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, formul´ o sus principios de axiomatizaci´ on. Seg´ un sus teorias, es necesario establecer un conjunto de postulados b´ asicos antes de plantear de modo m´ as detallado cualquier tipo de problema f´ısico o matem´ atico. Estos principios deben ser simb´ olicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gr´ aficas, y es necesario preveer la mayor´ıa de las posibilidades con antelaci´ on. Su concepci´ on reconoc´ıa tres sistemas de entes geom´etricos (puntos, rectas y planos) a los que pod´ıan aplicarse axiomas distribuidos en cinco diferentes categor´ıas: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.
Friedrich G. Frege Junto con Boole y Peano, el matem´ atico y l´ ogico Friedrich G. Frege (1848-1925) inicio la corriente de pensamiento que, partiendo del an´ alisis de los fundamentos de la matem´ atica,
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llev´ o a cabo la mas profunda renovacion y desarrollo de la l´ ogica cl´ asica. Fue el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una teor´ıa de la cuantificaci´ on. George Boole El l´ ogico y matem´ atico George Boole (1815-1864) aplic´ o el c´ alculo matem´ atico a la l´ogica, fundando el ´ algebra de la l´ ogica, que en cierto modo realiza el sue˜ no de Leibniz de una “characteristica universalis” o c´ alculo del raciocinio. El empleo de s´ımbolos y reglas operatorias adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un m´etodo general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. As´ı, la conclusi´ on de un silogismo se encuentra eliminando el t´ermino medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del ´ algebra com´ un, La formalizaci´ on de la l´ ogica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los objetos l´ ogicos, en contraposici´ on a los materiales y aun en contraposici´ on a los matem´ aticos, pese a las analog´ıas formales entre la matem´ atica y la l´ ogica, que Boole se˜ nal´ o. Su obra principal es “Investigaci´ on de las leyes del pensamiento” en las que se fundan las teor´ıas matem´ aticas de la l´ ogica y la probabilidad (1854), que aun hoy se lee con deleite. Augustus De Morgan La mayor contribuci´ on de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la l´ ogica incluye la formulaci´ on de las leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la teor´ıa del desarrollo de las relaciones y la matem´ atica simb´ olica moderna o l´ ogica matem´ atica. De Morgan hizo su m´ as grande contribuci´ on como reformador de la l´ ogica. Georg F. Cantor Al matem´ atico alem´ an Georg F. Cantor (1845-1918) se debe la idea del “infinito coninuo”, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simult´ aneamente. Se le considera el creador de la teoria de los n´ umeros irracionales y de los conjuntos. Gentzen El alem´ an Gentzen (1909-1945) formul´ o la prueba de la consistencia de un sistema de aritm´etica cl´ asica, en el cual el m´etodo no elemental es una extensi´ on de inducci´ on matem´ atica a partir de una secuencia de n´ umeros naturales a un cierto segmento de n´ umeros ordinales transfinitos.
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Bertrand Rusell Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de uno de los creadores de la log´ıstica y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosof´ıa cient´ıfica contempor´ anea. Lo fundamental de su obra est´ a en sus aportes a la l´ogica. Decididamente antiaristot´elico, lleg´ o a afirmar que quien quer´ıa iniciarse en la l´ ogica deb´ıa comenzar por no estudiar la l´ ogica de Arist´ oteles. Por influencia de los trabajos de Cantor descubri´ o en la teor´ıa de conjuntos varias paradojas que resolvi´ o mediante la teor´ıa de los tipos; a˜ nos m´ as tarde establecer´ıa una teor´ıa similar, la de la jerarqu´ıa de los lenguajes, para eliminar las paradojas sem´ anticas. Siguiendo los trabajos de Cantor, Peano y Frege, Rusell se propuso fundamentar y axiomatizar la matem´ atica a partir de conceptos l´ ogicos. Este empe˜ no culmin´ o con la publicaci´ on (1910-1913) de los monumentales “Principia Mathematica” (en colaboraci´ on con Whitehead), obra que, adem´ as, sentaba las bases de la moderna l´ ogica formal.
Kurt G¨ odel Kurt G¨ odel (1906-1978) tuvo m´ ultiples contribuciones a la l´ ogica matem´ atica, destacando la demostraci´ on de la consistencia de la hip´ otesis cantoriana del continuo y el teorema y la prueba de incompletez sem´ antica. En “Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matem´ atica formal” establece que es imposible construir un sistema de c´ alculo l´ ogico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostr´ o definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatizaci´ on completa de la matem´ atica propugnado por Hilbert y otros, ya que, seg´ un ´el, no puede existir una sistematizaci´ on coherente de la misma tal que todo enunciado matem´ atico verdadero admita demostraci´ on. Siempre habr´ a enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserci´ on se sirvi´ o de la matematizaci´ on de la sintaxis l´ ogica. La Revoluci´ on Digital se inicio con la invenci´ on de la computadora digital y el acceso universal a redes de alta velocidad. Turing une a la l´ ogica y la computaci´ on antes que cualquier computadora fuera inventada. Weiner funda la ciencia de la cibern´etica. En la escuela moderna de la computaci´ on est´ an presentes l´ ogicos que han permitido avances importantes: Hoare presenta un sistema axiom´ atico de los sistemas de programaci´ on y Dijkstra un sistema de verificaci´ on y deducci´ on de programas a partir de especificaciones.
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Alan Turing Matem´ atico y l´ ogico quien fue pionero en la teor´ıa de la computaci´ on y contribuy´o en importantes an´ alisis l´ ogicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la computadora abstracta que ´el ide´ o (llamada la M´ aquina de Turing) result´ o ser una de sus mas importantes contribuciones a la teor´ıa de la computaci´ on. Turing adem´ as prob´ o que es posible construir una m´ aquina universal que con una programaci´ on adecuada podr´ a hacer el trabajo de cualquier m´ aquina dise˜ nada para resolver problemas espec´ıficos.Alan Turing invent´o la m´ aquina que lleva su nombre (M´ aquina de Turing) en un intento por determinar si toda la matem´ atica podia ser reducida a alg´ un tipo simple de computaci´ on. Su objetivo fu´e desarrollar la m´ aquina m´ as simple posible capaz de realizar computaci´ on. La m´ aquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operaci´ on matem´ atica. Turing abrig´ o la ilusi´ on de que su m´ aquina ten´ıa una capacidad tal que, potencialmente, podr´ıa ser capaz de realizar cualquier cosa realizable por el cerebro humano, incluyendo la capacidad de poseer conciencia de si mismo. Pese a ser considerados formalmente equivalentes, distintos modelos de computaci´ on presentan estructuras y comportamientos internos diferentes. Norbert Weiner El cient´ıfico norteam´ericano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica su libro m´ as famoso: “Cibern´etica, o control y comunicaci´ on en el animal y la m´ aquina”; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibern´etica. Existen muchas definiciones de Cibern´etica (del griego kybernetes, piloto), Norbert Weiner dio vida a la palabra mediante una definici´ on muy simple: ”Ciencia que estudia la traducci´ on de los procesos biol´ ogicos a procesos de m´ aquina”. En un inicio, la Cibern´etica estaba muy ligada a ciencias como neurolog´ıa, biolog´ıa, rob´ otica e inteligencia artificial. Alfred Tarski Matem´ atico y l´ ogico polaco nacido en 1902, quien realizo importantes estudios de ´ algebra en general, teor´ıa de mediciones, l´ ogica matem´ atica, teor´ıa de conjuntos, y metamatem´ aticas. La siguiente revoluci´ on l´ ogica ser´ a la asimilaci´ on pr´ actica de las matem´ aticas y la computaci´ on dentro de la l´ ogica. Se har´ a enf´ asisi en que las computadoras exploten la informaci´ on inteligentemente, pasando de las bases de datos a las bases de conocimientos.
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Definici´ on 1.4.1. Puede definirse la l´ ogica como el conjunto de conocimientos que tienen por objeto la enunciaci´ on de las leyes que rigen los procesos del pensamiento humano; as´ı como de los m´etodos que han de aplicarse al razonamiento y la reflexi´ on para lograr un sistema de raciocinio que conduzca a resultados que puedan considerarse como certeros o verdaderos. La l´ogica estudia los problemas y las leyes del pensar formal. Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deductivo. Definici´ on 1.4.2. EL razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento no deductivo que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observaci´ on repetida de objetos o acontecimientos de la misma ´ındole se establece una conclusi´ on para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Definici´ on 1.4.3. El pensamiento deductivo parte de categor´ıas generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares. En un razonamiento deductivo v´ alido la conclusi´ on debe poder derivarse necesariamente de las premisas aplicando a ´estas algunas de las reglas de inferencia seg´ un las reglas de transformaci´ on de un sistema deductivo o c´ alculo l´ ogico. Al ser estas reglas la aplicaci´ on de una ley l´ ogica o tautolog´ıa y, por tanto una verdad necesaria y universal, al ser aplicada a las premisas como caso concreto permite considerar la inferencia de la conclusi´ on como un caso de razonamiento deductivo. Dicho de otro modo, la conjunci´ on o producto de todas las premisas cuando es verdadero, es decir, todas y cada una de las premisas son verdaderas, entonces se implica la verdad de la conclusi´on. Por medio de un razonamiento de estas caracter´ısticas se concede la m´ axima solidez a la conclusi´on, las premisas implican l´ ogicamente la conclusi´ on. Y la conclusi´ on es una consecuencia l´ ogica de las premisas. La l´ogica no entra en definir qu´e es verdad y qu´e es falsedad material. Esos conceptos, al tener contenido sem´ antico, son competencia del razonamiento aplicado a la experiencia. Pero la ciencia para elaborar sus razonamientos necesita la l´ ogica. Los razonamientos formales, o inferencias v´ alidas, son indispensables para todas las ciencias. La filosof´ıa, como epistemolog´ıa o filosof´ıa de la ciencia estudia las condiciones del pensar cient´ıfico y metodol´ ogico y las condiciones de verdad de las teor´ıas cient´ıficas, as´ı como su alcance y l´ımites.
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Diferentes sistemas l´ ogicos
L´ogica cl´asica ? L´ogica informal. La l´ ogica informal, o l´ ogica no formal, es el estudio de los argumentos, tal como se presentan en la vida diaria, en oposici´ on al estudio de los argumentos en una forma t´ecnica o artificial, que corresponde a la l´ ogica formal. Esta parte de la l´ ogica se dedica principalmente a diferenciar entre formas correctas e incorrectas en que se desarrolla el lenguaje y el pensamiento cotidiano, en especial al estudio de los procesos para obtener conclusiones a partir de informaci´ on dada. Parte del principio que el pensamiento y el lenguaje humano es a menudo incorrecto, o tendencioso. Se le atribuyen sus inicios a Arist´ oteles, que hizo el primer estudio de las falacias l´ ogicas, que se encuentran en la vida cotidiana.
? L´ogica aristot´elica.
Como su nombre lo indica, el padre de la l´ ogica aristot´elica es el filosofo griego Arist´ oteles; primer pensador en formalizar el sistema l´ ogico de tan acertada manera que sus propuestas han trascendido hasta nuestros d´ıas. Arist´ oteles plante´ o sus ideas en varias obras, para difundir su conocimiento sobre las leyes del razonamiento, argumentando que estas eran vitales para adentrarse en el mundo de la filosof´ıa. La l´ ogica aristot´elica supone que la mente reproduce s´ olo la realidad, la existencia de las cosas tal y como son, por ello es una ciencia objetiva que se dedica a estudiar conceptos, desglos´ andolos en predicables y predicamentos. La l´ ogica analiza juicios y formas de razonamiento y su manera de expresar resultados es el silogismo o razonamiento deductivo categ´ orico. Concepto: Este representa un objeto en la mente del hombre de manera que no pueda ser afectado por los sentidos, la memoria o la mente. Un concepto tiene comprensi´ on (caracter´ısticas del objeto) y extensi´ on (hace alusi´ on la cantidad de sujetos a los que el concepto puede aplicarse). Cuchar´ on (siglo III d.c.), en los que se clasifican los conceptos estableciendo entre ellos una relaci´ on de jerarqu´ıa y subordinaci´ on, de mayor a menor extensi´ on. La que es conocida como l´ ogica cl´ asica (o tradicional) fue enunciada primeramente por Arist´ oteles, quien elabor´ o leyes para un correcto razonamiento silog´ıstico. Un silogismo es una proposici´ on hecha de una de estas cuatro afirmaciones posibles: Todo A es B (universal afirmativo), Nada de A es B (universal negativo), Algo de A es B (particular afirmativo) o Algo de A no es B (particular negativo). Las
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letras sustituyen a palabras comunes como perro, animal de cuatro patas o ’cosa viviente’, llamadas t´erminos del silogismo. Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusi´ on, debiendo tener cada premisa un t´ermino en com´ un con la conclusi´ on y un segundo t´ermino relacionado con la otra premisa. En l´ ogica cl´ asica se formulan reglas por las que todos los silogismos bien construidos se identifican como formas v´ alidas o no v´ alidas de argumentaci´ on, en pocas palabras hey verdades universales y particulares, como menciona en la parte superior, el “perro” verdad universal, “Animal de cuatro patas” verdad particular.
? L´ogica baconiana.
Esta concepci´ on considera que la ciencia es el instrumento m´ as eficaz para que las fuerzas de la naturaleza se vuelvan u ´tiles al hombre. Los hechos de la naturaleza deben ser observados con imparcialidad y con objetividad. Bac´ on critica los m´etodos antiguos, que considera falsos, puesto que suponen al esp´ıritu humano demasiado sublime para descender a hacer experiencias, bast´ andole arrancar la verdad de su propio fondo.
? L´ogica formal y L´ogica matem´atica. La l´ ogica formal, a diferencia de la l´ ogica informal, se dedica al estudio de los razonamientos correctos, desarroll´ andolos de manera formal y esquematizada, es decir de una forma no cotidiana. Este tipo de l´ ogica parte de los razonamientos correctos conocidos para desarrollar una teor´ıa l´ ogica y consecuentemente, razonamientos m´ as complejos que no se utilizan normalmente en la vida cotidiana. A partir de la idea de que quien la estudia “razona bien”, puede desarrollar argumentos racionales extremadamente complejos, y de gran alcance. Este tipo de l´ ogica no debe ser confundido con la l´ ogica simb´ olica ni con la l´ ogica matem´ atica, que son tipos de l´ ogica que se encuentran dentro del campo de la l´ ogica formal. La l´ ogica matem´ atica es un subcampo de la l´ ogica y las matem´ aticas. Consiste en el estudio matem´ atico de la l´ ogica y en la aplicaci´ on de este estudio a otras areas de las matem´ ´ aticas. La l´ ogica matem´ atica guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computaci´ on y la l´ ogica filos´ ofica. La l´ ogica matem´ atica estudia los sistemas formales en relaci´ on con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matem´ aticos como conjuntos, n´ umeros, demostraciones y computaci´ on. La l´ ogica matem´ atica suele dividirse en cuatro subcampos: teor´ıa de modelos, teor´ıa de la demostraci´ on, teor´ıa de conjuntos y teor´ıa de la recursi´ on. La investigaci´ on en
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l´ ogica matem´ atica ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matem´ aticas. La l´ ogica matem´ atica fue tambi´en llamada l´ ogica simb´ olica. El primer t´ermino todav´ıa se utiliza como sin´ onimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teor´ıa de la demostraci´ on. La l´ ogica matem´ atica no es la “l´ ogica de las matem´ aticas” sino la “matem´ atica de la l´ ogica”. Incluye aquellas partes de la l´ ogica que pueden ser modeladas y estudiadas matem´ aticamente. Hist´ oricamente, la L´ ogica Matem´ atica fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la l´ ogica de Arist´ oteles, pero desde el punto de vista de una nueva notaci´ on, m´ as abstracta, tomada del ´ algebra. Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones l´ ogicas formales de una manera simb´ olica por parte de algunos fil´ osofos matem´ aticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneci´ o desconocida y aislada. Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matem´ atico para modelar operaciones l´ ogicas. La l´ ogica tradicional aristot´elica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matem´ atica. El tradicional desarrollo de la l´ ogica enfatizaba su centro de inter´es en la forma de argumentar, mientras que la actual l´ ogica matem´ atica lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sint´ actico (por ejemplo, el env´ıo de una cadena de s´ımbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una m´ aquina), como a un nivel sem´ antico, construyendo modelos apropiados (teor´ıa de modelos). ◦ L´ ogica de primer orden. La l´ ogica de primer orden (LPO) o c´ alculo de predicados de primer orden es cualquier sistema de la l´ ogica matem´ atica que extiende la l´ ogica proposicional empleando variables, predicados y cuantificadores de variables. A su vez es extendida por la l´ ogica de segundo orden. La l´ ogica con predicados de primer orden tiene capacidad para definir pr´ acticamente a todas las matem´ aticas. ◦ L´ ogica de segundo orden. La l´ ogica de segundo orden es una extensi´ on de la l´ ogica de primer orden en
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la que se a˜ naden variables y cuantificadores que operan sobre conjuntos de individuos. La l´ ogica de segundo orden m´ as general tambi´en incluye variables que cuantifican funciones. ◦ L´ ogica booleana. ´ Algebra de Boole (tambi´en llamada Ret´ıculas booleanas) en inform´ atica y matem´ atica, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones l´ ogicas Y, O y NO, as´ı como el conjunto de operaciones uni´ on, intersecci´on y complemento. Se denomina as´ı en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matem´ atico ingl´es que fue el primero en definirla como parte de un sistema l´ ogico a mediados del siglo XIX. Espec´ıficamente, el ´ algebra de Boole fue un intento de utilizar las t´ecnicas algebraicas para tratar expresiones de la l´ ogica proposicional. En la actualidad, el ´ algebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ´ ambito del dise˜ no electr´ onico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el dise˜ no de circuitos de conmutaci´ on el´ectrica biestables, en 1938. ◦ L´ ogica proposicional. La l´ ogica proposicional es una rama de la l´ ogica cl´ asica que estudia las proposiciones o sentencias l´ ogicas, sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.
Generalizaciones de la l´ogica cl´asica ? L´ogica modal. La l´ ogica modal, dentro de la l´ ogica, se ocupa de enunciados afectados por modalidades del tipo “posiblemente” y “necesariamente”. La l´ ogica modal es intencional, en el sentido de que el valor de verdad de un enunciado que contiene expresiones modales no depende exclusivamente del valor de verdad de sus enunciados componentes. La l´ ogica modal experimenta un gran auge tras los trabajos fundacionales sobre sem´ antica modal de Saul Kripke en los sesenta. Actualmente la l´ ogica y sem´ antica modal se emplean para representar gran variedad de nociones: epist´emicas (conocer que), de creencia (creer que), morales (es obligatorio o es permisible), temporales (suceder´ a en el futuro o siempre sucedi´ o en el pasado) e incluso estados de un programa en inform´ atica te´ orica.
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La l´ ogica modal es tan antigua como la L´ ogica de Arist´ oteles y tuvo gran desarrollo durante la Edad Media. La l´ ogica modal contempor´ anea surge a principios del siglo XX como una reacci´ on a la l´ ogica cl´ asica que madur´ o en las obras de Gottlob Frege (Conceptograf´ıa) y Russell y Whitehead (Principia Mathematica). ◦ L´ ogica temporal. La l´ ogica temporal es un tipo l´ ogica modal usada para describir un sistema de reglas y simbolismos para la representaci´ on y el razonamiento sobre proposiciones en las que tiene presencia el factor tiempo. Existe una cierta relaci´ on con otras variedades de l´ ogica, por ejemplo, la l´ ogica modal. Su estudio tiene una cierta importancia dentro del estudio de la inform´ atica, en particular los desarrollos introducidos por Amir Pnueli. Por ejemplo, tomemos la sentencia: “Tengo hambre”; aunque su significado es independiente del tiempo, el valor de verdad o falsedad de la misma puede variar con el tiempo en un determinado sistema que incluya acciones de comer; as´ı, en funci´ on del sistema, algunas veces ser´ a cierta y otras falsa, aunque nunca ser´ a cierta y falsa simult´ aneamente. La l´ ogica temporal fue estudiada por primera vez por Arist´ oteles, en algunos de sus escritos aparecen expresiones que guardan una semejanza con una l´ ogica temporal de primer orden; as´ı aparecen expresiones con cuantificadores existenciales y cuantificadores universales, junto a secuencias de estados de un orden temporal, lo que, en la pr´ actica es una l´ ogica temporal. ◦ L´ ogica no monot´ onica. Una l´ ogica no monot´ onica es una l´ ogica formal cuya relaci´ on de consecuencia es no monot´ onica. La mayor´ıa de las l´ ogicas formales tienen una relaci´ on de consecuencia monot´ onica, lo que quiere decir que el agregar una f´ ormula a una teor´ıa nunca produce una reducci´ on de su conjunto de consecuencias. Intuitivamente, la monotonicidad indica que el agregar nuevos conocimientos no puede reducir el conjunto de las cosas conocidas. Una l´ ogica monot´ onica no puede manejar varios tipos de razonamiento tales como el razonamiento por defecto (los hechos pueden ser conocidos u ´nicamente por la carencia de evidencia de lo contrario), el razonamiento abductivo (los hechos s´ olo se deducen en calidad de explicaciones probables), el razonamiento acerca del conocimiento (la ignorancia de un hecho debe ser retractada cuando el hecho sea conocido), y la revisi´ on de creencias (nuevo conocimiento puede contradecir creencias anteriores).
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? L´ogica polivalente. Las l´ ogicas plurivalentes o l´ ogicas polivalentes son alternativas a la l´ ogica cl´ asica, bivalente y su principio del tercero excluido (“o es A o no es A” “o verdadero o falso”). Las l´ ogicas polivalentes se difundieron especialmente a partir de los trabajos de los fil´ osofos polacos Jan Lukasiewicz y Emil Post y sus relaciones con la f´ısica cu´antica, pero fueron expuestas anteriormente, con diferentes enfoques, por Hegel, Hugh MacColl, Charles Sanders Peirce y Nicolai A. Vasiliev. Stephen Kleene elabor´o las tablas de verdad para un sistema de l´ ogica trivalente. Un ejemplo para ilustrar la trivalenecia en f´ısica ha sido la paradoja del gato de Schr¨ odinger.
? L´ogica difusa.
La l´ ogica borrosa o difusa se basa en lo relativo de lo observado. Este tipo de l´ogica toma dos valores aleatorios, pero contextualizados y referidos entre s´ı. Esta simple idea naci´ o en un art´ıculo de Lotfi A. Zadeh publicado en 1965 y titulado “Fuzzy Sets” (Conjuntos Difusos). La l´ ogica difusa permite representar de forma matem´ atica conceptos o conjuntos imprecisos, tales como d´ıas fr´ıos, meses calurosos, personas altas, salarios bajos, guisos con mucho condimento, profesores poco valorados, etc. Pero hay que tener en cuenta que la idea en s´ı de que las cosas no son blancas o negras, sino que existen infinitos matices de grises viene ya desde la ´epoca de los primeros grandes fil´ osofos como Plat´ on. Posteriormente a ellos, otros grandes pensadores como David Hume o Kant apoyaban esta idea manteniendo que el razonamiento ven´ıa dado por las observaciones de las que somos testigos a lo largo de nuestra vida y la detecci´ on de algunos principios contradictorios en la l´ ogica cl´ asica. Tras la publicaci´ on de Lotfi A. Zadeh, se comenz´ o r´ apidamente a usar la l´ogica difusa en distintas aplicaciones pr´ acticas, llegando a su m´ aximo auge a principios de los a˜ nos 90, y continuando ´este hasta la ´epoca actual. La l´ ogica difusa se adapta mejor al mundo real en el que vivimos, e incluso puede comprender y funcionar con nuestras expresiones, del tipo “hace mucho calor”, “no es muy alto”, “el ritmo del coraz´ on est´ a un poco acelerado”, etc. La clave de esta adaptaci´ on al lenguaje, se basa en comprender los cuantificadores de nuestro lenguaje (en los ejemplos de arriba “mucho”, “muy” y “un poco”). En la teor´ıa de conjuntos difusos se definen tambi´en las operaciones de uni´ on, in-
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tersecci´ on, diferencia, negaci´ on o complemento, y otras operaciones sobre conjuntos (ver tambi´en subconjunto difuso), en los que se basa esta l´ ogica.
? L´ogica de´ontica. La l´ ogica de´ ontica es un tipo de l´ ogica modal usada para analizar formalmente las normas o las proposiciones que tratan acerca de las normas. Leibniz es el precursor de la l´ ogica de´ ontica. En 1671, en sus Elementos de derecho natural, ´el observa la analog´ıa de los conceptos normativos “justo”, “injusto” y “facultativo” con los conceptos modales al´eticos “necesario”, “posible” e “imposible”. Por ejemplo, Leibniz escribe que “todo lo que es justo es posible para aquel que ama a todo el mundo” (amanti omnes). O, m´ as cerca de la l´ ogica de´ ontica contempor´ anea, postula que “todo aquello que es obligatorio (debitum) es necesario para aquel que ama a todo el mundo”.
? L´ogica cu´antica. La l´ ogica cu´ antica es el conjunto de reglas algebraicas que rigen las operaciones para combinar y los predicados para relacionar proposiciones asociadas a acontecimientos f´ısicos que se observan a escalas at´ omicas. Ejemplos de tales proposiciones son aquellas relativas al momento lineal o a la posici´ on en el espacio de un electr´ on. La l´ ogica cu´ antica puede considerarse como un sistema formal paralelo al c´ alculo proposicional de la l´ ogica cl´ asica, donde en esta u ´ltima, las operaciones para combinar proposiciones son las conectivas l´ ogicas y los predicados entre proposiciones son equivalencia e implicaci´ on. La l´ ogica cu´ antica fue creada con el prop´ osito de tratar matem´ aticamente las anomal´ıas relativas a ´ la medici´ on en la mec´ anica cu´ antica. Estas surgen por la medici´ on simult´ anea de observables complementarios en escalas at´ omicas. La expresi´ on “l´ ogica cu´ antica” tambi´en se refiere a la rama interdisciplin´ aria de f´ısica, matem´ atica, l´ ogica y filosof´ıa que estudia el formalismo y las bases emp´ıricas de estas reglas algebraicas. Vale salientar que la l´ ogica cu´ antica es una disciplina cient´ıfica independiente de la inform´ atica cu´ antica. El concepto de l´ ogica cu´ antica fue propuesto originalmente por Garrett Birkhoff y John von Neumann en 1936. Tal como fue propuesto por estos autores, la l´ ogica cu´ antica se fundamenta en la idea que el reticulado de proyecciones ortogonales en un espacio de Hilbert es la estructura que corresponde en la mec´ anica cu´ antica al reticulado de proposiciones en la f´ısica cl´ asica.
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Otras ? L´ogica intuicionista. Se llama l´ ogica intuicionista a la amplia familia de sistemas formales que codifican el razonamiento constructivo. Una prueba es constructiva cuando ofrece un procedimiento reglado o algor´ıtmico para “construir” o calcular expl´ıcitamente su resultado.
? L´ogica descriptiva. Las l´ ogicas de descripci´ on, tambi´en llamadas l´ ogicas descriptivas (DL por description logics) son una familia de lenguajes de representaci´ on del conocimiento que pueden ser usados para representar conocimiento terminol´ ogico de un dominio de aplicaci´ on de una forma estructurada y formalmente bien comprendida. El nombre l´ ogica de descripci´ on se refiere, por un lado, a descripciones de conceptos usadas para describir un dominio y, por otro lado, a la sem´ antica que establece una equivalencia entre las f´ ormulas de l´ ogicas de descripci´ on y expresiones en l´ ogica de predicados de primer orden.
? L´ogica predicativa ? L´ogica transcendental ? L´ogica unidireccional ? Empirismo l´ogico 1.4.2.
Importancia
El conocimiento de la L´ ogica nos permite desarrollar conscientemente el proceso del pensar y alcanzar un mayor grado de perfecci´ on en la esfera del pensamiento. El conocimiento de las leyes de la l´ ogica ayuda a rebatir las ideas err´ oneas con que a veces nos enfrentamos en discusiones y pol´emicas de toda ´ındole. Cuando se hace uso de la demostraci´ on, la l´ ogica ayuda a descubrir los errores y a comprobar el propio pensamiento cuando se procede a la obtenci´ on de un conocimiento inferido. El estudio de la l´ ogica es, sobre todo, de gran importancia para las matem´ aticas. La L´ ogica como una ciencia formal estudia las formas del pensamiento prescindiendo de todo contenido (en cierta medida) de tal manera que dichas formas se puedan fijar en cualquier clase de pensamiento, en este sentido es una ciencia te´ orica, especulativa, porque obtiene sus resultados por procesos de abstraci`on y de an` alisis.
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La L´ogica brinda “normas ideales” para poder distinguir los pensamientos correctos de los falsos. La L´ ogica es pr´ actica, did´ actica, una verdadera t´ecnica, porque aspira a suministrarnos ciertas reglas para llegar a resultados seguros y a vigorizar las facultades mentales.
1.5.
Objeto y significado de la L´ ogica
La cognici´ on o pensamiento es un proceso relevante que permite manifestar la conciencia humana, la practica del pensamiento interact´ ua con la realidad material dando como resultado el descubrimiento de las leyes naturales y sociales. El proceso mencionado se inicia con las “Sensaciones”, las cuales se definen como el reaccionar del individuo ante la “Percepci´ on” de los fen´ omenos del mundo material captado por los sentidos. La percepci´ on de los fen´ omenos y las sensaciones del individuo est´ an estrechamente relacionadas como un estimulo y respuesta. Cuando el individuo evoca un fen´ omeno percibido en el pasado, la memoria realiza inherentemente el proceso de “Representaci´ on” mediante im´ agenes en nuestro cerebro. Las sensaciones, las percepciones y las representaciones constituyen el “Grado sensorial del conocimiento”, donde refleja las “Propiedades de los Objetos”. Sin embargo el grado sensorial del conocimiento no define ni marca diferencias entre las propiedades reflejadas, impidiendo a generaci´ on de nuevo conocimiento. Las propiedades de los objetos se pueden clasificar en: Generales o individuales. Esenciales o accesorias. Necesarias o casuales. En este punto el conocimiento pasa a una segunda fase denominada “Grado l´ ogico del conocimiento”. El pensamiento es ante todo un proceso de cognici´ on generalizada en la realidad, la formaci´ on de un concepto esta vinculada a la extracci´ on de lo general, a la separaci´ on de los rasgos esenciales del objeto de un grupo de propiedades. El pensamiento es un proceso en el cual, el ser humano se da cuenta de la objetividad de lo pensado con respecto a lo real, los pensamientos que surgen en nuestra mente necesitan ser comprobados, su veracidad a de ser fundamentada, lo que termina por concluir que el acto de formular “juicios” es inherente al pensamiento humano. La diferenciaci´ on de los pensamientos
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en verdaderos y falsos se realiza con la actividad practica del hombre a trav´es actividad deliberada y u ´til llamada “trabajo”, el cual se basa necesariamente en la existencia de determinados fines, donde se ponen a prueba los conocimientos, las hip´ otesis y la experiencia anterior La actividad practica del trabajo a hecho sentir al hombre la necesidad de establecer comparaciones confrontando el contenido de sus pensamientos con la realidad, de formas juicios y delimitar con precisi´ on la verdad y el error. Si los principios que sirven de base a un proceso de trabajo son verdaderos, los fines propuestos se alcanzaran. El pensamiento se caracteriza por la capacidad de cognici´ on mediata a la realidad, el pensamiento tambi´en nos permite juzgar a cerca de hechos que no son objetos de percepci´ on inmediata de los sentidos, por ejemplo: al ver humo concluimos inmediatamente que ha de haber fuego aunque este no sea parte de nuestra percepci´ on , en este caso nos apoyamos del conocimiento de una experiencia anterior, pudiendo inferior un nuevo conocimientos sin recurrir a la experiencia directa, esto se definir´ a mas adelante como raciocinio. El pensamiento de halla inevitablemente unido al lenguaje, el lenguaje es el medio de expresi´ on de los pensamientos previamente formados, en la actualidad para el hombre la posesi´ on del lenguaje, se halla vinculado a las sensaciones, percepciones y representaciones como tambi´en a los pensamientos. El pensamiento se verifica de varias formas y cada una de ellas son el reflejo de la realidad material en el cerebro del hombre: El Concepto, el Juicio y el Raciocinio.
1.5.1.
Objeto de la l´ ogica
El objeto de la l´ ogica cient´ıficamente es el pensamiento humano, el pensamiento tambi´en es objeto de estudios de algunas otras ciencias, como son el materialismo dial´ectico y la psicol´ ogica. La psicolog´ıa estudia el pensamiento desde el punto de vista de las causas y condiciones del normal desarrollo y desenvolvimiento humano, su objetivo se basa en descubrir las causas y las condiciones del desarrollo del pensamiento en una u otra direcci´ on, adem´ as investiga la influencia de las emociones, de la voluntad y otros fen´ omenos ps´ıquicos sobre el pensamiento. El materialismo dial´ectico estudia el pensamiento con el fin de solucionar problemas producidos al contrastarlo con la realidad material, haciendo uso de los ya mencionados: concepto, juicio, raciocinio. El materialismo dial´ectico incluye la l´ ogica dial´ectica (la ciencia de las leyes mas generales del desarrollo del conocimiento) La aplicaci´ on del m´etodo dial´ectico busca resolver las contradicciones que surgen en la marcha de la ciencia y de la vida social, tambi´en permite superar las simplificaciones de la realidad que se dan con el uso de la l´ ogica formal
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(m´etodos de clasificaci´ on, determinaci´ on de la relaci´ on causal entre fen´ omenos) La l´ ogica estudia nuestros pensamientos solamente desde el punto de vista estructural, descubre las leyes y reglas que dan veracidad al conocimiento inferido. Las formas del pensamiento (conceptos, juicios y raciocinios) son objeto de estudio tanto de la l´ ogica formal como de la l´ ogica dial´ectica
1.5.2.
Las leyes de la l´ ogica y otras ciencias especiales
A cada faceta del mundo se le asigna una ciencia que la tomara como objeto de estudio por ejemplo la astronom´ıa, biolog´ıa, qu´ımica, f´ısica matem´ atica, historia. Cada ciencia respeta un objeto de estudio, pero no limita a un grupo de cosas a ser estudiadas solo por ellas, el hombre es un ejemplo dado que es el objeto de estudio tanto de la anatom´ıa como la fisiolog´ıa, la antropolog´ıa y la etnogr´ afica, los objetos que son materia de estudio poseen diversas facetas que son asignadas a cada ciencia y satisfacen m´ ultiples necesidades de la actividad social e hist´ orica del hombre. Las relaciones entre las leyes de la l´ ogica y de otras ciencias son: Comparten un car´ acter objetivo, dado que no son frutos de la voluntad ni el deseo del hombre sino el reflejo de las relaciones existentes entre los objetos y los fen´ omenos de la realidad. Todas las leyes de las ciencias son utilizadas por el hombre en su actividad pr´ actica. Las leyes de la l´ ogica se diferencia de las leyes de otras ciencias en la peculiaridad de poseer un campo de aplicaci´ on muy amplio dado que todas las dem´ as ciencias poseen un determinado campo de investigaci´ on mas estrecho y limitado
1.5.3.
Importancia del estudio de la l´ ogica como ciencia
La L´ ogica como ciencia, corresponde a las necesidades de argumentos para razonamientos de todo tipo, tambi´en habit´ ua a determinar un sentido exacto al contenido de cualquier contenido textual. Dado que pueden existir pensamientos distintos que comparten una misma expresi´ on verbal, como tambi´en una expresi´ on verbal que contenga m´ as de un pensamiento. Por esto se puede decir que la L´ ogica, tiene un an´ alisis del pensamiento por su contenido verbal y tambi´en por su estructura l´ ogica o contexto
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´ LOGICA DE PROPOSICIONES Objetivos: z Expresar simb´ olicamente un esquema molecular y evaluar su veritatividad. z Identificar las equivalencias l´ ogicas m´ as empleadas en la demostraci´ on de teoremas matem´aticos. z Determinar correctamente la validez de los razonamientos l´ ogicos usando dos procedimientos. La estrecha relaci´ on existente entre la matem´ atica moderna y la l´ ogica formal es una de sus caracter´ısticas fundamentales. La l´ ogica aristot´elica era insuficiente para la creaci´ on matem´ atica ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en ´esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extra˜ nos en aquella. La l´ ogica proposicional utilizando una representaci´ on primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La l´ ogica proposicional permite el estudio del razonamiento, a trav´es de un mecanismo que primero eval´ ua enunciados simples y luego enunciados complejos, formados mediante el uso de conectivos proposicionales. Una de las mayores dificultades al analizar el rigor matem´ atico de una demostraci´ on se halla en el hecho de que debemos comunicar nuestras ideas empleando el lenguaje ordinario, que est´ a lleno de ambig¨ uedades. En ocasiones es dif´ıcil decidir si determinada l´ınea de razonamiento es correcta o no. La l´ ogica elimina estas ambig¨ uedades aclarando c´ omo se construyen las proposiciones, hallando su valor de verdad y estableciendo reglas espec´ıficas de inferencia por medio de las cuales se puede determinar si un razonamiento es v´ alido o no. En esta primera parte estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna l´ ogica formal: la l´ ogica de enunciados o de proposiciones. 29
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2.1.
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Proposiciones y tablas de verdad
En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´ atica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.
2.1.1.
Proposiciones
Definici´ on 2.1.1. En el lenguaje cient´ıfico, una proposici´ on se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez, generalmente una oraci´ on enunciativa. Es el elemento unidad sobre el que se construye el lenguaje formal de la L´ ogica. Un enunciado ling¨ u´ıstico (generalmente en la forma gramatical de una oraci´ on enunciativa) puede ser considerado como proposici´ on l´ ogica cuando es susceptible de ser verdadero o falso. Aunque existen l´ ogicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aqu´ı consideramos u ´nicamente el valor de Verdad o Falsedad. Ejemplo 2.1.1. Las siguientes no son proposiciones. (a) x + y > 5 (b) ¿Te vas? (c) Compra cinco azules y cuatro rojas. (d) x = 2 Soluci´ on En efecto, (a) es una afirmaci´ on pero no es una proposici´ on ya que ser´ a verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmaci´ on (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. Desde el punto de vista l´ ogico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad. Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oraci´ on “El es estudioso”. No es posible determinar si es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones de esta naturaleza se llaman enunciados abiertos. Los enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los s´ımbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o s´ımbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones. Ejemplo 2.1.2. Dadas las siguientes oraciones:
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2 + x = 10 n es un numero primo Se tiene que, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5 Tendremos 2 + 5 = 10, la cual ahora es una proposici´ on falsa. Si en el segundo enunciado si reemplazamos n por 7 Tendremos “7 es un numero primo”, la cual ahora es una proposici´ on verdadera.
2.1.2.
Valor de verdad
Definici´ on 2.1.2. Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposici´ on a su veracidad o falsedad. La verdad y la falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones. Si p es una proposici´ on, su valor de verdad se denotar´ a con V(p), entonces si V(p) = V decimos que la proposici´ on p es verdadera, y si V(p) = F falsa. En adelante abreviaremos con “V” y “F” los valores de verdad. Una proposici´ on se representa simb´ olicamente por letras min´ usculas tales como: p, q, r, etc (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan sub´ındices para indicar cada una de ellas, esto es, p1 , p2 , p3 , . . ., pn Ejemplo 2.1.3. Proposici´ on
Valor de verdad
• Federico Villarreal es un matem´ atico peruano.
(V)
• El cuadrado es un pol´ıgono.
(V)
• 7 es un n´ umero impar y 4 es par.
(V)
• La tierra no gira alrededor del sol.
(F)
• La manzana es un tub´erculo.
(F)
• El n´ umero 1331 es divisible por 11.
(V)
• Todos los hombres son mortales.
(F)
Observaci´ on 2.1.1. 1. Es importante notar que lo que interesa b´ asicamente en una proposici´ on es su sentido de verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposici´ on. Por ejemplo: Alessandra y Leonardo son primos. Leonardo es primo de Alessandra. Alessandra es prima de Leonardo.
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2. Las proposiciones no son propias de ning´ un lenguaje, en cambio las oraciones forman parte de un determinado lenguaje. Por ejemplo: El cielo est´ a nublado. castellano The sky cloudy.
ingl´es
Le ciel est nugeux.
franc´es
Oceu esta nuvado.
portugu´es
3. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamaci´ on, son expresiones no proposicionales. Por ejemplo: ¿Qu´e hora es?. ¿Qu´e edad tienes?. ¡Qu´e maravilla!. ¡Viva el Per´ u!. Lev´ antate temprano. Prohibido fumar.
2.1.3.
Tabla de valores de verdad
La tabla de valores de verdad, tambi´en conocida como tabla de verdad, es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los a˜ nos 1880, siendo sin embargo m´ as popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarroll´o en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposici´ on molecular, as´ı como el an´ alisis de la misma en funci´ on de las proposic´ıones que la integran. En realidad toda la l´ ogica est´ a contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sint´ acticas entre las diversas proposiciones. No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen una gran dificultad, la gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposici´ on con m´ as de 4 variables. Esta dificultad ha sido magn´ıficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna. Regla Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendr´ a los valores de verdad: V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendr´ an los valores de verdad seg´ un la proposici´ on dada. Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodar´ an los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la
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segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran: V,F,V,F,V,F,V,F. Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezar´ a con cuatro V, despues cuatro F, y as´ı sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila n´ umero 16. En general: Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas o visto de otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas. En general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.
2.1.4.
Clases de proposiciones
a. Simples. Llamadas tamb´ıen at´ omicas o elementales, son aquellas que no contienen dentro de s´ı ninguna otra proposici´ on. Son las proposiciones de la forma m´ as simple (o m´ as b´ asicas), constan de un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplo 2.1.4. • Un ´angulo recto mide 90°. • Jos´e Olaya fue un h´eroe de la independencia del Per´ u. • La par´ abola es una c´ onica. • El n´ umero 8 es divisible por 5. b. Compuestas. Llamadas tamb´ıen moleculares o coligativas, son aquellas que est´ an constitu´ıdas por dos o m´ as propopsiciones simples. Tambi´en se las conoce como funciones veritativas. En la composici´ on de proposiciones simples, ´estas est´ an ligadas por ciertas palabras llamadas conectivas tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Estas constantes proposicionales son llamadas Conectivos l´ ogicos. Ejemplo 2.1.5. El terreno es muy f´ertil y hay suficiente lluvia. Esta proposici´ on est´ a compuesta de dos proposiciones simples: p : El terreno es muy f´ertil. q : Hay suficiente lluvia.
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La luna no es sat´elite de la tierra. Es una proposici´ on molecular que utiliza el conectivo “no”. En este caso, el t´ermino de enlace act´ ua solo sobre una proposici´ on at´ omica: p : La luna es sat´elite de la tierra. Si estamos en diciembre entonces llegar´ a la navidad. p : Estamos en diciembre. q : Llegar´ a la navidad. La tierra o el trabajo son factores primarios de producci´ on. p : La tierra es un factor primario de producci´ on. q : El trabajo es un factor primario de producci´ on. Si llueve mucho y hace fr´ıo se arruinar´ a la cosecha de arroz. p : Si llueve mucho se arruinar´ a la cosecha de arroz. q : Si hace fr´ıo se arruinar´ a la cosecha de arroz. El tri´ angulo es una figura geom´etrica si y solo si tiene tres lados. p : El tri´ angulo es una figura geom´etrica. q : El tri´ angulo tiene tres lados.
2.1.5.
Conectivas
Las conectivas, conectivos l´ ogicos o t´erminos de enlace tienen la funci´ on de relacionar las proposiciones que forman un enunciado compuesto. Son expresiones ling¨ u´ısticas que, aplicadas a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto. Por extensi´ on, llamaremos tambi´en conectivas a los signos l´ ogicos que los representan. Las expresiones ling¨ u´ısticas que representan a las diferentes conectivas son: “y”, “o”, “o · · · o”, “si · · · , entonces”, “si y solo si”, “no”. Las conectivas dadas se pueden clasificar en dos grupos: Conectiva mon´ adica. No enlaza dos proposiciones at´ omicas, afecta a una sola proposici´ on. La expresi´ on “no” es una conectiva mon´ adica. Conectivas di´ adicas o binarias. Enlazan dos proposiciones at´ omicas. Las expresiones “y”, “o”, “o · · · o”, “si · · · , entonces”, “si y solo si” son conectivas di´ adicas.
2.1.6.
Simbolizaci´ on de proposiciones
En los ejemplos de proposiciones dadas anteriormente observamos que algunas proposiciones son cortas pero tambi´en algunas de las proposiciones at´ omicas del lenguaje usual son largas, resultando por ello pesadas y de dif´ıcil manejo. La l´ ogica simplifica la dificultad uti-
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lizando s´ımbolos en lugar de trabajar con todo el contenido de la proposici´ on, tambi´en utiliza s´ımbolos para representar a los t´erminos de enlace, as´ı tenemos: Para denotar a cada una de las proposiciones at´ omicas (en afirmativo) adoptaremos las letras p, q, r, s, t, etc. Para representar a las expresiones (o sus equivalentes) de enlace o conectivas utilizaremos: ∧, ∨, ∼, →, ←, ↔, ∆ S´ımbolo
Operaci´ on asociada
Significado
∧
Conjunci´ on
pyq
∨
Disyunci´ on d´ebil
p o q (en sentido incluyente)
∼
Negaci´ on
no p
→
Implicaci´ on o Condicional
si p entonces q
↔
Bicondicional
p si y solo si q
∆
Diferencia sim´etrica o Disyunci´ on fuerte
opoq
Cuadro 2.1: Conectivos l´ ogicos
Ejemplo 2.1.6. Simbolizar las siguientes proposiciones: a. Albert Einstein no es fil´ osofo, sino f´ısico. Soluci´ on Forma l´ ogica: F´ ormula:
Einstein es f´ısico y Einstein no es fil´ osofo. p = Einstein es f´ısico. q = Einstein es fil´ osofo.
Simbolizaci´ on:
p∧ ∼ q
b. Sin carbono, ox´ıgeno, nitr´ ogeno e hidr´ ogeno, no hay vida. Soluci´ on Forma l´ ogica: F´ ormula:
Si no hay carbono y no hay ox´ıgeno y no hay nitr´ ogeno y no hay hidr´ ogeno, entonces no hay vida. p = hay carbono. q = hay ox´ıgeno. r = hay hidr´ ogeno. s = hay nitr´ ogeno. t = hay vida.
Simbolizaci´ on:
(∼ p ∧ ∼ q ∧ ∼ r ∧ ∼ s) → ∼ t
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c. Si el procedimiento de la eliminaci´ on de Gauss no puede ser completado para obtener [I/B] de [A/I], entonces la matriz A no tiene inversa. Soluci´ on Forma l´ ogica: F´ ormula:
Es clara por si misma. p = el procedimiento de la eliminaci´ on de Gauss puede ser completado para obtener [I/B] de [A/I]. q = la matriz A no tiene inversa.
Simbolizaci´ on:
∼ p →∼ q
d. El “Hospital Bel´en” de Lambayeque ha sido reconocido como “Hospital amigo” de la madre y el ni˜ no, por haber puesto en pr´ actica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa. (Minsa - UNICEF, 1995) Soluci´ on Si el ”Hospital Bel´en”ha puesto en pr´ actica los 10 pasos hacia una lactanForma l´ ogica:
cia natural exitosa, entonces ha sido reconocido como “hospital amigo” de la madre y el ni˜ no.
F´ ormula:
p = El ”Hospital Bel´en”de Lambayeque ha puesto en pr´ actica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa. q = El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “hospital amigo” de la madre y el ni˜ no.
Simbolizaci´ on:
2.2.
p → q
Operaciones con proposiciones
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o m´ as proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposici´ on resultante a trav´es de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuaci´ on el uso y significado de los diferentes conectivos l´ ogicos.
2.2.1.
Conjunci´ on
Se denomina conjunci´ on al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ogico ∧. Denotamos por “p ∧ q” y se lee “p y q”, cuya tabla de verdad es: La tabla que define esta operaci´ on, establece que la conjunci´ on es verdadera s´ olo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa. A las proposiciones que componen una conjunci´ on se las denomina conjuntivos.
Walter Arriaga D.
L´ ogica
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p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Cuadro 2.2: Conjunci´ on Observaci´ on 2.2.1. Las palabras “pero”, “sin embargo”, “adem´ as”, “aunque”, “no obstante”, “tambi´en”, “as´ı como”, “a la vez”, “tal como”, “tanto como”, “al igual que”, “incluso”, “as´ı mismo”, “a pesar que”, “obviamente”, “ahora bien”, “sino”, equivalen al conectivo de la conjunci´ on. La coma tambi´en puede desempe˜ nar como un conectivo l´ ogico de conjunci´ on. Ejemplo 2.2.1. Sea la proposici´ on: r : 5 es un n´ umero impar y 6 es un n´ umero par Vemos que est´ a compuesta de dos proposiciones: p: 5 es un n´ umero impar q: 6 es un n´ umero par Por ser ambas verdaderas, la conjunci´ on es verdadera. Ejemplo 2.2.2. Sea la proposici´ on: r : Hoy es el d´ıa 3 de noviembre y ma˜ nana es el d´ıa 5 de noviembre Esta conjunci´ on es falsa, ya que no pueden ser simult´ aneamente verdaderas ambas proposiciones. Ejemplo 2.2.3. Otros ejemplos de conjunci´ on: 12 es m´ ultiplo de 3 y de 4. Julio estudia no obstante tiene que trabajar. El tetraedro tiene tri´ angulos equil´ ateros y el hexaedro cuadrados. El rombo y el rect´ angulo son paralelogramos. El estudiante tuvo dificultades, pero logr´ o desarrollar el ejercicio. El profesor gan´ o el concurso, en la noche llamar´e a su casa. 15 es m´ ultiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7.
38
L´ ogica
2.2.2.
Walter Arriaga D.
Disyunci´ on inclusiva
Se denomina disyunci´ on inclusiva o disyunci´ on d´ebil al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico ∨. Denotamos por “p ∨ q” y se lee “p o q”, cuya tabla de verdad es: p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Cuadro 2.3: Disyunci´ on inclusiva La disyunci´ on s´ olo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Las proposiciones que forman una disyunci´ on se denominan disyuntivos. Observaci´ on 2.2.2. Las palabras “u”, “salvo”, “a menos que”, “excepto”, equivalen al conectivo l´ ogico de la disyunci´ on inclusiva. Ejemplo 2.2.4. Dada la proposici´ on: Alessandra es doctora o tenista En este caso el sentido de la disyunci´ on es inclusiva, ya que puede ser que Alessandra sea doctora y adem´ as puede ser tenista. Ejemplo 2.2.5. Otros ejemplos de disyunci´ on inclusiva: Isaac Newton invent´ o el c´ alculo diferencial o Grahan Bell invent´ o el tel´efono. Tiro las cosas viejas o que no me sirven. Los profesores de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo tienen estudios de maestr´ıa o doctorado. 2 es un n´ umero primo o un n´ umero par. Leonardo es futbolista o ajedrecista. El ex´ agono es un pol´ıgono o el rect´ angulo es un cuadril´ atero.
Walter Arriaga D.
2.2.3.
L´ ogica
39
Negaci´ on
Dada una proposici´ on p, se denomina la negaci´ on de p a otra proposici´ on denotada por ∼ p que se lee “no p” y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Ejemplo 2.2.6. Dada la proposici´ on: P : Alessandra estudia medicina humana entonces ∼ p : Alessandra no estudia medicina humana. Tambi´en puede escribirse: ∼ p : no es cierto que Alessandra estudia medicina humana. Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p
∼p
V
F
F
V
Cuadro 2.4: Negaci´ on Observamos aqu´ı que al valor V de p, la negaci´ on le hace corresponder el valor F, y viceversa. Se trata de una operaci´ on unitaria, pues a partir de una proposici´ on se obtiene otra, que es su negaci´ on. Observaci´ on 2.2.3. Las palabras “es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no ocurre que”, “no es el caso que”, “no es posible que”, “nunca”, equivalen al conectivo l´ ogico de la negaci´ on. Ejemplo 2.2.7. La negaci´ on de p : “todos los alumnos estudian matem´ atica” es: ∼ p : no todos los alumnos estudian matem´ atica; O bien: ∼ p : no es cierto que todos los alumnos estudian matem´ atica; O bien ∼ p : hay alumnos que no estudian matem´ atica Ejemplo 2.2.8. Otros ejemplos de negaci´ on: No es cierto que la cosecha de ca˜ na trae p´erdidas. Es falso que el autom´ ovil es petrolero. Nunca he visto perros de color rojo.
40
L´ ogica
Walter Arriaga D.
Ejemplo 2.2.9. Simbolizar la siguiente proposici´ on: No es el caso de que 10 sea m´ ultiplo de 3 o que 5 + 2 < 10. Soluci´ on: Si p : 10 es m´ ultiplo de 3, y q : 5 + 2 < 10; entonces la proposici´ on se simboliza: ∼ (p ∨ q)
2.2.4.
Condicional
La condicional lLamada tambi´en Implicaci´ on de las proposiciones p y q es la proposici´ on p → q que se lee “si p entonces q” y cuya tabla de valores de verdad es: p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Cuadro 2.5: Condicional La proposici´ on que sigue a la palabra “si”, es decir p se llama antecedente, y la proposici´ on que sigue a la palabra “entonces” es decir q se llama consecuente de la implicaci´on o condicional. La tabla nos muestra que la implicaci´ on s´ olo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo 2.2.10. Dada la implicaci´ on Si apruebo entonces te presto el libro | {z } | {z } p
q
Esta implicaci´ on est´ a compuesta de las proposiciones El antecedente p : apruebo El consecuente q : te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicaci´ on, en relaci´ on a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicaci´ on es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposici´ on es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposici´ on es verdadera pues el compromiso se cumple.
Walter Arriaga D.
L´ ogica
41
Ejemplo 2.2.11. Dada la proposici´ on r : si 1 = −1 entonces 12 = (−1)2 . Esta proposici´ on resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = −1) falso. Observaci´ on 2.2.4. Las palabras “implica”, “por lo tanto”, “conclusi´ on”, “luego”, “por consiguiente”, “de ahi que”, “de modo que”, “deviene”, “solo si”, “es condici´ on suficiente para”, “si p entonces q”, “dado p por eso q”, “cuando p as´ı pues q”, “de p derivamos q”, equivalen al conectivo l´ ogico de: p → q. Observaci´ on 2.2.5. Las palabras “porque”, “ya que”, “puesto que”, “si”, “cuando”, “siempre que”, “dado que”, “cada vez que”, “pues”, “supone que”, “a condici´ on de que”, “es condici´ on necesaria para”, “solo si”, equivalen al conectivo l´ ogico de: p ← q. Ejemplo 2.2.12. En la proposici´ on te presto mi libro porque aprob´e | {z } | {z } q
p
Esta implicaci´ on sigue estando compuesta de las proposiciones Antecedente p : aprob´e Consecuente q : te presto el libro Lo simbolizamos (q ← p) o (p → q), y puede reescribirse como: si apruebo entonces te presto mi libro. Veamos un ejemplo, el cual ayudar´ a a comprender las maneras en que una proposici´ on condicional se puede expresar: Ejemplo 2.2.13. Cuando decimos: Mi autom´ ovil funciona si hay gasolina en el tanque Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras: a. Si hay gasolina en el tanque, entonces mi autom´ ovil funciona. Observa que en este caso la proposici´ on condicional es del caso: “Si p, entonces q”. b. Mi autom´ ovil s´ olo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposici´ on condicional es del caso: “p solamente si q”. c. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione. En este caso la condicional es de la forma: “p es suficiente par q”. d. Para que mi autom´ ovil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. Para este caso la proposici´ on condicional es de la forma: “q es necesario para q”.
42
L´ ogica
Walter Arriaga D.
e. Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione. En este caso la condicional es de la forma: “p implica q”. Ejemplo 2.2.14. Otros ejemplos: Si estudio a conciencia, entonces aprobar´e l´ ogica. p → q, donde p : estudio a conciencia, q : aprobar´e l´ ogica. Si Tum´ an es un distrito de Chiclayo, entonces Chiclayo es provincia de Lambayeque. p → q, donde p : Tum´ an es un distrito de Chiclayo, q : Chiclayo es provincia de Lambayeque. Ir´e al cine, si tengo dinero. p ← q, donde p : Ir´e al cine, q : tengo dinero. Si 2 + 1 = 3, entonces Lambayeque tiene tres provincias. p → q, donde p : 2 + 1 = 3, q : Lambayeque tiene tres provincias. 8 es un n´ umero par, si 8 es divisible por 2. p ← q, donde p : 8 es un n´ umero par, q : 8 es divisible por 2. Si ma˜ nana voy a la playa, me levantar´e temprano. En esta proposici´ on la palabra “entonces” no figura y en su lugar se coloca una coma. Comprar´e zapatos solo si est´ an baratos. Para que un n´ umero sea impar es suficiente que no sea divisible por dos. Ir´e a trabajar cuando sea bien remunerado. La carretera se interrumpe siempre que hay huaycos. Cada vez que hay nevada las plantas se secan. Flor no viaj´ o a Espa˜ na porque perdi´ o sus documentos. A toda condicional se le asocia otras tres proposiciones, igualmente importantes, que son: la rec´ıproca, la inversa y la contra rec´ıproca. Proposici´ on rec´ıproca Dada la proposici´ on condicional p → q, se llama proposici´ on rec´ıproca a la proposici´ on que se denota por q → p y cuya tabla de valores de verdad es:
Walter Arriaga D.
L´ ogica
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p
q
q→p
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Cuadro 2.6: Rec´ıproca Ejemplo 2.2.15. Sea la proposici´ on directa p → q: “Si x es par, entonces, x es m´ ultiplo de 2”. La proposici´ on rec´ıproca q → p ser´a: “Si x es m´ ultiplo de 2, entonces, x es par. Proposici´ on inversa Dada la proposici´ on condicional p → q, se llama proposici´ on inversa a la proposici´ on que se denota por ∼ p →∼ q y cuya tabla de valores de verdad es: p
q
∼ p →∼ q
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Cuadro 2.7: Inversa
Ejemplo 2.2.16. Sea la proposici´ on directa p → q: “Si Flor tiene 30 a˜ nos, entonces es joven”. La proposici´ on inversa ∼ p →∼ q ser´ a: “Si Flor no tiene 30 a˜ nos, entonces no es joven”. Proposici´ on contra rec´ıproca Dada la proposici´ on condicional p → q, se llama proposici´ on contra rec´ıproca a la proposici´ on que se denota por ∼ q →∼ p. Esta proposici´ on es de mucha utilidad en la demostraci´ on por reducci´ on al absurdo o falsa suposici´ on. La tabla de valores de verdad es:
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L´ ogica
Walter Arriaga D.
p
q
∼ q →∼ p
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Cuadro 2.8: Contrarec´ıproca Ejemplo 2.2.17. Sea la proposici´ on directa p → q: “Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas”. La proposici´ on contra rec´ıproca ∼ q →∼ p ser´ a: “Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una misma recta”.
2.2.5.
Bicondicional
La bicondicional llamada tambi´en doble implicaci´ on de las proposiciones p y q es la proposici´ on p ↔ q que se lee “p si y s´ olo si q” y cuya tabla de valores de verdad es: p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Cuadro 2.9: Bicondicional La doble implicaci´ on o bicondicional s´ olo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicaci´ on puede definirse como la conjunci´ on de una implicaci´ on y su rec´ıproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p ↔ q puede obtenerse mediante la tabla de (p → q) ∧ (q ← p), como vemos: p
q
p→q
p←q
(p → q) ∧ (q ← p)
p↔q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Cuadro 2.10: Una equivalencia de la Bicondicional
Walter Arriaga D.
L´ ogica
45
Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo y componente derecho. Observaci´ on 2.2.6. Las palabras “si y solo si”, “condici´ on necesaria y suficiente”, “solamente si”, “cuando y solo cuando”, “entonces y solo entonces”, “es id´entico”, “cada vez que y solo si”, equivalen al conectivo l´ ogico de: p ↔ q. Ejemplo 2.2.18. Dada la proposici´ on: a = b si y s´ olo si a2 = b2 . El enunciado est´ a compuesto por las proposiciones: p:a=b q : a2 = b2 Ejemplo 2.2.19. Otros ejemplos: Una figura geom´etrica es un tri´ angulo si y s´ olo si tiene tres lados. Una instituci´ on educativa tiene Rector si y s´ olo si es una Universidad. Los profesionales egresados consiguen trabajo inmediatamente si y s´ olo si la Universidad es de calidad. Saldremos de vacaciones cuando y s´ olo cuando tengamos un a˜ no trabajando.
2.2.6.
Disyunci´ on exclusiva
La disyunci´ on exclusiva llamada tambi´en diferencia sim´etrica de las proposiciones p y q es la proposici´ on p ∆ q que se lee “p o q” en sentido excluyente o tambi´en “o p o q”; cuya tabla de valores de verdad es: p
q
p∆q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Cuadro 2.11: Disyunci´ on exclusiva La verdad de p ∆ q est´ a caracterizada por la verdad de una y s´ olo una de las proposiciones componentes, es decir, la disyunci´ on exclusiva de dos proposiciones es falsa si y s´ olo si los dos disyuntivos tienen el mismo valor de verdad, y es verdadera en los dem´ as casos.
46
L´ ogica
Walter Arriaga D.
Ejemplo 2.2.20. Dada la proposici´ on: “o vamos a Lima o vamos a Cuzco”. Queda claro que s´ olo podremos ir a uno de los dos lugares, y s´ olo a uno. Ejemplo 2.2.21. Otros ejemplos El l´ ogico Kur G¨ odel naci´ o en Checolslovaquia o naci´ o en Polonia. La clase de l´ ogica empezar´ a a las 8 ´ o las 9 am. El profesor est´ a sano o enfermo. Alessandra viaja hoy a Canad´ a o a Corea. C´esar Vallejo naci´ o en Per´ u o en Francia.
Variables
Negaci´ on
Conjunci´ on
Disyunci´ on
Condicional
Bicondicional
inclusiva
Disyunci´ on exclusiva
p
q
∼p
p∧q
p∨q
p → q
p ↔ q
p∆q
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
Cuadro 2.12: Cuadro general de los conectivos l´ ogicos
2.3.
Proposiciones Compuestas
Usando los conectivos l´ ogicos se pueden combinar cualquier n´ umero finito de proposiciones simples para obtener otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus respectivas tablas de verdad. Los signos de agrupaci´ on (par´entesis, corchetes, llaves) se usan en l´ ogica cuando se trata de obtener esquemas l´ ogicos m´ as complejos con el fin de evitar la ambiguedad de las f´ ormulas. As´ı por ejemplo, la expresi´ on p ∨ q ∧ r es ambigua; pero asociando sus t´erminos: (p ∨ q) ∧ r o p ∨ (q ∧ r), la expresi´ ´ on dada tiene sentido y deja de ser ambigua. Ejemplo 2.3.1. Construir la tabla de verdad para la proposici´ on compuesta: [∼ p ∨ q] → (r ∧ p).
Walter Arriaga D.
L´ ogica
47
Soluci´ on
2.4.
p
q
r
∼p
∼p∨q
r∧p
[∼ p ∨ q] → (r ∧ p)
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
Jerarqu´ıa de los conectivos l´ ogicos
La jerarqu´ıa de las conectivas, desde la m´ as fuerte a la m´ as d´ebil es: Bicondicional (↔) Condicional (→) Conjunci´ on (∧), Disyunci´ on inclusiva (∨), Disyunci´ on exclusiva (∆) Negaci´ on (∼) En el lenguaje usual hay recursos muy variados para determinar la jerarqu´ıa de las conectivas, como las comas, los puntos y comas, y ciertas expresiones de refuerzo como “no es cierto que” para negar una proposici´ on compuesta, y “adem´ as” y “tambi´en” para reforzar una conjunci´ on, y otras. En el lenguaje oral la agrupaci´ on o jerarqu´ıa se realiza mediante las pausas y las diferencias de entonaci´ on. En las proposiciones formalizadas o simbolizadas que hacen uso de los signos de agrupaci´ on (par´entesis, corchetes y llaves) la jerarqu´ıa de las conectivas es determinada por dichos signos de agrupaci´ on. Para la simbolizaci´ on o formalizaci´ on de proposiciones compuestas es necesario saber identificar la conectiva de mayor jerarqu´ıa y saber utilizar los signos de agrupaci´ on correspondientes. Ejemplo 2.4.1. formalizar cada una de las siguientes proposiciones y determine la conectiva de mayor jerarqu´ıa.
48
L´ ogica
Walter Arriaga D.
a. Si no conseguimos pasaje y el tiempo es malo, entonces comprar´e una bicicleta o un televisor. p: conseguimos pasaje q: el tiempo es malo r: comprar´e una bicicleta s: comprar´e un televisor Formalizaci´ on: (∼ p ∧ q) → (r ∨ s) La conectiva de mayor jerarqu´ıa es la condicional b. No es cierto que, si 7 es un n´ umero primo entonces 4 es un n´ umero par y 6 no es impar. p: 7 es un n´ umero primo q: 4 es un n´ umero par r: 6 es un n´ umero impar Formalizaci´ on: ∼ [p → (q∧ ∼ r)] La conectiva de mayor jerarqu´ıa es la negaci´ on que est´ a delante del corchete. c. A la vez 3 es mayor que 2 ´ o 3 es menor que 2 y 3 es mayor que 1. r: 3 es mayor que 2 s: 3 es menor que 2 t: 3 es mayor que 1 Formalizaci´ on: (r ∨ s) ∧ t La conectiva dominante es el de la conjunci´ on. La simbolizaci´ on o formalizaci´ on llamada tambi´en forma proposicional o forma l´ ogica es toda f´ ormula que se obtiene a partir de una proposici´ on, reemplazando las proposiciones que la constituyen por variables proposicionales (p, q, r, s, etc) y las conectivas por sus s´ımbolos respectivos (∼, ∧, ∨, →, ↔, ∆). Las tablas de verdad permiten clasificar las formas proposicionales en tres tipos:
2.4.1.
Tautolog´ıas
Son aquellas cuya columna resultante est´ a formada solamente por verdades (V). Las tautolog´ıas son las que m´ as interesan a la l´ ogica por ser un tipo de leyes l´ ogicas. Las leyes l´ ogicas son formas que s´ olo tienen interpretaciones verdaderas.
Walter Arriaga D.
L´ ogica
49
Ejemplo 2.4.2. Analizar la proposici´ on compuesta: w : (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) a trav´es de su tabla de verdad. Soluci´ on p
q
∼p
p→q
∼ p∨q
(p → q) ↔ (∼ p ∨ q)
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
A la columna resultante se le conoce con el nombre de Matriz principal Vemos que para cualquier combinaci´ on de las proposiciones p y q, la proposici´ on compuesta w : (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) es siempre verdadera. Entonces, la proposici´ on w es una tautolog´ıa. Ejemplo 2.4.3. Analizar la proposici´ on compuesta: w : [(p → q) ∧ p] → q a trav´es de su tabla de verdad. Soluci´ on p
q
p→q
(p → q) ∧ p
[(p → q) ∧ p] → q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
En este caso comprobamos tambi´en que independientemente de la combinaci´ on de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la f´ ormula l´ ogica es siempre V. Decimos, aqu´ı tambi´en, que esta f´ ormula es una tautolog´ıa o ley l´ ogica.
2.4.2.
Contradicciones
Son aquellas, donde la columna resultante de la tabla de verdad est´ a conformada solamente por falsedades (F). Ejemplo 2.4.4. Analizar la proposici´ on compuesta: w : [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q a trav´es de su tabla de verdad. Soluci´ on p
q
p∧q
(p ∧ q) ∨ q
∼q
[(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
50
L´ ogica
Walter Arriaga D.
Obtenemos que la f´ ormula l´ ogica es siempre falsa, es entonces una Contradicci´ on. Ejemplo 2.4.5. Analizar la proposici´ on compuesta: w : (∼ p∨ ∼ q)∆(p → ∼ q) a trav´es de su tabla de verdad. Soluci´ on p
q
∼p
∼q
∼ p∨ ∼ q
p→∼q
(∼ p∨ ∼ q)∆(p → ∼ q)
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
Como los elementos de la matriz principal son falsos, entonces es una contradicci´ on.
2.4.3.
Contingencias
Se dice que una f´ ormula l´ ogica es contingente si no es ni tautol´ ogico ni contradictorio. Su matriz principal contiene por lo menos un V y un F. Ejemplo 2.4.6. Analizar la proposici´ on compuesta: w : [p ∧ (p → q)] → (q∆r) a trav´es de su tabla de verdad. Soluci´ on p
q
r
p→q
p ∧ (p → q)
q∆r
[p ∧ (p → q)] → (q∆r)
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
Una forma proposicional es consistente cuando tiene por lo menos una interpretaci´ on verdadera, y es inconsistente cuando no tiene ninguna interpretaci´ on verdadera. Las tautolog´ıas y las contingencias son formas consistentes, mientras que las contradicciones son inconsistentes.
2.5.
Equivalencias l´ ogicas
Existen varias equivalencias de la l´ ogica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia. Dos f´ ormulas F1 y F2 son equivalentes (´ o logicamente equivalentes) si: F1 ↔ F2
Walter Arriaga D.
L´ ogica
51
resulta ser una tautolog´ıa, o si las tablas de valores de verdad de F1 y F2 son id´enticos, y se denota F1 ≡ F2 Ejemplo 2.5.1. Las proposiciones p → q y ∼ (p ∧ ∼ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: Soluci´ on p
q
p→q
∼ (p ∧ ∼ q)
[p → q] ↔ [∼ (p∧ ∼ q)]
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
Podemos concluir entonces que: p → q y ∼ (p ∧ ∼ q) son equivalentes, es decir: p → q ≡∼ (p ∧ ∼ q) Otro ejemplo de equivalencia es: p ↔ q ≡∼ (p∆q). Esto se verifica revisando las tablas de verdad.
2.6.
Leyes del Algebra Proposicional
Son ciertas equivalencias l´ ogicas que las presentamos a continuaci´ on y cuya demostraci´ on es f´ acil de realizar exhibiendo sus tablas veritativas correspondientes. 1. Idempotencia: a) p ∧ p ≡ p b) p ∨ p ≡ p 2. Conmutativa: a) p ∧ q ≡ q ∧ p b) p ∨ q ≡ q ∨ p c) p ↔ q ≡ q ↔ p d) p ∆q ≡ q∆p 3. Asociativa: a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
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L´ ogica b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r) 4. Distributiva: a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) c) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) d) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r) 5. Identidad: a) p ∧ V ≡ V ∧ p ≡ p b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p 6. Complemento: a) ∼∼ p ≡ p
Involuci´ on
b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V
Tercio exclu´ıdo
d) p → p ≡ V
Principio de identidad
e) p ↔ p ≡ V
Principio de identidad
f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V
Principio de no contradicci´ on
g) ∼ V ≡ F h) ∼ F ≡ V 7. Morgan: a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q 8. Absorci´ on: a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
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b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q 9. Implicaci´ on: a) p → q ≡ ∼ p ∨ q b) p → q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q) c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p 10. Doble Implicaci´ on: a) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) 11. Diferencia Sim´ etrica: a) p ∆q ≡ ∼ (p ↔ q) b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p) 12. Expansi´ on Booleana: a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q) b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q) 13. Transposici´ on: a) p → q ≡ ∼ q → ∼ p b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p 14. Exportaci´ on: a) (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r) b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) → r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn−1 ) → (pn → r)
2.7.
Simplificaci´ on de proposiciones
La aplicaci´ on de las leyes de la l´ ogica proposicional permite simplificar proposiciones moleculares, reducir una proposici´ on compuesta a una proposici´ on m´ as simple, generalmente de menos variables proposicionales y relacionadas con los conectivos l´ ogicos ∧, ∨, o ∼. En algunos casos se reduce a una tautolog´ıa o a una contradicci´ on.
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Ejemplo 2.7.1. Simplificar la proposici´ on W = [(∼ p ∧ q) → (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q) Soluci´ on W
≡
[∼ (∼ p ∧ q) ∨ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q)
≡
[(p ∧ ∼ q) ∨ F] ∧ (∼ q)
≡
[(p ∧ ∼ q)] ∧ (∼ q)
(5.d.)
≡
∼q
(8.b.) ∴
(9.a.) (7.a., 6.b.)
W ≡∼ q
Ejemplo 2.7.2. Simplificar la proposici´ on W =∼ [(p →∼ q) ∨ ∼ q] → [∼ p ↔ (∼ p → q)] Soluci´ on W
≡
[(p →∼ q) ∨ ∼ q] ∨ [∼ p ↔ (∼ p → q)]
(9.a.)
≡
[(∼ p∨ ∼ q) ∨ ∼ q] ∨ [∼ p ↔ (p ∨ q)]
(9.a.)
≡
[∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q)] ∨ [∼ p ↔ (p ∨ q)]
(3.b.)
≡
(∼ p ∨ ∼ q) ∨ [∼ p ↔ (p ∨ q)]
(1.b.)
≡
∼ p ∨ ∼ q ∨[(∼ p ∧(p∨q)) ∨(p ∧ ∼ (p∨q))]
(10.b.)
≡
∼ p ∨ ∼ q ∨ [(∼ p ∧ q) ∨ (p ∧ ∼ p ∧ ∼ q)]
(8.c.)
≡
∼ p ∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (F ∧ ∼ q)
(6.b.)
≡
∼ p ∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q) ∨ F
(5.b.)
≡
[∼ p ∨ (∼ p ∧ q)] ∨ ∼ q
≡
∼ p∨ ∼ q ∴
2.8.
W ≡ ∼ p∨ ∼ q
(3.b., 5.d.) (8.b.)
Inferencia L´ ogica
Definici´ on 2.8.1. Un razonamiento proposicional es aquel cuya estructura se puede expresar en forma proposicional de tal manera que su validez o invalidez se determina por la manera en que est´ an relacionadas las proposiciones mediante las conectivas, sin que se requiera un an´ alisis de la forma interna de las proposiciones simples. Definici´ on 2.8.2. Una inferencia es una evaluaci´ on que realiza la mente entre conceptos que, al interactuar, muestran sus propiedades de forma discreta, necesitando utilizar la abstracci´ on para lograr entender las unidades que componen el problema, creando un punto axiom´ atico o circunstancial, que nos permitir´ a trazar una l´ınea l´ ogica de causa-efecto, entre los diferentes puntos inferidos en la resoluci´ on del problema. Una vez resuelto el problema, nace lo que
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conocemos como postulado, o una transformada de la original, que al estar enmarcado en un contexto referencial distinto, se obtiene un significado equivalente. Utilizada a menudo en los motores de inferencia de los Sistemas Expertos. Definici´ on 2.8.3. Las inferencias inmediatas son aquellas que tienen dos juicios, una premisa e inmediatamente de esa premisa se saca la conclusi´ on. Hay 3 tipos de inferencia inmediata: Oposici´ on: Por oposici´ on se pasa de la veracidad a la falsedad y de la falsedad a la veracidad. Subalteraci´ on: Por subalteraci´ on se pasa de lo universal a lo particular ((Lo que vale para el todo vale para cada una de sus partes)). Conversi´ on: Por conversi´ on se cambia el sujeto de la premisa por el predicado de la conclusi´ on y el predicado de la premisa por el sujeto de la conclusi´ on (P: Los feos son marcianos, C: Los marcianos son feos) Definici´ on 2.8.4. Definiremos la Inferencia l´ ogica como:
En la l´ogica tradicional. Se llamaba inferencia a la figura l´ogica que permite obtener una conclusi´ on directamente, a partir de una u ´nica premisa. Teniendo en cuenta que el esquema fundamental de esa l´ ogica era el silogismo, la inferencia aparec´ıa como un caso especial. As´ı del conocimiento de que ((Est´ a lloviendo)), se infiere ((el suelo est´ a mojado)). Adem´ as podemos decir que, inferir es interpretar el contenido de un texto con solo leer el t´ıtulo o palabra clave de este.
En la l´ogica actual. Se llama inferencia l´ogica a la aplicaci´on de una regla de transformaci´ on que permite transformar una f´ ormula o expresi´ on bien formada (EBF) de un sistema formal en otra EBF como teorema del mismo sistema. Ambas expresiones se relacionan mediante una relaci´ on de equivalencia, es decir, que ambas tienen los mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una complica la verdad de la otra. Definici´ on 2.8.5. Se llama inferencia l´ ogica ´ o argumento l´ ogico a toda condicional de la forma: (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pk ) → q
(2.1)
donde p1 , p2 , . . . , pk son llamadas premisas, y originan como consecuencia otra proposici´ on denotada por q y llamada conclusi´ on.
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Una inferencia puede ser una tautolog´ıa, una contingencia ´ o una contradicci´ on. Si la condicional (2.1) es una tautolog´ıa, entonces recibe el nombre de argumento v´ alido o inferencia v´ alida. Si la condicional (2.1) no es una tautolog´ıa, entonces recibe el nombre de Falacia. El argumento (2.1) se denota tambi´en de la siguiente forma: p1 p2 .. . pk ∴ p1 donde ∴ se lee “por lo tanto”.
2.8.1.
Inferencias notables
Ley del Modus Ponendo Ponens Del lat´ın: modo que afirmando afirma, es una regla de inferencia simple. Usualmente se lo abrevia como “MPP”. Una de las premisas es un condicional y la otra premisa es el antecedente del condicional. La conclusi´ on es el consecuente del condicional. Su representaci´ on simb´ olica es: [(p → q) ∧ p] → q F´ ormula proposicional: p→q p ∴ q Cuadro 2.13: Modus Ponendo Ponens Ejemplo 2.8.1.
∼ (p ∧ r) → q ∼ (p ∧ r) ∴ q
(p ∨ s) →∼ q p∨s ∴∼ q
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(p ∆ t) → (q ∧ s) p∆t ∴ q ∧s
(p → r) →∼ q p → r ∴∼ q
∼ p →∼ q ∼ p ∴∼ q
(p ↔ t) → ∼ (q ∧ s) p ↔ t ∴ ∼ (q ∧ s)
Si Alessandra gana el concurso viajar´a a Espa˜na Alessandra gana el concurso ∴ Alessandra viajar´ a a Espa˜ na
Si Pizarro fund´o la ciudad de Lima en 1535, entonces Lima es la capital del Per´u Pizarro fund´ o la ciudad de Lima en 1535 ∴ Lima es la capital del Per´ u
El cielo es azul Si el cielo es azul, entonces las nubes son blancas ∴ Las nubes son blancas Ley del Modus Tollendo Tollens Del lat´ın, modo que negando niega, tambi´en llamado razonamiento indirecto, es el nombre formal para la prueba indirecta o inferencia contrapositiva. Usualmente se lo abrevia como “MTT”. Una de las premisas es un condicional y la otra premisa es la negaci´ on del consecuente del condicional. La conclusi´ on es la negaci´ on del antecedente del condicional. Su representaci´ on simb´ olica es: [(p → q)∧ ∼ q] → ∼ p F´ ormula proposicional: Ejemplo 2.8.2.
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p→q ∼ q ∴∼ p Cuadro 2.14: Modus Tollendo Tollens
(p ∧ ∼ r) → q ∼ q ∴ ∼ (p ∧ ∼ r)
(∼ p ∨ s) → ∼ q q ∴ ∼ (∼ p ∨ s)
(p ∆ t) → (q ∧ s) ∼ (q ∧ s) ∴ ∼ (p ∆ t)
(p ∆ r) → ∼ q q ∴ ∼ (p ∆ r)
Ricardo Palma naci´o en Lima, entonces es lime˜no Ricardo Palma no es lime˜ no ∴ Ricardo Palma no naci´ o en Lima
Si la ballena es un cet´aceo, entonces la oveja es un equino La oveja no es un equino ∴ La ballena no es un cet´ aceo
Los tri´angulos equil´ateros tienen tres lados iguales Si el cuadrado tiene 4 lados, los tri´ angulos equil´ ateros no tienen 3 lados iguales El cuadrado no tiene 4 lados Ley del Silogismo Hipot´ etico El Silogismo Hipot´etico (SH) se caracteriza porque las dos premisas son condicionales, el consecuente de una de ellas es el antecedente del otro condicional. La conclusi´ on es un condicional cuyo antecedente y consecuente no son los t´erminos comunes de las premisas.
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Su representaci´ on simb´ olica es: [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) F´ ormula proposicional: p→q q→r ∴ p→r Cuadro 2.15: Silogismo Hipot´etico
Ejemplo 2.8.3.
(p ∧ ∼ r) → q q → r ∴ (p ∧ ∼ r) → r
(∼ p ∨ s) → ∼ q ∼ q → (t ∨ w) ∴ (∼ p ∨ s) → (t ∨ w)
(p ∆ t) → (q ∧ s) (q ∧ s) → w ∴ (p ∆ t) → w
(p ∆ r) → ∼ q ∼ q → (s ∧ t) ∴ (p ∆ r) → (s ∧ t)
Si 6 es divisible por 3, entonces 8 es divisible por 2 Si 8 es divisible por 2, entonces 7 es un numero primo ∴ Si 6 es divisible por 3, entonces 7 es un numero primo
Si el triangulo es is´osceles, entonces Lambayeque tiene tres provincias Si Lambayeque tiene tres provincias, entonces el pent´ agono no tiene cinco lados ∴ Si el tri´ angulo es is´ osceles, entonces el pent´ agono no tiene cinco lados
Si el paralelep´ıpedo es un prisma, entonces el poliedro es convexo Si el poliedro es convexo, entonces el trapezoide no tiene lados paralelos ∴ Si el paralelep´ıpedo es un prisma, entonces el trapezoide no tiene lados paralelos
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Ley del Silogismo Disyuntivo El Silogismo Disyuntivo (SD) Se caracteriza porque al negar afirma. Una de las premisas del razonamiento proposicional es una disyunci´ on y la otra premisa es la negaci´ on de uno de los disyuntivos. La conclusi´ on es el otro disyuntivo. Su representaci´ on simb´ olica es: [(p ∨ q) ∧ (∼ p)] → q F´ ormula proposicional: p∨q ∼ p ∴ q Cuadro 2.16: Silogismo Disyuntivo
Ejemplo 2.8.4.
p∨ ∼ q q ∴ p
(p ∧ q) ∨ (r ∆ s) ∼ (p ∧ q) ∴ r∆s
(w ∆ t)∨ ∼ (v ∧ u) v ∧u ∴ w∆t
p∨ ∼ q ∨ r q ∴ p∨r
El trabajo es una obligaci´on del hombre o una costumbre El trabajo no es una costumbre ∴ El trabajo es una obligaci´ on del hombre
11 no es un n´umero par o 13 es un n´umero primo 11 es un n´ umero par ∴ 13 es un n´ umero primo
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El sol es una estrella o la luna es un sat´elite La luna no es un sat´elite El sol es una estrella Ley del Dilema Constructivo Compuesto El Dilema Constructivo Compuesto (DCC) es un silogismo disyuntivo, una de las premisas es una conjunci´ on de dos condicionales y la otra premisa es la disyunci´ on de los antecedentes de los condicionales. La conclusi´ on es la disyunci´ on de los consecuentes de los condicionales. Su representaci´ on simb´ olica es: [(p → q) ∧ (r → s)] ∧ [p ∨ r] → q ∨ s F´ ormula proposicional: (p → q) ∧ (r → s) p ∨ r ∴ (q ∨ s) Cuadro 2.17: Dilema Constructivo Compuesto Ejemplo 2.8.5.
(∼ p → q) ∧ (∼ r → s) ∼p∨∼r ∴ q∨s
(p → ∼ q) ∧ (r → ∼ s) p ∨r ∴∼q∨∼s
[p → (q ∧ t)] ∧ (r → s) p ∨r ∴ (q ∧ t) ∨ s
(p → q) ∧ (r → (s ∆ u)) p ∨r ∴ q ∨ (s ∆ u)
Si la filosof´ıa es una actividad, entonces la l´ogica es el estudio del razonamiento y si la psicolog´ıa estudia el pensamiento, entonces la sintaxis estudia las reglas de los signos La filosof´ıa es una actividad o la psicolog´ıa estudia el pensamiento ∴ La l´ ogica estudia el razonamiento o la sintaxis estudia las reglas de los signos
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Si 3 = 2 + 1, entonces 2 < 5; y si 4 = 6 − 2, entonces 8 < 10 3=2+1 o 4 =6−2 ∴ 2 < 5 o 8 < 10 Ley del Dilema Constructivo Simple La representaci´ on simb´ olica de un Dilema Constructivo Simple (DCS) es: [(p → q) ∧ (r → q)] ∧ [p ∨ r] → q F´ ormula proposicional: (p → q) ∧ (r → q) p ∨ r ∴ q Cuadro 2.18: Dilema Constructivo Simple Seg´ un esta ley, se distingue del dilema constructivo compuesto porque los consecuentes son similares y la conclusi´ on se reduce a un s´ olo elemento. Ley del Dilema Destructivo Compuesto El Dilema Destructivo Compuesto (DDC) Es un silogismo disyuntivo, una de las premisas es una conjunci´ on de dos condicionales y la otra premisa es la disyunci´ on de la negaci´ on de los consecuentes de los condicionales. La conclusi´ on es la disyunci´ on de la negaci´ on de los antecedentes de los condicionales. Su representaci´ on simb´ olica es: [(p → q) ∧ (r → s)] ∧ [∼ q ∨ ∼ s] → (∼ p ∨ ∼ r) F´ ormula proposicional: (p → q) ∧ (r → s) ∼ q∨ ∼ s ∴∼ p∨ ∼ r Cuadro 2.19: Dilema Destructivo Compuesto
Ejemplo 2.8.6.
(∼ p → q) ∧ (∼ r → s) ∼q∨∼s ∴ p∨r
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(p → ∼ q) ∧ (r → ∼ s) q ∨s ∴∼p∨∼r
[p → (q ∧ t)] ∧ (r → s) ∼ (q ∧ t) ∨ ∼ s ∴∼ p∨∼ r
(p → q) ∧ (r → (s ∆ u)) ∼ q ∨ ∼ (s ∆ u) ∴∼ p∨∼ r
Si el n´umero 2 es natural, entonces 1/2 es racional; y si −3 es entero, entonces π es un n´ umero irracional. 1/2 no es racional o π no es un n´ umero irracional ∴ el n´ umero 2 no es natural o −3 no es entero
Si 3 = 2 + 5, entonces 2 < 7; y si 4 = 6 − 2, entonces 8 < 12 2 no es menor que 7 o 8 no es menor que 12 ∴ 3 6= 2 + 5 o 4 6= 6 − 2 Ley del Dilema Destructivo Simple La representaci´ on simb´ olica de un Dilema Constructivo Simple (DDS) es: [(p → q) ∧ (p → r)] ∧ [∼ q ∨ ∼ r] → ∼ p F´ ormula proposicional: (p → q) ∧ (p → r) ∼ q∨ ∼ r ∴∼ p Cuadro 2.20: Dilema Destructivo Simple Seg´ un esta ley, como en el caso del constructivo simple, hay un elemento que se repite. Son similares sus antecedentes y la conclusi´ on tambi´en es s´ olo un elemento negado. Ley del Transitividad Sim´ etrica La Transitividad Sim´etrica (TS) se caracteriza porque sus dos premisas son bicondicionales. El t´ermino de la izquierda es igual al t´ermino de la derecha del otro bicondicional. La conclusi´ on
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es el bicondicional de los t´erminos no comunes. Su representaci´ on simb´ olica es: (p ↔ q) ∧ (q ↔ r) → (p ↔ r) F´ ormula proposicional: p ↔ q q ↔ r ∴ p ↔ r Cuadro 2.21: Transitividad Sim´etrica
Ejemplo 2.8.7.
p ↔∼ q
∼ q ↔∼ r ∴ p ↔∼ r
∼p ↔ q q ↔∼ t ∴∼p ↔∼ t
(v ∧ w) ↔ t t ↔ (q ∨ v) ∴ (v ∧ w) ↔ (q ∨ v)
∼ p ↔ ∼ (r ∆ t) ∼ (r ∆ t) ↔ q ∴∼p ↔ q
El pavo es ave galliforme si y solo si el fais´an tambi´en lo es; El fais´ an es ave galliforme si y solo si el huanay es pelecaniforme ∴ El pavo es ave galliforme si y solo si el huanay es pelecaniforme
Las venas desembocan en las aur´ıculas si y solo si e es un n´umero irracional e es un n` umero irracional si y solo si la arteria nace en los ventr´ıculos ∴ Las venas desembocan en las aur´ıculas si y solo si la arteria nace en los ventr´ıculos
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EJERCICIOS PROPUESTOS
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1.
I. Dados los siguientes enunciados, determinar si cada uno de ellos expresa o no una proposici´ on: 1) El Doctor Daisaku Ikeda es el presidente de la SGI que lucha por la paz mundial. 2) Viena es la capital de Austria. 3) 1 + 2 > 3. 4) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y. 5) Naylamp significa “ave de paso”. 6) Prohibido fumar en el sal´ on. 7) Tr´ aeme un vaso con agua. 8) ¿Soy yo acaso el guardi´ an de mi hermano?. 9) x + 3 es un entero positivo. 10) La luz del sol tarda 8 min 20 seg en llegar a la tierra. 11) El cr´ aneo consta de ocho huesos. 12) Siendo x e y n´ umeros reales, x = y ´ o x 6= y. 13) Mart´ın Luther King recibi´ o el premio de la paz en 1964. ´ 14) Esta proposici´ on es verdadera. 15) Silencio: Hospital. 16) ¡Fuerza cicl´ on!. 17) Wtah’s your name?. 18) “¿Qu´e hora es? es una oraci´ on interrogativa”. 19) La marihuana es una droga que genera dependencia. 20) El software es la parte l´ ogica del computador. 21) De la universidad al museo “Tumbas Reales de Sipan”. 22) Mira que hermoso pa´ıs. 23) La luna es un meteorito. 24) El intelecto es facultad humana. 25) Ven ahora.
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26) Est´ a triste porque no fue a pasear. 27) 21235 termina en cifra 8. 28) El trabajo es una obligaci´on del hombre. 29) Llueve. 30) Alessandra est´ a estudiando. 31) La tierra no es un planeta. 32) Ir´e a verte, si dispongo de tiempo. 33) ¿Cu´ al es el parlamentario m´ as corrupto?. 34) “Tarde fue cuando agonizaba lentamente en un d´ıa lluvioso”. 35) Hace calor. 36) Nieva. 37) Alc´ anzame la toalla. 38) Mi alma no se contenta con haberla perdido. 39) El hombre es un animal racional. 40) Entre dos n´ umeros reales diferentes, existen infinitos n´ umeros reales. 41) Por un punto de un plano pasan infinitas rectas. II. A que clase de proposici´ on (at´ omica o molecular) pertenece cada uno de los siguientes enunciados: 1) El coraz´ on adem´ as el cerebro. 2) De ser fil´ osofo Arist´ oteles luego Plat´ on lo fue. 3) La l´ ogica es ciencia salvo que sea arte. 4) Garu es m´ as alto que Pucca. 5) Tanto Marte como Jupiter son planetas. 6) Construyeron una represa en el departamento de Lambayeque. 7) Federico Villareal fue un gran matem´ atico del siglo pasado. 8) No se han producido epidemias de sarampi´ on en el u ´ltimo quinquenio. 9) Si contin´ ua la amenaza del virus AH1N1, no iremos de paseo. 10) La educaci´ on escolar mejorar´ a si se aumenta el presupuesto y se capacita al magisterio nacional.
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11) O no hab´ıa pasajes en la empresa de transportes, o no nos la quisieron vender. 12) O entregamos el trabajo de l´ ogica ma˜ nana, o no lo entregamos; y autom´ aticamente quedaremos desaprobados. 13) Fuimos a la biblioteca de la Universidad Pedro Ruiz Gallo, pero ni encontramos los libros que necesit´ abamos ni nos dijeron donde hallarlas. 14) Aprobar´e matem´ aticas si y s´ olo si estudio conscientemente, pero si consigo trabajo dejar´e de estudiar en la Universidad. 15) No hace calor, pero hay muchos zancudos. III. Determine la forma proposicional de cada uno de los siguientes enunciados: 1) G. Leibinz fue tanto un cient´ıfico como un fil´ osofo. 2) Si 20 es m´ ultiplo de 2, entonces es n´ umero par. 3) No es el caso que Brandom baile y no cante. 4) Alessandra ir´ a a la escuela y si llueve tambi´en lo har´ a Cynthia. 5) H´ector est´ a alegre, porque aprob´ o el curso y no perdi´ o la beca de estudios. 6) La educaci´ on universitaria tiene como fines la formaci´ on profesional, la difusi´ on cultural, la creaci´ on art´ıstica y la investigaci´ on cient´ıfica. (Ley 2373) 7) Si Estados Unidos construyera un submarino at´ omico Trident menos de los 25 programados y Rusia construyera un submarino at´ omico Tif´ on menos, se podr´ıa alfabetizar todo el mundo. 8) Ir´e al parque o al cine a pie o en taxi. 9) Alex y Rixy son hermanos o primo y prima. 10) Si tanto mi padre como mi madre van, entonces yo no ir´e, pero si s´ olo mi padre va, entonces yo ir´e tambi´en. 11) Veo al arco iris si llueve y hay sol. 12) Si jorge escuch´ o la conferencia, entonces o fue al teatro y pas´ o por la casa de Ana, o la escuch´ o por radio y llam´ o por tel´efono a Ana. 13) Tendremos muchas flores en el jard´ın, si la estaci´ on es propicia y las semillas no est´ an malogradas. 14) Deysi puede conducir el Volswagen de Elmer s´ olo si tiene licencia de conducir. 15) Arregle mi aire acondicionado o no pagar´e la renta.
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16) Si a + b = b + a y si a = 2 ∧ b = 3, entonces 2 + 3 = 3 + 2. 17) Los ´ atomos est´ an formados por electrones, protones y neutrones. 18) las fuerzas armadas y las fuerzas policiales participan en el desarrollo econ´ omico y social del pa´ıs, pero no son deliberantes. 19) Si Juan obtiene el premio de excelencia, el rector le regalar´ a una computadora, sea que la quiera o no. 20) Si no estamos en verano, entonces est´ a h´ umedo y hace fr´ıo, si es de tarde o de noche. 21) No es cierto que los estudiantes no rindan porque est´ an mal alimentados. 22) Si me esfuerzo, lograr´e mis objetivos. 23) O el le´ on es un animal dom´estico o el perro es una fiera salvaje, mas no es verdad que el perro sea una fiera salvaje. 24) Dado que el conocimiento es objetivo, luego no es subjetivo. 25) Es absurdo que si la fiesta est´ a triste entonces nos divertimos. 26) Te llevo al cine solo si tengo plata. 27) Todos los estudiantes son aplicados porque son responsables. 28) Me servir´e postre o fruta, pero no ambos. 29) 11 es un n´ umero primo, o es divisible por un n´ umero distinto de 1 y 11. 30) Los profesores del grupo de estudios Intelectus tomar´ an sus vacaciones en el mes de febrero. 31) Aunque no participamos de la fiesta nos enviaron una parte de la torta. 32) No es cierto que, 3 es menor que 2 o 9 es un n´ umero primo. 33) En el mes de abril se iniciar´ a las clases, si los responsables de la parte acad´emica planifican acertadamente y disponen del apoyo log´ıstico. 34) No se obtendr´ an las ganancias proyectadas o no se obtendr´ a los resultados esperados, si los trabajadores no est´ an comprometidos con la empresa. 35) O no somos confirmados o no somos perdonados. 36) Si salimos de parranda, ni conseguiremos movilidad ni nos har´ an caso nuestros amigos. 37) La deserci´ on estudiantil disminuir´ a si y s´ olo si mejora la situaci´ on econ´ omica y se moderniza los m´etodos de ense˜ nanza. 38) Si el barco no trae piratas, entonces el capit´ an ha muerto o est´ a prisionero. Pero el capit´ an no ha muerto ni est´ a prisionero. En consecuencia el barco trae piratas.
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IV. Determine el valor de verdad de cada una de las siguiente proposiciones moleculares: 1) El trapecio es un paralelogramo y 5 es un n´ umero racional. 2) La pantera no es un felino o el huascar´ an no est´ a ubicado en el Per´ u. 3) Si Alemania y Holanda son pa´ıses europeos, entonces Etiop´ıa no es un pa´ıs africano. 4) Chiclayo y Huaraz son capitales de departamento si y s´ olo si Lambayeque o Ancash son departamentos del Per´ u. 5) Ni −3 es un n´ umero natural ni 5 es un n´ umero par. V. Construir la tabla de verdad de cada una de las formas proposicionales: 1) [(∼ p ∧ q ∧ ∼ r) ∆ r] → [(∼ q ∨ ∼ r ∨ p) ↔ p] 2) ∼ {[(p ∧ q ∧ ∼ r) ∆ r] → [(∼ q ∨ r) ∧ (p ↔ q)]} 3) [(∼ p ∧ q ∧ ∼ r ∧ ∼ s) ↔ r]∆[(∼ q ∨ ∼ r ∨ p ∨ s) → p] VI. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la proposici´ on P implica la proposici´ on Q: 1) P :∼ (p ∧ ∼ q) → q
Q:p ∨q
2) P : (p ∆ ∼ q)∨ ∼ q
Q:p
3) P : Si el Per´ u tiene un buen entrenador entonces se clasificar´ a al mundial de f´ utbol. Pero el Per´ u tiene un buen entrenador. Q : El Per´ u se clasificar´ a al mundial de f´ utbol. VII. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la proposici´ on P se deduce de la proposici´ on Q : 1) P : (p ∧ q) ↔∼ q
Q :∼ (p ∧ q)
2) P : p →∼ (q ∧ p)
Q :∼ q
3) P : Ni Pedro es inteligente ni Ricardo es inteligente. Q : Es falso que, Pedro y Ricardo son inteligentes. VIII. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si las proposiciones P y Q son equivalentes: 1) P :∼ (p ∧ q) ↔∼ p
Q :∼ (p ∧ q)
2) P : p →∼ (q ∧ p)
Q :∼ (p ∧ q)
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3) P : O Rosario viaja ma˜ nana a las 12m a Piura o a Lima. Pero no viaja ma˜ nana a las 12m a Lima. Q : Rosario no viaja ma˜ nana a las 12m a Piura. IX. Simplificar cada una de las siguiente proposiciones: 1) (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ p 2) (∼ p ∧ q) → (q → p) 3) ∼ [(p →∼ q) ∨ ∼ q] → [∼ p ↔ (∼ p → q)] 4) ∼ [(q∨ ∼ p) →∼ q] ∨ p 5) [(∼ p ∨ q) → (q ∨ p)]∧ ∼ q 6) ∼ [∼ (q ∧ p) →∼ q] ∨ p 7) (p →∼ q) ∧ [p ∨ (∼ p ∧ ∼ q)] 8) (∼ p →∼ q) ∨ [p ∧ (∼ p ∨ ∼ q)] 9) (p ↔∼ q) ∧ [(p ∧ ∼ q) ∨ (p ∧ q)] 10) (p ∆ ∼ q) ∨ [(p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ∼ r)] 11) (∼ p ↔∼ q) ∧ [(∼ p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)] 12) (∼ p ∆ ∼ q) ∨ [(∼ p ∨ q ∨ r) ∧ (∼ p ∨ q ∨ ∼ r)] 13) (∼ p ↔∼ q) ∨ (∼ p ∆ q) 14) (p →∼ q) ∧ (∼ p ∆ q) 15) ∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p ∆ q) 16) ∼ (p ∨ q)∧ ∼ (∼ p ∆ ∼ q) 17) (p ∧ ∼ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ ∼ r) ∨ (p ∧ ∼ q ∧ ∼ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 18) (∼ p ∨ ∼ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ∼ r) ∧ (∼ p ∨ ∼ q ∨ ∼ r) ∧ (p ∨ q ∨ r) 19) p → {p → [q → (p → (q →∼ p))]} 20) [(p ∆ q) → (p → q)] ∧ p 21) [(∼ p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ∧ r)] → (q → p) X. Resolver los siguientes problemas: 1) Si se sabe que p es Verdadera; entonces hallar el valor de verdad de : p∨[∼ q∧(r → s)] 2) Si se sabe que ∼ q es Verdadera; entonces hallar el valor de verdad de: [p∧(r∨s)] →∼ q
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3) Si [p → (q → r)] es falso, determine el valor de verdad de [q → (p ∧ r)]. 4) Si el esquema (q ∧ ∼ p) → [(p ∧ r) ∨ t] es falso. Determinar el valor de verdad de:
∼ [(∼ p ∨ ∼ q) → (r ∨ ∼ t)] (∼ p → t) → (∼ q → r)
5) Si se sabe que: p ∨ ∼ q es falso; q → s es verdadero. Al hallar el valor de verdad de:
(∼ q ∧ ∼ r) ↔ (t ∨ ∼ t) (p ↔ ∼ s)∨ ∼ (t ∧ ∼ s)
6) Si la proposici´ on: ∼ [(q → s) → (p → r)] es verdadera; hallar el valor de verdad de:
(∼ s → ∼ q) ∆ (r → p) ∼ (q ∧ ∼ s) ∧ (p ∧ ∼ r) (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p ← r)
7) La proposici´ on
∼ [(p ∨ q) ↔ (r ∧ s)] es falsa teniendo r y s valores de verdad
opuestos. ¿Cu´ al es el valor veritativo de cada una de las proposiciones siguientes?
[(∼ p ∧ ∼ q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p [(∼ p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q) [(∼ r∧ ∼ s) → (p∨ ∼ q)]∧ ∼ (r ∧ s)
8) Si la proposici´ on compuesta:
∼ (p ∨ q) ∧ (q ↔ r) es verdadera. ¿Cu´ ales de las
siguientes proposiciones son verdaderas?
(p ∨ s) ∧ q (t ∧ q) → r (s ∆ q) → q
9) Si [∼ (∼ p → ∼ q) ∧ (r ↔ q)] es verdadera. Determine los valores de verdad de: m → r;
r∨s
y
p↔q
10) Si P = [(∼ p ← ∼ q)∨ ∼ (r ∆ s)] es falsa; cuales de los siguientes esquemas moleculares son contradicci´ on:
(p ∨ q) ∧ (r ∧ s). (r ∨ s) → ∼ (∼ r → s). [(q → r) ∧ q] ↔ (∼ q ∨ s).
11) Si q es una proposici´ on falsa, determinar el valor de verdad de: {(∼ p → q) ∧ [r → (∼ q ∨ p)]} → (∼ p ∧ ∼ q).
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XI. En los siguientes ejercicios, establecer si cada uno de los siguiente esquemas moleculares es contingente, tautol´ ogico o contradictorio. 1) [(p → q)∧ ∼ q] → ∼ p 2) ∼ (p → q)∧ ∼ (q → ∼ r) 3) (∼ p → ∼ q) ↔ [(p → q) ∧ r] 4) (∼ p ∧ ∼ q) ↔ (p ∨ q) 5) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 6) [p ∧ (p → q)] → (q ∆ r) 7) [∼ (p ∧ q) → p] ∨ ∼ p 8) ∼ (p → q) → (p ∨ ∼ q) 9) ∼ (p → q) → (∼ p → ∼ q) 10) ∼ [∼ (p ∨ q) → ∼ q] ∧ ∼ (p → q) 11) ∼ (∼ p → q) → (p → q) 12) [(p ∧ q) → q] ∆ [q ∆ ∼ q] 13) [p∧ ∼ (q ∨ r)] ↔ [∼ p ∨ (r ∨ q)] XII. Resolver los siguientes problemas: 1) Dados los siguientes operadores l´ ogicos: p ♣ q ≡∼ p →∼ q p ♠ q ≡∼ p ∧ ∼ q Simplificar: [(p ♣ q) → (p ♠ q)] ∨ q 2) Si se define: L p q ≡∼ p →∼ q N p q≡ p∧ ∼q Decir cu´ ales son proposiciones equivalentes:
(r N ∼ q) L p ∼ p L ∼ (r N ∼ q) ∼ [p N (r N ∼ q)]
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3) Si se define p z q, por la tabla: p
q
p
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
z
q
Simplificar: W = {[(∼ p z q) z p] → (q z p)} 4) Si Φ es un operador l´ ogico definido mediante la siguiente tabla de verdad: p
Φ
p
q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
q
entonces simplifique la proposici´ on (p Φ q) Φ (q Φ p). XIII. Utilizando el Modus Ponendo Ponens (MPP), determine la conclusi´ on que se puede obtener del conjunto de premisas: 1) Si la proposici´ on es un enunciado, entonces el s´ımbolo es un signo. La proposici´ on es un enunciado. 2) Si son las ocho horas, entonces llegar´e tarde al trabajo. Son las ocho horas. 3) Me graduar´e de profesor si obtengo buenas calificaciones. Obtengo buenas calificaciones. 4) Si no trabajamos honestamente, seremos despedidos de la empresa. No trabajamos honestamente. 5) Sonre´ır es mostrar alegr´ıa. Sonre´ımos. 6) (∼ p ∧ r) → ∼ q ∼ p∧r 7) (p ∨ ∼ s) → ∼ q p∨ ∼ s 8) p ∧ ∼ t (p ∧ ∼ t) → (q ∧ s)
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9) (p → r) → (∼ q ∧ t) p → r 10) ∼ p ∼ p → q XIV. Utilizando el Modus Ponendo Ponens, demuestre que la conclusi´ on es una consecuencia l´ ogica de las premisas: 1) r → p u → r u r 2) p → (r ∧ s) (r ∧ s) → ∼ u p ∼u 3) ∼ w → u ∼w u → q q 4) (u ∧ v) → (p ∧ ∼ q) (p ∧ ∼ q) → ∼ w ∼ w → (r ∧ t) u ∧ v r ∧ t 5) ∼ w ∨ t (s ↔ u) → p p → (r ∧ ∼ q) (∼ w ∨ t) → (s ↔ u) r∧ ∼q XV. Utilizando el Modo Tollendo Tollens (MTT), determine la conclusi´ on que se puede obtener del conjunto de premisas: 1) Si el silogismo categ´ orico tiene dos premisas, entonces la inferencia inmediata tiene un premisa. La inferencia inmediata no tiene una premisa.
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2) Si el sol tiene luz propia, entonces la luna es un sat´elite. La luna no es un sat´elite. 3) Ganar´e la partida de ajedrez si me alimento bien. No ganar´e la partida de ajedrez. 4) Si entrenamos todos los d´ıas, campeonaremos con facilidad. No campeonamos con facilidad. 5) Si viajamos en ´ omnibus, no sacaremos los pasajes con anticipaci´ on. Sacaremos los pasajes con anticipaci´ on.
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3
LOGICA CON MAPLE Objetivos: z Dar a conocer los distintos comandos y algoritmos del software matem´ atico Maple, que permiten un mejor an´ alisis y simplificaci´ on de proposiciones moleculares. z Desarrollar programas en Maple para construir tablas de verdad para los conectivos l´ ogicos, y proposiciones moleculares.
3.1.
Introducci´ on
El programa Maple permite trabajar algunos aspectos de l´ ogica, que se cargan con el paquete logic o Logic. Orden de llamado Logic[command](arguments) command(arguments) 77
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El paquete Logic es una colecci´on de comandos que nos permite manipular y transformar expresiones usando la L´ ogica Booleana. Este paquete usa su propio conjunto de operadores l´ ogicos y podemos acceder a cada comando del paquete usando la forma larga o la forma corta del nombre del comando en el orden de llamado.
3.1.1.
Lista de comandos del paquete Logic
La siguiente es una lista de comandos disponibles. &and &iff &implies &nand &nor ¬ &or &xor BooleanSimplify Canonicalize Contradiction Dual Environment Equivalent Export Implies Import Normalize Random Satisfy
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Tautology TruthTable
3.2.
Conectivos l´ ogicos en Maple
Maple s´ olo tiene los conectivos l´ ogicos and, or, not. Son suficientes por las equivalencias l´ ogicas que existen de la implicaci´ on y la doble implicaci´ on con sentencias l´ ogicas s´ olo hechas con and, or y not. Para evaluar las funciones hay que poner delante el s´ımbolo &. > p and q; p and q > p or q; p or q > not p; not p
3.3.
Tabla de valores de verdad
En ´esta secci´ on implementaremos algunos programas para construir tablas de verdad, para ello dise˜ naremos algunos procedimientos en Maple. Se construyen para una, dos y tres variables y los nombres de las variables los da el nombre del procedimiento. Programa 3.3.1. Tabla de verdad para una variable: > tablap:=proc(B)local A, L, c, i: > L:=[true,false]: > for i from 1 to 2 do > c:=subs(p=L[i],B); > print(p=L[i],A=c); > od: > end: Programa 3.3.2. Tabla de verdad para dos variable: > tablapq:=proc(B) > local A, L, c, i, j: > L:=[true,false]: > for i from 1 to 2 do > for j from 1 to 2 do > c:=subs(p=L[i],q=L[j],B);
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> print(p=L[i],q=L[j], A=c); > od: > od: > end: Programa 3.3.3. Tabla de verdad para tres variable: > tablapqr:=proc(B) > local A, L, c, i, j, k: > L:=[true,false]: > for i from 1 to 2 do > for j from 1 to 2 do > for k from 1 to 2 do > c:=subs(p=L[i],q=L[j],r=L[k],B); > print(p=L[i],q=L[j],r=L[k],A=c); > od: > od: > od: > end: Estos procedimientos se pueden usar siempre que haya una, dos o tres variables y ´estas se llamen p, q y r. Si no se llaman as´ı les cambiamos el nombre. Si queremos a˜ nadir m´ as variables no hay m´ as que introducir otro bucle.
3.4.
Operaciones con proposiciones
Para realizar operaciones con proposiciones, debemos expresar o transformar todas las expresiones Booleanas del paquete Logic usando los operadores &and, &iff, &implies, &nand, &nor, ¬, &or, y &xor.
3.4.1.
Conjunci´ on
La conjunci´ on es el resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico “and”. Denotamos por “p and q”, y su equivalencia es: Matem´ atica
Maple
p∧q
p and q
Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > conjuncion:=p and q; conjuncion := p and q
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> tablapq(conjuncion); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = f alse p = f alse, q = true, A = f alse p = f alse, q = f alse, A = f alse Para tres proposiciones p, q y r, usareemos el programa (3.3.3) > conjuncion3:=(p and q) and r; conjuncion3 := p and q and r > tablapqr(conjuncion3); p = true, q = true, r = true, A = true p = true, q = true, r = f alse, A = f alse p = true, q = f alse, r = true, A = f alse p = true, q = f alse, r = f alse, A = f alse p = f alse, q = true, r = true, A = f alse p = f alse, q = true, r = f alse, A = f alse p = f alse, q = f alse, r = true, A = f alse p = f alse, q = f alse, r = f alse, A = f alse
3.4.2.
Disyunci´ on inclusiva
La disyunci´ on inclusiva es el resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico “or”. Denotamos por “p or q”, y su equivalencia es: Matem´ atica
Maple
p∨q
p or q
Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > disyuncion1:=p or q; disyuncion1 := p or q > tablapq(disyuncion1); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = true p = f alse, q = true, A = true p = f alse, q = f alse, A = f alse
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3.4.3.
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Negaci´ on
Dada una proposici´ on p, se denomina la negaci´ on de p a otra proposici´ on denotada por not p y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p, y su equivalencia es: Matem´ atica
Maple
∼p
not p
Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.1) > negacion:= not p; negacion := notp > tablap(negacion); p = true, A = f alse p = f alse, A = true
3.4.4.
Condicional
La condicional llamada tambi´en Implicaci´ on de las proposiciones p y q es la proposici´ on p implies q, y su equivalencia es: Matem´ atica
Maple
p→q
p implies q
La implicaci´ on p implies q es equivalente a not p or q. Es decir: Matem´ atica
Maple
p→q =∼p ∨q
p implies q = not p or q
Podemos hacer un procedimiento para tener el conectivo implicaci´ on (impl) Programa 3.4.1. Implicaci´ on: > impl:=proc(a,b) > local c: > c:=(not a or b): > c; end: Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > implicacion:=impl(p,q); implicacion := not p or q > tablapq(implicacion); p = true, q = true, A = true
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p = true, q = f alse, A = f alse p = f alse, q = true, A = true p = f alse, q = f alse, A = true Ejemplo 3.4.1. > ej1:=impl(p,q); ej1 := not p or q > ej2:=impl(p and impl(p,q),q); ej2 := not (p and ( not p or q)) or q > ej3:=impl(impl(p,q) and impl(q,r),impl(p,r)); ej3 := not (( not p or q) and ( not q or r)) or not p or r > ej4:=impl(impl(p,q) and impl(not p,q),q); ej4 := not (( not p or q) and (p or q)) or q > ej5:=impl((p or q) and (not p),q); ej5 := not ((p or q) and not p) or q > ej6:=impl(p and not p, q); ej6 := not (p and not p) or q Observaci´ on 3.4.1. Podemos hacer procedimientos para obtener los dem´ as conectivos de implicaci´ on: Rec´ıproca (imrec), Inversa (imin) y Contrarec´ıproca (imcr). Programa 3.4.2. Rec´ıproca: > imrec:=proc(a,b) > local c: > c:=(not b or a): > c; end: Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > reciproca:=imrec(p,q); reciproca := not q or p > tablapq(implicacion); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = true p = f alse, q = true, A = f alse p = f alse, q = f alse, A = true
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Programa 3.4.3. Inversa: > imin:=proc(a,b) > local c: > c:=(a or not b): > c; end: Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > inversa:=imin(p,q); inversa := p or not q > tablapq(inversa); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = true p = f alse, q = true, A = f alse p = f alse, q = f alse, A = true Programa 3.4.4. Contrarec´ıproca: > imcr:=proc(a,b) > local c: > c:=(b or not a): > c; end: Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > contrareciproca:=imcr(p,q); contrareciproca := q or not p > tablapq(contrareciproca); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = f alse p = f alse, q = true, A = true p = f alse, q = f alse, A = true
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3.4.5.
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Bicondicional
Podemos hacer un procedimiento en Maple para obtener el conectivo doble implicaci´ on o bicondicional (dimpl) Programa 3.4.5. Doble implicaci´ on: > dimpl:=proc(a,b) > local c: > c:=(not a or b) and (not b or a): > c; end: Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > bicondicional:=dimpl(p,q); bicondicional := (not p or q) and (not q or p) > tablapq(bicondicional); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = f alse p = f alse, q = true, A = f alse p = f alse, q = f alse, A = true Ejemplo 3.4.2. > ej1:=dimpl(p,q); ej1 := ( not p or q) and ( not q or p)
3.4.6.
Disyunci´ on exclusiva
La disyunci´ on exclusiva es el resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico “xor”. Denotamos por “p xor q”, y su equivalencia es: Matem´ atica
Maple
p∆q
p xor q
Para construir su tabla de verdad usaremos el programa (3.3.2) > disyuncion2:=p xor q; disyuncion2 := p xor q > tablapq(disyuncion2); p = true, q = true, A = f alse p = true, q = f alse, A = true p = f alse, q = true, A = true p = f alse, q = f alse, A = f alse
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3.4.7.
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Comandos importantes
Import Este comando pone los s´ımbolos & para que se pueda evaluar la expresi´ on booleana. Es decir transforma una expresi´ on de Maple de un tipo especificado en uno conveniente para ser usado por el paquete Logic. Orden de llamado: Import(expr, form) Par´ ametros: expr : expresi´ on. form : expresi´ on donde form=MOD2 o form=boolean. Ejemplo 3.4.3. > with(Logic): > Import(a or b or c, form=boolean); (a&or b)&or c > Import(not (a xor b) implies c, form=boolean); ¬(a&xor b)&implies c > Import(x*(y+1)+z+1, form=MOD2); ¬((x&and ¬ (y))&xor z) Export Este comando quita los s´ımbolos & para que se pueda evaluar la expresi´ on booleana. Orden de llamado: Import(expr, form) Par´ ametros: expr : expresi´ on. form : expresi´ on donde form=MOD2 o form=boolean. Ejemplo 3.4.4. > with(Logic): > Export(&and(a,b,c) &or b, form=boolean); a and b and c or b
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> Export(&nor(a,b,c) &and b, form=boolean); not(a or b or c) and b > Export(¬ a &or b, form=MOD2); 1 + a(b + 1) Observaci´ on 3.4.2. Note que en el paquete Logic, todos los operadores tienen la misma prioridad, as´ı a &or b &and c es equivalente a (a &or b)&and c, y no a a &or (b &and c). Deben usarse los par´entesis para especificar la prioridad correctamente. Ejemplo 3.4.5. > Export(a &or b, form=MOD2); 1 + (a + 1)(b + 1) > Export((a &nor b &and c) &or b); not (a or b)and c or b > Import(a implies b or c); a&implies (b&or c) > Export((¬ a &or b &xor c) &nand b, form=boolean); not ((not a or b xor c) and b) Equivalent El comando Equivalent nos permite determinar si dos expresiones booleanas son equivalentes. La orden Equivalent(a, b) devuelve “true” si las dos expresiones “a” y “b” son logicamente equivalentes, y “false” si no lo son. Ejemplo 3.4.6. Usemos la funci´ on Equivalent para comprobar que la negaci´ on de (p or q) es equivalente a (not p and not q). Es decir ∼ (p ∨ q) =∼ p ∧ ∼ q > a:=¬(p &or q); ¬(p &or q) > b:=(¬ p) &and (¬ q); (¬ p)&and(¬ q)
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Luego: > Equivalent(a,b); true o directamente: > Equivalent(¬(p &or q), (¬ p) &and (¬ q)); true Ejemplo 3.4.7. Usemos la funci´ on Equivalent para comprobar que p → q ≡∼ p ∨ q > Equivalent(p &implies q, ¬ p &or q); true
BooleanSimplify El comando BooleanSimplify permite simplificar una expresi´ on booleana. Ejemplo 3.4.8. Simplificar:
p ∨ (p ∧ q) > BooleanSimplify(p &or (p &and q)); p
∼ [(p →∼ q) ∨ ∼ q] → [∼ p ↔ (∼ p → q)] > p01:=impl(not((impl(p,not q))or not q),dimpl(not p,(impl(not p,q)))); p01 := not(p and q and q) or (p or p or q) and not ((p or q) and p) > p02:=Import(p01); p02 := ¬ ((p &and q) &and q) &or ((p &or (p &or q)) &and ¬ ((p &or q) &and p)) > p03:=BooleanSimplify(p02); p03 := ¬(p) &or ¬(q) > p04:=Export(p03); p04 := not(p and q)
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Tautology El comando Tautology nos permite determinar si la expresiones booleanas dada es una tautolog´ıa. La orden Tautology(b) devuelve “true” si la expresi´ on “b” es logicamente una tautolog´ıa, y “false” si no lo es. Ejemplo 3.4.9. Determinar si las siguientes proposiciones son tautolog´ıas:
p01 = [(∼ p ∨ q)∧ ∼ q] →∼ p Definimos la proposici´ on: > p01:=((¬ p &or q)&and(¬ q))&implies(¬ p); p01 := ((¬(p) &or q) &and ¬(q)) &implies ¬(p) > Tautology(p01); true o tambi´en > Tautology(((¬ p &or q)&and(¬ q))&implies(¬ p)); true Podemos usar las tablas de valores de verdad definidas anteriormente, para ello redifinimos la proposici´ on p01: > p01:=((not p or q)and(not q))implies(not p): > tablapq(p01); p = true, q = true, A = true p = true, q = f alse, A = true p = f alse, q = true, A = true p = f alse, q = f alse, A = true ∴
La proposici´ on p01 es Tautol´ ogico
p02 = [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q Definimos la proposici´ on: > p02:=((p &and q) &or q)&and(¬ q): > Tautology(p02); f alse
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o tambi´en > Tautology(((p &and q) &or q)&and(¬ q)); f alse La proposici´ on p02 no es Tautol´ ogico
∴
Contradiction El comando Contradiction nos permite determinar si la expresiones booleanas dada es una contradicci´ on. La orden Contradiction(b) devuelve “true” si la expresi´ on “b” es logicamente una contradicci´ on, y “false” si no lo es. Ejemplo 3.4.10. Determinar si las siguientes proposiciones son contradicci´ on:
p01 = [(∼ p ∨ q)∧ ∼ q] →∼ p Definimos la proposici´ on: > p01:=((¬ p &or q)&and(¬ q))&implies(¬ p): > Contradiction(p01); f alse o tambi´en > Contradiction(((¬ p &or q)&and(¬ q))&implies(¬ p)); f alse ∴
La proposici´ on p01 no es Contradictorio
p02 = [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q Definimos la proposici´ on: > p02:=((p &and q) &or q)&and(¬ q): > Contradiction(p02); true o tambi´en > Contradiction(((p &and q) &or q)&and(¬ q)); true Podemos usar las tablas de valores de verdad definidas anteriormente, para ello redifinimos la proposici´ on p02:
Walter Arriaga D.
L´ ogica
91
> p02:=((p and q) or q)and(not q): > tablapq(p02); p = true, q = true, A = f alse p = true, q = f alse, A = f alse p = f alse, q = true, A = f alse p = f alse, q = f alse, A = f alse ∴
La proposici´ on p02 es Contradictorio
Observaci´ on 3.4.3. Una proposici´ on es de Contingencia si no es tautolog´ıa ni contradicci´ on. Ejemplo 3.4.11. Determinar si la proposici´ on: p03 = [p ∧ (p → q)] → (q∆r) es Contingencia Definimos la proposici´ on: > p03:=(p &and (p &implies q))&implies(q &xor r): > Tautology(p03); f alse Luego la proposici´ on p03 no es Tautol´ ogico. > Contradiction(p03); f alse Luego la proposici´ on p03 no es Contradictorio. Adem´ as podemos usar las tablas de valores de verdad definidas anteriormente, para ello redifinimos la proposici´ on p03: > p03:=(p and (p implies q))implies(q xor r): > tablapqr(p03); p = true, q = true, r = true, A = f alse p = true, q = true, r = f alse, A = true p = true, q = f alse, r = true, A = true p = true, q = f alse, r = f alse, A = true p = f alse, q = true, r = true, A = true p = f alse, q = true, r = f alse, A = true p = f alse, q = f alse, r = true, A = true p = f alse, q = f alse, r = f alse, A = true ∴
La proposici´ on p03 es Contingente
92
L´ ogica
Walter Arriaga D.
4
LOGICA CON MATLAB Objetivos: z Dar a conocer los distintos comandos y algoritmos del software matem´ atico Matlab, que permiten un mejor an´ alisis y simplificaci´ on de proposiciones moleculares. z Desarrollar programas en Matlab para construir tablas de verdad para los conectivos l´ ogicos, y proposiciones moleculares.
4.1.
Introducci´ on
El programa Matlab permite tambi´en trabajar algunos aspectos de l´ ogica.
4.1.1.
Lista de comandos
La siguiente es una lista de comandos disponibles. 93
94
L´ ogica
Walter Arriaga D.
and or not xor Las variables booleanas deben ser ingresadas como arreglos o vectores. Los operadores and, or, not y xor trabajan elemento por elemento en los arreglos, representando con 0 al valor de verdad (F), y cualquier n´ umero distinto de cero al valor de verdad (V). Los operadores l´ ogicos devuelven un arreglo l´ ogico cuyos elementos est´ an constitu´ıdos por (1) en lugar de verdadero y (0) en lugar del falso. Es importante indicar que en las operaciones combinadas como a|b&c, Matlab opera como a|(b&c). Para ello debemos tener en cuenta la jerarqu´ıa de los conectivos en ´´este orden: ∼, &, |.
4.2.
Conectivos l´ ogicos en Matlab
Matlab s´ olo tiene los conectivos l´ ogicos and, or, not, xor. Son suficientes por las equivalencias l´ ogicas que existen de la implicaci´ on y la doble implicaci´ on con sentencias l´ ogicas s´ olo hechas con and, or y not.
4.3.
Operaciones con proposiciones
4.3.1.
Conjunci´ on
La conjunci´ on es el resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico “and”. Denotamos por and(p,q) y devuelve el valor de 1 cuando ambos elementos de los vectores p y q son verdaderos (n´ umeros no nulos) y 0 en en el resto de los casos. La equivalencia es: Matem´ atica
Matlab
p ∧ q
and(p,q) ´ o p&q
Primero expresamos las variables booleanas p y q: >> p=[1 1 0 0] p = 1
1
0
0
1
0
>> q=[1 0 1 0] q = 1
0
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L´ ogica
95
Luego usamos el comando and >> and(p,q) ans = 1
0
0
0
Podemos usar el simbolo & >> p&q ans = 1
0
0
0
Ahora con 3 variables booleanas p, q y r: >> p=[1 1 1 1 0 0 0 0] p = 1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
>> q=[1 1 0 0 1 1 0 0] q = 1
1
0
>> r=[1 0 1 0 1 0 1 0] r = 1
0
1
>> and(and(p,q),r) ans = 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>> p&q&r ans = 1
Programa 4.3.1. Para dise˜ nar la tabla de valores de verdad para la Conjunci´ on: function conjuncion disp(’=============================’) disp(’Programa para la Conjuncion’) disp(’AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’=============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; and(p,q)]; conjuncion=c’ >> conjuncion ================================
96
L´ ogica
Walter Arriaga D.
Programa para la Conjuncion AUTOR: Walter Arriaga Delgado ================================ ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
0
conjuncion = 1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
4.3.2.
Disyunci´ on inclusiva
La disyunci´ on inclusiva es el resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico “or”. Denotamos por or(p,q) y devuelve el valor de 0 cuando ambos elementos de los vectores p y q son falsos (0) y 1 en en el resto de los casos. La equivalencia es: Matem´ atica
Matlab
p ∨ q
or(p,q) ´ o p|q
>> p=[1 1 0 0] p = 1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
>> q=[1 0 1 0] q = 1 >> or(p,q) ans = 1
Tambi´en podemos usar el s´ımbolo | >> p|q ans = 1
1
1
0
>> p=[1 1 1 1 0 0 0 0] p = 1
1
1
1
0
0
0
0
Walter Arriaga D.
L´ ogica
97
>> q=[1 1 0 0 1 1 0 0] q = 1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
>> r=[1 0 1 0 1 0 1 0] r = 1
0
>> or(or(p,q),r) ans = 1 >> p|q|r ans = 1
Programa 4.3.2. Para dise˜ nar la tabla de valores de verdad para la Disyunci´ on Inclusiva: function disyuncion disp(’===========================’) disp(’Programa para la Disyuncion Inclusiva’) disp(’AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’===========================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; or(p,q)]; disyuncion=c’ >> disyuncion ==================================== Programa para la Disyuncion Inclusiva AUTOR: Walter Arriaga Delgado ==================================== ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
disyuncion = 1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
98
L´ ogica
4.3.3.
Walter Arriaga D.
Negaci´ on
Dada una proposici´ on p, se denomina la negaci´ on de p a otra proposici´ on denotada por not(p) y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p, es decir si el elemento del vector p es un n´ umero distinto de cero entonces not(p) devuelve 0 y si el elemento del vector es 0, not(p) devuelve 1. La equivalencia es: Matem´ atica
Matlab
∼ p
not(p) ´ o∼p
>> p=[1 1 0 0] p = 1
1
0
0
0
1
1
>> not(p) ans = 0
Tambi´en podemos usar el s´ımbolo ∼ >> ~p ans = 0
0
1
1
Programa 4.3.3. Para dise˜ nar la tabla de valores de verdad para la Negaci´ on: function negacion disp(’=============================’) disp(’Programa para la Negacion’) disp(’AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’=============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) c=[p ; not(p)]; negacion=c’ >> negacion ================================ Programa para la Negacion AUTOR: Walter Arriaga Delgado ================================ ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
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L´ ogica
99
negacion = 1
0
1
0
0
1
0
1
4.3.4.
Condicional
La condicional llamada tambi´en Implicaci´ on de las proposiciones p y q. Contruyamos un programa para la condicional llamado impl
Programa 4.3.4. Para alcular la Condicional:
function impl(a,b) disp(’===========================’) disp(’Programa para calcular la Condicional’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’===========================’) condicional=or(not(a),b)
>> p=[1 1 0 0] p = 1
1
0
0
1
0
>> q=[1 0 1 0] q = 1
0
>> impl(p,q) ======================================= Programa para calcular la Condicional AUTOR: Walter Arriaga Delgado ======================================= condicional = 1
0
1
1
100
L´ ogica
Walter Arriaga D.
Programa 4.3.5. Para dise˜ nar la tabla de valores verdad para la Condicional: function implicacion disp(’==============================’) disp(’Programa para calcular la Condicional’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’==============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; or(not(p),q)]; condicional=c’ >> implicacion ======================================= Programa para calcular la Condicional AUTOR: Walter Arriaga Delgado ======================================= ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
0
condicional = 1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Observaci´ on 4.3.1. Podemos hacer procedimientos para obtener los dem´ as conectivos de implicaci´ on: Rec´ıproca, Inversa y Contrarec´ıproca. Programa 4.3.6. Para dise˜ nar la tabla de valores verdad para la Condicional Rec´ıproca: function imrec disp(’==============================’) disp(’Programa para calcular la Condicional Rec´ıproca’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’==============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; or(not(q),p)]; reciproca=c’
Walter Arriaga D.
L´ ogica
>> imrec ======================================= Programa para calcular la Condicional Rec´ ıproca AUTOR: Walter Arriaga Delgado ======================================= ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
reciproca =
Programa 4.3.7. Para dise˜ nar la tabla de valores verdad para la Condicional Inversa: function imin disp(’==============================’) disp(’Programa para calcular la Condicional Inversa’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’==============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; or(p,not(q))]; inversa=c’ >> imin ======================================= Programa para calcular la Condicional Inversa AUTOR: Walter Arriaga Delgado ======================================= ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
1
1
Inversa = 1
0
101
102
L´ ogica 1
0
1
0
1
0
0
0
1
Walter Arriaga D.
Programa 4.3.8. Para dise˜ nar la tabla de valores verdad para la Condicional Contrareciproca: function imcr disp(’==============================’) disp(’Programa para calcular la Condicional Contrareciproca’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’==============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; or(q,not(p))]; contrareciproca=c’
>> imcr ======================================= Programa para calcular la Condicional Contrareciproca AUTOR: Walter Arriaga Delgado ======================================= ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
0
contrareciproca = 1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
4.3.5.
Bicondicional
Podemos hacer un programa para obtener el conectivo doble implicaci´ on o bicondicional (dimpl)
Walter Arriaga D.
L´ ogica
Programa 4.3.9. Para calcular la Bicondicional: function dimpl(a,b) disp(’===========================’) disp(’Programa para calcular la Bicondicional’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’===========================’) bicondicional=or(and(a,b),and(not(a),not(b))) >> p=[1 1 0 0] p = 1
1
0
0
1
0
>> q=[1 0 1 0] q = 1
0
>> dimpl(p,q) ============================================ Programa para calcular la Bicondicional AUTOR: Walter Arriaga Delgado ============================================ bicondicional = 1
0
0
1
Programa 4.3.10. Para dise˜ nar la tabla de valores verdad para la Bicondicional: function dobleimplicacion disp(’==============================’) disp(’Programa para calcular la Bicondicional’) disp(’ AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’==============================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; or(and(p,q),and(not(p),not(q)))]; bicondicional=c’ >> dobleimplicacion ======================================= Programa para calcular la Bicondicional AUTOR: Walter Arriaga Delgado ======================================= ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p =
103
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L´ ogica 1
1
0
Walter Arriaga D.
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
0
bicondicional = 1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4.3.6.
Disyunci´ on exclusiva
La disyunci´ on exclusiva es el resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo l´ ogico “xor”. Denotamos por xor(p,q) La equivalencia es: Matem´ atica
Matlab
p∆q
xor(p,q)
>> p=[1 1 0 0] p = 1
1
0
0
1
0
1
0
>> q=[1 0 1 0] q = 1
0
>> xor(p,q) ans = 0
1
Programa 4.3.11. Para dise˜ nar la tabla de valores de verdad para la Disyunci´ on Exclusiva: function delta disp(’===========================’) disp(’Programa para la Disyuncion Exclusiva’) disp(’AUTOR: Walter Arriaga Delgado’) disp(’===========================’) p=input(’ingrese el vector fila p con n elementos: ’) q=input(’ingrese el vector fila q con n elementos: ’) c=[p ; q ; xor(p,q)]; disyuncion=c’ >> delta ====================================
Walter Arriaga D.
L´ ogica
Programa para la Disyuncion Exclusiva AUTOR: Walter Arriaga Delgado ==================================== ingrese el vector fila p con n elementos: [1 1 0 0] p = 1
1
0
0
ingrese el vector fila q con n elementos: [1 0 1 0] q = 1
0
1
disyuncion = 1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
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106
L´ ogica
Walter Arriaga D.
Bibliograf´ıa [1] Arnaz, Jose Antonio . Iniciaci´ on a la L´ ogica Simb´ olica. Trillas, M´exico, 1980. [2] Chin Liang Chang and R. Char-Tung Lee. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Academic Press, Inc., 1973. [3] Chirinos Salazar Jorge. Aplicaci´ on de un texto autoinstructivo de L´ ogica Matem´ atica en el logro de objetivos en los alumnos del segundo ciclo de la escuela profesional de Computaci´ on e Inform´ atica de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´ aticas de la UNPRG. [4] Copi, Irving. L´ ogica Simb´ olica. Compa˜ n´ıa Editorial Continental., M´ejico, 2000. [5] Garrido, M. L´ ogica simb´ olica. Tecnos., Madrid, 1983. [6] Gorski - Tavants. L´ ogica. Grijalbo, M´exico, segunda edition, 1965. [7] Grassmann, W. - Tremblay, J. Matem´ atica Discreta y L´ ogica. Prentice Hall., 1996. [8] Grimaldi, R. Matem´ aticas Discretas y Combinatoria. Addison - Wesley., 1994. [9] Kolman - Busby - Ross. Estructuras de Matem´ aticas Discretas para la Computaci´ on. Prentice Hall., 1995. [10] Korfhage, R. L´ ogica y Algoritmos. Limusa., 1978. [11] Suppes, P. Introducci´ on a la L´ ogica Simb´ olica. CECSA., 1980. [12] Suppes, P. - Hill, H. Introducci´ on a la L´ ogica Matem´ atica. Reverte., 1982.
108
L´ ogica
Walter Arriaga D.
´Indice alfab´ etico absorci´ on, 52 argumento, 55
matriz principal, 49 morgan, 52
bicondicional, 44
negaci´ on, 39
condicional, 40 conectivas, 34 binaria, 34 mon´adica, 34 conjunci´on, 36 contingencia, 50 contra rec´ıproca, 43 contradicci´ on, 49
premisa, 55 proposici´ on, 30 compuesta, 33 simple, 33
disyunci´on exclusiva, 45 inclusiva, 38
razonamiento proposicional, 54 rec´ıproca, 42 tabla de verdad, 32 tautolog´ıa, 48 transposici´ on, 53 valor de verdad, 31
exportaci´ on, 53 falacia, 56 idempotencia, 51 implicaci´on, 40 inferencia, 54 inmediata, 55 l´ ogica, 55 inversa, 43 involuci´ on, 52 l´ ogica aristot´elica, 17 baconiana, 18 booleana, 20 cl´ asica, 17 difusa, 22 formal, 18 informal, 17 matem´ atica, 18 modal, 20 l´ ogica, 16 109
