LOGICO MATEMATIC O -MAYO MAYO-SACO OLIVEROS PRIMARIA
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3º PRIM.
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“C o m p re n d e r to d o e s p e rd o n a r to d o”
M E S
D E :
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ARITMÉTICA EULER Euler, Leonhard (1707-1783), matemático suizo, cuyos trabajos más imortantes se centraron en el camo de las matemáticas uras, camo de estudio !ue ayud" a #undar$ Euler naci" en %asilea y estudi" en la &ni'ersidad de %asilea con el matemático suizo ohann %ernoulli, licenciándose a los 1 a*os$ +ue nombrado catedrático de #isica en 1730 y de matemáticas en 1733$ En 171 #ue ro#esor de matemáticas en la cademia de .iencias de %erl/n a etici"n del rey de rusia, +ederico el rande$ Euler re2res" a an etersbur2o en 17, donde ermaneci" hasta su muerte$ un!ue obstaculizado or una 4rdida arcial de 'isi"n antes de cumlir 30 a*os y or una ce2uera casi total al #inal de su 'ida, Euler rodujo numerosas obras matemáticas imortantes, as/ como rese*as matemáticas y cient/#icas$Euler realiz" el rimer tratamiento anal/tico comleto del ál2ebra, la teor/a de ecuaciones, la tri2onometr/a y la 2eometr/a anal/tica$ Leonhard Euler #ue, robablemente uno de los in'esti2adores más #ecundos de las matemáticas, hasta el unto de !ue el si2lo 56 se conoce como la 4oca de Euler$ Euler era una ersona de etraordinario talento y con 2ran #acilidad ara los idiomas$ e cas" y tu'o trece hijos, de cuya educaci"n se reocu" ersonalmente$ e dice !ue su caacidad de trabajo era tan 2rande !ue escrib/a memorias matemáticas mientras ju2aba con sus hijos$ En 1739, cuando solo contaba con :8 a*os, erdi" la 'isi"n de un ojo, ero este accidente no disminuy" en nada sus tareas de in'esti2aci"n$ SACO OLIVEROS
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En 171 a consecuencia de una en#ermedad, erdi" la 'ista del otro ojo y !ued" totalmente cie2o$ ero ni si!uiera esta #atalidad disminuy" su roducci"n$ En 1783 #alleci" de reente mientras ju2aba con unos de sus nietos$
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES ADICIÓN 23
+
12
=
sumandos
35
suma
PROPIEDADES A)
PROPIEDAD CONMUTATIA
!)
PROPIEDAD ASOCIATIA
C)
PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO
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PRACTI"UEMOS I# .omleta y resuel'e alicando roiedades;
II#
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=) 70
>
1
>
:
?
E) 80
>
0
>
30
?
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III#
a) :0 > 3A > 80 ? BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB b) 7 > 0 > 0 ? BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB SACO OLIVEROS
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c) 70 > 9 > 30 ? BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB d) 10 > 8A > A0 ? BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I#
)
:
>
3:
:0 > > 30 > : 90 >
8
? 98
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# A$%da a Ren&o a ''e(ar asta s% 'an*a# ara ello s@male 190 a cada casillero !ue a'ance$
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+TRA!A,EMOS EN CASA.# Res%e'/e 'as s0(%0entes s%mas1
+ AUMENTAMOS LA DI2ICULTAD -
$ A 73 > : 10A
%$ 9 3:1 > 1 78
.$ : 78 > 1 A0A
=$ A98 > 3 :A9
E$ 3 78 > A9
+$ 9 310 > : A7
$ 1 A87 > 3:
C$ : 870 > 3 :3A
$ 30A > 1 A9:
$ 1 A:3 > 1 073
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PRACTI"UEMOS Res%e'/e 'as s%mas en *ada a/03n#
7 1
8
9
0
1
1
1
2
2
3
4
2
2
2 2
9
5
0 1
1
4
1 2 1
1
1
3
7
1
1
2
3
1
4
5
6
7
8
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SUSTRACCIÓN
RESTEMOS 5SIN PRESTAR6
RESTAMOS 5PRESTANDO6
+7A ES- es m%$ 89*0'####
+A:ORA TÚ-
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PRACTI"UEMOS
; <
= <
> <
? <
@ <
A <
.
7 )0
-
?
. .
9 90
-
?
B
, 80
-
?
. C
A :0
-
?
C
: 70
-
?
. ;
, A0
-
?
;
8 A0
-
?
. =
) 10
-
?
=
9 80
-
?
. >
, :0
-
?
>
3 )0
-
?
. ?
8 70
-
?
. @
3 A0
-
?
?
) 30
-
?
@
A :0
-
?
A
A 10
-
?
. <
7 30
-
?
. A
A 10 -
-
?
B <
8 90 -
-
?
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MULTIPLICACIÓN Re*%erda1 :
×
3
2ACTORES
×
9
=
30
PRODUCTO
B# .olorea de un mismo color los roductos y su resultado$
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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Las roiedades de la multilicaci"n son; A)
PROPIEDAD CONMUTATIA DEl orden de los #actores no altera el roductoD
Ejm;
a ×b = b ×a ) × 3 = 3 × )
18
18
!)
PROPIEDAD ASOCIATIA DLos #actores ueden a2ruarse de di'ersas #ormas y el roducto no 'ariaD
Ejm;
( a ×b ) ×c = a×( b ×c)
(3
× 9) × : = 3 × ( 9 × : ) 19 × : = 3 × 10
30
?
30
C)
ELEMENTO NEUTRO Dodo n@mero multilicado or uno, da como roducto el mismo n@meroD
Ejm;
a ×1 = a ) × 1 = )
D)
ELEMENTO A!SOR!ENTE Dodo n@mero multilicado or cero, da como roducto ceroD
Ejm;
a ×0 = 0 SACO OLIVEROS
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) × 0 = 0
A:ORA :ALO TÚ
.#
Escribe el nombre de cada roiedad de la multilicaci"n !ue se
resenta en los
si2uientes ejemlos;
31 × 0 = 0
a)
roiedad
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 1 × ,7
b)
= ,7
roiedad
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB c)
3
× ,
=
,
×
3
roiedad
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB d)
: ×( 9 × 3 ) =( : × 9) ×3
roiedad
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
B#
.omleta los casilleros en blanco alicando las roiedades de la
multilicaci"n$
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PRACTI"UEMOS
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MULTIPLICACIÓN POR B CI2RAS Fbser'a;
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MULTIPLICACIÓN .
.#
G) 13 1 000 ?
b) A 100 ?
l)
c) 7 1 000 ?
m) 100 7 ?
1 000 :8 ?
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B#
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d) 8 1 000 ?
n) 1 000 31 ?
e) 1 000 39 ?
*) A9 10 ?
#) :A1 10 ?
o) 100 10 ?
2) 100 93 ?
) 87 10 ?
h) 30 100 ?
!) 73 100 ?
i) : 10 ?
r)
10 81 ?
j) 100 1 ?
s)
3 100 ?
yuda a los
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GLHE!RA SACO OLIVEROS
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!OOLE Heor(e (.@.=.@>;)
L"2ico y matemático in2l4s nacido en Lincoln y #allecido en .orG (rianda) rocedente de una #amilia obre, ense*aba matemáticas desde los diecis4is a*os en un cole2io ri'ado, #undando osteriormente su roio cole2io$ En 18A #ue nombrado ro#esor de matemáticas en la uni'ersidad de .orG, donde ermaneci" hasta el resto de sus d/as$ El 2ran descubrimiento de %oole #ue decir !ue se od/an alicar una serie de s/mbolos a oeraciones l"2icas y !ue, or elecci"n cuidadosa hacer !ue estos s/mbolos y oeraciones se areciesen al ál2ebra$ En el ál2ebra de %oole los s/mbolos od/an maniularse se2@n re2las l"2icas !ue rodujeran resultados l"2icos$ Ftros matemáticos, como el roio Leibniz, ya hab/an ensado en esto, ero no consi2uieron resultados lausibles$ %oole ublic" la obra Hn in'esti2ation o#the LaIs o# hou2h#J (in'esti2aci"n de las leyes del ensamiento) en 189, en la cual trataba or comleto el asunto, #undando lo !ue ahora se denomina l"2ica simb"lica$
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EJPRESIONES ALHE!RAICAS CONCEPTO1 y 'ariables oeraciones$
Es el conjunto de n@meros y letras llamadas constantes resecti'amente, asociados mediante
TÉRMINO ALHE!RAICO Es una eresi"n al2ebráica en donde los n@meros y letras no se están sumando ni restando$ Ejemlos; 9ab , A9y on t4rminos l2ebráicos 3 , 8 Los elementos de un t4rmino al2ebráico son;
E o n e n te s a r t e n u m 4 r ic a o c o e # ic ie n t e
A 8
)
y
:
arte L ite r a l
CLASES DE EJPRESIONES ALHE!RAICAS MONOMIO1
Está #ormado or un solo t4rmino$ Ejemlo; 3: , abc , 73y: son monomios
POLINOMIO1
on a!uellos !ue están #ormados or : " más t4rminos
K !0nom0o1 Están #ormados or : t4rminos unidos or una adici"n o sustracci"n$ Ejm; a>9 K 9: - 3:y3 K - y Tr0nom0o1 Están #ormados or 3 t4rminos unidos or una adici"n sustracci"n$ Ejm; a>b>c K 9 - 3y > z K y > 3z > : K
o
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HRADOS DE POLINOMIOS HRADO RELATIO 7 HRADO A!SOLUTO HRADO RELATIO H#R#) .)
PARA UN MONOMIO El 2rado relati'o de un 'ariable$ E4emp'o 1 a) 9yz8 <() ? (El 2rado <(y) ? 1 (El 2rado <(z) ? 8 (El 2rado
monomio es el eonente !ue a#ecta a la
relati'o con resecto a DD es i2ual a ) relati'o con resecto a DyD es i2ual a 1) relati'o con resecto a DzD es i2ual a 8)
B)
PARA UN POLINOMIO El 2rado relati'o de un olinomio es el mayor eonente !ue a#ecta a la 'ariable$ E4emp'o1 a) 3: > 9yz - 8:y:z3 <() ? 8 (El 2rado relati'o con resecto a DD es i2ual a 8) <(y) ? (El 2rado relati'o con resecto a DyD es i2ual a ) <(z) ? (El 2rado relati'o con resecto a DzD es i2ual a ) SACO OLIVEROS
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HRADO A!SOLUTO H#A#) .)
PARA UN MONOMIO El 2rado absoluto de un monomio (1 t4rmino) es i2ual a la suma de los eonentes de sus 'ariables (letras) Ejemlo a) :a3 b c b) 10mny: rado absoluto ; 3 > > 1 $$ ? 1 > 1 > 1
>: $$ ? 8
$$ ? 9
B)
PARA UN POLINOMIO El 2rado absoluto de un olinomio es i2ual al mayor 2rado absoluto de los t4rminos$ Ejemlo ;
PRACTI"UEMOS I#
=etermina el 2rado relati'o ; $ .on resecto a H
%$
.on resecto a Hy
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1) 9 y BBBBBBBBBB
BBBBBBBBBB
1)
8 3 y
:) 3: y z BBBBBBBBBB
BBBBBBBBBB
:)
:
3)
Ay 8
3) :n > 3 > yBBBBBBBBBB BBBBBBBBB
II#
>
3y
M
>
:
z
=etermina el 2rado absoluto de los si2uientes olinomios ; 1$ :y > 9:y M :y: $ 9: M 3 y > : y3 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB :$
ab9 M 7abc > :b3c BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9$
3m: > 9m M 3
3 > y > z9 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$
a: b3 > 9a3 b M ab9
3$
TRA!A,EMOS EN CASA N
.oia en tu cuaderno y determina el 2rado absoluto de ;
1)
m: n9
9)
m: > :n3 > 3n
:)
3: > :y
)
9I3 > :I: > 1 SACO OLIVEROS
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3º PRIM.
3)
ab3 > abc M a3 b: c
7)
8t: > :t9 M t8
)
: > y: z > yz
8)
yz
HEOMETRA DEMÓCRITO
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+il"so#o jonio, creador de un sistema materialista, atomista (todo consiste en combinaciones de átomos, cualitati'amente i2uales y con di#erencias cuantitati'as y determinista)$ Estos eran in#initos en n@meros, imenetrables, esados, indestructibles y eternos, eist/an desde siemre y nunca desaarecer/an$
GNHULOS CONCEPTO1
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E'ementos1 Lados; F y F% 64rtice
(ori2en); F F
α %
e escribe;
-F% =
%F- =α
MEDICIÓN DE GNHULOS
PRACTI"UEMOS &sa el transortador y mide los si2uientes án2ulos$ SACO OLIVEROS
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CLASI2ICACIÓN
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)
OP&LF &=F;
0
α
%)
o
<α< 9 0 o
OP&LF
α
.)
3º PRIM.
α =90o
OP&LF F%&F; α
90
=)
o
<α<1 8 0 o
OP&LF LLPF; α
α =1 8 0 o
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3º PRIM.
A:ORA :ALO TÚ 1)
&ne con una #lecha se2@n corresonda; a) b) c)
Q Q Q
-F% = 32 R SFP = 90 R EFL =180 R
=F. =10 5 R
d) :)
On2ulo recto On2ulo obtuso On2ulo llano
Q
On2ulo a2udo
Escribe !u4 clase de án2ulo es; a)
30 R
;
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB b)
53R
;
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB c)
180 R
;
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB d)
99 R
;
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB e)
143R
;
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB #)
90 R
;
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 3) .olorea de rojo la medida de un án2ulo a2udo, de 'erde el recto, de azul el obtuso y de amarillo el llano$
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133R
A1R
1R
190R
3º PRIM.
A0R
3AR
91R
1:0R
8AR
180R
TAREITA
=etermina si los si2uientes án2ulos son rectos, a2udos u obtusos midi4ndoles con tu transortador$
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3º PRIM.
E,ERCICIOS CON GNHULOS Fbser'a;
.
.F% =
-F%
∴ α +β = 8
α β F
-F. +
%
Ejemlo; Callando el 'alor de α SACO OLIVEROS
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3º PRIM.
30R > α ? 79R α ? 79R M 30R α ? 39R α β
A:ORA :ALO TÚ .#
En la #i2ura; Callar
B#
.alcular α
8 )0R
#
110R
, 0R
α
)0R
.alcular β
β 9:R
;#
.alcular α
:0R
α
90R SACO OLIVEROS
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=#
3º PRIM.
.alcular β
β
,0R :0R
>#
.alcular β 1 : 0 R β
?#
Callar α 190R α
@#
.alcular α
83R
α
#
,7R
.alcular
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3º PRIM.
70R
80R
.<#
.alcular α
α
,0R
:0R 70R
COMPLEMENTO 7 SUPLEMENTO A#
GNHULO COMPLEMENTARIO C)
Ejemlo;
.α ? A0R - α SACO OLIVEROS
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3º PRIM.
.:0R ? A0R - :0R ? 70R .39R ? A0R - 39R ? 99R .8R ? :R .80R ? 10R
!#
GNHULO SUPLEMENTARIO S)
α ? 180R - α Ejemlo; 0R ? 180R - 0R ? 1:0R 0R
? 10R
79R
? 109R
100R ? 80R
P R A C T I" U E M O S
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.
3º PRIM.
1 0R
.
, 9 R
,0 R
.
8 0 R
3 0 R
3 ) R
) 0 R .
3 0 R
17:R
.
7 9 R
139R
, 0 R
8 R
. 1 , 0 R
) 0 R
9 , R
: 9 R
1 99R
1 9 R 1 10 R
9 0 R
7 0 R
TAREA PARA LA CASA .#
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