TÉCNICAS DE CONTEO A) CONCEPTO. Suponga que se encuentra al final de una línea de ensa!le final de un producto " que que un supe super# r#is isor or le orde ordena na cont contar ar los los ele eleen ento toss de un lote lote que que se $a anufacturado $ace unas $oras " del que se desconoce el n%ero de productos que lo constitu"en& de inediato usted epe'ar( a contar un producto tras otro " al final inforar( al super#isor que son& *& + u otro n%ero cualquiera. A$ora supong supongaa que ese iso iso super super#is #isor or le plante planteaa la siguie siguiente nte pregu pregunta nta ,cu(nt ,cu(ntas as uestras o grupos ser( posi!le forar con los productos del lote& si las uestras o grupos a forar son de oc$o eleentos cada una de ellas-. En el prier caso el cuantificar los eleentos del lote no presenta presenta dificultad alguna para para la pers person onaa enca encarg rgad adaa de $ace $acerl rlo& o& per pero cuan cuando do se le $ace $ace el segu segund ndoo planteaiento& al tratar de forar las uestras o grupos de oc$o eleentos la persona encargada epe'ar( epe'ar( a tener dificultad para $acerlo& en casos coo este es necesario $acer uso de las tcnicas de conteo para cuantificar los eleentos del e#ento en cuesti/n 0el n%ero de uestras posi!les a forar de oc$o eleentos)& luego& ,qu son las tcnicas de conteo1as tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enuerar e#entos difíciles de cuantificar. E2eplos en los que definiti#aente $areos uso de las tcnicas de conteo serían3 4,Cu(ntas coisiones pro lipie'a del instituto se pueden forar si $a" 5+6 alunos que desean a"udar en esta tarea " se desea forar coisiones de oc$o alunos4,Cu(ntas representaciones de alunos pueden ser foradas a) si se desea que estas consten solo de alunos de Ingeniería 7uíica-& !) se desea que el presidente presidente sea un quíico-& c) se desea que el presidente presidente " tesorero tesorero sean quíicos- Para todos los casos& se desea que las representaciones consten de once alunos. 4,Cu(ntas aneras tiene una persona de seleccionar una la#adora& una !atidora " dos licuadoras& si encuentra en una tienda * odelos diferentes de la#adoras& + odelos diferentes de !atidoras " 8 odelos diferentes de licuadorasSe les les deno denoi ina na tcn tcnic icas as de cont conteo eo a3 las las co! co!in inac acio ione nes& s& per perut utac acio ione ness " diagraa de (r!ol& las que a continuaci/n se e9plicar(n " $a" que destacar que stas nos proporcionan proporcionan la inforaci/n de todas las aneras posi!les en que ocurre ocurre un e#ento deterinado. 1as 1as !ase !asess para para ente entend nder er el uso uso de las las tcn tcnic icas as de cont conteo eo son son el prin princi cipi pioo ultiplicati#o " el aditi#o& los que a continuaci/n se definen " se $ace uso de ellos.
:) P;INCIPIO <=1TIP1ICATI>O. Si se desea reali'ar una acti#idad que consta de r pasos& en donde el prier paso de la acti#id acti#idad ad a reali reali'ar 'ar puede puede ser ser lle#ado lle#ado a ca!o de N 5 aneras o foras& el segundo paso de N ? aneras o foras " el r4sio paso de N r aneras o foras& entonces esta acti#idad puede ser lle#ada a efecto de@ N 1 x N 2 x ..........x N r r maneras o formas
El principio ultiplicati#o iplica que cada uno de los pasos de la acti#idad de!en ser lle#ados a efecto& uno tras otro. E2eplos3 1) 5) =na persona desea construir su casa& para lo cu(l considera que puede construir los ciientos de su casa de cualquiera de dos aneras 0concreto 0concreto o !loc de ceento)& ientras que las paredes las puede $acer de ado!e& ado!/n o ladrillo& el tec$o puede ser de concreto o l(ina gal#ani'ada " por %lti %ltio o los los aca! aca!ad ados os los los pued puedee reali' eali'ar ar de una una sola sola ane anera ra ,cu( ,cu(nt ntas as aneras tiene esta persona de construir su casaSoluci/n3 Considerando que r B pasos N5B aneras de $acer ciientos B ? N?B aneras de construir paredes B NB aneras de $acer tec$os B ? NB aneras de $acer aca!ados B 5 N5 9 N? 9 N 9 N B ? 9 9 ? 9 5 B 5? aneras de construir la casa El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
2)
?) ,Cu(ntas placas para auto/#il pueden ser diseadas si de!en constar de tres letras seguidas de cuatro n%eros& si las letras de!en ser toadas del a!ecedario " los n%eros de entre los dígitos del 6 al -& a. Si es posi!le repetir letras " n%eros& !. No es posi!le repetir letras " n%eros& c. Cu(ntas de las placas diseadas en el inciso ! epie'an por la letra D " epie'an por el cero& d. Cuantas de las placas diseadas en el inciso ! epie'an por la letra D seguida de la F.
Soluci/n3 a.
a. Considerando ?G letras del a!ecedario " los dígitos del 6 al
?G 9 ?G 9 ?G 9 56 9 56 9 56 9 56 B 58+&8G6&666 placas para auto/#il que es posi!le disear
2)
b.
!. ?G 9 ?+ 9 ? 9 56 9 9 * 9 8 B 8*&G?&666 placas para auto/#il
c.
c. 5 9 ?+ 9 ? 9 5 9 9 * 9 8 B 6?&66 placas para auto/#il
d.
d. 5 9 5 9 ? 9 56 9 9 * 9 8 B 5?6&G6 placas para auto/#il
) ,Cu(ntos n%eros telef/nicos es posi!le disear& los que de!en constar de seis dígitos toados del 6 al -& a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los n%eros " es posi!le repetir dígitos& !. El cero no de!e ir en la priera posici/n " no es posi!le repetir dígitos& c. ,Cu(ntos de los n%eros telef/nicos del inciso ! epie'an por el n%ero siete-& d. ,Cu(ntos de los n%eros n%eros telef/nicos del inciso ! foran un n%ero ipar-.
Soluci/n3 a.
a. 9 56 9 56 9 56 9 56 9 56 B 66&666 n%eros telef/nicos
b.
!. 9 9 * 9 8 9 G 9 + B 5G&6*6 n%eros telef/nicos
c.
c. 5 9 9 * 9 8 9 G 9 + B 5+&5?6 n%eros telef/nicos
d.
d. * 9 * 9 8 9 G 9 + 9 + B G8&?66 n%eros telef/nicos
C) P;INCIPIO ADITI>O. Si se desea lle#ar a efecto una acti#idad& la cu(l tiene foras alternati#as para ser reali'ada& reali'ada& donde la priera de esas alternati#as puede ser reali'ada de < aneras o foras& la segunda alternati#a puede reali'arse de N aneras o foras ..... " la %ltia de las alternati#as puede ser reali'ada reali'ada de H aneras o foras& entonces esa acti#idad puede ser lle#ada lle#ada a ca!o de& de& < N ......... ......... H aneras o foras E2eplos3 1) 5) =na persona desea coprar una la#adora de ropa& para lo cu(l $a pensad pensadoo que puede puede selec seleccio cionar nar de entre entre las arca arcass H$irpo H$irpool& ol& Eas" Eas" " Feneral Electric& cuando acude a $acer la copra se encuentra que la la#adora de la arca H se presenta en dos tipos de carga 0 * u 55 ilo ilogr gra aos os)& )& en cuat cuatrro colo colorres dife diferrente entess " pued puedee ser ser auto auto( (tic ticaa o seiauto(tica& ientras que la la#adora de la arca E& se presenta en tres tipos de carga 0*& 55 o 5+ ilograos)& en dos colores diferentes " puede ser auto(tica o seiauto(tica " la la#adora de la arca FE& se presenta en solo un tipo de carga& que es de 55 ilograos& dos colores diferentes " solo $a" seiauto(tica. ,Cu(ntas aneras tiene esta persona de coprar una la#adoraSoluci/n3
< B N%ero de aneras de seleccionar una la#adora H$irpool N B N%ero de aneras de seleccionar una la#adora de la arca Eas" H B N%ero de aneras de seleccionar una la#adora de la arca Feneral Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N B 9 ? 9 ? B 5? aneras H B 5 9 ? 9 5 B ? aneras < N H B 5G 5? ? B 6 aneras de seleccionar una la#adora la#adora ? ) Jes%s Arenta 1una 0quien est( en C$i$ua$ua) desea ir a las >egas o a Disne"landia Disne"lan dia en las pr/9ias #acaciones de #erano. Para ir a las >egas l tiene tres edios de transporte para ir de C$i$ua$ua al Paso Te9as " dos edios de transporte para ir del Paso a las >egas& ientras que para ir del paso a Disne"landia l tiene cuatro diferentes diferentes edios de transporte& a) ,Cu(ntas aneras diferentes tiene Arenta de ir a las >egas o a Disne"landia-& !) ,Cu(ntas aneras tiene Jes%s de ir a las >egas o a Disne"landia en un #ia2e redondo& si no se regresa en el iso edio de transporte en que se fue-.
Soluci/n3 a) > B aneras de ir a las >egas D B aneras de ir a Disne"landia > B 9 ? B G aneras D B 9 B 5? aneras > D B G 5? B 5* aneras de ir a las >egas o a Disne"landia !) > B aneras de ir " regresar a las >egas D = maneras de ir y regresar a Disneylandia
> B 9 ? 9 5 9 ? B 5? aneras D B 9 9 9 ? B 8? aneras > D B 5? 8? B * aneras de ir a las >egas o a Disne"landia en un #ia2e redondo
PD3 ,C/o podeos distinguir cu(ndo $acer uso del principio ultiplicati#o " cu(ndo del aditi#oEs u" siple& cuando se trata de una sola acti#idad& la cual requiere para ser lle# lle#ad adaa a efec efecto to de una una seri seriee de paso pasos& s& ento entonc nces es $ar $areos eos uso uso del del prin princi cipi pioo ultiplicati#o " si la acti#idad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternati#as para ser lle#ada a ca!o& $areos uso del principio aditi#o. D) PE;<=TACIONES. Para entender lo que son las perutaciones es necesario definir lo que es una co!inaci/n " lo que es una perutaci/n para esta!lecer su diferencia " de esta anera entender claraente cuando es posi!le utili'ar una co!inaci/n " cuando utili'ar una perutaci/n al oento de querer cuantificar los eleentos de alg%n e#ento. CO<:INACIKN L PE;<=TACION. CO<:INACIKN3 Es todo arreglo de eleentos en donde no nos interesa el lugar o posici/n que ocupa cada uno de los eleentos que constitu"en dic$o arreglo. arreglo. PE;<=TACIKN3 Es todo arreglo de eleentos en donde nos interesa el lugar o posici/n que ocupa cada uno de los eleentos que constitu"en dic$o arreglo. arreglo. Para #er de una anera o!2eti#a la diferencia entre una co!inaci/n " una perutaci/n& planteareos cierta situaci/n. Suponga que un sal/n de clase est( constituido por + alunos. a) El aestro desea que tres de los alunos lo a"uden en acti#idades tales coo antener el aula lipia o entregar aterial a los alunos cuando así sea necesario. !) El aestro desea que se no!re a los representantes del sal/n 0Presidente& Secretario " Tesorero). Tesorero). Soluci/n3 Suponga que por unaniidad se $a elegido a Daniel& Arturo " a ;afael para para lip lipia iarr el aula aula o entr entreg egar ar ate ateri rial al&& 0aun 0aunqu quee pudi pudier eron on $a!e $a!ers rsee sele selecc ccio iona nado do a ;a ;afa fael el&& Da Dani niel el " a Enri Enriqu que& e& o pudo pudo $a!e $a!ers rsee for forad adoo cualquier grupo de tres personas para reali'ar las acti#idades encionadas anteriorente). ,Es iportante el orden coo se selecciona a los eleentos que fora el grupo de tres personas;efle9ionando al respecto nos daos cuenta de que el orden en este caso no tiene iportancia& "a que lo %nico que nos interesaría es el contenido de cada grupo& dic$o de otra fora& ,quines est(n en el grupo- Por tanto& este e2eplo es una co!inaci/n& quiere decir esto que las co!inaciones nos periten a) a)
forar grupos o uestras de eleentos en donde lo %nico que nos interesa es el contenido de los isos. Suponga que se $an no!rado coo representantes del sal/n a Daniel coo Presidente& a Arturo coo secretario " a ;afael coo tesorero& pero resulta que a alguien se le ocurre $acer algunos ca!ios& los que se uestran a continuaci/n3
b) b)
CAMBIOS
P;ESIDENTE3 Daniel SEC;ETA;IO3 Arturo TESO;E;O3 ;afael
Arturo Daniel ;afael
;afael Daniel Arturo
Daniel ;afael Arturo
A$ora teneos cuatro arreglos& ,se trata de la isa representaci/nCreo que la respuesta sería no& "a que el ca!io de funci/n que se $ace a los integrantes de la representaci/n original $ace que definiti#aente cada una de las representaciones tra!a2e de anera diferente& ,iporta el orden de los eleentos en los arreglos-. 1a respuesta definiti#aente sería sí& luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes "a que el orden o la fora en que se asignan las funciones sí iporta& por lo tanto es este caso estaos tratando con perutaciones. A continuaci/n o!tendreos las f/rulas de perutaciones " de co!inaciones& pero antes $a" que definir lo que es nM 0ene factorial)& "a que est( in#olucrado en las f/rulas que se o!tendr(n " usar(n para la resoluci/n de pro!leas. nMB al producto desde la unidad $asta el #alor que ostenta n. nMB 5 9 ? 9 9 9...........9 n E2e. 56MB5 9 ? 9 9 9.........9 56B&G?*&*66 *MB 5 9 ? 9 9 9.........9 *B6&?6 GMB5 9 ? 9 9 9..........9 GB8?6& etc.& etc. O!tenci/n de f/rula de perutaciones. Para $acer esto& partireos de un e2eplo. ,Cu(ntas aneras $a" de asignar los cuatro prieros lugares de un concurso de creati#idad que se #erifica en las instalaciones de nuestro instituto& si $a" 5 participantes-
Soluci/n3 aciendo uso del principio ultiplicati#o&
59595?955 B ?&6? aneras de asignar los prieros tres lugares del concurso Esta soluci/n se de!e& a que al oento de asignar el prier lugar teneos a 5 posi!les candidatos& una #e' asignado ese lugar nos quedan 5 posi!les candidatos para el segundo lugar& luego tendríaos 5? candidatos posi!les para el tercer lugar " por %ltio tendríaos 55 candidatos posi!les para el cuarto lugar. 1uego si n es el total de participantes en el concurso " r es el n%ero de participantes que #an a ser preiados& " partiendo de la e9presi/n anterior& entonces. 59595?955B n 9 0n 4 5) 9 0n 4 ?) 9 .......... 9 0n r 5) si la e9presi/n anterior es ultiplicada por 0n r)M 0n r)M& entonces B n 9 0n 5 ) 9 0n ?) 9 ......... 9 0n r 5) 0n r)M 0n r)M B nM 0n r)M Por tanto& la f/rula de perutaciones de r o!2etos toados de entre n o!2etos es3
n Pr
n! ( n r )!
Esta f/rula nos peritir( o!tener todos aquellos arreglos en donde el orden es iportante " solo se usen parte 0r) de los n o!2etos con que se cuenta& ade(s $a" que $acer notar que no se pueden repetir o!2etos dentro del arreglo& esto es& los n o!2etos son todos diferentes. Entonces& , qu f/rula $a" que usar para arreglos en donde se utilicen los n o!2etos con que se cuentaSi en la f/rula anterior se sustitu"e n en lugar de r& entonces. nPrB nM 0n n)M B nM 6M B nM 5 B nM Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces
nPr= nM
E2eplos3
,Cuantas representaciones diferentes ser(n posi!les forar& si se desea que consten de Presidente& Secretario& Tesorero& Prier >ocal " Segundo >ocal-& sí esta representaci/n puede ser forada de entre ?+ ie!ros del sindicato de una pequea epresa.
1) 1)
Soluci/n3 Por principio ultiplicati#o3 ?+ 9 ? 9 ? 9 ?? 9 ?5 B G&8+&G66 aneras de forar una representaci/n de ese sindicato que conste de presidente& secretario& etc.& etc. Por Q/rula3 n B ?+&
rB+
P = ?+M 0?+ +)M B ?+M ?6M B 0?+ 9 ? 9 ? 9 ?? 9 ?5 9....9 5) 0?6 9 5 9 5* 9 ... 9 5)B B G&8+&G66 aneras de forar la representaci/n ?+ +
?) a. ,Cu(ntas aneras diferentes $a" de asignar las posiciones de salida de * autos que participan en una carrera de f/rula uno- 0Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalente al a'ar) !. ,Cu(ntas aneras diferentes $a" de asignar los prieros tres preios de esta carrera de f/rula unoSoluci/n3 a. Por principio ultiplicati#o3 * 9 8 9 G 9 + 9 9 9 ? 9 5B 6&?6 aneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Q/rula3 n B *& r B * P B *M B * 9 8 9 G 9 + 9 9......9 5B 6&?6 aneras de asignar las posiciones de salida ......etc.& etc. * *
!. Por principio ultiplicati#o3 * 9 8 9 G B G aneras de asignar los tres prieros lugares de la carrera Por f/rula3
n B*& r B P B *M 0* )M B *M +M B 0* 9 8 9 G 9 + 9 ........95) 0+ 9 9 9......95) B G aneras de asignar los tres prieros lugares de la carrera *
,Cu(ntos puntos de tres coordenadas 0 9& "& ' )& ser( posi!le generar con los dígitos 6& 5& ?& & G " -& Si& a. No es posi!le repetir dígitos& !. Es posi!le repetir dígitos.
3) 3)
Soluci/n3 a. Por f/rula n B G& r B P B GM 0G )M B GM M B G 9 + 9 9 M M B G 9 + 9 B 5?6 puntos posi!les
G
Nota3 este inciso ta!in puede ser resuelto por el principio ultiplicati#o !. Por el principio ultiplicati#o G 9 G 9 G B ?5G puntos posi!les ,Cu(l es la ra'/n por la cu(l no se utili'a en este caso la f/rula-. No es utili'ada de!ido a que la f/rula de perutaciones s/lo se usa cuando los o!2etos no se repiten& esto quiere decir que en el inciso a. 1os puntos generados siepre #an a tener coordenadas cu"os #alores son diferentes e2e. 05& ?& )& 0?& & G)& 06& & )& etc. etc.& ientras que los puntos generados en el inciso !. 1as coordenadas de los puntos pueden tener #alores diferentes o repeticiones de algunos #alores o pueden tener todas las coordenadas un iso #alor e2e. 05& ?& )& 05& ?& ?)& 05& 5& 5)& etc.& etc. a. ,Cu(ntas aneras $a" de asignar las + posiciones de 2uego de un equipo de !(squet!ol& si el equipo consta de 5? integrantes-& !. ,Cu(ntas aneras $a" de asignar las posiciones de 2uego si una de ellas solo puede ser ocupada por =riel Jos Espar'a-& c. ,Cu(ntas aneras $a" de que se ocupen las posiciones de 2uego si es necesario que en una de ellas este =riel Jos Espar'a " en otra Oar 1una-
4) 4)
Soluci/n3 a. Por f/rula3 n B 5?& r B + P B 5?M 05? + )M B 5? 9 55 9 56 9 9 * B +&66 aneras de asignar las cinco posiciones de 2uego 5? +
!. Por principio ultiplicati#o3 5 9 55 9 56 9 9 * B8&?6 aneras de asignar las posiciones de 2uego Por f/rula3 5 9 55P B 5 9 55M 055 )M B 55M 8M B 55 9 56 9 9 * B 8&?6 aneras de asignar las posiciones de 2uego con =riel Jos en una deterinada posici/n c. Por principio ultiplicati#o 5 9 5 9 56 9 9 * B 8?6 aneras de ocupar las diferentes posiciones de 2uego Por f/rula3 5 9 5 9 56P B 5 9 5 9 56M 056 )M B 56M 8M B 56 9 9 * B 8?6 aneras de ocupar las posiciones de 2uego con =riel Jos " Oar 1una en posiciones pre#iaente definidas Cu(ntas cla#es de acceso a una coputadora ser( posi!le disear& si de!e constar de dos letras& seguidas de cinco dígitos& las letras ser(n toadas del a!ecedario " los n%eros de entre los dígitos del 6 al . a. Considere que se pueden repetir letras " n%eros& !. Considere que no se pueden repetir letras " n%eros& c. ,Cu(ntas de las cla#es del inciso ! epie'an por la letra A " terinan por el n%ero G-& d. ,Cu(ntas de las cla#es del inciso ! tienen la letra ; seguida de la 1 " terinan por un n%ero ipar-
5) 5)
oluci!n"
a. Por principio ultiplicati#o3 ?G 9 ?G 9 56 9 56 9 56 9 56 9 56 B G8&G66&666 cla#es de acceso Por f/rula3 !. ?GP? 9 56P+ B ?G 9 ?+ 9 56 9 9 * 9 8 9 GB5&G+G&666 cla#es de acceso c.
Por f/rula3
5 9 ?+P5 9 P 9 5 B 5 9 ?+ 9 9 * 9 8 9 G 9 5 B 8+&G66 cla#es de acceso que epie'an por la letra A " terinan por el n%ero G d.
Por f/rula3 5 9 5 9 P 9 + B 5 9 5 9 9 * 9 8 9 G 9 + B5+&5?6 cla#es de acceso que tienen la letra ; seguida de la 1 " terinan por un n%ero ipar.
E) PE;<=TACIONES CON ;EPETICION. En los casos anteriores se $an o!tenido perutaciones en donde todos los eleentos utili'ados para $acer los arreglos son diferentes. A continuaci/n se o!tendr( una f/rula que nos perite o!tener las perutaciones de n o!2etos& cuando entre esos o!2etos $a" algunos que son iguales.
E2eplo3 O!tenga todas las perutaciones posi!les a o!tener con las letras de la pala!ra OSO. Soluci/n3
Para o!tener la f/rula& es necesario priero suponer que todas las letras de la pala!ra OSO son diferentes " para diferenciarlas pondreos su!índices a las letras O& por lo que quedaría& O 5SO?& " las perutaciones a o!tener serían3
P B M B G
Definiendo las perutaciones teneos que estas serían&
O5SO?& O?SO5& SO5O?& SO?O5& O5O?S& O?O5S
,Pero realente podeos $acer diferentes a las letras O-& eso no es posi!le& luego entonces ,cu(ntos arreglos reales se tienen-
Coo3 Arreglos reales O5SO? B O?SO5 SO5O? B SO?O5 O5O?SB O?O5S
OSO SOO OOS
Entonces se o!ser#a que en realidad s/lo es posi!le o!tener tres perutaciones con las letras de la pala!ra OSO de!ido a que las letras O son idnticas& ,pero qu es lo que nos $i'o pensar en seis arreglos en lugar de tres-& el ca!io que $icios entre las letras O cuando las consideraos diferentes& cuando en realidad son iguales. Para o!tener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente e9presi/n3 El n%ero de arreglos reales B No. de perutaciones considerando a todos los o!2etos coo diferentes 1os ca!ios entre o!2etos iguales
El n%ero de arreglos reales B M ?M B 9 ?M ?M B Por tanto la f/rula a utili'ar sería@ nPx1 , x2 ........, xk
n! x1! x2 !....... xk !
Donde3 nP95&9?&......& 9 B N%ero total de perutaciones que es posi!le o!tener con n o!2etos& entre los que $a" una cantidad 9 5 de o!2etos de cierto tipo& una cantidad 9 ? de o!2etos de un segundo tipo&...... " una cantidad 9 de o!2etos del tipo . n B 95 9? ...... 9 E2eplos3 O!tenga todas las seales posi!les que se pueden disear con seis !anderines& dos de los cuales son ro2os& tres son #erdes " uno orado.
1) 1)
Soluci/n3 n B G !anderines 95 B ? !anderines ro2os 9? B !anderines #erdes 9 B 5 !anderín orado P & & B GM ?MM5M B G6 seales diferentes
G ?5
a.,Cu(ntas cla#es de acceso a una coputadora ser( posi!le disear con los n%eros 5&5&5&?&&&&-& !.,cu(ntas de las cla#es anteriores epie'an por un n%ero uno seguido de un dos-& c. ,cu(ntas de las cla#es del inciso a epie'an por el n%ero dos " terinan por el n%ero tres-
2) 2)
Soluci/n3 a. n B * n%eros 95 B n%eros uno 9? B 5 n%ero dos 9 B n%eros cuatro P & & B *M M5MM B ?*6 cla#es de acceso
* 5
!. n B G 0se e9clu"e un n%ero uno " un dos) 95 B ? n%eros uno 9? B n%eros tres 5 9 5 9 GP?& B 5 9 5 9 GM ?MM B 5+ cla#es de acceso El prier n%ero uno nos indica el n%ero de aneras coo es posi!le colocar en la priera posici/n de la cla#e de acceso un n%ero uno& de!ido a que todos los n%eros uno son iguales& entonces teneos una sola anera de seleccionar un n%ero uno para la priera posici/n& el siguiente n%ero uno nos indica el n%ero de aneras coo se colocaría en la segunda posici/n el n%ero dos " la
e9presi/n siguiente nos indica todos los arreglos posi!les que es posi!le disear con los n%eros restantes. c. n B G 0se e9clu"e un n%ero dos " un tres) 95 B n%eros uno 9? B n%eros tres 5 9 GP& 95 B 5 9 GM MM B ?6 cla#es de acceso El n%ero uno inicial nos indica que e9iste una sola anera de seleccionar el n%ero dos que #a en la priera posici/n del arreglo& ientras que el n%ero uno final nos indica que $a" una sola anera de seleccionar el n%ero tres que #a al final del arreglo a%n " cuando $a"a cuatro n%eros tres& coo estos son iguales al disear una perutaci/n es indistinto cu(l n%ero tres se ponga& "a que siepre se tendr( el iso arreglo " la e9presi/n interedia nos indica todos los arreglos posi!les a reali'ar con los n%eros restantes. ,De cu(ntas aneras es posi!le plantar en una línea di#isoria de un terreno dos nogales& cuatro an'anos " tres ciruelos-
3) 3)
Soluci/n3 n B (r!oles 95 B ? nogales 9? B an'anos 9 B ciruelos P & & B M ?MMM B 5?G6 aneras de plantar los (r!oles
?
Si un equipo de f%t!ol soccer feenil participa en 5? 2uegos en una teporada& ,cu(ntas aneras $a" de que entre esos doce 2uegos en que participa& o!tenga 8 #ictorias& epates " ? 2uegos perdidos-
4) 4)
Soluci/n3 n B 5? 2uegos 95 B 8 #ictorias 9? B epates 9 B ? 2uegos perdidos P & & B 5?M 8MM?M B 8&?6 aneras de que en la teporada este equipo logre siete #ictorias& tres epates " dos 2uegos perdidos. 5? 8 ?
Q) P;=E:AS O;DENADAS. Se le llaa prue!a ordenada al $ec$o de seleccionar r o!2etos de entre n o!2etos contenidos en una urna uno tras otro. =na prue!a ordenada puede ser lle#ada a efecto de dos aneras3 1)
5) Con sustituci/n 0con reepla'o).4 En este caso se procede a seleccionar el prier o!2eto de entre los n que $a"& se o!ser#a de qu tipo es " se procede a regresarlo a la urna& luego se selecciona el siguiente o!2eto& lo anterior se repite $asta que se $an e9traído los r o!2etos de la prue!a& por tanto el n%ero de prue!as ordenadas de con sustituci/n se o!tiene3 N%ero total de prue!as ordenadas con sustituci/n B n 9 n 9 n 9 .........9 n B nr
a" n aneras de seleccionar el prier o!2eto& luego al seleccionar el segundo o!2eto& dado que se $a regresado a la urna el prier o!2eto& ta!in se tendr(n n o!2etos " así sucesi#aente. 2)
?) Sin sustituci/n 0sin reepla'o).4 En este caso se procede a seleccionar el prier o!2eto& el cual no es regresado a la urna& luego se selecciona el segundo o!2eto& lo anterior se repite $asta copletar los r o!2etos de la prue!a& por lo que el n%ero total de prue!as ordenadas sin sustituci/n se o!tiene3
N%ero total de prue!as ordenadas sin sustituci/n B n0n45)0n4?)...0n4r 5) B nPr a" n aneras de seleccionar el prier o!2eto& luego al seleccionar el segundo o!2eto& $a" n 5 aneras& dado que el prier o!2eto no se regresa a la urna& luego cuando se e9trae el r4sio o!2eto& $a" 0n r 5) de que sea seleccionado. E2eplos3 5) 5) ,Cu(ntas aneras $a" de que se asignen tres preios de un sorteo en
donde el prier preio es un departaento& el segundo preio es un auto " el tercer preio es un centro de c/puto& si los participantes en este sorteo son 5?6 personas& a. Sí la asignaci/n se puede $acer con sustituci/n& !. Sí la asignaci/n se puede $acer sin sustituci/n. Soluci/n3 a. Por principio ultiplicati#o3 5?6 9 5?6 9 5?6 B 5&8?*&666 aneras de asignar los preios Por f/rula3 n B5?6& r B
nr B 5?6 B 5&8?*&666 aneras de asignar los tres preios a" que considerar que en este caso& al regresar cada !oleto que es e9traído de la urna& las personas que participan en el sorteo tienen la posi!ilidad de no ganar uno solo de los preios& de ganar un preio& dos de los preios o los tres preios. Cosa que generalente no ocurre. !. Por principio ultiplicati#o3 5?6 9 55 9 55* B 5&G*+&66 aneras de asignar los preios Por f/rula3 n B 5?6&
rB
P B 5?6M 05?6 )M B 5?6M 558M B 5?6 9 55 9 55* B 5&G*+&66 aneras de asignar los preios 5?6
a" que $acer notar que en este caso& coo los !oletos que son seleccionados "a no regresan a la urna de donde fueron e9traídos& los participantes solo pueden reci!ir un preio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la fora en que generalente se efect%a un sorteo. ?) ?) ,Cu(ntas foras $a" de asignar las prieras cinco posiciones de una carrera de autos de f/rula R& si participan ?G autos en esta carrera-. Considere que la asignaci/n es totalente al a'ar. Soluci/n3 Esta asignaci/n de!e ser sin sustituci/n& esto es& se trata de una prue!a ordenada sin sustituci/n& por lo que la soluci/n es la que se uestra. n B ?G&
rB+
P B ?GM 0?G +)M B ?GM ?5M B ?G 9 ?+ 9 ? 9 ? 9 ?? B 8&*&G66 aneras de asignar las cinco prieras posiciones de salida ?G +
) ) ,Cu(ntas foras $a" de asignar el orden de participaci/n de las prieras + concursantes de 55 finalistas de un concurso de C$ica No#atec ?65?Soluci/n3 Esta asignaci/n de!e reali'arse sin sustituci/n& por lo que se trata de una prue!a ordenada sin sustituci/n. n B 55& r B + P B 55M 055 +)M B 55M GM B 55 9 56 9 9 * 9 8 B ++&6 aneras de asignar la participaci/n 55 +
F) CO<:INACIONES. Coo "a se encion/ anteriorente& una co!inaci/n& es un arreglo de eleentos en donde no nos interesa el lugar o posici/n que ocupan los isos dentro del arreglo. En una co!inaci/n nos interesa forar grupos " el contenido de los isos. 1a f/rula para deterinar el n%ero de co!inaciones es3 n C r
n!
( n r )! r !
Cr B Co!inaciones de r o!2etos toados de entre n o!2etos
n
Donde se o!ser#a que& n
C r
n
pr r !
1a e9presi/n anterior nos e9plica coo las co!inaciones de r o!2etos toados de entre n o!2etos pueden ser o!tenidas a partir de las perutaciones de r o!2etos toados de entre n o!2etos& esto se de!e a que coo en las co!inaciones no nos iporta el orden de los o!2etos& entonces si teneos las perutaciones de esos o!2etos al di#idirlas entre rM& les estaos quitando el orden " por tanto transfor(ndolas en co!inaciones& de otra fora& ta!in si deseaos calcular perutaciones " teneos las co!inaciones& sipleente con ultiplicar estas por el rM o!tendreos las perutaciones requeridas. P B nCr rM
n r
L si deseaos r B n entonces@ Cn B nM 0n n)MnM B nM 6MnM B 5
n
,7u nos indica lo anterior7ue cuando se desea forar grupos con la isa cantidad de eleentos con que se cuenta solo es posi!le forar un grupo. E2eplos3 a. Si se cuenta con 5 alunos que desean cola!orar en una capaa pro lipie'a del Tec& cu(ntos grupos de lipie'a podr(n forarse a) si se desea que consten de + alunos cada uno de ellos& !. si entre los 5 alunos $a" * u2eres& ,cu(ntos de los grupos de lipie'a tendr(n a u2eres-& c. ,cu(ntos de los grupos de lipie'a contar(n con $o!res por lo enos-
1) 1)
Soluci/n3
a. n B 5& r B + C+ B 5M 05 + )M+M B 5M M+M B 5 9 5 9 5? 9 55 9 56 9 M M+M B ?66? grupos
5
Entre los ?66? grupos de lipie'a $a" grupos que contienen solo $o!res& grupos que contienen solo u2eres " grupos i9tos& con $o!res " u2eres. !. n B 5 0* u2eres " G $o!res)&
rB+
En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan u2eres " ? $o!res
CGC? B 0*M 0* )MM)0GM 0G ?)M?M) B 0*M +MM)0GM M?M) B * 98 9 G 9 + ?M B *6 grupos con u2eres " ? $o!res& puesto que cada grupo de!e constar de + personas *
c. En este caso nos interesan grupos en donde $a"a $o!res o (s 1os grupos de inters son B grupos con $o!res grupos con + $o!res B GC*C5 GC+*C6 B 5+ 9 * G 9 5 B 5?6 G B 5?G Para contestar un e9aen un aluno de!e contestar de 5? preguntas& a.,Cu(ntas aneras tiene el aluno de seleccionar las preguntas-& !. ,Cu(ntas aneras tiene si for'osaente de!e contestar las ? prieras preguntas-& c.,Cu(ntas aneras tiene si de!e contestar una de las prieras preguntas-& d.,Cu(ntas aneras tiene si de!e contestar coo (9io una de las prieras preguntas-
2) 2)
Soluci/n3 a. n B 5?& r B C B 5?M 05? )MM B 5?M MM B 5? 9 55 9 56 M B ??6 aneras de seleccionar las nue#e preguntas o dic$o de otra anera& el aluno puede seleccionar cualquiera de ??6 grupos de preguntas para contestar el e9aen 5?
C?56C8 B 5 9 5?6 B 5?6 aneras de seleccionar las preguntas entre las que est(n las dos prieras preguntas
b. b.
?
C5C* B 9 B ?8 aneras de seleccionar la preguntas entre las que est( una de las tres prieras preguntas
c. c.
d. d.
En este caso de!e seleccionar 6 o 5 de las tres prieras preguntas
C6C C5C* B 05 9 5) 0 9 ) B 5 ?8 B ?* aneras de seleccionar las preguntas a contestar
=na seora desea in#itar a cenar a + de 55 aigos que tiene& a. ,Cu(ntas aneras tiene de in#itarlos-& !. ,cu(ntas aneras tiene si entre ellos est( una pare2a de recin casados " no asisten el uno sin el otro& c. ,Cu(ntas aneras tiene de in#itarlos si ;afael " Arturo no se lle#an !ien " no #an 2untos-
3) 3)
Soluci/n3 a. n B 55& r B + C+ B 55M 055 + )M+M B 55M GM+M B 55 9 56 9 9 * 9 8 9 GM GM+M B G? aneras de in#itarlos
55
Es decir que se pueden forar G? grupos de cinco personas para ser in#itadas a cenar. !. Esta seora tiene dos alternati#as para $acer la in#itaci/n& la priera es no in#itar a la pare2a " la segunda es in#itar a la pare2a. C6C+
?
?
C?C B 05 9 5?G) 05 9 *) B ?56 aneras de in#itarlos
En este caso separaos a la pare2a de los de(s in#itados para que efecti#aente se cupla el que no asistan o que asistan a la cena. c.1a seora tiene dos alternati#as para $acer la in#itaci/n& una de ellas es que no in#itar a ;afael " a Arturo o que asista solo uno de ellos. C6C+ ?C5C B 05 9 5?G) $acer la in#itaci/n ?
0? 9 5?G) B 5?G ?+? B 8* aneras de
En un plano $a" 56 puntos denoinados A& :& C& ....&etc. etc.& en una isa línea no $a" (s de dos puntos& a. ,Cu(ntas líneas pueden ser tra'adas a partir de los puntos-& !. ,Cu(ntas de las líneas no pasan por los puntos A o :-& c. ,Cu(ntos tri(ngulos pueden ser tra'ados a partir de los puntos-& d. ,Cu(ntos de los tri(ngulos contienen el punto A-& e. ,Cu(ntos de los tri(ngulos tienen el lado A:-.
4) 4)
Soluci/n3 En la redacci/n del pro!lea se aclara que en una isa línea no $a" (s de dos puntos de!ido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestaci/n a las preguntas que se $acen.
a. a.
=na línea puede ser tra'ada a partir de c/o ínio dos puntos por lo tanto&
C? B 56M 056 ?)M?M B 56M *M?M B + líneas que se pueden tra'ar
56
En este caso e9cluireos los puntos A " : " a partir de los oc$o puntos restantes se o!tendr(n las líneas.
b. b.
?
C6*C? B 5 9 ?* B ?* líneas que no pasan por los puntos A o :
c. c.
=n tri(ngulo puede ser tra'ado a partir de tres puntos& luego@
C B 56M 056 )MM B 56M 8MM B 5?6 tri(ngulos posi!les de tra'ar
56
En este caso se separa el punto A de los de(s& se selecciona " posteriorente ta!in se seleccionan dos puntos (s.
d. d.
5
C5C? B 5 9 G B G tri(ngulos que contienen el punto A
1os puntos A " : foran parte de los tri(ngulos a tra'ar por lo que@
e. e.
?
C?*C5 B 5 * B * tri(ngulos que contienen el lado A:
=NIDAD II. P;O:A:I1IDAD En ocasiones cuando se $a!la de pro!a!ilidad o posi!ilidad de que un e#ento ocurra& se pierde la credi!ilidad acerca del e#ento en cuesti/n& pero ,es posi!le tener siepre la certe'a total en todo pro"ecto o acti#idad que se desea reali'ar-& es u" difícil tenerla& de!ido a que el lle#ar a efecto un pro"ecto cualquiera por (s siple que este sea& ste est( su2eto a una gran di#ersidad de factores que afectan su ocurrencia& ,entonces que es lo (s aconse2a!le para predecir su ocurrencia-& la probabilidad es la que nos a"ud a en estos casos& "a que !as(ndose en estadísticas& podeos cuantificar la posi!ilidad de ocurrencia de los e#entos " por consiguiente toar una !uena decisi/n !asados en esta inforaci/n. A) CONCEPTO. 1a pro!a!ilidad se encarga de e#aluar todas aquellas acti#idades en donde se tiene incertidu!re acerca de los resultados que se pueden esperar& esto quiere decir que la pro!a!ilidad est( presente en casi en todas las acti#idades que se pretenda reali'ar& e2eplos3 4Cualquier pro"ecto de Ingeniería o de otras (reas 4Copetencias deporti#as 4Juegos de a'ar& etc.& etc. ,C/o podeos calcular pro!a!ilidades5. aciendo uso de las estadísticas.
En este caso& se $ace uso de la inforaci/n que se $a acuulado acerca del e#ento que nos interesa& " despus de esto se procede a calcular las pro!a!ilidades requeridas. E2eplo. Deterine la pro!a!ilidad de que en cierta línea de producci/n se anufacture un producto defectuoso& si se toa coo referencia que la producci/n de la %ltia seana en esta línea fue de 5&+66 productos& entre los que se encontraron 5* productos defectuosos. p0producto defectuoso) B No de productos defectuoso Total de productos producidos en la seana B 5* 5+66 B 6.65? 1o anterior nos indica que es u" pro!a!le que 5.? productos de cada 566 que se anufacturen en esa línea ser(n defectuosos. ,Porqu se utili'/ para calcular las pro!a!ilidades la inforaci/n de la seana inediata anterior-. De!ido a que esta refle2a la situaci/n que guarda actualente la producci/n de la línea encionada. ?. :as(ndose en la e9perientaci/n. a" casos en los que despus de repetir un n%ero u" grande de #eces un e9periento& es posi!le deterinar las pro!a!ilidades de ocurrencia de algunos e#entos& tales coo3 1a pro!a!ilidad de que apare'ca (guila al lan'ar una oneda equili!rada& la pro!a!ilidad de que apare'ca el n%ero en un dado& etc.& etc. E2eplos3 p0(guila) B5? B 6.+ p0apare'ca el n%ero )B 5 G B 6.5GGG . Asignando pro!a!ilidades. En este caso se $ace uso de las pro!a!ilidades o!tenidas ediante estadísticas " la e9perientaci/n " se asignan a los e#entos pre#iaente descritos " a partir de ellas se deterinan pro!a!ilidades de otros e#entos. A continuaci/n se definen algunas cuestiones iplícitas en el c(lculo de pro!a!ilidades. a) Espacio uestral 0 ).4 Es el con2unto de todos los resultados posi!les de un e9periento. Es nuestro =ni#erso. E2eplos3 5. Se lan'a al aire un dado noral 0perfectaente equili!rado)& enuere los posi!les resultados de este e9periento. B 5& ?& & & +& G ?. Se lan'a al aire dos #eces una oneda noral& defina su espacio uestral.
B AA& AS& SA& SS !) E#ento A.4 El e#ento A es un su!con2unto del espacio uestral. E2eplos3 5. Sea A el e#ento de que apare'ca un n%ero par en el lan'aiento de un dado& entonces@ A B ?&&G ?. Sea : el e#ento de que apare'can dos (guilas en tres lan'aientos de una oneda noral& entonces@ Coo B AAA& AAS& SAA& ASA& ASS& SAS& SSA& SSS 1uego : B AAS& SAA& ASA c)
a) Sea un e#ento que carece de eleentos. B
Coo se o!ser#a los e9perientos " e#entos pro!a!ilísticos se pueden e9presar con la notaci/n de con2untos " a continuaci/n se enueran algunas operaciones que es posi!le reali'ar con los e#entos. PASA; A1 C=ADE;NO L A1 DOC=
#
$
d
#
$ #Ç$
A :B #
%
$
#È$ &
%
%
?) A : Es el e#ento que ocurre sí " solo sí A " : ocurren a un iso tiepo. d
#
#Ç$ &
$ #Ç$
) Ac Es el copleento de A. Es el e#ento que ocurre sí " solo sí A no ocurre. d
#c
#
2)
5) Se dice que A " : son e#entos utuaente e9clu"entes o e9clusi#os si A :B
#
$
d
E2eplo3 En un sal/n de clase $a" 5+ alunos& 8 de los cu(les son de tercer seestre& + son de cuarto seestre " son de quinto seestre de la carrera de Ingeniería 7uíica& de los cuales & ? " 5 respecti#aente doinan el Ingls& si se selecciona un aluno al a'ar de este grupo& a. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que el aluno seleccionado sea de quinto seestre-& !. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que sea de tercero o cuarto seestre-& c. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que el aluno seleccionado sea de tercer seestre " doine el ingls-& d. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que el aluno seleccionado no doine el ingls-& e. Diga si los e#entos T " 7 son utuaente e9clu"entes& diga si los e#entos 7 e I son utuaente e9clu"entesSoluci/n3 Epe'areos por definir algunos e#entos@ T B e#ento de que un aluno sea de tercer seestre 08) Cu B e#ento de que un aluno sea de cuarto seestre 0+) 7 B e#ento de que un aluno sea de quinto seestre 0) I B e#ento de que un aluno doine el ingls 0&?&5 B 8) a.
a. p0aluno seleccionado sea de quinto seestre) B p07) B 5+ B 6.?
b.
!. p0aluno seleccionado sea de tercero o cuarto seestre)B p0T
Cu) B
B p0 T) p0Cu) B 85+ +5+ B 5?5+ B 6.* c.
c. p0aluno sea de tercer seestre " doine el ingls) B p0T 6.?GGG8
I) B 5+ B
d.
d. p0aluno seleccionado no doine el ingls) B p0I c ) B *5+ B 6.+
e.
e. 1os e#entos T " 7 son utuaente e9clu"entes dado que T 7 B
1os e#entos 7 e I no son e#entos utuaente e9clu"entes& "a que 7 IB 5
La que $a" un aluno que cuple con a!os e#entos& es de quinto seestre " doina el ingls. :) AIO
TEO;E
DE
A Ac
DE
DE
: A :
AW: DE
: A :
DE
A : C
A
:
C A
:
C) ESPACIOS QINITOS DE P;O:A:I1IDAD. Sea el espacio uestral& que contiene n eleentos a1 , a2 , a3 ,.....,an & si a cada uno de los eleentos de le asignaos una pro!a!ilidad p i 6& entonces estaos transforando este espacio uestral en un espacio finito de pro!a!ilidad@ el que de!e cuplir con las siguientes características3 5) 1as pro!a!ilidades asociadas a cada uno de los eleentos de de!en ser a"ores o iguales a cero& pi 0. 2) ?) 1a suatoria de las pro!a!ilidades asociadas a cada uno de los eleentos de de!e de ser igual a 5. 1)
pi = 1
En caso de que no se cupla con las características antes encionadas& entonces no se trata de un espacio finito de pro!a!ilidad. E2eplos3 5.Se lan'a al aire un dado noral& si la pro!a!ilidad de que apare'ca una de sus caras es proporcional al n%ero que ostenta& a) ,cu(l es la pro!a!ilidad de que apare'ca un n%ero par-& !) ,cu(l es la pro!a!ilidad de que apare'ca un n%ero prio-
Soluci/n3 B 5& ?& & & +& G En este caso asignareos las pro!a!ilidades coo sigue@ p0apare'ca el n%ero 5) B p& p0apare'ca el n%ero ?) B ?p& .....& p0apare'ca el n%ero +) B +p& p0apare'ca el n%ero G) B Gp L por ser un espacio finito de pro!a!ilidad& entonces& p0 ) B p ?p p p +p Gp B5 Por tanto& ?5p B 5& luego& p B 5?5 a.
a. 1uego@
A B e#ento de que apare'ca un n%ero par B ?& & G p0A)Bp0?)p0) p0G) B ?p p Gp B 5?p B 5?05?5) B 5??5B 6.+85 b.
!. : B es el e#ento de que apare'ca un n%ero prio B 5& ?& & +
p0:)Bp05) p0?) p0) p0+) B p ?p p +p B 55p B 5505?5) B 55?5 B 6.+?* ?. En una copetencia de nado sincroni'ado& participan los equipos de Ecuador& <9ico " >ene'uela@ <9ico tiene el do!le de posi!ilidades de ganar que Ecuador& ientras que >ene'uela tiene un tercio enos de posi!ilidades de ganar que ecuador& a. Deterine la pro!a!ilidad de que gane >ene'uela& !. Deterine la pro!a!ilidad de que gane Ecuador o >ene'uela& c. Deterine la pro!a!ilidad de que no gane <9ico. Soluci/n3 B Ecuador& <9ico >ene'uela Por ser un espacio finito de pro!a!ilidad& p0 ) B 5& luego& P0 ) B p0gane Ecuador) p0gane <9ico) p0gane >ene'uela) B p ?p ?pB5 Coo 55p B 5&
luego p B 55
a. p0gane >ene'uela) B ? p B ?55 B ?55 B 58 B 6.5*5* !. p0gane >ene'uela o Ecuador)Bp0gane >ene'uela)p0gane Ecuador)B p0gane >ene'uela o Ecuador)B ?p p B + p B +55 B+55 B 6.+
c. p0no gane <9ico) B p0gane >ene'uela o Ecuador) B 5 p0gane <9ico) B 5 ?p B B 5 ?055) B 5 G55 B +55 B 6.+ . En una copetencia de cicliso participan A& : " C& A tiene el do!le de posi!ilidades de ganar que : " : el do!le que C& a. Deterine la pro!a!ilidad de que gane :& !. Deterine la pro!a!ilidad de que gane A o :. Soluci/n3 B A& :& C & " por ser un espacio finito de pro!a!ilidad& p0 ) B p0gane A) p0gane :) p0gane C) B p ?p p B 5 Coo 8p B 5& luego& p B 58 a.
a. p0gane :) B ?p B ?058) B ?8 B 6.?*+85
b.
!. p0gane A o :) B p ?p B Gp B G058) B G8 B 6.*+85
D) ESPACIOS QINITOS E7=IP;O:A:1ES. Sea un espacio uestral que contiene n eleentos& = a1 , a2 , a3 ,....,an & si a cada uno de los eleentos de le asignaos una pro!a!ilidad igual de ocurrencia& pi = 1n por tener n eleentos & entonces estaos transforando este espacio uestral en un espacio finito equipro!a!le& el que de!e cuplir con las siguientes condiciones3 5. 1as pro!a!ilidades asociadas a cada uno de los eleentos del espacio uestral de!en ser a"ores o iguales a cero& pi 0. ?. 1a suatoria de las pro!a!ilidades asociadas a cada eleento del espacio uestral de!e de ser igual a 5. pi = 1
En caso de que no se cupla con las condiciones anteriores& entonces no se trata de un espacio finito euiprobable. Solo en el caso de espacios finitos equipro!a!les& si deseaos deterinar la pro!a!ilidad de que ocurra un e#ento " cualquiera& entonces@ p0A) B r5n B rn p0A) B aneras de ocurrir el e#ento A N%ero de eleentos del espacio uestral r B aneras de que ocurra el e#ento A
5n B pro!a!ilidad asociada a cada uno de los eleentos del espacio uestral n B n%ero de eleentos del espacio uestral E2eplos3 5. Se lan'a al aire una oneda noral 0una oneda perfectaente equili!rada) tres #eces& deterine la pro!a!ilidad de que3 a. Apare'can puros sellos& !. Apare'can dos (guilas& c. Apare'can por lo enos dos (guilas. Soluci/n3 Para calcular las pro!a!ilidades de este pro!lea& $a" que definir el espacio uestral en cuesti/n@ si representaos los tres lan'aientos de la oneda ediante un diagraa de (r!ol& encontrareos que el espacio uestral o el con2unto de todos los resultados posi!les es3 B AAA& ASS& SAS& SSA& AAS& SAA& ASA& SSS a. A B e#ento de que apare'can puros sellos B SSS p0A) B p0apare'can puros sellos) B p0SSS) B 5* B 6.5?+ ,Porqu un octa#o-& sí el espacio uestral consta de * eleentos coo se $a o!ser#ado& entonces la pro!a!ilidad asociada a cada uno de los eleentos del espacio uestral es de 5*& por ser un espacio finito equipro!a!le "a que cada uno de los eleentos ostrados tiene la isa pro!a!ilidad de ocurrencia. !. : B e#ento de que apare'can dos (guilas B AAS& SAA& ASA p0:) B p0apare'can dos (guilas) B p0AAS& SAA& ASA) B 5* 5* 5* B * B 6.8+ c. C B e#ento de que apare'can por lo enos dos (guilas B AAS& SAA& ASA& AAA p0C) B p0AAS& SAA& ASA& AAA)Bp0apare'can dos (guilas) p0apare'can tres (guilas) p0C) B * B 5? B 6.+ ?. En un lote de producci/n que consta de ?6 coputadoras personales de cierta arca& se $a detectado que tienen defectos de tipo operacional. 5. Si se selecciona al a'ar una coputadora& a. Deterine la pro!a!ilidad de que la coputadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional& !. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que no tenga defectos de tipo operacional-. ?. Si se seleccionan al a'ar coputadoras de este lote& deterine la pro!a!ilidad de que3 a. Solo tres tengan defectos de tipo operacional& !. Por lo enos dos tengan defectos de tipo operacional& c. Coo (9io una tenga defectos de tipo operacional.
Soluci/n3 Para el punto ?.5& cuando se selecciona de un lote un solo eleento& entonces el espacio uestral est( copuesto de entes unitarios& que son cada una de las coputadoras& B ?6 coputadoras a. A B e#ento de que una coputadora tenga defectos de tipo operacional p0A) B ?6 B 6.?6 !. : B e#ento de que una coputadora no tenga defectos de tipo operacional p0:) B 5 4 p0A) B 5 6.?6 B 6.*6 ?.? Al seleccionar del lote (s de una coputadora& el espacio uestral "a no estar( copuesto por entes unitarios& estar( forado por todos los grupos que se puedan forar de coputadoras seleccionadas de entre ?6 que se tienen& C B &*+ aneras de seleccionar las cuatro coputadoras al a'ar
?6
Dic$o de otra fora serían &*+ uestras de cuatro coputadoras& entre estas uestras $a" algunas que contienen puras coputadoras defectuosas o puras sin defectos " otras uestras que tienen una e'cla de coputadoras con defectos " sin defectos.
a. C B e#ento de que tres de las coputadoras seleccionadas tengan defectos de tipo operacional C B C5GC5 B 5G B G uestras de cuatro coputadoras que contienen tres defectuosas p0C) B G B G&*+ B 6.65?6 !. D B e#ento de que dos o (s coputadoras tengan defectos de tipo operacional D B ? con defectos& con defectos o con defectos D B C?5GC? C5GC5 C5GC6 B G5?6 5G 5 B 8?6 G 5 B 8*+ El e#ento D consta de 8*+ uestras& en las que por lo enos dos de las cuatro coputadoras seleccionadas tienen defectos.
p0D) B n%ero de eleentos del e#ento D n%ero de eleentos del espacio uestral p0D) B 8*+ B 8*+&*+ B 6.5G?6??
c. E B e#ento de que coo (9io una de las coputadoras seleccionadas tenga defectos de tipo operacional E B 6 con defectos o 5 con defectos E B C65GC C55GC B 55&*?6 +G6 B 5*?6 ??6 B &6G6 uestras El e#ento E contiene &6G6 uestras que contienen una o ninguna coputadora defectuosa& por lo que@ p0E) B &6G6 B &6G6&*+ B 6.*88 ,Porqu utili'ar co!inaciones para o!tener la pro!a!ilidad en lugar de perutaciones-& en este caso no se $a!la de alg%n orden para seleccionar las coputadoras es el oti#o por el cual se usaron co!inaciones& pero si decios que se toan cuatro coputadoras del lote " se pregunta& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que la priera " segunda coputadora seleccionada tengan defectos de tipo operati#o " que la tercera " cuarta no tengan defecto algunoEn este caso el espacio uestral se deterina $aciendo uso de perutaciones "a que se trata de una prue!a ordenada@ coo se o!ser#a a continuaci/n3 B ?6P B ?6M0?6 )M B ?6M5GM B 55G&?*6 aneras de seleccionar cuatro coputadoras una tras otra Q B e#ento de que la priera " segunda coputadora tengan defectos " que la tercera " cuarta no tengan defectos Q B P?5GP? B 9 9 5G 9 5+ B ?&**6 uestras en donde la priera " segunda coputadora tienen defectos " la tercera " cuarta no tienen defectos p0Q) B ?&**655G&?*6 B 6.6?8G8 . Se seleccionan dos n%eros al a'ar de entre los dígitos del 5 al & a. Deterine la pro!a!ilidad de que a!os n%eros seleccionados sean pares& !. Deterine la pro!a!ilidad de que a!os n%eros sean ipares. Soluci/n3 Para o!tener el espacio uestral de este pro!lea podeos $acer uso de un diagraa de (r!ol en donde se represente la selecci/n del prier n%ero "
luego la del segundo n%ero& encontr(ndose que los pares de n%eros a elegir serían G& coo se uestran a continuaci/n. 05&?) 0?&) 0&) 0&+) 0+&G) 0G&8) 08&*) 0*&) 05&) 0?&) 0&+) 0&G) 0+&8) 0G&*) 08&) B 05&) 0?&+) 0&G) 0&8) 0+&*) 0G&) 05&+) 0?&G) 0&8) 0&*) 0+&) 05&G) 0?&8) 0&*) 0&) 05&8) 0?&*) 0&) 05&*) 0?&) 05&) a. Definiendo un e#ento A B e#ento de que los dos n%eros seleccionados sean pares 1uego& A B 0?&& 0?&G)& 0?&*)& 0&G)& 0&*)& 0G&*) p0A) B GG B 5G B 6.5GG8 !. : B e#ento de que los dos n%eros seleccionados sean ipares 1uego& : B 05&)& 05&+)& 05&8)& 05&)& 0&+)& 0&8)& 0&)& 0+&8)& 0+&)& 08&) p0:) B 56G B +5* B 6.?88* Otra fora de resol#er este pro!lea es $aciendo uso de co!inaciones& donde@ B C? B G aneras de seleccionar los dos n%eros a. A B selecci/n de dos n%eros de entre 0?& & G " *)& C? B G aneras de seleccionar dos n%eros pares p0A) B C?C? B GG B 5G B 6.5GG8 !. : B selecci/n de dos n%eros ipares& se seleccionan de entra 05& & +& 8 " )& +C? B 56 aneras de $acer la selecci/n p0:) B 56G B +5* B 6.?88*
. Dada la siguiente ta!la referente a la producci/n de flec$as para cai/n de carga pesada@ se inspeccionan ?66 flec$as del tipo A " :& 66 del tipo C " 66 del tipo D& a continuaci/n se presentan los resultados o!tenidos en la inspecci/n3 +EE'* ( (( +E '*'#-
# 54 2 11 200
$ 23 12 15 200
'(* +E -E/# + '*'#40 15 132 14 5 5 24 30 0 300 400 1100
Se selecciona una flec$a al a'ar de las inspeccionadas& deterine la pro!a!ilidad de que3 a. 1a flec$a seleccionada sea del tipo :& !. 1a flec$a seleccionada no tenga defectos& c. 1a flec$a seleccionada tenga defectos del tipo II& d. 1a flec$a seleccionada tenga cualquier tipo de defecto. Soluci/n3 a. p0 flec$a sea tipo :) B ?665&566 B 6.5*5*? !. p0flec$a no tenga defectos) B 65&566 B 6.*?GG c. p0flec$a con defectos del tipo II) B +5&566 B 6.6+G d. p0flec$a tenga cualquier tipo de defecto) B p0def tipo I) p0def tipo II) B B 5?5&566 +5&566 B 05? +)5&566 B 555&566 B 6.58G +. Se disean placas para auto/#il que consten de tres letras seguidas de cuatro dígitos& las letras se toan del a!ecedario " los n%eros de los dígitos del 6 al & no se repiten letras " n%eros& si se selecciona una placa al a'ar de las que se $an diseado& deterine la pro!a!ilidad de que3 a. 1a placa epiece por la letra D& !. 1a placa epiece por la letra D seguida de E& c. 1a placa terine por el n%ero & d. 1a placa terine por el n%ero & e. Si a un tr(nsito se le $a dado a la fuga un infractor& " recuerda que las placas epie'an por la letra E " terinan por el n%ero ,cu(ntas placas tendr( que re#isar el tr(nsito-& l alcan'/ a #er que no se repetían letras " n%eros& deterine ta!in la pro!a!ilidad de que encuentre al infractor. Soluci/n3 a. El espacio uestral ser(3
B
P P B ?G 9 ?+ 9 ? 9 56 9 9 * 9 8 B 8*& G?&666 placas
?G 56
El espacio uestral est( forado por todas las placas que es posi!le disear& A B e#ento de que una placa epiece por la letra D A B 5?+P?56P B 5 9 ?+ 9 ? 9 56 9 9 * 9 8 B &6?&666 placas p0A) B &6?&6668*&G?&666 B 6.6*G !. : B e#ento de que la placa epiece por la letra D seguida de la E : B 5 9 5 9 ? 9 56P B 5 9 5 9 ? 9 56 9 9 * 9 8 B 5?6&G6 placas p0:) B 5?6&G68*&G?&666 B 6.665+*+ c. C B e#ento de que la placa terine por el n%ero cuatro C B ?GPP5 B ?G 9 ?+ 9 ? 9 9 * 9 8 9 5B 8&*G?&66 placas p0C) B 8&*G?&668*&G?&666 B 6.56 d. D B e#ento de que la placa terine por el n%ero D B ?GP*P? 9 5 9 5 B ?G 9 ?+ 9 ? 9 * 9 8 9 5 9 5 B *8&G66 placas p0D) B *8&G668*&G?&666 B 6.65555 G. Se lan'a al aire un dado noral dos #eces& a. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que la sua de los n%eros que aparecen sea de por lo enos siete-& !. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que la sua de los n%eros que aparecen sea a"or de siete-& c. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que la sua de los n%eros que aparecen sea de c/o (9io cinco-& d. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que en el prier lan'aiento apare'ca el n%ero tresSoluci/n3 a. 1o priero que $a" que $acer es definir el espacio uestral correspondiente& si $aceos uso de un diagraa de (r!ol en donde representeos el prier lan'aiento del dado " luego su segundo lan'aiento " o!tendreos lo siguiente3 05&5) 0?&5) 0&5) 0&5) 0+&5) 0G&5) 05&?) 0?&?) 0&?) 0&?) 0+&?) 0G&?) B05&) 0?&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 05&) 0?&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 05&+) 0?&+) 0&+) 0&+) 0+&+) 0G&+) 05&G) 0?&G) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G)
Coo se o!ser#a& B G eleentos cada uno de los cuales tiene la isa pro!a!ilidad de ocurrir& por lo que@ a. A B e#ento de que la sua de los n%eros que aparecen sea de por lo enos siete A B ?5 eleentos que son los que suan siete o (s 0G&5) 0+&?) 0G&?) A B 0&) 0+&) 0&) 0&) 0?&+) 0&+) 05&G) 0?&G)
0G&) 0+&) 0G&) 0&+) 0+&+) 0G&+) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G)
p0A) B ?5G B 6.+* !. : B e#ento de que la sua de los n%eros que aparecen sea a"or de siete : B 5+ eleentos& que son los que suan (s de siete& * o (s
:B
0G&?) 0+&) 0&) 0&+) 0?&G)
0G&) 0+&) 0G&) 0&+) 0+&+) 0G&+) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G)
p0:) B 5+G B 6.5GG8 c. C B e#ento de que la sua de los n%eros que aparecen sea de c/o (9io cinco C B 56 eleentos& los que suan + o enos 05&5) 0?&5) 0&5) 0&5) C B 05&?) 0?&?) 0&?) 05&) 0?&) 05&) p0C) B 56G B +5* B 6.?888* d. D B e#ento de que en el prier lan'aiento apare'ca el n%ero tres D B 0&5) 0&?) 0&) 0&) 0&+) 0&G) p0D) B GG B 5G B 6.5GGG8
E) P;O:A:I1IDAD CONDICIONA1 Sea un espacio uestral en donde se $a definido un e#ento E& donde p0E) 6& si deseaos deterinar la pro!a!ilidad de que ocurra un e#ento A 0el que ta!in es definido en el iso espacio uestral)& dado que E "a ocurri/& entonces deseaos deterinar una pro!a!ilidad de tipo condicional& la que se deterina coo se uestra@
p( A | E )
p( A Ç E ) p( E )
E Donde3
A
A E
p0A E) B pro!a!ilidad de que ocurra A dado que E "a ocurri/ p0A E) B pro!a!ilidad de que ocurra A " E a un iso tiepo p0E) B pro!a!ilidad de que ocurra E 1uego@ P ( A Ç E )
P ( E )
A Ç E d
E d
Por tanto3 P ( A | E )
A Ç E E
Donde3 A E B n%ero de eleentos counes a los e#entos A " E E B n%ero de eleentos del e#ento E 1uego entonces podeos usar cualquiera de las dos f/rulas para calcular la pro!a!ilidad condicional de A dado que E "a ocurri/. E2eplos3 5. Se lan'a al aire dos dados norales& si la sua de los n%eros que aparecen es de por lo enos siete& a. deterine la pro!a!ilidad de que en el segundo
dado apare'ca el n%ero cuatro& !. Deterine la pro!a!ilidad de que a!os n%eros sean pares& c. Deterine la pro!a!ilidad de que en el prier dado apare'ca el nuero dos. Soluci/n3 El espacio uestral es el iso que cuando se lan'a un dado dos #eces " se uestra a continuaci/n@ 05&5) 0?&5) 0&5) 0&5) 0+&5) 0G&5) 05&?) 0?&?) 0&?) 0&?) 0+&?) 0G&?) B 05&) 0?&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 05&) 0?&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 05&+) 0?&+) 0&+) 0&+) 0+&+) 0G&+) 05&G) 0?&G) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G) Para calcular una pro!a!ilidad condicional es necesario definir los e#entos A " E& siendo estos&
a. a.
A B e#ento de que en el segundo dado apare'ca el n%ero cuatro& E B e#ento de que la sua de los n%eros que aparecen sea de por lo enos siete& 0que es que es el e#ento que est( condicionando) E B ?5 eleentos& los que suan siete o (s 0G&5) 0+&?) 0G&?) E B 0&) 0+&) 0G&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 0?&+) 0&+) 0&+) 0+&+) 0G&+) 05&G) 0?&G) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G) A B G eleentos& los que en el segundo dado aparece el cuatro A B 05&) 0?&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 1uego& A E B 0&) 0&) 0+&) 0G&) & A E B eleentos Por tanto@ p0A E) B A E E B ?5 B 6.56* E B e#ento de que la sua de los n%eros que aparecen sea de por lo enos siete
b. b.
0G&5)
0+&?) 0G&?) E B 0&) 0+&) 0G&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 0?&+) 0&+) 0&+) 0+&+) 0G&+) 05&G) 0?&G) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G) A B e#ento de que a!os n%eros sean pares 0?&?) 0&?) 0G&?) A B 0?&) 0&) 0G&) 0?&G) 0&G) 0G&G)
0G&?) A E B 0&) 0G&)
A E B G eleentos
0?&G) 0&G) 0G&G) p0A E) B A E E B G ?5 B 6.?*+85 E B e#ento de que la sua de los n%eros que aparecen sea de por lo enos siete c. c.
0G&5) 0+&?) 0G&?) E B 0&) 0+&) 0G&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 0?&+) 0&+) 0&+) 0+&+) 0G&+) 05&G) 0?&G) 0&G) 0&G) 0+&G) 0G&G) A B e#ento de que en el prier dado apare'ca el n%ero dos 0?&5) 0?&?) A B 0?&) 0?&) 0?&+)
0?&G) A E B 0?&+) & 0?&G) &
A E B ? eleentos
P0A E) B A E E B ??5 B 6.6+? ?. Se seleccionan al a'ar dos n%eros de entre los n%eros del 5 al & si la sua de los n%eros que aparecen es par& a. Deterine la pro!a!ilidad de que a!os n%eros sean pares& !. Deterine la pro!a!ilidad de que a!os n%eros sean ipares. Soluci/n3 B C? B G aneras de seleccionar dos n%eros de entre nue#e que se tienen 05&?) 05&) 0?&) 05&) 0?&) 0&) B 05&+) 0?&+) 0&+) 0&+) 05&G) 0?&G) 0&G) 0&G) 0+&G) 05&8) 0?&8) 0&8) 0&8) 0+&8) 0G&8) 05&*) 0?&*) 0&*) 0&*) 0+&*) 0G&*) 08&*) 05&) 0?&) 0&) 0&) 0+&) 0G&) 08&) 0*&) a. a.
E B e#ento de que la sua de los n%eros que se seleccionan sea par
05&) 0?&) E B 05&+) 0&+) 0?&G) 0&G) 05&) 0&8) 0+&8) 0?&*) 0&*) 0G&*) 05&) 0&) 0+&) 08&) E B 5G eleentos A B e#ento de que a!os n%eros sean pares 0?&) A B 0?&G) 0&G) 0?&*) 0&*) 0G&*)
A B G eleentos 0?&) A E B 0?&G) 0&G) 0?&*) 0&*) 0G&*) A E B G eleentos & b. b.
p0A E) B A E E B G5G B 6.8+
E B e#ento de que la sua de los n%eros seleccionados es par
05&) 0?&) E B 05&+) 0&+) 0?&G) 0&G) 05&) 0&8) 0+&8) 0?&*) 0&*) 0G&*) 05&) 0&) 0+&) 08&) A B e#ento de que a!os n%eros sean ipares 05&) A B 05&+) 0&+) 05&8) 0&8) 0+&8) 05&) 0&) 0+&) 08&) A B 56 eleentos & 05&) A E B 05&+) 0&+) 05&8) 0&8) 0+&8) 05&) 0&) 0+&) 08&) A E B 56 eleentos@
p0A E)B A E E B 565G B 6.G?+
Este e2ercicio ta!in puede ser resuelto $aciendo uso de las co!inaciones@ el espacio uestral puede ser definido@
B C? B G aneras de seleccionar los dos n%eros a. a.
E B e#ento de que la sua de los n%eros seleccionados sea par
Para que la sua de dos n%eros sea par& for'osaente a!os de!en ser pares o ipares& por tanto& E B selecci/n de dos n%eros pares o de dos ipares B C? +C? A B e#ento de que a!os n%eros sean pares A B C? A E B C? B G aneras de seleccionar dos n%eros pares A E B G eleentos p0A E) B A E E B G5G B 6.8+ b. b.
E B e#ento de que la sua de los n%eros seleccionados sea par
E B C? +C? B 5G aneras de seleccionar dos n%eros de entre nue#e A B e#ento de que a!os n%eros sean ipares A B +C? B 56 aneras de seleccionar dos n%eros ipares A E B +C? B 56 p0A E B A E E B 565G B 6.G?+ . Dada la siguiente ta!la referente a la producci/n de flec$as para cai/n de carga pesada@ se inspeccionan ?66 flec$as del tipo A " :& 66 del tipo C " 66 del tipo D& a continuaci/n se presentan los resultados o!tenidos en la inspecci/n@ DEQECTO I II S 4 DEQ TOTA1
A + ?* 55* ?66
TIPO : ? 5? 5G+ ?66
Q1ECA C D 6 5+ 5 + ?G *6 66 66
TOTA1 5? + 6 5566
Si se selecciona una flec$a al a'ar " resulta que es una flec$a del tipo :& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que no tenga defectos& !. Si la flec$a seleccionada es del tipo C& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que tenga defectos del tipo II-& c. Si la flec$a seleccionada tiene defectos del tipo I& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que sea del tipo A& d. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que una
a. a.
flec$a no tenga defectos-& e. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que una flec$a tenga defectosSoluci/n3 a. Definireos los e#entos@ E B e#ento de que la flec$a seleccionada sea del tipo : B ?66 eleentos o flec$as A B e#ento de que la flec$a seleccionada no tenga defectos B eleentos
6 flec$as o
A E B 5G+ eleentos del tipo : " que no tienen defectos p0A E) B A E E B 5G+?66 B 6.*?+ b. b.
E B e#ento de que la flec$a sea del tipo C B 66 flec$as
A B e#ento de que la flec$a tenga defectos del tipo II B + flec$as A E B 5 flec$as del tipo C " que tienen defectos del II p0A E) B A E E B 566 B 6.6GG8
E B e#ento de que la flec$a tenga defectos del tipo I B 5? flec$as
c. c.
A B e#ento de que la flec$a sea del tipo A B ?66 flec$as A E B + flec$as con defectos del tipo I " del tipo A p0A E) B A E E B + 5? B 6.665 d. En este caso se trata de una pro!a!ilidad siple& "a que no $a" un e#ento que est condicionando al e#ento del cual se desea deterinar su pro!a!ilidad D B e#ento de que una flec$a no tenga defectos B 6 flec$as B 5566 flec$as p0D) B 65566 B 6.*?GG d. e).
Q B e#ento de que una flec$a tenga defectos B 5? + B 55 flec$as
B 5566 flec$as
p0Q) B 55 5566 B 6.58G
. =na pare2a de recin casados $a decidido forar una failia de solo tres $i2os& a. deterine la pro!a!ilidad de que tenga puros $i2os #arones& !. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que tenga coo (9io un $i2o #ar/n& c. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que su segundo $i2o sea #ar/n& d. Si esta failia tiene por lo enos una $i2a& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que el segundo $i2o sea #ar/n-& e. Si esta failia tiene coo (9io un $i2o #ar/n& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que tenga puras $i2asSoluci/n3 1o priero que $a" que o!tener para resol#er este pro!lea es el espacio uestral& para lo cual nos podeos a"udar con un diagraa de (r!ol en donde representeos uno tras otro el naciiento de cada uno de sus $i2os& en donde solo considerareos partos de un solo !e!& no %ltiples " se considera que e9iste la isa pro!a!ilidad de que na'ca un #ar/n o una nia. L el espacio uestral o!tenido es3 B nio < B nia B & <& <& <& <<& <<& <<& <<< a. a.
A B e#ento de que la failia tenga puros $i2os #arones
A B p0A) B 5* B 6.5?+ b. b.
: B e#ento de que la failia tenga coo (9io un $i2o #ar/n
: B ning%n $i2o #ar/n o un $i2o #ar/n B <<<& <<& <<& << p0:) B * B 5? B6.+ C B e#ento de que el segundo $i2o de la failia sea #ar/n C B & <& <& << c. c.
P0C) B * B5? B 6.+ Coo en este caso se trata de calcular una pro!a!ilidad de tipo condicional& se requiere definir dos e#entos& el e#ento E que es el que condiciona " el e#ento A@ E B e#ento de que la failia tenga por lo enos una $i2a E B tenga una o (s $i2as d. d.
E B <& <& <& <<& <<& <<& <<< B 8 eleentos A B e#ento de que el segundo $i2o sea #ar/n A B & <& <& << A E B <& <& << B eleentos 1uego@ p0A E) B A E E B 8 B 6.?*+8 E B e#ento de que la failia tenga coo (9io un $i2o #ar/n A B e#ento de que la failia tenga puras $i2as e. e.
E B <<<& <<& <<& << B eleentos A B <<< A E B <<< B 5 eleento P0A E) B A E E B 5 B 6.?+ +. Seg%n las estadísticas& la pro!a!ilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 6.8& ientras que la pro!a!ilidad de que ponga aceite al otor es de 6.55 " la pro!a!ilidad de que ponga gasolina " aceite al otor es de 6.6G& a. Sí un auto carga gasolina& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que ponga aceite-& !. Sí un auto pone aceite al otor& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que ponga gasolinaSoluci/n3 a. a.
E B e#ento de que un auto cargue gasolina
p0E) B 6.8 A B e#ento de que un auto ponga aceite al otor P0A) B 6.55 A E B e#ento de que un auto ponga gasolina " aceite p0A E) B 6.68 p0A E) B p0A E)p0E) B 6.68 6.8 B 6.6**5 b.
E B e#ento de que un auto ponga aceite al otor
P0E) B 6.55
A B e#ento de que un auto ponga gasolina P0A) B 6.8 A E B e#ento de que un auto ponga aceite al otor " ponga gasolina P0A E) B 6.68 P0A E) B p0A E) p0E) B 6.686.55 B 6.GGG G.4 1a pro!a!ilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la priera edia $ora de recorrido es de 6.+*& la pro!a!ilidad de que ca!ie de neu(ticos en esa priera edia $ora de recorrido es de 6.5G& la pro!a!ilidad de que cargue gasolina " ca!ie de neu(ticos en la priera edia $ora de recorrido es de 6.6+& a. ,Cu(l es la pro!a!ilidad de que cargue gasolina o ca!ie de neu(ticos en la priera edia $ora de recorrido-& !. ,cu(l es la pro!a!ilidad de que no cargue co!usti!le " de neu(ticos en la priera edia $ora de recorrido& c. Si el auto ca!ia de neu(ticos en la priera edia $ora de recorrido& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que cargue co!usti!le ta!in-& d. Si el auto carga co!usti!le en la priera edia $ora de recorrido& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que ca!ie de neu(ticos ta!inSoluci/n3 A B e#ento de que cargue gasolina en la priera edia $ora de recorrido
a. a.
P0A) B 6.+* : B e#ento de que ca!ie de neu(ticos en la priera $ora de recorrido P0:) B 6.5G A : B e#ento de que cargue co!usti!le " ca!ie de neu(ticos en la priera $ora de recorrido P0A :) B 6.6+ P0cargue gasolina o ca!ie de neu(ticos) B p0A :) B p0A) p0:) p0A :) B 6.+* 6.5G 6.6+ B 6.G p0 no cargue co!usti!le " no ca!ie de neu(ticos) B 5 p0A :) B 5 6.G B 6.5
b. b.
E B e#ento de que el auto ca!ie de neu(ticos en la priera edia $ora de recorrido
c. c.
A B e#ento de que el auto cargue co!usti!le en la priera edia $ora de recorrido
p0A E) B p0A E) p0E) B 6.6+6.5G B 6.5?+ E B e#ento de que el auto cargue co!usti!le en la priera edia $ora de recorrido
d. d.
A B es el e#ento de que el auto ca!ie de neu(ticos en la priera edia $ora de recorrido p0A E) B p0A E)p0E) B 6.6+6.+* B 6.6*G?5
Q) TEO;E
p( A Ç E ) p( E )
despe2ando& p0A E) B p0E)p0A E) Teorea de la ultiplicaci/n para pro!a!ilidad condicional donde3 p0A E) B pro!a!ilidad de que ocurran A " E p0E) B pro!a!ilidad de que ocurra E p0A E) B pro!a!ilidad de que ocurra el e#ento A dado que el e#ento E "a ocurri/ E2eplos3 5. En un lote de producci/n $a" ?+ productos& + de los cuales tienen defectos enores " tienen defectos a"ores& si se toan de este lote tres productos uno tras otro& deterine la pro!a!ilidad de que3 a. El prier producto no tenga defectos " que el segundo " tercero tengan defectos a"ores& !. El prier producto tenga defectos enores& el segundo tenga defectos a"ores " que el tercero no tenga defectos& c. El prier producto " el tercero no tengan defectos. Soluci/n3 a. a.
Definireos algunos e#entos@
:5 B e#ento de que el prier producto seleccionado no tenga defectos D
D< B e#ento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos a"ores p0:5 D
B055?+)0?)0*?) B 6.6.8+6.8*?G B 6.6+8XXXXX..
final
D5B e#ento de que el prier producto seleccionado tenga defectos enores
b. b.
D
:5 B e#ento de que el prier producto seleccionado no tenga defectos
:? B e#ento de que el segundo producto seleccionado no tenga defectos D? B e#ento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos enores D
055?+)0+?)056?)
B06.)06.5GGG)06.56) 06.)06.?6*)06.8*) 06.)06.8+) 06.8*) B 6.6858 6.6*+ 6.6858
B 6.5*? ?. Doce personas 0G u2eres& $o!res " dos nios) reali'an un paseo en un pequeo auto!%s& al llegar a cierto lugar& !a2an del auto!%s cuatro personas una tras otra& deterine la pro!a!ilidad de que@ a. 1a priera " segunda persona que !a2en sean u2eres& el tercero sea un nio " por %ltio !a2e un $o!re& !. 7ue !a2e un nio& luego un $o!re& luego otro nio " por %ltio que !a2e una u2er& c. 7ue !a2e una u2er& luego un $o!re& despus otra u2er " por %ltio otro $o!re. Soluci/n3 a.
<5 B e#ento de que !a2e del auto!%s priero una u2er
P0<5
N5 B e#ento de que !a2e en prier lugar un nio
? B e#ento de que !a2e en segundo lugar un $o!re N B e#ento de que !a2e en tercer lugar un nio < B e#ento de que !a2e en cuarto lugar una u2er p0N5 ? N <) B p0N5)p0? N5)p0N N5 ?)p0< N5 ? N) B B 0?5?)055)0556)0G) B *55&**6 B 6.666 b. c.
<5 B e#ento de que !a2e en prier lugar una u2er
? B e#ento de que !a2e en segundo lugar un $o!re < B e#ento de que en tercer lugar !a2e una u2er B e#ento de que en cuarto lugar !a2e un $o!re
p0<5 ? < ) B p0<5)p0? <5)p0< <5 ?)p0 <5 ? <) B 0G5?)055)0+56)0) B G655&**6 B 6.66 ) TEO;E
d
#3
:
#2
#4
#n
1uego si ocurre un e#ento : definido en & o!ser#aos que@ 0A5 :) 0A? :) 0A :) ..... 0An
: B :)
: B 0 A5 A? A ..... An) : B
Donde cada uno de los e#entos A i : son e#entos utuaente e9clu"entes& por lo que p0:) B p0A5 :) p0A? :) p0A :) ...... p0An :) " coo la p0A i :) B p0Ai)p0: Ai) & o sea que la pro!a!ilidad de que ocurra el e#ento Ai " el e#ento : es igual al teorea de la ultiplicaci/n para pro!a!ilidad condicional& luego@ p0:) B p0A5)p0: A5) p0A?)p0: A?) p0A)p0: A) p0An)p0: An) Si deseaos calcular la pro!a!ilidad de que ocurra un e#ento A i dado que : "a ocurri/& entonces@
P ( Ai | B )
p( Ai Ç B ) p( B )
p( Ai ) p( B Ai ) p( A1 ) p( B A1 ) p( A2 ) p( B A2 ) .... p( An ) p( B An )
1a e9presi/n anterior es el teorea de :a"es& que coo se o!ser#a es una siple pro!a!ilidad condicional. E2eplos3
Tres (quinas denoinadas A& : " C& producen un Y& ?GY " 5Y de la producci/n total de una epresa respecti#aente& se $a detectado que un *Y& ?Y " 5.GY del producto anufacturado por estas (quinas es defectuoso& a. Se selecciona un producto al a'ar " se encuentra que es defectuoso& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que el producto $a"a sido fa!ricado en la (quina :-& !. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que $a"a sido fa!ricado en la (quina C-
1. 1.
Soluci/n3 Para resol#er este pro!lea nos a"udareos con un diagraa de (r!ol@
*Y
D
Y A ?Y ND ?GY :
?Y D *Y ND
5Y C
5.GY D
*.Y ND
a. a.
Definireos los e#entos@
D B e#ento de que el producto seleccionado sea defectuoso 0e#ento que condiciona) A B e#ento de que el producto sea fa!ricado en la (quina A : B e#ento de que el producto sea fa!ricado por la (quina : C B e#ento de que el producto sea fa!ricado por la (quina C P0: D) B p0: D)p0D) B p0:)p0D :) 0p0A)p0D A) p0:)p0D :) p0C)p0D C)) P0: D) B 06.?G6.6?)06.6.6* 6.?G6.6? 6.56.65G) B 6.66+?6.6+G
B6.55GG8
ND B e#ento de que el producto seleccionado no sea defectuoso 0e#ento que condiciona)
b. b.
A B e#ento de que el producto sea fa!ricado en la (quina A : B e#ento de que el producto sea fa!ricado por la (quina : C B e#ento de que el producto sea fa!ricado por la (quina C
P0C ND)Bp0C ND)p0ND)Bp0C)p0ND C)p0A)p0ND A) p0:)p0ND :) p0C)p0ND C) B 6.56.*06.6.? 6.?G6.* 6.56.*) B 6.6+66.++
B6.5?8 =na epresa reci!e #isitantes en sus instalaciones " los $ospeda en cualquiera de tres $oteles de la ciudad@ Palacio del Sol& Sicooros o Qiesta Inn& en una proporci/n de 5*.+Y& ?Y " .+Y respecti#aente& de los cuales se $a tenido inforaci/n de que se les $a dado un al ser#icio en un ?.*Y& 5Y " Y respecti#aente& a. Si se selecciona a un #isitante al a'ar ,cu(l es la pro!a!ilidad de que no se le $a"a dado un al ser#icio-&!. Si se selecciona a un #isitante al a'ar " se encuentra que el no se que2/ del ser#icio prestado& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que se $a"a $ospedado en el Palacio del Sol-& c. Si el #isitante seleccionado se que2/ del ser#icio prestado& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que se $a"a $ospedado en e $otel Qiesta Inn-
2. 2.
3.
Soluci/n3 aciendo uso de un diagraa de (r!ol@ ?.*Y 7 5*.+Y
PS 8.?Y N7 5.6Y 7
?Y
S .6Y N7 .6Y 7
.+Y
QI G.6Y N7
a. a.
N7 B e#ento de que un #isitante no se que2e del ser#icio
PS B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Palacio del Sol S B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Sic/oro QI B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Qiesta Inn P0N7) B p0PS)p0N7 PS) p0S)p0N7 S) p0QI)p0N7 QI) B B 6.5*+6.8? 6.?6. 6.+6.G B 6.58*? 6.5G* 6.8+? B 6.85*? b. b.
N7 B e#ento de que un #isitante no se que2e del ser#icio
PS B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Palacio del Sol S B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Sicooro QI B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Qiesta Inn
P0PS N7)Bp0PS N7)p0N7) B06.5*+6.8?)06.5*+6.8?6.?6.6.+6.G)B B 6.58*?06.58*? 6.5G* 6.8+?) B 6.58*?6.85*? B 6.5*+6?
c. c.
7 B e#ento de que un #isitante se que2e del ser#icio
QI B e#ento de que un #isitante $a"a sido $ospedado en el $otel Qiesta Inn
P0QI 7) B p0QI 7)p07) B 6.+6.606.5*+6.6?* 6.?6.65 6.+6.6) B6.65*0 6.66+5* 6.66? 6.65*) B 6.65*6.6?*5* B 6.86?G
I) INDEPENDENCIA Se dice que un e#ento : es independiente de un e#ento A& si p0: A) B p0:)& esto quiere decir que la pro!a!ilidad de que ocurra : no es afectada por la ocurrencia del e#ento A& la e9presi/n anterior se puede sustituir en el teorea de la ultiplicaci/n para pro!a!ilidad condicional&
p0A :) B p0A)p0: A) B p0A)p0:) 1uego& p0A :) B p0A)p0:)
Concepto de independencia
Si la e9presi/n anterior se cuple& podeos decir que los e#entos A " : son independientes. E2eplos3 Prue!as repetidas e independientes. Sea el espacio uestral del lan'aiento de una oneda tres #eces& B AAA& AAS& ASA& ASS& SAS& SAA& SSA& SSS Donde cada uno de los eleentos de este espacio uestral est( forado por tres prue!as repetidas e independientes que son los tres lan'aientos de la oneda& si deseaos deterinar la pro!a!ilidad de cada uno de los eleentos& nos encontrareos con lo siguiente@ p0AAA)Bp0A5 A? A)Bp0A5)p0A? A5)p0A A5 A?)Bp0A)p0A)p0A) B5?5?5?B5* p0AAS) B p0A)p0A)p0S) B5?5?5? B5* p0ASA) B p0A)p0S)p0A) B 5?5?5? B 5* etc& etc. Con lo anterior se coprue!a que efecti#aente la pro!a!ilidad de cada uno de los eleentos del espacio uestral descrito anteriorente es de 5* coo se considera!a cuando se calcula!an pro!a!ilidades para un espacio finito equipro!a!le. E2eplos3 =n equipo de f%t!ol soccer tiene una pro!a!ilidad de ganar de 6.G& una pro!a!ilidad de epatar de 6. " una pro!a!ilidad de perder de 6.5& si este equipo participa en dos 2uegos la seana pr/9ia& deterine la pro!a!ilidad de que@ a. Fane el segundo 2uego& !. Fane a!os 2uegos& c.
1. 1.
Fane uno de los 2uegos& d. Fane el prier 2uego " epate el segundo. 6.GF 6.G F 6.
6. E 6.5 P 6.G F 6. E 6.5 P
E
6.5 P
6.GF 6. E 6.5 P
El espacio uestral sería3 B FF& FE& FP& EF& EE& EP& PF& PE& PP Por lo que3 p0gane el segundo 2uego) B p0FF& EF& PF) B 06.G)06.G) 06.)06.G) 06.5)06.G) B
a. a.
B 6.G 6.5* 6.6G B 6.G b. b.
p0gane a!os 2uegos) B p0FF) B 06.G)06.G) B 6.G
p0gane uno de los 2uegos) B p0FE& FP& EF& PF) B 06.G)06.) 06.G)06.5) 06.)06.G) 06.5)06.G)
c. c.
B 6.5* 6.6G 6.5* 6.6G B 6.* d. d.
p0gane el priero " epate el segundo) B p0FE) B 06.G)06.) B 6.5*
?.=n !o9eador gana * de cada 56 peleas en las que copite& si este !o9eador participar( en tres peleas en los pr/9ios seis eses& deterine la pro!a!ilidad de que@ a. Fane dos de las peleas& !. Si gana dos de las peleas& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que sean la priera " tercera peleas-& c. Fane la segunda pelea. 6.* F 6.* F *56 B 6.* F
6.? P
6.? P 6.* F
6.? P 6.? P
6.*F 6.? P
6.? P 6.* F 6.* F
6.? P Del diagraa anterior o!teneos el siguiente espacio uestral@ B FFF. FFP& FPF& FPP& PFF& PFP& PPF& PPP a. p0gane dos de las peleas) B p0FFP& FPF& PFF) B 06.*)06.*)06.?) 06.*)06.?)06.*) 06.?)06.*)06.*) B 6.5?* 6.5?* 6.5?* B 6.* !. E B e#ento de que gane dos peleas E B FFP& FPF& PFF & p0E) B 6.* A B e#ento de que gane la priera " la tercer pelea AB FFF& FPF A : B FPF & p0A :) B 06.*)06.?)06.*) B6.5?* P0A E) B p0A E) p0E) B 6.*6.5?*B 6. c. p0gane la segunda pelea) B p0FFF& FFP& PFF& PFP) B 06.*)06.*)06.*) 06.*) 06.*)06.?) 06.?)06.*)06.*) 06.?)06.*)06.?) B 6.+5? 6.5?* 6.5?* 6.6?B 6.* .Tres $o!res tiran a un !lanco& A tiene 5 de posi!ilidades de acertar al !lanco& : tiene 5? de posi!ilidades de acertar " C tiene 5 de posi!ilidades de pegar al !lanco& si cada uno de ellos $ace un solo disparo& deterine la pro!a!ilidad de que@ a. Solo uno de ellos acierte al !lanco& !. Si solo uno de ellos acierta al !lanco& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que acierte A-& c. Deterine la pro!a!ilidad de que ninguno acierte al !lanco. Soluci/n3 aciendo uso de un diagraa de (r!ol se o!tiene el siguiente espacio uestral@
BZA:C& A:C[& A:[C& A:[C[& A[:C& A[:C[& A[:[C& A[:[C[\
donde3 A B acierta A& A[B no acierta A& : B acierta :& :[B no acierta :& etc.& etc. p0solo uno de ellos acierte al !lanco) B p0A:[C[& A[:C[& A[:[C) B 55? ?5? ?5?5 B ? G? ?? B 55? B 6.+* a. a.
E B e#ento de que solo uno de ellos acierte al !lanco
E B ZA:[C[& A[:C[& A[:[C\@
p0E) B55?
A B e#ento de que A acierte al !lanco B Z A:C& A:C[& A:[C& A:[C[\ A E B Z A:[C[\ B 55? B ? p0A E)B p0A E)p0E) B 0?)055?) B 55 B 6.?8?8 b. b.
p0ninguno acierte al !lanco) B p0A]:]C]) B ?5? B G? B 6.?+
J)P;O:1E
rB+
+. Si A " : son e#entos utuaente e9clu"entes& p0A)B 6.? " p0:)B6.& deterine& a. p0A])& !. p0A :)& c. p0A :])& d. P0A] :]). rB a.6.85 !.6.8? c.6.? d.6.?* G. =n departaento de policía necesita nue#os neu(ticos para sus patrullas& " e9isten 6.58& 6.??& 6.6& 6.?& 6.?5 " 6.6* de pro!a!ilidades de que adquiera neu(ticos de las siguientes arcas3 =niro"al& Food"ear& ancou#er. Si dos de las partes se descargan por error en P/rtland " la ^selecci/n_ es aleatoria& ,qu pro!a!ilidades $a" de que a. a!as partes de!ieran de $a!er llegado a Seattle&
!. a!as partes de!ieran de $a!er llegado a >ancou#er& c. una de!iera $a!er llegado a Seattle " la otra a >ancou#er. rBa.+ !. 855* c.+55* 5. En una planta electr/nica& se sa!e por e9periencia que la pro!a!ilidad de que un o!rero de nue#o ingreso que $a"a asistido al prograa de capacitaci/n de la copaía& cupla la cuota de producci/n es de 6.*G " que la pro!a!ilidad correspondiente de un o!rero de nue#o ingreso que no $a asistido a dic$o curso de capacitaci/n es de 6.+. Si *6Y de la totalidad de los o!reros de nue#o ingreso asisten al curso de capacitaci/n& ,qu pro!a!ilidad e9iste de que un tra!a2ador de nue#o ingreso cupla la cuota de producci/nrB6.8+* 5. =na epresa consultora renta auto/#iles de tres agencias& ?6Y de la agencia D& ?6Y de la agencia E " G6Y de la agencia Q. Si 56Y de los autos de D& 5?Y de los autos de E " Y de los autos de Q tienen neu(ticos en al estado& ,cu(l es la pro!a!ilidad de que la epresa reci!a un auto con neu(ticos en al estado rB6.6G* 5+. Si cada artículo codificado en un cat(logo epie'a con tres letras distintas " continua con dígitos distintos de cero& encuentre la pro!a!ilidad de seleccionar aleatoriaente uno de los que epie'a con la letra a " tiene un par coo %ltio dígito. ;B 56558 5G. 1a pro!a!ilidad de que una industria estadounidense se u!ique en
