Llogaritje Gjeodezike Ueb

SASHENKA AVRAMI

LLOGARITJE GJEODEZIKE

Teksti është miratuar dhe financuar nga Ministria e Arsimit dhe e Shkencës.

Botues: Shtëpia Botuese e Teksteve Mësimore (BOTEM) Adresa: Rruga e Durrësit, Nr. 219, Tiranë, Shqipëri : + 355 4 2225659; [email protected]

Redaktor letrar: Spartak Kumbaro (Drini) Arti grafik:

PËRMBAJTJA Parathënie

5

TEMA I TEKNIKA E LLOGARITJEVE GJEODEZIKE GJEODEZIKE I.1. I.2. I.3. I.4. I.5. I.6. I.7.

Njohuri të përgjithshme Rrumbullakimi i numrave Llogaritja me numra të përafërt Llogaritja dhe kontrolli i veprimeve aritmetike Mjetet e llogaritjeve Makinat llogaritëse. Përshkrimi dhe përdorimi i tyre për katër veprime me vlerat natyrore dhe ato logaritmike Rastet e zgjidhjes së trekëndëshave

TEMA II FORMULAT THEMELORE TË LLOGARITJEVE GJEODEZIKE

6 6 7 8 9 17 22

TEMA V NJOHURI MBI TEORINË E GABIMEVE V.1. V.2. V.3. V.4. V.5.

Klasifikimi i gabimeve në matje Gabimet që karakterizojnë saktësitë e vlerave të matura Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të njëjta Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të ndryshme Vrojtimet dyshe

51 52 53 56 57

TEMA VI NDËRPLOTËSIMI DHE VLERËSIMI I LLOGARITJEVE GJEODEZIKE VI.1. VI.2. VI.3. VI.4. VI.5. VI.6. VI.7.

Njohuri mbi ndërplotësimet Njohuri mbi ndërplotësimin e rrjeteve të triangulacionit Ndërplotësimi i drejtimeve (këndeve) Ndërplotësimi i një pike nyje nyje me tri poligone të hapura. hapura. Vlerësimi Vlerësimi Ndërplotësimi i grupit grupit të poligoneve të mbyllurA Ndërplotësimi i një rrjeti të mbështetur në dy baza të forta Ndërplotësimi i sistemit qendror

58 58 61 62 67 75 79

PARATHËNIE Teksti “Llogaritje gjeodezike”  botohet për klasën XI të degës gjeodezi të shkollës së mesme të ndërtimit dhe është hartuar nga inxhinierja Sashenka Avrami sipas programeve të hartuara prej saj dhe të aprovuara nga Ministria Arsimit dhe e Shkencës, si dhe nga Agjencia Kombëtare e Arsimit dhe e Formimit Profesional. Ky tekst u përshtat për shkollën e mesme nga autorja në fjalë, duke u mb ështetur në literaturën e autorëve shqiptarë dhe të huaj. Materiali është i ndarë në shtatë tema, ku janë përmbledhur të gjitha problemet gjeodezike dhe detyrat, duke filluar nga teknika e llogaritjeve t ë  thjeshta gjeodezike (tabelat logaritmike, mjetet grafike, makinat llogaritëse), m ënyrat e llogaritjes së koordinatave, llogaritjet gjeodezike me ndërplotësim, vlerësimi i llogaritjeve gjeodezike dhe njohuri mbi teorinë e gabimeve. Në tekst janë dhënë shembuj të zgjidhur të 18 detyrave të kësaj lënde. Katër temat e para janë ripunim i tekstit ekzistues “Llogaritje g jeodezike 1 ”, botuar në vitin 1992 nga Shtëpia Botuese e Librit Shkollor, ku autorë ishin inxh. Sashenka Avrami dhe inxh. Spiro Boçi. Tri temat e tjera botohen për herë të parë dhe janë mbështetur në librin me titull “Manuali i gjeodezisë 1 dhe 2”.

TEMA I TEKNIKA E LLOGARITJEVE GJEODEZIKE I.1. Njohuri të përgjithshme  Njerëzit janë marrë me llogaritje numerike që në kohët e lashta. Në bashkësinë primitive, njeriu ishte i detyruar të numëronte pjesëtarët e fisit, gjahun etj. me anën e gishtave të dorës. Prodhimi i të mirave materiale, zhvillimi i shkencës dhe i teknikës bëri të mundur që llogaritjet të kryheshin me mjete të mekanizuara. Përpjekja e parë për të mekanizuar llogaritjet numerike nxori gurët e vegjël. Më vonë u ndërtua numëratori me kokrra. Fjala kalkulim do të thotë gur i vogël . Sistemi dhjetor në numëratorin me kokrra, që përdoret në shkollën fillore, i lehtëson shumë veprimet me numra. Një kokërr në rreshtin e parë është e barabartë me 10 kokrra të rreshtit të dytë, kurse një kokërr e rreshtit të dytë është e barabartë me 10 kokrra të rreshtit të tretë dhe kështu me radhë. Për të mbledhur dy numra, p.sh. numrin 1271 me numrin 381 , veprohet kështu: në rreshtin e  parë lëvizet në të djathtë 1  kokërr, në të dytën 2 , në të tretin 7 dhe në të katërtin 1 kokërr. Pastaj në të katërtin lëvizet 1  kokërr, në të tretin duhet të lëvizen 8  kokrra. Por meqë aty ka vetëm 3 , hiqen 2  kokrra nga të shtatat dhe në rreshtin e dytë, në vend të dy kokrra, lëvizen 3   kokrra, pra, rezultati 1652   regjistrohet me kokrra në anën e djathtë të numëratorit.  Numrat që përdoren sot njiheshin që në shekullin V   dhe quheshin numra arabë, kurse në Evropë u  përdorën për herë të parë në shekullin XVI , kur numrat arabë zëvendësuan ata romakë. Në vend të

 pandryshuar, në të kundërtën rritet me një njësi. P.sh.: numri 3.14159   i rrumbullakosur në të qindtat do të jetë 3.14 , kurse në të mijtat 3.141   etj. Kur shifra është 5 njësi, rrumbullakosja bëhet duke e lënë shifrën para saj, kur numri është çift, lihet e  pandryshuar, kurse kur është tek, e rrisim me një njësi. P.sh.: 4.06•2.7=11.1650 , që i rrumbullakosur në të qindtat do të jetë 11.16, ku rse 10.50•3.63=38.1150 , që i rrumbullakosur në të qindtat do të jetë 38.12.

I.3. Llogaritja me numra të përafërt Kur llogarisim me numra të përafërt të dalë nga matjet, edhe rezultatet e dala do të kenë gabime. Prandaj llogaritjet bëhen sipas disa rregullave të caktuara, të thjeshta e të shpejta, por pa e humbur saktësinë e duhur. a) M bl edhja dh e zbritj a me numr a tëpë raf ë rt

Ushtrimi-1: Të mblidhen numrat e përafërt: 22.2+7.6+5.2+0.8=35.8≈36 .  Në këtë rast, gabimi i çdo numri është 0.05, si përfundim edhe gabimi i shumës nuk është më i madh se 0.05•4=0.2. Kjo tregon se shifra e fundit e shumës është e dyshimtë (dhe duke ditur se shifrat e fundit rezervë hiqen nga rezultati përfundimtar, rezultatin e nxjerrë e rrumbullakosim në 36 ). Ushtrimi-2: Të mblidhen numrat e përafërt: 30.4+5.36+0.374+0.0322=36.16662.  Numri më pak i saktë në këta numra është 30.4, sepse shifra e të qindtave nuk është e njohur. Edhe në shumën e kërkuar, shifra e të qindtave mbetet e dyshimtë, prandaj mbledhjen do ta bëjmë deri në të qindtat dhe do ta rrumbullakosim në të dhjetat: 30.40+5.36+0.37+0.03=36.16≈36.2. Ushtrimi-3: Të mblidhen numrat e përafërt: 14.475+14.47+215.8=243 .27≈243.3.

 Nga shumëzimet e mësipërme vetëm dy shifrat e para janë të sakta aq sa shifra përmban numri me më pak shifra. Duke respektuar rregullën e rrumbullakosjes, përfundimisht produktin e shumëzimit duhet ta pranojmë: P=0.374•0.31=0.11594≈0.12 c) Pjesë timi i numr ave tëpë rafë rt

Ushtrimi 7: Sa shifra të sakta do të kemi në herësin e pjesëtimit: 326:57.9=5.63039? Le të shohim kufijtë në të cilët ndodhet herësi i pjesëtimit: -kufiri i poshtëm: 325.5: 57.95=5.616  -kufiri i sipërm: 326.5: 57.85=5.643 Vlera është 5.63. -kufiri i gabimit: (5.643-5.616)0.5=0.014 Si përfundim del se herësi e ka shifrën e të qindtave të pasigurt. Edhe nëse e rrumbullakosim, duhet të pranojmë: 326 : 57.9=5.63 Ushtrimi 8: Të pjesëtohet numri i përafërt 3217.5: 8.6. Të pjesëtuarin e rrumbullakosim deri në tri shifra dhe te herësi mbajmë dy shifra të sakta: 3220: 8.6=374.429≈374 Duke u bazuar në këta shembuj, gjatë llogaritjes me numra të përafërt duhet të kemi parasysh këto rregulla: 1. Para llogaritjes duhet të saktësojmë se cilat të dhëna janë të sakta dhe cilat të përafërta. 2. Numrat e përafërt duhet të rrumbullakosen duke lënë në ta vetëm shifrat e sakta dhe jo më shumë se një shifër rezervë. 3. Gjatë mbledhjes dhe zbritjes së numrave të përafërt me njësi dhjetore të ndryshme ne duhet të shohim numrin që ka më pak shifra pas presjes dhe pastaj të gjitha numrat e tjerë që marrin pjesë në llogaritje i rrumbullakosim me n+1  shifra pas presjes. Pas veprimeve pranojmë n  shifra pas presjes.

98 217 9+8+2+1+7=27 2+7=9 45 132 4+5+1+3+2=15 1+5=6 ---------------------------------------------------------53 085 5+3+0+8+5=21 2+1=3 Zbritja vertikale 9 – 6=3 na del e njëjtë me atë horizontale 3. zimi i n umr ave  c) Shu më . Ai bazohet në mbledhjen e shifrave në të dyja numrat, produkti i të cilave duhet të dalë i barabartë me numrin që del nga mbledhja e shifrave në rezultat: 5314 5+3+1+4=13 1+3=4 375 3+7+5=15 1+5=6 x --------------------------------------------------26570 24 → 2+4=6 27198 15942 -------------1+9+9+2+7+5+0=33 → 3+3= 6 1 992 750 6•4=24 Kontrolli: 2+4=6  d) Pjesë timi i numr ave  . Ai bazohet në mbledhjen e shifrave të dy numrave që pjesëtohen, si dhe në ato të rezultatit: 41 374: 14 Mbledhim shifrat 28 2 955 ----------2955 2+9+5+5=21 → 2+ 1=3 133 126 14 1+4=5

Shembulli 1. Të gjenden funksionet trigonometrike sin, cos, tg, cotg  të këndit 33˚31'32" .  Në faqen e tabelës së funksioneve trigonometrike gjejmë vlerën e dy sinuseve të dy këndeve të mëposhtëm: sin 33˚31'30"=0.552058 dhe sin 33˚31'40"=0.552099 Është e qartë se vlera e sinusit të këndit 33˚31'32"  do të ndodhet midis vlerës së sin 33˚31'30" dhe vlerës së sin 33˚31'40", prandaj mund të bëjmë interpolimin me rregullën e treshit, duke arsyetuar  kështu: Meqë  për  intervalin  prej 10"  diferenca e dy funksioneve të gjetura është: D=0.5520990.552058=0.000041,  ose shkurt d=41, atëherë për 2" kjo diferencë do të jetë D1=x.  Nga kjo rregull nxjerrim se:  D1=

2 ''  D 10

=

2 ''  41 10

=

82 10

=8.2≈8

Meqë vlerat funksioneve të sinusit rriten me rritjen e këndit, atëherë vlerës së funksionit të sin 33˚31'30"=0.552058 i shtojmë 8  njësi në shifrën e gjashtë pas pikës dhjetore, kështu për sin 33˚31'32"kemi: sin 33˚31'30"+8=0.552058+8=0.552066 . Kështu veprojmë për cos, tg dhe cotg, vetëm se për tg dhe cotg ndryshimet e llogaritura d nuk u shtohen vlerave të funksioneve, por u zbriten. Kjo bëhet sepse me rritjen e këndeve, vlerat e këtyre funksioneve zvogëlohen. Shembulli 2. Njohim vlerën e funksionit trigonometrik dhe duhet të gjejmë këndin. P.sh. është dhënë  sin α=0.552271 dhe duam të gjemë se cilit kënd i përkon kjo vlerë . Për këtë veprojmë kështu: a-Nga tabela e logaritmeve (pikërisht aty ku janë dhënë vlerat e sinuseve) gjejmë më parë dy vlera të sinuseve të këndeve (në gradë, në minuta e në sekonda) që janë të përafërta me vlerën sinusit të këndit të dhënë, pra me vlerën 0.552271: sin 33˚31'20"=0.552260 dhe sin 33˚31'30"=0.552301.  b-Gjejmë ndryshimin ndërmjet vlerave të sapogjetura të të dyja funksioneve të sinuseve:  D=0.552301 0.552260=0.000041, ose shkurt D=41. Gjithashtu gjejmë edhe ndryshimin D

4-Për një bazë a>1, logaritmet e numrave më të mëdhenj se 1dhe logaritmet e numrave ndërmjet 0 dhe 1 janë negative. P.sh.: log 10100=2 ose thjesht 2, kurse log 10(0.01)= 2. 5-Për një bazë 01, numrit më të madh i përgjigjet logaritmi më i madh.  Nëse baza a<1, ngjet e kundërta. Bashkësia e logaritmeve së të gjithë numrave pozitivë të marrë me të njëjtën bazë, formon atë që quhet ndryshe sistemi i logaritmeve. Zakonisht përdoren dy sisteme logaritmesh: a-Sistemi i logaritmeve natyrore (me bazë numrin irracional të Neperit e=2.7192818...), që shënohet me simbolin ln (që do ta shohim më poshtë).  b-Sistemi i logaritmeve dhjetore (me bazë numrin 10) që quhet logaritme të Brigsit, që shënohet me simbolin log (që e pamë më sipër). Me marrëveshje është pranuar që për shënimin e logaritmeve dhjetore përdoret zakonisht simboli log, pa e shënuar numrin 10 të bazës. Kështu me simbolin log b duhet kuptuar log10 b. Kal imi nga n jësistem l ogaritm esh nënjëtjetë r

Logaritmi i numrit b me bazë a është i barabartë me logaritmin e të njëjtit numër b me një bazë tjetër c, por të pjesëtuar me logaritmin e numrit a (që ishte baza e logaritmit të numrit b) me bazë numrin c: loga b=logc b/logca Për a=10 dhe për c=e (numri i Neperit), kemi: log 10 b=loge b/logea ose logb=ln b•(1/ln 10).  Numri M=(1/ln 10)=0.4342945... quhet moduli i shndërrimit të logaritmeve: log x=0.4342945 10•ln x.

Shembull 1 Janë dhënë numrat 12; 493; 6169; 292.23 dhe duam të gjejmë logaritmet e tyre. Le të gjejmë log 12. Dimë se karakteristika e tij është 1, kurse mantisën e tij e gjejmë në faqen 2 të tabelës së logaritmeve (numrave që duam t’u gjejmë mantisën janë dhënë në shtyllën me mbishkrimin  N), ku janë dhënë mantisat e logaritmeve dhjetore të numrave 1-99. Kjo mantisë është 07918. Atëherë log 12=1.07918. Kështu veprojmë edhe për numrat e tjerë të plotë 3- (pra për rastin tonë për numrin 493), 4-shifrorë (në rastin tonë për numrin 6169), si dhe për numrin jo të plotë 292.23. Pra: -log 493=2.69285; log 6169=3.79021 dhe log 292.23=≈2.46568 (sipas teoremës së mantisës, mantisa e logaritmit dhjetor të numrit jo të plotë 292.23 është e barabartë me mantisën e logaritmit dhjetor të numrit të plotë 29 223, por mund të merret afërsisht e barabartë me mantisën e logaritmit dhjetor të numrit 29220, që është 46568). Për të gjetur karakteristikën e logaritmit dhjetor të një numri, zbatohen dy rregullat e mëposhtme: a-Karakteristika e logaritmit të një numri më të madh se numri 1 është e barabartë me numrin e shifrave të pjesës së plotë të tij minus 1. P.sh., karakteristika dhjetore e numrit 5432 është 3 (4-1), sepse ky numër është me 4 shifra të pjesës së plotë të tij, kurse karakteristika e numrit 543.2 është 2 (3-1), sepse ky numër është me 3 shifra të pjesë së plotë të tij (që është 543), karakteristika e numrit 54.32 është 1 (2-1), sepse ky numër është me 2 shifra të pjesë së plotë të tij (që është 54) dhe karakteristika e numrit 5.432 është 0 (1-1), sepse ky numër është me 1 shifër të pjesë së plotë të tij (që është 5). b-Karakteristika e logaritmit dhjetor të një numri pozitiv më të vogël se numri 1 është n (minus n), ku n është numri i zerove që gjenden përpara shifrës së parë me vlerë, duke futur edhe zeron që është përpara presjes dhjetore. P.sh., karakteristika e logaritmit dhjetor të numrit 0.35 është minus 1 (-1), sepse aq është edhe numri i zerove që gjenden përpara shifrës së parë me vlerë, që në rastin tonë është numri 3, kurse karakteristika e logaritmit dhjetor të numrit 0.035 është minus 2

-M e anë n e tabel ë s së dytëmund tëzgj idhen kë to dy probl ema: 

I. Është dhënë funksioni trigonometrik i një këndi, të gjendet logaritmi i funksioneve trigonometrike (sin, cos, tg.ctg) të këtij këndi (shih shembullin I). II. Është dhënë logaritmi i një funksioni trigonometrik të një këndi, të gjendet ky kënd (shih shembullin II). Shembulli I Janë dhënë funksionet trigonometrike të sin 29˚14', të cotg 67˚25' dhe të tg 62 ˚13'39" dhe kërkohet të gjenden logaritmet e funksioneve trigonometrike log sin 29˚14'; log cotg 67˚25' dhe log tg62˚13'39".  Në shembullin 1 do të dallojmë dy raste: a-Kur këndi është dhënë vetëm në gradë e në minuta.  b-Kur këndi është dhënë në gradë, në minuta e në sekonda. a-Kur këndi është dhënë vetëm në gradë e në minuta, logaritmi i çdo funksioni trigonometrik lexohet drejtpërdrejt në tabelën II. Pra, për të gjetur log sin 29˚14', kërkojmë faqen sipër së cilës është shënuar  këndi 29˚, që në rastin tonë është faqja 94 e tabelës II të librit me titull “Tabela e logaritmeve”). Po në këtë faqe (94), në shtyllën e  parë nga e majta të shënuar  me simbolin e minutës ('), gjejmë 14' (katërmbëdhjetë minuta). Në rreshtin që është horizontalisht me 14' dhe në shtyllën sipër së cilës shkruhet sin, lexojmë 9.68875. Këtij logaritmi i heqim 10 dhe gjejmë se: log sin 29˚ 14'=-1.68875. Le të gjejmë log cotg 67˚25'. Gradët e këtij funksioni trigonometrik  (pra të kotangjentit) do t’i kërkojmë poshtë faqes përkatëse, në të cilën është shënuar 67 0. Në rastin tonë është faqja 81. Minutat do t’i kërkojmë në shtyllën e fundit djathtas të faqes 81. Në rreshtin që është horizontalisht me 25' dhe në shtyllën me mbishkrimin cotg në fund të saj, lexojmë vlerën 9.61901. Këtij logaritmi i heqim 10 dhe në fund gjejmë se log cotg 67 ˚25'=-1.61901.

 sin gjendet sipër kësaj shtylle, gradët këndore i marrim nga sipër, kurse minutat këndore (në rastin tonë 40') nga e majta. Duke vepruar kështu, gjejmë se: x=14 040'. b-Kur logaritmi nuk gjendet në tabelë, veprojmë sipas shembullit të mëposhtëm . Është dhënë log sin x=-1.62034 dhe kërkojmë të gjendet këndi x. I shtojmë këtij logaritmi 10 dhe do të përftojmë numrin 9.62034, i cili nuk gjendet në tabelën II. Mirëpo në faqen 85 të kësaj tabele ka dy numra që janë më të përafërt me të: 9.62021 (më i vogël se logaritmi i dhënë) dhe 9.62049 (më i madh se logaritmi i dhënë). Logaritmit më të vogël i përgjigjet këndi 24039', kurse logaritmit më të madh i përgjigjet këndi 24 040'. Diferenca tabelore është D=28 të qindmijtat (9.62049-9.62021), që i përgjigjet këndit prej 60''. Diferenca ndërmjet logaritmit më të vogël të gjetur në tabelë (për këndin 24 039') dhe logaritmit të dhënë është 9.62034-9.62021=13 të qindmijtat. Meqë diferencat ndërmjet logaritmeve të funksioneve trigonometrike të dy këndeve të njëpasnjëshme që gjenden në tabelë janë afërsisht të përpjesshme me diferencat e këndeve përkatëse, si dhe duke zbatuar rregullën e treshit, do të kemi: 28:13=60'':Z, nga ku nxjerrim se: Z=13•60/28=27''.9≈28''. Këtë vlerë të Z-së ia shtojmë këndit më të vogël (24 039') dhe do të marrim kështu x=24039'28''. -Është dhënë log cotg x=-1.73915. Të gjendet këndi x. Në faqen 93 gjejmë logaritmin më të vogël më të afërt me logaritmin e dhënë, e që është 9.73897, të cilit i përgjigjet këndi 61 016'. Po në f. 93 gjejmë logaritmin më të madh më të afërt me logaritmin e dhënë, e që është 9.73927, të cilit i përgjigjet këndi 61015'. D=30 (9.73927-9.73897). Diferenca efektive do të jetë: 9.73915-9.73897=18 të qindmijëtat. Duke arsyetuar  si në shembullin e mësipërm, do të marrim: 30:18=60'':Z, nga ku nxjerrim se Z=18•60''/30=36''. Për të gjetur këndin x, duhet që vlerën e sapomarrë të Z-së t’ia heqim këndit 61016', që ndryshe mund ta shprehim edhe si këndi 61015'60''. Kështu: x=61016'-36''=61015'60''36''=61015'24''.

a3-Nëse këndi është në gradë, minuta dhe sekonda, veprohet si në rastin a2, por vetëm se tani D 1'  pjesëtohet me 60 dhe përftohet D1'' (diferenca për 1''). Pastaj numrit që del nga pjesëtimi shumëzohet me numrin e sekondave të këndit të dhënë dhe ky prodhim i mblidhet ose i zbritet vlerës së gjetur të funksionit. Shembull: Të gjendet sin 63 ˚32'14''.  Në f. 133 gjejmë se sin 63˚30'=0.89493 dhe D 1'=12.9. Kështu që D 2'=2•13.9=25.8'. Po kështu gjejmë se D1''=D1'/60=12.9/60=0.215, pra D14''=0.215•14=3.01''. Pra vlera e sin 63˚32'14''=sin 63˚30'+D2' +D14''=0.89493+25.8+3.01=0.89522. b-Është dhënë vlera natyrore e funksioneve trigonometrike dhe duam të gjejmë këndin. Këtu dallojmë dy raste: a-Vlera e dhënë e funksionit gjendet drejtpërdrejt në tabelë. Shembull: Është dhënë sin x=0.57596 dhe duam të gjejmë këndin x. Duke e kërkuar në f. 135 numrin 0.57596 në shtyllën e sinusit (shtylla mund ta ketë mbishkrimin  sin sipër ose poshtë saj, që në rastin tonë është sipër), gjejmë se këtij numri i përgjigjet këndi x=35 010', që është në shtyllën e parë në të majtë. Shembull: Është dhënë cos x=0.62932 dhe duam të gjejmë këndin x. Duke e kërkuar në f. 135 numrin 0.62932 në shtyllën e kosinusit (shtylla mund ta ketë mbishkrimin  sin sipër ose poshtë saj, që në rastin tonë është poshtë), gjejmë se këtij numri i përgjigjet këndi x=51 0, që është në shtyllën e fundit në të djathtë. b-Vlera e dhënë e funksionit nuk gjendet drejtpërdrejt në tabelë. Shembull: Është dhënë tg   =0.87810. Të gjendet këndi x.  Në tabelë kjo vlerë nuk gjendet, por ne do të marrim për të njëjtin funksion vlerën më të afërt me mungesë (pra më të vogël), pastaj shkruajmë këndin përkatës në gradë këndore dhe në dhjetëshe të

shumë në llogaritje dhe japin saktësi me 2-3 shifra. Grafiku më i thjeshtë është monogrami, që paraqet funksionin me një ndryshore (fig. 1.1)  y=f (x).

Fig. 1.1

Fig. 1.2

Fig. 1.3

Grafik tjetër i funksionit me një ndryshore e që përdoret shpesh, por zë edhe pak vend, është shkalla dyshe e funksionit (fig. 1.2). Ky lloj grafiku mund t’i zëvendësojë mirë tabelat, meqë mund ta ndërtojmë me lartësi të çfarëdoshme, d.m.th. duke e ndarë në pjesë dhe duke i bashkuar ato pastaj me njëra-tjetrën. Për funksionet me dy ndryshore  z=f (x,y) mund të ndërtohen grafikët në rrjetë për çdo vlerë të z=konst , duke përftuar kështu një rrjetë funksionesh (fig. 1.3).  Një grafik i tillë mund të ndërtohet për gjetjen e fs   si funksion i f(x)  dhe i f(y) : fs  =  f  2 ( x)   f  2 ( y)  Në të njëjtën mënyrë ndërtohen edhe grafikët e funksioneve për shumëzimet:  Z=x• y. Në këtë rast mjafton të pranojmë x=konst ., pastaj mund të llogarisim vlerat e Z për vlera të ndryshme të y, të cilat i vendosim në drejtëzën me ekuacion x=konst . Në ndonjë rast tjetër mund pranojmë  Z=konst dhe të

Pas kësaj, në një letër milimetrike ndërtojmë një rrjet kuadratik me përmasat që duam ne; për rastin tonë çdo 2 m. Në anën e majtë sipër tij shënojmë vlerat Δ x për çdo 10 m. Meqë 10 m në grafik i takojnë 2 cm, atëherë 1 m=2 mm. Në anën e poshtme në çdo 2 cm shënojmë vlerat e largësive 10 m, 20 m, 30 m…100 m. Në anën e djathtë të rrjetit kuadratik, duke filluar nga sipër, vendosim vlerat e llogaritura të  Δ x. Bashkojmë me vija të drejta vlerat e vendosura të  Δ x me pikën 0 të rrjetit dhe këtu mbaron ndërtimi i grafikut. Pë rdor imi

 Nëse duam të gjejmë vlerën e Δ x për largësinë S=54 m dhe për α=40˚, veprojmë kështu: Nga largësia S ngremë një pingule, derisa ajo të takojë vijën që i përket vijës së këndit α. Pastaj anash nga e majta,  pingul me vijën e parë të hequr, lexojmë vlerën e Δx=41.50 m (shih monogramin e mëposhtëm Δ x= Scos α të fig. 1.4).

Kompjuterët klasifikohen në mënyra të ndryshme, por duke u nisur nga përmasat fizike dhe nga detyrat që zgjidhin, ata klasifikohen në: 1-kompjuterë; 2-minikompjuterë; 3-mikrokompjuterë; 4-makina llogaritëse (kalkulatriçe), makina llogaritëse elektronike xhepi.  Në këtë tekst do të trajtojmë detyrat kryesore që mund të zgjidhen me grupin e fundit, si dhe mënyrat e përdorimit të makinës llogaritëse në zgjidhjen e problemave. Vetë makinat llogaritëse ndahen në dy grupe: 1-Makina llogaritëse me program, në të cilat mund të regjistrojmë programe relativisht të vogla. Këto përdoren për të zgjidhur detyrat. 2-Makina llogaritëse  për  llogaritje inxhinierike (shkencore). Këto dallohen sepse kanë një sërë funksionesh, të cilat ndihmojnë shumë në llogaritjet inxhinierike. Makinat e thjeshta llogaritëse përdoren në veprimet llogaritëse ekonomike e tregtare, pasi ato kryejnë vetëm veprime të thjeshta aritmetike, si mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe nxjerrje të rrënjës katrore të një numri.  Ne do të trajtojmë më gjerë grupin e dytë të makinave llogaritëse, sepse ato përdoren në të gjitha  problemet inxhinierike. Pjesët kryesore të një makine llogaritëse janë: 1-ekrani (ku shpallet rezultati); 2-tastiera (sistemi i butonave); 3-qarku elektronik  dhe 4-sistemi i ushqimit.

II. Tastet e hyrj e numeri ke, ku bëjnë pjesë: 0 ÷ 9 Tastet numerike.

.

Tasti i pikës dhjetore.

exp

Tasti që jep rezultatin e x=(2.71828…)x.

+/-

Tasti që shërben për vënien e shenjës para numrit të shfaqur në ekran.

→

Tasti që shërben për të fshirë shifrën e fundit të numrit që po shkruajmë, kur vërejmë se është shtypur gabim.

rbej nëpë r tëzgjedhur më nyrë n e punë s ( në anglisht quhet  mode), ku bëjnë pjesë: III. Tastet qësh ë

Tastet që shërbejnë për të punuar jo në funksionin e parë të tastierës, por me INV 2ND mënyrën inverse (zakonisht funksionet e shënuara mbi tastet kanë të njëjtën ngjyrë me tastin INV). P.sh., tasti sin   jep tastin e sinusit të këndit të shkruar në ekran. Nëse shtypim tastin INV sin, do të marrim arcsin (harksinusin) e madhësisë që është shkruar në ekran. Tasti i mënyrës së llogaritjes. Duke shtypur këtë tast dhe pastaj një nga tastet 1, 2, në ekran, del shënimi për mënyrën e llogaritjes, pra po llogarisim në sistemin me bazë 0, 2, 8, 16 apo jemi në gjendjen ku në makinë mund të shfrytëzojmë programet e llogaritjeve statistikore. Mode

Fix DRG

Tasti i zgjedhjes së pikës dhjetore. Tasti që shërben për të zgjedhur njësitë e përdorura në kënde: shkallë (deg.), radian, gradë.

0-9, A, B, C, D, E, F

Tastet e hyrjes për numrat me bazë 16 (HEX).

VII. Tastet e funk sioneve, ku bëjnë pjesë: Tasti i katrorit të një numri. x Tasti i rrënjës katrore të një numri pozitiv. αx

Tasti i ngritjes në fuqi yx.

 

Tasti i rrënjës me tregues α.

1/x

Tasti i vlerës inverse të numrit x.

3

 x

Tasti i rrënjës me tregues 3 ose ndryshe i rrënjës kubike të një numri.

 

Tasti që jep vlerën 3.14.

n!

Tasti që llogarit n! =1•2•3•…•n, që quhet ndryshe edhe n faktorial.

sin/sin-

Tasti i sinusit (sin) dhe i harksinusit (sin -1).

cos/cos-

Tasti i kosinusit (cos) dhe i harkkosinusit (cos -1).

tg/tglog

Tasti tangjentit (tg) dhe harktangjentit (tg -1). Tasti i logaritmit me bazë 10.

x σn

Tasti që llogarit vlerën mesatare të vlerave të futura. n

Tasti që llogarit shmangien mesatare kuadratike: σ =

1

n

n-

σ

n



 ( x1  x)

2

i 1

Tasti që llogarit shmangien mesatare kuadratike të rregulluar:   n 1 =

1 (n  1)

n



·  ( x1  x) 2 i 1

r dor imin e mak inë s llogar itë se shkencore  Ushtrime: M bi pë

Të kryhen veprimet e mëposhtme:

1. 2(3+4)=14. Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së tasteve: 2 x ( 3 + 4 ) = 14 2. 1+[(4 – 3.6+5)0.8 – 6]4.2=-6.056. Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së tasteve: 1 + [ ( 4 - 3.6 + 5 ) x 0.8 - 6 ] x 4.2 = - 6.056 Duhet të kemi parasysh që po u hapën kllapat, ato patjetër duhet të mbyllen. 3. Më poshtë po shpjegojmë se si kryhen veprimet me makinën llogaritëse: 1-Llogariten funksionet kryesore. 2-Kryhen veprimet në kllapa. 3-Kryhen veprimet e ngritjes në fuqi dhe të nxjerrjes së rrënjës. 4-Kryhen veprimet e shumëzimit dhe të pjesëtimit. 5-Kryhen veprimet e mbledhjes dhe të zbritj

(

3

a

b

5

c

+

a

2

b

3

c

a

b c

8

)

x

2

a

b c

5

a

b c

:

2

-

1

=

-

81 200

7. sin530=0.798635. Në tastin DGR zgjidhet moda DEG, pra, për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së tasteve: 5 3 sin DEG 0.798635 8.  sin 62˚13'41.6"=0.884810 . Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së tasteve: 6

2

•

1

3

4

1

6

DEG

sin

0.884810

Pra, në fillim shkruhet këndi në formën e një numri dhjetor, ku pjesën e plotë e përbëjnë shkallët e këndit, të dhjetat dhe të qindtat përbëjnë minutat, kurse të mijtat e dhjetëmijtat e përbëjnë sekondat dhe pjesët e sekondës. Pra: 62˚13'41.6 " e shkruajmë si numër dhjetor 62.13416.  Në fillim do të shtypim DEG dhe do të përftojmë 62.228222, pastaj do të shtypim sin dhe do të marrim 0.884810. 9. Jepet ln sin x=0.906183 dhe duam të gjejmë këndin x. Për këtë veprojmë kështu: Shkruajmë numrin 0.906183, shtypin tastet: 2ndF ,  sin, 2ndF , DEG dhe  përftojmë këndin 64˚58'59.1".  Në mënyrë të ngjashme veprohet edhe kur këndi është i shprehur në njësi të tjera: gradë ose radian,  por duhet pasur kujdes të zgjidhet mënyra (mode) e llogaritjes.  Në të njëjtën mënyrë bëhet dhe llogaritja e logaritmeve me bazë 10. 10. Të gjendet logaritmi me bazë 10  i sinusit të këndit 62˚13'41.6 ". Për këtë qëllim veprojmë kështu: e shkruajmë këndin 62˚13'41.6 " si numër dhjetor 62.13416. Pastaj shtypim tastin DEG dhe në ekranin e makinës llogaritëse do të shfaqet numri dhjetor 62.228222. Pastaj shtypim tastin  sin

Fig. 1.6

Për zgjidhjen analitike përdoren formulat e trigonometrisë plane. Konkretisht, për dy rastet e para  përdoren formulat e teoremës së sinusit, kurse për rastin e tretë formulat e gjysmëperimetrit. Në gjeodezi, për të tria rastet formulat e mësipërme zbatohen duke përdorur formularë të caktuar pë r t’i zgjidhur me makinë llogaritëse. Rasti i parë 

Janë matur këndet  β 1  e β 2  në trekëndëshin ABC dhe brinja c . Të llogaritet këndi  β 3  dhe brinjët a  e b . 0  Nga gjeometria dimë se shuma e tri këndeve (β 1 , β 2 , β  )  3  të një trekëndëshi çfarëdo është 180 . Pra: 0  0   β 1 +β 2 +β 3 =180 . Që këtej nxjerrim se:  β 3 =180 -  (β 1 +   β 2 ). Gjithashtu po nga gjeometria dimë se: b

Duke i pjesëtuar anë për anë të dyja barazimet e mësipërme, si dhe duke shfrytëzuar formulat që na  japin lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të shumës dhe të diferencës së këndeve (pra në rastin tonë të shumës sinβ1+sinβ2 dhe të diferencës sinβ1-sinβ2), do të kemi: ab a b

=

sin  1  sin  2 sin  1  sin  2

2 sin

  1    2

= 2 cos

2   1    2 2

 cos  sin

  1   2 2   1   2 2

Formula e mësipërme mund të shkruhet në trajtën e mëposhtme:      2 tg  1      2      2 ab 2 •cotg 1 =tg 1 =      2 2 2 ab tg  1 2

 Nga formula e mësipërme nxjerrim se: tg Duke shënuar me ε=

  1   2 2

  1   2

 dhe me E= a b

=tg

2   1   2 2

  1   2

=

•

ab

ab 2 180   3 2

, atëherë do të marrim:

•tg E dhe β1=E+ε dhe β2=E-ε ab Për kontroll të llogaritjeve duhet që  β 1+ β 2+ β 3=180. 0 tg ε=

Rasti i tr etë 

DETYRA 3: Zgjidhja e rastit të dytë të trekëndëshave , kur janë dhënë a, b dhe β 3. Nr.

Formulat

Veprimet

Nr.

Formulat

Veprimet

1 2 3 4 5 6

a  b a-b a+b (a-b)/(a+b)

69.26 38.85 30.41 108.11 0.281288 103˚42'40"

11 12 13 14 15 16

β1=7+10 β2=7-10 β3 β1+β2+β3 c=2•18 sin β3/sin β2

71˚33'41" 32˚08'59" 76˚17'20" 180˚00'00"

51˚51'51"

17

sinβ2

0.532134

1.273312 0.358167

18 19

sinβ3 sinβ1

0.971503 0.948663

19˚42'21"

20 21

sinβ3/sinβ1 c=1•19 

1.024076 70.93

7 8 9 10

180-β 3 E=(180-β 3 )/2 tg E tg ε=8x5 ε

70.93 1.825674

DETYRA 4: Zgjidhja e rastit të tretë trekëndëshave, kur janë dhënë tri brinjët e tij a, b dhe c. Nr.

Formulat

Veprimet

Nr.

Formulat

Veprimet

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a  b c

69.26 38.85 70.93 179.04 89.52 20.26 50.67 18.59 19084.01438 213.1815726

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

tg (β1/2)=11/6 tg (β2/2)=11/7 tg (β3/2)=11/8 β1/2 β2/2 β3/2

0.720668 0.288154 0.785408 35˚46'45" 16˚04'28" 38˚08'47" 71˚33'30" 32˚08'56" 76˚17'34" 180˚00'00"

2p=1+2+3  p=/2  p – a=(5-1)  p –  b=(5-2)  p – c=(5-3) (p-a)(p-b)(p-c) r =9/5 /(p-a)(p-b)(p-c)/p

β1 β2 β3 Σβ=β1+β2+β3

TEMA II FORMULAT THEMELORE TË LLOGARITJEVE GJEODEZIKE II.1. Koordinatat ortogonale, kuadratet dhe shenjat Pozicioni i një pike në rrafsh përcaktohet nga madhësi gjatësore, që merren në një sistem të caktuar  boshtesh kënddrejta të quajtura koordinata të kësaj pike. Boshti (+x -x), i cili quhet boshti abshisave, kur koordinatat janë shtetërore, merret në drejtim të meridianit, pra në drejtimin veri-jug. Boshti (+y -y), i cili quhet boshti i ordinatave, merret në drejtim të ekuatorit, pra në drejtimin perëndim-lindje.  Ndërprerja e këtyre boshteve përcakton pikën zero, që është origjina e koordinatave, formon katër kuadrate, të cilat numërohen në kahun orar, si në fig. 2.1.

1-Formula e ndryshimit të koordinatave: Δx12=S12•cos α12 dhe Δy12=S12 •sin α12 2-Formulat e tangjentes së këndit të drejtimit: tg α12=

Y 2  Y 1  X 2   X 1

=

Y 12  X 12

3-Formula e largësisë midis dy pikave: S12=

 X 12

cos 12

ose :S12=

Y 12

sin  12

; ose: S12=

 X 2   X 1 cos  12

=

Y 2  Y 1 sin  12

; ose: S12=  x 212   y 212

4. Formula e llogaritjes së koordinatës së pikës 2: X 2=X1+Δx12, dhe Y2=Y1+Δy12 Me ndihmën e këtyre formulave kryhen detyra të ndryshme me koordinata. Që llogaritjet të kryhen shpejt dhe pa gabime, përdorim formularë të posaçëm.

II.2. Detyra e drejtë e gjeodezisë. Shenjat dhe kuadratet  Në gjeodezi ndeshemi shpesh me detyra që kanë të bëjnë me përcaktimin e koordinatave të një pike kur njihen koordinatat e saj 1(X 1,Y1), largësia midis dy pikave S 12 dhe këndi i drejtimit α12 i këtij segmenti. Kjo detyrë quhet detyra e drejtë  e  gjeodezisë . Për  zgjidhjen e kësaj detyre kërkohet koordinata e pikës tjetër 2, që llogaritet me formulat: X 2=X1+Δx12 dhe Y2=Y1+Δy12. Llogarisim ndryshim e koordinatave me formulat: Δx12=S12•cos α12 dhe Δy12=S12 •sin α12. Shenja e ndryshimit të koordinatave varet nga këndi i drejtimit.

II.3. Detyra e kundërt e gjeodezisë. Shenjat dhe kuadratet  Në detyrën e kundërt të gjeodezisë janë dhënë koordinatat e pikës 1 (X 1 ,Y 1 ) e të pikës 2 (X 2 ,Y 2 ) dhe kërkohet të llogariten gjatësia e segmentit S 12 dhe këndi i drejtimit α12

Detyra 6: Llogaritja e detyrës së kundërt të gjeodezisë Janë dhënë koordinatat e dy pikave 1 e 2. Kërkohet këndi i drejtimit α12 dhe largësia S 12. 1 X2 12 354.61 4 Y2 11 597.39 2 X1 12 520.30 5 Y1 11 715.60 Δx12=X2-X1  3 -165.69 6 Δy12=Y2-Y1  -118.21 α12=180˚00'00"+35˚30'20"= 12 203.54 Y 12 S 12 = 215˚30'20". Ai ndodhet në kuadratin III. sin   12

10 7 11 13

sin α12  tg α12=

Y 12

8

φ12

35˚30'20"

9

α12

215˚30'20"

 X 12

cos α12 S 12 =

0.580783 0.713441

 X 12

cos  12

0.814059 203.54

TEMA III LLOGARITJET GJEODEZIKE NË SISTEMIN E KOORDINATAVE ORTOGONALE III.1. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të mbyllur Poligoni është një shumëkëndësh, kulmet e të cilit janë të fiksuara në terren. Në poligon maten brinjët me metër shirit dhe këndet horizontale. Sipas rastit, poligonet mund të jenë të hapura ose të mbyllura. Detyra e poligonit të mbyllur qëndron në llogaritjen e koordinatave të kulmeve të tij. Për këtë qëllim është e domosdoshme koordinata e një pike dhe këndi i drejtimit të brinjës fillestare. Në çdo poligon të mbyllur duhet të plotësohen tri kushte kryesore gjeometrike (fig. 3.1): 1-Shuma e këndeve të matura duhet të jetë i barabartë me atë teorike: Σ β t =1800 (n-2), për kënde të brendshme (vetëm për shumëkëndësha të mysët); 0 Σ β t =180  (n+2), për kënde të jashtme. Shumëkëndësh i mysët quhet shumëkëndëshi që diagonalet bien brenda tij dhe nuk ndërpresin asnjë  brinjë ose kur asnjë nga drejtëzat që kalon nga secila brinjë e shumëkëndëshit nuk përmban asnjë  pikë që gjendet brenda tij (shumëkëndëshit). 0 Gabimi në mbylljen këndore llogaritet me formulën: f  β  p=Σ β  –Σ t   β =180 (n-2)-Σ β . ku: n-numri i kulmeve në poligonin e mbyllur. 2-Shuma e ndryshimit të absh isave duhet të jetë zero, pra: ΣΔx=0. 3-Shuma e ndryshimit të ordinatave duhet të jetë zero, pra: ΣΔy=0.

Gabimi i lejuar përcaktohet me formulën: f  β t=   1.5 δ n ku: δ-saktësia e instrumentit këndmatës; n-numri i këndeve. Kur mosmbyllja del brenda kufirit të lejuar, ajo shpërndahet sipas shenjës me formulën Δ=f  βt  /n në vlerë të barabartë në të gjitha këndet e matura. Mbas ndërplotësimit, shuma e këndeve duhet të japë shumën teorike. ndeve tëdr ejtimi t nëdy dr ejtime  b-L logar itj a e kë . Për llogaritjen e ndryshimit të koordinatave janë të domosdoshme këndet e drejtimit të çdo brinje të poligonit. Nga emërtimi i pikave në poligonin e mbyllur, dallojmë poligon të emërtuar në kahun orar dhe poligon të emërtuar në kahun e kundërt me atë orar.  Në poligonin e emërtuar në kahun orar (fig. 3.2) dhe në poligonin e emërtuar në kahun e kundërt me atë orar (fig. 3.3), këndi i drejtimit llogaritet me formulat e mëposhtme: α12 e dhënë α12 e dhënë 0 0 α23=α12+180 -β2 α23=α12-180 +β2 α34=α23+1800-β3 α34=α23-1800+β3 0 0 α45=α34+180 -β4 α45=α34-180 +β4 α51=α45+1800-β5 α51=α45-1800+β5 α12=α51+1800-β1 (për kontroll) α12=α51-1800+β1 (për kontroll)

124˚43' 00"=α12 K. II: Δx-, Δy+, φ 12 =55˚17'00"

+1800  __________ 304˚43'00" 336˚18'12"=α45 K. IV -108˚26'36" + 1800  _________ __________ 196˚19'24"=α23 K. III 516˚18'12" 0 90˚07'36" +180  __________ __________ 376˚16'24" 426˚10'36" -84˚09'36" 3600  __________ ________ 292˚06'48"=α34 K. IV 66˚10'36"=α51 K. I 0 +180 + 1800  __________ __________ 472˚06'48" 246˚10'36" -135˚48'36" 121˚27'36"  __________ _________ 336˚18'12"= α45 K. IV 124˚43'00"=α12 K. II Shembulli 2. Duke përdorur këndet e korrigjuara të shembullit 1, të llogariten këndet e drejtimit sipas fig. 3.3, ku përdoret formula: α23=α12-180+β2. 124˚43'00"=α12 K. II, Δx-, Δy+, φ 12 =55˚17'00" 

Pas llogaritjes duhet të plotësohet kushti që ΣΔx=0 dhe ΣΔy=0. Meqë kemi  përdorur  brinjët e matura që  përmbajnë gabime dhe kënde të korrigjuara, shuma e ndryshimeve të koordinatave nuk del zero, kështu që poligoni nuk mbyllet në pikën e fillimit të tij (fig. 3.4). Largësi  f  s  midis dy pikave që nuk përputhen, quhet mosmbyllje gjatësore. Kjo mosmbyllje është hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë, që ka si katete mosmbylljet në boshtet  x e y. Katetet shënohen me fx e fy dhe llogariten me formulat:  fx=ΣΔx- Δx' dhe fy=ΣΔy- ΣΔy'. ku: fx=- ΣΔx'  dhe fy=- ΣΔy' . Me mosmbylljet në boshtet e koordinatave llogaritim mosmbylljen gjatësore të poligonit me formulën:  fs=  fx 2   fy 2 . Madhësia fs varet nga saktësia e matjes së brinjëve e të këndeve. Në bazë të saj bëjmë vlerësimin e matjeve. Për këtë qëllim krijojmë raportin:  fs=

 fs S 



1 S  :  fs

 i cili duhet të jetë brenda gabimit relativ që kërkohet për poligonin e dhënë.

Detyra 7: Llogaritja e poligonit të mbyllur (me makinë llogaritëse). Pika

Kёndet

Kёndet e

Kёndet e

e matura

korrigjuara

drejtimit

Kёndet e tabelёs

S

cosα sinα

1 124°43'00''

2 3

-24 108°27'00" -24 84°10'00"

4

-24 135°49'00"

5

-24 90°08'00"

1

-24 121°28'00"

55°17'00''

201.60

108°26'36" 53°09'36''

53°09'36''

263.42

84°09'36"

0.59958 5.80031

317°07'12''

42°52'48''

241.03

0,73515 0.67790

273°07'48''

93°07'48''

200.36

0.05460 0.99851

183°15'24''

3°15'24''

321.31

0.99838 0.05681 + -

135°48'36" 90°07'36" 121°27'36" 124°43'00''

Σβ=540°02'00"

0.56952 0.82190

Ndryshimi i koordinatave Δ'x Δ'y -0.06 -114.82

+0.01 165.71

-0.07 157.94

+0.01 210,82

-0.06 177.19

-0.06 -230.94

+0.01 163.39 +0.01 200.06 +0.01 -13.14

346.07 345.76

376.53 376.59

+0.31

-0.06

-0.06 +10.94

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy -114.88

Koordinatat

Pika

X

Y

1632.26

864.35

1

1517.38

1030.07

2

165.72

157.87

210.83

1675.25

1240.91

3

177.13

-163.38

1852.38

1077.53

4

+10.88

-200.05

1863.26

877.48

5

231.00

-13.13

1632.26

864.35

1

ΣS=1137.72

Σβt=540°00'00

"

 fβ t =+02'  0.32  fs 120 '' 1 1 Δβ= =24"; fs=  fx 2   fy 2 =±0.32; fs= = =  S  S  :  fs 1137.72 3600 5

33

Llogaritja e poligonit të mbyllur (me logaritme) Pika

Kёndet

Kёndet

Kёndet

e matura

e korrigjuara

e drejtimit

Kёndet e tabelёs

S

cosα

log S sinα

Ndryshimi i koordinatave Δ'x Δ'y

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

-0.06 -114.82

+0.01 165.71

-114.88

165.72

-0.07 157.94

+0.01 210.82

157.87

210.83

-0.06 177.19

+0.01 -163.39

177.13

-163.38

-0.06 +10.94

+0.01 -200.06

+10.88

-200 .05

-0.06 -230.94

+0.01 -13.14

231.00

-13.13

346.07 345.76

376.53 376.59

+0.31

-0.06

Koordinatat

Pika

X

Y

1632.26

864.35

1

1517.38

1030.07

2

1675.25

1240.91

3

1852.38

1077.53

4

1863.26

877.48

5

1632.26

864.35

1

K. II

1 2 3 4 5 1 Σβ Σ βt

34

-24 108°27'00" -24 84°10' 00" -24 135°49'00" -24 90°08'00" -24 121°28'00" 540°02' 00" 540°00' 00"

108°26'36" 84°09' 36"

135°48' 36" 90°07'36"

124°43'00''

55°17'00''

201.60

K. I 53°09'36''

53°09'36''

263.42

K. IV 317°07'12''

42°52'48''

241.03

K. IV 273°07'48''

93°07'48''

200.36

K. III 183°15'24''

3°15'24''

321.31

121°27'36" 124°43'00''

9.755608 2.304490 9.914860 9.777848 2.420648 9.903259 9.866376 2.382071 9.831167 8.737205 2.301811 9.999298 9.999298 2.364194 8.754416 + -

III.2. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të hapur Poligoni i hapur lidhet zakonisht në dy pika me koordinata dhe me kënde drejtimi të njohura. Koordinatat në poligonit të hapur llogariten njëlloj si në poligonin e mbyllur, por duhet të plotësohen këto kushte kryesore gjeometrike: 1-Shuma e këndeve të matura duhet të jetë i barabartë me atë teorike, kurse gabimi në mosmbylljen këndore llogaritet me formulën: Σ β t=  )-n·180    Σβ -( αm-α f  ku: n-numri i pikave që përcaktohen; αm-këndi i drejtimit të mbarimit (i dhënë); α f  këndi i drejtimit të fillimit (i dhënë). 2-Shuma e ndryshimit të abshisave duhet të jetë: ΣΔx=Xf -Xm. 3-Shuma e ndryshimit të ordinatave duhet të jetë: ΣΔy=Yf -Ym. ku: Xf , Yf -koordinatat e pikës së fillimit; Xm,Ym-koordinatat e pikës së mbarimit. Për shkak të gabimeve të pashmangshme në procesin e matjes së këndeve dhe të brinjëve, këto kushte nuk  plotësohen,  prandaj,  para llogaritjeve  përfundimtare,  bëhet ndërplotësimi i këndeve dhe i ndryshimit të koordinatave. Radha e llogaritjeve për gjetjen e koordinatave të pikave në poligonin e hapur bëhet si më poshtë: a-Llogaritet ndë r plotë si mi i kë ndeve tëmatur a  β  të poligonit, shuma e të cilave duhet të  jetë e  barabartë me shumën teorike: Σ β = β '1+ β '2+ β '3+ β '4+ β 5'.  Ndryshimi ndërmjet shumës së këndeve teorike dhe shumës së këndeve të matura jep gabimin ose 180. mosmbylljen këndore të poligonit, e cila llogaritet me formulën: Σ β t = Σβ -( αm -α )-n· f  Sipas kësaj formule, gabimi  f β p  do të marrë shenjën minus (-) kur shuma e këndeve të matura është

Fig. 3.6

Fig. 3.7

Këndet e drejtimit llogariten njësoj si në poligonin e mbyllur. c-L logar itj a dhe ndë r plotë simi i ndr yshi mi t tëkoor dinatave nëpol igonin e mby  llur . Në këtë rast

llogariten ndryshimet e koordinatave për pesë këndet e drejtimit me formulat: ΔX ΔXA1=SA1cosA1 ΔX12=S12cos α12 ΔX23=S23cos α23 ΔX3B=S3Bcosα3B ΣΔx=XB-XA ΔY ΔYA1=SA1sinαA1 ΔY12=S12sin α12 ΔY23=S23sin α23 ΔY3B=S3Bsinα3B ΣΔy=YB-YA Kurse mosmbylljet në boshtet përkatëse do të jenë:  fx=(X m-X  f  )- ΣΔx'  dhe fy=(Y m-Y  f  )- ΣΔy' . Mosmbyllja shpërndahet në përpjesëtim me brinjët e fundit. d-Llogaritja e koordinatave  në pol igonin e hapur. Me ndryshimin e koordinatave të korrigjuara, duke u nisur nga koordinata e pikës fillestare dhe e mbarimit, llogarisim koordinatat e të gjitha pikave me formulat e mëposhtme, kur janë dhënë X A dhe Y A:

Detyra 8: Llogaritja e poligonit të hapur Pika

Kёndet e

Kёndet e

Kёndet e

matura

korrigjuara

drejtimit

B A

+11 69°43'40"

1

+11 187°04'10"

2 C

69°43'51" 187°04'21"

+12 187°58'00"

187°58'12"

+11 80°37'10"

80°37'21"

Σβ=525°14'00"

fs=  fx

2

  fy

2

Kёndet e tabelёs

S

cosα sinα

K. I 97°39'50''

97°39'50''

K. IV 347°14'41''

12°45'19''

116.49

0.220792 0.975321

K. IV 354°19'02''

5°40'58''

127.34

0.099060 0.995087

K. I 2°17'14''

2°17'14''

K. III 262°54'35''

82°54'35''

Ndryshimi i koordinatave

Ndryshimi i korrigjuar

Koordinatat

Δ'x

Δx

Δy

Δ'y

X

Pika

Y B

91.00

0.039914 0.999203

Σβt=525°14'45"

+0.04 113.62

-25.72

113. 66

-25.72

+0.04 126.71

-12.61

126.75

12.61

+0.03 +90.93

-0.01 +3.63

331.26 331.37

34.70 34.71

fx=-11

fy=-1

+90.96

4686.48

5234.60

A

4800.14

5208.88

1

4926.89

5196.27

2

5017.85

5199.89

C

+3.62

=±11.04

(αm   –α )-n Σ β t = Σ -  · 180  f 

fs=

 fs S 



1 S  :  fs

=

1 334.83 : 11.04

=

1 3000

37

III.3. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të mbështetur në dy pika (pa orientim)  Ndodh që poligoni i hapur të lidhet me dy pika me koordinata të dhëna. Një poligon i tillë është i  përcaktuar vetëm nga pozicioni i tij, por atij i mungon orientimi. Këto poligone quhen pa orientim. Le të jenë dhënë pikat A dhe B me koordinata të dhëna A (X A, YA), B (XB, YA). Janë matur këndet β1, β2, β3 dhe brinjët SA1, S12, S23, S3B. Meqë nuk kemi kënd drejtimi, pranojmë një bosht provizor -x', +x' që kalon në brinjën A1, me qendër të boshteve në  pikën A. Kështu që këndi i drejtimit do të jetë   'A1=180˚, kurse këndet e tjera të drejtimit do të llogariten me formulat për kënde të majta:

Fig. 3.8 0

0

0

0

  'A1=180 ;   '12=   A1-180 +β1;   '23=   12-180 +β2;   '3B=   23-180 +β3.

S  '

S 



S  AB '

S   AB

,ku: S=S'

S  AB S ' AB

Me këndet dhe me brinjët e ndërplotësuara llogariten koordinatat e pikës B me formulat: XA e dhënë X1=Xa+ΔxA1 X2=X1+Δx12 X3=X2+Δx23 XB=X3+Δx3B

YA e dhënë Y1=YA+ΔyA1 Y2=Y1+Δy12 Y3=Y2+Δy23 YB=Y3+Δy3B

Detyra 9 Llogaritja e poligonit të mbështetur në dy pika (Rasti I)  Nr.

Këndet e matura

Këndet e drejtimit

A 180°00'00"

cos sin -1 0

Brinja S'

 Ndryshimi i koordinatave Δx' Δy'

Këndet e drejtimit të korrigjuar 

118.85

-118.85

0

169°57'47"

cos sin 0.984695 0.174283

Brinja S

Koordinatat

Δx

Δy

X

Y

52 138.14

93749.73

A

118.89

-117.07

20.72 52 021.07

93 770.45

1

51 937.87

93 900.53

2

51 981.38

94 052.71

3

51 134.55

94 076.25

B

132°38'30"

1 2

132°38'30"

0.677411 0.755605

154.35

-104.56

113.54

122°36'17"

0.538840 0.842408

154.41

-83.20

130.08

84°04'45"

0.103154 0.994665

158.22

16.32

157.38

74°02'32"

0.274929 0.961465

158.28

43.52

152.18

18°46'30"

0.946790 0.521853

154.91

146.67

49.86

8°44'17"

0.988393 0.151917

154.97

153.17

23.54

∑Δx'=60.42

∑Δy'=320.78

fx=-3.58

fy=326.52

131°26'15"

3 B

114°41'45"

XA=52 138.14 XB=52 134.55

YA=93 749.73 YB=94 076.25

SAB= 326.522  5.582 =26.539

ΔxAB=-3.59 ΔyAB=326.25 S'AB= 326.782  60.422 =326.420 S  326.25 320.78 tg αAB= =90.952646 tg α’AB= =5.309169 K=  AB =1.00036 3.59 60.42 S ' AB r AB=89˚22'12" r'AB=79˚19'59" αAB=90˚37'48" α’AB=100˚40'01" δα=αAB-α’AB=10˚02'13" δα=10˚02'13"

40

 Nr.

 Ndryshimi i koordinatave

b-M ë nyr a e dytë 

Me brinjët e matura dhe me këndet e korrigjuara të drejtimit llogaritet poligoni nga A në B. Përftohen kështu koordinatat X' B, Y'B, të pikës B me koordinatat e dhëna X B, YB. Llogaritet gabimi: fx=XB-X' B dhe fy=YB-Y'B. Llogarisim dy koeficientet p dhe q me formulat: p=

 fx  fy  dhe q=  të cilat, po të shumëzohen me  y  x

ndryshimet e koordinatave Δx', Δy', japin korrigjimet përkatëse të mëposhtme: dxA1=q Δx'A1 dyA1= p Δy'A1 dx12=q Δx'12 dy12= p Δy'12 dx23=q Δx'23 dy23= p Δy'23 dx3B=q Δx'3B dy3B= p Δy'3B

Kështu, ndryshimet e koordinatave të ndërplotësuara do të jenë: ΔxA1=ΔxA1+dxA1 ΔyA1=ΔyA1+dyA1 Δx12=Δx12+dx12 Δy12=Δy12+dy12 Δx23=Δx23+dx23 Δy23=Δy23+dy23 Δx3B=Δx3B+dx3B Δy3B=Δy3B+dy3B Me këto ndryshime të koordinatave llogaritet poligoni i hapur në formular.

Detyra 10 Llogaritja e poligonit të mbështetur në dy pika (Rasti II)  Nr.

Këndet e matura

Këndet e drejtimit

A 132°38'30"

1

132°38'30"

cos sin -1 0

131°26'15" 114°41'45"

Δy'

Këndet e drejtimit të korrigjuar

118.85

-118.85

0

169°57'47"

0.984695 0.174283

154.35

-104.56

113.54

122°36'17"

0.538840 0.842408

158.22

16.32

157.38

74°02'32"

154.91

146.67

49.86

8°44'17"

∑Δx'=-60.42

∑Δy'=320.78

0.103154 0.994665 18°46'30"

3

 Ndryshimi i koordinatave Δx'

0.677411 0.735605 84°04'45"

2

Brinja S'

0.946790 0.321853

cos sin

0.274929 0.961465 0.988393 0.151917

Brinja S

Koordinatat

Δx

Δy

X

Y

-0.1 -117.03

+0.03 20.71

52 138.14

93 749.73

A

118.85

-0.12 -83.17

+0.03 130.03

52 021.00

93 770.47

1

154.35

-0.12 43.50 -0.12 153.58

+0.03 152.12 +0.04 23.53

51 938.71

93 900.53

2

51 981.09

94 052.68

3

52 134.55

94 076.25

B

3.12 3.59

326.39 326.52

158.32 154.67

B

q=

42

 Nr.

 Ndryshimi i koordinatave

0.13 0.47  fx  fy = =0.1506; p= = = 0.000398; fx=3.59-3.12=0.47 dhe fy=326.52-326.39=0.13  x 3.12  y 326.39

III.4. Shndërrimi i koordinatave lokale në shtetërore Shndërrimi i koordinatave  bëhet në ato raste kur  lind nevoja e kthimit të koordinatave lokale në sistemin shtetëror dhe e kundërta. Për  këtë  janë të domosdoshme koordinatat e  pikave në të dyja sistemet. Le ta shënojmë sistemin lokal të koordinatave me X'O1Y' (fig. 3.9), në të cilën është dhënë pika P me koordinata (X'P,Y'P). Këto koordinata do të shndërrohen në sistemin e ri shtetëror XOY. Kërkohet të gjejmë koordinatat e pikës P (X P,YP). Sipas figurës kemi: XP=a1+x''  dhe YP=b1+y'', kurse ε është këndi i rrotullimit të boshteve (XOY) kundrejt boshteve (X'O1Y').

'

tg α’AB=

Y  B  Y  A '

'

 X  B   X  A

'

=

 1606.12  8452.60

=0.190014→r=10˚45'30″ dhe α'AB=349˚14'30″.

ε=α'AB-αAB=349˚14'30″-318˚28'30″=30˚46'00″ Pikat

Koordinatat lokale X'

Y'

Koordinatat shtetërore X

Y

A 8280.93 5213.43 9934.68 5812.43 B 16 733.53 3607.42 16 377.74 110.39 1 10 814.52 8939.03 2 13 142.38 6191.75 3 15 777.26 7015.62 4 11 972.03 3575.41 5 17 885.36 4680.28 2-Llogarisim madhësitë a dhe b me formulat: a=x 0-x''0 dhe b=y0-y''0, por më parë duhet të llogariten x0, x''0, y0 dhe y''0 me formulat e mësuara. Pikat Koordinatat shtetërore Koordinatat lokale X Y X' Y' X'' Y'' A 9934.68 5812.43 8280.93 5213.43 9782.34 246.61 B 16 377.74 110.39 16 733.53 3607.42 16 225.40 -5455.43 26312.42 5922.82 26007.74 -5208.82 Σ

TEMA IV MËNYRAT E LIDHJES SË POLIGONEVE ME RRJETIN SHTETËROR IV.1. Njohuri për mënyrat e lidhjes së poligonit me rrjetin shtetëror Për përcaktimin e koordinatave ortogonale (X,Y) të disa pikave, zhvillojmë: 1-Triangulacionin shtetëror të klasave I, II dhe III. 2-Rrjetin analitik (mikrotriangulacionin) që mbështetet në dy pikat e triangulacionit, pra pikat marrin koordinata shtetërore. 3-Poligonet e hapura, të mbyllura të lidhura në pika-nyje ose të rrjetit analitik. Për përcaktimin e koordinatave ortogonale të pikave të veçanta paraqiten këto raste: 1. Kur pikat përcaktohen duke vizuar në dy pika me koordinata të njohura, por duke mos shkuar në asnjërën prej tyre (metoda e uljes së koordinatave). 2. Kur pika përcaktohet duke matur këndet horizontale në dy pika me koordinata të njohura (prerja  para). 3. Kur pika përcaktohet duke matur këndet horizontale në pikën që përcaktohet nga tri drejtime në tri pika me koordinata të njohura (prerja prapa). 4. Kur duke vizuar në dy pika me koordinata të njohura, përcaktohen dy pika njëkohësisht, duke matur në këto të fundit këndet horizontale ndërmjet drejtimeve për në pikat e njohura. Rastet e zgjidhjes së këtyre katër problemave takohen: -në lidhjen e poligoneve me koordinatat shtetërore. -Gjatë rilevimeve për të shpeshtuar pikat e bazamentit të punës.

ku: γ1=1800-(φ1+β1) dhe γ2=1800-(φ2+β2).

Saktësia e  b0 varet nga forma e trekëndëshit AM1 dhe e atij AM2, të cilët mundësisht të  jenë  barabrinjës. Për llogaritjen e këndit të drejtimit   AM, në trekëndëshin ABM llogarisim: 1. tg   AB=

Y  B  Y  A  X  B   X   A

 dhe SAB=

2. këndin ε me formulën: 0

sin  

b0

Y  B  Y  A sin   AB 

sin  

S  AB

=

 X  B  X  A cos   AB

, ku: sinε=

sin  

S  AB

 b0

3. λ=180  –(φ+ε) 4.   AM=   AB+λ .

Përfundimisht llogarisim koordinatat e pikës M.

Detyra 12 Ulja e koordinatave Të llogariten koordinatat e pikës M, kur janë dhënë b 1, b2, këndet β1, β2,    të matura në pikën M, si dhe këndet   1,   2 përkatësisht të pikës 1 dhe të pikës 2: β1=88˚00'20";   1=73˚04'20" dhe b 1=48.151; β2=68˚26'50";   2=81˚29'30" dhe b 2=71.952;   =76˚44'40". Koordinatat e pikës A dhe të pikës B janë përkatësisht: X A=4 506 479.54, Y A=4 436 886.23 dhe XB=4 505 412.24, Y B=4 437 061.68. 1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë gjejmë SAB dhe αAB. 1

YB

4 437 061.68

2

XB

4 505 412.24

7

tg   AB

2.202294

IV.3. Prerja nga para  Nëse në pikat e njohura A dhe B maten këndet horizontale β1 dhe β2, atëherë ne mund të llogarisim koordinatat e pikës M (fig. 4.2).

Fig. 4.2

 Një nga rastet e zgjidhjes së trekëndëshit ABM është kur njohim një brinjë dhe dy këndet e anëshkruara kësaj brinje (KBK). Prandaj ndjekim këtë radhë veprimesh: 1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë llogaritim S AB dhe αAB me formulat e mëposhtme: tg αAB=

Y  B  Y  A  X  B   X   A

SAB=

Y  B  Y  A sin   AB

=

 X  B  X  A cos   AB

2-Me teoremën e sinusit llogarisim brinjën a dhe brinjën b të trekëndëshit: a=S

sin  1

 dhe b=S

sin  2

, ku: β =180-(β

β

)

2-Me teoremën e sinusit llogaritim SAM dhe SBM të trekëndëshit me formulat e mëposhtme: SAM=SAB SBM=SAB

sin  2 sin  3 sin  1 sin  3

=330.548 =330.548

0.566180 0.787873 0.998152 0.787873

=237.805 =418.769 m

3-Llogaritim koordinatat e pikës M me detyrën e kundërt, duke përdorur formular:  Nga pika A αAB 1 2 -β1 6 7 12 4 10 8 3 9 11

  AM  =(1)-(2)

r  AM  X  M  X  A Δx  AM  cos   AM  S  AM  sin  AM  Δy  AM 

222˚33'37.5" 93˚29'03"

 Nga pika B 1   BA 2 β

42˚31'37.5" 93˚31'43"

129˚02'34.5" 50˚57'25.5"

6 7

77˚03'20.5" 77˚03'20.5"

4 512 451.260 4 512 601.050 -149.790

12 4 10

0.629902 237.805 0.776674

8 3 9

cos  BM  S  BM  sin  BM 

0.224004 418.772 0.974588

+184.698

11

Δy  BM 

+408.120

2

  BM  =(1)+(2)

r  BM  X  M  X  B Δx  BM 

4 512 451.256 4 512 357.450 +93.806

 Nga katërkëndëshi ABCM (që është i mysët) nxjerrim se shuma e këndeve të tij të brendshme llogaritet me formulën e njohur tashmë: 180 0(n-2)=1800(4-2)=3600=   1+   2+γ1+γ2+β1+β2, nga ku del se: 0   1+   2=360 -(γ1+γ2+β1+β2) Ose:  1   2

0

=180 -

  1   2   1   2

2 Që të zgjidhet problemi, duhet të llogarisim këndet   1,   2, të cilave u njohim vetëm shumën e tyre. 2

Duke zbatuar teoremën e sinusit për trekëndëshin ABM dhe atë BCM, mund të shkruajmë:  AB sin  1

 BC  sin  2

=

=

 BM  sin  1

 BM  sin  2

→

 BM  sin  1 =  AB sin  1

→

 BM  sin  2 =  BC  sin  2

Duke i pjesëtuar anë për anë të dyja barazimet e mësipërme, kemi: sin  1  BC  sin  1  BM   BC  sin  1 sin  2 = → . . = . sin  2  AB sin  2  AB  BM  sin  1 sin  2

Krahu i djathtë i  barazimit është i njohur,  prandaj e zëvendësojmë me 1/tg   , ku   është këndi ndihmës. Atëherë kemi: sin  1 sin  2

=

1

tg  

ku: tg   =

 AB sin  2 .

 BC  sin  1

sin  1  sin  2

1  tg  

Koordinatat e pikës M të llogaritura nga pikat A dhe C janë: X'M=XA+AM cos   AM  X"=XC+CM·cos   CM Y'M=YA+AM·sin   AM  Y"=YC+CM·sin   CM  Nga ku:   AM=   AB+   1 dhe   CM=   CB-   2  Nëse koordinatat e pikës M, të llogaritura dy herë nga pikat A dhe C, nuk ndryshojnë më shumë se saktësia e llogaritjes, atëherë merret mesatarja e tyre. XM=

 X ' M   X ' ' M  2

 dhe YM=

Y ' M  Y ' ' M  2

Prerja nga prapa mbetet e përcaktuar nëse pika M ndodhet në rrethin që kalon nëpër tri pikat e njohura A, B, C. Llogaritja e prerjes prapa me makinë llogaritëse Formulat e llogaritjes janë: K 1=(YB-YA)·cotg β1-(XB-XA) K 3=(YC-YA)·cotg (β1+β2)-(XC-XA) K 2=(XB-XA)·cotg β1+(YB-YA) K 4=(XC-XA) cotg (β1-β2)+(YC-YA) C=

 K 2   K 4  K 1   K 3

Δy=

 K 2  CK 1 1  C 2

=

 K 4  CK 3 1  C 2

Δx=C Δy

XM=XA+Δx YM=YA+Δy

Detyra 14 Prerja nga prapa Të llogaritet koordinata e pikës M, kur janë dhënë koordinatat e pikës A (X A=4 532 478.70, Y A=4

TEMA V NJOHURI MBI TEORINË E GABIMEVE V.1. Klasifikimi i gabimeve në matje Të gjitha matjet bëhen duke krahasuar madhësitë e panjohura me një madhësi të njohur që pranohet si njësi matjeje. P.sh., largësitë e matura krahasohen me vlerat e njohura të sistemit metrik, kurse këndet krahasohen me vlera të njohura të sistemit shkallor ose në gradë. Burimet e gabimeve janë të shumta e të ndryshme, por sipas karakterit të tyre ato mund të ndahen në  gabime të palejueshme,  sistematike dhe të rastit . 1-Gabi met e paleju eshme   kanë vlera të mëdha numerike, të cilat, për nga vlera absolute, e kalojnë saktësinë e matjes. Përgjithësisht ato ndodhin nga mungesa e vëmendjes gjatë kohës së punës, p.sh. nga humbja e një fisheje gjatë matjes me metër, nga leximet e gabuara (në vend të numrit 6 shkruhet numri 9) ose të shkrimeve të gabuara (në vend të numrit 136 shkruajmë 163). Gjithashtu mund të gabojmë 180ºgjatë leximit të limbës ose mund të gabojmë në metra të tërë ose pjesë të shkallëve etj. Gabimet e palejueshme vihen në dukje (zbulohen) dhe mënjanohen kryesisht nga përsëritja e matjeve. Teoria e gabimeve nuk merret me këto gabime. 2-Gabimet sistematike   mund të shkaktohen nga mjedisit i jashtëm (temperatura, refrakcioni (thyerja) i dritës, ndriçimi), nga vetë personi që bën matjen (për efekt të syrit), nga instrumenti, për shkak të

V.2. Gabimet që karakterizojnë saktësitë e vlerave të matura  Nëse kemi kryer një sërë matjesh a 1, a2, a3... an, në të cilat janë bërë Δ1, Δ2, Δ3 … Δn gabime të rastit, atëherë në bazë të tyre mund të themi se cila nga n vlerat është më e sakta, por nuk kemi mundësi të  përcaktojmë saktësinë saktësinë e vrojtimeve. Për të bërë vlerësimin e madhësive të matura përdoren njësitë njësitë e saktësisë, të cilat, në një mënyrë ose në tjetrën, janë të lidhura me gabimet që kemi kryer në matjet e dhëna. a-Gabimi mesatar  a-Gabimi mesatar është vlera e mesatares aritmetike e shumës së të gjitha vlerave absolute të i n

gabimeve të rastit Δ1, Δ2, Δ3 … Δn. Pra: ms 

1   2   3  ...   n

n

 

i

i 1

n

.

Gabimi mesatar, megjithëse llogaritet shumë lehtë, përdoret lehtë, përdoret pak  pak në praktikë për për vlerësimin e matjeve, sepse nuk e përcakton si duhet saktësinë e kryer kr yer në matjet e ndryshme. Vlera e përafërt e madhësive të matura (a1) gjendet me të mesataren aritmetike x të këtyre madhësive të matura, pra: 2

x=

a1  a2  a3  ...  an

2

n

ku: a1, a 2, a 3... an-vlerat e matura me kujdes të njëjtë, pra janë vlerat që maten me të njëjtin instrument, që maten në të njëjtat kushte dhe nga i njëjti vrojtues; n-numri i matjeve të përsëritura. b-Gabimi mesatar  b-Gabimi mesatar kuadratik  kuadratik m  m është i barabartë me shumën e katrorëve të gabimeve të rastit,

V.3. Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të njëjta Matjet (vrojtimet) e drejtpërdrejta e me kujdes të njëjtë kryhen në kushte të njëjta  pune, d.m.th. kujdesi që tregohet në matjen e parë është i njëjtë edhe në matjen e dytë e kështu me radhë.  Në matjet e drejtpërdrejta të një madhësie vlerat e matura ai ndryshojnë nga vlera e vërtetë X me një madhësi që e quajmë gabim të rastit (gabim të vërtetë). Vlerat e matura a1, a2, a3... an do të ndryshojnë nga njëra-tjetra, kështu që edhe për vlerën e matur X do të kemi “n” vlera të matura. Për çdo vlerë të matur do të kemi një gabim të vërtetë: Δ1=X-a1, Δ2=X-a2, Δ3=X-a3...Δn=X-an Po t’i mbledhim anë për anë barazimet e mësipërme, do të kemi: Δ1+Δ2+Δ3+...+Δn=X-a1+X-a2+X-a3 +...+X-an  Nga ku: [Δi]=nX-[ai] (ku i=1, 2, 3,...n). Vlera e vërtetë e madhësisë X, të cilën e kemi vrojtuar n herë, do të jetë: X= Shuma

a  n

a    n

 quhet e mesmja aritmetike e të gjitha matjeve të kryera X, kurse

aritmetike të gabimeve të vërteta M. Kur n   , atëherë: lim

  n

+

n

  jep të mesmen n

=0 dhe X=x.

Kjo vlerë do të përfaqësonte vlerën absolute të madhësisë së matur. Në matur. Në praktikë numri i matjeve është i kufizuar, kështu që vlera e vërtetë e madhësisë së matur në përgjithësi është e panjohur, prandaj dhe vetë gabimet e vërteta Δi mbeten të  panjohura.  Në  punimet  praktike vlera e vërtetë e X-it zëvendësohet zëvendësohet me të t ë mesmen aritmetike x, që na jep të gjitha vlerat e përfunduara gjatë matjeve: a1  a2   a3  ....  an

a 

a

Po t’i ngremë në katror  të  të dyja anët e barazimit të t ë mësipërm, do të kemi: 2

2

M =

2

2

2

1     3  ....   n  2(1 2  1 3  ...  1 n 1  1 n )

n2 Vlera 2(Δ 1 Δ 2 +Δ 1 Δ 3 +…Δ1Δn-1+Δ 1 Δn) përmban shumën e produkteve të dy gabimeve të vërteta Δ.

Kjo vlerë, për një numër të madh matjesh, shkon drejt zeros. Kështu që: M2 = Dimë që: m 2 =

[ ]

n

[] 1

n



n

, atëherë: 1

m

n

n

M 2 = m 2 ose: M=±

Gabimi mesatar kuadratik i vlerës së mundshme është i barabartë me gabimin mesatar kuadratik të një matjeje të veçantë pjesëtuar me rrënjën katrore të numrit të matjeve n. Në rastin e vrojtimeve të drejtpërdrejta me kujdes të njëjtë të një madhësie të caktuar, gabimi mesatar kuadratik i vlerës më të të mundshme x mund të llogaritet e me ndihmën e gabimeve të mundshme. Dimë se gabimi i vërtetë Δ është i barabartë me Δi=X-ai, kurse gabimi i mundshëm V, kur njohim vlerën e mundshme x, është: Vi=x-ai. Po t’i zbresim anë për anë barazimet kemi: Δi-Vi=X-ai-(x-ai), nga del se: X-x= Δi-Vi. Meqë X-x, atëherë marrim: Δi=Vi+M Për n matje do të kemi n gabime të vërteta Δ. Pra: Δ1=V1+M, Δ2=V2+M, Δ3=V3+M,... Δn=Vn+M. Po t’i ngremë në katror të dyja anët e barazimeve të mësipërme dhe pastaj të bëjmë shumën e tyre, do të kemi: [ΔΔ]=[VV]+nM 2 +2 M [V]

Shembulli 1  Në një pikë një pikë të caktuar këndi caktuar këndi β është matur këndi matur këndi 6  herë.  herë. Të llogaritet vlera më e mundshme (e mesmja aritmetike), gabimi mesatar kuadratik  mesatar kuadratik ii secilës matje m, si dhe gabimi mesatar kuadratik i së mesmes aritmetike M. Zgjidhja e detyrës bëhet sipas shembullit të dhënë në formularin e mëposhtëm: m ëposhtëm:  Numri n i matjeve

Këndet e matura

V=βmes-βi

VV

1 2 3 4 5 6

88º30'30'' 88º30'00'' 88º30'15'' 88º30'45'' 88º30'30'' 88º30'00''

-10 +20 +05 -25 -10 +20

100 400 25 625 100 400

βmes

88º30'20''

[V]=0

Llogaritjet e kërkuara

1-βmes= 2-m=±

   n

=

[VV ]

6

=20''=88º30'20''

=±

n 1 m

3-M=±

[VV]=1650

120

n

=±

1650 6 1 18.2"

6

=±18.2'' ≈7''

βmes=88º30'20''±7''

Shembulli 2 Të përcaktohet konstantja e instrumentit K  dhe  dhe gabim mesatar kuadratik i saj në bazë të matjeve të kryera në terren, të cilat janë paraqitur në formularët e mëposhtëm:  N r

Largësia e matur me metër shirit, L

Leximi në latë Fije e sipërme, S

Diferenca e leximeve në latë Fije e poshtme, P

l=P-S l

l 

K i=

 Li l 

V.4. Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të ndryshme Matjet e drejtpërdrejta me kujdes të ndryshëm janë rast i përgjithshëm i matjeve të drejtpërdrejta. Me këtë rast tërësia e kushteve të matjeve ndryshon nga njëra matje në tjetrën, kështu që dhe vlerat e përftuara përmbajnë në vetvete ndikimin e ndryshimit të kushteve të matjes. Kujdesin e ndryshëm që tregojmë për njërën ose tjetrën matje do ta shprehim me anën e peshave. Peshat e vlerave të matura janë ata numra pozitivë që na lejojnë të vlerësojmë saktësitë e madhësive të matura dhe përcaktohen nga inversi i katrorit të gabimit mesatar kuadratik: P i=

1

mi

2

 ose Pi=

k  mi

2

.

ku: k -vlerë e çfarëdoshme, që është e barabartë për të gjitha llogaritjet e një rasti. Pra, sa më i madh të jetë gabimi mesatar kuadratik m, aq më e vogël është pesha përkatëse e vlerës së matur ose e kundërta. Zakonisht matjet a1, a 2, a 3 ... an të vrojtuara në kushte të ndryshme i kanë gabimet mesatare kuadratike përkatësisht m1, m2, m3 ... mn dhe peshat përkatëse P1, P2, P3... Pn, kurse raportet e peshave të tyre do të jenë: P1 :P2 :P3 :...:Pn=

 K  m1

2

:

 K  m2

2

:

 K  m3

2

: ..... :

 K  mn

2

 Nëse njihen gabimet mesatare kuadratike të matjeve, kemi mundësi që peshën e njërës prej tyre ta  pranojmë të barabartë me një njësi, pra P0=1, kurse peshat e tjera t’i llogarisim me formulën:

Pi=

m0

2

mi

2

M0= Meqë m 0 =±

 n

, atëherë kemi: M 0 =±

m0

 P 

 P  n  P 

Vlerat e vërteta të Δ nuk i njohim, prandaj atë e zëvendësojmë me gabimin e mundshëm V: Δi=Vi+M0 Po t’i ngremë ato në katror dhe të kemi n matje, mbas veprimeve përkatëse, përfundimisht do të M0=±

kemi:

 PVV  (n  1) P 

Pra del se gabimi mesatar kuadratik i vlerës së mundshme në një sërë matjesh me kujdes të ndryshëm, është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së produktit të peshave me katrorin e gabimeve të mundshme, pjesëtuar me produktin e shumës së peshave me numrin e matjeve minus një (matjeve të tepërta). Kurse gabimi mesatar kuadratik njësi sipas vlerave të mundshme do të jetë: m 0 =±

 PVV  n 1

dhe gabimi

mesatar  kuadratik  i një vlere të çfarëdoshme në një sërë matjesh me kujdes të ndryshëm është i  barabartë me gabimin mesatar kuadratik njësi m0  pjesëtuar me rrënjën katrore të peshës përkatëse mi=

m0  P 

.

TEMA VI NDËRPLOTËSIMI DHE VLERËSIMI I LLOGARITJEVE GJEODEZIKE VI.1. Njohuri mbi ndërplotësimet Për të përcaktuar vlerën e një madhësie të caktuar, matjet gjeodezike janë gjithmonë më të shumta nga sa nevojiten. P.sh., në një trekëndësh mjaftojnë vetëm dy kënde, ndërsa ne i matim të tria këndet, me qëllim që të kontrollohen matjet dhe të rritet saktësia e saj. Përfundimet e matjeve të tepërta, për shkak të gabimeve në matje, nuk mund të kënaqin varësinë matematike ndërmjet elementeve të figurave gjeometrike. Prandaj është e nevojshme që të gjendet një sistem i tillë korrekturash ndaj vlerave të matura, që t’i kënaqë kushtet gjeometrike. Meqenëse ka shumë sisteme korrekturash, ne vendosim kushte plotësuese, në mënyrë që të sigurohet llogaritja e një sistemi të vetëm korrekturash ndaj madhësive të matura. Një kusht i tillë është marrja e korrekturave të mundshme, d.m.th. e vlerave më afër së vërtetës të madhësive të matura, shuma e katrorëve të së cilave duhet të jetë minimum: [V 2]=minimum.  Nëse në një trekëndësh shuma teorike e këndeve duhet të dalë 180º, ne kemi mundësi të vendosim shumë lloje korrekturash,  por  do të pranojmë vetëm ato që i  përgjigjen kushtit që  jep vetëm një zgjidhje për korrekturën V, kurse vlera e madhësive të matura do të jetë më afër vlerës së madhësisë së vërtetë. Me ndërplotësimin e matjeve të tepërta merret teoria e katrorëve minimum (më të vegjël). Sipas kësaj teorie vërtetohet matematikisht dhe vlera më e afërt (e mundshme) e madhësisë së vërtetë.  Nëse kemi kryer n matje a1, a2, a3 ... a , do të kemi dhe n korrektura.

1-Ekuacioni i kushtëzuar i figurës. Figura më e thjeshtë në rrjetin e triangulacionit është trekëndëshi. Kjo na jep kushtin që shuma e këndeve të ndërplotësuara të jetë 180˚, ekuacioni i kushtëzuar i të cilit është: (1)+(2)+(3)+Wf =0 0 ku: Wf =(1')+(2')+(3')-180 2-Ekuacioni i kushtëzuar i horizontit. Në një pikë maten të gjitha këndet që mbyllin horizontin (fig. 6.1), gjë që na jep kushtin që shuma e këndeve të ndërplotësuara të  jetë 360˚, ekuacioni i kushtëzuar i të cilit është: (1)+(2)+(3)+(4)+W h=0 ku: Wh=(1')+(2')+(3')+(4')-3600

Fig. 6.1

3-Ekuacioni i kushtëzuar i këndit të drejtimit lind në ato raste kur dy ose më shumë brinjë të rrjetit kanë vlera të përcaktuara të këndit të drejtimit.

Fig. 6.2

 Nga fig. 6.2 nxjerrim se: αm=αf -(I)+(II)-(III)+(IV)-(V)±1800

Kështu do të kemi:

01 01



sin 1sin 3 sin 5 sin 7 sin 9 sin 2 sin 4 sin 6 sin 8 sin 10

1

Kjo formë ekuacioni nuk është lineare. Për ta shndërruar në formën lineare, atë e vendosim në formën logaritmike (duke i logaritmuar  të dyja anët e ekuacionit) dhe në vend të këndit të ndërplotësuar vendosim këndin e matur plus korrekturën përkatëse. Kështu që pas logaritmimit të të dyja anëve të ekuacionit të mësipërm, si dhe duke ditur teoremat 1 dhe 2 të logaritmeve, ekuacioni i mësipërm do të ketë trajtën e mëposhtme: log sin(1'+v1)+log sin(3'+v3) +log sin(5'+v5) +log sin(7'+v7)+log sin(9'+v9)-log sin(2'+v2)log sin(4'+v4)-log sin(6'+v6)-log sin(8'+v8)-log sin(10'+v10)=0 Meqë korrekturat vi janë të vogla, pranojmë se: log sin(1'+v i)=log (sin1'+δi•vi). ku: δi-ndryshimi i log sin i' me ndryshimin e këndit i' me 1" në vendin e gjashtë të logaritmit. Duke e vendosur vlerën e fundit në ekuacionin e mësipërm, marrim përfundimisht ekuacionin polar në formë lineare: δ1•v1+δ•v3+δ5•v5+δ7•v7+δ9•v9-δ2•v2- δ4•v4-δ6•v6-δ8•v8-δ10•v10+W p=0 ku: W p-vlera e lirë e ekuacionit ose mosmbyllja, e cila është e njohur dhe e barabartë me: W p=log sin1'+log sin3'+log sin5'+log sin7'+log sin9'-log sin2'-log sin4'-log sin6'-log sin8'-log sin10'. 5-Ekuacioni i kushtëzuar i bazave lind atëherë kur në rrjet maten dy a më shumë baza, të vendosura në anët e zinxhirit të trekëndëshave (fig. 6.4), por ai lind edhe kur dy ose më shumë brinjë përcaktohen nga koordinatat e tyre të njohura nga rrjeti i një klase më të lartë. Në këtë rast, bazat mund të kenë një pikë të përbashkët.

Ekuacionet polare llogariten me formulën: P=p-2n+3 Për kontroll duhet të vërtetohet barazimi: R=P+H+K ku: H-numri ekuacioneve të horizontit, që është i barabartë me numrin qendror të rrjetit; K-numri i ekuacioneve të bazës.

VI.3. Ndërplotësimi i drejtimeve (këndeve)  Në stacion, ndërplotësimi i drejtimeve ka për qëllim të përcaktojë vlerat mesatare të drejtimeve të ndryshme, kur ato maten me disa seri. Para se të bëhet ndërplotësimit, drejtimet duhen të korrigjohen  për mbylljen në horizont në drejtimin e parë dhe të reduktohet drejtimi i parë në zero. Korrigjimi i drejtimit të  parë  bëhet duke  pranuar  si  përfundimtare mesataren e dy vlerave të matura, duke i korrigjuar të gjitha drejtimet proporcionalisht (përpjesëtimisht), derisa drejtimi i parë të barazohet në të dyja matjet. Ndërplotësimi i drejtimeve bëhet sipas shembujve të mëposhtëm. Shembul li 1  . Të bëhet korrigjimi duke marrë mesataren e dy matjeve të drejtimit të parë.

Drejtimet e matura Pika 1 2 3 1

Seria I 0º 07'14'' 76019'11'' 141033'21'' 0007'18''

Seria II 60º08'28'' 136º20'26'' 201º34'32'' 60º08'34''

Drejtimet e korrigjuara Seria III 120º01'02'' 196º12'58'' 261º26'58'' 120º00'59''

Pika 1 2 3 1

Seria I 0º 07'16'' 76º19'11'' 141º33'21'' 0º07'16''

Seria II 60º08'31'' 136º20'26'' 201º34'32'' 60º08'31''

Drejtimet pas reduktimit të drejtimit të parë në zero Pika

Seria I

Seria II

Seria III

Seria III 120º01'0.5'' 196º12'58'' 261º26'58'' 120º01'0.5''

Drejtimet që dalin  pas reduktimit të drejtimit të  parë në zero, kanë vlera të ndryshme në seri të ndryshme. Ndërplotësimi bëhet duke marrë mesataren aritmetike të serive. Llogaritja për gjetjen e drejtimeve mesatare dhe të korrekturave përkatëse paraqitet më poshtë. Llogaritja e drejtimeve mesatare  Nr. i serive

Drejtimi I

V

VV

Drejtimi II

V

I II III Mes.

0º00'00'' 0º00'00'' 0º00'00'' 0º00'00''

-

-

76º11'55.7'' -0.5 76º11'56'' -0.2 76º11'57'' +0.8 76º11'56.2'' +0.1

VV

Drejtimi III

V

VV

0.25 0.04 0.64 0.93

141º26'04.4'' 141º26'00'' 141º25'58'' 141º26'00.8''

+3.6 -0.8 +2.8 0.0

12.96 0.64 7.84 21.44

Vlerësimi md=± Md=±

VV 1  VV  2  VV 3 0.93  21.44 =± =± n  1S   1 3  13  1 m d  S 

=±

2.4 3

=±

2.4 1 .7

22.37 4

=±1.4''

Mβ=±Md 2 =±1.4'' 2 =±1.4''•1.4=1.96'' ku: md-gabimi mesatar kuadratik për matjen e një drejtimi; Md-gabimi mesatar kuadratik i mesatareve të drejtimeve; S-numri i serive;

=± 5.59 =±2.4''

Për kënde të majta α'EF=αA+∑βI-n1•180 Për kënde të djathta α'EF=αA-∑βI+n11•80

α''EF=α'B+∑βII-n2•180 α''EF=αB-∑βII+n2•180

α'''EF=αC+∑βIII-n3•180 α'''EF=αC-∑βIII+n3•180

Llogarisim këndin probabël (e mundshëm) të drejtimit me formulën: αEF=

 ' EF    p1   '' EF    p 2   ''' EF    p3  p1   p 2   p3

ku: p1, p2 dhe p3-peshat që përfaqësojnë inversin e numrit të këndeve për çdo vijë.  p=

c n

2-Llogarisim gabimin e mosmbylljes f β dhe shpërndarjen e tyre për korrigjimin e këndeve të matura: f β  I  =(αEF-αA)-∑βI+n1•1800; f β  II  =(αEF-αB)-∑βII+n2•1800 fβ  II   dhe f β III  =(αEF-αC)-∑βIII+n3•1800 Këto mosmbyllje shpërndahen në mënyrë të  barabartë në të gjitha këndet e vijës  përkatëse me formulën: Δβi=

 f     i n

3-Me këndet e korrigjuara llogariten ndryshimet e koordinatave në secilën vijë. Me ndihmën e tyre llogarisim koordinatat e përafërta të pikës nyje E nga pikat A, B dhe C: X'  E  =X  A +∑Δx'  I  Y'  E  =Y  A +∑Δy'  I  X''  E  =X  B +∑Δx'  II  Y''  E  =Y  B +∑Δy'  II  X'''  E  =X C  +∑Δx'  III    Y'''  E  =Y C  +∑Δy'  III  Llogarisim koordinatat e mundshëm të pikës nyje E me formulat: X

 X  ' E    p x 1   X  '' E    p x 2   X  ''' E    p x 3

Gabimi mesatar aritmetik llogaritet me formulën: M β=±

m  

 p 

Vlerësimi i koordinatave bëhet duke llogaritur gabimin mesatar kuadratik për ikset dhe ipsilonet: m  X  =±

 p x   f   x   f   x n  k 

 dhe m Y  =±

 p  y   f   y   f   y n  k 

 Ndërsa gabimi mesatar aritmetik i pikës nyje llogaritet me formulat: M  X  =±

m X 

 p   X 

 dhe M Y  =±

mY 

 p  Y 

Detyra 15. Ndërplotësimi i grupit të poligoneve të hapura Të ndërplotësohet sistemi i poligoneve të hapura i paraqitur në fig. 6.6.

Llogaritja e koordinatave në vijën I Pika

Kёndet e

Kёndet e korrigjuara

matura

Kёndet e drejtimit

S

Kёndet

e

cosα sinα

tabelёs I II

1 2

Ndryshimi i koordinatave Δ'x Δ'y

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

Koordinatat X

Pika

Y

295°51'02''9

+1.5" 160°32' 35"

160°32'36.5"

+1.4" 85°05'51"

85°05'52.4"

+1.5" 111°23'29"

111°23'30.5"

276°23'39 ''4 181°29'31''8

I 81°53'50''

454.93

27°49'59''

467.66

0.993779 0.111369

+1 +50.17

+1 -452.10

50.17

0.026032 0.999661

+1 -467.49

+1 -12.17

467.49

452.10

3638.21

3426.69

II

3688.85

2974.58

1

3221.32

2962.41

2

-12.17

112°53'02''3

3

3 ∑f β=+4.4" ∑βt=357°01'55"

∑S=922.59

Σβt=357°01'59.4

∑Δ'x=-417.32

"

∑Δ'y=

-464.27

Llogaritja e koordinatave në vijën II Pika

Kёndet e

Kёndet e

Kёndet e

matura

korrigjuara

drejtimit

Kёndet e tabelёs

S

cosα sinα

Ndryshimi i koordinatave Δ''x

Δ''y

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

Koordinatat X

Y

3072.19

3307.18

III IV

3143.43

3146.89

3

3221.32

2962.41

2

III IV 3

-0.4” 202°12'52" -0.3” 178°55'26"

271°44'45''

89°21'09''

293°57'36.6''

81°53'50''

202°12'51"6 175.39

178°55'25.7" 292°53'02''3

27°49'59''

200.24

2

f β=-0.7" ∑=381°08'18"

Σβt=381°08'17.3"

∑S=375.63

0.913828 0.406101 0.921294 0.388864

+1 +71.23

-+1 160.28

+71.23

-160.28

+1 +77.87

-+1 184.49

141.86

141.86

∑Δ''x=+149.10

∑Δ''y=

Pika

-344.77

65

Llogaritja e koordinatave në vijën III Pi ka

Kёndet e

Kёndet e

Kёndet e

matura

korrigjuara

drejtimit

Kёndet e tabelёs

S

cosα sinα

Ndryshimi i koordinatave Δ'"x Δ'"y

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

Pika

Koordinatat X

Y V

V VI

-1.1 263°48' 36"

4

-1.0 192°24'24"

2

-1.1 260°59'00 "

322°51'05.5'' 263°48' 34"9 19°39'40.4''

19°39'40.4''

278.059

0.336458 0. 941698

31°54'03.4''

31°54'03.4''

451.692

0.528452 0.848963

192°24' 23"0 260°58' 58"9

727°12'00"

Σβt==727°11'56.8"

∑S=729.751

Xf  3638.21 3072.19 2576.00

∑Δ'x

-417.32 +149.10 +645.31

X'2 3221.38 3221.29 3221.31

 p=

1000

fx'

fx•fx

I II III

Yf  3462.69 3307.18 2630.14

∑Δ'y

-464.27 -344.77 +332.24

Y'2

1.08 2.66 1.37

2962.42 2962.41 2962.38

 p=

+0.07 -0.02 0.00

1000

0.0049 0.0004 0.0000

-139.30

+1 383.47

+1 238.69

141.86

+74.92

1.08 2.66 1.37

∑Δ'"x=

∑Δ'"y=

+645.31

+332.24 X 2 =3221+

2576.00

2 630.14

VI

2837.85

2723.70

4

3221.32

2962.41

2

0.38 1.08  0.29  2.66  0.31 1.37

5.11 0.41  0.77  0.42 1.60 = =0.31=3221.31 5.11 5.11

0.0053 0.0011 0.0000 ∑p•fx•fx=0.0064

fy'

fx•fx

 p•fx•fx

S 

∑p=5.11

66

 p•fx•fx

S 

∑p=5.11

Vija

+19.85

3

f β=-3.2"

I II III

+1 93.55

112°53' 02.3''

3

Vija

+1 261.84

+0.02 +0.01 -0.02

0.0004 0.0001 0.0004

0.0004 0.0000 0.0001 ∑p•fx•fx=0.0005

Y2=2962+

0.42 1.08  0.41 2.66  0.38x  1.37 5.11

0.45  1.09  0.52 2.06 = =0.40=2962.40 5.11 5.11

X2=3221.31

=

=

Vlerë simi Gabimi mesatar kuadratik për njësinë e peshës së këndit është: Mβ=

 p   f        f    n  k 

11.6 100.13

=

3 1

=

1161.50 2

= 580.75 =±24.1"

Gabimi mesatar aritmetik llogaritet me formulën: Mβ=±

m  

 p 

=

24.1' '

=

11.6

24.1' ' 3.40

=±7"

Koordinatat vlerësohen me gabimin mesatar kuadratik: m  X  =± m Y  =±

 p x   f   x   f   x

=

n  k   p  y   f   y   f   y n  k 

=

0.0064 3 1

0.0005 3 1

=  0.0032 ≈0.056 =  0.00025 ≈0.016

Gabimi mesatar aritmetik llogaritet me formulën: MX=± MY=±

m X 

 p   X 

mY 

 p  Y 

=

=

0.056 5.11 0.016 5.11

=0.02

=0.01

Pas zëvendësimit të koeficienteve do të kemi: -4K 1 1 -4K 2 2 +(6+4+4)K 3 3 +f βIII=-4K 1-4K 2+14K 3+f βIII=0

Fig. 6.7

 Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve me metodën e eliminimit, gjendet më parë korrektura k 3, e cila zëvendësohet në ekuacionin e dytë dhe del korrektura: K 2=K 3K 3+f β II  , e cila, duke u zëvendësuar në ekuacionin e parë, na nxjerr korrekturën: K 1=K 2K 2+K 3K 3+f β I  , sipas kriterit të së cilit korrigjohen edhe këndet si më poshtë vijon: Poligoni I  Në të gjitha këndet nga A në B vendosen korrekturat δ1=K 1.  Në të gjitha këndet nga B në C vendosen korrekturat δ =K -K 

Detyra 16 Ndërplotësimi i grupit të poligoneve të mbyllura Të ndërplotësohet sistemi i poligoneve të mbyllur i paraqitur në fig. 6.8. 1-Ndërplotësimi i këndeve Së pari gjejmë shumën e këndeve për çdo poligon dhe mosmbylljen përkatëse me formulën: f β=Σβ-1800(n-2). Së dyti shtrojmë ekuacionet normale për ndërplotësimin e këndeve: +8K 1-3K 2-2K 3-900=0 -3K 1+9K 2-2K 3+1200=0 -2K 1-2K 2+8K 3-900=0

δ B=K 1-0.5K 2=+12-0.5•(-6.3)=15 δ3=δ4=K 1-K 2=12-(-6.3)2=36 δC=K 1-0.5K 2-0.5K 3=+12-0.5(-6.3)-0.5•12.6=9 δ6=K 1-K 3=12-12.6=0 ΣδI=+900 Shuma:  8K 1-3K 2-2K 3=900 Poligoni I I Δ10=δ11=δ12=K 2=-6.3•3=-18.9 δD=K 2-0.5K 3=-6.3-0.5•12.6=-12.6 δB=K 2-0.5K 1=-6.3-0.5•12=-12.3 δ3=δ4=K 2-K 1=-6.3-12•2=-36 δC=K 2-0.5K 1-0.5K 3=-6.3-0.5•12-0.5•12.6=-18.6 δ5=K 2-K 3=-6.3-12.6=-18.9 ΣδII=-1200 Shuma:  -3K 1+9K 2-2K 3=-1200 Poligoni II I δA=K 3-0.5K 1=12.60.5•12=+6.6 δ6=K 3-K 1=12.6-12=0.6 δC=K 3-0.5K 1-0.5K 2=12.6-0.5•12-0.5(-6.3)=+9.3 δ5=K 3-K 2=12.6-(-6.3)=+18.9 δD=K 3-0.5K 2=12.6-0.5(-6.3)=+15.7 δ7=δ8=δ9=K 3=12.6•3=+37.8 ΣδIII=+900

9=7:3.70 10=8:0.97 11=9+10 12=11:2.52

1 -1

-0.26 +2.78 +2.52 1

K 3x=+0.2

-0.76 +0.20 -0.56 -0.20

+0.02 +2.00 +1.98 -11.6

K 2x=K 3xK 3x+f x=(-0.26)•(-0.3)+(-0.76)=+0.8 K 1x=K 2x K 2x+K 3x K 3x+f y=+0.30•0.8+0.30•0.2+0.80=+1.1 Korrekturat në vija të veçanta do të jenë:  Në vijën AB: -4K 1=-4•1.1=+4 cm  Në vijën BC: -3(K 1-K 2)=-3(1.1-0.8)=+1 cm  Në vijën CA: -3(K 1-K 3)=-3(1.1-0.2)=+3 cm  Në vijën BD: -7K 2=-7•0.8=+6 cm  Në vijën DC: -2(K 2-K 3)=-2(0.8-0.2)=+1 cm  Në vijën CB: -3(K 2-K 1)=-3(0.8-1.1)=-1 cm  Në vijën AD: -4K 3=-4•0.2=+1 cm  Në vijën DC: -2(K 3-K 2)=-2(0.2-0.8)=-1 cm  Në vijën AC: -3(K 3-K 1)=-3(0.2-1.1)=-3 cm Renditja e veprimeve

K 1y

K 2y

K 3y

f y

Shuma e kontrollit

1 2 3 4=1:8 5=2:3 6=3:2

10 -3 -3 1 -1 -1

-3 +12 -2 -0.30 +4.00 -0.67

-3 -2 +9 -0.30 -0.67 +3.00

-3 0 +5 -0.30 0 +1.67

+1 +7 +9 +0.10 +2.33 +3.00

Llogaritja e koordinatave në poligonin I Pika

C 6

Kёndet e

Kёndet e

Kёndet

Kёndet

matura

korrigjuara

e

e

drejtimit

tabelёs

+11 172°32'30"

A

1 2 B

270°38'51''

89°21'09''

134.05

278°06'10''

81°53'50''

140.72

70°16'11"

+12 161°34'00"

161°34'12"

+12 147°44'00"

147°44'12"

27°49'59''

46°15'47'' 78°31'35''

C

27°49'59''

46°15'47'' 78°31'35''

+11 191°13'00"

191°13'11"

+11 187°57'30"

187°57'41"

187°57'43''

180°00'02''

89°21'11"

+11 89°21'00"

19° 10' 54''

7°57'43''

0°00'02''

T 

72

0.085 1012.07

0.01130 0.99994

+1 +1.51 +1 +19.84

132.88 152.05



101.53

95.72

94.68

0.14099 0.99001 0.88427 0.46696 0.69120 0.72257 0.19884 0.98003 0.94446 0.32862 0.99038 0.13854 1.00000 0.00000

Δ'y +1

+1.52

-134.03

+1 -139.31

+19.85

-139.30

+1 +74.91

141.86

+74.92

+1 +91.86

+96.02

+91.87

+96.02

+1 +30.23

149.01

+30.24

+149.01

+1 -95.89

-33.36

-95.88

-33.36

+1 -94.80

-13.26

-94.79

-13.26

+1 -94.68

0.00

-94.67

0.00

ΣΔ'x=+285.29

ΣΔ'y=319.94 ;

1012.07

-285.37 f x=+0.08

319.97 f y=-0.03

1 2000

Δβ=

90' ' 8

=11.2"

Koordinatat X

Pika

Y

1000.00 1001.52

1000.00 865.97

1021.37

726.67

C 6 A

+1 141.85

ΣS=

f β=Σβ-Σβt=1079°58'30"-1080°00'00"=-1'30"=-90"

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

-134.04

1079°58'30"

   0.0009 =0.085 f S=  f   x 2  f   y 2 = 0.064 

Ndryshimi i koordinatave Δ'x

Σβ=

Σβt=1080°00'00";

1

160.42

59°20'41" 199°10'54''

4

cosα sinα

172°32'41"

+11 70°16'00"

+11 59°20'30"

3

S

1163.23

801.59

1

1255.10

897.61

2

1285.34

1046.62

B

1189.46

1013.26

3

1094.67

1000.00

4

1000.00

1000.00

C

Llogaritja e koordinatave në poligonin II Pika

Kёndet e

Kёndet e

Kёndet e

korrigjuara

drejtimit

Kёnde e tabelёs

S

matura

cosα sinα

Ndryshimi i koordinatave Δ'x

0°00'00''

0°00'00''

94.68

1.00000 0.00000

+94.68

-13 190°15'30'' -13 172°02'30"

C 4

190°15'17'' 172°02'17"

-13 168°47'00"

168°46'47"

-14 65°55'30"

65°55'16"

-13 148°04' 30"

148°04'17"

11

-13 129°02'30"

129°02'17"

10

-13 164°03'30"

164°03'17"

-14 64°16'00"

64°15'46"

-14 157°35'00"

157°34'46"

3 B 12

D 5

19°10'56''

133°15'40''

Σβt=

1260°00'00" f x=-0.06; f y =0.00

120 ' ' 9

=13.3"

19°11'06''

46°44'12''

95.72

0.99035 0.13854

101.53

0.94446 0.32862

173.80

0.68535 0.72821

14°48'35''

170.08

0.96678 0.25560

216°09'06''

36°09'02''

156.18

0.80747 0.58990

347° 49' 53''

52°05'39'' 12°10'08''

153.85

0.61436 0.78902

110.15

0.97753 0.21000

+94.80

+1 +95.89 +1 -119.11

Koordinatat

Δ'y

X

Y

+0.00

+94.68

1000.00

1000.00

C

1094.68

1000.00

4

1189.48

1013.26

3

1285.38

1046.62

B

1166.28

1173.18

12

+43.47

1001.86

1216.65

11

-92.13

875.76

1124.52

10

+13.26

+33.36

+94.80

+95.90

+0.00

+13.26

+33.36

-119.10 126.56

126.56 -164.42

+1 -164.43

+43.47

+1 -126.11

-92.13

+1 -94.52

-121.39

-94.51

121.39

781.25

1003.13

D

+1 107.67

-23.22

107.68

-23.22

888.93

979.91

5

+20.09

1000.00

1000.00

C

-126.10

-111.07 10°15'11''

10°15'11''

112.87

0.98403 0.17799

ΣS=1168 .86

Σβ=

-111.07

+20.09

ΣΔ'x=+504.11

ΣΔ'y=

1260°02'00"

f β=Σβ-Σβt=1260°02'00"-1260°00'00"=+2'=+120" Δβ=

7°57'48''

165°11'23''

232°05'39''

190°15'30''

C

7°57'43''

Pika

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

504.17

f S=  f   x 2  f   y 2 = 0.036  0.000 =0.06 1

T 



0.06 1168.86

=

1 20000

73

Llogaritja e koordinatave në poligonin III Pika

C 5 D 9 8 7

Kёndet e

Kёndet e

Kёndet e

matura

korrigjuara

drejtimit

+11 202°25'00"

202°25'11"

+11 104°56'00"

104°56'11"

+11 123°50'00"

123°50'11"

+12 150°36'00"

150°36'12"

+12 142°19'30"

142°19'42"

10°15'11''

112.87

167°50'00''

12°10'00''

110.15

120.05

0.45565 0.89016

299°03'38''

60°56'22''

138.82

0.48567 0.87414

98°06'33''

31°32'34''

6°07'44''

81°53'27''

90°38'51''

89°21'09''

T 

74

1005.27

127.45

140.72



1 16500

134.05

80°23'41"

Σβ=1079°58'30''

   0.0025 =  0.0034 =0.06 f S=  f   x 2  f   y 2 = 0.0009 0.06

118.15

187°27'42"

+11 80°23'30" Σβt=1080°00'00"



0.97799 0.21080

62°53'49''

f β=Σβ-Σβt=1079°58' 30''-1080°00'00"=-1'30"=-90

1

0.98403 0.17799

0.85218 0.52324 0.99429 0. 10669

Ndryshimi i koordinatave Δ'x Δ'y

ΣS=1005.27

0.14099 0.99001 0.01130 0.99994

Ndryshimi i korrigjuar Δx Δy

-111.07

1 -20.09

-111.07

-20.10

-101.67

+23.22

-101.67

+23.22

-1 -54.70

-106.86

-54.71

106.86

+67.42

-121.35

+67 .42

121.35

100.68

-1 -61.82

100.68

-61.83

-1 126.72

-1 +13.60

126.71

+13.59

-19.84

-1 139.31

-19.84

139.30

-1 -1.51

-1 134.04

-1.52

134.03

+294.82 -294.79 f x=+0.03

310.17 310.12 f y=+0.05

88°01'11"

+11 187°27'30"

C

cosα sinα

242°53'49''

6°07'44''

6

S

190°15'11''

328°27'26''

+11 88°01'00"

A

Kёndet e tabelёs

Koordinatat X

Pi ka

Y

1000.00

1000.00

888.93

979.90

C 6

787.26

1003.12

A

726.55

896.26

1

793.97

774.91

2

894.65

713.08

B

1021.36

726.67

3

1001.52

865.97

4

1000.00

1000.00

C

VI.6. Ndërplotësimi i një rrjeti të mbështetur në dy baza të forta Le të jetë dhënë rrjeti analitik i përbërë nga gjashtë trekëndësha (fig. 6.9). Llogaritja dhe ndërplotësimi i një rrjeti të tillë zinxhir bëhet sipas radhës së mëposhtme:

Fig. 6.9

1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë llogariten dy këndet e drejtimit: ai i fillimit α12 dhe ai i mbarimit α78, si dhe brinjët përkatëse të bazës S12 dhe S78: tg α12= tg α78=

Y 2  Y 1  X 2   X 1 Y 8  Y 7  X 8   X 7

 dhe S12= dhe S78=

 X 2   X 1 c  s 12  X 8   X 7 cos 78

=

Y 2  Y 1  s n 12

=

Y 8  Y 7 sin  78

2-Llogariten mosmbylljet këndore për secilin trekëndësh me formulën: w1=1+2+3-1800 w4=10+11+12-1800 0

0

këndeve me numër çift dhe me numër tek, pastaj bëhet shuma e logaritmeve të sinuseve të këndeve me numër çift e të këndeve me numër tek. 12-Llogaritet gabimi V në brinjët me formulën: V=loga+Σlogsin (të këndeve me numër çift)-logb+ Σ log sin (të këndeve me numër tek). 13-Gjatë përcaktimit të logaritmeve, ndryshimet tabelore për intervalin 1' nxirren dhe shënohen në formular (për këndet çift këto ndryshime tabelore shënohen me α dhe për ato tek me β, kurse shuma e tyre shënohet me Σ(α+β). 14-Llogariten korrekturat e dyta përfundimtare me formulat: Δ1=+

V  (    )

=-Δ 2  (për këndet çift) dhe Δ2=-

V 

 (për këndet tek)

(    )

15-Meqë logaritmet e sinuseve i kemi gjetur një herë, korrektohen vetëm logaritmet me korrekturat logaritmike, që dalin duke shumëzuar:  për këndet çift: δ1=Δ1β, kurse për këndet tek: δ2=Δ2α 16-Llogariten të gjitha brinjët të rrjetit me teoremën e sinusit: a sin  2

=

1 3 sin  3

=

23 sin  1

=

23 sin  5

=

24 sin  6

=

34 sin  4

=

34 sin  8

=

35 sin  9

=...

17-Llogariten koordinatat e pikave të rrjetit duke llogaritur e ndërplotësuar poligonin e hapur 1-2-34-5-6-7-8.

Detyra 17 Ndërplotësimi i një rrjeti të mbështetur në dy baza të forta Janë dhënë këndet e matura α12=180˚00', α78=229˚01, bazat a=334.14, b=288.83 dhe koordinata e  pikës 1.  Nr.

Pika Këndet

Wi

Këndet e

log sinα

Diferenca

δ1,

Këndet e

ln sinα

Brinja  Nr. i

δ1=-δ2=

w7 (     )

=

11.4 106

=0.1;

w7=ΣI-ΣII=11.4

Ekuacionet e kushtëzuara të këndeve të drejtimit llogariten me formulat e mëposhtme: 0 α'78=α12-3+6-9+12-15+18±180 α'78=229˚00'40" α78=229˚01' f α=α'78-α78=20"

Fig. 6.9.1

Llogaritja e koordinatave Pika

Kёndet e

matura

K ёndet e korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e tabelёs

S

cosα

log S sinα

1 2

64°33'

64°33'20"

3

83°41'

83°41'20"

4

39°07'

39°07'00"

K. II 180°00'00'' K. I 53°09'36''

53°09'36''

K. IV 317°07'12''

42°52'48''

K. IV 273°07'48''

5 52°16'

52°16'20"

6

50°15'

50°15'20"

7

66°59'

66°58'40"

K. III 183°15'24''

93°07'48'' 3°15'24''

241.03 200.36 321.31

9.777848 2.420648 9.903259 9.866376 2.382071 9.831167 8.737205 2. 301811 9.999298 9.999298 2.364194 8.754416

Ndryshimi i korrigjuar Δx

288.83

+ -

Pika

Koordinatat Δy

X

Y

-114.88

165.72

1632.26 1517.38

864.35 07

1 2

157.87

210.83

1675.25

1240.91

3

+0.01 -163.39

177.13

-163.38

1852.38

1077.53

4

-0.06 +10.94

+0.01 -200.06

+10.88

-200.05

1863.26

877.48

5

-0.06 -230.94

+0.01 -13.14

231.00

-13.13

346.07 345.76 f x=+0.31

376.53 376.59 f y=-0.06

-0.06 -114.82 -0.07 157.94

+0.01 165.71 +0.01 210.82

-0.06 177.19

6 26

229°01'00''

78

00°00' 00''

Ndryshimi i koordinatave Δ'x Δ'y

864.35

7

VI.7. Ndërplotësimi i sistemit qendror Sistemi qendror  është një figurë gjeometrike që ka shumë matje të tepërta, si rrjedhim ka edhe kontrolle në veprimet numerike. Ndërplotësimi i sistemit qendror bëhet sipas radhës së mëposhtme: 1-Vizatohet skema përkatëse (fig. 6.10.) 2-Ndërplotësohen më parë këndet e matura në qendër të sistemit,duke përdorur formulën:

W  p n

, ku

mosmbyllja e polit është: W p=Σγ-360˚ 3-Llogariten mosmbylljet këndore për secilin trekëndësh me formulën: f n=Σβ'-180˚ 4-Llogariten korrekturat e para për këndet me numër çift e me numër tek të fi g. 6.10, kurse këndet γ nuk ndryshojnë, p.sh. për trekëndëshin e parë për këndet 1 e 2 jepen korrekturat:

Fig. 6.10