FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA RINGKASAN MATERI
Fungsi kuadrat yaitu fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah : f ( x )=a x 2 +bx +c , a≠ 0 Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna akan didapat bentuk yang ekuivalen dengan bentuk umumnya yaitu : 2
y=a +bx +c +c , a≠ 0 f ( x )x=a x 2 +bx b ¿ a x + x +c a
(
) b b ¿ a {( x+ ) – }+c 2a 4a b b ¿ a( x + ) – +c 2a 4a b b – 4 ac ¿ a( x + ) – 2a 4a b D ¿ a( x + ) – 2a 4a 2
2
2
2
2
2
2
Dari bentuk
b 2 D y= x+ – 2a 4a
(
)
, maka :
Rumus persamaan sumbu simetri :
Rumus nilai ekstrim :
Rumus titik ekstrem (titik puncak) :
y=–
x=–
b 2a
D 4a
( – 2ba , – 4Da )
Sifat-sifat fungsi kuadrat dan grafiknya : 1. Jika a > 0, maka parabola akan terbuka ke atas dan mempunyai nilai balik minimum 2. Jika a < 0, maka parabola akan terbuka ke bawah dan mempunyai nilai balik maksimum 3. Jika D > 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada dua titik 4. Jika D = 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada satu titik 5. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong sumbu x
Ilustrasi fungsi kuadrat dan grafiknya :
D > 0,
D > 0,
a
a
>0
a
D = 0,
<0
D = 0,
a
>0
<0
D < 0,
a
> 0 (Definit positif)
D < 0,
a
< 0 (Definit negatif)
Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat dan grafiknya : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu 2. Menentukan titik potong dengan sumbu 3. Menentukan persamaan sumbu simetri b x=– 2a 4. Menentukan nilai ekstrim y=–
x , untuk y , untuk
y =0 x =0
D 4a
5. Menentukan titik ekstrim b D – ,– 2a 4a 6. Menggambar sketsa grafik kuadrat
(
)
Selain menggunakan rumus persamaan sumbu simetri dan rumus nilai ekstrim, yaitu dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. Dengan bentuk umumnya : y=a(x−h)2 +k *Sumbu simetri, *Nilai ekstrim, CONTOH SOAL 1. Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat:
x=– h x=k
y=x 2 – 2 x – 3
Penyelesaian : 2
Titik potong sumbu x , untuk y = 0 y=x 2 – 2 x – 3 2 0=x – 2 x – 3 0=( x+1 ) ( x – 3 ) x=– 1 atau x =3 , titik potong sumbu x : (3,0) dan (-1,0) Titik potong sumbu y , untuk x = 0 y=x 2 – 2 x – 3 y=0 2 – 2.0 – 3 y=−¿ 3, titik potong sumbu y : (0,-3) Persamaan sumbu simetri b x=– 2a ( – 2) x=– 2.1 x=1 Nilai ekstrim y=–
D 4a
–2 ¿ ¿ ¿ 2 – 4.1 .( – 3) ¿ y=– ¿ y=– 4
Titik ekstrim b D – ,– 2a 4a (1, – 4 ) Sketsa grafik :
(
) (-1.0)
(3,0)
x
=1
(0,-3)
2. Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat :
y=– 3 x 2 +6 x – 4
(1,-4)
Penyelesaian :
Titik potong sumbu x , untuk y=– 3 x 2 +6 x – 4 D=6 2 – 4. ( – 3 ) . ( – 4 ) D=– 12
y
=0
Karena D < 0, grafik tidak memotong sumbu
Titik potong sumbu
y , untuk
x
x =0 3
2
y=– 3 x +6 x – 4 y=( – 3.0)2 +6.0 – 4 y=– 4 , titik potong sumbu y : (0, – 4 ) Persamaan sumbu simetri, nilai ekstrim, dan titik ekstrim 2 y=– 3 x +6 x – 4 2 y=– 3(x – 2 x )– 4 y=– 3 {(x – 1)2 – 1 }– 4 y=– 3(x – 1)2 – 1 Persamaan sumbu simetri : 1 Nilai ekstrim : -1 Titik ekstrim : (1, -1) Sketsa grafik : (1, -1)
x
=1
(0, -4)
3.
Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat :
2
y=x – 2 x +1
Penyelesaian :
Titik potong sumbu x , untuk y = 0 2 y=x – 2 x +1 0=( x−1 ) (x−1) x=1 , titik potong sumbu x : (1,0) Titik potong sumbu y , untuk x = 0 (0, c) , titik potong sumbu y : (0,1) Persamaan sumbu simetri b x=– 2a –2 x=– 2.1 x=1 Nilai ekstrim D y=– 4a
4
2
( – 2) – 4.1 .1 y=– 4.1 y=0 Titik ekstrim b D – ,– 2a 4a (1,0) Sketsa grafik :
(
)
x
=1
(1,0) (1,0)
4. Ke arah manakah grafik fungsi kuadrat grafik fungsi kuadrat
y=x 2 harus digeser untuk memperoleh
y=x 2 – 6 x+ 7 ?
Penyelesaian :
Fungsi kuadrat y=x 2 memiliki nilai : a > 0, maka parabola terbuka ke atas b = 0, maka titik balik parabola berada pada sumbu y c = 0, maka grafik parabola melalui titik (0,0) Menentukan titik-titik yang dibutuhkan grafik fungsi kuadrat y=x 2 – 6 x+ 7 Titik potong sumbu
y ,
untuk x = 0 (0, c) (0, – 7 ¿ Persamaan sumbu simetri b x=– 2a –6 x=– 2.1 x=3
Ingat bahwa grafik
Nilai ekstrim D y=– 4a 2 ( – 6) – 4.1 .7 y=– 4.1 y=– 2 Titik ekstrim b D – ,– 2a 4a (3, – 2)
(
)
y=x 2 melalui titik (0,0), sedangkan grafik
y=x 2 – 6 x+ 7 melalui titik (3 , – 2 ), maka harus menggeser grafik kearah kanan sumbu
x
sejauh 3 satuan, dan kearah bawah sumbu
y
y=x 2 sejauh
2 satuan. Sketsa grafik : (0,7)
5
(0,0) 5. Diketahui sebuah grafik fungsi kuadrat :
x
=3
(3,-2)
(0,5)
(-1,4)
x
= -1
Tentukan fungsi kuadratnya !
Penyelesaian :
Diketahui titik potong sumbu
c =5 Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik ( – 1,4 ¿ , maka
dan
y
y , untuk x = 0 adalah (0,5), sehingga x
=
–1
=4
Persamaan sumbu simetri b x=– 2a b – 1=– 2a 2 a=b 2 y=a x +bx +c
(– 1) a¿ ¿ 4=¿ 2 4=a – b+5 2 4=a – 2 a+5 0=a2 – 2 a+5−4 2 0=a – 2 a+1 6
0=( a – 1 ) (a – 1) a=1 2 a=b 2.1=b 2=b
Jadi fungsi kuadratnya : y=x 2 +2 x +5
7
LATIHAN
A) Menentukan Jenis kurva dari Grafik
Fungsi Kuadrat
Untuk menemukan bentuk grafik y = ax2 + bx + c, perhatikan ilustrasi berikut ini: Ilustrasi 1: Isikan nilai y yang memenuhi persamaan y = x 2 - 4x + 3 untuk nilai x yang diberikan pada tabel berikut:
x
-2
-1
y
......... .........
0
1
2
3
4
5
6
7
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
Tabel di atas menunjukkan bahwa fungsi kuadrat y = x2 - 4x + 3 melalui titiktitik :
(.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (....
, .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ).
Bila titik-titik itu kita gambar dalam sistem
koordinat kartesius lalu ditarik kurva yang melalui titik-titik tersebut, maka
akan
diperoleh sketsa grafik fungsi y = x2 - 4x + 3 sebagai berikut:
y
x
Gambar 1
Ilustrasi 2: Isikan nilai y yang memenuhi persamaan y = -x2 +5x + 6 untuk nilai x yang diberikan pada tabel berikut:
x
-2
-1
y
......... .........
0
1
2
3
4
5
6
7
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
Tabel di atas menunjukkan bahwa fungsi
kuadrat y = x2 - 4x + 3 melalui titik-titik :
(.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , ....
), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ), (.... , .... ).
Bila titik-titik itu kita gambar dalam sistem
koordinat kartesius lalu ditarik kurva yang melalui titik-titik tersebut, maka akan diperoleh sketsa grafik fungsi y = -x2 +5x + 6 sebagai berikut:
y
x
Gambar 2 Dengan memperhatikan gambar 1 dan 2, maka dapat disimpulkan:
1. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c berbentuk ........................................................ 2. Jika a > 0 maka .............................................................................................................. 3. Jika a < 0 maka ..............................................................................................................
B) Menentukan Titik Potong Grafik Fungsi Kuadrat dengan Sumbu Koordinat
Tentukan titik potong grafik fungsi berikut dengan sumbu x dan sumbu y! 1. y = x2 - 4x + 3 2. y = -x2 +5x + 6
Jawab:
1. y = x2 - 4x + 3
Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x Agar suatu kurva grafik dari sebuah fungsi memotong sumbu x maka y = 0, dan nilai x dapat dicari dengan cara berikut: .......................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
.................................................................................................... Jadi grafik fungsi y = x2 - 4x + 3 memotong sumbu x di titik ( ... , ... ) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y Agar suatu kurva grafik dari sebuah fungsi memotong sumbu y maka x = 0, dan nilai y dapat dicari dengan cara berikut: .......................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ....................................................................................................
Jadi grafik fungsi y = x2 - 4x + 3 memotong sumbu y di titik ( ... , ... )
2. y = - x2 +5x + 6
Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x Agar suatu kurva grafik dari sebuah fungsi memotong sumbu x maka y = 0, dan nilai x dapat dicari dengan cara berikut: .......................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
.................................................................................................... Jadi grafik fungsi y = -x2 +5x + 6 memotong sumbu x di titik ( ... , ... ) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y Agar suatu kurva grafik dari sebuah fungsi memotong sumbu y maka x = 0, dan nilai y dapat dicari dengan cara berikut: .......................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
.................................................................................................... Jadi grafik fungsi y = y = -x2 +5x + 6 memotong sumbu y di titik ( ... , ... ) C) Menentukan Titik Optimum (Maksimum / Minimum) dari Grafik Fungsi
Kuadrat ≠ 0.
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c, dengan a, b, c
R dan a
y ax 2 bx c, a 0 b c y a x2 x , a 0 a a b b2 b2 c y a x 2 x 2 2 , a 0 a a 4a 4a
b b2 2 y a x x 2 a 4a b b2 y a x 2 x 2 a 4a
b2 c 2 a 4a
b2 2 c 4a ......... 2 y a x ........ 4a 2
Nilai optimum fungsi akan dicapai jika x + ....... = 0, sehingga: x = ............. dan y = .............. jadi titik puncak (titik optimum) dari grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah ( ...
,…) Contoh: Tentukan titik puncak dari grafik fungsi kuadrat berikut: 1. y = x2 - 4x + 3 2. y = -x2 +5x + 6
Penyelesaian:
1. y = x2 - 4x + 3 Absis dan ordinat untuk titik puncak adalah:
x .................. .................. .................. y .................. .................. ..................
Titik puncak dari grafik fungsi y = x2 - 4x + 3 adalah
(.... , .... ) 2. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ .............................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
http://www.edutafsi.com/2014/12/cara-menggambar-grafik-fungsi-
kuadrat.html
http://www.sekolahmatematika.com/fungsi-kuadrat/
http://bbi.belajar.kemdikbud.go.id/index5.php?
display=view&mod=script&cmd=Bahan%20Belajar/Materi %20Pokok/SMA/view&id=252&uniq=all
