Livro Pedro S e Elias Macedo Neto (2)

Reitora da Universidade do Estado do Pará Marília Brasil Xavier Pró-Reitora de Extensão Mariane Alves Cordeiro Franco Diretora do Centro de Ciências Sociais e Educação Maria José Cravo Vice- Diretor do Centro de Ciências Sociais e Educação Gilberto Reis Vogado

Autores Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

Caminhei muito para chegar até aqui. Ao chegar, percebi que o longe é um lugar que não existe. Elias Macêdo

Sumário Introdução.......................................................................4 Relações..........................................................................5 Operações internas........................................................15 Grupos e Subgrupos......................................................21 Homomorfismo de grupos............................................26 Classes Laterais............................................................30 Anéis e Corpos..............................................................34 Homomorfismo de anéis...............................................43 Resoluções....................................................................48 Referências.................................................................152

Introdução Uma das dificuldades encontrada pelo estudante de graduação ao resolver uma questão está na forma como ele organiza suas ideias, para que, em outro momento, o mesmo, ou outrem, possa ter uma base do raciocínio utilizado para solucionar tal exercício. A disciplina de Álgebra Moderna tem como característica um elevado grau de abstração, o que requer mais cautela no que diz respeito à formalização/organização das ideias utilizadas. Com o intuito de criar condições para que os licenciandos em Matemática possam exercitar alguns dos conceitos de Álgebra Moderna, verificar a validação dos seus resultados obtidos e sanar suas dúvidas quanto à resolução das questões, desenvolvemos o presente livreto. Questões de Álgebra Moderna é um livro endereçado a todos aqueles que, por alguma necessidade, desejam pôr em prática alguns dos conceitos de Álgebra Moderna. Esta redação está dividida em oito seções, são elas: (1) Relações; (2) Operações Internas; (3) Grupos e Subgrupos; (4) Homomorfismo de Grupos; (5) Classes laterais; (6) Anéis e Corpos; (7) Homomorfismo de Anéis; (8) Resolução das Questões. Cada seção, exceto (8), está dividida em duas subseções: (1) Resumo da teoria; (2) Questões propostas. Esperamos que este pequeno livro seja um instrumento útil a quem a ele recorrer.

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1. Relações 1.1. Resumo da teoria I – Produto cartesiano: Sejam e dois conjuntos não vazios. Chamamos „produto cartesiano‟ de por , denotamos por , o conjunto formado por todos os pares ordenados , tais que e . II – Relação: Sejam e dois conjuntos não vazios. Chamamos „relação binária‟ de em ou apenas „relação‟ de em a todo sunconjunto de . III- Domínio e imagem de uma relação: Seja uma relação de em . Chamamos „domínio‟ de , denotamos por ao subconjunto de constituído pelos elementos tais que . Chamamos „imagem‟ de , denotamos por , ao subconjunto de constituído pelos elementos tais que . IV – Inversa de uma relação: Seja uma relação de em . Chamamos de relação inversa de , denota-se por , à seguinte relação definida de em :

Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

6 – Relação sobre um conjunto: Seja uma relação definida de em . Nesse caso, dizemos que a relação é uma relação sobre ou que é uma relação em . » Propriedades: Seja uma relação sobre um conjunto A. Dizemos que é uma relação: „reflexiva‟ quando todo elemento de se relaciona consigo mesmo; „simétrica‟ se implicar ; „transitiva‟ se e , implicar ; „antissimétrica‟ se e implicar . VI – Relação de equivalência: Seja uma relação sobre o conjunto . Dizemos que é uma relação de equivalência em se for reflexiva, simétrica e transitiva simultaneamente. VII – Classe de equivalência: Seja uma relação sobre um conjunto e . Chamamos „classe de equivalência‟ determinada por , módulo , ao subconjunto de definido por: ou VIII – Conjunto quociente: Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto . O conjunto formado por todas as classes de equivalência geradas pelos elementos de é denominado „conjunto quociente‟ e denotado por .


7 IX – Relação de ordem parcial: Uma relação sobre um conjunto é dita uma „relação de ordem parcial‟, ou simplesmente „relação de ordem‟ sobre se, e somente se, satisfaz as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva. X – Relação de ordem total: Se é uma relação de ordem sobre um conjunto , tal que todos os elementos de são comparáveis por meio de , dizemos que é uma relação de ordem total sobre . XI – Diagrama simplificado de uma relação de ordem: Para fazermos o diagrama simplificado de uma relação de ordem, usamos as seguintes regras: Se , então representamos por Se , e , então representamos por ; Como é uma relação de ordem, temos que é reflexiva. Dessa forma, fica subentendida a existência de um laço em torno do par , ou seja, é desnecessária a representação .


8 1.2. Questões propostas 1. Dados os conjuntos , . Determine: a) b) c) d) e) f) (Solução 2) 2. Represente a) b) c) d) (Solução 4)

e

e

nos seguintes casos: e e e e

3. Sejam os conjuntos e . Enumere os elementos das relações abaixo definidas, determinando seu domínio, imagem e a relação inversa: a) b) c) d) (Solução 6)


9 4. Sabendo que

é um conjunto com 5 elementos e é uma relação sobre .

Pedimos: a) Os elementos de . b) O domínio e a imagem de . c) Os elementos, o domínio e a imagem de (Solução 8) 5. Sejam e a relação 10= . Determine o domínio e a imagem de (Solução 10)

.

e −1.

6. Seja uma relação sobre um conjunto . Mostre que: a) b) c) (Solução 12) 7. Dê exemplo de uma relação sobre o conjunto que: a) Seja apenas reflexiva. b) Seja apenas simétrica. c) Seja apenas simétrica e antissimétrica. d) Não seja apenas simétrica e antissimétrica. (Solução 14) 8. Sejam e relações sobre o mesmo conjunto . Prove que: a) se e são simétricas, então e são simétricas; Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

10 b) se e são transitivas, então também é transitiva; c) d) e) se é uma relação transitiva, então também é uma relação transitiva. f) qualquer que seja , temos é simétrica. (Solução 16) 9. Seja . Classifique as relações abaixo em reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica. a) b) c) d) e) (Solução 18) 10. Quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre o conjunto dos inteiros positivos? a) b) c) d) , tal que (Solução 20) 11. Dado o conjunto . Seja a relação definida sobre por . Prove que é uma relação de equivalência. (Solução 22)


11 12. Dado

, verifique se a relação definida por é uma relação de

equivalência. (Solução 24) 13. Seja relações

um conjunto não vazio, e as e definidas por e , em que é um subconjunto do conjunto fixo de . Verifique se as relações e são de equivalência. (Solução 26) 14. Seja o conjunto das retas de um plano . A relação definida por é uma relação de equivalência? Justifique. (Solução 28) 15. Seja uma relação sobre o conjunto dos números reais dada por . Verifique se é uma relação de equivalência. (Solução 30) 16. Seja uma relação sobre o conjunto dos números inteiros dada por e têm a mesma paridade. Verifique se é uma relação de equivalência. (Solução 32) 17. Verifique se a relação reais definida por relação de equivalência. (Solução 34)

no conjunto dos números é uma


12 18. Sejam por quociente (Solução 36)

e a relação definida . Determine o conjunto .

19. Sejam e a relação definida por . Verifique se é uma relação de equivalência, em caso positivo, determine o conjunto quociente . (Solução 38) 20. Mostre que a relação definida por é uma relação de equivalência sobre descreva as classes geradas por e

e

.

(Solução 40) 21. Mostre que a relação definida por ⇔ 2+ ²= ²+ ² é uma relação de equivalência sobre e descreva as classes geradas por e . (Solução 42) 22. Mostre que a relação definida por em é uma relação de equivalência. (Solução 44) 23. Dado o conjunto e sejam os números complexos e de , verifique se a relação e é uma relação de ordem parcial. (Solução 46) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

13 24. Sejam os conjuntos e e a relação em . Verifique se a relação é uma relação de ordem. (Solução 48) 25. Seja o conjunto dos números complexos e sejam números complexos e dois elementos de . Considere a relação sobre definida por e . a) Verifique se é uma relação de ordem parcial em . b) Verifique se é uma relação de ordem total em . (Solução 50) 26. Seja uma relação de ordem em relação em definida por é uma relação de equivalência em (Solução 52)

. Mostre que a e .

27. Faça o diagrama simplificado das seguintes relações de ordem no conjunto . Sendo utilizada a: a) Ordem habitual. b) Ordem por divisibilidade. (Solução 54) 28. Faça o diagrama simplificado da relação de ordem por inclusão em . (Solução 56) 29. Faça o diagrama simplificado da relação de ordem por divisibilidade em . (Solução 58) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

14 30. Faça o diagrama simplificado da relação de ordem por inclusão em . (Solução 60) 31. Seja a relação em definida por a) Verifique se e urna relação de ordem parcial em . b) Verifique se R e uma relação de ordem total em . (Solução 62)

32. Prove que, se sobre , então, sobre . (Solução 64)

é uma relação de ordem parcial é uma relação de ordem parcial


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2. Operações internas 2.1. Resumo da teoria I – Lei de composição interna: Chamamos „lei de composição interna‟ ou „operação interna‟ em a toda aplicação . II – Tábua de uma operação: Uma operação num conjunto finito pode ser definida por meio de uma tabela de dupla entrada que indique o composto correspondente a cada par ordenado de elementos de , a essa tabela damos o nome de „tábua de operações de em ‟. » Propriedades: Seja uma lei de composição interna em . A operação é chamada de: Idempotente se, e somente se, para todo elemento temos ; Associativa quando, para quaisquer elementos , temos ; Comutativa quando, para quaisquer elementos , temos ; Possui elemento neutro se, e somente se, existir , tal que, para todo :

Possui elemento simétrico se, e somente se, existir , tal que, para todo :


16 Possui elemento regular se, e somente se, existir , tal que, para quaisquer :

III – Parte fechada em relação a uma operação: Sejam um conjunto não vazio, munido de uma operação , e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é uma „parte fechada em relação à operação ‟ em , quando , em que . 2.2. Questões propostas 33. A aplicação

, definida por

, é uma lei de composição interna? (Solução 66) 34. Seja o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. A operação definida em por é uma lei de composição interna? (Solução 68) 35. Seja a operação interna Os elementos de são todos regulares? (Solução 70) 36. Construa a tábua da operação . (Solução 72)


em

.

em

17 37. Construa a tábua da operação , com Q. (Solução 74)

em

38. Em cada um dos casos abaixo, considere a operação definida sobre o conjunto e verifique em quais deles valem as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento simetrizável e elemento regular. a)

e

b) e c) e d) e e) e (Solução 76)

. . . . .

39. Que condição deve ser imposta aos inteiros modo que a operação , em a) Associativa. b) Comutativa. c) Admita elemento neutro. (Solução 78)

40. Construa a tábua da operação . (Solução 80)

e de , seja:

sobre o conjunto


18 41. Em cada caso, verifique se a operação é associativa, comutativa, tem elemento neutro e se todos os elementos são simetrizáveis. a) e . b) e . c) e . d) e . e) e . (Solução 82) 42. Em cada caso, verifique se a operação é associativa, comutativa, tem elemento neutro e se todos os elementos são simetrizáveis. a) e . b) e c) d) (Solução 84)

. e e

. .

43. Sendo

a operação sobre definida por , determine o seu elemento neutro e o conjunto dos seus elementos simetrizáveis. (Solução 86) 44. Demonstre que se uma operação sobre um conjunto possui elemento neutro, então, ele é único. (Solução 88)


19 45. Demonstre que se uma operação sobre um conjunto é associativa e tem elemento neutro, então, se o elemento simétrico de x existir, ele é único. (Solução 90) 46. Demonstre que se uma operação sobre um conjunto é associativa e tem elemento neutro, então, o elemento simétrico de x é simetrizável e . (Solução 92) 47. Demonstre que se uma operação sobre um conjunto é associativa e tem elemento neutro e e são elementos simetrizáveis em relação à operação , então, . (Solução 94) 48. Verifique se o conjunto é um subconjunto fechado para a multiplicação usual de matrizes em . (Solução 96) 49. Mostre que é um conjunto fechado para a multiplicação usual de complexos. (Solução 98) 50. Mostre que é um conjunto fechado em relação à operação adição usual. (Solução 100) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

20 51. Verifique se é um conjunto fechado em relação ao produto usual de . (Solução 102) 52. Verifique se

é um conjunto

fechado em relação ao produto usual de (Solução 104)

.

53. Verifique se é um conjunto fechado em relação ao produto usual de números reais. (Solução 106)


21

3. Grupos e subgrupos 3.1. Resumo da teoria I – Grupoide: Seja um conjunto não vazio munido de uma operação . Chamamos de „grupoide‟ ao par ordenado . II – Semigrupo: Seja um grupóide. Se for associativa, então o par ordenado é chamado de „semigrupo‟. III – Monoide: Seja um semigrupo. Se admitir elemento neutro, então, o par ordenado é chamado de „monoide‟. IV – Grupo: Seja um monoide. Se todos os elementos de forem simetrizáveis em relação à operação , então, o par ordenado é um „grupo‟. V – Grupo abeliano: Seja um grupo. Se for comutativa, então, o par ordenado é um „grupo abeliano‟.


22 VI – Subgrupos: Sejam um grupo e uma parte não vazia do conjunto . Dizemos que o par é um „subgrupo‟ do grupo quando forem satisfeitas as seguintes condições: Para todo , tem-se O par também é um grupo. Com sendo um grupo e um subconjunto de , essas duas condições podem ser sintetizadas na seguinte afirmação: Para todo , tem-se ; em que é o elemento simétrico de . 3.2 Questões propostas 54. Seja , verifique se , em que operação adição usual de inteiros, é um grupo. (Solução 108) 55. Seja , verifique se grupo, em que é o produto usual de inteiros. (Solução 110)

é a

é um

56. Mostre que o par e que é definida por , é um grupo abeliano. (Solução 112) 57. Mostre que o par definida por

é um grupo abeliano .(Solução 114)


23 58.

Seja

operação

, definida por

munido

da

. Verifique se

é um grupo abeliano. (Solução 116) 59. Sejam por um grupo. (Solução 118)

um grupo e a operação definida em . Mostre que o par também é

60. Seja operação

;

munido definida

da por

( + )). Mostre que ( ,⨁) é um grupo abeliano.

(Solução 120) 61. Seja a operação

em

definida por

. Verifique se (

) é um grupo

abeliano. (Solução 122) 62. Seja

um grupo tal que, para um dado , . Mostre que é o elemento neutro. (Solução 124) 63. Seja um grupo tal que , para todo . Mostre que é grupo abeliano. (Solução 126)


24 64. Resolva as equações abaixo no grupo a) b) c) d) (Solução 128) 65. Verifique se (Solução 130)

.

é um subgrupo de

66. Verifique se . (Solução 132)

.

é um subgrupo de

67. Seja

um grupo com . Verifique se é um subgrupo de (Solução 134) 68. Verifique se

ou .

é subgrupo

de . (Solução 136) 69. Verifique se é subgrupo de . (Solução 138) 70. Seja um grupo multiplicativo e seja um elemento fixo de . Verifique se é um subgrupo de . (Solução 140)


25 71. Verifique se subgrupo de . (Solução 142)

é um

72. Verifique se subgrupo de . (Solução 144)

é um

73. O par é um grupo com a adição de n-uplas. Verifique quais dos conjuntos abaixo são subgrupos de . a) b) c) (Solução 146) 74. Verifique se de . (Solução 148)

é um subgrupo

75. Demonstre que a interseção de dois subgrupos é um subgrupo. (Solução 150)


26

4. Homomorfismo de grupos 4.1. Resumo da teoria I – Homomorfismo de grupos: Sejam os grupos e . Uma aplicação é um „homomorfismo de grupos‟ de em quando, para quaisquer , obedece a condição:

II – Núcleo de um homomorfismo de grupos: Sejam um homomorfismo de grupos e o elemento neutro do grupo . Chamamos „núcleo‟ ou „Kernel‟ do homomorfismo ao conjunto:

III – Homomorfismos especiais: Seja um homomorfismo de grupos. Dizemos que é um: „Monomorfismo‟ quando a aplicação for injetora; „Epimorfismo‟ quando a aplicação for sobrejetora; „Isomorfismo‟ quando a aplicação for bijetora; „Endomorfismo‟ quando a aplicação for um homomorfismo de em si próprio; „Automorfismo‟ quando o endomorfismo for um isomorfismo.


27 4.2. Questões propostas 76. Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismo de grupos, em caso afirmativo, classifique-a. a) , definida por b) , definida por c) , definida por d) , definida por e) , definida por f) , definida por g) , definida por h)

, definida por

i) j) k) (Solução 152)

, definida por , definida por , definida por

77. Verifique se é um isomorfismo. (Solução 154) 78. Mostre que o par abeliano e que (Solução 156)

, definida por

é um grupo é um isomorfismo.

79. Dado o grupo e seja um elemento fixo do grupo , prove que a aplicação , definida por é um isomorfismo. (Solução 158) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

28 80. Construa a tábua de um grupo seja isomorfo ao grupo multiplicativo (Solução 160) 81. Construa a tábua do grupo que seja isomorfo ao grupo

que .

de modo . Resolva a equação

(Solução 162) 82. Sabendo que multiplicativo isomorfo ao grupo a) Construa a tabela de b) Calcule , e c) Obtenha , tal que (Solução 164)

é um grupo :

83. Mostre que são subgrupos de respectivamente e são isomorfos. (Solução 166)

e e

,

84. Prove que um grupo é um grupo abeliano se, e somente se, , definida por for um homomorfismo. (Solução 168) 85. Verifique se o grupo . (Solução 170)

é isomorfo ao grupo


29 86. Verifique se o grupo . (Solução 169)


87. Verifique se o grupo . (Solução 167)


88. Verifique se o grupo , com (Solução 165)

é isomorfo ao grupo .

89. Seja um grupo abeliano multiplicativo e inteiro positivo. Mostre que é homomorfismo de . (Solução 163)

um um

90. Seja Mostre que (Solução 161)

um homomorfismo de grupos. .

91. Seja Mostre que (Solução 159)

um homomorfismo de grupos. .

92. Seja um homomorfismo de grupos. Mostre que para todo inteiro temos que . (Solução 157)


30

5. Classes laterais 5.1. Resumo da teoria I – Classe lateral à direita: Sejam um grupo, um subgrupo de e um elemento arbitrário de . A „classe lateral à direita‟ de em e gerada por , que denotamos por , é o subconjunto de definido por:

II – Classe lateral à esquerda: Sejam um grupo, um subgrupo de e um elemento arbitrário de . A „classe lateral à esquerda‟ de em e gerada por , que denotamos por , é o subconjunto de definido por: » Propriedades: Se é um subgrupo do grupo abeliano , então, as classes laterais à esquerda e à direita de em , geradas pelo elemento de coincidem; Se é um subgrupo do , então, todo elemento de pertence à sua classe lateral; Sejam um subgrupo do grupo e . As classes laterais à direita e (ou as classes laterais à esquerda e ) de em , geradas por e , respectivamente, coincidem se, e somente se, (ou ); Sejam um subgrupo do grupo e , então, as classes laterais à direita (ou à Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

31 esquerda) de em , determinadas por e são disjuntas ou coincidentes; Sejam um grupo, um subgrupo de e , com . Então, existe uma correspondência biunívoca entre e (ou e ); (Teorema de Lagrange) A ordem de qualquer subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo . 4.2. Questões propostas 93. Determine todas as classes laterais do subgrupo no grupo aditivo . (Solução 155) 94. Determine todas as classes laterais do subgrupo no grupo aditivo . (Solução 153) 95. Todas as possíveis operações do grupo estão representadas na tábua abaixo. Determine todas as classes laterais geradas pelo subgrupo em . (Solução 151) 96. Seja um subgrupo do grupo abeliano . Mostre que as classes laterais à esquerda e à direita de em , geradas pelo elemento de coincidem. (Solução 149) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

32 97. Sejam um grupo, um subgrupo de e , com . Prove que existe uma correspondência biunívoca entre e (ou e ). (Solução 147) 98. Sejam um subgrupo do grupo e . Prove que as classes laterais à direita (ou à esquerda) de em , determinadas por e são disjuntas ou coincidentes. (Solução 145) 99. Sejam um subgrupo do grupo e . Mostre que as classes laterais à direita e (ou as classes laterais à esquerda e ) de em , geradas por e , respectivamente, coincidem se, e somente se, (ou ). (Solução 143) 100. Seja um subgrupo do . Mostre que todo elemento de pertence à sua classe lateral. (Solução 141) 101. Seja um subgrupo do grupo . Mostre que o conjunto de todas as classes laterais à esquerda (ou à direita) de em é uma partição do conjunto . (Solução 139) 102. Seja um subgrupo do grupo e sejam . Prove que se, e somente se, . (Solução 137) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

33 103. Seja

um subgrupo do grupo . Prove que que . (Solução 135)

e sejam implica

104. Seja um subgrupo do grupo e sejam . Prove que implica que . (Solução 133) 105. Seja um subgrupo do grupo . Prove que e implica que . (Solução 131) 106. Determine todas as classes laterais de aditivo . (Solução 129)


e sejam

no grupo

34

6. Anéis e corpos 6.1. Resumo da teoria I – Anel: Seja um conjunto não vazio e munido de duas operações internas e . Dizemos que a terna ordenada é um anel quando forem satisfeitas as seguintes condições: O par é um grupo abeliano; O par é um semi-grupo; ; . II – Anel comutativo: Seja um anel. Dizemos que a terna ordenada é um „anel comutativo‟ se a operação for comutativa. III – Anel com unidade: Dizemos que a terna ordenada „anel com unidade‟, que denotamos por operação admitir elemento neutro.

é um , quando a

IV – Anel comutativo com unidade: Dizemos que a terna ordenada é um „anel comutativo com unidade‟ quando a operação for comutativa e admitir elemento neutro. V – Anel com divisão: Dizemos que a terna ordenada é um „anel com divisão‟ quando for um anel com unidade e todo elemento não nulo de for inversível em relação à operação . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

35 VI – Divisores do zero: Se e são elementos não nulos do anel que ou , então, e „divisores do zero‟ em .

tais são

VII – Anel de integridade: Dizemos que a terna ordenada é um „anel de integridade‟ quando for um anel comutativo com unidade e não possuir divisores do zero. VIII – Característica de um anel: Seja um anel e . Dizemos que é a „característica do anel ‟ se for o menor número que satisfaz a condição: Quando não existe que satisfaça tal condição, dizemos que o anel tem característica zero. IX – Subanéis: Sejam um anel e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um „subanel‟ quando: é fechado para as operações ⨁ e ; (ii) também é um anel. Com sendo um anel e um subconjunto de , essas duas condições podem ser sintetizadas na seguinte:

X – Corpo: Chamamos de corpo a todo anel comutativo com unidade e com divisão. XI – Corpo ordenado: Chamamos de „corpo ordenado‟ um corpo , no qual se destacou um subconjunto , Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

36 chamado o conjunto dos elementos „positivos‟ de , tal que as seguintes condições são satisfeitas: Os pares e são grupoides; Para qualquer , ocorre exatamente uma das três alternativas: ou ou ; em que – é chamado de conjunto dos „negativos‟. XII – Subcorpo: Sejam um corpo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um „subcorpo‟ quando: é fechado para as operações ⨁ e ; (ii) também é um corpo. Com sendo um corpo e um subconjunto de , essas duas condições podem ser sintetizadas na seguinte:

6.2. Questões propostas 107. Demonstre que se então , . (Solução 127)

é um anel qualquer,

108. Mostre que com as operações abaixo definidas é um anel comutativo com unidade: e . (Solução 125) 109. Verifique se a terna ordenada com as operações abaixo definidas é um anel comutativo com unidade. e (Solução 123) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

37 110. Seja um anel. Em estão definidas as seguintes operações: e . Verifique se é um anel com essas condições. (Solução 121) 111. Seja

um conjunto não vazio. Mostre que com as operações abaixo definidas é um anel comutativo com unidade: e . (Solução 119) 112.

O

conjunto com as

operações usuais de adição e multiplicação de matrizes é um anel de integridade? (Solução 117) 113. Verifique se a terna ordenada com as operações abaixo definidas é um anel comutativo com unidade: e . a) Por que não é um anel de integridade? b) Existem divisores de zero? (Solução 115) 114. Seja um anel em que , para todo Mostre que A é um anel comutativo. (Solução 113) 115. Demonstre que um anel somente se, (Solução 111)

.

é comutativo se, e . .


38 116. Demonstre que com as operações e , , é um anel comutativo com unidade. (Solução 109) 117. Determine as raízes das equações abaixo em cada anel indicado. a) em . b) em . c) em . d) em . e) em . (Solução 107) 118. Resolva o sistema abaixo em

:

(Solução 105) 119. Resolva o sistema abaixo em

:

(Solução 103) 120. Resolva o sistema abaixo em

.

(Solução 101) 121. Comente a seguinte afirmação: “Toda equação do 2º grau possui no máximo 2 raízes!” (Solução 99) 122. Comente a seguinte afirmação: “Toda equação de grau possui no máximo (Solução 97) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

raízes!”

39 123. Sejam , e elementos de um anel de integridade e característica . Demonstre que: a) b) c) d) e) (Solução 95) 124. Verifique se (Solução 93)

é um subanel de

.

125. Verifique se , sendo ℤ, é um sub anel de(ℚ,+,⋅). (Solução 91) 126. Sejam e

um subanel de um anel comutativo tal que . Verifique se é um subanel de .

(Solução 89) 127. Demonstre que a intersecção de dois subanéis é um anel. (Solução 87) 128. A terna é um anel mas não é um corpo? Justifique. (Solução 85) 129. A terna corpo? Justifique. (Solução 83) 130. Mostre que a terna operações

é um

, com as e é um corpo.

(Solução 81) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

40 131. Demonstre que: se , com ,

,

é um corpo qualquer, e , então,

(Solução 79) 132 Demonstre que: se com

é um corpo qualquer, , então,

(Solução 77) 133. Demonstre que: se , com

é um corpo qualquer, então,

(Solução 75) 134. Demonstre que: se com (Solução 73) 135. Demonstre que: se , com , então,

é um corpo qualquer, , então,

, é um corpo qualquer,

(Solução 71) 136. Demonstre que: se , então,

é um corpo qualquer,

(Solução 69)


41 137. Demonstre que: se , com , então,

é um corpo qualquer,

(Solução 67) 138. Num corpo ordenado , prove que e somente se, e . (Solução 65)

se,

139. Mostre que a interseção de dois subanéis também é um subanel. (Solução 63) 140. Verifique se (Solução 61) 141.

é um subanel de

Seja

.

é um subanel de (Solução 59)

Verifique

se

.

142. Sejam um subanel de um anel comutativo e tal que Verifique se ,+,∙) é um sub anel de ,+,∙. (Solução 57) 143. Mostre que em um corpo ordenado . (Solução 55) 144. Mostre que num corpo qualquer: (Solução 53) Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

42 145. Mostre que num corpo ordenado se (Solução 51) 146. Demonstre que a interseção de dois subcorpos de um mesmo corpo também é um subcorpo. (Solução 49) 147. Seja o conjunto dos números da forma tais que e . Verifique se corpo. (Solução 47) 148. Demonstre que corpo. (Solução 45)

, sendo


, é um

um primo, é um

43

7. Homomorfismo de Anéis 7.1. Resumo da teoria I – Homomorfismo de anéis: Sejam e Chamamos de homomorfismo a toda aplicação que:

dois de

anéis. em , tal

II – Núcleo de um homomorfismo: Sejam um homomorfismo de grupos e o elemento neutro do grupo . Chamamos „núcleo‟ ou „Kernel‟ do homomorfismo ao conjunto:

III – Homomorfismos especiais: Seja um homomorfismo de grupos. Dizemos que é um: „Monomorfismo‟ quando a aplicação for injetora; „Epimorfismo‟ quando a aplicação for sobrejetora; „Isomorfismo‟ quando a aplicação for bijetora; „Endomorfismo‟ quando a aplicação for um homomorfismo de em si próprio; „Automorfismo‟ quando o endomorfismo for um isomorfismo.


44 7.2. Questões propostas 149. Seja anéis. Prove que (Solução 43)

um homomorfismo de .

150. Seja anéis. Prove que (Solução 41)


151. Seja grupos. Prove que (Solução 39)



um homomorfismo de é um subanel de


um homomorfismo de é um subanel de

154. Sejam e homomorfismos de anéis. Mostre que um homomorfismo de anéis. (Solução 33) 155. Verifique se

é

, definida por é um homomorfismo de anéis.

(Solução 31)


45 156. Sejam e isomorfismos de anéis. Mostre que isomorfismo de anéis. (Solução 29) 157. Sejam os anéis e

e

, com homomorfismo de anéis. (Solução 27) 158. Mostre que injetor com (Solução 25)

é um

, sendo . Verifique se é um

forma um monomorfismo .

159. Sejam os anéis e

e

. Verifique se é um isomorfismo.

, com a

e função

(Solução 23) 160. Mostre que se é um homomorfismo de anéis e um subanel de , então, é um subanel de . (Solução 21)

161. Sejam e dois anéis. Mostre que a função definida por é um homomorfismo do anel no anel , sendo com o produto direto. (Solução 19)


46 162. Mostre que epimorfismo de anéis, em que

é

um

é definida por:

(Solução 17) 163. Mostre que automorfismo de

a

função , em que

é um é definida por:

(Solução 15) 164. Sejam um com divisão e . Mostre que a função é um automorfismo de , em que é definida por: (Solução 13) 165. Sejam os anéis e . Considerando o produto direto em , verifique se é um homomorfismo. (Solução 11) 166. Seja o anel . Considerando o produto direto em , mostre que é um endomorfismo e determine o núcleo desse endomorfismo. (Solução 9) 167. Seja definida por . Mostre que é um homomorfismo de anéis e encontre o núcleo desse homomorfismo. (Solução 7) 168. Seja

definida por Considerando o Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

47 produto direto de , encontre os valores de e para que seja um homomorfismo. (Solução 5) 169. Seja o anel definidas:

, ,

com as operações assim + a b

A A B

b b a

a b

A A A

b a b

Mostre que a função , tal que é um isomorfismo de . (Solução 3)

e em

170. Seja ( um anel, munido das operações de adição e multiplicação assim definidas:

Mostre que a aplicação é um epimorfismo de anéis. (Solução 1)

, tal que


48

8. Soluções → Solução 1 » Sejam e Calculando:

e mais

, temos, então, e .

Vemos que é um homomorfismo de anéis. Seja . Tomando , teremos . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um epimorfismo de anéis. → Solução 2 Item a) Primeiro, devemos encontrar o conjunto . Como e , temos . Agora, temos e . Efetuando o produto teremos: . Item b) » Primeiro, devemos encontrar o conjunto . Como e , temos . Agora, temos e . Efetuando o produto teremos: .


49 Item c) » Primeiro, devemos encontrar o conjunto . Como e , temos . Agora, temos e . Efetuando o produto teremos: . Item d) » Primeiro, devemos encontrar os conjuntos e . Como , e , temos e . Agora, devemos determinar a união dos conjuntos e . Teremos, então: . Item e) »

Como

(visto

no

item

e . Devemos, determinar a interseção dos conjuntos Teremos, assim:

e

d) então, .

. Item f) » Primeiro, devemos encontrar o conjunto . Como e , temos . Agora, temos e . Efetuando o produto teremos: .


50 → Solução 3 » Sejam . Para e temos três possíveis casos, são eles: . Então, , e . Logo, . . Então, , e . Logo, . e . Então, , e . Logo, . Vemos que nos três possíveis casos . Podemos anuir, então, que é um homomorfismo de anéis. Pela própria forma como a função é definida, vemos que se , então . Podemos anuir, assim, que é injetora. Seja . Temos, então, dois possíveis valores para : . Adotando , teremos . . Adotando , teremos . Vemos, assim, que para todo , existe um tal que . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um isomorfismo de em . → Solução 4 Item a) » O produto gráfico:

pode ser representado pelo


51

O produto


gráfico:

Item b) » O produto


gráfico:

O produto


gráfico:


52

Item c) » O produto


gráfico:

O produto


gráfico:

Item d) » O produto


gráfico:


53

O produto


gráfico:

→ Solução 5 » Sejam . Calculando:

, então,

Vemos que para quaisquer valores de temos . Calculando:


e

, ,

e

54

Para que

deve ocorrer

que:

Logo, , , e . Os valores que satisfazem, simultaneamente, essas igualdades podem ser expressos pelo conjunto:

Portanto, homomorfismo quando a dupla ordenada possuir os seguintes valores , , , , ou . → Solução 6 Item a) » Substituindo os elementos de teremos: ; ; ; ; . Portanto, temos que , , Sendo assim, temos


é um , ,

na relação,

,

. .

55 O domínio da relação é composto pelos elementos das primeiras componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . A imagem da relação é composta pelos elementos das segundas componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . Para obter a relação inversa, podemos inverter os pares ordenados da relação, assim teremos: . Item b) » Substituindo os elementos de teremos: ; ; ; ; . Portanto, temos que

na relação

. O domínio da relação é composto pelos elementos das primeiras componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . A imagem da relação é composta pelos elementos das segundas componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . Para obter a relação inversa, podemos inverter os pares ordenados da relação, assim teremos:


56 . Item c) » Substituindo os elementos de na relação, teremos: ; ; ; ; . Portanto, temos que , . Sendo assim, temos . O domínio da relação é composto pelos elementos das primeiras componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . A imagem da relação é composta pelos elementos das segundas componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . Para obter a relação inversa, podemos inverter os pares ordenados da relação, assim teremos: . Item d) » Substituindo os elementos de na relação teremos: ; e ; e ; ; , e . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

57 Portanto, temos que . O domínio da relação é composto pelos elementos das primeiras componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . A imagem da relação é composta pelos elementos das segundas componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . Para obter a relação inversa, podemos inverter os pares ordenados da relação, assim teremos: . → Solução 7 » Sejam

Seja Logo,

. Calculando:

Vemos que é um homomorfismo anéis. . Como , temos que .

.

→ Solução 8 Item a) » Como é uma relação sobre o conjunto , os pares ordenados pertencentes a também pertencem ao conjunto . Segue que os elementos que constituem os pares ordenados de pertencem ao conjunto . Assim, temos que . Mas, é formado por elementos, então, .


58 Item b) » O domínio da relação é composto elementos das primeiras componentes dos ordenados da relação, neste caso: A imagem da relação é composta elementos das segundas componentes dos ordenados da relação, neste caso:

pelos pares . pelos pares .

Item c) Para obter a relação inversa, podemos inverter os pares ordenados da relação, assim teremos: . O domínio da relação é composto pelos elementos das primeiras componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . A imagem da relação é composta pelos elementos das segundas componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . → Solução 9 » Sejam . Calculando:

, então,

e

Vemos que é um homomorfismo de em . Portanto, é um endomorfismo de em . Como , temos que . Logo, .


59 → Solução 10 » Para encontrarmos o domínio e a imagem da relação, devemos analisar isoladamente as variáveis e . Devemos, então, isolar a variável na relação , assim, teremos . Como o conjunto de partida é o conjunto dos números naturais, assim como o de chegada também o é, devemos utilizar valores que sejam associados a valores . Dessa forma, teremos: . O domínio da relação é composto pelos elementos das primeiras componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . A imagem da relação é composta pelos elementos das segundas componentes dos pares ordenados da relação, neste caso: . Para obtermos a relação inversa, podemos inverter os pares ordenados da relação, assim teremos: . Sendo assim, temos: e . → Solução 11 » Sejam

. Calculando:

Portanto, homomorfismo de

em


não .

é

um

60 → Solução 12 Item a) » Seja

. Assim, temos: .

(ii) . Segue de (ii) que: (iii) Os conjuntos (i) e (iii) podem ser entendidos como todos os elementos , tal que existe pelo menos um que se relaciona com . Portanto, . Item b) » Seja

. Assim, temos: .

(ii) Segue de (ii) que: (iii) I

.

Os conjuntos (i) e (iii) podem ser entendidos como todos os elementos , tal que existe pelo menos um que se relaciona com . Portanto, . Item c) » Seja

Mas,

. Assim, temos: . Segue que: . , então, Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

.

61 → Solução 13 » Sejam

. Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de anéis. Supondo que , segue que . Compondo, em ambos os membros, à esquerda com e à direita com , teremos que . Com efeito, . Logo, é injetora. Seja . Tomando , teremos que . Logo, é sobrejetora. Nessas condições, temos que é um isomorfismo. Como , temos que é um endomorfismo. Portanto, é um automorfismo de , em que é definida por → Solução 14 Item a) » Item b) »

. .


62 Item c) »

.

Item d) »

.

→ Solução 15 » Seja . Para e temos seis possíveis casos, são eles: . Então, , e . Logo, . . Então, , e . Logo, . . Então, , e . Logo, . e . Então, , e . Logo, = + . e . Então, , e . Logo, = + . e . Então, , e . Logo, = + . Vemos que nos seis possíveis casos . Podemos anuir, então, que é um homomorfismo de anéis. Pela própria forma como a função é definida, vemos que se , então . Podemos anuir, assim, que é injetora. Seja . Temos, então, três possíveis valores para : . Adotando

, teremos


.

63 . Adotando . Adotando

, teremos , teremos

. .

Vemos assim que, para todo , existe um tal que . Logo, é sobrejetora. Nessas condições, vemos que é um isomorfismo. Como , temos que é um endomorfismo. Portanto, a função é um automorfismo de anéis, em que é definida por: → Solução 16 Item a) » Sejam e

. Então, temos que . Como e são simétricas, e . Logo, . Portanto, é simétrica. Sejam . Então, temos que ou . Como e são simétricas, ou . Logo, . Portanto, é simétrica. Item b) » Sejam e

Portanto,

. Então, temos que . Como e são transitivas, e . Logo, . também é transitiva.

Item c) e (

» Seja ( . Logo, (

. Então, ( e (


. Assim,

64 (

,

então,

. Agora seja . Segue daí que ( e . Temos, então, que Portanto,

(

.

Logo,

. Então, e ( . Logo, . Assim, . .

Item d) » Seja ( . Então, ( ou ( . Logo, ( e ( . Assim, ( , então, ( . Logo, . Agora, seja . Então, . Segue daí que ( ou ( . Logo, ou . Assim, . Temos, então, que . Portanto, . Item e) » Seja

uma relação transitiva. Temos, então: . Segue que: . Assim, temos que , e . Portanto, também é uma relação transitiva. Item f) (

» Seja ( e ( . Sendo assim,

. Então, ( , temos que ( é simétrica.


. Como ,(

65 → Solução 17 » Sejam . Para e temos três possíveis casos, são eles: Se e são ímpares, temos que e , logo . Como e são ímpares, temos que é par, logo . Sendo assim, temos que . Se e são pares, temos que e , logo . Como e são pares, temos que é par, logo . Sendo assim, temos que . é ímpar e é par, temos que e , logo . Como é ímpar e é par, temos que é ímpar, logo . Sendo assim, temos que . Vemos que nos três possíveis casos . Podemos anuir, então, que é um homomorfismo de anéis. Seja . Temos, então, dois possíveis valores para : . Tomando qualquer par, teremos . . Tomando qualquer ímpar, teremos . Vemos assim que, para todo , existe um tal que . Logo, é sobrejetora. Portanto, nestas condições, é um epimorfismo de anéis. → Solução 18 Item a) » Reflexiva e simétrica. Item b) » Reflexiva e antissimétrica. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

66 Item c) » Antissimétrica. Item d) » Reflexiva, simétrica e transitiva. Item e) » Simétrica, transitiva e antissimétrica. → Solução 19 » Sejam e

Vemos, a partir de do anel

, temos, então, . Calculando:

e , que no anel

é um homomorfismo .

→ Solução 20 Item a) » Seja . Se , então, ; segue que . Logo, não é reflexiva. Portanto, não é uma relação de equivalência. Item b) » Seja . Se , então, ; mas isso é absurdo, pois . Logo, não é reflexiva. Portanto, não é uma relação de equivalência. Item c) que

» Sejam . Se , então, ; segue , então, . Logo, não é simétrica. Portanto, não é uma relação de equivalência. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

67 Item d) » Sejam . Se , ; segue que . Logo, é reflexiva. Se , então, ; multiplicando a equação por , temos , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; somando as duas equações, temos , que equivale a ; então, , logo é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. → Solução 21 » Sejam Calculando:

, logo

.

Como é um subanel, , segue, então, que . Portanto, se é um homomorfismo de anéis e um subanel de , então é um subanel de . → Solução 22 » Sejam , então, , e . Se , ; logo, é reflexiva. Se , então, , que equivale a , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; segue que , então, x ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. → Solução 23 » Sejam

e Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

. Calculando:

68

Supondo que , segue que . Pela igualdade de pares ordenados, temos que . Então, é injetora. Seja . Tomando , temos . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um isomorfismo de anéis. → Solução 24 » Sejam e . Se reflexiva. Se , então, , então, ; logo, , então, , então,

e

, então

, , ; logo, é ; que equivale a é simétrica. Se e ; segue que

, que equivale a

; logo, é transitiva. Portanto, equivalência.

e , então,

é uma relação de

→ Solução 25 » Sejam , então temos . Tomando por base a função

e

definida por

, vemos que:

Vemos, a partir de homomorfismo. Supondo que

e


, que ,

segue

é um que

69

. Pela igualdade de matrizes, temos que . Então, é injetora. Portanto, é um monomorfismo injetor de anéis. → Solução 26 » Sejam . Se , então, ; logo, é reflexiva. Se , então, ; que equivale a , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; segue que , então, ; logo é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. Se , então, ; logo, é reflexiva. Se , então, , que equivale a , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; segue que , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. → Solução 27 » Sejam

. Calculando:

Vemos, a partir de e , que é um homomorfismo. Supondo que , segue que . Logo, . Então, é injetora. Seja , tomando e calculando Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

70 , vemos que . Então, sobrejetora. Logo, é bijetora. Portanto, é um homomorfismo.

é

→ Solução 28 » Seja . Se , então, ; mas isso é absurdo, pois uma reta não pode ser perpendicular a ela mesma; então . Dessa forma, vemos que não é reflexiva, então, não é uma relação de equivalência. → Solução 29 » Como visto na questão 154, é um homomorfismo de anéis. Supondo que , segue que, por ser injetora, . Mas, também é injetora, então, . Logo, é injetora. Seja . Para todo , existe tal que , pois é sobrejetora. Como também é sobrejetora, existe tal que . Dessa forma, temos que . Logo, é sobrejetora. Portanto, sendo e isomorfismos de anéis, também é um isomorfismo de anéis. → Solução 30 » Sejam . Se , então, ; de fato , assim, é reflexiva. Se então, ; multiplicando a equação por teremos , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; somando as duas equações, teremos Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

71 , que equivale a , então ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. → Solução 31 » Sejam ; então, temos . Calculando:

Portanto, a partir de e é um homomorfismo de anéis.

e

, verificamos que

→ Solução 32 » Sejam . Se , então, e têm a mesma paridade; de fato, assim, é reflexiva. Se então, e têm a mesma paridade; segue que e têm a mesma paridade, então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e têm a mesma paridade e e têm a mesma paridade; segue que e têm a mesma paridade, então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. → Solução 33 » Calculando é um homomorfismo: Mas,

também é um homomorfismo, então:

Calculando um homomorfismo: Mas,

, temos que, como

, temos que, como

também é um homomorfismo, então: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

é

72

que

Portanto, podemos anuir, a partir de é um homomorfismo de anéis.

e

,

→ Solução 34 » Sejam ; de fato então, teremos simétrica. Se

. Se , então, , assim, é reflexiva. Se ; multiplicando a equação por , então, ; logo, é e , então, e ; somando as duas equações, teremos , que equivale a , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência.

→ Solução 35 » Sejam e

Vemos que Portanto, → Solução 36 » Como

e

, temos, então, que . Calculando:

. é um subanel de

, temos . Assim, temos: , , , . Portanto, .


73 → Solução 37 » Sejam . Como visto no exercício 151, , pois é um homomorfismo. Como é um anel, temos que ∈ . Dessa forma, − ∈ . Temos ainda que , pois é um homomorfismo. Pelo fato de ser um anel, segue que . Sendo assim, temos que . Portanto, como , é um subanel de → Solução 38 » Sejam . Se , então, ; de fato, assim, é reflexiva. Se então, , que equivale a , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; segue que , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. Como , temos . Assim, temos: , , , e . Portanto, temos o conjunto quociente . → Solução 39 » Sejam . . Como

. Por ser um anel, temos que Dessa forma, é um homomorfismo, segue que .

Como


visto

no

74 exercício 150,

. Decorre daí que .

Portanto,

.

→ Solução 40 » Sejam . Se , então, ; de fato, assim, é reflexiva. Se então, ; multiplicando a equação por teremos , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; somando as duas equações, teremos , que equivale a , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. Como é definida por , temos: e

.

→ Solução 41 » Seja . Pelo fato de ser um anel, temos que . Como − = 0 =0 , segue que 0 = + (− ), que equivale a . Portanto,

.

→ Solução 42 » Sejam , então, e . Se , então, fato, assim, é reflexiva. Se ; segue que

, ; de então, , então,


;

75 logo,

é simétrica. Se e , então, e ; segue que , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. Como é definida por , temos: .

→ Solução 43 » Podemos escrever . Como é um homomorfismo, temos: . Subtraindo de ambos os membros, temos . Portanto, . → Solução 44 » Sejam , então, , e . Se , então, ; de fato, assim, é reflexiva. Se então, ; segue que , então, ; logo, é simétrica. Se e , então, e ; segue que e , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência. → Solução 45 » Sejam Temos, então, que

e ,

Vemos, a partir de

. e

e

. Calculando:

, que


é associativa

76 em

e, a partir de , que Supondo que exista

é comutativa em , tal que:

.

Vemos que possui elemento neutro em Supondo que exista , tal que:

.

Vemos que todo elemento de

é simetrizável

em . Portanto, o par Calculando:

é um grupo abeliano.

Vemos, a partir de e , que é associativa em , a partir de , que é comutativa em e, a partir de , em que valem as leis distributivas do produto na soma. Supondo que exista , tal que: Vemos que possui elemento neutro em Supondo que exista , tal que:

Com , pois Ainda mais, temos que diofantina

.

, equivale a . Segue daí que . Sendo assim, e – são os resultados da equação , visto que o , pois é primo. Facilmente, vemos que todo elemento de , diferente do zero de , é simetrizável em . Seja o produto , segue daí que ou , pois é primo. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

77 Portanto, nestas condições, vemos que a terna ordenada . → Solução 46 » Sejam , então, , e . Se , então, e ; de fato, assim, é reflexiva. Se e , então, e y ,e , e ; segue que e , então, ; logo, é antissimétrica. Se e , então, e ,e , u e ; segue que e , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de ordem. → Solução 47 » Sejam

, então, temos:

Calculando:


78

Vemos, a partir de e , que . Portanto, é um subcorpo do corpo dos números complexos. Sendo assim, é um corpo. → Solução 48 » Sejam . Se , então, ; de fato, assim é reflexiva. Se e , então, e ; segue que , então, é antissimétrica. Se e , então, e ; segue que , então, ; logo é transitiva. Portanto, é uma relação de ordem. → Solução 49 » Sejam e Se Como e ,( −1)∈ e − Portanto, .

e

subcorpos de

. , então, e . são subcorpos, temos que ,( −1)∈ . Decorre daí que . também é um subcorpo do corpo


79 → Solução 50 Item a) » Como visto no exercício, é uma relação de ordem. Logo, é uma relação de ordem parcial em . Item b) » Sejam , temos, então, e . Agora, adotemos , , e , tais que e . Segue daí que, neste caso, não se relaciona com . Portanto, não é uma relação de ordem total em . → Solução 51 » Como visto no exercício 143, se Então, ou . Sendo , e as partes positiva, negativa e nula do corpo , temos que ou (pois e são denominadores), decorre daí que, pelas propriedades de corpo ordenado, . Portanto, num corpo ordenado :

→ Solução 52 » Sejam , então, , e . Se , então e ; de fato, pois é reflexiva; logo, é reflexiva. Se e , então, e , e, e ; como é antissimétrica, e , então, ; logo, é Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

80 antissimétrica. Se e , então, e e ; como é transitiva, segue que , então, ; logo, é transitiva. Portanto, é uma relação de ordem. → Solução 53 » Sejam 131, temos que:

, e, e

, como visto no exercício

Ao afirmar que: Segue que:

Que equivale a:

Se

, temos que:

Mas, se , como é um corpo, podemos multiplicar ambos os membros da equação por . Assim teremos:

Ou ainda,

, que equivale a . Temos, assim, que

. Portanto, num corpo

qualquer:


81 → Solução 54 Item a) » A relação de ordem habitual é: Assim, temos:

.

Item b) » A relação de ordem habitual é: Assim, temos:

.

→ Solução 55 » Sejam e ,– e as partes positiva, negativa e nula, respectivamente, do corpo . Para temos: Se , então . Se , então . Se , então . Dessa forma, para todo , temos que . Logo, pela propriedade de corpos ordenados, a somatória .


82 → Solução 56 » Podemos escrever . ordem por inclusão é: diagrama:

→ Solução 57 » Seja temos e

A relação de . Assim, temos o

; sendo assim, . Calculando:

Vemos que

, pois

2, 1 2∈ , uma vez que ( ,+,∙) é um subanel. Portanto, .

é um sub anel de

→ Solução 58 » Temos que, em , o diagrama:


. Assim, temos

83 → Solução 59 » Seja e

; sendo assim, temos . Calculando:

Vemos que é um subanel de

. Portanto, .

→ Solução 60 » Podemos escrever . A relação de ordem . Assim, temos o

por inclusão é: diagrama:

→ Solução 61 » Sejam e . Calculando:

Vemos,

assim,

; sendo assim, temos

que


.

84 Portanto,

é um subanel de

.

→ Solução 62 Item a) » Sejam . Supondo que , segue que . De fato, é reflexiva. Supondo que e , segue que e . Isto ocorre se, e somente se, . Logo, é antissimétrica. Supondo que e , segue que e . Temos assim que, e . Substituindo em , teremos . Logo, . Dessa forma, é transitiva. Portanto, é uma relação de ordem parcial. Item b) » Sejam . Adotando , segue que não divide . Portanto, R não é uma relação de ordem total em . → Solução 63 » Sejam anel e Como e Pelo fato de subanéis, segue que

e

subanéis de um . , temos que . e

serem e

. Se

e

, então,

.

Portanto, subanel. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

também é um

85 → Solução 64 » Sejam uma relação de ordem parcial sobre e . Como é uma relação de ordem parcial sobre o conjunto , segue que: é reflexiva, logo . Então, . Assim, é reflexiva. é antissimétrica, logo, . Então, . Assim, é antissimétrica. é transitiva, logo, . Então, . Assim, é transitiva. Portanto, se é uma relação de ordem parcial sobre , então, é uma relação de ordem parcial sobre . → Solução 65 » Sejam e e – as partes positiva e negativa do corpo . Para temos: Se , então . Se , então . Se , então . Analogamente temos para . Dessa forma, se , então e , pois e não podem ser simétricos entre si. Agora, se e , então . Portanto, num corpo ordenado , se, e somente se, e . → Solução 66 » Sejam Calculando

, então, temos teremos: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

e

.

86

Portanto, composição interna.

. Então,

→ Solução 67 » Como

é uma lei de

é um corpo, temos:

Podemos escrever:

Multiplicando ambos os membros por teremos:

,

Logo,

Portanto,

→ Solução 68 » Sejam

, então, temos: e

. Calculando

teremos:

Portanto, composição interna.

. Logo,


é uma lei de

87 → Solução 69 » Podemos escrever:

Como veremos no exercício 137:

Então teremos que:

Portanto,

→ Solução 70 » Sejam . Supondo que , segue que ; subtraindo de ambos os membros, teremos , que equivale a . Portanto, temos que todo elemento de é regular. → Solução 71 » Podemos escrever: Isto ocorre pelo fato de

ser um corpo.

→ Solução 72 » A operação em pode ser representada pela seguinte tábua: 1 3 5 15 1 1 1 1 1 Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

88 3 5 15

1 1 1

3 1 3

1 5 5

3 5 15

→ Solução 73 » Podemos escrever: Portanto,

→ Solução 74 » A operação em pode ser representada pela seguinte tábua: M N P Q M M M M M M N N N N M N P P P M N P Q Q → Solução 75 » Como veremos no exercício 135, Então, temos que:

Como visto no exercício 132, temos:

Como

é um corpo, temos: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

89

→ Solução 76 Item a) » Sejam

. Calculando:

Vemos, a partir de (i) e (ii), que não é associativa em e, a partir de (iii), que é comutativa em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que não possui elemento neutro em . Item b) » Sejam

. Calculando:


90

em

Vemos, a partir de (i) e (ii), que é associativa e, a partir de (iii), que é comutativa em . Supondo que exista , tal que: Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que nem todos os elementos de simetrizáveis em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que, não necessariamente, Portanto, os elementos de não são regulares em . Item c) » Sejam

. Calculando:


são

.

91 Vemos, a partir de (i) e (ii), que associativa em e, a partir de (iii), que comutativa em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que

não é não é

possui elemento neutro à esquerda

em . Supondo que exista

Vemos que são regulares em .

, tal que:

. Portanto, os elementos de

Item d) » Sejam e

em

, então, temos . Calculando:

,

Vemos, a partir de (i) e (ii), que é associativa e, a partir de (iii), que é comutativa em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que possui elemento neutro em . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

92 Supondo que exista

, tal que:

Vemos que nem todos os elementos de simetrizáveis em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que são regulares em .

são

. Portanto, os elementos de

Item e) » Sejam e

em


,


Vemos que não possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que: Vemos que, não necessariamente, Portanto, os elementos de não são regulares em .


.

93 → Solução 77 » Podemos escrever: Como

, temos:

Como é distributividade. Assim temos:

um

anel,

vale

a

Portanto,

→ Solução 78 Item a) » Sejam

. Calculando:

Para que seja associativa em , devemos ter: e ; então e . Item b) » Sejam

. Calculando: . . Para que seja comutativa em , devemos ter: . Item c) » Sejam

. Supondo que exista

tal que: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

,

94

Para que devemos ter: ,

admita elemento neutro em e

,

.

→ Solução 79 » Se Então . Multiplicando por membros, teremos: Como é um corpo, vem:

ambos os

Seja . Multiplicando por ambos os membros, vem: Como

é um corpo, segue que

. Logo, Portanto, se se, e somente se,

é um corpo, então, ,

.

→ Solução 80 » Adotando como a multiplicação usual em , a operação pode ser representada pela seguinte tábua: 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

95 3 4

3 4

1 3

4 2

2 1

→ Solução 81 » Sendo um anel, temos que o par é um grupo abeliano, como visto no exercício 110. Sejam , temos, então, , e . Calculando:

Vemos, a partir de e , que é associativa, a partir de (3), que é comutativa e, a partir de , que é distributiva em relação à . Sendo assim, temos que a terna ordenada é um anel comutativo. Supondo que exista , tal que:

logo

Vemos que possui elemento neutro em , é um anel com unidade. Supondo que exista , tal que: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

96

Vemos que todos os elementos, diferentes do zero do anel são inversíveis em relação à . Portanto, a terna é um corpo. → Solução 82 Item a) » Vide questão 38 item e). Item b) » Sejam e

em


,


Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que nem todos os elementos de simetrizáveis em .


são

97 Item c) » Sejam e

em


,


Vemos que não possui elemento neutro em . Item d) » Vide exercício 38 item d). Item e) » Sejam e



,

98

em


Vemos que não possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em . → Solução 83 » Sejam e

em

, então, . Calculando:

são

,

Vemos a partir de e , que + é associativa e, a partir de , que + é comutativa. Supondo que existe , tal que: . Portanto, o par (C,+) é um grupo abeliano. Calculando: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

99

Vemos que é associativa, a partir de e que é comutativa, a partir de . Supondo que exista , tal que:

e

,

. Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que nem todos os elementos de inversíveis em . Portanto, não é um corpo. → Solução 84 Item a) » Sejam e

, então, temos

. Calculando:


,

são

100

em



Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em .

são

Item b) » Sejam

em

. Calculando:



101 Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em .

são

Item c) » Sejam e

em


,

Vemos, a partir de (i) e (ii), que é associativa e, a partir de (iii), que não é comutativa em . Supondo que exista , tal que:


Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

são

102 Item d) » Sejam

em

. Calculando:


Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em . → Solução 85 » Os elementos de

são

não são inversíveis em .

→ Solução 86 » Sejam , então, temos . Calculando: Vemos que é comutativa em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que possui elemento neutro em . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

e


, tal que:

Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em . → Solução 87 » Sejam e . Se Como e , e Logo, Portanto,

subanéis de

, são

e

, então e . são subanéis, temos que , . . é um subanel de .

→ Solução 88 » Suponhamos que e sejam elementos neutros de em . Se é elemento neutro, então, . Mas também é elemento neutro, logo, . Como , temos que . Portanto, existe apenas um elemento neutro. → Solução 89 » Sejam Calculando:

, então,

e

.

Vemos que , , a partir de e , respectivamente. Isso ocorre pelo fato de ser subanel, logo , . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

104 Portanto, .

é um subanel de

→ Solução 90 » Suponhamos que e sejam elementos simétricos de em e o elemento neutro de . Como é associativa, temos que: . Sendo o elemento neutro, segue que: . Como é o elemento neutro, temos . Portanto, se uma operação sobre um conjunto é associativa e tem elemento neutro, então, se o elemento simétrico de x existir ele é único. → Solução 91 » Sejam Calculando:

, então,

Vemos que , respectivamente. Portanto,

e

.

, a partir de é um subanel de

e

.

→ Solução 92 » Sejam o elemento simétrico de e o elemento neutro de . Supondo que seja simetrizável, adotaremos como seu elemento simétrico. Como é associativa, temos:


105 . Sendo o elemento neutro, segue que . Que equivale a . Portanto, se uma operação sobre um conjunto é associativa e tem elemento neutro, então, o elemento simétrico de x é simetrizável e . → Solução 93 » Sejam temos ainda

, então . Calculando:

e

Vemos que , a partir de e , respectivamente. Portanto, é um subanel de . → Solução 94 » Sejam os elementos simétricos de e o elemento neutro de . Supondo que seja simetrizável, temos . Compondo à esquerda por em ambos os membros teremos: ; como é associativa, segue que ; mas, é o simétrico de , então, temos . Compondo à esquerda com em ambos os membros teremos: ; que equivale a , pois e são simétricos. Portanto, se uma operação sobre um conjunto é associativa e tem elemento neutro e e são elementos simetrizáveis em relação à operação , então, .


106 → Solução 95 Item a) » Como o anel é comutativo, temos que: . Mas o anel é de característica 2, então: . Item b) » Podemos escrever: Como visto anteriormente, . Logo, . Portanto,

. , então,

.

Item c) » Podemos calcular usando o Binômio de Newton, uma vez que o anel é comutativo. Assim temos: . Como o anel tem característica , e , temos . Item d) »

Podemos escrever: . Como visto no item a), . Então, temos Portanto,

². .

Item e) » Podemos escrever: . Segue que: . Portanto, temos:


.


,

então,

temos

e

.

Calculando:

Como temos que Portanto, de matrizes em

,

. é fechado para a multiplicação usual .

→ Solução 97 » É válida no anel dos complexos, podemos mudar o anel para que a afirmação acima se torne falsa. → Solução 98 » Sejam e


Vemos que . Portanto, para a multiplicação usual de complexos.

é fechado

→ Solução 99 » Esta afirmação torna-se falsa apenas mudando o anel em questão. Isso pode ser observado na questão 116, em que as equações são do segundo grau, e a do item e), por exemplo, possui quatro raízes. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

108 → Solução 100 » Sejam . Calculando:

, então temos

e

Vemos que , então, é um conjunto fechado em relação à operação adição usual. → Solução 101 » Multiplicando por a segunda equação, teremos: . Que equivale à equação: . Podemos reescrever o sistema com essa equação e teremos:

Somando as duas equações, teremos: que equivale à equação: Substituindo

na primeira equação, teremos:

Adicionando

em ambos os membros, teremos:

Que equivale à equação: Por substituição, vemos que Portanto, o conjunto solução é → Solução 102 » Sejam . Calculando:

.

, então, temos


.

e

109 Vemos que , então, é um conjunto fechado em relação à operação produto usual em . → Solução 103 » Multiplicando a segunda equação por 4, teremos: Que equivale a: . Por substituição, vemos que: , , , . Substituindo os valores de na primeira equação, teremos: (1) Para , vem . Que equivale a: . Logo, não existe , tal que . (2) Para , vem . Que equivale a: . Logo, , , , , e . (3) Para , vem . Que equivale a: . Logo, não existe , tal que . (4) Para , vem . Que equivale a: . Logo, , , , e . Dessa forma, temos como possíveis soluções os pares: , , , , , , , , , , , . Mas por verificação, vemos que os pares , , , , , , , e não são válidos. Portanto, o conjunto solução é . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá


, então, temos

e

. Calculando:

Vemos que , então, é um conjunto fechado em relação à operação produto usual em . → Solução 105 » Somando as duas equações, teremos a equação: Que equivale à equação: Substituindo o valor de na primeira equação, teremos: que equivale à equação: Adicionando

em ambos os membros, teremos:

Que equivale à equação: Por substituição, vemos que Portanto, o conjunto solução é → Solução 106 » Sejam , então, temos . Calculando:


. .

e

111 Vemos que , então, é um conjunto fechado em relação à operação produto usual de números reais. → Solução 107 Item a) » Primeiro devemos construir a tábua de

Tábua de

.

Consultando a tábua de , vemos que , , e . Portanto, o conjunto solução é , , Item b) » Primeiramente, devemos fatorar a equação. Adicionando 4 em ambos os membros, teremos: ; que equivale à equação: Pela distributividade, temos: Consultando a tábua do item a), vemos que: e . Portanto, o conjunto solução é . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

112 Item c) » Adicionando 2 em ambos os membros, teremos: Que equivale à equação: Pela distributividade, temos: Consultando a tábua do item a), vemos que: . Portanto, o conjunto solução é . Item d) » Adicionando 4 em ambos os membros, teremos: Que equivale à equação: Pela distributividade, temos que: Consultando a tábua de no item a), vemos que a equação não possui solução. Portanto, o conjunto solução é . Item e) » Primeiro devemos construir a tábua de


113

Tábua de Agora, devemos fatorar a equação. Adicionando em ambos os membros, teremos: Que equivale à equação: Pela distributividade temos: ; que equivale à equação: Consultando a tábua de

, vemos que:

e Portanto, o conjunto solução é

, .

→ Solução 108 » Sejam , então, temos e . Calculando:

Vemos a partir de (i) e (ii), que

é associativa


Vemos que

, tal que:

possui elemento neutro em .


,


, tal que:

Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo.

→ Solução 109 » Sejam

. Calculando:

Vemos que é associativa e comutativa em , a partir de e ,e , respectivamente. Supondo que exista , tal que. Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que: . Vemos que todo elemento de

é simetrizável

em . Portanto, o par Calculando:


Vemos que é associativa, comutativa e distributiva, a partir de e e (3), respectivamente. Supondo que exista , tal que:


115 Vemos que possui elemento neutro em . Portanto, a terna ordenada é um anel comutativo com unidade. → Solução 110 » Sejam , então, temos e . Calculando:

Vemos a partir de (i) e (ii) que

,

é associativa


, tal que:

Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que: Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo. → Solução 111 » Sejam temos que: Como Sejam temos que:

um anel comutativo e

é comutativo,

. Então:

e

Como

,

, temos: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

,

116

Que equivale a: Segue então que: Logo, é um anel comutativo. Portanto, uma anel é comutativo se, e somente se, , . → Solução 112 » Como visto no exercício 42 (item d): É associativa, comutativa e possui elemento neutro. Todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo abeliano. → Solução 113 » Sendo

, temos que:

Que equivale a: Segue, então, que: Logo, Agora, com

. , temos que:

Que equivale a: Segue, então, que:


117 Logo: Mas

, então:

Portanto,

é um anel comutativo.

→ Solução 114 » Sejam e

em


,



Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo abeliano. → Solução 115 » Sejam ,

e

, então, . Calculando:


118

Vemos que é associativa e comutativa em , a partir de e , respectivamente. Supondo que exista , tal que:

Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que: . Vemos que todo elemento de em

é simetrizável

. Portanto, o par Calculando:


Vemos que é associativa, comutativa e distributiva, a partir de , e , respectivamente. Supondo que exista , tal que: . Vemos que

possui elemento neutro em .


119 Portanto, a terna ordenada comutativo com unidade.

é um anel

Item a) Porque não vale a nulidade do produto, isto é, se , não necessariamente . Com .

para ou Item b)

Sim, sejam e . O produto divisores do zero em → Solução 116 » Sejam

em

, tal que . Portanto,

e

são

.

. Calculando:



Vemos que todos os elementos de simetrizáveis em . Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

são

120 Portanto, o par ordenado abeliano.

é um grupo

→ Solução 117 » Não, pois não possui elemento neutro na adição usual. → Solução 118 » Sejam

. Calculando:

Vemos, a partir de (i) e (ii), que

é associativa

em . Seja exista

à

o elemento neutro de , tal que:

. Supondo que

Vemos que possui elemento neutro em . Seja o elemento simetrizável de a em relação . Supondo que exista , tal que:

Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo. → Solução 119 » Sejam

. Calculando:


121

Vemos, a partir de associativa em e, a parir de em . Supondo que exista

e , que

, que é é comutativa

, tal que:

Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que: Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par é um grupo abeliano. Calculando:

Vemos, a partir de associativa em , a partir de em e, a partir de e distributivas de em . Supondo que exista

e que é que é comutativa que valem as leis , tal que:

Vemos que o anel possui unidade. Portanto, a terna é um anel comutativo com unidade.


122 → Solução 120 » Sejam , , . Calculando:

em

temos,

então, e

Vemos, a partir de (i) e (ii), que é associativa e, a partir de (iii), que é comutativa. Supondo que exista , tal que:


Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo abeliano. → Solução 121 » Sejam e

então, . Calculando:


,

123

Vemos que é associativa e comutativa, a partir de e , respectivamente, pois é um anel. Supondo que exista , tal que: . Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista tal que . Vemos que todo elemento de em

é simetrizável



Vemos que é associativa e distributiva, a partir de (1) e (2) e (3) respectivamente, pois é um anel. Portanto, a terna também é um anel.



em

. Calculando:



Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo abeliano. → Solução 123 » Sejam

, calculando:


125

Vemos, a partir e , que é associativa e, a partir de que é comutativa em . Supondo que exista , tal que: Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista – , tal que: . Vemos que todo elemento de

é simétrico em



Vemos, a partir de e , que é associativa, a partir de , que é comutativa e, a partir de e , que é distributiva. Supondo que exista , tal que: . Vemos que possui elemento neutro em . Portanto, a terna ordenada é um anel comutativo com unidade.


126 → Solução 124 » Como é um grupo, temos como o elemento simétrico de em relação à . Temos também que . Compondo com ambos os membros da equação, teremos: . Sendo o elemento neutro de , temos que . Portanto, se é um grupo e, para um dado , , então, é o elemento neutro. → Solução 125 » Sejam

, calculando:

Vemos, a partir de e , que é associativa e, a partir de , que é comutativa em . Suponhamos que exista , tal que: . Vemos que possui elemento neutro em . Suponhamos que exista , tal que: . Vemos que todo elemento de

é simetrizável

em . Portanto, o par Sejam

é um grupo abeliano. . Calculando:


127

Vemos, a partir de e , que é associativa em , vemos, a partir de , que é comutativa e, a partir de e , que é distributiva com . Supondo que exista , tal que: . Vemos que possui elemento neutro em . Portanto, a terna é um anel comutativo com unidade. → Solução 126 » Sejam . Pela condição do enunciado, temos: . Compondo com em ambos os membros, teremos: . Como é associativa, temos o equivalente: ; que equivale a ; como é elemento neutro, temos que: . Assim vemos que é comutativa. Portanto, é um grupo abeliano. → Solução 127 » Seja e o elemento neutro de . Como é o elemento neutro de , temos: . Mas é distributiva, então: Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

128 . Adicionando temos: Que equivale a:

em ambos os membros, . .

→ Solução 128 Item a) » Sejam os elementos simétricos de . Compondo à esquerda com e à direita com em ambos os membros da equação, teremos: . Portanto, . Item b) » Sejam os elementos simétricos de , respectivamente. Compondo à direita com em ambos os membros da equação, teremos: . Portanto, . Item c) » Sejam os elementos simétricos de , respectivamente. Compondo à esquerda com e à direita com em ambos os membros da equação, teremos: . Portanto, . Item d) de

» Sejam os elementos simétricos , respectivamente. Compondo à esquerda Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

129 com membros

e à direita com da equação,

em ambos os teremos:

. Portanto,

.

→ Solução 129 » Seja o elemento gerador da classe lateral do subgrupo . Como , temos , , ou . Assim teremos as seguintes classes laterais: Se , então . Se , então . Se , então . Se , então . Obs.: As referidas classes pertencem ao conjunto , ou seja, . → Solução 130 » Sejam e

, temos, então, . Calculando: . Vemos que . Portanto, é um subgrupo de

→ Solução 131 » Sejam (1) Compondo à direita com equação (2), teremos

e

.

e (2) . em ambos os membros da . Como


130 um subgrupo do grupo . Mas . Portanto,

, temos que , segue daí que .

→ Solução 132 » Sejam , temos, então, e e . Calculando: . Vemos que . Portanto, é um subgrupo de . → Solução 133 » Seja . Então, existem tal que ; multiplicando ambos os membros à direita e à esquerda por , teremos , ou ainda . Logo, . Portanto, implica que . → Solução 134 » Sejam então,

, temos, e

e

.

Calculando: . Vemos que Portanto, . Sejam então, Calculando: Vemos que Portanto,

. não é um subgrupo de , e

e . é um subgrupo de


temos, . . .

131 → Solução 135 » Seja

, segue que (como visto no exercício 98). Como visto no exercício 47, . Assim temos que, ; logo, . Portanto, . → Solução 136 » Sejam

, temos, então,

e

e

. Calculando:

Vemos que Portanto,

. é um subgrupo de

.

→ Solução 137 » Como visto no exercício 98, se , então . Sendo assim, de , decorre que . Como visto no exercício 98, se , então . Dessa forma, vemos que se , então, . Logo, se , então . Agora, sendo , segue que . Decorre daí que . Portanto, se, e somente se, . → Solução 138 » Sejam então,

e

, temos, e

. Calculando:


132

; aplicando o módulo em ambos os membros da equação, teremos: que

. Vemos

.

Portanto,

é um subgrupo de

.

→ Solução 139 » Seja um conjunto não vazio. Dizemos que é uma partição de se, e somente se, , em que são subconjuntos de , tais que:

Agora, vamos analisar a classe lateral . Por definição, temos que ; Como visto no exercício 98, todo par, e , de classes laterais à esquerda, se distintas, são disjuntas. Como visto no exercício 100, para todo temos . Logo, a reunião de todas as classes laterais à esquerda de em gera o conjunto . Portanto, o conjunto de todas as classes laterais à esquerda de em é uma partição do conjunto . De maneira análoga, provamos para as classes laterais à direita. → Solução 140 » Sejam ; temos

ainda

, temos, então, e


e .

133 Calculando: esquerda com equivale a Portanto,

. Compondo à teremos: ; que . Vemos que . é um subgrupo de .

→ Solução 141 » Consideremos a classe lateral à direita de em , determinada por . Sabemos que o elemento neutro do grupo pertence ao subgrupo . Como e , temos que . Analogamente, provamos que . → Solução 142 » Sejam

, temos, então,

e

e

. Calculando:

Vemos que Portanto,

. é um subgrupo de

→ Solução 143 » Consideremos que as classes sejam coincidentes. Segue daí que existem tais que ; o que implica Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

.

e ,

134 . Como é um subgrupo, temos que ; dessa forma, . Agora, sejam . Como é um subgrupo, temos que . Segue, então, que a classe lateral à direita determinada por em coincide com o subgrupo . Desse modo, existem tais que ; ou ainda . Logo, todo elemento é igual a um elemento , e vice-versa. Analogamente, provamos que se, e somente se, . → Solução 144 » Sejam , temos, então, e e

. Calculando:

Vemos que Portanto,

. não é um subgrupo de

.

→ Solução 145 » Consideremos as classes laterais à direita e de em , determinadas por e , respectivamente. Suponhamos que exista um elemento tal que e . Logo, existem , Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

135 tais que . Que equivale a , ou ainda . O fato de que , pois é subgrupo, implica que . Portanto, pela propriedade demonstrada na questão 99, . Analogamente, demonstramos que isso vale para as classes laterais à esquerda. → Solução 146 Item a) » Sejam e

, .

1, 2− 2,…,

−

então, e

Calculando: ;

Portanto,

temos,

e

calculando:

. Vemos que

.

é um subgrupo de

.

Item b) »

Sejam

,

temos,

e .

1, 2− 2,…,

−

então, e

Calculando: ; como

1− 1∈ℤ. Vemos que

. Portanto,

é um subgrupo de


.

136 Item c) »

Sejam e

Portanto,

,

temos,

então, e . Como , temos . Vemos que . não é um subgrupo de .

→ Solução 147 » Definamos a seguir a seguinte aplicação definida por . Afirmamos que é bijetora. De fato: Seja , então, . Logo, . Portanto, é injetora. (ii) Dado , então, existe tal que , pela definição da função . Portanto, é sobrejetora. → Solução 148 » Sejam Calculando:

, temos, então,

.

. Vemos que

Portanto,

é um subgrupo de

. .

→ Solução 149 » Consideremos as classes laterais e . Como é um grupo abeliano, temos . Então, . Portanto, as classes laterais coincidem. → Solução 150 Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

137 » Sejam e subgrupos de e . Como , temos que e . Mas e são subgrupos de , então, e . Assim, . Logo, é um subgrupo de . Portanto, a interseção de dois subgrupos é um subgrupo. → Solução 151 » Consultando a tábua de operações, podemos perceber que é comutativa em . Assim, as classes laterais à esquerda e à direita coincidem. Portanto, as classes laterais do subgrupo em são:

→ Solução 152 Item a) » Sejam , , temos, então, . Calculando:

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Como , temos um endomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; não necessariamente, , logo não é injetora. Portanto, é um endomorfismo de grupos.


138 Item b) e

» Sejam , , temos, então, . Calculando: Vemos que

não é um homomorfismo de

grupos. Item c) » Sejam , , temos, então, . Calculando:

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora. Seja . Se existe tal que , significa que . Logo, não é sobrejetora. Portanto, é um monomorfismo de grupos. Item d) » Sejam , , temos, então, . Calculando:

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora. Seja . Se existe tal que , então . Logo, não é sobrejetora. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

139 Portanto,

é um monomorfismo de grupos.

Item e) e

» Sejam , , temos então . Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora. Seja . Tomando , teremos . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um isomorfismo de grupos. Item f) » Sejam , . Calculando:

, temos, então,

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora. Seja . Tomando , teremos . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um automorfismo de grupos.


140 Item g) » Sejam , . Calculando:

, temos, então,

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; não necessariamente , logo não é injetora. Portanto, é um endomorfismo de grupos. Item h) » Sejam ,

, temos, então,

e

. Calculando:

Vemos que


grupos. Item i) » Sejam , , temos, então, . Calculando: Vemos que

e


grupos. Item j) » Sejam , . Calculando:

, temos, então,


e

141 Vemos que


grupos. Supondo que não necessariamente, Nem todo correspondente em não é sobrejetora.

, temos que , , logo não é injetora. elemento de tem . Assim,

Item k) » Sejam , . Calculando:

, temos, então,

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo, é injetora. Seja

. Tomando

. Logo, é sobrejetora. Portanto, automorfismo de grupos.

, teremos é

um

→ Solução 153 » Seja o elemento gerador da classe lateral do subgrupo . Como , temos , ou . Assim, teremos as seguintes classes laterais: Se , então, . Se , então, .


142 Se , então, . Obs.: As referidas classes pertencem ao conjunto , ou seja, . → Solução 154 » Sejam , , temos, então, . Calculando:

e

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora. Seja

; tomando

temos

é sobrejetora. Portanto, isomorfismo de grupos.

.

Logo,

é

um

→ Solução 155 » Seja o elemento gerador da classe lateral do subgrupo . Como , temos que é par ou é ímpar. Assim, teremos as seguintes classes laterais: Se é par, então, . Se é ímpar, então, . → Solução 156 » Sejam , então, temos e . Calculando:


,

143

em

Vemos, a partir de e , que é associativa e, a partir de , vemos que é comutativa. Supondo que exista , tal que: Vemos que possui elemento neutro em . Supondo que exista , tal que:

Vemos que todos os elementos de são simetrizáveis em . Portanto, o par ordenado é um grupo abeliano. Sejam definida por e , . Temos, então, e . Calculando: Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora. Seja ; tomando temos . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um isomorfismo de grupos.


144 → Solução 157 » Vemos que para

e

, é válida, pois:

Supondo que seja válida para um inteiro segue que: Calculando

,

teremos:

Isto significa que é válido para todo inteiro não negativo. Para , sendo positivo, temos que: Como visto no exercício 91, se homomorfismo de grupos, então, Assim temos:

é um .

Portanto, se é um homomorfismo de grupos, então, para todo inteiro temos que . → Solução 158 » Sejam , e

, temos, então, . Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; segue que , logo é injetora.


145 Seja

; tomando temos . Logo, é sobrejetora. Portanto, é um isomorfismo de grupos. → Solução 159 » Como visto no exercício 90, . Segue, então, que . Compondo com em ambos os membros teremos . → Solução 160 » Primeiro construímos a tábua do grupo 1 i -1 1 1 i -1 i i -1 -i -1 -1 -i 1 -i -i 1 i

: -i -i 1 i -1

Adotando teremos a tábua de : e e e a a b b c c

c c e a b

,

, a a b c e

e b b c e a


146 → Solução 161 » Sendo e os elementos neutros de e , respectivamente, temos que . Como é um homomorfismo de grupos, segue que . Compondo com em ambos os membros teremos . Portanto, . → Solução 162 » Primeiro construímos a tábua do grupo : 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 3 2 3 1 4 2 3 4 3 2 1 4 Adotando , , e teremos a tábua de : e a b c e a b c e a c e b a b e c a b c b a e c Agora, podemos resolver a equação ; compondo à esquerda com e à direita com em ambos os membros teremos: . Assim, temos .


147 → Solução 163 » Sejam . Calculando a imagem de , teremos . Usaremos a indução para provar que . Para , temos . Logo, vale para . Supondo que seja válido para , temos que . Efetuando o produto . Como é abeliano, podemos usar a propriedade do produto de potências de mesma base. Dessa forma, . Portanto, é valido para todo inteiro e positivo. Sendo assim, temos que Portanto,

é um homomorfismo de .

→ Solução 164 Item a) » Primeiro devemos construir a tabela de : 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

148

e a b c d f

Adotando , teremos a tábua de e a e a a b b c c d d f f e

,

,

: b b c d f e a

c c d f e a b

, d d f e a b c

e 5 f e a b c d

Item b) »

. . .

Item c) » Compondo à esquerda por e à direita por em ambos os membros e sabendo que , teremos . Como , e , temos que . → Solução 165 » Tomando por base a função definida por ; segue que

,

, com . Logo, é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; então, temos que . Assim, vemos que é injetora. Seja . Tomando , temos . Assim, é sobrejetora. Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

149 Portanto, o grupo


. → Solução 166 » Sejam . Temos ainda

, então, e . Calculando:

Vemos que subgrupo de . Sejam . Temos ainda

. Portanto, , então,

é um

e . Calculando:

Vemos que . Portanto, é um subgrupo de . Sejam , definida por 3 = + e , ∈ . Temos, então, = 2 ∙3 = + e . Calculando:

Vemos que é um homomorfismo de grupos. Supondo que , segue que ; temos, então, que e , logo . Portanto, é injetora. Seja . Tomando , temos . Portanto, é um isomorfismo de grupos.


150 → Solução 167 » Tomando por base a função , definida por

; segue que

=125 + =125 +125 = Logo,

+ ( ),

, ∈5ℤ.

com

é um homomorfismo de grupos. Supondo que

, temos que

; então, temos que

. Assim, vemos que

é

injetora. Seja

.

. Assim,

Tomando

,

temos

é sobrejetora.

Portanto, o grupo .


→ Solução 168 » Seja , definida por um homomorfismo de grupos. Sendo , com . Calculando:

e

Mas

é um homomorfismo de grupos, então, = ( )∗ ( ). Segue que ∗ = ∗ ( ). Dessa forma, vemos que é comutativa em . Portanto, é um grupo abeliano. Sejam um grupo abeliano, e , definida por . Calculando: Como é comutativa, temos que . Logo, é um homomorfismo de grupos. Portanto, um grupo é um grupo abeliano se, e Questões de Álgebra Moderna Elias Paulo Macêdo Neto Pedro Franco de Sá

151 somente se, homomorfismo.

, definida por

é um

→ Solução 169 » Tomando por base a função , definida por ; segue que , com . Logo, é um homomorfismo de grupos. Supondo que , temos que ; então, temos que . Assim, vemos que é injetora. Seja Assim

. Tomando

é sobrejetora. Portanto, o grupo .

, temos

.


→ Solução 170 » Não, pois nem todos os elementos de correspondente em .


têm

152

9. Bibliografia ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de teoria dos Anéis. São Paulo: Nobel. 1982. ______. Teoria dos Grupos. São Paulo: Edgard Blücher. 1985 BIRKHOFF, Garrett; MACLANE, Saunders. Álgebra Moderna Básica. 4. ed. Rio de Janeiro: Guanabara dois, 1980. DOMINGUES, Hygino H. IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual. 4. ed. 2003

JACOBSON, Nathan. Lectures in Abstract Algebra: volume I – basic concepts. 1951.


Questões de Álgebra Moderna é um livro endereçado a todos aqueles que, por alguma necessidade, desejam pôr em prática alguns dos conceitos de Álgebra Moderna. Esperamos que este pequeno livro seja um instrumento útil a quem a ele recorrer.

Livro Pedro S e Elias Macedo Neto (2)

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