Aula 3 – Potenciação e Radiciação Potência
A expressão a n , onde a é um número real e n é um número natural, com n > 1 , é denominada potência. Ela representa um produto de n fatores iguais ao número a , isto é: n a = a.a.a....a Por exemplo, 2.2.2 . Este produto produt o pode ser escrito escri to como 2 3 , onde o número 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo.
23
exp oente
→
base→
23 = lê-se, dois elevado a terceira potencia ou dois elevado ao cubo. O expoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo e a base, o fator a ser repetido. A potência é o resultado desta operação. Exemplos (1): Determine como se lê as potências abaixo:
32: três elevado a segunda potência ou três elevado ao quadrado. 64: seis elevado a quarta potência. 75: sete elevado a quinta potência. 28: dois elevado a oitava potência. Observações:
1ª) Todo número elevado ao expoente um é igual a ele mesmo. Por exemplo, 1
4 2 = 2, 9 1
4 , 131 = 13 e (1,2)1 = 1,2. 9
=
2ª) Todo número diferente de zero elevado à expoente zero é igual a um. Por exemplo, 0
6 = 1,
8 3
0
=
1 , 26 0 = 1 e (3,5)0 = 1.
3º) Potências de base 1: toda potência de 1 é igual a 1. Por exemplo, 0
1 = 1,
1
2
1 = 1, 1 = 1,
3
1 =1 e
12
1 = 1.
4º) Potências de base 10: toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
0
10 = 1,
2
10 = 100,
3
10 = 1000
e
4
10 = 10000.
Uma aplicação das potências de base 10 é a Notação Científica, que útil para simplificar e padronizar o registro de números. Por exemplo, a distância de Vênus ao Sol que é de 1,08.108 km 108.000.000 de quilômetros, que em notação científica fica 1,08.108 km . Propriedades da Potência
1ª) Multiplicação de potência de mesma base: somamos os expoentes e conservamos a base, observe: 2 3.2 2 = 2 3 2 = 2 5 = 32 +
33.3 = 33 1 +
4.4 2.4 3
=
34
=
41 2
+ +
81
=
3
=
46
=
4096
2ª) Divisão de potência de mesma base: subtraímos os expoentes e conservamos a base, observe:
23 : 2 2
=
23
−2
3 4 : 32
=
34
75 : 73
=
75
−
=
21
=
2
2
=
32
=
9
3
=
72
=
49
−
3ª) Potência de potência: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
(32 ) 2
32 x 2
=
[(32 ) 3 ]2
=
34
=
81
32 x 3 x 2
=
312
=
=
531441
Exemplo (2): Determine o valor das seguintes potências:
a) 34
=
3.3.3.3 = 81
b) 450 = 1 c) (0,4) 5 1 d) 2
=
3
e) (−3) 2
=
0,4.0,4.0,4.0,4.0,4 = 0,01024 1 1 1 1 . . = 2 2 2 8 ( 3)(−3) = 9
= −
Potência com Expoente Negativo
Para encontrar o valor deste tipo de potência deve-se inverter a base da potência para que o expoente fique positivo, e depois efetuar seu o cálculo, como podemos ver nos exemplos abaixo:
1 4 = 4 −
2
2
1 3 = 3
1 ; = 16
5
5
−
1 = 243
2 3
e
3
−
3 = 2
3
=
27 8
Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, extrair a raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado, extrair a raiz cúbica é a operação inversa de elevar ao cubo, e assim sucessivamente. A radiciação tem muitas aplicações no nosso cotidiano. Por exemplo, se conhecermos a somente a área de um terreno quadrado e queremos saber a medida de seu lado, basta calcular a raiz quadrada desta área e o problema esta resolvido. Vamos aprender a trabalhar com estes radicais. Raiz n-ésima de um número real Definição: Sejam a um número real não negativo e n um numero natural, n > 1 , a raiz nésima de a é o número real b, tal que b n = a , isto é, n
a
=
b
⇔
b
n
=
a
Veja, a seguir, o nome de cada elemento da raiz:
Exemplo (3): Determine como se lê os radicais abaixo:
4 : raiz quadrada de quatro.
a)
b) 3 8 : raiz cúbica de oito. c) 4 5 : raiz quarta de cinco Observações:
1ª) quando n é par, a tem que ser positivo, pois nesse caso nenhum número elevado a potências pares resulta em números negativos. Por exemplo, ( −2) 2 = 4 e 2 2 = 4 e nesse caso, 4 = ±2 . 2ª) quando n é impar, a pode ser tanto positivo quanto negativo. Por exemplo, ( −2) 3 assim, 3 − 8 = −2 e 23 = 8 , dai, 3 8 = 2 . Propriedades: Sejam a, b, c ∈ R+ e m, n ∈ N , então:
1ª)
n
a .n b
=
n
a.b
4ª) b n a
±
cn a
=
(b ± c ) n a
=
8,
n
2ª)
n
a
n
a b
b
m n
3ª)
=
a
=
m.n
5ª)
( a) n
m
=
n
am
a
Exemplo (4): Com o auxílio das propriedades, determine o valor das raízes abaixo:
a) 3 2 .3 6 = 3 2.6 = 3 12 b) 3 81 = 3 27 .3 3 = 3.3 3 8 8 c) = = 4 =2 2 2 25 25 5 d) = = 9 9 3 e) 4 3 125 = 4.3 125 = 12 125 f) 73 5 + 83 5 = (7 + 8)3 5 = 153 5 g)
( 3 )4 =
34
=
3 2.3 2
=
3.3 = 9
E para finalizar nosso estudo sobre raízes é necessário conhecer também: Racionalização dos denominadores irracionais
A racionalização de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional. Para isso, deve-se multiplica o denominador por um radical que o torne racional, como podemos ver nos exemplos a seguir: Exemplo (5): Racionalize as frações.
EXERCÍCIOS (1) Determine o valor das potências. a) 7
2
b) (−5)
3
c) 8
−
2
d) (−12)
1
e) 3
0
3 f) − 4
1
−
1 g) − 6
−
2
h) − (−2) 4
i) (−2) 3
j) (−2) 4 − 5 2
k) 3
2
−
+3
1
−
l) 4.4 2 4 5 −
m) (-0,2²)³
n) -(0,5³)² o)(1,5)²
16 p) (-2,02)³ q) (0,1)².5² r) (1,2)².(2)³ s) 2³.3² t) 15² u) (-4.5)² v)(1.3)³ x) 2 2
3
−
23
2
(2) Encontre s potências. 3 2
a) ( −5 )
3 3
b) ( −2 )
10 c) 2
2
−
1 d) 7
3
−
e) 81
1 4
f)100
2 3
g) 4
1 2
h) 8
1 3
i) 9
1 2
(3) Calcule as raízes e efetue as operações: a) 16 - 25 b) 3 8 + 49 c) 3 − 125 - 64 d) 2 - − 25 16 9 e) f) 3 x 6 25 y
(4) Simplifique os radicais: a) 7 b) 2. 16 x3 21 c) 9.7 d) 3 120 4
8
4
4
5
405
(5) Operações com Radicais: a) 2 3 + 5 3 - 10 3 c) 7 . 8 e) 3 3 . 4 2 g)
3
2 3
(6) Racionalizar os seguintes radicais: 1 1 a) b) 5 1+ 5 8 5 d) 3 e) 7 3 −1
b) 3 108 + 3 32 - 6 3 4 d) 3 5 6.45 6 20 f) 5 3 5 h) 4 5
c) f)
2 3 3 5+ 2
(7) José tem um terreno quadrado que tem área de 64m 2 . Ele deseja comprar um portão que tome toda a parte da frente deste terreno. Qual o comprimento deste portão? (8) Uma caixa de água tem o formato de um cubo. Sabendo-se que seu volume é de 1000dm 3 , qual é o comprimento de sua aresta?
Expressões Numéricas
São expressões que envolvem números e operações, e quando as efetuamos chegamos sempre a um número. Por exemplo, se considerarmos a expressão numérica 5 + 2.6 . Esta expressão envolve adição e multiplicação. Para resolvê-la, pode-se pensar de duas formas: 1ª forma: fazendo primeiro a adição e depois a multiplicação, temos: 5 + 2.6 = 7.6 = 42 2ª forma: fazendo primeiro a multiplicação e depois a adição, temos: 5 + 2.6 = 5 + 12 = 17 Mas isso não deve acontecer. Uma expressão numérica não pode ter dois resultados diferentes. Para evitar esta confusão, deve-se seguir o seguinte critério: Quando existirem, parênteses, colchetes ou chaves, deve-se resolver primeiro expressão que se encontra dentro dos parênteses ( ), depois dos colchetes [ ], e por ultimo o conteúdo das chaves{ }. A ordem de resolução das operações é: potências e radicais, depois multiplicação ou divisão e por fim adição ou subtração, para por fim obter os resultados. E caso tenha apenas operações do “mesmo nível” para resolver, adota-se o sentido da esquerda para a direita na ordem de resolução das operações. Logo, o valor correto da expressão anterior é 17 . Exemplo (1): Determine o valor da expressão numérica: Solução: −
−
3.{14 : (−7) − 3.[4 − 6]2 ;2}
3.{14 : (−7) − 3.[4 − 6] 2 : 2} = −3.{−2 − 3.(−2) 2 : 2} = −3.{−2 − 3.4 : 2} = = −3.{−2 − 12 : 2} = −3.{−2 − 6} = −3.{−8} = 24
