MATEMÁTICA FINANCEIRA
JÚLIO CÉSAR ENGEL DE ABREU 2008
NOTA SOBRE O AUTOR Júlio César Engel de Abreu é graduado em Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul, fez Curso de Especialização em Matemática na Universidade Vale do Rio dos Sinos e posteriormente graduou-se em Direito pelo Instituto Ritter dos Reis. Cursou a título de aperfeiçoamento as disciplinas do Curso de Mestrado em Estratégia Empresarial na Pontifícia Universidade Católica de Porto Alegre. É professor de Matemática Financeira na Universidade Luterana do Brasil desde 1984 e Advogado atuando na área de Assessoria Empresarial Tributária e Trabalhista.
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APRESENTAÇÃO Após ministrar aulas de Matemática Financeira a alunos da Graduação das áreas de Administração, Ciências Contábeis, Economia, Matemática, e Análise de Sistemas, por mais de 20 anos, e percebendo que os Livros e Manuais existentes não atendiam a seqüência prática, nem a forma didática adequada dos conteúdos ministrados na Universidade resolvemos elaborar o presente Livro que pretende atingir tais objetivos. Neste Livro discorremos sobre os diversos aspectos dos conteúdos que envolvem Matemática Financeira abordando a chamada capitalização simples e a capitalização composta, os descontos comercial e racional, bem como o estudo das séries de pagamentos e a amortização de empréstimos, de forma simples, clara e objetiva, sendo o mais didático possível para que alunos das áreas antes referidas, muitos deles sem aqueles conhecimentos matemáticos mais apurados possam entender os assuntos abordados, e em diversos casos estamos apresentando a forma de utilizar a Calculadora Financeira que atualmente é muito conhecida e utilizada por empresários e estudantes destas áreas. Esperamos que nossos objetivos sejam atingidos e que todos que vierem a trabalhar com este Livro consigam entender os conteúdos nele abordados aprendendo um pouco deste conteúdo tão fascinante denominado de Matemática Financeira bem como as suas repercussões na vida diária de cada pessoa.
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SUMÁRIO NOTAS SOBRE O AUTOR APRESENTAÇÃO SUMÁRIO CAPÍTULO – I ...................................... 1. JURO SIMPLES 1.1. DEFINIÇÕES PRELIMINARES 1.2. JUROS SIMPLES 1.2.1. Considerações iniciais 1.2.2. Fórmula para o cálculo dos juros simples 1.2.3. Ano civil e ano comercial 1.2.4. Classificação dos juros 1.2.5. Fórmula para o cálculo do montante 1.3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – II ...................................... 2. DESCONTO SIMPLES 2.1. DEFINIÇÕES PRELIMINARES 2.2. DESCONTO SIMPLES RACIONAL 2.2.1. Forma de obtenção do desconto racional 2.2.2. Forma de obtenção do valor atual racional 2.3. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 2.3.1. Forma de obtenção do desconto comercial 2.3.2. Forma de obtenção do valor atual comercial 2.4. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – III ...................................... 3. TAXAS e DESCONTOS EQUIVALENTES; EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 3.1. TAXAS EQUIVALENTES 3.2. DESCONTOS EQUIVALENTES 3.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 3.4. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – IV ...................................... 4. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 4.1. COMENTÁRIOS INICIAIS 4.2. JUROS COMPOSTOS 4.2.1. Convenção exponencial 4.2.2. Convenção linear 4.3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
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CAPÍTULO – V ...................................... 5. ESTUDO DAS TAXAS 5.1. ESTUDO DAS TAXAS NO JURO COMPOSTO 5.1.1. Tipos de taxas 5.1.2. Transformação de taxas 5.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – VI ...................................... 6. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (1.ª Parte) 6.1. INTRODUÇÃO 6.2. ELEMENTOS DE UMA RENDA 6.2.1. Montante 6.2.2. Valor atual 6.2.3. Termos 6.3. CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 6.3.1. Rendas aleatórias 6.3.2. Rendas certas 6.4. RENDA CERTA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, e POSTECIPADA 6.4.1. Cálculo do montante na renda postecipada 6.4.2. Cálculo do valor atual na renda postecipada 6.5. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – VII ...................................... 7. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (2.ª Parte) 7.1. RENDA CERTA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA e ANTECIPADA 7.1.1. Cálculo do montante na renda antecipada 7.1.2. Cálculo do valor atual na renda antecipada 7.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – VIII ...................................... 8. RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (3.ª Parte) 8.1. RENDAS CERTAS TEMPORÁRIAS COM DIFERIMENTO 8.1.1. Diferimento final 8.1.2. Diferimento inicial 8.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – IX ...................................... 9. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS (1.ª Parte) 9.1. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 9.1.1. Formas de amortização de empréstimos 9.2. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPÍTULO – X ...................................... 10. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS (2.ª Parte) 10.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 10.1.1. Cálculo das prestações 10.1.2. Cálculo dos juros em um período 10.1.3. Cálculo da amortização em um período 10.1.4. Cálculo do saldo devedor em um período 10.1.5. Cálculo do total pago em um período 5
10.1.6. Planilha de amortização 10.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 10.2.1. Cálculo da amortização de todos os períodos 10.2.2. Cálculo dos juros em um período 10.2.3. Cálculo das prestações 10.2.4. Cálculo do saldo devedor em um período 10.2.5. Cálculo do total pago em um período 10.2.6. Planilha de amortização 10.3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 11.
BIBLIOGRAFIA ......................................
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CAPÍTULO – I 1.
JURO SIMPLES
1.1.
DEFINIÇÕES PRELIMINARES:
1.1.1.
Juro: é a quantia que se recebe (ou se paga) por emprestar certo Capital durante um determinado Prazo.
1.1.2.
Capital: é a quantidade de moeda corrente (dinheiro) de um determinado investimento ou aplicação financeira.
1.1.3.
Prazo (n.º de períodos): é o espaço de tempo durante o qual fica aplicado certo Capital, ou o tempo decorrido entre a data de aplicação e a data de resgate do Capital.
1.1.4.
Taxa de juro: é a razão percentual entre o Capital e o Juro, cuja unidade será a do prazo de aplicação.
1.1.5.
Juro simples: é aquele que é obtido durante todo o Prazo sobre o Capital inicialmente aplicado.
1.1.6.
Juro composto: é aquele que é obtido, a partir do 2.º período, sobre o Montante do período anterior, ou seja, é aquele que a cada período o capital é somado com o juro produzido no período anterior.
1.1.7.
Montante: é a soma de um Capital com seu Juro.
1.1.8.
Período financeiro: é o período a que se refere a taxa de juro. Por exemplo, se tivermos uma taxa de juro de 10% aa (% ao ano), o período financeiro será anual, mas se a taxa for de 5% as (% ao semestre) o período financeiro será semestral.
1.1.9.
Observações: Em Matemática Financeira, utilizamos dois tipos de taxas de juro (taxa percentual e taxa unitária).
1.1.9.1. Taxa Percentual: é a quantia de Juro que será produzido pela aplicação de 100 (cem) unidades de Capital durante uma unidade de Prazo (este resultado é expresso pelo n.º obtido, acrescido do símbolo % e da unidade do prazo), que é utilizada na apresentação dos problemas. Exemplo 1: Se a aplicação do Capital de R$ 100,00 (cem reais) produzir juro de R$ 10,00 (dez reais) no prazo de 01 (um) ano, diremos que a taxa percentual será de 10 (dez) por cento ao ano, que será representada por 10%aa. Exemplo 2: Se a aplicação do Capital de R$ 100,00 (cem reais) produzir juro de R$ 15,00 (quinze reais) no prazo de 04 (quatro) meses, diremos que a taxa percentual será de 15 (quinze) por cento ao quadrimestre, que será representado por 15%aq. 7
1.1.9.2. Taxa Unitária: é a quantia de Juro que será produzida pela aplicação de 01 (uma) unidade de Capital durante uma unidade de Prazo (este resultado será expresso apenas pelo n.º obtido e da unidade do prazo), ou seja, é a taxa percentual dividida por 100 (cem), que é utilizada na solução dos problemas (aplicação das fórmulas). Exemplo 1: Se a aplicação do Capital de R$ 1,00 (um real) produzir durante um ano de aplicação a quantia de R$ 0,10 (dez centavos), significa que termos uma taxa unitária de 0,10 ao ano, que será representada por 0,10aa. Exemplo 2: Se a aplicação do Capital de R$ 1,00 (um real) produzir juro de R$ 0,15 (quinze centavos) no prazo de 06 (seis) meses, diremos que a taxa unitária será de 0,15 (quinze centavos) ao semestre, que será representado por 0,15as.
1.2.
JURO SIMPLES:
1.2.1.
Considerações iniciais: Diz-se que um capital “C” está aplicado a juro simples quando este capital permanecer constante durante todo o período de aplicação, produzindo, assim, juros constantes, isto é, o juro do primeiro período é igual ao do segundo período, que, por sua vez, será igual ao juro do terceiro período e assim sucessivamente. Capital → R$ 1.000,00 Taxa → 10% aa (juro simples) → 0,10 aa (taxa unitária) Prazo → 4 anos
1.2.2.
Representação gráfica: Capital Aplicado = 1.000,00
|-------------------|------------------------|---------------------------|--------------------------| 0 1 2 3 4
1º ano C = 1000,00 i = 0,10 aa J1 = 1000x0,10 J1 = 100,00
2º ano C = 1000,00 i = 0,10 aa J2 = 1000x0,10 J2 = 100,00
3º ano C = 1000,00 i = 0,10 aa J3 = 1000x0,10 J3 = 100,00
4º ano C = 1000,00 i = 0,10 aa J4 = 1000x0,10 J4 = 100,00
Pelos desenvolvimentos acima, verificamos que o capital permanece constante durante todo o período de aplicação, resultando juros iguais. J1 = J2 = J3 = J4 = 100,00 8
1.2.3.
Fórmula para o cálculo do juro simples: J = C.i.n Onde: J = juro simples C = capital i = taxa unitária de juro n = prazo
OBS: Na aplicação desta fórmula, o período da taxa deve coincidir com a unidade do prazo da aplicação, isto é, devem estar em unidades semelhantes: i = taxa anual → n = prazo anual i = taxa trimestral → n = prazo trimestral Exemplo 1: A importância de R$ 3.800,00 foi aplicada, a juro simples, à taxa de 8% aa. Determine os juro produzidos no prazo de 4 meses. Solução: C = 3.800,00
i = 8% aa
n = 4 meses = 4/12 ano
J = C. i .n J = 3.800
x
0,08
x
4/12
J = 101,33
Exemplo 2: Quanto deverá ser aplicado, a juro simples, à taxa de 1,2% am, para produzir R$ 450,00 de juro no prazo de 45 dias? Solução: J = 450,00
i = 1,2%am
C=
n = 45 dias = 45/30 meses
450,00 0,012 x 45 / 30
C = 25.000,00 Exemplo 3: A importância de R$ 45.000,00 produziu R$ 4.785,00 de juro simples, no prazo de 3 meses. Qual a taxa de juro utilizada nesta aplicação? Solução: C = 45.000,00
J = 4.785,00
i=
n = 3 meses
4785,00 45000,00 x3
i = 0,03544 → Taxa unitária mensal i = 3,544% ao mês, ou i = 42,533% aa
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Exemplo 4: Determine o prazo necessário para um capital de R$ 78.500,00 produzir R$ 8.831,25 de juro, sabendo-se que a taxa de juro simples é de 30% aa. Solução:
C = 78.500,00
n=
J = 8.831,25 i = 30%aa ou 0,30 aa 8831,25 78.500,00 x0,30
n = 0,375 período anual n = 0,375 x 360 → 135 dias 1.2.4.
Ano civil e ano comercial:
1.2.4.1. Ano civil: é o ano do calendário, ou seja, o ano que todos nós vivemos. Possui:
365(6) dias, será de 366 dias quando for bissexto; 12 meses de 28(9); 30 ou 31 dias.
1.2.4.2. Ano comercial: é o ano matemático (não possui calendário) Possui:
1.2.5.
360 dias 12 meses de 30 dias 06 bimestres de 60 dias 04 trimestres de 90 dias 03 quadrimestres de 120 dias 02 semestres de 180 dias
Tipos de juro simples:
1.2.5.1. Juro exato: é calculado levando-se em consideração os dias do calendário e como transformador de unidades o fator 365 ou 366 no caso de ano bissexto; 1.2.5.2. Juro comercial ou ordinário: é calculado levando-se em consideração o ano comercial e como transformador de unidades os fatores do ano comercial;
1a = 2s = 3q = 4t = 6b = 12m = 360d 1.2.5.3. Juro pela regra dos banqueiros: é calculado levando-se em consideração os dias transcorridos no calendário e como fator de transformação de unidades os fatores do ano comercial.
OBS.:
1) Utiliza-se a Regra dos Banqueiros sempre que o prazo for apresentado fazendo-se referência ao ano do civil. 2) Utiliza-se a Regra do Juro Exato quando o prazo for apresentado fazendo-se referência ao ano do civil, e vier expresso nos problemas o pedido de seu cálculo.
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1.2.6.
Fórmula para o cálculo do montante: Montante é a soma entre o valor aplicado (capital) e os rendimentos produzidos (juro). M =C+J Substituindo “J” pela equação apresentada anteriormente, para o cálculo do juro simples, teremos: M = C + J .i.n Que resulta na fórmula: M = C.(1 + i.n)
Exemplo 1: Uma dívida no valor de R$ 65.000,00 será paga no prazo de 5 meses, acrescida de juro simples de 15% as. Determine o valor da dívida da data do seu vencimento. Solução: C = 65.000,00 ∴n = 5 meses ∴i = 15%as i = 2,5%am M = 65.000 x ( 1 + 0,025 x 5 ) M = 65.000 x (1 + 0,125 ) M = 65.000 x 1,125 M = 73.125,00
Exemplo 2: Uma dívida no valor de R$ 7.800,00 foi contraída em data de 15/out/2006, e será paga pelo valor de R$ 12.012,00 em data de 10/out/2007. Determine o valor da taxa bimestral de juro aplicada. Solução: C = 7.800,00 ∴ M = 12.012,00 ∴ n = 360 dias = 12 meses (Regra dos Banqueiros) 12012 = 7800 x (1 + i x 12) 12012 = 7800 + 93600 . i 12012 – 7800 = 93600 . i 4212 = 93600 . i 4212/93600 = i i = 0,045 i = 4,5% am i = 9,00% ab.
Exemplo 3: Certo capital foi aplicado a taxa de juro de 12%aq durante 10 meses, produzindo ao final da aplicação um montante de R$ 4.914,00. Encontre o valor do capital inicialmente aplicado. Solução: M = 4.914,00 ∴i = 12%aq ∴n = 10 meses 2,5 quadrimestres 4914= C x (1 + 0,12 x 2,5) 11
4914 = C x (1 + 0,3) 4914 = C x 1,3 4914/1,3 = C C = 3.780,00
Exemplo 4: Uma dívida no valor de R$ 4.800,00 será paga por R$ 7.440,00, ao se aplicar uma taxa de juro de 2,5% am. Determine o prazo de aplicação desta dívida. Solução: C = 4.800,00 ∴i = 2,5%am ∴M = 7.440,00 7440 = 4800 x (1 + 0,025.n) 7440 = 4800 + 120 . n 7440 – 4800 = 120 . n 2640 = 120 . n 2640/120 = n n = 22 meses 01 ano e 10 meses.
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1.3.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - JURO SIMPLES 1)
O capital de R$ 2.500,00 foi investido a taxa de juro simples de 6% aa, ⇒ R$ durante 4 meses. Quanto foi recebido de juro no término do prazo? R⇒ 50,00
2)
O capital de R$ 1.650,00 foi aplicado em período de 10 meses e recebidos R$ 55,00 de juro. Quanto foi a taxa anual de juro simples utilizada? R⇒ ⇒ 4% aa.
3)
O capital de R$ 900,00 foi aplicado a uma taxa de juro simples de 5% aa, ⇒4 tendo sido obtidos juro de R$ 15,00. Qual foi o tempo da operação? R⇒ meses
4)
Um capital foi aplicado a uma taxa de juro simples de 6% aa, durante um período de 8 meses, rendendo um juro de R$ 48,00. Qual foi o capital empregado? R⇒ ⇒ R$ 1.200,00
5)
Uma pessoa aplica 2/5 de seu capital a taxa de juro de 6% am e o restante a taxa de juro de 5% am, recebendo um juro mensal de R$ 324,00. Qual o capital aplicado? R⇒ ⇒ R$ 6.000,00
6)
À taxa de juro simples de 10% at, em quanto tempo um capital triplica de valor? R ⇒ 5 anos
7)
Uma pessoa aplica 3/5 de seu capital em letras durante 180 dias à taxa de 5% am e recebe de juro simples R$ 96.000,00. Qual era o capital? R ⇒ R$ 533.333,00
8)
Uma pessoa empregou seu capital à taxa de juro simples de 5% aa. Retirou, no fim de 6 meses, capital e juro e os colocou à taxa de juro simples de 6% aa durante 4 meses recebendo no fim desse prazo, o montante de R$ 20.910,00. Calcular o capital primitivo. R ⇒ R$ 20.000,00
9)
Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3 meses se eleva juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro, a mesma taxa, produz no fim de 6 meses, o montante de R$ 18.543,60. Calcular a taxa de juro simples utilizada e o valor do capital inicial. R ⇒ i = 4% aa e C = R$ 18.000,00
10) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 625,00 de juro. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 30% aa e que a aplicação foi feita em 18/03/2008, qual a data de vencimento? R ⇒ 15/08/08
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CAPÍTULO – II 2.
DESCONTO SIMPLES
2.1.
DEFINIÇÕES PRELIMINARES:
2.1.1. Desconto: é a quantia que se reduz em uma dívida por se antecipar seu vencimento por um determinado Prazo, ou de outra forma, é a diferença entre o Valor Devido e o Valor Pago por certa dívida. A N i
|---------------------------------|--------------------------------------------| 0 p v
d D=N–A 2.1.2. Valor nominal (N): é a importância que está indicada no Título, isto é, a quantia a ser paga (ou resgatada) em seu vencimento. 2.1.3. Valor atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) pelo Título ao se efetuar uma antecipação no seu vencimento. 2.1.4. Períodos: 2.1.4.1.Data de emissão do título (0): é a data em que a dívida foi contraída; 2.1.4.2.Data de pagamento do título (p): é a data em que a dívida foi efetivamente paga; 2.1.4.3.Data de vencimento do título (v): é a data prevista para o vencimento da dívida. 2.1.5. Prazo (n): é o período de tempo decorrido entre a data do pagamento (p) e a data do vencimento (v). 2.1.6. Taxa de juro (i): é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do desconto recebido (Dr) e o valor pago (Ar) pela dívida, sua unidade será dada no prazo de antecipação da dívida.
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2.1.7. Taxa de desconto (d): é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do desconto recebido (Dc), e o valor devido (N) na data prevista para seu vencimento, sua unidade será data no prazo de antecipação da dívida.
2.2.
DESCONTO SIMPLES RACIONAL:
2.2.1. Forma de obtenção do desconto racional: No desconto simples racional, também chamado de por dentro ou matemático, o valor do desconto é calculado aplicando-se a taxa de juro sobre o valor atual da dívida. Diz-se que, o desconto racional corresponde ao juro produzido pelo valor líquido (atual) da dívida, ou seja:
Dr = Ar .i.n Se:
Dr = N − Ar Então:
Ar = N − Dr Que substituído na primeira equação acima, teremos: Dr =
N .i.n 1 + i.n
O que possibilita calcular o desconto racional, partindo-se do valor nominal da dívida.
Exemplo 1: Um título no valor de R$ 48.000,00 foi descontado à taxa de juro simples de 15% as, faltando 120 dias para o seu vencimento. Determine o valor do desconto: Solução: N = 48.000,00 i = 15% as = 30% aa n = 120 dias ou 120/360 = 0,333333 anos Dr =
N .i.n 1 + i.n
Dr =
48000,00 x0,30 x0,333333 1 + 0,39 x0,33333
Dr =
4800 1,0999999
Dr = 4.363,64
Exemplo 2: Uma Nota Promissória no valor de R$ 13.000,00 foi descontada por R$ 10.500,00, faltando 65 dias para o seu vencimento. Determine o valor da taxa de juro simples mensal.
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Solução: n = 65 dias ou 65/30 meses N = 13.000,00 Ar = 10.500,00 Dr = 2.500,00
Dr = Ar .i.n i=
2500,00 10500,00 x65 / 30
i = 0,1098901 ou i = 10,98901 %am
Exemplo 3: Uma duplicata recebeu um desconto de R$ 6.000,00 ao se antecipar seu vencimento em 45 dias. Determine o valor inicial da duplicata, e o valor pago pela dívida, se foi aplicada uma taxa de juro simples de 30% as. Solução: Dr = 6.000,00 semestres
i = 30%as ou 0,30 as
Dr =
N .i.n 1 + i.n
6000 =
Nx0,30 x0,25 1 + 0,30 x0,25
6000 =
Nx0,075 1,075
N=
n = 45 dias ou 45/180 = 0,25
6000x1,075 0,075
N = 86.000,00
Ar = N − Dr Ar = 86000 – 6000 Ar = 80.000,00
Exemplo 4: Uma dívida de R$ 86.000,00 com vencimento previsto para 18/Agosto/2008 recebeu um desconto de R$ 6.000,00 ao se aplicar uma taxa de juro simples de 30% as. Determine a data de pagamento desta dívida. Solução: i = 30%as = 5% am 80.000,00
N = 86.000,00
Dr = 6.000,00 Ar =
Dr = Ar .i.n 6000 = 80000 x0,05 xn 16
6000 = 4000.n n = 1,5 meses ou 45 dias Data de Pagamento em: 04/Julho/2008
HP - 12C Data do Pagamento: 18/08/2008 - 45 dias 04/07/2008 g 18.082008 g
D. MY enter
45
CHS
DATE
04.072008
2.2.2. Forma de obtenção do valor atual racional: É a diferença entre o valor da dívida e o valor pago pela mesma, após se ter efetuado uma antecipação em seu vencimento.
Ar = N − Dr Como: Dr =
N .i.n 1 + i.n
Então: Ar = N −
N .i.n 1 + i.n
O que resulta em: Ar =
N 1 + i.n
Exemplo 1: Uma dívida de R$ 86.000,00 com vencimento previsto para 18/Agosto/2008 foi paga em data de 04/Julho/2008, encontre o valor pago por esta dívida se a taxa de juro simples aplicada foi de 30% as. Solução: N = 86.000,00 i = 30%as n = 45 dias (Venc.: 18/08/2008 – Pgto: 04/07/2008) Ar =
N 1 + i.n
Ar =
86000 1 + 0,30 x0,25
Ar =
86000 1,075 17
Ar = 80.000,00 Exemplo 2: Uma dívida foi paga por R$ 45.000,00 tendo seu vencimento antecipado em 72 dias. Encontre o valor inicial da dívida se a taxa de juro simples aplicada foi se 18%at. Solução: Ar = 45.000,00
n = 72 dias = 0,8 trimestres Ar =
N 1 + i.n
45000 =
N 1 + 0,18 x0,8
45000 =
N 1,144
N = 45000x1,144
2.3.
i = 18%at
N = 51.480,00
DESCONTO SIMPLES COMERCIAL:
2.3.1. Forma de obtenção do desconto comercial: Neste método, o valor do desconto é calculado aplicando-se a taxa de desconto simples sobre o valor nominal do título. Diz-se que, o desconto comercial corresponde ao juro produzido pelo valor nominal da dívida, isto é: Dc = N .d .n
Exemplo 1: Um título no valor de R$ 6.500,00, emitido no dia 10/03/2007 e com seu vencimento para o dia 29/07/2007, foi descontado à taxa de desconto simples de 30% at, no dia 10/05/2007. Determine o valor do desconto recebido na operação. Solução: data emissão 10/03/2007
data resgate 10/05/2007
data vencimento 29/07/2007
|--------------------------------------------|--------------------------------------|
n = 80 dias N = 6.500,00
d = 30%at
t = 80 dias ou 80/90 trimestres
Dc = N.d.n Dc = 6500 x 0,30 x 80/90 Dc = 1.733,33 18
Cálculo do prazo (n.º de dias) na
HP – 12C Número de dias entre 10/05/2007 a 29/07/2007: f
clear
g
D.MY
10.052007
enter
REG
29.072007
DYS
g
80
Exemplo 2: Uma Nota Promissória recebeu um desconto de R$ 1.800,00 ao ser descontada 90 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto simples de 40% aa. Determine o valor da Nota Promissória. Solução: DC = 1.800,00
d = 40%aa
t = 90 dias ou 90/360 anos
Dc = N.d.n 1800,00 = N x 0,40 x 90/360 1800 = N x 0,1 N = 18.000,00
Exemplo 3: Uma divida de R$ 7.200,00 foi descontada por R$ 5.126,40 no dia 14/05/2008. Utilizando a taxa de desconto simples de 12%am, determine a data marcada para o vencimento. Solução: N = 7.200,00
Ac = 5.126,40
d = 12% am
Dc = 2.073,60
Dc = N.d.n 2073,60 = 7200 x 0,12 x n 2073,60 = 864 x n n = 2,40 meses, ou seja 2,40 x 30 = 72 dias Data do Vencimento: 14/05/2008 + 72 dias → 25/07/2008
19
HP - 12C g 14.052008 g
D. MY enter
72
DATE
25.072008
2.3.2. Forma de obtenção do valor atual comercial: É a diferença entre o valor da dívida e o valor pago pela mesma, após se ter efetuado uma antecipação em seu vencimento. AC = N − DC Como: DC = N .d .n Então: AC = N − N .d .n O que resulta em: AC = N .(1 − d .n)
Exemplo 1: Uma dívida de R$ 48.000,00 com vencimento previsto para 25/Agosto/2008 foi paga em data de 11/Julho/2008, encontre o valor pago por esta dívida se a taxa de desconto simples aplicada foi de 30% as. Solução: N = 48.000,00 d = 30%as n = 45 dias (Venc.: 25/08/2008 – Pgto: 11/07/2008)
AC = N .(1 − d .n) AC = 48000 x(1 − 0,30 x 45 / 180) AC = 48000x0,925 AC = 44.400,00
Exemplo 2: Uma dívida foi paga por R$ 45.000,00 tendo seu vencimento antecipado em 72 dias. Encontre o valor inicial da dívida se a taxa de desconto aplicada foi se 18%at. Solução: Ar = 45.000,00
n = 72 dias = 0,8 trimestres
d = 18%at
AC = N .(1 − d .n) 45000 = Nx(1 − 0,18 x0,8) 45000 = Nx0,856 N = 52.570,09 N = 45000/0,856
20
2.4. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - DESCONTO SIMPLES: 1)
Um título de R$ 10.000,00 com vencimento em 23/09/2007 foi resgatado em 15/06/2007. Qual foi o desconto recebido se a taxa de juro contratada foi de 27% aa? R ⇒ R$ 697,67
2)
O desconto de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto simples de 5% ab. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o seu valor nominal fosse R$ 20.000,00? R ⇒ 45 dias
3)
Uma nota promissória no valor de R$ 52.400,00 foi descontada à taxa de juro simples de 5 % at, faltando 4 meses e 20 dias para o seu vencimento. Qual o valor do desconto e o valor recebido pela nota promissória? R ⇒ Desconto = R$ 3.781,44; Valor atual = R$ 48.618,56.
4)
Uma nota promissória foi emitida no dia 20/02/07 com seu vencimento marcado para o prazo de 5 meses (20/07/07 – ano comercial). No dia 12/05/07 foi descontada por R$ 28.300,00. Qual o valor do desconto, sabendo-se que a taxa de desconto simples utilizada era de 10% aq? R ⇒ R$ 1.726,53
5)
Um título no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, faltando 95 dias para o seu vencimento. Qual a taxa de juro simples semestral utilizada? R ⇒ i = 20,31% as
6)
Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 10/10/2008, à taxa de desconto simples de 15% as, sabendo-se que o desconto foi de R$ 2.930,00. Qual a data do vencimento da nota promissória e qual o seu valor? R ⇒ 13/02/2009 e R$ 27.930,00
7)
Um título no valor de R$ 12.415,00 emitido em 10/08/2008, com seu vencimento marcado para o dia 21/12/2008, foi descontado em 12/11/2008, à taxa de desconto simples de 12% am. Determine o valor recebido pelo título na data do desconto? R ⇒ R$ 10.478,26
8)
Uma nota promissória no valor de R$ 40.000,00 foi descontada faltando 129 dias para o seu vencimento, à taxa de desconto simples de 10% ao bimestre. Determine o valor recebido pela nota na data do desconto. R ⇒ R$ 31.400,00
9)
Um título foi descontado com 40 dias de antecipação à taxa de desconto de 5% ao mês, e na mesma data, o valor atual foi aplicado à taxa de juro simples de 8% ao mês durante 90 dias. Sabendo-se que o montante dessa aplicação foi de R$ 173.600,00, determine o valor nominal do título na operação de descontos. R ⇒ R$ 150.000,00
10) Uma Nota Promissória de R$ 29.300,00 teve seu vencimento antecipado em 321 dias, recebendo uma taxa de descontos de 16%aq. O valor atual recebido por este título foi aplicado a taxa de juro de 60%aa, ficando aplicado por 426 dias. Determine o montante final resgatado. R ⇒ R$ 28.658,92 21
CAPÍTULO – III 3.
TAXAS E DESCONTOS EQUIVALENTES, EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
3.1. TAXAS EQUIVALENTES: A equivalência entre a taxa de juro simples e a taxa de desconto simples, ocorre sempre que a redução de um Título a seu Valor Atual, tanto pelo método racional quanto pelo método comercial produzirem o mesmo desconto (descontos iguais), neste caso, diz-se que as duas taxas (juro e desconto) são equivalentes. Ressalte-se que são condições indispensáveis para a existência a equivalência entre a taxa de juro e a taxa de desconto, que se tenha a mesma dívida ( N ), a mesma antecipação (n) e que os descontos sejam iguais ( DC = Dr ), nestas condições teremos:
Ar = Ac Como: Ar =
N 1 + i.n
e
AC = N .(1 − d .n)
Teremos: N = N .(1 − d .n) 1 + i.n Simplificando-se N, teremos: 1 = (1 − d .n) 1 + i.n Donde se conclui que: i=
d 1 − d .n
Ou que d=
i 1 + i.n
22
Exemplo 1: Uma Nota Promissória no valor de R$ 5.000,00 foi descontada à taxa de desconto simples de 15%am, faltando 48 dias para o seu vencimento. Determine o valor da taxa de juro simples mensal equivalente. Solução: N = 5.000,00 d = 15%am n = 48 dias ou 48/30 meses i=
0,15 1 − 0,15 x 48 / 30
i=
i=
0,15 1 − 0,24
0,15 i = 0,197368am 0,76
i = 19,7368%am Comprovação da equivalência: O Valor Atual pelo método comercial resulta em: Ac = 5000 x (1 - 0,15 x 48/30 ) Ac = 3.800,00 O Valor Atual pelo método racional resulta em: Ar =
5000 1 + 0,197368 x 48 / 30
Ar =
5000 1,3157888
Ar = 3.800,00 Logo temos que: Ac = Ar
Exemplo 2: Uma instituição financeira adota uma taxa de desconto simples de 18% am, numa operação de desconto com 60 dias de prazo. Determine o custo desta operação para o cliente caso fosse tomado como empréstimo. Solução: d = 18%am
n = 60 dias ou 2 meses i=
i=?
0,18 1 − 0,18 x60 / 30
23
i=
0,18 1 − 0,36
i=
0,18 i = 0,28125 am 0,64
i = 28,125%am
Exemplo 3: Determine a taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juro simples de 23%am, no prazo de 80 dias. Solução: i = 23%am
n = 80 dias ou 80/30 meses d=
0,23 1 + 0,23 x80 / 30
d=
0,23 1 + 0,6133333
d=
0,23 1,6133333
d=?
d = 0,1425619am → 14,25619%am
3.2. DESCONTOS EQUIVALENTES: A equivalência entre o desconto simples comercial e o desconto simples racional, ocorre sempre que a redução de um Título a seu Valor Atual, tanto pelo método racional quanto pelo método comercial produzirem como resultado a mesma taxa (taxas iguais i = d ), neste caso, diz-se que os descontos (comercial e racional) são equivalentes ou proporcionais. Ressalte-se que são condições indispensáveis para a existência a equivalência entre o desconto comercial e o desconto racional, que se tenha a mesma dívida ( N ), a mesma antecipação ( n ) e que as taxas sejam iguais ( i = d ), nestas condições teremos: Dr =
N .i.n 1 + i.n
e que DC = N .d .n
Como, pelas hipóteses iniciais, temos que: N.i.n =N.d.n
24
Então podemos afirmar que: Dr =
Dc 1 + i.n
Ou que: DC = Dr .(1 + d .n)
Exemplo 1: Uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 foi descontada à taxa de 15%am, faltando 48 dias para o seu vencimento. Determine o valor do Desconto Comercial e do Desconto Racional que se receberia. Solução: N = 15.000,00
Taxa = 15%am
n = 48 dias ou 48/30 meses
DC = N . d . n DC = 15000 x 0,15 x 48/30 DC = 3.600,00 Dr =
N .i.n 1 + i.n
Dr =
15000 x0,15 x 48 / 30 1 + 0,15 x 48 / 30
Dr =
3600 1,24
Dr = 2.903,23 Comprovação da equivalência: Note-se que o Desconto Comercial é 1,24 vezes maior que o Desconto Racional Ou seja: DC = Dr . (1 + d . n) DC = 2903,23 x (1 + 0,15 x 48/30) DC = 2903,23 x 1,24 DC = 3.600,00
25
Ou que, o Desconto Racional é 1,24 vezes menor que o Desconto Comercial: Dr =
DC 1 + i.n
Dr =
3600 1 + 0,15 x 48 / 30
Dr =
3600 1,24
Dr = 2.903,23
Exemplo 2: Uma pessoa troca em 12/07/2008 com uma Instituição Financeira ZYX uma dívida de R$ 12.000,00 com vencimento previsto 19/10/2008. A Instituição Financeira para efetuar o pagamento ao titular da dívida adota uma taxa de juro simples de 18% as. Na mesma data o devedor procura o credor querendo pagar antecipadamente sua dívida, que lhe informa que o título havia sido trocado com a Instituição Financeira ZYX. O credor procurando a referida empresa recebe a uma proposta por parte do gerente de que se aplique a mesma taxa de desconto para que não sofra nenhum prejuízo. Pergunta-se, a Instituição Financeira ZYX obteve algum lucro nesta operação? Solução: N = 12.000,00 Taxa = 18%as n = 99 dias (Venc.: 19/10/2008 – Pgto.: 12/02/2008) Operação realizada com o Credor: N .i.n Dr = 1 + i.n Dr =
12000 x0,18 x99 / 180 1 + 0,18 x99 / 180
Dr =
1188 1,099
Dr = 1.080,98
Operação realizada com o Devedor: DC = N .d .n DC = 12000 x0,18 x99 / 180 DC = 1.188,00
26
Lucro da Instituição Financeira ZYX: Lucro na Operação = DC – Dr Lucro na Operação = 1188 – 1.080,98 Lucro na Operação = 107,02
Exemplo 3: Em uma divida o Desconto Comercial é R$ 250,00 maior que o Desconto Racional. Encontre o valor nominal desta divida se a taxa aplicada foi de 5%am, e a antecipação em seu vencimento foi de 84 dias. Solução: DC = DR + 250,00 meses
Taxa = 5%am
n = 84 dias ou 84/30 meses = 2,8
DC = Dr .(1 + d .n) DC = N .d .n Substituindo os dados no Sistema formado por estas duas equações, teremos:
Dr + 250 = Dr .(1 + 0,05 x 2,8) Dr + 250 = Nx0,05 x 2,8 Isolando Dr na segunda equação, teremos:
Dr = Nx0,14 − 250 Substituindo o valor encontrado para Dr na primeira equação, teremos 0,14 xN − 250 + 250 = (0,14 xN − 250) x(1 + 0,05 x 2,8) O que resulta, depois de efetuadas as operações aritméticas em: 0,14 xN = (0,14 xN − 250) x1,14 Eliminando-se os parênteses, teremos: 0,14 xN = 0,1596 xN − 285 Isolando-se o Valor Nominal (N), teremos: 285 = 0,1596 xN − 0,14 N 285 = 0,0196 xN N=
285 0,0196
27
N = 14.540,82 Logo o Valor da Dívida era de R$ 14.540,82
3.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS: Dizemos que dois ou mais capitais com vencimento futuro são equivalentes em determinada data, se nesta data seus valores atuais forem iguais. Aplica-se a Equivalência de Capitais quando temos a necessidade de alterar a forma de pagamento de certa dívida, ou desejamos verificar se uma proposta de pagamento com datas diferentes é viável e se equivale a dívida já existente. Para que se possa operacionalizar esta idéia, devemos escolher uma data, que é chamada de data focal, e então, encontrar os valores atuais de cada uma das parcelas envolvidas na operação, formando-se a denominada equação de equivalência de capitais, onde a soma do valor devido deve ser igual à soma do valor que se passará a dever.
N1
N2
N3
N4
|--------------------------|---------------|------------------|---------------------| 0 n1 n2 n3 n4 d%
Devido = Nova Dívida AC = AC Exemplo 1: Uma pessoa possui uma dívida de R$ 12.000,00 com vencimento previsto para 96 dias, desejando substituir esta dívida por outras duas dívidas de pagamentos iguais e com vencimento previsto para 120 e 150 dias, propõe ao credor a substituição da divida atual pelas duas novas dividas. O credor afirma que concorda com o parcelamento se na operação for aplicada uma taxa de desconto de 12%as. Encontre os novos valores a serem pagos por esta pessoa ao credor. Solução: Dívida = 12.000
N1 = N2
d = 12%as ou 2%am
12000
N1
N2
|----------------------------|---------------|--------------------| 0 96 120 150 dias d = 2 %am Devido = Nova Dívida AC96 = AC120 + AC150
12000 x(1 − 0,02 x3,2) = N 1 x(1 − 0,02 x 4) + N 2 x(1 − 0,02 x5) 28
12000 x(1 − 0,064) = Nx(1 − 0,08) + Nx(1 − 0,1) 12000 x0,936 = Nx0,92 + Nx0,9 11232 = 1,82 xN N = 6.171,43 Desta forma os dois pagamentos serão de R$ 6.172,43 sendo o primeiro em 120 dias e o segundo em 150 dias da data da proposta de substituição da dívida
Exemplo 2: Uma pessoa possui uma dívida de R$ 18.000,00 com vencimento previsto para 84 dias, e outra dívida de R$ 15.000,00 com vencimento para 180 dias, desejando substituir estas dívidas por outra com vencimento para 150 dias, propõe ao credor a substituição das dividas atuais pela nova dívida. O credor afirma que concorda com a substituição se na operação for aplicada uma taxa de desconto de 18%aa. Encontre o valor a ser pago por esta pessoa. Solução: Dívida1 = 18.000,00 n1 = 84 dias Dívida2 = 15.000,00 n2 = 180 dias d = 18%aa Pgto = N n = 150 dias
18000
N
15000
|----------------------------|---------------|--------------------| 0 84 150 180 dias d = 1,5 %am Devido = Nova Dívida AC84 + AC180 = AC150 18000 x(1 − 0,015 x 2,8) + 15000 x(1 − 0,015 x6) = Nx(1 − 0,015 x5) 18000 x(1 − 0,042) + 15000 x(1 − 0,09) = Nx(1 − 0,075) 18000 x0,958 + 15000 x0,91 = Nx0,925 17244 + 13650 = Nx0,925 30894 = Nx0,025 N = 33.398,92 Logo o valor a ser pago pelo Devedor em 150 dias será de R$ 33.398,92
Exemplo 3: Uma pessoa possui uma dívida de R$ 12.000,00 com vencimento previsto para 96 dias, e outra dívida de R$ 15.000,00 com vencimento para 150 dias, desejando substituir estas dívidas por 03 (três) pagamentos iguais e com vencimento para 60; 120 e 180 dias, propõe ao credor a substituição das dividas atuais pelas novas dívidas. O credor afirma que concorda com a substituição se na operação for
29
aplicada uma taxa de desconto de 12%aa. Encontre o valor a ser pago em cada parcela por esta pessoa. Solução: Dívida1 = 12.000,00 n1 = 96 dias Dívida2 = 15.000,00 n2 = 150 dias d = 12%aa Pgto1 = N n1 = 60 dias; Pgto2 = N n2 = 120 dias; Pgto3 = N n3 = 180 dias
N
12000
N
15000
N
|--------------|----------|-------------|--------------|------------------| 0 60 96 120 150 180 dias d = 1,0 %am Devido = Nova Dívida AC96 + AC150 = AC60 + AC120 + AC180 12000 x (1 − 0,01x3,2) + 15000 x (1 − 0,01x5) = Nx (1 − 0,01x 2) + Nx (1 − 0,01x 4) + Nx (1 − 0,01x 6)
12000x(1 − 0,032) + 15000x (1 − 0,05) = Nx (1 − 0,02) + Nx(1 − 0,04) + Nx (1 − 0,06) 12000x0,968 + 15000x 0,95 = Nx 0,98 + Nx 0,96 + Nx 0,94 11616 + 14250 = Nx 2,88 25866 = Nx 2,88
25866 =N 2,88
N = 8981,25 Desta forma os 03 (três) pagamentos serão de R$ 8.981,25 sendo o primeiro em 60 dias; o segundo em 120 dias e o terceiro em 180 dias da data da proposta de substituição da dívida.
30
3.4. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – EQUIVALÊNCIAS 1)
Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é de R$ 140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor nominal do título, se a taxa empregada nos descontos for de 24% ao ano? R ⇒ 15.400,00
2)
Qual a taxa de juro mensal que equivale à taxa de descontos de 20% ao mês? R ⇒ 25% ao mês
3)
Determine a taxa de juro simples, equivalente à taxa de desconto simples de 15% ao mês num prazo de 82 dias. R ⇒ i = 25,42 ao mês
4)
Um título no valor de R$ 12.415,00 emitido em 10/08/2007, com seu vencimento marcado para o dia 20/12/2007, foi descontado em 14/11/2007, à taxa de desconto simples de 12% ao mês. Determine o valor recebido pelo título na data do desconto e a taxa de juro simples equivalente? R ⇒ 10.627,24 e i = 14,0187% ao mês
5)
Qual o valor da taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juro simples de 30% ao semestre, num período de 90 dias. R ⇒ d = 26,08 ao semestre
6)
O valor nominal de um título cujos descontos comercial e racional são, respectivamente, R$ 180.000,00 e R$ 120.000,00 é? R ⇒ 360.000,00
7)
O desconto de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto simples de 5% ab. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o seu valor nominal fosse R$ 20.000,00? R ⇒ 45 dias
8)
Uma nota promissória de R$ 30.000,00 vencível em 45 dias será substituída por outra nota promissória vencível em 24 dias. Determine o valor da nova nota promissória, sabendo-se que a taxa de desconto simples é de 30% aa. R ⇒ N = R$ 29.464,29
9)
Uma dívida representada por duas notas promissórias de R$ 40.000,00 e R$ 90.000,00, vencíveis, respectivamente em 60 e 90 dias, serão substituídas por dois títulos de mesmo valor final, vencíveis em 120 e 180 dias. Determine o valor nominal dos novos títulos, sabendo-se que a taxa de desconto simples é de 1,5% am. R ⇒ R$ 67.432,43
10) Um título no valor de R$ 16.000,00, vencível no prazo de 36 dias, será substituído por outro título no valor de R$ 16.994,36. Utilizando uma taxa de desconto de 30% ao semestre, determine o prazo para o vencimento do novo título. R ⇒ n = 69 dias
31
CAPÍTULO – IV 4.
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
4.1.
COMENTÁRIOS INICIAIS No estudo da Capitalização Composta se impõe regras mais severas ao estudante, para que se obtenha os resultados desejados, por isto destacamos que a partir deste Capítulo deste Livro, é imprescindível que a unidade do prazo de aplicação (n) deva seja semelhante a unidade de capitalização da taxa de juro, isto é: - Se a taxa (i) for capitalizada anualmente, o prazo de aplicação (n) necessariamente terá que ser medido em anos. Neste caso chamamos de capitalização ANUAL - Se a taxa (i) for capitalizada mensalmente, o prazo de aplicação (n) necessariamente terá que ser medido em meses. - Se a taxa (i) for capitalizada trimestralmente, o prazo de aplicação (n) necessariamente terá que ser medido em trimestres. Nestes dois últimos exemplos a capitalização é chamada de SUBANUAL Os procedimentos de cálculos são iguais em ambas as capitalizações, desta forma, não faremos a demonstração para cada uma delas, mas, sim de forma genérica. No entanto é importante lembrar que: - Quando a unidade da taxa for igual a unidade da capitalização, chamamos de taxa efetiva. - Quando a unidade da taxa não coincidir com a unidade da capitalização, chamamos de taxa nominal.
Exemplificando: a) 80% ao ano, com capitalização anual (%aa/a) → taxa efetiva b) 42% ao ano, com capitalização mensal (%aa/m) → taxa nominal c) 3,5% ao mês, com capitalização mensal (%am/m) → taxa efetiva
32
4.2.
JURO COMPOSTO
4.2.1. Convenção exponencial: Consideramos que um capital “PV” está aplicado a juro composto quando o juro do primeiro período ( J1 ) é acrescido ao capital primitivo (PV), formando um novo capital (FV1), que, por sua vez, produzirá um novo juro ( J2 ) no período seguinte. Este juro ( J2 ) será acrescido ao capital (FV1) formando novo capital (PV2), e assim sucessivamente. Diz-se que nesta operação o juro é capitalizado, ou que ocorre o que se denomina de juro sobre juro. Exemplificando:
PV i n FV
= = = =
capital, capital inicial, preço, valor atual taxa efetiva de juro prazo ou número de período da aplicação montante, total gerado, valor final, total pago
4.2.1.1. Representação gráfica: PV
FV1
FV2
FV3
|---------------------|---------------------|----------------------|-----------------------| 0 1 2 3 4
J1 = PV. i FV1 = PV + J1 FV1 = PV + PV. i FV1 = PV.(1 + i) J2 = FV1 .i FV2 = FV1 + J2 FV2 = FV1 + FV1. i FV2 = FV1.(1 + i) J3= FV2 . i FV3 = FV2 + J3 FV3 = FV2 + FV2 . i FV3 = FV2.(1 + i) J4 = FV3 . i FV4 = FV3 + J4 FV4 = FV3 + FV3. i FV4 = FV3.(1 + i) 33
4.2.1.2. Cálculo do montante: Pelo desenvolvimento apresentado anteriormente, determinamos: FVn = FVn −1 .(1 + i ) Ou, substituindo uma fórmula em outra, FV1 = PV.(1 + i) FV2 = FV1.(1 + i) → FV2 = PV.(1 + i)2 FV3 = FV2.(1 + i) → FV3 = PV.(1 + i)3 e assim sucessivamente, concluímos que: FVn = PV .(1 + i ) n Ou simplificadamente, FV = PV .(1 + i ) n isto é, o montante (FV), num período (n) qualquer, é igual ao capital (PV), devidamente capitalizado pela taxa efetiva de juro ao longo do prazo de aplicação. A expressão abaixo é denominada de Fator de Capitalização (1 + i) n → fator de capitalização
Exemplo 1: Um capital no valor de R$ 14.000,00 foi aplicado a juro composto à taxa de 6% aa/a (ao ano, com capitalização anual). Determine o montante avaliandoo no prazo de 11 anos. Solução: PV = 14.000,00 ∴ i = 6% aa/a ∴ n = 11 anos ∴ FV = ? FV = PV.(1 + i) n FV = 14000.(1 + 0,06)11 FV = 14000 x 1,898298 FV = 26.576,18 Montante = R$ 26.576,18
34
Na calculadora financeira poderemos fazer da seguinte forma: HP - 12C f
clear
14.000,00
Fin CHS PV
Visor - 14.000,00
11
N
11
6
i
6
FV
26.576,18
Exemplo 2: A importância de R$ 7.500,00 foi emprestada por um período de 3 anos. Sabendo-se que foi estabelecido juro composto na base de 9% at/t (ao trimestre, capitalizados trimestralmente), determine o valor a pagar pelo empréstimo no vencimento. Solução: PV = 7.500,00 ∴ i = 9% at/t ∴ n = 12 trimestres ∴ FV = ? FV = PV.(1+ i)n FV = 7500 . (1+0,09 ) 12 FV = 7500 x 1,0912 FV = 7500 x 2,812665 FV = 21.094,99 Montante = R$ 21.094,99 Na calculadora financeira poderemos fazer da seguinte forma: HP - 12C f
clear
7.500,00
Fin CHS PV
Visor - 7.500,00
12
N
12
9
i
9
FV
21.094,99
4.2.1.3. Cálculo do capital: Partindo-se da fórmula do montante: FV = PV .(1 + i ) n e isolando o capital, teremos
35
PV =
FV (1 + i ) n
Ou de outra forma PV = FV .(1 + i ) − n Onde a expressão abaixo e denominada de Fator de Descapitalização (1 + i) − n → fator de descapitalização
Exemplo 1: Uma dívida foi paga no final de 3 anos com R$ 5.800,00. Se a taxa de juro composto aplicada foi de 48% aa/m (ao ano, com capitalização mensal), determine o valor da dívida na data em que foi contraída. Solução:
FV = 5.800,00 ∴ i = 4% am/m ∴ n = 36 meses ∴ PV = ? FV = PV .(1 + i ) n 5800 = PV .(1 + 0,04) 36 5800 = PV .4,103932 5800 = PV 4,103932 PV = 1413,28
Ou PV = FV .(1 + i ) − n PV = 5800.(1 + 0,04) −36 PV = 5800x0,243668 PV = 1413,28 Capital = R$ 1.413,28 Na calculadora financeira poderemos fazer da seguinte forma:
HP - 12C f
clear
5.800,00
Fin CHS FV
Visor - 5.800,00
36
N
36
4
i
4
PV
+ 1.413,28
36
Exemplo 2: Uma pessoa aplica determinado capital durante 2a 3m 9d, a taxa de juro de 18% as/b (ao semestre, com capitalização bimestral), resgatando ao final deste prazo um montante de R$ 7.850,00. Determine o valor do capital aplicado por esta pessoa. Solução: FV = 7.850,00∴ ∴i = 6% ab/b ∴n = 2a 3m 9d = 819dias = 13,65 bimestres ∴PV=?
PV = FV .(1 + i ) − n PV = 7850.(1+ 0,06) – 13,65 PV = 7850 x 0,451413912 PV = 3.543,60 Capital = R$ 3.543,60 Na calculadora financeira poderemos fazer da seguinte forma:
HP - 12C f
clear
7.850,00
CHS
Fin
Visor
FV
- 7.850,00
13,65
N
13,65
6
i
6
PV
3.543,60
4.2.1.4. Cálculo do prazo: Tomando-se a fórmula do montante: FV = PV .(1 + i ) n E aplicando-se nossos conhecimentos matemáticos para solucionar equações exponenciais de bases distintas, concluímos que: n=
log( FV / PV ) log(1 + i )
Exemplo 1: Carolina, tendo encontrado quem lhe oferecesse R$ 10.000,00 emprestado, propôs o pagamento da dívida em uma única parcela no valor de R$ 16.105,10. Se a taxa de juro compostos cobrada foi de 10% am/m (ao mês, capitalizada mensalmente), determine o prazo para a liquidação da dívida. Solução: PV = 10.000,00 ∴ i = 10% am/m ∴ FV = 16.105,10 ∴ n = ?
37
n=
log( FV / PV ) log(1 + i )
log(16105,10 / 10000) log(1 + 0,10) log(1,610510) n= log(1,10) 0,206963425 n= 0,041392685 n=5 n=
Prazo = 5 meses
OBS.: 1) Na HP-12C, por uma questão de sistema interno da calculadora, não é possível calcular o prazo nas operações de Juro Composto. 2) Na HP-12C, o cálculo do logaritmo é obtido da seguinte forma: valor g LN 3) Na HP-12C, não possuímos os logaritmos decimais por isto utilizaremos os logaritmos neperianos, que no exemplo acima produziriam os seguintes valores: LN(1,61051) = 0,476550899 e LN(1,10)0,0953101798 que quando divididos produzem o mesmo resultado final igual a 5 unidades do prazo. Exemplo 2: Uma pessoa aplica a importância de R$ 3.850,00 a taxa de juro compostos de 6%at/t. Se esta pessoa recebeu em 18/Ago/2008 juro de R$ 2.215,22 em que data foi feita esta aplicação? Solução:
PV = 3.850,00 ∴ i = 6% at/t ∴ J = 2.215,22 FV = 6.065,22 n = ? (Data Aplicação) n=
log( FV / PV ) log(1 + i )
log(6065,22 / 3850) log(1 + 0,06) log(1,57538181) n= log(1,06) 0,197385828 n= 0,025305865 n = 7,80000315 trimestres 702 dias n=
Data de Aplicação = Data de Resgate – Prazo de Aplicação Data de Aplicação = 18/Ago/2008 – 702 dias = 16/Set/2006
38
4.2.1.5. Cálculo da taxa: Partindo-se da fórmula do montante, e isolando-se a taxa (i), teremos: FV = PV .(1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV n
FV = 1+ i PV i=n
FV − 1 → a taxa assim obtida é unitária PV
Exemplo 1: Um equipamento está à venda por R$ 15.000,00 à vista. Existe uma proposta de compra mediante um único pagamento de R$ 41.160,00 no prazo de 9 meses. Determine a taxa trimestral capitalizada trimestralmente utilizada. Solução: PV = 15.000,00 ∴ n = 3m ∴ FV = 41.160,00 ∴ i = ? (%at/t)
i=n
i=3
FV −1 PV
41160 −1 15000
i = 3 2,744 − 1 i = 1,40 − 1 i = 0,40 taxa efetiva unitária Taxa = 40% at/t
HP - 12C f clear
Fin
Visor
15.000,00
CHS PV
41.160,00
FV
41.160,00
3
N
3
i
- 15.000,00
40
39
Exemplo 2: Uma mercadoria está à venda à vista por R$ 8.960,00. Uma pessoa interessada na aquisição desta mercadoria faz a seguinte proposta a seu proprietário: Pagar em 45 dias a importância de R$ 9.366,21. Determine a taxa mensal com capitalização mensal que será aplicada. Solução: PV = 8.960,00 ∴ n = 45 dias = 1,5 meses ∴ FV = 9.366,21 ∴ i = ? (%am/m)
i=n
i = 1,5
FV −1 PV
9366,21 −1 8960,00
i = 1,5 1,04533594 − 1 i = 1,030000 − 1 i = 0,03 taxa efetiva unitária Taxa = 3% am/m
4.2.2. Convenção linear: Na convenção linear utilizamos juro composto somente no período inteiro e juro simples no período fracionário. Considere uma aplicação com capitalização anual, durante um prazo de 3 anos e 5 meses PV
|------------------|-----------------|-----------------|-----------------| 0 1a 2a 3a 5m
Juro Composto
Juro Simples
FV’ Aplicando-se o Juro Composto combinado com o Juro Simples teremos: FV ' = PV .(1 + i ) n .(1 + i. p / q )
40
Onde:
n p/q
→ parte inteira do período → parte fracionária do período
Exemplo 1: A importância de R$ 25.000,00 foi aplicada a juro composto à taxa de 15%aa/a. Determine o montante, avaliando-o no prazo de 3 anos e 5 meses (convenção linear). Solução: PV = 25.000,00 ∴ n = 3a e 5m ∴ i = 15%aa/a ∴ FV’ = ? Prazo: 3a e 5m = 3,416666anos, ou seja, 3 anos inteiros e 0,416666 fração de anos FV ' = PV .(1 + i ) n .(1 + i. p / q ) FV’ = 25000 . (1 + 0,15)3 . (1 + 0,15 x 0,416666) FV’ = 25000 x 1,153 . ( 1 + 0,062499999) FV’ = 25000 x 1,520875 x 1,062499999 FV’ = 40.398,24
Exemplo 2: Certo capital foi aplicado em data de 10/05/2004 a taxa de juro composto de 8,16%ab/b. Em 11/02/2006 foi resgatado um montante, pela convenção linear de R$ 10.540,00. Determine o capital inicialmente aplicado se o juro foi capitalizado bimestralmente. Solução: FV’ = 10.540,00 ∴ i = 8,16%ab/b ∴ PV = ? Prazo: 10/05/2004 à 11/02/2006 642dias = 10,7bimestres, ou seja: 10 inteiros e 0,7 fração
FV ' = PV .(1 + i ) n .(1 + i. p / q ) 10540 = PV . (1+0,816)10 . (1 + 0,0816 x 0,7) 10540 = PV . 2,1911231 x 1,05712 10540 = PV . 2,3162801 PV = 10540/2,3162801 PV = 4.550,40
Exemplo 3: Determinado capital foi aplicado a taxa de juros de 37,0908%aa/t durante 624 dias. Encontre o capital inicialmente investido, pela convenção linear se os juros produzidos, por capitalizações mensais foram de R$ 3.261,92. Solução: J = 3.261,92 ∴ i = 37,0908%aa/t 9,2727%at/t 3%at/t ∴ PV = ? Prazo: 624dias = 20,8 meses, ou seja: 20 inteiros e 0,8 fração ∴Como: FV = PV + J FV ' = PV .(1 + i ) n .(1 + i. p / q ) PV + 3261,92 = PV . (1+0,03)20 . (1 + 0,03 x 0,8) PV + 3261,92 = PV . 1,806111235 x 1,024 PV + 3261,92 = PV . 1,8494579043 3261,92 = 1,8494579043.PV - PV 3261,92 = 0,8494579043.PV PV = 3261,92/0,8494579043 PV = 3.840,00
41
4.3. 1)
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - JURO COMPOSTO - I Um capital de R$ 12.500,00 foi aplicado a juro composto à taxa de 20% aa/a. Determine o montante, avaliando-o no prazo de 13 anos. R ⇒ R$ 133.741,51
2) Qual o valor que aplicado a juro composto à taxa de 17% aa/a, produziu no prazo de 6 anos o montante de R$ 22.500,00? R ⇒ R$ 8.771,37 3) Determine o prazo necessário para que o capital de R$ 15.000,00 venha produzir o montante de R$ 27.576,88, sabendo-se que a taxa de juro composto é de 7% aa/a. R ⇒ n = 9 anos 4) Determine a taxa de juro (%aa/a), necessária para que o capital de R$ 12.800,00 venha a produzir, no prazo de 18 anos, um montante de R$ 55.583,41. R ⇒ i = 8,5% a.a./a 5) Determine o prazo (anos, meses e dias, se for o caso) necessário para que o capital de R$ 5.000,00 produza o montante de R$ 7.646,29, sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 8% aa/a. Utilizar a convenção exponencial. R ⇒ n = 5 anos, 6 meses e 7 dias Conv. Exponencial 6) O capital de R$ 1.900,00 ficou aplicado durante 420 dias, produzindo ao final deste prazo juro de R$ 2.658,20. Encontre a taxa de juro composto (% ab/b) que foi aplicada? R ⇒ 13,3160%ab/b 7) Uma pessoa aplica em 29/01/2003 certa importância a taxa de juro composto de 4,5% ab/b. Em 30/09/2005 esta pessoa resgata um montante de R$ 6.993,04. Determine o capital inicialmente aplicado por esta pessoa? R ⇒ R$ 3.420,00 Conv. Exponencial ; R$ 3.419,38 Conv. Linear 8) O capital de R$ 6.740,00 foi aplicado a taxa de juro composto de 10,5% aq/q durante 2a 9m e 24d. Determine o total a ser resgatado ao final deste prazo. R ⇒ R$ 15.670,08 Conv. Exponencial; R$ 15.689,48 Conv. Linear 9) Determine o valor do capital que, aplicado a juro composto à taxa de 10% aa/a, produziu o montante de R$ 23.850,00 no prazo de 3 anos e 9 meses. R ⇒ R$ 16.682,68 Conv. Exponencial; R$ 16.668,71 Conv. Linear 10) Qual é o montante produzido pelo capital de R$ 200.000,00 aplicado à taxa de juro composto de 3% at/t, no prazo de 2 anos, 4 meses e 20 dias? R ⇒ R$ 265.275,29 Conv. Exponencial; R$ 265.303,88 Conv. Linear
42
CAPÍTULO – V 5.
ESTUDO DAS TAXAS
5.1.
ESTUDO DAS TAXAS NO JURO COMPOSTO As taxas de juro estão intrinsecamente ligadas ao juro, sejam eles Simples ou Composto, muito embora se possa definir qualquer destas espécies de juro sem que se utilize especificamente a palavra taxa de juro em sua definição. No Juro Composto o entendimento das taxa e suas transformações são de fundamental importância para que o Estudante entenda o processo de capitalização que ocorre a cada período. A seguir passamos a realizar um estudo dos tipos de taxas utilizadas no Juro Composto bem como suas transformações e aplicações.
5.1.1. Tipos de taxas: 5.1.1.1. Taxas efetivas: São aquelas em que a unidade do percentual é igual a unidade da capitalização. Considerando-se o tipo de unidades de prazo que utilizamos existem 07 (sete) tipos de taxas efetivas, a saber:
%aa/a; %as/s; %aq/q; %at/t; %ab/b; %am/m; %ad/d 5.1.1.2. Taxas nominais: São aquelas em que a unidade do percentual é diferente da unidade de capitalização. Considerando-se o tipo de unidades de prazo que utilizamos existem 42 (quarenta e dois) tipos de taxas nominais, entre elas exemplificamos as seguintes:
%aa/m; %at/a; %ab/s; %aq/d 5.1.2. Transformação de taxas:
5.1.2.1. De taxas nominais em taxas efetivas (de mesma capitalização): Para se transformar Taxas Nominais em Taxas Efetivas de mesma capitalização, basta se transformar o percentual para a unidade de capitalização, multiplicando ou dividindo pelo fator de conversão.
Exemplo: Transforme para a taxa nominal para a taxa efetiva indicada: %aa/a a) 7,2%at/a
43
Como cada ano possui 4 trimestres, basta multiplicar os 7,2 por 4 resultando em 28,8%aa/a b)
33%aa/m
%am/m
Como cada ano possui 12 meses, basta dividir os 33 por 12 resultando em 2,75%am/m c)
63%as/b
%ab/b
Como cada semestre possui 3 bimestres, basta dividir 63 por 3 resultando 21%ab/b d)
6,4%am/q
%aq/q
Como cada quadrimestre possui 4 meses, basta multiplicar 6,4 por 4 resultando 25,6%aq/q 5.1.2.2. De taxas efetivas em taxas efetivas: A transformação de uma Taxa Efetiva em outra Taxa Efetiva equivalente, é feita através de uma das igualdades abaixo. Assim, a partir de uma determinada taxa efetiva, poderemos calcular outra taxa efetiva. 1 2 3 4 6 12 360 (1 + ia ) = (1 + is ) = (1 + iq ) = (1 + it ) = (1 + ib ) = (1 + im ) = (1 + id )
Taxas efetivas, capitalizadas em períodos diferentes, são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, vierem a produzir um montante igual durante o mesmo período de aplicação.
Exemplo 1: A taxa de 10%am/m é equivalente à taxa de 21% ab/b, pois se aplicadas sobre um mesmo capital ( R$ 100,00 ), irão produzir montantes iguais no prazo de 1 ano. Solução: FV12 = 100,00 . (1 + 0,10) 12 FV12 = 313,84
e
FV6 = 100,00 . (1 + 0,21) 6 FV6 = 313,84
comparando, os cálculos acima, concluímos que: ( 1,10 ) 12 = ( 1,21 ) 6 ou seja ( 1 + i m ) 12 = ( 1 + i b ) 6 → para um período de 1 ano. ou (1+im)2
= (1+ib)
→ para um período de 2 meses.
44
A transformação de uma taxa efetiva em outra taxa efetiva pode ser feita nas Calculadoras HP-12C, conforme demonstramos no Exemplo a seguir apresentado.
Exemplo 2: Transforme a taxa efetiva apresentada na taxa efetiva indicada: a)
20%as/s
%at/t
Solução: (1 + it)4 = (1 + i s)2 ou 2 (1 + it) = (1 + is) (1 + it)2 = (1 + 0,20) (1 + it) = 1,20½ 1 + i t = 1,0954451 i t = 0,0954451 ( taxa unitária efetiva trimestral ) i t = 9,5445% at/t
HP - 12C f
clear
Fin
120
FV
100
CHS PV
2
120
N
- 100 2
i
b) 30%ab/b
Visor
9,5445
%at/t
Solução: (1 + it ) 4 = (1 + ib ) 6 (1 + it ) 2 = (1 + 0,30) 3 (1 + it ) 2 = 2,197
1 + it = 2 2,197 1 + it = 1,482228053 it = 1,482228053 − 1 i t = 0,482228 at/t ( taxa unitária ) ou, pela Calculadora Financeira:
45
HP - 12C f
clear
STO 100 130 2/3 i
Fin
Visor
EEX CHS
C
PV
- 100
FV
130
N
0,66666 48,2228
Exemplo 3: A importância de R$ 12.500,00 foi aplicada a juro composto à taxa de 36%aa/m. Determine o montante (Conv. Linear), capitalizado bimestralmente, avaliando-o no prazo de 3 anos e 5 meses? Solução: PV = 12.500,00 ∴ n = 3a e 5m ∴ i = 36%aa/m ∴ FV’ = ? Transformação da Taxa: 36%aa/m 3%am/m 6,09%ab/b Prazo: 3a e 5m = 41 meses, ou seja, 20 bimestres inteiros e 0,5 fração de bimestre FV ' = PV .(1 + i ) n .(1 + i. p / q ) PV’ = 12500 . (1 + 0,0609)20 . (1 + 0,0609 x 0,5) FV’ = 12500 x 1,060920 . (1 + 0,03045) FV’ = 12500 x 3,262037792 x 1,03045 FV’ = 42.017,09
Exemplo 4: Determine o total resgatado (Conv. Exponencial), capitalizado mensalmente, se o foi aplicado o capital de R$ 6.270,00 a taxa de juro de 76,4064%aa/t, no prazo compreendido entre 10/Abr/2003 a 09/Jun/2004. Solução: PV = 6.270,00 ∴ i = 76,4064%aa/t ∴ FV = ? Transformação da Taxa: i = 76,4064%aa/t 19,1016%at/t 6%am/m Prazo: 10/04/2003 à 09/06/2004 426dias = 14,2 meses FV = PV .(1 + i ) n FV = 6270 . (1 + 0,06)14,2 FV = 6270 x 1,0614,2 FV = 6270 x 2,287406162 FV = 14.342,04
46
Exemplo 5: Certo capital foi aplicado em data de 11/10/2004 a taxa de juro composto de 48%aa/m. Em 15/07/2006 foi resgatado um montante, pela convenção linear, de R$ 9.630,00. Determine o capital inicialmente aplicado se o juro foi capitalizado quadrimestralmente. Solução: FV’ = 9.630,00 ∴ i = 48%aa/m ∴ PV = ? Transformação da Taxa: i = 48%aa/m 4%am/m 16,985856%aq/q Prazo: 11/10/2004 à 15/07/2006 642dias = 5,35 quadrimestres, ou seja: n = 5 e p/q = 0,35 FV ' = PV .(1 + i ) n .(1 + i. p / q ) 9630 = PV. (1+0,16985856)5.(1+ 0,16985856 x 0,35 ) 9630 = PV . 2,19112314 x 1,059450496 9630 = PV . 2,3213865 PV = 9630 / 2,3213865 PV = 4.148,38
Exemplo 6: Encontre o capital que foi aplicado a taxa de juro composto de 60%aa/m, durante o prazo de 774 dias, se o juro produzido, pela convenção exponencial, e por capitalizações trimestrais, foi de R$ 9.370,00 Solução: Juro = 9.370,00 ∴ i = 60%aa/m ∴ PV = ? Transformação da Taxa: 60%aa/m 5%am/m 15,7625% at/t Prazo: 774 dias = 8,6 trimestres FV = PV .(1 + i ) n Como FV = PV + J teremos: PV + J = PV .(1 + i ) n PV + 9370 = PV . (1 + 0,157625 )8,6 PV + 9370 = PV . (1,157625 )8,6 PV + 9370 = PV . 3,521145052 9370 = 3,521145052 . PV – PV 9370 = 2,521145052 . PV PV = 9370 / 2,521145052 PV = 3.716,57
47
5.2.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – JURO COMPOSTO II
1) Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, que equivale à taxa de 30% ao ano com capitalização mensal. R ⇒ i = 34,48% a.a./a 2) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação à taxa de juro composto pelo prazo de 1 ano. São oferecidas as seguintes taxas: a) 482% a.a. com cap. anual; b) 16% ao mês com cap. mensal; c) 100% a.a. com cap. trimestral. Qual é a melhor opção para esta pessoa? R ⇒ alternativa “b” 3) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro composto à taxa de 30% ao ano, com capitalização semestral. Determine o prazo necessário para produzir o montante de R$ 1.758,94. R ⇒ n = 9 semestres ou 4 anos e 6 meses 4) Determine o valor da taxa anual, capitalizada quadrimestralmente, necessária para o capital de R$ 800,00 resultar o montante de R$ 1.440,75 no prazo de 5 anos. R ⇒ i = 12% aa/q 5) Determine a taxa trimestral, com capitalização trimestral, que equivale à taxa de 15% ao ano com capitalização anual. R ⇒ i = 3,5558% at/t 6) Conhecendo-se a taxa de 40% aa/t, determine a taxa anual capitalizada bimestralmente equivalente. R ⇒ i = 39,3613% aa/b 7) Qual é a taxa semestral, capitalizada bimestralmente, que equivale à taxa de juro composto de 28% ao trimestre com capitalização mensal? R ⇒ i = 58,6133% as/b 8) Um capital de R$ 5.720,00 foi aplicado à taxa de juro composto de 24,72% aa/s. Determine o montante, por capitalizações trimestrais, avaliando-o no prazo de 3a, 8m e 20d. R ⇒ R$ 13.619,85 Conv. Exponencial e R$ 13.622,10 Conv. Linear 9) Determine o valor do capital que, aplicado à taxa de juro composto de 37,0908% aa/t, produziu o montante, por capitalizações bimestrais, de R$ 28.500,00 no prazo de 6 anos, 3 meses e 15 dias. R ⇒ R$ 9.337,69 Conv. Exponencial e R$ 9.336,93 Conv. Linear 10) Determine o prazo necessário, pela convenção exponencial, para um capital qualquer triplicar de valor, sabendo-se que foi aplicado à taxa de juro composto de 27,3709464% aa/m, sendo que o juro foi capitalizado trimestralmente. R ⇒ n = 4 anos e 21 dias
48
CAPÍTULO – VI 6.
RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (1.ª Parte)
6.1.
INTRODUÇÃO: É a capitalização em várias parcelas (múltipla). Aparece quando se efetua uma série de depósitos (ou pagamentos) em datas previamente estabelecidas que se destine a: produzir certo montante ou a amortizar (pagar) determinada dívida (valor atual). PMT
|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 0 1 2 3 4 5 (n) i%
PV
6.2.
FV
ELEMENTOS DE UMA RENDA: PV Valor Atual, Preço, Valor Inicial, Valor Presente, Capital Inicial FV Montante, Valor Futuro, Total Pago, Total Gerado, Valor Final PMT Termos, Prestações, Parcelas, Depósitos, Pagamentos n Número de Termos ou Prestações i Taxa Efetiva de Juro, com capitalização na periodicidade das Parcelas
6.2.1. Montante (FV): numa série de pagamentos, definimos Montante como sendo a parcela única, que equivale (ou substitui) a todos os termos (devidamente capitalizados) até o final do fluxo. É a soma dos montantes de todos os termos que compõe a série. 6.2.2. Valor atual (PV): numa série de pagamentos, definimos Valor Atual como sendo a parcela única que equivale (ou que substitui) a todos os termos (devidamente descapitalizados) até o início do fluxo. É a soma dos valores atuais de todos os termos que compõe a série. 6.2.3. Termos (PMT): numa série de pagamentos, definimos Termos como sendo o valor que é pago (ou recebido) a cada período de capitalização de uma Série Pagamentos.
49
6.3.
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS POSTECIPADAS IMEDIATAS ANTECIPADAS TEMPORÁRIAS INICIAL DIFERIDAS FINAL CERTAS POSTECIPADAS IMEDIATAS ANTECIPADAS PERPÉTUAS INICIAL DIFERIDAS FINAL
RENDAS POSTECIPADAS IMEDIATAS ANTECIPADAS TEMPORÁRIAS INICIAL DIFERIDAS FINAL ALEATÓRIAS POSTECIPADAS IMEDIATAS ANTECIPADAS PERPÉTUAS INICIAL DIFERIDAS FINAL
50
6.3.1. Rendas Aleatórias: são aquelas que não obedecem a um acordo regular de periodicidade, dependendo de eventos externos que podem ou não acontecerem. 6.3.2. Rendas Certas: são aquelas que ocorrem de forma periódica e regular, obedecendo a um acordo previamente estabelecido. 6.3.2.1. Perpétuas: quando possuem um número ilimitado de pagamentos (depósitos). PMT
|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 0 1 2 3 4 ...... 6.3.2.2.
Temporárias: quando possuem um número limitado de pagamentos (depósitos). PMT
|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 0 1 2 3 4 .... n 6.3.2.2.1. Imediatas: quando os pagamentos (depósitos) ocorrem a partir do primeiro período do prazo da renda. 6.3.2.2.1.1. Postecipadas: quando os termos ocorrem no final de cada período PMT
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 .... n 6.3.2.2.1.2. Antecipadas: quando os termos ocorrem no início da cada período PMT
|---------------|---------------|------------------------------|---------------| 0 1 2 .... n-1 n 6.3.2.2.2.
Com Diferimento: quando existe um prazo (superior a um período de capitalização) no início ou no final onde não ocorrem pagamentos
6.3.2.2.2.1. Inicial: o prazo onde não ocorrem pagamentos é anterior à ocorrência das prestações. 51
PMT
|-------------------------------|-------|--------|--------------------------------| 0 m m+1 m+2 m+n
diferimento inicial 6.3.2.2.2.2. Final: o prazo onde não ocorrem pagamentos é posterior à ocorrência das prestações. PMT
|-------|--------|--------------------------------|-------------------------------| 0 1 2 n n+m
diferimento final
OBS.: a partir deste ponto de nosso Estudo todas as Rendas possuirão um número determinado (temporárias) de pagamentos iguais e periódicos (certas) onde se aplica uma única taxa de juro
6.4.
RENDA CERTA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, e POSTECIPADA:
6.4.1. Representação Gráfica:
PMT
|---------------|---------------|----------------------------------------------| 0 1 2 n i
PV
FV
6.4.2. Cálculo do montante na renda postecipada (FV): O Montante de uma Renda é obtido fazendo-se a capitalização de cada um dos Termos da Série sendo ao final cada um destes valores somados, conforme apresentamos a seguir:
52
FV = PMT .(1 + i ) n −1 + PMT .(1 + i ) n −2 + PMT .(1 + i ) n −3 + .... + PMT .(1 + i )1 + PMT
O valor capitalizado de cada um dos termos de uma Renda (Série de Pagamentos) forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
(1 + i ) n − 1 FV = PMT . i A parcela
(1 + i ) n − 1 i É denominada de Fator de Capitalização Postecipado e é representado por:
(1 + i ) n − 1 f (i %; n) = i Desta forma poderemos representar resumidamente o montante de uma Renda Postecipada pela seguinte expressão: FV = PMT . f (i %; n)
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 12 prestações mensais no valor de R$ 180,00. Encontre o total pago por este objeto se a taxa de juro aplicada foi de 24%aa/m. Solução: PMT = 180,00 ∴ n = 12 prestações ∴ i = 24%aa/m 2%am/m ∴FV = ?
PMT = 180
|---------------|---------------|----------------------------------------------| 0 1 2 12 m i = 2%am/m FV = PMT . f (i %; n)
FV = ?
FV = 180. f (2%;12)
(1 + 0,02)12 − 1 FV = 180. 0,02 53
FV = 180 ⊗ 13,4120897 FV = 2414,18 Logo o total pago por este objeto é de R$ 2.414,18 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C, conforme apresentamos a seguir: HP - 12C f
clear
180,00
Fin CHS
PMT
Visor - 180,00
12
N
12
2
i
2
FV = ?
2.414,18
Exemplo 2: Uma loja coloca a venda um aparelho eletrodoméstico na seguinte condição de pagamento: Entrada de R$ 250,00 mais 10 prestações bimestrais de R$ 140,00. Um consumidor interessado em saber qual o total que será pago pelo objeto, consulta ao vendedor qual a taxa de juro que a loja está aplicando, sendo-lhe informado que a taxa de juro era de 1,5%am/m. Ajude ao comprador encontrando para ele o valor final deste objeto. Solução: Entrada = 250,00 ∴ PMT = 140,00 ∴ n = 10 parcelas bimestrais Taxa (i) = 1,5%am/m 3,0225%ab/b ∴ Valor Final = ?
Entr = 250
PMT = 140
|---------------|---------------|----------------------------------------------| 0 1 2 10 b i = 3,0225%ab/b
Valor Final = ? Valor Final = FV (Entr) + FV (Série) Cálculo do Montante da Série de Prestações: FV = PMT . f (i %; n) FV ( Série) = 140. f (3,0225%;10)
54
(1 + 0,030225)10 − 1 FV ( Série) = 140. 0,030225 FV ( Série) = 140 x11,47576531 FV ( Série) = 1606,61 Cálculo do Montante produzido pela Entrada ao final da Série de Pagamentos: FV = PV .(1 + i ) n FV ( Entr ) = 250 x(1 + 0,030225)10 FV ( Entr ) = 250 x1,34685501 FV ( Entr ) = 336,71 Desta forma o Valor Final do objeto será a soma do FV (Série) com o FV (Entr) ou seja: Valor Final = 1.606,61 + 336,71 Valor Final = 1.943,32 Logo o Comprador ao adquirir o objeto de forma parcelada nas condições estabelecidas pela Loja pagará o Valor Final de R$ 1.943,32
Exemplo 3: O total pago por um objeto foi de R$ 8.437,72 sendo que este objeto foi adquirido nas seguintes condições: Entrada de R$ 620,00 mais 15 prestações mensais, mais um reforço de R$ 1.200,00 a ser pago juntamente com a 7.ª prestação. Encontre o valor das prestações se a taxa de juro aplicada foi de 3%am/m. Solução: Entrada = 620,00 ∴ Reforço na 7.ª parcela = 1.200,00 ∴ Total Pago = 8.437,72 Taxa (i) = 3%am/m ∴ n = 15 parcelas mensais ∴ PMT = ?
55
Entr = 620
Ref = 1200
PMT = ?
|---------------|-------|----------------|-------------------------------| 0 1 2 ... 7 ... 15 m i = 3%am/m
Total Pago = 8.437,72 Total Pago = FV (Entr) + FV (Série) + FV (Reforço) Cálculo do Montante produzido pela Entrada ao final da Série de Pagamentos: FV = PVx(1 + i ) n FV ( Entr ) = 620 x(1 + 0,03)15 FV ( Entr ) = 620 x1,5579674166 FV ( Entr ) = 965,94 Cálculo do Montante produzido pela Reforço ao final da Série de Pagamentos: FV = PVx(1 + i ) n FV (Re f ) = 1200 x(1 + 0,03) 8 FV (Re f ) = 1200 x1,266770081 FV (Re f ) = 1.520,12 Desta forma o Valor Final produzido pela série de prestações será a diferença entre o total pago pelo objeto e a soma de FV ( Entr) com FV (Ref) ou seja: FV (Série) = 8437,72 – FV (Entr) – FV (Ref) FV (Serie) = 8437,72 – 965,94 – 1520,12 FV (Série) = 5.951,66 Cálculo do Valor das Prestações pagas na Série: FV = PMT . f (i %; n) 5951,66 = PMT . f (3%;15)
56
(1 + 0,03)15 − 1 5951,66 = PMT . 0,03 5951,66 = PMT ⊗ 18,59891388 5951,66 → PMT = 320,00 18,59891388 Logo o valor de cada uma das prestações mensais pagas por este objeto foi de R$ 320,00. PMT =
6.4.3. Cálculo do valor atual na renda postecipada (PV) O Valor Atual de uma série de pagamentos é obtido fazendo-se a descapitalização de cada um dos Termos da Série sendo ao final cada um destes valores somados, conforme apresentamos a seguir: PV = PMT .(1 + i ) −1 + PMT .(1 + i ) −2 + PMT .(1 + i ) −3 + .... + PMT .(1 + i ) − n O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Renda (Série de Pagamentos) forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
(1 + i ) n − 1 PV = PMT . n i .( 1 + i ) A parcela
(1 + i ) n − 1 n i.(1 + i ) É denominada de Fator de Descapitalização Postecipado e é representado por:
(1 + i ) n − 1 p(i %; n) = n i.(1 + i ) Desta forma poderemos representar resumidamente o Valor Atual de uma Renda Postecipada pela seguinte expressão: PV = PMT . p (i %; n)
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 12 prestações mensais no valor de R$ 270,00. Encontre o preço por este objeto se a taxa de juro aplicada foi de 36%aa/m. Solução: PMT = 270,00 ∴n = 12 prestações ∴i = 36%aa/m 3%am/m ∴ PV = ?
57
PMT = 270
|---------------|---------------|----------------------------------------------| 0 1 2 12 m i = 3%am/m
Preço = ? = PV PV = PMT . p (i %; n) PV = 270. p (3%;12)
(1 + 0,03)12 − 1 PV = 270. 12 0,03.(1 + 0,03)
PV = 270x9,95400399 PV = 2687,58 Logo o Preço deste objeto é de R$ 2.687,58 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C, conforme apresentamos a seguir: HP - 12C f
clear
270,00
Fin CHS
PMT
Visor - 270,00
12
N
12
3
i
3
PV = ?
2.687,58
Exemplo 2: Uma loja coloca a venda um aparelho eletrodoméstico na seguinte condição de pagamento: Entrada de R$ 480,00 mais 15 prestações bimestrais de R$ 320,00. Um consumidor interessado em saber qual o preço deste objeto, consulta ao vendedor qual a taxa de juro que a loja está aplicando, sendo-lhe informado que a taxa de juro era de 2%am/m. Ajude ao comprador encontrando para ele o preço deste objeto. Solução: Entrada = 480,00 ∴ PMT = 320,00 ∴ n = 15 parcelas bimestrais Taxa (i) = 2%am/m 4,04%ab/b ∴ Preço = ? 58
Entr = 480
PMT = 320
|---------------|---------------|----------------------------------------------| 0 1 2 15 b i = 4,04%ab/b
Preço = ? Preço = Entrada + PV (Série) Cálculo do Valor Atual da Série de Prestações: PV = PMT . p (i %; n) PV ( Série) = 320. f (4,04%;15)
(1 + 0,0404)15 − 1 PV (Série) = 320. 15 0 , 0404 .( 1 + 0 , 0404 ) PV ( Série) = 320 x11,08735423 PV ( Série) = 3.547,95 Como a entrada é paga no ato da aquisição do objeto, a mesma não possui juro incorporado. Desta forma o Preço do objeto será a soma do PV (Série) com o Valor da Entrada, ou seja: Preço = Entrada + PV (Série) Preço = 480 + 3547,95 Preço = 4.027,95 Logo o preço do objeto a ser adquirido pelo Comprador nas condições estabelecidas pela Loja será de R$ 4.027,95
Exemplo 3: Uma pessoa deseja financiar um objeto cujo Valor Inicial é igual a R$ 6.430,00 nas seguintes condições: Entrada de R$ 1.430,00 mais 10 prestações mensais, mais um reforço de R$ 1.000,00 a ser pago juntamente com a 6.ª prestação. Encontre o valor das prestações se a taxa de juro aplicada foi de 2,5%am/m. Solução: Entrada = 1.430,00 ∴ Reforço na 6.ª parcela = 1.000,00 ∴ Preço = 6.430,00 Taxa (i) = 2,5%am/m ∴ n = 10 parcelas mensais ∴ PMT = ? 59
Entr = 1430
Ref = 1000
PMT = ?
|----------------|--------|----------------|---------------------------------------| 0 1 2 ... 6 ... 10 m i = 2,5%m/m
Valor Inicial = 6.430,00 Valor Inicial = Entrada + PV (Série) + PV (Reforço) Cálculo do Valor Atual produzido pelo Reforço no inicio da Série de Pagamentos: FV = PVx(1 + i ) n 1000 = PV (Re f ) x(1 + 0,025) 6 1000 = PV (Re f ) x1,159693418 PV (Re f ) =
1000 1,159693418
PV (Re f ) = 862,30 Desta forma o Valor Atual produzido pela série de prestações será a diferença entre o Valor Inicial do objeto e a soma de PV (Ref) com a Entrada, ou seja: PV (Série) = 6430 – PV (Ref) – Entrada PV (Serie) = 6430 – 862,30 – 1430 PV (Série) = 4.137,70 Cálculo do Valor das Prestações pagas na Série: PV = PMT . p (i %; n) 4137,70 = PMT . p (2,5%;10)
(1 + 0,025)10 − 1 4137,70 = PMT . 10 0,025.(1 + 0,025)
4137,70 = PMTx8,75206393
60
PMT =
4137,70 → PMT = 472,77 8,75206393
Logo o valor de cada das prestações mensais a serem pagas por este objeto será de R$ 472,77.
61
6.5.
EXERCÍCIOS – RENDAS POSTECIPADAS
1) Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: 10 prestações mensais de R$ 2.500,00 cada uma. Sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 12% am/m, determine o preço à vista desta mercadoria. R ⇒ R$ 14.125,56 2) Um eletrodoméstico está à venda por R$ 25.850,00 à vista. Sabendo-se que a loja o coloca à venda a prazo mediante 8 prestações mensais, sem entrada, qual o valor das prestações, admitindo-se uma taxa de juro composto de 18% am/m. R ⇒ R$ 6.339,57 3) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 será amortizado em 10 prestações trimestrais postecipadas. Determine o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 28% aa/t. R ⇒ R$ 21.356,63 4) Determinada pessoa planejando a construção de uma casa prevê gastos mensais de R$ 752.450,00 no final dos meses de outubro, novembro e dezembro. Quanto deverá depositar mensalmente, no final dos meses de janeiro até setembro do mesmo ano, para que seja possível efetuar aquelas retiradas? Utilizar a taxa de 3,25% am/m. R ⇒ R$ 206.387,94 5) Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: uma entrada de R$ 2.000,00 mais 18 prestações mensais postecipadas no valor de R$ 5.000,00, cada uma, e, ao fim de cada semestre, pagará mais R$ 3.000,00. Determine o preço à vista, utilizando a taxa de juro composto de 9% am/m. R ⇒ R$ 49.269,50 6) Determinada mercadoria está à venda na seguinte condição: entrada de R$ 500,00 e mais 18 prestações mensais de R$ 200,00 cada uma; ao fim de cada trimestre pagará mais R$ 300,00. Utilizando a taxa de juro composto de 36% aa/m, determine o total pago por esta mercadoria. R ⇒ R$ 7.806,69 7) Uma mercadoria está à venda, na seguinte condição: entrada de R$ 290,00 mais 15 prestações mensais de R$ 350,00 cada uma e, ao fim de um ano (da compra), mais um pagamento de R$ 1.700,00. Utilizando-se a taxa de juro composto de 12% as/m, qual o valor final desta mercadoria? R ⇒ R$ 8.247,05 8) Um empréstimo será amortizado mediante 18 prestações mensais de R$ 5.000,00 cada uma, tendo ao fim de cada semestre mais um reforço no valor de R$ 10.000,00 cada um. Utilizando a taxa de juro composto de 2% ao mês com capitalização mensal, determine o valor do empréstimo. R ⇒ R$ 98.726,39 9) Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: 36 prestações trimestrais antecipadas, no valor de R$ 3.800,00 cada uma e mais um pagamento extra no valor de R$ 8.300,00, nove meses após a última prestação trimestral. Utilizando a taxa de juro composto de 40% aa/t. Qual o valor à vista desta mercadoria? R ⇒ R$ 40.669,70 10) Substituir um pagamento de R$ 60.000,00 no final de um ano, por pagamentos a serem efetuados no final de cada bimestre, utilizando a taxa de juro composto de 30% aa/b. R ⇒ R$ 8.601,76
62
CAPÍTULO – VII 7.
RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (2.ª Parte)
7.1. RENDA CERTA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA e ANTECIPADA 7.1.1. Representação Gráfica: PMT
|---------------|----------------------------------------------|---------------| 0 1 n-1 n i
PV’
FV’
Obs.: as mais importantes rendas antecipadas são: + as Séries de Depósitos; + as Séries de Prestações do tipo: 1 + X parcelas; + as Séries de Prestações onde a 1.ª prestação da série foi paga como entrada; 7.1.2. Cálculo do montante na renda antecipada (FV’): O Montante de uma série de pagamentos é obtido fazendo-se a capitalização de cada um dos Termos da Série sendo ao final cada um destes valores somados, conforme apresentamos a seguir: FV ' = PMT .(1 + i ) n + PMT .(1 + i ) n −1 + PMT .(1 + i ) n −2 + .... + PMT .(1 + i )1 O valor capitalizado de cada um dos termos de uma Renda (Série de Pagamentos) forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
(1 + i ) n − 1 .(1 + I ) FV ' = PMT . i A parcela
63
(1 + i ) n − 1 .(1 + I ) i É denominada de Fator de Capitalização Antecipado e é representado por:
(1 + i ) n − 1 .(1 + i ) f ' (i %; n) = i Desta forma poderemos representar resumidamente o montante de uma Renda Antecipada pela seguinte expressão: FV ' = PMT . f ' (i %; n)
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 1+12 prestações mensais no valor de R$ 230,00. Encontre o total pago por este objeto se a taxa de juro aplicada foi de 36%aa/m. Solução: PMT = 230,00 ∴ n = 13 prestações ∴ i = 36%aa/m 3%am/m ∴ FV’ = ? PMT = 230
|---------------|----------------------------------------------|---------------| 0 1 12 13 m i = 3%am/m
FV’ = ? FV ' = PMT . f ' (i %; n) FV ' = 230. f ' (3%;13)
(1 + 0,03)13 − 1 .(1 + 0,03) FV ' = 230. 0,03 FV ' = 230 x16,08632416 FV ' = 3.699,85 Logo o total pago por este objeto é de R$ 3.699,85 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C, conforme apresentamos a seguir:
64
HP - 12C f
clear
Fin
Visor
g
BEG
BEGIN 230,00
CHS
PMT
- 230,00
13
N
13
3
i
3
FV’ = ?
3.699,85
Exemplo 2: Uma loja coloca a venda um aparelho eletrodoméstico na seguinte condição de pagamento: 12 prestações bimestrais de R$ 220,00, mais um reforço de R$ 580,00 a ser pago juntamente com a 5.ª prestação. Encontre o total que será pago por este objeto se a taxa de juro de financiamento da loja é de 24%aa/m e a primeira prestação paga como entrada Solução: PMT = 220,00 ∴ n = 12 parcelas bimestrais ∴ Reforço R$ 580,00 com a 5.ª parcela Taxa (i) = 24%aa/m 2%am/m 4,04%ab/b ∴ Valor Final = ?
PMT = 220
Ref = 580
|---------------|-----------------------|------------------------|-------------| 0 1 4 11 12 b i = 4,04%ab/b
Valor Final = ? Valor Final = FV (Ref) + FV’ (Série) Cálculo do Montante da Série de Prestações: FV ' = PMT . f ' (i %; n) FV ' ( Série) = 220. f ' (4,04%;12)
(1 + 0,0404)12 − 1 .(1 + 0,04) FV ' ( Série) = 220. 0,0404 FV ' ( Série) = 220 x15,66876521 FV ' ( Série) = 3.447,13
65
Cálculo do Montante produzido pelo Reforço ao final da Série de Pagamentos: FV (Re f ) = PV .(1 + i ) n FV (Re f ) = 580 x(1 + 0,0404) 8 FV (Re f ) = 580 x1,3727857 FV (Re f ) = 796,22 Desta forma o Valor Final do objeto será a soma do FV’ (Série) com o FV (Ref) ou seja: Valor Final = 3447,13 + 796,22 Valor Final = 4.243,35 Logo o Comprador ao adquirir o objeto de forma parcelada nas condições estabelecidas pela Loja pagará o Valor Final de R$ 4.243,35
Exemplo 3: Uma pessoa deseja resgatar ao final de 18 meses a importância de R$ 8.500,00. Para atingir seu objetivo pensa em realizar 18 depósitos mensais, mais um depósito extra de R$ 1.200,00 a ser realizado juntamente com o 7.ª depósito mensal. Encontre o valor de cada um dos 18 depósitos mensais, se a taxa de juro aplicada foi de 1%am/m. Solução: Reforço no 7.º depósito = 1.200,00 ∴ Total a Resgatar = 8.500,00 Taxa (i) = 1%am/m ∴ n = 18 parcelas mensais ∴ PMT = ?
PMT = ? Ref = 1200
|------------|----------------|-----------------------|-----------| 0 1 ... 6 ... 17 18 m i = 1%am/m
Total a Resgatar = 8.500,00 Total a Resgatar = FV’ (Série) + FV (Reforço) Cálculo do Montante produzido pelo Depósito Extra ao final da Série de Pagamentos: FV = PV .(1 + i ) n FV (Re f ) = 1200 x(1 + 0,01)12 66
FV (Re f ) = 1200 x1,12682503 FV (Re f ) = 1.352,19 Desta forma o Valor Final produzido pela série de depósitos será a diferença entre o total a resgatar e o total produzido pelo depósito extra FV (Ref), ou seja: FV’ (Série) = 8500 – FV (Ref) FV’ (Serie) = 8500 – 1352,19 FV’ (Série) = 7.147,81 Cálculo do Valor das Prestações pagas na Série: FV ' = PMT . f ' (i %; n) 7147,81 = PMT . f ' (1%;18)
(1 + 0,01)18 − 1 .(1 + 0,01) 7147,81 = PMT . 0,01 7147,81 = PMTx19,81089504 7147,81 → PMT = 360,80 19,8108954 Logo o valor de cada um dos depósitos mensais a ser efetuado por esta pessoa será de R$ 360,80. PMT =
7.1.3. Cálculo do valor atual na renda antecipada (PV’) O Valor Atual de uma série de pagamentos é obtido fazendo-se a descapitalização de cada um dos Termos da Série sendo ao final cada um destes valores somados, conforme apresentamos a seguir: PV ' = PMT + PMT .(1 + i ) −1 + PMT .(1 + i ) −2 + .... + PMT .(1 + i ) − ( n−1) O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Renda (Série de Pagamentos) forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
(1 + i ) n − 1 PV ' = PMT . n −1 i.(1 + i ) A parcela
67
(1 + i ) n − 1 n −1 i.(1 + i ) É denominada de Fator de Descapitalização Antecipado e é representado por:
(1 + i ) n − 1 p' (i %; n) = n −1 i .( 1 + i ) Desta forma poderemos representar resumidamente o Valor Atual de uma Renda Postecipada pela seguinte expressão: PV ' = PMT . p ' (i %; n)
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 12 prestações mensais antecipadas no valor de R$ 450,00. Encontre o preço por este objeto se a taxa de juro aplicada foi de 48%aa/m. Solução: PMT = 450,00 ∴n = 12 prestações∴ ∴ i = 48%aa/m 4%am/m ∴Preço = ?
PMT = 450
|---------------|---------------------------------------------------|----------| 0 1 11 12 m i = 4%am/m
Preço = ? = PV’ PV ' = PMT . p ' (i %; n) PV ' = 450. p ' (4%;12)
(1 + 0,04)12 − 1 PV ' = 450. 11 0,04.(1 + 0,04) PV ' = 450 x9,76047671 PV ' = 4.392,21 Logo o Preço deste objeto é de R$ 4.392,21 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C, conforme apresentamos a seguir:
68
HP - 12C f
clear
Fin
Visor
g
BEG
BEGIN 450,00
CHS
PMT
- 450,00
12
N
12
4
i
4
PV’ = ?
4.392,21
Exemplo 2: Uma loja coloca a venda um aparelho eletrodoméstico na seguinte condição de pagamento: 1 + 15 prestações bimestrais de R$ 370,00, mais um reforço de R$ 1.270,00 a ser realizado juntamente coma 9.ª prestação. Um consumidor interessado em saber qual o preço deste objeto, consulta ao vendedor qual a taxa de juro que a loja está aplicando, sendo-lhe informado que a taxa de juro era de 3%am/m. Ajude este consumidor encontrando o preço deste objeto. Solução: PMT = 370,00 ∴ n = 1 + 15 Prest. Bim. ∴ Reforço = 1.270,00 com a 9.ª Prestação Taxa (i) = 3%am/m 6,09%ab/b ∴ Preço = ?
PMT = 370
Ref = 1270
|---------------|-----------------------------|-----------------------|--------| 0 1 8 15 16 b i = 6,09ab/b
Preço = ? Preço = PV (Ref) + PV’ (Série) Cálculo do Valor Atual da Série de Prestações: PV ' = PMT . p ' (i %; n) PV ' ( Série) = 370. p ' (6,09%;16)
(1 + 0,0609)16 − 1 PV ' ( Série) = 370. 15 0,0609.(1 + 0,0609) PV ' ( Série) = 370 x10,65538983 69
PV ( Série) = 3.942,49 Cálculo do Valor Atual produzido pelo Reforço no inicio da Série de Pagamentos: FV = PV .(1 + i ) n 1270 = PV (Re f ) x(1 + 0,0609) 8 1270 = PV (Re f ) x1,60470644 PV (Re f ) =
1270 1,60470644
PV (Re f ) = 791,42 Desta forma o Preço do objeto será a soma do PV’(Série) com o PV (Ref), ou seja: Preço = PV(Ref) + PV (Série) Preço = 791,42 + 3942,49 Preço = 4.733,91 Logo o preço do objeto a ser adquirido pelo Comprador nas condições estabelecidas pela Loja será de R$ 4.733,91
Exemplo 3: Uma pessoa deseja financiar um objeto cujo Valor Inicial é igual a R$ 9.360,00 nas seguintes condições: 13 prestações mensais, mais um reforço de R$ 1.580,00 a ser pago juntamente com a 8.ª prestação. Encontre o valor das prestações, se a primeira prestação mensal foi paga de entrada, e a taxa de juro aplicada do financiamento foi de 2%am/m. Solução: Valor Inicial = 9360,00 ∴ Reforço na 8.ª prestação = 1.580,00 ∴ Taxa = 2%am/m n = 13 parcelas mensais ∴ PMT = ?
PMT = ?
Ref = 1580
|--------|-------------------------------|-----------------------|----------------| 0 1 ... 7 ... 12 13 m i = 2%m/m
Valor Inicial = 9.360,00 Valor Inicial = PV’ (Série) + PV (Ref) Cálculo do Valor Atual produzido pelo Reforço no inicio da Série de Pagamentos: 70
FV = PV .(1 + i ) n 1580 = PV (Re f ) x(1 + 0,02) 7 1580 = PV (Re f ) x1,148685667 PV (Re f ) =
1580 1,148685667
PV (Re f ) = 1.375,49 Desta forma o Valor Atual produzido pela série de prestações será a diferença entre o Valor Inicial do objeto e o valor de PV (Ref), ou seja: PV’ (Série) = 9360,00 – PV (Ref) PV’ (Serie) = 9360,00 – 1375,49 PV’ (Série) = 7.984,51 Cálculo do Valor das Prestações pagas na Série: PV ' = PMT . p ' (i %; n) 7984,51 = PMT . p ' (2%;13)
(1 + 0,02)13 − 1 7984,51 = PMT . 12 0,02.(1 + 0,02)
7984,51 = PMTx11,57534122 PMT =
7984,51 → PMT = 689,79 11,57534122
Logo o valor de cada das prestações mensais a serem pagas por este objeto será de R$ 689,79.
71
7.2. EXERCÍCIOS – RENDAS ANTECIPADAS 1) Uma mercadoria está à venda em 1 + 6 prestações mensais de R$ 290,00 cada uma. Qual o seu preço à vista, sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 5% am/m. R ⇒ R$ 1.761,95 2) Encontre o total que será pago por uma mercadoria que está a venda na seguinte condição: 10 prestações mensais antecipadas de R$ 460,00 mais um reforço de R$ 1.240,00 pago juntamente com a 4.ª prestação, sendo que a taxa de juro aplicada pela loja é de 12%aa/m. R ⇒ R$ 6.190,19 3) Uma pessoa desejando produzir um montante de R$ 58.000,00 ao final de 6 anos, realiza uma série de 24 depósitos trimestrais. Determine o valor que deve ser depositado a cada trimestre por esta pessoa, se à taxa de juro da aplicação for de 20% aa/t? R ⇒ R$ 1.241,24 4) Determine o preço de um objeto adquirido na seguinte condição: 1 + 11 prestações mensais de R$ 360,00 mais um reforço de R$ 1.190,00 a ser pago juntamente com a 6.ª prestação. A taxa de juro do financiamento é de 18%aa/m. R ⇒ R$ 5.090,23 5) Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será amortizado em 10 prestações trimestrais antecipadas. Determine o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 28% aa/t. R ⇒ R$ 1.995,95 6) Uma mercadoria está a venda na seguinte condição: 1 + 8 prestações bimestrais de R$ 240,00 mais um reforço de R$ 1.300,00 a ser pago seis meses após a aquisição da mercadoria. Encontre o total pago por esta mercadoria, se a taxa de juro aplicada foi de 18%as/b. R ⇒ R$ 4.767,47 7) Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: 36 prestações trimestrais antecipadas, no valor de R$ 380,00 cada uma e mais um pagamento extra no valor de R$ 830,00, nove meses após a aquisição da mercadoria. Utilizando a taxa de juro composto de 12% aa/t. Qual o valor à vista desta mercadoria? R ⇒ R$ 8.210,42 8) Substituir o pagamento de R$ 60.000,00 no fim de cada ano, por pagamentos a serem efetuados no inicio de cada bimestre, utilizando a taxa de juro composto de 30% aa/b. R ⇒ R$ 8.401,00 9) Uma pessoa dispõe mensalmente de R$ 525,00 para pagar de prestação em um empréstimo, durante o prazo de 3 anos e 8 meses. Sabendo-se que a taxa de juro composto aplicada pelo banco é de 42% aa/m, determine o valor que poderá solicitar de empréstimo sendo as prestações antecipadas. R ⇒ R$ 12.107,91 10) Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 10 prestações bimestrais antecipadas de R$ 450,00 mais 12 prestações mensais postecipadas de R$ 180,00. Encontre o preço deste objeto, se a taxa de juro aplicada foi de 24%aa/m. R ⇒ R$ 5.693,37
72
CAPÍTULO – VIII 8.
RENDAS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS (3.ª Parte)
8.1.
RENDAS CERTAS, TEMPORÁRIAS, COM DIFERIMENTO Consideramos que uma Série de Pagamentos possui diferimento, quando ocorrer, no início ou no final, um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes a série, ou seja, o empréstimo não e amortizado (pago) neste período. Destaque-se que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não podem pertencer a série.
Exemplos Práticos de:
Diferimento Inicial: Compra de Equipamentos com Financiamento do BRDE ou BADESUL; Crédito Educativo observado pelo lado do Aluno; Financiamento de Imóvel adquirido na fase de construção do prédio;
Diferimento Final Contrato de Seguro de Veículos pago “n” parcelas; Crédito Educativo observado pelo lado do Agente Financiador; Série de Depósitos em Poupança ou em Títulos de Capitalização, com resgate alguns períodos após a ocorrência do último depósito;
8.1.1. Diferimento final: Consideramos que uma Série de Pagamentos possui Diferimento Final, quando ocorrer, após o último pagamento da série, um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes à série. Destaquese que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não fazem parte da série. 8.1.1.1.
Postecipado (Cálculo do Montante): Destacamos que numa Renda com Diferimento Final Postecipado, interessa ao observador do negócio o valor a ser obtido no final do contrato (fluxo), pois o valor inicial desta série de pagamento é o mesmo já obtido no Item 3.2 deste livro.
73
Consideramos que uma Série de Pagamentos possui Diferimento Final Postecipado, quando ocorrer, após o último pagamento de uma série postecipada, um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes à série. Destaque-se que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não fazem parte da série. A obtenção do valor final (montante) de uma Série de Pagamentos com Diferimento Final Postecipado, inicialmente devemos encontrar o valor final da série (FV1) e em seguida promovermos a capitalização deste valor até o final do prazo de vigência do contrato (final do fluxo). Destaque-se ainda que a capitalização feita no período do diferimento não necessita ser com a mesma periodicidade da série de pagamentos, ou seja, em uma série de pagamentos bimestrais ou trimestrais a capitalização do prazo de diferimento pode ser mensal, ou em qualquer outra unidade que costumamos utilizar.
Representação Gráfica: PMT
|-------|-------|------------------------------|--------------------------------| 0 1 2 ... n n+m i%
PV
FV1
FV(FV1) diferimento
Como o montante da Série de Pagamentos Postecipada é dado por:
(1 + i ) n − 1 FV1 = PMT . i E a capitalização do período de diferimento é dada por: FV = FV1 x(1 + i ) m Aplicando a capitalização sobre o montante da série obteremos:
(1 + i ) n − 1 .(1 + i ) m FV ( FV1 ) = PMT . i Que na forma resumida pode ser representada por: 74
FV ( FV1 ) = PMT . f m (i %; n; m) Onde: + “n” é o número de prestações da série de pagamentos + “m” é o números de período do diferimento + “fm” é o fator de capitalização postecipado com diferimento
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 12 prestações mensais no valor de R$ 180,00. Encontre o total pago por este objeto 6 meses após o pagamento da última prestação, se a taxa de juro aplicada no financiamento foi de 24%aa/m. Solução: PMT = 180,00 ∴ n = 12 prestações ∴ i = 24%aa/m 2%am/m Diferimento de 6 meses (m = 6) ∴ FV(FV1) = ?
PMT = 180
|-------|-------|------------------------------|--------------------------------| 0 1 2 ... 12 18 m i = 2%am/m
FV1
FV(FV1)
FV ( FV1 ) = PMT . f m (i %; n; m) FV ( FV1 ) = 180. f m (2%;12;6)
(1 + 0,02)12 − 1 .(1 + 0,02) 6 FV ( FV1 ) = 180. 0 , 02 FV ( FV1 ) = 180 x13,41208972 x1,126162419 FV ( FV1 ) = 180 x15,10419142 FV ( FV1 ) = 2.718,75 Logo o valor do objeto 6 meses após o pagamento da última prestação é de R$ 2.718,75 75
Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C: HP - 12C f
clear
180,00
Fin CHS
PMT
Visor - 180,00
12
N
12
2
i
2
FV = ? CHS
PV
2.214,18 - 2.214,18
0
PMT
0
6
n
6
FV = ?
2718,75
Exemplo 2: Uma mercadoria está a venda na seguinte condição: Entrada de R$ 380,00 mais 10 prestações mensais de R$ 250,00 mais 7 prestações bimestrais de R$ 390,00. Encontre o total pago por este objeto, se a taxa de juro aplicada é de 12%aa/m. Solução: PMT = 250,00 ∴ n = 10 prestações mensais ∴ i = 12%aa/m 1%am/m 2,01%ab/b PMT = 390,00 ∴ n = 7 prestações bimestrais ∴ Entrada = 380,00 ∴ Total Pago = ?
Entr = 380 PMT = 250
PMT = 390
|------|------|---------------------|--------|--------|----------------------| 0 1 2 ... 10 12 14 24 m i = 1%am/m 2,01%ab/b
FV1
Total Pago = ?
Total Pago = FV + FV(FV1) + FV(Entr) bim
mens
76
Cálculo do Valor Futuro da Renda Bimestral FV: FV = PMT . f (i %; n) FV = 390xf (2,01%;7) FV = 2.900,25 Cálculo do Valor Futuro da Entrada FV(Entr): FV = PV .(1 + i ) n FV = 380 x(1 + 0,01) 24 FV = 482,50 Cálculo do Valor Futuro do Montante da Renda Mensal FV(FV1) FV ( FV1 ) = PMT . f m (i %; n; m) FV ( FV1 ) = 250. f m (1%;10;14)
(1 + 0,01)10 − 1 .(1 + 0,01)14 FV ( FV1 ) = 250. 0,01 FV ( FV1 ) = 3.006,51 Desta forma o total pago pela mercadoria será a soma das três parcelas, ou seja: Total Pago = 2900,25 + 482,50 + 3006,51 Total Pago = 6.389,26 8.1.1.2. Antecipada (Cálculo do Montante): Destacamos que numa Renda com Diferimento Final Antecipada, interessa ao observador do negócio o valor a ser obtido no final do contrato (fluxo), pois o valor inicial desta série de pagamento é o mesmo já obtido no Item 4.2 deste livro. Consideramos que uma Série de Pagamentos possui Diferimento Final Antecipado, quando ocorrer, após o último pagamento de uma série antecipada, um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes à série. Destaque-se que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não podem fazer parte da série. A obtenção do valor final (montante) de uma Série de Pagamentos com Diferimento Final Antecipado, inicialmente devemos encontrar o valor final da série (FV’1) e em seguida promovermos a capitalização deste valor até o final do prazo de vigência do contrato (final do fluxo). Destaque-se ainda que a capitalização feita no período do diferimento não necessita ser com a mesma periodicidade da série de pagamentos, ou seja, em uma série de pagamentos bimestrais ou trimestrais a capitalização do prazo de 77
diferimento pode ser feita mensalmente, ou em qualquer outra unidade que desejarmos utilizar.
Representação Gráfica: PMT
|-------|------------------------------|-------|--------------------------------| 0 1 ... n -1 n n+m i%
PV’
FV’1
FV(FV’1) diferimento
Como o montante da Série de Pagamentos Antecipada é dado por: (1 + i ) n − 1 ' .(1 + i ) FV 1 = PMT . i E a capitalização do período de diferimento é dada por: FV = FV '1 .(1 + i ) m Aplicando a capitalização sobre o montante da série obteremos: (1 + i ) n − 1 .(1 + i ) m+1 FV ( FV '1 ) = PMT . i Que na forma resumida pode ser representada por: FV ( FV '1 ) = PMT . f ' m (i %; n; m) Onde: + “n” é o número de prestações da série de pagamentos + “m” é o números de período do diferimento + “f’m” é o fator de capitalização antecipado com diferimento
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 1 + 15 prestações mensais no valor de R$ 130,00. Encontre o total pago por este objeto 9 meses após o pagamento da última prestação, se a taxa de juro aplicada no financiamento foi de 30%aa/m. Solução: PMT = 130,00 ∴ n = 16 prestações ∴ i = 30%aa/m 2,5%am/m Diferimento de 8 meses (m = 8) ∴ FV(FV1) = ?
78
PMT = 130
|-------|------------------------------|--------|--------------------------------| 0 1 ... 15 16 24 m i = 2,5%am/m
FV’1
FV(FV’1)
FV ( FV '1 ) = PMT . f ' m (i %; n; m) FV ( FV '1 ) = 130. f ' m (2,5%;16;8)
(1 + 0,025)16 − 1 .(1 + 0,025) 9 FV ( FV 1 ) = 130. 0,025 '
FV ( FV '1 ) = 130 x19,38022482 x1,248862969
FV ( FV1 ) = 180 x 24,20324514 FV ( FV1 ) = 3.146,42 Logo o valor do objeto 9 meses após o pagamento da última prestação é de R$ 3.146,42 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C: HP - 12C f
clear
g
Fin
BEG
130,00
CHS
Visor
PMT
BEGIN - 130,00
16
N
16
2,5
i
2,5
FV’ = ? CHS
PV
2.582,41 - 2.582,41
0
PMT
0
8
n
8
FV’ = ?
3146,42
79
Exemplo 2: Uma pessoa realiza 13 depósitos mensais de R$ 220,00 mais 8 depósitos bimestrais de R$ 390,00. Encontre o total que pode ser resgatado um mês após o último depósito, se a taxa de juro aplicada é de 12%aa/m. Solução: PMT = 220,00∴ ∴n =13 depósitos mensais∴ ∴i = 12%aa/m1%am/m 2,01%ab/b PMT = 390,00 ∴ n = 8 depósitos bimestrais ∴ Total a Resgatar = ?
PMT = 220
PMT = 390
|------|--------------------------|------|------|---------|-------------------|-----------| 0 1 ... 12 13 14 16 28 30 m i = 1%am/m 2,01%ab/b
FV’1
Total a Resgatar = ? Total a Resgatar = FV’ + FV(FV’1) bim
mens
Cálculo do Total Gerado pelos depósitos Bimestrais FV’: FV ' = PMT . f ' (i %; n) FV ' = 390. f ' (2,01%;8) FV ' = 3.415,85 Cálculo do Total Gerado pelos depósitos Mensais FV(FV1) FV ( FV '1 ) = PMT . f ' m (i %; n; m) FV ( FV '1 ) = 220. f ' m (1%;13;17)
(1 + 0,01)13 − 1 .(1 + 0,01)17 +1 FV ( FV '1 ) = 220. 0,01 FV ( FV '1 ) = 220 x16,57199288 FV ( FV '1 ) = 3.633,96 Desta forma o total a resgatar será a soma das duas parcelas, ou seja: Total a Resgatar = FV’ + FV(FV’1) Total a Resgatar = 3415,85 + 3633,96 Total a Resgatar = 7.049,81
80
8.1.2. Diferimento inicial: Consideramos que uma Série de Pagamentos possui Diferimento Final, quando ocorrer, após o último pagamento da série, um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes à série. Destaquese que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não fazem parte da série. 8.1.2.1. Postecipado (Cálculo do Valor Atual): Destacamos que numa Renda com Diferimento Inicial Postecipado, interessa ao observador do negócio o valor a ser obtido no início do contrato (fluxo), pois o valor final desta série de pagamento é o mesmo já obtido no Item 3.1 deste livro. Consideramos que uma Série de Pagamentos possui Diferimento Inicial Postecipado, quando antes do primeiro pagamento da série postecipada, exista um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes à série. Destaque-se que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não podem fazer parte da série. A obtenção do valor inicial (valor presente) de uma Série de Pagamentos com Diferimento Inicial Postecipado, inicialmente devemos encontrar o valor atual da série (PV1) e em seguida promovermos a descapitalização deste valor até o início do prazo de vigência do contrato (início do fluxo). Destaque-se ainda que a descapitalização feita no período do diferimento não necessita possui a mesma periodicidade da série de pagamentos, ou seja, em uma série de pagamentos bimestrais ou trimestrais a descapitalização do prazo de diferimento pode ser feita mensalmente, ou em qualquer outra unidade que desejarmos utilizar.
Representação Gráfica: PMT
|------------------------------------|--------|--------|---------------------------| 0 ... m m+1 m+2 ..... n+m i%
PV(PV1)
PV1
FV
diferimento Como o Valor Presente da Série de Pagamentos Postecipada é dado por:
(1 + i ) n − 1 PV1 = PMT . n i.(1 + i )
81
E a descapitalização do período de diferimento é dada por: PV = FV ⊗ (1 + i ) − m Aplicando a descapitalização sobre o valor presente da série obteremos:
(1 + i ) n − 1 PV ( PV1 ) = PMT . n +m i .( 1 + i ) Que na forma resumida pode ser representada por: PV ( PV1 ) = PMT . p m (i %; n; m) Onde: + “n” é o número de prestações da série de pagamentos + “m” é o números de período do diferimento + “pm” é o fator de descapitalização postecipado com diferimento
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 18 prestações mensais no valor de R$ 650,00 vencendo a primeira prestação 4 trimestres após a compra. Encontre o preço deste objeto, se a taxa de juro aplicada no financiamento foi de 24%aa/m. Solução: PMT = 650,00 ∴ n = 18 prestações ∴ i = 24%aa/m 2%am/m Diferimento de 11 meses (m = 11) ∴ PV(PV1) = ?
PMT = 650
|---------------------------------------|-------|-------|------------------------------| 0 ... 11 12 13 29 m i = 2%am/m
PV(PV1)
PV1 PV ( PV1 ) = PMT . p m (i %; n; m) PV ( PV1 ) = 650. p m (2%;18;11)
(1 + 0,02)18 − 1 PV ( PV1 ) = 650. 18 +11 0,02 x(1 + 0,02) PV ( PV1 ) = 650 x12,057536616 PV ( PV1 ) = 7.837,40
82
Logo o preço do objeto, cuja primeira prestação foi paga 12 meses após a compra é de R$ 7.837,40 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C: HP - 12C f
clear
650,00
Fin CHS
PMT
Visor - 650,00
18
N
18
2
i
2
PV = ? CHS 0 11
FV
9.744,82 - 9.744,82
PMT
0
n
11
PV = ?
7.837,40
Exemplo 2: Uma mercadoria está a venda na seguinte condição: Entrada de R$ 720,00 mais 12 prestações mensais de R$ 170,00 mais 9 prestações bimestrais de R$ 450,00. Encontre o preço deste objeto, se a taxa de juro aplicada é de 12%aa/m. Solução: PMT = 170,00 ∴ n = 12 prestações mensais ∴ i = 12%aa/m 1%am/m 2,01%ab/b PMT = 450,00 ∴ n = 9 prestações bimestrais ∴ Entrada = 720,00 ∴ Preço = ?
Entr = 720
PMT = 170
PMT = 450
|------|------|--------------------------|---------|---------|---------------------------| 0 1 2 ... 12 14 16 30 m i = 1%am/m 2,01%ab/b
? = Preço
PV1
Preço = Entr + PV + PV(PV1) mens
bim
83
Cálculo do Valor Presente da Renda Mensal PV: PV = PMT . p (i %; n) PV = 170. p (1%;12) PV = 1.913,36 Cálculo do Valor Presente do Valor Atual da Renda Mensal PV(PV1) PV ( PV1 ) = PMT . p m (i %; n; m) PV ( PV1 ) = 450. p m (2,01%;9;6)
(1 + 0,0201) 9 − 1 PV (PV1 ) = 450. 9 +6 0,0201.(1 + 0,0201) PV ( PV1 ) = 450 x7,24011479 PV ( PV1 ) = 3.258,05 Desta forma o preço desta mercadoria será a soma das três parcelas, ou seja: Preço = Entr + PV + PV(PV1) Preço = 720,00 + 1913,36 + 3258,05 Preço = 5.891,41 Logo o preço do objeto, adquirido nas condições estabelecidas no problema é de R$ 5.891,41
8.1.2.2. Antecipado (Cálculo do Valor Atual): Destacamos que numa Renda com Diferimento Inicial Antecipado, interessa ao observador do negócio o valor a ser obtido no início do contrato (fluxo), pois o valor final desta série de pagamento é o mesmo já obtido no Item 4.1 deste livro. Consideramos que uma Série de Pagamentos possui Diferimento Inicial Antecipado, quando antes do primeiro pagamento da série antecipada, exista um prazo de no mínimo dois períodos (m ≥ 2), onde não ocorrem pagamentos pertencentes à série. Destaque-se que podem existir outros pagamentos no período de diferimento de uma série, mas estes pagamentos não podem fazer parte da série. A obtenção do valor inicial (valor presente) de uma Série de Pagamentos com Diferimento Inicial Antecipado, inicialmente devemos encontrar o valor atual
84
da série (PV’1) e em seguida promovermos a descapitalização deste valor até o início do prazo de vigência do contrato (início do fluxo). Destaque-se ainda que a descapitalização feita no período do diferimento não necessita possui a mesma periodicidade da série de pagamentos, ou seja, em uma série de pagamentos bimestrais ou trimestrais a descapitalização do prazo de diferimento pode ser feita mensalmente, ou em qualquer outra unidade que desejarmos utilizar.
Representação Gráfica: PMT
|-------------------------------|--------|--------|----------------------|---------| 0 ... m m+1 m+2 ..... n + m -1 n + m i%
PV(PV’1)
PV’1
FV’
diferimento Como o Valor Presente da Série de Pagamentos Antecipada é dado por: (1 + i ) n − 1 PV '1 = PMT . n −1 i.(1 + i ) E a descapitalização do período de diferimento é dada por: PV = FV ⊗ (1 + i ) − m Aplicando a descapitalização sobre o valor presente da série obteremos: (1 + i ) n − 1 PV ( PV '1 ) = PMT . n + m −1 i.(1 + i ) Que na forma resumida pode ser representada por: PV ( PV '1 ) = PMT . p ' m (i %; n; m) Onde: + “n” é o número de prestações da série de pagamentos + “m” é o números de período do diferimento + “p’m” é o fator de descapitalização antecipado com diferimento
Exemplo 1: Um objeto foi adquirido na seguinte condição: 16 prestações mensais no valor de R$ 530,00 vencendo a primeira prestação 2 semestres após a compra. Encontre o preço deste objeto, se a taxa de juro aplicada no financiamento foi de 18%aa/m. Solução: PMT = 530,00 ∴ n = 16 prestações ∴ i = 18%aa/m 1,5%am/m Diferimento de 2 semestres = 12 meses (m = 12) ∴ PV(PV’1) = ? 85
PMT = 530
|-----------------------------------------------|-------|------------------------------| 0 ... 12 13 27 m i = 1,5%am/m
PV(PV’1)
PV’1 PV ( PV '1 ) = PMT . p ' m (i %; n; m) PV ( PV '1 ) = 530. p ' m (1,5%;16;12)
(1 + 0,015)16 − 1 PV ( PV '1 ) = 530. 16 +12 −1 0,015 x(1 + 0,015) PV ( PV ' ) = 530 x11,99649967
PV ( PV '1 ) = 6.358,14 Logo o preço do objeto, cuja primeira prestação foi paga 12 meses após a compra é de R$ 6.358,14 Este problema pode ser resolvido diretamente em uma Calculadora Financeira HP12C: HP - 12C f
clear
g
Fin
BEG
530,00
CHS
PMT
Visor BEGIN - 530,00
16
N
16
1,5
i
1,5
PV’ = ? CHS 0 12
PV
- 7.601,91
PMT
0
n
PV = ?
7.601,91
12
6.358,14
86
Exemplo 2: Uma mercadoria está a venda na seguinte condição: 1 + 12 prestações mensais de R$ 240,00 mais 8 prestações bimestrais de R$ 380,00. Encontre o preço deste objeto, se a taxa de juro aplicada é de 24%aa/m. Solução: PMT = 240,00 ∴ n = 13 prestações mensais ∴ i = 24%aa/m 2%am/m 4,04%ab/b PMT = 380,00 ∴ n = 8 prestações bimestrais ∴ Preço = ?
PMT = 240
PMT = 380
|------|-------------------------|-------|---------|---------|---------------------------| 0 1 ... 12 13 14 16 28 m i = 2%am/m 4,04%ab/b
? = Preço Preço = PV’ + PV(PV’1) mens
PV’1
bim
Cálculo do Valor Presente da Renda Mensal PV’: PV ' = PMT . p ' (i %; n) PV ' = 240. p ' (2%;13) PV ' = 2.778,08 Cálculo do Valor Presente do Valor Atual da Renda Bimestral PV(PV’1) PV ( PV '1 ) = PMT . p ' m (i %; n; m) PV ( PV '1 ) = 380. p ' m (4,04%;8;7)
(1 + 0,0404) 8 − 1 PV (PV1 ) = 380. 8 + 7 −1 0,0404.(1 + 0,0404) FV ( FV1 ) = 380 x5,29996591 FV ( FV1 ) = 2.013,99 Desta forma o preço desta mercadoria será a soma das três parcelas, ou seja: Preço = PV’ + PV(PV’1) Preço = 2778,08 + 2013,99 Preço = 4.792,07 Logo o preço do objeto, adquirido nas condições estabelecidas no problema é de R$ 4.792,07
87
8.2.
EXERCÍCIOS – RENDAS COM DIFERIMENTO
1) Encontrar o preço de uma mercadoria na seguinte condição: 6 prestações bimestrais, antecipadas, de R$ 2.350,00 cada uma, mais 12 prestações mensais de R$ 5.810,00 cada uma, sendo a taxa de juro composto de 60% as/m. R ⇒ R$ 24.488,78 2) Calcular o montante obtido ao se efetuar 12 depósitos mensais de R$ 4.850,00 cada um e mais um depósito extra no valor de R$ 18.563,00, dez meses após o último depósito mensal, sendo a taxa de juro de 8% am/m. R ⇒ R$ 217.268,43 3) Qual foi o valor solicitado em um empréstimo, que será pago na seguinte condição: 8 pagamentos bimestrais de R$ 2.578,00 cada um, vencendo a 1ª prestação 12 meses após a assinatura do contrato? A taxa de juro cobrada é de 39% aa/b. R ⇒ R$ 11.456,79 4) Qual o valor das prestações de um empréstimo de valor inicial de R$ 7.500,00, sendo que a 1ª das 15 prestações mensais vencerá 6 trimestres após a assinatura do contrato, cuja taxa de juro é de 95,6% aa/a? R ⇒ R$ 1.965,10 5) Calcular o valor atual de um empréstimo de 8 prestações bimestrais de R$ 28.756,00, que tem um diferimento inicial de 12 meses, sendo a taxa de juro composto de 39% aa/b. R ⇒ R$ 119.993,86 6) Qual o total pago na liquidação de um empréstimo feito em: 12 pagamentos mensais de R$ 1.830,00 cada um, mais 2 reforços extras de R$ 7.500,00 cada um, sendo o 1º oito meses e o 2º, doze meses após o último pagamento mensal. A taxa de juro cobrada foi de 4,25% am/m? R ⇒ R$ 62.324,63 7) Qual o preço de uma máquina, se o comprador deu R$ 4.200,00 de entrada, mais 9 prestações bimestrais, de R$ 3.850,00 sendo o diferimento inicial de doze meses e a taxa de juro de 54% aa/b? R ⇒ R$ 17.962,86 8) Qual o valor final gerado pela realização de 10 depósitos mensais de R$ 475,00 mais 3 depósitos semestrais postecipados de R$ 1.250,00, sendo estes concomitantes com os primeiros e o resgate feito 2 anos após a realização do último depósito, à taxa de juro aplicada foi de 48% aa/m? R ⇒ R$ 33.193,69 9) Qual o preço à vista de um microcomputador, que está à venda na seguinte condição: entrada de R$ 400,00, mais dez prestações mensais de R$ 385,00, vencendo a primeira um semestre após a data da compra e a taxa de juro de 151,82% aa/a? R ⇒ R$ 2.158,21 10) Qual o total pago por um objeto que foi comprado em 10 pagamentos mensais de R$ 115,00 sendo o primeiro dado como entrada, mais um pagamento extra de R$ 1.475,00, realizado 8 meses após o último pagamento mensal. A taxa de juro aplicada foi de 10% am/m? R ⇒ R$ 5.403,77
88
CAPÍTULO – IX 9.
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS (1.ª Parte)
9.1.
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS: O estudo da amortização de empréstimos é a análise do que está ocorrendo durante o prazo de vigência ou período de pagamento de um empréstimo, destaca-se que a palavra amortização que será largamente utilizada nos próximos capítulos tem o significado de pagamento, ou seja, nosso estudo irá se dedicar sobre as diversas ocorrência existentes durante o prazo de pagamento do empréstimo. Desta forma, se em um empréstimo efetuamos um pagamento parcial, este valor será encaminhado a um dos seguintes destinos: Primeiro: o valor pago pode ser direcionado para reduzir o juro devido no empréstimo; Segundo: o valor pago pode ser direcionado para reduzir parte do valor devido; e Terceiro: o valor pago é utilizado para pagar parte do juro e parte do valor devido pelo tomador do empréstimo.
9.1.1. Formas de amortização de empréstimos: Dependendo do tipo de empréstimo realizado é que pode saber o destino a ser dado a um valor pago em certo período, conforme passamos a descrever em cada uma das formas de pagamentos de empréstimos a seguir descritas. 9.1.1.1. Juro simples: Em um empréstimo feito pela regra do Juro Simples o tomador do empréstimo deverá pagar o juro ao final de cada período e no final do prazo do empréstimo quitará o principal (capital). Nesta modalidade de empréstimo o tomador mantém contato com o dono do Principal a cada período, por outro lado, tendo em vista que o juro é pago a cada período a dívida do mutuário (tomador do empréstimo) não aumenta podendo ser resgatada a qualquer tempo pelo valor inicial do empréstimo, acrescido do juro do último período. C
|-----|-----|-------------------------------------------------------| 0 1 2 n i J1 = J1
C 89
Exemplo de Empréstimo a Juro Simples:
Empréstimo junto ao FMI onde após o período de carência o país tomador do empréstimo inicialmente paga o juro por alguns períodos anuais e ao final do prazo estabelecido quita o principal Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 10.000,00 será amortizado num prazo de 8 meses pelo método do Juro Simples, sendo a taxa de juro de 5%am. Demonstre o que ocorre a cada período neste empréstimo. 10000
|----------|---------|-----------------------------------------------| 0 1 2 8m i = 5%am J1=500
10000 J1=J2=500 ...
9.1.1.2. Juro composto: Em um empréstimo feito pela regra do Juro Composto o tomador do empréstimo deverá pagar ao final do prazo de vigência do empréstimo o Principal acrescido dos juros capitalizados. Nesta modalidade de empréstimo o tomador não mantém contato com o dono do Principal até o final do prazo do empréstimo, por outro lado, tendo em vista que nenhuma parcela foi paga durante todo o período de vigência do empréstimo, a divida pode ser resgatada a qualquer tempo pelo valor inicial acrescido dos juros capitalizados até qualquer um dos períodos de vigência do financiamento. PV
|-----|-----|-------------------------------------------------------| 0 1 2 n i FV Exemplo de Empréstimo a Juro Composto:
Empréstimo para aquisição de imóvel utilizado pelo Sistema Hipotecário Americano, onde o mutuário assume uma dívida a ser paga em 5 ou 10 anos, e ao final do prazo quita o principal, com juros capitalizados.
90
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 10.000,00 será amortizado num prazo de 8 meses pelo método do Juro Composto, sendo a taxa de juro de 5%am/m. Demonstre o que ocorre a cada período neste empréstimo. PV1=10000 PV2=10500 PV3=11025 |----------|----------|---------------------------------| 0 1 2 8m i = 5%am J1=500
FV=14.774,55 J2=525 ...
9.1.1.3. Sistema de amortização alemão: Em um empréstimo feito pela regra do Sistema Alemão (que em resumo corresponde ao nosso Desconto Comercial) o tomador do empréstimo deverá quando da assinatura do empréstimo pagar a integralidade do juro e ao final do prazo pagar o Principal. Nesta modalidade de empréstimo o tomador não mantém contato com o dono do Principal até o final do prazo do empréstimo, por outro lado, tendo em vista que nenhuma parcela será paga durante todo o período de vigência do empréstimo, a divida pode ser resgatada a qualquer tempo descontando-se do Principal o juro que seria devido durante o período de antecipação da dívida. PV
|-----|-----|-------------------------------------------------------| 0 1 2 n d JTotal
PV
Exemplo de Empréstimo pelo Sistema Alemão:
Empréstimo através de Descontos de Títulos, onde o valor do título é descontado dos juros sendo pago o valor atual ao mutuário;
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 10.000,00 será amortizado num prazo de 8 meses pelo método do Sistema Alemão, sendo a taxa de juro de 5%am. Demonstre o que ocorre a cada período neste empréstimo.
91
10000 Valor do Empréstimo |----------|---------|-----------------------------------------------| 0 1 2 8m d = 5%am JT=4000 Juro pago na liberação do Empréstimo Valor pago ao final do empréstimo 10000 Observe-se que a taxa aplicada neste empréstimo é a de desconto, que nos oito meses corresponderia a 40% do valor do empréstimo, por outro lado a taxa de juro real cobrada no período (oito meses) é de 66,6666% pois se paga R$ 4.000,00 de juro em R$ 6.000,00 que se recebeu de fato emprestado. 9.1.1.4. Sistema de amortização francês – SAF: Em um empréstimo feito pela regra do Sistema Francês (que em resumo corresponde as nossas Rendas) o tomador do empréstimo pagará a cada período uma prestação que é composta de duas parcelas, a saber: a primeira é chamada de juro que é obtida pela aplicação da taxa do empréstimo sobre o saldo devedor até aquele período, sendo um valor decrescente a cada período; e, a segunda é denominada de amortização que obtida fazendo-se a diferença entre o valor da prestação e o juro a ser pago no período em observação, sendo uma parcela crescente a cada período do financiamento. Nesta modalidade de empréstimo o tomador mantém contato com o dono do Principal a cada período do empréstimo até saldar a última prestação, por outro lado, a divida pode ser resgatada a qualquer tempo calculando-se o valor atual das prestações restantes do financiamento. No empréstimo pelo Sistema de Amortização Francês se o mutuário pagar um determinado percentual de número de prestações não terá pago igual percentual da dívida contratada, pois no início do financiamento o valor pago a título de juro é maior que o valor pago de amortização, uma vez que o saldo devedor no início do empréstimo é maior que no final do empréstimo, e a amortização é crescente, ou seja ao final do empréstimo se paga mais empréstimo do que juro ao contrário do que ocorre no início do financiamento.
PMT
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 ... n i
PV
PMT = Jp + Ap 92
Exemplo de Empréstimo pelo Sistema Francês:
Empréstimos feitos em prestações fixas, quando da aquisição de um eletrodoméstico, ou um veículo, ou mesmo um empréstimo pessoal; Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 10.000,00 será amortizado num prazo de 8 meses pelo método do Sistema de Amortização Francês, sendo a taxa de juro de 5%am/m. Demonstre o que ocorre a cada período neste empréstimo. PMT = 1547,22
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 ... 8m i=5%am/m
PV=10000 Jp = PVp-1 x i Ap = PMT - Jp PVp = PVp-1 – Ap 1.ª Prestação: J1 = 500,00
-- A1 = 1.047,22 -- PV1 = 8.952,78
2.ª Prestação: J2 = 447,64
-- A2 = 1.099,58 -- PV2 = 7.853,20
3.ª Prestação: J3 = 392,66
-- A3 = 1.154,56 -- PV3 = 6.698,64
4.ª Prestação: J4 = 334,93
-- A4 = 1.212,29 -- PV4 = 5.486,35
5.ª Prestação: J5 = 274,32
-- A5 = 1.272,90 -- PV5 = 4.213,45
6.ª Prestação: J6 = 210,67
-- A6 = 1.336,55 -- PV6 = 2.876,90
7.ª Prestação: J7 = 143,85
-- A7 = 1.403,37 -- PV7 = 1.473,53
8.ª Prestação: J8 = 73,68
-- A8 = 1.473,54 -- PV8 =
0,00
9.1.1.5. Sistema de amortização constante – SAC: Em um empréstimo feito pela regra do Sistema de Amortização Constante o tomador do empréstimo pagará a cada período uma prestação que é composta de duas parcelas, a saber: a primeira é chamada de juro que é obtida pela aplicação da taxa do empréstimo sobre o saldo devedor até aquele período, sendo um valor decrescente a cada período; e, a segunda é denominada de amortização que é constante e obtida através da razão entre o valor da dívida e o número de prestações, como a Amortização é Constante e os Juros são Decrescentes a prestação se tornará decrescente, pois obtida pela soma entre a Amortização e o Juro de cada período. Nesta modalidade de empréstimo o tomador mantém contato com o dono do Principal a cada período do empréstimo até saldar a última prestação, por outro 93
lado, a divida pode ser resgatada a qualquer tempo calculando-se o valor atual da dívida pela simples multiplicação entre o número de prestações restantes do empréstimo e o valor da amortização constante. No empréstimo pelo Sistema de Amortização Constante se o mutuário pagar um determinado percentual de número de prestações terá pago igual percentual da dívida contratada, pois a Amortização é Constante durante toda a vigência do contrato de financiamento, ou seja, se foi pago 20% das prestações se terá amortizado 20% do valor devido, e assim sucessivamente.
PMT1
PMT2
PMT3
PMTn
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 ... n i
PV PMT1 = J1 + Ac PMT2 = J2 + Ac PMT3 = J3 + Ac ..........
PMTn = Jn + Ac Exemplo de Empréstimo pelo Sistema de Amortização Constante: Empréstimos feitos com prestações decrescentes sendo cada prestação uma quantidade fixa menor, quando da aquisição de um eletrodoméstico, ou um veículo, ou mesmo a título de crédito pessoal;
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 10.000,00 será amortizado num prazo de 8 meses pelo método do Sistema de Amortização Constante, sendo a taxa de juro de 5%am/m. Demonstre o que ocorre a cada período neste empréstimo. PMT1
PMT2
PMT3
PMT8
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 ... 8m i=5%am/m
PV=10.000,00
94
Jp = PVp-1 x i Acp = PV/n
PMTp = Acp + Jp PVp = PVp-1 – Ap
1.ª Prestação: J1 = 500,00
-- Ac1 = 1.250,00 -- PMT1 = 1.750,00 -- PV1 = 8.750,00
2.ª Prestação: J2 = 437,50
-- Ac2 = 1.250,00 -- PMT2 = 1.687,50 -- PV2 = 7.500,00
3.ª Prestação: J3 = 375,00
-- Ac3 = 1.250,00 -- PMT3 = 1.625,00 -- PV3 = 6.250,00
4.ª Prestação: J4 = 312,50
-- Ac4 = 1.250,00 -- PMT4 = 1.562,50 -- PV4 = 5.000,00
5.ª Prestação: J5 = 250,00
-- Ac5 = 1.250,00 -- PMT5 = 1.500,00 -- PV5 = 3.750,00
6.ª Prestação: J6 = 187,50
-- Ac6 = 1.250,00 -- PMT6 = 1.437,50 -- PV6 = 2.500,00
7.ª Prestação: J7 = 125,00
-- Ac7 = 1.250,00 -- PMT7 = 1.375,00 -- PV7 = 1.250,00
8.ª Prestação: J8 = 62,50
-- Ac8 = 1.250,00 -- PMT8 = 1.312,50 -- PV8 =
0,00
9.1.1.6. Sistema de amortização mista – SAM: Em um empréstimo feito pela regra do Sistema de Amortização Mista – SAM o tomador do empréstimo pagará a cada período uma prestação decrescente, que é obtida fazendo-se a média ponderada entre a prestação do Sistema de Amortização Francês e a prestação do Sistema de Amortização Constante. O peso da ponderação é atribuído pelo agente financeiro, podendo de acordo com seu interesse possui mais percentual de SAC ou de SAF. O juro e a amortização também serão obtidos calculando-se a média ponderada dos valores devidos a cada prestação no SAF e no SAC. Nesta modalidade de empréstimo o tomador mantém contato com o dono do Principal a cada período do empréstimo até saldar a última prestação, por outro lado, a divida pode ser resgatada a qualquer tempo calculando-se o valor atual da dívida pela média ponderada do que seria devido no SAF e do que seria divido no SAC. No empréstimo pelo Sistema de Amortização Misto - SAM se o mutuário pagar um determinado percentual de número de prestações não terá pago igual percentual da dívida contratada, pois no início do financiamento o valor pago a título de juro é maior que o valor pago de amortização, uma vez que o saldo devedor no início do empréstimo é maior que no final do empréstimo, e a amortização é crescente, ou seja ao final do empréstimo se paga mais empréstimo do que juro ao contrário do que ocorre no início do financiamento.
PMT1
PMT2
PMT3
PMTn
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 ... n i
PV PMT1 = J1 + A1 95
PMT2 = J2 + A2 PMT3 = J3 + A3 ..........
PMTn = Jn + An Exemplo de Empréstimo pelo Sistema de Amortização Mista:
Empréstimos feitos com prestações decrescentes sendo cada prestação uma quantidade variável menor, quando da aquisição de um eletrodoméstico, ou um veículo, ou mesmo a título de crédito pessoal; Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 10.000,00 será amortizado num prazo de 8 meses pelo método do Sistema de Amortização Mista, sendo a taxa de juro de 5%am/m, na proporção de 50% do Sistema de Amortização Francês (SAF) e 50% do Sistema de Amortização Constante (SAC). Demonstre o que ocorre a cada período neste empréstimo. PMT1
PMT2
PMT3
PMT8
|---------------|---------------|---------------|-------------------------------| 0 1 2 3 ... 8m i=5%am/m
PV=10000 Jp=50%.Jp(SAF) + 50%.Jp(SAC) Ap=50%.Ap(SAF) + 50%.Ap(SAC) PMTp=50%.PMTp(SAF) + 50%.PMTp(SAC) PVp=PVp-1 – Ap 1.ª Prestação: 2.ª Prestação: 3.ª Prestação: 4.ª Prestação: 5.ª Prestação: 6.ª Prestação: 7.ª Prestação: 8.ª Prestação:
Obs.:
J1 = 500,00 J2 = 443,57 J3 = 383,83 J4 = 323,72 J5 = 262,16 J6 = 199,09 J7 = 134,42 J8 = 68,09
---------
A1 = 1.148,61 A2 = 1.174,79 A3 = 1.202,28 A4 = 1.231,14 A5 = 1.261,45 A6 = 1.293,27 A7 = 1.326,69 A8 = 1.361,77
---------
PMT1 = 1.648,61 PMT2 = 1.617,36 PMT3 = 1.586,11 PMT4 = 1.554,86 PMT5 = 1.523,61 PMT6 = 1.492,36 PMT7 = 1.461,11 PMT8 = 1.429,86
---------
PV1 = 8.851,39 PV2 = 7.676,60 PV3 = 6.474,32 PV4 = 5.243,32 PV5 = 3.981,73 PV6 = 2.688,46 PV7 = 1.361,77 PV8 = 0,00
Em nosso estudo faremos a análise e o detalhamento do que ocorre no Sistema de Amortização Francês – SAF, e no Sistema de Amortização Constante – SAC, pois os demais são de simples entendimento, em conformidade com o que já foi explanado neste Livro.
96
9.2.
EXERCÍCIOS – AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
1) Qual a diferença fundamental entre os Sistemas de Amortização: Juro Simples e Juro Composto? R ⇒ No primeiro o Juro deve ser pago a cada período e no segundo o juro é capitalizado a cada período e pagos quando da quitação do empréstimo. 2) Qual a diferença fundamental entre os Sistemas de Amortização: Alemão e Juro Simples? R ⇒ No primeiro o Juro é pago integralmente (descontado) quando da liberação do empréstimo, e no segundo o juro é pago a cada período de vigência do empréstimo. 3) No Sistema de Amortização Alemão o juro é pago antecipadamente, tal sistema se compara com qual operação bancária utilizada freqüentemente pelo Sistema Financeiro Brasileiro? R ⇒ O Sistema Alemão se compara a Operação de Descontos de Títulos de Crédito (Duplicatas; Notas Promissórias, Cheques, Ordem de Pagamento a Prazo) muito utilizada no Sistema Financeiro Brasileiro. 4) Qual a diferença fundamental entre os Sistemas de Amortização Francês e Constante? R ⇒ No primeiro a Amortização é Crescente e no segundo a Amortização é Constante. 5) Qual o motivo das prestações serem decrescentes no Sistema de Amortização Constante? R ⇒ No SAC as prestações são decrescentes, pois o juro é calculado sobre o saldo devedor do período anterior. 6) Em qual dos dois Sistemas de Amortização: Francês ou Constante o mutuário paga menor quantidade de juro? R ⇒ No Sistema de Amortização Constante, pois o total desembolsado ao final do empréstimo é menor que no Sistema de Amortização Francês. 7) Em qual dos Sistemas de Amortização: Francês ou Misto o mutuário paga menor quantidade de juro? R ⇒ No Sistema de Amortização Misto, pois o total desembolsado ao final do empréstimo é menor que no Sistema de Amortização Francês. 8) Em qual dos Sistemas de Amortização: Constante ou Misto o mutuário paga maior quantidade de juro? R ⇒ No Sistema de Amortização Constante, pois o total desembolsado ao final do empréstimo é menor por parte do mutuário. 9) No Sistema de Amortização Misto o mutuário paga prestações decrescentes, por que motivo? R ⇒ Porque este sistema se utiliza de uma porcentagem do Sistema de Amortização Constante que possui prestações decrescentes; 10) Em qual dos Sistemas de Amortização: Francês, Constante e Misto o mutuário faz maior amortização para pagar todo empréstimo? R ⇒ Se o empréstimo for de mesmo valor inicial a amortização do empréstimo é a mesma para qualquer dos sistemas, sendo igual ao valor do empréstimo. As prestações são distintas entre as três formas de amortização referidas pela quantidade de juro que será pago durante todo o empréstimo, mas a amortização final será a mesma. 97
CAPÍTULO – X 10. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS (2.ª Parte) 10.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS: Neste sistema analisa-se o que ocorre a cada período em um empréstimo que está sendo pago em prestações periódicas e constantes. Resumidamente poderíamos dizer que é o detalhamento do que ocorre internamente nas Rendas (Postecipadas; Antecipadas; ou com Diferimento), destacando-se que em nosso Estudo faremos a análise do que ocorre com as Rendas Postecipadas pois as demais resolver-se-ia de modo semelhante. Este Sistema de Amortização utiliza a denominada Tabela Price, que nada mais é do que o cálculo para diversas taxas e para diversos períodos do fator de descapitalização postecipado que neste livro representamos por: p(i%;n). Destaque-se que tais valores, quando não se possuía calculadoras científicas e ou financeiras chegaram a produzir Tabelas Financeiras com mais de uma centena de páginas, tais como a do Prof. Vilson Araújo Rosa editada pela antiga Livraria Sulina Ltda., tais tabelas com a redução dos custos das calculadoras científicas e ou financeiras caíram em desuso, figurando atualmente apenas como peças decorativas nas bibliotecas universitárias. Apresentamos a seguir as equações que dão origem a cada uma das parcelas que nos interessa ter conhecimento na análise ou detalhamento do que ocorre com um empréstimo: 10.1.1. Cálculo das prestações: As Prestações no Sistema de Amortização Francês, considerando que iremos fazer somente a análise das Rendas Postecipadas é dada pela seguinte equação: PV = PMT . p (i %; n) ⇒ PMT = ? Onde:
PV i n PMT
é o Valor do Empréstimo é a taxa efetiva de juro utilizada no empréstimo é o número de prestações do empréstimo é a prestação que se deseja calcular 98
Ou ainda
(1 + i ) n − 1 ⇒ PMT = ? PV = PMT . n i .( 1 + i ) Neste ponto se faz interessante ressaltar aos nossos leitores e estudantes os motivos de fazermos somente a análise do que ocorre com as rendas postecipadas. Note-se que se desejássemos o valor da prestação em uma renda antecipada, apenas se alteraria a equação que deveríamos aplicar, passaríamos então a utilizar a equação da Renda Antecipada a nosso empréstimo, ou seja: PV ' = PMT . p ' (i %; n) De modo semelhante se procederia se a renda possuísse algum diferimento. 10.1.2. Cálculo do juro em um período: O Juro no Sistema de Amortização Francês, como já foi informado no Ponto 9.1.1.4 deste Livro, é obtido sobre o saldo devedor do período anterior, podendo-se representá-lo pela seguinte equação:
J P = PVP −1 xi Onde:
JP i PVP-1
é o Juro pago na Prestação “p” sendo: 1 ≤ p ≤ n é a taxa efetiva de juro utilizada no empréstimo é o saldo devedor do período anterior
10.1.3. Cálculo da amortização em um período: A Amortização no Sistema de Amortização Francês, como já foi informado no Ponto 9.1.1.4 deste Livro, é obtido fazendo-se a diferença entre a Prestação e o Juro de cada período, podendo-se representá-la pela seguinte equação:
AP = PMT − J P Onde:
Ap PMT Jp
é a parcela de amortização do empréstimo no período “p” é a prestação que está sendo paga em todo empréstimo é o Juro pago na Prestação “p” sendo: 1 ≤ p ≤ n
10.1.4. Cálculo do saldo devedor em um período: O Saldo Devedor no Sistema de Amortização Francês é obtido calculando-se o valor atual das prestações que ainda não foram pagas no empréstimo, podendose representá-lo pela seguinte equação:
99
PVP = PMT . p(i %; n − p) Onde:
PMT i n–p
PVp
é a prestação que está sendo paga em todo empréstimo é a taxa efetiva de juro utilizada no empréstimo é o número de prestações ainda não pagas no empréstimo, ou seja, é a diferença entre o total de prestações do empréstimo e o número de prestações pagas no empréstimo é o valor que resta a ser pago no empréstimo, após terem sido pagas “p” prestações
Ou ainda:
(1 + i ) n− p − 1 ⇒ PVP = ? PVP = PMT . n− p i.(1 + i ) 10.1.5. Cálculo do total pago em um período: O Total Pago no Sistema de Amortização Francês é obtido calculando-se a diferença entre o Saldo Devedor Inicial (valor tomado em empréstimo) e o Saldo Devedor no período observado, podendo-se representá-lo pela seguinte equação: FV P = PV0 − PV P Onde:
PV0 PVp
FVp
é Saldo Devedor Inicial do empréstimo é o valor que resta a ser pago no empréstimo, após terem sido pagas “p” prestações é o total Pago no empréstimo, após terem sido pagas “p” prestações
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 45.000,00 será amortizado em 48 prestações mensais sendo a taxa de juro de 24%aa/m. Calcule o que se pede em cada um das alternativas a seguir: a) O valor da Prestação a ser paga em cada período neste empréstimo. b) O valor do Juro a ser pago na 1.ª prestação deste empréstimo; c) O valor da Amortização a ser realizada na 1.ª prestação deste empréstimo; d) O valor do Total Pago após terem sido pagas 46 prestações deste empréstimo. e) O valor do Juro a ser pago na 8.ª parcela deste empréstimo; f) O valor da Amortização a ser realizada na 24.ª prestação deste empréstimo; Solução: PV = 45.000,00∴ ∴ n = 48 prestações ∴i = 24%aa/m 2%am/m ∴PMT= ? Resolução da alternativa a): PV = PMT . p (i %; n) 45000 = PMT . p (2%;48) 45000 = PMTx30,67311957 PMT = 1.467,08 100
Resolução da alternativa b): J P = PVP −1 xi J 1 = PV0 xi
J 1 = 45000 x0,02 J 1 = 900,00 Resolução da alternativa c): AP = PMT − J P A1 = PMT − J 1 A1 = 1467,08 − 900,00 A1 = 567,08 Resolução da alternativa d): FV P = PV0 − PV P FV46 = PV0 − PV46 Calcularemos o valor de PV46 que é desconhecido: PVP = PMT . p(i %; n − p) PV46 = PMT . p (i %;48 − 46) PV46 = 1467,08. p (2%;2) PV46 = 1467,08 x1,94156094 PV46 = 2.848,43 Retornando ao cálculo de FV46 teremos: FV46 = PV0 − PV46 FV46 = 45000 − 2848,43 FV46 = 42151,57 Resolução da alternativa e): J P = PVP −1 .i J 8 = PV8−1 .i J 8 = PV7 .0,02 Calcularemos o valor de PV7 que é desconhecido: PVP = PMT . p(i %; n − p) PV7 = PMT . p (i %;48 − 7) PV7 = 1467,08. p (2%;41) PV7 = 1467,08 x 27,79948945 PV7 = 40.784,07 Retornando ao cálculo de J8 teremos: J 8 = PV7 .0,02 J 8 = 40784,07 x0,02 J 8 = 815,68
101
Resolução da alternativa f):
AP = PMT − J P A24 = PMT − J 24 Como não conhecemos o valor de J24 o calcularemos abaixo: J P = PVP −1 .i J 24 = PV23 .i Calcularemos o valor de PV23 que é desconhecido: PVP = PMT . p(i %; n − p) PV23 = PMT . p (i %;48 − 23) PV23 = 1467,08. p (2%;25) PV23 = 1467,08 x19,52345647 PV23 = 28.642,47 Retornando ao cálculo de J24 teremos: J 24 = PV23 .i
J 24 = 28.642,47 x0,02 J 24 = 572,85 Retornando ao cálculo de A24 teremos: A24 = PMT − J 24 A24 = 1467,08 − 572,85 A24 = 864,23 10.1.6. Planilha de amortização: A Planilha de Amortização é um quadro demonstrativo do que ocorre a cada período com o empréstimo, ou seja, é um extrato do que ocorre com o empréstimo durante todo seu prazo de vigência. Um bom Quadro de Amortização deve possuir pelo menos as seguintes colunas: a do juro; a da amortização; a do total pago; e, a do saldo devedor. O mutuário ou o agente financeiro também pode criar outras colunas, tais como: o total desembolsado corrigido; o juro de mora; o total acumulado do juro; etc.
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 25.000,00 será amortizado em 8 prestações mensais sendo a taxa de juro de 48%aa/m. Construa uma Planilha de Amortização do empréstimo pago. Solução: PV = 25.000,00 ∴n = 8 prestações ∴i = 48%aa/m 4%am/m ∴PMT = ? Cálculo da Prestação:
PV = PMT . p (i %; n) 25000 = PMT . p (4%;8) 25000 = PMTx6,732744875 PMT = 3.713,20
102
Logo a Planilha de Amortização do empréstimo pago ficará da seguinte forma: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
PMT R$ 3.713,20 R$ 3.713,20 R$ 3.713,20 R$ 3.713,20 R$ 3.713,20 R$ 3.713,20 R$ 3.713,20 R$ 3.713,20
R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$
Jp 1.000,00 891,47 778,60 661,22 539,14 412,18 280,14 142,82
R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$
Ap 2.713,20 2.821,72 2.934,59 3.051,98 3.174,06 3.301,02 3.433,06 3.570,38
FVp R$ 2.713,20 R$ 5.534,92 R$ 8.469,51 R$ 11.521,49 R$ 14.695,54 R$ 17.996,56 R$ 21.429,62 R$ 25.000,00
PVp R$ 25.000,00 R$ 22.286,80 R$ 19.465,08 R$ 16.530,49 R$ 13.478,51 R$ 10.304,46 R$ 7.003,44 R$ 3.570,38 R$ 0,00
Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 37.000,00 será amortizado em 8 prestações mensais sendo a taxa de juro de 36%aa/m. Após o pagamento da primeira prestação o mutuário resolve antecipar o pagamento da 3.ª 4.ª e 5.ª prestações, pagando-as juntamente com a segunda prestação. Construa uma Planilha de Amortização do empréstimo pago. Solução: PV = 37.000,00 ∴n = 8 prestações∴ ∴i = 36%aa/m 3%am/m ∴PMT = ? Cálculo da Prestação:
PV = PMT . p (i %; n) 37000 = PMT . p (3%;8) 37000 = PMTx7,01969218 PMT = 5.270,89
Calculo da antecipação da 3.ª Prestação: FV = PV .(1 + i ) n 5.270,89 = PV .(1 + 3%)1 5270,89 PV = 1,03 PV = 5.117,36 Cálculo da antecipação da 4.ª Prestação: FV = PV .(1 + i ) n 5.270,89 = PV .(1 + 3%) 2 5270,89 PV = 1,0609 PV = 4.968,32 Cálculo da antecipação da 5.ª Prestação: FV = PV .(1 + i ) n 5.270,89 = PV .(1 + 3%) 3 5270,89 PV = 1,092727 PV = 4.823,61 103
Novo valor a ser pago no 2.º período: PMT = PMT2Norm + PMT3Ant+ PMT4Ant+PMT5Ant PMT = 5.270,89 + 5.117,36 + 4.968,32 + 4.823,61 PMT = 20.180,18 Logo a Planilha de Amortização do empréstimo pago ficará da seguinte forma: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
PMT R$ 5.270,89 R$ 20.180,18 R$ 5.270,89 R$ 5.270,89 R$ 5.270,89
R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$
Jp 1.110,00 985,17 409,32 421,60 434,25 447,28 302,57 153,52
Ap R$ 4.160,89 R$ 19.195,00 R$ (409,32) R$ (421,60) R$ (434,25) R$ 4.823,61 R$ 4.968,32 R$ 5.117,37
FVp R$ 4.160,89 R$ 23.355,89 R$ 22.946,57 R$ 22.524,96 R$ 22.090,71 R$ 26.914,32 R$ 31.882,63 R$ 37.000,00
PVp R$ 37.000,00 R$ 32.839,11 R$ 13.644,11 R$ 14.053,43 R$ 14.475,04 R$ 14.909,29 R$ 10.085,68 R$ 5.117,37 R$ -
10.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC: Neste sistema analisa-se o que ocorre a cada período em um empréstimo que está sendo pago em prestações periódicas decrescentes. Conforme já informado anteriormente no SAC as prestações são decrescentes, pois sendo a amortização constante e o juro calculado sobre o saldo devedor o juro decresce a cada período fazendo com isso que as parcelas pagas a cada período decresçam a cada período a uma razão constante e igual ao percentual da taxa de juro aplicada no empréstimo. Apresentamos a seguir as equações que dão origem a cada uma das parcelas que nos interessa ter conhecimento na análise ou detalhamento do que ocorre com um empréstimo: 10.2.1. Cálculo da amortização de todos os períodos: Na verdade a Amortização neste empréstimo será a mesma em todos os períodos, até para confirmar o nome do empréstimo que é Sistema de Amortização Constante. Para obtermos o valor que será amortizado em cada prestação teremos que fazer a razão entre o valor do empréstimo e o número de prestações, conforme a seguinte equação: PV Ac = n Onde: Ac é a amortização a ser realizada em cada parcela do empréstimo; n é o número de prestações do empréstimo; PV é o valor que foi tomado emprestado pelo mutuário no início do empréstimo. 104
10.2.2. Cálculo do juro em um período: O Juro no Sistema de Amortização Constante, como no Sistema Francês, é obtido da maneira que já foi informado no Ponto 9.1.1.5 deste Livro, ou seja, é calculado sobre o saldo devedor do período anterior, podendo ser representado pela seguinte equação:
J P = PVP −1 .i Onde:
JP i PVP-1
é o Juro pago na Prestação “p” sendo: 1 ≤ p ≤ n é a taxa efetiva de juro utilizada no empréstimo é o saldo devedor do período anterior
10.2.3. Cálculo das prestações: As Prestações no Sistema de Amortização Constante são obtidas calculando-se a soma entre a Amortização e o Juro, conforme também já informado no item 9.1.1.5 deste Livro, podendo ser representada pela seguinte equação:
PMTP = Ac + J P Onde:
PMTP é o valor da prestação no período “p” sendo: 1 ≤ p ≤ n; Ac é a Amortização Constante ocorrida a cada período do empréstimo; JP é o Juro a ser pago no período “p”. 10.2.4. Cálculo do saldo devedor em um período: O Saldo Devedor no Sistema de Amortização Constante é obtido calculando-se o a diferença entre o valor inicial do empréstimo e o resultado do produto entre a amortização (que é constante) e a quantidade de prestações que já foram pagas no empréstimo, podendo-se representá-lo pela seguinte equação: PV P = PV0 − Ac. p Onde:
PV0 Ac p PVp
é o valor inicial do empréstimo; é a amortização de cada parcela do empréstimo; é o número de prestações que já foram pagas no empréstimo, é o valor que resta a ser pago no empréstimo, após terem sido pagas “p” prestações.
10.2.5. Cálculo do total pago em um período: O Total Pago no Sistema de Amortização Constante é o resultado do produto entre a quantidade de parcelas que já foram quitadas e a amortização de cada parcela (que é constante), podendo-se representá-lo pela seguinte equação:
105
FVP = Ac. p Onde:
Ac p FVp
é a amortização de cada parcela do empréstimo; é o número de prestações que já foram pagas no empréstimo, é o valor que já foi pago no empréstimo, após terem sido quitadas “p” prestações.
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 48.000,00 será amortizado, pelo SAC, em 48 prestações mensais sendo a taxa de juro de 36%aa/m. Calcule o que se pede em cada um das alternativas a seguir: a) O valor da Amortização a ser realizada na 1.ª prestação deste empréstimo; b) O valor do Juro a ser pago na 1.ª prestação deste empréstimo; c) O valor da 1.ª Prestação a ser paga neste empréstimo; d) O valor do Total Pago após terem sido pagas 46 prestações deste empréstimo; e) O valor do Juro a ser pago na 18.ª parcela deste empréstimo; f) O valor da Prestação a ser paga na 24.ª parcela deste empréstimo. Solução: PV = 48.000,00 ∴ n = 48 prestações ∴ i = 36%aa/m 3%am/m ∴ Ac = ? Resolução da alternativa a): PV n 48000 Ac = 48 Ac = 1.000,00 Resolução da alternativa b): J P = PVP −1 .i J 1 = PV0 .i Ac =
J 1 = 48000 x0,03 J 1 = 1.440,00 Resolução da alternativa c): PMTP = Ac + J P PMT1 = Ac1 + J 1 PMT1 = 1000 + 1440 PMT1 = 2.440,00 Resolução da alternativa d): FVP = Ac. p FV46 = Acx 46 FV46 = 1000 x 46 FV46 = 46.000,00
106
Resolução da alternativa e):
J P = PVP −1 .i J 18 = PV18−1 .i J 18 = PV17 x0,03 Calcularemos o valor de PV17 que é desconhecido: PV P = PV0 − Ac. p PV17 = 48000 − Acx17 PV17 = 48000 − 1000 ⊗ 17 PV17 = 48000 − 17000 PV17 = 31.000,00 Retornando ao cálculo de J18 teremos: J 18 = PV17 x0,03 J 18 = 31000 x0,03 J 18 = 930,00 Resolução da alternativa f):
PMTP = Ac + J P PMT24 = Ac + J 24 Como não conhecemos o valor de J24 o calcularemos abaixo: J P = PVP −1 .i J 24 = PV23 .i Calcularemos o valor de PV23 que é desconhecido: PV P = PV0 − Ac. p PV23 = 48000 − Acx 23 PV23 = 48000 − 1000 x 23 PV23 = 48000 − 23000 PV23 = 25.000,00 Retornando ao cálculo de J24 teremos: J 24 = PV23 x0,03
J 24 = 25000 x0,03 J 24 = 750,00 Retornando ao cálculo de A24 teremos: PMT24 = Ac + J 24 PMT24 = 1000 + 750 PMT24 = 1.750,00
10.2.6. Planilha de amortização: A Planilha de Amortização é um quadro demonstrativo do que ocorre a cada período com o empréstimo, ou seja, é um extrato do que ocorre com o empréstimo durante todo seu prazo de vigência. 107
Um bom Quadro de Amortização deve possuir pelo menos as seguintes colunas: a do juro; a da amortização; a da prestação; a do total pago; e, a do saldo devedor. O mutuário ou o agente financeiro também pode criar outras colunas, tais como: o total desembolsado corrigido; o juro de mora; o total acumulado do juro; etc.
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 25.000,00 será amortizado em 8 prestações mensais sendo a taxa de juro de 48%aa/m. Construa uma Planilha de Amortização do empréstimo pago. Solução: PV = 25.000,00 ∴ n = 8 prestações ∴ i = 48%aa/m 4%am/m ∴ Ac = ? Cálculo da Amortização Constante: PV n 25000 Ac = 8 Ac = 3.125,00
Ac =
Logo a Planilha de Amortização do empréstimo pago ficará da seguinte forma: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$
Ap 3.125,00 3.125,00 3.125,00 3.125,00 3.125,00 3.125,00 3.125,00 3.125,00
R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$
Jp 1.000,00 875,00 750,00 625,00 500,00 375,00 250,00 125,00
PMTp R$ 4.125,00 R$ 4.000,00 R$ 3.825,00 R$ 3.750,00 R$ 3.625,00 R$ 3.500,00 R$ 3.375,00 R$ 3.250,00
FVp R$ 3.125,00 R$ 6.250,00 R$ 9.375,00 R$ 12.500,00 R$ 15.625,00 R$ 18.750.00 R$ 21.875,00 R$ 25.000,00
PVp R$ 25.000,00 R$ 21.875,00 R$ 18.750,00 R$ 15.625,00 R$ 12.500,00 R$ 9.375,00 R$ 6.250,00 R$ 3.125,00 R$ 0,00
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10.3. EXERCÍCIOS – AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 1) Uma dívida no valor de R$ 22.800,00 foi amortizada em 4 anos, através de prestações mensais constantes. Sabendo-se que a taxa de juro compostos utilizada foi de 36% aa/m, determine: a) A trigésima quota de amortização; R ⇒ 514,60 b) O juro pago na oitava prestação; R ⇒ 633,80 c) O montante já resgatado após o pagamento da 25.ª prestação; R ⇒ 7.961,61 2) Um empréstimo no valor de R$ 18.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês em 10 anos mediante prestações trimestrais. Utilizando uma taxa de juro composto de 14% aa/t, determine: a) O juro pago na primeira prestação; R ⇒ 630,00 b) A trigésima quinta quota de amortização; R ⇒ 685,69 c) O montante já resgatado após o pagamento da 32.ª prestação; R ⇒ 12.205,94 3) Uma compra, cujo preço à vista é de R$ 8.500,00, será paga em 12 prestações mensais, calculadas utilizando-se a Tabela Price. Utilizando uma taxa de juro compostos de 36% aa/m, calcule: a) A primeira quota de amortização; R ⇒ 598,93 b) Os juro pago na décima prestação; R ⇒ 72,46 c) O saldo devedor após o pagamento da décima prestação; R ⇒ 1.633,97 4) Um empréstimo de R$ 15.000,00, foi amortizado pelo Sistema Francês no prazo de 15 anos, mediante prestações semestrais. Se a taxa de juro composto utilizada foi de 8% as/s, pede-se: a) A décima terceira quota de amortização; R ⇒ 333,43 b) O juro pago na sétima prestação; R ⇒ 1.122,29 c) O total já resgatado após o pagamento da trigésima prestação; R ⇒ 15.000,00 5) Uma dívida de R$ 6.500,00 será amortizada em 8 prestações mensais, vencendo a primeira 150 dias após ter contraído a dívida, sendo o juro pago no prazo do diferimento. Utilizando uma taxa de juro composto de 10% am/m, determine: a) A terceira quota de amortização; R ⇒ 687,75 b) O saldo devedor após o pagamento da quinta prestação; R ⇒ 3.029,96 c) O montante já resgatado após o pagamento da sétima prestação; R ⇒ 5.392,41 6) Um empréstimo no valor de R$ 12.000,00 será pago em 6 prestações mensais, vencendo a primeira 4 meses após a liberação do empréstimo. Sabendo-se que no período de carência o juro será incorporado ao principal e que a taxa de juro composto utilizada é de 5% am/m, determine: a) O valor das prestações; R ⇒ 2.736,87 b) O valor da quinta quota de amortização; R ⇒ 2.482,42 c) O valor do juro pago na sexta prestação; R ⇒ 130,33 d) O total pago após o pagamento da quarta prestação; R ⇒ 6.911,04
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7) Um empréstimo no valor de R$ 18.000,00 será amortizado pelo Sistema de Amortização Constante em 10 anos mediante prestações trimestrais. Utilizando uma taxa de juro composto de 14% aa/t, determine: a) O juro pago na primeira prestação; R ⇒ 630,00 b) A trigésima quinta quota de amortização; R ⇒ 450,00 c) O montante já resgatado após o pagamento da 32.ª prestação; R ⇒ 14.400,00 d) O valor da 24.ª prestação; R ⇒ 717,75 8) Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 foi contraído para ser pago em 10 prestações mensais, calculadas à taxa de juro composto de 8% am/m. Após o pagamento da 4ª prestação o saldo devedor foi refinanciado em 12 prestações mensais, calculada à taxa de 10% am/m. Determine o valor das 12 últimas prestações e construa a planilha de amortização. R ⇒ 1.516,68 + Planilha 9) Um empréstimo no valor de R$ 45.000,00 será amortizado em 9 prestações mensais, sendo a taxa de juro de 48%aa/m. Após o pagamento da 1.ª prestação o mutuário resolve antecipar o pagamento das 3 últimas prestação, pagando a 9.ª com a 2.ª; a 8.ª com a 4.ª e a 7.ª com a 5.ª prestação. Construa a Planilha de Amortização do Empréstimo. R ⇒ Planilha. 10) Um empréstimo no valor de R$ 38.000,00 será amortizado em 6 prestações mensais, sendo a taxa de juro de 120% ao ano com capitalização mensal. Após pagamento da 2.ª prestação o mutuário necessita atrasar o pagamento de todas as demais prestações por 3 períodos. Construa o Plano de Amortização do empréstimo pago. R ⇒ Planilha
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BIBLIOGRAFIA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
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