LivRo cipolatti

´ CULO AVANC CALC AL AN C ¸ ADO AD O I

Rolci Cipolatti

Instituto de Matemática atica - UFRJ Rio de Janeiro - RJ - Brasil 2002

Segunda Edi¸c˜ cao ão Revista e Ampliada

Cipolatti, Rolci C577c Cálculo alculo avan¸cado cado I/ Rolci Cipolatti. - 2 ed. rev. e aum - Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2002. 174p. Inlui Bibliografia ISBN: 85-87674-08-0 1. Cálculo alculo I. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática. atic a. II. II . T´ıtulo ıtul o CDD 515

Caiu a primeira gota na terra seca Solit´ aria, aria, corajosa, cora josa, suicida, Pra que molhe o ch˜ ao, a planta cres¸ca ca Pra que brote o verde, a nova vida Cair˜ ao dezenas no in´ in´ıcio Centenas, milhares em seguida Mas de nada valerá o sacrif´ sacr if´ıcio ıci o Se n˜ ao vier a chuva decidida

RC

Ex´ ordio O presente texto iniciou-se como notas de aula e listas de exerc´ıcios do Curso de Cálculo Avan¸cado I, curso que venho lecionando há alguns anos no Departamento de Matemática Aplicada do IM-UFRJ. Ele contém a primeira parte do programa do Exame de Qualifica¸caõ de Cálculo Avan¸cado do Mestrado em Matemática Aplicada. A primeira versão organizada das notas de aula, ainda densamente recheada de erros e imprecisões, foi divulgada em fevereiro de 2000, no que se pretendeu ser o lan¸camento da série “Textos de Matem´ atica n Aplicada ”. Embora se trate de um curso de An´ alise no R , procuramos manter o t´ıtulo original na série — Cálculo Avan¸cado I . Quem sabe em futuro próximo tenhamos a oportunidade de apresentar o volume dois, contendo a segunda parte do programa? Atendendo a pedidos de alguns alunos, estamos disponibilizando as solu¸cões dos exerc´ıcios. Os interessados podem obtê-las em http://www.dmm.im.ufrj.br/~cipolatti/. Agradecemos aos alunos do Mestrado em Matemática Aplicada e aos colegas do IM-UFRJ pelas corre¸cões e observa¸co˜es que possibilitaram a presente edi¸cão. Mas como é extremamente dif´ıcil eliminar todos os erros e imposs´ıvel se chegar em tempo finito à forma que possa ser considerada perfeita, continuaremos sempre contando com as corre¸cões e sugestões do leitor, pelo que agradecemos calorosamente. Rio de Janeiro, setembro de 2001. Rolci Cipolatti

Sum´ ario Cap´ıtulo 1: Conjuntos e Fun¸ co ˜es . Opera¸cões com Conjuntos Fun¸co˜es . . . . . Composi¸caõ de Fun¸co˜es . Seq¨ uências . . . . . Exerc´ıcios . . . . .

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. . . . . .

1 2 4 6 6 7

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. . .

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. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. 9 . 11 . 15

Abertos, Fechados, Compactos Conjuntos Compactos . . . . n Compactos de R . . . . . Seq¨ uências em Espa¸cos Vetoriais . Seq¨ uências de Cauchy . . . . Seq¨ uências em R n . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Cap´ıtulo 2: M´ etricas e Normas Normas em R n . . Exerc´ıcios . . . .

. . .

Cap´ıtulo 3: 17 20 22 25 27 28 29

C´ alculo Avan¸cado I

ii Cap´ıtulo 4:

Limites e Continuidade . . . . . . Fun¸co˜es Cont´ınuas . . . . . . . . Fun¸co˜es Cont´ınuas e Compactos . . . . Fun¸co˜ es Cont´ınuas e Conjuntos Conexos . . Conjuntos Convexos e Fun¸co˜es Convexas . Continuidade Uniforme . . . . . . . Espa¸cos Vetoriais de Dimensão Finita . . O Espa¸co Vetorial das Transforma¸co˜es Lineares O Teorema do Ponto Fixo de Banach . . Semicontinuidade . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

31 33 35 37 37 40 41 42 43 44 48

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

55 55 56 60 61 62 64 64 66 66 68 70 72 73

. .

. .

. .

. 77 . 79

Cap´ıtulo 5: Fun¸ co ˜es Diferenci´ aveis . . . . . . Derivadas Direcionais . . . . . . . Fun¸co˜es Diferenciáveis . . . . . . . O Vetor Gradiente . . . . . . . . Regras Básicas de Deriva¸cão . . . . . O Caso Geral . . . . . . . . . . A Matriz Jacobiana . . . . . . . . A Regra da Cadeia . . . . . . . . O Teorema do Valor Médio . . . . . Derivadas Parciais ( o caso geral ) . . . Condi¸co˜ es Suficientes para a Diferenciabilidade A Fun¸caõ Diferencial – Fun¸co˜es de Classe C 1 A Proje¸cão Ortogonal . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . Cap´ıtulo 6: Curvas em R . Curvas Retificáveis n

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

Sum´ ario Curvas Diferenciáveis . Integrais de Linha e Campo Conserva¸cão da Energia Exerc´ıcios . . . . .

iii . . . . Gradiente . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 79 . 82 . 87 . 87

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 91 . 95 . 96 102

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

105 106 111 113 116

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

119 122 123 125 127 129

Seq¨ uˆ encias de Fun¸ co ˜es . . . . . Convergência Uniforme . . . . . . Convergência Uniforme e Derivadas . . Série de Fun¸cões e Convergência Uniforme Série de Potências . . . . . . . A Matriz Exponencial . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

133 135 139 141 142 144

Cap´ıtulo 7: Derivadas de Ordem Superior A matriz Hessiana . . . . . M´ aximos e M´ınimos . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . Cap´ıtulo 8: O Teorema da Fun¸ c˜ ao Inversa . O Teorema da Fun¸cão Inversa . . . Aplica¸cã o: o Método das Caracter´ısticas O Teorema da Fun¸cão Inversa (bis) . Exerc´ıcios . . . . . . . . . Cap´ıtulo 9: O Teorema da Fun¸ cão Impl´ıcita O Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita . Multiplicadores de Lagrange . . Aplica¸cões . . . . . . . . Multiplicadores de Lagrange (bis) Exerc´ıcios . . . . . . . .

. . . . . .

Cap´ıtulo 10:


iv Exerc´ıcios

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

145

O Espa¸ co C(K;R ) . . . . . . Aplica¸cão 1: o Teorema de Picard . . O Teorema de Arzelà-Ascoli . . . . Aplica¸cão 2: o Teorema de Cauchy-Peano O Teorema de Weierstrass . . . . . Funcionais Cont´ınuos e Diferenciáveis . Aplica¸cão 3: Fluxos . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

149 150 152 156 159 161 162 167

.

.

.

.

171

Cap´ıtulo 11: m

Referˆ encias

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

“At´ e onde as leis da matem´ atica se refiram ` a realidade, elas est˜ a o longe de constituir algo certo; e, na medida em que constituem algo certo, n˜ a o se referem ` a realidade.”

(Albert Einstein)

1 Conjuntos e Fun¸c˜ oes Um dos fundamentos sobre os quais a Matemática se alicer¸ca é o conceito de conjunto . No que segue, estabelecemos a nota¸caõ universalmente adotada e recordamos as opera¸co˜es básicas da Teoria dos Conjuntos . Como é usual, a nota¸cão x X

∈

indica que o elemento x pertence ao conjunto X . Por outro lado, para indicar que o elemento x não pertence ao conjunto X , escrevemos x / X.

∈

Dizemos que A é subconjunto de B se todo elemento pertencente a A também pertence a B. Neste caso denotamos A B ou B A. Dizemos que dois conjuntos s˜ ao iguais se possuem os mesmos elementos. Assim, A = B se e somente se A B e B A. Representamos por o conjunto vazio, isto é, o (´ unico!) conjunto que n˜ ao possui elementos. Denotamos por N, Z, Q, R e C respectivamente os conjuntos dos n´ umeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, munidos de suas respectivas estruturas algébricas.

∅

⊂

⊂ ⊂

⊃


2

Opera¸c˜ oes com Conjuntos

• União e Interse¸cão:

Dados dois conjuntos A e B , definimos

∪ B = A ∩ B = A

– Propriedades B´ asicas:





∈ A ou x ∈ B x ; x ∈ A e x ∈ B x ; x

◦ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ); ◦ A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A; ◦ (A∪B)∩C = (A∩C )∪(B ∩C ), (A∩B)∪C = (A∪C )∩(B ∪C ).

As propriedades acima são denominadas respectivamente Associatividade , Comutatividade e Distributividade . Mais geralmente, se Aλ definimos:

{ }λ∈Λ é uma fam´ılia qualquer de conjuntos,

   

Aλ = x ; x

∈ Aλ para algum λ ∈ Λ

Bλ = x ; x

∈ Bλ para todo λ ∈ Λ

λ∈Λ

λ∈Λ





, (1.1)

.

Exemplo 1: Fam´ılia finita de conjuntos: Λ = 1, 2, . . . , k . Neste caso denotamos:

{

}

k

    Aλ =

Ai = A1

∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak ,

Ai = A1

∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak .

i=1

λ∈Λ

k

Aλ =

i=1

λ∈Λ

Exemplo 2: Fam´ılia infinita enumerável de conjuntos: Λ = N. Neste caso denotamos: ∞

    Aλ =

∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak ∪ · · · ,

Ai = A1

∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak ∩ · · · .

i=1 ∞

λ∈Λ

Aλ =

λ∈Λ

Ai = A1

i=1

Conjuntos e Fun¸co ˜es

3

Exemplo 3: Há freq¨ uentemente situa¸cões em que precisamos formar uni˜ oes ou interse¸cões de fam´ılias infinitas n˜ ao enumeráveis de conjuntos. A t´ıtulo de exemplo, consideremos Λ = [0, 1] e Aλ = ]λ 1, λ+1[. Neste caso, é fácil ver que (verifique!)

−



Aλ = ]

− 1, 2[

λ∈Λ

e



Aλ = ]0, 1[.

λ∈Λ

• Diferen¸ca e Complementar:

Dados dois conjuntos A e B , definimos



A B = x ; x

\

⊃

∈ A e x ∈ B

\



.

Quando A B, dizemos que A B é o complementar de B em rela¸caõ a A e denotamos B c = A B. A nota¸cão de complementar traz ambigüidade, posto que o s´ımbolo B c n˜ ao indica em rela¸cão a quem se está tomando o complementar. Por exemplo, se C B A, então quem é C c ? Portanto, restringimos a nota¸caõ de complementar somente aos casos em que os conjuntos que consideramos são todos subconjuntos de uma dado universo . Isto é, denotamos por C c = C .

\

⊂ ⊂

U

U \

– Propriedades B´ asicas:

◦ (A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C ); ◦ (A ∩ B) \ C = (A \ C ) ∩ (B \ C ); ◦ (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc; ◦ (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc; ◦ A \ B = A ∩ Bc.

• Produto Cartesiano:

Dados dois subconjuntos A e B, definimos





× B = (x, y) ; x ∈ A e y ∈ B . Podemos observar que A × B = ∅ se e somente se A = ∅ ou B = ∅. A

De um modo geral, se A 1 , A 2 , . . . , Ak é uma fam´ılia finita de conjuntos, então definimos k



i=1

Ai = A1

× · · · × Ak =



(x1 , . . . , xk ) ; x i



∈ Ai, i = 1, . . . , k

.


4

´ fácil ver que A1 E Ak = se e somente se existe i 1, 2, . . . , k tal que Ai = . Em particular, se A1 = . . . = Ak = A, ent˜ ao denotamos A A = A k . Mais geralmente ainda, se Ai i∈N é uma fam´ılia enumer´ avel de con juntos, podemos definir o produto cartesiano (infinito):

×···× ∅ ×···×

∞



Ai = A 1

i=1

× A2 × · · · =

∅

∈ {

 

(x1 , x2 , x3 , . . .) ; xi

}



∈ Ai , i = 1, 2, 3, . . .

.

Observe também que se A 1 = A2 = . . . = A, então A 1 A2 é o conjunto de todas as seqüências (x1 , x2 , . . .) de elementos de A. Nota¸ c˜ ao: A A = A N .

× ×···

× ×···

Exemplo: RN é o conjunto de todas as seq¨ uências de números reais. Nota: Como se poderia definir o produto cartesiano de uma fam´ılia infinita arbitrária de subconjuntos



Aλ ?

λ∈Λ

´ poss´ıvel tal generaliza¸caõ? Em caso afirmativo, o que é R[0,1]? E Pense nisso!

Fun¸co ˜es Defini¸c˜ ao 1.1: Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma fun¸caõ de A em B se f A B é tal que:

⊂ ×

∀x ∈ A, ∃ um uńico y ∈ B tal que (x, y) ∈ f.

(1.2)

Nota¸ c˜ ao: Se f é uma fun¸cão de A em B, então A é denominado o dom´ınio de f , B o contra-dom´ınio e escrevemos f : A Além disso, se (x, y)

→ B.

∈ f , então denotamos y = f (x).


5

Defini¸c˜ ao 1.2: Se f : A definimos:

→ B é uma fun¸cão e A1 ⊂ A e B1 ⊂ B,

 ∈  ∃ ∈

f (A1 ) = y

 

B ; x A1 , y = f (x) ,

f −1 (B1 ) = x

∈ A ; f (x) ∈ B1

.

f (A1 ) é denominado imagem de A1 por f e f −1 (B1 ) é denominado imagem inversa de B 1 por f . Observa¸c˜ ao: Segue da defini¸caõ que se f é uma fun¸cão de A em B, então para todo x A, f ( x ) é subconjunto unitário de B .

∈

{}

Observa¸c˜ ao: Embora o conceito formal de fun¸cão dada pela Defini¸cão 1.1 só leve em considera¸cão o conceito básico de conjunto, é muitas vezes conveniente interpretar uma fun¸caõ f : A B como uma “regra ” que associa (que transforma) elementos de A a (em) elementos de B. Em particular, aplica¸c˜ ao ou transforma¸c˜ ao são sinˆ onimos para fun¸caõ.

→

f A

B Figura 1.1

Defini¸c˜ ao 1.3: Dizemos que uma fun¸cão f : A B é injetora se x1 , x2 A são tais que f (x1 ) = f (x2 ), então x1 = x 2 . Dizemos que f é sobrejetora se para todo y B existe x A tal que y = f (x). Em particular, f é dita bijetora se for injetora e sobrejetora.

→

∈

∈

∈

A defini¸cão acima pode ser sintetizada da seguinte forma: uma fun¸caõ f : A B é sobrejetora se f (A) = B. Ela é injetora se, para todo y B, f −1 ( y ) ou é um subconjunto unitário de A ou é vazio. E f é bijetora se, para todo y B, f −1 ( y ) é um subconjunto unitário de A.

∈

→

{}

∈

{}

Defini¸c˜ ao 1.4: Dizemos que uma fun¸cão f : A B é invert´ıvel se o conjunto g = (y, x) B A ; (x, y) f

→



∈ ×

∈




6

é uma fun¸caõ de B em A. Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e a denotamos por f −1 . Como conseq¨ uencia imediata das defini¸cões acima temos o seguinte resultado, cuja demonstra¸cão deixamos como exerc´ıcio. Lema 1.5: Uma fun¸cao ˜ f : A bijetora.

→

B é invert´ıvel se e somente se é

Composi¸ca õ de Fun¸co ˜es

→

→

Se f : A B e g: B C são fun¸cões, podemos definir a fun¸cao ˜ composta g f : A C por (g f )(x) = g f (x) , x A. Mais precisamente, como f é fun¸caõ, para cada x A existe um único y = f (x) B tal que (x, y) f . Como g é fun¸caõ, existe um u ´ nico z = g(y) = g(f (x)) C tal que (y, z) g. Portanto, o conjunto

◦

→

∈

∈

∈



g f = (x, z)

◦

  ∀ ∈

◦

∈

∈



∈ A × C ; z = g(f (x))

´ portanto, uma fun¸ satisfaz a propriedade (1.2). E, cão, que definimos como fun¸cão composta de g com f . f A

g B

C

◦

g f

Seq¨ uências Defini¸c˜ ao 1.6: Seja A um conjunto. Uma seq¨ uência em A é uma fun¸caõ ϕ: N A.

→

Embora formalmente uma seq¨ uência seja uma fun¸cão, é usual identificarmos a seq¨ uência ϕ com sua imagem ϕ(1), ϕ(2), . . . em A. Podemos, em particular, interpretar um ponto de A como uma seqüência (fun¸caõ) constante.

{

}


7

As seq¨ uências podem ser constru´ıdas explicitamente , quando a fun¸cão ϕ é dada de forma expl´ıcita, ou por recorrência , quando cada termo é obtido de termos anteriores. Por exemplo, a seqüência de números naturais 1, 3, 7, 15, . . . pode ser definida explicitamente por ϕ(n) = 2n 1, ou pela recorrência x n+1 = 2xn + 1, n 1. Além das aplica¸co˜es onde aparecem naturalmente, as seqüências são u ´ teis como ferramentas de demonstra¸cão, mas sua essência está na caracteriza¸cão da enumerabilidade , que permite diferenciar “tipos de infinito”.

{

−

}

≥

Defini¸c˜ ao 1.7: Um conjunto A é dito enumerável se existe uma seq¨ uência ϕ: N A bijetora.

→

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1.1. Mostre que o cojunto vazio é u ´ nico. Exerc´ıcio 1.2. Seja Λ = ]0, 1[ e A λ = [λ mine λ∈Λ Aλ e λ∈Λ Aλ .





− 2, λ + 2], ∀λ ∈ Λ. Deter-

Exerc´ıcio 1.3. Considere os conjuntos A =



Aλ

e B =

λ∈Λ



Bλ ,

λ∈Λ

onde Λ = [0, 1[ e



∈ R2 ; (x − λ)2 + y2 ≤ λ2/2 (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 = λ 2 /2

Aλ = (x, y) Bλ =

Mostre que A = B. Fa¸ca um esbo¸co gráfico de A.



, .

{ } { ∈ ≤ ≤ }

Exerc´ıcio 1.4. Considere A = 0, 1 . Mostre que podemos fazer a identifica¸cão: AN = x R ; 0 x 1 . Exerc´ıcio 1.5. Prove o Lema 1.5. Exerc´ıcio 1.6. Dados A, B e C conjuntos, Aα e Bβ duas fam´ılias de conjuntos, mostre que:

{ } { }


8 a)

  ∩       ∪     Aα

Bβ =

α

b)

β

Aα

\

β c

∩

∩ Bβ ).

(Aα

∪ Bβ ).

α,β

Bβ =

α

(Aα

α,β

c) A B = A B . d) se A B então B c

Ac .

 ⊂   ⊂    c

e)

Aα

c

Acα ,

=

α

e

α

∩ \ ∩ \

Aα

α

=

Acα .

α

∩ \ ∩ \ ∩ \

f) A (B C ) = (A B) (A C ). g) (A B) C = (A C ) (B C ). h) Valem as duas últimas identidades acima substituindo-se ? i) A (B C ) = (A B) (A C ). j) A (B C ) = (A B) (A C ). k) A (B C ) = (A B) (A C ).

∪

∩ por

× ∪ × ∩ × \

× ∪ × × ∩ × × \ × Exerc´ıcio 1.7. Sejam f : X −→ Y uma fun¸cão, A ⊂ X , B ⊂ Y , {Aα}α fam´ılia de subconjuntos de X e {Bβ }β fam´ılia de subconjuntos de Y . Mostre que:

             ⊂       ⊃ ⊂   −1

a) f

Bα =

f −1 (Bα ).

b) f −1

Bα =

f −1 (Bα ). c

c) f −1 (B c ) = f −1 (B) . d) f

Aα =

f (Aα ).

e) f

Aα

f (Aα ).

f) Dê um exemplo para o qual n˜ ao vale a igualdade no item (e). g) Verifique que em geral nã o h´ a nenhuma rela¸cão entre f (Ac ) e c f (A) . h) f f −1 (B) B e f −1 f (A) A, n˜ ao valendo, em geral, as igualdades nos dois casos. Dê condi¸cões sobre f para que sejam válidas as igualdades f f −1 (B) = B e f −1 f (A) = A.

 

2 M´ etricas e Normas Para medir distâncias entre pontos de um dado conjunto A, devemos considerar uma fun¸caõ que a cada dois elementos x e y de A associe um número real positivo, denominado distˆ ancia de x a y. Tal fun¸caõ deve satisfazer as propriedades usuais da distˆ ancia euclidiana definidas para pontos do plano. Denominamos métricas as fun¸cões que permitem “medir distâncias” entre pontos de um dado conjunto A. Mais precisamente. Defini¸c˜ ao 2.1: Seja X um dado conjunto. Uma métrica em X é qualquer fun¸caõ d: X X R que satisfa¸ca as seguintes propriedades: i) d(x, y) 0, x, y X ; ii) d(x, y) = 0 x = y; iii) d(x, y) = d(y, x), x, y X ; iv) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x,y,z X .

× → ≥ ∀ ∈ ⇐⇒ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ Exemplo 1: Seja d: R2 × R2 → R definida por d(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ,



onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ). Então d é métrica em R 2 . Exemplo 2: A defini¸caõ de métrica 2.1 é geral o suficiente para que se possa medir distâncias num conjunto qualquer n˜ ao vazio. De fato, se X é um conjunto qualquer n˜ ao vazio, defina d: X X R por d(x, y) =



× →



1 se x = y 0 se x = y


10 Então d é métrica em X .

No caso em que X é um espa¸co vetorial, podemos medir distâncias por intermédio de normas, que s˜ ao fun¸cões que permitem “medir comprimentos”. Defini¸c˜ ao 2.2: Seja X um espa¸co vetorial. Uma norma em X é qualquer fun¸cão : X R que satisfa¸ca as seguintes propriedades: i) x 0, x X ; ii) x = 0 x = 0; iii) λx = λ x , λ R e x X ; iv) x + y x + y , x, y X . A desigualdade em iv) é denominada desigualdade triangular . ´ f´ Observa¸c˜ ao: E acil ver das defini¸cões acima que toda norma num espa¸co vetorial induz uma métrica nesse espa¸c o. De fato, se é uma norma num espa¸co vetorial X , então d(x, y) = x y é uma métrica em X . Por outro lado, nem toda métrica induz uma norma (dê um exemplo!).

   

  →  ≥ ∀ ∈  ⇐⇒  | |  ∀ ∈ ∀ ∈  ≤     ∀ ∈

 − 

 

  é uma norma em X , ent˜ ao para todo x, y ∈ X

Lema 2.3: Se temos

  −   ≤  x

y

x+y



e

  −   ≤  −  x

y

  

Prova: Da desigualdade triangular, x = x + y y = x + y + y . Logo

 −  

x

y .

− y ≤ x + y +

  (2.1) x − y ≤ x + y . Analogamente, y  = y − x + x ≤ x + y  + − x = x + y  + x , de onde se obtém y − x ≤ x + y . (2.2) As desigualdades (2.1) e (2.2) nos fornecem a primeira conclusão:

  −   ≤  x

y



x+y .

A segunda segue por argumento análogo.

M´ etricas e Normas

11

 

Defini¸c˜ ao 2.4: Seja X um espa¸co vetorial e ∗, ∗∗ duas normas definidas em X . Dizemos que estas normas são equivalentes se:

∃a, b > 0 tais que a x∗ ≤ x∗∗ ≤ bx∗, ∀x ∈ X. Normas em Rn Sabemos que o conjunto R n , munido das opera¸cões usuais de soma e produto por escalar, é um espa¸co vetorial de dimensão n. As expressões abaixo definem normas equivalentes em Rn : se x = (x1 , x2 , . . . , xn ) Rn ,

∈ x1 = |x1| + |x2| + ··· + |xn|, x2 = |x1|2 + |x2 |2 + ··· + |xn|2, x∞ =max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.



Mais geralmente, Teorema 2.5: Se 1

≤ p < +∞, ent˜ ao



x p = |x1 | p + |x2| p + ··· + |xn| p



1/p

é uma norma em R n . A demonstra¸caõ deste resultado faz uso da Desigualdade de Young , que enunciamos e demonstramos a seguir. Lema 2.6: Sejam p e q tais que 1 < p, q < + Ent˜ ao, para todo x, y R, vale a desigualdade

∞ e 1/p + 1/q = 1.

∈

p q |xy| ≤ |x p| + |yq | .

Prova: A fun¸cão real t todo α e β positivos,



ln λα + (1

→ ln t é côncava e crescente. Portanto, para



− λ)β ≥ λ ln α + (1 − λ) ln β, ∀λ ∈ ]0, 1[.


12 Considerando λ = 1/p, temos 1

− λ = 1/q e conseqüentemente

1 1 ln α + β p q





 ≥



1 1 ln α + ln β = ln α1/p β 1/q , p q

e obtemos o resultado, considerando x p = α e y q = β . Como conseq¨ uência do lema acima, temos a Desigualdade de Hölder ; se x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , y n ) são vetores de R n , definimos o produto escalar usual de Rn por

| |

| |

n

x; y =



xi yi .

i=1

Corol´ ario 2.7: Sejam p e q tais que 1 < p, q < + Ent˜ ao, para todo x, y Rn , vale a desigualdade

∈

∞ e 1/p + 1/q = 1.

|x; y| ≤ x pyq. Prova: Se x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ), obtemos da desigualdade de Young, n

n

  ≤  | || | ≤   | | λx; y

λ xi yi

i=1

i=1

 | | ∀

λ p p 1 xi + yi p q

q

,

λ > 0.

(2.3)

Dividindo ambos os lados de (2.3) por λ, obtemos n

  ≤   x; y

i=1

 | | ∀

λ p−1 p 1 xi + yi p λq

| |

q

,

λ > 0.

(2.4)

Para x e y fixos, o lado direito da desigualdade (2.4) define uma fun¸caõ na variável λ ]0, + [, isto é:

∈

∞

ϕ(λ) =

λ p−1 1 x p y qq . p + p λq



  ≤



Portanto, decorre de (2.4) que x; y min λ>0 ϕ(λ). Calculando o valor m´ınimo de ϕ(λ) (veja exerc´ıcio), obtemos o resultado.


13

Nota: A desigualdade de Hölder no caso p = 2 é denominada Desigualdade de Schwarz . Passemos, então, a` demonstra¸caõ do Teorema 2.5. Prova: Basta mostrar a desigualdade triangular, as outras propriedades sendo imediatas. Se x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ), temos da defini¸cão, n

p p =

x + y 

|

n

xi + yi

i=1

n

 | ≤ | || p

xi xi + yi

i=1

p−1

+

|

 | ||

yi xi + yi p−1 .

i=1

|

Considerando os vetores

| |

| | | |

| | |

| | |

a = ( x1 , . . . , xn ), b = ( y1 , . . . , yn ) e c = ( x1 + y1 p−1 , . . . , xn + yn p−1 ), podemos expressar a desigualdade acima na forma

x + y p p ≤ a; c + b; c. Decorre, então, da desigualdade de Hölder,

x + y p p ≤ a; c + b; c ≤ a pcq + b pcq . Observando que 1 a p = x p, b p = y p, cq = x + y p/q = x + y  p− , p p

obtemos 1 1 + y  px + y  p− x + y p p ≤ x px + y p− p p

e o resultado decorre da simplifica¸caõ. Além do Rn , h´ a outros espa¸cos vetoriais que desempenham papel relevante na Análise. Por exemplo:


14 Espa¸ cos Vetoriais de Polinˆ omios

P

Seja V = n o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a n, munido das opera¸cões usuais de soma de polinômios e produto por escalar. Então V é espa¸co vetorial de dimensão n + 1. As expressões abaixo definem normas equivalentes em V : se P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn ,

···

  | | | |

1/p

n

P  p = ai p p ∈ [1, +∞[, . i=0 P ∞ = max ai ; i = 0, . . . , n



Espa¸ cos Vetoriais de Matrizes

M

Seja V = m×n o conjunto das matrizes a coeficientes reais de ordem m n, munido das opera¸cões usuais de soma de matrizes e produto por escalar. Então V é espa¸co vetorial de dimensão mn. As expressões abaixo definem normas equivalentes em V: se

×

      | | | | a11 a21 .. .

A =

a12 . . . a1n a22 . . . a2n .. .. ... . . am2 . . . amn

am1

n

A p =

,

1/p

m

aij p

i=1 j =1

A∞ =max

 

∈ [1, +∞[,

p



aij ; i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n .

Observa¸c˜ ao: A semelhan¸ca nas defini¸cões das normas p , com p [1, + ], definidas acima nos remete à idéia de construir normas em espa¸cos vetoriais de dimensão n a partir de normas conhecidas em R n . De fato, considerando o exemplo dos polinômios, se T : n e a aplica¸cão definida por T (P ) = (a0 , a1 , . . . , an ), então T é um Rn+1 ´ isomorfismo , isto é, uma aplica¸cão bijetora que preserva as estruturas algébricas (estruturas de espa¸cos vetoriais) de n e Rn+1 . Além disso, é fácil ver que P p = T (P ) p P n,

∈

∞

 

P →

 



P  ∀ ∈ P


15

n+1 onde . Este p representa respectivamente norma em n e R exemplo se generaliza facilmente, como se pode verificar com o seguinte resultado.

 

P

Teorema 2.8: Sejam V e W dois espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao n e T : V W um isomorfismo. Se ´ e norma em W , ent˜ ao a W express˜ ao v V = T (v) W (2.5)

→

   



define uma norma em V . Além disso, se ao normas α e β s˜ equivalentes em W , ent˜ ao as normas de V definidas pela rela¸c˜ ao (2.5) s˜ ao normas equivalentes em V .

   

Nota: Afirmamos em cada um dos exemplos acima que todas as normas ao equivalentes. Na verdade, e veremos adiante, se p s˜ V é espa¸co vetorial de dimensão finita, então todas as normas são equivalentes. Ainda mais geralmente, podemos provar que um espa¸co vetorial V é de dimens˜ ao finita se e somente se todas as normas são equivalentes. Vejamos um exemplo de espa¸co vetorial de dimens˜ ao infinita.

 

Espa¸ cos Vetoriais de Fun¸ co ˜es Cont´ınuas:

 

Seja V = C [a, b]; R o conjunto das fun¸co˜es reais cont´ınuas definidas em [a, b], munido das opera¸cões usuais de soma de fun¸co˜es e produto por escalar. Então V é espa¸co vetorial de dimensão infinita. As expressões abaixo definem normas em V :

 | | b

f  p = a f ∞ = max

p



1/p

| , p ∈ [1, +∞[ f (x)| ; x ∈ [a, b] .

f (x) dx



Exerc´ıcios Exerc´ıcio 2.1. Seja x = (x1 , , xn ) Rn . Mostre que cada uma das expressões abaixo define uma norma em R n .

···

n

 

1) x 1 =

| |

xi .

i=1

∈


16

 ∞ = max{|x1 |, ··· , |xn|}.

2) x

Exerc´ıcio 2.2. Fa¸ca os detalhes da prova do Corolário 2.7.

∈ Rn. Mostre que p→∞ lim x p = x∞ . Exerc´ıcio 2.4. Se as normas  α e  β são equivalentes num espa¸co vetorial V e  β e  γ são equivalentes, mostre que  α e  γ são equivalentes. Exerc´ıcio 2.5. Sejam p1 , p2 ∈ [1, ∞]. Mostre que as normas   p e   p de R n são equivalentes. Exerc´ıcio 2.3. Seja x

1

2

Exerc´ıcio 2.6. Demonstre o Teorema 2.8.

  ∈ 

Exerc´ıcio 2.7. Mostre que as normas definidas em C [0, 1]; R por

 | 1

f 1 =

f (x) dx,

|

0



f ∞ = max |f (x)| ; x

n˜ ao são equivalentes.

[0, 1]

Exerc´ıcio 2.8. a) Seja A matriz n n positiva-definida (isto é, Ax; x > 0, x e, Ax; y = x; Ay , x, y Rn , x = 0) e simétrica (isto ´ Rn ), onde ; denota o produto escalar usual de Rn . Mostre que x A = Ax; x é uma norma em R n . b) Seja B matriz n n positiva-definida (n˜ ao necessariamente simétrica). Mostre que x B = Bx; x é uma norma em Rn . c) Sejam A e B matrizes simétricas e positivas tais que AB = BA. Mostre que x = Ax; Bx é uma norma em R n .

    



×



 ×

    



 

 



 ∀ ∈  ∀ ∈





Exerc´ıcio 2.9. Seja X um conjunto e f : X Mostre que

→

Rn uma fun¸ cão.

n

sup f (x) x∈X



   ≤

inf f (x) 2 2 − x∈X

sup f i (x)

i=1 x∈X

inf f i (x) − x∈X

n onde 2 denota a norma 2 de R . Sugest˜ ao: Seja g : X R uma fun¸cão real. Mostre que

 



→ sup |g(x)| − inf |g(x)| ≤ sup g(x) − inf g(x) x∈X x∈X x∈X x∈X

,

3 Abertos, Fechados, Compactos Neste cap´ıtulo introduzimos os conceitos básicos e os principais resultados da Topologia dos Espa¸cos Normados, com ênfase aos espa¸cos de dimensão finita e, especialmente, o espa¸co R n . Seja V um espa¸co vetorial munido de uma norma , x0 V e r > 0. O conjunto

 

 ∈

Br (x0 ) = x

V ; x

 − x0  < r



é denominado bola aberta de centro em x 0 e raio r. A Fig. 3.1 abaixo ilustra bolas de R2 relativas a normas alguns valores de p.

p = 1

p = 3/2

p = 2

∈

p = 4

  p para

p =

∞

Figura 3.1 O conceito de bola aberta nos permite intruduzir diversas defini¸cões— os alicerces para a constru¸cão da Análise. Iniciemos com os seguintes conceitos: ponto interior e ponto de acumula¸c˜ ao .

∈

Defini¸c˜ ao 3.1: Seja A um subconjunto de V e x 0 V . a) Dizemos que x0 é ponto interior de A se existe r > 0 tal que Br (x0 ) A.

⊂


18

b) Dizemos que x 0 é ponto de acumula¸cao ˜ de A se para todo r > 0,



Br (x0 )



\ {x0} ∩ A = ∅.

Observe que se x0 é ponto de acumula¸ca˜ o de A, podemos tomar pontos de A tão próximos de x0 quanto se queira. Se x0 é ponto interior de A, então x 0 é ponto de acumula¸cão e pertence a A. Além disso, podemos aproximar x0 por pontos de A “em qualquer dire¸caõ”. Se x 0 A não pode ser aproximado por outros pontos de A, dizemos que x0 é ponto isolado de A. Mais precisamente, x 0 é ponto isolado de A se existe r > 0 tal que B r (x0 ) A = x0 . O conjunto de todos os pontos interiores de A é denominado interior

∈

∩

{ }

◦

de A, denotado por A: ◦

 ∈

A= x



A ; x é ponto interior de A .

O cojunto dos pontos de acumula¸cão de A é denominado derivado de A, denotado por A ′ :

∈

A′ = x



E ; x é ponto de acumula¸cãode A . ◦

Nota: Observe que é imediato verificar que A A ′ e que A A′ é o conjunto dos pontos isolados de A.

⊂

\

Defini¸c˜ ao 3.2: Dizemos que um subconjunto A de V é aberto se ◦

todos os seus pontos são pontos interiores, isto é, A = A. Proposi¸ c˜ ao 3.3: A uni˜ ao qualquer de conjuntos abertos é um con junto aberto. A interse¸c˜ ao finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

{ }

∈



Prova: Seja Aα α uma fam´ılia de conjuntos abertos e x α Aα . Então existe ´ındice α0 tal que x A α0 . Como Aα0 é aberto, existe r > 0 tal que B r (x) Aα0 . Portanto

∈

⊂

⊂ Aα ⊂

Br (x)



0



Aα .

α

k Por outro lado, se x ao x Ai para todo i. Como cada i=i Ai , ent˜ Ai é aberto, existe r i > 0 tal que B ri (x) Ai .

∈

∈ ⊂

Abertos, Fechados, Compactos

{

19

}

⊂ Ai, para todo i = 1, . . . , k

Seja r = min r1 , . . . , rk . Ent˜ ao B r (x) e k

Br (x)

 ⊂

Ai .

i=1

Defini¸c˜ ao 3.4: Dizemos que um subconjunto A de V é limitado se existe r > 0 tal que A B r (0).

⊂

⊂ V é um conjunto fechado se Ac é

Defini¸c˜ ao 3.5: Dizemos que A aberto.

Proposi¸ ca õ 3.6: A interse¸cao ˜ qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado. A uni˜ ao finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

{ }

Prova: Seja F λ λ uma fam´ılia qualquer de conjuntos fechados. Então F λc λ e´ uma fam´ılia de conjuntos abertos. Como a uni˜ ao de conjuntos abertos é aberto, segue que

{ }

    c

F λ

=

λ

F λc

λ

é um conjunto aberto. Portanto λ F λ é conjunto fechado. Analogamente, como a interse¸cão finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto, segue que c

    k

F i

i=1

é um conjunto fechado. Portanto Defini¸c˜ ao 3.7: A = A′

k

=

F ic

i=1

k e i=1 F i ´

conjunto fechado.

∪ A é denominado aderência ou fecho de A.

Proposi¸ ca õ 3.8: A é fechado se e somente se A = A. Prova: Veja exerc´ıcios.


20

Conjuntos Compactos

{ }

Defini¸c˜ ao 3.9: Uma fam´ılia Aλ λ∈Λ de subconjuntos de V é denominada cobertura de um dado conjunto B se



⊂

B

Aλ .

λ

∈

Se A λ é conjunto aberto para todo λ Λ, dizemos que a cobertura é aberta . Se Λ é conjunto finito, dizemos que a cobertura é finita.

⊂

Defini¸c˜ ao 3.10: Um conjunto K V é compacto se toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita, isto é, se Aλ λ∈Λ é uma cobertura aberta de K , então existem λ 1 , . . . , λk tais que

{ }

⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλ .

K

1

k

Proposi¸ ca õ 3.11: Todo conjunto compacto é fechado e limitado. Prova: Seja K compacto. Provemos inicialmente que K é limitado. A fam´ılia B1 (x) x∈K é uma cobertura aberta de K . Logo, existem x1 , x2 , . . . xm K tais que

{

∈

}

m

 ⊂

K

B1 (xi ).

i=1

{ 

 } ⊃ ∈ x = x + xi − xi  ≤ x − xi  + xi < 1 + xi ≤ ¯r. Provemos que K é fechado, isto é, que K c é aberto. Seja x0 ∈ K c . Para cada x ∈ K considere rx = 12 x − x0  . Ent˜ ao {Br (x)}x∈K é Seja r¯:= max x1 , . . . , xm + 1. Afirmo que Br¯(0) K . Com efeito, se x K , então x B 1 (xi ) para algum i = 1, . . . , m. Assim

∈

x

uma cobertura aberta de K . Sendo K compacto, podemos encontrar x1 , x2 , . . . , xm tais que m

 ⊂

K

i=1

Brxi (xi ).

(3.1)


{

21

}

Seja r¯:= min rx1 , rx2 , . . . , rxm > 0. Afirmo que Br¯(x0 ) fato, pela defini¸cã o de r¯ temos

⊂ K c.

De

m



Br¯(x0 ) =

Brxi (x0 ).

i=1

Passando ao complementar em (3.1) temos m

c

K

 ⊃

m

c

Brxi (xi )

i=1

 ⊃

Brxi (x0 ) = Br¯(x0 ).

i=1

Proposi¸ ca õ 3.12: Seja F Ent˜ ao F é compacto.

⊂ K ⊂ V , com F fechado e K compacto.

{ } { ∪ }

Prova: Seja Gα α∈Λ uma cobertura aberta de F . Então é fácil ver que Gα F c α∈Λ é cobertura aberta de K . Como K é compacto, existem α 1 , α2 , . . . , αm Λ tais que

∈

m

 ⊂ 

K

m

c

Gαi

i=1

∪ F

   ∪ =

Gαi

F c .

i=1

⊂ K , segue que

Como F

m

 ⊂

F

Gαi .

i=1

Observa¸c˜ ao: Todas as defini¸cões e resultados apresentados até aqui neste cap´ıtulo são relativos à norma fixada no espa¸co vetorial V . N˜ ao é dif´ıcil observar, porém, que essas defini¸co˜es e resultados são invariantes para outras normas equivalentes de V . Vejamos, por exemplo, o caso de ponto interior. Sejam α e β duas normas equivalentes de V e x0 um ponto interior de A V relativamente à norma α. Então, x 0 também é ponto interior de A relativamente à norma β . Com efeito, como as normas são equivalentes, existem números reais positivos m e M tais que

    ⊂

m x

 α ≤ xβ ≤ M xα, ∀x ∈ V.


22

Como x 0 é ponto interior de A relativamente à norma α, existe r > 0 1 tal que se x x0 α < r, então x A. Como x x0 α m x x0 β , para todo x V , segue que se x x 0 β < mr, então x A e conclu´ımos que x 0 é ponto interior de A relativamente à norma β . Isso pode ser resumido pela afirma¸cão de que as topologias geradas por normas equivalentes de V s˜ ao idênticas .

−  ∈

∈  −  ≤  −   −  ∈

Observa¸c˜ ao: Uma caracteriza¸caõ importante dos espa¸cos de dimens˜ ao finita (além da que se refere à equivalência das normas), é a rec´ıproca da Proposi¸cão 3.11: se V é espa¸co vetorial de dimens˜ ao ´ finita, ent˜ ao todo conjunto fechado e limitado é compacto . E o que demonstraremos a seguir para o espa¸co R n .

Compactos de Rn Para caracterizar os conjuntos compactos de Rn , consideremos os seguintes resultados.

{ } ⊃ ⊃

Lema 3.13: Seja I k k∈N uma fam´ılia de intervalos fechados e limitados de R tais que I 1 I 2 . . .. Ent˜ ao ∞



I k = .

 ∅

k=1

Prova: Se I k = [ak , bk ], segue da hipótese que

≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ≤ . . . ≤ bk ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1. Logo {ak } é seq¨ uência crescente e limitada e {bk } é seq¨ uência decrescente e limitada. Portanto (veja Análise Real) ak −→ α e bk −→ β quando k → ∞ e ∞ [α, β ] ⊂ I k . a1



k=1

Defini¸c˜ ao 3.14: Chama-se paralelep´ıpedo de Rn todo conjunto P da forma n

P =



[ai , bi ].

i=1


23

Lema 3.15: Seja P k k∈N uma fam´ılia de paralelep´ıpedos de Rn tais que P 1 P 2 . . .. Ent˜ ao

⊃ ⊃

{ }

∞



k=1



 ∅

P k = .

Prova: P k = ni=1 [ai,k , bi,k ]. Como P 1 P 2 . . ., segue que I i,k = [ai,k , bi,k ] satisfaz I i,1 I i,2 . . . para todo i = 1, . . . , n. ∞ Logo, decorre do Lema 3.13 que k=1 I i,k = e conseq¨ uentemente ∞ k=1 P k = .



⊃

 ∅



⊃ ⊃ ⊃  ∅

Teorema 3.16: (Bolzano-Weierstrass) Seja A tendo uma infinidade de pontos. Ent˜ ao A ′ = .

∅

⊂ Rn limitado con ⊃

Prova: A sendo limitado, existe r > 0 tal que Br (0) A, onde Br denota a bola aberta relativa à norma ao ∞ . Seja P 0 = B r (0). Ent˜ P 0 A e

 

⊃

n

P 0 =



−

I i,0 , onde I i,0 = [ r, r].

i=1

Dividindo cada intervalo I i,0 no ponto médio, obtemos 2n bolas fechadas de raio r/2. Como A possui infinitos pontos, alguma dessas bolas n fechadas contém infinitos pontos de A. Seja P 1 = i=1 [ai,1 , bi,1 ] tal bola. Novamente dividindo cada intervalo [ai,1 , bi,1 ] pelo ponto médio, obtemos 2n bolas fechadas de raio r/4. Seja P 2 uma dessas bolas que contenha infinitos pontos de A. Repetindo o procedimento acima ad infinitum, obtemos uma fam´ılia de bolas fechadas P k k∈N que satisfaz



{ }

⊃ P 2 ⊃ P 3 ⊃ . . .

P 1



Pelo Lema 3.15, existe x ¯ ¯ A′ . k P k . Provemos que x Dado δ > 0, seja k0 N tal que r/2k0 < δ/2. Como x¯ P k para todo k, temos P k0 Bδ (¯ x). Como P k0 contém infinitos pontos de A, segue que Bδ (¯ x) A x ¯ = .

⊂

∈

∈

∩ \ { }  ∅

∈

Teorema 3.17: Todo paralelep´ıpedo de R n é compacto.

∈


24 Prova: Seja P =



δ =

n i=1 [ai , bi ]

um paralelep´ıpedo de R n e

 −

··· + (bn − an)2

(b1

a1 )2 +

seu diˆ ametro. Suponhamos que Gα α∈Λ seja uma cobertura aberta de P que não admite subcobertura finita. Os pontos médios ci = (ai + b i )/2 dos intervalos que compõem P dividem P em 2n paralelep´ıpedos de diâmetro δ/2. Algum desses 2n paralelep´ıpedos nã o pode ser coberto por um número finito de abertos de Gα . Seja P 1 tal paralelep´ıpedo. Repetindo-se o argumento acima ad infinitum, construimos uma fam´ılia P k k∈N de paralelep´ıpedos, cada P k com diâmetro δ/2k , tais que P 1 P 2 . . . ∞ Pelo Lema 3.15, x ¯ P . Portanto, α0 Λ tal que k=1 P k x ¯ Gα0 . Como Gα0 é aberto, r > 0 tal que B r (¯ x) Gα0 . k Escolhendo k Br (¯ x) Gα0 , N tal que δ/2 < r/2 tem-se P k o que é uma contradi¸cão, pois P k n˜ a o pode ser coberto por uma quantidade finita de abertos.

{ }

{ } { } ⊃ ⊃

∈

∈

∃ ∈



∃

⊂

∃ ∈ ⊂ ⊂ ⊂

Teorema 3.18: Se K é fechado e limitado de Rn , ent˜ ao K é com pacto. Prova: Se K limitado, então existe P paralelep´ıpedo tal que K P . Pelo teorema anterior, P é compacto. Como K é fechado e K P , segue que K é compacto. .

⊂ ⊂

Os resultados seguintes fornecem uma generaliza¸cão aos Lemas 3.13 e 3.15. Teorema 3.19: Seja K α α∈Λ uma fam´ılia de compactos de Rn com a propriedade da interse¸c˜ ao finita, isto é, “toda subfam´ılia finita tem interse¸cao ˜ n˜ ao vazia”. Ent˜ ao

{ }



α∈Λ



 ∅

K α = .

Prova: Suponhamos que α∈Λ K α = e fixe α0 Λ. Afirmo que K αc α∈Λ é cobertura aberta de K α0 . Com efeito, se x K α0 , segue

{ }

∅

∈

∈

Abertos, Fechados, Compactos de



α∈Λ K α =

25

∅ que

    ∈

x

K α

c

=

α∈Λ

K αc .

α∈Λ

Como K α0 é compacto, existem α 1 , . . . , αm tais que m

⊂

K α0 Portanto K α0

m

   K αc i =

i=1

K αi

c

.

i=1

∩ K α ∩ · · · ∩ K α = ∅, o que é uma contradi¸cão. Corolário 3.20: Seja {K k }k∈ fam´ılia enumerável de compactos de ao Rn tal que K 1 ⊃ K 2 ⊃ . . .. Ent˜ K k  = ∅. 1

m

N



k∈N

Seq¨ uˆ encias em Espa¸cos Vetoriais Há muitas aplica¸cões nas quais as seq¨ uências surgem naturalmente, como nos métodos de discretiza¸cão de equa¸co˜es diferenciais. Além disso, também são u ´ teis como ferramenta de demonstra¸caõ, como teremos oportunidade de ver neste cap´ıtulo. Relembrando a defini¸cão formal introduzida no Cap´ıtulo 1, uma seqüência de V é qualquer fun¸cão ϕ: N V . Em geral, denotamos por xk n∈N (ou simplesmente xk ) a seq¨ uência ϕ tal que ϕ(k) = x k . Se ϕ: N V é uma seq¨ uência de V e ψ: N e uma fun¸caõ esN ´ tritamente crescente, então ϕ ψ é denomindada subseq¨ uência da seq¨ uência ϕ. Uma subseq¨ uência de xk k é usualmente denotada por xki i . Defini¸c˜ ao 3.21: Seja V um espa¸co vetorial normado. Dizemos que uma seq¨ uência xk de V converge para x 0 V se

{ }

{ }

→

{ } ◦

→

→

{ }

{ } ∈ ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N tal que se k ≥ k0 então xk − x0 < ε. Se a seqüência {xk } converge para x 0 , denotamos lim xk = x 0 ou xk −→ x0 . n→∞


26

As seguintes propriedades são f´ aceis de demonstrar. Proposi¸ ca õ 3.22: Seja xk uma seq¨ uência de V e A V . a) se xk converge o limite é u ´ nico. b) se xk converge xk é limitada. ′ c) x0 A existe seq¨ uência xk de A (com xk = x0 para todo k) que converge para x 0 .

{ } { } ∈ ⇐⇒

{ } ⇒ ⇒ { }

⊂

{ }



Prova: Exerc´ıcio. Corolário 3.23: Seja A V um conjunto fechado e xk uma seqüência de elementos de A. Se x k x 0 , ent˜ ao x 0 A.

⊂

{ }

−→ ∈ Prova: Pela Proposi¸caõ 3.22, se xk −→ x 0 , então x 0 ∈ A ′ . Como A é fechado, A ′ ⊂ A.

O teorema seguinte estabelece uma caracteriza¸cão para os compactos de um espa¸co vetorial normado (ou mais geralmente, de um espa¸co métrico). Teorema 3.24: Seja V um espa¸co vetorial normado e K V . Ent˜ ao K é compacto se e somente se toda seq¨ uência xn n de K possui subseqüência xni i tal que x ni ¯ x K . ´ claro que se xn n possui subseq¨ Prova: (= ): E uência convergente, então o limite pertence a K , pois K é fechado. Suponhamos ent˜ ao que existe uma seq¨ uência xn n que não possui subseq¨ uência convergente ′ e considere B = x1 , x2 , x3 , . . . . Ent˜ ao B = e conseq¨ uentemente N existe εn > 0 tal que B é fechado. Além disso, para cada n Bεn (xn ) B = xn . Logo Bεn (xn ) n é cobertura aberta de B que n˜ ao admite subcobertura finita. Como B é compacto (como subconjunto fechado do compacto K ), temos uma contradi¸caõ. ( =): Suponhamos que existe Aα α∈Λ uma cobertura aberta de K que n˜ ao admita subcobertura finita. Para cada x K , seja

⇒

∩

{ }

{ }



{ }

→ ∈ { }

{ }

⇐

   ∈

∅

{ }



⊂

∈

⊂ Aα , para algum α ∈ Λ

δ (x) = sup δ > 0 ; B δ (x)

´ claro que δ (x) > 0 x K . Seja E

∀ ∈







.

∈ K .

δ 0 = inf δ (x) ; x

Se provarmos que δ 0 > 0, podemos construir uma seqüência yn n em K que não possui subseq¨ uência convergente. De fato, admita por

{ }


27

 

´ claro um instante que δ 0 > 0 e considere a cobertura Bδ0 (x) x∈K . E que esta cobertura aberta não admite subcobertura finita, pois caso contrário Aα tamb´ em admitiria. Consideremos entã o a seq¨ uência assim constru´ıda: considere y1 K qualquer e, para cada n 2, escolha y n tal que

∈

≥



n−1

∈ K \

yn



Bδ0 (yi ) .

i=1

Então yn ym δ 0 para todo n, m N tais que n = m. Provemos entã o que δ 0 > 0. Segue da defini¸ cão que existe uma seq¨ uência xn em K tal que δ (xn ) δ 0 . Por hip´ otese, existe uma subseqüência xni que converge para algum x0 K . Seja ε0 = δ (x0 )/2 > 0. Ent˜ ao existe i0 N tal que xni Bε0 (x0 ) para todo i i0 . Logo, para algum α Λ,

 −  ≥ { } { }

∈ →

∈

≥



∈

∈

∈ Bε (xn ) ⊂ B δ(x ) (x0 ) ⊂ A α . Portanto, δ (xn ) ≥ ε 0 > 0, ∀i ≥ i 0 e o mesmo vale para δ 0 . 0

i

0

i

Seq¨ uˆ encias de Cauchy

{ }

Defini¸c˜ ao 3.25: Uma seq¨ uência xk de V é dita seq¨ uência de Cauchy se

∀ε > 0 ∃k0 ∈ N tal que k, l ≥ k0 ⇒ xk − xl V < ε. Lema 3.26: Se {xk }k é uma seqüência de Cauchy em V , ent˜ ao {xk }k

é limitada em V .

∈   { 

≥      }

Prova: Seja ε = 1. Ent˜ ao existe k0 k0 , então N tal que se k xk xk0 V < 1. Em particular, xk V < 1 + xk0 V , para todo k k0 . Assim, se M = 1 + max x1 V , . . . , xk0 −1 V , xk0 V , então xk V M para todo k N.

 −  ≥   ≤

∈

Como decorrência imediata da desigualdade triangular, toda seqüência convergente de um espa¸co vetorial normado é seqüência de Cauchy. Mas a rec´ıproca nem sempre se verifica. Os espa¸cos vetoriais normados para os quais todas as seq¨ uências de Cauchy são covergentes são denominados Espa¸cos de Banach e são fundamentais para a An´ alise, pois neles ficam assegurados os processos de limite.


28

Seq¨ uˆ encias em Rn Nesta se¸caõ estudaremos as seq¨ uências em Rn ; mostraremos que R n é espa¸co de Banach. Denotamos por uma norma qualquer de Rn . Se xk k , onde xk = (x1,k , . . . , xn,k ), é uma seqüência de Rn que Rn tal que converge para x0 = (x1,0 , . . . , xn,0 ), então existe ϕ: N ϕ(k) = x k . Segue em particular da Defini¸cão 3.21 e da equivalência de normas que xj,k k é seq¨ uência de números reais que converge para x j,0 .

{ }

 

→

{ }

Proposi¸ ca õ 3.27: Toda seq¨ uência limitada de Rn possui subseq¨ uência convergente . Prova: Se ϕ é seq¨ uência de R n , seja A = ϕ(N). Se A é finito, então existe uma infinidade de n´ umeros naturais k 1 < k2 < para os quais ϕ(k1 ) = ϕ(k2 ) = e conclu´ımos, porque seq¨ uências constantes são convergentes. Se A é infinito, segue do Teorema de Bolzano-Weierstrass 3.16 que A′ = e conclu´ımos o resultado pelo item (c) da Proposi¸caõ 3.22.

· ··

· ··

∅

Teorema 3.28: Rn é um espa¸co de Banach. Prova: Seja xk k uma seq¨ uência de Cauchy de Rn . Ent˜ ao xk k é limitada e, portanto, possui uma subseq¨ uência xki que converge n para x i0 R . Assim, dado ε > 0 existe i0 N tal que se i então xki x < ε/2. Como a seq¨ uência dada é de Cauchy, existe k0 k0 então xk x l < ε/2. Portanto, se N tal que se k, l k1 = max k0 , ki0 e k k 1 , temos

{ }

{ }

∈ ∈  −  ∈ ≥  −  { } ≥ xk − x ≤ xk − xk  + xk − x < ε. i0

{ } ≥

i0

O Teorema a seguir complementa a caracteriza¸cão dos co juntos compactos de R n (veja Proposi¸cão 3.11 e Teorema 3.18). Teorema 3.29: Seja K equivalentes

⊂ Rn.

a) K é compacto; b) K é fechado e limitado;

Ent˜ ao as afirmativas abaixo s˜ ao


29

c) Toda seq¨ uência de K possui subseq¨ uência que converge para um ponto de K . Prova: A equivalência entre (a) e (b) está provada pela Proposi¸caõ 3.11 e Teorema 3.18. A equivalência entre (a) e (c) é conseqüência do Teorema 3.24.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.1. Sejam A e B subconjuntos de um espa¸co vetorial normado V . Demonstre as afirmativas abaixo. a) A é fechado A A′ . Dê exemplo de A fechado tal que A′ = A. b) A′ é conjunto fechado. c) A B = A′ B ′ . d) (A B)′ = A ′ B ′ . e) A é conjunto fechado. f) A é fechado A = A.



⊂ ∪

⇐⇒ ⊃

⇒ ⊂ ∪

⇐⇒

   

Exerc´ıcio 3.2. Sejam ∗ e ∗∗ duas normas equivalentes de um espa¸co vetorial V . a) Mostre que x0 é ponto de acumula¸cão de A com rela¸cão a uma das normas se e somente se é ponto de acumula¸cão com rela¸cão à outra. b) Mostre que se A é um conjunto aberto em V em rela¸caõ a ∗, se e somente se A é aberto em rela¸caõ a ∗∗ . Mostre que o mesmo vale para conjuntos fechados e compactos.

 

 

Exerc´ıcio 3.3. Sejam A e B subconjuntos de um espa¸co vetorial normado V . a) Se A

◦

◦

⊂ B, mostre que A⊂B e A ⊂ B. ◦

◦

b) Defina α(A) =A e β (B) = B. Mostre i. A aberto A α(A). ii. B fechado B β (B).

⇒ ⊂ ⇒ ⊃

◦

iii. Dê exemplo de conjunto A tal que A, A, A, α(A) e β (A) sejam todos distintos.

 ∈     

Exerc´ıcio 3.4. Seja A = f

C [0, 1]; R ; f

∞

< 1 e f 0

≡ 0.

30


Mostre que f 0 é ponto interior de A relativamente à norma mas n˜ ao é ponto interior de A relativamente à norma 1. Exerc´ıcio 3.5. Demonstre a Proposi¸cão 3.22

 

 ∞

Exerc´ıcio 3.6. Prove diretamente a equivalência dos itens (b) e (c) no Teorema 3.29

4 Limites e Continuidade Iniciamos o estudo de limites e continuidade para fun¸cões de R n em R m . No que segue estaremos denotando por indistintamente n R as normas euclidianas, isto é, as normas de e R m . 2

 

 

Defini¸c˜ ao 4.1: Sejam f : A Rn A′ e b Rm . DizeRm , x0 mos que b é o limite de f (x) quando x se aproxima de x0 em A (relativamente às normas euclidianas) se

⊂

→

∈

∈

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ A e 0 < x − x0  < δ ⇒ f (x) − b < ε. Neste caso denotamos b = lim f (x). x→x0

Observa¸c˜ ao: A defini¸caõ acima pode ser expressa usando-se a nota¸caõ de bolas, isto é:

⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ A ∩ Bδ (x0 ) \ {x0} ⇒ f (x) ∈ Bε (b). lim f (x) = b

x→x0

Ou ainda na forma mais concisa



 ∩



}  ⊂

Bε (b). ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que f A Bδ (x0) \ {x0 Teorema 4.2: Sejam f : A ⊂ Rn → Rm , f = (f 1 , . . . , fm ), onde f i : A ⊂ R n → R , ∀i = 1, . . . , m, x0 ∈ A ′ e b ∈ R m , b = (b1 , . . . , bm ). Ent˜ ao

lim f (x) = b

x→x0

⇐⇒

lim f i (x) = b i ,

x→x0

∀i = 1, . . . , m .


32

Prova: Suponhamos limx→x0 f i (x) = b i e seja ε > 0. Então existem δ 1 , . . . , δm > 0 tais que x A e 0 < x x0 < δ i f i (x) bi < ε/m. Se e1 , . . . , em é a base canônica de Rm , então considerando-se δ = min δ 1 , . . . , δm temos, para x A e 0 < x x0 < δ :

∈  −  ⇒ | − | { } { } ∈  −  f (x) − b ≤ |f 1(x) − b1| + ··· + |f m (x) − bm| < ε.

Reciprocamente, se lim x→x0 f (x) = b, para ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que se x A e 0 < x x0 < δ então f (x) b < ε. Como f i (x) bi f (x) b para todo i = 1, . . . , m segue o resultado.

 −   −  − Teorema 4.3: Seja f : A ⊂ Rn → Rm e x 0 ∈ A′ . Ent˜ ao, ∀{xk }k ⊂ A tal que x k = x0, ∀k lim f (x) = b ⇐⇒ e x k → x0 ⇒ f (xk ) → b. x→x |

∈ − |≤



0

Prova: Exerc´ıcio. Teorema 4.4: Sejam f , g: A

⊂ Rn → R e x0 ∈ A′ . Se

lim f (x) = b e lim g(x) = c,

x→x0

ent˜ ao

 

x→x0

± g)(x) = b ± c

lim (f

x→x0

lim (f g)(x) = bc

x→x0

Além disso, se c = 0 ent˜ ao



lim

x→x0



f b (x) = . g c

Prova: Exerc´ıcio. Corol´ ario 4.5: Sejam f , g: A lim f (x) = b

x→x0

ent˜ ao



⊂ Rn → Rm e x 0 ∈ A′ . Se e

lim g(x) = c,

x→x0



lim f (x); g(x) = b; c .

x→x0

 

Limites e Continuidade

33

´ preciso ter cuidado com o limite de fun¸co˜es comObserva¸c˜ ao: E postas. De fato, parece intuitivamente razoável esperar que se

⊂ Rn → Rm , x0 ∈ A′ e g : B ⊂ Rm → Rk , y0 ∈ B′ são tais que f (A) ⊂ B e f : A

lim f (x) = y 0 e lim g(y) = z 0 ,

x→x0

y→y0

então

◦

lim (g f )(x) = z 0 .

x

→

x0

No entanto, isto é em geral falso, como se pode ver pelos exemplos a R, definidas por: seguir. Sejam f , g: R f (x) =



1 0

→ se x  =0

e

lim f (x) = 1

e l im g(y) = 1.

se x = 0

g(x) =



1 se x = 1 0 se x = 1



Então x→0

y→1

Entretanto, é fácil ver que (g f )(x) =

◦



0 1

se x = 0 se x = 0



e

lim (g f )(x) = 0.

x→0

◦

n m Lema 4.6: Seja, ∗ e ∗∗ respectivamente normas de R e R equivalentes às normas euclidianas. Ent˜ ao limx→x0 f (x) = b relativamente a`s normas ∗ e ∗∗ se e somente se limx→x0 f (x) = b relativamente às normas euclidianas

       

Prova: (Veja Exerc´ıcios)

Fun¸co ˜es Cont´ınuas Defini¸c˜ ao 4.7: Seja f : A R n R m e x0 A A′ . Dizemos que f é cont´ınua em x 0 se limx→x0 f (x) = f (x0 ). Mais precisamente,

⊂

→

∈ ∩

∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que x ∈ A e x − x0 < δ ⇒ f (x) − f (x0) < ε.


34

Usando a nota¸caõ de bolas, podemos dizer que f é cont´ınua em x0 se e somente se

  ⊂  

∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que x ∈ A ∩ Bδ (x0) ⇒ f (x) ∈ Bε f (x0) , ou ainda



∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que f A ∩ Bδ (x0 )

B ε f (x0 ) .

Observa¸c˜ ao: Decorre das propriedades sobre limites os seguintes fatos: a) Se f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ), então f é fun¸caõ cont´ınua em x0 se e n R ´ somente se f i : A R e cont´ınua em x 0 . n b) Se f, g: A ao cont´ınuas em x0 e λ a o as R R s˜ R, ent˜ fun¸co˜es f + g, f g e λf são cont´ınuas em x0 . Além disso, se g(x0 ) = 0, então a fun¸caõ f /g é cont´ınua em x 0 .

⊂

⊂ → →



∈

Teorema 4.8: Sejam f : A Rn R m , g: B f (A) B. Se x0 A′ , y 0 B B ′ ,

⊂

⊂ → ∈ ∩

∈

lim f (x) = y 0

⊂ Rm → Rk tais que

e g é cont´ınua em y 0 ,

x→x0

ent˜ ao lim (g f )(x) = g(y0 ).

x→x0

◦

Prova: Seja ε > 0 dado. Como g é cont´ınua em y0 , existe µ > 0 tal que y B Bµ (y0 ) g (y) B ε (g(y0 )). Como limx→x0 f (x) = y 0 , existe δ > 0 tal que x Bδ (x0 ) x0 A f (x) Bµ (y0 ). Portanto,

∈ ∩ x

⇒

∈  ∈ \ { } ∩ ∈ \ { } ∩ ⇒ Bδ (x0 )

x0

A

⇒

∈

∈

y = f (x) Bµ (y0 )

e conseq¨ uentemente

∈ Bε (g(y0))

g(f (x))

Defini¸c˜ ao 4.9: Quando uma fun¸cão f é cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio, dizemos simplesmente que f é fun¸caõ cont´ınua.


35

Teorema 4.10: Seja f : Rn R m . Ent˜ ao as afirmativas abaixo s˜ ao equivalentes. a) f é fun¸cao ˜ cont´ınua; b) se A é aberto em R m f −1 (A) é aberto em R n ; c) se F é fechado em R m f −1 (F ) é fechado em Rn ;

→

⇒ ⇒

Prova: Provemos “(a) (b)”: Seja x0 f −1 (A). Ent˜ ao y 0 = f (x0 ) A. Como A é aberto, existe ε > 0 tal que B ε (y0 ) A. Como f é cont´ınua em x 0 , existe δ > 0 tal que f Bδ (x0 ) B ε (y0 ) A. Logo B δ (x0 ) f −1 (A). Reciprocamente, dado ε > 0 seja A = B ε (y0 ) com y 0 = f (x0 ). Como A é aberto, temos por hipótese f −1 (A) aberto. Logo existe δ > 0 tal que B δ (x0 ) f −1 (A). Portanto, f Bδ (x0 ) f f −1 (A) A. Provemos “(b) (c)”: Se F é fechado então A = F c é aberto. Pelo item (b) f −1 (A) = f −1 (F )c é aberto. Logo f −1 (F ) é fechado. Reciprocamente, se A é aberto, então F = A c é fechado. Pelo item (c) f −1(F ) = f −1 (A)c é fechado. Logo f −1 (A) é aberto.

⇔

∈

⊂

 ⊂ ⊂

∈

⊂

⊂

  ⊂   ⊂

⇔

Fun¸co ˜es Cont´ınuas e Compactos Os resultados a seguir são fundamentais, especialmente quando se tem em vista as aplica¸cões. Teorema 4.11: Seja f : Rn c˜ ao cont´ınua e K Rn conRm fun¸ junto compacto. Ent˜ ao f (K ) é conjunto compacto de R m .

→

⊂



Prova: Seja Aλ λ∈Λ uma cobertura qualquer de f (K ). Queremos verificar se ela admite uma subcobertura finita. Como f (K ) Aλ , temos

⊂

     ⊂ ⊂   ⊂       ⊂ ⊂

K

f −1 f (K )

f −1

f −1 (Aλ ).

Aλ =

λ



λ

−1

Como f é cont´ınua, segue que f (Aλ ) λ∈Λ é cobertura aberta de K. Como K é compacto, existem λ1 , . . . , λk tais que K f −1 (Aλ1 ) f −1 (Aλk ). Portanto,

···∪

k

f (K )

k

−1

f

i=1

k

−1

f (Aλi ) =

f f (Aλi )

i=1

∪

i=1

Aλi .


36

R ´ Corolário 4.12: Se f : Rn e fun¸cao ˜ cont´ınua e K compacto, ent˜ ao existe x, x K tais que

→ ∈ f (x) = min{f (x) ; x ∈ K }

{

e f (x) = max f (x) ; x

⊂

Rn ´ e

∈ K }.

Prova: Pelo teorema anterior f (K ) é compacto de R. Logo é fechado e limitado. Sendo limitado temos s = sup f (K ) < + e s = inf f (K ) > . Sendo fechado temos s f (K ) e s f (K ). Portanto, existem x, x K tais que s = f (x) e s = f (x).

−∞

∈

∈

∈

∞

Como conseq¨ uência dos resultados anteriores, temos o Teorema da equivalência das normas em R n . Teorema 4.13: Todas as normas em R n s˜ ao equivalentes Prova: Seja uma norma qualquer em Rn e 1 a norma 1 n definida por x 1 = x1 + + xn . Dado x R , temos

    | | ··· | | n

 

∈

n

 ⇒   ≤  | |  ≤   } ∈      x =

xi ei

x

i=1

xi ei

i=1



M x 1 ,

onde e1 , . . . , en é a base canônica de Rn e M = max ei ; i = 1, . . . , n . Seja K = x Rn ; x 1 = 1 e f (x) = x . Então f : Rn R é fun¸caõ cont´ınua (relativamente à norma 1 de n R ). Como K é fechado e limitado, e portanto compacto, segue do corolário anterior que existe x K tal que m: = f (x) = min f (K ). Observe que m > 0, pois se 0 = m = x x = 0. n Seja x um ponto qualquer de R . Então y = x/ x 1 K e

{ 

→

∈

m

≤ f (y) =

   x x 1

=

  ⇒

x ⇒ x1

 

  ∈

m x

 1 ≤ x.

Observa¸c˜ ao: Decorre do Teorema 4.13 e do Lema 4.6 que se uma fun¸caõ f : Rn R m é cont´ınua em rela¸caõ a determinada norma de ao será cont´ınua em rela¸cão a quaisquer outras normas Rn e R m , ent˜ n m de R e R . Como veremos no final deste cap´ıtulo, este resultado se estende para espa¸cos vetoriais de dimensão finita, mas não vale em geral para espa¸cos de dimensão infinita.

→


37

Fun¸co ˜es Cont´ınuas e Conjuntos Conexos Sabemos da Análise Real que se f : [a, b] e fun¸cão cont´ınua satisR´ fazendo f (a) < 0 < f (b) (ou f (a) > 0 > f (b)), então existe x 0 ]a, b[ tal que f (x0 ) = 0, isto é, f possui uma ra´ız entre a e b. Este resultado, conhecido como Teorema do Valor Intermediário , se generaliza para o caso vetorial usando-se o conceito de conjunto conexo .

→

∈

Rn ´ Defini¸c˜ ao 4.14: Um conjunto B e dito conexo se para todo A1 e A 2 abertos tais que B A 1 A2 e B Ai = , i = 1, 2, tem-se A1 A2 = .

⊂ ⊂ ∪

∩  ∅

∩  ∅

Teorema 4.15: Se f : Rn junto conexo, ent˜ ao f (B)

˜ cont´ınua e B ⊂ Rn con→ mRm é fun¸cao ⊂ R é conjunto conexo. Prova: Sejam A1 e A2 abertos de Rm tais que f (B) ⊂ A1 ∪ A2 e f (B) ∩ Ai  = ∅, i = 1, 2. Então B ⊂ f −1 (f (B)) ⊂ f −1 (A1 ∪ A2 ) = f −1 (A1 ) ∪ f −1 (A2 ). Como f é cont´ınua e A i é aberto, segue que f −1 (Ai ) é aberto. Além disso, se y f (B) Ai , então existe x B tal que y = f (x). Por defini¸cão, x f −1 (Ai ) e portanto B f −1 (Ai ) = . Como B é conexo, f −1 (A1 ) f −1 (A2 ) = . Portanto f −1 (A1 A2 ) = A1 A2 = . Logo f (B) é conexo.

∩

∈ ∈

∩  ∅

∩

∈

 ∅ ∩  ∅ ⇒ ∩  ∅

Conjuntos Convexos e Fun¸c˜ oes Convexas Defini¸c˜ ao 4.16: Um subconjunto A de um espa¸co vetorial V é dito convexo se, para todo x, y A temos

∈ λx + (1 − λ)y ∈ A, ∀λ ∈ ]0, 1[. Defini¸c˜ ao 4.17: Uma fun¸caõ f : A ⊂ V → R é dita convexa se A é convexo e para todo x, y ∈ A, vale a desigualdade f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ ]0, 1[. Lema 4.18: Seja f : A ⊂ V → R uma fun¸cao ˜ convexa. Se x1 , x2 , . . . , xk ∈ A e λ1 , λ2 , . . . , λk ∈]0, 1[ s˜ ao tais que λ 1 + ··· + λk = 1,



ent˜ ao




38

   ≤ k

f

k

λi xi

i=1

λi f (xi ).

i=1

Prova: Veja Exerc´ıcios. Teorema 4.19: Toda fun¸c˜ ao convexa f : Rn

→ R é cont´ınua.

Prova: Faremos a prova em quatro etapas. Etapa 1: Se f (0) = 0, então 0 sup f (x) ; x 1 1 < + . ´ claro que 0 = f (0) E sup f (x) ; x 1 1 . Vamos mostrar inicialmente que sup f (x) ; x 1 = 1 < + . Seja

    ≤ ∞    ≤      ∞ ≤  − −  ≤

b = max f (e1 ), . . . , f ( en ), f ( e1 ), . . . , f ( en ) ,

onde e1 , e2 , . . . , en é a base canônica de R n . Se x Rn é um vetor unit´ ario, isto é, x 1 = 1, definimos, para i = 1, . . . , n,

{

}  

∈

ai =



| |

xi / xi 1

se x i = 0, se x i = 0 .



Então, os vetores ui definidos por ui = ai ei são vetores unitários. Como n

x =

| |

xi ui ,

i=1

|x1 | + ··· + |xn| = 1, conclu´ımos do Lema 4.18 que n

f (x)

 ≤ | |

xi f (ui )

i=1



≤ max



 ≤

f (u1 ), . . . , f ( un )



b.

  ≤ ∞ ∈   ≤    − 

(4.1)

Suponhamos que sup f (x) ; x 1 1 = + . Então, para cada k N, existe xk na bola unitária B = x R n ; x 1 1 tal que f (xk ) k. Em particular, como x k = 0, podemos considerar o vetor unit´ ario xk = x k / xk 1 . Como xk = xk 1 xk + (1 xk 1 )0, segue da convexidade de f que

∈

k

≥

 



≤ f (xk ) ≤ xk 1f (xk ) + (1 − xk 1)f (0) ≤ f (xk ), ∀k ∈ N.


{

39

 

}

∞

Logo sup f (x) ; x 1 = 1 = + , e temos uma contradi¸cão com (4.1). Etapa 2 : Suponhamos f (0) = 0. Então f é cont´ınua em x = 0. De fato, se f 0 em B, n˜ ao h´ a nada a provar. Suponhamos ent˜ ao f 0 em B. Segue da etapa 1 que 0 < a: = sup f (x) ; x B < + . Dado 0 < ε < a, seja δ < ε/a. Se x 1 < δ , então x/δ 1 < 1 e f (x/δ ) a. Como podemos escrever x = δ (x/δ ) + (1 δ )0, temos da convexidade

≡

≡ ∞ 

−

 

≤



∈

≤ δf (x/δ ) + (1 − δ )f (0) ≤ δa < ε.

f (x)



(4.2)

Seja λ = δ/(1 + δ ). Então 0 < λ < 1 e temos a combina¸caõ convexa λ

−  x δ

+ (1

− λ)x = 0.

Pela convexidade, 0 = f (0)

≤ λf

−  x δ

+ (1

− λ)f (x) ≤ λa + (1 − λ)f (x)

e conclu´ımos que f (x)

≥ −δa > −ε.

(4.3)

De (4.2) e (4.3) conclu´ımos

|f (x)| < ε 

se

x1 < δ.

Etapa 3 : Se f (0) = 0. Neste caso, g(x) = f (x) f (0) é fun¸cão convexa que se anula em x = 0. Pelas etapas anteriores, g é cont´ınua em x = 0, o mesmo valendo para f . Etapa 4: O caso geral. Seja x0 R n . Ent˜ ao g (x) = f (x + x0 ) é fun¸caõ convexa. Portanto, etapas anteriores, g é cont´ınua em x = 0. Segue que f é cont´ınua em x = x 0 .

∈

−


40

Continuidade Uniforme Vimos anteriormente que uma fun¸cão é cont´ınua quando é cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio. Podemos dizer, portanto, que a continuidade é um conceito local . Isso se expressa na defini¸caõ, pelo fato de que, para cada ε e para cada x, δ = δ (ε, x) depende de épsilon e do ponto x. A defini¸cão que introduzimos a seguir expressa um conceito global de continuidade—a continuidade uniforme. Defini¸c˜ ao 4.20: Seja A Rn e f : A caõ. Dizemos Rm uma fun¸ que f é uniformemente cont´ınua em A se ε > 0 existe δ > 0 tal que se x, y A x y < δ , então f (x) f (y) < ε. Exemplo: A fun¸cão f : R e R definida por f (x) = 1/(1 + x 2 ) ´ uniformemente cont´ınua em R . ´ claro que toda fun¸caõ uniformentente cont´ınua é cont´ınua em seu E dom´ınio. Mas a rec´ıproca é falsa. Considere por exemplo f (x) = x 2 .

⊂

∈  − 

→



→ ∀ − 

Defini¸c˜ ao 4.21: Uma fun¸cão f : A Rn cont´ınua em A se existe M > 0 tal que

⊂

f (x) − f (y) ≤ M x − y ,

→ Rm é dita Lipschitz∀x, y ∈ A.

´ fácil ver que toda fun¸caõ Lipschitz-cont´ınua é uniObserva¸c˜ ao: E ´ f´ formemente cont´ınua. E acil ver também, como conseq¨ uência imediata do Teorema do Valor Médio, que toda fun¸cão derivável f : R R cuja derivada é limitada em R , é Lipschitz-cont´ınua.

→

Proposi¸ ca õ 4.22: Seja f : Rn Lipschitz-cont´ınua.

{

→ R m uma fun¸cão linear. Então f é 



}

{

}

Prova: Seja M = max f (e1 ) , . . . , f (en ) , onde e1 , . . . , en é a base canônica de Rn . Ent˜ ao, se x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ), temos n

 ≤ |

f (x) − f (y)

i=1

xi

− yi|f (ei) ≤ M x − y1

e a conclusão segue da equivalência das normas de Rn . As fun¸cões Lipschitz-cont´ınuas são casos particulares das H¨ oldercont´ınuas, cuja defini¸cão é a seguinte.


41

Rm ´ Defini¸c˜ ao 4.23: Seja 0 < α 1. Uma fun¸ caõ f : A Rn e dita H¨ older-cont´ınua de ordem α em A se existe M > 0 tal que

≤

⊂

f (x) − f (y) ≤ M x − yα,

→

∀x, y ∈ A.

Exemplo: A fun¸cão f : [0, [ R definida por f (x) = xα , com 0 < α < 1 é Hölder-cont´ınua em [0, [. ´ claro que toda fun¸caõ Hölder-cont´ınua é uniformemente cont´ınua. E

∞→

∞

Observa¸c˜ ao: Os conceitos de continuidade uniforme, Lipschitz-continuidade e Hölder-continuidade são invariantes para normas equivalentes; são portanto independentes das normas que estejam fixadas em R n e R m .

⊂

Teorema 4.24: Toda fun¸c˜ ao cont´ınua definida num compacto K n R ´ e uniformemente cont´ınua.

∈

Prova: Seja x K e ε > 0. Como f é cont´ınua, existe δ x > 0 tal que se y Bδx (x) então f (y) f (x) < ε/2. Como K x∈K B δx /2 (x), segue da compacidade que existem x 1 , x2 , . . . , xk em K tais que

∈



−



⊂



k

 ⊂

K

Bδxi /2 (xi ).

(4.4)

i=1

{

}

∈

Seja δ = min δ x1 /2, δ x2 /2, . . . , δx k /2 Entã o, se x, y K são tais que x y < δ , segue de (4.4) que x Bδxi /2 (xi ), para algum i. Portanto,

 − 

∈

y − xi ≤ y − x + x − xi  < δ + δ x /2 ≤ δ x ⇒ y ∈ Bδ Logo, y − x < δ ⇒ f (x) − f (y) < ε e temos o resultado. i

i

xi

(xi ).

Espa¸cos Vetoriais de Dimensão Finita As defini¸cões e os resultados anteriores se estendem aos espa¸cos vetoriais de dimensão finita via os isomorfismos naturais. De fato, se V é um espa¸co vetorial de dimensão n, seja u1 , . . . , un uma base de V . Podemos considerar o isomorfismo T : Rn V definido por

{

→

}


42

T (ei ) = u i , i = 1, . . . , n, onde e1 , . . . , en é a base canônica de Rn , que induz a V as propriedades de R n . A t´ıtulo de exemplo, consideremos a extens˜ ao do Teorema 4.13 aos espa¸cos vetoriais reais de dimensão finita.

{

}

Teorema 4.25: Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita. Ent˜ ao todas as normas de V s˜ ao equivalentes.

{ →

}

Prova: Suponhamos n a dimens˜ a o de V e seja u1 , . . . , un uma base de V . Consideremos o isomorfismo T : Rn V definido por T (ei ) = u i , i = 1, . . . , n, onde e1 , . . . , en é a base canônica de R n . Se ao duas normas de V , sejam respectivamente ∗ e ∗∗ s˜ α e n caõ (2.5). O Teorema β as normas de R induzidas por T pela rela¸ 4.13 garante que estas normas são equivalentes em Rn . A equivalência das normas de V é conseq¨ uência do Teorema 2.8.

{

    

}

 

De um modo geral, sejam V e W espa¸cos vetoriais de dimensão finita e f : V W , T : V cões Rn e S : V Rm isomorfismos. As defini¸ anteriores se estendem naturalmente a V e W e os resultados podem ser induzidos pelo diagrama

→

→

→

f −−−−−−→

V T



T −1

S −1

g −−−−−−→

Rn

W



S

Rm

O Espa¸co Vetorial das Transforma¸c˜ oes Lineares Sejam V e W dois espa¸cos vetoriais de dimensão finita e consideremos o conjunto de todas as transforma¸co˜es lineares de V em W :

L(V, W ) =



T : V

→ W ; T



é linear .

L(V, W ) é espa¸co vetorial se munido das opera¸cões usuais de soma de

fun¸co˜es e produto por escalar. Além disso, se dim V = n e dim W =


L

43

m, então dim (V, W ) = mn. De fato, fixadas bases em V e W , (V, W ) pode ser identificado a m×n via isomorfismo natural. Em particular, decorre do Teorema 2.8 que (V, W ) é espa¸co vetorial normado com todas as normas equivalentes.

L

M

L

Nota: Se V ou W são espa¸cos vetoriais normados de dimensão infinita, a situa¸cão é muito mais complicada pois, contrariamente ao caso finito, existem transforma¸cões lineares de V em W que n˜ ao são cont´ınuas. A maneira natural de se introduzir uma norma em (V, W ) é a seguinte (veja Exerc´ıcio 4.13): se T (V, W ), definimos T L(V,W ) = sup T x W ; x V = 1 . (4.5)

L

∈L



 

  

O Teorema de Ponto Fixo de Banach

⊂



→

Seja V um espa¸co vetorial normado, A V e f : A V uma fun¸cão. Defini¸c˜ ao 4.26: Dizemos que f é uma contra¸c˜ ao em A se existe 0 α < 1 tal que

≤

f (x) − f (y)V ≤ αx − yV , ∀x, y ∈ A. Defini¸c˜ ao 4.27: Dizemos que x ∈ V é um ponto fixo para uma fun¸caõ f : V → V se f (x) = x.

Teorema 4.28: Seja V um espa¸co de Banach relativamente à norma V é uma contra¸c˜ ao em V , ent˜ ao f possui um u ´ nico V . Se f : V ponto fixo.



→

∈

Prova: Seja x 0 V e considere a seqüência definida implicitamente por x k+1 = f (xk ), k 0. Então,

∀ ≥ xk+1 − xk V = f (xk ) − f (xk−1 )V ≤ αxk − xk−1 V ≤ α2xk−1 − xk−2V ≤ ·· · ≤ αk x1 − x0 V . Portanto, se k, l ∈ N, temos (supondo k ≥ l) xk − xlV ≤ xk − xk−1 V + ··· + xl+1 − xl V ≤ αk−1 + αk−2 + ··· + αl x1 − x0V l ≤ 1 α− α x1 − x0 V .






44

∈ N tal que

Como α < 1, dado ε > 0, podemos escolher l 0 αl0 x1 1 α

−  − x0V < ε, de modo que se k, l ≥ l 0 então xk − xl V < ε. Logo {xk } é seq¨ uência de Cauchy em V e, portanto, converge para algum x ∈ V .

Para concluir que x é ponto fixo de f , basta observar que sendo f cont´ınua, segue do Teorema 4.3 que

  

x = lim xk+1 = lim f xk = f n→∞

n→∞

lim xk = f (x).

n→∞

Sendo a unicidade conseq¨ uência imediata da defini¸cão de contra¸caõ, conclu´ımos a prova. ´ oportuno observar que, se uma fun¸caõ f é uma conObserva¸c˜ ao: E tra¸caõ em V relativamente a uma norma ao ser contra¸caõ ∗ , pode n˜ em rela¸caõ a uma outra norma equivalente (veja exerc´ıcios).



Semicontinuidade O Corolário 4.12 estabelece a existência de máximos e m´ınimos para fun¸co˜es reais cont´ınuas definidas em conjuntos compactos de Rn . Este resultado, fundamental para as aplica¸cões, pode ser generalizado para fun¸co˜es descont´ınuas que satisfa¸cam certas propriedades que definiremos a seguir. Defini¸c˜ ao 4.29: Sejam f : A A′ . Definimos o Rn R e x0 limite inferior e o limite superior de f (x) em x0 (ou quando x se aproxima de x 0 ) respectivamente por:

⊂

→

  ∈ ∩ \ { }   ∩  \ { }   ∈ ∩ \ { }   ∩  \ { }

lim inf f (x) = lim inf f (x) ; x x→x0

r↓0

= lim inf f A r↓0

A

Br (x0 )

lim sup f (x) = lim sup f (x) ; x A x→x0

r↓0

= lim sup f A r↓0

∈

Br (x0 )

(Br (x0 )

x0 )

x0

(Br (x0 ) x0

x0 )


45

´ fácil ver que Observa¸c˜ ao: E

−∞ ≤ liminf f (x) ≤ limsup f (x) ≤ + ∞ x→x x→x 0

0

e que, se f é fun¸cão limitada, então o limite inferior e o limite superior sempre existem. Exemplo: liminf x→0 sen(1/x) =

−1 e limsupx→0 sen(1/x) = 1.

Lema 4.30: f possui limite em x0 se e somente se o limite inferior e o limite superior de f s˜ ao iguais. Mais precisamente, l = lim f (x) x→x0

inf f (x) = limsup f (x) = l. ⇐⇒ lim x→x x→x 0

0

Prova: Suponhamos lim inf x→x0 f (x) = limsupx→x0 f (x) = l e se jam l(r) = inf f A Br (x0 ) x0 (4.6) L(r) = sup f A Br (x0 ) x0

 ∩  ∩

Então, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < r < δ

⇒

l

 

\{ } \{ }

− ε < l(r) ≤ L(r) < l + ε.

Além disso, segue de (4.6) que



l



− ε < l(r) ≤ f (x) ≤ L(r) < l + ε, ∀x ∈ A ∩ Br (x0) \ {x0} . Portanto, se x ∈ A e 0 < x − x 0  < δ , ent˜ ao | f (x) − l | < ε e

conclu´ımos que l = limx→x0 f (x). Reciprocamente, suponhamos que l = limx→x0 f (x). Ent˜ ao, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

 − x0 < δ ⇒ |f (x) − l| < ε/2.

0 < x

Definindo-se l(r) como em (4.6), temos 0 < r < δ

⇒

l

− ε/2 ≤ l(r) < l + ε/2


46 e conclu´ımos que l = lim l(r) = lim inf f (x). x→x0

r↓0

O mesmo argumento mostra que l é o limite superior de f em x 0 . Defini¸c˜ ao 4.31: Seja f uma fun¸cão real definida em A Rn e x0 A A′ . Dizemos que f é semicont´ınua inferiormente (sci) em x0 se f (x0 ) lim inf f (x).

⊂

∈ ∩

≤

x→x0

Analogamente, dizemos que f é semicont´ınua superiormente (scs) em x0 se f (x0 ) lim sup f (x).

≥

x→x0

Em particular, como consequência imediata do lema 4.30, temos: Corolário 4.32: Um fun¸c˜ ao real f definida em A R n é cont´ınua ′ em x 0 A A se e somente se é semicont´ınua inferiormente e superiormente em x 0 .

⊂

∈ ∩

Proposi¸ ca õ 4.33: Seja f uma fun¸cao ˜ real definida em A Rn ′ e x0 A A . Ent˜ ao f é semicont´ınua inferiormente em x0 se e somente se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que

⊂

∈ ∩

∈

 − x0 < δ ⇒

x A e x

f (x) > f (x0 )

− ε.

Prova: Se f é sci em x 0 , então f (x0 )

≤ l = lim inf f (x) = lim l(r), x→x r↓0

(4.7)

0

onde l(r) é definido por (4.6). Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < r < δ , então l ε < l(r) < l + ε. Em particular, se x A e x x0 < r, então l(r) f (x). Portanto, se x A e x x0 < δ , podemos escolher r > 0 tal que x x0 < r < δ e

 − 

∈

∈

 − 

f (x0 )

 − 

− ε ≤ l − ε ≤ l(r) ≤ f (x).

−

≤


47

≥ ≥

− ∀ ∈ ∩ − ∀

Reciprocamente, se f (x) f (x0 ) ε x A Bδ (x0 ), então l(r) = inf f (x) ; x A Br (x0 ) f (x0 ) ε, r < δ . Como l(r) é fun¸caõ decrescente, segue que





∈ ∩

f (x0 )

− ε ≤ l(r) ≤ lim l(r) = lim inf f (x). x→x r↓0

(4.8)

0

A conclus˜ ao segue fazendo-se ε 0 em (4.8).

↓

Defini¸c˜ ao 4.34: Uma fun¸cão real f : A e dita semiRn R ´ cont´ınua inferior (sci ) se for semicont´ınua inferiormente em cada ponto de A. Analogamente, dizemos que f é semicont´ınua superior (scs ) se for semicont´ınua superiormente em cada ponto de A.

⊂

→

Teorema 4.35: f : Rn e fun¸c˜ ao sci se e somente se para todo R ´ −1 α R, f ]α, + [ é aberto em R n .

∈



∞

→





Prova: Suponha f sci. Se x0 f −1 ]α, + [ , então f (x0 ) > α. Considere ε > 0 tal que f (x0 ) ε > α. Como f é sci, segue da Proposi¸cão 4.33 que existe δ > 0 tal que x x0 < δ implica f (x) > f (x0 ) ε. Logo

∈ −

∞  − 

− x − x0  < δ ⇒ f (x) > f (x0) − ε > α ⇒ f (x) ∈ ]α, +∞[. o que implica que Bδ (x0 ) ⊂ f −1 ]α, +∞[ . Reciprocamente, se x0 ∈ Rn e ε > 0, considere α = f (x0 ) − ε e I = ]α, +∞[. Por hip´ otese f −1(I ) é conjunto aberto de Rn . Logo, existe δ > 0 tal que B δ (x0 ) ⊂ f −1 (I ). Portanto, x − x0  < δ ⇒ f (x) ∈ I ⇒ f (x) > f (x0) − ε.





Corolário 4.36: f : Rn R é fun¸cao ˜ scs se e somente se para todo 1 − α R, f ] , α[ é aberto em Rn .

∈

 −∞  →

O resultado a seguir generaliza o Corolário 4.12. Teorema 4.37: Seja f : Rn c˜ ao sci e K R fun¸ Rn conjunto compacto. Ent˜ ao existe x 0 K tal que f (x0 ) = min f (K ).

∈

→

⊂

Prova: Faremos a prova em duas etapas: Etapa 1: Provemos que inf f (K ) > .

−∞


48

∈ K existe δ x > 0 tal que y − x < δ x ⇒ f (y) > f (x) − 1.

De fato, como f é sci, para todo x

 

´ claro que Bδ (x) E é cobertura aberta de K . Portanto existem x x∈K x1 , . . . , xk K tais que

∈

k

 ⊂

K

Bδxj (xj ).

j =1

{

} ∈ − ≥ − ∈ ∈ ∈

 −  ≤ ∈

Seja m = min f (x1 ), . . . , f ( xk ) . Se y K , então y xj < δ xj , para algum j e f (y) > f (xj ) 1 m 1. Etapa 2: Provemos que existe x0 K tal que f (x0 ) f (x) para todo x K . Seja l = inf f (K ) (l R pela etapa 1) e suponha l / f (K ). Então l < f (x), x K . Para cada x K , considere lx R tal que l < lx < f (x) e defina I x = ]lx , + [. Então f −1 (I x ) x∈K é cobertura aberta de K . Como K é compacto, existem, x1 , x2 , . . . , xk tais que

∈

∈ ∞

∀ ∈



  ⊂ k

K

f −1 (I xj )

j =1

Seja l = min lx1 , . . . , lxk . Então l > l e se x K , então f (x) I xj para algum 1 j k, o que implica f (x) > lxj l > l. Portanto

{ } ∈ ≤ ≤ ≥ f (x) ≥ l > l ∀x ∈ K ⇒ inf f (K ) ≥ l > l

∈

e temos uma contradi¸cão. Corolário 4.38: Seja f : Rn c˜ ao scs e K R fun¸ Rn conjunto compacto. Ent˜ ao existe x 0 K tal que f (x0 ) = max f (K ).

∈

→

⊂

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 4.1. Sejam f 1 e f 2 duas fun¸co˜es de Rn em R e considere g: Rn R definida por g (x) = max f 1(x), f 2 (x) . Prove se verdadeira ou dê contra-exemplo se falsa:

→

{

}


49

a) Se f 1 e f 2 são cont´ınuas, então g é cont´ınua. b) Se g é cont´ınua, então f 1 e f 2 são cont´ınuas. c) Sejam f 1 , f 2 , . . . , f k fun¸cões cont´ınuas de R n em R. Defina f por f (x) = max f 1 (x), . . . , fk (x) . 1≤i≤k

{

}

As mesmas afirmativas de (a) e (b). Exerc´ıcio 4.2. Demonstre os Teoremas 4.3, 4.4, o Corolário 4.5 e os Lemas 4.6 e 4.18. Exerc´ıcio 4.3. Diz-se que uma fun¸caõ f : Rn e aberta se f (U ) Rm ´ m n é aberto de R para todo U R aberto. Seja f : Rn Rn uma fun¸caõ invers´ıvel tal que f −1 é cont´ınua. Mostre que f é aberta.

→

⊂

→

Exerc´ıcio 4.4. a) Sejam A e B subconjuntos de Rn e f : A B uma fun¸cão bijetora. Se A é compacto e f é cont´ınua, mostre que f −1 : B A é cont´ınua. b) Sejam A e B subconjuntos abertos de Rn e f : A B uma −1 fun¸caõ bijetora e cont´ınua. Mostre que f : B A é cont´ınua. c) Dê exemplo com A, B R e f : A B bijetora e cont´ınua tal −1 que f : B A não é cont´ınua. Fa¸ca o mesmo com A, B R2 .

−→

⊂

−→

−→

−→

−→

−→

Exerc´ıcio 4.5. Seja f : Rn

→ R uma fun¸cão cont´ınua tal que lim f (x) = + ∞. x→ +∞

⊂

(4.9)

Mostre que existe x0 Rn tal que f (x0 ) f (x), x Obs.: Se f satisfaz (4.9), dizemos que f é coerciva .

∈

∀ ∈ Rn.

≤

Exerc´ıcio 4.6. Mostre que a fun¸cão f : [0 , ) R definida por α f (x) = x , com 0 < α < 1 é Hölder cont´ınua de ordem α.

∞ →

Exerc´ıcio 4.7. Considere f : [0, 1/e] f (x) =



0 1/

√ − ln x

→ R definida por se x = 0 se 0 < x

≤ 1/e

Mostre que f é uniformemente cont´ınua mas não é Hölder-cont´ınua.


50

Exerc´ıcio 4.8. a) Mostre que se A Rn é um conjunto aberto e convexo e f : A e uma fun¸caõ convexa, então f é cont´ınua. Mostre que o R ´ resultado é falso se A n˜ ao for aberto. R fun¸ b) Seja f : [a, b] cão convexa. Mostre que f é semicont´ınua superiormente em [a, b]. c) Dê um exemplo de uma fun¸cão convexa definida na bola B = x 1 que não seja semicont´ınua superiormente R2 ; x 2 em B .

⊂

→

→

{ ∈

  ≤ }

{ ∈ Rn | f (x) ≤ r} é

Exerc´ıcio 4.9. Prove que o conjunto N r = x convexo se f é fun¸caõ convexa.

Exerc´ıcio 4.10. Seja Ω R n um conjunto aberto e convexo. Uma fun¸caõ f : Ω ]0, [ é dita log-côncava em Ω se a fun¸caõ log f (x) é côncava em Ω. a) Prove que toda fun¸cão log-côncava é cont´ınua. b) Prove que f é log-côncava f λx+ (1 λ)y f (x)λ f (y)(1−λ) , x, y Rn , λ [0, 1]. c) Prove que o conjunto N r = x R n f (x) r é convexo se f é log-côncava. d) Toda fun¸ caõ log-côncava é côncava? Toda fun¸cão côncava é logcôncava?

⊂

→ ∞

∀ ∈

 



⇔ { ∈

∀ ∈

−

|

≥

≥ }

Exerc´ıcio 4.11. Seja f : Rn R uma fun¸cão estritamente convexa , isto é, f tx1 +(1 t)x2 < tf (x1 )+(1 t)f (x2), para todo x1 , x2 Rn e para todo t ]0, 1[. Mostre que se f é coerciva (veja (4.9)), então existe um u ´ nico x 0 Rn tal que f (x0 ) f (x), x Rn .



∈

−

∈

→



−

∈

≤

∀ ∈

⊂ Rn conjunto convexo e fechado. a) Mostre que ∀x ∈ R n , existe um único y ∈ C tal que x − y 2 ≤ z − x2, ∀z ∈ C .

Exerc´ıcio 4.12. Seja C

(y = P C (x) é denominado a proje¸c˜ ao ortogonal de x sobre C . Temos assim definida a aplica¸cão P C : Rn x

b) Mostre que y = P C (x)

→ Rn →  P C (x) ⇐⇒ x − y ; z − y ≤ 0, ∀z ∈ C .

(4.10)


51

c) Use o item (b) para mostrar que P C satisfaz





P C (x) − P C (y)22 ≤ x − y; P C (x) − P C (y)

e conclua que P C é Lipschitz-cont´ınua em Rn . d) Verifique que os argumentos dos itens anteriores continuam válidos para qualquer norma que provenha de um produto escalar. e) Mostre que x R n , existe (não necessariamente único) y C tal que x y 1 z x 1 , z C . Analogamente, existe (n˜ ao necessariamente único) y C tal que x y ∞ z x ∞ , z C .

∀ ∈

∀ ∈  −  ≤  −  ∀ ∈ ∈

∈  −  ≤  − 

m Exerc´ıcio 4.13. Considere Rn munido da norma ∗ e R n munido da norma ( Rm , • ) definida por • . Seja f : (R , ∗) f (x) = Ax, onde A é matriz (m n). Defina

 

  →



 

× M A = sup{f (x)• ; x∗ = 1}, mA = inf {C ≥ 0; f (x)• ≤ C x∗ }. 1. Prove que M A = mA = f (x0 )• para algum vetor unitário x0 ∈ Rn ;



2. Prove as seguintes propriedades: a) M A+B M A + M B ; b) M λA = λ M A ; c) M A 0 e M A = 0 A = 0. d) Mostre que se m = n e ao M AB M A M B . • = ∗ , ent˜ Em particular, se A é invers´ıvel, então M A 1 1/M A . 3. Calcule M A nos seguintes casos: a) A: (Rn , ∞ ) (Rm , ∞ ) b) A: (Rn , 1 ) ( Rm , 1 ) c) A: (Rn , 1 ) ( Rm , ∞ ) Defini¸cão: Denotando

≥

≤ ||

  →  →  →

⇐⇒ ·

·

−

≥

≤

  

A = M A,

(4.11)

temos definida uma norma no espa¸co vetorial das matrizes e vale a desigualdade Ax • A x ∗ x Rn . A norma definida por (4.11) é denominada norma induzida pelas normas ∗ e •

  ≤    ∀ ∈

   


52

Exerc´ıcio 4.14. Se V é um espa¸co vetorial normado, o espa¸co das fun¸co˜es lineares cont´ınuas de V em R, é denominado espa¸co dual de V e denotado por V ′ . Seja V = Rn munido da norma [1, + ]. Mostre que V ′ p , com p n pode ser identificado a R e, para todo y R n , y V = y q , onde q [1, + ] satisfaz 1/p + 1/q = 1 (q = 1 se p = + e vice-versa).



∈

∞

∈ ∞ ∈   ∞

 

′

× n e defina a fun¸cão f : Rn → Rm

Exerc´ıcio 4.15. Seja A matriz m por f (x) = Ax. Mostre que

⇐⇒ ∃k > 0 tal que f (x) ≥ k x , ∀x ∈ Rn . Exerc´ıcio 4.16. Seja M2 o espa¸co das matrizes quadradas 2 × 2 a f é injetora

coeficientes reais, com alguma norma. Seja det:



M2

a11 a21

a12 a22

−→ → 



R

a11 a22

− a21a12

a) Mostre que det é cont´ınua. b) Mostre que S = A e aberto e não conexo. 2 ; det A = 0 ´ c) Seja f : S cão definida por f (X ) = X −1 . Mostre que 2 a fun¸ f é cont´ınua em S . Sug.: X −1 X 0−1 = X −1 (X 0 X )X 0−1 .

→ M

{ ∈ M

 }

−

−

Exerc´ıcio 4.17. Seja f : Rn cão cont´ınua e defina Rm fun¸ n x R ; f (x) = 0 . Mostre que (f ) é fechado em Rn .

 ∈

→




Z

Z (f ) =

→ R cont´ınua em 0 e tal que f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Rn . Mostre que existe a ∈ Rn tal que f (x) = a; x, ∀x ∈ Rn . Exerc´ıcio 4.19. Seja f : Rn → R cont´ınua tal que para todo x, y ∈ n R ,

f

 ≤ x+y 2

f (x) + f (y) . 2

Mostre que f é convexa.

Exerc´ıcio 4.20. Seja f : Rn caõ e considere seu Rm uma fun¸ gráfico G(f ) = (x, y) Rn+m ; y = f (x), x Rn .

−→

{

∈

∀ ∈ }


53

a) Mostre que se f é cont´ınua, então G(f ) é fechado em R n+m . b) Mostre que se G(f ) é fechado e f é limitada, então f é cont´ınua. Rn+m ; y = f (x), x c) Considere G(f K ) = (x, y) K . Mostre que se f é cont´ınua e K é compacto em Rn , então G(f K ) é compacto em R n+m .

|

{

∈


∀ ∈ } |

−→ Rn tal que f k = f ◦ f ◦ · · · ◦ f é

   k vezes

uma contra¸caõ. Mostre que f possui um único ponto fixo. Exerc´ıcio 4.22. Verdadeiro ou falso? 1) f e g contra¸cões f g contra¸caõ. 2) f f contra¸cão f contra¸cão.

⇒ ◦ ⇒

◦

Exerc´ıcio 4.23. Seja f (x, y) = ( x3 y4 + 3 , x2 + y2 8). Mostre que f n˜ ao é contra¸cão na norma e contra¸cão na norma ∞ mas ´ 1. Portanto f possui um u ´ nico ponto fixo. Calcule-o.

 

Exerc´ıcio 4.24. Seja g: [a, b] f : X [a, b]. Mostre que

→

−

−

 

→ R fun¸caõ cont´ınua e crescente e

  



sup g f (x) = g sup f (x) . x

Exerc´ıcio 4.25. Seja f : R A R conjunto limitado. a) Mostre que

⊂

sup f (x) x∈A

x

→ R uma fun¸cão monótona crescente e

≤ f (sup A)

e

≤ x∈A inf f (x).

f (inf A)

b) Mostre que se f é sci então sup f (x) = f (sup A). x∈A

{ }k seqüência de números reais e defina: lim inf sk = lim inf {sk , sk+1 , sk+2 , . . .}. k→+∞ k→+∞

Exerc´ıcio 4.26. Seja sk


54

Rn R, x0 Seja f : A A A ′ . Mostre que f é semicont´ınua inferiormente em x 0 se e somente se

⊂

→

f (x0 )

∈ ∩

≤ liminf f (xk ) ∀{xk }k ⊂ A tal que xk → x0 . k→+∞ ⊂

Exerc´ıcio 4.27. Prove usando argumento de seqüências que se K e compacto e f : Rn e fun¸cão sci, então existe x 0 K tal que Rn ´ R´ f (x0 ) = min f (x) ; x K .

→ ∈ }

{

∈

−∞

a) Prove que l = inf f (K ) > b) Prove que se l = inf f (K ) então l

{ }α uma fam´ılia de fun¸co˜es s.c.i. de Rn em

Exerc´ıcio 4.28. Seja f α R. Defina f : Ω R por:

→

∈ f (K ).

{ ∈ Rn;sup f α (x) < ∞} α ∀x ∈ Ω, f (x) = sup f α (x) α

Ω= x

a) Mostre que f é semicont´ınua inferiormente em Ω. b) Se f α é cont´ınua α, podemos concluir que f é cont´ınua? c) Se f α é fun¸cão convexa α, mostre que f é convexa.

∀

∀

5 Fun¸c˜ oes Diferenci´ aveis Vamos iniciar o estudo da diferenciabilidade no caso das fun¸cões reais de n variáveis, isto é, fun¸cões f : Rn R.

→

Derivadas Direcionais Defini¸c˜ ao 5.1: Seja x 0 Rn e u um vetor unitário de R n . Dizemos que f possui derivada direcional em x 0 na dire¸cão u se existe o limite

∈

f (x0 + λu) λ→0 λ lim

− f (x0 ) ,

denominado derivada direcional de f (em x0 na dire¸cão u) e denotada por: ∂f (x0 ). ∂u No caso em que u = e i é o i-ésimo vetor da base canônica, denotamos a derivada direcional na dire¸caõ de e i por ∂f (x0 ), ∂x i que denominamos derivada parcial de f em x 0 em rela¸cao ˜ a x i . Defini¸c˜ ao 5.2: Uma fun¸caõ f : Rn e dita Gateaux derivável em R´ x0 se f possui derivadas direcionais em x 0 em todas as dire¸co˜es u.

→

Observa¸c˜ ao: As derivadas direcionais podem parecer, à primeira vista, a generaliza¸caõ natural para a defini¸cão de derivada de uma


56

fun¸caõ real de uma vari´ avel. Entretanto, a existência das derivadas direcionais n˜ ao assegura a regularidade de f em torno de x0 , como no caso de uma variável (caso n = 1). De fato, contrariamente ao caso unidimensional, uma fun¸cão que é Gateaux-diferenciável num ponto x0 n˜ ao é necessariamente cont´ınua neste ponto. Por exemplo, consideremos f (x, y) =



xy 2 x2 + y 4 0



se (x, y) = (0, 0) senão

Figura 5.1 Se u = (u1 , u2 ) é um vetor unitário qualquer, então

−

∂f f (λu) f (0) (0, 0) = lim = λ→0 ∂u λ



u 22 u1 0

se u 1 = 0,



senão.

Entretanto, f n˜ ao é cont´ınua em (0, 0). De fato, f (t2 , t) = 1/2, t = 0.

∀

Fun¸co ˜es Diferenci´ aveis No que segue consideraremos Ω Rn um conjunto aberto, norma euclidiana de R n e f : Ω õ. R uma fun¸ca

⊂ →

  a

Defini¸c˜ ao 5.3: Dizemos que f é diferenciável (ou Fréchet-derivável) em x 0 Ω se existem fun¸co˜es L, εx0 : Rn R tais que

∈

→

f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + εx0 (h),

(5.1)

Fun¸c˜ oes Diferenciáveis

57

com L linear e ε x0 satisfazendo

|εx (h)| = 0. h→0 h  lim

0

(5.2)



Se εx0 (h) satisfaz (5.2), dizemos que ε x0 é fun¸caõ o( h ). Para simplificar a nota¸caõ, escreveremos simplesmente ε(h), deixando de explicitar a dependência de ε em x 0 . Se f é fun¸cão diferenciável em x0 , então a transforma¸caõ linear L é denominada diferencial de f em x0 (ou a derivada de Fréchet de f em x 0 ) e denotamos f ′ (x0 ). Exemplos 1: Consideremos f (x, y) = xy. Se h = (h1 , h2 ), então f (x0 + h1 , y0 + h2 ) = x 0 y0 + y0 h1 + x0 h2 + h1 h2 . Como L(h) = y 0 h1 + x0 h2 é linear e ε(h) = h1 h2 satisfaz

|ε(h)|/h ≤ h /2 → 0

→ 0,

se h

temos que f é diferenciável em (x0 , y0 ) e f ′ (x0 , y0 )(h) = y 0 h1 + x0 h2 . Exemplo 2: Consideremos f (x, y) = x/y, y = 0. Ent˜ ao podemos escrever



f (x0 + h1 , y0 + h2 ) =

x0 1 + 2 (y0 h1 y0 y0

0 h2 − y 0 h1 ) . − x0h2) + h 2(x 2 y (y0 + h2 ) 0

Como L(h) = (1/y02 )(y0 h1 x0 h2 ) é linear em h e a fun¸cão ε(h) = h2 (x0 h2 y0 h1 )/y02(y0 + h2 ) satisfaz

−

−



|ε(h)| ≤ x20 + y02 h → 0 h y02(y0 + h2)

se

h

→ 0,

temos que f é diferenciável em (x0 , y0 ) e f ′ (x0 , y0 )h =

1 (y0 h1 y02

− x0h2).

Exemplo 3: Seja f : Rn ao linear. Então f (x0 + h) = R uma fun¸c˜ f (x0 ) + f (h). Se considerarmos ε(h) = 0 para todo h Rn , então

→

∈


58

a identidade (5.1) fica satisfeita com L(h) = f (h), o que nos leva a concluir que f é diferenciável em x 0 e f ′ (x0 ) f . Exemplo 4: Consideremos f : Rn Então

≡

→ R definida por f (x) = x22.

f (x0 + h) = x0 + h 22 = x0 22 + 2x0 ; h + h 22 .

        Como a aplica¸cão h → 2x0 ; h é linear e ε(h) = h22 satisfaz |ε(h)| = h2 → 0 se h → 0, h 2 segue que f é diferenciável em x 0 e f ′ (x0 )(h) = 2x0 ; h.

O resultado a seguir estabelece a unicidade da diferencial de uma fun¸caõ. Lema 5.4: Se f é fun¸c˜ ao diferenciável em x0 diferenciais de f , ent˜ ao L 1 = L 2 . Prova: Suponhamos que para todo h

∈ Ω e L1 e L2 s˜ ao

∈ Rn,

f (x0 + h) = f (x0 ) + L1 (h) + ε1 (h) f (x0 + h) = f (x0 ) + L2 (h) + ε2 (h)

(5.3)



com L 1 e L 2 lineares e ε1 e ε 2 fun¸cões o( h ). Então, subtraindo a primeira identidade da segunda em (5.3), temos L1 (h)

− L2(h) = ε2(h) − ε1(h).

Considerando h = λei , onde λ > 0, temos

|ε2(λei)| . i )| |L1(ei) − L2(ei)| ≤ |ε1(λe + λ λ Fazendo λ tender a zero, conclu´ımos que L1 (ei ) = L2 (ei ) para i = 1, . . . , n. Portanto L 1 L 2 .

≡

Exemplo 5: Seja f : R2 f (x, y) =

→ R a fun¸cão definida por (veja Figura 5.2) |x|y se (x, y) = (0, 0),

 

x2 + y 2 0

senão.


59

´ f´ E acil ver (veja Exerc´ıcios) que f é cont´ınua e Gateaux-derivável em (0, 0). No entanto, f n˜ ao é diferenciável em (0, 0).

Figura 5.2 Exemplo 6: Seja f : R2 f (x, y) =

→ R a fun¸cão definida por (veja Figura 5.3) 2y |x|x2 se (x, y)  = (0, 0),



x4 + y 2 0

senão.

´ f´ E acil ver (veja Exerc´ıcios) que f é cont´ınua e Gateaux-derivável em (0, 0), com ∂f ario u R2 . No entanto, ∂u (0, 0) = 0 para todo vetor unit´ f n˜ ao é diferenciável em (0, 0).

∈

Figura 5.3 Proposi¸ ca õ 5.5: Se f é diferenciável em x 0 em x 0 .

∈ Ω, ent˜ ao f é cont´ınua


60

Prova: Segue da defini¸cão que f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + ε(h), onde ε(h) é o( h ). Portanto, existe δ 1 > 0 tal que se h < δ 1 , então



 

|ε(h)| < 1. h  Como L é linear, segue da Proposi¸caõ 4.22 que existe α 0 tal que L(h) α h , h Rn . Dado ε > 0, seja δ = min δ 1 , ε/(1 + α) . Então se x Ω é tal que x x0 < δ , temos

|

| ≤   ∀ ∈ { ∈  −  |f (x) − f (x0)| ≤ (1 + α)x − x0  < ε.

≥

}

O Vetor Gradiente Embora a existência das derivadas parciais de uma dada fun¸cão n˜ ao implique a sua diferenciabilidade, a diferencial quando existe, é dada pelas derivadas parciais, como veremos a seguir. Se L: Rn e fun¸cão linear, então existe b Rn tal que L(h) = R ´ b; h para todo h Rn . De fato, seja e1 , . . . , en a base canônica de R n e b i = L(ei ). Então,

 

→

∈

{

   n

L(h) = L

∈

}

n

hi ei =

i=1

 

hi bi = b; h .

i=1

Dizemos que b é a representa¸c˜ ao matricial de L relativamente à base canônica. Seja L = f ′ (x0 ) a diferencial de uma fun¸cão f . Então, L(h) = b; h para algum b Rn e para todo h Rn . Considerando h = λei temos da defini¸cão 5.3

∈

 

∈

−

f (x0 + λei ) f (x0 ) ε(λei ) = L(ei ) + . λ λ Fazendo λ tender a zero, conclu´ımos que f (x0 + λei ) λ→0 λ

L(ei ) = lim

− f (x0) =

∂f (x0 ). ∂x i


61

Nota¸ c˜ ao: O vetor de R n

∇f (x0 ) =



∂ f ∂f (x0 ), . . . (x0 ) ∂x 1 ∂x n



é denominado vetor gradiente de f em x0 e é tal que se f é fun¸caõ diferenci´ avel em x 0 , então f ′ (x0 )(h) =

∇



f (x0 ); h ,

∀h ∈ Rn.

Vale repetir que a existência do vetor gradiente não implica a diferenciabilidade de uma fun¸cão, mas se a fun¸caõ for diferenciável então o vetor gradiente é a representa¸cão matricial de f ′ (x0 ) relativamente à base canônica de R n . Observa¸c˜ ao: No caso unidimensional (n = 1), não existe distin¸caõ entre derivável no sentido de Gateaux e deriv´ avel no sentido de Fréchet. De fato, se f : R e derivável em x0 , então podemos R ´ escrever f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x + ε(∆x)

→

e a aplica¸cão linear ∆x f ′ (x0 )∆x fica unicamente determinada pela existência da derivada de f em x 0 .

→

Regras B´ asicas de Deriva¸c˜ ao Proposi¸ c˜ ao 5.6: Sejam f , g: Ω R duas fun¸c˜ oes diferenciáveis em x0 . Ent˜ ao a) f + g é diferenciável em x 0 e (f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ); b) f g é diferenciável em x 0 e (f g)′ (x0 ) = f (x0 )g ′ (x0 )+g(x0 )f ′ (x0 ); c) se g (x0 ) = 0 ent˜ ao f /g é diferenciável em x 0 e

→



(f /g)′ (x0 ) =

1 g(x0 )f ′ (x0 ) g(x0 )2





− f (x0)g′(x0 ) .

Prova: Faremos a demonstra¸cão de (b); os outros itens são deixados como exerc´ıcio para o leitor. Por hipótese temos; f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + ε1 (h), g(x0 + h) = g(x0 ) + G(h) + ε2 (h),


62

onde estamos denotando L = f ′ (x0 ) e G = g ′ (x0 ). Ent˜ ao podemos escrever f (x0 + h)g(x0 + h) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )G(h) + g(x0 )L(h) + E (h), onde









E (h) = f (x0 ) + L(h) ε2 (h) + g(x0 ) + G(h) ε1 (h) + + L(h)G(h) + ε1 (h)ε2 (h).

→

|

|

Como a aplica¸cão h f (x0 )G(h) + g(x0 )L(h) é linear e E (h) / h tende a zero quando h tende a zero, segue-se o resultado.

Observa¸c˜ ao: Usando a representa¸cão matricial para a diferencial, podemos expressar os três itens da Proposi¸caõ 5.6 por

∇(f + g)(x0 ) = ∇f (x0) + ∇g(x0 ) ∇(f g)(x0) = g(x0 )∇f (x0 ) + f (x0)∇g(x0 ) ∇(f /g)(x0) = g(x10 )2 g(x0)∇f (x0 ) − f (x0)∇g(x0 )





O Caso Geral Antes de definirmos a diferencial de uma fun¸cão f : Ω ´ lembremos alguns fatos básicos da Algebra Linear.

⊂ Rn → Rm,

Rm ´ Observa¸cão 1: Se L: Rn e uma transforma¸cão linear, fixadas n as bases canônicas de R e Rm , existe uma matriz m n A = [aij ] tal que L(x) = Ax, x Rn .

→

×

∀ ∈

Dizemos que A é a matriz associada à transforma¸cão L ou representa¸cão matricial (ou representa¸cão em coordenadas) de L relativamente à base canônica. Representaremos a matriz associada a uma transforma¸cão L por [L]. Observa¸cão 2: Se L1 : Rn ao duas transRm e L2 : Rm Rk s˜ n forma¸cões lineares, então podemos definir L 2 L1 : R Rk e

→

[L2 L1 ] = [L2 ][L1 ].

◦

→ ◦

→


63

Rm ´ Defini¸c˜ ao 5.7: Uma fun¸caõ f : Ω e dita diferenciável (ou Rm Fréchet-derivável) em x0 Ω se existem fun¸cões L, εx0 : Rn tais que f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + εx0 (h), (5.4)

→

∈

→

 εx (h) = 0. lim h→0 h 

com L linear e ε x0 fun¸cão o( h ), isto é, satisfazendo (5.5)

0

Para simplificar a nota¸cão, escreveremos simplesmente ε(h), deixando de explicitar a dependência de ε em x 0 . Se f é fun¸cão diferenciável em x0 , então a transforma¸caõ linear L é denominada a diferencial de f em x 0 (ou a derivada de Fréchet de f em x 0 ) que denotamos por f ′ (x0 ). Lema 5.8: Uma fun¸cao Rm , f = (f 1 , . . . , fm ˜ f : Ω ) é diferenciável R ´ em x0 se e somente se cada uma de suas componentes f i : Ω e diferenci´ avel em x 0

→

→

Prova: Se cada f i é diferenciável em x 0 , então existem fun¸cões L i e εi satisfazendo (5.1) tais que Li é linear e

|εi(h)| = 0. h→0 h lim

Sejam L = (L1 , . . . , Lm ) e ε = (ε1 , . . . , εm ). Então, é claro que f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + ε(h) e segue do Teorema 4.13 que

ε(h) ≤ C ε(h)1 = C m |εi(h)| → 0 h  h  h i=1



se

→ 0.

h

Reciprocamente, se f é diferenciável em x0 , então existem fun¸cões L = (L1 , . . . , Lm ) linear e ε = (ε1 , . . . , εm ) satisfazendo (5.4) e (5.5). Como cada L i é linear e

|εi(h)| ≤ ε(h)1 , h h  temos o resultado.


64

A Matriz Jacobiana Rm ´ Se f : Ω e uma fun¸cão diferenciável em x0 Ω, entã o sua diferencial (ou sua derivada de Fréchet) f ′ (x0 ) é uma transforma¸caõ linear de Rn em Rm . A matriz associada a f ′ (x0 ) relativamente às bases canônicas de R n e Rm é dada por

→

∈

    f ′ (x0 ) =

∂f 1 (x ) ∂x 1 0 .. . ∂f m (x ) ∂x 1 0

∂f 1 (x ) . . . ∂x 2 0 .. .. . . ∂f m (x ) . . . ∂x 2 0

∂f 1 (x ) ∂x n 0 ... ∂f m (x ) ∂x n 0

  

Observe que as linhas de [f ′ (x0 )] são formadas pelos gradientes de cada f i em x 0 . No caso em que m = n a matriz f ′ (x0 ) é denominada matriz Jacobiana de f em x0 . O seu determinante é denominado Jacobiano de f em x0 e o seu tra¸co é denominado Divergente de f em x0 , que denotamos respectivamente por

 

n

 

J f (x0 ) = det f ′ (x0 ) e

    

div f (x0 ) = tr f ′ (x0 ) =

i=1

∂f i (x0 ). ∂x i

Observa¸c˜ ao: Se J f (x0 ) = 0, então a matriz f ′ (x0 ) é invers´ıvel. Como f ′ (x0 ) aproxima f (x) f (x0 ) na vizinhan¸ca de x0 , seria razoável esperar que f também fosse invers´ıvel nas proximidades de x0 . De fato é quase isso, como veremos mais à frente no estudo do Teorema da Fun¸c˜ ao Inversa . O Jacobiano e o Divergente também desempenham papel importante na integra¸cão de fun¸co˜es de várias variáveis.



−

A Regra da Cadeia A regra para derivar fun¸cões compostas é tradicionalmente denominada Regra da Cadeia , embora em português talvez fosse mais intuitivo denominar regra da corrente , tendo-se em vista a analogia da regra com a composi¸cão dos elos que formam a corrente.


65

Teorema 5.9: (Regra da Cadeia) Sejam Ω subconjunto aberto de Rn e A subconjunto aberto de Rm . Suponha f : Ω Rm e g: A Rk duas fun¸coes ˜ tais que f (Ω) A. Se f é diferenciável em x0 e g é diferenci´ avel em y 0 = f (x0 ), ent˜ ao g f é diferenciável em x 0 e

⊂

→

→

◦

(g f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) f ′ (x0 ).

◦

◦

Em particular



   

(g f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) f ′ (x0 ) .

◦

Prova: Sejam L = f ′ (x0 ) e G = g ′ (y0 ). Então f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + εf (h) g(y0 + k) = g(y0 ) + G(k) + εg (k)

∀h ∈ Rn ∀k ∈ Rm

onde ε f e ε g satisfazem (5.5). Portanto, podemos escrever



    

g f (x0 + h) = g f (x0 ) + G L(h) + ε(h), onde ε: Rn Além disso,

→ Rk é definida por ε = G ◦ εf + εg ◦ (L + εf ).

 





ε(h) ≤ G εf (h)  + εg L(h) + εf (h)  . h  h  h  Pela Proposi¸caõ 4.22, podemos escrever

ε(h) ≤ α εf (h) + εg (k) k , h  h  k h onde k = L(h) + εf (h). Como k α h + εf (h) , temos

  ≤     ε(h) ≤ α εf (h) + εg (k) α + εf (h) . h h k  h e conclu´ımos o resultado, visto que k  → 0 quando h → 0.






66

O Teorema do Valor M´ edio O Teorema do Valor Médio se estende para o caso de fun¸cões de R n em R e sua demonstra¸cão é conseqüência direta da Regra da Cadeia, como se vê na prova do resultado a seguir. Teorema 5.10: Seja f : Rn R uma fun¸cao ˜ diferenciável e x 1 e x2 dois pontos de Rn . Ent˜ ao existe x sobre o segmento de reta que liga x1 a x2 tal que

→



f (x2 )



− f (x1) = ∇f (x); x2 − x1 . Prova: Consideremos γ : R → Rn a parametriza¸cão γ (t) = x1 + ´ fácil ver que γ é fun¸caõ t(x2 − x1 ) da reta que passa por x 1 e x 2 . E ′ diferenci´ avel e γ (t0 ) = x 2 − x1 para todo t 0 ∈ R. Seja g : R → R a fun¸cão real definida pela composi¸caõ g(t) = f γ (t) . Pelo Teorema 5.9, g é fun¸cão derivável e g ′ (t) = ∇f γ (t) ; x2 − x1 . Pelo Teorema do Valor Médio para fun¸co˜es reais de variável real, g(1) − g(0) = g ′ (t0 ) para algum t0 ∈ 0, 1 . Assim denotando por

 

x = γ (t0 ), segue o resultado.

     

Observa¸c˜ ao: O Teorema do Valor Médio não vale para fun¸co˜es n f : R ao vale para curvas em Rm , se m > 1. Em particular, n˜ m R .

→

Derivadas Parciais (o caso geral) Seja f : Rn cão diferenciável em x0 . Então a diferencial Rm uma fun¸ ′ f (x0 ) fica determinada pela matriz f ′ (x0 ) . Se Rn = Rk Rl e x = (y, z) = (y1 , . . . , yk , z1 , . . . , zl ), então podemos escrever

→ ×

     f ′ (x0 ) =

 

∂f 1 (x0 ) ∂y 1 .. . ∂f m (x0 ) ∂y 1

··· ..

.

···

∂f 1 (x0 ) ∂y k ... ∂f m (x0 ) ∂y k

∂f 1 (x0 ) ∂z 1 .. . ∂f m (x0 ) ∂z 1

··· ..

.

···

∂f 1 (x0 ) ∂z l ... ∂f m (x0 ) ∂z l

Se considerarmos os blocos B e C definidos respectivamente por

  


  

∂f 1 (x0 ) ∂y 1 .. . ∂f m (x0 ) ∂y 1

··· ..

.

···

67

   

∂f 1 (x0 ) ∂y k , ... ∂f m (x0 ) ∂y k

∂f 1 (x0 ) ∂z 1 .. . ∂f m (x0 ) ∂z 1

··· ..

.

···

∂f 1 (x0 ) ∂z l ... ∂f m (x0 ) ∂z l

  

∈ Rk × Rl, temos

então para todo h = (h1 , h2 )

f ′ (x0 )h = Bh1 + Ch 2 . As transforma¸cões lineares associadas às submatrizes B e C são denominadas derivadas parciais de f em rela¸cão respectivamente a y e z em x 0 e denotamos

 

∂f B = (x0 ) , ∂y

C =

 

∂f (x0 ) . ∂z

Com esta nota¸cão podemos escrever ∂f ∂ f (x0 )h1 + (x0 )h2 . ∂y ∂z

f ′ (x0 )h =

Com a nota¸caõ das derivadas parciais, a Regra da Cadeia toma a seguinte forma Teorema 5.11: Seja f : Rk Rl c˜ ao diferenciável em Rm uma fun¸ n1 k n2 l (x0 , y0 ). Sejam ϕ: R c˜ oes diferenciáveis R e ψ: R R fun¸ tais que ϕ(u0 ) = x0 e ψ(v0 ) = y0 . Ent˜ ao g: Rn1 +n2 Rm definida por g (u, v) = f ϕ(u), ψ(v) é diferenciável em (u0 , v0 ) e

× →

→

 



  

∂f g (u0 , v0 ) = (x0 , y0 ) ∂x



′

→

→

 

∂ϕ ∂f (u0 ) + (x0 , y0 ) ∂u ∂y

∂ψ (v0 ) . ∂v


68

Condi¸c˜ oes Suficientes para a Diferenciabilidade Pelo que vimos até agora, só dispomos da defini¸cão para verificar se uma dada fun¸caõ é diferenciável. O Teorema a seguir fornece uma condi¸caõ suficiente para a diferenciabilidade de uma dada fun¸caõ. Teorema 5.12: Seja Ω R n aberto e f : Ω c˜ ao cujas R uma fun¸ derivadas parciais existem em Ω e s˜ ao cont´ınuas em um ponto x 0 de Ω. Ent˜ ao f é diferenciável em x 0 . ` guisa de simplicidade, faremos a demonstra¸cão no caso Prova: A n = 2; o caso geral segue por argumento análogo. Seja h = (h1 , h2 ) = h 1 e1 + h2 e2 , tal que x0 + h Ω, onde e1 , e2 é a base canônica de R 2 . Então

⊂

→

∈

{

}

− f (x0) = f (x0 + h) − f (x0 + h1e1) + f (x0 + h1e1) − f (x0).

f (x0 + h)

(5.6) Como f possui derivadas parciais em Ω, a fun¸cão g2 (t) = f (x0 + h1 e1 + th 2 e2) é derivável em ]0, 1[. Pelo Teorema do Valor Médio, existe ξ 2 ]0, 1[ tal que g 2 (1) g2 (0) = g 2′ (ξ 2 ), isto é,

∈

−

f (x0 + h1 e1 + h2 e2)

∂f − f (x0 + h1e1) = ∂x (x0 + h1 e1 + ξ 2 h2 e2 )h2 . 2

Analogamente, a fun¸caõ g1 (t) = f (x0 + th1 e1 ) é derivável em ]0, 1[. Logo, existe ξ 1 ]0, 1[ tal que

∈

f (x0 + h1 e1 )

∂f − f (x0) = ∂x (x0 + ξ 1 h1 e1 )h1 . 1

Portanto, f (x0 + h) f (x0 ) =

−

∂f ∂f (x0 + ξ 1 h1 e1 )h1 + (x0 + h1 e1 + ξ 2 h2 e2 )h2 . ∂x 1 ∂x 2

Denotando por ε(h) = +

 



∂ f ∂f (x0 + ξ 1 h1 e1 ) (x0 ) h1 ∂x 1 ∂x 1 ∂ f ∂f (x0 + h1 e1 + ξ 2 h2 e2 ) (x0 ) h2 , ∂x 2 ∂x 2

−

−



(5.7)


69

temos f (x0 + h) = f (x0 ) +

∇



f (x0 ); h + ε(h).

Para concluir que f é diferenciável, basta mostrar que ε(h) é de ordem o( h ). Por hipótese, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se x Bδ (x0 ), então



∈

∂f ∂f (x) − (x0 )| < ε, | ∂x ∂x i i

i = 1, 2.

 

Portanto, se h < δ , segue de (5.7)

|ε(h)| < ǫ|h1| + ǫ|h2| = ǫh1 e conseq¨ uentemente,

|ε(h)| < ǫ h 1 e o resultado segue da equivalência das normas em R n . Observa¸c˜ ao: Vale observar que o Teorema 5.12 dá somente condi¸caõ suficiente para a diferenciabilidade. De fato, uma fun¸ca˜ o pode ser diferenci´ avel num ponto x0 , mesmo tendo suas derivadas parciais descont´ınuas em x0 . Por exemplo, consideremos f : R2 R definida por 1 2 f (x, y) = x sen x se x = 0, 0 se x = 0.

→





Então, calculando diretamente ∂f (x, y) = ∂x



2x sen 1x 0

− cos 1x



se x = 0, se x = 0,

verifica-se que ∂f e descont´ınua nos pontos (0, y) para todo y ∂x (x, y) ´ R. Por outro lado, é fácil ver (verifique!) que f é fun¸ caõ diferenciável ′ em (0, 0) e f (0, 0) = (0, 0).

∈


70

A Fun¸c˜ ao Diferencial – Fun¸c˜ oes de Classe C1 Se f : Ω e uma fun¸cão diferenci´ avel em cada ponto Rn Rm ´ x do seu dom´ınio, ent˜ ao podemos considerar a fun¸cão linear f ′ (x), diferencial de f em x. Temos assim a aplica¸caõ

⊂

→

f ′ : Ω x

→L(Rn , Rm), →f ′(x),

onde (Rn , Rm ) denota o espa¸co de todas as aplica¸cões lineares de Rn em Rm . f ′ ´ e denominada a fun¸cão diferencial de f (ou fun¸cão derivada de Fr´ echet de f ). Observe que, fixada uma base nos espa¸cos Rn em Rm , como por exemplo a base canônica, então cada elemento T de (Rn , Rm ) pode ser representado por uma matriz [T ] de m×n .

L

L

M

Exemplo 1: Se f (x, y) = (xy,x2 + y 2 ) então f ′ : R2 dada por y x [f ′ (x, y)] = 2x 2y



→ L(R2, R2) é



Exemplo 2: Se f : Rn e definida por f (x) = x 22 , ent˜ ao R ´ ′ n ′ f (x) = 2x para todo x 2I , onde I denota a R . Logo f fun¸caõ identidade de R n em Rn .

→ ∈



≡

Se m = 1, então o espa¸co (Rn , R) pode ser identificado com R n (ou mais precisamente com e, (Rn , Rm ) = Rn . Neste caso, 1×n ), isto ´ R é fun¸ se f : Ω cão diferenciável, podemos fazer a identifica¸cão

→

L M

f ′ : Ω x

L

∼

→ Rn , →  ∇f (x).

Defini¸c˜ ao 5.13: Dizemos que uma fun¸cão diferenciável f : Ω R m é de Classse C 1 (ou continuamente diferenciável) em x0 Ω se f ′ é fun¸caõ cont´ınua em x0 . Dizemos que f é de classe C 1 em Ω se f ′ é fun¸caõ cont´ınua em todos os pontos de Ω.

∈

→

Como j´ a vimos anteriormente, uma fun¸cão f pode possuir derivadas parciais e não ser diferenciável. De fato, pode nem mesmo ser cont´ınua. Entretanto, se f é uma fun¸cão convexa e possui derivadas parciais, então ela é necessariamente de classe C 1 .


71

Teorema 5.14: Seja Ω um aberto convexo de Rn e f : Ω R uma fun¸cao ˜ convexa que possui derivadas parciais em todos os pontos de Ω. Ent˜ ao f é de classe C 1 .

→

Prova: Como f é convexa, então





− λ)x ≤ λf (y) + (1 − λ)f (x) (5.8) para todo x, y ∈ Ω e 0 ≤ λ ≤ 1. Seja K um subconjunto compacto de Ω. Então existe δ > 0 tal que x + sei ∈ Ω para todo x ∈ K , |s| < δ , e i = 1, 2, . . . , n, onde {e1 , . . . , en } é a base canônica de Rn . Assim, f λy + (1

para y = x + sei obtemos de (5.8) f (x + λsei ) λ

− f (x) ≤ f (x + sei) − f (x).

Passando ao limite nesta desigualdade quando λ

∇

→ 0+ temos que

· ≤ f (x + sei) − f (x).

s f (x) ei

Como esta desigualdade também é válida substituindo s por segue que se s ]0, δ [, então

∈

f (x)

− f (x − sei) ≤ ∇f (x) · ei ≤ f (x + sei) − f (x)

s para todo x K e i = 1, . . . , n. Se f n˜ ao é C 1 , então existe ε > 0, x0 em Ω tal que x k x0 e

∈

→

s

−s, (5.9)

∈ Ω e uma seqüência {xk }k≥1

|∇f (xk ) − ∇f (x0)| > ε, ∀k. (5.10) Seja K = {x0 , x1 , x2 , . . .}. Se |s| < δ/2 e k e´ suficientemente grande, então xk ± sei ∈ Ω e, como f é cont´ınua em Ω (veja Exerc´ıcio 4.8), segue de (5.9) que a seqüência {∇f (xk ) · ei } é limitada, para cada i = 1, . . . , n. Portanto, passando a uma subseq¨ uência se necessário, n podemos supor que existe u ∈ R tal que ∇f (xk ) → u. Passando ao limite quando k → ∞ em (5.9), temos, para s ∈]0, δ/2[ e i = 1, . . . , n, f (x0 ) − f (x0 − sei ) f (x0 + sei ) − f (x0 ) ≤ u · ei ≤ . (5.11) s s Fazendo s → 0+ em (5.11) obtemos ∇ f (x0 ) = u, o que está em contradi¸cão com (5.10). Portanto, x → ∇f (x) é cont´ınua em Ω.


72

A Proje¸c˜ ao Ortogonal A Proje¸cão Ortogonal sobre um convexo fechado C de Rn que introduzimos no Cap´ıtulo 4 (veja Exerc´ıcio 4.12) é fundamental na An´ alise Convexa e surge com freqüência nas aplica¸co˜es. Vamos encerrar este Cap´ıtulo mostrando uma propriedade importante: que elas são derivadas de Fréchet de fun¸cões reais definidas em R n . Teorema 5.15: Seja C um conjunto convexo e fechado de Rn e considere a fun¸cao ˜ f : Rn R definida por

→

−

f (x) = x

1 P C (x); P C (x) , 2



(5.12)

onde P C : Rn e a proje¸c˜ ao ortogonal sobre C definida em (4.10). Rn ´ Ent˜ ao f é fun¸cao ˜ de classe C 1 em Rn e f ′ = P C .

→

Prova: Sejam x 0 e h em R n . Então podemos escrever





f (x0 + h) = f (x0 ) + P C (x0 ); h + ε(h), onde

22 − 12 P C (x0 +h)22 + x0 +h; P C (x0 +h) − P C (x0 ) . Como g(x) = 12 x22 é diferenciável com g ′ (x) = x para todo x ∈ Rn , ε(h) =

1 P C (x0 ) 2







temos do Teorema do Valor Médio,

1 1 P C (x0 ) 22 P C (x0 + h) 22 = 2 2 (1 θ)P C (x0 ) + θP C (x0 + h); P C (x0 )



−   − − P C (x0 + h) , para algum θ ∈ ]0, 1[. Logo, ε(h) = x0 − P C (x0 ); P C (x0 + h) − P C (x0 ) − θP C (x0 + h) − P C (x0 )22 (5.13) + h; P C (x0 + h) − P C (x0 ) .













Como as duas primeiras parcelas do lado direito de (5.13) são negativas (veja Exerc´ıcio 4.12(b)), temos

≤ h2P C (x0 + h) − P C (x0)2 ≤ h22.

ε(h)


73

Por outro lado, considerando ν = 1

− θ, temos

 



− ν )P C (x0 + h); P C (x0 ) − P C (x0 + h) + x0 + h; P C (x0 + h) − P C (x0 ) = x0 + h − P C (x0 + h); P C (x0 + h) − P C (x0 ) + ν P C (x0 ) − P C (x0 + h)22 ≥ 0 Portanto, 0 ≤ ε(h) ≤ h22 e temos a conclusão. ε(h) = νP C (x0 ) + (1





Observa¸c˜ ao: Embora estejamos nos referindo às proje¸cões sobre convexos fechados de Rn , é imediato verificar que a demonstra¸caõ acima é válida para qualquer espa¸co de Hilbert V , isto é, qualquer espa¸co de Banach cuja norma seja proveniente de um produto interno.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 5.1. Sejam ψ , ϕ: R

→ R satisfazendo

lim ϕ(s) = 0.

s→±∞

Considere f : R2

→ R definida por f (x, y) =



ϕ(y/x 2 )ψ( x ) 0

||

se x = 0 se x = 0



(5.14)

a) Considere ψ(s) = s. Mostre que f é Gateaux-derivável em (0, 0) com ∂f (0, 0) = 0 u R2 vetor unitário , ∂u

∀ ∈

mas f n˜ ao é diferenciável em (0, 0). b) Verifique que a fun¸ cão f do Exemplo 6 deste cap´ıtulo é obtida de (5.14) com ϕ(s) = 2s/(1 + s2 ) e ψ(s) = s. c) Sejam ψ(s) = 1 s 0 e ϕ = 1[1,2] a fun¸cão caracter´ıstica de [1, 2], isto é, ϕ(s) = 1 se s [1, 2] e ϕ(s) = 0 senão. Mostre que f definida por (5.14) satisfaz o item (a) mas f n˜ ao é cont´ınua em (0, 0).

∀ ≥

∈


74

Exerc´ıcio 5.2. a) Considere f : Rn e R dada por f (x) = 12 x 22 . Mostre que f ´ ′ n n diferenci´ avel e que f : R e a matriz identidade I . R ´ n b) Seja f : R . Mostre R dada por f (x) = p1 x p p , com 1 < p < ′ q p que f é diferenciável. Mostre que f (x) q = x p , x Rn e 1/p + 1/q = 1.

→



→

→

 ∞     ∀ ∈

Exerc´ıcio 5.3. Sejam f, g: Rn cões diferenciáveis e conRn fun¸ sidere F (x) = f (x); g(x) , onde ; denota o produto escalar usual em R n . Mostre que F é diferenciável e calcule F ′ (x).



→  



Exerc´ıcio 5.4. Seja A matriz n n, g : Rn cão diferenciável R fun¸ ′ ′ T e defina F (x) = g(Ax). Mostre que F (x) = A g (Ax), x, onde A T é a transposta de A. Observe que, em particular, se F (x) = 12 Ax 22 , então F ′ : Rn R n é dada por F ′ = A TA.

×

→

∀

 

→

Exerc´ıcio 5.5. Seja F (x) = Ax; x , x Rn . Mostre que F ′ = AT + A. Calcule G ′ para G(x) = Ax; Bx , A e B matrizes n n.



 ∀ ∈  

×

Exerc´ıcio 5.6. Diz-se que uma fun¸cão f : Rn e p-homogênea R ´ p se f (λx) = λ f (x), λ > 0. Mostre que toda fun¸cão p-homogênea e diferenci´ avel satisfaz a rela¸caõ x; f (x) = pf (x). Reciprocamente, se x; f (x) = pf (x), x Rn , então f é p-homogênea. Dê exemplo de fun¸caõ p-homogênea. Existe fun¸caõ p-homogênea descont´ınua?

∀



∇



∀ ∈



→



∇

Exerc´ıcio 5.7. Sabemos que o TVM é válido para fun¸cões diferenciáveis de Rn em R, isto é; se x1 , x0 R n , então existe t ]0, 1[ tal que

∈

∈



− f (x0) = f ′(xt )(x1 − x0 ) = ∇f (xt ); x1 − x0 onde x t = x 0 + t(x1 − x0 ). f (x1 )



,

a) Verifique que o TVM não vale para fun¸cões de Rn em Rm se m > 1. b) Mostre que vale a Desigualdade do Valor Médio : se f : Rn Rn , então f (x1 ) f (x0 ) 2 f ′ (xt )(x1 x0 ) 2 .

→



−

 ≤ 

Em particular, vale a desigualdade

− 

f (x1) − f (x0)2 ≤ f ′(xt ) (x1 − x0)2,


75

onde estamos denotando

f ′(x) = sup{f ′(x)h2 ; h2 = 1}. Sug.: Considere h(t) = f (x0 + t(x1 − x0 )); f (x1 ) − f (x0 ) .





Exerc´ıcio 5.8. Seja B = B1 (0) a bola unitária de Rn e f : B B uma fun¸cão de classe C 1 . Suponha que existe α > 0 tal que f ′ (x0 )h 2 α h 2 , h Rn . Prove que

→



 ≤   ∀ ∈ f (x) − f (y)2 ≤ αx − y2, ∀x, y ∈ B. Exerc´ıcio 5.9. Seja f : Rn → Rm fun¸cão de classe C 1 . Mostre que:



1

f (x0 + h)



− f (x0) =



f ′ (x0 + th)h dt.

0

Obs.: Se γ (t) = γ 1 (t), . . . , γm (t) , define-se



b



b

γ (t) dt =

a

γ 1 (t) dt, . . . ,

a



b

γ m (t) dt

a



(5.15)

Exerc´ıcio 5.10. Seja f : R2 0 R2 cont´ınua satisfazendo: (1) x e f (x) são linearmente dependentes para todo x R2 0 . (2) x 2 f (x) 2 = 1, x R2 0 .

\{ }→





∈ \{ }

∀ ∈ \ { }

a) Determine f (x). Mostre que f é diferenciável e determine f ′ (x). b) Se C e uma circunferência que não passa pela origem, R2 ´ determine f (C ). Quem é f (C ) se C passa pela origem?

⊂

M

×

Exerc´ıcio 5.11. Seja V = n×n o espa¸co das matrizes n n munido da norma induzida (veja (4.11)) por uma norma qualquer de Rn . Considere f : V V a fun¸caõ definida por f (X ) = X 2. Mostre que f é diferenciável em V e calcule f ′ (X )H para toda H V . (Cuidado! f ′ (X ) = 2X . Por quê?) Fa¸ca o mesmo para f (X ) = X 3 .

→

∈



Exerc´ıcio 5.12. Seja Ω aberto de Rn e f : Ω cão de Rm uma fun¸ 1 n m classe C em Ω. Mostre que ε: Ω R R definida por

×

→

→ ε(x, h) = ε x (h) = f (x + h) − f (x) − f ′ (x)h


76 é cont´ınua em Ω

× Rn . Mostre também que ε(x, h) = 0 lim h→0 h 

uniformemente nos compactos de Ω. Mais precisamente, mostre que se K Ω é um conjunto compacto e ε > 0, então existe δ > 0 (independente de x K ) tal que

⊂

∈

h) h < δ =⇒ ε(x, (5.16) h < ε, ∀x ∈ K. Exerc´ıcio 5.13. Seja Ω aberto de R2 e f : Ω → R uma fun¸cão de classe C 1 em Ω. Seja R ⊂ Ω o retângulo R = [a, b] × [c, d]. Considere g: [a, b] → R definida por

 

d

g(x) =

f (x, y) dy.

c

∈ ]a, b[,

Mostre que g é diferenciável em ]a, b[ e que para todo x 0 g ′ (x0 ) =

d

c

∂f (x0 , y) dy. ∂x

Exerc´ıcio 5.14. Calcule P C (x) e f (x) definida por (5.12) para cada um dos seguintes convexos:

∞

(a) C = [0, + [; (b) C = [0, 1]; (c) C = [0, + [ [0, + [ (d) C = BR (0) a bola de raio R e centro em zero de R N . Descreva o operador de proje¸caõ P C nos três primeiros casos acima usando a nota¸cão x+ x x+ = max x, 0 = . 2 Exerc´ıcio 5.15. Seja f : U Rn R fun¸cão Lipschitz, U aberto e x0 U . Suponha que, para todo h Rn , existe o limite

∞×

∞

{ } ⊂ → ∈

∈

||

− f (x0) 

f (x0 + λh) λ→0 λ h

g(h) = lim

(5.17)

e que a aplica¸caõ g: RN e linear em h. Mostre R definida por (5.17) ´ que f é diferenciável em x 0 .

→

6 Curvas em Rn Se imaginarmos uma part´ıcula se deslocando no espa¸co, podemos descrever sua posi¸cão (x,y,z) em cada instante t por equa¸cões x = γ 1 (t),

y = γ 2 (t),

z = γ 3 (t),

(6.1)

onde cada γ i (t) é uma fun¸cão real da variável real t, com t percorrendo um dado intervalo I R. A trajetória da part´ıcula é uma curva em R3 e (6.1) são denominadas equa¸c˜ oes paramétricas da curva (ou da trajetória), sendo t o parâmetro. Se denotarmos por γ : I R3 a fun¸caõ dada por

⊂

→





γ (t) = γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t) , então temos uma representa¸cão vetorial para as equa¸cões paramétricas da curva e γ (I ), a imagem de I por γ é a curva de R3 sobre a qual a part´ıcula se desloca. As considera¸co˜es acima nos levam à seguinte defini¸cão para curvas em R n . Defini¸c˜ ao 6.1: Seja I um intervalo de R e γ : I cão Rn uma fun¸ n cont´ınua. Dizemos que γ (I ) é uma curva em R e que γ é uma representa¸c˜ ao paramétrica ou uma parametriza¸c˜ ao da curva. Se I = a, b é um intervalo fechado, dizemos que a curva tem extremidades γ (a) e γ (b), ou que a curva liga os pontos x = γ (a) e y = γ (b). Se γ é uma fun¸caõ injetora, dizemos que a curva é simples.

→

 


78

Rn a fun¸ Exemplo 1: Sejam u 0 e v dois vetores de R n e γ : R cão definida por γ (t) = u 0 + tv. Então γ (R) é a reta que passa por u0 e é paralela a v. Em particular, se u 0 = 0 γ é uma fun¸cão linear.

→

   ∞

R2 definida por γ (θ) = Exemplo 2: Sejam I = 0, 2π e γ : I (sen θ, cos θ). Então γ (I ) é a circunferência unitária centrada na origem de R2 .

→

R3 definida por γ (θ) = Exemplo 3: Sejam I = 0, + e γ : I (e−θ cos θ, e−θ sen θ, e−θ ). Então γ (I ) é uma espiral de R3 .

→

Exemplo 4: Como era de se esperar, todo gráfico de fun¸cão real cont´ınua de uma vari´ avel real é uma curva. Com efeito, se f : I R ´ e uma fun¸caõ cont´ınua definida num intervalo I , então podemos considerar a parametriza¸caõ γ : I R2 definida por γ (x) = x, f (x) .

→

 

→

Observa¸c˜ ao: A defini¸caõ 6.1 acima inclui situa¸cões que fogem ao senso comum. Por exemplo, seja γ (t) = (a1 , . . . , an ), para todo t R, isto é, γ uma fun¸cão constante. Como toda fun¸caõ constante é cont´ınua, temos um ponto como caso especial de curva de Rn (compare este exemplo com caso especial de seqüência constante). Entretanto, dois pontos isolados não podem ser considerados uma curva (justifique!). Outro exemplo: consideremos uma mesa de sinuca de dimensões a e b. A trajetória de uma bola que se desloca sobre a mesa (aqui representada pelo retângulo 0, a 0, b ) pode ser descrita por uma fun¸cão 2 R R , cuja imagem γ (I ) est´ γ : I a contida em 0, a 0, b . Podemos imaginar uma situa¸caõ ideal em que a ausˆ encia de atrito permita que a bola (considerada um ponto), uma vez deslocada, permane¸ca em movimento sobre a mesa, refletindo nos bordos indefinidamente. Nestas circunstâncias, podemos provar que se a e b satisfazem certas condi¸co˜es, a bola passa por quase todos os pontos da mesa. Por exemplo, se a bola é lan¸cada de algum ponto com inclina¸caõ de 45◦ e a/b / Q, então para qualquer ponto P = (x, y) [0, a] [0, b] e para cada ε > 0 existe t > 0 tal que P γ (t) < ε. Portanto, R2 ´ γ : 0, e fun¸cão cont´ınua tal que γ 0, é um cojunto denso em 0, a 0, b . Situa¸cões semelhantes aparecem em movimentos de pêndulos giratórios, nas figuras de Lissajous .

∈

⊂ →

∈ ∞ →

 × 

     ×

  ×  

 −

∈

 ∞

×

Para simplificar a terminologia, denominaremos curva γ de Rn toda

Curvas em R

n

79

→ Rn, onde I é uma intervalo de R .

e qualquer fun¸cão cont´ınua γ : I

Curvas Retificáveis Seja γ uma curva de Rn parametrizada por γ : I R n , onde I é um ´ geometricamente intuitivo considerar que se γ n˜ intervalo de R . E ao for muito complicada, podemos calcular um valor aproximado para seu comprimento pela expressão

→

m



γ (ti )

i=1

− γ (ti−1),

(6.2)

onde P = t0 < t1 < < tm−1 < tm é uma parti¸cao ˜ de I , isto é, um conjunto finito de pontos de I . Além disso, segue da desigualdade triangular que as somas em (6.2) aumentam se a parti¸cão P for refinada. Portanto, é razoável que o comprimento de γ seja dado pelo supremo das somas em (6.2) para todas as poss´ıveis parti¸cões de I . Para formalizar estas idéias, denotemos por a cole¸cão de todas as parti¸cões do intervalo I .

{

· ··

}

P

→ R n é retificável se existe M > 0

Defini¸c˜ ao 6.2: Uma curva γ : I tal que m



γ (ti )

i=1

− γ (ti−1) ≤ M,

para qualquer parti¸ caõ P de I . Além disso, se γ é retificável, então m

med(γ ) = sup

 

P ∈P i=1

γ (ti )



− γ (ti−1 ) ; t i ∈ P

é denominado o comprimento de γ .

Curvas Diferenci´ aveis Seja γ uma curva em Rn . Se γ : I e uma fun¸cão diferenciável Rn ´ em todos os pontos interiores de I , dizemos que γ é uma curva diferenci´ avel.

→


80 Em particular, segue da defini¸cã o que

γ (t0 + ∆t) = γ (t0 ) + γ ′ (t0 )∆t + ε(∆t), onde γ ′ (t0 ): R isto é,

→ Rn é uma fun¸caõ linear e ε: R → Rn é fun¸cão o(|∆t|), ε(∆t) = 0. lim ∆t→0 |∆t| Vale observar que γ ′ (t0 ): R → Rn sendo uma fun¸cão linear é necessariamente da forma γ (t0 )(s) = su, com u ∈ R n . Além disso, segue

do Teorema 5.8 que a curva γ = (γ 1 , . . . , γn ) é uma curva diferenciável se e somente se cada coordenada γ i é fun¸caõ diferenciável no interior de I . Rn ´ Se γ : [a, b] e curva diferenciável em (a, b) e se existem os limites lateriais γ (t) γ (a) γ (t) γ (b) lim+ e lim , t a t b t→a t→b

→

− −

− −

−

dizemos que γ é diferenciá vel em [a, b]. Se γ ′ : I cont´ınua, dizemos que γ é curva de classe C 1 em I . Proposi¸ ca õ 6.3: Se γ : [a, b] ent˜ ao γ é retificável e

→

Rn ´ e fun¸cão

→ Rn é curva de classe C 1 em [a, b],

  b

med(γ ) =

γ ′ (t) dt.

a



{

}

Prova: Seja ε > 0 e P = t0 = a < t 1 < .. . < tm = b uma parti¸caõ de [a, b]. Como γ é de classe C 1 , temos, para i = 1, . . . , m (veja Exerc´ıcio 5.9),

  1

γ (ti )

− γ (ti−1) = ∆ti

γ ′ sti−1 + (1

0

− s)ti



ds,

− ti−1 . Logo, γ (ti) − γ (ti−1) − γ ′(ti−1 )∆ti  ≤ 1 ∆ti γ ′ sti−1 + (1 − s)ti − γ ′(ti−1) ds.

onde ∆ti = t i

  0



Curvas em R

n

81

Como t γ ′ (t) é uma fun¸cão uniformemente cont´ınua em [a, b], existe δ 0 > 0 tal que se ∆ti < δ 0 , então

→ 



γ ′ sti−1 + (1 − s)ti − γ ′(ti−1) ≤ 2(b ε− a) , ∀s ∈ [0, 1].







−

Portanto, para i = 1, . . . , m, se ∆ti < δ 0 , temos γ (ti ) γ (ti−1 ) γ ′ (ti−1 )∆ti ε∆ti /2(b a) e segue da desigualdade triangular,

≤

−

γ ′(ti−1) ∆ti − 2(bε∆t− ia) ≤ γ (ti) − γ (ti−1)

ε∆ti γ (ti−1 ) ∆ti + . 2(b a)

≤

′



−

(6.3)

−

Tomando-se a soma em i nas desigualdades (6.3), obtemos m



′



γ (ti−1 ) ∆ti

i=1

m

ε 2

 − ≤ 

γ (ti )

i=1

− γ (ti−1) ≤ m

 i=1

ε γ ′ (ti−1 ) ∆ti + . 2



Por outro lado, segue da continuidade de t γ ′ (t) que as somas m de Riemann i=1 γ ′ (ti−1 ) ∆ti convergem para a integral, isto é, existe δ 1 > 0 tal que se ∆ti < δ 1 então

     b





 − 



   { }  ≤ 

m

γ ′ (t) dt

a

→ 

γ ′ (ti−1 ) ∆ti <

i=1

ε . 2

Portanto, se a parti¸caõ P é tal que ∆ti < min δ 0 , δ 1 , então

  b

a

m

′

γ (t) dt



 − ≤  ε

b

γ (ti )

i=1

− γ (ti−1)

e conclu´ımos que γ é retificável com

  b

med(γ ) =

a

γ ′ (t) dt.



a

γ ′ (t) dt + ε




82

Integrais de Linha e Campo Gradiente Rn uma fun¸ Rn ´ Seja g: Ω cão cont´ınua, onde Ω e um conn R uma curva de classe C 1 contida junto aberto. Seja γ : [a, b] em Ω. Ent˜ ao a fun¸cão ϕ(t) = g γ (t) ; γ ′ (t) é cont´ınua e portanto integr´ avel em [a, b] .

→

→

⊂

  

Defini¸c˜ ao 6.4: Denominamos integral de linha de g sobre γ a integral

 ·      b

g γ (t) ; γ ′ (t) dt.

g dγ =

γ

a

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que se g: ]a, b[ R definida por cont´ınua, então a fun¸caõ f : ]a, b[

→



→

R ´ e

x

f (x) = y 0 +

g(s) ds

x0

∈ ]a, b[, é diferenciável e é a uńica fun¸caõ que satisfaz f ′ (x) = g(x), ∀x ∈ ]a, b[

onde x 0



f (x0 ) = y 0 .

A quest˜ ao natural sobre a extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para as fun¸cõ es de várias variáveis pode ser formulada da seguinte forma: Problema: Seja Ω aberto e conexo de Rn , x 0 Ω e y 0 Dada g: Ω Rn cont´ınua, deseja-se saber se existe f : Ω fun¸cao ˜ diferenciável tal que

∈

→



f ′ (x) = g(x), f (x0 ) = y 0 .

∈ R. →R

∀x ∈ Ω

Uma fun¸caõ g para a qual o problema acima tem resposta afirmativa é denominado Campo Gradiente em Ω e a fun¸cão f é denominada potencial associado ao campo g . Uma condi¸cão necessária para que g seja um campo gradiente pode ser obtida pela Regra da Cadeia. De fato, sejam x e y dois pontos de

Curvas em R

n

83

Ω e γ 1 , γ 2 : [0, 1] Ω duas curvas de classe C 1 ligando x a y . Então, segue da Regra da Cadeia,

→

     1

f (y)

− f (x) =

0

f ′ γ i (t) ; γ i′ (t) dt,

i = 1, 2,

isto é, as integrais de linha sobre γ 1 e γ 2 são iguais. A observa¸cão acima suscita de imediato a questão sobre a possibilidade de se ligar dois pontos quaisquer de um aberto conexo por uma curva de classe C 1 totalmente contida em Ω. De fato, Lema 6.5: Sejam Ω aberto e conexo de R n , x e y dois pontos de Ω. Ent˜ ao existe uma curva γ : [a, b] Ω de classe C 1 em [a, b] ligando x a y .

→

Prova: Veja exerc´ıcios. As observa¸cões acima e considera¸co˜es da f´ısica (veja próxima se¸caõ) nos levam à Definicão 6.6: Seja Ω aberto e conexo de R n . Dizemos que g : Ω e Campo Conservativo em Ω se para todo x, y Ω e duas curvas Rn ´ diferenci´ aveis quaisquer γ 1 , γ 2 ligando x a y, temos

∈



γ 1



g dγ =

·

γ 2

→

g dγ.

·

Temos então a condi¸caõ necess´ aria: Lema 6.7: Seja Ω aberto e conexo de R n . Se f : Ω e fun¸c˜ ao de R ´ 1 ′ classe C em Ω, ent˜ ao f é campo conservativo em Ω.

→

Teorema 6.8: Seja Ω aberto e conexo de Rn . Se g: Ω e campo Rn ´ conservativo cont´ınuo em Ω, ent˜ ao dado x 0 Ω e y 0 R, existe uma u ńica f : Ω R de classe C 1 tal que

→

Prova: Seja f : Ω

→ ∈

∈



f ′ (x) = g(x), f (x0 ) = y 0 .

∀x ∈ Ω

→ R a fun¸cão definida por

   1

f (x) = y 0 +

0



g γ (t); γ ′ (t) dt,

(6.4)


84

Rn ´ onde γ : [0, 1] e uma curva de classe C 1 contida em Ω ligando x0 a x. Como g é campo conservativo, f está bem definida e f (x0 ) = y 0 . Provemos então que f é diferenciável e que f ′ g em Ω. Seja x Ω e r > 0 tal que Br (x) Ω. Para h Rn tal que n 1 h < r, seja γ 1 : [0, 2] R uma curva de classe C ligando x0 a x + h totalmente contida em Ω, satisfazendo

→



∈

⊂

→

γ 1 (t) = x + (t

≡

∈

− 1)h, ∀t ∈ [1, 2].

Então podemos escrever

   2

f (x + h) = y 0 +

0

Consideremos γ 2 , γ 3 : [0, 1]



g γ 1 (t)); γ 1′ (t) dt.

→ Rn definidas por

(6.5)

γ 2 (t) = γ 1 (t), γ 3 (s) = γ 1 (s + 1) = x + sh. Então γ 2 e γ 3 são curvas de classe C 1 ligando respectivamente x0 a x e x a x + h. Da defini¸caõ (6.4), a equa¸caõ (6.5) toma a forma

     1

f (x+h) = f (x)+

g γ 3 (s)

0

; γ 3′ (s)

       1

ds = f (x)+

g γ 3 (s) ; h ds.

0

(6.6) Podemos ainda reescrever (6.6) na forma f (x+h) = f (x)+ g(x); h + ǫ(h), onde

    −  1

ǫ(h) =

g γ 3 (s)

g(x); h ds.

(6.7)

0

−

Como g é cont´ınua em Ω, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se y x < δ , então g(y) g(x) < ε. Portanto, se h < δ , temos de (6.7)



−



 

|ǫ(h)| ≤ g(γ 3(s)) − g(x) < ε. h  Como a unicidade de f é conseq¨ uência imediata do Teorema do Valor Médio, conclu´ımos a prova.

Curvas em R

n

85

Observa¸c˜ ao: O Teorema 6.8 dá condi¸co˜es suficientes para que g seja um campo gradiente num aberto conexo de R n , mas n˜ ao oferece um critério prático para isso. Podemos obter um critério simples e fácil de provar supondo Ω convexo. R. Teorema 6.9: Seja Ω aberto e convexo de Rn , x0 Ω e y0 Rn ´ Se g: Ω e fun¸c˜ ao de classe C 1 em Ω tal que g ′ (x) é matriz simétrica para todo x Ω, ent˜ ao g é campo gradiente em Ω.

→

∈

 ∈ 

∈

Rn duas curvas diferenci´ Prova: Sejam x, y Ω e γ 0 , γ 1 : [0, 1] aveis distintas que ligam x a y em Ω. Para cada s [0, 1], consideremos Rn definida por γ s (t) = γ 0 (t) + s γ 1 (t) γ 0 (t) . Ent˜ γ s : [0, 1] ao ′ para cada s [0, 1], γ s é curva diferenciável ligando x a y e γ s (t) = γ 0′ (t) + s γ 1′ (t) γ 0′ (t) . Seja Φ(s) a fun¸cão definida por

∈

→

 ∈

→

 ∈ − 

     1

Φ(s) =



−

0

g γ s (t) ; γ s′ (t) dt.

Como g é de classe C 1 , podemos calcular a derivada de Φ em rela¸caõ ao parâmetro s derivando sob o sinal de integral (veja Exerc´ıcio 5.13). Assim,

                           1

′

Φ (s) =

0

1

=

∂ g γ s (t) ; γ s′ (t) dt ∂s g ′ γ s (t)

0

d γ s (t); γ s′ (t) + ds

1

g γ s (t) ;

0

d ′ γ (t) . ds s

Como g ′ (x) é simétrica, temos 1

0

g ′ γ s (t)

d γ s (t); γ s′ (t) dt = ds

1

0

g ′ γ s (t) γ s′ (t);

d γ s (t) dt. ds

Por outro lado, como d g γ s (t) ; γ 1 (t) dt

 

    

− γ 0(t) =

g ′ γ s (t) γ s′ (t); γ 1 (t)

+ g γ s (t) ; γ 1′ (t)



− γ 0(t)



− γ 0′ (t) ,


86 podemos escrever

    1

d g γ s (t) ; γ 1 (t) γ 0 (t) dt = 0. 0 dt Portanto Φ(s) é fun¸cão constante e conclu´ımos ′

Φ (s) =



γ 1



−

g dγ = Φ(1) = Φ(0) =

·



g dγ

·

γ 0

e temos a conclusão pelo Teorema 6.8.

Observa¸c˜ ao: A hipótese sobre a convexidade de Ω no Teorema 6.9 n˜ ao é necessária, mas o resultado não pode ser estendido a todos os abertos conexos, como se pode ver pelo seguinte exemplo.



∈

Exemplo: Seja Ω = (x1 , x2 ) R2 a fun¸ g: Ω caõ definida por

→

−

 

x2 x1 , 2 2 2 x1 + x2 x1 + x22

g(x1 , x2 ) =



R2 ; 1/4 < x21 + x 22 < 4 . Seja

.



´ fácil ver que g é de classe C 1 em Ω e que g ′ (x1 , x2 ) é matriz E simétrica para todo (x1 , x2 ) Ω. No entanto, g n˜ ao é campo conservativo em Ω. De fato, considerando γ 1 , γ 2 : [0, 1] Ω as curvas definidas por

∈

γ 1 (t) = (cos πt, sen πt)

e

γ 2 (t) = (cos πt,

então γ 1 e γ 2 ligam (1, 0) a ( 1, 0) e π =



−

·

 

g dγ =

γ 1

γ 2

·

g dγ =

→

− sen πt),

−π.

R diferenci´ Portanto, não existe f : Ω avel tal que f ′ (x) = g(x) para todo x Ω. Por outro lado, g é de classe C 1 no convexo Ω1 = (x1 , x2 ) e simétrica para todo (x1 , x2 ) Ω 1 . Pelo R2 ; x1 > 0 e g ′ (x1 , x2 ) ´ R um potencial de g em Ω1 . De fato, um Teorema 6.9 existe f : Ω1 cálculo simples mostra que f (x1 , x2 ) = arctan(x2 /x1 ) é potencial de g em Ω1 . Analogamente, f (x1 , x2 ) = arctan(x1 /x2 ) é potencial de g no convexo Ω2 = (x1 , x2 ) R2 ; x 2 > 0 . Uma generaliza¸caõ do Teorema 6.9 pode ser obtida fazendo-se uso do Teorema de Stokes .

→

∈









∈

→

∈

−



∈

Curvas em R

n

87

Conserva¸c˜ ao da Energia Consideremos uma part´ıcula de massa m que se desloca no espa¸co R3 sob a a¸cão de um campo de for¸cas g: R3 õ R3 . Se γ (t) é sua posi¸ca no instante t, temos pela lei de Newton: a varia¸c˜ ao da quantidade de movimento em cada instante é igual a resultante das for¸ cas que atuam sobre a part´ıcula , isto é,

→

d mγ ′ (t)) = g γ (t) . dt



 

Se g é um campo gradiente, definimos a Energia da part´ıcula no instante t por E (t) = E c (t) + E p (t) =

m ′ γ (t) 2



 

22 − f γ (t) ,

(6.8)

onde f é o potencial associado a g. E c e E p são respectivamente as energias cinética e potencial no instante t. Como conseq¨ uência da lei de Newton temos a Conserva¸cao ˜ da Energia , isto é, E (t) = E (0) para todo t. De fato, d E (t) = m γ ′ (t); γ ′′ (t) f γ (t) ; γ ′ (t) dt = mγ ′′ (t) g γ (t) ; γ ′ (t) = 0.

Exerc´ıcios





 − ∇    −   

∞ → R3 definida por

Exerc´ıcio 6.1. Seja γ : [0, + [

γ (t) = (e−t cos t, e−t sen t, e−t ). Mostre que γ é retificável e calcule seu comprimento. Exerc´ıcio 6.2. Dê exemplo de uma curva γ : [0, 1] pontos de R2 que n˜ ao seja retificável.

→ R2, ligando dois

Exerc´ıcio 6.3. Uma part´ıcula se move no plano (resp. no espa¸co) e sua trajetória é descrita por γ (t) = (1

− t)2 x1 + 2t(1 − t)x2 + t2x3,

t

∈ [0, 1],

(6.9)


88

onde x 1 , x2 e x 3 são pontos dados de R2 (resp. R3 ). a) Descreva o movimento da part´ıcula, fazendo um esbo¸co da tra jet´ oria. b) Calcule γ ′ (0) e γ ′ (1). c) Se x1 , x2 e x3 n˜ ao são colineares, mostre que γ (t) está contido no triângulo com vértices em x 1 , x 2 e x 3 . Exerc´ıcio 6.4. O mesmo do exerc´ıcio anterior para a part´ıcula cuja trajet´ oria é descrita por γ (t) = (1

− t)3x1 + 3t(1 − t)2x2 + 3t2(1 − t)x3 + t3x4.

(6.10)

Observa¸c˜ ao: As curvas definidas por (6.9) e (6.10) têm como coordenadas polinˆ omios na variável t denominados Polinômios de Bernshte˘ın, porque foram introduzidos por Serge˘ıBernshte˘ın em 1912 num trabalho pioneiro em Teoria da Aproxima¸caõ. As curvas mencionadas são denominadas Curvas de Bézier , por ter sido Pierre Bézier quem as introduziu nos anos sessenta como importante ferramenta para a Computa¸caõ Gráfica. Enfatizamos aqui a importância destas curvas na constru¸cão e desenho dos caracteres e s´ımbolos (fontes do TEX) utilizados neste texto. Exerc´ıcio 6.5. Seja Ω aberto e conexo de Rn . (a) Mostre que se x e y são dois pontos quaisquer de Ω, existe uma curva ligando x a y totalmente contida em Ω. Sugestão: Fixe x Ω e considere A o conjunto dos y de Ω que podem ser ligados a x por uma curva totalmente contida em Ω. Mostre que A e Ω A são abertos. (b) Mostre que existe uma curva poligonal (isto é, formada por segmentos de reta) ligando x a y totalmente contida em Ω.

∈

\

Exerc´ıcio 6.6. Seja γ uma curva poligonal ligando os pontos x1 , x2 e x3 de Rn . Para ε > 0 seja ε a vizinhan¸ca de diâmetro ε de γ definida por ε = x∈γ Bε (x). Construa uma curva diferenci´ avel ligando x 1 a x 3 inteiramente contida em ε . Sugest˜ ao: Use (6.9)

O



O

O

Exerc´ıcio 6.7. Prove o Lema 6.5. Sugest˜ ao: Use os dois exerc´ıcios anteriores.

Curvas em R

n

89

Rn uma curva fechada (γ (a) = γ (b)) Exerc´ıcio 6.8. Sejam γ : [a, b] diferenci´ avel e K um convexo fechado do R n tal que K γ ′ (t) ; t [a, b] . Mostre que 0 K .

→

}

⊃ {

∈

∈

Exerc´ıcio 6.9. Seja γ uma curva retificável de comprimento L parametrizada por γ : [a, b] R n . Seja s: [a, b] [0, L] a fun¸cão definida por s(t) = comprimento de γ [a, t] se t > a 0 se t = a

→

→



 

a) Mostre que s é crescente. Mostre que se γ é fun¸caõ Lipschitz cont´ınua, então s(t) também é Lipschitz cont´ınua. b) Se s(t) é estritamente crescente, defina γ˜ : [0, L]

→ Rn

γ˜ (s) = γ (t(s)) onde t(s) denota a inversa de s(t). Mostre que ˜γ e γ são a mesma curva, isto é, γ [a, b] = γ˜ [0, L] . c) Se γ : [a, b] e curva de classe C 1 em [a, b], mostre que γ ˜ é Rn ´ ′ 1 curva de classe C em [0, L] tal que γ˜ (s) = 1 para todo s. (Moral da história: se uma curva pode ser percorrida por uma part´ıcula com velocidade escalar γ ′ (t) = 0, então pode ser percorrida com velocidade escalar constante).

→

    







Exerc´ıcio 6.10. Seja Ω Rn aberto, limitado e conexo. Demonstre a afirmativa abaixo se verdadeira ou dê um contra-exemplo se falsa. “Existe R > 0 tal que x, y Ω existe uma curva γ retificável ligando x a y tal que med(γ ) R”.

⊂ ∀ ∈ ≤

Exerc´ıcio 6.11. O aˆngulo formado por duas curvas diferenciáveis que se cruzam num ponto P é, por defini¸cão, o aˆngulo formado pelos vetores tangentes às curvas em P . Mais precisamente, se γ 1 , γ 2 : I Rn s˜ ao duas curvas diferenciáveis tais que P = γ 1 (t0 ) = γ 2 (t0 ) para algum t 0 I , então definimos o ângulo θ entre γ 1 e γ 2 em P por

→

∈





γ 1′ (t0 ); γ 2′ (t0 ) cos θ = γ 1′ (t0 ) γ 2′ (t0 ) .







Uma fun¸cão f : R2 e denominada transforma¸c˜ ao conforme se R2 ´ o aˆngulo entre duas quaisquer curvas que se cruzam fica preservado por f .

→


90

a) Seja f (x) = Ax, x R 2 , onde A é matriz 2 2. Mostre que f é transforma¸caõ conforme se e somente se A é da forma:

∀ ∈

×

 − a c

c a

ou

  a c

c a

−

b) Seja f : R2 R 2 , f = (ϕ, ψ) fun¸caõ diferenciável. Determine as condi¸co˜es necessárias e suficientes sobre f ′ para que f seja uma transforma¸cão conforme. c) Calcule J f (x).

→

Exerc´ıcio 6.12. Mostre que a fun¸cão f definida no Exerc´ıcio 5.10 é uma transforma¸caõ conforme. Exerc´ıcio 6.13. Determine uma curva diferenciável γ : [ 1, 1] tal que

−

− 

γ [ 1, 1] = (x, y)

{

→ R2

∈ R2 ; y = |x|, −1 ≤ x ≤ 1}.

→ R2 definido por −y , x g(x, y) =

Exerc´ıcio 6.14. Seja g : Ω





x2 + y 2 x2 + y 2





,

onde Ω = (x, y) R2 ; y > x . Mostre que g é campo gradiente em Ω e determine o potencial f : Ω R tal que f = g.

∈

−

→

∇

7 Derivadas de Ordem Superior Vamos tratar neste cap´ıtulo do estudo da derivada de segunda ordem para fun¸co˜es reais definidas em um aberto de R n . Rn R uma fun¸c˜ Seja f : Ω ao diferenciável. Ent˜ ao, está bem definida a aplica¸cão f ′ : Ω Rn ; R ,

⊂

→

   

→L x →f ′ (x). Fazendo-se a identifica¸cão L Rn ; R ∼ = Rn , podemos perguntar se a ′ n aplica¸cão f : Ω → R é diferenciável em algum ponto x0 ∈ Ω. No caso afirmativo diremos que f é duas vezes diferenciável em x0 . Decorre da Defini¸ca˜ o 5.3 que se f é duas vezes diferenciável em x0 , então existem fun¸cões L, ε: Rn Rn tais que

→

f ′ (x0 + h) = f ′ (x0 ) + Lh + ε(h), onde L é linear e ε é o( h ). L, a diferencial (ou derivada de Fréchet) de f ′ em x0 , é denominada derivada segunda de f em x0 e denotamos L = f ′′ (x0 ).



Rn R ´ Lema 7.1: Se f : Ω e duas vezes diferenciável em x0 , n R satisfazendo ent˜ ao existe ǫ: R

→

⊂

→

|ǫ(h)| = 0 h→0 h2 lim

(7.1)

tal que



1 ′′ f (x0 )h; h + ǫ(h). 2

 

f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 ); h +




92

Prova: Seja h Rn e t R suficientemente pequenos. Por hipótese temos f ′ (x0 + th) = f ′ (x0 ) + f ′′ (x0 )(th) + E (th), (7.2)

∈

∈

onde a fun¸cão E : Rn e o( h ). Da Proposi¸cã o 5.5 temos a Rn ´ continuidade de h E (h). Logo, podemos multiplicar escalarmente por h ambos os lados de (7.2) e integrar em t de 0 a 1, para obter

→

  1

0

→



  

1 f (x0 +th); h dt = f (x0 ); h + f ′′ (x0 )h; h + 2

      

′

′

Como

1

f ′ (x0 + th); h dt = f (x0 + h)

0

1



E (th); h dt.

0

− f (x0 ),

temos a identidade f (x0 + h)

−

  

1 f (x0 ) = f (x0 ); h + f ′′ (x0 )h; h + 2



′

 

1

0

Para concluir a demonstra¸caõ, basta mostrar que a fun¸cão

  1

ǫ(h) =

0



E (th); h dt.



E (th); h dt

satisfaz a condi¸cão (7.1). De fato, segue da desigualdade de CauchySchwarz,

 

 

|ǫ(h)| ≤ 1 | E (th); h | dt ≤ 1 E (th) dt. h2 0 h2 h  0 Como E é o(h ), dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ξ  < δ , então E (ξ ) < εξ  . Em particular, se h < δ , então E (th) < εh , para todo t ∈ [0, 1] e conclu´ımos a prova. Sabemos do C´ alculo Diferencial que se f : R → R é duas vezes derivável e convexa, então f ′ é fun¸cão mon´ otona crescente e f ′′ é fun¸cão positiva. Estes fatos podem ser generalizados para fun¸co˜es f : Rn → R

se consideradas as extensões apropriadas dos conceitos de crescente e positiva respectivamente para vetores e matrizes.

Derivadas de Ordem Superior

93

Defini¸c˜ ao 7.2: Uma fun¸cão g: Ω positiva em Ω se



⊂

Rn

→

Rn ´ e dita mon´ otona



− g(y); x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Ω. g é dita monótona negativa se −g é mon´ otona positiva. Defini¸c˜ ao 7.3: Uma matriz A n × n é dita positiva definida se Ax; x > 0, ∀x =n 0 e m Rn. A é dita semipositiva definida se Ax; x ≥ 0, ∀x ∈ R . A é dita negativa (resp. seminegativa) definida se −A é positiva (resp. semipositiva) definida. g(x)

Nota¸ c˜ ao: Se A ´ e semipositiva (resp. seminegativa) definida denotamos A 0 (resp. A 0). Se A é positiva (resp. negativa) definida, denotamos A > 0 (resp. A < 0).

≥

≤

Observe que uma fun¸caõ real de variável real é crescente se e somente se é monótona positiva. Observe também que se f (x) = Ax, então f é mon´ otona positiva se e somente se A é semipositiva definida. Teorema 7.4: Seja f : Rn c˜ ao diferenciável. Ent˜ ao f é R uma fun¸ ′ convexa se e somente se f é mon´ otona positiva.

→

Prova: Provemos inicialmente a implica¸cão “

⇒”. Por hipótese temos f x0 + t(x1 − x0 ) ≤ f (x0 ) + t f (x1 ) − f (x0 ) , f x0 + t(x1 − x0 ) = f (x0 ) + t f ′ (x0 ); x1 − x0 + ǫ t(x1 − x0 ) .

           − ≥  −   − 

Subtraindo a segunda equa¸ cão da primeira, obtemos t f (x1 )

t f ′ (x0 ); x1

f (x0 )

x0 + ǫ t(x1

x0 ) .

− x0), t > 0, temos após divisão por t

Denotando por ξ = t(x1 f (x1 ) Fazendo t

− f (x0 ) ≥



f ′ (x0 ); x1

→ 0, conclu´ımos f (x1 ) − f (x0 ) ≥



− x0



+

f ′ (x0 ); x1

ǫ(ξ ) x1 ξ

   − x0 .



− x0 .


94 Mutatis mutandis , f (x0 )

− f (x1 ) ≥



f ′ (x1 ); x0

− x1



e temos a conclusão. Provemos a implica¸caõ contrária “ ”. Sabemos da An´ alise Real que ′ se ϕ: R e crescente, então ϕ e´ convexa. Sejam R é derivável e ϕ ´ n x1 , x0 e R e consideremos ϕ(t) = f x0 + t(x1 x 0 ) . Como f ´ diferenci´ avel, segue da Regra da Cadeia (Teorema 5.9) que ϕ′ (t) = f ′ x0 + t(x1 x0 ) ; x1 x0 . Provemos que ϕ ′ é crescente.

⇐

→ ∈



−

ϕ′ (t1 ) ϕ′ (t0 ) = f ′ x0 + t1(x1 Como x0 + t1 (x1 podemos escrever

x0 )

t0 ) ϕ′ (t1 )

(t1

x0 )



−

 − − −   −  −  −   − −  − −

 





f ′ x0 + t0 (x1

x0 + t 0 (x1

x0 )

ϕ′ (t0 ) = f ′ (xt1 )



− x0) ; x1 − x0 . = (t1 − t0 )(x1 − x0 ),

f ′ (xt0 ); xt1

− xt

−

0



,

onde estamos denotando x t = x 0 + t(x1 x0 ). Como por hipótese f ′ é mon´ otona positiva, conclu´ımos que ϕ ′ é crescente. Logo ϕ é convexa e ϕ(t) ϕ(0) + t(ϕ(1) ϕ(0)) para todo t ]0, 1[. Portanto,

≤

∈









− x0) ≤ f (x0) + t f (x1) − f (x0 )

f x0 + t(x1 para todo t

−

∈ ]0, 1[.

Teorema 7.5: Seja g: Rn R n uma fun¸cao ˜ diferenciável. Ent˜ ao g é mon´ otona positiva se e somente se g ′ é semipositiva definida.

→

⇒”. Por hipótese temos g(x1 ) − g(x0 ); x1 − x0 ≥ 0, g(x1 ) = g(x0 ) + g ′ (x0 )(x1 − x0 ) + ǫ(x1 − x0 ). Fazendo o produto escalar da segunda equa¸caõ acima por x1 − x 0 , Prova: Provemos inicialmente a implica¸cão “





obtemos da primeira 0

≤ =



 

− g(x0 ); x1 − x0 ′ g (x0 )(x1 − x0 ); x1 − x0 g(x1 )

+ ǫ(x1



− x0); x1 − x0 .

(7.3)


95

Seja u Rn vetor unitário tal que x 1 segue de (7.3)

∈

− x0 = λu, com λ > 0. Então,

0



≤ λ2 g′(x0 )u; u

 



+ λ ǫ(λu); u .

Dividindo por λ2 e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos



 ≥ −

 

 

g ′ (x0 )u; u



ǫ(λu) . λu



Fazendo λ 0 obtemos a conclusão. R Para provar a implica¸cão contrária, consideremos a fun¸cão ϕ: R definida por ϕ(t) = g x0 + t(x1 x0 ) ; x1 x0 . Segue da Regra da Cadeia que ϕ é derivável e

→

−

ϕ′ (t) = g ′ x0 + t(x1

−

→





− x0) (x1 − x0); x1 − x0 .

Pelo Teorema do Valor Médio aplicado à ϕ, temos que existe t tal que ϕ(1) ϕ(0) = ϕ′ (t). Assim,

−



g(x1 )

− g(x0 ); x1 − x0

  

= g ′ x0 + t(x1

∈ ]0, 1[



− x0 ) (x1 − x0); x1 − x0





e temos a conclusão porque g ′ x0 +t(x1 x0 ) é semipositiva definida.

−

Observa¸c˜ ao: As versões gêmeas dos Teoremas 7.4 e 7.5 são evidentes, bastando trocar crescente, positiva, convexa pelos simétricos decrescente, negativa, côncava .

A Matriz Hessiana Seja f : Ω

→ R fun¸caõ duas vezes diferenciável e consideremos f ′′ : Ω → L(Rn , Rn ).

Fixada a base canˆ onica de Rn , podemos fazer a identifica¸ca˜ o do espa¸co das transforma¸ cões lineares (Rn , Rn ) com o espa¸co n das ′′ matrizes n n. A matriz associada a f (x0 ) é denominada Matriz Hessiana de f em x 0 .

×

L

M


96

     f ′′ (x0 ) =

∂ 2 f (x0 ) ∂ 2 x1 .. . ∂ 2 f (x ) ∂x 1 ∂x n 0

∂ 2 f (x ) ∂x 2 ∂x 1 0 .. . ∂ 2 f (x ) ∂x 2 ∂x n 0

... ..

.

...

∂ 2 f (x ) ∂x n ∂x 1 0 ... ∂ 2 f (x0 ) ∂ 2 xn

  

Máximos e M´ınimos

⊂ Rn → R uma fun¸cão. Defini¸c˜ ao 7.6: Dizemos que x0 ∈ A é ponto de m´ınimo local (resp. m´ aximo local ) para f se existe r > 0 tal que f (x0 ) ≤ f (x) (resp. f (x0 ) ≥ f (x)), para todo x ∈ A ∩ Br (x0 ). Teorema 7.7: Seja Ω ⊂ Rn aberto e f : Ω → R uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel. Se x0 ∈ Ω é ponto de m´ınimo (resp. m´ aximo) local de f , ′ Seja f : A

ent˜ ao f (x0 ) = 0. Além disso, se f é duas vezes diferenciável em x0 , ent˜ ao f ′′ (x0 ) é semipositiva (resp. seminegativa) definida. Prova: Como f é diferenciável, temos





f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 ); h + ε(h),



onde ε(h) é fun¸caõ o( h ). Como Ω é aberto e x 0 é ponto de m´ınimo local para f , existe r > 0 tal que se h < r então

 









f ′ (x0 ); h + ε(h)

Se 0 < λ < r e u

≥ 0.

(7.4)

∈ Rn unitário são tais que h = λu, obtemos de (7.4) f ′ (x0 ); u +

ε(λu) λ

≥ 0.

No limite quando λ tende a zero, obtemos a desigualdade



f ′ (x0 ); u

≥

0


97



 −



para todo u unitário. Como f ′ (x0 ); u = f ′ (x0 ); u 0, u, ′ conclu´ımos que f (x0 ) = 0. Se f é duas vezes diferenciável em x0 , segue do Lema 7.1 que existe ǫ(h) fun¸cão o h 2 tal que

  



− ≥

1 ′′ f (x0 )h; h + ǫ(h). 2

 

f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 ); h +

∀



O argumento anterior nos permite concluir que f ′ (x0 ) = 0 e 1 ′′ ǫ(λu) f (x0 )u; u + 2 λ2





≥ 0

∈

para todo vetor unitário u e para todo λ ]0, r[. Obtemos o resultado no limite quando λ 0.

→

Teorema 7.8: Seja Ω ao duas Rn aberto e f : Ω R uma fun¸c˜ ′ ′′ vezes diferenciável em x0 Ω. Se f (x0 ) = 0 e f (x0 ) é matriz positiva definida, ent˜ ao x 0 é ponto de m´ınimo local de f .

⊂

→

∈

Prova: Pelo Lema 7.1, temos f (x0 + h) = f (x0 ) +

1 ′′ f (x0 )h; h + ǫ(h), 2





(7.5)

  

para todo h suficientemente pequeno, onde ǫ(h) é fun¸caõ o h 2 . Seja µ = min f ′′ (x0 )u; u ; u = 1 . Como f ′′ (x0 ) é positiva definida, segue que µ > 0 e vale a desigualdade

{





   }  ≥   ∀ ∈

f ′′ (x0 )h; h

µ h 2 ,

h

Rn .

(7.6)

Substituindo (7.6) em (7.5), obtemos f (x0 + h)

  

− f (x0) ≥ µ2 h2 + ǫ(h).

Como ǫ(h) é o h 2 , existe δ > 0 tal que se 0 < h < δ , então ǫ(h) < (µ/4) h 2 . Portanto,

|

|



f (x0 + h)

 

− f (x0 ) ≥ µ2 h2 − µ4 h2 ≥ 0


98

  Se f : Ω →

para todo h tal que h < δ e conclu´ımos a prova. Observa¸c˜ ao: e uma fun¸cão diferenciável no aberto R ´ n ′ Ω ao dizemos que x0 é ponto cr´ıtico de f . R e f (x0 ) = 0, ent˜ O Teorema 7.8 acima nos fornece um crit´ erio—critério da derivada segunda —para busca de pontos de m´ınimo local dentre os pontos cr´ıticos de f . Esse crit´ erio, tal como formulado pelo Teorema 7.8, apresenta uma dificuldade de ordem prática para dimensões grandes, visto que, excetuando os casos n 2 (veja Exerc´ıcios), não é uma tarefa simples decidir se [f ′′ (x0 )] é positiva definida. Podemos obter novos critérios caso f verifique certas condi¸co˜es de regularidade, como veremos adiante. A idéia é simples, se lembrarmos certos resultados fundamentais ´ de Algebra Linear, a saber: Se A = aij )ij é matriz n n, definimos o tra¸co de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A, isto é,

⊂

≤



×

tr(A) = a 11 + a22 +

··· + ann;

O tra¸co de A é um invariante para semelhan¸ca de matrizes, isto é, se A e B s˜ ao matrizes semelhantes, ent˜ ao tr(A) = tr(B); Se A é matriz diagonalizável, ent˜ ao tr(A) = λ1 + λn , onde λi , i = 1, . . . , n s˜ ao os autovalores de A; Uma matriz diagonizável é semipositiva definida (resp. positiva definida) se e somente se todos os seus autovalores s˜ ao positivos (resp. estritamente positivos). (Teorema Espectral) Toda matriz simétrica é diagonalizável.

···

Lema 7.9: Seja f uma fun¸cao ˜ duas vezes diferenciável que satisfaz as seguintes propriedades: para todo x B r (x0 ), a matriz [f ′′ (x)] é diagonalizável e tr [f ′′ (x)] > 0 . Ent˜ ao f atinge o seu máximo na fronteira da bola Br (x0 ), isto é

 



 − x0 ≤ r

max f (x) ; x

∈

    −

 − x0 = r

= max f (x) ; x





.

Prova: Suponhamos que max f (x) ; x x 0 r = f (x), com x x 0 < r. Então, decorre do Teorema 7.7 que f ′ (x) = 0 e

 − 

≤


99

[f ′′ (x)] é seminegativa seminega tiva definida. Logo, todos os autovalores de [f [ f ′′ (x)] ′′ são ao negativos, o que implica tr [f (x)] 0, em contradi¸c˜ cão ao com a hip´ otese. otese.

  ≤

Lema 7.10: Seja 7.10: Seja f uma f uma fun¸c˜ c˜ ao duas vezes diferenciável avel que satisfaz as seguintes seguintes propriedades: propriedades: para todo x Br (x0 ) a matriz [f ′′ (x)] é e diagonalizável avel e tr [f ′′ (x)] 0. Ent˜ Ent˜ ao f f atinge o seu máximo aximo na fronteira da bola Br (x0 ), isto is to é e



  ≥

∈

 − x0 ≤ r

 

max f ( f (x) ; x

 − x0 = r

= max f ( f (x) ; x



.

Prova: Podemos supor sem perder a generalidade que x0 = 0. Seja ε > 0 e considere a fun¸c˜ cãao g o g definida por g (x) = f ( f (x) +

ε x 22 . 2



Entãaoo g é duas vezes diferenci´ diferen ciável avel e g ′′ (x) = f ′′ (x) + εI + εI ,, para todo n x, onde I onde I denota denota a identidade em R . Portanto,

 



tr [g ′′ (x)] = tr([f tr([f ′′ (x)] + nε > 0, 0 ,

∀x ∈ Br (0). (0).

Segue do Lema 7.9 que g que g atinge seu máximo aximo na fronteira da bola. Para concluir o resultado basta observar que ε ≤ max g (x) = max g (x) = max f ( f (x) + r2 . 2 x≤r ≤ r x =r x =r

max f ( f (x)

x≤r ≤ r

Assim, para todo ε todo ε > 0, temos ε f ( f (x) + r2 . ≤ max 2 x =r

max f ( f (x)

x≤r ≤ r

Fazendo ε Fazendo ε tender a zero obtemos max f ( f (x)

x≤r ≤ r

≤ max f ( f (x) x =r

e a conclusão ao da prova, pois a desigualdade contrária ari a é imediata imed iata..

C´ alcu al culo lo Avan¸ Ava n¸cado cado I

100

Nota¸ c˜ ao: O tra¸co co da matriz Hessiana de uma fun¸c˜ caao f õ f :: Ω é den d enom omina inado do Laplaciano Laplaciano de de f f e denotamos





tr [f ′′ (x0 )] = ∆f ( f (x0 ) =

∂ 2 f (x0 ) + ∂x 21

⊂ Rn → R

2

∂ f · · · + ∂x (x0 ). 2 n

Os Lemas 7.9 e 7.10 são ao conhecidos como Pr como Princ´ inc´ıpio ıpio do Máximo aximo e e sãaoo fundamentais no estudo das Equa¸c˜ cões oes a Derivadas Parciais. O Lema 7.10 pode ser formulado da seguinte forma: Corol´ Cor olário ari o 7.11: 7.1 1: Seja Ω R n aberto e f : f : Ω R uma fun¸c˜ cao ˜ duas ′ vezes diferenciável. avel. Suponha x0 Ω tal que f f (x0 ) = 0 e ∆f ( f (x) 0 ′′ para todo x B r (x0 ). Se [f (x)] ´ )] é matriz diagonaliz´ diagon alizável avel para todo x Br (x0 ), ent˜ ao x x 0 n˜ ao é ponto de máximo aximo local de f . f .

⊂

∈

∈

∈

→

≥

Observe que ∆f ∆f ((x) 0 para todo x todo x B r (x0 ) não ao implica que f que f ′′ seja positiva definida em Br (x0 ). De fato, fato, consid considere ere f ( f (x, y ) = 5x2 y 2 . Então ao ∆f ( f (x, y) = 8 para todo (x, (x, y ) R2 . No que segue formularemos condi¸c˜ cões oes simples para que a matriz Hessiana seja diagonalizável. avel.

≥

∈ ∈

−

Defini¸c˜ c˜ ao ao 7.12 7. 12:: Se f : f : Ω e uma fun¸ fun c˜ çao aõ diferenciável a vel em Ω e R ´ f ′ : Ω R n é uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao aõ de classe C 1 em x0 Ω, dizemos que f é de classe C classe C 2 em x em x 0 .

→

→

∈

→

Proposi¸ c˜ cao a õ 7.13: 7.13: Seja f : f : Ω c˜ cao ˜ duas vezes diferenciáa-R uma fun¸ 2 n vel no aberto Ω Ω R . Se f ´ f é de clas cl asse se C C em x em x 0 Ω ent˜ ao a matriz ′′ Hessiana [f [ f (x0 )] ´ )] é simétrica.

⊂

∈

Prova: A prova se reduz ao caso n = 2 (veja o Lema a seguir). De fato, sejam h, k Rn dois vetores quaisquer e defina g (t, s) = f ( f (x0 + th + th + + sk sk), ), para s e t suficientemen suficientemente te pequenos. Ent˜ ao, ao, segue da Regra da Cadeia

∈

∂ 2 g (0, (0, 0) = f ′′ (x0 )h; k ∂t∂s ∂ 2 g (0, (0, 0) = f ′′ (x0 )k ; h ∂s∂t e temos a conclusão ao se

 

∂ 2 g ∂ 2 g (0, (0, 0) = (0, (0, 0) ∂t∂s ∂s∂t

 


101

Observa¸c˜ ao: A hipótese otese “f “f de classe C 2 em x0 ” na Proposi¸c˜ caao õ acima é essencial. De fato, considere a fun¸c˜ cãaoo f ( f (x, y ) =



xy( xy (x2 y 2 ) x2 + y 2 0

−



se (x, y ) = (0, (0, 0) senãaoo

Então, ao, um cálculo alculo direto mostra que ∂ 2 f (0, (0, 0) = 1 ∂x∂y

e

∂ 2 f (0, (0, 0) = ∂y∂x

−1.

Lema Lema 7.14: 7.14: Seja g : R2 c˜ c˜ ao duas vezes diferenciável avel com R fun¸ derivadas parciais parcia is segundas s egundas cont´ cont´ınuas em (0, (0 , 0). 0). Ent˜ ao,

→

∂ 2 g ∂ 2 g (0, (0, 0) = (0, (0, 0). 0). ∂t∂s ∂s∂t

−

−

Prova: Seja Φ(s, Φ(s, t) = g (s, t) g (s, 0) g (0, (0, t) + g(0 g (0,, 0). 0). Para ara t fixado, consideremos consideremos a fun¸c˜ caao ϕ õ ϕ((s) = g( g (s, t) g (s, 0) que é deriv´ der ivável avel na variável avel s. O Teorema do Valor M´ edio edio garante a existˆ encia encia de 0 < θ1 < 1 < 1 tal que



−



∂g Φ(s, Φ(s, t) = ϕ( ϕ(s) ϕ(0) = sϕ = sϕ ′ (θ1 s) = s (θ1 s, 0) . ∂s (7. (7.7) Aplicando novamente o TVM (com rela¸c˜ cão ao a` variável t avel t)) no termo da direita de (7.7), obtemos para algum 0 < θ2 < 1 < 1

−

∂g (θ1 s, t) ∂s

−

∂ 2 g Φ(s, Φ(s, t) = st θ1 s, θ2 t . ∂t∂s

 

(7. (7.8)

Para s fixado, fixado, consideremo consideremoss a fun¸ c˜ cãaoo ψ (t) = g (s, t) g (0, (0, t) que é deri de riv´ vável avel na vari´ ariavel a´vel t. De mod modo o an´ analogo a´logo ao anterior, anterior, existem 0 < θ3 , θ4 < 1 tais que Φ(s, Φ(s, t) = ψ( ψ (t)

−

−

ψ (0) = tψ = tψ ′ (θ3 t)



∂g ∂ g = t (s, θ3 t) (0, (0, θ3 t) ∂t ∂t ∂ 2 g = st θ4 s, θ3 t . ∂s∂t

−

 

(7. (7.9)


102 De (7.8) e (7.9) obtemos a igualdade

∂ 2 g ∂ 2 g st θ1 s, θ2 t = st θ4 s, θ3 t , ∂t∂s ∂s∂t

 

 ∀

s,t.

→

A conclusão da prova segue da passagem ao limite para (s, t) (0, 0) e da continuidade em (0, 0) das derivadas parciais de segunda ordem de g . Sintetizando os resultados anteriores, temos o seguinte critério: Rn aberto e f : Ω R uma fun¸cao Corolário 7.15: Seja Ω ˜ de 2 classe C . Se ∆f (x0 ) > 0 ent˜ ao existe R > 0 tal que para todo r R o m´ aximo de f sobre a aderência da bola Br (x0 ) é atingido sobre a fronteira x x0 = r. Em particular, se f ′ (x0 ) = 0, ent˜ ao x 0 n˜ ao é m´ aximo local de f em Ω.

⊂

→

≤

 − 

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 7.1. Seja f : Rn Rm linear. Mostre que f ′ (x) = f , n ′ x R , isto é, f (x)h = f (h), x, h R n . Observe também que f ′ é constante e, portanto, f ′′ 0.

→ ∀ ∈ ≡ Exerc´ıcio 7.2. Seja ϕ: Rn → Rn fun¸caõ diferenciável tal que ϕ′(x)L( ) ≤ α, ∀x ∈ Rn. ∀ ∈

Rn

a) Se α < 1, mostre que ϕ é uma contra¸caõ e demonstre que para cada y Rn , existe um u ´ nico x Rn tal que y = x + ϕ(x). b) Podemos afirmar que ϕ é uma contra¸caõ se ϕ′ (x) L(Rn ) < 1, x Rn ? c) Use o item (a) para mostrar que se A é uma matriz n n tal que A < 1 então (I + A) é invert´ıvel. d) Se ϕ é monótona positiva, mostre que para cada y R n , existe um u ńico x Rn satisfazendo y = x + ϕ(x) (mesmo que α 1).

∈

∈

∀ ∈  

∈



 × ∈

≥

Exerc´ıcio 7.3. Seja C Rn convexo e fechado e P C : Rn Rn a proje¸cão ortogonal sobre C (veja Exerc´ıcio 4.12). Mostre que P C é fun¸caõ mon´ otona positiva. Conclua que x

⊂

→

→ f (x) = x − 21 P C (x); P C (x)






103

é fun¸caõ convexa. Exerc´ıcio 7.4. Calcule f ′′ (x) para cada uma das fun¸cões f : Rn Observe que em todos os casos f ′ é linear e portanto f ′′ : Rn é constante.

→ R. → Mn×n

1 1 x 22 , f (x) = Ax 22 , 2 2 f (x) = Ax; x , f (x) = Ax; Bx . f (x) =





 







Exerc´ıcio 7.5. Considere f : RN cão duas vezes diferenciável R fun¸ e A uma matriz N N . Defina g(x) = f (Ax). Mostre que g é duas vezes diferenciável em RN e

→

×

g ′ (x) = AT f ′ (Ax) g ′′ (x) = AT f ′′ (Ax)A Exerc´ıcio 7.6. Considere a matriz simétrica A =

 

a b , b c

a, b, c

∈ R.

Mostre que A é positiva definida se e somente se det A > 0 e a > 0. Mostre que se A é semipositiva definida, então det A 0 e a 0 mas a rec´ıproca é falsa.

≥

≥

R fun¸ Exerc´ıcio 7.7. Seja f : Rn cão duas vezes diferenciável em 2 x0 = 0 tal que f (tx) = t f (x) para todo x Rn e todo t R. Mostre que 1 f (x) = f ′′ (0)x; x , x Rn . 2

→



∈



∈

∀ ∈

{ ∈ R2; x22 ≤ 1}. Considere f : R2 → R2

Exerc´ıcio 7.8. Seja D = x de classe C 1 tal que



J f (x) = 0

∀x ∈ D

Mostre que existe x0

e

f (x) − x2 ≤ 31 ∀x ∈ D.

∈ D tal que f (x0) = 0.


104

Exerc´ıcio 7.9. a) Seja A matriz n n semipositiva definida , isto é Ax; x 0 n x R e defina a fun¸caõ g (x) = Ax. Mostre que g é mon´ otona positiva. Seja F λ (x) = x + λAx, com λ > 0. Mostre que F λ é bijetora em R n . b) Seja f mon´ otona positiva e considere F λ (x) = x + λf (x), com λ > 0. Mostre que F λ é injetora. Se F λ0 é sobrejetora para algum λ 0 , mostre que F λ é sobrejetora para todo λ > 0. Sugest˜ ao: Dado y Rn , considere a fun¸caõ

∀ ∈

×



≥

∈

Φλ (x)

= F λ−01



−



λ0 λ λ0 y + x . λ λ

Mostre que Φλ é contra¸cão para λ > λ0 /2. Repita o argumento para λ 0 /2 < λ1 < λ0 Rn fun¸ Exerc´ıcio 7.10. (Método de Newton) Seja f : Rn cão de classe C 1 tal que J f (x) = 0, x Rn . Considere a sequência:

 ∀ ∈ x0 ∈ Rn e xn+1 = x n − f ′ (xn )−1 f (xn ), a) Mostre que se x n −→ x ¯, então f (¯ x) = 0.

→

≥ 0

n

(7.10)

b) Reciprocamente, suponha que f é duas vezes diferenciável com f ′′ limitada. Se f (¯ x) = 0 para algum x ¯ , mostre que a sequência definida por (7.10) converge para x ¯ se x0 for tomado suficientemente próximo de x ¯.

8 O Teorema da Fun¸c˜ ao Inver nve rsa Neste cap´ cap´ıtulo abordaremos ab ordaremos um dos resultados centrais da Anáa-lise: o Teorema da Fun¸c˜ cão ao Inversa. ` guisa de motiva¸c˜ A cao, aõ, consid considere eremos mos a fun¸ func˜ çao aõ linear g : Rn Rn definida definida por g (x) = Ax Ax,, onde onde A é uma matriz matr iz n n. n . Sabe Sabemo moss ´ da Algebra Linear que se det A = 0, entãao g o g ´ é invert´ inve rt´ıvel ıve l e sua su a invers inve rsaa −1 n n −1 −1 g :R e dada da da por po r g (x) = A x. R ´ Vimoss também Vimo em que g (resp. g (resp. g −1 ) é diferen dif erenci´ ciável avel em R n e g ′ (x0 ) = A = A ′ −1 −1 n (resp. g (x0 ) = A ), qualquer que seja x 0 R . Se Ω e um conjunto aberto e f : f : Ω e uma um a fun¸ fu n¸c˜ cão ao difeRn ´ Rn ´ ′ renci´ avel avel em x em x 0 Ω, então ao sabemos que f que f (x0 ): Rn e a fun¸ fu n¸c˜ caao õ Rn ´ linear que “melhor aproxima” f aproxima” f nas proximidades de x0 , no sentido dado por (5.1). Seria, portanto, natural esperar que



→

 

⊂

se f : f : Ω

×

→

∈

→

∈

→

→ Rn é difer dif erenc enci´ iável avel em x em x 0 ∈ Ω e ′ J f = 0, f (x0 ) = det f (x0 ) 

 

ent˜ ao f ´ f é invert inver t´ıvel nas proximi prox imidad dades es de x de x 0 . Com um pouco mais de aten¸c˜ cão ao podemos observar que um tal resultado não ao pode ser verdadeiro, mesmo para n = n = 1. R a fun¸ De fato, consideremos f consideremos f :: R c˜ cao ão definida por

→

f ( f (x) =

 

x 1 + x2 sen 2 x 0



se x = 0, se x = 0.


106

´ imediato verificar que f E que f ´ é difer di feren enci´ ciável avel em todos os pontos de R e

′

f (x) =

 

1 1 + 2x sen 2 x 1 2

− cos 1x

se x = 0, 0,



se x = 0.

Se f f fosse invert´ invert´ıvel numa vizinhan¸ vizinha n¸ca c a de x0 = 0, então ao seria ne′ cessariamente injetora nessa vizinhan¸ca. c a. Como Como f (0) = 1/ 1/2, seria necessariamente crescente nessa vizinhan¸ca. ca. Mas isso é imposs impo ss´´ıvel porque f porque f ′ (x) muda de sinal (infinitas vezes!) em qualquer vizinhan¸ca ca que contenha x contenha x 0 = 0. Observe que se f ′ fosse fos se cont´ınua ınua em x0 = 0, entãao f o f ′ (x) > 0 para x para x suficientemente próximo oximo de x de x 0 = 0 e ter´ ter´ıamos o resultado r esultado desejado. desejad o.

O Teorema de Fun¸c˜ cão ao Inve Invers rsa a

→

O Teorema da Fun¸c˜ cao aõ Inversa é verdadeiro verd adeiro para fun¸c˜ coes o˜es f : f : V V , V , onde V é um espa es pa¸co ço de Banach. Banach. Nesta Nesta se¸c˜ cão ao veremos uma demonsn tra¸c˜ cao aõ espec´ espec´ıfica para o caso de V = R . No que segue segue estare estaremos mos n denotando indistintamente por a norma euclidiana 2 de R e a norma induzida L(Rn ,Rn ) definida por (4.11).

      Teorema 8.1: Seja Ω ⊂ Rn aberto e f : f : Ω → Rn fun¸c˜ cao ˜ de classe 1 C tal que J J f ( x ) = 0. 0 . Ent˜ ao existe δ δ > 0 tal 0 tal que  f 0 0 a) f ´ f é injeto inj etora ra em U = Bδ0 (x0 ); b) V = f ( f (U ) U ) é aber ab erto to;; c) f −1 : V

→ U ´ é de clas cl asse se C C 1 e

 

′

  

f −1 (f ( f (x0 )) = f ′ (x0 )

−1

.

Prova: Faremos Prova: Faremos a prova em quatro etapas. Etapa 1: δ 1 > 0 tal 0 tal que f ´ f é injeto inj etora ra em Bδ1 (x0 ). ′ Seja A Seja A = f = f (x0 ). Como J Como J f 0, A −1 est´ a definida. Como f Como f ´ é de f (x0 ) = 0, A 1 classe C classe C , dado ε dado ε > 0, existe δ existe δ > 0 (dependendo de ε de ε e x 0) tal que

∃



x − x0 < δ ⇒ f ′(x) − A < ε Tome x Tome x ∈ Bδ (x0 ) e h  = 0 tal que x que x + h ∈ Bδ (x0 ). Afirmativa 1: f ( f (x + h)  = f ( f (x) se δ se δ ´ é suficientemente suficientem ente pequeno. peque no.

(8. (8.1)

O Teorema da Fun¸c˜ cão ao Inve In vers rsa a

107

Rn definida por ϕ(t) = f ( De fato, seja ϕ: [0, [0, 1] f (x + th + th)) tAh. tAh . ′ ′ 1 Entãaoo ϕ é de class cla ssee C em ]0, ]0, 1[ e ϕ (t) = f (x + th + th))h Ah Ah.. Al´ Al ém em disso,

→

−



1

ϕ(1)

− ϕ(0) =

isto is to é, e,

− Ah − f ( f (x) =

Em particular,

 

f ′ (x + th) th)

0

 ≤  1

f (x + h) − f ( f (x) − Ah f (

ϕ′ (t) dt,

0

1

f ( f (x + h)

−

f ′ (x + th) th)

0



− A hdt. − A h dt.

Como x + th

[0, 1], segue de (8.1) que ∈ Bδ (x0), ∀t ∈ [0, f ( f (x + h) − f ( f (x) − Ah < εh . (8. (8.2) Visto que h = A−1 Ah ≤ A−1  Ah , obtemos de (8.2) f ( f (x + h) − f ( f (x) > 1 − εA−1 Ah . (8. (8.3) Escolhendo-se ε Escolhendo-se ε = = 12 A−1 −1 e δ 1 o δ o δ correspondente, correspondente, temos de (8.3):





1 f ( f (x + h) − f ( f (x) > Ah . 2 Como A é inver nvert´ t´ıvel ve l, Ah  = 0 ∀h  = 0, o que demonstra a afirmativa. Etapa 2: ∃ δ 2 > 0 tal 0 tal que f f Bδ (x0 ) é aber ab erto to.. Como f ´ f é de clas cl asse se C 1 , x → J f e fun¸ fu n¸c˜ cão ao co cont nt´´ınua. ınua . Log Logo, o, ∃δ˜ > 0 f (x) ´ tal que J que J f = 0 ∀x ∈ Bδ˜(x0 ). f (x)  ˜}. Ent˜ Seja δ 2 = min{δ 1 , δ Ent˜ aaoo J f = 0 ∀x ∈ Bδ (x0 ) e f ´ f é injet in jetor oraa f (x) 



2



2

em B em B δ2 (x0 ). Provemos que W que W = f Bδ2 (x0 ) é um conjunto aberto. aber to. Seja y Seja y 1 W . W . Então ao existe um unico x u ´ nico x1 Bδ2 (x0 ) tal que f que f ((x1 ) = y 1 . Tome r Tome r > 0 tal que B que B r (x1 ) Bδ2 (x0 ) e considere

∈



⊂



∈

K = ∂B ∂ Br (x1 ) e u(x) = f ( f (x)



f (x1 ) , − f (


108

onde ∂ B denota a fronteira de B . Como K é compacto e u é fun¸caõ cont´ınua, existe x ∗ K tal que

∈

{ ∈ K } = u(x∗ ). Observe que x ∗ ∈ K ⇒ x ∗ =  x1 ⇒ f (x∗ ) = f (x1 ) ⇒ m > 0. Afirmativa 2: Bm/2 f (x1 ) ⊂ f Br (x1 ) ⊂ W . Com efeito, tome y¯ ∈ Bm/2 f (x1 ) . Isto é, y¯ − f (x1 ) < m/2. Defina w(x): = f (x) − ¯ y . Como Br (x1 ) é compacto, ∃x ¯ ∈ Br (x1 ) tal que w(¯ x) = min{w(x) ; x ∈ Br (x1 )}. m: = inf u(x) ; x

    

Observe que



− ¯y ≤ f (x1) − ¯y < m/2. Observe também que se x ∈ K , então m m w(x) = f (x) − ¯ y ≥ f (x) − f (x1 ) − f (x1 ) − ¯ y  ≥ m − = . 2 2 w(¯ x) = f (¯ x)

∈

∈ ∈

Portanto x ¯ K , o que implica x ¯ Br (x1 ). Afirmativa 3: f (¯ x) = y¯, isto é y¯ f Br (x1 )

 

Com efeito, se x ¯ é ponto de m´ınimo de w(x) em Br (x1 ), então x ¯ 1 2 também é ponto de m´ınimo de g(x) = 2 f (x) y¯ 2 . Como x ¯ é ponto interior, g ′ (¯ x)h = 0, h Rn , o que implica que h Rn

− ∀ ∈

      −     

0 = g ′ (¯ x)h = Portanto,

∀ ∈ f (¯ x) − ¯ y; f ′ (¯ x)h =





f ′ (¯x)

T

f (¯ x)

f ′ (¯ x)

T

f (¯ x)



− ¯y ; h

¯ y = 0.

T

Como det f ′ (¯ x) = det f ′ (¯ x) = J f (¯ x) = 0, segue que f (¯ x) = y¯, e a afirmativa esta provada. Etapa 3: Se U = B δ2 (x0 ) e V = f (U ), ent˜ ao f −1 : V U é diferenciável . Seja y V e tome r > 0 tal que y + k V k tal que k < r e −1 −1 −1 h = f (y +k) f (y) = f (y + k) x. Então k = f (x+h) f (x).

∈

−

−

∈ ∀

→

  −

O Teorema da Fun¸cão Inversa

109

Como f é diferenciável, temos k = f ′ (x)h + ef (h). Se x U , então J f (x) = 0 e f ′ (x) é invert´ıvel. Assim, seja B = −1 f ′ (x) . Então Bk = h + Be f (h)

 ∈



Portanto,

f −1 (y + k) = f −1 (y) + Bk

− Bef (h)

Para provar que f −1 é diferenciável, basta provar que

Be f (h) = 0 k→0 k  lim

(8.4)

Como na Etapa 1,

k = f (x + h) − f (x) ≥ 21 Ah   ≤ A−1 Ah , temos

Como h

Ah ≥ A1−1 h. Portanto,

e 0

k ≥ 2A1−1 h

 ≤ B ef (h) = 2A−1 B ef (h) ≤ Bef k(h) 1  h h 2A

1

−



o que implica (8.4). Logo, f −1 é diferenciável em y = f (x) e

    ′

f −1 (y) = f ′ (x)

−1

Etapa 4: f −1 : V U é de classe C 1 . Vamos denotar A = f ′ (x1 ) e B = f ′ (x2 ). Visto que B −1 B −1 (A B)A−1 , obtemos

→

−

B−1 − A−1 ≤ B−1 A − B A−1

− A−1 = (8.5)


110 Por outro lado, temos para todo h

∈ Rn ,

h ≤ A−1 Ah ⇒ Ah ≥ Ah−1 , de modo que

Bh ≥ Ah − (A − B)h ≥ Ah − (A − B) h ≥ Ah−1 − (A − B) h. Portanto

Bh

 ≥

1 A−1

  

 − A − B h . Como f é de classe C 1 , dado 0 < ε ≤ 1/2A−1 , existe δ > 0 tal que x2 − x1 < δ ⇒ B − A < ε. Portanto, se x1 − x2  < δ , temos Bh ≥ 2A1−1 h . 

Tomando k = Bh vemos que (8.6) B−1k ≤ 2A−1 k ⇒ B−1 ≤ 2A−1 . Portanto, se x1 − x2  < δ , conclu´ımos de (8.5) e (8.6) B−1 − A−1 < 2A−12A − B < 2εA−12. Defini¸c˜ ao 8.2: Seja f : U → V uma fun¸cão bijetora. Dizemos que f −1

é um homeomorfismo entre U e V se f e f são cont´ınuas. Dizemos que f é um difeomorfismo entre U e V se f e f −1 são diferenciáveis. Com a terminologia da defini¸caõ acima, podemos enunciar o Teorema da Fun¸cão Inversa da seguinte maneira: Teorema 8.1: Se f é fun¸c˜ ao de classe C 1 e J f (x0 ) = 0, ent˜ ao existem vizinhan¸cas abertas U e V respectivamente de x 0 e f (x0 ) tais que f é difeomorfismo de classe C 1 entre U e V .




111

Aplica¸cão: o M´ etodo das Caracter´ısticas Como exemplo de aplica¸caõ direta do Teorema da Fun¸cão Inversa, vamos considerar nesta se¸cão o Método das Caracter´ısticas para a solu¸cão de equa¸co˜es a derivadas parciais de primeira ordem. Problema: Seja γ uma curva de R2 parametrizada por γ : I Ω, onde I é um intervalo de R e Ω um aberto de R 2 . Sejam a, b, c: Ω c˜ oes dadas. R fun¸ Determinar uma fun¸c˜ ao ϕ(x, y) solu¸cao ˜ da equa¸cao ˜

→

→

a(x, y)

∂ϕ ∂ϕ + b(x, y) = c(x, y), ∂x ∂y

(8.7)

 

cujos valores sobre a curva γ s˜ ao prescritos, isto é, ϕ γ (ξ ) = ϕ0 (ξ ) onde ϕ 0 : I R é uma fun¸c˜ ao dada.

→

A solu¸caõ do problema acima pode ser obtida via uma mudan¸ca apropriada de coordenadas, que pode ser intu´ıda pelo seguinte argumento: fixado um ponto γ 0 = γ (s0 ) = (x0 , y0 ) de γ , considere a curva Γ(ξ ) = x(ξ ), y(ξ ) que passa por γ 0 , isto é, Γ(0) = γ 0 . Defina z(ξ ) = ϕ x(ξ ), y(ξ ) , onde ϕ é solu¸caõ de (8.7). Se Γ é diferenciável, temos pela Regra da Cadeia,

     ∇   

dz dx ∂ϕ dy ∂ϕ = Γ′ (ξ ); ϕ(Γ(ξ )) = + . dξ dξ ∂x dξ ∂y

Portanto, se Γ satisfaz o sistema de equa¸co˜es diferenciais ordinárias dx = a(x, y), dξ dy = b(x, y), dξ

x(0) = x 0 , (8.8) y(0) = y 0 ,

podemos obter a solu¸cão ϕ resolvendo dz = c(x, y), dξ

z(0) = ϕ 0 (s0 ).

Se repetirmos o argumento anterior para todos os pontos γ (s), s I , obtemos uma fam´ılia de curvas—as curvas caracter´ısticas—sobre as quais a solu¸caõ ϕ pode ser determinada.

∈


112

Antes de analisarmos as condi¸cões para as quais o método funciona (e onde entra em cena o Teorema da Fun¸cão Inversa), vejamos um exemplo cuja solu¸caõ expl´ıcita pode ser calculada. Exemplo: Considere γ (s) = (s, s2 ). Determinar ϕ(x, y) solu¸cão de x

∂ϕ ∂ϕ +y = xy ∂x ∂y

tal que ϕ(γ (s)) = sen(s2 ), para todo s

(8.9)

∈ R.

Solu¸ c˜ ao: Consideremos o sistema (equa¸co˜es caracter´ısticas)

   

dx = x, dξ dy = y, dξ dz = xy, dξ

x(0, s) = s, y(0, s) = s 2 ,

(8.10)

z(0, s) = sen(s2 )

Resolvendo as duas primeiras equa¸co˜es de (8.10), obtemos



x(ξ, s) = se ξ ,

(8.11)

y(ξ, s) = s 2 eξ .

Substituindo (8.11) na terceira equa¸cão de (8.10) e resolvendo, obtemos s3 z(ξ, s) = (e2ξ 1) + sen(s2 ). (8.12) 2 Explicitando ξ e s em fun¸ca˜ o de x e y e substituindo em (8.12), encontramos a solu¸cão

−

z = ϕ(x, y) =

1 xy 2

− 21

  y x

3

+ sen

y x

2

.

O exemplo evidencia o ponto-chave do m´ etodo. De fato, a solu¸cão das duas primeiras equa¸cões de (8.10) define uma mudan¸ca de variáveis, isto é uma fun¸cão f : R2 R2 , (ξ, s) (x, y).

→ → 


113

Se f é invert´ıvel, então obtemos a solu¸cão por

◦ 

ϕ(x, y) = z(ξ, s) = z f −1 (x, y).



Pelo Teorema da Fun¸cão Inversa, se J f (0, s) = 0 para todo s em algum intervalo I , então f admite uma inversa numa vizinhan¸ca de γ (I ). Considerando os dados do problema, a saber, a curva inicial γ (s) e o campo de vetores (x, y) a(x, y), b(x, y) , a condi¸caõ

  

→



 



a(γ (s)) b(γ (s)) J f γ (s) = =0 γ 1 (s) γ 2 (s)

indica que os vetores (a, b) e (γ 1 (s), γ 2 (s)) são linearmente independentes. Temos, portanto, uma condi¸cão geométrica para que o método forne¸ca solu¸cão, a saber, que o campo (a, b) seja transversal à curva γ .

O Teorema da Fun¸c˜ ao Inversa (bis) A prova do Teorema da Fun¸cão Inversa apresentada na primeira se¸caõ deste cap´ıtulo restringe o resultado a espa¸cos de dimensão finita, visto que utiliza a compacidade da bola fechada. Nesta se¸caõ apresentamos uma prova que não faz uso desse fato e que estende o resultado a espa¸cos de Banach de dimensão infinita. No que segue denotamos indistintamente por uma norma qualn quer de R e a norma induzida L(Rn ;Rn ) definida por (4.11).

 

 

Lema 8.3: (Perturba¸cão da Identidade) Seja U um aberto de Rn e ϕ: U R n uma contra¸c˜ ao em U . Se f (x) = x ϕ(x), ent˜ ao f (U ) é aberto e f é homeomorfismo entre U e f (U ).

→

−

Prova: Faremos a prova em duas etapas. Etapa 1: f (U ) é aberto. Por hipótese, existe 0 < α < 1 tal que ϕ(x) ϕ(y) α x y para todo x, y U . Seja y f (U ) e x U tal que y = f (x). Se R = r(1 α)/2, onde r > 0 é tal que Br (x) U , então BR (y) f (U ). De fato, seja y B R (y) e considere a seqüência definida pela recorrência x0 = x, xk+1 = y + ϕ(xk ), k 0.

−

∈ ∈

∈

 − ∈ ⊂ ≥

≤  −  ⊂


114

∈ ∀ ∈ N, e, conseqüentemente, {xk }k está bem

Afirmativa 1: xk U , k definida. De fato,

(8.13) x1 − x = y + ϕ(x) − x = y − y < R < r/2. Suponhamos que x j ∈ Br/2 (x), para todo j = 1, . . . , k − 1. Então, xk − xk−1 = ϕ(xk−1 ) − ϕ(xk−2 ) ≤ αxk−1 − xk−2  ≤ . . . ≤ αk−1 x1 − x0  e obtemos

xk − x ≤ xk − xk−1 + ··· + x1 − x ≤ (αk−1 + ··· + 1)x1 − x <

1

1

−

De (8.13) e (8.14) conclu´ımos, por indu¸cão, que xk k N. Afirmativa 2: xk k é seq¨ uência de Cauchy. De fato, se l > k, então

∀ ∈

(8.14)

r R = . α 2

∈ Br/2(x) ⊂ U ,

{ }

xl − xk  ≤ xl − xl−1  + ··· + xk+1 − xk  ≤ αk x1 − x0 . (αl−1 + ··· + αk )x1 − x0  ≤ 1−α Como α < 1, dado ε > 0, existe k0 N tal que αk < (1 α)ε/R se k k 0 . Portanto, para l > k > k 0 , temos xl xk < ε. Das afirmativas 1 e 2 conclu´ımos que existe x Br/2 (x) U tal que xk x. Segue que x = y + ϕ(x), ou equivalentemente y = f (x), o que implica y f (U ) e conclu´ımos que f (U ) é aberto. Etapa 2 : f é homeomorfismo entre U e f (U ). Como ϕ é contra¸cão, temos

≥ →

∈

 −  ∈

− ⊂

∈

f (x1) − f (x2) ≥ x1 − x2  − ϕ(x1) − ϕ(x2 ) ≥ (1 − α)x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ U.

(8.15)


115

De (8.15) conclu´ımos que f é injetora em U . Portanto f −1: f (U ) U está bem definida. Igualmente de (8.15) conclu´ımos que f −1 é cont´ınua, pois

→

f −1(y1) − f −1(y2) ≤ 1 −1 α y1 − y2 . Corol´ ario 8.4: Sejam A, B (Rn , Rn ) com A invert´ıvel. Se A B < 1/ A−1 ent˜ ao B é invert´ıvel.





∈ L



 −

− A−1B = A−1(A − B). Como I − A−1B ≤ A−1 A − B < 1, ϕ é contra¸cão em Rn . Pelo Lema 8.3 f = I − ϕ = A−1 B é homeon Prova: Seja ϕ = I

morfismo em R e conclu´ımos a prova.

Rn aberto e f : Ω Rn fun¸ Teorema 8.5: Seja Ω cao ˜ de classe 1 C tal que J f (x0 ) = 0. Ent˜ ao existe U Ω vizinhan¸ca aberta de x0 tal que a) V = f (U ) é aberto em Rn ; b) f : U V é difeomorfismo de classe C 1 .

⊂



→

⊂

→

Prova: Faremos a prova em três etapas. Etapa 1: Existe δ 1 > 0 tal que f Bδ1 (x0 ) é aberto e f é homeomorfismo entre B δ1 (x0 ) e sua imagem. De fato, seja A = f ′ (x0 ) e considere ϕ = I A−1 f . Como ϕ′ (x0 ) = 0 e ϕ′ é cont´ınua, existe δ 1 > 0 tal que ϕ′ (x) α < 1 para todo x Bδ1 (x0 ). Portanto ϕ é contra¸cão em Bδ1 (x0 ). Pelo Lema 8.3, g = I ϕ = A−1 f é homeomorfismo entre Bδ1 (x0 ) e o aberto g Bδ1 (x0 ) . Como A é uma fun¸caõ aberta (A é inversa de fun¸cão cont´ınua A −1 ), temos em particular f Bδ1 (x0 ) = A g(Bδ1 (x0 )) aberto e



∈







−



−

◦ ≤

◦



  → 

f : Bδ1 (x0 )





f Bδ1 (x0 )

é homeomorfismo. Etapa 2 : Existe δ 2 > 0 tal que f : Bδ2 (x0 ) fismo.





→ f Bδ (x0 ) é difeomor2


116

De fato, como f como f ´ é de clas cl asse se C 1 , dado ε = 1/ A−1 existe δ 2 > 0 tal que se x x 0 < δ 2 , entãaoo f ′ (x) A < ε. Segue Segue portant portanto o do Corolário ario 8.4 que f que f ′ (x) é invert´ inve rt´ıvel ıve l para pa ra todo to do x Bδ2 (x0 ). Etapa 3 : (f ′ )−1 é cont´ınua nu a em f Bδ2 (x0 ) . Podemos repetir o argumento da etapa 4 da prova do Teorema 8.1.

 − 



− 







∈



Observa¸c˜ ao: O Lema 8.3 e o seu Corolário ario permanecem válidos alidos se n substituirmos em seus enunciados R por um espa¸co co de Banach V qualquer. qualquer. Como conseq¨ conseqüˆ uência, encia, substituindo substitu indo a condi¸c˜ cão ao “J f f (x0 ) = 0” ′ por “f “f (x0 ) inve i nvert´ rt´ıvel ıvel ”, ”, temos o Teorema da Fun¸c˜ cao ão Inversa para 1 aplica¸c˜ coes ões de classe C classe C f : f : V V definidas V definidas em um espa¸co co de Banach V V qualquer.



→

Exerc´ xe rc´ıcio ıc ioss Exer Ex erc c´ıcio ıci o 8.1. 8. 1. Seja f Seja f :: R2

→ R2 definida por

f ( f (x, y ) = (ex cos y, ex sen y ). Qual a imagem de f ? f ? Mostre Mostre que que o Jacobi Jacobiano ano de f n˜ ao ao é nulo em nenhum ponto de R2 . Pelo Pelo teorem teorema a da fun¸c˜ cao aõ inversa, todo ponto de R2 tem uma vizinhan¸ca ca onde f f é biu b iun n´ıvoca ıvo ca.. Entret Ent retant antoo f n˜ ao é 2 injetora em R . Quai Quaiss s˜ ao ao as imagens por f das f das retas paralelas aos eixos coordenados? Exer Ex erc c´ıcio ıci o 8.2. 8. 2. Para cada uma das fun¸c˜ coes ões abaixo determinar: determinar: (1) quais são ao sobrejetivas; (2) quais são ao injetivas; (3) o Jacobiano; (4) os pontos de R2 onde n˜ ao se aplica o Teorema da Fun¸c˜ ao cão ao Inversa.

→ R2 dada por f por f ((x, y ) = (ax + by,cx + dy) dy ) por f ((x, y ) = ( x2 + y 2 , arc tan y/x); y/x ); ∞[×R → R2 dada por f 2 2 2 → R dada por f por f ((x, y ) = (xy , x y ); → R2 dada por f por f ((x, y ) = (x3 − y, y 3 + x). Exerc Exe rc´ ´ıcio ıci o 8.3. 8.3 . Seja f : f : R3 \ P → R3 , f = (f 1 , f 2 , f 3) definida por a) b) c) d)

f : f : R2 f : f : ]0, ]0, f : f : R2 f : f : R2



f i (x1 , x2 , x3 ) = xi /(1 + x1 + x2 + x3 ), onde

{

|

}

P = (x1 , x2 , x3 ) 1 + x1 + x2 + x3 = 0 . Calcule o Jacobiano J Jacobiano J f ((x1 , x2 , x3 ). Mostre que f que f ´ é injeto in jetora ra e calcule cal cule f ((x −1 f .

O Teorema da Fun¸c˜ cão ao Inve In vers rsa a

117

Considere Considere as fun¸c˜ cões oes

Exer Ex erc c´ıcio ıci o 8.4. 8. 4.

cosh ξ = =

eξ + e−ξ eξ e−ξ , senh ξ = = . 2 2

−

a) Determine uma solu¸c˜ cão ao (x0 , y0 ) para o sistema



ex cos y

− ex sen y = 1

ex cosh y + ex senh y = 1

´ poss´ıvel b) E ıvel resolver r esolver o sistema



ex cos y

− ex sen y = 1 + µ

ex cosh y + ex senh y = 1 + ν

para µ para µ e ν ν pequenos? Exer Ex erc c´ıcio ıci o 8.5. 8. 5. Sabendo-se Sabendo-se que o polinômio f omio f ((x) = x 3 6x2 +11 +1 1x 6 possu po ssuii as ra´ızes ızes λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = 3, mostre que existe δ > 0 tal que se a + 6 < δ , b 11 < δ e c + 6 < δ , então ao o polinˆ omio omio 3 2 g (x) = x + ax + bx + bx + c c pos possui sui três es ra´ızes ıze s reai r eaiss e distinta dis tintass λ 1 , λ2 e λ3 .

−

|

|

| − |

|

−

|

Exer Ex erc c´ıcio ıci o 8.6. 8. 6. Seja Seja uma norma qualquer de Rn e considere em V = n×n munido da norma induzida, definida por (4.11). a) Seja = X V ; X é inv i nveert´ıvel ve l . Mostre Mostre que é aber ab erto to e desconexo em V em V .. b) Sejam Sejam A, B V . V . Dizemos que B é raiz quadrada de de A se B 2 = A. Mostre Mostre que existe existe δ > 0 tal que se A I < δ ent˜ entãao A o A possui possui uma raiz quadrada. c) “Quantas” ra´ızes ızes quadradas possui a identidade I identidade I 2×2 ,

M

 

I

 ∈ ∈



∈

I

 −

∈ ∈ M

I =

  1 0

0 ? 1

9 O Teorema de Fun¸c˜ ao Impl´ıcita Neste cap´ıtulo vamos estudar outro resultado central da Análise: o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita. ` guisa de motiva¸cão, consideremos a equa¸caõ da circunferência uniA ´ imediato verificar que podemos explicitar y t´ aria x 2 + y 2 1 = 0. E como fun¸cão da variável x:

−

y =

 − 1

x2

ou

y =



− 1 − x2.

− → −√ −

R ´ Mais precisamente, se ϕ: [ 1, 1] e a fun¸cão definida por ϕ(x) = 1 x2 (ou ϕ(x) = 1 x2 ), então ϕ está impl´ıcita na equa¸caõ da circunferência. De modo an´ alogo, a equa¸cão 5x2 + 5y 2 6xy 8 = 0 descreve uma elipse centrada em (0, 0).

√ −

−

−

1.6 1.4 1.2 1 y0.8 0.6 0.4 0.2 –1.6

–1.2 –1 –0.8

0 –0.4 –0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 x

–0.4 –0.6 –0.8 –1 –1.2 –1.4 –1.6

Figura 9.1


120

Embora explicitar y em fun¸cão de x não seja uma tarefa tão imediata, vemos pela figura que existe uma fun¸caõ ϕ: ]a, b[ R tal que y = ϕ(x) está impl´ıcita na equa¸caõ da elipse. O mesmo pode ser feito para mais variáveis. Por exemplo, no sistema

→



x2 + y 2 + z 2

− 10 = 0, −y2 + z2 − 4 = 0,

as variáveis z e y podem ser facilmente expressas como fun¸cão de x: z =

 − 14

x2

2

e

y =

 − 6

x2

2

.

Mas o que dizer do sistema



x3 + x2 y 2 + xyz 2

− 4 = 0, x2 − xyz + y 2 z 2 − 7 = 0?

Os exemplos acima nos remetem à seguinte questão: Problema: Dada f : Rk+m Rm e (x0 , y0 ) Rk+m tal que f (x0 , y0 ) = 0, deseja-se saber se existe Ω Rk aberto e uma fun¸cao ˜ ϕ: Ω Rm satisfazendo a) x0 Ω e ϕ(x0 ) = y 0 ; b) f x, ϕ(x) = 0, x Ω.

→

→

 ∈ 

⊂

∈

∀ ∈

Se a resposta for afirmativa, dizemos que ϕ é fun¸c˜ ao impl´ıcita para a equa¸cão f (x, y) = 0 na vizinhan¸ca de x0 . Observa¸c˜ ao: No caso particular em que k = m = 1, podemos obter resposta para a questão acima via Teoria de Equa¸co˜es Diferenciais Ordin´ arias. De fato, supondo f e ϕ diferenciáveis, temos pela Regra da Cadeia ∂f ∂f + ϕ′ (x) = 0. ∂x ∂y Se f é de classe C 1 e ∂f caõ ∂y (x0 , y0 ) = 0, podemos obter ϕ como solu¸ do problema de valor inicial



 

dϕ = Φ(x, ϕ) dx ϕ(x0 ) = y 0

(9.1)

O Teorema da Fun¸c˜ ao Impl´ıcita

121

onde estamos denotando Φ(x, y) =

 −



∂f (x, y) ∂y

−1

∂f (x, y). ∂x

As hip´ oteses que garantem a existência de solu¸cões para as equa¸cões do tipo (9.1) (veja Cap´ıtulo 11) fornecem respostas para a questão. A “via” que permite tratar a questão acima de modo simples, é a que faz uso do Teorema da Fun¸cão Inversa. Para ilustrar a idéia, consideremos o seguinte caso particular. Seja f : Rn ao linear definida por f (z) = Az, Rm (n = k + m) a fun¸c˜ onde A é matriz m n. Denotando z = (x, y) = (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , ym ), podemos escrever f (x, y) = Az = Bx+Cy, onde B e C são submatrizes respectivamente de ordem m k e m m, isto é, A = [B C ] é composta dos blocos B e C . Se C é invers´ıvel, podemos explicitar y como fun¸cão de x pois

→

×

×

×

⇒ y = −C −1Bx.

Bx + Cy = 0

Neste caso, se ϕ: Rk e a fun¸caõ linear definida por ϕ(x) = Rm ´ −1 C Bx, então ϕ está impl´ıcita na equa¸cão f (x, y) = 0 na vizinhan¸ca de x 0 , qualquer que seja x 0 . Observe que neste caso particular, os blocos B e C são as derivadas parciais de f . De fato,

→

−





∂f B = (x0 , y0 ) ∂x e ϕ =

 −



e



∂f (x0 , y0 ) ∂y



∂f C = (x0 , y0 ) ∂y −1



∂f (x0 , y0 ) ∂x

(9.2)

A chave para tratar a questão via Teorema da Fun¸caõ Inversa pode ser observada se reescrevermos a equa¸cão f (x, y) = 0 na seguinte forma. Seja F : Rn ao linear definida por Rn (n = k + m) a fun¸c˜ F (x, y) = x, f (x, y) . Então F (z) = z, onde é a matriz



→



A

A=

  I k B

O , C

A


122

×

onde I k é a matriz identidade de ordem k k e O é a matriz nula de ´ ordem k m. Sabemos da Algebra Linear que det = det C . Assim, se C é invers´ıvel, também é a matriz , sendo fácil verificar que

×

A

A

−1

A



=

−

I k C −1 B



O . C −1

Portanto, F (x, y) = (x, 0)

⇐⇒

(x, y) = F −1 (x, 0) = (x, C −1 Bx)

−

e reencontramos a solu¸cão (9.2).

O Teorema da Fun¸c˜ ao Impl´ıcita Teorema 9.1: Seja f : Rk Suponha f (x0 , y0 ) = 0 e

× Rm → Rm uma fun¸c˜ ao de classe C 1.



 

∂f det (x0 , y0 ) = 0. ∂y Ent˜ ao existe aberto Ω Rk e ϕ: Ω que a) x0 Ω e ϕ(x0 ) = y 0 ; b) f x, ϕ(x) = 0, x Ω.

⊂

˜ de classe C 1 tais → Rm fun¸cao

 ∈   

∀ ∈ Prova: Seja F : Rk × Rm → Rk × Rm a fun¸caõ definida por F (x, y) = 1

x, f (x, y) . Ent˜ ao F é de classe C e a matriz Jacobiana de F em z0 = (x0 , y0) é

               F ′ (z0 ) =

Como

I k

O

∂f (z0 ) ∂x

∂f (z0 ) ∂y

J F (z0 ) = det F ′ (z0 ) = det

∂f (z0 ) = 0, ∂y


123

Rk R m visegue do Teorema da Fun¸cão Inversa que existe U zinhan¸ca aberta de z0 tal que V = F (U ) é aberto e F : U V é difeomorfismo de classe C 1 . Se denotarmos por (˜ x, y˜) = F (x, y) para (x, y) U , então (x, y) = −1 F (˜ x, y˜), (˜ x, y˜) V . Como x ˜ = x, decorre da defini¸cão que F −1 tem a forma

⊂

×

→

∈

∈





F −1 (˜ x, ˜ y) = x ˜, g(˜ x, y˜) ,

∈

(˜ x, ˜ y ) V,

onde g : Rk Rm e fun¸cão de classe C 1 . Portanto, y˜ = f (x, y) Rm ´ se e somente se y = g(x, ˜ y ). Em particular,

×

→

f (x, y) = 0

⇐⇒

y = g(x, 0)

e conclu´ımos a prova denotando ϕ(x) = g(x, 0) para todo x U Rk .

∩

∈ Ω =

Multiplicadores de Lagrange Uma das aplica¸cões importantes do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita é o Método dos Multiplicadores de Lagrange para o cálculo de extremos de fun¸co˜es sujeitas a restri¸cões. ` guisa de motiva¸cão, seja f : Rn A cão cont´ınua e conR uma fun¸ sidere o problema de otimiza¸cão

→

Problema: Determinar o m´ınimo global de f sobre a bola fechada B = BR (x0 ), isto é, determinar x B tal que f (x) f (x), x B

≤

∈

∀ ∈

Como B é compacto e f é cont´ınua, sabemos que a solu¸cão do problema existe. Se f é diferenciável e x pertence ao interior de B, entã o a solu¸cão pode ser determinada dentre os pontos cr´ıticos de f . Mas como determinar a solu¸cão se x estiver na fronteira da bola? O resultado a seguir fornece um método, caso f seja suficientemente regular.

 ∈

Teorema 9.2: Sejam f , g: Rn R fun¸ c˜ oes de classe C 1 e S = x Rn ; g (x) = 0 . Suponha x 0 S tal que



∈

g ′ (x0 ) = 0



e

→



f (x0 ) = min f (x) ; x



∈ S .


124

Ent˜ ao f ′ (x0 ) e g ′ (x0 ) s˜ ao linearmente dependentes, isto é, existe (multiplicador de Lagrange) λ R tal que f (x0 ) = λ g(x0 ).

∈

∇

∇

Prova: Se g ′ (x0 ) = 0, podemos supor sem perder a generalidade que ∂g R tal que ∂x n (x0 ) = 0. Seja λ





∈

∂f ∂g (x0 ) = λ (x0 ). ∂x n ∂x n Para concluir a prova, basta mostrar que ∂f ∂ g (x0 ) = λ (x0 ) ∂x i ∂x i se verifica para i = 1, . . . , n 1. Se denotarmos x = (˜x, y) Rn−1 R, x0 = (˜ x0 , y0 ), então g é de classe C 1 , g (˜ x0 , y0 ) = 0 e

− ∈

×

∂g ∂g (x0 ) = (˜ x0 , y0 ) = 0, ∂x n ∂y



segue do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita que existe uma vizinhan¸ca aberta Ω Rn−1 de x˜0 e uma fun¸caõ ϕ: Ω R de classe C 1 tais que ϕ(˜ x0 ) = y 0 e g x ˜, ϕ(˜ x) = 0, x ˜ Ω. (9.3)

⊂

→ ∀ ∈

    ≤   ∀ ∈  ∈     

Além disso, como

f x ˜0 , ϕ(˜ x0 )

f x ˜, ϕ(˜ x) ,

x ˜

Ω,

verificamos que x ˜0 Ω é ponto de m´ınimo para a fun¸caõ diferenciável x ˜ ψ(˜ x) = f x˜, ϕ(˜ x) . Portanto, ψ ′ (˜ x0 ) = 0 e temos da Regra da Cadeia, ∂f ∂ f [ψ ′ (˜ x0 )] = (x0 ) + (x0 ) [ϕ′ (˜x0 )] = 0. (9.4) ∂ ˜ x ∂y

→

Derivando a equa¸caõ (9.3) em rela¸cã o a x ˜, obtemos ∂g ∂ g (x0 ) + (x0 ) [ϕ′ (˜ x0 )] = 0. ∂ ˜ x ∂y

(9.5)

Multiplicando a equa¸cão (9.5) por λ e subtraindo de (9.4), obtemos a conclus˜ ao ∂f ∂g (x0 ) = λ (x0 ) . ∂ ˜ x ∂ ˜ x

   


125

Aplica¸c˜ oes Para exemplificar aplica¸cões do Método dos Multiplicadores de Lagrange, retomemos duas desigualdades importantes demonstradas no Cap´ıtudo 2: as desigualdades de H¨ older e de Young (veja Lema 2.6 e Corolário 2.7). Desigualdade de H¨ older: Sejam p e q tais que 1 < p, q < + 1/p + 1/q = 1. Ent˜ ao, para todo x, y Rn , vale a desigualdade

∞ e

∈

|x; y| ≤ x pyq. Prova: Seja y ∈ R n , y  = 0 e consideremos as fun¸cões f, g: Rn → R definidas por

 

f (x) = y; x ,

e

  p p − 1.

g(x) = x

A fun¸cão f é de classe C 1 pois é linear e A fun¸caõ g é de classe C 1 pois p > 1 e

∇f (x) = y para todo x ∈ Rn.





∇g(x) = p|x1 | p−2x1, . . . , p|xn | p−2xn , para todo x Rn . Seja S = x Rn ; g (x) = 0 . O conjunto S é a esfera unitária para a norma e compacto, existe x S ponto de m´ aximo p . Como S ´ de f sobre S , isto é,

 ∈∈



 

∈

≥ f (x), ∀x ∈ S. Além disso, ∇g(x)  = 0 pois x p = 1 e f (x)

n

∇   | |

xi p−1 > 0.

g(x); x = p

i=1

∈ R tal que ∇f (x) = λ∇g(x), isto é, yi = λp |xi | p−2 xi , ∀i = 1, . . . , n . (9.6)

Pelo Teorema 9.2, existe λ


126 ´ claro que λ > 0, pois se y˜ = y/ y p, então E

 λp = y; x ≥ y; y˜ = y 22 /y  p > 0.

Como q é o conjugado de p, tomando o módulo em ambos os lados de (9.6) e elevando à potência q , obtemos

|yi|q = ( pλ)q |xi |( p−1)q = ( pλ)q |xi| p . Somando em i = 1, . . . , n, obtemos

yqq = ( pλ)q x p p = ( pλ)q . Então, para x

∈ S qualquer, temos n

y; x = f (x) ≤ f (x) = pλ

| |

xi p = y

 q x p = yq .

(9.7)

Rn x = 0 qualquer, seja x Para x ˜ = x/ x p . Ent˜ ao x˜ desigualdade (9.7) nos dá

∈ S e a

∈

i=1





y; x ≤ yq x p. Para concluir a desigualdade, basta observar que m´ınimo para f em S .

−x ∈ S é ponto de

Desigualdade de Young: Sejam p e q tais que 1 < p, q < + 1/p + 1/q = 1. Ent˜ ao, para todo x, y R, vale a desigualdade

∞ e

∈ p q |xy| ≤ |x| + |y| . p

q

→ R definidas por

Prova: Consideremos as fun¸cões f , g: Ω+ f (x, y) =



1 p 1 q x + y , p q

||

||

e

g(x, y) = xy

  ||

− 1,

onde Ω+ = (x, y) R 2 ; x > 0, y > 0 . A fun¸caõ f é de classe C 1 pois p, q > 1 e f (x, y) = x p−2 x, y q−2 y para todo (x, y) R2 .

∇

∈

| |

∈


127

A fun¸caõ g é de classe C 1 pois é polinˆ omio e g(x, y) = (y, x), para 2 todo (x, y) R . Seja S = (x, y) R2 ; g (x, y) = 0 . O cojunto S n˜ ao é compacto, pois n˜ ao é limitado. Entretanto é fechado e como f é coerciva (veja (4.9)), existe (x, y) ponto de m´ınimo de f sobre S , isto é, f (x, y) f (x, y), (x, y) S . Além disso, g(x, y) = (y, x) = (0, 0). Pelo Teorema 9.2, existe λ R tal que f (x, y) = λ g(x, y), isto é,

∇

 ∈

∈

∀

∈

∇



≤



∈ ∇ |x| p−2x = λy, |y|q−2y = λx,

∇



≥

de onde conclu´ımos que x = y = 1. Logo, f (x, y) 1 para todo (x, y) S . Seja (x, y) R2 , (x, y) = (0, 0) e defina x ˜ = x/ xy 1/p e y˜ = y/ xy 1/q . Entã o (˜ x, ˜ y ) S e 1 p 1 q x ˜ + y˜ 1, p q

∈

∈

∈



| |

||

| |

|| ≥

de onde segue a desigualdade 1 p 1 x + y p q

| |q ≥ xy.

||

Para concluir, basta repetir o argumento para as fun¸cões f e g acima definidas em Ω− = (x, y) R2 ; x < 0, y < 0 .



∈

Multiplicadores de Lagrange (bis)



Vimos nas se¸cões anteriores o M´ etodo dos Multiplicadores de LaR grange para o caso de uma restri¸cão, isto é, g(x) = 0, com g: Rn 1 fu¸caõ de classe C . Vamos tratar nesta se¸caõ o caso geral, com m restri¸cões.

→

Teorema 9.3: Seja f : Rn R uma fun¸cao ˜ diferenciável e g: Rn m 1 ˜ de classe C . Seja S = x Rn ; g (x) = 0 R , m < n, uma fun¸cao

→

 ∈

→




128



∈

∇f (x0) =





 

e x0 S tal que f (x0 ) = min f (x) ; x S . Se o posto de g ′ (x0 ) é m, ent˜ ao existe λ = (λ1 , . . . , λm ) Rm tal que

∈

∈

m

λi g(x0 ).

i=1

(9.8)

∇

Observa¸c˜ ao: A equa¸caõ (9.8) pode ser interpretada como um sistema linear de n equa¸co˜ es e m incógnitas, com n > m. De fato, podemos escrever (9.8) na forma

    

∂g 1 (x0 ) ∂x 1 .. . ∂g 1 (x0 ) ∂x n

··· ..

.

···

∂g m (x0 ) ∂x 1 ... ∂g m (x0 ) ∂x n

         λ1 .. .

=

λm

∂f 1 (x0 ) ∂x 1 .. . ∂f 1 (x0 ) ∂x n

  

 

Ou de modo mais conciso, Hλ = F , onde H = g ′ (x0 ) T

(9.9)

T

e F =

f ′ (x0 ) . Para provar o teorema, devemos mostrar que o sistema (9.9) possui uma solu¸caõ λ. Prova: Se x Rn , escrevemos x = (y, z) Rk Rm , onde k = n m. Como o posto de g ′ (x0 ) é igual a m, a matriz g ′ (x0 ) possui m colunas linearmente independentes, que podemos supor sem perder a generalidade, serem as últimas m colunas. Assim,

∈

∈ ×

 

              g ′ (x0 ) =

∂g (x0 ) ∂y

∂g (x0 ) ∂z

−

,

∂g (x0 ) é invers´ıvel. ∂z Como g é de classe C 1 e g (y0 , z0 ) = 0, segue do Teorema da Fun¸caõ Rm Impl´ıcita que existe U Rk vizinhan¸ca aberta de y0 e ϕ: U de classe C 1 tal que ϕ(y0 ) = z 0 e onde a submatriz

⊂

 

g y, ϕ(y) = 0,

→

∀y ∈ U.

(9.10)


129

∈ U é ponto de m´ınimo para a fun¸cão y → f y, ϕ(y) , y ∈ U.

Em particular, y 0

 

(9.11)

Portanto, segue da regra da cadeia

     

∂f ∂f (x0 ) + (x0 )ϕ′ (y0 ) = 0 ∂y ∂z ∂g ∂g (x0 ) + (x0 )ϕ′ (y0 ) = 0 ∂y ∂z

(9.12)

Para simplificar a nota¸cão, consideremos ∂f F 1 = (x0 ) ∂y

T

∂g B = (x0 ) ∂y

T

   

,

∂f F 2 = (x0 ) ∂z

,

∂g C = (x0 ) ∂z T

T

,

T

,

Φ = [ϕ′ (y0 )] .

Então, tomando a transposta nas equa¸cões (9.12), temos



−F 1 −B

ΦF 2 = ΦC =

(9.13)

Como C é invers´ıvel, seja λ Rm solu¸caõ de C λ = F 2 . Então, segue de (9.13) que Bλ = ΦCλ = ΦF 2 = F 1 .

∈

−

−

Portanto, H λ = F e conclu´ımos a prova.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 9.1. Considere a superf´ıcie xy z log y + e yz e = 0. ´ poss´ıvel representá-la na forma z = f (x, y) nas proximidades do E ponto (0, 1, 1)?

−

−

Exerc´ıcio 9.2. O ponto P = (1, 1, 2) pertence às superf´ıcies x2 (y 2 + z 2 ) = 5 e (x z)2 + y 2 = 2. Mostre que a curva interse¸caõ dessas

−

−


130

superf´ıcies pode ser parametrizada na forma z = f (x) e y = g(x) numa vizinhan¸ca de P . Exerc´ıcio 9.3. Seja f : R R fun¸cão de classe C 1 tal que f (1) = 1 e defina S = (x, y) R2 ; 2f (xy) = f (x)2 + f (y) .

→ ∈ a) Mostre que se f ′ (1)  = 0, existe r > 0 tal que S ∩ B r (1, 1) é 1





gráfico de uma fun¸cão y = ϕ(x) de classe C . b) Nas condi¸cões do item (a), se f é de classe C 2 , mostre que x = 1 é ponto de máximo ou m´ınimo local para ϕ (o que implica, em particular, que S n˜ ao é gráfico de nenhuma fun¸cão x = ψ(y) na vizinhan¸ca de (1, 1)). c) Mostre que se S é gráfico de uma fun¸cão x = ψ(y) em alguma vizinhan¸ca de (1, 1), então f ′ (1) = 0. Exerc´ıcio 9.4. Seja f : R2 R tal que f (0, 0) = 0. Encontre uma condi¸caõ para f que permita resolver a equa¸cão f f (x, y), y = 0 com y fun¸cão de x numa vizinhan¸ca de (0, 0).

→





Exerc´ıcio 9.5. Mostre que o sistema abaixo pode ser resolvido com: 1) x,y,u em fun¸cão de z ; 2) x, z , u em fun¸cão de y; 3) y , z , u em fun¸cão de x; mas n˜ ao é poss´ıvel exprimir x, y,z em fun¸caõ de u.

 

3x + y x y 2x + 2y

−

− + −

z 2z 3z

+ u2 = + u = + 2u =

0 0 0

Exerc´ıcio 9.6. Seja f : Rn Rn cão de classe C 1 tal que Rn uma fun¸ f (0, 0) = 0. Sejam B e C respectivamente as matrizes (relativamente à base canônica)

× →





∂f (0, 0) ∂x

e



∂f (0, 0) ∂y



a) B e C são matrizes de que ordem? b) Escreva [f ′ (0, 0)] em termos dos blocos B e C .

O Teorema da Fun¸c˜ ao Impl´ıcita c) Seja φ: Rn Calcule



131





× Rn → Rn definida por φ(x, y) = f f (x, y), f (x, y) .

 

∂φ (0, 0) , ∂x



∂φ (0, 0) ∂y

[φ′ (0, 0)]

e

em termos de B e C . d) Se B é invers´ıvel e C < 1/ B −1 , mostre que a equa¸caõ φ(x, y) = 0 pode ser resolvida com x em fun¸ca˜ o de y numa vizinhan¸ca de 0 Rn .

 

∈





→ R cont´ınua tal que f (x) > 0 se x > 0,

Exerc´ıcio 9.7. Seja f : R satisfazendo



1

f (t) dt = 2.

0

Mostre que existe δ > 0 e uma u ´ nica fun¸cão ϕ: [0, δ ] C 1 em ]0, δ [ tal que



→ R de classe

ϕ(x)

f (t) dt = 1.

x

Determine ϕ′ (x).

Exerc´ıcio 9.8. Calcular o valor máximo de f (x1 , . . . , xn ) = (x1 x2

··· xn)2

sob a restri¸caõ x21 + x 22 + + x 2n = 1. Utilizar o resultado para calcular a seguinte desigualdade, válida para n´ umeros reais positivos a1 , . . . , an : a1 + + an (a1 a2 an )1/n n

···

···

···

≤


→ R definida por f (x1 , . . . , xn ) = x 21 x22 ··· x2n .

Sejam p 1 , p2 , . . . , pn n´ umeros reais estritamente positivos e defina n

 ∈ 

G = x



pi x2i = 1 .

n

R ;

i=1


132 a) Mostre que existe x b) Calcule x.

∈ G tal que f (x) = max



f (x) ; x



∈ G

;

Exerc´ıcio 9.10. Seja L(Rn Rm ) a norma induzida pelas normas n m euclidianas de e (veja (4.11)). Se A é matriz m n, R R 2 mostre que A L(Rn Rm ) = λ, onde λ é o maior autovalor da matriz simétrica e positiva definida AT A. 2 1 Use o resultado para concluir que se A = , então 0 1

   

  √

×

 

 A L (

R2 ;R2 )

=



3+

√

5.

10 Seq¨ uˆ encias de Fun¸co ˜es Seja A um subconjunto de Rn e consideremos (A, Rm ) a cole¸caõ de todas as fun¸cões definidas em A com valores em R m , isto é,

F

F (A, Rm ) =





→ Rm ; f é fun¸caõ . Seja {f k }k uma seq¨ uência de fun¸co˜es de F (A, Rm ) e x0 ∈ A. Dizemos que {f k } converge pontualmente em x 0 se a seqüência {f k (x0 )} é seq¨ uência convergente de R m . Dizemos que {f k } converge pontualmente em A se para todo x ∈ A a seq¨ uência {f k (x)} é convergente m em R . ´ claro que se {f k } é pontualmente convergente em A, a unicidade E do limite nos permite definir a fun¸cão limite f ∈ F (A, Rm ). Isto é, f : A

f (x) = limk→∞ f k (x). As considera¸cões acima nos levam naturalmente à

{ } F (A, Rm ) con-

Defini¸c˜ ao 10.1: Dizemos que uma seq¨ uência f k de verge pontualmente para f em A se

∀x ∈ A, ∀ ∈ ≥

∀

f (x) = lim f k (x),

∃ ∈  − 

k→∞

isto é, x A e ε > 0, k0 N (que pode depender de ε e x) tal que se k k0 então f k (x) f (x) < ε.

{ }

Nota¸ c˜ ao: Se f k converge pontualmente para f em A denotamos p f k f em A.

−→


134

A convergência pontual tem um “defeito”; pode não transferir para a fun¸cão limite as “boas” propriedades das fun¸cões f k . De fato, propriedades tais como continuidade, semicontinuidade, integrabilidade, etc., podem não ser herdadas pela fun¸caõ limite pontual, como veremos a seguir. Exemplo 1: (Perda de Continuidade) Consideremos a seq¨ uência de (R, R) definida por

F

f k (x) =



0 kx 1

se x se x se x

≤ 0 ∈ [0, 1/k] ≥ 1/k

´ imediato verificar que f k é cont´ınua para todo k N e que f k E converge pontualmente em R para a fun¸cão de Heaviside

∈

f (x) = que é descont´ınua em x = 0.



0 1

≤

se x 0 se x > 0

Exemplo 2: (Perda de Integrabilidade) Consideremos a seq¨ uência de [0, 1], R definida por

 

F

f k (x) = lim (cos k!πx)2j . j→∞

Não é dif´ıcil mostrar (veja Exerc´ıcios) que f k (x) = 0, exceto para um n´ umero finito de pontos de [0, 1] e que f k converge pontualmente em [0, 1] para a fun¸cão de Dirichlet



0 se x é irracional 1 se x é racional Portanto, f k é fun¸caõ Riemann-integrável em [0, 1] para todo k mas a fun¸cão limite f n˜ ao é Riemann-integrável. f (x) =

∈ N,

Mesmo que a fun¸cão limite pontual seja integrável, pode não ocorrer a conserva¸caõ no valor limite das integrais. De fato, considere a se´ f´ qüência f k de ([0, + ); R) definida por f k (x) = kx2 e−x/k . E acil ver que f k converge pontualmente para a fun¸cão f 0 e que

{ } F

∞



≡

+∞

0

f k (x) dx = 1,

∀ k ∈ N.

Seq¨ uˆ encias de Fun¸co ˜es

135

Convergˆ encia Uniforme

{ } F (A, Rm ) con-

Defini¸c˜ ao 10.2: Dizemos que uma seq¨ uência f k de verge uniformemente para f (A, Rm ) em A se

∈ F ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N tal que se k ≥ k0 então f k (x) − f (x) < ε, ∀x ∈ A. Nota¸ c˜ ao: Se {f k } converge uniformemente para f em A denotamos u −→ f k f em A.

Vale observar que a convergência uniforme implica na convergência pontual, mas não a rec´ıproca; o k0 da convergência uniforme só depende de ε, enquanto o da convergência pontual depende do ε e de cada x. Exemplos: A seqüência f k de [ 1, 1], R definida por f k (x) = x2 + 1/k converge uniformemente em [ 1, 1] para f (x) = x . A seq¨ uência f k definida por f k (x) = x k converge pontualmente (mas n˜ ao uniformemente) em [0, 1] para a fun¸cão





{ } F −

{ }

f (x) =



| |

0 se x [0, 1[ 1 se x = 1

Proposi¸ ca õ 10.3: Suponhamos f k



−



∈

p −→ f em A e seja



− f (x) ; x ∈ A . u Ent˜ ao f k −→ f em A se e somente se M k −→ 0. Prova: Provemos inicialmente a implica¸cão ⇒. Dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que se k ≥ k0 , então f k (x) − f (x) < ε/2, para todo x ∈ A. Portanto, passando ao sup em x, M k ≤ ε/2 se k ≥ k0 . A rec´ıproca é imediata, pois f k (x) − f (x) ≤ M k para todo x ∈ A. Defini¸c˜ ao 10.4: Uma seq¨ uência de F (A, Rm ) é denominada uniM k = sup

f k (x)

formemente de Cauchy se

∀ε > 0, ∃k0 ∈ N tal que se k, l ≥ k0 então f k (x) − f l (x) < ε, ∀x ∈ A.


136

O Teorema a seguir, denominado Critério Uniforme de Cauchy , caracteriza as seqüências que convergem uniformemente. Teorema 10.5: f k u f em A se e somente se f k mente de Cauchy em A.

−→

Prova: A implica¸cão triangular,

{ }k é uniforme-

⇒ é conseqüência imediata da desigualdade

f k(x) − f l(x) ≤ f k (x) − f (x) + f l(x) − f (x) . Provemos a implica¸cão contrária (⇐). Se {f k } é uniformemente de Cauchy em A, então para cada x ∈ A, a seq¨ uência {f k (x)} é seq¨ uência de Cauchy em Rm . Como conseq¨ uência do Teorema 3.28 existe o limite f (x) = limk→∞ f k (x) e conclu´ımos p que f k −→ f em A. u Para provar que f k −→ f em A, seja ε > 0. Então existe k0 ∈ N tal que k, l ≥ k 0 ⇒ f k (x) − f l (x) < ε/2, ∀x ∈ A. (10.1) Fixando k e passando ao limite para l → ∞ em (10.1), obtemos k ≥ k0 ⇒ f k (x) − f (x) ≤ ε/2, ∀x ∈ A. Segue a conclusão. A convergência uniforme preserva as “boas” propriedades. De fato, Teorema 10.6: Seja x 0 A A′ e f k seq¨ uência de fun¸c˜ ao cont´ınuas em x 0 . Se f k u f em A, ent˜ ao f é cont´ınua em x 0 .

−→

∈ ∩

{ }

∈ A. Então f (x) − f (x0) ≤ f (x) − f k (x) + f k(x) − f k (x0 ) (10.2) + f k (x0 ) − f (x0 ) , ∀k. Dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que se k ≥ k 0 , f k (x) − f (x) < ε/3, ∀x ∈ A. Portanto, fixando k = k0 em (10.2), temos Prova: Seja x

f (x) − f (x0 ) < 2ε3 + f k (x) − f k (x0 ) . 0

0


137

 − x0 < δ ,

Como f k0 é fun¸cão cont´ınua, existe δ > 0 tal que se x então f k0 (x) f k0 (x0 ) < ε/3 e temos a conclusão.



−



Observa¸c˜ ao: O Teorema 10.6 pode ser interpretado como uma comutatividade de limites : f (x0 ) = lim f k (x0 ) = lim lim f k (x), k→∞ x→x0

k→∞

f (x0 ) = lim f (x) = lim lim f k (x). x→x0

x→x0 k→∞

De fato, a convergência uniforme preserva essa comutatividade, como vemos no resultado a seguir. Teorema 10.7: Seja f k uma seq¨ uência de (A, Rm ) e x0 Se f k u f em A e limx→x0 f k (x) = µ k , ent˜ ao

{ }

−→

F

∈ A′.

lim f (x) = lim µk = µ.

x→x0

k→∞

Prova: Se f k u f em A, então f k é uniformemente de Cauchy. Assim, dado ε > 0, existe k 0 N tal que

−→

∈

{ }

≥ k0 ⇒ f k (x) − f l(x) < ε, ∀x ∈ A. (10.3) Para k e l fixados, podemos passar ao limite com x → x 0 em (10.3) para obter k, l ≥ k0 ⇒ µk − µl  ≤ ε. Portanto, a seq¨ uência {µk } é seq¨ uência de Cauchy em R m e existe o k, l

limite µ = limk→+∞ µk . Por outro lado, temos da desigualdade triangular,

f (x) − µ ≤ f (x) − f k (x) + f k (x) − µk  + µk − µ , ∀k ∈ N.

(10.4) A primeira e a terceira parcelas do lado direito de (10.4) podem ser tornadas tão pequenas quanto se queira se k e´ grande. Mais precisamente, existe k 1 N tal que

∈

µk − µ < ε/3 1

e

f (x) − f k (x) < ε/3, ∀x ∈ A. 1


138

Além disso, como limx→x0 f k1 (x) = µk1 , existe δ > 0 tal que se 0 < x x0 < δ , então f k1 (x) µk1 < ε/3 e conclu´ımos a prova.

 − 

 −  Teorema 10.8: Seja {f k }k uma seq¨ uência de fun¸coes ˜ de F [a, b]; R u tal que cada f k é fun¸c˜ ao Riemann-integrável em [a, b]. Se f k −→ f

 

em [a, b], ent˜ ao f é integrável em [a, b] e



b

lim

k→∞



b

f k (x) dx =

a

f (x) dx.

a



··· < xm = b

Prova: Seja P = a = x0 < x1 < [a, b] e consideremos





M ik = sup f k (x) ; x



∈ [xi−1 , xi ] , k mi = inf f k (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ] , Consideremos também U (f k , P ) =

uma parti¸cão de



∈ [xi−1, xi] mi = inf f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ] . M i = sup f (x) ; x

m





,

m

M ik ∆xi

e

L(f k , P ) =

i=1



mki ∆xi ,

i=1

onde ∆xi = xi xi−1 . Como f k u f em [a, b], segue que M ik M i e mki mi quando k , para todo i = 1, . . . , m. Assim, para ε > 0 dado, existe k0 N tal que ε ε M ik0 M i < e mki 0 mi < , i = 1, . . . , m . 2(b a) 2(b a)

−→

→∞ ∈ | − |

−

→

−

|

− |

→

−

∀

Portanto,

− ε2 < U (f k , P ) − U (f, P ) < 2ε , − 2ε < −L(f k , P ) + L(f, P ) < 2ε . 0

0

Somando as desigualdades acima obtemos

−ε < U (f k , P ) − L(f k , P ) − U (f, P ) + L(f, P ) < ε. 0

0

Como f k0 é integrável, existe δ > 0 tal que se ∆xi < δ , ent˜ ao U (f k0 , P ) L(f k0 , P ) < ε/2 e conclu´ımos a prova.

−


139

Convergência Uniforme e Derivadas

{ }

 

F

Teorema 10.9: Seja f k uma seq¨ uência de fun¸coes ˜ de [a, b], R u ′ tais que f k é derivável em ]a, b[ e f k g em ]a, b[. Se para algum

−→

x0 [a, b] a seq¨ uência f k (x0 ) k é convergente, ent˜ ao existe f : [a, b] u cao ˜ derivável em ]a, b[ tal que f k f em [a, b] e f ′ = g. R fun¸

∈

{

}

→

−→ Prova: Seja ϕ(x) = f k (x) − f l (x), x ∈ [a, b]. Ent˜ ao, pelo Teorema ′ do Valor Médio, ϕ(x) − ϕ(y) = ϕ (ξ )(x − y), para algum ξ entre x e y. Portanto, para y = x 0 ,





− f l(x) − f k(x0 ) + f l(x0 ) = f k′ (ξ ) − f l′(ξ ) (x − x0 ). (10.5) Por hipótese, a seqüência {f k′ } é uniformemente de Cauchy em ]a, b[. Logo, dado ε > 0, existe k 0 ∈ N tal que ε k, l ≥ k0 ⇒ |f k′ (ξ ) − f l′ (ξ )| < , ∀ξ ∈ ]a, b[. 2(b − a) f k (x)

Usando a desigualdade triangular em (10.5) obtemos

|f k (x) − f l(x)| ≤ 2(b ε− a) |x − x0 | + |f k (x0 ) − f l (x0)|, ∀x ∈ [a, b] { }

e conclu´ımos que f k é uniformemente de Cauchy em [a, b]. Pelo u Teorema 10.5, existe f : [a, b] f em [a, b]. R tal que f k

→

−→ Provemos que f é derivável em ]a, b[. Para x ∈ ]a, b[ fixado, considere Φk : [a, b] → R definida por f k (t) − f k (x) se t  = x t−x Φk (t) =

 

f k′ (x)

se t = x

Como f k é derivável, vemos que limt→x Φk (t) = f k′ (x). Por outro lado, é fácil ver que Φk converge pontualmente em [a, b] x para a fun¸caõ f (t) f (x) Φ(t) = , t [a, b] x . t x

\{ }

− −

∈

\{ }


140

Se provarmos que Φ k u Φ em [a, b] x , podemos usar o Teorema 10.7 para concluir a demonstra¸cão. Com efeito, pelo Teorema do Valor Médio,

−→

\{ }

− Φl (t) = f k (t)t −− f xk (x) − f l (t)t −− f xl(x) = f k′ (ξ ) − f l′(ξ ), para algum ξ entre t e x. Como {f k′ } é uniformemente de Cauchy, o mesmo vale para {Φk }. Φk (t)

O Teorema acima pode ser estendido às fun¸cões vetoriais.

Teorema 10.10: Seja Ω aberto, limitado e conexo de R n . Seja f k uma seq¨ uência de (Ω, R) tal que a) para algum x 0 Ω, a seq¨ uência f k (x0 ) é convergente; b) para todo k N, f k é fun¸c˜ ao de classe C 1 ; c) f k′ u g em Ω.

{ }

F ∈ ∈

−→

Ent˜ ao existe f f k u f em Ω.

−→

{

}

∈ F (Ω, R) fun¸c˜ ao de classe C 1

tal que f ′ = g e

Prova: Faremos a prova em duas etapas. Etapa 1: g é um campo conservativo. Sejam γ 1 , γ 2 : [0, 1] Ω duas curvas de classe C 1 ligando x a y. Se denotarmos por I i , i = 1, 2, as integrais de linha

→

         −         1

I i =

0

g γ i (t) ; γ i′ (t) dt,

então podemos escrever 1

I i =

f k′ γ i (t) ; γ i′ (t) dt +

g γ i (t)

0

1

0

f k′ γ i (t) ; γ i′ (t) dt.

Pelo Teorema 6.7, f k′ é campo conservativo. Logo,

    −     −   −    1

I 1

− I 2 =

g γ 1 (t)

f k′ γ 1 (t) ; γ 1′ (t) dt

g γ 2 (t)

f k′ γ 2 (t) ; γ 2′ (t) dt.

0 1

0


141

Seja M k = sup f k′ (x)

{ − g(x) ; x ∈ Ω}. Então, |I 1 − I 2| ≤ M k med(γ 1) + med(γ 2 ) . u M k → 0 pois f k′ −→ g em Ω. Portanto, I 1 = I 2 e conclu´ımos que g é





conservativo. Seja y0 o limite da seq¨ uência f k (x0 ) k . Pelo Teorema 6.8, existe uma u ´ nica f de classe C 1 tal que f ′ (x) = g(x) para todo x Ω satisfazendo f (x0 ) = y 0 . Etapa 2 : Provemos que f k u f em Ω.

{

}

−→

Para cada x Ω, podemos determinar γ x : [0, 1] C 1 ligando x 0 a x, de modo que

∈

Logo,

  

    1

f k (x) = f k (x0 ) +

0 1

f (x) = f (x0 ) +

0

∈

→ Ω curva de classe



f k′ (γ x (t)); γ x′ (t) dt,



g(γ x (t)); γ x′ (t) dt.

|f k (x) − f (x)| ≤ |f k (x0 ) − f (x0)| + 1 f k′ γ x(t) − g γ x (t))  γ x′ (t) dt ≤ M k med(γ x). + 0 Como M k → 0, conclu´ımos que f k converge pontualmente para f em Ω. Para provar a convergência uniforme, consideremos Φ k (x) = f k (x) − f (x). Segue do Teorema do Valor Médio Φk (x) − Φk (x0 ) = Φ′k (ξ ); x − x0 . Como Ω é limitado, existe R > 0 tal que x ≤ R para todo x ∈ Ω

     



e, conseq¨ uentemente,

|f k (x) − f (x)| ≤ |f k (x0) − f (x0)| + f k′ (ξ ) − g(ξ ) x − x0 . Portanto, sup f k′ (x)

x∈Ω

|

e conclu´ımos a prova.

− g(x)| ≤ |f k (x0) − f (x0)| + 2M kR


142

S´ eries de Fun¸co ˜es e Convergência Uniforme

{ } F (A, Rm ), podemos consi-

Dada uma seq¨ uência de fun¸cões f k de derar seq¨ uência das somas parciais k

Φk (x) =



f i (x).

i=1

{ }

A seq¨ uência Φk é denominada série de fun¸c˜ oes de termo geral f k , que denotamos por ∞



f i .

(10.6)

i=1

Dizemos que a série (10.6) converge uniformemente em A se a seqüência das somas parciais que a define converge uniformemente em A. O Critério de Cauchy aplicado à seq¨ uência das somas parciais nos dá:



Corolário 10.11: A série ∞ i=1 f i converge uniformemente em A se e somente se ε > 0 existe k 0 N tal que se k, l k 0 ent˜ ao

∀

∈

   l

≥

 

f i (x) < ε,

i=k+1

∀x ∈ A.

Um resultado importante para o estudo da convergência uniforme de séries de fun¸co˜es é o Teste de Weierstrass , cuja prova é conseq¨ uência imediata do critério de Cauchy. Teorema 10.12: Seja f k uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes de (A, Rm ) tais que f k (x) M k , x A.

{ }  ≤

Se a série numérica



F

∀ ∈

k

i

M i é convergente, ent˜ ao a série

verge uniformemente em A.

 i=1

f k con-


143

S´ eries de Potˆ encias As séries de potências são casos particulares de séries de fun¸cões e desempenham papel preponderante na Matemática. Denominamos série de potências em torno de x0 R as séries de fun¸cões ∞ k=1 f k (x), k onde f k (x) = a k (x x0 ) . Como as fun¸cões f k (x) são polinˆ omios e estão portanto definidas para todo x R, podemos perguntar para que valores de x a série converge pontualmente e/ou uniformemente. Para o estudo da convergência pontual podemos usar os testes para séries numéricas. De fato, para x fixado, o teste da ra´ız dá:



∈

−

∈

lim sup k→∞

lim sup k→∞

 | || −  | || − k

ak x

k

ak x

| ⇒ x0 | > 1 ⇒ x0 < 1

a série converge; a série diverge.

Portanto, se denotarmos por R = 1/ limsup k→∞

 | | k

ak ,

(10.7)

então a série converge pontualmente (e absolutamente) no intervalo ]x0 R, x0 + R[ (com a conven¸cão R = + se 1/R = 0) e diverge em ] , x0 R[ ]x0 + R, + [. O n´ umero R é denominado Raio de Convergência da série. Observe que o teste da ra´ız nada informa sobre o que ocorre nas extremidades do intervalo. No que se refere ao estudo da convergência uniforme, podemos aplicar o Teste de Weierstrass.

− − ∞ − ∪

∞

∞



Teorema 10.13: Seja ∞ x0 )k uma série de potências em k=1 ak (x torno de x0 e A um conjunto limitado qualquer tal que A esteja contido em ]x0 R, x0 + R[, onde R é definido por (10.7). Ent˜ ao a série converge uniformemente em A.

−

−

{| − x0| ; x ∈ A}. Então 0 < α < +∞ e |f k (x)| ≤ |ak |αk , ∀x ∈ A.

Prova: Seja α = sup x

Como α < R, limsup k→∞

 | | k

ak α < 1.


144



k Logo a série numérica ∞ e convergente e conclu´ımos a conk=1 a k α ´ vergência uniforme da série de potências pelo Teorema 10.12.

Observa¸c˜ ao: As fun¸cões definidas por séries de potências são infinitamente deriváveis no intervalo de convergência e suas derivadas são obtidas derivando-se a série termo a termo. De fato, seja k

ϕk (x) =



aj (x

j =0

− x0 )j , x ∈ I R =]x0 − R, x0 + R[,

 | |



onde R = 1/ limsupk→∞ k ak e ϕ a série de potências ∞ j =1 aj (x j x0 ) (ϕ é o limite pontual de ϕk em I R ). Como ϕk é derivável, ϕ′k (x) = kj=0 ja j (x x0 )j−1 e



−

lim sup k→∞

 k

|

|

(k + 1) ak+1 = lim sup k→∞

segue do Teorema 10.13 que existe ψ: I R I R e ϕ′k

−

 | | k

ak = 1/R,

p → R tal que ϕ′k −→ ψ em

u ψ em todo intervalo I tal que I seja contido em I R . −→

Portanto, pelo Teorema 10.9, ϕ é derivável em I R e ϕ′ = ψ. Como podemos repetir este argumento ao infinito, temos a conclusão.

A Matriz Exponencial Podemos estender de modo natural as defini¸co˜es de convergência pontual e convergência uniforme às seq¨ uências de (A, W ), onde A V , com V e W espa¸cos vetoriais normados (de dimensão finita ou n˜ ao), mantendo a validade da maioria dos resultados anteriores. Assim, por exemplo, se W é espa¸co de Banach, temos a extensão do Teorema 10.5. Essas extensões são particularmente importantes para o caso W = = co das matrizes n n (ou equivalentemente n×n do espa¸ (Rn , Rn ) o espa¸co das transforma¸cões lineares de R n em Rn ). Além da estrutura de espa¸co vetorial de dimensão finita, é uma a´lgebra se munido do produto usual de matrizes (ou equivalentemente munido da composi¸caõ de fun¸cões), de modo que podemos considerar as séries

F

M L

M

⊂

×

M


145

de potˆ encias de matrizes. Mais precisamente, se Φ k : polinômio da forma

M → M é

k

Φk (X ) =



− X 0)j ,

aj (X

j =1

∈ M,

X

podemos perguntar: Problema: Para quais X temos a convergência pontual da seq¨ uência Φk k ? Onde o corre a convergência uniforme?

{ }

∈ M

Com argumentos análogos aos anteriores podemos mostrar que existe p Φ: BR (X 0 ) tal que Φk Φ em BR (X 0 ) = X ; X





→ M

 ∈ M  −

−→

X 0 < R , com R definido por (10.7). Φ é denominada Série de Potências em torno de X 0 , que denotamos por ∞ X 0 )k e, por analogia, BR (X 0 ) o seu intervalo de k=1 ak (X convergência. Com argumentos análogos aos anteriores (veja Teorema 10.13), podemos provar o seguinte resultado sobre a convergˆ encia uniforme de séries de potências em .



−

M



Teorema 10.13 (bis): Seja ∞ X 0 )k uma série de potênk=1 ak (X cias em torno de X 0 em = n×n e S um subconjunto de BR (X 0 ) tal que S BR (X 0 ), onde R é definido por (10.7). Ent˜ ao a série converge uniformemente em S .

−

M M

⊂

Exemplo: (A Matriz Exponencial) Seja Φ k : 1 Φk (X ) = I + X + X 2 + 2



M → M definida por

··· + k!1 X k.

M→M

p −→ M

Como limk→∞ k 1/k! = 0, existe Φ: tal que Φ k Φ em e uniformemente em qualquer conjunto limitado de . Φ é denominada a Matrix Exponencial de X que denotamos por eX ou exp(X ), isto é ∞ 1 k exp(X ) = X . (10.8) k!

M



k=0


146

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 10.1. Seja f k : [0, 1]

→ R a fun¸cão definida por

f k (x) = lim (cos k!πx)2j . j→∞

Mostre que f k (x) =



∈ {1/k!, 2/k!, . . . , 1},

1 0

se x senão

e que f k converge pontualmente em [0, 1] para a fun¸cão f (x) =



1 se x é racional, 0 se x é irracional.

Exerc´ıcio 10.2. Dê exemplo de seq¨ uência de fun¸co˜es sci que converge pontualmente para uma fun¸caõ que n˜ ao é sci.

{ } { } { } { } { } { } { }   ≤   ≤ ∀ ∈ ∀  

Exerc´ıcio 10.3. Sejam f k e gk seq¨ uências de fun¸cões definidas em A Rn com valores em Rm . Se f k e gk convergem uniformemente em A, prove que f k + g k converge uniformemente em A. Se, além disso, f k e gk são seq¨ uências de fun¸co˜es uniformemente limitadas (isto é, f k (x) α e gk (x) β x A, k), mostre que ϕk definida por ϕk (x) = f k (x); gk (x) converge uniformemente em A.

⊂

{ }

Exerc´ıcio 10.4. Verdadeiro ou falso? a) Se f k u f em A, f k é seq¨ uência de fun¸cões limitadas.

−→ ⇒ { } u b) Se f k −→ f em A, com A compacto e f k cont´ınua para todo k, ⇒ {f k} é seqüência de fun¸co˜es uniformemente limitadas. Exerc´ıcio 10.5. Seja g: R → R fun¸cão de classe C 1 e f k : A ⊂ Rn → R seq¨ uência de fun¸co˜es uniformemente limitadas (isto é, |f k (x)| ≤ α ∀k e ∀ x ∈ A), tal que f k −→ f uniformemente em A. Mostre que g ◦ f k −→ g ◦ f uniformemente em A. Exerc´ıcio 10.6. Considere

∞

f (x) =



k=1

1 1 + k2 x


147

Para que valores de x esta série é absolutamente (pontualmente) convergente? Em que intervalos ela é uniformemente convergente? f é cont´ınua nos pontos em que a série converge? f é limitada?

 −  −  − 

2

∞ k x +k Exerc´ıcio 10.7. Prove que a série converge unik=1 ( 1) k2 formemente em todo intervalo limitado, mas não converge absolutamente em nenhum x. 0 1 Exerc´ıcio 10.8. Seja X = . Mostre que 1 0

exp(θX ) =

cos θ sen θ

sen θ . cos θ

Exerc´ıcio 10.9. Seja = tal que n×n e considere X X < 1. a) Mostre que I + X é invers´ıvel. ∞ k k b) Mostre que a série de potências k=0 ( 1) X converge pontualmente para (I + X )−1 em B 1 (0). c) Seja = X ; X é invers´ıvel e f : a fun¸cão −1 f (X ) = X . Mostre que f é diferenciável em e calcule f ′ (X ).

M

 

I



M

∈M



∈M

Exerc´ıcio 10.10. Mostre que lim

p→+∞

−



I → M I

x p = x∞

uniformemente nos compactos de Rn . Exerc´ıcio 10.11. Seja f : Rn Rn tal que f (0) = 0 e considere f k k a seq¨ uência definida por f k : B Rn , x f k (x) = kf ( ) x B, k onde B = x Rn ; 12 x 1 . Mostre que se f k k converge uniformemente em B para uma transforma¸cão linear L: Rn Rn , então f é diferenciável em 0.

−→

{ }

{ ∈

→ ∀ ∈

≤ ≤ }

{ }

−→

Exerc´ıcio 10.12. Seja K uência de Rn compacto e f k k seq¨ fun¸co˜es reais cont´ınuas convergindo pontualmente em K para uma fun¸caõ cont´ınua f . Se

⊂

f k (x)

≤ f k+1(x), ∀x ∈ K,

{ }

k = 1, 2, . . .

mostre que a convergência é uniforme. Mostre que o resultado é falso se K n˜ ao é compacto.

11 O Espa¸co C(K;Rm) Seja K um subconjunto compacto de Rn e considere



C (K ; Rm ) = f : K

→ Rm ; f



é fun¸caõ cont´ınua .

C (K ; Rm ) é espa¸co vetorial (com as opera¸cões usuais de soma de fun¸co˜es e produto por escalar) de dimensão infinita. De fato, num espa¸co vetorial V de dimens˜ ao n, qualquer subconjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Consideremos, por exemplo, V = C ([0, 1]; R). Para todo k N seja Ak o subcon´ fácil ver que Ak junto Ak = f 1 , f 2 , . . . , fk , onde f k (x) = xk . E é linearmente independente, qualquer que seja k N . Logo, V n˜ ao pode ser de dimensão finita. A norma natural de C (K ; Rm ) é a norma ∞ definida por

{

∈

}

∈

f ∞ = max

  f (x) ; x ∈ K ,





  é uma norma qualquer de R m.

onde

Observa¸c˜ ao: O termo “natural” a que nos referimos acima é aqui justificado pelos resultados que se seguem, isto é, a norma e ∞ ´ natural do ponto de vista matemá tico. Como na pr´ atica a norma natural é em geral a que melhor conv´ em a uma dada aplica¸ca˜ o ou a um dado problema, pode ocorrer que a “natural” não seja a que proporciona boas propriedades ao espa¸c o. Por exemplo, a norma euclidiana em C ([a, b], R), definida por

 

  b

f 2 =

a

|f (x)|2

1/2

,


150

é natural para muitas aplica¸co˜es, como por exemplo os problemas que envolvem séries de Fourier, etc. Porém, C ([a, b], R) não é espa¸co de Banach para esta norma, não ficam assim assegurados os processos de limite. Teorema 11.1: O espa¸co C (K ; Rm ) munido da norma de Banach. Além disso,

f k − f ∞ → 0 ⇐⇒

f k

u −→ f

 ∞ é espa¸co

em K.

Prova: Seja f k k seq¨ uência de Cauchy em C (K ; Rm ). Então f k k é uniformemente de Cauchy. Pelos Teoremas 10.5 e 10.6, existe f C (K ; Rm ) tal que f k u f em K . A conclus˜ a o segue da Proposi¸cão 10.3.

{ }

∈

{ }

−→

Observa¸c˜ ao: O Teorema 11.1 assegura a validade em C (K ; Rm ) dos principais resultados demonstrados nos cap´ıtulos anteriores. Em especial, o Teorema do Ponto Fixo de Banach, o Teorema da Fun¸cao ˜ Inversa , o Teorema da Fun¸c˜ ao Impl´ıcita , o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange , etc., que são importantes para as aplica¸co˜es.

Aplica¸c˜ ao 1: o Teorema de Picard Como aplica¸cão dos resultados estudados até aqui, vamos apresentar nesta se¸cão um prova elegante do Teorema de Picard para a existência e unicidade de solu¸co˜es do Problema de Valor Inicial para Sistemas de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias. Problema: Seja T > 0 e x0 Rn . Dada f : [0, T ] Rn Rn , deseja-se saber se existe uma única curva γ : [0, T ] Rn diferenciável em ]0, T [ tal que

∈



 

γ ′ (t) = f t, γ (t) , γ (0) = x0 .

× → →

∀t ∈ ]0, T [,

(11.1)

Uma resposta afirmativa para o problema é dada pelo Teorema de Picard (para uma forma mais geral, veja exerc´ıcios).

m O Espa¸co C(K;R )

151

Rn fun¸ Teorema 11.2: Seja f : [0, T ] R n c˜ ao cont´ınua satisfazendo a seguinte propriedade: existe L 0 tal que

×

→ ≥ f (t, x) − f (t, y) ≤ Lx − y , ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ [0, T ]. (11.2) Ent˜ ao, para cada x0 ∈ Rn , existe uma u ´ nica curva γ : [0, T ] → Rn diferenci´ avel em ]0, T [ satisfazendo (11.1).





Prova: Seja V = C [0, T ]; Rn e considere a fun¸ca˜ o Ψ: V definida por (veja nota¸cão em (5.15))

→

V

   t

Ψ(γ )(t) = x0 +

f s, γ (s) ds.

0

Então, para todo t

∈ [0, T ]

  −   ≤   t

Ψ(γ 1)(t) − Ψ(γ 2)(t)

f s, γ 1 (s)

f s, γ 2 (s)

ds

0

(11.3)

≤ Lγ 1 − γ 2∞t.

Consideremos Ψ2 = Ψ Ψ. Então, para toda γ

◦

∈ V ,

  t

2

Ψ (γ )(t) = x 0 +



f s, Ψ(γ )(s) ds

0

e obtemos de (11.3) t [0, T ]

∀ ∈

2

 ≤  t

2

Ψ (γ 1)(t) − Ψ (γ 2)(t)

L Ψ(γ 1 )(s)

0



− Ψ(γ 2)(s)  ds 2

≤ L2γ 1 − γ 2 ∞ t2 .

Repetindo o argumento para Ψ3 , . . . , Ψk , obtemos k k

Ψk(γ 1 )(t) − Ψk (γ 2)(t) ≤ Lk!t γ 1 − γ 2∞, ∀t ∈ [0, T ]. (11.4) Passando ao supremo em t ∈ [0, T ] na desigualdade (11.4), temos k

k

Ψ (γ 1) − Ψ (γ 2)∞ ≤

Lk T k γ 1 k!

 − γ 2∞.


152

Fixando k N tal que L k T k /k! < 1, conclu´ımos que Ψk é contra¸caõ em V . Sendo V um espa¸co de Banach, existe um único ponto γ V ponto fixo para Ψk . Logo (veja Exerc´ıcio 4.21), γ é ponto fixo de Ψ, isto é,

∈

∈

   t

γ (t) = x 0 +

f s, γ (s) ds

0

e temos a conclusão.

O Teorema de Arzel` a-Ascoli Uma das diferen¸cas marcantes entre o R n (ou mais geralmente entre um espa¸co de dimensão finita) e C (K ; Rm ) é sobre a caracteriza¸cão dos conjuntos compactos. Por exemplo, os fechados e limitados de C (K ; Rm ) n˜ ao s˜ ao necessariamente compactos . De fato, mostremos que a bola fechada

 ∈     ≤ 

B = f C [0, 1]; R ; f

∞

1

n˜ ao é compacto em C ([0, 1], R). Seja f k (x) =

x2 , x2 + (1 kx)2

−

∈ [0, 1].

x

p  ∞ ≤ 1 e que f k −→ 0 em [0, 1]. Se B fosse compacto, a seqüência {f k } admitiria uma subseq¨ uência convergente

´ f´ E acil ver que f k

(necessariamente a zero), o que é imposs´ıvel, pois

f k∞ = |f k (1/k)| = 1. 1.2

1

0.8

y 0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

x

0.6

Figura 11.1

0.8

1


153

A caracteriza¸cão dos conjuntos compactos de C (K ; Rm ) é dada pelo Teorema de Arzelà-Ascoli que veremos a seguir. Defini¸c˜ ao 11.3: Dizemos que C (K ; Rm ) é equicont´ınuo se ε > 0 existe δ > 0 tal que se x, y K e x y < δ , ent˜ ao f (x) f (y) < ε, f . m Se C (K, R ), denotamos (x) = f (x) f .

∀ 

X ⊂

− X ⊂



∀ ∈ X

X

∈ {

 −  | ∈ X}

Teorema 11.4: Seja subconjunto fechado de C (K ; Rm ). Ent˜ ao m é compacto em C (K, R ) se e somente se é equicont´ınuo e, para todo x K , (x) é compacto em R m .

X

X

∈ X

X

Prova: Suponhamos inicialmente compacto em C (K ; Rm ). Seja x0 K . Provemos que (x0 ) é compacto. Consideremos ξ k uma seq¨ uência de (x0 ). Por defini¸cão, existe f k tal que f k (x0 ) = ξ k . Como é compacto, f k admite uma subseq¨ uência f ki tal que f ki f uniformemente, para algum f . Em particular, ξ ki = f ki (x0 ) f (x0 ) (x0 ). Logo (x0 ) é compacto. Provemos que é equicont´ınuo. Dado ε > 0, consideremos a cobertura Bε (f ) f ∈X de , onde

X X { } ∈ X

∈

{ } { }

X ∈ X X −→ ∈ X −→ X X { } X Bε (f ) = {g ∈ C (K, Rm ) ; g − f ∞ < ε} Como X é compacto, existem f 1 , f 2 , . . . , fk em X tais que X ⊂ k



i=1 Bε (f i ).

Como cada f i é cont´ınua em K e K é compacto, f i é uniformemente cont´ınua em K :

∃δ i > 0 tal que x − y < δ i ⇒ f i(x) − f i(y) < ε. Seja δ = min{δ 1 , δ 2 , . . . , δk }. Se f ∈ X , então f ∈ Bε (f i ) para algum 1 ≤ i0 ≤ k e se x − y  < δ , f (x) − f (y) ≤ f (x) − f i (x) + f i (x) − f i (y) + f i (y) − f (y) ≤ 2 f − f i ∞ + f i (x) − f i (y) . Mas f i (x) − f i (y) < ε pois x − y  < δ ≤ δ i e f − f i ∞ < ε pois f ∈ Bε (f i ). Portanto f (x) − f (y) < 3ε, o que implica X equicont´ınuo. 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


154

{ }

Reciprocamente, consideremos f k uma seq¨ uência qualquer de Como é equicont´ınuo, dado ε > 0, δ > 0 tal que

X .

X ∃ x − y < δ ⇒ f k (x) − f k (y) < ε, ∀k ∈ N. (11.5) Seja {Bδ (x)}x∈K cobertura de K . Ent˜ ao existem x1 , x2 , . . . , xl ∈ K l tais que K ⊂ i=1 Bδ (xi ). Por hipótese X (x1 ) é compacto. Então {f k (x1 )} ⊂ X (x1 ) admite uma subseqüência {f k (x1 )} convergente para um elemento de X (x1 ). Como X (x2 ) é compacto, {f k (x2 )} admite subseq¨ uência {f k (x2 )} convergente para um elemento de X (x2 ). E assim sucessivamente, construimos uma subseq¨ uência de { f k } (que denotaremos por f k ) que converge pontualmente em x j , ∀ j = 1, 2, . . . , l . Logo ∃k0 ∈ N tal



i

i

ij

que

k, k′

≥ k0 ⇒ f k(xj ) − f k (xj ) < ε, j = 1, 2, . . . , l . (11.6) Tomemos x ∈ K . Ent˜ ao x ∈ B δ (xj ) para algum j0 . Se k, k ′ ≥ k0 , então f k(x) − f k (x) ≤ f k(x) − f k (xj ) + f k(xj ) − f k (xj ) + f k (xj ) − f k (x) . Como x − xj  < δ , segue de (11.5) que f k (x) − f k (xj ) < ε. Além disso, se k, k ′ ≥ k 0 segue de (11.6) que f k (xj ) − f k (xj ) < ε. Como k0 n˜ ao depende de x, conclu´ımos que f k converge uniformemente para algum f ∈ C (K, Rm ). Em particular, f ∈ X = X . ′

0

′

0

′

0

′

0

0

′

0

0

0

′

0

Observa¸c˜ ao: Na maioria das aplica¸co˜es nos deparamos com fam´ılias de conjuntos tais que (x) é somente limitado para todo x. Como (x) é compacto em Rm , podemos então perguntar se será também compacto em C (K, Rm ). Antes de tratar dessa questão, lembremos que um conjunto X de um espa¸co métrico é dito relativamente com pacto se X é compacto . Em particular, se o espa¸co métrico é Rm , então relativamente compacto é sinônimo de limitado (lembre-se do Teorema de Bolzano-Weierstrass).

X

X

X

X

Lema 11.5: Seja C (K, Rm ). Ent˜ ao a) é equicont´ınuo é equicont´ınuo. b) (x) (x) x K . c) Se é equicont´ınuo e (x) é limitado para todo x compacto de R n ), ent˜ ao (x) = (x) x K .

X X ⊂ X X

X ⊂

⇐⇒ X ∀ ∈ X X

X ∀ ∈

∈

K ( K


155

Prova: (a) A implica¸cão “ ” é óbvia. Provemos então “ ”. Se é equicont´ınuo, dado ε > 0, δ > 0 tal que se x y < δ , então f (x) f (y) < ε/3 f . Seja f e considere f k N tal que com f k f uniformemente em K . Ent˜ ao k0 f k (x) f (x) < ε/3 se k k 0 . Portanto,

⇐ 

⇒  −  ∈ X ∈ ∃ ∈

X ∃  − ∀ ∈ X X −→  −  ≥ f (x) − f (y) ≤ f (x) − f k (x) + + f k (x) − f k (y) + f k (y) − f (y) < ε. (b) Seja ξ x ∈ X (x). Por defini¸cão, existe f ∈ X tal que ξ x = f (x). Seja f k ∈ X tal que f k −→ f uniformemente. Ent˜ ao f k (x) −→ f (x) e portanto f (x) ∈ X (x). (c) Seja ξ ∈ X (x). Ent˜ ao existe seq¨ uência { ξ k } em X (x) tal que ξ k −→ ξ . Por defini¸caõ, existe {f k } seq¨ uência em X tal que f k (x) = ξ k . Provemos que {f k } converge uniformemente em K . Seja ε > 0. Como X é equicont´ınuo, dado ε > 0, ∃δ > 0 tal que x − y < δ ⇒ f k (x) − f k (y) < ε, ∀k ∈ N. (11.7) Seja {Bδ (x)}x∈K cobertura de K . Ent˜ ao existem x1 , x2 , . . . , xl ∈ K l tais que K ⊂ i=1 Bδ (xi ). Por hipótese X (x1 ) é limitado. Então {f k (x1 )} ⊂ X (x1 ) admite uma subseqüência {f k (x1 )} convergente. Como X (x2 ) é limitado, { f k (x2 )} admite subseq¨ uência { f k (x2 )} convergente. E assim sucessivamente, construimos uma subseqüência de {f k } (que denotaremos por f k ) que converge pontualmente em x j , ∀ j = 1, 2, . . . , l . Logo ∃k0 ∈ N tal que k, k′ ≥ k 0 ⇒ f k (xj ) − f k (xj ) < ε, j = 1, 2, . . . , l . (11.8) Tomemos x′ ∈ K . Ent˜ ao x ′ ∈ B δ (xj ) para algum j0 . Se k, k ′ ≥ k 0 ,



i

i

ij

′

0

então

f k(x′ ) − f k (x′ ) ≤ f k(x′ ) − f k(xj ) + + f k (xj ) − f k (xj ) + f k (xj ) − f k (x′ ) . ′

0

0

′

0

′

0

′


156

Como x′ xj0 < δ , segue de (11.7) que f k (x′ ) f k (xj0 ) < ε. Além disso, se k, k ′ k 0 segue de (11.8) que f k (xj0 ) f k (xj0 ) < ε. Como k0 n˜ ao depende de x′ , conclu´ımos que f k converge uniformemente para algum f C (K, Rm ). Assim f e ξ = f (x) (x).

 − 

 −  − ∈ X

≥ ∈

′

  ∈ X

Teorema 11.6: Seja K Rn compacto e C (K, Rm ). Ent˜ ao m é relativamente compacto em C (K, R ) se e somente se é m equicont´ınuo e para todo x K (x) é limitado de R .

⊂

X

X

X ⊂

∈ X

X

X

Prova: Se é relativamente compacto então é compacto. Pelo Teorema 11.4, é equicont´ınuo e (x) é compacto em Rm para todo x. Pelo Lema 11.5, é equicont´ınuo e (x) é compacto. Conclu´ımos então que é equicont´ınuo e (x) é relativamente compacto. O racioc´ınio simétrico leva à conclus˜ ao da prova.

X

X

X

X

X

X

Aplica¸c˜ ao 2: O Teorema de Cauchy-Peano Como aplica¸cão do Teorema de Arzel` a-Ascoli (Teorema 11.6), vamos demonstrar o Teorema de Cauchy-Peano sobre a existência de solu¸cões para problemas de valor inicial. Teorema 11.7: Seja Ω R2 aberto, f : Ω c˜ ao cont´ınua R uma fun¸ e (x0 , y0) Ω. Ent˜ ao existe r > 0 e ao menos uma fun¸c˜ ao de classe C 1 ϕ: [x0 r, x0 + r] R tal que ϕ(x0 ) = y 0 satisfazendo

∈ −

⊂

→

→

 

ϕ′ (x) = f x, ϕ(x)

∀x ∈ ]x0 − r, x0 + r[.

(11.9)

⊂ Ω uma vizinhan¸ca limitada de (x0 , y0) e considere M = max{|f (x, y)| ; (x, y) ∈ U }.

Prova: Seja U

Seja r > 0 tal que o retângulo

{

∈ Ω ; |x − x0| ≤ r, |y − y0| ≤ M r} ⊂ U. Consideremos o intervalo [x0 , x0 + r] e para cada n ∈ N a parti¸caõ definida por xi = x0 + ir/n, i = 0, 1, . . . , n. Consideremos também para cada n ∈ N a fun¸cão poligonal R = (x, y)

n

ψn (x) =

 i=0

ani ϕni (x),


157

onde os coeficientes a n0 , an1 , . . . , ann são definidos pela recorrência a0 = y 0 , ai+1 = a i +

r f (xi , ai ), i = 0, 1, . . . , n n

(11.10)

−1

e as fun¸co˜es ϕ ni são definidas por ϕn0 (x) =



 − 

n(x1 0

n(x 0 e para i = 1, 2 . . . , n 1, ϕnn (x) =

ϕni (x) =

− x)/r

≤ ≤ x1

se x 0 x senão

− xn−1)/r −

,

≤ x ≤ xn

se xn−1 senão

≤ ≤ ≤ ≤

n(x xi−1 )/r n(xi+1 x)/r 0

se x i−1 x xi se x i x xi+1 senão

−

(as fun¸cões ϕni formam uma base para o espa¸co vetorial das poligonais com vértices nos pontos da parti¸cão). Como ai a 0 M r para i = 1, 2, . . . , n, o gráfico de ψn está inteiramente contido no retângulo R. Além disso, é claro que ψn é cont´ınua com derivada ψ n′ cont´ınua por partes. Mais precisamente,

| − | ≤

ψn′ (x) = (ani

− ani−1)n/r = f (xi−1, ani−1 ), ∀x ∈ ]xi−1 , xi [.

Em particular, temos de (11.10)

|ψn′ (x)| ≤ nr |ani − ani−1| ≤ M e como



x

ψn (x) = y 0 +

x0

temos

(11.11)

ψn′ (s) ds,

(11.12) |ψn (x)| ≤ |y0| + M |x − x0| ≤ M r. Consideremos o conjunto X = { ψn ; n ∈ N} que é subconjunto de C [x0 , x0 +r]; R . Segue de (11.12) que X (x) é limitado para qualquer x ∈ [x0 , x0 + r]. Além disso, como





′

′

 |≤ |

|ψn(x) − ψn (x )

x

x

ψn′ (s) ds

| ≤ M |x′ − x|,


158

X

segue que é equicont´ınuo. Decorre do Teorema de Arzelà-Ascoli que existe uma subseqüência (que ainda denotaremos por ψ n ) e uma fun¸caõ ψ C [x0 , x0 + r], R tais que ψ n ψ uniformemente em [x0 , x0 + r]. Para concluir, basta mostrar que ψ satisfaz a equa¸caõ (11.9), o que é equivalente a mostrar que



∈

→





x

ψ(x) = y 0 +

f (s, ψ(s)) ds.

x0

Consideremos as fun¸co˜es Φn e Φ definidas por



x

Φn (x) = y 0 +



x

f (s, ψn (s)) ds,

Φ(x) = y 0 +

x0

f (s, ψ(s)) ds

x0

Como f é uniformemente cont´ınua em R, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se x x′ < δ e y y ′ < δ , então f (x, y) f (x′ , y ′ ) < ε. Como ψn converge uniformemente para ψ em [x0 , x0 + r], existe n 0 N tal que se n n0 , então ψn (x) ψ(x) < δ . Portanto, para n n 0

| − | | − | | − | ∈ ≥ | − | ≥ x |Φn(x) − Φ(x)| ≤ |f (s, ψn(s)) − f (s, ψ(s))| ds

   ≤ x0 n

xi

xi

i=1

1

−

|f (s, ψn(s)) − f (s, ψ(s))| ds

≤ εr

e conclu´ımos que Φn converge uniformemente para Φ. Por outro lado, como



x

Φn (x)

− ψn(x) =

x0

f (s, ψn (s))

− ψn′ (s) ds,

podemos escrever n

  |≤   ≤

|Φn (x) − ψn(x)

i=1 n i=1

≤ εr

xi

xi

1

|f (s, ψn(s)) − ψn′ (s)| ds

1

|f (s, ψn(s)) − f (xi−1, ani−1 )| ds

−

xi

xi

−


159

−

Portanto a seq¨ uência Φn ψn converge uniformemente para 0. Como ψn converge uniformemente para ψ, conclu´ımos que Φ = ψ. Como o mesmo argumento pode ser repetido para o intervalo [x0 r, x0 ], conclu´ımos a prova.

−

O Teorema de Weierstrass Como foi mencionado anteriormente, o espa¸co C (K ; Rn ) é um espa¸co de Banach quando munido da norma do m´ aximo. Portanto, no que se refere aos processos de limite, ele apresenta semelhan¸cas com R. Uma propriedade importante de R, denominada separabilidade , é que R possui um subconjunto enumerável e denso, a saber, o conjunto dos n´ umeros racionais Q . O resultado que se segue, denominado Teorema de Weierstrass , mostra que C ([a, b]; R) tamb´ em possui esta propriedade, sendo portanto um espa¸co separável. A prova que aqui apresentamos é devida a H. Lebesgue.

 

Teorema 11.8: Se f C [a, b]; R , ent˜ ao existe uma seq¨ uência de polinômios P k k tal que P k f uniformemente em [a, b].

{ }

∈

→

Prova: Faremos a prova em duas etapas. Etapa 1: Consideremos inicialmente a = 0, b = 1 e suponhamos que f (0) = 0. Como f é uniformemente cont´ınua em [0, 1], dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

|x − x′ | < δ ⇒ |f (x) − f (x′ )| < ε/2. (11.13) Seja n ∈ N tal que 1/n ≤ δ e considere a parti¸cão P = {x0 , . . . , xn } de [0, 1] definida por

xi = i/n,

i = 0, 1, . . . , n .

−

→

R definida Para cada i = 0, 1, . . . , n 1, considere a fun¸cão ϕi : [0, 1] por ϕ1 (x) = (x xi )+ . ´ f´ E acil ver que ϕi i é uma base para o espa¸co das poligonais ψ que têm vértices nos pontos de e que satisfazem ψ(0) = 0. Seja

{ }

−

P

ψ(x) =

n−1

 i=0

αi ϕi (x),


160

onde os coeficientes α i são definidos pela recorrência



α0 = nf (x1 )



αi = n f (xi+1 )



− 2f (xi) + f (xi−1 ) ,

i = 1, . . . , n

(11.14)

− 1.

Então ψ(xi ) = f (xi ), para i = 0, 1, . . . , n e como conseqüência de (11.13) temos f ψ ∞ < ε/2. Por outro lado, como

 − 

1 x 2

| −



| − xi , se provarmos que as fun¸cões x → |x − xi |, i = 1, 2, . . . , n − 1, podem ϕi (x) =

xi + x

ser aproximadas uniformemente por polinô mios em [0, 1], teremos conclu´ıdo a demostra¸cão desta etapa. De fato, suponhamos que exista um polinˆ omio Q i (x) tal que ε , ∀x ∈ [0, 1], i = 0, . . . , n − 1, | − Qi (x) < nM onde M = max{|α0 |, . . . , |αn−1 |}. Então, considerando

| − x



xi

n−1

P (x) =



αi P i (x), onde P i (x) =

i=0

1 Qi (x) + x 2





− xi ,

temos

f − P ∞ ≤ f − ψ∞ + ψ − P ∞ < ε. Provemos, então, que x → |x − xi |, i = 0, . . . , n − 1, pode ser aproximada uniformemente por polinˆ omios em [0, 1]. √ A série de Taylor de φ(ξ ) = 1 − ξ em torno de ξ = 0 é ∞ 1 (2ν − 3)! 1 − ξ + (−1)ν ξ ν , ν (ν −1) 2 ν ! (ν 1)!2 − ν =2 cujo intervalo de convergência é |ξ | < 1. Portanto, se considerarmos a seq¨ uência de polinˆ omios {S k }k definidos por k 1 (2ν − 3)! S k (ξ ) = 1 − ξ + (−1)ν ξ ν , ν (ν −1) 2 − ν ! (ν 1)!2 ν =1






161

| |

então S k converge uniformemente para φ nos compactos de ξ < 1. Em particular, P k (ξ ) = S k (1 ξ 2 ) define uma seq¨ uência de polinˆ omios que converge uniformemente para ξ 1 (1 ξ 2 ) = ξ nos compactos de ξ < 2. Como [0, 1] ]xi 2, xi + 2[, os polinˆ omios P k (x xi ) fornecem a seqüência desejada. Etapa 2: Seja f C [a, b]; R e considere g : [0, 1] R definida por

−



→  √ − −√ | | √ | | ⊂ − − ∈ → g(x) = f xb + (1 − x)a − (1 − x)f (a). Então g ∈ C [0, 1]; R e satisfaz g(0) = 0. Segue da Etapa 1 que

    



existe uma seqüência de polinˆ omios G k que converge uniformemente para g em [0, 1]. Seja P k o polinˆ omio definido por P k (x) = Gk Então P k

− − − x b

−

a a

x b

+ 1

−

a a

f (a).

→ f uniformemente em [a, b].

Funcionais Cont´ınuos e Diferenci´ aveis As fun¸co˜es reais definidas em C (K ; Rm ) são denominadas funcionais de C (K ; Rm ) e as defini¸co˜es de fun¸co˜es cont´ınuas e fun¸cões diferenciáveis se estendem ipsis litteris aos funcionais. Assim, Defini¸c˜ ao 11.9: Dizemos que um funcional J : C (K ; Rm ) R ´ e cont´ınuo em f 0 se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se f f 0 ∞ < δ , então J (f ) J (f 0 ) < ε. Dizemos que J é cont´ınuo em C (K ; Rm ) se é cont´ınuo em todos os pontos de .

 X⊂



Exemplo: Se g: R definido por

−

→

→  −



X

R ´ e fun¸cão cont´ınua, então o funcional J

 →   

J : C [a, b]; R

R,

b

J (f ) =

g f (x) dx

a

 

é cont´ınuo em C [a, b], R (veja Exerc´ıcios).


162

Como C (K ; Rm ) é de dimensão infinita, existem funcionais lineares que n˜ ao são cont´ınuos. A constru¸caõ de exemplos de funcionais lineares não cont´ınuos, assim como a caracteriza¸caõ do espa¸co dual (isto é, o espa¸co dos funcionais lineares cont´ınuos) de C (K ; Rm ) está fora do alcance destas notas. Defini¸c˜ ao: Seja um aberto de C (K ; Rm ). Dizemos que um funcional J : C (K ; Rm ) R é diferenciável em f 0 se existem funcionais ǫ, L: C (K ; Rm) R tais que

O → →

J (f 0 + ϕ) = J (f 0 ) + L(ϕ) + ǫ(ϕ),

  

onde L é linear cont´ınuo e ǫ é o ϕ ∞ . Neste caso, L é denominado a Diferencial de Fr´ echet de J em f 0 . Se J é diferenciável em todos os pontos de , dizemos que J é diferenci´ avel em .

O

O

Exemplo: Se g: R e uma fun¸cão de classe C 1 , então o funcional R´ J : C [a, b]; R R definido por

 →

→

   b

J (f ) =

g f (x) dx

a

 

é diferenciável em C [a, b], R (veja Exerc´ıcios).

Aplica¸c˜ ao 3: Fluxos

Rn uma fun¸ Seja T > 0 e f : [0, T ] Rn caõ satisfazendo (11.2). Pelo n Teorema 11.2, para cada x 0 R existe uma u ´ nica curva γ : [0, T ] n R diferenci´ avel em ]0, T [ solu¸cão do problema de valor inicial (11.1). Temos assim definida a aplica¸cão

× → ∈ Φ: Rn x0

→ → 

→



C [0, T ], Rn Φ(x0 )



(11.15)

onde γ (t) = Φ(x0 )(t) é a solu¸cão de (11.1), isto é,

  t

Φ(x0 )(t) = x 0 +



f s, Φ(x0 )(s) ds.

0


163

Defini¸c˜ ao 11.10: A aplica¸cão (11.15) é denominada o Fluxo gerado por f (ou fluxo associado ao problema de valor inicial (11.1)). Exemplo: Como exemplo particularmente importante, consideremos a fun¸caõ linear f (x) = Ax, onde A é matriz n n. Então podemos verificar facilmente que o fluxo gerado por f é dado pela matrix exponencial exp(tA) (veja (10.8)), isto é,

×

∀t ∈ R, ∀x0 ∈ Rn.

Φ(x0 )(t) = exp(tA)x0 ,

Além disso, se f (t, x) = A(t)x, onde A(t) = [aij (t)] é uma matriz n n cujos coeficientes são fun¸cões cont´ınuas de t, então é fácil ver que o fluxo gerado por f é dado pela matriz exponencial exp(B(t)), t onde B(t) = 0 A(s) ds. O teorema a seguir é um resultado básico da Teoria das Equa¸cões Diferenciais, conhecido como dependência cont´ınua das solu¸c˜ oes com rela¸c˜ ao aos dados iniciais . Ele afirma que se os dados iniciais x 0 e x ˜0 do problema de valor inicial (11.1) estão próximos, então as respectivas curvas solu¸cões permanecem próximas. Mais precisamente,

×



Teorema 11.11: Seja f : [0, T ] Rn Rn uma fun¸ c˜ ao satisfazendo (11.2). Ent˜ ao o fluxo gerado por f é uma fun¸cao ˜ Lipschitz-cont´ınua de R n em C [0, T ], Rn .

×



→



A prova é conseq¨ uência imediata da desigualdade de Gronwall.

≥ 0 e ϕ: [0, T ] → R uma fun¸c˜ ao

Lema 11.12: (Gronwall) Sejam α, β cont´ınua e positiva tal que



t

ϕ(t)

≤ α + β

ϕ(s) ds,

0

∀t ∈ [0, T ].

≤ αeβt , ∀t ∈ [0, T ].

Ent˜ ao, ϕ(t)

 t

Prova: Seja ψ(t) = α + β 0 ϕ(s) ds. Ent˜ ao ψ′ (t) = β ϕ(t) Multiplicando a desigualdade por e −βt , podemos escrever

≤ β ψ(t).

d −βt e ψ(t) dt

≤ 0,

de onde se obtém e −βt ψ(t)

≤ ψ(0) = α e a conclusão.


164

Prova do Teorema 11.11: Sejam x 0 e x dois pontos de R n . Então

    t

Φ(x0 )(t) = x 0 +

0 t

Φ(x)(t) = x +



f s, Φ(x0 )(s) ds



f s, Φ(x)(s) ds

0

Subtraindo as duas identidades e calculando a norma em Rn , temos

  t

Φ(x)(t) − Φ(x0 )(t) ≤ x − x0 + L

Φ(x)(s)

0

− Φ(x0)(s) ds

Pela desigualdade de Gronwall, obtemos

Φ(x)(t) − Φ(x0)(t) ≤ x − x0eLt. Passando ao supremo em t, conclu´ımos

Φ(x) − Φ(x0)∞ ≤ x − x0 eLT . O pr´ oximo resultado estabelece uma rela¸caõ entre a diferencial do fluxo gerado por f e o fluxo gerado por f ′ . Mais precisamente, conRn de classe C 1 satisfazendo sideremos uma fun¸caõ f : [0, T ] Rn (11.2) e γ (t), 0 t T , uma curva de Rn . O problema de valor inicial h′ (t) = f ′ t, γ (t) h(t), t ]0, T [, (11.16) h(0) = h 0 ,

×

≤ ≤



 

→

∀∈

é denominado linearizado de (11.1) em rela¸c˜ ao a γ (t). Como, para ′ cada t [0, T ], f t, γ (t) é uma matriz n n, segue que o fluxo associado a (11.16) é dado pela matriz exponencial

∈

  ×     t

exp

f ′ s, γ (s) ds .

(11.17)

0

O teorema a seguir estabelece uma rela¸cão entre a diferencial do fluxo gerado por f e a matriz (11.17).

m O Espa¸co co C(K;R )

165

Rn uma fun¸ Teorema 11.13: 11.13: Seja f : f : [0, [0, T ] T ] Rn c˜ cao ˜ de classe C C 1 satisfazendo (11.2) e Φ o Φ o fluxo associado a f . f . Ent˜ ao Φ ´ Φ é difer dif erenc enci´ iável avel em Rn e sua diferencia diferenciall é o fluxo associado ao problema problema de valor valor inicial

× →







h′ (t) = f ′ t, Φ(x Φ(x0 )(t )(t) h(t), h(0) = h = h 0 .

∀t ∈ ]0, ]0, T [ T [,

(11. (11.18)

Prova: Sejam x0 , h0 Rn , y (t) = Φ(x Φ(x0 + h + h0 )(t )(t), x(t) = Φ(x Φ(x0 )(t )(t) e h(t) = Ψx0 (h0 )t, onde Φ é o fluxo gerado por p or f f e Ψx0 denota o fluxo associado ao problema de valor inicial (11.18). Entãaoo

∈

              − −   −  −   ≤     − −  ≤      −  t

y (t) = x0 + h0 +

f s, y (s) ds,

0

t

x(t) = x0 +

(11. (11.19)

f s, x(s) ds,

0

t

h(t) = h0 +

f ′ s, x(s) h(s) ds.

0

Portanto, se ϕ se ϕ((t) = y (t)

x(t)

h(t) , temos

t

ϕ(t)

f s, y (s)

f s, x(s)

f ′ s, x(s) h(x) ds

0

t

f ′ s, x(s) (y (s)

x(s)

h(s)) ds + ds +

0

t

+

ǫ s, x(s), y (s)

x(s)

ds

0

onde ǫ onde ǫ((s,ξ,ζ ) := f := f ((s, ξ + + ζ ) De (11.20) obtemos

− f ( f (s, ξ ) − f ′ (s, ξ )ζ .



t

ϕ(t)

≤ C 1

    

onde C onde C 1 = max f ′ s, x(s)

{

; s

ϕ(s) ds + ds + C 2 ,

0

∈ [0, [0, T ] T ]} e

T

C 2 =

ǫ s, x(s), y (s)

0



− x(s)  ds.



(11. (11.20)


166 Decorre da desigualdade de Gronwall que ϕ(t) t [0, [0, T ] T ] e portanto

∈

≤ C 2eC t, para todo 1

Φ(x Φ(x0 + h0 ) − Φ(x Φ(x0 ) − Ψx (h0 )∞ ≤ C 2 eC T . (11. (11.21) Como ǫ(s,ξ,ζ ) /ζ  → 0 quando ζ → → 0 uniformemente nos comn pactos de [0, [0, T ] T ] × R (veja (5.16)), dado ε dado ε > 0 existe δ existe δ > 0 tal que 1

0

   T



− x(s)  ds ≤ εT y − x∞ Portant Portanto, o, segue de (11.21) que se y − x∞ < δ ,

ǫ s, x(s), y (s)

0

se y entãaoo

 − x∞ < δ .

Φ(x Φ(x0 + h0 ) − Φ(x Φ(x0 ) − Ψx (h0 )∞ ≤ C 3 εy − x∞ . 0

(11. (11.22)

Por outro lado, decorre do Teorema 11.11 que

y − x∞ = Φ(x Φ(x0 + h0 ) − Φ(x Φ(x0 )∞ ≤ e LT h0  . Logo, Φ(x0 + h0 ) − Φ(x Φ(x0 ) − Ψx (h0 )∞ ≤ e (C −L)T h0  . (11. (11.23) Φ(x se h0  < δe −LT . Assim, se δ se δ 1 = δe δ e−LT e h0  < δ 1 temos de (11.22) e (11.23) Φ(x0 + h0 ) − Φ(x Φ(x0 ) − Ψx (h0 )∞ Φ(x < C 3 ε h 0  1

0

0

e conc c onclu´ lu´ımos ımo s a prova. Observa¸c˜ ao: Uma aplica¸c˜ cão ao impor i mportante tante do d o Teorema 11.13 é a Fórormula de Deriva¸c˜ c˜ ao de Euler , que permite derivar em rela¸c˜ cão ao a t a t certas certas fun¸c˜ coes o˜es definidas por integrais sobre regiões oes de Rn que variam com o tempo. Mais precisamente, se f ( f (t, x) é uma um a fun¸ fun c˜ çao ão satisfazendo as hip´ oteses do Teorema 11.13 e Ω(t oteses Ω( t) é a imagem de Ω0 pelo fluxo Φ gerado por f por f ,, entãaoo d dt



Ω(t)

ρ(t, x) dx = dx =

  Ω(t)



∂ρ + div(ρf div(ρf )) dx. ∂t

m O Espa¸co co C(K;R )

167

Exerc´ xe rc´ıcio ıc ioss Exerc Exe rc´ ´ıcio ıci o 11.1. 11. 1. Sejam g : R Mostre que o funcional

cões oe s cont´ co nt´ınuas ınu as.. → R e ψ: [a, b] → R fun¸c˜

 →  

J : C [a, b]; R

   b

R,

J ( J (f ) f ) =

ψ (x)g f ( f (x) dx

a

é cont´ınuo nu o em C [a, b]; R

  →

Exerc Exe rc´ ´ıcio ıci o 11.2. 11. 2. Sejam Sejam J i : C [a, b]; R definidos abaixo.



b

J 1 (f ) f ) =

cos f ( f (x) dx,

J2 (f ) f ) =

a

R, i = 1, 2, 3 os funcionais

  b

a

 | b

J 3 (f ) f ) =

f ( f (x) dx, 1 + f ( f (x)2

f ( f (x) p dx, ( dx, ( p p > 0). 0) .

|

a

Mostre que J que J 1 e J 2 s˜ ao ao funcionai fun cionaiss uniformeme uni formemente nte cont´ınuos ınuos e que J que J 3 é unif u niform ormement ementee cont´ c ont´ınuo ınuo se e somente som ente se p = 1.



 →

Exerc Exe rc´ ´ıcio ıci o 11.3. 11. 3. Seja K Rn compacto e J : C K ; R R um funcional. funcional. Mostre Mostre que J ´ J é cont´ınuo nu o para toda seq¨ uˆ uência ci a f k em C em C K ; R , se f se f k f uniformemente uniformemente em K em K ent˜ entãao J o J ((f k ) J (f ). f ).

⊂

  −→ −→  

⇐⇒

−→

{ }

Exer Ex erc c´ıcio ıci o 11. 1 1.4. 4. Verifique Verifique quais dos conjuntos abaixo são ao compactos em V em V = C [a, b]; R : x a) F 1 = φ V ; φ(x) 1 + a φ(s) ds . b) F 2 = φ V ; φ derivável, φ avel, φ((a) = 1, 0 φ ′ (x) < φ+ (x) . c) F 3 = φ V ; φ derivável, φ avel, φ ′ F 1 . Quais s˜ ao ao fechados? Quais são ao limitados?

{ ∈ | { ∈ { ∈

|≤

 |

| } ≤ ∈ }

}

Exerc Exe rc´ ´ıcio ıci o 11.5. 11. 5. Seja Seja = f k k∈N , onde f k : [0, [0, + [ por f k (x) = sen x + 4k 4k2 π 2 .

de finid idaa ∞ → R é defin

X { }



a) Prove que ´ é equi e quicont´ cont´ınuo ınuo e uniform unif ormement ementee limi l imitado tado.. b) Prove Prove que f k 0 pontualmente, mas n˜ ao ao converge uniformemente em [0, [0, + [. (Qual a incoerência encia com o Teorema de Arzelà-Ascoli?) a-Ascoli?)

X

→ ∞


168 Exerc´ıcio 11.6. Mostre que se f : [0, 1] que



1

f (x)xn dx = 0,

→ R é fun¸caõ cont´ınua tal

n = 0, 1, 2, . . . ,

0

então f (x) = 0 em [0, 1]. Sugest˜ ao: Use o Teorema de Weierstrass.

→

Exerc´ıcio 11.7. Seja f k : [0, 1] R a solu¸caõ do problema de valor inicial: y y′ = , y(0) = a k . 1 + y2

−→ a, mostre que f k −→ f uniformemente em [0, 1], onde → R é a solu¸caõ do problema de valor inicial:

Se ak f : [0, 1]

y′ =

y , 1 + y2

y(0) = a.

Exerc´ıcio 11.8. Considere a seqüência αi i=0,...,n−1 definida em (11.14). Mostre que ψ(x) = α0 (x x0 )+ + + αn−1 (x xn−1 )+ satisfaz ψ(xj ) = f (xj ), j = 0, 1, . . . , n .

−

{ } ···

 

Exerc´ıcio 11.9. Seja V = C [0, 1]; R e J : V definido por



1

J (f ) =

0

1 dx, 1 + f (x)2

−

→

R o funcional

∀f ∈ V .

a) Mostre que J é cont´ınuo em V . b) Seja o conjunto f V ; f (0) = 0 e f é fun¸cão Lipschitz cont´ınua com constante L > 0 . Mostre que existe f tal que J (f ) = min J (f ) ; f . c) Calcule f .

X

{ ∈ } { ∈ X}

 

∈ X

Exerc´ıcio 11.10. Seja V = C [a, b]; R e J : V definido por b 0, a f (x) dx se f J (f ) = α se f 0,

  |

|

≡ ≡

→ R o funcional

m O Espa¸co C(K;R ) onde α V ?

∈ R.

169

Para que valores de α J é funcional semicont´ınuo em

→

Exerc´ıcio 11.11. Sejam ψ: [a, b] cão cont´ınua e g: R R fun¸ 1 fun¸caõ de classe C . Mostre que o funcional

→ R

 →           J : C [a, b]; R

R

b

J (f ) =

ψ(x)g f (x) dx

a

é diferenciável em C [a, b]; R e que J ′ (f )h =

b ψ(x)g ′ (f (x))h(x) dx a

Exerc´ıcio 11.12. Seja V = C [0, 2]; R e considere o funcional J : V R definido por

→

2

J (f ) =

0

xf (x)

1 + f (x)2

dx.

a) Mostre que J é funcional cont´ınuo em V ; b) Mostre que J é diferenciável em V e calcule J ′ (f )ϕ; c) Seja = f V ; f (0) = 0, f (2) 1 e f (x) f (y) y x, y [0, 2] . Mostre que é compacto em V . d) Calcule f 0 em tal que J (f 0 ) = max J (f ) ; f .

 

X ∈ | ∀ ∈ X

| | ≤ | X

−

| ≤ |x −

 ∈ X   

∈

Exerc´ıcio 11.13. Seja x0 [a, b] e J : C [a, b]; R o funcional de Dirac definido por J (f ) = f (x0 ). Mostre que J é linear e cont´ınua. Em particular, J é diferenciável e J ′ (f )h = J (h). Exerc´ıcio 11.14. Seja f : R Rn R n uma fun¸cão cont´ınua satisfazendo a seguinte propriedade: para cada M 0, existe L M 0 tal que se x , y M , então

×

→

≥

≥

    ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ LM x − y, ∀t ∈ R. (11.24) a) Mostre que para todo x0 ∈ Rn existe T ∗ (x0 ) > 0 e uma única curva γ : [0, T ∗(x0 )[→ Rn diferenci´ avel em ]0, T ∗ (x0 )[ satisfazendo γ ′ (t) = f t, γ (t) , ∀t ∈ ]0, T ∗(x0 )[,



 

γ (0) = x0 .


170 b) Mostre que se T ∗(x0 ) < +

∞, então γ (t) = +∞. lim t→T (x ) ∗

0

−

c) Mostre que a aplica¸caõ T ∗: Rn mente.

→

R e´ semicont´ınua inferior-

∞ × R → R definida por (1 − t)x3 se 0 ≤ t ≤ 1 0 se 1 ≤ t ≤ 2 3 (t − 2)x se t ≥ 2

Exerc´ıcio 11.15. Seja f : [0, + )

f (t, x) =

   

Considere o problema de valor incial



x′ (t) = f t, x(t) ,

∈ R

x(0) = x 0

Determine a fun¸caõ T ∗ : R

→ R .

0 < t < T ∗ (x0 )

Referˆ encias [1] Abdelhay, J.: Curso de An´ alise Matem´ atica , Vol III, Editora Cient´ıfica, Rio de Janeiro-RJ, 1955. [2] Apostol, A.M.: An´ alisis Matem´ atico , Editorial Reverté S.A., 1960. [3] Dantas, M.J.H.: Convexidade e diferenciabilidade , Matemática Universit´ aria, no. 30, 2001, pp. 113–114. [4] Knuth, D.E.: The T E Xbook , Addison Wesley Publ. Company, 1989. [5] Lima, E.L.: Curso de An´ alise , Vol II, Projeto Euclides, IMPA, 1981. [6] Medeiros, L.A.: Li¸coes ˜ sobre a equa¸ cao ˜ x ′ = f (t, x), Monografias XXXII, Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas, 1971. [7] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis , 3rd. edition McGraw-Hill, 1976. [8] Spivak, M.: C´ e S.A., 1972. alculo en Variedades , Editorial Revert´

Este livro foi editado por: Editora IM-UFRJ Encomendas para: ˆ Editora Responsável: Angela Cássia Biazutti Instituto de Matemática-IMUFRJ Caixa Postal: 68530 - CEP: 21945-970 Rio de Janeiro, RJ, Brasil

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