Universidad del Bio Bio Depto. Ingeniería Industrial
Investigación de Operaciones I Ejercicios de Programación Lineal
1. La Suelte Glove Company manufactura y vende dos productos. La compañía obtiene una utilidad de $12 por unidad del producto 1 y $4 por unidad del producto 2 que se vendan. Las horas de trabajo que se requieran para los productos en cada uno de los tres departamentos de producción se sintetizan en la Tabla 1. Los supervisores de estos departamentos han estimado que durante el próximo mes estarán disponibles las siguientes horas de trabajo: 2800 en el departamento 1, 2000en el departamento 2 y 3000 en el departamento 3. Suponiendo que la compañía quiere maximizar las utilidades. Formule el modelo de programación lineal de este problema Producto Departamento 1 2 3
1
2
7
4
4
5
3
10
Tabla. 1 2. Dos productos son manufacturados en tres máquinas. Una libra de cada producto requiere un número específico de horas en cada máquina, como se presenta en la Tabla 2. El total de horas disponibles de las máquinas 1, 2 y 3 corresponde, respectivamente, a 10, 16 y 8. Las utilidades por libra de los productos 1 y 2 son 4 y 3 respectivamente. Defina las variables de decisión y formule el problema como programa lineal para p ara la maximización de las utilidades. Producto Máquina
1
2
1
3
2
2
1
4
3
4
1
Tabla2
3. La Watts Manufacturing Company fabrica y vende radios AM y de AM/FM. La producción de un radio AM requiere 3 horas, en tanto que la fabricación de un radio AM/FM requiere 4 horas. En la planta existe un total disponible de 120 horas hombre semanales para la producción. Los administradores de la empresa han determinado que lo máximo que se puede vender a la semana son 30 radios AM y 20 AM/FM. La contribución a las utilidades por cada radio AM que se vende es $6, y cada radio AM/FM contribuye con $12 a las utilidades. ¿Qué cantidad de cada tipo de radio debe fabricar la compañía cada semana para maximizar sus utilidades? 4. Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de carrocería. Si el taller de pintura pintara solamente camiones, se podría pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión aporta 300 dólares a la utilidad, y cada automóvil, 200. Utilice la programación lineal para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la compañía. 5. Una compañía elabora 2 productos, A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima a los índices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los 2 productos es $20 por unidad y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de materia prima a los dos productos. 6. Un pequeño banco asigna un máximo de $20.000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en períodos de 3 años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos 2 veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos? 7. Una empresa dedicada a la elaboración de trajes de seguridad para obreros forestales ha desarrollado dos nuevos tipos de trajes, que vende a tiendas en todo el país. Aunque la demanda por estos trajes excede a su capacidad de producción, la empresa sigue trabajando a un ritmo constante, limitando su trabajo en estos nuevos artículos a 50 horas/semana. El traje tipo 1 se produce en 3.5 horas y arroja una ganancia de US$28, mientras que el traje tipo II toma 4 horas para su producción y da una ganancia de US$31. ¿Cuántos trajes de cada tipo deberá producir semanalmente la empresa, si su objetivo es maximizar la ganancia total? 8. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipo a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo I y $5 para el tipo II. Determine el número de sombreros de cada tipo que se deben elaborar para maximizar la ganancia.
9. Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planteado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y l permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad: la participación en las utilidades serías proporcional a esa fracción. Como de todas esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participaren una o en ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. Formule un modelo de programación lineal para este problema. 10. El granjero Jones tiene que determinar cuántos acres de maíz y de trigo hay que sembrar este año. Un acre de trigo produce 25 sacos de trigo y requiere 10 horas semanales de trabajo. Un acre de maíz produce 10 sacos de maíz y requiere 4 horas semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a 4 dólares el saco y todo el maíz a 3 dólares el saco. Se dispone de 7 acres y de 40 horas semanales de trabajo. Disposiciones gubernamentales especifican una producción de maíz de por lo menos 30 sacos durante el año en curso. Sea x1 el número de acres con maíz y x2 el número de acres con trigo. Formule un modelo de programación lineal, con estas variables de decisión, cuya solución indicará al Sr. Jones cómo maximizar el ingreso total por la producción de trigo y maíz. 11. Vuelva a formular el modelo de programación del granjero Jones, usando las variables, x1=número de sacos de maíz producidos y x2=números de saco de trigo producidos. Determine la solución óptima. 12. Leary Chemical produce tres productos químicos: A, B y C. Estos productos químicos se obtienen mediante dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora, cuesta 4 dólares y produce 3 unidades del producto A. 1 unidad del producto B y 1 unidad del producto C. El funcionamiento del proceso 2 durante una hora, cuesta 1 dólar y produce 1 unidad del producto A, y 1 unidad del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes. hay que producir diariamente por lo menos 10 unidades del producto A, 5 unidades del producto B y 3 unidades del producto C. Determine gráficamente un plan de producción diaria para Leary Chemical, que minimice el costo de satisfacer las demandas diarias. 13. Un laboratorio farmacéutico desea producir una. capsula de vitaminas naturales que contenga al menos 12 unidades de vitamina A y no menos de 16 unidades de vitamina B. Dos ingredientes están disponibles en existencia suficiente producir la capsula de vitaminas especificada. Cada ingrediente contiene tanto vitamina A como B y la cápsula puede producirse usando cualquiera de los ingredientes o una combinación de los dos. Cada gramo del primer ingrediente contiene 1 unidad de vitamina A y 4 unidades de vitamina B. Por otra parte, un gramo del segundo ingrediente contiene unidades de vitamina A y I unidad de vitamina B. Si ci primer ingrediente cuesta $6 el gramo y el segundo $4 el gramo. ¿Cuál es el costo mínimo de la producción de la capsula?
14. Un granjero posee 200 cerdos que consumen 90 lb de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Producto Alimento
Calcio
Proteína
Fibra
Costo ($/lb)
Maíz
0.001
0.09
0.02
0.20
Harina de Soya
0.002
0.60
0.06
0.60
Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son: (a) Cuando menos 0,1% de calcio. (b) Por lo menos 30% de proteína. (c) Máximo 5% de fibra. Determine la mezcla de alimentos con el mínimo costo por día. 15. Un fabricante de televisores compra todos los componentes necesarios para ensamblar aparatos de televisión (tanto en blanco y negro como a color). El fabricante tiene una capacidad semanal para ensamblar 300 aparatos a color ó 500 aparatos en blanco y negro. Los mercados en ambos tipos de aparatos están limitados. El fabricante puede vender no más de 200 televisores a color y no más de 300 televisores en blanco y negro a la semana. Determine el programa de producción semanal óptimo si la ganancia bruta por televisor es de $100 para los televisores a color y de $50 para los de blanco y negro. ¿Cuál es la ganancia bruta total máxima?.
Respuestas a los Problemas 1. x1: Unidades producidas del producto 1. ≥ ≤ x2: Unidades producidas del producto 2. Max
Z
=
12 x1 +
4 x2
7 x1 +
4 x2
≤
2800
4 x1 +
5 x2
≤
2000
s/a
3 x1 + 10 x2 ≤ 3000 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 4000; x2 = 0; Z = 48000
2. x1: Libras producidas del producto 1. x2: Libras producidas del producto 2. Max
Z
=
4 x1 +
3 x2
3 x1 +
2 x2
≤ 10
+
4 x2
≤
16
4 x1 +
x2
≤
8
s/a
x1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 4/5; x2 = 19/5; Z = 73/5
3. x1: Número de radios AM a producir en la semana. x2: Número de radios AM/FM a producir en la semana. 6 x1 + Max Z =
12 x2
s/a
3 x1 +
4 x2
x1 x2
≤ 120 ≤
30
≤
20
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 40/3; x2 = 20; Z = 320
4. x1: Número de automóviles a producir en el día. x2: Número de camiones a producir en el día. Max
Z
=
200 x1 + 300 x2
s/a
1/60 x1 + 1/40 x2
≤ 1
1/50 x1 + 1/50 x2
≤
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 0; x2 = 40; Z = 12000, soluciones múltiples
1
5. x1: Número de unidades del producto A. x2: Número de unidades del producto B. Z =
Max
20 x1 + 40 x2
s/a
2 x1 + 4 x2
100
≤
0.4 x1 - 0.6 x2 ≥ 0 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 150/7; x2 = 100/7; Z = 1000
6. x1: Dinero asignado a préstamos personales. x2: Dinero asignado a préstamos para automóviles. Max Z = 0.14(0.99 x1) + 0.12 x2 - 0.1 x1 s/a
-2 x1 +
x2
≥
0
+ x2 ≤ 20000 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
x1
= 20000/3; x2 = 40000/3; Z = 7372/3
7. x1: Número de trajes tipo 1. x2: Número de trajes tipo II. Z =
Max
28 x1 + 31 x2
s/a
3.5 x1 + 4 x2 ≤ 50 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 50/3.5; x2 = 0; Z = 400
8. x1: Número de sombreros del primer tipo. x2: Número de sombreros del segundo tipo. Max
Z
=
8 x1 +
5 x2
s/a
1/250 x1 +
1/500 x2
x1 x2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 150; x2 = 200; Z = 2200
≤
1
≤
150
≤
200
9. x1: Dinero invertido en el primer negocio. x2: Dinero invertido en el segundo negocio. Max
Z
=
9/10 x1 +
9/8 x2
s/a
+
x2
≤
6000
2/25 x1 + 1/8 x2
≤
600
≤
5000
≤
4000
x1
x1 x2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 10000/3; x2 = 8000/3; Z = 6000
10. x1: Número de acres a sembrar con maíz. x2: Número de acres a sembrar con trigo. Max
Z =
30 x1 +
100 x2
s/a
4 x1 +
10 x2
≤
40
+
x2
≤
7
≥
30
x1
10 x1 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 3; x2 = 14/5; Z = 370
11. x1: Número de sacos de maíz a producir. x2: Número de sacos de trigo a producir. Max
Z =
3 x1 +
4 x2
s/a
1/10 x1 +
1/25 x2
≤
7
4/10 x1 + 10/25 x2
≤
40
≥
30
x1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 30; x2 = 70; Z = 370
12. x1: horas de funcionamiento del proceso 1. x2: horas de funcionamiento del proceso 2. Min
Z =
4 x1 +
x2
s/a
3 x1 +
x2
≥
10
+
x2
≥
5
≥
3
x1 x1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 3; x2 = 2; Z = 14
13. x1: Gramos del primer ingrediente que debe usarse en la producción de la cápsula de vitaminas. x2: Gramos del segundo ingrediente que debe usarse en la producción de la cápsula de vitaminas. Min Z = 6 x1 + 4 x2 s/a
+
3/2 x2
≥
12
4 x1 +
x2
≥
16
x1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 12/5; x2 = 32/5; Z = 40
14. x1: Libras de maíz. x2: Libras de harina de soya. Min
Z =
0.2 x1 +
0.6 x2
s/a
0.001 x1 + 0.002 x2
≥
0.001( x1 + x2)
0.090 x1 + 0.600 x2
≥
0.300( x1 + x2)
0.020 x1 + 0.060 x2
≤
0.050( x1 + x2)
+
≥
90
x1
x2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 900/17; x2 = 630/17; Z = 558/17
15. x1: Número de televisores a color producidos por semana. x2: Número de televisores en blanco y negro producidos por semana. Max Z = 100 x1 + 50 x2 s/a
1/300 x1 + 1/500 x2 x1 x2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x1
= 200; x2 = 500/3; Z = 85000/3
≤
1
≤
200
≤
300
