Lista de exeríccios resolvidos para estudo de estetística-2011 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÀO DISCIPLINA DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA I EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.
População ou universo é: a) Um conjunto de pessoas; b) Um conjunto de elementos quaisquer c) Um conjunto de pessoas com uma característica comum; d) Um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum; e) Um conjunto de indivíduo de um mesmo município, estado ou país.
2.
Uma parte da população retirada para analisá-la denomina-se: a) Universo; b) Parte; c) Pedaço; d) Dados Brutos; e) Amostra.
3.
A parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de determinadas características de um grupo, sem tirar conclusões sobre um grupo maior denomina-se: a) Estatística de População; b) Estatística de Amostra; c) Estatística Inferencial d) Estatística Descritiva; e) Estatística Grupal.
4.
5.
Uma série estatística é denominada Temporal quando? a) O elemento variável é o tempo; b) O elemento variável é o local; c) O elemento variável é a espécie; d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. Suponha que uma pesquisa de opinião pública deve ser realizada em um estado que tem duas duas grandes cidades e uma zona zona rural. Os elementos elementos na população de interesse são todos os homens e mulheres mulheres do estado com idade acima de de 21 anos. Que tipo de amostragem você sugeriria?. Amostragem Estratificada
6.
Um médico está interessado em obter informação sobre o número médio de vezes em que 15.000 especialistas prescreveram certa droga no ano anterior ( N = 15.000). Deseja-se obter uma amostra n = 1.600. Que tipo de amostragem você sugeriria e por que? Amostragem A Sistemática
7.
De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é muito pequeno, para ser expresso com o número de casa decimais utilizadas ou com a unidade de medida utilizada, deve-se colocar na célula correspondente. a) Zero (0); b) Três pontos (...); c) Um traço horizontal (-) d) Um ponto de interrogação (?); e) Um ponto de exclamação (!).
8.
Assinale a afirmativa verdadeira: a) Um gráfico de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos horizontalmente. b) Um gráfico de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos verticalmente. c ompõem estão dispostos c) Um gráfico de barras é aquele em que os retângulos que o compõem verticalmente e um gráfico de colunas, co lunas, horizontalmente. d) Um gráfico de barras é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos horizontalmente e um gráfico de colunas, verticalmente. e) Todas as alternativa anteriores são falsas.
9.
Um dado foi lançado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados 5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 4 4 1 5 5 6 1 2 5 1 3 4 5 1 1 6 6 2 1 1 4 4 4 3 4 3 2 2 2 3 6 6 3 2 4 2 6 6 2 1
Construa uma distribuição de freqüência sem intervalo de classe e determine: a. a) b) c) d) e)
b. f)
O número de classe: 5 6 7 Item Anulado 10 50 A amplitude Total (n) 5
6.
Um médico está interessado em obter informação sobre o número médio de vezes em que 15.000 especialistas prescreveram certa droga no ano anterior ( N = 15.000). Deseja-se obter uma amostra n = 1.600. Que tipo de amostragem você sugeriria e por que? Amostragem A Sistemática
7.
De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é muito pequeno, para ser expresso com o número de casa decimais utilizadas ou com a unidade de medida utilizada, deve-se colocar na célula correspondente. a) Zero (0); b) Três pontos (...); c) Um traço horizontal (-) d) Um ponto de interrogação (?); e) Um ponto de exclamação (!).
8.
Assinale a afirmativa verdadeira: a) Um gráfico de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos horizontalmente. b) Um gráfico de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos verticalmente. c ompõem estão dispostos c) Um gráfico de barras é aquele em que os retângulos que o compõem verticalmente e um gráfico de colunas, co lunas, horizontalmente. d) Um gráfico de barras é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos horizontalmente e um gráfico de colunas, verticalmente. e) Todas as alternativa anteriores são falsas.
9.
Um dado foi lançado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados 5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 4 4 1 5 5 6 1 2 5 1 3 4 5 1 1 6 6 2 1 1 4 4 4 3 4 3 2 2 2 3 6 6 3 2 4 2 6 6 2 1
Construa uma distribuição de freqüência sem intervalo de classe e determine: a. a) b) c) d) e)
b. f)
O número de classe: 5 6 7 Item Anulado 10 50 A amplitude Total (n) 5
g) h) i) j)
6 7 10 50
A freqüência total k) 5 l) 6 m) 7 n) 10 o) 50
c.
d. p) q) r) s) t)
A freqüência simples absoluta do primeiro elemento: 10% 20% 1 10 20
A freqüência simples relativa do primeiro elemento: u) 10% v) 20% w) 1 x) 10 y) 20 e.
A freqüência acumulada do primeiro elemento: z) 10% aa) 20% bb) 1 cc) 10 dd) 20 f.
A freqüência acumulada relativa do primeiro elemento: ee) 10% ff) 20% gg) 1 hh) 10 ii) 20 g.
A freqüência simples absoluta do segundo elemento: jj) 19 kk) 9 ll) 2 38% mm) h.
nn)
18%
A freqüência simples relativa do quinto elemento: oo) 12% pp) 84% qq) 5 rr) 6 ss) 42 i.
A freqüência acumulada relativa do sexto elemento: tt) 50 uu) 8 vv) 6 ww) 100% xx) 16%
j.
10.
Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos de uma faculdade: 151
152
154
155
158
159
159
160
161
161
161 166
162 166
163 166
163 167
163 167
164 167
165 167
165 167
165 168
166 168
168
168
168
168
168
168
168
168
169
169
169
169
169
169
169
170
170
170
170
170
170
170
171
171
171
171
172
172
172
173
173
173
174
174
174
175
175
175
175
176
176
176
176
177
177
177
177
178
178
178
179
179
180
180
180
180
181
181
181
182
182
182
183
184
185
186
187
188
190
190
calcule: a) a amplitude amostral; b) o número de classes; c) a amplitude de classes; d) os limites de classes; e) as freqüências absolutas da classes; f)
as freqüências relativas;
g) os pontos médios da classes; h) as freqüências acumuladas; i)
o histograma e o polígono de freqüência;
j)
o polígono de freqüência acumulada;
k) faça um breve comentário sobre os valores das alturas desta amostra através da distribuição de frequência. Solução
At 190 151 40 k 1 3,32 log100 1 3,32 2 7,64 8 h
40 8
5
Classes 151 |- 156 156 |- 161 161 |- 166 166 |- 171 171 |- 176 176 |- 181 181 |- 186 186 |- 191 Total
fi
fri 0,04 0,04 0,11 0,33 0,17 0,17 0,09 0,05 1,00
4 4 11 33 17 17 9 5 100
Fi 4 8 19 52 69 86 95 100 -
Fri 0,04 0,08 0,19 0,52 0,69 0,86 0,95 1,00 -
xi 153,5 158,5 163,5 168,5 173,5 178,5 183,5 188,5 -
Histograma e Polígono de Frequência Simples 35 30 25 20 i f
15 10 5 0
151
156
161
Classes
166
171
176
Polígono de Frequência Acumulado 100 90 80 70 60 i F
50 40 30 20 10 0
151
11.
156
161
166 Classes
171
176
Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinado município do Estado: Milímetros de chuva 144 160 154 142 141
a) b) c) d)
152 151 145 146 150
160 146 150 141 158
Determinar o número de classes pela regra de Sturges; Construir a tabela de freqüências absolutas simples; Determinar as freqüências absolutas acumuladas; Determinar as freqüências simples relativas;
Xi 141 142 143 144 145 146 150 151 152 154 157 158 159 160 Total
12.
159 157 151 142 143
fi 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 20
Fi 2 4 5 6 7 9 11 13 14 15 16 17 18 20
fri 0,1 0,1 0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,1 1
Fri 0,1 0,2 0,25 0,3 0,35 0,45 0,55 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 1
Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas.
P reç os 50 51 52 53 54 Total
e) f) g) h) i)
No. De lojas 2 5 6 6 1 20
Quantas lojas apresentaram um preço de R$52,00? 2 Construa uma tabela de freqüências simples relativas. Construa uma tabela de freqüências absolutas acumuladas. Quantas lojas apresentaram um preço de até R$52,00 (inclusive)? 13 Qual o percentual de lojas com preço maior de que R$51,00 e menor de que R$54,00?
Preços 50 51 52 53 54 total
13.
j) k) l) m)
No. De Lojas 2 5 6 6 1 20
fri 0,1 0,25 0,3 0,3 0,05 1
Fi 2 7 13 19 20
Fri 0,1 0,35 0,65 0,95 1
O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe. 162
163
148
166
169
154
170
166
164
165
159
175
155
163
171
172
170
157
176
157
157
165
158
158
160
158
163
165
164
178
150
168
166
169
152
170
172
165
162
164
Calcular a amplitude total. Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe? Construir uma tabela de frequência das alturas dos alunos. Determinar os pontos médios das classes. At = 178-148 = 30 K=6
-
Classes 148 |- 153 153 |- 158 158 |- 163 163 |- 168 168 |- 173 173 |-| 178 Total
h = 30/6 = 5
fi 3 5 7 13 9 3 40
P.M. 150,5 155,5 160,5 165,5 170,5 175,5
6%
14.
Vinte alunos foram submetidos a um teste de aproveitamento cujos resultados fornam os que se seguem. 26 18 20 27
28 25 21 22
24 18 15 13
13 25 28 19
Xi 13 15 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 Total
18 24 17 28
fi 2 1 1 3 1 1 1 1 2 2 1 1 3 20
Pede-se agrupar tais resultados em uma distribuição de freqüências:
15.
Construa uma tabela para mostrar que, em determinado curso, o número de alunos matriculados nas 1ª , 2 ª e 3 ª séries era, respectivamente, 40, 35 e 29 em 1997 e 42, 36 e 32 em 1998. Alunos Matriculadospor Séries no curso X nos anos 1997 e 1998 Anos 1997 1998 Séries 1a. 40 42 2a. 35 36 3a. 29 32 Total 104 110 Fonte: Desconhecida
16.
Construa uma tabela para mostrar que, de acordo com a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios, PNAD, em 1992 havia no Brasil 73,1 milhões de pessoas com renda familiar mensal até 330 reais (pobres e miseráveis), 45 milhões de pessoas com renda familiar mensal de 330 reais até 1300 reais (emergentes) e 13,6 milhões de pessoas com renda familiar mensal acima de 1300 reais (classe média e ricos). Apresente, também, percentuais.
População Residente no Brasil no período de 1992 Renda Familiar (em reais) População (em milhões) Menos de 330 73,1 330 a 1300 45 Mais de 1300 13,6 Total 131,7 Fonte: PNAD - Pesquisa Nacional Por amostra de Domicílios.
17.
Faça um gráfico de linhas para apresentar o crescimento em altura de crianças do sexo C r e s c i m e n t o e m a l t ur a s d e c r i a n ç a s d o s e x o m a s c u l in o
Idades 7 8 9 10 11 12
A lt ura Médi a (c m) 119,7 124,4 129,3 134,1 139,2 143,2
14 5 14 0
s a i d 13 5 é M 13 0 s a r 12 5 u t l A 12 0
A l t u r a M é d i a (c m )
11 5 6
7
8
9
10
11
12
13
Idades
masculino. Os dados estão na tabela a seguir.
18.
Dado o rol do número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obteve-se os seguintes resultados:
a)
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
9
9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
14
14
14
14
14
14
14
15
16
19
22
Complete a tabela de distribuição de frequência: Classe
f
P.M.
F
05 |- 08 08 |- 11 11 |- 14 14 |- 17 17 |- 20 20 |- 23 Total
-
-
fr
Segundo nos mostra a tabela acima responda:
i) ii) iii)
Qual a amplitude total (r) ? Qual o valor de k (número de classe) ? Qual o intervalo de cada classe (h) ?
Solução
a) Complete a tabela de distribuição de frequência:
Classe 5 |- 8 8 |- 11 11 |- 14 14 |- 17 17 |- 20 20 |- 23 Total
fi
xi
Fi
fri
11 14 14 9 1 1 50
6,5 9,5 12,5 15,5 18,5 21,5 -
11 25 39 48 49 50 -
0,22 0,28 0,28 0,18 0,02 0,02 1,00
b) Qual a amplitude total (r) ? 23-5=18 c) Qual o valor de k (número de classe) ? 6 d) Qual o intervalo de cada classe (h) ? 8-5=11-8=...=23-20=3 19.
Complete a tabela a seguir: Classes
f
P.M.
Fi
fr 0,02
12 62 - 65
0,06 66,5
84 126
36 225 0,15 Total
20.
-
Considere a seguinte tabela: Classes 2,75 |- 2,80 2,80 |- 2,85 2,85 |- 2,90 2,90 |- 2,95 2,95 |- 3,00 3,00 |- 3,05 3,05 |- 3,10 3,10 |- 3,15 3,15 |- 3,20 3,20 |- 3,25 Total
fi 2 3 10 11 24 14 9 8 6 3 90
300 -
Classes
fi
xi
6
57,5
6
0,02
59 - 62
12
18
60,5 63,5
18 36
0,04
62 - 65
66,5
84
69,5 72,5 75,5
126 162 225 270
0,16 0,14 0,12 0,21 0,15 0,1 1
56 - 59
65 68 71 74 77 80
-
68 71 74 77 80 83
Total
48 42 36 63 45 30 300
78,5
81,5 -
Fi
300 -
fri
0,06
Identificar os seguinte elementos da tabela: a) b) c) d) e) f) g)
21.
Freqüência simples absoluta da quinta classe. 24 Freqüência total. 90 Limite inferior da sexta classe. 3,05 Limite superior da quarta classe. 2,95 Amplitude do intervalo de classe. 2,80-2,75=2,85-2,80=...=3,25-3,20=0,05 Amplitude total. 3,25-2,75=0,5 Ponto médio da terceira classe. (2,85+2,90)/2=2,875
Responda as questões abaixo: Média, Mediana e Moda são medidas de : a) (
) Dispersão b) (
) posição
c) (
) assimetria d) (
) curtose
Na série 10, 20, 40, 50, 70, 80 a mediana será: a) (
) 30
b) (
) 35
c) (
) 40
d) (
) 45
50% dos dados da distribuição situa-se:
22.
a) (
) abaixo da média
c) (
) abaixo da moda
b) (
) acima da mediana
d) (
) acima da média
Calcule para cada caso abaixo a respectiva média. a) 7, 8, 9, 12, 14
b)
c) 23.
Xi
3
4
7
8
12
Fi
2
5
8
4
3
Classes
68 - 72
72 - 76
76 - 80
80 - 84
Fi
8
20
35
40
Calcule o valor da mediana.
d)
e)
f)
24.
82, 86, 88, 84, 91, 93
Xi
73
75
77
79
81
Fi
2
10
12
5
2
Mediana = 77
Classes
1 - 3
3 - 5
5 - 7
7 - 9
9 - 11
11 - 13
Fi
3
5
8
6
4
3
Mediana = 6,63
Calcule a moda g) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 Moda = 7
h)
Xi
2,5
3,5
4,5
6,5
Fi
7
17
10
5
Moda = 3,5
Classes
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
Fi
7
19
28
32
i)
25.
Mediana = 87
Moda =41,11
Para a distribuição abaixo calcular D2, P4 Q 3 Classes 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 Fi 3 8 18 22 24
26.
Desvio Médio, Variância e Coeficiente de variação são medidas de : a) ( ) Assimetria c) ( ) Posição b) ( ) Dispersão
27.
d) ( ) Curtose
Desvio Médio para o conjunto de dados abaixo será:
a) ( ) 1,28
xi
Fi
5
2
7
3
8 9
5 4
11
2
c) ( ) 1,00
b) ( ) 1,20
28.
d) ( ) 0,83
O Desvio Padrão de um conjunto de dados é 9. A variância é: a) ( ) 3 c) ( ) 81 b) ( ) 36
29.
d) ( ) 18
Na distribuição de valores iguais, o Desvio padrão é: a) ( ) negativo c) ( ) zero b) ( ) a unidade
30.
d) ( ) positivo
O calculo da variância supõe o conhecimento da: a) ( ) Fac c) ( ) mediana b) ( ) média
31.
A variância do conjunto de dados tabelados abaixo será: Classes
32.
Fi
03 |- 08
5
08 |- 13
15
13 |- 18 18 |- 23
20 10
a) ( ) 1,36
c) ( ) 4,54
b) ( ) 18,35
d) ( ) 20,66
Numa empresa o salário médio dos homens é de R$ 4000,00 com um desvio padrão de R$1500,00, e o das mulheres é na média de R$3000,00 com desvio padrão de R$1200,00. Qual dos sexos apresenta maior dispersão. (Analise pelo C.V.) a) ( ) as mulheres c) ( ) homens e mulheres b) ( ) os homens
33.
d) ( ) moda
d) ( ) nenhuma das anteriores
Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta.
(I)
(II)
(III)
a) a curva I é simétrica -
x > med > mo ;
b) a curva II é assimétrica positiva c) a curva I é simétrica
mo >
2
>x
;
x = med = mo ;
d) a curva III é simétrica positiva x = med = mo ;
34.
Para as distribuições abaixo foram calculados Classes 02 06 10 14 18
|||||-
06 10 14 18 22
Distrib. A
Fi 6 12 24 12 6
Classes 02 06 10 14 18
|||||-
06 10 14 18 22
Fi 6 12 24 30 6
Distrib. B
Classes 02 06 10 14 18
|||||-
06 10 14 18 22
Fi 6 30 24 12 6
Distrib. C
x = 12Kg
x = 12,9Kg
x = 11,1Kg
Med = 12Kg
Med = 13,5Kg
Med = 10,5Kg
Mo= 12Kg S = 4,42Kg
Mo= 16Kg S = 4,20Kg
Mo = 8Kg S = 4,20Kg
Marque a alternativa correta: a) a distribuição I é assimétrica negativa; b) a distribuição II é assimétrica positiva; c) a distribuição III é assimétrica negativa moderada. d) a distribuição I é simétrica;
1) O histograma abaixo corresponde ao tamanho dos pacotes de uma transmissão de arquivos. a) Qual é o intervalo de classe que tem maior freqüência? b) Qual a amplitude total da distribuição? c) Qual o número total de pacotes transmitidos? d) Qual a freqüência do intervalo de classe 110 |-- 120? e) Quais os dois intervalos de classe que tem, dois a dois, a mesma freqüência? f) Quais são os dois intervalos de classe tais que a freqüência de um é o dobro da freqüência do outro? g) Quantos pacotes têm tamanhos entre 90 (inclusive) e 110?
h) Quantos pacotes têm tamanhos inferiores a 100?
25
20
20
40
60
80
100
120
140
160
Respostas a) 100 |-- 110 b) 110 c) 139 d) 14 e) 80 |-- 90 e 90 |-- 100; 40 |-- 50 e 140 |-- 150 f) 50 |-- 60 e 120 |-- 130 g) 48 h) 54
2) Qual o tipo de curva que corresponde a cada distribuição a seguir. a) Número de mulheres de 15 a 30 anos, em uma dada população, casadas, classificadas segundo o número de vezes que contraíram matrimônio. b) Notas de alunos que cursam a último ano da Faculdade, em uma dada população. c) Coeficientes de mortalidade por acidente, por grupo de idade. d) Tempo de estacionamento de veículos em uma área congestionada. e) Número de homens capacitados, por grupo de idade, que estão desempregados em uma determinada época.
Respostas: a) J invertido b) J
c) J
d) J invertido e) U
3) Considerando os conjuntos de dados abaixo, calcule a média aritmética, a mediana e a moda. a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 c) 51.6, 48.7, 50.3, 49.5, 48.9
d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Respostas : a) = 5,1; Md = 5; Mo = 5
b) = 11; Md = 9; Mo 7
c) = 49,8; Md = 49,5; Mo
d) = 15,1; Md = 15; Mo
4) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
Notas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
No de alunos
1
3
6
10
13
8
5
3
1
Calcule: a) A nota média b) A nota mediana c) A nota da moda ou modal
Respostas: a) 5,9
b) 6
c) 6
5) Considerando a distribuição abaixo: Xi 3 4 f i
4
Calcule: a) A média b) A mediana c) A moda
Respostas: a) 5,4
b) 5
c) 5
8
5
6
7
8
11
10
8
3
6) Determine os desvios (as diferenças) em relação à média dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 4, 15. Qual a soma dos desvios? Resposta: -2,5; -0,5; -3,5; 3,5; 2,5; -1,5; -4,5; 6,5 soma dos desvios = 0
7) Dada as seguintes distribuições de freqüência: a) Notas
f i
1.500 1.700
1
1.700 1.900
1
Total
= 70
0 2
5
2 4
8
4 6
14
6 8
10
8 10
7
150 158
5
= 44
158 166
12
166 174
18
174 182
27
182 190
8
total
b) Estaturas (cm)
c) Salários (R$)
f i
f i
= 70
Total
500 700
18
700 900
31
900 1.100
15
1.100 1.300
3
Pesos (kg)
1.300 1.500
1
145 151
d) f i 10
151 157
9
175 181
3
157 163
8
181 187
1
163 169
6
Total
169 175
3
= 40
Para cada uma das distribuições, calcule: a) b) c) d) e) f)
A média aritmética A mediana A moda O primeiro e o terceiro quartis O 10o, o 1o, o 23o, 15o, e o 90o percentis da distribuição b. Os desvios padrões
Respostas: a) a = 5,3; b = 172,4 cm; c = R$843,00; d = 159,4 kg b) a = 5,3; b = 174 cm; c = R$810,00; d = 157,8 kg c) a = 5; b = 178 cm; c = R$800,00; d = 148 kg d) a = 3,5 e 7,2; b = 166,2 cm e 179,2 cm; c = R$694,00 e R$947,00; d = 151 kg e 166 kg e) a = P10 = 159,3 cm; P1 = 151,1 cm; P23 = 165,4 cm; P15 = 161,7 cm; P90 = 183 cm f) a = 2,43; b = 8,8 cm; c = R$229,00; d = 9,93 kg
8) Em um exame final de Estatística, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi de 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Computação Básica, entretanto, o grau médio final foi de 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão? Resposta: Computação Básica
9)
Medidas as estaturas de 1.017 cearenses, obtivemos a estatura média = 162,2 cm e o desvio padrão = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses cearenses apresentam maior variabilidade em estatura o u em peso? Resposta: Estatura
10) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual o coeficiente de variação (CV) de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo?
CV = ( / ) * 100 é um percentual
Respostas: 3,72% e 3,71%, respectivamente; o segundo grupo
PROBABILIDADES EM ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS 1) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (P). As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Isto é feito até que duas peças defeituosas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar. Descreva o espaço amostral para este experimento. 2) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido. Essas lâmpadas são verificadas uma a uma até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva o espaço amostral do experimento. 3) Considere 4 objetos a, b, c, d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos por: A = {a está na 1 ª posição} B = {b está na 2 ª posição} a) Enumere todos os elementos do espaço amostral do experimento. b) Enumere todos os elementos dos eventos A B e AB. 4) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais: a) Ao menos um dos eventos ocorre; b) Exatamente um dos eventos ocorre; c) Exatamente dois dos eventos ocorrem; d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. 5) Demonstre o Teorema “Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A B) – P(B C C ) + P(A B )”.
6) Um certo tipo de motor elétrico falha apenas nas seguintes situações: emperramento dos mananciais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta é quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Tendo esse motor falhado, qual será a probabilidade de que isso tenha acontecido devido a cada uma dessas circunstâncias? 7) Suponha que A e B sejam eventos tais que p(A) = x, P(B) = y e p(A B) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z: a) P(AcBc) b)P(AcB) c) P(AcB) d) P(AcBc)
8) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(CB)=0 e P(AC) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra. 9) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens com mais de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de 21 anos de idade. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos: A={a pessoa é maios de 21 anos}; B={a pessoa é menor de 21 anos}; C={a pessoa é homem}; D={a pessoa é mulher}. Calcule: a) P(BD) b) P(AcCc) 10) Em uma sala 10 pessoas estão usando emblemas enumerados de 1 a 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número do seu emblema é anotado. Qual a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5? Qual a probabilidade de que o maior número do emblema seja 5? 11) Uma remessa de 1500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas. a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas? b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas ao menos 2 peças defeituosas? 12) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória e sem repetição de qualquer um deles. Qual a probabilidade de que pelo menos um dígito ocupe o seu lugar próprio? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3 e 4 ocupem os seus lugares próprios quando são escritos em ordem aleatória e sem repetição? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3, 4, ..., n ocupem os seus lugares próprios na mesma situação descrita em ordem aleatória e sem repetição? 13) Dois homens H1 e H2, e três mulheres, M1, M2 e M3, estão num torneio de xadrez. As pessoas de mesmo sexo têm igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que qualquer mulher. Se haverá somente uma pessoa vencedora, encontre a probabilidade de que uma mulher vença o torneio.
14) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Encontre a probabilidade de que : a) ambas sejam de espadas; b) uma seja de espadas e a outra de copas. 15) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que: a) nenhuma seja defeituosa; b) exatamente uma seja defeituosa; c) pelo menos uma seja defeituosa. 16) Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm olhos castanhos. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um homem ou ter olhos castanhos.
17) Sejam A e B eventos com P(A)=3/8, P(B)=1/2 e P(A B)=1/4. Determine: a)P(AB) b)P(Ac) c)P(Bc) d)P(AcBc) e)P(AcBc) f)P(ABc) g)P(BAc)
18) Lança-se um par de dados não viciados. Calcule a probabilidade de o máximo dos dois números ser maior ou do que 4.
19) Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda.
PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 20) Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que: a) nenhuma seja vermelha; b) exatamente uma seja vermelha; c) todas sejam da mesma cor. 21) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol?
22) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três
pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m..
23) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas as três; b) Duas partidas terminarem empatadas; c) A e B ganharem alternadamente. 24) São retiradas uma a uma, aleatoriamente, bolas de uma urna até obter-se a primeira bola branca. A cada tentativa sem sucesso, a bola azul é devolvida à urna e, além disso, dobra-se a quantidade de bolas azuis da urna. Sabendo que inicialmente a urna contém 4 bolas azuis e 6 brancas, calcular a probabilidade de obter-se a primeira bola branca no máximo na 3 ª tentativa.
25) Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona 5 peças. O lote será aceito se forem observadas 0 ou 1 defeituosas. Há 20 defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade de o lote ser aceito? b) Supondo aceito o lote, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito? 26) A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta tenha vindo de A?
27) Num certo colégio, 4 % dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura. 60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual a probabilidade de que seja homem?
28) Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com 2 caras e uma terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é de 1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a 3ª moeda tenha sido selecionada?
29) A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y contém 2 bolas azuis, 1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de saírem 2 bolas brancas sabendo que são bolas da mesma cor.
30) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos são escolhidos ao acaso, sem reposição. Ache a probabilidade de que: a) b) c) d) e) f)
ambos sejam perfeitos; ambos tenham defeitos graves; ao menos 1 seja perfeito; no máximo 1 seja perfeito; exatamente 1 seja perfeito; nenhum tenha defeitos graves; g) nenhum deles seja perfeito; Respostas:
1) ={DD, DPD, DPPD, DPPP, PDD, PDPD, PDPP, PPDD, PPDP, PPPD, PPPP} ... PPP P D } 2) ={D, PD, PPD, PPPD, ..., N r
3)a) ={abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdca, bdac, cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba} b) AB={abcd, abdc} A B={abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, cbad, cbda,, dbac, dbca} 4) a) (ABC)=(AcBcCc)c c) (ABCc)c(ABcC)(AcBC)
b) (ABcCc)(AcBCc)(AcBcC) d) (ABC)c
5) sugestão: desmembrar dois a dois a probabilidade da união entre os conjuntos. 6) emperramento: 8/13; queima: 4/13 e desgaste: 1/13 7) a) 1 - z
b) y - z
c) 1 - x + z
d) 1 - x - y + z
8) 5/8 9) a) 8/9
b) 1/6
10) 1/12 e 1/20 11)a) C 400,90.C 1100,310 / C 1500,200 C 1500,200]
b) 1 – [(C 1100,400 + 400. C 1100,399) /
12) 2/3; 1/24 e 1/ n! 13) 3/7 14) a) 1/17
b) 13/102
15) a) 24/91
b) 45/91
16) 2/3
c) 67/91
17) a) 5/8 b) 5/8 g) 1/4 18) 5/9
c) 1/2
d) 3/5
e) 3/4
f) 1/8
e) 1/2
f)
19) 5/16 20) a) 14/55
b) 28/55
c) 3/44
b) 5/72
c) 5/36
21) 49/50 22) 0,973 23) a) 1/8 24) 0,8338 25) a) 0,8038
b) 0,5
26) 10/19 27) 8/11 28) 2/17 29) 2/7 30) a) 3/8 b) 1/120 g) 1/8
c) 7/8
d) 5/8
91/120
VARIÁVEL ALEATÓRIA – ESPERANÇA – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO 1)
A função P(x) = x/5, em que x assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de probabilidades? Justifique.
2)
Encontre a média , a variância
2 e o desvio padrão de cada uma das seguintes distribuições:
a)
b) Xi P(Xi)
2 1/4
3 1/2
8 1/4
Xi P(Xi)
-1 0,3
0 0,1
1 0,1
2 0,3
3 0,2
3)
Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. Encontre a distribuição de probabilidades de X.
4)
Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X.
5)
Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X.
6)
Dada a distribuição de probabilidades:
X P(X)
0 0
1 A2
2 A2
3 A
4 A
5 A2
a) b) c) d)
Ache A. Calcule P(X 4). Calcule P(X 3). Calcule P(|X – 3| < 2).
7)
Duas cartas são selecionadas aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartas numeradas 1, 1, 2, 2 e 3. Seja X a soma e Y o máximo dos dois números obtidos. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de: X Y
a) b) 8)
As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num Sábado são, respectivamente 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? SE chegam ao litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas em 10 horas de contagem?
9)
Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. O s pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95%. Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado? Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados? Se um pacote é indenizado o produtor tem um prejuízo de R$ 24,50, e se o pacote não é indenizado, tem um lucro de R$ 50,40. Qual o lucro esperado por pacote?
a) b) c)
10) Uma moeda é lançada até que seja observado uma cara ou quatro coroas, o que ocorrer primeiro. Encontre o número esperado de lançamentos da moeda. 11) Um caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Um homem seleciona 3 objetos. Encontre o número esperado de objetos defeituosos selecionados. 12) A probabilidade do time A vencer qualquer jogo é 1/2. A joga com o time B num torneio. O primeiro time que ganhar dois jogos seguidos ou um total de três jogos, vence o torneio. Supondo que não exista a possibilidade de empate, encontre o número esperado de jogos do torneio. 13) Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 se 3 caras ocorrerem, R$ 5,00 se 2 caras ocorrerem, R$ 3,00 se 1 cara ocorrer e R$ 2,00 se nenhuma cara ocorrer. Supondo o jogo honesto, quanto poderia apostar? 14) Sendo P(X = x) = 0,5 x, x = 1, 2, 3, ...., calcule E(X). 15) Uma turma de Estatística compreende 3 canhotos e 24 destros. Selecionam-se aleatoriamente dois estudantes diferentes para um projeto de coleta de dados, representando-se por X o número de estudantes canhotos escolhidos, calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA – COVARIÂNCIA – CORRELAÇÃO 16) Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: X\Y 1 3 a) b) c) d)
Encontre as distribuições de X e Y; Calcule Cov (X; Y); Determine (X; Y); X e Y são independentes?
-3 0,1 0,3
2 1,2 0,1
4 0,2 0,1
17) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: X 1 2 P(X) 0,6 0,4 Distribuição de X
Y P(Y)
5 10 0,2 0,5 Distribuição de Y
15 0,3
Encontre a distribuição conjunta de X e Y. 18) Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, conforme ocorra cara ou coroa no primeiro lançamento, e seja Y o número de caras que ocorram. Determine: a) as distribuições de X e Y; b) a distribuição conjunta de X e Y; c) Cov(X;Y). 19) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: N.º de aparelhos de TV em cores. Considere o quadro: X Y a) b)
1 2
2 1
3 3
1 1
3 3
2 3
3 2
1 1
2 2
3 3
Verificar, usando o coeficiente de correlação, se há dependência entre as duas variáveis; Determinar a renda familiar média de quem possui 2 aparelhos de TV. Use a distribuição de probabilidades E(X/Y = 2).
20) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: número de carros da família. Considere o quadro: X Y
2 1
3 2
4 2
2 2
3 1
3 3
4 3
2 1
2 2
3 2
Calcule: a) E(2X – 3Y) b) Cov(X;Y) c) Var(5X – 3Y) d) 21) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam: X = 0, se a primeira bola for verde, ou X = 1, se a primeira bola for vermelha; e Y = 0, se a segunda bola for verde, ou Y = 1, se segunda bola for vermelha. a) Determinar a distribuição conjunta para X e Y. b) Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y). c) Calcular E(X + Y) e V(X + Y). d) Calcular o coeficiente de correlação de X e Y. 22) Suponha que (X,Y) tenha uma distribuição de probabilidade: X\Y 1 2 3 a) b) c)
1 1/18 0 1/12
2 1/6 1/9 1/4
3 0 1/5 2/15
Mostre que a tabela anterior é realmente uma distribuição de probabilidade. Calcule E(X/Y = 2). Calcule V(Y/X = 1)
23) a) Complete o quadro abaixo, supondo que X e Y são independentes. b) Calcule a esperança de Y, dado que X = 2. c) Seja Z = 4X – 3Y, calcule E(Z) e V(Z). d) Encontre a distribuição de Z e obtenha através da mesma os valores de E(Z) e V(Z) (observe que esses são os mesmos obtidos no item c).
Respostas: 1) 2)
Não, pois a soma das probabilidades é diferente de um. a) = 4; 2 = 5,5; = 2,3 b) = 1; 2 = 2,4; = 1,5
3) X 1 2 P(X) 11/36 9/36 2 = 2,5; = 2,1; = 1,4
3 7/36
4 5/36
1 12/35
2 18/35
3 4/35
1 4/16
2 6/16
3 4/16
4 0,3
5 0,2
5 3/36
6 1/36
4) X P(X)
0 1/35
5) X 0 P(X) 1/16 2 = 2; = 1; = 1
4 1/16
6) a) 01 b) 4/9 c) 2/9 d) 7/9 7) a) X 2 3 P(X) 0,1 0,4 2 = 3,6; = 0,84; = 0,9 b) Y 1 2 3 P(Y) 0,1 0,5 0,4 2 = 2,3; = 0,41; = 0,64 8) 3,15 pessoas e 126.000 pessoas 9) a) 0,9638 b) 72,4 c) R$ 47,69 10) 1,875 11) 0,6 12) 2,875 13) R$ 4,50 14) 02 15) = 0,222; 2 = 0,19; = 0,436 16) a) X 1 3 P(X) 0,5 0,5 b) – 1,2
Y P(Y)
-3 0,4
2 0,3
4 0,3
d) Não, pois por exemplo, P(X = 1,Y = -3) P(X = 1).P(Y = -3)
c) – 0,4
17) X\Y 1 3
-3 0,1 0,3
2 0,2 0,1
4 0,2 0,1
18) a) X P(X)
0 1/2
1 1/2
X\Y 0 1
0 0 1/8
1 1/8 2/8
Y P(Y)
b)
c) – 0,25
2 2/8 1/8
3 1/8 0
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
19) a) = 0,7113, há dependência linear entre X e Y b) E(X/Y = 2) = 2 20) a) 0,1 21) a) X\Y 0 1
b) 0,28 0 1/10 3/10
b) 0,6; 0,6; 0,24 e 0,24
c) 10,01
d) 0,533
1 3/10 3/10 c) 1,2 e 0,36
d) – 0,25
22) a) Todos os valores variam de 0 a 1 e a correspondente soma é 1 b) 41/19 c) 3/16 23) a) Use p(x i,y j) = p(xi).p(y j), i, j
b) 3,3
c) –2,3 e
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
1) Um urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: ocorrência de bola verde. Determine E(X), V(X) e P(X). 2) Seja X ~ B(10;0,30). Determine: a)P(X = 1) b)P(X = 2) c)P(X 2)
d)P(X > 1)
e)P(1
3) Numa criação de coelhos, 40% dos nascem são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 4) Qual a probabilidade de que no 25 º lançamento de um dado ocorra a face 4 pela 5 ª vez? 5) Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) 300 km ocorram 5 acidentes?
6) Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de nãosobreviventes, determine: a) a distribuição de X; b) E(X) e V(X); c) P(2 < X 4); d)P(X 2).
7) Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante um mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão? 8) Uma fábrica de motores para máquinas de lavar roupas separa de sua linha de produção diária de 350 peças uma amostra de 30 itens para inspeção. O número de peças defeituosas é de 14 por dia. Qual a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos? 9) Um urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas. a) Qual a probabilidade de que a 6ª bola retirada com reposição seja a 1 ª branca? b) Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 brancas? c) Qual a probabilidade de que a 15 ª bola extraída com reposição seja a 6 ª branca? d) Qual a prob. de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo 2 brancas? e) Se o número da urna fosse 50 bolas brancas e 950 bolas pretas, qual a probabilidade de que retirando-se 200 bolas, com reposição, ocorressem pelo menos 3 brancas? 10) Sabe-se que o número de viajantes por veículos tipo VAN em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,3. a) calcule o número médio de ocupantes por veículo; b) Qual a probabilidade de que num determinado dia o quinto veículo que passa por esta rodovia seja o segundo a transportar mais do que 3 pessoas? c) A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas (só o motorista) é cobrado R$ 6,00; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, R$ 4,00; e se tiver mais do que 3 ocupantes, R$ 2,00. Calcular a arrecadação diária, sabendo-se que em média passam 300 veículos por dia neste pedágio. 11) Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade 0,05. Seja X: número de sucessos: a) Calcular P(1< X 4) b) Considere 100 tentativas independentes. Calcular P(X 2)
12) Seja X:B(200;0,04). Usando aproximação, calcular: a) P(X = 6) b) P(X + 2 > ) 13) Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito? 14) O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com = 3,0. Se
um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isto ocorrer em qualquer dado segundo? 15) Recentemente os meios de comunicação deram grande cobertura ao fato de que jatos da USAir estavam envolvidos em quatro dentre sete acidentes aéreos graves consecutivos nos Estados Unidos. A USAir detém 20% das linhas domésticas norte-americanas. Se a USAir, detendo 20% das linhas, fosse tão segura quanto outra companhia de aviação, seria de se esperar que a USAir tivesse 20% dos sete desastres ocorridos, ou seja, 1,4. Como a USAir teve quatro acidentes no lugar de apenas um ou dois, é lícito concluirmos que a USAir não é tão segura quanto às outras companhias, ou que o envolvimento da USAir é apenas uma mera coincidência do destino? Essa conclusão depende da probabilidade de que os eventos ocorram por puro acaso. Vamos considerar as seguintes questões: a) Dado que a USAir detém 20% de todas as linhas domésticas e supondo que a USAir seja tão segura quanto qualquer outra companhia aérea e que os acidentes com avião sejam eventos independentes que ocorram aleatoriamente, qual a probabilidade de a USAir ter quatro dentre sete acidentes consecutivos? b) Para decidir se a USAir não é segura ou se é vítima de coincidência, em vez de procurarmos a probabilidade de ela ter quatro dentre sete acidentes consecutivos, o mais sensato e correto é calcularmos a probabilidade de qualquer companhia de aviação tenha pelo menos quatro dentre sete acidentes. O que ocorreu com a USAir poderia ter ocorrido com qualquer outra. Um resultado específico como exatamente quatro, dentre tantos outros que poderiam ocorrer, têm uma probabilidade muito pequena. Desta forma, calcule a probabilidade de que qualquer companhia de aviação tenha pelo menos quatro dentre sete acidentes. Por fim, estabeleça a seguinte regra: se o resultado da probabilidade encontrado for menor ou igual a 0,05, ou seja, menor ou igual a 5%, conclua que a USAir deva ser menos segura do que as outras, já que o resultado indicaria um evento altamente improvável de ocorrer; e, se o resultado encontrado for maior que 0,05, conclua que foi mera coincidência do acaso. Gabarito: 1) P(X) = (2/5)x.(3/5)1-x; x = 0;1 ; E(X) = 2/5 e V(X) = 6/25 2) a) 0,121060821 b) 0,23347444 e V(X) = 2,1
c) 0,3827
d) 0,8507
e) 0,2334
f) E(X) = 3
3) 0,99948 4) 0,0356438 5) a) 0,875348
b) 0,160623
6) a) X ~ B(20;0,2)
b) E(X) = 4 e V(X) = 3,2
c) 0,42356
d) 0,93082
7) 0,191154 8) 0,108453 9) a) 0,065536
b) 0,293273
c) 0,008599
d) 0,04419
e) 0,997231
10) a) 3
b) 0,072459
c) R$ 1026,00
11) a) 0,08607
b) 0,124652
12) a) 0,122138
b) 0,986245
13) 0,39175 14) 0,184737 15) a) 0,029 b) 0,165, conclui-se que os acidentes ocorreram por mera coincidência
4a Lista de Exercícios 1. No lançamento de dois dados a v. a. x anota o produto dos pontos das faces superiores. Determine os valores de x, a Função de Probabilidade, a média a variância e o desvio-padrão. 2. Supondo que (X,Y) tenha distribuição conjunta de probabilidade dada por: Y\X -1 0 1
a) b)
-1 K/12 1/9 1/18
0 1/6 K/18 1/18
1 K/12 1/9 1/18
Para que valores de K esta é uma legitima distribuição de probabilidade determine a E(X), E(Y), V(X) e V(Y).
3. Dada a função
2e -2x x 0 f ( X ) = 0, caso contrario a) b)
Mostre que esta é uma legitima F.D.P Calcule a probabilidade de que x>10.
4. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de 25%. Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade dele acertar dois tiros. 5. Suponha que 1% dos programas que dão entrada no guichê de atendimento ao aluno, no CPD da UCB, não são executados devido a erros. Se em um dado dia 500 programas dão entrada no referido guichê, calcule: a) A probabilidade de que todo a os programas tenham sido executados b) O número esperado de programas não executados devido a erro de impressão. 6. Uma comissão tem 2n membros. Marca-se uma reunião. Cada Membro da comissão lança uma moeda, e comparece a reunião se houver a ocorrência de cara. Supor que haverá reunião se houver a maioria dos membros presentes. Qual a probabilidade de que haja reunião. 7. Se a probabilidade de acertar um alvo é ½, e são disparados 10 tiros, qual é a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo menos duas vezes.
8. Um processo mecânico produz tecidos para tapetes com uma média de dois defeitos por jarda. Determine a probabilidade de uma jarda quadrada ter exatamente um defeito. 9. Suponhamos que um navio cheguem a um porto á razão média de 2 navios/horas, e que o processo seja observado durante um período de meia hora. Determine a probabilidade de : a) não chegar nenhum navio b) chegarem 3 navios. 10. Os clientes chegam a uma loja de departamento a razão de 6,5/horas. Determine a probabilidade de que, durante qualquer hora: a) não chegue nenhum cliente; b) mais de um cliente 11. Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0,2]. Qual será a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 3/2. 12. A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo [50;70]. Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60. 13. Se a variável aleatória x admite distribuição normal com média 20 e desvio padrão 2, calcule: a) P(15 x 20) b) P(16 x 24) 14. Determine as probabilidades: a) P(0 z 1.25) b) P(-1.48 z 0.5) c) P(z -0.6)
Uma distribuição normal tem média 50 e desvio padrão igual a 5. Calcule: a) P(40
e)
Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes.
17. As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60m e desvio padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: a) entre 1,50 e 1,80m; b) mais de 1,75m; c) menos de 1,48m. 18. Uma fábrica de carro sabe que os motores de sua fabricação tem duração normal com média de 150.000Km e desvio padrão de 5.000Km. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure: a) menos que 170.000Km? b) entre 140.000Km e 165.000Km? c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia, para que a percentagem de motores substituídos seja inferior a 0.2%? 19. Um fabricante de baterias, sabe por experiência passada que as baterias de sua fábrica tem vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias, com a duração normalmente distribuída. O fabricante oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca as baterias que apresentam falhas neste período. A produção mensal desta fábrica é de 10.000 baterias. Quantas deverá trocar pelo uso da garantia mensalmente? 20. A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração e normalmente distribuída. Calcule a probabilidade desse componente durar: a) entre 700 e 1000 dias b) mais que 800 dias 21. Suponha que as notas de uma prova de probabilidade se distribua normalmente com média 73 e desvio padrão igual a 15. Sabe-se que 15% dos alunos mais adiantado recebem grau A e 12% dos mais atrasados recebem grau F. Encontre o mínimo para se receber o grau A e o mínimo para não receber o grau F.
