Lições de Filosofia da Matemática para o Ensino Médio (Material paradidático produzido para o curso online O Ensino de Filosofia e sua Transposição Didática) Gisele Dalva Secco Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Filosofia
O que sabemos sobre as relações entre a matemática e a filosofia? Por que a matemática interessa à filosofia? Como estas questões poderiam ser trabalhadas nas salas de aula do ensino básico? E por quê? Estas são as principais perguntas que vou tentar responder, de maneira muito singela, neste módulo do curso. Para isso, entretanto, primeiramente farei uma introdução falando um pouco sobre a perspectiva de interdisciplinaridade escolar que funciona, por assim dizer, como pano de fundo do que vou propor. Em seguida falarei um pouco do papel da lógica na filosofia, aproveitando o que vocês viram na lição anterior, em que se tratou de lógica. Com isso pretendo mostrar as possibilidades de interdisciplinaridade da filosofia, através de conteúdos e habilidades de lógica, com a matemática. Somente após estas considerações é que abordarei efetivamente alguns tópicos de filosofia da matemática que, a meu ver, podem ser trabalhados na escola básica – e especialmente no Ensino Médio, já que é somente nesta etapa que a filosofia é curricularmente obrigatória no Brasil.
1. Introdução: interdisciplinaridade na escola e o papel da filosofia no currículo escolar
Para lidar com o tema da interdisciplinaridade, assunto bastante badalado no momento, costumo me basear em dois autores. O primeiro deles é o professor Ronai Pires da Rocha, especialmente no livro Ensino de filosofia e currículo .1 A
1
ROCHA, R. P. da. Ensino de filosofia e currículo. 2ª Ed. Santa Maria: Ed. da UFSM, 2015.
segunda é a professora Olga Pombo, notadamente no artigo “Epistemologia da interdisciplinaridade”, publicado em 2008.2 Ambos os autores fornecem diversas
distinções conceituais fundamentais para que possamos nos orientar diante do oceano de bibliografia sobre o tema que o mercado editorial disponibiliza. Apenas de uma quantidade significativa de material bibliográfico, nem sempre é possível encontrar textos nos quais sejam esclarecidas as relações conceituais entre os termos interdisciplinaridade e transdisciplinaridade, para mencionar apenas duas das expressões bastante usuais. Resumo a apresentação do trabalho de Pombo sublinhando aquilo que me parece mais importante.
3
Em primeiro lugar, nossa autora nota que
interdisciplinaridade é uma expressão um tanto gasta, utilizada para se referir a
coisas muito diferentes e que ocorrem em contextos diferentes, dos quais destaca: um contexto epistemológico, um contexto pedagógico, um contexto midiático e um contexto empresarial. Outro ponto importante de sua exposição é a consideração de que a expressão disciplina também guarda certa polissemia, pois pode ser compreendida como ramo do saber , como componente curricular ou ou como conjunto de normas. Estes dois primeiros pontos são importantes na medida em que boa
parte das críticas à fragmentação do conhecimento, e de suas consequências para as aprendizagens escolares, parece estar apoiada em alguma confusão entre os contextos de ocorrência da expressão interdisciplinaridade e dos sentidos da palavra disciplina – invariavelmente, vale notar, tais críticas acabam resvalando na ideia prescritiva de acordo com a qual o melhor melhor seria uma fusão entre as as disciplinas, ou o fim das mesmas, já que “a realidade é uma só”. Sem poder, por razões de espaço,
elaborar uma crítica a este tipo de crítica, aponto apenas para a necessidade de que levemos a sério o tipo de distinção proposto por Pombo, para que sejam bem elaboradas novas estratégias didáticas que não incorporem os aspectos negativos da fragmentação derivadas da especialização crescente dos saberes humanos, nem tampouco objetivem uma fusão entre todos eles. Afinal, as disciplinas escolares (e, portanto, disciplina no sentido de componente curricular) são encarnações encarnações de ramos 2
POMBO, O. “Epistemologia da interdisciplinaridade”. Revista do Centro de Educação de Letras da Unioeste – Campus Campus de Foz do Iguaçu. Vol. 10, n. 1, pp. 9-40. 3
Um esquema de todo o texto de Pombo pode ser acessado neste https://prezi.com/zcqpdlc76z4o/grupo-de-leituras-interdisciplinares-pibid-ufrgs-2015/
link:
do saber que foram desenvolvidos de acordo com diferentes curiosidades humanas sobre o mundo ou a realidade, não existindo por mero capricho cartesiano mas por que o mundo ou a realidade é de complexidade tal que não podemos compreendelo sem, de algum modo, particiona-lo. São práticas de: importação – quando, para dar conta de um fenômeno que pretende estudar, uma disciplina incorpora recursos linguísticos e metodológicos de outras; cruzamento – quando, no interior de uma disciplina, surgem problemas que só podem ser resolvidos desde a perspectiva de outra(s); convergência – quando da análise de um objeto comum surge a necessidade de muitas disciplinas coordenadas; descentração – exigida quando se trata de analisar um fenômeno muito complexo qualitativa e quantitativamente, como o funcionamento de florestas,
através
da
formação
de
redes
de
pesquisa
“policentradas”;
comprometimento – a principal diferença entre esta modalidade e a última parece
dizer respeito ao teor ético dos problemas tratados, pois ela menciona coisas como “saber por que umas pessoas matam as outras, por que razão a fome persiste num mundo em abundância”. (POMBO, 2008, p. 28) Esta distinção é relevante porque
permite pensar as possibilidades interdisciplinares da filosofia no currículo escolar, sobretudo a partir do segundo tipo de prática, de cruzamento propriamente propriamente dito. Para finalizar estas breves notas sobre a concepção de Pombo, reproduzo uma das imagens constantes em seu artigo:
Figura 1: O continuum das relações entre disciplinas. Extraído de POMBO, 2008, p. 14.
A partir desta imagem podemos dizer que normalmente os currículos escolares são organizados pelo princípio de paralelismo (cada disciplina faz seu trabalho sem contato com as demais – o que Rocha denominará de “princípio do presépio”); que as mencionadas críticas a este modelo propõem, mais ou menos
conscientemente, uma organização curricular por unificação; que, no contexto pedagógico, parece mais plausível buscar planejamentos curriculares orientados por alguma forma de perspectivismo; e, por fim, que para o caso específico de um currículo com filosofia, é bastante plausível pensar na construção de práticas de cruzamento interdisciplinar – afinal, como veremos a partir da perspectiva de Rocha, não há melhor lugar para satisfazer determinado tipo de curiosidade que surge nas aulas de História ou Física do que uma aula de Filosofia. Sobre o trabalho do professor Rocha, apesar de se dedicar especificamente a questões de didática da filosofia, possui um bom potencial de esclarecimento para uma didática escolar interdisciplinar. Isto, muito provavelmente, por conta da concepção de filosofia que se delineia em sua obra, qual seja, a de que é da própria natureza da investigação filosófica ser um empreendimento interdisciplinar – pois trata de temas, conceitos e problemas que podem surgir no interior de qualquer outra disciplina, desde que se desdobre reflexivamente sobre si mesma. Com isso, creio, já se pode perceber uma coincidência entre o trabalho de Rocha e de Pombo, ao menos na medida em que o conceito de transversalidade que ele propõe se adequa ao sentido das práticas de cruzamento sugerido pela autora. A Filosofia, afinal, é um excelente caso de disciplina cujas questões podem surgir no âmbito de qualquer outra. Vejamos um exemplo. O autor nos oferece uma amostra de tratamento filosófico de conceito transversal ao analisar a natureza das perguntas causais, como perguntas "de dentro do mundo" – "o que houve com seu joelho?", "de onde vêm os bebês?" –, mas que podem ser aplicadas ao plano das ações humanas – "por que fulano cometeu suicídio?" ou "por que houve um golpe militar?". No caso destas últimas não se trata da relação de causa tal como encontramos na Biologia ou na Física, pois adentramos no universo dos motivos para ações. Nesse caso a Psicologia, ou mesmo
a Filosofia Moral, por exemplo, poderiam contribuir. Levando adiante as possibilidades de expansão das perguntas causais, o autor nos mostra como um problema filosófico tradicional está diretamente vinculado a essas questões: quando tentamos aplicar o conceito de causalidade não aos fenômenos do mundo, sejam eles naturais ou humanos, mas ao mundo como um todo (ROCHA, 2015, p. 47), chegamos ao famoso argumento cosmológico cosmológico em favor da existência de um criador para o mundo, baseado na ideia de que, se tudo o que existe, existe por causa de algo, algo deve ter causado o mundo. Aqui se percebe que a especificidade do trabalho do professor de Filosofia consiste em apresentar as distinções conceituais necessárias para que o aluno possa perceber o trânsito de certos conceitos e argumentos por diferentes disciplinas. Daí a qualificação de pedestre ao tipo de transversalidade em questão (“Por uma transversalidade pedestre” é o título do primeiro capítulo de seu livro).4 Mais tarde, na última parte do texto, tentarei mostrar quais conexões interdisciplinares são possíveis entre matemática e filosofia, selecionando alguns conceitos transversais que permitam tais entrelaçamentos. Após estas breves considerações sobre os suportes conceituais de que disponho para pensar estes assuntos, devo dizer algo, também brevemente, acerca de como compreendo o papel da filosofia no currículo escolar. Se é verdade que toda disciplina com a qual o aluno tem contato na escola possui, como parece ser o caso, uma dimensão reflexiva – que se manifesta em perguntas do tipo “Como sei que o que ocorreu (e que me conta a disciplina de História) foi iss o mesmo?”; “Qual a diferença entre uma explicação em História e em Física?”; “O que são números?”; “Qual o estatuto ontológico das entidades (personagens, situações) ficcionais com
as quais entro em contato através da Literatura ? (Eles existem? Em que sen tido?)” – é a disciplina que se dedica a pensar, não sobre o mundo ou a realidade eles mesmos, mas sobre os modos pelos quais acessamos o mundo (ou seja, o corpo, a compreensão, a opinião, o conhecimento, as determinações passionais, os valores etc..) a disciplina que deve acolher aquelas curiosidades surgidas nos processos de aprendizagem das disciplinas que nos auxiliam a acessar cognitiva, artística e 4
Uma descrição da abordagem destes temas por parte de Rocha, com desdobramentos a partir do que foi feito em seu livro, pode ser acessada neste link: https://didaticofilosoficas.wordpress.com/2014/04/08/in https://didaticofilosof icas.wordpress.com/2014/04/08/interdisciplinaridade-e-transversalidade-no terdisciplinaridade-e-transversalidade-no-curriculo-do-ensino-medio/
mesmo fisicamente, o mundo. A aula de filosofia é uma oportunidade para que se coloque em avaliação os critérios utilizados para pensarmos e agirmos no mundo, o que inclui, certamente, as dimensões éticas, estéticas e políticas de nossas vidas, mas também as dimensões epistemológicas e lógicas – ou seja, a filosofia, seus temas, problemas, métodos, instrumentos e sua vasta e rica literatura, podem contribuir de maneira sui generis para o enriquecimento das experiências de aprendizagem escolar, sobretudo
se for compreendida desde uma perspectiva na qual a colaboração entre colegas de diferentes
disciplinas
é
fundamental.
Não
se
pode, afinal,
trabalhar
interdisciplinarmente sem a disposição para o trabalho conjunto – o que nem sempre, e pelas mais diversas causas, motivos e razões, ocorre. Para finalizar esta introdução, gostaria de enfatizar ainda duas coisas. Uma delas é um ponto já mencionado desde a perspectiva de Pombo, qual seja, a distinção entre os contextos de práticas interdisciplinares. Creio ser de extrema importância a distinção entre contexto epistemológico e contexto pedagógico fornecida pela autora, pois uma coisa são as possíveis conexões entre objetos e métodos de diferentes disciplinas em seu ambiente de investigação extraescolar, ou seja, universitário, industrial, onde se realizam pesquisas de ponta e podem ocorrer práticas de cruzamento, convergência e descentração, e onde a organização disciplinar pode ser não somente de paralelismo e perspectivismo, mas também de unificação. Outra coisa são as possíveis conexões entre temas, conceitos e problemas de diferentes disciplinas escolares/componentes curriculares, o contexto pedagógico, no qual podem ocorrer práticas de cruzamento e convergência e, além das associações por paralelismo, práticas de cruzamento – mas dificilmente de unificação. O segundo ponto que quero grifar está novamente relacionado com a perspectiva de Rocha, e serve como articulação entre esta introdução e o que se segue. Nosso autor nos fornece uma imagem da aula de filosofia, imagem a partir da qual, a meu ver, o professor de filosofia não precisa decidir entre as alternativas das falsas dicotomias, bastante disseminadas em contexto de debate sobre o ensino de
filosofia.
Refiro-me
à
suposta
decisão
entre
trabalhar
ou
temas/problemas/conceitos ou história da filosofia. A filosofia, para Rocha,
comporta três eixos ou espaços conceituais que precisam ser levados em conta nas discussões sobre sua natureza e sua didática: 5 1) Um eixo conceitual/temático/problemático conceitual/temático/problemático, constituído a partir das situação do mundo da vida, que de um modo ou outro nos tocam a todos, situações nas quais conceitos como os conceitos de amor, razão, direito, corpo, verdade, poder, identidade etc., e os temas e problemas a eles relacionados, são fulcrais; 2) Um eixo instrumental , do qual fazem parte conceitos e procedimentos próprios da filosofia, que nos socorrem no tratamento reflexivo daqueles problemas, temas e conceitos constitutivos do primeiro eixo: diferentes metodologias e estilos de escrita filosófica, estratégias de distinções conceituais, ferramentas de análise textual, argumentativa, lógica, dialética e dialógica etc.; 3) Um eixo histórico, relativo ao contato com os textos da tradição, que tematizam os conceitos e problemas identificados no primeiro eixo e que tanto melhor serão lidos e trabalhados quanto mais capacitados estivermos a operar com os instrumentos e métodos do segundo eixo. Nosso autor sugere a ideia de que cada um dos níveis de ensino faz jus à ênfase em um ou outro dos eixos, sem jamais perder de vista a necessidade de atenção às “bases lógico-metodológicas da Filosofia” (Rocha, 2015, p. 128). Assim,
enquanto no nível fundamental o mais apropriado é enfatizar menos a história e mais os instrumentos e problemas, no Ensino Médio o apreço à história, aos textos clássicos, pode estar mais presente. Nesse caso, “a clareza metodológica deve ser
idêntica, mas a consciência acerca da diferença entre abordagens filosóficas, sociológicas, psicológicas e outras deve aumentar” (Rocha, 2015, p. 128). Já no nível
superior, a clareza metodológica acerca dos problemas é suposta robusta, de modo que o futuro profissional aprofunde seus estudos históricos “sem correr o risco de
5
A distinção aparece no quarto capítulo de Ensino de filosofia e currículo e é retomada em “Ensino de filosofia e sensibilidade à ocasião” , artigo cuja versão preliminar pode ser acessada neste link: https://www.academia.edu/2020750/Ensino_de_Filosofia_e_sen https://www.academia.edu/2020750/Ensi no_de_Filosofia_e_sensibilidade_à_ocasião sibilidade_à_ocasião
pensar que as relações entre história, problemas e métodos de filosofia sejam externos” (Rocha, 2015, p. 128), onde “externo” está por “artificial”, “superficial” ou “acidental”.
Cada eixo implica perguntas específicas, que precisam ser esclarecidas para que se possa pensar em suas articulações. 6 De qualquer maneira, importa notar que sem as distinções entre os eixos da filosofia e entre os níveis de ensino, corre-se o risco – que muitas vezes deixa de ser risco a correr e passa a ser fato a lamentar – de reproduzir tout court nas nas salas de aula de EM o tipo de estratégia de ensino (baseada na ênfase na história, na análise dos textos clássicos) utilizado no nível superior. Vejamos agora como tudo o que foi dito até aqui pode ser desenvolvido, a título de exemplo, através do caso da lógica e suas possibilidade de articulação interdisciplinar com a matemática.
2. A lógica e o ensino de filosofia na escola: conexões interdisciplinares com a matemática
Na última lição deste curso vocês viram como a lógica é uma disciplina que se ocupa de maneira bastante específica da capacidade humana de raciocinar. Isso quer dizer, não se trata, em lógica, de buscar explicações causais ou psicológicas para os processo de raciocínio, mas sim de focar nos aspectos formais ou estruturais dos processos que chamamos de inferenciais. Mais o que isso, a lógica, tradicionalmente, direcionou seu foco para um tipo específico de inferência, qual seja, a inferência dedutiva – embora saibamos que existam muitos outros tipos de inferência, como as indutivas, abdutivas, por analogia etc.. Gostaria de propor, embora não me seja possível desenvolver com atenção aqui,7 uma reflexão sobre o modo como tradicionalmente a lógica é ensinada, 6
Perguntas, por exemplo, sobr e as relações entre a filosofia e sua história, sobr e a natureza dos problemas filosóficos, sobre a existência de diferentes métodos em ou da filosofia – ao que se deve certamente acrescentar perguntas relacionadas ao desafiador tema da “profusão grafomórfica da filosofia”, proposto por Arthur Danto em “Filosofia como/e/da literatura” (2014). O tema tam bém tam bém é problematizado, sem este título e com diferentes graus de complexidade, em Gagnebin (2006) e em Marcondes & Franco (2011). Em Secco (2015), considera-se a importância do problema posto por Danto para a didática da filosofia. 7
Acaba de se aceito, na revista Controvérsia, um texto que trata mais extensamente do assunto, “Filosofia no Ensino Médio: distinções preliminares para uma didática mínima da lógica”, a ser
quando é, no contexto do Ensino Médio. Médio. Para tanto me parece parece bastante plausível plausível recorrer às orientações oficiais (ou seja, aos documentos do MEC) e verificar quais os conteúdos de lógica selecionados na lista oferecida como base para a formulação de currículos de filosofia no EM. Trata-se dos seguintes (sigo a numeração do documento): 2) validade e verdade; proposição proposição e argumento; argumento; 3) falácias não formais; reconhecimento de argumentos; argumentos; conteúdo e forma; 4) quadro de oposições entre proposições proposições categóricas; inferências inferências imediatas em contexto categórico; conteúdo existencial e proposições categóricas; 5) tabelas de verdade; cálculo cálculo proposicional. (OCEMFIL, 2006, p. 27)
Com isso, temos tudo o que precisamos para perguntar: como a transposição didática de tais conteúdos deve ser trabalhada de modo tal a permitir não somente o “proveitoso intercâmbio” com as demais disciplinas (científicas e
linguísticas) mas a lida com os textos da tradição? Como se articulam os conteúdos de lógica formal (os pontos 4 e 5 e, em certo sentido, o ponto 2) com os demais? A essa altura, é preciso reconhecer, o documento não é de muito auxílio a seu públicoalvo. Ainda que encontremos afirmações como a de que se trata “de referên cias, de
pontos de apoio para a montagem de propostas curriculares, e não de uma proposta curricular propriamente dita”, ou de que os conteúdos “não precisam todos ser
trabalhados, nem devem ser trabalhados de maneira idêntica à que costumam ser tratados nos cursos de graduação” (OCEMFIL, 2006, p. 27), a seção sobre metodologias não apresenta nenhuma diretriz propriamente metodológica, persistindo na importância fulcral do trabalho com os textos da tradição – eixo histórico, típico do nível superior de ensino. O que resta, então, então, para os professores professores de filosofia filosofia (em atividade ou em formação) no que diz respeito ao trabalho com os conteúdos, habilidades e competências propriamente propriamente lógicos? Se buscarmos em outros documentos do MEC, como o volume dedicado à filosofia da coleção Explorando o ensino (de 2010), a situação ou sensação de desamparo paradidático não melhora muito, pois o texto publicado ainda este ano (SECCO, 2015, no prelo). Boa parte do conteúdo desta seção está contida no referido texto.
ali fornecido como apoio para o trabalho com temas de lógica (e filosofia da linguagem) é uma apresentação de um dos livros mais difíceis da filosofia do século XX, o Tractatus Logico-Philosophicus Logico-Philosophicus. Além disso, o texto não aborda explicitamente explicitamente nenhum dos itens da lista fornecida nas OCEMFIL, de modo que resta ao docente em filosofia, além do que aprendeu de lógica em sua formação de licenciado, os manuais do professor que acompanham os livros didáticos oferecidos pelo MEC através do PNLD, a variegada gama de livros de introdução à lógica disponíveis no mercado editorial brasileiro, com todas as suas irregularidades e problemas e, claro o polimorfo mundo da internet . Ao socorrer-se no conteúdo dos livros didáticos, que de modo mais ou menos sofrível dão conta dos conteúdos listados acima, o professor enfrenta os problemas: da desconexão dos capítulos de lógica com os demais capítulos dos livros; da desatualização (quando não de erros) na apresentação dos conteúdos; ou, o que é pior, da completa ausência de conteúdos de lógica. Aliás, para que se tenha uma boa visão de conjunto do material disponível nas escolas públicas do país, é recomendável a leitura do Guia de livros didáticos PNLD 2015 – Filosofia – Ensino médio (publicado em 2014). No segundo caso, é possível encontrar alguns materiais
interessantes, dependendo de qual das tendências em ensino de lógica apresentadas a seguir o professor vai decidir trabalhar. A existência de duas grandes tendências do ensino de lógica não me parece discutível, sendo inúmeras as variações arquitetadas por cada professor, em cada escola, a partir delas e em conjunção com as determinações curriculares de cada estado da federação. Nesse sentido, é preciso destacar que o Referencial curricular (RC) da filosofia para o estado do Rio Grande do Sul é um tanto mais feliz do que as OCEMFIL quanto à abordagem dos conteúdos de lógica, justamente por que desenvolve um pouco mais precisamente as relações entre as duas dimensões da filosofia colocadas no documento do MEC (interdisciplinar e própria ou específica) e também se adequa às duas tendências do ensino de lógica que abordarei aqui. Vejamos como o te ma estruturador “lógica e racionalidade argumentativa” é abordado neste referencial: Este tema está diretamente relacionado com o conjunto das
capacidades lógico-matemáticas e com o desenvolvimento da autonomia intelectual, já que reconhecer e avaliar argumentos, assim como sustentar as próprias opiniões baseadas em argumentos, são capacidades inerentes ao exercício da cidadania em sociedades democráticas, desde a Grécia Antiga. A escolha deste tema também se justifica pela presença das competências e habilidades a ele associadas em avaliações do ensino en sino médio, como o ENEM e o ENCCEJA. Observe-se que a presença da lógica no ensino médio não se traduz necessariamente num bloco de conteúdos voltado para a lógica formal. Para atingir os principais objetivos d este tema, é possível trabalhar com a lógica informal, entendida como arte de argumentar e de analisar argumentos. Nesse sentido, o tema pode ser desenvolvido através da análise de argumentos reais presentes, não apenas nos textos da tradição filosófica, como também nos debates contemporâneos veiculados em diferentes tipos de textos. (RC, 2009, p. 124)
A título de comparação com a lista do MEC, o possível percurso para este tema no documento gaúcho propõe, no subtema “Argumentação e lógica”:
identificar a estrutura dos argumentos; distinguir validade/verdade; critérios e formas de inferência válida; reconhecer falácias; distinguir e reconhecer argumentos dedutivos e indutivos; desenvolver noções de lógica formal; retórica e arte da persuasão. Associando os dois documentos referidos, o que se apresenta nos livros didáticos e paradidáticos disponíveis, e a alguma familiaridade com o que se costuma fazer com a lógica nas salas de aula, pode-se afirmar que as grandes tendências em ensino de lógica, são: a primeira, trabalhar conteúdos de lógica formal – a distinção entre as noções de validade (como noção formal) e verdade, os
critérios para a distinção entre forma e conteúdo, o trabalho com a lógica silogística e suas variações (tal como sugerido pelo ponto 4 da lista das OCEMFIL), os diferentes cálculos (sentencial e de predicados) e regras mais fundamentais. A segunda, e mais propalada, é trabalhar tópicos de teoria da argumentação, muitas vezes alocados sob o título de lógica informal ou mesmo pensamento crítico – critérios para a distinção entre argumentos indutivos e dedutivos, reconhecimento de falácias não-formais, a distinção entre persuasão e convicção etc.. Talvez ainda fosse preciso falar de uma terceira tendência, uma espécie de híbrido entre as duas primeiras, mas não estou segura de que este seja o caso na medida em que, no mais
das vezes, o trabalho que se faz na segunda tendência já insere elementos de lógica formal ou strictu sensu, na reconstrução estrutural de argumentos linguagem natural, que poderia ser considerada, na falta de melhor vocabulário, semiformal . No primeiro sentido, trata-se de lógica propriamente dita, ou seja, da investigação dos princípios de inferência válida, inaugurada por Aristóteles e revivida, como novo e poderoso instrumental simbólico, por Frege. O alvo da lógica, nesse sentido, ainda mais com seu rico e exponencial desenvolvimento desde fins do século XIX, acabou sendo sempre a inferência dedutiva e a noção de validade formal. Sua propensão originária sempre esteve associada a algum tipo ou grau de formalização destas inferências – ao ponto de se ter desenvolvido uma noção própria de conhecimento, qual seja, a noção de conhecimento simbólico, para dar conta do tipo de saber que se adquire através da manipulação regrada de símbolos e ao modo algébrico, peculiar à lógica tal como praticada pelos lógicos.8 É porque a lógica sempre teve a ver com a análise da forma de raciocínios ou inferências que considero mais adequado associar a segunda tendência do ensino de lógica à teoria da argumentação do que chama-la de lógica informal . Nesse sentido, acompanho Frank Thomas Sautter em seu artigo “Sobre o ensino de lógica”, quando afirma: se os entendo bem, aqueles que empregam expressões tais como "lógica filosófica", "lógica informal" e "pensamento crítico" querem ressaltar uma prática que sempre fez parte e sempre fará parte da filosofia e que, portanto, não pode ser simplesmente ignorada. Trata-se daquilo que os antigos denominavam "dialética erística" e que Schopenhauer caracteriza como "a arte de disputar de maneira tal que se fique com a razão, portanto, com meios lícitos e ilícitos". (Schopenhauer, 2001). Porém, embora tenha um valor prático superior à lógica, a dialética dela depende. Mesmo para ludibriar é preciso conhecimento e engenho; o conhecimento a lógica o pode fornecer. (SAUTTER, 2002, p. 415)
O principal problema didático com as duas tendências apresentadas diz respeito ao modo como se relacionam, sua estranha convivência. Invariavelmente 8
A noção de conhecimento simbólico tem raízes na filosofia de Leibniz e está na base dos desenvolvimentos da lógica matemática, seja por parte de Frege, seja por parte de Boole e dos booleanos, tal como se pode conferir nas recentes investigações publicadas no volume editado por Lassalle Casanave (2012). Uma didática da lógica não pode se furtar de dialogar com este tipo de investigação, sob pena de incompreensão incompreensão das prolíficas possibilidades possibilidades de conexão interdisciplinar entre a filosofia, a lógica, a matemática e a língua portuguesa – afinal também ali se estuda sintaxe.
encontramos, nos livros e práticas didáticas do Ensino Médio, ou uma desconexão completa entre o extrato simbólico-formal e a dimensão lógico-argumentativa, ou então alguma confusão entre elas. Um exemplo típico do último caso consiste na introdução das tabelas de verdade do cálculo proposicional através da formalização de sentenças em linguagem natural. Para explicar o funcionamento da tabela da conjunção, por exemplo, trabalhamos com sentenças do tipo “Chove e faz frio”,
porque acreditamos que será mais fácil para nossos alunos entender o funcionamento do conectivo lógico de conjunção como a versão lógica daquilo que o professor de língua portuguesa chama conjunção aditiva. O mesmo vale para “Chove ou faz frio”, cuja formalização resultaria numa sentença formal contendo o operador lógico de disjunção, “Se chove, então faz frio”, para a introdução do
conectivo correspondente ao condicional (ou, como dizemos, o conectivo de implicação), “Se, e somente se, chove, então faz frio”, para o bi -condicional ou biimplicação, bem como “Não chove” como sentença que expressa a negação de “Chove”. Podemos ainda pensar em outro exemplo, agora para o caso do trabalho
com o contexto categórico e silogístico, em que novamente utilizamos sentenças em linguagem natural para construir inferências como “Todo político é corrupto.
Lula é um político. Portanto, Lula é um cor rupto.” Mas, afinal, qual seria o problema com a utilização da linguagem natural como domínio a partir do qual realizar traduções em linguagem simbólica ou formal, independentemente do cálculo escolhido para ser ensinado? Uma resposta, de cunho histórico, é a seguinte: a lógica simbólica, seja o cálculo proposicional ou o cálculo de predicados – para ficarmos restritos aos conteúdos de lógica listados nos documentos – não foi desenvolvida com a finalidade de regimentar a linguagem natural. Sabe-se que Frege, ao desenvolver a lógica de predicados, tinha um projeto bastante específico em vista, o de fundamentar por completo a aritmética na lógica, no sentido de mostrar que todas as verdades da primeira podem ser derivadas das leis da segunda. 9 Igualmente, não foi com a finalidade de auxiliar na reconstrução de argumentos em linguagem natural que Wittgenstein engendrou o método de decisão das tabelas de verdade 9
Que o mesmo não valha sobre o projeto leibinizano de construção de uma língua universal e de um cálculo raciocinador, não vem ao caso – caso – embora embora mereça menção por questão de, digamos, responsabilidade informacional.
em seu Tractatus. Outra resposta que pode ser fornecida, embora não desconectada da primeira, é através da pergunta pelos objetivos de realizar este tipo de movimento de tradução da linguagem l inguagem natural na linguagem do cálculo escolhido (proposicional, quantificacional, silogístico – em suas variantes diagramáticas ou não). O que pretendemos ensinar aos nossos alunos quando os introduzimos no mundo da lógica formal? Quais resultados esperamos alcançar com isso? Que argumentem melhor? Se sim, como estamos compreendendo a conexão entre o domínio de regras para a manipulação de signos convencionais com melhores práticas argumentativas? Talvez se trate de uma relação de “suave pressão” sobre os
processos de raciocínio, como já se sugeriu. 10 A meu ver, a não ser que realizemos um trabalho de natureza interdisciplinar interdisciplinar com os professores de matemática e física – já que as duas são casos de disciplinas que exigem o desenvolvimento de habilidades similares às que necessitamos em lógica strictu sensu, incluindo-se a manipulação simbólicas e uso de raciocínios diagramáticos – corremos o risco de, ao contrário do desejável, espantar nossos alunos das delícias intelectuais da lógica formal, que ao fim e ao cabo é como um universo de jogos de raciocínio com regras mais ou menos complexas, do mesmo modo que muitos professores de matemática e física o fazem, pelas causas, motivos e razões que muito se discute mas que não posso abordar no espaço deste texto. O ponto chave aqui é a ideia de que a lógica, no sentido estrito, e a matemática compartilham o aspecto formal, simbólico, dedutivo. E isso poderia levar ao planejamento de ações interdisciplinares com filosofia e matemática: perguntas pela natureza dos raciocínios mais comuns em matemática, seja em cálculos, demonstrações, ou mesmo na construção de analogias ou o uso de indução matemática; o uso de manipulação regrada de símbolos convencionais (cálculos) em uma e outra disciplina – afinal, em lógica, “calculamos” para verificar a validade de raciocínios, seja em qual contexto – silogístico, proposicional/sentencial proposicional/sentencial ou quantificacional, para dar exemplos comuns, demonstramos que certas coisas se seguem de outras, e isso nos permitiria engendrar reflexões sobre o que é calcular, 10
O professor Abel Lass alle Casanave, na co nferência de abertura do d o I Workshop Workshop de Filosofia e Ensino da UFRGS , em julho de 2014.
demonstrar, inferir, utilizando os casos matemáticos (sejam aritméticos, algébricos ou geométricos) de cálculos e demonstrações como pontos de comparação. Mas ainda, poderíamos pensar em conexões entre a lógica no outro sentido, não-formal, e a matemática, em perguntas como: há qual a diferença entre calcular e argumentar? Ou entre demonstrar e argumentar? Há argumentos em matemática? Onde eles aparecem? Como são construídos? Sempre são dedutivos? Isso tudo sem contar nos benefícios que se podem extrair, a nível paradidático, de analogias entre as aprendizagens em matemática e em lógica. 11 Gostaria agora, ainda que de um modo um pouco abrupto, de passar para a tentativa de resposta às perguntas colocadas no início deste texto.
3. Tópicos de filosofia da matemática no Ensino Médio, algumas possibilidades didáticas
As relações entre filosofia e matemática, sabemos, são tão antigas quanto elas mesmas – ao menos tal como têm sido tradicionalmente praticadas e concebidas desde sua forja por parte dos gregos antigos. 12 De Platão a Wittgenstein encontramos, no multifacetado universo de pensamento ou discurso a que denominamos filosofia, considerações de cunho comparativo entre ambas as formas do saber humano. No mais das vezes tais comparações apontam para aspectos nos quais as atividades de uns e outros, filósofos e matemáticos, diferem, muito embora variem largamente as escalas de avaliação dessas diferenças – variações que, a seu turno, em tudo estão relacionadas com a escolha de uma delas 11
Este tipo de vínculo fica bastante claro ao se consultar, por exemplo, os Elementos de didática da matemática, matemática, de Bruno D’Amore, e mesmo as Orientações curriculares para o ensino médio – Volume Volume 2: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias, pp.69-99. Mas isso, claro, desde que se entenda a filosofia e a matemática como práticas, como exercícios, e não somente como teorias... 12 É preciso observar, logo de início, que não ignoro a existência de algumas investigações contemporâneas cuja finalidade é descontruir mitos e lendas sobre a origem, tanto a matemática quando da filosofia, inscrevendo o tema das raízes de ambos os ramos do saber em discursos de ordem contestatória, histórica e ideologicamente. Para o caso da filosofia menciono os trabalhos de Renato Nogueira dos Santos Junior (UFRRJ) sobre as origens africanas da filosofia e suas relações com a ética e o ensino de filosofia, enquanto para o caso da matemática é preciso mencionar o precioso livro de Tatiana Roque (UFRJ) História da matemática – uma uma visão crítica desfazendo mitos e lendas (publicado pela Zahar em 2012).
como padrão a ser observado pela outra. (Normalmente a matemática é tomada como modelo para a filosofia, como o atesta a lenda de acordo com a qual eram exigidos conhecimentos em geometria dos candidatos a ingressar na Academia de Platão). O que busca a filosofia na matemática? Se não o operar por definições, axiomas, postulados e noções comuns, ao menos o rigor encarnado no, e a certeza derivada do, pensamento de tipo demonstrativo. Alguém já observou com razão que o perene interesse dos filósofos pela matemática constitui “uma parte da crônica do homem ocidental em sua busca
pela certeza [ certainty ]” ]” (BAUM, 1973, p. 5) – livro que reúne, de Platão ao presente, trechos de textos clássicos da filosofia nos quais filósofos das mais variadas estirpes trataram de dar conta das impressionantes especificidades do conhecimento matemático. Num certo sentido, portanto, a filosofia busca, ou buscou, na comparação com a matemática não somente alcançar o mesmo tipo de certeza que ela possibilita (uma vez provado um teorema, seja com que cor de caneta ou em qual lugar do mundo, ele passa para “os arquivos” de conhecimentos irre futáveis)
como também entender as condições de possibilidade deste tipo de conhecimento. O livro de Baum fornece um bom panorama nesse sentido. A matemática busca algo na filosofia? Apenas quando já não se está mais fazendo matemática, por razões de ordem conceitual, de fundamentação ou esclarecimento, como veremos a seguir. De todo modo, o que gostaria de lhes mostrar é que mesmo se não nos interessemos por questões de filosofia da matemática, o trivial fato da existência da filosofia como componente curricular do nível médio de ensino no Brasil pode funcionar como razão suficiente para que, ao menos uma vez, nos dediquemos a pensar nas possíveis relações interdisciplinares entre a filosofia e a matemática. Com indiquei na seção anterior, isso pode ser feito através da lógica, mas não somente. Afinal de contas, se tem algo com o que estamos acostumados nisso de fazer filosofia é com o escrutínio de trivialidades, como a de que possuímos, como professores de filosofia, um espaço no mundo da vida escolar, habitada pelas mais diversas encarnações das curiosidades humanas – as disciplinas escolares. E a matemática, suas dores e delícias, não merece para nada menos atenção do que as
artes, as linguagens e as ciências, sejam naturais ou humanas, como possível companheira de viagem. Deixem-me tentar mostra-lo. Das variadas questões e problemas que a filosofia da matemática comporta podem-se destacar questões e problemas de ordem ontológica, epistemológica, linguística – problemas e questões mais ou menos relacionados uns com os outros, dependendo da abordagem filosófica que se adote. É importante observar que, agora, a expressão “filosofia da matemática” está sendo tomada como designador
da área especializada de investigação filosófica, cujo marco de origem situa-se na Europa do século XIX e que normalmente é subdividida em três ou quatro grandes escolas (o logicismo, o formalismo, o intuicionismo ou construtivismo e ainda, a levar a sério o verbete da Stanford Encyclopedia of Philosophy , o predicativismo). Todas estas escolas ou vertentes em filosofia da matemática compartilhavam preocupações com a assim chamada crise nos fundamentos da matemática – crise associada com certa falta de rigor na teoria “ingênua” dos conjuntos de Cantor, falta de rigor que permitiu o engendramento de paradoxos (antinomias a contradições) nos alicerces conjuntistas do edifício da matemática, mas também associada (a referida crise) à construção de geometrias nãoeuclidianas. Para uma abordagem introdutória à filosofia da matemática nos moldes destas divisões em escolas recomendo a leitura do livro de J. J. da Silva, Filosofias da matemática (Unesp, 2007) – que inclui um capítulo inicial sobre Platão e
Aristóteles. Para finalizar esta panorâmica, e para indicar o tipo de questão trabalhada em filosofia da matemática, apresento uma passagem do Diccionario de filosofia de Ferrater Mora, leremos que A filosofia sempre considerou a matemática como um de seus objetos principais de investigação. Elas foram levadas a cabo dentro da lógica, da teoria do conhecimento e da metafísica, até constituir-se em uma disciplina especial, a filosofia da matemática, que tem por missão formular com a maior clareza possível os problemas
básicos
(os
“problemas
de
fundamentação”)
concernentes à referida ciência. Destes problemas, consideramos aqui os seguintes: 1) O conteúdo da matemática; 2) a natureza dos entes matemáticos; 3) os fundamentos da matemática; 4) a relação entre a matemática e as demais ciências; 5) a relação entre a matemática e a realidade.
O problema do conteúdo da matemática concerne menos à filosofia do que à matemática. Ele pode ser resolvido em boa parte mostrando-se as questões de que se ocupa a matemática, os métodos que utiliza e os ramos do saber em que se divide. Supondo-se conhecidos no essencial estes aspectos, não é mister aqui referirmos a eles com detalhe. Observaremos apenas que a ideia – durante muito tempo predominante – segundo a qual a matemática é a ciência da quantidade, não se pode manter. Com efeito, há disciplinas matemáticas, como a topologia, que não se ocupam da quantidade. Por este motivo, tentou-se encontrar um conceito mais geral para definir o conteúdo da matemática: o conceito de ordem (CONFERIR). Sobre a natureza dos entes matemáticos há muitas discussões, ainda sendo tomada a expressão ‘entes matemáticos’ em um sentido neutro, equivalente a ‘aquilo de que se ocupa a matemática’. Entre as posições adotadas sobre este problema mencionaremos sete: a) o realismo; b) o conceitualismo; c) o nominalismo; d) o apriorismo; e) o empirismo; f) o objetivismo; g) o “existencialismo”. (FERRATER MORA, 2009, pp. 2309 -2310)
As descrições fornecidas por Ferrater Mora para cada uma destas posições não serão apresentadas, meu objetivo é apenas apontar para o fato de que dependendo do tipo de pergunta que se faz (ontológica, epistemológica, linguística ou “pragmática”), haverão diferentes posicionamentos teóricos em disputa – como
sói ser em filosofia. Mas este tipo de abordagem de que fala Ferrater Mora, em realidade, está um tanto ultrapassado. Entretanto, não podia deixar de mencioná-lo, porque afinal de contas não podemos ignorar as maneiras tradicionais de fazer as coisas quando queremos propor novas ideias, não é mesmo? E o que lhes proponho como sugestão de trabalho com filosofia da matemática no ensino médio? Que façamos alguns mapeamentos sobre o que, e como, de fato se desenvolvem as relações de ensino e aprendizagem de matemática neste nível de ensino para, a partir daí, pensarmos em uma filosofia da matemática mais atualizada, próxima das investigações realizadas atualmente e que são designadas como Filosofia da prática matemática. A principal diferença desta modalidade de investigação com relação aos modelos tradicionais de filosofia da matemática está na ausência de pretensões de fundamentação. Quer dizer, para os filósofos da prática da matemática, como a própria designação indica, se trata de olhar para o que os matemáticos (e professores de matemática!) fazem, como desenvolvem seu ramo de saber, com
quais instrumentos teóricos e simbólicos, utilizando que tipo de raciocínio, buscando identificar possíveis problemas conceituais, filosóficos, engendrados nestes desenvolvimentos. Creio que com alguns exemplos isso pode ficar mais claro. Se atentarmos para os blocos de conteúdos que as Orientações curriculares para o ensino médio da área de Matemática (daqui pra frente OCEMMat) propõem,
veremos que se trata de Números e operações ; Funções; Geometria; Análise de dados e probabilidade. Cada um desses blocos de conteúdos fornece muitas possibilidades
de trânsito interdisciplinar, no sentido de que sua aprendizagem poderia, por assim dizer, ser complementada reflexivamente com instrumentos fornecidos pela filosofia, (como distinções conceituais, ferramentas lógicas e epistemológicas, e mesmo conteúdos e habilidades de filosofia da linguagem e semiótica). Para o caso do bloco Números e operações , onde se trata, em matemática, de proporcionar aos alunos uma diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas do quotidiano, tais como: operar com números inteiros e decimais finitos; operar com frações, em especial com porcentagens; fazer cálculo mental e saber estimar ordem de grandezas de números; usar calculadora e números em notação científica; resolver problemas de proporcionalidade direta e inversa; interpretar gráficos, tabelas e dados numéricos veiculados nas diferentes mídias; ler faturas de contas de consumo de água, luz e telefone; interpretar informação dada em artefatos tecnológicos (termômetro, relógio, velocímetro). Por exemplo, o trabalho com esse bloco de conteúdos deve tornar o aluno, ao final do ensino médio, capaz de decidir sobre as vantagens/desvantagens vantagens/desvantagens de uma compra à vista ou a prazo; avaliar o custo de um produto em função da quantidade; conferir se estão corretas informações em embalagens de produtos quanto ao volume; calcular impostos e contribuições previdenciárias; avaliar modalidades de juros bancários. (OCEMMat, pp. 70-1, grifos meus)
Quais contribuições a filosofia poderia aportar para a aquisição destes conhecimentos? É claro que o professor de filosofia não pode pretender ensinar matemática, mas apenas apontar e trabalhar aspectos reflexivos de sua disciplina vizinha. Por exemplo (apresentarei os exemplos na mesma ordem das expressões grifadas na citação das OCEMMat): qual(ais) a(s) diferença(s), se há, entre calcular
algo mentalmente e no papel? Para responder a estas perguntas necessitamos pensar na natureza da atividade de calcular, algo que não necessariamente se faz nas aulas de matemática, mas que cabe muito bem em uma aula de filosofia – lembrem-se que a história da filosofia fornece muitos exemplos de concepções sobre a própria natureza do pensamento humano, parcial ou totalmente, como um tipo de cálculo (pensemos nos filósofos da modernidade, como Descartes e Leibniz, para citar apenas dois). Seja o caso da segunda expressão destacada: o que caracteriza uma notação como científica? Qual(ais) a(s) diferença(s) entre notações científicas e outras notações, como o sistema alfabético de escrita ou notações desenvolvidas com finalidades estéticas? Uma reflexão desse tipo nos leva para reflexões de ordem semiótica (a distinção dentre tipos de signo – ícones, índices e símbolos –, de Peirce, sendo de grande valia para estes desdobramentos), e epistemológica (poderíamos nos perguntar quais as vantagens em termos de aquisição de conhecimento as notações simbólicas artificiais tem com relação aos modos verbais de expressão, por exemplo. Também a questão das interpretações de gráficos, tabelas, dados numéricos e informações dadas por artefatos tecnológicos se vincula com a possibilidade de trabalho com típicos de semiótica e epistemologia, pois se pode refletir tanto sobre a natureza dos signos veiculados quanto. Já com relação às últimas expressões destacadas poderíamos pensar em uma extrapolação das relações interdisciplinares possíveis, pois a dimensão mais concreta, de aplicabilidade das capacidades matemáticas em cálculos de impostos ou juros constitui parte essencial do exercício da cidadania – o que permitiria reflexões de ordem filosófica e sociológica, sobre o papel da matemática na vida social. Creio que com estas breve indicações já se pode entender que o tipo de trabalho que estou propondo exige o cumprimento do que chamo de condições de dedicação por parte do professor. Um trabalho interdisciplinar desta ordem só pode
ser realizado desde que estejamos dispostos a procurar, nos documentos que indicam diretrizes curriculares, nos livros didáticos e, evidentemente, no diálogo com os colegas das demais disciplinas (no nosso caso, especificamente da matemática), pontos de intersecção entre o que se ensina e aprende nelas e o que
podemos, como professores de filosofia, fazer em termos de reflexão conceitual e filosófica. Existem muitas possibilidades de intersecção, vale por fim notar, entre a Matemática e a Língua Portuguesa, através, por exemplo, da reflexão sobre os conceitos de frase, sentença, gramática, sintaxe. Afinal, podemos ou não dizer que a expressão 2 + 2 = 4 é uma frase matemática? E 2 4 + 2 = é uma frase? Se não, por quê? Não seria por que também em matemática há certas regras de composição de frases, que nos dizem o lugar de cada sinal, de acordo com sua função, para que se possa dizer que se trata de uma frase com sentido? E de trata mesmo a sintaxe? Não explorarei aqui outras possibilidades interdisciplinares, como por exemplo com a História (tópicos de história da matemática poderiam ser trabalhados em conjunção com a disciplina de História e com a de Filosofia, em sua dimensão histórica). Restaria ainda o menos indicar que muitos textos da tradição filosófica abordam problemas de filosofia da matemática (e não no sentido fundacionalista referido acima), sendo de especial destaque alguns diálogos de Platão, como o Mênon, Mênon, cujas passagens “matemáticas” certamente permitiriam um trabalho em conjunto tanto com o professor de Matemática quando com o professor de Literatura. Gostaria apenas de dizer uma palavra final sobre a razão pela qual me parece propício trabalhar os tópicos aqui sugeridos no Ensino Médio. Embora o domínio da filosofia da matemática talvez não sirva para enfatizar a importância existencial de questões filosóficas (como os filmes, seriados e outras narrativas audiovisuais servem na lida com os problemas mais fundamentais da existência humana), ainda assim a matemática, como complexa e até mesmo espantosa forma da cultura humana, tem valor filosófico – afinal de contas, qual teria sido o curso das coisas humanas sem a possibilidade de ler o livro da natureza, escrito em caracteres matemáticos (para lembrar a famosa formulação de Galileu Galilei)? Como seria a compreensão e o trânsito humanos no mundo sem a possibilidade de contar, medir, calcular, demonstrar, e tudo o mais que a matemática permite e através do que construímos o mundo em que vivemos?
Referências
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Anexo (Algumas imagens esquemáticas com possíveis questões filosóficas envolvendo relações interdisciplinares com a matemática)
As áreas a disciplinas do currículo do Ensino Médio brasileiro
Possíveis questões conceituais, filosóficas, a serem abordadas a partir da comparação entre Matemática e Língua Portuguesa.
Exemplo de questão relacionando Ciências humanas e Matemática.
Possíveis questões de ordem epistemológica a serem colocadas na intersecção entre Matemática e Ciências da Natureza
