Libro Ejercicios de Matematicas 1 5 Ed Completo Con Portada

Polígono Ediciones

Primera edición: 2003 Segunda edición: 2005 Tercera edición: 2006 Cuarta edición: 2007 Quinta edición: 2009 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 1 Actividades para Primer Grado de Secundaria Mauricio E. Morón Revisión: Lorena Morón Estrada Sheyla Contreras Cázares Prohibida la reproducción total o parcial de esta o bra por cualquier medio, sin autorización escrita del e ditor Impreso en México

Printed in Mexico

Esta obra se termino de imprimir en el mes de agosto de 2009 en los talleres de Imprenta Resurrección Xalapa, Veracruz, MÉXICO Se tiraron 45 ejemplares Portada: Spher Spirals, M. C. Escher, 1958 © Copyright 1996 M. C. Escher Foundation, Baarn Holland

PRESENTACIÓN Este libro de ejercicios tiene como objetivo único el reforzar el aprendizaje en el aula pensando en q ue el alumno al resolver un problema tenga las herramient as necesarias en cuanto a conocimientos, habilidade s y actitud. Está diseñado para aplicarse directamente en clase, con el apoyo del profesor, buscando una m ejora continua en el aprendizaje de los alumnos. Contiene los ejercicios suficientes para el trabajo en clas e y en casa.

Este libro está basado en el programa oficial para escuelas secundarias. Abarca todos los temas requer idos, así como algunos otros que son útiles para reforzar los conocimientos adquiridos en la escuela primaria; f acilita la preparación adecuada al siguiente nivel, y compleme nta lo aprendido.

En esta quinta edición se reorganizó nuevamente el contenido, y se añadieron y revisaron algunos ejer cicios. También se agregaron dos nuevas secciones con la fi nalidad de que los estudiantes tengan las habilidad es requeridas en pruebas y concursos. Estas dos nuevas secciones son: Revisión y Para competir… La primera está basada en exámenes Enlace (Evaluación Nacional de Logro Académico en Centros Escolares) de la Secretaría de Educación Pública, y la segunda en ex ámenes del Concurso de Primavera que organiza en la Academia Mexicana de Ciencia y de la Olimpiada Mate mática Thales que organiza, en España, la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

Espero que este libro resulte de gran utilidad al l ector.

Mauricio E. Morón Agosto, 2009

Ejercicios de Matemáticas 1

ÍNDICE BLOQUE 1

BLOQUE 2

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO


SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema de numeración egipcio Sistema de numeración romano Sistema de numeración binario Sistema de numeración maya LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES Notación desarrollada Escritura de cantidades con letra Escritura de cantidades con número Antecesor y sucesor Orden y comparación de cantidades con números naturales NÚMEROS DECIMALES Escritura de cantidades con letra Escritura de cantidades con número Comparación de cantidades con números decimales Orden de cantidades con números decimales Redondeo NÚMEROS FRACCIONARIOS Fracciones impropias y números mixtos Comparación de fracciones Fracciones equivalentes Simplificación de fracciones Conversión de una fracción a otro denominador Conversión de varias fracciones a un común denominador FRACCIONES DECIMALES Conversión a la forma con punto decimal Conversión a la forma de fracción común PATRONES Y FÓRMULAS Series numéricas

33

MÚLTIPLOS Y DIVISORES Números primos y números compuestos Descomposición en factores primos (factorización) Múltiplos de un número Divisores de un número Criterios de divisibilidad Multiplicación por potencias de 10 Multiplicación de números que son múltiplos de potencias de 10 Mínimo común múltiplo (mcm) Máximo común divisor (MCD) Problemas de múltiplos y divisores OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES, DECIMALES Y FRACCIONARIOS Adición Sustracción Adición combinada con sustracción en los números fraccionarios Multiplicación División Multiplicación y división de números decimales por potencias de 10 PROBLEMAS DE LAS OPERACIONES Problemas aditivos con números enteros, decimales y fraccionarios Problemas multiplicativos con números enteros y fraccionarios

34 34

EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA SIMETRÍA Y TRAZOS

35

Mediatriz Bisectriz Construcción de polígonos regulares PERÍMETROS Y ÁREAS Perímetros Áreas

73 74 76

REVISIÓN PARA COMPETIR…

87 89

11 13 15 17

21 21 22 23 24 25 25 26 26 27 29 30 31 31 32

EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA SIMETRÍA Y TRAZOS Ejes de simetría

37

EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN PROPORCIONALIDAD Identificar situaciones de proporcionalidad directa e inversa Resolución de problemas de proporcionalidad directa DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y ARREGLOS RECTANGULARES Diagramas de árbol Arreglos rectangulares Conteo de combinaciones por la regla de la cadena REVISIÓN PARA COMPETIR…

49 50 50 51 52 54 55 56 57 57

59 61 62 63 64 66

67 69

82 84

BLOQUE 3 39 39

41 41 42 43 45

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO PROBLEMAS DE LAS OPERACIONES Problemas multiplicativos con números decimales EXPRESIONES ALGEBRAICAS Escritura de expresiones algebraicas Resolución de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b; ax + b = c

93 94 94

7

Mauricio E. Morón EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA PERÍMETROS Y ÁREAS Problemas sobre perímetros Problemas sobre áreas

BLOQUE 5 97 97

NÚMEROS RELATIVOS Problemas de números relativos

EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN PROPORCIONALIDAD Problemas sobre proporcionalidad directa e inversa PORCENTAJES Cálculo de un porcentaje de un número Cálculo de un número conociendo un porcentaje Cálculo de un porcentaje de un número respecto a otro Aumento de un porcentaje Descuento de un porcentaje Cálculo de un número al que se le aumentó un porcentaje Cálculo de un número al que se le descontó un porcentaje Problemas de porcentajes GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Frecuencia absoluta y frecuencia relativa – tablas de frecuencias Pictogramas Gráficas de barras Histogramas y polígonos de frecuencias Gráficas circulares PROBABILIDAD Probabilidad clásica y frecuencias REVISIÓN PARA COMPETIR…

99 100 100 101 102 102 103

8

PERÍMETROS Y ÁREAS Cálculo de áreas de figuras compuestas Problemas de áreas de figuras compuestas VOLUMEN Y CAPACIDAD Volumen Capacidad Problemas de volumen

145 146 147 148 150


151 153

REFERENCIAS

155

104 104

106 107 107 109 111 113 115 117



143

EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

BLOQUE 4

NÚMEROS RELATIVOS Simétrico y valor absoluto Comparación de números relativos Reducción de números relativos Eliminación de paréntesis JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Jerarquía de las operaciones Uso de paréntesis para cambiar la jerarquía de las operaciones EXPRESIONES ALGEBRAICAS Reducción de términos semejantes Resolución de ecuaciones POTENCIAS Y RAÍCES Cuadrado de un número Cubo de un número Potencias de orden superior Raíz cuadrada Problemas de potencias y raíces Potencias de fracciones Raíz cuadrada de fracciones


121 121 122 124 127 127 128 128 129 129 130 130 134 134 135 137 139

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Sistemas de numeración Lectura y escritura de números naturales Números decimales Números fraccionarios Fracciones decimales Patrones y fórmulas Proporcionalidad directa e inversa EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Eje de simetría Construir figuras geométricas respecto a un eje EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN Variación proporcional directa e inversa. Problemas de proporcionalidad directa con diversos métodos. Problemas de reparto proporcional Problemas de conteo utilizando diagramas de árbol y arreglos rectangulares.


EJE 1 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO SISTEMAS DE NUMERACIÓN

M CM X CII

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO

ESCRITURA DE NÚMEROS EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO. SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO 1 000 000 unidades de millón (u.mll.)

100 000 centenas de millar (c.m.)

10 000 decenas de millar (d.m.)

1 000 unidades de millar (u.m.)

100

10

1

centenas (c.)

decenas (d.)

unidades (u.)

1. Observa en la tabla anterior los símbolos que corresponden a cada posición de nuestro sistema deci mal. Pon atención en la abreviaturas usadas para que puedas entender el ejemplo. 2. Identifica en el número decimal que se te presente las posiciones. No es necesario que lo escribas . Ejemplo: 1 9 2 4

601

u.mll.

c.m.

d.m.

u.m.

1

9

2

4

c.

d.

u.

6

0

1

3. Para cada posición dibuja tantos símbolos como la cifra de nuestro sistema indica. Cada símbolo puede aparecer hasta 9 veces. Recuerda que si alguna posición tiene un ce ro, ese símbolo no aparece. En este caso: El símbolo El símbolo

(u.mll.) aparecerá 1 vez. (c.m.) aparecerá 9 veces.

El símbolo

(d.m.) aparecerá 2 veces.

El símbolo

(u.m.) aparecerá 4 veces.

El símbolo

(c.) aparecerá 6 veces.

El símbolo

(d.) no aparecerá.

El símbolo

(u.) aparecerá 1 vez.

Finalmente queda: NOTAS: • Trata de dibujar los símbolos egipcios lo más parecidos a los que aparecen impresos. • Recuerda que cada símbolo sólo puede aparecer hast a 9 veces. • No olvides que si alguna posición tiene un cero, e se símbolo no aparece. 11

Mauricio E. Morón

Ejercicio 1.1 Escribe los siguientes números del sistema decimal en el sistema de numeración egipcio. (1) (2) (3) (4) (5)

15 10 36 18 21

(6) (7) (8) (9) (10)

121 419 356 128 798

(11) (12) (13) (14) (15)

1 251 2 340 9 872 3 214 4 397

(16) (17) (18) (19) (20)

89 735 14 128 21 378 10 782 19 145

(21) (22) (23) (24) (25)

147 256 212 002 500 215 805 103 109 086

(26) (27) (28) (29) (30)

9 578 321 1 400 000 3 875 682 2 789 124 1 248 129

ESCRITURA DE NÚMEROS EGIPCIOS EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

1. Observa nuevamente la tabla de la página 9. 2. Empezaremos por el símbolo de mayor valor. Busca el símbolo y cuenta cuantas veces en total aparece. Recuerda que no necesariamente están juntos todos. Si no aparece, continúa con el siguiente.

Ejemplo:

El símbolo El símbolo El símbolo

(u.mll.) no aparece, es decir 0 veces. (c.m.) aparece 2 veces en total. (d.m.) aparece 2 veces en total.

El símbolo

(u.m.) aparece 3 veces en total.

El símbolo

(c.) no aparece, es decir 0 veces.

El símbolo

(d.) aparece 3 veces en total.

El símbolo

(u.) aparece 4 veces.

3. Conforme los vayas identificando empieza a escribirlos. Si un símbolo no aparece, será representado por el cero 0. Recuerda que los ceros a la izquierda no cuentan al hablar de números naturales, por lo que el primer número que se escribe corresponde al mayor símbolo que aparezca al menos una vez. Para que no te pierdas sigue el orden mostrado antes de este párrafo. En este caso, como el mayor símbolo que aparece al menos una vez es

, esa cifra escribimos primero:

El resultado: 2 2 3 0 3 4. Deja un espacio cada tres cifras para poder leerlo más fácilmente: 2 2 3

12

034


Ejercicio 1.2 Escribe los siguientes números egipcios en el sistema de numeración decimal. (1)

(3)

(5)

(2)

(4)

(6)

(7)

(13)

(19)

(8)

(14)

(20)

(9)

(15)

(21)

(10)

(16)

(22)

(11)

(17)

(23)

(12)

(18)

(24)

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

ESCRITURA DE NÚMEROS EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO.

Recuerda primero los valores de los símbolos romanos. (Los que llevan 1 se pueden repetir hasta tres veces seguidas, y los que llevan 5 sólo pueden escribirse una vez) I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1 000 Principio aditivo. Se deben escribir de mayor a menor, y se van sumando. Principio sustractivo (resta). Cuando un número menor aparece antes de uno mayor , se le resta el menor al mayor, y se toma en cuenta este resultado. Los que llevan 5 nunca se restan. Para escribir números menores a 1 000 (escribe en tu cuaderno los números) Para la cifra de las unidades: Del 1 al 9 (contando de 1 en 1)

1: I, 2: II, 3: III, 4: IV, 5: V, 6: VI, 7: VII, 8: VIII, 9: IX (Continúa en la página siguiente)

13

Mauricio E. Morón

Observa que el principio aditivo aparece en el 2, el 3, el 6, el 7 y el 8. Observa que el principio sustractivo solo aparece e n el 4 y el 9. Para la cifra de las decenas: Del 10 al 90 (contando de 10 en 10) V usa L, y en vez de X usa C.

Es muy parecido a lo anterior, pero en vez de I usa X, en vez de

Observa que el principio aditivo aparece en el 20, el 30, el 60, el 70 y el 80. Observa que el principio sustractivo solo aparece e n el 40 y el 90. Para la cifra de las centenas: Del 100 al 900 (contando de 100 en 100) Es también parecido a lo primero, pero en vez de I usa C, en vez de V usa D, y en vez de X usa M. Observa que el principio aditivo aparece en el 200, el 300, el 600, el 700 y el 800. Observa que el principio sustractivo solo aparece e n el 400 y el 900. Conociendo esto, ya podemos escribir cualquier núme ro del 1 al 999. Simplemente representas primero la cifra de las centenas, en seguida la de las decenas y al final la de las unidades. Aquí aplicas también el principio aditivo. De 1 a 3 millares (escribe en tu cuaderno los números): Escribe 1 000: M, 2 000: MM, 3 000: MMM Aquí también aplicaste el principio aditivo. Principio multiplicativo. A partir del número 4 000 y hasta el 999 000 se coloca una línea sobre los símbolos de la parte de los millares para indicar que se multiplica por 1 000. A partir del número 1 000 000 y hasta el 999 000 000 se coloca una línea es doble sobre los símbolos de la parte de los millones para indicar que se multiplica por 1 000 dos veces, es decir se multiplica por 1 000 000. Para escribirlos: 1. Empezamos por los millones. Escribimos la cifra de los millones como cualquier número entre 1 y 99 9 y le colocamos dos líneas encima. 2. Luego se escriben los millares. Escribimos la cifra de los millares como cualquier núme ro entre 1 y 999 y le colocamos una línea encima. Recuerda que del 4 000 al 999 000, porque el 3 000 se puede representar (MMM). 3. Finalmente escribimos la parte menor a 1 000. Como pudiste observar vamos por grupos de 3 cifras. Aquí es de mucha utilidad ser ordenados y separar bien los grupos.

Ejercicio 1.3 Escribe los siguientes números del sistema decimal en el sistema de numeración romano. (1) (2) (3) (4) (5)

14

23 31 79 95 18

(6) (7) (8) (9) (10)

121 309 343 105 234

(11) (12) (13) (14) (15)

2 257 1 937 1 999 4 143 8 978

(16) (17) (18) (19) (20)

97 353 81 000 50 190 14 785 23 987

(21) (22) (23) (24) (25)

749 656 124 209 245 708 800 000 800 130

(26) (27) (28) (29) (30)

8 174 527 4 135 506 6 000 000 20 778 908 54 004 209


ESCRITURA DE NÚMEROS ROMANOS EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

1. Fíjate primero en la parte que tenga dos líneas encima y escríbela como un número entre 1 y 999. 2. Ahora fíjate en la parte que tenga sólo una línea encima y escríbela como un número entre 1 y 999. 3. Finalmente fíjate en la parte que no tenga nada encima y escríbela como un número entre 1 y 3 999.

Ejercicio 1.4 Escribe los siguientes números romanos en el sistema de numeración decimal. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

LVIII CCCXXXIII DCIII DCCXXXII MCMLXXXVIII CMXLV

(7) (8) (9) (10) (11) (12)

(13) (14) (15) (16) (17) (18)

MMCCIV VDC DLX CMXIXCXV VIVCCVI VIDVIICC

MCMLXXXII XXXVII IVCCCXLI CMXLIX MDCCX DCCLX

(19) (20) (21) (22) (23) (24)

MCMXCVIII DCCCLXXXVII MMV IVCX MDCXLVIII MDCCCLXXII

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

VIICCXX MCDXCII MMMCDVI MCMX DLXXX LXV

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

ESCRITURA DE NÚMEROS DEL SISTEMA BINARIO EN EL SISTEMA DECIMAL.

A diferencia de los sistemas anteriores el sistema binario es un sistema posicional y es muy importante el lugar que ocupa cada cifra. Lo primero es recordar los valores de las posicion es. En el sistema binario cada posición tiene el valor de una potencia de base 2, a diferencia del sistema decimal, en el que las posiciones tienen valores de potencias de base 10. Revisemos el concepto de base y exponente: La base es un número y el exponente indica cuantas veces se toma la base como factor, es decir, se multiplica por si misma. Ejemplo: BASE

54 EXPONENTE

En el sistema binario la base es siempre 2, y el exponente cambia según la posición (de derech a a izquierda) empezando con el 0. (Continúa en la página siguiente)

15

Mauricio E. Morón

Importante recordar: El resultado de un exponente 0 es siempre 1.

20 = 1 21 = 2 22 = 2 × 2 = 4 23 = 2 × 2 × 2 = 8 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Observa que el valor de cada posición se obtiene multiplicando por 2 el valor de la posición anterior. Lo más recomendable es recordar las primeras 5 potencias de 2.

Como ejercicio previo, escribe en tu libreta los resultados de las potencias de 2 hasta el exponente 13. 1. Cuenta de derecha a izquierda empezando con 0 en el número binario para ver hasta que potencia necesitas. Ejemplo:

1101001

1 1 0 1 0 0 1

Contando:

…6

5

4

3

2

1

0

2. Escribe las potencias y sus resultados de mayor a menor. En el ejemplo:

26

25

24

64

32

16

23

22

21

20

8

4

2

1

3. Escribe debajo las cifras del número binario. En el ejemplo:

26

25

24

23

22

21

20

64 1

32 1

16 0

8 1

4 0

2 0

1 1

4. Para los 1 copia debajo el valor de la posición, para los cer os no. (Se multiplica la cifra por el valor de su posición. Cuando es uno se queda y cuando es cero se elimina.) En el ejemplo:

26

25

24

64 1 64

32 1 32

16 0

23

22

21

20

8 1 8

4 0

2 0

1 1 1

5. Finalmente suma los números que bajaste. En el ejemplo: 64 + 32 + 8 + 1 = 105

Ejercicio 1.5 Escribe los siguientes números del sistema binario en el sistema decimal. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 16

101 001 111 110 011 010

(7) (8) (9) (10) (11) (12)

1010 1111 1001 1110 1011 1101

(13) (14) (15) (16) (17) (18)

11001100 10101010 10010010 11011011 11111111 11110000

(19) (20) (21) (22) (23) (24)

101011001100 101010101010 111000111000 110000100110 100100100111 111000000000

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

11110000111100 11001100110000 11001111111001 11111111111000 10000000000111 10001111001101


ESCRITURA DE NÚMEROS DEL SISTEMA DECIMAL EN EL SISTEMA BINARIO.

Ahora lo haremos al revés: Cuando hacemos divisiones entre 2 el residuo (lo que sobra) es siempre 1 ó 0. 1. Para que las cifras ya queden ordenadas empezam os escribiendo en la parte derecha de la hoja. Vam os a dividir el número entre 2, su resultado entre 2, y así sucesivamente hasta que el resultado sea 0. Los residuos son muy importantes. Cuando se trate de un número par el residuo es 0 y cuando se trate de un número impar el residuo es 1. Ejemplo:

293

0 9 18 36 73 146 1 2 4 2 1 2 2 2 4 2 9 2 18 2 36 2 73 2 146 2 293 0 0 1 1 0 0 1 0 1 2. Finalmente se copian los residuos en el orden que quedaron: El ejemplo queda así:

100100101

Ejercicio 1.6 Escribe los siguientes números del sistema decimal en el sistema binario. (1) (2) (3) (4) (5)

7 6 15 23 17

(6) (7) (8) (9) (10)

78 97 14 36 65

(11) (12) (13) (14) (15)

63 52 19 45 59

(16) (17) (18) (19) (20)

735 896 123 111 467

(21) (22) (23) (24) (25)

147 267 273 114 153

(26) (27) (28) (29) (30)

321 164 128 175 513

SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA

ESCRITURA DE NÚMEROS DEL SISTEMA MAYA EN EL SISTEMA DECIMAL.

Sólo se usan tres símbolos, con los que es posible formar los números del 0 al 19: Este símbolo es el cero. Los mayas fueron los primeros en usar el cero. •

Este símbolo representa el 1 y se puede repetir hasta 4 veces para formar también los números 2, 3 y 4 Este símbolo representa el 5 y se puede repetir hasta 3 veces para formar también los Números 10 y 15 (Continúa en la página siguiente)

17

Mauricio E. Morón

Para formar los demás haremos combinaciones de los anteriores sumando valores. Como ejercicio previo, escribe en tu libreta los números del 0 al 19 usando los símbolos mayas. Para formar los números del 20 en adelante también usamos posiciones como el sistema binario, solament e que aquí la base es 20 y decimos que es un sistema vigesimal. 1. Las posiciones en este sistema se escriben de abajo hacia arriba en forma de casillas, siendo la de abajo la de menor valor. 2. Para este sistema no vamos a utilizar los exponentes debido a que existe una variación que puede s er confusa. Solamente multiplicaremos y así podemos encontrar los valores de todas las posiciones. Las primeras tres posiciones pueden memorizarse: 1, 20, 360, las demás las podemos obtener multiplicando por 20. Fíjate bien: Su valor es de 144000 Su valor es de 7200 Su valor es de 360

× 20 × 20

× 18 (Aquí no es 20 por que los mayas ajustaron el sistema a uno de sus calendarios, el Haab, de 365 días, con 18 meses de 20 días, sobrando 5 días llamados Wayeb )

Su valor es de 20 × 20

Visita: http://www.mayacalendar.com/

Su valor es de 1

3. Para pasar al sistema decimal un número del sistema maya mayor a 19, primero se averigua cuál es el número contenido en cada casilla.

4. Ahora cada número se multiplica por el valor de la posición en que se encuentra: En el ejemplo:

Por ejemplo: ••

••

=2 =0

•

= 11

•

5. Finalmente sumamos los números obtenidos: En el ejemplo: ••

•

= 2 × 360 =

720 +

= 0 × 20 =

0

= 11 × 1 =

11 731 Este es el resultado final

18

= 2 × 360 = 720 = 0 × 20 =

0

= 11 × 1 =

11


Ejercicio 1.7 Escribe los siguientes números del sistema maya en el sistema decimal. •••• •• •••• (1) (2) (3) (4) (5) (6) ••

(8)

(9)

•

(10)

••••

(11)

(12)

(13)

••

•

(15)

(16) •••

(17)

(18) ••

•

(22)

•

• ••

•

••

••••

••

(24)

••

•

(20)

•••

(21)

(25)

(26) •••

•

•••

• •

••

••••

•

•

(14)

•

••••

(23) •

(19)

••

(7)

••

•

•

••

••••

(27)

(28) •

•••• ••

•

• •

••

••• ••

•••

ESCRITURA DE NÚMEROS EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA.

1. De forma similar al sistema binario, haremos divisiones, pero esta vez entre 20 porque se hicieron multiplicaciones por 20, y recordando que una de las multiplicaciones fue por 18. Como ejemplo usaremos el mismo del ejercicio anterior como comprobación. 2. En este caso las divisiones se harán de abajo hacia arriba y recordaremos que la segunda división es entre 18 y las demás entre 20. También no debemos olvidar que terminamos cuando el resultado o cociente de una división es 0. Recuerda que al dividir entre 20 el residuo será un número entre 0 y 19, y que al dividir entre 18 el residuo será un número entre 0 y 17. Cada residuo corresponde a una casilla en el or den en que quedaron. Nota que en la segunda casilla no se puede escribir un número mayor a 17. (Continúa en la siguiente página)

19

Mauricio E. Morón Ejemplo: El número 731 FIN

0 20 2

El residuo fue 2

2

2

2 18 36

El residuo fue 0

0

0

11

36 20 731 INICIO

El residuo fue 11

131 11

3. Finalmente escribe cada residuo en el sistema maya.

2

••

0 11

•

Ejercicio 1.8 Escribe los siguientes números del sistema decimal en el sistema maya. (1) (2) (3) (4) (5)

20

8 9 32 51 71

(6) (7) (8) (9) (10)

87 79 41 63 56

(11) (12) (13) (14) (15)

36 25 91 54 95

(16) (17) (18) (19) (20)

3 576 9 682 2 319 3 335 6 741

(21) (22) (23) (24) (25)

74 147 76 263 37 271 41 139 35 126

(26) (27) (28) (29) (30)

732 124 316 465 912 883 117 571 551 337


LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES

1 2 6 9 7

NOTACIÓN DESARROLLADA

1. Escribe la primera cifra seguida de tantos ceros como cifras le sigan: Ejemplo: 7 8

563

000

Cuatro cifras después del 7…

70

…entonces lleva 4 ceros.

2. Suma la siguiente cifra acompañada de tantos ceros como cifras le sigan: 78

563

Tres cifras después del 8…

70

000 + 8 000

…entonces lleva 3 ceros.

3. Repite el paso anterior para cada cifra: 78 563

78 563 70 4. Finalmente:

000

+

8 000

+

78 563

500

+

60

+

3

(21) (22) (23) (24) (25)

741 473 763 263 379 271 421 139 535 126

78 563 = 70 000 + 8 000 + 500 + 60 + 3

Ejercicio 1.9 Escribe las siguientes cantidades en notación desarrollada. (1) (2) (3) (4) (5)

71 78 95 251 432

(6) (7) (8) (9) (10)

287 793 641 639 756

(11) (12) (13) (14) (15)

2 536 3 254 5 691 9 543 7 195

(16) (17) (18) (19) (20)

23 576 99 682 82 319 73 335 16 741

(26) (27) (28) (29) (30)

7 325 124 9 316 465 19 128 983 71 517 571 25 713 627

ESCRITURA DE CANTIDADES CON LETRA

1. Se leen por grupos de tres como un número entre 1 y 999, los cuales ya conoces bien. El primer grupo puede tener uno, dos o tres dígitos. 2. Después de cada grupo (excepto al último) se agrega una palabra que indica su posición. (Continúa en la página siguiente)

21

Mauricio E. Morón

Observa la tabla para ver que palabra corresponde a cada grupo de tres. Nota que cada dos grupos se escribe “mil” De derecha a izquierda, después del grupo núm ero… 1 2 3 4 5 6 7 8

Se agrega la palabra… –––– m il m illones m il billones m il trillones m il

Notas sobre la ortografía: Dieciséis Diecisiete Dieciocho Diecinueve

Se escriben con c

Veintiuno Veintidós Veintitrés Veinticuatro Veinticinco Veintiséis Veintisiete Veintiocho Veintinueve

Treinta y uno

Son los únicos que no van separados

Todos los demás van separados

Doscientos Trescientos Seiscientos

Son los únicos que se escriben con sc

Ejercicio 1.10 Escribe las siguientes cantidades con letra. (1) (2) (3) (4) (5)

21 42 61 18 25

(6) (7) (8) (9) (10)

687 793 341 669 556

(11) (12) (13) (14) (15)

2 546 4 157 2 681 5 346 7 285

(16) (17) (18) (19) (20)

33 556 29 672 84 417 63 432 17 141

(21) (22) (23) (24) (25)

425 376 637 465 571 379 439 126 635 421

(26) (27) (28) (29) (30)

5 741 263 9 583 124 19 228 973 71 717 771 52 698 451

ESCRITURA DE CANTIDADES CON NÚMERO

Recuerda escribirlos en grupos de tres. Cada vez que aparece la palabra trillón, billón, millón o mil se deja un espacio. Consulta la tabla del ejercicio 1.10. Las comas pueden ayudarte. Ejemplo:

Setecientos cuarenta y tres millones, doscientos veintisiete mil trescientos cuatro 7 4 3

2 2 7

3 0 4

(Continúa en la página siguiente)

22

Ejercicios de Matemáticas 1 Notas:

1. Cuando un grupo no se menciona se escribe “000”. 2. Los números del 1 al 9 llevan dos ceros a su izquierda si es que no es el grupo que está más a la izquierda o el único. 3. Los números del 10 al 99 llevan un cero a su izquierda si es que no es el grupo que está más a la izquierda o el único.

Ejercicio 1.11 Escribe las siguientes cantidades con número. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

novecientos setenta y tres setecientos cincuenta y dos catorce mil treinta y dos ciento cuarenta y nueve mil ocho trescientos cuatro mil seis ochocientos mil ocho novecientos nueve mil noventa un millón, quinientos veinte mil seiscientos trece dos millones, dos mil doscientos dos quince millones, dieciséis mil catorce veinticinco millones, trescientos cuarenta y un mil ciento veintiocho ciento cuarenta y cuatro millones, ciento cuarenta y cuatro trescientos veinticuatro millones, tres mil cuatrocientos siete cuatrocientos noventa y un millones, ciento tres mil cuatrocientos cuarenta ciento dieciséis millones, trescientos ochenta y seis mil quinientos catorce ochocientos noventa y dos millones, quinientos setenta y ocho mil ciento quince veintisiete mil cuatrocientos cincuenta y nueve millones, ciento dieciséis mil trescientos treinta doscientos catorce mil millones, seiscientos quince quinientos ochenta y nueve mil cuatrocientos veintidós millones, trescientos mil ciento catorce seiscientos veintitrés mil cuarenta y cinco millones, ciento treinta y un mil novecientos veintiséis un billón, novecientos setenta y cuatro mil doce millones, setecientos ochenta y cuatro siete billones, cuatrocientos cincuenta y nueve millones, doscientos treinta y cuatro mil veinte dos billones, dos millones, dos mil setecientos ochenta y ocho billones, sesenta y cuatro millones, ciento un mil doscientos cincuenta y cuatro mil billones, setecientos cuarenta y tres mil ciento catorce millones, dos mil tres mil tres billones, trescientos treinta mil trescientos treinta doscientos quince mil veintidós billones, cuarenta y dos millones, ciento doce mil doscientos cuatro dos trillones, novecientos mil quinientos treinta y seis cinco trillones, doscientos dieciséis mil billones, trescientos nueve millones, seiscientos uno seis trillones, seis billones, seiscientos sesenta millones, seiscientos mil seiscientos seis

ANTECESOR Y SUCESOR

Recuerda: Sucesor es el que va después (se le suma 1) y antecesor el que va antes (se le resta 1). Ejemplo:

Escríbase el sucesor y antecesor de 359 Antecesor

358

359

360



Sucesor

23

Mauricio E. Morón

Ejercicio 1.12 Para los siguientes números escribe su sucesor y su antecesor. (1) (2) (3) (4) (5)

23 31 79 95 18

(6) (7) (8) (9) (10)

120 300 199 105 230

(11) (12) (13) (14) (15)

1 999 1 939 3 199 4 999 9 998

(16) (17) (18) (19) (20)

90 000 81 000 50 200 19 999 20 989

(21) (22) (23) (24) (25)

749 999 999 200 245 709 800 000 800 199

(26) (27) (28) (29) (30)

8 199 997 9 999 999 6 000 000 20 999 909 54 004 209

ORDEN Y COMPARACIÓN DE CANTIDADES CON NÚMEROS NATURALES

Recuerda:

MAYOR

menor “menor que”

Ejemplos: 5, 8

“mayor que”

12, 3

5 < 8

menor

MAYOR 7, 7

12 > 3

7 = 7

Cuando se tengan dos cantidades con igual número de dígitos observa la primera cifra de cada uno; si son Iguales observa la siguiente; y así sucesivamente hasta que encuentres que son diferentes y las puedas Comparar. Las primeras cifras que son diferentes son el 7 y el 5; basta Ejemplo: 23 478 23 457 con compararlas.

Ejercicio 1.13 Compara las siguientes cantidades usando >, < ó =. Mantén el orden que se presenta. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

3, 2 5, 7 14, 25 39, 78 21, 12 36, 72

(7) (8) (9) (10) (11) (12)

278, 387 495, 678 249, 250 831, 813 792, 792 900, 899

(13) (14) (15) (16) (17) (18)

1 235, 1 356 1 879, 1 789 1 992, 2 003 6 892, 689 1 024, 1 240 3 600, 36 001

(19) (20) (21) (22) (23) (24)

20 564, 36 789 47 210, 71 120 16 231, 15 231 17 584, 17 584 60 147, 60 148 93 269, 93 271

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

198 219, 189 219 245 146, 245 614 987 896, 987 896 235 478, 698 235 759 546, 758 935 698 475, 456 821

Ejercicio 1.14 Ordena de manera ascendente (menor a mayor) las siguientes series de números. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 24

2, 8, 1, 3, 9, 10, 11 8, 4, 40, 95, 63, 19 21, 35, 26, 15, 14, 23 15, 17, 19, 21, 14, 13 25, 32, 19, 24, 18, 37 59, 78, 23, 41, 12, 15 78, 95, 64, 12, 13, 14 75, 98, 65, 14, 46, 77 17, 5, 36, 8, 33, 41 93, 12, 55, 45, 14, 92

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

47, 89, 41, 86, 52, 94 14, 15, 17, 12, 63, 98 91, 90, 93, 88, 95, 86 45, 87, 62, 75, 12, 11 78, 54, 12, 64, 58, 92 112, 114, 98, 97, 86, 85 132, 145, 268, 267, 125, 231 256, 879, 654, 321, 789, 461 741, 852, 963, 369, 258,147 198, 219, 811, 924, 654, 387

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

235, 501, 361, 519, 612, 987 123, 132, 125, 136, 124, 136 145, 141, 139, 146, 143, 137 598, 597, 600, 601, 608, 602 779, 781, 778, 782, 777, 780 827, 830, 845, 867, 897, 785 985, 875, 654, 768, 645, 423 621, 623, 625, 624, 629, 622 145, 245, 168, 267, 143, 287 269, 784, 568, 548, 271, 796


NÚMEROS DECIMALES

ESCRITURA DE CANTIDADES CON LETRA

Ejercicio 1.15 Escribe las siguientes cantidades con letra. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

0.4 0.18 6.4 84.25 57.24 67.95

(7) 0.415 (8) 0.235 (9) 0.0016 (10) 9.003 (11) 16.0564 (12) 0.00074

(13) 146.452 (14) 86.00325 (15) 151 234.76 (16) 0.130046 (17) 84.000356 (18) 1 567.2387

(19) 184.7256321 (20) 0.00107254 (21) 0.100000003 (22) 0.472003056 (23) 10.30543678 (24) 1 444.4444444

(25) 6 995.0072545 (26) 0.0725631235 (27) 0.432003561003 (28) 3.141592653589 (29) 72 567 854.70325 (30) 0.000000125648

ESCRITURA DE CANTIDADES CON NÚMERO

Ejercicio 1.16 Escribe las siguientes cantidades con número. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

Catorce milésimas. Ciento cuatro unidades, ocho centésimas. Dos mil ciento seis unidades, ocho milésimas. Treinta mil treinta unidades, ciento cuatro cienmilésimas. Dos millones, dos mil dos unidades, dos mil dos millonésimas. Cincuenta y cuatro décimas. Diecinueve mil nueve diezmilésimas. Cinco mil treinta y cuatro unidades, ocho centésimas. Catorce mil treinta y dos unidades, doscientas dos centésimas. Quince mil ochocientas setenta y tres unidades, ochocientas cuarenta y cuatro millonésimas. Tres unidades, dieciocho centésimas. Cuatro unidades, diecinueve diezmilésimas. Ocho mil setecientas sesenta y nueve cienmilésimas. Seis unidades, ocho centésimas. Siete unidades, dieciséis milésimas. Nueve unidades, nueve milésimas. Ocho unidades, ocho diezmilésimas. Seis unidades, doscientas quince diezmilésimas . Treinta y cuatro unidades, diecisiete cienmilésimas. Trescientas quince unidades, quinientas setenta y nueve millonésimas. Cuarenta y dos unidades, ciento sesenta y siete diezmillonésimas. Treinta y ocho unidades, ciento quince diezmilésimas. Setenta y cuatro mil doscientas unidades, mil trescientas quince diezmilésimas. Ocho mil trescientas catorce unidades, trescientas dieciocho cienmilésimas. Doscientas diecinueve unidades, mil doscientas quince millonésimas. Ciento veintitrés unidades, ochocientas novent a y nueve diezmillonésimas. Mil doscientas quince unidades, nueve millonés imas. Novecientas veinticuatro unidades, veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis cienmillonésimas . Veintinueve unidades, siete mil quinientas cua renta y seis centésimas. Ciento catorce mil trescientos cuarenta y tres millones, doscientos cuatro unidades, ocho centésimas. 25

Mauricio E. Morón

COMPARACIÓN DE CANTIDADES CON NÚMEROS DECIMALES

Para comparar dos cantidades, ambas deben tener la misma cantidad de dígitos después del punto. 1. Ubica la cantidad que tenga el mayor número de dígitos después del punto. Ejemplo:

Compara:

32.87; 32.8524

El mayor número de dígitos después del punto es cuatro.

2. Completa la otra colocando ceros a la derecha hasta que tenga la misma cantidad de dígitos después del punto. 32.8700; 32.8524

Completamos con ceros hasta que ambas tengan cuatro dígitos después del punto decimal.

3. Compara las cantidades como si fueran números naturales, sin tomar en cuenta el punto decimal. 328700 > 328524

Finalmente:

32.87 > 32.8524

Ejercicio 1.17 Compara las siguientes cantidades usando >, < ó =. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

0.23; 0.24 0.18; 0.19 6.4; 6.6 84.25; 85.26 57.24; 57.240 67.895; 67.8901

(7) 0.41; 0.4100 (8) 0.235; 0.0235 (9) 0.0016; 0.16 (10) 9.003; 9.030 (11) 19.0564; 19.056 (12) 0.75; 0.745

(13) 1.25; 1.026 (14) 86.00325; 86.325 (15) 15.00578; 15.006 (16) 0.13004; 0.1304 (17) 8.2578; 8.25781 (18) 0.21; 0.210000

(19) 184.72; 184.7201 (20) 0.00107; 0.0107 (21) 0.1003; 0.10003 (22) 0.0001; 0.000001 (23) 0.99999; 0.9998 (24) 13.587; 13.5869

(25) 12.365; 11.365 (26) 0.072; 0.0720 (27) 0.432; 0.431 (28) 3.14159; 3.1416 (29) 725; 725.001 (30) 0.0001; 0.00002

ORDEN DE CANTIDADES CON NÚMEROS DECIMALES

Todas las cantidades deben tener la misma cantidad de dígitos después del punto. 1. Encuentra la cantidad que tenga el mayor número de dígitos después del punto. Ejemplo: Ordena de mayor a menor: 47.23; 47.2158; 47.287; 47.2159

El mayor número de dígitos después del punto es cuatro.

2. Completa las demás colocando ceros a la derecha hasta que tengan la misma cantidad de dígitos después del punto. 47.2300; 47.2158; 47.2870; 47.2159 (Continúa en la página siguiente)

26

Completamos con ceros hasta que todas tengan cuatro dígitos después del punto decimal.

Ejercicios de Matemáticas 1 3. Compara las cantidades como si fueran números naturales, sin tomar en cuenta el punto decimal. 472300; 472158; 472870; 472159 Finalmente queda:

47.2158; 47.2159; 47.2300; 47.2870

Ejercicio 1.18 Ordena de mayor a menor las siguientes series de números. (1) 12.356; 12.365; 12.357; 12.35 (2) 14.023; 13.2568; 14.00223; 14 (3) 475.589; 476.589; 474.895; 474.589 (4) 0.0236; 0.236; 0.023; 0.0237 (5) 1.789; 1.457; 1788; 14.123 (6) 7.845; 7.8451; 7.84512; 7.8465 (7) 4.687; 4.0687; 4.6871; 4.686 (8) 0.0256; 0.0156; 0.0356; 0.0056 (9) 51.23; 51.24; 50.23; 51.03 (10) 415.632; 415.642; 415.622; 415.602

(11) 6.21; 6.211; 6.209; 6.204; 6.2041; 6.2113 (12) 2.0548; 2.0549; 2.0539; 2.054; 2.055; 2.053 (13) 1.2542; 1.2541; 1.254; 1.2500; 1.251; 1.2544 (14) 0.214; 0.211; 0.200; 0.21; 0.22; 0.2145 (15) 0.5879; 0.58; 0.598; 0.0068; 0.5877; 0.58791 (16) 3.1416; 3.14159; 3.141592; 3.14; 3.1401; 3.14106 (17) 1.215; 1.216; 1.21; 1.2106; 1.2151; 1.2125 (18) 21.45; 2.145; 0.2145; 0.21449; 0.214499; 21.405 (19) 1.0012; 1.0013; 1.00121; 1.00123; 1.0019; 1.00125 (20) 0.21; 0.22; 0.243; 0.190; 0.230; 0.1906

REDONDEO

1. Ubica la posición solicitada (en este caso milésimas, que es la tercera posición de izquierda a derecha, después del punto decimal). 2. Observa el primer número que le sigue a la derecha, si la posición no está ocupada se toma como 0. a. Si es menor a 5 (es decir: 0, 1, 2, 3 ó 4) entonces vuelve a escribir el número sin las cifras que estén después de la posición solicitada (en este caso milésimas). Ejemplo: Redondea a milésimas:

52.48739 ≈ 52.487

b. Si es mayor o igual a 5: i. entonces vuelve a escribir el número aumentando una unidad a la cifra de la posición solicitada (en este caso milésimas), si la posición no está ocupada se toma como 0; ii. en caso de que esa cifra fuera 9, entonces se vuelve 0 y la anterior (a su izquierda) se incrementa una unidad, si la posición no está ocupada se toma como 0. Ejemplo: Redondea a milésimas:

52.48759 ≈ 52.488 52.48961 ≈ 52.490

(i) (ii)

Nota: Esto se aplica para cualquier posición solicitada (décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas…)

Ejercicio 1.19 Redondea los siguientes números decimales a milésimas. (1) (2) (3) (4)

4.5264 3.2147 0.2148 12.3987

(5) (6) (7) (8)

14.7264 3.1415 1.2487 3.6879

(9) 5.6123 (10) 458.7326 (11) 1 478.14594 (12) 20 456.14789

(13) 2.77777 (14) 52.67894 (15) 28.04892 (16) 312.009846

(17) 437.087529 (18) 12.8750998 (19) 3.51472018 (20) 4.36785298 27

Mauricio E. Morón

Ejercicio 1.20 Redondea los siguientes números decimales a centésimas. (1) (2) (3) (4)

3.178 4.587 0.219 2.875

(5) (6) (7) (8)

7.298 146.214 0.287 5.687

(9) 21.613 (10) 8. 326 (11) 65.1594 (12) 456. 4789

(13) 21.5475 (14) 41.6794 (15) 218.0489 (16) 79.24536

(17) 5.62011 (18) 54.78245 (19) 943.46645 (20) 654.965149

(13) 36.9741 (14) 47.3265 (15) 19.4589 (16) 31.7123

(17) 45.13245 (18) 11.95164 (19) 2.76831 (20) 651.96516

(13) 77.888 (14) 52.674 (15) 28.092 (16) 3.009

(17) 7.0875 (18) 75.0998 (19) 472.0186 (20) 678.2589

(13) 72.4449 (14) 489.1911 (15) 27.9948 (16) 14.79846

(17) 321.9494 (18) 64.94616 (19) 3 211.14976 (20) 11.64911

(13) 89 174.654 (14) 45 132.984 (15) 72 154.894 (16) 67 531.312

(17) 145 636.987412 (18) 457 241.56411 (19) 126 647.32145 (20) 456 974.014531

(13) 674 796.35 (14) 975 973.66 (15) 324 814.27 (16) 146 075.79

(17) 377 902.17 (18) 145 069.88 (19) 325 211.08 (20) 146 150.9

Ejercicio 1.21 Redondea los siguientes números decimales a décimas. (1) (2) (3) (4)

3.27 5.79 0.24 7.98

(5) (6) (7) (8)

9.65 7.21 9.59 3.689

(9) 7.895 (10) 458.654 (11) 157.026 (12) 12.039

Ejercicio 1.22 Redondea los siguientes números decimales a unidades. (1) (2) (3) (4)

9.52 6.21 5.28 1.87

(5) (6) (7) (8)

14.72 9.65 1.24 6.87

(9) 15.61 (10) 48.73 (11) 78.145 (12) 56.489

Ejercicio 1.23 Redondea los siguientes números decimales a decenas. (1) (2) (3) (4)

4.5264 14.72 97.2148 52.674

(5) (6) (7) (8)

14.7264 45.99 879.1112 987.9995

(9) 54.6549 (10) 654.465 (11) 32 165.66 (12) 4 688.9069

Ejercicio 1.24 Redondea los siguientes números decimales a centenas. (1) (2) (3) (4)

194.21 656.65 778.94 138.99

(5) (6) (7) (8)

156.54 711.44 165.47 657.57

(9) 4 124.947 (10) 3 497.127 (11) 5 134.582 (12) 6 198.844

Ejercicio 1.25 Redondea los siguientes números decimales a millares. (1) (2) (3) (4) 28

1 459.12 5 123.45 4 294.97 8 372.54

(5) (6) (7) (8)

12 346.78 78 553.17 42 443.65 12 635.9

(9) 73 572.56 (10) 19 817.39 (11) 82 602.47 (12) 24 998.55


NÚMEROS FRACCIONARIOS

FRACCIONES IMPROPIAS Y NÚMEROS MIXTOS

CONVERSIÓN DE FRACCIONES IMPROPIAS A NÚMEROS MIXTOS.

Se efectúa la división indicada, es decir, divido el numerador entre el denominador. El cociente es el entero y el residuo es el numerador; el denominador sigue si endo el mismo. Esto se puede hacer solamente si el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo: Convierte a número mixto:

15 8

1 8 15

Efectuamos la división:

17 8

7

Ejercicio 1.26 Convierte las siguientes fracciones comunes a números mixtos. 5 85 12 (8) (15) 19 (22) 174 (1) 2 53 3 (2) (3) (4) (5) (6) (7)

21 7 32 8 81 9 108 12 125 25 7 2

(9) (10) (11) (12) (13) (14)

8 5 19 7 25 8 31 4 63 10 80 11

(16) (17) (18) (19) (20) (21)

93 30 95 18 100 11 102 19 112 11 115 35

(29)

195 63 215 73 318 90 354 61 401 83 563 54

(23) (24) (25) (26) (27) (28)

(30) (31) (32) (33) (34) (35)

601 217 743 165 815 237 1001 184 1563 315 2134 289 3115 417

(36) (37) (38) (39) (40) (41) (42)

4200 954 8632 1115 9732 2164 12485 3284 34136 7432 54137 189 60185 419

CONVERSIÓN DE NÚMEROS MIXTOS A FRACCIONES COMUNES.

Se multiplica el denominador (abajo) por el entero y el resultado se suma con el numerador. Lo que se obtiene es el nuevo numerador. El denominador será el mismo. Ejemplo: Convierte a fracción común:

1 78

Para hallar el nuevo numerador: El denominador es el mismo:

8

×

1

+

7

=

8

+

7

=

15 8

29

Mauricio E. Morón

Ejercicio 1.27 Convierte los siguientes números mixtos a fracciones comunes. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

1 12 1 14 1 18 2 12 3 14 4 15 5 23

(8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

6 25 7 34 8 12 8 73 9 23 9 56 10 13

(15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)

10 83 10 57 11 52 12 34 15 23 16 14 18 23

(22) (23) (24) (25) (26) (27) (28)

15 83 12 113 16 78 19 113 20 193 17 185 23 234

(29) (30) (31) (32) (33) (34) (35)

31 315 42 257 53 179 60 173 65 807 3 5 106 1 8 102

(36) (37) (38) (39) (40) (41) (42)

25 737 90 19 31 19 90 37 13 101 18 102 15 17 500 678 514 232

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

1. Si los denominadores son iguales basta con comparar los numeradores. Ejemplo:

Compara:

3 4

1 4

3 4

3>1

>

1 4

2. Si los numeradores son iguales se comparan los denominadores a la inversa, es decir, la fracción con mayor numerador será la menor. Atención: ¡Se invierte! Ejemplo:

Compara:

3 4

3 5

3 4

4<5

>

3 5

3. Si no aplica ninguno de los casos anteriores, entonc es hacemos una multiplicación cruzada. El denominador de la primera por el numerador de la se gunda y el denominador de la segunda por el numerador de la primera. Sigue el orden de las flechas y coloca el resultado de las multiplicaciones tal y como se indica. Ahora se comparan estos resultados. 5 × 7 = 35 Ejemplo:

Compara:

7 8

4 5

8 × 4 = 32

7 8

4 5

35 > 32

7 8

>

4 5

Ejercicio 1.28 Compara las siguientes fracciones colocando entre ellas >, <, =; y usando los criterios de comparación. (1) (2) (3) (4) (5)

30

1 3 1 12 1 6 3 6 5 6

1 8

(6)

1 24 3 24 3 5 4 6

(7) (8) (9) (10)

3 7 2 3 1 2 5 6 1 2

4 9 1 4 5 6 5 8 3 5

(11) (12) (13) (14) (15)

8 10 10 10 8 10 4 6 5 10

3 4 18 20 18 20 3 4 10 20

(16) (17) (18) (19) (20)

7 6 9 6 1 3 4 6 7 4

9 10 4 2 10 12 12 6 3 2

(21) (22) (23) (24) (25)

1 3 3 4 2 3 5 6 7 10

1 4 3 5 3 4 2 3 4 9

(26) (27) (28) (29) (30)

2 3 18 42 8 9 8 12 7 24

6 7 63 120 5 7 8 14 1 8


FRACCIONES EQUIVALENTES

Recuerda que para hallar una fracción equivalente a otra, tanto el numerador como el denominador deber án ser multiplicados o divididos por un mismo número. Ejemplo: Escribe fracciones equivalentes a:

12 18

Puede ser fracción equivalente menor: Dividiendo am bos, en este caso, entre 2, 3 ó 6 (como ejemplo, sea 2):

12 ÷ 2 6 = , ó 18 ÷ 2 9

Puede ser fracción equivalente mayor: Multiplicando ambos por cualquier número (como ejemplo, sea 5):

12 × 5 60 = 18 × 5 90

Ejercicio 1.29 Para cada fracción escribe tantas fracciones equivalentes menores como sea posible y tres fracciones equivalentes mayores. 6 3 11 21 (6) (11) 36 (16) 24 (21) 14 (26) 84 (1) 15 42 52 5 (2)

5 8

(7)

1 8

(12)

8 64

(17)

20 28

(22)

4 22

(27)

19 205

(3)

4 9

(8)

2 3

(13)

2 24

(18)

20 36

(23)

10 15

(28)

35 91

(4)

2 4

(9)

3 7

(14)

9 10

(19)

(24)

17 34

(29)

13 143

(5)

8 9

(10)

12 14

(15)

50 68

(20)

55 100 28 128

(25)

16 48

(30)

14 196

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Auxíliate con el máximo común divisor MCD. Para llegar a la expresión más simple se tienen que dividir tanto el numerador como el denominador entre un mismo núm ero (común divisor) y lo más grande posible (máximo). Ejemplo: Simplifica

48 240

48 240 24 120 12 60 6 30 3 15 1 5

2* 2* 2* 2* 3* 5 1

Entonces: MCD = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48 Por tanto, para hallar la expresión más simple divido el numerador y el denominador entre el MCD. 48 240

48 ÷ 48

= 240 ÷ 48 = 15

31

Mauricio E. Morón

Ejercicio 1.30 Simplifica las siguientes fracciones. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

28 36 54 108 54 96 72 144 84 126 99 165 162 189 114 288 343 539

(10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)

121 143 306 1452 168 264 72 324 98 105 594 648 539 833 260 286 2004 3006

(19)

1955 3910

(28)

(20)

286 1859 1470 4200 7854 9922 4459 4802 1798 4495 1690 3549 2016 3584 1598 1786

(29)

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27)

(30) (31) (32) (33) (34) (35) (36)

4235 25410 1573 11011 2535 20280 98 147 273 637 332 415 285 513 252 441 623 979

(37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45)

370 444 2002 5005 3003 6006 1212 1515 1503 2338 343 7007 411 685 6170 7404 2478 3186

1727 1884 2006 7021 4359 11624 7075 11320 2138 19242 2401 19208 12460 21805 8505 13365 16005 18139

(46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54)

CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN A OTRO DENOMINADOR

1. Si se trata de pasar un entero a una fracción con el denominador dado, se multiplica el denominador por el entero para obtener el numerador. Ejemplo: Convierte al denominador dado: 5 =

? 8

40 8

8 × 5 = 40

2. Si se trata de pasar una fracción a un denominador dado que sea mayor, el nuevo denominador debe ser múltiplo del denominador original. En este caso se divide el nuevo denominador entre el denominador original y el resultado se multiplica por el numerador original; esto nos da el nuevo numerador. Ejemplo: Convierte al denominador dado:

×

5 6

=

? 24

24 ÷ 6 = 4

4 × 5 = 20

20 24

÷ Nota: Este tipo de conversión es el que se utiliza en la suma y resta de fracciones. Ver ejercicio 1.41. 3. Si se trata de pasar una fracción a un denominador dado que sea menor, el nuevo denominador debe ser divisor del denominador original. En este caso se divide el denominador original entre el denominador nuevo (al contrario que en el caso anterior) y el numerador original se divide entre el resultado de la División de denominadores; esto nos da el nuevo numerador. Este procedimiento sirve para también simplificar fracciones. Ejemplo: Convierte al denominador dado:

16 32

= ?4 ÷

32

32 ÷ 4 = 8

16 ÷ 8 = 2

2 4


Ejercicio 1.31 Escribe la fracción equivalente con el denominador dado. (1)

2=

2

(8)

8= 5

(15)

1 2

=

4

(22)

1 6

= 18

(29)

2 4

=

2

(36)

16 20

=5

(2)

3=

2

(9)

9= 6

(16)

1 3

=6

(23)

2 7

=

21

(30)

4 6

=3

(37)

8 22

= 11

(3)

4= 3

(10)

7 = 11

(17)

1 4

= 12

(24)

1 8

=

24

(31)

4 8

=

(38)

32 24

=3

(4)

5= 1

(11)

5 = 12

(18)

1 5

=

20

(25)

2 9

= 36

(32)

6 10

=5

(39)

15 25

=5

(5)

5= 8

(12)

6 = 13

(19)

2 3

= 12

(26)

1 10

=

(33)

9 24

=8

(40)

13 26

=

=

20

(27)

2 11

= 33

(34)

10 18

=9

(41)

9 27

=3

=

25

(28)

5 12

=

(35)

15 20

=

(42)

6 27

=9

(6)

6=

4

(13)

11 = 9

(20)

3 4

(7)

7=

2

(14)

12 = 10

(21)

3 5

40

24

2

4

2

CONVERSIÓN DE VARIAS FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR

Este caso es parecido al anterior, sin embargo, ahora tenemos que buscar el denominador al que se va a convertir, y además la conversión se hará con varias fracciones. 1. Para hallar el nuevo denominador, vamos a buscar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores dados. 6 2 Ejemplo: Convierte a un común denominador: 79 , 45 ,5 9 3 1

45 15 5 1

5 5 5 1

3 3 5

Entonces mcm = 3 × 3 × 5 = 45

2. Una vez que se tiene el nuevo denominador, se va a aplicar el caso 2 del ejercicio 1.31 para cada fracción dada. Los que ya tuvieran el denominador nuevo así se quedan. Ahora,

7 9

=

? 45

, 456 , 25 =

? 45

7 9

, 456 , 25

35 45

, 456 , 18 45

Para la primera: 45 ÷ 9 = 5 5 × 7 = 35

35 45

La segunda se queda igual:

6 45

Para la tercera:

45 ÷ 5 = 9 9 × 2 = 18

18 45

Ejercicio 1.32 Convierte las siguientes fracciones a un común denominador. (1) (2) (3) (4) (5)

1 2 1 3 2 5 1 7 1 3

, 14 , 16 , 151 , 214 , 92

, 101 , 203 (7) , 16 , 121 (8) , 18 , 161 (9) , 121 , 241 7 (10) , 95 , 18 (6)

1 5 2 3 1 4 1 6 2 3

(11) (12) (13) (14) (15)

1 2 1 3 1 5 1 6 1 6

, 34 , 18 , 163 , 92 , 275 , 811 , 103 , 207 , 11 40 3 7 , 10 , 15 , 304 , 79 , 125 , 367

(16) (17) (18) (19) (20)

1 3 3 4 7 10 1 6 5 8

, 14 , 101 , 164 , 19 11 , 12

7 (21) 83 , 30

(26)

7 11 (22) 12 , 15

(27)

1 2 3 6 9 8 1 3 8 10 15 25 1 3 7 10 27 30

, , (24) , , (25) , , (23)

(28) (29) (30)

5 6 7 15 1 2 1 6 3 5

, 207 , 11 25 , 452 , 11 60 2 7 11 , 9 , 12 , 24 , 147 , 201 , 301 7 , 121 , 85 , 120 33

Mauricio E. Morón

FRACCIONES DECIMALES

1 10 15 1000

2 100

CONVERSIÓN A LA FORMA CON PUNTO DECIMAL

1. 2.

Si es un número mixto se pasa a fracción común. Cuenta el número de ceros del denominador. Esa es la cantidad de cifras después del punto. a. Si el numerador tiene la misma cantidad de cifras como ceros el denominador, escribe 0, luego el punto decimal y enseguida las cifras numerador.

Ejemplo: b.

=0.78

2 ceros en el denominador

Si el numerador tiene menos cifras que ceros el denominador, escribe 0, luego el punto decimal, luego los ceros que hagan falta para que junto con las cifras del numerador se iguale la cantidad de ceros del denominador, y finalmente las cifras del numerador.

Ejemplo: c.

78 100

7 10000

= 0 . 0 0 0 7 4 ceros en el denominador

Si el numerador tiene más cifras que ceros del denominador, toma de derecha a izquierda una cantidad de cifras igual al número de ceros del denominador y ahí coloca el punto decimal.

Ejemplo:

568 100

=5.68

2 ceros en el denominador

Ejercicio 1.33 Escribe las siguientes fracciones decimales en números decimales. 7 587 (1) 10 (4) 1017000 (7) 10285 (10) 100 000 (2) (3)

35 100 8 1 000

(5)

315 100 000

(8)

27 100

(11) 6 103

(6)

623 1 000 000

(9)

4 967 1 000

18 (12) 9 100

3 (13) 4 1 000

(16) 123 10123 000

(14) 6 1 19 000

(17) 219 1 0007 000

(15) 19 1 18 000

319 (18) 1 215 10 000 000

CONVERSIÓN A LA FORMA DE FRACCIÓN COMÚN

1. 2. 3.

Las cifras antes del punto se escriben como enteros. Las cifras después del punto se escriben como numerador, si quedan ceros a la izquierda no se escriben. El denominador es un 1 seguido de tantos ceros como cifras había después del punto.

Ejemplo:

6.00089 =

89 6 100000

En el numerador quedaría 00089, pero los ceros a la izquierda no se toman en cuenta. El denominador tiene 5 ceros porque haya 5 cifras después del punto.

Ejercicio 1.34 Escribe los siguientes números decimales en fracciones decimales. (1) 0.8 (5) 0.0015 (9) 1.015 (13) 2.000016 (2) 0.15 (6) 0.00015 (10) 7.0123 (14) 4.0098765 (3) 0.09 (7) 0.000003 (11) 8.00723 (15) 15.000186 (4) 0.003 (8) 0.0000135 (12) 1.15678 (16) 19.000000018 34

(17) 416.3144 (18) 88.12654 (19) 252.0001 (20) 10.0097


PATRONES Y FÓRMULAS

SERIES NUMÉRICAS

Ejercicio 1.35 Para cada serie escribe: a) Los siguientes tres términos. b) La regla general (con palabras) que permite determinar cualquier término. c) La fórmula que representa la regla general. (1) 3, 6, 9, 12, …

(9) 36, 45, 54, 63, …

(17) 0.5, 1, 1.5, 2, ...

(25)

(2) 4, 8, 12, 16, …

(10) 12, 36, 108, 324, …

(18) 0.3, 0.6, 0.9, 1.2, ...

(26)

(3) 1, 2, 4, 8, …

(11) 9, 13, 17, 21, …

(19) 1.8, 2.4, 3, 3.6, ...

(27)

(4) 1, 4, 16, 64, …

(12) 21, 25, 29, 33, …

(20) 4.9, 5.6, 6.3, 7, ...

(28)

(5) 8, 12, 16, 20, …

(13) 81, 72, 63, 54, …

(21) 2.7, 3.1, 3.5, 3.9, ...

(29)

(6) 6, 12, 24, 48, …

(14) 55, 50, 45, 40, ...

(22) 5, 5.7, 6.4, 7.1, ...

(30)

(7) 21, 28, 35, 42, …

(15) 74, 67, 60, 53, ...

(23) 6, 5.4, 4.8, 4.2, ...

(31)

(8) 5, 50, 500, 5 000, …

(16) 41, 38, 35, 32, ...

(24) 20, 19.3, 18.6, ...

(32)

1 , 2 , 1, 1 1 ,... 3 3 3 1 , 1 , 1 , 2 ,... 6 3 2 3 3 , 1, 1 1 , 1 1 , ... 4 4 2 2, 2 25 , 2 54 , 3 51 ,... 4 31 , 3 32 , 3 , 2 31 ,... 6, 5 27 , 4 74 , 3 67 ,... 3 81 , 2 21 , 1 78 , 1 41 ,... 5 91 , 4 32 , 4 29 , 3 79 ,...

Ejercicio 1.36 Para cada serie escribe la fórmula que representa la regla general y los términos que ocupan las posiciones 15, 25, 50, 100 y 1000. (1) (2) (3) (4)

7, 14, 21, … 9, 18, 27 … 12, 24, 36, … 13, 26, 39, …

(5) (6) (7) (8)

35, 42, 49, … 27, 36, 45, … 18, 24, 30, … 52, 65, 78, …

(9) 15, 23, 31, … (10) 12, 19, 26, … (11) 24, 35, 46, … (12) 21, 29, 37, …

(13) 8, 24, 72, … (14) 6, 30, 150, ... (15) 4, 8, 16, ... (16) 2, 20, 200, ...

35


EJE 2 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA SIMETRÍA Y TRAZOS

EJES DE SIMETRÍA

Ejercicio 1.37 Traza los ejes de simetría de las siguientes figuras.

(1)

(6)

(11)

(7) (12)

(2)

(8)

(13)

(4)

(9)

(14)

(5)

(10)

(15)

(3)

37


EJE 3 MANEJO DE LA INFORMACIÓN PROPORCIONALIDAD

IDENTIFICAR SITUACIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Ejercicio 1.38 Para las siguientes situaciones indica si se trata de una variación proporcional. En caso de ser una variación proporcional indica si es directa o inversa. (1) La cantidad de agua que sale de una llave y el tiempo que estuvo abierta. (2) La velocidad de un automóvil y el tiempo que se tarda en ir de un lugar a otro. (3) Los intereses que se reciben mensualmente y la cantidad depositada. (4) El perímetro de un pentágono regular y la longitud de un lado. 2 (5) La base de un rectángulo y la altura del mismo, si su área es 60m . (6) La distancia entre dos municipios de Veracruz y la distancia a escala en un mapa entre esos municipios. (7) La cantidad de azúcar y la cantidad de harina que se requieren para hacer un pastel. (8) El ejercicio que realiza una persona y su cansancio. (9) La cantidad de agua en una olla y el tiempo que tarda en hervir. (10) La sensación de sed de una persona y el agua que toma. (11) La distancia recorrida por un automóvil y la cantidad de gasolina necesaria. (12) El número de asistentes a un banquete y la comida que se sirve. (13) La cantidad de libros que posee una persona y sus conocimientos. (14) La población mundial a lo largo del tiempo. (15) El número de dientes de dos engranes de distinto tamaño y el número de vueltas que dan, cuando están girando a la misma velocidad.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Ejercicio 1.39 Resuelve los siguientes problemas. (1) Las ruedas pequeñas de un tractor dan 5 vueltas cada vez que las grandes dan 1 vuelta. Elabora una tabla donde se muestre el número de vueltas que darán las llantas pequeñas cuando las grandes completen desde 1 hasta 10 vueltas. (2) En un banco, por cada $ 100.00 que se invierten, se obtiene un rendimiento anual (intereses) de $ 3.00. Elabora una tabla donde se muestre el rendimiento para 100, 500, 1 000, 5 000, 10 000, 50 000 y 100 000. (3) La llamada a un teléfono celular cuesta $ 3. 50 el minuto. Elabora una tabla donde se muestre el costo de llamadas desde 2 hasta 8 minutos. (4) En un estacionamiento pagué $ 40.00 por dejar mi automóvil dos horas. Elabora una tabla donde se muestre el pago por cuartos de hora desde 15 minutos hasta 3 horas. (5) Una secretaria logra escribir 27 páginas en tres horas. Elabora una tabla donde se muestre el número de páginas desde 1 hasta 10 horas. (6) En una ruta de camiones, cada autobús recorre 29.6 km por cada cuatro vueltas. Elabora una tabla donde se muestre la cantidad de kilómetros desde 1 hasta 8 vueltas. 39

Mauricio E. Morón (7) Una vela de 25 cm dura encendida 50 horas. Elabora una tabla donde se muestre la duración en horas de velas de 5, 10, 15, 20, 25 y 30 cm. (8) Un autobús viaja a velocidad constante y después de dos horas y media ha recorrido 225 km. ¿Cuánto tardará en recorrer 495 km? (9) Un albañil puede colocar 135 ladrillos en dos horas y tres cuartos. ¿Cuántos ladrillos puede colocar en 7 horas? (10) Un poste de teléfono ubicado a un costado de una casa mide 7 m de altura y proyecta, a cierta hora del día una sombra de 14 m de longitud. ¿Cuál es la altura de una casa que, a la misma hora, proyecta una sombra de 12 m de longitud? (11) En la confección de dos cortinas se ocuparon 12 metros de tela.¿Cuántos metros de tela son necesarios para hacer 6 cortinas iguales? (12) Un automóvil recorre 39.66 kilómetros por cada 3 litros de gasolina. ¿Cuánta gasolina consumirá este automóvil para recorrer 678 km? (13) Si por entrar al cine pagué $ 240.00 por cinco personas, ¿cuánto pagarán 7 personas para entrar? (14) Al cambiar 320 dólares a pesos recibí $ 4 320, ¿cuánto recibirá una persona que cambie 160 dólares al mismo precio? (15) Una torre de 25.05 metros de altura proyecta una sombra de 33.4 metros a cierta hora de la tarde. ¿Cuál será la altura del asta de una bandera que a esa hora proyecta una sombra de 12.5 metros? (16) Para preparar 7 litros de pintura de un tono anaranjado se ocuparon 6 litros de pintura amarilla y 1 de pintura roja. ¿Cuántos litros de cada color se necesitan para preparar 40 litros de pintura anaranjada? (17) Una porción de 270 ml de cierta leche contiene: 7.8 g de proteínas, 3.2 g de grasas, 12.8 de carbohidratos, 118 g de sodio y 276 g de calcio. Determina la cantidad de cada sustancia que hay en un envase de 2.57 litros de la misma leche. (18) Una receta para preparar 6 hot cakes indica lo siguiente: 1 taza de harina, 34 de taza de leche, 1 huevo y 1 cucharada de margarina derretida. Determina la cantidad de cada ingrediente que será necesaria para preparar 20 hot cakes. (19) Tres amigos obtienen un premio de $ 150 000 en la lotería. ¿Cómo deben repartirse el premio si, para comprar el billete, aportaron, respectivamente, $ 12.00, $ 8.00 y $ 5.00? (20) Dos personas deciden abrir un negocio para lo cual uno aporta $ 240 000 y otro $ 380 000. Si después del primer año las ganancias son de $ 560 000, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

40


DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y ARREGLOS RECTANGULARES

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Ejercicio 1.40 Elabora un diagrama de árbol para mostrar las combinaciones posibles de los problemas siguientes. (1) Al lanzar una moneda, puede caer águila o sol. (2) Al lanzar un dado, puede salir un número del 1 al 6. (3) Al lanzar dos dados de distinto color, se pueden obtener distintas combinaciones. Cada dado puede mostrar un número del 1 al 6. Determina todas las combinaciones posibles e indica la suma de los dos dados. Aparte indica cuántas maneras hay de obtener cada suma. (4) Determina todos los resultados posibles al lanzar dos monedas diferentes. (5) Si se va a elegir un guisado una bebida y un postre y tenemos: Guisado - Mole - Carne asada - Milanesa - Pescado

Bebidas - Agua de jamaica - Agua de tamarindo - Limonada

Postres - Arroz con leche - Gelatina

(6) Para un concierto se venden boletos de $ 120, $ 100 y $ 80. Además, para niños o ancianos se cobra sólo la mitad. ¿Cuáles son todas las formas que hay para comprar un boleto? (7) Se tienen tres tarjetas con los números 5, 0 y 4. ¿Cuáles son todos los números diferentes que se pueden formar? (8) Un distribuidor de cuadernos ofrece de varios tipos: en cuanto al tamaño ofrece profesional y media carta, en cuanto al tipo de hoja ofrece blanca, rayada y cuadriculada, y en cuanto el número de hojas ofrece 50, 100 y 200. ¿Cuáles son todas los tipos de libreta que ofrece?

ARREGLOS RECTANGULARES

Ejercicio 1.41 Elabora un arreglo rectangular para mostrar las combinaciones posibles de los problemas siguientes. (1) Para continuar sus estudios un alumno puede elegir una escuela pública o una privada y uno de los siguientes turnos: matutino, vespertino o nocturno. ¿Cuántas opciones diferentes tiene para hacer su elección? (2) Al elaborar una dieta una nutrióloga recomienda elegir para el desayuno cereal de trigo o avena y una de las siguientes frutas: fresa, melón, papaya, pera o manzana. Determina todas las combinaciones posibles para formar un desayuno. (3) Se va a elegir un plato y una taza. Hay tres colores diferentes de platos (azules, amarillos y verdes) y cuatro colores de tazas (azul, amarilla, verde, roja). ¿Cuáles son todas las combinaciones de plato y taza? (4) En una escuela los alumnos tienen derecho a elegir un deporte y un taller para cursarlos. Los deportes que se ofrecen son: fútbol, básquetbol y voleibol; los talleres son: electricidad, computación y cocina. ¿Cuáles son todas las combinaciones posibles de deporte y taller? (5) Una persona se va a ir de vacaciones. Para hacer su equipaje lleva 4 playeras (negra, azul, verde y roja) y tres shorts (azul, blanco, negro, café). ¿Cuáles son todas las maneras de combinar su ropa para su viaje? 41

Mauricio E. Morón (6) Ángel, Bernardo y Carlos son tres amigos que se disponen a sentarse en tres muebles diferentes: una silla, un banco y un taburete. ¿Cuáles son todas las formas que tienen para sentarse? (7) En un comercio se venden jugos de naranja, mango y sandía en tres tamaños diferentes de vaso: chico, mediano y grande. ¿Cuáles son todas las formas de vender un jugo en ese comercio? (8) Antonio, Francisco y Héctor participarán en un bailable escolar junto con Esther, Bertha y Graciela. ¿Cuáles son las posibles parejas que se pueden formar?

CONTEO DE COMBINACIONES: REGLA DE LA CADENA

Ejercicio 1.42 Resuelve los siguientes problemas aplicando la regla de la cadena. (1) En un estadio se venden tres tipos de refresco y cuatro comidas diferentes. Una persona durante el medio tiempo desea comprar un refresco y una comida, ¿cuántas opciones tiene para elegir? (2) Para una tarea de la clase de español, la maestra encargó a cada alumno y alumna leer una fábula y una leyenda. Si éstas podían ser elegidas de un listado donde aparecen 12 títulos de fábulas y siete de leyendas, ¿cuántas combinaciones diferentes se tienen para hacer la elección? (3) Un hombre tiene ocho camisas, cuatro pantalones y cinco pares de zapatos. ¿Cuántas combinaciones de ropa puede hacer? (4) Un candado de combinación tiene 4 posiciones. Recuerda que cada posición tiene 10 números (del 0 al 9). ¿Cuántas combinaciones posibles existen? (5) En un grupo de primero de secundaria con 18 alumnos, se van a formar 6 equipos para el laboratorio de ciencias. Los equipos deberán de ser de 3 personas. ¿Cuántas maneras existen para formar todos los equipos? (6) Un comité de seis personas compuesto por Alicia, Carlos, María, Francisco, Rubén y Gabriela debe elegir un presidente, un secretario y un tesorero. a. ¿De cuántas formas puede hacerse esto? b. ¿De cuántas formas puede hacerse esto si el presidente debe ser Alicia o Carlos? c. ¿De cuántas formas puede hacerse esto si Francisco debe ocupar alguno de los puestos? d. ¿De cuántas formas puede hacerse esto si Rubén y Gabriela deben ocupar alguno de los puestos? (7) En una tienda hay una promoción en la que las películas en DVD se clasificaron con etiquetas roja, amarilla y verde, y consiste en que se pueden formar paquetes de tres películas, una de cada etiqueta. Se etiquetaron las siguientes cantidades: de rojo 15 películas, de amarillo 20 películas y de verde 25 películas. ¿Cuántas formas existen de armar un paquete? (8) En las placas de circulación de los automóviles de los estados de la República Mexicana, exceptuando el Distrito Federal, se utilizan combinaciones de tres letras (no se utilizan: la I, la O, ni la Ñ). ¿Cuántas combinaciones de letras existen? Cada combinación de tres letras va acompañada de un número de cuatro dígitos desde el 1000 hasta el 9999. Considerando cada combinación de letras con todos los números, ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar?

42


INSTRUCCIONES: Lee cada pregunta con mucha atención. Al final de las preguntas encontrarás un cuadro de respuestas. Rellena completamente el círculo de la respuesta correcta. 1.

Pedro vende billetes de lotería y quiere acomodar de mayor a menor, los boletos cuyos números son 4 440 000, 4 044 004, 44 000 004, 4 404 444. ¿Qué opción presenta el orden correcto? A) B) C) D)

5.

6. 2.

Las fracciones

y

12 15

son equivalentes entre sí.

¿Cuál de las siguientes fracciones también es equivalente a ambas? A) B) C) D) 3.

Don Federico abonó la mitad de su terreno. El primer día que quiso sembrar en dicho terreno sólo pudo hacerlo en la tercera parte de la tierra abonada. ¿Cuál es la parte del total del terreno que quedó sembrada ese día? A) B) C) D)

4.

6 7 8 9 16 20 27 35

7.

8.

Cuatro amigos se repartieron 5 naranjas de la siguiente manera: Pedro Tomás

, Saúl

, José

y

. ¿A quién le tocó menos?

A) A Saúl. B) A José. C) A Pedro. D) A Tomás. 9.

a b c d

¿Qué cantidad representa el 2 en el número 324 179? A) 200 B) 2 000 C) 20 000 D) 200 000

Observa la siguiente recta:

A) B) C) D)

¿Cuál de los siguientes números se escribe como cincuenta y tres mil ciento veinticinco? A) 53 025 B) 53 125 C) 5 310 025 D) 53 000 125

1 6 2 5 2 3 5 6

¿En cuál de los puntos, señalados por flechas en la recta numérica, se ubica el número 2.75?

En el pizarrón Reyna tiene que escribir con letra el número 316 025. ¿Cuál es la forma de escribirlo? A) Trescientos dieciséis mil veinticinco. B) Trescientos mil seiscientos veinticinco. C) Trescientos sesenta mil veinticinco. D) Treinta y un mil seiscientos veinticinco.

4 440 000, 4 044 004, 44 000 004, 4 404 444 4 440 000, 4 044 004, 4 404 444, 44 000 004 4 044 004, 4 440 000, 44 000 004, 4 404 444 44 000 004, 4 440 000, 4 404 444, 4 044 004 4 5

REVISIÓN

¿Cuál de los siguientes puntos corresponde al 13 número ? 5 (d)

0

A) B) C) D)

1

(b)

(c)

2

(a)

3

a b c d 43

Mauricio E. Morón 10. Identifica la figura que tiene exactamente cuatro ejes de simetría.

13. Observa la siguiente tabla que muestra la relación entre la medida del lado de un cuadrado y su perímetro:

¿Qué dato completa correctamente la tabla anterior?

11. ¿En cuál de los siguientes incisos, la figura II es la reflexión con respecto a la recta m de la figura I?

A) 18 B) 22 C) 28 D) 32 14. Selecciona el número que da continuidad a la serie: 7, 11, 15, 19… A) 21 B) 22 C) 23 D) 25 15. Selecciona el valor del siguiente número del sistema de numeración maya:

•

12. ¿Cuál de los siguientes diagramas representa los posibles resultados que se obtienen al lanzar al aire 2 monedas al mismo tiempo?

A) 31 B) 61 C) 301 D) 151 16. En una caseta de cobro de una carretera la tarifa que se paga depende del número de llantas del vehículo que cruza. Si un auto paga 92, ¿cuánto debe pagar un camión de carga de 14 llantas? A) 23 B) 1 288 C) 322 D) 106

44


Lee cuidadosamente y analiza cada uno de los siguientes problemas. Utilizando todos tus conocimientos trata de llegar a una respuesta justificando el procedimiento empleado.

PARA COMPETIR…

Importante recordar: En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, entonces la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 1.

Si el camino sigue siempre el mismo patrón:

¿Cuál es la sucesión de flechas que van del punto 425 al punto 427? a)

2.

El número que se encuentra a la mitad entre a)

3.

b)

1 10

b)

c)

1 6 7 24

y

1 4

d)

es: c)

5 24

d)

5 12

En la tienda puedo comprar por $1 un refresco o un chocolate o un paquete de galletas, por $2 una torta o un sándwich o un helado. Si quiero gastar exactamente $3 ¿De cuántas maneras puedo hacerlo sin tener cosas repetidas? a) 6

b) 10

c) 9

d) 12

4.

Los 3072 habitantes de un pueblo son muy chismosos. Desde que una persona conoce una noticia, no puede parar de contarla cada media hora a tres personas que la desconocen. A las ocho de la mañana José Rodríguez, Raúl Campuzano y Graciela Vela se han enterado de que un famoso grupo de rock viene a dar un concierto. ¿A qué hora lo sabrá todo el pueblo?

5.

La calificación promedio conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han reprobado con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la calificación promedio de los alumnos aprobados?

6.

Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, por parejas, utilizar diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión. Andrés viaja en avión. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión, ¿podrías decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás?

7.

Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo, ¿cuánto pesa un ladrillo?

8.

Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras como: OSA, ESA, ATE, CAE, SOL, GOL, REY, SUR, MIA, PIO, FIN, VID, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY, RIN. ¿Cuáles son las letras de cada dado? 45

Mauricio E. Morón 9.

Las trillizas Gaby, Betty y Susy están celebrando su cumpleaños. Su madre anda como loca porque la pastelería les ha mandado un pastel con forma de triángulo equilátero y ahora debe partirla en tres trozos iguales (en forma y tamaño) para que no haya peleas. El caso es que las trillizas se empeñan en que los trozos tengan cuatro lados, aunque su madre hubiera preferido que fueran trozos de tres lados. ¿Puedes dividir el pastel de estas dos formas?

10. Adriana está pintando un laberinto sobre un rectángulo de 10 cm x 15cm. Para ello va dibujando en línea recta y gira 90º a la izquierda cuando está a 1 cm de una línea ya dibujada. Si empieza en la esquina del rectángulo, ¿cuál es la longitud total del trazado de su laberinto?

11. Los tres malvados hermanos García robaron un banco, y se repartieron en partes iguales el botín. La primera noche, mientras Carlos dormía, Antonio y Bernardo le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. La segunda noche, mientras Antonio dormía, Bernardo y Carlos le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. La tercera noche, mientras Bernardo dormía, Antonio y Carlos le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. A la mañana siguiente se separaron para gastar el botín. Cuando Bernardo contó su dinero, tenía 10000 euros. ¿Cuál es el botín original?, ¿cuánto se lleva cada uno? 12. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron su examen de ingreso a la secundaria. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta? 13. El profesor de Matemáticas le propuso a Luis la siguiente cuestión: “En la clase de al lado 6 estudiantes saben español, 7 inglés y 5 francés. De estos sólo uno habla los tres idiomas. De los demás, se sabe que exactamente 2 saben sólo español e inglés, exactamente 2 saben sólo inglés y francés y 1 único alumno sabe sólo español y francés. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?”. Luis le contestó: “Profesor, estoy convencido que 12”. ¿Es correcta la contestación? 14. ¿Cuántos animales tengo en casa, sabiendo que todos son perros menos dos, todos son gatos menos dos, y que todos son loros menos dos? 15. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. Antonio: Si me das tres limones, tendremos cada uno la misma carga. Pedro: Si tú me das seis limones, tendré el doble de los que te quedan. ¿Cuántos limones llevaba cada uno?

46

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Múltiplos y divisores Operaciones con números naturales, fraccionarios y decimales Problemas aditivos Problemas multiplicativos EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Mediatriz y bisectriz Trazo de ángulos Construcción de polígonos regulares Cálculo de perímetro y área de figuras simples Conversión de unidades de longitud y área. Cálculo de área de figuras compuestas Justificación de fórmulas de perímetros y áreas. EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN Problemas de proporcionalidad directa con operadores decimales y fraccionarios Efecto de la aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad


EJE 1 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

1 2 6 9 7

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

Recuerda: Los números primos son aquellos que solamente pueden dividirse exactamente entre 1 y entre sí mismos; es decir, solamente existen dos números que los dividen (dos divisores). La Criba de Eratóstenes es una tabla de números que ayuda a encontrar los números primos. Los números primos menores a 150 son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 y 149. En varios procedimientos aritméticos es de mucha utilidad recordar la serie anterior. Para saber si cierto número es primo, se divide entre los números primos menores que él empezando con el 2. Si el residuo de alguna de las divisiones es cero, entonces no es primo. Si ninguna división resulta exacta, el proceso termina cuando el cociente (resultado de la división) sea igual o menor que el divisor (número entre el que se divide), entonces sí es primo. Ejemplo:

Averiguar si 191 es primo:

Recordando la lista de números primos de arriba, comenzamos las divisiones:

95 2 191

Divisor

11 1 27 No es exacta, 7 191 y tampoco es 51 2

63 No es exacta, 3 191 y tampoco es

 Cociente No es exacta, y tampoco es menor el cociente que el divisor.


menor el cociente que el divisor.

81 4



menor el

menor el

11 cociente que el divisor. 2

41 cociente que 1 el divisor.

14 No es exacta, 13 191 y tampoco es 61 9

11 No es exacta, 17 191 pero el cociente


21 4

es menor que el divisor. Por tanto SÍ ES PRIMO

Ejercicio 2.1 Indica si los siguientes números son primos o no. (1) (2) (3)

97 139 169

(4) (5) (6)

197 211 221

(7) (8) (9)

271 289 307

(10) (11) (12)

361 397 541

(13) (14) (15)

529 601 683

(16) (17) (18)

997 1 009 1 099 49

Mauricio E. Morón

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS (FACTORIZACIÓN)

Se tiene que dividir el número entre 2 (el primero de los números primos), si no es posible se prueba con el 3, si tampoco es posible se prueba con el 5, y así sucesivamente, dividiendo únicamente entre números primos. Esto se repite para cada resultado obtenido hasta que el resultado sea un número primo. Nota: Todas las divisiones deben ser exactas. Ejemplo: Descomponer 204 en sus factores primos: 204

2

Se prueba con 2. Como sí es posible, se divide 204 entre 2 y resulta 102

102

2

Se prueba con 2. Como sí es posible, se divide 102 entre 2 y resulta 51

51

3

Se prueba con 2. Como no es posible, se prueba con 3, y como esto último sí es posible se divide 51 entre 3 y resulta 17.

17

17 Como 17 es primo, aquí se termina el proceso.

Ejercicio 2.2 Descomponer en sus factores primos los números siguientes. (1) (2) (3) (4) (5)

64 91 96 121 160

(6) (7) (8) (9) (10)

(11) (12) (13) (14) (15)

169 182 289 306 385

(16) (17) (18) (19) (20)

341 377 408 441 507

529 686 861 906 1 188

(21) (22) (23) (24) (25)

(26) (27) (28) (29) (30)

2 401 2 093 2 890 3 249 3 703

3 887 5 753 5 887 9 410 12 740

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Recuerda: Múltiplo de un número es aquél que lo contiene una cantidad exacta de veces. Un número tiene una cantidad infinita de múltiplos. Para formar una serie de múltiplos, se comienza con el cero. Y le sumamos el número en cuestión en cada paso. También se forma multiplicando el número por la serie infinita de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4 … Ejemplo:

Escribe los primeros 10 múltiplos de 16 Inicia en cero y se suma 16 cada paso:

0 +16 16

50

+16

32

+16

48

+16

64

+16

80

+16

96

+16

112

+16

128

+16

144


Ejercicio 2.3 Escribe los primeros 10 múltiplos de cada número. (1) (2) (3) (4) (5)

(6) (7) (8) (9) (10)

2 3 6 5 9

8 7 4 1 13

(11) (12) (13) (14) (15)

11 14 20 45 21

(16) (17) (18) (19) (20)

15 22 17 24 31

(21) (22) (23) (24) (25)

10 37 12 19 50

(26) (27) (28) (29) (30)

23 30 18 16 100

DIVISORES DE UN NÚMERO

Recuerda: Divisor de un número es aquél que está contenido en él una cantidad exacta de veces. Un número tiene una cantidad limitada de divisores. Hallar todos los divisores de un número es un proceso sencillo de varios pasos. Veamos un ejemplo: Ejemplo:

Hallar todos los divisores de 1800.

1. Descomponer el número en factores primos y escribir los factores repetidos en forma de potencia: 1800 900 450 225 75 25 5 1

2 2 2 3 3 5 5

3

2

2

3

2

5

2. Anotar a la derecha de cada potencia de los factores primos, las potencias sucesivas (iniciando con la primera potencia) hasta llegar a la potencia que indica las veces que se repitió el número primo: 3

2

2

3

2

5

1

2

2 =2

2 =4

1

3 =3

3

2 =8

 Estos resultados se utilizan en el paso 4.

2


3 =9

1

5 =5


2

5 = 25

3. Aparte se va a construir una tabla como se muestra. Después de escribir un 1, en un mismo renglón anota los resultados de las potencias sucesivas del primer factor primo y pasa un raya: 1

2

4

8

4. Este primer renglón se multiplica por cada una de las potencias sucesivas del segundo factor y al final se pasa otra raya.  El primer renglón. 8 2 4 1 3 9

6 18

12 36

24 72

1

 El primer renglón multiplicado por 3 = 3. 2  El primer renglón multiplicado por 3 = 9. (Continúa en la página siguiente)

51

Mauricio E. Morón

5. Se multiplican todos los renglones escritos hasta el paso anterior por todas las potencias sucesivas del tercer factor y al final se pasa otra raya:  El primer renglón. 2 8 1 4 3 9

6 18

12 36

24 72

5 15 45 25 75 225

10 30 90 50 150 450

20 60 180 100 300 900

40 120 360 200 600 1800

 El segundo renglón.  El tercer renglón.      

1

El primer renglón multiplicado por 5 = 5. 1 El segundo renglón multiplicado por 5 = 5. 1 El tercer renglón multiplicado por 5 = 5. 2 El primer renglón multiplicado por 5 = 25. 2 El segundo renglón multiplicado por 5 = 25. 2 El tercer renglón multiplicado por 5 = 25.

6. Este proceso se repite hasta que se terminen los factores primos con sus respectivas potencias.

Ejercicio 2.4 Anota todos los divisores de cada número. (1) (2) (3) (4) (5)

(6) (7) (8) (9) (10)

54 162 150 1 029 210

(11) (12) (13) (14) (15)

315 130 340 216 1 521

(16) (17) (18) (19) (20)

108 204 540 735 1 080

2 00 3 366 4 020 567 4 459

(21) (22) (23) (24) (25)

5 819 6 727 3 159 5 929 5 915

(26) (27) (28) (29) (30)

6 006 3 025 6 591 9 702 14 161

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Recuerda: Los criterios o caracteres de divisibilidad son ciertas señas que ayudan a identificar a simple vista, o con pasos muy sencillos, si un número es divisible entre otro (si es múltiplo de él o no). Nota: Aunque también existen criterios de divisibilidad para otros números compuestos, como 4, 6, 8, 9, 10, etc., en la mayoría de las aplicaciones son más útiles los criterios para números primos. Ejemplo: Verificar si el número 48 569 es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Entre 2: Para que sea divisible debe terminar en 0, 2, 4, 6 u 8. 48 569

No es divisible porque termina en 9.

Entre 3: Para que sea divisible la suma de sus dígitos debe ser 3 o un múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12…). Si se desconoce si el resultado es también divisible entre 3 se repite la operación. 4 + 8 + 5 + 6 + 9 = 32

3 + 2 = 5

No es divisible porque 5 no es múltiplo de 3

Entre 5: Para que sea divisible debe terminar en 0 ó 5. 48 569

No es divisible porque termina en 9. (Continúa en la página siguiente)

52

Ejercicios de Matemáticas 1 Entre 7: Para ver si es divisible se cuenta con el siguiente procedimiento: a. Se separa el último dígito (el que esté más a la derecha) con una coma: 4 85 6,9 b. Este último dígito se multiplica por 2: 4 8 5 6 , 9 x 2 = 18 c.

El resultado del paso anterior se resta a lo que quedó antes de la coma. [Si no se pudiera efectuar la resta, se hace al revés, es decir, lo que quedó antes de la coma se resta a lo que dio la multiplicación en el paso anterior]: 4 85 6,9 18 4838

 ¿Es múltiplo de 7? ¿Es divisible entre 7?

d. Lo que quede debe ser múltiplo de 7, si se desconoce aún, se repiten los pasos anteriores, hasta que la resta sea cero o quede claro si es o no múltiplo de 7. Repetimos: 4 8 3 , 8 x 2 = 16 16

4 6 , 7 x 2 = 14 14

467

Entre 11:

3,2x2=4 4

32

1

Al no ser posible la resta de 3 – 4, se  invierten: 4 – 3. Como la resta no es ni 0 ni múltiplo de 7, se concluye que 48 569 no es divisible entre 7.

Para ver si es divisible se cuenta con el siguiente procedimiento: a. Se toman los dígitos que estén alternadas comenzando con la primera y se suman: 4 8 5 6 9 4 + 5 + 9 = 18 b. Se toman los dígitos que no se tomaron en el paso anterior (los que quedaron) y también se suman: 4 8 5 6 9 8 + 6 = 14 c.

Los resultados de ambas sumas se restan (el mayor menos el menor) y para que sea divisible entre 11, la resta debe dar 0 ó un múltiplo de 11: 18 – 14 = 4  Como no es ni 0 ni múltiplo de 11, 48 569 no es divisible entre 11

d. Si se desconoce aún, se repiten los pasos anteriores, hasta que quede claro si es o no múltiplo de 11 ó 0. Entre 13: Revisamos nuevamente el criterio de divisibilidad entre 7. Es muy parecido, solamente que en el segundo paso, se multiplica por 9 y no por 2; y en el último, debe ser 0 ó múltiplo de 13: 4 8 5 6 , 9 x 9 = 81 81

4 7 3 , 5 x 9 = 45 45

4 2 , 8 x 9 =72 72

3,0x9=0 0

4735

428

30

3  múltiplo de 13,

Como (Continúa en la página siguiente)

no

es

ni

0 ni 48 569 no es divisible entre 13.

53

Mauricio E. Morón Entre 17: Revisamos nuevamente el criterio de divisibilidad entre 7. Es muy parecido, solamente que en el segundo paso, se multiplica por 5 y no por 2; y en el último, debe ser 0 ó múltiplo de 17: 4 8 5 6 , 9 x 5 = 45 45

481,1x5=5 5

4 7 , 6 x 5 = 30 30

4811

476

17

Como fue 17, 48 569 sí

es divisible entre 17.

Entre 19: Revisamos nuevamente el criterio de divisibilidad entre 7. Es muy parecido, solamente que en el segundo paso, se multiplica por 17 y no por 2; y en el último, debe ser 0 ó múltiplo de 19: 4 8 5 6 , 9 x 17 = 153 153

4 7 0 , 3 x 17 = 51 51

4 1 , 9 x 17 = 153 153

4703

419

112

1 1 , 2 x 17 = 34 34

Como no es ni 0 ni múltiplo de 19, 2 3 48 569 no es divisible entre 19

Ejercicio 2.5 De acuerdo con los criterios de divisibilidad indica si los siguientes números son divisibles entre: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ó 19 y anota el resultado de cada división posible. (1) (2) (3) (4) (5)

(6) (7) (8) (9) (10)

84 91 25 14 36

(11) (12) (13) (14) (15)

375 136 175 132 123

100 252 567 270 169

(16) (17) (18) (19) (20)

5 284 8 998 1 375 7 512 1 893

(21) (22) (23) (24) (25)

12 344 87 858 93 758 72 981 13 947

(26) (27) (28) (29) (30)

946 191 713 947 928 191 102 256 341 789

MULTIPLICACIÓN POR POTENCIAS DE 10

De manera muy general, se puede decir que las potencias de diez son todos los números formados por un 1 y uno o varios ceros. Por ejemplo: 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, etc. Como son números naturales solamente se le agregan los ceros que contenga el múltiplo de 10. Ejemplo:

367×10 000 3 6 7 0 0 0 0

Se acomodan las cifras en grupos de tres

3 670 000

Ejercicio 2.6 Multiplica las siguientes cantidades por 10, 100, 1 000, 10 000 ó 100 000 según se indique. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 54

2 × 10 36 × 10 78 × 10 451 × 10 974 × 10 1 287 × 10

(7) 4 × 100 (8) 12 × 100 (9) 26 × 100 (10) 149 × 100 (11) 432 × 100 (12) 1 002 × 100

(13) 5 × 1 000 (14) 68 × 1 000 (15) 72 × 1 000 (16) 259 × 1 000 (17) 403 × 1 000 (18) 3 762 × 1 000

(19) (20) (21) (22) (23) (24)

8 × 10 000 52 × 10 000 88 × 10 000 451 × 10 000 369 × 10 000 5 728 × 10 000

(25) 7 × 100 000 (26) 86 × 100 000 (27) 77 × 100 000 (28) 293 × 100 000 (29) 801 × 100 000 (30) 6 922 × 100 000


MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS QUE SON MÚLTIPLOS DE POTENCIAS DE 10

FACTORIZAR UN MÚLTIPLO DE UNA POTENCIA DE 10 EN UN NÚMERO NATURAL Y UNA POTENCIA DE 10.

De manera muy general, se puede decir que un múltiplo de una potencia de 10 es un número que termina en uno o más ceros. Factorizar un múltiplo de una potencia de 10 en un número natural y una potencia de 10 es buscar un número natural que se multiplique por la potencia de 10 lo más grande posible. Para hacer esto bastará con separar los ceros que aparezcan al final, después de la última cifra distinta de cero. Ejemplo:

9 802 000 000

Observa que: • La última cifra distinta de cero es el 2. • Después de la última cifra distinta de cero (2) todos son ceros. 9 802 × 1 000 000 Escribimos la parte significativa

El signo ×

Un 1

y los ceros (6 en este caso)

Ejercicio 2.7 Escribe las siguientes cantidades como un número multiplicado por 10, 100, 1 000, 10 000 ó 100 000. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

560 20 330 4 780 45 000 780 000

(7) (8) (9) (10) (11) (12)

15 040 000 70 000 5 800 000 700 000 8 000 57 890

(13) (14) (15) (16) (17) (18)

40 000 630 000 85 000 000 97 564 000 78 006 000 10 400 000

(19) (20) (21) (22) (23) (24)

879 100 378 600 258 200 000 900 000 54 120 000 47 856 200

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

78 520 000 65 548 960 45 000 760 000 85 121 300 150 000

MULTIPLICAR DOS O MÁS NÚMEROS QUE SEAN MÚLTIPLOS DE POTENCIAS DE 10.

Cuando en una multiplicación los factores tienen varios ceros, es más simple multiplicar las cantidades sin tomar en cuenta los ceros, agregando al final el total de ceros. Ejemplo:

250 000 × 42 000

Como:

250 000 = 25 × 10 000 y 42 000 = 42 × 1 000

Entonces:

25 × 10 000 × 42 × 1 000 = (25 × 42) × (10 000 × 1 000) = (25 × 42) × (10 000 000) (25 × 42) × (10 000 000) = 1 050 × 10 000 000 = 10 500 000 000

55

Mauricio E. Morón

Ejercicio 2.8 Efectúa las siguientes multiplicaciones expresando cada factor como un número multiplicado por 10, 100, 1 000, 10 000 ó 100 000. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

20 × 30 50 × 40 500 × 20 600 × 70 700 × 800 900 × 200 4 000 × 600 7 000 × 300

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

9 000 × 500 6 000 × 600 150 × 200 860 × 500 8 300 × 2 000 55 000 × 80 000 87 500 × 900 521 000 × 7 000

(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24)

47 850 000 × 50 000 875 100 × 700 000 000 25 000 × 87 000 000 87 500 × 930 000 785 200 × 2 500 000 87 200 000 × 65 700 75 620 × 20 300 48 750 × 723 100

(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32)

250 000 × 500 630 000 × 610 11 000 × 230 000 5 528 000 × 140 721 000 × 130 000 578 210 × 360 000 000 454 500 × 57 000 78 000 × 32 115 000

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)

Se utiliza la descomposición en factores primos: Ejemplo:

Hallar el mcm de 16, 8 y 15 16 8 4 2 1

8 4 2 1

15 15 15 15 15 5 1

2 2 2 2 3 5

Dividimos los que se puedan entre 2. Los que no se pudieron dividir se bajan igual. Se divide entre dos hasta que ya ninguno se pueda volver a dividir entre 2. Cuando una columna llega a 1 ahí se termina. Cuando ya ninguno se puede dividir pasamos al siguiente factor primo (3). Cuando ya ninguno se puede dividir pasamos al siguiente factor primo (5). Cuando llegan todas las columnas a 1 ahí se termina el proceso.

Finalmente todos los divisores obtenidos se multiplican entre sí: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 240 Concluimos que el mínimo común múltiplo (mcm) de 16, 8 y 15 es 240. Lo cual significa que el número más pequeño que se puede dividir entre 16, entre 8 y también entre 15 es el 240.

Ejercicio 2.9 Encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de los siguientes grupos de números. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 56

32, 80 46, 69 2, 3, 11 18, 24, 40 32, 48, 108 7, 8, 9, 13 15, 25, 75

(8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

2, 4, 8, 16 5, 10, 40, 80 7, 14, 28, 56 15, 30, 45, 60 3, 5, 15, 21, 42 15, 30, 60, 180 8, 10, 15, 32

(15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)

5, 7, 10, 14 2, 3, 6, 12, 50 100, 500, 700, 1 000 14, 38, 56, 114 13, 19, 39, 342 15, 16, 48, 150 14, 28, 30, 120

(22) (23) (24) (25) (26) (27) (28)

96, 102, 192, 306 108, 216, 432, 500 21, 39, 60, 200 81, 100, 300, 350, 400 98, 490, 2 401, 4 900 91, 845, 1 690, 2 197 529, 1 058, 1 587, 5 290


MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

De forma similar que para el mcm, se usa la descomposición en factores primos pero ahora sólo vamos a usar los factores que si hayan dividido a todos. Ejemplo:

Hallar el MCD de 16, 8 y 40 16 8 4 2 1

8 40 4 20 2 10 1 5 5 1

2* 2* 2* 2 5

Cuando se dividen todos marcamos ese divisor con un asterisco.

Si no divide a todos no marcamos ese divisor. Cuando ya ninguno se puede dividir pasamos al siguiente factor primo. Cuando llegan todas las columnas a 1 se termina el proceso.

Finalmente todos los divisores marcados (*) se multiplican entre sí: 2 × 2 × 2 = 8 Concluimos que el máximo común divisor (MCD) de 16, 8 y 40 es 8, lo cual significa que el número más grande que puede dividir a 16, a 8 y a 40 es el 8.

Ejercicio 2.10 Encuentra el máximo común divisor de los siguientes grupos de números. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

20, 80 144, 520 345, 850 19 578, 47 190 33, 77, 121 425, 800, 950 2 168, 7 336, 9 184 54, 76, 114, 234 320, 450, 560, 600

(10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)

464, 812, 870 858, 2 288, 3 575 840, 960, 7 260, 9 135 3 174, 4 761, 9 522, 12 696 171, 342, 513, 684 500, 560, 725, 4 350, 8 200 850, 2 550, 4 250, 12 750 465, 744, 837, 2 511 600, 1 200, 1 800, 4 800

(19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27)

57, 133, 532, 1 824 2 645, 4 232, 4 761, 5 819 98, 294, 392, 1 176 1 560, 2 400, 5 400, 6 600 2 523, 5 046, 5 887, 7 569 961, 2 821, 2 418, 10 571 1 240, 1 736, 2 852, 3 131 770, 990, 1 265, 3 388 168, 252, 280, 917

PROBLEMAS DE MÚTLIPLOS Y DIVISORES

Ejercicio 2.11 Resuelve los siguientes problemas. (1) Dos automóviles se someten a prueba en un autódromo. Uno de ellos da una vuelta cada 90 segundos y el otro lo hace cada 100 segundos. Si parten juntos, ¿en qué tiempo el automóvil más rápido habrá dado una vuelta más que el otro? (2) En cierto mecanismo están colocados dos engranes de tal manera que uno hace girar al otro. Si el engrane mayor tiene 24 dientes y el menor 18, ¿cuál es el menor número de vueltas que debe dar cada uno para que los dientes que están en contacto al iniciar el movimiento vuelvan a encontrarse? (3) Para una exposición se desea formar un mural cuadrado con fotografías de 24 cm de largo por 20 cm de ancho. Si se cuenta con 35 fotografías, ¿cuánto deberá medir por lado el cuadrado? ¿Cuántas fotografías se elegirán para formar el mural? 57

Mauricio E. Morón (4) Cierto día se celebró asamblea general en una pequeña población con la asistencia del topógrafo, el representante de la SAGARPA y el médico. ¿Cuándo se podrá realizar la próxima asamblea general en la misma población si el topógrafo la visita cada 12 días, el representante de la SAGARPA cada 18 días y el médico cada 9 días? (5) Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo? (6) Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero, ¿cuál será la fecha más próxima en que volverán a salir juntos? Considerando que el año no es bisiesto. (7) ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud sin que sobre ni falte nada y cuántos pedazos de cada longitud se podrán sacar de esa varilla? (8) Halla el número de bombones que es necesario para repartir entre tres clases de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de la primera, segunda o tercera clase. (9) Dos cintas de 36 m y 78 m de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? (10) Una escuela tiene un terreno de 1 200 m2 para prácticas agropecuarias, y la comunidad donó otro terreno cuya extensión es de 1 600 m2 para el mismo uso. Alumnos y maestros decidieron entonces formar parcelas de la misma extensión y del mayor tamaño posible a fin de trabajarlas por equipos. ¿Cuál será el tamaño de las parcelas? ¿Cuántos equipos se podrán formar? (11) Un fabricante de banderitas dispone de tres tiras de madera para fabricar astas, una de 210 cm, otra de 330 cm y la tercera de 270 cm. Si desea que las astas sean del mayor tamaño posible, sin desperdiciar la madera disponible, ¿cuántas astas podrá fabricar y de qué medida? (12) Se tienen tres recipientes para agua, de 30, 45 y 75 litros respectivamente. Si se desea llenarlos con la misma cubeta, en el menor número de movimientos posibles y sin que sobre ni falte en cada recipiente, ¿De cuántos litros deberá ser la cubeta? (13) Para celebrar el día del niño, una maestra compró 3 paquetes con 25 globos cada uno, 5 cajas de 10 silbatos cada una y 10 paquetes de 15 serpentinas cada uno. ¿Cuál es el mayor número de bolsitas que puede regalar a sus alumnos si desea que todas ellas sean iguales? ¿Cuántos globos, silbatos y serpentinas habrá en cada bolsita? (14) Para una tabla gimnástica se necesitan listones rojos, azules y amarillos del mismo tamaño. Se dispone de 1 200 cm de listón rojo, 1 800 cm de listón azul y 1 440 cm de listón amarillo. ¿Cuál será la máxima medida de los listones, si no se quieren desperdiciar los listones disponibles? ¿Cuántos alumnos podrán participar en la tabla gimnástica, si cada uno debe llevar un listón de un color determinado? (15) Para adornar un auditorio se compraron 120 gardenias, 100 camelias y 80 dalias. Si se desea que todos los floreros contengan el mismo número de flores, ¿cuál será el mayor número de floreros que pueden adornar el auditorio? ¿Cuántas flores de cada tipo deben colocarse en cada florero? (16) Un padre da a un hijo $ 80, a otro $ 75 y a otro $ 60, para repartir entre las personas de escasos recursos, de modo que todos den a cada persona la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada persona y cuántas son las personas socorridas? (17) Para comprar un número exacto de docenas de pelotas a 80¢ la docena o un número exacto de docenas de lápices a 60¢ la docena, ¿cuál es la menor suma de dinero necesaria? (18) Se tienen tres cajas que contienen 1 600 libras, 2 000 libras y 3 392 libras de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja? (19) Un hombre tiene tres rollos de billetes de banco. En uno tiene $ 4 500, en otro $ 5 240 y en el tercero $ 6 500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible, ¿cuánto vale cada billete y cuántos billetes hay en cada rollo? (20) Se tienen tres extensiones de 3 675, 1 575 y 2 275 m2 de superficie. Si se quieren dividir en parcelas iguales, ¿cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible?

58


OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES, DECIMALES Y FRACCIONARIOS

ADICIÓN

NÚMEROS NATURALES

Ejercicio 2.12 Efectúa la suma de las siguientes cantidades. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

27+32 17+11 14+15 37+41 28+71 14+16 28+56 39+14 57+33 63+28

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48)

74+48 97+38 63+48 72+29 139+84 479+382 592+384 1 238+2 794 6 973+4 789 2 495+6 802

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

23 247+5 238 52 829+14 314 47 512+63 728 129 487+347 038 748 324+893 525+278 412 994 703+035 282+383 274 489 324+539 814+289 539 873 414+987 698+387 284 379 478+674 588+438 232 989 767+489 876+482 364

(31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40)

5 784+6 732+2 341+1 780 9 587+63 214+10 354+12 465 468 324+761 314+312 649+103 490 193 728+431 972+430 600+100 023 852 936+741 285+692 314+236 498 735+149+112+367+723 1 348+2 782+1 463+5 913+4 712 3 976+6 478+9 999+4 399+7 888 10 879+2 678+6 758+7 241+25 589 73 326+6 668+7 358+9 631+11 622

456 987+693 210+735 642+145 862+265 888 521 632+287 412+283 726+108 733+229 434 2 730 498+3 802 937+1 489 032+450 323+21 775 563 12 345 726+2 368 109+260 995+1 389 206+26 492 236+387 102 47 852 614+6 320 980+1 368 089+267 198+102 387 941+12 581 306 587 416+123 089+1 309 556+5 812+698 213 005+21 058 913 876 920+631 278+1 587 390+2 760 311+104 302 300+3 415 415 752 630 498+398 403+936 481+2 398 410+7 104 812+552 226

NÚMEROS DECIMALES

Ejercicio 2.13 Efectúa la suma de las siguientes cantidades. (1) 0.3+0.8+3.15 (2) 0.19+3.81+0.723+0.1314 (3) 0.005+0.1326+8.5432 (4) 0.99+95.99+18.99+0.9999 (5) 16.05+81.005+0.00005 (6) 52.3476+0.0245+3.65 (7) 702.356 + 14.9546+85 (8) 0.23+6.58702+3.25+4 (9) 1 897.025 + 2 568+0.00056 (10) 4.28706+72.364+0.0846 (11) 0.0025+0.6+0.9054+5.068 (12) 452.0036+0.00655+0.0042

(13) 5+0.3 (14) 8+0.14 (15) 15+0.54 (16) 16+0.1936 (17) 75.23+0.07 (18) 27.46+6.28 (19) 47.12+0.53 (20) 8.54+2.036 (21) 12.38+1.03 (22) 1.024+58.3 (23) 0.02+0.368 (24) 0.015+0.25

(25) 81.245+0.003 (26) 115+0.0056 (27) 800+0.00318 (28) 19.245+0.845+7.842 (29) 93.24+15.123+31 (30) 168.0234+12.582+0.3 (31) 93.05476+0.023+4.58 (32) 6.21+3.87+4.56+5.78 (33) 687.025+729.00057 (34) 458+0.39+52.3+0.587 (35) 73.15+0.267+1.357 (36) 1 113.17+0.1923

(37) 108.5+1 345.007+235.21 (38) 350.87+9.36+0.0015+32 (39) 19.75+30.1+83.1+831.09 (40) 1.36+.875+14+93.72+8.4 (41) 85.79+0.0000021+0.00001 (42) 93.0571+134 265.032113 (43) 88.889+9.999+0.002+0.345 (44) 0.5578+5.265456+38+0.023 (45) 43 058.0164+5.278+5.4654 (46) 72 930.0456+2.3+47+0.005 (47) 85.26+97+2.97+301.42+3.2 (48) 120.5706+0.0556+3.054 59

Mauricio E. Morón


1. Primero deben convertirse los mixtos a fracción. A los enteros se les coloca un 1 como denominador. 2. Si todas tienen el mismo denominador, sólo se suman los numeradores para obtener el numerador del resultado y el denominador será el mismo. 3. Si tienen denominadores distintos, se pasan todas al mismo denominador como en el ejercicio 1.32, y finalmente se resuelve como en el caso anterior. 4. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) 5. Si es fracción impropia (numerador mayor), convierte a mixtos (ver Ejercicio 1.26)

Ejemplo:

3 41 + 2 +

1 3

=

13 4

+

2 1

+ 31 =

39 12

24 + 4 = + 12 12

39 + 24 + 4 12

=

67 12

7 = 5 12

Ejercicio 2.14 Efectúa las siguientes sumas de fracciones. 5 (16) 14 +

(1)

1 3

+ 32

(2)

2 5

+

3 5

+

4 5

(17) 32 +

(3)

3 8

+

5 8

+

2 8

(18)

+

3 40

(4)

2 9

+

5 9

+

7 9

5 (19) 16 +

(5)

5 + 10 21 21

(6)

2 3

(7)

5 12

7 + 24

(8)

7 24

+

11 30

(23) 31 +

(9)

8 26

+

15 39

(24) 19 + 18

(10)

1 2

+ 23 + 21

+ 56

8 7

(46) 7 +

9 (32) 7 55 + 8 13 44

(47) 18 +

1 + 3 + 80 15

(33) 5 54 + 6 25 + 8 35

(48) 14 + 60 12

2 48

3 + 91 + 18

(34) 1 21 + 2 31 + 1 61

(49) 14 + 5 32

6 (20) 17 +

1 34

1 + 4 + 51 3

1 (35) 5 34 + 6 31 + 8 12

(50) 8 41 + 6 +

7 + (21) 90

11 30

3 + 80 +

1 (36) 3 34 + 5 59 + 7 12

(51)

7 + (22) 39

11 26

+ 32 + 89

1 +2 1 (37) 4 61 + 3 10 15

1 +5+7 1 (52) 6 + 2 30 45

1 + 4 1 +1 1 (38) 6 27 18 54

(53)

1 + 3 1 + 10 11 (39) 1 42 14 84

(54) 4 +

1 +1 1 (40) 4 41 + 5 81 + 7 16 32

(55)

7 25

5 7

2 + + 21

1 9

1 + + 18

61 72

+

4 63

7 24

13 216

8 + 105 +

7 40

11 + 30

1 + 3 + 10 5

9 11 + 50 21

1 + 63

3 48

7 45

6 5

3 8

+ 10 + 3 51 + 8

11 + 2 1 + 4 + 60 90 7 48

1 + 1 + 8 57 114

1 8

(25)

8 (11) 75 + 15 +

11 60

(26) 3 41 + 5 34

1 +1 1 + 2 3 (41) 3 51 + 4 10 50 25

(56) 3 + 2 35 + 4 31 +

3 21

2 49

(27) 8 37 + 6 57

1 +21 +71 (42) 5 37 + 3 14 6 2

1 + (57) 9 + 18

5 (28) 7 81 + 3 24

1 +5 1 +2 1 (43) 1 51 + 4 80 16 40

1 +1 1 + 6 + 1 (58) 7 35 + 4 12 24 18

(29) 12 56 + 13 79

1 +1 1 +1 3 + 4 1 (44) 4 31 62 93 4

(59) 78 +

3 (30) 5 81 + 6 20

1 + 2 1 + 4 7 +1 1 3 (45) 3 160 45 60 800 (60) 80 +

(12)

1 4

4 21

3 + 98

7 + 5 11 (31) 8 20 25

7 20

7 70

+

+

(13) 35 +

7 4

7 + (14) 50

(15)

60

8 60

+

1 2

+

+ 11 6 11 40

+ 13 60

7 + 13 + 120 90

1 4

+

1 2

+

5 32

1 3

+

7 24

1 6 3 20

+6

+ 6 61 + 7 41

5 40

+

5 4

+

1 8


SUSTRACCIÓN

NÚMEROS NATURALES

Ejercicio 2.15 Efectúa la diferencia (resta) de las siguientes cantidades. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

34 – 23 57 – 14 68 – 27 32 – 21 97 – 45 90 – 30 49 – 34 75 – 26 43 – 37 95 – 78

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

84 – 59 63 – 35 382 – 273 493 – 382 573 – 298 885 – 696 462 – 156 972 – 899 812 – 674 524 – 468

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

2 478 – 2 198 4 320 – 3 862 5 870 – 2 872 6 801 – 4 821 8 300 – 6 987 9 784 – 2 034 13 012 – 4 560 45 681 – 9 870 74 024 – 9 325 82 214 – 5 782

(31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40)

78 772 – 43 429 54 894 – 38 868 26 458 – 23 254 97 546 – 87 773 12 623 – 11 231 35 171 – 34 392 47 290 – 23 609 62 334 – 58 818 48 280 – 35 744 71 147 – 12 408

(41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50)

704 427 – 614 175 425 239 – 83 745 246 552 – 72 287 193 807 – 21 304 582 475 – 84 738 600 656 – 554 187 811 351 – 752 038 237 048 – 207 965 152 189 – 114 782 478 484 – 345 663

NÚMEROS DECIMALES

Ejercicio 2.16 Efectúa la resta de las siguientes cantidades. (1) 0.8 – 0.17 (2) 0.39 – 0.184 (3) 0.735 – 0.5999 (4) 8 – 0.3 (5) 19 – 0.114 (6) 46.2 – 7.23 (7) 104.56 – 6.478 (8) 65 – 8.97 (9) 148 – 0.50782 (10) 578.058 – 7.89 (11) 24.4089 – 2.456 (12) 128.03 – 79.025

(13) 315 – 0.786 (14) 814 – 0.00325 (15) 15 – 0.764 (16) 837 – 14.136 (17) 8.132 – 0.756432 (18) 7.208 – 0.08792101 (19) 587.0245 – 43.876 (20) 1 209 – 987.0254 (21) 4.0987 – 6.49 (22) 654.819 – 8.498 (23) 60 164.02 – 26.87 (24) 3 564.1941 – 2 679

(25) 4.16 – 2.4678 – 0.87 (26) 539.72 – 11.184 – 14.089 (27) 0.184 – 0.9345 – 0.54436 (28) 17.18 – 15.723 – 1.1071 (29) 56.32 – 51 – 0.00325 (30) 788.0 – 98.89 – 587.0649 (31) 2.151 – 1.565 – 0.0549816 (32) 48.97–0.4646 – 47.2406 (33) 70.25–24.5687 – 34.6654 (34) 456.02 – 27.05 – 4.056 (35) 204.03 – 58.97 – 45.23 (36) 937.4 – 380 – 193.50783

(37) 0.76+31.823 – 14 (38) 15.876+32 – 14.75 (39) 5.13+8.932 – 13.16 (40) 146.1+ 50.97 – 123.748 (41) 402.16 + 154.128 –514.78 (42) 2.45 + 63.28 – 38.709 (43) 87.05 + 79.06 –0.57981 (44) 0.258 + 0.587 – 1.0875 (45) 687.265 + 1.28 – 29.045 (46) 78.25+45.038 – 25.4009 (47) 5.23 + 5.0987 – 4.007908 (48) 4 078.98 + 21.08 – 3 05


1. Primero deben convertirse los mixtos a fracción. A los enteros se les coloca un 1 como denominador. 2. Si todas tienen el mismo denominador, sólo se restan los numeradores para obtener el numerador del resultado y el denominador será el mismo. 3. Si tienen denominadores distintos, se pasan todas al mismo denominador como en el ejercicio 1.32, y finalmente se resuelve como en el caso anterior. (Continúa en la página siguiente)

61

Mauricio E. Morón

4. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) 5. Si es fracción impropia (numerador mayor), convierte a mixtos (ver Ejercicio 1.26) Ejemplo:

3 41 − 31 =

13 4

− 31 =

39 12

4 = − 12

39 − 4 12

=

35 12

11 = 2 12

Ejercicio 2.17 Efectúa las siguientes restas de fracciones. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

4 − 1 5 5 11 − 5 14 14 17 − 7 20 20 8 3 − 15 15 9 5 − 16 16 1 − 1 2 6 3 1 − 10 5 7 − 1 12 4 11 − 7 8 24 3 2 − 7 49 3 1 − 12 8 7 6

93 83 (18) 120 − 150

1 (32) 8 56 − 5 12

(47) 10 − 5 34

101 97 − 171 (19) 114

5 (33) 9 78 − 2 24

(48) 14 − 13 15 17

(34) 10 56 − 2 79

7 (49) 16 − 2 10

1 (35) 12 32 − 7 11

3 (50) 18 − 3 11

7 − 2 40 (36) 6 23 30

1 (51) 20 − 4 20

1 (37) 11 38 − 5 24

1 (52) 21− 5 30

8 (38) 19 57 − 12 105

2 (53) 31− 6 35

11 7 − 5 60 (39) 14 45

11 (54) 40 − 35 42

(40) 9 61 − 7 32

(55) 16 35 − 6

(41) 8 81 − 2 34

(56) 1 78 − 1

6 7 − 14 25 (42) 25 50

(57) 18 92 − 6

(43) 80 38 − 53 59

(58) 20 34 − 14

5 − 101 79 (44) 115 27

− 16 (59) 27 17 19

(45) 9 − 4 21

− 18 (60) 35 23 25

2 3

(22) 13 −

7 8

1 (23) 16 − 11 2 (24) 25 − 13

11 7 − 16 (14) 12

(25) 30 −

7 24

(26) 32 −

17 80

(27) 81−

1 90

(28) 93 −

45 83

(29) 106 − 104 119

3 − 155

7 − (16) 80

(46) 12 − 1 79

9 (21) 9 − 10

− 78

7 62

3 (31) 7 35 − 4 10

(20) 8 −

11 − 14 (13) 10 15

(15)

11 2 (17) 150 − 175

(30) 6 56 − 3 61

1 90

ADICIÓN COMBINADA CON SUSTRACCIÓN EN LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

1. Primero deben convertirse los mixtos a fracción. A los enteros se les coloca un 1 como denominador. 2. Si todas tienen el mismo denominador, sólo se suman o se restan los numeradores para obtener el numerador del resultado y el denominador será el mismo. 3. Si tienen denominadores distintos, se pasan todas al mismo denominador como en el ejercicio 1.32, y finalmente se resuelve como en el caso anterior. 4. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) 5. Si es fracción impropia (numerador mayor), convierte a mixtos (ver Ejercicio 1.26) Ejemplo:

62

3 41 + 2 −

1 3

=

13 4

+

2 1

− 31 =

39 12

+

24 12

4 = − 12

39 + 24 − 4 12

=

59 12

11 = 4 12


Ejercicio 2.18 Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones. (1) 3 +

3 5

− 81

(2) 6 + 1 31 −

(9) 4 31 − 2 + 3 − 2 5

(10) 9 +

1 (3) 9 − 5 61 + 4 12

(4) 35 − 81 −

3 24

(12) 3 51 −

1 2

5 8

5 − 3 + 2 91 8 16 31 − 14 52 + 7 92 5 3 16 14 + 7 71 − 5 56

(25) 16 51 −

1 − 1 + 1 5 10 20 2 1 1 (26) 7 5 + 3 2 − 1 3 + 61 (27) 21 + 31 − 56 (28) 21 − 31 − 61 (29) 21 + 34 − 21 − 61 6 − 37 − 31 + 61 (30) 14 (31) 8 41 + 81 − 5 − 3 31 (32) 6 − 51 − 4 + 31

1 8

(18) 9 − 21 +

+3

(19)

1 6

+

1 3 1 − 1 2 8

(20) 50 − 6 +

7 −1 40 11 + 41 (13) 5 79 − 3 31 − 36 1 (14) 38 − 61 − 12 (15) 4 21 + 35 − 61 (16) 7 41 − 4 + 21

(6) 9 +

(8)

−

(17) 3 58 − 2 34 −

(11) 6 + 5 31 − 4 61 − 1 21

3 (5) 80 − 3 35 − 4 10

(7)

1 4

1 9

+

1 5

(21) 27 − 3 38 + 2 41 (22) 7 35 + 6 21 −

2 9 (23) 14 − 2 21 + 1 35 (24) 18 − 21 − 31 − 41

MULTIPLICACIÓN

NÚMEROS NATURALES

Ejercicio 2.19 Efectúa el producto (multiplicación) de las siguientes cantidades. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

332 × 3 212 × 4 634 × 2 321 × 4 927 × 5 904 × 3 497 × 4 757 × 6 438 × 7 952 × 8

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

842 × 59 673 × 35 382 × 27 493 × 38 573 × 29 885 × 694 462 × 152 972 × 893 812 × 671 524 × 463

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

2 478 × 298 4 320 × 362 5 870 × 872 6 801 × 421 8 300 × 698 9 784 × 4 203 3 012 × 4 560 5 681 × 9 870 7 024 × 9 325 8 214 × 5 782

(31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40)

78 772 × 3 429 54 894 × 8 969 26 458 × 3 254 97 546 × 7 763 12 623 × 5 231 35 171 × 34 392 47 290 × 23 609 62 334 × 58 818 48 280 × 35 744 71 147 × 12 408

(41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50)

704 427 × 4 175 425 239 × 8 245 246 552 × 72 287 193 807 × 21 304 582 475 × 84 738 698 656 × 594 187 815 351 × 752 038 737 798 × 297 965 452 669 × 954 782 345 643 × 478 484

NÚMEROS DECIMALES

Ejercicio 2.20 Efectúa la multiplicación de las siguientes cantidades. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

0.5 × 0.3 0.17 × 0.83 0.001 × 0.0001 8.34 × 14.35 16.84 × 0.003 24.08 × 5.287 845.21 × 6.21

(8) 7.003 × 5.004 (9) 134.786 × 0.1987 (10) 1 976.325 × 0.762438 (11) 5 ×0.7 (12) 14 ×0.08 (13) 478.0123 × 10.586 (14) 1 289 × 78.456

(15) 35 × 0.0009 (16) 143 × 0.00001 (17) 134 × 0.873 (18) 1 897 × 0.132 (19) 3 184 × 3.726 (20) 5.023 × 87.165 (21) 21.654 × 81.357

(22) 0.187 × 19 (23) 314.008 × 31 (24) 0.000001 × 8 939 (25) 0.76 × 5.0894 (26) 0.978 × 8.01 (27) 19.683 × 4.531 (28) 651.0984 × 2.065 63

Mauricio E. Morón (29) 9 102.1 × 25.38 (30) 43.091 × 2.254 (31) 87.521 × 1 524.8 (32) 642 × 18.16 (33) 860.61 × 135.125

(34) 14.5 × 0.187 (35) 3.11 × 39.0165 (36) 61.2 × 3.56419 (37) 114× 35.165 (38) 0.213 × 6.1561

(39) 2.6 × 3.16 (40) 41.0 × 9.51 (41) 715 × 2.7165 (42) 1.16 × 12.005 (43) 231.31 × 2.31120

(44) 27.45× 15.014 (45) 58.9 × 0.19516 (46) 87.1 × 1.891 (47) 9.819 × 0.1556 (48) 32.07 × 8.2116


1. 2. 3. 4. 5.

Primero deben convertirse los mixtos a fracción. A los enteros se les coloca un 1 como denominador. Para obtener el numerador del resultado se multiplican todos los numeradores. Para obtener el denominador del resultado se multiplican todos los denominadores. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) Si es fracción impropia (numerador mayor), convierte a mixtos (ver Ejercicio 1.26) Ejemplo:

1 21 × 4 × 52 = 32 × 41 × 52 =

3×4×2 2×1×5

=

24 10

4 =22 = 2 10 5

Ejercicio 2.21 Efectúa las siguientes multiplicaciones de fracciones. (1)

2 3

× 32

(9)

(2)

4 5

× 10 9

(3)

7 8

× 16 21

(4)

52 24

(5)

6 7

× 78 × 89

(17) 14 45 × 5 56

(25) 2 21 × 51 × 2

× 81 (10) 32 × 65 × 10 9

(18) 1 21 × 1 31 × 1 51

2 × 31 (26) 3 41 × 13

8 22 (11) 78 × 11 × 14 × 41

3 (19) 8 31 × 5 41 × 1 25

(27) 56 × 97 × 2 31

4 × 13

(12) 1 21 × 1 23

(20) 1 51 × 1 91 × 1 81 × 1 35

6 (28) 1 21 × 1 32 × 35

18 15

× 90 36

1 (13) 3 41 × 1 13

(21) 2 71 × 2 45 × 3 31 × 4 21

1 (29) 35 × 31 × 5 16

(6)

13 4

× 72 39

(14) 5 41 × 2 29

(22) 1 72 × 1 59 × 2 61 × 2 47

1 ×5 1 (30) 16 × 14 16 6

(7)

2 3

× 67 × 41

3 (15) 6 72 × 1 11

7 (23) 8 52 × 2 74 × 7 91 × 2 10

(31) 21 × 31 × 6

(8)

3 4

× 54 × 56

4 (16) 3 61 × 2 19

(24) 3 × 31 × 35

(32) 1 38 × 1 35 × 37

DIVISIÓN

NÚMEROS NATURALES

Ejercicio 2.22 Efectúa la división de las siguientes cantidades. (1) (2) (3) (4) (5) 64

336 ÷ 3 212 ÷ 4 634 ÷ 2 324 ÷ 4 925 ÷ 5

(6) 4 904 ÷ 3 (7) 3 497 ÷ 4 (8) 7 757 ÷ 6 (9) 9 438 ÷ 7 (10) 8 952 ÷ 8

(11) 842 ÷ 59 (12) 673 ÷ 35 (13) 382 ÷ 27 (14) 493 ÷ 38 (15) 573 ÷ 29

(16) 2 885 ÷ 69 (17) 5 462 ÷ 52 (18) 7 972 ÷ 93 (19) 7 812 ÷ 67 (20) 6 524 ÷ 43

(21) 42 478 ÷ 28 (22) 74 320 ÷ 32 (23) 52 870 ÷ 87 (24) 68 801 ÷ 42 (25) 81 300 ÷ 69

Ejercicios de Matemáticas 1 (26) 9 784 ÷ 203 (27) 3 012 ÷ 562 (28) 5 681 ÷ 871 (29) 7 024 ÷ 325 (30) 8 214 ÷ 782

(36) 835 171 ÷ 392 (37) 547 290 ÷ 609 (38) 662 334 ÷ 818 (39) 498 280 ÷ 744 (40) 731 147 ÷ 408

(31) 78 772 ÷ 429 (32) 54 894 ÷ 969 (33) 26 458 ÷ 254 (34) 97 546 ÷ 763 (35) 12 623 ÷ 231

(41) 74 427 ÷ 4 175 (42) 45 239 ÷ 1 245 (43) 26 552 ÷ 2 287 (44) 93 807 ÷ 1 304 (45) 52 475 ÷ 3 738

(46) 698 656 ÷ 4 187 (47) 815 351 ÷ 5 038 (48) 737 798 ÷ 9 965 (49) 452 669 ÷ 4 782 (50) 345 643 ÷ 8 48

NÚMEROS DECIMALES

Ejercicio 2.23 Efectúa la división de las siguientes cantidades (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

0.729 ÷ 9 0.0186 ÷ 93 0.00125 ÷ 500 0.132 ÷ 132 19.14 ÷ 175 110.054 ÷ 51 59.121 ÷ 113 39.012 ÷ 321 6.1 ÷ 29 5.135 ÷ 516 67 811.24 ÷ 13 7.36 ÷ 61

(13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24)

5 ÷ 0.5 16 ÷ 0.64 17 ÷ 0.143 154 ÷ 0.1415 1 318 ÷ 0.24567 11 379 ÷ 10.32 717 ÷ 18.546 134 810 ÷ 24.516 7 312 411 ÷ 16.84 176 313 ÷ 67.196 79 712 ÷ 165.54 19 ÷ 21.56

(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36)

0.9 ÷ 0.3 0.81 ÷ 0.27 0.64 ÷ 0.04 0.1284 ÷ 0.4 0.7248 ÷ 0.184 235.416 ÷ 165.16 8 313.814 ÷ 16.61 29.515 ÷ 46.1 934.427 ÷ 5.4 31.139 ÷ 2.22 9.7 ÷ 0.214 37 314.045 ÷ 0.37

(37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48)

0.86 ÷ 0.0043 31.63 ÷ 8.184 14.6 ÷ 3.156 8.3256 ÷ 14.3 9.183 ÷ 0.00012 41.456 ÷ 0.006 101.372 ÷ 0.005 432.743 ÷ 0.874 10.315 ÷ 0.1213 47.82 ÷ 0.899 1.071 ÷ 0.99 53.487 ÷ 0.025


1. Primero deben convertirse los mixtos a fracción. A los enteros se les coloca un 1 como denominador. 2. Para obtener el numerador del resultado se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda (producto cruzado). 3. Para obtener el denominador del resultado se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda (producto cruzado). 4. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) 5. Si es fracción impropia (numerador mayor), convierte a mixtos (ver Ejercicio 1.26) Ejemplo: 2 51 ÷ 3 =

11 5

3 = 1

÷

11×1 5×3

=

11 (El MCD es 1 porque no hay divisores comunes. Ya no es posible simplificar) 15

Ejercicio 2.24 Efectúa las siguientes divisiones de fracciones. (1)

3 5

7 ÷ 10

(5)

8 9

(9)

3 8

÷ 56

(13) 9 ÷ 32

(17)

(2)

5 6

÷ 32

(6)

6 11

5 ÷ 22

(10)

3 4

÷

4 3

(14) 6 ÷ 56

(18) 1 21 ÷ 2 31

(3)

7 8

÷ 14 9

(7)

5 12

÷ 34

(11) 8 ÷ 21

(15) 7 ÷ 35

(19) 2 31 ÷ 3 21

(4)

3 5

÷ 67

(8)

11 14

7 ÷ 22

(12) 15 ÷ 34

(16) 38 ÷ 5

(20) 3 41 ÷ 4 31

÷ 34

6 7

÷9

65

Mauricio E. Morón (21) 5 41 ÷ 6 51

9 (23) 2 35 ÷ 3 10

(25) 1 81 ÷ 3 35

(27) 7 34 ÷ 5 38

(29)

(22) 7 61 ÷ 8 71

6 ÷ 1 56 (24) 111

(26) 5 32 ÷ 8 21

(28) 8 34 ÷ 13 31

(30) 3 52 ÷ 1 32

3 4

÷ 32

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR POTENCIAS DE 10

Ejercicio 2.25 Efectúa las multiplicaciones y divisiones siguientes. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

66

0.4×10 0.5÷10 7.8×10 0.86÷10 0.324×10 0.125÷10 0.7654×10 3.43÷10 7.5×100 0.4÷100

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

0.103×100 3.18÷100 0.1234×100 16.134÷100 17.567×100 0.7256÷100 3.4×1000 2.5÷1000 0.188×1000 0.18÷1000

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

0.455×1000 7.123÷1000 0.188×1000 14.136÷1000 0.1×1000 3.6÷10 000 45.78×10 000 0.19÷10 000 8.114×10 000 3.125÷10 000

(31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40)

14.0176×10 000 0.7246÷10 000 0.4×100 000 0.7÷100 000 7.89×1 000 000 0.865÷100 000 0.724×1 000 000 723.05÷1 000 000 8.1234×10 000 000 815.23÷10 000 00


PROBLEMAS DE LAS OPERACIONES

PROBLEMAS ADITIVOS CON NÚMEROS ENTEROS, DECIMALES Y FRACCIONARIOS.

Ejercicio 2.26 Resuelve los siguientes problemas. (1) Bruno tiene 121 canicas, Paula 109, Ricardo 201, Carlos 24, Jorge 200, Vicente 354 y Martha 246. ¿Cuántas canicas poseen entre todos? (2) Sara tiene 8 muñecas, Lorena 19, Dora 17, Concha 12 y Teresa 21. En una fiesta, a cada una de ellas le obsequian 2. ¿Cuántas muñecas tienen entre todas? (3) Alberto compró en la tienda una caja de cereal por $ 29, un litro de leche por $ 8, un paquete de pan por $ 13, medio kilogramo de jamón por $ 35, un paquete de queso por $ 23 y una barra de chocolate por $ 7. ¿Cuánto pagó en total? (4) En una construcción se recibieron el día de hoy varios pedidos de ladrillos. A lo largo del día se descargó cinco veces el camión. El encargado de la obra anotó en su libreta las cantidades de ladrillos recibidos: 980, 1 223, 843, 902 y 1 510. Si el pedido llegó completo, ¿de cuántos ladrillos fue? (5) En una semana un chofer llevó su taxi a la gasolinera cinco veces. El lunes cargó 32 litros, el martes 15, el jueves 25, el viernes 23 y el domingo 17. ¿Cuántos litros cargó en la semana? (6) María, para saber cuánto recorrió con su coche nuevo en el primer mes, anotó los kilómetros semanalmente. La primera semana recorrió 270 kilómetros, la segunda 310, la tercera 183, la cuarta 201 y la quinta 93. ¿Cuántos kilómetros recorrió ese mes? (7) Julieta hizo este verano varios arreglos en su casa: compró nuevas plantas para su jardín, pintó la casa, barnizó la puerta, mandó lavar la alberca y cambió la alfombra de su cuarto, para lo cual pagó, respectivamente, $ 1 580, $ 5 723, $ 597, $ 1 467, $ 2 896. ¿Cuánto pagó en total? (8) En una primaria hay 67 alumnos en primero, 76 en segundo, 87 en tercero, 59 en cuarto, 65 en quinto y 90 en sexto. ¿Cuántos alumnos tiene en total? (9) Una escuela primaria quiere formar una biblioteca propia y para ello solicita a todos los alumnos que cooperen con los libros que tengan en su casa y no usen. Los alumnos de primero colaboraron con 145 libros, los de segundo con 183, los de tercero con 97, los de cuarto con 245, los de quinto con 136 y los de sexto con 194. ¿Cuántos libros reunieron los alumnos en total? (10) Un hombre que nació en 1911 se casó a los 25 años; 3 años después nació su primer hijo y murió cuando el hijo tenía 27 años. ¿En qué año murió? (11) Eduardo tenía 326 conejos en su granja y vendió 149. ¿Cuántos le quedaron? (12) De la Ciudad de México a Chihuahua hay 1 446 kilómetros, pasando por Zacatecas. Si de Zacatecas a Chihuahua hay 840, ¿cuántos kilómetros hay de la Ciudad de México a Zacatecas? (13) Un automóvil que viajaba a 35 km/h acelera hasta alcanzar una velocidad de 120 km/h. ¿Cuánto se incrementó su velocidad? (14) Para pagar una cuenta de $ 570, Carlos utiliza dos billetes de $ 500. ¿Cuánto le devolverán de cambio? (15) Un tanque de agua, cuya capacidad es de 1 500 litros, contiene solamente 685 litros. ¿Cuánta agua es necesaria para que se llene sin que se derrame? (16) Si han transcurrido 197 días de un año bisiesto, ¿cuántos faltan por transcurrir? (17) José debía en una de sus tarjetas de crédito $ 14 376. Si hace un abono (paga una parte de lo que debe) de $ 5 780, ¿a cuánto se reduce su deuda? (18) En la cooperativa escolar hubo esta semana un ingreso (ventas) de $ 42 986 y un egreso (gastos) de $ 37 792, ¿cuál fue la ganancia? (19) Tenía ahorrados $ 756 854, compré un auto y sobraron $ 439 512. ¿Cuánto costó el auto? (20) La familia González viaja de una ciudad a otra y ya ha recorrido 357 kilómetros. Si la distancia entre las dos ciudades es de 793 kilómetros, ¿cuánto les falta por recorrer? (21) Después de gastar $ 319 me quedaron $ 615. ¿Cuánto tenía al principio? 67

Mauricio E. Morón (22) Para trasladarse de una ciudad a otra una persona ha recorrido: 339 km en autobús; 41 km en taxi; en avión 621 km más que en autobús; y en ferrocarril 213 km más que en autobús y en taxi. Si todavía le faltan 127 km para llegar a su destino, ¿cuál es la distancia entre las dos ciudades? (23) Pedro tiene $ 5.64, Juan $ 2.37 más que Pedro y Enrique $ 1.15 más que Juan. ¿Cuánto tienen entre los tres? (24) Un hombre se compró un traje, un sombrero, un bastón y una billetera. Ésta le costó $ 3.75; el sombrero le costó el doble de lo que pagó por la billetera; el bastón $ 1.78 más que el sombrero, y el traje 5 veces lo que la billetera. ¿Cuánto pagó en total? (25) Se adquiere un libro por $ 4.50; un par de zapatos por $ 2 menos que el libro; una pluma fuente por la mitad de lo que costaron el libro y los zapatos. ¿Cuánto le sobrará al comprador después de haber hecho estos pagos, si tenía $ 15.83? (26) Tenía $ 14.25 el lunes; el martes cobré $ 16.89; el miércoles cobré $ 97 y el jueves pagué $ 56.07. ¿Cuánto me queda? (27) Un muchacho que tiene $ 65.70 quiere reunir $ 375.50. Pide a su padre $ 175.20 y éste le da $ 17.10 menos de lo que le pide; pide a un hermano $ 30.40 y éste le da $ 15.30 más de lo que le pide. ¿Cuánto le falta para obtener lo que desea? (28) Un comerciante hace un pedido de 3000 kg de mercancías y se lo envían en cuatro partidas. En la primera le mandan 71.45 kg; en la segunda, 40 kg más que en la primera; en la tercera, tanto como en las dos anteriores y en la cuarta 10 restante. ¿Cuántos kg le enviaron en la última partida? (29) Un camión conduce cinco paquetes de mercancías. El primero pesa 72.675 kg; el segundo, 8 kg menos que el primero; el tercero, 6.104 kg más que los dos anteriores juntos, y el cuarto tanto como los tres anteriores. ¿Cuál es el peso del quinto paquete si el peso total de las mercancías es 960.34 kg? (30) Se reparte una herencia entre tres personas. A la primera le corresponden $ 1245.67; a la segunda el triple de lo de la primera más $ 56.89; a la tercera, $ 76.97 menos que la suma de lo de las otras dos. Si además, se han separado $ 301.73 para gastos, ¿a cuánto ascendía la herencia? (31) El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879.002 kg. El primer depósito contiene 18.132 kg menos que el segundo; el segundo, 43.016 kg más que el tercero; y el tercero, 78.15 kg más que el cuarto. Halla el peso del agua contenida en cada depósito. (32) Tres cajas contienen mercancías. La primera y la segunda pesan 76.580 kg; la segunda y la tercera 90.751 kg, y la primera y la tercera 86.175 kg ¿Cuánto pesa cada caja? (33) Un hombre camina 4 21 km el lunes, 8 32 km el martes, 10 km el miércoles y 58 de km el jueves. ¿Cuánto ha recorrido en los cuatro días? (34) Pedro ha estudiado 3 32 horas, Enrique 5 34 horas y Juan 6 horas. ¿Cuánto han estudiado los tres juntos? (35) En una competencia, cinco ciclistas salieron al mismo tiempo y del mismo lugar; pero después de 55 minutos tenían diferentes posiciones. El ciclista A había recorrido

2 3

del total, el B había avanzado una

cuarta parte, el C se encontraba en la mitad del camino, el D había avanzado

5 6

del total y el E estaba a

3 8

de alcanzar la meta. ¿Quién iba en primer lugar y quién en último? Si el total del recorrido es de 48 km, ¿cuántos kilómetros le faltan a cada competidor para alcanzar la meta? (36) Un campesino ha cosechado 2500 kilos de papas, 250 81 de trigo y 180 29 de arroz. ¿Cuántos kilos ha cosechado en conjunto? 1 y 180 libras respectivamente. ¿Cuánto pesan entre los (37) Cuatro hombres pesan 150 34 , 160 58 , 165 12 cuatro? (38) Pedro tiene 22 92 años, Juan 6 31 años más que Pedro y Matías tanto como Juan y Pedro juntos. ¿Cuánto suman las tres edades? (39) Si tengo $ 78 , ¿Cuánto me falta para tener $ 1? (40) Una calle tiene 50 32 m de longitud y otra 45 58 m. ¿Cuántos metros tienen las dos juntas y cuánto falta a cada una de ellas para tener 80 m de largo? (41) Un hombre gana mensualmente $ 200. Gasta $ 50 92 en alimentación de su familia; $ 60 en alquiler y $ 18 38 en otros gastos. ¿Cuánto puede ahorrar mensualmente?

68

Ejercicios de Matemáticas 1 (42) Tres jóvenes se comieron todas las rebanadas de pan que había sobre la mesa. Uno de ellos dijo: “Yo me comí 31 del total de las rebanadas”. Otro comentó: “Yo tomé 21 de las rebanadas que me dejaron”, el último dijo haber tomado las tres rebanadas que quedaban. ¿Cuántas rebanadas de pan había inicialmente? (43) Un hombre emplea 58 del día en trabajar; ¿qué parte del día descansa? (44) Un niño emplea la cuarta parte del día en estudiar; la sexta parte en hacer ejercicios y la novena en divertirse. ¿Qué parte del día le queda libre? (45) Un hombre vende 31 de su finca, alquila 81 y lo restante lo cultiva. ¿Qué porción de la finca cultiva? (46) Para pintar una barda se compró una cubeta de 19 litros de pintura. Si al pintar la cuarta parte del área se habían gastado 4 64 litros, ¿se completará el trabajo con esa cubeta? ¿Cuánta pintura faltará o sobrará? (47) Ana perdió (48) Los

3 8

1 5

de mi dinero y prestó

de una finca se venden,

2 5

1 8

de lo que le quedaba. ¿Qué parte de mi dinero le queda?

del resto se siembran de caña y el resto de tabaco. ¿Qué parte de la

finca se siembra de tabaco?

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS CON NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONARIOS

Ejercicio 2.27 Resuelve los siguientes problemas. (1) Una escuela compró 8 computadoras nuevas para su centro de cómputo. Si por cada computadora pagó $ 7 684, ¿cuánto pagó en total? (2) Si en mi auto recorro 78 kilómetros en una hora, ¿cuánto recorreré en 7 horas si no cambio la velocidad? (3) Un agricultor vende en el mercado 785 kilogramos de jitomates. Si cada kilogramo lo vende en $ 23, ¿cuánto dinero debe recibir? (4) En la escuela secundaria “Julio Zárate” hay 48 alumnos en cada grupo. Si hay 29 grupos en total, ¿cuántos alumnos hay en la escuela? (5) En una bodega hay 267 cajas de libros. Si cada caja contiene 135 libros, ¿cuántos libros se tienen en total? (6) Luis compró un automóvil en un plan de 24 mensualidades sin enganche y sin intereses. Si cada mensualidad es de $ 8 567, ¿cuánto costó el vehículo? (7) Javier es jardinero en una casa, y le pagan $ 145 por cada día de trabajo. Si trabaja de lunes a sábado, ¿cuánto le pagan a la semana? (8) Celia compró una lavadora para su casa en un plan de 18 mensualidades iguales, cada una de $ 465. ¿Cuánto pagará en total por su lavadora? (9) Un albañil, que hace 6 metros cuadrados de pared por un día, ha empleado 8 días en hacer un trabajo. Si le pagan a $ 45 cada metro cuadrado construido, ¿cuánto debe recibir? (10) Una farmacia compra a su proveedor 735 cajas de aspirinas. Cada caja le cuesta $ 13. Si vende cada caja a $ 17, ¿cuánto le pagó al proveedor y cuál es su ganancia total? (11) Se tienen 3 480 refrescos embotellados y se desea colocarlos en cajas. Si cada caja tiene espacio para 24 botellas, ¿cuántas cajas se necesitan? (12) Un batallón militar desea transportar 1 345 soldados en camiones. Si a cada camión le caben 36 soldados, ¿cuántos camiones serán necesarios? (13) Para construir un muro en la escuela, se necesitan 9 096 ladrillos, los cuales serán donados en partes iguales por los alumnos. Si hay 758 alumnos, ¿cuántos ladrillos deberá donar cada alumno? (14) En una fábrica de calzado se producen mensualmente 47 580 pares. ¿Cuál es la producción diaria, si todos los días se produce el mismo número de pares? Considera que el mes tiene 30 días. (15) En un rancho se producen 3 556 litros diarios de leche. Si cada vaca produce 14 litros diarios, ¿cuántas vacas productivas tiene el rancho? (16) Gabriel compró un refrigerador de $ 6 789 en un plan de 18 mensualidades sin intereses. ¿Cuánto deberá pagar mensualmente? (17) Isabel se dedica a hacer bocadillos para vender por pedido. Un día le encargaron 1 500 bocadillos y los entregó en charolas a las que le caben 35 bocadillos a cada una. ¿Cuántas charolas entregó? 69

Mauricio E. Morón (18) En una casa viven 7 estudiantes y pagan $ 5 530 de renta mensual. Si la renta se la reparten de forma que todos paguen lo mismo, ¿cuánto paga de renta cada uno al mes? (19) Antonio pagó el mes pasado $ 852 por las llamadas que hizo de su celular. Si en total habló 284 minutos, ¿en cuanto le cobraron cada minuto? (20) Para colocar una cerca en un rancho a lo largo de 432 metros se van a requerir postes cada 3 metros. ¿Cuántos postes serán necesarios? (21) ¿Cuántos días se necesitan para hacer 360 metros de una obra si se trabajan 8 horas al día y se hacen 5 metros en una hora? (22) Para la compra de un automóvil se hizo un pago inicial (enganche) de $ 250 000, 2 pagos anuales (anualidades) de $ 150 000 y 18 pagos mensuales (mensualidades) de $ 50 000. ¿Cuál fue el costo total del automóvil? (23) Para tomar un curso de dos años se pagan mensualidades de $ 378 cada una. ¿Cuál es el costo total del curso? (24) Una colección de libros se adquiere pagando 12 mensualidades de $ 1 400 y un enganche de $ 2 400. ¿Cuál es el costo total de la colección? (25) Juan gana $ 123 por día de trabajo y trabaja 6 días a la semana. Si gasta $ 550 a la semana, ¿cuánto puede ahorrar en 9 semanas? (26) Se pagan en total $ 1 260 por 42 libros, de los cuales se vende cierto número a $ 50 cada uno, reuniendo en total $ 950. ¿Cuántos libros sobran y cuánto se le ganó a cada uno de los que se vendieron? (27) Una persona compra cierto número de caballos por $ 874 500 a $ 16 500 cada uno. Vendió 40 caballos por $ 760 000. ¿Cuántos caballos le quedan y cuánto ganó en cada uno de los que vendió? (28) Un comerciante compra 14 barriles de harina, 20 sacos de arroz y 7 sacos de frijol. Después vende cada barril de harina a $ 183, cada saco de arroz a $ 115, y cada saco de frijol a $ 95. Al vender, pierde $ 3 por cada barril de harina, gana $ 15 por cada saco de arroz y gana $ 12 por cada saco de frijol. ¿Cuánto le costó cada barril de harina, cada saco de arroz y cada saco de frijol? ¿Cuánto pagó en total? (29) A $ 78 el kg de una mercancía, ¿cuánto valen 8 kg y cuánto valen 12 kg? (30) Un reloj se adelanta

3 7

de minuto en cada hora. ¿Cuánto se adelantará en 5 horas; en medio día; en una

semana? (31) Se tienen $ 86. Si se compran 3 libros de $ 1 81 cada uno y seis objetos de $

7 8

cada uno, ¿cuánto queda?

(32) Para hacer un metro de una obra, un obrero emplea 6 horas. ¿Cuánto empleará para hacer 14 32 metros? 5 metros? ¿Y 18 33

(33) Se compran tres sombreros a $ 2 35 cada uno; seis camisas a $ 3 34 cada una. Si se paga con un billete de $ 50, ¿cuánto regresan? (34) Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes iguales de 5 32 metros de longitud, ¿cuánto falta a lo que queda para tener 31 58 metros? (35) Se compran 10 libros de $

cada uno y se entregan en pago 2 metros de tela a $ 1 58 el metro, ¿cuánto se

4 5

debe? 3 cada uno. ¿Cuánto ganó? (36) José Luis compró 16 caballos a $ 80 51 cada uno y los vendió a $ 90 10 (37) Un saco de naranjas cuesta $

11 10

. ¿Cuánto se pagará por tres docenas de sacos?

(38) Se tienen $ 25 y se hacen compras por los (39) Un hombre es dueño de los

2 5

6 5

de esta cantidad, ¿cuánto se debe?

de una finca y vende la mitad de su parte. ¿Qué parte de la finca le queda?

(40) Si un auto anda 60 km en una hora, ¿cuánto andará en

3 5

, en

1 8

, en

2 11

y en

7 9

de hora?

(41) ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en él los (42) En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los (43) De una finca de 20 hectáreas, se venden los

2 5

7 18

y se alquilan los

3 4

6 7

del contenido?

del total. ¿Cuántos varones hay? del resto. ¿Cuánto queda?

2 (44) Diez obreros pueden hacer 14 11 m de una obra en una hora. ¿Cuántos metros hace cada obrero en ese

tiempo?

70

Ejercicios de Matemáticas 1 7 (45) Un hombre puede hacer una obra en 18 36 días. ¿Qué parte de la obra puede hacer en 5 31 días?

(46) La distancia entre dos ciudades es de 140 km. ¿Cuántas horas debe andar un hombre que recorre los de dicha distancia en una hora, para ir de una ciudad a la otra? (47) ¿Cuántas varillas de 41 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de

5 12

3 14

metros de largo?

(48) ¿Entre cuántas personas se pueden repartir $ 50 de forma que a cada una se le dé $ 1 32 ? (49) Si un kilogramo de frijoles cuesta los comprar 15 de manteca? (50) Si en 20 minutos estudio los

2 3

3 4

de uno de manteca, ¿con cuántos kilogramos de frijoles podré

de una página de un libro, ¿en cuánto tiempo podré estudiar 10 páginas?

(51) Una tubería vierte en un estanque 200 litros de agua en

3 4

de hora y otra 300 litros en el mismo tiempo.

¿Cuánto vierten las dos juntas en dos horas? (52) La edad de María es 21 de los 32 de la de Juana. Si Juana tiene 24 años, ¿cuántos tiene María?

71


EJE 2 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA SIMETRÍA Y TRAZOS

MEDIATRIZ

Recuerda que la mediatriz es una recta perpendicular a otra en su punto medio. Para trazar la mediatriz recurriremos al compás y la regla: 1. Supongamos que tenemos una recta cualquiera

AB y queremos trazar su mediatriz.

4. Repetimos el paso anterior pero apoyados en el otro extremo B haciendo que esta vez los arcos crucen los que se trazaron en le paso anterior. Llamaremos C y D a los puntos hallados.

2. Tomamos nuestro compás y le damos una abertura mayor a la mitad de nuestro segmento.

3. Apoyamos el compás en uno de los extremos de la recta A y marcamos un arco de cada lado de la recta aproximadamente por donde calculemos que pasará la mediatriz.


73

Mauricio E. Morón

5. Los puntos C y D son los puntos por los que ha

6. Finalmente tenemos la mediatriz del segmento

AB .

de pasar la mediatriz CD . Los unimos con la regla.

Ejercicio 2.28 Traza los segmentos cuyas medidas se indican y su mediatriz. (1) 7.4 cm (2) 15.8 cm (3) 10.7 cm

(4) 9.1 cm (5) 13.9 cm (6) 18.5 cm

(7) 17.3 cm (8) 15.4 cm (9) 17.1 cm

(10) 133 mm (11) 124 mm (12) 57 mm

(13) 71 mm (14) 87 mm (15) 193 mm

BISECTRIZ

Recuerda que la bisectriz es una recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Para trazar la bisectriz recurriremos al compás y la regla: 1. Supongamos que tenemos un ángulo cualquiera ∠AOB y queremos trazar su bisectriz. B

2. Tomamos nuestro compás y le damos una abertura mayor a la mitad de alguno de los lados del ángulo, por ejemplo OB , y trazamos un arco que lo corte. Al punto de cruce le llamaremos C.


74


3. Repetimos el paso anterior pero trazando un arco que corte al otro lado del ángulo, en nuestro ejemplo OA . Al punto de cruce le llamaremos D.

6. El punto E es por donde deberá pasar la bisectriz. Con la regla unimos el punto O con el punto E, es decir, se traza la recta OE .

7. Finalmente tenemos la bisectriz del ángulo ∠AOB . 4. Con la misma abertura del compás y apoyándolo en C, trazamos un arco opuesto al vértice (frente a él).

5. Repetimos el paso anterior pero ahora apoyando el compás en D, de manera que corte al arco trazado en el paso anterior. Este punto donde se cruzan los arcos le llamaremos E.

Ejercicio 2.29 Traza los ángulos que se indican y su bisectriz. (1) 28° (2) 150° (3) 52°

(4) 14° (5) 76° (6) 83°

(7) 22° (8) 80° (9) 97°

(10) 90° (11) 177° (12) 124°

(13) 153° (14) 49° (15)116° 75

Mauricio E. Morón

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

TRAZO DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA (SIN LA MEDIDA DEL LADO).

Le llamamos poligonal a una figura formada por varias líneas rectas llamadas lados. Si se trata de una poligonal cerrada (el último lado se une con el primero) se le llama polígono. Y si todos sus lados son iguales se dice que es regular. Los polígonos regulares de hasta 20 lados reciben los siguientes nombres: Lados

Nombre

Lados

Nombre

Lados

Nombre

3 4 5 6 7 8

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono

9 10 11 12 13 14

Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono Triskaidecágono Tetradecágono

15 16 17 18 19 20

Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octadecágono Eneadecágono Icoságono

Para trazar un polígono regular a partir de una circunferencia, usando regla, compás y transportador: 1. Sobre un punto llamado O y con cualquier abertura del compás, se traza una circunferencia.

3. Dividimos los 360° de la circunferencia entre el número de lados del polígono. Para este ejemplo supongamos que será un pentágono (5 lados):

360° 360° = = 72° n 5 4. Con ayuda del transportador, medimos sobre el radio el ángulo obtenido y trazamos otro radio OB .

2. Con la regla, trazamos el radio OA (recuerda que es la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia).


76


5. Le damos una abertura al compás igual a la medida entre A y B..

6. Marcamos, apoyados en B, un arco que corte a la circunferencia (hacia el otro lado de A).

8. Con la regla unimos todos los puntos que marcamos sobre la circunferencia hincando con A y B.

7. Apoyando el compás en el punto donde el arco del paso anterior cruzó la circunferencia y trazamos otro arco que corte la circunferencia. Repetimos este paso hasta haber dado toda la vuelta.

9. Finalmente tenemos la figura que queríamos. Es conveniente colorearla.

Ejercicio 2.30 Traza todos los polígonos que se indican en la tabla, desde 1 hasta 20 lados. 77

Mauricio E. Morón

TRAZO DE POLÍGONOS REGULARES A PARTIR DE LA MEDIDA DEL LADO.

Para trazar un polígono regular a partir de una circunferencia conociendo la medida del lado, podemos seguir el siguiente procedimiento utilizando regla y compás: 1. Trazar una recta y dividirla en partes iguales de acuerdo con el número de lados deseado para el polígono. Marcar el centro con O.

4. Repetir el paso anterior pero apoyando el compás en el otro extremo de la recta.

2. Con una abertura del compás igual a la mitad de la longitud de la recta y apoyado en O trazar una circunferencia. 5. Trazar una recta desde B y que pase por el punto marcado con el número 2 (para cualquier número de lados siempre es el 2) hasta cortar la circunferencia. Este punto donde cruza será C.

3. Con una abertura del compás igual a la longitud de la recta y apoyado en A trazar un arco como se muestra.


78

Ejercicios de Matemáticas 1 6. Con la regla unimos los puntos A y C.

9. Le damos al compás una abertura igual a la medida del lado que deberá tener el polígono, y apoyándolo en A trazar un pequeño arco que corte al segmento AC . Este punto donde cruza será D.

7. Le damos al compás una abertura igual a la distancia entre A y C.

10. Con la misma abertura y apoyando el compás en D, se traza un arco de ¼ de circunferencia (aprox.) de manera que corte a la recta del primer paso. Este punto donde cruza será E.

8.

Igual que en el ejercicio 2.30, marcamos alrededor de la circunferencia arcos que la corten.

11. Con la misma abertura pero apoyando ahora el compás en E, se traza un pequeño arco que corte a la recta del primer paso. Este punto donde cruza será F.


79

Mauricio E. Morón 12. Dar al compás una abertura igual a la longitud del segmento DF .

15. Con una abertura del compás igual a la distancia entre O y H, y apoyando el compás en O (el centro), trazar una circunferencia.

16. Unir el centro con todos los puntos marcados sobre la circunferencia mayor. Estas líneas serán llamadas radios junto con OA y OC . 13. Con esta abertura DF y apoyándose en E, trazar un pequeño arco que corte al arco que pasó anteriormente por E. Este punto donde cruza será G.

17. Unir todos los puntos donde los radios cruzaron a la circunferencia menor.

14. Trazar una línea que una los puntos D y G. Esta línea DG deberá cruzar la línea BC y el punto de cruce será H.

18. Finalmente se tiene la figura con la medida de lado deseada. Es recomendable colorearla.

80


Ejercicio 2.31 Traza todos los polígonos que se indican: (1) (2) (3) (4)

Pentágono de 3 cm de lado. Hexágono de 2.5 cm de lado Octágono de 2 cm de lado. Eneágono de 2 cm de lado

(5) (6) (7) (8)

Triángulo de 4 cm de lado. Cuadrado de 5 cm de lado. Pentágono de 4 cm de lado. Decágono de 1.5 cm de lado.

(9) (10) (11) (12)

Hexágono de 4 cm de lado. Endecágono de 2 cm de lado. Octágono de 3 cm de lado. Heptágono de 3 cm de lado.

81

Mauricio E. Morón

PERÍMETROS Y ÁREAS

PERÍMETROS

CÁLCULO DE PERÍMETRO.

Ejercicio 2.32 Encuentra el perímetro de las siguientes figuras midiendo la longitud de sus lados en centímetros. Traza las figuras que no se muestren.

(1)

(4)

(7)

(10)

(2)

(5)

(8)

(11)

(3)

(6)

(9)

(12)

(13) (14) (15) (16) (17)

Heptágono regular de 14 mm de lado Círculo de 1.2 cm de radio Octágono regular de 1.8 cm de lado Rectángulo de 45 mm de base y 32 mm de altura Cuadrado de 6 cm de lado

(18) Rombo con diagonales 15 mm y 36 mm (19) Trapecio con base mayor de 57 mm, base menor de 42 mm y altura de 29 mm (20) Círculo con 46 mm de diámetro. (21) Triángulo equilátero de 67 mm de lado.

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD.

La unidad de medida de longitud es el metro, que se representa con “m”; pero a veces se utilizan múltiplos y submúltiplos, y se escribe un prefijo antes de metro. Como verás a continuación, el prefijo sólo es un nombre para designar un número. Así, nos dice una cantidad de metros. (Continúa en la siguiente página)

82


Los prefijos más comunes son: Múltiplos: Dm Hm km Mm

Submúltiplos:

Decámetro Hectómetro Kilómetro Megametro

Significa 10 m dm decímetro Significa décima (0.1) de metro Significa 100 m cm centímetro Significa centésima (0.01) de metro Significa 1 000 m mm milímetro Significa milésima (0.001) de metro Significa 1 000 000 m

Para hacer conversiones se usa la regla de tres. También se puede utilizar la siguiente escala gráfica, contando únicamente las posiciones y recorriendo el punto decimal en la misma forma en que se cuenten las posiciones (ya sea a la derecha o a la izquierda). Como el Mm equivale a 1 000 km, se consideran tres posiciones al pasar de Mm a km ó de km a Mm.

Ejemplo:

48 dm a km

48 dm = 0.0048 km

→ Usando la regla de tres: primero convertimos de dm a m y luego de m a km: 1 dm 0.1 m 48 dm ?

1 km 1 000 m ? 4.8 m

(48 × 0.1 = 4.8; 4.8 ÷ 1 = 4.8)

(4.8 × 1 = 4.8; 4.8 ÷ 1 000 = 0.0048)

→ Usando la gráfica, partiendo de dm son 4 posiciones a la izquierda para llegar a km.

4

Por lo tanto:

.

3

2

1

.

48 dm = 0 0048 km 4 posiciones

Ejercicio 2.33 Convierte las unidades de longitud. (1) (2) (3) (4) (5)

8 m a dm 15 Dm a cm 7.05 Hm a cm 17.005 km a dm 12.59789 Mm a mm

(6) (7) (8) (9) (10)

19 mm a m 185 cm a Dm 9 cm a m 1 824.72 m a km 193 456.8 Hm a Mm

(11) (12) (13) (14) (15)

14 m a cm 8 dm a mm 219 Hm a dm 7.001 km a m 94.56 Mm a Hm

(16) 81 Dm a Hm (17) 7 cm a Mm (18) 35.762 Dm a mm (19) 1 915 m a Hm (20)18.0035 m a mm 83

Mauricio E. Morón

ÁREAS

CÁLCULO DE ÁREA.

Ejercicio 2.34 Encuentra el área de las siguientes figuras usando la tabla de fórmulas que se te proporciona y midiendo en milímetros lo que sea necesario. Figura Triángulo Rectángulo y romboide Cuadrado Rombo Trapecio Polígono regular Círculo

FORMULARIO DE ÁREAS Área Base × Altura / 2 Base × Altura Lado al cuadrado Diagonal al cuadrado / 2 Diagonal mayor × Diagonal menor / 2 (Base mayor + Base menor) × Altura / 2 Perímetro × Apotema / 2 π × Radio al cuadrado π × Diámetro al cuadrado / 4

(4)

(8)

(5)

(9)

Fórmula b×h/2 b×h 2 l 2 d /2 D×d/2 (B + b) × h / 2 P×a/2 2 π×r 2 π×d /4

(1)

(2) (6) (10)

(3) (12) (13) (14) (15)

(7)

Triángulo de 90 cm de base y 87 cm de altura. Cuadrado de 8 cm de lado. Círculo con 78 cm de diámetro. Rombo cuya diagonal mayor es de 15 cm y cuya diagonal menor es de 7.4 cm. (16) Octágono regular de 15 cm de lado y 18.11 cm de apotema (17) Romboide con 76 cm de base y 34 cm de altura. 84

(11) (18) Semicírculo de 87 cm de diámetro. (19) Trapecio con base mayor 57 m, base menor 43 m y altura 10 m. (20) Hexágono regular de 4 cm de lado y apotema 3.46 cm. (21) Decágono regular de 72 m de lado y 110.79 m de apotema. (22) Rombo cuyas diagonales son 45 m y 67 m.


CONVERSIÓN DE UNIDADES DE ÁREA.

2

La unidad de medida de superficie es el metro cuadrado, que se representa con “m ”. Se usan los mismos prefijos que en unidades de longitud, pero sus valores están elevados al cuadrado (segunda potencia). Ver ejercicio 4.15. Para hacer conversiones usa la regla de tres, pero los valores del ejercicio 2.33 se usan elevados al cuadrado: También se puede utilizar la siguiente escala gráfica, contando dobles las posiciones y recorriendo el punto decimal en la misma forma en que se cuenten las posiciones (ya sea a la derecha o a la izquierda).

2

Nota: En el caso de las hectáreas (Ha). Una Ha equivale a un Hm . 2

Ejemplo:

48 dm a km

2

2

48 dm = 0.00000048 km

2 2

2

2

2

→ Usando la regla de tres: primero convertimos de dm a m y luego de m a km : 2

2

2

0.1 = 0.01

2

1 dm 0.01 m 2 48 dm ?

1 km ?

(48 × 0.01 = 0.48; 0.48 ÷ 1 = 0.48)

2

1 000 000 m 2 0.48 m

1 000 = 1 000 000

2

(0.48 × 1 = 0.48; 0.48 ÷ 1 000 000= 0.00000048)

→ Usando la gráfica, contando doble, partiendo de dm son 8 posiciones a la izquierda para llegar a km.

8

Por lo tanto:

.

6

4

2

.

48 dm = 0 00000048 km 8 posiciones

Ejercicio 2.35 Convierte las unidades de superficie. (1) (2) (3) (4) (5)

2

2

9 m a dm 2 2 37 Dm a cm 2 2 9 Hm a m 2 2 56 km a m 2 2 7.85 Hm a mm

(6) (7) (8) (9) (10)

2

2

13.456 Dm a mm 2 2 7893.25 Hm a cm 2 2 7.8965 km a Dm 2 2 9 mm a cm 2 2 57 mm a dm

(11) (12) (13) (14) (15)

2

2

1 234 cm a Dm 2 2 1 089 m a Hm 2 2 23.56 m a km 2 2 7.001 km a m 2 2 12 345.7 Dm a Mm

2

(16) 789.004 cm a Dm 2 (17) 1 234 Ha a km 2 (18) 7.001 km a Ha 2 2 (19) 8.7 m a Dm 2 (20)187.35 m a Ha

2

85



Sofía va a llenar bolsas con dulces que contengan exactamente el mismo número de dulces cada una. Si tiene 48 caramelos, 36 paletas y 24 chocolates. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede formar?

5.

El periodo (tiempo) de rotación de Marte es de aproximadamente 24.6 hrs. terrestres. Este tiempo es equivalente a: A) 246 minutos. B) 2 460 minutos. C) 24 horas 6 minutos. D) 24 horas 36 minutos.

3.

4.

Elige la opción en la que las instrucciones están en el orden correcto para realizar el trazo.

Adriana se encontró en su libro con el siguiente problema: “El área de un rectángulo es de 36.21 m2 y su base es de 10.2 m” ¿Cuál es la medida de la altura? A) 3.20 m B) 3.55 m C) 3.62 m D) 4.02 m

A) 3, 5, 1, 4, 2 B) 1, 2, 4, 5, 3 C) 4, 2, 5, 3, 1 D) 2, 1, 4, 3, 5 6.

¿En cuál de las siguientes divisiones se representa el procedimiento correcto para dividir 912.75 entre 1.5? A)

Al recibir su sueldo, Luis pagó $ 12 942 por unos boletos para viajar y sólo le quedaron $4 328 para otros gastos. ¿Cuánto dinero había recibido Luis de sueldo? A) $16 170 B) $16 270 C) $17 170 D) $17 270

B) 7.

C)

A continuación se presenta una serie de instrucciones para trazar una perpendicular a una recta, pero las instrucciones están desordenadas. 1. Haciendo centro en el punto A, traza una circunferencia con un radio igual a AB. 2. Localizar los puntos en donde se intersectaron las dos circunferencias que dibujaste y traza una línea recta que pase por estos puntos. 3. Traza una línea recta y localiza sobre ella dos puntos, identifica cada punto con las letras A y B respectivamente. 4. Haciendo centro en el punto B, traza una circunferencia de radio AB. 5. Abre el compás hasta una abertura igual a la distancia que hay entre A y B.

A) 3 B) 6 C) 12 D) 24 2.

REVISIÓN

D)

Con la operación 16 296 ÷ 42, ¿cuál de estos problemas se puede resolver? A) Se venden 16 296 bultos de cemento a $ 42 cada uno. ¿Qué cantidad de dinero se junta por el total de la venta? B) Ana ahorró $ 16 296 y gastó $ 42. ¿Cuánto dinero le queda? C) 42 personas compraron un boleto de lotería y ganaron un premio de $ 16 296. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno? D) Un trailer lleva 16 296 cajas de aguacate y 42 cajas de jitomates. ¿Cuántas cajas lleva en total? 87


9.

Después de realizar la cosecha de una propiedad comunal, los 18 640 elotes cosechados fueron repartidos en partes iguales entre 20 campesinos. ¿Cuántos elotes le tocaron a cada campesino?

12. Observa la siguiente recta numérica:

A) 950 B) 932 C) 572 D) 482

¿Cuáles son las flechas que indican la ubicación de los números decimales 3.50 y 7.75 en la recta?

Juan compró un cargamento de 85 850 naranjas y las quiere poner en costales de 65 naranjas para venderlas. ¿Cuántos costales necesitará Juan y cuántas naranjas sobrarán?

A) Flecha a y flecha c. B) Flecha b y flecha d. C) Flecha b y flecha c. D) Flecha c y flecha d.

A) 1 125 costales y no sobrarán naranjas. B) 1 235 costales y sobrarán 15 naranjas. C) 1 275 costales y sobrarán 28 naranjas. D) 1 320 costales y sobrarán 50 naranjas. 10. Un autobús de pasajeros ha recorrido

2 3

partes

del total de los 120 kilómetros que debe recorrer para llegar a su destino final. ¿Cuántos kilómetros le faltan para llegar? A) 20 B) 40 C) 60 D) 80

13. Si una empresa compra 1 720.585 kg de azúcar mensualmente, ¿a cuánto equivale su consumo anual? A) 3 162.540 kg B) 20 646.920 kg C) 20 647.020 kg D) 172 058.500 kg 14. A Pablo su papá le dijo que le calculara el área del terreno que acaba de comprar. Si le dijo que es un rectángulo que mide 39.56 m de largo y 22 m de ancho, ¿qué área debe obtener Pablo? 2

11. Durante una semana, la venta de una lechería se registró en la siguiente tabla:

Del total de leche vendida en esa semana, 24 litros los vendieron a un restaurante y el resto a una cafetería. ¿Cuánta leche fue destinada a la cafetería?

15. Yael comió 0.25 kg de sandía. ¿Cuál de las siguientes fracciones corresponde a esta cantidad? A) B)

A) 15 21 litros.

C)

B) 17 21 litros.

D)

C) 15 84 litros. D) 17 28 litros.

88

A) 749.32 m 2 B) 760.32 m 2 C) 870.32 m 2 D) 880.32 m

25 kg 10 25 kg 100 250 kg 100 250 kg 10



PARA COMPETIR…

Importante recordar: En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, entonces la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 1.

Una caja de manzanas se vende a 16 pesos, un árbol de manzanas en producción da aproximadamente tres cajas al año. En una huerta con 144 árboles los 5/6 de los árboles están en producción ¿Qué cantidad de dinero daría la huerta si se vendiese la producción? a) 4,382

2.

c) 5,760

d) 6,612

Si N es un número con este aspecto 3a42b, con a y b dígitos. ¿De cuántas maneras puedo elegir a y b para que N sea divisible por 6? a) 2

3.

b) 5,510

b) 19

c) 17

d) 6

Joaquín debe recaudar los parquímetros recién inaugurados de la ciudad de Xalapa. Hay tres tipos de parquímetros: – Zona 1: Siempre recaudan $ 4 800 al día. – Zona 2: Siempre recaudan $ 2 400 al día. – Zona 3: Siempre recaudan $ 1 600 al día. Al final de cada día decidirá qué ruta tomar para recoger la recaudación de tres parquímetros consecutivos. Al final de la semana (5 días laborables) deberá haber recogido recaudación al menos una vez de todos los parquímetros de la ciudad. Teniendo en cuenta que el dinero no recaudado de un parquímetro se acumula al del siguiente día, ¿qué rutas deberá seguir Joaquín cada uno de los cinco días para conseguir la máxima recaudación al final de la primera semana de funcionamiento de los parquímetros? ¿Cuánto dinero recaudará al final de dicha semana?

4.

Hallar el menor número de 4 cifras distintas que cumpla que: • • •

Es múltiplo de 6. Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra. El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3

5.

Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos $ 75 000. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas, ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas?

6.

Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 km por minuto y la otra a 12 km por minuto. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5 000 km. de distancia, ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse?

7.

Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobre el número de nueces que había en un tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25, y Enrique decía que 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco en 4, y otro en 3. Pero uno acertó. ¿Cuántas nueces había en el tarro? 89


La edad de Juan es 1/6 la de su padre. La edad del padre dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da de resto 1; pero al dividirla por 5 da de resto cero. ¿Qué edad tiene Juan?

9.

Antonio y Juan quieren tomar, con el tiempo justo, el tren de las once. El reloj de Antonio se atrasa 10 minutos, pero él cree que se adelanta 5. El reloj de Juan se adelanta 5 minutos, pero el cree que se atrasa 10. ¿Quién llegará antes a la estación?

10. Un vendedor de huevos tiene enfrente seis cestas, algunas con huevos de gallina y otras con huevos de pato. Las cestas contienen 29, 23, 14, 12, 6 y 5 huevos respectivamente. «Si vendo esta cesta me quedará el doble de huevos de gallina que de pato». ¿A qué cesta se refiere el vendedor? 11. En un pueblo, iban paseando las amigas María, Flor y Beatriz cuando se encontraron con Juan, que las saludó efusivamente: –Como van juntas todo el rato y son tan altas y tan parecidas –dijo–, siempre las confundo a las tres. Sé que vuestros padres se llaman Leonardo Gómez, Agustín García y Carlos Hernández, pero no tengo claro cuál de estos apellidos le corresponde a cada una. Las amigas le respondieron con el siguiente acertijo: – Has de saber que en nuestras familias nos gusta coleccionar monedas antiguas –empezó a decir María–. Entre las tres tenemos 198 monedas, pero yo tengo 5 monedas más que Flor, y Beatriz tiene 5 monedas más que yo. –En cuanto a nuestros padres –continuó Flor–, Leonardo Gómez tiene tantos monedas como su hija, Agustín García tiene el doble que su hija, Carlos Hernández tiene una vez y media el número de monedas de su hija, y entre todos los padres y todas las hijas tenemos 500 monedas. –¿Podrías decirnos nuestros nombres y apellidos? –preguntó finalmente Beatriz. 12. En una bodega hay dos tipos de botellas, grandes y pequeñas. Las grandes contienen doble cantidad vino que las pequeñas. Disponemos de 12 botellas grandes, 7 llenas y 5 vacías, así como de 12 botellas pequeñas, 7 llenas y 5 vacías. Se desean repartir las 24 botellas entre 3 personas, de modo que cada una reciba el mismo número de botellas de cada tipo y la misma cantidad de vino. ¿Cómo se podrá hacer el reparto? 13. Sobre la mesa había un plato con cierta cantidad de galletas. Ana se comió la mitad y una más. José se comió la mitad de las que quedaban y una más. Carlos se comió la mitad de las que quedaban y una más. Diego se comió la mitad de las que quedaban y una más. Con esto se acabaron las galletas. ¿Cuántas galletas había en el plato? 14. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado, sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas. –Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. Entonces tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno. –Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. Más aún, creo que si duplicáramos el número de vacas que hemos elegido, tendríamos en total 19 vacas y caballos, y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje. ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa? 15. En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien; éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará? 90

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Expresiones algebraicas Términos semejantes. Reducción. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Problemas de ecuaciones Problemas multiplicativos con división de decimales. EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Construcción de triángulos y cuadriláteros Problemas de perímetros Problemas de áreas de figuras simples EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN Problemas de proporcionalidad directa con métodos expertos Porcentajes Aumentos y descuentos Problemas de porcentajes Probabilidad: Conteo de posibles resultados de una experiencia aleatoria Tablas de frecuencia absoluta y relativa Interpretación de información representada en gráficas de barras y circulares. Construcción de gráficas de barras, histogramas, polígonos de frecuencias y gráficas circulares.


EJE 1 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO PROBLEMAS DE LAS OPERACIONES

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS CON NÚMEROS DECIMALES

Ejercicio 3.1 Resuelve los siguientes problemas. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)

Se compran 200 tabacos a $ 5 el ciento. Se echan a perder 20 y los restantes los vendo a $ 0.84 la docena. ¿Cuánto se gana? Pierdo $ 19 en la venta de 95 sacos de azúcar a $ 9.65 el saco. Halla el costo de cada saco. Pedro adquiere cierto número de libros por $ 46.68. Si hubiera comprado 4 más le habrían costado $ 77.80. ¿Cuántos libros ha comprado y cuánto ganará si cada libro lo vende por $ 9.63? Pago $ 54.18 de derechos por la mercancía de una caja cuyo peso bruto es de 60 kg. Si el peso del envase es 8.40 kg, ¿cuánto he pagado por kg de mercancía? Tres cajas contienen mercancías. La primera y la segunda pesan 76.580 kg; la segunda y la tercera 90.751 kg, y la primera y la tercera 86.175 kg ¿Cuánto pesa cada caja? Un depósito se puede llenar por dos llaves. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse el estanque, si estando vacío, se abren al mismo tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de 425.43 litros? Se compran 13 trajes por $ 78 203.75. Se venden 6 a $ 9 374.30. ¿A cómo hay que vender el resto para ganar en todo $ 18 000? Un caballista adquiere cierto número de caballos en $ 5 691. Vende una parte en $ 1 347.50 a razón de $ 61.25 cada caballo, perdiendo $ 20.05 en cada uno. ¿A cómo tiene que vender el resto para ganar $1 080.50 en total? Un padre de familia, con el objetivo de llevar a su familia al circo, adquiere tres entradas de adulto y dos de niño por $ 8.80. Después, para invitar a otras personas, adquiere, a los mismos precios, seis entradas para niño y dos de adulto, en $ 9.60. Halla el precio de una entrada de niño y de una de adulto. Un contratista contrata los servicios de un obrero por 36 días, y como no tiene trabajo para todos los días le ofrece $ 197.20 por cada día que trabaje y $ 81.50 por cada día que no trabaje. Al cabo de los 36 días el obrero ha recibido $ 6 405.00. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó? Un colono ofrece a un empleado un sueldo semanal de $ 481.16 y una sortija. Al cabo de 8 semanas despide al obrero y le entrega $ 281.16 y la sortija. ¿En cuánto se apreció el valor de la sortija? ¿Cuál es el número que sumado con su quíntuplo da por resultado 4.0134? Se compra cierto número de libros pagando 609 dólares por cada 84 libros que se compraron y luego se vendieron todos cobrando 369 dólares por cada 60 libros. Si ha habido en la venta una pérdida de 110 dólares, ¿cuántos libros se habían comprado? Para pagar cierto número de cajas que compré a $ 0.70 una, entregué 14 sacos de azúcar de $ 6.25 cada uno. ¿Cuántas cajas compré? Se han comprado 4 cajas de sombreros por $ 276. Al vender 85 sombreros por $106.25 se ha ganado $ 0.10 en cada sombrero. ¿Cuántos sombreros se compraron y cuántos había en cada caja? A José le pidieron en su trabajo que en una nota de venta desglosara el IVA del 15% en un artículo. Como no sabía preguntó a un compañero, el cual le respondió: “Sólo divide lo que pagó el cliente entre 1.15”. La nota de venta indicaba que el cliente pagó $ 4 678.25. ¿Cuál era el precio sin el IVA? El cerebro de un adulto pesa en promedio 1.4 kg. Si la persona tiene un peso de 87.5 kg, ¿cuál es la proporción del peso del cerebro del hombre con respecto a su peso? Un garrafón lleno de agua potable tiene una capacidad de 19 litros. Si se quiere distribuir esta cantidad de agua en recipientes de un galón (3.785 litros), ¿cuántos recipientes se necesitarán? 93

Mauricio E. Morón

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ESCRITURA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejercicio 3.2 Escribe una expresión algebraica para lo que se indica. (1) Escribe la suma de a, b, y m (2) Escribe la suma del cuadrado de m, el cubo de b y la cuarta potencia de x. (3) Siendo a un número entero, escribe los dos números enteros consecutivos posteriores a a. (4) Siendo x un número entero, escribe los dos números enteros consecutivos anteriores a x. (5) Siendo y un número entero par, escribe los tres números pares consecutivos posteriores a y. (6) Pedro tenía $a, cobró $x y le regalaron $m. ¿Cuánto tiene Pedro? (7) Escribe la diferencia entre m y n. (8) d es la edad actual de una persona. ¿Cuánto tendrá dentro de 3 años? (9) p es el total de personas en una fiesta, al salirse 25, ¿Cuántos quedan? (10)m es la medida del lado de un hexágono regular, ¿Cuál será su perímetro? (11)De x km que se tenían que recorrer ya se han recorrido m km. ¿Cuánto falta por recorrer? (12)Han transcurrido x días del año. ¿Cuántos faltan por transcurrir? (13)¿Cuál será la superficie de un cuadrado de x metros de lado? (14)Si un sombrero cuesta $ a, ¿cuánto se pagará por 8, cuánto por 15 y cuánto por m sombreros? (15)Escribe la suma del duplo de a con el triplo de b y la mitad de c. (16)Un terreno rectangular de 23 metros de largo mide n metros de ancho. ¿Cuál es su superficie? (17)Un hombre vende (x+6) trajes a $ 8 cada uno. ¿Cuánto se le pagó? 2 (18)Expresar el ancho de un terreno rectangular si su superficie es z m y su largo es de 14 m. (19)Si un tren ha recorrido (x+1) km en a horas, ¿cuál es su velocidad por hora? (20) En el piso bajo de un hotel hay x habitaciones. En el segundo piso hay el doble de habitaciones que en el primero; en el tercero la mitad de las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel?

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE LAS FORMAS: x + a = b ; ax = b ; ax + b = c

Una ecuación es una igualdad que contiene incógnitas (valores desconocidos representados con letras). Las partes que están a ambos lados del signo de igual se llaman miembros. La parte izquierda se llama primer miembro y la parte derecha segundo miembro. En uno de los dos miembros se puede realizar cualquier operación sólo si en el otro miembro también se efectúa la misma operación. a) Ecuaciones de la forma x + a = b (también puede ser x − a = b ): El número que aparece sumado a la x, se resta en ambos miembros. O si aparece restado a la x, entonces se suma en ambos miembros.

x+a=b x + a/ − a/ = b − a

x−a = b ó

x − a/ + a/ = b + a

x = b−a (Continúa en la página siguiente)

94

x = b+a


x +3 =8 Ejemplos:

x+

3 4 3 4

=2

x +3−3 = 8−3

x − 7 = 28 x − 7/ + 7/ = 28 + 7

x = 8−3

x = 28 + 7

x =2−

x =5

x = 35

x = 1 41

b) Ecuaciones de la forma ax = b (también puede ser

x+

3 4

−

=2−

x − 3.71 = 8.57 x − 3.71 + 3.71 = 8.57 + 3.71 x = 8.57 + 3.71 x = 12.28

3 4 3 4

x ax =b ó =c) a b

El número que aparece multiplicando a la x, divide a ambos miembros. Si aparece dividiendo a la x, entonces se multiplican en ambos miembros por ese número.

ax = b a/ x b = a/ a b x= a

Ejemplos:

7 x = 21 7 x 21 = 7 7 21 x= 7 x =3

x 4 4x 4 x x

x =b a a/ x = ab a/ x = ab

ó

ax =c b a/ x c = a/ b a b/ x bc = b/ a bc x= a

ó

7.8 x = 16.38 7.8 x 16.38 = 7. 8 7.8 16.38 x= 7.8 x = 2.1

= 13 = (13 )(4 ) = (13 )(4 ) = 52

x = 7. 5 1. 5 1.5 x = (7.5 )(1.5 ) 1.5 x = (7.5 )(1.5 ) x = 11.25

2x =6 3 2/ x 6 = (3 )(2/ ) 2 x 6 = 3 2 3/ x = (3 )(3 ) 3/ x =9

c) Ecuaciones de la forma ax + b = c : Aparece la incógnita (x) multiplicada o dividida por un número (a), sumada con otro número (b), e igualada a un tercer número (c). Se combinan los dos casos anteriores en el mismo orden en que aparecen.

2x + 3 = 5 2x + 3 − 3 = 5 − 3 Ejemplos:

5 x − 7 = 28 5 x − 7/ + 7/ = 28 + 7

1 2 1 2

x+

−

3 4 3 4

x=

x+ 3 4

2x = 2

5 x = 35

1 2

2x 2 = 2 2 x =1

5 x 35 = 5 5 x =7

1 x 2 1 2

x + 3 = 15 4 x + 3 − 3 = 15 − 3 4 x = 12 4 4x = (12)(4 ) 4 x = 48

=2−

=

x=

3 4

5 4 5 4 1 2 5 2

x −2=3

2.3 x − 5.7 = 1.43

x −2+2 =3+2

2.3 x − 5.7 + 5.7 = 1.43 + 5.7

1 5 1 5

=2

1 5

x =5 x=

5 1 5

2.3 x = 7.13

2x + 7 2x + 7

3 4

−

3 4

=2

3 4

= 2−

2x = 7

3 4

5 4 5

2x = 4 (7 )(2) 2 x 5 = 7 8 7x = (7 ) 58 7 x = 35 8

()

2.3 x 7.13 = 2. 3 2.3 x = 3. 1

x = 25

95

Mauricio E. Morón

Ejercicio 3.3 Resuelve las siguientes ecuaciones. (1) x + 2 = 3

(8) 4 x = 16

(15) 3 x + 1 = 58

(2) x + 4 = 13

(9) 7.21x = 42.539

(16) 7 x − 8 = 71

(22) 6 x − 15 = 63 (23) 71 x − 2 = 81

(3) x − 7 = 22

(10) 5 x = 75

(17) 4.5 x + 2.3 = 6.8

(24) 5 x + 9 = 13

(4) x − 25 = 27

(11)

1 3

x = 21

2 5

x=

(5) x +

2 3

=4

(12)

(6) x −

1 4

= 2 51

(13) 6 x =

(7) x + 1.48 = 2.6

(18) 3 x − 7 = 5 (19) 12 x + 27 = 63

1 7 7 8

(14) 7 x = 19

2 3

(21)

x + 7 = 13 2

x+

1 4

3 5

(20)

=

2x −5 = 6 3 7x − 10 = 58 (26) 8 (27) 3.2 x + 5.1 = 24.62 x (28) − 1 = 2.78 3 (25)

Ejercicio 3.4 Resuelve los siguientes problemas escribiendo una ecuación sencilla. (1) Si a la edad de Gabriel le sumamos 7 obtenemos 21 como resultado. ¿Cuántos años tiene Gabriel? (2) Saúl tiene ahorrados $ 570. Si reúne sus ahorros con los de Ana tendrán en total $ 1 930. ¿Cuánto tiene ahorrado Ana? (3) Jesús recorrió hoy 3.5 km más que el día de ayer. Si en total recorrió hoy 7.8 km, ¿cuántos kilómetros recorrió el día de ayer? (4) De mis ahorros gasté $ 54.50 y ahora me quedan $ 207.50. ¿Cuánto tenía ahorrado? (5) En una báscula había 1 21 kg de tortillas. ¿Cuánto se tuvo que agregar para tener 2 31 kg? (6) (7) (8) (9)

El perímetro de un terreno cuadrado es igual a 64.8 m. ¿Cuánto mide cada lado? El triple de un número desconocido es 18. ¿Cuál es el número desconocido? El costo de 7 bolillos es $ 4.20, ¿cuánto cuesta cada bolillo? La altura de un edificio equivale a 5.7 veces la estatura de una persona. Si el edificio mide 10.26 m, ¿cuál es la estatura de la persona? (10) Un rectángulo mide 6.2 m de largo y su perímetro es 18.6 m. ¿Cuánto mide de ancho? (11) Si la edad de Héctor se multiplica por 7 y se le suman 8 obtenemos como resultado 113. ¿Cuál es la edad de Héctor? (12) Marcela tiene el doble de lo que tiene Julieta y 5 pesos más. Si Marcela tiene $ 65, ¿cuánto tiene Julieta? (13) Mi padre tiene el triple de mi edad menos 28 años. Si mi padre tiene 59 años, ¿cuál es mi edad? (14) El costro de tres boletos de entrada al cine menos nueve pesos es igual 120. ¿Cuánto cuesta cada boleto? (15) El hijo de Jimena tiene la mitad de su edad menos 5 años. Si el hijo tiene 13 años, ¿cuántos años tiene Jimena? (16) Hugo, Paco y Luis fueron a tomar un helado y al final dejaron 5 pesos de propina. Si en total gastaron $ 68 y todos los helados costaron lo mismo, ¿cuánto costó cada helado? (17) La estatura de Toño es 32 de la estatura de Luis. Si Toño mide 1.54 m, ¿cuánto mide Luis? (18) El precio de un jabón en una tienda de Xalapa es

4 5

del precio del mismo jabón en una tienda de Veracruz

más 1 peso. Si el jabón en la tienda de Xalapa es de $ 5.80, ¿cuánto costaba ese jabón en Veracruz? (19) Daniel gana cinco veces lo que gana Arturo más $ 2 000. Si Daniel gana $ 24 000, ¿cuánto gana Arturo? (20) La distancia que hay entre la Ciudad de México y la ciudad de Xalapa es de 350 km. Si esta distancia es el triple de la distancia entre Xalapa y Veracruz más 20 km. De acuerdo con los datos proporcionados, ¿Cuál es la distancia entre Xalapa y Veracruz?

96


EJE 2 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA PERÍMETROS Y ÁREAS

PROBLEMAS SOBRE PERÍMETROS

Ejercicio 3.5 Resuelve los siguientes problemas. (1) Una sección de trabajadores coloca en enero 3 000 m de vía de ferrocarril, en febrero 1 080 m, en marzo 1 750 m. ¿Cuántos metros de vía se han colocado en los tres meses? (2) Se compran 1 300 dm de una tela y ya se han entregado 1 140 dm. ¿Cuánto falta por entregar? (3) El perímetro de un campo de fútbol es de 344 m. Si mide 68 m de ancho, ¿cuánto mide de largo? (4) El lado de un dodecágono regular mide 25 cm. ¿Cuánto medirá el lado de un cuadrado que tenga el mismo perímetro? (5) Se desea colocar una cerca en todo el contorno de un terreno rectangular de 14 m de largo y 5.8 de ancho. ¿Cuántos metros de cerca serán necesarios? (6) Calcular el perímetro de una fuente de forma circular que mide 12 m de diámetro. (7) El perímetro de un hexágono regular es de 480 m. ¿Cuál es la medida de uno de sus lados? (8) ¿Cuál será el perímetro de un potrero rectangular de 815 m de longitud por 424 m de ancho? (9) En una habitación se colocará un cable en la pared dando una vuelta completa exceptuando en la puerta. Si mide 4 m de ancho, 7 m de largo y la puerta tiene 1 m de ancho, ¿cuánto cable será necesario? (10) En el borde de una mesa redonda de 2 m de diámetro se colocará una tira de hule como protección. ¿Cuántos metros de dicha tira será necesario comprar? (11) Alrededor de una caja se va a amarrar, tanto a lo ancho como a lo largo, un cordón para cargarla. Si mide 45 cm de ancho, 60 cm de largo y 40 cm de alto, ¿Cuánto cordón será necesario? (Ver figura)

(12) Se va a hacer dobladillo en el contorno de un mantel que mide 2 m de ancho y 3 m de largo. Si la costurera cobra $ 10 por cada metro de dobladillo, ¿cuánto costará el dobladillo? (13) Alrededor de un terreno de forma de pentágono regular se desea colocar un triple alambrado. Si sabemos que el metro de alambre cuesta $ 120 y el terreno mide 9 m por lado, ¿cuánto se gastará en el alambre? (14) Se desea colocar tela de alambre alrededor de un terreno rectangular que mide 12 m de largo y 7 de ancho. ¿Cuánto se gastará si el metro de tela de alambre vale $ 270? (15) ¿Un terreno rectangular de 450 m por 123 m, se cerca con estacas que se colocan a 4 m de distancia una de otra. ¿Cuántas estacas se necesitarán?

PROBLEMAS SOBRE ÁREAS

Ejercicio 3.6 Resuelve los siguientes problemas. (1) ¿Cuántos metros cuadrados de tela será necesario comprar para elaborar una bandera rectangular que medirá 5.7 metros de ancho y el doble de ancho? (2) La pista de un circo tiene forma circular. Si la distancia de un extremo a otro de la pista, pasando por el centro, es de 23 m, ¿cuál es la superficie que ocupa la pista? 97

Mauricio E. Morón (3) Para mandar a hacer la alfombra de una habitación el vendedor solicita el área. El largo es 7 m, y el ancho es en un lado 4.5 m y en el otro 3 m, calcula el área. (4) Se tiene una alberca rectangular que mide 18 m de largo y 8 m de ancho. ¿Cuánto costará una lona para cubrir la alberca completa si un metro cuadrado de lona cuesta $ 87? 2 (5) El área de un terreno rectangular es de 3 546 m . Si tiene 72 m de largo, ¿cuánto tiene de ancho? (6) Se va a pintar una pared de las siguientes medidas: de ancho tiene 7 m, de alto en el extremo izquierdo tiene 4.5 m y de alto en el extremo derecho tiene 2.5 m. Si la pintura que se compra, dice que un litro rinde 2 3 m , ¿cuántos litros serán necesarios? (7) En un jardín que tiene 6 m de ancho al frente, 9 m de ancho en la parte posterior y 15 m de fondo, se 2 desea colocar pasto. El pasto será comprado en rollos. Si cada rollo es de 0.5 m , ¿cuántos rollos serán necesarios? (8) José quiere terminar de construir una fuente hexagonal, que mandó a hacer el año pasado, a la que solamente le falta el piso del fondo. El albañil le dijo que por cada metro cuadrado que tenga el fondo le va a cobrar $ 250. ¿Cuánto pagará si la fuente mide 1.15 m por cada lado y 1 m de apotema? (9) El piso de un estanque rectangular será cubierto de azulejo. El estanque mide 8.9 m de largo y 4.3 m de ancho. Si los azulejos que se van a utilizar tienen forma cuadrada y miden 12 cm de lado, ¿cuántos azulejos serán necesarios? Sugerencia: averigua primero cuantos azulejos enteros se necesitan de largo y cuántos de ancho. (10) Se va a impermeabilizar por dentro un tanque de agua. Si mide 6 m de largo, 4.1 m de ancho y 3 m de alto. Calcula el área total de las paredes y el piso para saber cuántas cubetas de impermeabilizante habrá 2 que comprar. Cada cubeta contiene 19 litros y cada litro alcanza para cubrir 1.5 m . (11) Se va a colocar el vidrio en una ventana cuadrada que mide 2.5 m de lado. Si cada metro cuadrado de vidrio cuesta $ 197, ¿cuánto costará el vidrio? (12) Se va a pavimentar una calle de 135 m de largo y 8 m de ancho. Si el presupuesto es de 1 542 320, cuánto costará pavimentar cada metro cuadrado. 2 (13) Una lámpara de cierto tipo, alcanza a iluminar una superficie de 8 m a su alrededor. Si la superficie que ilumina es circular, ¿cuál será su diámetro? 2 (14) Se tiene un salón de fiestas de forma trapezoidal que tiene un área de 1 285 m . Es más ancho al fondo que en la entrada. Si en la entrada tiene 30 m de ancho y al fondo tiene 50 m, ¿cuánto mide de largo? (15) Se va a colocar teja sobre un campanario cuyo techo tiene forma de pirámide cuadrangular. Cada lado de la torre mide 4 m y la distancia que existe de la punta hasta la mitad de cada lado es de 2.23 m. ¿Cuál es la superficie total que será cubierta de teja? (Ver figura)

98


EJE 3 MANEJO DE LA INFORMACIÓN PROPORCIONALIDAD

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Ejercicio 3.7 Resuelve los siguientes problemas. (1) Si 4 libros cuestan $ 20, ¿Cuánto costarán 3 docenas de libros? 5 de la finca y paga $ 6 000 de alquiler al año. (2) Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa 11 ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo por el resto de la finca? (3) 9 hombres pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días? (4) Una planta de maíz que medía 1.39 cm de altura, creció 4.2 cm en 3 días. Suponiendo que la planta crece, en los días siguientes, 4.2 cm cada tres días, ¿qué altura tendrá en 12 días? (5) Juan visitará a su abuelita, que vive en otra ciudad, a 140 km de distancia. Viajará en su motocicleta que rinde 115 km por cada cinco litros. Si le pone 6.5 litros de gasolina, ¿alcanzará a llegar? ¿Cuántos litros le sobrarán o le faltarán? (6) Paty viajará 680 km en su coche de Oaxaca a Puebla. Inició el viaje llenando el tanque de gasolina cuando el vehículo registraba un kilometraje de 72 920; luego, volvió a llenarlo con 20 litros más cuando el odómetro señalaba 73 260 km. ¿Cuánta gasolina gastará en total en el viaje de ida y vuelta? ¿Cuánto gastará en gasolina para realizar el viaje si el litro de gasolina cuesta $ 6.15? (7) Un coche tarda 5 horas en recorrer 450 km. ¿Cuánto recorrerá en 8 horas si mantiene la misma velocidad? ¿Y en 12 horas? ¿Y en una hora? (8) Una llave tarda 2 horas en llenar un recipiente con agua. ¿Cuánto tiempo, en minutos, tardarán en llenarlo dos llaves echando cada una la misma cantidad de agua? ¿Y si tenemos 3, 4, ó 5 llaves? Haz una tabla. (9) Laura tarda en llegar caminando a la escuela 12 minutos. ¿Cuánto tardará si un día decide ir a la mitad de la velocidad que de costumbre? ¿Y si decide ir al doble? (10)¿Cuál será el precio de 900 caramelos si una bolsa de 25 cuesta 11 pesos? (11) Para levantar un muro en 18 días hacen falta 8 albañiles. ¿Cuántos albañiles harán falta para levantarlo en 12 días? (12)Al embotellar el contenido de un barril se llenaron 720 botellas de 0.65 litros. Si las botellas hubieran sido de 0.75 litros, ¿cuántas se habrían llenado? (13)Una rueda da 5 400 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 12 minutos y 40 segundos? (14)Un coche tarda 5 horas en hacer determinado trayecto, si circula a un velocidad media de 80 km/h, ¿cuánto tardará si su velocidad media es de 100 km/h? (15)En un pueblo de Chiapas han llovido en el mes de enero 28 litros por metro cuadrado durante dos horas. Si llueve toda la noche, ¿cuánta agua caerá? 2 (16)Se dispone de un terreno para construir 10 casas de 90m cada una. ¿Cuántas casas se podrán construir si 2 las queremos hacer de 100 m ? (17)Con 3 kg de oro se han podido hacer 240 cadenas. ¿Cuánto oro hará falta para realizar 150 cadenas? (18)Ángel y Fernando han ahorrado entre los dos $ 1 200. Si Ángel ha ahorrado el triple que Fernando, ¿cuánto ahorró cada uno? (19)Alonso es un ganadero que tiene 840 ovejas que puede alimentar durante 50 días. ¿Cuántas deberá vender si quiere alimentar a su rebaño durante 20 días más sin modificar la ración de cada animal? (20)Los lados del triángulo B de la figura varían en forma proporcional a los del triángulo A. Si los lados de los triángulos miden los que se indica, ¿cuál es el valor de g y r? r 4 A g B 5 6 3 99

Mauricio E. Morón

PORCENTAJES

% CÁLCULO DE UN PORCENTAJE DE UN NÚMERO

Recuerda: En este caso, se desea saber una fracción decimal de una cantidad dada. Ejemplo: Hallar el 14% de 57 1. Se establece una regla de tres: 57 ?

100% 14%

2. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 14 y 57), y luego se divide entre 100. (Para la división entre 100 revisa el ejercicio 1.33. Recuerda que una fracción es una división.) 14 × 57 = 798

798 ÷ 100 = 7.98

Ejercicio 3.8 Encuentra el porcentaje que se indica para cada número. (1) 15% de 32 (2) 18% de 72 (3) 35% de 180 (4) 42% de 1 250 (5) 56% de 3 000 (6) 90% de 1 315 (7) 1% de 34 (8) 4% de 75 (9) 5% de 60 (10)10% de 98

(11) 20% de 155 (12) 16% de 12 (13) 25% de 84 (14) 40% de 25 (15) 75% de 16 (16) 7.5% de 785 (17) 1.2% de 4 (18) 0.2% de 84 (19) 0.03% de 560 (20) 3.75% de 18

(21)5.34% de 23 (22)0.84% de 19 (23)78.24% de 235 (24)14.2% de 1 875 (25)0.215% de 978 (26)3.6% de 39 (27)45.78% de 32 (28)0.19% de 24 (29)8.114% de 168 (30)3.125% de 924

(31)105% (32)110% (33)112% (34)120% (35)115% (36)200% (37)180% (38)145% (39)103% (40)125%

de 18 de 54 de 108 de 360 de 1 320 de 144 de 150 de 49 de 120 de 56

CÁLCULO DE UN NÚMERO CONOCIENDO UN PORCENTAJE

Recuerda: En este caso, se conoce el valor que corresponde a una fracción decimal de una cantidad dada y se desea hallar dicha cantidad. Ejemplo: 68 es el 39% 1. Se establece una regla de tres: 68 ? 100

39% 100%



2. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 100 y 68), y luego se divide entre el otro (39 en este caso). (Para la multiplicación por 100 revisa el ejercicio 2.6) 68 × 100 = 6800

6800 ÷ 39 = 174.35

Ejercicio 3.9 (1) 35 es el 5% (2) 60 es el 90% (3) 115 es el 82% (4) 420 es el 36% (5) 850 es el 72% (6) 16 es el 0.25% (7) 40 es el 0.125% (8) 50 es el 0.4% (9) 95 es el 0.6% (10)24 es el 0.625%

(11) 70 es el 3.5% (12) 84 es el 5.25% (13) 48 es el 3.2% (14) 82 es el 5.125% (15) 55 es el 2.75% (16) 150 es el 7.5% (17) 0.43 es el 0.71% (18) 196 es el 0.56% (19) 445 es el 5.34% (20) 150.16 es el 0.33%

(21)5 es el 1% (22)16 es el 10% (23)8 es el 2% (24)9 es el 4% (25)12 es el 5% (26)1.7 es el 1% (27)32 es el 16% (28)18 es el 75% (29)12 es el 40% (30)7 es el 25%

(31)125 es el 105% (32)1 427 es el 115% (33)10 578 es el 120% (34)478 es el 90% (35)123 es el 110% (36)245 es el 112% (37)2 147 es el 125.5% (38)687 es el 185% (39)350 es el 87.5% (40)18 567 es el 152 %

CÁLCULO DEL PORCENTAJE DE UN NÚMERO RESPECTO A OTRO

Recuerda: En este caso, se expresa en porcentaje la relación entre dos cantidades, es decir, el número de veces que contiene uno al otro. Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 49 de 72? 1. Se establece una regla de tres: 72 49

100% ?

2. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 49 y 100), y luego se divide entre el otro (72 en este caso). (Para la multiplicación por 100 revisa el ejercicio 2.6) 49 × 100 = 4900

4900 ÷ 72 = 68.05%

Ejercicio 3.10 Encuentra qué porcentaje es un número del otro. (1) 129 de 860 (2) 30.4 de 95 (3) 75 de 1 250 (4) 156 de 1 950 (5) 431.95 de 815 (6) 0.045 de 18 (7) 0.186 de 93 (8) 0.06 de 36 (9) 0.64 de 512 (10)0.30 de 40

(11) 2 940 de 8 400 (12) 3.5 de 1.75 (13) 1.2052 de 23 (14) 3.3 de 1 320 (15) 0.007 de 5.6 (16) 2.7625 de 85 (17) 33.825 de 615 (18) 147 de 8 400 (19) 550 de 40 000 (20) 172 de 86

(21)945 de 315 (22)2 de 200 (23)3 de 9 (24)3 de 12 (25)6 de 18 (26)12 de 20 (27)32 de 40 (28)1.8 de 18 (29)2 de 3 (30)14 de 89

(31)15 de 18 (32)11 de 54 (33)12 de 108 (34)120 de 36 (35)5 de 320 (36)2 de 14 (37)150 de 85 (38)49 de 40 (39)120 de 110 (40)2 556 de 5 000 101

Mauricio E. Morón

AUMENTO DE UN PORCENTAJE

Ejemplo: Agrega el 12% a 600 (600 + 12%) 1. El porcentaje dado se suma a 100%: 100% + 12% = 112% (Conociendo esto se resuelve como el ejercicio 3.8) 2. Se establece una regla de tres: 600 ?

100% 112%

3. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 112 y 600), y luego se divide entre el otro (en este caso 100). 112 × 600 = 67200

67200 ÷ 100 = 672

Nota: También se posible calcular el porcentaje que se tiene que aumentar y luego sumarlo.

Ejercicio 3.11 Aumenta el porcentaje que se indica a cada número. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

578 + 10% 264 + 15% 379 + 20% 645 + 25% 2 892 + 35% 208 + 12.5% 294 + 28% 138 + 14%

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

907.5 + 17.5% 546 + 8% 7 845 + 0.25% 246 + 6% 985 + 25% 2 743 + 13.5% 15 472 + 34% 1 784 + 18%

(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24)

800 + 0.6% 25 + 5.6% 35 + 4.5% 74 + 0.32% 287 + 3.25% 946.8 + 7.4% 321 + 38% 808 + 1%

(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32)

214 + 43% 362 + 14% 1 058 + 60% 691 + 7% 75 + 42% 245 + 76% 615 + 65% 187 + 13%

(33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40)

154 + 2.4% 127 + 38% 1 992 + 54% 22 + 108% 816 + 40% 69 + 39% 87 + 26% 627 + 3.6%

DESCUENTO DE UN PORCENTAJE

Ejemplo: Disminuye el 15% a 860 (860 – 15%) 1. El porcentaje dado se resta a 100%: 100% – 15% = 85% (Conociendo esto se resuelve como el ejercicio 3.8) 2. Se establece una regla de tres: 860 ?

100% 85%

3. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 85 y 860), y luego se divide entre el otro (en este caso 100). 85 × 860 = 73100

73100 ÷ 100 = 731

Nota: También se posible calcular el porcentaje que se tiene que disminuir y luego restarlo. 102


Ejercicio 3.12 Descuenta el porcentaje que se indica a cada número. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

98 – 5% 40 – 30% 265 – 15% 84 – 25% 487 – 40% 758 – 27% 178 – 70% 63 – 10%

(17)893 – 45% (18)264 – 29% (19)1 320 – 17% (20) 754 – 28% (21)826 – 20% (22)946.8 – 60% (23)8 – 48% (24)808 – 90%

(9) 907.5 – 14% (10)893 – 34% (11)731.5 – 83% (12)321 – 23% (13)402 – 11% (14)62 – 2% (15)127 – 5.3% (16)154 – 7.8%

(25)25 – 42% (26)800 – 10% (27)35 – 2.4% (28)41 – 13.45 (29)2 867 – 21.6% (30)191 – 19% (31)375 – 23.6% (32)8 472 – 10.5%

(33)3 872 – 0.25% (34)2 035 – 18% (35)11 487 – 41.3% (36)15 472 – 15% (37)249 – 79% (38)4 644 – 26% (39)381 – 69% (40)72 901 – 38.2%

CÁLCULO DE UN NÚMERO AL QUE SE LE AUMENTÓ UN PORCENTAJE

Recuerda: Después de aumentarle a una cantidad (que estamos buscando) cierto porcentaje obtenemos el número dado. Ejemplo: ¿Qué número al aumentarle 15% (+15%) da 729? 1. El porcentaje dado se suma a 100%: 100% + 15% = 115% (Conociendo esto se resuelve como el ejercicio 3.9) 2. Se establece una regla de tres: 729 ?

115% 100%

3. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 100 y 729), y luego se divide entre el otro (en este caso 115). (Para la multiplicación por 100 revisa el ejercicio 2.6) 729 × 100 = 72900

72900 ÷ 115 = 633.91%

Ejercicio 3.13 Encuentra el número al que aumentándole el porcentaje que se indica da como resultado el número dado. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

+4% da 208 +15% de 345 +20% da 258 +25% da 645 +35% da 1 215 +12.5% da 918 +15% da 178 +33.33% da 152

(9) +21% da 907.5 (10)+10% da 98 (11)+0.25% da 26.54 (12)+6% da 265 (13)+25% da 84 (14)+13.5% da 157.5 (15)+75% da 487 (16)+15% da 758

(17) +0.6% da 920.49 (18) +5.6% da 264 (19) +4.5% da 731.5 (20) +0.32% da 501.6 (21) +3.25% da 826 (22) +5.2% da 946.8 (23) +30% da 8 (24) +1% da 808

(25)+34% de 25 (26)+4% da 800 (27)+70% da 35 (28)+7% da 321 (29)+34% da 402 (30)+245% da 62 (31)+18% da 65 (32)+15% da 127

(33)+10% da 154 (34)+12% da 1 784 (35)+115% da 1 320 (36)+22% da 15 472 (37)+20% da 2 743 (38)+13% da 985 (39)+2% da 246 (40)+3.6% da 7 845

103

Mauricio E. Morón

CÁLCULO DE UN NÚMERO AL QUE SE LE DESCONTÓ UN PORCENTAJE

Recuerda: Después de disminuirle a una cantidad (que estamos buscando) cierto porcentaje obtenemos el número dado. Ejemplo: ¿Qué número al disminuirle 5% ( –5% ) da 85? 1. El porcentaje dado se resta a 100%: 100% – 5% = 95% (Conociendo esto se resuelve como el ejercicio 3.9) 2. Se establece una regla de tres: 85 ?

95% 100%

3. Para resolver la regla de tres se multiplican los que quedaron cruzados (en este caso 100 y 85), y luego se divide entre el otro (en este caso 95). (Para la multiplicación por 100 revisa el ejercicio 2.6) 85 × 100 = 8500

8500 ÷ 95 = 89.47%

Ejercicio 3.14 Encuentra el número al que disminuyéndole el porcentaje que se indica da como resultado el número dado. (1) –7% da 84 (2) –8% da 276 (3) –35% da 91 (4) –42% da 1 250 (5) –56% da 3 000 (6) –18% da 774.9 (7) –1% da 756 (8) –60% da 246 (9) –5% da 605 (10)–16.67% da 850

(11) –20% da 15 (12) –16% da 126 (13) –25% da 780 (14) –43% da 513 (15) –75% da 16 (16) –9.5% da 85 (17) –54% da920 (18) –0.2% da 84 (19) –72% da 1 680 (20) –3.75% da 18

(21)–0.25% da 514.71 (22)–1.5% da 6 091.24 (23)–5.75% da 7 540 (24)–0.125% da 39.95 (25)–3.05% da 135.73 (26)–34% da 25 (27)–45.8% da 352 (28)–0.19% da 26 (29)–4% da 800 (30)–3.125% da 8 924

(31)–18% da 41 (32)–10% da 544 (33)–2% da 18 (34)–12% da 36 (35)–5% da 320 (36)–20% da 14 (37)–18% da 15 (38)–15% da 9 (39)–1% da 12 (40)–15% da 56

PROBLEMAS DE PORCENTAJES

Ejercicio 3.15 Resuelve los siguientes problemas. (1) En un colegio hay 125 alumnos. Si el 36 % de los alumnos son extranjeros, ¿cuántos alumnos no son extranjeros? (2) En un campeonato el vencedor ganó 28 juegos, empató 8 y perdió 2. ¿Cuál es el porcentaje de partidos ganados, empatados y perdidos? (3) Si una camisa cuesta $ 300, un pantalón $ 525 y una chamarra $ 950, ¿cuánto se pagará en total si además se cobra el 15% de IVA? (4) En la compra al contado de un televisor cuyo costo es de $ 3 800 se descuenta el 22%. ¿Cuánto costará el televisor al aplicar el descuento? (5) En un grupo de 27 alumnos, el deporte favorito del 46% es el fútbol. ¿Cuántos alumnos prefieren el fútbol? (6) Una persona tiene que pagar $ 900. Si le van a cobrar el 30 % de intereses, ¿cuánto va a pagar en total? (7) Se desea comprar un libro. En la librería A cuesta $ 230 y tiene el 20% de descuento. En la librería B cuesta $ 207 y tiene el 10 % de descuento. En otra librería cuesta $ 260 y tiene el 35 % de descuento. ¿En qué librería se pagará menos por el libro? 104

Ejercicios de Matemáticas 1 (8) A un agente le pagan 17 % de comisión por las ventas que haga. Si vende 9 enciclopedias a $ 1892, ¿cuánto dinero le pagarán? (9) De una finca de 50 hectáreas se vende el 16 % y se alquila el 14 %. ¿Cuántas hectáreas quedan? (10)Un hombre al morir dispone que de su fortuna, que asciende a $ 200,000 se entregue el 35% a su hermano mayor; el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto corresponde a cada uno de los hermanos y cuánto al asilo? (11)Si al comprar un traje de $ 3,200 me gasté el 18 % de lo que tenía. ¿Cuánto tenía? (12)En la compra de un refrigerador se pagaron $ 2 060 de IVA (20%). ¿Cuánto se pagó en total? (13)De los $ 5000 que tenía gasté el 85 %. ¿Cuánto he guardado? (14)Compré 90 libros y vendí el 60 % ¿Cuántos me quedan? (15)Un campesino tenía 120 gallinas y vendió 40. ¿Qué porcentaje de las gallinas vendió y que porcentaje le queda? (16)Una deuda de $ 850 se reduce a $ 816. ¿Qué porcentaje de descuento se ha hecho? (17)Para comprar un automóvil a crédito es necesario pagar el 35 % de enganche. Si el automóvil cuesta $ 178,200 ¿cuánto se pagará de enganche? (18)Deseo comprar un vehículo a crédito y necesito pagar el 35 % de enganche, para lo cual dispongo de $ 74,600. ¿Cuál es el precio máximo del vehículo para que pueda yo pagar el enganche? (19)Un hombre ahorró el año pasado $ 1 690, que era el 13 % de sus ganancias en el año. ¿Cuánto ganó en el año? (20)Si me aumentaran mi sueldo en un 20 % ganaría $ 1375. ¿Cuánto gano? (21)Si recibiera una cantidad igual al 30 % de lo que tengo, tendría $ 6542. ¿Cuánto tengo? (22)Un jugo de manzana contiene el 16 % de fruta natural. ¿Qué cantidad de fruta natural hay en 250 ml de jugo? (23)De aproximadamente 97 362 000 mexicanos, sólo el 3 % son usuarios de Internet, ¿cuántos habitantes no tienen acceso a Internet? (24)El 75 % de la producción de automóviles en una fábrica se envió al extranjero; en los primeros 6 meses del 2001 la producción fue de 580, 920, 1 200, 1 360, 780 y 1 420 autos. ¿Cuántos autos se quedaron en el país para su venta en cada uno de esos meses? (25)Si tres cuartas partes de la superficie terrestre son agua, ¿qué porcentaje de la superficie terrestre es agua? (26)En 13 de los 35 países de América se habla inglés. ¿Qué porcentaje de los países de América hablan inglés? (27)Un jugador de básquetbol anotó 3 canastas de 5 veces que tiró. ¿Qué porcentaje de los tiros anotó? (28)En la compra de una computadora se pagaron $ 13 470 con el 15% de IVA ya incluido. ¿Cuál es el precio de la computadora sin IVA y cuánto es el IVA? (29)Un metro de tela cuesta $ 15. ¿A cómo se tiene que vender para ganar el 20% del costo? (30)De las 240 canicas que tiene un niño, 48 son rojas, 105 son azules y 87 son amarillas ¿Qué porcentaje de canicas hay de cada color? (31)Se incendia una casa que estaba asegurada en el 86% de su valor y se cobran $ 390 000 por el seguro. ¿Cuál era el valor de la casa? (32)De los 30 alumnos que presentaron examen de matemáticas, dos obtuvieron 10 de calificación, tres obtuvieron 9, doce obtuvieron 8, y los demás no aprobaron. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron, qué porcentaje obtuvo 10, qué porcentaje 9 y qué porcentaje 8? (33)En cierto almacén se aplica 30% de descuento en ropa, 25% en perfumería y 20% en libros. Se compran: dos pantalones por $ 230, una camisa por $ 420, una loción por $ 275, una crema para manos por $ 57, y un libro por $ 95. Aplicando los descuentos correspondientes, ¿Cuánto se pagó en total? (34)En un texto literario la letra “e” se usa aproximadamente un 13%. ¿Cuántas letras diferentes a la letra “e” habrá en una página con 1 380 letras, en una con 950 y en una con 1 214? (35)En los juegos olímpicos de Sydney 2000, México obtuvo el 9% de 68 medallas entregadas. ¿Cuántas medallas obtuvo? (36)Una agencia de viajes organiza un viaje por todo Cancún al precio de $ 6000 por persona, una semana, pero aplica un descuento del 35% a los niños y del 20% por otra semana adicional. ¿Cuánto le costará un viaje de 15 días a un matrimonio con un hijo y dos hijas? (37)José gana este año $ 8 560 mensuales. Si recibió un aumento del 10% respecto a su sueldo del año anterior, ¿cuánto ganaba mensualmente el año anterior? (38)En la compra de su lavadora nueva, doña Feli pagó $ 3 987. Si la lavadora tenía un descuento del 20% respecto al precio de lista, determina el precio de lista. (39)Cada mes, además de su sueldo, Arturo recibe 15% de comisión por las ventas que realiza. Si en total recibió el mes pasado $ 6 700 y su sueldo es de $ 3 000, ¿de cuánto fueron las ventas que realizó? (40)Fernando trabaja vendiendo automóviles sólo por comisión (sin sueldo). Por cada automóvil que venda le pagan una comisión del 1.5% del valor del vehículo. El mes pasado vendió 7 automóviles, todos del mismo precio. Si recibió en total $ 17 041.50, ¿cuál era el precio de cada vehículo? 105

Mauricio E. Morón

GRÁFICAS ESTADÍSTICAS

FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA - TABLAS DE FRECUENCIAS

Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se repite, en una muestra de datos, una variable estadística a estudiar. En un estudio estadístico la suma de las frecuencias absolutas es igual al total de la muestra. Frecuencia relativa: Indica cada frecuencia respecto del total. Normalmente se expresa en forma de porcentaje. Para obtenerla se divide la frecuencia absoluta entre el total de la muestra. (consulta el Ejercicio 3.10) Ejemplo: Las edades de un grupo de 50 estudiantes de secundaria son: 12 13 12 12 14

13 12 13 15 12

12 14 14 16 13

14 14 15 13 13

15 14 14 14 14

12 13 13 12 13

13 12 12 13 12

13 16 11 12 13

14 11 13 15 13

12 15 14 16 14

1. Después de observar con detenimiento las cantidades que se tienen en la muestra (el grupo de 50 estudiantes) se deben obtener las frecuencias absolutas. Se verifica que la suma de las frecuencias absolutas obtenidas sea igual al total de la muestra. 11 años: 2 12 años: 13 13 años: 15 14 años: 12 15 años: 5 16 años: 3 50

2 + 13 + 15 + 12 + 5 + 3 = 50

Total de la muestra

2. Ahora se calculan las frecuencias relativas correspondientes a cada frecuencia absoluta: 11 años: 2 / 50 = 0.04 12 años: 13 / 50 = 0.26 13 años: 15 / 50 = 0.30 14 años: 12 / 50 = 0.24 15 años: 5 / 50 = 0.10 16 años: 3 / 50 = 0.06

0.04 × 100 = 0.26 × 100 = 0.30 × 100 = 0.24 × 100 = 0.10 × 100 = 0.06 × 100 =

1.00

4% 26% 30% 10% 10% 6% 100%

El total de frecuencias absolutas siempre es igual a 1 o al 100%

3. Estos datos obtenidos se representan usualmente en una tabla de frecuencias. Edad 11 años 12 años 13 años 14 años 15 años 16 años Total

106

Frecuencia Absoluta 2 13 15 12 5 3 50

Frecuencia Relativa 4% 26 % 30 % 24 % 10 % 6% 100%


Ejercicio 3.16 Para cada uno de los siguientes problemas elabora una tabla de frecuencias. (1) Se pregunta a un grupo de personas su sabor favorito de helado, obteniendo la siguiente información: Fresa: Vainilla: Chocolate: Coco: Nuez:

//// //// //// //// ////

//// / //// //// // /// ////

(2) Las calificaciones de un grupo de secundaria en el tercer bimestre fueron las siguientes: 10 9 8 8 8 9 10 9 9 6 8 10 10 10 10

7 6 9

9 10 8 7 5 6

7 8 7

6 5 9

(3) Las edades de los alumnos de una escuela de natación son: 12 13 14 11

11 11 12 10

10 12 12 9

13 11 10 9

12 10 10 11

12 9 14 12

14 9 14 13

14 10 12 14

11 11 13 13

10 12 10 12

(4) En una tienda de ropa para niños se anotaron las tallas vendidas en un día: 8 10 8 7 8 6 8 6 6 10 7 7 10 10 12 5 8 8 8 6 5 4 5 8 6 8 6 7 8 9 9 8 9 10 10 12 5 9 8 6 7 6 7 7 8 8 10 11 11 11 (5) Los datos de los deportes favoritos de una muestra de 30 estudiantes universitarios son: fútbol, voleibol, básquetbol, atletismo, fútbol, fútbol, béisbol, béisbol, voleibol, básquetbol, básquetbol, atletismo, fútbol, fútbol, fútbol, voleibol, atletismo, atletismo, básquetbol, béisbol, béisbol, béisbol, béisbol, fútbol, atletismo, voleibol, atletismo, básquetbol, fútbol, béisbol.

PICTOGRAMAS

Un pictograma es una gráfica donde las frecuencias se indican con una figura o ícono alusivo a la variable a estudiar. El ícono o figura representa una cantidad de unidades. Ejemplo: La población en una ciudad en los años de 2000 a 2008 fue la siguiente: Año Población

2000 300 000

2001 320 000

2002 340 000

2003 360 000

2004 400 000

2005 440 000

2006 480 000

2007 540 000

2008 600 000

1. Se define el ícono y su valor:

= 10 000 habitantes

107

Mauricio E. Morón 2. Se construye el pictograma colocando las variables en el eje vertical y las frecuencias en dirección horizontal. 2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

= 20 000 habitantes

Ejercicio 3.17 Para cada uno de las siguientes tablas de frecuencias elabora un pictograma. (1) A los alumnos de un grupo de bachillerato se les preguntó que carrera desearían estudiar al concluir sus estudios. Carrera Ingeniería Arquitectura Medicina Administración Contaduría Psicología

Estudiantes 10 15 10 30 15 5

(2) Se registraron las ventas de una nevería el día de hoy. Sabor Limón Mandarina Tamarindo Guanábana Fresa

Ventas 14 10 8 12 6

(3) Las ventas de una agencia automotriz durante el primer semestre del año. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

108

Autos 12 15 18 15 21 24

(4) A un grupo de personas se les preguntó qué tipo de música prefieren. Música Balada Rock Pop Grupera Clásica

Personas 12 10 9 6 3

(5) La cantidad de días soleados en cada mes del año. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Días soleados 15 18 18 21 24 27 30 24 21 15 12 9


GRÁFICAS DE BARRAS

En una gráfica de barras se representan, como en el pictograma, valores discontinuos o discretos, lo cual significa que no necesariamente tienen una continuidad o un orden. Se utilizan barras verticales, separadas y su altura indica la frecuencia de acuerdo con una escala. Ejemplo: Las ventas de una agencia automotriz de Volkswagen®, por modelo en este mes:

Modelo Gol Jetta Beetle Bora Passat

Ventas 8 10 8 7 5

1. Se utiliza un eje horizontal para ubicar las categorías (no tienen una continuidad). 2. Se utiliza un eje vertical para definir la escala de frecuencia. 12 10 8 6 4 2 0 Gol

Jetta

Beetle

Bora

Passat

Ejercicio 3.18 Para cada uno de las tablas de frecuencias del ejercicio 3.17 elabora una gráfica de barras.

HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

Un histograma es un gráfico de barras que se utiliza para valores continuos, es decir, que llevan una secuencia o un orden. Es muy común utilizar rangos de valores debido que se usan con rangos muy diversos. Ejemplo:

Las estaturas (en metros) de un grupo de estudiantes son las siguientes: 1.50 1.60 1.61

1.54 1.62 1.58

1.48 1.58 1.63

1.53 1.57 1.55

1.52 1.55 1.55

1.51 1.51 1.52

1.50 1.51 1.51

1.50 1.49 1.50

1.48 1.52 1.54

1.55 1.53 1.56


109

Mauricio E. Morón

1. En ocasiones, si son muchos datos, no es posible elegir una categoría para cada dato distinto, por eso se agrupan en rangos. Se observan los datos: el menor, el mayor y cuántos diferentes hay. Los rangos se eligen de acuerdo a las necesidades y deben ser del mismo tamaño. Para esto se resta el valor mayor menos el valor menor y se divide entre el número de intervalos deseados. Valor mayor: Valor menor: Rango 1: Rango 2: Rango 3: Rango 4: Rango 5:

1.62 1.48

1.63 –1.48 = 0.15

1.48 a 1.51 1.51 a 1.54 1.54 a 1.57 1.57 a 1.60 1.60 a 1.63

11 7 6 3 3

0.15 = 0.03 5

El límite inferior de cada rango (a excepción del primero) no incluye a ese valor, pues se consideran valores mayores a él.

2. Se utiliza el eje horizontal para ubicar los rangos. 3. En el eje vertical se indican las frecuencias de cada rango. 12 10 8 6 4 2 0 1.48

1.51

1.54

157

1.60

1.63

Un polígono de frecuencias es una línea poligonal que une los puntos medios de la parte superior de cada barra de un histograma. Para el ejemplo anterior: 12 10 8 6 4 2 0 1.48

1.51

1.54

157

1.60

1.63

Ejercicio 3.19 Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos y tablas de frecuencias elabora un histograma y su polígono de frecuencias. (1) Los pesos de los asistentes a un club de nutrición están agrupados en la siguiente tabla de frecuencias: Peso (kg) 50 a 55 55 a 60 60 a 65 65 a 70 70 a 75 110

Personas 18 25 20 15 13

(2) Los sueldos semanales de los trabajadores de una empresa están agrupados en la siguiente tabla de frecuencias: Sueldo ($) 1 000 a 3 000 3 000 a 5 000 5 000 a 7 000 7 000 a 9 000 9 000 a 11 000

Personas 4 5 6 4 2

Ejercicios de Matemáticas 1 (3) Los consumos bimestrales de energía eléctrica de los clientes de una compañía están agrupados en la siguiente tabla de frecuencias. Consumo (kw) 0 a 50 50 a 100 100 a 150 150 a 200 200 a 250

(4) Las estaturas de los jugadores de una liga de básquetbol están agrupadas en la siguiente tabla de frecuencias.

Clientes 204 632 865 794 421

Estaturas (m) 1.60 a 1.70 1.70 a 1.80 1.80 a 1.90 1.90 a 2.00 2.00 a 2.10

Jugadores 12 16 25 22 15

(5) La cantidad de llamadas telefónicas mensuales de 60 clientes de una compañía telefónica que pertenecen a cierta colonia se anotan a continuación. Calcula para 8 intervalos. 25 34 57 36 131 187

51 26 100 38 142 159

100 68 124 29 28 74

98 110 85 97 83 83

99 112 73 86 73 51

97 101 64 112 20 45

95 158 61 115 89 103

63 199 57 175 105 114

34 176 48 163 104 127

89 24 37 142 116 184

GRÁFICAS CIRCULARES

Una gráfica circular presenta, mediante sectores circulares, las frecuencias relativas a una muestra o población. Ejemplo: Una empresa automotriz tiene fábricas en cinco países. La producción de las plantas de cada país se muestran en la siguiente tabla. País México Brasil E. U. A. Italia China

Producción 350 000 345 000 600 000 300 000 480 000

1. Se elabora la tabla de frecuencias absolutas y relativas si no se tiene. Expresar las frecuencias relativas en forma decimal (en porcentaje no), para lo cual basta dividir cada frecuencia absoluta entre el total. País México Brasil E. U. A. Italia China Total

Frecuencia Absoluta 350 000 345 000 600 000 300 000 480 000 2 075 000

Frecuencia Relativa 0.1686 0.1662 0.2891 0.1445 0.2313 1

2. Multiplicar cada frecuencia relativa por 360° (es la circunferencia completa). (Continúa en la siguiente página)

111

Mauricio E. Morón

México 0.1686 × 360° = 60.69° ≈ 61° Brasil 0.1662 × 360° = 59.83° ≈ 60° E.U.A. 0.2891 × 360° = 104.07° ≈ 104° Italia 0.1445 × 360° = 52.02° ≈ 52° China 0.2313 × 360° = 83.26° ≈ 83°

Es conveniente redondear a enteros, pero cuidando que la suma sea 360° (61 + 60 + 104 + 52 + 83 = 360)

3. Trazar la circunferencia y su radio. Sobre ese radio medir con el transportador el ángulo correspondiente al primer sector. Sobre el radio obtenido medir el ángulo del siguiente sector, y así sucesivamente hasta terminar con todos los sectores. China

México

México Brasil

Brasil Italia

E.U.A. Italia China

E.U.A.

Ejercicio 3.20 Para cada uno de las siguientes situaciones elabora una gráfica circular y donde sea necesario la tabla de frecuencias absolutas y relativas. (1) Los tipos de películas preferidos por 30 señoritas estudiantes del primer grado de secundaria se muestran en la siguiente tabla. Tipo Romance Acción Documental Terror Ficción

Señoritas 12 6 2 4 6

(2) La cantidad de pacientes de algunas de los tipos de enfermedades más comunes que se atienden en un centro de salud se muestran en la tabla: Padecimiento Dental Gástrica Hematológica Respiratoria Urinaria Dermatológica

Pacientes 5 257 25 534 2 506 15 758 3 567 8 529

(3) Las calificaciones de los alumnos de un grupo de segundo año de secundaria en Historia en el tercer bimestre se listan a continuación. 10 8 7 8 8 112

7 9 7 7 7

8 6 5 10 5 10 10 8 8 9 7 6 6 6 7 8 7 10 9 9

9 7 8 9 9

(4) A una muestra de 100 personas cuidadosamente seleccionadas se les preguntó por sus actividades en sus tiempos libres con la finalidad de crear un club de esparcimiento. Se obtuvieron los siguientes resultados: Actividad Cine Deportes Aventura Lectura Música

Personas 25 35 15 5 20

(5) Se preguntó a algunas personas por su medio de transporte favorito y se obtuvo lo siguiente: automóvil, autobús, automóvil, barco, avión, ferrocarril, automóvil, autobús, barco, barco, avión, ferrocarril, avión, avión, automóvil, autobús, autobús, ferrocarril, automóvil, automóvil, avión, barco, barco, avión, avión, avión, automóvil, autobús, autobús, automóvil, barco, ferrocarril, avión, ferrocarril, automóvil, autobús, avión, barco, avión, autobús, ferrocarril, automóvil, avión, barco, avión, autobús, automóvil, automóvil, avión, autobús, automóvil, barco, avión, barco, avión, avión, autobús, automóvil, ferrocarril, automóvil.


PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CLÁSICA Y FRECUENCIAL

La probabilidad clásica o teórica considera, para un experimento aleatorio (al azar), el número de resultados favorables (es decir, que cumplen con alguna condición establecida previamente) que pueden ocurrir y el número total de resultados posibles. Aquí no se habla de resultados reales, sólo calculados mediante el análisis de los posibles resultados. La probabilidad experimental o empírica considera los resultados favorables ocurridos en un experimento y el número total de resultados posibles. Para el cálculo de la probabilidad (P), basta dividir el número de resultados favorables (n) entre el número de resultados posibles del experimento (N). Se expresa en decimal, en fracción o en porcentaje, siendo esta última la forma más común. Ejemplo: Calcular la probabilidad de que en una bolsa con 3 canicas rojas, 2 amarillas y 5 azules, se saque una canica azul. En una bolsa con un total de 10 canicas hay 5 canicas azules. Un resultado favorable es “sacar una canica azul” y los resultados posibles son las 10 canicas.

P=

n 5 1 = = = 0.5 = 50% N 10 2

Ejercicio 3.21 Resuelve los siguientes problemas. Para cada problema realiza lo siguiente: a) Elabora un diagrama de árbol para enumerar todos los posibles resultados en cada problema. b) Usando el diagrama de árbol enumera las posibilidades de que ocurran los eventos que se indican. c) Calcula la probabilidad de que ocurra cada uno de los eventos. Exprésala como una fracción, un decimal y un porcentaje. (1) Se lanza una moneda. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un águila? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un sol? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener dos águilas? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un águila o un sol? (2) Se lanzan tres monedas juntas. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener sólo un águila? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener al menos un sol? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener sólo dos águilas? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener tres soles? (3) Se lanzan cinco monedas juntas. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener cinco águilas? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener sólo tres águilas? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener sólo un águila? d) ¿Qué probabilidad hay de no obtener águila? 113

Mauricio E. Morón (4) Se lanza un dado de seis caras. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 2? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 4? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener un número par? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un número impar? (5) Se lanzan dos dados de seis caras. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 12? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 1? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener cualquier número? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un número entre 5 y 20? (6) Se lanza un dado de cuatro caras. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 5? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un número par? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 1? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 2? (7) Se lanzan dos dados de cuatro caras. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 7? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 5? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 4? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 3? (8) Se lanzan dos dados uno de cuatro y otro de seis caras. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 10? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 7? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 2? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 1? (9) Se lanzan tres dados de cuatro caras. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 12? b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 8? c) ¿Qué probabilidad hay de obtener un 14? d) ¿Qué probabilidad hay de obtener un número par? (10) En una bolsa se tienen 5 canicas rojas, 5 azules y 5 amarillas. Se sacan tres canicas. a) ¿Qué probabilidad hay de sacar una canica roja? b) ¿Qué probabilidad hay de sacar dos canicas azules? c) ¿Qué probabilidad hay de sacar una canica de cada color? d) ¿Qué probabilidad hay de sacar dos canicas iguales?

114



De la capacidad total de un estadio de futbol hay 5 partes que le van al equipo azul y 1 que le van 9 3

5.

al equipo rojo. ¿Qué fracción representa la parte que falta para que se llene el estadio? A) B) C) D) 2.

1 9 3 9 6 12 10 18

B) y = 100 x C) y = (1 / 10 )x

Fernando compró 3.5 kg de manzanas a $ 24.90 el kilo. ¿Cuánto pagó por las manzanas?

D) y = 10 x 6.

Observa el siguiente trapecio:

Área =

h

h(B + b ) 2

b

7.

¿En cuál de las siguientes opciones se lee correctamente el área del trapecio? A) El área de un trapecio es igual a la mitad de su altura más la suma de las bases. B) El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la suma de sus bases. C) El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de su altura por la suma de sus bases. D) El área de un trapecio es igual a la mitad de la mitad de la suma de su altura con el producto de sus bases. En una fábrica de tornillos se sabe que para cubrir un pedido en 20 días se necesitan 3 empleados que trabajen tiempo completo. ¿Cuántos empleados necesitarían para cubrir el mismo pedido en sólo 6 días? A) B) C) D)

2 10 18 40

¿En cuál de las siguientes figuras, según sus características, las diagonales son las bisectrices de los ángulos respectivos?

A) B) C) D)

B

4.

El consumo promedio de gasolina de un coche es de 10 km por litro. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite saber el consumo de gasolina que se necesita cuando se conoce el kilometraje recorrido? Considera: y = consumo de gasolina x= kilometraje recorrido A) y = (1 / 100 )x

A) 86.15 B) 87.15 C) 199.2 D) 871.5 3.

REVISIÓN

Rombo Trapecio Rectángulo Romboide 2

Una ventana cuadrada tiene 3 600 cm de área. Se va a reforzar con una tira de aluminio en la base. ¿Cuánto debe medir la longitud de la tira de aluminio? A) 36 cm B) 60 cm C) 240 cm D) 900 cm

8.

José Luis compró 2 televisiones y 1 radiograbadora. Si las televisiones le costaron $ 2 760.50 y el total de la compra fue de $ 3 380.80. ¿Cuánto pagó por la radiograbadora? A) $16 170 B) $16 270 C) $17 170 D) $17 270

9.

Manuel selecciona al azar un dígito del 1 al 9, ¿cuál es la probabilidad de que ese dígito sea impar? A) 4% B) 5% C) 44.44% D) 55.55%

115

Mauricio E. Morón 10. Una llave proporciona 5 litros de agua cada 10 segundos, de manera constante. ¿Cuál de las siguientes tablas representa la cantidad de agua que proporciona la llave por el tiempo respectivo?

13. La siguiente gráfica muestra la cantidad de toneladas de cereales y leguminosas producidas en nuestro país en el año de 1999. Cereales y leguminosas

C)

Tiempo (seg) 5 10 15 20 25

Agua (litros) 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5

B)

Tiempo (seg) 5 10 15 20 25

Agua (litros) 10 20 30 40 50

Tiempo (seg) 5 10 15 20 25

Agua (litros) 5 10 15 20 25

D) Tiempo

Agua (litros) 5 10 15 20 25

(seg) 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5

11. La señora Laura compró un terreno en forma de triángulo isósceles y lo dividió en 2 partes iguales con una barda, como lo muestra la figura: C Barda

A

D

B

¿Cómo será la relación del segmento AD con el segmento DB ? A) B) C) D)

AD > DB AD < DB AD = AB AD = DB

12. En una escuela el 70% del profesorado tiene una licenciatura, la cuarta parte tiene maestría y el resto tiene doctorado. ¿Qué porcentaje de la plantilla cuenta con doctorado? A) 5% B) 30% C) 68% D) 95%

116

Toneladas

A)

18023626

6809490 3975008 2381068

Maíz

Sorgo

Trigo

Avena

1349098 Frijol

¿Cuál cereal tuvo una producción cercana al triple de la producción de frijol? A) El maíz. B) El sorgo. C) El trigo. D) La avena. 14. Observa la siguiente ecuación:

x + 3 = 45 ¿Cuál de los siguientes problemas se resuelve con esta ecuación? A) Carlos tiene tres veces más canicas de las que tiene Alberto. Si Alberto tiene 45 canicas, ¿cuántas tiene Carlos? B) Carlos tiene el triple de canicas de las que tiene Alberto. Si Carlos tiene 45 canicas, ¿cuántas tiene Alberto? C) Carlos regaló tres canicas a Alberto y le quedaron 45 en su bolsa, ¿cuántas canicas tenía en su bolsa antes de regalarlas? D) Carlos jugó con Alberto y le ganó tres canicas, por lo que ya tiene 45, ¿Cuántas canicas tenía en la bolsa antes de jugar con Alberto?



PARA COMPETIR…

Importante recordar: En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, entonces la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 1. Disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos, y de otro de 11 minutos, ¿cuál es el método más rápido para controlar la cocción de un huevo, que debe durar 15 minutos? 2. Durante mis vacaciones llovió 9 días, y hubo 10 mañanas y 9 tardes soleadas. Cuando llovió por la mañana, la tarde fue soleada. ¿Cuántos días duraron mis vacaciones? 3. Tenemos cuatro círculos iguales de radio 1. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área sombreada?

4. En una vía férrea de recorrido circular, desde la estación terminal cada quince minutos sale un tren en dirección este y otro en dirección oeste. El que va hacia el este completa el recorrido en 3 horas y el otro en 2 horas. Dos viajeros, Carlos y Luis, salen a la misma hora en direcciones opuestas. ¿Con cuántos trenes se encontró cada uno de los viajeros en su recorrido sin contar el que sale y el que llega a la vez que el suyo? ¿Cuántos trenes se encontró cada viajero después de cruzarse con el que había salido a la vez que el suyo? 5. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 6. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. Alicia posee 42, pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia? 7. Un hombre, cuya mujer está a punto de dar a luz, muere, disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño, éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si es niña, ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre." Las posesiones del padre eran únicamente 14 hermosas vacas. Para complicar las cosas, sucedió que nacieron mellizos, niño y niña. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres? 8. ¿Cuántos animales hay en la granja? Todos son toros menos 4, todos son vacas menos 4, hay tantos caballos como ganado vacuno, el resto son gallinas. 9. Facundo vende la leche que tiene en un recipiente grande. Para vender tiene 2 medidas, una de 7 litros y otra de 4 litros, dice que con estas le basta para vender cualquier cantidad de litros de leche a sus clientes. Puede usar ambas medidas y, ocasionalmente volver a volcar leche en el recipiente original. ¿Como hace para vender 1l, 2l, 3l, 5l, y 6l? 117

Mauricio E. Morón 10. ¿Cuál es el área de la zona sombreada de la figura?

11. Le pedí a mi colega Javier su número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: “El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dígitos.” ¿Podrías llamar por teléfono a mi colega Javier? 12. Un hombre fue metido en la cárcel. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuánto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso le había caído bien. Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: Veinticinco. Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble. ¡También es el mío! Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso? 13. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de monedas de oro. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales, pero los tres mayores vieron que podían con más, y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron. Pero al cargarlo de nuevo, el mayor se atrevió aún a añadir una quinta parte más de lo que llevaba. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg de oro. ¿Cuánto cargó cada uno? 14. Un campesino se dirigía a la ciudad, pensando tristemente que el dinero que llevaba no iba a ser suficiente para comprar lo que deseaba. A la entrada del puente se encontró a un raro tipo (era el diablo, ni más no menos) que le dijo: “Conozco tu preocupación y voy a proponerte un trato. Si lo aceptas, cuando hayas cruzado el puente tendrás en tu bolsa doble dinero que al empezar. No cuentes el dinero, que sería desconfianza y por tu parte, sólo debes contar 32 monedas que echarás al río; yo sabré encontrarlas y éstas serán mi paga”. Aceptó el aldeano, y apenas cruzado el puente comprobó, lleno de alegría y sin necesidad de contar, que su bolsa pesaba bastante más que antes. Con gran contento echó las 32 monedas al agua. Le vino entonces la tentación de repetir la acción y no supo resistirla, así que de nuevo pasó el puente, duplicó el dinero de su bolsa y pagó con 32 monedas. Todavía una tercera vez hizo esto mismo y, entonces, desolado, comprobó que se había quedado absolutamente sin dinero. Desesperado, se tiró desde el puente al río, y el diablo cobró así su trabajo. ¿Cuánto dinero llevaba el campesino cuando le propusieron el malvado trato? 15. Un campesino fue al mercado a vender gansos. Vendió al primer cliente la mitad de los gansos más medio ganso. Al segundo cliente la tercera parte del resto más un tercio de ganso. Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso. Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. Volvió a casa con 19 gansos que le sobraron. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en cuenta que ningún ganso fue dividido.

118

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Números relativos Reducción (suma-resta) de números relativos. Ley de los signos. Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis Problemas de números con signo Uso de tablas y expresiones algebraicas Potenciación y radicación EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Construcción de círculos Justificación de fórmulas de circunferencia y círculo. Número Pi Problemas de perímetros Problemas de áreas de figuras simples (perímetro y área del círculo) EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN Gráfica de proporcionalidad en el plano cartesiano


EJE 1 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO NÚMEROS RELATIVOS

±

SIMÉTRICO Y VALOR ABSOLUTO

1. El simétrico es el mismo número pero con signo contrario. 2. El absoluto es el mismo número pero sin signo.

Ejercicio 4.1 Escribe el simétrico y el valor absoluto de los siguientes números relativos (1) (2) (3) (4)

+5 –3 5 –8.5

(5) (6) (7) (8)

–4 –6 –15 –13

(9) 23 (10)+24 (11)–105 (12)–12

(13)47 (14)1 (15)–9 (16) 2

(17)–8 (18)–68 (19)–27 (20)–25

COMPARACIÓN DE NÚMEROS RELATIVOS

Recuerda: Los números positivos a veces no tienen el signo escrito, mientras que los negativos siempre tienen el signo escrito. 1. Si ambos son positivos, el de mayor valor absoluto será el mayor. 2. Si ambos son negativos, el de menor valor absoluto será el mayor. 3. Si se tienen uno positivo y otro negativo, el positivo será el mayor.

Ejercicio 4.2 Compara los siguientes números relativos usando >, < ó =. (1) (2) (3) (4)

0, 3 3, –3 5, 5 8, –8.5

(5) (6) (7) (8)

–4, 2 4, –4 –15, –25 –13, –14

(9) –1, 23 (10)35, +24 (11)25, –105 (12)–12, –15

(13)47, –86 (14)1, –47 (15)–5, –9 (16)–3, 2

(17)+4, 4 (18)–6, 0 (19)0, –2 (20)18, –25 121

Mauricio E. Morón

REDUCCIÓN DE NÚMEROS RELATIVOS

SIGNOS IGUALES: DOS O MÁS

Recuerda: El signo de una cantidad siempre aparece inmediatamente a su izquierda. Las cantidades positivas a veces no llevan el signo escrito y que las negativas siempre lo llevan. Regla: Dos o más cantidades con signos iguales: se suman sus valores absolutos. El signo del resultado es el mismo. Ejemplos:

+7 + 8 + 5 = +20

Los valores absolutos se suman: 7 + 8 + 5 = 20 Como todas las cantidades son positivas, el resultado es positivo: +20

–7 – 9 – 10 = –26

Los valores absolutos se suman: 7 + 9 + 10 = 26 Como todas las cantidades son negativas, el resultado es negativo: –26

+7 + 8 = + 15 4 + 3 + 6 + 10 + 2 = + 25 – 8 – 4 = –12 7 – 4 – 5 – 9 – 12 = – 37

Cuidado: Aunque son negativas las cantidades, por tener todas el mismo signo se suman y el signo del resultado es negativo

Ejercicio 4.3 Reduce cada grupo de números relativos a un solo. Dos o más cantidades con signos iguales. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

7+2 +8+9 + 15 + 23 8 + 9 + 5 + 3 +15 + 3 + 2 + 67 + 84 + 1 + 7 + 20 + 13 + 6 + 5 12 + 36 + 5 + 4 + 8

(8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

45 + 6 + 7 + 81 + 23 + 10 28 + 9 + 12 + 34 + 5 + 92 57 + 8 + 6 + 9 +3 + 97 – 12 – 6 –5–7 –9–8 – 12 – 14 – 1 – 9 – 7

(15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)

– 8 – 9 – 2 – 6 – 11 – 14 – 7 – 19 – 20 – 35 – 2 – 51 – 42 – 7 – 12 – 5 – 8 – 81 – 35 – 6 – 12 – 12 – 54 – 21 – 17 – 8 – 2 – 21 – 56 – 87 – 2 – 34 – 1 –73 – 82 – 15 – 6 – 72 – 8

SIGNOS DIFERENTES: SÓLO DOS

Recuerda: El signo de una cantidad siempre aparece inmediatamente a su izquierda. Las cantidades positivas a veces no llevan el signo escrito y que las negativas siempre lo llevan. Regla: Dos cantidades con signos diferentes: se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor). El signo del resultado es el mismo que tiene la cantidad de mayor valor absoluto. Ejemplos:

+5 – 7 = –2

Los valores absolutos se restan (el mayor menos el menor): 7 – 5 = 2 La cantidad de mayor valor absoluto, el 7, es negativa, el resultado es negativo: –2

–6 + 8 = 2

Los valores absolutos se restan (el mayor menos el menor): 8 – 6 = 2 La cantidad de mayor valor absoluto, el 8, es positiva, el resultado es positivo: +2 (El signo se puede omitir: 2)

8–5=+3 – 15 + 12 = – 3 – 2 + 18 = + 16 + 16 – 34 = – 18 122

Recuerda: Siempre se resta el mayor menos el menor aunque aparezcan al revés. El signo del resultado es el de la cantidad de mayor valor absoluto.


Ejercicio 4.4 Reduce cada grupo de números relativos a un solo. Dos cantidades con signos diferentes. (1) (2) (3) (4) (5)

(6) (7) (8) (9) (10)

+ 35 – 29 – 67 + 57 + 28 – 21 – 93 + 85 + 57 – 18

– 46 + 24 +21 – 15 – 34 + 7 + 57 – 23 – 28 + 2

(11) (12) (13) (14) (15)

(16) (17) (18) (19) (20)

– 12 + 25 + 14 – 68 – 25 + 47 + 87 – 102 – 23 + 69

+ 54 – 78 – 18 + 29 + 16 – 87 – 9 + 42 + 14 – 98

SIGNOS DIFERENTES: MÁS DE DOS

Recuerda: El signo de una cantidad siempre aparece inmediatamente a su izquierda. Las cantidades positivas a veces no llevan el signo escrito y que las negativas siempre lo llevan. Regla: Dos o más cantidades con signos diferentes: (a) Los que son positivos se suman obteniendo una sola cantidad positiva. (b) Los que son negativos se suman obteniendo una sola cantidad negativa. (c) Los valores absolutos de los resultados obtenidos en (a) y (b) se restan (el mayor menos el menor). El signo del resultado es el mismo que tiene la cantidad de mayor valor absoluto. Sumamos las positivas

Ejemplo:

+5 – 7 + 4 + 1 – 9 – 3 = + 5 + 4 + 1 – 7 – 9 – 3 = +10 – 19 = – 9 Escribimos las positivas juntas

Escribimos las negativas juntas

Restamos y el resultado lleva el signo del mayor.

Sumamos las negativas

– 4 + 5 – 9 – 8 + 3 – 2 + 10 = + 5 + 3 + 10 – 4 – 9 – 8 – 2 = + 18 – 23 = – 5

Ejercicio 4.5 Reduce cada grupo de números relativos a un solo. Más de dos cantidades con signos diferentes. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

+5–3+2–7 + 8 – 7 + 12 – 8 +9–4+3–5 + 12 – 1 + 15 – 3 8 + 5 – 2 + 13 11 + 16 – 8 + 9 25 + 36 – 20 – 4 8 + 7 – 2 + 17 + 41 – 8 – 6 – 1 + 2 9 + 12 + 3 + 4 – 19 12 – 3 + 14 + 16 – 17

(12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22)

+ 51 – 2 + 8 – 19 + 4 21 + 56 + 8 – 12 + 14 – 3 92 – 21 + 13 – 100 + 12 – 41 103 + 12 – 14 – 15 + 32 + 8 5 – 2 – 1 + 4 – 7 + 6 + 13 + 12 – 42 + 8 – 9 + 3 – 11 + 12 – 5 + 8 + 13 – 14 + 3 – 35 17 + 8 – 19 + 5 – 7 – 26 + 1 2 + 5 – 8 + 9 – 3 + 12 – 47 97 – 24 + 13 – 2 + 5 – 67 – 81 7 + 8 – 9 +6 – 4 + 15 – 32 – 1

(23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33)

+ 12 – 9 – 8 + 12 + 13 – 61 – 8 12 – 6 – 3 + 4 + 56 + 3 + 72 7 + 8 + 9 – 6 – 52 + 31 + 78 + 16 + 23 – 87 + 103 + 109 – 20 + 8 – 7 – 9 + 13 +25 – 87 + 34 + 6 – 7 – 8 – 219 + 358 + 125 + 45 – 87 + 96 – 12 + 1 – 10 + 13 – 12 –7 + 12 – 8 + 9 – 12 + 26 – 10 + 25 – 8 + 13 – 8 – 9 + 12 – 9 + 18 – 5 4 – 9 – 7 + 12 – 13 – 16 + 24 – 13 – 21 12 – 14 + 17 + 16 + 13 – 8 – 4 + 28 – 1 123

Mauricio E. Morón

Ejercicio 4.6 Reduce cada grupo de números relativos a un solo. Miscelánea. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (33) (34) (35) (36) (37) (38)

(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24)

+ 13 – 9 – 8 + 6 (10) 98 + 32 – 18 – 13 + 4 (11) 103 + 145 – 15 + 12 (12) 12 – 7 – 19 + 14 (13) – 8 + 9 + 6 – 4 – 6 (14) – 47 – 8 – 9 – 3 – 41 (15) + 12 – 15 (16) + 3 + 2 – 1 – 3

– 8 + 12 –9–8–7 + 12 + 15 + 3 – 19 + 12 +5–6–3 + 12 – 8 + 9 – 47 + 28 – 92 + 39

– 28 + 98 – 54 + 23 – 18 39 – 68 + 147 + 2 – 25 + 49 28 – 3 – 6 + 87 – 42 + 21 32 + 21 + 54 + 2 + 8 – 21 + 208 306 – 578

(39) (40) (41) (42) (43) (44)

12 + 15 + 3 – 8 –7 + 6 + 12 + 15 + 16 + 13 + 12 – 21 + 36 – 8 – 7 – 6 – 12 – 13 +2+3+4+1+7+8 + 18 – 17 + 18 – 17 + 2 – 123 + 25 – 78 – 12 + 1 – 18 + 21 + 13 – 8 – 7

– 26 – 32 – 54 – 36 – 21 – 1 – 85 + 36 – 5 – 63 + 38 + 62 + 3 – 25 – 4 36 + 21 + 22 + 36 –28 – 2 – 83 + 25 – 62 + 31 – 19 + 3

(45) (46) (47) (48) (49) (50)

(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32)

–74 + 12 + 13 – 789 + 387 56 + 8 + 1 + 12 – 7 + 23 – 4 – 46 – 87 + 32 – 75 + 102 12 + 14 – 19 – 2 23 + 12

2 + 3 + 6 – 8 – 19 + 29 – 51 – 7 + 12 – 87 + 39 – 54 – 39 28 – 79 + 31 – 68 + 7 – 52 54 – 82 + 98 – 23 + 12 – 89 – 7 + 9 – 4 + 12 – 87 + 12 – 98 + 324

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

PARÉNTESIS POSITIVOS

Recuerda que el signo de un paréntesis aparece siempre inmediatamente a la izquierda del que abre “(“. Los paréntesis positivos a veces no tienen el signo escrito “(“ ó “+ (“ y los negativos siempre lo llevan “– (“. Regla: Un paréntesis positivo se elimina sin provocar cambio alguno en lo que tenía dentro: se escribe(n) la(s) cantidad(es) que originalmente estaba(n) dentro del paréntesis con el mismo signo que tenían; el paréntesis ya no se vuelve a escribir. No tiene signo

Ejemplos:

( 8 ) + ( – 3 ) = 8 – 3 =11 Tiene signo +

( 25 ) = + 25 ( + 23 ) = + 23 ( – 14) = – 14 + ( 54 ) = + 54 + ( + 96) = + 96 + ( – 42) = – 42 ( 34 + 23 ) = 34 + 23 = 57 ( 78 – 96 ) = 78 – 96 = – 18 ( – 42 + 32 ) = – 42 + 32 = –10

Observa que las cantidades conservaron el signo que tenían cuando estaban dentro del paréntesis.

+ ( 7 ) + ( 12 ) + ( – 13 ) + ( 8 ) + ( – 5) = + 7 + 12 – 13 + 8 – 5 = + 27 – 18 = + 9

Ejercicio 4.7 Elimina los paréntesis y efectúa la operación. Paréntesis positivos. (1) (2) (3) (4) 124

( 28 ) + ( + 39 ) ( – 23 ) + ( 24)

(5) (6) (7) (8)

( + 75 ) + ( – 148 ) ( 23 ) + ( + 87 )

(9) (10) (11) (12)

( – 17 ) + ( 58 ) ( + 126 ) + ( – 287 )

(13) (14) (15) (16)

( 149 ) + ( + 478 ) ( – 189 ) + ( 14 )

(17) (18) (19) (20)

(21) ( – 128 ) ( + 89 ) + ( – 459 ) (22) + ( 27 ) (23) ( + 102 ) ( 47 ) (24) + ( – 96 ) + ( + 44)

Ejercicios de Matemáticas 1 (31) (32) (33) (34) (35) (36)

( 12 + 13 ) + ( + 12 – 25) ( – 34 + 87) + ( 21 – 79) ( + 42 + 99) + ( – 78 – 268 + 20)

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

( 85 ) + ( + 207 ) ( – 12 ) +(3) ( +4) + ( – 647 )

(49) (50) (51) (52) (53) (54)

+ ( 12 – 4 ) + ( – 5 + 6 ) + ( 71 – 98 ) + ( – 8 + 2 + 6 ) + ( – 1 – 4 – 7 ) + ( 21 – 42 ) ( – 14 ) + ( + 2 – 8 ) + ( – 9 – 2 ) + ( + 36 ) ( 56 ) + ( 9 – 24 + 83 ) + ( – 2 ) + ( 3 – 4 + 17 ) ( – 52 + 8 – 3 ) + ( 24 – 59 ) + ( – 2) + ( + 5 ) ( – 4 + 5 + 6 – 7) + ( 6 ) + ( – 7 + 8 ) + ( – 8 )

(37) (38) (39) (40) (41) (42) (55) (56) (57) (58) (59) (60)

( 25 + 68 – 39 ) + ( + 58 + 97 – 54 ) ( – 54 – 39 – 47 ) + ( 25 + 36 – 87) + ( + 14 – 2 – 9 + 32 ) ( – 23 + 70 – 8 – 5)

(43) (44) (45) (46) (47) (48)

( 78 + 25 – 89 – 78) + ( +12 + 52 – 46 – 7) ( – 2 + 56 – 102 + 29 ) + ( 12 ) + ( – 85 ) + ( 36 ) + ( 2 ) + ( – 89 ) ( 19 ) + ( –8 ) + ( – 2)

+ 8 + ( 14 – 8 – 5 ) + ( – 14 ) + ( 16 – 43 ) ( 21 – 14 ) + 14 + ( – 5 ) + ( 4 ) + 12 + ( 18 + 45 – 32 ) + 10 + ( – 7 ) + ( – 8 ) + ( 14 – 19) 12 + ( 8 + 6 – 81) + 2 + ( + 5 + 9 – 7) + ( – 4 ) ( 19 – 12 ) + ( – 4 – 3 ) + ( –4 ) + 6 + ( 55 ) + 12 + ( – 3 ) + ( –7 )

PARÉNTESIS NEGATIVOS

Recuerda que el signo de un paréntesis aparece siempre inmediatamente a la izquierda del que abre “(“. Los paréntesis positivos a veces no tienen el signo escrito “(“ ó “+ (“ y los negativos siempre lo llevan “– (“. Regla: Un paréntesis negativo se elimina cambiando el signo en lo que tenía dentro: se escribe(n) la(s) cantidad(es) que originalmente estaba(n) dentro del paréntesis con el signo opuesto al que tenían (si era + se escribe – ; y si era – se escriba +); el paréntesis ya no se vuelve a escribir. Tiene signo –

Ejemplos:

9 – ( 5 ) – ( +7) = 9 – 5 – 7 = 9 – 12 = –3 No tiene signo, se considera positivo, cambia a negativo

Tiene signo positivo, cambia a negativo

Tiene signo –

6 – ( 5 ) – ( –3) = 6 – 5 + 3 = 6 + 3 – 5 = 9 – 5 = 4 No tiene signo, se considera positivo, cambia a negativo

Tiene signo negativo, cambia a positivo

( 78 ) = – 78 ( + 49 ) = – 49 ( – 27) = + 27 ( 514 ) = – 514 ( + 996) = – 996 ( – 325) + 325 ( 85 + 39 ) = – 85 – 39 = – 124 ( 24 – 95 ) = – 24 + 95 = + 71 ( – 87 + 312 ) = + 87 – 312 = – 225

Observa que las cantidades conservaron el signo que tenían cuando estaban dentro del paréntesis.

– ( 6 ) – ( 11 ) – ( – 12 ) – ( 7 ) – ( – 4) = – 6 – 11 + 12 – 7 + 4 = 16 – 24 = – 8

125

Mauricio E. Morón

Ejercicio 4.8 Elimina los paréntesis y efectúa la operación. Paréntesis negativos. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53)

– ( 27 ) – ( + 40 ) – ( – 22 ) – ( 25) – ( + 74 ) – ( – 149 ) – ( 22 ) – ( + 88 ) – ( – 22 )

(10)– ( 53 ) (11)– ( + 131 ) (12)– ( – 282 ) (13)– ( 154 ) (14)– ( + 473 ) (15)– ( – 194 ) (16)– ( 24 ) (17)– ( + 79 ) (18)– ( – 469 )

(19)– ( 37 ) (20)– ( + 54) (21)– ( – 118 ) (22)– ( 37 ) (23)– ( + 92 ) (24)– ( – 91 ) (25)– ( 90 ) (26)– ( + 202 ) (27)– ( – 22 )

(28)– ( 13 ) (29)– ( + 14 ) (30)– ( – 47 ) (31)– ( 14 + 11 ) (32)– ( + 15 – 22) (33)– ( – 38 + 83) (34)– ( 17 – 83) (35)– ( + 46 + 95) (36)– ( – 72 – 272 + 25)

( 21 ) – ( – 58 ) – ( 8) – ( 41 ) – ( – 91 ) – ( 27 ) – ( 32 ) – ( 6 ) – ( –4) – ( – 14) – ( 8 – 14 – 1) – (+ 16 – 25 ) – ( 67 – 108 ) – ( – 4 + 12 ) – ( – 11 – 1 – 12 + 4) – ( 16 – 47 ) – ( – 9 – 3 ) – ( + 7 ) – ( + 41 – 3 ) – ( – 15 ) – ( 52 – 93 + 20 ) – ( 19) – ( –2 – 5 + 13 ) – ( + 12 ) – ( 18 – 66 ) – ( – 57 + 3 – 9 ) – ( – 5) – ( + 13 ) – ( – 18 + 3 ) – ( – 4 + 14 + 3 – 17) – ( 4 ) – ( – 20)

(54) (55) (56) (57) (58) (59) (60)

(37)– ( 28 + 78 – 159 ) (38)– ( + 558 + 927 – 514 ) (39)– ( – 45 – 49 – 57 ) (40)– ( 52 + 87 – 23) (41)– ( + 23 – 70 – 32 + 5 ) (42)– ( – 70 + 78 – 102 – 9) (43)– ( 14 + 205 – 101 – 7) (44)– ( +2 + 62 – 66 – 27) (45)– ( – 42 + 96 – 22 + 231 )

– ( 27 – 5 – 19 ) – ( – 29 ) + 4 – ( 1 – 59 ) – ( 5 – 31 )– ( 16 ) + 15 – 3 – ( – 20 ) – 7 – ( –4 ) – ( –5 ) – ( 15 + 42 – 29 ) – ( 11 –16) – ( + 15 + 91 – 17) – ( – 4 ) – 9 – ( 5 + 3 – 7) + 9 – ( 12 – 14 ) – ( –14 ) + 1 – ( – 46 – 8 ) – ( – 13 ) – ( –97 ) – ( 25 ) –2 55 – ( – 8 ) – ( + 7 – 4 – 12 ) – ( – 12 – 1 )

Ejercicio 4.9 Reduce los siguientes grupos de números relativos. Recuerda eliminar primero los paréntesis donde sea necesario. (1) (4)+(7) (2) (8)+(–13) (3) (–5)+(–7) (4) (2)+(–10) (5) (–8)+(–4) (6) (–12)+(–4) (7) (–4)+(4) (8) (–3)+(–5) (9) (+8)+(2) (10)(8)+(1) (11)12+7 (12)(–1)+(–4)

(13)(–1)+ (–1)+ (–1) (14)(–5)+(–6) (15)(–2)+(–3)+(–1) (16)(–3)+(–9) (17)(–3)+(–4) (18)(–1)+(–4)+(–2) (19)8+(–7) (20)19+7 (21)4+(–3)+(–2) (22)–6+(–4)+3 (23)2+(–7) (24)–9+(–3)

(37)–7–4 (38)8–11 (39)–1–(–9) (40)–2–3 (41)–8–(–5) (42)5–(–4) (43)–7–(–7) (44)(–20)–(+3) (45)(+45)–(–10) (46)(+3)+(–2) (47)(–25)–(+2) (48)(+5)–(+2)

(25)4–2 (26)6–3 (27)(2)–5 (28)4–(–2) (29)3–(–6) (30)18–25 (31)25–26 (32)9–(–3) (33)–2–7 (34)7–(–10) (35)–3–(–8) (36)–8–5

(49)–7–(–14) (50)17–45 (51)–4–8 (52)–3+5 (53)–9+6 (54)5–12 (55)4–18 (56)–15+(–13)–18 (57)3+2–(–5)+4 (58)5–(–2)+6–28 (59)–(–7)–4+(–8)–1 (60)–(–9)–(–7–9)

Ejercicio 4.10 Elimina los paréntesis y efectúa la operación. Miscelánea. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 126

12 + ( – 8 – 5 – 9 ) + ( – 4 ) – 15 – ( 5 + 19 ) + 12 – ( 32 + 4 – 5 – 16 ) – ( 24 – 87 ) – ( – 9 ) + 5 + ( 2 – 8 – 10 – 19 ) + ( –56 ) ( 6 ) – 12 + ( 31 – 8) ( –13 + 1 ) + 10 + ( 81 + 2 –54) – ( 85 – 6 + 3 – 14) + ( – 4 + 3 – 10 ) – (14) + 18 – ( 12 + 15 – 8) – 24 + ( – 8) – ( – 9 – 3 ) + ( 14 – 19) – ( – 7 ) – 45 + ( 21 – 42 ) – ( 25 ) –2

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

+( –12 + 10 ) +( 7 + 6 –2 –10 ) –( +2 + 62 –66 –27) ( 12 + 5 – 8 ) – ( – 1 + 2 – 6 ) – 4 – ( – 9 ) ( –4 + 5 –7 + 8 ) +( –12 –14 ) +(–3 + 6 – 9 ) –( + 7) + 123 –( 5 ) + ( –5 + 8 –12 + 10) –( 30 – 41 + 2 –8) – ( 45 + 3 ) + 14 – ( + 8 + 6 – 2 ) – ( – 1 – 4 – 5 ) ( + 8 ) – ( 12 – 5 – 7 – 8 ) – ( + 6 – 8 – 7 + 1 ) + ( 21 – 8 + 7 ) + ( 2 – 4 + 15 ) – 24 – ( 3 ) – ( 12 + 65 – 48 + 1 ) – (14 – 9 ) + ( – 5 – 4 ) – 5 14 + ( –8 ) + ( 32 + 6 – 10 ) – ( – 9 – 8 + 7 ) – ( – 12 – 3 ) – 10 + ( – 4 – 6 ) – ( – 5 – 4 – 7 – 8 )


JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

4. Primero se resuelven las operaciones entre signos de agrupación, si dentro del signo de agrupación también existen otros signos de agrupación iniciamos ahí. 5. Se resuelven potencias y raíces. 6. Se resuelven multiplicaciones y divisiones. 7. Se resuelven sumas y restas.

Ejercicio 4.11 Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía de las operaciones (1) (2) (3) (4) (5) (6)

(4 × 8) + 43 − 16 (27 ÷ 3) − 5 + 42 54 − (15 × 3) + 7 3 64 − (6 − 4) × 12 81 + 17 − (45 × 6) 2 4 × 32 − (81 + 25)

(

)

(7) 7 + 5 × 3 − 217 4

(8) 15 +

64 × 7 − 47 (9) 23 + 81 − (5 × 8)

(10) 3 × 2 − (15 ÷ 3) 3

4

(11) 14 − (− 15 ) + 6 − (− 19 )

(12) 32 − (− 14 ) + (− 47 ) − 8 + (− 5)

(−10) + 13 + (− 15) − 4 + (− 16) (14) − 125 − (− 187) + 43 − (− 12)

(13) −

(

)

(15) 3 × 2 × 5 × (4 + 8) 3

3

2

(35 × 2) (17) (285 − 45) × (85 ÷ 5) (18) 2(7 − 2 )3 − 4(5 + 2 ) 3 (19) 3(7 − 8) + 4(6 + 2 ) (20) 4( 49 − 3) + 5(− 6 + 3) (21) [(3.6 − 2.4 ) + 0.8] × 3 (16) 57 − 37 −

USO DE PARÉNTESIS PARA CAMBIAR LA JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Ejercicio 4.12 En las siguientes operaciones anota paréntesis donde consideres conveniente para llegar al resultado que se indica. (1) 3 + 6 × 12 – 9 = 27 (2) 3 + 5 × 15 + 25 × 4 = 1 280 2 (3) 9 + 4 + 2 × 2 – 3 = 30

(4) 24 + 12 × 6 – 1 = 108 (5) 18 ÷ 3 – 2 + 9 × 2 = 36 (6) 5 × 8 – 6 + 2 = 5

(7) 7 – 4 × 6 + 4 = 22 (8) 9 – 4 × 2 + 5 = 35 (9) 16 + 4 × 2 + 1 = 2

127

Mauricio E. Morón

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Recuerda: Son términos semejantes aquellos que tienen las mismas letras afectadas por los mismos exponentes. 1. 2. 3.

Identifica los diferentes tipos de términos que aparecen. Para cada tipo de término efectúa la reducción de números relativos como en los ejercicios 1.85 y 1.86. El resultado para cada tipo de término lleva la mismas letra.

MUY IMPORTANTE: Cantidades que no sean semejantes no se pueden sumar entre sí, ni se combinan sus letras. El resultado no es solo un número, también lleva letras, también puede suceder que el resultado contenga varios términos.

Ejercicio 4.13 Reduce las siguientes expresiones algebraicas a términos semejantes. (1) (2) (3) (4) (5)

x + 2x 8a + 9a 11n + 9n − b − 5b −9 m − 7 m

(6) 8a − 6a (7) −7b + 7b (8) −15 xy + 40 xy (9) 9a − 3a + 5a (10) −8 x + 9 x − x

(11) 19m − 10m + 6m

(16) 12 x + 13 y − 9 x + 2

(12) y + y − y

(17) − 7 x 2 − 8 x + 2 x 2 + 5 x 2 (18) 5 x − 11y − 9 + 20 x − 1 − y

2 3

1 3

(13) 7a − 9b + 6a − 4b (14) a + b − c − b − c + 2c (15) x + 3 − 2 x + 2

(19) −6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 1 (20) −a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Ejercicio 4.14 Resuelve las siguientes ecuaciones. (1) x + 5 = 3 (2) 2 x − 3 = 5 (3) 5 x + 2 = 17 (4) 3 x + 10 + 2 x = 30 (5) 3 x − 5 = x + 3 (6) 4 x − 8 = 5 + 3 x (7) 6 x + 3 − 2 x + 1 = 0 (8) 3 y + 7 − 8 y = 12 y + 1 (9) 14 y − 5 + 2y − 3 y = 20 (10) 20a + 3 − 6a + 2a − 1 = 17 128

(11) 5 x = 8 x − 15 (12) 4 x + 1 = 2 (13) y − 5 = 3 y − 25 (14) 5 x + 6 = 10 x + 5 (15) 9 y − 11 = −10 + 12 y

(21) 21 − 6 x = 27 − 8 x (22) 11x + 5 x − 1 = 65 x − 36 (23) 8 x − 4 + 3 x = 7 x + x + 14 (24) 8 x + 9 − 12 x = 4 x − 13 − 5 x (25) 5 y + 6 y − 81 = 7 y + 102 + 65 y

(16) 5m − 8 + 7m = 12m (17) 5 − 3z + 8z − 9 = 12z + 1 (18) 2t + 5t − 8 − 9 = 12t + 3 (19) 10 x + 3 − 12 x − 9 = 14 z − 6 (20) 24b − 3 − 15 + 8b = 2b

(26) 6h + 7 − 5h + 3 − 12h + 5h = 22h − 10 (27) 6z − 2 + 3z − 6 − 8z = 20 z − 30 + 5z (28) 17a − 8a − 9a + 3 + 17 = 12a − 9 (29) 5 p − 8 + 9 p − 13 + 10 = 15 p − 9 + p (30) 5n − 8n + 4 − 3n = 5 − 2n + 8 + n


POTENCIAS Y RAÍCES

23 72

CUADRADO DE UN NÚMERO

En el apartado del sistema de numeración binario de la página 15 se recordó el concepto de base y exponente, si no lo recuerdas regresa a verlo. Recuerda: El cuadrado es la segunda potencia. La base se utiliza 2 veces como factor. Ejemplo: El cuadrado de 15:

152 = 15 × 15 = 225 1 y 2 veces

Ejercicio 4.15 Anota el cuadrado de los siguientes números. (1) (2) (3) (4) (5)

6 9 2 4 7

(6) (7) (8) (9) (10)

8 5 3 10 11

(11) (12) (13) (14) (15)

13 12 16 18 14

(16) (17) (18) (19) (20)

23 25 36 48 59

(21) (22) (23) (24) (25)

97 100 109 131 153

(26) (27) (28) (29) (30)

385 621 536 635 872

78 85 94 96 62

(26) (27) (28) (29) (30)

162 281 123 264 185

CUBO DE UN NÚMERO

Recuerda: El cubo es la tercera potencia. La base se utiliza 3 veces como factor. Ejemplo: El cubo de 9:

93 = 9 × 9 × 9 = 729 1 , 2 y 3 veces

Ejercicio 4.16 Anota el cubo de los siguientes números. (1) (2) (3) (4) (5)

2 3 5 6 8

(6) (7) (8) (9) (10)

4 7 10 11 14

(11) (12) (13) (14) (15)

18 15 13 17 23

(16) (17) (18) (19) (20)

20 31 56 89 73

(21) (22) (23) (24) (25)

129

Mauricio E. Morón

POTENCIAS DE ORDEN SUPERIOR

Ejercicio 4.17 Anota la potencia que se indica para cada uno de los siguientes números. (1) (2) (3) (4) (5)

6

8

(6) 4 9 (7) 3 5 (8) 8 4 (9) 6 12 (10) 2

5 4 7 5 6 4 8 5 9

(11) (12) (13) (14) (15)

7

3 6 7 8 5 10 4 7 8

(16) (17) (18) (19) (20)

9

2 4 9 5 7 10 3 9 10

(21) (22) (23) (24) (25)

4

20 6 10 4 12 5 11 4 62

(26) (27) (28) (29) (30)

5

73 4 87 6 14 4 67 5 27

RAÍZ CUADRADA

RAÍCES EXACTAS.

La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado. Para hallara se pregunta: ¿Qué número al multiplicarlo por si mismo, me da …? En este ejercicio todas las raíces son números enteros, pero no siempre será así. Ejemplo: La raíz cuadrada de 16. Pregunto: ¿Qué número multiplicado por si mismo me da 16? Como 4 × 4 me da 16, entonces la raíz cuadrada de 16 es 4. Lo escribo así:

16 = 4

Ejercicio 4.18 Anota la raíz cuadrada de los siguientes números. (1) (2) (3) (4) (5)

1 9 4 25 49

(6) (7) (8) (9) (10)

81 16 36 64 225

(11) (12) (13) (14) (15)

324 361 256 484 676

(16) (17) (18) (19) (20)

100 529 121 400 144

(21) (22) (23) (24) (25)

169 961 196 441 289

(26) (27) (28) (29) (30)

1 215 1 089 1 369 1 156 2 304

RAÍCES INEXACTAS. PARTE ENTERA Y RESIDUO.

No siempre la raíz cuadrada es exacta (no siempre se trata de un número entero), pero si le restamos cierta cantidad, a la que llamaremos residuo, sería entera. Entonces el residuo es lo que le sobra al número para que su raíz cuadrada sea exacta. (Continúa en la página siguiente)

130

Ejercicios de Matemáticas 1 Ejemplo: La raíz cuadrada de 21. Pregunto: ¿Qué número al multiplicarlo por sí mismo me da 21? Como 4 × 4 es 16, y de ahí, 5 × 5 es 25, la raíz cuadrada de 21 es un número entre 4 y 5, es decir, mayor que 4 y menor a 5. Vemos que al restarle 5 al 21 me da 16, entonces puedo decir que va a haber un residuo: 5. Entonces la raíz cuadrada será 4 y el residuo 5. Lo escribo así:

21 4 5

Ejercicio 4.19 Anota la parte entera de la raíz cuadrada de los siguientes números y su residuo. (1) (2) (3) (4) (5)

3 7 6 8 5

(6) (7) (8) (9) (10)

14 10 12 15 11

(11) (12) (13) (14) (15)

17 29 30 33 37

(16) (17) (18) (19) (20)

40 42 50 56 68

(21) (22) (23) (24) (25)

71 72 76 83 87

(26) (27) (28) (29) (30)

92 99 101 112 120

ALGORITMO DE LA RAÍZ CUADRADA INCLUYENDO DECIMALES DE APROXIMACIÓN

El procedimiento es largo porque son muchos pasos, pero todos los pasos son sencillos. Sigue cada paso con el ejemplo para que sea más fácil resolver la raíz cuadrada. Hazlo con los pasos aquí mostrados. Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada de 48 289 hasta centésimas. 1. Por cada decimal de aproximación deseado en el resultado deberán escribirse dos cifras después del punto en el número del cual se quiere hallar la raíz cuadrada. En este caso como las posición de las centésimas es la segunda después del punto decimal, nuestro resultado tendrá dos decimales de aproximación y deberemos escribir 4 decimales en total en el número al que queremos sacar raíz.

48289 .0000 2. A partir del punto decimal hacia la derecha e izquierda se separan las cifras de dos en dos. No importa si en el extremo izquierdo queda una sola cifra.

4,82,89.00,00 • 3. Empezamos por el primer grupo de la izquierda, en este caso sólo 4. Anotamos su raíz cuadrada y su residuo.

4,82,89.00,00 2 0


131

Mauricio E. Morón

4. A partir de aquí, para cada grupo se repetirán los mismos pasos, hasta que se acaben los grupos. Se baja el siguiente grupo, en este caso 82.

4,82,89.00,00 2 0 82 5. Se separa la última cifra.

4,8 2,89.00,00 2 08,2

6. Debajo de la raíz hallada se baja su doble, como hasta el momento la raíz hallada es 2 se baja el doble de 2, es decir, 4.

4,8 2,89.00,00 2 08,2 4 7. La parte que quedó antes de la coma, se divide entre el doble de la raíz hallada, en este caso 8 entre 4.

4,8 2,89.00,00 2 08,2 4 8÷ 4 = 2

8. Este resultado (el 2) se coloca junto al doble de la raíz hallada (el 4), formándose el 42, que se multiplica por el mismo 2.

4,8 2,89.00,00 2 08,2

42 × 2 = 84

9. Verifica si el resultado obtenido (el 84) se puede restar de lo que ocupa el lugar del residuo.

4,8 2,89.00,00 2 08,2

42 × 2 = 84

82 – 84 no es posible. 10. Si no es posible, el resultado de la división del paso 7 se disminuye una unidad. En este ejemplo era 2; este 2 se disminuye a 1.

4,8 2,89.00,00 2 08,2

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 (Continúa en la página siguiente)

132


11. Si todavía no fuera posible, sigue repitiendo el paso anterior hasta que se pueda restar. Como ya es posible, resta este resultado (41) del residuo completo (82).

4,82,89.00,00 2 42 × 2 = 84 41 × 1 = 41

0 82 41 41

12. Como al utilizar el 1, en este caso, ya se pudo restar, tomamos el 1 como parte de la raíz cuadrada y lo anoto al lado de lo que llevaba.

4,82,89.00,00 21 42 × 2 = 84 41 × 1 = 41

0 82 41 41

13. Regresamos al paso 4 y repetimos el proceso, hasta terminar todos los grupos. Al finalizar colocaremos el punto decimal de acuerdo con las posiciones que deseamos (en este caso deben haber 2 después del punto en la raíz) y en el residuo se baja el punto donde le corresponda.

4,82,8 9.0 0,0 0 21 082 41 41 8,9

4,82,89.0 0,0 0 219

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 42 El doble de 21, la raíz hallada.

418 ÷ 42 = 9

4,82,89.0 0,0 0 219 0 82 41 4189 3861 328 0,0

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 429 × 9 = 3861

4,82,89.00,0 0 2197

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 429 × 9 = 3861 438 El doble de 219, la raíz hallada.

3280 ÷ 438 = 7

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 429 × 9 = 3861 4387 × 7 = 30709 4394 El doble de 2197, la raíz hallada.

20910 ÷ 4394 = 4

0 82 41 4189 3861 328 00 307 09 20 91

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 429 × 9 = 3861 4387 × 7 = 30709

Se coloca el punto

4,82,89.00,00 219.74 Raíz cuadrada

4,82,89.00,0 0 2197 0 82 41 4189 3861 328 00 307 09 20 91 0,0

0 82 41 4189 3861 328

0 82 41 4189 3861 328 00 307 09 20 91 00 17 57 76 3.33 24

42 × 2 = 84 41 × 1 = 41 429 × 9 = 3861 4387 × 7 = 30709 43944 × 4 = 175776

Residuo

14. Para verificar se multiplica la raíz cuadrada por sí misma y se le suma el residuo: 219.74 × 219.74 = 48 285.6676

48 285.6676 + 3.3324 = 48 289

133

Mauricio E. Morón

Ejercicio 4.20 Efectúa la raíz cuadrada de las siguientes cantidades hasta centésimas. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

258 294 287 324 357 349

(7) (8) (9) (10) (11) (12)

574 521 769 796 654 841

(13) (14) (15) (16) (17) (18)

1 247 2 697 3 969 9 409 9 801 10 201

(19) (20) (21) (22) (23) (24)

11 881 254 016 603 729 641601 822 649 870 620

(25) (26) (27) (28) (29) (30)

999 437 1 003 532 21 487 547 11 001 210 2 025 150 52 323 657

PROBLEMAS DE POTENCIAS Y RAÍCES

Ejercicio 4.21 Resuelve los siguientes problemas. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

2

Una mesa cuadrada tiene 225 dm de superficie Hallar sus dimensiones. 2 ¿Cuántos metros de longitud tendrá una cerca de un solar cuadrado de 324 m de superficie? 2 La superficie de un terreno cuadrado es 400 m . ¿Cuánto costará cercarlo si el metro de cerca vale $ 250? Un terreno tiene 500 metros de largo por 9 de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado? Se tiene una mesa de 16 dm de largo por 9 de ancho. ¿Cuánto se deberá disminuir la longitud y aumentar el ancho para que, sin variar su superficie, tenga forma cuadrada? Se quieren distribuir los 144 soldados de una compañía formando un cuadrado. ¿Cuántos hombres habrá en cada lado del cuadrado? Se compra cierto número de relojes por $ 5 625. Sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj. ¿Cuántos relojes de han comprado y cuánto costó cada uno? El número de caballos que he comprado es igual al precio que he pagado por cada caballo. Si hubiera comprado 2 caballos más y hubiera pagado $ 2 más por cada uno, habría gastado $ 1 681. ¿Cuántos caballos compré y cuánto pagué por cada uno? 2 Actualmente se derriban 15 000 km anuales de selva en la Amazonia. Si el área deforestada en un año fuera una región cuadrada, ¿cuánto mediría por lado aproximadamente? La suma de los cuadrados de dos números es 1186 y el número menor es 15. Hallar el número mayor. La suma de los cuadrados de dos números es 3330 y el número mayor es 51. Hallar el número menor. 2 ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 722 m si su longitud es el doble del ancho? Un comerciante compró cierto número de trajes y el precio que pagó por cada traje es igual al número de trajes que compró. Si gastó $ 956 484, ¿cuántos trajes compró y cuánto costó cada traje? ¿Cuál es el número cuyo cuadrado multiplicado por 2 y dividido entre 9 da 8? ¿Cuál es el número cuyo cuadrado multiplicado por 3; añadiendo 6 a este producto y dividiendo esta suma entre 3, se obtiene por resultado 291?

POTENCIA DE FRACCIONES

1. 2. 3. 4.

Si es un número mixto se convierte a fracción impropia. El numerador se eleva a la potencia indicada. Revisa nuevamente los ejercicios 4.15; 4.16 y 4.17 El denominador se eleva a la potencia indicada. Si el numerador resulta mayor, convierte a mixtos. (Continúa en la siguiente página)

134


5. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) 3

Ejemplo:

3 4 × 4 × 4 64 4 4 = = =   3 5 × 5 × 5 125 5 5

(El MCD es 1 porque no hay divisores comunes. Ya no es posible simplificar)

Ejercicio 4.22 Calcula las siguientes potencias de fracciones.

( 35 )2 ( 23 )2 ( 78 )2 ( 76 )2 ( 43 )2

(1) (2) (3) (4) (5)

(116 )2 8 2 ) (7) (12 11 2 ) (8) (14 3 3 (9) ( 8 ) 3 (10) ( 43 ) (6)

(8 12 )3 3 (12) (15 34 ) 3 (13) ( 23 ) 3 (14) ( 56 ) 3 (15) ( 35 ) (11)

(113 )3 4 (17) ( 76 ) 4 (18) (1 12 ) 4 (19) (3 12 ) 4 (20) (3 14 ) (16)

(5 14 )4 4 (22) (8 17 ) 9 4 ) (23) (3 10 6 4 (24) (1 11 ) 5 (25) ( 18 ) (21)

(5 23 )5 5 (27) ( 12 ) 5 (28) ( 23 ) 5 (29) ( 16 ) 5 (30) ( 78 ) (26)

RAÍZ CUADRADA DE FRACCIONES

1. 2. 3. 4. 5.

Primero deben convertirse los mixtos a fracción. Revisa nuevamente el ejercicio 4.18 Se obtiene la raíz cuadrada del numerador. Se obtiene la raíz cuadrada del denominador. Si el numerador resulta mayor, convierte a mixtos. Simplifica (ver Ejercicio 1.30) Ejemplo:

9 9 3 = = (El MCD es 1 porque no hay divisores comunes. Ya no es posible simplificar) 16 16 4

Ejercicio 4.23 Calcula las siguientes raíces cuadradas de fracciones. (1)

16 121

(6)

36 324

(11)

16 81

(16)

5 24 49

(21)

6 14

(26)

25 4 36

(2)

9 100

(7)

1 16

(12)

1 4

(17)

9 409

(22)

7 19

(27)

23 1 121

(3)

49 64

(8)

4 81

(13)

25 225

(18)

1 13 36

(23)

3 161

(28)

41 4 100

(4)

25 144

(9)

9 64

(14)

81 144

(19)

36 2 144

(24)

2 817

(29)

41 5 64

(5)

4 9

(10)

49 169

(15)

25 49

(20)

21 4 25

(25)

1 15 49

(30)

8 2 196

135



Un avión vuela a 2 325 metros sobre el nivel del mar y un submarino está sumergido a 375 metros bajo el nivel del mar. Para poder medir la distancia que hay entre el avión y el submarino, en el momento que el avión pasa sobre el submarino, ¿qué operación se debe realizar? A) 375 − 2 325 B) −3756 − 2 325 C) 2 325 − 375 D) 2 325 + 375

2.

5.

2

El área de un terreno cuadrado es de 2500 m . ¿Cuánto mide de lado? A) B) C) D)

6.

El señor Pedro quiere construir un jardín circular de 3 metros de radio, pero quiere dos círculos dentro del jardín para usarlos como lugar de fiestas, como lo muestra la figura. Si la parte sombreada es el área que será de jardín, ¿qué área tendrá el jardín? Considera Pi = 3.14.

REVISIÓN

50 m 25 m 625 m 500 m

Observa la siguiente gráfica de las ventas anuales, en bultos, de los principales productos de la tienda de Germán. Venta Anual Azúcar: 1321

Frijol: 961

Arroz: 256 Arroz: 256

6m

Sal: 782

Frijol: 961

Harina: 846

Harina: 846 Sal: 782 Azúcar: 1321

De acuerdo con la información de la gráfica, ¿cuál de las siguientes oraciones es incorrecta? A) La diferencia que existe entre la venta de la cantidad de bultos de frijol y de arroz es de 360 y 475 respectivamente, en comparación con la venta de los bultos de azúcar. B) Existe una diferencia de 283 bultos entre los vendidos de arroz y sal en comparación con los de azúcar. C) La diferencia que existe entre la venta de los bultos de harina y arroz es de 420, en comparación con la de harina y sal. D) Existe una diferencia de 115 bultos entre la venta de frijol y arroz en comparación con la de harina y arroz.

A) 113.10 m B) 106.30 m C) 98.96 m D) 14.13 m 3.

Miguel quiere fabricar un cochecito de madera y para cada llanta necesita un círculo de madera de 5 cm de diámetro. ¿Cuánta madera ocuparán las 4 llantas del cochecito? A) B) C) D)

4.

2

25 cm 2 31.41 cm 2 78.53 cm 2 314.15 cm

El doble de la edad de Carmen más la edad de su abuelo suman 86 años. Si su abuelo tiene 50 años, ¿qué edad tiene Carmen? A) B) C) D)

14 años 18 años 36 años 43 años

7.

¿Cuál es la regla de la siguiente sucesión? –7, –4, –1, 2, … A) B) C) D)

n/2 n–3 3n – 10 2n

137

Mauricio E. Morón Las gráficas siguientes representan el llenado de cuatro tinacos de 300 litros cada uno, que se encontraban previamente llenos hasta la mitad. Si se llenaron con distinta cantidad de agua, ¿cuál de ellos se llenó más rápido? A)

Capacidad (litros)

8.

Tinaco 1 300 250 200 150 100 50 0 0

10

20

30

40

50

T i emp o ( mi nut o s)

B) Capacidad (litros)

10

20

30

40

50

T iemp o ( mi nut o s)

C) Capacidad (litros)

Tinaco 3 300 250 200 150 100 50 0 0

10

20

A) –3 B) –1 C) 1 D) 3 11. Dos niños juntaron sus canicas para jugar. Si el primero aportó 15 canicas más que el segundo y reunieron en total 65 canicas; ¿cuál es la ecuación que permite calcular el número de canicas que aportó el segundo niño? A) B) C) D)

Tinaco 2 300 250 200 150 100 50 0 0

10. El valor de x que satisface la ecuación 3 x − 5 = x + 1 es:

30

40

50

2 x + 15 = 65 2 x − 15 = 65 x + 15 = 65 x − 15 = 65

12. En un negocio la deuda la consideran como un número negativo y una persona adeuda $ 1 500 a tres personas. Si adeuda la misma cantidad a cada persona, entonces, ¿cuánto le adeuda a cada uno? A) $ 500 B) $ 1 497 C) $ 4 500 D) $ –500

D)

Capacidad (litros)


13. Una televisión se va a rifar con cien boletos numerados del 1 al 100. ¿En cuál de las siguientes opciones es más probable que se encuentre el número ganador?

Tinaco 4 300 250 200 150 100 50 0 0

10

20

30

40

50


9.

Por dos pares de calcetines y dos pares de calcetas del uniforme pagué $ 130. Un compañero pagó $ 100 por dos pares de calcetines y un par de calcetas. ¿Cuánto cuesta el par de calcetines? A) $16 170 B) $16 270 C) $17 170 D) $17 270

138

A) B) C) D)

En los números pares. En los múltiplos de cinco. En los múltiplos de 3 En los diez número iniciales

14. ¿Cuál es el resultado de elevar 3 al cubo? A) B) C) D)

9 6 27 81



PARA COMPETIR…

Importante recordar: En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, entonces la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 1. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina? 2. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte; vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. ¿Cuánto vino puro le queda por beber, considerando la capacidad del vaso? 3. En una comunidad existen 1.000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras. Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra, reduciéndose así las de los maestros. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro? 4. El dueño de una taberna quiere dividir en dos partes iguales el líquido que lleva un recipiente de 16 litros. Para hacerlo no tiene a su disposición más que el recipiente original y dos recipientes vacíos con capacidades de 11 y 6 litros. ¿Cuántas operaciones de trasvase son necesarias para efectuar la partición sin perder ni una gota de líquido? 5. Una mandarina, una manzana y dos peras cuestan $ 51. Dos peras y dos mandarinas cuestan $ 42. y una manzana. Una pera y dos mandarinas cuestan $ 44. ¿Cuánto cuestan dos manzanas y dos mandarinas? 6. A una estrella de cine le preguntan qué edad tiene y contesta: "Si al doble de los años que tengo, le quita el doble de los que tenía hace diez años, el resultado será mi edad actual.” ¿Cuántos años tiene? 7. Si en 1974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de ellas en 1994? 8. La longitud del rectángulo ABCD es 8 y su anchura 3. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF?

9. El señor y la señora Fernández invitaron a cenar a otros tres matrimonios. A la llegada, antes de empezar a cenar, se saludaron con algunos apretones de manos. Como es lógico nadie saludó a su esposo o esposa ni a sí mismo ni dio la mano a la misma persona más de una vez. Al sentarse a la mesa, el señor Fernández preguntó a cada persona, incluida su esposa, a cuántos de los asistentes había dado la mano. Para su sorpresa, cada uno de los invitados le dijo una cantidad diferente. ¿A cuántas personas dio la mano la señora Fernández? 139

Mauricio E. Morón 10. La zona sombreada representa un lago. ¿Cuál es la superficie del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados.

11. Un pastor le dijo a otro: «Si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas». ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 12. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuáles son? 13. A Gabriel le encantan las matemáticas. Últimamente atraviesa una etapa en la que ve números por todas partes. Toño y Luisa son dos primos suyos y primos entre sí, que viven en casas vecinas y en la misma acera de la misma calle donde también vive él. Ayer mientras jugaban les dijo Pepito: "¡Qué cosas primos, vivimos en tres casas cuyos números son primos consecutivos y por si fuera poco el producto de estos tres números no es primo pero es mi número de teléfono!" Pues bien, sabiendo que el número de teléfono de Pepito tiene seis cifras y termina en uno, ¿sabrías averiguar los números primos de las casas donde viven los tres primos? 14. Dos albañiles se reparten en dos partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno? 15. ¿Qué hora será, si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado? 16. Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo.

17. Tres amigos jugaron al ajedrez. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? 18. Alberto, Berta y Carlos comen juntos cada día. Al finalizar la comida cada uno de ellos pide beber té o café. • Si Alberto pide café, entonces Berta pide lo mismo que Carlos. • Si Berta pide café, entonces Alberto pide la bebida que no pide Carlos. • Si Carlos pide té, entonces Alberto pide la misma bebida que Berta. ¿Cual de ellos pide siempre la misma bebida después de comer? 140

EJE 1: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Problemas aditivos con números con signo EJE 2: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Cálculo de volumen de sólidos comunes Conversión de unidades de volumen. Conversión de unidades de capacidad. Conversión entre unidades de volumen y capacidad. Problemas de áreas de figuras compuestas Problemas de cálculo de volumen EJE 3: MANEJO DE LA INFORMACIÓN Problemas de proporcionalidad inversa. Probabilidad: Resultados equiprobables y no equiprobables Medidas de tendencia central y de dispersión Comparar fenómenos a partir de las medidas de tendencia central y de dispersión


EJE 1 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO NÚMEROS RELATIVOS

±

PROBLEMAS DE NÚMEROS RELATIVOS

Ejercicio 5.1 Resuelve los siguientes problemas. Se considera positivo: derecha, arriba, este, norte, adelante y d.C. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

Escribe un número con signo para expresar que la ciudad de México se encuentra a una altitud de 2 200 m sobre el nivel del mar. Utiliza un número con signo para expresar que la Fosa de las Marianas en el Océano Pacífico se encuentra a 11 034 m de profundidad. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m y tiene enterrados 4 m. Pedro debía $ 60 y recibió $ 320. ¿Cuánto tiene? Un hombre que tenía $ 1 117 hizo una compra por valor de $ 1 515. Expresa su estado económico. Un buzo se encuentra a 13 m debajo del nivel del mar. Si sube 8 m. Expresa, con un número con signo, su nueva posición con relación al nivel del mar. A las 9 de la mañana el termómetro marca +12° y de esta hora a las 8 de la noche ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 de la noche. Después de caminar 50 m a la derecha del punto A un niño recorre 85 m en sentido contrario. ¿A qué distancia de A se hallará ahora? Compro ropas por valor de 665 dólares y alimentos por 1 178. Si después recibo 2 280, ¿cuál es mi estado económico? El planeta más caliente el Sistema Solar es Venus, con una temperatura promedio de 480°C, y el más frío es Plutón con 230°C bajo cero. ¿Cuál es el promedio de temperatura entre estos dos planetas? Un barco que se encuentra a los 40° de latitud norte, se desplaza hacia el sur 74°. ¿En qué latitud se encuentra ahora? Un barco se encuentra a los 5° de longitud oeste y se desplaza 37° al este. ¿En qué longitud se encuentra? El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del dia primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresa su situación el día 26. Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A va a 8 metros por segundo y el que corre hacia la derecha va a 9 metros por segundo. Expresa sus distancias del punto A al cabo de 6 segundos. A las 6 de la mañana el termómetro marca –4°. A las 9 de la mañana ha subido 7° y desde esta hora hasta las 5 de la tarde ha bajado 11°. Expresa la temperatura a las 5 de la tarde. Enrique hace una compra por $ 67; después recibe $ 72; luego hace otra compra por $ 16 y después recibe $ 2. ¿Cuánto tiene? En una región del estado de Sonora, la mínima temperatura registrada en el año fue de –6°C y la máxima fue de 42°C. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas? Ludwig Van Beethoven murió el 27 de marzo de 1827 cuando tenía 57 años. ¿Cuál fue el año de su nacimiento? Un equipo de fútbol americano tuvo los siguientes movimientos durante una ofensiva que inició en la yarda 20 de su territorio: avanzó 12 yardas, retrocedió 7, recuperó 2 y avanzó 5. ¿Cuál fue su posición final? Arquímedes nació en el año 287 a.C. y vivió 75 años. ¿En qué año murió?

143

Mauricio E. Morón (21) Un elevador inicia sus movimientos en el piso 43 y efectúa los siguientes movimientos. Sube 2, baja 15, baja 7 sube 13, baja 30, y luego se desplaza hasta el sótano 2 (–2). ¿Cuál fue su último movimiento? (22) Platón, el filósofo griego, vivió 80 años y murió en el año 347 a.C. ¿En qué año nació? (23) Hay un número que sumado al 87 da como resultado 12. ¿Cuál es ese número? (24) Un termómetro a las 10 de la noche marca –3°C. En el noticiero comentaron que desde las 8 de la mañana había bajado 14°C. ¿Cuál era la temperatura a las 8 de la mañana? (25) Julieta recibió ayer su nueva tarjeta de crédito y decidió empezar a utilizarla hoy, así que desde temprano se fue al centro comercial. Hizo las siguientes compras: $ 120.00, $ 180.00 y $ 1 470.00. Dos semanas después hizo un pago a la tarjeta de crédito por $ 600.00. Una semana más tarde hizo otra compra de $ 978.00. Al final del mes pagó $ 1 500.00 ¿Cuál es su saldo?

144


EJE 2 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA PERÍMETROS Y ÁREAS

CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS COMPUESTAS

Ejercicio 5.2 Divide las siguientes figuras irregulares en figuras simples y calcula su área (o el área sombreada).

(1)

(4)

(7)

(10)

(2)

(3)

(5)

(6)

(8)

(9)

(11)

(12)

145

Mauricio E. Morón

PROBLEMAS DE ÁREAS DE FIGURAS COMPUESTAS

Ejercicio 5.3 Resuelve los siguientes problemas. (1) Se tiene un parque cuadrado de 100 m de lado que tiene en el centro un jardín cuadrado de 60 m de lado y el resto es acera. ¿Cuántos metros cuadrados de aceras tiene el parque? (2) Una alberca de 18 m de largo y 9 m de ancho tiene en el centro una isla circular de 2 m de diámetro. ¿Qué superficie tiene la parte con agua? (3) Para una fiesta, en un salón de 35 m de largo y 15 m de ancho, se colocan 45 mesas circulares. Cada mesa, incluyendo sus sillas, requiere un espacio circular de 3 m de diámetro. También se destinó una zona de 8 m de largo y 5 m de ancho para los músicos, y un área de 82 m2 para la pista de baile. ¿Cuánto espacio queda? (4) Se va a construir un estanque de 12 m de largo y 8 m de ancho. En cada esquina habrá una jardinera, de un cuarto de círculo, de 1 m de radio y al centro una isla de 3 m de lado. Calcula la superficie donde habrá agua. (Ver figura 1)

Figura 1

Figura 2

(5) Se tiene un parque cuadrado de 90 metros de lado. En el parque hay cuatro jardineras circulares de 6 m de radio; dos jardineras iguales en forma de trapecio cuyas bases son 20 y 12 m, y su altura 10 m; y en el centro un estanque en forma de rombo cuyas diagonales miden 70 y 15 m. El resto es paseo cementado. ¿Cuántos metros cuadrados de paseo cementado hay? (6) Hallar el valor del terreno representado en la figura siguiente que se pagó a $ 1 350 el metro cuadrado, considerando que cada milímetro en la figura es un metro. En la figura 2 se muestra dividido el terreno en tres triángulos para poder calcular su área. (7) Se quiere construir un parque cuadrado de 100 metros de lado en el cual hay cuatro jardineras rectangulares iguales de 20 m de base y 5 m de altura; cuatro jardineras en forma de triángulo con base y altura de 12 m; y un estanque central en forma de hexágono regular de 20 m de lado y 17.3 m de apotema. El resto es paseo cuya construcción tiene un costo de $ 150 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará construir el paseo? (8) En un terreno de 970 m2 está construida una casa que tiene dos recámaras iguales en forma de trapecio, cuyas bases miden 7 y 6 m, y su altura 5 m; una cocina rectangular de 6 m de largo y 4 m de ancho; una sala-comedor de 8 m de largo y 6 de ancho; dos baños de 15 m2 y uno de 17.3 m2; un cuarto de lavado de forma cuadrada de 3 m de lado; y un estudio en forma de trapecio con bases de 6 y 7.5 m, y altura de 4 m. Si lo que no está construido será jardín, ¿qué superficie quedará libre para el jardín? Dibuja el terreno de forma rectangular y la casa con todas sus habitaciones, a tu gusto. (9) Se desea cubrir el piso y las paredes de una alberca con azulejo. Si la alberca tiene 64.8 m de largo, 15 m de ancho y 2.7 m de fondo, ¿cuántos metros cuadrados de azulejo se necesitarán? Si el albañil que va a colocar el azulejo cobra $ 85 por metro cuadrado que coloque, ¿cuánto costará cubrir la alberca de azulejo? (10) Se va a pintar la fachada de una hacienda. El muro tiene 18 m de ancho y 3.8 m de alto. En el centro hay un portón de 4 m de ancho y 2.7 m de alto. A los lados del portón hay dos ventanas semicirculares de 1.7 m de alto. Calcula el área que se tiene que pintar. Si la empresa que hará el trabajo cobra $ 250 por cada metro cuadrado, ¿cuánto se pagará? (Ver figura 3)

Figura 3

146


VOLUMEN Y CAPACIDAD

VOLUMEN

CÁLCULO DE VOLUMEN Ejercicio 5.4 Calcula el volumen de los sólidos que se describen a continuación usando la tabla de fórmulas que se te proporciona. Calcula la superficie total de todas las caras sólo de los prismas y cilindros con ayuda de la tabla de fórmulas de áreas. Figura Prisma Paralelepípedo o prisma rectangular Cubo Pirámide Cilindro Cono Esfera (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

FORMULARIO DE VOLÚMENES Volumen Área de la base × Altura Longitud × Ancho × Altura Arista al cubo Área de la base × Altura / 3 π × (Radio al cuadrado) × Altura π × (Radio al cuadrado) × Altura / 3 4 × π × (Radio al cubo) / 3

Fórmula B×h l×a×h 3 l B×h/3 2 π×r ×h 2 π×r ×h/3 3 4π × r / 3

Un cubo de 2.87 m de arista. Un prisma rectangular de 40 dm de largo, 15 dm de altura y 65 dm de ancho. Un prisma cuya altura es 150 cm y la base un rombo cuyas diagonales miden 70 cm y 50 cm. Un prisma cuya altura es 35 cm y la base un hexágono regular cuyo lado mide 6.9282 cm y el apotema 6 cm. Una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 320 cm, el lado de la base 87.185 cm y el apotema de la base 60 cm. Un tetraedro cuya altura es 215 cm, la base del triángulo de la base es 40 cm y su altura 36 cm. Una pirámide regular octagonal con base de 5.4 m, el lado de la base 0.12426 m y el apotema de la base 0.15 m. Un cilindro de 80 cm de altura, siendo el radio del círculo de la base 20 cm. Un cono cuya altura es 60 cm y el diámetro de la base 20 cm. Una esfera cuyo diámetro es 20 cm.

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE VOLUMEN

3

La unidad de medida de volumen es el metro cúbico, que se representa con “m ”. Se usan los mismos prefijos que en unidades de longitud, pero sus valores están elevados al cubo (tercera potencia). Ver ejercicio 4.16. Para hacer conversiones usa la regla de tres, pero los valores del ejercicio 2.33 se usan elevados al cubo: También se puede utilizar la siguiente escala gráfica, contando triples las posiciones y recorriendo el punto decimal en la misma forma en que se cuenten las posiciones (ya sea a la derecha o a la izquierda). (Continúa en la página siguiente)

147

Mauricio E. Morón

Ejemplo:

3

48 dm a km

3

3

48 dm = 0.000000000048 km

3

3

3

3

3

→ Usando la regla de tres: primero convertimos de dm a m y luego de m a km : 3 3 1 000 = 1 000 000 000 0.1 = 0.001 3 3 3 3 1 dm 0.001 m 1 km 1 000 000 000 m 3 3 48 dm ? ? 0.048 m (48 × 0.001 = 0.048; 0.048 ÷ 1 = 0.048)

(0.048 × 1 = 0.48; 0.48 ÷ 1 000 000 000 = 0.000000000048)

→ Usando la gráfica, contando doble, partiendo de dm son 12 posiciones a la izquierda para llegar a km.

12

Por lo tanto:

.

9

6

3

.

48 dm = 0 000000000048 km 12 posiciones

Ejercicio 5.5 Convierte las unidades de volumen. (1) (2) (3) (4) (5)

3

3

8 m a cm 3 3 19 m a mm 3 3 871 m a dm 3 3 14 Hm a dm 3 3 7 km a m

3

3

(6) 8.96 Dm a cm 3 3 (7) 14.567 km a m 3 3 (8) 23.7657 Mm a m 3 3 (9) 2.345678 Hm a m 3 3 (10) 23.789876 km a cm

(11) (12) (13) (14) (15)

3

3

67 mm a cm 3 3 1 145 cm a m 3 3 8 765 dm a Hm 3 3 12 761 dm a km 3 3 1 215 Dm a Mm

(16) (17) (18) (19) (20)

3

3

876 m a Mm 3 3 8 765 Dm a Mm 3 3 76 895.7345 cm a km 3 3 3 457 989.003 dm a Hm 3 3 123 456.008 m a Mm

CAPACIDAD

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE CAPACIDAD

La unidad de medida de capacidad es el litro que se simboliza por “l”. Para conversiones los prefijos se usan igual que en medidas de longitud, sólo que en vez de “m” usaremos “l”. Ver ejercicio 2.33. Para hacer conversiones se usa la regla de tres. También se puede utilizar la siguiente escala gráfica, contando únicamente las posiciones y recorriendo el punto decimal en la misma forma en que se cuenten las posiciones (ya sea a la derecha o a la izquierda). (Continúa en la página siguiente)

148


Ejemplo:

25.6 Hl a cl

25.6 Hl = 256 000 cl

→ Usando la regla de tres: primero convertimos de Hl a l y luego de l a cl: 1 Hl 25.6 Hl

100 l ?

1 cl 0.01 l ? 2 560 l

(25.6 × 100 = 2 560; 2 560 ÷ 1 = 2 560)

(2 560 × 1 = 2 560; 2 560 ÷ 0.01 = 256 000)

→ Usando la gráfica, partiendo de Hl son 4 posiciones a la derecha para llegar a cl.

1

.

Por lo tanto:

2

3

4

.

25 6 Hl = 256 000 cl 4 posiciones

Ejercicio 5.6 Convierte las unidades de capacidad. (1) (2) (3) (4) (5)

25 l a cl 9 l a ml 18.07 Dl a dl 125.007 kl a Dl 87.723 Ml a l

(6) 13 ml a l (7) 12 cl a l (8) 215 dl a Hl (9) 89.89 Dl a kl (10) 201.201 dl a Ml

(11) (12) (13) (14) (15)

1 230.05 cl a Ml 5 063.0032 ml a Hl 15.0036 ml a kl 18.0035 l a ml 0.056432 dl a ml

(16) (17) (18) (19) (20)

1 832 cl a Dl 1 864.003 l a Ml 123.056 kl a ml 0.6 l a cl 5.5 Dl a ml

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE VOLUMEN A UNIDADES DE CAPACIDAD Ejercicio 5.7 Convierte las unidades de volumen en unidades de capacidad con ayuda de la tabla de equivalencias y la regla de tres o con la escala gráfica. Unidades de volumen y capacidad 3 1 cm = 0.001 l = 1 ml 3 10 cm = 0.01 l = 1 cl 3 100 cm = 0.1 l = 1 dl 3 3 1 000 cm = 1 dm = 1 l 3 10 dm = 10 l = 1 Dl 3 100 dm = 100 l = 1 Hl 3 3 1 000 dm = 1 m = 1 000 l = 1 kl

149

Mauricio E. Morón (1) (2) (3) (4) (5)

3

14 cm a l 3 195 dm a kl 3 10.45 mm a l 3 156.34 m a cl 3 8.63 mm a dl

3

(6) 145.32 cm a ml 3 (7) 1 834.563 dm a dl 3 (8) 165 cm a l 3 (9) 12.356 dm a ml 3 (10) 20.345 m a cl

(11) (12) (13) (14) (15)

3

116.35 mm a dl 3 20 356.4 mm a l 3 8.65 cm a ml 3 0.2 dm a Hl 3 0.67 m a kl

(16) (17) (18) (19) (20)

3

0.125 cm a cl 3 0.4 mm a cl 3 8.2 dm a Dl 3 2.2 cm a ml 3 0.5 dm a Hl

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE CAPACIDAD A UNIDADES DE VOLUMEN Ejercicio 5.8 Convierte las unidades de capacidad en unidades de volumen, con ayuda de la tabla de equivalencias y la regla de tres o con la escala gráfica. (1) (2) (3) (4) (5)

3

0.25 ml a cm 3 23.16 l a m 3 14 cl a dm 3 56.32 Dl a m 3 51.032 dl a mm

(6) 1 142.003 Hl a dm 3 (7) 18 134 l a Hm 3 (8) 1 413.5 kl a km 3 (9) 103.54 Dl a m 3 (10) 1 536 ml a dm

3

(11) (12) (13) (14) (15)

3

8 Hl a m 3 15 cl a mm 3 16 kl a dm 3 8 dl a cm 3 14 ml a cm

(16) (17) (18) (19) (20)

3

8 l a dm 3 14 dl a m 3 19 ml a cm 3 16 cl a cm 3 10 cl a mm

PROBLEMAS DE VOLUMEN

Ejercicio 5.9 Resuelve los siguientes problemas. (1) Halla la capacidad de un depósito recto, cuya base es un triángulo de 60 cm de base y 50 cm de altura, siendo la altura del depósito de 1.8 m. (2) En un barquillo de helado de forma cónica el diámetro de la base es 4 cm y la altura 12 cm. ¿Cuántos centímetros cúbicos de helado hay en el barquillo cuando está lleno? (3) Una pelota de básquetbol inflada tiene un diámetro interior de 24 cm. ¿Qué cantidad de aire contiene en 3 cm y en mililitros? (4) Calcula la capacidad del filtro de una cafetera de forma cónica, cuyo radio mide 8 cm y su altura 15 cm. (5) ¿Cuántos litros le caben a un tanque de gas de forma cilíndrica que tiene una altura de 1,2 m y un radio de 22 cm? (6) Un recipiente de plástico de base cuadrada mide 1,4 dm de lado y tiene una altura de 1,25 dm. ¿Cuál es 3 su volumen en dm y cuál es su capacidad en litros? 3 (7) En una caja de 12 500 cm , ¿cuántas cajas de cartón de 1 dm de largo, 0.5 dm de ancho y 5 cm de altura cabrán? (8) Si un tanque de 1 m de altura por 90 cm de ancho por 1.2 m de largo contiene 534 litros de agua, ¿cuánta agua habrá que echarle para llenarlo? (9) Se desea construir una sala para 100 personas. Considerando que a cada persona le debe corresponder 3 6 m de aire, y que la superficie disponible mide 25 m de largo y 6 m de ancho, ¿qué altura deberá tener la sala? (10) Una alberca tiene 36,45 m de largo, 16,78 m de ancho y 3,68 m de profundidad. Responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra se tienen que excavar para construirla? b. ¿Cuántos litros le van a caber? c. ¿Cuántos metros cuadrados de azulejo se tienen que comprar para cubrir el piso y las paredes? d. ¿Cuántos metros cuadrados deberá tener una lona para cubrirla?

150



A un grupo de veinte alumnos se les preguntó por el número de hermanos que tiene cada uno. El resultado de esta encuesta se muestra en la siguiente tabla de frecuencia relativa. Número de hermanos 0 1 2 3 4 Más de 4

4.

A) B) C) D) 5.

A) 2 B) 3 C) 6 D) 15 2.

Tiene 3 caras. Tiene 7 vértices. Tiene 8 vértices. Tiene 9 aristas.

Don Diego tiene un lote y lo va a dividir como se muestra en la siguiente figura:

A

B

Observa la siguiente figura:

¿Cuál es el procedimiento correcto para calcular su área? A) (A x B) + (C x D)/2 B) A x (B + C) C) (A + D) x (B + C) D) A x B x C x D

h B

¿Cuál de los siguientes procedimientos se debe seguir para calcular su área?

6.

A) B x b x h / 2. B) (B + b) x h / 2 C) B x b x h D) B x b + h En la carnicería de Don Pancho el termómetro del refrigerador marca –3°C, y en ese momento en la radio mencionan que la temperatura ambiental era de 19°C. Si se quiere conocer la diferencia entre la temperatura ambiental y la del refrigerador, ¿cuál es el procedimiento adecuado para encontrar la respuesta? A) 19 – 3 = 16 B) 19 – (–3) = 16 C) 19 + 3 = 22 D) 19 – (–3) = 22

D C

b

3.

Teniendo un prisma como el siguiente:

¿Cuál de las siguientes aseveraciones es correcta?

Frecuencia relativa 0.1 0.15 0.3 0.25 0.15 0.05

¿Cuántos alumnos de este grupo tienen sólo un hermano?

REVISIÓN

En el pueblo de Juan hay un pozo cuya entrada tiene 0.75 m de radio. ¿Cuál es la razón entre la longitud del perímetro del pozo con su diámetro? A) 0.15 B) 0.32 C) 3.14 D) 6.28

7.

El techo de una tienda vista desde arriba tiene la forma de un romboide, si el área de este 2 romboide es de 60 m y su altura es de 4 m. ¿Cuántos metros mide el lado más largo de dicho romboide? A) 65 m B) 15 m C) 56 m D) 240 m 151


En una tienda de abarrotes venden 5 kg de frijol en $ 68.50. ¿Cuánto se pagará por 3.5 kg? A) $ 8.05 B) $ 13.70 C) $ 19.57 D) $ 47.95

9.

Una caja de zapatos tiene un volumen de 3

m . Si el área de la base es de ¿cuánto mide de altura? A) B) C) D)

3 100

2

12 1000

de

de m ,

10. Cuando comienza la temporada de fútbol americano registro en una tabal los puntos que anota mi equipo con un signo positivo (+) y los puntos en contra con un signo negativo (–), al final de la temporada, ¿cuántos puntos tiene mi equipo? 1 –32

2 24

3 16

4 –3

A) –45 B) 45 C) 143 D) –143

$ 7.95 $ 8.05 $ 8.95 $ 12.15

A) 0.22 B) 22 C) 2.2 D) 220 15. A un círculo le trazamos dos diámetros perpendiculares que se intersectan en el centro. Si unimos cada punto que toca la circunferencia con líneas, ¿qué polígono tendremos? A) Triángulo B) Pentágono C) Cuadrilátero D) Hexágono 16. Se va a cercar un jardín en forma de romboide. Si cada lado menor mide 30 m y cada lado mayor mide 50 m. ¿Cuál es el perímetro del jardín?

11. En un deportivo se tiene el proyecto de construir una alberca rectangular con una capacidad de 450 m cúbicos, si la base mide 9 m de ancho y 25 m de largo, ¿cuál debe ser la profundidad de la alberca? A) 3 m B) 2 m C) 9 m D) 34 m 12. ¿Cuál es el volumen de una pirámide cuadrangular si la arista de la base mide 12 cm y de altura 35 cm? 3

A) 375 cm 3 B) 988 cm 3 C) 1 680 cm 3 D) 2 016 cm

152

A) B) C) D)

14. ¿Cuántas bolsas de galletas podrá llenar la señora Leonor si a cada una le caben 0.250 kg y hornea un total de 5.500 kg?

4 10 4 100 9 500 21 500

Partido Puntos

13. Los niños Héctor, José, Edgar y Andrés quieren comprar juntos un libro de dinosaurios que vale $ 76.75. Si Héctor tiene $ 15.30, José $ 16.75, Edgar $ 17.90 y Andrés $ 18.85, ¿cuánto dinero les hace falta para completar el precio del libro?

A) 160 m B) 80 m C) 120 m D) 200 m 17. En un paradero hay 11 rutas y cada una tiene 11 camionetas. Si cada camioneta puede transportar a 11 personas, ¿cuántos pasajeros son transportados cuando todas las unidades van llenas? A) 1331 B) 1221 C) 121 D) 33



PARA COMPETIR…

Importante recordar: En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, entonces la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 1. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 2. Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros medía? 3. En una tribu del Amazonas, donde todavía subsiste el trueque, se tienen las siguientes equivalencias de cambio: a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza. b) Una lanza se cambia por tres cuchillos. c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos. ¿A cuántos collares equivale una lanza? 4. Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse algunas naranjas. Al salir tropezó con un guardián que, compadecido por su necesidad, le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media naranja. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos, que también le dejase pasar, pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. Y lo mismo exactamente le sucedió con un tercer guardián. Después de esto el ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. ¿Cuántas naranjas había tomado al principio? 5. El último día del año un matemático se vio sorprendido por la extraña manera en que su hija pequeña contaba con los dedos de la mano izquierda. Empezó por llamar 1 al pulgar, 2 al índice, 3 al cordial, 4 al anular y 5 al meñique; en ese momento invirtió la dirección, llamando 6 al anular, 7 al cordial, 8 al índice, 9 al pulgar, 10 de nuevo al índice, 11 al cordial, y así sucesivamente. Continuó contando hacia adelante y hacia atrás hasta llegar a contar el 20 en el anular. Padre: ¿Qué se supone estás haciendo? Hija: Estoy contando hasta 1.962 para ver en qué dedo termino. Padre: (Cerrando los ojos) Terminarás en el ... Cuando la niña terminó de contar vio que su padre estaba en lo cierto. ¿Cómo llegó el padre a su predicción y qué dedo predijo? 6. Un ganadero comprueba que tres de sus vacas podrían alimentarse durante dos semanas con la hierba contenida en dos hectáreas, más la que creciese en dicha superficie durante las dos semanas. También comprueba que dos vacas podrían alimentarse durante cuatro semanas con la hierba de dos hectáreas, más la que creciese en ella durante dicho tiempo. ¿Cuántas vacas podrá alimentar el ganadero durante seis semanas con la hierba contenida en seis hectáreas más la que creciese en ellas durante las seis semanas? 153

Mauricio E. Morón 7. Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?

8. En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

9. Carlos se ha olvidado de la clave secreta que le permite el acceso a los archivos privados de la empresa en la que trabaja. Pero recuerda que dicha clave consta de nueve cifras distintas entre sí y que ninguna de ellas es cero. Además, sabe que a partir de la izquierda: a. b. c. d.

El número formado por la primera y la segunda cifra es múltiplo de 2. El número formado por la segunda y tercera cifra es múltiplo de 3. El número formado por la tercera y cuarta cifra es múltiplo de 4… así sucesivamente, hasta El número formado por la octava y novena cifra que es múltiplo de 9.

Dispone solamente de dos intentos, ¿podrías indicarle las dos posibles claves de acceso? 10. Al hacer el siguiente producto: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 X 7 4 3 6 8 0 0 0 una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es. ¿Podrías averiguarla, sin necesidad de repetir la operación? 11. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. -Ninguna cifra es impar. -La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. -La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta 12. Una pareja de matemáticos; marido y mujer, mantienen el siguiente diálogo: El: ¿Te das cuenta de que mi edad sólo fue múltiplo de la tuya una vez? Ella: Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos entonces, porque no volverá a suceder. El: Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras. Ella: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos. ¿En qué año nacieron él, ella y su hijo?

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–– BIBLIOGRAFÍA –– 1.

Ediciones Castillo Matemáticas para tu vida, 1ª edición MÉXICO, 2008

2.

ALMAGUER, Guadalupe y otros Matemáticas 1, 1ª edición Limusa MÉXICO, 2002

3.

4.

5.

6.

7.

ARREGUÍN Pérez, José Eulalio Matemáticas 1. Ejercicios, 1ª edición Larousse MÉXICO, 2006 BALDOR, Aurelio Álgebra, 1ª edición Publicaciones Cultural MÉXICO, 1993 BALDOR, Aurelio Aritmética, 1ª edición Publicaciones Cultural MÉXICO, 2000 BALDOR, Aurelio Geometría y Trigonometría, 1ª edición Publicaciones Cultural MÉXICO, 2001 BECERRA, Victoria y otros Matemáticas 1, cuaderno de trabajo, 1ª edición McGraw Hill MÉXICO, 2000

12.

DURÁN Ponce, Rafael y otros. CEDI, Matemáticas 1, 1ª edición Grupo Editorial Esfinge MÉXICO, 2003

13.

GARCÍA Juárez, Marco A. y Rosa Elvira Pérez M. Matemáticas 1, 1ª edición Larousse MÉXICO, 2006

14.

HERNÁNDEZ, Paloma y Silvia Romero “Matemáticas 1” Editorial Castillo MÉXICO, 2006

15.

MANCERA Martínez, Eduardo “Matemáticas 1” Serie Ateneo Editorial Santillana MÉXICO, 2006

16.

ZÚÑIGA Topete, Enrique y otros Descubramos la matemática 6, 1ª edición Ediciones Pedagógicas MÉXICO, 1985 Referencias de Internet: http://thales.cica.es/ http://enlacebasica.sep.gob.mx/ http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/fra_prob.htm

8.

9.

BRISEÑO Aguirre, Luis y otros “Matemáticas 1” Serie Integral Editorial Santillana MÉXICO, 2006 CABALLERO, Arquímedes y otros Tablas matemáticas, 43ª edición Esfinge MÉXICO, 1994

http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matema ticas/index.htm http://www.mcescher.com/ http://www.amc.unam.mx/ http://www.oma.org.ar/ http://www.kumath.com.mx/

10.

CURIEL Ariza, Miguel Ángel y otros Matemáticas 2, 1ª edición Publicaciones Cultural MÉXICO, 1993

11.

CHÁVEZ Aguirre, Ulises y otros Sigma 1, 1ª edición Norma MÉXICO, 2001

155

Libro Ejercicios de Matematicas 1 5 Ed Completo Con Portada

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