UNMSM
METODOS NUMERICOS I - II
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
MÉTODOS NUMÉRICOS
INDICE Pág.
INDICE………………………………………………………………………………....…2 INDICE……………………………………………………………………………… …2 INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...…... INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...… ... 4 ERROR ABSOLUTO…………………………………………..………..……………… ABSOLUTO…………………………………………..………..………………55 TEOREMA DE BOLZANO……………………...…………………….……….… BOLZANO……………………...…………………….……….…..…… ……66 MÉTODO DE BISECCIÓN………………………………………………………… BISECCIÓN…………………………………………………………..….7 MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN……………….10 POSICIÓN……………….10 MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO MÉTODO DE DE APROXIMACIONES APROXIMACIONES SUCESIVA… SUCESIVA…..12 ..12 MÉTODO DE LA SECANTE………………………………………………………… SECANTE…………………………………………………………...15 ...15 MÉTODO DE NEWTON – NEWTON – RAPHSON RAPHSON………………………………… …………………………………....….………… ….…………17 17 MÉTODO DE NEWTON – NEWTON – RAPHSON RAPHSON EN DOS VARIABLES………………… VARIABLES…………………....…. …..24 .24 INTERPOLACIÓN……………………………………………………………… INTERPOLACIÓN………………………………………………………………....…….27 …….27 INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO……………… PROGRESIVO………………....…….28 …….28 INTERPOLACIÓN DE NEWTON REGRESIVO (NR)………………………… (NR) …………………………....……31 ……31 INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL……………………………………… CENTRAL………………………………………..……32 INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES…… EQUIDISTANTES……..….…35 INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE………………… LAGRANGE…………………..………38 PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………… RESUELTOS ……………………………………………………..……..42 METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES…… LIENALES ……....…….48 …….48 Método Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50 Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50 Método de Cholesquy……………………………………………..…………………….52 Cholesquy ……………………………………………..…………………….52 Método Tridiagonal para sistemas de ecuaciones lineales………………………………59 lineales ………………………………59 Método Pentadiagonal para sistemas de ecuaciones lineales ………………… …………………....………..65 ………..65 NORMA DE UNA MATRIZ………………………………………………………......73 MATRIZ………………………………………………………......73 SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………...75 LINEALES ………...75 Método de Jacobi……………………………………………………………………….75 Jacobi ……………………………………………………………………….75 Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
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MÉTODOS NUMÉRICOS
INDICE Pág.
INDICE………………………………………………………………………………....…2 INDICE……………………………………………………………………………… …2 INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...…... INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...… ... 4 ERROR ABSOLUTO…………………………………………..………..……………… ABSOLUTO…………………………………………..………..………………55 TEOREMA DE BOLZANO……………………...…………………….……….… BOLZANO……………………...…………………….……….…..…… ……66 MÉTODO DE BISECCIÓN………………………………………………………… BISECCIÓN…………………………………………………………..….7 MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN……………….10 POSICIÓN……………….10 MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO MÉTODO DE DE APROXIMACIONES APROXIMACIONES SUCESIVA… SUCESIVA…..12 ..12 MÉTODO DE LA SECANTE………………………………………………………… SECANTE…………………………………………………………...15 ...15 MÉTODO DE NEWTON – NEWTON – RAPHSON RAPHSON………………………………… …………………………………....….………… ….…………17 17 MÉTODO DE NEWTON – NEWTON – RAPHSON RAPHSON EN DOS VARIABLES………………… VARIABLES…………………....…. …..24 .24 INTERPOLACIÓN……………………………………………………………… INTERPOLACIÓN………………………………………………………………....…….27 …….27 INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO……………… PROGRESIVO………………....…….28 …….28 INTERPOLACIÓN DE NEWTON REGRESIVO (NR)………………………… (NR) …………………………....……31 ……31 INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL……………………………………… CENTRAL………………………………………..……32 INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES…… EQUIDISTANTES……..….…35 INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE………………… LAGRANGE…………………..………38 PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………… RESUELTOS ……………………………………………………..……..42 METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES…… LIENALES ……....…….48 …….48 Método Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50 Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50 Método de Cholesquy……………………………………………..…………………….52 Cholesquy ……………………………………………..…………………….52 Método Tridiagonal para sistemas de ecuaciones lineales………………………………59 lineales ………………………………59 Método Pentadiagonal para sistemas de ecuaciones lineales ………………… …………………....………..65 ………..65 NORMA DE UNA MATRIZ………………………………………………………......73 MATRIZ………………………………………………………......73 SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………...75 LINEALES ………...75 Método de Jacobi……………………………………………………………………….75 Jacobi ……………………………………………………………………….75 Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Método de Gauss- Seidel……………………………………………………………….85 DIFERENCIA NUMERICA…………………………………………………………..99 NUMERICA…………………………………………………………..99 INTEGRACIÓN NUMERICA…………………………………………….…………. NUMERICA…………………………………………….………….105 105 EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)……………………………………..113 (E.R) ……………………………………..113 INTEGRACION DE ROMBERG…………………………………………………….123 ROMBERG…………………………………………………….123 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E. D.O. CON VALOR INICIAL…………………….130 INICIAL …………………….130 Método de Euler……………………………………………………………………….130 Método de Taylor de orden K…………………………………………………………133 Predictor – corrector – corrector …………………………………………………………………...138 …………………………………………………………………...138 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ………………………140 ………………………140 CONCLUSIONES …………………………………………………..……………...14 …………………………………………………..……………...1433 …
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MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUCCIÓN En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.
Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.
Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son más difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será MATLAB 6.0
Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
ERROR ABSOLUTO Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS:
Se define por la siguiente relación: ; Donde: m = es la descomposición polinómica. n = numero de cifras significativas exactas. DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS:
Se define por la siguiente relación: ; Donde: t =numero de cifras decimales exactas. Ahora sea: P = ln(5) Entonces: P= ln(5) = 1.609437912 Y sea sus siguientes aproximaciones: P1 = 1.60123456 P2 = 1.609413131 P3 = 1.6094372 Donde: m = 0 Ahora hallamos sus Ea de cada uno. Ea1 = | p – p₁ | = 0.008203 = 0.008 = 0.8x10¯³ = 0.001 = 0.1x10¯² Ea₂ = |p - p₁ | = 0.000025 = 0.00003 = 0.3x10¯´ Ea₃ = |p - p₃ | = 0.0000012 = 0.00001 = 0.1x10¯µ
Ahora hallaremos el número de cifras significativas exactas:
Para p₁:
0.1x10¯²≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -2 = -n+1 n = 3 ---> p₁ tiene 3 cifras significativas exactas.
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MÉTODOS NUMÉRICOS Para p₂: 0.3x10¯´ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹
-4 = -n+1 n = 5 --- > p₂ tiene 5 cifras significativas exactas. Para p₃: 0.1x10¯µ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹
-5 = -n+1 n = 6 ---> p₃ tiene 6 cifras significativas exactas. Ahora hallaremos el número de cifras decimales exactos: Para p₁: 0.1x10¯²≤ 0.5x10¯™
K=2 Entonces p₁ tiene 2 cifras decimales exactas. Para p₂: 0.3x10¯´ ≤ 0.5x10¯™
K=4 Entonces p₂ tiene 4 cifras decimales exactas. Para p₃: 0.1x10¯µ ≤ 0.5x10¯™
K=5 Entonces p₃ tiene 5 cifras decimales exactas.
TEOREMA DE BOLZANO (T.B.) Sea la ecuación no lineal f(x) =0; Donde f(x) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), Si
Aplicación del Teorema de Bolzano:
Sea f(x) = 4cosx - 1 x
f(x)
0
3
1
1.1612
2
-2.664
Como
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existe X* que pertenece a [1,2]
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MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE BISECCIÓN
Dado la ecuación no lineal f(x) = 0 /. Existe la raíz X* [a, b] por T.B. El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo [ ] X*.
Algoritmo de bisección: P-1.- Dado la ecuación f(x) = 0 /. Existe la raíz X* [a, b] por T.B. P-2.- Generar la sucesión {xi} x* mediante la siguiente relación
; i = 0, 1, 2,3…….
P-3. – Hallar
| |
P-4. - Dejar de iterarse Parar si
Caso contrario ir al paso numero 2.
Ejemplo 01.
| | - - / X*
[-2;-1]
Obtener una solución con 2 cifras exactas(n). Se deja de iterar si i=0;
-1.5
i=1;
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MÉTODOS NUMÉRICOS
- - | | - | | i=2;
i=3;
Por lo tanto se sigue
iterando
i=4;
Verdadero por lo tanto se termina las iteraciones
X* = -0.03125
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MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN
-
Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos -->X*. El método de R.F. determina el promedio ponderado -->X*. de los intervalos
Algoritmo del método de R.F. Paso 1: Dada la ecuación
=0
Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* mediante la relación:
Paso 3: Hallar
| | Paso 4: Parar si Ejercicio 1:
a) Por Teorema de Bisección determinar donde existe la raíz
x
f(x)
-1
-
0
-
1
+
2
+
-
b) Por bisección obtener una solución con 1 cifra significativa exacta Se deja de iterar si
| |
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MÉTODOS NUMÉRICOS
- - - - - | | i=0;
0.5
i=1;
i=2;
i=3
i=4;
verdadero por lo tanto termina las iteraciones
X* =
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MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación
De
=0 despejar
= g (x)……….. (2)
=0 / exista la raíz X*
[a,b] por el T.B.
de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma:
Donde g(x) es llamado función de iteración. Si x = x* es raíz o solución de (2) también lo será de llamado punto fijo.
=0, X* que satisface (2) es
Paso 2: Generar la sucesión:
{ x n} x*
Mediante la siguiente relación: Xn+1 = g (Xn) ; Donde n= 0,1,2,3,…
Tomando como valor
arbitrario /
Dejar de iterar si:
Caso contrario ir al paso 2.
ab| |
Existe { x n} x* Si se cumple lo siguiente:
∃ g´ tal que | g´| L ∀ ab
a) g (x) ,ab-
b)
L es llamado constante de Lipschitz L = Max {| g´ (a) |, | g´ (b) |}
L
Donde también consideramos obvio a,b ]
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es continua y diferenciable en [a,b].
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MÉTODOS NUMÉRICOS Ejemplos:
a) Por TB encontrar el intervalo donde existe la raíz X*
x
f(x)
-1
-
0
-
1
+
∃ -
b) Por punto fijo verificar su convergencia
l - | | ∀ || || || || ∃ | | - De
Análisis para
¿Si
cumple la 1ra condición? Si
¿Si
cumple con la 2da condición? Si
L=max { L = 0.9 < 1
} = max
Como g1(x) cumple ambas condiciones Se evalúa en punto fijo
c) Por punto fijo obtener una solución con 1 decimal inexacto, entonces se deja de iterar si: Como , cumplió con las condiciones de convergencia, entonces su relación de recurrencia: Como
sea X0 = 0.5 (Punto arbitrario entre [0; 1])
n = 0; Punto inicial y de
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MÉTODOS NUMÉRICOS
| | n = 1; 1ra Iteración
n = 2; 2da Iteración
n =3; 3ra Iteración
x4 es la X* con una cifra decimal exacta.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE LA SECANTE Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación
∃ ab- =0. /
x*
Generar la {xi} x* Mediante:
=
; Donde i =2, 3,4,…
Paso 3: Dejar de iterar si:
| |
Caso contrario ir al paso 2.
Ejemplos:
Sea: Obtener una solución con una cifra significativa. x
f(x)
-1
-
0
-
1
+
2
+
∃ -
- i=2
2da Iteración
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MÉTODOS NUMÉRICOS i =3; 3ra Iteración
i =4; 4ta Iteración
i =5; 5ta Iteración
i =6; 6ta Iteración
| | | | Se deja de Iterar si:
, con 1 cifra significativa exacta.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0 , ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz. Se requiere que f(x) sea doblemente continua y diferenciable en [a,b].
Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación f(x) = 0 / Existe la raíz X*
ab- por TB
Generar la sucesión {xn} x* mediante la siguiente relación de recurrencia.
=
-
; n=0,1,2,…
Paso 3: Dejar de iterar si:
Caso contrario ir al paso 2.
| |
Convergencia de N-R.
Existe {xn} x* Si: |
´´
|<1
Ejemplo:
Sea:
a) Por TB encontrar el intervalo donde x
f(x)
-2
+
-1
+
0
-
1
-
2
+
∃
∃ ∃ -
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MÉTODOS NUMÉRICOS b) Sea
-
Por Newton Raphson verificar su convegencia ¿Qué valor de X0 se debe de tomar? / Si X0 = 1, entonces f(1) . f'’(1)
*
∃ Si x0 = 1,
es valida
Si x0 = 2,
es valida
Para x0 = 1
c) Por Newton Raphson ¿Cuántas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da Iteración?
i = 0;
i = 1; 1ra Iteración
i = 2; 2da Iteración
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MÉTODOS NUMÉRICOS
METODO DE PUNTO FIJO O METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES Dado el Sistema: F(x, y) = 0…… (1) G(x, y) = 0…… (2)
De (1) y (2), despejamos de alguna forma x e y para obtener un sistema de la siguiente forma: x = f(x, y) = f…… (3) y = g(x, y) = g…… (4)
La solución de (3) es solución de (1). La solución de (4) es solución de (2).
Dado el sistema:
F(x, y) = 0 G(x, y) = 0
Despejar x ^ y, y obtener el siguiente sistema. x = f(x, y) = f y = g(x, y) = g
Generar la sucesión: {Xn} ^ {yn}
xk Yk
Mediante la siguiente relación de recurrencia: yn+1 = g(xn, yn)
^ Xn+1 = f(xn, yn)
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n = 0, 1, 2,…
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MÉTODOS NUMÉRICOS 3º Paso: Dejar de iterar si:
| ó |
|
;|
∃ ∃ | | || {Xn}
xk
^
{yn}
Yk
Si se cumple lo siguiente:
^
Ejemplo: Sea el sistema.
… (1) … (2)
Localizar el intervalo inicial (x0, y0) por el T.B.
De (1) y (2) se tiene:
Con intervalo de longitud = l = 1
x -2 -1 0 1 2 3
∄ -
+
∃ -
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Con intervalo de longitud = l = 0.1
x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
+ + +
∃ -
Verificar su condición de convergencia De: De:
| | . / . / ∢ || | |
Se requiere que se cumpla:
0
Como L = 1 ^
0.9
+
1
=1 <1
1 → la solución puede converger o no
+
0
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= 0.9 < 1
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2) Se deja de iterar si:
|
| 0.5*10m-n+1 /m=0, n=2 0.5*10-1
ó |
|
0.5*10-1
Sus relaciones de recurrencia son:
^
Iterando: ; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8
^
; PRMERA ITERACION; con X1 =
^
^
^
^ Y1 =
; SEGUNDA ITERACION; con X2 =
^ Y2 =
; TERCERA ITERACION; con X3 =
^ Y3 =
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MÉTODOS NUMÉRICOS
; CUARTA ITERACION; con X4 =
^ Y4 =
; QUINTA ITERACION; con X5 =
^ Y5 =
^
^
; SEXTA ITERACION; con X6 =
^ Y6 =
^
; SEPTIMA ITERACION; con X7 =
^ Y7 =
^
| ^ |
| = 0.02 = 0.2*10-1 0.5*10-1
| = 0.1*10-1
0.5*10-1
Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
METODO DE NEWTON – RAPSON (N.R) El sistema debe de estar en la forma: F = F(x, y) = 0 G = G(x, y) = 0
Para que tenga solución su Jacobiano = J(x, y) = J ≠ 0
1º Paso: Dado el sistema: F(x, y) = 0 G(x, y) = 0
2º Paso: Generar la sucesión: {Xn} ^ {yn}
xk Yk
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
^
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Parar si:
| ó |
|
|
C.C. ir al 2º Paso.
Ejemplo:
/ . *Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2).
Iterando:
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MÉTODOS NUMÉRICOS ; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8
; PRIMERA ITERACION; con X1 = 2.7629 ^ Y1 = 2.8937
| ^ |
| = 0.0003 = 0.3*10-3 0.5*10-3
| = 0.0005 = 0.5*10-3
0.5*10-3
Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN Supongamos que se conoce f 0 , f 1, f 2, …….fn valores correspondientes a X 0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0
a) Interpolación directa.- consiste en que dado un valor X P diferente de los X i pero correspondido entre X 0 y Xn, se desea hallar el valor de su imagen f P b) Interpolación inversa.- consiste en que dado el valor de la imagen f P se desea hallar el valor XP que genera dicha imagen.
1.- INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL XP = valor a interpretar
f
FP = f (XP) imagen de X P
(X1,f 1)
F(X)
(X0,f 0 (XP,f P)
Xo
XP
X1
X n
INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO Y NEWTON – REGRESIVO.
Para un conjunto de (n+1) puntos igualmente espaciados Interpolación consiste, en dado un valor no considerado , en la tabla, se debe hallar su imagen . Hay dos tipos de Interpolación.
A) Interpolación Directa. Consiste en que dado se debe hallar su imagen . B) Interpolación Inversa. Consiste en que dado el valor de la imagen , se debe hallar el valor
.
1 ) Interpolación Directa de Newton Progresivo (IDNP) Se utiliza cuando se desea interpolar un valor Utiliza la siguiente fórmula.
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dado al principio de la tabla o
sector de la tabla.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
- ,
Donde
Utiliza la siguiente Tabla de omisión de Términos (T.0.T)
Newton Progresivo Newton Regresivo
4
8
12
16
Observación: Si
|
|<4 Se tiene Inter. Directa Lineal y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la .
sea;
Si
|
|<8
|<12
Diferencia, o
Se tiene Inter. Directa No Lineal (IDNL) y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la
.
Diferencia, o sea;
Si |
Se utiliza IDNL y en la formula de NP se utiliza hasta la
+
.
diferencia, osea
(4) Tanto en (1),(2) y (3) solo se considera las cifras significativas.
Ejemplo 1: En la Sgte. Tabla si
1
1.1
1.2
1.3
4
4.3
4.6
4.9
=1.05, hallar
Sol:
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27
MÉTODOS NUMÉRICOS
1 4 xp=1.05 f p=? 1.1 4.3
Como| |<4 se aplica IDL y se utiliza de NP hasta la Diferencia anterior o sea hasta la diferencia
3=
0=
3 1.2
4.6
0
|
3 1.3
4.9
|=0<4
→
P=0.5
<0,1>
→
Ejemplo 2: Si Hallar
en la Sgte. Tabla
log
6.2
6.4
6.6
6.8
0.79239
0.30618
0.81954
0.83251
log h
x
6.2 Xp=6.36 6.4 6.6 6.8 7
7.2
0.79239= fp=? 0.30618=
7 7.2
1279=
-43=
1336=
0.8195 =
-38=
1259=
0.84510=
1223=
0.85733=
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4
-39=
1297=
0.83251=
-36=
1 2
28
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si
2) Interpolación de Newton Regresivo (NR) Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte final de la tabla. Su fórmula es
Donde
Ejemplo Si x 3
=3.9 hallar
20.08
4.45
3.2
24.53
0.98 5.43
3.4
29.96
.22 1.20
6
6.63 3.6
36.59
.28 1.48
2
8.11 3.8
49.7
.30 1.78
9.89
4.0
54.59
|
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|<12 Se aplica
de NR hasta la
diferencia
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MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte central de la tabla. Se tienen las siguientes formulas:
a) Interpolación de Stirling:
〈〉〉 Se aplica si p
Su formula es: p= 0+
S1 (
+
-1/2
1/2)
+ S2
0
+ S3 (
-1/2
+
1/2)
+ S4
0
…
Donde: S1=
; S2=
; S3=
; S4=
; S5=
; …
b) Interpolación de Bessel: Se aplica si p
〈〉
Su formula es:
p= 0+
1
1/2 +
2(
0
;
3=
+
1)
+
1/2…
5
Donde: 1=
;
2=
;
4=
; …
c) Interpolación de Everett:
〈 〉 Se aplica si p
Su fórmula es: =
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…
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MÉTODOS NUMÉRICOS Donde:
;
;
;
;
; …
; …
*Tabla de Omisión de Términos (T.O.T):
Bessel o Stirling 4
60
Everett
no existe 20
4
20
500
100
no existe 100
Ejemplos resueltos: En la siguiente tabla se tiene: X
0
f(x)=
+
+ x +1 1
0.111
0.0260.006
0
0.1
1.111
0.137
0.032
0.006
0
0.2
1.248
0.169
0.038
0.006
0
0.3
1.417
0.207
0.044
0.4
1.624
0.251
0.5
1.875
Como:
; No cumple ; cumple con la T.O.T, según P se aplica Bessel, Stirling o Everett.
Entonces hallar: f f p a) Si
;
Solución a): Se sabe que:
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31
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces:
〈 〉 〈 〉| | 〈〉 | 〉 | 〈 Como:
Se aplica Stirling y Everett porque
Para Stirling su es hasta su 2ºdiferencia, como y se aplica Everett o hasta su anterior pero como no existe la 3º diferencia; el de Everett es hasta la 2º diferencia. *Solución según Stirling: p= 0+
S1 (
-1/2
+
1/2)
+ S2
0
p=
1.248 + 0.12 (0.137 + 0.169) + 0.0288*0.032
p=
1.2856416
valor aproximado
Con calculadora:
p=
1.285415424
*Solución según Everett:
=
p
=0.76*1.248+0.24*1417-(0.053504*0.032)-(0.037606*0.038)
p
=1.285415424
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
32
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES
POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
Sean
(X0, f 0), (X1, f 1),…, (Xn, f n)
Entonces existe un polinomio de grado
(n+1) ptos
que para por dichos puntos
(X0
OBS: en el primer termino falta (X-X0), en el 2º termino (X-X1), y así sucesivamente en el ultimo termino falta (X-Xn) esto es una cualidad de dicho polinomio. Como f(x) debe contener a los puntos dados Si X = X0
; f(X0)= a0(X0-X1) (X0-X2)……..(X0-Xn)
a0= Si X = X1
f(o)
X0X1
X0X2
X0X3 ………(X0Xn)
; f(X 1)= a1(X1-X0) (X1-X2)……..(X1-Xn)
a1= .
f(1)
X1X0
X1X2
X1X3 ………(X1Xn)
. . Si X = Xn
; f (Xn)= an(Xn-X0)(Xn-X1)(Xn-X2)……..(Xn-Xn-1)
an=
(n)
XnX1
XnX2
XnX3 ………(XnXn1)
Remplazando los así en el polinomio P(X) Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
33
MÉTODOS NUMÉRICOS
f X =
XX1 XX2 …(XXn)
X0X1 X0X2 …(X0Xn)
L0(X)
f0
1 0
2
…(X1Xn)
X1X0 X1X2 …(X1Xn)
L 1(X) F(X)
=
f1…
XX0 XX1 …(XXn1)
XnX0 XnX1 …(XnXn1)
L n(X)
L 0(X) fo +
L1(X) f1
…………….
+ Ln(X )fn Polinomio de Lagrange
Donde:
i X =
XX0 ….. XXi1 (XXi1)…(XXn)
XiX0 ….. XiXi1 (XiXi1)…(XiXn)
TEOREMA.- Sean (X0, f 0), (X1, f 1),…, (Xn,f n) (X0
Función multiplicadora de Lagrange
para los puntos (n+1) y además que pasa por dichos puntos.
DEMOSTRACIÓN i). La existencia del polinomio está generalizada por el `polinomio de aproximación de Lagrange. ii). La unicidad: supongamos que existen dos polinomios P(X) y Q(X) de grado que pasan por los puntos dados. Probaremos que P(X) =Q(X) , (X0,Xn)
∀
Consideremos
R(X)= P(X) - Q(X) R(X) es de grado
(ya que el grado de P(X) y Q(X) es
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
)
34
fn
MÉTODOS NUMÉRICOS
Además: R(X0)= P(X0) - Q(X0)= f 0-f 0 =0 R(X1)= P(X1) - Q(X1)= f 1-f 1 =0
En general
∀
R (Xi) = 0
i 0,1,2,3,……n
Entonces. X0, X1, X2,…., Xn son las raíces de R(X) R(X) tiene (n+1) raíces (pero el grado de R(X) es menor o igual a n) Entonces R(X) debe ser el polinomio nulo (el único que tiene más raíces que su grado) R(X)= P(X) - Q(X)= 0 P(X) =Q(X) ,
∀
( 0 , Xn)
Ahora consideremos X Fx
-1 0 2
2 1 5
El polinomio P(X) = X2 +1 pasa por estos puntos, también pasa por estos puntos el polinomio Q(X) = X3-2X + 1
¿Contradice el teorema?
No contradice el teorema, ya que el teorema establece que son iguales para aquellos que tengan grado , luego pueden muchos otros de grado >n que sean diferentes al del grado grado
INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE
Polinomio de Lagrange: Dado un conjunto de (n+1) puntos de la forma ( , ); i=0,1,2,…, n.
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35
MÉTODOS NUMÉRICOS Se puede aproximar a un polinomio de grado Sea el siguiente polinomio
n.
a determinar:
Observación:
El polinomio
se caracteriza por:
En el 1º término falta el factor , en el 2º término falta el factor factor y así sucesivamente, en el n-ésimo termino falta el factor
, en el 3º termino falta el
.
En el polinomio de Lagrange los puntos ( , ) no necesariamente son igualmente espaciados, es decir h no es constante.
i
Para hallar el polinomio de Lagrange se debe hallar los
; de la siguiente manera:
Si x=
Si x=
Si x=
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36
MÉTODOS NUMÉRICOS
Remplazando los coeficientes en
tenemos:
El polinomio de Lagrange, también se puede expresar como:
Ó
Ejemplo: 1 En la siguiente tabla:
a) Aproximar a un polinomio de Lagrange. b) Si
=1.1. Determinar
Tenemos: X
por Lagrange.
2
1 2
26
a) Solución: El polinomio de Lagrange
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, será:
37
MÉTODOS NUMÉRICOS
Luego, resolviendo tenemos:
b) Solución: Como:
Aprox. E interpolación de un polinomio de newton.
Donde:
| Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
38
MÉTODOS NUMÉRICOS
|
Ejemplo: 2 Aproximar la siguiente tabla aun polinomio de newton
x 1.1 1.2 1.3 1.4
1.04 =
0.04
1.08=
-0.02 0.03
0.02
1.11=
-0.01 0.04
1.15=
Donde: h=1.4-1.3=0.1
PROBLEMAS RESUELTOS
1
(Método de Newton – Raphson) F(x)=
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/
[0,1]
39
MÉTODOS NUMÉRICOS Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da iteración.
F(x)=
Solución:
F’(x)= F’’(x)=
=
1ro Analizar el pto inicial x ₒ optimo / xₒ [0,1] Para xₒ : F(xₒ).F‘’(xₒ)<0 ->xₒ no es valido. Para x₁ =1: F(1).F‘’(1)>0 ->x₁ =1 es valido para iterar.
-> | n=0
∃
|=0.47 = 0.5 < 1 -> {xn} ->
Xn₁=Xn-
=> Xn+1 = Xn –
Con X₀=1 X₁ = X₀ –
X₁=0.683939
n=
1ra Iteración.
X₂ = X₁ –
X₂=0.5774544772
n=
2da Iteración.
X₃ = X₂ –
|X₃ - X₂|=0.01=0.01 n=1 -> X = con 1 cifra significativa.
2
(Método del Punto fijo)
Resolver por el método por el punto fijo con 1 cifra decimal exacta.
{} X
Solución:
-1 =0 (1)
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40
MÉTODOS NUMÉRICOS
X= de (1) Remplazando en (2) F (y)= Y 0 1 2
F (y) F (0).F(1)<0 -> + [0,1] +
Y 0 0.5 0.6 1
∃
F (y) F (0.5).F(0.6)<0 -> 1er intervalo para F(y)= +
∃ - *
Según (*) Sea Y₀=0.5 -> X₀= Se tiene el punto inicial X₀=1.6 y Y₀=1.5 muy cercano a la raiz.
X= 2 Y= LnX
-> f -> g
fx=0
fy=
gx=
gy=0
f x (1.6;1.5)=0
f y(1.6;1.5)=0.5773502642
g x (1.6;1.5)=0.625 gy (1.6;1.5)=0
|f x(1.6;1.5)+f y(1.6;1.5)|=0.57785026 < 1 |gx(1.6;1.5)+gy(1.6;1.5)|=0.625 < 1 -> { Xn} -> {Yn} -> Mediante la Sgte. Relación.
∃∃
√
Xn+₁=2 Yn+₁=Ln(Xn)
n=0,1,2 n=0,1, 2
Dejar de iterar |Xn+₁-Xn| 0.5*
Iterando como punto inicial *Xₒ,Yₒ+=*1.6;1.5
n=0
X₁=2
=1.732050
Y₁=0.4700036292
n=1Lucio Avilio Malasquez Ruiz Lic. n=2
41
MÉTODOS NUMÉRICOS X₂=1.765328965 Y₂=0.5493061446 X₃=1.671242364 Y₃=0.5683370555 X₄=1.645591676 Y₄=0.5135672804 X₅=1.716098655 Y₅=0.49810001
n=5
X₆=1.734239187 Y₆=0.5400534907
|X₆-X₅|=0.018 = 0.02 = 0.2*
|Y₆-Y₅|=0.04 = 0.4
->-> X₀=
3
y Y₀=
0.5*
0.5* son raices con una cifra significativa.
(Método del Punto fijo)
Por el método de N-R, resolver el sistema: {} X -1 =0 (1) a) Localizar el intervalo donde existe la raíz b) Verificar su condición de convergencia c) Hallar una solución con 4 cifras decimales exactas. Solución:
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42
MÉTODOS NUMÉRICOS
a) Y=Lnx de (1) Remplazando en (2) -> F(x)=
Utilizando el T.B. localizamos el intervalo donde existe la raiz. x 1 2
F(x) +
F (1).F(2)<0 ->
x F(x) 1.6 1.7 +
∃ ∃
F(1.6).F(1.7)<0 ->
Sea X₀=1.6 ; Y₀?
De (1) -> Y=Lnx = Ln(1.6)=0.47 - > Y₀=0.47
Entonces: { X 1.6
Y
Pto más cercano de la raíz.
0.47
b) Sea
F(x,y)=X G(x,y)=
-1
Fx(x,y)= Fy(x,y)=-X. Gx(x,y)=2X Gy(x,y)=8y
Fx(x,y) J(x,y)=| Gx(x,y)
Fy(x,y) Gy(x,y)
∃ ∃
= 5.550020142
|=| 2x
X. 8y
|
0
Y como (X Y ) es muy cercano: ->-> {xn} -> y -> {yn} -> c) Dejamos de iterar si: |Xn-Xn₁| 0.5* =0.5* Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
43
MÉTODOS NUMÉRICOS
|Yn-Yn₁| 0.5*
=0.5*
Ahora:
||=|
F G
8Y [X
Fy Gy
X |
-1 -X.
8y
-1]+ X.
| Fx
Gx
F |=| G
-X.
|=
[
]-2x [-X.
]
Veamos que la formula de recurrencia asi: Xn₁=Xn -
n=0,1,2,.. Yn₁=Yn n=0,1,2,…
- ] [
;
Siendo Pₒ inicial: (1.6;0.47)=(Xₒ;Yₒ)
n=0
X₁=1.6 –
=1.700250715
Y₁=0.47-
= 0.53265975
n=1 X₂=1.700250715 –
=1.697250462
Y₂=0.53265975-
= 0.52900931
n=2
X₃=1.697250462 – =1.6972239658
Y₂=0.53265975-
= 0.5290032
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44
MÉTODOS NUMÉRICOS
Luego |X₃ - X₂|= 0.000026=0.00003=0.3 0.5* -> con 4 cifras significativas decimales exactas.
|Y₃ - Y₂|= 0.0000061=0.00001=0.1 0.5* -> con 4 cifras significativas decimales exactas.
METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES
La factorización matricial consiste en expresar una matriz cuadrada en el producto de otras dos matrices. FACTORIZACIÓN MATRICIAL “LU”
(Método de Crout – Doolitle)
Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es:
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45
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde:
A: es la matriz a factorizar L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”. U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.
NOTAS: . Este tipo y todos los tipos de factorización matricial se basan en el “método de
eliminación gaussiana”. . Aunque no todas las matrices admiten este tipo de representación, muchas de las que aparecen frecuentemente en las aplicaciones de las técnicas numéricas sí la tienen.
. La factorización “LU” es e specialmente útil cuando hay que resolver varios sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes “A”, puesto que el proceso de las operaciones se realiza solamente una vez. . Desde un punto de vista práctico, esta factorización sólo será útil cuando los intercambios de filas no sean necesarios para controlar los errores que aparecen por utilizar aritmética con un número finito de cifras.
. También se podría decir que la factorización “LU” solamente es aplicable cuando los determinantes de las submat rices de “A” son todos distintos de cero.
Ejemplo
+ + + 0
Sea la matriz
=
0 0
=
El sistema tiene nueve ecuaciones con doce incógnitas, entonces existen infinitas soluciones. Para que tenga solución debemos fijar tres variables libres, puede ser lii=1 o uii=1 Sea
uii=1 → u11= u22= u33=1,
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46
MÉTODOS NUMÉRICOS
+ + + 0
0 0
=
L
U
Resolviendo la ecuación matricial se tiene los siguientes resultados:
l11=2,
l21=4,
l31=1
u12=0, l22=3, l32=2
+ + u13=
,
u23=2, l33=
=
0 -1 4
L
U
Observación.- El método Crout – Doolitle sirve para resolver un sistema de ecuaciones usando la factorización L U mediante las siguientes igualdades:
A.x = B
L.U.x = B
L.y = B
U.x = y
PRIMER METODO DIRECTO:
MÉTODO CROUT-DOOLITLE. Para un sistema lineal de la forma:
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47
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde A se factoriza de la forma:
L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior
Sea:
Ejemplo:
Sea la matriz
Para
+++ ++
Para
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48
MÉTODOS NUMÉRICOS
+,
SEGUNDO METODO DIRECTO
METODO DE CHOLESKY También para resolver el sistema Ax = b para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente: Simetrico
1° que XtAX>0 /
“A” definida Positiva
X=
t →X = (X1 X2 X3)
2° cada sub determinante sea positiva es decir: A 33
||
1º versión de cholesky Ejemplo: 1
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49
MÉTODOS NUMÉRICOS
-
Aplicar cholesky al sistema siguiente:
A es simétrico
¿A es definida positiva?
Se debe de cumplir que X tAX>0
Se puede aplicar cholesky
Ax = b A = L*L
l11=2
t
L*LtX = b Y = LtX
L*Y = b Lt*X = Y
l21 = ½ l31 = 1 Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
50
MÉTODOS NUMÉRICOS
l22 =
√
√
l32 = l33 =
L*Lt =
√ √ √ √
Ax = b
Lt*X = Y L*Y = b
t
L*L X = b Para L*Y = b
√ √ Y1 = ½ Y2 =
√
Y3 = 4*
Para Lt*X = Y
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51
√ √ √ X1 = 28/27
MÉTODOS NUMÉRICOS
X2 = 35/27
X3 = -16/27
Ejemplo: 2 (Métodos de Cholesky para hallar el sistema Ax=B) Resolver el siguiente sistemas por Cholesky. 4 2 0 x1 2 x 2 5 2 = 2 3 0 2 6 x 5 3
Solución:
• A = At , entonces A es simétrica. •
t
x Ax > 0 , luego
A es definida positiva.
Factorizamos la matriz A = LLT 4 2 0 l 11 0 0 l 11 l 21 l 31 A = 2 5 2 = l 21 l 22 0 0 l 22 l 32 0 2 6 l l l 0 0 u 33 31 32 33
Para la 1ra columna tenemos:
l 112 = 4 l 11 = 2 l 21l 11 = 2 l 21 = 1 l 31l 11 = 0 l 31 = 0
Para la 2da columna tenemos:
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52
MÉTODOS NUMÉRICOS
l 11l 21 = 2 2 2 = 5 l 22 = 2 l 21 l 22
l 31l 21 l 32l 22 = 2 l 32 = 1
Para la
3
ra
columna tenemos:
l 11l 31 = 0 l 21l 31 l 22 l 32 = 2 2 l 31 l 322 l 332 = 6 l 33 = 2
2 0 0 2 1 0 t L = 1 2 0 , L = 0 2 1 0 1 2 0 0 2
Del sistema Ax = b LLt x = b , luego Ly = b y Lt x = y Para Ly = b 2 0 0 y1 2 1 y y 1 2 0 = 3 = 2 1 0 1 2 y3 5 2
Para Lt x = y
1 2 0 2 1 = 1 = x x 2 0 1 0 0 2 x3 2 2
1 0 x1
1
2. Segunda versión de cholesky
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53
MÉTODOS NUMÉRICOS
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
54
MÉTODOS NUMÉRICOS
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55
MÉTODOS NUMÉRICOS
TERCER METODO DIRECTO:
MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el sistema de ecuaciones de la forma:
+++
………. (1)
………. (2)
………. (3)
………………………………………………………
………. (n-1) ………. (n)
ALGORITMO TRIDIAGONAL: Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
56
MÉTODOS NUMÉRICOS
P-1:
Del sistema
P-2:
Sea
̅
, expresarlo como
, C es constante arbitraria /
̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅
De la Ec. (1) despejar De la Ec. (2) despejar De la Ec. (3) despejar ………….
De la Ec. (n-1) despejar De la Ec. (n) despejar Pero como no existe
Tal que:
se hace lo siguiente:
donde R: vector residual
Se tiene
Si Si
Del sistema llegando a lo siguiente: P-3:
es solución de es solución de
expresarlo como
y sea
, se procede como P-2,
̅ ̅
̅ ̅ ̅ ⁄ Tal que:
donde S: vector residual
Se tiene
Si Si
Se tiene:
es solución de es solución de ……..
……..
0
Se busca una relación: Tal que:
Ejemplo:
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57
MÉTODOS NUMÉRICOS
Resolver:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 2
2
Del sistema
……… (1)
2
….….. (2)
2
……… (3)
……… (4)
Sea
De (1):
,
De (2): De (3):
0
̅ ̅ ̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ De la ec. (4) despejo
̅
, pero como no existe
Del sistema Sea
, luego se procede como P-2
, en , en , en
Observación : Si
cambiar el valor inicial de
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̿
58
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅ ̅ ̅ ̅ ⁄
Se busca una solución Tal que:
Verificando:
2
2
Ejemplo 2 (Solución de sistemas lineales en Tribanda)
Sea
en Tribanda.
Algoritmo del sistema Tridiagonal
Solución:
̅
Del sistema Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
59
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Sea
, C vector arbitrario talque
Entonces:
De (1) despejo
:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∄̅ ̅ ̅ De (2) despejo
:
De (3) despejo
:
De (4) despejar
; pero
:
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60
MÉTODOS NUMÉRICOS Y se tiene que:
̅ ̅ ̅ ̅
̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ∃ ̿ ̿ Ahora expresarlo como
es un vector nulo.
Sea
De (1) despejar
:
De (2) despejar
:
De (3) despejar
De (4) despejar
:
, pero
entonces:
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61
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces:
Comprobación:
-46+24+13 -22+13=-9
CUARTO METODO DIRECTO
MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
+ A
=
x
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Ec (1) Ec (2)
Ec (n)
b
62
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅
P-1Dado el sistema Ax=b , expresarlo en la forma A =b y definir =C
Donde C D son constantes arbitrarias.
P-2De Ec (1) despejar
De Ec (2) despejar
De Ec (n-2) despejar De Ec (n-1) despejar
=D
̿ ./ De Ec (n) despejar Como no existe
se hace lo siguiente :
Como no existe
se hace lo siguiente :
Donde
es un vector residual.
Si
es solución del sistema A.x = b
Si
P-3:La primera solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como luego definir en la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso anterior (P-2) llegando a la siguiente solución
en donde
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es un vector residual.
63
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅̿ Si
es solución del sistema A.x = b
Si
P-4: La segunda solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como luego definir en la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso P-2 llegando a la siguiente solución.
en donde
Si
es un vector residual.
es solución del sistema A.x = b
Si
P-5 Finalmente se llegará al siguiente sistema ()
()
()
Luego hacemos (1) –
y se llega a lo siguiente
A (
X
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64
MÉTODOS NUMÉRICOS Se busca luego una solución en donde R
= /
Entonces la solución del sistema A.x = b estará dado por
Ejemplo Resolver el siguiente sistema pentadiagonal
2 + 3 + 3 + 2
+ 4
+ 4
+
+ 4
+ 2
+
+ 7
2
= 8 Ec(1)
+
+ 4
= 15 Ec(2)
+ 2
+
= 13 Ec(2)
= 19 EC(4)
= 15 EC(5)
P-1: Expresar el sistema como A. = b
2
+ 3
+
3
+ 2
+ 4
+
+ 4
+
+ 4
+ 4
+ 2
+
+
+ 7
2
Sea
= 0
+ 2
= 8 Ec(1)
= 15 Ec(2) = 13 Ec(3)
= 19 Ec(4)
= 15 Ec(5)
=1
cte arbitrario
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65
MÉTODOS NUMÉRICOS P-2:
∄ ∄ DE Ec(1) despejar
= 5
pues 0 + 3(1) +
DE Ec(2) despejar
= 8
= 7
pues 0 + 2(1) +4(8) +
DE Ec(3) despejar
= 15
= 16
pues 0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2
DE Ec(4) despejar + 4
+ 2
+
; como
, hacemos lo sgte. :
= 19 +
1 + 4(5) + 2( 7) + 16 = 19 + De la Ec(5) despejar 2 +
= 13
; como
= 45
hacemos
+ 7 = 15 +
2(5) + ( 7) +7(16) = 15 +
R =
, como R
; A.
= 100
= b + R
Se tiene:
( ) =
=
() ó
=
P-3:
Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo
̿
Como A. = 2 + 3 +
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= 0 Ec(1)
66
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ∄ ∄ ̅̿ 3 + 2 + 4 + + 4 +
= 0 Ec(2)
+ 4 + 2
= 0 Ec(3)
+ 4 + 2 +
= 0 Ec(4)
2 +
Sea
+ 7
= 10
= 0 Ec(5)
= 20
De Ec(1) despejar
;
= 80
pues 2(10) + 3(29) +
De Ec(2) despejar
;
= 0
= 250
pues 3(10) +2(20) + 4( 8) +
De Ec(3) despejar
;
= 0
=
pues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2
De Ec(3) despejar + 4 + 2 +
; como
hacemos
= 0 +
20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 + De Ec(5) despejar
=0
; como
2 +
;
= 1445
hacemos
+ 7 = 0 +
S =
2(
+ (250) + 7(
= 0 +
= 0
P-4: Segunda solución homogénea del sistema A.x = b expresar A. = 0 2 + 3 +
= 0 Ec(1)
3 + 2 + 4 +
= 0 Ec(2)
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67
MÉTODOS NUMÉRICOS
∄ ∄ ./ ) () ( + 4 +
+4
+ 2
+ 4 +2 +
2 +
Sea
= 20
= 0
Ec(3)
= 0
Ec(4)
+ 7
= 0
Ec(5)
= 10
De Ec(1) despejar
;
=
pues 2(20) + 3(10) +
De Ec(2) despejar
= 0
=
3 + 2 + 4 +
= 0
3(20) + 2(10) + 4(
) +
De Ec(3) despejar
= 0
= 395
+ 4 + + 4 + 2 = 0
20 + 4(10) + (
+ 4(200) + 2 = 0
De Ec(4) despejar + 4 +2 +
10 + 4(
= 0 +
T =
A.
, hacemos
= 1925
2(200) + 395 = 0 +
De Ec(5) despejar 2 +
como
; como
+7 = 0 +
=
;
=
= + T
P-5: Y se llega a lo siguiente
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68
MÉTODOS NUMÉRICOS
A.
= b + R
A.
= 0 + S
A.
= 0 + T
– – ./ / . / . / ./ . / . () () () () () R
+
=0
R=
=R
S =
1445 + 1925 =
;
2705 = 100
;
= 0.025992507 = 0.003865364
X =
X =
=
+ 0.025992507
+ 0.003865364
()
X =
Comprobación :
2 + 3 +
Ec(1)
= 8
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69
MÉTODOS NUMÉRICOS
0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8
=
8
Cumple!!!
Y tambien cumple tod as las ecuacioes
NORMA DE UNA MATRIZ La Norma de una matriz
es un número real tal que satisface las siguientes condiciones
‖ ‖‖‖ |‖| ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖‖ | | ‖ ‖ ‖ ‖‖ Principales Normas
‖ ‖ ∑ || ‖ ‖ ∑ || ‖ ‖ ∑
- Norma “m” o Norma - Norma “l”, - Norma “k”, Ejemplo 1:
Sea
‖ ‖ a|||| a ‖ ‖ a|| || a ‖ ‖ √
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70
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para el vector X =
‖ ‖ a ‖ ‖ |||| || ‖ ‖ || || ||
Ejemplo 2:
‖ ‖ a|| || ‖ ‖ |||| ‖ ‖ Sea X =
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71
MÉTODOS NUMÉRICOS
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PRIMER METODO:
METODO DE JACOBI Dado el sistema AX=b………… (1)
Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX……… (2) De la siguiente manera.
Ec.(1) a11X1+a12X2 …………………………………………………….. a 1mXm = b1 Ec.(1) a21X1+a22X2 …………………………………………………….. +a2mXm = b2 Ec.(1) a31X1+a32X2 …………………………………………………….. a 3mXm = b3
. .
Ec.(1) am1X1+am2X2 …………………………………………………….. +ammXm = b1
Donde:
b =
A=
y si aii≠
X=
Despejamos X; de la Ec. (i);
X = β + αi-1X
X1 =
i=1,2,3, …. , m
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………. (2) 72
MÉTODOS NUMÉRICOS
X2 =
. . .
Donde: t
β = bi/aii ; aii≠ 0 ;
β = (β1,β2, … … … ,βm)
α = αij = -aij/aii
α=
El sistema (2) anterior se puede expresar en la siguiente forma X = β αX
X
=
β
+
αX
… (2)
El Sistema (2) sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia
X (k+1) = β αX (k), k=0,1,2, … … … Ó
…………………….. (3)
X (k) = β αX (k-1),
k=1,2, … … …
De la relación (3) se obtiene la sucesión {X k} ∞k=0 tomando como valor inicial X (0) arbitrario, que generalmente X (0)=0 ó X (0)=β ó β=1 Obs.
X (k+1) = (X1(k+1),X2(k+1), … … … … … … … … … … … … … , X m(k+1))t X (0) = (X1(0), X2(0),… … … … … … … … … … … … … …,X m (0)) t
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73
MÉTODOS NUMÉRICOS
ALGORITMO DE JACOBI: P-1
Dado el Sistema Ax = b………………………… (1) Expresarlo en el sistema equivalente X = β αx…………………… (2)
Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión {X (k)} → X (*) mediante la relación de recurrencia: P-2
X (k+1) = β αx (k)
,
k=0,1,2,… ….….…
,
k=1,2,… … …
Ó X (k) = β αX (k-1) P-3
Dejar de iterar si
(|| X (k) – X (k-1) ||)/ || X (k) || <= ε = 10-m C.C. ir al P-2
NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI Sea el sistema Ax = b Donde:
A =
La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D +L + U, donde
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74
MÉTODOS NUMÉRICOS
Matriz Diagonal
Matriz Triangular inferior
Matriz Triangular superior
Así el sistema Ax = b se le puede expresar como: (D + L + U)X = b DX + (L + U) X = b DX = b – (L + U) X X = D-1b – D-1(L + U) X X = D-1b + [-D-1(L + U)] X
→
-1
Si el método de Jacobi es
X = β αX
β=D b
^
-1
α = -D (L + U)
-1 -1 Matricialmente es: → X = D b – D (L + U) X
Su relación de recurrencia es
X (k+1)= D-1b – D-1 (L + U) X (k)
,
k=0, 1, 2 …
Ejemplo. 1 Sea el sistema siguiente:
Con un ε = 10-1
Verificar su convergencia (k) (+) Ǝ {X } → X Si ||α | |∞< 1
Obs. Para que se cumpla ||α | | < 1 es necesario que del sistema Ax = b, A sea diagonalmente
dominante. De
(1) → X1: X1 = 12/10
ó
(-1/10) X2-(1/10)X3
(2) → X2: X2 = 12/10 – (1/10)X1
ó
(-1/10)X3
(3) → X3: X3 = 12/10 – (1/10)X1 – (1/10)X2
+
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75
MÉTODOS NUMÉRICOS
||α | |∞ = ||α | |m = Max{0 + |-0.1| + |-0.1|, |-0.1| + 0 + |-0.1|, |-0.1| + |-0.1| + 0}
= Max{0.2, 0.2, 0.2} → ||α | | = 0.2 <= 1 → Ǝ {X (k)} → X (+)
POR EL MÉTODO DE JACOBI Obs. Se toma como valor inicial X (0) arbitrario
X (0) = 0 X (0) = β X (0) = 1
X (0) K=0
Iteración Inicial:
X (k+1) = β αX (k) X (1) = β αX (0)
Donde
X
(1)
=
y sea X (0) = β = ( X (0)1 X(0)2 X(0)3 )t
+ +
Donde
X1(1) = 1.2 + (0 -0.1-0.1)
X2(1) = 1.2 + ( -0.1 0 -0.1)
K=1
1° Iteración:
X (2) = β αX (1)
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76
MÉTODOS NUMÉRICOS
X
(2)
=
Donde:
X2(2)
K=2
+
= 1.2 + (0 -0.1 -0.1)
= 1.008
2° iteración: X (3) = β αX (2)
X (3)=
+
Donde:
X (3) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)
= 0.9984
Veremos si ya se consiguió la solución:
a | | | | a
10-1 = ε → X (3) = X (*)
con ε=10-1
Ejemplo 2: Sea el siguiente sistema Ec (1) 20x1
+ 5x3 =2
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77
MÉTODOS NUMÉRICOS Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4 Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6
Por Jacobi verificar su convergencia
CONVERGENCIA DE JACOBI
{
} X*
Si ||α|| < 1
…………….. (i)
Observación
Para que se cumpla (i) Es necesario que A del sistema original Ax = b sea diagonalmente dominante, es decir aii> ∑ |aij| de su fila y de su columna Así: a11 = 20 > = 0 + 5 de su fila a11 = 20 > = 1 +1 de su columna a22 = 20 > = 1 + 2 de su fila a22 = 20 > = 0 + 9 de su columna
x1 = x2 = x3 =
Igual para a33
+0+0-
+0-
+0
… …. . …………………. x = β + α
α
=
|| α ||∞ máx.{ 0 + 0 + |
|,|
|+0+|
|,|
|+|
|+0}
|| α ||∞ máx.{0.25, 0.15, 0.5 }
|| α ||∞ 0.5 < 1 Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
78
MÉTODOS NUMÉRICOS {
} X* por jacobi
Por jacobi obtener una solución con € Si la relación de jacobi es =β+α
, k 0, 1,2…
Para k = 0 Interacción inicial =β+α
Observación
Sea
es arbitraria
=
=
=
+ ….. β
……………………. … +
α
β
Para k = 1 Primera iteración =
=
β+α
+
Donde = 0.1 + = 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\
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79
MÉTODOS NUMÉRICOS
= 0.2 + = 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165 = 0.205
Para k = 2 Segunda iteración =
=
β+α +
…..
= ………………….... ………
β
…………
α
k =3 Tercera iteración
=
=
β+α +
….. β
= ………………….... ………
…………
α
Verificamos si se llego a la solución
=
= =
= 0.03289625 < =
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80
MÉTODOS NUMÉRICOS * con € <
SOLUCION MATRICIAL DE JACOBI Del sistema Ax = b Sea A = D + L + U
la relación matricial de jacobi
=
b + [-
( L + U )]
( D + L + U )x = b
k = 0, 1, 2…
Dx + ( L + U)x = b
Observación α=( L + U ) es igual al despejar
Dx = b + [-( L + U)x] x=
b + [-
xi de la ecuación (i), i = 1, 2, 3…
( L + U )]x
…… ……………….. x=β
+
α
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81
MÉTODOS NUMÉRICOS
SEGUNDO METODO:
METODO DE GAUSS- SEIDEL
También determina la solución del sistema De la relación matricial del sistema
De
iterativamente.
:
se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente:
Observación: *Si
*La relación se puede obtener al igual que Jacobi del sistema despejar la variable , para obtener la Matriz .
, de la ecuación
Algoritmo del método de Gauss-Seidel:
{ }
Paso1:Dado el sistema
obtener su sistema
Paso 2: Para un punto inicial arbitrario
.
generar la sucesión
mediante la
siguiente relación:
Paso 3: Dejar de iterar si
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; caso contrario ir al paso 2.
82
MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación: En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que:
‖‖ { } Ejercicios resueltos: 1) Dados:
+ + + ,
Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.
Solución: Utilizando Gauss-Seidel:
Operando obtenemos la secuencia:
+ + +
Claramente converge a la solución exacta
+ + + .
La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de:
+
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83
MÉTODOS NUMÉRICOS Cuyas normas son:
‖ ‖
= 227 / 500 = 0.454 y
‖ ‖
= 2 / 5 = 0.4.
2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
+ +
¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de .
Solución: El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a:
Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito)
Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta:
NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo:
Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que iteraciones.
se requieren 13
Ejemplo 1 Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
84
MÉTODOS NUMÉRICOS Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel
Analizar su divergencia Hallar su solución con
Solución:
Analizar su divergencia
L L ‖‖a ∃ Luego:
{X (k)}
X*
Hallar su solución con
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85
MÉTODOS NUMÉRICOS
b
b L-[] - b L-[] - bL-[] - De
Sea
: 1era Iteración
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86
MÉTODOS NUMÉRICOS
b L-[] - b L-[ ] - : 2da Iteración
: 3era Iteración
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
87
MÉTODOS NUMÉRICOS
‖‖‖‖ a a co
Ejemplo 2
Sea el sistema:
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88
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con
Solución:
Analizar su divergencia
‖‖ ∃ -[] - Luego:
{X (k)}
X*
Hallar su solución con
De
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
89
MÉTODOS NUMÉRICOS
-[] - -[] - Sea
1era Iteración
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
90
MÉTODOS NUMÉRICOS
-[] - ‖‖ ‖‖ : 2da Iteración
Ejemplo 3 Sea el sistema:
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91
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con
Solución:
Analizar su divergencia
‖‖∃ -[]- Luego:
{X (k)}
X*
Hallar su solución con
De
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
92
MÉTODOS NUMÉRICOS
-[] - -[] - Sea
1era Iteración
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
93
MÉTODOS NUMÉRICOS
-[]- -[] - : 2da Iteración
: 3era Iteración
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94
MÉTODOS NUMÉRICOS
‖‖ ‖‖
DIFERENCIA NUMERICA Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
95
MÉTODOS NUMÉRICOS
Aproximaciones a la Derivada
Generación de Formulas de Diferenciación Numérica
Primera y Segunda Derivada Aplicando los Métodos de Newton Progresivo y Regresivo y Métodos Centrales.
Diferenciación numérica Dado una tabla de (n+1) puntos igualmente espaciados de la forma: (X 0 , f 0 ), (X 1 , f 1 ),… (X n , f n ) continua y diferenciable en [X 0 , X n ]. El problema de la Diferenciación Numérica es que dado un valor Xp [X 0 , X n ] se desea hallar el valor , donde:
i h
tal que
f dff dff dphdf f d dp d dp h f h dfdp i
Fórmula de Newton Progresivo (N P): Si
Xp = X 0 en (i) P = 0
fórmula de NP es:
f f f f f f f f f h f f
Según (ii)
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96
MÉTODOS NUMÉRICOS
f f f h f f i i f f f f h f f
Si X P=X 0 en (i) → P=0 en (iii)
DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR
f f f f f h h ddf f h ddf f p f h f f f f h f f f Se desea hallar
en forma aproximada
. Además
Si se sabe
En general se tiene
Para Newton Progresivo - hacia adelante
Si X P=X 0 → P=0
Formula de Newton Regresivo (NR). Su formula de interpolación es:
f f f f f f f f f h f f
Según (ii)
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97
MÉTODOS NUMÉRICOS
f f h f f f f f f h f f
Si X P=0 → P=0
Nota: Para determinar la 1ra derivada se debe tomar una diferencia más que la que indica la T O T en el caso de interpolación.
f h f f f f h f f f
DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR
PARA NEWTON REGRESIVO
Ejemplo: En la siguiente tabla determinar (a)
X 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
f(X) 1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840
Solución(a):
y (b)
por NP
∆2
∆ 513 539 566 596 626
26 27 30 30
∆3
1 3 0
f f h f f h h f
Solución (b)
f
es una derivada que esta al principio de la tabla → se emplea la formula de Newton Progresivo, como XP=0.055 es un punto intermedio → X P *0.05,0.10+, → X0=0.05. Se halla su
valor de P de:
.
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98
MÉTODOS NUMÉRICOS
H=0.05 →
f 0 X 0 0.05 1.0513
∆f 0 539
∆2 f 0 27
∆3f 0 3
f if h f f f
Ejemplo de la Fórmula Newton Regresivo
f f |f | f f f f f 0f 1 f f f f f f Hallar(a)
y (b)
Solución (a)
se utiliza →
Para P=0 y
porque X0=0.25 en la tabla de NR
Solucion(b)
h f f f f f ef h f f
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99
MÉTODOS NUMÉRICOS
f f
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE BESSEL
f f f f f f f h dfd h [f f f f ] i f f f h f f
Si X P es un punto tabulado X P=X 0 → P=0
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE STIRLING
f f s f f s f s f f f h [sf f sf sf f ] is s is s is s is s f f f h f f f
En X P=X 0 → P=0
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100
MÉTODOS NUMÉRICOS
f f f f h f
f f f h |- seaplicaf detirlighastasu ra difereciaporqueseguTT| f f detirlighastasu radifereciaes f h [f f f f ]i oo eisetiees s s f f f h f f Ejemplo 3:Hallar (a)
, (b)
Solución(a)
Como 0.10
[0.10,0.15] →
En la tabla se tiene:
ff f f f f h f
Solución (b)
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101
MÉTODOS NUMÉRICOS
f h | f | idode eise tiee f - INTEGRACIÓN NUMERICA Para intervalos Simples Método del trapecio
,
mє *X0, X1]
Donde
= max
Método de Simpson de 1/3
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102
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde
,
m є[X0,X1]
a
Método de Simpson de 3/8
- a Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
103
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo:
Por el trapecio Simple
si
Solución:
X
f(x)
X0=1
f 0=0.841471
X0+h=X1=2
f 1=1.818595
Obs: Los puntos X i son dela forma X i=X0+hi
si
Determinación del Si
si cos cossi a a || || si
Entonces
Solución por el método Simpson de 1/3 para intervalo simple
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104
MÉTODOS NUMÉRICOS Sol:
X
f (x)
X0=1
f 0=0.841471
X0+h=1.5
f 1=1.496242
X0+2h=2
f 2=1.818595
cossi cossi a a
Determinación del Si
Entonces:
Por Simpson 3/8 para intervalo Simple Sol:
si
, es igual al ejemplo anterior
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105
MÉTODOS NUMÉRICOS
X
f(X)
X0=1
f 0=0.841471
X1=4/3
f 1=1.295917
X2=5/3
f 2=1.659013
X3=2
f 3=1.818595
a si Integración Numérica para intervalos compuestos
Método del trapecio compuesto
mveces h
Demostración:
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106
MÉTODOS NUMÉRICOS
- … …
Entonces la suma todas las integrales seria:
Determinación del
del trapecio
Método de Simpson de 1/3 compuesta.
Demostración:
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
107
MÉTODOS NUMÉRICOS
…
Entonces la suma de todas las integrales seria:
- Determinación del
de Simpson de 1/3 compuesta
si … …
Ejemplo:
Por trapecio compuesto con m=5 Sol:
X
f (X)
X0=1
f 0
X1=1.2
f 1
X2=1.4
f 2
X3=1.6
f 3
X4=1.8
f 4
X5=2
f 5
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
Es igual al ejemplo del trapecio simple
108
MÉTODOS NUMÉRICOS
∫ -
= 1.436070589 +
Simpson de 1/3 compuesto con m=3
X
f (X)
X0=1
f 0
X1=7/5
f 1
X2=8/6
f 2
X3=9/6
f 3
X4=10/6
f 4
X5=11/6
f 5
X6=2
f 6=f m
Es igual al ejemplo de Simpson de 1/3
∫ si -
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2.493614005 +
109
MÉTODOS NUMÉRICOS
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) Definición ER: Consiste en que a partir de dos estimación (o aproximaciones) de una integral, obtener una tercera aproximación (muchas veces la mejor).
Se tiene los siguientes casos: Para intervalos simples:
∫
ER entre la Regla del trapecio y la 1º formula abierta (Integración abierta) “ambas de precisión uno” porque Sea
por dos métodos anteriores se tiene:
Regla Trapecio (RT):
1º Regla Abierta de Newton – Cotes:
El valor de la integral I* (generalmente es el mejor). Que se cumple:
Tomando el cociente de errores
Supongamos que:
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110
MÉTODOS NUMÉRICOS
f f (2) en (1)
h
(3) en (1)
ó
E.R. entre la R. trapecio Simple y la primera formula abierta
FORMULA EXTRAPOLACION -(ER) ENTRE TRAPECIO SIMPLE Y 1RA FORMULA ABIERTA.
Ejemplo: Calcular
∫ d h i h i h h f f
Aplicando: 4 es decir:
= 1 + 1(1) =2
= 1 + 2(1) =3
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111
MÉTODOS NUMÉRICOS
hba hf h
f (X) f 1
Aplicando (4)
x0
x1
x2
E.R. ENTRE LAS FORMULAS DE SIMPSON DE 1/3 Y 3/8 SIMPLE
Se sabe que para Simpson de 1/3 para intervalo simple es:
fd ba b a f a b f Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
112
MÉTODOS NUMÉRICOS Y que para Simpson de 3/8 es:
fd ba b a f f
Sea el siguiente cociente de errores:
Si
(2)’ en (1)’:
(3)’ en (1)’:
… (4)`
Formula De Extrapolación entre Simpson de 1/3 y Simpson de 3/8 para Intervalo Simple
Ejemplo:
d Aplicando la fórmula
para hallar:
Solución:
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113
MÉTODOS NUMÉRICOS
∫ fd
X0+1h =
∫ fd fd (E.R) PARA EL TRAPECIO COMPUESTO Sea:
Para Para
aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto, análogamente:
aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto tomando el cociente de errores:
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114
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si:
(2)” en (1)”:
./ ./ ./
./
(3)” en (1)”:
Para
./ en (3)”. Se tiene:
(4)” en (1)”
Extrapolación de Richardson (E.R.) para el Trapecio Compuesto para n1 y
Ejemplo 1:
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115
MÉTODOS NUMÉRICOS Calcular
∫
usando “1º dos aplicaciones”
y despues “cuatro
de la regla del Trapecio compuesto y despues aplicar E.R. para encontrar una 3º aproximacion (que es la mejor). aplicaciones”
Solución:
-
Se tiene:
y
Para:
Como
∑
∑ 1 2
Para:
Como
1 9 2.5
1 1.5
2.5 3
i h
1 4 9 15 25
h
. /
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116
MÉTODOS NUMÉRICOS
. /
Aplicando:
Ejemplo 2: Evaluar
∫
igual a la pregunta anterior.
Solución: Para:
∫ ∑ ./ 1 2
Para:
1 1/2 1/3
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz 1 1
1.5
2.5 3
2/3 1/2 2.5 1/3
117
MÉTODOS NUMÉRICOS
∫ ∑ . /
./ ./ E.R. PARA LAS REGLAS DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO Sea
- ./ ./ ./ ./ ./ . / Donde
Aplicando donde:
^
son aproximaciones de
^
aplicaciones de la R. de Simpson de 1/3 compuesto y su cociente de errores,
Si
Para: en
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118
MÉTODOS NUMÉRICOS
Extrapolación de Richardson (E.R.) entre las reglas de Simpson de 1/3 compuesto para y aplicaciones.
…
Ejemplo (1):
∫ si
Para :
X X0=1 X1=2
f(X) f 0 f 1
Para :
X X0=1 X1=1.5 X2=2
f(X) f 0 f 1 f 2
Entonces:
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119
MÉTODOS NUMÉRICOS
Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
120
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACION DE ROMBERG Es un método que combina la convergencia de las reglas del Trapecio o Simpson con las técnicas de extrapolación de Richardson para retener una sucesión que converge hacia el verdadero valor de la integral. Descripción de la técnica de integración de Romberg
∫
Vamos a introducir la
, la aproximacion de la integral
Trapecio Compuesto para
y
Para:
; se sugiere la siguiente tabla:
y
utilizando la regla del
.
1
2
3
4
1
2
4
8
…
n
La integración de Romberg da su respuesta en forma matricial:
. . .
. . .
Se sugiere hallar
. . .
. . .
. . .
. . .
con la siguiente formula.
Nos generamos las siguientes sucesiones
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121
MÉTODOS NUMÉRICOS
Obs: Para las demás filas y columnas se sugiere hallar con la siguiente formula
De la segunda columna hacia adelante se calculara con la siguiente fórmula:
i = 2,3,4,…n j = 2,3,4,…n
Para la segunda columna se utilizara:
k = 2,3,…
Para la tercera columna k=3 será:
k = 3,4,…
Para la cuarta columna k=4 será:
k = 4,5,…
Para la quinta columna k=5 será:
k = 5,6,…
Para la sexta columna k=6 será:
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k = 6,7,…
122
MÉTODOS NUMÉRICOS Ejercicio 1 Hallar
∫
; con n=6 por Romberg
Solución:
Tenemos de datos: a=0 b=0.8 n=6
Realizando la tabla
1
2
3
1
2
4
0.8
0.4
0.2
4
5
6
8
16
32
0.1
0.05
0.025
Hallamos la primera fila y columna
[ ∑ ]
Cuando K = 1
-
Calculando la primera columna y demás filas.
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123
MÉTODOS NUMÉRICOS
0 ∑ 1 0 ∑ 1 0 ∑ 1 0 ∑ 1 0 ∑ 1
Cuando K = 2
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA SEGUNDA COLUMNA:
Cuando K = 2
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
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124
MÉTODOS NUMÉRICOS Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA TERCERA COLUMNA:
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA CUARTA COLUMNA:
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
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125
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LOS VALORES DE LA QUINTA COLUMNA:
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA SEXTA COLUMNA:
Cuando K = 6
LA MATRIZ FINAL SERÁ:
0.712173 0.594777
0.55545
0.564899
0.554939
0.554891
0.557395
0.554889
0.554889
0.554888
0.555517
0.554890
0.554890
0.554890
0.554890
0.555047
0.554890
0.554889
0.554889
0.554889
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0.554889
126
MÉTODOS NUMÉRICOS
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL. I) De un solo paso: Dada la Ecuación Diferencial Ordinaria:
´ ´ /
Con la condición inicial:
a)Método de Euler: Es de la forma:
´
O
Observación:
Euler es un caso particular de Taylor de orden 1. Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta
1) Dado:
Con:
Hallar:
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´ 127
MÉTODOS NUMÉRICOS
Solución:
Como:
´ ´ ´
Entonces:
Para i=0 , Donde:
Luego:
Donde:
Reemplazando en
:
2º forma de pregunta Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
128
MÉTODOS NUMÉRICOS 2) Dado:
´ Con:
Hallar:
para
, con n=4
Solución:
Como:
0
1
1
1.25 1.5
2
3
1.75
2
4
Para i=0, con (
´
Para i=1, con (
Para i=2, con (
Para i=3, con (
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129
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para i=4, con (
b) Método de Taylor de orden K: Es de la siguiente forma:
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ O
Donde: El error local es de la forma:
Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta Dado:
Con:
Por Taylor de orden 3 hallar:
´
Solución:
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130
MÉTODOS NUMÉRICOS
Como: Y de
se sabe que:
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´´´ ´´ ´´´´ ´ ´ ´´
Luego, Taylor de orden 3 es de la forma:
Para i=0 con
Se requiere hallar:
Derivando
Derivando
Por último, reemplazando:
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131
MÉTODOS NUMÉRICOS
2º forma de pregunta Dado:
Con:
Por Taylor de orden 3 en el segmento Solución:
´ - con n=2, hallar:
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ Como:
Determinamos los puntos:
/
Para i=0 con (
(Resuelto anteriormente)
Para i=1 con (
Se requiere hallar:
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132
MÉTODOS NUMÉRICOS
´ De (
…(
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´´´ ´´ ´´´´ ´´ ´ ´
Derivando (
:
Derivando
Luego, reemplazando:
´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´
Para i=2 con (
Se requiere hallar:
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133
MÉTODOS NUMÉRICOS
´ De (
…(
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´´´ ´´ ´´´´ ´´ ´ ´
Derivando (
:
Derivando
Luego, reemplazando:
´ ´ ´ ´
PREDICTOR – CORRECTOR Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
134
MÉTODOS NUMÉRICOS
Como su nombre lo indica se predice un valor , después se usa una formula diferente para corregir este valor. Los métodos Predictor-Corrector hallar el valor del pto utiliza información del pto y sus precedentes donde cada pto precedente indica un paso, de aquí su nombre como método de múltiples pasos. A diferencia de los métodos de Runge-Kuta, Taylor, Euler, que son métodos de un solo paso (Para utiliza la información de )
Ejemplo: Usando el método predictor – corrector
Predictor: Corrector:
f Con h=0.5, hallar
sabiendo que satisface:
Solución:
Y h=0.5
Por condición del problema.
Para aplicar el predictor corrector, se necesita hallar (puede ser Taylor, o RK), Sea RK-4.
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por un método no menor de
orden
135
MÉTODOS NUMÉRICOS
Aplicando el predictor:
Aplicando el corrector:
→ este es el corrector
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136
MÉTODOS NUMÉRICOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se puede transformar en un sistema de EDO de orden 1. Así se tiene una EDO de orden n:
con las condiciones iniciales
n condiciones iniciales
Sea las sgtes transformaciones
.
Se tiene
.
Sea
=
→
…
…
Ejemplo 1: La Sgte. EDO de Con
orden
Como un conjunto de ecuaciones de
orden
Solución: De Sea
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137
MÉTODOS NUMÉRICOS
La EDO de
orden se expresa como un conjunto de 3 ecuaciones de
orden sgte:
Matricialmente se tiene: =
Con las Sgts. condiciones iniciales =
Ejemplo 2: Dado
con
Expresar como un sistema de EDO de Solución Sea
El sistema de EDO de
orden es:
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orden
138
MÉTODOS NUMÉRICOS
Matricialmente = =
Sea
,i=0,1,2
=
=
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139
MÉTODOS NUMÉRICOS
CONCLUSIONES Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos Ventajas: Probablemente son más eficientes que los métodos directos para sistemas de orden muy alto.
Más simples de programar.
Pueden aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe.
Se obtiene fácilmente bajo aproximaciones burdas de la solución.
Son menos sensibles a los errores de redondeo (valiosos en sistemas mal condicionados).
Se requiere menos memoria de maquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz.
Desventajas:
Si se tiene varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representara ahorro de cálculos ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado.
Aun cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y, por; lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles.
El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia.
Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela.
No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteración) si la matriz coeficiente es simétrica.
No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.
INTEGRANTES Lic. Lucio Avilio Malasquez Ruiz
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