Libro de Cinemática de Evaristo

CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL

Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (Compilación)

UMSA –UCB – EISPDM: LA PAZ – BOLIVIA, 2013.

Hacia una Física para la vida y la Investigación Científica ientífica Investigación C Científica Editorial Mongo

PROLOGO A LA TERCERA EDICIÓN La cinemática se ha constituido como los cimientos de la mecánica clásica, por ser parte de la física que estudia los movimientos sin considerarse las causas que los origina, al decir cinemática del punto lo que se quiere mostrar a los lectores es que en este curso formal de Física aplicada no interferirán cuestiones como las dimensiones de los cuerpos ni mucho menos sus características. Muchos estudiantes cursan este mismo curso en la secundaria sin embargo dejan de lado muchas cuestiones matemáticas que son muy importantes a la hora de plantear un modelo matemático de un problema real. Para entender este capítulo se sugiere a l os lectores revisar su curso de análisis matemático, sin embargo para una mayor comodidad se introducen conceptos matemáticos a utilizarse como ser las nociones del cálculo integro diferencial. En varias universidades e institutos superiores la enseñanza de la Física deja mucho que desear, ya que bajo el denominativo que la enseñanza debe ser los más práctico posible se van directamente a las aplicaciones y reemplazos numéricos que a la larga se constituye en un aprendizaje mecánico, y la argumentación que se coloca es dejar los for malismos a los científicos, si bien esta no ción es errónea lo mas denigrante para los hombres que han cultivado las ciencias es que los enseñantes vayan haciendo desaparecer la esencia fundamental de la Física que es ciencia de interpretación de los fenómenos de la naturaleza y no así de reemplazos numéricos. Por ello es este ensayo se plantea desde esta visión la enseñanza de la Cinemática puntual, todas las demostraciones y consecuencias de las relaciones entre las variables cinemáticas son mostradas con la mayor rigurosidad científica posible, por ello a la hora de terminar este curso el estudiante debe ser capaz de interpretar un fenómeno cinemático y plantear su modelo matemático que lo representa para poderlo resolver y predecir su movimiento. Se inicia con la ubicación de un punto en diferentes sistemas de coordenadas, se repasa el cálculo integro – diferencial para en lo posterior entrar en la definiciones de las cantidades cinemáticas y mostrar sus relaciones. Se comienza con el movimiento más elemental elemental que es el movimiento horizontal sea acelerado no acelerado o constante, luego continua con el movimiento vertical o también denominado caída libre para posteriormente entrar al movimiento en el plano que es el parabólico y el circular, se muestra la manera de afrontar los problemas de maximización y minimización utilizando el cálculo diferencial, se continua con las definiciones del movimiento relativo como consecuencia de la traslación y/o rotación de los sistemas de coordenadas, se derivan con el mayor rigor matemático - científico las relaciones para las aceleraciones: centrípeta, de coriolis, angul ar, etc. El presente material bibliográfico está dedicado a mi fiel esposa que es la Física, mi amante la señorita Matemática y mi fiel compañera la soledad, mismas que cambiaron mi concepción de espacio y del tiempo al cual les agradezco por darme la oportunidad de crecer como ser humano y conocer otros mundos que no había conocido.

Prof. Lic. Evaristo Mamani Carlo Carlo CATEDRÁTICO DE FÍSICA – MATEMÁTICA UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO DOMINGO MURILLO”

PROLOGO A LA TERCERA EDICIÓN La cinemática se ha constituido como los cimientos de la mecánica clásica, por ser parte de la física que estudia los movimientos sin considerarse las causas que los origina, al decir cinemática del punto lo que se quiere mostrar a los lectores es que en este curso formal de Física aplicada no interferirán cuestiones como las dimensiones de los cuerpos ni mucho menos sus características. Muchos estudiantes cursan este mismo curso en la secundaria sin embargo dejan de lado muchas cuestiones matemáticas que son muy importantes a la hora de plantear un modelo matemático de un problema real. Para entender este capítulo se sugiere a l os lectores revisar su curso de análisis matemático, sin embargo para una mayor comodidad se introducen conceptos matemáticos a utilizarse como ser las nociones del cálculo integro diferencial. En varias universidades e institutos superiores la enseñanza de la Física deja mucho que desear, ya que bajo el denominativo que la enseñanza debe ser los más práctico posible se van directamente a las aplicaciones y reemplazos numéricos que a la larga se constituye en un aprendizaje mecánico, y la argumentación que se coloca es dejar los for malismos a los científicos, si bien esta no ción es errónea lo mas denigrante para los hombres que han cultivado las ciencias es que los enseñantes vayan haciendo desaparecer la esencia fundamental de la Física que es ciencia de interpretación de los fenómenos de la naturaleza y no así de reemplazos numéricos. Por ello es este ensayo se plantea desde esta visión la enseñanza de la Cinemática puntual, todas las demostraciones y consecuencias de las relaciones entre las variables cinemáticas son mostradas con la mayor rigurosidad científica posible, por ello a la hora de terminar este curso el estudiante debe ser capaz de interpretar un fenómeno cinemático y plantear su modelo matemático que lo representa para poderlo resolver y predecir su movimiento. Se inicia con la ubicación de un punto en diferentes sistemas de coordenadas, se repasa el cálculo integro – diferencial para en lo posterior entrar en la definiciones de las cantidades cinemáticas y mostrar sus relaciones. Se comienza con el movimiento más elemental elemental que es el movimiento horizontal sea acelerado no acelerado o constante, luego continua con el movimiento vertical o también denominado caída libre para posteriormente entrar al movimiento en el plano que es el parabólico y el circular, se muestra la manera de afrontar los problemas de maximización y minimización utilizando el cálculo diferencial, se continua con las definiciones del movimiento relativo como consecuencia de la traslación y/o rotación de los sistemas de coordenadas, se derivan con el mayor rigor matemático - científico las relaciones para las aceleraciones: centrípeta, de coriolis, angul ar, etc. El presente material bibliográfico está dedicado a mi fiel esposa que es la Física, mi amante la señorita Matemática y mi fiel compañera la soledad, mismas que cambiaron mi concepción de espacio y del tiempo al cual les agradezco por darme la oportunidad de crecer como ser humano y conocer otros mundos que no había conocido.

Prof. Lic. Evaristo Mamani Carlo Carlo CATEDRÁTICO DE FÍSICA – MATEMÁTICA UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO DOMINGO MURILLO”

ÍNDICE

PRÓLOGO ÍNDICE 1. EL ESPACIO VECTORIAL ........................................................... ......................................................................................... ............................................................ ............................................................. ...................................1 1.1 MAGNITUDES VECTORIALES ............................................................ .......................................................................................... ............................................................. ..................................................... ......................1 1.2 MAGNITUDES ESCALARES................................................................. ............................................................................................... ............................................................. ..................................................... ......................1 2. SISTEMAS DE COORDENADAS ......................................................... ....................................................................................... ............................................................. ..................................................... ......................1 2.1 COORDENADAS RECTANGULARES Ó CARTESIANAS ................................. ............................................................... ............................................................. ...................................... .......1 2.2 COORDENADAS POLARES ............................................................. ........................................................................................... ............................................................ .......................................................... ............................2 2.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS................................................................ .............................................................................................. ............................................................. ................................................ .................2 2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS......................................................................... ....................................................................................................... ............................................................. ........................................... ............2 3. REPASO DE DERIVADAS ............................................................................... ............................................................................................................. ............................................................. ........................................... ............3 3.1 NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA P ARA LA DERIVADA............................................................. ............................................................................................ ................................................ .................3 3.2 REGLAS DE DERIVACIÓN ......................................................... ....................................................................................... ............................................................ ............................................................. ................................... 4 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES ...................................... .................................................................... ............................................................. ................................................ .................4 4. REPASO DE INTEGRALES.......................................................... ........................................................................................ ............................................................ ............................................................. ...................................4 4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL IN TEGRAL DEFINIDA ........................................................................ .................................................................................... ............5 4.2 EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO............................................................ ........................................................................................... ...................................... .......5 4.3 EL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO C ÁLCULO ........................................................................... ............................................................................................. ..................5 4.4 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS ............................................................ .......................................................................................... ................................................ ..................5 4.5 INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES ....................................................................... ...................................................................................................... ........................................... ............6 5. MOVIMIENTO, MAGNITUDES FÍSICAS DEL MOVIMIENTO ...................................................... ..................................................................................... ...................................... .......6 5.1 MOVIMIENTO.................................................................................... .................................................................................................................. ............................................................ .......................................................... ............................6 5.2 VECTOR DE POSICIÓN .......................................................... ........................................................................................ ............................................................ ............................................................. ...................................... ....... 6 5.3 REPRESENTACIÓN DEL VECTOR DE POSICIÓN ........................ ...................................................... ............................................................ .......................................................... ............................7 5.3.1 En el Espacio ...................................................... ..................................................................................... ............................................................. ............................................................ .......................................................... ............................7 5.3.2 En el Plano ......................................................... ........................................................................................ ............................................................. ............................................................ .......................................................... ............................7 5.3.3 En una dimensión .............................................................................. ............................................................................................................ ............................................................ .......................................................... ............................7 5.4 REPRESENTACIÓN DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO ...................................... .................................................................... ............................................................. ...................................7 6. VELOCIDAD ................................................................................. ............................................................................................................... ............................................................ ............................................................. ...................................8 6.1 VELOCIDAD MEDIA................................ MEDIA............................................................... ............................................................. ............................................................ ............................................................ ...................................... ........8 6.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA.......................................................... ........................................................................................ ............................................................ .......................................................... ............................8 7. ACELERACIÓN........................................................ ....................................................................................... ............................................................. ............................................................ ..................................................... .......................8 7.1 ACELERACIÓN MEDIA.................................................................... .................................................................................................. ............................................................ .......................................................... ............................8 7.2 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA............................................................... ............................................................................................. ............................................................ ................................................ ..................9 7.3 OTRA NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA .......................................................... ............................................................. ...9 8. REGLA DE DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN PARA LA CINEMÁTICA ............................................................ .............................................................................. ..................9 9. MOVIMIENTO UNIFORME .............................................................. ............................................................................................ ............................................................ ........................................................ ..........................10 9.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME ..................................................... ................................................................................... ............................................................ ......................................... ........... 10 10. MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO ................................................................... ................................................................................................. ........................................................ ..........................10 10.1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO ......................................................... ................................................................................... ..........................12 11. MOVIMIENTO VERTICAL Ó CAÍDA LINBRE............................... LINBRE............................................................. ............................................................ ........................................................ ..........................12 12. MOVIMIENTO EN EL PLANO ......................................................... ....................................................................................... ............................................................ ........................................................ ..........................14 12.1 ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA ......................................... ....................................................................... ............................................................ ............................................................ ................................ 15 12.2 CÁLCULO DE ALGUNOS PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO............................. PARABÓLICO........................................................... ................................ 15 13. PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN ................................... ................................................................. ............................................................ .................................... ......17 13.1 DEFINICIÓN 1 ........................................................ ....................................................................................... ............................................................. ............................................................ ................................................... .....................17 13.2 TEOREMA 1 ........................................................... .......................................................................................... ............................................................. ............................................................ ................................................... ..................... 17 14. MOVIMIENTO CIRCULAR............................................................... ............................................................................................. ............................................................ ........................................................ ..........................18 14.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ..................................................................... ................................................................................................... ........................................................ ..........................21 14.2 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA ................................................ .............................................................................. ........................................................ ..........................21 14.3 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA ..................................................... ................................................................................... .............................................. ................21 14.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO............................... ACELERADO ............................................................. ........................................................ ..........................22 14.5 TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO ......................................................... ....................................................................................... ............................................................ .............................................. ................23 15. UNIDADES DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES LINEALES Y ANGULARES ........................................................ .............................................................. ......24 16. ALGUNAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS CURVAS CURV AS ............................................... ............................................................................. ......................................... ...........24 17. MOVIMIENTO RELATIVO......................................................................... ....................................................................................................... ............................................................ .............................................. ................25 17.1 SISTEMAS EN TRASLACIÓN ................................................................................. ............................................................................................................... ............................................................ ................................ 25 17.2 SISTEMAS EN ROTACIÓN Y TRASLACIÓN ................................................... ................................................................................. ............................................................ .................................... ......27 18. PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO ............................................ ........................................................................... ............................................................. ........................................................ ..........................30 BIBLIOGRAFÍA

UMSA – UCB – EISPDM

FÍSICA DIDÁCTICA APLICADA

Cinemática del punto material material Al igual iigu gual que la energía no se crea crea ni crea ni se destruye, destruye,solo destruye, solo se transforma; al que energía no El amor tampoco se crea ni se destruye solamente se siente. Autor: E=mc2

1. EL ESPACIO VECTORIAL 1.1 MAGNITUDES VECTORIALES Las magnitudes vectoriales son aquellas que para quedar perfectamente definidas necesitan de: • •

• •

Punto de aplicación Módulo o valor del VECTOR Dirección Sentido

En este sentido algunos de los ejemplos que encontramos en Física de cantidades vectoriales son: la velocidad, Fuerza, aceleración, posición, campo gravitatorio, campo eléctrico, la inducción magnética, etc. 1.2 MAGNITUDES ESCALARES Las magnitudes escalares son aquellas que para su identificación, solo es necesario conocer su magnitud (su valor numérico). Algunas de las magnitudes escalares que podemos encontrar en Física son: El tiempo, masa, Energía, Temperatura, Calor, etc. 2. SISTEMAS DE COORDENADAS Para representar un punto ya sea en el plano ó en el espacio, existen diferentes sistemas en las cuales se los puede realizar, el mas utilizado es el sistema cartesiano; sin embargo existen otros sistemas que facilitan la identificación del punto, como ser: Coordenadas rectangulares ó cartesianas Coordenadas polares Coordenadas cilíndricas • Coordenadas esféricas • • Etc. • •

2.1 COORDENADAS RECTANGULARES Ó CARTESIANAS z

Cuyo vector posición está dado por:

z

r = x iˆ + y jˆ + z k ˆ

P ( x, y, z )

r y

x

Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)

CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL 1



2.2 COORDENADAS POLARES

θ ˆ

y

Cuyo vector posición está dado por:

r = r r ˆ

Cuyas coordenadas están relacionadas con las cartesianas como:

x = r ⋅ cos(θ ) ; y = r ⋅ sen(θ )

r

y  y  ⇒ θ = tg 1   x  x 

θ

ˆ r

P (r ,θ )

Y además:

r = x 2 + y 2 ; tg (θ ) =

−

Donde los versores en cada dirección están dados por:

x

r ˆ = cos(θ ) iˆ + sen(θ ) jˆ ; θ ˆ = − sen(θ ) iˆ + cos (θ ) jˆ

2.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS z

El vector posición está dado por:

r = ρ ρ ˆ + z k ˆ

k ˆ


x = ρ ⋅ cos(ϕ ) ; y = ρ ⋅ sen(ϕ ) ; z = z

r

Y además:

ρ = x 2 + y 2 ; tg (ϕ ) =

y  y  ⇒ ϕ = tg 1   x  x  −

ˆ = cos(ϕ ) iˆ + sen (ϕ ) jˆ ; ϕ ˆ = − sen (ϕ ) iˆ + cos (ϕ ) jˆ ρ 2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS

ρ

ϕ


ˆ ϕ P ( ρ ,ϕ , z ) ˆ

x

z

El vector posición está dado por: r

r = r r ˆ


ˆ ϕ

x = r ⋅ sen(θ ) ⋅ cos(ϕ ) y = r ⋅ sen(θ ) ⋅ sen(ϕ ) z = r ⋅ cos(θ )

θ

Y además:

r = x

2

2

2

+ y + z

; tg (θ ) =

x 2 + y 2 ⇒ z

 x 2 + y 2   ; tg (ϕ ) = y ⇒ θ = tg    x  z   y  ϕ = tg 1    x  −1

r ˆ

r

r r

P (r ,θ ,ϕ ) θ ˆ

y

ϕ x

−






ˆ = sen(θ ) ⋅ cos (ϕ ) iˆ + sen (θ )⋅ sen (ϕ ) jˆ + cos (θ ) k ˆ r ˆ θ ˆ = cos(θ ) ⋅ cos (ϕ ) iˆ + cos (θ ) ⋅ sen (ϕ ) jˆ − sen (θ ) k ˆ = − sen(ϕ ) iˆ + cos (ϕ ) jˆ ϕ 3. REPASO DE DERIVADAS Las derivadas constituyen una gran herramienta matemática para seguir avanzando dentro del formalismo de la Física aplicada, ya que surgió como una necesidad de poder extender las consecuencias de la mecánica Newtoniana particularmente de la gravitación universal y cuya resolución de las ecuaciones que aparecieron requerían del conocimiento de otro tipo de formalismo matemático que posteriormente se la denomino el cálculo integro – diferencial. Sea y = f ( x ) cualquier función que depende de la variable independiente x, que está dado por:

y

recta sec ante

y = f ( x ) m = tg (θ ) = pendiente de la recta secante

f ( x0 + h ) f ( x0 ) f ( x0 − h )

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

θ

h

x0

x0 − h

h

h

x

x0 + h

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) , cuando h se hace cada vez mas pequeño, la recta h secante se aproximará a la recta tangente en el punto x0 , este proceso de aproximación se conoce como f ( x0 + h ) − f ( x0 ) el límite de aproximación hacia x0 , y se representa por: lím y ésta operación se h 0 h denomina como la derivada de la función f evaluada en el punto x0 , y se representa como: De la figura: m = tg (θ ) =

→

df dx x x0 =

=

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) 0 h

lím h→

Y la derivada de la función f evaluada en cualquier punto x será:

df f ( x + h ) − f ( x ) = lím dx h 0 h →

(DERIVADA DE f RESPECTO DE

)

3.1 NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA DERIVADA Cuando se deriva una función respecto de una variable es costumbre también utilizar la notación: Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




df dx

f ' ( x ) = Donde el símbolo de la “prima” significa una derivada.

3.2 REGLAS DE DERIVACIÓN Cabe aclarar que estamos trabajando con funciones de variable real, en este sentido sean las funciones: f ( x ) , g ( x ) y h( x ) todas de variable real, por lo cual tenemos:

a) Si : f ( x ) = g ( x ) ± h( x ) ⇒ f ' ( x) = g ' ( x) ± h' ( x) (regla de la adición y/o sustracción) b) Si : f ( x ) = g ( x ) ⋅ h( x ) ⇒ f ' ( x) = g ' ( x) ⋅ h( x) + g ( x) ⋅ h' ( x) (regla del producto) g ( x ) g ' ( x ) ⋅ h( x ) − g ( x ) ⋅ h' ( x) c) Si : f ( x ) = (regla del cociente) ⇒ f ' ( x ) = h( x ) (h( x ))2 d ) Si : c ∈ R y f ( x ) = c ⋅ g ( x ) ⇒ f ' ( x ) = c ⋅ g ' ( x) e) Si : f ( x ) = g (h( x )) ⇒ f ' ( x ) = g ' (h( x )) ⋅ h' ( x ) ( Regla de la cadena ) 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Existe una gama de derivadas, pero algunas que consideramos importantes recordar son:

Si a,b ∈ R a) Si : f ( x ) = sen(ax ) ⇒ f ' ( x ) = a cos(ax) b) Si : f ( x ) = cos(bx ) ⇒ f ' ( x ) = −b sen(bx) 1 1 c) Si : f ( x ) = ln(bx ) ⇒ f ' ( x ) = b = bx x d ) Si : f ( x ) = eax ⇒ f ' ( x ) = a ⋅ eax b e) Si : f ( x ) = bx ⇒ f ' ( x ) = 2 bx f ) Si : f ( x ) = b ⇒ f ' ( x ) = 0 g ) Si : f ( x ) = a x n ; ∀n ∈ R ⇒ f ' ( x ) = a ⋅ n ⋅ x n 1 −

4. REPASO DE INTEGRALES Así como se definió las derivadas como el cálculo de pendientes de cualquier curva y en cualquier punto, las integrales constituyen el cálculo de áreas de cualquier región contempladas entre cualesquiera par de puntos; la notación para las integrales es: y existen dos tipos de integrales:

∫

• •

Integrales definidas Integrales indefinidas b

a) Las integrales definidas son aquellas de la forma:

∫a f ( x ) dx , donde a se conoce como el límite inferior

y b como el límite superior y f ( x ) la función a integrar. b) Las integrales indefinidas son aquellas de la forma:

∫ f ( x ) dx , es decir no tienen límites de integración

f ( x ) la función a integrar. Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA

y

y = f ( x ) Área por debajo de la curva

a

b

x

b

La anterior figura representa:

∫a f ( x ) dx que significa el área que encierra la curva desde el punto

x = a ⇒ límite inferior hasta el punto x = b ⇒ límite superior , en cambio la variable respecto del cual se está integrando se lo denota como: dx ⇒ diferencial de la variable x . 4.1.1 Teorema. Toda función continua sobre el intervalo cerrado [a , b] es integrable sobre [a , b] . 4.2 EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO x

∫a

Sea G la función definida por: G ( x ) = f (t ) dt , si f es continua sobre un intervalo δ y si a ∈ δ entonces G es diferenciable sobre δ y : G' = f . 4.3 EL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f continua sobre un intervalo δ , si F es diferenciable sobre δ y si F ' ( x ) = f ( x ) sobre δ entonces ∀a , b ∈ δ cualesquiera: b

b

∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b) − F (a) a

4.4 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS ∀ a , b , c ∈ R

se cumple que :

b

b

a b

a

a) ∫ c f ( x )dx = c ∫ f ( x )dx b)

b

b

a

a

∫ ( f ( x ) ± g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx

a b

a

a

b

c ) ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




b

c

b

a

a

c

d ) Si c ∈ [a , b] ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx 4.5 INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES ∀a

, b , c ∈ R

1 a ) ∫ sen(ax ) dx = − cos(ax ) + c a c)

∫ ln(bx ) dx = x ⋅ ln(bx) − x + c

2 bx 3 + c ∫ 3 x n 1 n g ) ∫ a x dx = a ; ∀n ∈ R +c n +1 e)

bx dx =

1

b)

∫ cos(bx) dx = b sen(bx) + c

d )

1 ax ax = e +c e dx ∫ a

f )

∫ a dx = a ∫ dx = a ⋅ x + c

+

De los cálculos anteriores puede concluirse que siempre que se trate de integrales indefinidas, al integrarlas debe adicionarse una constante, está constante se lo conocerá una vez que se especifique los limites del problema, es decir los limites inferior y superior. Existen varios métodos para integrar funciones, algunos de los cuales son: Integración por sustitución Integración por partes Integración por sustitución trigonométrica • Integración de Formas cuadráticas • Integración por fracciones parciales • • Etc. • •

Todos éstos métodos se los estudian en un curso formal de Análisis matemático, para el lector interesado en estudiar a profundidad el cálculo integro diferencial se sugiere: P.E. DANKO & A.G.POPOV Matemáticas Superiores en ejercicios y Problemas , EDITORIAL MIR MOSCÚ. 5. MOVIMIENTO, MAGNITUDES FÍSICAS DEL MOVIMIENTO 5.1 MOVIMIENTO El movimiento es el cambio de posición de una partícula, en un determinado instante de tiempo. 5.2 VECTOR DE POSICIÓN El vector posición representa la posición de la partícula en cada momento, se lo representa generalmente r con la letra r y está dado de la siguiente forma, dependiendo si esta en el espacio, plano o en una dimensión y además depende del sistema de coordenadas en el cual este, como se vio en el apartado anterior:





5.3 REPRESENTACION DEL VECTOR POSICIÓN Para representar al vector posición, se lo debe expresar en forma vectorial del siguiente modo: 5.3.1 En el Espacio: r r r = x iˆ + y jˆ + z k ˆ cuyo módulo será : r = x 2 + y 2 + z 2

5.3.2 En el Plano: r r r = x iˆ + y jˆ cuyo módulo será: r = x 2 + y 2

5.3.2 En una dimensión: r r r = x iˆ cuyo módulo será: r = x

5.4 REPRESENTACIÓN DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO Cuando una partícula comienza a moverse desde un punto que no coincide con el origen de coordenadas, y se desplaza hacia otro punto; el vector que apunta de donde comenzó el movimiento hasta donde terminó su movimiento se denomina Vector desplazamiento y se define como:

r

r

r

∆r = r f − r i

z Inicio

Final

r

r

r i

r f y

x r

r

r

∆r = r f − r i





6 VELOCIDAD La velocidad es una cantidad vectorial que se define como la variación de la posición de un móvil en un sentido determinado respecto del tiempo empleado en esa variación. r

Se simboliza con la letra v , y sus dimensiones corresponden a una Longitud sobre un Tiempo. Se distinguen dos tipos de Velocidades: 6.1 VELOCIDAD MEDIA La velocidad media, es la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del tiempo, y se lo representa generalmente como: r

v=

r

v

=

r

r

r r r f − r i = ∆ t t f − t i

∆

r

r ∆ t

∆

 ∆ x x f − xi v = =  x ∆ t t f − t i  y f − yi  ∆ y v = =  y ∆ t t f − t i   ∆ z z f − z i v = = z  ∆ t t f − t i 

Descomponiendo

6.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA La velocidad instantánea es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de tiempo, y matemáticamente se define como la derivada del vector de desplazamiento respecto al tiempo:

r

r

r d r v = Lim v = Lim = t 0 t 0 ∆ t d t r

∆

r

∆ →

Descomponiendo

∆ →

 v x =  v y =   v z = 

dx dt dy dt dz dt

7 ACELERACIÓN Siempre que hay cambiosr en la velocidad existe aceleración. La aclaración es una cantidad vectorial que se simboliza con la letra a y que se define como: La variación de la velocidad en un intervalo de tiempo . Al igual que en la velocidad existe una aceleración media y una instantánea: 7.1 ACELERACIÓN MEDIA La aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido, es decir: Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)



r

a

=


r

r

r v v f − vi = ∆ t t f − t i

∆

v x f − v x i  ∆ v x a = =  x ∆ t t f − t i  v y f − v y i  ∆ v y = a y = t f − t i ∆ t  v z f − v z i  ∆ v z a = =  z ∆ t t f − t i 

Descomponiendo

7.2 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA La aceleración instantánea es la aceleración que tiene un cuerpo en cada instante de tiempo, y matemáticamente se define como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo:

r

r

v d v a = Lim a = Lim = t 0 t 0 ∆ t d t r

∆

r

∆ →

  a x =  a y =   a z = 

Descomponiendo

∆ →

d v x d t d v y d t d v z d t

NOTA: Siempre que se hable de velocidad ó de aceleración sin mencionar algún tipo en especial se supondrá que se trata de la velocidad instantánea y de la aceleración instantánea. 7.3 OTRA NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA Recordando que v

=

r d r y como a d t

r

r

r

r

=

d v d t

, entonces:

r

a

=

d v d t

r

=

r

d  d r  r d 2 r   ⇒ a = 2 , que dt  dt  d t

se lo traduce como la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo al cuadrado . 8. REGLA DE DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN PARA LA CINEMÁTICA Apreciado lector ahora se preguntará seguramente ¿cuando debo derivar y cuando debo integrar?, por ello a continuación le mostraré un esquema que le ayudará bastante:

∫

∫ r

r

r

r

∫∫

d dt

v

d dt

d 2 dt 2

a





El anterior gráfico indica claramente por ejemplo que para hallar la velocidad a partir de la información de la aceleración, esta se lo encuentra integrando la aceleración con respecto del tiempo. 9. MOVIMIENTO UNIFORME Este movimiento se caracteriza por que la velocidad se mantiene constante durante el trayecto, y las r

r

ecuaciones que rigen son: v

=

d r = constante y la aceleración será: a d t

r

r

=

d v d t

r

=

0 , ya que la

derivada de una constante se anula, para hallar la ecuación de movimiento partamos de: r

r

v

r r d r ⇒ d r = v ⋅ d t , recordemos que; d t

=

si se tiene el diferencial de una magnitud fisica, para hallar

esa magnitud física se procede a integrar, es decir:

dF

∫ ⇒

Para hallar

F . Entonces integrando ambos

miembros desde una posición inicial hasta una posición final tenemos: r

r

r f

r

t f

r

r

r

r r f

d r = v ⋅ d t ⇒ ∫ d r = ∫ v dt ⇒ r r r

r

r i r

r r f

⇒ r r r

i

=

r

t f

i

t i r

r

=

r

v

t f

∫t dt i

r

r

v t t ⇒ r f − r i = v (t f − t i ) ⇒ v i

=

r

r

( ya que v es constante ) r

r f − r i = t f − t i

r

r r =v ∆ t

∆

Es decir en el movimiento uniforme la velocidad instantánea es idéntica a la velocidad media, y además la aceleración es nula. 9.1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Este movimiento al igual que el anterior se caracteriza por que la partícula solo se mueve sobre un eje determinado, generalmente se elije el eje x, por lo cual de la anterior ecuación vectorial que se dedujo solo se utilizara una componente, es decir:

v x

=

x f − xi , como ya se sabe que está en el eje x, se acostumbra utilizar la notación: v en vez de v x , t f − t i

además si se considera que la partícula partió del origen de coordenadas y que el reloj sincronizamos a cero (caso muy común: xi = t i = 0 ) y se considera que la posición final y el tiempo que emplea corresponden a cualquiera instante y posición ( x f = x ; t f movimiento rectilíneo uniforme:

v=

x t

=

t ), tenemos la siguiente ecuación del

(1)

Que indica que la velocidad de un móvil con velocidad constante es el cociente del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. 10. MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO Este movimiento se caracteriza por que la aceleración es constante durante el trayecto, y las ecuaciones que rigen son:




FÍSICA DIDÁCTICA APLICADA r

a=

Recordando que: r

v f

r

∫ d v

t f

=

r

vi

d v d t

r

r

=

r

Constante ⇒ d v

t f

r

r

r v f

∫ a ⋅ d t = a ⋅ ∫ d t ⇒ v vi t i

t i

r

r

a ⋅ d t ,

r

t

r

a ⋅ t t f i ⇒ v f − vi

=

r

=

r

r

=

r

a (t f − t i ) ,

por lo cual despejando la

r

⇒ v f = vi + a (t f − t i )

velocidad al final del trayecto:

integrando ambos miembros se tiene:

(2)

r

Por otro lado de la ecuación

d v d t

r

a=

como es una ecuación vectorial, multiplicando escalarmente por r

r

r r r d r d v r d r o d r = d v o a o d r = ya que v = d t d t d t r r r r r r

r

el vector diferencial del desplazamiento tenemos:

r

y además el producto escalar es conmutativo, tenemos: a o d r = d v o v r

r

r f

miembros de la ecuación anterior:

r

v f

r

r

=

v o d v , integrando ambos

r

∫ a o d r = ∫ v o d v , antes de integrar recordemos la definición de r

r

r i

vi

r r v = v x iˆ + v y jˆ + v z k ˆ ⇒ d v = d v x iˆ + d v y jˆ + d v z k ˆ , entonces: r r entonces la anterior integral será: v o d v = v x ⋅ d v x + v y ⋅ d v y + v z ⋅ d v z ,

producto r

r f

r

r

o

v f

r

r

r

v f

v f x

v f y

v f z

r

vi x

vi y

vi z

d r = ∫ v o d v = ∫ (v x ⋅ d v x + v y ⋅ d v y + v z ⋅ d v z ) = ∫ v x ⋅ d v x + ∫ v y ⋅ d v y + ∫ v z ⋅ d v z , como la r

vi

i

vi

aceleración

es

v x2 a o r r i = 2 r

si

r

∫r a r

escalar,

r

r r f

v f x

r

anterior

vi x

constante v f y

v y2 + 2v

i y

y

como

entonces

tendremos:

v f z

v z 2 r r r 1 ⇒ a o (r f − r i ) = (v f 2 x − vi2 x + v f 2 y − vi2 y + v f 2 z − vi2 z ); Ordenando la + 2 vi z 2 r

r

r

a o (r f − r i ) =

ecuación:

v f 2 = v f 2 x + v f 2 y + v f 2 z y vi2 = vi2 x + vi2 y + vi2 z tendremos:

x 2 ∫ x dx = 2 ,

r

r

r

v f 2 = vi2 + 2 a o (r f − r i )

1 2 y (v f x + v f 2 y + v f 2 z − (vi2 x + vi2 y + vi2 z )) 2 r r r 1 , entonces: a o (r f − r i ) = (v f 2 − vi2 ), 2

como: finalmente

(3)

Por último de la ecuación (2), como el tiempo final y la velocidad final corresponden a cualquier punto, r r r r r entonces se puede escribir: v f = v y t f = t , entonces tendremos la ecuación: v = vi + a (t − t i ) , r

r

r r r r d r r r d r recordando que: v = , entonces: = vi + a (t − t i ) ⇒ d r = vi ⋅ d t + a ⋅ t ⋅ d t − a ⋅ t i ⋅ d t , integrando d t d t r

r

r f

ambos miembros tenemos:

r

t f

r

t f

t f

r

r

∫r d r = ∫t vi ⋅ d t + ∫t a ⋅ t ⋅ d t − ∫t a ⋅ t i ⋅ d t ,

r

r

como vi , a y t i son constantes,

r

i

i

i

i

r

r r f

entonces al integrarlos saldrán fuera de la integral por lo cual: r r r

i

r

t f

= vi ⋅ t + t i

1 r 2 t f r t a ⋅ t t − a ⋅ t i ⋅ t t f i , i 2




r

r


1r 2

r

r

1r 2

r

desarrollando: r f − r i = vi ⋅ (t f − t i ) + a ⋅ (t f 2 − t i2 ) − a ⋅ t i ⋅ (t f − t i ) = vi ⋅ (t f − t i ) + a ⋅ (t f − t i )(t f + t i − 2 t i ) ,

1r 2 ordenando: r f − r i = vi ⋅ (t f − t i ) + a ⋅ (t f − t i ) 2 r

r

r

r

⇒ r f

r

r

(

) 1 ar ⋅ (t f − t i )2 ( 4 )

= r i + vi ⋅ t f − t i +

2

10.1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Este movimiento corresponde a un caso especial del movimiento anterior, ya que el movimiento está restringido únicamente a un eje, por comodidad elegiremos el eje x, por lo cual las anteriores ecuaciones por ser ecuaciones vectoriales contendrán 3 componentes, por ejemplo la ecuación ( 2 ) , formalmente es:

r

r

r

v f = vi + a (t f − t i )

⇒

Descomponiendo

v f x = vi x + a x (t f − t i )  v f y = vi y + a y (t f − t i ) v = v + a (t − t )  f z i z z f i

Pero como se está estudiando el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, entonces se elige: v f x = vi x + a x (t f − t i ) , pero como se sobrentiende que el movimiento está limitado al eje x, únicamente se escribirá: v f = vi + a (t f − t i ), y como al tiempo inicial por lo general se lo considera nulo y como el tiempo final corresponde a cualquier instante de tiempo, la anterior ecuación se lo manejara por lo general: v f = vi + a t , sin embargo note las grandes simplificaciones que se hicieron a la ecuación original (2), para llegar a la forma comúnmente conocida. Realizando un tratamiento similar a las ecuaciones (3) y (4), se llega a los siguientes resultados conocidos en la gran mayoría de la literatura Física:

v f

= vi + a

t

v f 2

= vi + 2 a x

2

1 x = vi t + a t 2 2

    ⇒ Ecuaciones del M.R.U.A ó M.R.U.V.   

11. MOVIMIENTO VERTICAL Ó CAÍDA LIBRE Este movimiento es causado debido a la aceleración de la gravedad que actúa de forma vertical apuntando hacia el centro de la Tierra, generalmente la aceleración de la gravedad se lo considera constante y cuyo valor numérico corresponde a: r g = − g jˆ ⇒

m r g = g = 9.81  2   s  Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




Sin embargo en la realidad si nos alejamos de la superficie de la Tierra, el valor del campo gravitatorio disminuye a medida que nos alejamos o aproximamos hacia el centro de la Tierra, a una distancia r de la superficie, la aceleración decae de acuerdo con la siguiente ecuación:

g r =

g 0 2  1 r   +   R 

Donde:

R = 6400 [km] ⇒ radio medio de la Tierra m g 0 = 9.81  2  ⇒ Valor medio de la aceleración de la gravedad  s  Las ecuaciones que rigen son las mismas que las ecuaciones maestras (2) , (3) y (4), salvo que ahora se debe utilizar las componentes que están en la dirección “y”, reemplazando la aceleración por el valor de la gravedad. Por ejemplo dentro de una de las componentes de la ecuación (2) a utilizar será:

v f y Utilizando: a y

= − g

= vi y + a y

(t f − t i )

; t f = t y t i = 0 , ésta ecuación se reduce a:

v f y = vi y − g t , nótese que si la velocidad inicial de lanzamiento estaría dirigido hacia abajo se utilizaría − vi y cuyo signo indica que esta apuntando hacia abajo, por lo cual haciendo el mismo tratamiento anterior a las ecuaciones maestras (3) y (4) llegamos a las ecuaciones:

v f y

= vi y − g t

v f 2 y

= vi y − 2 g y

2

1 y = vi y t − g t 2 2

    ⇒ Ecuaciones del Movimiento Vertical   

Para utilizar estas ecuaciones se deben respectar las siguientes convenciones de signos: Para la altura vertical

Para la velocidad

+ y

+v

y = 0 − y

Nivel de referencia

−v





Por ejemplo del gráfico, utilizando el tramo A –B, y de la ecuación:

B r

x

g

hmáx

v f 2 y

vi

2

= vi y − 2 g y

Nótese que el punto final corresponderá al punto B y el punto inicial al punto A, por lo cual: , v B2 = vi2 − 2 g y , si se desea hallar la altura máxima, la condición lógica es que ya no siga subiendo por lo cual: v B = 0 , de este modo resulta:

hmáx Para hallar el tiempo de subida de la ecuación: v B

= vi − g t ⇒ t s =

vi2 = 2 g

vi , si el cuerpo retorna al mismo g

punto desde donde fue lanzado, resulta que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada , luego:

vi , finalmente el tiempo de vuelo resulta de sumar el tiempo de subida mas el tiempo de bajada: g 2v t v = t s + t b = i . g t b =

12. MOVIMIENTO EN EL PLANO Este movimiento también se denomina: movimiento parabólico, movimiento de proyectiles, movimiento balístico, movimiento compuesto, etc. y está compuesto por la combinación de los movimientos en el eje x y en el eje y, algunas características de este movimiento son: • • •

vi y

vi θ vi x

• •

El movimiento en el eje x es constante. El movimiento en el eje y es variable debido a la aceleración de la gravedad. Las distancias horizontales de lanzamiento deben ser pequeñas frente al radio de la Tierra, ya que de no ser así, debe considerarse los efectos de curvatura de la Tierra. Si el ángulo de lanzamiento es de 0º el movimiento es horizontal sobre el eje x. Si el ángulo de lanzamiento es de 90º el movimiento es vertical o también denominando caída libre.

Las ecuaciones que rigen el movimiento parabólico son:





      v f y = vi y − g t  ⇒ Ecuaciones del Movimiento Parabólico  En el eje y : ⇒ v f 2 y = vi2 y − 2 g y     y = vi y t − 1 g t 2   2 

En el eje x

: ⇒ v x

=

x t

Del anterior gráfico puede verse que:

vi x = vi cos (θ )  ⇒ Componente s de la velocidad inicial vi y = vi sen (θ ) 

12.1 Ecuación de la trayectoria. La ecuación de la trayectoria es una función que relaciona las coordenadas cartesianas, es decir debe ser una función del tipo: y = y ( x ) , ya que de encontrar una función del tipo anterior es posible graficarlo en el plano y visualizar el tipo de camino que recorre la partícula, para hallar la ecuación de la trayectoria en el movimiento parabólico, partamos de la ecuación:

1 x y = vi y t − g t 2 para el eje y, y de la ecuación para el eje x: v x = : 2 t Despejando el tiempo de la ecuación para x: v y v B

t = v x y

v0 y v0

x v x

=

x v0 x

=

x , ya que la velocidad en x es v0 cos (θ )

constante, reemplazando en la ecuación para y: 2  x  1  x  1 2  − g   y = vi y t − g t = v0 sen(θ ) 2  v0 cos(θ )  2  v0 cos (θ )  Ordenando:

y = tg (θ ) ⋅ x −

A

v0 x x

g x 2 = y ( x ) 2 2 2 v0 cos (θ )

Que geométricamente es la ecuación de la parábola.

Y que recibe el nombre de ecuación de la trayectoria . Observe que la ecuación de la trayectoria no es otra ecuación, es simplemente una consecuencia de las cuatro ecuaciones del movimiento parabólico. 12.2 Cálculo de algunos parámetros en el movimiento parabólico. Supongamos el caso de un cuerpo que es lanzado desde el suelo y que retorna al mismo nivel a una distancia mas allá del punto de lanzamiento, si se conociera la velocidad de lanzamiento y la inclinación, calcular: ¿La altura máxima?, ¿la distancia máxima?, ¿el tiempo de subida?, ¿el tiempo de bajada? y el tiempo de vuelo. Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)



v0 x = v0 cos (θ ) v0 y = v0 sen(θ )


Distancia máxima:

B

t s

Utilizando la ecuación de la trayectoria entro los punto A y C: g 0 = tg (θ ) ⋅ x − 2 x 2 Factorizando: 2 2 v0 cos (θ )

t b ymáx

v0 y

  g x tg (θ ) ⋅ − 2 x  = 0 Cuya solución 2 2 v0 cos (θ )   C inmediata es x = 0 , sin embargo esta no tiene sentido, por lo cual se elige la otra solución:

v0

A

θ

v0 x

xmáx

g x = 0 2 v cos 2 (θ ) máx 2 v02 cos 2 (θ ) tg (θ ) v02 (2 sen (θ ) cos (θ )) = = g g

tg (θ ) ⋅ − ⇒ xmáx

2 0

Recordando que: sen (2 θ ) = 2 sen(θ ) cos(θ ) , por lo cual:

v02 sen (2 θ ) = g

xmáx Altura máxima:

Analizando entre los puntos A y B, y utilizando la ecuación para el eje y: v B2 y calcular la altura máxima, la condición es que: v B y

=

2 = A y −

0 , por lo cual: 0 v

2

= v A y − 2 g y ,

2 g ymáx ⇒ ymáx

para

v02 y , = 2 g

finalmente:

v02 sen 2 (θ ) = 2 g

ymáx

Tiempo de Subida:

Analizando entre los puntos A y B, y utilizando la ecuación para el eje y: v B y el tiempo de subida, la condición es que: v B y

=

t s

= v A y − g t ,

0 , por lo cual: 0 = v A y − g t s ⇒ t s

=

=

para calcular

v0 y , finalmente: g

v0 sen (θ ) g Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




Tiempo de Bajada:

En este caso como el cuerpo retorna al mismo nivel de donde fue lanzado, entonces el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada, por lo cual:

t b =

v0 sen (θ ) g

Tiempo de Vuelo:

Es la suma del tiempo de subida y el tiempo de bajada, por lo cual:

t v

= t s + t b =

2 v0 sen (θ ) g

13. PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN Dentro de la Física, existen una gran variedad de problemas en la cual se piden hallar valores máximos o mínimos para lo cual, invocamos a la Teoría matemática sobre maximización y minimización de funciones para lo cual, sea f una función tal que es continua en un intervalo abierto ξ . 13.1 DEFINICIÓN 1. Los puntos críticos de una función definida sobre un intervalo son los puntos del intervalo, donde la derivada o es cero ó no existe y también los puntos extremos del intervalo si es que pertenecen al intervalo.

Dentro de la Física aplicada generalmente tenemos funciones bien comportadas, para lo cual los puntos críticos se los obtiene, derivando la función respecto de la variable a determinar para que la función sea máxima ó mínima e igualarlo a cero. Por ejemplo si f es una función que describe una variable Física cualquiera (fuerza, masa, aceleración, posición, tiempo, energía, campo eléctrico, etc.) que depende de la variable x que puede ser igual a cualquier variable Física, entonces los puntos críticos se los encontrara haciendo:

df =0 dx

⇒

 x se obt iene los puntos crit icos, por ejemplo ll amemosles:  1  x2

Si se tienes varios puntos críticos ¿como saber cuales son los puntos máximos y cuales son los puntos mínimos?, por ello invocamos a otro teorema matemático: 13.2 TEOREMA 1. Supongamos que

df ( x ) dx x

= f

f es

diferenciable

en

una

vecindad

Ν (c )

de

c,

' (c ) = 0 y que f '' (c ) (segunda derivada de la función f ) existe, entonces:

=c

i) ii)

f '' (c ) p 0 ; entonces f tiene un máximo relativo en si f '' (c ) f 0 ; entonces f tiene un mínimo relativo en

si

c. =c. =





iii) si f '' (c ) = 0 ; entonces f tiene un punto de inflexión (punto donde la función cambia abruptamente de cóncava a convexa) en =c.

A continuación con la suposición anterior de lo puntos críticos para la función f es decir los punto x1 y x2 , para saber que punto es máximo y que punto es mínimos, aplicamos el teorema anterior es decir tenemos que hallar la segunda derivada de la función f y evaluar en los puntos críticos, si al evaluar en el punto crítico x1 , la segunda derivada nos resulta un número negativo (menor a cero), esto implicaría que el punto x1 en un punto máximo, en cambio si al evaluar el punto crítico x1 la segunda derivada de la función resulta una cantidad positiva (mayor a cero), esto implicaría que el punto x1 es un punto mínimo; de forma análoga deber evaluarse para los demás puntos críticos en la segunda derivada de la función a maximizar ó minimizar que encontremos mediante la primera derivada de la función. Ejemplo de aplicación: Un cuerpo es lanzado con una velocidad inicial v0 , ¿ para que valor del ángulo de lanzamiento se obtiene el máximo desplazamiento horizontal ? Solución: v02 sen (2 θ ) , claramente depende de la variable θ , por lo cual debemos g derivar la función a maximizar respecto del parámetro de cambio para hallar los puntos críticos:

La función a maximizar es: xmáx

=

xmáx = xmáx (θ ) =

v02 sen (2 θ ) d v 2 cos (2 θ ) 2 ( xmáx ) = 0 ⇒ =0 g d θ g

Ya que la velocidad inicial y la gravedad se los consideran constantes no nulos, por tanto:

90º ⇒ θ = 45º , para saber si el punto buscado, 2 2 v02 sen(2 θ ) 2 d 2 d  d  hallemos la segunda derivada: ( x ) = ( x ) = − , reemplazando en  d θ 2 máx d θ  d θ máx  g ésta segunda derivada el valor: tenemos: θ = 45º , d 2 2 v02 sen (2 ⋅ 45º ) 2 4 v02 ( x ) =− =− p 0 , que es menor a cero, por lo cual podemos d θ 2 máx θ 45º g g concluir que θ = 45º , hace que el alcance horizontal sea el mas grande . cos (2 θ ) = 0 ⇒ 2 θ = cos 1 (0) = 90º , Luego: θ = −

=

14. MOVIMIENTO CIRCULAR Este movimiento es un tipo de movimiento en el plano, salvo que ahora se mueve a lo largo de una trayectoria tal que la distancia a un punto central es constante. Antes de seguir adelante estudiemos las características del círculo:





Características del círculo:

S

r ⇒ Radio de la circunfere ncia D = 2 r ⇒ Diámetro de la circunfere ncia P = 2 π r ⇒ Perímetro de la circunfere ncia A = π r 2 ⇒ Área de la circunfere ncia S = r θ ⇒ Lingitud de arco

θ

r D

Para describir este tipo de movimiento, es mejor trabajar en coordenadas polares, por lo cual el vector posición estará dado por: Vector posición:

r

r = r r ˆ

Donde los versores en cada dirección están dados por: θ ˆ

y r

ˆ = cos(θ ) iˆ + sen(θ ) jˆ ; θ ˆ = − sen(θ ) iˆ + cos(θ ) jˆ r

ˆ r

P (r ,θ )

r

d r d d r d r ˆ (r r ˆ) = Velocidad: v = r ˆ + r , como el radio es = d t d t d t d t r d r d r ˆ constante: , luego derivando el versor en la = 0 ⇒ v = r d t d t r

x

θ

ˆ d d r = (cos(θ ) iˆ + sen(θ ) jˆ) d t d t d θ ˆ d θ d θ d θ = − sen(θ ) i + cos (θ ) jˆ = (− sen (θ ) iˆ + cos (θ ) jˆ ) = θ ˆ d t d t d t d t

dirección

A la cantidad representa por:

radial:

d θ se le conoce con el nombre de VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA, y se lo d t ω =

r

Luego la velocidad será: v

d θ A ⇒ VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNE d t =

r r ω θ ˆ ⇒ v

=

v = r ω .

r  d ω ˆ d v d d ˆ d θ ˆ  ˆ  (r ω θ ) = r (ω θ ) = r  θ + ω  , por lo cual derivemos con Aceleración: a = = d t d t d t d t   d t r

respecto del tiempo el versor angular:





d θ ˆ d (− sen(θ ) iˆ + cos(θ ) jˆ) = −cos(θ ) d θ iˆ − sen(θ ) d θ jˆ = − d θ (cos(θ ) iˆ + sen (θ ) jˆ) = − d θ r ˆ = −ω r ˆ = d t d t d t d t d t d t r d ω ˆ d θ ˆ d ω ˆ d ω ˆ , a la cantidad , por lo cual: a = r se le conoce con el nombre de θ + r ω θ − r ω 2 r = r

d t

d t

d t

d t

ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA y se lo simboliza y define como:

α =

d A ⇒ ACELERACIÓ N ANGULAR INSTANTÁNE d t

ˆ ; a la cantidad: Entonces la aceleración en el movimiento circular estará dado por: a = r α θ ˆ − r ω 2 r r α θ ˆ se le conoce con el nombre de ACELERACIÓN TANGENCIAL ya que actúa de forma tangente a la trayectoria circular como se puede apreciar en el grafico y se lo simboliza y define como: r

r aT = r α θ ˆ r aT = aT = r α

  ⇒ ACELERACIÓ N TANGENCIAL 

ˆ se le conoce con el nombre de ACELERACIÓN RADIAL, En cambio a la cantidad − r ω 2 r ACELERACIÓN CENTRÍPETA, ACELERACIÓN NORMAL, el signo negativo indica que esta aceleración apunta hacia el centro del circulo, y se lo simboliza y define como: r

r

a N = aC = − − r ω 2 r ˆ r

aC

=

 ⇒ ACELERACIÓ N CENTRIPETA 

aC = r ω 2

Por lo cual la aceleración en cualquier punto en el movimiento circular estará dado por: r

r

r

r

a = aT + aC ⇒ a

2

(r α )2 + (r ω 2 ) ⇒ ACELERACIÓ N TOTAL

=

r

v

y

r

r

a

aT

Recta tangente

r

r

aC

θ

x

Geométricamente es válida la siguiente relación vectorial: Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




z r

r

r

v = ω × r r r r r r r aC = ω × v = ω × (ω × r )

r

θ

r

y θ ˆ

r

v

r ˆ

x 14.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Este movimiento se caracteriza por que la velocidad angular no cambia en el tiempo, y para resolver este movimiento se recurre a la relación:

d θ ⇒ d θ = ω d t ⇒ ω = integrando d t ⇒ ω =

θ f

t f

θ i

i

∫ d θ = ∫t ω d t ⇒ θ f − θ i = ω (t f − t i )

θ f − θ i

t f − t i

Si se considera la posición angular nula y el tiempo inicial también nulo y se resuelve para cualquier posición angular y tiempo tenemos:

ω =

θ

t

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

14.2 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA La velocidad angular media se define y simboliza como

: ω =

θ f − θ i

t f − t i

La velocidad angular instantánea se define y simboliza como : ω = lím

∆ t →0

=

∆ θ ∆ t

∆ θ

=

∆ t

.

d θ d t

Obsérvese que en el movimiento circular uniforme tanto la velocidad media como la instantánea son iguales. 14.3 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA La aceleración angular media se define y simboliza como

: α =

ω f − ω i

t f − t i

=

∆ ω ∆ t

.





: α = lím

La aceleración angular instantánea se define y simboliza como

∆ ω

∆ t →0

∆ t

=

d ω d t

14.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Este movimiento se caracteriza por que la aceleración angular se mantiene constante durante el movimiento, por lo cual partiendo de la ecuación:

d ω ⇒ d ω = α d t ⇒ α = integrando d t ecuación simplificada será:

t f

ω f

∫ d ω = ∫t α d t = α ∫t d t ⇒ ω f − ω i = α (t f − t i ) ,

ω i

f =

t f

i

i

(t t ).

i + α f − i

(a)

Por otro lado partiendo de la ecuación: α = θ f

⇒ α d θ = d ω ⋅ ω = ω d ω ⇒

integrando

α (θ f −θ i ) =

por lo cual la

d d ω d θ d θ ⇒ α d θ = d ω ⇒ α d θ = d t multiplicando d t d t

ω f

∫ α d θ = ∫ ω d ω

θ i

Por

θ f

tanto:

α θ θ

ω i

i

=

ω 2

2

ω f

⇒ ω i

1 2 (ω f − ω i2 ) ⇒ ω f 2 = ω i2+ 2 α (θ f −θ i ) ( b ) 2

Finalmente de la ecuación (a) considerando que el instante final y velocidad angular final corresponde a d θ cualquier punto, entonces: ω = ω i + α (t − t i ) ⇒ = ω i + α (t − t i ) ⇒

d t

d θ = ω i d t + α t d t − α t i d t ⇒

∫

θ f

integrando θ i

θ f − θ i

(

t f

t f

t f

d θ = ω i ∫ d t + α ∫ t d t − α t i ∫ d t ⇒ t i

t i

t i

) 1 α (t f 2 − t i2 ) − α t i (t f − t i ) ordenando: θ f = θ i + ω i (t f − t i ) + 1 α (t f − t i )2

= ω i t f − t i +

2

2

(c)

Las ecuaciones (a) (b) y (c) constituyen las ecuaciones maestras del movimiento circular uniformemente acelerado. Sin embargo generalmente la posición angular inicial y el instante inicial se lo consideraran nulo y la posición angular final y el instante final se lo considera cualquier punto, por lo cual las ecuaciones anteriores se los puede reducir a la forma:

   NTE ACELERADO ω f 2 = ω i2 ± 2 α θ  MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEME 1 2  θ = ω i t ± α t  2 ω f

= ω i ± α t





Donde el signo positivo corresponde al movimiento acelerado y el signo negativo al movimiento desacelerado. Si no se está seguro si el cuerpo acelerado o desacelerado por convención se utilizará el signo positivo y al finalizar el ejercicio se interpretará los resultados. 14.5 TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO Dentro de las aplicaciones del movimiento circular a la industria está la forma en la cual se puede transmitir movimiento de un sistema a otro sistema a través de un mecanismo en un determinado medio, por lo cual existen tres maneras de realizarlo: a) Conexión por correas Esta forma de transmitir el movimiento es a través de una cuerda ó correa y cuya representación gráfica esta dada por: es el siguiente:

v B

v A A

En este caso se cumple:

v A = v B r A ω A = r B ω B a A = a B r A α A = r B α B

r B

r A

B

α A

B

b) Conexión concéntrica Esta forma de transmitir el movimiento es a través de la superposición de dos circunferencias como se lo puede apreciar a continuación:

r B B B

ω A

En este caso se cumple: ω A = ω B

r A

A

α A

= α B

NOTA: La rueda A debe estar colada a la rueda B, caso contrario no se cumple las ecuaciones anteriores.

c) Conexión tangencial Esta forma de transmitir el movimiento es a través del contacto entre dos mecanismos de forma circular como se lo puede apreciar a continuación: Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




En este caso se cumple:

v A v B A

v A = v B r A ω A = r B ω B a A = a B r A α A = r B α B

r B

r A

α A B

NOTA: Para aplicar las anteriores relaciones no debe haber deslizamiento de una rueda

α B

15. UNIDADES DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES LINEALES Y ANGULARES Se considera todas las unidades respecto del sistema internacional en el cual tenemos:

Variables lineales Variable angulares r , x , y , z ⇒ [m] ⇒ [rad ] θ r m  rad  v ,v , v ⇒  ⇒ ω  s   s  r m  rad  a ,a , a ⇒ 2 ⇒ 2  α  s   s  revoluciones r . p.m. = rpm = revoluciones por minuto = minutos 1 [revolución ] = 1[rev ] = 1 [Vuelta ] = 2 π [rad ] = 360º r

16. ALGUNAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS CURVAS r

r

Consideremos a la curva r = r (t ) que describe la posición de una partícula en movimiento. El vector

ˆ definido por: unitario T r

T ˆ =

v r v

Se denomina vector tangente unitario. Como se puede apreciar este vector es un vector direccional de r r la recta tangente a la curva en el punto r = r (t ) .

ˆ dado por: El vector unitario N

r

ˆ= N

r

r

(v × a ) × v r r r (v × a ) × v

ˆ. Se llama normal principal a la curva y es perpendicular al vector tangente T Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




r

z

T ˆ ˆ N

ˆ se llama PLANO OSCULADOR. ˆ y N vectores T El número no negativo k dado por:

r

Plano osculador

r (t )

r

k =

y x

r

El plano que pasa por r = r (t ) y es generado por los

Trayectoria de la partícula

r

v ×a r 3 v

Se llama CURVATURA, su inverso se denomina RADIO DE CURVATURA y se simboliza por: ρ , es decir:

ρ =

1 k

En general la curvatura y por lo tanto el radio de curvatura varia según el punto a lo largo de la curva. 17. MOVIMIENTO RELATIVO Este movimiento surge a causa de que sistemas diferentes que observan un mismo fenómeno pueden describir un mismo movimiento o como también no, y dependerá si los sistemas en cuestión están en movimiento de rotación o traslación o la combinación de ambos, es fácil verificar este movimiento haciendo lo siguiente: suponga que usted lanza una moneda hacia arriba dentro de un bus que está en movimiento, usted observara a la moneda en una trayectoria vertical por ello retornará hacia su mano la moneda después de un lapso de tiempo, sin embargo un observador que esta fuera del bus, o sea en Tierra, observará a la moneda en una trayectoria parabólica conforme el bus se mueva y como se puede apreciar ambos observadores que aprecian un mismo fenómeno lo describen de diferentes formas, por ello concluimos que este movimiento es causado cuando el sistema es analizado desde sistemas de referencia diferentes. Para describir este movimiento existen dos casos; el primero cuando existe solamente traslación y el segundo cuando existe traslación y rotación. 17.1 SISTEMAS EN TRASLACIÓN Es necesario considerar este tipo de sistemas de referencia para estudiar el movimiento relativo de dos ó más cuerpos. Recordemos que un sistema de referencia es aquel respecto de cual se especifican las variables de estado (posición, velocidad, aceleración, etc.) de un cuerpo determinado. Para analizar un problema puede utilizarse diversos marcos de referencia. Por ejemplo veamos lo siguiente:





Como se puede ver en el anterior gráfico, los marcos de referencia S y S’ están en movimiento, en cambio el sistema S’’ está en reposo; y los tres sistemas observan un mismo fenómeno que en este caso es el movimiento vertical de un paracaidista, y la pregunta que usted debe hacerse es ¿si en los tres sistemas de referencia las ecuaciones de movimiento correspondiente a la velocidad y aceleración, se modifican o se mantiene invariante? , ¿Verdad?, y si cambian ¿de qué manera lo hacen?,. Todas estas cuestiones serán aclaradas una vez introducido el concepto de movimiento relativo y los cambios entre sistemas de referencia de la siguiente manera: Considere dos sistemas O y O’ el primero corresponde a un sistema fijo y el segundo a un sistema móvil, supongamos un evento P de observación, entonces las coordenadas que describen en ambos sistemas son:

z’ P

Sistema en movimiento r

r P

O'

O’ z

r

y’

x’

r P

O

r

r O'

O

O

y

x Utilizamos las coordenadas x, y y z para el sistema de referencia en reposo, en cambio utilizamos las coordenadas x’, y’ y z’ para el sistema de referencia en movimiento; y los vectores posición en cada sistema de referencia los estamos manejando como: r

r P : Que describe la posición del punto P respecto del sistema de referencia O. r

O

r P : Que describe la posición del punto P respecto del sistema de referencia O’. r

O'

r O' : Que describe la posición del sistema O’ respecto del sistema de referencia O. O

r

r

Del algebra vectorial sabemos que se cumple: r P

O

r

= r O' + r P O

r

O'

= r P

O'

r

+ r O'

O

; Por lo cual tendremos la

relación de los vectores posición de los sistemas de referencia: r

r P

O

r

= r P

O'

r

+ r O'

O

Si derivamos esta ecuación con respecto del tiempo tendremos la transformación de velocidades de un sistema a otro, del siguiente modo: Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)



r


r

r

d r P

O

dt

=

d r P

O'

dt

+

d r O'

r

r d r r y de cinemática: = v ; tendremos: v P O dt dt

O

r

= v P

r

O'

+ vO'

O

Si volvemos a derivar la anterior ecuación con respecto al tiempo, tendremos la relación de aceleraciones, es decir: r

d v P

O

dt

r

=

d v P

O'

dt

r

+

d vO'

r

r d v r y de cinemática: = a ; por lo cual tendremos: a P O dt

O

dt

r

= a P

O'

r

+ aO'

O

17.2 SISTEMAS EN ROTACIÓN Y TRASLACIÓN Los anteriores tratados fue para sistemas en traslación no se trato todavía como cambian las ecuaciones para la aceleración en sistemas que rotan y se trasladan al mismo tiempo, por ello consideremos dos sistemas O y O’ el primer es un sistema fijo y el segundo es un sistema móvil que se traslada y rota al mismo tiempo sobre un eje arbitrario. r

z’ Sistema en movimiento de rotación y traslación

P r

r P

O'

y’

O’ z

r

x’

r P

O

r

r O'

O

y

O x

Nuevamente ambos observadores que están en sistemas de referencia diferentes observan un mismo Fenómeno P. r

r

Del análisis vectorial se sabe que: r P

O

= r P

O'

r

+ r O'

O

( A ), escribiendo cada vector posición en la forma

vectorial tenemos: r

r P

O

= x

iˆ + y jˆ + z k ˆ ( B ) y

r

r P

O'

= x'

iˆ' + y' jˆ' + z' k ˆ' ( C )

, donde las primas corresponden al

sistema móvil en rotación y traslación; derivando la ecuación ( C ) con respecto al tiempo obtenemos la relación de velocidades del punto P respecto del sistema O’:





r

d r P

ˆ ˆ ˆ d ˆ ( x' i ' + y' jˆ' + z' k ˆ' ) = d x' iˆ' + x' d i ' + d y' jˆ' + y' d j' + d z' k ˆ' + z' d k ' ( D ), ya que en dt dt dt dt dt dt dt dt ˆ' cambiarán de dirección y sentido este caso los versores unitarios (vectores unitarios) iˆ', jˆ' y k O'

=

conforme se trasladen y roten, agrupando términos en la ecuación ( D ) tenemos: r

d r P

d x' ˆ d y' ˆ d z' ˆ d iˆ' d jˆ' d k ˆ' i ' + j' + k ' + x' = + y' + z' (E) dt dt dt dt dt dt dt O'

 r  y como:  v P   O'  respecto de x ', y ', z ' que:

=

d x' ˆ d y' ˆ d z' ˆ i ' + j' + k ' ( E ‘ ) y recordando de la cinemática circular dt dt dt

r d r r r d iˆ' r ˆ d jˆ' r ˆ d k ˆ' r ˆ v = ω × r ⇒ = ω × r y por comparación: = ω×i' , = ω × j' , = ω × k ' ( e ) dt dt dt dt r

r

r

así la ecuación ( E ) en el sistema en rotación y traslación se transforma en: r

d r P

O'

dt r d r P

O'

dt

=

=

r r r r  ˆ' ) + x' (ω × iˆ' ) + y' (ω × jˆ' ) + z' (ω × k  v P   O'  respecto d e x',y',z'

(F)

r r  ˆ' ) + ω × ( x' iˆ' + y' jˆ' + z' k  v P   O'  respecto d e x',y',z' r

Y de acuerdo con la ecuación ( C ) :

d r P

O'

dt

=

r r r  ( F ‘ ) , de esta manera la + ω × r P  v P  O'  O'  respecto d e x',y',z' r

d r r dt P O

derivada temporal de la ecuación ( A ) será: reemplazando la ecuación ( F ) obtenemos: r

v P

O

=

d r P

r

d r O'

r d  r O , que  r P + r O'  = O' + O  dt  O' dt dt

= vO' +   v P r

r r  + ω × r P (G) O'  O'  respecto d e x',y',z' r

O

Si volvemos a derivar con respecto al tiempo la ecuación ( G ), tendremos la relación de aceleraciones; del siguiente modo: r

d r v dt P O

r r r d  r  d vO' O   = + ω × r P  = v + v  O'  dt  O' O  P O'  respecto d e x',y',z' dt

+

d  r  d  r r  ( G ’ ) +  v P   ω × r P  O'  dt  O'  respecto d e x',y',z' dt 

Se realizará cada uno por partes para entender mejor:




FÍSICA DIDÁCTICA APLICADA r

d vO'

O

dt

r

= aO'

(H)

O

d  r  d  d x' ˆ d y' ˆ d z' ˆ  i ' + j' + k '  =  v P   dt  O' respecto d e x',y',z' dt  dt dt dt  (I) 2 2 2 ˆ ˆ ˆ d  r  d x' ˆ d x' d i ' d y' ˆ d y' d j' d z' ˆ d z' d k ' i ' + j' + k ' + = + +  v P  dt  O' respecto d e x',y',z' dt 2 dt dt dt 2 dt dt dt 2 dt dt Ordenando y como:

r d 2 x' ˆ d 2 y' ˆ d 2 z' ˆ   = i ' + 2 j' + 2 k ' , además recordando las  a P   O'  respecto d e x',y',z' dt 2 dt dt

ecuaciones ( e ) se obtiene: r d  r  d x' r ˆ d y' r ˆ d z' r ˆ (ω × i ' ) + (ω × j' ) + (ω × k ' ) que ordenando =  +  v P   a P  dt  O' respecto d e x',y',z'  O' respecto d e x',y',z' dt dt dt

términos y por las propiedades del producto vectorial:

d  r  r  d x' ˆ d y' ˆ d z' ˆ  y de acuerdo con la  r  i ' + j' + k '  =  a P  + ω×  v P  dt  O' respecto d e x',y',z'  O' respecto d e x',y',z' dt dt   dt d  r  r r r ecuación ( E ‘ ) : =  + ω ×   v P   a P   v P   O'  respecto d e x',y',z' dt  O' respecto d e x',y',z'  O' respecto d e x',y',z' r

r

r d  r r  d ω r × r P + ω ×  ω × r P  = O'  O' dt  dt

Por último:

r

r d  r r  d ω r × r P + ω ×  ω × r P  = O'  O' dt  dt

d r P

O'

dt

y de acuerdo a ( F ‘ ) tenemos:

r r  r   v + ω × r P   P  O' respecto d e x',y',z'  de las propiedades vectoriales: O'  

r

d  r r  d ω r r r r r r × r P + ω ×  + ω ×   ω × r P  =  v P   ω × r P  O'  O' O'   O'  respecto d e x',y',z'  dt  dt

(J)

Finalmente reemplazando todas las ecuaciones en la ecuación ( G ‘ ) tenemos: r

r

a P

O

r r r r r r r r d ω r = aO' +  + ω ×  + × r P + ω ×  + ω ×   a P   v P   v P   ω × r P  O' O'  O  O'  respecto d e x',y',z'  O'  respecto d e x',y',z' dt  O'  respecto d e x',y',z'  r

r

d ω r Ordenando y agrupando términos comunes y además del movimiento circular se sabe que: = α por dt lo tanto: r

a P

O

=

r

aO'

O

r r r r  r   r   r r  + 2ω ×  v P  + α × r P + ω ×  ω × r P  O' O'   O'  respecto d e x',y',z'  O'  respecto d e x',y',z' 

+  a P

(K)





Aclaremos el significado de cada término de la ecuación ( K ): r

a P

: Aceleración absoluta de P respecto del sistema fijo O.

O

r

aO'

: Aceleración absoluta del sistema en rotación y traslación O’ respecto del sistema fijo O.

O

r  : Aceleración del punto P respecto del sistema en rotación y traslación O’  a P   O' respecto d e x',y',z' r

ω

: Velocidad angular del sistema en rotación O’.

r  : Velocidad del punto P respecto del sistema en rotación y traslación O’.  v P   O' respecto d e x',y',z' r

α

: Aceleración angular del sistema en rotación O’.

r

r P

: Vector posición del punto P respecto del sistema en rotación y traslación O’.

O'

r r Al término: 2ω ×   v P 





O' respecto d e x',y',z'

se lo conoce como ACELERACIÓN DE CORIOLIS, y al término:

r r r ω ×   ω × r P  se lo conoce como ACELERACIÓN CENTRIPETA, ya que esta aceleración está





O'

dirigida hacia el centro de rotación del cuerpo como se puede verificar por las propiedades del producto r r vectorial ayudado de la mano derecha y el término: α × r P recibe el nombre de ACELERACIÓN O'

TANGENCIAL ya que está dirigida de forma tangente a la trayectoria curva que describe la partícula P.

PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO Problema 1. Identificar los siguientes puntos en algún eje, plano y/o espacio estableciendo en que tipo de coordenadas está, cuales son los elementos del punto y en que octante está ubicado el punto.

a) P1 ( 5 , 90º , 180º)

b ) P2 ( 5 , − 120º , − 2 )

c) P3 ( 5 , − 45º )

d) P4 ( − 1 , 2 ,− 5 )

Solución. Los puntos están ubicados en: b) P2 (5, − 120º , − 2) ⇒ está en coordenada s cilíndricas

a) P1 (5, 90º , 180º) ⇒ está en coordenadas esféricas ubicado en el eje − x cuyos elementos son : r = 5, θ = 90º , ϕ = 180º

ubicado en el 7 mo octante cuyos elementos son : ρ = 5, ϕ = −120º , z = −2





c) P3 (5, − 45º ) ⇒ está en coordenadas polares

d) P4 (- 1, 2, − 5 ) ⇒ está en coordenadas cartesianas

ubicado en el 4 to cuadrante cuyos elementos son : r = 5, θ = −45º

ubicado en el 6 to octante cuyos elementos son : x = −1, y = 2, z = −5

Problema 2. La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación: x (t ) = 2t 2 − 9 t + 9 , donde x se expresa en centímetros y t en minutos. Determinar: a) El instante para el cual la velocidad será cero, b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese instante, c) la aceleración de la partícula en ese instante, d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 1 [min] hasta t = 6 [min]. Solución. Como el movimiento esta en el eje x, y además la posición es función del tiempo, entonces la dx dv velocidad y la aceleración están dados por: v = ; a = , derivando cada uno de ellos: dt dt v=

dx dt

=

d 2 dt 2 dt d9 2t − 9t + 9) = 2 − 9 + , utilizando las reglas de derivación estudiadas en clases: ( dt dt dt dt

v (t ) = 4t − 9 ,

dv (t) d (4t − 9) = 4 , por lo cual la aceleración es constante. Por lo cual la = dt dt respuesta a los incisos será:

y para la aceleración: a =

9 a) v(t) = 4t − 9 = 0 ⇒ t = [min] , por lo cual este es el instante para el cual la velocidad se anula. 4

b) la posición en el instante a) será: x  9  = 2  9   4   4 

2 −9

9 9 [cm] , y la posición inicial de donde +9 ⇒ x = − 8 4

partió la partícula es en t = 0 [min ] , por lo cual: x (0 ) = x i = 9 [cm] , por lo cual la distancia que recorrió la partícula desde el momento que partió hasta el instante en que su velocidad fue nula fue de: 9 d = 9 [cm]+ [cm], entonces: d = 81 [cm] dirigido hacia la izquierda . 8 8 c) la aceleración de la partícula en el instante en que se detuvo es de: a = 4  cm2  , ya que la aceleración  min 

es constante. , y en x(1) = 2(1)2 − 9 ⋅ 1 + 9 ⇒ x(1) = 2 [cm] t = 6 [min ] x(1) = 2(6)2 − 9 ⋅ 6 + 9 ⇒ x(6) = 27 [cm] , por lo cual la distancia que recorrió en ese intervalo de tiempo será:

d)

Entonces,

en

t = 1 [min]

t = 6 [min ]

9 − 8

0

2

 

d = 2 + 2

x [cm ] 9

27

⇒ d =

,

9  + 27  [cm] 8 

125 [cm] 4

t = 1 [min ]

m Problema 3. Una motocicleta que está parada en un semáforo acelera a 4.2  2  en el momento en que s  km la luz verde se enciende. En ese momento un automóvil que viaja a 72   rebasa al motociclista, este h  acelera durante un tiempo “ T ” , y después conserva su velocidad. Rebasa al automóvil 42 segundos después de haber arrancado. ¿A que velocidad va el motociclista cuando rebasa al automóvil y a que distancia del semáforo está en ese instante?. Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)




Solución. Un buen gráfico nos ayudaría bastante:

Para el automóvil, es M.R.U.,por lo cual la ecuación que rige es:

A : Automovil M : Motociclet a

vA

=

xA ⇒ xA tA

Introduciendo los datos; A

x A

A

=

vA

vA ⋅ tA =

 Km  m  = 20  s  h    

72 

t e es el tiempo de encuentro, por lo cual la distancia donde será alcanzado el automóvil es:

A

tA

= te =

42 [s ] , donde

xA

viM = 0

=

840 [m]

Analizando para la Motocicleta: Tramo 1 – 2:

1

x M

2

3

x' M

Las ecuaciones que podemos plantearnos son: v2

aMT 1 x M = aMT 2 2 =

(a) (b)

Tramo 2 – 3-: Como el movimiento es uniforme entonces se puede plantear la ecuación:

v2

=

x'M

⇒ x'M = v 2 (t e − T ) (c)

te − T

Y según el gráfico: x M + x'M = x A (d) , por lo cual se tienen cuatro ecuaciones con las incógnitas: v 2 , T, x M , x'M ,entonces existe solución única. Resolviendo para 1 2

⇒ aM T 2 − aM t e T + x A

T ; reemplazando (a), (b) y (c) en (d), tenemos: =

1 a T 2 + a M T(t e − T ) = x A 2 M

0 , que es una ecuación cuadrática, resolviendo ésta ecuación:

a M t e ± (a M t e )2 − 2 a M x A T= ⇒ T1 = 5,07 [s] ; T2 = 78,93 [s], por lo que aceptamos la solución T1 = T = 1,4 [s ] , aM por lo que esta en coherencia con las condiciones del problema, y ojo no se puede elegir la solución T2 = 82,6 [s] , ya que en un tiempo de 42 [ s] , recién lo alcanza.

Finalmente reemplazando en la ecuación (b) para encontrar la velocidad a la cual va el motociclista en el momento de rebasar al automóvil:

v2

=

m  21,3   s





Problema 4. Cual debe ser la inclinación con que debe lanzarse el proyectil sobre el plano inclinado de θ = 45º , a fin de que incida perpendicularmente al retornar a dicho plano. Por :

v0

2

E = mc

α θ

Solución. constante:

Realizando un diagrama y considerando que la velocidad en la dirección x se mantiene Utilizando la ecuación de la trayectoria entre los punto A y B: y = tgα x −

D :

v0

B

v f y

α

θ

θ

x

2 v 20

g x 2 , por otro lado de la figura se cos 2 α

cumple que: x = D cosθ ; y = D senθ , por lo cual de la ecuación de la trayectoria: D senθ = tgα D cosθ −

2 v 20

g (D cosθ )2 2 cos α

 g cos 2 θ  − tgα cosθ + senθ  = 0 , por lo tanto: D ⇒ D 2  2 v cos 2 α   0 

2 v 20 cos 2α (tgα cosθ − senθ ) ; Rechazamos D = 0 ya que ello significa que la partícula no se g cos 2θ movió, lo cual no es cierto y aceptamos la segunda solución. ⇒D= 0

∨

D=

D cosθ , y de la ecuación para t y: v fy = v iy − g t ⇒ −v f cosθ = v 0 senα − g t , reemplazando en la anterior ecuación todos los resultados obtenidos: 2 v 20 cos 2 α (tgα cosθ − senθ ) cosθ v 0 cosα D cosθ g cos 2 θ , por lo cual resolviendo para α : cosθ = v 0 senα − g − = v 0 senα − g senθ v 0 cosα v 0 cosα

Por otro lado como el movimiento en x es constante: v 0 cosα = v f senθ =

 cosα

v 0  − 

tgθ

  

− senα + 2 cosα tgα − 2 cosα tgθ  =

0⇒−

x t

=

cosα − senα + 2 cosα tgα − 2 cosα tgθ = 0 , tgθ

Dividiendo entre cos(α ) , tenemos:




−


 2 tg2 θ + 1  1 1 2 tg 2θ + 1  , por lo cual reemplazando ⇒ α = tg −1  − tgα + 2 tgα − 2 tgθ = 0 ⇒ tgα = 2 tgθ + ⇒ tgα =  tgθ tgθ tgθ tgθ  

valores numéricos: ⇒ α = tg −1 (3) ⇒ α = 71,6º

r D r B

D

r C C

Problema 5. ¿Si el engranaje A, con movimiento circular uniforme realiza 10 revoluciones en 2 [s], cuantas rotaciones completara el engranaje D en el mismo tiempo?. El engranaje A no es concéntrico con B, Considere: 2r A = 3r D .

A

r A Por :

E = mc 2

B Como el engranaje A no es concéntrico con el engranaje B, pero el engranaje A esta r conectado tangencialmente con el engranaje C, por lo cual tenemos: ω A r A = ω C r C ⇒ ω C = A ω A ; además r C r r r el engranaje C está en conexión tangencial con B, por lo cual: ω C r C = ω B r B ⇒ ω B = C ω C = C A ω A , r B r B r C finalmente B está en conexión tangencial con D, entonces: r r r r ω B r B = ω D r D ⇒ ω D = B ω B = B A ω A ⇒ ω D = A ω A ,la velocidad angular de A esta dado por: r D r D r B r D Solución.

ωA ωD

=

=

10  rev   rev  , por lo cual en el mismo tiempo la velocidad angular para el engranaje D será: =5    s  2  s    3 r 2D r D

 rev    s 

5

⇒ ωD

=

15  rev  , de este modo el engranaje D completa 15 revoluciones en 2 [s]. 2  s 

Problema 6. Una partícula se mueve en la dirección positiva del eje x de modo que su velocidad varía según la ley v = b x donde b es una constante positiva. Teniendo en cuenta que en el instante t = 0 [s] se encontraba en el punto x = 0 [m] determinar: a) La dependencia de la velocidad y de la aceleración respecto del tiempo. b) La velocidad media de la partícula en el tiempo, en el transcurso del cual recorre los primeros s metros. Solución. a) Obsérvese que la velocidad varia según la posición, y el movimiento está limitado a un solo eje por lo cual de la ecuación 1 t − ∫ (x ) 2 d x = b ∫ 0 0 x

función

del

dt ⇒

1 2 x

v=

dx dt

=

b x⇒

d x x

=

d x 0 x x

b d t , integrando ambos miembros ∫

t

= ∫ b d t

⇒

0

x

1 2 0 tiempo,

=

t

bt0 ⇒2 x

es

=

1 b t Entonces: x = b 2 t 2 4

posible

halla

la

velocidad

=

y

x(t) , una vez hallado la posición en

aceleración

del

siguiente

modo:




v=

dx dt

=


d  1 2 2  1 2 d 2 1 2 (t ) = b (2 t ) ⇒ v(t) = 1 b2 t ,  b t = b dt  4 4 2  4 dt

1 a(t) = b 2 2

=

y

a=

dv dt

=

d  1 2  1 2 d t ⇒  b t = b d t  2  2 d t

constante .

b) Para hallar la velocidad media, recordemos su definición: v = entonces: v =

1 2 2 b t 4 t

=

1 x f − x i ; x f = x(t ) = b 2 t 2 ; x i 4 t f − t i

=

x(0) = 0 ,

1 2 b t , como se quiere hallar la velocidad media cuando la partícula recorre una 4

distancia s y no cuando transcurre un tiempo t , entonces de la 1 4 2 1 2 1 s = b 2 t 2 ⇒ t 2 = 2 s ⇒ t = s , por lo cual la velocidad media será: v = b 2 s = b s 4 b 4 b 2 b

ecuación:

Problema 7. El radio vector de un punto A varía en función del tiempo t respecto al origen de las r coordenadas según la ley r (t ) = c t î − b t 2 jˆ donde a y b son constantes positivas, hallar: a) La ecuación de la trayectoria del punto y (x ) y representarlo gráficamente. b) La dependencia de los vectores velocidad y aceleración así como de sus módulos con respecto del tiempo. c) La dependencia del ángulo entre los vectores velocidad y aceleración con respecto del tiempo. d) La velocidad media para los primeros t segundos y su respectivo módulo. Solución. r

a) Según la definición del vector posición r = x î + y jˆ , por lo cual por comparación: x (t ) = c t ; y (t ) = −b t 2 , haciendo desaparecer la variable temporal de ambas ecuaciones: t =

2 b x  x  ⇒ y = −b  ⇒ y = − 2 x 2 que se c c  c 

denomina como la ecuación de la trayectoria, cuya gráfica es: b) Para hallar la velocidad y aceleración recordamos:

y

r

d r d d d ( v= c t î − b t 2 jˆ ) = c (t ) î − b (t 2 ) jˆ = dt dt dt dt r r ⇒ v (t ) = c î − 2 b t jˆ ⇒ v (t ) = v = c 2 + 4 b 2 t 2 r

c

x

r

d ˆ d ( c i − 2 b t jˆ ) = −2 b (t ) jˆ ⇒ dt dt r r a(t ) = −2 b jˆ ⇒ a (t ) = a = 2 b = constante r

−b

a=

b y = − 2 x2 c

dv dt

=

c) Para hallar el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración recordamos la definición de producto escalar: r

r

voa =

 rv o ar  v ⋅ a ⋅ cos(θ ) ⇒ θ = cos  r r   v⋅a   r

r

−1




Calculando


cada

término

por

r

r

r

v o a = 4 b 2 t; v

separado:

=

r

v = c 2 + 4 b2 t 2 ; a

=

a = 2b

    4 b2 t 2bt  ⇒ θ(t) = cos −1 . ⇒ θ = cos −1   c2 + 4 b2 t2 ⋅ 2 b   c 2 + 4 b2 t 2      r

r

d) Por definición de velocidad media: v = luego:

r

v=

r c t î − b t 2 jˆ r ⇒ v = c î − b t jˆ ⇒ v t

r

r r r r r f − r i ⇒ r i = 0 en t = 0 y r f = r (t) = c t î − b t 2 jˆ para un t cualquiera , t f − t i

=

v = c 2 + b2 t 2

Problema 8. Una partícula se mueve en el plano x – y con una aceleración constante h en el sentido negativo del eje y. La ecuación de la trayectoria de la partícula y = c x − d x 2 donde c y d son constantes positivas. Determinar la velocidad de la partícula en el origen de las coordenadas.

Solución. Derivando la ecuación de la trayectoria respecto del tiempo:

dy dt

=

d d x d x , ( c x − d x 2 ) = c − d 2 x dt dt dt

d x dy , por lo cual: v y = c v x − 2 d x v x ( a ), por lo cual en el origen x=0 , vy = dt dt derivando nuevamente la ecuación (a) con respecto del tiempo: = c v 0x (b),

recordando que: v x

=

entonces: v 0y d vy d vy dv d v  dv d d x d x , (c v x − 2 d x v x ) = c x − 2 d  = v x + x x  , recordando que: v x = , a x = x : a y =  dt dt dt d t  dt dt dt  d t entonces la anterior ecuación queda: a y = c a x − 2 d v 2x − 2 d x a x , evaluando en el origen: a y = c a x − 2 d v 20x , según el problema: a x cual

según

v0

v 20x + v 20y

=

la ⇒ v0

=

0 : ay

= −h

ecuación =

  c h   2d   

, entonces:

(b), 2

v 0y

=

c

2

− h = − 2 d v 0x

h , 2d

2

 h   ⇒ v0 +  2d   

=

⇒ v 20x

por

=

tanto

h ⇒ con h, d f 0 v 0x 2d

la

velocidad

=

h , por lo 2d

inicial

será:

h (1 + c 2 ) . 2d

Problema 9. El autobús de la Escuela Industrial Superior “Pedro Domingo Murillo” se mueve sobre una carretera con movimiento rectilíneo uniforme, demora en pasar 8 [s] frente a un alumno y luego recorre íntegramente un túnel de 160 [m] de longitud en 48 [s]. ¿Cuál es la longitud del autobús?





Solución.

Igualando (1) con (2) y resolviendo para L tenemos: d + L = L ⇒ d + L = t 2 L ⇒ L = d ,

Comparando el tren con el estudiante, se tiene que: v=

L (1) t1

t2

Por otro lado en el túnel, se tiene que la velocidad

t1

t2 −1 t1

t1

Reemplazando: L = 32 [m]

con el cual recorre el autobús es: v = d + L (2 ) t2

Problema 10. Un Cuerpo cubre el 25% de la distancia total de caída en el último segundo. ¿Desde que altura cae?. Solución.

Para tramo A-B: de la ecuación: y = v i t − 1 g t 2 , por lo cual: − h AB = − 1 g t 2AB ⇒ hAB = 1 g t 2AB (1) 2

Para tramo A-C: utilizando la misma ecuación::

2

1 2 g t ⇒ h AC 2 AC = t AB + 1 (4 )

− h AC = −

De la figura: hAC = hAB + hBC (3 ) , y t AC = t AB + t BC ⇒ t AC Por condición del problema: hBC = 0.25 h AC (5)

2

=

1 2 g t (2) 2 AC

Reemplazando (1), (2), (4) y (5) en (3) y resolviendo para t AC tenemos: 1 2 gt 2 AC ⇒ t AC

1 2 1 3 3 3 gt AB + 0.25 gt 2AC ⇒ t 2AC = t 2AB ⇒ t AC = t AB de (4) ⇒ t 2 2 4 2 2 AC = 7.46 [s] reemplazando en (2 ) ⇒ h AC = 273 [m] =

= t AC − 1

Problema 11. Desde un punto A, situado en el extremo superior del diámetro vertical de cierta circunferencia, empieza a deslizarse un cuerpo por un canal como se muestra en la figura. ¿Al cabo de cuánto tiempo llega a la circunferencia (punto B )?. Considere m D = 10 [km] , g = 9.81 2  s 





Solución En el triángulo rectángulo:

Considerando el extremo superior x 0 = 0, v0 = 0, t0 = 0 y con x=L se tendría: α L

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1): D

(1) Reemplazando valores: t = 45.2 [s]

En el eje de movimiento: (2)

Problema 12. Una pelota llega al suelo con una velocidad de

v v y rebota con . Determine la 3 5

aceleración media producida durante el choque, si la pelota estuvo en contacto con el suelo un tiempo de 1/3  km  [s].Considere v = 108   h

Solución. Con v = 108  km  = 30  m  h

Por otro lado:

s

r

y

V0

r

Observemos que:

V

r

vo

=−

30 ˆ j 3

a=

 m  r 30 ˆ  m   s  ; v = 5 j  s     

r

v − v0 t − t0

Entonces:

r

a=

6 jˆ − − 10 jˆ  m   2 1 s  3

Entonces:

r m a = 48 jˆ  2  s 

Problema 13. Un avión vuela en un círculo de 20 [km] de radio a una velocidad constante de 200 [km/h]. ¿Cuál es en cualquier instante el ángulo entre el vector del cambio de velocidad y el vector velocidad lineal que tendrá 1/4 de vuelta después? Solución:

v

Cuarta vuelta después v ac R

Ahora ac

Es importante recordar que el vector cambio de velocidad es la ACELERACIÓN. Como el avión posee velocidad constante, no tiene aceleración tangencial.

v

Cuarta vuelta después ac

Ahora

Como puede observarse en el gráfico anterior, el ángulo que forman el vector cambio de velocidad y al vector velocidad ¼ de vuelta después es:





Problema 14. Una pequeña esfera es lanzada sobre un plano inclinado de ángulo θ = 30º, como se muestra en la figura, con una velocidad V 0 = 10 [m/s] y bajo un ángulo α = 45º. Determine la distancia horizontal “R”, a la que llega la esfera. Solución:

z

y V0

gy = g sen θ

α

θ

θ

R Figura 1

y

θ

gz = g cos θ

En el eje “x”, ninguna fuerza afecta al movimiento, en cambio en el eje “y” el cuerpo disminuye su velocidad debido a la componente del Campo Gravitacional gy.

Con los datos:

Luego el alcance del cuerpo está dado por:

g

x

Problema 15. En el t0 = 0 dos partículas A y B parten de θ0 = 0 en movimiento circular con trayectorias concéntricas, la partícula A hace su recorrido con velocidad constante ω = 2 π [rad / s] en sentido anti horario. ¿Cuál debe ser la aceleración angular de B, para que se cruce con A en el extremo opuesto del punto de partida? B gira en sentido horario. Solución:

Para A:

A

�

�� , ��

�

,

B ��

Figura 2

Problema 16. Un proyectil es lanzado con v 0, bajo un ángulo de 45º desde el vértice izquierdo de la azotea de un edificio de tal manera que al descender roza el vértice derecho del mismo. El ancho del edificio es L = 25 [m]. El proyectil choca con tierra en el punto C separado horizontalmente una distancia L de la base del edificio. ¿Cuál es la altura h en metros del edificio?



,



Solución:

�� , ��

��

��

�� θ � ��

��, ��, � �� (�� )�

��

�� , �� , � � � �, � � � (�� )� �� θ � ��

Problema 17. Una moneda se lanza desde el piso hacia arriba con una velocidad inicial v0 . ¿Cuál es el módulo de la velocidad de la moneda cuando esta a una altura de un cuarto de su altura máxima? Solución: Se tiene la siguiente configuración:

C B

v=0

Analizando el tramo A-C, de la ecuación: v C2

v'

v02 , luego analizando el tramo A – B, de la ecuación: hmax = 2 g

v0

1 hmáx 4

hmáx

v B2

=

v 2A − 2 g h ⇒ v B2

⇒ vB

=

=

v 20 − 2g

hmáx 4

=

v 20 − 2g

v 20 4 (2g)

=

v 2A − 2 g hmax , entonces:

⇒ v B2

3 v 2 0

Problema 18. Un astronauta parado sobre un planeta suelta un martillo dejando que caiga desde un metro sobre la superficie del planeta. Una vez de regreso en la Tierra el astronauta de nuevo suelta el martillo dejando que caiga también desde un metro sobre la superficie de la Tierra, hallar la relación entre t m m los tiempos de caida del planeta y de la Tierra P = ? , considere: gT = 9,8  2  ; gP = 1,225  2  . tT s  s  Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo (E = mc 2)


=

3 2 v 4 0



Solución: Como ambos cuerpos caen la misma altura: En el Planeta:

vi

=

0

H

1 De la ecuación: y = v i t − g t 2 , entonces se tendrá: − H = − 1 gP t P2 ⇒ H = 1 gP t P2 ( a ) 2 2 2 En la Tierra: 1 De la ecuación: y = v i t − g t 2 , entonces se tendrá: − H = − 1 gT t 2T ⇒ H = 1 gT t 2T ( b ) 2 2 2 1 2 t t g H 2 gP t P Dividiendo la ecuación (a) y (b) : = ⇒ P = T ⇒ P = 8 =2 2 H 1 g t2 gP tT tT T T 2

Problema 19. Una partícula es lanzada desde el suelo, después de 5 [s] la velocidad de la partícula está r m dada por: v = (10 î − 5 jˆ)   , determinar el alcance horizontal y la altura máxima que alcanza al retornar s nuevamente al suelo. r m Solución: Como la velocidad trascurridos 5 [s] está dado por: v = (10 î − 5 jˆ )   , se concluye que es un s movimiento parabólico, además como su componente de la velocidad en “y” es negativo se concluye que ya esta de bajada, por lo cual planteamos de la siguiente manera:

B v x v v y i

ymáx

vi

Como el movimiento en x es constante, de la figura: v ix = v x = v i cosθ ; v iy = v i senθ ,analizando el tramos A –B, de la ecuación para y : v fy = v iy − g t ⇒ v y = v iy − g t , según los datos del problema:

θ

A

m m 3   ; v y = −5   ; t = 5 [s] , luego, las ecuaciones a resolver son: s s v x = v i cosθ (a) ; v y = v i senθ − g t (b) ;

vx

=

xmáx v i senθ = v y + g t  v i cosθ = v x ⇒ vi

x máx

=

=

 ⇒ tgθ = 

vy + g t  v y + g t   ⇒ θ = tg −1   vx v  x 

⇒ θ = 77,2º , y de la ecuación (a),

vi

=

v x cosθ

m 45,1   , Finalmente de las ecuaciones para la distancia y la altura máxima que alcanza: s

v i2 sen (2 θ ) ; y máx g

=

v i2 sen2θ ⇒ x máx 2g

=

89,6 [m] ; y máx

=

98,6 [m ].



Libro de Cinemática de Evaristo

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