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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO

Dr. P. Reyes / enero de 2009


Con base en el Texto de Control Estadístico de la Calidad de Douglas Montogomery

DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR Diciembre, 2008 Mail. [email protected] / Cel. 044 55 52 17 49 12

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CONTENIDO Contenido 1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA ..................................................................................... 6 1.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO ...................................................................................................... 6 1.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO .............................................................. 8 Antecedentes ............................................................................................................................... 8 CEP en occidente........................................................................................................................ 11 CEP en Japón .............................................................................................................................. 12 Desarrollo del Control Estadístico del Proceso .......................................................................... 14 Teorema del límite central ......................................................................................................... 15 Interpretación ............................................................................................................................ 16 1.3 LAS 7 HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS .................................... 18 Hoja de verificación o registro ................................................................................................... 18 Diagrama de Pareto ................................................................................................................... 20 Diagrama de Dispersión ............................................................................................................. 24 Histogramas ............................................................................................................................... 31 Lluvia de ideas (Brainstorming).................................................................................................. 32 Diagrama de Causa efecto ......................................................................................................... 33 Carta de tendencias ................................................................................................................... 38 Diagrama de flujo ....................................................................................................................... 39 Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo ................................................................... 40 Diagrama de flujo de tiempo – valor agregado ......................................................................... 44 Diagrama de Flujo Físico ............................................................................................................ 45 Estratificación............................................................................................................................. 46 Las cartas de control .................................................................................................................. 46 1.4 MÉTODOS LEAN PARA LA MEJORA .......................................................................................... 47 Los 7 desperdicios o Muda ........................................................................................................ 47 Métodos Lean para la mejora .................................................................................................... 48 Mapeo de la cadena de valor ..................................................................................................... 48 Las 5 Ss y la administración visual.............................................................................................. 51 Preparaciones rápidas (SMED) ................................................................................................... 52 Poka Yokes o A prueba de error ................................................................................................ 53 Trabajo estandarizado ............................................................................................................... 54 1.5 LAS SIETE HERRAMIENTAS ADMINISTRATIVAS........................................................................ 55 Diagrama de Afinidad ................................................................................................................ 56 Fig. 1.26 ejemplos de diagrama de interrelacionesDiagrama de árbol ..................................... 60 Diagrama de árbol...................................................................................................................... 61 Diagrama Matricial..................................................................................................................... 64 Matrices de Prioridades o prioritización .................................................................................... 68 1.6 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD ....................................................... 78 Cartas de control ........................................................................................................................ 78 Diseño de experimentos ............................................................................................................ 79 Muestreo de aceptación ............................................................................................................ 80 1.7 ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL ................................................................................. 82 Página 2



Costos de calidad ....................................................................................................................... 83 2. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP) ................................... 85 Concepto de variación ............................................................................................................... 85 2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL .......................................................................................................... 85 Estandarización de valores reales .............................................................................................. 91 2.2 PRUEBA DE NORMALIDAD ....................................................................................................... 93 2.3 LA CARTA DE CONTROL COMO PRUEBAS DE HIPÓTESIS ......................................................... 95 2.4 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL ................................................................ 99 Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo ....................................................................... 106 Subgrupos racionales ............................................................................................................... 107 Análisis de patrones en cartas de control ................................................................................ 108 2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP................................................................................................... 109 3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES ........................................................................................ 111 3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 111 3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS .......................................................................... 111 Interpretación de cartas de control X  R ............................................................................ 116 Capacidad o habilidad del proceso .......................................................................................... 128 La curva característica de operación ....................................................................................... 135 3.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S ....................................................................................... 138 3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES ............................................................................... 145 3.5 SELECCIÓN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR ATRIBUTOS ............................................ 149 3.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES ........................................................ 152 4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS ..................................................................................... 154 4.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 154 4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p ................................................... 155 4.3 CARTA DE CONTROL np ......................................................................................................... 169 4.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE ......................................................................................... 170 4.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL .................................................................... 174 4.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – c y u .............................. 178 Tamaño de muestra constante - CARTA c............................................................................... 178 Selección del tamaño de muestra ............................................................................................ 184 Carta de control de defectos por unidad U ............................................................................. 185 Sistema de demeritos .............................................................................................................. 191 La curva característica de operación ....................................................................................... 192 4.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm ................................................... 194 5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES ................................................................................... 195 5.1 CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE PRODUCCIÓN ....................................... 195 Cartas de control dnom ........................................................................................................... 195 Cartas de control de medias rangos estandarizada ................................................................. 196 Cartas de control por atributos................................................................................................ 197 5.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN ...................................................... 197 Cartas de control modificadas ................................................................................................. 197 Cartas de control de aceptación .............................................................................................. 199 5.3 CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTA O MATERIAL ............................... 201 5.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS .............................................................................. 204 5.5 CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA MÚLTIPLE ............................................. 207 Página 3



5.6 CARTAS DE CONTROL Cusum................................................................................................. 208 Cusum normal .......................................................................................................................... 208 Cusum en forma tabular .......................................................................................................... 213 EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V ............................................................................ 216 5.7 CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA) .. 221 5.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL ................................................................................. 226 6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO ..................................................................................... 231 6.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 231 Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso ............................................. 234 6.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD ......................................................................................................... 236 Índice de capacidad potencial Cp ............................................................................................ 236 Índice de capacidad real Cpk ................................................................................................... 239 Índice de capacidad potencial Cpm o PCRm y Cpkm o PCRkm ................................................ 241 6.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL ........ 243 Histograma ............................................................................................................................... 243 Papel de probabilidad normal.................................................................................................. 245 Capacidad del proceso con cartas de control .......................................................................... 249 Capacidad de procesos con Minitab: normales y no normales ............................................. 252 Capacidad de procesos no normales. ...................................................................................... 256 Análisis de capacidad con experimentos diseñados ................................................................ 257 6.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN ........................................................ 258 Error del equipo de medición .................................................................................................. 258 Repetibilidad y reproducibilidad (R&R) ................................................................................... 261 R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAG.............................................................. 265 Definiciones.............................................................................................................................. 266 Exactitud : ................................................................................................................................ 267 Estudios R&R - Método Corto del Rango ................................................................................. 269 Estudio de R&R Método largo ................................................................................................. 270 Método de Promedios- Rango ................................................................................................. 271 Cálculos con Excel o manual: ................................................................................................... 271 Interpretación de los resultados .............................................................................................. 277 Estudios de R&R por atributos ................................................................................................. 282 Interpretación de resultados ................................................................................................... 290 7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS ............................................................................ 292 7.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO ............................................................. 292 7.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS ..................................................................................... 296 Muestreo aleatorio simple....................................................................................................... 296 La curva OC .............................................................................................................................. 296 Puntos específicos en la curva OC ........................................................................................... 299 Inspección rectificadora ........................................................................................................... 300 Muestreo doble, múltiple y secuencial .................................................................................... 303 7.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859) ................................................ 313 Descripción de la norma .......................................................................................................... 313 7. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920) ............................................................. 320 Planes de AOQL ........................................................................................................................ 321 Planes de LTPD ......................................................................................................................... 321 8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES ............................................................................. 323

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Ventajas y desventajas ............................................................................................................. 323 8.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA ................................................................................. 324 8.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES ........................................................... 327 8.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993 ..................................................................................................... 329 8.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES .................................................. 337 Muestreo secuencial por variables .......................................................................................... 337

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1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA 1.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO Las dimensiones de la calidad según Garvin son:

1.

Desempeño (¿sirve el producto para el uso adecuado?)

2.

Confiabilidad (¿qué tan frecuentemente falla el producto?)

3.

Durabilidad (¿cuál es la vida útil del producto?)

4.

Serviciabilidad (¿qué tan fácil se repara el producto?)

5.

Estética (¿tiene el producto el estilo, color, forma, empaque y apariencia adecuada?)

6.

Características (¿qué hace el producto más allá de su desempeño básico?)

7.

Calidad percibida (¿cuál es la reputación de la empresa o del producto?)

8.

Cumplimiento de estándares (¿el producto está hecho de acuerdo a estándares de diseño original?)

Así la calidad tradicionalmente es adecuación al uso.

Dentro de la adecuación al uso existen la calidad de diseño y la calidad de conformancia. La de diseño se refiere al diseño original del producto, los materiales utilizados, especificaciones, y métodos empleados. La calidad de conformancia se refiere a que tan bien cumple el producto los requerimientos de las especificaciones de su diseño, que básicamente depende del proceso de manufactura.

Una definición más moderna es que la calidad es inversamente proporcional a la variabilidad.

De esta forma se define la mejora de calidad como: Mejoramiento de la calidad es la reducción de la variabilidad en productos y servicios.

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Dr. P. Reyes / enero de 2009 EUA

LIE

JAPON

Objetivo

LSE

Fig. 1.1 Enfoques de conformancia

Como los métodos estadísticos tienen un papel importante en el mejoramiento de la calidad, son objeto de estudio de la Ingeniería de calidad. Los datos relacionados con la calidad se clasifican en atributos y en variables. Los de atributos son discretos, enteros. Los de variables corresponden a mediciones con valores reales como longitud, voltaje, etc. Existen diferentes herramientas estadísticas para tratar con ambos tipos de datos.

Los productos no conformes o defectivos son los que no cumplen una o varias especificaciones.

Un tipo específico de no cumplimiento de especificaciones es llamado defecto o no conformancia.

Características del producto: Son los elementos que en conjunto describen la calidad del producto, evaluadas respecto a especificaciones, como son:

1. Físicos: Longitud, peso, voltaje, viscosidad 2. Sensoriales: Gusto, apariencia, color 3. Relacionados con el tiempo: Confiabilidad, durabilidad, serviciabilidad.

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1.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Antecedentes La teoría de la administración se desarrolló básicamente en los países industrializados, en respuesta a los problemas que presentaron las grandes empresas características del sistema capitalista.1 Sus primeros indicios se observan con el economista Adam Smith con el concepto de división del trabajo para aumentar la productividad en 1776.2 Smith notó que en una industria de fabricación de alfileres, diez personas, cada una realizando una tarea específica, podrían producir 48,000 alfileres por día. Propuso que si cada uno trabajara por separado y en forma independiente, los diez trabajadores tendrían suerte en hacer 200 (o aún 10) alfileres al día.3

Smith concluyó que la división del trabajo incrementaba la productividad sin embargo se consideraba al trabajador como extensión de la máquina. Durante la revolución industrial, “iniciada en el siglo XVIII en Gran Bretaña…la mano de obra era sustituida por máquinas de una manera acelerada”.4 Esto, a su vez, abarató la fabricación de productos en las fábricas. Surge la administración científica con Frederick Taylor.

Frederick Winslow Taylor (1856-1915): él no desarrolló una teoría de administración, sino que hacía énfasis en los aspectos empíricos.5 En 1911 publicó sus “Principios de la Administración Científica”6 donde describe la administración científica, y usó este término para definir “la única y mejor manera” de realizar un trabajo. Los estudios realizados antes y después de esta publicación, lo erigieron como el padre de la administración científica.7 Sus cuatro principios son:

1

Simón, Nadima S., Evaluación Organizacional, SICCO, México, 1997, p. 7 Smith, Adam, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, A. Strahan and T. Cadell, London, 1793, pp. 7-8 3 Robbins, Stephen P., Management: Concepts and Applications, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1987, p. 31. 4 Ibidem, p. 31. 5 Simón, Nadima, op. cit., p. 9 6 Taylor, Frederick W., Principles of Scientific Management,, Harper & Bros., Nueva York, Estados Unidos de América, 1911 7 Robbins, Stephen, op cit. p. 33. 2

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1. Crear una ciencia para cada elemento del trabajo del individuo, que sustituya al método empírico; 2. Escoger científicamente y luego entrenar, enseñar y desarrollar al trabajador; 3. Colaborar ampliamente con los trabajadores para asegurar que todo el trabajo se realice conforme a los principios de la ciencia que se ha ido desarrollando; 4. Hay una división casi igual del trabajo y la responsabilidad entre la administración y los trabajadores. La administración se encarga de todo el trabajo para el cual esté mejor dotada que los trabajadores.8

Taylor9 señaló que la creación de nuevos métodos de trabajo era responsabilidad única de gerentes y administradores. La mayor desventaja del taylorismo es que los trabajadores pueden ser descalificados “como si fueran extensión de las máquinas”,10 como consecuencia, se tiene poca motivación y alto ausentismo.

Frank (1864-1924) y Lillian Gilberth: diseñaron arreglos laborales para eliminar movimientos manuales y corporales inútiles, también experimentaron en el diseño y uso de herramientas y equipo adecuado para optimizar el desempeño del trabajo.11 Encontraron que no es el trabajo monótono la causa de tanta insatisfacción laboral, sino la falta de interés que muestran los gerentes por los trabajadores.12

El “Fordismo” de Henry Ford: se implantó en empresas con líneas de productos durables en Estados Unidos de América, fomentó la modificación de las normas de consumo y de vida de los trabajadores, considerados como verdaderos consumidores potenciales, para lo cual era necesario aumentar su poder de compra y reducir costos de producción, con sistemas de protección social.13

8

Ibidem, p. 34 tomado de la obra de Frederick Taylor, Principles of Scientific Management, Nueva York, Harper and Brothers, 1911, pp. 36-37. 9 Taylor, op. cit. 1911, p.20. 10 Hall, Richard, Organizaciones: Estructura y proceso. México, Prentice Hall Hispanoamericana, 1982, p. 304 11 Ibidem, p. 33 12 Koontz, Harold, op. cit. , p. 34. 13 Neffa, Julio Cesar, “Transformaciones del proceso del trabajo y de la relación salarial en el marco del nuevo paradigma productivo. Sus repercuciones sobre la acción sindical”, en Sociología del Trabajo, Nueva época, núm. 18, primavera de 1993, pp. 80-82 Página 9



Con las crisis de los años ochenta, la producción masiva uniforme ya no es competitiva, surge un nuevo paradigma que hace énfasis en la respuesta flexible frente a los cambios impredecibles del mercado. 14

Control de calidad por inspección Durante la primera guerra mundial el sistema de manufactura se volvió más complejo, involucrando a más trabajadores reportando a un supervisor de producción, con Taylor aparecen los primeros inspectores de control de calidad; los trabajadores y el supervisor se enfocaron a la producción, desligándose del auto - control de calidad de los artículos que producían, esto tuvo auge entre los años 1920's y 1930's. Para evitar quejas y devoluciones de los clientes, los productos se revisaban y separaban al final del proceso, identificando los defectuosos por un departamento de Control de Calidad, sin embargo como la inspección 100% realizada por personas tiene errores, se estableció un departamento de Servicio para corregir los productos defectuosos en el mercado.15 Se establecen después planes de muestreo militares, asumiendo que cualquier proceso producirá defectos, los esfuerzos se enfocan a detectarlos, no a prevenirlos. Los productos defectuosos, eran reprocesados o desechados, incrementando los costos de producción entre un 20 a 30% e incrementando el precio final del producto al menos 20%16, absorbiendo el cliente las ineficiencias de la empresa. El departamento de Control de Calidad se convierte en el "policía de la calidad" y se le responsabiliza de todos los problemas de calidad en la empresa, está formado por especialistas y técnicos que se encargan principalmente de detectar defectos en el producto final.

Con objeto de reducir el costo de la no calidad se desarrolló y aplicó el Control Estadístico del Proceso como una siguiente etapa.

14

Ibidem, p. 83-84 Vid. Valdez, Luigi, Conocimiento es futuro, CONCAMIN, México, 1995, pp. 122-123 16 Ibidem, pp. 125-126 15

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Control estadístico del proceso (CEP)

CEP en occidente Durante la segunda guerra mundial se requirieron cantidades masivas de productos, las inspecciones de rutina de los inspectores no eran suficientes, en algunas compañías, tales como la Western Electric, bajo contrato de la American Bell Telephone Company, estableció métodos de control de calidad más rigurosos que infundieran confianza en sus instrumentos y electrodomésticos, en 1924 se formó su departamento de Ingeniería de Inspección, entre sus primeros miembros se encuentran Harold F. Dodge, Donald A. Qaurles, Walter A. Shewhart, Harry G. Romig y otros.

Según Duncan “Walter Shewhart de los Laboratorios Bell fue el primero en aplicar las cartas de control en 1924 haciendo un esbozo de la carta de control”17. Por otra parte “H. Dodge y H. Romig desarrollaron las tablas de inspección por muestreo de Dodge-Romig”18, como una alternativa a la inspección 100% al producto terminado, sin embargo su adopción en occidente fue muy lenta, Freeman, sugiere que esto se dio por “la tendencia de los ingenieros americanos a eliminar la variación, y su desdén por las teorías probabilísticas, así como a la falta de estadígrafos industriales, adecuadamente entrenados”.19

El trabajo de Shewhart, Dodge y Romig, constituye la mayor parte de lo que hoy se conoce como “Control Estadístico del Proceso”. De esta forma con objeto de hacer más eficientes a las organizaciones de inspección, “se proporciona a los inspectores con unas cuantas herramientas estadísticas, tales como cartas de control y tablas de muestreo”20. Se reduce el nivel de variación del proceso hasta los límites predecibles y se identifican las oportunidades de mejora. Se establecen sistemas de medición formales desde los proveedores hasta el producto final y el proceso se "estandariza”. Hoy en día la herramienta de las cartas de control (CEP) es utilizada por los círculos de control de calidad para la identificación de problemas. En 1931, W.A. Shewhart publica su libro “Economic Quality Control of Quality of Manufactured Product”, donde describe las cartas para el control estadístico del proceso. En medio de los años 17

Duncan, Acheson, op. cit.p. 16. Ibidem, p. 1 19 Freeman, H.D., “Statistical Methods for Quality Control”, MechanicalEngineering, April 1937, p. 261. 20 Feigenbaum, A.V., op. cit., 1986, p. 16 18

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30’s los métodos de control estadístico de calidad se empezaron a aplicar en la Western Electric, brazo de manufactura de los laboratorios Bell, sin embargo no fueron reconocidos estos métodos ampliamente.

Durante la II guerra mundial se expandió el uso de los métodos estadísticos de control de procesos en la industria de la manufactura, la American Society for Quality Control se formó en 1946 para promover su uso. De 1946 a 1949 W. Deming es invitado a Japón a dar seminarios sobre control estadístico de calidad a sus industriales, extendiendo el uso de éstos métodos. Aparecen las obras de Eugene L. Grant y A.J. Duncan sobre control estadístico del proceso. En occidente es hasta la década de los ochenta cuando se voltea hacia los métodos estadísticos ya muy comunes en Japón dado el éxito industrial de este país.

En los años recientes, empresas de alta tecnología como Motorola, General Electric, Xerox, AT&T, etc., desarrollan e implantan una metodología de calidad total denominada Calidad 6 sigma con el objetivo de reducir los errores y defectos a un máximo de 3.4 partes por millón (ppm), donde una de las herramientas clave es el control estadístico del proceso, que permite obtener ahorros de costos muy importantes.

CEP en Japón En 1950 el experto Edwards W. Deming inició el entrenamiento en métodos estadísticos en el Japón, incluyendo conferencias dirigidas a los líderes industriales, en esta época Kaoru Ishikawa experto japonés en control de calidad inició sus estudios sobre conceptos de control de calidad, describe su propia motivación como sigue: Yo desarrollé un gran respeto por el Dr. Shewhart por medio del estudio profundo de sus conceptos en cartas de control y estándares... Sin embargo, me sorprendí un poco que en EUA, donde efectué una visita de estudio, sus métodos casi no se aplicaban. Yo deseo importar sus conceptos al Japón y asimilarlos para adaptarlos a situaciones en Japón, de tal forma que los productos japoneses mejoraran su calidad21

21

Ishikawa, Kaouru, "Tributes to Walter A. Shewhart," Industrial Quality Control, Vol. 22, No. 12, 1967, pp. 115-116. Página 12



En 1955, Kaouru Ishikawa introdujo las técnicas de cartas de control en Japón, los japoneses aprendieron el control de calidad de occidente, invitaron a Deming, Juran y otros eruditos a Japón para que les enseñasen el control estadístico del proceso. Sin embargo la implantación de estas técnicas fue posible después de su modificación y adaptación a las empresas japonesas, incluyendo la creación de varias herramientas útiles como refinamiento del control estadístico de calidad, tales como las 7 herramientas estadísticas utilizadas normalmente por los círculos de control de calidad y la aplicación de técnicas estadísticas avanzadas.

Entre las 7 herramientas estadísticas se encuentran: Diagrama de Ishikawa, Diagrama de Pareto, Hoja de verificación, Diagrama de dispersión, Estratificación, Histogramas y Cartas de control.

Estas técnicas junto con las computadoras han alcanzado un alto nivel en Japón, “todas las industrias japonesas confían en los métodos estadísticos avanzados para el diseño de productos”,22 esto también ha permitido que los supervisores de las fábricas japonesas utilicen estadística de alto nivel para analizar problemas. Por ejemplo para el caso del diseño de experimentos se tiene: “el diseño estadístico de experimentos es el arreglo, bajo el cual se efectúa un programa experimental, incluye la selección de los niveles óptimos de los factores que tienen influencia en la calidad del producto “23, ayuda a optimizar el tiempo y los elementos de diseño, determinando los materiales más baratos de tal forma que el producto cumpla las especificaciones, y todavía se asegure que el producto se desempeñará en forma satisfactoria bajo condiciones variables.

Con la aplicación del Control Estadístico del Proceso, el trabajador tiene de nuevo la oportunidad de controlar la calidad de su trabajo, no a través de inspección 100%, sino a través de técnicas de muestreo y de cartas de control, como método preventivo de defectos, lo que permite su autocontrol para reducir la variabilidad del proceso de producción, se complementa con las siete herramientas estadísticas y el ciclo de control de Deming (planear, hacer, verificar y actuar).

22 23

Amsden, R., op. cit. , p. 537. Winer, B., Statistical Principles in Experimental Design, McGraw Hill, 1971. p. 5. Página 13



Desarrollo del Control Estadístico del Proceso W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de distribuciones casi normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las medias de esas muestras, al graficar las medias en un histograma siguen una distribución normal.24

*

* * *

** ***

** **

***

* *

Distribución de promedios de las muestras

Universo

Fig. 1.2 Experimentos de Shewhart para las cartas de control

Encontró que las medias de las muestras correspondían a las medias de la población y que la desviación estándar de las medias de las muestras se relacionaban con la desviación estándar de la población, como sigue (TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL):

  __

X



(1.1)

n

Donde n es el tamaño de la muestra y  es la desviación estándar de la población. Población con media  y desviación estándar  y cualquier distribución.

24

Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co., 1931, p. 182 Página 14


X1 X-media 1


X2

X3 X-media 2

X-media 3

Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias  y desviación estándar de las medias de las muestras  / n. También se denomina Error estándar de la media. Histogram of Promedios 14 12

Frequency

10 8 6 4 2 0

3

4

5 Promedios

6

7

Fig. 1.3 Distribución de las medias muestrales - Normal

En general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control estadístico de los procesos.

Teorema del límite central La distribución normal tiene muchas propiedades útiles, una de estas se refiere a la combinación lineal de variables aleatorias

independientes. Si x1, x2 x3, ...., xn son variables aleatorias

independientes no necesariamente normales, con media 1, 2, ... n y varianzas 12, 22 , ..., n2 respectivamente, entonces la distribución del estadístico siguiente: y = a1x1 + a2x2 + ............. + anxn es normal con media

Página 15



y = a11 + a22 + ... + ann y varianza y2 = a1212 + a2222...,+ an2n2 donde a1, a2, ... an son constantes.

El Teorema del Límite Central establece que la distribución de la variable:

n

[y -



i ] 

i 1

n



i

2

(2.5)

i 1

Se aproxima a la distribución normal conforme n tiende a infinito. Es decir que la suma de las n variables

aleatorias

independientemente

distribuidas

es

aproximadamente

normal,

independientemente de la distribución de las variables individuales.

La aproximación se mejora conforme se incrementa n, en general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control estadístico de los procesos.

Interpretación Normalmente para conocer el estado de un proceso en determinado momento, es necesario obtener un histograma de la característica de interés, tomando al menos 30 piezas. Se calcula la media y la desviación estándar de la muestra y se trata de inferir sobre las características del proceso. Haciendo esto periódicamente se pueden tener los comportamientos siguientes:

Hora 4 Hora 2 Hora 3 Hora 1

a) Proceso fuera de control

b)Proceso en control Página 16

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO en media y variabilidad

Dr. P. Reyes / enero de 2009 en media y esv. est.

Fig. 1.4 Comportamiento de procesos en control y fuera de control25 Llevando un control de proceso a través de histogramas no sería práctico y aprovechando sus hallazgos del comportamiento de las medias Shewhart sugirió llevar un control del proceso tomando muestras no de 50 piezas, sino de sólo 5 consecutivas, monitoreando el comportamiento del proceso a través de las cartas de control de Shewhart, la media del proceso con las medias de las muestras y la variabilidad con su rango. Tomado límites de control establecidos a  3 de medias o rangos.

25

Ford Motor Co., Continuing Process Control and Process Capability Improvement, Dearborn, Michigan, 1983 Página 17



1.3 LAS 7 HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Figura 3.1 Las 7 herramientas estadísticas de calidad

H Fig. 1.5 Las 7 herramientas estadísticas para la mejora y solución de problemas

Hoja de verificación o registro Se utiliza para reunir datos basados en la observación del comportamiento de un proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de la captura, análisis y control de información relativa al proceso. Básicamente es un formato que facilita que una persona pueda tomar datos en una forma ordenada y de acuerdo al estándar requerido en el análisis que se esté realizando. Las hojas de verificación también conocidas como de comprobación o de chequeo organizan los datos de manera que puedan usarse con facilidad más adelante.

Pasos para la elaboración de una hoja de verificación:

1. Determinar claramente el proceso sujeto a observación. Los integrantes deben enfocar su atención hacia el análisis de las características del proceso.

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2. Definir el período de tiempo durante el cuál serán recolectados los datos. Esto puede variar de horas a semanas. 3. Diseñar una forma que sea clara y fácil de usar. Asegúrese de que todas las columnas estén claramente descritas y de que haya suficiente espacio para registrar los datos. 4. Obtener los datos de una manera consistente y honesta. Asegúrese de que se dedique el tiempo necesario para esta actividad.

Anotar frecuencia de ocurrencia de los eventos (con signos |, X, *, etc.)

DIA DEFECTO 1 2 Tamaño erróneo IIIII I IIIII Forma errónea I III Depto. EquivocadoIIIII I Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III Mal Acabado II III TOTAL 25 20

3 IIIII III III I IIIII III I 21

4 IIIII II II I IIIII IIIII I 21

TOTAL 26 9 8 37 7 87

Figura 1.6 Ejemplo de hoja de verificación o registro

Consejos para la elaboración e interpretación de las hojas de verificación 1. Asegúrese de que las observaciones sean representativas. 2. Asegúrese de que el proceso de observación es eficiente de manera que las personas tengan tiempo suficiente para hacerlo. 3. La población (universo) muestreada debe ser homogénea, en caso contrario, el primer paso es utilizar la estratificación (agrupación) para el análisis de las muestras/observaciones las cuales se llevarán a cabo en forma individual.

Ejercicio: Hacer hoja de registro con las antigüedades en la organización y concluir: Antigüedad Registro 0.5 -1 años 1.1 – 2 años 2.1 – 4 años 4.1 – 7 años Más de 7 años Conclusiones:

Página 19



Diagrama de Pareto Se utiliza para identificar problemas o causas principales: Herramienta utilizada para el mejoramiento de la calidad para identificar y separar en forma crítica los pocos proyectos que provocan la mayor parte de los problemas de calidad.

El principio enuncia que aproximadamente el 80% de los efectos de un problema se debe a solamente 20% de las causas involucradas.

El diagrama de Pareto es una gráfica de dos dimensiones que se construye listando las causas de un problema en el eje horizontal, empezando por la izquierda para colocar a aquellas que tienen un mayor efecto sobre el problema, de manera que vayan disminuyendo en orden de magnitud. El eje vertical se dibuja en ambos lados del diagrama: el lado izquierdo representa la magnitud del efecto provocado por las causas, mientras que el lado derecho refleja el porcentaje acumulado de efecto de las causas, empezando por la de mayor magnitud.

Pasos para desarrollar el diagrama de Pareto: 1. Seleccione qué clase de problemas se van a analizar. 2. Decida qué datos va a necesitar y cómo clasificarlos. Ejemplo: Por tipo de defecto, localización, proceso, máquina, trabajador, método. 3. Defina el método de recolección de los datos y el período de duración de la recolección. 4. Diseñe una tabla para el conteo de datos con espacio suficiente para registrarlos. 5. Elabore una tabla de datos para el diagrama de Pareto con la lista de categorías , los totales individuales, los totales acumulados, la composición porcentual y los porcentajes acumulados 6. Organice las categorías por orden de magnitud decreciente, de izquierda a derecha en un eje horizontal construyendo un diagrama de barras. El concepto de “otros” debe ubicarse en el último lugar independientemente de su magnitud. 7. Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.

Ejes verticales: -

Eje izquierdo: Marque este eje con una escala desde 0 hasta el total general

-

Eje derecho: Marque este eje con una escala desde 0 hasta 100%

Página 20



Eje horizontal: -

Divida este eje en un número de intervalos igual al número de categorías clasificadas.

8. Dibuje la curva acumulada (curva de Pareto), Marque los valores acumulados (porcentaje acumulado) en la parte superior, al lado derecho de los intervalos de cada categoría, y conecte los puntos con una línea continua. 9. Escriba en el diagrama cualquier información que considere necesaria para el mejor entendimiento del diagrama de Pareto.

Ejemplo de Diagrama de Pareto: El departamento de ventas de un fabricante de materiales de empaque tiene registrada una lista de las quejas que se han recibido durante el último mes. Tipo de queja

No. de quejas

Total Acumulado

Composición Porcentual

Porcentaje Acumulado

A) Entregas fuera de tiempo

25

25

35.71

35.71

B) Calibre fuera de especificaciones (B) Calibre fuera de especificaciones C) Material sucio y maltratado

23

48

32.85

68.56

7

55

10

78.56

D) Material mal embalado

6

61

8.57

87.13

E) Dimensiones fuera de especificaciones

3

64

4.28

91.41

F) Inexactitud en cantidades

2

66

2..85

94.26

G) Mala atención del personal

1

67

1.42

95.68

H) Maltrato del material por transportistas

1

68

1.42

97.7

I) Fallas en documentación

1

69

1.42

98.52

J) Producto con códigos equivocados

1

70

1.4

99.94

Página 21



DIAGRAMA PARETO

99.94 98.52

50

97.7 95.68 94.26 91.41 87.13

N O

78.56

D E Q U E J A S

68.56

35.71

25 23

7 6

3 2 1 A

B

C

D

E

F

G

Figura 1.7a Diagrama de Pareto

Página 22

H

I

J

% A C U M U L A D O



Las quejas A, B y C representan el 78.56%, siendo en estas en las que debemos de enfocarnos primero a resolver.

Ejemplo: Se tienen los gastos siguientes: TIPO_GTO A B C D E

GASTO Papelería Toners Víaticos Gasolina Copiado

CANT 20 60 80 30 10

Diagrama de Pareto en Minitab 

Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)



Seleccione: Stat>Quality Tools>Pareto Chart Escoja la opción Chart defects table , en el campo labels in seleccione: C1 y en Frequencies in seleccione: C3. Combine defects alter the first 80%. 

Clic en OK



El sistema despliega la gráfica de Pareto:

Construir un diagrama de Pareto y su línea acumulativa Pareto Chart of C1 200

100

Count

60 100 40 50

0 C1 Count Percent Cum %

20

C 80 40.0 40.0

B 60 30.0 70.0

D 30 15.0 85.0

A 20 10.0 95.0

Figura 1.7b Diagrama de Pareto

Página 23

Other 10 5.0 100.0

0

Percent

80

150



En la gráfica observamos que aproximadamente el 85% de los gastos es debido a los gastos C, B, D.

Ejercicio: Hacer un diagrama de Pareto con los gastos principales: Ordenarlos de mayor a menor Tipo de Gasto Descripción Frecuencia

Frecuencia

%

Conclusiones:

Diagrama de Dispersión Se utiliza para analizar la correlación entre dos variables, se puede encontrar: Correlación positiva o negativa, fuerte o débil o sin correlación. El diagrama de dispersión es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos variables. Por ejemplo, entre una característica de calidad y un factor que le afecta.

La ventaja de utilizar este tipo de diagramas es que al hacerlo se tiene una comprensión más profunda del problema planteado.

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La relación entre dos variables se representa mediante una gráfica de dos dimensiones en la que cada relación está dada por un par de puntos (uno para cada variable).

La variable del eje horizontal x normalmente es la variable causa, y la variable del eje vertical y es

Accidentes laborales

la variable efecto.

•

• •

• • • •

•

•

•

• • •

•

• • •

•

• •

• •

•

• •

•

•

Correlación positiva, posible

• •

Numero de órdenes urgentes Fig. 1.8 Gráfica de dispersión donde se observa una correlación positiva

La relación entre dos variables puede ser: positiva o negativa. Si es positiva, significa que un aumento en la variable causa x provocará una aumento en la variable efecto y y si es negativa significa que una disminución en la variable x provocará una disminución en la variable y.

Por otro lado se puede observar que los puntos en un diagrama de dispersión pueden estar muy cerca de la línea recta que los atraviesa, o muy dispersos o alejados con respecto a la misma. El índice que se utiliza para medir ese grado de cercanía de los puntos con respecto a la línea recta es la correlación. En total existen cinco grados de correlación: positiva evidente, positiva, negativa evidente, negativa y nula.

Página 25



Correlación entre las variables Y y X Correlación Negativa Evidente

Correlación Positiva Evidente

25

25

20

20

15

10

Y

Y

15

5 0

5

10

15

20

25

10 5

Sin Correlación

0

0 0

5

10

25

X

15

20

25

X

20 15

Y

Correlación Positiva

25

10

0 0

5

10

15

20

25

25

X

20

15

15

10

Y

Y

Correlación Negativa

5

20

5

10 5

0 0

5

10

15

20

0

25

0

X

5

10

15

20

25

X

Figura 1.9 Diagrama de dispersión y su correlación entre X,Y Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos son:

 y  x   x xy n x   x  2

a

b

2

2

n xy   x y n x 2   x 

2

El índice de correlación (r) se puede calcular estadísticamente mediante las ecuaciones que a continuación se presentan

r

SCxy SCx  SCy

SCxy   xy 

x y n

Página 26


 x SCx   x  n


2

2

SCy   y 2 

 y 

2

n

Donde: r = Coeficiente de correlación lineal SCxy = Suma de cuadrados de xy SCx = Suma de cuadrados de x SCy = Suma de cuadrados de y

 x  Sumatoria de los valores de la variable x al cuadrado  y  Sumatoria de los valores de la variable y al cuadrado  xy  Sumatoria del producto de xy  x  Cuadrado de la sumatoria de la variable x 2

2

2

 y 

2

n

 Cuadrado de la sumatoria de la variable y = número de pares ordenados (pares de datos x, y)

El factor de correlación es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula. La correlación se utiliza para cuantificar el grado en que una variable provoca el comportamiento de otra. Por ejemplo si se encuentra que la variable temperatura tiene una correlación positiva con el porcentaje de artículos defectuosos, se deben buscar soluciones al problema de los artículos defectuosos mediante acciones asociadas con la variable temperatura; de lo contrario, sería necesario buscar la solución por otro lado.

Ejemplo: Un ingeniero que trabaja con botellas de refresco investiga la distribución del producto y las operaciones del servicio de ruta para máquinas vendedoras. El sospecha que el tiempo requerido para cargar y servir una máquina se relaciona con el número de latas entregadas del producto. Se selecciona una muestra aleatoria de 25 expendios al menudeo que tienen máquinas

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vendedoras y se observa para cada expendio el tiempo de solicitud- entrega (en minutos) y el volumen del producto entregado (en latas). Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos se muestran a continuación:

Observación No. Latas, x tiempo, y x^2 y^2 xy 1 2.00 9.95 4.00 99.00 19.90 2 8.00 24.45 64.00 597.80 195.60 3 11.00 31.75 121.00 1,008.06 349.25 4 10.00 35.00 100.00 1,225.00 350.00 5 8.00 25.02 64.00 626.00 200.16 6 4.00 16.86 16.00 284.26 67.44 7 2.00 14.38 4.00 206.78 28.76 8 2.00 9.60 4.00 92.16 19.20 9 9.00 24.35 81.00 592.92 219.15 10 8.00 27.50 64.00 756.25 220.00 11 4.00 17.08 16.00 291.73 68.32 12 11.00 37.00 121.00 1,369.00 407.00 13 12.00 41.95 144.00 1,759.80 503.40 14 2.00 11.66 4.00 135.96 23.32 15 4.00 21.65 16.00 468.72 86.60 16 4.00 17.89 16.00 320.05 71.56 17 20.00 69.00 400.00 4,761.00 1,380.00 18 1.00 10.30 1.00 106.09 10.30 19 10.00 34.93 100.00 1,220.10 349.30 20 15.00 46.59 225.00 2,170.63 698.85 21 15.00 44.88 225.00 2,014.21 673.20 22 16.00 54.12 256.00 2,928.97 865.92 23 17.00 56.63 289.00 3,206.96 962.71 24 6.00 22.13 36.00 489.74 132.78 25 5.00 21.15 25.00 447.32 105.75 TOTALESlas ecuaciones 206.00 725.82 de 2,396.00 27,178.53 8,008.47 Utilizando para obtener el coeficiente correlación tenemos:

SCxy = 2027.71 SCx = 698.56 SCy = 6105.94 r = 0.98

El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia estadística para afirmar que el tiempo de entrega está relacionado con el número de latas.

Página 28



Figura 1.10 Diagrama de dispersión con tendencia

En la gráfica observamos que al aumentar el número de latas el tiempo de entrega aumenta.

 Para realizar el gráfico de dispersión en Excel realice el siguiente procedimiento:

1. Seleccione el icono asistente para gráficos. 2. Seleccione el tipo de gráfico xy(dispersión), y subtipo de gráfico: dispersión, compara pares de valores.(siguiente) 3. En la pestaña rango de datos seleccione los valores de x y y de la tabla de datos. En la pestaña serie agregue el título, el rango de valores x, y se da por default al haber seleccionado el rango de datos .(siguiente) 4. Ponga el titulo del gráfico y eje de valores x y y de la tabla de datos. En esta pantalla puede agregar líneas de división al gráfico y otras opciones (siguiente) (finalizar) 5. Para realizar algún cambio, por ejemplo en la escala haga clic en la escala de valores y aparecerá un menú que le permitirá realizarlos.

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Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los pasos siguientes (después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las columnas C1 y C2):

Minitab > Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X y aceptar con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y de determinación.

Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en Minitab: Minitab > Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X, seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una función cuadrática o cúbica y aceptar con OK. Observar el mayor valor del coeficiente de correlación que indica el mejor ajuste.

Ejercicio: Hacer un diagrama de dispersión con los datos siguientes: Errores (escala 5 por división) Antigüedad 4 2 8 6 10 5 7 1

Errores 20 12 36 28 44 25 32 5 Antiguedad

Conclusiones:

Página 30



Histogramas Se utilizan para ver la distribución de frecuencia de una tabla de datos 18 16 14 12 10 Frec.

8 6 4 2 0 Distribución de frecuencias o histograma Figura 3.5 15-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65-75

Figura 1.11 Histograma en Excel Pasos para hacer un histograma: 1. Contar el número de datos, identificar el valor máximo, el mínimo y el rango. 2. Determinar el ancho de clase = Rango / 5 a 8. 3. Contar cuantos datos entran dentro de cada celda. 4. Graficar las frecuencias de cada celda. Ejercicio: Realizar un histograma con los datos de edades siguientes: 2.41 3.34 4.04 4.46 8.46 9.15 11.59 12.73 13.18 15.47

17.87 18.03 18.69 19.94 20.20 20.31 24.19 28.75 30.36 30.63

33.51 33.76 34.58 35.58 35.93 36.08 36.14 36.80 36.92 37.23

38.65 39.02 39.64 40.41 40.58 40.64 43.61 44.06 44.52 45.01

45.70 45.91 46.50 47.09 47.21 47.56 47.93 48.02 48.31 48.55

49.36 49.95 50.02 50.10 50.10 50.72 51.40 51.41 51.77 52.43

Página 31

55.08 55.23 55.56 55.87 56.04 56.29 58.18 59.03 59.37 59.61

62.53 62.78 62.98 63.03 64.12 64.29 65.44 66.18 66.56 67.45

70.37 71.05 71.14 72.46 72.77 74.03 74.10 76.26 76.69 77.91

81.21 82.37 82.79 83.31 85.83 88.67 89.28 89.58 94.07 94.47



Paso 1. Número de datos = Valor mayor = Valor menor = Paso 2. Ancho de clase = Rango / 6 = redondear a: Paso 3. Contar elementos para cada clase: Columna Intervalo Registro de frecuencias Frecuencia 1 0 -17 2 3 4 5 6

Rango =

18-35 36-53 54-71 72-89 90 en adelante

Paso 4. Hacer la gráfica del histograma:

Conclusiones:

Lluvia de ideas (Brainstorming) En las sesiones de lluvia de ideas se generan nuevas ideas mediante la participación de todo el equipo.Para comenzar con el proceso de tormenta de ideas, en el cual se genera información la gente se reúne en una sala en la cual se recomienda la disposición de las mesas en forma de “U” para facilitar el debate. La gente que participa en la sesión deberá de pertenecer a diferentes áreas o tener puntos de vista diferentes, esto con el objeto de enriquecer la sesión.

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El facilitador debe de contar con experiencia en la conducción de sesiones de tormentas de ideas, o al menos haber tenido experiencias previas. Para conducir un grupo se lleva a cabo la siguiente metodología: 1. Seleccionar el problema a tratar. 2. Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solución del problema, las cuales se anotan en el pizarrón sin importar que tan buenas o malas sean estas. 3. Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los pensamientos concernientes al problema. 4. Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir cosas muy interesantes, que motivan a los participantes a generar más ideas. 5. Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el objetivo es tener mayor cantidad de ideas así existirán mayores posibilidades de conseguir mejores ideas. 6. Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las sugerencias de otros. 7. Una vez que se tengan un gran número de ideas el facilitador procede a agrupar y seleccionar las mejores ideas por medio del consenso del grupo de trabajo. 8. Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una solución.

La técnica tormenta de ideas puede ser aplicada con gran frecuencia al llevar a cabo otras herramientas, como por ejemplo, diagramas causa-efecto (Ishikawa), Diseño de experimentos, pruebas de confiabilidad, etc.

EJERCICIO: Realizar una lluvia de ideas para solucionar el problema de llegar a tiempo a algún lugar.

Diagrama de Causa efecto Muestra la relación entre una característica de calidad y los factores de influencia, para encontrar las causas posibles. Se usa la lluvia de ideas, debe hacerse sin juicios previos y respetando las opiniones.   

Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia. Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado El problema a analizar debe estar siempre visible

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 


Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas Motivar a que todos participen con la misma oportunidad

El diagrama causa-efecto, también llamado “espina de pescado” por la semejanza de su forma, también es conocido por diagrama de Ishikawa.

Es utilizado para explorar, e identificar todas las causas posibles y relaciones de un problema (efecto) o de una condición específica en las características de un proceso.

Una vez elaborado, el diagrama causa-efecto representa de forma clara, ordenada y completa todas las causas que pueden determinar cierto problema.

Constituye una buena base de trabajo para poner en marcha la búsqueda de las verdaderas causas de un problema.

Los pasos para elaborar el diagrama de causa- efecto son los siguientes:

1. Seleccione el efecto (problema) a analizar. Se puede seleccionar a través de un consenso, un diagrama de Pareto, otro diagrama o técnica. 2. Realice una lluvia de ideas para identificar las causas posibles que originan el problema. 3. Dibuje el diagrama: -

Coloque en un cuadro a la derecha la frase que identifique el efecto (característica de calidad)

-

Trace una línea horizontal hacia la izquierda del cuadro que contiene la frase. A esta línea se le conoce como columna vertebral.

-

Coloque líneas inclinadas que incidan en la columna vertebral (causas principales).

-

Dibuje líneas horizontales con flechas que incidan en las líneas inclinadas conforme a la clasificación de las causas (causas secundarias)

-

Dibuje líneas inclinadas que incidan en las líneas de las causas secundarias (causas terciarias)

4. Clasifique las causas derivadas de la lluvia de ideas, de la siguiente manera: -

Causas principales. Página 34

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO -

Causas secundarias.

-

Causas terciarias.


5. Jerarquice las causas por grado de importancia y defina aquellas que tengan un efecto relevante sobre la característica específica. 6. Elabore y ejecute un programa de corrección de las causas relevantes.

Diagrama de Ishikawa Medio ambiente Clima húmedo Distancia de la agencia al changarro

Clientes con ventas bajas Malos itinerarios

Métodos Frecuencia de visitas

Posición de exhibidores

Rotación de personal Falta de motivación

Ausentismo

Elaboración de pedidos Calidad del producto

Seguimiento semanal Conocimiento de los mínimos por ruta

Descompostura del camión repartidor

Maquinaría

Personal Falta de supervi ción

Medición

¿Qué produce bajas ventas de Tortillinas Tía Rosa?

Tipo de exhibidor

Materiales

Figura 1.12 Diagrama de causa efecto, de Ishikawa o espina de pescado Ejemplo: En una fábrica de componentes electrónicos se detectaron fallas en la línea de ensamble al realizar la prueba de un circuito, por lo cual se procedió a realizar una investigación utilizando el diagrama causa-efecto.

El problema es soldadura defectuosa, siendo el efecto que se va a analizar.

Primero se determinan las causas principales M’s: 

Máquinas



Mano de obra



Métodos

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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 

Materiales



Mediciones



Medio ambiente


Estas constituyen las causas primarias del problema y es necesario desafiarlas para encontrar causas más específicas secundarias y terciarias. Se construye el diagrama espina de pescado con las causas primarias (M´s), a partir de estas causas se agrupan las causas secundarias y terciarias derivadas de la lluvia de ideas.

MEDICIONES

MAQUINAS

MANO DE OBRA

DIMENSIONES INADECUADAS FUERA DE DIMENSIONES ESPECIFICADS

VELOCIDAD DE AVANCE

TEMPERATURA ANGULO INCORRECTO DE LA FLAMA

FORMACION

HABILIDAD

PUNTA OXIDADA

LIMITES ERGONOMICOS

FORMA PUNTA

SOLDADURA DEFECTUOSA UNION SOLDADURA

SUPERFICIE S CON POLVO E IMPUREZAS

LACA DE PROTECCION

SECUENCIA SOLDADURA TIEMPOS DE ESPERA

TERMINALES DESOXIDANTE CORTOS OXIDADOS

ias

MATERIALES

ca us as ter cia r

ec un da ria

s ale cip rin p s usa Ca

s

MÉTODOS

Ca us as s

MEDIO AMBIENTE

Figura 1.13 Diagrama de causa efecto

El equipo analiza cada causa y por medio de eliminación y consenso determina cuales son las verdaderas causas que están ocasionando el problema. Una vez determinada las causas se realiza un análisis Por qué, Por qué, por qué (Why-Why Why), el cual consiste en preguntarnos cinco veces por qué?, para encontrar la causa raíz del problema.

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En el ejemplo anterior las causas primarias fueron agrupadas en (M’s): mediciones, máquinas, personal, medio ambiente, métodos y materiales. Es posible realizar este diagrama con causas primarias diferentes a las M´s, ej:

Problema: Por qué la versión del sistema “Abacab”, no satisface los requerimientos del cliente. Las causas primarias en las que se organiza este problema son las siguientes: 

Políticas y procedimientos del sistema



Funcionalidad.



Diseño



Accesibilidad



Tiempo de respuesta



Confiabilidad

Diagrama de Causa Efecto en Minitab 

Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)



Seleccione: Stat>Quality Tools>Cause and Effect Diagram

Llenar las columnas C1 a C5 con las diferentes causas correspondientes a los conceptos de Personal, Máquinas, Materiales, Métodos, Mediciones y Medio ambiente.

Introducir los datos en la pantalla de entrada, indicando el problema en Effect y aceptar con OK.

Ejercicio: Realizar un Diagrama de Causa efecto para identificar las causas potenciales de un problema y concluir.

Página 37



Carta de tendencias Definición: Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los procesos administrativos y de manufactura.

Usos: • Saber el comportamiento de un sistema o proceso durante el tiempo. • Tomar las acciones correctivas a tiempo si la tendencia afectará en forma negativa.

Ejemplo: Se tienen los datos siguientes de errores de planeación de la producción durante 15 semanas: Se puede hacer en Minitab con Stat, Quality Tools, Run Chart, Subgroup size = 1

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8

% errores 0.15 0.04 0.08 0.07 0.04 0.05 0.01 0.03

Semana 9 10 11 12 13 14 15

% errores 0.04 0.05 0.07 0.04 0.02 0.03 0.01

Permite observar el comportamiento de los datos durante un periodo de tiempo determinado.

% errores

Carta de tendencia 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Sem ana

Fig. 1.14 Carta de tendencias

Página 38

10 11 12 13 14 15



Diagrama de flujo Dentro de los sistemas de calidad resulta de gran utilidad representar la estructura y relaciones de los sistemas mediante diagramas de flujo.

Ventajas de los diagramas de flujo  Proveen una secuencia gráfica de cada uno de los pasos que componen una operación desde el inicio hasta el final. Permitiendo una mejor visualización y comprensión del proceso.  Los diagramas de flujo pueden minimizar grandes volúmenes de documentación, incluyendo la documentación ISO 9000. 

Facilitan el desarrollo de Procedimientos Estándar de Operación.



Al tener un procedimiento de operación estándar se reduce en gran medida la variación y el tiempo de ciclo.



Los diagramas de flujo permiten detectar áreas de mejora en los procesos.

Se utiliza para identificar los procesos, las características críticas en cada uno, la forma de evaluación, los equipos a usar, los registros y plan de reacción, se tienen los tipos siguientes:  Diagramas de flujo de proceso detallados  Diagramas físicos de proceso  Diagramas de flujo de valor

Símbolos para Diagramas de Flujo

Iniciar/Detener

Transmisión

Operaciones (Valor agregado) Decisión

Almacenar Entrada/Salida

Inspección /Medición Transportación

Retraso Líneas de Flujo

Fig. 1.15 Símbolos utilizados en los diagramas de flujo

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Descripción de símbolos En la construcción de diagramas de flujo de procesos se utilizan los símbolos descritos a continuación:

Operación de transformación: de la cual resulta un cambio físico o químico del producto.

Inspección: Verificación de alguna característica mediante un estandar de calidad prestablecido.

Transporte: Movimiento físico del producto o un componente.

Demora: Indica la necesidad de un periodo de inactividad en espera de operación inspección o transporte.

Almacenamiento: Mantener un producto en almacenamiento hasta que continúe su procesamiento o sea vendido.

Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo 1. Describir el proceso a evaluar: Es importante comenzar con los procesos que se consideran de mayor impacto en la organización.

Página 40



2. Definir todos los pasos que componen un producto o servicio: Existen diferentes maneras de hacerlo. Una de ellas consiste en que el equipo de trabajo anote en tarjetas los diferentes pasos que conforman el proceso, con este método el equipo puede arreglar y ordenar los pasos del proceso. Otra manera de hacerlo es mediante el uso de programas de diagramas de flujo en computadoras, de esta manera se tiene mayor flexibilidad que en el método anterior y se ahorra bastante tiempo. Cada paso deberá de ser discutido y analizado a detalle utilizando la pregunta “¿por qué se hace de esta manera?”

3. Conectar las actividades: Cuando los pasos que componen el proceso han sido descritos se construye el diagrama de flujo, conectando las actividades mediante flechas, cada símbolo debe describir la actividad que se realiza con pocas palabras.

4. Comparar el proceso actual con el proceso considerado como “ideal” las siguientes preguntas pueden servir de guía: ¿Existen pasos demasiado complejos? ¿Existe duplicidad o redundancia? ¿Existen puntos de control para prevenir errores? ¿deberían de existir? ¿El proceso funciona en la manera en la cual debería de hacerse? ¿Se puede realizar el proceso de diferente manera?

5. Mejoras del proceso: Una vez que se contestan las preguntas mediante tormenta de ideas se realizan mejoras. Definiendo los pasos que agregan valor y los que no agregan se puede llevar a cabo una simplificación sustancial del proceso. Las mejoras son priorizadas y se llevan a cabo planes de acción.

6. Implementar el nuevo procedimiento: Una vez realizadas las mejoras se dan a conocer a las personas involucradas en el proceso y se verifica su efectividad.

Página 41



Diagrama de flujo: Una visita a la farmacia26

Ejemplo: Operación de despacho de una fórmula.

EVENTO

SÍMBOLO TIEMPO DISTANCIA (min.) (pies) Abrir la puerta, caminar hacia el área de la farmacia 0.8 50 del almacén. Esperar para ser atendido. 1 Sacar la fórmula de la billetera o del bolsillo y entregarla al dependiente. Esperar hasta cuando el dependiente despache la fórmula y calcule el valor. Sacar la tarjeta de crédito de la billetera y entregarla al dependiente. Esperar que el dependiente diligencie el desprendible de la tarjeta de crédito. Verificar el desprendible

0.4

Firmar el desprendible

0.1

Esperar el desprendible y el medicamento

0.3

Colocar la tarjeta y el desprendible dentro de la billetera Recoger el medicamento y caminar de regreso hasta la puerta

0.2

10 0.4 1 0.2

0.8

50

Figura 1.16 Ejemplo de diagrama de flujo

26

Adaptado de Hamid Noori/Russell Radford, Administración de Operaciones y producción, Ed. Mc.Graw Hill Pp.282 Página 42



Ejercicio: Hacer el diagrama de flujo de un proceso e identificar áreas de oportunidad

Inicio

Paso 1

Paso 2A

Paso 2B

Paso 2C

Paso 3

¿Bueno?

Retrabajo

No

Fin Sí

Página 43



Diagrama de flujo de tiempo – valor agregado Es utilizado para detectar cuales son las actividades que agregan valor al proceso y las que no agregan valor.

Pasos para realizarlo: • Dibujar una línea horizontal para representar el tiempo total que se ocupa en el proceso. • Relacione todos los pasos del proceso detalladamente, después decida si el paso tiene valor para el cliente. • Dibujar una línea vertical fina que represente el tiempo que se requiere para completar el paso. • Dibújela arriba de la línea, si representa valor agregado, o debajo si no lo representa. • En cada línea vertical señale el paso del proceso. • Puede dibujar una barra con el tiempo de valor agregado como porcentaje de tiempo total del proceso.

Ventajas: • Delinea gráficamente la cantidad de tiempo sin valor que se usa en el proceso. • Ayuda a reducir el tiempo sin valor y eliminar pasos innecesarios. Ejemplo

Visita al consultorio médico ny n me ó Exa cripci s P re

so nea Pe gu í n Sa

ón esi

Pr

Espera

Espera

on lc de lir Sa agar r P ina m

Ca

se ar nt ar Se min Ca inar m

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Ca a de a er ad am er m Ll enf la

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Figura 1.17 Diagrama de flujo de valor

Página 44



Diagrama de Flujo Físico Pasos para realizarlo: •Dibuje el esquema físico de su área de trabajo, incluyendo estaciones de trabajo, áreas de espera, áreas de máquinas, etc. •Use flechas para delinear el flujo de la parte dentro del área. Cada flecha debe delinear un paso del proceso. Ventajas • Muestra el número de movimientos para completar el proceso. • Muestra la complejidad del flujo y las curvas. • Puede añadir tiempo a cada paso, para mostrar cuellos de botella y tiempo sin valor agregado Vs tiempo con

valor agregado.

Edificio A

Edificio B

Figura 1.18 Ejemplo de diagrama de flujo físico

EJERCICIO: Realizar un diagrama de flujo de un proceso

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Estratificación Se utiliza para separar un aspecto general en los estratos que lo componen, por ejemplo, por regiones, estados, municipios, etc. Clasificación de los datos o factores sujetos a estudio en una serie de grupos con características similares. Problemas con boletas Por región Por estado Por municipio Figura 1.19 Estratificación de un problema Ejercicio: Describir un ejemplo de estratificación de un aspecto poblacional Inicio: Primer paso: Segundo paso: Tercer paso:

Las cartas de control Sirven para monitorear el proceso, prevenir defectivos y facilitar la mejora. Hay dos tipos de cartas de control: por atributos (juzga productos como buenos o malos) y por variables (variables como, temperaturas). Cartas de control Límite Superior de Control

12.5 11.5 10.5

Línea Central

9.5 8.5 7.5 0

10

20

30

Límite Inferior de Control

Figura 1.20 Carta de control con sus límites de control y línea central Página 46



Carta de control “Escuche la Voz del Proceso” M E D I D A S C A L I D A D

Región de control, captura la variación natural del proceso original

LSC

LIC

Tendencia del proceso Causa Especial

El proceso ha cambiado

identificada

TIEMPO

Figura 1.21 Patrones de anormalidad en cartas de control 

Las cartas de control detectan la variación anormal en un proceso, denominadas “causas especiales o causas asignables de variación.”



El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.



El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.

1.4 MÉTODOS LEAN PARA LA MEJORA A continuación se muestran los métodos para hacer más flexibles y esbeltas las operaciones en las organizaciones:

Los 7 desperdicios o Muda Son aspectos que no agregan valor al cliente, es decir no está dispuesto a pagar por ellos y hacen que la operación sea costosa y lenta:

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      

Servicios no requeridos Movimientos excesivos e innecesarios Transportes innecesarios Inventarios innecesarios Esperas o firmas innecesarios Errores Retrabados o reinspecciones


Ejemplos de muda: Caminar Inventario innecesario Transporte de partes

Esperar al ciclo de máquina Reportes sin uso

Movimientos innecesarios

Ejercicio: Identificar tres Mudas en la organización _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________.

Métodos Lean para la mejora Para reducir el Muda se utilizan diversos métodos Lean como son:  Mapeo de la cadena de valor  Las 5 S’s  Cambios rápidos (SMED)  Poka Yokes o A Prueba de error  Trabajo estandarizado

Mapeo de la cadena de valor Se trata de realizar un mapeo de los procesos, identificando las actividades que no agregan valor (Muda) para su reducción o eliminación, así como las actividades que agregan valor para su optimización, a continuación se presenta un ejemplo:

Página 48



Ejercicio: Mejora del tiempo de ciclo de atención en una sala de emergencia: Se realiza un mapeo del proceso con todas las actividades relacionadas con la atención en una sala de emergencia, considerando tiempos y distancias.

Proceso Original Resumen

Símbolo Número Tiempo en Distancia de pasos minutos

Operación

5

23

---

Transporte Inspección

9 2

11 8

815 ---

Retraso

3

8

---

50

--815

0 19

Almacenaje Total

No. de Pasos Tiempo Min.Distancia en pies 1 0.5 15 2 10 --3 0.75 40 4 3 --5 0.75 40 6 1 --7 1 60 8 4 --9 5 --10 2 200 11 3 --12 2 200 13 3 --14 2 --15 1 60 16 4 --17 2 180 18 4 --19 1 20 Total 50 815

Proceso: Admisión a la sala de emergencia Sujeto: Paciente con una lesion en el tobillo Principio: Entrada a sala de emergencia Final: Salida del hospital

Descripción

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

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Entrada a la sala de emergencia (SE), acercarse a la ventanilla Sentarse a llenar la historia clínica del paciente La enfermera acompaña al paciente a la sala de evaluaciones La enfermera examina la lesión Regresa a la sala de espera Espera hasta que haya una cama disponible Trasladarse hasta la cama de la (SE) Espera hasta que llegue el médico El médico examina la lesión y le hace preguntas al paciente La enfermera lleva al paciente a radiología El técnico somete al paciente a los rayos X Regresa a la cama asignada en la (SE) Espera hasta que el médico regrese El médico comunica su diagnositco y hace reconmendaciones Regresa al área de entrada del servicio de Emergencias Registrar la salida del lugar Caminar hasta la farmacia Recoger la prescripcion médica Salir del Edificio



Se identifican las actividades que representan Muda y que son actividades que no agregan valor y se reducen o eliminan, quedando el proceso mejorado como sigue:

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Las 5 Ss y la administración visual Objetivo: Encontrar cualquier cosa y tener idea del estado de la operación en menos de 30 segundos, por una persona familiarizada con el área de trabajo. Palabras japonesas que inician con s: Seiri, Seiton, Seiso, Seiketsu y Shitsuke. 1.- SEIRI significa: ORGANIZAR y SELECCIONAR: Trabajo en proceso, Herramientas innecesarias, Maquinaria no ocupada, Productos defectuosos, Papeles y documentos, lo más importante en este punto es: Diferenciar entre lo necesario y lo innecesario.

Fig. 1.22 Áreas de oportunidad para 5S’s 2.- SEITON significa PONER LAS COSAS EN ORDEN. Las cosas deben mantenerse en orden de manera que estén listas para ser utilizadas cuando se necesiten. B 1

2

A 1

2

3

1 2G974

2G974

0074D

0074D

3G235

3G235

2 1G569

1G569

6264D

6264D

Fig. 1.23 Implementación del orden de 5S’s

Página 51

9964D

9964D



3.- SEISO significa: LIMPIEZA.  Mantener limpio el lugar de trabajo. 4.- SEIKETSU significa: LIMPIEZA ESTANDARIZADA.  Hacer del aseo y de la pulcritud un hábito, principiando con la propia persona. 5.- SHITSUKE (DISCIPLINA).  Seguir los procedimientos en los procesos administrativos y de manufactura. Las 5´s se han definido como Selección u Organización, Orden, Limpieza, Estandarización y Disciplina. Los dos elementos más importantes son la Organización y el Orden ya que de ellos depende el éxito de las actividades de Mejora. Trabajan en medio del polvo, suciedad, desorden, aceite, etc. dificulta la búsqueda de piezas, útiles, información, requisiciones, herramientas etc. evitando esto se previenen los accidentes, no se generan defectos y todo se encuentra. Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad de aplicación de las 5S’s en la organización _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________.

Preparaciones rápidas (SMED) Objetivo: Cambiar el proceso para un servicio diferente en menos de 10 minutos 1. Formar un equipo de trabajo 2. Filmar las actividades de preparación 3. Separar actividades de preparación internas y externas 4. Convertir actividades de preparación internas a externas 5. Afinar las operaciones (paralelo, externas, etc.) 6. Verificar resultados y dar reconocimiento al equipo La Preparación interna (IED), son las operaciones realizadas con el servicio suspendido. La Preparación externa (OED), son las operaciones realizadas mientras se están proporcionando los servicios.

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Ejemplo de Cambio rápido – SMED: Se redujo el tiempo de preparación en una estación de servicio de 11 minutos a 1 minuto, ya que antes primero se detenía, llamaban al dependiente, buscaba las mercancías, etc. ahora las mercancías clave están cerca del mostrador y no se pierde tiempo. Otro ejemplo es la obtención de pasaportes en 40 minutos o un trámite en las oficinas de hacienda. Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar cambios rápidos. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________.

Poka Yokes o A prueba de error Objetivo: Prevenir o detectar la ocurrencia de errores humanos. Causas de los errores: • Procedimientos incorrectos • Variación excesiva en procedimientos • Procesos o procedimientos no claros o no documentados • Errores humanos mal intencionados • Cansancio, distracción, Falla de memoria o confianza, etc. Pasos para el desarrollo de Poka Yokes 1. Describir el defecto: Formar un equipo de trabajo, mostrar la tasa de errores 2. Identificar el lugar donde se descubren o producen los errores 3. Detalle de los procedimientos de la operación donde se producen los errores 4. Identificar desviaciones de los procedimientos donde se producen los errores. Identificar las condiciones donde se ocurren los errores (investigar) 6. Identificar el tipo de dispositivo Poka Yoke requerido para prevenir el error. 7. Desarrollar un dispositivo Poka Yoke Ejemplo: Instalación de puertas automáticas para permitir la entrada solo a personal autorizado. Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar A Prueba de error / Poka Yokes. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. Página 53



Trabajo estandarizado Objetivo: Documentar en instructivos, procedimientos y ayudas visuales, la forma como deben realizarse las operaciones y actividades para que todos las realicen de la misma manera, para tener productos homogéneos. Por estandarización se entiende:  Siempre seguir la misma secuencia de trabajo  Los métodos totalmente documentados  Los métodos están visibles en cada estación de trabajo  El material y documentos de trabajo están colocados siempre en el mismo lugar  La información se presenta de la misma forma en toda la organización  Se tiene el registro del movimiento detallado del cuerpo humano Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar procedimientos e instructivos para estandarizar las operaciones. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________.

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1.5 LAS SIETE HERRAMIENTAS ADMINISTRATIVAS 

Diagrama de afinidad: o Organiza grandes cantidades de información



Diagrama doble de interrelaciones: o Muestra los enlaces de causas y efectos entre aspectos relacionados



Diagrama de árbol: o Diagrama los niveles de destalle para alcanzar un objetivo principal y los objetivos secundarios relacionados



Diagrama Matricial: o Muestra las relaciones y correlaciones entre ideas



Matrices de prioridad: o Asigna prioridades a asuntos, tareas o posibles opciones con base en criterios conocidos



Carta de Programa de Decisión de Procesos (CPDP): o Revela cadenas de eventos y planes de contingencia



Diagrama de redes y actividades: o Desarrolla u programa para tareas complejas

APLICACIONES Las herramientas para la mejora continua se emplean de manera ideal en los casos siguientes:  Dividir un requerimiento general de detalles específicos  Identificar y eliminar las causas raíz de un problema  Programar actividades complejas  Planeación de contingencia  Ayudar a una organización a pasar de la manera antigua de pensar a otras formas más novedosas de hacerlo  Realizar una selección final de una lista de opciones  Evaluar opciones de diseño de producto

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Diagrama de Afinidad Es una herramienta que se emplea para organizar grandes cantidades de información agrupando los aspectos de la misma con base en relaciones clave entre ellos; también se conoce como método KJ. Cuando se emplea este diagrama, se organizan las ideas o áreas generales de problemas para adquirir la comprensión de un problema o asunto complejo, así como para identificar las causas potenciales de un problema. La herramienta ayuda a mejorar el compromiso y el apoyo del equipo.

-

Usar cuando existe un caos, el equipo aporta ideas, se requiere un pensamiento trascendental o el tema es un aspecto amplio.

PASOS 1. Reunir el equipo y elegir un líder, todos relacionados con el asunto a tratar. 2. Establecer el asunto o problema en forma de pregunta. 3. Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en fichas de trabajo. 4. Desplegar las tarjetas en una mesa grande o muro. 5. Acomodar las tarjetas en pilas similares o por “familias”. 6. Crear tarjetas de encabezado 7. Dibujar el diagrama de afinidad a. Trazar un círculo en torno a cada agrupamiento b. El diagrama queda completo cuando el equipo alcanza el consenso 8. Discutir el diagrama de afinidad

Página 56



FUENTE HTTP://WWW.SAPDESIGNGUILD.ORG/RESOURCES/GLOSSARY_USAB/IMAGES/AFFINITYEE1.JPG

FUENTE: HTTP://WWW.MEX.OPS-OMS.ORG/DOCUMENTOS/TUBERCULOSIS/MEJORA/4_DIAGRAMA_AFINIDAD.PDF

Fig. 1.24 ejemplos de diagrama de afinidad

Página 57



Diagrama doble de Interrelaciones

Un diagrama doble de interrelaciones es una herramienta gráfica que se emplea para organizar problemas o aspectos complejos y que implican muchas variables, se emplea para estudiar las relaciones entre los elementos de un problema e identificar las causas raíz o las soluciones, es similar al diagrama de afinidad en la medida que el proceso de construcción de una gráfica doble interrelaciones es creativo. Ayuda a identificar las causas potenciales de un problema. permite que el equipo observe al mismo tiempo muchos efectos y trace la relación entre dichos efectos y varias causas. PASOS 1. Reunir el equipo y elegir un líder. 2. Poner el asunto o problema en forma de pregunta. 3. Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en fichas de trabajo. 4. Analizar las relaciones. 5. Revisar el Diagrama doble de interrelaciones. 6. Identificar causas y efectos raíz. a. Una causa raíz es una categoría de la que sale la gran cantidad de flechas. b. Un efecto raíz es una categoría a la que llega una gran cantidad de flechas. 7. Estudiar el Diagrama doble de interrelaciones.

Página 58



FUENTE: PRIMER CERTIFIED QUALITY MANAGER – WWW.QUALITY COUNCIL.COM FIG. 1.25 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE INTERRELACIONES

Página 59



FUENTEHTTP://WWW.CALIDADEDUCATIVA.ORG/CONGRESO2008/MEMORIA/TUFINO_COMPL EMENTARIO/TUFINO_INTERRELACION.PDF

Fig.

1.26

ejemplos

de

diagrama

Página 60

de

interrelaciones



Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol (diagrama sistemático) es una técnica que se emplea para buscar la forma más apropiada y eficaz de alcanzar un objetivo específico. Esta herramienta gráfica de diagrama los diversos niveles de detalle, estos representan acciones (o tareas) que siguen rutas lógicas para implantar un objetivo amplio. Al implantar los puntos detallados de acción, se crea un efecto de dominio que lleva al logro del objetivo principal. Cuando se trabaja sobre un objetivo amplio, un diagrama de árbol ayuda a orientar tareas específicas, es posible emplearlo para planear la implantación de una solución detallada en forma ordenada. El diagrama de árbol funciones para dividir un aspecto u objetivo más complejo. PASOS 1. 2. 3. 4. 5.

Reunir un equipo apropiado. Elegir la declaración de objetivo. Generar los encabezados de primer nivel del árbol Completar el diagrama de árbol bajo cada encabezado principal Revisar el diagrama de árbol terminado.

Página 61



FUENTE: HTTP://WWW.PROGRAMAEMPRESA.COM/EMPRESA/EMPRESA.NSF/PAGINAS/B274A80F363DE039C12570290

041808D?OPENDOCUMENT

FUENTE HTTP://DGPLADES.SALUD.GOB.MX/2006/HTDOCS/HG/NUEVAS/HESTRA7.PDF FIG. 1.27 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

Página 62



FIG. 1.28 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

Página 63



Diagrama Matricial PERSONAL CURSO

Dirección

Supervisión

Ingenieros

Trab. De Produc.

Trab. De Mant.

Trab. De Oficina

Control Estadístico del proceso Diseño de productos Despliegue de funciones de Calidad Mejora de Procesos Eficacia de equipos Benchmarking Ingeniería concurrente Medición

Visión Global

Taller de trabajo

FIG. 1.29 EJEMPLO DE DIAGRAMA MATRICIAL

Los diagramas matriciales son herramientas que se emplean para revelar las correlaciones entre ideas, tares y responsabilidad y que aparecen en diversas formas matriciales, es posible emplear estas herramientas para organizar y comparar dos o más conjuntos de artículos para mostrar cuáles de ellos están relacionados, asimismo pueden mostrar la fortaleza estadística y la dirección de influencia de cada relación. Pueden tener cualquiera de las siguientes formas: L, T, Y, X y C PASOS 1. Reunir a un equipo apropiado 2. Elegir las consideraciones clave a. ¿Qué tipo de información se desea mostrar en la matriz? 3. Elegir la forma apropiada de la matriz 4. Definir los símbolos de relación a emplear y crear una leyenda 5. Concluir la matriz.

Página 64



FUENTE: CQM PRIMER WWW.QUALITYCOUNCIL.COM FIG. 1.30 EJEMPLOS DE DIAGRAMA MATRICIAL

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Código de campo cambiado



DIAGRAMAS MATRICIALES 27 FIG. 1.31 DIAGRAMA MATRICIAL EN “L”

DIAGRAMA MATRICIAL “A”

FIG. 1.32DIAGRAMA MATRICIAL EN “T”

DIAGRAMA MATRICIAL EN “Y”

27

Diagramas tomados de la dirección www.fundibeq.org 28 de diciembre de 2008 Página 66



FIG. 1.33 DIAGRAMA MATRICIAL EN “X”

DIAGRAMA MATRICIAL EN “C” TRIDIM

FIG. 1.34 APLICACIÓN EN EL DESARROLLO DEL PRODUCTO (MATRIZ DE QFD):

Página 67



Matrices de Prioridades o prioritización Las matrices de prioridades son herramientas para tomas decisiones. Utilizando criterios ponderados y acordados, se emplean tales herramientas para asignar prioridades a aspectos, tareas u opciones posibles. Se basan en la combinación de un diagrama de árbol y uno matricial. Pueden ayudar a reducir el número de opciones; de modo que sea posible tomar decisiones con mayor facilidad, debido a que las matrices de prioridades proporcionan un enfoque lógico a la elección de un conjunto de opciones, son ideales para elegir un problema para que lo ataque el equipo y estrechar una lista de soluciones potenciales para un problema. PASOS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Reunir un equipo apropiado. Establecer el objetivo principal a alcanzar y las opciones que ayuden a lograrlo. Generar los criterios por los que se juzgarán las opciones. Juzgar cada criterio contra todos los demás. Comparar entre sí las opciones para todos los criterios retenidos. Compara cada opción con base en todos los criterios combinados.

Brassard28 proporciona tres tipos de matrices de prioridades:  El método del criterio analítico completo  El método del criterio de consenso  El método combinado de Diagrama de relaciones y Matriz Loa criterios son prioritizados, ponderados y aplicados contra las opciones de decisión generadas, seleccionando una decisión con base en números como resultado.

28

Brassard, M. (1989), The Memory jogger plus +, Methuen, Goal/QPC Página 68



Fuente: CQM PRIMER www.qualitycouncil.com

Fig. 1.35 Ejemplos de matrices de priorización

Página 69



Carta de Programa de Decisión de Procesos (CPDP)

Cambiar fecha de reunión Sala de reuniones no disponible

Reservar sala de reuniones

Reservar otro sitio

Rentar equipo audiovisual Planeación de una reunión

Verificar equipo audiovisual

Equipo audiovisual no disponible

Banquete no disponible Efectuar los arreglos de alimentación Menú no disponible

= Seleccionado = No factible

Reservar otro sitio

Ordenar a otro proveedor Solicitar un menú distinto Ordenar otro proveedor de banquetes

Fig. 1.36 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP - reunión

Una Carta de programa de decisión del proceso (CPDP) es una herramienta dinámica de planeación que se emplea para diagramar en forma sistemática todas las posibles cadenas de eventos para alcanzar un objetivo amplio o para implantar una solución compleja. Se enumeran todos los eventos concebibles y una contramedida apropiada en este flujo cronológico, se emplea este método cuando existe incertidumbre en un proceso de implantación, cuando el problema u objetivo es único o desconocido. Las Cartas de programa de decisión del proceso se clasifican por las herramientas que se emplea:  CPDP “planeado por adelantado”: anticipan lo “inesperado” antes de la implantación verdadera. Se efectúa una tormenta de ideas de todas las distintas posibilidades y se elaboran planes de contingencia con anticipación.  CPDP en tiempo real: se desarrollan alternativas durante la implantación. La CPDP se clasifica por el formato gráfico:

Página 70


 


Gráfico: combinación de diagrama de árbol y diagrama de flujo. Descripción: lista numerada de eventos y contramedidas.

Se emplea una CPDP para describir de manera sistemática una solución u objetivo complejos, otro propósito es probar teorías durante la implantación de una solución compleja.

PASOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Reunir el equipo apropiado Elegir el flujo básico de implantación Elegir el formato de la carta Establecer el objetivo principal Enumerar los pasos del proceso Determinar contramedidas Evaluar las contramedidas - Evaluar las contramedidas y marcarlas en la forma siguiente = Seleccionada = No factible

Fig. 1.37 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP en general

Página 71



FUENTE HTTP://SYQUE.COM/QUALITY_TOOLS/TOOLS/TOOLS12.HTM Fig. 1.38 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP para manufactura

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Código de campo cambiado



Diagrama de redes de actividades

Un diagrama de redes de actividades (también conocido como diagrama de flechas) es una técnica de administración de redes de uso generalizado para la planeación e implantación de tareas complejas, en particular las más comunes que cuentan con subtareas conocidas. Es una combinación de la Técnica de Revisión y Evaluación y Programas (PERT) y el Método de Ruta Crítica (CPM). Se emplea el diagrama de redes de actividades para desplegar soluciones complejas con programas muy estrictos de tiempo. Identifica los pasos y subtareas y muestra el flujo de rutas simultáneas de implantación

1 día

1 día

1 día

3 día

2 día

3 día

2 día

5 día

PASOS 1. Reunir el equipo apropiado. a. Los miembros del equipo deberán conocer a fondo las tareas y subtareas 2. Identificar todas las tareas que requiere el proyecto. 3. Determinar la secuencia de actividades. 4. Calcular el tiempo que se requiere cada actividad. 5. Calcular la ruta crítica del proyecto. 6. Calcular la fecha más tardía de inicio y más temprana de conclusión de cada subtarea. 7. Calcular la holgura total. 8. Diseñar el diagrama de redes de actividades.

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EJEMPLO: INAUGURACIÓN DE UN NUEVO RESTAURANTE

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Fig. 1.39 Ejemplo de diagrama de flechas (PERT) El TE de un evento representa el tiempo más breve posible en que el evento puede alcanzarse, y se calcula sumando los tiempos t de la secuencia de actividades que conduce al mismo. Cuando hay más de un camino que conduce a un evento, el camino que consume el mayor tiempo, determina el tiempo más breve posible en que puede esperarse alcanzar dicho evento. El valor TE de un evento N se calcula de la siguiente manera: a) Se empieza con el primer evento (su TE es igual a cero), considerando sus directos sucesores etc..., hasta llegar al último evento del proyecto. (Su TE indica el tiempo mínimo esperado para terminar el proyecto). b) Se identifican todos los eventos que preceden directamente al evento N. c) Para cada uno de estos eventos se añade a su TE la duración t de la actividad que le conecta con el evento N. d) Se elige entre los resultados así obtenidos el mayor. Este será el único TE del evento N. Los demás valores obtenidos son irrelevantes y no se volverán a considerar.

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Los valores TE así obtenidos, se escribirán en el Diagrama de Flechas por encima del respectivo evento. El TL de un evento representa el tiempo máximo en que debe alcanzarse el evento para poder seguir el proyecto tal y como ha sido planificado, siendo el TL del último evento el tiempo establecido para finalizar el proyecto. El valor TL de un evento N se calcula de la siguiente manera: a) Se empieza con el último evento (= fin del proyecto), operando en sentido inverso hasta el primero. El TL del último evento se considera aquí como un dato externo, ya establecido. (Deseo del cliente, compromiso, fecha "orientativa" interna, a menudo el valor TE obtenido en el Paso 4 para el evento final del proyecto, etc...). b) Se identifican todos los eventos sucesores del evento N. c) Para cada uno de estos eventos se resta de su TL la duración t de la actividad que le conecta con el evento N. d) Se elige entre los resultados así obtenidos el menor. Este será el único TL del evento N. Los demás valores obtenidos son irrelevantes y no se volverán a considerar.

Los valores TL así obtenidos, se escribirán en el Diagrama de Flechas debajo del respectivo evento.

La holgura de un evento es la diferencia entre el tiempo máximo permisible y el tiempo mínimo posible para alcanzarlo. La holgura indica entonces el margen de seguridad de tiempo de que se dispone para alcanzar este evento, sin comprometer el plan de marcha del proyecto. La holgura de un evento puede ser positiva, negativa o igual a cero.

El camino crítico es aquella secuencia de actividades, desde el primer evento hasta el último, en la que los eventos disponen de la holgura mínima. Se identificará en el Diagrama de Flechas, el camino crítico, señalando las actividades que lo constituyen con líneas más gruesas.

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Fig. 1.40 Determinación de la Ruta Crítica en el diagrama de flechas (PERT)

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1.6 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD Se utilizan tres métodos estadísticos principales para la mejora de la calidad y la solución de problemas: las cartas de control, el diseño de experimentos y el muestreo estadístico, además de las herramientas estadística para la solución de problemas en planta por grupos de trabajo o Círculos de calidad.

Cartas de control En 1924 WALTER SHEWHART realizó experimentos y desarrolló las Cartas de Control en la planta telefónica Western Electric de los los Bell Labs, las cuales tienen las siguientes características: 

Técnicas útiles para el monitoreo de procesos



Permiten identificar situaciones anormales en 6Ms



Sirven para prevenir la generación de defectivos

15 LCS Promedio LCI Perfil

10 5 0 Fig. 1.41 Carta de control LSC = Límite superior de control LC = Línea central LIC = Límite inferior de control Fig. 1.4 Carta de control de Shewhart y sus límites de control

La carta de control es una técnica muy útil para el monitoreo de los procesos, cuando se presentan variaciones anormales donde las medias o los rangos salen de los límites de control, es señal de

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que se debe tomar acción para remover esa fuente de variabilidad anormal. Su uso sistemático proporciona un excelente medio para reducir la variabilidad.

Diseño de experimentos Un experimento diseñado es muy útil para descubrir las variables clave que tienen influencia en las características de calidad de interés del proceso. Es un método para variar en forma sistemática los factores controlables del proceso y determinar los efectos que tienen esos factores en los parámetros finales del producto. Permite reducir la variabilidad en la característica de calidad y en determinar los niveles más adecuados de los factores controlables que optimicen el desempeño del proceso. Fisher inicia el desarrollo del diseño de experimentos en la agricultura en Inglaterra en los años 1920’s. ENTRADAS CONTROLABLES X1

X2

INSUMOS DEL PROCESO

XP

Y

CARACT.DE CALIDAD

PROCESO Materias primas, Componentes, etc.

Z1

Z2

ZQ

ENTRADAS NO CONTROLABLES

Fig. 1.42 Proceso de producción, entradas y salidas

El principal método para diseñar experimentos es el diseño factorial, en el cual los factores son variados de tal forma de probar todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.

El diseño de experimentos es una herramienta fuera de línea es decir se utiliza durante el desarrollo de los productos o procesos, más que durante su fabricación.

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Una vez que se han identificado las variables que afectan el desempeño del proceso, normalmente es necesario modelar la relación entre estas variables y la característica de calidad de interés. Para lo cual se puede utilizar el análisis de regresión.

El monitoreo en el proceso de las variables relevantes que afectan las características de calidad se hace por medio de cartas de control.

Muestreo de aceptación Está relacionado con la inspección y prueba del producto, donde se selecciona e inspecciona una muestra aleatoria de un lote mayor, resultando en una aceptación o rechazo de ese lote mayor, esto ocurre en la recepción de materias primas y componentes y en el producto terminado.

Tiene las siguientes ventajas:

-

El costo de evaluación es menor que con la inspección al 100%

-

Se puede aplicar más fácilmente cuando se trata de realizar pruebas destructivas.

-

Se puede aplicar presión sobre la calidad de los lotes de proveedores ya que con una pequeña muestra puede ser rechazado el total de us lote.

Entre sus desventajas se encuentran: -

Se pueden cometer errores al aceptar lotes defectivos, dada la probabilidad finita de encontrar productos defectivos en la muestra.

-

Si los lotes no son uniformes, el muestreo no es una técnica confiable.

-

No se garantiza que los lotes aceptados estén libres de defectivos.

LOTE

MUESTRA ALEATORIA

Fig. 1.43 Esquema del muestreo estadístico Página 80



En 1926 HAROLD F. DODGE Y HARRY G. ROMIG, desarrollaron las técnicas de Muestreo Estadístico.

A continuación se muestran diferentes esquemas de la aplicación del método.

a) INSPECCIÓN EN LINEA

ENVIO

INSPECCION

PROCESO

CLIENTE

b) INSPECCION DE RECIBO ENVIO

INSPECCION

PROCESO

c) INSPECCION RECTIFICADORA

CLIENTE

ACEPTAR ENVIO

CLIENTE PROCESO

INSPECCION RECHAZO RETRAB AJO

SCRAP

DISPOSICIÓN DE LOTES

Fig. 1.44 Variaciones del muestreo de aceptación

El muestreo de aceptación tiende a reforzar el apego o conformancia a especificaciones pero no tiene un efecto de retroalimentación en el proceso de producción o diseño que mejoren la calidad.

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En el transcurso del tiempo, las tres técnicas estadísticas anteriores han tenido la evolución siguiente: 100%

MUESTREO DE ACEPTACION

CONTROL DE PROCESO

DISEÑO DE EXPERIMENTOS

0%

Tiempo Fig. 1.45 Evolución de la aplicación de métodos estadísticos

1.7 ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL Para que sean efectivas las herramientas estadísticas, su aplicación debe ser parte de un programa mayor de Calidad Total (Total Quality Management en EUA, Company Wide Quality Control en Japón, Seis Sigma de Motorola, Modelo de Dirección por Calidad de México (PNC), Malcolm Baldrige de EUA, QS 9000, ISO TS 16949, VDA 6.1 VW, ISO 9000:2000, etc.), donde la alta dirección lleve el liderazgo por la calidad, no funcionarán como elementos aislados.

La filosofía de Deming y Juran implica que la responsabilidad por la calidad se expande a toda la organización, sin embargo para no caer en el error de que “la responsabilidad de todos es la de nadie”, la calidad debe planearse.

Deming impulso el uso del CEP y los métodos estadísticos en Japón para la reducción de la variabilidad y mejora continua de calidad, con sus 14 recomendaciones a la dirección.

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EL CEP ES PARTE DEL SISTEMA DE CALIDAD ISO TS 16949 ISO 9001:2000 MEJORA CONTINUA Información

C l i e n t e

R e q u e r i m i e n t o s

Responsabilidad de la Dirección Medición, análisis, mejora

Administración de Recursos

Entrada

Realización del Producto (y/o servicio)

Salida

S a t i s Información f a c c Producto i / o Servicio n

Fig. 1.46 Modelo de gestión de calidad ISO 9000

Costos de calidad Son costos asociados con producir, identificar, evitar o reparar productos que no cumplan especificaciones. Normalmente se clasifican en cuatro categorías: Prevención, Apreciación, Falla interna y Falla externa, algunos de los elementos que incluyen son los siguientes:

Costos de prevención

Costos de falla interna

Planeación e Ingeniería de calidad

Scrap o desperdicio

Revisión de nuevos productos

Retrabajos

Diseño de productos y procesos

Re-inspección

Control de proceso

Análisis de falla

Entrenamiento

Ineficiencias

Colección y análisis de datos de calidad

Descuentos

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Costos de apreciación

Costos de falla externa

Inspección y prueba en recibo

Atención de quejas

Inspección y prueba de productos

Producto regresado

Materiales usados en pruebas

Cargos por garantía

Mantenimiento de equipo de prueba

Costos legales

Costos de prevención Son los costos asociados con los esfuerzos de diseño y manufactura enfocados a la prevención de defectos, de tal forma de hacer bien las cosas a la primera vez.

Costos de apreciación Son los costos asociados con la medición, evaluación, o auditoría a productos, componentes y materiales comprados para asegurar su conformancia a los estándares establecidos.

Costos de falla interna Son los costos incurridos cuando los productos, componentes o materiales y servicios no cumplen los requerimientos de calidad, y los defectos son descubiertos antes de embarcar al cliente.

Costos de falla externa Son los costos incurridos cuando el desempeño del producto no es el adecuado una vez que lo utiliza el cliente.

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2. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP) Concepto de variación Los métodos estadísticos se basan en que no existen dos productos EXACTAMENTE iguales de un proceso de manufactura, por tanto la VARIACIÓN es inevitable, su análisis se hace con el apoyo de la estadística.

2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente comportamiento:

Distribución gráfica de la variación – La Curva normal LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:

TAMAÑO

TAMAÑO

TAMAÑO

TAMAÑO

Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal SIZE

TAMAÑO

TAMAÑO

LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN: UBICACIÓN

TAMAÑO

DISPERSIÓN

TAMAÑO

FORMA

TAMAÑO . . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS

Fig. 2.1 Construcción de la distribución normal

La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.

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Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.

Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se indican con letras griegas, tales como: promedio o media =  (mu), y desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) =  (sigma).

Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.

Propiedades de la distribución normal estándar 

La distribución normal estándar tiene media  = 0 y desviación estándar  =1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico.

La desviación estándar sigma representa la distancia de la media al punto de inflexión de la curva normal

X x-3

x-2

x-

x

x+

x+2

x+3

z -3

-2

-1

0

1

2

3

Fig. 2.2 Propiedades de la distribución normal 

El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.



La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.



La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.



La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros  ,  , por lo que hay un número infinito de distribuciones normales.

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Curvas Curvas Normales Normales con con Medias Medias iguales iguales pero pero Desviaciones Desviaciones estándar estándar diferentes diferentes

  3.9 3.9  == 5.0 5.0



Límite inferior de especs.

Límite superior de especificaciones

Fig. 2.3 Distribuciones normales con varias desv. estándar Normales Normales con con Medias Medias yy Desviaciones Desviaciones estándar estándar diferentes diferentes

= = 5, 5,  == 33  == 9, 9, = = 66  == 14, 14, == 10 10

LIE

LSE

Fig. 2.4 Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar

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Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para  1 tiene un porcentaje de 68.26%,  2 = 95.46% y

-3s -2s -1s

 3  99.73% .

+1s +2s +3s 68.26% 95.46% 99.73%

Fig. 2.5 Área bajo la curva de Distribución normal Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx =distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).

En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.

La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.

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Ejemplo 2.1 a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1. P(Z<= -1) = 0.1587 b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2. P(Z<= - 2) = 0.0228 c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1 P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1359

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Ejemplo 2.2 a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1. P(Z <= 1) = 0.8413 b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2. P(Z <= 2) = 0.9772 8 c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2 P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369

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EJERCICIO 2.1: ¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está incluido dentro de los siguientes rangos? a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) = b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) = c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) = d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) = e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) = f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =

Estandarización de valores reales En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z  entre algún valor X y la media de la población  o de la muestra X como sigue:

Z

Z

X 

 X X s

sí se consideran los datos completos del proceso.

sí se consideran sólo los datos de una muestra.

Ejemplo 2.3 El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media   485 y desviación estándar   30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

Z

X 



=

500  485  0.5 30

Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. donde la probabilidad de que la Página 91



calificación sea menor a 500 es P (X <= 500). Dado que el porcentaje pedido es

P( X  500)

la

solución es 1-0.69146 =0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba. Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085. 485

30.85%

Z.05 Fig. 2.6 Área bajo la curva de Distribución normal

Ejemplo 2.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =

En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:

Fig. 2.7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X  24), la probabilidad buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587

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EJERCICIO 2.2: Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.?

2.2 PRUEBA DE NORMALIDAD Para probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson Darling o Ryan si el tamaño de muestra es mayor a 15 y se utiliza la prueba de Kolmogorov Smirnov para 15 datos o menos de muestra, observando la gráfica de probabilidad normal.

a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad P de la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales. Seguir los siguientes pasos:

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con: 1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02 OK

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Anderson Darling o Ryan Joiner como sigue:

1. Stat > Basic statistics > Normality Test 2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente

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Probability Plot of Datos Normal

99.9

Mean StDev N RJ P-Value

99

Percent

95 90

269.3 30.72 100 0.994 >0.100

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

150

200

250 Datos

300

350

Fig. 2.7 Gráfica de probabilidad de un proceso normal

b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene: 3. Graph > Probability plot > Normal 4. Graph Variable C1 5. Distribution Normal OK Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución. Probability Plot of Datos Normal - 95% CI

99.9

Mean StDev N AD P-Value

99

Percent

95 90

269.3 30.72 100 0.317 0.533

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

150

200

250

300

350

400

Datos

Fig. 2.8 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza

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2.3 LA CARTA DE CONTROL COMO PRUEBAS DE HIPÓTESIS Se pueden cometer dos tipos de errores cuando se prueban hipótesis:

Error tipo I, se rechaza Ho cuando es verdadera. Error tipo II, no se rechaza Ho cuando es falsa.

Las probabilidades de esos dos tipos de errores son:  = P(error tipo I)  = P(error tipo II)

donde la potencia de la prueba es Potencia = 1 -  = Probabilidad de rechazar correctamente Ho.

Alfa a veces se denomina riesgo del productor, denotando la probabilidad de que un lote bueno o un proceso que produce partes aceptables en relación a una característica de calidad sea rechazado.

Beta a veces se denomina riesgo del consumidor denotando la probabilidad de aceptar lotes de calidad pobre, o permitiendo que un proceso continúe operando de manera insatisfactoria respecto a una característica de calidad.

El procedimiento general para pruebas de hipótesis es especificar una probabilidad de error tipo I o , y diseñar un procedimiento de prueba que minimice la probabilidad de error tipo II.

Conforme se incrementa el tamaño n de muestra, se reduce la probabilidad de error tipo II.

PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II

Tomando como estadístico de prueba Zc, y asumiendo que sigue una distribución normal N(0,1).

Página 95




Z c  X  0






(2.6)

n

Para encontrar la probabilidad de error tipo II, se debe asumir que Ho es falsa y entonces hallar la distribución de Zc. Suponiendo que la media de la distribución realmente es: 1 = 0 + 

con  > 0

La hipótesis alterna H1 es verdadera y bajo esta suposición, el estadístico Zc es:

   Zc  N  ,1  n  BAJO H0

- Z/2

0

BAJO H1

Z/2

Zc’ =  n / 

Fig. 2.9 La distribución de Zc bajo Ho y H1

La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que Zc se encuentre entre - Z/2 y Z/2 dado que la hipótesis alterna es verdadera.

Para evaluar esta probabilidad, se evaluan F(Z/2) ) – F(-Z/2), donde F es la distribución acumulativa normal estándar. La probabilidad de error tipo II es (funciona igual para cuando  < 0):

   n  n     Z  / 2      Z / 2         

(2.7)

Ejemplo 2.5: si los estándares especifican que la media de una lata de café es de 16.0 oz., y de acuerdo a la experiencia se sabe que la desviación estándar del contenido es de 0.1 oz. Las hipótesis son:

Página 96



Ho:  = 16.0 Ho:   16.0 Asumiendo una probabilidad de error tipo I de 0.05 y tomando una muestra de 9 latas, se tiene que el estadístico de prueba es:

Z 0  X  16 

0.1 9

Se rechaza Ho si Zo > Z0.025 = 1,96

Suponiendo que se desea encontrar la probabilidad del error tipo II si el valor verdadero de la media es 1 =16.1 implicando que  = 16.1 – 16.0 = 0.1, se tiene:

   n  n     Z  / 2      Z / 2         



0.1 9 



0.1 9 

    1.96     1.96   0.1  0.1    =  (- 1.4 ) -  ( -4.96 ) = 0.1492

Es decir que la probabilidad de no rechazar Ho si la media es 16.1 oz. Es de 0.1492, o que la potencia de la prueba es de 1 - = 1 – 0.1492 = 0.8508. De la ecuación anterior para , se observa que es una función de n, y de  , tomando  como 0.05 y graficando  contra d =  / , se obtienen las curvas características de operación (OC).

(ver gráfica de curva OC)

En las curvas OC se observa que:

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1. Entre mayor sea el valor de , se reduce la probabilidad de error tipo II para una n y  dadas. Es decir que la prueba detecta más fácilmente grandes diferencias. 2. Conforme se incrementa n, la probabilidad de error tipo II es más pequeño para una  y  dadas. Es decir que la prueba se hace más potente si se incrementa el tamaño de muestra.

Las cartas de control fueron desarrolladas por el Dr. Walter A. Shewhart de los Bell Telephone Labs., se denominan Cartas de Control de Shewhart y se usan para el monitoreo del proceso en línea. A continuación se explica la teoría de variabilidad de Shewhart.

Causas comunes y causas especiales La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no importa que tan bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de variabilidad, un proceso que opera en estas condiciones se dice que está en control estadístico.

Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por máquinas, errores de operadores o materiales defectuosos. Esta variabilidad es muy grande en relación con la variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo que el proceso opere fuera de control estadístico (ver página siguiente).

De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se encuentra dentro de los límites de control (LSC y LIC). Sin embargo cuando el proceso está fuera de control, una gran proporción del proceso se encuentra fuera de estos límites.

El Objetivo del CEP es la detección oportuna de la ocurrencia de causas especiales para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para esto se utilizan las cartas de control en línea, permitiendo también la estimación de la capacidad o habilidad del proceso y la reducción continua de la variabilidad hasta donde sea posible.

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2.4 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL Una carta típica representando un proceso en control estadístico se muestra a continuación. Contiene una línea central que representa el valor promedio de la característica de calidad correspondiente al estado “en control” y dos líneas adicionales llamadas límites inferior y superior de control (LIC y LSC), los cuales se seleccionan de tal forma que casi la totalidad de los puntos se encuentren dentro de ellos, si esto ocurre no se requiere tomar ninguna acción.

LSC

LC

Tiempo 

LIC

Fig. 2.10 Carta de control de Shewhart

Un punto que se encuentre fuera de los lÍmites de control mostrará evidencia que el proceso está fuera de control y será necesario una investigación de la causa especial y la acción correctiva necesaria para eliminarla. También se tendrá un alto riesgo de situación fuera de control si los puntos se agrupan es forma sistemática dentro de los límites de control o muestran una tendencia.

Por ejemplo, la carta de control de medias prueba la hipótesis de que la media del proceso está en control y tiene un valor 0 si un valor de media muestral X i cae dentro de los límites de control; de otra forma se concluye que el proceso está fuera de control y que la media del proceso tiene un valor diferente del de 0, por decir 1, donde 1  0.

Se puede decir que las probabilidades de los errores tipo I y tipo II de la carta de control, son esquemas de prueba de hipótesis para analizar el desempeño de las cartas de control.

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La probabilidad del error tipo I de la carta de control se presenta cuando se concluye que el proceso está fuera de control cuando en realidad no lo está.

La probabilidad de error tipo II de la carta de control se presenta cuando se concluye que el proceso está en control cuando en realidad está fuera de control. La curva característica de operación (OC), con  en el eje vertical, indica la capacidad de la carta para detectar corridas de la media o rango del proceso de diferentes magnitudes.

Ejemplo 2.6: Para el caso de pistones, evaluando la característica de calidad de diámetro interno del anillo. Si la media del proceso es 74 y la desviación estándar es de 0.01mm, con un tamaño de muestra de n=5, se tiene:

La desviación estándar de las medias es:

X 

 n



.01  0.0045 5

Asumiendo que el proceso está en control y de acuerdo al teorema del límite central se asume que las medias X i se distribuyen normalmente, se debe espera que el 100(1- )% se encuentren entre 74  Z/2 (0.0045).

Si se escoge arbitrariamente a Z/2 = 3, se obtienen los límites de control a “3 sigma”: LSC = 74 + 3 (0.0045) = 74.0135 LIC = 74 – 3 (0.0045) = 73.9865

74.0135

74

74.9865

Tiempo 

Fig. 2.11 Carta de Control típica

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El ancho de los límites de control es inversamente proporcional al tamaño de muestra n, para un múltiplo de sigma dado, La selección de los límites de control es equivalente a preparar la región crítica para probar la hipótesis en el tiempo: H0 :  = 74 H1 :   74 Con  = 0.01 conocida.

Se puede definir un modelo general para una carta de control, si w es un estadístico muestral que mide alguna característica de calidad de interés y asumiendo que su media es w con desviación estándar w se tiene: LSC = w + Lw

(2.8)

LC = w LIC = w - Lw

Donde L es la distancia de los límites de control a partir de la línea central expresada en unidades de desviación estándar.

El uso más importante de la carta de control es la mejora del proceso, a través de su monitoreo, al principio se observará que los procesos no están en control estadístico, sin embargo con las cartas de control se podrán identificar causas especiales que al ser eliminadas, resulten en una reducción de la variabilidad mejorando el proceso.

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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO DISTRIBUCION DE LOS VALORES INDIVIDUALES =.01


DISTRIBUCION DE LAS MEDIAS

COMPORTAMIENTO DEL PROCESO LSC = 74.0135, LC = 74, LIC = 73.9865

 X  0.0045

Fig. 2.12 Comparación de la variabilidad de la población y la de las medias y operación de la carta de control

El proceso de mejora usando la carta de control requiere la acción de la supervisión, operador e ingeniería, la carta de control sólo detecta causas especiales o asignables.

Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las causas raíz del problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de acción para situaciones fuera de control OCAP, activado con la ocurrencia de cada evento. Incluye Puntos de chequeo que son causas potenciales asignables y terminadores que son las acciones que resuelven la situación fuera de control. Este documento OCAP es un documento vivo que debe ser actualizado constantemente.

ENTRADA

PROCESO

SALIDA

SISTEMA DE EVALUACIÓN Verificación y seguimiento

Detección de causa asignable

Implantar Acción Correctiva

Identificar causa raíz del problema

Fig. 2.13 PROCESO DE MEJORA USANDO LA CARTA DE CONTROL

Página 102



La carta de control es un dispositivo de estimación de parámetros del proceso una vez que exhibe control estadístico, se puede estimar la media, varianza, proporción, etc. que pueden ser utilizados para determinar la capacidad de los procesos para producir productos aceptables, base de decisiones gerenciales y contractuales.

Las cartas de control pueden ser clasificadas en dos clases: por atributos y por variables dependiendo de cómo se evalúe la característica de calidad.

Si la característica de calidad se puede evaluar y expresar como un número real en alguna escala de medición continua, se denomina una variable. En tales casos se utilizan cartas de control de medias, que describan la tendencia central y cartas de control basadas en rango o desviación estándar para controlar la variabilidad del proceso.

Muchas características de calidad no pueden ser medidas en una escala continua, en esos casos se puede juzgar cada producto como conforme o como no conforme sobre la base de que posea o no ciertos atributos, o se pueden contar el número de no conformidades o defectos que aparecen en una unidad de producto. Las cartas de control para tales características de calidad, se denominan cartas de control por atributos.

Un factor importante en la aplicación de cartas de control es su diseño, es decir la selección de tamaño de muestra, límites de control y frecuencia de muestreo. Para la carta de control por variables del ejemplo se utilizó una muestra de 5 partes, límites de control a 3-sigma y una frecuencia de muestreo cada hora.

Si se incrementa el tamaño de muestra, decrece la probabilidad del error tipo II, aunque el diseño de la carta de control también debe tomar consideraciones económicas considerando los costos de muestreo, pérdidas por fabricar productos defectuosos y costo de investigar indicaciones fuera de control que son “falsas alarmas”.

Otra consideración en el uso de cartas de control es el tipo de variabilidad exhibida por el proceso:

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1. Procesos estacionarios: los datos del proceso varían alrededor de una media fija de una manera fija y estable. Es decir se tiene un proceso en control de acuerdo a Shewhart es el área de aplicación de las cartas de control más efectivo.

2. Procesos con datos no correlacionados: las observaciones dan la apariencia de haberse extraído de una población estable (normal u otra), en análisis de series de tiempo se denomina “ruido blanco”. En este caso los datos pasados históricos no dicen nada en relación a predecir su comportamiento futuro.

3. Procesos estacionarios con datos correlacionados: las observaciones sucesivas de en estos datos son dependientes; es decir un valor por arriba de la media tiende a ser seguido por otro valor arriba de la media y viceversa, esto produce corridas lentas y largas en algún lado de la media.

4. Procesos no estacionarios: ocurren en los procesos químicos e industrias de proceso, los procesos son muy inestables y tienen corridas inestables alrededor de una media fija. En estos casos se estabiliza el desempeño de los procesos por medio de control automático por retroalimentación.

Las cartas de control han sido muy populares por las siguientes razones:

1. Son una herramienta probada para mejorar la productividad. Su aplicación exitosa ayuda a reducir desperdicios y retrabajos, que son factores que reducen la productividad (productos buenos por hora). 2. Son efectivas como herramientas de prevención de defectos. Apoyan el concepto de hacerlo bien a la primera vez, es más costoso seleccionar productos buenos en un lote con productos defectuosos, que fabricarlos bien desde el principio. 3. Evitan que se hagan ajustes innecesarios en el proceso. Apoyan el concepto de “si no esta mal, no lo arregles”, ya que identifican las causas comunes de las especiales, evitan que se hagan ajustes cuando sólo se están teniendo variaciones aleatorias en el proceso. 4. Proporcionan información de diagnóstico. Proporcionan un patrón de puntos que permite la toma de decisiones para la mejora del proceso, al operador o al ingeniero experimentado.

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5. Proporcionan información acerca de la capacidad o habilidad del proceso. Proporcionan información acerca de los parámetros importantes del proceso y de su estabilidad con el tiempo, permitiendo la estimación de la capacidad del proceso para producir dentro de especificaciones.

SELECCIÓN DE LOS LÍMITES DE CONTROL

Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con límites de control de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027. Si se selecciona el nivel de riesgo de error tipo I en 0.002 o 0.001 en cada lado, se tienen los límites de control a una distancia de 3.09-sigmas y los límites de control serán:

LSC = 74 + 3.09 (0.0045) = 74.0139 LIC = 74 – 3.09 (0.0045) = 73.9861

Estos límites de control se denominan límites probabilísticos a 0.001. A continuación se presenta una comparación entre límites. +3.09  +3.0  LC -3.00 -3.09  Fig. 2.14 Límites de control de Shewhart y Europeos

Los límites de control a 0.001 se utilizan en países europeos. Algunos analistas sugieren el uso de límites preventivos trazados a 2-sigmas de la línea central, para el caso de límites de control a 3-sigmas y a 0.025 de probabilidad para límites de control a 0.001. Estos límites aumentan la sensibilidad de la carta de control para identificar corrimientos de la media del proceso, en forma más rápida. Si un punto cae fuera de los límites preventivos, Una

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desventaja es que crean confusión con el personal y se incrementa el riesgo de error tipo I (falsas alarmas).

Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo Al diseñar una carta de control, se debe especificar tanto el tamaño de muestra como la frecuencia de muestreo, tamaños de muestra grandes permiten detectar pequeñas corridas en la media del proceso como se observa en las curvas características de operación.

Para la frecuencia de muestreo, la práctica industrial sugiere tomar muestras pequeñas frecuentes, principalmente en producción masiva o cuando existe la posibilidad de que existan muchas causas especiales, actualmente con las computadoras esto es cada vez más fácil.

Otra forma de determinar la frecuencia de muestreo y el tamaño de muestra, es a través de la longitud media de racha de la carta de control (ARL), que es el número de puntos que deben ser graficados antes de que un punto indique una condición fuera de control.

ARL 

1 p

(2.9)

donde p es la probabilidad de que un punto exceda los límites de control. Para el caso de 3-sigma p=0.0027 y el ARL0 = 370. Es decir que si el proceso está en control, se generará un punto fuera de control como falsa alarma cada 370 puntos.

Si se toman muestras en intervalos fijos de tiempo en horas (h), entonces aparecerá una falsa alarma cada tiempo promedio de indicación (ATS) en horas.

ATS  ARLh

(2.10)

En el ejemplo si se toman muestras cada hora, se genera una falsa alarma cada 370 horas.

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Para evaluar que tan efectiva es la carta para detectar corrimientos en la media del proceso, se utilizan las curvas características de operación. Por ejemplo, si n=5 y la media se corre de 74.015mm, la probabilidad de que un punto caiga dentro de los límites de control es aproximadamente 0.50, por tanto utilizando p=0.50, se puede calcular el ARL1 para una situación fuera de control como sigue:

ARL1 

1 1  2 p 0.5

Esto significa que el proceso requiere 2 muestras antes de detectar el corrimiento. Si el muestreo se hace cada hora, el ATS = 2 h, si esto fuera inaceptable, se podrían tomar muestras más frecuentes por ejemplo cada media hora o incrementar el tamaño de muestra. Si n=10, de la curva característica de operación se observa que p=0.9 y el ARL1 = 1.11 y el ATS = 1.11 h, lo cual puede ser más aceptable.

En resumen las dos alternativas siguientes dan un resultado similar:

Diseño 1

Diseño 2

n=5

n = 10

Frec. Cada ½ hora

Frec. cada hora.

Las muestras se toman de manera más frecuente a la ocurrencia de cambios en el proceso registrados en bitácoras (cambio de turno, cambio de materiales, ajustes, fallas, etc.), con objeto de detectar las causas de situaciones fuera de control.

Subgrupos racionales La idea fundamental en las cartas de control es colectar los datos de la muestra de acuerdo al concepto de subgrupo racional es decir que el subgrupo debe seleccionarse de tal forma que si están presentes causas asignables, la diferencia entre los subgrupos sea maximizada, minimizando la diferencia dentro del subgrupo.

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El tiempo en que se tomen las muestras es una buena base para formar subgrupos, evitando que algunas observaciones se tomen al final de un turno y las restantes al inicio del siguiente ya que ocasiona diferencias dentro del subgrupo.

Por lo anterior se recomienda tomar productos consecutivos de producción para formar la muestra (cuyo tamaño puede ser entre 4 y 6), minimizando diferencias dentro del subgrupo. En algunos procesos como los químicos, es suficiente tomar una sola unidad de producto como muestra, dado que existe homogeneidad.

Análisis de patrones en cartas de control Una carta de control indicará una condición fuera de control cuando uno o más puntos caigan más allá de los límites de control o cuando los puntos graficados formen un patrón no aleatorio de comportamiento.

En general una racha o corrida es una secuencia de observaciones del mismo tipo. Además de las corridas ascendentes o descendentes, se encuentran las que están por debajo o sobre la media.

Dado que una corrida de 8 o más puntos tiene una probabilidad de ocurrencia muy baja, se considera que una racha o corrida con una longitud de 8 puntos indica una condición fuera de control.

Fig. 2.15 Proceso fuera de control por tendencias o corridas

Otro patrón de inestabilidad se presenta cuando el comportamiento del proceso muestra patrones cíclicos.

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Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo del proceso.

En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control:

1. Un punto fuera de los límites de control de 3-sigma. 2. Dos de tres puntos consecutivos sobre los límites preventivos a 2-sigma. 3. Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1-sigma o más allá a partir de la línea central. 4.

Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la línea central.

Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son:

5. Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente. 6. Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea central (adhesión a la media). 7. Catorce puntos en un renglón alternándose arriba y abajo. 8. Siete puntos que se encuentren más allá de 1-sigma de la línea central. 9. Un patrón no usual o no aleatorio de datos. 10. Uno o más puntos cerca de los límites preventivos.

Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se pueden tener muchas falsas alarmas quitándole efectividad al programa del CEP.

2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP El CEP proporciona un retorno sobre la inversión apreciable cuando se implanta exitosamente, ya que permite la mejora continua a través de la reducción de la variabilidad. Las cartas de control son una herramienta importante para esta mejora.

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El CEP no sirve si se implanta y después no se mantiene, ya que la mejora continua debe ser parte de la cultura de la organización.

Para su implantación es necesario el liderazgo gerencia y el trabajo en equipo, así como evaluar los avances y comunicarlos a la organización, lo cual puede motivar a mejorar otros procesos.

Los elementos recomendados para un programa de CEP exitoso son:

1. Liderazgo gerencial 2. Un enfoque de grupo de trabajo 3. Educación y entrenamiento de empleados en todos los niveles 4. Énfasis en la mejora continua 5. Un mecanismo para reconocer el éxito y comunicación hacia la organización.

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3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES 3.1 INTRODUCCIÓN Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable. Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Las cartas de control de X  R son ampliamente utilizadas para monitorear la media y la variabilidad de las variables, con objeto de evitar o minimizar que se tengan productos fuera de especificaciones y estabilizar los procesos.

LIE

MEDIA

MEDIA Y DESV. ESTANDAR EN NIVELES NORMALES

LSE

LIE

MEDIA

MEDIA CORRIDA

LSE

LIE

MEDIA

LSE

DESVIACION ESTANDAR MAYOR A LA REQUERIDA

Fig. 3.1 Estados posibles de un proceso en control

3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS Asumiendo que una característica de calidad está distribuida normalmente con media  y desviación estándar  ambas conocidas. Si x1, x2, .... xn forman una muestra de tamaño n entonces se puede calcular la media de la muestra X . Ahora como las medias de las muestras están normalmente distribuidas con media

 Xi =  /

n , y siendo que la probabilidad 1- de que cualquier media muestral caerá entre los límites:

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  Z  / 2 X    Z  / 2




(3.1)

n

y

  Z  / 2 X    Z  / 2

 n

Lo anterior será válido aún si la distribución de la población no es normal pero si estable.

En la práctica los límites de control se estiman a partir de 20 o 25 muestras preliminares o subgrupos, el tamaño de subgrupo es de 4, 5 o 6 normalmente. Si se tienen m subgrupos, la gran media se calcula como sigue:

m

X 

X i 1

i

(3.2)

m

Representa la línea central de la carta de medias. Para estimar la  del proceso, se pueden utilizar los rangos de los subgrupos, para cada uno de los subgrupos el rango es calculado como:

R = xmax – xmin

(3.3)

Si R1, R2, ....., Rm , son los rangos de los diferentes subgrupos, el rango promedio es:

m

R

R i 1

i

(3.4)

m

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DESARROLLO DE LA FORMULA PARA LOS LÍMITES DE CONTROL

La variable W de rango relativo relaciona al rango con la desviación estándar como sigue: W=R/

(3.5)

Los parámetros de la distribución de W son función de n. La media de W es d2. Por tanto un estimador de  es R / d2 , donde d2 está tabulado para diferentes valores de n, de esta forma si R es el rango promedio de las primeras muestras, usando:

 

R d2

(3.6)

Los límites de control de la carta de medias son:

LSC  X 

LIC  X 

3R d2 n

3R d2 n

X

Si de define a

Límite superior de control (LSC)

Límite inferior de control (LIC)

(3.7)

Línea central (LC)

A2 

3R d2 n

se tienen las ecuaciones siguientes:

LSC = X + A2 R

(3.8)

LIC = X - A2 R

El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.

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Para el caso de los rangos, la línea central es R . El estimador para R puede hallarse de la distribución del rango relativo W = R / , si la desviación estándar de W es d3 en función de n, se tiene: R=W

(3.9)

La desviación estándar de R es: R = d3  Como  es desconocida, se puede estimar de  = R / d2, resultando:

 R  d3

R d2

(3.10)

De esta forma los límites de control para el rango son:

LSC = R + 3  R = R + 3 d 3 LIC = R - 3  R = R - 3 d 3

d R = R [ 1+ 3 3 ] = D4 R d2 d2

(3.11)

d R = R [ 1- 3 3 ] = D3 R d2 d2

Donde las constantes A2 , d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para facilitar el cálculo de los límites de control como sigue:

Tabla 3.1 Constantes para límites de control en cartas X-R

n

A2

D3

D4

d2

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.88 1.023 0.072 0.577 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308

0 0 0 0 0 0.076 0.136 0.184 0.223

3.267 2.574 2.282 2.115 2.004 1.924 1.864 1.816 1.777

1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.97 3.078

Para valores pequeños de n, el rango es un buen estimador de la varianza tal como lo hace la varianza de la muestra S2. La eficiencia relativa del método del rango a la S2 se muestra abajo:

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n 2

Eficiencia Relativa 1.000

3

0.992

4

0.975

5

0.955

6

0.930

10

0.850


Para n >= 10 el rango pierde eficiencia rápidamente ya que ignora los valores intermedios entre xmax y xmin sin embargo para valores pequeños de n (4,5 o 6) empleados en las cartas de control, es adecuado. Para cuando n>10 se utiliza la desviación estándar en vez del rango.

EQUIPO DE MEDICIÓN La resolución del equipo debe ser de al menos 1/10 de la tolerancia y debe tener habilidad para realizar la medición con un error por Repetibilidad y Reproducibilidad (R&R) menor al 10% (ver procedimiento de estudios R&R).

LIMITES PRELIMINARES Siempre que un proceso este siendo analizado a través de una carta de control, es muy importante llevar una bitácora registrando todos los cambios (tiempo y descripción) conforme ocurran, por ejemplo: cambio de turno, cambio de materiales, ajuste de máquina, interrupción de energía, arranque de máquina, etc. Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse para la toma de acciones correctivas.

Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y grafican los límites de control preliminares para determinar si el proceso estuvo en control (ver procedimiento de Gráficas de Control). Para probar esta hipótesis, se analizan todos los puntos graficados y se hace un análisis para identificar si hay puntos fuera de los límites de control o patrones anormales de comportamiento, si así fuera, los límites de control preliminares se pueden utilizar para el control futuro del proceso.

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Si no se prueba la hipótesis de que el proceso está en control, por algún patrón de anormalidad presente, se determina la causa especial de la anormalidad, se toman acciones correctiva para que no vuelva a presentar, se eliminan los puntos correspondientes al patrón de anormalidad y se recalculan o revisan los límites de control. Se analiza la carta de control para observar un comportamiento aleatorio, si aun no se tiene, se repite el proceso anterior hasta lograrlo. Una vez teniendo todos los puntos en control, los nuevos límites de control más cerrados que los originales se utilizan para el control futuro del proceso.

Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de anormalidad o puntos fuera de control, no se eliminan y se consideran para la determinación de los límites de control revisados para el control futuro del proceso.

Interpretación de cartas de control X  R Se debe iniciar con la interpretación de la carta R, identificando causas especiales y después analizar la carta X . Además de la situación de un punto fuera de control, se tienen otros patrones de anormalidad como los siguientes: Patrones cíclicos: Puede ser ocasionado por cambios ambientales, fatiga del operador, o fluctuaciones en las presiones u otras variables del proceso.

LSC

LC

LIC Fig. 3.2 Patrón de anormalidad cíclico

Mezclas de lotes: Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los límites de control, con muy pocos puntos cerca de la línea central, puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o cuando se toman productos de varias fuentes con diferente media.

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LSC

LC

LIC

Fig. 3.3 Patrón de anormalidad con mezcla de lotes

Corrimiento en la media del proceso. Esto puede ser generado por un cambio en métodos, operadores, materias primas, métodos de inspección, etc. LSC

LC

LIC

Fig. 3.4 Patrón de anormalidad con corrimiento en media

Una tendencia ascendente o descendente: Son causadas por deterioración gradual de herramientas u otro componente crítico del proceso, en los procesos químicos puede deberse a la separación de algún componente. LSC

LC

LIC Fig. 3.5 Patrón de anormalidad de tendencia ascendente

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Estratificación: Se muestra como una adhesión a la media, puede ser causado por límites mal calculados, tomar piezas de procesos diferentes o falta de resolución del equipo de medición.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.6 Patrón de anormalidad de “estratificación”

Por lo general la carta R es más sensible a cambios en la normalidad de los procesos, por ejemplo cuando n = 4 el error tipo I no es 0.00027 sino 0.00461.

En resumen los patrones de anormalidad más comunes son: -

Un punto fuera de los límites de control

-

Siete puntos formando una tendencia ascendente o descendente

-

Dos de tres puntos a más de dos sigma de la línea central en el mismo lado

-

Cuatro de cinco puntos a más de una sigma de la línea central del mismo lado.

-

Siete puntos en secuencia sobre o bajo la línea central

-

Catorce puntos alternándose arriba y debajo de la media

-

Quince puntos dentro de una sigma de la línea central en ambos lados

-

Cualquier otro patrón de anormalidad

Ejemplo 3.1 Para el caso de anillos de pistones de automóvil, se desea establecer un control estadístico para el diámetro interno de los anillos, a través de una carta de medias-rangos. Se toman 25 subgrupos de 5 piezas cada uno.

El análisis se inicia con la carta R ya que los límites para la carta X dependen de la variabilidad del proceso, y a menos que esta variabilidad se encuentre en control, esos límites tendrán poco significado.

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De las cartas de control se calcula un rango promedio R de 0.023mm (ver tabla de constantes para D3 y D4 con n=5):

LICR = R D3 = 0.023 (0) = 0 LSCR = R D4 = 0.023 (2.115) = 0.049

Si la carta de control para R se encuentra en control estadístico, se puede ahora calcular los límites para la carta X donde la línea central X es 74.001 (ver tabla de constantes para obtener el valor de A2 con n=5).

LSC = X + A2 R = 74.001 + (0.577) (0.0023) = 74.014 LIC = X - A2 R = 74.001 - (0.577) (0.0023) = 73.988

Si no se observan condiciones fuera de control en la carta

X . Si ambas cartas están en

control, se puede concluir que el proceso está en control y se pueden adoptar los límites actuales para el control futuro del proceso.

Ejemplo 3.2: Se toman datos de la dimensión crítica de una parte, con el proceso corriendo normalmente, en 25 subgrupos de tamaño n=5, uno cada hora:

X11

X12

X13

X14

X15

138.1 149.3 115.9 118.5 108.2 102.8 120.4 132.7 136.4 135.0 139.6 125.3 145.7

110.8 142.1 135.6 116.5 123.8 112.0 84.3 151.1 126.2 115.4 127.9 160.2 101.8

138.7 105.0 124.2 130.2 117.1 135.0 112.8 124.0 154.7 149.1 151.1 130.4 149.5

137.4 134.0 155.0 122.6 142.4 135.0 118.5 123.9 127.1 138.3 143.7 152.4 113.3

125.4 92.3 117.4 100.2 150.9 145.8 119.3 105.1 173.2 130.4 110.5 165.1 151.8

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Medias Rangos Desv. Est. 130.1 124.5 129.6 117.6 128.5 126.1 111.1 127.4 143.5 133.6 134.6 146.7 132.4

27.9 57.0 39.1 30.0 42.7 43.0 36.1 46.0 47.0 33.7 40.6 39.8 50.0

12.1 24.7 16.2 11.1 17.7 17.9 15.2 16.7 20.2 12.3 15.9 17.9 23.2

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 138.6 110.1 145.2 125.9 129.7 123.4 144.8

139.0 114.6 101.0 135.3 97.3 150.0 138.3

131.9 165.1 154.6 121.5 130.5 161.6 119.6


140.2 113.8 120.2 147.9 109.0 148.4 151.8

141.1 139.6 117.3 105.0 150.5 154.2 142.7

138.2 128.6 127.7 127.1 123.4 147.5 139.4

9.2 55.0 53.6 42.9 53.2 38.2 32.2

3.6 23.5 21.8 16.0 20.7 14.4 12.1

Los cálculos y gráficas se hicieron utilizando el paquete MINITAB y se muestran a continuación.

Las cartas de control quedan como sigue:

Xbar-R Chart of X11, ..., X15 U C L=154.45

Sample M ean

150 140 _ _ X=130.88

130 120 110

LC L=107.31 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

U C L=86.40

Sample Range

80 60

_ R=40.86

40 20 0

LC L=0 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

Fig. 3.7 Cartas de control iniciales

El proceso se observa en control estadístico, con estos límites de control calculados, se continúa corriendo el proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente: X11 131.0

X12 184.8

X13 182.2

X14 143.3

X15 212.8

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Medias 170.82

Rangos 81.8

Desv. Est. 33.2801

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 181.3 154.8 157.5 216.3 186.9 167.8 178.2 162.6 172.1

193.2 170.2 154.2 174.3 180.2 143.9 186.7 143.6 191.7

180.7 168.4 169.1 166.2 149.2 157.5 142.4 132.8 203.4


169.1 202.7 142.2 155.5 175.2 171.8 159.4 168.9 150.4

174.3 174.4 161.9 184.3 185.0 194.9 167.6 177.2 196.3

179.72 174.1 156.98 179.32 175.3 167.18 166.86 157.02 182.78

24.1 47.9 26.9 60.8 37.7 51 44.3 44.4 53

9.0461 17.5943 9.9693 23.222 15.2797 18.8798 17.1516 18.3454 21.5062

Xbar-R Chart of X11, ..., X15 1

180

Sample M ean

1 1

1

1 1

U C L=169.04

165

_ _ X=144.26

150 135 120

LC L=119.47 1 1

1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

U C L=90.9

Sample Range

80 60 _ R=43.0

40 20 0

LC L=0 1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

Fig. 3.8 Cartas de control con 10 puntos adicionales del proceso

Suponiendo que se identificaron las causas asignables responsables de los puntos fuera de control identificados en la carta de medias y que se hicieron ajustes al proceso para corregirlo, se tomaron otros diez datos con los resultados siguientes: X11 131.5 111.0 129.8 145.2 114.6

X12 143.1 127.3 98.3 132.8 111.0

X13 118.5 110.4 134.0 106.1 108.8

X14 103.2 91.0 105.1 131.0 177.5

X15 121.6 143.9 133.1 99.2 121.6

Página 121

Medias 123.6 116.7 120.1 122.9 126.7

Rangos 39.9 52.9 35.7 46.0 68.7

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 125.2 145.9 123.6 85.8 107.4

86.4 109.5 114.0 156.3 148.7

64.4 84.9 135.4 119.7 127.4


137.1 129.8 83.2 96.2 125.0

117.5 110.6 107.6 153.0 127.2

106.1 116.1 112.8 122.2 127.1

72.7 61.0 52.2 70.5 41.3


Xbar-R Chart of X11, ..., X15 160

Sample M ean

U C L=153.18 140 _ _ X=127.06 120

LC L=100.95

100 1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

Sample Range

100

U C L=95.7

75 _ R=45.3

50 25 0

LC L=0 1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

Fig. 3.9 Cartas de control con causas identificadas y eliminadas de puntos anormales

Ejemplo 3.3 Se considera otro ejemplo con los datos individuales siguientes, procesados con el paquete Minitab:

HORA

X1

X2

X3

X4

X5

Medias

Rangos

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-30 0 -50 -10 20 0 0 70 0

50 50 10 -10 -40 0 0 -30 0

-20 -60 20 30 50 40 20 30 20

10 -20 30 -20 20 -40 -20 -10 -20

30 30 20 50 10 20 -10 0 10

8 0 6 8 12 4 -2 12 2

80 110 80 70 90 80 40 100 40

Página 122

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10 40 30 30 30 10 0 20 10 50 50

20 0 20 -30 -10 -10 0 20 -20 -10 0


30 20 30 0 50 50 30 30 50 40 0

10 0 10 10 -10 40 -10 30 30 20 30

50 20 40 10 -30 0 0 -20 10 0 10

24 16 26 4 6 18 4 16 16 20 18

40 40 30 60 80 60 40 50 70 60 50


Xbar-R Chart of X1, ..., X5 U C L=47.53

Sample M ean

40 20

_ _ X=10.9

0 -20

LC L=-25.73 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

150

Sample Range

U C L=134.3 100 _ R=63.5

50

0

LC L=0 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

Fig. 3.10 Cartas de control iniciales

Se realizan pruebas de normalidad a las medias y a los rangos para ver si se tienen un proceso normal:

Página 123



Probability Plot of Medias Normal

99


95 90

10.9 8.065 20 0.355 0.425

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

-10

0

10 Medias

20

30

Fig. 3.11 a y b Prueba de normalidad en medias y rangos de un proceso estable Probability Plot of Rangos Normal

99


95 90

63.5 22.54 20 0.478 0.210

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

0

20

40

60 Rangos

80

100

120

e Por las pruebas de normalidad de rangos y medias, se deduce que el proceso está en Control Estadístico (en ambos casos el P value es mayor a 0.05).

Página 124



Ejemplo 3.4 Para elaborar la carta, inicialmente se toman al menos 25 subgrupos con muestras de cinco partes cada cierto periodo (por ejemplo cada hora). Se toman varios datos de hilos y se construye una carta de medias – rangos con m = subgrupos, donde el rango se calcula tomando el valor mayor menos el valor menor del subgrupo, con n = 5. Por ejemplo: Variables X1 X2 X3 X4 X5 Media Rango

Subgrupo 1 2 4 3 5 1 09:00 a.m. 3 4

Subgrupo 2 5 3 6 7 4 10:00 a.m. 5 4

Subgrupo m 3 4 1 5 2 11:00 a.m. 3 4

Se obtiene una media de medias X y un rango promedio R, para proceder a determinar los límites de control como sigue: LSC = X + 0.577x R LIC = X - 0.577x R Para el caso de los rangos, la línea central es R los límites de control para el rango son: LSC = 2.114x R LIC = 0 Se identifican situaciones fuera de control, se investigan las causas y se toman acciones preventivas para prevenir la reincidencia y se recalculan los límites de control futuros.

Página 125



Xbar-R Chart of Supp2 1

1

Sample M ean

U C L=602.474 602 _ _ X=600.23

600

598

LC L=597.986 2

4

6

8

10 Sample

12

14

16

18

20

U C L=8.225

Sample Range

8 6

_ R=3.890

4 2 0

LC L=0 2

4

6

8

10 Sample

12

14

16

18

20

Figura 3.12 Carta de control X-R fuera de control Después de identificar las causas de las situaciones fuera de control en los subgrupos 2 y 14 y tomando acciones preventivas para evitar la reincidencia, se eliminan los subgrupos fuera de control y se recalculan los límites de control. Xbar-R Chart of Supp2 U C L=602.247

Sample M ean

602 601

_ _ X=599.938

600 599 598

LC L=597.629 2

4

6

8

10 Sample

12

14

16

18

U C L=8.465

Sample Range

8 6

_ R=4.003

4 2 0

LC L=0 2

4

6

8

10 Sample

12

14

16

18

Figura 3.13 Carta de control de medias rangos X-R estable .

Ejercicio Hacer una carta X-R utilizando las fichas de ejemplo por equipos.

Página 126

R

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

INSTRUCCIONES

CAUSAS DE NO REGISTRO

R

X

% Z Inf.:

CPK:

A2

D4

0

0

0

0

D3

B4

2.33 2.09

2.06 2.27

1.70 2.57

1.13 3.27

d2

CONSTANTES

A) Fin de corrida de producción B) Falta de material C) Ajuste de línea / máquina D) Cambio de modelo E) Fin de turno F) Otro (indicar)

0

0

0

0

B3

4.- Indique en el último renglón, justo abajo del subgrupo correspondiente, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo a la frecuencia indicada, si es que se presentan el caso. Utilice las siguientes claves:

3.- Registre la (s) causa (s) del comportamiento en la bitácora (al reverso de la gráfica), así como las acciones realizadas o propuestas para corregir la falla.

2.- Investigue y corrija la causa del comportamiento. Si no es posible llame a su supervisor o Ing. de Manufactura.

1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento ( puntos fuera de los límites de control, tendencias, adhesiones, etc).

% NC:

% Z Sup.:

Cp. :

5 0.58 2.11

9

L.I.C. R

TIPO DE EVALUACIÓN

5 SUMA

8

L.S.C. R

FRECUENCIA

4 0.73 2.28

7

R

MUESTRA

3 1.02 2.57

6

L.I.C.x

CALIBRADOR

4

5

L.S.C.x

CARACTERÍSTICA

3

4

X

MAQUINA

FECHA DE TERMINO

2 1.88 3.27

3

L.I.E.

OPERACIÓN

FECHA DE INICIO

2

2

L.S.E.

ÁREA

No. DE GRAFICA

n

1

NOMINAL

No. DE PARTE

GRAFICA DE CONTROL DE PROMEDIOS Y RANGOS

1

INICIALES

UNIDADES

HORA

NOMBRE DE PARTE

x

PROMEDIOS

RANGOS

Página 127

FECHA LECTURAS

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Dr. P. Reyes / enero de 2009



Capacidad o habilidad del proceso Una vez que se tiene un proceso en control estadístico, se puede estimar su capacidad o habilidad, tomando como referencia la desviación estándar del proceso estimada .

Ejemplo 3.3 (continuación..) =

R 0.023 = = 0.0099 d2 2.326

Donde el valor de d2 se encuentra en las tablas de constantes para una n=5. Si la especificación de los anillos de pistones es de 74.000  0.05 mm, se tienen como límites inferior y superior de especificaciones los siguientes:

LIE = 73.950 LSE = 74.0500

Los límites de tolerancia naturales del proceso inferior y superior (LTNI y LTNS) se encuentran a 3sigma del proceso por abajo y por arriba de la media del proceso, o sea en:

LTNS = X + 3 = 74.001 + 3 (0.0099) = 74.0307 LTNI = X - 3 = 74.001 - 3 (0.0099) = 73.9713

LIE LTNI

MEDIA

LTNS LSE

Fig. 3.14 Localización de Límites de especificaciones y naturales

Se observa que los límites de tolerancia naturales del proceso se encuentran dentro de los límites de especificación, por tanto en principio no se observa que haya partes fuera de especificaciones.

Página 128



Otra forma de expresar lo anterior es con el índice de habilidad potencial Cp (o PCR) siendo:

Cp =

LSE  LIE 6

Cp =

74 .05  73 .95 0.10   1.68 6(0.0099 ) 0.05984

(3.12)

Se pueden presentar tres casos:

Caso 1. Si Cp es menor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia naturales es mayor que la banda permitida por los límites de especificación.

LTNI LIE

LSE LTNS

Caso 2. Si Cp es igual a 1, implica que las bandas para los límites de tolerancia natural y de especificaciones coinciden (aunque para el caos de 3-sigma aun hayan 2700 ppm fuera de especificaciones).

LIE

LSE

LNTI

LNTS

Caso 3. Si Cp es mayor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia natural del proceso, es menor que la banda permitida por las especificaciones.

Página 129



LIE LTNI

LTNS LSE

La fracción de la banda de las especificaciones utilizada por el proceso se estima como sigue:

CR = (1 / Cp) 100%

(3.13)

CR = (1 / 1.68) 100% = 59.2%

Es decir que el proceso utiliza aproximadamente el 60% de la banda especificada.

Se puede estimar la fracción de anillos no conformes producidos, con ayuda de la distribución normal, como sigue:

p = P { x < 73.950 } + P { x > 74.001 }

 73 .950  74 .001   74 .050  74 .001      0.0099 0.0099    

= 

=  (-5.15) + 1 -  (4.04)

 0 + 1 – 0.99998  0.00002 Por lo anterior alrededor de 0.002% o 20 partes por millón (ppm) de los anillos producidos estarán fuera de especificaciones.

Página 130



Ejemplo 3.2 (continuación...). Para la carta de control de las medias, después de haber eliminado las causas especiales y tomado acciones para prevenir su recurrencia, se tiene el cálculo de habilidad como sigue (considerando que los límites de especificación son 85 y 175):

Process Capability of X11, ..., X15 LSL

USL

P rocess Data LS L 85 Target * USL 175 S ample M ean 127.063 S ample N 150 S tDev (Within) 19.4626 S tDev (O v erall) 19.8965

Within Overall P otential (Within) C apability Cp 0.77 C P L 0.72 C P U 0.82 C pk 0.72 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

60 O bserv ed P erformance P P M < LS L 26666.67 PPM > USL 6666.67 P P M Total 33333.33

80

100

E xp. Within P erformance P P M < LS L 15338.42 PPM > USL 6888.71 P P M Total 22227.13

120

140

160

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 17253.10 PPM > USL 7991.57 P P M Total 25244.67

Fig. 3.15 Capacidad de proceso del ejemplo 3.2

Página 131

180

0.75 0.70 0.80 0.70 *



Ejemplo 3.3. Para las cartas X-R se tiene el cálculo de la capacidad o habilidad del proceso, una vez estable (considerando que los límites de especificación son -80 y +80):

Process Capability of X1, ..., X5 LSL

USL

P rocess Data LS L -80 Target * USL 80 S ample M ean 10.9 S ample N 100 S tDev (Within) 27.3001 S tDev (O v erall) 25.2301

Within Overall P otential (Within) C apability Cp 0.98 C P L 1.11 C P U 0.84 C pk 0.84 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

-60 O bserv ed P erformance P P M < LS L 0.00 P P M > U S L 0.00 P P M Total 0.00

-30

E xp. Within P erformance P P M < LS L 434.76 P P M > U S L 5684.82 P P M Total 6119.59

0

30

1.06 1.20 0.91 0.91 *

60

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 157.38 P P M > U S L 3083.22 P P M Total 3240.59

Fig. 3.16 Capacidad de proceso del ejemplo 3.3

Para el cálculo de otros índices que toman en cuenta la posición de la media, revisar el capítulo de capacidad del proceso o el procedimiento de cartas X –R.

REVISIÓN O RE-CÁLCULO DE LA LÍNEA CENTRAL Y LÍMITES DE CONTROL

Los límites de control calculados como límites preliminares, deben ser revisados en forma periódica que puede ser por semana, mes o cada 25, 50 o 100 puntos dependiendo del proceso en particular.

Lo recomendable en cada revisión es tomar las acciones necesarias para que la media del proceso

X se acerque cada vez más a la media de las especificaciones (en caso de ser bilaterales) o se aleje lo más posible de la especificación (en caso de ser unilateral).

Página 132



En cada carta de control X o R es necesario identificar las causas especiales que originen condiciones fuera de control, tomar acciones correctivas para prevenir su reincidencia, eliminar esos puntos tanto en la carta X como en la carta R y recalcular los límites de control, para usarse en el control futuro del proceso.

LÍMITES DE CONTROL, DE ESPECIFICACIÓN Y DE TOLERANCIA NATURAL

Es importante hacer notar que no existe ninguna relación matemática entre los límites de especificación y los de control o los de tolerancia natural.

Los límites de especificación son establecidos externamente al proceso por ingenieros de manufactura, el cliente o por los diseñadores del producto.

SUBGRUPOS RACIONALES Para el caso de la carta de medias-rangos, los subgrupos se seleccionan de tal forma de minimizar la variabilidad entre muestras individuales, observando sólo su variabilidad aleatoria y maximizando la posibilidad de detectar corridas en la media del proceso en función del tiempo.

De esta forma la carta X monitorea la variabilidad entre subgrupos respecto al tiempo y la carta R monitorea la variabilidad interna entre muestras en un tiempo dado.

CAMBIO DE TAMAÑO DE MUESTRA Cuando el proceso ya mostró estabilidad durante un periodo largo de tiempo, es posible reducir el esfuerzo y costo de control a través de reducir el tamaño de muestra. Los límites de control se pueden recalcular sin tomar muestras adicionales como sigue:

R ant  rango promedio para el tamaño de subgrupo anterior R nuevo  rango promedio para el tamaño de subgrupo nuevo nant = tamaño de subgrupo anterior nnuevo = tamaño de subgrupo nuevo

Página 133



d2 ant = factor d2 para el tamaño de subgrupo anterior d2 nuevo = factor d2 para el tamaño de subgrupo nuevo

Los nuevos límites de control para la carta X son (seleccionando A2 en base al nuevo tamaño de subgrupo nnueva , la línea central no se cambia): LSCX = X + A2 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant

(3.14)

LICX = X - A2 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant

Para el caso de la carta R los nuevos límites de control son (seleccionando D3 y D4 para el nuevo tamaño de muestra nnueva): LSCR = D4 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant

(3.15)

LCR = R nuevo  [d2 nuevo / d2 ant ] R ant LICR = max { 0, D3 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant }

Si en Ejemplo 3.1 de trabajo se quisiera cambiar de n=5 a n=3, se tendría:

De la tabla de constantes se tiene: d2 ant. = 2.326, d2 nueva = 1.693, A2 nueva = 1.023, por tanto los límites nuevos son:

LSCX = 74.001 + (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 74.018 LICX = 74.001 - (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 73.984

Para la carta R, de la tabla de constantes para n=3 se tiene D3 = 0, D4 = 2.578, por tanto:

LSCR = (2.578) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.043 LICR = (0) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.0 LCR = [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.017

LIM.SUP.NVO

LIMITES ANTERIORES

CARTA X Página 134



LIM.INF.NVO.

LIMITE SUP. ANT. LIMITE SUP.NVO.

CARTA R

0

Fig. 3.17 Revisión de límites de control cambiando de n=5 a 3

Como se puede observar el efecto de reducir el tamaño de muestra hace que se incremente el ancho de los límites de control en la carta X (porque

 es más pequeño con n=5 que con n=3) y n

se reduzca la media de R y su límite superior en la carta R.

La curva característica de operación La habilidad de las cartas de control X  R para detectar corrimientos en la media del proceso es indicada por su curva característica de operación (OC). Su determinación se muestra a continuación. Si en la carta para X se conoce la desviación estándar del proceso  y es constante, cuando la media del proceso 0 cambia a otro valor 1 = 0 + k , la probabilidad de no detectar el cambio en la primera muestra subsecuente es el riesgo , donde:

 = P { LIC <= X <= LSC  1 = 0 + k  }

(3.16)

dado que X  N (, 2/n) y que los límites de control son: LSC = 0 + L / n

(3.17)

LIC = 0 - L / n

Página 135



La probabilidad de que un punto de X i caiga dentro de límites de control sabiendo que la media del proceso ya es 1, es igual a la probabilidad de que el punto se encuentre abajo del límite superior (LSC) menos la probabilidad de que se encuentre abajo del límite inferior de control (LIC). Considerando la desviación Estándar de las medias, o sea: +  ( ZLSC, x)

LSC

Xi LC  ( ZLIC, x) LIC -

Fig. 3.18 Cálculo del error Beta o tipo II

 LSC  (  0  k )   LIC  ( 0  k )   -   / n / n    

Entonces  =  

  0  L / n  (  0  k )    0  L / n  (  0  k )   -   / n / n    

 = 

(3.18)

Donde  es la distribución normal acumulativa. La expresión anterior se reduce a:

=(L–k

n )-(-L–k

n )

(3.19)

Ejemplo 3.4 Para una carta X  R con L=3 (límites a 3-sigma de medias), tamaño de muestra n=5, y se desea determinar el corrimiento a 1

=

0 + 2  en la primera muestra subsecuente al

corrimiento de la media del proceso, se tiene:

=(3–2

5 )-(-3–2

5 )

=  (-1.47) -  (-7.37) Página 136



= 0.0708 Este es el riesgo  o la probabilidad de no detectar tal corrimiento. La probabilidad de sí detectarlo es 1-  = = 1 – 0.0708 = 0.9292. Con las fórmulas anteriores se construyen las curvas características de operación  para diferentes valores de n en función de k. Si n=5 y el corrimiento es de +1, de las curvas OC se tiene que  = 0.75 y la probabilidad de detectar el corrimiento en la segunda muestra se calcula como (1- ) = 0.19, y así sucesivamente. La longitud de la corrida media es el número esperado de muestras antes de que el corrimiento sea detectado, se denomina ARL o :

ARL = En este caso

1 1 

(3.20)

ARL = 1 / 0.25 = 4. Es decir que el se requieren tomar cuatro muestras antes de

detectar un corrimiento de 1.0 con n = 5.

Para construir la curva OC para la carta de rangos, se utiliza la distribución del rango relativo W=R/. Si el valor de la desviación estándar cuando el proceso está en control es 0, entonces la curva OC muestra la probabilidad de no detectar un corrimiento a un nuevo valor 1, donde 1>0 , en la primera muestra después del corrimiento. Se grafica  contra = 1/0. Por ejemplo si  = 2 con n=5, sólo se tienen una probabilidad del 40% de detectar este corrimiento en cada muestra subsecuente. Por tanto la carta R tiene poca sensibilidad de detectar pequeños corrimientos en sigma, para cual se debe usar la carta S con n>10.

LONGITUD DE CORRIDA MEDIA

La longitud de corrida media para la carta de Shewhart cuando el proceso está en control es:

Página 137



ARL = 1 / P ( un punto fuera de control) = ARL0 = 1 / 

(3.21)

Cuando el proceso está fuera de control es: ARL1 = 1 / ( 1 -  )

(3.22)

De las gráficas de ARL anexas, se observa que para detectar un corrimiento de 1.5 con n=3, se requiere un ARL1 = 3. Se puede reducir el ARL1 a 1 si se incrementa la n=16.

3.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S Estas cartas de control son recomendadas cuando:

1.

El tamaño de muestra es moderadamente grande n>10 o 12 (donde el rango pierde eficiencia por no tomar en cuenta valores intermedios).

2.

El tamaño de muestra es variable.

Su construcción es similar a la de la carta de medias-rangos, excepto que en lugar del rango R en cada subgrupo se calcula la desviación estándar S.

Página 138



Xbar-S Chart of X1, ..., X5 U C L=46.91

Sample M ean

40 20

_ _ X=10.9

0 -20

LC L=-25.11 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

60

Sample StDev

U C L=52.71 45 30

_ S =25.23

15 0

LC L=0 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

Figura 3.19 Ejemplo de carta X-S S2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2 sin embargo S no es un estimador insesgado de . Si la distribución es normal, entonces S estima a c4 donde c4 es una constante que depende del tamaño de muestra n. Además la desviación estándar de S es  1  c4 .

 2  c4     n 1

1/ 2

(n / 2) ((n  1) / 2)

(3.18)

CASO DE n CONSTANTE

Con esta información se pueden establecer los límites de control para la carta X y S, cuando se conoce el valor de  dado que existe un historial.

Para la carta S se tiene:

Para la carta X se tiene:

LSCs = c4 + 3  1  c4 = B6 

LSCX =  + A

Página 139

(3.20)

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO LCs


= c4

LC = 

LICs = c4 - 3  1  c4 = B5 

LICX =  - A

Los valores para las constantes se encuentran tabuladas para diferentes valores de n en la tabla de constantes.

En el caso de que no se conozca la desviación estándar de la población, se puede estimar utilizando diversas muestras m con datos históricos, donde se obtenga la desviación estándar en cada una de ellas y se promedien.

S

1 m  Si m i 1

(3.21)

__

 

S c4

(3.22)

Como el estadístico S /c4 es un estimador insesgado de , los parámetros de la carta serán los siguientes:

LSCs = S  3

S 1  c 42 = B4 S c4

(3.23)

LCs = S LICs = S  3

S 1  c 42 = B3 S c4

Para el caso de la carta X , cuando S /c4 se una para estimar  los límites de control para esta carta son:

Página 140


LSCx = X + 3

S c4 n


= X + A3 S

(3.24)

LCx = X LICx = X - 3

S = X - A3 S c4 n

Todas las constantes c4, A’s y B’s se encuentran tabuladas en función de n en la tabla de constantes, como sigue:

Tabla 3.2 Constantes para límites de control en cartas X-S

n

c4

A

A3

B3

B4

B5

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.94 0.9515 0.9594 0.965 0.9693 0.9727 0.9754 0.9776 0.9794 0.981 0.9823 0.9835 0.9845 0.9854 0.9862 0.9869 0.9876 0.9882 0.9887 0.9892 0.9896

1.342 1.225 1..134 1.061 1 0.949 0.905 0.866 0.832 0.802 0.775 0.75 0.728 0.707 0.688 0.671 0.655 0.64 0.626 0.612 0.6

1.427 1.287 1.182 1.099 1.032 0.975 0.927 0.886 0.85 0.817 0.789 0.763 0.739 0.718 0.698 0.68 0.663 0.647 0.633 0.619 0.606

0 0.03 0.118 0.185 0.239 0.284 0.321 0.354 0.382 0.406 0.428 0.448 0.466 0.482 0.497 0.51 0.523 0.534 0.545 0.555 0.565

2.089 1.97 1.882 1.815 1.761 1.716 1.679 1.646 1.618 1.594 1.572 1.552 1.534 1.518 1.503 1.49 1.477 1.466 1.455 1.445 1.435

0 0.029 0.113 0.179 0.232 0.276 0.313 0.346 0.374 0.399 0.421 0.44 0.458 0.475 0.49 0.504 0.516 0.528 0.539 0.549 0.559

Página 141

B6

.

1.964 1.874 1.806 1.751 1.707 1.669 1.637 1.61 1.585 1.563 1.544 1.526 1.511 1.496 1.483 1.47 1.459 1.448 1.438 1.429 1.42



CASO DE n VARIABLE

En el caso de tamaño de muestra variable, se utiliza el promedio ponderado de las medias y de las desviaciones estándar como sigue:

m

X 

n X i 1 m

i

i

(3.25)

 ni i 1

 2    (ni  1) S i   S m     ni  m   i 1 

1/ 2

(3.26)

Ejemplo 3.4 Para una carta X-S con límites variables, se tomaron los datos siguientes, corriendo en Minitab: Datos 74.030 74.002 74.019 73.992 74.008 73.995 73.992 74.001 73.998 74.024 74.021 74.005 74.002 74.002 73.996 73.993 74.015 74.009 73.992

Muestra 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5

Datos 74.000 73.985 74.003 73.993 74.015 73.998 74.008 73.995 74.009 74.005 73.998 74.000 73.990 74.007 73.995 73.994 73.998 73.994 73.995

Muestra 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11

Datos 73.994 74.000 73.984 74.012 74.014 73.998 74.000 73.984 74.005 73.998 73.996 73.994 74.012 73.986 74.005 74.006 74.010 74.018 74.003

Página 142

Muestra 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 18 18 18 18

Datos 74.009 74.005 73.996 74.004 73.999 73.990 74.006 74.009 74.010 73.989 73.990 74.009 74.014 74.015 74.008 73.993 74.000 74.010 73.982

Muestra 21 21 21 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 25

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 74.007 74.015 73.998 74.014 74.009 73.994 73.997 73.985 73.995 74.006 73.994

5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7

73.990 74.004 74.000 74.007 74.000 73.996 73.983 74.002 73.998 74.006 73.967


11 12 12 12 12 12 13 13 13 14 14

74.000 73.984 74.002 74.003 74.005 73.997 74.000 74.010 74.013 73.998 74.001

18 19 19 19 19 19 20 20 20 21 21

73.984 73.995 74.017 74.13

25 25 25 25

Xbar-S Chart of Datos UCL=74.02046

Sample Mean

74.02 74.01

_ _ X=74.0009

74.00 73.99

LCL=73.98134

73.98 1

3

5

7

9

11

13 Sample

15

17

19

21

23

25

Sample StDev

0.024

UCL=0.02403

0.018 0.012 _ S=0.00736

0.006 0.000

LCL=0 1

3

5

7

9

11

13 Sample

15

Tests performed with unequal sample sizes

Fig. 3.20 Ejemplo de carta X-S con límites variables

Página 143

17

19

21

23

25



Ejemplo 3.5 Otro ejemplo con n variable, la X = 74.001 y la S = 0.0098, por tanto los límites de control son:

LSCX = 74.015 LCX = 74.001 LICX = 73.987

Para la carta S LSCS = 0.020 LCS = 0.0098 LICS = 0

Como método alterno para n variable se puede utilizar la n si no hay mucha variación entre los diferentes tamaños de muestra (dentro de n  25%). ESTIMACIÓN DE 

El valor de la desviación estándar  puede ser estimado del valor de S como sigue:

 

S c4

Para el ejemplo:

 

S = 0.0094 / 0.94 = 0.01, tomando el valor de c4 para n=5. c4

Existe una variante de las cartas de medias-desviación estándar denominadas cartas de mediasvarianza.

Página 144



3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo: 1. Cuando hay inspección automática de piezas individuales. 2. La tasa de producción es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de más de una pieza. 3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de medición de laboratorio) como en procesos químicos. 4. En plantas de proceso como las de papel, el espesor de los acabados tiene una variabilidad muy baja a través del rollo.

En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los rangos móviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra como MRi = X i  X i 1 . Para este caso, los límites de control para la carta X son: LSCx = X  3

MR d2

__

LCx

=

X

LICx = X  3

(3.27)

MR d2

n=2

Ejemplo 3.6 Se toman varios datos de viscosidades y se construye una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de subgrupos.

Lote 1 2 3 4

Viscocidad 33.75 33.05 34.00 33.81

Página 145

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


33.46 34.02 33.68 33.27 33.49 33.20 33.62 33.00 33.54 33.12 33.84

I-MR Chart of Viscocidad U C L=34.802

Individual V alue

34.5 34.0 _ X=33.523

33.5 33.0 32.5

LC L=32.245 1

2

3

4

5

6

7 8 9 O bser vation

10

11

12

13

14

15

M oving Range

1.6

U C L=1.571

1.2 0.8 __ M R=0.481

0.4 0.0

LC L=0 1

2

3

4

5

6

7 8 9 O bser vation

10

11

12

13

14

15

Fig. 3.21 Carta de lecturas individuales o rango móvil (I-MR)

El proceso está en control estadístico.

Ejemplo 3.7: Se toman varios datos de edades y se construye una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de valores individuales.

Página 146



Por ejemplo: Valores individuales 23 15 11 24 38 19

Rango 8 4 13 14 19

Al final se hace un promedio de los valores individuales X y un promedio de rangos móviles R y los límites de control para la carta I-MR se calculan con las fórmulas siguientes: Para la carta I: LSCx  X  (2.66 * R ) LICr 0

y para la carta R:

LICx  X  (2.66 * R )

LSCr 3.27 * R

I-MR Chart of Supp1 1

1

U C L=601.176

Individual V alue

601

600

_ X=599.548

599

598

LC L=597.920 1

1

10

20

30

40

50 60 O bser vation

70

80

90

100

1

M oving Range

2.4 1

U C L=2.000

1.8 1.2

__ M R=0.612

0.6 0.0

LC L=0 1

10

20

30

40

50 60 O bser vation

70

80

90

100

Figura 3.22 Carta de control I-MR. El proceso no está en control estadístico. Ejercicio Hacer una carta I-MR utilizando las fichas de ejemplo por equipos.

Página 147

RANGOS

R

4

5

6

7

8

9

10

11

X

12

13

14

L.S.C.x

MAQUINA

15

16

17

L.I.C.x

18

CARACTERÍSTICA

19

20

R

21

22

CALIBRADOR

23

L.S.C. R

24

25

T. MUESTRA

26

L.I.C. R

27

28

FRECUENCIA

29

30

TIPO DE EVALUA.

FECHA DE TERMINO

INSTRUCCIONES

% Z Inf.:

CPK:

CONSTANTES

A) Fin de corrida de producción B) Falta de material C) Ajuste de línea / máquina D) Cambio de modelo E) Fin de turno F) Otro (indicar)

4.- Indique en el último renglón, justo abajo del subgrupo correspondiente, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo a la frecuencia indicada, si es que se presentan el caso. Utilice las siguientes claves:

3.- Registre la (s) causa (s) del comportamiento en la bitácora (al reverso de la gráfica), así como las acciones realizadas o propuestas para corregir la falla.

2.- Investigue y corrija la causa del comportamiento. Si no es posible llame a su supervisor o Ing. de Manufactura.

1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento ( puntos fuera de los límites de control, tendencias, adhesiones, etc).

% NC:

% Z Sup.:

Cp. :

2.67 1.13 0 3.27

3

L.I.E.

OPERACIÓN

FECHA DE INICIO

R

2

L.S.E.

ÁREA

No. DE GRAFICA

E2 D2 D3 D4

1

NOMINAL

No. DE PARTE

GRAFICA DE CONTROL DE LECTURAS INDIVIDUALES

X

INICIALES

LECTURAS

x

UNIDADES

HORA

NOMBRE DE PARTE

FECHA

Página 148

VALORES




3.5 SELECCIÓN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR ATRIBUTOS Las cartas por atributos tiene la ventaja que consideran varias características a la vez clasificando la unidad como conforme o no conforme, si no cumple alguna de esas características. Por otra parte si esas características se controlan como variables, debe llevarse una carta de control para cada una de esas características, lo cual es más laborioso, otra alternativa es el C.E.P. multivariado.

Las cartas por variables proporcionan mayor información del proceso que las de atributos, tal como la media del proceso y su variabilidad, también proporcionan información para realizar estudios de capacidad de los procesos.

Las cartas por variables permiten tomar acciones cuando se presentan situaciones fuera de control, antes de que se produzcan artículos no conformes, lo que no sucede con las cartas por atributos hasta que el proceso genere más disconformes.

LIE

1

2

3

Reacción de carta X-R

LSE

Reacción de carta p

Fig. 3.23 Comparación de sensibilidad entre cartas de control

Tal vez la ventaja más importante de la carta X-R es que proporciona un indicador de inicio de problemas y permite al personal operativo tomar acciones correctivas antes que se produzcan defectivos realmente, de esta forma las cartas X-R son indicadores guía de falla, mientras que las cartas p (o c o u) no reaccionan a menos que el proceso haya cambiado tanto que se produzcan más defectivos. En la figura, cuando la media del proceso esta en 1 se producen pocas no conformidades, si la media del proceso se corre hacia arriba, cuando llegue a 2 la carta X-R habrá mostrado un patrón anormal o puntos fuera de control para tomar acciones correctivas, mientras que la carta p no reaccionará hasta que la media del proceso se haya recorrido hasta 3, o hasta que el número de

Página 149



unidades no conformes producidas se haya incrementado. Por tanto las cartas X-R son más poderosas que las cartas p.

Para el mismo nivel de protección contra corrimientos del proceso, la carta p requiere un tamaño de muestra mayor, la X-R requiere tomar mucho menos unidades aunque las mediciones toman más tiempo. Esta consideración es importante para el caso de pruebas destructivas.

Ejemplo 3.8 Si el proceso se controla con una carta X , donde el valor medio de la característica de calidad es 50 y la desviación estándar es 2, para límites de 3-sigma y especificaciones LIE=44 y LSE=56, cuando el proceso está en control en el valor nominal de 50, la fracción no conforme es 0.0027.

Suponiendo que la media del proceso del proceso se corre a 52, la fracción defectiva producida será aproximadamente 0.0202, si se desea que la probabilidad de detectar este corrimiento en la siguiente muestra subsecuente sea del 0.50, entonces el tamaño de muestra en la carta X debe ser tal que se cumpla que el LSC sea 52 o sea:

50 

3(2)  52 n

donde n=9,

Si se utiliza una carta p entonces el tamaño de muestra requerido para tener la misma probabilidad de detectar el corrimiento es:

2

k n    p(1  p)   Con k = 3, que es el ancho de los límites de control, p = 0.0027 y  es la magnitud de incremento en fracción defectiva o sea  = 0.0202 – 0.0027 = 0.0175, de esta forma, n = 79.23  80

Página 150



Donde se observa que a menos que el costo de medir 9 muestras sea mayor que 9 veces el costo de inspección por atributos, las carta X es más económica de aplicar.

GUÍA PARA IMPLEMENTAR CARTAS DE CONTROL

Se sugiere lo siguiente: 1. Determinar cual es la característica a controlar. 2. Seleccionar un tipo de carta de control. 3. Identificar el proceso donde se implantarán las cartas de control. 4. Tomar acciones para mejorar el proceso, como resultado de la aplicación de la carta de control. 5. Seleccionar el sistema de colección de datos y software de C.E.P.

SELECCIÓN DE LA CARTA DE CONTROL ADECUADA A. Se prefiere una carta por variables en las situaciones siguientes: 1. Se inicia un proceso o producto nuevo. 2. El proceso ha estado mostrando un comportamiento inconsistente en forma crónica. 3. Se requieren pruebas destructivas. 4. Se desea economizar el control cuando el proceso es estable. 5. Existen tolerancias muy cerradas u otros problemas de manufactura. 6. El operador debe decidir si ajustar el proceso o no, o cuando evaluar el ajuste. 7. Se debe presentar evidencia de estabilidad y de capacidad como en industrias reguladas.

B. Se prefiere una carta por atributos en las situaciones siguientes: 1. Los operadores controlan las causas asignables y es necesario mejorar el proceso. 2. El proceso es una operación de ensamble compleja y la calidad se evalúa por la ocurrencia de no conformidades (computadoras, autos, etc.). 3. Es necesario un control del proceso, pero no se pueden hacer mediciones. 4. Se requiere un historial del desempeño del proceso para revisión ejecutiva.

C. Cartas de control por lecturas individuales

Página 151



1. Es inconveniente o difícil obtener más de una medición por muestra, o la repetición de muestras sólo mostrará errores de medición de laboratorio, tal como ocurre en proceso químicos. 2. Se cuenta con inspección automatizada de cada unidad de producto. Para estos casos también se deben considerar las cartas de sumas acumuladas o de media móvil ponderada. 3. Los datos disponibles son muy lentos en el tiempo, por ejemplo datos contables mensuales.

3.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES Algunas de las aplicaciones de las cartas de control por variables son:

1.

Mejora de procesos de proveedores. Reducir su variabilidad a través de centrar su proceso y tomar acciones correctivas.

2.

Selección de equipo productivo a través de demostración de su capacidad antes de su embarque.

3.

Corridas cortas en talleres de manufactura. Se controla la desviación respecto a la media especificada, de una característica específica de calidad para diferentes productos similares.

4.

Aplicaciones no manufactureras. En estos casos se tiene que: (1) no hay especificaciones, (2) se requiere más imaginación para aplicar las cartas de control. Se usan por ejemplo para reducir el tiempo de proceso de las cuentas por pagar (pago de cheques).

TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL Las constantes para límites de control en las cartas X-R son:

n

A2

D3

D4

d2

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.88 1.023 0.072 0.577 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308

0 0 0 0 0 0.076 0.136 0.184 0.223

3.267 2.574 2.282 2.115 2.004 1.924 1.864 1.816 1.777

1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.97 3.078

Página 152



n

c4

A

A3

B3

B4

B5

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.94 0.9515 0.9594 0.965 0.9693 0.9727 0.9754 0.9776 0.9794 0.981 0.9823 0.9835 0.9845 0.9854 0.9862 0.9869 0.9876 0.9882 0.9887 0.9892 0.9896

1.342 1.225 1..134 1.061 1 0.949 0.905 0.866 0.832 0.802 0.775 0.75 0.728 0.707 0.688 0.671 0.655 0.64 0.626 0.612 0.6

1.427 1.287 1.182 1.099 1.032 0.975 0.927 0.886 0.85 0.817 0.789 0.763 0.739 0.718 0.698 0.68 0.663 0.647 0.633 0.619 0.606

0 0.03 0.118 0.185 0.239 0.284 0.321 0.354 0.382 0.406 0.428 0.448 0.466 0.482 0.497 0.51 0.523 0.534 0.545 0.555 0.565

2.089 1.97 1.882 1.815 1.761 1.716 1.679 1.646 1.618 1.594 1.572 1.552 1.534 1.518 1.503 1.49 1.477 1.466 1.455 1.445 1.435

0 0.029 0.113 0.179 0.232 0.276 0.313 0.346 0.374 0.399 0.421 0.44 0.458 0.475 0.49 0.504 0.516 0.528 0.539 0.549 0.559

Página 153

B6

.

1.964 1.874 1.806 1.751 1.707 1.669 1.637 1.61 1.585 1.563 1.544 1.526 1.511 1.496 1.483 1.47 1.459 1.448 1.438 1.429 1.42



4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS 4.1 INTRODUCCIÓN Muchas características de calidad no pueden ser representadas numéricamente, denominándose atributos. En tales casos cada artículo completo se clasifica como conforme o no conforme a especificaciones y/o estándares, es decir como defectivo o no defectivo, no defectuoso o defectuoso, bueno o malo, discrepante o no discrepante.

Fig. 4.1 Cuando el producto no es funcional es no conforme, defectivo o defectuoso. Puede ser reparado o desperdicio. Para controlar productos defectivos o no conformes, se utiliza la carta de control p de fracción defectiva o la np para el número de defectivos o de no conformes. Se aplica a productos simples (tornillos, lápices, botellas, etc.)

Cuando más bien se controla el número de defectos o no conformidades que se observan en un producto, se utiliza la carta de control para no conformidades o defectos c cuando la muestra es constante o la u cuando es variable o constante. Se aplica a productos complejos (coches, TV, cámaras de video, escritorios, refrigeradores, etc.) Un defecto o no conformidad es una discrepancia respecto a los estándares establecidos o a las especificaciones.

Fig. 4.1 El producto puede ser funcional pero puede tener defectos o no conformidades, que pueden ser corregidas con retrabajo o no se pueden corregir y ser desperdicio.

Página 154



4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p La fracción no conforme es la relación entre el número de artículos discrepantes entre el total de artículos, se expresa como fracción decimal, aunque también se puede expresar en porcentaje. El artículo puede tener varias características de calidad que son examinadas por un inspector, si el artículo no está de acuerdo a los estándares, se le considera como defectuoso o no conforme.

La fracción defectiva o no conforme en la muestra se define como la relación entre el número de unidades no conformes D al tamaño de muestra n, o sea:

pi 

Di ni

(4.1)

La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto:

__

p

 2p 

(4.2)

p(1  p) n

(4.3)

Del modelo general para la carta de control de Shewhart, si w es un estadístico que mide una característica de calidad, con media w y varianza

 w2 , los límites de control son:

LSC = w + Lw LC = w

(4.4)

LIC = w - Lw

Donde L es la distancia de la línea central hasta los límites de control, es común usar L = 3.

Por tanto los límites de control de la carta p considerando L = 3 son: Página 155


__


__

p (1  p ) n

__

LSCp = p  3 __

LCp = p

(4.5) __

__

p (1  p ) n

__

LICp = p  3

Durante la operación, se toman muestras de n unidades, se calcula la fracción defectiva p i y se grafíca en la carta, mientras no se observe ningún patrón anormal y p i se localice dentro de límites de control, se puede concluir que el proceso está en control, de otra forma, se concluirá que la fracción no conforme se ha desplazado de su valor original y el proceso se encuentra fuera de control.

Cuando la fracción defectiva del proceso es desconocida, se estima de los datos observados en m muestras iniciales, cada una de tamaño n , por lo general se toman 20 a 25 de estas. Así si Di son unidades no conformes en la muestra i , la fracción defectiva de la muestra i - ésima estará dada como:

pi = Di / n

i = 1, 2, 3,....., m

(4.6)

y el promedio de las fracciones individuales no conformes cuando p es desconocida es:

m

p

D i 1

mn

i

m



p i 1

i

(4.7)

m

El estadístico p estima la fracción desconocida p, y los límites preliminares de control son:

LSC p  p  3

p (1  p ) n

(4.5) anterior

Página 156



LC p  p

LIC p  p  3

p (1  p ) n

Una vez hecha la gráfica trazando los límites anteriores, cualquier punto que se encuentre fuera de control debe ser investigado, si se encuentra una causa asignable o especial, deben tomarse medidas correctivas para prevenir su recurrencia, los puntos correspondientes a la situación fuera de control se eliminan y se calculan de nuevo los límites de control preliminares.

Ejemplo 4.1 Para el llenado de cajas de concentrado de jugo de naranja de 6 oz., se inspecciona cada caja y se inspecciona el sello para evitar fugas, se lleva una carta de control para tomar acciones y mejorar el desempeño de la maquina selladora.

Para establecer la carta de control, se toman 30 muestras de 50 piezas cada una en intervalos de una hora. Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Defectos 12 15 8 10 4 7 16 9 14 10 5 6 17 12 22

Hora 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Defectos 8 10 5 13 11 20 18 24 15 9 12 7 13 9 6

Como en total se encontraron 347 cajas no conformes, se estima p como sigue:

Página 157

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO m

p

D

i

i 1

mn


m



p i 1

i

=

m

347 = 0.2313 (30 )( 50 )

Los límites de control usando Minitab son: LSCp = 0.4102 LCp = 0.2313 LICp = 0.0524

P Chart of Defectos 0.5

1 1

UCL=0.4102

Proportion

0.4

0.3 _ P=0.2313 0.2

0.1 LCL=0.0524 0.0 1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

Figura 4.1 Carta de control p fuera de control

De la carta de control se observa que las muestras 15 y 23 están fuera de los límites de control, de tal forma que el proceso esta fuera de control.

Del análisis de los datos de la bitácora se encontró que la muestra 15 corresponde a el cambio de un nuevo lote de cajas el cual fue diferente y que la muestra 23 corresponde a un operador sin experiencia asignado temporalmente a la máquina.

Tomando acciones correctivas para evitar la recurrencia de las causas anteriores y calculando nuevos límites preliminares con los puntos 15 y 23 eliminados, se tiene con Minitab: Página 158



LSCp = 0.3893 LCp = 0.2150 LICp = 0.0407

P Chart of Defectos 1

0.4

UCL=0.3893

Proportion

0.3 _ P=0.215

0.2

0.1 LCL=0.0407 0.0 1

4

7

10

13 16 Sample

19

22

25

28

Figura 4.2 Carta de control p fuera de control en un punto

En la gráfica de límites revisados, se observa que la muestra 20 excede el límite superior de control, sin embargo no se encontró una causa asignable, por tanto se retiene este punto para el cálculo de los límites preliminares. Tampoco se observan patrones de anormalidad, la mayor racha o corrida tiene 5 puntos sobre la línea central, lo cual no representa una situación fuera de control. De esta forma se concluye que el proceso está en control a una p = 0.2150 adoptando los límites preliminares para control futuro.

Página 159



P Chart of Defectos 0.4

UCL=0.3804

Proportion

0.3

_ P=0.2081

0.2

0.1 LCL=0.0359 0.0 1

4

7

10

13 16 Sample

19

22

25

Figura 4.3 Carta de control p en control estadístico

Se observa que a pesar de que el proceso está en control, no se tienen presentes problemas controlables por el operador, por tanto las causas de variabilidad son comunes y su reducción depende sólo del control de la administración, una vez que interviene e Ingeniería realiza una serie de ajustes a la máquina, se monitorea la mejora.

Continuando con el ejemplo, se toman 24 muestras adicionales durante los siguientes 3 turnos, la gráfica se hizo utilizando Minitab:

Se observa que la p media del proceso ha mejorado con los ajustes y una mejor atención de los operadores.

Página 160



Se puede probar la hipótesis que la fracción no conforme en los últimos 3 turnos, difiere de la fracción no conforme preliminar, con el procedimiento de prueba de hipótesis:

H0:

p1 = p2

H1:

p1 > p2

Donde p1 es la fracción no conforme de los datos preliminares (p1 = p 1 = 0.2182) y p2 es la fracción no conforme del periodo actual. Para estimar p2 se toman las últimas 24 muestras o sea:

m

p2 

D

i  31

i

mn

m



p

i  31

m

i

=

133 133   0.1108 (50 )( 24 ) 1200

El estadístico de prueba aproximado para probar la hipótesis anterior es:

Z0 

p1  p 2  n1  n2  p(1  p)   n1n2 

con p 

n1 p1  n 2 p 2 n1  n 2

por tanto:

p

(1400)(0.2150)  (1200)(0.118)  0.1669 1400  1200

Z0 

0.2150  0.1108 1   1 (0.1669)(0.8331)    1400 1200 

 7.10

Para un nivel de significancia del 0.05 en la distribución normal, se encuentra que:

Z0 = 7.10 > Z.05 = 1.645

Página 161



Por tanto se rechaza la hipótesis Ho concluyendo que hubo una reducción en la fracción defectiva promedio del proceso.

Usando sólo los últimos 24 puntos para calcular nuevos límites se tiene:

LSCp = 0.2440 LCp = 0.1108 LICp = -0.0224 = 0

Continuando con el ejemplo, usando los nuevos límites de control, para las siguientes 40 muestras se observa una mejora del proceso, dentro de control. Es muy importante que para identificar fácilmente las causas asignables, se lleve una bitácora de cambios, donde se anote cada cambio que ocurra, independientemente que afecte o no al proceso.

Figura 4.4 Carta de control p con nuevos puntos tomados

Página 162



Diseño de la carta de control Determinación del tamaño de muestra:

Método 1. El tamaño de muestra n se escoge de tal forma que la probabilidad de encontrar al menos una unidad no conforme por muestra sea al menos .

Ejemplo 4.2, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de hallar al menos una unidad no conforme sea al menos 0.95, si D es el número de artículos no conformes, entonces:

P{ D >= 1 }>= 0.95 Con la distribución de Poisson se encuentra que  = np debe ser mayor a 3.00, por tanto si p = 0.01, implica que el tamaño de muestra debe ser al menos de 300.

Método 2. Duncan sugiere que el tamaño de muestra debe ser tal que se tenga aproximadamente un 50% de probabilidad de detectar el corrimiento de la media de un proceso en una cierta cantidad.

Asumiendo que la distribución normal es una buena aproximación a la binomial, se selecciona n de tal forma que el límite superior de control coincida con la fracción defectiva en el estado fuera de control.

Entonces n debe satisfacer:

 L

p (1  p ) n

(4.8)

Donde L es la distancia de la línea central a los límites de control en desviaciones estándar, por tanto,

Página 163



2

 L n    p(1  p)  

(4.9)

Ejemplo 4.3, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de detectar un corrimiento a p = 0.05 sea de 0.50, entonces  = 0.05 – 0.01 = 0.04 y si L = 3-sigma, se tiene:

2

 3   (0.01)(0.99)  56  0.04 

n= 

Método 3. Otro método a usar si la fracción p en control es pequeña, consiste en seleccionar n tan grande de tal forma que el límite inferior tenga un valor positivo, para poder investigar la causa de generación de muy bajas cantidades de artículos defectuosos con objeto de identificar errores de inspección o de los equipos de medición. Se tiene:

LIC p  p  L

p (1  p ) 0 n

(4.10)

Implica que,

n

(1  p ) 2 L p

(4.11)

Ejemplo 4.4, si p = 0.05 y se tienen límites de control a 3-sigma, el tamaño de muestra será:

n

0.95 2 (3)  171 0.05

Si n>171 unidades, la carta de control tendrá un límite inferior de control positivo.

Es importante notar que la carta de control p se basa en la distribución normal, es decir que la probabilidad de ocurrencia de artículos defectivos es constante y que las unidades producidas son

Página 164



independientes. Si no es el caso, se debe desarrollar una carta de control basada en el modelo de probabilidad adecuado.

Ejemplo 4.3 Para un servicio de mantenimiento se tomaron datos de 30 muestras de 50 servicios contabilizando las quejas en cada uno como sigue:

Servicio

No conformes

Servicio

No conformes

Servicio

No conformes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 15 8 10 4 7 16 9 14 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 6 17 12 22 8 10 5 13 11

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

20 18 24 15 9 12 7 13 9 6

Como en total se encontraron 347 quejas o servicios no conformes, se estima p como sigue: m

p

D

i

i 1

mn

m



p i 1

m

i

=

347 = 0.2313 (30 )( 50 )

Los límites de control usando Minitab son: LSCp = 0.4102 LCp = 0.2313 LICp = 0.0524 P Chart for No confo 1

0.5 1

UCL=0.4102

Proportion

0.4

0.3 P=0.2313 0.2

0.1 LCL=0.05243 0.0 0

10

20

30

Sample Number

Fig. 4.4a. Carta de control P para la fracción de servicios no conformes.

Página 165



Ejercicio Hacer una carta de control P por atributos.

Página 166



Página 167



Página 168



4.3 CARTA DE CONTROL np En lugar de tener fracciones no conformes, si el tamaño de muestra es constante, se pueden utilizar directamente el número de artículos defectivos o no conformes np, para evitarle operaciones aritméticas al operador, los parámetros de esta carta son:

LSCnp  np  3 np(1  p)

LCnp  np

(4.12)

LICnp  np  3 np(1  p)

Si no se conoce el valor de p, se puede estimar con la p . El número de defectivos o no conformes es un entero, por tanto es más fácil de graficar e interpretar por los operadores que llevan el C.E.P.

Ejemplo 4.5, con los últimos 39 datos de las cajas de concentrado de jugo de naranja, se tiene:

NP Chart of Defectos 20

UCL=19.02

Sample Count

15

__ NP=10.41

10

5 LCL=1.80 0 1

4

7

10

13 16 Sample

19

22

25

Figura 4.5 Carta de control np en control estadístico con límites de control constantes

Página 169



4.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección 100% de los lotes producidos en un periodo de tiempo, por tanto la muestra será variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control:

Método 1. Límites variables

Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva promedio p y su tamaño de muestra con p  3 p(1  p) / ni . La amplitud de los límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra.

Ejemplo 4.6, Se tomaron datos del resultado de la inspección diaria, registrando la producción total y los defectivos del día.

n-var

nodef

Fra-def

LSC

LIC

Des-est

100 80 80 100 110 110 100 100 90 90 110 120 120 120 110 80 80 80 90

12 8 6 9 10 12 11 16 10 6 20 15 9 8 6 8 10 7 5

0.12 0.1 0.075 0.09 0.090909 0.109091 0.11 0.16 0.111111 0.066667 0.181818 0.125 0.075 0.066667 0.054545 0.1 0.125 0.0875 0.055556

0.183686 0.194093 0.194093 0.183686 0.179582 0.179582 0.183686 0.183686 0.188455 0.188455 0.179582 0.176003 0.176003 0.176003 0.179582 0.194093 0.194093 0.194093 0.188455

0.007335 -0.00307 -0.00307 0.007335 0.011438 0.011438 0.007335 0.007335 0.002565 0.002565 0.011438 0.015017 0.015017 0.015017 0.011438 -0.00307 -0.00307 -0.00307 0.002565

0.0293918 0.0328611 0.0328611 0.0293918 0.028024 0.028024 0.0293918 0.0293918 0.0309817 0.0309817 0.028024 0.026831 0.026831 0.026831 0.028024 0.0328611 0.0328611 0.0328611 0.0309817

Página 170

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 100 100 100 100 90

8 5 8 10 6

0.08 0.05 0.08 0.1 0.066667


0.183686 0.183686 0.183686 0.183686 0.188455

0.007335 0.007335 0.007335 0.007335 0.002565

0.0293918 0.0293918 0.0293918 0.0293918 0.0309817

La fracción defectiva media se calcula como sigue: 25

p

D

i

i 1 25

n i 1



234  0.096 2450

i

Y los límites de control se calculan como sigue: LSCp= p  3 p  0.096  3

(0.096)(0.904) ni

LC = 0.096 LICp= p  3 p  0.096  3

(0.096)(0.904) ni

NP Chart of nodef 1

20

UCL=16.94

Sample Count

15

10

__ NP=8.58

5

LCL=0.22

0 1

3

5

7

9

11 13 Sample

15

17

19

21

23


Figura 4.6 Carta de control np en control estadístico con límites de control variables

Página 171



Se observa que la muestra 11 está fuera de control.

Cuando se toman límites de control variables, el análisis de patrones de anormalidad no tiene sentido ya que la desviación estándar en cada muestra esta variando y no es posible visualizar corridas o rachas.

Método 2. Tamaño de muestra promedio En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los límites de control aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control son constantes. Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este método no es adecuado. m

n

n i 1

m

i



2450  98 25

Con límites de control basados en n  98 :

LSCp= p  3 p  0.096  3

(0.096 )( 0.904 )  0.185 98

LC = 0.096 LICp= p  3 p  0.096  3

(0.096 )( 0.904 )  0.007 98

Otra vez de la gráfica se observa que el punto 11 está fuera de control.

Método 3. Carta de control estandarizada.

En este método, los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. En la carta de control estandarizada, la línea central es cero y los límites de control están a +3 y –3 respectivamente, la variable a graficar en la carta es:

Página 172


Zi 


pi  p

(4.13)

p(1  p) ni

donde p (o p si no hay estándar) es la fracción defectiva media del proceso en su condición de control estadístico; pi , ni son datos de la muestra.

Ejemplo 4.7 Con los 25 datos anteriores se obtiene una carta estandarizada, por medio de Minitab.

n-var 100 80 80 100 110 110 100 100 90 90 110 120 120 120 110 80 80 80 90 100 100 100 100 90

nodef 12 8 6 9 10 12 11 16 10 6 20 15 9 8 6 8 10 7 5 8 5 8 10 6

Frac.-def LSC 0.12 0.1 0.075 0.09 0.090909 0.109091 0.11 0.16 0.111111 0.066667 0.181818 0.125 0.075 0.066667 0.054545 0.1 0.125 0.0875 0.055556 0.08 0.05 0.08 0.1 0.066667

LIC 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

-3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3

Página 173

Media 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Z-Estand 0.81655 0.12172 -0.63905 -0.20414 -0.18166 0.46713 0.47632 2.17748 0.48774 -0.94679 3.06231 1.08084 -0.78268 -1.09326 -1.47925 0.12172 0.8825 -0.25866 -1.30543 -0.54437 -1.56506 -0.54437 0.13609 -0.94679



I-MR Chart of Z-Estand 1

Individual V alue

3.0

U C L=2.871

1.5 _ X=-0.028

0.0 -1.5

LC L=-2.926

-3.0 1

3

5

7

9

11 13 O bser vation

15

17

19

21

23

1

4

M oving Range

U C L=3.560 3 2 __ M R=1.090

1 0

LC L=0 1

3

5

7

9

11 13 O bser vation

15

17

19

21

23

Figura 4.7 Carta de control p estandarizada (Zi) Esta carta tiene la ventaja de poder identificar patrones de anormalidad e identificar curva característica de operación, lo que no puede hacerse con la carta de límites de control variables. Una aplicación diferente de la manufactura sería el control de órdenes de compra erróneas para cada semana.

4.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL La curva OC muestra en forma gráfica la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de control estadístico (i.e. cometer un error tipo II o ). Esta curva proporciona una evaluación de la sensibilidad de la carta de control, o sea la habilidad de detectar un corrimiento en la fracción no conforme del proceso, desde su valor nominal p a algún otro valor p .

La probabilidad de error tipo II para la carta de control de fracción defectiva o no conforme es:

  P{ p  LSC p} P{ p  LIC p} = P{D  nLSC p} P{D  nLIC p}

Página 174

(4.14)



Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error  puede ser obtenido de la función de distribución acumulativa (la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación).

Ejemplo 4.8 Si n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697, el error tipo II se calcula como sigue:

  P{D  (50)(0.3697) p}  P{D  (50)(0.030) p}  P{D  18.49 p}  P{D  1.52 p}

Sin embargo como D debe ser un entero, se toma,

  P{D  18 p}  P{D  1 p} La curva OC se construyó utilizando Excel y Minitab.

NOTA: Se debe usar la distribución de Poisson para np <=5 y distribución Normal en caso contrario. A continuación se muestran curvas OC con 3 distribuciones.

Página 175



CURVA OC POR BINOMIAL LIC = 1, LSC =18, n = 50 p

P(d<=18|p) 0.01 0.03 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55

p

1 1 1 0.99999986 0.999940418 0.997488797 0.97126684 0.859440124 0.621587051 0.335613264 0.127345115 0.032454324 0.005296752

CURVA OC POR POISSON LIC = 1, LSC =18, n =50

P(d<=1|p) Beta=dif 0.910564687 0.089435313 0.555279873 0.444720127 0.279431752 0.720568248 0.03378586 0.966214001 0.002905453 0.997034965 0.000192678 0.997296118 1.0005E-05 0.971256835 4.0337E-07 0.85943972 1.2349E-08 0.621587038 2.7751E-10 0.335613263 4.36961E-12 0.127345115 4.52971E-14 0.032454324 2.84312E-16 0.005296752

np 0.5 1.5 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5

P(d<=18|p) 1 1 1 0.999998598 0.999697003 0.992813495 0.948148253 0.819471712 0.608934016 0.381421949 0.202192955 0.092040859 0.036606283

CURVA OC POR NORMAL LIC = 0.0303, LSC = 0.3697, n = 50 Sigma LSC Z-Value LIC Z Value PZLSC PZLIC Beta 0.01 0.014071247 25.56276589 1.442658181 1 0.925442 0.074558435 0.03 0.024124676 14.08101803 0.0124354 1 0.504961 0.495039094 0.05 0.03082207 10.37243767 -0.639152399 1 0.261362 0.738638167 0.1 0.042426407 6.356889963 -1.642844755 1 0.050208 0.949792486 0.15 0.050497525 4.350708304 -2.370413218 0.999993 0.008884 0.991109116 0.2 0.056568542 2.999900519 -2.999900519 0.99865 0.00135 0.997299184 0.25 0.061237244 1.954692815 -3.587685977 0.97469 0.000167 0.97452355 0.3 0.064807407 1.075494349 -4.161561348 0.858923 1.58E-05 0.858907423 0.35 0.067453688 0.292052231 -4.739548131 0.614877 1.07E-06 0.614875519 0.4 0.069282032 -0.437342829 -5.336159863 0.330931 4.76E-08 0.33093135 0.45 0.070356236 -1.141334502 -5.965356044 0.126865 1.22E-09 0.126865425 0.5 0.070710678 -1.842720272 -6.642561102 0.032685 1.55E-11 0.032684871 0.55 0.070356236 -2.562672611 -7.386694153 0.005194 7.58E-14 0.005193524

P(d<=1|p) Beta=dif 0.90979599 0.090204 0.5578254 0.442175 0.2872975 0.712703 0.04042768 0.959571 0.00470122 0.994996 0.0004994 0.992314 5.031E-05 0.948098 4.8944E-06 0.819467 4.6453E-07 0.608934 4.3284E-08 0.381422 3.976E-09 0.202193 3.6109E-10 0.092041 3.249E-11 0.036606

COMPARACION DE LAS BETAS CON 3 DECIMALES np BINOM POISSON NORMAL 0.5 0.089 0.090 0.075 1.5 0.445 0.442 0.495 2.5 0.721 0.713 0.739 5 0.966 0.960 0.950 7.5 0.997 0.995 0.991 10 0.997 0.992 0.997 12.5 0.971 0.948 0.975 15 0.859 0.819 0.859 17.5 0.622 0.609 0.615 20 0.336 0.381 0.331 22.5 0.127 0.202 0.127 25 0.032 0.092 0.033 27.5 0.005 0.037 0.005

La curva OC calculada con las diferentes distribuciones de probabilidad se muestra a continuación:

Página 176



Para esta carta de control, también se puede calcular la longitud de corrida media ARL.

Cuando es proceso está en control: ARL0 = 1 / 

Cuando el proceso está fuera de control: ARL1 = 1 / (1 - )

Estas probabilidades de errores tipo I y II se pueden obtener o por calculo de probabilidades o usando las curvas OC. Figura 4.8 Curva característica de operación np

Ejemplo 4.9, suponiendo que el proceso se corre a p1 = 0.3, siendo su valor nominal p0 = 0.2. De la curva OC se observa que  en este caso es 0.9973 estando en control, en este caso  = 1 -  = 0.0027 y el valor de ARL0 es: ARL0 = 1 /  = 1 / 0.0027 = 370

Indicando que cada 370 puntos se puede tener una falsa alarma.

Página 177



4.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – c y u Una no conformidad o defecto es una característica específica que no cumple con la especificación del producto. Las no conformidades pueden tener una gravedad diferente desde menores hasta críticas. Se pueden desarrollar cartas de control para el número total de no conformidades en una unidad o el número promedio de no conformidades por unidad.

Estas cartas asumen que la ocurrencia de no conformidades en muestras de tamaño constante son modeladas bien por la distribución de Poisson, es decir implica que las oportunidades o localizaciones potenciales para las no conformidades sea muy infinitamente grande y que la probabilidad de ocurrencia de una no conformidad en cualquier localización sea pequeña y constante. Además cada unidad de inspección debe representar una “área de oportunidad” idéntica para la ocurrencia de no conformidades. Si estas condiciones no se cumplen, el modelo de Poisson no es apropiado.

Tamaño de muestra constante - CARTA c Una unidad de inspección es simplemente una entidad para la cual es conveniente registrar el número de defectos, puede formarse con 5 unidades de producto, 10 unidades de producto, etc. Suponiendo que los defectos o no conformidades ocurren en la unidad de inspección de acuerdo a la distribución de Poisson, o sea:

p( x ) 

e c c x x!

(4.15)

Donde la media y la desviación estándar tienen valor c; para x = 0, 1, 2, ....... Por tanto considerando L = 3-sigma, los límites de control para la carta de no conformidades son:

Página 178

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO LSCc = c + 3


c

LCc = c LICc = c - 3

(4.16)

c en el caso que sea negativo toma el valor cero.

Si no hay estándar definido c se estima con el promedio de no conformidades observadas en una muestra preliminar inspeccionada, o sea con c , en este caso los parámetros de la carta son:

LSCc = c + 3

c

LCc = c

(4.17)

LICc = c - 3

c en el caso que sea negativo toma el valor cero

Cuando no hay datos históricos, se calculan límites de control preliminares.

Ejemplo 4.18 Para el número de no conformidades observadas en 26 unidades de inspección sucesivas de 100 muestras de circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes: No Conformidades 21 19 24 10 16 17 12 13 15 22 5 18 28 39 20 30 31 24 25 16 20 19 24 17 16 15 Donde, LSC = 33.22 LC =

516 / 26 = 19.85 = c

Página 179



LIC = 6.48

De la carta de control preliminar, se observa que hay 2 puntos fuera de control, el 6 y el 20.

C Chart of NoConform 1

40

UCL=33.21

Sample Count

30

_ C=19.85

20

10 LCL=6.48 1

0 1

4

7

10

13 16 Sample

19

22

25

Figura 4.9 Carta de control C fuera de control estadístico

Una investigación reveló que el punto 6 fue debido a que un inspector nuevo calificó los circuitos impresos pero no tenía la suficiente experiencia, fue entrenado. El punto 20 fue causado por una falla en el control de temperatura de la soldadora de ola, lo cual fue reparado. Por lo anterior se toman acciones para evitar recurrencia, se eliminan y se recalculan los límites de control.

Página 180



C Chart of NoConform 35 UCL=32.97

Sample Count

30 25 _ C=19.67

20 15 10

LCL=6.36

5 1

3

5

7

9

11 13 Sample

15

17

19

21

23

Figura 4.9 Carta de control C dentro de control estadístico

Como el proceso ya se encuentra en control estadístico, estos límites se tomarán como base para el siguiente periodo, donde se tomaron 20 unidades de inspección adicionales.

No Conformidades 1 16 18 18 21 12 16 15 22 24 19 21 12 28 14 20 9 25 16 19 21 Se observa en la gráfica que no se tienen puntos fuera de control, sin embargo el promedio de defectos es alto, requiere la acción de la administración.

Página 181



C Chart of C4 35 UCL=32.98

Sample Count

30 25 _ C=19.67

20 15 10

LCL=6.36

5 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

Figura 4.10 Carta de control C dentro de control estadístico para otras 20 muestras – muy alta c

Haciendo un análisis de Pareto de los principales defectos se observó que el principal defecto de soldadura insuficiente y soldadura fría, acumulan el 69% del total, por lo que se deben enfocar los esfuerzos a resolver estos problemas.

Página 182



Figura 4.11 Pareto de no conformidades

Página 183



Puede ser necesario estratificar el problema identificando en que modelo de circuito impreso se presentan los defectos principalmente.

Otra forma de análisis es el diagrama de causa efecto para identificar las diferentes fuentes de no conformidades.

Figura 4.12 Diagrama de Ishikawa de causas potenciales para la falla de soldadura

Selección del tamaño de muestra Aumentando el tamaño de muestra se tiene más oportunidad de encontrar no conformidades o defectos, sin embargo esto también depende de consideraciones económicas y del proceso, si en lugar de tomar 1 unidad de inspección, se toman n unidades de inspección, entonces los nuevos límites de control se pueden calcular por los siguientes métodos:

Método 1. Con nc En este caso tanto la línea central como los límites de control se modifican por el factor n, quedando como sigue ( c es la media de las no conformidades observada en la unidad de inspección anterior):

Página 184



LSCnc  nc  3 nc LC nc  nc

(4.18)

LICnc  nc  3 nc Por ejemplo si se deciden utilizar 2.5 unidades de inspección para el caso de los circuitos impresos (es decir inspeccionar 250 tarjetas) con n=2.5, se tiene:

LSCnc  nc  3 nc = (2.5)(19.67) + 3 (2.5)(19.67)  70.22 LC nc  nc = (2.5)(19.67) = 49.18

LICnc  nc  3 nc = (2.5)(19.67) - 3 (2.5)(19.67)  28.14

Carta de control de defectos por unidad U Método 2. Carta u Si se encuentra un total de c no conformidades en la muestra de n unidades de inspección, entonces el promedio de no conformidades por unidad de inspección u es:

u

c n

(4.19)

Como c es una variable aleatoria que sigue la distribución de Poisson, los parámetros de la carta u de número de no conformidades o defectos por unidad son:

LSC u  u  3

u n

LC u  u

LSC u  u  3

(4.20)

u n

Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de datos preliminar. Los límites anteriores se consideran límites preliminares.

Página 185



Ejemplo 4.10 Para un fabricante de computadoras registrando los defectos en su línea de ensamble final. La unidad de inspección es una computadora y se toman 5 unidades de inspección a un tiempo. No conformidades en cada 5 unidades – carta u 10 9 12 5 8 7 14 11 10 12 16 6 11 8 7 10 10 7 15 5 Se calculan los límites de control con:

__

u

Suma.de.no.conformida des Suma.de.unidades.inspeccionadas

u =38.60 / 20 = 1.93 LSC = 3.79 LIC = 0.07

La carta de control queda como sigue:

Página 186



U Chart of C6

Sample Count Per Unit

4

UCL=3.794

3

_ U=1.93

2

1

LCL=0.066

0 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

Figura 4.13 Carta de control de defectos por unidad U con tamaño de muestra constante en control estadístico

En la carta de control no se observa falta de control estadístico, por tanto los límites preliminares se pueden utilizar en corridas futuras.

MUESTRA VARIABLE – CARTA u

En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la inspección 100% de la producción o lotes de producto, por tanto las unidades de inspección no son constantes. En esta carta se tiene una línea central constante y los límites de control varían inversamente con la raíz cuadrada del tamaño de muestra n.

La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue:

Página 187



u ni

LSCui  u  3 LC u  u

(4.21)

u ni

LSCui  u  3

Ejemplo 4.11 En una planta textil, se inspeccionan defectos por cada 50m2 los datos se muestran a continuación. Unidades No conform 10 14 8 12 13 20 10 11 9.5 7 10 10 12 21 10.5 16 12 19 12.5 23 La línea central es u 

153  1.42 107.5

Donde u = Total de defectos observados / Total de unidades de inspección De la gráfica no se observan puntos fuera de control.

Página 188



U Chart of No conform 3.0

Sample Count Per Unit

2.5

UCL=2.436

2.0 _ U=1.423

1.5 1.0 0.5

LCL=0.411

0.0 1

2

3

4

5 6 Sample

7

8

9

10


Figura 4.14 Carta de control para defectos por unidad con tamaño de muestra variable

Existen otras dos alternativas para el manejo de la carta u con n variable:

1. Usando un promedio de tamaños de muestra.

m

n i 1

ni m

(4.22)

2. Usando una de control estandarizada (opción preferida). Se grafica Zi con límites de control en +3 y –3, línea central cero.

Zi 

ui  u

(4.23)

u ni

Página 189



Ejemplo 4.11 (Cont...) Estandarizando la carta se tiene:

Unidades NoConf SigmaU 10 8 13 10 9.5 10 12 10.5 12 12.5 U prom

14 12 20 11 7 10 21 16 19 23

Ui-Uprom

0.377261 0.42179 0.330879 0.377261 0.387061 0.377261 0.34439 0.368169 0.34439 0.337432

-0.02325581 0.07674419 0.11520572 -0.32325581 -0.68641371 -0.42325581 0.32674419 0.10055371 0.16007752 0.41674419

Zu -0.06164 0.181949 0.34818 -0.85685 -1.7734 -1.12192 0.948761 0.273119 0.464814 1.235046

1.423256

La carta de control estandarizada para U, se encuentra en control estadístico como se muestra abajo.

I Chart of Zu 3

UCL=3

Individual Value

2 1 _ X=0

0 -1 -2 -3

LCL=-3 1

2

3

4

5 6 Observation

Figura 4.15 Carta de control U estandarizada

Página 190

7

8

9

10



Sistema de demeritos Con productos complejos, se identifican diversos tipos de defectos, desde los que se consideran menores hasta los que ponen en riesgo la salud del usuario. Por lo cual es necesario dar una ponderación a esos diversos tipos de defectos de acuerdo a su gravedad, un esquema posible es el siguiente:

Defectos tipo A – Muy serios: La unidad no puede funcionar o fallará en el campo, o puede causar daño al usuario. Defectos tipo B – Serios: La unidad tendrá menos vida útil, o puede causar una falla de funcionamiento mayor. Defectos tipo C – Poco serios: La unidad puede tener fallas pero continuar funcionando, o puede incrementar los costos de mantenimiento, o tener una mala apariencia como usada. Defectos tipo D – Menores: La unidad no fallará en servicio pero tiene defectos de apariencia, terminados o calidad de trabajo.

Supóngase que para los defectos anteriores se tengan los números ciA, ciB, ciC, ciD respectivamente en la i-ésima unidad inspeccionada. Se asume que cada clase de defectos es independiente y que la ocurrencia de defectos de cada clase es modelada bien con la distribución de Poisson. Entonces se puede definir el número de deméritos en la unidad de inspección por ejemplo como:

di = 100ciA + 50ciB + 10ciC + ciD

(4.24)

Suponiendo que se toma una muestra de n unidades de inspección, entonces el número de n

Deméritos por unidad es (con

d i 1

i

número total de deméritos en todas las unidades de

inspección):

n

d ui = D / n =

i 1

i

(4.25)

n

Página 191



Como u es una combinación lineal de variables aleatorias independientes de Poisson, el estadístico ui puede ser graficado en una carta de control con los parámetros siguientes: LSC = u + 3 u LC = u

(4.26)

LIC = u + 3 u,

Donde,

u  100u A  50u B  10u C  1u D y

(4.27)

 (100) 2 u A  (50) 2 u B  (10) 2 u C  (1) 2 u D   n  

1/ 2

u  

(4.28)

Los números u A, u B, u C , u D, representan el número promedio de defectos de la clase A, clase B, clase C y clase D respectivamente. Se determina a partir de datos preliminares tomados cuando el proceso está en control estadístico.

La curva característica de operación La curva característica de operación (OC) puede ser obtenida tanto para la carta c como para la carta u a partir de la distribución de Poisson. Para la carta c, la curva OC muestra la probabilidad del error tipo II  contra la media real del numero de defectos c, se expresa como sigue:

  P{x  LSC c} P{x  LIC c}

Donde x es una variable aleatoria de Poisson con parámetro c.

Ejemplo 4.12, para el caso de la carta c anterior con LSC = 33.22, LIC = 6.48, se tiene:

  P{x  33.22 c} P{x  6.48 c} cómo las cantidades deben ser enteras, esto es equivalente a:

Página 192

(4.29)



  P{x  33 c} P{x  7 c} La curva OC se obtiene con la distribución de Poisson como sigue:

C 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 C promedio

P(x<=33) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.994 0.981 0.950 0.892 0.801 0.682 0.546 0.410 0.289 0.191 19.67

P(x<=7) 1.000 0.988 0.867 0.599 0.324 0.143 0.054 0.018 0.005 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Pa=Beta 0.000 0.012 0.133 0.401 0.676 0.857 0.946 0.982 0.994 0.997 0.994 0.981 0.950 0.892 0.801 0.682 0.546 0.410 0.289 0.191

Figura 4.16 Curva característica de operación de la carta C con media 19.67

Página 193



Para el caso de la carta u, la curva OC puede generarse con:

  P{x  LSC u} P{x  LIC u}

  P{c  nLSC u} P{c  nLIC u}

(4.30)

  P{nLIC u  c  nLSC u}

4.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm Las cartas por atributos c y u no son convenientes en estos casos ya que tendrían ceros la mayor parte del tiempo, una alternativa es graficar los intervalos de tiempo entre ocurrencias de los defectos o “eventos”.

Asumiendo que los defectos ocurren de acuerdo a la distribución de Poisson, entonces la distribución de tiempo transcurrido entre eventos sigue la distribución exponencial, sin embargo daría una carta de control muy asimétrica.

Nelson, sugiere una alternativa transformando la variable aleatoria exponencial a una variable aleatoria de Weibull de tal forma que sea una buena aproximación a la normal. Si y representa la variable aleatoria exponencial original, la transformación adecuada es: x = y1/3.6 = y0.277

(4.31)

Por tanto se construye una carta de control para x, asumiendo que x sigue una distribución normal.

Por ejemplo para el monitoreo de fallas de una válvula importante, se usará el número de horas entre fallas como la variable a monitorear. En la página siguiente se muestra este ejemplo.

Página 194



5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES 5.1 CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE PRODUCCIÓN Cartas de control dnom Se pueden utilizar cartas de medias-rangos en situaciones las corridas de producción sean cortas, tomando las desviaciones respecto a la media de especificaciones en lugar del valor como tal.

Ejemplo 5.1 Si se tienen 2 piezas la A y la B, donde la dimensión nominal de la pieza A TA = 50mm, y la dimensión nominal de la pieza B es TB = 25mm, cuando se produce las piezas A o B se toman muestras y se evalúa la desviación respecto a su media.

Muestra

Pieza

M1

M2

M3

D1

D2

D3

Media

Rango

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A B B B B B B

50 49 48 9 24 25 27 25 24 26

51 50 49 53 27 27 26 24 25 24

52 51 52 51 26 24 23 23 25 25

0 -1 -2 -1 -1 0 2 0 -1 1

1 0 -1 3 2 2 1 -1 0 -1

2 1 2 1 1 -1 -2 -2 0 0

1.00 0.00 -0.33 1.00 0.67 0.33 0.33 -1.00 -0.33 0.00

2 2 4 4 3 3 4 2 1 2

Ver carta en la página siguiente.

Se deben cumplir 3 premisas para estas cartas: 1. La desviación estándar debe ser la misma para todas las partes, sin esto no se cumple usar la carta de medias estandarizada. 2. El procedimiento trabaja mejor cuando el tamaño de muestra es constante para todas las diferentes partes. 3. La media utilizada debe ser la media de las especificaciones, a excepción de cuando se tiene sólo un límite de especificación.

Página 195



Xbar-R Chart of D1, ..., D3

Sample M ean

3.0

U C L=2.929

1.5 _ _ X=0.167

0.0 -1.5

LC L=-2.596

-3.0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sample U C L=6.950

Sample Range

6.0 4.5 _ R=2.7

3.0 1.5 0.0

LC L=0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sample

Figura 4.1 Carta DNOM para corridas cortas

Cartas de control de medias rangos estandarizada Si la desviación estándar para las diferentes partes es diferente, se usan estas cartas. Sean

R i .....Ti el rango medio y el valor nominal de x para un número de parte específico. Para todas las muestras de este número de parte, graficar,

RS 

R Ri

(5.1)

Se toman de datos históricos o de especificaciones para el rango, o se puede estimar de  con

R i  Sd 2

c4

x  S

sus límites de control son D3 y D4. Para la media graficar,

x  Ti Ri

(5.2)

La línea central para la carta x estandarizada es cero, y sus límites de control son LSC = A2 y LIC = A2 .

Página 196



Cartas de control por atributos Se utilizan cartas de control estandarizadas con límites de control LSC=+3 y LIC=-3. Los estadísticos a graficar son: Carta p

Zi 

pi  p p(1  p) / n Zi 

Carta np

npi  n p n p(1  p) (5.3)

Carta c

Zi 

Carta u

Zi 

ci  c c ui  u u/n

5.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN Cartas de control modificadas Las cartas de control modificadas se utilizan cuando la variabilidad es pequeña respecto a los límites de especificaciones, es decir el Cp es mucho mayor que 1. En este caso la media del proceso puede variar sobre un rango permitido sin afectar el desempeño del proceso. La carta de control modificada X esta diseñada para detectar sólo si la media verdadera del proceso , está localizada de tal forma que el proceso genere una fracción de productos no conformes mayor de algún valor especificado . Se permite que  varíe entre I y S de tal forma que no se exceda la fracción defectiva . Se asume que el proceso está normalmente distribuido y que  sea conocida y esté en control.

Página 197



 LIEsp.

|---

6 ---|

LSEsp.

Figura 5.2 Proceso con habilidad alta, Cp>>1

 

 I

LIE

S

Z

LSE Z

/



n



Z n LIC

LSC

Figura 5.3 Localización de los límites de control

Donde:

 I  LIE  Z  

(5.4)

 S  LSE  Z  

Página 198



Donde Z es el punto superior 100(1-) de la distribución normal, si se especifica un error , los límites de control superior e inferior son:

LSC   S 

Z Z    LSE   Z     n n 

LIC   I 

Z Z    LIE   Z     n n 

(5.5)

Lo común es que Z =3. En las cartas modificadas,  es una fracción no conforme que se acepta con una probabilidad (1-). Si la variabilidad del proceso cambia, éstas cartas no son apropiadas, de tal forma que se recomienda siempre usar en forma adicional una carta R o S, de donde incluso se estime la  inicial.

Cartas de control de aceptación En este caso se toma en cuenta ambos errores tipo I y tipo II, ya sea de rechazar un proceso que opera en forma satisfactoria o de aceptarlo si opera en forma insatisfactoria.

Los límites de control para este caso se basan en una n especificada y una fracción no conforme del proceso  que nos gustaría rechazar con una probabilidad (1-), por tanto:

LSC   S  LIC   I 

Z 

Z     LSE   Z   n n  

(5.5)

Z 

Z     LIE   Z   n n  

Es posible también seleccionar un tamaño de muestra de tal forma que se obtengan los requerimientos para , ,  y . Igualando los límites de control superiores:

Página 199



Z   Z    LSC  LSE   Z     = LSE   Z   n  n   Se obtiene

 Z  Z    n    Z  Z 

2

(5.6)

Ejemplo 5.2 Si delta = 0.01, alfa = 0.00135, gama = 0.05 y beta = 0.20, haciendo los cálculos se obtiene una n = 31.43  32.

 3.00  0.84  n   2.33  1.645 

2

Ejemplo 5.3 De Duncan se tiene:29

LSE

=0.025

LSE-1.96

Amplitud de variación

0.10

__

Aceptable para X 0.10

LIE+1.96

LIE

=0.025

Figura 5.4 Carta de control de aceptación

29

Duncan A., Control de Calidad y Estadística Industrial, Alfaomega, México, 1989, pp. 527-530 Página 200



En la figura si suponemos que =0.025 y  = 0.10, asumiendo un proceso normal, los límites para la carta de control de aceptación estarán en:

LSC = LSE – 1.96 - 1.282/ n LIC = LIE + 1.96 + 1.282/ n

5.3 CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTA O MATERIAL Cuando un desgaste natural ocurre, se presenta una tendencia natural en la carta de control, la distancia entre los límites de especificación debe ser mucho mayor que 6X, por lo que se puede usar el concepto de la carta de control modificada (X = R/d2).

El ajuste inicial de la herramienta se inicia a 3x arriba del límite inferior de especificación, y el máximo que se le permite variar es hasta 3x abajo del límite superior de especificación. Esto minimiza los ajustes a realizar durante las corridas de producción. Se puede utilizar un valor diferente de Z = 3 si se requiere una mayor protección en la fracción defectuosa. Para este problema también se puede utilizar la carta de regresión.

LSE



_

X

LSE-3x Amplitud dentro de la cual se espera encontrar las

6

_

X

medias de las piezas



Distribución de x _

X

LIE+3x

LIE Fig. 5.5 Carta de control para desgaste de herramienta o material

Página 201



Como se puede observar, sólo se puede emplear ésta carta si la amplitud de los límites de especificación es suficiente mayor a 6x para alojar la carta de control.

La pendiente b de la línea central y límites de control se pueden calcular por los métodos siguientes: 1. Dibujando una línea central que pase por los puntos graficados y estimando en forma gráfica la pendiente. 2. Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, donde si se tienen un total de m muestras con el número de muestra i = 1,2,3…..m la pendiente b es (los datos se pueden codificar para facilidad):

b  [12 iX i /(m(m 2 1))] [6 X i /(m(m 1))]

(5.7)

3. Utilizando un paquete de computadora que incluye el cálculo de mínimos cuadrados. Los valores sugeridos de inicio y paro del proceso son  1, ,  2 donde:

 1  LIE  3 x  LIE  3R / d 2

(5.8)

 2  LSE  3 x  LSE  3R / d 2 El número de puntos que tienen que pasar para llegar de  1, ,  2 es:

M* = (  1, -  2 ) / b

(5.9)

Es importante considerar que antes de llevar una carta de medias para desgaste es indispensable asegurarse que la carta de rangos está en control estadístico. En caso de que la media en lugar de crecer, decrezca, las  1, ,  2 se invierten: _

Los límites de control se encuentran a una distancia vertical A2 R de la línea central.

Página 202



Ejemplo 5.4 El diámetro exterior de una válvula tiene una especificación de 1.1555  0.0005”. Se han tomado 13 muestras de 5 piezas cada una sin ajustar la herramienta de corte, en intervalos de media hora. Los resultados son: Muestra i 1

2

3

4

5

6

7

8

_

X i 1.15530, 1.15540,1.15544, 1.15546, 1.15550, 1.15556, 1.15568, 1.15570, R i 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020 Muestra 9

10

11

12

13

_

X i 1.15576, 1.15578, 1.15580, 1.15586, 1.15590 R i 0.00010, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020 Los resultados obtenidos son: R-medio=0.0001769;

LSCR=0.000374,  = 0.000076053;

b = 0.0000492

 1, ,  2 son respectivamente 1.155228 y 1.155772 _

m* = 11.056, los límites de control están a  A2 R = 0.5768(0.0001769)=0.000102. Es decir que tienen que pasar 11 puntos o 5.5 horas para reajustar el proceso LSE

2

Pendiente b

LSC

 1, LIC LIE Fig. 5.6 Tiempo “t” o número de muestras antes de ajuste

Página 203



5.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS Es una técnica usada para detectar irregularidades en el proceso, que pueden resultar en la producción de unidades fuera de especificaciones. Pre-control, principalmente se presta para el uso de aparatos de medición hechos previamente sobre los límites de las especificaciones. El uso de éstos aparatos de medición permite seleccionar fácilmente las unidades que proceden de las que no. Pre-control es usado con frecuencia para determinar los valores de las variables del proceso durante el período de arranque de la producción.

También se denomina carta de objetivo, utiliza los límites de especificación para su establecimiento, situados a  3 es fácil de construir y usar, sin embargo, no permite mejorar el proceso. La carta tiene tres áreas: ZONA ROJA

Límite superior de especificaciones

ZONA AMARILLA

Esta zona comprende 1.5 o 7%

ZONA VERDE

Esta zona comprende  1.5 o 86%

ZONA AMARILLA

Esta zona comprende 1.5 o 7%

ZONA ROJA

Límite inferior de especificaciones

Figura 5.7 Carta de Pre – Control y sus zonas En la carta de pre – control hay un 1/14 de probabilidad de que una parte caiga en la zona amarilla y de 1/196 de que caigan dos consecutivas en ésta zona, en este caso se considera que el proceso se salió de control.

Pre-control se basa en la hipótesis de que si el proceso está operando correctamente, la probabilidad de encontrar dos unidades fuera de los límites de control consecutivamente es demasiado pequeña. Por lo tanto si dos unidades son encontradas consecutivamente fuera de los límites de control, es razón suficiente como para indicar una falla en el proceso.

Página 204



Ventajas: Pre-control es una técnica simple que a diferencia con el control estadístico del proceso (CEP) no requiere de gráficas de control, ni de cómputos.

Desventajas: No existen gráficas de control, por lo tanto, las reglas y procedimientos para reconocer patrones de fallas no pueden ser usados. Dado que se requiere una cantidad muy pequeña de muestras, es riesgoso inferir sobre la totalidad del proceso. Finalmente, Pre-control no proporciona información suficiente para someter el proceso bajo control o para reducir la variabilidad. Asume que el proceso es hábil y que es normal.

Recomendaciones: Pre-control sólo debe ser usado cuando la capacidad del proceso (Cp) 30 es mayor que uno (algunos textos recomiendan como mínimo Cp=2)31, y cuando se han alcanzado cero defectos en el proceso.

Definición de los límites de Pre-control. Existen dos límites de Pre-control (PC): Upper Pre-control limit (UPCL) y Lower Pre-control limit(LPCL). Cada uno representa ¼ de la distancia entre el límite de especificaciones inferior (LSL) y el límite de especificaciones superior (USL). La siguiente figura considera un proceso distribuido de acuerdo a la distribución normal.

LSL

LPCL



0

1 4

1 2

30

C p  USL  LSL 

UPCL 3 4

USL 1

6 , donde USL = Upper Specification Limit y LSL = Lower Specification Limit.

31

Montogomery, Douglas C. “Statistical Quality Control”, John Wiley & Sons, Inc., 1991, pp. 332334. Página 205



Figura 5.8 Distribución de áreas de probabilidad para la carta de pre-control

Pasos a seguir para aplicar Pre-control.

A continuación se muestran las reglas de uso de la carta:

1. Iniciar el proceso. Si el primer artículo sale de especificaciones, parar, corregir e iniciar de nuevo. Deberán caer en la zona verde. 2. Si un artículo cae en la zona amarilla, tomar un siguiente artículo. Si cae nuevamente en la zona amarilla parar y corregir el proceso, de otra forma continuar. 3. Si 25 artículos consecutivos caen en la zona verde, reducir frecuencia de chequeo.

Dentro de Especificaciones Fuera de límites De Pre-control

Fuera de Especificaciones

A Inicie el proceso

Verifique 1a. Unidad

Dentro de Especificaciones Fuera de límites De Pre-control

Verifique 2a. Unidad

Dentro de Especificaciones Fuera de EL OTRO límite de Pre-control

¡! Variabilidad del Proceso fuera de Control.

Figura 5.9 Pasos a seguir para el Pre-Control

Página 206

Dentro de de límites De Pre-control

Continuar el proceso. Detener sólo si DOS Unidades consecutivas Estan fuera de los Límites de Pre-control



Notas: 1. Si cinco unidades están dentro de los límites de Pre-control, cambie a verificación intermitente. 2. Cuando se encuentre en verificación intermitente, no ajuste el proceso hasta que una unidad exceda algún límite de Pre-control. Examine la siguiente unidad, y proceda en A. 3. Si se reinicia el proceso, al menos cinco unidades consecutivas deben caer dentro de los límites de pre-control para cambiar a verificación intermitente. 4. Si el operador toma más de 25 muestras sin reiniciar el proceso, reduzca la frecuencia de las verificaciones.

5.5 CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA MÚLTIPLE Se utiliza para procesos con muchas fuentes de producción, por ejemplo diversos husillos que en principio producen piezas similares. El usar una carta de control para cada husillo por separado sería prohibitivo, sin embargo se tiene la alternativa de ésta carta de control siempre que la producción entre husillos no esté correlacionada.

Para establecer una carta de este tipo, se toman n partes de cada salida, hasta completar 20 o 25 subgrupos, por ejemplo si se toman muestras de n = 4 de 6 husillos repetido en 20 subgrupos, se habrán tomado 20 x 6 = 120 medias y rangos de n = 4 observaciones. De éstos se calculan la media 

_

de medias X y el R , los límites de control se calculan como en una carta de medias-rangos convencional con n = 4, en este caso A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 2.282:



_

_

LICX = X - A2 R

LICR = D3 R



_

_

LSCX = X + A2 R

LSCR = D4 R

(5.10)

Con los límites de control trazados, se grafica después sólo la mayor y la menor de las 6 lecturas promedio considerando todas las salidas o en este caso husillos de la máquina, si se encuentran en control, se asume que las demás están en control. Para el rango se grafica sólo el mayor de todos los rangos. Cada punto es identificado por el número de husillo o salida que lo produjo. El proceso

Página 207



se encuentra fuera de control si se algún punto excede los límites de 3-sigma. No se pueden aplicar pruebas de rachas a estas cartas.

Es útil observar que si una salida da el mayor o el menor valor varias en una fila, puede ser evidencia de que es diferente a los otros. Si el proceso tiene s salidas y si r es el número de veces consecutivas que se repite como el mayor o el menor, el ARL para este evento es:

ARL 0 

s r 1 s 1

(5.11)

Para el caso de que s = 6 y r = 4, el ARL será de 259, es decir que si el proceso está en control, se esperará que una salida repita un valor extremo 4 veces en la carta una vez de cada 259 muestras. Si esto sucede con más frecuencia se debe sospechar que la salida es diferente a las demás. Algunos de los pares adecuados de (s,r) son (3,7), (4,6), (5-6,5), 7-10,4), todas las combinaciones dan ARLo adecuados.

5.6 CARTAS DE CONTROL Cusum Las cartas de control de Shewart utilizan sólo información acerca del proceso con los últimos datos del subgrupo, e ignoran la información de la secuencia completa de puntos, esto hace que estas cartas de control sean insensibles a pequeños corrimientos de la media del proceso, de 1.5 o menos. Los límites preventivos y criterios múltiples de prueba de corridas o tendencias toman en cuenta otros puntos de la carta, sin embargo esto reduce la simplicidad de interpretación de la carta así como reducir el ARL en control lo cual es indeseable.

Cuando se trata de identificar pequeñas variaciones o corridas en la media, se pueden utilizar como alternativa, las cartas de sumas acumuladas (cusum), y promedio móvil exponencialmente ponderado (EWMA).

Cusum normal Para pequeños corrimientos menores a 1.5, la carta de Shewart es ineficiente, en esos casos la carta de sumas acumuladas de Page, que funciona con n >=1 es mejor, ya que incorpora toda la

Página 208



información anterior en el valor de la muestra al graficar la suma acumulada de las desviaciones con referencia a un valor objetivo 0. Si se colectan muestras de tamaño n >= 1 siendo x j el valor promedio de la muestra j-ésima. La carta de sumas acumuladas se forma graficando para cada muestra i la cantidad siguiente que representa la suma acumulada hasta la muestra i,

i

Ci   ( x j   0 )

(5.12)

j 1

Como esta carta es eficiente para n=1, es una buena alternativa para el control de procesos químicos y el C.E.P. automatizado. Si la media tiene un corrimiento hacia arriba, la carta mostrará una tendencia ascendente y viceversa.

La carta Cusum no tiene límites de control, sin embargo tiene un mecanismo similar ya sea en forma tabular o por medio de una mascara en V, como la mostrada en el ejemplo de las páginas siguientes.

Ejemplo Suponiendo que la Posición de una parte (A) se mueve hacia arriba y hacia abajo una cierta distancia de la posición ideal de referencia (B). AtoBDist es esta distancia. Para asegurar la calidad, se toman 5 mediciones al día durante el primer periodo de tiempo y después 10 al día en un siguiente periodo de tiempo.

AtoBDist -0.44025 5.90038 2.08965 0.09998 2.01594 4.83012 3.78732 4.99821 6.91169 1.93847 -3.09907 -3.18827 5.28978

4.52023 3.95372 7.99326 4.98677 -2.03427 3.89134 1.99825 0.01028 -0.24542 2.08175 -4.86937 -2.69206 -3.02947

4.75466 1.1424 0.9379 -7.30286 -5.22516 -4.06527 -1.91314 2.0459 4.93029 0.03095 -2.80363 -3.12681 -4.57793

4.90024 1.28079 2.87917 1.83867 -0.75614 3.72977 3.77141 -4.04994 3.89824 1.76868 2.2731 -3.82297 -2.26821

Página 209

3.81341 -3.78952 -3.81635 -4.8882 -3.24534 -0.27272 -4.33095 -1.83547 -3.98876 -4.97431 -5.1405 -0.10379 2.21033

-1.15453 2.29868 5.15847 0.08558 -3.09574 5.16744 0.29748 -4.66858 -2.13787 -0.0045 0.18096 4.30247 -2.21708

5.03945 1.96583 -0.21026 0.27517 -5.32797

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 0.56182 -3.1896 7.93177 3.72692 3.83152 -2.17454 2.81598

2.99932 3.50123 -1.99506 -1.62939 2.14395 -1.90688 8.02322


-3.17924 -2.44537 1.36225 0.92825 -0.24151 -0.83762 -1.99674

-2.07973 0.01739 3.71309 1.72573 3.07264 0.15676 -0.05666

5.13041 -1.89455 0.95119 -5.15414 4.82794 0.13001 -0.09911

7.17603 5.86525 0.95699 -4.03441 -2.05086 -3.10319 -1.83001

Al llevar una carta X – R en el subgrupo no se encontró una causa asignable, ahora se desea tratar de detectar corridas pequeñas en la media.

Corrida en Minitab 1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW. 2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5. 3. OK.

Sample Mean

Xbar/R Chart for AtoBDist 5

UCL=4.802

0

Mean=0.4417

LCL=-3.918 -5

Sample Range

Subgroup

0

5

10

15

20

25

UCL=15.98

15 10

R=7.559 5 0

LCL=0

Figura 5.10 Carta de control X media – R Se puede observar que no detecta ninguna situación anormal

Página 210



CUSUM Chart for AtoBDist

Upper CUSUM

Cumulative Sum

10

5.67809

5

0

-5

-5.67809

Low er CUSUM

0

5

10

15

20

25

Subgroup Number

Figura 5.11 Carta de control Cusum

Se puede observar que detecta una situación anormal debido a un corrimiento lento de la media del proceso.

Otro ejemplo de Carta Cusum: Considerar los datos siguientes con = 10 a 11 y una  = 1:

Media = 10 Sigma = 1

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Xi 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.2 10.34 9.03 11.47 10.51 9.4 10.08 9.37 10.62 10.31

Xi - 10 -0.55 -2.01 -0.71 1.66 2.16 0.18 -1.96 1.46 -0.8 0.34 -0.97 1.47 0.51 -0.6 0.08 -0.63 0.62 0.31 Página 211

Ci = (Xi-10) + Ci-1 -0.55 -2.56 -3.27 -1.61 0.55 0.73 -1.23 0.23 -0.57 -0.23 -1.2 0.27 0.78 0.18 0.26 -0.37 0.25 0.56

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Media = 11 Sigma = 1


8.52 10.84 10.9 9.33 12.29 11.5 10.6 11.08 10.38 11.62 11.31 10.52

-1.48 0.84 0.9 -0.67 2.29 1.5 0.6 1.08 0.38 1.62 1.31 0.52

-0.92 -0.08 0.82 0.15 2.44 3.94 4.54 5.62 6 7.62 8.93 9.45

I-MR Chart of Xi_1

Individual V alue

U C L=13 12 _ X=10

10

8 LC L=7 3

6

9

12

15 18 O bser vation

21

24

27

30

M oving Range

4

U C L=3.686

3 2 __ M R=1.128

1 0

LC L=0 3

6

9

12

15 18 O bser vation

21

24

27

30

Figura 5.12 Carta I-MR casi en control estadístico CUSUM Chart of Xi 5.0

Cumulative Sum

UCL=4 2.5

0.0

0

-2.5 LCL=-4 -5.0 1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

Figura 5.13 Carta Cusum muestra un corrimiento lento de la media del proceso Con parámetros Media objetivo (Target) =10, S = 1 Página 212



Cusum en forma tabular La carta tabular Cusum trabaja con derivaciones acumuladas de 0 sobre el objetivo con un estadístico C+ o debajo de este con un estadistico C-, también llamados Cusums de lado superior o inferior respectivamente. Se calculan como sigue:

  max 0, ( 

C i  max 0, xi  (  0  K )  C i1

C i

0

 K )  xi  C i1

 

(5.13) (5.14)

donde los valores iniciales para C+ y C- son cero.

En las ecuaciones anteriores K es el valor de referencia y se selecciona como un valor intermedio entre la 0 objetivo y la 1 fuera de control en la que estamos interesados en detectar. Así, si el corrimiento se expresa en unidades de desviación estándar 1 = 0 + , entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento: K =  / 2 = Valor absoluto de (1 - 0) / 2

(5.15)

Cuando cualquier estadístico C+ y C- excede el intervalo de decisión H, se considera al proceso fuera de control. Un valor razonable para H es cinco veces el valor de . Ejemplo: si 0 = 10, n=1,  = 1, y asumiendo que se quiere detectar un corrimiento de 1 = 1, para lo cual se utiliza H = 5 sigmas, se tiene: 1 = 10 + 1 = 11 K = ½ = 1/2 H = 5 = 5

  max 0,9.5  x

C i  max 0, xi  10 .5  C i1 C i

i

 C i1





Para el caso de i=1, con xi = 9.5 se tiene: Página 213



C1  max 0,9.45  10 .5  0  0 C1  max 0,9.5  9.45  0  0.05

Para el caso de i=2, con xi = 7.99 se tiene:

C1  max 0,7.99  10 .5  0  0 C1  max 0,9.5  7.99  0.05   1.56 Si N+ y N- indican los periodos en que las sumas no han sido cero, se obtiene la tabla de siguiente: a Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Xi 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34 9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84 10.90 9.33 12.29 11.50 10.60 11.08 10.38 11.62 11.31 10.52

xi - 10.5 -1.05 -2.51 -1.21 1.16 1.66 -0.32 -2.46 0.96 -1.30 -0.16 -1.47 0.97 0.01 -1.10 -0.42 -1.13 0.12 -0.19 -1.98 0.34 0.40 -1.17 1.79 1.00 0.10 0.58 -0.12 1.12 0.81 0.02

b Ci+ 0.00 0.00 0.00 1.16 2.82 2.50 0.04 1.00 0.00 0.00 0.00 0.97 0.98 0.00 0.00 0.00 0.12 0.00 0.00 0.34 0.74 0.00 1.79 2.79 2.89 3.47 3.35 4.47 5.28 5.30

Página 214

N+ 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8

9.5 - xi 0.05 1.51 0.21 -2.16 -2.66 -0.68 1.46 -1.96 0.30 -0.84 0.47 -1.97 -1.01 0.10 -0.58 0.13 -1.12 -0.81 0.98 -1.34 -1.40 0.17 -2.79 -2.00 -1.10 -1.58 -0.88 -2.12 -1.81 -1.02

Ci0.05 1.56 1.77 0.00 0.00 0.00 1.46 0.00 0.30 0.00 0.47 0.00 0.00 0.10 0.00 0.13 0.00 0.00 0.98 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

N 1 2 3 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0



Corrida en Minitab 1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW. 2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM. In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1 Target 10. 3. Cusum Options: Standar deviation 1 Plan Type h 5 k 0.5 OK.

6.00 5.00 4.00 Ci+

3.00

Ci-

2.00 1.00 0.00 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Figura 5.14 Carta Cusum en Excel para el ejemplo CUSUM Chart of Xi_1

Cumulative Sum

5.0

UCL=5

2.5

0.0

0

-2.5

-5.0

LCL=-5 3

6

9

12

15 18 Sample

21

24

27

30

Figura 5.15 Carta Cusum en Minitab para el ejemplo De la tabla de Cusum Tabular se observa que en el periodo 29 su C29+ fue de 5.28, lo que sugiere una situación fuera de control, usando el contador N+ cuyo valor es 7, indica que el último punto en control fue el 29 – 7 = 22, de tal forma que el corrimiento ocurrió entre el periodo 22 y 23.

Página 215



También se puede obtener una presentación gráfica de esta carta, denominada Carta de Estatus de Cusum, graficando Ci+ y Ci- contra el número de muestra. Esto da una idea gráfica al operador del desempeño del proceso.

En forma similar a las cartas Cusum, se debe detener el proceso, identificar la causa asignable o especial, tomar acción correctiva e iniciar de nuevo la Cusum Tabular. Cuando el proceso se corre, la nueva media  puede estimarse de:

  0  K 

  0  K 

C i N

, si C i  H

Ci , si C i  H N

(5.16)

(5.17)

En el ejemplo, en el periodo 29 con C 29 = 5.28, la nueva media del proceso es,

  10  0.5 

5.28  11.25 7

Esto es importante saberlo, por si el proceso tiene alguna forma de ajuste.

Cuando se utiliza un tamaño de subgrupo mayor a 1, en las fórmulas anteriores se debe remplazar a xi por x i y  por la x =

 , aunque se recomienda usar un tamaño de muestra 1 con n

frecuencia de muestreo mayor que para el equivalente de Shewart. La carta Cusum tabular también se puede utilizar para un solo lado con C+ o C-.

EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V Un procedimiento alterno al uso del método tabular Cusum, es la mascarilla en V propuesta por Barnard (1959), esta mascarilla es aplicada a valores sucesivos del estadístico,

Página 216



i

C i   y j  y i  C i 1

(5.18)

j 1

donde yi = (xi - 0) /  observación estandarizada. Una mascarilla en V se muestra a continuación:

Ci 

O

d

P

2A 1A

1 2 3 4 5 ............................................. i

Figura 5.16 Carta de control Cusum con mascarilla en V

El procedimiento consiste en colocar la mascarilla en V sobre la carta Cusum, con el punto O sobre el último valor de Ci y la línea OP paralela al eje horizontal. Si todos los puntos anteriores C1, C2,....,Cj se encuentran dentro de los dos brazos de la mascarilla, el proceso está en control, sin embargo si cualquier punto de las sumas acumuladas se encuentra fuera de los brazos de la mascarilla, se considera al proceso fuera de control.

En la práctica, la mascarilla en V se debe colocar a cada punto tan pronto como es graficado, los brazos de la mascarilla se asumen extendidos hasta el origen.

La operación de la mascarilla en V está determinada por la distancia al vértice d y el ángulo .

La Cusum Tabular es equivalente a la mascarilla en V si,

Página 217



k = A tan ()

(5.19)

h = A d tan () = d.k

(5.20)

y

Donde A es la distancia horizontal en la mascarilla en V, entre puntos sucesivos en términos de unidades de distancia de la escala vertical.

Ejemplo 5.6 Para la forma tabular con k = ½ y h = 5, seleccionando A =1 se tiene

k = A tan ()

=> ½ = (1) tan ()

 = 26.57

o

de h = d.k o

=> 5 = d (1/2)

d =10

Estos son los parámetros de la mascarilla en V. Vmask Chart of AtoBDist 25

Cumulative Sum

20

15

10

5

0

Target=0 2

4

6

8

10

12 14 Sample

16

18

20

22

24

Figura 5.17 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla en V para AtoBDist

Corrida en Minitab con los datos de la Cusum Tabular: Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.

Página 218



In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1 Target 10. Cusum Options: Standar deviation 1 Plan Type Seleccionar Two sided (V Mask) h 4 k 0.5 OK.

Vmask Chart of Xi 30

Cumulative Sum

20

10

0

Target=0

-10 1

4

7

10

13

16 Sample

19

22

25

28

Figura 5.18 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla en V para Xi

Johnson y Leone han sugerido un método para diseñar una mascarilla en V, con las fórmulas siguientes:

     2A 

  tan 1 

(5.21)

y

 2  1   d   2  ln       

(5.22)

Donde 2 es la máxima probabilidad de una falsa alarma cuando el proceso está en control y  es la probabilidad de no detectar un corrimiento de magnitud .

Página 219


d

ln( )




cuando  es muy pequeño.

Ejemplo 5.7 si  = 0.05 y  = 0.05 y  = 1, se obtiene la mascara en V siguiente:

 2   1  0.05  d   2  ln    1   0.05  = 5.888 1   tan 1    26 .56 2  No se recomienda el uso de la mascarilla en V ya que tiene algunas desventajas como son:

1. Es un esquema de doble lado, no apta para control de un solo lado. 2. Es difícil determinar que tanto extender los brazos de la mascarilla en V, dificultando la interpretación del proceso. 3. Existe ambigüedad asociada con alfa y beta.

Página 220



5.7 CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA) El desempeño de esta carta, es equivalente al de sumas acumuladas, con n=1.

Su estadístico se define como sigue:

z i  xi  (1   ) z i 1

(5.23)

donde 0<<=1 es una constante y su valor inicial es el valor objetivo del proceso, de tal forma que:

z 0   0 a veces igual a x Si las observaciones xi son variables aleatorias independientes con varianza 2 , entonces la varianza de zi es:

   2i  1  (1   ) 2

 zi2   





(5.24)

Por tanto los límites de control de zi versus el número de muestra o tiempo i, son:

   2i LSC   0  L   1  (1   ) 2 





LC   0

(5.25) (5.26)

   2i LIC   0  L   1  (1   ) 2 



Página 221



(5.27)



Note que el término [1 – (1-)2i] se aproxima a la unidad conforme i se incrementa, esto significa que cuando la carta EWMA ha corrido durante varios periodos de tiempo, los límites de control se estabilizan en:

LSC   0  L



(5.28)

2

LC   0 LSC   0  L

(5.29)



(5.30)

2

Ejemplo Utilizando los datos de la carta Cusum con  = 0.10, L = 2.7, 0 = 0 y = 3.5, se tiene la carta EWMA mostrada en la página siguiente.

Para x1= 9.45, calculando z1 = 9.945; LSC = 10.27 y LIC = 9.73 con la fórmulas anteriores.

Para x2= 7.99, calculando z2 = 9.7495; LSC = 10.36 y LIC = 9.64, conforme se incrementa i los límites se estabilizan en LSC = 10.62 LIC = 9.38. La carta EWMA tiene un ARL0  500 y una ARL1  14.3 equivalente a la Cusum con h=5 y k=1/2. Esta carta no reacciona a cambios grandes de la media tan rápido como la hace la carta de Shewart, este mismo comportamiento lo tienen tiene la carta Cususm.

Corrida en Minitab: 1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW. 2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > EWMA 3. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5. 4. Weight of EWMA 0.1 5. EWMA Options > Parameters Mean 0.0 Standar Deviation 3.5 S Limits These multiples of the estándar deviation 2.7 6. OK.

Página 222



EWMA Chart of AtoBDist 1.0

+2.7SL=0.967

EWMA

0.5 _ _ X=0

0.0

-0.5

-2.7SL=-0.967

-1.0 1

3

5

7

9

11

13 15 Sample

17

19

21

23

25

Figura 5.19 Ejemplo de carta de control EWMA

Otro ejemplo de carta EWMA: Con los datos del ejemplo anterior, considerando una Lamda de 0.1, L = 2.7, 0=10, y la desviación estándar  = 1, a continuación se muestran los cálculos de la carta EWMA:

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Xi 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34 9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31

EWMA, Zi 9.945 9.7495 9.7036 9.8992 10.1253 10.1307 9.9217 10.0755 9.9880 10.0232 9.9238 10.0785 10.1216 10.0495 10.0525 9.9843 10.0478 10.0740

Página 223


8.52 10.84 10.90 9.33 12.29 11.50 10.60 11.08 10.38 11.62 11.31 10.52


9.9186 10.0108 10.0997 10.0227 10.2495 10.3745 10.3971 10.4654 10.4568 10.5731 10.6468 10.6341

Los límites de control son los siguientes:

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Xi 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34 9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84 10.90 9.33 12.29 11.50 10.60 11.08 10.38 11.62 11.31

EWMA, Zi 9.945 9.7495 9.7036 9.8992 10.1253 10.1307 9.9217 10.0755 9.9880 10.0232 9.9238 10.0785 10.1216 10.0495 10.0525 9.9843 10.0478 10.0740 9.9186 10.0108 10.0997 10.0227 10.2495 10.3745 10.3971 10.4654 10.4568 10.5731 10.6468

LSC 10.2700 10.3632 10.4240 10.4675 10.4999 10.5247 10.5440 10.5591 10.5710 10.5805 10.5881 10.5942 10.5991 10.6030 10.6062 10.6087 10.6107 10.6124 10.6137 10.6148 10.6157 10.6164 10.6170 10.6174 10.6178 10.6181 10.6184 10.6186 10.6187

Página 224

LIC 9.7300 9.6368 9.5760 9.5325 9.5001 9.4753 9.4560 9.4409 9.4290 9.4195 9.4119 9.4058 9.4009 9.3970 9.3938 9.3913 9.3893 9.3876 9.3863 9.3852 9.3843 9.3836 9.3830 9.3826 9.3822 9.3819 9.3816 9.3814 9.3813

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 30

10.52


10.6341

10.6189

9.3811

10.8 10.6 10.4 10.2 10

EWMA, Zi

9.8 9.6

LSC LIC

9.4 9.2 9 8.8 8.6 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Figura 5.20 Carta EWMA graficada en Excel La carta con Minitab es: 1. Stat > Control Charts > Time weighted charts > EWMA 2. In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1. 3. Weight of EWMA 0.1 4. EWMA Options > Parameters Mean 10.0 Standar Deviation 1 S Limits These multiples of the estándar deviation 2.7 6. OK.

EWMA Chart of Xi_1 10.75 +2.7SL=10.619 10.50

EWMA

10.25 _ _ X=10

10.00 9.75 9.50

-2.7SL=9.381 3

6

9

12

15 18 Sample

21

24

27

Figura 5.21 Carta EWMA graficada en Excel

Página 225

30



5.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL Utilizada como un intermedio entre la carta de Shewart y la EWMA para detectar pequeñas corridas de la media. Asumiendo que se define un rango de observaciones w en el tiempo i, su media móvil es:

Mi 

xi  xi 1  ..... xi  w1 w

(5.31)

Los límites de control son:

LSC   0 

3 w

(5.32)

LC   0

LIC   0 

(5.33)

3 w

(5.34)

Por ejemplo usando los datos anteriores con w = 5. Graficando el estadístico M i para periodos i  5.

Mi 

xi  xi 1  ....xi 4 5

(5.35)

Para periodos i<5 se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1, 2, 3, ...i. Ejemplo 5.9 Los límites de control son con 0 =10 y =1, se tiene: LSC = 10 + 3 (1.0) / 51/2 = 11.34 LSC = 10 - 3 (1.0) / 51/2 = 8.66

Ejemplo La carta de media móvil para los datos del ejemplo anterior con un tamaño de corrida de 5 es la siguiente:

Corrida en Minitab: 1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW. 2. Stat > Control Charts > Time Weighted charts > Moving Average 3. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5. 4. Lenght of MA 5 5. OK.

Página 226



Moving Average Chart for AtoBDist 5

Moving Average

4 3 UCL=2.346

2 1

Mean=0.4417

0 -1

LCL=-1.463

-2 -3 -4 -5 0

5

10

15

20

25

Sample Number

Figura 5.22 Ejemplo de carta de control de Media móvil

Otro ejemplo de carta de media móvil: Se quiere monitorear el peso en libras de 45 lotes de arena embarcados semanalmente a un cliente. Cada lote pesa aproximadamente 930 libras. Comparar el monitoreo con una carta I-MR y una carta de promedio móvil.

Los datos son los siguientes: Weight 905 930 865 895 905 885 890 930 915 910 920 915 925 860 905

875 985 970 940 975 1000 1035 1020 985 960 945 965 940 900 920

Página 227

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 925 925 905 915 930 890 940 860


980 950 955 970 970 1035 1040

Instrucciones de Minitab 1. Open worksheet EXH_QC.MTW. 2. Seleccionar Stat > Control Charts > Time-weighted charts > Moving Average. 3. Seleccionar All observations for a chart are in one column, poner Weight. 4. En Subgroup sizes, poner 1. Click OK. La carta de promedio móvil es:

Moving Average Chart of Weight 1025

Moving Average

1000 UCL=979.6

975 950

_ _ X=936.9

925 900

LCL=894.1

875 850 4

8

12

16

20 24 Sample

28

32

36

Figura 5.23 Carta de media móvil del ejemplo La carta I-MR es la siguiente:

Página 228

40

44



I-MR Chart of Weight 1050

1 1

1

Individual Value

1

U C L=1010.9

1000

_ X=936.9

950 900 850

1

4

8

12

LC L=862.8

1

16

20 24 O bser vation

28

32

36

40

44

1

M oving Range

100

U C L=91.0

75 50 __ M R=27.8

25 0

LC L=0 4

8

12

16

20 24 O bser vation

28

32

36

40

44

Figura 5.25 Carta I-MR del ejemplo Se observa una mejor detección de corrida de la media en la carta EWMA

Ejemplo de media móvil:

Usando los datos siguientes con M = 5, con desviación estándar = 1 y media = 10:

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Xi 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34 9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31

Mi 9.450 8.720 8.910 9.598 10.110 10.256 10.266 10.700 10.208 9.844 9.614 10.300 10.110 10.150 10.098 10.166 9.996 9.956

LSC 13.0000 12.1213 11.7321 11.5000 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416

Página 229

LIC 7.0000 7.8787 8.2679 8.5000 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584


8.52 10.84 10.90 9.33 12.29 11.50 10.60 11.08 10.38 11.62 11.31 10.52


9.780 9.932 10.238 9.980 10.376 10.972 10.924 10.960 11.170 11.036 10.998 10.982

11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416 11.3416

8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584 8.6584

14.00 13.00 12.00 Xi

11.00

Mi

10.00

LSC

9.00

LIC

8.00 7.00 6.00 1

3

5

7

9

11

13

15

17

Figura 5.26 Carta de media móvil en Excel

Página 230

19

21

23

25

27

29



6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO 6.1 INTRODUCCIÓN Las técnicas estadísticas ayudan durante el ciclo del producto a reducir la variabilidad y a mejorar la capacidad de los procesos.

Teoría del camión y el túnel El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto (variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación. Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la especificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Si el chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.

Ancho 9´ Nigel´s Trucking Co.

Definiciones básicas. 

Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas, herramientas, métodos, materiales y personas involucradas en la producción.



Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada en el desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir.

Página 231



Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los límites de especificaciones de calidad.



Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el proceso.



Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de causas especiales o atribuibles de variación.



Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo actúan las causas comunes de variación en las características de calidad.



Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.

La aplicación del análisis de capacidad de los procesos tiene los objetivos siguientes:

1. Predecir que tanto cumplirá las tolerancias especificadas el proceso. 2. Apoyar a los diseñadores en la selección o modificación de un proceso. 3. Soportar la determinación de intervalos de muestreo para monitoreo del proceso. 4. Determinar el desempeño de un equipo nuevo. 5. Planear la secuencia de procesos productivos cuando hay un efecto interactivo de procesos o tolerancias. 6. Seleccionar de entre diversos proveedores. 7. Reducir la variabilidad de un proceso de manufactura.

La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la uniformidad de los procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos formas de pensar en esta variabilidad: 1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea). 2. La variabilidad en el tiempo.

Página 232



Es usual tomar 6-sigma de la población  como la dispersión en la distribución de la característica de calidad del producto como medida de la capacidad del proceso. Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se encuentran en   3 , o sea: LTNS =  + 3 

(6.1)

LTNI =  - 3 

Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la variable, sólo el 0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de estos limites de tolerancia naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el porcentaje puede diferir grandemente. Esto se esquematiza en la figura siguiente:



.00135 LTNI

LTNS .00135

Fig. 6.1 Localización de los límites de tolerancia natural

Existen diversas técnicas para evaluar la capacidad del proceso, entre las que se encuentran: Histogramas o papel de probabilidad, cartas de control y experimentos diseñados. LSE

LIE

Z

s p

xi

_ X

Fig. 6.2 Fracción defectiva fuera de especificaciones

Página 233



p = porcentaje de medidas bajo la curva de probabilidad fuera de especificaciones. En el área sombrada observamos medidas fuera de los límites de especificación.

Para solucionar este problema, podemos reducir la desviación estándar.

También podríamos cambiar la media.

Lo ideal sería, por supuesto cambiar ambas.

Figura 6.3 Algunas alternativas para mejorar la capacidad

Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso Para realizar un estudio de capacidad es necesario que se cumplan los siguientes supuestos 32: 

El proceso se encuentre bajo control estadístico, es decir sin la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos. Si el proceso está fuera de control la media y/o la desviación estándar del proceso no son estables y, en consecuencia, su variabilidad será mayor que la natural y la

32

J.M. Juran, Análisis y planeación de la Calidad, Tercera Edición Mc. Graw Hill, Pp.404 Página 234



capacidad potencial estará infravalorada, en este caso no es conveniente hacer un estudio de capacidad. 

Se recolectan suficientes datos durante el estudio de habilidad para minimizar el error de muestreo para los índices de habilidad. Si los datos se componen de menos de 100 valores, entonces deben calcularse los límites de confianza inferiores.



Los datos se recolectan durante un periodo suficientemente largo para asegurar que las condiciones del proceso presentes durante el estudio sean representativos de las condiciones actuales y futuras.



El parámetro analizado en el estudio sigue una distribución de probabilidad normal, de otra manera, los porcentajes de los productos asociados con los índices de capacidad son incorrectos.

También es importante al realizar un estudio de capacidad, asegurarnos que la variación en el sistema de medición no sea mayor al 10%.

Variación a corto plazo y a largo plazo Existen dos maneras de expresar la variabilidad:

Variación a corto plazo (Zst) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo suficientemente corto para que sea improbable que haya cambios y otras causas especiales.

Las familias de variación han sido restringidas de tal manera que los datos considerados, sólo son los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a

determinar subgrupos racionales

importantes.

Figura 6.4 Variabilidad a corto plazo

Variación a Largo Plazo(Zlt) –

Los datos son

recogidos durante un periodo de tiempo

suficientemente largo y en condiciones suficientemente diversas para que sea probable que

Página 235



contenga algunos cambios de proceso y otras causas especiales. Aquí todas las familias de variación exhiben su contribución en la variación del proceso general.

Figura 6.5 Variabilidad a largo plazo

Para el cálculo de Z utilizamos las siguientes formulas:

Z st  Z LT 

límite especif .  nom. desv.std ST

(6.1)

límite especif .  media desv.std LT

dónde:

Zst = variación a corto plazo. nom = Valor nominal u objetivo Zlt = variación a largo plazo.

Z shift.- A largo plazo los procesos tienen un desplazamiento natural de 1.5 desviaciones estándar.

Zlt = Zst-1.5shift

6.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD Índice de capacidad potencial Cp

Página 236



El índice de capacidad potencial Cp = PCR compara la amplitud de variación permitida por las especificaciones entre la amplitud de variación entre los límites de tolerancia naturales del proceso.

Cp  PCR 

LSE  LIE 6

(6.2)

Ejemplo 6.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE = 74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la carta R se estimó  

R  0.0099 por tanto se tiene: d2

Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6 = (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099) = 1.68

La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de especificaciones usada por el proceso.

 1  100 P    Cp 

(6.3)

Para el caso del ejemplo se tiene:

P = [(1/1.68)] 100 = 59.5%

Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial Cp o PCR se define como:

Cps  PCRS 

LSE   3

para el límite superior

Cpi  PCRI 

  LIE 3

para el límite inferior

Página 237

(6.4)



Ejemplo 6.2 Para el caso de la resistencia de las botellas de vidrio, si el LIE = 200psi,

Cp  PCR I 

264  200 64   0.67 3(32 ) 96

Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del límite inferior es:

ZI 

LIE  





200  264  2 32

P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de especificaciones

Algunos de los índices de capacidad potencial Cp y las piezas defectivas en partes por millón (ppm) que están fuera de especificaciones se muestran a continuación:

Cp 1-lado 0.25 0.5 0.6 0.7 0.8 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2

226,628 66,807 35,931 17,865 8,198 1,350 484 159 48 14 4 1 0.17 0.0009

2-lados 453,255 133,614 71,861 35,729 16,395 2,700 967 318 96 27 7 2 0.34 0.0018

Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67 para procesos críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de Motorola en su programa 6-sigma.

Página 238



Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso respecto a los límites de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice adicional.

Índice de capacidad real Cpk Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este caso se denomina Cpk o PCRk, y se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue,

Cpk  PCRk  min ( PCR S , PCR I ) debe ser mayor a 1 (6.5) donde,

Cps  PCRS 

LSE   3

para el límite superior

Cpi  PCRI 

  LIE 3

para el límite inferior

(6.6)

Ejemplo 6.3 Para un proceso donde los límites de especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea =53 y su desviación estándar =2, se tiene:

Cps  PCRS 

62  53  1.5 para el límite superior 32

Cpi  PCRI 

53  38  2.5 para el límite inferior 32

Por tanto, el índice de capacidad real es:

Cpk  PCRk  min ( PCR S , PCR I )  min (1.5,2.5)  1.5

Note que el PCR a considerar corresponde al límite de especificación más cercano a la media del proceso. Siempre se cumple que,

Página 239



Cpk <= Cp

Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centrado NORMALIDAD Y CAPACIDAD DEL PROCESO

Las consideraciones anteriores se basan en la suposición que el proceso tiene un comportamiento normal, si no es así, puede ser necesario transformar los datos con alguna función matemática para dar la apariencia de normalidad, por ejemplo la distribución siguiente de acabado superficial en una parte maquinada no es normal:

Frec. a)

Microdureza

Se puede transformar cada valor x con su inverso o sea con y=1/x de esta forma la distribución transformada es la siguiente (ver método de Box Cox con Lamda óptima en Minitab):

Frec.

b)

Y=1/x

Figura 6.6 Transformación de datos para normalizarlos

Lo cual representa una distribución normal.

Página 240



Índice de capacidad potencial Cpm o PCRm y Cpkm o PCRkm Dos procesos pueden tener un Cpk igual a uno, pero sin embargo no necesariamente están centrados respecto a la media de las especificaciones como se muestra a continuación:



LIE

PROCESO A: Cpk = 1

LSE

LIE



LSE

PROCESO B: Cpk =1

Figura 6.7 Procesos con Cpk = 1 pero con centrado diferente

ÍNDICE DE CAPACIDAD Cpm Un nuevo índice Cpm que toma en cuenta el centrado es el siguiente:

Si T 

1 ( LSE  LIE) 2

(6.7)

   2  (  T ) 2 

(6.8)

T 

(6.9)



Se tiene,

Cp m  PCRkm 

LSE  LIE LSE  LIE LSE  LIE   2 2 6 6   (  T ) 1  2

Una condición necesaria para que Cpm sea mayor de uno es:

1 6

  T  ( LSE  LIE)

Ejemplo 6.4 Para los procesos A y B ilustrados anteriormente se tiene: Página 241

(6.10)



Límites de especificación: LIE = 38, LSE = 62, T = 50 Proceso A:

Media = 50, desv. estándar = 5

Proceso B: Media = 57.7, desv. estándar = 2.5

1  1.0 1 0

Entonces Cpm (A) =

Cpm (B) =

2 1  (3) 2

 0.63

Por tanto es mejor el proceso A, centrado en la media.

ÍNDICE DE CAPACIDAD Cpkm En base a lo anterior se ha propuesto otro índice de capacidad por Pearn (1992), que toma en cuenta el descentrado de la media del proceso respecto de la media de especificaciones, o sea:

Cp pmk  PCRpmk 

Cpk

(6.11)

1 2

Cuando T es igual a X media del proceso, Cpkm = Cpk

Ejemplo: De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente: Xmedia de medias = 264.06

Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:  = X media de medias

 = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23

[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones

Página 242



Ejercicio: De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 40

Rmedio = 5

a) Determinar la desviación estándar del proceso

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones

d) Determinar el Cp

e) Determinar el Cpk

f) Determinar el Cpm

g) Determinar el Cpkm

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores

6.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL Histograma Para el estudio se requieren alrededor de 100 o más observaciones para permitir que el proceso se estabilice, deben seguirse los pasos previos siguientes: Procedimiento:

Página 243



1. Seleccionar un proceso específico para realizar el estudio 2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso 3. Seleccionar un operador entrenado 4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%) 5. Cuidadosamente recolectar la información 6. Construir un histograma de frecuencia con los datos 7. Calcular la media y desviación estándar del proceso 8. Calcular la capacidad del proceso

El histograma junto con la media y la desviación estándar de la muestra S, proporciona información acerca de la capacidad del proceso.

Ejemplo 6.4 Se tiene la resistencia de botellas de vidrio de 1-litro en psi. Los datos se muestran se muestran a continuación. HIST 265 205 263 307 220 268 260 234 299 215 197 286 274 243 231 267 281 265 214 318

346 317 242 258 276 300 208 187 264 271 280 242 260 321 228 250 299 258 267 293

265 254 281 294 223 260 308 235 283 277 200 235 246 328 296 276 264 269 235 290

221 176 248 263 231 334 280 265 272 283 265 262 271 245 301 280 274 253 287 258

261 248 260 274 337 250 278 254 274 275 278 250 265 270 298 257 210 280 269 251

Página 244



Summary for HIST A nderson-Darling N ormality Test

180

210

240

270

300

A -S quared P -V alue

0.75 0.049

M ean S tDev V ariance S kew ness Kurtosis N

264.06 32.02 1025.15 -0.129448 0.518454 100

M inimum 1st Q uartile M edian 3rd Q uartile M aximum

330

176.00 248.00 265.00 280.00 346.00

95% C onfidence Interv al for M ean 257.71

270.41

95% C onfidence Interv al for M edian 260.00

271.00

95% C onfidence Interv al for S tDev 9 5 % C onfidence Inter vals

28.11

37.19

Mean Median 258

260

262

264

266

268

270

Figura 6.8 Resumen gráfico de los datos

X  264.06

S = 32.02

Consecuentemente la capacidad el proceso se estima en X  3S

 264 96 psi.

Esta primera estimación de la capacidad es independiente de las especificaciones.

Papel de probabilidad normal Es una herramienta que permite evaluar la capacidad aproximada del proceso con resultados parecidos a los del histograma pero con un número menor de muestras y sin las operaciones del histograma, a continuación se muestra un ejemplo de esta herramienta.

Página 245



Ventajas

1. Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como en el histograma, 10 son suficientes 2. El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en intervalos de clase como en el histograma. 3. Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la línea de ajuste 4. Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso. Así como la fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el Cpk.

Procedimiento 1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en forma ascendente, asignándoles una posición ( j ) entre 1 y n. 2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la fórmula siguiente: Pj = (j - 0.5) / n 3. En el papel especial normal se grafica cada punto (Xj, Pj) 4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos 5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el proceso y se procede a hacer las identificaciones:

La media corresponde al percentil 50 y la desviación estándar es estimada por la diferencia del percentil 84 menos el percentil 50,

La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5 La desviación estándar es la diferencia en Xj corresp. a Pj = 0.5 y Pj = 0.84

Ejemplo 6.5 .-Se tomaron los datos siguientes (Xj) ordenamos los datos y, calculamos la probabilidad de su posición (Pj)

Página 246


Pos. J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor Xj 197 200 215 221 231 242 245 258 265 265

Pj 0.025 0.075 0.125 0.175 0.225 0.325 0.325 0.375 0.425 0.475


Pos. J 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Xj 271 275 277 278 280 283 290 301 318 346

Pj 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975

Con ayuda del gráfico podemos obtener la media, la desviación estándar y el porcentaje de valores que se encuentran fuera de especificaciones.

Pj 0.84

0.5 Desv. Estándar Fracción Defectiva

LIE

X Media

Xj

Figura 6.9 Capacidad del proceso con papel normal

El trazo normal es el siguiente: El eje Y es un rango no lineal de probabilidades normales. El eje X es un rango lineal de la variable que se está analizando.

Si los datos son normales, la frecuencia de ocurrencias en varios valores Xi, puede predecirse usando una línea sólida como modelo. Por ejemplo, sólo más del 20% de los datos del proceso serían valores de 225 o inferiores.

Página 247



Ejemplo 6.6 Cálculo de capacidad con papel normal en Minitab Datos 271 275 277 278 280 283 290 301 318 346

197 200 215 221 231 242 245 258 265 265


99


95 90

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

150

200

250 Datos

Página 248

300

350

262.9 38.13 20 0.262 0.667



De este diagrama se obtiene:

  262.9

  298  262 .9  35 .1 psi Note que los valores no difieren mucho de los del histograma con media 264.06 y desviación estándar S = 32.02.

Con esta gráfica se pueden estimar también los porcentajes de partes fuera de las especificaciones, por ejemplo si se traza el Límite Inferior de Especificación LIE en 200 psi, se observa que se tiene un 5% aproximadamente fuera de especificaciones.

Nota: Es muy importante que el proceso sea normal, de lo contrario se obtendrán resultados inexactos. Cuando los procesos son ligeramente anormales se pueden utilizar los métodos de Pearson, transformar los datos por Box Cox o usar Weibull.

Capacidad del proceso con cartas de control La carta de control es un mejor instrumento para evaluar la capacidad del proceso porque se puede observar que el proceso esté en control ya sea en forma instantánea o durante el tiempo antes de evaluar la capacidad.

Se puede observar que cuando el proceso está en control, no existen causas asignables que puedan ser corregidas, y la única alternativa para reducir la variabilidad es con la intervención de la administración. En casos especiales como estos donde las variaciones presentes son totalmente inesperadas tenemos un proceso inestable ó impredecible.

Página 249



? ?

?

?

?

?

?

Figura 6.10 Comportamiento de un proceso fuera de control

Si las variaciones presentes son iguales, se dice que se tiene un proceso “estable”. La distribución será “predecible” en el tiempo.

Predicción

Tiempo

Fig. 6.11 Comportamiento de un proceso dentro de control Cálculo de la desviación estándar del proceso

 

R S ó   (Para cartas de control X-R y X-S respectivamente) C4 d2

Donde, El factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk.

Página 250



S = Desviación estándar de la población d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R C4 = Ídem al anterior para una carta X - S

En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio = Suma rangos / (n -1)

Ejemplo 6.7 (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

x

= 64.06 ,

R

= 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

  x media de medias  

R 77 .3   33 .23 d 2 2.326

Si el límite de especificación es: LIE = 200.

El C pk 

200  264.06 = 3  33.23

0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones.

Ejemplo 6.8 (carta X - S) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

  x  100

Página 251

x  100, s  1.05





s 1.05 =  1.117 C 4 .094

C4 para n = 5 tiene el valor 0.94

Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105.

El C pk 

105  100  1.492

El C p 

105  85  2.984

3  1.117

6  1.117

Por lo tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones.

Capacidad de procesos con Minitab: normales y no normales Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con

1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estándar deviation 32.02 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Ryan como sigue:

3. Stat > Basic statistics > Normalita Test 4. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente

Página 252




99.9

Mean StDev N RJ P-Value

99

Percent

95 90

269.3 30.72 100 0.994 >0.100

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

150

200

250 Datos

300

350

Fig. 6.12 Datos normales – Pvalue mayor a 0.05 Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:

5. Graph > Probability plot > Normal 6. Graph Variable C1 7. Distribution Normal OK

Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución.

Probability Plot of Datos Normal - 95% CI

99.9


99

Percent

95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

150

200

250

300

350

400

Datos

Fig. 6.13 Datos normales – Pvalue mayor a 0.05

Página 253

269.3 30.72 100 0.317 0.533



Determinación de la capacidad del proceso

Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con:

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal 2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330 3. Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación:

Process Capability of Datos LSL

USL

P rocess D ata LS L 200.00000 Target * USL 330.00000 S ample M ean 269.25354 S ample N 100 S tD ev (Within) 30.83472 S tD ev (O v erall) 30.80011

Within Ov erall P otential (Within) C apability Cp 0.70 C PL 0.75 C PU 0.66 C pk 0.66 C C pk 0.70 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

210 O bserv ed P erformance P P M < LS L 10000.00 P P M > U S L 30000.00 P P M Total 40000.00

240

E xp. Within P erformance P P M < LS L 12353.30 P P M > U S L 24415.36 P P M Total 36768.66

270

300

330

0.70 0.75 0.66 0.66 *

360

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 12272.69 P P M > U S L 24288.79 P P M Total 36561.48

Fig. 6.14 Capacidad del proceso Interpretación:

La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2 (1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial Cp y real Cpk, lo cual es adecuado para un proceso en control o normal.

Página 254



La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de todos los datos de la muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk así como el desempeño Overall, no importando si el proceso está en control o no, en este último caso los valores no tienen significado práctico.

Opción Six Pack Para mostrar toda la información relevante:

Determinar la capacidad con: 4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal 5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330 6. Estimate R-bar OK


Process Capability Sixpack of Datos Individual Value

I C har t

C apability H istogr am UCL=361.8

320 _ X=269.3 240 160

LCL=176.7 1

10

20

30

40

50

60

70

80

M oving Range C har t

100

210

100 50

270

300

330

360

Nor mal P r ob P lot A D : 0.317, P : 0.533

UCL=113.6

__ MR=34.8

0

LCL=0 1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Last 2 5 O bser vations

200

300

400

C apability P lot Within S tDev 30.83472 Cp 0.70 C pk 0.66 C C pk 0.70

300

Values

240

1

1

Moving Range

90

250 200

Within

Overall

O v erall S tDev 30.80011 Pp 0.70 P pk 0.66 C pm *

Specs

80

85

90 Observation

95

100

Figura 6.15 Resultados de capacidad del proceso Six Pack

En este caso de la gráfica de probabilidad normal, los datos siguen una distribución normal.

Página 255



Capacidad de procesos no normales. Cuando los datos provienen de poblaciones no normales una opción para realizar el estudio de capacidad de procesos es mediante la distribución Weibull.

Ejemplo en Minitab

En una compañía se manufacturan losetas para piso, el problema que se tiene es referente a la deformación en las mismas. Se toman 100 mediciones durante 10 días. El límite superior de especificación (USL) = 3.5 mm Realice un estudio de capacidad con la ayuda de Minitab e interprete los resultados.

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con

6. Calc > Random data > Weibull 7. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1 Threshold parameter 0 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5

Determinar la capacidad con: 7. Stat > Quality tools > Capability análisis > NoNormal 8. Single column C1 Dsitribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5 9. Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación: El histograma no muestra evidencia de alguna discrepancia seria entre el modelo y los datos, ya que la curva muestra buen ajuste. Sin embargo observamos que algunos datos caen fuera del límite superior de especificación. Lo cual quiere decir que en algunos casos la deformación será mayor a 3.5 mm.

Página 256



Process Capability of Datos1

Calculations Based on Weibull Distribution Model USL P rocess D ata LS L Target USL S ample M ean S ample N S hape S cale

O v erall C apability Pp * PPL * PPU 0.85 P pk 0.85

* * 3.50000 0.82279 100 1.24929 0.88470

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L * P P M > U S L 3795.26 P P M Total 3795.26

O bserv ed P erformance P P M < LS L * P P M > U S L 10000 P P M Total 10000

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Fig. 6.16 Determinación de la capacidad del proceso por Weibull - Datos no normales

El índice Ppk y Ppu33 = 0.85 lo cual nos dice que el desempeño del proceso no es capaz ya que 0.85<.1.33

También observamos que PPM > USL 3,795 lo cual significa que aproximadamente 3,795 PPM estarán fuera de los límites de especificaciones.

También se cuenta con la opción Six Pack para esta opción.

Análisis de capacidad con experimentos diseñados El diseño de experimentos es un método sistemático para variar el nivel de los parámetros controlables del proceso y analizar sus efectos en los resultados finales o productos. De esta forma se puede determinar el nivel de los parámetros que optimizan el proceso.

33

Los índices Pp y Ppk son similares a los índices Cp y Cpk , se refieren a la capacidad del proceso a largo plazo. Página 257



6.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN Con formato: Título 3, Izquierda, Interlineado: sencillo

Error rror del equipo de medición En cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la variabilidad observada es debida al producto mismo y parte es debida a la variación del equipo de medición, o sea: 2 2  total   2producto   equipo .medición

(6.13)

Ejemplo 6.8 Tomando 20 partes y evaluándolas 2 veces por un mismo operador con el mismo instrumento de medición, se obtienen los resultados mostrados a continuación: PARTS OP1IN1 OP1IN2 X-media 1 21 20 20.5 2 24 23 23.5 3 20 21 20.5 4 27 27 27 5 19 18 18.5 6 23 21 22 7 22 21 21.5 8 19 17 18 9 24 23 23.5 10 25 23 24 11 21 20 20.5 12 18 19 18.5 13 23 25 24 14 24 24 24 15 29 30 29.5 16 26 26 26 17 20 20 20 18 19 21 20 19 25 26 25.5 20 19 19 19 Figura 6.16 Cartas X-R del estudio

Rango 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 0 0 2 1 0 Con formato: Español (México)

Página 258


Dr. P. Reyes / enero de 2009 Con formato: Español (México)

Xbar-R Chart of C1, ..., C2 30

1

Sample M ean

1 1

1

25

U C L=24.18 _ _ X=22.3 LC L=20.42

20

1 1

1

3

5

1

1

1

7

1

9

11 Sample

13

15

17

19

U C L=3.267

Sample Range

3

2 _ R=1

1

0

LC L=0 1

3

5

7

9

11 Sample

13

15

17

19

Figura 6.17 Cartas de control X-R de las mediciones del operador en sus dos intentos Con formato: Español (México)

Notar que la carta X indica muchos puntos fuera de control, lo cual es normal ya que se espera que el instrumento distinga las diferentes unidades de producto.

La

carta

R

representa

las

diferencias entre mediciones de la misma unidad con el mismo instrumento. En este caso la carta R está en control, indicando que el operador no tiene dificultad para realizar las mediciones en forma consistente. Si hubiera puntos fuera de control, indica que el operador tiene dificultad para utilizar el instrumento. La desviación estándar del error de medición, instrumento puede estimarse como:

 instrumento 

R 1 .0   0.887 d 2 1.128

Como la distribución del error de medición es aproximadamente normal, entonces 6instrumento es un buen estimador de la capacidad del instrumento de medición.

Página 259



En este caso, 6instrumento = 6 (0.887) = 5.32, de tal forma que 2.66 de error de medición se puede asignar al error del instrumento de medición.

Es usual comparar la capacidad del instrumento de medición contra el rango de las especificaciones (LSE – LIE), denominado P/T, como sigue:

P 6 instrumento  T LSE  LIE

(6.14)

Para el caso del ejemplo se tiene:

P 6(0.887) 5.32    0.097 T 60  5 55 Los valores de P/T menores a 0.1 implican una capacidad adecuada del instrumento de medición. Basado en su precisión debe ser al menos de 0.1 de la tolerancia de la característica evaluada.

La variabilidad total de los datos de las mediciones incluyen la variabilidad del producto y las del instrumento de medición. Por tanto, 2  total  S2

2 2  2producto   total   instrument o

De los datos del ejemplo se tiene: Variable OP1IN1

N 40

Mean Median 22.300 21.500

TrMean StDev SE Mean 22.167 3.172 0.502

2  total  S 2 = 3.17 x 3.17 = 10.0615

2 2  2producto   total   instrument o = 10.0615 – 0.7867 = 9.2748

Por tanto la desviación estándar de la característica del producto es:

Página 260



 = 3.045

La variabilidad del instrumento de medición también puede expresarse como un porcentaje de la variabilidad de la característica del producto como sigue:

 instrumento x100  producto

(6.15)

Para el ejemplo se tiene:

 instrumento 0.887 x100  29.13% x100 = 3.045  producto Con formato: Título 3, Izquierda, Interlineado: sencillo

6.6.2 Rrepetibilidad y reproducibilidad (R&R) Se pueden determinar los componentes del error debidos a diferentes operadores (repetibilidad) y debidos al instrumento de medición en sí (reproducibilidad). 2 2 2  error .medición   repetibilidad   reproducibilidad

(6.16)

Ejemplo 6.9 Se tienen los datos de mediciones de 20 partes por 3 operadores, haciendo 2 intentos cada uno como sigue.

PARTS 1 2 3 4 5 6 7 8

OP1IN1 OP1IN2 RANGO1 OP2IN1 21 20 1 20 24 23 1 24 20 21 1 19 27 27 0 28 19 18 1 19 23 21 2 24 22 21 1 22 19 17 2 18

OP2IN2 RANGO2 OP3IN1 20 0 19 24 0 23 21 2 20 26 2 27 18 1 18 21 3 23 24 2 22 20 2 19

Página 261

OP3IN2 RANGO3 21 2 24 1 22 2 28 1 21 3 22 1 20 2 18 1

Tabla con formato

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 PARTS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

24 23 1 25 23 2 21 20 1 18 19 1 23 25 2 24 24 0 29 30 1 26 26 0 20 20 0 19 21 2 25 26 1 19 19 0 OP1IN1 OP1IN2 RANGO1 21 20 1 20 24 23 1 24 20 21 1 19 27 27 0 28 19 18 1 19 23 21 2 24 22 21 1 22 19 17 2 18 24 23 1 25 25 23 2 26 21 20 1 20 18 19 1 17 23 25 2 25 24 24 0 23 29 30 1 30 26 26 0 25 20 20 0 19 19 21 2 19 25 26 1 25 19 19 0 18

Dr. P. Reyes / enero de 2009 25 23 2 26 25 1 20 20 0 17 19 2 25 25 0 23 25 2 30 28 2 25 26 1 19 20 1 19 19 0 25 24 1 18 17 1 OP2IN1 OP2IN2 RANGO2 20 0 19 21 24 0 23 24 21 2 20 22 26 2 27 28 18 1 18 21 21 3 23 22 24 2 22 20 20 2 19 18 23 2 24 24 25 1 24 25 20 0 21 20 19 2 18 19 25 0 25 25 25 2 24 25 28 2 31 30 26 1 25 27 20 1 20 20 19 0 21 23 24 1 25 25 17 1 19 17

La media de los rangos medios para cada operador es:

1 1 R  ( R1  R 2  R 3 )  (1.0  1.25  1.20)  1.15 3 3 por tanto la desviación estándar de la repetibilidad es:

Página 262

24 24 24 25 21 20 18 19 25 25 24 25 31 30 25 27 20 20 21 23 25 25 19 17 OP3IN1 OP3IN2 RANGO3 2 1 2 1 3 1 2 1 0 1 1 1 0 1 1 2 0 2 0 2

0 1 1 1 0 1 1 2 0 2 0 2


 repetibilidad 


R 1.15   1.02 d 2 1.128

tomando d2 para n=2 lecturas

La reproducibilidad es causada por diferencias entre los 3 operadores, es decir,

x max  max( x1 , x 2 , x 3 ) x min  min( x1 , x 2 , x 3 ) R  x max  x min x

 reproducibilidad 

Rx d2

considerando el número de operadores.

Del ejemplo, se tiene que para 3 operadores, d2 =1.693, por tanto: xmax = 22.60, xmin =22.28 y Rx=0.32, y reproducibilidad = 0.32/1.693 = 0.19

Por tanto la variabilidad total del error de medición es: 2 2 2 2 2  instrument .medición   repetibilidad   reproducibilidad = 1.02 + 0.19 = 1.08

instrumento.medición = 1.04

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 11 pto

La relación P/T = 6 (1.04) / (60-5) = 0.11

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 11 pto

Por otra parte utilizando el paquete Minitab se obtuvieron las respuestas siguientes (tomando 5.15 sigmas):


Gage R&R Study - XBar/R Method

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 11 pto

Gage R&R for OP1IN1 Gage name: Date of study: Reported by:

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New

DISPOSITIVO DE PRUEBA 20 JULIO 2000 P. REYES Página 263

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 11 pto Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Tolerance: Misc:


5


Source

Variance

%Contribution (of Variance)

Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-to-Part Total Variation

1.0424 1.0394 0.0030 9.4801 10.5225

9.91 9.88 0.03 90.09 100.00

Source

StdDev (SD)

Study Var (5.15*SD)

Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-to-Part Total Variation

1.02096 1.01950 0.05449 3.07898 3.24384

5.2579 5.2504 0.2806 15.8568 16.7058

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 11 pto Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 11 pto Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New

%Study Var (%SV) 31.47 31.43 1.68 94.92 100.00

%Tolerance (SV/Toler) 9.56 9.55 0.51 28.83 30.37

Number of distinct categories = 4

De esta forma cuando se toman en cuenta ambas la repetibilidad y la reproducibilidad, la capacidad del sistema de medición se reduce. Es necesario entrenar al operador en el uso del instrumento de medición y en todo caso a encontrar otro equipo de medición.

Página 264

Con formato

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6.6.3 R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAG En muchas ocasiones las organizaciones no consideran el impacto de no tener sistemas de medición de calidad, el hecho de que las mediciones no sean exactas puede llevar a cometer errores en el cálculo, y en los análisis y conclusiones de los estudios de capacidad de los procesos.

Cuando los operadores no miden una pieza de manera consistente, se puede caer en el riesgo de rechazar artículos que están en buen estado o aceptar artículos que están en mal estado. Por otro lado si los instrumentos de medición no están calibrados correctamente también se pueden cometer errores. Cuando sucede lo mencionado anteriormente tenemos un sistema de medición deficiente que puede hacer que un estudio de capacidad parezca insatisfactorio cuando en realidad es satisfactorio. Lo anterior puede tener como consecuencia gastos innecesarios de reproceso al reparar un proceso de manufactura o de servicios, cuando la principal fuente de variación se deriva del sistema de medición. Posibles Fuentes de la Variación del Proceso

Variación del proceso

Variación proceso, real Variación deldel proceso, real

Variación dentro de la muestra

Repetibilidad

Variación de la medición

Variación originada Equipo de mediciòn por el calibrador

Estabilidad

Reproducibilidad

Linealidad

Calibración Figura 6.18 Diagrama de variabilidad observada en el proceso

Página 265

Sesgo

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Calibri, 11 pto Con formato: Título 4



Definiciones 

Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas características en una misma parte. Operador-B

Operador-C

Operador-A

Reproducibilidad

Figura 6.19 Evaluación de la reproducibilidad



Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas características en una misma parte.

REPETIBILIDAD

Figura 6.20 Evaluación de la repetibilidad



Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST34

34

·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrología

Página 266





Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una misma zona

Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor verdadero. 

Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión.

Preciso pero no exacto

Exacto pero no preciso

Exacto y preciso (resolución)

Figura 6.21 Evaluación de la precisión y exactitud

- Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.

Tiempo 2 Tiempo 1 Figura 6.22 Evaluación de la estabilidad

Página 267



Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del instrumento de medición.

Valor verdadero

Valor verdadero

Sesgo Menor

Sesgo mayor

(rango inferior)

(rango superior)

Rango de Operación del equipo Figura 6.23 Evaluación de la linealidad 

Sesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor verdadero. Error sistemático o desviación.

Valor Verdadero



Sesgo

Figura 6.24 Evaluación de la exactitud o sesgo 

Calibración: Es la comparación de un estándar de medición con exactitud conocida con otro instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento.

 Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la evaluación de las partes, su

resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso.

<10% Aceptable 10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas. >30%. ¡Inaceptable!

Página 268



En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25% como máximo.

En cualquier problema que involucre mediciones, algunas de las variaciones observadas son debidas al proceso y otras son debidas al error o variación en los sistemas de medición. La variación total es expresada de la siguiente manera:

 2 total   2 proceso   2 error mediciòn

Estudios R&R - Método Corto del Rango Es un método que proporciona un valor aproximado del error R&R sin que muestre las diferencias entre errores por el equipo y por los operadores.Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada evaluador mide cada parte una sola vez.Se calcula el rango de la medición de cada parte y al final el rango promedio.

La desviación estándar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre d2*. El % de R&R se calcula comparando la desv. Estándar de R&R con la del proceso Partes 1 2 3 4 5

Evaluador A Evaluador B Rango A,B 0.85 0.80 0.05 0.75 0.70 0.05 1.00 0.95 0.05 0.45 0.55 0.10 0.50 0.60 0.10

Rango medio = 0.35/5 = 0.07 GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588 Desv. Estándar del proceso = 0.0722 %GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4% Por tanto el sistema de medición requiere mejora

Figura 6.25 Método corto del rango

Página 269

Con formato: Título 3, Interlineado: sencillo


Dr. P. Reyes / enero de 2009 Con formato: Título 3, Izquierda, Interlineado: sencillo

Estudio de R&R Método largo • Generalmente intervienen de dos a tres operadores • Generalmente se toman 10 unidades • Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.



La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango de tolerancia o del rango de variación del proceso.



Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso. Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% de la variación)



10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el

equipo de medición a menos que se cumpla el punto anterior.

Con formato: Fuente: Calibri, 11 pto Con formato: Título 4, Sin viñetas ni numeración Con formato: Título 4

Procedimiento para realizar un estudio de R&R

Con formato: Fuente: Calibri, Negrita Con formato: Fuente: Calibri

1. Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado. 2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la medición. 3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar. 4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar. 5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el ensayo 1). 6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos 7. Determine las estadísticas del estudio R&R

Página 270





Repetibilidad



Reproducibilidad



% R&R



Desviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionados



Análisis del porcentaje de tolerancia

8. Analice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay.

Métodos de estudio del error R&R:

I. Método de Promedios- Rango 

Permite separar en el sistema de medición lo referente

a la Reproducibilidad y a la

Repetibilidad. 

Los cálculos son más fáciles de realizar.

II. Método ANOVA 

Permite separar en el sistema de medición lo referente a la

Reproducibilidad y a la

Repetibilidad. 

También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en cuanto a la parte.



Calcula las varianzas en forma más precisa.



Los cálculos numéricos requieren de una computadora.  El Método ANOVA es más preciso

Cálculos con Excel o manual: Introducir los datos en la hoja de colección de datos siguiente por cada operador y hacer los cálculos indicados en la zona gris:

Página 271

columna 1

Página 272 0.0050 0.0050 0.0040 0.0470 Suma XA :

8 9 10 Totales

0.000416667

R:

0.0050

0.0045

0.0055

0.0050 0.0045

0.0045

0.0050 0.0040 0.0455 RA :

0.0050

0.0045

0.0045

0.0045 0.0045

0.0045

0.0045

0.0045

-

D4

0.00035

0.0005 0.0035

-

0.0005

0.0010

0.0005 -

-

0.0010

R x D4 0.001075

LSCR =

2.58

Rango

columna 4

LSCR =

3

# Intentos

3er Intento

columna 3

0.0048 0.0040 0.0467

0.0050

0.0047

0.0050

0.0048 0.0045

0.0045

0.0048

0.0045

X

Promedio

Nota : Las constantes y las formulas estan establecidas para 3 intentos y 3 operadores

0.0005 0.00125

RC : SUM:

0.0004

0.0050

7

0.00035

0.0050

6

RB :

0.1400 0.004666667

0.0050 0.0045

4 5

RA :

0.0045 0.0040 0.0475

0.0045

3

0.0055

0.0045

0.0045

0.0045

2do Intento

columna 2

2

1er Intento

A.-

1

Muestra

OPERADOR

Calibrador Digital

0.0060

No. y Nombre de GAGE: 8881-H

4600066 PARTE A

No. de Parte y Nombre: Tolerancia Especificada:

XB :

Suma

0.0045 0.0040 0.0485

0.0050

0.0055

0.0060

0.0050 0.0040

0.0045

0.0055

0.0045

columna 5 1er Intento

B.-

X Diff:

X min:

X Máx:

0.004716667

0.1415

0.0045 0.0040 0.0465

0.0050

0.0045

0.0050

0.0050 0.0045

0.0045

0.0050

0.0045

0.0050 0.0040 0.0465 RB :

0.0050

0.0050

0.0050

0.0050 0.0040

0.0045

0.0045

0.0045

0.0001000000

0.004666667

0.004766667

3er Intento

columna 7

Rango

0.0004

0.0005 0.0040

-

0.0010

0.0010

0.0005

-

0.0010

-

columna 8

RECOLECCIÓN DE DATOS

columna 6 2do Intento

01/07/2003

Característica: Diametro

Elaborado por:

Fecha:

Aseguramiento de Calidad

MÉTODO LARGO

0.005142917

LICX =

0.0043

LICX = X - A2 R

LSCX =

XC :

Suma

0.0055 0.0045 0.0500

0.0060

0.0045

0.0050

0.0050 0.0045

0.0045

0.0055

0.0050


C.-

LSCX = X + A2 R

0.0047 0.0040 0.0472

0.0050

0.0050

0.0053

0.0050 0.0042

0.0045

0.0050

0.0045

X

Promedio

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )

columna 10

0.004766667

0.1430

0.0045 0.0045 0.0470

0.0050

0.0050

0.0050

0.0050 0.0045

0.0045

0.0045

0.0045

2do Intento

A2 =

0.0045 0.0045 0.0460 RC :

0.0050

0.0050

0.0050

0.0050 0.0040

0.0040

0.0045

0.0045


1.023

0.0005

0.0010 0.0050

0.0010

0.0005

-

0.0005

0.0005

0.0010

0.0005

columna 12

Rango

0.0048 0.0045 0.0477 Xp= Rp =

0.0053

0.0048

0.0050

0.0050 0.0043

0.0043

0.0048

0.0047

X

Promedio

0.000944

0.004778 0.004167 0.004717

0.005111

0.004833

0.005111

0.004944 0.004333

0.004444

0.004889

0.004556

Prom. Parte X p=




ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R ) MÉTODO LARGO Aseguramiento de Calidad No. de Parte y Nombre:

4600066 PARTE A

Tolerancia Especificada:

Fecha:

0.0060

No. y Nombre de GAGE: 8881-H

01/07/2003

Elaborado por: Calibrador Digital

0

Característica: Diametro

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008 R= 0.000416667

X Diff =

0.0001000000

Rp = 0.000944444

Análisis Unitario de Medición

% Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) EV= R x K1 = EV= 0.001270833

% EV = 100 [ EV/TV ] % EV = 63.74% INTENTOS

K1

2

4.56

3

3.05

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) 2 2 1/2 AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)]

% EV vs Tol. =

21.18%

% AV = 100 [AV/TV] % AV = 6.93%

AV = 0.00027 AV = 7.29E-08

% AV vs Tol =

2.30%

AV = 5.38339E-08 AV = 1.90661E-08

n= 10

AV = 0.00013808

r= 3 OPERADOR K2

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) 2 2 1/2 R & R = [EV + AV ] R & R2 = 1.63408E-06

2

3

n= Numero de Partes

3.65

2.7

r = Numero de Intentos % de R & R =

PARTES

K3

R & R = 0.001278313

2

3.65

Variación de la Parte ( PV ) PV = RP x K3

3 4

2.7 2.3

5

2.08

6

1.93

7

1.82

8 9

1.74 1.67

10

1.62

PV =

0.00153

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 2 2 1/2 TV = ( R & R + PV ) TV = 3.97498E-06

% de R & R = % de R & R vs Tol =

% PV = % PV =

100 [ R & R /TV ] 64.1164% 21.31%

100 [ PV/TV ] 76.7403%

Categoria de Datos d2 = 1.693 PV / R&R x d2= 2.0

TV = 0.001993736 Observaciones :

Se toma la dimención de menor valor

FIRMA DE AUTORIZACIÓN

GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD

Página 273

Página 274 RA :

R:

D4

R x D4

2.58

Rango

columna 4

X

Promedio

Nota : Las constantes y las formulas estan establecidas para 3 intentos y 3 operadores

LSCR = LSCR =

SUM:

RC :

3

3er Intento

columna 3

# Intentos

2do Intento

columna 2

RB :

XA :

Suma


A.-

RA :

9 10 Totales

8

7

6

4 5

3

2

1

Muestra

OPERADOR

XB :

Suma


B.-

Característica:

No. y Nombre de GAGE:

X Diff:

X min:

X Máx:

2do Intento


columna 7

0

RB :

Rango

columna 8

RECOLECCIÓN DE DATOS

Fecha: Elaborado por:

No. de Parte y Nombre: Tolerancia Especificada:

MÉTODO LARGO

X

LICX =

LICX = X - A2 R

LSCX =

XC :

Suma


C.-

LSCX = X + A2 R

Promedio

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )

columna 10 2do Intento

A2 =

RC :


columna 12

Rango

X

Promedio

X p= Rp =

Prom. Parte X p=




ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R ) MÉTODO LARGO Aseguramiento de Calidad No. de Parte y Nombre:

0

Tolerancia Especificada:

0.0000

No. y Nombre de GAGE:

0

Fecha: Elaborado por:

00

00/01/1900 0

Característica:

0

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008 R=

X Diff =

Rp =

Análisis Unitario de Medición

% Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) EV= R x K1 = EV=

% EV = 100 [ EV/TV ] % EV = INTENTOS

K1

2

4.56

3

3.05

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) 2 2 1/2 AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)]

% EV vs Tol. = % AV = 100 [AV/TV] % AV =

AV = AV =

% AV vs Tol =

AV = AV =

n= 10

AV =

r= 3 OPERADOR K2

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) 2 2 1/2 R & R = [EV + AV ] R & R2 = 0 R&R= Variación de la Parte ( PV ) PV = RP x K3 PV =

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 2 2 1/2 TV = ( R & R + PV ) TV =

0

2

3

n= Numero de Partes

3.65

2.7

r = Numero de Intentos % de R & R =

PARTES

K3

2

3.65

3 4

2.7 2.3

5

2.08

6

1.93

7

1.82

8 9

1.74 1.67

10

1.62

100 [ R & R /TV ]

% de R & R = % de R & R vs Tol =

% PV = % PV =

100 [ PV/TV ]

Categoria de Datos d2 = 1.693 PV / R&R x d2=

TV = Observaciones :

Se toma la dimención de menor valor

FIRMA DE AUTORIZACIÓN

GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD

Página 275



Una vez colectados los datos proceder a realizar la carta de rango R y observar que esté en control, de otra forma repetir las mediciones para ese operador y parte específica errónea.

Figura 6.26 Comportamiento de la carta de control de rangos para el ejemplo

Ahora revisar la carta X media, debe tener al menos el 50% de puntos fuera de control indicando que identifica las variaciones en las diferentes partes presentadas: LSCX =

0.005143

X=

0.004717

LICX =

0.004290417

LS CX

X LICX

Figura 6.26 Comportamiento de la carta de control de medias para el ejemplo

Se procede posteriormente a determinar los errores o variabilidad del sistema de medición con la hoja de trabajo siguiente, calculando los campos con sombra gris: Con formato: Título 3, Interlineado: sencillo

Página 276



Interpretación de los resultados 1. El porcentaje de error R&R no debe exceder del 10%, si el equipo se usa para liberar producto terminado la referencia es la tolerancia del cliente; si el equipo se usa para control del proceso, la referencia es la variación total del proceso.

2. El número de categorías debe ser de al menos 4 indicando que el equipo distingue las partes que son diferentes.

Ejemplo 2 (MINITAB) Primero se visualizan las mediciones replicadas de cada operador en cada parte como sigue: Gage Run Chart of Response by Part, Operator 1 2 3 4 5

Gage name: Date of study :

1

2

Reported by : > GAGEAIAG.MTW. File > Open worksheet Tolerance: Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart. Misc: En Part numbers, seleccionar Part. En Operators, seleccionar Operator. En Measurement data, seleccionar Response. Click OK. 3

4

5 1.0

Mean

0.8

O perator 1 2 3

Response

0.6 0.4 6

7

8

9

10

1.0 Mean

0.8 0.6

0.4

Operator Panel variable: Part

34

Figura 6.27 Gráfica que muestra el comportamiento de las mediciones de los operadores

Método X Barra - R Se seleccionan 10 muestras de un proceso de manufactura, cada parte es medida dos veces por tres operadores. Realice un estudio R&R mediante el método Xbar-R.

Página 277


OPERADOR A.columna columna columna 1 2 3 1er 2do 3er Muestra Intento Intento Intento 1 0.0045 0.0045 0.0045 2 0.0045 0.0055 0.0045 3 0.0045 0.0045 0.0045 4 0.0050 0.0050 0.0045 5 0.0045 0.0045 0.0045




B.columna columna columna 5 6 7 1er 2do 3er Intento Intento Intento 0.0045 0.0045 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0050 0.0050 0.0050 0.0040 0.0045 0.0040

C.columna columna columna 9 10 11 1er 2do 3er Intento Intento Intento 0.0050 0.0045 0.0045 0.0055 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 0.0050 0.0050 0.0050 0.0045 0.0045 0.0040

6 7 8 9 10

0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0040

0.0055 0.0045 0.0050 0.0045 0.0040

0.0045 0.0045 0.0050 0.0050 0.0040

0.0060 0.0055 0.0050 0.0045 0.0040

0.0050 0.0045 0.0050 0.0045 0.0040

0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0040

0.0050 0.0045 0.0060 0.0055 0.0045

0.0050 0.0050 0.0050 0.0045 0.0045

0.0050 0.0050 0.0050 0.0045 0.0045

Totales

0.0470

0.0475

0.0455

0.0485

0.0465

0.0465

0.0500

0.0470

0.0460

Capture los datos en la hoja de trabajo de Minitab en tres columnas C1, C2, C3

Partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Operadores Medición 1 0.0045 1 0.0045 1 0.0045 1 0.005 1 0.0045 1 0.005 1 0.005 1 0.005 1 0.005 1 0.004 1 0.0045 1 0.0055 1 0.0045 1 0.005 1 0.0045 1 0.0055 1 0.0045 1 0.005 1 0.0045 1 0.004

Partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Operadores Medición 2 0.0045 2 0.0055 2 0.0045 2 0.005 2 0.004 2 0.006 2 0.0055 2 0.005 2 0.0045 2 0.004 2 0.0045 2 0.005 2 0.0045 2 0.005 2 0.0045 2 0.005 2 0.0045 2 0.005 2 0.0045 2 0.004

Página 278

Partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Operadores 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Medición 0.005 0.0055 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.0045 0.006 0.0055 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.005 0.005 0.0045 0.0045

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.005 0.005 0.004

Dr. P. Reyes / enero de 2009 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.0045 0.0045 0.0045 0.005 0.004 0.005 0.005 0.005 0.005 0.004

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.0045 0.0045 0.004 0.005 0.004 0.005 0.005 0.005 0.0045 0.0045

Con formato: Fuente: (Predeterminado) Courier New, 10 pto Con formato: Fuente: Courier New, 10 pto Con formato: Fuente: Courier New, 10 pto Con formato: Fuente: Courier New, 10 pto Con formato: Fuente: Courier New, 10 pto

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY >

Con formato: Fuente: Courier New, 10 pto

Gage R&R (Crossed) 


Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)



Método de Análisis X Bar and R




En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerante 0.006



Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto



Gage R&R Study - XBar/R Method


Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-To-Part Total Variation Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-To-Part Total Variation

%Contribution VarComp (of VarComp) 0.0000001 41.00 0.0000001 40.52 0.0000000 0.48 0.0000001 59.00 0.0000001 100.00 StdDev (SD) 0.0002476 0.0002461 0.0000269 0.0002970 0.0003867

Study Var (5.15 * SD) 0.0012750 0.0012675 0.0001384 0.0015295 0.0019913

%Study Var (%SV) 64.03 63.65 6.95 76.81 100.00

Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto

%Tolerance (SV/Toler) 21.25 21.12 2.31 25.49 33.19

Number of Distinct Categories = 1

Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto

Análisis de los resultados:


El error de R&R vs tolerancia es 21.25% y vs variación total del proceso es 64.03% lo que hace que el equipo de medición no sea adecuado para la medición.

Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto

Por otro lado el número de categorías es sólo de 1 cuando debe ser al menos 4 indicando que el


instrumento discrimina las diversas partes diferentes.

Con formato: Fuente: Courier New, 9 pto, Español (México)

Página 279



Gage R&R (Xbar/R) for Datos Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: D ate of study : Components of Variation 80

Datos by Partes % Contribution

0.006

Percent

% Study Var % Tolerance

40

0

0.005 0.004

Gage R&R

Repeat

Reprod

1

Part-to-Part

2

3

R Chart by Operadores Sample Range

1

2

3

0.006

0.0005

_ R=0.000417

0.005

0.0000

LCL=0

1

2

8

9

10

2 Operadores

3

Operadores * Partes Interaction

3

Operadores

UCL=0.005143 _ _ X=0.004717

0.0045

Average

Sample Mean

1

7

0.004

Xbar Chart by Operadores

0.0050

5 6 Partes

Datos by Operadores UCL=0.001073

0.0010

4

LCL=0.004290

1

0.0050

2 3

0.0045 0.0040

0.0040

1

2

3

4

5 6 Partes

7

8

9

10

Figura 6.27 Resultados del estudio R&R por el método de Xbarra-R

La gráfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en forma adecuada.

La gráfica X barra sólo presenta 5 de 30 puntos fuera de control, lo cual debería ser al menos el 50%, indicando que el equipo no discrimina las diferentes partes.

Ejemplo 3: por el Método de ANOVA se tiene: 

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)



Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)



Método de Análisis ANOVA



En Options Seleccionar: Staudy variation 5.15 interaction 0.25

Página 280

Process tolerante 0.006 Alfa to remove



Los resultados se muestran a continuación: Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction Source Partes Operadores Partes * Operadores Repeatability Total

DF 9 2 18 60 89

SS 0.0000086 0.0000002 0.0000014 0.0000063 0.0000165

MS 0.0000010 0.0000001 0.0000001 0.0000001

F 12.2885 0.9605 0.7398

P 0.000 0.401 0.757

Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes Two-Way ANOVA Table Without Interaction Source Partes Operadores Repeatability Total

DF 9 2 78 89

SS 0.0000086 0.0000002 0.0000077 0.0000165

Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operadores Part-To-Part Total Variation

VarComp 0.0000001 0.0000001 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002

MS 0.0000010 0.0000001 0.0000001

F 9.67145 0.75592

P 0.000 0.473

Gage R&R

%Tolerance Source (SV/Toler) Total Gage R&R 27.04 Repeatability 27.04 Reproducibility 0.00 Operadores 0.00 Part-To-Part 26.54 Total Variation 37.88

%Contribution (of VarComp) 50.93 50.93 0.00 0.00 49.07 100.00 Study Var

%Study Var

StdDev (SD)

(5.15 * SD)

(%SV)

0.0003150

0.0016222

71.36

0.0003150

0.0016222

71.36

0.0000000

0.0000000

0.00

0.0000000

0.0000000

0.00

0.0003092

0.0015923

70.05

0.0004414

0.0022731

100.00

Página 281



Number of Distinct Categories = 1 La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de medición no es adecuado, ni el número de categorías. Gage R&R (ANOVA) for Datos Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: D ate of study : Components of Variation 80

Datos by Partes % Contribution

0.006

Percent

% Study Var % Tolerance

40

0

0.005 0.004

Gage R&R

Repeat

Reprod

1

Part-to-Part

2

3

R Chart by Operadores Sample Range

1

2

3

0.0010

0.0005

0.0000

4

5 6 Partes

0.006

_ R=0.000417

0.005

1

10

2 Operadores

3

Operadores * Partes Interaction

3

Operadores

UCL=0.005143 _ _ X=0.004717

0.0045 LCL=0.004290

Average

Sample Mean

2

9

0.004

LCL=0

1

8

Datos by Operadores UCL=0.001073

Xbar Chart by Operadores

0.0050

7

1

0.0050

2 3

0.0045 0.0040

0.0040

1

2

3

4

5 6 Partes

7

8

9

10

Figura 6.28 Resultados del estudio R&R por el método de ANOVA Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.

Estudios de R&R por atributos Ejemplo 4. Se utiliza el análisis de acuerdo por atributos para evaluar las calificaciones nominales u ordinales proporcionadas por varios evaluadores. Las mediciones son calificaciones subjetivas de la gente en vez de mediciones físicas. Algunos ejemplos incluyen: 

Calificaciones de desempeño de los automóviles



Clasificación de calidad de las fibras como “buena” o “mala”.



Calificaciones de color, aroma y gusto del vino en una escala de 1 a 10.

En estos casos la característica de calidad es difícil de definir y evaluar. Para obtener clasificaciones significativas, más de un evaluador debe calificar la medición de respuesta. Si los evaluadores

Página 282



están de acuerdo, existe la posibilidad de que las apreciaciones sean exactas. Si hay discrepancias, la utilidad de la evaluación es limitada. Los datos pueden ser texto o numéricos. Las calificaciones asignadas pueden ser Nominales u ordinales. Los datos nominales son variables categóricas que tienen dos o más niveles sin orden natural. Por ejemplo, los niveles en un estudio de gustación de comida que puede incluir dulce, salado o picoso. Los datos ordinales son variables categóricas que tienen tres o más niveles con ordenamiento natural, tales como: en desacuerdo total, en desacuerdo, neutral, de acuerdo, y completamente de acuerdo.

Ejemplo 4. Comparación pasa no pasa Un sistema de medición de atributos compara cada parte con un estándar y acepta la parte si el estándar se cumple. La efectividad de la discriminación es la habilidad del sistema de medición de atributos para discriminar a los buenos de los malos. 1. Selecciona un mínimo de 20 unidades del proceso. Estas unidades deben representar el espectro completo de la variación del proceso (buenas, erroneas y en límites). 2. Un inspector “experto” realiza una evaluación de cada parte, clasificándola como “Buena” o “No Buena”. 3. Cada persona evaluará las unidades, independientemente y en orden aleatorio, y las definirá como “Buenas” o “No Buenas”. 4. Ingresa los datos en el archivo Attribute Gage R&R.xls para cuantificar la efectividad del sistema de medición.

Página 283

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Atributo G G G G G G G G NG NG G G NG G G G NG G G G

Persona 1A G G G G G NG G G G NG G G NG G G G NG G G G

Dr. P. Reyes / enero de 2009 Persona 1B G G G G G G G G G NG G G NG G G G NG G G G

Persona 2A G G G G G G G G NG G G G NG G G G NG G G G

Persona 2B G G G G G G G G NG G G G NG G G G NG G G G

Sistema de Medición de Atributos Pasa no pasa –Instrucciones en Minitab 1 Usar los datos anteriores. 2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis. 3 En Multiple columns, con Persona 1A - Persona 2B. 4 En Number of appraisers, 2. 5 En Number of trials, 2. 6 En Known standard/attribute, poner Atributo 7 no Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK


Página 284



Attribute Agreement Analysis Persona 1A, Persona 1B, Persona 2A, Persona 2B Within Appraisers Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 19 95.00 (75.13, 99.87) 2 20 20 100.00 (86.09, 100.00) # Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Fleiss' Kappa Statistics Appraiser Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) 1 G 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 NG 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 2 G 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 NG 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000

Each Appraiser vs Standard Appraiser 1 2

# Inspected 20 20

# Matched 18 19

Percent

90.00 95.00

95 % CI (68.30, 98.77) (75.13, 99.87)

Between Appraisers # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 NG 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000

All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard. Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000 NG 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000

Figura 6.29 Resultados del estudio de R&R comparativo por atributos

Página 285



Date of study: Reported by: Name of product: Misc:

Assessment Agreement

Within Appraisers

Appraiser vs Standard 95.0% C I P ercent

95

95

90

90

85 80

85 80

75

75

70

70 1

95.0% C I P ercent

100

Percent

Percent

100

2

1

Appraiser

2 Appraiser

Figura 6.30 Resultados del estudio de R&R comparativo por atributos por avaluador

Interpretación de Resultados 

% del Evaluador es la consistencia de una persona.



% Evaluador vs Atributo es la medida de el acuerdo que hay entre la evaluación del operador y la del “experto”.



% de Efectividad de Selección es la medida de el acuerdo que existe entre los operadores.



% de Efectividad de Selección vs. el Atributo es una medida general de la consistencia entre los operadores y el acuerdo con el “experto”.

Aunque el 100% es el resultado que deseamos obtener, en un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de atributos, la siguiente guía se usa frecuentemente:

Porcentaje De 90% a 100%

Guía Aceptable

De 80% a 90%

Marginal

Menos de 80%

Inaceptable

Página 286



Ejemplo 5. Una empresa está entrenando a cinco evaluadores para la porción escrita de un examen estándar de doceavo grado. Se requiere determinar la habilidad de los evaluadores para calificar el examen de forma que sea consistente con los estándares. Cada uno de los evaluadores califica 15 exámenes en una escala de cinco puntos (-2, -1, 0, 1, 2):

1 Abrir el archivo File > Openworksheet > ESSAY.MTW. 2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis. 3 En Attribute column, poner Rating. 4 En Samples, poner Sample. 5 En Appraisers, poner Appraiser. 6 En Known standard/attribute, poner Attribute. 7 Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK El contenido del archivo es como sigue: Appraiser Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan

Sample 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4

Rating 2 2 2 1 2 -1 -1 -1 -2 -1 1 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2

Attribute 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2

Appraiser Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery

Página 287

Sample 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 12

Rating 0 0 -1 -1 -1 -2 -1 1 1 1 0 2 -2 -2 -2 -2 -1 0 0

Attribute 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -2 -2 -2 -2 -2 0 0

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes

4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8

-2 0 0 0 -1 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 0 0 0

Dr. P. Reyes / enero de 2009 -2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0

Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes Simpson Montgomery Holmes Duncan Hayes

12 12 12 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15

0 -1 0 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1

0 0 0 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1

Los resultados del análisis se muestran a ontinuación: Gage R&R for Datos Assessment Agreement Appraiser Duncan Hayes Holmes Montgomery Simpson

# Inspected 15 15 15 15 15

# Matched 8 13 15 15 14

Percent 53.33 86.67 100.00 100.00 93.33

95 % CI (26.59, 78.73) (59.54, 98.34) (81.90, 100.00) (81.90, 100.00) (68.05, 99.83)

# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard. Kendall's Correlation Coefficient Appraiser Duncan Hayes Holmes Montgomery Simpson

Coef 0.89779 0.96014 1.00000 1.00000 0.93258

SE Coef 0.192450 0.192450 0.192450 0.192450 0.192450

Z 4.61554 4.93955 5.14667 5.14667 4.79636

Between Appraisers Assessment Agreement

Página 288

P 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


# Inspected 15

# Matched 6


Percent 40.00

95 % CI (16.34, 67.71)

# Matched: All appraisers' assessments agree with each other. Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) -2 0.680398 0.0816497 8.3331 0.0000 -1 0.602754 0.0816497 7.3822 0.0000 0 0.707602 0.0816497 8.6663 0.0000 1 0.642479 0.0816497 7.8687 0.0000 2 0.736534 0.0816497 9.0207 0.0000 Overall 0.672965 0.0412331 16.3210 0.0000 Kendall's Coefficient of Concordance Coef 0.966317

Chi - Sq 67.6422

DF 14

P 0.0000

All Appraisers vs Standard Assessment Agreement # Inspected 15

# Matched 6

Percent 40.00

95 % CI (16.34, 67.71)

# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard. Fleiss' Kappa Statistics Response -2 -1 0 1 2 Overall

Kappa 0.842593 0.796066 0.850932 0.802932 0.847348 0.831455

SE Kappa 0.115470 0.115470 0.115470 0.115470 0.115470 0.058911

Z 7.2971 6.8941 7.3693 6.9536 7.3383 14.1136

P(vs > 0) 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Kendall's Correlation Coefficient Coef SE Coef Z P 0.958102 0.0860663 11.1100 0.0000 * NOTE * Single trial within each appraiser. No percentage of assessment agreement within appraiser is plotted.

Página 289


Dr. P. Reyes / enero de 2009 Date of study : Reported by : Name of product: Misc:

Assessment Agreement

Appraiser vs Standard 100

95.0% C I P ercent

Percent

80

60

40

20

0 Duncan

Hayes

Holmes Appraiser

Montgomery

Simpson

Figura 6.31 Resultados del estudio de R&R por atributos

Interpretación de resultados Minitab muestra tres tablas como sigue: Cada evaluador vs el estándar, Entre evaluadores y Todos los evaluadores vs estándar. Los estadísticos de Kappa y Kendall también se incluyen en cada una de las tablas. En general estos estadísticos sugieren buen acuerdo.

El coeficiente de Kendall entre evaluadores es 0.966317 (p = 0.0); para todos los evaluadores vs estándar es 0.958192 (p = 0.0). Sin embargo la observación del desempeño de Duncan y Haues indica que no se apegan al estándar.

La gráfica de Evaluadores vs. Estándar proporciona una vista gráfica de cada uno de los evaluadores vs el estándar, pudiendo comparar fácilmente la determinación de acuerdos para los cinco evaluadores.

Se puede concluir que Duncan, Hayes y Simpson requieren entrenamiento adicional. Método sencillo

Página 290



Tomar 50 piezas, 40 de las cuales dentro de especificaciones y 10 fuera de especificaciones Probarlas con dispositivos “pasa” y “no pasa” por medio de 3 operadores Si no coinciden todos los operadores en al menos el 90%, los dispositivos o gages “pasa, no pasa” no son confiables

Página 291



7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS 7.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO Se ha estado utilizando para calificar los lotes de proveedores, sin embargo ha estado siendo desplazado por métodos preventivos como el CEP y el diseño de experimentos.

Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una

muestra y se evalúan algunas de las

características del producto, en base a los resultados se toma una decisión sobre la disposición del lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o rechazados para que el proveedor tome acciones.

Muestreo aleatorio estadístico

Muestra n Lote N Fig. 7.1 Proceso de inspección por muestreo

Hay 3 aspectos importantes del muestreo: 1. Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote. 2. No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o rechazan lotes. 3. Sirven como herramienta de auditoría para segurar que la calidad de un lote esté de acuerdo a especificaciones.

Página 292



Existen 3 alternativas para calificar un lote: 1. Aceptar sin inspección. Con proveedores confiables. 2. Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos. 3. Realizar un muestreo de aceptación.

La aceptación por muestreo es más util en las situaciones siguientes: 1. Cuando las pruebas son destructivas. 2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto. 3. Cuando la inspección 100% es muy tardada. 4. Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de defectos baja, que haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar productos defectuosos. 5. Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es baja. 6. Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO

Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes: 1. Es más barato, requiriendo menos inspección. 2. Existe un menor manejo de producto o menor daño. 3. Se aplica a pruebas destructivas. 4. El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al proveedor a mejorar su calidad.

El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas: 1.

Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos.

2.

La información que se genera respecto al producto o proceso es poca.

3.

El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la inspección 100%.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Página 293



Existen diversas clasificaciones de estos planes, una de ellas es la de variables y atributos. Una característica se expresa en variables si se puede medir, o en atributos si se califica como “pasa no pasa”.

Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde se toma una muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada dependiendo de los resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta c productos defectivos.

Un plan de muestreo doble implica que después de tomar una muestra e inspeccionar, se toma una decisión de (1) rechazar, (2) aceptar o (3) tomar una segunda muestra, si esto sucede, se combina la información de la primera y de la segunda para tomar una decisión.

Un plan de muestreo múltiple es una extensión del doble, en el cual más de dos muestras pueden ser necesarias antes de tomar una decisión. Los tamaños de estas muestras son más pequeños que en el muestreo doble.

El muestreo secuencial implica la selección de unidades del lote, una por una, tomando decisiones de aceptar o rechazar el lote después de un cierto número de unidades.

Se pueden desarrollar planes de muestreo que produzcan resultados similares con cualquiera de las modalidades anteriores.

FORMACIÓN DE LOTES

Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes:

1. Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas corridas de producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones correctivas para lotes mezclados. 2. Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es más eficiente.

Página 294



3. Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el cliente, las partes deben estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos de daño y permitir la selección de muestra en forma sencilla. MUESTREO ALEATORIO Las muestras deben ser representativas del lote, no deben tomarse sólo partes de las capas superiores, sino de preferencia numerar las partes con un número y seleccionar con tablas de números aleatorios o también se puede estratificar el lote.

GUÍA DE APLICACIÓN DE PLANES DE MUESTREO Un plan de aceptación es el establecimiento del tamaño de muestra a ser usado y el criterio de aceptación o rechazo para calificar lotes individuales.

Un esquema de aceptación es un conjunto de procedimientos de planes de aceptación en los cuales se relacionan los tamaños de lote, tamaño de muestra, criterio de aceptación o rechazo, la cantidad de inspección 100% y de muestreo.

Un sistema de muestreo es un conjunto de esquemas de muestreo. Los procedimientos de muestreo de aceptación son:

Procedimiento por atributos

Procedimiento por Variables

1. Asegurar niveles de calidad Para el consumidor y productor

Plan específico en base a curva OC

Plan específico en base a curva OC

2. Mantener la calidad en el objetivo

Sistema de AQL MIL-STD-105E

Sistema de AQL MIL-STD-414

3. Asegurar el nivel de calidad de salida

Sistema de AOQL de Dodge-Romig

Sistema de AOQL

Objetivos

6. Asegura la calidad no Planes LTPD de Planes LTPD con menor que el objetivo de Dodge-Romig prueba de hipótesis. Los clientes están enfocados a mejorar la calidad de sus proveedores, seleccionando a los mejores y trabajando en forma cercana para reducir su variabilidad, con técnicas de control estadístico del proceso. El muestreo de aceptación se utiliza mientras se mejora la calidad con el proveedor.

Página 295



7.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS Muestreo aleatorio simple Un plan de muestreo simple se define por su tamaño de muestra n y el número de aceptación c. El tamaño del lote se especifica como N.

Por ejemplo si se tiene el plan: N=10,000 n=89 c=2 Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para inspección, si el número de productos defectivos observados en la muestra d es menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en caso contrario se rechaza.

La curva OC La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el lote (Pa o  en el eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje X), mostrando la potencia de discriminación del plan de muestreo.

Pa 1 0.8 0.5 0.3 0.1

Curva característica de Operación dado una Tamaño de muestra n y un criterio de aceptación c

0.05 0.1 0.15

0.2 0.25

Fig. 7.2 Curva característica de operación y plan de muestreo

Página 296

0.3

p Prov.



La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la probabilidad binomial de encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea: c

n! p d (1  p ) n  d d ! ( n  d )! d 0

Pa  P{d  c)  

(7.1)

Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos prácticos.

Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución binomial acumulada (opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación:

Binomial=distr.binom(c, n, p, 1) ó Poisson=Poisson(c, n*p, 1) P(A
0.02

0.736

0.03

0.555

0.9

0.04

0.400

0.8

0.05

0.279

0.06

0.190

0.07

0.126

0.08

0.083

0.5

0.09

0.053

0.4

0.1

0.034

0.11

0.021

0.12

0.013

0.13

0.008

0.1

0.14

0.005

0

0.15

0.003

0.16

0.002

0.17

0.001

0.18

0.001

0.19

0.000

0.2

0.000

P(A
0.7 0.6

0.3

0.2

0.19

0.18

0.17

0.16

0.15

0.14

0.13

0.12

0.1

0.11

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.2

0.02

Pa

0.01

p 0.01

p Traza la curva OC Tipo B para el plan de muestreo ùnico n=50 y c=1.

Fig. 7.3 Cálculo de la Curva característica de operación OC En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación es de 0.74. Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se rechazarán 26.

A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de operación variando tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n constante y después manteniendo c como constante y variando n.

Página 297



Manteniendo n constante y variando c se tiene: n = 89, n = 89 n = 89, p c=0 c=1 c =2 0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.64 0.41 0.17 0.07 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00

0.93 0.78 0.47 0.25 0.12 0.06 0.03 0.01 0.01 0.00

0.99 0.94 0.74 0.50 0.30 0.17 0.09 0.05 0.02 0.01

Pa

c=0, 1, 2

P (fracción defectiva en el lote) Figura 7.4 Curvas características de operación diversas para n = 89 y c = variable

Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene:

p 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

n = 50, c=2 0.997944 0.986183 0.921572 0.810798 0.676714 0.540533 0.416246 0.310789 0.225974 0.16054

n = 100, c =2 0.9859 0.9206 0.6767 0.4198 0.2321 0.1183 0.0566 0.0258 0.0113 0.0048

n = 200, c=2 0.920161 0.676679 0.235148 0.059291 0.012489 0.002336 0.0004 6.40E-05 9.66E-06 1.39E-06

Página 298



Pa n=50, 100, 200 2

p (fracción defectiva en el lote) Figura 7.5 Curvas características de operación diversas para n = variable y c =2

Puntos específicos en la curva OC Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel de calidad aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el consumidor considera aceptable como promedio, normalmente es la fracción defectiva que tiene un 95% de ser aceptada ( = 0.95).

Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos cuando tengan una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo tolerable en el lote (LTPD), normalmente esta fracción defectiva corresponde a una probabilidad de aceptación del 10% o rechazo del 90% de las veces. También se el denomina Nivel de Calidad Rechazable.

CURVAS OC TIPO A y B.

La curva OC tipo A utilizando la distribución hipergeométrica se construye cuando se tiene un lote aislado de tamaño finito, se utiliza cuando n/N >=0.10.

La curva OC tipo B utiliza la distribución binomial o de Poisson cuando n/N < 0.1, sin embargo en los niveles donde n/N=0.1 ambas curvas A o B son muy parecidas.

DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO EN BASE A CURVA OC

Página 299



En este método se especifican 2 puntos por los que debe pasar la curva OC, uno de ellos tiene coordenadas (p1, 1-) y el otro (p2 , ), con p1 > p2 . Se utiliza el nomograma Binomial para encontrar los valores de n y c para el plan.

En el nomograma se hacen coincidir con una línea recta el valor de p1 en el eje vertical izquierdo con 1- en el eje vertical derecho, y con otra línea recta se hace coincidir p2 en el eje vertical izquierdo con  en el eje vertical derecho. En el punto de cruce se encuentra el valor de n y de c del plan de muestreo simple. Ver nomograma y ejemplo en la página siguiente.

Cuando p1 es igual al AQL y p2 es el LTPD, los puntos correspondientes en la curva OC se denominan riesgo del productor (1-) y riego del consumidor .

Inspección rectificadora Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción correctiva cuando los lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los selecciona al 100% remplazando los artículos defectivos por buenos. Esta actividad se denomina inspección rectificadora por su impacto en la calidad de salida final hacia la planta. Entrada de 100 lotes de cierto proveedor con N=10,000 y

Pa

n =200 c=1

9 lotes son aceptados a pesar de tener un 2% defectivo: Es decir ingresan

p = 0.02 P=0.02

88,820 piezas OK Y 1800 piezas KO

91 lotes son rechazados y seleccionados por el proveedor, deja 910,000 piezas OK

Total de piezas OK

AOQ

Alm.

998,820 Piezas defectivas 1,800

0.18% AOQ

Fig. 7.6 Inspección rectificadora (las piezas malas son reemplazadas y reintegradas al lote) Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p0 , después de la actividad de inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán aceptados y otros serán rechazados. Los

Página 300



lotes rechazados serán seleccionados al 100% por el proveedor remplazando los artículos defectuosos por buenos después se integran a los lotes que ingresan a la planta obteniéndose una fracción defectiva p1 menor a la original, denominada calidad promedio de salida AOQ, en lotes de tamaño N se tiene:

1. n artículos de la muestra no contienen defectivos. 2. N-n artículos los cuales si el lote se rechazó no contenían defectivos. 3. N-n artículos los cuales si el lote se acepta contienen p(N-n) defectivos.

Así los lotes después del proceso rectificador, contienen un núemro esperado de defectivos igual a Pap(N-n) con la cual se puede expresar una fracción defectiva media AOQ como sigue,

AOQ 

Pa p( N  n) N

(7.2)

Ejemplo 7.1 Suponiendo que N=10,000, c=2 y que la calidad de entrada p=0.01. Como en la curva característica de operación (para n=89, c=2) cuando p=0.01, Pa = 0.9397, entonces el AOQ es:

AOQ 

Pa p( N  n) (0.9397)(0.01)(10000  89)   0.0093 N 10000

AOQ  0.93% en lugar del 1% entrante.

Cuando N es grande respecto al tamaño de muestra n, se tiene,

AOQ  Pa p

(7.3)

La curva de AOQ versus p se muestra a continuación:

Página 301



p

P(A
AOQ

0.001667

1.00

0.002

0.003333

0.99

0.003

0.005000

0.96

0.005

0.006667

0.92

0.006

0.008333

0.87

0.007

0.010000

0.81

0.008

0.011667

0.74

0.009

0.013333

0.68

0.009

0.015000

0.61

0.009

0.016667

0.54

0.009

0.018333

0.48

0.009

0.020000

0.42

0.008

0.021667

0.37

0.008

0.023333

0.32

0.007

0.025000

0.27

0.007

0.004

0.026667

0.23

0.006

0.003

0.028333

0.20

0.006

0.030000

0.17

0.005

0.031667

0.14

0.005

0.033333

0.12

0.004

0.035000

0.10

0.004

0.01

CURVA AOQ

0.036667

0.08

0.003

Fracción defectiva en el lote

0.038333

0.07

0.003

0.040000

0.06

0.002

0.041667

0.05

0.002

0.043333

0.04

0.002

0.045000

0.03

0.001

0.046667

0.03

0.001

0.048333

0.02

0.001

0.050000

0.02

0.001

Pa Probabilidad de aceptación del lote teniendo una fracción defectiva p

AOQ 0.01

AOQL 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005

0.002 0.001

0.05

0.05

0.05

0.05

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.03

0.03

0.03

0.03

0.03

0.03

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01

0

0

0

p

n=89, c=2 Figura 7.7 Curva de calidad de salida promedio (AOQ)

De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ tiene un valor máximo o la peor fracción defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se denomina límite de calidad de salida promedio AOQL el cual es aproximadamente 0.0155 o 1.55% defectivo.

El número promedio de inspección total por lote es ATI, igual a:

ATI  n  (1  Pa)(N  n)

(7.4)

Ejemplo 7.2 Con N=10000, n=89, c=2 y p=0.01. Como Pa = 0.9397 se tiene: ATI = 89 + (1-0-9397)(10000 – 89) = 687

Siendo este el total de piezas que en promedio se inspeccionarán por lote, algunas por el cliente (n) y otras por el proveedor (N-n) en base al plan de muestreo.

Página 302



Las curvas ATI para diferentes tamaños de lote se muestra a continuación, para n = 89 y c = 2:

p

Pa 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ATI-N=1000 ATI-N=5000 ATI-N=10000 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

98 144 329 546 723 843 916 957 979 990

140 385 1383 2552 3506 4155 4549 4770 4887 4947

191 687 2700 5060 6985 8295 9089 9536 9772 9892

ATI

N=10000

N=5000 N=1000

p Figura 7.8 Curvas de número de muestras inspeccionadas promedio por el cliente y por el proveedor

Los planes de Dodge-Romig minimizan el ATI para un AOQL dado, haciendo más eficiente la inspección por muestreo.

Muestreo doble, múltiple y secuencial Estos tipos de muestreo son extensiones del muestreo simple, se pueden diseñar curvas CO equivalentes.

Página 303



PLANES DE MUESTREO DOBLE

Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el cual, bajo ciertas circunstancias, se requiere una segunda muestra para calificar el lote. El plan se define por los parámetros siguientes:

n1 = tamaño de muestra en la primera muestra. c1 = criterio de aceptación en la primera muestra. n2 = tamaño de muestra en la segunda muestra. c2 = criterio de aceptación en la segunda muestra.

Al aplicar el plan el número de defectivos observados en la primera muestra es d1 y los defectivos observados en la segunda muestra es d2.

Suponiendo que: n1 = 50 c1 = 1 n2 = 100 c2 = 3

En la primera muestra de n=50 artículos, se acepta el lote si el total de defectivos d1 <= c1=1, rechazándose si d1 >c2=3.

Si d1 es igual a 2 o a 3, se toma una segunda muestra de 100 artículos, se inspecciona y se determina el número de defectivos d2 . Se acepta el lote si [d1+d2 <= c2=3] y se rechaza en caso contrario.

En ambas muestras la primera y segunda, la inspección se continua hasta inspeccionar todos los artículos, por eso se denomina inspección completa, el número promedio de artículos inspeccionados por muestra ASN es,

ASN  n1  n2 (1  P1 )

(7.5)

Página 304



donde P1 es la probabilidad de tomar una decisión en la primera muestra o sea: P1=P{el lote se acepta en la primera muestra} + P{el lote es rechazado en la primera muestra}

Si por el contrario la inspección de los artículos se suspende cuando se encuentra un número de defectivos mayor al criterio de aceptación c2 y no se inspeccionan todos los artículos, el método se denomina inspección recortada,

el comportamiento de ambos esquemas se muestra a

continuación,

ASN

Insp. completa

n = cte. Insp. recortada

p

Figura 7.9 Diferencias en muestras inspeccionadas por el cliente promedio con inspección completa y recortada

Por tanto el muestreo doble es más económico que el simple sólo para ciertos valores de p, ya que si p tiene valores intermedios el ASN es mayor implicando mayores costos de inspección.

La inspección recortada si es más económica sin embargo proporciona menos información acerca del lote.

CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN

Página 305



Del ejemplo anterior, si Pa es la probabilidad de aceptación, esta se forma con la probabilidad de aceptación en la primera muestra más la probabilidad de aceptación en la segunda muestra ya sea usando la distribución binomial o la de Poisson. O sea:

Pa  PaI  PaII

(7.6)

PaI  P(d1  1 n1 )

(7.7)

PaII  P(d1  2 n1 ) xP(d 2  1 n2 )  P(d1  3 n1 ) xP(d 2  0 n2 )

(7.8)

Fig. 7.7 Curva característica de operación bajo muestreo doble

p 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

Pa (1º muestra)

Pa(2a.muestra)

Pa Total

En 1a. Muestra

0.974 0.911 0.736 0.555 0.400 0.279 0.190 0.126 0.083 0.053

0.023 0.060 0.083 0.056 0.027 0.011 0.004 0.001 0.000 0.000

0.997 0.971 0.819 0.611 0.428 0.290 0.194 0.128 0.083 0.053

0.976 0.929 0.877 0.908 0.971 1.022 1.047 1.052 1.046 1.036

Pa

Pa total Pa 1ª muestra Pa 2ª muestra p Figura 7.10 Probabilidad de aceptar en la primera o en la segunda muestra en muestreo doble

DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO DOBLE

Página 306



Como en el caso del muestreo simple, es frecuentemente necesario diseñar un plan de muestreo doble tomando como referencia las coordenadas de la curva OC (p 1, 1-) y (p2, ) ya sea con n1=n2 o con n2 = 2n1. Para lo que se emplean las tablas de Grubbs (ver páginas siguientes).

Página 307



INSPECCIÓN RECTIFICADORA

Cuando se usa el esquema de inspección rectificadora, la curva AOQ está dada por,

AOQ 

{PaI ( N  n1 )  PaII ( N  n1  n2 )} p N

(7.9)

Asumiendo que todos los defectivos son remplazados por artículos buenos en los lotes rechazados, la curva de inspección total promedio es,

ATI  nPaI  (n1  n 2 ) PaII  N (1  Pa )

(7.10)

donde Pa  PaI  PaII

PLANES DE MUESTREO MÚLTIPLE

Un muestreo múltiple es una extensión del doble, donde pueden requerirse más de dos muestras para calificar el lote, por ejemplo un plan de 5 etapas es el siguiente:

Muestra acumulada 20 40 60 80 100

Aceptar 0 1 3 5 8

Rechazar 3 4 5 7 9

Al terminar cada etapa de muestreo, si el número de defectivos es menor o igual al número de aceptación, se acepta el lote. Si en cualquier etapa el número de defectivos acumulado excede el número de rechazo, se rechaza el lote, de otra forma se sigue tomando una siguiente muestra.

Una ventaja que tiene es que el tamaño de muestra es más pequeño que en el caso del simple o del doble, con una mejor eficiencia de inspección. Sin embargo es más complejo de administrar.

Página 308



MUESTREO SECUENCIAL

Es una extensión de los planes anteriores, aquí se toma una secuencia de muestras del lote, cuya magnitud será determinada por los resultados del proceso de muestreo. Si el tamaño del subgrupo inspeccionado en cada etapa es mayor que uno, se denomina muetreo secuencial de grupo, si es uno, como es nuestro caso, se denomina muestreo secuencial artículo por artículo, basado en Wald (1947).

En este caso se tienen 2 líneas, una de aceptación y otra de rechazo, teniendo como dato las coordenadas de la curva OC (p1, 1-) y (p2, ), las ecuaciones de las líneas son:

X ACEPTACION  h1  sn

(7.11)

X RECHAZO  h2  sn

 1  k h1   log    1    h2   log k   

k  log

(7.12)

p 2 (1  p1 ) p1 (1  p 2 )

 1  p1    k s  log  1  p2  Ejemplo 7.3 Si p1=0.01, p2=0.06, =0.05, =0.10, se tiene al substituir valores en las ecuaciones anteriores:

k = 0.80066 h1=1.22 h2=1.57 s=0.028

Página 309



Por tanto las ecuaciones de las líneas de aceptación y rechazo son:

XA= -1.22 + 0.028n

Línea de aceptación

XB= 1.57 + 0.028n

Línea de rechazo

Haciendo una tabla de valores donde el número de aceptación es el entero más próximo menor que o igual a XA y el número de rechazo es el entero más próximo superior que o igual a XR. MUESTREO SECUENCIAL

n

Xa

Xr

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-1.192 -1.164 -1.136 -1.108 -1.08 -1.052 -1.024 -0.996 -0.968 -0.94 -0.912 -0.884 -0.856 -0.828 -0.8 -0.772 -0.744 -0.716 -0.688 -0.66 -0.632 -0.604 -0.576

1.598 1.626 1.654 1.682 1.71 1.738 1.766 1.794 1.822 1.85 1.878 1.906 1.934 1.962 1.99 2.018 2.046 2.074 2.102 2.13 2.158 2.186 2.214

Xa -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Xr

n

Xa

Xr

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

-0.548 -0.52 -0.492 -0.464 -0.436 -0.408 -0.38 -0.352 -0.324 -0.296 -0.268 -0.24 -0.212 -0.184 -0.156 -0.128 -0.1 -0.072 -0.044 -0.016 0.012 0.04 0.068

2.242 2.27 2.298 2.326 2.354 2.382 2.41 2.438 2.466 2.494 2.522 2.55 2.578 2.606 2.634 2.662 2.69 2.718 2.746 2.774 2.802 2.83 2.858

Xa -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0

Xr 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

En este caso no se puede tomar una decisión de aceptación hasta que hayan transcurrido las suficientes muestras, que hagan que la línea de aceptación tenga valores positivos en Xa, 44 en este caso, y no se puede rechazar hasta en la 2ª. Muestra.

Página 310



No. de defectos acumulado s 3

Línea de aceptación Línea de Rechazo

2 1 0

20

40

-1

60

Número de muestras

Fig. 7.11 Comportamiento del muestreo secuencial

CURVA OC y ASN Para esta curva se incluyen 3 puntos, (p1, 1-), (p2, ) y el punto medio de la curva en p=s y Pa = h2 /(h1+h2). Las muestras inspeccionadas promedio son:

B  A ASN  Pa    (1  Pa ) C C  Donde,

A  log B  log

(7.13)

 1 1 



p   1  p2   C  p log  2   (1  p) log  p  1  1  p1  INSPECCIÓN RECTIFICADORA La calidad media de salida AOQ  Pap y el número promedio de muestras inspeccionadas total es:

 A ATI  Pa    (1  Pa ) N C 

(7.14)

Página 311



Página 312



7.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859) Descripción de la norma Esta norma se desarrolló durante la segunda guerra mundial emitiéndose en 1950 con la versión A. La versión D se publicó en 1963 y en 1971 fue adoptada por la ANSI con pequeños cambios como la Z1.4 y en 1973 fue adoptada por la ISO como la norma ISO 2859. En 1989 se liberó la versión E.

La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes): -

Muestreo simple.

-

Muestreo doble.

-

Muestreo múltiple

En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones:

-

Inspección normal.

-

Inspección estricta.

-

Inspección reducida.

Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa mala calidad del proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del proveedor es buena, reduciendo los tamaños de muestra.

El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1% y 10%), negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL para defectos mayores es de 1%, 2.5% para defectos menores y 0% para defectos críticos. Cuando se utiliza para planes de defectos por unidad se tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000 defectos por cada 100 unidades, los noveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto para controlar fracción defectiva como defectos por unidad.

Página 313



El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del lote y por la selección del nivel de inspección. Se proporcionan tres niveles de inspección, donde el nivel II se considera normal; el nivel I requiere alrededor de la mitad de la inspección del nivel II y se usa cuando se requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del doble de inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más discriminación. Hay también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos usan tamaños de muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los riesgos grandes del muestreo sean aceptables.

Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el estándar MILSTD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se utilizará conforme el proveedor produzca productos con calidad AQL o mejor. También proporciona un mecanismo de cambio de cambio a inspección estricta o reducida como se ilustra en la figura y se describe a continuación.

1.

Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados.

2.

Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados.

3.

Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes:

a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal. b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes precedentes es menor o igual a el número límite aplicable del estándar. c.

La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores.

d.

La inspección reducida se considera adecuada por la función responsable de la inspección por muestreo.

Página 314

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 4.


Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes:

a. Un lote es rechazado. b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el próximo lote. c. La producción es irregular o se retarda en entregas. d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal.

5.

La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección estricta y el proveedor tome acciones para mejorar su calidad. Iniciando las reglas para el Sistema ANSI Z1.4   

INICIO

10 lotes aceptados Producción regular Aprobado por la autoridad responsable.

2 de 5. Lotes consecutivos. No aceptados.

Reducido

Estricto

Normal

   

Se rechaza un Lote Lotes aceptados con no conformidades encontrándose entre Ac y Re del plan, o Producción irregular Otras condiciones de detección.

5 consecutivos. Lotes aceptados

10 Lotes consecutivos aceptados

Inspección discontinua con Z1.4

Fig. 7.12 Reglas de cambio de planes de inspección

Página 315



1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05 Normal

Rigurosa

Reducida

Fig. 7.13 Comparación entre los planes normal, reducido y estricto

PROCEDIMIENTO Los pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente:

1. Negociación del AQL (cliente – proveedor). 2. Decisión del nivel de inspección. 3. Determinación del tamaño del lote. 4. Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente al tamaño del lote y el nivel de inspección. 5. Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble, múltiple). 6. Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se encuentran en el apéndice). 7. Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran hacer cambios.

Ejemplo 7.4 Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de inspección:

1. La tabla I indica la letra código K. 2. La tabla II-A para inspección normal indica el plan de muestreo n=125 y c=2. 3. La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de muestreo n= 125, c=1.

Página 316



La flecha descendente cambia la c, la letra de código y el tamaño de muestra, lo mismo para la ascendente. Por ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será cambiado a letra G con tamaño de muestra 32 en lugar de 20.

Para el caso de muestreo doble con los datos anteriores, la letra código es K y de las III-A, III-B y III-C se obtienen los planes de inspección normal (n1= n2=80, c1a=0, cir=3, c2a=3), estricta (mismas que n1 y n2, c1a=0, cir=2, , c2a=1, c2r=2) y reducida (n1= n2=32, c1a= c2a=0, c2r=3, c2r=4).

DISCUSIÓN

Todas las curvas OC son tipo B, también se proporcionan curvas para el ASN y datos del AOQL.

El estándar MIL-STD-105E está orientado al AQL, se enfoca al lado de riesgo del productor de la curva OC, la parte restante de la curva depende de la selección del nivel de inspección. Los tamaños de muestra seleccionados son 2, 3, 5, 8, 13, 20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 800, 1250 y 2000.

Si se grafica el tamaño medio del rango de lotes contra el logaritmo del tamaño de muestra se obtiene una recta hasta n=80 y después una recta con una pequeña pendiente. Como la razón de N a n es decreciente conforme aumenta N se economiza en la inspección.

El estándar civil ANSI/ASQC Z1.4 o ISO 2859 es la contraparte del estándar MIL-STD-105E, difiriendo en que:

1. Se usa el término “No conforme” o “no conformancia” o “porcentaje no conforme”. 2. Cambian ligeramente las reglas de cambio agregándose una opción para inspección reducida sin el uso de números límite. 3. Se agregan varias tablas que muestran el desempeño de los planes, como el AOQL, fracciones defectivas para Pa = 0.1 y Pa = 0.95, curvas de ASN y OC. 4. Hay una descripción detallada de los planes de muestreo simples.

Página 317



5. Se proporciona un esquema ilustrando las reglas de cambio en inspección.

Letras código para el tamaño de muestra MIL-STD-105E Lote 2-8 9-15 16-25 26-50 51-90 91-150 151-280 281-500 501-1 200 1 201-3 200 3 201-10 000 10 001-35 000 35 001-150 000 150 001-500 000 500 001 -----

Niveles de inspección especiales S-1 S-2 S-3 S-4 A A A A A A A A A A B B A B B C B B C C B B C D B C D E B C D E C C E F C D E G C D F G C D F H D E G J D E G J D E H K

Niveles de inspección generales I II III A A B A B C B C D C D E C E F D F G E G H F H J G J K H K L J L M K M N L N P M P Q N Q R

Tabla de inspección normal II-A Letra código para tamaño de muestra A B C

Tamaño de muestra 2 3 5

D E F

8 13 20

G H J

32 50 80

K L M

125 200 315

N P Q

500 800 1250

R

2000

0.01 Ac Re

0.015 0.025 0.04 Ac Re Ac Re Ac Re

Niveles de calidad aceptables AQL (%) 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

1 Ac Re

1.5 Ac Re

2.5 Ac Re

4 Ac Re 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2

1 2 2 3

1 2

1 2 2 3

1 2 2 3 3 4

2 3 3 4 5 6

3 4 5 6 7 8

2 3

3 4

5 6

0 1 0 1 0 1 0 1 1 2

2 3 3 4 5 6

3 4 5 6 7 8

1 2

1 2 2 3 3 4

2 3 3 4 5 6

3 4 5 6 7 8

5 6 7 8 10 11 7 8 10 11 14 15 10 11 14 15 21 22

1 2 2 3 3 4

5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 7 8 10 11 14 15 21 22 10 11 14 15 21 22

7 8

10 11 14 15 21 22

Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha

Ac

Número de aceptación

Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha

Re

Número de rechazo

Página 318

1 2 2 3

1 2 2 3

0 1 0 1

1 2



Tabla de inspección rigurosa II-B Letra código para tamaño Tamaño de de muestra muestra A 2 B 3 C 5 D 8 E 13 F 20 G 32 H 50 J 80 K 125 L 200 M 315 N 500 P 800 Q 1250 R 2000 S 3150

Niveles de calidad aceptables AQL (%) 0.01 0.015 0.025 0.04 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 1 1.5 2.5 4 Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 2

1 2 2 3

1 2 2 3 3 4

1 2 3 5

2 3 4 6

1 2 3 5 8

2 3 4 6 9

1 2 0 1 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 5 6 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 5 6 8 9 12 13 18 19 8 9 12 13 18 19 12 13 18 19

1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

1 2


Ac



Re

Número de rechazo

Tabla de inspección reducida II-C Letra código para tamaño Tamaño de de muestra muestra A 2 B 2 C 2 D 3 E 5 F 8 G 13 H 20 J 32 K 50 L 80 M 125 N 200 P 315 Q 500 R 800

0.01 Ac Re

0.015 0.025 0.04 Ac Re Ac Re Ac Re

Niveles de calidad aceptables AQL (%) 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

1 Ac Re

1.5 Ac Re

2.5 Ac Re

4 Ac Re 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2

0 2 1 3

0 2 1 3 1 4

0 1 1 2

2 3 4 5

0 1 1 2 3

2 3 4 5 6

0 1 1 2 3 5

2 3 4 5 6 8

0 1 1 2 3 5 7

2 3 4 5 6 8 10

0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13


Ac



Re

Número de rechazo

0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

NOTA: Si se ha excedido el número de aceptación, sin alcanzar el número de rechazo, aceptar el lote pero regresar a la inspección normal

. Figura 7.14 Tablas de muestreo simple por atributos

Página 319



7. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920) Desarrollaron dos tipos de planes usando inspección rectificadora: 1. Planes para el porcentaje defectuoso tolerable en el lote LTPD y 2. Los que proporcionan un límite de la calidad máxima promedio de salida AOQL especificado.

Los planes anteriores basados en AQL no son adecuados para el caso del ensamble de productos complejos. La tabla siguiente muestra la fracción defectiva en ppm dependiendo del AQL “aceptable”.

AQL

ppm

10% 1% 0.10% 0.01% 0.00% 0.00%

100,000 10,000 1,000 100 10 1

Ejemplo 7.5 Un equipo que tiene 100 componentes y que sus componentes tienen en promedio un AQL = 0.5% , por tanto la probabilidad de que el equipo trabaje es de:

P( función _ adecuada)  (0.995 )100  0.6058

Por tanto es obvio que se requieran planes de protección del LTPD, aun cuando el AQL sea muy bajo. Para esto se utilizan los planes de Dodge-Romig principalmente para inspección de subensambles.

Los planes de Dodge-Romig de AOQL y LTPD están diseñados para minimizar la inspección total promedio (ATI).

Para ambos se tiene una tabla de muestreo doble y simple. Son útiles cuando el rechazo medio del proceso es bajo (alrededor de 100 ppm).

Página 320



Planes de AOQL Las tablas de Dodge-Romig (1959) tienen planes para valores de AOQL de 0.1%, 0.25%, 0.75%, 1%, 1.5%, 2.5%, 3%, 4%, 5%, 7% y 10% en cada una se especifican seis valores para medias de proceso. Se tienen planes para muestreo simple y doble.

Ejemplo 7.5 De la tabla para AQOL=3%; para N= 5,000, AOQL= 3% y la fracción disconforme del proveedor del 1%.

De la tabla 13.21 se obtiene n=65, c=3, LTPD=10.3%. Da una seguridad del 90% de que serán rechazados los lotes que tengan desde un 10.3% defectuoso.

Suponiendo que los lotes recibidos tengan un promedio de 1% de defectivo y la probabilidad de aceptación sea Pa=0.9957, se tiene:

ASN= n + (1-Pa)(N-n)= 65 +(1-0.9957)(5000-65)=86.22.

De esta forma se inspeccionarán 86 partes del lote en promedio.

Planes de LTPD Se diseñaron de tal forma que la probabilidad de aceptación del LTPD sea 0.1. Se proporcionan tablas para valores de LTPD de 0.5%, 1%, 2%, 3%, 4%, 5% 7% y 10%.

Ejemplo 7.6 Suponiendo N=5,000 con fracción promedio de defectivos del proveedor de 0.25% de productos no conformes y el LTPD=1%.

De la tabla 13.23, el plan obtenido es n=770 y c=4, si los lotes rechazados son seleccionados al 100% y los artículos defectuosos se reemplazan por artículos buenos, el AOQL=0.28%.

Página 321



Cuando el promedio del proceso es mayor que la mitad del LTPD, la inspección 100% es mejor económicamente.

ESTIMACIÓN DEL PROMEDIO DEL PROCESO

La utilización de los planes de Dodge-Romig depende del conocimiento de la fracción promedio no conforme del proveedor. Se puede estimar la fracción defectiva promedio del proceso por medio de carta de control p para los primeros 25 lotes del proveedor, con las causas especiales eliminadas y el proveedor haya tomado acciones para prevenir su reincidencia.

Página 322



8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES Ventajas y desventajas La principal ventaja del muestreo por variables es que se puede obtener la misma curva característica de operación con tamaño de muestra menor que el que requeriría un plan por atributos. Otra ventaja es que los datos por variables proporcionan más información del proceso que los atributos. Cuando los AQLs son muy pequeños (del orden de ppm), el tamaño de muestra requerido en el caso de muestreo por atributos es muy grande y por variables muy pequeño. Cuando la inspección es del tipo destructivo, los planes por variables si se aplican son más económicos.

Como desventajas se tienen el probable alto costo de las mediciones versus juzgar por atributos, a pesar de que el tamaño de muestra sea menor y que es necesario un plan de muestreo para cada característica importante del producto.

Se debe conocer la distribución de la característica de calidad, la cual debe ser normal ya que de otra forma se pueden cometer errores en la aplicación del plan de muestreo por variables. Esto es más crítico cuando las fracciones defectivas son muy pequeñas.

En la figura de la página siguiente se muestran las diferencias para varias distribuciones. Si la distribución no es normal se puede diseñar un plan si se puede determinar la fracción defectiva a partir de la media y la desviación estándar de esa distribución.

Los planes especifican el número de artículos a muestrear en los cuales se hacen mediciones en la característica de calidad seleccionada, y el criterio de aceptación de esos lotes.

Una comparación entre los diferentes tipos de muestreo se da a continuación, considerando una p1 = 0.01, p2 = 0.08,  = 0.05 y  = 0.10:

Página 323



Tipo de muestreo

n ó ASN

1. Muestreo simple por atributos

n = 67.

2. Muestreo doble por atributos

ASN en p1 = 45

3. Muestreo múltiple por atributos

ASN en p1 = 41

6. Muestreo simple por variables,

n=27

sigma desconocida, método de s 7. Muestreo simple por variables

n=10

Sigma conocida

Como se observa, si la distribución es normal y la desviación estándar es conocida, el costo de muestreo por variables es menor.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Existen dos tipos de planes de muestreo por variables, los que controlan la fracción defectuosa del lote y los que controlan un parámetro del proceso tal como la media.

8.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA Como la característica de calidad es una variable, siempre existirá ya sea un límite de especificación inferior LIE, límite de especificación superior o ambos, que definan los valores aceptables de esa característica.

Considerando una característica de calidad x normalmente distribuida y un límite inferior de especificaciones LIE, la fracción defectiva p es función de la media del lote  y su desviación estándar .

Página 324



Asumiendo que la desviación estándar  del proceso es conocida, se desea tomar una muestra del lote para determinar si o no el valor de la media es tal que la fracción defectiva p es aceptable. Para esto se tienen dos métodos.



p

__

LIE

x

X

Figura 8.1 Bases del muestreo por variables

Procedimiento 1.

Tomando una muestra aleatoria de n artículos del lote y calculando el estadístico

Z LIE 

X  LIE

(8.1)



ZLIE expresa justamente la distancia entre la media X de la muestra y el límite inferior de especificación LIE, entre mayor sea su valor, la media X de la muestra estará más alejada del LIE y en consecuencia menor será la fracción defectiva p.

Si hay un valor crítico p que no deba ser excedido con una probabilidad establecida, se puede traducir el valor de p en una distancia crítica por decir k para ZLIE. De esta forma si ZLIE <= k, se aceptará el lote ya que automáticamente la fracción defectiva p es satisfactoria, en caso contrario la fracción defectiva p es mayor que la aceptable y se rechazará el lote. Ejemplo 8.1 Si =100,  =10 y LIE= 82:

Z LIE 

X  LIE





82  100  1.8 10 Página 325



Donde (-1.8) = 0.0359 o sea el 3.59% defectuoso.

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de tener un límite superior de especificación unilateral LSE.

Z LSE 

LSE  X

(8.2)



Cuando se tiene un solo límite de especificación, la relación entre Z y la fracción defectiva (p) es:

p

Z s ó Zi

0.25

0.6745

0.20

0.8416

0.15

1.0364

0.10

1.2816

0.05

1.6449

0.02

2.0537

0.01

2.3263

Procedimiento 2.

A partir de una muestra sencilla de tamaño n del lote, se calcula ZLIE o

QLIE  Z LIE n /(n  1) (más exacto) y se estima la fracción defectiva p como el área bajo la curva normal debajo de ZLIE, si esta fracción estimada p, excede un valor máximo M, se rechaza el lote, de otra forma se acepta.

Para el caso de límites bilaterales se calculan ambos QLIE y QLSE.

Página 326


QLIE 

X  LIE




n /(n  1)

(8.3)

QLSE 

LSE  X



n /(n  1)

Se estiman las fracciones defectivas P(QLIE) y P(QLSE) de la tabla mostrada en el apéndice para estimar las fracciones defectivas pI y pS, si la suma de ambas fracciones defectivas no excede al valor máximo permitido M se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote. Cuando la desviación estándar  es desconocida, se puede estimar de la desviación estándar de la muestra s, remplazando en las fórmulas anteriores a  por s.

8.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES CON UNA CURVA CO ESPECÍFICA

Para diseñar un plan de muestreo por variables usando el procedimiento 1, el método de k, que tiene una curva OC especificada por dos puntos (p1, 1-), (p2, ) donde p1 y p2 son las fracciones defectivas que corresponden a niveles de calidad aceptables y rechazables respectivamente se utiliza un nomograma.

L. J. Jacobson propuso un nomograma mostrando dos escalas diferentes (ver página siguiente), para estimar n y k con sigma conocida y sigma desconocida.

Utilizando este nomograma podemos obtener la curva característica de operación CO, cambiando los valores de las fracciones defectivas p y hallando sus probabilidades de aceptación si se mantiene fijo n y k.

Página 327



Ejemplo 8.2 Un embotellador ha establecido que la resistencia mínima para una botella de plástico sea de LIE= 225 psi, si a lo más el 1% no pasa el límite, se aceptará el lote con una probabilidad del 95% (p1=0.10 y 1-= 0.95), mientras que si el 6% o más están abajo del límite, el embotellador rechazará el lote con una probabilidad de 90% (p2=0.06, = 0.10).

Para hallar el plan de muestreo por variables n, k, se traza una línea que une a el punto 0.01 en la escala de fracción defectivas con el punto 0.95 en la escala de probabilidad de aceptación. Después se traza una línea similar que conecta los puntos p2 = 0.06 y Pa=0.10, en la intersección de esas líneas se lee, k=1.9 y n=40 para  desconocida (siguiendo la línea curveada) o n=15 (bajando una línea perpendicular) para  conocida.

a) Procedimiento 1 Si se desconoce la desviación estándar, se toma una muestra aleatoria de n = 40 piezas calculando la media y la desviación estándar s, se calcula ahora:

Z LIE 

X  LIE



Si ZI  k = 1.9 se acepta el lote, de otra forma se rechaza.

Si se conoce la desviación estándar, la n pasa de 40 a 15 con menos costos, al bajar en forma perpendicular en el punto de intersección hacia la escala de n.

b) Procedimiento 2.

Una vez obtenidas n 40 y k = 1.9, se obtiene el valor de M del nomograma de la fig. 14.3,

La abscisa se calcula como sigue (con n = 40 y k = 1.9):

1 k n 1 1.9 40     0.35 2 2(n  1) 2 2(39 )

Página 328



Esto indica que M = 0.30.

Por ejemplo si se toma una muestra de n=40 partes y se observa que la media de la muestra

X  255 y s = 15, el valor de ZLIE es:

Z LIE 

X  LIE 225  225  2 s 15

de las tablas para fracción defectiva al final de este capítulo se obtiene una p = 0.020, y siendo que es menor que M = 0.030, se acepta el lote. Para límites bilaterales se obtienen ambas pi y ps en base a Zi y Zs, si pi + ps  M se acepta el lote, si no se cumple lo anterior, el lote se rechaza.

8.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993 Originalmente se emitieron las tablas MIL-STD-414 sin embargo posteriormente fueron homologadas con las tablas MIL-STD-105E (incluyendo inspección normal, reducida y estricta y concordancia en las letras código de los planes para cada AQL) para su uso en la industria dando lugar a las tablas Z1.9 de la ASQC.

Se enfoca al AQL (entre 0.1% a 10%) con cinco niveles generales de inspección (el normal es el II), el nivel III tiene una curva más abrupta que el nivel II. Se pueden usar niveles más bajos (S3 S4) para reducir costos muestrales si se toleran riesgos mayores.

Tiene la siguiente organización:

Página 329



Variabilidad Desconocida Método de S

Variabilidad Conocida

Especificación Unilateral

Especificaciones Bilaterales

Procedimiento 1 (Método de k)

Procedimiento 2 (Método de M)

Procedimiento 2 (Método de M)

Fig. 8.2 Organización del muestreo por variables Tienen 4 secciones:

A. Descripción general, con definición de términos, código de letras de tamaño de muestra, y curvas OC de los planes. B. Planes basados en la desviación estándar de la muestra con sigma del proceso desconocida. C. Planes basados en la amplitud de la muestra con sigma desconocida (ya descontinuado). D.

Planes basados en la media de la muestra cuando se conoce la sigma del proceso.

USO DE LAS TABLAS

Las tablas se encuentran en el apéndice y su uso se ilustra con un ejemplo:

Ejemplo 8.4 Para el caso del embotellador: Si el límite inferior LIE = 225 psi, suponiendo que el nivel de calidad aceptable en este límite es AQL = 1% y que las botellas se embarcan en lotes de N = 100,000, con sigma desconocida se tiene:

Página 330



Procedimiento 1. 1.

En la tabla A-2 se identifica el código de letra, en este caso, la N:

2.

En la tabla B-1 se determina la n y k en este caso con la letra N y AQL= 1.00 negociado entre proveedor y cliente, se obtiene k = 2.03. Para el caso de inspección severa (escala inferior) k = 2.18. Para el caso de inspección reducida k = 1.8 de la tabla B-2.

3. En la tabla B-3 se determina M en el renglón de N y columna de AQL= 1% obteniéndose M= 2.05%. Para inspección severa M = 1.42%. Para inspección reducida, de la tabla B-4 se obtiene k = 3.44%. 4. La inspección estricta se usa cuando 2 de 5 lotes han sido rechazados 5. La inspección reducida se usa cuando los 10 lotes anteriores se han aceptado y su fracción defectiva estimada es menor que un límite inferior especificado y la producción es estable. 6.La tabla B-6 se usa para obtener la desviación estándar máxima que se debe obtener en la muestra con base a la tolerancia. Si el valor de s excede este valor, se rechaza el lote.

Nota: Es posible pasar de planes de muestreo con sigma desconocida a planes con sigma conocida con menor n si se demuestra estabilidad en una gráfica X -s para los lotes (al menos para 30). Los planes específicos para este tipo de planes se deben consultar en el estándar.

EJEMPLOS TOMADOS DEL ESTANDAR Z1.9-1993

VARIABILIDAD DESCONOCIDA – MÉTODO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

B1. Plan de muestreo para límite especificación unilateral. Forma 1 a) De la tabla A2 seleccionar la letra código de función del tamaño del lote y el nivel de inspección. b) Usar tablas B1 (normal y estricta) y B2 (reducida) para obtener el plan. n

- tamaño de muestra.

K

- constante de aceptabilidad

c) Obtener mediciones de muestras , calcularX y s. d) Criterio de aceptación. LSE

- Límite superior de especificación.

Página 331



LIE - Límite inferior de especificación. Comparar (LSE – X) / s ó (X– LIE) / s con k.

Si es mayor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Ejemplo 8.5 La máxima temperatura de operación es de 209ºF. Un lote de 40 artículos se inspecciona, tomando AQL = 1%, nivel II.

Solución. a) De tabla A2, se selecciona la letra D. b) De la tabla B1, n = 5, k= 1.52 c) Suponiendo lecturas 197º, 188º, 184º, 205º y 201º. X= 195 , s = 8.8 d) ( LSE - X ) / s = (209 – 195) / 8.8 = 1.59 e) 1.59 > k por tanto se acepta el lote.

B5- Usando la forma 2 a) Usar tablas B3 ( normal y estricta) y B4 (reducida) y obtener el plan de inspección, n y M  Porcentaje máximo de no conformes. b) Obtener mediciones de muestras, calculandoX y s. c) Criterio de aceptación. Calcular el índice de calidad QS= (LSE - X ) / s QI= (X – LIE ) / s En tabla B5 entrar con QU o QL para encontrar porcentaje estimado no conforme PS o PI.

Comparar PS o PI con M , si es igual o menor se acepta el lote, se rechaza en caso contrario. Ejemplo 8.6 De lo anterior; X = 195 ; s = 8.8 a) De la tabla B3 se obtiene M = 3.33% para letra D, n = 5 y AQL = 1%. b) De la taba B5 con QS= 1.59 se obtiene PS = 2.19% c) Como PS  M se acepta el lote.

Página 332



B8. Plan de muestreo para doble límite de especificación. a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección. b) Obtener el plan n y M de tabla B3 y B4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite MI y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M. c)

Obtener mediciones del muestreo.

d) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) / s y QL =( X – LIE ) /s e) De tabla B5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n. Pestimada= PI + PS f)

Comparar Pest. Con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Nota: Cuando hay diferente AQL para cada límite: Aceptar si PI  MI y PS  MS y P = PI + PS mayor (MS, MI)

Ejemplo 8.7 Se inspecciona un lote de 40 muestras con nivel de inspección II, inspección normal y _

en base a temperaturas de los ejemplos anteriores, n = 5, X = 195; s= 8.8; considerando LIE= 180F; LSE= 209F; AQL= 1% donde de tabla B-3 M = 3.32%

QS=

209  180  1.59 ; PS = 2.19% (de tabla B-5) 8.8 QI =

195  180  1.704; PI = 0.66% (de tabla B-5) por tanto la fracción defectiva total es de 8.8

p = 2.85%

Como P < M se acepta el lote.

Ejemplo 8.8 Si el AQLS= 1% y AQLI= 2.55% de tabla B3, MS= 3.32% , MI=9.8% a) PS= 2.19% ; PI= 0.66% P = 2.85% b) Comparando PS  MS ; PI  MI y P  MI

Página 333



Se acepta el lote.

VARIABILIDAD CONOCIDA

D.1 Sólo un límite de especificación. Forma 1. Usar tabla D1 y D2 para obtener n y k

Ejemplo 8.9 Se toma un lote de 500 artículos para inspección. LIE= 58,000 psi. N= 500, nivel II, inspección Normal. AQL= 1.5%. La variabilidad  es conocida con valor 3,000 psi

a) de tabla A2, se identifica la letra I y de tabla D1 obtenemos n = 10 Valores de muestra

62,500; 60,500; 68,000; 59,000; 65,500 62,000; 61,000; 96,000; 58,000; 64,500.

a) Cálculo de X= 63,000 ; ( X – LIE) /  = 1.67 b) De tabla D1 ; k = 1.7 c) Comparando ( X – LIE)/  < k y el lote se rechaza.

D.5 Usando la forma 2. a) Usar tablas D3 y D4 obteniendo n, M y V b) Calcular QS= (LSE - X) V /  y QL=( X – LIE) V /  c) Usando tabla D5 estimar PS y PI d) Comparar D= PS + PI  M para aceptabilidad

Ejemplo 8.10 Sea LIE= 58,000 psi; tamaño del lote 500 artículos;AQL = 1.5%; Inspección _

nivel II, normal. De los datos anteriores se obtuvo X = 63,000; n = 10 ;  = 3,000. De tabla A-2 se obtiene la letra I. a) Obtención en tabla D3 de n, M y V como 10, 3.63%, 1.054 respectivamente. b) Cálculo de QL =(63,000 - 58,000) * 1.054 / 3,000 = 1.756 c) Determinar PL de tabla D5 con QL= 1.756 es 3.92% Como PL > M se rechaza el lote.

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D9. Plan de muestreo para doble límite de especificación a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección. b) Obtener el plan n, el factor v y el porcentaje máximo aceptable M de tabla D3 y D4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite MI y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M. c) Obtener mediciones del muestreo en n partes. d) Calcular la media de los datos. e) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) v /  y QL =( X – LIE ) v /  f)

De tabla D-5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n. Pestimada= PI + PS

Ejemplo 8.11 La especificación para una colada de acero es de 67,000 y 58,000 psi respectivamente. Un lote de 500 artículos se somete a inspección. El nivel de inspección es II, inspección normal con AQL = 1.5%. La variabilidad  conocida con valor 3,000 psi.

a) De tabla D-3 se obtuvo n = 10, v = 1.054, M = 3.63% _

b) De las mediciones de las 10 muestras se obtuvo X  63,000 c) Los índices QS con QL son respectivamente 2.459 y 3.162 con fracciones estimadas defectuosas 0.697% y 0.078% de la tabla D-5. d) Como la fracción defectiva total no excede el valor de M = 3.63%, se acepta el lote. NOTA: Comparar Pestimada con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

DISCUSIÓN DE LA NORMA ASQC Z1.9 e ISO 3951 (1981)

Una consideración muy importante en el uso de las normas es que la población de donde se obtienen las muestras debe ser normal. Es más crítico para pequeños valores de AQL.

Es muy importante realizar pruebas de normalidad en los extremos de la distribución para asegurar que la norma Z1.9 es aplicable sin modificaciones.

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Los ajustes que se hicieron en la norma ASQC Z1.9 (1980) e ISO 3951 (1981) son: 1. Los rangos de tamaño de lotes se ajustaron para corresponder con la MIL-STD-105E por atributos. 2. Se ordenaron las letras código para tener la misma protección que con la MIL-STD-105E. 3. Los niveles de inspección originales I, II, III, IV y V se denominaron S3, S4, I, II y III. 4. En la ISO 3951 se eliminaron los planes que consideran a los rangos en vez de las desviaciones estándar. 5. En la ISO 3951 y en la Z1.9 se eliminaron los AQLS de 0.04, 0.065 y 15%. 6. Cambios en las reglas de transferencia.  Se adoptan las mismas reglas que en la 105E para el paso de inspección normal a severa y viceversa con ligeras modificaciones.  La norma Z1.9 permite el paso de inspección normal a reducida si:





10 lotes en inspección normal fueron aceptados.



La producción es continua.



La inspección reducida es aprobada.

La ISO 3951 permite el paso a inspección reducida si 10 lotes sucesivos han sido aceptados y: 

El AQL es un paso menor.



El proceso está bajo control estadístico.



La inspección reducida es aprobada.

7. La ISO 3951 permite el paso de un método de sigma desconocida a sigma conocida, utilizando como sigma el valor promedio estimado en la carta de control estable con al menos 30 subgrupos. Requiriendo la continuación de la carta s o R.

Su ventaja principal es que se puede iniciar con un esquema de muestreo por atributos con la MIL-STD-105E, obtener información suficiente y después cambiar a un esquema por variables manteniendo la misma combinación de letra para el AQL.

Es muy importante una prueba de normalidad a partir de los datos variables de cada lote.

Página 336



8.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES ASEGURAMIENTO DE LA MEDIA DEL PROCESO Los planes de muestreo por variables también pueden utilizarse para asegurar la calidad media de un material en lugar de su fracción defectiva. El método general que aquí se emplea es el de prueba de hipótesis, lo cual se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 8.12 Se considera aceptable un lote si tiene menos de 0.3 ppm de emisiones de formaldeído en maderas. Se diseña un plan de muestreo con una probabilidad de aceptación del 95% si las emisiones son en promedio de 0.3 ppm, y los lotes con un 0.4 ppm tengan una probabilidad de aceptación del 10%. Si por experiencia se sabe que la desviación estándar es 0.10 ppm, se tiene:

Si X A es la media muestral debajo de la cual se aceptará el lote, está normalmente distribuida y tiene una probabilidad de 0.95 de aceptación, entonces,

X A  0.3





n

X A  0.3  1.645 0.1 n

(8.4)

En forma similar si los lotes que tienen un nivel de emisión de 0.40 ppm tienen una probabilidad de 0.10 de aceptación, entonces,

X A  0.4

 n



X A  0.4  1.282 0.1 n

(8.5)

resolviendo para X A y n se obtiene:

X A = 0.355

n= 9

Muestreo secuencial por variables Similar al de atributos graficando la suma acumulada de las mediciones de la característica de calidad. Las líneas para aceptación del lote, rechazo del lote y continuación del muestreo se construyen en forma similar a las de atributos (ver Duncan 1986).

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APÉNDICES

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FORMULAS DE CARTAS DE CONTROL

CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES CARTAS Xbarra-R Límites de control para medias n =5 LSC = X + A2 R LIC = X - A2 R

Límites de control para rangos n=5 LSC = D4 R LIC = D3 R

CARTAS Xbarra-S Límites de control para medias LSCx = X + A3 S LCx = X LICx = X - A3 S

Límites de control para desviaciones estándar LSCs = B4 S LCs = S LICs = B3 S

CARTAS I-MR de valores individuales Para los valores individuales n=2 LSCx = X  3

MR d2

__

LCx = X LICx = X  3

MR d2

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Para el caso del rango se usan las mismas de la carta Xbarra-R con n=2

CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

CARTA p

pi 

Di ni m

p

D i 1

i

mn

m



p i 1

i

m __

__

p (1  p ) LSCp = p  3 n __

__

LCp = p __

__

p (1  p ) LICp = p  3 n __

CARTAS np

LSCnp  np  3 np(1  p)

LCnp  np LICnp  np  3 np(1  p)

CARTAS c

LSCc = c + 3

c

LCc = c LICc = c - 3

c

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CARTAS u

u

c n

Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de datos preliminar

LSC u  u  3

u n

LC u  u

LSC u  u  3

u n

TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL Las constantes para límites de control en las cartas X-R son: n

A2

D3

D4

d2

2

1.880

0.000

3.267

1.128

3

1.023

0.000

2.574

1.693

4

0.729

0.000

2.282

2.059

5

0.577

0.000

2.115

2.326

6

0.483

0.000

2.004

2.534

7

0.419

0.076

1.924

2.704

8

0.373

0.136

1.864

2.847

9

0.337

0.184

1.816

2.970

10

0.308

0.223

1.777

3.078

Página 341



Las constantes para límites de control en las cartas X-S son: n

c4

A

A3

B3

B4

B5

5

0.9400

1.342 1.427 0

6

0.9515

1.225 1.287 0.030 1.970 0.029 1.874

7

0.9594

1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.806

8

0.9650

1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.751

9

0.9693

1.000 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707

10

0.9727

0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.669

11

0.9754

0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.637

12

0.9776

0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.610

13

0.9794

0.832 0.850 0.382 1.618 0.374 1.585

14

0.9810

0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563

15

0.9823

0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.544

16

0.9835

0.750 0.763 0.448 1.552 0.440 1.526

17

0.9845

0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.511

18

0.9854

0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.496

19

0.9862

0.688 0.698 0.497 1.503 0.490 1.483

20

0.9869

0.671 0.680 0.510 1.490 0.504 1.470

21

0.9876

0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.459

22

0.9882

0.640 0.647 0.534 1.466 0.528 1.448

23

0.9887

0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.438

24

0.9892

0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.429

25

0.9896

0.600 0.606 0.565 1.435 0.559 1.420

2.089 0

Página 342

B6

.

1.964



Página 343

Libro - Control estadistico de proceso.pdf

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