LIBRO Apuntes Complementos de Física

Apuntes de apoyo a la asignatura

COMP CO MPLE LEM MEN ENTO TOS S de FÍ FÍSI SICA CA E.T.S. de Ingeniería Informática UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Francisco L. Mesa Ledesma

Departamento de FÍSICA APLICADA I

Universidad de Sevilla PLAN DOCENTE DE LA ASIGNATURA:

COMPLEMENTOS DE FÍSICA Titulación:

Ingeniero en Informática

Tipo:

obligatoria

Curso:

1º

Cuatrimestre:

2º

Créditos:

4.5

Curso académico: 2003 / 2004

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA 1.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA 1. 1. Origen de la Física Cuántica 2. 2. Naturaleza dual de la radiación. Efecto fotoeléctrico 3. 3. Carácter discreto de la energía en los estados estacionarios 3.1 3.1 Espectros atómicos luminosos. Rayos X 3.2 3.2 Modelo atómico de Böhr 3.3 3.3 Experiencia de Frank-Hertz 4. 4. Naturaleza dual de la materia 4.1 4.1 Hipótesis de De Broglie 4.2 4.2 Experiencia de Davisson-Germer 5. 5. Principio de Heisenberg. Incertidumbres posición-momento, tiempo-energía

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER. APLICACIONES.

2. 2.

1. 1. Ecuación de Schrödinger 2. 2. Pozo de potencial de paredes impenetrables 3. 3. Efecto túnel 4. 4. Atomo de hidrógeno 4.1 4.1 Números cuánticos 4.2 4.2 Efecto Zeeman 4.3 4.3 Spin. Experiencia de Stern-Gerlach 5. 5. Atomos multielectrónicos. Sistema periódico

MATERIA CONDENSADA

3. 3.

1.

1.

Estados de agregación de la materia

2.

2.

Gases. Distribución de Maxwell-Boltzmann

3.

3.

Estructura cristalina

3.1 3.1 Parámetros de la estructura cristalina 3.2 3.2 Redes de Bravais 3.3 3.3 Estructura del Si y del AsGa

4. 4.

4.

4.

Anisotropía de los cristales

5.

5.

Aplicaciones tecnológicas

CONDUCCIÓN ELÉCTRICA EN METALES 1. 1. Fenomenología 2. 2. Modelo de Drude-Lorentz 3. 3. Modelo de Sommerfeld 3.1 3.1 Estados electrónicos. Condiciones periódicas 3.2 3.2 Distribución de Fermi-Dirac. Nivel de Fermi 3.3 3.3 Conductividad eléctrica

5. 5.

BANDAS DE ENERGÍA 1. 1. Dificultades en el modelo de Sommerfeld 2. 2. Modelo de Bloch: Bandas prohibidas 3. 3. Generalización del modelo de Bloch: bandas de energía. Clasificación de sólidos 4. 4. Masa efectiva. Huecos

6.

SEMICONDUCTORES 1. 1. Fenomenología 2. 2. Semiconductores intrínsecos. Generación de pares electrón-hueco 3. 3. Semiconductores extrínsecos 3.1 3.1 Densidad de estados 3.2 3.2 Distribución de los portadores en los estados energéticos

3.3 3.3 Ley de acción de masas 3.4 3.4 Ecuación de neutralidad eléctrica 4. 4. Corrientes de arrastre y difusión

7.

DISPOSITIVOS SEMICONDUCTORES 1. 1. Unión pn no polarizada 2. 2. Unión polarizada 3. 3. Diodo real 3.1 3.1 Polarización directa 3.2 3.2 Polarización inversa 4. 4. Diodos LED y LASER 5. 5. Transistores de unión bipolar BJT 6. 6. Transistores monopolares JFET y MOSFET

BIBLIOGRAFÍA A) Básica: 1. 1. Tipler, P.A.; Física Moderna. Reverté, Barcelona 1985 2. 2. A. Criado y F. Frutos.; Introducción a los Fundamentos Físicos de la Informática. Paraninfo 1999.

3. 3. Garcia, N. Y Damask, A.C.; Physics for Computer Science Students. Prenctice-Hall. New Jersey, 1991

B) Complementaria: 4. 4. Alonso, M y Finn, E.J.; Física. Addison-Wesley, Massachussetts, 1992 5. 5. Pierret, R.F.; Fundamentos de Semiconductores. Addison-Wesley, 1994 6. 6. Robles, M., Romero, F. Et al; Física Básica de Semiconductores. Paraninfo,

1993 7. 7. Rosenberg, H.M.; El Estado Sólido. Alianza Universidad Textos. Barcelona,

1991 8. 8. Llinares, J. y Page, A.; Electromagnetismo y Semiconductores. Servicio de

Publicaciones de la U. P. de Valencia, 1987 9. 9. Pávlov. P.V. y Jojlov, A.F.; Física del Estado Sólido. MIR 10. 10. Streetman, B.G. Solid State Electronic Devices. Prentice Hall, 1995 11. 11. Roulston. D.J.; An Introduction to Physics of Semiconductor Devices.

Oxford University Press, 1999.

EVALUACIÓN Se realizará un examen final escrito sobre la materia relacionada en el programa de la asignatura. El examen constará de dos partes, una de teoría (cuestiones y aplicaciones) y otra de problemas. El examen se aprobará obteniendo una calificación media entre dichas partes de, al menos

5 . Para hacer la media será

condición necesaria haber alcanzado una nota mínima de

4 en una de las partes.

II

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Apuntes de CF

FLML

Prefacio La presente colección de notas sobre Física Cu ántica y Física del Estado Sólido pretende ser una ayuda al estudiante en la asignatura cuatrimestral Complementos de Física de la E.T.S. de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla. Aunque estas notas han sido inspiradas por diversas fuentes (permítaseme destacar y agradecer la imp ortante contribu ción d e los profesores de la ETS de Ingeniería Informática d el Departam ento d e Física Aplicada 1 de la Universidad d e Sevilla), cua lquier d efecto o error sólo es atribu ible al au tor d e estos apuntes. Es importante resaltar que estas notas no pueden ni deben sustituir a otros textos más elaborados sobre la materia. El objetivo principal de la materia presentada es dotar al alumno de algu nos d e los fun da men tos físicos elementales en los que se basa el funcionamiento de los dispositivos y sistemas usados en Informática. Gran p arte de la tecnología actual d e los compu tadores se basa en la Electrónica. Dado qu e la Electrónica consiste básicam ente en el control del flujo de los electrones en materiales conductores y semiconductores, es evidente la necesidad de estudiar el comportamiento de dichos electrones en metales y semicond uctores. Este estud io se llevará a cabo med iante una serie d e temas introdu ctorios d e Física Cuántica y Atómica donde se presentan las propiedades fundamentales de las par tículas cuán ticas. Posteriorm ente se analiza el com portamiento d e los electrones en m etales y semicond uctores, pa ra lo cual debemos considerar sus características cuánticas y estadísticas. Finalmente, estudiaremos el comportamiento de la unión p-n puesto que es la base de m ultitud de d ispositivos electrónicos y optoelectrónicos usad os en la tecnología de los comp utad ores. F RANCISCO L. M ESA L EDESMA Sevilla, febrero de 2001

II I

IV

Apuntes de CF

FLML

Índice general 1. Fundamentos de Física Cuántica

1

1.1. In trod u cción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Cuantización de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1.

Espectros ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2. Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Dualidad de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Modelo atómico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5. Dualidad de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.1. Hipótesis de De Broglie . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.2. Verificación experimental . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.3.

Naturaleza de la onda . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6. Principio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6.1.

Principio de incertidu mbre posición/ momento . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6.2. Principio de incertidumbre energía-tiempo . . .

24

1.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2. Ecuación de Schrödinger. Aplicaciones

29

2.1. Ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Partícula ligada. Cuantización . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1. Partícula Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2.

Pozo potencial infinito monodimensional . . .

33

2.2.3.

Pozo de potencial tridimensional . . . . . . . .

36

2.3. Efecto tú n el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4. Átomos hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.1.

Números cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.2.

Spin del electrón . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

V

ÍNDICE GENERAL

VI

2.5. Tabla periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45


47

3. Materia Condensada 3.1. Estados de Agregación de la Materia . . . . . . . . . . .

51

3.2. Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3. Mo nocrista l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.4. Estructuras reticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.4.1. Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.4.2. Parámetros de la estructura reticular . . . . . . .

58

3.5. Observación de las estructuras cristalinas . . . . . . . .

60


61

4. Electrones libres en metales

63

4.1. Fenomenología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.2. Modelo clásico del electrón libre . . . . . . . . . . . . .

65

4.2.1. Hipótesis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.2.2. Dependencia con la temperatura . . . . . . . . .

68

4.2.3. Fallos del modelo de Drude . . . . . . . . . . . .

69

4.3. Modelo cuántico del electrón libre . . . . . . . . . . . .

69

4.3.1. Función densidad de estados . . . . . . . . . . .

70

4.3.2. Distribución de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . .

70

4.3.3. Conducción eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.3.4. Fallos del modelo de Sommerfeld . . . . . . . .

74


74

5. Electrones en una red periódica

77

5.1.M odelo cuántico del electrón ligado . . . . . . . . . . . . .

77

5.1.1. Aproximación de fuerte enlace . . . . . . . . . .

79

5.1.2. Bandas de energía . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.2. Aislantes, Semicondu ctores y Conductores . . . . . . .

84

5.3. Masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.4. H u ecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90


92

6. Bandas de Energía en Semiconductores Apuntes de CF

51

95 FLML

ÍNDICE GENERAL

VII

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.2. Generación y recombinación de electrones y hu ecos . .

96

6.3. Semiconductores Intrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.3.1. Descripción cualitativa . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.3.2. Probabilida d de ocup ación de electrones y hu ecos100 6.3.3. Posición del nivel d e Fermi para semicondu ctores intrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.3.4. Función d ensidad de estados para electrones y h u ecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.3.5. Distribución energética d e hu ecos y electrones . 103 6.4. Semiconductores Extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4.1. Semicond uctor tipo n . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4.2. Semicond uctor tipo p . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.4.3. Distribución energética d e hu ecos y electrones . 107 6.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7. Portadores de carga en Semiconductores

111

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2. Concentración de electrones y huecos . . . . . . . . . . 111 7.2.1. Ley de acción masas . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3. Comp ensación y Neu tralidad de la carga espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.3.1.

Cálculo aproximad o de n y

p

. . . . . . . . . . . 117

7.3.2. Cálculo de E F par a semicondu ctores intrínsecos y extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.4. Conductividad eléctrica en semicondu ctores . . . . . . 120 7.5. Corrientes de Arrastre y Difusión . . . . . . . . . . . . . 122 7.5.1. Proceso de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.5.2.

Corriente de difusión . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.5.3. Corriente total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.5.4.

Campo eléctrico interno . . . . . . . . . . . . . . 125

7.6. Velocidad de generación y recombinación . . . . . . . . 128 7.7. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.7.1. Ecuación de difusión

. . . . . . . . . . . . . . . 132

7.7.2. Inyección constante de portadores . . . . . . . . 133 FLML

Apuntes de CF

ÍNDICE GENERAL

VIII

7.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8. Unión p-n

137

8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2. Unión p-n en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.2.1. Potencial de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.2.2. Región de carga espacial . . . . . . . . . . . . . . 141 8.3. Unión p-n polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3.1. Descripción cualitativa de las corrientes en la unión 143 8.3.2. Ecuación del diodo. Cálculo simp lificado . . . . 147 8.4. Láser Semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.4.1. Propiedades eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.4.2. Propiedades ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.4.3. Estructura del láser semicondu ctor . . . . . . . . 158 8.5. Aplicaciones del Láser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.5.1. Aplicaciones del Láser de Inyección . . . . . . . 162 8.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A. Constantes fundamentales

167

B. Energía y longitud de onda de una partícula relativista

169

C. Promedios estadísticos

171

C.1. Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 C.2. Sistemas Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Apuntes de CF

D. Propiedades de algunos materiales semiconductores

173

E. Invarianza del nivel de Fermi en equilibrio

175

FLML

Capítulo 1

Fundamentos de Física Cuántica 1.1. Introducción De una forma muy genérica denominaremos Física Cuántica a la Física que se desarrolló a principios del siglo XX para explicar el compo rtam iento de los fenóm enos que ocur ren a mu y pequ eña escala (el ámbito microscópico donde los órdenes de magnitud involucrados son: distancia 1 Å, masa 10−27 kg, energía 10−19 J). Esta nu eva Física comp lementa a la denom inada Físi ca Clásica que se desarrolló p ara ser aplicada en el ám bito macroscópico (fenóm enos qu e involucran órd enes de ma gnitu d d el orden d e 1 m, 1 kg, 1 J) y que podem os identificar, por ejemp lo, con las leyes de N ewton , las ecuaciones d e Maxwell, etc. Antes d e introdu cir los fun d amen tos de la Física Cuántica, es conveniente resaltar que la Física Cuántica trajo consigo, además d e nuevos resultados, cambios conceptu ales mu y importantes que afectan a la forma en la que habitualmente entendemos el mundo que nos rodea. No obstante, cabe señalar que estos cambios conceptuales afectan drásticamente a nuestra visión del mundo microscópico pero no tanto a la del mundo macroscópico (aunque obviamente mu chos fenóm enos macroscópicos sólo p ued en entend erse con base en los principios de la Física Cuántica).

∼

∼

∼

La Física siemp re afronta el estud io de los fenóm enos m ediante el estudio de modelos, esto es, representaciones parciales d e la realidad . Es entonces imp ortante aclarar qu e lo que se estud ia no es directam ente la realidad sino el “modelo” que nosotros hacemos de ella. Usualmente, el modelo es una simplificación de la realidad que recoge, no obstan te, las características esenciales del asp ecto físico en el que estemos interesados. Así, si qu eremos estud iar el efecto de la graved ad sobre los cuerpos, un posible mod elo elemental sería el supon er que los cuerpos son puntuales (su masa está concentrada en un punto), que la gravedad es constante y que se desprecia el efecto del rozamiento 1

2

Capítulo 1. Fundamentos de Física Cuántica

con el aire. Este mod elo simp lificado explicaría satisfactoriam ente, por ejemp lo, el tiempo qu e tarda en caer un a piedr a desd e cierta altur a pero no d escribiría muy adecuadam ente la caída de u na h oja d e papel. En consecuen cia, el estud io de este último fenóm eno requeriría el uso d e otro m odelo m ás comp lejo. En este sentido, es interesante constatar que la mayoría de los modelos que intentan describir el mundo macroscópico se basan p arcialmente en el “sentido comú n” (esto es, en la m anera en la qu e nu estros sentidos p erciben la realidad). De esta forma, se su pon en características gen erales como continuidad de la materia y la energía (es decir, la materia y la energía pueden tomar cualquier valor e intercambiarse en cualquier cantidad); diferenciación objetiva en tre fenóm enos ond ulatorios y corpu sculares; posibilidad de minimizar completamente el efecto del observador sobre el fenóm eno observad o, etc. Cuand o se afronta el estudio d e los fenómenos microscópicos (por ejemp lo, el estudio de los átomos), un a primera posibilidad sería la de partir de los modelos y categorías que se usaron con éxito en el ámbito macroscópico y extrapolarlos al nuevo ámbito de muy pequeñas escalas. En este sentido podríamos considerar el átomo como un sistema d e cargas pu ntu ales (algun as de ellas en movim iento) regidas por las leyes de la Electrod inám ica. No obstante, al iniciar el estud io del ámbito microscópico se observó que la extrapolación directa de los modelos macroscópicos llevaba irremediablemente a resultados muy dispares con la realidad. Hubo, por tanto, que hacer un gran esfuerzo no sólo para desarrollar muevas leyes físicas sino también para olvid ar m uchos d e los conceptos y categorías válidas en el ám bito macroscópico y bu scar otros nuevos qu e fuesen aplicables al ámbito m icroscópico. Gran parte de la dificultad de la nueva Física Cuántica recae en el hecho de que las leyes que rigen el comportamiento del ámbito microscópico son tremend am ente antiintu itivas. Este prim er tema m ostrará, sigu iendo u n cierto orden cronológico, los fundamentos de la Física Cuántica; en concreto nos centraremos en la presentación de las leyes básicas y discutiremos algunas de sus consecuen cias más inm ediatas. Un buen en tend imiento de estas leyes y sus consecuencias será fundamental para la posterior comprensión d el comp ortam iento de los electrones en los materiales cond uctores y semicondu ctores. En consecuen cia, la comp rensión física d e los fenómen os cuán ticos nos prop orcionará la base necesaria para enten d er el funcionamiento de los m últiples disp ositivos electrónicos y optoelectrónicos que son la base de la actual tecnología de los computadores y p revisiblemente nos d otará d e la base científica imp rescind ible par a entend er futuros d esarrollos de la tecnología informática. Apuntes de CF

FLML

1.2. Cuantización de la radiación

3

1.2. Cuantización de la radiación El inicio de la Física Cuántica puede situarse en el final del siglo XIX, mom ento en el qu e se estaba estud iand o la interacción d e la radiación con la materia. En concreto se estaba investigando la naturaleza del espectro de rad iación emitida p or los distintos cuerpos.

1.2.1.

Espectros ópticos

Es un hecho bien conocido qu e cualquier cuerpo caliente emite radiación electromagnética1 . La distribución con respecto a la frecuen cia, ν, de esta radiación se conoce como espectro. Las observaciones experimentales permitieron establecer la existencia de varios tipos de espectros: espectros discretos (emitidos por gases d e átom os aislados), espectros de band as (emitidos p or gases m oleculares) y espectros continuos (emitidos por cuerpos sólidos). A continuación esbozaremos algun as d e las características de los espectros discretos y continu os. Espectros Discretos Empíricamente se comprobó que la radiación emitida (y absorbida) por sustancias formadas por elementos químicos aislados (en forma d e gases) tenía un carácter discreto; esto es, estas sustancias solo emiten (y absorben) radiación p ara u n conjun to discreto d e frecuencias. Este hecho experimen tal era mu y sorp rendente e imposible de explicar en el marco de la Física Clásica. Para el caso del hid rógeno (H) se comp robó que su espectro está formado por una familia de líneas espectrales cuya longitud de onda (λ = c / ν, c 3 108 m/ s) sigu e la siguiente ley empírica:

≈ ×

1 λ

= R∞



1 m2

1

− n2



m

<

n(

∈

N)

,

(1.1)

que se conoce como formula de Rydberg-Ritz y donde R ∞ = 1,0967 107 m −1 es la denom inada constante de Rydberg. Para cada valor de m y variando n se obtienen distintas familias de líneas esp ectrales conocidas com o las series del h idrógen o. Una expresión par ticular par a el espectro visible d el H, conocido como serie de Balmer, fue obten ida en 1885 por Balmer, siend o, no obstante u n caso p articular d e la ley general (1.1) cua nd o m = 2. Es imp ortan te resaltar qu e la fórm ula de Ryd berg-Ritz es una ley completamente empírica que fue prop uesta en ese momento sin

×

1 La

explicación clásica de este hecho se basa en la suposición de que la temperatura es u na m edida d e la energía cinética m edia de las partículas que comp onen la materia. Dado que la materia está compuesta de átomos y éstos a su vez están formados por partículas cargadas, un cuerpo caliente pued e considerarse como un conjunto de osciladores cargados (se supone que, debido a su menor masa, la carga negativa oscila en torno al nú cleo d e carga positiva). Estos osciladores de carga emiten en tonces radiación electromagn ética al igu al que lo hacen los d ipolos eléctricos oscilantes.

FLML

Apuntes de CF

4


ningu na explicación física q ue justificase el ajuste sorp rend ente de d icha expresión con los resultados experimenta les. Espectros Continuos Estos espectros son emitidos p or los cuerp os sólid os. Dad o qu e la emisión de los sólidos dependía en parte de su composición, en el estudio d e estos espectros se buscaba un cuerpo cuy a emisión fuese independiente de la forma y composición particular del emisor. En este sentido, se define como cuerpo negro a un emisor cuyo espectro no d epend a d e su forma y composición. Un estudio siguiendo las leyes d e la Física Clásica, qu e qu eda fuera d el alcance d e este tema, perm ite establecer qu e la expresión teórica para la radiancia espectral, R (ν) (intensid ad d e la radiación emitida con frecuencias com prend idas entre ν y ν + d ν) viene dad a por (1.2) R ( ν) ∝ ν2 T , donde T es la temp eratura ab soluta (en grad os Kelvin) d el cuerpo n egro. R(n)

curva teórica

curva experimental

n

Cuando la expresión teórica (1.2) se comparaba con los datos experim entales (ver figura adjunta ), se observaba un a buena concordancia para bajas frecuencias pero una discrepancia total para frecuencias altas. Esta discrepancia es tan importante (para frecuencias muy altas R (ν) tiende a cero según los d atos experim entales mientras que el resultado teórico tiende a infin ito) qu e se conoce como catástrofe ultravioleta pu esto qu e las diferencias emp iezan a ser mu y impor tantes para frecuencias de radiación ultravioleta. La catástrofe ultravioleta es una clarísima constatación de que había algo fundamentalmente erróneo en la ap licación d e las leyes conocidas ha sta ese mom ento al estud io del espectro de rad iación d el cuerpo n egro. Afortunad amente, en 1900 Planck incorporó u n nu evo enfoque a este problema que sorprendentemente conducía a una teoría que se ajustaba perfectamen te a los resultad os experimentales. La propu esta de Planck fue qu e

Hipótesis de Planck

los osciladores atóm icos realizan intercambios de energ ía con la r ad ia ción d e m od o q u e la a cción , S (energía tiempo), varía únicamente en múltiplos de h = 6,62 10−34 J·s.

× ×

La cantid ad d e intercambio de acción mínim a, h, se conoce com o constante de Planck y tiene por valor Constante de Planck

×10−34 J·s = 4,135 ×10−15 eV·s (1.3) (1eV = 1,6 × 10−19 J, e = 1,6 × 10−19 C es el mód ulo de la carga del h=

6,62

electrón en el S.I.). Apuntes de CF

FLML


5

La anterior hipótesis implicaba que en el periodo T de oscilación de los osciladores atómicos, el intercambio de acción, ∆S , debía ser

·

∆S = nh = ∆ E T

n =

1, 2, . . . ,

(1.4)

siendo ∆ E la energía p uesta en juego en el intercambio en ergético. A par tir de (1.4) encontram os enton ces que ∆ E = nh

1 T

= nhν .

(1.5)

La anterior expresión, fruto de la hipótesis de Planck, indica que el intercambio energético mínimo es hν y qu e cualqu ier otro intercambio energético siempre se prod uce en m últiplos d e esta cantid ad . Este resultado tiene dos imp licaciones mu y destacadas: 1. La interacción energética entre dos sistemas no p ued e hacerse menor que hν. Este resultad o es abiertam ente op uesto a la hipótesis clásica de que la interacción entre dos sistemas podía hacerse tan p equeñ a como se qu isiera. 2. La energía pu esta en juego en las interacciones está cuantizada. De n uevo, este sorprendente resultado contradice la h ipótesis acerca del carácter continuo d e la energía. Es interesante finalmente notar que las consecuencias anteriores apenas tienen efecto en las interacciones entre sistemas macroscópicos. Ello es debido a que los valores de energ ía pu estos en juego en los intercambios energéticos son generalmente mucho más altos que hν, por lo qu e la existencia de u na cantidad mínima de energía de intercambio apenas difiere de la sup osición d e qu e ésta sea infinitesimal. Este hecho p rovoca que la cu antización energética sea pr ácticamente inapreciable haciendo, p or tanto, aceptab le el hecho d e que la en ergía se considere continua a efectos prácticos.

1.2.2. Efecto fotoeléctrico Otro efecto m uy destacado fruto de la interacción entre la luz y la m ateria es el efecto fotoeléctrico. Este efecto se p rodu ce cuan d o al incidir luz sobre ciertos metales, éstos emiten electrones (que denominaremos fotoelectrones). Un dispositivo experimental apropiado para estud iar el efecto fotoeléctrico se mu estra en la figu ra ad jun ta y consiste en un tubo de vacío con dos placas metálicas en su interior. Al incidir luz d e intensid ad I (ν) sobre el metal d el que está compu esto la placa C, éste emite electrones qu e, si son acelerad os por un poten cial (V ) imp uesto entre las placas situad as en el interior d el tubo d e vacío, son arrastrados h asta la p laca A. Este flujo d e electrones da lugar a una corriente eléctrica, i, que es detectada p or el amperímetro pu esto a tal efecto. FLML

I (n)

+ C

A -

-

e

A

i

V Apuntes de CF

6


Una d e las principales ventajas del anterior mon taje experimental es que n os perm ite determinar la en ergía cinética, E c, de los fotoelectrones. Notemos que si V < 0, el campo impuesto entre las placas acelera los fotoelectrones hacia la placa A, pero si V > 0, el camp o eléctrico frenará los fotoelectrones dificultando así su camino hacia el ánodo. El efecto de frenado será total cuando la energía que proporciona el campo a los fotoelectrones, eV , sea igual a la energía cinética máxima, E c,max , de los fotoelectrones, esto es, cuan do eV R = E c,max

siendo frenado.

V R

,

(1.6)

el valor de potencial eléctrico conocido como

potencial de

El estud io experimental del efecto fotoeléctrico p one d e m anifiesto las sigu ientes características: La emisión fotoeléctrica es instantánea.

i

I 2(n) I 1(n) I 2(n)>I 1(n)

V AC

V R

V R

Existe cierta frecuencia para la radiación incidente, conocida como frecuencia u mbral, ν0 , por d ebajo d e la cual no existe emisión fotoeléctrica, independientemente de la intensidad de dicha radiación; es decir, i = 0 I (ν) si ν < ν0

∀

Al aumentar la intensidad de la radiación, aumenta el número de fotoelectrones emitidos y, en consecuencia, la intensidad de la corriente es mayor. Para una frecuencia fija, la energía cinética de los fotoelectrones no dep end e de la intensid ad d e la rad iación incidente. La energía cinética máxima d e los fotoelectrones (cuya m agn itud es prop orcional al potencial de frenad o V R ) mu estra un a dependencia lineal de la frecuencia.

n0

n

La m ayoría de los anteriores resultados experimentales resultan realmente sorprendentes y contradictorias cuand o se intentan interpretar a partir de los postulados de la Física Clásica. En este marco, la luz es un a ond a electroma gnética cuya energía está repartida d e form a continua en el frente de ond as; su intensidad promed io, I , viene d ada p or la expresión 1 0 c 02 , (1.7) 2 donde 0 es la permitividad del vacío y 0 es la amp litud del campo eléctrico de la onda luminosa. Es interesante notar que, segú n (1.7), la intensid ad (y p or tanto la energía) d e la ond a electromagnética no depende de la frecuencia sino simplemente de la amp litud d el cam po eléctrico. I =

E

E

Apuntes de CF

FLML


7

En el metal hay q ue considerar qu e los electrones susceptibles d e ser emitidos están “ligados” al m etal con un a cierta energía u mbral Φe, denominada tam bién función trabajo. Para qu e un electrón sea desprend ido d el metal, éste debe “adqu irir ” u na energía suficiente para romper su “ligadura” con el metal, manifestándose el posible exceso de energía en forma de energía cinética del electrón emitido. Desde este punto de vista, la luz incidente en el cátodo será la encargada de prop orcionar (d ur ante cierto intervalo de tiemp o) la energía suficiente a cada electrón para que éste puede salir del metal. No obstante, el cálculo teórico del tiempo requerido para que se inicie la emisión proporciona un valor muchísimo mayor que el observado experimentalmente (recuérdese qu e el efecto fotoeléctrico es p rácticamente instantáneo). Por otra p arte, si m antenemos fija la frecuencia y aum entamos la intensidad de la radiación lum inosa, esperamos de acuerdo a la expresión (1.7) que llegue más energía al metal y que, por tanto, la energía cinética d e los fotoelectrones aum ente. Hem os visto qu e la experiencia contradice esta suposición, mostrando que dicha energía cinética máxima n o dep end e d e la intensidad d e la rad iación incid ente sino sorprend entemen te de su frecuen cia. E JEMPLO 1.1 Calcule el tiempo que habría que esperar para que se produjese el efecto fotoeléctrico si una radiación luminosa emitida por una fuente de luz de P = 100 W y rendimiento luminoso ρ = 8 % incide sobre un metal que está situado a 1 m de distancia y cuya función trabajo es Φ e = 4 eV. Suponga que el radio aproximado de un átomo es r atomo = 1Å. La intensidad luminosa, I , emitid a por la fuente d e luz qu e llega al metal es I = ρ

100

P

2

= 0,08 = W/ m 2 , 2 2 π 4π R 4π 1

por lo que la potencia captada por cada átomo vend rá dad a por 2 2 = π 10−20 = Pátomo = I π r átomo π

·

2 10−20 W .

×

Finalmente, el tiemp o d e espera, ∆t , para que se acumu le la energía umbral suficiente, Φe, es ∆t =

Φe Pátomo

=

4 1,6 10 −19 2 10−20

· × ×

≈ 32s .

Nótese que el cálculo del tiempo de espera calculado según el modelo ondu latorio de la radiación luminosa nos d a un v alor (∆t 32s) mu chísimo más alto qu e el observado experimentalmente (emisión espon tánea).

≈

En 1905, A. Einstein prop orcionó un a explicación satisfactoria al efecto fotoeléctrico ap ortand o ad emás u na concepción revolucionaria de la en ergía radiante. Básicam ente Einstein, partiend o la hip ótesis d e Planck acerca de la cuantización del intercambio energético, dio un FLML

Apuntes de CF

8


paso más extendiendo la nueva idea de cuantización a la propia energía rad iante (y no sólo a su posible intercam bio). En concreto, Einstein explicó el efecto fotoeléctrico a partir de las dos siguientes hipótesis: 1. La energía de la ond a electromagn ética de frecuen cia ν no está distribuid a continuam ente en el frente d e onda sino qu e está localizada en p equeñ os paqu etes (entes como p artículas) llamad os fotones cuya energía es ¯ω E = hν = h

Energía del fotón

.

(1.8)

(¯h = h / 2π , ω = 2πν ). Radiación incidiendo hn en el metal

-

e

Metal

electrón liberado del metal e

E c

2. El efecto fotoeléctrico es fruto d e procesos ind ividu ales de intercambio instantán eo de la en ergía del fotón con la d el electrón. El prim er pu nto ind ica qu e Einstein concibe la on da electromagnética como un conjun to de paq uetes discretos de energía hν, esto es, la p ropia energía d e la onda estaría cuan tizad a. El efecto fotoeléctrico pod ría entonces verse como un conjun to de “choqu es elásticos” individ uales entre los fotones de la rad iación incidente y los electrones ligados d el interior del metal. Supuesta que la energía se conserva en este “choqu e”, el fotón cede tod a su energía hν al electrón, ad qu iriend o éste por tanto u na energía que sería emp leada parcialmen te para vencer la función trabajo, Φe, apareciend o la restante en forma d e energía cinética, E c, esto es, (1.9) hν = E c + Φe . Dado que la expresión (1.6) relaciona la energía cinética de los fotoelectrones con el p otencial d e frenad o, V R , tenemos que

−

E c = hν Φe E c = eV R



⇒

eV r = hν

−Φ

e

,

lo que nos p ermite escribir finalmente Ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico

V R =

h e

ν

− Φe

e

.

(1.10)

El sencillo desarrollo anterior muestra que existe una relación lineal entre V R y ν, siend o la pend iente d e esta recta h / e. También explica la existencia de una frecuencia umbral, ν0 = Φe / h, por debajo d e la cual no puede existir efecto fotoeléctrico (puesto que la energía cinética asociada al electrón sería n egativa). La expresión teó rica (1.10) coincid e satisfactoriamen te con los resultad os experimenta les, confirm and o la sorprend ente hipótesis de la natu raleza fotónica de la radiación y prop orcionan d o un a pru eba adicional de que la constan te h introducida por Planck es un a constante fun dam ental de la Naturaleza y no, simp lemente, una constante arbitraria de ajuste. Dad o qu e la emisión d e fotoelectrones crece al aum entar la inten sidad de la rad iación, I , esta magnitud debe estar relacionada con el Apuntes de CF

FLML


9

nú mero d e choques y, en consecuencia, pu ede relacionarse con la d ensidad d e fotones, N f (núm ero de fotones por un idad d e tiemp o y área), de la rad iación. Podem os escribir, por tan to, que ¯ω I = N f h

.

(1.11)

Por otra parte, dado que los fotones transportan una energía E , también deben transportar un momento lineal p. En su teoría de la Relatividad Especial, Einstein dem ostró qu e el mom ento lineal de los fotones estaba relacionad o con su energía med iante la siguiente relación: E , (1.12) p = c

siendo c la velocidad d e la luz. Como la energía d el fotón es encontramos qu e hν

p =

c

=

h

λ

,

E = hν,

(1.13)

momento del fotón

dond e se ha tenido en cuenta que la frecuencia d e la ond a, ν, está relacionada con su longitud de onda, λ, mediante λν = c. E JEMPLO 1.2 Una radiación luminosa de λ = 2000Å e intensidad I = 3 mW/m 2 incide sobre un metal de Cu cuya función trabajo es Φ e = 1 eV. Calcule (a) el número de fotones por unidad de tiempo y área que llegan al metal; (b) el momento de cada uno de los fotones; y (c) la energía cinética de los fotoelectrones emitidos. (a) Para calcular el núm ero de fotones por un idad d e tiempo y área debemos aplicar la expresión (1.11), para lo cual debemos obtener primero la frecuencia, ν, de la radiación: 3 108 = 1,5 1015 Hz , λ 2 10−7 por lo que la energía, E , de cada fotón será ν=

E = hν =

c

× ×

=

×

6,63 10 −34 1,5 1015

×

· ×

≈ 9,95 ×10−19 J = 6,21eV .

La aplicación de (1.11) nos dice que N f =

I E

=

3 10−3 9,95 10 −19

× ×

≈ 3,017 ×1015 fotones . m 2s

(b) El mom ento del fotón p uede calcularse a partir de p =

h

λ

=

6,63 10 −34 2 10−7

× ×

≈ 3,31 ×10−27 kg·m/ s

(c) Finalmente la energía cinética de los fotoelectrones em itidos, de acuerdo a la expresión (1.10), vendrá dada por E c = hν

FLML

−Φ

e

= 6,21eV

− 1 eV = 5,21eV . Apuntes de CF

10


1.3.

Dualidad de la radiación

A la vista de la discusión p resentada en el anterior apartad o, nos encontramos con que existen dos concepciones distintas de la radiación electromagnética: Onda electromagnética (OEM) La visión clásica d e la radiación in terpreta qu e ésta es un a ond a de m odo qu e su energía y mom ento se distribuye continu amente en el frente de ondas. Según hemos visto, la intensidad de la onda, I , pu ede relacionarse con la amp litud d el camp o eléctrico, 0 , mediante 1 I = 0 c 02 . 2

E

E

Fotones Según la interpretación de Einstein, la radiación electromagnética puede considerarse como un conjunto discreto de paquetes de energía E = hν, de mod o que la intensidad de la radiación, de acuerdo con (1.11), puede escribirse como ¯ω I = N f h

.

Según la visión clásica, la intensidad d e la ond a dep end e del valor de la amp litud del campo eléctrico y según la interpretación fotónica, del nú mero d e fotones. En consecuencia, pod emos observar q ue el nú mero d e fotones debe ser prop orcional al cuad rado d e la amp litud d el camp o eléctrico, (1.14) N f ∝ 02 ,

E

donde debemos interpretar esta densidad de fotones, N f , en términos puramente probabilísticos. Este hecho nos permite establecer un pu nto comú n d e relación entre las visiones clásica y fotónica d e la radiación y establecer, en general, que el cuad rad o de la amp litud del campo eléctrico de la onda electromagnética, 02 (r, t ), es proporcional a la probabilidad de localizar en un instante t a los fotones en un dV centrado en el p unto r.

E

Desde el p un to d e vista d el mod elo fotónico, el camp o eléctrico de la ond a electromagnética juega el p apel de u na función matemática qu e determina la p robabilidad de encontrar a los fotones en u n determinado pun to e instante. En aquellos p untos d onde el campo eléctrico tenga u n v alor alto d e amp litud será, por tanto, más p robable encontrar fotones que allí donde la amplitud presente un valor bajo. En la práctica, la conveniencia de usar uno de los dos modelos (OEM/ fotones) vend rá d eterminad a por la relación entre la cantidad Apuntes de CF

FLML

1.4. Modelo atómico de Bohr

11

de energía d e los fotones y la energía p uesta en juego en la p osible interacción. Si la energía en la interacción, ∆ E , es del ord en d e la energía de los fotones, hν, entonces se debe usar el modelo fotónico. Por el contrario, si ∆ E hν (esto es, si en la interacción intervienen muchos fotones conjun tamen te), el mo delo ond ulatorio será más aprop iado.



1.4. Modelo atómico de Bohr En este apartado discutiremos el modelo que propuso N. Bohr en 1913 para el átomo de hidrógeno. Este modelo fue propuesto como consecuencia de los problemas qu e p resentaba el mod elo n uclear d e Rutherford (este mod elo se sup one conocido p or el alum no). En concreto, Rutherford propuso un modelo “planetario” del átomo compuesto por un sistema de cargas globalmente neutro d onde sup uso que existía un nú cleo de carga p ositiva mu y pequ eño y mu y m ásico rodead o de cargas negativas (electrones) de mu y poca ma sa “orbitando” continu amente a su alreded or. Este modelo, mu y válido en cuanto a la idea d e un átom o form ado p or un n úcleo y electrones a su alrededor, presentaba dos problemas fundamentales: 1. Inestabilidad del átomo. Según la teoría clásica d el Electromagn etismo, un a carga acelerada radia y como los electrones orbitando en torno al núcleo d escriben u n m ovimiento acelerad o, estos electrones d ebían estar rad iand o. Si estos electrones radian energía, esto significa que debían estar perdiendo energía cinética de forma continua, lo qu e a su vez imp lica qu e tras un breve lapso d e tiemp o los electrones deberían colapsar en el núcleo. Este razonamiento clásico conduce inevitablemente a un átomo inestable con todos los electrones “atrap ad os” en el nú cleo, en abierta contrad icción con las sup osiciones iniciales de un n úcleo de carga positiva en torn o al cual los electrones orbitan de forma estable.

+

2. Emisión de un espectro continuo. Según el razonam iento clásico an terior, la rad iación em itid a p or el átomo d ebía ser continua, puesto que la sup uesta pérdida d e energía cinética d el electrón en forma d e rad iación electromagnética se realizaría de forma continu a. Esta sup osición es de nu evo contraria al hecho experimental de qu e las sustan cias form ad as por elementos pu ros emiten u n espectro discreto. Basado en el mod elo de Rutherford e incorporan do la concepción fotónica de la rad iación p ropu esta por Einstein, Bohr p ropu so un sorprend ente modelo para el átomo d e hidrógeno (el átomo m ás simp le de la naturaleza, compuesto únicamente por dos cargas: una positiva en el núcleo –protón– y otra negativa –electrón– orbitando a su alreded or) basad o en los siguientes tres postulad os: FLML

Apuntes de CF

12


1. En vez de las infin itas órbitas, con cualqu ier valor de radio, qu e son perm itidas por la Física Clásica, los electrones pueden tomar ún icam ente aquellas órbitas en las que se verifique qu e el mó du lo de su momento angular, L (L = r p, por lo que L = m evr siendo m e = 9,1 10−31 kg la masa del electrón, v el módu lo de la velocidad y r el valor del rad io), sea un m últiplo de ¯h:

×

×

+

¯ L = m evr = n h

,

n=

1, 2, 3, . . .

(1.15)

2. Un electrón en un a de las órbitas anteriores no emite radiación electromagnética. Estas órbitas corresponden por tanto a estados estacionarios, es decir, estados en los qu e la energía d el átomo es constante en el tiemp o. 3. Si un electrón está inicialmente en u na órbita de energía E i y transita hacia una órbita de m enor energía E f , se emite radiación electromagnética (un fotón) de frecuencia

E i hn

E f

ν=

E i

− E

f

h

.

(1.16)

Consecuencias del modelo de Bohr Los postu lados prop uestos por Bohr cond ucen a las sigu ientes consecuencias: Radio de las órbitas permitidas Para un electrón que esté situado en una órbita estacionaria de radio r debe cumplirse que los módulos de la fuerza centrífuga, F c, y la d e atracción electrostática d el nú cleo, F e, se comp ensen, esto es, (1.17) F c = F e ,

Fc

o equivalentemente

v

m ev 2 r

+

Fe

=

e2

4π 0 r 2

.

(1.18)

Si tenemos en cuenta la expresión (1.15), podemos escribir ¯ m e n 2h

2

r m 2e r 2

=

e2

4π 0 r 2

,

(1.19)

de d ond e obtenemos finalmen te, al despejar el radio, qu e Radio de las orbitas estacionarias del hidrógeno

r n = n 2 r 0 = r 0 , 4r 0 , 9r 0 , . . .

siendo r 0 =

Apuntes de CF

4π0 h¯ 2 e2 m e

≈ 0,53 Å

(1.20) (1.21) FLML

1.4. Modelo atómico de Bohr

13

(1Å = 10−10 m). El electrón en el átom o de hid rógeno sólo pued e tomar aqu ellas órbitas discretas cuyos rad ios verifiquen (1.20). Dad o qu e la m enor órbita que pu ede tomar el electrón en el átomo d e hidrógeno es r 0 , este dato podría ser considerado como el “tamaño” de dicho átomo. Comprobaciones experimentales demuestran que r 0 coincide mu y aproximad amente con el tamaño m edido p ara el radio d e los átomos de hidrógeno. Cuantización de la energía del átomo de H En un a órbita estacionaria, y que p or tan to verifica (1.18), debe cump lirse que m ev 2

e2

. (1.22) 4π 0 r La energía, E , del electrón en una órbita estacionaria (y, en consecuencia, en un estado estacionario) será la suma de su energía cinética, E c, más la energía p otencial electrostática, E p , debid o al efecto de carga positiva del núcleo, esto es, =

E = E c + E p =

1 m ev 2 2

2

− 4π1 0 er ,

expresión qu e p ued e reescribirse, teniend o en cuenta (1.22), como 1 1 e2 . (1.23) E = 2 4π 0 r

−

Dado que el radio de la órbita está cuantizado ( r n = n 2 r 0 ), la energía del estado estacionario lo estará igualmente. En consecuencia la energía del estado estacionario caracterizado por el número cuántico n pu ede escribirse como E n =

E 0

E 0

E 0

− n 2 = − E 0, − 4 , − 9 , . . .

,

(1.24)

donde E 0 es la energía d el estado eleme ntal del átomo d e hidrógeno (n = 1), que viene dad a por E 0 =

e2

8π 0 r 0

=

e4 m e

802 h2

≈ 13,6 eV .

Energía de los estados estacionarios del H

n= n=3 n=2

E 0

n=1

E1 -E 0

E2 -E0 /4

(1.25)

Los posibles estados d e energía con n > 1 se conocen como estados excitados. El hecho de qu e la energía d e los distintos estados sea negativa debe entenderse en el sentido d e que hay que p roporcionar energía pa ra “sacar ” al electrón d e esos estados, esto es, el electrón está ligado al átomo de hidrógeno por esa cantid ad d e energía. En este sentido, pod emos decir que la energía de ionización d el átom o de hid rógen o es de 13.6 eV; es decir, hay que d ar al men os esa energía al átom o de H en su estad o fun da men tal para pod er extraerle el electrón. FLML

Apuntes de CF

14


Espectro del hidrógeno Teniendo en cuenta la hipótesis (1.16) junto con la expresión (1.24) obtenida a nteriormen te, la frecuen cia d e la radiación emitida en la transición de u n electrón d esde un estad o caracterizad o por n i hasta otro estado d e menor energía caracterizad o por n f vendría dada por ν=

− E n 20 + nE 20 i

f

h

=

E 0 h



1

1 − n2 n2 i

f



,

(1.26)

o equivalentemente, teniendo en cuenta que λν = c, 1 λ

=

E 0 hc



1 n f 2

1

− n2 i



,

(1.27)

donde E 0 / hc 1,0974 107 m −1. Esta exp resión teórica, obtenida ún icamen te a p artir de las hip ótesis de Bohr, coincide p lenamente con la fórmula empírica de Rydberg–Ritz (1.1). Si admitimos que esta sorprendente y total coincidencia no es mera casualidad debemos entonces admitir que el modelo de Bohr prop orciona u n m arco teórico noved oso, mu y original y consistente para entend er el espectro del átomo d e hidrógeno. Podemos afirm ar, por tanto, qu e el espectro discreto del H es fruto d e la cuantización de los estados energéticos de este átomo2 y de la natura leza fotónica de la rad iación.

≈

×

Es interesante notar finalm ente que, aunq ue el mod elo atómico de Bohr p roporcionó un m arco teórico mu y satisfactorio que p ud o explicar las características esenciales del átom o d e hid rógeno, cuand o este mismo modelo se intento aplicar a átomos con más de un electrón no resultó tan eficaz. Por ejemp lo, este mod elo no pu d o explicar el valor de la energía d e ionización n i el espectro discreto del átomo de helio (el átomo de helio consta ya de dos protones en el núcleo y dos electrones orbitando). Este hecho debe interpretarse en el sentido de que, aunqu e el mod elo de Bohr sup uso un avance fun dam ental en la comp rensión del átomo, era un m od elo simp le qu e no tenía en cuenta algun as de las prop iedad es má s características (todavía por d escub rir) d e las partículas cuán ticas. Los aparta dos sigu ientes explorarán algu nas d e estas propiedades. E JEMPLO 1.3 Un átomo de H es excitado de manera que al volver a su estado fundamental (de mínima energía) emite una radiación de frecuencia ν = 3,023 10 15 Hz. Calcule el número cuántico del estado excitado así como su radio.

×

2 Un

experim ento m uy relevante, llevado a cabo en 1914 por J. Frank y G. Hertz, dem ostró emp íricamente q ue la cuantización d e los estados energéticos es una característica comú n d e todos los átomos.

Apuntes de CF

FLML

1.5. Dualidad de la materia

15

Supu esto qu e E n sea la energía del estado excitado d e nú mero cuán tico n , sabemos que la energía, ∆ E , puesta en juego en la transición será ∆ E = E n

− E 0 = hν ,

por lo que E n = ∆ E + E 0 = hν + E 0 = 4,135 10 −15 eVs 3,023

×

·

×1015 s−1 − 13,6eV = −1,55 eV .

Para calcular el número cuántico, debemos tener en cuenta que E n =

− E n 20 ,

por lo que n=

 −  E 0 = E n

13,6 =3. 1,55

El electrón fue excitado hasta el estado de número cuántico

n=

3.

Segú n el mod elo de Bohr, el rad io de la órbita del electrón en este estado será r 3 = 9r 0 4,77Å .

≈

1.5. Dualidad de la materia 1.5.1. Hipótesis de De Broglie En 1924, L. de Broglie, suponiendo la existencia de una simetría interna en la natura leza, sugirió que el carácter du al onda/ corpú sculo exhibid o por los fotones era igualmen te aplicable a toda s las partículas materiales. En concreto la h ipótesis d e L. de Broglie fue El movimiento d e una p artícula m aterial viene determinado por las propiedad es ondulatorias d e propagación de u na “onda piloto” cuya longitud de onda, λ, y frecuencia, ν, están asociadas con el momento lineal, p, y la energía, E , de la partícula según

λ = ν =

h p E h

o bien o bien

¯ k p=h ¯ω E = h

(1.28) .

(1.29)

Debe notarse que en la onda piloto asociada a las partículas N O S E CUMPLE que λ = c / ν (esto sólo era válido en ondas electromagnéticas/ fotones en el espacio libre). Este hecho podemos relacionarlo con FLML

Relaciones de de Broglie

Para una partícula λ = c / ν



Apuntes de CF

16


la expresión de la energía de una partícula libre 3 , E , p roporcionada por la Relatividad Especial, E 2 = m 20 c4 + p2 c2

,

(1.30)

donde m 0 es la masa en reposo de la p artícula m aterial —nótese que para los fotones, cuya m asa en reposo es nu la, m 0 = 0, la expresión anterior se redu ce a (1.12). Pued e comp robarse qu e al su stituir (1.28) y (1.29) en (1.30) encontram os una relación entre la λ y la ν de la onda piloto más comp licada qu e la qu e existe par a ond as electrom agnéticas. En el caso de partículas libres cuya velocidad, v , sea mu cho menor que la velocidad de la luz ( v 2 c2 ), el Ap éndice B mu estra que la energía cinética d e dicha p artícula p ued e expresarse com o



E c =

p2

2m 0

,

(1.31)

por lo que el mom ento y la longitud de ond a d e la partícula pu ede expresarse como (1.32) p = 2m 0 E c = mv .



y

λ=

√2mh E 0

.

(1.33)

c

Es interesante resaltar que, debido al p equeñ o valor de la constante de Plan ck, los fenóm enos típicamente ond ulatorios d e interferencia y/ o d ifracción d e las partículas macroscópicas son p rácticamente imposibles de detectar. Dad o qu e la longitud d e onda d e estas par tículas macroscópicas es mucho menor que las distancia típicas en el ámbito macroscópico, podemos “ignorar” el carácter ondulatorio de estas partículas. E JEMPLO 1.4 Calcular la longitud de onda asociada a (1) una pelota de tenis de m = 50g y v = 40m/s; y (b) un electrón sometido a un potencial de aceleración V = 100V. (1) En este caso, el mom ento lineal es p = mv =

0,05 40 = 2kg·m/ s

·

y la longitud de ond a será λ=

h = p

6,6 10−34 2

×

≈ 3,3 ×10−34 m .

Como p ued e observarse, la longitud de ond a asociada a la pelota de tenis es muchísimo más pequeña qu e el tamaño d e un átomo de H . Esta λ es tan p equeña qu e es totalmente indetectable por cualquier dispositivo experimental. Una posible manera d e aumentar esta λ es hacer que la masa de la 3 partícula sobre la qu e no se ejercen fuerzas externas

Apuntes de CF

FLML


17

partícula sea m uy p equeña, en la práctica del orden de la m asa de las partículas elemen tales (electrones, p rotones, ....) (2) Si el electrón está som etido a cierto p otencial de aceleración, V , entonces, supuesto que parte del reposo, la energía cinética que adquiere será justamen te la energía poten cial eléctrica que pierd e la partícula cargada , esto es, E c = eV =

100 eV .

La longitud de onda asociada a esta partícula será entonces λ=

−34

×10 √2mh eV = 2 · 9,1 ×106,6 −31 · 1,6 ×10−19 · 100 ≈ 1,2 Å . e

Esta longitud de ond a es muy p equeña p ero al menos es del orden d el tamaño d e los átomos.

1.5.2. Verificación experimental Antes d e describir el experimento qu e verificó el carácter ond ulatorio de interferencia y/ o difracción las partículas materiales, debemos notar que para que un fenómeno ondulatorio sea “observable” es necesario que las dim ensiones de los objetos con los que interactúa la onda sean d el orden d e la longitud d e onda. Según h a m ostrado el Ejemplo 1.4, la longitud de onda de las partículas elementales puede ser del orden de Å, por lo que se necesitaría que su onda piloto interactuase con “objetos” de esas d imensiones. Un posible “objeto” qu e presenta estas dimensiones son los planos atóm icos de un mon ocristal qu e están separa dos p recisamente d istancias del orden d e Å. Basado en lo an terior, Davisson y Germ er verificaron experimentalmente en 1927 el comp ortam iento ond ulatorio de los electrones usan do u n disp ositivo experimental cuyo esquema se mu estra en la Fig. 1.1a. En este experimento, un monocristal es bombardeado con electrones

a)

b) q

V

f

q -

e

Detector f Monocristal

Detalle de reflexión en monocristal

F IGURA 1.1: Experimento de Davisson y Germ er

acelerados por un poten cial eléctrico V . Estos electrones, p reviamente emitidos por una resistencia incandescente, adquieren una energía FLML

Apuntes de CF

18


cinética dada por E c = eV .

(1.34)

Si los electrones se com portasen como partículas, entonces,tras chocar con el monocristral, rebotarían tal y como lo h arían p elotas de tenis qu e chocasen contra un a p iedra, esto es, saldrían rebotad os en tod as d irecciones sin qu e haya d irecciones privilegiadas. Adem ás, este efecto sería ind epend iente de la energía cinética de las partículas, esto es, d el poten cial d e aceleración V . No obstante, si los electrones se comp ortasen como ondas, entonces los electrones dispersados lo harían mayoritariamente en aquellas direcciones privilegiadas para las qu e exista interferencia constructiva.

( 1) q

q

d

q

(2)

Adm itiendo que los electrones presentan u n comp ortamiento ond ulatorio, la ond a incid ente se reflejará en cada u no d e los planos atómicos (ver detalle en Fig. 1.1b), existiendo una interferencia constructiva d e las ond as reflejad as en plano s paralelos consecutiv os si se cum ple la condición de Bragg, esto es, si la diferencia d e camino entre los rayos (1) y (2) es justam ente un mú ltiplo de la longitu d d e ond a: 2d sen θ = n λ .

diferencia de camino

(1.35)

Sup uesta válida la hipótesis de de Broglie, la longitud d e ond a, λ, d e los electrones que inciden en el monocristal será λ=

h p

√2mh eV ,

=

(1.36)

e

lo que imp licaría que el detector mostraría u nos m áximos de d ispersión p ara los ángulos φn relacionad os con los θn (2θn + φn = π ) que verificasen sen θn = n

h √ . 2d 2m eV

(1.37)

e

El experimento de Davisson y Germer demostró que esta suposición teórica estaba en excelente acuerdo con la experiencia, confirmando fehacientemente que los electrones (y por ende, todas las partículas materiales) presentaban un carácter ondulatorio. E JEMPLO 1.5 En un dispositivo experimental como el del experimento de Davisson y Germer, los electrones son acelerados por un potencial V antes de incidir sobre un monocristal de Ni cuya distancia entre planos atómicos es de 0.91Å. Si el detector se sitúa en un ángulo φ = 40 o , calcule el valor del potencial de aceleración para el cual se detecta en ese ángulo el máximo de dispersión de primer orden. Dado que 2 θ + φ = 180o , el ángulo θ relacionado con la posición del detector será 180o 40o = 70o . θ= 2

−

Apuntes de CF

FLML


19

El máximo de d ispersión de p rimer orden ocurre cuando un ángulo θ1 que verifica sen θ1 =

n=

1, esto es, pa ra

h √ , 2d 2m eV e

o equivalentemente para un potencial de aceleración, V , dado por V =

=

1.5.3.

h2 8d 2 sen 2 θ1 m ee

8 (0,91

·

×

(6,6 10−34 )2 10 −10 )2 (0,9397) 2 9,1 10−31 1,6

×

·

· ×10−19 ≈ 51,1V .

· ×

Naturaleza de la onda

En el Apartado 1.3 se discutió que la relación existente entre la interpretación ondulatoria y la corpuscular de la radiación electromagnética p od ía hacerse med iante la interpretación qu e se le daba al campo eléctrico en un pu nto como u na m edida d e la probabilidad de encontrar a los fotones en cierto instante en el entorno de dicho punto. En este sentido, en 1926 Max Born extendió esta interpretación probabilística igualmente al caso de las partículas materiales. Según la interpretación de Born, lo que se está propagand o en forma d e ond a (asociado al m ovimiento de las partículas) no es algo m aterial sino una magnitud representada matemáticamente por Ψ(r, t ), que se conoce como función de onda y qu e posee el siguiente significad o físico: Si en un instante t se realiza una medida para localizar a la partícula asociada a la función de onda Ψ(r, t ), la proba bilid ad P(r, t )dV de encontrar a la partícula en un dV centrado en r viene dad o por P( r, t )d V = Ψ( r, t ) 2 d V .

|

|

(1.38)

Dad o qu e la par tícula evid entemen te d ebe encontrarse en algú n pu nto del espacio, la p robabilidad de encontrar a dicha p artícula en algún pu nto d el espacio d ebe ser la un idad, por lo que debemos imp oner la siguiente cond ición:

 |

Ψ(r, t ) 2 d V =

todo el espacio

|

1,

(1.39)

qu e se conoce como condición d e norm alización. FLML

Apuntes de CF

20


Analicemos d os casos de interés: Partícula libre Dado que sobre una partícula libre no se ejercen fuerzas externas, esta partícula no debe en contrarse en ciertos sitios con m ás probabilidad que en otros. En consecuencia, la probabilidad de encontrarla en algu na p osición no debe depen der de d icha p osición. Por otra p arte, una p artícula libre tiene p erfectamente d efinido su energía, E , y su m omento, p, por lo que de acuerdo a las relaciones de de Broglie ( p = h¯ k y E = h¯ ω), su nú mero de ondas y frecuencia están igualmen te d efinidas y, por tanto, es razonable sup oner que su fun ción d e onda asociada pu eda venir dada por (1.40) Ψ( x , t ) = A e j ( p / h¯ ) x e − j( E / h¯ ) t . Partícula localizada Si un a p artícula está localizada existirá entonces más probab ilidad de encontrarla en algunos sitios que en otros. Consecuentemente P( x , t ) debe d epender d e la posición, lo cual se p ued e conseguir si su fun ción d e ond a asociada, Ψ( x , t ), viene dada por un grupo de ondas, por lo que pod rá expresarse como Ψ( x , t ) =

k 0 + ∆k



k 0

−∆k

A (k )e jkx e − jω (k )t d k .

(1.41)

En este caso, la velocidad de la partícula vendrá determinada por la velocidad del grupo de ondas, esto es, vg =

d ω 1 d E . = d k h¯ d k

(1.42)

Es interesante resaltar que la función de onda, Ψ, no es una m agnitud estadística, en el sentido de qu e describa el comportamiento de un colectivo mu y nu meroso de partículas que se man ifiestan simu ltáneamente, sino qu e Ψ es una propiedad intrínseca d e cada p artícula, ind epend iente del colectivo 4 . En este sentid o, la interp retación p robabilística d e Born n os imp one u na restricción al conocimiento qu e pod emos tener sobre la par tícula, es d ecir, “todo ” lo que nos pu ede dar la Física Cu ántica sobre la posición d e un a p artícula es u na inform ación 4 Cuando

decimos que la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda es de 1/ 2, estamos diciend o que al lanzar u n colectivo num eroso de moned as al aire, mu y aproximad amente la m itad d e ellas será cara y la otra m itad cruz. Al aplicar esa propiedad a un elemento del colectivo, le estamos atribuyend o a éste las propied ades que en realidad sólo posee el colectivo. De hecho, en principio, si sup iésemos con exactitud las condiciones que d eterminan el lanzamiento de u na m oneda (su p osición y momento iniciales), podríamos determinar con precisión el resultado de este evento. Esto NO es lo que ocurre con las partículas cuánticas sino que cada una de ellas individualmente presenta un comportamiento que sólo puede conocerse en forma probabilística

Apuntes de CF

FLML

1.6. Principio de Heisenberg

21

probabilística acerca del p osible resultado de un a med ida. Podemos ver que este hecho dota a nuestro conocimiento sobre la partícula de cierta incertidu mbre, hecho que será discutido con más profundid ad en el apartado siguiente.

1.6. Principio de Heisenberg Si un a cuerda es agitada de forma periódica, tal como mu estra la figu ra adjunta, y nos planteam os la pregu nta de ¿dónd e está la ond a?, entonces parece razonable responder qu e la on da está distribuida en toda la cuerda. N o obstante, si la p regunta es ¿cuál es la longitud de ond a?, entonces la respu esta p ued e ser m ás p recisa. No obstante, si en vez de agitar la cuerda periódicamente simplemente se ha agitado un a vez d e modo qu e se ha generad o un p ulso que viaja por la cuerd a, ahora la pregun ta de ¿dónd e está la onda? pod ría ser respond ida con cierta precisión mientras qu e a la pregun ta ¿cuál es la longitud d e onda? no encontraríamos una respuesta precisa. Esta discusión pone de man ifiesto qu e, en este fenómeno ondu latorio, una d eterminación precisa de la longitud de onda haría más imprecisa la determinación de la posición, y viceversa. Un estu dio m ás rigu roso, basad o en el an álisis de Fou rier, nos perm itiría establecer qu e la imp recisión o incertidu mbre en la determinación simultánea de los valores de la posición y la longitud de onda es algo inherente a todo fenómeno ondulatorio.

1.6.1.

Principio de incertidumbre posición/momento

Si tenemos en cuenta q ue tod o fenóm eno ond ulatorio estará afectado intrínsecamente por la anterior incertidumbre en la medida de su p osición y longitud de ond a y lo relacionamos ahora con la existencia de la dualidad onda/corpúsculo tanto para la radiación como para la materia, parece entonces razonable prever la existencia de incertidu mb re en la determ inación d e ciertas magnitu des físicas en cualquier fenóm eno n atur al. En este sentido, en 1927 W. Heisenberg postu ló el siguiente principio par a la medid a de la posición y el mom ento de un a partícula: En un experimento N O es p osible determinar simu ltáneamen te y con toda precisión una comp onente del momento de una partícula, por ejemplo p x , y la posición de la coordenada correspondiente x . Si ∆ representa la incertidumbre en la medida, encontraremos que ∆ p x ∆ x

FLML

≥ h¯

.

(1.43) Apuntes de CF

Relación de incertidumbre para la posición y el momento 22


D p x q

p

p

Una man era de ver que la du alidad ond a/ corpú sculo de la materia está intrínsecamente relacionad a con el an terior principio d e incertidumbre puede obtenerse a partir de la determinación de la posición de u na p artícula haciénd ola pasar por u na rendija de anchu ra ∆ x (ésta sería justamente la incertidumbre en su posición). Al pasar por la rend ija, la p artícula sufriría difracción debido a su carácter ond ulatorio. El estud io de la difracción d e una on d a plana q ue incid e norm al a la rendija mu estra que, pa ra la configu ración m ostrada en la figu ra, el primer m ínimo d e difracción se prod uce para un ángulo θ tal que

D x

sen θ =

λ ∆ x

.

(1.44)

Dado que la partícula llegará a algún punto comprendido entre los dos m ínimos m ostrados en la figura, podem os ver que el máximo d e incertidu mbre d e la comp onente x del mom ento será ∆ p x = p sen θ

,

(1.45)

donde p es el mód ulo del mom ento de la partícula, que no habrá cambiado al atravesar ésta la rendija. Teniendo ahora en cuenta la relación d e de Broglie (1.28) y las d os expresion es anteriores, pod emo s escribir ∆ p x =

h λ

λ ∆ x

(1.46)

y finalmente ∆ p x ∆ x = h

.

(1.47)

Notem os que el simp le análisis anterior, basado en el carácter ond ulatorio de la partícula, nos ha conducido a una expresión que relaciona las incertidu mbres de la posición y el m omento, siendo además congru ente con (1.43). El principio d e incertidum bre p ued e también relacionarse con la existencia de un mínimo de acción, h, descrito en el Apartado 1.2.1. Debe tenerse en cuenta que cualquier descripción de u n fenómeno requ iere cierta interacción con dicho fenómeno. Debido a la existencia d e un m ínimo d e acción, esta interacción no p ued e hacerse infinitesima l, por lo que la correspond iente descripción siempre estará su jeta a cierta incertidu mb re. Es imp ortante d estacar tres pun tos con respecto al principio d e incertidumbre: 1. La existencia de incertidu mbre no se d ebe a deficiencias en la calidad d e los aparatos d e med ida. Incluso con ap aratos ideales seguiría existiendo un a incertidum bre en la m edida determinada p or (1.43). 2. El principio de incertidum bre no prohíbe un a medida exacta de la posición o el momento. Ahora bien, una medida exacta en la po sición (esto es, ∆ x 0) implica una incertidumbre total en la medida del momento, ∆ p x ∞, y viceversa.

→

Apuntes de CF

→

FLML


23

3. La desigualdad (1.43) debe considerarse como algo fundam ental del comp ortamiento d e la naturaleza.

intrínseco y

Consecuencias del principio de incertidumbre posición/momento Una consecuencia relevante del principio de incertidum bre es que, en un sentido estricto, no p odemos seguir hablando d e trayectorias de las partículas. Notemos que la existencia de una trayectoria definida es simplemente la información simultánea y precisa acerca de las posiciones y las velocidades (momento) d e cierta partícula. Dad o que la simu ltaneidad y p recisión de am bas magn itudes no está permitida por (1.43), debemos admitir que el concepto de trayectoria debe ser revisado y usad o con mu cha pru dencia. No obstante, debemos tener en cuenta qu e más relevante qu e la incertidu mb re absoluta en sí es la incertidu m bre relativa, esto es, el cociente entre la incertid um bre y el valor d e la ma gnitud . Veamos este hecho con el siguiente ejemp lo. E JEMPLO 1.6 Calcule la incertidumbre relativa en la determinación del momento para el movimiento de (1) la Luna en su órbita alrededor de la Tierra y (2) el electrón en el átomo de hidrógeno. La Luna Sabiendo que la m asa de la Luna es m 6 10 22 kg, que su velocidad media es v 103 m/ s y qu e su p osición se determina con una incertidum bre de ∆ x 10−6m (con una incertidumbre tan pequeña, ∆ p x se maximiza), la incertidum bre en el momento vend rá dad a por

≈

≈ ×

∼

∆ p x

≥ ∆h¯ x ≈ 10−28 kg·m/ s .

Puesto que el mom ento pu ede calcularse como p x = mv

≈ 1025 kg·m/ s ,

la incertidum bre relativa será aproximadam ente ∆ p x p x

−28

∼ 101025 ∼ 10−53 .

La incertidum bre relativa para el m omento, incluso intentand o m aximixarla, es tremend amente p equeña; tanto qu e en la práctica sería totalmente ind etectable. Consecuentemente, p ara el caso de la Luna en su ór bita alreded or de la Tierra, el concepto d e trayectoria es aplicable. Electrón en átomo de hidrógeno Con el fin de obtener el mínimo de imprecisión en el momento, supongam os que la imprecisión en la determinación de x es máxima, es decir, que sólo sepamos que el electrón está “d entro” del átomo. Dado qu e el tamaño d el átomo venía dado por r 0 , entonces diremos qu e 10−10 m y, por tanto, ∆ x r 0

∼ ≈

∆ p x

FLML

≥ ∆h¯ x ≈ 10−24 kg·m/ s . Apuntes de CF

24

Capítulo 1. Fundamentos de Física Cuántica Nótese que la incertidum bre absoluta en el mom ento es mayor p ara el electrón que para la Luna. Para calcular p, tengamos en cuenta qu e la energía cinética, E c, del electrón en la órbita fundamental será E c = E 0 /

2

∼ 7eV ∼ 1,12 ×10 −18J ,

por lo que

√ p = 2m E ∼ e c

 ·

2 9,3 10 −31 1,12 10 −18

×

·

×

∼ 2 ×10−24 kg·m/ s .

La incertidumbre relativa en el momento será entonces ∆ p x p x

10−24 2 10−24

∼ ×

∼ 0,5 ,

esto es, una incertidum bre relativa mu y imp ortante, lo qu e indica claramente que no podríamos hablar de la trayectoria del electrón en el átomo de H.

Otra consecuencia importante del principio de incertidumbre es que no existe reposo para las partículas localizadas. Sup ongamos un a partícula q ue está localizad a en cierta región 0 x a. Ciertamente, la má xima incertidu mb re en la localización d e esta partícula es

≤ ≤

(∆ x )m ax = a ,

y, en consecuencia, la mínim a incertidum bre en el mom ento será (∆ p x )min =

h a

.

Teniendo en cuenta que el mínimo valor del momento, p min , debe ser del orden del mínimo valor de su incertidumbre, entonces tenemos que (∆ p x )min , pm in

∼

por lo qu e la energía cinética m ínima d e la partícula tom ará el valor p2m in

2

∼ 2mh a2 ,

(1.48) 2m esto es, un a partícula localizad a no p ued e estar en reposo (con energía cinética nula). ( E c )m in =

1.6.2. Principio de incertidumbre energía-tiempo Al igu al que existe un p rincipio d e incertidu mbre p ara la posición y el momento, pod emos encontrar un p rincipio de incertidum bre para la energía y el tiemp o. Este principio pu ede enu nciarse como sigue Principio de incertidumbre energía-tiempo

∆ E ∆t

≥ h¯

,

(1.49)

donde ∆ E d ebe entend erse com o la incertidu mb re energética asociada a la energía puesta en juego en cierta transición y ∆t como el intervalo d e tiemp o que tard a el sistema en realizar dicha transición. Apuntes de CF

FLML


25

El principio d e incertidu mbre energía–tiemp o p ued e también interpretarse diciend o qu e un a d eterminación d e la energía d e un sistema que presente una incertidumbre, ∆ E , debe tomar al m enos un intervalo de tiempo ¯ h . ∆t

≥ ∆ E

Análogamente, si un sistema perm anece en cierto estado d urante un tiempo no m ayor que ∆t , la energía en ese estado presentará una incertidum bre de al menos ¯ h . ∆ E

≥ ∆t

Cuan do h ablamos d e la “incertidu mb re en la energía de cierto estad o” debe entend erse que nos referimos a la incertidu mbre en la energía pu esta en juego en la tran sición a otro estado d e referencia, usualm ente el estado fundamental. E JEMPLO 1.7 Se sabe que el tiempo de vida media, τ , de cierto estado atómico es de 100 µs. Determine (1) la incertidumbre en la energía de dicho estado y (2) la incertidumbre en la longitud de onda de la radiación emitida en la transición hacia el estado fundamental, sabiendo que en ésta se emite una radiación de λ = 100 nm. 1. El tiempo de vidamedia es una m edida d el tiemp o que tarda en realizarse cierta transición, por lo que podemos identificar ∆t τ . La incertidumbre en la energía puesta en juego en la transición será entonces

≡

∆ E

≥ ∆h¯ t ≥ 1,00910×−104

−34

 10−20 J

≈ 6,25 ×10−2 eV .

2. En la transición h acia el estado fundam ental se emitirá un fotón de energía E = hν, cuya incertidumbre ∆ E corresponde a la calculada anteriormente. La longitud de on da d e la radiación emitida será λ=

hc E

,

por lo que la incertidumbre en la longitud de onda, ∆λ, vendrá d ada por λ2 hc = ∆ ∆ E E dE hc E 2 (100 10 −9 )2 10−20 = 34 8 − 6,6 10 3 10

∆λ =

 

d λ

 

∆ E =

×

×

· ×

≈ 5Å .

En este caso la incertidumbre relativa en la longitud de onda es bastante pequeña ∆λ 0,5nm = = 0,005 . λ 100nm

FLML

Apuntes de CF

26


1.7. Problemas propuestos 1.1: La longitud d e ond a, λma x , para la cual la radiancia espectral de un cuerpo negro es máxima viene d ada p or la ley de Wien, que establece λmax T = 2,898

× 10−3 m·K ,

donde T es la temperatura absoluta del cuerpo n egro. Sabiendo que la temperatura de la su perficie del Sol es aproximad ament e 5800 K, (a) calcular la longitud de onda de la rad iación más in tensa emitida p or el Sol. (b) ¿A qué par te del espectro pertenece esta rad iación? Sol. λmax ≈ 500 nm (espectro visible). 1.2: Si el ojo humano empieza a detectar luz amarilla de longitud de onda 5890Å a partir de u na p otencia de 3,1 × 10−16 W, ¿Cuál es el número mínimo de fotones que deben incidir en el ojo para la luz amarilla se vea?. Sol. ≈ 923fotones. 1.3: Una sup erficie de potasio se encuentra a 75 cm d e distancia de una bom billa de 100 W. Sup oniend o que el rendimiento lum inoso de la bombilla es del 5 % y que cada átomo d e potasio presenta una su perficie efectiva equivalente a un círculo de 1 Å de diám etro, calcule el tiemp o requerido por cada átomo para absorber un a energía igual a la de su fun ción trabajo ( Φe = 2,0 eV), de acuerdo con la interp retación on du latoria de la luz. Sol. t = 57,6s 1.4: Una radiación d e 2,5 1015 Hz incide sobre una superficie metálica cuya frecuencia um bral es de 9 1014 Hz. Calcular la v elocidad de los fotoelectrones emitidos. ¿Qué ocurr iría si la radiación incidente fuese d e 8,5 10 14 Hz?. Sol. v = 1,52 106 m/ s.

×

×

×

×

1.5: (a) Calcular la longitud d e onda m áxima de la luz qu e hará funcionar una célula fotoeléctrica dotada de un cátodo de tungsteno sabiendo que los fotoelectrones poseen una energía cinética de 5.5 eV cuand o son arrancado s por un a luz de λ = 1200Å. (b) Si esta radiación d e λ = 1200Å e intensidad I = 2,5W/ m 2 incide sobre la célula fotoeléctrica de 30 mm 2 de su perficie, siendo el rendim iento cuántico del 20%, ¿cuál sería la intensidad , i, de la corriente eléctrica prod ucida?. Sol. (a) λmax = 2570Å; (b) i = 1,45 µA. 1.6: Para una radiación de 1500 Å que incide sobre una superficie de alum inio que tiene un a función t rabajo de 4.2 eV, calcule (a) La energía cinética má xima d e los fotoelectrones emitidos; (b) el potencial de frenado; (c) la frecuencia de corte del aluminio. Sol. (a) 4.09 eV; (b) 4.09 V; (c) 1,01 1015 Hz.

×

1.7: Se emite u n h az d e fotones mediante un a transición electrónica entre los niveles E 2 = 8 eV y E 1 = 2 eV. Este haz lum inoso de p otencia P = 10 µW incide sobre un metal cuyo trabajo de extracción es φe = 2,5 eV, originand o la emisión d e electrones p or efecto fotoeléctrico con rendimiento ρ = 0,8 (nú mero d e electrones emitidos/ nú mero de fotones incidentes). Calcular: (a) la energía, frecuencia y cantidad de m ovimiento de los fotones; (b) la en ergía cinética d e los fotoelectrones; y (c) el núm ero de ellos que son emitidos por segundo. Sol. (a) ν = 1,45 1015 Hz; (b) p = 3,2 10−27 kg·m/ s; (c) E c = 3,5eV; N = 8 1012 .

×

×

×

1.8: Se consideran los rayos X prod ucidos debid os a la transición de los niveles E 2 = 6,33KeV y E 1 = 2KeV. Det erm inar: (a) la frecuencia de dichos fotones; (b) la potencia emitida (en mW) cuando el núm ero de transiciones por segundo es N = 10 14 s −1 ; y (c) la d istancia (en Å) entre d os p lanos reticulares contiguos d e u n monocristal, sabiendo qu e la reflexión de primer ord en de esta radiación se produ ce con un án gulo de θ = 450 . Sol. (a) ν = 1,05 1018 Hz; (b) P = 69mW; (c) d = 2,02Å.

×

Apuntes de CF

FLML

1.7. Problemas propuestos

27

1.9: Se ilumina con luz d e 280 nm la superficie de un a aleación m etálica rodeada d e oxígeno. A medida que la superficie se oxida, el potencial de frenado cambia de 1.3 a 0.7 eV. Determinar qu é cambios se prod ucen en: (a) la energía cinética máxima de los electrones emitidos por la superficie; (b) la función de trabajo; (c) la frecuencia um bral; y (d) la constante de Planck. Sol. (a) E c disminuye en 0,6eV; (b) Φ e aum enta en 0.6 eV; (c) ν0 aumenta en 1,46 × 1014 Hz; (d) h no varía. 1.10: Experimentalmente se observa que no todos los fotones que chocan contra la superficie metálica son capaces de extraer un fotoelectrón. En un experimento, luz de longitud de on da 4366 Å ilum ina una superficie de sodio d e función trabajo 2.5 eV dando lugar a una emisión de 8,3 10−3 C/ J. ¿Cuántos fotones se requieren par a emitir u n fotoelectrón?. Sol. 365fotones.

×

≈

1.11: Suponer un átomo de hidrógeno en el estado n = 2 y un electrón en órbita circular. Determinar: (a) el radio de la órbita; (a) la energía potencial eléctrica; (a) la energ ía cinética; y (a) le energía total del electrón en esa órbita. Sol. (a) r = 2,12Å; (b) E p = 6,79eV; (c) E c = 3,39 eV; (d) E = 3,39 eV.

−

1.12: ¿Cuál es el mínimo p otencial de aceleración capaz d e excitar un electrón p ara sacar un átomo de H idrógeno de su estado fundam ental? Sol. V a = 10,2 V. 1.13: En una transición a un estado de energía de excitación de 10.19 eV, un átomo de hidr ógeno emite un fotón cuy a longitud d e onda es d e 4890 Å. Determinar la energía del estado inicial del que proviene la desexcitación y los números cuánticos de los niveles energéticos inicial y final. ¿A qué transición corresponde?. Sol. 4 → 2. 1.14: ¿Cuál es el mayor estado qu e pu eden alcanzar átomos n o excitados de hidrógeno cuand o son bom bardead os con electrones de 13.2 eV? Sol. n = 5. 1.15: Si la vida prom edio de un estado excitado d el hidrógeno es del orden d e 10 −8 s, estimar cuántas revoluciones da un electrón cuan do se encuentra inicialmente a) en el estado n = 2 y b) en el estado n = 15, antes de experimentar u na tran sición al estado fundamental. c) Comparar estos resultados con el núm ero de revoluciones que h a dad o la Tierra en sus d os mil millones de años existencia. Sol.: a) 8,22 106 órbitas; b) 1,95 104 .

×

×

1.16: Calcular la energía, el momento lineal y la longitud de onda del fotón que es emitido cuando un átomo de hidrógeno sufre una transición desde el estado 3 al estado fundam ental. Sol.: E = 12,07 eV, p = 6,44 × 10−27 kg·m/ s, λ = 1030Å. 1.17: Para transiciones en átomos d e hidrógen o correspond ientes a ∆n = 1, demuestre que para valores muy grandes de n , la energía de la transición viene d ada por 1 e2 , cuyo ∆ E = α2 (m e c2 / n 3 ), siendo α una constante ad imensional, α = 2π 4π 0 hc valor numérico es 1/ 137.





1.18: Comp are la frecuencia de revolución en el átomo de h idrógeno con la frecuencia del fotón emitido en u na tran sición para la que ∆n = 1 cuando los estados iniciales son a) n = 10, b) n = 100 y c) n = 1000. Sol.: A medida que n aumenta ambos valores se aproximan. 1.19: Un haz de p artículas α (q=+2e), que es acelerado mediante una diferencia de poten cial d e 10 V, incide sobre un cristal de NaCl ( d = 2,82 Å). ¿Cuál es el m áximo orden d e la reflexión de Bragg qu e pu ede ser observada?. Sol.: n max = 125.

FLML

Apuntes de CF

28

Capítulo 1. Fundamentos de Física Cuántica 1.20: Si un haz monocromático de neutrones ( m n = 1,67 10−27 kg) incide sobre u n cristal de berilio cuyo espaciado entre planos atómicos es de 0,732 Å, ¿cuál será el ángulo entre el haz incidente y los planos atómicos que dé lugar a un haz monocromático de neutron es de longitud d e onda 0,1 Å?. Sol.:3,9o .

×

1.21: El límite de resolución de un aparato es del mismo orden de magnitud que la longitud de ond a u sada p ara “ver” los objetos bajo estudio. Para un microscopio electrónico que op era a 60000 V, ¿cuál es el tam año mínim o d el objeto qu e pu ede ser observado con este m icroscopio?. Sol.: d ∼ 0,05Å. 1.22: Un electrón, un neutrón y un fotón tienen la misma longitud de onda, λ = 1 Å. Calcule y compare la frecuencia y energía de cada cual. Sol. electrón: ν = 3,64 1016 Hz, E = 151eV; neutrón: ν = 1,98 1013 Hz, E = 8,2 10−2 eV; fotón: ν = 3 1018 Hz, E = 1,24 104 eV.

×

×

×

×

×

1.23: ¿Cuál es la incertidumbre en la posición de un fotón de longitud de onda 3000 Å, si su longitud de ond a se conoce con u na precisión de u na p arte en un m illón? Sol. ∆ x 50mm.

≥

1.24: La posición de un a partícula se mid e al paso d e ésta por u na ranu ra de anchur a Hallar la correspond iente incertidum bre en el momento d e la partícula. Sol. ∆ p x h / ∆ x . d .

∼

1.25: ¿Cuál sera la incertidum bre en la posición de un electrón q ue ha sido acelerad o med iante una d iferencia de poten cial V = 1000 ± 0,1?. 1.26: Si el ancho d e energía de u n estad o excitad o de u n sistem a es de 1.1 eV. (a) ¿Cuál es el prom edio de d uración en ese estado?; (b) Si el nivel de energía de excitación del estado d el sistema fuera d e 1.6 keV, ¿cuál es la m ínima incertidu mbre en la longitud de ond a del fotón emitido cuand o el estado excitado d ecaiga? Sol. (b) ∆λ ≈ 5 × 10−3 Å. 1.27: La ley de conservación de la energía sólo puede verificarse dentro de los límites de la incertidumbre d e la medida, ∆ E . Consecuentemente esta ley podría ser violada si el intervalo de tiemp o es suficientemente corto. ¿Durante qu é máximo intervalo d e tiempo p ued e violarse la conservación de la energía de un sistema en (a) el doble de la energía correspond iente a un electrón en rep oso, mc2 (lo que correspond e a un fotón que p roduce espontáneamente u n par electrón–positrón); (b) el doble de la energía asociada a la masa en reposo d e un p rotón ?. Sol. (a) 1,27 10−21 s.

×

1.28: Un átomo emite fotones de luz verde, λ = 5200Å durante un intervalo τ = 2 10−10 s. Estime la d ispersión, ∆λ, en la longitud d e onda d e la luz emitida. Sol. ∆λ  7,17 10−13 m.

×

×

Constantes : c = 3 108 m/ s, 1 eV=1,6 10−19 J; h = 6,6 10−34 J·s = 4,1 10−15 eV·s; m e = 9,1 10−31 kg.

×

Apuntes de CF

×

×

×

×

FLML

Capítulo 2

Ecuación de Schrödinger. Aplicaciones 2.1. Ecuación de Schrödinger La primera form ulación qu e se realizó de la teoría cuán tica ap ortó un a visión n ovedosa y revolucionaría de m ultitud de fenómenos. No obstante, esta teoría presentaba u na seria d e inconvenientes, entre los qu e cabe destacar lo sigu iente: Sólo era aplicable a sistemas periódicos. No explicaba las d iferentes p robabilidad es de transición entre distintos niveles energéticos. No explicaba el esp ectro d e los átomos mu ltielectrónicos. Asignaba trayectorias a los electrones, lo cual es incompatible con el principio de incertid um bre. Básicamen te, lo que faltaba era un a teoría un ificad ora qu e diera cuenta de los d iversos fenómenos cuán ticos, a saber: du alidad ond a/ corpú sculo de la radiación/ materia, principio de incertidumbre, naturaleza probabilística de los fenómenos, etc. Tal como ya se apu ntó en el Apartad o 1.5.3, la d escripción de los fenómenos cuánticos se realizará a través de una función de onda, Ψ(r, t ), que d escribe comp letamente el estado d e un sistema d ado. A partir de esta función d e onda se pod rán obtener los valores medios de las d istintas m agnitu d es observables asociad as al sistema así como la probabilidad de encontrar a las p artículas en distintos pu ntos d el espacio. Pued e, por tanto, concluirse qu e el problema central de la teoría cuántica es la determinación de la función de onda Ψ(r, t ).

29

30

Capítulo 2. Ecuación de Schrödinger. Aplicaciones

En 1925, E. Schrödinger planteó como un postulado la ecuación diferencial que permite calcular la función de onda, Ψ(r, t ), cuand o se conoce la energía p otencial, E p (r, t ) (o a menudo simplemente potencial), de la que derivan las interacciones que actúan sobre el sistema. Para el caso de un sistema monodimensional, la ecuación de Schrödinger para la función de onda Ψ( x , t ) es Ecuación de Schrödinger para un sistema monodimensional

¯ 2 ∂2 Ψ h

− 2m ∂ x 2 + E ( x , t ) Ψ = jh¯ ∂∂ Ψt .

(2.1)

p

Es interesante notar qu e la solución d e esta ecuación será, en gen eral, un a función compleja debido a la aparición de la unidad imaginaria, j, en el segu nd o miembro. Esto implica que el uso de funciones comp le jas n o será u n recu rso m atem ático (tal como se hace, por ejem plo, en el estud io de corriente alterna y en las on da s en Física Clásica) sino qu e, por el contrario, form a p arte esencial de la prop ia teoría. La función de ond a Ψ( x , t ) debe cum plir las siguientes cond iciones: Tanto Ψ( x , t ) como su derivada espacial deben ser funciones continuas, finitas y m onoevaluad as. De acuerdo a la expresión (1.39), debe cump lirse la siguiente condición d e norm alización (ver Ap énd ice C): ∞



−∞

Ψ( x , t ) 2 d x

|

|

∞

=



−∞

Ψ∗ ( x , t ) Ψ( x , t ) d x =

1,

(2.2)

que n os dice qu e la probabilidad de encontrar a la p artícula en algún punto x debe ser igual a la unidad (es decir, la partícula debe estar en algún sitio). A partir de la expresión (1.38), podemos establecer que Ψ∗ ( x , t ) Ψ( x , t )d x =

 

probabilidad de encontrar a la partícula en el instante t entre x y x + d x

 

,

(2.3)

por lo que el valor esperado1 en un a posible med ición de la posición d e la partícula vend rá dad o por ∞

 x  =



−∞

Ψ∗ x Ψ d x

(2.4)

(en analogía con la expresión (C.5) del Apéndice C). Para cualquier otra magnitud , f ( x ), que sea función de x , su valor esperado podrá calcularse med iante ∞

 f ( x ) =



−∞

Ψ∗ f ( x ) Ψ d x

.

(2.5)

1 En el contexto d e la Física Cuán tica, el valor esperado es el promed io de los valores

de una serie de medidas repetidas sobre un conjunto de sistemas idénticamente preparados. No es el promedio de los valores de u na serie de m edidas repetidas sobre un único y mismo sistema

Apuntes de CF

FLML

2.1. Ecuación de Schrödinger

31

Estados estacionarios Existen mu ltitud de situ aciones en las cuales la energía potencial, E p , del sistema n o dep end e del tiemp o sino ú nicamente d e la po sición de los distintos comp onentes del sistema, en cuyo caso tendrem os que E p = E p ( x ) (por ejemp lo, la en ergía p otencial electrostática) 2 . Para estas situaciones encontram os que la función de ond a pu ede escribirse como el prod ucto de d os fun ciones ψ( x ) y g(t ), de mod o que Ψ( x , t ) = ψ( x ) g(t ). Al sustituir esta forma d e la fun ción d e ond a en la ecuación (2.1), obtenemos que ¯ h

2

− 2m



2



d ψ( x ) d g(t ) , + g(t ) E p ( x )ψ( x ) = jh¯ ψ( x ) g( t ) 2 d x d t





que tras dividir ambos m iembros por ψ( x ) g(t ) qued a como 1 ψ( x )



−

d 2 ψ( x ) 1 ψ + ( ) ( ) = E x x p 2m d x 2 g( t ) ¯ h

2



d g(t ) ¯ . jh d t





(2.6)

Notem os que la única posibilida d d e que los dos m iembros de la ecuación an terior sean iguales consiste en que am bos sean idén ticos a u na constante que d enominaremos E de m omento. Al igualar cada u no d e los miembros d e (2.6) a d icha constante obtenem os las dos siguientes ecuaciones d iferenciales ordinarias acopladas: 2

d 2 ψ( x ) (2.7a) + E p ( x )ψ( x ) = E ψ( x ) 2m d x 2 d g(t ) jE (2.7b) = g(t ) . d t ¯ h Es fácil comprobar que la solución a la ecuación (2.7b) viene dada por la función (2.8) g(t ) = e− j( E / h¯ )t . Notemos que el factor E / h¯ tiene unidades de inverso de tiempo (o, lo que es lo m ismo, d e frecuencia), p or lo qu e la constante E tendrá unidades de h¯ por frecuencia, es decir, julios. En consecuencia dicha constante pu ede iden tificarse con la energía del sistema.

−

¯ h

−

Es imp ortante d estacar qu e la situación anterior en la qu e la energía potencial no depend ía del tiemp o da lugar a estados estacionarios, esto es, a situaciones que n o varían con el tiemp o. Para com probar este hecho basta notar q ue, teniendo en cuenta (2.8), la función de on d a pu ede escribirse como Ψ( x , t ) = ψ( x )e − jEt / h¯

,

(2.9)

2 Recuérd ese que en el mar co de la Física Clásica, estos sistemas recibían el nom bre

de sistemas conservativos, en los cuales la fuerza qu e actúa sobre el sistema se calcula a par tir del grad iente de la energía potencial, esto es, F ( x ) =

FLML

− d E d x( x ) . p

Apuntes de CF

32


que d a lugar a una d ensidad de probabilidad

| Ψ( x , t )|2 = Ψ∗ ( x , t ) Ψ( x , t )

= ψ∗ ( x )e + jEt / h¯ ψ( x )e − jEt / h¯ = ψ( x )

|

|2

(2.10)

que N O d epend e del tiemp o. En estos estad os estados estacionarios la energía debe conservarse, viniendo ésta dada precisamente por la variable E de las ecuaciones (2.7a) y (2.7b). En lo que sigu e, se tratarán ún icamen te situaciones estacionarias, por tanto, la función d e onda ψ( x ) y la energía d el sistema, E , se obtendrá resolviendo la ecuación (2.7a) , esto es, Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

−

2

d 2 ψ( x ) + E p ( x )ψ( x ) = E ψ( x ) 2m d x 2 ¯ h

(2.11)

que se conoce como ecuación de S chrödinger independiente del tiempo. Evidentemen te la resolución de esta ecuación requ iere el conocimiento d el potencial, E p ( x ), del sistema.

2.2. Partícula ligada. Cuantización Una v ez establecida la ecuación qu e rige el comp ortam iento de los sistema estacionarios, procederemos la resolución de algunas situaciones relevantes. Emp ezaremos tratan do la p artícula libre para luego abordar el problema d e la partícula en u n p ozo tanto monod imensional como tridimensional.

2.2.1. Partícula Libre Para u na p artícula libre (esto es, una p artícula sobre la que n o actúan fuerzas externas), la energía p otencial no d epend e de la posición, pu diénd ose tomar su v alor de referencia como nu lo. La ecua ción a resolver será, por ta nto,

−

¯2 h

d 2 ψ( x ) = E ψ( x ) , 2m d x 2

(2.12)

qu e pu ede reescribirse, al redefinir k 2 =

2mE , ¯2 h

o equivalentemente ¯ω = E = h como

Apuntes de CF

¯ 2 k 2 h 2m

(2.13)

,

d 2 ψ( x ) + k 2 ψ( x ) = 0 . 2 d x

(2.14) (2.15) FLML

2.2. Partícula ligada. Cuantización

33

La solución d e esta ecuación pu ede escribirse como ψ( x ) = A e jkx ,

(donde k juega el pap el d e un nú m ero d e ondas) por lo que la función de onda vendrá dada por Ψ( x , t ) = A e j (kx − Et / h¯ ) .

(2.16)

Si tenem os en cuen ta las relaciones d e de Broglie ( E = h¯ ω , p = h¯ k ) , podem os comp robar que la solución de la ecuación de Schröd inger para un a par tícula libre coincide con la expresión obtenida p reviamente en (1.40) med iante razonam ientos pu ram ente heur ísticos. Si en la expresión de la energía de la partícula libre, E = p2 / 2m

sustituimos el valor d e E y obtenemos que

p

,

por sus equivalentes según de Broglie,

¯ω = h

¯ 2 k 2 h

, 2m expresión q ue es id éntica a (2.14), confirm and o así la congruen cia d e la presente formulación con las hipótesis de de Broglie.

2.2.2.

Pozo potencial infinito monodimensi onal

Existen muchas situaciones prácticas en las cuales una partícula es completamente libre excepto en los contornos (o “p aredes”) de u n recinto don de u na fuerza infinita evita qu e la partícula salga d e este recinto. Para el caso monod imensional de u n recinto limitad o po r 0 x a, la energía potencial de d icho sistema vend rá d ad a por

E p(x)

≤

≤

E p ( x ) =



0,

si 0 x a ∞, en otro caso.

≤ ≤

(2.17)

En el caso de una partícula cuántica sometida a este tipo de potencial, debe cumplirse que la probabilidad de encontrar la partícula fuera d el pozo sea nu la, esto es, ψ( x ) = 0

0 > x

>

a.

x x=0

x=a

(2.18)

En el interior d el pozo d e potencial, d ad o qu e la partícula no esta afectad a por fuerza algun a, la función de ond a será la solución d e d 2 ψ( x ) + k 2 ψ( x ) = 0 , 2 d x siendo k =

FLML

√2mE ¯ h

,

(2.19)

(2.20) Apuntes de CF

34


el núm ero de ond as asociad o. La solución gen eral de la ecuación (2.19) puede expresarse como ψ( x ) = A e + jkx + Be − jkx ,

donde A y B serán dos constantes que se determinarán de acuerdo a las condiciones del problema. En concreto, al aplicar la condición (2.18) al extremo x = 0, esto es ψ(0) = 0, obtendremos qu e A + B =

0,

por lo que

B=

− A .

Esta condición hace que la función ψ( x ) pu eda escribirse como



ψ( x ) = A e

+ jkx

− e− jkx



= C sen kx ,

donde C = 2 jA . Al imponer ahora la condición (2.18) en el extremo x = a, es decir: ψ( a) = 0, tenemos qu e sen ka = 0 esto es, k n = n

π a

⇒

,

ka = n π ,

n=

1, 2, 3, . . .

(2.21)

Es interesante notar que la condición de contorno en x = a no ha fijad o el valor de la constante C sino más b ien el de la variable k y de aqu í qu e los po sibles valores de la energía, teniend o en cuenta (2.20), vengan dados por 2

Energía de la partícula en un pozo monodimensional

E n =

¯ k 2n h 2m

=

¯ h n2

2 2 π

2ma2

= n 2 E 0 , n

≥1.

(2.22)

La expresión anterior nos d ice que la energía de un a p artícula cuántica en un p ozo monod imensional de paredes infinitas no pu ede tomar cualquier valor sino solamente ciertos valores permitidos, esto es, la energía esta cuantizada . El estado n = 1 se denomina estado fundamental, siendo su valor de energía E 0 . Los estados con n > 1 se denominan estados excitados. El valor de la constante C se determina al imponer la siguiente condición de normalización (2.2): a

 | | sen 0

C 2

2 ( kx ) d x

| | 2a = 1,

= C 2

lu eg o

|C |2 = 2a .

Dentro del pozo, las diferentes soluciones de la función de onda son entonces 2 n π ψn ( x ) = sen (2.23) x ,

   a

a

dond e el numero n se denomina número cuántico y d efine el estado d e la partícula en el pozo m onod imensional. Es interesante notar que el estado de mínima energía de la partícula en el pozo viene dado por E 0 , lo que significa que el valor d e Apuntes de CF

FLML


35

y( x)

|y( x)|

n=1

2

n=2

n=3 x=0

x=a

x=a

x=0

F IGURA 2.1: Aspecto de las fun ciones de on da y funciones densidad de p robabilidad para distintos números cuánticos

mínima energía n o es nu lo. Este sorprend ente hecho ya fue expu esto en el Apartado 1.6.1 como una posible consecuencia del principio de incertidumbre posición/ momento. En concreto, la expresión (1.48) establecía qu e la energía de la p artícula en el pozo d ebía ser h2

. 2ma2 Este hecho m uestra de nu evo que la formu lación basada en la ecuación d e Schröd inger es congru ente con el principio d e Heisenberg. E 

El conjun to d e funciones d e ond a ψn ( x ) presenta una serie de propiedades interesantes:

{

La función de ond a ψn ( x ) pasa n senta n 1 nodos.

−

}

− 1 veces por cero, esto es, pre-

Son fun ciones p ares o imp ares con resp ecto al centro del pozo A med ida qu e el nú mero d e nod os aum enta, crece el valor de la energía del estado E JEMPLO 2.1 Calcule la longitud de onda mínima del fotón que debiera ser absorbido para que un electrón situado en el estado fundamental de un pozo monodimensional de paredes infinitas de anchura a = 2 Å transite hasta el tercer estado excitado. Si la energía del electrón en el estado fun da men tal en el pozo es ¯ 2 π 2 h = E 0 = 2m ea2

FLML

×10−34)2π 2 = 1,49 ×10−18 J = 9,34eV , 2 · 9,1 × 10 −31 · (2 × 10−10 )2 (1,05

Apuntes de CF

36

Capítulo 2. Ecuación de Schrödinger. Aplicaciones y la energía en el tercer estado excitad o ( n = 4) es, segú n (2.22), E 4 =

16 E 0 = 149,4eV ,

la energía, ∆ E , necesaria para realizar la transición del estado 1 dada por ∆ E = (42 12 ) E 0 = 15 E 0 = 2,23 10 −17 J .

−

→ 4 vendrá

×

Teniendo ahora en cuenta que la energía de un fotón es E = hc / λ, la longitud d e onda mínima, λmin , de u n fotón capaz d e prod ucir la transición anterior al ser absorbido será 6,6 10−34 3 108 hc = = 8,86n m . λmin = 15 E 0 2,23 10 −17

×

2.2.3.

z c

a x

b

y

×

· ×

Pozo de potencial tridimensi onal

Considérese una situación en la que una partícula cuántica está confinada en cierta región del espacio (por ejemplo, un paralelepíped o) de la que n o pu ede salir. Dicha situación pod ría estar relacionad a con la ausencia de fuerzas en el interior de la región y una fuerza infinita en las pared es impen etrables. Este caso, que p od ría describir la situación d e un electrón libre en u n sólido, estaría caracterizado por la siguiente energía p otencial: E p ( x , y , z ) =



0,

si 0 < x < a, 0 < y ∞, en otra parte.

<

b, 0

< z <

c

(2.24)

Para resolver la ecuación de Schrödinger en este sistema (y así encontrar las fun ciones d e ond a y las energías d e la p artícula), debem os tener en cuenta que ahora la energía potencial depende de las tres variables espaciales x , y y z , es decir, nos enfrentam os a u n p roblema tridimensional . Este hecho imp lica que la ecuación de Schröd inger debe ser extend ida al caso tridim ensional. Dado q ue las fun ciones de on da d epend erán d e las tres variables espaciales, ψ = ψ( x , y , z ), la ecuación de Schrödinger debe incluir derivadas parciales con respecto a cada un a d e estas variables, por lo qu e la extensión de la ecuación (2.11) al caso 3D tend ría la sigu iente form a:

−

2

∂2 ψ ∂2 ψ ∂2 ψ + + + E p ( x , y , z )ψ = E ψ , 2m ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2

¯ h



o bien u sando el operador ¯ h

2



(2.25)

∇2 ≡ ∂2 / ∂ x 2 + ∂2 / ∂ y 2 + ∂2 / ∂ z 2 ,

− 2m ∇2 ψ + E ( x , y , z )ψ = E ψ .

(2.26)

p

Si ahora tenem os en cuenta la forma de la energía potencial dad a en (2.24), la ecuación anterior puede reescribirse como ∂2 ψ ∂2 ψ ∂2 ψ + 2 + 2 + k 2 ψ = 0 ∂ x 2 ∂ y ∂ z

0
<

a,

0 < y

<

b,

0 < z

<

(2.27) c,

FLML


37

dond e, de nu evo, k viene d ad o por (2.20). La ecuación a nterior p ued e resolverse por el método de separación de variables, el cual sup one que la fun ción d e onda, ψ( x , y , z ), pu ede expresarse como el p rodu cto de tres funciones, cada un a d e las cuales depend e únicamente d e una de las variables espaciales, esto es, ψ( x , y , z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z ) .

Al introducir esta solución en (2.27), obtenemos el siguiente conjunto de ecua ciones: d 2 X + k x2 X = 0 , 2 d x d 2Y + k y2 Y = 0 , 2 d y d 2 Z + k z2 Z = 0 , 2 d z

X ( x ) =

0 para 0

(2.28a)

Y ( y ) =

0 para

(2.28b)

Z ( z ) =

0 para 0

≥ x ≥ a 0 ≥ y ≥ b ≥ z ≥ c

(2.28c)

donde

2mE . (2.29) ¯2 h Nótese qu e cada u na de las ecuaciones (2.28a)–(2.28c) es equiv alente a la ecuación (2.19) ya resuelta para el caso d el pozo m onod imensional. Consecuentemente, la solución del presente vendrá dada por k x2 + k y2 + k z2 = k 2 =

k x = n x

π a

,

k y = n y

π b

,

k z = n z

π c

,

(2.30)

estand o la función de on da de la partícula (esto es, cada estado del sistema) determinada por tres nú meros cuánticos, (n x , n y , n z ) [n α = 1,2,3,... ] según ψn x n y n z ( x , y , z ) =

       8

abc

n x π x a

sen

sen

n y π y b

n z π z c

sen

. (2.31)

Teniendo en cuenta (2.30) y (2.29), los valores d e energía d e cada estado vienen finalmente dad os por E n x n y n z =

¯ 2 π 2 h 2m



n2 x

a2

+

n2 y

b2

+

n2 z

c2



2

=

¯ k 2 h 2m

.

(2.32)

Función densidad de estados z

Una situación práctica interesante se presenta cuando el pozo de poten cial es cúbico, es d ecir, a = b = c L. En este caso, cada estado d el sistema viene d eterminad o de nu evo por la terna d e núm eros cuánticos (n x , n y , n z ), pu diéndose escribir la energía d e cada estado como

≡

E n x n y n z =

FLML

¯ 2 π 2 h 2 m L2



n x2 + n y2 + n z2

 



= n x2 + n y2 + n z2 E 0 ,

L

(2.33)

y

x

Apuntes de CF

38


donde E 0 =

¯ 2 π 2 h 2m L 2

.

(2.34)

Según muestra la expresión (2.33), los valores de la energía muestran degeneración , esto es, existen distin tos estad os (o, lo que es lo mismo, estados caracterizados p or ternas distintas de nú meros cuánticos) que presentan el mismo valor de la energía. Para ver esto en más detalle considérese la siguiente tabla: Energía Terna de números cuánticos Degeneración ( g) 3 E 0 1 (1,1,1) 6 E 0 3 (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2) 9 E 0 3 (2,2,1) , (2,1,2), (1,2,2) 11 E 0 3 (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3) 12 E 0 1 (2,2,2) (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3) 14 E 0 6 (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)

14 E 0 12E 0 11 E 0 9E 0 6E 0 3 E 0 Cubo microscópico

Cubo macroscópico

d ond e pod emos ver que, por ejemp lo, seis estados d istintos presentan idéntico valor de energía, E = 14 E 0 . Pozo de potencial de di mensiones macroscópicas En el caso d e que la partícula (por ejemp lo, un electrón) esté en el interior de un pozo cuyas dimensiones sean macroscópicas, por ejemp lo: 1cm, la m ínima diferencia energética entre los d istintos estad os, L ∆ E E 0 , se hace extremadamente pequeña:

∼ ≡

∆ E =

¯ 2 π 2 h

∼ 2m L 2

(10−34 )2 10 10−30 (10−2 )2

·

·

∼ 10−33 J ∼ 10−14 eV .

Este valor tan d iminuto para ∆ E hace qu e, a efectos p rácticos, pod amos desp reciar el hecho d e que el espectro de energía esté cuantizad o y consideremos a la energía, E , como u na variable continua más bien qu e d iscreta. En consecuen cia, incluso en u n interva lo infinitesima l de energía, dE , existirán muchos estados distintos. En esta situación es conveniente introducir el concepto de función densidad de estados, g( E ). Esta función m ide la “d ensidad energética d e estados”, es decir, g( E )dE =

 

núm ero de estados cuyos valores de energía están comprend idos en el intervalo entre E y E + dE

 

.

Una m anera d irecta de obtener la fun ción d ensidad de estados requiere el cálculo, en primer lugar, del número de estados, N ( E ), cuyas energías son menores o iguales que E : N ( E ) =

Apuntes de CF

Nú mero de estados cuya energía

≤ E . FLML

2.3. Efecto túnel

39

Para llevar a cabo el cálculo anterior, considérese la siguien te construcción en la que cada punto, de coordenadas (n x , n y , n z ), representa un estado cuántico distinto (nótese que n α 1, por lo qu e los puntos sólo aparecen en el octante mostrado). La distancia, R , d esde el origen a cada u no de los pu ntos viene dada p or

≥

R 2 = n x2 + n y2 + n z2

,

o equivalentemen te, teniend o en cuenta la expresión d e la energía da da p or (2.33), R =

  E

1 2

E 0

.

(2.35)

El nú mero d e estados con energías menores o igu ales qu e E puede,por tanto, calcularse muy aproximadamente como el número de puntos cuya d istancia al origen es menor qu e R ( E ), esto es

N ( E ) =

1 8

× Volumen esfera de radio R ( E ) =

Volum en d e cad a cubito elemental

por lo que N ( E ) =

1 8

 E E 0

≡1

3/ 2

. × 43 π [ R ( E )]3 = π 6 E 3/ 2 E

1 2

,

(2.36)

0

Una vez calculado N ( E ), el nú mero d e estados comprend ido entre E y E + dE vendrá d ado simplemente por d N ( E ) = g( E )dE , esto es, dN =

π

E 1/ 2 dE ,

(2.37)

3/ 2

4 E o

de d ond e podemos ded ucir que la fun ción d ensidad de estados, g( E ), será (2.38) g( E ) = CE 1/ 2 ,

g(E )

don de la constante C suele expresarse com o C =

π

4 E o3/ 2

=

4π V (2m 3 )1/ 2 h3

=

V (2m )3/ 2

4¯h3 π 2

,

(2.39)

E

siendo V = L 3 el volumen de la región macroscópica donde se encuentra la partícula. Este imp ortante resultado será amp liamen te usado en p osteriores temas cuand o se estud ien electrones libres en sólidos.

2.3. Efecto túnel En el apa rtad o 2.2.2 se obtuv o la fun ción de ond a para el caso d e un pozo d e potencial mo nod imensional d e paredes infinitas. En ese caso, la función de onda fue fácil de obtener debido a que las condiciones de contorno forzaban qu e ψ( x ) fuese nula en los extremos del p ozo. FLML

Apuntes de CF

40


Una pequeña modificación de este problema ilustrará un fenómeno cuántico qu e es de fund amental importancia en mu chos dispositivos de estado sólido: el efecto túnel cuán tico d e un electrón a través de una barrera de potencial de anchura y altura finita.

E p(x) w V 0

E

x=L

x

y( x)

x

Considérese una partícula sometida a la barrera de potencial de anchura w y altura V 0 mostrad a en la figura ad jun ta y cuy a energía total sea men or que la altura d e la barrera ( E < V 0 ). En el presen te caso, la cond ición de contorno no imp one ahora qu e la función de ond a tenga qu e anularse en el borde de la barrera ( x = L), por lo que ψ( x = L) toma rá un valor distinto de cero. Teniend o en cuen ta la propiedad d e continuidad para la fun ción d e onda y su d erivada, pod emos dedu cir que ψ( x ) tamp oco será nu la en el interior de la barrera ni a su derecha. Dado que ψ( x ) no se anula para x > L + W (y, por tanto, tam poco lo hace ψ( x ) 2 ), existirá cierta probabilidad de encontrar al electrón más allá de la barrera. Aunque La presencia del electrón en estos lugares parece indicar que el electrón haya “saltado” la barrera de potencial (no podría hacerlo dado que tiene una energía insuficiente para ello), d ebemos interpretar este resultado considerand o más bien qu e la partícula h a “atravesad o” la barrera de algún mod o. Este efecto, qu e pod ría visualizarse como un “ tun elamiento” a través de la barrera, es un fenóm eno pu ram ente cuán tico que no tiene ningu na an alogía en la Física Clásica, dond e obviamente u na p artícula no pu ede “saltar” un a barrera d e potencial a no ser que tenga su ficiente energía para ello ( E debe ser mayor que V 0). Debe notarse que la amp litud de la fun ción de onda más allá de la barrera decrecerá a medida que la anchura y la altura d e la barrera aumentan, de modo que para una barrera de potencial infinitamente alta se recup erarían los resultados del p ozo infinito.

|

|

2.4. Átomos hidrogenoides 2.4.1.

Números cuánticos

Tal como ya se ha d escrito, un a de las características má s imp ortantes de la ecua ción d e Schröding er es que es consistente con m uchos d e los postu lados d e la Física Cuán tica, haciéndose éstos explícitos cuand o se resuelve m atemáticamente la ecuación. Esto ha sido observad o, por ejemp lo, en la cuan tización d e los niveles energéticos para la p artícula en u n p ozo de p otencial. En este sentido, pod remos esperar qu e la aplicación d e la ecua ción d e Schröding er a la resolución d el átomo de Hidrógeno reproduzca algunos de los postulados de Bohr, además de proporcionar información adicional que permita explicar algunos d e los resultad os que el mod elo d e Bohr no p odía. Para resolver la ecuación de Schrödinger para un átomo hidrogenoide (esto es, aquél compuesto de un núcleo en reposo con una carga positiva Z e y un electrón de carga e orbitand o en torno a d icho

−

Apuntes de CF

FLML

2.4. Átomos hidrogenoides

41

nú cleo) debem os obtener, en p rimer lu gar, la energía p otencial del sistema. Dado qu e el sistema que estamos estudiand o es un conjun to de partículas cargadas, la energía potencial del sistema debe dar cuenta de la atracción electrostática existente entre el núcleo y el electrón (es fácil comprobar que la interacción gravitatoria es totalmente despreciable respecto a la electrostática), por lo que encontramos que 2

E p (r ) =

− 4π1 0 Zr e

.

E p(r ) r

+

(2.40)

Dado que el potencial, E p , no dep ende explícitamente del tiempo, la ecuación que habría que resolver para la parte espacial de la función de onda, ψ(r) sería ¯ h

2

1

2ψ

− 2m ∇ − 4π0

Z e2 r

ψ = E ψ .

(2.41)

Afortunadamente esta ecuación puede resolverse de forma analítica (sin necesidad de métodos n um éricos), aunqu e es u na tarea d e cierta comp lejidad ma temática que no será expu esta aquí en detalle. Para resolver (2.41) se aplicaría de nuevo el método de separación de variables, tal y como ya se usó en la resolución d e (2.26), aun qu e ahora debid o a la simetría esférica d el potencial, la sep aración d e variables se realiza en coordenadas esféricas, esto es,

z

ψ(r) = ψ(r , φ, θ ) = R (r )Φ(φ)Θ(θ ) .

Tras laboriosos cálculos ma temáticos se obtiene qu e la función d e onda d epen de d e tres núm eros cuán ticos (al igual que ocurría con la partícula en el pozo tridimensional), que en este caso se denominan: n , l y m l . En consecuencia, el estado d el sistema, determ inad o p or ψn ,l,m l (r , φ, θ ) ,

r

q

r x

y

f

estará descrito por esta terna d e nú meros cuán ticos. La resolución d e (2.41) nos proporcionaría además el siguiente significado para estos tres núm eros cuán ticos: Número cuántico principal n, Este nú mero cuántico pu ede tomar los valores natu rales n=

1, 2, 3, . . . .

(2.42)

• Está relacionado con R (r ), la parte radial de la fun ción d e onda. • En principio, el valor de la energía del estado dep end e ún icamente de este núm ero cuántico. El resultado que se obtiene es 13,6 2 (2.43) E n = 2 Z (eV) .

−n

Este resultado es idéntico al obtenido p or el mod elo de Bohr, aun que ahora se ha obtenido como un resultado m atemático fruto d e la resolución d e la ecuación d e Schröding er. FLML

Apuntes de CF

42


• El valor más p robable del radio en el que se pu ede localizar al electrón aumenta al incrementarse n . Esto sugiere la existencia de capas en el átomo. Número cuántico orbital l , Los valores qu e pu ede tomar este nú mero cuántico son l=

0,1,2,..., n

−1.

(2.44)

• Está relacionad o con la par te azimu tal de la fun ción d e onda, Θ(θ ). • Determina el valor del módulo del mom ento angular orbital ( L), esto es, de la resolu ción d e (2.41) se obtiene qu e L =

Módulo momento angular orbital



¯ l ( l + 1) h

.

(2.45)

Es interesante notar que si l 1, el valor de L coincide con el p roporcionado p or el mod elo d e Bohr ( L = n h¯ ) — ver expresión (1.15)—, lo qu e nos d ice qu e el resultado d el modelo de Bohr era una aproximación de L para valores altos d el nú mero cuán tico l . • En fun ción del valor nú mero de l se usa la siguiente denominación: l 0 1 2 3 . .. s p d f ...



Número cuántico magnético, m l Pued e tomar los siguientes valores enteros ml =

0, 1, 2 , . . . ,

± ±

±l .

(2.46)

• Está relacionad o con la parte angu lar Φ(φ) d e la función de onda. • Determina la orientación del momento angu lar L cuando se introdu ce un a dirección privilegiad a (por ejemp lo, med iante un campo magnético B). Si esta dirección privilegiada está dirigida, p or ejemp lo, según el eje z , encontramos qu e ¯ L z = m l h

.

(2.47)

• En p resencia de un camp o magn ético, la aparición de este núm ero cuántico da lugar al efecto Zeeman. Este efecto consiste en qu e cada raya espectral en au sencia d e campo magnético se desdobla en tres si B = 0. Un aná lisis semiclásico muestra que la energía del sistema en presencia de un campo magnético no sólo depende del número cuántico principal n sino que tam bién aparece una energía potencial, E p,m , de origen m agnético que viene dada por



E p,m = m l µ B B

Apuntes de CF

,

(2.48) FLML

2.4. Átomos hidrogenoides

43

donde µ B = eh¯ / 2m es un a constante que se conoce como magnetón de Bohr y su valor es µ B = 9,27

× 10−24 Am .

La energía d el estado d escrito por la terna de nú meros cuán ticos (n , l , m l ) será por tanto E = E n + m l µ B B

.

(2.49)

Esta última expresión indica que, en ausencia de campo magnético (B = 0), un estado con nú mero cuántico l presenta una degeneración en la energía de 2 l + 1; es decir, existen 2l + 1 estados (debido a los d istintos valores de m l ) con el mismo valor d e energía. Así se tiene qu e estado l d egeneración

s

p

d

1 3

5

... 7 ... f

Cada un o d e los estados d egenerados anteriores se desdoblará en 2l + 1 estados en presencia de un campo magnético. La aparición d e estos nuevos v alores de la energía hace que ap arezcan m ás rayas espectrales, de m odo qu e cuand o se tienen en cuenta las reglas de selección (reglas que n os dicen que las ún icas transiciones entre estados perm itid as son aquellas que verifican ∆l = 1, ∆m l = 0, 1), cada un a d e las rayas esp ectrales originales (cuan d o B = 0) se desd obla en tres.

±

E JEMPLO 2.2 Obtenga el valor del campo magnético aplicado a un gas de hidrógeno si existe una variación mínima de 120 Å en la raya espectral correspondiente a la transición 3 2.

→

La fórmu la de Rydberg-Ritz, expresión (1.1), nos d ice que la long itud de onda correspond iente a una tran sición con n = 3 y m = 2 es 1 λ

= 1,0968

×

10 7



1 22

−

1 32



⇒

=

λ = 6562,9 Å .

Si tenemos en cuenta que la energía debida a la emisión de fotones de longitud de onda λ es hc , E = λ la variación en la longitud de onda, ∆λ, con respecto a la energía vendrá

dada por

dλ λ2 ∆λ = ∆ E = ∆ E , d E hc

de donde ded ucimos que hc ∆ E = 2 ∆λ = λ

FLML





6,6 10−34 3 108 (6,57 10 −7 )2

×

· × × 1,2 ×10−8 = 5,5 ×10−21 J . × Apuntes de CF

44

Capítulo 2. Ecuación de Schrödinger. Aplicaciones Considerando ahora, según (2.49), que la variación mínima en la energía debido a la presencia de un campo m agnético de mód ulo B viene dada por ∆ E = µ B B

,

al igualar las dos expresiones anteriores obtenemos qu e B =

2.4.2.

∆ E

µ B

=

5,5 10−21 = 593,8T . 9,27 10 −24

× ×

Spin del electrón

Aun que la ap licación de la ecuación de Schrödinger al átomo de hidrógeno justificó mu chos de los fenómenos asociados a d icho átomo, tod avía existían algun os fenóm enos que no p ud ieron ser explicados satisfactoriamente. Uno de estos fenómenos fue la estructura fina del hidrógeno, que consiste en qu e cad a u na d e las rayas espectrales d e este elemento (en au sencia d e campo magnético) en realidad estaba comp uesta de dos rayas m uy próximas. Esto indicaba qu e la energía de los d iferentes estados del átomo no sólo dependían d el núm ero cuántico p rincipal sino también de otro núm ero cuán tico n o d escrito por la ecuación de Schrödinger. Para solventar este problema se postuló la existencia de un momento angular intrínseco, S, llamado momento de spin. Esta nueva magnitud es un a propiedad p uram ente cuántica, en el sentido d e que no existe ningun a mag nitud clásica análoga 3 . Similarmente a lo qu e sucedía con el mom ento angu lar orbital, L, el mód ulo y la orientación d el mom ento angu lar de spin , S, podían relacionarse con dos nu evos nú meros cuánticos s y m s según S=



¯ s ( s + 1) h

¯ S z = m s h

;

;

ms =

s=

1/ 2

±1/ 2 .

(2.50) (2.51)

Dado que el núm ero cuántico s sólo toma un único valor, no tiene sentido considerarlo como un nú mero cuántico adicional y p or ello el cuarto núm ero cuántico que d efine el estado d el átomo d e hidrógeno será el m s . El estado queda, por tanto, completamente determinado por la cuaterna de números cuánticos: n , l , m l , m s . Un estudio más profundo de este tema nos mostraría que el spin d el electrón juega un pap el fun da men tal en la explicación d e algu nos fenómenos tan destacados como Las fuerzas que intervienen en los enlaces covalente y metálico, Las propieda des m agnéticas de los distintos m ateriales. Este hecho puede justificarse debido a que, asociado al momento angular de spin (S), existe un mom ento dipolar m agnético de spin 3 La introd ucción d el spin

del electrón sólo pud o ser justificado p osteriormente por Dirac en el marco de la teoría cuántica relativista

Apuntes de CF

FLML

2.5. Tabla periódica

45

dado por p m ,s =

− me S ,

(2.52)

que es, por ejemp lo, responsable del origen d el camp o m agnético natural que presentan ciertos materiales (imanes, ferritas, etc...).

2.5. Tabla periódica La teoría d e Schrödin ger más el p ostulad o sobre el spin proporciona igualmente una justificación teórica a la disposición de los distintos elemen tos en la Tabla Periód ica. Esta justificación p roviene del estu dio de los átomos multiele ctrónicos, y d ado que este estud io excede los objetivos del presente tema, aquí optaremos por llevar a cabo un tratamiento eminentemente cualitativo que hace uso de aproximaciones mu y simp lificad oras. Una d e las aproximaciones m ás fructíferas es la descripción de la función de onda de un átomo multielectrónico median te fun ciones d e ond a de p artículas aisladas; esto es, despreciand o la interacción m utu a entre los electrones. Estas funciones de on da son mu y semejantes a las ya descritas para el átomo d e hidrógen o y estarán por tanto caracterizadas por los cuatro números cuánticos n , l , m l y m s . A diferencia del caso del hidrógeno (en el que la energía del electrón sólo dependía de n ), la energía del electrón en el átomo m ultielectrónico vend rá ahora d eterminad a por los nú meros cuá nticos n y l . La especificación de estos dos números cuánticos para cada electrón del átomo se d enomina configuración electrónica. La nom enclatura de esta configu ración no h ace uso d el valor d el nú mero cuántico l sino de su letra asociada (ver Apar tad o 2.4.1). En este sentid o los estados determinados por n y l serán n l

1 2 3 4 5 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 ... 1s 2s 2 p 3s 3 p 4d 4s 4 p 4d 4 f 5s 5 p . . .

Uno d e los hechos qu e regirá la configu ración d e los electrones en los distintos estados es el principio de exclusión de Pauli que puede enu nciarse como Principio de exclusión de Pauli dos electrones en un sistema (átomo, sólido,...) no p u ed en esta r en el m ism o esta d o cuán tico .

En el caso d el átomo m ultielectrónico, esto imp lica que n o pu eden p oseer la misma serie de nú meros cuán ticos. En consecuencia, teniend o en cuenta la degeneración de los estados con el mism o nú mero cuántico l (ya vista en el Apar tad o 2.4.1) y la existencia de otra d egeneración simu ltánea d ebida al spin , cada estado caracterizado por l puede “albergar ” el sigu iente núm ero de electrones FLML

Apuntes de CF

46


estado l s n ú m ero m áxim o d e electron es 2

f

. . .

p

d

6

10 14 . . .

Otras consideraciones relevantes que surgen del análisis de las funciones de ond a d el átomo mu ltielectrónico son las siguientes: La energía d el electrón au men ta al incremen tarse n —dado qu e aumenta la distancia media del electrón al núcleo y éste ejerce men os atracción; Para un n dad o, los electrones con m enor mód ulo d el momento angular tienen un a p robabilidad mayor d e estar en regiones cercanas al núcleo. Esto afecta a la carga efectiva del núcleo que “siente” el electrón según el grad o de ap antallamiento d e la carga n uclear p or los d emás electrones y, por consiguiente, explica la dep end encia de la energía con l y que para un valor dado de n , la energía crezca al au men tar el valor d e l ; Si se tiene un electrón en cada uno de los m l estados asociados con un l d ad o, la distribución de la carga espacial tend rá simetría esférica. Todas las consideraciones anteriores sirven para justificar la dependencia periódica de las propiedad es físicas y químicas d e los d istintos elementos con respecto a su número atómico, conduciendo así a la clasificación d e los elementos en gru pos y colum nas qu e aparece en la Tabla Periódica. Dado qu e las propiedad es de u n elemento d epend en fundam entalmente de su configuración electrónica, la Tabla Periódica no es más qu e un a clasificación d e los elementos en fun ción d e esta configuración. Ahora bien, debid o a la d epend encia d e la energía de los estado s tanto con n como con l , el ord en energético con el qu e se ordenan los distintos estados sigu e la sigu iente ley: 2

1 s 2 6 2 s 2p 2 6 1 0 3 s 3p 3d 2 6 1 0 1 4 4 s 4p 4d 4f 2 6 5 s 5p .....

2

2

6

2

6

2

1 0

6

2

1 0

6

2

1 4

1 s 2s 2 p 3 s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f .....

El que se llene antes el nivel 4 s que el 3 d reside en el hecho anteriormente señalado d e que niveles con u n bajo valor d e l tiend en a tener menos energía y p ued en así comp ensar el incremento p roducido por el aumento d el núm ero cuán tico n . Dado que la interacción entre distintos átomos se llevará a cabo fund am entalmen te med iante la interacción d e los electrones d e sus capas más externas, la explicación de las propiedades de los elementos Apuntes de CF

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47

distribuid os en los distintos grup os de la Tabla Periódica pued e relacionarse con la configuración de sus electrones en las últimas capas. Por ejemp lo, el com portam iento de las fuerzas interatóm icas qu e condicionarán la formación de moléculas y cristales estará determinado por la estru ctura d e las capas electrónicas más externas d e los átomos qu e interaccionan. Un p arám etro imp ortante en este sentido es la electronegatividad, que mide la capacidad de un átomo para capturar o ceder un electrón de valencia (electrón de su última capa). Puede así explicarse, por ejemp lo, el comp ortam iento inerte de los gases nobles en función de su escasa tendencia a captar o ceder electrones ya que poseen su capa m ás externa p completamente llena. Este hecho, que implica la ausencia de momento dipolar magnético y eléctrico en estos elementos (dada su distribución de carga esférica y la compensación mutua de los spines electrónicos) junto con la importante diferencia energética qu e existe entre la cap a p llena y la siguiente s, da lugar a que se necesite mucha energía para romper la muy estable simetría esférica de carga —usualmente esta energía no está disponible a las temp eratura s ordinarias. Explicaciones d e esta misma índole justificarán tam bién el comp ortam iento de los átomos d e los restantes grup os.

2.6. Problemas propuestos 2.1: El principio d e sup erposición p ara las soluciones de la ecuación d e Schröding er establece que si Φ1 y Φ2 son soluciones de la ecuación, Φ = A Φ1 + BΦ2 también es una solución, dond e A y B son constantes arbitrarias. ¿Es válido este principio tanto para la ecuación independiente d el tiempo como para la depend iente?. Razonar la respuesta. Sol. Sí. 2.2: Una p artícula se mueve en línea recta bajo la acción d e un campo eléctrico uni x . Escriba la ecuación de forme de modo que su energía potencial es E p = Schröd inger para este movimiento y d iscuta si está cuan tizada la energía en este caso.

E

−E

2.3: Un electrón excitado en uno de los estados de un pozo de potencial de paredes infinitas y anchura a pu ede em itir fotones cuand o d ecae a niveles energéticos inferiores. Suponiend o qu e sólo las transiciones en las qu e ∆ n = ±1 están perm itidas, hallar las frecuencias de las radiaciones emitidas en estas transiciones. Sol. νn = (2n + 1)h / (8m a2 ). 2.4: La función de onda Φ( x ) de u n electrón p ara el cuarto estado excitado, en el interior d e un pozo d e potencial infinito, es: Φ( x ) = 2/ a sen (4π x / a). ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al electrón en la region 0 < x < a / 4?. Sol. 25%.

√

2.5: La ecuación d iferencial de Schröd inger p ara la v ariable φ en el átomo d e Hidrógeno es de la forma: d 2Φ + m 2l Φ = 0 , d φ2 siendo ésta similar a la de una p artícula en un p ozo de poten cial de pared es infinitas. Supon iendo qu e una solución es de la forma: Φ = e αφ (a) dem ostrar que Φ es solución de la ecuación y que α = im l , siendo i la unidad imaginaria. (b) Debido a que la

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Apuntes de CF

48

Capítulo 2. Ecuación de Schrödinger. Aplicaciones función d e onda, Φ, debe ser u nívoca, esto es, Φ(φ) = Φ(φ + 2π ), demostrar que los posibles valores para m l son: m l = 0, ±1, ±2 , . . . 2.6: Si tenemos 2 N electrones en un pozo de potencial monodimensional de paredes infinitas y anchu ra L, obtenga el valor de la energía del último estado lleno (a T = 0 K este nivel de energía es conocido como energía de Fermi, E F ). Tenga en cuenta que el principio de exclusión p rohibe la existencia de m ás de d os electrones en el m ismo estado cuán tico. Sol. E F =

h2

 N

8m e

2

L

2.7: Calcular la energía m ás baja posible, E 1 , de un electrón confinado en el interior de u na región d e 10−11 m (aproximadamente el orden d e magnitud de u n núcleo atómico). Comp arar esta energía con la energía potencial gravitatoria y la p otencial electrostática de u n electrón y u n p rotón a la m isma distancia. Basánd ose en lo anterior discuta la posibilidad d e que exista un electrón en el interior de un nú cleo. Sol : E 1 = 3,8 103 MeV; E g rav = 6,34 10−17 eV; E elst = 1,44 104 MeV

×

×

×

2.8: Demostrar que los niveles de energía y funciones de onda de una partícula que se mueve en el plano X Y dentro de una caja de potencial bidimensional de lados a y b son E = (π 2 h ¯ 2 / 2m )( n 21 / a2 + n 22 / b2 ) y ψ = C sen (n 1 π x / a) sen (n 2 π y / b). Discut ir la degeneración de los niveles cuand o a = b. Hallar la constante d e norm alización C . 2.9: Si el problema anterior los lados de la caja son muy grandes pero iguales, demu estre que el núm ero de estados cuánticos con energías comprend idas entre E y ¯ 2 )dE . E + dE viene dad o por (m a2 / 2π h 2.10: Para un átomo de Hidrógeno en el estado l = 3, ¿Cuáles son los valores permitidos de las componentes z del momento angular y d el momento magn ético?. Sol. 0, h¯ , 2¯h, 3¯h; 0, 2emh¯ , emh¯ , 32emh¯ .

± ± ±

± ± ±

2.11: Dibujar un diagrama de niveles de energía para los estados 4f y 3d del hidrógeno en presencia de u n camp o m agnético. Mostrar que en la transición 4f →3d el número de líneas espectrales es tres. Si el campo magnético es de 0,5 T, ¿serán observables las anteriores líneas en u n esp ectróm etro de resolución 10 −11 m?. Sol. Sí (∆λ = 8,2 × 10−11 m). 2.12: ¿Cuál es el campo magnético B necesario para observar el efecto Zeemann si un espectrómetro pued e separar líneas de hasta 0.5Å en 5000Å?. Sol. B ≈ 4,28 T. 2.13: Determinar los momentos magnéticos posibles en un nivel energético ¿Qué predice la teoría de Bohr?. Sol. 0, 1,31 × 10−13 J/ T, 2,27 × 10−13 J/ T; Bohr: 2,78 × 10−13 J/ T.

n =

3.

2.14: La configuración electrónica d el azufre, Z = 16, es 1s2 2s2 p6 3s2 p4 . Escribir un conjun to comp leto de nú meros cuánticos para los cuatro electrones en el subn ivel 3 p. 2.15: Escribir la configuración electrónica del aluminio (Al, 20) y bromo (Br, Z = 35).

Z =

13), calcio (Ca, Z =

2.16: Clasificar las siguientes configuraciones electrónicas como correspond ientes a átomos en estad o fund amental, a átomo s en estado excitado o en incorrecta. ¿De qué elemento se trata en cada caso? 1) 1 s2 2s, 2) 1s2 2s2 2d , 3) 1s2 2s2 2 p2 , 4) 1 s2 2s2 2 p4 3s, 5) 1s2 2s4 2 p2 , 6) 1s2 2s2 2 p6 3d 2.17: Escribir los num eros cuán ticos qu e caracterizan a los electrones desaparead os del p otasio (K) y del cloro (Cl). Sol. (4,0, 0, 1/ 2), (3,1,1,1/ 2).

Apuntes de CF

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49

2.18: (a) ¿Cuál es la configuración electrónica del litio (Li, Z = 3)?. (b) Sup oniend o que el Li es equivalente a u n átom o de hid rógeno, calcular la energía de ionización d el electrón de valencia 2 s. (c) La energía de ionización determ inada experimentalment e para el Li es de 5.39 eV, ¿cuál es la carga efectiva positiva que ve el electrón?. (d) Repetir el cálculo anterior p ata el potasio (K) que p osee un electrón d e valencia en el subnivel 4s, siend o su en ergía d e ionización 4.34 eV. Sol. K: Z eff  2,26e.

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Apuntes de CF

Capítulo 3

Materia Condensada 3.1. Estados de Agregación de la Materia Recordem os que u no d e los objetivos finales de la presente asignatura será proporcionar los fund amentos físicos qu e nos p ermitan entend er el fun cionam iento d e los dispositivos electrónicos usad os en la actual tecnología de los computadores. Dado que este funcionamiento se basa en las propiedades del transporte de carga en metales y semicond uctores, los tem as anteriores han estado ded icados al estudio d e las prop iedad es cuán ticas de las partículas portad oras de carga (fun da men talmente electrones). No obstan te, d icho tran sporte d e carga n o sólo d epend e de las propiedad es intrínsecas d e los electrones sino también d e la disposición d e los átom os en los sólidos. En este sentido, el presente tema mostrar á un a descripción elemental de la estructura interna d e la materia, haciendo especial hincapié en la estructura de los metales y semicondu ctores. Una posible clasificación de la materia divide a ésta en materia cond ensada y materia gaseosa, con las siguientes propiedad es generales: Materia Condensada Materia Gaseosa Predom inio energía poten cial Predom inio energía cinética d e in teracción en tre su s d e traslación componentes Presencia de orden espacial Distribución caótica de sus en su s com ponentes com ponentes 3 28 3 nú mero átomos/ m 10 átomos/ m 1025 átomos/ m 3 n n densidad d e masa ρ 103 kg/ m 3 ρ 1 kg/ m 3 distancia interatóm ica d 3 Å d 200Å

∼

∼

∼

∼

Dependiendo del alcance del orden espacial de la estructura interna de la materia, pod emos distingu ir los sigu ientes estados de agregación de la materia (en rigor, esta clasificación sólo es aplicable a sustancias puras): 51

∼ ∼

52

Capítulo 3. Materia Condensada

MONOCRISTAL

Anisotropía

POLICRISTAL

Isotropía estadística

Orden de largo alcance

AMORFO

LÍQUIDO

GAS

Isotropía Orden de corto alcance

Desorden

Monocristal: Presenta fuertes interacciones entre sus p artículas comp onentes (átomos, grup os de áto mos,...), qu e están casi en reposo (excepto por pequeñas oscilaciones) en un mínimo de energía potencial. Las par tículas están d ispu estas según u n ord en espacial bien determinado que define una estructura periódica tridimensional. Ejemplos: mayoría de metales puros, muchos compuestos iónicos, ... Policristal: Está comp uesto de p equeñas regiones o granu los, cada un a d e las cuales con la estructura d e un m onocristal d e tamaño y orientación irregular. Amorfos: Aunque sus componentes están básicamente en reposo, éstos no p resentan un a estructura esp acial bien d efinida. Ejemp lo: vidrios, plásticos, madera, .... Líquidos: Sus comp onentes no p resentan fuertes interacciones entre sí por lo que pu eden moverse, dan do lugar a que estas sustancias adopten la forma d e los recipientes que las contienen. Gases: Sus comp onentes apenas interaccionan entre sí, estando dotados básicamente d e energía cinética. Pued en considerarse como un caso extremo d e líquidos, presentand o menos densidad que éstos. A continuación estud iaremos elemen talmente los dos casos extremos: gases y mon ocristales.

Apuntes de CF

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3.2. Gas

3.2.

53

Gas

Recordem os que la ley de los gases ideales establecía qu e la p resión, P, y el volum en, V , del gas están relacionad os con la temperatu ra absoluta, T , med iante la sigu iente expresión: PV = η RT ,

(3.1)

siendo η el número de moles de partículas (átomos o moléculas) del gas y R = 8,314 J/ mol-K es la d enominada constante d e los gases. Conviene recordar que 1 “mol” es simplemente una cantidad (al igu al qu e 1 “d ocena”), en concreto, 1mol = 6,022

×1023 ,

coincidiend o esta cantid ad con el llamad o número de Avogadro, A , que p ued e definirse como el nú mero de átomos n ecesarios para prepar ar un a cantid ad d e un elemen to igu al a su peso atómico expresad o en gramos.

N

La ley experimen tal (3.1) pu ede obtenerse siguiend o un a d escripción clásica (esto es, una descripción basada en las leyes de la física clásica), que considera al Gas como un colectivo muy numeroso de partículas rígidas e independientes en constante movimiento cuyas únicas interacciones se producen a través de choques elásticos entre ellas y con las pa redes d el recipiente que las contiene.

(Debe notarse que si las partículas del gas estuviesen uniformemente distribuid as, entonces el movimiento térmico de éstas no da lugar a un mov imiento neto; es decir, en un p romed io temp oral, las par tículas no se desplazan.) A partir d e la d escripción anterior y usan do las leyes de mov imiento d e New ton, la teoría cinética n os perm ite establecer qu e 2 N E c , 3 donde N es el número total de partículas y med ia de las par tícula d el gas. PV =

(3.2)

 

 E  la energía cinética c

Las expresiones (3.1) y (3.2) nos d icen qu e, para 1 m ol d e p artículas, tenemos qu e 2 3 A Igualando ambas expresiones obtenemos que y

PV = RT

PV =

R  E  = 32 N c

N  E  . c

T ,

A

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Apuntes de CF

54


o, equivalentemente,

 E  = 32 k T ,

Energía cinética media de las partículas del gas

c

(3.3)

B

siendo k B =

R

N

= 1,38

A A

×10−23 J/ K = 8,63 ×10−5 eV/ K ,

(3.4)

la denominada constante de Boltzmann. Boltzmann . El resultado (3.3) nos dice que la temperatura absoluta de un gas es proporcional a la energía cinétic ci néticaa med ia d e traslación traslación de las partículas partículas d e d ic icho ho gas. En En co connsecuencia, el valor de la temperatura (en grados Kelvin) nos informa sobre el valor de la energía cinética cinética med ia de las p artíc artículas ulas d el gas. E JEMPLO 3. 3.11 Calcule la velocidad media de las moléculas de un gas de N2 que está a temperatura ambiente (T 300 K).

∼

Dad o que toda s las las partículas del gas de nitrógeno (moléculas de N 2 ) son idénticas, podemos escribir que

 E  = c

1 2 1 = m mv 2 2

 

v 2  .

Considerando que la velocidad velocidad cuadrática media, v 2 , es muy ap roxi roximad mad amente igual al cuadr ado d e la veloci velocidad dad med ia, esto es,

 

v 2  v 2  , encontram os, de acuerd o a la expresión expresión (3.3), (3.3), qu e 1 m 2

v 2 = 32 k T , B

de d onde p odemos obtener el siguiente siguiente valor para la velocidad velocidad m edia:

v  =



3k B T m

=



3 RT

M

,

(3.5)

= A siendo molecular d el gas (peso de 1 mol d e partículas). partículas). A m el peso molecular Es interesante interesante notar que esta veloci velocidad dad es del mismo orden d e magnitud que la velocidad de propagación del sonido en el gas (el aire contiene aproximadam ente un 70% de nitrógeno). nitrógeno).

M N

En el presente ejemplo,

v  =

M = 14 g = 14 ×10−3 kg, por lo que 3 · 8,314 · 300 ≈ 73 731, 1,08 08 m/ s , 14 ×10−3



que es ap roxi roximad mad amente el doble de la velocidad velocidad del sonido en el aire. aire.

La expresión expresión (3.3), (3.3), qu e se ha obtenid obt enid o para par a el caso particular part icular d e un gas ideal, puede generalizarse para cualquier otro tipo de sistemas, en cuyo cu yo caso se cono conoce ce como teor teorema ema de equip ar artición tición de la energía. energía. Apuntes de CF

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3.2. Gas

55

Este teorema Este teorema estable establece ce que la energía media p or grad o de libertad 1 d e las partículas partículas d el siste sistema ma v iene dad a por

 E |grado de libertad = 12 k T . B

(3.6)

Teorema de equipartición de la energía

Dado que u n gas es un colectivo mu y nu meroso de partícula partículass (n − su estud io med iante un análisis estadístico, en en vez de partir de las características de cada una de las partículas individu ales que lo comp onen. En general, el análisis análisis estadístico estadístico requiere el conoci conocimiento miento d e la forma en q ue las partículas partículas están d is istribuidas tribuidas respecto a ciertas magnitudes. En concreto nos interesará conocer la distribución d e las partículas con respecto a la energía. Si defin imos

∼

1025 m 3), abord aremos

g( E )

como la función dens idad de estados estados,, tal qu e g( E )dE nos d ice el nú mero d e estados estados d el sistema sistema cuya energía energía está comp comp rendida entre E y E + dE ; y f ( E )

como la función de distribución, probabilidad de distribución , que mide la probabilidad ocupación de un estado con energía E ; entonces,si d N ( E ) es el nú mero d e partículas del sistema sistema con energías comp co mp rendidas entre E y E + d E , tend tend remos que d N ( E ) = g( E ) f ( E )d E .

(3.7)

La expresión expresión anterior es válida par a cualquier colecti colectivo vo d e partículas, de m anera qu e las las prop iedad es particulares particulares de cada colecti colectivo vo se especifican ci fican m ediante la forma de las fun ci ciones ones g( E ) y f ( E ). Si se conocen estas d os funciones, el valor medio de cualqu cualqu ier ma gnitu d, α, que pueda expresarse com com o un a función de la energía energía pu ede evaluarse a partir de

 α

= =

α( E ) d N ( E ) = d N ( E )

  1

N



Número de partículas del sistema con energías comprendidas entre E y E + d E

α( E ) g( E ) f ( E ) d E d N ( E )

 

α( E ) g( E ) f ( E ) d E .

(3.8)

Si las partículas que forman el colectivo se consideran “clásicas” (es decir decir, podem os abordar su estudio a p arti artirr d e las leyes leyes de N ewton, ignorando las leyes “cuánticas” descritas en los temas anteriores), entonces la función distribución que rige el comportamiento de este colec col ectivo tivo se d enom ina función di str stribución ibución d e Maxw Maxw ell-Boltzmann 1 Cada

variable independiente que es necesario especificar para determinar la energíaa de una partíc energí partícula ula se denom ina grado de libertad . En el caso caso d e un a p artíc artícula ula del gas ideal, dad o qu e hace falta falta especificar especificar las compon entes x , y elocidad idad y y z de la v eloc de la partícula, ésta tend tend ría tres grados de libertad.

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Apuntes de CF

56


y viene viene dad a por Función distribución de Maxwell-Boltzmann

f MB MB ( E )

∼ exp

−  E

k B T

.

(3.9)

En el caso caso d e qu e las partículas del sistema sistema sean cuánticas, la función d istri istribución bución a u sar es la fun fun ci ción ón distribución d e Fermi-Dirac Fermi-Dirac,, que será estud iada en el Tema Tema 4.

3.33. 3.

Monocrrist Monoc istal al

El estudio de este estado de la materia se realizará mediante un mod elo simp le y representativo d el sólido, sólido, conocido conocido com o cr cristal istal ideal i deal.. El cri cristal stal id id eal se d efine com com o un med io material discreto e infinito con un a ordenación espacial espacial regular y periódica d e sus comp comp onentes, caracterizado carac terizado bá sic sicam am ente p or su homogeneidad, simetría d e traslación traslación —c —ciertas iertas traslaciones traslaciones d e vectores T en el interior del cristal dejan a éste invariante, anisotropía. Una d e las caracterí característic sticas as más “ ideales” y simp simp li lificadoras ficadoras d el mod elo anterior an terior lo constitu ye su carácter carácter infinito. A pesar de la aparente irreali irreali-d ad de esta característi característica, ca, el cristal cristal ideal ideal es un mod elo muy v álido p ara el estud io de aqu ell ellas as p ropiedad es del cristal cristal en en las qu e los efe efectos ctos de superficie no sean muy significativos. Dado que las propiedades en las que estaremos interesad interesad os (fund (fund amen talmente las relaci relacionad onad as con el transporte transporte de carga arga)) son propie propiedad dad es que mu y aprox aproximadaimadamen te son indep end ientes de la forma d e la la sup erfici erficiee del material, el cristal ideal será un buen modelo para nuestro propósito. Un conc concepto epto básic básicoo su byacente al cristal id id eal lo constituye la red como cristalina,, que pu ede definirse como cristalina Red cristalina es un conjunto infinito y discreto de puntos con un a d isposic isposición ión y orientación orientación q ue a parece exacexactamente la misma desde cualquier punto del conjunto.

Tal como muestra la Fig. 3.1, la red cristalina es una estructura putraslación p eri eriódica ódica (de (de ramente geométrica que se forma m ediante la traslación periodo T) de una m all allaa o celdilla elemental. elemental . Una de las características esenciales de esta red cristalina es que pone de manifiesto la importancia que tiene la disposic disposición ión geo geométrica métrica de la estructura espacial espacial p eri eriódica ódica del cristal cristal con ind epend enc encia ia d e Apuntes de CF

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3.4. Estructuras reticulares

b

57

b

+ T=

a

a

Celdilla elemental Red cristalina F IGURA 3. 3.1: 1: Formación de u na red cris cristalina talina bidimensional a partir d e la repetición repetición periód ic ica, a, con con p eriodo T = n 1 a + n 2 b , de la celdilla elemental.

las unidades reales o motivos que la compongan. Este hecho puede observarse en la constru cc cción ión d e la Fig. Fig. 3.2, 3.2, dond e se evidencia el hecho de que subyacente a la estructura reticular aparece la composición de la red cristalina cristalina con cierto cierto motivo (átomo o gru po d e átomos).

Red cristalina

Motivo

Estructura reticular

F IGURA 3.2: Estructura reticular vista como producto de la composición de la red cristalina ycon cierto motivo.

3.4. 3. 4.

Estr structur ucturas as reticul eticular ares es

3.4. 3. 4.1. 1. Redes de Br Brava avais is Además de la simetría de traslación presente en la red cristalina, esta red p osee otras simetrías simetrías (por ejemp ejemp lo, simetrías pu ntu ales) ales),, que son u sadas p ara clasificar clasificar los distintos distintos tipos d e redes que existen. existen. El estud io detallado d e las distintas simetrías simetrías nos p ermite concluir concluir que todas las posibles redes cristalinas tridimensionales pueden clasificarse en 14 tipos tipos distintos d e redes, conocidas conocidas gen éric éricamen amen te como redes re des de Bravais. Como ejemplo, la Fig. 3.3 muestra las 3 redes que pertenecen al sistema cúbico. cúbico .

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Apuntes de CF

58


Cúbica [P]

Cúbica centrada en el interior (bcc) [Ba,Cr,Cs,Fe,K,..]

Cúbica centrada en las caras (fcc) [Ag,Al,Au,Cu,..]

F IGURA 3.3: Redes cristalinas pertenecientes al sistema cúbico.

Una estructura de especial interés práctico (y que no es en sí una red de Bravais) es la denominada estructura tipo diamante, que se mu estra en la Fig. 3.4(a). Una gran nú mero d e las sustancias form ada s

(a)

(b)

F IGURA 3.4: (a) Estructura tipo diamante formada por la interpenetración de dos redes cúbicas centrad as en las caras y d esplazadas u na respecto a la otra 1/ 4 a lo largo de la d iagonal del cubo. (b) Detalle que mu estra la disposición tetraédr ica de los átomos de las sustan cias qu e cristalizan en esta red cristalina.

por átom os d el grup o IV (C, Si, Ge, ...), o bien a qu éllas formad as p or átom os d el grup o III y V, cristalizan en este tipo de red. Dado qu e la ma yoría de los materiales semiconductores están formados por átom os d e los grup os anteriores, los semicondu ctores suelen presentar un a estructur a tipo d iaman te. Según mu estra la Fig. 3.4(a), la estructura tipo d iaman te pu ede visualizarse como d os redes cúbicas fcc interp enetradas y d esplazadas un a sobre la otra 1/ 4 sobre la d iagonal d el cubo, dan do así lugar a un a d isposición tetraédrica (ver Fig. 3.4b) en la que cada átomo p ued e considerarse localizado en el centro d e un tetraedro y formando un enlace con cada uno de sus cuatro vecinos m ás próximos. Según veremos en temas posteriores, esta disposición tetraédrica determina alguna de las propiedades más características de los semicond uctores.

3.4.2. Parámetros de la estructura reticular Dado q ue m uchos de los compu estos elementales que forman los sólidos (átomos, iones, ...) presentan simetría esférica, la d isposición de mu chas estructuras reticulares pu ede visualizarse considerand o a Apuntes de CF

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3.4. Estructuras reticulares

59

éstas como empaquetamientos espaciales de esferas rígidas en forma simétrica y comp acta. Algun os de los parámetros más imp ortantes de las redes cristalinas, fruto d e la consid eración anter ior, se describen a continuación. Número de partículas por celdilla elemental, nc El número de partículas por celdilla elemental puede obtenerse como n V n (3.10) + n I + F , nc = 8 2 donde n V es el nú mero d e partículas en los vértices, n I en el interior y n F en las caras. E JEMPLO 3.2 Calcule la densidad del silicio sabiendo que la arista de su celdilla unidad es a = 5,43 10 −8 cm y que su peso atómico es A = 28,1 g.

×

Dado qu e el Si cristaliza en un a red tipo diaman te que está formada p or 2 redes fcc interpenetradas, el número de átomos por celdilla elemental será el doble del de una red fcc. Para la red fcc tenemos que n V = 8, n I = 0 y n F = 6, por lo que 8 6 n c (fcc) = + 0 + = 4 . 8 2 Para el silicio tendremos, por tanto, que cada celdilla elemental tiene 8 átomos. Si n es el nú mero de átomos p or m 3 , será Nú mero de átomos por celdilla unid ad = Volumen celdilla unidad 8 = 5 1022 átomos/ cm 3 . 8 3 − (5,43 10 )

n=

nc a3

≈ ×

×

La densidad, ρ, en g/ cm 3 del Si pod emos calcularla como ρ = masa d e 1 átomo

× Nú mero de átomos/ m 3 = m at n ,

por lo que ρ =

A

N

A

que en nu estra caso particular será ρ(Si) =

nc a3

,

(3.11)

28,1 5 6,02 1021

×

· ×1022 ≈ 2,3 g/ cm 3 .

Índice de coordinación En un a celdilla elemental, el índice de coordinación es el nú mero de nodos reticulares adyacentes. Este índice suele determinar el tipo de en lace qu e cohesiona a la su stancia. FLML

Apuntes de CF

60


Fracción de empaquetamiento,

f c

Considerando que cada n odo d e la celda u nidad es el centro d e una esfera rígida, de modo que las esferas se distribuyen de la forma m ás comp acta posible, d efinimos la fracción de emp aqu etamiento como Volumen de las esferas n V (3.12) = c 3 esf . f c = Volumen de la celda a

×

La fracción d e empaqu etamiento nos prop orciona una med ida d e lo “llena” qu e está la estructur a reticular. De las redes cúbicas, la m ás comp acta es la fcc, mientras qu e la de men or fracción d e emp aqu etamiento es la cúbica simp le.

E JEMPLO 3.3 Calcule la fracción de empaquetamiento para una red fcc. Para u na red fcc, según vimos en el ejemp lo anterior, n c = 4. En esta r ed, según mu estra la figura adjun ta, el plano de mayor emp aquetamiento (es decir, el plan o don d e las esferas están m ás jun tas) se localiza en u na cualqu iera de las caras. En una d e las caras debe cumplirse que a2 + a2 = (4 R )2 = 2a2 = 16 R 2 ,

de donde R

a

R

16 R 2

√

1 2 = a= a 4 8

√

y por tanto 4 n c V esf = f c (fcc) = a3

=

√2π 6

×

4 π 3

√  2 a 4

3

a3

≈ 0,74

3.5. Observación de las estructuras cristalinas La estructura interna de los cristales puede determinarse a partir del análisis de la difracción ondulatoria producida cuando fotones, electrones, neu trones, etc... incid en en el cristal. El análisis d e la d ifracción nos informa sobre la configu ración intern a d el cristal debido a qu e la manera en qu e las ond as son difractadas viene determinada por la disposición interna de los componentes del cristal. Puesto que las dimensiones implicadas en las estructuras cristalinas (distancias Apuntes de CF

FLML


61

entre nodos reticulares) son del orden del Å, la configuración de las estructuras reticulares sólo puede “observarse” mediante ondas cuya longitud de on da asociada sea d e este mismo orden. En este sentido, al ser la longitu d d e ond a de la rad iación visible (λ 5000Å) m ucho may or qu e la distancia entre nod os reticulares, esta radiación simp lemente d a origen a la refracción óp tica ord inaria, que claramente n o nos proporciona ninguna información sobre la estructura interna del cristal. En el caso de que la radiación incidente esté constituida por rayos X (radiación electrom agnética cuya λ Å), entonces la difracción p rodu cida en el cristal presenta cierta distribución de m áximos y mínim os qu e sí nos informa sobre la estructura intern a d el cristal.

∼

∼

Una sencilla explicación de la difracción de rayos X en cristales la prop orcionó W. L. Bragg, sup oniend o qu e las ond as incid entes se reflejaban “especularmen te” en los distintos p lanos d el cristal, d e forma qu e cad a plano refleja ún icam ente una fracción mu y pequ eña de la radiación total (en u n cristal perfecto contribuirían d e 103 a 105 planos atómicos en la formación del haz reflejado). Supuesto, entonces, que cada plano se comp orta como u n “espejo semitransparente”, aparecerá u n m áximo d e difracción siemp re que los haces difractados p rocedentes de planos de átomos paralelos interfieran constructivamente. Esta cond ición, conocida como ley de Bragg, exige qu e la d iferencia de camin o entre los haces (1) y (2) de la figu ra ad jun ta sea un mú ltiplo de la longitud d e onda, esto es,

(1) q

q

d

(2)

q

diferencia de camino =2d senq

2d sen θn = n λ . Aun qu e la ley de Bragg es una consecuencia de la period icidad d e la red, ésta no manifiesta la comp osición d e la base de átomos d e la estructura reticular (es decir, si la base es un átomo, un conjunto de átomos,...). Un estudio más riguroso muestra que la composición de la base se refleja en la intensidad relativa de los diversos órdenes de difracción.

3.6. Problemas propuestos 3.1: Determinar el índice de coordinación y la fracción de em paqu etamiento p ara los tres tipos d e redes cúbicas. 3.2: Sabiendo que el sod io cristaliza en u na red fcc, que su d ensidad es 0,971 g/ cm 3 y su p eso atómico 23 g/ mol, calcular la longitud d e su celda u nidad . Sol. 4,29Å. 3.3: Calcular la densidad de electrones libres en el cobre si su peso atómico vale 63.5 g/ mol y su densidad es 8950 kg/ m 3 , suponiendo que hay un electrón por átomo. Repetir el cálculo p ara el oro (Au, A = 197,0, ρ = 19,3 g/ cm 3 , un electrón libre por átomo), y el zinc (Zn, A = 65,38, ρ = 7,1g/ cm 3 , dos electrones libres por átomo) Sol.: n (Cu ) = 8,48 × 1028 m −3 , n (Zn ) = 1,31 × 1023 cm −3 .

FLML

Apuntes de CF

62

Capítulo 3. Materia Condensada 3.4: Calcular la d istancia a entre los iones K + y Cl − en el KCl, adm itiend o que cada ión ocup a un cubo de arista a. El peso m olecular es 74,55 g/ m ol y la densid ad es 1,984 g/ cm 3 . Sol. a = 3,15Å. 3.5: La dim ension d e la celda u nid ad d el cobre fcc es de 0.36 nm . Calcular la long itud de onda más grande para los rayos X capaz de producir difracción por los planos cristalinos. ¿Qué planos pod rían difractar rayos Xd e longitud d e onda 0.50 nm ?.

Apuntes de CF

FLML

Capítulo 4

Electrones libres en metales 4.1.

Fenomenología

En este tema iniciamos el estud io de la cond uctividad eléctrica en los sólidos, empezando en primer lugar por el análisis del comportamiento d e los electrones libres en los metales. Este estud io tiene un alto interés práctico dado que los metales (por ejemplo, el cobre) forman una p arte esencial de los circuitos electrón icos junto con los ma teriales semiconductores. Los primeros estud ios que se hicieron respecto a la cond uctividad eléctrica provienen de Oh m(1827). Estudian do m etales, Ohm encontró la siguiente relación entre la inten sidad de la corriente, I , qu e recorre el metal y la tensión (o d iferencia d e p otencial), V , entre los extremos de dicho metal: (4.1) V = IR , dond e el parámetro R se conoce como resistencia del m aterial (sus un idades son ohm ios, 1Ω =1 V/ A). Para un material filiforme de sección constante, este parám etro viene da do p or R = ρ

l S

,

(4.2)

siendo ρ la resistividad del m aterial (este parámetro d epend e de las características internas del ma teria, siendo sus unid ad es Ω·m), l la longitud d el cond uctor y S su sección. La ley d e Ohm pu ede igualm ente expresarse como (4.3) J = σ E , donde J es el vector la densidad de corriente eléctrica, σ =

1 ρ

(4.4)

la conductividad eléctrica (sus u nidad es son (Ω·m )−1) y E el el vector campo eléctrico aplicado. 63

V

I

Conductor

L

64

Capítulo 4. Electrones libres en metales

En fun ción d el nú mero de portad ores de carga por un idad de volumen, n , y de la velocidad de arrastre, v a, de estos portadores, la densidad de corriente se define como J = nqv a .

(4.5)

Usualmente, la velocidad de arrastre puede relacionarse linealmente con el camp o aplicado m ediante la siguiente expresión: E

v a = µE ,

va

(4.6)

siendo µ la movilidad de los portad ores (sus u nidad es son m 2 / V s). En función de la anterior relación, la conductividad eléctrica puede escribirse como (4.7) σ = qn µ .

·

La expresión anterior nos indica claramente que la conductividad de los materiales d epende p roporcionalmente d el núm ero de portad ores de carga y de la movilidad de dichos portadores. En el caso de que existan distintos tipos de porta dores, la expresión (4.7) d ebe generalizarse. En concreto, para el caso d e los semicondu ctores, par a los qu e existen d os tipos d e portad ores, electrones y hu ecos, la cond uctividad pu ede escribirse como σ = q(n µn + pµ p ) ,

don de el subíndice n se refiere a electrones y el subíndice Esta cuestión será analizada con detalle en el Tema 7.

p

a huecos.

Una posible clasificación de los sólidos en función d el valor de la conductividad a temperatura ambiente los divide en:conductores, semicond uctores y aislantes. Conductores  σ > 104 (Ωm )−1 , [Cu,Ag 107 (Ω·m )−1 ] d σ  < 0, la cond uctividad disminuye con la temp eratura. d T En concreto se encuentra qu e

∼

s

σ =

σ 0 1 + α( T

− T 0 )

(4.8)

T

 σ decrece con las imperfecciones y/ o imp urezas d e la red.  n 1028 m −3. La concentración de electrones libres apenas varía con la temperatura.

∼

Semiconductores  10−8 σ (Ω·m )−1 104 , [Si 4 104 (Ω·m )−1, Ge

≤

∼ ×

Apuntes de CF

≤

∼ 4 × 104 (Ω·m )−1] FLML

4.2. Modelo clásico del electrón libre 

65

d σ > 0, la cond uctividad au menta al aumentar la temp erad T tura. Experimentalmente se encuentra que la d epend encia d e la cond uctividad con la temp eratura es del tipo σ = σ 0 e −α / T

lns

(4.9)

 σ crece con las imp urezas d e la red. 1017 m −3. La concentración d e electrones libres varía  n enormemente (de hecho d e forma exponencial) con la temperatura.

∼

1/T

Aislantes  σ < 10−8 (Ω·m )−1 , [Vidrio 10−11 (Ω·m )−1 , Poliuretan o 10−20 (Ω·m )−1 d σ > 0. El comportamiento térmico de los aislantes es  d T idéntico al d e los semicond uctores. Por este motivo los aislantes y los semicond uctores a veces se consideran el m ismo tipo de m ateriales en cuanto a su comportam iento respecto a la conductividad eléctrica. Su única diferencia consiste en el valor de d icha cond uctividad a tem peratu ra ambiente.

∼

∼

Para explicar el comportamiento cuantitativo y cualitativo de los diversos materiales respecto a la conductividad eléctrica se han propu esto básicamente tres mod elos diferentes: 1. Modelo clásico d el electrón libre: Mod elo de Drud e-Lorentz. 2. Modelo cuán tico del electrón libre: Mod elo de Som merfeld. 3. Modelo cuán tico del electrón ligad o: Mod elo de Bloch. Dad o que los dos pr imeros mod elos tratan sobre electrones libres, el presente tema estará d edicado a ellos, dejándose el tercer mod elo para el siguiente tem a.

4.2.

Modelo clásico del electrón libre

Este primer m od elo, d esarrollado a fin ales del siglo XIX y p rincipios del XX (después del descubrimiento de los electrones en 1897), prop one u na teoría clásica para la condu cción eléctrica en los metales. El mod elo pa rte del hecho d e que mu chos metales presentan estructuras reticulares y asume que las fuerzas de cohesión de los metales se deben al tipo p articular d e enlace que p resentan, esto es, el enlace metálico. En los sólid os que p resentan este tipo d e enlace, se sup one qu e FLML

Apuntes de CF

66


los portad ores de carga d e la corriente serán los electrones libres qu e prov ienen de qu e cad a átomo d el metal cede un o o varios de sus electrones de sus últimas capas (electrones de valencia) para formar una especie de gas de electrones común a todo el sólido. La cohesión del sólido se debe p recisamente a la interacción entre los iones p ositivos y el gas de electrones libres que los rodea.

4.2.1. Hipótesis básicas Partiendo de las ideas anteriores, el modelo de Drude-Lorentz prop one que los metales están constituid os por Un resto de iones p ositivos esencialmente estáticos que están regularmente d istribuidos + Conjunto d e electrones de valencia que vagan libremente p or el metal. Estos electrones forman un gas clásico. Aplicando las ideas de la teoría cinética d e los gases, se supon e que los electrones de este gas clásico están en constante agitación térmica (con u n m ovimiento d e desplazam iento neto nulo). La interacción entre el gas d e electrones y los restos iónicos se realiza med iante choq ues elásticos continu os d ebido al m ovimiento térm ico caótico d e los electrones. Siguiendo el razonamiento presentado en el Apartado 3.2, el cálculo sobre la velocidad térmica promedio, v T , d e estos electrones puede hacerse al considerar que

 E  = 32 k T c

B

y

 E  = 12 m v 2 . c

e T

Al igualar las dos expresiones anteriores, encontram os qu e v T

=



= [ T

3k B T

(4.10)

me

≈ 300K] ∼ 105 m/ s .

En presencia de un campo eléctrico externo, E , los electrones ad quieren obviamente una aceleración, a = eE / m e. No obstante, estos electrones su frirán continuos choqu es contra los restos iónicos, lo que provocará un a desaceleración continuad a. El efecto combinado del campo externo junto con estos choques da lugar a un movimiento de d esplazamiento que en promed io es un iforme y caracterizado por cierta velocidad de arrastre, v a (sup erpuesta a la anterior velocidad

−

Apuntes de CF

FLML

4.2. Modelo clásico del electrón libre

67

térmica). Un cálculo aproximado de esta velocidad de arrastre de los electrones nos d ice qu e v a = a τ =

− emE τ ,

(4.11)

e

siendo τ el tiempo promedio entre colisiones. Dado que la densidad de corriente, J, pu ede escribirse como J = n(

−e)v

a

=

ne2 τ me

E

,

(4.12)

se encuen tra qu e ésta es prop orcional al camp o ap licado, justificánd ose de este mo d o la expresión (4.3) pa ra la ley de Ohm . El coeficiente de proporcionalidad entre J y E nos proporciona la siguiente expresión par a la cond uctividad eléctrica: σ =

ne2 τ

.

me

(4.13)

Conductividad eléctrica según modelo de Drude

E JEMPLO 4.1 Estimación de la velocidad de arrastre Sea una situa ción típica en la qu e un cond uctor filiforme de Cu es recorrido por un a intensidad I = 100 mA, siend o la sección del conductor S = 1mm 2 = 10−6m 2 y la masa atómica y la densidad del cobre: A = 64, ρ = 9 g/ cm 3 .

S

I Conductor de Cu

Dado que J =

I = nev a S

,

encontramos que la velocidad de arrastre pu ede expresarse como va =

I Sne

.

La única magnitud que no conocemos en este problema es la densidad de electrones libres en el Cu. Para ello considérese qu e n

≡ número de e− en 1 m 3 = ν · N · núm ero de moles en 1 m 3 , A

donde ν es el número de electrones de valencia (que en el caso del Cu es 1). El nú mero de m oles por m 3 , χ, puede calcularse como masa d e 1 m 3 ρ(gr/ m 3 ) = . χ = masa d e 1 mol A Para la densidad de electrones en el Cu obtenemos entonces que n=

1 6,023

·

6

× 1023 · 9 ×6410 ≈ 8,47 ×1028 m −3 ,

por lo que la velocidad de arrastre será va =

FLML

8,47

×

1028

0,1 1,6 10−19 10−6

· ×

·

≈ 7,4 µm/ s . Apuntes de CF

68

Capítulo 4. Electrones libres en metales Pued e comp robarse que el valor obtenido d e la velocidad d e arrastre de los electrones es mucho menor que el que se obtuvo para su velocidad térmica —ver expresión (4.10). En multitud de casos puede, por tanto, concluirse qu e

Veloc. arrastre

va

 Veloc. térmica

v

T

4.2.2. Dependencia con la temperatura La expresión (4.13) ofrecía el valor d e la cond uctividad en fun ción d e la d ensidad d e porta dores de carga, n , y del tiemp o prom edio entre colisiones, τ . Podemos, por tanto, obtener una expresión más detallada de σ si previamente estimamos el valor d e τ . Para ello, debemos considerar qu e el tiempo entre colisiones, τ , vendrá determinado por el cociente entre la distan cia prom edio entre colisiones, L 0 (en este modelo L0 distancia entre iones de la red) y la velocidad de los electrones. Dad o que la velocid ad térm ica es generalmen te mucho m ayor qu e la velocid ad d e arrastre (ver Ejemp lo 4.1), considerarem os qu e la velocidad de los electrones pu ede aproximarse con buena precisión por la velocidad térmica, por lo que tend remos que

∼

τ =

L0 v T

=

L0

3k B



me

,

(4.14)

T

d ond e se ha u sado la expresión (4.10) par a v T en función de la temp eratura. Al introducir (4.14) en (4.13) se obtiene finalmente que 2

ne L0 σ = √ 3k m B

T −1/ 2

.

(4.15)

e

La expresión anterior nos permite obtener la conductividad eléctrica d e los metales en función de la den sidad d e portad ores, d e la distancia prom edio entre colisiones y d e la temperatu ra d e trabajo. En concreto nos d ice que la cond uctividad disminuye si la temp eratura aum enta, d e acuerd o con la observación experimental hecha p ara los metales. E JEMPLO 4.2 Obtenga la conductividad del cobre a temperatura ambiente sabiendo que n = 9 1028 m−3 y L0 = 3,6 Å.

×

Teniendo en cuenta los datos anteriores y usando la expresión (4.15) tenemos que σ =

≈ Apuntes de CF

9 1028 (1,6 10 −19 )2 3,6 10 −10 3 1,38 10 −23 9,1 10 −31 0,78 107 (Ω·m )−1

×

 · · ×

× ×

· × · ×

× 300−1/ 2

FLML

4.3. Modelo cuántico del electrón libre

69

4.2.3. Fallos del modelo de Drude Aun qu e el mod elo clásico del electrón libre pu do explicar d e forma cualitativa la forma de la ley de Ohm y la disminución de la conductividad al aumentar la temperatura (y algunas otras cuestiones que n o se han tratado aqu í), este mod elo no es tod avía mu y satisfactorio dad o qu e presenta los sigu ientes fallos: Sólo es aplicable a m etales (cond uctores), de m od o qu e no p red ice el diferente com portam iento de los condu ctores y semicond uctores/ aislantes. Predice un comp ortamiento d e la cond uctividad de los m etales con la temperatura del tipo σ (T ) = σ 0 T −1/ 2 , que no explica el comportamiento experimental, σ (T ) T −1 , encontrado p ara los conductores.

∼

La expresión (4.15) predice resultad os pa ra la cond uctividad más bajos que los obtenidos experimentalm ente. No explica la aparente presencia de cargas positivas (predicha por el efecto Hall) como p ortad ores de carga en algu nos m etales. Aun que n o se ha tratado aqu í, es también conveniente señalar qu e este mod elo predice un calor específico (C v = dE / dT ) para los metales mucho mayor (del orden de 10 4 veces) que el observado experimentalmente.

4.3. Modelo cuántico del electrón libre Debido a las inexactitudes del modelo clásico del electrón libre, Somm erfeld desarrolló posteriormente un mod elo basado en la teoría cuántica p ara d escribir el com portam iento d e los electrones libres. Básicamen te, el mod elo cuán tico d el electrón libre sigue el m od elo de Drud e respecto a las hipótesis que hace del sólid o pero introdu ce dos imp ortantes consideraciones respecto a los electrones: 1. Los electrones d eben ser considerad os como entes cuánticos.

E p

2. Los electrones obedecen el principio de exclusión d e Pauli. Estas consideraciones imp lican qu e el conjun to d e electrones debe ser considerad o ahora como u n gas cuántico (también conocido como gas de Fermi) en vez d e un gas clásico tal como se h acía en el anterior modelo clásico.

Modelo monodimensional de la E p de los e- en el interior del conductor.

El hecho de considerar ahora el conjun to d e electrones como un gas cuántico se man ifiesta en qu e su tratam iento estadístico, realizad o mediante d N ( E ) = g( E ) f ( E ) d E , FLML

Apuntes de CF

70


hace u so de u na función d ensidad de estados, g( E ), y una función distribución, f ( E ), d istintas a las u sadas p ara d escribir el gas clásico. (Según se vio en la expresión (3.9), la función distribución del gas clásico era la de Maxwell-Boltzmann).

4.3.1. Función densidad de estados La función densidad de estados, g( E ), para los electrones considerad os como entes cuánticos ya fue estudiada en el Ap artado 2.2.3 cuand o se estudiaron los niveles energéticos de u na p artícula cuán tica en un pozo tridimensional. Según se vio, los electrones estarían caracterizados p or un a terna d e nú meros cuánticos (n x , n y , n z ), que d ebido a la degeneración de los niveles de energía daba lugar a la siguiente función degeneración o función densidad de estados: g( E ) =

π

con E 0 =

E 1/ 2

(4.16)

4 E 03/ 2

¯ 2 π 2 h 2m e a2

.

Si tenemos también en cuenta el spin (ver Ap artad o 2.4.2) junto con su correspon d iente nú mero cuá ntico, m s , los electrones de cond ucción en el mo delo de Somm erfeld vend rán finalm ente caracterizad os por la siguiente cuaterna de números cuánticos Números cuánticos del electrón en el modelo de Sommerfeld

(n x , n y , n z , m s )

La introdu cción de este nu evo nú mero cuántico introdu ce una n ueva doble degeneración (que no fue tenida en cuenta en el Apartado 2.2.3), de m odo qu e la fun ción densidad de estados que d ebe usarse será la dada en (4.16) multiplicada por 2, esto es,

g(E )

g ( E ) =

π

2 E 03/ 2

E 1/ 2

(2m e )3/ 2 V 1/ 2 = E 2¯h3 π 2 =

E

8π V (2m 3e )1/ 2 h3

E 1/ 2

(4.17) ,

donde V es el volum en d el sólido .

4.3.2. Distribución de Fermi-Dirac En al Apartad o 3.2 ya se discutió qu e la fun ción d istribu ción p ara el gas clásico de electrones venía dada por f MB ( E )

∼ e− /

E k B T

(gas clásico ) .

(4.18)

Para el presente caso de u n gas cuántico de electrones, la introducción d el carácter cuán tico del electrón jun to con el prin cipio de exclusión de Apuntes de CF

FLML


71

Pauli nos condu ciría a la fun ción distribución d e Ferm i-Dirac, cuya forma m atemática es exp



E

fFD(E ) 1

1

f FD ( E ) =

f FD ( E ),

− E

F

k B T



,

(4.19)

+1

T=0K

½ T >0K

siendo E F la energía de Fermi que pu ede definirse, para nu estros propósitos, como el valor de en ergía para el cual la fun ción d istribución vale 1/ 2.

E F

E

Es interesante notar qu e toman do el límite p ara valores altos de la energía ( E E F ), el término exponencial es mu cho mayor que la un idad en el denom inador de (4.19) y, en consecuencia, la d istribución d e Ferm i-Dirac se hace básicamen te idéntica a la d istribución d e Maxwell-Boltzmann:



f FD ( E )

 f ( E ) . −−−→ MB E E F

(4.20)

Si analizamos con d etenimiento la d epend encia de (4.19) con respecto a la temp eratura, nos encontram os con qu e a T = 0K, la función distribución d e Fermi-Dirac equivale a la sigu iente fun ción escalón : f FD ( E ) =



1 si 0 si

E < E F E > E F ,

(4.21)

esto es, tod os los estados presentan probabilida d u nid ad d e ocupa ción si E < E F y probabilidad nula si E > E F . Podemos comprobar que esta propiedad apenas varía con la temperatura, excepto en la región donde E E F  4k B T , pu esto que fuera d e esa región f FD ( E ) toma valores muy p róximos a 0 o bien a 1. Teniend o en cuen ta el hecho d e que la en ergía de Fermi para la mayoría de los conductores y semiconductores a temperatura amb iente se encuen tra qu e es 1eV < E F < 8eV y qu e

| − |

k B T (300

K)

≈ 0,025 eV ,

8kT

1

T=0K ½ T >0K E F

E

(4.22)

podemos observar que la función f FD ( E ) sólo mostrará cambios apreciables (respecto a su comportamiento para T = 0 K) para temperaturas mu y altas, T  3000K. Esto implicará que en muchos casos de interés práctico (por ejemp lo, a temp eratura am biente), en vez d e usar la expresión complicada (4.19) puede usarse directamente la función escalón (4.21). Bajo las condiciones anteriores, la distribución de portadores de carga con respecto a la energía, d N / d E , muestra entonces que a T > 0K existen pocos electrones con energías mayores que E F . Esto qu iere decir que a temperatura ambiente y similares, la distribución de energía es básicamente la misma que la que se encuentra a T = 0 K. Físicamente, esto implica qu e un aum ento m oderado de la temp eratura respecto a T = 0 K tiene m uy poco efecto en el gas cuántico d e electrones. FLML

fFD(E )

T=3000K k BT-E F E F dN dE T=0K

T >0K E

Apuntes de CF

72


Cálculo de la energía de Fermi Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores respecto a la dependencia con la temperatura de la distribución de Fermi-Dirac, encontramos qu e en mu ltitud d e situaciones prácticas pod emos escribir d N ( E ) = g( E ) f FD ( E )d E

≈ g( E )

·

1 si 0 si

E < E F E > E F

·

d E . (4.23)

Si aplicam os la expresión anterior a un m od elo simp le de un cond uctor, encontraríamos que el nú mero total de electrones, N , en el condu ctor vend ría dad o por ∞

N =

 d

N ( E )

0

E F

 ≈ 0

d N ( E ) = N ( E F ) ,

(4.24)

es decir, el nivel de Fermi, E F , puede identificarse con el máximo valor de la energía correspond iente a un estado ocupad o, existiend o como m áximo d os electrones en cada nivel d e energía.

Dad o qu e el nú m ero de electrones con energías E cisamen te todos los del cond uctor, encontram os que

≤ E

F

serán pre-

N ( E F ) = nV .

Por otra par te, teniend o en cuenta (4.23), mo N ( E F ) =

=

E F

  0

E F

0

(4.25) N ( E F )

pu ede calcularse co-

g( E ) d E

8π V (2m 3 )1/ 2 h3

E 1/ 2 d E =

8π V (2m 3 )1/ 2 2 3/ 2 E . (4.26) 3 F h3

Igualand o ah ora los resultados de las expresiones (4.25) y (4.26), podemos concluir que Energía de Fermi en un conductor

E F =

h2

2m e

3n 8π

 

2/ 3

.

(4.27)

Puede comp robarse qu e p ara los m etales típicos (n 10 28 m −3), los valores de la energía de Fermi se encuentran entre E F 2 8 eV, tal como se supu so anteriormente.

∼ ∼ −

Cálculo de la energía promedio de l gas de Fermi El cálculo de la energía prom edio d e los electrones del gas d e Fermi p ued e realizarse a p artir d e la expresión encontrada p ara d N ( E ) Apuntes de CF

FLML


73

med iante el siguiente cálculo: ∞

 E  = c

 d  d

E F

E N ( E )

0

=

∞

0

N ( E )

  0

E CE 1/ 2 d E

E F

0

CE 1/ 2 d E

=

3 E 5 F

(4.28)

( EdN pu ede interpretarse com o la energía de aqu ellas partículas cuy os estados de energía están comprendidos entre E y E + dE ). Si queremos encontrar la temperatura, T gF , a la cual la en ergía de un electrón en un gas clásico (3/ 2k B T gF ) sería igual a la energía obten ida previam ente en (4.28) par a u n electrón en u n gas cuántico, entonces al igu alar ambas energías 3 3 k B T gF = E F 2 5 encontramos qu e

2 E F . 5k B Pued e comprobar se que esta temp eratur a es d el orden d e 10 4 K, lo qu e explicaría porqu é un a um ento de la temp eratura d el gas de Fermi apenas variará su energía promed io y por tanto el valor d el calor específico de este gas es tan bajo (con respecto al predicho por el mod elo de Drude, en el cual un aumento de la temperatura del gas sí tiene un efecto m uy apreciable sobre el valor de la en ergía promed io). T gF =

4.3.3. Conducción eléctrica En el contexto d el mod elo cuán tico d el electrón libre, la dinám ica de los electrones no v iene regida p or las colisiones d e los portad ores con los restos iónicos sino que, p or el contrario, la dinám ica de los electrones estará determ inad a por el proceso de propagación de la función de onda asociada a los electrones en el entorno constituido por los restos iónicos. En pr incipio caben señalarse varios p un tos: Al contrario d e lo ocurre en los procesos térmicos, en el p roceso de conducción eléctrica participan todos los electrones del gas de Fermi. Esto se debe a la posibilidad que tienen todos los electrones de au mentar d e forma coherente su energía y por tanto d e desplazarse a un nivel de energía superior sin por ello violar el pr incipio d e exclusión. Al estudiar la d inámica d e los electrones sometidos a u n campo eléctrico externo, el fenómeno ondulatorio análogo a lo que antes se visualizó como colisiones vendrá ahora dad o por la dispersión de la ond a electrónica p or los iones, es decir, por las reflexiones d e Bragg d e la ond a electrón ica en su interacción con la red cristalina. No obstan te, par a situaciones típicas, se encuen tra FLML

Apuntes de CF

74


qu e no se da n las cond iciones para qu e se prod uzcan estas reflexiones y, por tanto, los electrones podrían vagar libremente por la red sin qu e ésta les ofreciera resistencia algu na (lo qu e da ría lugar a un valor de conductividad infinito). El origen de un a condu ctividad finita no se debe entonces al proceso anterior de choqu es sino qu e surge fruto d e la dispersión d e las ondas electrónicas por las imperfecciones (impurezas y vibraciones térm icas) en la period icidad d el cristal. En par ticular, el efecto más imp ortante p roviene de las vibraciones térm icas d e los iones en la red. El efecto d e estas vibraciones es aumentar la sección eficaz de los iones dan do lugar a un a d ispersión apreciable. Los cálculos muestran que el camino libre medio entre colisiones viene da do p or L0 ∝ T −1

,

(4.29)

lo que implica qu e σ ∝ T −1 , en acuerdo con la observación experimental.

4.3.4. Fallos del modelo de Sommerfeld A p esar de los éxitos de este mod elo al explicar el diferente com por tamiento térmico y eléctrico d e los electrones así como la correcta dep endencia de la cond uctividad con la temp eratura, algunos d e los pu ntos que este mod elo no explica son: Existencia de conductores y semiconductores/ aislantes y porqué presentan comportamientos cualitativos distintos respecto a la temperatura. Gran d epend encia de las propiedad es de condu cción d e los semicond uctores respecto al num ero de imp urezas añadid as. Existencia aparente d e portad ores de carga p ositiva, tal y como señala el efecto Hall en algun os metales y semicond uctores dopados.

4.4. Problemas propuestos 4.1: Para un hilo de cobre cuya área transversal es 5 mm 2 : a) ¿cuál debería ser la intensidad de corriente qu e lo recorriese para que la v elocidad de arrastre d e los electrones fuese igual a la velocidad térmica a temperatura ambiente?; b) discuta si se seguiría cump liend o en las anteriores cond iciones la ley d e Ohm . 4.2: Usando para el cobre los siguientes valores: a = 3,7Å y v (300K) = 1,08 105 m/ s, calcular la resistividad a T = 300, 200 y 100 K. Sol. ρ(300K) = 1,22 10−7 Ω m; ρ(200K) = 9,96 10−8 Ω m; ρ(100K) = 7,05 10−8 Ω m.

×

×

Apuntes de CF

·

×

·

×

·

FLML


75

4.3: ¿En qué intervalo de energía, expresado en unidad es de bución de Fermi-Dirac cambia de valor 0.90 a 0.10? Sol.:4,4 k B T .

k B T ,

la función d istri-

4.4: Estimar la fracción de electrones libres en el cobre que están excitados a temperatura am biente. E F (Cu)=6.95 eV. Sol.: 1 % . 4.5: Calcular la energía de Fermi y la temp eratura d e Fermi p ara el oro y el h ierro sabiendo que la densidad electrónica es n (Au ) = 5,90 × 1022 cm −3 y n (Fe) = 17 × 1022 cm −3 . 4.6: Considere un sistema con N partículas que ú nicamente d ispone de d os estados d e energía accesibles: E 1 = E y E 2 = − E . Si la probabilidad de ocup ación d e un n ivel de energía a temperatura T viene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann f = e − E / ( k B T ) , calcule a) la proporción de partículas, N 1 / N 2 , en los n iveles E 1 y E 2 , b) la cantidad de partículas en cada nivel de energía y c) la energía total d el sistema U . Sol.: a) N 1 / N 2 = e −2 E / kT ; b) como N = N 1 + N 2 , N 1 / N = 1/ (1 + e2 E / kT ), N 2 / N = e2 E / kT / (1 + e2 E / kT ); c) U = N 1 E 1 + N 2 E 2 = − N E tanh ( E / kT ). 4.7: En la distribución de Fermi si ∆ E = E E F , calcule f FD ( E ) para ∆ E = 2k B T , 4k B T , 10k B T . ¿Qué conclusiones pued e extraer de los anteriores resultad os?.Dem uestre igualmente que f FD ( E F ∆ E ) = 1 f FD ( E F + ∆ E ) y discuta los resultados.

−

−

−

4.8: A una tem peratu ra de 300 K ( E F = 5,1eV): (a) ¿cuál es la probabilidad de qu e un estado esté ocup ado p ara energías de 5 y 6 eV?;(b) ¿a qué temp eratura la probabilidad de ocup ación d el estado d e energía E = 5,2eV es de 0.1? Sol.: (a) 0.979, 7,08 10−16 ; (b) T = 528K.

×

4.9: Sabiendo que la energía de Fermi para el cobre es de 7.0 eV, determínese a 1000 K : (a) la energía a la que la probabilidad, f F ( E ), del estado que ocupará un electrón d e cond ucción sea d e 0.9; (b) la función d istribución d e estados o d ensidad de estados, g( E ), por unid ad d e volumen; y (c) la función de distribución de p artículas dn ( E ) = g( E ) f FD ( E ). Sol.: 6.81 eV; 1,79 1028 m −3 eV −1 ; 1,6 1028 m −3 eV−1 .

×

×

4.10: Un cubo muy pequeño de Cu tiene 0.1 mm de lado. ¿Cuántos electrones de condu cción contiene qu e posean energías comp rendid as entre 5 y 5.025 eV? Sol.:3,8 1014 electrones.

×

4.11: El magn esio es un metal bivalente con un peso atóm ico d e 24.32 g/ mol y u na den sidad d e 1.74 g/ cm −3 . (a) ¿Cuál es la densidad de electrones libres?; (b) ¿Cuál es la energía de Ferm i?;y (c) ¿Cuál es la longitu d d e ond a de De Broglie de los electrones en el nivel d e energía de Fermi?. Sol.: (a) 8,4 1028 m −3 ; (b) E F = 7,07 eV; (c)λ = 4,62 Å.

×

4.12: Los niveles energéticos electrónicos en u n p ozo infinito de p otencial tridim ensional están dados por la expresión: E (n 1 , n 2 , n 3 ) = E 0 (n 21 + n 22 + n 23 ). Encontrar las d iferencias fraccionales, [ E (n i, n j , n k ) − E (n i , n j , n k )] / E (n i , n j , n k ), en la energía entre los pares de estados dados por:(a) E (1,1,1) y E (1,1,2); (b) E (10,10,10) y E (9,10,11); y (c) E (100, 100, 100) y E (99,100,101). (d) ¿Qué conclusión puede ser deducida de estos resultad os? 4.13: Si adm itimos que, según la teoría cuántica del electrón libre, la energía med ia de u n electrón el cobre viene dad a por

 E  = 35 E + π 4 k E T k T , 2

F

FLML

B

F

B

Apuntes de CF

76

Capítulo 4. Electrones libres en metales calcule dicha energía a temperatura ambiente ( E F = 7,03eV) y compare el anterior valor con la energía med ia a T = 0K y con el valor clásico 3 k B T / 2. Sol.:  E (300K) = 4,2182 eV,  E (0 K) = 4,2180 eV, 3 k B T / 2 = 3,88 × 10−2 eV. 4.14: Si consideramos a la velocidad de Fermi, definid a como v F =

2 E F

  me

1/ 2

, como

aquella que adqu ieren los electrones de condu cción en el gas d e Fermi, calcule el recorrido libre m edio, l, de los electrones en el oro sabiend o qu e E F = 5,53 eV y ρ = 2,04 µΩ · cm. Compare este valor con la distancia prom edio entre átomos y d iscuta el resultado. Sol. l= 414Å. 4.15: Calcule la energía d e Fermi (el valor d e la energía del ú ltimo estado lleno a 0 K) para un condu ctor “m onodimensional” qu e consta de 23 electrones en un pozo d e potencial monod imensional de paredes infinitas y anchura 6 Å. Tenga en cuenta qu e el principio de exclusión p rohíbe la existencia d e más d e dos electrones en el mismo estado cuán tico. Sol. E F = 149,4eV. T =

Apuntes de CF

FLML

Capítulo 5

Electrones en una red periódica 5.1. Modelo cuántico del electrón ligado En los d os mod elos expu estos en el tema anterior se supu so que los electrones de cond ucción en los sólidos eran libres, o equivalentemen te que su energía potencial en el interior d el sólido era constante. No obstante, las carencias de los mo delos basad os en esta sup osición (válidos ú nicamente par a explicar prop iedad es de los metales) nos sugiere que el m od elo del electrón libre d ebe revisarse. Un p osible paso ad elante que sup era este mod elo debe tom ar en consideración la interacción electrostática de los electrones con la estructura cristalina del sólido. Puesto que la aparición de este potencial periódico proviene del efecto conjunto de todos los iones positivos de la red (que están regular y periód icamen te distribuidos), esta interacción qu edaría d escrita en el modelo admitiendo que Gas cuántico de electrones está sometido a un potencial periódico, esto es, (5.1) E p (r) = E p ( r + T) , donde T es un vector traslación d e la red cristalina (ver Apa rtad o 3.3). Para una red finita monodimensional de periodo a, la Figura 5.1 muestra el aspecto de este potencial. La forma rigurosa de abordar el problema anterior requiere la resolución de la ecuación de Schrödinger teniendo en cuenta el hecho de que el potencial es periódico. Para el caso monodimensional esto implicaría resolver la siguiente ecuación:

−

2

d 2ψ + E p ( x )ψ = E ψ 2m e d x 2 ¯ h

siendo E p ( x ) = E p ( x + a)

77

.

(5.2)

E p ( r) = E p ( r + T)

78

Capítulo 5. Electrones en una red periódica E p

a

r

2

e E p=-K r

(a)

(b) F IGURA 5.1: (a) Energía potencial (o, simplemente, potencial) debida a la interacción culombiana de un electrón con un ion positivo. (b) Potencial de un electrón en una red monodimensional de iones positivos.

Esta tarea fue llevada a cabo por Bloch, quien encontró que la función de onda de un electrón en la red periódica monodimensional debía ser del tipo ψ( x ) = u k ( x )e ± jkx (5.3) con u k ( x ) = u k ( x + a)

,

que puede verse como la función de onda del electrón libre (e ± jkx ) modulada por una función u k ( x ) que presenta la misma periodicidad que la red. Operand o con este tipo d e funciones de on da encontraríamos qu e los niveles de energía del sólido se agrupan en bandas de energía, según nos muestra la relación E k en la Figura 5.2(a). La energía

↔

F IGURA 5.2: (a) Relación de dispersión E ↔ k para un electrón que se mueve en un a red p eriódica monodimensional de periodo a. (b) Diagrama simplificado de bandas de energías permitidas y prohibidas.

es una función continua en ciertos intervalos de k que experimenta “saltos” para determinados valores del número de ondas

E = E (k )

Apuntes de CF

FLML

5.1. Modelo cuántico del electrón ligado

79

(k = n π / a). Las bandas permitidas mostradas en la Figura 5.2(b) nos

ind ican aq uellos valores de energía qu e pu ede tener el electrón mientras que las bandas prohibidas señalan los valores de energía que no pueden ser tomados por el electrón.

5.1.1. Aproximación de fuerte enlace El desarrollo matemático que llevaría a la verificación de la existencia d e band as d e energía qued a fuera d el alcance del presente tema, por lo qu e optaremos por ded ucir la existencia d e band as de energía en los sólidos a p artir d e un a versión elemental de la aproximación de fuerte enlace. Esta aproximación consiste básicamente en sup oner qu e las fun ciones d e ond a d e los electrones en los átomos qu e form an el sólido apenas se extiende más allá de los límites de cada uno de estos átomos. En el marco de esta aproximación, un a m anera sen cilla d e visualizar el efecto del potencial periód ico en la formación de las ban da s de energía consiste en determ inar los niveles energéticos de los electrones en u n sólido p artiendo d e los niveles energéticos de los átomos ind ividuales y observando cómo varían estos niveles cuando los átomos se aproximan lo suficientemente como para formar un sólido. Dado que este estud io es tod avía comp licado (debid o a lo comp lejo d el potencial que siente un electrón en el átomo), partiremos de una situación más simp le que mod ela en lo básico la situación an terior y que consiste en el estud io de la variación d e los niveles de energía d esde un pozo d e poten cial monod imensional simple finito hasta el caso del pozo d oble finito cuan d o dism inuy e la distancia entre los pozos. Pozo doble de potencial finito En el caso d e un ún ico p ozo d e potencial finito, las d os primeros niveles de energía, E 1 y E 2 , están relacionados con las funciones de ond a m ostrad as en la Fig. 5.3. a)

b)

E 1

E 2

F IGURA 5.3:Fu nción de onda asociada con (a)estad o fun dam ental y (b) primer estado excitado de una partícula en un pozo de potencial finito.

Para el caso d el pozo doble de potencial finito (Fig. 5.4a), un electrón en el estado fundam ental que esté el pozo 1 tendrá u na función FLML

Apuntes de CF

80

Capítulo 5. Electrones en una red periódica

de onda, ψ1 ( x ), que sólo será distinta de cero en las proximidades de d icho pozo (Fig. 5.4b). Análogamente ocur riría para un electrón en el estado fund amen tal que estuviese en el pozo 2 al que le correspon dería una función d e onda ψ2 ( x ) (Fig. 5.4c).

F IGURA 5.4: (a) Pozo doble finito monodimensional. (b) Función de onda asociada de un electrón que está en el pozo 1 en el estado fundamental. (c) Función de onda asociada de u n electrón que está en el pozo 2 en el estado fun dam ental. (d) Función de on da simétrica que representa a u n electrón qu e pu ede estar con igual probabilidad en ambos pozos. (e) Densidad de probabilidad asociada con el caso anterior. (f) Función de onda antisimétrica que representa a un electrón que puede estar con igual probabilidad en am bos pozos. (g) Densidad de p robabilidad asociada con el caso anterior.

Si ahora se considera el caso de u n electrón q ue p ud iese estar con igual probabilid ad en cualquiera de los dos pozos, la fun ción de ond a, ψ( x ), que represente este sistema d ebe tener las siguientes propieda des:1 1. ψ( x ) debe reflejar el hecho d e qu e la partícula se encuen tre con igual probabilidad en ambos pozos, por lo que la densidad de 1 Debe

tenerse en cuenta qu e si ψ( x ) es una función de onda correspondiente a un nivel de energía E cuya densid ad de prob abilidad asociada es | ψ( x )| 2 , − ψ( x ) también será solución de la ecuación de Schrödinger y tendrá asociados los mismos valores de energía y densidad de probabilidad que la función ψ( x ).

Apuntes de CF

FLML


81

probabilidad, ψ( x ) 2 , debe ser simétrica con respecto al punto med io de los dos p ozos.

|

|

2. ψ( x ) d ebe presentar un asp ecto similar en aqu ellas regiones correspon d ientes al caso de un electron localizado en u n ú nico pozo. Teniend o en cuenta las anteriores consideraciones encontram os qu e sólo existen dos posibilidades compatibles, dando así lugar a la función d e ond a simétrica, ψS (Fig. 5.4d), y antisimétrica, ψ A (Fig. 5.4f): ψS = C (ψ1 + ψ2 ) ψ A = C (ψ1 ψ2 ) .

−

Si la distancia entre los pozos es considerable, la forma de ψS ( x ) 2 (Fig. 5.4e) y d e ψ A ( x ) 2 (Fig. 5.4g) es mu y pa recid a por lo qu e la energía de los estados que representan tend rán m uy aproximad amente el mism o valor, E S E A , y diremos q ue existe degeneración.

|

|

|

|

≈

Cuan d o la distancia entre los pozos disminu ye, siguiend o los mismos criterios anteriores, la forma de las funciones de onda simétrica y antisimétrica se mod ificará tal como mu estra la Fig. 5.5 Pued e verse

y A

yS

2

|yS |

2

|y A|

E S = E A

F IGURA 5.5: Forma de las funciones d e ond a simétrica y antisimétrica cuando los pozos d e potencial finito se aproximan.

qu e la función de ond a simétrica, ψS , presenta par a este caso un a forma similar a la función de onda correspondiente al estado fundamental del pozo simp le finito de anchu ra d oble (Fig. 5.3a) y, análogam ente, la función de onda antisimétrica, ψ A , es similar a la función de onda del primer estado excitado del pozo simple finito de anchura doble (Fig. 5.3b). Dado que las funciones del pozo simple correspondían a diferentes niveles de energía, pu ede concluirse qu e Al acercar d os sistemas indep end ientes idénticos (con la m isma energía) se rompe la d egeneración de los dos estad os correspond ientes a estos sistemas y ap arecen d os niveles de energía diferente.

FLML

Apuntes de CF

82


5.1.2. Bandas de energía A partir del principio básico enunciado anteriormente podemos ahora analizar los cambios en los niveles de energía del electrón en un sistema con dos átomos. Tal como muestra la Fig. 5.6, en este caso, se observaría qu e los niveles de energía de los electrones má s internos (nivel E 1 ) apen as sufrirían cambios mientras que los niveles de energía d e los electrones de las capas m ás externas (nivel E 2 ) sí que su frirían un desdoblamiento. Este hecho se debe a que los electrones más internos apenas serían afectados p or la p resencia d el otro átomo dad o qu e su “entorn o de p otencial” apenas va ría con respecto a la situa ción en la q ue se encontraban en cada átomo individual. Por el contrario, el “entorno de potencial” de los electrones externos en el sistema de dos átom os es sustancialmente d istinto al que había en un ún ico átomo. El mayor cambio en los niveles energéticos de los electrones m ás externos pu ede también interpretarse a p artir d el efecto túnel. Debid o al efecto túnel esperam os qu e los electrones d e las capas má s externas dejen de estar localizados estrictamente en el entorno de cada átomo ind ividu al y pasen a forma r parte del sistema en su conjunto, mientras qu e es mu y poco probab le que los electrones de las capas m ás internas atraviesen las barreras de potencial que los rodean . a

E

E 2

E 2

E 1 E 1

a

distancia interatómica

F IGURA 5.6: Modificación de los niveles energéticos asociados a los electrones externos de un sistema de 2 átomos

El fenómeno d e desdoblamiento observado p ara dos átomos p ued e claramente extend erse a un sistema d e más átomos (por ejemp lo 5, tal como m uestra la Fig. 5.7). En este caso encon trarem os qu e por cad a nivel original de las capas d el átomo ind ividu al aparecerán ah ora tantos niveles como átom os haya en el sistema mu ltiatómico. Igua lmente observam os cóm o los niveles de las capas m ás externas (nivel E 2) sufre un d esdoblam iento más amp lio qu e el correspon d iente a las capas má s internas (nivel E 1). Si este modelo se sigue extendiendo hasta completar el número total de átomos d el sólido ( n 1028 m −3 ), los niveles discretos de energías (correspond ientes al “desp liegue” d e los niveles originales de los átomos ind ividu ales) aparecerían ahora tan cerca qu e d arían lugar a un a configu ración cua sicontinu a d e niveles energéticos. Debido a esta

∼

Apuntes de CF

FLML


83

a

E E 2

E 2

E 1

E 1

a

distancia interatómica

F IGURA 5.7: Modificación de los niveles energéticos asociados a los electrones externos de un sistema monod imensional de N átomos

naturaleza cuasicontinua de la energía, se d ice qu e la configuración energética d el sólido m uestra bandas de ene rgía (ver Fig. 5.8). E 3 s

2N

3s

6N

2p

2 p

2N

2s

2 s

E

2N

Banda 1s

1 s

F IGURA 5.8: Aparición de bandas de energía fruto de la pérdida de degeneración de los niveles energéticos asociados a los electrones de un sólido

Debido a que las propiedades físicas de los sólidos dependen básicamen te de la configu ración d e las últimas ban d as de energía, éstas serán la de m ayor interés para la condu ctividad eléctrica. La denom inación usu al para estas últimas band as es la sigu iente: Banda de Valencia (BV): es la ban d a d e energía má s alta conteniend o electrones. Bandas Prohibid as (BP):corresponden a aquellos valores de energía en los cuales no ha y niveles permitidos. Banda de Conducción (BC): Si la BV está parcialmente llena, esta band a se d enomina band a d e cond ucción y si la BV está totalmente llena (a T = 0 K) entonces la BC será aqu ella band a inocup ad a inmed iatamente su perior a la BV. Debe notarse que la anterior d iscusión sobre la form ación d e bandas se basa en un modelo simplificado monodimensional que no ha FLML

Apuntes de CF

84


tenido en cuen ta las características tridimen sionales del cristal. Cuand o éstas se tienen en cuenta, la form ación d e band as de energía pu ede presentar algunas variaciones importantes respecto al modelo simple presentad o anteriorm ente. En concreto cabe d estacar el fenóm eno d e hibridación d e band as, que consiste en la existencia de band as de energía formadas combinando niveles de energía procedentes de diferentes niveles originales.

5.2.

Aislantes, Semiconductores y Conductores

El modelo de bandas expuesto anteriormente podrá explicar satisfactoriamen te la existencia de condu ctores y semicondu ctores/ aislantes. Debe notarse que para que los electrones respondan al campo eléctrico externo (y por tanto contribuyan a la corriente eléctrica), éstos deben pod er ganar energía y situarse en estados energéticos superiores. En consecuen cia, sólo aqu ellos electrones qu e p osean estad os sup eriores pr óximo s disp onibles vacíos y permitidos respond erán a la acción del campo eléctrico externo. Siguiendo este mismo razonamiento p odemos igualmente concluir qu e aqu ellos electrones cuyas energías correspondan a las de una banda completamente llena N O contribuirán a la corriente, Jbanda llena = 0 .

(5.4)

Esto imp lica qu e los ún icos electrones qu e p articiparían en el p roceso d e cond ucción eléctrica serán aqu éllos situad os en las band as sup eriores (d ad o qu e las band as inferiores estarán totalm ente llenas). Para explicar el comportamiento eléctrico de los sólidos distinguiremos dos situaciones en función de la temperatura: T = 0 K y T > 0 K. A T = 0 K, un sólid o qu e tenga la BV llena será un aislante debido a que los electrones en dicha BV no pueden desplazarse hacia niveles más altos de energía en d icha band a bajo la acción de un camp o eléctrico externo . La existencia d e la BP, en principio, impediría que estos electrones pudieran desplazarse hacia la BC. Por el contrario, si la BV está parcialmente llena, entonces los electrones pu eden d esplazarse hacia niveles más altos d e energía en el interior de dicha banda y el sólido se comportará como u n conductor. Un aislante cuya BP sea relativamente pequeña se denominará semiconductor, aunque a T = 0K, tanto el aislante como el semiconductor se comportan como aislantes perfectos. Las situaciones d escritas anteriormente se m uestran en la Fig. 5.9. A T > 0 K es posible que, en aislantes y sem icond uctores, algunos electrones de la BV sean excitados térmicamente a la BC Apuntes de CF

FLML

5.2. Aislantes, Semiconductores y Conductores

T=0 K

85

BC BC

E g

BV Aislante

Semiconductor

(BC)

BV

BV

Conductor

F IGURA 5.9: Situación de las bandas energéticas más externas para Aislante, Semicondu ctor y Cond uctor

y, por tanto, que haya algunos portadores disponibles para la corriente eléctrica. La probabilidad de salto de electrones de BV a BC será d irectamente p roporcional a la temp eratura e inversamente p roporcional a la anchu ra energética, E g , de la BP. En consecuen cia, a m ayor E g men or concentración de electrones en BC y men or valor d e cond uctividad eléctrica. Esto explica el d iferente valor a temperatura ambiente de la conductividad eléctrica, σ , dan do así lugar a la d iferenciación entre aislantes y semicond uctores. Por otra parte, dad o que para estos materiales, la concentración d e electrones en BC au men ta con T , la cond uctividad crecerá a med ida qu e la temp eratura crezca, explicánd ose así la correcta d epend encia d e la condu ctividad con la temp eratura para aislantes y semiconductores discutida en el Apartad o 4.1. En los conductores, la situación energética de los electrones ligados en la BV parcialmente llena (o BC) es muy similar a la que se encontró en el Tema 4 p ara los electrones libres en el mod elo d e Somm erfeld d entro d el pozo d e poten cial finito. (Esto explica porqu é el mod elo de Som merfeld fue exitoso al predecir las p ropied ad es eléctricas de los metales.) Por tanto, el comp ortam iento d e la cond uctividad con la temp eratura p ara los condu ctores según el modelo de bandas es igual al predicho p or el modelo de Sommerfeld, esto es, σ T −1.

∼

Siguiendo los razonamientos anteriores, se podría ahora predecir el carácter eléctrico de los sólidos formados por distintos elementos. Así para u n sólido formad o por átomos d e Na, cuyo n úm ero atómico es Z = 11 y de configuración 1s2 2s2 2 p6 3s1 , es de esperar que su estructura de bandas sea la mostrada en la figura adjunta. En principio, la banda 3s estaría parcialmente llena y, por tanto, esta banda constituiría una Band a d e Cond ucción, por lo que esperaríamos qu e este solido fuese un conductor (suposición que es plenamente confirmada por los hechos experimentales).

3 s

1N

2 p

6N

2 s

2N

1 s

2N

Átomo de Na

Sólido de Na

Usando el razonamiento anterior, es de esperar igualmente que FLML

Apuntes de CF

86


2 N de 8 N

Banda 3s3 p

6N

Banda 2 p

2N

Banda 2s

2N

Banda 1s Situación para Mg

2 N de 4 N

Banda 2 p

2N

Banda 2s

2N

Banda 1s Situación aparente para C

E

E

2p

E g

2s

E g

1s

r o

Separación interatómica

el Mg de Z = 12 y configuración electrónica 1 s2 2s2 2 p6 3s2 , al tener su última banda con electrones totalmente llena, sea un aislante. No obstante, experimen talmente se encuen tra qu e el Mg es un bu en cond uctor. Para explicar esta imp ortante d iscrepancia hay q ue considerar que el mod elo de formación d e bandas qu e se ha seguido es un modelo monodimensional y, tal como se señaló an teriormente, este mod elo sólo nos proporciona las guías básicas para explicar la formación de bandas en los sólidos tridimensionales. Los d etalles específicos d e las band as de m uchos sólidos sólo pu eden explicarse a partir de un modelo qu e tu viese en cuenta el carácter tridimensional d el sólido. En este sentid o, ha de tenerse en cuenta qu e tanto el Na como el Mg p resentan un a hibridación de las bandas 3s y 3 p para formar una única banda h íbrida 3s3 p que tendrá en total 8 N estados energéticos y, en consecuen cia, tanto para el Na como par a el Mg esta última b and a con electrones está parcialmen te llena y am bos sólidos serán cond uctores. Una d iscusión an áloga pu ede hacerse para el caso del carbono cristalizado (diaman te). El C tiene un a configu ración electrónica 1s2 2s2 2 p2 , de modo que siguiendo el modelo monodimensional debería ser un bu en condu ctor. No obstan te, el hecho de qu e el d iamante sea un aislante excelente pu ede explicarse de nu evo a partir d e la forma ción d e una band a híbrida 2 s2 p con 8 N estados. Tal como se p ued e ver en la figura, tras la formación d e esta ún ica band a híbrida ocurre una posterior separación de esta banda en dos bandas que podemos llamar banda 2s2 p inferior y ban da 2s2 p superior, cada una de ellas con 4 N estados energéticos. Cuand o se forma el diamante los 6 N electrones del sólido se situarán de m anera qu e 2N van a la banda 1s y los restantes 4 N a la banda 2 s2 p inferior, dando lugar a que la última banda con electrones esté totalmente llena. Dado que la separación entre la BV y BC en el diamante es grande ( E g 6 eV), el diama nte sería mu y bu en aislante d e acuerd o con el mod elo de band as. Ha d e notarse qu e el Si y el Ge tienen la misma configuración electrónica en sus últimas capas e igualmente se produ ce el mismo tipo d e hibridación de bandas (banda 3s3 p para Si y band a 4s4 p para Ge), por lo que ambos sólidos serían igu almente aislantes a T = 0 K. No obstan te, la anchura d e la band a p rohibida en tre BV y BC es menor en estos sólidos qu e en el diamante, por lo que de acuerdo a las discusiones al inicio de esta sección, am bos sólidos serán semicondu ctores a T > 0 K.

∼

5.3.

Masa efectiva

Una d e las consecuen cias más imp ortantes d e la existencia d e band as en los sólidos se man ifiesta en la respu esta que p resentan los electrones ligados a un campo eléctrico externo, E . La distinta respuesta de los electrones en función de su situación en las bandas de energía será recogida p or la mag nitud masa efectiva, m ∗ . En concreto, esta magnitud nos relacionará directamente la aceleración, a, d el electrón con Apuntes de CF

FLML

5.3. Masa efectiva

87

la fuerza externa aplicada, esto es, a=

F ext m∗

.

(5.5)

Es importante notar lo que la ley de New ton nos d ice es que la suma vectorial de todas las fuerzas qu e actúan sobre el electrón (externas más intern as) es igu al a su masa real (m e) por su vector aceleración,

∑ (tod as las fuerzas ) = Fint + Fext = m e a .

(5.6)

Esta expresión nos clarifica que en aquellos casos en los que existan fuerzas internas no existirá u na relación trivial entre la aceleración y las fuerzas externas d ad o qu e será precisamen te la masa efectiva ( m ∗ ) la que “recogerá” el efecto global de las fuerzas internas. Electrón libre Antes d e tratar el electrón ligado, repasaremos brevem ente las características básicas que se encontraron para el electrón libre. En concreto se encontró q ue la energía d el electrón libre (ver exp resión (2.14)) venía dad a por la siguiente expresión: E =

¯ h

2

2m e

k 2

.

(5.7)

Dado que en el presente caso sólo actúan sobre el electrón la fuerza externa debido al campo eléctrico aplicado ( E ), tendremos q ue la ecuación (5.6) viene dada por Fext =

E

−eE = m a , e

k

(5.8)

de d ond e obtenemos que el mód ulo del vector aceleración será a=

E .

e

me

(5.9)

En el presente caso vem os qu e el electrón libre sufre un a aceleración inversam ente prop orcional al valor de su m asa inercial m e, por lo que encontramos qu e m ∗ = m e. Electrón ligado En este caso veíamos qu e el electrón estaba som etido al efecto d e un potencial periódico del cristal que daba lugar a la aparición de un vector de fuerzas int ernas. Debido a la p resencia de estas fuerzas internas podemos asegurar que m ∗ = m e por lo que d ebemos emp lear algún mod elo que nos perm ita encontrar una expresión adecuad a para la magnitud masa efectiva. En concreto usaremos un modelo semiclásico del electrón, es decir, haremos uso tanto de argumentos clásicos como d e argum entos cuánticos en el análisis.



FLML

Apuntes de CF

88


Parte cuántica. El movimiento del electrón se supone que está regido por las características de propagación de su función de onda asociada. En este sentido, la velocida d d el electrón, v , vendrá d ada p or la velocidad de grupo de la ond a, vg =

Dado que ω = E (k ) / h¯ y v como

d ω dk

.

≡ v , la velocidad puede expresarse g

v (k ) =

1 d E . ¯ d k h

(5.10)

Parte clásica. Sup onemos qu e el campo eléctrico aplicado da lugar a fuerzas ordinarias clásicas, d e mod o qu e pod remos u sar la ecuaciones de mo vimiento de la Física Clásica. En este sentido, si la fuerza externa realiza un trabajo d iferencial, dW , sobre la partícula, la energía de dicha partícula se incrementará en la m isma cantidad : dE = dW . Para el presente caso tend remos entonces que d E = d W

E dd xt dt = eE v d t

= F ext d x = e d x = e

E

(5.11)

y, por tanto, el incremento d e energía en el tiemp o pu ede expresarse como d E (5.12) =e v. d t

E

Derivand o con respecto al tiemp o la ecuación (5.10) encontram os la siguiente expresión para la aceleración: d v (k ) 1 d d E = a= d t ¯ d t d k h

 

,

o bien, intercambiand o el order d e integración, 1 d d E a= ¯ d k d t h

 

.

(5.13)

Introduciendo ahora (5.12) en (5.13), encontramos a=

E d v ,

e

¯ h

d k

qu e pu ede reescribirse al sustituir el valor d e v (k ) dado por (5.10) como e 1 d 2 E (5.14) a= ¯ h¯ d k 2 h

E

Apuntes de CF

FLML

5.3. Masa efectiva

89

o, equivalentem ente, a=

E

e



2

−

1 d E ¯ 2 d k 2 h

1

.

(5.15)

Comp arand o ahor a la expresión (5.15) encontrad a p ara la aceleración de u n electrón ligad o con la expresión (5.5) pod emos concluir q ue la respuesta del electrón ligado al campo eléctrico externo aplicado pu ede verse como la d e un electrón libre que estuviese dotado de u na masa efectiva , m ∗ , dada por

¯2 m∗ = h

 − d 2 E

Definición de masa efectiva para el electrón ligado

1

.

d k 2

(5.16)

E JEMPLO 5.1 Cálculo de la masa efectiva de un electrón libre De acuerd o a la expresión (5.7) d E = d k luego según (5.16)

¯2 h me

m ∗ = me

E d 2 E h¯ 2 = d k 2 me

y

k

,

.

k

A partir de la forma de la relación de dispersión para el electrón de Bloch (Fig. 5.3a), se pu eden d edu cir cualitativam ente algu nas im portantes características de la masa efectiva del electrón sometido al efecto d el poten cial per iódico de la red. Así, si nos fijam os en la form a de la primera band a energética, su velocidad vendrá d ada p or 1 d E , ¯ d k h don de d ebemos considerar que esta velocidad da cuenta tanto d e la acción del campo externo como de la interacción del electrón con la red. Al realizar la derivad a d e la curva an terior para valores de k > 0 se observa que p ara valores d e k próximos a cero, la derivada es una función creciente que alcanza un máximo en el punto de inflexión de E ( k ) par a luego alcanzar u n valor nu lo en el extremo d e la band a. Para obtener la m asa efectiva, se procede según

v k 2

v =

¯ m∗ = h

2

 − d 2 E d k 2

2

d E/dk

k

m*

k

1

,

esto es, se derivará la curva an terior y se inv ierte. Tras realizar esto, se pu eden d estacar los siguientes hechos: FLML

Apuntes de CF

90


1.

m∗

no presenta el mismo valor que m e.

2.

m∗

pu ede ser mayor que m e e incluso llegar a ser infinita.

3.

m∗

pu ede ser menor que m e e incluso ser negativa.

En concreto se ha obten ido qu e la masa efectiva es positiva en el borde inferior de la band a y negativa en el borde su perior. La variación de los valores y signo de la masa efectiva del electrón bajo el efecto conjunt o y opu esto del camp o eléctrico externo y del potencial periód ico de la red pu ede interpretarse como u n balance entre la acción de las fuerzas provenientes del campo externo (a favor del movimiento) y las fuerzas internas d e la red (opu estas al m ovimiento). Cuand o m ∗ > 0, el electrón gana energía globalmente dado que la acción d el cam po externo es sup erior a la de las fuerzas internas. El pu nto en el que m ∗ ∞ indicaría que el electrón no se movería (como si no respond iese a la acción d e E ) ya que la acción d el camp o externo es perfectamente contrarrestada por la acción de las fuerzas internas de la red. La situación en la que m ∗ < 0 p odría interpretarse como que en esa zona las fuerzas internas de la red superan a la acción del campo eléctrico externo.

→

5.4. Huecos

BC

E g BV

El hecho d e que la masa efectiva de los electrones en el bord e sup erior de la banda sea negativa tiene un os efectos trascenden tales sobre el fenómeno de conductividad eléctrica en el sólido. En este sentido estud iaremos la contribución a la corriente eléctrica d e los electrones de una banda cuasillena. Esta situación se encuen tra típicamente p ara u n semicond uctor intrínseco en el que algun os electrones d el borde superior de la BV migran hacia la BC por excitación térmica. Como ya hem os discutido, los electrones que h an m igrado a la BC contribuirán a la corriente eléctrica del m od o u sual a como lo h acen los electrones libres en los metales. Para trat ar la contribu ción a la corriente eléctrica d e los electrones que p erman ecen en la BV (que se denom inará Jresto ), analizaremos en primer lugar una situación que involucra a todos los electrones de la BV menos a un o. Tal com o ya se señaló en el ap artad o 5.2, d ebemos notar qu e la corriente eléctrica de u na ban da totalmente llena es nu la: Jllena = 0 . Esta corriente pu ede a su vez d escomp onerse en la corriente, Ji , prod ucida por u n ú nico electrón “ i” situado en el borde superior de la BV más la prod ucida p or el resto de electrones de d icha ban da , Jresto .

Apuntes de CF

FLML

5.4. Huecos

91

Es claro que esta última corriente describe la contribución de los electrones de la band a d e valencia cuasillena, pud iéndose escribir com o Jresto = Jllena

− J = −J , i

i

es d ecir, la corriente debid a a tod os los electrones d e la BV men os el electrón i es equivalente a men os la corriente del electrón i situad o en el borde su perior d e la BV. Dado q ue Ji =

−ev

i

y teniendo en cuenta que la velocidad, v i , pu ede escribirse, en a nalogía con la expresión (4.11), com o v i = a i τ i , encontramos qu e Jresto = e a i τ i .

(5.17)

Para obtener un a idea más clara de la naturaleza de la corriente a la que es equivalente Jresto debe an alizarse el sentido d el vector aceleración a i . La aceleración pod rá obtenerse a p artir d e la aplicación d e la ley de New ton p ara el electrón ligado i, esto es, a i =

Fexterna m ∗i

=

−eE . m ∗i

Ahora b ien, d ad o que el electrón i estaba en el borde sup erior de la BV, su masa efectiva es negativa, m ∗i = m ∗i < 0, por lo qu e encontram os qu e

−| |

a i =

eE

|m ∗ | .

(5.18)

i

La expresión anterior nos indica que la aceleración del electrón i del borde sup erior de la BV es equ ivalente a la de u na p seud opar tícula, que se llama rá hueco, que tu viese carga p ositiva, e, y masa p ositiva m ∗i . El razonam iento anterior pu ede extenderse similarmente al caso de m ás d e un electrón del bord e sup erior de la BV. De acuerd o a esta consideración y a la expresión (5.17), se puede concluir que

| |

la contribución a la corriente de todos los electrones de la BV menos un numero pequeño de ellos que migraron a BC es equivalente a la corriente d el mismo n úmero d e hu ecos (pseudop artículas con carga y m asa positiva)

Básicamente, lo que se ha conseguido con la anterior interpretación es encontrar una equivalencia entre la corriente de muchos electrones (obviamente con carga negativa) de una BV cuasillena con la corriente d e un os pocos huecos de carga positiva. No obstante, debemos ten er en cuenta qu e la corriente en el sólido está sostenida ú nicamen te por electrones y qu e los hu ecos se han introd ucido con el ún ico FLML

Apuntes de CF

92


objetivo de simplificar el análisis. En este sentido, el tratamiento de la corriente debido a los huecos en BV se hará d e una forma análoga al d e los electrones en la BC. Por ejemp lo, si los electrones d e la BV cuasillena son sometidos a u n camp o eléctrico externo, estos electrones ganarán energía p rovocand o simultáneamente que los hu ecos se mu evan h acia “abajo” en la band a. Dado qu e en el análisis d e la BV cuasillena se ignoran los electrones y se tratan ún icamen te los huecos, esto imp lica que u n incremento d e la energía de los portad ores de carga d e la BV se tradu ce en qu e la energía de los hu ecos decrece desde el top e sup erior d e la BV. Hem os encontrad o entonces qu e la corriente en un sem icond uctor a T > 0 K en respu esta a un camp o eléctrico externo, E , está sostenida por d os tipos de portad ores: electrones en la Banda de Conducción, y huecos e n la Banda de Valencia. En consecuencia, la densidad de corriente total, J, pu ede expresarse como la superposición de la corriente debida a los electrones en BC, Jn , más la corrien te deb ida a los hu ecos en BV, J p , J = Jn + J p .

(5.19)

La distribu ción d e estos dos tipos de portad ores será por tanto lo que d eterminará las prop iedad es eléctricas de los semicond uctores. Por este m otivo, los temas siguientes dedicados al estud io de los semicond uctores se centrarán en an alizar el comp ortam iento de los electrones en la BC y los huecos en la BV.

5.5. Problemas propuestos 5.1: Respon da a las siguientes cuestiones teóricas:

¿Cuáles son las d iferencias más im portan tes entre un electrón libre y u n electrón en el sólido cristalino?. ¿Por qué se originan band as de energía en un sólido cristalino? ¿Son los hu ecos simplem ente la ausencia de electrones en las band as de energía?. En caso afirm ativo, ¿cómo explicaría que, a pesar d e la ausencia de m uchos electrones en BC, no haya hu ecos en esta band a? ¿Se mueven los huecos en la misma dirección que los electrones? 5.2: Para una banda de energía que puede ser aproximada mediante la expresión E (k ) = E 0 [1

− exp (−2a2 k 2 )]

(donde a es la constante de la red del cristal), calcule: a) La masa efectiva para k = 0. b) El valor d e k para el que la velocidad del electrón es m áxima.

Apuntes de CF

FLML


93

So l . a): m ∗ (k = 0) = h¯ 2 / (4a2 E 0 ); b) : k = 1/ (2a). 5.3: El valor experimentalmente determinado de la energía de Fermi en el Na es de 2,50 eV. Usando la expresión teórica para la energía de Fermi y el valor experimental determ ine la masa efectiva d e los electrones en el N a mon ovalente, cuyo peso atóm ico es 22.9 g/ mol y su densidad 0.97 g/ cm 3 . Sol. m ∗ = 1,26m e.

FLML

Apuntes de CF

Capítulo 6

Bandas de Energía en Semiconductores 6.1. Introducción El estu dio teórico de los semicond uctores fue realizad o básicamen te (Wilson, Shockley,...) en la década de los 30 del siglo XX. No obstan te, el uso tecnológico de los semiconductores no se inició hasta unas do s décadas desp ués debid o, en gran p arte, a la dificultad en la obtención d e mu estras puras d e material semicond uctor. Desde u n p un to de vista tecnológico, algunas de las características que hacen atractivos a los semicondu ctores pu eden ser las sigu ientes: Apa rición d e dos tipos d e portad ores de carga: electrones (e − ) en BC y hu ecos (h + ) en BV. El hecho de qu e la cond ucción eléctrica se produzca por dos tipos de portadores ofrece una mayor flexibilidad de diseño y amplía considerablemente las posibilidades tecnológicas de estos materiales respecto a los conductores y/ o aislantes. Las propiedad es físicas de los semicond uctores son altamente dependientes de la concentración de impurezas añadidas al material. Esto permite construir muestras de semiconductor con muy diversas características físicas, propiedad que puede ser eficazmente usada para el diseño de dispositivos electrónicos y optoelectrónicos. La mayor ía de los comp onentes electrónicos y op toelectrónicos pu eden realizarse sobre la misma mu estra de semicondu ctor por lo que se pu eden integrar en un mism o chip muchos dispositivos diferentes. El interés pr áctico de los semicond uctores se pone de man ifiesto en su amplia utilización en la tecnología actual. Su uso es fundamental en 95

96

Capítulo 6. Bandas de Energía en Semiconductores Microelectrónica. Prácticamente todos los elementos usados en Electrónica pueden realizarse usando materiales semiconductores de distinto tipo (por ejemp lo: resistencias, diod os, transistores, pu ertas lógicas, etc) y, por tan to, pu eden ser integrados conjuntam ente en un m ismo chip. Comunicaciones . Los circuitos usad os en los sistemas d e comu nicación (circuitos de baja y alta frecuencia) se realizan actualmente sobre substratos semicond uctores. Optoelectrónica. Dada la posibilidad de interacción de los semiconductores con la luz, m uchos d e los dispositivos ópticos y op toelectrónicos se realizan sobre la base d e m ateriales semicondu ctores, por ejemplo: LED, láser d e inyección, células fotovoltaicas, etc.

6.2.

Generación térmica BC

BV

Generación y recombinación de electrones y huecos

Como ya se ha comentad o anteriorm ente, la existencia de electrones en BC y huecos en BV es la característica física más determinante d e las p ropiedad es eléctricas de los semicondu ctores. E n concreto, la existencia de estos electrones en BC y/ o hu ecos en BV pu ede explicarse a p artir d e los sigu ientes procesos: Generación/recombinación térmica de pares e − / h + . Debido a los aportes energéticos d e origen térmico ( T > 0 K) existe cierta probabilidad d e qu e, fruto de la excitación térm ica, algunos electrones de BV pasen a la BC a través de la BP, generando así pares de e − / h + . Generación óptica de pares e − / h + . La posible interacción luz semicond uctor se prod ucirá cuando u n fotón de energía hν > E g incida sobre el material. Un electrón d e BV puede absorber entonces la energía suficiente para pasar a BC generand o simultán eamen te un hu eco en la BV.

⇔

En la interacción luz semiconductor deben distinguirse dos tipos de transiciones: directas e indirectas. Estos dos tipos distintos de transiciones respond en a la d istinta configuración d e las bandas de energía cuando se considera su estructura con un poco más de detalle; esto es, cuand o se tiene en cuenta la d epend encia de la forma d e las bandas con respecto al nú mero de ondas k .

⇔

Apuntes de CF

FLML

6.2. Generación y recombinación de electrones y huecos

97

• T RANSICIONES D IRECTAS. Este tipo d e transiciones se da cuan do el m ínimo d e la BC coincide, para el mismo valor d e k (usualmente k = 0), con el máximo d e la BV. Este hecho p ermite qu e pu eda d arse la mínima transición energética entre las dos bandas sin que haya un cambio en el momento lineal (debido a que k no varía). En este tipo de transiciones se absorbe un fotón simu ltáneamen te a la transición electrónica entre bandas. • T RANSICIONES I NDIRECTAS . En este caso, la forma de las bandas es tal que el mínimo de la BC y el máximo de la BV no ocurren para el mismo valor de k . Este hecho imp lica qu e u na tr ansición electrónica entre BV y BC d ebe llevar ap arejad o u n p roceso que d é cuenta d el cam bio de m omen to lineal necesario. En la p ráctica esto imp lica qu e el electrón d ebe prim ero realizar u na transición h acía otro estado (usualm ente un estado energético provo cado por la p resencia de algún d efecto en la red) y d esde ahí realizar la tran sición entre band as sin intercambio d e m omento. En otras mu chas transiciones indirectas, el proceso de cambio de m omen to suele deberse a u n intercambio d e calor con la red. Adición de impurezas. Si se añad en átom os de elementos que n o estén en la colum na IV (usualmente llamad os imp urezas substitutorias), se produ ce un incremen to d e la concentración de electrones en BC y/ o hu ecos en BV. La selección d el tipo d e imp ureza qu e se aña de prov ocará un aum ento considerable del núm ero de e − o bien de h + . Es interesante notar qu e este proceso de generación, al contrario qu e los anteriores, no genera pares d e e − / h + sino que sólo genera un tipo de p ortadores.

Cuando se añaden impurezas NO se generan directamente pares de e − / h+ sino e− o h +

Debemos observar qu e simultáneamente a la generación d e e − y h + ocurre un fenómeno d e recombinación de p ares e − / h + . Este proceso de recombinación puede verse como un proceso inverso al de generación de pares e − / h + ; es decir, existe cierta proba bilidad de qu e un electrón de la BC pase a la BV, liberando así cierta energía en este tránsito en forma d e calor qu e absorbe la red o bien en forma d e luz (foton es). Si los agen tes externos per manecen invar iables en el tiemp o, la actuación conjun ta d e la generación y la recomb inación de electrones y hu ecos provoca qu e sus concentraciones perman ezcan constantes en un equilibrio dinámico. Un estudio de las causas que intervienen en la generación y recombinación de pares e − / h + nos permitiría concluir que la velocidad de generación d e pares e − / h + , G, depende de la temp eratura de operación y d el proceso concreto qu e origina d icha g eneración, m ientras qu e la velocida d d e recombinación de estos pares, R , se encuentra qu e FLML

Apuntes de CF

98

Capítulo 6. Bandas de Energía en Semiconductores

es prop orcional a la concentración existente tant o de electrones en BC, n , como d e hu ecos en BV, p, es d ecir, Velocidad de recombinación de pares e− / h+

R = αr n p

,

(6.1)

d ond e el factor αr es una constante de prop orcionalidad q ue d epende d el material y del mecanismo particular d e recomb inación.

6.3. Semiconductores Intrínsecos Cuando las propiedades eléctricas de un semiconductor vienen determinadas exclusivamente p or la estructura d e band as d el cristal d ecimos qu e este semicondu ctor es intrínseco (en la práctica, diremos que un semicond uctor es intrínseco cuand o la concentración de impurezas sea tan pequeña que no afecte a sus propiedades eléctricas). Una p ropiedad importante d e estos semicond uctores es que sus p ortad ores de carga, pares e − / h + , se generan ú nicamente p or excitación térmica a través de la banda prohibida. Para estudiar las propiedades de los semiconductores intrínsecos, llevaremos a cabo, en primer lugar, una descripción cualitativa de la ap arición d e electrones en BC y hu ecos en BV. Posteriorm ente estu d iaremos la probabilidad de ocupación de estos portadores así como su función densid ad d e estados. Esto nos perm itirá finalmente obtener la distribución energética de ambos portadores.

6.3.1. Descripción cualitativa En función de un mod elo bidimensional d e enlaces covalentes y de la estructura de band as, los semicond uctores intrínsecos p ued en d escribirse d e la siguiente m anera:

BC

BV

Apuntes de CF

A T = 0 K. Dado que la estructura reticular típica de los semiconductores es la estructura tipo diamante (ver Apartad o 3.4), cad a u no d e los átomos del cristal aparece rodeado de cuatro vecinos próximos de ma nera qu e form a un d oble enlace covalente con cad a un o de ellos (cada átomo proporciona cuatro electrones) para obtener la configuración del octete. Esta configuración no deja ningún electrón fu era d e los enlaces covalen tes, por lo qu e el material se comporta como un aislante. Desde el pu nto d e vista d el modelo de band as, la anterior configuración se traduce en la presencia de una Banda de Valencia completam ente llena y un a Band a de Condu cción comp letamente vacía separad as por un a band a prohibida de anchura E g . FLML

6.3. Semiconductores Intrínsecos

99

A T > 0 K. Debido a la agitación térmica, existe cierta probabilidad d e que algun o de los enlaces covalentes del cristal pued a romp erse d and o lugar a u n electrón qu e no está localizado en las inm ediaciones d e u n átomo particular (está d eslocalizado y extendido por la red por lo puede funcionar como un portador de carga para conducir una corriente a través del cristal). A su vez, queda un enlace roto que puede ser ocupado por alguno de los electrones adyacentes provocand o d e esta manera otro p osible movimiento adicional de cargas que puede identificarse con la aparición de un hu eco 1.

-

e

Dad o qu e los electrones y hu ecos son generad os térmicamen te por parejas, la concentración d e electrones en BC d ebe ser igual a la concentración d e hu ecos en BV:

≡n

i

.

(6.2)

+

BC

Desde el pu nto de vista del mod elo d e bandas, la aparición d el par e − / h + es simplem ente fruto d e la posible transición térm ica d e un electrón d e BV a BC.

n=p

h

BV

Concentración de e− y h+ es la misma en un semiconductor intrínseco

Por otra parte, dado que en equilibrio la concentración de electrones y/ o hu ecos perm anece constante, esto implica qu e la generación térmica de p ares e − / h + es compensada por continuas transiciones (directas o indirectas) de electrones de BC a BV, es decir, por una continua recombinación. El equilibrio requiere, por tanto, que en el semicondu ctor intrínseco la velocid ad d e generación térm ica, Gi , de p ares e − / h + sea igual a la velocida d d e recom binación, R i , de estos pares y por tanto tendremos que (6.3) R i = Gi . 1 Tal

como muestra la figura adjunta, la aparición de un par e − / h + en la red podría también considerarse teniendo en cuenta que, en dicha red, un átomo con un enlace roto puede verse como u n átomo “norm al” más un p ar e − / h + . Para visualizar esto, consideremos qu e cada átomo de la red contribu ye a los enlaces con cuatro de sus electrones y, en este sentido, caractericemos cada átomo por sus cuatro electrones de valencia jun to con sus correspond ientes cuatro proton es que den cuen ta de la neutralidad de la carga en el átomo. En este sentido, un átomo “normal” más un par e − / h + , tras la posible recombinación d e un o d e los electrones ligados al átom o con el hueco, sería equivalente al átomo con u no d e sus enlaces rotos.

4 átomo “normal” + par e- / h +

FLML

4

4 e- y h+ que se recombinan

átomo con un enlace roto

Apuntes de CF

100


6.3.2.

Probabilidad de ocupación de electrones y huecos

La generación térm ica d e pares e − / h + pu ede entenderse a partir de la forma de la función distribución de Fermi-Dirac, que da la probabilid ad de ocup ación d e los estados electrónicos. En concreto para T > 0 K, la probabilidad de ocup ación d e electrones, f n ( E ), es la ya conocida y estudiada con detalle en el Tema 4, esto es,

fn(E ) 1

1

f n ( E ) =

exp E F

E



E

− E

F

k B T



.

(6.4)

+1

Para el caso d e la p robabilidad de ocup ación d e hu ecos, f p ( E ), debe notarse que la cantidad 1 f n ( E ) representa la probabilidad de qu e un estado electrónico de energía E esté vacío, o d icho d e otra m anera, la probabilidad de que este estado esté ocupado por un hueco. Por tanto, 1 , (6.5) f p ( E ) = 1 f n ( E ) = E F E exp +1

−

f p(E )

−

E



−

k B T



representa la probabilidad d e ocup ación d e huecos2.

E F

6.3.3. Posición del nivel de Fermi para semiconductores intrínsecos BC

E C E F E V

E

BV

Dado que en un semicond uctor intrínseco d ebe cum plirse qu e la concentración d e electrones en BC sea idéntica a la concentración d e hu ecos en BV (n = p), es razonable sup oner qu e esta situación se d a si el niv el de energía de Fermi, E F , se sitú a aproximadamente en el medio de la Banda Prohibida.

De esta manera se tiene que la probabilidad de ocupación de electrones en BC será exactamente la misma que la probabilidad de ocupación de huecos en BV. Si la densidad de estados para electrones en BC y hu ecos en BV no es mu y d istinta, el situa r E F en mitad de la BP provocará que la concentración de electrones en BC sea igual a la concentración de h uecos en BV, tal y como se espera par a el semicondu ctor intrínseco.

6.3.4. Función densidad de estados para electrones y huecos La fun ción densidad de estados para electrones libres se obtuvo ya en (4.17), aunque si estamos interesados en la función densidad de 2 Es

imp ortante observar qu e la p robabilidad de ocupación de huecos se obtiene como un a reflexión especular en torno a E F de la probabilidad d e ocup ación d e electrones.

Apuntes de CF

FLML


101

estados por u nidad de volumen , enton ces encontraremos qu e (2m e)3/ 2 1/ 2 , g( E ) = E 2¯h3 π 2

siendo su forma gráfica la mostrada en la Fig. 6.1. Debe notarse que el origen de la energía cinética, E E c, par a los electrones libres se tomab a en el fondo d el poz o de poten cial.

≡

E

E F

E g(E ) F IGURA 6.1: Función d ensidad de estados p ara electrones libres en un metal.

Si ahora se desea obtener la función densidad de estados para los electrones en BC y para los huecos en BV debemos tener en cuenta qu e, d e acuerd o a la d iscusión q ue se llevó a cabo en el apartad o 5.3, el tratam iento d e los electrones/ h uecos en BC/ BV es análogo al d e los electrones libres en el mod elo de Somm erfeld p ero consideran do q ue las partículas están dotadas ahora de cierta masa efectiva, m ∗e para los electrones y m ∗h para los hu ecos.

Electrones en Banda de Conducción Los electrones en la banda d e cond ucción se comp ortarán d e forma análoga a los electrones libres en el pozo fin ito del mod elo d e Somm erfeld salvo que ahora d ebemos considerar qu e La masa debe ser mod ificada p ara d ar cuenta de la p osición en la band a, esto es, d ebemos sustituir la masa d e los electrones, m e, por su masa efectiva, m ∗e . El origen d e energía cinética d ebe ser tomad o ahora en el límite inferior de la BC, cuyo valor se denotará como E C , para poder así dar cuenta de qu e un electrón en el fond o del pozo formad a por la BC tenga ah í su n ivel de energía cero.

FLML

Apuntes de CF

102


De acuerdo a lo anterior, la función densidad de estados para los electrones en la BC, gn ( E ), vendrá d ada por gn ( E ) =

(2m ∗e )3/ 2 1/ 2 3 2 ( E E C ) 2¯h π

(6.6)

−

E

BC E C

E C

BV gn(E )

Huecos en Banda de Valencia Análogam ente al caso d e los electrones en BC, la d ensidad d e hu ecos en BV, g p ( E ), viene dad a por (2m ∗h )3/ 2 ( E V g p ( E ) = 2¯h3 π 2

− E )1/ 2 ,

(6.7)

donde el origen de energía cinética nula ha de tomarse en el borde superior de BV, E E V y teniendo en cuenta además que el sentido positivo de esta energía debe tomarse en sentido decrecient e.

≡

E BC

E V BV

g p(E )

Apuntes de CF

FLML


103

6.3.5. Distribución energética de huecos y electrones La obtención de la distribución energética de electrones en BC, dn / dE , y h uecos en BV, dp / dE , se hará a p artir de las expresiones anteriores para la densidad de estados y la probabilidad de ocup ación, dand o lugar a dn dE

( E E C )1/ 2

= gn ( E ) f n ( E ) = C n

exp

 −−  E

E F

k B T

,

(6.8)

+1

E

BC

E C E F E V BV

gn(E )

fn(E )

dn/dE

F IGURA 6.2: Distribución energética de e − en BC para u n semicondu ctor intrínseco

d p dE

= g p ( E ) f p ( E ) = C p

− E )1/ 2 . E − E +1

( E V

exp



F

k B T



(6.9)

E BC

E C E F E V

BV g p(E )

f p (E )

dp/dE

F IGURA 6.3: Distribución energética de h + en BV para u n sem icond uctor intrínseco

FLML

Apuntes de CF

104


La Fig. 6.4 muestra una representación gráfica de la distribución de hu ecos y electrones de u n semicond uctor comp arándolas con las d e un m etal y un aislante. En esta figura p od emos ver cómo la concentración d e electrones en los metales es la m ás abu nd ante. Igua lmente observam os qu e la d iferencia bá sica en tre los aislantes y los semicondu ctores p roviene d e la diferente anchura de la BP, lo cual provoca que, a u na tem peratura d ada, la distribución d e electrones y hu ecos sea más abu nd ante en los semicondu ctores que en los aislantes.

E e

E F

METAL

g(E )

f (E )

e

BC E F

BV

+

h

AISLANTE

BC

e E F +

BV

h

SEMICONDUCTOR F IGURA 6.4:Distribución de electrones, dn / dE , y huecos, dp / dE , en metales, aislantes y semiconductores

Apuntes de CF

FLML

6.4. Semiconductores Extrínsecos

105

6.4. Semiconductores Extrínsecos Ad emás d e los portad ores intrínsecos generados térm icam ente, es posible crear nuevos portadores en los semiconductores mediante la adición de impurezas en el cristal. Este proceso, llamado dopaje, es una técnica muy común para variar la conductividad de los semicondu ctores. Si el número de átom os de imp urezas que se añaden es una fracción p equeñ a del nú mero total d e átomos originarios en el cristal, entonces pued e supon erse qu e la acción d e la adición d e estas impu rezas será la de sustituir a algun os átomos originales pero SIN cambiar la estructura reticular del cristal, es decir, sin modificar apreciablemente la estructura de band as del semicondu ctor. Según el tipo de imp urezas qu e se añad an al cristal, se distinguirán d os tipos de semicondu ctores extrínsecos.

6.4.1. Semiconductor tipo

n

Si las impu rezas que se añad en al cristal semicond uctor pertenecen a elementos de la columna V (N, P, As, Sb), entonces, según la visión bidimensional de enlaces del cristal, algunas posiciones ocupadas por átomos originales aparecerán ahora ocupadas por los N D átomos d e impu rezas añad idas, que d ebido a su s cinco electrones de valencia posibilitarán el que uno de esos electrones no esté ubicado en alguno de los enlaces covalentes. Dado que este electrón está ligado al átomo de impu reza p or fuerzas electrostáticas débiles, dicho átomo pu ede fácilmente ionizarse y el e − liberado podrá contribuir a la corriente eléctrica en el cristal. A las imp urezas d el grup o V se las llamará impurezas donadoras. Desde el pu nto d e vista del mod elo de band as, y tal como m uestra la Fig. 6.5, la situación anterior se traduce en la aparición en la BP

Si

P

;

e

T=0 K

e

T > 0 K +

P=>P + e

F IGURA 6.5:Estructura de bandas de un semiconductor dopado con impurezas donadoras. A bajas temp eraturas, el núm ero de tran siciones de electrones a la BC se debe principalmente a la presencia de los átomos donadores (ocurren pocas transiciones de origen térmico).

de u n n uevo nivel de energía, E D , (con 2 N D estados posibles) correspon diente a los electrones d eslocalizad os de los átomos d e impu rezas donadoras. Este nivel de energía aparecerá cercano al borde inferior de la BC y así, por excitación térmica, existirá una alta probabilidad FLML

Apuntes de CF

106


4

átomo Si + carga neg. fija + h +

4

3 e- y h+ que se recombinan

átomo Al

F IGURA 6.6:

d e qu e los electrones d e este estad o p asen a la BC y, por tan to, incrementen la concentración de electrones en dicha banda. Debe notarse que el aum ento de electrones en esta band a no va acomp añado d e un incremen to análogo de hu ecos en BV d ad o que la correspond iente carga positiva corresponde al ion de la impureza donadora permanecerá fijo en el cristal. La discusión anterior también nos permite predecir cualitativamen te que la posición d el nivel d e Fermi a T = 0 K debe estar situad a entre E D y E C , pu esto que así aseguraríam os que a 0 K no hay electrones en BC y el nivel E = E D está lleno. Si

Al

6.4.2. Semiconductor tipo

p

De man era similar a lo que sucede para el semicond uctor tipo n , la ad ición de átomos de elemen tos correspond ientes a la colum na III (Ga, In, B, Al) con sólo tres electrones d e valencia provoca q ue al sustitu ir a algun o d e los átomos originales del cristal semicond uctor, un o d e los enlaces covalentes quede incompleto. Este enlace incompleto puede ser fácilmente comp letado por un o de los electrones de los enlaces ad yacentes provocand o de este mod o que el enlace incomp leto pu eda “vagar” por el cristal y contribuya a la corriente eléctrica como un hueco.

T = 0 K

Tal como m uestra la Fig. 6.6, la adición d e un átom o de Al a la red d el Si pod ría visualizarse como un a red típica de Si más u na carga negativa fija en la posición d el átomo d e Al y una carga p ositiva (hu eco) débilmente ligada a la carga negativa. Una débil excitación térmica puede “liberar” a esta carga positiva creando así un portador móvil d e carga.

+

h

T > 0 K -

+

Al=>Al + h

Dad o que los átomos de imp urezas (en nú mero igual a N A )pueden aceptar electrones de átom os adya centes, éstas se denom inan impurezas aceptoras. La situa ción qu e el mod elo de ban d as (ver Fig. 6.7) pred ice para el presente caso consiste en la ap arición d e un nu evo nivel de energía, E A en la BP (con 2 N A estados electrónicos posibles) correspondiente a los electrones que p ued en ser aceptad os por las imp urezas. Este nivel

Apuntes de CF

FLML

6.4. Semiconductores Extrínsecos

107

de en ergía estará situad o cerca d el borde su perior d e la BV, ind icand o qu e este nivel será fácilmente alcanzad o p or los electrones d el borde

p>>n E C

portadores minoritarios + h portadores mayoritarios -

e

E A E V T = 0 K

T > 0 K (~50 K)

F IGURA 6.7:Estructura de bandas de un semiconductor dopado con impurezas aceptoras.

sup erior de la BV dejand o de este modo un nú mero igual de hu ecos en la BV. Análogamente al caso d el semicondu ctor tipo n , la p osición del nivel de Fermi a T = 0 K debe estar situad a entre E V y E A .

6.4.3. Distribución energética de huecos y electrones Para obtener la distribución energética de huecos/ electrones en BC/ BV han d e obten erse los prod uctos (6.8) y (6.9). Debe notarse que dado que se supuso que la adición de impurezas no modificaba la estructura de las bandas energéticas del cristal, las densidades de estados, gn ( E ) y g p ( E ) (dad as p or (6.6) y (6.7)), no variarán por la ad ición d e imp urezas d onad oras/ aceptoras. El cambio en la distribución energética debido a la aparición d e nuevos por tad ores d ebe venir por tanto reflejad o en la probabilida d d e ocup ación d e los estados. Para un semiconductor tipo n existe claramente u na mayor concentración de electrones en BC que de huecos en BV. Para que esto pueda ocurrir, el nivel de Fermi correspondiente a la presente situación d ebe situa rse por encima de la posición d el nivel intrínseco. Dado qu e f n ( E ) man tiene su forma relativa p ara un a temp eratura específica, el desplazam iento del nivel de Fermi ind ica qu e la probabilida d d e ocupación de electrones en BC ( E E C ) será m ayor qu e la p robabilida d d e ocup ación d e huecos en BV ( E E V ).3

≥

≤

Para un semiconductor tipo p, la concentración de huecos en BV será mayor que la d e electrones en BC. Por tanto, el nivel de Fermi (siguiendo los razonamientos dados anteriormente) deberá situarse por debajo d e la posición d el nivel intrínseco. A partir de las discusiones anteriores, la distribución energética 3 Se

espera que la concentración de huecos disminuya debido a los fenómenos de recombinación. Al aumentar considerablemente n , y de acuerdo con (6.1), la velocidad de recombinación de pares e − / h + aum entará, lo que tend rá poco efecto sobre el nú mero total d e electrones en BC pero sí será bastante considerable sobre el nú mero de huecos en BV.

FLML

Apuntes de CF

108


para electrones en BC y huecos en BV para semiconductores tipo n y tipo p tendrá la forma mostrada en la Fig. 6.8, donde también se muestra comparativamente la de un semiconductor intrínseco.

BC

e E F +

h

BV Semic. Intrínseco

BC

e E F h

+

BV Semic. tipo

n

BC e E F +

h

BV Semic. tipo

p

F IGURA 6.8: Distribución de electrones, dn / dE , y huecos, dp / dE , en semicond uctores intrínsecos, tip o n y tipo p.

6.5. Problemas propuestos 6.1: Las bandas prohibidas para el Si y el Ge son respectivamente 1.1 eV y 0.7 eV. Calcular la frecuencia mínima que debe tener una radiación electromagnética para poder producir conductividad en estos semiconductores. Sol. Si ν = 2,66 1014 Hz. Ge ν = 1,69 1014 Hz.

×

×

6.2: Cuan do un fotón de energía E E g penetra en un semicond uctor produ ce pares electrón/ hu eco (e/ h), esto es, se excitan electrones d esde el bord e d e la BV hasta el fond o d e la BC. Un cristal de Ge ( E g = 0,67 eV) se usa como detector de rayos γ (fotones d e alta energía). Determinar: a) ¿cuál es el núm ero máximo, N , de pares e/ h



Apuntes de CF

FLML


109

que pu ede produ cir una rad iación γ de 1.5 MeV?; b) si la resolución d el detector es d e ±4 × 103 pares e/ h , ¿cuál es la resolución de la energía óp tima d el detector? Sol. (a) N = 2,238 × 106 , (b) E = 2,68 × 103 eV. 6.3: La luz visible del espectro está compuesta por fotones con longitudes de onda compren did as entre 4000 Å y 7000 Å (equivalente a energías entre 1.8 y 3.1 eV). Para el diam ante el ancho d e la BP es d e 6 eV. Explicar por qu é el diam ant e es tran spar ente. Asimism o, explicar por q ué el Si cuya BP es d e 1.1 eV es transp arent e al infrarrojo (IR) de frecuencia comprend ida entre 1012 y 1014 Hz y no lo es a la radiación visible. 6.4: Suponer que la energía de Fermi de un semiconductor intrínseco está en mitad de su band a de energía prohibida y que la anchu ra de ésta es grand e en comp aración con kT . Demostrar que la probabilidad de ocupación de un estado de energía E está dada aproximadamente por a) f n ( E ) = e −( E − E F ) / kT para un electrón en la banda d e conducción y b) f p ( E ) = 1 f n ( E ) = e −( E F − E ) / kT para un hueco en la banda de valencia.

−

6.5: El GaAs es un semicondu ctor con u na ban da proh ibida (BP), E g = 1,43 eV. Dentro de esta BP aparecen n iveles de energía d ebidos a imp urezas. Medidos respecto a la BV estos niveles están a 0.05 eV par a el Al y 1.38 para el P. ¿Cuál d e estas imp ur ezas actúa como d onad ora y cuál como aceptora?. Razone la respu esta.

FLML

Apuntes de CF

Capítulo 7

Portadores de carga en Semiconductores 7.1. Introducción Tal como se ha v enido señ alado, las prop iedad es eléctricas d e los semicond uctores vienen básicamente determinadas por la p resencia de electrones en la BC y de hu ecos en la BV (dad o qu e son estos port ado res de carga los que d eterminen el flujo de corriente eléctrica en el material). Por este motivo, este tema estará d edicado al estud io de las prop iedad es d e estos portad ores d e carga. En particular estudiaremos en primer lugar cuántos portadores hay para poder así determinar los factores que influyen en la conductividad eléctrica del semiconductor. Posteriormente estud iaremos la respu esta de un sem icond uctor al efecto d e un camp o externo, par a lo cual analizaremos los d istintos tipos d e corriente que ap arecen y d edicaremos u na esp ecial atención a un nuevo tipo de corriente (corriente de difusión) que surge fruto de un a concentración no u niforme de portad ores. Finalmente obtendremos las ecuaciones que determinan la distribución espacial de portado res en algu nas situaciones de gran interés práctico.

7.2. Concentración de electrones y huecos En el Tema 4 ya apu ntamos qu e la conductividad eléctrica d e un semicondu ctor pod ía escribirse como σ = e(n µn + pµ p ) ,

(7.1)

donde µn y µ p son las m ovilida des d e los electrones y h uecos respectivamente. Es interesante notar que las movilidades dependen inversamente de la masa efectiva. Por ejemplo para electrones en BC, an analogía con la expresión (4.12) p ara electrones libres en metales, se 111

112

Capítulo 7. Portadores de carga en Semiconductores

tiene que

ne2 τ n

J n =

E

m ∗e

(dond e se ha u sado la masa efectiva en vez de la masa en reposo), por lo que σ n =

ne2 τ n

,

m ∗e

y dado que σ n = en µn , encontramos fin almente que eτ n

µn =

.

m ∗e

(7.2)

El procedimiento para obtener las concentraciones de electrones en BC, n , y huecos en BV, p, consiste en integrar las expresiones (6.8) y (6.9) con respecto a la energía en las correspon dientes ban da s. Así, par a el caso de la concentración d e electrones en BC tendrem os qu e dn d E = (7.3) n= gn ( E ) f n ( E ) d E .





BC dE

BC

Al sustituir las expresiones matemáticas encontradas en el tema anterior para gn ( E ) y f n ( E ), la integral (7.3) (así como su equivalente para el cálculo de p) presenta una forma p ara la qu e no es posible encontrar su primitiva en forma cerrada. Para intentar solventar este inconveniente, podemos hacer uso del hecho de que, en muchas situaciones típicas (par a tem peratu ras no excesivamente altas y siempre qu e la concentración de imp urezas qu e se añad an sea un a fracción del número de átomos originales del cristal), la posición del nivel de Fermi está situada por debajo de E C (o bien arriba d e E V para hu ecos en BV) al menos u nas cuantas un idades d e k B T . Cuan do se dan estas cond iciones, es d ecir, si Condiciones de un conductor NO degenerado

(7.4a) (7.4b)

− E  k T E − E  k T , E C F

F

V

B

B

se dice que el semiconductor es no degenerado. Este hecho no s p ermite usar la siguiente expresión ap roximada para la probabilidad de ocupación de electrones en BC: 1

f n ( E ) =

exp



E

− E

k B T

F



+1

−

E

≈ exp

− E

F

k B T

 ≥

.

(7.5)

E E C

Nótese que la anterior expresión aproximad a d e la función distribución d e Fermi-Dirac tiene la mism a forma qu e la función d istribu ción de Maxwell-Boltzmann, tal como ya se discutió en (4.20). Dado que f n ( E ) decae exponen cialmente a cero p ara v alores de energía alejad os d e E C ( E E C ), el límite de integr ación sup erior de la BC pu ede sustituirse por infin ito, d e mod o que la concentración de electrones pu ede obtenerse con bu ena ap roxima ción como



∞

n=



E C

Apuntes de CF

−

C n ( E E C )1/ 2 exp

−

−

E E F k B T



d E .

(7.6) FLML

7.2. Concentración de electrones y huecos

113

Realizand o el cambio d e variable E

x =

− E

C

,

k B T

la integral (7.6) puede reescribirse como

−

E C

n = C n (k B T )3/ 2 exp

− E

F

k B T

∞

  0

x 1/ 2 e − x d x

.

Teniend o ahora en cuenta qu e la integral qu e aparece en la expresión anterior está tabulada y qu e su valor es π / 2, encon tram os finalmente que el nú mero de electrones por un idad d e volum en en la BC pu ede expresarse como

√

−

E C

n = N C exp

− E

F

k B T



,

(7.7)

Concentración de electrones en BC

donde N C es una constante del semiconductor llamada densidad efectiva de estados en BC que viene dad a por N C =

2



m ∗e k B T

2π h¯ 2



3/ 2

.

(7.8)

Un cálculo para la densidad efectiva de estados en BC para el Si a T = 300 K muestra que N C = 4,39 1024 m −3 .

×

Siguiendo un procedimiento similar para el cálculo de la concentración d e hu ecos en BV obtend ríamos qu e Concentración de huecos en BV

−

p = N V exp

E F

− E

V

k B T



(7.9)

donde N V es la densidad efectiv a de estados en BV dada por N V =

En el Si a

T =

2



300K, N V = 5,95

m ∗h k B T

2π h¯ 2



3/ 2

.

(7.10)

× 1024m −3.

Una expresión alternativa bastante útil para calcular la densidad efectiva de estados es N C ,V =

2,5

3/ 2

 ∗   m e,h me

T (K)

300

3/ 2

× 1025 m −3 .

(7.11)

Es interesante notar que las expresiones obtenidas para n y p en (7.7) y (7.9) son válidas tanto par a sem icond uctores intrínsecos como extrínsecos en equilibrio térmico y que su cálculo requiere el conocimiento previo de la posición del nivel de Fermi. De hecho puede observarse que a medida que E F se aleja de E C ( E V ) la concentración de electrones(huecos) decrece exponencialmente. FLML

Apuntes de CF

114


A p artir d e la posición del nivel de Fermi para el semicond uctor intrínseco, que será denotado como E i , pu eden obtenerse unas expresiones útiles para el cálculo de las concentraciones de electrones y huecos en semiconductores extrínsecos conociendo la posición del nivel d e Ferm i y el valor d e las concentración intrínseca, n i . Teniendo en cuenta que, para semiconductores intrínsecos, las expresiones (7.7) y (7.9) nos dicen que n i = N C exp

−

E C

− E

k B T

i



−

,

E i

pi = N V exp

− E

V

k B T



,

al sustituir estas expresiones de nuevo en (7.7) y (7.9), obtendremos equivalentemente qu e

 

n = n i exp

E F

p = n i exp

E i

− E

i

k B T

− E

F

k B T

 

(7.12) .

(7.13)

7.2.1. Ley de acción masas Otro resultado interesante que pu ede d erivarse de las expresiones (7.7) y (7.9) se obtiene al realizar el producto de los valores de la concentración de electrones en BC por la concentración de huecos en BV. Si se realiza este prod ucto tenem os qu e

− −  − 

n p = N C exp

= N C N V exp

E C

E F

k B T E g

k B T

−

N V exp

E F

− E

k B T

= Cte ( T ; m ∗ , E g ) ,

V

 (7.14)

esto es, el producto n p sólo depende de la temperatura y de ciertos par ámetros d el semicond uctor (masas efectivas d e electrones/ hu ecos y la anchura de la BP). El resultado (7.14) nos dice entonces que a un a temp eratura fija, en un mismo semicond uctor, el producto de la concentración de e − en BC por la de h + en BV perm anece constante independ ientemente del tipo y grado de d opaje del material. El resultado anterior puede también obtenerse a partir de la combinación d e las expresiones (7.12) y (7.13), de do nd e obtend ríamos al multiplicarlas que Ley de acción de masas

n p = n 2i

.

(7.15)

Esta ley conocida como ley de acción de masas muestra que el prod ucto d e la concentración d e electrones en BC p or h uecos en BV para cualquier semicond uctor es siemp re igual al cuadrad o d e la concentración intrínseca de electrones y/ o huecos. Apuntes de CF

FLML

7.2. Concentración de electrones y huecos

115

El valor de n i puede a su vez relacionarse con los parámetros del semiconductor intrínseco combinando (7.14) con (7.15) para obtener

− 



N C N V exp

ni =

E g

2k B T

.

(7.16)

Concentración de e− y h + en un semiconductor intrínseco

La expresión anterior es a menudo también útil para obtener el valor de la anchu ra d e la BP ( E g ) a partir d e los valores de n i , N C y N V . E JEMPLO 7.1 Cálculo de la concentración intrínseca en una muestra de Si a T = 300 K, siendo m ∗e = 0,31m e, m ∗h = 0,38m e, E g = 1,1 eV. Usarem os la expresión (7.16), para lo cu al necesitamos p reviam ente calcular N C y N V mediante (7.11). Operando obtenemos que

× 0,313/ 2 × 1025 m −3 = 4,39 ×1024 m −3 = 2,5 × 0,383/ 2 × 1025 m −3 = 5,95 ×1024 m −3 ,

N C = N V

2,5

qu e al sustituirlos en (7.16) nos d ice que

√ 1,1 × 40 ≈ 1,42 ×1015 m −3 , n = 4,39 × 5,95 × 10 24 × exp − 2 dond e hemos hecho uso d e que, a temperatur a ambiente, k T ≈ 1/ 40 eV.



i



B

En el apartado 5.2 se discutió que la anchura de la BP, E g , determinaba el que u n sólido fuese considerado aislante o bien semiconductor. La expresión (7.16) muestra qu e la concentración de electrones en la BC decrece exponencialmente al aumentar E g , justificand o claramente porqué el diamante ( E g 6eV) es un buen aislante y sin embargo el Si ( E g 1 eV) es un sem icond uctor.

≈

≈

E JEMPLO 7.2 Comparación de la concentración intrínseca, n i , para el diamante (C) y el silicio (Si) a temperatura ambiente. A partir de la expresión (7.16) puede verse que la relación entre la concentración de electrones en BC para el diamante y el silicio puede escribirse como E g (C ) N C N V C exp n i (C ) 2k B T = . E g (Si) n i (Si) N C N V Si exp 2k B T Despreciando las posibles pequeñas diferencias existentes respecto a las masas efectivas en el diam ante y en el silicio obtenem os qu e

√

√

n i (C ) n i (Si)

FLML

6 (eV ) 2k B T 1 (eV ) 2k B T

−   −  −

exp

≈

 −   − 

exp

= exp

2,5 (eV) k B T



.

Apuntes de CF

116

Capítulo 7. Portadores de carga en Semiconductores Dado que a temperatura ambiente k B T 0,025eV, encont ram os finalm ente qu e n i (C ) 2,5 (eV) = exp = exp ( 100) 10 −44 !! . 0,025 (eV) n i (Si)

≈

−



−

≈

En el ejemplo 7.1hemos obtenido que n i (Si) 1015 m −3 y dad o que la densidad de electrones en BC para el diaman te es 44 órdenes de magn itud m enor que en el silicio, podem os concluir que n i (C) es prácticamente nula; confirmando así que el diamante es un aislante excelente.

≈

7.3. Compensación y Neutralidad de la carga espacial Según se ha discutido en el Tema 6, en un semiconductor aparecen dos tipos distintos de cargas en función de su estado de movimiento, a saber, Portadores móviles de carga: las cargas móviles comp uestas por los electrones de BC, n , y los huecos de BV, p. Cargas fijas: proven ientes de la ionización d e las imp urezas su stitutorias tanto d onadoras, N D + , como aceptoras, N A − . Dad o que ni la generación d e pares e− / h + ni la ad ición de imp urezas provoca la aparición de carga neta y supuesto que el semiconductor era originalmente neutro, de acuerdo al principio de conservación de la carga, debem os tener que Número de cargas positivas

= Número de cargas negativas .

En otras p alabras, la concentración d e e − en BC más la concentración de impu rezas aceptoras ionizadas n egativamente d ebe ser igual a la concentración d e h + en BV má s la concentración de imp urezas d onad oras ionizadas p ositivam ente, es decir, Ecuación de neutralidad de la carga

n + N A − = p + N D +

.

(7.17)

Si la temp eratura d e operación es tal que las imp urezas se han ionizado completamente (lo cual puede considerarse que ocurre aproximad amen te a temperatu ra ambiente), esto es, si N A − N A y N D + N D , entonces la ecuación de neutralidad de la carga espacial en el semicondu ctor pu ede escribirse como

≈

n + N A = p + N D

.

≈

(7.18)

Esta ley junto con la ley d e acción d e masas (7.15) nos perm itirá calcular las concentraciones de e − y h + en función d e las concentraciones Apuntes de CF

FLML

7.3. Compensación y Neutralidad de la carga espacial

117

de imp urezas d onad oras/ aceptoras y la concentración intrínseca. Para ello, partiendo de p = n 2i / n y su stituyénd olo en (7.18), obtenemos qu e n + N A =

n 2i n

n2

⇒

+ N D

− ( N − N )n − n 2 = 0 . D

A

i

Al despejar en la ecua ción an terior encontram os finalmente qu e

7.3.1.

n

=

p

=

− N

N D

A

2

n 2i n

+

 

N D

− N

A

2

.



2

+ n 2i

(7.19) (7.20)

Cálculo aproximado de

n

y

p

Las expresiones anteriores se pu eden simp lificar en las siguientes condiciones: Semiconductortipo n Si se cum ple estrictamen te que d ad d e la carga d ice que

N A =

n = p + N D

0, la ecuación d e neu trali.

Si la genera ción d e electrones por excitación tér mica (recuérdese que se excitan pares e − / h + ) puede despreciarse frente a la generación de electrones debido a la ionización de las impurezas d onad oras, es decir, si N D ni , entonces el término dand o lugar a que

n 2i



puede despreciarse en la raíz de (7.19),

≈ N n2 p ≈ N n

(7.21)

D i

.

(7.22)

D

Semiconductortipo p Si en este caso N D = 0, la ecuación de neutralidad de la carga queda como n + N A = p . Sup oniendo d e nu evo que la generación de hu ecos por excitación térmica puede despreciarse frente a la generación de huecos debido a la ionización de las impurezas aceptoras, esto es, cuando N A ni ,



FLML

Apuntes de CF

118


entonces se cum plirá qu e N A

 n y por tanto p ≈ N n2 . n≈ N

(7.23)

A

(7.24)

i

A

E JEMPLO 7.3 Calcular la concentración de electrones y huecos en una muestra de Si dopada con 1019 átomos de Al. Dado qu e el Al es una im pu reza aceptora, tenemos qu e N A =

1019 m −3

,

N D =

0.

Por otra parte, según el dato para n i obtenid o en el ejemp lo 7.1, tenem os qu e N A

n

i

,

por lo que podemos usar las aproximaciones (7.23) y (7.24) para obtener finalmente que

≈ 1019 m −3 (1,42 × 1015 )2 ≈ 2 ×1011 m −3 . n≈ 1019

p

7.3.2. Cálculo de trínsecos

E F para

semiconductores intrínsecos y ex-

Si en las expresiones (7.7) y (7.9) se tom an logaritmos n eperianos y a continua ción se restan, obtenem os que Posición del nivel de Fermi k B T ln

 −   n

k B T ln

N C

p

N V

= 2 E F E C E V .

− −

Reescribiendo el segundo miembro de la expresión anterior como 2 E F E C E V = 2( E F E V ) E g y teniendo en cuenta (7.11), encontramos la siguiente expresión general para el nivel de Fermi en cualquier tipo de semiconductor no-degenerado:

− −

Posición del nivel de Fermi para un semiconductor no degenerado

−

−

3 + k B T ln E F = E V + 2 4 E g

 ∗

1 + k T ln 2 B m ∗e mh

 n

p

(7.25)

Semiconductorintrínseco En un semiconductor intrínseco se cumple que n = p, luego al operar en (7.25), denom inand o como E i al nivel de Fermi intrínseco, se tiene que E i

Apuntes de CF

1 = E V + + k B T ln 2 2 E g 3 = E V + + k B T ln 2 4 E g

   ∗ N C

N V mh

m ∗e

.

(7.26) FLML

7.3. Compensación y Neutralidad de la carga espacial

119

La expresión anterior indica que el nivel de Fermi para un semicondu ctor intrínseco se sitúa aproximad amen te en el centro de la BP, desviado d e ella el factor 34 k B T ln (m ∗h / m ∗e ). Sup uesto que la temperatura no es muy alta y que m ∗e m ∗h , este factor es despreciable respecto al prim er término y, por tan to,



E i

≈ E

V

+

Posición del nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco a no muy altas temperaturas

E g

2

para la mayoría de los casos típicos en los semiconductores intrínsecos, tal y como ya se predijo de forma cualitativa en el Apartado 6.3.2.

Semiconductores extrínsecos En el supuesto d e que se cum plan las aproxim aciones (7.4a) y (7.4b) da da s en el apar tad o 7.3.1, la posición d el nivel de Fermi en semicondu ctores extrínsecos pu ede igualm ente d eterminarse con facilid ad . Semiconductortipo n Dado que en este caso n p, la exp resión (7.25) nos d ice qu e la posición d el nivel de Ferm i se desplazará claramen te hacia el bord e inferior d e BC (tal y como ya se p redijo anteriorm ente d e un a forma cualitativa). Una expresión útil para el cálculo d e E F se obtien e al combinar las ecuaciones (7.7) y (7.21),



−

N D = N C exp

E C

− E

F

k B T



,

y d espejar E F , de dond e E F = E C

− kT ln N N

C

.

(7.27)

Posición del nivel de Fermi en un semiconductor extrínseco tipo n

D

Partiend o d e (7.25), un cálculo m ás d etallad o nos m ostraría (ver figura adjunta) que el nivel de Fermi disminuye primero ligeramen te con la temp eratura pa ra acercarse posteriormente a la curva de E i a altas temperaturas. Esta tendencia pu ede entenderse si consideram os que a altas temperatu ras, todos los átomo s de impu rezas ya se han ionizado y, en consecuen cia, la concentración d e portad ores d e carga estará regid a por los procesos de generación térmica de pares e − / h + ; es decir, el semiconductor extrínseco se comporta como uno intrínseco a medida que aumenta la temp eratura. Claramente esta tendencia ocurre a temperaturas más altas a medida que el nivel d e impurezas aum enta en la muestra (la curva A en la figura representa menor nivel de dopaje que By ésta a su vez que C). FLML

E F E C E D

E i

E V

A

B

C

T

Apuntes de CF

120

Capítulo 7. Portadores de carga en Semiconductores E F

E C

E i

Semiconductortipo p Según la expresión (7.25), para un semicondu ctor tipo p ( p n ), la posición del nivel de Fermi se desp laza hacia el borde sup erior de BV. De forma a proximad a, se puede calcular E F sustituyendo (7.23) en la expresión (7.9)



A

B

C

E A E V

−

N A = N V exp

T

E F

− E

V

k B T



y despejand o de aquí E F para obtener Posición del nivel de Fermi en un semiconductor extrínseco tipo p

E F = E V + kT ln

N V N A

.

(7.28)

Tal como mu estra la figu ra ad jun ta, un cálculo m ás d etallado nos d iría que la posición del nivel de Fermi se aproxima a la de E i para altas temperaturas. E JEMPLO 7.4 Para el problema del Ejemplo 7.3, calcular la posición del nivel de Fermi a temperatura ambiente. Dado que en el presente caso N A = 1019 m −3 y que, según el Ejemplo 7.1, N V = 5,95 10 24 m −3 , al sustituir en (7.28) obtenem os qu e

×

E F

− E

V

= kT ln

N V N A

5,95 1024 = 0,025ln = 0,33 eV. 1019

×

Teniendo en cuenta que E g = 1,1 eV, comp robam os qu e el nivel de Fermi está comp rendido entre E V y E i .

7.4. Conductividad eléctrica en semiconductores Según y a vimos en tem as anteriores, para u n metal la condu ctividad eléctrica venía dada por σ = eµn ,

siendo su d ependencia con la temp eratura del tipo σ ∝ T −1 . Esta d epend encia con la tem peratura p rovenía básicamente d e la m ovilidad pu esto que la concentración de electrones en la band a ap enas variaba con la temp eratura 1. En un sem icond uctor, d ebido a la presencia de d os tipos d e portad ores de carga, la cond uctividad eléctrica debía expresarse com o σ = e(n µn + pµ p ) , 1 Recuérdese

que en un metal n apenas variaba con T dado que el cambio de la situación energética d e los electrones en la band a d ebido a la excitación térmica era mu y pequ eño con respecto a la situación existente a T = 0 K.

Apuntes de CF

FLML

7.4. Conductividad eléctrica en semiconductores

121

encontránd ose experimentalmente un a d epend encia con la tem peratura tal que existe una relación lineal entre el ln σ y el inverso de la temperatura,1/ T . A continuación veremos que esta depen d encia pu ede ya explicarse a p artir de las expresiones obtenidas anteriorm ente en el tema. SemiconductorIntrínseco Dad o qu e en este caso n =

p

≡ n , (7.1) pu ed e reescribirse com o i

σ = e(µn + µ p )n i .

(7.29)

En los semiconductores (y al contrario de lo que ocurre en los metales), la condu ctividad m uestra una dep end encia con la temperatura tanto en las movilidades como en la concentración intrínseca. Al su stituir (7.16) en (7.29) obtenem os qu e



σ = e(µn + µ p ) N C N V exp

−  E g

2k B T

.

Para las movilidades se encuentra una dependencia con la temperatura d el tipo T −3/ 2 y dado que N C N V , según (7.8) y (7.10), 3/ 2 mu estra un a dep endencia del tipo T , ello implica que la conductividad puede finalmente escribirse como

√

− 

σ = σ 0 exp

E g

2k B T

,

(7.30)

Conductividad eléctrica de un semiconductor intrínseco

donde σ 0 es una constante que sólo d epende d e los parám etros del material pero no de la temperatura. Esta expresión explica satisfactoriam ente los resultados exp erimentales encontrad os anteriormente y m uestra que la cond uctividad en los semiconductores intrínsecos es altamente dependiente del valor de la anchura de la banda prohibida y de la temperatura de trabajo. Esto último nos indica que los semiconductores intrínsecos deben operar en unas condiciones de temperatura controlada para evitar que las prop iedad es de los d ispositivos se vean mu y afectadas. Semiconductor Extrínseco El estud io de la condu ctividad eléctrica en los semicond uctores extrínsecos es más comp licada q ue en los intrínsecos, por lo qu e no abord aremos su estud io. No obstante, podem os resaltar qu e ese estudio nos d aría la dep endencia que mu estra la figura ad junta para el ln σ con el inverso d e la temp eratura, 1/ T . Dado qu e los sem icond uctores extrínsecos se com portan como los intrínsecos a altas temperaturas, la figura muestra a temperaturas altas (par te izqu ierd a de la gráfica) la misma p end iente qu e para el caso intrínseco. A temperaturas no tan altas, ln σ muestra el mismo tipo de comportamiento aunqu e con otra pend iente. FLML

Apuntes de CF

122


E JEMPLO 7.5 Cálculo de la conductividad eléctrica para el Si a T = 300 K y T = 500 K, siendo µ n = 1350 cm2 / V s y µ p = 480 cm2 / V s.

·

·

Teniendo en cuenta el resultado del ejemplo 7.1, al sustituir en la expresión (7.29), llegamos a que σ ( T = 300K) = 1,6 10 −19(0,135 + 0,048 )1,42 10 15 = 4,15 10 −5 ( Ω m )−1 .

×

×

×

·

Para calcular la conductividad a T = 500K, suponemos que la variación más notable con la temperatura se debe únicamente a la dependencia en la exponencial, por lo que pod emos escribir que σ ( T = 500K) = exp σ ( T = 300K)

−

1, 1 2 8,625 10 −5

·

×

y, por tanto, σ ( T = 500K)



1 500

−

1 300

 ≈

4927

≈ 0,2 (Ω · m ) −1 .

7.5. Corrientes de Arrastre y Difusión

E

Movimiento

Hasta ahora, la única corriente que se ha estudiado es la relacionad a con el movimiento de cargas provocado p or la presencia de u n campo eléctrico externo . Esta corriente se d enominó corriente de arrastre y su forma p ara electrones y hu ecos era

E

corriente

J p,arr J n ,arr

E E

= eµ p p = eµn n .

(7.31a) (7.31b)

En este apartado se verá qu e adem ás d e este tipo d e corriente existe otro tipo,denominado corriente de difusión, que aparece siempre que exista una distribución no uniforme de portadores de carga.

7.5.1. Proceso de difusió n Algunos ejemp los comu nes en los que encontramos p rocesos de difusión son: Proceso por el que las partículas de u n gas inicialmente situad o en cierta región de u n recinto se expan d e por tod o el recinto. Proceso por el que un a gota de tinta en u n líquido va d iluyéndose ha sta que tod o el líquid o se colorea. Proceso por el que el perfum e que inicialmente estaba en u n rincón de una ha bitación cerrad a se va extendiend o hasta que toda la habitación qu eda “perfumad a”. Apuntes de CF

FLML


123

El origen d e los procesos de d ifusión anteriores hay qu e buscarlo en el movimiento errático de agitación térmica que m uestran las p artículas. Este mov imiento junto con los consiguientes choques con otras par tículas y con las p aredes d el recinto h ace que las partículas traten de extenderse por tod o el recinto qu e las contiene. Tras cada choque, las partículas tienen igual p robabilidad de dirigirse en cualquier d irección, lo que d a lugar a qu e exista un a tran sferencia neta o flu jo d e partículas d esde las zonas más pobladas a las menos p obladas. Este proceso de difusión du ra hasta q ue se homogeniza la concentración, η , de partículas en el recinto (la permanente agitación térmica ya no provocaría un a transferencia neta de partículas). Por consiguiente, podem os decir que La causa del proceso de difusión es la existencia d e concentraciones no u niformes d e partículas, η = η ( x ).

Dado que una concentración inhomogénea implica que d η ( x )

d x

= 0 ,

pod emos d ecir qu e el proceso d e d ifusión ocurre m ientras exista u n gradient e de concentración (en un a dimensión, el gradiente de una fun ción f ( x ) es precisamente su derivada respecto a x ). En este sentido pod emos establecer que el flujo d e p artículas (núm ero de partículas por un idad d e área) por unidad de tiempo en la posición x , Φ( x ), será prop orcional al grad iente de la concentración, Φ( x ) ∝

d η ( x )

d x

,

lo que nos p ermite escribir que Φ( x ) =

− D d ηd( x x ) ,

(7.32)

donde D es el coeficiente de difusión característico de cada tipo d e proceso. El signo m enos en la expresión anterior se añad e p ara ind icar que el movimiento de las p artículas se p roducirá d esde d onde h ay más concentración hasta d ond e hay m enos, es decir, en el sentido decreciente d e la concentración.

7.5.2.

Corriente de difusión

En un semiconductor donde tenemos portadores libres de carga (esto es, “gases” de electrones y de huecos) también pueden darse procesos de difusión si la concentración d e p ortadores no es h omogénea. No obstante, dad o qu e los portadores son p artículas cargadas, existen algunas diferencias importantes con las situaciones descritas FLML

Apuntes de CF

124


en el p roceso anterior (que sólo imp licaban a par tículas eléctricamen te neutras). En primer lugar un flujo de partículas cargadas originará obviamen te u na corriente eléctrica, que se conoce como corriente de difusión. Por otra parte, si el origen d e las inhom ogeneidad es de portad ores libres prov iene de un a distribución no un iform e de imp urezas, debemos tener en cuenta qu e éstas se ionizan y p erman ecen básicamente inm óviles m ientras qu e los electrones o hu ecos asociad os a éstas son pr ácticamente “libres”. En este caso, los p rocesos de d ifusión de portad ores libres darán lu gar a u na d escomp ensación espacial de la carga eléctrica que p rovocará la aparición de un campo eléctrico interno, E i , qu e tiende a op onerse al propio p roceso de d ifusión (es decir, el proceso de difusión acaba an tes de qu e se haya homogenizado la concentración d e carga). Si las concentraciones d e electrones y h uecos en el semicondu ctor son no uniformes, los flujos de difusión vendrán entonces dados por Φ p ( x )

=

Φn ( x )

=

− D − D

d p( x ) d x d n ( x ) , n d x

(7.33a)

p

(7.33b)

siendo D n y D p los coeficientes de d ifusión para e − y h + respectivamen te. La densidad de corriente de difusión para electrones y hu ecos se obtendrá simp lemente m ultiplicand o la carga por el flujo d e difusión d e partículas por u nidad de tiempo, por lo que

p(x)

Movimiento

J p,dif ( x )

= (+e)

J n ,dif ( x )

= ( e)

corriente

−

n(x)

d p( x ) d p( x ) = eD p D p d x d x d n ( x ) d n ( x ) . = eD n D n d x d x

− −

 

−

(7.34a) (7.34b)

Electrones y hu ecos se mu even en el m ismo sentido si su s respectivas concentraciones varían d el mismo mod o. En este caso, sus corrientes de difusión resultan en sentidos opuestos.

7.5.3. Corriente total Si además d el proceso de d ifusión, el semicondu ctor está sometido a u n camp o eléctrico externo, ( x ), enton ces la d ensidad d e corriente de electrones, J n ( x ), y la de huecos, J p ( x ), d eberán incluir términos correspondientes a los dos procesos simultáneos de movimiento de cargas que ocur ren en el semicond uctor, a saber, arrastre y d ifusión:

E

E − eD J ( x ) = J ,arr ( x ) + J ,dif ( x ) = eµ n ( x )E ( x ) + eD J p ( x ) = J p,arr ( x ) + J p,dif ( x ) = eµ p p ( x ) ( x ) n

Apuntes de CF

n

n

n

d p( x ) d x d n ( x ) . n d x

p

(7.35) (7.36) FLML


125

Existe una relación entre los coeficientes de d ifusión y m ovilid ad , que se conoce com o relación de Einst ein, que estab lece la siguient e relación: D n , p

µ n , p

=

k B T q

,

(7.37)

siendo q la carga elemental de los portadores de carga en el proceso, en nu estro caso e. La densidad de corriente total en el semiconductor, J total ( x ), será obviamente la suma de las correspondientes a electrones y huecos, esto es, (7.38) J total ( x ) = J n ( x ) + J p ( x ) , cuyos sentidos se muestran en la Fig. 7.1. E( x)

n(x)

p(x)

MOVIMIENTO

CORRIENTE

ARRASTRE

DIFUSIÓN

F IGURA 7.1: Sentido de las corrientes de d ifusión y de arr astre para electrones y hu ecos.

Es imp ortante señalar qu e la corriente de arrastre es prop orcional a la concentración de portadores, por lo qu e los portadores minoritarios apenas contribuirían a esta corriente d e arrastre. Por otra p arte, dad o qu e la corriente de d ifusión es p roporcional al gradiente de la concentración, entonces aunque la concentración de minoritarios pudiera ser órdenes de magn itud m ás pequeña qu e la d e mayoritarios, su grad iente sí pu ede ser del mismo ord en o incluso m ayor y, en consecuen cia, contribuir mu y significativamen te a la corriente de difusión y, por end e, a la corriente total. Este imp ortante resultad o pu ede resumirse como los portad ores minoritarios p ued en contribuir significativamente a la corriente total med iante procesos de d ifusión.

7.5.4.

Campo eléctrico interno

En un semicondu ctor con un dopaje no uniforme d e impu rezas (esto es, con un a concentración inh omog énea de portad ores), en ausencia de campo externo aplicado y en condiciones de equilibrio, la corriente FLML

Apuntes de CF

126


total, tanto d e electrones como de hu ecos, debe ser cero 2: J n ( x )

Semicond Inhomog

≡ J ( x ) = 0 . p

I=0

A J p= J p,d fi+J p,arr J p,d f i Ei

Por ejemplo si consideramos el caso d e un semicond uctor tipo p dopad o inhomogéneamente, p = p( x ) (en la figura se representan los portad ores de carga móviles), es claro que inicialmente existirá una corriente de difusión de huecos debido a la existencia de un gradiente no nu lo en la concentración d e hu ecos, J p,dif = 0. Dado q ue en el equilibrio la corriente total de huecos es nula, esta corriente de difusión d e hu ecos debe verse comp ensada p or un a corriente de arrastre d e hu ecos en sentid o contrario. Claramente, esta corriente d e arrastre debe estar originada por la aparición de un campo eléctrico interno, i , qu e sea responsable de la creación d e dicha corriente.



E

Tal como se ha discutido en al Ap artado 7.5.2, el origen d e este camp o eléctrico interno p ued e entend erse pa rtiendo d el hecho de que la muestra era originalmente neu tra. Podem os ver que existen dos tendencias contrapu estas en el semicond uctor dop ado n o u niformemente. Por un a parte existe una tend encia hacia la inhom ogeneidad de los por tad ores libres d ebido a la atracción eléctrica d e las impu rezas ionizad as que, buscand o la neutralidad local de la carga, tiend e a igu alar la distribución de impu rezas ionizadas con la de portadores libres. Por otra parte, a causa de la difusión (que solo afecta a las cargas móviles), existe una tend encia a la hom ogenización d e la concentración d e portadores. Ambas tendencias tienden a contrarrestarse, dando lugar a un a distribución final de portad ores intermed ia entre la distribución inicial de imp urezas y la homogen ización total. En este sentido, el proceso de difusión genera un mov imiento neto de los portad ores d e carga que p rovoca la aparición de u na d ensidad de carga neta, ρ( x ), en la mu estra. A su vez, la ap arición d e esta densidad de carga neta dará lugar a un campo electrostático y, consecuen temente, a u n poten cial electrostático, V ( x ), que estará relacionado con la densidad de carga, ρ( x ), med iante la siguiente ecuación: d 2V ( x ) ρ( x ) , = 2 d x  denominada ecuación de Poisson .

(7.39)

−

Teniend o en cuen ta qu e d p( x ) =0, J p ( x ) = e µ p p ( x ) i ( x ) D p d x pod emos obtener, tras d espejar, la siguiente expresión para el camp o eléctrico interno: D p 1 d p( x ) k T 1 d p( x ) k T d ln p( x ) . (7.40) = B = B i = µ p p( x ) d x e p ( x ) d x e d x



E −



E

2 Nótese

que si la corriente fuese distinta de cero se estaría generando energía de la nada d ado qu e al paso d e la corriente hay resistencia.

Apuntes de CF

FLML


127

Dad o que este camp o es irrotacional p uro (proviene ún icam ente de las cargas eléctricas), i derivará de u n p otencial V ,

E

E = − d V d x( x ) , i

y por tanto (7.40) puede reescribirse como d V ( x ) = d x

− k eT dd x ln p( x ) . B

(7.41)

J p,dif (x)

Si integramos la ecuación anterior entre d os pu ntos arbitrarios, 1 y 2, 2

 d 1

V =

− k eT B

J p,arr

2

 d ln 1

p

E i( x)

,

V 1

encontramos finalmente qu e V 21 =

2

1

− k eT ln pp21 B

,

(7.42)

V 2

Potencial debido a una concentración de portadores no uniforme

donde V 21 = V 2 V 1 y p1 , p2 son las concentraciones d e hu ecos en los pu ntos 1 y 2 respectivamente. Es interesante n otar qu e la expresión anterior nos dice que

−

la diferencia de potencial que se establece entre dos p u ntos d e u na m u estr a d e sem icon d u ctor no hom ogéneo sólo depende de la relación entre las concentraciones en estos pu ntos y no d e la distancia entre los puntos o de la forma de la concentración entre estos puntos.

A partir de (7.42), encontramos la siguiente relación entre las concentraciones en fun ción d e la d iferencia d e poten cial: p2 p1

−  eV 21

= exp

.

k B T

(7.43)

Si el proceso anterior se hu biese hecho p ara la corriente d e electrode una forma an áloga se hu biese llegad o igualmente a que nes 3, procediend o

n2 n1

 

= exp

eV 21

k B T

.

(7.44)

Combinando ahora las expresiones (7.43) con (7.44) obtenemos que p2 p1

=

n1 n2

⇒

n 1 p1 = n 2 p2

.

3 Notar

que si p = p( x ), esto implica que n = n ( x ) dado que donde hay mayor concentración de huecos, habrá mayor recombinación y por tanto esto afectará a la concentración de electrones.

FLML

Apuntes de CF

128


Dado qu e los puntos 1 y 2 son pu ntos arbitrarios y el produ cto de la concentración d e h uecos por electrones viene fijado por la ley d e acción de masas (7.15), encontramos la siguiente expresión general de la ley de acción d e masas: Ley de acción de masas para un semiconductor inhomogéneo en equilibrio

n ( x ) p( x ) = n 2i

.

(7.45)

E JEMPLO 7.6 Una muestra de Si es dopada con átomos donadores de tal manera que N d ( x ) = N 0 exp ( ax ). (a) Encuentre una expresión para el campo interno supuesto que N d n i . (b) Calcule el valor del campo si a = 1 (µm) −1.



−

(a) Partiendo de que J n ( x ) = 0 y siguiendo un proceso análogo al realizado en la sección anter ior, llegamos a qu e

E = − k eT dd x ln n ( x ) , que en nu estro caso, adm itiendo qu e n ( x )  N ( x ), se convierte en B

i

d

E = k eT a . i

B

(b) Sustituyend o los valores oportu nos tenemos que

E = 0,0259 × 106 = 259 V/ m . i

7.6.

Velocidad de generación y recombinación

Antes de analizar la generación y recombinación de portadores vamos a discutir brevemente algunas cuestiones relacionadas con el equilibrio. Es bien conocid a la prop iedad natu ral de tod o sistema físico de respond er a una acción mediante una reacción. La acción puede ser interna (realizad a d esde d entro d el sistema) o bien externa mientras que la reacción será siempre interna. En función del balance entre la acción y la reacción del sistema d iremos q ue éste presenta Equilibrio estadístico Cuan do el efecto comb inad o de la acción/ reacción prod uzca un a situación en la que las variables del sistema sólo muestren pequ eñas fluctuaciones en torno a un valor m edio fijo en el tiemp o. Equilibrio térmico Cuando no se ejerce acción extern a sobre el sistema, salvo el efecto de la temperatura. Apuntes de CF

FLML

7.6. Velocidad de generación y recombinación

129

Desequilibrio estacionario Existe acción externa pero tra s cierto tiemp o de tran sición (usu almente m uy pequeño) se alcanza un a situación en la que las variables del sistema perm anecen constan tes en el tiemp o. No e quilibrio Cuan d o las variables del sistema varían con el tiemp o. Ya se discutió en el Apartado 6.2 que, en un semiconductor en equilibrio térmico, el proceso de generación de p ortad ores de carga era interno (generación térmica fundam entalmente), debiéndose cum plir además que la velocidad de generación interna, Gint , fuese igual a la velocidad de recombinación, R , —ver expresión (6.3). Si existen acciones externas, además de los procesos de generación interna, pueden darse otros procesos de generación debidos a causas externas, Gext : iluminación, campos intensos aplicados, etc, que rompen la situación d e equilibrio. Si consid eramos qu e, en estas situaciones de no equilibrio, todos los p rocesos de g eneración/ recombinación sólo crean/ d estruyen p ares de e − / h + , entonces es conveniente introdu cir el concepto d e velocidad de recombinación neta, U , que se define como la d iferencia entre la velocidad d e recom binación y la de gen eración interna , (7.46) U = R Gint .

−

Velocidad de recombinación neta

(Notemos que U nos informa básicamente sobre los p rocesos inter+ nos, es decir, recombinación y generación interna de pares e − / h ). Dado que la acción externa provoca u na descomp ensación entre los procesos de generación y recomb inación, existirá u na variación de las concentraciones de portadores con el tiempo, que pueden expresarse como

   − ∂n ∂t

g r

∂ p ∂t

g r

= Gn ,ext

− U

(7.47a)

= G p,ext

− U .

(7.47b)

−

Teniend o en cuen ta la expresión (6.1) para la velocidad de recombinación, R , y que según (6.3) Gint = R int = αr n 2i , la velocidad de recomb inación n eta pu ede escribirse como U = R

− Gint = α n p − α n 2 = α (n p − n 2 ) . r

Nótese que en un a situación de acción d e masas (n p = n 2i ).

r i

r

no equilibrio no

i

(7.48)

se cump lirá la ley de



Si la concentración de portadores fuera del equilibrio se expresa en términos de la concentración de portadores en equilibrio (lo cual se denotar á a pa rtir de ahor a con el subínd ice “0”) y d e la concentración de portadores en exceso (denotados por el símbolo δ), pod remos FLML

Apuntes de CF

130


Concentración de portadores Concent. portad. en equilibrio δn Concent. de port. en exceso

n n0

escribir qu e (7.49a) (7.49b)

= n 0 + δn p = p0 + δ p . n

Teniend o en cuen ta las expresiones anteriores y que la ley d e acción de masas exige que n 0 p0 = n 2i , encontramos que la expresión (7.48) pu ede reescribirse como U = αr ( p0 δn + n 0 δ p + δn δ p)

.

(7.50)

Si supon emos que la acción externa genera el mismo nú mero d e electrones que de huecos [ δn (t = 0) = δ p(t = 0)], y p uesto que los e − y h + se recombinan por pares, entonces el exceso instantáneo d e am bos tipos de portad ores será también idéntico, δn (t ) = δ p(t ) .

δn δ p

 n0  p0

I NYECCIÓN DÉBIL Semiconductor tipo n Semiconductor tipo p

Bajo este supuesto, en un semiconductor tipo n tal que p 0 n 0 y en condiciones de inyección débil (esto es, δn n 0 ), la velocidad de recombinación neta puede aproximarse mediante





U = αr n 0 δ p =

δ p , τ p

donde la constante τ p = 1/ αr n 0 se denomina los portadores m inoritarios.

(7.51) tiempo de vida media de

En el caso anterior, la ecuación que nos da la variación temporal de la concentración de los portadores min oritarios d ebido a los procesos de generación y recombinación vendría dada por

    ∂ p ∂t

=

−

g r

∂ δ p ∂t

= G p,ext

−

g r

− δτ p

.

(7.52)

p

7.7. Ecuación de continuidad En el Apartado 7.6 ya d iscutimos qu e cuando se produ ce un a generación neta de portadores en un semiconductor como consecuencia de una acción exterior, el semiconductor reacciona oponiéndose a d icha generación med iante una recombinación neta, tanto m ás importante cuanto mayor sea la generación debida a la causa externa. Cuan d o ambas tenden cias se contrarrestan mutu amen te se alcanza u n régimen estacionario (o desequ ilibrio estacionario), pu d iéndose considerar el equilibrio como un caso particular de régimen estacionario cuando no existe acción externa alguna. Si la acción exterior cambia con el tiempo ello dará lugar a un régimen dinámico (situación d e no Apuntes de CF

FLML

7.7. Ecuación de continuidad

131

equilibrio) en el qu e predom inará u na d e las do s tenden cias de acción o reacción. Para el análisis general de u n régimen dinám ico d ebe tenerse en cuenta que la acción y la reacción no tienen por qué ocurrir en los mismos p un tos. La generación por causas externas pu ede ocurrir en cierto lugar y los portad ores generad os pu eden originar corrientes qu e los llevan a recombinarse en otros lugares distintos. Las ecuaciones que rigen el proceso dinámico general se denominan ecuaciones d e continuid ad d e las concentraciones de portad ores. En el caso d e u n semicond uctor, la variación en el tiemp o d e la concentración de portad ores minor itarios en un elemento de volum en, d , pued e deberse a d os causas d istintas:

V

1. Generación y/ o recom binación neta, 2. Transporte o flujo variable de portadores a través del volum en. En consecuencia, para un semiconductor tipo n , la var iación tem pora l “total” de la concentración d e portad ores minoritarios (hu ecos), vendrá dada por ∂ p = ∂t ∂ p ∂t

 

=

⇓

increm ento neto d el nú m ero d e h uecos p or u nid ad de tiempo en d

   

∂ p + ∂t transp ∂ p ∂t

∂ p ∂t gen −rec

(7.53)

+

transp

⇓

=

V

−

Gext

d iferencia entre el nú m ero d e h + en tran do y salien do d e d e n u n id a d t p o.

V

⇓

+

nú mero d e h + generados en d en la u nid ad d e tp o. d e bid o a a cció n e xt .

V

⇓ velocidad de gener. h + en d V d ebid o a acciones externas

−

−G ] ⇓ +

U [= R

in t

número de h recombinad os en d en la u nid ad d e tp o

V

⇓

velocidad de recomb. neta d e h + en d

V

La expresión an terior nos d iría, por ejemp lo, qu e si en d se acumulan 3 h + por unidad de volumen en la unidad de tiempo puede ser debido a qu e han entrado 12, han salido 11, se han generado p or acciones externas 3, por acciones internas 1 y se han recombinado globalmente 2.

V

La variación d e la concentración d ebida a la gen eración/ recombinación de portad ores fue analizada en el Apartad o 7.6 dond e se obtuvo en (7.52) para la concentración d e portad ores minoritarios que

 

∂ p = G p,ext ∂t gen −rec

FLML

− δτ p . p

Apuntes de CF

132


Si qu eremos calcular el núm ero de h + que entra por unidad d e tiempo en d a través d e la superficie A en x , magnitud que denom inaremos Ω p ( x ), pod emos tener en cuen ta que al dividir la densid ad d e corriente de huecos J p ( x ) por la carga e podemos así obtener el número de hu ecos por u nida d d e tiemp o y sup erficie que entra en el elemen to diferencial. Al dividir J p ( x ) por la longitu d d el elemento d iferencial ∆ x se obtendrá ya finalmente Ω p ( x ) y análogamente para Ω p ( x + ∆ x ). Por tanto

V

   → →   ∂ p ∂t transp

x

qu e al tomar el límite ∆ x

=

x +∆ x

1 J p ( x )

− J ( x + ∆ x ) , p

∆ x

e

0, pu ede reescribirse como

∂ p( x , t ) = ∂t transp

− 1e ∂ J ∂( x x , t ) . p

Al agrup ar los términos d e generación/ recomb inación con los términos de arrastre, en condiciones de inyección débil, la ecuación de continuidad para hu ecos vend rá dad a finalmente por Ecuación de continuidad para los minoritarios (huecos) en condiciones de inyección débil

∂ δ p( x , t ) = ∂t

− 1e ∂∂ J x − δτ p + G ,ext p

.

p

(7.54)

p

Análogamente para electrones se tendrá que ∂ δn ( x , t ) 1 ∂ J n = ∂t e ∂ x

− δτ n + G ,ext n

.

(7.55)

n

7.7.1. Ecuación de difusió n En mu chas situaciones prácticas tenemos u na m uestra homogénea (la den sidad d e imp urezas es uniforme es tod o el material) d ond e encontramos que la corriente de difusión d e portad ores minoritarios es mu cho mayor qu e la d e arrastre, admitiendo además qu e no existe generación d e p ortadores en el volumen del semiconductor debida a agentes externos, G ext = 0. En estas situaciones (en el caso d e qu e Apuntes de CF

FLML

7.7. Ecuación de continuidad

133

los minoritarios sean los huecos) se tiene qu e la densid ad d e corriente total de hu ecos vendría dada p or J p

≈ J d if = −eD

p

p

∂( p0 + δ p) = ∂ x

−eD

p

∂ δ p . ∂ x

(7.56)

Al sustituir la expresión an terior en la ecuación de continuid ad (7.54) obtenem os la siguiente ecuación de difu sión de minoritarios (en este caso, huecos): ∂δ p ∂2 δ p = D p 2 ∂t ∂ x

− δτ p

(7.57)

Ecuación de difusión para huecos

(7.58)

Ecuación de difusión para electrones

p

y sim ilarm ente si los m inoritarios fuesen los electrones: ∂δ n ∂2 δ n = Dn 2 ∂t ∂ x

−

δn . τ n

7.7.2. Inyección constante de portadores Una d e las situaciones d e mayor interés práctico qu e pu ede analizarse med iante la ecuación d e difusión es aquella situación estacionaria que se mantiene gracias a un a inyección constante d e portad ores que hace que el exceso en la concentración de minoritarios no varíe con el tiempo, es decir (para el caso de huecos), x=0

∂δ p = 0. ∂t

Para el caso de u na m uestra homogénea d e semicond uctor tipo n en condiciones de inyección débil y generación externa nula en el volumen , la ecuación de d ifusión (7.57) para los m inoritarios pu ede expresarse com o d 2 δ p δ p δ p , (7.59) = d x 2 D p τ p L p2

≡

Se mantiene un exceso de portaores para todo x En x=0 , p(x=0) = p

Ecuación de difusión para el estado estacionario

donde L p = D p τ p se conoce como longitud de difusión para huecos. (Nótese qu e las derivad as que ap arecen en la ecuación son totales).



Si, por ejemplo, se supon e que u n exceso de h uecos son inyectados en el semicond uctor a través d e la su perficie en x = 0, tal qu e δ p( x = 0) = ∆ p, al resolver (7.59) obtenem os que δ p( x ) = A e x / L p + Be − x / L p .

Dado q ue la solución an terior no pu ede crecer para tante A d ebe hacerse cero. Por otra parte, dad o que δ p( x = 0)

x

→ ∞, la cons-

≡ ∆ p = B ,

tenemos finalmente qu e FLML

Apuntes de CF

134


p(x)

p ( x ) = p0 + ∆ p e − x / L p p p0 x

.

(7.60)

Esta expresión da una idea de la distancia (en la práctica un número escaso d e veces L p ) a la cual pr ácticamente se recup era el equilibrio. En rigor, L p puede interpretarse como la distancia media en el movimiento d e d ifusión d el h + antes d e recombinarse.

7.8. Problemas propuestos 7.1: La energía de la banda p rohibida del german io puro es E g = 0,67 eV. (a) Calcu lar el número de electrones por unidad de volumen en la banda d e condu cción a 250 K, 300 K y 350 K. (b) Hacer lo mismo para el silicio sup oniend o que E g = 1,1 eV. La masa efectiva de los electrones y hu ecos son en el germ anio es 0,12 m e y 0,23 m e, y en el silicio 0,31 m e y 0,38 m e, donde m e = 9,1 10−31 kg es la masa de electrón libre. Sol. [en m −3 ] (a): 0,023 1019 , 0,40 1019 , 3,24 1019 ; (b): 0,032 1016 , 0,29 1016 , 7,7 1016

×

×

×

×

×

×

×

7.2: Supóng ase que la m asa efectiva d e los huecos en un material es cuatro veces la de los electrones. A que temperatu ra el nivel de Fermi estará un 10 % por encima d el pu nto medio de la banda p rohibida. E g = 1 eV. Sol. T = 557, 6 K 7.3: La anchu ra de la banda p rohibida par a el Ge es E g = 0,67eV. Las m asas efectivas de electrones y huecos son respectivamente m ∗e = 0,12m e y m ∗h = 0,23m e (m e es la masa del electrón libre). Calcular a 300 K: a)la energía de Fermi; b) la densidad de electrones;y c) la densidad de huecos. Sol. (a) E F = E V + 0,3476 eV; (b) n = n i = 4,05 × 1018 m −3 ; (c) p = n ≡ n i . 7.4: Los valores de la conductividad del germanio puro a las temperaturas en K: (300,350,400, 450,500) son respectivamente en Ω−1 m −1 : (2,13,52,153,362). a) Hacer una gráfica de ln σ frente a 1/ T . b) Determinar E g para el germanio. Sol. E g = 0,67 eV. 7.5: En el tema se ha visto que la introd ucción d e átomos donad ores pued e incrementar fuertem ente la concentración de electrones en BC. Por otra p arte, la ley de acción de masas nos d ice que este incremento imp lica una disminución igualmente fuerte en la concentración d e hu ecos en BV. Explique las razon es físicas d e esta imp ortante disminución de huecos. 7.6: La condu ctividad del Ge puro se incrementa en un 50% cuand o la temperatura pasa d e 20 a 30 grados centígrados. a) ¿Cuál es la anchura de la banda prohibida?; a) Teniendo en cuenta que p ara el Si, E g = 1,1 eV, ¿cuá l es el porcenta je de cambio en la conductividad para el mismo cambio de temperatura?. Sol. (a) E g = 0,61 eV; (b): 105 %. 7.7: ¿Cuánto tiempo tardará un electrón en recorrer 1 µm en Si puro sometido a un campo eléctrico de 100 V/ cm?. Repita el cálculo para un campo de 10 5 V/ cm. 7.8: Una m uestra d e Si es dop ada con 5 1016 cm −3 átomos donad oresy 2 1016 cm −3 átomos aceptores. Encuentre la posición del nivel de Fermi respecto al intrínseco a 300K.

×

×

7.9: Se utiliza como resistencia de una zona d e un circuito integrado u na barr a de silicio tipo N d e 2 mm de longitud y de 2,5 ×10 −5 m 2 d e sección. Sabiend o qu e la concentración de átomos donad ores es N D = 5 ×1013 cm −3 y qu e la movilidad d e electrones

Apuntes de CF

FLML


135

es µ n = 1500 cm2 / Vs, determ inar su resistencia a 300 K d em ost rando qu e la con tribución de huecos es despreciable a la conductividad. Datos: µ p = 475cm 2 / (V·s); n i = 1,45 × 1016 m −3 Sol. R ≈ 66 Ω. 7.10: A una barra de Ge de 10 cm de longitud y 2 cm 2 de sección se le aplica una d.d .p. de 10 V entre sus extremos. Conociendo como d atos la concentración intrínseca de p ortadores, n i = 2,36 1019 m −3 , q u e µn (300K) = 0,39 m 2 / (V·s) y qu e µ p (300K) = 0,182 m 2 / (V·s), determ inar : a) la resistividad del Ge; b) la resistencia de la barra; c) la velocidad de arrastre de electrones y huecos; y d) la corriente que circula por la barra. Sol. (a) ρ = 0,462 Ωm; (b) R = 231,2 Ω; (c) v n = 39 m/ s, v p = 18m/ s.

×

7.11: Una m uestra de Ge tipo N posee una concentración de imp urezas donadoras dada por N D = 1015 cm −3 . Determinar la concentración d e electrones y h uecos a 500 K sabiend o que la concentración in trínseca viene d ada p or la expresión n i = CT 3/ 2 exp ( E g / (2kT ))

−

,

siendo C = 1,91 · 1021 m −3 K−3/ 2 , E g = 0,67 eV. Sol. p = 8,34 × 1021 m −3 , n = 9,34 × 1021 m −3 ] 7.12: Una m uestra de Si es dopad a con 1017 átomos/ cm 3 de fósforo. a) ¿Qué valor tend rá la resistividad d el material?. b) Calcule la tensión Hall qu e se mediría en un a muestra de 100 µm de espesos recorrida por una corriente de 1 mA y sometida a un campo m agnético de 1 kG. Sol.: a) ρ = 0,0893 Ω cm; b) V H = 62,5µm.

·

| |

7.13: Una muestra de Si a 300 K presenta dos niveles independientes de donadores con densidades N D 1 = 1 × 1016 cm −3 y N D 2 = 2 × 1016 cm −3 , localizados a 100 meV y 200 meV por d ebajo d el borde inferior de BC. Supu esta ionización to tal de los don adores, obtenga la ecuación de neu tralidad d e la carga para este caso y encuentre el valor de la concentración de electrones en BC. ¿Cómo cambiará este valor si se añaden impurezas aceptoras con una densidad de 0,9 × 1016 cm −3 ?. 7.14: Una muestra “intrínseca” de InP es dopada con impurezas aceptoras desde un lado d e tal modo que obtenemos un perfil dado por N A ( z ) = N A (0)e −bz , donde z representa la coordenada en el interior de la muestra y N A (0) la concentración en la superficie. Además se cumple que para z n i , la concentración intrínseca ∞, N A de p ortadores. a) Calcule el perfil de dop ado y encuen tre una expresión para el campo eléctrico que se instau raría en equilibrio térmico si N A n i . b) Obtenga el valor del − 1 campo eléctrico si b = (2µm ) .

→

→



FLML

Apuntes de CF

Capítulo 8

Unión p-n 8.1. Introducción Las aplicaciones eléctricas y ópticas m ás interesantes d e los sem icond uctores surgen cuand o se d opan regiones vecinas con d istintos tipos d e imp urezas. En este sentido, la mayor ía de los dispo sitivos semicond uctores usad os en Electrónica contienen al m enos un a un ión entre un material tipo p y uno tipo n . Las uniones p-n son fund amentales para la realización d e fun ciones tales como la rectificación, am plificación y conmutación tanto de señales electrónicas como optoelectrónicas. En consecuencia, podemos considerar a la unión p-n como el elemento básico operativo de diversos componentes electrónicos y op toelectrónicos como d iodo rectificador, diod o Zener, d iodo tú nel, transistor bipolar, fotodiodo, LDR, célula fotovoltaica, diodo LED, láser d e inyección, etc. Para el estudio de la unión p-n se usará un modelo simplificado que es la unión abrupta. Esta unión no es en sentido estricto la que se encuentra en los diversos dispositivos p ero es suficientemente simple como p ara pod er ser tratada cualitativa y cuan titativamente y, por otro parte, es suficientemente realista como p ara ofrecer un comp ortamiento físico mu y pr óximo al que ocurre en las un iones difusas. En principio estudiaremos la unión p-n en equilibrio (esto es, sin acción externa) para despu és analizar el efecto d e u na polarización externa sobre la u nión. En prim er lugar estud iaremos este efecto d esde u n pu nto d e vista cualitativo p ara p osteriormente obtener las expresiones de las diversas corrientes. Es interesante señalar el enorm e cambio que se observa en la característica I V de una unión p-n respecto a la característica de un a m uestra hom ogénea d e semicondu ctor d opad o (qu e se compor ta com o una simp le resistencia). Aparecen nuevos efectos físicos relaciona dos con la un ión que abren mu chas posibilida des al d iseño d e nu evos y eficaces dispositivos.

↔

Una vez realizado el estudio básico de las corrientes de la unión, 137

138

Capítulo Capít ulo 8. 8. Unió Uniónn p-n

estudiaremos también su comportamiento optoelectrónico con el ob jetiv o d e ap a p lica licarl rloo al an ál álisis isis d e d iv iver erso soss com co m p on en te tess com co m o el d iod o LED LE D y el d iod iodoo láser.

8.22. Unión p8. p-nn en equilibr equilibrio io N D

N A

S

Semiconductor Intrínseco

p

Tal como como se ha co comentad mentad o anteriormente, el estud estud io de la un ión p-n en equil equilibri ibrioo se realizar realizaráá usand o el mod el eloo d e la unión abr abrupta upta sin excitación externa y, por tanto, sin corriente neta en la unión. Esta unión abrupta estará constituida por una muestra original de semicondu ctor intrínseco de sec secci ción ón S constante que es dopada uniformerezass aceptoras aceptoras (de (de concentraconcentramente en un lado d e la unión p or impu reza ción N A otro lado p or impu rezas don ad oras (cuya (cuya concentraconcentra A ) y en el otro ción será N D D ).

n

8.2. 8. 2.1. 1. Potenc Potencial ial de Conta Contact ctoo Según se discutió en el Apartado 7.5.2, al poner en contacto íntimo los d os lad lad os de la un ión p-n comen comen zará un proceso d e d if ifusión usión d ebido a la diferencia de concentración de portadores en ambos lados de la un ión. Se Se inicia inicia un flujo de h uecos de p n y simu simu ltá ltáneamente neamente un flujo de electrones de p n . Este proceso de difusión (que intenta igualar las concentraciones concentraciones en en am bos lados d e la unión) continúa h asta establecimiento establecimiento d e un camp o electrostátic electrostáticoo interno su fici ficientem entem ente intenso como como p ara opon erse al movimiento d e las las cargas cargas (ver (ver Apar tado 7.5.4). La ausencia de corriente neta en el equilibrio implica que

←

→

| J J arrastre | = | J J difusión | . Los h + que viajan desde p → n provienen m ayori ayoritari tariamente amente d e la ionizac ioni zación ión d e las imp urezas aceptoras aceptoras en el lado p y, análogamente, − los e desde p ← n , de la ionización de las impurezas donadoras en el lado n . Tal como muestra la Fig. 8.1, este desplazamiento de portadores de carga, dejando tras de sí un defecto de carga fija, provoca la aparición de una región de carga neta en las proximidades de la unión. Esta región de carga neta, o región de ca / región carrga es pacia paciall / región está compu esta por cierta cierta cantidad de cargas negativas de transición, transición , está fijas en el lado p y la m is isma ma ca cantidad ntidad de cargas positivas positivas en el lado lado n . El campo electrostático interno se genera debido a la aparición de estas cargas cargas y es imp imp ortante señalar qu e el campo electrostático está básicamente localizado en la región de carga espacial,

d ad o que fuera d e esta región el resto de la muestra es neutro dan do así así lugar a qu e el camp camp o apenas se extie extiend nd a más allá allá d e la zona de transición. La existencia de dicho campo electrostático viene lógicamente Apuntes de CF

FLML

8.2. Unión p-n en equilibrio

139

F IGURA 8. 8.1: 1: Propiedad es de la unión p-n en equilibrio

acomp añad o de la aparición aparición d e una d if iferenci erenciaa de p otencial corre correspon spon diente, de tal mod o que el potenci potencial al toma un valor V n en la zona neu tra la zona neutr a p; siend o su d if iferencia erencia V 0 = V n V p p conocida n y V p p en la 1 como potencial de contacto .

−

El cálc cálculo ulo d el potencial de contacto p ued e realizarse, realizarse, por ej ejemp emp lo, siguiendo la expresión (7.42), que nos decía que V 21 21 =

− kT q ln pp21

don de hem os hecho hecho u so ahora d e un a notación notación ligeramente ligeramente d if ifere erente nte al llamar q al mód ulo d e la carga carga d el ele elect ctrón rón y k k B . Teniendo en cuenta además la siguiente nomenclatura:

≡

V 2

≡ V

n

,

p1

V 1

≡ V

p p

≡p0 p

,

≡ V − V p2 ≡ p 0 ,

V 21 21

y

n

p p

= V 0

n

don de el subíndice subíndice n o’ p indica la región de la unión y el subíndice “0” que se está en situación d e equilibrio, equilibrio, la la expresión anterior p ued e 1 Un

voltímetro no p odría med ir este este potencial potencial de contacto contacto p uesto que el campo que lo crea sólo existe existe en el interior de la m uestra, no extendiénd ose por el exterior. exterior.

FLML

Apuntes de CF

140

Capítulo Capít ulo 8. 8. Unió Uniónn p-n

reescribirse com com o

kT

V 0 =

q

ln

p p0 pn 0

.

(8.1)

En aqu ell ellos os casos en en los qu e p p0

2

y

≈ N

A A

pn 0

≈ N n

,

i

D D

la expresión expresión para el potencial de contacto vendrá d ad a por Potencial de contacto en una unión p-n.

V 0 =

kT q

ln

N A D A N D n 2i

.

(8.2)

Para obtener obtener el diagrama diagrama de bandas d e energí energíaa d e la un ió iónn p-n mostrado en la Fig. 8.1 se ha hecho uso de las siguientes consideraciones: El nivel de Ferm Ferm i de un a mu estra en equilibrio equilibrio no d epend e de la posición (ver Apéndice E). La energía de d e los los electrones electrones y/ o hu ecos en cada zon a de la unión un ión estará afectada por la presencia del potencial electrostático. Teniend o en en cuenta ad emás qu e p p0 y pn 0 representan la concentración d e hu ecos en equilibrio en en los lados p y n fuera d e la región región d e carga, carga, obtend remos haciendo u so de (7.9) (7.9),, que p p0 pn 0

N V V exp

= N V V exp

− −

E Fp Fp

− E

Vp

kT E Fn E V n Fn

−

kT

 

.

Dad o qu e según (8 (8.1 .1), ), p p0 pn 0

= exp

  qV 0

(8.3)

kT

y que E Fp ilibrio, ibrio, encontram os que Fp = E Fn Fn en equ il exp

  − qV 0 kT

= exp

E Fp Fp

− E

Vp

kT

 − exp

E Fn Fn

− E

Vn

kT



,

lo que n os lleva lleva a Desplazamiento de las bandas de energía en una unión p-n en equilibrio

Apuntes de CF

E V p

− E

Vn

= qV 0 .

(8.4)

(Una expresión expresión análoga p odr ía obtenerse para la energía d e las las band as d e cond u cc cción.) ión.) Tal Tal como m u estra la Fig. 8.1, 8.1, la la exp resión (8.4) (8.4) ind ind ica que las bandas de energía en cada lado de la unión están separadas un a cantidad igual al valor d el potencial potencial de contacto por el de la carga carga electrónica q. FLML

8.2. Unión p-n en equilibrio

141

8.2.2. Región de carga espacial En la región de carga espacial tanto los electrones como los huecos están en tránsito debido a la acción del campo electrostático . Este hecho provoca qu e existan, en u n instante d ad o, muy p ocos electrones o huecos en esta región. En consecuencia,

E

la carga espacial de la región de transición puede considerarse debida únicamente a las impurezas donadoras/ aceptoras fijas ionizadas.

Consideraremos, por tanto, que no hay portadores de carga libres en esta región. El cálculo d e la carga neta en am bos lados d e la región de tran sición d ebe tener sólo en cuenta la concentración d e impu rezas ionizadas, esto es, Q (+) = qN D S x n 0

Q (−) =

y

−qN

A S x p0

.

w

Zona Neutra

Zona Neutra

p

n -x p0

0

xn0

x

Dad o que el semicond uctor era originalm ente neu tro, debe verificarse qu e Q (+) = Q (−) , lo qu e implica qu e

|

|

(8.5)

qN D S x n 0 = qN A S x p0

y por tanto N D x n 0 = N A x p0

.

(8.6)

Esta expresión nos dice que las distancias de las zonas d e carga espacial p ositiva y n egativa son las m ismas ú nicamente si N D = N A . A medida que la concentración de impurezas en una de estas zonas aum ente, la longitud d e esta zona d isminu ye. Si la anchu ra d e la zona d e carga espacial se denom ina w = x n 0 + x p0

,

(8.7)

la resolución de la ecuación de Poisson para el potencial electrostático nos p roporcionaría la sigu iente expresión: w=

2V 0

1

q

N A

 

+

1 N D



1/ 2

.

(8.8)

E JEMPLO 8.1 En una muestra de Si dopada para formar una unión abrupta p-n con N A = 4 1018cm−3 , N D = 1016cm−3 y  = 120 calcule a) el potencial de contacto, b) la anchura de la región de carga espacial en cada lado de la unión, y c) el valor máximo del campo interno.

×

a) Usand o la expresión (8.2) obtenem os que el potencial de contacto será V 0 =

FLML

kT q

ln

N A N D n2 i

≈ 0,85V . Apuntes de CF

142

Capítulo 8. Unión p-n b) Para calcular la anchur a de la región de carga espacial hacemos u so de (8.8), lo que nos dice que w

2(12 8,85 10 −12 )( 0,85) = 1,6 10−19



·

× ×



1 1 + 22 24 10 4 10

×



1/ 2

≈ 0,334 µm .

Combinando ahora (8.6) con (8.7) obtendremos finalmente que x n 0 =

0,333 µm ,

x p0 =

8,3 Å .

c) Para calcular el valor m áximo del camp o interno p artimos d e (7.39), ecuación de Poisson, escrita para el camp o, es decir d ( x ) ρ( x ) = ,  d x

E

qu e en la región d e carga espacial se convierte en d ( x ) = d x d ( x ) = d x

E E

qN D

0 < x



− qN 

A

− x 0 p

< x n 0

< x <

0.

Integrando las anteriores ecuaciones y llamando (0− ) = (0− ) obtenemos la siguiente forma para el campo eléctrico:

E

E

≡ E 0

donde p odemos observar que

E 0 = − q N x 0 = − q N x 0 . D n

A p

Al sustituir en la expresión an terior los valores correspond ientes tendremos que

E 0 = −

Apuntes de CF

1,6 10 −19 = 5,1 106 V/ m . − − 12 22 5 (12)( 8,85 10 )( 10 )( 3,33 10 )

×

×

×

×

FLML

8.3. Unión p-n polarizada

143

8.3. Unión p-n polarizada Una d e las conclusiones más imp ortantes que obtend remos en este apartado es el comp ortamiento asimétrico qu e p resenta la un ion p-n cuando ésta es polarizada directamente (cuando la zona p está sometida a un potencial externo p ositivo respecto a la zona n ) o bien inversamen te. Esta asimetría en el compor tamiento de la característica I V implica que la corriente puede fluir casi libremente cuando la un ión se polariza directam ente y apenas flu ye en polarización inversa. Tal como muestra la Fig. 8.2, una muestra de semiconductor dopado homogéneamente m ostraría un comp ortamiento claramente recíproco mientras que la unión p-n muestra un evidente comportamiento no recíproco.

↔

V

I

V

I

Semiconductor dopado

p

I

n

I

(a)

V

V

(b)

F IGURA 8.2: Característica I ↔ V para (a): una m uestra de semicondu ctor dop ado homogéneamente; y (b): una unión p-n.

El análisis del efecto d e la ap licación d e un poten cial externo a la un ión se realizará, en p rimer luga r, mediante u na d escripción cua litativa para v er cómo v arían las corrientes en la un ión y posteriormen te se hará un cálculo explícito de estas corrientes.

8.3.1. Descripción cualitativa de las corrientes en la unión Para llevar a cabo este análisis, sup ond remos que Se ha llegad o a u na situación estacionaria. Todo el voltaje aplicado al sistema aparece ú nicamente en la región d e carga espacial asociad a a la un ión. Las caídas de voltaje y los cam pos eléctricos en el m aterial que se encuentra fuera de la región de la un ión (esto es, las zonas neu tras) son desp reciables. FLML

Apuntes de CF

144

Capítulo 8. Unión p-n

La sup osición d e qu e el efecto d el voltaje externo aplicado a la un ión aparezca únicamente en la región de transición es una aproximación pu esto que, en sentido estricto, debe existir una caíd a d e potencial en las zonas neutr as si hay u n flu jo de carga a través de dichas regiones. No ob stante, la resistencia de estas regiones neutras será m uy pequ eña en comp aración con la resistencia d e la región de carga espacial debido a la enorme d iferencia en la concentración de portadores d e carga existentes en amb as zonas (la zona d e transición se ha sup uesto d espoblad a de p ortad ores d e carga, es d ecir, con mu y bajos valores de n o’ p, lo qu e hace que la condu ctividad de esta zona sea mu cho m enor q ue la d e las zonas neu tras). Este hecho p rovoca que la d iferencia de potencial en las zonas neutras pueda despreciarse en la práctica respecto a la diferencia de p otencial en la zon a d e transición. El voltaje externo ap licado afectará a la barrera d e p otencial en la unión y, en consecuencia, al campo eléctrico en el interior de la región d e transición. Debid o a ello es d e esperar cambios en las diversa s com ponentes de los flujos de corriente en la unión. Evidentemente, estos cambios se reflejarán en una distinta configuración de bandas para la unión y en un cambio en la anchura de zona de carga espacial (ver Fig. 8.3). A continuación analizaremos los camb ios en las d iversas ma gnitu d es debido a una p olarización externa: Altura de la barrera de potencial. El poten cial de contacto de equ ilibrio se verá afectado p or la d iferencia de potencial aplicada externamente d e m anera qu e la altura d e la barrera de p otencial resultante • en polarización directa, V = V f , disminuye para tomar el valor V 0 V f , • en polarización inv ersa, V = V r , aumen ta y se hace V 0 + V r .

−

−

Campo eléctrico en la región de transición . En concordan cia con los cambios en la altura d e la barrera d e potencial, el campo eléctrico en la región de transición • disminuye en polarización directa, • aum enta en polarización inversa. Anchura de la región de transición. Dad o qu e el cam po eléctrico proviene d e las cargas fijas descompesadas que aparecen en la región de transición y puesto que las concentraciones de imp urezas no cambian en cada lad o de la un ión, los cam bios en la magn itud d el camp o eléctrico deben ir acomp añados d e cambios en la anchura d e la región de transición d e mod o que ésta • disminuye en polarización directa, Apuntes de CF

FLML

8.3. Unión p-n polarizada (a)

145 (b)

Equilibrio

Polarización directa (V=V f )

(V=0)

(c)

Polarización inversa (V= -V r ) V r

V f w n

p

n

p

E

E

E

V n

n

p

(V0 -V f )

V 0 (V0+V r )

V p

q( V0 -V f )

E Cp qV 0 E Fp

E Cn

q(V 0+V r )

qV f

E Fn

E Vp E Vn

Flujo de patículas

Corriente

Flujo de

Corriente

patículas

Flujo de

Corriente

patículas (1) Difusión huecos (2) Arrastre huecos (3) Difusión electrones (4) Arrastre electrones

(1) (2) (3) (4)

F IGURA 8.3: Efecto de la polarización externa sobre la unión p-n.

• aum enta en polarización inversa. Separación de l as bandas de e nergía. Puesto qu e el valor d e la altura d e la barrera d e energía para los electrones es simp lemente su carga mu ltiplicad a p or la altura d e la barrera de potencial electrostático, tendremos que la separación entre bandas viene dad a por • en polarización directa: q(V 0 V f ), • en polarización inversa: q(V 0 + V r ).

−

Los efectos de la polarización se localizan básicamente en la región de transición y sus proximidades, por lo que en el interior de cada región neutra la posición relativa del nivel de Fermi en el diagrama de ban d as se ma ntiene igual qu e en el equilibrio. En FLML

Apuntes de CF

146


consecuencia, el desplazamiento d e las band as d e energías p or efecto d el potencial externo ap licad o p rovocará un a separa ción equivalente en los niveles de Fermi para cada lado de la unión, es decir (8.9) E Fn E Fp = qV .

−

Corrientes de dif usión . En equ ilibrio, el camp o eléctrico intern o se establecía d e m odo que su efecto contrarrestaba exactamente la corriente de difusión. En la situación de no equilibrio impuesta por la polarización externa encontramo s que •

Polarización directa:

al disminuir el campo eléctrico en la región de transición, este camp o ya no pu ede contrarrestar totalmente las corrientes de difusión, de m odo que se iniciará un flujo d e h + d e p n y otro análogo de e − d e p n . (Estas corrientes d e difusión se man tend rán en el tiempo d ebido al efecto de la batería). • Polarización inv ersa: el camp o en la región d e transición au mentaba p or lo que las corrientes de d ifusión serán en este caso am inorad as.

→

←

Corrientes de arrastre. Aunqu e pud iera parecer un p oco sorprendente, las corrientes de arrastre son relativamente insensibles a las variaciones en la altura de la barrera de poten cial.

El hecho de que la corriente de arrastre en la unión sea despreciable respecto a la difusión en la u nión p ued e entend erse si notamos qu e dicha corriente de arrastre proviene de los portadores minoritarios que llegan a la región de transición y que son barridos por el camp o en esta región. En concreto, esta corriente estará mantenida por e − que viajan d esde p n y por h + d e p n (por ejemp lo, electrones d el lado p que por d ifusión aparecen en la región d e transición y son b arridos p or el camp o llegand o a la zona n ). Dad o que la concentración d e portad ores minoritarios proviene de la generación de pares e − / h + (en el presente caso únicamente por efecto de la excitación térmica) y ésta no se ve afectada p or el potencial externo aplicad o, pu ede d edu cirse que esta corriente de minoritarios dep end e básicamente d e la velocidad de generación de pares e − / h + en las zonas respectivas y apenas del voltaje exterior 2. Por este motivo, esta corriente de arrastre de minoritarios también se conoce como corriente de generación .

←

→

2 Este

hecho también puede verse como que el campo es capaz de barrer todos los portadores minoritarios que llegan a la unión y el ritmo de aparición de estos porta-

Apuntes de CF

FLML


147

Corriente Total. La Fig. 8.3 mu estra que la corriente total es la sum a de las corrientes d e difusión, que se prod ucen desd e p n , más las de arrastre, cuyo sentido es d esde p n . Dado qu e ambas corrientes han sido analizadas anteriormente, tendremos para la corriente total que

→

←

•

Polarización inversa:

Corriente de difusión dism inuy e considerablem ente (se hace prácticamente despreciable). La única corriente que queda es la relativamente pequeña corriente de generación en el sentido p n . • Polarización directa: La corriente de difusión ( p n ) es ahora claramente favorecida mientras que la corriente de arrastre ( p n ) apenas var ía. Esto d a lugar a u n incremento considerable de la corriente total en el sentido p n .

←

→

←

→

Nótese que la corriente d e difusión en polarización d irecta pu ed e crecer indefin idam ente mientras qu e esta corriente en polarización inversa sólo pu ede dism inuir hasta hacerse nula.

8.3.2. Ecuación del diodo. Cálculo simplificado En este apartado llevaremos a cabo un cálculo simplificado de la ecuación d el diodo a p artir de ciertos razonam ientos cua litativos. Para ello notem os en prim er lugar qu e la concentración de m inoritarios en cada lado de la unión p-n variará con el voltaje aplicado debido al efecto de éste en la difusión d e portad ores a través de la un ión. En el equilibrio, la relación entre las concentraciones d e h + a ambos lados de la u nión v iene dad a p or (8.3), esto es, p p0 pn 0

= e qV 0 / kT .

Al aplicar una tensión externa, V , la altura de la barrera de potencial varía desde V 0 V 0 V . Consideran do qu e el efecto d e este potencial externo no varía la relación anterior para cada tipo de portadores en los extremos d e la región d e transición, todav ía pod emos escribir par a las concentraciones, justo en los límites de las zonas neutras con la zona d e transición, que

→ −

−

p p ( x p0 ) pn ( x n 0 )

= e q(V 0 −V ) / kT .

(8.10)

En situaciones de inyección débil, la concentración de mayoritarios apenas variará con el voltaje aplicado [ p p ( x p0 ) p p0 ], luego (8.10)

−

≈

dores en la unión apenas se ve afectado por V . Ciertamente, cálculos m ás rigurosos demuestran que, en la región de transición, la corriente de arrastre es mucho menor que la de difusión par a valores de polarización directa no d emasiado elevados.

FLML

Apuntes de CF

148


pod rá reescribirse como

−

p p ( x p0 ) pn ( x n 0 )

=

p p0 pn ( x n 0 )

= e qV 0 / kT e −qV / kT ,

qu e, teniend o en cuen ta (8.3), al agrup ar términ os encontram os Concentración de minoritarios en el borde de la región de transición del lado n

pn ( x n 0 ) = pn 0 e qV / kT

.

(8.11)

La expresión anterior nos indica que la concentración de minoritarios sufre un fuerte incremento (exponencial) en polarización directa respecto a la que existía en equilibrio. En polarización inv ersa (V < 0), la concentración sufriría igualm ente una d isminu ción m uy considerable. Dado qu e hemos comprobado que u n voltaje aplicado, V , incrementa la probabilidad d e que un p ortador se pu eda difund ir a través d e la un ión en un factor dad o por exp (qV / kT ), esto nos perm ite sup oner qu e la corriente d e difusión p resentará similarmente una dep end encia con respecto al voltaje ap licado d el tipo I d if = I 0,dif e qV / kT

(8.12)

(lo que en última instan cia provoca qu e el diodo p resente un comportamiento claramente no recíproco en su característica I V , tal com o muestra la Fig. 8.2).

↔

Puesto qu e en equilibrio (V = 0) la corriente tota l es cero d ebido a qu e la corriente de difusión ( I 0,dif ) y la de gen eración ( I gen ) se cancelan, encontramos qu e I (V = 0) = I 0,dif

− | I gen | = 0 ,

(8.13)

lo que nos p ermite escribir que

| | ≡ I 0 .

(8.14)

I 0,dif = I gen

Al expresar la corriente en la unión p -n polarizada (V = 0) com o



I = I d if

− | I gen | ,

(8.15)

y hacer uso de (8.12) y (8.14), obtenemos finalmente que I = I 0



e

qV / kT

 −

1 .

(8.16)

Inyección de portadores. Cálculo riguroso ecuación del diodo Para calcular de una forma más rigurosa la corriente total en la un ión p-n d eberemos obtener primero las corrientes de difusión en los límites de la zona de carga espacial con las zonas neutras. Las corrientes de difusión se obtendrán como el gradiente de la concentración d e minoritarios pues supondremos que el gradiente de la concentración de mayoritarios es despreciable. Para obtener la concentración Apuntes de CF

FLML


149

de minoritarios en las zonas neutras deberemos resolver la ecuación de continu idad qu e, en el presente caso, se redu cirá a la resolución d e la ecuación de difusión (cuestión tratada en el Apartado 7.7.1). Según nos h a m ostrad o la expresión (8.11), la p olarización d irecta provoca un a inyección constante de minoritarios en exceso, esto es, h + en la zona n eutra n y e − en la zona neutra p. La concentración d e h + en exceso en el borde de la región de transición con la zona n eutra n vendrá entonces dad a por ∆ pn = pn ( x n 0 )

− p 0 = p 0 n

n

y similarmente para e − en el lad o p, ∆n p = n p0



e

qV / kT



e qV / kT

−1



(8.17)

 −

1 .

(8.18)

Esta situación d e inyección constan te de m inoritarios fue ya estudiada en el Apartado 7.7.2, don de vimos qu e daba lugar a u na d ifusión de estos minoritarios hasta qu e se recombinaban . Para el presente cado tend remos que δ pn ( x n ) = ∆ pn e − x n / L p = pn 0 (e qV / kT δn p ( x p ) = ∆n p e − x p / Ln = n p0 (e qV / kT

x n / L p

− 1) e − − 1) e −

x p / L n

(8.19a) , (8.19b)

originand o así la distribución d e portad ores minor itarios en cad a lado de la unión mostrada en la Fig. 8.4 (notar que x n y x p se toman p ositivos al introducirse en las regiones n eutras n y p respectivamente).

-x po

p

n n(x p)

p(xn)

n po

x p

x

xno

o

pno o

xn

F IGURA 8.4: Distribución d e portad ores minoritarios en cada lad o de la un ión.

La corriente d e d ifusión de h + en la zona neu tra n pu ede calcularse a p artir d e la expresión (7.56), mu ltiplicando ésta por el área, S , de la FLML

Apuntes de CF

150


sección transversal, para obtener I pd if ( x n ) =

d δ pn ( x n )

−qS D

p

dx n

= qS

D p

δ pn ( x n ) ,

L p

(8.20)

lo que nos ind ica qu e la corriente de difusión d e h + en cada punto x n será prop orcional a la concentración d e h + en exceso en dicho pu nto. Dado que en el límite de la región de transición con la zona neutra n ( x n = 0) el camp o eléctrico es n ulo, la corriente total d e hu ecos pu ede identificarse en este pu nto con la corriente de d ifusión. Ello nos perm ite calcular I p ( x n = 0) a partir de la corriente inyectad a en el lado n a través de la unión, que según (8.20) vend rá d ada p or I p ( x n = 0)

≡ I d if ( x p

n

qS D p

= 0) =

L p

qSD p

∆ pn =

pn 0

L p



e qV / kT

−1



.

(8.21) Análogam ente, la corriente de electrones inyectada en el lad o p será I n ( x p = 0) =

qSD n Ln

n p0



e qV / kT

−1



.

(8.22)

Si se supon e desp reciable la recomb inación en la región d e transición, los e − qu e se inyectan al lado p ( x p = 0) d eben haber atravesado la superficie situada en x n = 0. Debido a este hecho, la corriente total que cruza la unión en x n = 0 pu ede escribirse como I = I p ( x n = 0) + I n ( x p = 0)

= qS



D p L p

pn 0 +

Dn Ln

n p0



e

qV / kT

 −

1 .

Dad o qu e la corriente total debe ser constan te a través del d ispositivo (al no haber generación ni acumulación de carga neta), la expresión anterior nos prop orciona justam ente la corriente total par a cada pu nto de la unión p-n, Ecuación del diodo

I = I 0



e

qV / kT

 − 1

,

(8.23)

donde I 0 se conoce com o corrient e inversa de satu ración y tiene por valor I 0 = qS



D p L p

pn 0 +

Dn Ln

n p0



.

La ecuación (8.23), válida tanto para tensiones aplicadas positivas o negativas, d ice qu e, en p olarización directa, la corriente p n crece exponencialmente con la tensión aplicada mientras qu e en polarización inversa (V 0) tendremos una pequeña corriente en sentido p n de v alor I I 0 . Claram ente, la curva I V mostrada en la Fig. 8.2(b) es una representación gráfica de esta ecuación.

→

←

Apuntes de CF

 ≈

↔

FLML

8.4. Láser Semiconductor

151

Corrientes de portadores mayoritarios y minoritarios La corriente del diodo según (8.23) fue calculada considerando únicamente la corriente de difusión de minoritarios 3 dado qu e se supu so desp reciable la corriente de arrastre d e minoritarios en las zonas neu tras. Por tanto, la corriente d ad a p or (8.20) representaba la corriente de m inoritarios (hu ecos) en la zona n eutra n , es decir,

I

In(xn) I p ( x n ) =

qSD p L p

∆ pn

e − x n / L p .

(8.24) I p(xn)

En el caso de una unión p + -n ( N A N D ), la corrien te total en x n = 0 proviene mayoritariamente de la corriente d e d ifusión d e hu ecos en ese punto, puesto que según (8.21) y (8.22), I n ( x n = 0) I p ( x n = 0) al ser n p0 pn 0 . Dado q ue la corriente total, I , debe ser constante en cualquier punto, la corriente de mayoritarios (electrones) en la zona neutra n vendrá entonces dad a por







I n ( x n ) = I

− I ( x p

n

).

xn

Corrientes en la zona neutra n de una unión p +-n

(8.25)

Lejos de la unión, la corriente en la zona neutra n es mantenida casi exclusivamen te por e − . Estos e− deben flu ir desde dentro d e la región neutra hacia la unión para restituir aquellos e − que se recombinaron con los h + en exceso y p ara p roporcionar la inyección d e e − a la zona p. En ú ltima instancia, el sum inistro de estos e − lo realiza la batería.

8.4. Láser Semiconductor La id ea inicial de realizar u n láser usand o materiales semicond uctores parece que fue prop uesta d e form a esquem ática por J. von N eumann en 1953. Posteriormente Basov en 1961 llevó a cabo un desarrollo teórico más comp leto qu e finalmente redu nd ó en la realización d el prim er láser semicond uctor funcionand o a 77K por R.N. Hall en 1962. El primer láser semiconductor a temperatura ambiente fue realizado en el año 1970 por var ios gru pos ruso s y en los ATT Bell Laboratories. El láser semicondu ctor suele denom inarse diodo láser debido a que se basa en las propiedades físicas de la unión p-n, al igual que los d iodos de rectificación eléctrica vistos an teriormente. Tam bién se conocen estos láseres con el nombre de láseres de inyección debido a que el procedimiento de bombeo más usado es la “inyección” de portadores en la unión p-n. 3 Es interesante

notar qu e I 0 es justam ente la magn itud d e la corriente de difusión que existía en equilibrio. Esta corriente de d ifusión d e equilibrio era justam ente igual a la corriente d e arrastre en equilibrio, lo cual n os p ermitiría interpretar (8.23) considerando que I 0 e qV / kT es la corriente d e difusión e I 0 la corriente d e generación (que no d epend ía del voltaje aplicado).

FLML

Apuntes de CF

152


8.4.1. Propiedades eléctricas Conviene recordar algunas propiedades de los semiconductores qu e son relevantes en el contexto d el laser d e inyección:  Tal como se comen tó en el Apartad o 6.2, la estructura d e band as d e energía de un semicond uctor es aproximad amen te como se representa en la Fig. 8.5, d ond e se mu estran los dos casos usu ales d e semicond uc E

E

BC

BC

E g

m Transición Directa

m Transición Indirecta

E g

k

k

M

M

BV

BV

(a)

(b)

F IGURA 8.5: Esquema energético d e band as realista de (a): un semicondu ctor

directo y (b) un semiconductor indirecto.

tor d irecto (por ejemp lo: GaAs) y sem icond uctor ind irecto (Si, Ge...). En un semicond uctor directo, un electrón pued e realizar u na tran sición energética desde el punto más bajo de la BC al punto más alto d e la BV sin que ello imp liqu e un cambio significativo en su m omen to. Por el contrario, en u n sem icond uctor ind irecto, la anterior tran sición requeriría un cambio imp ortante de m omento. En u na estructura periódica de periodo espacial a (típicamente a 1Å), el mayor cambio de m omento p ermitido sería

∼

pmax

∼ 2ha .

Por otra p arte, teniend o en cuenta el valor d el momento, p f = h / λ, de u n fotón lum inoso (λ 104 Å), encontram os la siguiente relación:

∼

p f pmax

∼

2a λ





= 10−4 ,

qu e nos ind ica qu e las diferencias de mom ento requeridas en u na tran sición ind irecta no p ued en ser satisfechas ún icam ente por la p articipación de un fotón óptico. Debemos admitir entonces que la transición anterior debe realizarse con la participación conjunta de otro proceso que proporcione la cantidad de m omento requerido (en concreto, participa u n fonón , que p ued e verse como un a oscilación colectiva d e la red). Por el contrario, en el caso de una transición directa, los pequeños cambios de m omento requeridos en el proceso sí pued en ser satisfechos únicamente por u n fotón. Apuntes de CF

FLML


153

 Tal como se ha v enido d iscutiend o en este tema, en la zona d e transición de una unión p-n se igualan los niveles de Fermi de ambas regiones dand o lug ar a un p otencial d e contacto, según se mu estra en la Figu ra 8.6(a). Si la anterior un ión p -n se somete ahora a u na fu ente d e tipo p

tipo n

tipo p

tipo n BC

BC E Fn

E c E F

qV E Fp

BV

BV

E v

(b)

(a)

F IGURA 8.6: Esquema energético de la región de transición d e una unión p -n

(a):en equilibrio térmico y (b): sometida a una fuente de tensión externa que la polariza directamente.

tensión externa d e mod o que eleva el poten cial del lad o p con respecto al del lado n , lo que se d enomina polarización directa, el esquem a energético resultant e puede verse en la Figu ra 8.6(b). En esta situación, los electrones del lado n se desplazarán hacia el lado p y análogamente hu ecos del lad o p viajarán hacia el lado n . En con secuencia, electrones y huecos se encontrarán en la misma región espacial, siendo posible su recombinación mediante las transiciones directas/ indirectas que antes se mencionaron (ver Figura 8.7). ENERGÍA LIBERADA EN LA RECOMBINACIÓN

Tipo n RECOMBINACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS

REGIÓN DE TRANSICIÓN

Tipo p

FLUJO NETO DE ELECTRONES

F IGURA 8.7: Flujo de portad ores en u n d iodo semicondu ctor p olarizado d irec-

tamente.

Si en estas recombin aciones p redom ina la emisión espon tánea, se tiene un LED (light em itting d iode) y si por el contrario, predom inan las emisiones estimu ladas, se prod uce una acción láser. Si en los semicond uctores de la situación an terior se incrementan los niveles d e dop aje, el efecto d e las impu rezas añad idas pu ede llegar FLML

Apuntes de CF

154


a d istorsionar la estructura d e band as energéticas del semicond uctor. En el caso de u n incremen to de imp urezas d onad oras, la presencia de nu merosos electrones no localizados hace que el nivel de Fermi del semicondu ctor aparezca en el interior d e la Band a d e Cond ucción. En este caso el semicond uctor se denom ina degenerado. La Figura 8.8(a) muestra la situación energética a la que se llega en la región de tran-

tipo n

tipo n

tipo p

tipo p

BC

E Fn BC

eV

E F E C

E Fp BV

BV

E V

(a)

Estados electrónicos llenos a T=0K

(b)

F IGURA 8.8: Esquema energético de la región d e transición de u na u nión p -n

degenerada (a): en equilibrio térmico y (b) polarizada directamente.

sición de un a u nión p -n d egenerada en equ ilibrio térmico. Si a esta un ión se le aplica u na p olarización d irecta, V , tal que qV > E g , se llega a la situación mostrada en la Figura 8.8(b). Es importante notar que au nqu e estamos en u na situación d e no equ ilibrio térmico, lejos de la región de transición y d entro de cada ban da , se establece ráp idam ente un cuasi-equilibrio térmico (esto es, la dinámica de los electrones fuera d e la región d e transición no es influ enciada significativamen te por el campo externo aplicado). Esto posibilita la descripción de los electrones en las ban d as med iante la d istribución d e Fermi-Dirac y se puede, por tanto, seguir usando el parámetro Energía de Fermi como característico de esa band a.

8.4.2. Propiedades ópticas La interacción de la radiación con los semiconductores está fundamentalmente d eterminada por la estructura d e band as que éstos posean . Así, en un sem icond uctor hom ogéneo La emisión se prod ucirá en la forma d e fotones de energía igual a la anchura energética de la banda prohibida, hν = E g , dado que, dentro de cada banda, los electrones se mueven muy rápidam ente h acia los niveles m ás bajos/ altos d isponibles en la banda de cond ucción/ valencia. A este proceso se le d enomina recombinación electron–hueco. La absorción de radiación puede producirse en un rango mucho más ancho de frecuencias, denominándose a este proceso generación de un par e − / h + . Apuntes de CF

FLML


155

La recombinación de portadores más probable en un semiconductor que forma u na u nión p-n se prod uce cuand o electrones y huecos se encuen tran en la m isma región espacial. Según se verá más ad elante, para d ensidad es de corriente mod eradas, la radiación emitida tiene características de emisión espon tánea y ú nicamente a p artir de cierta intensidad um bral, I U , se prod ucirá emisión estimu lada. Dad o qu e los procesos de em isión y absorción m ediante recombinación o generación de pares e − / h + pu eden considerarse como procesos d e interacción lu z-materia, para qu e exista acción láser la cuestión es la siguiente: ¿Bajo qu é condiciones la razón de emisión estimulada supera a la absorción en una unión p-n en polarización directa?

Dad o qu e los procesos de interacción rad iación-semicond uctor ocurrirán p redom inantem ente en la región d e transición, los procesos involucrados se suponen asociados a transiciones entre un grupo de niveles del borde inferior de la Banda de Conducción y un grupo de niveles del borde superior de la Banda de Valencia (ver Figura 8.9). REGIÓN DE TRANSICIÓN Niveles electrónicos ocupados

BC

tipo n

tipo p BV

Niveles electrónicos vacíos

NIVEL LASER SUPERIOR Inversión de población entre estos 2 grupos de niveles

NIVEL LASER INFERIOR

F IGURA 8.9: Niveles involucrados en la acción laser de u na región d e transi-

ción de un a unión p-n degenerada.

Debemos considerar que para que exista absorción estimulada un electrón de BV tras tomar la energía de u n fotón incidente transita u n estado en ergético en la BC. No obstante, este proceso no sólo dep end e de la existencia de estados energéticos en la BC sino también de que estos estados estén v acíos, es d ecir, qu e no haya otros electrones ocupan d o ese estado. Así, los procesos de absorción estarán relacionad os con la existencia d e estad os llenos en BV y vacíos en la BC m ientras que los de emisión lo estarán con la existencia de estados llenos en BC y vacíos en BV. En concreto, las pro babilida des d e emisión y absorción estimulad a estarán relacionad as con 1. la densidad de la radiación presente, u (ν); 2. la probabilidad d e ocup ación de los niveles de la banda d e conducción, f c ( E ); y FLML

Apuntes de CF

156


3. la probabilidad d e ocupación de los niveles de la band a de valencia, f v ( E ). En este sentido se tiene qu e Emisión estimu lada:

proporcional al nú mero d e transiciones posibles entre los estados superiores llenos y los estados inferiores vacíos.

A bsorción estimu lada:

proporcional al nú mero d e transiciones posibles entre estados inferiores llenos y estados superiores vacíos.

La probabilidad de qu e un estado con energía E 2 en la Banda de Conducción esté ocupado y qu e un estado con energía E 1 en la Banda d e Valencia esté vacío es f c ( E 2 ) [1

o bien

− f ( E 1 )] v

f c (1

− f ) v

y por tan to el ritmo d e transiciones de E 2

→ E 1 será (8.26) R 2→1 = B21 u (ν) f (1 − f ) . Análogam ente, el ritmo de tran siciones de E 1 → E 2 vendrá dado por (8.27) R 1→2 = B12 u (ν) f (1 − f ) . c

v

v

c

Para qu e el ritmo d e emisión estimu lada su pere a la absorción deberá ocurr ir que f c (1 f v ) > f v (1 f c ), que pu ede expresarse simp lemente como (8.28) f c ( E 2 ) > f v ( E 1 ) ,

−

−

esto es, la probabilidad de ocupación en el nivel de energía E 2 en BC debe ser mayor qu e la del estado E 1 en BV (nótese que esto nunca podría ocurrir en un semiconductor homogéneo intrínseco o extrínseco con cualquier nivel de dop aje ni tampoco en un a un ión p-n en equilibrio). Dado qu e el tiempo d e vida m edio de los portadores es mu cho mayor que el tiemp o en qu e los electrones/ hu ecos en ambas band as alcanzan el equ ilibrio térmico, se sup one qu e la probabilidad de ocupación de los niveles energéticos correspondiente a los electrones o hu ecos inyectados en la región d e transición v iene descrita por la estad ística de Fermi–Dirac y por tanto f c−1 =

1 + exp

− E



E 2

Fn

kT



y

f v−1 =

1 + exp



E 1

− E

Fp

kT



.

En vista de la anterior expresión, la condición (8.28) viene dada por exp



E 2

− E

Fn

kT

  <

exp

E 1

− E

Fp

kT



(8.29)

que p ued e redu cirse a E Fn

Apuntes de CF

− E

Fp > E 2

− E 1 .

(8.30) FLML


157

La condición de inversión de población se da, por tanto, para aqu ellos niveles E 2 de BC y niveles E 1 de BV que sa tisfagan la cond ición (8.30), esto es, los niveles de BC por debajo de E Fn y los niveles de BV por encima de E Fp . Puesto que E 2 E 1 es necesariamente m ayor qu e la anchura de la banda energética, E g , podemos concluir finalmente que la condición p ara qu e exista inversión de población en la región d e transición de una unión p-n directamente polarizada es

−

E Fn

− E

Fp > E g

(8.31)

Condición para que exista inversión de población

De todo lo expu esto anteriormente pod emos concluir qu e la acción láser requiere : 1.

El semiconductor debe estar degenerado (pues

de otra manera la d iferencia entre los niveles de Fermi d e la zona p y la zona n nunca puede superar la anchura energética de la banda prohibida).

2.

La tensión de polarización d ebe exceder el valor E g / e.

3.

El semicondu ctor debe ser directo (para

qu e las posibles recombinaciones electrón–hueco se realicen con la mayor probabilidad d e emisión de fotones).

A pesar d e cum plir las cond iciones anteriores, un a seria limitación para la acción láser en los semiconductores es la absorción de portadores libres. Esto se debe a que la estructura d e band as d el semiconductor permite que un electrón de la Banda de Conducción pueda interactuar con uno de los fotones emitidos de tal forma que el electrón p ase a un o de los niveles sup eriores y vacíos d e dicha band a. Este exceso de energía será posteriormen te liberad o en forma d e calor, dándo se de esta man era tran siciones energéticas de valor hν que pueden reducir considerablemente la densidad de em isión estimu lada y por tanto dificultar la realimentación de la acción láser. Según se indicó anteriormente, cuand o la corriente d e alimentación del diodo láser es pequeña, éste genera emisión espontánea, según el mismo proceso que la emisión de un LED. Sin embargo, al aumentar la corriente de alimentación (o análogamente la tensión de polarización hasta consegu ir que se cum pla (8.31)), se alcanza un nivel um bral d ond e se invierte la población d e electrones y comienza la acción láser. Este fenóm eno p ued e observarse en la Figura 8.10 dond e pu ede verse como p or debajo de la corriente um bral, la intensid ad lu minosa proporcionada por el diodo es mu y pequ eña, disipándose la may or parte d e la poten cia de entrad a en calor. A partir d el um bral de intensidad , aum enta considerablemente la eficiencia óptica del diod o, aun qu e debe tenerse en cuenta qu e si la intensid ad u mb ral es alta, esto significa una considerable pérdida de potencia en calor para mantener la acción láser. Las inv estigaciones actuales en los d iodos láser FLML

Apuntes de CF

158


F IGURA 8.10: Potencia de salida de un láser semiconductor en función de la

corriente de alimentación.

van encaminad as a reducir esta corriente um bral y así asegurar funcionamientos mu y d urad eros a temp eratura ambiente.

8.4.3. Estructura del láser semiconductor La acción láser eficiente requ iere el uso de reson ad ores ópticos. En el caso d el diodo láser horizontal y tal como se m uestra en la Figura 8.11, la realimentación que concentra la emisión estimulada en el

Región activa Haz láser

Cara Reflectiva Región de Transición

Cara de salida parcialmente reflectante Sustrato

F IGURA 8.11: Las regiones reflectantes producen acción láser en el plano de la

un ión en un diodo láser

plan o de la u nión, proviene de los bordes pu lido s del cristal semicond uctor qu e actúan como esp ejos debido al alto índ ice de refracción d e los semicond uctores ( 3 4), que h ace que estas caras pu lid as refle jen ap roxim ad am en te el 30 % d e la lu z incid en te.

∼ −

Una de las características m ás d eterminantes en las propiedad es del láser semiconductor es la estructura de las capas adyacentes a la capa activa (región d e transición d ond e se realiza la acción láser). En los primeros d iodos láser, todas las capas estaban construidas sobre la base del mismo m aterial y por tanto se denom inan homoestructuras. Posteriores d esarrollos llevaron a la realización d e láseres semiApuntes de CF

FLML


159

conductores en los que las capas adyacentes estaban construidas con distintos materiales, denom inándose heteroestructuras. Algunas características relevantes d e am bas son Homoestructuras: No p roporcionan un confin am iento óptico óptimo ya qu e los índ ices de refracción d e las diversas capa s eran m uy parecidos — ver Figura 8.12(a). Esto exigía unas densid ad es d e corrientes um PERFIL DEL ÍNDICE DE CONFINAMIENTO REFRACCIÓN

ESTRUCTURA LÁSER

GaAs Capa Activa

P-GaAs

N-GaAs

n

Láser de Homounión Heterouniones

GaAs Capa Activa

P-GaAlAs N-GaAlAs N-GaAs

n

Láser de Doble Heterounión F IGURA 8.12: Láser d e homou nión y h eterounión, señalando el perfil del índi-

ce de refracción y el confinamiento luminoso.

brales muy altas, I U / cm 2 50000 A/ cm 2 que causaban m uchas pérd idas p or calor (lo cual exigía trabajar a temp eraturas d e Helio líqu ido, T 77 K) y un a corta vida m edia de los d ispositivos.

∼

∼

Heteroestructuras: Las capa s presentan d istintos índ ices de refracción d e form a qu e esto crea un efecto guía de ond a (similar al de la fibra ópt ica) qu e confina la luz en la capa activa, según se mu estra en la Figura 8.12(b). Adem ás, si las capas ad yacentes poseen band as energéticas prohibidas de mayor anchura se reducirá sustancialmente la absorción p or p ortad ores libres. Este tipo de láseres pu ede ya funcionar en modo continuo a temperatura ambiente al ser 2000 4000A/ cm 2 , I U 1,2A. I U / cm 2 El esquema con el que se realizan actualmente la mayoría de los diod os láser comerciales consiste en u na mod ificación de la heteroestructura anterior que se muestra en la Figura 8.13. Esta estructura p roporciona confinamiento lateral p ara la luz, lo

∼

FLML

−

∼

Apuntes de CF

160


que redu ce la corriente um bral hasta I U 60mA. Usando esta estructura, es posible fabricar sobre el mismo su strato semicondu ctor, mu chos láseres en p aralelo y así conseguir p otencias d e hasta 10 vatios en mod o continu o.

∼

Contacto p-Ga1-xAlxAs

Aislante

GaAs Región activa

0.2 m n-Ga1-zAlzAs

n-Ga1-yAlyAs

3 m Contacto

Sustrato n-GaAs

F IGURA 8.13: Heteroestructura típica d e los láseres semiconductores comer-

ciales actuales.

Pozos cuánticos Un tipo de confinamiento distinto basado en fenómenos cuánticos se ha conseguido m ediante el uso d e capas d e material mu y finas ( 10nm) que se comportan respecto a los electrones como un pozo cuántico. La idea básica del pozo cuántico se consigue al intercalar un a capa mu y fina con un a banda p rohibida d e anchura p equeña entre capas gru esas con anchur as de band a proh ibid a ma yores. Los electrones que pasan por esta configuración de bandas pueden ser capturados en el p ozo cuán tico. Estos electrones captu rad os tienen su ficiente energía para perm anecer en la Band a de Cond ucción d el material que forma la fina capa de pequeña anchura de banda prohibida, pero no para entrar en la capa d e mayor anchu ra de band a prohibida.

∼

Si los pozos cuánticos se colocan en una unión p-n de un diodo láser, permiten concentrar en cap as mu y fina s los electrones y hu ecos, consiguiend o u na eficaz recombinación de éstos que disminuye considerablemente la intensidad um bral. Además, dad o que las capas d e confinam iento tienen d iferentes índices de refracción, tam bién p osibilitan el confin am iento de luz. Longitud de o nda En general, los med ios activos de los d iodos láser presentan altas ganan cias, de forma q ue n o se requieren mu chas oscilaciones en la cavidad resonante para producir acción láser. Dado que típicamente la región que actúa d e cavidad tiene una longitud d e 300 500µm, los mod os resonantes de esta cavidad están m ás separados que en otros láseres (cuyas cavidades resonantes son al m enos d e 10–30 cm) y

∼

−

∼

Apuntes de CF

FLML

8.5. Aplicaciones del Láser

161

como resultado, la mayoría de los diodos láser normalmente oscilan a una sola frecuencia al mismo tiempo. N o obstante, debido a que la anchura d e la curva de gan ancia es grand e, el diodo láser pu ede emitir distintas longitudes de onda (saltando de una λ resonante a otra) dan do lugar a un funcionamiento bastante inestable. Este fenómeno pu ede solucionarse med iante el uso d e dispositivos añadidos d e sintonización y estabilización. Divergencia del haz Otra característica importante del diodo láser es la inusual divergencia del haz emitido. La geometría de la pequ eña cavidad jun to con la minúscula área de emisión (generalmente una pequeña rendija del orden d e los µm 2 ) se combinan para p rodu cir un h az no circular qu e se dispersa mu y ráp idam ente, típicam ente del orden d e 40 grados. Se encuentra p or tanto que los rayos de un d iodo láser divergen m ás rápidam ente que los de una bu ena lámpara d e flash. Afortunad amente, el uso d e una óp tica adecuad a perm ite un a buen a focalización del haz y así, por ejemp lo, los diod os láser se usan como fuente d e luz d e los pun teros láser . Modulación Según pu ede observarse en la Figura 8.10, la salida óptica del d iodo láser d epend e linealmente de la corriente que circula a través d e éste. Esta simple dependencia lineal hace que la modulación del haz pueda conseguirse modulando directamente la corriente de alimentación, constituyendo este hecho una de las principales ventajas de los láseres de inyección. Dado que la respuesta de la salida óptica a las variaciones de la corriente de alimentación es muy rápida, se consiguen anchuras d e banda típicas en la modu lación del orden d e los Gigahertzios.

8.5. Aplicaciones del Láser Las posibles aplicaciones del láser pueden dividirse en varias categorías. Una d e las má s usu ales consiste en distinguir la acción d e los láseres de baja potencia de aquellos de alta potencia. En la presente sección se expondrán ún icamente algun as d e las aplicaciones d e los láseres de baja potencia. Generalmente, se denomina baja potencia a cantidades menores que un watio, bajo la suposición de que el haz láser no afecta d estructivamente a los objetos que ilum ina. Es interesante señalar qu e en m uchas d e las posibles aplicaciones d e láser, éste FLML

Apuntes de CF

162


se emplea básicam ente como u na bombilla de mu y alta eficacia. Algunas de las características diferenciadoras de los láseres de baja potencia respecto a otras posibles fuen tes de luz son : Láseres p rodu cen luz bien cont rolada que puede ser focalizada con precisión sobre un a m inúscula región d e un objeto. Este hecho tiene multitud de aplicaciones, por ejemplo en contadores, lectores de códigos de barras, lectores de CD, discos magneto– ópticos, etc..

Al focalizarse la luz sobre una pequeña región, se pueden conseguir altas densidad es de potencia, que pu eden u sarse para un calentam iento selectivo d e pequ eñas regiones. Debido a la alta d irectividad d e los rayos láser, éstos pu eden d efinir líneas rectas. Esta prop iedad se usa par a el diseño de posicionadores y punteros . La luz láser posee norm almente un estrecho rango d e longitu d es de ond a, siendo este hecho altamente aprov echad o en espectroscopía . La alta coherencia qu e presentan m uchos láseres es aprovechad a para la holografía y fun dam entalmente para metrología . Los láseres pued en generar pu lsos extremad amen te cortos, siendo esto mu y útil para la transmisión de datos . Láseres de He-Ne y de inyección prod ucen p otencias mu y constantes en m odo continu o du rante miles de h oras de uso. Los diod os láser son mu y compactos y baratos. Dado qu e los diodos láser pu edes ser modu lados directamente a altas velocidad es med iante cambios en la corriente d e alimen tación, son mu y usad os en la transmisión de datos .

8.5.1. Aplicaciones del Láser de Inyección Debido a las peculiaridades del láser de inyección (tamaño reducido, bajo coste, mod ulación d irecta...), éste se ha conv ertido con d iferencia en el láser má s pop ular, siendo actualm ente usad o en m illones d e lectores de d iscos ópticos (en equ ipos d e mú sica, com pu tad ores..) y en la may oría de los sistemas d e alimentación d e fibras ópticas para transmisión d e datos. Discos ópticos;Lectura de datos para computadores El fun cionamiento básico d e lectura de un CD–ROM se m uestra en la Figu ra 8.14, dond e pu ede verse como la luz de u n d iodo láser es Apuntes de CF

FLML

8.5. Aplicaciones del Láser Cabeza lectora (muy ampliada con respecto al disco) Detector Luz reflejada

163 Sálida eléctrica hacia los decodificadores electrónicos Diodo Láser

Divisor del haz Bits de datos Disco óptico

Lente de focalización Luz enfocada sobre la marca que se lee

F IGURA 8.14: Sistema de lectura de un CD-ROM.

focalizada sobre un a dim inuta región de un d isco que gira rápid amen te. La superficie del disco está cubierta con minúsculas partículas, con diferente reflectividad que el fondo del disco, de acuerdo a un cierto patr ón d e bits de datos. La luz láser reflejad a p or el disco es enfocad a sobre un d etector que genera u na señal eléctrica en form a d e un a serie de p ulsos correspond ientes al patron d e datos registrad o en el d isco. Debido a que el haz del diodo láser puede ser enfocado sobre una región que cubre aproximadamente un diámetro de una longitud de ond a, esto significa qu e el uso d e diod os láser de λ = 780nm permite que cada una de las marcas del disco debe cubrir aproximadamente 1 µm 2 . De este modo, un CD-ROM de 12 cm de diámetro permite almacenar 600 MBytes, incrementán dose considerablemente la d ensidad de alm acenamiento d e datos con respecto a los anteriores d iscos mag néticos. La focalización a d istinta p rofund idad perm ite igualmen te el uso de discos ópticos multicapas, da nd o así lugar a un incremento ad icional muy imp ortante de la cantidad d e información que se pu ede almacenar.

∼

Dado qu e los diodos láser son mu y pequ eños y pu eden ser montados en la cabeza lectora, esto p ermite un acceso a la información mu y ráp ido (si se dispone d e un software de control adecuad o) con ind epend encia d e don d e esté localizada en el disco. Por otra parte, los diodos láser requieren poca potencia para su funcionamiento, siendo ad emás esta potencia del mismo ord en que la que se usa en los dispositivos electrónicos, aumentando así la compatibilidad entre la parte electrónica y la óptica.

FLML

Apuntes de CF

164


Discos magneto-ópticos; Almacenamiento y Lectura de datos para computadores El mayor inconveniente de los CD-ROM proviene de su carácter d e memoria de sólo lectura. Las intensas investigaciones realizad as p ara conseguir discos de alta densidad de almacenamiento de datos y con posibilidad de ser regrabados por el usuario han resultado en el desarrollo d el disco m agneto-óptico . La diferencia fundamental de este disco con respecto al CD-ROM consiste en una cubierta de un material parcialmente transparente con propiedades ferrimagnéticas. Este material manifiesta una magnetización neta a temp eratura ambiente que p ued e ser mod ificada p or encima de cierta temperatura (temp eratura de Neel) cuando está en la fase paramagnética. Tal como se mu estra en la Figura 8.15, el au men to de tem peratu ra local de un a peDiodo Láser Lente de focalización

Area del disco calentada para poder magnetizarla

Haz que calienta la cubierta del disco

Campo magnetizante sobre el área caliente Electroimán F IGURA 8.15: Esquema d e grabación d e un disco magneto–óptico.

queña región del disco se consigue mediante el haz focalizado de un d iodo láser. Una vez qu e se ha alcanzado la temp eratur a adecuad a, la pequ eña región es mag netizada en la d irección imp uesta por u n electroimán . Nótese que la grabación de datos es p uram ente magnética, pero debido a que la magnetización se realiza en dirección normal al d isco y qu e se pu eden m agnetizar regiones mu y localizad as, se consiguen u nas densidad es de almacenamiento de datos mu y altas. La lectura d el disco m agneto-óptico se realiza med iante un proced imiento similar al d el CD-ROM, aunqu e en este caso se usa el hecho de que la refracción de un haz polarizado en un material magnetizado produce un haz reflejado cuya polarización sufre una variación qu e dep end e de la dirección d e magn etización d el ma terial refractante. Detectando, por tanto, los estados d e polarización d el haz reflejad o por la cubierta m agnetizada del d isco y registrando estos estados en pu lsos eléctricos se consigu e recobrar el patrón d e datos graba do previamente de forma magnética.

Apuntes de CF

FLML


165

Comunicaciones por fibra óptica Actualmente las fibras ópticas se han convertido en el soporte físico dominante en las telecomunicaciones de larga distancia punto a pun to. Los LEDs p ued en excitar los sistemas de fibra óp tica cuando la transm isión se realiza a corta d istancia (por ejemp lo: en u n m ismo edificio) pero se necesitan fuentes más monocromáticas para las comu nicaciones de larga distancia, usándose p ara este cometido como fuentes estánda r los diodos láser, debido a Diodo láser emite en un área d e unos p ocos µm 2 ; lo cual es id eal par a acoplarse bien con el diminu to nú cleo de la fibra óptica ( 10µm)

∼

Es muy comp acto y op era con los mismos n iveles d e tensión e intensidad qu e los dispositivos electrónicos conven cionales. El esqu ema b ásico d e transm isión se m uestra en la Figu ra 8.16. La (Larga distancia) CABLE DE FIBRA ÓPTICA Luz guiada por fibra Señal de pulsos de entrada

Corriente de alimentación

Señal eléctrica

TRANSMISOR DIODO LÁSER

DETECTOR

Señal de pulsos de salida

ELECTRÓNICA DE DECODIFICACIÓN

F IGURA 8.16: Sistema de fibra óptica para larga distancia

señal que alcanza el transm isor genera u na corriente que pasa a trav és de un láser semiconductor. La señal es una serie de pulsos eléctricos qu e genera una correspond iente serie d e pulsos luminosos en el diodo láser. El láser emite los pu lsos directamen te al nú cleo de la fibra ópt ica, siendo transm itid a por ésta (hasta 104 km ) a u n receptor lejano. Allí, un d etector de luz conv ierte los pu lsos lum inosos en pu lsos eléctricos.

∼

8.6. Problemas propuestos 8.1: Una unión p-n abrupta p resenta N A = 1017 cm −3 en el lado p y N d = 1016 cm −3 en el lado n . A 300 K, (a) calcule los niveles de Fermi, dibu je el diagram a de band as en equilibrio y halle V 0 a partir del anterior diagrama; (b) Comp are el resultado anterior con el que proporciona la expresión (8.2); (c) Calcule la anchur a d e la región de carga espacial y el valor del campo eléctrico en esta región.

FLML

Apuntes de CF

166

Capítulo 8. Unión p-n 8.2: Compare los valores del potencial de contacto del problema anterior para el Si con los que se obtend rían en u niones hechas en Ge y GaAs con los mismos niveles de dopaje. 8.3: La corriente a través d e un a u nión p -n a 300 K es 0.01 µA para una polarización inversa d e 10 V. Calcule el valor d e la corriente a través d e la un ión p ara p olarizaciones directas d e (a) 0.1 V, (b) 0.3 V, y (c) 0.5 V. 8.4: Teniendo en cuenta qu e la corriente de saturación inversa d ebe ser lo más p equeña p osible en u na u nión p -n ideal ¿qué m aterial es más adecuad o para la fabricación de uniones p-n?. E g (Si) = 1,1eV. 8.5: La corriente de saturación inversa para una unión p-n es I 0 = 5 10−9 A. Para una polarización directa de 0.45 V, (a) calcule la corriente a través d e la unión a T = 27o C; (b) si el voltaje a través d e la unión se supon e constante e I 0 no cambia con la temp eratura, ¿cuál es la corriente a través de la un ión a T = 47o C?. Sol. (a): 0.18 A, (b) 0.06 A.

×

8.6: Una unión p + -n en Si está dop ada con N d = 1016 cm −3 , siend o D p = 10cm 2 / s, τ p = 0,1 µm y el área de la u nión S = 10−4 cm 2 . Calcule la corriente d e satur ación inversa y la corriente directa cuand o V = 0,6 V.

Apuntes de CF

FLML

Apéndice A

Constantes fundamentales Constante d e Planck:

h=

Velocidad d e la luz:

c=

Masa d el electrón:

me =

Carga del electrón (sin signo):

e=

Masa del protón:

m p =

Nú mero de Avogadro:

N

A

Constante de Boltzmann:

=

k B =

167

×10−−3415 J·s ×10 eV·s 2,998 × 108 m/ s 9,109 × 10−31 kg 1,602 × 10−19 C 1,673 × 10−27 kg 6,022 × 1023 partículas/ mol 1,381 × 10−23 J/ K 8,620 × 10−5 eV/ K 6,626 4,136

Apéndice B

Energía y longitud de onda de una partícula relativista La expresión d e la energía, E , de u na p artícula libre prop orcionad a por la Relatividad Especial es E 2 = m 20 c4 + p2 c2

,

(B.1)

donde m 0 es la masa en reposo de la partícula material, c la velocid ad de la luz y p el módu lo de su m omento lineal. La energía d e la partícula libre pu ede tam bién expresarse como la suma de su energía cinética, E c, más su energía en reposo, m 0 c2 , esto es, (B.2) E = E c + m 0 c2 . Operando en (B.1) y teniendo en cuenta (B.2), tenemos que p2 c2 = E 2

− m 20 c4 = ( E − m 0c2 )( E + m 0 c2) = E ( E + 2m 0c2 ) c



= 2m 0 c2 E c 1 +

E c

2m 0 c2



,

c

(B.3)

de d ond e obtenemos la siguiente expresión para el mom ento lineal: p =

 

2m 0 E c 1 +

E c

2m 0 c2



1/ 2

.

(B.4)

Teniend o ahor a en cuenta la expresión (1.28) que relaciona el m ódu lo del momento lineal con la longitud de onda, λ, asociada a la onda piloto de la partícula, encontram os que esta λ pu ede expresarse como λ=

h

√2m E 0

c



1+

E c

2m 0 c2



1/ 2

.

(B.5)

En el caso de que la energía cinética de la partícula sea mucho menor que su energía en reposo, E c

 m 0 c2 ; 169

170

Apéndice B. Energía y longitud de onda de una partícula relativista

es decir, si la v elocidad d e la p artícula, v , es mu cho menor qu e la velocidad de la luz (v 2 c2 ), entonces la masa de la partícula puede igualarse a su masa en reposo,



m

≈ m0 ,

y las expresion es (B.4) y (B.5) pu eden sim plificarse en p =

√2m E = mv .

(B.6)

√2hmE

(B.7)

c

y λ=

.

c

Apuntes de CF

FLML

Apéndice C

Promedios estadísticos C.1. Sistemas Discretos Sea un sistema d iscreto comp uesto d e N Total = 18 alumnos. Sup óngase que la distribución d e notas ha sido la siguiente: un alumno ha obtenido un uno, N 1 = 1, un alumno ha obtenido u n d os, N 2 = 1, N 3 = 2, N 4 = 0, N 5 = 4, N 6 = 2, N 7 = 3, N 8 = 1, N 9 = 4, N 10 = 0. Cada N i pu ede reinterpretarse como u na m edida d e la probabilidad de que un alumno de este colectivo obtenga una determinada nota. Una rep resentación gráfica d e esta distribución se representa a continuación 5

) i N ( s o n m u l A e d o r e m ú N

4

3

2

1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Calificación (C)

Dado que ∑ 10 i =1 N i = N Total , la p robabilidad de obtener un a d eterminada nota vendrá d ada por ni =

N i N Total

,

(C.1)

obteniéndose obviamente que ∑ 10 i =1 n i = 1. La función distribución del sistema p ued e id entificarse con n i . 171

172

Apéndice C. Promedios estadísticos

El valor de la calificación promedio, C , de las notas obtenidas por el colecti colectivo vo d e alumn os se obtiene obtiene med iante



10

C  =

∑ i=1 N i C i 10

∑ i=1 N i

10

=

∑ n i C i .

(C .2)

i =1

Análogamente, el valor valor p romedio de cualquier magnitud (F (C i )) que d epend a de las calific calificaci aciones ones se obtend rá como 10

F  = ∑ n F (C ) . i

(C .3)

i

i=1

C.2. Sist Sistema emass Contin ontinuos uos Las discusiones anteriores para casos d isc iscretos retos pu eden fác fácil ilmen men te extenderse ext enderse a sistemas sistemas continuos, para el ello lo debe n otarse que el p apel juga ju gadd o p or la su m a ser á ah a h or oraa a su m id o p or el p ro roces cesoo d e in te tegr gr ació aciónn ,

∑

 ⇐⇒ d

x

.

Por tanto, partiendo de u na d ete eterminad rminad a fun fun ci ción ón d e distribuci distribución, ón, η ( x ), debe cump li lirse rse que La probabilidad de que el sistema tome alguno de los valores debe ser igual igual a la un idad:



η ( x ) d x = 1 .

x

(C .4)

El valor p romed io de la variable x se calculará como

 x  =



x η ( x ) d x

.

(C .5)

El valor prom edio de un a fun fun ci ción ón d e x , por ejemp ejemp lo f ( x ), puede obtenerse a partir de la función distribución como

 f ( x ) =

Apuntes de CF



f ( x )η ( x ) d x

.

(C .6)

FLML

Apéndice D

Propiedades de algunos mater mat eriale ialess se semi miccon ondu ducctor ores es Para el silicio (Si), germanio (Ge) y arsenuro de galio (GaAs) a T = 300K, encontramos que E g

Si Ge Ga A s

(eV) 1.11 0.67 1.43

m ∗e / m e

m ∗h / m e

1.1 0.55 0.067 0.

0.56 0.37 0 48

µn

(cm 2 /

V·s) 13 50 3 900 85 00

Densidad ef efec ectiva tiva d e estados p ara Si en en BC 24 3 − 10 m N C C = 4,39

×

Densidad ef efec ectiva tiva d e estados p ara Si en en BV 24 3 − 10 m N V V = 5,95

×

173

µ p

(cm 2 /

V·s) 4 80 190 0 4 00

Apéndice E

Invarianza del nivel de Fermi en equilibrio La invarianza del nivel de Fermi en equilibrio térmico podría explicarse a par tir de la igu alación del trabajo de extracción de dos metales cuand o éstos se unen p erfectamente. No obstan te, desd e un pu nto de vista más riguroso, podemos recurrir al hecho de que, en equilibrio térmico, N O existe una corriente neta de carga en un material formad o por la un ión perfecta de dos m ateriales 1 y 2 con d ensidad es d e estad o y probabilidades de ocupación g1 ( E ), f 1 ( E ) y g2 ( E ), f 2 ( E ) respectivamente. Para cualquier nivel de energía, la velocidad de transferencia de electrones de 1 2 será proporcional al nú mero d e estados ocupad os en 1 por el nú mero d e estados vacíos en 2, es decir,

→

1

→ 2 ∝ g1 f 1 · g2 (1 − f 2 )

(E.1)

2

→ 1 ∝ g2 f 2 · g1 (1 − f 1 ) .

(E.2)

y, análogam ente, En equilibrio y para qu e no haya corriente neta debe cump lirse que el nú mero de electrones por u nidad de tiemp o que pasan d e 1 2 sea el mismo qu e aquel que pase de 2 1, lo que imp lica que

→

→

g1 f 1 g2 (1

·

− f 2 ) = g2 f 2 · g1 (1 − f 1 ) .

(E.3)

Reagrupan do términos llegamos a qu e g1 f 1 g2

− g1 f 1 g2 f 2 = g2 f 2 g1 − g2 f 2 g1 f 1 ,

(E.4)

y dado que g1 = g2 (pu esto que estas magnitud es depend en d irectamente de las características de los metales), la igualdad anterior exige qu e (E.5) f 1 ( E ) = f 2 ( E ) ,



y por tanto



1 + exp



E

− E 1 F

k B T

1

− 

= 1 + exp

175



E

− E 2 F

k B T

−

1

.

(E.6)

LIBRO Apuntes Complementos de Física

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