Lezione 7 Variabili Di Stato_ok

Lezione 7 – Variabili di stato

Lezione n.7

Variabili di stato

1. 2. 3.

Variabili di stato Funzione impulsiva di Dirac Generatori impulsivi per variabili di stato discontinue 3.1 Condizioni iniziali e generatori impulsivi

In questa lezione introdurremo le variabili di stato e le loro proprietà. Scopriremo che le variabili di stato devono essere funzioni continue e che possono presentare discontinuità di prima specie solo in corrispondenza di eventuali impulsi di Dirac presenti nel circuito grazie alla presenza di generatori impulsivi. In questa lezione introdurremo la funzione di Dirac e faremo vedere come un generatore impulsivo possa caricare istantaneamente un elemento dinamico di un circuito.

Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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1. Variabili di stato Un circuito elettrico contenente elementi passivi lineari può essere visto come un sistema lineare. I sistemi lineari sono caratterizzati da grandezze di ingresso, grandezze di stato e grandezze di uscita.

Circuito lineare passivo

Generatori (ingresso)

(variabili di stato)

Qualsiasi tensione o corrente del circuito (uscita)

condizioni iniziali delle variabili di stato

Fig.1 – Sistema ingresso- stato-uscita.

Le grandezze di ingresso sono le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di correnti presenti nel circuito. Le grandezze di uscita possono essere qualsiasi grandezza presente nel circuito comprese le variabili di stato. Le variabili di stato, che sono la tensione sui condensatori e la corrente negli induttori, tra tutte le grandezze del circuito, hanno un ruolo “privilegiato” in quanto rappresentano la memoria del circuito. La conoscenza di tali variabili ci consente di risalire a tutte le altre grandezze presenti nel sistema. Le variabili di stato devono essere funzioni continue. Questo fatto dipende dalla natura del sistema fisico. Quando costruiamo il modello che descrive il circuito dobbiamo stare attenti che vengano soddisfatte alcune condizioni di funzionamento. Una tra queste è la continuità delle funzioni che rappresentano la tensione sui condensatori e la corrente negli induttori. Vediamo perché. Consideriamo la potenza assorbita da un condensatore p (t ) = v(t )i (t ) = v(t )C

dv(t ) 1 dv 2 (t ) = C , dt 2 dt

(1)

o quella in un induttore di(t ) 1 di 2 (t ) p (t ) = v(t )i(t ) = L i (t ) = L . dt 2 dt

(2)

La potenza in gioco nel nostro sistema fisico deve necessariamente essere limitata. In particolare la potenza assorbita da un condensatore o da un induttore può assumere Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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qualsiasi segno e qualsiasi valore purchè limitato. Osservando le relazioni (1) e (2) ne ricaviamo che affinché questa condizione sia soddisfatta la tensione nel condensatore e la corrente nell’induttore devono essere funzioni continue. Ricordiamo infatti che affinché una funzione sia derivabile e abbia derivata limitata deve essere continua. Poniamoci questa domanda: nel nostro modello possiamo prevedere la possibilità di avere variabili di stato discontinue ammettendo in questo caso di descrivere un sistema fisico che si comporta in modo “estremo”? La risposta è affermativa: basta introdurre nel nostro circuito dei generatori ideali di tensione e corrente impulsivi. Generatori, cioè, capaci di generare in un istante rispettivamente tensione e corrente illimitata. L’estremizzazione consiste nel fatto che nella realtà non è possibile disporre di tali generatori, tuttavia tenerne conto ci agevola nella trattazione del nostro modello come vedremo meglio nel seguito. Se ammettiamo l’esistenza di generatori impulsivi vuol dire che ammettiamo l’esistenza di potenze illimitate e dunque l’esistenza di discontinuità delle variabili di stato. Riassumiamo quanto detto nello schema di Fig.2.

Circuito

Variabili di stato

Senza generatori impulsivi Continue Con generatori impulsivi

Corrente nei condensatori Tensione su induttori

Altre grandezze

Eventualmente discontinue


Discontinue

Impulsive

Discontinue o impulsive

Continue


Continue, discontinue o impulsive

Fig.2 – Schema riassunto delle proprietà di continuità delle grandezze in un circuito.

Abbiamo parlato di funzioni discontinue e funzioni impulsive. Formalizziamo cosa intendiamo con questi termini. 2. La funzione impulsiva di Dirac Una funzione che in un punto t* non è dotata di limite ma è dotata, in quel punto, di limite destro e limite sinistro entrambi finiti, viene detta discontinua nel punto t*. Più precisamente si dice che in quel punto essa presenta una discontinuità di prima specie (vedi Fig. 3).


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v(t)

t

t*

Fig.3 – Esempio di funzione con discontinuità di prima specie in t*. Una tale funzione non è derivabile nell’ambito delle funzioni ordinarie nel punto t*. Per rendere una funzione con discontinuità di prima specie derivabile in tutto il suo dominio dobbiamo introdurre le distribuzioni e la derivata nel senso delle distribuzioni. Delle distribuzioni ci interessa solo sapere che vengono intese come un ampliamento dell’insieme delle funzioni ordinarie affinché sia sempre possibile applicare l’operatore di derivata a qualsiasi funzione anche nei suoi punti di discontinuità.

u(t)

t

Fig. 4 – Funzione gradino unitario. Introduciamo adesso due funzioni di notevole importanza per la nostra trattazione. La funzione gradino unitario (vedi Fig. 4) 0 per t < 0 u (t ) =  1 per t > 0

(3)

e la funzione impulso rettangolare (vedi Fig. 5) Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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1  Π (t ) =  ∆ 0 

per per

∆ ∆ + 2 2

−

(4)

Π∆(t)

1/∆

−∆/2

∆/2

t

Fig. 5 – Funzione impulso rettangolare centrata nell’origine.

L’impulso rettangolare lo utilizziamo per introdurre la funzione impulsiva di Dirac o funzione impulsiva. Se consideriamo l’area del rettangolo individuato dall’impulso rettangolare Π ∆ (t ) verifichiamo che questa è uguale a 1. Infatti si ha che +∞

∫ Π ∆ (t )dt = 1 .

(5)

−∞

Osserviamo che il valore dell’integrale (5) è indipendente dal valore particolare che assume il parametro ∆ . E’ facile verificare che se ∆ diminuisce, la base dell’impulso rettangolare diminuisce mentre la sua altezza aumenta in modo tale che l’area dell’impulso rettangolare rimane invariata. In tal caso si ha: +∞

lim ∫ Π ∆ (t )dt =

∆→0 −∞

+∞

∫

lim Π ∆ (t )dt = 1 −∞ ∆ → 024 1 4 3

(6)

δ (t ) deltadi Dirac

La funzione integranda che compare nell’integrale a secondo membro della (6) è detta funzione impulsiva di Dirac e si indica con il simbolo δ (t) . Questa è una funzione che vale zero ovunque escluso in un punto in cui il suo valore è illimitato. Analiticamente possiamo scrivere: Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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+ ∞ 0

δ (t ) = 

per

t =0

per

t≠0

(7)

oppure, se la funzione impulsiva è traslata nel tempo + ∞ 0

δ (t − t0 ) = 

per

t = t0

per

t ≠ t0

(8)

La rappresentazione grafica delle funzioni definite in (7) e (8) è mostrata rispettivamente nelle Fig. 6 e Fig. 7.

δ(t)

t

Fig. 6 – Funzione impulsiva di Dirac centrata nell’origine.

δ(t)

to

t

Fig. 7 – Funzione impulsiva di Dirac traslata in t0.


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Per la funzione impulsiva valgono le seguenti importanti proprietà e relazioni: 1. Parità

δ (t ) = δ (− t )

(9)

2. Area +∞

∫ δ (t )dt = 1

(10)

−∞

3. Cambiamento di scala

δ (at ) =

1 δ (t ) a

(11)

4. Prodotto x(t )δ (t − t 0 ) = x(t 0 )δ (t − t 0 )

(12)

5. Campionamento +∞

x(t ) =

∫ x(τ )δ (t − τ )dτ

(13)

−∞

6. Legami con il gradino t

u (t ) = ∫ δ (τ )dτ ; −∞

d u (t ) = δ (t ) dt

(14)

Analizziamo quest’ultima proprietà. Avendo:

0 ∫−∞δ (t )dt = 1  t

∀ t < 0− ∀ t > 0+

(15)

si ha che il gradino u (t ) è l’integrale della δ (t ) . La cosa si mostra semplicemente notando che l’integrale della δ (t ) lungo tutto l’asse dei tempi può essere scomposto Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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in due integrali uno per i punti a sinistra dello zero che vale zero, e l’altro per i punti alla sua destra che vale uno. Orbene la funzione che vale zero per i punti a sinistra dello zero e uno per i punti alla sua destra è proprio il gradino u (t ) . Un ultima cosa che ci serve dire sulla funzione impulsiva è che la sua derivata è ancora una funzione impulsiva che diremo funzione impulsiva del secondo ordine.

3. Generatori impulsivi “ideali” per variabili di stato discontinue Alla luce di questi nuovi concetti dovrebbe essere più chiaro il perché se derivo una funzione discontinua questa nel suo punto di discontinuità presenta un impulso. Quindi se le variabili di stato di un circuito fossero discontinue, nel circuito stesso potrei avere tensioni, correnti e potenze impulsive. Una tale cosa sarebbe possibile solo se io ammettessi che all’interno del circuito fossero presenti generatori di tipo impulsivo. Approfondiamo questo concetto analizzando due casi concreti. A

i(t)

ic(t) j(t)=Qδ(t- t0)

vc(t)

C

C

B Fig. 8 – Generatore di corrente impulsivo in parallelo ad un condensatore. In Fig.8 abbiamo considerato un generatore ideale di corrente in parallelo ad un condensatore; il loro parallelo è collegato ad un sottocircuito C. Il generatore è impulsivo: è spento per t < t 0 , in t = t 0 produce un impulso di corrente pari a Qδ (t − t 0 ) e poi si spegne per t > t 0 comportandosi come un circuito aperto. La scelta del simbolo Q dipende dal fatto che tale costante deve avere la dimensione di una carica; l’impulso ha la dimensione di un tempo inverso e quindi il loro prodotto la dimensione omogenea ad una corrente. Supponiamo che il condensatore sia carico per t < t 0 ad un certo valore V0 . Quindi possiamo porre v C (t 0− ) = V0 . La corrente che circola nel condensatore per la prima legge di Kirchhoff al nodo A la possiamo così determinare: ic (t ) = Qδ (t − t 0 ) − i (t ) .

(16)

Inoltre la relazione caratteristica del condensatore è Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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iC (t ) = C

d vC (t ) . dt

(17)

Sostituendo la (17) nella (16) otteniamo: C

d vC (t ) = Qδ (t − t 0 ) − i (t ) . dt

(18)

Integrando la (18) fra due istanti uno immediatamente precedente e l’altro immediatamente successivo a t0 troviamo che t 0+

vC ( t 0+ )

∫ Qδ (t − t )dt = ∫ Cdv 0

t 0−

vC ( t 0− )

t 0+

C

+ ∫ i (t )dt .

(19)

t 0−

Supponiamo che, per semplicità, che la corrente i(t) sia limitata intorno a t0 . Ciò non è detto debba verificarsi necessariamente; infatti la corrente i(t) potrebbe anch’essa mostrare in t0 un impulso dovuto ad eventuali generatori impulsivi presenti in C e in tal caso dare un contributo non nullo alla (19). In questa ipotesi semplificativa otteniamo vC (t 0+ ) = V0 +

Q . C

(20)

Dunque la tensione sul condensatore subisce un salto di discontinuità nell’ istante t0 di ampiezza Q C . Analogamente possiamo ragionare per l’induttore. Facciamo riferimento alla Fig. 9. In questo caso supponiamo i L (t 0− ) = I 0 essere la condizione iniziale e consideriamo un generatore ideale di tensione impulsivo φδ (t − t 0 ) collegato in serie all’induttore. Ricaviamo, analogamente alla (18) ma questa volta utilizzando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia evidenziata in figura:

L

d i L (t ) = φδ (t − t 0 ) + v(t ) . dt

(21)

Dalla (21), otteniamo (anche in questo caso supponiamo che la v(t) sia una funzione limitata intorno a t0):

i L (t 0+ ) = I 0 +

φ L

.


(22)

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A

iL(t) vL(t)

L

C v(t)

e(t)=φδ(t- t0)

B Fig. 9 – Generatore di tensione impulsivo in parallelo ad un induttore.

In questo caso abbiamo utilizzato il simbolo φ per ricordare il fatto che le dimensione fisiche del coefficiente dell’impulso deve essere un flusso di campo magnetico. Si osservi che quando il generatore si annulla dopo aver agito l’impulso in t0 si comporta come un corto circuito senza alterare il funzionamento del circuito.

3.1

Condizioni iniziali e generatori impulsivi

L’analisi dei circuiti di Fig. 8 e 9 ci suggerisce di modellare una condizione iniziale non nulla presente in un condensatore con la inserzione di un opportuno generatore impulsivo. Supponiamo di avere ancora un condensatore inizialmente carico; questa volta indichiamone il valore con v C (t 0− ) = V0* per distinguerlo dal caso affrontato prima. Nel caso in cui non vi siano generatori impulsivi sarà:

vC (t 0+ ) = vC (t 0− ) = V0*

(23)

Vogliamo “trasformare”, per motivi che ci saranno chiari tra poco, questa naturale condizione di continuità in un’altra:

 vC (t 0− ) = 0  + * vC (t 0 ) = V0

+ presenza di un opportuno generatore impulsivo.

(24)

Per realizzare questa “irrealistica” condizione iniziale che abbiamo modellato nella (24) utilizziamo ancora il circuito di Fig. 8. Questa volta, però, dovremmo scegliere Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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un peso dell’impulso che ci soddisfi la relazione ottenuta dalla (20) assumendo nullo il valore della tensione in t0-:

Q = CvC (t 0+ ) = CV0* .

(25)

In conclusione la condizione iniziale del condensatore viene “simulata” dalla presenza di un generatore di corrente impulsivo pari al valore della condizione iniziale per la capacità del condensatore. Si osservi che per t>t0 il generatore di corrente si spegne e quindi si comporta come un circuito aperto in parallelo al condensatore ed al circuito C senza alterare il funzionamento dell’intero circuito. Infine volendo utilizzare il generatore di tensione in serie per “simulare” la condizione iniziale I 0* dell’induttore, abbiamo:

φ = Li L (t 0+ ) = LI 0* .

(26)

Sottolineamo che le relazione ottenute sono relative ai versi utilizzati nelle figure 8 e 9.


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