LEYES QUE RIGEN LA MATERIA 2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DE EXCITACIÓN DE BOLTZMANN Si un determinado sistema físico se encuentra en condiciones de equilibrio termodinámico estricto, la Física Clásica predice entonces que la probabilidad P(E) de que una partícula de dicho sistema tenga una cierta energía E, es proporcional al denominado factor de Boltzmann e-E/kT. Una simple gráfica de P(E) en función de la energía E demuestra que el factor de Boltzmann tiende a favorecer los estados de baja energía (Figura 4-1). Por otra parte, dado que el factor de Boltzmann aumenta con la temperatura, la población de un determinado nivel E aumentará también a medida que se incrementa la temperatura, siempre que se trate de niveles elevados. El punto de vista anterior está de acuerdo con la Física Clásica. En los sistemas mecánico-cuánticos también existe la misma dependencia con la energía, sólo que en este caso hay que tener en cuenta la degeneración del nivel. En efecto, recordemos que la descripción mecánico-cuántica completa del estado de excitación de un átomo, requiere el conocimiento de cuatro números cuánticos. En general, suele interesar la energía del átomo y no su estado mecánico-cuántico completo. Sin embargo, pueden existir varios estados mecánico-cuánticos diferentes correspondientes a un único valor de la energía. El número de tales estados que corresponde a un cierto nivel de energía se denomina el peso estadístico o degeneración del nivel. En términos de la Mecánica Cuántica, la anterior aseveración se expresa diciendo que pueden existir diferentes funciones de onda (autovectores) que corresponden a un mismo autovalor de la energía. La degeneración del nivel se pone en evidencia ante la presencia de un campo magnético, pues éste desdobla el nivel en diferentes estados Zeeman. El peso estadístico del nivel resulta ser 2J+1, donde J es el número cuántico correspondiente al momento angular total de átomo. El peso estadístico del nivel es 2J+1, ya sea que existan condiciones de acoplamiento LS o j-j. Resulta evidente que la probabilidad de que un nivel con alto peso estadístico sea ocupado, es mayor que la probabilidad de que esto ocurra en un nivel con bajo peso estadístico. La expresión clásica (factor de Boltzmann) debe ser entonces modificada; la probabilidad de que un átomo tenga una energía E debe ser ahora proporcional al producto g(E). e-E/kT, siendo g(E) el peso estadístico del nivel de energía E. Sean Nj y Nk los números de átomos, por unidad de volumen, con energías Ej y Ek respectivamente. La población relativa de los dos niveles, por unidad de volumen, será :
3 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DE IONIZACIÓN DE SAHA Saha demostró que el número Ni+1 de átomos en el estado de ionización (i+1) respecto del número Ni en el estado de ionización i, está dado por :
,
(4.12)
en la cual Ne es el número de electrones libres por unidad de volumen e Ii el potencial de ionización del estado de ionización i. La ecuación de equilibrio de ionización de Saha (4.12) expresa que la frecuencia con la cual los iones en el estado de ionización i se ionizan una vez y pasan al estado (i+1), es igual a la frecuencia con la cual los iones en el estado de ionización (i+1) se recombinan con electrones libres para formar iones en el estado i. Es decir, la frecuencia de ionizaciones y recombinaciones es la misma (equilibrio termodinámico). Sustituyendo los valores numéricos de las constantes y tomando logaritmos en (4.12) resulta :
(4.13)
en la cual los factores numéricos son tales que, al igual que antes, la temperatura debe medirse en grados Kelvin y el potencial de ionización en eV, mientras que Ne representa electrones por centímetro cúbico. Una forma alternativa de la ecuación de Saha se obtiene introduciendo en (4.13) la presión electrónica Pe. Puesto que Pe = NekT, resulta :
(4.14) Para el átomo de hidrógeno neutro y una vez ionizado las funciones de partición valen: U1 = 2 y U2 = 1, respectivamente. Luego, para el mencionado átomo a 5.000 °K, 15.000 °K y 25.000 °K, se obtienen de (4.14) COMBINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE BOLTZMANN Y SAHA En muchos casos resulta conveniente combinar las ecuaciones de Boltzmann y Saha para encontrar el número de átomos en un determinado estado de ionización y en un nivel de excitación, con respecto al número total de átomos de ese elemento. Por ejemplo, si N1n es el número de átomos una vez ionizados en el nivel n de excitación y Nt representa el número total de átomos, ambos por unidad de volumen, se tendrá :
,
(4.18)
en la cual N0, N1, N2, etc. representan los números de átomos neutros, una vez ionizados, dos veces ionizados, etc. del elemento considerado, por unidad de volumen. Dividiendo numerador y denominador de (4.18) por N1 se tiene :
(4.19) El numerador de (4.19) puede calcularse usando la ecuación de Boltzmann (4.16) y cada uno de los términos del denominador pueden calcularse usando la fórmula de Saha (4.13) o (4.14). En la práctica suele ser suficiente incluir elementos hasta el tercer estado de ionización. LEYES DE PLANCK Y KIRCHHOFF En la clase anterior se hizo referencia a que la intensidad específica monocromática del cuerpo negro está dada por la función de Planck. El significado de dicha función fue también descripto en ese capítulo. Análogamente, en condiciones de equilibrio termodinámico es válida la ley de Kirchhoff (2.2), en la cual (,T) coincide con la función de Planck. De allí que esta ley suele también denominarse ley de Kirchhoff-Planck. Más adelante regresaremos sobre esta ley, una vez que se hayan definidos los coeficientes de absorción y emisión. LEY DE MAXWELL DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES En condiciones de equilibrio termodinámico las velocidades de las partículas en un gas obedecen la Ley de Maxwell de distribución de velocidades, también conocida como Ley de distribución de velocidades de Maxwell y Boltzmann. De acuerdo a esta ley, el número de partículas con componentes de velocidad en la dirección del eje x comprendidas entre x y x+dx , es :
,
(4.20)
en la cual N es el número total de partículas del gas y m la masa de una partícula. Introduciendo la variable , definida de la siguiente manera :
,
(4.21)
resulta :
(4.22) La (4.22) es una función Gaussiana. En efecto, si se grafica N (x) en términos de x para el caso del gas hidrógeno a T = 6.000 °K y T = 24.000 °K, por ejemplo, se obtienen las gaussianas de la Figura 4-3. Análogamente, las fracciones de partículas del gas con velocidades en la dirección de los ejes y y z, y en los rangos vy, vy+dvy y vz+dvz , se escriben como :
(4.23)
(4.24) Por lo tanto, la fracción de partículas del gas con componentes de velocidad en el rango vx,vx+dvx , vy, vy+dvy , vz vy+dvz , es ,
(4.25) Para lograr que la (4.25) tenga un significado más intuitivo, podemos introducir la función N(vx , vy , vz), la cual representa el número de partículas con componentes entre vx y vx + dvx, vy y vy + dvy, y vz y vz + dvz . Luego :
(4.26) En muchas ocasiones resulta de interés considerar los módulos de las velocidades de las partículas, en lugar de sus componentes de velocidad. En este caso, no interesa conocer la dirección en la cual se mueve una determinada partícula. En la Figura (4-4) todas las partículas con vectores velocidad
desde el origen hasta un punto de la esfera verifican la ecuación : ,
en la cual v es el módulo del vector velocidad.
LEY DE DISOCIACIÓN MOLECULAR Es bien sabido que las leyes de excitación de Boltzmann y de ionización de Saha permiten describir, al menos cualitativamente, los espectros atómicos de la secuencia de Harvard. Análogamente, existe una ley conocida como de ley de disociación molecular, que permite explicar los espectros moleculares de las estrellas más frías de dicha secuencia. Esta ley, cuya derivación escapa al alcance de esta obra, tiene la siguiente forma :
,
(4.36)
donde n(A) y n(B) representan los números de átomos A y B respectivamente; n(AB) es el número de moléculas formadas por un átomo del tipo A y otro del tipo B, y K'(AB) suele denominarse constante de disociación correspondiente a la molécula AB. Esta constante puede calcularse para cada molécula en particular.
Si bien no es nuestro propósito describir el cálculo de K'(AB), puede resultar de interés mencionar los parámetros que involucra su determinación. La constante de disociación K'(AB) admite la siguiente expresión analítica :
,
(4.37)
en la cual pA, pB y pAB representan las presiones parciales producidas por los átomos A, B y las moléculas AB, respectivamente, UAB es la función de partición interna de la molécula, UA y UB son las funciones de partición de los átomos A y B respectivamente, M es la masa reducida de la molécula y D el potencial de disociación. La función de partición interna de la molécula puede expresarse como la sumatoria sobre los distintos niveles de energía de la molécula, del producto de tres términos, cada uno de los cuales representa un tipo de energía determinado en la molécula. O sea que : UAB = Urot . Uvib . Uel ,
(4.38)
