Ley de gravitación universal
Fuerzas mutuas de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posición del centro de gravedad conjunto de ambas esferas.
a ley de gravitación universal es una ley f!sica clásica "ue describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. #sta fue presentada por $saac %ewton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , publicado en &'(), donde establece por primera vez una relación cuantitativa *deducida emp!ricamente emp!ricamente de la observación+ observación+ de la fuerza con "ue se atraen dos objetos con m asa. s!, %ewton dedujo dedujo "ue la fuerza fuerza con "ue se se atraen dos cuerpos cuerpos de diferente diferente masa -nicamente -nicamente depende depende del valor de de sus masas y del del cuadrado de la distancia "ue los separa. ara grandes distancias de separación entre cuerpos se observa "ue dic/a fuerza act-a de manera muy apro0imada como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada concentrada -nicamente en su centro de gravedad, es decir, es como si dic/os objetos fuesen -nicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos. s!, con todo esto resulta "ue "ue la ley de la gravitación universal predice predice "ue la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas separados una una distancia
y
es proporcional proporcional al producto producto de sus masas e inversamente proporcional al al cuadrado de la distancia , es decir1
*&+ donde es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje "ue une ambos cuerpos. es la constante de gravitación universal . #s decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. #l valor de esta constante de 2ravitación 3niversal no pudo ser establecido por %ewton, "ue -nicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no ten!a suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. 4nicamente dedujo "ue su valor deber!a ser muy pe"ueño. 5olo muc/o tiempo despu6s se desarrollaron las t6cnicas necesarias necesarias para calcular su valor, y a-n /oy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. #n &)7( &)7( se se /izo el primer intento de medición*v6ase e le0perimento de 8avendis/ + y en la actualidad, con t6cnicas muc/o más precisas se /a llegado a estos resultados 1& *9+ en unidades del 5istema $nternacional . #sta ley recuerda muc/o a la forma de la ley de 8oulomb para las fuerzas electrostáticas, ya "ue ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado *es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia+ y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos *en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga el6ctrica+. un"ue actualmente actualmente se conocen conocen los l!mites en los "ue dic/a dic/a ley deja de tener validez *lo cual ocurre ocurre básicamente cuando cuando nos encontramos cerca de cuerpos e0tremadamente masivos+, en cuyo caso es necesario realizar una descripción a trav6s de la :elatividad 2eneral enunciada por lbert #instein en &7&, dic/a ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una e0traordinaria precisión los movimientos de los cuerpos *planetas, lunas, asteroides, etc.+ del 5istema 5olar , por lo "ue a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la :elatividad 2eneral, y a "ue esta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la 2ravitación 3niversal.
Historia
e y disputa 8uando el primer libro de los rincipios de %ewton fue e0puesto a la :oyal 5ociety *la :eal cademia de las 8iencias, de $nglaterra+, el coetáneo :obert =oo>e acusó a %ewton de plagio por copiarle la idea de "ue l a gravedad deca!a como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. un"ue esta controversia /a durado incluso /asta nuestros d!as, no /ay datos claros sobre si realmente %ewton conoc!a los trabajos de =oo>e o no, ya "ue aun"ue ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas = oo>e menciona la ley de la inversa cuadrado, algo "ue %ewton s! /izo con otros autores a los "ue s ! agradeció 9 los trabajos anteriores en los "ue basó sus ideas. Frente a esta proclama de =oo>e de su idea de la inversa cuadrado, %ewton reiteró "ue dic/a idea en ning-n caso era e0clusivamente de 6l, sino "ue fueron varios autores en a"uella 6poca "ue ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.
:elación con las eyes de ?epler as eyes de ?epler eran una serie de tres leyes emp!ricas "ue describ!an el movimiento de los planetas a trav6s de las observaciones e0istentes. un"ue estas describ!an dic/os movimientos, los motivos de por "u6 estos eran as! o "u6 los causaban permanec!an desconocidas tanto para ?epler como para sus coetáneos. 5in embargo, estas supusieron un punto de partida para %ewton, "uien pudo dar una formulación matemática a dic/as leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulación de la ley de la 2ravitación 3niversal. #n especial, a trav6s de dic/a ley % ewton pudo dar la forma completa a la
Formulación general de la ley de la Gravitación Universal Forma vectorial un"ue en la ecuación *&+ se /a detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cuales"uiera, e0iste una forma más general con la "ue poder describir completamente dic/a fuerza, ya "ue en lugar de darnos -nicamente su valor, tambi6n podemos encontrar directamente su dirección. ara ello, se convierte dic/a ecuación en forma vectorial, para lo cual -nicamente /ay "ue tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cual"uiera. De esta forma, suponiendo "ue ambos cuerpos se encuentran en las posiciones , la fuerza *"ue será un vector a/ora+ vendrá dada por
*9+ donde
es el vector unitario "ue va del centro de gravedad del objeto & al del objeto 9.
8uerpos e0tensos 5e /a m encionado anteriormente "ue dic/os cuerpos se pueden tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo real, de tal forma "ue la descripción de esta fuerza se realiza trabajando -nicamente con cuerpos puntuales *toda su masa se encuentra concentrada en su centro+. 5in embargo, para algunos casos se puede /acer necesario tratar dic/os cuerpos como lo "ue son, cuerpos con una e0tensión dada, es decir no puntuales. 3n ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar cómo var!a la fuerza de la gravedad a medida "ue nos situamos en el interior de un objeto, por ejemplo "u6 gravedad e0iste en el interior de la
*@+ Donde
son los vol-menes de los dos cuerpos. son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio *
+.
uede verse "ue si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por1
Donde
son las distancias m!nima y má0ima entre los dos cuerpos en un instante dado.
Consecuencias celeración de la gravedad 8onsiderando la segunda ley de %ewton , "ue e0plica "ue la aceleración "ue sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza ejercida sobre 6l, estando ambas relacionadas por una constante de proporcionalidad "ue es precisamente la masa de dic/o objeto,
e introduci6ndolo en la ley de la 2ravitación 3niversal *en su forma más simple, -nicamente por simplicidad+ se obtiene "ue la aceleración "ue sufre un cuerpo debido a la fuerza de la gravedad ejercida por otro de masa
es igual a
donde es la aceleración sufrida. #s decir, dic/a aceleración es independiente de la masa "ue presente nuestro objeto, -nicamente depende de la masa del cuerpo "ue ejerce la fuerza y de su distancia. or ello, si se tienen dos cuerpos de diferente masa *por ejemplo la una y un sat6lite artificial, "ue -nicamente tenga una masa de unos pocos >ilogramos+ a la misma distancia de la g+. #ste es el /ec/o por el "ue no sentimos la gravedad "ue ejercen cuerpos poco masivos como nosotros.
referencia del cuerpo más masivo 8ontinuando con lo "ue se acaba de m encionar acerca de la aceleración "ue sufre un cuerpo como consecuencia de otro objeto masivo, el /ec/o de "ue esta aceleración -nicamente dependa de la masa de este cuerpo *olvidándonos de su distancia por un momento+ muestra "ue para dos cuerpos dados de diferente masa, el cuerpo menos masivo será el "ue sufra una aceleración mayor, y por tanto un movimiento más pronunciado. 8on esto se observa directamente una respuesta a por "u6 es la
$nterior de un cuerpo esf6rico
3na de las consecuencias "ue trae "ue la gravedad sea una fuerza "ue depende como la inversa del cuadrado de la distancia es "ue si se tiene un cuerpo esf6rico, con una densidad "ue -nicamente va variando a medida "ue nos alejamos del centro del cuerpo *lo cual podr!a ser un modelo "ue describe de forma bastante adecuada a la
$nterior de una corteza /ueca B por e0tensión de lo "ue se acaba de mencionar, en el caso en "ue se tuviese un cuerpo esf6rico pero /ueco por dentro *es decir "ue -nicamente ser!a unas cáscara esf6rica+, en cual"uier punto e0terno a 6l sigue produciendo una fuerza de la gravedad de acuerdo con la ecuación *&+, es decir como si dic/o cuerpo fuese puntual. 5in embargo, al adentrarnos dentro del mismo, observar!amos cómo no /ay fuerza de la gravedad, puesto "ue en su interior ya no /ay masa.
Eovimiento de los planetas 8omo se /a mencionado en el apartado /istórico, esta ley permite recuperar y e0plicar la
8orrección del peso por la fuerza centr!fuga en la
Donde1 , Fuerza centr!peta *usualmente en I%J+. la masa del cuerpo "ue gira *usualmente en I>gJ+. , velocidad lineal del cuerpo *usualmente en ImKsJ+.
, radio de la circunferencia *usualmente en ImJ+. a fuerza centr!fuga, es una fuerza ficticia percibida por un observador sobre la tierra es igual en módulo y de sentido opuesto a la aceleración centr!peta de la superficie de la tierra, por lo "ue un observador situado sobre el ecuador terrestre percibirá una mayor fuerza centr!peta "ue en los polos. #sto se debe a "ue en un punto del ecuador se mueve más rápido "ue uno pró0imo a los polos. or tanto, cuando la m, "ue es el valor de la longitud de la circunferencia en el ecuador, mientras "ue el punto pró0imo a uno de los polos recorrer!a apro0imadamente & >m. Debido a ello, la velocidad lineal de un punto sobre el ecuador será mayor "ue la de un punto cerca de los polos y consecuentemente será mayor tambi6n su fuerza centr!fuga. 8omo el efecto de la fuerza centr!fuga es un distanciamiento respeco al eje de giro, la fuerza centr!fuga percibida por un observador sobre la tierra e"uivale a "ue este vea "ue dic/os cuerpos se alejan del eje de giro, reduciendo el efecto de la fuerza de gravedad de acuerdo con las medidas de dic/o observador. or esa razón, al medir el peso efectivo de un cuerpo un observador situado cerca del ecuador medirá un menor peso "ue uno situado cerca de los polos, toda vez "ue la aceleración centr!fuga medida es menor en los polos, además de encontrarse más cerca del centro de la
Limitaciones 5i bien la ley de la gravitación universal da una muy buena apro0imación para describir el movimiento de un planeta alrededor del 5ol, o de un sat6lite artificial relativamente cercano a la
8omo se /a mencionado ya, la órbita del planeta Eercurio no es una elipse cerrada tal como predice la teor!a de %e wton, sino una cuasiM elipse "ue gira secularmente, produciendo el problema del avance del peri/elio "ue fue e0plicado por primera vez solo con la formulación de la teor!a general de la relatividad . #sta discrepancia obedece precisamente al l!mite de validez "ue actualmente conocemos para la teor!a de %ewton1 esta -nicamente es válida para cuerpos de poca masa o distancias grandes, lo cual se cumple para todos los planetas del 5istema 5olar e0cepto para Eercurio, puesto "ue este se encuentra muy cercano al 5ol, un cuerpo lo suficientemente masivo para producir discrepancias observables *aun"ue recordando "ue dic/a discrepancia es -nicamente un efecto de H' segundos de arco por siglo, el uso de la :elatividad 2eneral sigue siendo necesario e0clusivamente para cálculos de alta precisión+.
9.
un"ue bajo la descripción de la gravedad de %ewton esta -nicamente se produce entre cuerpos con masa, se /a observado cómo la luz tambi6n se curva *se desv!a+ como consecuencia de la gravedad producida por un
cuerpo masivo, por ejemplo el 5ol. #ste /ec/o, "ue aun"ue s! pod!a llegar a interpretarse -nicamente usando la ley de la 2ravitación 3niversal, esta no daba cuenta de la desviación correcta observada, resultó ser una de las primeras predicciones contrastadas "ue apoyaron la :elatividad 2eneral . @.
a velocidad de rotación de las gala0ias no parece responder adecuadamente a la ley de la gravitación, lo "ue /a llevado a formular el problema de la materia oscura y alternativamente de la dinámica newtoniana modificada . trav6s de la
Problemas filosóficos cción a distancia parte de los problemas prácticos mencionados anteriormente, e0ist!an algunos problemas de carácter más filosófico "ue atañen a la propia teor!a en s!. #n concreto, uno de ellos era el concepto de acción a distancia "ue utiliza la teor!a. #sto es, en todo momento se /a descrito "ue dos cuerpos alejados una determinada distancia *y por tanto, no se encuentran en contacto entre s!+ se ejercen una fuerza, la fuerza de la gravedad. 5in embargo, ser!a necesario responder a las preguntas de Ncómo se ejerce dic/a fuerza si ambos cuerpos no se tocanO. #sto era una cuestión por resolver, no -nicamente de la teor!a de %ewton, sino "ue tambi6n atañ!a al electromagnetismo, y "ue no se sab!a cómo afrontar. or ello, esto dio lugar al concepto f!sico de campo, "ue aun"ue no resolv!a completamente el problema, s! facilitaba la utilización de estas fuerzas a distancia y su e0plicación, y "ue para la gravedad /izo "ue se comenzase a trabajar a trav6s de la idea del campo gravitatorio como causante de dic/a fuerza de la gravedad. osteriormente, este problema "uedar!a resuelto en la :elatividad 2eneral, ya "ue en esta se prescindió de describir la gravedad como una fuerza, pasando a entenderse esta como una consecuencia de "ue los cuerpos con masa curvan el espacioM tiempo *donde como analog!a se podr!a imaginar el espacioMtiempo como una cama elástica, donde los cuerpos pesados /acen "ue esta se deforme y por tanto los objetos "ue pasen por a/! se desv!an de sus trayectorias originales+.
Easa inercial y masa gravitatoria1 principio de e"uivalencia Ptro gran problema "ue tra!a consigo esta teor!a *y "ue sirve como uno de los postulados desde los "ue se desarrolla la :elatividad 2eneral+ es el conocido como principio de e"uivalencia . #ste aboga por el /ec/o de "ue en la
, y "ue podr!a ser
#n la práctica, no e0iste ninguna ley, principio o /ec/o "ue establezca "ue ambas masas son, en efecto, la misma masa, como se /a supuesto en toda la descripción realizada *-nicamente se conoce "ue ambas son prácticamente iguales con una gran precisión+. #ste /ec/o "ue traer!a una gran importancia, puesto "ue de no ser las mismas, la aceleración "ue e0perimenta un cuerpo dejar!a de ser independiente de su
masa por ejemplo, no /a podido ser resuelto de una manera efectiva, dando lugar al mencionado principio de e"uivalencia.
