Les composantes symétriques permettent surtout d?étudier le fonctionnement fonctionnement d?un réseau polyphasé de constitution symétrique lorsque l?on branche en un de ses points un récepteur déséquilibré. Soit parce qu?il s?agit effectivement d?une charge non équilibrée soit plus fréquemment lorsque se produit un court circuit. Condition d?emploi des composantes symétriques : L?utilisation des composantes symétriques symétriques à un système récepteurgénérateur e!ige que l?on puisse pratiquer le principe de superposition" c#est à dire que les relations doivent $tre linéaires %&'cte" L'Cte ( ce qui signifie absence de saturation et de distorsion. )our étudier dans ces conditions le fonctionnement d?un réseau soumis à un système de courants déséquilibrés" déséquilibrés" il suffit de conna*tre son comportement devant chacun des systèmes composants pris isolement.
A l?attention des lecteurs :
Une bonne connaissance du calcul matriciel ainsi que la maîtrise des nombres complexes facilitent grandement la lecture de ce cours.
Convention d?écriture :
sera noté + ,"-" de m$me
sera noté + o"d"i
I Principe La méthode des composantes symétriques consiste à substituer à un système initial déséquilibré de / q / grandeurs comple!es quelconque quelconque un système de / q / grandeurs génératrices" permettant de définir / q / systèmes symétriques. symétriques.
La transformation est assurée par un opérateur matriciel comple!e appelé matrice de 0ortescue noté 10q2" dont les coefficients sont formés à partir de la résolution l?équation comple!e
.
Cette équation peut s?écrire :
II Application au syst"me trip!asé Rappel
3ans le cas d?un système triphasé direct.
4n prenant le vecteur +, comme origine il vient alors.
3ans un système équilibré direct
Soit un système triphasé % q'( déséquilibré de grandeurs sinuso5dales" de tensions simples +," +-" +. 6n peut donc considérer ce système déséquilibré comme la superposition de systèmes équilibrés : •
7omopolaire %+o(
•
3irect %+d(
•
8nverse %+i(
Le théorème de décomposition de 0ortescue s?énonce ainsi : 9n système de grandeurs comple!es +,"+-"+ se décompose en systèmes symétriques. 9n système homopolaire %défini par +o( constitué de grandeurs ayant le m$me module le m$me argument.
•
9n système direct %défini par +d( constitué de grandeurs ayant le m$me module et d? arguments différents tels que :
•
9n système inverse %défini par +i( constitué de grandeurs ayant le m$me module et d? arguments différents tels que :
Les vecteurs +o" +d et +i sont appelés composantes ou coordonnées symétriques du système de vecteurs +,"+-"+. Les coefficients de la matrice de 0ortescue sont alors formées par la résolution de l? équation
6n a alors :
.
3?o;
6n définit la matrice de 0ortescue 0 ainsi
avec
et son inverse
8l suffira alors de multiplier par 0 les composantes réelles du système triphasé pour obtenir les composantes symétriques et de multiplier les composantes symétriques par 0 , pour revenir au système réel. Transformation de Fortescue
Transformation inverse
&eprésentation graphique de la transformation de 0ortescue et de son inverse" sur un système de courants triphasés.
III Sc!éma équi#alent )our utiliser les composantes on résonne sur le schéma équivalent monophasé" correspondant au! systèmes %7omopolaire" direct" inverse( du générateur triphasé supposé également symétrique. Chaque phase est caractérisée par son impédance propre < et par les impédance mutuelles
Le système générateur peut s?écrire alors :
6u bien matriciellement
3?après les conventions adoptées au début nous écrirons par la suite:
=ous avons démontré au chapitre précédent que :
que l?on note
de la m$me manière on peut donc écrire 3?o;
Schéma
Conclusion
équivalent
I$ Conduite des calculs 4nfin après toute cette mise au point nous allons aborder la partie la plus intéressante des composantes symétriques" le calcul de courant de court circuit. a. Charge équilibrée ( pas de défaut dans le système)
>vec
>u! bornes de la charge nous pouvons écrire :
b. Apparition du défaut
Schéma équivalent avec défaut
Calcul des tensions symétriques
Calcul de +o
Calcul de +i
Calcul de +d
$ Application 9ne ligne triphasée est alimentée par un transformateur dont le secondaire est monté en étoile avec le neutre relié à la terre. Le système de tensions fourni par le transformateur est un réseau symétrique direct.
La tension simple entre phase et neutre est --+. Les impédances directe" inverse et homopolaire de l?ensemble ligne @ transformateur ont pour valeur :
Ce dispositif alimente un récepteur triphasé monté en étoile ayant pour chaque phase les impédance suivantes :
Calculs des impédances homopolaire, directe et inverse du récepteur.
3?après l?énoncé on a
on a alors
3?o;
Calculs des courants de lignes .
Le système étant directe et sans défaut on utilise les relations ci contre
L?absence de défaut entra*ne qu?il n? e!iste pas de courant homopolaire et inverse.
Calculs des tensions simples.
>u! bornes de la charge on a :
3?o;
+oilà pour le système lorsqu?il est équilibré. Aaintenant que vous $tes chaud passons à l?étude du m$me système mais cette fois on aBoute une charge d?impédance terre.
Calculs des nouvelles tensions simples
entre la phase , et la
L?apparition de < , entra*ne que le système n?est plus équilibré. 6n va donc utiliser les relations cicontre
Ce qui donne puisque toutes les impédances sont connues :
3?autre part
4t
Calcul de + ,c
Calcul de + -c
Calcul de + c
Calculs des nouveaux courants de lignes
4n se référant au! schémas équivalent lors d?un défaut on a :
Calcul de 8o
Calcul de 8d
3e la m$me manière on trouve :
Calcul de 8i
8l ne reste plus qu?a appliquer la transformation de 0ortescue.
