latihan 3.1 1-8 bartle

BEBERAPA SOAL ANALISIS REAL DAN PEMECAHANNYA Sequence (xn) is defined b !"e f#$$#%in& f#'u$s f#' !"e n!" !e'. *'i!e !"e fi's! fi+e 1. !e's in ec" cse, n .  x n = 1 + (−1)

( −1) n

=

 b.

 x n

c.

 X n

n

=

d.  xn =

1 n( n + 1)

1 n-

+-

Ans%e'  .  x n = ( /-/-/...) 1 1 1 1  b.  x n = ( −1   −  − ...) 2  0 1 1 1 1 1   ...) c.  x n =    - 3 1- -/ 2/ 1 1 1 1 1   ...) d.  x n =    2 3 11 15 -4 -.

6"e fi's! fe% !e's #f sequence (x n) 'e &i+en be$#%. Assuin& Assuin& !"! !"e n!u'$ 7!ee'n indic!ed b !"ese !e's 7e'sis!s &i+e  f#'u$ f#' !"e n!" !e' x n. . 0 4 8 11 11 ... ...  b. c.

1

- 2      ... - 2  0 1 1 1 1 −    − ...  5 13 

d. 1  8 13 13 ... ... Ans%e'  . xn 9 -n:2  b.

 xn

=

c.

 x n

=

d.

2.

(−1)

n

nn

n +1  x n = n -

Lis! !"e fi's! !e's #f !"e f#$$#%in& induc!i+e$ defined sequences. . x1 9 1 xn:192xn:1 1 )  b. 1 9 n:19 ( y n +  y n c.

;1 9 1 ;- 9 -

 z n + -

=

+  z n ) ( z n +1 −  z n )

( z n +1

d. s1 9 2s - 9 0 sn:- 9 sn : sn:1 Ans%e'  . 1  12 12 / / 1-1 1-1 2 2 1   (2 + )  b. - - - 2

1

c. 1 - 2  0 d. 2 0 5 12

.

b

<#' n b ∈ R n 7'#+e !"! $i

n

=/

Ans%e'   b   $i    = /  '!in  n  

∀ε  > / ∃ N  ∋ ∀ n ≥  N  ε 

⇒ adb

b n

b n

ε 

− / < ε 

< ε   n ≥  N 

ε 



b

b

 b > /

b

< ε  ⇒ n >

b

ε  n  bn b n −  b < / − < ε  ⇒ n > − b n ε   n kasus b < /

 pilih  N  > ε 

b ε 

n ≥  N  maka n > ε 

b n

=

b n

b

⇒

ε 

b n

< ε 

< ε 

b

=/ n kasus b = /

  jadi

b

= / < ε  n kasus b > /

  jelas

 pilih  N  > − ε 

b ε 

n ≥  N  maka n > − ε 

b n   jadi

b n

=−

b n

b ε 

⇒−

b n

< ε 

= / < ε 

  jadi diperoleh ∀ε  > / ∃ N  ∋ ∀ n ≥  N  maka ε 

0.

< ε 

ε 

b n

− / < ε  dengan kata lain $i

b n

=/

=se !"e defini!i#n #f !"e $ii! #f  sequence !# es! b$is" !"e f#$$#%in& $ii!s. 1 )=/ . $i( n +1 )= b. $i( n +1

-

c. d.

2n + 1

$i(

$i(

-n + 0

n

-

-n

-

2

)=

-

1 −1 )= +2 -

Ans%e'  . $i

1 n

=/

+1

-

bukti , $i

1 n

-

+1

berarti ∀ε 

> /∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) ⇒ 1

 pilih  K ( ε  ) ∈  N  ∋

1 n

-

+1

=/

ε 

−1

≥  K ( ε  ) maka berlaku

−/ ≤

+1

n

>/

ambil  sebarang ε 

 sehingga n

1 -

1  K ( ε  )

+1

< ε 

  jadi

∀ε  > /∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) berlaku   jadi terbukti $i

1 n

-

n

-

+1

∈ V  ( L)

1

+1

ε 

=/

 b. $i

$i

-n n +1

-n

=/

n +1 bukti ,

berarti ∀ε  > /∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) ⇒

-n n +1

− - < ε 

ambil  sebarang ε  > /  pilih K ( ε  ) ∈  N  ∋ K ( ε  ) >

ε 

 sehingga n ≥  K ( ε  ) maka berlaku -n n +1

−- =

-n − - n − n +1

=

−= < < ε  n +1 n +1 n

  jadi

∀ε  > /∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) berlaku

-n n +1

  jadi terbukti $i

− - < ε  -n

n +1

=/

c.

2

$i

$i

2n + 1

2n + 1

=

2

-n + 0 bukti ,

berarti ∀ε  > /∃ K ( ε  ) ∈ N  ∋ n ≥  K ( ε  ) ⇒

-n + 0

2n + 1

−

-n + 0

2

< ε 

-

ambil  sebarang ε  > /  pilih K ( ε  ) ∈ N  ∋ K ( ε  ) >

12

ε   sehingga n ≥  K ( ε  ) maka berlaku 2n + 1 -n + 0

2

−

-

=

2n + 1 − 2n −

10 -

-n + 0

=

−

12 -

=

-n + 0

12 n + 1/

12

<

n

<

12  K ( ε  )

< ε 

  jadi

∀ε  > /∃ K ( ε  ) ∈ N  ∋ n ≥  K ( ε  ) berlaku

2n + 1 -n + 0

  jadi terbukti $i

−

2 -

2n + 1 -n + 0

< ε  =

2 -

d. $i

n-n

−1

-

=

1 -

+2

bukti , $i

2n + 1

berarti ∀ε 

>

ambil  sebarang ε 

>

-n + 0

/∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) ⇒

n-n -

−1

−

1

<

ε 

-

+2

/ 0

 pilih  K ( ε  ) ∈ N  ∋ K ( ε  ) >

ε   sehingga n ≥  K ( ε  ) maka berlaku n

-

-n

-

−1

−

1

=

n

-

-

+2

−

-

− 1 − -n − 2

-n

-

+2

0 -

=

-n

-

+2

=

0 n

-

<

0 n

<

0  K ( ε  )

< ε 

 jadi ∀ε  >

berlaku

n-n

-

 jadi terbukti $i

3.

−1

−

1

+2

-

n-

−1

-n

-

+2

<

=

/∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) ε 

1 -

S"#% !"! .

$i(

1 n+4

)

=/



-n

)=-

 b.

$i(

c.

$i(

d.

− 1n n $i( )=/ n +1

n +1

n )=/ n +1

Ans%e'  . 1

$i(

n+4

)=/ bukti

1

adt  $i(

n+4

)=/

misal  x n

=

maka $i ( x n )

=

1 n

. z n

=

/. dan $i ( z n )

 x  x ) = $i( n ) = n  z n  z n n+4 1

 Jadi $i(

1

 jadi $i(

n+4

4

1+

. z n

n

≠ /∀n ∈ N 

=1

/

=

=

1

/

)=/

 b. $i(

n n +1

)=/ bukti

adt  $i(

n )=/ n +1 1 n

n ) = $i( )=/ 1 n +1 1+ n 1 1 misal  x n = . z n = 1 + . z n n n

$i(

maka $i ( x n )

=

/. dan $i ( z n )

 x  x ) = $i( n ) = n n +-1n  z n  z n $i( )=nn+  jadi $i( )=/ n + 1 bukti  Jadi $i(

adt  $i( c.

n

-n n+-n

≠ /∀n ∈ N 

=1 =

/

=

1

/

)=-

) = $i( )=/ n+1+ n misal  x n = -. z n = 1 + . z n ≠ /∀n ∈ N  n maka $i ( x n ) = -. dan $i ( z n ) = 1 $i(

 Jadi $i(  jadi $i(

 x  x ) = $i( n ) = n n+ z n  z n -n -n -

)=-

=

1

=

/

0

d.

$i(

(−1) n .n n- +1

)=/ bukti

n

adt  $i(

(−1) .n n- +1

)=/ n

−1

$i(

(−1) n .n

) = $i( n ) = / 1 n +1 1+ n -

n

misal  x n

=

−1

 z n

= 1+

1

n nmaka $i ( x n ) = / dan $i ( z n ) = 1  Jadi $i(  jadi $i(

(−1) n .n

 x  x ) = $i( n ) = n  z n  z n n +1 -

(−1) n .n n- +1

/ 1

≠ /∀n ∈ N 

=/

)=/

 x

4.

=

 z n

P'#+e !"! $i x n9/ if #n$ if $i 9/. &i+e n ex7$e !# s"#% !"! !"e c#n+e'&ence #f need n#! i7$ !"e c#n+e'&ence #f x n Ans%e'  n

 x

n

3

bukti

⇒ dipunyai $i x n adt l im  x n = / berarti ∀ε  > /∃ K ( ε  ) ∈  N  ∋ n ≥  K ( ε  ) berlaku  x n < ε   x n =  x n − / < ε    jadi ∀ε  > /∃ N  ∈  N ∀ ∋ n ≥  N  ⇒  x n − / < ε    jadi $i  x n = / ⇐ dipunyai  x n = / adt l im $i x n ambil  sebarang  ε  > /∃n ∈  N  ∋  sehingga bila n ≥  N  berlaku  x n − / < ε  ⇒  x n − / < ε  ε 

maka

=  x n ∋  x n < ε   x n − / < ε    jadi $i  x n = /  x n

>di !e'bu?!i C#n!#" ( x n ) = ( −1) n  Jelas  x n divergen karena tidak  mempunyai $i it  $i  x n = $i(−1) n

  jelas  x n konvergen karena mempunyai $i it  yaitu konvergen ke1 5.

S"#% !"! if xn Ans%e' 

≥ / f#' $$ n ∈ N   nd $i xn9/ !"en $i

 x n 9/

dipunyai  x n ≥ / ∀ n ∈  N  dan $i  x n = / ambil  sebarang 

 pilih n ∈  N ∋ x n − / < ε  - apabila n >  N 

⇒  x n < ε  ⇒  x n < ε  ⇒

 x n < ε 

  jadi ∀ε  > /∃n ∈  N ∋ x n − / < ε  - apabila n >  N  $i  x n terbukti

4