L a s re g l a s d Si mp s o n pa ra Áre s y Centroides. Áreas y volúmenes Las reglas de Simpson se p ued ueden util utiliz izaar para ara encont contra rarr las las áre áreas y volú menes de irre irreggula ulares res cifra ifras. s. Las nor nor as se basan basan en la supos suposició iciónn de que los límit límit s de tales las cifras son son las las curv curvas as que que sig sigue uenn u na ley matemática definida. Cuando se aplic a los buques estas dan dan una una buen buenaa apr aprooxima ximaci ci n de las áreas áreas y volúmene volúmenes. s. La exactitud exactitud de l as respuestas obtenidas dependerá de la epara eparació ciónn de de las las ordena ordenada dass y de cómo cómo se se ace ace rca a la curva.
Primera regla de Simpso Esta regla supone que la cu rva es una parábola de segundo orden. Una p arábola de segundo orden es aquella cuya ecua ión, se refiere a las coordinadas en los ejes, e la forma y = a0 + a1x + a2x2, donde a0, a1 y a son constantes. Digamos que la curva de la figura 1 es una parábola de segundo orden. “y3” son tres ordenadas eq idistantes en “h” unidades de distancia.
sí que “y1”, “y2” y
El área área de la fran franja ja elem elemen en al es y.dx. Entonces el área delimitada por la curva y los ejes de referencia viene dada por:
Pero
Á .,
, �
Donde:
Á , 2 3 2 2 83 ,
Asumiendo que el área de la figura = Ay 1 + By2 + Cy3
Usando la ecuación de la curva y la sustitución de “x” por 0, h y 2h respectivamente:
2 4 2 4 2 2 83 2 4 4 Igualando coeficientes: 2, 2 , 2 2, 4 83 3 , 43 , 3 Á
3 4 Á
Esta es la primera regla de Simpson. Cabe señalar que la Primera Regla de Simpson también se puede utilizar para calcular el área bajo una curva de tercera orden, es decir, una curva cuya ecuación, se refiere a los ejes de coordenadas, siguientes:
Donde a0, a1, a2 y a3 son constantes.
Segunda Regla de Simpson Esta regla supone que la ecuación de la curva es de tercer orden, es decir, de una curva cuya ecuación, se refiere a los ejes de coordenadas, es de la forma,
donde a0, a1,a2 y a3 son constantes. constantes.
�
En la figura 2: Área de la primera franja = y . dx
Á
1 1 1 2 3 4 3 92 9 814 Deje que el área de la figur a 1 2 3 4 2 4 8 3 9 27 2 3 9 8 27 Igualando los coeficientes: 3 2 3 92 4 9 9 �
De los cuales:
8 27 841 38 , 98 , 98 , 38 38 98 98 38 Á
ó
38 3 3
Á
Esta es la segunda regla de Simpson. Resumen:
Un coeficiente de 3/8 con los multiplicadores de 1, 3, 3, 1, etc.
Tercera Regla de Simpson En la figura 3 Área de la primera franja = y dx Área entre y1 y y2 en la figura
12 13
Permitamos que el área entre y 1 y y2 = Ay1 + By2 + Cy3 Entonces el área
2 4 2 4
Igualando los coeficientes
A+B+C = h, B+2C=h/2, B+4C=h/3
�
Por lo cual:
512 , 812 , 12 Área de la figura entre y and y
∴
ó
1
2
� 12 5 8
Esta es la regla de los cinco/ocho (o 5/8 menos uno) y se utiliza para calcular el área entre dos ordenadas consecutivas cuando tres coordenadas son conocidas. Resumen: Un coeficiente de 1/12 con multiplicadores de 5, 8, 1, etc.
Áreas de los planos de agua y figuras similares que utilizan extensiones de las reglas de Simpson. Como los buque están construido de manera uniforme sobre su línea central, sólo es necesario calcular el área de la mitad del plano de agua y luego multiplicarla por dos para obtener el área de la totalidad del plano de agua.
�
La Figura 4 representa el área del plano de agua del costado de estribor de un buque. Para encontrar el área, la línea central se divide longitudinalmente en un número igual de “h” o medias mangas. La "h" se denomina el intervalo común. Las medias mangas, a, b, c, d, etc., se mide entonces y cada una de ellas se llama un medio de coordenada.
Uso de la primera regla de Simpson. Esta regla se puede utilizar para encontrar áreas cuando hay un número impar de ordenadas. Área de la figura 5 (a)
3 4
Si el intervalo común y las ordenadas se miden en metros, el área se encuentra en metros cuadrados. Apliquemos esta regla ahora a un plano de agua, tal como el mostrado en la Figura 5 (b).
Tabla 1 1
4
1 +
Combinando los multiplicadores 1
4
1 2
4 4
+
1
4
1
1 2
4
1
El plano de agua está dividido en tres áreas separadas y la Primera Regla de Simpson se utiliza para encontrar cada área por separado:
Á
Á
�
Á
Á
Á
Á
Á
Á
ó Á
Esta es la forma en que debe ser utilizada la fórmula. Dentro de los soportes las ordenadas medias aparecen en su orden correcto de adelante a atrás. Los coeficientes de las sub-ordenadas se conocen como Multiplicadores Simpson y se encuentran en la siguiente forma: 1.4.2.4.2.4.1. Si hubiesen nueve sub-ordenadas, los multiplicadores serian: 1.4.2.4.2.4.2.4.1. Generalmente es mucho más fácil determinar que parte del problema dentro de las secciones por medio de una tabla. Obsérvese cómo los multiplicadores de Simpson comienzan y terminan con 1, como se muestra en la Figura 5 (b)
Ejemplo Un buque de 120 metros de longitud en la línea de flotación con sub-ordenadas equidistantes comenzando desde adelante como sigue: 0,
3.7,
5.9,
7.6,
7.5,
4.6,
y 0.1 metros respectivamente.
Encuentra el área del plano de aguas y el plano Toneladas por Centímetro (TPC) en este proyecto. Nota: Hay un número impar de ordenadas en el plano de agua y por lo tanto la primera regla puede ser utilizada.
Tabla 2 Nº a b c d e f g Σ1
1 2 0 3.7 5.9 7.7 7.5 4.6 0.1
SM 1 4 2 4 2 4 1
Área función 0 14.8 11.8 30.4 15.0 18.4 0.1 90.5 = Σ1
se utiliza debido a que es un total, utilizando la primera regla de Simpson:
1206 � � 20
�
� 12 Σ 2 13 20 90,5 2 Respuesta Área del plano de agua = 1207 m 1207 � 97, 56 97,56 2
Respuesta 1Tpc = 12,37 to eladas
Nota: Si las sub-ordenadas se utilizan en estos cálculos, entonces se enc ntrara la mitad del área del plano de agua. Si embargo, si las mangas enteras se utilizan, s e encontrara el área total del plano de agua. Si l a mitad de las coordenadas (Sub-ordenadas) se dan y la WPA (Área del plano de agua). Se pide, simplemente multiplicar por 2 en el e xtremo de la fórmula como se muestra a rriba.
Uso de la extensión de la egunda Regla de Simpson Esta regla se puede utilizar para encontrar el área cuando el número de oordenadas es tal que si uno se resta del núm ero de ordenadas el resto es divisible por 3.
� 6 38 3 3
Ahora considere un plano e agua que se ha dividido con siete sub-orde adas como se muestra en la Figura 6 (b). El plano de agua se puede ividir en dos secciones, como se muestra, en cada sección se obtienen cuatro ordenadas.
1
Toneladas por centímetro de in mersión �
Tabla 3 1 Combinación de los multiplicadores
1
3
3 1 + 1 3 2
3 3 3 3
1 1
� 38 3 3 � 38 3 3 � 12 � � 3 3 � 1 3 3 2 8 8 3 3 ó 3 � 1 2 8 3 3 2 3 3 Esta es la forma en que de e ser la fórmula utilizada. Como antes, todas las coordenadas aparecen en su orden corre to dentro de las áreas. Los multiplicadores a hora 1332331. Si hubiera sido diez (10) orde nadas los multiplicadores serian 1.3.3.2.3.3.2 .3.3.1. Observe cómo los multiplicadores de Simpson comienzan y terminan con 1, com o se muestra en la Figura 6 (b).
Tabla 4 Nº a b c d e f g
½ Ordenada Factor Simpson 0 1 3,7 3 5,9 3 7,6 2 7,5 3 4,6 3 0,1 1
Área 0 11,1 17,7 15,2 22,5 13,8 0,1 80,4 = Σ2
�
Ejemplo Encuentra el área del plano de agua como se describe en el primer ejemplo usando la Segunda Regla de Simpson.
Tabla 5 Nº ½ ord. a 0 b 3,7 c 5,9 d 7,6 e 7,5 f 4,6 g 0,1
Σ2
FS 1 3 3 2 3 3 1
Área 0 11,1 17,7 15,2 22,5 13,8 0,1 80,4=Σ2
Se utiliza debido a que se aplica la primera regla de Simpson:
� 38 Σ 2 38 20 80,4 2
Respuesta: Área del plano de agua = 1206 m 2 (En comparación con 1207 m 2 respuesta anterior). La pequeña diferencia en las dos respuestas muestra que el área encontrada es una aproximación bastante exacta. La regla de los cinco / ocho (Tercera Regla de Simpson)
Esta regla puede ser usada para encontrar el área entre dos ordenadas consecutivas cuando tres coordenadas consecutivas son conocidas. La regla establece que el área entre dos ordenadas consecutivas es igual a cinco veces la primera ordenada más ocho veces la ordenada media menos la ordenada en el extremo externo, todo multiplicado por 1/12 del intervalo de común.
��
�: 1 12 5 8 � 121 Σ � :� 2 12 5 8 � 121
Se utiliza ya que es un t tal, utilizando la Tercera Regla de Simpson. Observe el siguiente ejemplo. Σ3
Ejemplo Tres ordenadas consecutiv s en el plano de agua de un buque, separada a una distancia de 6 metros, son14 m, 15 m y 15.5 m, respectivamente. Encuentra el área e ntre las dos últimos ordenadas.
� 12 5 8 126 77,5 120 14
Respuesta: Área = 91,75 m 2
Volúmenes de formas y figuras similares del buque Deje que el área de la prim ra franja en las figuras 7 (a) y (b) sean “y” etros cuadrados. Entonces, el volumen de la banda en cada caso es igual a y dx y el volu en de cada buque es igual a ��
El valor de la integral en c da caso se encuentra utilizando las reglas de aproximación de Simpson con las áreas a int ervalos equidistantes como ordenadas, es de ir:
ó
3 4 2 4 Σ 3
Así, el volumen de desplaz amiento de un buque a un calado particular p uede ser encontrado por primera vez mediante el cálculo de las áreas del plano agua o áreas t ransversales en intervalos equidistantes y l ego utilizando estas áreas como ordenadas p ara encontrar el volumen por las reglas de impson.
Ejemplo Las áreas de agua-planos d un buque son los siguientes: Caldo (m)
0
Área de pl no de agua (m 2) 650
1
2
660
662
3
4
661 660 ��
Calcular el desplazamiento del buque en toneladas, al flotar en agua salada a 4 metros de calado. Además, si el calado de carga del buque es de 4 metros. Encontrar el permiso de agua dulce (FWA).
Tabla 6 Calado (m) 0 1 2 3 4 Σ1
Área Factor Volumen (m2) Simpson (m3) 650 1 650 660 4 2640 662 2 1324 661 4 2644 660 1 660 7918=Σ1
se utiliza debido a que es un total, con la Primera Regla de Simpson:
13 13 1,0 7918 2639 13 2639 13 1,025
Respuesta: Desplazamiento en agua salada= 2705,3 ton.
, 97,66056 6,56 2705,3 4 4 6,77 Respuesta: FWA=99,9 cm.
Apéndices y ordenadas intermedias Apéndices
Se ha mencionado anteriormente que las áreas y volúmenes calculados por el uso de las reglas de Simpson dependerán de su exactitud en la curvatura de los lados a raíz de una ley matemática definida. Es muy raro que los costados del buque sigan una curva total. Considere el plano de agua del buque que se muestra en la Figura 8. Los lados de la popa forman una curva desde una cuarta parte de esta área, pero desde este punto hasta la popa es parte de una curva totalmente diferente. Para obtener una respuesta tan precisa como sea posible, el área de la popa a el cuarto puede ser calculada con el uso de las reglas de Simpson y luego el resto del área se puede encontrar por un segundo cálculo. El área restante antes mencionada se conoce como un apéndice.
��
De manera similar, en la Fi gura 9 el lado del buque forma una curva raz onable a partir de la línea de flotación hacia aba jo a la vez de la sentina, pero por debajo de ste punto, la curva es de una forma diferente. n este caso, el volumen de desplazamiento e ntre la línea de flotación (WL) y el plano agua XY se puede encontrar mediante el uso e las reglas de Simpson y luego el volume n del apéndice encontrado por medio de un s egundo cálculo.
Ejemplo Las mangas de un buque, e n intervalos de 9 m desde hacia adelante son los siguientes: 0,
7.6,
8.7,
9.2,
9.5,
9.4
y
8.5 metros res pectivamente.
La ordenada última de pop es un apéndice de 50 m 2. Encuentra el área total de la el plano de agua.
��
Tabla 7 Ordenada 0 7,6 8,7 9,2 9,5 9,4 8,5
Factor Simpson 1 4 2 4 2 4 1
Área 0 30,4 17,4 36,8 19,0 37,6 8,5 149,7= Σ1
� 1 13 Σ � 1 93 Σ � 1 449,1 � 50,0 � 2
Área del Plano de Agua = 99,1 m2
Intervalos comunes subdivididos El área o volumen de un ap éndice se puede encontrar por la introducció de intermedias ordenadas. Refiriéndose a l a zona de aguas-plano que se muestra en la igura 11, la longitud se ha dividido en iete partes iguales y la mitad de las coordena das se han establecido. Además, la pa te es una curva suave de la madre a la orden da “g”. Si el área del agua de plano se encue tra poniendo el ocho de medias coordenadas directamente a través de las reglas, la resp esta obtenida será, evidentemente, una erró ea. Para reducir el error de que el agua de pla o se puede dividir en dos partes como se mu estra en la figura.
Entonces,
� 1 3 4 2 4 2 4 ��
Para encontrar el Área N º 2, una sub-ordenada intermedia se establece a medio camino entre las sub-ordenadas g y j. El intervalo común para esta área es h/2. Entonces,
ó
� � 2 2 13 4 � � 2 3 12 2 12
Si el IC se redujo a la mitad, entonces, los multiplicadores se reducen a la mitad, es decir, de 1, 4, 1, etc, a 1/2, 2, 1/2.
� 12 � 1� 2 3 4 2 4 2 4 3 12 2 12 3 4 2 4 2 4 12 2 12 � 12 3 4 2 4 2 4 1 12 2 12 � 13 Σ
Ejemplo 1
La longitud del plano de agua de un buque es de 100 metros. Las longitudes de las subordenadas contadas a partir de adelante son los siguientes: 0, 3.6, 6.0, 7.3, 7.7, 7.6, 4.8, 2.8, 0,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . y 6 metros, respectivamente. A medio camino entre las dos últimas medias ordenadas es uno cuya longitud es de 2,8 metros. Encuentra el área del plano de agua.
��
Tabla 8 ½ Ord. FS 0 1 3,6 4 6,0 2 7,3 4 7,7 2 7,6 4 4,8 1½ 2,8 2 0,6 ½
Área 0 14,4 12,0 29,2 15,4 30,4 7,2 5,6 0,3 114,5= Σ1
� 23 Σ 1007 14,29 � 23 14,29114,5
Respuesta: Área del PA = 1.090,50 m 2
Nótese cómo el IC utilizado fue el más grande en el plano de agua del buque. En algunos casos un resultado aún más preciso se puede obtener dividiendo el plano de agua en tres áreas separadas, como se muestra en la Figura 12 e introduciendo subordenadas intermedias en la proa y la popa.
�1 2 13 4 3 12 2 12 �2 3 4 2 4 �3 2 13 4 3 12 2 12 � 12 �1 �2 �3 � 12 3 12 2 12 4 2 4 12 2 12 � 12 3 12 2 112 4 2 4 11/2 2 1/2 ��
ó
3 Σ
Tabla 9 ½ + Combinación de los multi licadores
2 +
½
2
½ 1 4 1½ 4
1 + 1 2
4 4
1 ½ 2 1½ 2
½ ½
Ejemplo 2 El plano de agua de un buq ue es de 72 metros de largo y las longitudes e las ordenadas medias contadas a partir de adelante son los siguientes: 0.2, 2.2, 4.4, 5.5, 5.8, 5. , 5.9, 5.8, 4.8, 3.5 ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . y 0. metros, respectivamente.
Tabla 10 ½ Ord. 0,2 2,2 4,4 5,5 5,8 5,9 5,9 5,8 4,8 3,5 0,2
FS ½ 2 1½ 4 2 4 2 4 1½ 2 ½
Área 0,1 4,4 6,6 22,0 11,6 23,6 11,8 23,2 7,2 7,0 0,1 117,6 = Σ1
��
El espaciamiento entre las rimeras tres y las últimos tres coordenadas edias es un medio del espaciado entre las otras medias ordenadas (Sub-ordenadas). Encue tra el área del plano de agua.
� 13 Σ 2 782 9 � 13 9 117,6 2
Respuesta: Área del PA= 705,6 m2
Nota: Se verá a partir de esta tabla que el efecto de reducir a la mitad el intervalo común es reducir a la mitad los multi plicadores de Simpson. Σ1
es porque está utilizand la primera regla de Simpson.
Las áreas y volúmenes que tienen un número incómodo de las orde adas. En ocasiones, el número de c ordenadas utilizado es tal que el área o volumen en cuestión no se puede encontrar directamente por el uso de la primera o segunda regla. En tal s casos, el área o volumen debe ser dividido en dos partes, el área de cada parte se calcula por s parado, y el área total encontrada por sumar la áreas de las dos partes juntas.
Ejemplo 1 Demostrar cómo el área de un plano de agua se puede encontrar al utiliz ar seis subordenadas. Ni la primera ni la segunda regla se pueden aplicar directam nte al área entera, pero el plano de agua se pu eden dividir en dos partes como se muestra e n la Figura 13, el área 1 se puede calcular us ndo la primera regla y el área 2 por la segun a regla. Las áreas de las dos partes pueden se r sumadas para encontrar el área total.
Un método alternativo serí encontrar el área entre las sub-ordenadas a e por la primera regla y luego encontrar la zona comprendida entre las coordenadas medi as e y f por la regla “cinco / ocho”.
��
Ejemplo 2 Demostrar cómo se puede ncontrar el área cuando se utilizan ocho sub ordenadas. Dividir el área como se mu estra en la figura 14. Buscar el área 1, utiliza do la segunda regla y área y el área 2 utili zando la primera regla.
Un método alternativo, es e nuevo, para encontrar el área entre las ord nadas medias A y G por la primera regla y la zona entre el g medias ordenadas y h por el " Cinco / ocho” regla. En la práctica, el arquitect naval divide la eslora del buque en 10 secci ones y luego se subdivide los extremos de roa y popa con el fin de obtener una precisi n adicional con los cálculos. De este modo, los cálculos se pueden hacer usando la Primera y Segunda Regla, tal vez como parte de un cá lculo informático.
Centroides y centros de gravedad Para encontrar el centro e flotación El centro de flotación es el centro de gravedad o centroide del área del p lano agua, y es el punto sobre el cual el buqu se escora e inclina. Este debe estar en la lín a central longitudinal, pero puede es tar un poco hacia proa o hacia popa del centr o del buque (por ejemplo 3 % de L a proa d l centro del buque para los petroleros que de ir 3 % L a popa del centro del buque para l s porta contenedores). Para encontrar el área de u plano de agua por las reglas de Simpson, la mangas medias se utilizan en ordenadas. Si lo s momentos de las ordenadas medias respect a cualquier punto se utilizan como ordenadas , entonces el momento total de la zona alrede dor de ese punto será encontrado. Si el momento total ahora se divide por el área total, el cociente dará la distancia del centroide del rea desde el punto sobre el que los moment s fueron tomados. Esto puede demostrarse de la siguiente forma:
��
En la figura 15
� � . 1 � 2 . � 2 .
El valor de la integral se encuentra utilizando la fórmula:
. 3 4 2 4
Por lo tanto, el valor de la integral se encuentra en las reglas de Simpson usando los valores de la variable y en ordenadas.
� . . 1 2 . 2 . .
El valor de esta integral se encuentra en las reglas de Simpson usando los valores del producto de x, y en ordenadas. Supongamos que la distancia del centro de flotación es X de OY, entonces:
. . Σ 2 � 2 . Σ
��
Ejemplo 1 Un buque de 150 metros d largo tiene la mitad de sub-ordenadas a part ir de la popa de la siguiente manera: 0, 5, 9, 9, 9, 7 y 0 metros, respectivamente. Encontrar la distancia del c entro de flotación de proa (ver fig. 16). Nota: Para evitar el uso de grandes números, los “brazos” a utilizar es e término de la IC como intervalo común. Es más eficiente que el uso de “brazos” en metr os (ver tabla 12).
� 23 Σ 23 25 376 � ΣΣ 312076 78,33
Respuesta CF es 78,33 m d esde la perpendicular de popa.
Tabla 11 ½ Ord. Popa 0 5 9 9 ⊗ 9 7 Proa 0
FS 1 4 2 4 2 4 1
Área Brazo desde A 2∗ 0 0 20 1 18 2 36 3 18 4 28 5 0 6 120 = Σ1
Mot s. 0 20 36 10 72 14 0 376=Σ2
1506 25
∗
Los brazos son en términos el alor de IC de la ordenada a popa a través de todo el eje de ordenadas. Σ1, porque es el primer total. Σ2, ya que es el segundo total. ��
Este problema también puede resolverse mediante la adopción de los m mentos sobre el centro del buque como en l siguiente ejemplo:
Ejemplo 2 A 75 metros de largo nave tiene la mitad-ordenadas en la carga de agua de plano a partir de popa de la siguiente maner : 0, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 4, 3, 2 y 0 metros, respectivame nte. El espacio entre las tres pri meras sub-ordenadas y las últimas tres son la mitad de la que existe entre las otras sub-o denadas. Encontrar la posición del Centro de Flotación en relación con el centro del b uque.
Use un el signo positivo (+ ) de los brazos y los momentos a popa de la s ección media (⊗) del buque. Use un el signo negativo (-) de los brazos y los momentos a proa de la s cción media ( ⊗) del buque.
Tabla 12 ½ Ord. Popa 0 1 2 4 5 5 ⊗ 5 4 3 2 Proa 0
FS ½ 2 1½ 4 2 4 2 4 1½ 2 ½
Área 0 2 3 16 10 20 10 16 4,5 4,0 0 85,5 = Σ1
Brazo +4 +3 ½ +3 +2 +1 0 -1 -2 -3 -3 ½ -4
omentos 0 +7 +9 +32 +10 0 -10 -32 -13,5 -14 0 ����� � Σ2
��
785 9,375
Σ1
denota total de la primera.
Σ2
denota total algebraico de la segunda.
El punto que tiene un “brazo” de cero es el punto de apoyo. Todas los otros “brazos” (+) ve y (–) ve son relativos a este punto.
� � ΣΣ 85,11,55 9,375 1,26
El signo (-) ve demuestra que es delante de ( ⊗)
.
Respuesta. C.F. es de 1,26 metros adelante del centro del buque.
Para encontrar el KB. El centro de empuje es el centro tridimensional de gravedad del volumen bajo el agua y las reglas de Simpson se pueden utilizar para determinar su altura por encima de la quilla. Primero, las áreas de los planos de agua se calculan a intervalos equidistantes de calado entre la quilla y la línea de flotación. Entonces el volumen de desplazamiento se calcula mediante el uso de estas áreas como ordenadas en las reglas. Los momentos de estas áreas alrededor de la quilla son tomados para encontrar el momento total del volumen sumergido desde la quilla. El KB luego se obtiene dividiendo el momento total respecto a la quilla por el volumen de desplazamiento. Se observará que este procedimiento es similar a la de encontrar la posición del Centro de flotación, que es el centro de dos dimensiones de la gravedad de cada plano de agua.
Ejemplo 1 Un buque está flotando sin escora y a calados iguales con 6,0 m de calado proa y popa. Las áreas de los planos de agua son los siguientes: Calado (m) 0 1 2 3 4 5 6 Área (m²) 5000 5600 6020 6025 6025 6025 6025 Buscar KB del buque en este proyecto.
��
Tabla 13 Plano de Agua A B C D E F G
Área
FS
Volumen
Brazo
Momentos
6025 6025 6025 6025 6020 5600 5000
1 4 2 4 2 4 1
6025 24100 12050 24100 12040 22400 5000 105715 = Σ1
6 5 4 3 2 1 0
36150 120500 48200 72300 24080 22400 0 323630 = Σ2
Respuesta: KB = 3,06 m
ΣΣ 323630 105715 1
=0,51 x d aproximadament . Los “brazos” de cero estab n en la quilla por lo que la respuesta final er relativa a este punto, es decir, por encima de la base. Si Simplificamos ½ ordenada obtendremos área. Si Simplificamos áreas se btienen volúmenes.
Ejemplo 2 Un buque está flotando sin escora en agua salda y con calados iguales a 7 metros. Las TPC son las siguientes : Calado (m) 1 2 3 4 5 6 7 TPC (tonel das) 60 60,3 60,5 60,5 60,5 60,5 60,5 ��
El volumen entre el forro e xterior y 1 m de calado es 3044 metros cúbic os, y su centro de gravedad es de 0,5 m por e cima de la quilla. Buscar KB del buque.
En la figura 19: KY representan la altura d l centro de gravedad del volumen sobre la q illa, y KZ representan la altura del ce tro de gravedad del volumen B por encima e la quilla.
, Entonces el �rea de cada plano de agua es ig al al TPC x X m2. Σ1 denota el primer total. Σ2 denota el segundo total. Decimos que
Tabla 14
Calado 7 6 5 4 3 2 1
Área 60,5 60,5 60,5 60,5 60,5 60,3 60,0
FS 1 4 2 4 2 4 1
Volumen Brazos a 1m Momentos 60,5 0 0 242,0 1 242,0 121,0 2 242,0 242,0 3 726,0 121,0 4 484,0 241,2 5 1206,0 60,0 6 360,0 1087,7 = Σ1 3260,0 = Σ2
13 Σ 13 1,0 1087,7 1,100 025 35372 3044 38416 . 3260 1,0 3 � 7 ΣΣ . 1087,7 3 ��
7 4
Tabla 15
+ Momentos en la quilla
Resumen
Volumen 35372 3044 38416
KGQuilla 4 0,5
Mtos. sobre la quilla 141488 + 1522 143010
143010 3,72 .. 38416 0,51
Al utilizar las reglas de Simpson para los cálculos de buques, utilizar siempre el siguiente procedimiento: 1. Haz un dibujo utilizando la información proporcionada. 2. Insertar valores en una tabla como se muestra en los ejemplos trabajados. 3. Utilice sumas tabuladas para calcular finalmente los valores solicitados.
Ejercicios (el punto es el decimal ej. 4.32 = 4,32) 1.- Un buque carga un plano de agua de 60 m de largo. Las longitudes de las ordenadas medias (sub-ordenadas) contadas a partir de proa son los siguientes: 0.1, 3.5, 4.6, 5.1, 5.2, 5.1, 4.9, 4.3 y 0.1 m, respectivamente. Calcular el área del plano de agua, las TPC en agua salada, y la posición del centro de flotación, desde el centro del buque. 2.- Las medias ordenadas del plano de agua de un buque, que es 60 m de largo, a partir de proa, son los siguientes: 0, 3.8, 4.3, 4.6, 4.7, 4.7, 4.5, 4.3 y 1 m, respectivamente. Encuentra el área del plano de agua, las TPC, el coeficiente de afinamiento en las áreas de los planos de aguas, y la posición del centro de flotación, desde el centro del buque. 3.- Las mangas de un plano de agua cargado de un barco de 90 metros de largo, medido a intervalos iguales desde la proa, son los siguientes: 0, 3,96, 8,53, 11,58, 12,19, 12,5, 11,58 m, 5,18, 3,44 y 0,30, respectivamente. Si el calado de carga es de 5 metros, y el coeficiente de bloque es de 0,6, encuentre el FWA y la posición del centro de flotación, desde el centro del buque.
��
4.- Las áreas del plano de agua de un barco, comenzando desde un calado de carga de 24 metros, y tomadas a distancias iguales, son: 2000, 1950, 1800, 1400, 800, 400 y 100 metros cuadrados, respectivamente. La zona inferior es el de fondo exterior del buque. Encontrar el desplazamiento en agua salada, el FWA, y la altura del centro de flotabilidad por encima de la quilla. 5.- Las áreas de las secciones transversales verticales de una bodega de proa, espaciadas de forma equidistante entre los mamparos, son como sigue: 800, 960, 1100 y 1120 metros cuadrados, respectivamente. La longitud de la bodega es de 20 m. determinar cuántas toneladas de carbón (colocación en los 4 metros cúbicos por tonelada) se pueden cargar. 6.- Un barco de 90 metros de largo que flota a calados iguales de 6 m. Las sub-ordenadas, comenzando desde proa, son los siguientes: 0, 4,88, 6,71, 7,31, 7,01, 6,40 y 0,9 m, respectivamente. Las sub-ordenadas de 7,5 metros de proa y de popa son 2,13 m y 3,35 m, respectivamente. Encuentra el área del plano de agua y el cambio en el calado si 153 toneladas de carga está cargado con su centro de gravedad verticalmente sobre el centro de flotación. Encuentra también la posición del centro de flotación. 7.- Las áreas del plano de agua de un buque contadas a partir del plano de agua cargado y espaciados a intervalos equidistantes a la parte inferior interior, son: 2500, 2000, 1850, 1550, 1250, 900 y 800 m cuadrados, respectivamente. Debajo de la parte inferior interna es un apéndice de 1 metro de profundidad que tiene una media área de 650 metros cuadrados. El calado cargado es de 7 metros. Encuentre el desplazamiento de la carga en agua salada, el FWA, y la altura del centro de flotabilidad por encima de la quilla. 8.- El plano de agua de un buque es de 80 metros de largo. Las mangas comenzando a partir de la proa son las siguientes: 0, 3.05, 7.1, 9.4, 10.2, 10.36, 10.3, 10.0, 8.84, 5.75 y 0 m, respectivamente. El espacio entre los tres primeros y las últimos tres coordenadas es la mitad entre las ordenadas otros. Calcular el área del plano de agua, y la posición del centro de flotación. 9.- Tres ordenadas consecutivas en el plano de agua de un buque son: 6,3, 3,35 y 0,75 m, respectivamente. El intervalo común es de 6m. Hallar el área comprendida entre las dos últimos ordenadas. 10.- Las coordenadas transversales horizontales de la sección de un barco en el medio comienza a partir de la línea de agua y espaciados a intervalos de 1 metro son como sigue: ��
16.30, 16.30, 16.30, 16.00, 15.50, 14.30 y 11.30 m, respectivamente. Por debajo de la ordenada más baja hay un apéndice de 8,5 metros cuadrados. Encuentra el área de la sección transversal. 11.- La siguiente tabla muestra el área de un plano de agua de un buque a diversos calados: Calado (m) 6 7 8 Área (m²) 700 760 800 Calcula el volumen de desplazamiento y las TPC aproximadas entre los calados de 7 y 8 m. 12.- Las áreas de los planos de agua de un buque, comenzando a partir del plano de agua cargado y una separación de 1 metro de distancia, son los siguientes: 800, 760, 700, 600, 450 y 10 metros cuadrados, respectivamente. A medio camino entre las dos planos de agua más bajas el área es de 180 metros cuadrados. Encontrar el desplazamiento en condición de carga en agua salada, y la altura del centro de flotabilidad por encima de la quilla.
Resultados 1.- (a) 508m2, (b) 5.2 ton, (c) 0.8 m popa de la sección media. 2.- (a) 488m2, (b) 5 ton, (c) 0.865, (d) 0.86 m a popa de la sección media. 3.- (a) 122 mm, (b) 43.4 m desde proa. 4.- (a) 30 476.7 ton, (b) 371.4 mm, (c) 15.6 m 5.- 5062.5 ton. 6.- (a) 978.3m2, (b) 15.25 cm, (c) 2.03 m a popa de la sección media. 7.- (a) 9993 ton, (b) 97.44 mm, (c) 4.33 m. 8.- (a) 671.83 m2, (b) 1.57 m, a Popa de la sección media. 9.- 12.125 m2. 10.- 101m2. 11.- (a) 781.67m3, (b) 8.01 ton. 12.- (a) 28 93.33 m 3 o 2965.6 ton, (b) 3 m.
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