Laporan Statistika Modul3 Poisson FIX ASLINING Pisan Insha Allah

UNIVERSITAS WIDYATAMA

STATISTIKA INDUSTRI

BAB I PENDAHULUAN

1.1

LATAR BELAKANG

Teori peluang terutama distribusi poisson distribusi poisson dapat menjadi alat untuk kita mengatasi masalah antrian dalam suatu hal. Persoalan antrian menjadi bagian dari kehidupan sehari-hari yang tidak terhindarkan. Antrian terjadi karena operasi sistem pelayanan dan pola kedatangan pelanggan bersifat acak. Teori peluang distribusi eksponensial dapat membantu kita mengantisipasi kerusakan pada alat yang kita gunakan seperti mesin produksi. Modul 3 mengenai distribusi probabilitas poisson poisson dan eksponensial ini, praktikan akan melakukan pencarian model antrian dari sistem pelayanan. Model antrian yang dipilih yaitu model antrian sistem pelayanan di bioskop Cinema21. Cinema21. Pengamatan dilakukan agar hasil dari data yang diperoleh dapat diolah dan dianalisis untuk mengetahui waktu pelayanan dari server. Sehingga dapat memberi masukan untuk meningkatkan kualitas pelayanan sistem yang diamati. Interaksi antara pelanggan dan pelayan atau penyedia jasa adalah berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. pela yanan. Teori antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival (arrival distribution). distribution). Secara teoritis proses kedatangan dan perilaku pembeli dalam memasuki antrian tidak dapat diramalkan secara pasti. Jika proses kedatangan terjadi secara acak, maka proses proses ini sesuai dengan dengan proses proses stokastik, khususnya proses poisson, poisson, artinya jumlah konsumen yang datang selama periode waktu tertentu t akan mengikuti distribusi poisson. poisson. Tetapi tidak semua tingkat kedatangan akan berdistribusi poisson, poisson, oleh karena itu perlu diuji kesesuaian distribusi ini.

2


1.2

STATISTIKA INDUSTRI

TUJUAN

Tujuan melakukan kegiatan praktikum pada modul Poisson dan Poisson dan Eksponensial ini, praktikan diharapkan mampu: 1. Memahami karakteristik dari distribusi poisson distribusi poisson dan dan distribusi eksponensial. 2. Melakukan pendekatan distribusi poisson distribusi poisson terhadap terhadap distribusi binomial. 3. Melakukkan perhitungan dan mengetahui hasil dari teori antrian. 4. Mengenali masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan distribusi poisson distribusi poisson dan dan distribusi eksponensial.

2


STATISTIKA INDUSTRI

BAB II LANDASAN TEORI

2.1

DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

2.1.1

Distribusi Poisson

Distribusi poisson dalam teori probabilitas dan statistika adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Distribusi poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume. Distribusi poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi binomial pada saat n besar, sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas binomial, dengan l = n.p

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781 – 1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanya Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak n yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu. Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

Dimana, e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...) k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa peluang yang diberikan oleh fungsi ini k! adalah faktorial dari k

3


STATISTIKA INDUSTRI

λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi Poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Kegunaan distribusi poisson untuk mengukur probabilitas dari variabel random yang mencakup rentang yang cukup panjang. Kemudian selain dari pada itu distribusi poisson juga berguna untuk mengukur peluang yang mungkin terjadi dalam waktu atau daerah tertentu. Kemudian selain dari pada itu, distribusi poisson juga digunakan untuk menghitung distribusi binominal dengan mean dari distribusi poisson. Distribusi poisson memiliki aplikasi, terutama dalam menghitung atau mengolah suatu data. Diantaranya, aplikasi distribusi poisson ini adalah digunakan dalam menghitung data antrian yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu.

Karakteristik distribusi poisson diantaranya: 1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. 2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya derah tersebut. Dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut. 3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang terkecil tersebut, dapat diabaikan.

4


2.1.2

STATISTIKA INDUSTRI

Distribusi Eksponensial

Salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika, khususnya proses stokastik, adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif. Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif. Adapun karakeristik distribusi eksponensial sebagai berikut: 1. Mempunyai nilai variansi, 2. Mempunyai nilai mean, 3. Pencarian pada distribusi eksponensial menggunakan variabel random, 4. Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu yang terjadi pda percobaan tersebut, 5. Mempunyai nilai b > 0. Distribusi eksponensial berguna dalam mencari selisih waktu yang terjai dalam suatu peluang pada daerah tertentu. Dalam aplikasinya distribusi eksponensial ini sangat berperan sekali, seperti untuk mengukur selisih waktu antara orang 1 dan ke2 dlam suatu antrian. Selanjutnya distribusi ini juga berguna untuk mengukur tingkat kegagalan yang mungkin terjadi dalam suatu peluang. Kemudian distribusi eksponensial juga berguna dalam mencari peubah acak kontinu x, dengan menggunakan variabel random (bilangan acak).

5


2.1.3

STATISTIKA INDUSTRI

Teori Antrian

Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari – hari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada bank, pada kasir supermarket, dan situasi – situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.

Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan atau nasabah.

Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya digunakan untuk mempelajari kemacetan lalu lintas telepon, Pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang (1878-1929). Proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelangan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam suatu baris atau antrian karena pelayannya sedang sibuk dan akhirnya meninggalkan sistem setel ah selesai dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan sistem antrian adalah himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pemrosesan masalahnya.

6


STATISTIKA INDUSTRI

BAB IV PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

4.1

PENGUMPULAN DATA

4.1.1

Distribusi Probabilitas Poisson dan Eksponensial

Pengumpulan data dilakukan terhadap tempat bioskop (cinema 21) yang melayani pelanggan. a.

Data Distribusi Poisson Tabel 4.1 Data Distribusi Poisson No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Data Distribusi Poisson, n = 30 Interval Waktu, t = 3 menit Interval Waktu, t = 5 menit Awal Akhir Jumlah Kedatangan Awal Akhir Jumlah Kedatangan 13.00 13.03 2 13.00 13.05 2 13.04 13.07 1 13.06 13.11 2 13.08 13.11 1 13.12 13.17 3 13.12 13.15 1 13.18 13.23 2 13.16 13.19 2 13.24 13.29 3 13.20 13.23 3 13.30 13.35 3 13.24 13.27 1 13.36 13.41 2 13.28 13.31 3 13.42 13.47 2 13.32 13.35 1 13.48 13.53 3 13.36 13.39 2 13.54 13.59 2 13.40 13.43 2 14.00 14.05 3 13.44 13.47 1 14.06 14.11 4 13.48 13.51 2 14.12 14.17 3 13.52 13.55 3 14.18 14.23 2 13.56 13.59 4 14.24 14.29 3 14.00 14.03 1 14.30 14.35 2 14.04 14.07 1 14.36 14.41 2 14.08 14.11 2 14.42 14.47 2 14.12 14.15 2 14.48 14.53 2 14.16 14.19 1 14.54 14.59 3 14.20 14.23 1 15.00 15.05 4 14.24 14.27 1 15.06 15.11 3 14.28 14.31 1 15.12 15.17 3 14.32 14.35 1 15.18 15.23 2 14.36 14.39 2 15.24 15.29 3 14.40 14.43 1 15.30 15.35 2 14.44 14.47 2 15.36 15.41 4 14.48 14.51 1 15.42 15.47 3 14.52 14.55 1 15.48 15.53 2 14.56 14.59 1 15.54 15.59 2 48 Jumlah 113 170

(Sumber: pengumpulan data)

7


b.

STATISTIKA INDUSTRI

Data Distribusi Eksponensial Tabel 4.2 Data Distribusi Eksponensial No

Data Distribusi Eksponensial, n = 30 Jam Mulai

Jam Selesai

Selang Waktu (detik)

1

11:00:21

11:01:42

81

2

11:05:56

11:09:43

227

3

11:10:27

11:12:09

102

4

11:13:21

11:16:54

113

5

11:17:40

11:20:18

158

6

11:20:50

11:21:05

15

7

11:25:05

11:28:04

179

8

11:28:20

11:29:01

41

9

11:33:15

11:36:05

170

10

11:36:10

11:37:05

55

11

11:40:10

11:41:02

52

12

11:44:50

11:45:02

12

13

11:48:03

11:49:01

58

14

11:52:03

11:53:01

58

15

11:56:01

11:56:58

57

16

12:00:48

12:04:03

195

17

12:04:50

12:08:04

194

18

12:08:45

12:10:01

76

19

12:12:54

12:14:01

67

20

12:17:01

12:20:01

180

21

12:21:40

12:24:01

141

22

12:25:31

12:28:03

152

23

12:29:01

12:31:05

124

24

12:33:04

12:36:07

183

25

12:37:06

12:38:00

54

26

12:41:09

12:44:10

181

27

12:44:30

12:45:05

35

28

12:48:20

12:52:10

230

29

12:53:01

12:56:06

185

30

12:57:20

12:58:10

50

(Sumber: pengumpulan data)

8


STATISTIKA INDUSTRI

4.2

PENGOLAHAN DATA

4.2.1

Distribusi Poisson dan Eksponensial

A.

Distribusi Poisson Tabel 4.3 Distribusi Frekuensi dari Distribusi Poisson t = 3menit No

Xi

fi

Fkum

Xi.fi

1

1

17

17

2 2 9 26 3 3 3 29 4 4 1 30 Jumlah 10 30 102 (Sumber: Pengolahan Data)

̅

̅

̅

17

(Xi - ) -0.6

(Xi - )² 0.36

fi(Xi - )² 6.12

18 9 4 48

0.4 1.4 2.4 3.6

0.16 1.96 5.76 8.24

1.44 5.88 5.76 19.2

Contoh Perhitungan: a.

Xi x fi 1. 1 x 17 = 17 2. 2 x 9 = 18 3. 3 x 3 = 9 4. 4 x 1 = 4

b.

̅

Rata-rata ( )

∑. = ++9+ =  = 1,6  0 0

̅

c.

(Xi - )

1. 1 – 1,6 = -0,6 2. 2 – 1,6 = 0,4 3. 3 – 1,6 = 1,4 4. 4 – 1,6 = 2,4 d.

̅

(Xi - )² 1. (1 – 1,6)² = (-0,6)² = 0,36 2. (2 – 1,6)² = (0,4)² = 1,6 3. (3 – 1,6)² = (1,4)² = 1,96 4. (4 – 1,6)² = (2,4)² = 5,76

e.

̅

fi(Xi - )² 1. 17(1 – 1,6)² = 17( -0,6)² = 6,12 2. 9(2 – 1,6)² = 9(0,4)² = 1,44 3. 3(3 – 1,6)² = 3(1,4)² = 5,88 4. 1(4 – 1,6)² = 1(2,4)² = 5,76

9


f.

STATISTIKA INDUSTRI

Standar Deviasi

̅) = √ ,+,+5,+5, =  = √ ∑(− ∑ 0 g.

0,8

Rata-rata Kedatangan

 = ̅

= 1.6

Tabel 4.4 Ringkasan Distribusi Poisson t = 3 menit No Xi Fi 1 1 17 2 2 9 3 3 3 4 4 1 Jumlah 10 30 (Sumber: Pengolahan Data)

FK

P(X=Xi)

E(i)

E(i)K

17 26 29 30 102

0.3230 0.2584 0.1378 0.0551 0.7743

10.0350 3.1350 0.6540 0.1020 13.9260

10.0350 13.1700 13.8240 13.9260 50.9550

Contoh Perhitungan:

a.

F kumulatif F(x=n) = f(x=0) + f(x=1) +…+ f(x=n) F(x=1) = f(x=1) = 17 F(x=2) = f(x=1) + f(x=2) =17 + 9 = 26 F(x=3) = f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) =17 + 9 + 3 = 29 F(x=4) = f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) + f(x=4) =17 + 9 + 3 +1= 30

b.

P(x)

() = !x − ( = 1) = !x − = .! 2.71828−. = x − . ( = 2) = !  = ! 2.71828−. = ( = 3) = !x − = .! 2.71828−. = ( = 4) = !x − = .! 2.71828−. = λ

c.

λ

0,3230

λ

λ

0,2584

λ

λ

0,1378 0,0551

E(i) E(i) = P(x=x) x N E(1) = P(x=1) x 30 = 0,3345 x 30 =10.0350 E(2) = P(x=2) x 30 = 0,1045 x 30 = 3.1350 E(3) = P(x=3) x 30 = 0,0218 x 30 = 0.6540 E(4) = P(x=4) x 30 = 0,0034 x 30 = 0.1020

10


STATISTIKA INDUSTRI

Tabel 4.5 Distribusi Frekuensi dari Distribusi Poisson t = 5 menit

̅

̅

̅

No

Xi

fi

Fkum

Xi.fi

(Xi - )

(Xi - )²

fi(Xi - )²

1

2

15

15

30

-0.6

0.36

5.40

2

3

12

27

36

0.4

0.16

1.92

3 4 3 30 Jumlah 9 30 72 (Sumber: Pengolahan Data)

12 78

1.4 1.2

1.96 2.48

5.88 13.2

Contoh Perhitungan: a.

Xi x fi 1. 2 x 15 = 30 2. 3 x 12 = 36 3. 4 x 3 = 12

̅

b.

Rata-rata ( )

∑. = 0++ =  = 2,6  0 0

̅

c.

(Xi - )

1. 2 – 2,6 = -0,6 2. 3 – 2,6 = 0,4 3. 4 – 2,6 = 1,4 d.

̅

(Xi - )²

1. (2 – 2,6)² = (-0,6)²= 0,36 2. (3 – 2,6)² = (0,4)² = 0,16 3. (4 – 2,6)² = (1,4)² = 1,96

̅

e.

fi(Xi - )² 1. 15(2 – 2,6)² = 15(-0,6 )²= 5,40 2. 12(3 – 2,6)² = 12(0,4 )² = 1,92 3. 3(4 – 2,6)² = 3(1,4)² = 5,88

f.

Standar Deviasi

̅) = √ 5,+,9+5, =  = √ ∑(− ∑ 0 g.

0,66


 = ̅ =2.6

11


STATISTIKA INDUSTRI

Tabel 4.6 Ringkasan Distribusi Poisson t = 5 menit No

Xi

fi

Fkum

P(X=Xi)

E(i)

E(i)K

1

2

15

15

0.0504

1.512

1.512

2

3

12

27

0.0065

0.195

1.707

3 4 3 30 Jumlah 9 30 72 (Sumber: Pengolahan Data)

0.0006 0.0575

0.018 1.725

1.725 4.944

Contoh Perhitungan:

a.

F kumulatif F(x=n) = f(x=2 ) +…+ f(x=n) F(x=2) = f(x=2) = 15 F(x=3) = f(x=2) + f(x=3) =15 + 12 = 27 F(x=4) = f(x=2) + f(x=3) + f(x=4) =15 + 12 + 3 = 30

b.

P(x)

() = !x − λ

λ

x

( = 2) = !x − = .! 2.71828−. = ( = 3) = ! − = .! 2.71828−. = ( = 4) = !x − = .! 2.71828−. = λ

λ

0.2510

λ

λ

0.2175 0.1414

c.

E(i) E(i) = P(x=x) x N E(2) = P(x=2) x 30 = 0,0504 x 30 = 1,512 E(3) = P(x=3) x 30 = 0,0065 x 30 = 0,195 E(4) = P(x=4) x 30 = 0,0006 x 30 = 0,018

12


STATISTIKA INDUSTRI

Hubungan Xi terhadap Fk t=3menit

Hubungan Xi terhadap FKumulatif 35 30 25 20 15 10 5 0

f i t a l u m u k F

29

26

30

17

1

FK

2

3

35 30 25 i 20 X15 10 5 0

4

26

0

1

2

3

4

5

F Kumulatif

Gambar 4.1 Histogram Xi terhadap Fk pada t = 3 menit (Sumber: Pengolahan Data)

Hubungan Xi terhadap Fk t=5menit

Gambar 4.2 Poligon Xi terhadap Fk pada t = 3 menit (Sumber: Pengolahan Data)

Hubungan Xi terhadap Fkumulatif

40

35

27

30

17

Xi

f i t 30 a l u m20 u k F10

29

30

27

30

30

25

15 Fkum

i 20 X15

15

10 5

0

0

2

3

4

Xi


0

1

2

3

4

FKumulatif Gambar 4.2 Poligon Xi terhadap FKumulatif pada t = 3 menit (Sumber: Pengolahan Data)

13

5


B.

STATISTIKA INDUSTRI

Distribusi Eksponensial Tabel 4.7 Distribusi Frekuensi Eksponensial

Interval kelas 12 48 49 85 86 122 123 159 160 196 197 233

Batas Bawah

Batas Atas

11.5 48.5 48.5 85.5 85.5 122.5 122.5 159.5 159.5 196.5 196.5 233.5 Jumlah (Sumber: Pengolahan Data)

Xi

Fi

Fi Kum

XiFi

(Xi - )

̅

(Xi - )2

̅

Fi(Xi - )2

̅

30 67 104 141 178 215 735

4 10 2 4 8 2 30

4 14 16 20 28 30 112

120 670 208 564 1,424 430 3,416

-84 -47 -10 27 64 101 51

7,056 2,209 100 729 4,096 10,201 24,391

28,224 22,090 200 2,916 32,768 20,402 106,600

ContohPerhitungan: a. Rentang R = Nilai Data terbesar – Nilai Data terkecil R = 230 - 12 = 218 b.

Jumlah Kelas (∑k) ∑k = 1 + 3.3 Log N ∑k = 1 + 3.3 Log 30 = 5.8 ≈ 6

c.

Interval Kelas (I) I =

d.

e.

 =  = 36,33 ≈ 36 ∑ 

̅ (0)+(0)+⋯+(5) =  = 113,87 ≈ 114 ̅ = ∑ = ∑ 0 0 Rata-rata ( )

Standar Deviasi

̅ ) = √ 000 = 59,61  = √ ∑(− ∑ 0 f.


λ = ̅ =  =

0,0088

14


STATISTIKA INDUSTRI

Tabel 4.8 Ringkasan Distribusi Eksponensial Interval kelas

Batas Bawah

Batas Atas

Xi

Fi

Fi Kum

XiFi

(Xi - )

̅

(Xi - )2

̅

Fi(Xi - )2

̅

P(X)b

P(X)a

P(X)

E(i)

E(i)k

12

48

11.5

48.5

30

4

4

120

-84

7,056

28,224

0.9037

0.6526

0.2511

7.533

7.533

49

85

48.5

85.5

67

10

14

670

-47

2,209

22,090

0.6526

0.4712

0.1814

5.442

12.975

86

122

85.5

122.5

104

2

16

208

-10

100

200

0.4712

0.3403

0.1309

3.927

16.902

123

159

122.5

159.5

141

4

20

564

27

729

2,916

0.3403

0.2457

0.0946

2.838

19.74

160

196

159.5

196.5

178

8

28

1,424

64

4,096

32,768

0.2457

0.1774

0.0683

2.049

21.789

197

233

196.5

233.5

215

2

30

430

101

10,201

20,402

0.1774

0.1281

0.0493

1.479

23.268

735

30

112

3,416

51

24,391

106,600

2.7909

2.0153

0.7756

23.2680

102.207

Jumlah

(Sumber: Pengolahan Data)

ContohPerhitungan: a.

b.

() =  −a Kelas 1:  ( ) =  −a =2,71828−0,00×,5 = 0,6526 Kelas 2: () =  −a =2,71828−0,00×5,5 = 0,4712 Kelas 3:  ( ) =  −a =2,71828−0,00×,5 = 0,3403 Kelas 4: () =  −a =2,71828−0,00×59,5 = 0,2457 Kelas 5:  ( ) =  −a =2,71828−0,00×9,5 = 0,1774 Kelas 6:  ( ) =  −a =2,71828−0,00×,5 = 0,1281 () = −b Kelas 1: () =  −b =2,71828−0,00×,5 = 0,9037 Catatan: Semua Data Kelas dihitung seperti contoh perhitungan diatas.

c. P(x) = P(x)b – P(x)a Kelas 1: P(x) = P(x)b – P(x)a =0.9037-0.6526 = 0,2511 Catatan: Semua Data Kelas dihitung seperti contoh perhitungan diatas. d. E(i) = P(x) x N Kelas 1: E(i) = P(x) x N = 0,2511 x 30 = 7,533 Catatan: Semua Data Kelas dihitung seperti contoh perhitungan diatas.

15


STATISTIKA INDUSTRI

Xi terhadap F kumulatif

Xi terhadap FKumulatif 35

35

28

30

f i t 25 a l u20 m u15 k F10

30

30 25

20 16

14

i X

30

20

20

14

16

15 10

4

5

28

4

5

0 30

67

104

141

178

0

215

0

Xi

50

100

150

200

250

FKumulatif

Fi Kum


C.

Gambar 4.2 Poligon Xi terhadap FKumulatif pada t = 3 menit (Sumber: Pengolahan Data)

Teori Antrian

 .  = ,   = . = 0.02  . 0   . 0  0  . 5 = ,  5 =  = 0.04 λ Poisson = 5 .0  5 . 0  00  = µ = 0..0 = 0.0125  = µ = 0.0 = 3.5x10

a. λ Poisson =

b.

-4

 P = 1 -  = 1- 3.5x10

c. Po = 1 - = 1- 0.0125 = 0.9875 o

-4

= 0.9996

d. Rata-rata banyaknya mengantri dalam sistem

 = µ−  = L= µ− L=

0.0 = 0.0 = 0.01266 .−0.0 .5 0.0 = 0.0 = 3.510x10 −0.0 .9

-4

e. Rata-rata banyaknya pengantri

 = 0.0 = 0.000 = 0.00016 µ(µ−) .(.−0.0) .(.5)  = 0.0 = 0.00 = 1.23x10 L = µ(µ−) (−0.0) (.9) Lq = q

-7

16


STATISTIKA INDUSTRI

f. Rata-rata menunggu dalam sistem

 =  =  = 0.6329 µ− .−0.0 .5  =  = 0.0 = 8.7x10 W= µ− −0.0 .9 W=

-3

Rata-rata waktu antri

 = 0.0 = 0.0 = 7.9x10 menit µ(µ−) .(.−0.0) .(.5)  = 0.0 = 0.0 = 3.1x10 menit W = µ(µ−) (−0.0) (.9) Wq = q

-3

-6

17


STATISTIKA INDUSTRI

BAB V ANALISIS 5.1 ANALISIS

Praktikum ini kami mengamati bahwa bioskop Cinema21 menggunakan struktur antrian Single Channel-Single Phase. Sistem ini adalah sistem yang paling sederhana. Single Channel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem. Hubungan antara distribusi poisson dan eksponensial adalah karena nilai rata-rata distribusi poisson adalah λ sedangkan nilai rata-rata distribusi eksponensial adalah β. Hasil dari praktikum yang telah dilakukan didapat bahwa waktu mengantri seorang konsumen atau pengunjung bioskop Cinema21 adalah 7.9x10-3 menit dalam rentang waktu 3 menit sedangkan pengunjung bioskop Cinema 21 adalah 3.1x10 -6 menit pada rentang waktu 5 menit. Bisa disimpulkan bahwa antrian dibioskop tersebut tidak

terlalu

signifikan

karena

rentang

waktunya

sedikit.

Faktor

yang

mempengaruhi terjadinya antrian adalah mekanisme pelayanan tidak selalu te rsedia untuk setiap saat, karena loket penjualan karcis masuk hanya dibuka pada waktu tertentu antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya. Sehingga pada saat loket ditutup, mekanisme pelayanan terhenti dan petugas pelayanan (pelayan) istirahat. Dari hasil pengolahan data dapat disimpulkan bahwa yang merupakan distribusi poisson

adalah banyaknya

jumlah

pengunjung semisal jumlah pengunjung

setiap jam. Sedangkan distribusi eksponensial adalah waktu kedatangan pengunjung di bioskop tersebut.

18


STATISTIKA INDUSTRI

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 KESIMPULAN

1. Pokok dari analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar kedatangan dan pelayanan diwakili dengan waktu pelayanan pada tiap pelanggan. 2. Kedatangan

pelanggan

dapat

dipelajari

karakteristiknya.

Karakteristik

kedatangan diwakili oleh adanya distribusi probabilitas. Distribusi Poisson mewakili kedatangan pelanggan. Waktu pelayanan dalam antrian dapat pula dipelajari karakteristiknya. Distribusi Eksponensial mewakili waktu pelayanan yang terjadi dalam antrian. 3. Berdasarkan hasil pengoahan data dari antrian bioskop Cinema21 yang telah dilakukan dengan metode distribusi poisson dan eksponensial dapat diketahui hasil perhitungan teori antrian separti berikut: 

Rata-rata banyaknya mengantri dalam sistem 3 menit = 0.01266 5 menit = 3.510x10



Rata-rata banyaknya pengantri 3 menit = 0.00016 5 menit = 1.23x10 -7



Rata-rata menunggu dalam sistem 3 menit = 0.6329 5 menit



= 8.7x10

-3

Rata-rata waktu antri 3 menit = 7.9x10 -3 menit 5 menit= 3.1x10 -6 menit

4. Pada antrian tiket bioskop dilakukan disiplin antri First Come First Served (FCFS) atau First In-First Out (FIFO) artinya, konsumen yang datang terlebih dahulu (sampai), lebih dulu dilayani (keluar). Sistem antrian yang terjadi di bagian ticketing Bioskop adalah pola antrian jalur ganda dengan satu tahapan proses dan 2 server (loket). Karakteristik antrian Bioskop adalah populasinya

19


STATISTIKA INDUSTRI

terbatas, panjang antrian juga terbatas, pola kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson, pelayanan pengunjung berdistribusi eksponensial. Tetapi pada periode sibuk seperti hari libur dan weekend server (loket) di Bioskop ditambah 1 agar antrian pengunjung tidak panjang.

6.2 SARAN

1. Sebelum

melakukan

praktikum,

peraktikan

terlebih

dahulu

harus

memahami modul yang akan di bahas. 2. Pada perhitungan dengan menggunakan cara manual tentunya juga diperlukan ketelitian dan kecermatan agar tidak terjadi kesalahan. 3. Untuk memperkecil kesalahan kita bisa menggunakan Microsoft Excel atau SPSS sebagai cara untuk membandingkan hasil keakuratan antara analisis manual dengan analisis aplikasi Microsoft Excel atau SPSS. 4. Pada saat pengolahan data manual, peraktikan harus sangat teliti dalam mencari hasil. Apabila salah sedikit akan berakibat fatal dan mempengaruhi data-data selanjutnya.

20

PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI LAPORAN ASISTENSI (Modul 3) Diajukan Untuk Memenuhi dan Melengkapi Persyaratan Akademik Mata Kuliah Program Studi Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Widyatama

Disusun Oleh:

Anita Ajeng Astuti

0515104052

Faizal Rachman S

0515104040

Jaelani

0515104064

Eko Nurhidayat

05151040

M. Arief Ismail

05151040

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WIDYATAMA SK. Ketua Badan Akreditasi Nasional Perguruan Tinggi (BAN-PT) Nomor: 112/SK/BAN-PT/Akred/S/III/2015 BANDUNG 2017

Laporan Statistika Modul3 Poisson FIX ASLINING Pisan Insha Allah

Recommend Documents