Karakteristik Sistem
Karakteristik sistem adalah gambaran untuk respon sistem terhadap masukan tertentu. Sinyal masukan merupakan sinyal uji. Karakteristik sistem dibedakan menjadi : 1. Kara Karakt kter erist istik ik resp respon on wakt waktu. u. Karak Karakter teris isti tik k respo respon n wakt waktu u meru merupa paka kan n karak karakter terist istik ik respon sistem terhadap terhadap perubahan perubahan waktu. Karakteristik Karakteristik respon waktu dibedakan menjadi karakteristik respons transien dan karakteristik respon pada keadaan steady keadaan steady state. state. Untuk mendapatkan karakteristik respon waktu dari sistem, sinyal uji yang lazim digunakan adalah sinyal impuls, step impuls, step atau atau ramp. ramp. 2. Kara Karakt kter eris isti tik k resp respo on frek frekue uen nsi. si. Karak arakte teri rist stik ik resp respon on frek freku uensi ensi meru erupaka pakan n karakt karakteris eristik tik respon respon sistem sistem terhad terhadap ap peruba perubahan han frekuen frekuensi si Untuk Untuk mendap mendapatk atkan an karakteristik respon frekuensi dari sistem, sinyal uji yang lazim digunakan adalah sinyal persegi atau sinyal sinusoidal. Karakteristik respon waktu Sistem Orde Pertama odel odel matemat matematika ika dari dari sistem sistem orde orde pertam pertamaa dapat dapat dinyat dinyataka akan n dalam dalam bentuk bentuk diagram blok seperti berikut ini :
!imana "#s$ dan %#s$ masing&masing adalah sinyal masukan dan sinyal keluaran sistem orde pertama dalam domain s. Sehingga fungsi alih loop tertutup #%'()$ sistem orde pertama adalah :
dimana K : : *ain o+erall : konstanta waktu Selanjutnya kita akan menganalisa respon sistem orde pertama untuk masukan sinyal sinyal impuls impuls,, sinyal sinyal step dan dan sinya sinyall ramp. ramp. !alam bahasan ini, kita mengasumsikan bahwa syarat awalnya adalah nol. Karakteristik respon transien sistem orde pertama se-ara spesifikasi teoritis : Konstanta waktu #$, adalah waktu yang dibutukan respon mulai t / sampai dengan respon men-apai men-apai 0,2 dari respon steady state s tate.. Konstanta waktu menyatakan ke-epatan respon sistem. Konstanta waktu yang lebih ke-il akan memper-epat respon sistem. Sistem Orde Kedua
odel matematika dari sistem orde kedua dapat dinyatakan dalam bentuk diagram blok seperti berikut ini :
dimana "#s$ dan %#s$ masing&masing adalah sinyal masukan dan sinyal keluaran sistem orde kedua dalam domain s. Sehingga fungsi alih loop tertutup #%'()$ sistem orde kedua adalah :
dengan K *ain o+erall ωn frekuensi alami tak teredam 3 rasio peredaman 4erdasarkan fungsi alih loop tertutupnya dapat kita lihat bahwa kelakuan dinamik sistem orde kedua dapat digambarkan dalam parameter 3 dan ωn. 'etak kutub loop tertutup C(s)/R(s) dari sistem orde kedua dapat ditinjau berdasarkan nilai rasio peredaman 3. 4erikut kita akan membahas respon sistem orde kedua dengan meninjau tiga keadaan yang berbeda yaitu redaman kurang #/ 5 3 5 1$, redaman kritis #3 1$ dan redaman lebih #3 61$ sebagai berikut. 1. Untuk / 5 3 5 1, kutub loop tertutup merupakan konjugat komplek yaitu
!alam hal ini system dikatakan mengalami redaman kurang #under damped $. Kur+a respon sistem orde kedua dalam keadaan redaman kurang #under damped $ terhadap masukan unit step ini dapat dilihat pada gambar 1.
Gambar 1. "espon step system orde kedua #under damped) (ampak bahwa pada keadaan redaman kurang atau under damped respon sistem orde kedua terhadap masukan unit step mengalami osilasi #terdapat overshoot $. 2. Untuk 3 1, kutub loop tertutup merupakan bilangan riel negatif dan kembar yaitu
!alam hal ini sistem dikatakan mengalami redaman kritis # critically damped $. Kur+a respon sistem orde kedua #redaman kritis$ terhadap masukan unit step ini dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2. "espon step system orde kedua #critically damped) (ampak bahwa pada keadaan redaman kritis atau critically damped respon sistem orde kedua terhadap masukan unit step tidak terdapat o+ershoot dan menyerupai respon system orde pertama. . Untuk 3 6 1, kutub loop tertutup merupakan bilangan riel negatif dan berbeda yaitu
!alam hal ini sistem dikatakan mengalami redaman lebih #over damped $. Kur+a respon sistem orde kedua #redaman lebih$ terhadap masukan unit step ini dapat dilihat pada gambar .
Gambar 3. "espon step system orde kedua #over damped) (ampak bahwa pada keadaan redaman lebih atau over damped respon sistem orde kedua terhadap masukan unit step tidak terdapat overshoot dan menyerupai respon sistem orde pertama.
Karakteristik respon waktu untuk sistem orde kedua diberikan berdasarkan respon sistem terhadap masukan unit step. Karakteristik respon waktu sistem orde kedua dibedakan menjadi karakteristik respon transien dan karakteristik respon keadaan tunak atau steady state. Karakteristik respon waktu menjadi penting karena kebanyakan sistem
pengaturan merupakan sistem daerah waktu. Karakteristik respon transien sistem orde kedua terdiri dari : • •
Spesifikasi teoritis : frekuensi alami tak teredam #ωn$ dan rasio peredaman #3$. Spesifikasi praktis : Spesifikasi praktis didapatkan dengan asumsi respon sistem orde kedua dalam keadaan redaman kurang #under damped$. Spsesifikasi praktis terdiri dari: 1. 7aktu tunda #delay time$, td . 7aktu tunda adalah waktu yang diperlukan oleh respon untuk men-apai setengah dari nilai steady state tunak untuk waktu pertama. 2. 7aktu naik #rise time$, tr . 7aktu naik adalah waktu yang dibutuhkan oleh respon untuk naik dari 8 ke 98 atau 1/ ke 9/ dari nilai steady state. . 7aktu pun-ak # peak time$, tp. 7aktu pun-ak adalah waktu yang diperlukan respon untuk men-apai pun-ak pertama overshoot . . Overshoot maksimum, Mp. Overshoot maksimum adalah nilai pun-ak kur+a respon diukur dari satuan. ;pabila nilai akhir keadaan tunak responnya jauh dari satu, maka biasa digunakan persen overshoot maksimum, dan didefinisikan oleh.... 4esarnya persen overshoot maksimum menunjukkan kestabilan relatif dari sistem. 8. 7aktu tunak # settling time$, ts. 7aktu tunak adalah waktu yang dibutuhkan respon untuk men-apai keadaan stabil #keadaan tunak$ atau dianggap stabil.
Gambar 4. Karakteristik respon waktu system orde kedua
!apat diperhatikan bahwa jika kita -irikan nilai td , tr , tp, ts, dan Mp, maka bentuk kur+a respon dapat ditentukan. Sistem Orde Tinggi Suatu sistem orde tiga memiliki model matematika dalam bentuk diagram blok seperti berikut :
!imana R(s) dan C(s) masing&masing adalah sinyal masukan dan keluaran system orde tiga dalam domain s. Sehingga fungsi alih loop tertutup #%'()$ sistem orde tiga adalah :
!imana p adalah konstanta, 3 adalah rasio peredaman dan
Sehingga dengan menggunakan transformasi 'apla-e in+ers diperoleh:
dengan : >erhatikan karena : aka koefisien dari suku e&pt selalu negatif sehingga kutub real s &p pada respon unit step akan menurunkan o+ershoot maksimum dan mempertinggi wa ktu tunak. *ambar di bawah ini menunjukkan kur+a respon unit step sistem orde tiga dengan 3 /,8. ? adalah parameter pada keluarga kur+a tersebut.
Untuk ? 2 dan ? respon sistem terdapat o+ershoot dan mengalami osilasi sehingga menyerupai sistem dengan redaman kurang #underdamped $ sedangkan untuk ? 1 respon sistem menyerupai sistem dengan redaman lebih #overdamped $. Suatu sistem orde tinggi pada umumnya memiliki fungsi alih loop tertutup yang dinyatakan sebagai perbandingan dalam polinomial s seperti berikut ini :
!imana ai dan bi adalah konstanta riel sedangkan "#s$ dan %#s$ masing&masing adalah sinyal masukan dan keluaran system orde tinggi dalam notasi 'apla-e. @ika penjelasan analitik untuk respon transien diharapkan, maka perlu memfaktorkan penyebut dari polinomial. #4eberapa metode dapat digunakan untuk memfaktorkan polinomial$. !engan memfaktorkan penyebut pada polinomial, maka %#s$ = "#s$ dapat ditulis sebagai berikut:
!imana zi dan pi masing&masing adalah zero dan kutub loop tertutup sistem orde tinggi. Kontroler PID Untuk kontroler proporsional ditambah integral ditambah differensial, sinyal kesalahan e#t$ merupakan masukan kontroler sedangkan keluaran kontroler adalah sinyal kontrol u#t$. Aubungan antara masukan kontroler e#t$ dan keluaran kontroler u#t$ adalah
atau dalam besaran transformasi 'apla-e
dimana Kp adalah penguatan proporsional dan i adalah waktu integral dan d adalah waktu differensial. >arameter Kp, i, dan d ketiganya dapat ditentukan. Sehingga fungsi alih kontroler proporsional ditambah integral ditambah differensial adalah
!iagram blok kontroler proporsional ditambah differensial adalah sebagai berikut
Desain Kontroler PID Suatu plant orde kedua tanpa delay dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram blok seperti berikut ini :
!imana K adalah *ain o+erall,
dimana
K p : penguatan proporsional. i : waktu integral d : waktu differensial @ika kontroler proporsional ditambah integral ditambah differensial diterapkan pada plant orde kedua tanpa delay dalam suatu sistem pengaturan maka diagram bloknya adalah sebagai berikut :
Sistem pengaturan di atas memiliki fungsi alih loop tertutup :
@ika dipilih i B d 1 = ωn2 dan i 23 = ωn maka :
(ampak bahwa suatu plant orde kedua tanpa delay dengan kontroler proporsional ditambah integral ditambah differensial menghasilkan sistem orde pertama #model yang diinginkan$ dengan fungsi alih sebagai berikut :
!imana C dan K C masing&masing adalah konstanta waktu dan gain overall dari sistem hasil #model yang diinginkan$. !engan membandingkan persamaan&persamaan diatas maka diperoleh :
Untuk masukan unit step, r#t$ u#t$ D "#s$ 1=s maka besarnya error steady state dari sistem hasil adalah : dimana C ss adalah keluaran sistem hasil pada keadaan tunak dan R ss adalah masukan sistem hasil pada keadaan tunak yang besarnya adalah
sehingga
'angkah & 'angkah !esain Kontroler >E! :
1. enentukan fungsi alih dari plant orde kedua. 4isa didapatkan melalui identifikasi dengan pendekatan respon atau penurunan model matematik dengan pengukuran parameter. 2. enentukan spesifikasi performansi respon orde pertama yang diinginkan. isal: diinginkan agar sistem mempunyai C tertentu. . enentukan K p, i, dan d.
asil Pengukuran dan !nalisa" 1. Identi#ikasi Sistem Edentifikasi proses atau sistem dilakukan berdasarkan data per-obaan atau eksperimen dengan mengukur sinyal masukan dan keluaran. Edentifikasi yang seharusnya dilakukan berikut adalah metode identifikasi Strej- yang merupakan salah satu -ontoh dari metode eksperimental. 4erikut ini setup peralatan untuk identifikasi.
Gambar $. Setup peralatan untuk identifikasi motor !% !igunakan identifikasi motor !% hal ini dikarenakan untuk memenuhi tugas yang telah diberikan. otor !% merupakan salah satu system yang menddunakan system orde dua. !ari persamaan diagram blok seperti sebelumnya, maka kami mengambil model matematika seperti berikut. C ( s ) 3,19 = G ( s )= 2 R ( s ) s + 1.276 s + 6.38
dengan : K /,8 3 /,2820 ωn 2,820 2. asil setting Kp% Ti% dan Td 4erikut ini adalah perhitungan Kp, (i, dan (d menggunakan rumus&rumus pada pendekatan system orde kedua. 4esarnya waktu integral : • 2 ξ 2 ∙ 0,2526 = =0,2 τ i= ωn 2,526 •
4esarnya waktu diferensial : τ d =
1 2 ξ ωn
=
1 2 ∙ 0,2526 ∙ 2,526
=0,78
•
Konstanta waktu system hasil : ¿
¿
¿
τ s ( ± 5 ) ≈ 3 τ ≈ 2 det↔τ ≈ •
2 3
det
4esarnya nilai Kp : K p=
τ i ¿
K τ
=
0,2 1∙
2
=1,2
3
!engan konfigurasi kontroler >E! yang digunakan adalah seri, didapatkan hasil perhitungan seperti diatas dan berikut adalah hasil perhitungan parameter kontroler >E!. Sistem loop&tertutup >endekatan Sistem Frde !ua
Kp 1,2
(i /,2
(d /,GH
3. !nalisa Per#ormansi >erformansi system dianalisa dengan melakukan simulasi pada sot!are "imulink# M$%&$', dengan memasukkan transfer fun-tion motor !% yang telah didapatkan pada bagian 1. Sedangkan parameter >E! yang mun-ul pada bagian 2 dimasukkan pada blok kontroler >E! di "imulink . 4erikut ini gambar diagram blok di "imulink se-ara umum untuk per-obaan.
Gambar &. 4lok diagram "imulink untuk analisa performansi
4erikut ini grafik yang dihasilkan.
Gambar '. >erformansi system tanpa kontroler
Setelah menentukan transfer fun-tion, didapatkan grafik seperti di atas. (elah ditentukan spesifikasi performansi respon orde kedua yang diinginkan serta didapatkan pula parameter >E!, sehingga diagram blok di "imulink seperti di bawah ini.
Gambar (. 4lok diagram "imulink setelah dipasang kontroler >E!
Selanjutnya adalah menentukan parameter > # proportional $ , E # ntegral $ , dan ! # erivati $ dari parameter >E! yang sebelumnya didapatkan. 4erikut merupakan perhitungan dari ketiga nilai tersebut. Iilai > # proportional $ : • P= K p =0,6 •
Iilai E # ntegral $ : K p 0,6 = =3 I = Ti 0,2
•
Iilai ! # erivati $ : D K p ×Td =
=
0,6 × 0,78
=
0,468
!engan meng&klik dua kali blok diagram kotak >E! diatas, maka akan mun-ul kotak dialog untuk pengaturan parameter >E!. !an masukkan nilai&nilai >E! diatas pada kotak dialog tersebut seperti yang ditunjukkan pada gambar 9.
Gambar ). Iilai >E! yang harus diisikan pada "imulink
'angkah selanjutnya adalah running simulasi dan klik dua kali scope pada diagram blok, maka akan tampil grafik seperti gambar 1/.
Gambar 1*. >erformansi system dengan kontroler >E!
!ari sini telah didapatkan dua ma-am grafik, yakni grafik performansi tanpa kontroler >E! dan grafik performansi dengan kontroler >E!. @ika dibandingkan antara keduanya, sudah jelas bahwa grafik yang pertama memiliki performansi yang buruk, dan pada grafik yang kedua sudah dapat dikatakan memiliki performansi yang lebih baik. (entu hal ini dikarenakan adanya kontroler >E! pada grafik kedua. Iamun sebenarnya grafik kedua sendiri belum bias dikatakan memiliki performansi yang baik se-ara utuh. %ime delay pada grafik perlu diper-epat sesuai dengan kebutuhan system. >er-epatan time delay ini untuk men-apai keadaan steady state. Aal ini dapat dilakukan dengan -ara memperbesaar nilai Kp sebesar dua kali lipat dari nilai Kp sebelumnya. !ua kali disini hanya menunjukkan kebutuhan time delay pada system, dan kemungkinan akan berbeda untuk system lain yang berbeda. >engaturan nilai >E! dan grafik performansi system masing&masing ditunjukkan pada gambar 11 dan gambar 12.
Gambar 11. Iilai >E! yang diisikan setelah nilai Kp dikalikan 2
Gambar 12. >erformansi system setelah nilai Kp dikalikan 2 4eberapa poin yang terpenting yang harus diperhatikan bahwa saat nilai Kp diperbesar menjadi dua kali, maka nilai E # ntegral $ dan nilai > # *roportional $ juga berubah. Kemudian pada grafik tersebut nilai steady state terletak pada 2 detik dan ini merupakan dua kali lebih -epat dibandingkan pada grafik sebelumnya yang steady state pada nilai . Eni menunjukkan bahwa grafik diatas memiliki time delay yang lebih -epat untuk men-apai steady state dibandingkan dengan grafik sebelumnya. Kesimpulan " !ari hasil simulasi, kontroler >E! dengan pendekatan system orde kedua memberikan performansi yang baik. !an sesuai dengan kebutuhan system, nilai steady state dapat diperke-il dengan mengkalikan nilai Kp untuk mendapatkan time delay yang lebih -epat.
